Teoria obwodow

1

Lekcja 1. Podstawowe prawa obwodów elektrycznych

Wstp Lekcja pierwsza wprowadza podstawowe pojcia i prawa obwodów elektrycznych, w tym

prd i napicie, elementy liniowe obwodu w postaci rezystora, cewki i kondensatora oraz

ródła sterowane i niezalene. Najwaniejszym prawem teorii obwodów jest prawo prdowe i

napiciowe Kirchhoffa, podane tutaj w postaci ogólnej. Z prawa Kirchhoffa wynikaj reguły

upraszczania obwodów, zdefiniowane dla połczenia szeregowego, równoległego oraz

transfiguracji gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda.

1.1. Podstawowe pojcia obwodów

Teoria obwodów stanowi jedn z dziedzin elektrotechniki zajmujc si stron teoretyczn

zjawisk wystpujcych w obwodach elektrycznych, w tym metodami analizy rozpływu

prdów i rozkładu napi obwodu w stanie ustalonym i nieustalonym. Przyjmuje si, e

nonikami elektrycznoci s czstki elementarne: elektrony i protony wystpujce w atomie.

W przypadku przewodników elektrycznych najwaniejsz rol odgrywaj elektrony

swobodne, stanowice trwałe noniki ujemnego ładunku q, wyzwolone z przycigania jdra

atomu oraz jony, stanowice czsteczki naładowane dodatnio lub ujemnie. Ładunek

elektryczny elektronu, oznaczany jest liter e a jego warto e=1,602⋅10-19C.

Prd elektryczny powstaje jako uporzdkowany ruch ładunków elektrycznych i jest utosamiany

w teorii obwodów z pojciem natenia prdu elektrycznego. W ogólnoci definiowany jest jako

granica stosunku ładunku elektrycznego przepływajcego przez przekrój poprzeczny elementu do

rozpatrywanego czasu, gdy czas ten dy do zera. Prd elektryczny oznaczany bdzie liter i (du lub

mał). Jest wielkoci skalarn a jej jednostk w układzie SI jest amper (A).

Kademu punktowi w rodowisku przewodzcym prd elektryczny mona przyporzdkowa

pewien potencjał mierzony wzgldem punktu odniesienia. Rónica potencjałów midzy dwoma

punktami tego rodowiska nazywana jest napiciem elektrycznym. Jednostk napicia elektrycznego

jest volt (V).

2

1.2. Elementy obwodu elektrycznego

Za obwód elektryczny uwaa bdziemy takie połczenie elementów ze sob, e istnieje moliwo

przepływu prdu w tym połczeniu. Obwód jest odwzorowywany poprzez swój schemat, na którym

zaznaczone s symbole graficzne elementów oraz sposób ich połczenia ze sob, tworzcy okrelon

struktur.

Na struktur obwodu elektrycznego poza elementami składaj si równie gałzie, wzły i

oczka. Gał obwodu jest tworzona przez jeden lub kilka elementów połczonych ze sob w

okrelony sposób. Wzłem obwodu jest zacisk bdcy kocówk gałzi, do którego mona dołczy

nastpn gał lub kilka gałzi. Gał obwodu tworz elementy ograniczone dwoma wzłami. Oczko

obwodu to zbiór gałzi połczonych ze sob i tworzcych drog zamknit dla prdu elektrycznego.

Oczko ma t właciwo, e po usuniciu dowolnej gałzi ze zbioru pozostałe gałzie nie tworz drogi

zamknitej. W obwodzie o zadanej strukturze istnieje cile okrelona liczba wzłów, natomiast liczba

oczek jest wprawdzie skoczona ale bliej nieokrelona.

Element jest czci składow obwodu niepodzieln pod wzgldem funkcjonalnym bez utraty

swych cech charakterystycznych. Na elementy obwodu składaj si ródła energii elektrycznej oraz

elementy akumulujce energi lub rozpraszajce j. W kadym elemencie mog zachodzi dwa lub

nawet wszystkie trzy wymienione tu procesy, cho jeden z nich jest zwykle dominujcy. Element jest

idealny jeli charakteryzuje go tylko jeden rodzaj procesu energetycznego.

Elementy posiadajce zdolno akumulacji oraz rozpraszania energii tworz klas elementów

pasywnych. Nie wytwarzaj one energii a jedynie j przetwarzaj. Najwaniejsze z nich to rezystor,

kondensator oraz cewka. Elementy majce zdolno generacji energii nazywane s ródłami.

Zaliczamy do nich niezalene ródło napicia i prdu oraz ródła sterowane.

Kady element obwodu moe by opisany równaniami algebraicznymi lub róniczkowymi,

wicymi prd i napicie na jego zaciskach. Element jest liniowy, jeli równanie opisujce go jest

liniowe. W przeciwnym wypadku element jest nieliniowy.

1.2.1. Rezystor

Rezystor, zwany równie opornikiem naley do klasy elementów pasywnych rozpraszajcych energi.

W teorii obwodów rezystor uwaa si za element idealny i przypisuje mu tylko jedn cech

(parametr), zwan rezystancj lub oporem. W dalszej czci rozwaa bdziemy wyłcznie rezystor

liniowy. Rezystancj (oporno) oznacza bdziemy liter R a jej odwrotno jest nazywana

konduktancj i oznaczana liter G, przy czym R = 1/G. Symbol graficzny rezystora liniowego

przedstawiony jest na rys. 1.1.

3

Rys. 1.1. Oznaczenie rezystora liniowego

Opis matematyczny rezystora wynika z prawa Ohma, zgodnie z którym

RR Riu = (0.1)

Spadek napicia na rezystorze liniowym jest proporcjonalny do prdu przepływajcego przez niego a

współczynnik proporcjonalnoci jest równy rezystancji R. Warto rezystancji rezystora liniowego

przyjmuje warto stał. Jednostk rezystancji jest om (Ω) a konduktancji siemens (S).

W realizacji praktycznej opornik jest wykonywany najczciej z drutu metalowego o długoci

l, polu przekroju poprzecznego S i rezystancji właciwej ρ. Rezystancja takiego opornika jest wprost

proporcjonalna do l i ρ a odwrotnie proporcjonalna do S, std R = ρ l/S.

1.2.2. Cewka

Cewka zwana równie induktorem naley równie do klasy elementów pasywnych. Ma

zdolno gromadzenia energii w polu magnetycznym. Cewce idealnej przypisuje si tylko

jedn właciwo, zwan indukcyjnoci własn (w skrócie indukcyjnoci) L. W przypadku

cewki liniowej indukcyjno definiuje si jako stosunek strumienia Ψ skojarzonego z cewk

do prdu płyncego przez ni, to znaczy

Li

LΨ= (0.2)

Strumie skojarzony Ψ cewki o z zwojach jest równy sumie strumieni wszystkich zwojów

cewki, to jest φz=Ψ (φ - strumie skojarzony z jednym zwojem cewki, z – liczba zwojów).

Jednostk indukcyjnoci jest henr (H), przy czym 1H = 1Ωs. Napicie cewki wyraone jest

jako pochodna strumienia wzgldem czasu

4

dt

duL

Ψ= (0.3)

W przypadku cewki liniowej, dla której strumie jest iloczynem prdu i indukcyjnoci L,

LLi=Ψ , relacja napiciowo-prdowa upraszcza si do postaci

dt

diLu L

L = (0.4)

Na rys. 1.2 przedstawiono symbol graficzny cewki liniowej o indukcyjnoci L.

Rys. 1.2. Symbol graficzny cewki liniowej

Zauwamy, e przy stałej wartoci prdu cewki napicie na niej jest równe zeru, gdy

pochodna wartoci stałej wzgldem czasu jest równa zeru. Std cewka w stanie ustalonym

obwodu przy prdzie stałym zachowuje si jak zwarcie.

Interesujce zjawiska powstaj w układzie dwu cewek połoonych blisko siebie, w

których zachodzi wzajemne przenikanie si strumieni magnetycznych. Jeli dwie cewki o

indukcyjnociach własnych 1L i 2L s tak usytuowane, e strumie wytworzony przez jedn z

nich jest skojarzony z drug to takie cewki nazywamy sprzonymi magnetycznie. Na rys. 1.3

przedstawiono oznaczenie cewek sprzonych magnetycznie. Gwiazdkami oznaczono

pocztki uzwoje kadej cewki.

Rys. 1.3. Oznaczenie cewek sprzonych magnetycznie

5

Obok indukcyjnoci własnej wprowadza si dla nich pojcie indukcyjnoci wzajemnej M,

jako stosunek strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej i skojarzonego z

cewk drug do prdu płyncego w cewce pierwszej, a wic

2

12

1

21

iiM

Ψ=

Ψ= (1.5)

gdzie 21ψ oznacza strumie skojarzony z cewka drug wytworzony przez prd płyncy w

cewce pierwszej a 12ψ – strumie skojarzony z cewka pierwsz wytworzony przez prd

płyncy w cewce drugiej. Jednostk indukcyjnoci wzajemnej jest równie henr.

Istnienie sprzenia magnetycznego powoduje indukowanie si napi na cewce

wskutek zmian prdu płyncego w cewce drugiej. Zgodnie z prawem indukcji

elektromagnetycznej napicie wytworzone na skutek indukcji wzajemnej okrelone jest

wzorem

dtdi

Mdtdi

LuM21

11 ±= (1.6)

dtdi

Mdtdi

LuM12

22 ±= (1.7)

Znak plus lub minus wystpujcy we wzorze jest uzaleniony od przyjtego zwrotu prdu

wzgldem pocztku uzwojenia cewki. Przyjmuje si znak plus, jeli prdy w obu elementach

sprzonych magnetycznie maj jednakowe zwroty wzgldem zacisków oznaczajcych

pocztek uzwojenia (oznaczone na rysunku gwiazdk). Przy zwrotach przeciwnych przyjmuje

si znak minus. Z zalenoci powyszych wida, e w elementach sprzonych magnetycznie

energia elektryczna moe by przekazywana z jednego elementu do drugiego za

porednictwem pola magnetycznego. Co wicej, nawet przy braku przepływu prdu przez

cewk, moe na niej pojawi si napicie pochodzce ze sprzenia magnetycznego od cewki

drugiej.

1.2.3. Kondensator

Kondensator jest elementem pasywnym, w którym istnieje moliwo gromadzenia

energii w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje si tylko jedn

6

właciwo zwan pojemnoci C. W przypadku kondensatora liniowego pojemno C jest

definiowana jako stosunek ładunku q zgromadzonego w kondensatorze do napicia midzy

okładzinami tego kondensatora

Cuq

C = (1.8)

W układzie SI jednostk ładunku jest kulomb (C), a pojemnoci farad (F), przy czym

1 F = 1 C/V. Zaleno wica napicie i prd kondensatora dana jest w postaci równania

róniczkowego

dt

duCi C

C = (1.9)

Symbol graficzny kondensatora przedstawiony jest na rys. 1.4.

Rys. 1.4. Symbol graficzny kondensatora

Podobnie jak w przypadku cewki, jeli napicie na zaciskach kondensatora jest stałe, jego

prd jest równy zeru (pochodna wartoci stałej wzgldem czasu jest zerem). Kondensator

zachowuje si wtedy jak przerwa (pomimo istnienia napicia prd nie płynie).

1.2.4. Niesterowane ródło napicia i prdu

ródło niesterowane (niezalene) prdu bd napicia, zwane w skrócie ródłem prdu i

ródłem napicia, jest elementem aktywnym, generujcym energi elektryczn, powstajc

zwykle z zamiany innego rodzaju energii, na przykład z energii mechanicznej, słonecznej,

jdrowej itp. W teorii obwodów rozwaa bdziemy ródła idealne nalece do klasy ródeł

napiciowych bd prdowych. Symbol idealnego niesterowanego ródła napicia

przedstawiony jest na rys. 1.5a, natomiast ródła prdu na rys. 1.5.b.

7

Rys. 1.5. Symbole graficzne niesterowanego ródła a) napicia, b) prdu

Niesterowane ródła prdu i napicia maj nastpujce właciwoci.

• Napicie na zaciskach idealnego ródła napicia nie zaley od prdu przepływajcego

przez to ródło, a zatem nie zaley od jego obcienia.

• Przy stałym napiciu u panujcym na zaciskach oraz prdzie i wynikajcym z

obcienia, rezystancja wewntrzna idealnego ródła napiciowego, definiowana w

postaci zalenoci róniczkowej 0==didu

Rw . Std idealne ródło napicia

charakteryzuje si rezystancj wewntrzna równ zeru (zwarcie z punktu widzenia

rezystancyjnego).

• Prd idealnego ródła prdu nie zaley od obcienia tego ródła, a wic od napicia

panujcego na jego zaciskach.

• Przy stałym prdzie płyncym przez idealne ródło prdowe i dowolnym (bliej

nieokrelonym) napiciu panujcym na jego zaciskach rezystancja wewntrzna

idealnego ródła prdowego jest równa nieskoczonoci. Std idealne ródło prdowe

z punktu widzenia rezystancyjnego reprezentuje sob przerw.

Rys. 1.6 przedstawia charakterystyki prdowo-napiciowe obu rodzajów idealnych ródeł

niesterowanych: napicia (rys. 1.6a) i prdu (rys. 1.6b).

8

Rys. 1.6. Charakterystyki prdowo-napiciowe idealnych ródeł niesterowanych:

a) ródło napicia, b) ródło prdu

Dla ródła napiciowego charakterystyka jest równoległa do osi prdowej (warto napicia u

stała), a dla ródła prdowego równoległa do osi napiciowej (warto prdu i stała). Tak

podane charakterystyki odnosz si do ródeł stałych. W przypadku ródeł sinusoidalnych

idealno jest rozumiana jako stało parametrów ródła (amplituda, faza pocztkowa oraz

czstotliwo niezalene od obcienia).

Przykładami ródła napicia stałego jest akumulator, ródła napicia zmiennego -

generator synchroniczny, ródła prdowego - elektroniczny zasilacz prdowy o

stabilizowanym, niezalenym od obcienia prdzie, itp.

1.2.5. ródła sterowane prdu i napicia

W odrónieniu od ródeł niesterowanych, których prd lub napicie (bd parametry

charakteryzujce je, np. amplituda i czstotliwo) były stałe, ustalone na etapie wytworzenia,

ródła sterowane z definicji zale od wielkoci sterujcych, którymi mog by prd lub

napicie dowolnego innego elementu w obwodzie.

ródło sterowane jest wic elementem czterozaciskowym i charakteryzuje si tym, e

napicie lub prd na jego zaciskach wyjciowych s proporcjonalne do napicia lub prdu

zwizanego z druga par zacisków sterujcych. Wyróni mona cztery rodzaje ródeł

sterowanych:

• ródło napicia sterowane napiciem, opisane równaniem

12 auu =

• ródło napicia sterowane prdem, opisane równaniem

12 riu =

• ródło prdu sterowane napiciem, opisane równaniem

12 gui =

• ródło prdu sterowane prdem, opisane równaniem

12 bii =

9

Schematy graficzne wszystkich wymienionych tu rodzajów ródeł sterowanych prdu i

napicia przedstawione s na rys. 1.7.

Rys. 1.7. Schematy graficzne ródeł sterowanych

Wielkoci r, g oraz a i b stanowi współczynniki proporcjonalnoci midzy wielkoci

sterujca i sterowan tych ródeł. Przyjmuj one najczciej wartoci rzeczywiste, cho w

rónego rodzaju modelach mog by równie opisane funkcj zespolon. Naley nadmieni,

e ródła sterowane stanowi bardzo popularne modele wielu elementów elektrycznych i

elektronicznych, takich jak transformatory idealne, maszyny elektryczne, tranzystory

bipolarne i polowe, wzmacniacze operacyjne napiciowe i prdowe, itp.

1.3. Prawa Kirchhoffa

Pod pojciem analizy obwodu elektrycznego rozumie si proces okrelania rozpływu prdów

i rozkładu napi w obwodzie przy załoeniu, e znana jest struktura obwodu oraz wartoci

wszystkich jego elementów. Podstaw analizy obwodów elektrycznych stanowi prawa

Kirchhoffa, podane przez niemieckiego fizyka Gustawa Kirchhoffa w dziewitnastym wieku.

Wyrónia si dwa prawa okrelajce rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie. Pierwsze

prawo Kirchhoffa kojarzy si zwykle z bilansem prdów w wle obwodu elektrycznego a

drugie z bilansem napi w oczku.

1.3.1. Prawo prdowe

Suma prdów w kadym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru

10

0=k

ki (1.10)

Sumowanie dotyczy wszystkich prdów, które dopływaj lub odpływaj z danego oczka, przy

czym wszystkie prdy wpływajce do wzła brane s z jednakowym znakiem a wszystkie

prdy wypływajce z wzła ze znakiem przeciwnym (nie jest istotne czy znak plus dotyczy

prdów wpływajcych czy wypływajcych). Sposób tworzenia równania prdowego

Kirchhoffa zilustrujemy dla jednego wzła obwodu przedstawionego na rys. 1.8.

Rys. 1.8. Przykład wzła obwodu elektrycznego

Prawo Kirchhoffa dla tego wzła z uwzgldnieniem kierunków prdów w wle zapiszemy w

postaci

054321 =−−++ iiiii

Mona je równie zapisa jako bilans prdów dopływajcych i odpływajcych od wzła w

postaci

54321 iiiii +=++

Dla kadego obwodu mona napisa dokładnie n-1 niezalenych równa prdowych, gdzie n

oznacza całkowit liczb wzłów a (n-1) liczb wzłów niezalenych. Bilans prdów w

pozostałym n-tym wle obwodu wynika z równa prdowych napisanych dla n-1 wzłów

11

(jest to wzeł zaleny zwany wzłem odniesienia). Wybór wzła odniesienia jest całkowicie

dowolny.

1.3.2. Prawo napiciowe

Suma napi w kadym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru

0=k

ku (1.11)

Sumowanie dotyczy napi gałziowych wystpujcych w danym oczku zorientowanych

wzgldem dowolnie przyjtego kierunku odniesienia. Napicie gałziowe zgodne z tym

kierunkiem jest brane z plusem a przeciwne z minusem. Sposób pisania równa wynikajcych

z prawa napiciowego Kirchhoffa pokaemy na przykładzie oczka obwodu przedstawionego

na rys. 1.9.

Rys. 1.9. Przykład oczka obwodu z oznaczeniami napi gałziowych

Uwzgldniajc kierunki napi gałziowych równanie napiciowe Kirchhoffa dla tego oczka

przyjmie posta

04321 =−−++ euuuu

Mona je równie zapisa jako bilans napi ródłowych i odbiornikowych w postaci

4321 uuuue −++=

Dla kadego obwodu mona napisa tyle równa oczkowych ile oczek wyodrbnimy w tym

obwodzie, przy czym cz równa oczkowych bdzie równaniami zalenymi (wynikajcymi

12

z liniowej kombinacji innych równa). Liczba równa oczkowych branych pod uwag w

analizie jest wic równa liczbie oczek niezalenych.

Przykład 1.1

Napiszmy równania Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.10.

Rys. 1.10. Schemat obwodu poddanego analizie w przykładzie 1.1

Rozwizanie

Zgodnie z prawami Kirchhoffa równania obwodu przyjm nastpujc posta.

• Równania prdowe:

ii

iii

iii

L

RRL

CLL

==−−

=−−

1

212

21

0

0

• Równania napiciowe:

0

0

21

12

=−−=−−

euu

uuu

RR

RLC

Przedstawiony tu układ równa jest wystarczajcy do uzyskania wszystkich innych wielkoci

prdowych bd napiciowych w obwodzie. Naley go jedynie uzupełni o równania

definicyjne wice prd i napicie kadego elementu. Po takim uzupełnieniu uzyskuje si

pełny opis obwodu a jego rozwizanie pozwala wyznaczy rozpływ prdów i rozkład napi

w obwodzie.

Szczególnie proste zalenoci otrzymuje si dla obwodu rezystancyjnego,

zawierajcego oprócz ródeł wymuszajcych jedynie rezystory oraz (ewentualnie) ródła

sterowane o rzeczywistych współczynnikach sterowania. Dla takich obwodów równania

elementów rezystancyjnych s dane w postaci zalenoci algebraicznych, które wstawione do

równa Kirchhoffa pozwalaj utworzy układ równa algebraicznych o liczbie zmiennych

13

równych liczbie równa. Sposób tworzenia takiego układu równa pokaemy na przykładzie

obwodu z rys. 1.11.

Przykład 1.2

Naley okreli rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie rezystancyjnym o strukturze

przedstawionej na rys. 1.11. Wartoci elementów s nastpujce: R1 = 2Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω,

R4 = 4Ω, e = 10V, iz1 = 2A, iz2 = 5A.

Rys. 1.11. Struktura obwodu poddanego analizie w przykładzie 1.2

Rozwizanie

Z równa Kirchhoffa otrzymuje si

0

0

0

0

42

321

3242

4211

=−−=−+−

=−++=−−−

RR

RRR

z

z

ueu

ueuu

iiii

iiii

Równania elementów rezystancyjnych: ,111 iRuR = ,222 iRuR = 333 iRuR = , 444 iRuR = tworz

wspólnie z równaniami Kirchhoffa nastpujcy układ równa algebraicznych:

eiRiR

eiRiRiR

iiii

iiii

z

z

=−−=−−

−=+−=++

4422

332211

2432

1421

Po wstawieniu danych liczbowych do powyszych równa otrzymuje si:

14

1042

1032

5

2

42

321

432

421

=−−=−−

−=+−=++

ii

iii

iii

iii

W wyniku rozwizania tego układu równa otrzymuje si: i1 = 3,187A, i2 = 0,875A,

i3 = 3,812A oraz i4 = -2,062A. Łatwo sprawdzi przez podstawienie obliczonych wartoci do

układu równa, e bilans prdów w kadym wle oraz bilans napi w kadym oczku

obwodu jest zerowy.

1.4. Przekształcenia obwodów

W analizie obwodów elektrycznych wan rol odgrywa upraszczanie struktury obwodu,

polegajce na zastpowaniu wielu elementów połczonych szeregowo lub równolegle poprzez

jeden element zastpczy. Umoliwia to zmniejszenie liczby równa w opisie obwodu i

uproszczenie etapu rozwizania tych równa. Wyróni mona cztery podstawowe rodzaje

połcze elementów, do których stosuje si przekształcenie. S to:

• połczenie szeregowe

• połczenie równoległe

• połczenie gwiazdowe

• połczenie trójktne.

1.4.1. Układ połczenia szeregowego elementów

W połczeniu szeregowym elementów koniec jednego elementu jest bezporednio połczony

z pocztkiem nastpnego. Rys. 1.12 przedstawia schemat ogólny połczenia szeregowego

rezystorów.

Rys. 1.12. Połczenie szeregowe elementów

15

Prd kadego elementu obwodu jest jednakowy i równy i, natomiast napicie na zaciskach

zewntrznych obwodu jest równe sumie napi poszczególnych elementów tworzcych

połczenie. Napiciowe równanie Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.12 przyjmuje wic posta

iRRRu N )...( 21 +++= (1.12)

Przy oznaczeniu sumy rezystancji przez R

NRRRR +++= ...21 (1.13)

otrzymuje si uproszczenie N rezystorów połczonych szeregowo do jednego rezystora

zastpczego o rezystancji R opisanej wzorem (1.13). Rezystancja wypadkowa połczenia

szeregowego rezystorów jest równa sumie rezystancji poszczególnych elementów tworzcych

to połczenie.

1.4.2. Układ połczenia równoległego elementów

W połczeniu równoległym pocztki i koce wszystkich elementów s ze sob bezporednio

połczone, jak to pokazano dla elementów rezystancyjnych na rys. 1.13.

Rys. 1.13. Połczenie równoległe elementów

Z połczenia tego wynika, e napicie na wszystkich elementach jest jednakowe a prd

wypadkowy jest równy sumie prdów wszystkich elementów obwodu. Prdowe prawo

Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.13 mona wic zapisa w postaci

uGGGi N )...( 21 +++= (1.11)

16

przy czym Gi (i = 1, 2, ..., N) stanowi konduktancje rezystorów, Gi=1/Ri. Przy oznaczeniu

sumy konduktancji przez G, gdzie

NGGGG +++= ...21 (1.12)

otrzymuje si uproszczenie N rezystorów połczonych równolegle do jednego rezystora

zastpczego o konduktancji G opisanej wzorem (1.12). Jak wida w połczeniu równoległym

rezystorów konduktancja wypadkowa jest równa sumie konduktancji poszczególnych

rezystorów.

Szczególnie prosty jest wzór na rezystancj zastpcz dla 2 rezystorów połczonych

równolegle. W tym przypadku 21 GGG += . Uwzgldniajc, e RG /1= po prostych

przekształceniach otrzymuje si

21

21

RRRR

R+

= .

Naley jednak podkreli, e przy trzech (i wicej) elementach połczonych równoległe

wygodniejsze jest operowanie na konduktancjach a przejcie na rezystancj zastpcz

wykonuje si w ostatnim kroku po ustaleniu wartoci sumy konduktancji.

1.4.3. Transfiguracja gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda

Operowanie uproszczonym schematem wynikajcym z połczenia szeregowego i

równoległego elementów jest najwygodniejszym sposobem redukcji obwodu. W przypadku

gdy nie ma elementów połczonych szeregowo czy równolegle moliwe jest dalsze

uproszczenie przez zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójk lub trójkt-gwiazda.

Oznaczenia elementów obwodu trójkta i gwiazdy s przedstawione na rys. 1.14.

17

Rys. 1.14. Połczenie trójktne i gwiazdowe elementów

Transfiguracja trójkta na gwiazd lub gwiazdy na trójkt polega na przyporzdkowaniu

danej konfiguracji elementów konfiguracji zastpczej, równowanej jej z punktu widzenia

zacisków zewntrznych (te same prdy przy tych samych napiciach midzyzaciskowych).

Dla uzyskania niezmienionych prdów zewntrznych obwodu gwiazdy i trójkta rezystancje

midzy parami tych samych zacisków gwiazdy i trójkta powinny by takie same. Zostało

udowodnione, e warunki powysze s automatycznie spełnione, jeli przy zamianie gwiazdy

na trójkt spełnione s nastpujce warunki na rezystancje

3

212112 R

RRRRR ++= (1.13)

1

323223 R

RRRRR ++= (1.14)

2

131331 R

RRRRR ++= (1.15)

Podobnie przy zamianie trójkta na gwiazd rezystancje gwiazdy musz spełnia warunki

312312

31121 RRR

RRR

++= (1.16)

312312

12232 RRR

RRR

++= (1.17)

312312

23313 RRR

RRR

++= (1.18)

18

Przekształcenia równowane obwodu wykorzystujce reguły połczenia szeregowego,

równoległego oraz przekształcenia gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda umoliwiaj dalsz

redukcj tego obwodu i po wykonaniu odpowiedniej liczby przekształce sprowadzenie go do

pojedynczego elementu zastpczego.

Przykład 1.3

Okreli rezystancj zastpcz obwodu przedstawionego na rys. 1.15, widzian z zacisków

1-2. Wartoci rezystancji s nastpujce: Ω= 21R , Ω= 42R , Ω= 33R , Ω= 24R , Ω= 45R ,

Ω= 56R , Ω= 57R oraz Ω= 108R .

Rys. 1.15. Struktura obwodu do przykładu 1.3.

Rozwizanie

Z punktu widzenia zacisków wejciowych 1-2 w obwodzie nie mona wyróni adnego

połczenia szeregowego czy równoległego elementów. Dla uproszczenia struktury tego

obwodu konieczne jest wic zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójkt lub trójkt-

gwiazda w stosunku do rezystorów połoonych najdalej od wzłów wejciowych (w wyniku

przekształcenia nie mog ulec likwidacji wzły wejciowe obwodu). Zamieniajc gwiazd

złoon z rezystorów 2R , 3R i 5R na równowany jej trójkt otrzymuje si

104

434323 =⋅++=R

104

434335 =⋅++=R

19

33,133

444425 =⋅++=R

Schemat obwodu po przekształceniach przedstawiony jest na rys. 1.16.

Rys. 1.16. Schemat obwodu z rys. 1.15 po przekształceniu gwiazda-trójkt

W obwodzie tym mona ju wyróni połczenia równoległe elementów R1 i R23 oraz R4 i

R35. Wykorzystujc reguł upraszczania elementów połczonych równolegle otrzymuje si

667,1231

2311 =

+⋅

=RRRR

Rz

667,1354

3542 =

+⋅

=RRRR

Rz

Rezystory Rz1 i Rz2 s połczone szeregowo. Ich rezystancja zastpcza jest równa

Rz3=Rz1+Rz2=3,333

Jest ona połczona równolegle z rezystorem R25. Std rezystancja zastpcza tego połczenia

wynosi

667,233,13333,333,13333,3

4 =+⋅=zR

20

Rezystory R6, Rz4 i R7 s połczone szeregowo. Ich rezystancja zastpcza wynosi wic

Rz5=R6+Rz4+R7=12,667

Rezystancja ta jest z kolei połczona równolegle z rezystancj R8 tworzc wypadkow

rezystancj obwodu widzian z zacisków zewntrznych. Std całkowita rezystancja zastpcza

obwodu wyraa si wzorem

Ω=+⋅

=+

= 588,510667,12

10667,12

85

85

RRRR

Rz

zwe

Jak wida w powyszym przykładzie przekształcenie gwiazda-trójkt umoliwiło dalsze

uproszczenie obwodu i otrzymanie ostatecznego wyniku na rezystancj widzian z zacisków

wejciowych. Naley jednak zaznaczy, e przekształcenia gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda

s bardziej złoone obliczeniowo w stosunku do reguły upraszczania połczenia szeregowego

i równoległego. Stosuje si je tylko wtedy, gdy w obwodzie nie da si wyróni adnych

połcze szeregowych i równoległych.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 1.1

Stosujc prawa Kirchhoffa wyznaczy prdy w obwodzie przedstawionym na rysunku 1.17,

jeli R1=1Ω, R2=5Ω, R3=10Ω, R4=4Ω, a wartoci ródeł s nastpujce: e=10V, i=5A.

21

Rys. 1.17. Schemat obwodu do zadania 1.1.

Rozwizanie

Korzystajc z praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa opisujcych obwód w postaci

0

0

443322

2211

43

321

=−−=+

=+−=−−

iRiRiR

eiRiR

iii

iii

Po wstawieniu wartoci liczbowych parametrów i rozwizaniu układu równa otrzymuje si:

i1 = 1,011A, i2 = 1,798A, i3 = -0,786A oraz i4 = 4,214A.

Zadanie 1.2

Stosujc prawa Kirchhoffa wyznaczy prdy w obwodzie przedstawionym na rysunku 1.18,

jeli R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, R3 = 5Ω, R4 = 5Ω, a wartoci ródeł s nastpujce: e = 20V, iz1 = 1A,

iz2 = 2A.

Rys. 1.18. Schemat obwodu do zadania 1.2.

Rozwizanie

Korzystajc z praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa opisujcych obwód w postaci

24

332211

232

121

z

z

z

ii

eiRiRiR

iii

iii

=−=−−

−=−=+

Po wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si: i1 = -0,375A, i2 = 1,375A, i3 = 3,375A oraz

i4 = 2A.

22

Zadanie 1.3

Wyznaczy rezystancj wypadkow obwodu przedstawionego na rys. 1.19

Rys. 1.19. Schemat obwodu do zadania 1.3

Rozwizanie

Naley najpierw zastosowa transformacj trójkt-gwiazda lub gwiazda-trójkt w odniesieniu

do wybranych trzech rezystorów obwodu, a nastpnie wykorzysta uproszczenia wynikajce z

powstałych połcze szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działa

otrzymuje si Rwe = 3,18Ω.

Zadanie 1.4

Wyznaczy rezystancj wypadkow obwodu przedstawionego na rys. 1.20


23

Rozwizanie

Poniewa w obwodzie nie mona wyróni adnych połcze szeregowych i równoległych

naley najpierw zastosowa transformacj trójkt-gwiazda lub gwiazda-trójkt w odniesieniu

do wybranych trzech rezystorów obwodu (np. transfiguracja gwiazdy 2Ω, 3Ω i 5Ω na

równowany trójkt) a nastpnie wykorzysta uproszczenia wynikajce z powstałych

połcze szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działa otrzymuje si

warto rezystancji zastpczej obwodu równ Rwe = 1,59Ω.

24

Lekcja 2. Metoda symboliczna analizy obwodów w stanie ustalonym

przy wymuszeniu sinusoidalnym

Wstp

Sporód wielu rónych rodzajów wymusze stosowanych w obwodach elektrycznych, do

najwaniejszych naley wymuszenie sinusoidalne, ze wzgldu na to, e w praktyce

codziennej mamy do czynienia z napiciem i prdem sinusoidalnym generowanym w

elektrowniach. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym nastrcza pewne

problemy zwizane z koniecznoci rozwizania układu równa róniczkowych,

wynikajcych z opisu ogólnego kondensatorów i cewek. W lekcji drugiej poznamy metod

symboliczn analizy obwodów RLC w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym.

Dziki tej metodzie układ równa róniczkowo-całkowych opisujcych obwód RLC

zostaje sprowadzony do układu równa algebraicznych typu zespolonego. Wprowadzone

zostanie pojcie wartoci skutecznej zespolonej, impedancji i admitancji zespolonej oraz

prawa Kirchhoffa dla wartoci skutecznych zespolonych. Prawo prdowe i napiciowe

Kirchhoffa dla obwodów RLC w metodzie symbolicznej stosuje si identycznie jak dla

obwodów rezystancyjnych prdu stałego zastpujc rezystancj pojciem impedancji

zespolonej. W rezultacie otrzymuje si wartoci zespolone odpowiedzi, którym mona

przyporzdkowa wartoci chwilowe zgodnie z metod symboliczn. Uzupełnieniem tej

lekcji s wykresy wektorowe przedstawiajce na płaszczynie zespolonej relacje midzy

wartociami skutecznymi prdów i napi gałziowych w obwodzie.

2.1. Parametry sygnału sinusoidalnego

Sygnały sinusoidalne zwane równie harmonicznymi s opisane w dziedzinie czasu

nastpujcym wzorem (w opisie przyjto oznaczenie sygnału napiciowego)

)sin()( ψω += tUtu m (2.1)

Wielkoci wystpujce w opisie maj nastpujce nazwy i oznaczenia:

u(t) - warto chwilowa napicia

25

Um - warto maksymalna (szczytowa) napicia zwana równie amplitud

ψ - faza pocztkowa napicia odpowiadajca chwili t=0

ψω +t - kt fazowy napicia w chwili t

f=1/T - czstotliwo mierzona w hercach (Hz)

T - okres przebiegu sinusoidalnego

fπω 2= - pulsacja mierzona w radianach na sekund.

Wartoci chwilowe sygnałów oznacza bdziemy mał liter a wartoci maksymalne,

skuteczne i wielkoci operatorowe du.

Rys. 2.1. Sygnał sinusoidalny

Rys. 2.1 przedstawia przebieg sygnału sinusoidalnego napicia z oznaczeniami

poszczególnych jego parametrów. O odcitych ma podwójne oznaczenie: czasu oraz fazy

(aktualny kt fazowy).

Przebiegi zmienne w czasie dobrze charakteryzuje warto skuteczna. Dla przebiegu

okresowego f(t) o okresie T jest ona definiowana w postaci

+

=Tt

t

o

dttfT

F0

)(1 2 (2.2)

26

Łatwo udowodni, e warto skuteczna przebiegu okresowego nie zaley od wybory fazy

pocztkowej. Dla okrelenia wartoci skutecznej sygnału sinusoidalnego przyjmiemy sygnał

napiciowy o fazie pocztkowej równej zeru.

)sin()( tUtu m ω= (2.3)

Warto skuteczna tego sygnału okrelona jest wic zalenoci

=T

m dttUT

U0

22 )(sin1 ω (2.4)

Wykonujc operacj całkowania otrzymuje si

2

0

22

0

2

0

22

5,02sin25,05,0

)2cos1(5,0)(sin

mTm

m

T

m

T

m

TUtU

TU

dttUdttU

=−

=−=

ωω

ωω (2.5)

Std po podstawieniu do wzoru (2.4) otrzymuje si

2mU

U = (2.6)

Analogicznie w przypadku prdu sinusoidalnego

)sin()( im tIti ψω += (2.7)

otrzymujemy identyczn relacj

2mI

I = (2.8)

27

Dla sygnału sinusoidalnego warto skuteczna jest wic 2 razy mniejsza ni jego warto

maksymalna.

Drugim parametrem charakteryzujcym sygnał sinusoidalny jest warto rednia, czyli

pole zawarte pod krzyw odniesione do czasu, w którym ta warto jest obliczana. Warto

redni sygnału w okresie T definiuje zaleno

+

=Tt

tr dttf

TF

0

0

)(1

(2.9)

Ze wzgldu na symetri funkcji sinusoidalnej warto rednia całookresowa jest z definicji

równa zeru. W elektrotechnice uywa si pojcia wartoci redniej półokresowej, w której

przyjmuje si 2/TT → . W tym przypadku mona udowodni, e warto rednia

półokresowa dla sygnału sinusoidalnego jest powizana z wartoci maksymaln poprzez

relacj

m

Tt

tmr UdttU

TU

o

o

637,0)sin(2/

12/

== +

ω (2.10)

Naley zauway, e napicie stałe u(t)=U jest szczególnym przypadkiem sygnału

sinusoidalnego, dla którego czstotliwo jest równa zeru (f=0) a warto chwilowa jest stała

i równa u(t)=Um sin(ψ )=U. Jest to wana właciwo, gdy dziki temu metody analizy

obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym mog mie zastosowanie równie do wymusze

stałych przy załoeniu f=0. Dla sygnału stałego warto maksymalna, skuteczna i rednia s

sobie równe i równaj si danej wartoci stałej.

2.2. Metoda symboliczna analizy obwodów RLC w stanie ustalonym przy

wymuszeniu sinusoidalnym

Analiza obwodów zawierajcych elementy RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym napotyka

na pewne trudnoci zwizane z wystpieniem w opisie cewki i kondensatora równa

róniczkowych. Trudnoci te łatwo jest pokona w stanie ustalonym. Stanem ustalonym

obwodu nazywa bdziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak

charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne jest odpowied

równie sinusoidalna o tej samej czstotliwoci cho o rónej amplitudzie i fazie

28

pocztkowej. Dla stanu ustalonego obwodu wprowadzona zostanie metoda symboliczna

sprowadzajca wszystkie operacje róniczkowe i całkowe do działa algebraicznych na

liczbach zespolonych.

Dla wprowadzenia tej metody przyjmijmy, e rozwaany jest obwód szeregowy RLC

(rys. 2.2) zasilany ze ródła napicia sinusoidalnego )sin()( ψω += tUtu m .

Rys. 2.2. Połczenie szeregowe elementów RLC

Z prawa napiciowego Kirchhoffa wynika nastpujcy zwizek midzy napiciami

elementów tego obwodu

CLR uuutu ++=)( (2.11)

Biorc pod uwag podstawowe zalenoci definicyjne dla rezystora, cewki i kondensatora

RiuR = ,

= idtCuC /1

dtdi

LuL =

otrzymuje si

dtdi

LidtC

RitUm ++=+ 1

)sin( ψω (2.12)

Jest to równanie róniczkowo-całkowe opisujce zalenoci midzy wartociami chwilowymi

prdu i napicia wymuszajcego w obwodzie. Pełne rozwizanie tego równania sprowadza si

29

do wyznaczenia dwu składowych prdu, stanowicych odpowied obwodu w stanie

ustalonym i stanie przejciowym:

1. składowej ustalonej, której charakter zmian w czasie jest taki sam jak sygnału

wymuszajcego (przy sinusoidalnym wymuszeniu odpowied równie sinusoidalna o tej

samej czstotliwoci)

2. składowej przejciowej stanowicej rozwizanie równania róniczkowego pochodzcego

od niezerowych warunków pocztkowych.

Składowa przejciowa zanika zwykle szybko w czasie i pozostaje jedynie składowa ustalona.

Stan po zanikniciu składowej przejciowej nazywamy stanem ustalonym obwodu. Składow

ustalon prdu w obwodzie mona otrzyma nie rozwizujc równania róniczkowego

opisujcego ten obwód a korzystajc jedynie z tzw. metody symbolicznej. Istotnym

elementem tej metody jest zastpienie przebiegów czasowych ich reprezentacj zespolon.

Przyjmijmy, e prd )sin()( im tIti Ψ+= ω oraz napicie )sin()( Ψ+= tUtu m ω zastpione

zostały przez wektory wirujce w czasie, odpowiednio I(t) oraz U(t) okrelone w postaci

tjjm eeUtU ωψ=)( (2.13)

tjjm eeItI i ωψ=)( (2.14)

Po zastpieniu wartoci czasowych prdu i napicia w równaniu (2.12) poprzez ich

reprezentacj w postaci wektorów wirujcych otrzymuje si

++= dttICdt

tdILtRItU )(

1)()()( (2.15)

Po wykonaniu operacji róniczkowania i całkowania równanie powysze przyjmuje posta

tjjm

tjjm

tjjm

tjjm eeI

CjeeLIjeeRIeeU iii ωψωψωψωψ

ωω 1++= (2.16)

Dzielc obie strony równania przez tje ω i przechodzc do wartoci skutecznych (w tym celu

naley podzieli obie strony równania przez 2 ) otrzymuje si

30

iii jmjmjmjm eI

Cje

ILje

IRe

U ψψψψ

ωω

21

222++= (2.17)

Oznaczmy przez ψjm eU

U2

= warto skuteczn zespolon napicia, a przez ijm eI

I ψ

2=

warto skuteczn zespolon prdu. Wtedy równanie (2.15) mona zapisa w nastpujcej

postaci obowizujcej dla wartoci skutecznych zespolonych

ICj

LIjRIUω

ω 1++= (2.18)

Składnik

RIUR = (2.19)

odpowiada napiciu skutecznemu zespolonemu na rezystorze. Wielko

LIjUL ω= (2.20)

reprezentuje warto skuteczn zespolon napicia na cewce, a składnik

ICj

UC ω1= (2.21)

odpowiada wartoci skutecznej zespolonej napicia na kondensatorze. Wszystkie napicia i

prd w obwodzie s wartociami zespolonymi. Równanie (2.18) wyraa prawo napiciowe

Kirchhoffa odnoszce si do wartoci skutecznych zespolonych dla obwodu szeregowego

RLC. Stwierdza ono, e przy wymuszeniu sinusoidalnym warto skuteczna napicia

wymuszajcego w obwodzie szeregowym RLC jest równa sumie wartoci skutecznych

zespolonych napi na poszczególnych elementach tego obwodu.

Analizujc posta równania (2.18) mona zauway prost analogi do równania

opisujcego obwód rezystancyjny. W tym celu wprowadzimy uogólnienie rezystancji w

postaci pojcia impedancji zespolonej wicej wartoci skuteczne prdu i napicia na

31

elementach R, L, C w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Z ostatnich równa

na podstawie prawa Ohma mona napisa nastpujce przyporzdkowania:

Dla rezystora

RZR = (2.22)

impedancja ZR jest równa rezystancji tego rezystora.

Dla cewki

LjZL ω= (2.23)

impedancja ZL jest liczb zespolon (urojon) zalen liniowo od czstotliwoci.

Dla kondensatora

C

jCj

ZC ωω11 −== (2.24)

impedancja ZC jest take zespolona i odwrotnie proporcjonalna do czstotliwoci.

Warto LX L ω= nosi nazw reaktancji indukcyjnej a warto C

XC ω1= reaktancji

pojemnociowej. W zwizku z powyszym mona napisa LL jXZ = , CC jXZ −= .

Wprowadzajc oznaczenie wypadkowej impedancji obwodu przez Z, gdzie CLR ZZZZ ++=

zaleno prdowo-napiciow w obwodzie szeregowym RLC mona zapisa w postaci,

znanej jako prawo Ohma dla wartoci symbolicznych

ZIU = (2.25)

lub

ijeIZU

I ψ== (2.26)

gdzie moduł prdu

22 )/1( CLR

UZU

Iωω −+

== (2.27)

32

natomiast kt fazowy prdu

R

CLi

ωωψψ /1arctg

−−= (2.28a)

Faza pocztkowa wektora napicia wymuszajcego jest tu oznaczona przez ψ , a faza

pocztkowa wektora prdu – przez iψ . Rónica faz nazywana jest przesuniciem fazowym

prdu wzgldem napicia i oznaczana liter ϕ , przy czym

R

CLi

ωωψψϕ /1arctg

−=−= (2.28b)

Kt przesunicia fazowego ϕ odgrywa ogromn rol w elektrotechnice, zwłaszcza w

zagadnieniach mocy. Kt ten jest uwaany za dodatni dla obwodów o charakterze

indukcyjnym a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnociowym.

Zauwamy, e wartociom skutecznym prdu oraz napicia mona przyporzdkowa

funkcj czasu. Biorc pod uwag, e przejcie z przebiegu czasowego na opis zespolony

(symboliczny) odbywa si według schematu

ψψω jmm e

UtUtu

2)sin()( →+= (2.29)

powrót z wartoci zespolonej do postaci czasowej polega na pomnoeniu modułu wartoci

skutecznej przez 2 i uzupełnieniu wyniku przez dopisanie funkcji )sin( ψω +t . Std

przykładowo, jeli wynik zespolony prdu dany jest w postaci 5010 jeI = , to odpowiadajcy

mu przebieg czasowy ma posta )50sin(210)( += tti ω . Istnieje równie cisła analogia

midzy konduktancj (odwrotno rezystancji) a odwrotnoci impedancji. Analogicznie do

pojcia konduktancji w obwodzie rezystancyjnym wprowadza si pojcie admitancji

zespolonej dla obwodu RLC. Admitancja jest definiowana jako odwrotno impedancji.

Oznaczana jest najczciej liter Y, przy czym

Y = 1/Z (2.30)

33

Admitancja kondensatora jest równa CjYC ω= , cewki L

jLj

YL ωω11 −== , natomiast

admitancja rezystora jest równa jego konduktancji YR=G=1/R. Podobnie odwrotno

reaktancji X nosi specjaln nazw susceptancji. Warto susceptancji dla kondensatora jest

równa CBC ω= , natomiast dla cewki LBL ω/1= .

2.3 Prawa Kirchhoffa dla wartoci symbolicznych

Przy zastpieniu wartoci rzeczywistych przez wartoci zespolone równania róniczkowe

zostały zastpione przez równania algebraiczne. Nastpiła zatem algebraizacja równa

opisujcych obwód. Wszystkie elementy RLC traktowane s w podobny sposób i

reprezentowane przez swoje impedancje symboliczne w postaci zespolonej. Impedancje

zespolone mog by interpretowane jako uogólnienie rezystancji. Dla obwodu

reprezentowanego w postaci symbolicznej obowizuj prawa Kirchhoffa, które maj

identyczn posta jak dla obwodu rzeczywistego, z ta rónic, e zamiast wielkoci

chwilowych uywa si wielkoci zespolonych.

Prawo prdowe Kirchhoffa

Suma prdów zespolonych w dowolnym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru, co

zapiszemy w postaci

=k

kI 0 (2.31)

W równaniu tym wszystkie prdy dane s w postaci zespolonej.

Prawo napiciowe Kirchhoffa

Suma napi zespolonych w kadym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru, co

zapiszemy w postaci

=k

kU 0 (2.32)

W równaniu tym symbolem U oznaczono wszystkie napicia w postaci zespolonej, zarówno

na gałziach pasywnych jak i ródłowych obwodu. Sposób sumowania (znak plus lub minus)

34

zarówno prdów jak i napi jest taki sam jak w przypadku operowania wartociami

rzeczywistymi.

2.4. Wykresy wektorowe obwodu

W przypadku analizy obwodów RLC w stanie ustalonym wanym pojciem jest wykres

wektorowy przedstawiajcy w sposób orientacyjny zalenoci midzy poszczególnymi

wektorami prdu i napicia w obwodzie. Jak wiadomo kadej liczbie zespolonej mona

przyporzdkowa reprezentacj geometryczn w postaci odpowiedniej zalenoci wektorowej

przedstawionej na płaszczynie, w której o pozioma odpowiada czci rzeczywistej a o

pionowa czci urojonej liczby zespolonej. Konstruujc wykres naley pamita, e

pomnoenie wektora przez operator j jest równowane jego obrotowi o kt 90 stopni

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara gdy operator j jest równy 90je . Podobnie

pomnoenie wektora przez operator -j jest równowane jego obrotowi o kt 90 stopni zgodnie

z ruchem wskazówek zegara gdy operator -j jest równy 90je− . Pomnoenie wektora przez

liczb rzeczywist nie zmienia pozycji wektora w przestrzeni o ile jest to liczba dodatnia lub

zmienia zwrot wektora o o180 jeli liczba ta jest ujemna.

Z zalenoci prdowo-napiciowych dla rezystora jest oczywiste, e

RR RIU = (2.33)

co wobec rzeczywistych, dodatnich wartoci R oznacza, e napicie na rezystorze jest w fazie

z prdem tego rezystora. Dla cewki obowizuje

LL LIjU ω= (2.34)

co oznacza, e napicie na cewce wyprzedza prd o kt 90 . Podobnie napicie na

kondensatorze opónia si wzgldem swojego prdu o kt 90 , gdy

CC IC

jUω1−= (2.35)

Na rys. 2.3 przedstawiono wykresy wektorowe dla rezystora, cewki i kondensatora z

zaznaczeniem przesuni ktowych midzy wektorami prdu i napicia.

35

Rys. 2.3. Wykresy wektorowe dla a) rezystora, b) cewki, c) kondensatora

Przedstawione powyej zasady konstruowania przesuni ktowych midzy wektorami prdu

i napicia umoliwiaj podanie ogólnych zasad postpowania przy konstruowaniu wykresu

wektorowego dla dowolnego obwodu RLC.

Wykres wektorowy z definicji uwzgldnia przede wszystkim przesunicia ktowe

midzy poszczególnymi wektorami. Relacje ilociowe (długoci) poszczególnych wektorów

s mniej istotne i zwykle uwzgldniane w sposób jedynie przybliony. Wykres rozpoczyna si

zwykle od koca obwodu (gałzi najdalej połoonej od ródła). Jeli gał jest połczeniem

szeregowym elementów rozpoczynamy od prdu tej gałzi, a w przypadku połczenia

równoległego – od napicia. Nastpnie rysuje si na wykresie na przemian napicia i prdy

kolejnych gałzi, dochodzc w ten sposób do ródła. Budow wykresu koczy si w

momencie dojcia do prdu i napicia ródłowego obwodu. Relacja wektora prdu

ródłowego wzgldem napicia decyduje o charakterze obwodu. Jeli napicie wypadkowe

(ródłowe) wyprzedza prd wypadkowy lub inaczej mówic prd opónia si wzgldem

napicia - obwód ma charakter indukcyjny. Jeli natomiast napicie opónia si wzgldem

prdu lub prd wyprzedza napicie - mówimy o charakterze pojemnociowym obwodu. Jeli

nie istnieje przesunicie fazowe prdu wypadkowego wzgldem napicia (kt fazowy równy

zeru) mówimy o tzw. stanie rezonansu obwodu, lub po prostu charakterze rezystancyjnym

danego obwodu. Charakter rezystancyjny obwodu moe powsta nawet przy istnieniu w

obwodu indukcyjnoci i pojemnoci w przypadku gdy nastpuje kompensacja odpowiednich

36

składowych indukcyjnej i pojemnociowej wektorów. Sposób postpowania przy

sporzdzaniu wykresów wektorowych przedstawimy na przykładzie konkretnego obwodu.

Przykład 2.1

Narysowa wykres wektorowy prdów i napi dla obwodu RLC o strukturze

przedstawionej na rys. 2.4.

Rys. 2.4. Schemat obwodu RLC do przykładu 2.1

Rozwizanie

Na rys. 2.5 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie RLC z rys. 2.4.

Rys. 2.5. Wykres wektorowy prdów i napi dla obwodu z rys. 2.4

37

Sporzdzanie wykresu rozpoczyna si od prdu I3 dobudowujc kolejno wektory napi i

prdów gałzi przesuwajc si w stron ródła: 3RU ,

3LU , 2RU , 2I , 1I ,

1CU , E. Jak wida

obwód ma charakter pojemnociowy, gdy napicie wypadkowe E opónia si wzgldem

odpowiadajcego mu prdu 1I .

Zadania sprawdzajce

Zadanie 2.1

Wyznaczy rozpływy prdów w obwodzie z rys. 2.6 w stanie ustalonym. Przyj nastpujce

wartoci parametrów: )1000sin(25)( tti = A, Ω= 10R , C = 0,0001F, L = 5mH.


Rozwizanie

Wartoci symboliczne elementów obwodu:

1000=ω

5=I

5jLjZL == ω

10/1 jCjZC −== ω

Impedancje obwodu RLC:

1,01,0111

jZZR

YCL

−=++=

ojeY

Z 45

2101 ==

Prdy i napicie w obwodzie:

38

ojeZIU 45

250==

ojR e

RU

I 45

25==

oj

LL e

ZU

I 45

210 −==

oj

CC e

ZU

I 135

2

5==

Wartoci chwilowe prdów i napicia

)451000sin(50)( ottu +=

)451000sin(5)( oR tti +=

)451000sin(10)( oL tti −=

)1351000sin(5)( oC tti +=

Zadanie 2.2

Wyznaczy prdy i napicia w obwodzie przedstawionym na rys. 2.7. Przyj nastpujce

wartoci elementów: )90100sin(220)( otte −= V, Ω= 101R , Ω= 52R , C = 0,001F,

L = 0.05H.


Rozwizanie


39

100=ω ojeE 9020 −=

5jLjZL == ω

10/1 jCjZC −== ω

Impedancje obwodu:

5,25,22

2 jZR

ZRZ

L

LRL +=

+=

5,75,121 jZRZZ CRL −=++=

Prdy i napicia w obwodzie:

18,171,0/ jZEI −==

18,171,4 jIZU RLRL −==

94,023,01 jZ

UI

L

RL −−==

23,094,02 jR

UI RL −==

06,776,11 jIZU CC −−==

8,111,711jIRU R −==

Zadanie 2.3

Sporzdzi wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie przedstawionym na rys. 2.8.


Rozwizanie

40

Wykres rozpoczyna si od prdu I3, dodajc kolejno napicia na R3 i L3, napicie UC2, prd

IC2, prd I1 oraz napicie E. Pełny wykres wektorowy przedstawiony jest na rys. 2.9.

Rys. 2.9. Wykres wektorowy obwodu z rys. 2.8

Kt fazowy przesunicia prdu wzgldem napicia zasilajcego jest równy ϕ . Biorc pod

uwag, e napicie wyprzedza prd obwód ma charakter indukcyjny.

41

Lekcja 3. Zagadnienia mocy w obwodach RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym

Wstp

Jednym z najwaniejszych poj w elektrotechnice jest moc elektryczna. Jest ona cile

zwizana ze zjawiskami energetycznymi zachodzcymi w obwodzie o wymuszeniu

sinusoidalnym. Wielkociom prdu i napicia przyporzdkowa mona róne rodzaje mocy.

Lekcja trzecia powicona jest zagadnieniom mocy chwilowej p(t), mocy czynnej P,

mocy biernej Q oraz mocy pozornej S. Poznamy wzory wice poszczególne rodzaje mocy z

prdami i napiciami w obwodzie RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym w stanie ustalonym.

Podane zostan wzory wyraajce energi zgromadzon w cewce i kondensatorze, a na tej

podstawie modele rzeczywistej cewki i kondensatora, uwzgldniajce ich stratnoci. Ostatnim

fragmentem lekcji s zagadnienia dopasowania odbiornika do ródła rzeczywistego o

niezerowej impedancji wewntrznej.

3.1. Moc chwilowa

Warto chwilow napicia i prdu gałzi oznaczymy odpowiednio przez )sin()( tUtu m ω=

oraz )sin()( ϕω −= tIti m przyjmujc dla uproszczenie faz pocztkow napicia równ zeru.

Moc chwilowa p(t), jako jedyna z mocy jest funkcj czasu i definiuje si j w postaci iloczynu

wartoci chwilowych prdu )(ti oraz napicia )(tu w obwodzie

)()()( titutp = (3.1)

Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem

[ ]

)]2cos([cos

)2cos(cos2

)sin()sin()()()(

ϕω

ϕωϕϕωω

−−=

=−−=−==

tIU

tIU

ttIUtitutp mmmm (3.2)

Z powyszej zalenoci wida, e moc chwilowa zawiera dwie składowe: stał )cos(ϕIU

oraz zmienn w czasie )2cos( ϕω −tIU o czstotliwoci dwukrotnie wikszej od

czstotliwoci napicia i prdu w obwodzie. Jest zatem wielkoci zmienn w czasie opisan

42

funkcj okresow harmoniczn. Moc chwilowa nie znajduje wikszego zastosowania

praktycznego, natomiast jest niezbdna dla zdefiniowania mocy czynnej.

3.2. Moc czynna

Moc czynn definiuje si jako warto redni za okres z mocy chwilowej, to jest

+

=Tt

t

dttpT

P0

0

)(1

(3.3)

Podstawiajc do powyszego wzoru funkcj okrelajc moc chwilow w obwodzie, po

wykonaniu operacji całkowania otrzymuje si

ϕcosIUP = (3.4)

Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest wic wielkoci stał równ

iloczynowi modułów wartoci skutecznych napicia i prdu oraz cosinusa kta przesunicia

fazowego midzy wektorem napicia i prdu. Współczynnik ten odgrywa ogromn rol w

praktyce i nosi specjaln nazw współczynnika mocy ( ϕcos ).

Moc czynna stanowi składow stał mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu

RLC a w granicznym przypadku przy 2/πϕ ±= jest równa zeru. Moc czynna osiga warto

najwiksz IUP = wtedy, gdy 0=ϕ , to znaczy gdy odbiornik ma charakter

rezystancyjny, 1cos =ϕ . Warto najmniejsz (P=0) moc osiga w przypadku granicznym,

gdy 2/πϕ ±= , to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator idealny,

.0cos =ϕ Oznacza to, e na elementach reaktancyjnych nie wydziela si moc czynna.

Z przytoczonych rozwaa wynika, e moc czynna jest tym wiksza im mniejszy jest

kt przesunicia fazowego midzy prdem i napiciem. Moe wydziela si jedynie na

elementach rezystancyjnych i odpowiada energii, która wydziela si w jednostce czasu w

postaci ciepła w tych elementach. Uwzgldniajc, e przesunicie fazowe prdu i napicia na

rezystorze jest równe zeru ( 1cos =ϕ ) wzór na moc czynn wydzielan w rezystorze moe

by wyraony w trzech równorzdnych postaciach

22cos UGIRIUP === ϕ (3.5)

43

w których prd I oraz napicie U odpowiadaj rezystorowi R. Jednostk mocy czynnej jest

wat (W) , przy czym 1W=1AV. W praktyce stosuje si równie wielokrotnoci wata w

postaci kilowata (1kW=1000W) lub megawata (1MW=106W) oraz wartoci ułamkowe, np.

miliwat (mW) lub mikrowat (W ).

3.3. Moc bierna W obwodach elektrycznych prdu sinusoidalnego definiuje si trzeci wielko energetyczn

bdc iloczynem napicia i prdu oraz sinusa kta przesunicia fazowego midzy nimi.

Wielko ta oznaczana jest liter Q i nazywana moc biern

ϕsinIUQ = (3.6)

Jednostk mocy biernej jest war (var) bdcy skrótem nazwy woltamper reaktywny.

Ze wzgldu na wystpowanie w definicji mocy biernej funkcji sinusoidalnej jest

oczywiste, e moc bierna jest tym mniejsza im mniejszy jest kt przesunicia fazowego prdu

i napicia. Std w przypadku rezystora, dla którego przesunicie fazowe jest równe zeru

( 0sin =ϕ ) moc bierna jest zerowa Moc bierna moe si wic wydziela jedynie na

elementach reaktancyjnych, gdy tylko dla nich przesunicie fazowe prdu i napicia jest

róne od zera. Przesunicie fazowe prdu i napicia na elementach reaktancyjnych (cewce i

kondensatorze) przyjmuje warto +90 dla cewki oraz -90 dla kondensatora, co oznacza, e

sinus kta jest odpowiednio równy równy +1 dla cewki (moc bierna cewki jest uwaana za

dodatni) oraz –1 dla kondensatora (moc bierna kondensatora jest uwaana za ujemn). Std

przy pominiciu znaku wzór na moc biern elementów reaktancyjnych o reaktancji X moe

by przedstawiony w trzech równorzdnych postaciach

22 1

sin UX

IXIUQ === ϕ (3.7)

W ogólnoci kt przesunicia fazowego ϕ uwaa si za dodatni dla obwodów o charakterze

indukcyjnym (napicie wyprzedza prd) a za ujemny dla obwodów o charakterze

pojemnociowym (napicie opónia si wzgldem prdu). Moc bierna obwodów o

44

charakterze indukcyjnym jest w sumie moc indukcyjn, kojarzona z liczb dodatni a moc

bierna obwodów o charakterze pojemnociowym jest w sumie moc pojemnociow i

kojarzon z liczb ujemn.

3.4. Moc pozorna Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana moc

pozorna. Jest ona proporcjonalna do wartoci skutecznych prdu i napicia, i oznaczana liter

S. Moc pozorna definiowana jest formalnie jako liczba zespolona w postaci iloczynu wartoci

skutecznej zespolonej napicia U i wartoci skutecznej sprzonej prdu I

*UIS = (3.8)

Tak zdefiniowana moc pozorna przedstawia sob sum mocy czynnej (cz rzeczywista S)

oraz mocy biernej (cz urojona S), std

jQPS += (3.9)

Uwzgldniajc, e operator j oznacza przesunicie wektora o kt 90 , ostatniej zalenoci na

moc pozorn przyporzdkowa mona wykres wektorowy mocy, tzw. trójkt mocy

przedstawiony na rys. 3.1.

a) b)

Rys. 3.1. Wykres wektorowy mocy dla obwodu a) o charakterze indukcyjnym,

b) o charakterze pojemnociowym

45

Biorc pod uwag kierunek przesunicia prdu wzgldem napicia na rys. 3.1a wykres mocy

dotyczy obwodu o charakterze indukcyjnym a rys. 3.1b obwodu o charakterze

pojemnociowym. Wykres ten nazywany jest równie trójktem mocy. W trójkcie mocy

składowa czynna i bierna s przyprostoktnymi natomiast moc pozorna przeciwprostoktn.

Zaleno na moc pozorn zespolon mona przedstawi równie w postaci

wykładniczej ϕjeSS = . W zalenoci tej S wyraa moduł mocy pozornej, który moe by

wyraony w postaci iloczynu modułów wartoci skutecznych prdu i napicia

22 QPIUS +== (3.10)

Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rys. 3.1 moliwe jest wyznaczenie

współczynnika mocy. Mianowicie

SP=ϕcos (3.11)

Warto współczynnika mocy wyznaczona z powyszej zalenoci jest identyczna z

wartoci wynikajc z relacji prdowo-napiciowych zachodzcych dla wielkoci

bramowych obwodu. Dla ułatwienia korzystania z poj mocy zestawiono poniej

najwaniejsze postacie wzorów na moc czynn, biern i pozorn

Moc pozorna

jQPUIS +== * (3.12)

Moc czynna

R

URISIUP R

R

22

)Re(cos ==== ϕ (3.13)

Moc bierna

46

X

UXISIUQ X

X

22

)Im(sin ==== ϕ (3.14)

3.5. Bilans mocy W obwodzie elektrycznym, jak w kadym układzie fizycznym obowizuje prawo zachowania

energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca si w tak zwane prawo bilansu mocy.

Jeli całkowit moc pozorn wytworzon przez ródło (lub wiele ródeł wystpujcych w

obwodzie) oznaczymy przez Sg a sumaryczn moc pozorn wydzielon w elementach

odbiornika przez So, to biorc pod uwag prawo zachowania energii obie moce musz by

sobie równe, to znaczy Sg=So. Jest to tak zwana zasada bilansu mocy w obwodach

elektrycznych.

W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje si standardowo, e zwroty

prdów i napi w elementach odbiornikowych s przeciwne sobie a w elementach

ródłowych takie same. Jeli przyjmiemy ujednolicon zasad znakowania prdów i napi na

gałziach obwodu, zakładajc, e niezalenie od rodzaju elementu zwroty prdu i napicia

na gałzi s przeciwne sobie, to zasad bilansu mocy mona sformułowa w ten sposób, e

suma mocy liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa zeru,

Sg+So=0.

Dla zilustrowania wprowadzonych tu poj mocy oraz zasady bilansowania si mocy

rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rys. 3.2.

Przykład 3.1

Niech dany bdzie obwód RLC o strukturze przedstawionej na rys. 3.2 zasilany z

sinusoidalnego ródła napicia )45sin(2100)( += tte ω V o wartoci s

rad1=ω . Wartoci

elementów obwodu s nastpujce: Ω= 1R , FC 5,0= , HL 1= .

47

Rys. 3.2. Schemat obwodu do przykładu 3.1

Naley wyznaczy wartoci skuteczne zespolone prdów i napi elementów oraz moce w

obwodzie.

Rozwizanie

Wartoci zespolone impedancji i napicia wymuszajcego w obwodzie przy danych

wartociach elementów s równe: 1jLjZL == ω , 2/1 jCjZC −=−= ω , ojeE 45100= .

Impedancja zastpcza połczenia równoległego L i R równa si oj

L

LRL e

ZRRZ

Z 45707.0=+

= .

Impedancja zastpcza połczenia szeregowego C i RLZ jest równa

ojRLC ejjZZZ 6,7178,125,05,0 −=−+=+= . Zgodnie z prawem Ohma prd I w obwodzie jest

równy

o

o

o

j

j

j

C ee

eZE

I 6,116

6,71

45

3,6358,1100 ===

−

Napicia na poszczególnych elementach obwodu dane s w postaci

oj

CCC eIZU 6,266,106==

ojCRLRL eIZU 6,16175,44==

Prdy cewki i rezystora obliczone z prawa Ohma równaj si

48

oj

L

RLL e

ZU

I 6,7175,44==

ojRLR e

RU

I 6.16175,44==

Na rys. 3.3 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie.

Rys. 3.3. Wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie z rys. 3.2

Poszczególne rodzaje mocy wydzielonej w obwodzie równaj si:

Moc pozorna wydawana przez ródło

AV)60001998(6330 6,71* ⋅−==⋅= − jeIESoj

C

Moc czynna rezystora

W19982 == RIP RR

Moc bierna cewki i kondensatora

var2000)Im( * =⋅= LRLL IUQ

var8000)Im( * −=⋅= CCC IUQ

Całkowita moc bierna wydzielona na cewce i kondensatorze równa si

var6000−=+= CL QQQ

Moc wydzielona na rezystorze oraz cewce i kondensatorze równa si dokładnie mocy

dostarczonej przez ródło. Bilans mocy generowanej przez ródło i mocy wydzielonej w

odbiorniku jest zatem równy zeru.

49

3.6 Energia magazynowana w cewce i kondensatorze Cewka i kondensator traktowane jako idealne elementy obwodowe nale do elementów

magazynujcych energi elektryczn i z tego punktu widzenia odgrywaj ogromn rol w

elektrotechnice

.

3.6.1 Energia magazynowana w idealnym kondensatorze Rozpatrzmy kondensator o pojemnoci C zasilony z generatora napiciowego u(t). Obliczymy

energi dostarczon do tego kondensatora w czasie od t0 do t. Energia ta moe by obliczona

jako całka z mocy chwilowej

=t

t

dpttW0

)(),( 0 ττ (3.15)

Uwzgldniajc wzór na moc chwilow i dokonujc odpowiednich operacji całkowania

otrzymujemy

===)(

)(0

000

)()()()(),(

tu

tu

t

t

t

t

uduCdd

duCudiuttW τ

ττττττ (3.16)

Załómy, e czas t0 jest tak chwil, w której napicie u(t) jest zerowe. W takim razie wzór na

energi upraszcza si do postaci

)(21

),( 2)(

00 tCuuduCttW

tu

== (3.17)

Zasadnicz cech kondensatora idealnego jest jego bezstratno, co oznacza, e energia

zgromadzona na nim pozostaje w nim zmagazynowana. Zatem kondensator naładowany do

napicia stałego U posiada energi równ

2

21

CUW = (3.18)

50

Jest to bardzo wana własno kondensatora, wykorzystywana do magazynowania energii

elektrycznej.

3.6.2 Energia magazynowana w idealnej cewce Rozpatrzmy cewk o indukcyjnoci L zasilon z generatora napiciowego u(t). Obliczymy

energi dostarczon do tej cewki w czasie od t0 do t. Energia ta, podobnie jak w przypadku

kondensatora, moe by obliczona jako całka z mocy chwilowej

=t

t

dpttW0

)(),( 0 ττ (3.19)

Uwzgldniajc wzór na moc chwilow i dokonujc odpowiednich operacji całkowania

otrzymujemy

===)(

)(0

000

)()()()(),(

tu

tu

t

t

t

t

idiLdd

diLidiuttW τ

ττττττ (3.20)

Załómy, e czas t0 jest tak chwil, w której prd cewki i(t) jest zerowy. W takim razie wzór

na energi upraszcza si do postaci

)(21

),( 2)(

00 tLiidiLttW

tu

== (3.21)

Zasadnicz cech cewki idealnej jest jej bezstratno, co oznacza, e energia dostarczona do

niej pozostaje w niej zmagazynowana. Zatem cewka, przez która przepływa prd stały I

posiada energi równ

2

21

LIW = (3.22)

51

W odrónieniu od kondensatora, w którym energia zwizana była z napiciem midzy

okładkami (ładunkiem) energia cewki jest uzaleniona od prdu (strumienia magnetycznego).

Std przyjmuje si, e kondensator magazynuje energi w polu elektrycznym a cewka w polu

magnetycznym.

3.7 Rzeczywiste modele cewki i kondensatora W dotychczasowych rozwaaniach traktowalimy cewk i kondensator jako elementy idealne,

posiadajce tylko jedn cech: indukcyjno w przypadku cewki i pojemno w przypadku

kondensatora. Bardziej realistyczne modele tych elementów wymagaj uwzgldnienia ich

stratnoci, któr moemy zamodelowa przy pomocy rezystancji.

3.7.1 Cewka rzeczywista W przypadku cewki rzeczywistej zbudowanej z wielu zwojów drutu (zwykle miedzianego)

naturalny model wymaga uwzgldnienia rezystancji zwojów. Najczciej przyjmuje si model

szeregowy cewki, przedstawiony na rys. 3.4, w którym indukcyjno i rezystancja tworz

połczenie szeregowe.

Rys. 3.4. Szeregowy model cewki rzeczywistej

52

Cewk rzeczywist charakteryzuje jej dobro QL definiowana jako stosunek maksymalnej

energii zgromadzonej w polu magnetycznym do energii rozproszonej w rezystancji w cigu

okresu T

)(

2 max

TWW

QR

LL π= (3.23)

Uwzgldniajc zalenoci energetyczne obowizujce dla cewki i rezystora mona łatwo

udowodni, e wzór powyszy dla modelu szeregowego cewki upraszcza si do postaci

RL

QL

ω= (3.24)

Mnoc licznik i mianownik tej zalenoci przez moduł prdu (wspólnego dla obu

elementów) wzór na dobro mona wyrazi jako stosunek modułu napicia na indukcyjnoci

do modułu napicia na rezystancji

R

LL U

UQ = (3.25)

Jeli uwzgldnimy wykres wektorowy prdów i napi dla szeregowego modelu cewki

(rys. 3.5) otrzymamy nastpujc zaleno

53

Rys.3.5. Wykres wektorowy dla modelu szeregowego cewki

ϕtg=LQ (3.26)

Dobro obwodu jest wic równa tangensowi kta przesunicia fazowego midzy wektorem

prdu i napicia na cewce. W przypadku cewki idealnej kt fazowy jest równy o90 (napicie

na rezystorze szeregowym dy do zera), std taka cewka ma dobro nieskoczon.

3.7.2 Kondensator rzeczywisty Model kondensatora rzeczywistego powinien uwzgldnia naturaln upływno izolacji

midzyokładkowej (skoczon rezystancj izolacji). Naturalny sposób uwzgldnienia tego

prdu to przyjcie modelu równoległego, w którym na całkowity prd kondensatora składa si

prd pojemnoci C oraz konduktancji G jak to przedstawiono na rys. 3.6.

Rys. 3.6. Równoległy model kondensatora rzeczywistego

Kondensator rzeczywisty charakteryzuje jego dobro QC definiowana jako stosunek

maksymalnej energii pola elektrycznego kondensatora do energii rozproszonej w rezystancji

w cigu okresu T

)(

2 max

TWW

QR

CC π= (3.27)

54

Uwzgldniajc zalenoci energetyczne obowizujce dla kondensatora i rezystora mona

łatwo udowodni, e wzór powyszy dla modelu równoległego kondensatora upraszcza si do

postaci

CRGC

QC ωω == (3.28)

Dobro kondensatora mierzona w modelu równoległym jest tym wiksza im mniejsza jest

jego upływno (wiksza rezystancja), a wic odwrotnie ni dla modelu szeregowego cewki.

Mnoc licznik i mianownik tej zalenoci przez moduł napicia (wspólnego dla obu

elementów) wzór na dobro mona wyrazi jako stosunek modułu prdu pojemnociowego

do modułu prdu upływnociowego rezystancji

R

CC I

IQ = (3.29)

Jeli uwzgldnimy wykres wektorowy prdów i napi dla równoległego modelu

kondensatora (rys. 3.7) otrzymamy nastpujc zaleno

Rys. 3.7. Wykres wektorowy dla modelu równoległego kondensatora

55

ϕtg=CQ (3.30)

Dobro obwodu jest wic równa tangensowi kta przesunicia fazowego midzy wektorem

wypadkowym prdu i napicia na kondensatorze. W przypadku kondensatora idealnego kt

fazowy jest równy o90 (warto prdu upływnociowego dy do zera), std taki kondensator

ma dobro nieskoczon.

3.8 Dopasowanie odbiornika do ródła Rzeczywiste ródło energii elektrycznej mona przedstawi w postaci szeregowego

połczenia idealnego ródła napicia E oraz impedancji wewntrznej ródła Zg jak to

przedstawiono na rys. 3.8

Rys. 3.8. Model rzeczywistego ródła napiciowego generatora

Rozwamy elementarny obwód złoony z rzeczywistego ródła napicia oraz impedancji

odbiornika Z jak to przedstawiono na rys. 3.9.

Rys. 3.9. Rzeczywiste ródło napicia obcione impedancj Z

56

Przyjmijmy ogólny model impedancji wewntrznej ródła w postaci

ggg jXRZ += (3.31)

Podobnie załoymy, e impedancj odbiornika stanowi połczenie szeregowe rezystancji R

oraz reaktancji X, to jest

jXRZ += (3.32)

Dopasowanie odbiornika do generatora rozumiemy jako dobór takiej impedancji odbiornika,

przy której odbiornik pobiera ze ródła maksymaln moc czynn. Z analizy obwodu

przedstawionego na rys. 3.9 wynika, e moc P odbiornika jest okrelona zalenoci

( ) ( )22

2

2

22

XXRR

RER

ZZ

ERIP

ggg+++

=+

== (3.33)

Przy ustalonej wartoci rezystancji odbiornika wyraenie powysze osiga maksimum dla

gXX −= (3.34)

Znak minus oznacza, e reaktancja odbiornika powinna mie charakter odwrotny do

reaktancji generatora. Przy indukcyjnym charakterze impedancji ródła, odbiornik powinien

mie charakter pojemnociowy.

Po uwzgldnieniu tej zalenoci wyraenie na moc przyjmie uproszczon posta

( )2

2

RR

REP

g += (3.35)

Wydzielenie maksymalnej mocy czynnej na rezystorze wymaga, aby pochodna funkcji mocy

wzgldem rezystancji R równała si zeru, czyli

57

0)( =

dRRdP

(3.36)

czyli

( ) ( )

( ) 02

4

2

=+

+−+E

RR

RRRRR

g

gg (3.37)

Równane powysze jest spełnione dla wartoci rezystancji obcienia równej rezystancji

ródła, czyli

gRR = (3.38)

Mona łatwo sprawdzi, e przy takim warunku druga pochodna funkcji mocy wzgldem

rezystancji jest ujemna, co oznacza, e mamy do czynienia z maksimum mocy. Ostatecznie

stwierdzamy, e warunkiem dopasowania odbiornika do generatora ze wzgldu na moc

czynn jest

ggg jXRZZ −== * (3.39)

Łatwo jest pokaza, e przy spełnieniu powyszego warunku na impedancji odbiornika

wydzieli si maksymalna moc czynna maxP równa

gR

EP

4

2

max = (3.40)

Biorc pod uwag, e w obwodzie istniej dwie identyczne rezystancje (odbiornika i

generatora), przez które przepływa identyczny prd moc maksymalna odbiornika stanowi

50% całkowitej mocy wydzielanej przez ródło idealne.

Zadania sprawdzajce

58

Zadanie 3.1

Sporzdzi bilans mocy w obwodzie przedstawionym na rys. 3.10. Przyj nastpujce

wartoci elementów: )sin(250)( tte ω= V, s

rad1=ω , H10=L , F1,0=C , Ω= 151R ,

Ω= 102R .


Rozwizanie


1=ω

50=E

10jLjZL == ω

10/1 jCjZC −== ω

Impedancje obwodu:

1,01111

2

=++=CLAB ZZRZ

10=ABZ

251 =+= RZZ AB


2/ == ZEI

20== ABAB IZU

21 jZ

UI

C

AB ==

59

22 jZ

UI

L

AB −==

22

3 ==R

UI AB

Moc wydawana prze ródło

0100250* jEISE +=⋅==

Moce elementów

WRIPR 6012

1==

WRIPR 4022

32==

var402

2 == LIQL ω

var4012

1 −=−=C

IQC ω

Moc całkowita odbiornika

010021

jjQjQPPS CLRRodb +=++=

Moc odbiornika jest dokładnie równa mocy ródła.

Zadanie 3.2

Dobra tak wartoci rezystancji 1R i indukcyjnoci L aby w odbiorniku obwodu z rys. 3.11

wydzieliła si maksymalna moc czynna. Obliczy t moc. Dane liczbowe elementów obwodu:

tte sin2100)( = V, Ω= 50gZ , Ω= 20CX , Ω= 202R .

60


Rozwizanie

Impedancja całkowita odbiornika

101020202020

11 jjXRj

jjXRZ LL −++=

−⋅−++=

Wobec zerowej wartoci czci urojonej impedancji generatora 0=gX cz urojona

impedancji odbiornika musi by take równa zeru, czyli

Ω=→= 100)Im( LXZ

Dopasowanie odbiornika do generatora pod wzgldem mocy czynnej wymaga, aby

)Re()Re( gZZ =

Ω=→=+ 405010 11 RR

Prd w obwodzie

15050

100 =+

=+

=gZZ

EI

Moc wydawana przez ródło

100* == EISE

Moc odbiornika

502 == RIP

61

Na odbiorniku w warunkach dopasowania mocy wydziela si połowa mocy ródła. Druga

połowa wydziela si na rezystancji ródła.

62

Lekcja 4. Metody analizy złoonych obwodów RLC w stanie ustalonym przy

wymuszeniu sinusoidalnym

Wstp Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym tylko w najprostszym

przypadku połczenia szeregowego lub równoległego elementów jest zagadnieniem prostym,

nie wymagajcym rozwizywania układu równa. W wikszoci bardziej złoonych

obwodów naley liczy si z rozwizaniem wielu równa algebraicznych typu zespolonego.

Lekcja czwarta powicona bdzie skutecznym metodom analizy złoonych obwodów

RLC w stanie ustalonym przy wymuszeniach sinusoidalnych. Podstawowym załoeniem przy

wymuszeniu sinusoidalnym jest przyjcie opisu symbolicznego elementów obwodu, zgodnie

z którym cewka opisana jest impedancj zespolon LjZL ω= a kondensator impedancj

CjZC ω

1−= . ródło sinusoidalne zastpuje si jego wartoci skuteczn zespolon,

okrelan według zasad podanych w lekcji drugiej.

Znanych jest wiele metod umoliwiajcych analiz dowolnie złoonych obwodów

elektrycznych, sporód których omówimy metod klasyczn, opart na prawach Kirchhoffa,

zastosowaniu twierdzenia Thevenina i Nortona oraz metod wzłow i oczkow. W

przypadku wielu wymusze o rónych czstotliwociach niezbdne jest zastosowanie tak

zwanej zasady superpozycji obowizujcej dla obwodów liniowych, wprowadzonej w

kocowej fazie lekcji.

4.1. Metoda równa Kirchhoffa

W metodzie tej wykorzystuje si w bezporedniej formie prawo prdowe i napiciowe

Kirchhoffa uzupełnione o równania symboliczne opisujce poszczególne elementy obwodu.

W efekcie zastosowania praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa algebraicznych o

zespolonych współczynnikach. Jeli załoymy, e obwód posiada b gałzi i n wzłów to w

równaniach opisujcych obwód wykorzystuje si (n-1) równa pochodzcych z prawa

prdowego Kirchhoffa. Pozostałe (b-n+1) równa wynika z prawa napiciowego Kirchhoffa

dla (b-n+1) oczek niezalenych (dowolnie wybranych) w obwodzie.

63

Jak z powyszych rozwaa wynika w metodzie klasycznej wykorzystujcej

bezporednio prawa Kirchhoffa istnieje potrzeba rozwizania układu b równa z b

niewiadomymi. Jest to wic metoda złoona obliczeniowo, zwłaszcza jeli wemie si pod

uwag, e wszystkie równania s zespolone. W efekcie metod t stosuje si głównie w

przypadku obwodów o małej liczbie elementów. Metod zlustrujemy przykładem liczbowym

obliczania prdów i napi w obwodzie przedstawionym na rys. 4.1.

Przykład 4.1

Stosujc równania Kirchhoffa naley obliczy wszystkie prdy i napicia w obwodzie

przedstawionym na rys. 4.1. Przyj nastpujce wartoci parametrów obwodu: Ω= 2R ,

C=0,5F, L=1H, )sin(210)( tte ω= V, )45sin(5)( −= tti ω A, s

rad1=ω .


Rozwizanie

Przy sinusoidalnym wymuszeniu zastosujemy podejcie symboliczne, zgodnie z którym

przebiegi czasowe s zastpione wartociami zespolonymi. W przypadku ródeł przyjmuje

si: 1010 0 == jeE , ojeI 45

25 −= . Impedancja cewki jest równa 1jLjZ L == ω , a

impedancja kondensatora 21

jC

jZC −=−=ω

.

Przy oznaczeniach prdów i napi jak na rys. 4.1 z praw Kirchhoffa wynikaj

nastpujce równania prdowe i napiciowe

0

0

0

32

321

21

=−=−−+=−−

IZRI

IIII

RIIZE

C

L

64

Po uporzdkowaniu równa i wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si układ 3 równa

zespolonych w postaci

0222

5

102

32

45321

21

=+

−=−−

=+

−

IjI

eIII

IjIoj

W obwodzie wyrónione zostały 3 gałzie, w których obliczany jest prd, std jego pełny opis

zawiera 3 niezalene równania. Rozwizanie tych równa prowadzi do wyniku

5,26

1 18,11510 jejI =+=

7,332 01,955,7 jejI −=−=

3,563 01,95,75 jejI =+=

Wartoci chwilowe prdów s zatem wyraone w postaci nastpujcych funkcji

sinusoidalnych

)5,26sin(218,11)(1+= tti ω

)7,33sin(201,9)(2−= tti ω

)3,56sin(201,9)(3+= tti ω

Wykorzystujc prawo Ohma otrzymuje si nastpujce wartoci napi na elementach

pasywnych

5,116

11 18,11 jL eIZU ==

7,.3322 02,18 jeRIU −==

Wartoci chwilowe napi wyraone s w postaci funkcji sinusoidalnych

65

)5,116sin(218,11)(1+= ttu ω

)7,33sin(202,18)(2−= ttu ω

Łatwo sprawdzi, e bilans prdów i napi w obwodzie jest spełniony. Mianowicie w

przypadku prdów (jeden wzeł niezaleny)

0321 =−−+ IIII

oraz napi (dwa oczka niezalene)

0

0

32

21

=−=−−

IZRI

UUE

C

4.2. Metoda oparta na twierdzeniu Thevenina Jednym z waniejszych twierdze w teorii obwodów jest twierdzenie Thevenina. Pozwala

ono zastpi złoony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartociach elementów,

przez obwód prosty bdcy połczeniem szeregowym jednej impedancji zastpczej oraz

ródła napiciowego. Umoliwia znaczne uproszczenie struktury obwodu, a w nastpstwie w

bardzo prosty sposób wyznaczy prd lub napicie jednej wybranej gałzi obwodu.

Twierdzenie Thevenina

Dowolny, aktywny obwód liniowy mona zastpi od strony wybranych zacisków gałzi AB

uproszczonym obwodem równowanym, złoonym z szeregowego połczenia jednego

idealnego ródła napicia i impedancji zastpczej obwodu. Warto ródła zastpczego

oblicza si na podstawie analizy obwodu oryginalnego jako napicie panujce na zaciskach

AB po odłczeniu gałzi AB. Impedancja zastpcza widziana z zacisków AB dotyczy obwodu

po wyłczeniu gałzi AB i po zwarciu wszystkich ródeł napicia oraz rozwarciu ródeł

prdu.

Na rys. 4.2 przedstawiono sposób transformacji obwodu zgodnie z twierdzeniem

Thevenina.

66

Rys. 4.2. Transformacja obwodu zgodnie z twierdzeniem Thevenina

Prd I wystpujcy w gałzi AB obwodu oryginalnego jest równy prdowi I w tej samej

gałzi obwodu uproszczonego. Napicie ABU wystpujce na rysunku reprezentuje ródło

zastpcze, natomiast impedancja ABZ jest impedancj zastpcz obwodu. Przy załoeniu, e

gał AB w której obliczamy prd reprezentowana jest przez impedancj Z, prd tej gałzi

mona obliczy korzystajc z prawa napiciowego Kirchhoffa

0)( =+− ABAB ZZIU (4.1)

z którego wynika wyraenie na prd gałzi w nastpujcej postaci

AB

AB

ZZU

I+

= (4.2)

Metoda Thevenina w wikszoci przypadków znakomicie upraszcza analiz obwodu. Jest

szczególnie uyteczna w przypadkach, w których trzeba wyznaczy tylko jeden prd w

obwodzie, gdy mona dokona tego bez koniecznoci rozwizywania układu równa

algebraicznych lub przy znacznej redukcji liczby tych równa.

Przykład 4.2

Korzystajc z twierdzenia Thevenina wyznaczy prd I w gałzi AB obwodu mostka

przedstawionego na rys. 4.3, jeli )sin(210)( tte ω= V, Ω= 5,70R , Ω= 51R , Ω= 52R a

reaktancje cewki i kondensatora s równe odpowiednio Ω== 5LX L ω oraz

Ω== 10/1 CXC ω , Ω== 5/1 00 CX C ω .

67


Rozwizanie

Na rys. 4.4a przedstawiono schemat obwodu do wyznaczenia impedancji zastpczej

Thevenina.

Rys. 4.4. Postaci obwodu do wyznaczania a) impedancji zastpczej Thevenina,

b) napicia ródła zastpczego

Łatwo pokaza, e impedancja zastpcza tego obwodu jest równa

105,2105

)10(55555

21

21 jjjjj

ZZZZ

RRRR

ZCL

CLAB +=

−−⋅+

+⋅=

++

+=

68

Rys. 4.4b przedstawia obwód do obliczenia wartoci ródła zastpczego ABU w schemacie

zastpczym Thevenina. Obliczajc kolejno prdy

121

1 =+

=RR

EI

jjXjX

EI

CL

22 =−

=

napicie ABU okrela si ze wzoru

15211 −=−= IZIRU CAB

Rys. 4.5 Schemat obwodu zastpczego wynikajcego z twierdzenia Thevenina

Wykorzystujc obwód zastpczy Thevenina z rys. 4.5 i prawo napiciowe Kirchhoffa,

warto skuteczn zespolon prdu I okrela si ze wzoru

2626

00

34,118,11

1555,7105,2

15 jj

CAB

AB eejjjXRZ

UI −−=−=

−++−=

−+=

Wartoci chwilowe prdu i(t) wyznaczane s z zalenoci

A)26sin(34,1)( −−= tti ω

Zauwamy, e zastosowanie twierdzenia Thevenina umoliwiło rozwizanie obwodu

wzgldem jednego wybranego prdu bez koniecznoci rozwizania układu równa

algebraicznych.

69

4.3. Metoda oparta na twierdzeniu Nortona Pozwala ono zastpi złoony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartociach

elementów, przez obwód prosty bdcy połczeniem równoległym jednej impedancji

zastpczej oraz idealnego ródła prdowego.

Twierdzenie Nortona

Dowolny aktywny obwód liniowy mona od strony wybranych zacisków AB zastpi

obwodem równowanym, złoonym z równoległego połczenia idealnego ródła prdu i

impedancji zastpczej obwodu. Warto ródła zastpczego oblicza si w obwodzie

oryginalnym jako prd zwarciowy gałzi AB. Impedancja zastpcza widziana z zacisków AB

dotyczy obwodu po wyłczeniu gałzi AB i po zwarciu wszystkich ródeł napicia oraz

rozwarciu ródeł prdu i jest identyczna z impedancj zastpcz w twierdzeniu Thevenina.

Rys. 4.6 przedstawia schemat transformacji obwodu zgodnie z twierdzeniem Nortona.

Rys. 4.6. Schemat transformacji obwodu według twierdzenia Nortona

Prd I oraz napicie U wystpujce w gałzi AB obwodu oryginalnego s równe

odpowiednio prdowi I oraz napiciu U w tej samej gałzi obwodu uproszczonego. ródło

prdowe zI wystpujce na rysunku reprezentuje ródło zastpcze, natomiast impedancja

ABZ jest impedancj zastpcz obwodu. Przy załoeniu, e gał AB reprezentowana jest

przez impedancj Z, napicie tej gałzi oblicza si z prawa prdowego Kirchhoffa

011 =

+−

ABz ZZ

UI , które pozwala wyrazi poszukiwane napicie gałzi w postaci

70

AB

z

ZZI

U/1/1 +

= (4.3)

Znajomo napicia pozwala wyznaczy na podstawie prawa Ohma prd gałzi korzystajc z

zalenoci ./ ZUI = Podobnie jak metoda Thevenina, zastosowanie twierdzenia Nortona

umoliwia obliczenie prdu i napicia tylko jednej gałzi obwodu. Zwykle z punktu widzenia

obliczeniowego wygodniejsze jest uycie metody Thevenina.

4.4. Równowano twierdzenia Thevenina i Nortona

Twierdzenie Thevenina i Nortona pozwalaj wyznaczy uproszczone schematy zastpcze

tego samego układu elektrycznego z punktów AB obwodu wyjciowego. Oba schematy

uproszczone stanowi wic obwody zastpcze równowane sobie, co oznacza, e prd i

napicie w gałzi AB, która nie uległa zmianie w wyniku transformacji, s takie same.

Oznacza to, e gał szeregowa zawierajca idealne ródło napicia E i impedancj Z moe

by bez zmiany prdu w obwodzie zewntrznym zastpiona gałzi równoległ zawierajc

idealne ródło prdowe I oraz impedancj Z, jak to zilustrowano na rys. 4.7.

Rys. 4.7. Równowano obwodów zastpczych Thevenina i Nortona

Wzajemne relacje midzy wartociami ródła prdu i napicia okrela wzór

ZU

I = (4.4)

71

przy zamianie gałzi szeregowej na równoległ oraz

ZIU = (4.5)

przy zamianie gałzi równoległej na szeregow. Impedancja Z w obu obwodach zastpczych

pozostaje taka sama. Dla zilustrowania korzyci płyncych z równowanoci obu twierdze

rozpatrzmy obwód z rys. 4.8a zawierajcy zarówno ródła prdu jak i napicia. Zastosowanie

równowanoci twierdzenia Thevenina i Nortona pozwala uzyska obwód zawierajcy

wyłcznie jeden typ ródeł (prdowych) jak to przedstawiono na rys. 4.8.

Rys. 4.8. Przykład transformacji obwodu wykorzystujcej równowano obwodów

zastpczych Thevenina i Nortona: a) obwód oryginalny zawierajcy ródła prdu i napicia,

b) obwód po transformacji zawierajcy wyłcznie ródła prdowe

4.5. Metoda potencjałów wzłowych

Metoda potencjałów wzłowych, zwana równie metod wzłow, jest jedn z

najogólniejszych i najczciej stosowanych metod, pozwalajcych wyznaczy prdy

wszystkich gałzi wystpujcych w obwodzie. Jako zmienne przyjmuje si w niej potencjały

poszczególnych wzłów obwodu okrelane wzgldem jednego arbitralnie wybranego wzła

uznanego za wzeł odniesienia („masy”), którego potencjał przyjmuje si za równy zeru.

Liczba równa w tej metodzie jest równa liczbie wzłów niezalenych a wic znacznie

mniejsza ni w metodzie wykorzystujcej bezporednio układ równa otrzymanych w wyniku

zastosowania praw Kirchhoffa.

Metoda wzłowa wynika bezporednio z równa prdowych Kirchhoffa napisanych

dla wszystkich wzłów niezalenych w obwodzie. Prd kadej gałzi obwodu jest wyraany

72

za porednictwem potencjałów wzłowych. Zostało wykazane, e kady obwód liniowy RLC

moe by opisany równaniem macierzowym potencjałów wzłowych o postaci

zrIYV = (4.6)

w której Y jest macierz wzłow o wymiarach NN × , gdzie N jest liczb wzłów

niezalenych w obwodzie, V jest wektorem niezalenych potencjałów wzłowych o wymiarze

N a zrI jest wektorem prdów ródłowych stanowicych wymuszenie. Macierz wzłowa Y

okrelona jest w postaci

= .

...............

...

...

21

22221

11211

NNNN

N

N

YYY

YYY

YYY

Y (4.7)

a wektory V oraz zrI dane s jak nastpuje

=

NV

V

V

...2

1

V (4.8)

=

zrN

zr

zr

zr

I

I

I

...2

1

I (4.9)

Elementy iiY połoone na głównej diagonalnej macierzy Y nazywane s admitancjami

własnymi wzła i-tego. W przypadku obwodów RLC bez ródeł sterowanych admitancja

własna wzła i-tego jest równa sumie admitancji wszystkich gałzi włczonych w i-tym

wle. Elementy ijY połoone poza główn diagonaln s admitancjami wzajemnymi

midzy wzłem i-tym oraz j-tym. Admitancja wzajemna dwu wzłów jest równa admitancji

łczcej te wzły wzitej ze znakiem minus. Admitancja wzajemna wzła i-tego oraz j-tego

73

jest taka sama jak wzła j-tego oraz i-tego, tzn. jiij YY = . Macierz admitancyjna Y dla

obwodów RLC bez ródeł sterowanych jest wic macierz symetryczn.

Elementy wektora wymusze prdowych zrI s równe sumie wszystkich prdów

ródłowych wpływajcych do danego wzła, przy czym prd ródłowy dopływajcy do wzła

bierze si ze znakiem plus a prd odpływajcy od wzła ze znakiem minus.

Naley podkreli, e metoda potencjałów wzłowych dopuszcza istnienie w

obwodzie jedynie ródeł wymuszajcych typu prdowego. Jeli w obwodzie wystpuj

równie ródła napiciowe naley je przekształci w odpowiednie ródła prdowe

wykorzystujc do tego celu równowano Thevenina – Nortona (patrz rys. 4.7). Sposób

formułowania równa wzłowych zilustrujemy na przykładzie obwodu przedstawionego na

rys. 4.9.

Przykład 4.3

Korzystajc z przedstawionych reguł formułowania równa wzłowych naley napisa

równanie potencjałów wzłowych dla obwodu przedstawionego na rys. 4.9.


Rozwizanie

Obwód zawiera 3 wzły niezalene: 1V , 2V oraz 3V mierzone wzgldem wzła

odniesienia jak to oznaczono na rysunku. Oznaczajc admitancje przez Y, gdzie Y=1/Z

otrzymuje si macierz potencjałów wzłowych Y oraz wektor prdów wymuszajcych zrI w

postaci

74

++−−++−

−=

6544

44322

22

0

0

YYYY

YYYYY

YY

Y

−−−−

+=

5564

4233

21

YEII

IIYE

II

zz

zz

zz

zrI

Równanie potencjałów wzłowych obwodu przyjmuje posta

zrIYV = ,

w której

=

3

2

1

V

V

V

V .

Na podstawie obliczonych wartoci napi wzłowych obwodu mona w prosty

sposób korzystajc z prawa napiciowego Kirchhoffa dla poszczególnych gałzi obwodu

wyznaczy prdy gałziowe. Wystarczy w tym celu zastosowa bd prawo Ohma (jeli gał

zawiera jedynie element pasywny) lub równanie napiciowe Kirchoffa dla gałzi szeregowej

zawierajcej ródło napicia i element pasywny. Przykładowo dla obwodu z rys. 4.9

odpowiednie zalenoci przyjmuj posta

)( 2122 VVYI −=

)( 3233 EVYI −=

)( 3244 VVYI −=

)( 5355 EVYI +=

366 VYI =

Naley podkreli, e metoda potencjałów wzłowych wymaga rozwizania układu N

równa, gdzie N oznacza liczb wzłów niezalenych. Zwykle liczba wzłów jest duo

mniejsza ni liczba elementów obwodu, std metoda potencjałów wzłowych jest znacznie

efektywniejsza ni metoda klasyczna wykorzystujca bezporednio prawa Kirchhoffa.

75

Reguły tworzenia opisu wzłowego przedstawione powyej zakładały istnienie

jedynie elementów pasywnych RLC oraz ródeł wymuszajcych typu prdowego. Dziki

takiemu załoeniu s one bardzo proste i łatwe w stosowaniu.

W przypadku wystpienia ródeł sterowanych w obwodzie trudno jest poda formuł

ogóln pozwalajc okreli zarówno macierz admitancyjn jak i wektor wymusze

prdowych. Zasada tworzenia opisu admitancyjnego w takim przypadku korzysta

bezporednio ze stwierdzenia, e opis admitancyjny powstaje jako uporzdkowany zbiór

równa wynikajcych z prawa prdowego Kirchhoffa, w których wszystkie prdy gałziowe

zostały wyraone poprzez potencjały wzłowe i wartoci ródeł wymuszajcych. Macierz

admitancyjna Y wynika wówczas z uporzdkowania macierzowego powstałego układu

równa. Tak metod tworzenia równa wzłowych zilustrujemy na przykładzie obwodu

przedstawionego na rys. 4.10.

Przykład 4.4

Korzystajc z praw prdowych Kirchhoffa wyznaczy opis admitancyjny obwodu

przedstawionego na rys. 4.10.


Rozwizanie

W obwodzie wystpuj dwa ródła sterowane, z których jedno jest sterowane napiciem

U2=(V2-V1) a drugie prdem I1=V1/Z1. Biorc pod uwag, e napicie wzła trzeciego jest

równe V3=E, w opisie obwodu przy zastosowaniu metody wzłowej wystpuj jedynie dwa

niezalene potencjały wzłowe V1 i V2. Z prawa prdowego Kirchhoffa napisanego dla dwu

wzłów o potencjałach V1 i V2 wynikaj nastpujce równania

76

0

0

2123

21

=−−=+−IIkI

III

Wyraajc wszystkie prdy gałziowe przez napicia wzłowe

[ ])(

)(

121233

1222

111

VVkVEYI

VVYI

VYI

−+−=−=

=

i podstawiajc je do równa prdowych Kirchhoffa otrzymuje si

[ ]0)(

0)()(

11122

1221212123

=−+−=−−−−+−

VYIVVY

VVYVYkVVkVEY

Porzdkujc powyszy układ równa i zapisujc go w postaci zalenoci macierzowej

otrzymuje si ostatecznie układ równa wzłowych

=

−+++−−+

EY

I

V

V

YkYYYkYkY

YYY

32

1

313212312

221

Jest to układ dwu równa z dwoma nieznanymi napiciami wzłowymi V1 oraz V2. Po

rozwizaniu tych równa mona wyznaczy wszystkie poszukiwane prdy w obwodzie,

korzystajc z przytoczonych wczeniej równa.

Naley zwróci uwag na uproszczenia wynikajce z istnienia w obwodzie idealnego

ródła napicia. ródło takie ustala potencjał okrelonego wzła (gdy jest włczone

wzgldem wzła odniesienia) lub uzalenia potencjał jednego wzła wzgldem drugiego (gdy

jest włczone midzy dwoma wzłami niezalenymi). W obu przypadkach prowadzi to do

redukcji liczby równa opisujcych obwód.

4.6. Metoda prdów oczkowych

W metodzie prdów oczkowych, zwanej równie metod oczkow, wprowadza si prdy

oczkowe jako zmienne, czyli prdy przypisane niezalenym oczkom wystpujcym w

obwodzie. Przykładowy wybór oczek niezalenych i oznaczenie prdów oczkowych obwodu

przedstawiono na rys. 4.11.

77

Rys. 4.11. Przykład wyboru oczek niezalenych w obwodzie

Oznaczmy w ogólnoci wektor prdów oczkowych w postaci

=

oN

o

o

o

I

I

I

...2

1

I (4.10)

w której okI oznacza prd oczkowy k-tego oczka. Dla uzyskania opisu oczkowego

wykorzystuje si prawo napiciowe Kirchhoffa napisane dla wszystkich oczek niezalenych

obwodu. Nastpnie wyraa si wszystkie prdy gałziowe poprzez prdy oczkowe (prd

gałziowy jest równy sumie lub rónicy prdów oczkowych przeprowadzonych przez dan

gał) i otrzymuje opis obwodu w postaci układu równa oczkowych

EZI =o (4.11)

gdzie macierz oczkowa Z oraz wektor napi wymuszajcych E przyjmuj posta

= .

...............

...

...

21

22221

11211

NNNN

N

N

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z (4.12)

78

=

NE

E

E

...2

1

E (4.13)

Elementy iiZ połoone na głównej diagonalnej macierzy Z nazywamy impedancjami

własnymi oczka i-tego. Przy załoeniu, e wszystkie prdy oczkowe maj identyczny zwrot,

dla obwodów RLC bez ródeł sterowanych impedancja własna oczka i-tego jest równa sumie

impedancji wszystkich gałzi wystpujcych w oczku. Elementy ijZ połoone poza główn

diagonaln s impedancjami wzajemnymi midzy oczkiem i-tym oraz j-tym. Impedancja

wzajemna dwu oczek przy identycznym zwrocie wszystkich prdów oczkowych jest równa

impedancji wspólnej dla obu oczek wzitej ze znakiem minus. Impedancja wzajemna oczka i-

tego oraz j-tego jest taka sama jak oczka j-tego oraz i-tego, tzn. jiij ZZ = . Macierz Z jest wic

macierz symetryczn.

Element k-ty wektora wymusze napiciowych E jest równy sumie wszystkich napi

ródłowych wystpujcych w k-tym oczku. Przy załoonej orientacji oczka napicie ródłowe

dodaje si ze znakiem plus jeli jego zwrot jest identyczny z t orientacj a ze znakiem minus

jeli ten zwrot jest przeciwny. Sposób tworzenia opisu oczkowego zilustrujemy na

przykładzie obwodu z rys. 4.12.

Przykład 4.5

Dla obwodu przedstawionego na rys. 4.12 napisa równanie prdów oczkowych przy

załoeniu układu oczek niezalenych jak na rysunku.

79

Rys. 4.12 Schemat obwodu do przykładu 4.5

Rozwizanie

Obwód zawiera 3 oczka niezalene, std wymiar macierzy oczkowej jest równy 3,

podobnie jak długo wektora prdów oczkowych oraz wektora napi wymuszajcych.

Korzystajc z podanej wczeniej reguły tworzenia opisu oczkowego otrzymuje si

++−−−++−−−++

=

65151

55433

13321

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZ

Z

−+−−

=

61

43

31

EE

EE

EE

E

Biorc pod uwag e obwód zawiera trzy nieznane prdy oczkowe tworzce wektor prdów

[ ] Toooo III 321=I , równanie oczkowe EZI =o stanowi zbiór trzech równa liniowych.

Rozwizanie tego układu równa pozwala okreli te zmienne. Znajomo prdów

oczkowych pozwala wyznaczy wszystkie prdy gałziowe obwodu. Mianowicie

131 oo III −=

12 oII =

80

213 oo III −=

24 oII =

235 oo III −=

36 oII −=

Metoda prdów oczkowych wymaga rozwizania układu N równa, gdzie N oznacza liczb

oczek niezalenych. Podobnie jak w metodzie wzłowej liczba oczek jest zwykle duo

mniejsza ni liczba elementów obwodu, std metoda prdów oczkowych jest duo bardziej

efektywna ni metoda klasyczna wykorzystujca bezporednio prawa Kirchhoffa.

4.7. Zasada superpozycji

Omówione wczeniej metody analizy symbolicznej stanowi dobry i skuteczny sposób

rozwizania problemu przy istnieniu w obwodzie ródeł sinusoidalnych o tej samej

czstotliwoci, gdy dla kadego ródła elementy reaktancyjne LC przedstawiaj sob te

same wartoci reaktancji. Istotna trudno wystpuje dopiero przy istnieniu w obwodzie wielu

ródeł o rónych czstotliwociach. W takim przypadku nie istnieje pojcie impedancji

wspólnej dla kadego ródła, co uniemoliwia zastosowanie metody symbolicznej. Jedynym

rozwizaniem pozostaje wtedy zastosowanie zasady superpozycji. Obowizuje ona tylko dla

obwodów liniowych. Jej tre jest nastpujca.

Zasada superpozycji

Odpowied czasowa obwodu elektrycznego liniowego przy warunkach pocztkowych

zerowych jest równa sumie odpowiedzi czasowych na kade wymuszenie z osobna.

Tak ogólnie sformułowana zasada obowizuje zarówno w stanie ustalonym jak i

nieustalonym obwodu. W przypadku analizy stanów ustalonych jej zastosowanie w analizie

obwodów polega na rozbiciu danego obwodu o wielu wymuszeniach na wiele obwodów

zawierajcych po jednym wymuszeniu, rozwizaniu kadego z nich oddzielnie a nastpnie

zsumowaniu odpowiedzi czasowych kadego obwodu. Naley pamita przy tym o zasadzie,

e eliminowane ródła s zastpowane zwarciem (jeli ródło jest napiciowe) lub

rozwarciem (gdy ródło jest prdowe).

81

Naley podkreli, e zgodnie z zasad superpozycji sumowanie odpowiedzi

pochodzcych od rónych wymusze moe odbywa si wyłcznie w dziedzinie czasu.

Sumowanie wartoci zespolonych od poszczególnych wymusze byłoby powanym błdem,

gdy sugerowałoby istnienie rozwizania obwodu zawierajcego tylko jedn harmoniczn.

Ilustracj stosowania zasady superpozycji w analizie obwodów przedstawiono na rys. 4.13.

Rys. 4.13. Ilustracja zasady superpozycji w obwodach liniowych

Przykład 4.6

Stosowanie praktyczne zasady superpozycji zostanie zilustrowane na przykładzie obwodu z

rys. 4.14a zawierajcego dwa ródła, z których jedno jest stałe a drugie sinusoidalne. Naley

dokona analizy obwodu stosujc zasad superpozycji. Przyj nastpujce wartoci

elementów: Ω= 2R , HL 2= , FC 1= , )45sin(210)( += tti ω A, Vte 2)( = , s

rad1=ω .

82

Rys. 4.14 Schematy obwodów do przykładu 4.6: a) schemat obwodu oryginalnego o dwu

ródłach, b) schemat obwodu dla ródła stałego, c) schemat obwodu dla ródła

sinusoidalnego

Rozwizanie

Ze wzgldu na wystpienie w obwodzie 2 rónych typów wymusze (ródło napiciowe stałe

i ródło prdowe sinusoidalne) konieczne jest zastosowanie w analizie zasady superpozycji.

Na rys. 4.14c przedstawiono schemat obwodu przy istnieniu ródła sinusoidalnie zmiennego

i(t) a na rys. 4.14b obwód dla ródła napiciowego o wartoci stałej e(t) = E. Wymuszenie

stałe moe by rozpatrywane równie jak sinusoidalne o czstotliwoci równej zeru. Biorc

pod uwag, e dla ródła stałego 0=ω , reaktancja cewki staje si zerowa ( 0== LX L ω ) a

reaktancja kondensatora równa nieskoczonoci ( ∞== CXC ω/1 ). Oznacza to, e z punktu

widzenia wymuszenia stałego w stanie ustalonym cewka stanowi zwarcie a kondensator

przerw.

Dla obwodu o wymuszeniu sinusoidalnym wartoci reaktancji indukcyjnej i

pojemnociowej s odpowiednio równe: Ω== 2LX L ω , Ω== 1/1 CXC ω . Rozwizujc

obwód przy wymuszeniu sinusoidalnym otrzymuje si

5,0111111

jRRjXjXZ CLRLC

+=++−

+=

4,08,05,01

1j

jZ RLC −=

+=

oj18,445)( 8,94ej2,838,48)4,08,0(10 =+=−== jeIZU jRLC

IRLC

ojRLCI ejR

UI 162)(

1 47,44,124,4 −=−−=−=

oj

C

RLCI ejjX

UI 108)(

2 94,848,883,2 =+−=−

=

oj

L

RLCI ejjX

UI 6,71)(

3 47,424,441,1 −=−==

)(1

)(4

IRLCI IR

UI −==

Wartociom zespolonym prdu towarzysz nastpujce postacie rozwizania w czasie

83

)162sin(247,4)()(1

−= tti I ω

)108sin(294,8)()(2

+= tti I ω

)6,71sin(247,4)()(3

−= tti I ω

)162sin(247,4)()(4

−−= tti I ω

Rozwizanie obwodu z rys. 4.14b przy wymuszeniu stałym nie wymaga stosowania metody

symbolicznej, gdy jest to obwód rezystancyjny, dla którego mona od razu poda

rozwizanie w czasie. Poszczególne prdy równaj si

1)()( )(3

)(1 ===

RE

titi EE

0)()( )(4

)(2 == titi EE

Całkowite rozwizanie na prdy w obwodzie jest sum rozwiza obwodu dla wymuszenia

sinusoidalnego oraz stałego. Std

A)162sin(247,41)(1−+= tti ω

A)108sin(294,8)(2+= tti ω

A)71sin(247,41)(3−+= tti ω

A)162sin(247,4)(4−−= tti ω

Naley podkreli, e odpowiednio do zasady superpozycji sumowanie odpowiedzi

prdowych na wymuszenie stałe i sinusoidalne mogło odby si wyłcznie w dziedzinie

czasu.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 4.1

Stosujc metod Thevenina obliczy prd w gałzi AB obwodu przedstawionego na rys. 4.15.

Dane liczbowe elementów: Ω= 41R , Ω= 82R , Ω= 23R , Ω= 24R , tte ωsin230)( = V.

84

Rys. 4.15 Schemat obwodu do zadania 4.1

Rozwizanie

Impedancja z zacisków AB obwodu (rys. 4.16a) jest równa

Rys. 4.16 Schematy obwodu do obliczania: a)impedancji ZAB, b) napicia UAB, c) prdu Ix

93,242

42

31

31 =+

++

=RR

RRRR

RRZ AB

Prdy w obwodzie z rys. 4.16b:

85

56

30

311 ==

+=

RRE

I

31030

422 ==

+=

RRE

I

Napicie UAB

41122 =−= IRIRU AB

Poszukiwany prd Ix z obwodu zastpczego Thevenina (rys. 4.16c)

A36,1==AB

ABx Z

UI

Zadanie 4.2

Napisa równanie potencjałów wzłowych dla obwodu przedstawionego na rys. 4.17


Rozwizanie

Przy podanych na rysunku oznaczeniach potencjałów wzłów mierzonych wzgldem wzła

odniesienia bezporednie zastosowanie prawa prdowego Kirchhoffa do wszystkich wzłów

obwodu i wyraenie prdów poprzez potencjały wzłowe pozwala uzyska równanie

wzłowe w postaci

86

−

−=

+−−−++−

−+

2

111

3

2

1

433

3322

221

00

0

I

IEY

V

V

V

YYY

gYgYYY

YYY

Zadanie 4.3

Napisa macierzowe równanie oczkowe dla obwodu przedstawionego na rys. 4.18


Rozwizanie

Z prawa napiciowego Kirchhoffa zastosowanego do trzech oczek zaznaczonych na rysunku

po wyraeniu prdów gałziowych poprzez prdy oczkowe otrzymujemy równanie oczkowe

o postaci

−=

+−+−

+−−++

3

32

1

3

2

1

655

424

54541

00

E

EE

E

I

I

I

ZZZ

ZZZ

rZZZZZ

o

o

o

Zadanie 4.4

87

Wyznaczy rozwizanie obwodu z rys. 4.19 stosujc zasad superpozycji. Przyj

)90sin(22)( otti += ω A, 5)( == Ete V, Ω= 1R , HL 1= , FC 5,0= , s

rad1=ω .


Rozwizanie

A) Rozwizanie obwodu dla składowej stałej (ródło E)

Obwód dla składowej stałej przedstawiono na rys. 4.20a. Cewka w stanie ustalonym dla

składowej stałej jest zwarciem a kondensator przerw.

Rys. 4.20 Schemat obwodu dla poszczególnych ródeł: a) ródło napicia stałego,

b) ródło prdu sinusoidalnego

Dla prdu stałego tylko jeden prd, )(ERi , jest róny od zera. Jego warto jest równa

5)( ==RE

i ER

0)()( == EC

EL ii

B) Rozwizanie obwodu dla składowej zmiennej (ródło i(t))

88

Obwód dla składowej sinusoidalnej przedstawiono w postaci symbolicznej na rys. 4.20b.

Parametry symboliczne obwodu s nastpujace: ojeI 902= , 1jLjZL == ω ,

2/1 jCjZC −== ω . Impedancja zastpcza cewki i kondensatora jest równa

2jZZ

ZZZ

CL

CLLC =

+=

Napicie i prdy w obwodzie:

4)( −== IZU LCI

AB

2)(

)( jZ

UI

C

IABI

C −==

4)(

)( jZ

UI

L

IABI

L ==

0)( =IRI

Wartoci prdów wyraone w postaci czasowej:

)90sin(22)()( oIC tti −=

)90sin(24)()( oIL tti +=

0)()( =ti IR

Całkowite rozwizanie obwodu jest sum obu składowych:

A)90sin(22)()()( )()( oIC

ECC ttititi −=+=

A)90sin(24)()()( )()( oIL

ELL ttititi +=+=

A5)()()( )()( =+= tititi IR

ERR

89

Lekcja 5. Analiza obwodów sprzonych magnetycznie

Wstp

Interesujce zjawiska powstaj w obwodach zawierajcych cewki połoone blisko siebie, w

których strumienie magnetyczne obu cewek zachodz na siebie. Nastpuje wówczas zjawisko

sprzenia magnetycznego obu obwodów i przenoszenia energii z jednego obwodu do

drugiego.

W lekcji pitej dokonamy analizy zjawisk powstajcych w obwodach sprzonych

magnetycznie. Wprowadzone zostan metody analizy takich obwodów, wykorzystujce

eliminacj sprze magnetycznych. Sprzenia magnetyczne umoliwiaj budow

urzdzenia zwanego transformatorem, transformujcego poziom napicia wejciowego w

wyjciowe o innej wartoci. Ostatnia cz lekcji powicona bdzie analizie transformatora

powietrznego i transformatora zbudowanego na rdzeniu ferromagnetycznym. W tym ostatnim

przypadku mamy do czynienia z obwodem nieliniowym, do którego stosuje si specjalne

metody analizy.

5.1. Zjawiska fizyczne przy sprzeniu magnetycznym cewek

Przyjmijmy, e dwie cewki s połoone blisko siebie w taki sposób, e strumie magnetyczny

jednej cewki obejmuje równie drug. Całkowity strumie skojarzony z dan cewk

(strumie skojarzony jest sum strumieni φ kadego zwoju cewki, co przy z zwojach o

identycznym strumieniu daje φz=Ψ ) jest wtedy sum obu strumieni jeli ich kierunki s

zgodne lub ich rónic, jeli kierunki strumieni s przeciwne. Strumienie obu cewek

zapiszemy wówczas w postaci.

12111 Ψ±Ψ=Ψ (5.1)

21222 Ψ±Ψ=Ψ (5.2)

Strumie 11Ψ wytworzony jest w cewce pierwszej od prdu tej cewki a strumie 12Ψ

wytworzony w cewce pierwszej pochodzi od prdu cewki drugiej skojarzonej z pierwsz.

90

Podobnie strumie 22Ψ wytworzony jest w cewce drugiej od prdu tej cewki a strumie 21Ψ

wytworzony w cewce drugiej pochodzi od prdu cewki pierwszej skojarzonej z drug.

Uwzgldniajc pojcie indukcyjnoci własnej i wzajemnej wprowadzone w rozdziale

pierwszym dla cewek liniowych sprzonych magnetycznie obowizuj nastpujce relacje:

• Indukcyjnoci własne

1

111 i

LΨ= (5.3)

2

222 i

LΨ= (5.4)

• Indukcyjnoci wzajemne

2

1212 i

MΨ= (5.5)

1

2121 i

MΨ= (5.6)

Dla rodowisk o tej samej przenikalnoci magnetycznej obie indukcyjnoci wzajemne s

sobie równe, to znaczy MMM == 2112 . Dla dwu cewek sprzonych magnetycznie definiuje

si współczynnik sprzenia jako redni geometryczn współczynników sprzenia obu

cewek, przy czym współczynnik sprzenia jednej cewki z drug jest okrelany jako stosunek

strumienia głównego cewki pochodzcego od prdu własnego do strumienia całkowitego

cewki. Współczynnik sprzenia cewek oznacza bdziemy liter k. Spełnia on nastpujc

relacj

21LLkM = (5.7)

z której wynika, e współczynnik sprzenia k jest równy

21LL

Mk = (5.8)

91

Przy idealnym (pełnym) sprzeniu cewek warto współczynnika sprzenia jest równa

jeden (k=1). Indukcyjno wzajemna jest wówczas redni geometryczn indukcyjnoci

własnych obu cewek. Przy braku sprzenia magnetycznego midzy cewkami warto k=0.

Sprzenie magnetyczne powoduje indukowanie si napicia w cewce od zmian prdu

własnego cewki i od zmian prdu cewki z ni sprzonej. Wzory okrelajce odpowiednie

napicia na cewkach sprzonych magnetycznie dane s wówczas w postaci

dtdi

Mdtdi

Ldt

du 21

11

1 ±=Ψ= (5.9)

dtdi

Mdtdi

Ldt

du 12

22

2 ±=Ψ= (5.10)

Znak plus lub minus wystpujcy we wzorze odpowiada sprzeniu bd dodatniemu (znak

plus) bd ujemnemu (znak minus). Rodzaj sprzenia zaley od kierunku prdu cewki

wzgldem pocztku uzwojenia. Rys. 5.1 przedstawia sytuacje odpowiadajce sprzeniu

dodatniemu a rys. 5.2 ujemnemu.

Rys. 5.1. Ilustracja sprzenia dodatniego dwu cewek

Rys. 5.2. Ilustracja sprzenia ujemnego dwu cewek

Zauwamy, e przy istnieniu sprzenia magnetycznego w cewce generowane jest napicie na

cewce nawet przy prdzie własnym cewki równym zeru. Oznacza to przenoszenie si energii

z jednego obwodu do drugiego drog magnetyczn.

92

5.2. Analiza obwodów magnetycznie sprzonych przy wymuszeniu sinusoidalnym

5.2.1. Równania symboliczne elementów sprzonych magnetycznie

Analiza obwodów ze sprzeniami magnetycznymi w stanie ustalonym przy wymuszeniu

sinusoidalnym moe by przeprowadzona przy zastosowaniu metody symbolicznej, w której

w miejsce róniczkowania wprowadza si działania na liczbach zespolonych. Dla

wymuszenia sinusoidalnego wzory róniczkowe upraszczaj si do zalenoci algebraicznych

typu zespolonego, które podobnie jak dla indukcyjnoci własnych wyprowadzonych w

rozdziale drugim mona zapisa w postaci

2111 MIjILjU ωω ±= (5.11)

1222 MIjILjU ωω ±= (5.12)

Znak plus obowizuje dla sprzenia dodatniego (strumienie magnetyczne obu cewek

sumuj si) a znak minus dla sprzenia ujemnego (strumienie magnetyczne obu cewek

odejmuj si). Jak wida z powyszych wzorów cewki sprzone magnetycznie reprezentuj

sob reaktancje, przy czym mona tu wyróni dwa rodzaje reaktancji: reaktancj

indukcyjn własn (zwan dotd reaktancj indukcyjn) i reaktancj indukcyjn

wzajemn. Wprowadmy nastpujce oznaczenia

MX M ω= - reaktancja indukcyjna wzajemna

MjZM ω= - impedancja indukcyjna wzajemna.

Napicie skuteczne zespolone na cewkach sprzonych mona wówczas opisa

nastpujcymi wzorami

2112111 MIjILjIZIZU ML ωω ±=±= (5.13)

1221222 MIjILjIZIZU ML ωω ±=±= (5.14)

w których 1LZ oraz 2LZ oznaczaj impedancje indukcyjnoci własnych cewki pierwszej i

drugiej, 11 LjZ L ω= , 22 LjZ L ω= . Dla wyznaczenia wartoci skutecznej napicia na cewce

sprzonej musz by znane zarówno warto skuteczna prdu jednej cewki jak i drugiej,

93

sprzonej z ni. Znak sprzenia (plus lub minus) powoduje zmniejszanie (sprzenie

ujemne) lub zwikszanie (sprzenie dodatnie) napicia danej cewki.

Najwaniejszym elementem analizy obwodów ze sprzeniami magnetycznymi jest

wyznaczenie prdów poszczególnych gałzi w obwodzie. Bezporednie zastosowanie

poznanych dotd metod analizy obwodów (metoda wzłowa, oczkowa, Thevenina czy

Nortona) wymaga w pierwszej kolejnoci wyeliminowania sprzenia magnetycznego cewek,

a wic pozbycia si wpływu prdu jednej cewki na napicie cewki drugiej.

5.2.2. Eliminacja sprze magnetycznych

Eliminacja sprze magnetycznych jest moliwa bezporednio na podstawie analizy

struktury obwodu i uwzgldnienia połoenia pocztków uzwoje cewek wzgldem wzłów

wspólnych (lub uznanych za wspólne przy braku ich bezporedniego połczenia). W tym

przypadku mona wyróni dwa rodzaje połcze:

• dwie cewki sprzone magnetycznie maj jednakowo usytuowane pocztki uzwoje

wzgldem wzła - takie cewki uwaa bdziemy za jednoimienne (rys. 5.3)

Rys. 5.3. Cewki jednoimienne

• dwie cewki sprzone magnetycznie maj przeciwnie usytuowane pocztki uzwoje

wzgldem wzła - takie cewki uwaa bdziemy za rónoimienne (rys. 5.4).

Rys. 5.4. Cewki rónoimienne

W przypadku cewek jednoimiennych eliminacja sprzenia magnetycznego prowadzi do

obwodu zastpczego przedstawionego na rys. 5.5..

94

Rys. 5.5. Eliminacja sprzenia magnetycznego cewek jednoimiennych

W gałziach zawierajcych cewki pojawiła si impedancja wzajemna ze znakiem minus a w

gałzi wspólnej impedancja wzajemna ze znakiem plus. Łatwo mona pokaza, e przy takim

sposobie eliminacji sprze magnetycznych napicia na zaciskach zewntrznych 1, 2 i 3 przy

niezmienionych prdach zewntrznych w obu obwodach równaj si sobie (co jest warunkiem

równowanoci).

Schemat z rys. 5.6 odpowiada eliminacji sprzenia w przypadku dwu cewek

rónoimiennych.

Rys. 5.6. Eliminacja sprzenia magnetycznego cewek rónoimiennych

W gałziach zawierajcych cewki pojawiła si impedancja wzajemna ze znakiem plus a w

gałzi wspólnej impedancja wzajemna ze znakiem minus. Łatwo udowodni, e przy takim

sposobie eliminacji sprze napicia na zaciskach zewntrznych 1, 2 i 3 w obu obwodach

(oryginalnym i po eliminacji sprzenia) przy tych samych prdach zewntrznych równaj si

sobie (co jest warunkiem równowanoci).

Przy eliminacji sprze magnetycznych przyjty zwrot prdów nie ma adnego

wpływu na kocow posta obwodu bez sprze. Ma na ni wpływ jedynie usytuowanie

95

pocztków uzwoje cewek wzgldem wspólnego wzła, czyli jednoimienno lub

rónoimienno cewek sprzonych magnetycznie.

W obu przypadkach otrzymuje si obwody bez sprze, równowane oryginalnym

jedynie pod wzgldem prdowym. Napicia w obu obwodach w czci podlegajcej

przekształceniu s całkowicie róne. Rzeczywiste napicia panujce na elementach

podlegajcych transformacji powinny by okrelane bezporednio na podstawie obwodu

oryginalnego i powinny uwzgldnia sprzenie magnetyczne (wzory 5.13 i 5.14).

Naley podkreli, e przy wielu cewkach sprzonych ze sob, eliminacja kadego

sprzenia midzy dwoma wybranymi cewkami moe zachodzi niezalenie od pozostałych

sprze, co znakomicie ułatwia przeprowadzenie procesu eliminacji sprze.

Przykład 5.1

Na rys. 5.7a przedstawiony jest obwód zawierajcy trzy cewki sprzone magnetycznie ze

sob. Stosujc metod eliminacji sprze do kadej pary cewek sprzonych ze sob

otrzymuje si schemat obwodu bez sprze, równowany pod wzgldem prdowym

obwodowi ze sprzeniami (rys. 5.7b).

Rys. 5.7. Przykład eliminacji sprze magnetycznych wielu cewek: a) obwód oryginalny,

b) obwód po eliminacji sprze

Przy analizie obwodów elektrycznych zawierajcych sprzenia magnetyczne

pierwszym krokiem jest eliminacja sprze magnetycznych zgodnie z zasadami podanymi

96

wyej. Dziki temu kady element obwodu staje si uzaleniony jedynie od swojego prdu.

Schemat obwodu po eliminacji sprze jest równowany obwodowi oryginalnemu jedynie

pod wzgldem prdowym. Std obwód taki moe słuy wyłcznie obliczeniu prdów. Dla

wyznaczenia napi gałziowych naley wróci do obwodu pierwotnego ze sprzeniami

magnetycznymi. Napicia na elementach sprzonych oblicza naley uwzgldniajc

sprzenia midzy cewkami przy wykorzystaniu wzorów (5.13) i (5.14).

Przykład 5.2

Obliczy rozpływ prdów i rozkład napi na poszczególnych elementach obwodu

elektrycznego ze sprzeniami magnetycznymi, przedstawionego na rys. 5.8. Naley przyj

nastpujce wartoci elementów: Ω= 101R , HL 21 = , HL 22 = , HM 1= , FC 02,0= oraz

wymuszenie napiciowe sinusoidalne )4510sin(2100)( += tte V.

Rys. 5.8. Schemat obwodu elektrycznego do przykładu 5.2

Rozwizanie

Dla podanych wyej wartoci parametrów obwodu impedancje zespolone odpowiadajce

poszczególnym elementom s równe:

10=ω

2011 jLjZ == ω

2022 jLjZ == ω

10jMjZM == ω

5/1 jCjZC −=−= ω

45100 jeE =

97

Pierwszym etapem analizy jest eliminacja sprzenia magnetycznego midzy cewkami.

Schemat obwodu po eliminacji przedstawiony jest na rys. 5.9.

Rys. 5.9. Schemat obwodu po eliminacji sprze magnetycznych

Rozwizanie tego obwodu wzgldem prdów gałziowych uzyskamy redukujc obcienie

ródła do jednej impedancji zastpczej. Stanowi j połczenie szeregowe impedancji

indukcyjnej i pojemnociowej

25530 jjjZLC =−=

oraz układu równoległego rezystora i cewek

6182010

)1010(30j

jjj

ZRL −=+

−⋅=

Impedancja zastpcza jest wic równa

1918 jZZZ LCRL +=+=

Prd I w obwodzie okrelony jest wzorem

10,082,31918

100 45

jj

eZE

Ij

−=+

==

98

Spadek napicia na połczeniu równoległym elementów jest równy

77,2413,6812 jIZU RL −=⋅=

Prdy w gałziach równoległych s równe

27,283,03012

1 jjU

I −−==

17,264,41010

122 j

jU

I +=−

=

W nastpnym etapie po obliczeniu prdów mona przej do obliczenia napi posługujc si

schematem oryginalnym obwodu (ze sprzeniami magnetycznymi). Korzystajc z prawa

Ohma i zalenoci definicyjnych sprzenia magnetycznego otrzymuje si

68,2145,4610 2 jIU R +==

13,6877,24111 jIZIZU ML +=+=

68,2145,46122 jIZIZU ML +=+=

10,1952,0 jIZU CC −−==

5.3 Transformator

5.3.1 Podstawy fizyczne działania transformatora

Transformator jest układem przetwarzajcym napicie wejciowe w napicie wyjciowe za

porednictwem strumienia magnetycznego przy braku bezporedniego połczenia

galwanicznego midzy obu zaciskami (wejciowymi i wyjciowymi). Transformatory mog

by stosowane do rónych celów, ale podstawowym ich zadaniem jest zmiana wartoci

napicia wejciowego na inn warto napicia wyjciowego. Moe to by zarówno

podwyszenie jak i obnienie wartoci. Przy zmianie napicia ulegaj odpowiedniej zmianie

równie prdy w uzwojeniach transformatora.

W analizie teoretycznej przyjmowa bdziemy transformator idealizowany, czyli taki w

którym nie ma strat energii, nie istnieje zjawisko rozpraszania strumienia magnetycznego

(współczynnik sprzenia magnetycznego k=1), nie wystpuj efekty pasoytnicze (np.

99

pojemnoci midzyzwojowe), nie uwzgldniona jest rezystancja uzwoje, zjawiska prdów

wirowych itp..

Przekazywanie energii elektrycznej z jednego obwodu do drugiego nastpuje za

porednictwem pola elektromagnetycznego (strumienia magnetycznego). Na rys. 5.10

przedstawiono pogldowy schemat transformatora zasilanego napiciem U1 i obcionego po

stronie wtórnej impedancj Zo.

Rys. 5.10. Pogldowy schemat transformatora

Uzwojenie, do którego jest zazwyczaj doprowadzone ródło energii elektrycznej, nazywamy

uzwojeniem pierwotnym, natomiast uzwojenie, do którego jest dołczony odbiornik,

nazywamy uzwojeniem wtórnym. Zaciski uzwojenia pierwotnego stanowi wejcie układu,

a zaciski uzwojenia wtórnego - wyjcie. Odpowiednie napicia i prdy w transformatorze

nazywamy pierwotnymi lub wtórnymi. Wszystkie wielkoci i parametry zwizane z

uzwojeniem pierwotnym opatrzymy wskanikiem 1, a wielkoci i parametry zwizane z

uzwojeniem wtórnym – wskanikiem 2.

Do uzwojenia pierwotnego przyłoone jest napicie sinusoidalnie zmienne o wartoci

chwilowej u1(t). Warto chwilow prdu w uzwojeniu pierwotnym oznaczymy przez )(1 ti .

Pod wpływem zmiennego w czasie prdu i1(t) w przestrzeni otaczajcej uzwojenie powstaje

zmienny strumie magnetyczny φ , bdcy superpozycj strumieni 1φ i 2φ . Przy załoeniu

jego równomiernego rozkładu na przekroju S, strumie jest iloczynem indukcji magnetycznej

100

B i przekroju S, BS=φ . Strumie ten kojarzy si zarówno z uzwojeniem pierwotnym

wytwarzajc strumie skojarzony φ11 z=Ψ , jak i uzwojeniem wtórnym wytwarzajc w nim

strumie skojarzony φ22 z=Ψ . Zgodne z prawem indukcji elektromagnetycznej pod

wpływem zmiennego w czasie strumienia magnetycznego indukuje si napicie u(t)

dtd

tuΨ=)( (5.15)

Jeli do uzwojenia wtórnego dołczymy odbiornik, to pod wpływem napicia

zaindukowanego w tym uzwojeniu popłynie prd i2(t).

W zalenoci od rodowiska w jakim zamyka si wytworzony wokół uzwoje strumie

magnetyczny rozróniamy transformatory powietrzne (korpus transformatora wykonany z

dielektryka o przenikalnoci magnetycznej wzgldnej bliskiej jednoci) i transformatory z

rdzeniem ferromagnetycznym (korpus wykonany z rdzenia ferromagnetycznego). Zanim

przejdziemy do omówienia obu rodzajów transformatorów, przedstawimy zalenoci

obowizujce dla transformatora idealnego.

5.3.2 Transformator idealny

Wyidealizowanym typem transformatora jest tak zwany transformator idealny, w którym

zakłada si pełne sprzenie magnetyczne, brak strat (wszystkie rezystancje równe zeru) i

pominicie zjawisk pasoytniczych. Symbol graficzny transformatora idealnego


Rys. 5.11. Symbol graficzny transformatora idealnego

W schemacie tym pomija si zwykle symbol sprzenia magnetycznego pozostawiajc

jedynie oznaczenie pocztków uzwoje transformatora. Transformator idealny jest w pełni

opisany poprzez tak zwan przekładni zwojow, okrelajc stosunek napicia pierwotnego

101

do wtórnego (przekładni napiciow) na podstawie liczby zwojów pierwotnych i wtórnych.

Przekładnia napiciowa transformatora idealnego niezalenie od sposobu wykonania i od

obcienia, powinna by równa przekładni zwojowej okrelonej wzorem

2

1

zz

n = (5.16)

Oznacza to, e relacja midzy napiciem pierwotnym i wtórnym jest nastpujca

22

11

2

1 Uzz

UnUU =→= (5.17)

Wobec załoenia o braku strat w samym transformatorze idealnym moc dostarczona na

zaciski pierwotne równa si mocy na zaciskach wtórnych, to jest 21 SS = (podobnie jest z

moc czynn i biern). Przy oznaczeniu przekładni transformatora idealnego przez n, z

warunku równoci mocy wejciowej i wyjciowej

*22

*11 IUIU =

wynika relacja midzy prdem pierwotnym i wtórnym transformatora. Mianowicie

21

1I

nI = (5.18)

Obie zalenoci (5.17) i (5.18) mona zapisa w nastpujcej postaci macierzowej

=

2

2

1

1 10

0

I

U

n

n

I

U (5.19)

Powysze równanie macierzowe nazywane jest równaniem łacuchowym transformatora

idealnego. Wykonanie transformatora idealnego w praktyce nie jest moliwe, jednak

współczesne realizacje techniczne transformatorów zwłaszcza transformatory z rdzeniem

ferromagnetycznym s bliskie ideału.

102

5.4 Transformator powietrzny

Działanie transformatora zasadniczo nie zaley od tego w jakim rodowisku zamyka si

strumie skojarzony z uzwojeniem transformatora. Sposób analizowania transformatora

powietrznego i transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym jest jednak nieco inny. W tym

punkcie ograniczymy si do transformatora powietrznego. Przyjmiemy, e korpus

transformatora wykonany jest z materiału nieferromagnetycznego.

Transformator powietrzny jest układem dwu cewek magnetycznie sprzonych,

nawinitych na korpusie wykonanym z dielektryka o wzgldnej przenikalnoci magnetycznej

bliskiej jednoci. Model idealnego transformatora powietrznego (bez uwzgldnienia

rezystancji uzwoje) obcionego impedancj Zo jest przedstawiony na rys. 5.12.

Rys. 5.12. Model idealnego transformatora powietrznego

Indukcyjnoci własne uzwoje oznaczone s przez L1 i L2 a indukcyjno wzajemna przez M,

przy czym 21LLkM = . Sprzenie magnetyczne tego typu transformatora nie jest zbyt

dobre i charakteryzuje si stosunkowo duym współczynnikiem rozproszenia, a zatem małym

współczynnikiem sprzenia k ( ).1<<k

Napicie zasilajce wywołuje w obwodzie pierwotnym prd I1, wytwarzajcy strumie

magnetyczny. Energia obwodu pierwotnego przenosi si do obwodu wtórnego poprzez

sprzenie magnetyczne, zaznaczone symbolicznie jako indukcyjno wzajemna M. Pod

wpływem zaindukowanego napicia przy zamknitym obwodzie wtórnym płynie prd I2,

odkładajc na impedancji odbiornika napicie U2.

Rozróniamy trzy zasadnicze stany pracy transformatora: stan jałowy - gdy zaciski

wtórne s rozwarte, stan zwarcia - gdy zaciski wtórne s połczone bezimpedancyjnie oraz

stan obcienia - gdy do zacisków wtórnych jest dołczony odbiornik o skoczonej

impedancji.

103

Analizujc transformator w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

zastosujemy metod symboliczn. Z definicji sprzenia magnetycznego obu cewek przy

załoonym zwrocie prdów i przyjciu pocztków uzwoje jak na rys. 5.12 wynikaj

nastpujce równania opisujce obwód

2111 IjXIjXU ML += (5.20)

[ ]1222 IjXIjXU ML +−= (5.21)

Znak minus wystpujcy we wzorze na U2 wynika z kierunku U2 zaznaczonego na rysunku

5.12. Z równania (5.20) i (5.21) wynika nastpujcy wzór okrelajcy prd wejciowy układu

1

211

L

M

jXIjXU

I−= (5.22)

Podstawiajc wyraenie na prd do równania drugiej cewki otrzymuje si

( )

−+−= 21

1222 IjXU

jXjX

IjXU ML

ML (5.23)

Po przekształceniu tego równania otrzyma mona zaleno napicia wyjciowego

transformatora przy obcieniu oZ od napicia zasilajcego obwód oraz od prdu obcienia

−+−=

1

2

2211

2L

ML

L

M

XX

jjXIUXX

U (5.24)

Zauwamy, e nawet dla wyidealizowanego transformatora powietrznego współczynnik

sprzenia k<<1, std 21212

LLLLM XXXkXX <<= . Oznacza to, e napicie wyjciowe

transformatora zaley bardzo silnie od prdu obcienia, co jest cech niepodan, gdy

oznacza due wahania napicia wyjciowego przy zmianie obcienia.

Jedynie w przypadku stanu jałowego transformatora, dla którego 02 =I , przekładnia

transformatora nie zaley od obcienia. W takim przypadku

104

11

2 UXX

UL

M−= (5.25)

Jeli uwzgldnimy, e reaktancje cewek s proporcjonalne do liczby zwojów według relacji 211 KzX L = , 2

22 KzX L = , 21 zKzX M = gdzie K oznacza pewn stał konstrukcyjn, to z

zalenoci (5.24) wynika

111

22

1U

nU

zz

U −=−= (5.26)

Z powyszej zalenoci wida, e jedynie w stanie jałowym transformatora powietrznego

stosunek napicia pierwotnego transformatora do napicia wtórnego jest równy stosunkowi

liczby zwojów pierwotnych do wtórnych (z dokładnoci do znaku), a wic przekładni

zwojowej (transformator idealny)

nzz

UU

−=−=2

1

2

1 (5.27)

Jest to cecha bardzo podana z punktu widzenia praktycznego, gdy pozwala w bardzo

prosty sposób zmienia poziomy napi zarówno w gór (liczba zwojów wtórnych wiksza

od liczby zwojów pierwotny) jak i w dół (liczba zwojów wtórnych mniejsza ni liczba

zwojów pierwotnych).

Zauwamy, e podana relacja napiciowa midzy napiciami pierwotnym i wtórnym

transformatora idealnego jest dokładnie realizowana przez transformator powietrzny jedynie

w stanie jałowym. Niestety obcienie transformatora powietrznego powoduje zniekształcenie

tej relacji przez prd obcienia. W zwizku z powyszym transformator powietrzny w stanie

obcienia nie moe by uwaany za transformator idealny.

5.5 Transformator z rdzeniem ferromagnetycznym

5.5.1 Podstawowe prawa obwodów magnetycznych

Ogromn popraw własnoci transformatora uzyskuje si przy zastosowaniu zamiast cewek

powietrznych cewek z rdzeniem ferromagnetycznym (elazem). Rdze ferromagnetyczny

tworzy zamknity obwód magnetyczny, stanowicy drog o małej opornoci dla strumienia

105

magnetycznego φ , powstałego w wyniku działania ródła pola magnetycznego. ródłem pola

magnetycznego moe by albo uzwojenie, przez które przepływa prd elektryczny albo

magnes trwały, bdcy ciałem ferromagnetycznym, w którym pole powstało i trwa nadal,

mimo e w obszarze na zewntrz ciała prd nie płynie.

W wyniku przepływu prdu przez cewk transformatora powstaje pole magnetyczne o

indukcji B i nateniu H (B i H s wielkociami wektorowymi). Jednostk indukcji

magnetycznej jest tesla ( 211mVs

T = ) a natenia magnetycznego amper na metr (mA

). W

materiale ferromagnetycznym kierunki wektorów B i H s zgodne. Zaleno midzy

indukcj B i nateniem pola H okrelona jest w ogólnoci w postaci ptli histerezy (rys.

15.3).

Rys. 5.13 Pierwotna krzywa magnesowania elaza

W przypadku transformatorów ograniczamy si zwykle do pierwotnej krzywej

magnesowania (krzywa przechodzca przez pocztek układu współrzdnych), nie

uwzgldniajc niejednoznacznoci procesu magnesowania (ptli histerezy). Wektory indukcji

i natenia pola magnetycznego w elazie mona wówczas powiza jednoznacznym

równaniem nieliniowym opisujcym krzyw magnesowania pierwotnego

HH rµµµ 0== (5.28)

106

gdzie µ jest przenikalnoci magnetyczn bezwzgldn rodowiska, bdc funkcj

natenia pola H wyraon w mH

, 0µ - stał magnetyczn próni (przenikalno

magnetyczna próni) równ mH7104 −⋅π a rµ - przenikalnoci magnetyczn wzgldn,

wskazujc ile razy przenikalno danego rodowiska jest wiksza od przenikalnoci próni.

Dla materiałów ferromagnetycznych przenikalno magnetyczna w zakresie liniowym

krzywej magnesowania osiga bardzo due wartoci rzdu tysicy a nawet setek tysicy w

przypadku specjalnych materiałów ferromagnetycznych. Niestety przy duych wartociach

natenia pola magnetycznego nastpuje nasycenie wartoci indukcji (patrz krzywa

magnesowania na rys. 5.13) i w efekcie znaczne zmniejszenie wartoci przenikalnoci

wzgldnej. W zastosowaniach praktycznych punkt pracy transformatora połoony jest zwykle

w czci liniowej i dlatego mona z duym prawdopodobiestwem załoy bardzo du

warto współczynnika przenikalnoci wzgldnej.

W rozpatrywanym rdzeniu ferromagnetycznym o polu przekroju poprzecznego S

zamyka si strumie magnetyczny φ , powizany z indukcj magnetyczn B zalenoci

=S

dSBφ (5.29)

Przy załoeniu równomiernego rozkładu strumienia φ w polu przekroju poprzecznego

(B = B = const) powysze wyraenie upraszcza si do postaci BS=φ . Jednostk strumienia

magnetycznego w układzie SI jest weber (1Wb=1Vs).

W przypadku obwodów magnetycznych rozgałzionych strumie φ spełnia tzw.

prawo Kirchhoffa dla strumieni w wle, zgodnie z którym suma algebraiczna strumieni

magnetycznych (z uwzgldnienie ich zwrotu), w kadym wle obwodu magnetycznego jest

równa zeru, czyli

0=k

kφ (5.30)

Przykład interpretacji tego prawa dla jednego wzła obwodu magnetycznego przedstawiony

jest na rys. 5.14

107

Rys. 5.14. Schemat wzła obwodu magnetycznego

Równanie Kirchhoffa dotyczce strumieni w tym wle przyjmuje posta

0321 =−+ φφφ

Strumie magnetyczny φ w transformatorze jest skojarzony z kadym zwojem cewki.

Całkowity strumie skojarzony ze wszystkimi z zwojami cewki okrelony jest wic wzorem

φz=Ψ (5.31)

Drugim podstawowym prawem obwodów magnetycznych jest prawo przepływu Ampera,

zgodnie z którym całka liniowa wektora natenia pola magnetycznego H po krzywej

zamknitej l w polu magnetycznym równa si prdowi przenikajcemu przez powierzchni

ograniczon t krzyw, czyli

=l k

kk IzdlH (5.32)

W ogólnym wzorze Ampera uwzgldniono wiele uzwoje wzbudzajcych o liczbie zwojów

kz i prdach kI . Przy jednym uzwojeniu cewki zawierajcym z zwojów, przez które

przepływa prd I i załoeniu, e natenie pola na całej drodze l jest jednakowe i równe H,

prawo Ampera upraszcza si do postaci skalarnej

zIHl = (5.33)

108

Iloczyn natenia pola magnetycznego H na odcinku pola o długoci l przez długo tego

odcinka nazywany jest napiciem magnetycznym, a iloczyn prdu I przez liczb z zwojów

cewki – sił magnetomotoryczn, oznaczan zwykle w postaci zI=Θ .

Zaleno (5.33) wie bezporednio wektor natenia pola magnetycznego z prdem

elektrycznym obwodu wzbudzajcym to pole. Przy znanym wymuszeniu prdowym i

wymiarach cewki pozwala ona okreli warto natenia pola magnetycznego

lzI

H = (5.34)

Prawo przepływu Ampera wyraone zalenoci (5.32) moe by napisane dla dowolnego

oczka obwodu magnetycznego, przyjmujc posta tzw. drugiego prawa Kirchhoffa dla

obwodu magnetycznego. Zgodnie z tym prawem dla kadego oczka obwodu magnetycznego

suma algebraiczna napi magnetycznych wszystkich elementów oczka jest równa sumie

algebraicznej sił magnetomotorycznych zawartych w tym oczku. Zapiszemy to w postaci

=k k

kkkk IzlH (5.35)

We wzorze tym zostało załoone, e obwód magnetyczny tworzy wiele gałzi o długoci lk

kada, przy czym w kadej gałzi natenie magnetyczne przyjmuje warto Hk. Przykładowo

równania Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego przedstawionego na rys. 5.15 zawierajcego

Rys. 5.15. Przykład obwodu magnetycznego o dwu oczkach

109

dwa niezalene oczka, przy załoonych oznaczeniach jak pokazano na rysunku mona

zapisa w postaci:

• równania napi magnetycznych

113311 IzlHlH =+

222233 IzlHlH =−

• równanie strumieni

0321 =−− φφφ

Strumienie i natenia pola magnetycznego powizane s za porednictwem krzywej

magnesowania elaza )( kkkkk HfSBS ==φ dla k=1, 2, 3. Ze wzgldu na nieliniowy

charakter krzywej magnesowania równania powysze tworz wic układ równa

nieliniowych.

Istotnym pojciem w teorii obwodów magnetycznych jest pojcie reluktancji, czyli

oporu jaki jest stawiany strumieniowi magnetycznemu na drodze przepływu. Jeli wemiemy

pod uwag fragment obwodu magnetycznego o przekroju S i długoci l którym przepływa

stały strumie φ , to z definicji napicia magnetycznego µU wynika

φµµ

φµ S

ll

SHlU === (5.36)

Wielko

Sl

Rµµ = (5.37)

110

nazywana jest reluktancj (oporem magnetycznym). W przypadku rdzenia

ferromagnetycznego warto przenikalnoci magnetycznej µ jest bardzo dua, co oznacza, e

opór magnetyczny na tej drodze jest mały. Z kolei w przypadku powietrza 0µµ = przyjmuje

warto bardzo mał, co powoduje, e opór magnetyczny na takiej drodze jest bardzo duy.

Oznacza to, e dla cewki zbudowanej na rdzeniu ferromagnetycznym strumie

rozproszenia (cz strumienia zamykajca si przez powietrze) jest pomijalnie mały, a

prawie cały strumie zamyka si przez elazo. Przy dwu cewkach umieszczonych na takim

rdzeniu strumie jednej cewki przenika wic prawie całkowicie drug cewk co powoduje, e

sprzenie magnetyczne jest idealne, a współczynnik sprzenia magnetycznego k bliski

jednoci.

5.5.2 Analiza transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym

Rdze ferromagnetyczny ma zdolno skupiania pola magnetycznego i zmniejszania w ten

sposób strumienia rozproszenia zamykajcego si przez powietrze otaczajce cewk. Wynika

std, e współczynnik sprzenia magnetycznego k dla dwu cewek umieszczonych na

wspólnym rdzeniu jest bliski maksymalnej wartoci równej jeden ( 1≈k ). Oznacza to, e dla

cewek z rdzeniem ferromagnetycznym indukcyjno wzajemna jest w przyblieniu redni

geometryczn indukcyjnoci własnych obu cewek ( 21LLM ≈ ). Ta cecha zdecydowała o

zastosowaniu cewek z rdzeniem ferromagnetycznym do budowy transformatorów, które

zbliaj si swoim zachowaniem do transformatorów idealnych.

Jeli załoymy punkt pracy transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym w czci

liniowej charakterystyki magnesowania to układ taki moe by traktowany jako transformator

liniowy, analogicznie do transformatora powietrznego, ale o wartoci współczynnika

sprzenia k bliskim jednoci. Schemat zastpczy takiego transformatora przy pominiciu

rezystancji uzwoje jest identyczny jak w przypadku transformatora powietrznego (rys. 5.12).

Oznacza to, e ma tu zastosowanie wzór (5.24) okrelajcy relacj midzy napiciem

pierwotnym i wtórnym transformatora, który wobec zalenoci 21LLM ≈ mona przepisa

tutaj w postaci

111

21221

12 U

XX

XXX

jjXIUXX

UL

M

L

LLL

L

M −=

−+−≈ (5.38)

111

Jak wida z powyszej zalenoci dla transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym

przekładnia napiciowa nie zaley od prdu obcienia (pod warunkiem e punkt pracy

połoony jest w liniowej czci charakterystyki magnesowania a współczynnik sprzenia

magnetycznego jest równy jednoci). Oznacza to, e niezalenie od obcienia relacja midzy

napiciem pierwotnym i wtórnym dana jest w postaci

11

21

12 U

zz

UXX

UL

M =≈ (5.39)

Napicie wtórne transformatora jest zalene wyłcznie od przekładni zwojowej i napicia

wejciowego układu. Jest to zatem realizacja podstawowej zalenoci charakterystycznej dla

transformatora idealnego. Przy pominiciu strat w transformatorze relacja midzy prdem

pierwotnym i wtórnym spełnia równie drug zaleno transformatora idealnego (wzór

5.17). Wynika std wniosek, e transformator z rdzeniem ferromagnetycznym jest dobrym

przyblieniem transformatora idealnego.

4.1 Zadania do samodzielnego rozwizania

Zadanie 5.1

Narysowa obwody zastpcze bez sprze magnetycznych odpowiadajce obwodom ze

sprzeniami przedstawionym na rys. 5.16a,b.

Rys. 5.16. Schematy obwodów ze sprzeniami magnetycznymi do zadania 5.1

112

Rozwizanie

Na rys. 5.17a,b przedstawiono obwody zastpcze nie zawierajce sprze magnetycznych.

Odpowiadaj one obwodom oryginalnym z rys. 5.16 pod wzgldem prdowym.

Rys. 5.17 Obwody bez sprze magnetycznych odpowiadajce rys. 5.16

Zadanie 5.2

Wyznaczy rozpływy prdów w obwodzie przedstawionym na rys. 5.18.

Rys. 5.18 Schemat obwodu elektrycznego ze sprzeniem magnetycznym do zadania 5.2

113

Przyj nastpujce wartoci parametrów elementów obwodu: R=5, L1=2H, L2=2H, M=1H

oraz )45sin(5)( += tti A.

Rozwizanie

Posta obwodu po eliminacji sprzenia magnetycznego przedstawiono na rys. 5.19

Rys. 5.19 Obwód bez sprze magnetycznych odpowiadajcy schematowi z rys. 5.18.

Wielkoci symboliczne charakteryzujce elementy obwodu:

ojeI 45

25=

( ) 111 jMLjZ =−= ω

( ) 022 =−= MLjZ ω

1jMjZM == ω

Impedancja zastpcza obwodu wobec 02 =Z

oj

M

M eZR

RZZ 45

21=

+=

Napicie UAB

5jZIU AB ==

Prdy:

114

5jR

UI AB

R ==

01 =I

532 ===M

AB

ZU

II

Napicia na elementach równoległych w obwodzie oryginalnym i zastpczym s sobie równe

i wynosz 5jU AB = . Mona to łatwo sprawdzi w obwodzie oryginalnym obliczajc napicia

na cewkach sprzonych. Mianowicie

52111jMIjILjU L =+= ωω

51222jMIjILjU L =+= ωω

Zadanie 5.3

Wyznaczy rozwizanie obwodu z rys. 5.20 zawierajcego transformator idealny o przekładni

zwojowej równej n=2. Przyj nastpujce wartoci parametrów obwodu:

)sin(210)( tte ω= V, 1=ω rad/s, Ω= 5R , C=0,2F.


Rozwizanie

Wielkoci symboliczne charakteryzujce elementy obwodu:

10=E

115

5/1 jCjZC −=−= ω

5,25,2 jZR

RZZ

C

CRC −=

+=

Układ równa opisujcych obwód:

RCZIU

In

I

nUU

URIE

22

21

21

11

1

=

=

=+=

Po wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si

)5,25,2(21

2

510

22

21

21

11

jIU

II

UU

UI

−=

=

=+=

Po uproszczeniu tego układu równa otrzymuje si

( ) 145210510 Ie

oj−+=

Std

30,045,01 jI +=

60,090,02 12 jII +==

76,079,322 jIZU RC −==

5,158,72 21 jUU −==

15,075,023 j

RU

I −==

76,015,024 j

ZU

IC

+==

116

Łatwo sprawdzi, e stosunek prdu I1 do prdu I2, 21

2

1 =II

, podczas gdy 22

1 =UU

.

117

Lekcja 6. Rezonans w obwodach elektrycznych

Wstp Lekcja szósta powicona bdzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC.

Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC, w którym prd i napicie s ze sob

w fazie. W stanie rezonansu przesunicie fazowe prdu i napicia jest zerowe, co oznacza, e

argument impedancji lub admitancji zespolonej obwodu jest take równy zeru. Obwód nie

pobiera adnej mocy biernej a cile mówic nastpuje zjawisko kompensacji tej mocy. Moc

bierna indukcyjna obwodu jest równa mocy pojemnociowej. Poniewa znaki mocy biernej

indukcyjnej i pojemnociowej s przeciwne, w warunkach rezonansu całkowita moc bierna

jest zerowa.

W obwodzie RLC zjawisko rezonansu wymaga, aby reaktancja wypadkowa obwodu (lub

jej odwrotno zwana susceptancj) była równa zeru. Czstotliwo, przy której reaktancja

lub susceptancja obwodu znika jest nazywana czstotliwoci rezonansow. Podane zostan

odpowiednie wzory pozwalajce na wyznaczenie wartoci tej czstotliwoci, jak równie

wprowadzone zostan inne pojcia wane dla zjawiska rezonansu, takie jak dobro,

rozstrojenie bezwzgldne i wzgldne, pasmo przepustowe, rezystancja charakterystyczna.

Analizie zostan poddane charakterystyki czstotliwociowe obwodów rezonansowych.

Rezonans wystpi moe w dowolnej konfiguracji elementów RLC, tym nie mniej bada

si szczególne połczenia elementów prowadzce do tego zjawiska. Rezonans wystpujcy w

obwodzie, w którym elementy R, L, C s połczone szeregowo nazywamy rezonansem

napi lub rezonansem szeregowym. W przypadku, gdy rezonans dotyczy obwodu

równoległego R, L, C taki rezonans nazywamy rezonansem prdów lub rezonansem

równoległym.

118

6.1. Rezonans szeregowy

Przyjmijmy, e do połczenia szeregowego elementów R, L, C przedstawionego na rys. 6.1.

Rys. 6.1. Obwód rezonansowy szeregowy RLC

jest przyłoone napicie sinusoidalnie zmienne o wartoci skutecznej zespolonej U i pulsacji

fπω 2= . Przy zastosowaniu metody symbolicznej w analizie tego obwodu mona napisa

nastpujce równanie napiciowe Kirchhoffa

[ ])( CLCLCLR XXjRIIjXIjXRIUUUU −+=−+=++= (6.1)

Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC, w którym prd i napicie s ze sob

w fazie. Zgodnie z t definicj warunek rezonansu obwodu wymaga, aby prd I oraz napicie

U były ze sob w fazie. Osignie si to, jeli cz urojona powyszej zalenoci bdzie

równa zeru, czyli

CL XX = .

Uwzgldniajc, e LX L ω= oraz CXC ω/1= z powyszego warunku otrzymuje si wzór

okrelajcy pulsacj rezonansow rω w postaci

LCr

1=ω (6.2a)

Czstotliwo rezonansowa obwodu wynosi zatem

119

LC

fr π21= (6.2b)

Równo reaktancji indukcyjnej i pojemnociowej oznacza, e w stanie rezonansu napicia na

cewce i kondensatorze s równe co do modułu ale przeciwnie skierowane, czyli

CL UU −=

Zmiana czstotliwoci zmienia oczywicie relacj midzy napiciami na tych elementach

reaktancyjnych (przeskalowanie wartoci). Dla czstotliwoci mniejszych ni rezonansowa

napicie na kondensatorze jest wiksze ni na cewce (przy mniejszej czstotliwoci

impedancja kondensatora jest wiksza), a przy czstotliwociach wikszych ni rezonansowa

napicie na cewce wiksze ni na kondensatorze (impedancja cewki ronie wraz ze wzrostem

czstotliwoci a impedancja kondensatora maleje). Na rys. 6.2 przedstawiono wykresy

wektorowe prdu i napi w obwodzie szeregowym RLC dla czstotliwoci mniejszych ni

rezonansowa (rys. 6.2a), dla czstotliwoci rezonansowej (rys. 6.2b) oraz dla czstotliwoci

wikszych ni rezonansowa (rys. 6.2c).

a) b) c)

Rys. 6.2 Wykresy wektorowe obwodu rezonansowego RLC: a) stan przed rezonansem, b) stan rezonansu, c) stan po rezonansie

120

Z przesuni ktowych midzy wektorami widoczne jest, e przed rezonansem obwód

szeregowy RLC ma charakter pojemnociowy, w czasie rezonansu – rezystancyjny, a dla

czstotliwoci wikszych ni rezonansowa – indukcyjny.

6.1.1 Parametry rezonansu szeregowego

Rezonans moe by scharakteryzowany wieloma parametrami, z których najwaniejsze to

czstotliwo rezonansowa, dobro obwodu rezonansowego, rezystancja charakterystyczna,

rozstrojenie obwodu oraz pasmo przenoszenia czstotliwoci.

Czstotliwo rezonansowa obwodu szeregowego RLC została zdefiniowana powyej

jako LC

fr π21= . Jest ona jednoznacznie okrelona jako funkcja indukcyjnoci L oraz

pojemnoci C. Rezystancja R nie ma adnego wpływu na warto czstotliwoci obwodu

szeregowego RLC.

Drugim wanym parametrem obwodu rezonansowego jest dobro Q okrelana zwykle

w punkcie rezonansowym (dla czstotliwoci rezonansowej). W obwodzie szeregowym RLC

dobroci nazywamy stosunek napicia na elemencie reaktancyjnym (kondensatorze lub

cewce) do napicia na elemencie rezystancyjnym w czasie rezonansu. Std warto dobroci

moe by wyznaczona ze wzoru

RCR

LU

U

U

UQ

r

r

R

C

R

L

ωω 1==== (6.3)

Po uwzgldnieniu wzoru na pulsacj rezonansow, dobro Q mona wyrazi w jednoznacznej

postaci uzalenionej wyłcznie od parametrów obwodu RLC

RCL

Q = (6.3)

Wielko wystpujca w liczniku nazywana jest rezystancj charakterystyczn ρ

121

CL=ρ (6.5)

Rezystancja charakterystyczna obwodu rezonansowego szeregowego RLC jest uzaleniona

wyłcznie od wartoci indukcyjnoci i pojemnoci.

6.1.2 Charakterystyki czstotliwociowe rezonansu

Charakterystykami czstotliwociowymi obwodu rezonansowego nazywa bdziemy

zaleno prdu i napi od czstotliwoci (pulsacji). Dla otrzymania charakterystyk

czstotliwociowych z równania (6.1) wyznaczmy prd I jako funkcj pulsacji

( )CjLjR

UI

ωωω

/1−+= (6.6)

Przepisujc powysz zaleno zespolon w postaci wykładniczej otrzymujemy wzór

( ) )()( ωϕωω jeII = (6.7)

w którym )(ωI oznacza moduł prdu a )(ωϕ - faz uzalenion od czstotliwoci napicia

zasilajcego. Wielkoci te opisane s nastpujco

( )22 /1

)(CLR

UI

ωωω

−+= (6.8)

R

CL ωωωϕ /1arctg)(

−−= (6.9)

Zaleno modułu od czstotliwoci (pulsacji) nazywamy charakterystyk amplitudow

rezonansu a zaleno fazy od czstotliwoci (pulsacji) – charakterystyk fazow. Na rys.

6.3a przedstawiono charakterystyk modułu prdu a rys. 6.3b – fazy prdu w funkcji pulsacji

ω .

122

Rys. 6.3 Charakterystyki czstotliwociowe prdu w obwodzie rezonansowym:

a) charakterystyka amplitudowa, b) charakterystyka fazowa

Wartoci elementów symulowanego obwodu były równe: L=1H, C=1F, R=1,8 Ω . Dla

punktu rezonansowego 1=rω charakterystyka przyjmuje warto maksymaln a faza warto

zerow.

Wraz ze zmian prdu zmieniaj si równie napicia na pozostałych elementach

obwodu RLC. Dla wyznaczenia tych zalenoci mona wykorzysta prawo Ohma, zgodnie, z

którym przy zastosowaniu podejcia symbolicznego otrzymuje si

• dla indukcyjnoci

)()( ωωω LIjUL = (6.10)

• dla pojemnoci

C

IjU C ω

ωω )()( −= (6.11)

123

Podstawiajc do powyszych zalenoci wzór okrelajcy prd mona otrzyma wyraenia na

moduły i fazy napicia na cewce i kondensatorze. Charakterystyki amplitudowe tych napi

s wyraone w postaci

( )22 /1

)(CLR

LUU L

ωω

ωω

−+= (6.12)

( )22 /1

)(CLRC

UUC

ωωωω

−+= (6.13)

Na rys. 6.4 przedstawiono przykładowe charakterystyki czstotliwociowe amplitudowe

napicia na cewce i kondensatorze w obwodzie RLC o podanych wczeniej parametrach przy

pulsacji rezonansowej równej jeden i dobroci obwodu 55,0=Q .

Rys. 6.4 Charakterystyki amplitudowe napicia na cewce i kondensatorze

Jak wida dla czstotliwoci rezonansowej obwodu napicia na reaktancjach s sobie równe.

Charakterystyki fazowe napi na cewce i kondensatorze, jak wynika ze wzorów

(6.10) i (6.11) róni si od charakterystyki fazowej prdu tylko o warto 2/π i s

przesunite na osi pionowej bd w dół bd w gór. Łatwo pokaza, e s one okrelone

nastpujco

124

• Charakterystyka fazowa napicia cewki

R

CLL

ωωπωϕ /1arctg

2)(

−−= (6.14)

• Charakterystyka fazowa napicia kondensatora

R

CLC

ωωπωϕ /1arctg

2)(

−−−= (6.15)

Kształt charakterystyk fazowych napicia na cewce i kondensatorze jest identyczny z

charakterystyk fazow prdu. Jedynym wyjtkiem jest przesunicie tych charakterystyk w

osi pionowej o warto kta równ o90± .

Ogromny wpływ na charakterystyki czstotliwociowe zarówno amplitudow jak i

fazow wywiera dobro obwodu. Im wysza jest dobro tym charakterystyka prdu w funkcji

czstotliwoci jest bardziej stroma. Zmniejszenie dobroci powoduje spłaszczenie

charakterystyki prdu (gorsza selektywno obwodu rezonansowego).

Rys. 6.5 Ilustracja wpływu dobroci na charakterystyk amplitudow prdu

Rys. 6.5 przedstawia wpływ dobroci na charakterystyk amplitudow prdu przy stałej

wartoci amplitudy napicia zasilajcego. Im wiksza dobro tym charakterystyka

amplitudowa jest bardzie stroma i wsza.

125

Na rys. 6.6 zilustrowano wpływ dobroci na charakterystyki amplitudowe napicia

cewki i kondensatora dla tych samych wartoci czstotliwoci rezonansowej i dobroci jak na

rys. 6.6.

Rys. 6.6 Charakterystyki amplitudowe napicia na cewce i kondensatorze

Zaobserwowa mona pojawienie si maksimum w charakterystyce zarówno napicia

cewki jak i kondensatora. Łatwo mona udowodni, e punkt maksymalny obu charakterystyk

pojawia si jedynie przy dobrociach obwodu wikszych ni 2

1. Dobro

21=Q odpowiada

najbardziej płaskiemu przebiegowi charakterystyk amplitudowych.

Dla wprowadzenia nastpnego parametru obwodu rezonansowego, jakim jest

rozstrojenie bezwzgldne, napiszmy wyraenie na napicie rezystora R w postaci

)/1(

)(CLjR

RU

U R

ωωω

−+= (6.16)

któr przekształcimy nastpujco

jarctgxR exU

U −

+=

21

1)(ω (6.17)

Wielko

126

R

CLRX

xωω /1−== (6.18)

nosi nazw rozstrojenia bezwzgldnego obwodu rezonansowego RLC. Rozstrojenie

bezwzgldne jest proporcjonalne do wartoci całkowitej reaktancji obwodu przy okrelonej

czstotliwoci. Rozstrojenie jest równe zeru tylko dla punktu rezonansowego. Rozstrojenie

bezwzgldne jest pewnego rodzaju wskanikiem odstrojenia obwodu od rezonansu.

Przyjmuje wartoci z przedziału (-∞, ∞).

Stopie odstrojenia pulsacji od wartoci rezonansowej okrela poza rozstrojeniem

bezwzgldnym, równie rozstrojenie wzgldne, definiowane za pomoc wzoru

ωω

ωωδ r

r

−= (6.19)

Mona łatwo pokaza, e rozstrojenie bezwzgldne x obwodu RLC jest powizane z

rozstrojeniem wzgldnym δ relacj

R

Qxδρδ == (6.20)

Zaleno ta wskazuje, e przy tym samym rozstrojeniu bezwzgldnym x w obwodzie

o wikszej dobroci Q wystpuje mniejsze rozstrojenie wzgldne. W wikszoci zastosowa

charakterystyki rezonansowe obwodu wykorzystywane s w bliskim otoczeniu pulsacji

rezonansowej. W takich warunkach mona zastosowa nastpujce przyblione wzory na

rozstrojenie wzgldne i bezwzgldne

r

r

r

rrr

r ωωω

ωωωωωω

ωω

ωωδ

−≅

−+=−= 2

))(( (6.21)

QQx 2≅= δr

r

ωωω −

(6.22)

Istotnym parametrem obwodu rezonansowego jest pasmo przepustowe. Pasmem

przepustowym (przepuszczania) szeregowego obwodu rezonansowego RLC nazywamy

127

przedział czstotliwoci (f1, f2) w otoczeniu czstotliwoci rezonansowej fr, na kracach

którego warto skuteczna sygnału napicia na rezystorze R w obwodzie jest równa 2

UU R =

(spadek wartoci charakterystyki logarytmicznej UUR

10log20 o 3dB w stosunku do wartoci

maksymalnej). Jest to tak zwane pasmo 3 decybelowe. Oznacza to, e w pamie

przepustowym zachodzi zaleno

2

1≥U

U R (6.23)

Mona udowodni, e 3 decybelowe pasmo przepustowe (f2-f1) obwodu rezonansowego

okrelone jest zalenoci

Qf

ff r=− 12 (6.24)

Im wysza dobro Q obwodu tym jest ono wsze, natomiast zmniejszenie dobroci obwodu

rozszerza to pasmo.

Zjawiska w obwodzie rezonansowym odgrywaj wan rol w technice przetwarzania

sygnałów. Układy rezonansowe wchodz w skład zarówno generatorów harmonicznych jak i

filtrów elektrycznych i elektronicznych. Dziki właciwoci przenoszenia lub tłumienia

sygnałów w okrelonym pamie czstotliwoci wykorzystuje si je jako układy dostrajajce w

radioodbiornikach i telewizorach. W liniach teletransmisyjnych układy rezonansowe

umoliwiaj przekazywanie wielu sygnałów za pomoc jednej linii przesyłowej przy

zastosowaniu rónych czstotliwoci.

6.2 Rezonans równoległy

Rezonans prdów zwany równie rezonansem równoległym moe wystpi w obwodzie

zawierajcym połczenie równoległe elementów RLC. Istnieje wiele struktur obwodów, w

których moe powsta rezonans prdów. Warunkiem jest pojawienie si równoległego

połczenia cewki i kondensatora, przy czym zarówno cewka jak i kondensator moe by w

układzie połcze z innymi elementami rezystancyjnymi.

128

6.2.1 Zalenoci podstawowe rezonansu prdów

Na rys. 6.7 przedstawiono przykładowy najprostszy obwód rezonansu równoległego RLC.

Rys. 6.7 Obwód rezonansowy równoległy RLC

Podobnie jak w przypadku obwodu szeregowego przyjmiemy wymuszenie sinusoidalne o

zmiennej czstotliwoci, ale tym razem załoymy je w postaci ródła prdowego

)sin()( tIti m ω= . Wykorzystujc w opisie obwodu metod symboliczn równanie prdowe

Kirchhoffa dla tego obwodu przyjmie posta

( )[ ]LCjGULjUCUjGUIIII CLR ωωωω /1/ −+=−+=++= (6.25)

Warunkiem rezonansu równoległego jest przyjcie przez kt fazowy midzy prdem I oraz

napiciem U wartoci równej zeru. Nastpi to wtedy, gdy cz urojona zalenoci (6.25)

przyjmie warto zerow, czyli gdy

LCL

C11 =→= ω

ωω (6.26)

Warunek powyszy bdzie spełniony, gdy czstotliwo zasilania przyjmie warto

czstotliwoci rezonansowej okrelonej zalenoci

LC

fr π21= (6.27)

129

Jak wida czstotliwo rezonansowa w obwodzie równoległym z rys. 6. 7 jest okrelona

identycznym wzorem jak w obwodzie szeregowym RLC. W odrónieniu od obwodu

szeregowego w obwodzie równoległym dobroci nazywamy stosunek prdu LI lub CI (s

sobie równe w chwili rezonansu) do prdu RI w elemencie rezystancyjnym RI

GLG

CI

I

I

IQ

r

r

R

C

R

L

ωω 1==== (6.28)

Po uwzgldnieniu RG /1= i wzoru (6.27) na czstotliwo rezonansow otrzymuje si

relacj okrelajc dobro równoległego obwodu rezonansowego RLC o strukturze

przedstawionej na rys. 6.7 w postaci

CL

RQ = (6.29)

Tym razem dobro obwodu jest wprost proporcjonalna do wartoci rezystancji a odwrotnie

proporcjonalna do rezystancji charakterystycznej. Dobro obwodu wzrasta wic ze wzrostem

wartoci rezystancji, odwrotnie ni to miało miejsce w obwodzie rezonansu szeregowego

(przy wikszej rezystancji równoległej płynie przez ni mniejszy prd upływnociowy).

6.2.2 Charakterystyki czstotliwociowe obwodu rezonansowego równoległego

Dobro Q, podobnie jak w obwodzie rezonansu szeregowego, ma ogromny wpływ na

charakterystyki czstotliwociowe obwodu RLC. Zauwamy, e z równania (6.25) mona

wyznaczy napicie na elementach R, L, C w postaci

( ) )()(/1

ωϕωωω

ω jeULjCjG

IU =

−+= (6.30)

w którym )(ωU oznacza moduł napicia a )(ωϕ - faz uzalenion od czstotliwoci prdu

zasilajcego. Wielkoci te opisane s nastpujc funkcj

130

( )22 /1

)(LCG

IU

ωωω

−+= (6.31)

G

LC ωωωϕ /1arctg)(

−−= (6.32)

Na rys. 6.8a przedstawiono charakterystyk modułu napicia (charakterystyk amplitudow) a

rys. 6.8b wykres fazy napicia (charakterystyk fazow) w funkcji pulsacji ω dla obwodu

rezonansowego o 1=rω i dobroci Q=0,6.

Rys. 6.8 Charakterystyka amplitudowa (a)

i fazowa (b) napicia w obwodzie równoległym RLC

W punkcie rezonansowym (czstotliwo zasilania równa czstotliwoci rezonansowej)

charakterystyka amplitudowa przyjmuje warto maksymaln a faza warto zerow.

Charakterystyki te s analogiczne do charakterystyk dla obwodu szeregowego przy

uwzgldnieniu formalnych zmian wystpujcych we wzorach (prd w obwodzie szeregowym

odpowiada napiciu na połczeniu równoległym elementów). Zmiana kształtu charakterystyk

czstotliwociowych obwodu równoległego na skutek zmian dobroci jest równie identyczna

131

jak miało to miejsce w obwodzie szeregowym RLC. Odpowiednikiem napicia na elementach

L i C w obwodzie szeregowym jest prd tych elementów w obwodzie równoległym.

Zachowanie si tych charakterystyk w funkcji pulsacji wynika z prawa Ohma dla cewki i

kondensatora, to jest

)()( ωωω CUjIC =

oraz

LjUIL ωωω /)()( −=

Ograniczajc si jedynie do charakterystyk amplitudowych mona łatwo wykaza, e

charakterystyki te opisuj si nastpujcymi wzorami

( )22 /1

)(LCG

CIIC

ωω

ωω

−+= (6.33)

( )22 /1

)(LCGL

IIL

ωωωω

−+= (6.34)

Na rys. 6.9 przedstawiono charakterystyki amplitudowe prdu cewki i kondensatora w funkcji

pulsacji dla dobroci 2

1<Q wynikajce z relacji (6.33) i (6.34).

Rys. 6.9 Charakterystyki amplitudowe prdu cewki i kondensatora

132

Zmiana dobroci obwodu wpływa w zasadniczy sposób na przebieg tych charakterystyk.

Mona łatwo udowodni, e dla dobroci 2

1>Q pojawiaj si punkty ekstremalne

(maksima) w obu charakterystykach, podobnie jak przy rezonansie szeregowym, przy czym

wystpuje przesunicie tych maksimów wzgldem punktu rezonansowego. Przesunicie to

maleje wraz ze zwikszaniem si dobroci. Przy dobroci 2

1≤Q punkty ekstremalne w obu

charakterystykach nie wystpuj a przebieg charakterystyk amplitudowych staje si

monotoniczny.

Rezonans równoległy podobnie jak szeregowy ma głównie zastosowanie w układach

filtrów i generatorów, gdzie pełni rol układu wzmacniajcego sygnały w okrelonym

zakresie czstotliwoci i tłumicego w pozostałym.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 6.1

Okreli warunek rezonansu w obwodzie przedstawionym na rys. 6.10 przy załoeniu

wymuszenia sinusoidalnego. Wyznaczy czstotliwo, przy której w obwodzie nastpi

rezonans. Przyj nastpujce znormalizowane wartoci parametrów obwodu: R=10Ω, L=1H

oraz C=1F.


Rozwizanie

Impedancja zastpcza obwodu okrelona jest wzorem

2

2

2

3

10010099

100101

ωω

ωω

ωω

ω +−+

+=

++−= j

LjRLRj

CjZ

133

Warunek rezonansu:

0100990)Im( 2 =−→= ωZ

Std czstotliwo, przy której wystpi rezonans jest okrelona wzorem

99100=rω

6Hz1,099

10021 ==πrf

Zadanie 6.2

Wyznaczy pojemno C, przy której w obwodzie z rys. 6.11 zachodzi rezonans szeregowy.


Wymuszenie w obwodzie dane jest w postaci )4000sin(250)( tte = . W warunkach

rezonansu wyznaczy prdy i napicia w obu obwodach. Przyj nastpujce wartoci

parametrów obwodu: R=1000Ω, L=0,25H, L1=0,5H.

Rozwizanie

Impedancja zastpcza obwodu okrelona jest wzorem

CjLj

CjLj

RLjRLj

Z

ωω

ωω

ωω

1

1

1

1

−

−+

+=

134

Po wstawieniu wartoci parametrów otrzymuje si

110414001016

11048001032

11041000

400800 6

8

6

8

6 −⋅−⋅+

−⋅−⋅=

−⋅−+=

CC

jC

CC

jjZ

Jak z powyszego wzoru wynika, w obwodzie moliwy jest zarówno rezonans szeregowy jak

i równoległy. W przypadku rezonansu szeregowego wymaganego w treci zadania warunek

jest nastpujcy

0140010160)Im( 8 =−⋅→= CZ

Std

nF8751016

14008 =

⋅=C

W warunkach rezonansu poszczególne impedancje obwodu wynosz

400800 jZRL +=

400jZ LC −=


AZZ

EI

LCRL

0625,0=+

=

2550 jIZU RLRL +==

025,00125,01

1 jLj

UI RL

L −==ω

jIZU LCLC 25−==

025,0−==Lj

UI LC

L ω

0875,0=−

=

Cj

UI LC

C

ω

025,005,0 jR

UI RL

R +==

163

Lekcja 7. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniu niesinusoidalnym

Wstp

W tej lekcji zajmiemy si analiz obwodów liniowych RLC w stanie ustalonym przy

wymuszeniach okresowych niesinusoidalnych. Odpowiedzi takich obwodów s w ogólnoci

równie funkcjami okresowymi niesinusoidalnymi. Wiele urzdze elektrycznych generuje

sygnały okresowe o kształcie rónicym si od sinusoidy. Mog to by prostowniki diodowe

lub tyrystorowe, transformatory przecione pracujce w zakresie nieliniowoci krzywej

magnesowania, generatory uniwersalne napi prostoktnych, piłokształtnych itp. Okresowe

przebiegi niesinusoidalne nazywa bdziemy równie odkształconymi, uznajc przebiegi

sinusoidalne za najbardziej elementarne przebiegi okresowe.

Istnieje konieczno opracowania metodyki analizy obwodów zawierajcych sygnały

niesinusoidalne. Podstawowym problemem w analizie tych obwodów jest wyraenie

przebiegów niesinusoidalnych poprzez funkcje sinusoidalne, dla których analiza jest bardzo

prosta. Metod powszechnie stosowan jest rozwinicie funkcji czasowych opisujcych

przebieg niesinusoidalny w szereg Fouriera.

Zostanie pokazane, e dowolne okresowe wymuszenie róne od sinusoidalnego moe by

przedstawione jako suma wielu wymusze harmonicznych (sinusoidalnych) o

czstotliwociach bdcych wielokrotnoci czstotliwoci podstawowej. Rozwinicie

szeregu Fouriera zostanie zaprezentowane tutaj w postaci trygonometrycznej oraz

wykładniczej. Wprowadzone zostanie twierdzenie Parsevala, pozwalajce wyrazi warto

redni za okres iloczynu dwu funkcji okresowych poprzez współczynniki rozwinicia

wykładniczego Fouriera obu funkcji. Podane zostan wzory na warto skuteczn przebiegów

niesinusoidalnych oraz na moce wystpujce w obwodzie o przebiegach niesinusoidalnych.

Wprowadzone zostanie nowe pojcie mocy – moc odkształcenia (deformacji). Poznamy

metod analizy obwodów ze ródłami niesinusoidalnymi w stanie ustalonym przy

zastosowaniu zasady superpozycji.

164

7.1. Szereg Fouriera

7.1.1. Wprowadzenie

Zgodnie z twierdzeniem Fouriera funkcj okresow f(t) o okresie T (czstotliwo f=1/T)

mona przedstawi w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji

sinusoidalnych o czstotliwociach kf jeli funkcja ta spełnia tak zwane warunki Dirichleta.

Niech dana bdzie funkcja okresowa f(t) okrelona w przedziale 0-T, gdzie T oznacza

okres tej funkcji. Załómy, e funkcja ta spełnia warunki Dirichleta, to znaczy, e w

przedziale 0-T jest bezwzgldnie całkowalna, czyli

∞< dttfT

)( (7.1)

ma skoczon liczb maksimów i minimów a w przedziale 0-T co najwyej skoczon liczb

punktów niecigłoci tk, przy czym w kadym punkcie niecigłoci istniej skoczone granice

prawostronna i lewostronna a warto funkcji w tym punkcie przyjmuje si jako redni

arytmetyczn granicy lewo- i prawostronnej, to jest

[ ])()(21

)( +− += kkk tftftf (7.2)

7.1.2. Posta trygonometryczna szeregu Fouriera

Kada funkcja okresowa spełniajca wymienione warunki Dirichleta moe by wyraona za

pomoc nieskoczonego, zbienego szeregu Fouriera. Suma tego szeregu dla dowolnego

punktu czasu t jest równa wartoci funkcji f(t), co znaczy

)sin()(1

0 kk

k tkFFtf ψω ++= ∞

= (7.3)

lub

[ ]∞

=

++=1

0 )sin()cos()(k

kk tkBtkAAtf ωω (7.4)

165

Szereg po prawej stronie równa (7.3) i (7.4) nazywa bdziemy szeregiem

trygonometrycznym Fouriera. W szeregu tym wyróni naley nastpujce parametry

k - rzd harmonicznej (k = 1, 2, 3,...)

kF - amplituda k-tej harmonicznej

00 AF = - składowa stała przebiegu

kψ - faza pocztkowa k-tej harmonicznej

T

fππω 2

2 == - pulsacja harmonicznej podstawowej

)sin( 11 ψω +tF - podstawowa harmoniczna przebiegu

)sin( kk tkF ψω + - k-ta harmoniczna przebiegu (k = 1, 2, 3, ...)

Naley podkreli, e czstotliwo harmonicznej podstawowej jest identyczna z

czstotliwoci przebiegu niesinusoidalnego f(t). Czstotliwoci kolejnych harmonicznych s

wielokrotnoci czstotliwoci harmonicznej podstawowej, czyli ωω kk = . Współczynniki

rozwinicia trygonometrycznego Fouriera wyznacza si z nastpujcych wzorów

+

=0

0

)(1

0

tT

t

dttfT

A (7.5)

+

=0

0

)cos()(2 tT

tk dttktf

TA ω (7.6)

dttktfT

BtT

tk

+

=0

0

)sin()(2 ω (7.7)

Chwila czasowa t0 moe by wybrana dowolnie a jej wybór nie ma wpływu na wynik

transformacji. Obie postacie szeregu Fouriera (7.3) i (7.4) s sobie równowane, jeli

spełnione s nastpujce warunki

22kkk BAF += (7.8)

166

k

kk B

Aarctg=ψ (7.9)

W ogólnoci szereg Fouriera zawiera nieskoczenie wiele harmonicznych. W praktyce

wikszo harmonicznych maleje do zera przy zwikszajcym si rzdzie tych

harmonicznych. Std w obliczeniach uwzgldnia si jedynie niewielk liczb tych

harmonicznych uzyskujc zadowalajce przyblienie. Metod rozkładu przebiegu

niesinusoidalnego na szereg Fouriera zilustrujemy na przykładzie przebiegu prostoktnego.

Przykład 7.1

Wyznaczy rozwinicie Fouriera dla przebiegu prostoktnego okresowego o okresie T

przedstawionego na rys. 7.1

Rys. 7.1. Przebieg prostoktny okresowy

Rozwizanie

Dla przebiegu podanego na rys. 7.1 pulsacja T/2πω = . Poszczególne współczynniki

rozwinicia trygonometrycznego Fouriera opisane s wzorami

TT

AAdtT

dttfT

AT

T

T

T

12/

2/0 2

1)(

1 1

1

=== −−

)2sin(2

)cos(2

)cos()(2 1

2/

2/

1

1TT

kk

AdttkA

Tdttktf

TA

T

T

T

Tk ⋅

⋅===

−−

ππ

ωω

0)sin(2

)sin()(2 1

1

2/

2/

=== −−

T

T

T

Tk dttkA

Tdttktf

TB ωω

167

Z uzyskanych wzorów na współczynniki Fouriera wynika, e zadany przebieg czasowy

prostoktny opisa mona w postaci nieskoczonej sumy harmonicznych o postaci

∞

=

⋅+=

1

11 )cos()2sin(2

2)(k

tkTT

kk

ATT

Atf ωππ

Wyraenie o postaci sinusoidalnej stojce przy cos(kt) oznacza amplitud k-tej

harmonicznej. Jak wida warto tej amplitudy maleje wraz ze wzrostem k. W ogólnym

przypadku przy dowolnej wartoci T1 rozwinicie w szereg Fouriera zawiera moe

wszystkie harmoniczne, przy czym amplitudy tych harmonicznych s modulowane funkcj

sinusoidaln.

Szczególnie prost form przyjmuje rozwinicie w szereg Fouriera przy wypełnieniu

impulsów prostoktnych w stosunku 1:1. Wtedy 4/1 TT = a rozwinicie f(t) upraszcza si do

postaci

...)7cos(72

)5cos(52

)3cos(32

)cos(2

2)( +−+−+= t

At

At

At

AAtf ω

πω

πω

πω

π

W tym przypadku szereg Fouriera zawiera jedynie harmoniczne nieparzyste a amplituda k-tej

harmonicznej jest k-krotnie mniejsza ni harmonicznej podstawowej. Kolejne składniki

rozwinicia róni si znakiem (znak minus odpowiada wprowadzeniu przesunicia fazowego

o kt 180o). Rys. 7.2 przedstawia wykres amplitudy i fazy poszczególnych składowych

rozkładu Fouriera (w przypadku fazy przyjto

+=2

sincosπωω tt ).

168

Rys. 7.2. Wykres amplitudy (a) i fazy (b) składowych rozkładu Fouriera

Rozkład przebiegu niesinusidalnego na składowe harmoniczne oznacza jego

aproksymacj poprzez nieskoczon sum składników. Kade ograniczenie tej sumy do

liczby skoczonej wprowadza pewien błd aproksymacji, a wic przyblienie przebiegu

rzeczywistego przez funkcje aproksymujce. Na rys. 7.3 przedstawiono efekty przybliania

przebiegu prostoktnego przez ograniczon sum harmonicznych przy coraz wikszej ich

liczbie uwzgldnianej w aproksymacji (N=2, N=3, N=4 uwzgldniajc składow zerow).

Rys. 7.3. Przyblienie impulsu prostoktnego przez skoczon sum harmonicznych

Jak wida pomimo uwzgldnienia w rozwiniciu jedynie 4 harmonicznych przyblienie jest

do dokładne i odzwierciedla podstawowy kształt impulsu. Zwikszenie liczby

harmonicznych uwzgldnione w sumie zwiksza dokładno odwzorowania impulsu.

169

7.1.3. Posta wykładnicza szeregu Fouriera

W pewnych zastosowaniach posta trygonometryczna (7.3) szeregu Fouriera nie jest

wystarczajca i dlatego wprowadza si komplementarn posta wykładnicz, bdc

rozwiniciem funkcji trygonometrycznych w funkcje wykładnicze. Korzysta si przy tym z

definicji funkcji sinusoidalnej i cosinusoidalnej, zgodnie z którymi

jee

ttjtj

2)sin(

ωω

ω−−= (7.10)

2

)cos(tjtj ee

tωω

ω−+= (7.11)

Po zastosowaniu elementarnych przekształce wzoru (7.4) otrzymuje si

∞

=

−∞

=

++

−+=

110 22

)(k

tjkkktjk

k

kk ejBA

ejBA

Atf ωω (7.12)

Wprowadmy oznaczenia

2

kkk

jBAX

−= (7.13)

oraz

2

kkk

jBAX −−

−−

= (7.14)

Ze wzgldu na parzysto funkcji cosinusoidalnej i nieparzysto funkcji sinusoidalnej

słuszne s nastpujce równoci

kk AA −= (7.15)

kk BB −−= (7.16)

170

Oznacza to,e

*

2 kkk

k XjBA

X =+

=− (7.17)

gdzie znak * oznacza sprzenie liczby zespolonej. Uwzgldnienie tej zalenoci we wzorze

(7.12) prowadzi do wyniku

−∞

−=

∞

=

++=11

0)(k

tjkk

tjk

kk eXeXAtf ωω (7.18)

który moe zosta zapisany w skrócie jako

tjk

kk

keXAtf ω∞

≠−∞=

+=0

0)( (7.19)

Jest to tak zwana posta wykładnicza szeregu Fouriera, w której wartoci współczynników

rozwinicia Xk s zespolone w odrónieniu od rzeczywistych wartoci współczynników

szeregu trygonometrycznego. Współczynniki te mog by otrzymane z rozwinicia

trygonometrycznego bd bezporednio z relacji

+

−=Tt

t

tjkk dtetf

TX

0

0

)(1 ω (7.20)

Wykres kX okrelony dla dyskretnych wartoci k reprezentujcych sob dyskretne

czstotliwoci nazywany jest widmem amplitudowym funkcji f(t). Ze wzgldu na to, e

współczynniki rozwinicia wykładniczego spełniaj warunek kk XX −= , widmo

amplitudowe jest symetryczne wzgldem osi rzdnych (wartoci widma amplitudowego dla

dodatnich i ujemnych czstotliwoci s identyczne). Z kolei wykres kk XX argarg −=− , czyli

widmo fazowe jest symetryczne wzgldem pocztku układu współrzdnych (wartoci kta

fazowego dla czstotliwoci ujemnych s przeciwne wzgldem tych samych wartoci dla

czstotliwoci dodatnich).

171

Rozwinicie funkcji f(t) w posta wykładnicz oznacza rozkład energii sygnału w zakresie

czstotliwoci dodatniej i ujemnej. Jeli rzeczywista warto amplitudy k-tej harmonicznej

wynosi Ak, to k-ty prek widma amplitudowego szeregu wykładniczego Fouriera przyjmie

warto 2

kA dla czstotliwoci dodatniej i identyczn warto dla czstotliwoci ujemnej.

Przykład 7.2

Wyznaczy posta wykładnicz szeregu Fouriera, jeli

)5sin(12)3cos(7)sin(5)cos(105)( tttttf ωωωω ++++=

Rozwizanie

Dla uzyskania postaci wykładniczej szeregu Fouriera skorzystamy z zalenoci definicyjnych

funkcji sinusoidalnej i kosinusoidalnej: jee

ttjtj

2)sin(

ωω

ω−−= ,

2)cos(

tjtj eet

ωω

ω−+= . Po

wstawieniu tych zalenoci do szeregu Fouriera otrzymujemy

jeeee

jeeee

tftjtjtjtjtjtjtjtj

212

27

25

2105)(

5533 ωωωωωωωω −−−− −+++−+++=

Uwzgldniajc, e 2/πjej = i grupujc odpowiednie składniki otrzymujemy

tjjtjtjtjtjtjj eeeejejeeetf ωπωωωωωπ 52/3352/ 627

)5,25(5)5,25(27

6)( −−−− ++−+++++=

Po sprowadzeniu liczb zespolonych do postaci wykładniczej otrzymuje si nastpujc posta

wykładnicz szeregu Fouriera

tjjtjtjjtjjtjtjj eeeeeeeeeetfoooo ωωωωωω 59035,265,263590 65,36,556,55,36)( −−−−− ++++++=

Charakterystyka amplitudowa szeregu wykładniczego Fouriera opisujcego funkcj f(t)

przedstawiona jest na rys. 7.4a, natomiast charakterystyka fazowa na rys. 7.4b.

172

Rys. 7.4 Charakterystyka amplitudowa (a) i fazowa (b) szeregu wykładniczego Fouriera

opisujcego funkcj f(t) z przykładu

Czstotliwo zmienia si w zakresie od ∞− do ∞ . Prki amplitudowe i fazowe zostały

rozłoone w sposób symetryczny w obu zakresach, przy czym charakterystyka amplitudowa

jest funkcj parzyst a charakterystyka fazowa - nieparzyst. Energia sygnału utosamiona z

amplitud została zatem rozdzielona na dwie równe czci. Amplituda k-tej harmonicznej jest

równa podwojonej wartoci amplitudy k-tego prka z zakresu dodatniego lub ujemnego.

7.1.4 Twierdzenie Parsevala

Rozpatrzmy dwie funkcje f(t) i g(t) o tym samym okresie T spełniajce warunki Dirichleta.

Przedstawmy je w postaci wykładniczej Fouriera

tjk

kk eftf ω

∞

−∞=

=)( (7.21)

tjk

kk egtg ω

∞

−∞=

=)( (7.22)

173

w której pulsacja podstawowa ω jest okrelona poprzez okres funkcji Tπω 2= . Przy takich

załoeniach twierdzenie Parsevala mona sformułowa nastpujco.

Twierdzenie Parsevala

Jeli funkcje f(t) i g(t) s okresowe o tym samym okresie T i obie spełniaj warunki

Dirichleta, to warto rednia z iloczynu tych funkcji za okres okrelona jest zalenoci

+ ∞

−∞=

∞

−∞=

===Tt

t kkk

kkk fggfdttgtf

Ttgtf

0

0

**)()(1

)()( (7.23)

w której kf i kg oznaczaj rozwinicie wykładnicze funkcji zadanych f(t) i g(t) a znak *

oznacza operacj sprzenia liczby zespolonej.

Twierdzenie Parsevala okrela warto redni za okres iloczynu dwu funkcji

okresowych f(t) i g(t) o tym samym okresie. Z twierdzenia wynika, e warto redni tworz

jedynie iloczyny składników rozkładu wykładniczego o tym samym rzdzie. Składniki sumy

pochodzce od iloczynów składowych rónego rzdu s równe zeru. W szczególnym

przypadku gdy f(t)=g(t) wzór Parsevala upraszcza si do postaci

+ ∞

−∞=

=Tt

t kkfdttf

T

0

0

22 )(

1 (7.24)

gdy mnoenie liczby zespolonej przez sprzon oznacza kwadrat modułu liczby zespolonej, 2*

kkk fff = . Ostatni wzór wie si bezporednio z obliczeniem wartoci skutecznej

przebiegu niesinusidalnego, rozwinitego w szereg Fouriera.

7.2 Warto skuteczna napicia i prdu niesinusoidalnego

W przypadku analizy obwodów o przebiegach niesinusoidalnych okresowych sygnał prdu i

napicia w obwodzie przedstawiany jest zwykle w postaci szeregu trygonometrycznego

Fouriera

174

)sin()( 0 kk

km tkUUtu ψω ++= (7.25)

)sin()( 0 kkk

km tkIIti ϕψω −++= (7.26)

w których kmU oraz kmI s amplitudami k-tej harmonicznej odpowiednio napicia u(t) i prdu

i(t). kΨ jest faz pocztkow k-tej harmonicznej a kϕ jest ktem przesunicia fazowego k-tej

harmonicznej prdu wzgldem k-tej harmonicznej napicia.

Korzystajc z twierdzenia Parsevala mona udowodni, e warto skuteczna

przebiegu składajcego si z sumy wielu harmonicznych moe by obliczona na podstawie

wartoci skutecznych kadej harmonicznej z osobna. Biorc pod uwag zaleno (7.24) i

uwzgldniajc relacj midzy wartoci maksymaln i skuteczn mona pokaza, e warto

skuteczna przebiegu niesinusoidalnego jest pierwiastkiem z sumy kwadratów wartoci

skutecznych poszczególnych harmonicznych. W przypadku napicia i prdu opisanych

zalenociami (7.25) i (7.26) wzory na moduł wartoci skutecznej przyjmuj posta

...2

22

12

02 +++== UUUUU

kk (7.27)

...2

22

12

02 +++== IIIII

kk (7.28)

w której kU oraz kI oznaczaj wartoci skuteczne odpowiednio napicia i prdu k-tej

harmonicznej. Warto skuteczna (moduł) napicia i prdu niesinusoidalnego jest równa

pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów modułów wartoci skutecznych wszystkich

harmonicznych oraz składowej stałej.

W przypadku wystpienia w przebiegu wielu harmonicznych wanym wskanikiem

odkształcenia tego przebiegu od sinusoidy jest współczynnik zawartoci harmonicznych h.

Współczynnik ten definiuje si jako stosunek wartoci skutecznej przebiegu f(t) po usuniciu

z niego składowej stałej i pierwszej harmonicznej do wartoci skutecznej przebiegu po

usuniciu z niego jedynie składowej stałej. Przy oznaczeniu wartoci skutecznych

odpowiednich harmonicznych przez Fk wzór na współczynnik zawartoci harmonicznych

mona zapisa w postaci

175

...

...2

32

22

1

24

23

22

+++

+++=

FFF

FFFh (7.29)

Jeli badany przebieg zawiera jedynie składow podstawow (pierwsz) to jak łatwo

zauway współczynnik zawartoci harmonicznych jest równy zeru, co oznacza brak

odkształcenia krzywej od postaci sinusoidalnej.

7.3. Moc przy przebiegach niesinusoidalnych

Niezalenie od charakteru zmiennoci w czasie przebiegów prdu i napicia moc

chwilowa w obwodzie jest wyraona tym samym wzorem p(t)=u(t)i(t). Korzystajc z tej

zalenoci oraz uwzgldniajc twierdzenie Parsevala wyraajcego iloczyn dwu sum

harmonicznych mona udowodni, e moc czynna P jako warto rednia z iloczynu prdu i

napicia w obwodzie

=T

dttituT

P0

)()(1

(7.30)

przy wystpieniu wielu harmonicznych jest równa sumie mocy czynnych poszczególnych

harmonicznych, włczajc w to składow stał

∞

=

+=1

00 cosk

kkk IUIUP ϕ (7.31)

Analogicznie jak dla przebiegów sinusoidalnych równie przy przebiegach odkształconych

istnieje pojcie mocy biernej, jako sumy mocy biernych pochodzcych od poszczególnych

harmonicznych, czyli

∞

=

=1

sink

kkk IUQ ϕ (7.32)

176

Analogicznie do obwodów z przebiegami sinusoidalnymi równie dla przebiegów

niesinusoidalnych wprowadza si pojcie modułu mocy pozornej jako iloczynu wartoci

skutecznej napicia odkształconego przez warto skuteczn prdu odkształconego, czyli

⋅==k

kk

k IUIUS22

(7.33)

Naley zaznaczy, e tak zdefiniowana wielko oznacza moduł mocy pozornej a nie moc

pozorn zespolon. Z porównania wzorów (7.31), (7.32) i (7.33) wynika, e w odrónieniu od

przebiegów sinusoidalnych suma kwadratów mocy czynnej i mocy biernej nie jest równa

kwadratowi mocy pozornej. Dla zachowania bilansu mocy wprowadza si w zwizku z tym

nowy rodzaj mocy, zwanej moc odkształcenia lub deformacji. Moc t oznacza bdziemy

liter D. Jej warto musi by tak dobrana aby wszystkie rodzaje mocy bilansowały si. W

zwizku z powyszym przyjto nastpujcy zwizek midzy poszczególnymi rodzajami mocy

2222DQPS ++= (7.34)

Oznacza to, e moc deformacji definiuje równanie

222PQSD −−= (7.35)

Stosunek mocy czynnej do mocy pozornej nazywamy, przez analogi do przebiegów

sinusoidalnych, współczynnikiem mocy i okrelamy wzorem

SP=υcos (7.36)

Współczynnik mocy obwodu przy wymuszeniu niesinusoidalnym tylko z definicji

przypomina współczynnik mocy obwodu przy wymuszeniu harmonicznym. W rzeczywistoci

jego interpretacja jest pozbawiona sensu fizycznego jak posiada ϕcos .

177

7.4. Metodyka rozwizania obwodów przy wymuszeniu niesinusoidalnym

W przypadku wystpienia w obwodzie RLC wymuszenia niesinusoidalnego obliczenie

odpowiedzi w stanie ustalonym musi uwzgldni fakt istnienia wielu harmonicznych

(teoretycznie nieskoczenie wielkiej liczby) rónicych si czstotliwoci. Załómy, e do

obwodu RLC przyłoono okresowe napicie niesinusoidalne u(t) jak to przedstawiono na rys.

rys. 7.5.

a) b)

Rys. 7.5. Ilustracja zastosowania zasady superpozycji przy rozwizywaniu obwodów o

wymuszeniu napiciowym niesinusoidalnym: a) obwód o wymuszeniu niesinusoidalnym,

b) superpozycja obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym

Napicie to mona przedstawi w sposób przybliony za pomoc skoczonej sumy n

harmonicznych

)(...)()()()sin()( 32101

0 tutututuUtkUUtu nk

n

kkm +++++=++=

=

ψω (7.37)

w której n jest najwiksz wartoci harmonicznej uwzgldnionej w rozwiniciu Fouriera.

Wobec liniowoci obwodu mona zastosowa zasad superpozycji i obliczy prdy od

poszczególnych ródeł oddzielnie (rys. 7.5b). Przy wymuszeniu typu napiciowego ródła

eliminowane z obwodu zwiera si.

W przypadku wystpienia w obwodzie ródeł wymuszajcych prdowych

)(...)()()()sin()( 32101

0 titititiItkIIti nk

n

kkm +++++=++=

=

ψω (7.38)

178

postpuje si podobnie, analizujc obwód dla kadej harmonicznej oddzielnie (rys. 7.6).

Poniewa ródła harmoniczne typu prdowego s połczone równolegle eliminacja danego

ródła polega na rozwarciu jego zacisków.

a) b)

Rys. 7.6 Ilustracja zastosowania zasady superpozycji przy rozwizywaniu obwodów o

wymuszeniu prdowym niesinusoidalnym: a) obwód o wymuszeniu niesinusoidalnym,

b) superpozycja obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym

Naley przy tym pamita, e kade ródło ma inn czstotliwo, bdc

wielokrotnoci czstotliwoci podstawowej i wynoszc ωω kk = . Poniewa zarówno

reaktancja pojemnociowa )(kCX jak i indukcyjna )(k

LX jest funkcj czstotliwoci, zatem

reaktancje te dla harmonicznej rzdu k wynosz odpowiednio

Lk

L kXLkX == ω)( (7.39)

kXCkX Ck

C //1)( == ω (7.40)

gdzie LX L ω= jest reaktancj indukcyjn dla składowej harmonicznej podstawowej a

CX C ω/1= - reaktancj pojemnociow dla harmonicznej podstawowej. Dla kadej

harmonicznej wymuszenia naley przeprowadzi oddzieln analiz odpowiedniego obwodu

przy zastosowaniu jednej z poznanych wczeniej metod (metoda praw Kirchhoffa, oczkowa,

wzłowa, Thevenina itp.). Wynikiem analizy s wartoci prdów i napi poszczególnych

gałzi obwodu oraz odpowiednie moce: czynna i bierna dla kadej harmonicznej. Po

wyznaczeniu odpowiedzi dla kadej harmonicznej oddzielnie naley wyznaczy wypadkowe

wartoci skuteczne odpowiednich prdów i napi oraz mocy według wzorów podanych

179

wczeniej w tej lekcji. Sposób postpowania przy analizie obwodów z przebiegami

niesinusoidalnymi zostanie zilustrowany na przykładzie.

Przykład 7.3

Rozwamy schemat obwodu poddanego analizie przedstawiony na rys. 7.7. Przyjmijmy

nastpujce wartoci liczbowe parametrów obwodu: Ω= 11R , Ω= 22R , HL 11 = , HL 22 = ,

FC 4/11 = , FC 2/12 = . Wymuszenie napiciowe e(t) opisane jest sum harmonicznych

)2sin(210)sin(22010)( ttte ωω ++= V, przy czym 1=ω rad/s.


Rozwizanie

Ze wzgldu na istnienie w wymuszeniu trzech harmonicznych naley dokona trzech analiz

obwodu, za kadym razem zakładajc jedno wymuszenie i eliminujc pozostałe (wobec

wymuszenia napiciowego ródła eliminowane ulegaj zwarciu).

• Harmoniczna zerowa (składowa stała)

Harmoniczna zerowa przedstawia sob wymuszenie stałe (czstotliwo wymuszenia

zerowa). Oznacza to, e w tym przypadku impedancje cewek s równe zeru (Zl=jωL=0) a

impedancje kondensatorów równe nieskoczonoci (ZC=1/(jωC)=∞). Obwód dla

harmonicznej zerowej przedstawiony jest na rys. 7.8 (wszystkie cewki zwarte, kondensatory

rozwarte).

180

Rys. 7.8 Posta obwodu dla harmonicznej zerowej (składowej stałej)

Wobec przerwy w obwodzie prd składowej stałej nie moe płyn, std 0)0( =i oraz

0)0( =S , 100)0(

1 == EuC . Pozostałe prdy i napicia w obwodzie s zerowe. Wszystkie moce

obwodu wobec zerowych wartoci prdów s take równe zeru.

• Harmoniczna podstawowa

Schemat obwodu dla harmonicznej podstawowej jest identyczny ze schematem ogólnym

przedstawionym na rys. 7.7, z tym, e zamiast napicia e(t) uwzgldniona jest składowa

podstawowa )sin(220)(1 tte ω= . Przy jednostkowej pulsacji wymuszenia ω=1 reaktancje

indukcyjna i pojemnociowa obwodu dla harmonicznej podstawowej s odpowiednio równe:

11)1(

1 == LX L ω

22)1(2 == LX L ω

4/1 1)1(1 == CX C ω

2/1 2)1(2 == CX C ω

Impedancja połczenia równoległego elementów jest równa 22 == RZ r (rezonans

równoległy elementów). Kolejne obliczenia mona przedstawi w nastpujcej formie:

)1(2

45)1( 7,42411

20R

j Iejj

I ==+−+

=

45)1()1( 4,9 j

rAB eIZU ==

181

45

2

)1()1(2 7,4 j

L

ABL e

jXU

I −==

45

2

)1()1(2 7,4 j

C

ABC e

jXU

I −−=−

=

7,667,667,420 45)1(1

)1( jeIES j −=⋅== −∗

• Harmoniczna druga

Harmoniczna druga reprezentuje sob równie wymuszenie sinusoidalne o czstotliwoci

dwukrotnie wikszej ni czstotliwo podstawowa. Schemat obwodu dla tej harmonicznej

jest identyczny ze schematem ogólnym obwodu przedstawionym na rys. 7.7, z tym, e

zamiast napicia e(t) przyłoona jest jego druga składowa )2sin(210)(2 tte ω= . Przy

pulsacji wymuszenia harmonicznej drugiej 222 == ωω , reaktancje indukcyjna i

pojemnociowa dla harmonicznej drugiej s równe:

212)2(

1 == LX L ω

422)2(

2 == LX L ω

2/1 12)2(

1 == CXC ω

1/1 22)2(

2 == CXC ω

Impedancja połczenia równoległego elementów jest teraz równa r

r YZ

1= , gdzie

75,05,0111

)2(2

)2(22

jjXjXR

YCL

r +=++= .

Std

5611,1 j

r eZ −= .

Kolejno dalszych oblicze w obwodzie jest nastpujca:

6,2956

)2( 37,511,1221

10 jj e

ejjI =

+−+= −

182

26)2()2( 97,5 jrAB eIZU −==

116)2(

2

)2()2(

2 49,1 j

L

ABL e

jXU

I −==

64)2(

2

)2()2(

2 97.5 j

C

ABC e

jXU

I ==

26

2

)2()2(

2 98,2 jABR e

RU

I −==

5,267,4637,510 6,29)2(2

)2( jeIES j −=⋅== −∗

Wartoci skuteczne prdów w obwodzie s równe:

AI 13,737,57,4 22 =+= ,

AI R 57,598,27,4 222 =+=

AI L 93,449,17,4 222 =+=

AI C 62,797,57,4 222 =+=

Warto skuteczna napicia ródła jest równa

VE 5,24102010 222 =++=

Moc pozorna (moduł) wydawana przez ródło jest równa

VAIES 65,174==

183

Całkowita moc czynna i bierna wydana przez ródło s równe odpowiednio

113,4W46,766,7)2()1()0( =+=++= PPPP

oraz

-93,2var26,5--66,7)2()1( ==+= QQQ

Moc odkształcenia

VAQPSD 64,942,934,11365,174 222222 =−−=−−=

W obwodzie powstała bardzo dua moc odkształcenia. Wytłumaczeniem tego faktu jest

wystpowanie zjawiska rezonansu zarówno dla harmonicznej podstawowej (cewka druga i

kondensator drugi) jak i dla harmonicznej drugiej (cewka pierwsza i kondensator pierwszy).

Moc bierna wypadkowa w elementach reaktancyjnych w stanie rezonansu jest zerowa co

pomniejsza moc biern całego obwodu dla tych harmonicznych. Z drugiej strony wszystkie

harmoniczne tworz wartoci skuteczne zarówno prdu jak i napicia, std ich iloczyn

tworzcy moduł mocy pozornej przyjmuje du warto. W bilansie mocy wpływa to na

znaczne zwikszenie mocy deformacji.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 7.1

Przedstawi funkcj

)7cos(8)5cos(16)sin(2010)( ttttf ωωω +++=

w postaci wykładniczej szeregu Fouriera.

Rozwizanie

Z definicji funkcji sinus i cosinus wynika nastpujca zaleno

184

28

216

22010)(

7755 tjtjtjtjtjtj eeeejee

tfωωωωωω −−− ++++−+=

Std posta wykładnicza szeregu Fouriera dana jest zalenoci

tjtjtjjtjjtjtj eeeeeeeetfoo ωωωωωω 75909057 4810101084)( ++++++= −−−−

Zadanie 7.2

Zapisa twierdzenie Parsevala dla dwu przebiegów czasowych danych w nastpujcej postaci

)3cos(12)2cos(16)sin(105)( ttttf ωωω +++=

)5cos(12)2cos(10)sin(82)( ttttg ωωω +++=

Rozwizanie

Z definicji funkcji sinus i cosinus otrzymuje si nastpujce postaci wykładnicze szeregu

Fouriera dla obu funkcji

212

216

2105)(


tfωωωωωω −−− ++++−+=

tjtjtjjtjjtjtj eeeeeeeetfoo ωωωωωω 32909023 6855586)( ++++++= −−−−

212

210

282)(


tgωωωωωω −−− ++++−+=

tjtjtjjtjjtjtj eeeeeeeetgoo ωωωωωω 52909025 6542456)( ++++++= −−−−

Działania okrelone twierdzeniem Parsevala przyjm wic posta

130600658456006584525)()( 90909090 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= −− oooo jjjj eeeetgtf

185

Zadanie 7.3

Wyznaczy wskazania przyrzdów pomiarowych w obwodzie z rys. 7.9.


Przyj nastpujc posta wymuszenia )2sin(215)sin(22010)( ttte ++= . Wartoci

parametrów obwodu s nastpujce: R=2Ω, L=0,5H, C=0,5F.

Uwaga: Woltomierze i amperomierze włczone w obwodzie mierz moduły wartoci

skutecznych odpowiednio napicia i prdu.

Rozwizanie

Poniewa wymuszenie zawiera trzy harmoniczne, naley rozwiza obwód trzy razy dla

kadego wymuszenia oddzielnie.


Obwód dla składowej stałej 10)0( =E przedstawiony jest na rys. 7.10 (cewka zwarta,

kondensator przerw)

186

Rys. 7.10. Obwód dla harmonicznej zerowej

5)0(

)0( ==R

EI

0)0( =VU

• Harmoniczna podstawowa ( 1=ω )

Kolejno oblicze jest nastpujca:

20)1( =E

5,0)1( jLjZL == ω

2/)1( jCjZC −=−= ω

667,05,1

)2(5,0)1( jj

jjZLC =

−−=

39)1(

)1()1( j

RZE

ILC

−=+

=

62)1()1()1( jIZU LCV +==

• Harmoniczna druga ( 2=ω )


15)2( =E

1)2( jLjZL == ω

1/)2( jCjZC −=−= ω

∞=)2(LCZ

0)2( =I

15)2( =VU

Wskazania amperomierza i woltomierza (moduły odpowiednich wielkoci) sa równe:

72.102)2(2)1(2)0( =++= IIII A

187

28,162)2(2)1(2)0( =++= VVVV UUUU V

Zadanie 7.4

Wyznaczy moce: czynn, biern, pozorn i odkształcenia w obwodzie przedstawionym na

rys. 7.11.


W obwodzie wystpuje wymuszenie prdowe i(t) dane w nastpujacej postaci

)3sin(2)sin(225)( ttti ++= . Przyj wartoci parametrów: R=5Ω, L=1H, C=1/9F.

Rozwizanie

Ze wzgldu na wystpowanie w wymuszeniu trzech harmonicznych naley zastosowa

superpozycj ródeł. Zgodnie z t metod obliczamy kolejno.


Obwód dla harmonicznej zerowej przedstawiony jest na rysunku 7.12 (cewka zwarta,

kondensator przerw).

Rys. 7.12 Schemat obwodu dla harmonicznej zerowej

188

5)0( =I

5)0()0( == IIL

0)0()0( == CR II

0)0( =ABU

0)0()0()0( == IUS AB

• Harmoniczna podstawowa ( 1=ω )


2)1( =I

1)1( jLjZL == ω

9/)1( jCjZC −=−= ω

89,02,09

11

151)1( j

jjYRLC −=

−++=

14,248,0)1(

)1()1( j

YI

URLC

AB +==

48,014,2)1(

)1()1( j

ZU

IL

ABL −==

053,024,0)1(

)1()1( j

ZU

IC

ABC +−==

43,0096,0)1(

)1( jR

UI AB

R +==

28,496,0)*1()1()1( jIUS AB +==

• Harmoniczna trzecia ( 3=ω )


1)3( =I

3)3( jLjZL == ω

3/)3( jCjZC −=−= ω

5)3( == RZRLC (rezonans prdów)

189

5)3()3( == RIU AB

3/5)3(

)3()3( j

ZU

IL

ABL −==

3/5)3(

)3()3( j

ZU

IC

ABC ==

1)3(

)3( ==R

UI AB

R

015*)3()3()3( jIUS AB +==

Wartoci skuteczne prdów i napi s nastpujce:

48,52)3(2)1(2)0( =++= IIII A

09,12)3(2)1(2)0( =++= RRRR IIII A

70,52)3(2)1(2)0( =++= LLLL IIII A

68,12)3(2)1(2)0( =++= CCCC IIII A

46,52)3(2)1(2)0( =++= ABABABAB UUUU V

Moce w wydzielone przez ródło w obwodzie:

90,29== IUS AB VA

96,15)3()1()0( =++= PPPP W

28,4)3()1()0( =++= QQQQ var

92,24222 =−−= QPSD VA

190

Lekcja 8. Układy trójfazowe

Wstp

Do najwaniejszych, z punktu widzenia praktycznego, nale układy trójfazowe, zawierajce

generator złoony z trzech ródeł sinusoidalnych o tej samej czstotliwoci i przesunitych w

fazie oraz odbiornik trójfazowy składajcy si z trzech impedancji połczonych bd w

trójkt bd w gwiazd. Układy takie s powszechnie stosowane w technice i z tego powodu

analiza zjawisk w takich układach jest szczególnie wana.

Lekcja ósma powicona jest teorii obwodów trójfazowych. Wprowadzone zostan

podstawowe pojcia, takie jak generator trójfazowy, odbiornik trójfazowy, wykresy

wektorowe prdów i napi trójfazowych a take relacje midzy prdami i mocami przy

połczeniu odbiornika w gwiazd i trójkt. Rozwaone zostan układy pomiarowe mocy w

obwodach trójfazowych trójprzewodowych i czteroprzewodowych. Pokaemy, e w

trójfazowym układzie cewek rozmieszczonych przestrzennie moliwe jest uzyskanie wektora

natenia pola magnetycznego o niezmiennej amplitudzie, wirujcego ze stał prdkoci

ktow, zdolnego do wykonania pracy. Zjawisko to jest podstaw budowanych współczenie

maszyn elektrycznych trójfazowych.

8.1. Pojcia wstpne

8.1.1. Definicja układu trójfazowego

Układem trójfazowym nazywamy układ trzech obwodów elektrycznych, w których istniej

trzy ródła napi sinusoidalnych o jednakowej czstotliwoci, przesunite wzgldem siebie o

okrelony kt fazowy i wytworzone w jednym generatorze zwanym generatorem

trójfazowym. Poszczególne obwody generatora trójfazowego nazywa bdziemy fazami i

oznacza literami A, B, C lub kolejnymi cyframi 1, 2, 3. Przykład połczenia 3 faz generatora

w jeden układ gwiazdowy przedstawiony jest na rys. 8.1.

191

Rys. 8.1. Układ faz generatora trójfazowego połczonego w gwiazd

Punkt wspólny wszystkich trzech faz generatora oznaczony jest cyfr 0. Poszczególnym

napiciom fazowym przypisuje si wskaniki A, B, C lub w przypadku oznaczenia

liczbowego cyfry 1, 2, 3. Układ napi ródłowych generatora trójfazowego nazywa

bdziemy symetrycznym, jeli napicia kolejnych faz s przesunite wzgldem siebie o kt

o120

π32

a amplitudy ich s sobie równe. Wartoci chwilowe poszczególnych napi

fazowych układu symetrycznego mona zapisa w postaci

)sin()( Ψ+= tEte mA ω (8.1)

)120sin()( omB tEte −Ψ+= ω (8.2)

)120sin()( omC tEte +Ψ+= ω (8.3)

w której Em oznacza amplitud, ω pulsacj wspóln dla wszystkich faz (przy generacji napi

trójfazowych w jednym generatorze jest to zapewnione automatycznie) a kt Ψ jest

pocztkowym ktem fazowym napicia w fazie A. W normalnym systemie trójfazowym

przyjmuje si tzw. kolejno wirowania zgodn, w której faza B opónia si wzgldem fazy

A o kt o120 a faza C (opóniona wzgldem fazy B o kolejny kt o120 ) wyprzedza faz A o

kt równy o120 .

192

Rys. 8.2. Przebiegi czasowe napi trójfazowych

Na rys. 8.2 przedstawiono przebiegi czasowe napi trójfazowych przy kcie pocztkowym Ψ

równym zeru. Napicia s zmienne sinusoidalnie przy czym wystpuj regularne przesunicia

o kt o120 midzy poszczególnymi sinusoidami.

8.1.2. Układ napi fazowych

Wobec sinusoidalnej postaci wymusze w analizie układów trójfazowych zastosujemy

metod symboliczn. Zgodnie z t metod napicia sinusoidalne zastpuje si ich postaci

zespolon, która dla przyjtych funkcji sinusoidalnych moe by zapisana nastpujco

Ψ= jmA e

EE

2 (8.4)

oo j

Ajm

B eEeE

E 120)120(

2−−Ψ == (8.5)

oo j

Ajm

C eEeE

E 120)120(

2== +Ψ (8.6)

W praktyce wobec nieustannej zmiany wartoci napi w czasie faza pocztkowa Ψ moe by

przyjta dowolnie. Najczciej dla wygody zakłada bdziemy, e jest równa zeru. Wykres

193

wektorowy napi trójfazowych opisanych zalenociami (8.4) - (8.6) dla kta fazowego Ψ0


Rys. 8.3. Wykres wektorowy napi trójfazowych generatora

Punkt wspólny napi, odpowiadajcy wspólnemu punktowi połczenia faz generatora

oznaczony jest cyfr 0. Na kocach napi fazowych zaznaczone s oznaczenia faz (A, B, C).

Napicie fazowe generatora to napicie midzy punktem kocowym wektora a punktem

zerowym. Wirowanie faz (zmiana pozycji wektora w czasie) w generatorze trójfazowym

odbywa si w przyjtym układzie współrzdnych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Rys. 8.4. Wektory napi trójfazowych wirujce w czasie

194

Rys. 8.4 pokazuje wektory napi generatora trójfazowego wirujce w czasie. Wektory fazy B

i C nadaj za wektorem A, przy czym przesunicia fazowe midzy nimi s stałe i równe

dokładnie o120 . Wan cech trójfazowego generatora symetrycznego jest zerowanie si

sumy napi fazowych

0=++ CBA EEE (8.7)

Warto zerowa sumy wynika bezporednio z symetrii poszczególnych napi. Mianowicie

023

5,023

5,01120120 =

+−−−=++=++ − jjEeEeEEEEE A

jA

jAACBA

oo

8.1.3. Układ napi midzyfazowych

Oprócz napi fazowych wyrónia si układ napi midzyfazowych, zwanych równie

liniowymi, czyli napi panujcych midzy punktami zewntrznymi poszczególnych faz. Przy

trzech napiciach fazowych mona wyróni trzy napicia midzyfazowe: ABE , BCE oraz

CAE , przy czym

BAAB EEE −= (8.8)

CBBC EEE −= (8.9)

ACCA EEE −= (8.10)

Z definicji napi midzyfazowych wynika, e niezalenie od symetrii ich suma jest zawsze

równa zeru gdy wszystkie napicia tworz trójkt zamknity. Rys. 8.5 pokazuje układ napi

midzyfazowych generatora trójfazowego z przyjtymi oznaczeniami. Symbol EAB oznacza,

e strzałka wektora napicia na wykresie jest skierowana w stron pierwszego wskanika w

oznaczeniu (u nas litera A).

195

Rys. 8.5. Układ napi midzyfazowych na tle napi fazowych

Z symetrii napi fazowych wynika bezporednio symetria napi midzyfazowych. Napicia

te s równe i przesunite wzgldem siebie o kt o120 , czyli

BAAB EEE −=

ojABBC eEE 120−=

ojABCA eEE 120=

Układ napi midzyfazowych symetrycznych tworzy wic trójkt równoboczny.

Wykorzystujc relacje obowizujce dla tego trójkta łatwo jest udowodni, e napicie

midzyfazowe jest 3 razy wiksze ni napicie fazowe, co zapiszemy w ogólnoci jako

fmf EE 3= (8.11)

gdzie fE oznacza moduł napicia fazowego a mfE moduł napicia midzyfazowego.

196

8.2. Analiza układów trójfazowych

8.2.1. Połczenia trójfazowe generatora i odbiornika

Układ napi fazowych generatora moe by połczony bd w gwiazd bd w trójkt.

Schemat obu połcze przedstawiony jest na rys. 8. 6

Rys. 8.6. Połczenia faz generatora trójfazowego w a) gwiazd, b) trójkt

Przy połczeniu trójktnym generatora odbiornik jest zasilany napiciem midzyfazowym

trójprzewodowym. Przy połczeniu generatora w gwiazd napicie zasilajce jest napiciem

fazowym a liczba przewodów moe by równa trzy bd cztery (przy czterech przewodach

zasilajcych jednym z nich jest przewód zerowy, zwany równie przewodem neutralnym).

W układzie trójfazowym odbiornik zawiera równie trzy fazy, przy czym moe by on

połczony w gwiazd lub w trójkt. Oba sposoby połczenia odbiornika przedstawione s na

rys. 8.7.

Rys. 8.7. Odbiornik trójfazowy połczony w a) gwiazd, b) trójkt

197

W zalenoci od sposobu połczenia generatora i odbiornika mona w układach trójfazowych

wyróni cztery rodzaje połcze. S to:

• generator i odbiornik połczone w gwiazd (układ gwiazdowy)

• generator i odbiornik połczone w trójkt (układ trójktny)

• generator połczony w gwiazd a odbiornik w trójkt

• generator połczony w trójkt a odbiornik w gwiazd.

Z punktu widzenia metodyki analizy obwodów istotne s tylko dwa pierwsze rodzaje

połcze. Dwa pozostałe s wtórne wzgldem pierwszych i nie wnosz nowych elementów do

metody analizy.

8.2.2. Układ gwiazdowy faz generatora i odbiornika

Rozpatrzmy układ połcze gwiazdowych odbiornika i generatora (gwiazda-gwiazda) z

oznaczeniami prdów i napi przedstawionymi na rys. 8.8.

Rys. 8.8. Układ trójfazowy gwiazdowy

Punkt 0 oznacza punkt wspólny faz generatora. Punkt N jest punktem wspólnym impedancji

fazowych odbiornika. Zakładamy symetri napi fazowych generatora i dowolne wartoci

impedancji odbiornika. Przyjmijmy do analizy układ czteroprzewodowy z impedancj

przewodu zerowego równa NZ . Warto impedancji NZ moe by dowolna, w szczególnoci

zerowa (bezporednie zwarcie punktów wspólnych generatora i odbiornika) lub nieskoczona

198

(układ trójprzewodowy bez przewodu zerowego). Napicie midzy punktem zerowym

odbiornika i generatora oznaczymy przez UN i nazywa bdziemy napiciem

niezrównowaenia.

Układ napi trójfazowych odbiornika tworz napicia na poszczególnych jego

fazach, czyli CBA UUU ,, . W efekcie w obwodzie trójfazowym o połczeniu gwiazda-gwiazda

wyrónia si dwa układy napi trójfazowych gwiazdowych: generatora CBA EEE ,, i

odbiornika CBA UUU ,, .

Dla obliczenia prdów w obwodzie naley wyznaczy układ napi odbiornikowych.

Najlepiej dokona tego wyznaczajc napicie UN. Zastosujemy metod potencjałów

wzłowych przy załoeniu, e punkt 0 jest wzłem odniesienia a poszukiwany potencjał

wzłowy jest równy UN. Zgodnie z metod potencjałów wzłowych otrzymuje si

( )NCBANCCBBAA YYYYUYEYEYE +++=++ (8.12)

Std

( )NCBA

CCBBAAN YYYY

YEYEYEU

+++++= (8.13)

gdzie wielkoci oznaczone symbolem Y s admitancjami: A

A ZY

1= , B

B ZY

1= , C

C ZY

1= oraz

NN Z

Y1= . Wyznaczenie wartoci napicia UN pozwala obliczy wartoci napi

odbiornikowych. Z prawa napiciowego Kirchhoffa napisanego dla trzech oczek w obwodzie

wynika

NAA UEU −= (8.14)

NBB UEU −= (8.15)

NCC UEU −= (8.16)

Przy znanych wartociach admitancji odbiornika obliczenie prdu polega na zastosowaniu

prawa Ohma. Mianowicie

199

AAA UYI = (8.17)

BBB UYI = (8.18)

CCC UYI = (8.19)

NNN UYI = (8.20)

Suma prdów w wle N jest równa zeru, zatem NCBA IIII =++ . Moce wydzielone w

odbiorniku trójfazowym oblicza si jako sum mocy wydzielonych w poszczególnych fazach

odbiornika, czyli

*AAAAA IUjQPS =+= (8.21)

*BBBBB IUjQPS =+= (8.22)

*CCCCC IUjQPS =+= (8.23)

Moc wydzielona na impedancji przewodu zerowego oznacza moc strat. Jest ona równa

*NNNNN IUjQPS =+= (8.24)

Otrzymane wyniki mona zinterpretowa na wykresie wektorowym prdów i napi w

obwodzie. Rys. 8.9 przedstawia przypadek obcienia niesymetrycznego.

200

Rys. 8.9. Wykres wektorowy prdów i napi obwodu trójfazowego przy obcieniu

niesymetrycznym

Widoczne s dwie gwiazdy napi fazowych: generatora o rodku w punkcie 0 i odbiornika o

rodku w punkcie N. Dla obu gwiazd obowizuje jeden trójkt napi midzyfazowych.

Przesunicie potencjału punktu N wzgldem 0 (napicie UN róne od zera) jest spowodowane

niesymetri odbiornika. Napicie UN jest nazywane równie napiciem niezrównowaenia.

W pracy układu trójfazowego gwiazdowego mona wyróni kilka szczególnych

przypadków:

• odbiornik symetryczny z dowoln wartoci impedancji przewodu zerowego

• odbiornik niesymetryczny przy zwartym przewodzie zerowym

• zwarcie fazy odbiornika przy przerwie w przewodzie zerowym.

Odbiornik symetryczny

W przypadku symetrii obcienia impedancje wszystkich faz odbiornika s równe sobie

201

ZZZZ CBA === (8.25)

Podstawiajc te wartoci do wzoru na napicie UN otrzymuje si

( )

03

=+

++=N

CBAN YY

EEEYU (8.26)

gdzie admitancja Y=1/Z. Ze wzgldu na symetri napi generatora suma jego napi

fazowych jest równa zeru (wzór (8.7)), std napicie niezrównowaenia UN w przypadku

symetrii jest zerowe. Oznacza to, e gwiazdy napi odbiornikowych i generatorowych

pokrywaj si ze sob. Prdy fazowe w tym przypadku wyznacza si wic szczególnie prosto

na podstawie układu napi generatora, bez potrzeby obliczania napicia niezrównowaenia

UN.

AA YEI = (8.27)

BB YEI = (8.28)

CC YEI = (8.29)

Wobec równych wartoci admitancji poszczególnych faz, suma prdów fazowych

( ) 0=++= CBAN EEEYI (8.30)

jest zerowa, ze wzgldu na zerowanie si sumy napi fazowych generatora. Prd w

przewodzie zerowym nie płynie, niezalenie od wartoci impedancji ZN tego przewodu. Na

rys. 8.10 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym

symetrycznym. Wszystkie prdy i napicia tworz układ symetryczny o jednakowych

amplitudach i jednakowych przesuniciach poszczególnych wektorów wzgldem siebie.

202

Rys. 8.10. Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym symetrycznym

Odbiornik symetryczny jest jednym z czciej wystpujcych przypadków w praktyce.

Przykładami takich odbiorników s: silniki elektryczne trójfazowe czy piece grzejne

trójfazowe (zwykle o duej mocy).

• Odbiornik niesymetryczny przy zwartym przewodzie zerowym

Znaczne uproszczenia wystpuj w analizie jeli punkt 0 i N układu trójfazowego s

połczone bezimpedancyjnie (ZN=0). W takim przypadku napicie niezrównowaenia UN = 0

niezalenie od symetrii impedancji odbiornika. Prdy fazowe s wówczas okrelane

bezporednio na podstawie układu napi generatorowych

AAA EYI = (8.31)

BBB EYI = (8.32)

CCC EYI = (8.33)

203

Suma tych prdów w ogólnym przypadku odbiornika niesymetrycznego jest róna od zera

CBAN IIII ++= (8.34)

Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym niesymetrycznym przy zwarciu

bezimpedancyjnym punktów wspólnych odbiornika i generatora przedstawiony jest na rys.

8.11.

Rys. 8.11. Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym przy ZN=0

• Zwarcie fazy odbiornika przy przerwie w przewodzie zerowym

Interesujcy przypadek połczenia trójprzewodowego midzy odbiornikiem i generatorem

układu trójfazowego powstaje w stanie awaryjnym odbiornika przy zwarciu jednej z faz.

Rys. 8.12 przedstawia posta obwodu trójfazowego w rozwaanym przypadku przy zwarciu

fazy A odbiornika (ZA=0).

204

Rys. 8.12. Przypadek zwarcia jednej fazy odbiornika trójfazowego

Jak wida z rysunku napicie UN równa si napiciu fazowemu generatora w fazie zwartej.

Dla schematu z rysunku mamy

AN EU = (8.35)

Ten sam wynik mona otrzyma równie ze wzoru ogólnego (8.13) po podstawieniu

∞==A

A ZY

1. Odpowiednie prdy fazowe odbiornika w rozwaanym przypadku s okrelone

wzorami

( )ABBB EEYI −= (8.36)

( )ACCC EEYI −= (8.37)

Prd fazy A nie moe by okrelony z prawa Ohma, gdy zarówno napicie na fazie

odbiornika jak i jego impedancja s równe zeru. Prd ten moe by okrelony jedynie z prawa

prdowego Kirchhoffa, zgodnie z którym

CBA III −−= (8.38)

Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym dla tego przypadku


205

Rys. 8.13. Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym

przy zwarciu fazy A odbiornika

Przykład 8.1

Obliczy prdy i napicia poszczególnych faz odbiornika w układzie przedstawionym na rys.

8.14. Przyj zasilanie trójfazowe symetryczne o napiciu fazowym równym 400V. Wartoci

parametrów obwodu s nastpujce: R=40Ω, XC=30Ω, XL=60Ω, X12=10Ω, X23=20Ω,

X31=20Ω.

206

Rys. 8.14. Schemat układu trójfazowego do przykładu 8.1

Rozwizanie

Ze wzgldu na wystpowanie sprzenia magnetycznego pierwszym etapem rozwizania jest

eliminacja tych sprze. Układ odbiornika po likwidacji sprze magnetycznych jest

przedstawiony na rys. 8. 15

Rys. 8.15. Schemat odbiornika trójfazowego po likwidacji sprze magnetycznych

Przyjmijmy układ napi fazowych generatora w nastpujcej postaci

0400 j

A eE =

207

ojB eE 120400 −=

ojC eE 120400=

Impedancje poszczególnych faz odbiornika z rys. 8.15 s równe

0

6060

240404090

45

===

=+=

C

jB

jA

Z

ejZ

ejZo

o

Wobec zwarcia w fazie C odbiornika (ZC = 0) nie zachodzi potrzeba stosowania wzoru (8.13)

do wyznaczenia napicia niezrównowaenia, gdy UN = EC. W tej sytuacji poszczególne

prdy fazowe s równe

8,68,125240

400400 75

45

120

jee

eZ

UEI

o

o

o

j

j

j

A

NAA −==−=

−= −

6,1160

40040090

120120

−=−=−

=−

o

oo

j

jj

B

NBB

e

eeZ

UEI

.

8,68,9 jIII BAC +=−−=

Po obliczeniu prdów na podstawie schematu zastpczego bez sprze magnetycznych dla

wyznaczenia napi w układzie naley powróci do obwodu ze sprzeniami. Rzeczywiste

napicia na fazach odbiornika wynosz

2633223112 jIjXIjXIjXRIU CBALAA +=+++=

335182312 jIjXIjXIjXU CABLB −−=++=

182331 −=−++= CCBACLC IjXIjXIjXIjXU

Zauwamy, e istnieje ogromna rónica midzy rzeczywistym napiciem UC w fazie C,

18−=CU , a napiciem w tej samej fazie w obwodzie po likwidacji sprze, 0=CU .

Obwód po likwidacji sprze jest równowany obwodowi oryginalnemu jedynie pod

wzgldem prdowym. Napicia na gałziach zawierajcych cewki sprzone nie odpowiadaj

208

ich odpowiednikom w obwodzie bez sprze. Na rys. 8.16 przedstawiono wykres

wektorowy prdów i napi w obwodzie po likwidacji sprze.

Rys. 8.16. Wykres wektorowy układu trójfazowego po likwidacji sprze magnetycznych w

przykładzie 8.1

8.2.3 Układ trójktny faz odbiornika i generatora

Schemat elektryczny połcze elementów obwodu trójfazowego o odbiorniku i generatorze

połczonych w trójkt (układ trójkt-trójkt) przedstawia rys. 8.17.

209

Rys. 8.17. Układ trójfazowy trójktny

Przyjmijmy dla uproszczenia, e impedancje przewodów zasilajcych poszczególne fazy s

zerowe. Oznacza to, e napicia na fazach odbiornika (włczonych midzyfazowo) s

napiciami midzyfazowymi generatora, to jest

ABAB EU = (8.39)

BCBC EU = (8.40)

CACA EU = (8.41)

Std przy zadanych wartociach impedancji odbiornika prdy fazowe tego odbiornika s

okrelone wzorami

ABABAB EYI = (8.42)

BCBCBC EYI = (8.43)

CACACA EYI = (8.44)

Prdy przewodowe zasilajce obwód trójktny odbiornika mog by wyznaczone z zalenoci

CAABA III −= (8.45a)

ABBCB III −= (8.45b)

BCCAC III −= (8.45c)

Zauwamy, e wobec powyszych wzorów suma prdów przewodowych w układzie,

niezalenie od wartoci impedancji odbiornika jest równa zeru

210

0=++ CBA III (8.46)

Rys. 8.18 przedstawia wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym o

połczeniu trójktnym.

Rys. 8.18. Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym o połczeniu

trójktnym

W przypadku pełnej symetrii generatora i odbiornika wszystkie układy napi i prdów w

układzie bd równie symetryczne a przesunicia midzy prdami oraz napiciami

poszczególnych faz w odpowiednich układach bd równe o120 . Interesujca jest wówczas

relacja midzy prdami fazowymi oraz liniowymi układu. Z wykresu wektorowego

211

przedstawionego na rys. 8.18 wida, e w przypadku symetrycznym moduły wszystkich

prdów liniowych s sobie równe, podobnie jak moduły wszystkich prdów fazowych przy

równych przesuniciach fazowych midzy wektorami o kt o120 . Z analizy przesuni

ktowych wynika, e kt midzy wektorem prdu fazowego If oraz liniowego Il jest równy o30 . Z zalenoci trygonometrycznych wynika, e

o

f

l

I

I30cos

5,0= (8.47)

skd po prostych przekształceniach matematycznych otrzymuje si

fo

fl III 330cos2 == (8.48)

W układzie symetrycznym prd liniowy jest 3 razy wikszy ni prd fazowy. Jest to

identyczna relacja jaka istnieje midzy napiciami fazowymi i midzyfazowymi (liniowymi).

Przykład 8.2

Obliczy prdy w yłach kabla zasilajcego silnik trójfazowy o mocy P = 47,5kW, cosϕ = 0,9

i napiciu liniowym (miedzyprzewodowym) równym 380V. Załoy połczenie faz silnika w

trójkt. Przyj 80% sprawno silnika (η = 0,8). Moc silnika z uwzgldnieniem sprawnoci

wyraa si wzorem ϕη cos3 ff IUP = . Jak zmieni si prdy po rozwarciu jednej z faz

silnika, np. fazy A.

Rozwizanie

Schemat zastpczy silnika w postaci trzech identycznych impedancji Z połczonych w trójkt


212

Rys. 8.19. Schemat połcze faz silnika trójfazowego

Przy symetrycznym połczeniu faz silnika, przez poszczególne fazy o równej impedancji Z

przepływaj prdy o tej samej wartoci, przesunite wzgldem siebie o kt o120 opónione

wzgldem odpowiednich napi fazowych (silnik ma charakter indukcyjny) o ten sam kt ϕ .

Napicie fazowe odbiornika jest równe napiciu midzyfazowemu generatora, std

VUU mff 380== . Uwzgldniajc wzór na moc silnika otrzymuje si

AU

PI

ff 7,57

cos3==

ϕη

Przy pełnej symetrii połcze faz silnika wszystkie prdy liniowe zasilajce ten silnik s

równie symetryczne, czyli równe co do modułu i przesunite w fazie o kt o120 . Oznacza to,

e

AIIII fCBA 1003 ====

Na rys. 8. 20 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w silniku trójfazowym przy

pełnej symetrii połcze.

213

Rys. 8.20. Wykres wektorowy prdów i napi silnika trójfazowego w warunkach pełnej

symetrii

W przypadku przerwy jednej z faz odbiornika, np. fazy A, prd tej fazy jest równy zeru,

natomiast pozostałych faz jest niezmieniony. Uwzgldniajc przerw w fazie A obwodu z

rys. 8.18, prd liniowy w fazie A i B jest teraz równy prdowi fazowemu silnika, natomiast

prd liniowy fazy C pozostał nie zmieniony w stosunku do przypadku symetrii, to znaczy

AII fA 7,57==

AII fB 7,57==

AII fC 1003 ==

Najbardziej obcionym przewodem zasilajcym jest teraz przewód fazy C. Pozostałe

przewody zasilajce przenosz prd zmniejszony w stosunku do normalnej pracy silnika.

214

Oddzielnym problemem przy analizie układu trójfazowego połczonego w trójkt jest

uwzgldnienie impedancji przewodów zasilajcych. Przypadek taki pokazany jest na rys.

8.21.

Rys. 8.21. Zasilanie odbiornika trójfazowego trójktnego z uwzgldnieniem impedancji

przewodów zasilajcych

Przy nieznanych prdach liniowych nie mona obliczy napi panujcych na odbiorniku,

gdy nieznane s spadki napi na impedancjach przewodów zasilajcych. To z kolei

uniemoliwia wyznaczenie prdów fazowych tego odbiornika. Aby uzyska rozwizanie

naley w pierwszej kolejnoci zamieni trójkt impedancji na równowany mu układ

gwiazdowy (rys. 8.22).

Rys. 8.22. Układ trójfazowy gwiazdowy równowany układowi trójktnemu z rys. 8.20

W wyniku zamiany otrzymuje si znany ju układ gwiazda-gwiazda, w którym impedancje

fazowe oraz impedancje przewodów doprowadzajcych s połczone szeregowo stanowic

215

rozszerzon impedancj poszczególnych faz. Stosujc znan metodyk rozwizania takiego

układu oblicza si wszystkie prdy liniowe IA, IB oraz IC.

Po obliczeniu prdów liniowych mona obliczy napicia midzyfazowe w

rzeczywistym odbiorniku z rys. 8.21 jako

BBAAAB IZIZU −= (8.49)

CCBBBC IZIZU −= (8.50)

AACCCA IZIZU −= (8.51)

Po obliczeniu napi fazowych odbiornika wyznaczenie prdów odbywa si na podstawie

prawa Ohma

BA

ABAB Z

UI = (8.52)

C

BCBC Z

UI

B

= (8.53)

CA

CACA Z

UI = (8.54)

Omówione tu połczenia układu trójfazowego w gwiazd i trójkt s podstawowymi

układami pracy w systemach trójfazowych. Jeli w analizie wystpi połczenie mieszane, np.

gwiazda-trójkt lub trójkt-gwiazda naley w pierwszej kolejnoci drog odpowiedniej

zamiany trójkta na gwiazd lub gwiazdy na trójkt doprowadzi do jednego z wczeniej

omówionych układów a nastpnie wykona odpowiednie obliczenia stosujc jedn z

poznanych metod.

8.3. Pomiar mocy w układach trójfazowych

8.3.1. Pomiar mocy czynnej w układzie czteroprzewodowym

Z bilansu mocy w układzie trójfazowym wynika, e moc wytworzona w generatorze

trójfazowym równa sumie mocy poszczególnych jego faz odnajduje si w postaci mocy

wydzielonej w fazach odbiornika. W przypadku mocy chwilowej wydzielonej w odbiorniku

mamy

216

CCBBAA iuiuiutp ++=)( (8.55)

Moc czynna P odbiornika jest całk po okresie T z mocy chwilowej. Std

++==T

CC

T

BB

T

AA

T

dtiuT

dtiuT

dtiuT

dttpT

P0000

111)(

1 (8.56)

Poszczególne składniki sumy odpowiadaj mocy poszczególnych faz. Adaptujc wzory na

moc w układzie jednofazowym otrzymuje si

CCCBBBAAA IUIUIUP ϕϕϕ coscoscos ++= (8.57)

gdzie

AU , BU , CU - moduły wartoci skutecznych napi fazowych odbiornika,

AI , BI , CI - moduły wartoci skutecznych prdów fazowych odbiornika

Aϕ , Aϕ , Aϕ - kty przesuni fazowych miedzy napiciami i prdami faz

Wzór okrelajcy całkowit moc czynn w układzie trójfazowym mona wic przedstawi

jako

CBA PPPP ++= (8.58)

Moc czynna pobierana przez odbiornik trójfazowy jest równa sumie mocy czynnych

poszczególnych faz. W przypadku ogólnym obwodu trójfazowego niesymetrycznego, w

którym nie ma korelacji midzy poszczególnymi fazami pomiar mocy czynnej wymaga

uycia trzech watomierzy, z których kady mierzy moc jednej fazy. Schemat połcze trzech

watomierzy w tym przypadku przedstawiono na rys. 8.23. Cewka prdowa kadego

watomierza zasilana jest odpowiednim prdem fazowym a cewka napiciowa mierzy napicie

odpowiedniej fazy.

217

Rys. 8.23. Pomiar mocy czynnej za pomoc trzech watomierzy w układzie niesymetrycznym

czteroprzewodowym

W przypadku układu symetrycznego ze wzgldu na równo prdów i przesuni

ktowych w poszczególnych fazach odbiornika moc wskazywana przez kady watomierz

byłaby taka sama. Std do pomiaru mocy w tym układzie wystarczy uycie jednego

watomierza (rys. 8. 24)

Rys. 8.24. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym symetrycznym czteroprzewodowym

za pomoc jednego watomierza

Moc całkowita P układu trójfazowego jest potrojon wartoci wskazania watomierza

APP 3= (8.59)

Wobec pełnej symetrii odbiornika watomierz moe by włczony w dowolnej fazie,

niekoniecznie w fazie A. W kadym przypadku watomierz włczony w danej fazie mierzy

prd fazy i napicie fazowe wzgldem punktu neutralnego.

218

8.3.2. Pomiar mocy czynnej w układzie trójprzewodowym

Jeli układ symetryczny odbiornika jest zasilany trzema przewodami (brak dostpu do punktu

zerowego) wówczas pomiar mocy jednym watomierzem wymaga utworzenia sztucznego

punktu o potencjale równym potencjałowi punktu zerowego. Biorc pod uwag, e przy

symetrycznym odbiorniku potencjał UN=0 punkt o potencjale zerowym mona wytworzy

stosujc dodatkowy układ trzech rezystorów i włczajc kocówk watomierza do tego

układu, jak to pokazano na rysunku 8.25.

Rys. 8.25. Pomiar mocy czynnej w układzie symetrycznym trójprzewodowym za pomoc

jednego watomierza

W przypadku odbiornika niesymetrycznego o trzech przewodach zasilajcych pomiar

całkowitej mocy układu moe by dokonany przy pomocy dwu watomierzy. Dla pokazania

takiej moliwoci przepiszemy wzór na moc chwilow układu

CCBBAA iuiuiutp ++=)( (8.60)

W układzie trójprzewodowym suma prdów przewodowych jest równa zeru, co znaczy, e

219

0=++ CBA iii (8.61)

Eliminujc prd iC z zalenoci na moc chwilow, uzyskuje si

BCBACA iuuiuutp )()()( −+−= (8.62)

Moc czynna jako warto rednia za okres z mocy chwilowej dla przebiegów sinusoidalnych

moe wic by wyraona w postaci

21 coscos ϕϕ BCBACA IUUIUUP −+−= (8.63)

W wyraeniu tym prdy i napicia dotycz modułów wartoci skutecznych odpowiednich faz

natomiast kty 1ϕ i 2ϕ oznaczaj przesunicia fazowe midzy odpowiednio napiciem UAC i

prdem IA oraz midzy napiciem UBC i prdem IB. Powysza zaleno umoliwia podanie

schematu elektrycznego połcze elementów pomiarowych obwodu. Schemat pomiaru mocy

przy pomocy dwu watomierzy nosi nazw układu Arona i podany jest na rys. 8.26.

Rys. 8.26. Układ Arona do pomiaru mocy za pomoc dwu watomierzy

Cewki prdowe watomierzy włczone s w dwie linie odbiornika trójfazowego, natomiast

cewki napiciowe włczone s midzy dan faz i faz trzeci, w której nie ma włczonego

watomierza.

Powyszy schemat pomiarowy jest słuszny zarówno dla układu niesymetrycznego jak

i symetrycznego. W przypadku układu symetrycznego zastosowanie go do pomiaru mocy

220

czynnej umoliwia uzyskanie take innych informacji o obwodzie trójfazowym, w

szczególnoci mocy biernej oraz kta przesunicia fazowego.

Zauwamy, e w przypadku pełnej symetrii moduły i kty przesunicia fazowego

prdów wzgldem odpowiednich napi fazowych w poszczególnych fazach s równe

IIII CBA === (8.64)

ϕϕϕϕ === CBA (8.65)

Przy załoeniu odbiornika gwiazdowego wykres wektorowy prdów i napi obwodu


Rys. 8.27. Wykres wektorowy prdów i napi symetrycznego układu trójfazowego

221

Z analizy zalenoci ktowych na tym rysunku wynika, e

o301 −= ϕϕ (8.66)

o302 += ϕϕ (8.67)

Std wzór na moc wskazywan przez oba watomierze upraszcza si do postaci

( )oof

of

oCA

IU

IUIUUP

30sinsin30coscos3

)30cos(3)30cos(1

ϕϕ

ϕϕ

+

=−=−−= (8.68)

( )oof

of

oCB

IU

IUIUUP

30sinsin30coscos3

)30cos(3)30cos(2

ϕϕ

ϕϕ

−

=+=+−= (8.69)

Suma obu wskaza watomierzy jest wic równa

ϕϕ cos330coscos3221 IUIUPPP fo

f ==+= (8.70)

Jak wida suma wskaza obu watomierzy jest potrojon wartoci mocy jednej fazy, co

wobec symetrii odbiornika jest potwierdzeniem poprawnoci działania układu Arona.

8.3.3. Pomiar mocy biernej w układzie trójfazowym symetrycznym

Odejmujc od siebie wskazania obu przyrzdów udowodnimy, e rónica wskaza jest

proporcjonalna do mocy biernej układu. Mianowicie

ϕϕ sin330sinsin3221 IUIUPP fo

f ==− (8.71)

Biorc pod uwag, e moc bierna jednej fazy jest równa ϕsinIUQ ff = z ostatniej

zalenoci wynika nastpujcy wzór

222

3

21 PPQ f

−= (8.72)

a moc bierna całkowita układu trójfazowego symetrycznego jest równa

)(3 1 PPQ −= (8.73)

Tak wic zastosowanie dwu watomierzy zamiast jednego, w przypadku symetrii odbiornika,

ma t zalet, e dostarcza informacji jednoczenie o mocy czynnej i mocy biernej układu.

Dodatkowo, jeli uwzgldnimy, e kt przesunicia fazowego jest w pełni okrelony przez

moc czynn i biern według wzoru

PQ=ϕtg (8.74)

na podstawie wskaza watomierzy mona bezporednio okreli kt przesunicia fazowego

midzy prdami i napiciami fazowymi w układzie

21

213arctgPPPP

+−=ϕ (8.75)

Std na podstawie pomiaru mocy dwoma watomierzami jest moliwe okrelenie trzech

wielkoci jednoczenie: mocy czynnej, mocy biernej oraz kta przesunicia fazowego midzy

prdami i napiciami w obwodzie.

Jeli interesuje nas jedynie moc bierna mona j zmierzy stosujc tylko jeden

watomierz. Układ pomiarowy w tym przypadku pokazany jest na rys. 8.28

Rys. 8.28. Pomiar mocy biernej przy pomocy jednego watomierza

223

Cewka prdowa watomierza mierzy prd jednej fazy a cewka napiciowa włczona jest

midzy dwie pozostałe fazy. Watomierz mierzy moc wynikajc z iloczynu prdu IA, napicia

UBC oraz kosinusa kta zawartego midzy wektorem prdu IA i napicia UBC. Wykres

wektorowy prdów i napi w obwodzie z zaznaczeniem poszukiwanego kta fazowego 1ϕ

midzy prdem IA a napiciem UBC przedstawiony jest na rys. 8.29.

Rys. 8.29. Wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie symetrycznym z rys. 8.28

Jest oczywiste, e kt ten jest równy ϕϕ −= o901 . Oznacza to, e wskazanie watomierza jest

równe

ϕϕϕ sin3)90cos(3cos 1 fo

fBCA UIUIUIP =−== (8.76)

Całkowita moc bierna Q symetrycznego układu trójfazowego jest równa potrójnej mocy

jednej fazy PQ 3= .

224

8.3.4. Porównanie mocy w układzie trójfazowym trójktnym i gwiazdowym

Przełczenie impedancji odbiornika z połczenia trójktnego w gwiazdowe powoduje

zmian mocy wydzielonej w odbiorniku. Załómy dla uproszczenia, e obwód trójfazowy jest

symetryczny o impedancji fazy równej Z. Schemat połczenia trójktny i gwiazdowy

impedancji przedstawiony jest na rys. 8.30.

Rys. 8.30. Układy połcze impedancji Z odbiornika symetrycznego w a) trójkt, b) gwiazd

Jak łatwo pokaza dla układu trójktnego moc czynna P układu jest równa

( )

ϕϕ cos9cos3

3

22

Z

U

Z

UP

ff == (8.77)

natomiast w układzie gwiazdowym wobec UN = 0 mamy

ϕcos3

2

Z

UP

f= (8.78)

Jak wynika z powyszych wzorów przy przełczeniu odbiornika symetrycznego z gwiazdy na

trójkt pobór mocy czynnej wzrasta 3-krotnie. Przy tej samej wartoci impedancji w obu

połczeniach oznacza to 3 -krotny wzrost prdu płyncego przez impedancj.

8.4. Wirtualne laboratorium obwodów elektrycznych

Do oblicze prdów, napi i mocy w obwodach trójfazowych został opracowany program

„Obwody trójfazowe” pozwalajcy na symulacj pracy takiego układu.

225

Rys. 8.31. Główne okno programu „Obwody trójfazowe”

Rysunek 8.31 przedstawia okno główne programu. Centralne pole zajmuje schemat badanego

obwodu (dostpne konfiguracje: gwiazda-gwiazda Y-Y, gwiazda-trójkt Y-∆, trójkt-trójkt

∆-∆ i trójkt-gwiazda ∆-Y), z symbolicznie zaznaczonym odbiornikiem i zasilaniem

trójfazowym. Uruchomienie programu odbywa si poprzez kliknicie w obrbie jego ikony.

Uytkownik moe wówczas definiowa własn struktur obwodu (∆,Υ, przewód zerowy),

rodzaj i wartoci parametrów odbiornika (R, L, C), wartoci ródeł wymuszajcych,

impedancj przewodu zerowego, format liczb zespolonych.

W wyniku oblicze otrzymuje si wartoci prdów, napi i mocy w obwodzie, jak równie

wykres wektorowy prdów i napi oraz ich przebiegi czasowe. Program stanowi efektywne

wirtualne laboratorium obwodów trójfazowych, umoliwiajce studentowi samodzielne

badanie zjawisk zachodzcych w obwodach trójfazowych.

8.5. Pole magnetyczne wirujce w układach trójfazowych

Wanym zastosowaniem układów trójfazowych s maszyny elektryczne, silniki bd

generatory trójfazowe. W silnikach energia elektryczna jest zamieniana na energi

226

mechaniczn, podczas gdy w generatorach odwrotnie – energia mechaniczna jest

przetwarzana na energi elektryczn. Pokaemy, e zamiana energii elektrycznej na energi

mechaniczn w postaci ruchu obrotowego jest moliwa w układach trójfazowych za

porednictwem pola magnetycznego wytwarzanego przez uzwojenia trójfazowe silnika. Jak

pokazano w lekcji pitej przepływ prdu I przez uzwojenie o z zwojach jest zwizane z

wytworzeniem pola magnetycznego o nateniu H. Przy oznaczeniu długoci drogi

magnetycznej przez l natenie pola magnetycznego H okrela prawo przepływu Ampera,

zgodnie z którym

lzI

H = (8.79)

Przy sinusoidalnym prdzie natenie pola zmienia si równie sinusoidalnie. Energia

elektryczna w pojedynczym uzwojeniu nie przetworzy si zatem bezporednio na energi

ruchu, gdy zwoje przez które przepływa prd sinusoidalny poddawane s działaniu pola

oscylacyjnego o zmiennym co pół okresu kierunku. Dla wytworzenia ruchu uzwojenia musi

by ono poddane działaniu wektora o stałej amplitudzie wirujcego w czasie. Pole takie moe

zosta wytworzone midzy innymi w układzie trójfazowym pod warunkiem rozmieszczenia

uzwoje przesunitych wzgldem siebie w przestrzeni. Przyjmijmy, e zwoje przez które

przepływa prd trójfazowy

)sin( tIi mA ω= (8.80)

)120sin( omB tIi −= ω (8.81)

)120sin( omC tIi += ω (8.82)

rozmieszczone s symetrycznie w przestrzeni z przesuniciem ktowym co o120 jak to

pokazano na rys. 8.31

227

Rys. 8.32. Układ uzwoje trójfazowych przesunitych symetrycznie w przestrzeni

wytwarzajcych pola magnetyczne

Na rysunku zaznaczono kierunki wektorów natenia pola powstajce w poszczególnych

uzwojeniach. Moduły tych wektorów wynikaj z prawa przepływu Ampera i wobec

sinusoidalnych prdów fazowych zmieniaj si równie sinusoidalnie

)sin()( tHtH mA ω= (8.83)

)120sin()( omB tHtH −= ω (8.84)

)120sin()( omC tHtH += ω (8.85)

Wypadkowe pole magnetyczne wynika z sumy poszczególnych wektorów HA(t), HB(t), HC(t)

pochodzcych od wszystkich faz układu trójfazowego. Moduły wartoci tych wektorów s

opisane wzorami jak wyej natomiast ich kierunki s przesunite symetrycznie o kt o120 jak

to pokazano na rys. 8.31.

Umiemy wektory natenia pola magnetycznego na płaszczynie zespolonej,

przyjmujc o rzeczywist zgodnie z kierunkiem składowej fazy A. Wtedy wektor

wypadkowy H(t) moe by opisany wzorem

228

[ ][ ] [ ] ( )tj

mtj

mmm

oom

oom

Cj

Bj

A

eHeHjtjtHtjtH

tjttH

tjtjtH

tetettoo

ωωωωωω

ωωω

ωωω

−−

−

==−==+

=+−=

=

+

+−+−

−−+

=++=

90

120120

23

23

)sin()cos(23

)cos()sin(23

)cos(120sin3120cos)sin()sin(

)120sin(23

5,0)120sin(23

5,0)sin(

)()()()( HHHH

(8.86)

Oznacza to, e

• wektor wypadkowy natenia pola magnetycznego H(t) jest wektorem wirujcym

jednostajnie w czasie z prdkoci ktow równ ω zgodnie z ruchem wskazówek zegara

• moduł tego wektora jest stały i równy mHt23

)( =H .

Wytworzone przez trójfazowy układ uzwoje pole magnetyczne jest wic polem wirujcym

zdolne do nadania ruchu tym uzwojeniom. Pozwala zamieni energi elektryczn w energi

mechaniczn. Kierunek ruchu wynika z przyjtego kierunku wirowania faz napicia

zasilajcego trójfazowego. Przy załoonym przez nas układzie zgodnym kierunek wirowania

pola jest zgodny z kierunkiem wskazówek zegara. Przy zamianie kolejnoci faz w układzie

trójfazowym (faza B zamieniona z C) mamy do czynienia z kierunkiem przeciwnym

wirowania faz. W przypadku pola magnetycznego oznacza to bdzie zmian wirowania pola

na przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Na rys. 8.32 zilustrowano wirowanie pola

magnetycznego powstałego w omówionym układzie trzech cewek

Rys. 8.33. Ilustracja wirowania wektora wirujcego H

229

Zadania sprawdzajce

Zadanie 8.1

Wyznaczy prdy w obwodzie trójfazowym podanym na rys. 8.33. Przyj nastpujce

wartoci parametrów elementów: VE f 200= , ZA = 10, ZB = (10-j10), ZC = (10+j10),

ZN = 50.

Rys. 8.34. Schemat obwodu trójfazowego do zadania 8.1

Rozwizanie

Przyjmujemy nastpujce wartoci symboliczne elementów:

o

o

jC

jB

A

eE

eE

E

120

120

200

200

200

=

=

=−

1,01 ==

AA Z

Y

05,005,01

jZ

YB

B +==

230

05,005,01

jZ

YC

C −==

02,01 ==

NN Z

Y

Napicie niezrównowaenia UN

18,124=+++

++=NCBA

CCBBAAN YYYY

YEYEYEU

Prdy fazowe:

( ) 58,7=−= ANAA YUEI

( ) 87,1955,2 jYUEI ANAA −−=−=

( ) 87,1955,2 jYUEI ANAA +=−=

48,2== NNA YUI

Zadanie 8.2

Wyznaczy prdy w układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 8.34. Przyj nastpujce

wartoci parametrów elementów: VE f 200= , R = 100Ω, XL = 50Ω, XC = 50Ω.


Rozwizanie

231

Przyjmujemy nastpujce wartoci symboliczne elementów:

o

o

jC

jB

A

eE

eE

E

120

120

200

200

200

=

=

=−

0=−= CLB jXjXZ

01,01 ==R

YA

∞==B

B ZY

1

02,01

jZ

YC

C ==

Wobec zwarcia w fazie B napicie niezrównowaenia UN = EB.

Prdy fazowe:

( ) 73,13 jYUEI ANAA +=−=

( ) 93,6−=−= CNCC YUEI

( ) 73,193,3 jIII CAB −=+−=

Zadanie 8.3

Wyznaczy prdy w układzie trójfazowym o odbiorniku połczonym w trójkt

przedstawionym na rys. 8.35. Sporzdzi wykres wektorowy prdów i napi. Przyj

nastpujce wartoci parametrów elementów: VE f 200= , R = XL = XC = 10Ω.

232


Rozwizanie

Napicia midzyfazowe:

fmf EE 3=

o

o

jCA

jBC

AB

eE

eE

E

120

120

3200

3200

3200

=

=

=−

Prdy fazowe odbiornika:

oj

C

ABAB e

jXE

I 90320=−

=

oj

L

BCBC e

jXE

I 210320 −==

ojCACA e

RE

I 120320==

Prdy liniowe układu:

64,432,17 jIII CAABA +=−=

32,1730 jIII ABBCB −−=−=

68,1268,12 jIII BCCAC +=−=

233

Wykres wektorowy prdów i napi przedstawiony jest na rys. 8.36.

Rys. 8.37. Wykres wektorowy prdów i napi obwodu

234

Lekcja 9. Składowe symetryczne w układach trójfazowych

Wstp

Lekcja dziewita powicona jest składowym symetrycznym: zgodnej, przeciwnej i zerowej,

jako opisu obwodów trójfazowych niesymetrycznych. Niesymetria w obwodzie trójfazowym

jest zjawiskiem niepodanym. Wystpienie składowej innej ni zgodna wiadczy o powstałej

asymetrii. W lekcji podane zostan wzory okrelajce poszczególne składowe symetryczne

oraz ich podstawowe własnoci. Wprowadzone zostan układy filtrów składowych

symetrycznych, pozwalajce w prosty sposób kontrolowa niesymetri w układzie

trójfazowym.

9.1. Rozkład na składowe symetryczne

W dotychczasowych rozwaaniach układów trójfazowych ograniczylimy si do analizy

układów o symetrycznym zasilaniu, czyli takich w których amplitudy wszystkich napi

fazowych s równe, a przesunicia ktowe midzy poszczególnymi fazami o120 . W

rzeczywistych układach ze wzgldu na skoczon impedancj przewodów zasilajcych przy

rónych prdach fazowych powstaj rónice w napiciach fazowych generatora

„wychodzcych” na lini. Oznacza to rónice zarówno w amplitudach poszczególnych napi

jak i przesuniciach fazowych w stosunku do o120 . Std załoenie symetrii napi generatora

w układach rzeczywistych jest niedopuszczalne. Drugi aspekt niesymetrii dotyczy samych

prdów i napi na elementach odbiornika trójfazowego. Nawet przy symetrycznym zasilaniu

ale załoeniu niesymetrii odbiornika powstaje sytuacja, w której zarówno prdy jak i napicia

na gałziach obwodu s niesymetryczne. Std powstaje potrzeba stworzenia metodyki analizy

układów trójfazowych niesymetrycznych, zwłaszcza pod ktem stworzenia miar

odkształcenia od symetrii. Takim narzdziem s składowe symetryczne.

Metoda składowych symetrycznych polega na tym, e stosujc odpowiednie

przekształcenia liniowe zastpuje si układ trzech wektorów trójfazowych niesymetrycznych

przez równowane mu trzy układy trzech wektorów symetrycznych. Niesymetryczne ródło

zasilania trójfazowego zostaje zastpione przez układ trzech ródeł trójfazowych, z których

235

jedno jest o kolejnoci wirowania zgodnej (kolejno identyczna jak w układach rozwaanych

dotd), drugie o kolejnoci przeciwnej i trzecie o kolejnoci zerowej (brak przesunicia

midzy wektorami fazowymi). Ilustracja takiego rozkładu jest przedstawiona na rys. 9.1

Rys. 9.1. Ilustracja metody rozkładu niesymetrycznego układu napi trójfazowych na sum

trzech układów napi trójfazowych symetrycznych

Układowi 3 napi niesymetrycznych trójfazowych przyporzdkowa mona równowany

układ trzech ródeł trójfazowych, reprezentujcych składow zerow (brak przesunicia

midzy napiciami fazowymi), składow zgodn (napicie fazy B opónia si wzgldem fazy

A a napicie fazy C wyprzedza napicie fazy A) oraz składow przeciwn (napicie fazy B

wyprzedza napicie fazy A natomiast napicie fazy C opónia si wzgldem napicia fazy A).

Ilustracja takiego przekształcenia pokazana jest na rys. 9.2

236

Rys. 9.2. Przekształcenie równowane generatora napi niesymetrycznych na trzy generatory

napi symetrycznych

Symbolem a oznaczono wektor jednostkowy obrotu o kt o120

23

5,0120 jeaoj +−== (9.1)

Mona łatwo pokaza, e słuszna jest nastpujca zaleno

01 2 =++ aa (9.2)

Równowano obu układów napi z rys. 9.2 wymaga, aby spełnione były nastpujce

równoci

210 EEEEA ++= (9.3)

212

0 aEEaEEB ++= (9.4)

22

10 EaaEEEC ++= (9.5)

gdzie 0E , 1E , 2E oznaczaj składowe kolejnoci odpowiednio zerowej, zgodnej i przeciwnej

(faza A odpowiedniego układu). Zapis macierzowy powyszej zalenoci przyjmuje posta

237

=

2

1

0

2

2

11

111

E

E

E

aa

aa

E

E

E

C

B

A

(9.6)

Z zalenoci tej na podstawie danych wartoci rzeczywistych napi fazowych AE , BE , CE

otrzyma mona składowe symetryczne 0E , 1E , 2E . Dokonujc odwrócenia macierzy w

powyszej zalenoci otrzymuje si

=

C

B

A

E

E

E

aa

aa

E

E

E

2

2

2

1

0

11

111

31

(9.7)

Identyczny rozkład na składowe symetryczne przypisa mona niesymetrycznemu układowi

prdów oraz impedancji przez prost zamian symbolu E na symbol prdu I oraz impedancji

Z. W przypadku prdów rozkład na składowe symetryczne dany jest wzorem

=

C

B

A

I

I

I

aa

aa

I

I

I

2

2

2

1

0

11

111

31

(9.8)

Zaleno opisujca rozkład na składowe symetryczne impedancji jest z kolei nastpujaca

=

C

B

A

Z

Z

Z

aa

aa

Z

Z

Z

2

2

2

1

0

11

111

31

(9.9)

Identyczne zalenoci przyporzdkowa mona wielkociom midzyfazowym. W tym

przypadku wskaniki fazowe A, B, C zastpuje si wskanikami midzyfazowymi

odpowiednio AB, BC oraz CA. Przykładowo, w przypadku rozkładu napi midzyfazowych

na składowe symetryczne mamy

238

=

CA

BC

AB

E

E

E

aa

aa

E

E

E

2

2

2

1

0

11

111

31

(9.10)

Zalenoci opisujce rozkład na składowe symetryczne s identyczne dla napi, prdów i

impedancji midzyfazowych. Niezalenie od tego wynik uzyskany z takiego rozkładu róni

si znacznie od siebie, szczególnie w przypadku wystpowania symetrii. Rónice pokaemy

na przykładzie.

Przykład 9.1

Dokona rozkładu na składowe symetryczne układu trójfazowego symetrycznego napi,

gdzie EEA = , EaEeEoj

B2120 == − , aEEeE

ojC == 120 .

Rozwizanie

Zgodnie z podanymi wczeniej wzorami rozkładu na składowe symetryczne otrzymuje si

( ) ( ) 0131

31 2

0 =++=++= aaEEEEE CBA

( ) ( ) EaaEEaaEEE CBA =++=++= 3321 1

31

31

( ) ( ) ( ) 0131

131

31 2242

2 =++=++=++= aaEaaEaEEaEE CBA

Rozkład na składowe symetryczne układu napi symetrycznych prowadzi do spodziewanego

wyniku. Istnieje jedynie składowa zgodna równa napiciu zasilajcemu, pozostałe składowe

s zerowe. Zerowanie si składowych zerowej i przeciwnej wiadczy o symetrii układu

trójfazowego. Taka sytuacja obowizuje w przypadku zarówno napi jak i prdów. Dotyczy

to wielkoci fazowych i midzyfazowych.

Przykład 9.2

239

Dokona rozkładu na składowe symetryczne układu trzech impedancji stanowicych

obcienie układu trójfazowego. Przyjmiemy symetri obcienia, to znaczy ZA=Z, ZB=Z,

ZC=Z.

Rozwizanie

Stosujc identyczne wzory opisujce rozkład impedancji na składowe symetryczne otrzymuje

si

( ) ( ) ZZZZZZ CBA =++=++= 11131

31

0

( ) ( ) 0131

31 22

1 =++=++= aaZZaaZZZ CBA

( ) ( ) 0131

31 22

2 =++=++= aaZaZZaZZ CBA

Pomimo zastosowania identycznych wzorów wynik rozkładu na składowe symetryczne

równych impedancji jest całkowicie róny od rozkładu napi. Tym razem istnieje wyłcznie

składowa zerowa impedancji. Pozostałe składowe symetryczne (zgodna i przeciwna) s równe

zeru. Wynik ten jest zrozumiały biorc pod uwag, e układ identycznych impedancji stanowi

z definicji składow zerow (brak przesuni fazowych midzy impedancjami).

9.2. Własnoci składowych symetrycznych

Składowe symetryczne napi, prdów i impedancji zdefiniowane wzorami (9.7) – (9.10)

maj interesujce własnoci charakteryzujce niesymetri wielkoci trójfazowych.

Podstawowe własnoci mona sformułowa nastpujco.

• W układzie symetrycznym zgodnym napi (prdów) składowa zerowa i przeciwna

znikaj, a składowa zgodna jest równa napiciu (prdowi) fazy podstawowej. Dowód

powyszej własnoci przedstawiony został w przykładzie 9.1.

• W układzie symetrycznym przeciwnym napi (prdów) składowa zerowa i zgodna

znikaj, a składowa przeciwna jest równa napiciu (prdowi) fazy podstawowej. Dowód

240

powyszej własnoci przy prostej zamianie kolejnoci zgodnej na przeciwn w napiciach

oryginalnych wynika z rozwaa zawartych w przykładzie 9.1.

• Wystpienie w rozkładzie na składowe symetryczne napi lub prdów o kierunku

wirowania zgodnym składowej zerowej i przeciwnej wiadczy o niesymetrii układu

badanych napi lub prdów.

• W układzie symetrycznym zerowym impedancji (wszystkie trzy impedancje równe sobie)

składowa zgodna i przeciwna znikaj, a składowa zerowa jest równa impedancji zadanej.

Dowód powyszej własnoci przedstawiony został w przykładzie 9.2

• W układzie trójfazowym trójprzewodowym składowa zerowa prdów liniowych jest

równa zeru. Wynika to z faktu, e suma prdów liniowych w obwodzie trójprzewodowym

jest z definicji równa zeru (prd przewodu zerowego wobec jego braku musi by równy

zeru), to znaczy 03 0 ==++ IIII CBA .

• W układzie trójfazowym czteroprzewodowym prd w przewodzie zerowym jest równy

potrójnej wartoci składowej zerowej, IN=3I0. Własno ta wynika bezporednio z prawa

prdowego Kirchhofa, zgodnie z którym 03IIIII CBAN =++= .

• Składowa symetryczna zerowa układu napi midzyfazowych jest równa zeru. Dowód

powyszej własnoci wynika z faktu, e suma napi midzyfazowych niezalenie od

symetrii jest z definicji równa zeru (układ napi midzyfazowych tworzy trójkt

zamknity), to znaczy 03 0 ==++ EEEE CABCAB .

• Składowa zgodna i przeciwna napi midzyfazowych w przypadku zerowania si

jednego z napi s sobie równe i równaj si napiciu fazowemu układu trójfazowego.

Dowód tej własnoci wynika bezporednio z definicji rozkładu. Zauwamy, e przy braku

jednego napicia midzyfazowego dwa pozostałe s sobie równe i przeciwnie skierowane.

Jeli przyjmiemy, e UBC=0 oraz UAB=Emf, UCA=-Emf, gdzie Emf oznacza napicie

midzyprzewodowe to ze wzorów na składowe symetryczne otrzymuje si

( ) ( ) oo jf

jmfmfmfCABCAB eEeEjEaEEaaEEE 303022

1 331

23

5,131

131

31 ==

+=−=++=

( ) ( ) oo jf

jmfmfmfCABCAB eEeEjEaEaEEaEE 30302

2 331

23

5,131

131

31 −− ==

−=−=++=

241

Jak z powyszego wida obie składowe rozkładu (zgodna i przeciwna) s równe co do

modułu wartoci napicia fazowego Ef i symetrycznie przesunite wzgldem fazy zerowej

o kt o30± . Konstrukcj graficzn składowych symetrycznych dla tego przypadku

przedstawiono na rys. 9.3

Rys. 9.3. Konstrukcja graficzna składowych zgodnej i przeciwnej układu napi

midzyprzewodowych przy braku jednego z napi

• W maszynach elektrycznych składowa zgodna prdów wywołuje pole wirujce zgodnie z

kierunkiem prdkoci obrotowej maszyny a układ przeciwny prdów - pole wirujce

przeciwne do tej prdkoci. Dua niesymetria w układzie trójfazowym objawiajca si

przewag składowej przeciwnej moe wic spowodowa zmian kierunku wirowania

maszyny.

• Składowa przeciwna wystpujca w maszynie elektrycznej wirujcej w kierunku

zgodnym indukuje w maszynie prdy o podwójnej czstotliwoci. Std wywiera ona

niekorzystny wpływ na prac maszyny (zwikszony efekt grzania maszyny).

242

9.3. Prawo Kirchhoffa dla składowych symetrycznych

Rozkład napi i impedancji na składowe symetryczne umoliwia bezporednie wyznaczenie

składowych symetrycznych prdów w obwodzie bez koniecznoci rozwizywania obwodu dla

wielkoci rzeczywistych. Zalenoci zachodzce midzy składowymi symetrycznymi napi,

prdów i impedancji wynikaj z tak zwanego prawa Kirchhoffa dla składowych

symetrycznych. Prawo to odnosi si do układu gwiazdowego. Przyjmijmy, e składowe

symetryczne odpowiednio napi fazowych, prdów fazowych i impedancji fazowych

oznaczymy w postaci 0E , 1E , 2E (napicia), 0I , 1I , 2I prdy) oraz 0Z , 1Z , 2Z (impedancje).

Wtedy prawo Kirchhoffa zapiszemy w nastpujcej formie

+=

2

1

0

012

201

120

2

1

0 3

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZZ

E

E

E N

(9.11)

Przy skoczonej impedancji przewodu zerowego wystpi wszystkie harmoniczne prdów

fazowych. Jeli przewód zerowy nie istnieje ( ∞=NZ ) wówczas z definicji prd składowej

zerowej jest równy zeru i powyszy układ równa redukuje si do rzdu drugiego (równanie

pierwsze jako nieokrelone odrzuca si)

=

2

1

01

20

2

1

I

I

ZZ

ZZ

E

E (9.12)

Naley podkreli, e równanie Kirchhoffa dla składowych symetrycznych stanowi

interesujcy z punktu widzenia teoretycznego zwizek midzy składowymi symetrycznymi

napi, prdów i impedancji. Jest wygodn form bezporedniego wyznaczenia składowych

symetrycznych prdu. Nie naley go jednak traktowa jako metody wyznaczania

rzeczywistych prdów w obwodzie trójfazowym przy niesymetrycznym zasilaniu, gdy

zwykła teoria obwodów trójfazowych (bez rozkładu na składowe symetryczne) znacznie

szybciej i prociej prowadzi do wyniku.

243

9.4. Filtry składowych symetrycznych

Filtrami składowych symetrycznych nazywamy układy pomiarowe, których zadaniem jest

wydzielenie odpowiednich składowych symetrycznych napicia lub prdu wystpujcych w

układzie trójfazowym. Filtry takie pełni uyteczn rol w systemie elektroenergetycznym

informujc o wystpowaniu niesymetrii wielkoci napi lub prdów w poszczególnych

fazach układu trójfazowego.

Rozróniamy filtry składowej zerowej, przeciwnej i zgodnej. Najłatwiejsze w

budowie s filtry składowej zerowej prdu i napicia. Wynika to z faktu, e składowa zerowa

stanowi jedn trzeci sumy mierzonych napi lub prdów niesymetrycznych. Urzdzenie

filtrujce musi zatem mierzy sum odpowiednich wielkoci i by przeskalowane w stosunku

1:3. Sporód wielu istniejcych rozwiza filtrów przedstawimy tu 3 wybrane rozwizania

przezentujce filtr składowej zerowej prdów liniowych, filtr składowej zerowej napi

fazowych oraz filtr składowej zgodnej i przeciwnej prdów liniowych.

9.4.1. Filtr składowej zerowej prdów liniowych

W obwodzie trójfazowym czteroprzewodowym (tylko w takim układzie składowa zerowa

moe by róna od zera) włczenie amperomierza bezporednio do przewodu zerowego

pozwoliłoby zmierzy sum prdów liniowych, czyli równie składow zerow tych prdów.

Taki sposób nie jest jednak stosowany ze wzgldu na to, e wymagałby ingerencji w

pracujcy system. W zamian stosuje si metody nieinwazyjne polegajce na zastosowaniu

przekładników prdowych, których włczenie do sieci nie wymaga adnych przełcze w

obwodzie głównym. Przekładnik prdowy transformuje prd pierwotny na prd wtórny

proporcjonalny do prdu pierwotnego ze współczynnikiem proporcjonalnoci k. Jeli prd

pierwotny przekładnika jest równy I1 to prd I2 płyncy po stronie wtórnej przekładnika jest

równy I2=kI1. Schemat układu filtru składowej zerowej prdów liniowych przedstawiony jest

na rys. 9.4.

244

Rys. 9.4. Układ filtru składowej symetrycznej zerowej prdów liniowych

Jak łatwo pokaza uzwojenia wtórne przekładników tworz połczenie równoległe a prd

płyncy przez miernik jest równy sumie prdów liniowych przeskalowanych przez

przekładni k przekładnika. W zwizku z powyszym wskazanie przyrzdu jest równe

03)( kIIIIkI CBAp =++= (9.13)

k

II p

30 = (9.14)

Zwykłe przeskalowanie przyrzdu pomiarowego prdu Ip pozwala na uzyskanie wskazania

równego składowej zerowej prdów liniowych.

9.4.2. Filtr składowej zerowej napi fazowych

Filtr składowej zerowej napi fazowych (rys. 9.5) wykorzystuje równie przekładniki, tym

razem napiciowe, przetwarzajce napicie pierwotne na napicie wtórne zgodnie z relacj

U2=kU1, gdzie k jest przekładni przekładnika. Dziki zastosowaniu przekładnika moliwe

jest obnienie napi pierwotnych do poziomu niskiego a jednoczenie galwaniczne

odizolowanie toru pomiarowego od obwodu głównego.

245

Rys. 9.5 Filtr składowej zerowej napi fazowych

Woltomierz pomiarowy włczony jest na sum napi wtórnych przekładnika. Suma napi

składowej zgodnej i przeciwnej jest równa zeru ze wzgldu na ich symetri. Pozostaje jedynie

wskazanie od składowej zerowej. Woltomierz mierzc sum napi

kUUUU CBAp )( ++= (9.15)

mierzy jednoczenie składow zerow, gdy składowa zerowa jest równa 1/3 tej sumy. W

zwizku z tym składowa zerowa napi fazowych jest proporcjonalna do wskazania

woltomierza, to jest

pUk

U31

0 = (9.16)

9.4.3. Filtr składowej zgodnej i przeciwnej prdów liniowych

Sporód wielu istniejcych rozwiza filtru składowych zgodnych i przeciwnych prdu

omówimy układ uniwersalny, który w zalenoci od doboru parametrów moe pełni rol

246

bd filtru składowej zgodnej bd przeciwnej. Schemat układu filtru przedstawiony jest na

rys. 9.6.

Rys. 9.6 Schemat filtru składowej zgodnej i przeciwnej prdów liniowych

W filtrze zastosowane s równie przekładniki prdowe. Załómy, e uwzgldniamy

impedancj Zp amperomierza pomiarowego. Dodatkowym załoeniem jest zasilanie

trójprzewodowe odbiornika trójfazowego, dla którego słuszna jest relacja 0=++ CBA III . Na

podstawie prawa napiciowego Kirchhoffa dla oczka zaznaczonego na rysunku moemy

napisa

0=++ ppZCCZAA IZIZIZ (9.17)

Prdy IZA oraz IZC mona wyznaczy z prdowego prawa Kirchhoffa jako

pAZA IkII += (9.18)

pCZC IkII += (9.19)

247

Podstawiajc powysze zalenoci do napiciowego prawa Kirchhoffa otrzymuje si

pCA

CCAAp ZZZ

IZIZkI

+++

−= (9.20)

Prdy przewodowe podlegajce rozkładowi na składowe symetryczne, wobec zerowania si

składowej zerowej, mona zapisa w postaci

21 III A += (9.21)

22

1 IaaIIC += (9.22)

Po podstawieniu tych wyrae do wzoru na prd Ip otrzymuje si

( ) ( )

pCA

CACAp ZZZ

ZaZIaZZIkI

+++++

−=2

21 (9.23)

Wzór powyszy wskazuje na to, e prd pomiarowy przy odpowiednim doborze impedancji

moe by proporcjonalny zarówno do składowej zgodnej jak i przeciwnej. Jeli chcemy

mierzy składow zgodn prdów, naley wyzerowa czynnik stojcy przy prdzie składowej

przeciwnej, to jest

02 =+ CA ZaZ (9.24)

Wystarczy w tym celu dobra impedancje w taki sposób, aby

CCA ZjZaZ

+=−=

23

5,02 (9.25)

Istnieje wiele rozwiza tego równania. Wystarczy przyj na przykład

RZC = (9.26)

248

2

32

Rj

RZ A += (9.27)

Oznacza to, e przy wyborze impedancji ZA i ZC okrelonych powyszymi wzorami

(impedancja ZC jest rezystancj a impedancja ZA połczeniem szeregowym rezystancji R/2 i

indukcyjnoci o reaktancji 2

3R

X L = ) amperomierz wskae prd proporcjonalny do

składowej zgodnej prdów liniowych, przy czym

1

23

2

23

223

2 kIZR

Rj

R

Rj

RRj

R

I

p

p

+++

+−+−= (9.28)

Po uproszczeniu wzoru otrzymuje si

16/33

kIZeR

RjI

pjp +

−=π

(9.29)

Jeli zaniedbamy impedancj wewntrzn amperomierza pomiarowego otrzymamy

3/1

πjp ekII = (9.30)

Wskazanie amperomierza wystpujcego w filtrze (moduł mierzonego prdu) jest wic równe

składowej zgodnej prdów liniowych układu, z uwzgldnieniem przekładni k przekładnika

prdowego.

W analogiczny sposób mona otrzyma filtr składowej przeciwnej prdów. W tym

celu naley wyzerowa czynnik przy składowej zgodnej prdów we wzorze (9.23), czyli

0=+ CA aZZ (9.31)

Warunek ten moe by spełniony przy wyborze

RZC = (9.32)

249

2

32

Rj

RaZZ CA −=−= (9.33)

Oznacza to, e dla uzyskania filtru składowej przeciwnej naley wybra impedancj ZC

równ rezystancji R natomiast ZA bdc połczeniem szeregowym rezystancji R/2 oraz

reaktancji pojemnociowej 2

3R

XC = . Prd mierzony przez amperomierz bdzie teraz

równy

2

23

2

23

223

2 kIZR

Rj

R

Rj

RRj

R

I

p

p

++−

−−−−= (9.34)

Po uproszczeniu wzoru otrzymuje si

26/33

kIZeR

RjI

pjp +

−−=− π

(9.35)

Jeli zaniedbamy impedancj wewntrzn amperomierza pomiarowego otrzymamy

3/22

πjp ekII = (9.36)

Wskazanie amperomierza filtru (moduł wartoci skutecznej zespolonej) jest wic równe

składowej przeciwnej prdów liniowych układu, z uwzgldnieniem przekładni k przekładnika

prdowego.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 9.1

250

W symetrycznym układzie trójfazowego generatora zamieniono kocówki fazy A.

Wyznaczy rozkład na składowe symetryczne układu napi fazowych takiego generatora,

jeli VE f 1000= .

Rozwizanie

Po uwzgldnieniu błdnego połczenia napicia fazy A rozkład napi fazowych

przedstawiony jest na rys. 9.7

Rys. 9.7. Wykres wektorowy napi generatora trójfazowego z zadania 9.1

Wartoci skuteczne zespolone napi fazowych s równe:

o

o

jC

jB

A

eE

eE

E

120

120

1000

1000

1000

=

=

−=−

Składowe symetryczne napi równaj si

( ) 67,66631

0 −=++= CBA EEEE

( ) 33,33331 2

1 =++= CBA EaaEEE

( ) 67,66631 2

2 −=++= CBA aEEaEE

251

Zadanie 9.2

Zmierzono nastpujce wartoci napi liniowych (midzyfazowych) w układzie

trójfazowym: V200=ABU , V400=BCU , V400=CAU . Wyznaczy składowe symetryczne

tych napi.

Rozwizanie

Na rys. 9.8 przedstawiono trójkt napi midzyfazowych z napiciem ABU jako podstaw.

Rys. 9.8 Trójkt napi midzyfazowych do zadania 9.2

Dla wyznaczenia wartoci skutecznych zespolonych tych napi naley wyznaczy kt ϕ

zaznaczony na rysunku. Z podstawowych zalenoci geometrycznych wynika, e

oarc 5,75400100

cos =

=ϕ

Wartoci skuteczne zespolone napi liniowych s wic równe

200=ABU

ojBC eU 5,104400 −=

252

ojCA eU 5,104400=

Składowa zerowa napi liniowych jest równa zeru, gdy układ tych napi tworzy trójkt

zamknity.

( ) 031

0 =++= CABCAB UUUU

Składowe symetryczne zgodna i przeciwna napi liniowych równaj si

( )=++= CABCAB UaaUUU 21 3

1323,63

( )=++= CBA aUUaUU 22 3

1-123,53

Rys. 9.9 przedstawia konstrukcj graficzn składowych zgodnej i przeciwnej napi

liniowych.

a)

253

b)

Rys. 9.9. Konstrukcja graficzna składowych symetrycznych: a) zgodnej,

b) przeciwnej napi liniowych

254

Lekcja 10. Metoda równa róniczkowych w analizie stanów nieustalonych

w obwodach

Wstp

W wyniku przełcze lub zmiany wartoci parametrów obwodu RLC powstaje w nim stan

nieustalony, charakteryzujcy si tym, e kształt odpowiedzi obwodu jest inny ni

wymuszenia. Na przykład przy stałym wymuszeniu odpowied jest zmienna wykładniczo,

bd sinusoidalnie. Z upływem czasu odpowiedzi tego typu zanikaj i ich charakter znów

odpowiada charakterowi wymuszenia. Z czasem powstaje wic nowy stan ustalony w

obwodzie o zmienionej strukturze na skutek przełczenia. W stanie nieustalonym obwodu

mona zaobserwowa interesujce zjawiska, które odgrywaj ogromn rol w praktyce.

Analiza tych zjawisk pozwala z jednej strony unikn pewnych niebezpieczestw zwizanych

z przepiciami, które mog wystpi w obwodzie a z drugiej strony wykorzysta te zjawiska

do generacji przebiegów zmiennych w czasie (np. generatory napi harmonicznych).

W tej lekcji zaprezentowane zostan podstawowe metody opisu obwodów RLC w

stanie nieustalonym przy zastosowaniu równa róniczkowych. Wprowadzona zostanie

metoda równa stanu oraz tak zwana metoda klasyczna. Równania stanu s zbiorem wielu

równa róniczkowych pierwszego rzdu zapisanych w postaci jednego równania

macierzowego BuAxx +=dtd

. Zmiennymi stanu tworzcymi wektor x s napicia

kondensatorów i prdy cewek, dla których obowizuj tak zwane prawa komutacji,

pozwalajce na wyznaczenie warunków pocztkowych w obwodzie.

W metodzie klasycznej zbiór równa róniczkowych pierwszego rzdu zostaje

zastpiony jednym równaniem róniczkowym wyszego rzdu wzgldem jednej zmiennej

stanu. Wprowadzone zostanie pojcie równania charakterystycznego oraz biegunów układu,

decydujcych o charakterze rozwizania obwodu w stanie nieustalonym.

255

10.1 Podstawowe pojcia stanów nieustalonych

Analizujc przebiegi czasowe procesów zachodzcych w obwodach elektrycznych naley

wyróni dwa stany:

• stan ustalony charakteryzujcy si tym, e posta odpowiedzi jest identyczna z postaci

wymuszenia (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne odpowied ustalona

jest równie sinusoidalna o tej samej czstotliwoci cho innej fazie pocztkowej i innej

amplitudzie)

• stan przejciowy, w którym przebiegi czasowe odpowiedzi maj inny charakter ni

wymuszenie (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie stałe odpowied obwodu jest

wykładniczo malejca czy oscylacyjna).

Stan nieustalony w obwodzie RLC powstaje jako nałoenie si stanu przejciowego (zwykle

zanikajcy) i stanu ustalonego przy zmianie stanu obwodu spowodowanego przełczeniem.

Moe on wystpi w wyniku przełcze w samym obwodzie pasywnym (zmiana wartoci

elementów, zwarcie elementu, wyłczenie elementu) lub w wyniku zmiany sygnałów

wymuszajcych (parametrów ródeł napiciowych i prdowych, w tym take załczeniem lub

wyłczeniem ródła). Dowoln zmian w obwodzie nazywa bdziemy komutacj. Zakłada

bdziemy, e czas trwania komutacji jest równy zeru, co znaczy e wszystkie przełczenia

odbywaj si bezzwłocznie.

W obwodach elektrycznych proces komutacji modeluje si zwykle przy pomocy

wyłczników i przełczników wskazujcych na rodzaj przełczenia. Chwil czasow

poprzedzajc bezporednio komutacj oznacza bdziemy w ogólnoci przez −0t (w

szczególnoci przez −0 ), natomiast chwil bezporednio nastpujc po komutacji przez +0t

(w szczególnoci przez +0 ), gdzie 0t jest chwil przełczenia (komutacji).

10.2 Prawa komutacji

10.2.1 Własnoci energetyczne cewki i kondensatora

Przejcie z jednego stanu ustalonego do drugiego, powstajcego na skutek komutacji, musi

uwzgldni zasad zachowania energii. Odnosi si ona do elementów gromadzcych energi

elektryczn, w tym do kondensatora i cewki. Powstanie stanów nieustalonych w obwodzie

jest wic cile zwizane z właciwociami gromadzenia energii w elementach

256

reaktancyjnych obwodu (cewce i kondensatorze). Warto energii nagromadzonej w polu

magnetycznym cewki o strumieniu Ψ oraz prdzie Li jest opisana wzorem

LL iW Ψ=21

(10.1)

Przy załoeniu, e warto indukcyjnoci L cewki pozostaje niezmieniona w wyniku

przełczenia, wobec LLi=Ψ wzór na energi cewki moe by uproszczony do postaci

2

21

LL LiW = (10.2)

Podobnie warto energii nagromadzonej w polu elektrycznym kondensatora zawierajcego

ładunek q i naładowanego do napicia Cu wynosi

CC quW21= (10.3)

Przy załoeniu, e warto pojemnoci C kondensatora pozostaje niezmieniona w wyniku

przełczenia i wobec CCuq = wzór na energi kondensatora moe by uproszczony do

postaci

2

21

CC CuW = (10.4)

Z zasady zachowania energii wynika, e energia cewki i kondensatora nie moe zmieni

swojej wartoci w sposób skokowy. Z zasady cigłoci energii w obwodzie wynikaj tzw.

prawa komutacji, które mówi o cigłoci strumienia i prdu w cewce oraz o cigłoci

ładunku i napicia na kondensatorze. Prawo dotyczce cewki nazywa bdziemy pierwszym

prawem, a dotyczce kondensatora – drugim prawem komutacji.

10.2.2 Pierwsze prawo komutacji

Strumie skojarzony cewki nie moe ulec skokowej zmianie na skutek przełczenia w

obwodzie, co oznacza, e strumie ten w chwili tu przed komutacj jest równy strumieniowi

257

w chwili tu po komutacji, co mona zapisa w postaci (w równaniu przyjto, e komutacja

zachodzi w chwili t0=0)

)0()0( +− Ψ=Ψ (10.5)

Uwzgldniajc, e strumie skojarzony z cewk jest równy LLi=Ψ , przy niezmienionej

wartoci indukcyjnoci pierwsze prawo komutacji mona równie zapisa w postaci

)0()0( +− = LL ii (10.6)

Jest to najczciej w praktyce uywana posta pierwszego prawa komutacji w odniesieniu do

cewki.

10.2.3 Drugie prawo komutacji

Ładunek zgromadzony na kondensatorze nie moe zmieni si w sposób skokowy na skutek

komutacji, co oznacza, e ładunek ten w chwili tu przed komutacj jest równy ładunkowi w

chwili tu po komutacji, co mona zapisa w postaci

)0()0( +− = qq (10.7)

Uwzgldniajc, e ładunek zgromadzony na kondensatorze jest równy CCuq = , przy

niezmienionej wartoci pojemnoci kondensatora, drugie prawo komutacji mona równie

zapisa w postaci

)0()0( +− = CC uu (10.8)

Ostatnia posta prawa komutacji dotyczca napicia na kondensatorze jest najczciej

uywana w praktyce.

Naley zaznaczy, e prawa komutacji dotycz wyłcznie prdu (strumienia) cewki i

napicia (ładunku) kondensatora. Inne wielkoci zwizane z tymi elementami (prd

kondensatora, napicie cewki) jak równie prd i napicie na rezystorze nie s zwizane

bezporednio zalenociami energetycznymi i mog zmienia si w sposób skokowy podczas

258

komutacji. Wartoci jakie przybieraj tu po komutacji wynikaj bd z praw Kirchhoffa bd

z prawa Ohma.

Przy załoeniu, e chwil komutacji uwaa bdziemy za chwil pocztkow analizy

obwodu w stanie nieustalonym ( 00 =t ) istotnym problemem w analizie obwodu jest

wyznaczenie warunków pocztkowych procesu, czyli wartoci napi na kondensatorach i

prdów cewek w chwili przełczenia (u nas )0( −Li oraz )0( −

Cu ). Zwykle przyjmuje si, e

przełczenie nastpuje ze stanu ustalonego obwodu. Warunki pocztkowe wynikaj wówczas

z wartoci ustalonych tych wielkoci w chwili tu przed przełczeniem −= 00t . Warunki

pocztkowe mog by przy tym zerowe, jeli prdy wszystkich cewek i napicia wszystkich

kondensatorów w chwili przełczenia miały wartoci zerowe. Znajomo warunków

pocztkowych w obwodzie jest niezbdna przy wyznaczaniu rozwizania obwodu w stanie

nieustalonym.

Wyznaczenie stanu pocztkowego napicia kondensatora i prdu cewki w obwodzie

sprowadza si do

• rozwizania stanu ustalonego obwodu przed przełczeniem (przy wymuszeniach

sinusoidalnych metod symboliczn),

• okrelenia postaci czasowej tego rozwizania dla prdu cewki )(tiL i napicia

kondensatora )(tuC oraz

• wyznaczenia wartoci tego rozwizania odpowiadajcego chwili czasowej przełczenia (u

nas )0( −Li oraz )0( −

Cu ).

10.3 Opis stanowy obwodu RLC

Wykorzystujc opis ogólny elementów RLC oraz prawa Kirchhoffa łatwo pokaza, e liniowe

obwody elektryczne RLC w stanach nieustalonych mog by opisane przez równania

róniczkowe i całkowe. Porzdkujc te równania i eliminujc zmienne nie bdce prdami

cewek i napiciami kondensatorów mona uzyska tak zwan posta kanoniczn opisu w

postaci układu równa róniczkowych, który mona przedstawi nastpujco

259

)(...

..................

)(...

)(...

2211

222221212

112121111

tfxaxaxadt

dx

tfxaxaxadt

dx

tfxaxaxadt

dx

nnnnnnn

nn

nn

++++=

++++=

++++=

(10.9)

Zmienne 1x , 2x , .., nx wystpujce w równaniach oznaczaj prdy cewek lub napicia

kondensatorów (tzw. zmienne stanu). W opisie obwodu operuje si zwykle minimalnym

zbiorem zmiennych stanu, które s niezbdne dla wyznaczenia pozostałych wielkoci w

obwodzie. Liczba zmiennych stanu n zaley od liczby reaktancji w obwodzie i jest najczciej

równa (w szczególnych przypadkach mniejsza) sumie liczby kondensatorów i cewek

włczonych w obwodzie. Stałe współczynniki aij wystpujce w równaniu (10.9) stanowi

kombinacje wartoci parametrów R, L, C, M elementów pasywnych obwodu oraz parametrów

ródeł sterowanych. Funkcje czasu f1(t), f2(t), ..., fn(t) zwizane s z wymuszeniami

napiciowymi i prdowymi w obwodzie. Przedstawiony powyej układ równa mona

zapisa w postaci macierzowej

+

⋅

=

)(...

)()(

......

..................

...

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

tf

tf

tf

x

x

x

aaa

aaa

aaa

dtdx

dtdxdt

dx

nnnnnn

n

n

n

(10.10)

W przypadku obwodów liniowych funkcje fi(t) wystpujce po prawej stronie wzoru s

liniowymi funkcjami wymusze prdowych i napiciowych. Oznaczajc wymuszenia

prdowe bd napiciowe w ogólnoci przez ui mona te funkcje zapisa przy pomocy

zalenoci macierzowej

⋅

=

mnmnn

m

m

n u

u

u

bbb

bbb

bbb

tf

tf

tf

......

..................

)(...

)()(

2

1

21

22221

11211

2

1

(10.11)

260

Jeli macierz zawierajc elementy aij oznaczymy jako A, macierz o elementach bij jako

macierz B, wektory zawierajce zmienne stanu przez x a wartoci wymusze przez u, to

równanie stanu opisujce obwód elektryczny mona przedstawi w postaci

)()()(

ttdt

td BuAxx += (10.12)

Jest to ogólna posta opisu stanowego obwodu liniowego RLC. Reprezentuje ona układ n

równa róniczkowych liniowych rzdu pierwszego. Elementy macierzy A i B zale

wyłcznie od wartoci parametrów obwodu. Elementy wektora u stanowi ródła niezalene

prdu i napicia w obwodzie. Zmienne stanu to niezalene napicia na kondensatorach i prdy

cewek.

10.4. Rozwizanie stanów nieustalonych w obwodach metod zmiennych stanu 10.4.1 Rozwizanie ogólne Jak zostało pokazane w punkcie poprzednim układ równa róniczkowych opisujcych

obwód elektryczny moe by przedstawiony w postaci macierzowego równania stanu (10.12).

Jeli załoymy, e wektor stanu x(t) jest n-wymiarowy a wektor wymusze u(t) m-

wymiarowy, to macierz stanu A ma wymiar nn × , a macierz B mn× . Równanie (10.12)

nazywane jest macierzowym równaniem stanu obwodu elektrycznego. Rozwizanie tego

równania pozwala wyznaczy przebieg czasowy zmiennych stanu tworzcych wektor x(t).

Jeli dodatkowo interesuj nas inne zmienne w obwodzie, na przykład prdy i napicia

rezystorów, prdy kondensatorów czy napicia na cewkach to naley sformułowa drugie

równanie, tzw. równanie odpowiedzi y(t), które uzalenia poszukiwane wartoci od

zmiennych stanu i wymusze. Równanie to zapiszemy w postaci

)()()( ttt DuCxy += (10.13)

Równania (10.12) i (10.13) tworz par równa stanu

)()()(

)()()(

ttt

ttdt

td

DuCxy

BuAxx

+=

+= (10.14)

261

która w pełni opisuje stan obwodu przy załoeniu, e znane s warunki pocztkowe x0=x(t0),

gdzie t0 oznacza chwil przełczenia. W przypadku ogólnym rozwizanie równania stanu

przyjmuje posta

ττ dtetett

t

ttt

−− +=0

0 )()()( )(0

)( Buxx AA (10.15)

Zaleno powysza stanowi rozwizanie ogólne, które dla konkretnych wartoci funkcji

wymuszajcych zadanych wektorem u wyznacza rozwizanie czasowe dla zmiennych stanu.

We współczesnych metodach numerycznych równania stanu stanowi punkt wyjcia w

okrelaniu dokładnego rozwizania równa liniowych lub przyblionego dla

zlinearyzowanych równa stanu. S one równie bardzo wygodne w zastosowaniach

przyblionych metod całkowania równa róniczkowych ze wzgldu na to, e wszystkie

równania stanu s rzdu pierwszego, dla których istniej wyspecjalizowane metody

całkowania przyblionego.

W rozwizaniu (10.15) równania stanu wystpuj dwa człony, z których pierwszy jest

zaleny tylko od warunków pocztkowych niezerowych (energii zgromadzonej w cewkach i

kondensatorach), a drugi stanowi odpowied obwodu na wymuszenia tworzce wektor u(t).

Pierwsz cz nazywa bdziemy składow przejciow, a drug – składow wymuszon

(ustalon). Zaleno (10.15) moe wic by przedstawiona w postaci

)()()( ttt up xxx += (10.16)

W praktyce obliczenie składowej ustalonej według zalenoci (10.15), zwłaszcza przy

wymuszeniu sinusoidalnym, jest niezwykle uciliwe, gdy wymaga całkowania złoonych

funkcji macierzowych. W zamian mona wykorzysta fakt, e stan nieustalony jest

superpozycj stanu ustalonego i przejciowego, i w rozwizaniu stanu ustalonego zastosowa

metod symboliczn analizy obwodów, która pozwala wyznaczy rozwizanie w stanie

ustalonym bez operacji całkowania (patrz lekcja 4). W ten sposób stan nieustalony rozbity

zostaje na dwa niezalene od siebie stany: stan ustalony (składowa xu(t)), pochodzcy od

niezalenych wymusze, wyznaczany metod symboliczn oraz stan przejciowy (składowa

xp(t)), w którym te wymuszenia nie wystpuj (ródła napiciowe zwarte a prdowe

262

rozwarte). Zauwamy, e przy braku wymuszenia (u=0) obwód dla składowej przejciowej

opisuje si prostszym równaniem stanu

)(

)(t

dttd

pp Ax

x=

(10.17)

którego rozwizanie nie wymaga całkowania funkcji i dane jest w postaci

)()(0

)0( +−= tet ptt

p xx A (10.18)

Jeli dodatkowo przyjmiemy, e chwila przełczenia t0 oznacza pocztek liczenia czasu (t0=0)

to w naszym podejciu xp(t0+)=xp(0+). Zauwamy, e wartoci pocztkowe w obwodzie

dotycz chwili tu po przełczeniu, oznaczanej zwykle symbolem 0+. Przy rozbiciu stanu

nieustalonego na dwie składowe wymagane jest wic wyznaczenie wartoci xp(0+) dla

składowej przejciowej. Mona tego dokona korzystajc z praw komutacji, które tutaj

przepiszemy w postaci

)0()0()0()0( +++− +== pu xxxx (10.19)

Przy znanych wartociach )0( −x oraz )0( +ux z zalenoci (10.19) mona wyznaczy warto

)0( +px , jako

)0()0()0( +−+ −= up xxx (10.20)

W tej sytuacji rozwizanie równania stanu (10.17) mona przedstawi w postaci

)0()( += pt

p et xx A

(10.21)

w której warto )0( +px jest okrelona zalenoci (10.20). Do okrelenia rozwizania w

stanie przejciowym naley wyznaczy jeszcze macierz eAt, w której wykładnik jest macierz

a nie skalarem. Dla obliczenia eAt naley w pierwszej kolejnoci obliczy wartoci własne

macierzy stanu A.

263

10.4.2 Wartoci własne i wektory własne macierzy kwadratowej

Załómy, e A jest macierz kwadratow stopnia n. Macierz (s1-A) nazywana jest macierz

charakterystyczn A, przy czym 1 oznacza macierz jednostkow stopnia n, to jest macierz

diagonaln 1=diag(1, 1,..., 1). Wyznacznik macierzy charakterystycznej det(s1-A) nazywamy

wielomianem charakterystycznym macierzy, a równanie

det(s1-A)=0 (10.22)

nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Równanie to po rozwiniciu

wyraenia wyznacznika przyjmuje posta wielomianu n-tego stopnia

0... 011

1 =++++ −− asasas n

nn (10.23)

Pierwiastki tego równania s1, s2, ..., sn nazywamy wartociami własnymi macierzy A. Mog

one przyjmowa wartoci rzeczywiste lub zespolone, pojedyncze lub wielokrotne. Z kad

wartoci własn si skojarzony jest wektor własny xi o niezerowej wartoci i wymiarze n,

spełniajcy równanie

iii s xAx = (10.24)

Jeli wszystkie wartoci własne s róne to na podstawie równania (10.24) mona napisa n

równa liniowych o postaci

nnn s

s

s

xAx

xAxxAx

=

==

...............222

111

(10.25)

z rozwizania których mona wyznaczy wszystkie wektory własne xi.

Przykład 10.1

Dla macierzy stanu

264

−−−−

=3122

A

wyznaczy wartoci i wektory własne

Rozwizanie

Równanie charakterystyczne

0453122

1001

det)det( 2 =++=

−−−−

−

=− ssss A1

Pierwiastki tego równania bdce wartociami własnymi A s równe s1=-4 oraz s2=-1.

Wektory własne spełniaj relacj (10.25), która w naszym przypadku przyjmie posta

−=

−−−−

−=

−−−−

22

12

22

12

21

11

21

11

13122

43122

x

x

x

x

x

x

x

x

Powyszym równaniom odpowiadaj cztery równania skalarne o postaci

222212

122212

212111

112111

3

22

43

422

xxx

xxx

xxx

xxx

−=−−−=−−

−=−−−=−−

Biorc pod uwag, e dwa sporód nich s zalene, dwie zmienne mona przyj dowolnie,

na przykład x11=1 oraz x21=1. Z rozwizania pozostałych 2 równa otrzymuje si wektory

własne o postaci

−=

=

12

,11

21 xx

Przykład 10.2

Napisa układ równa stanu dla obwodu elektrycznego przedstawionego na rys. 10.1

265


Rozwizanie

Z praw Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rys. 10.1 wynikaj nastpujce równania

CL

LCC

iii

uuRie

−=++=

Biorc pod uwag, e

dtdi

Lu LL =

oraz

dt

duCi C

C =

równania Kirchhoffa mona przekształci do równowanej postaci równa róniczkowych

iidt

duC

udt

diLiiRe

LC

CL

L

−=

++−= )(

które przyjmuj uporzdkowan form odpowiadajc postaci (10.9)

iC

iCdt

du

iLR

eL

uL

iLR

dtdi

LC

CLL

11

11

−=

++−−=

266

Równania powysze mona zapisa w postaci zalenoci macierzowej równania stanu, w

której zmiennymi stanu s prd cewki i napicie kondensatora.

−+

−−

=

i

e

C

LR

Lu

i

C

LLR

dtdudtdi

C

L

C

L

10

1

01

1

Wektor stanu x jest równy

=

C

L

u

ix

a wektor wymusze

=

i

eu .

Obwód liniowy zawierajcy dwa elementy reaktancyjne (cewka i kondensator) opisuje si

wic macierzowym równaniem stanu drugiego rzdu. Macierz stanu A jest macierz równie

drugiego rzdu o współczynnikach uzalenionych od wartoci rezystancji, pojemnoci oraz

indukcyjnoci. Macierz B zawiera dwa wiersze (liczba zmiennych stanu) oraz dwie kolumny

(liczba wymusze w obwodzie). Przyjmujc w analizie wartoci liczbowe obwodu: R=2Ω,

L=1H, C=1F otrzymuje si macierz stanu A o postaci

−−=

0112

A

Równanie charakterystyczne tej macierzy jest równe

120112

00

det)det( 2 ++=

−−−

=− ss

s

ss A1

Wartoci własne (pierwiastki równania charakterystycznego) s w tym przypadku sobie

równe i wynosz 121 −== ss . Dla rozwaanego obwodu RLC s one połoone w lewej

półpłaszczynie zmiennej zespolonej s na ujemnej osi rzeczywistej.

267

10.4.3 Wyznaczanie macierzy eAt

Kluczem do wyznaczenia rozwizania obwodu w stanie przejciowym metod zmiennych

stanu jest okrelenie macierzy eAt. Istnieje wiele metod rozwizania tego zadania. Tutaj

przedstawimy trzy z nich: metod Lagrange’a-Sylvestera, diagonalizacji macierzy oraz

Cayleya-Hamiltona. W kadej z nich wymagane jest wyznaczenie wartoci własnych si

macierzy A.

Metoda Lagrange’a-Sylvestera

W metodzie tej macierz eAt wyznacza si z prostej zalenoci podanej w postaci jawnej

( )

( )

∏

∏=

≠

≠

−

−=

n

rn

rtrt

n

rtt

tst

ss

see r

1

A1A (10.26)

Z analizy powyszego wzoru widoczne jest, e metoda Lagrange’a-Sylvestera obowizuje

jedynie dla przypadku wartoci własnych pojedynczych (przy wartociach wielokrotnych

mianownik zalenoci staje si zerowy).

Metoda diagonalizacji macierzy

W metodzie diagonalizacji macierzy zastpuje si obliczenie macierzy eAt poprzez

transformacj macierzy A do postaci diagonalnej D o tych samych wartociach własnych.

Diagonalna macierz D posiada prost form macierzow eDt, bdc równie macierz

diagonaln o postaci

=

ts

ts

ts

t

ne

e

e

e

000............000000

2

1

D (10.27)

Mnoc obustronnie równanie stanu dx/dt = Ax przez nieosobliw macierz U przekształca

si je do postaci d(Ux)/dt = UAx. Wprowadmy nowy wektor v = Ux. Wówczas oryginalne

równanie stanu przekształca si do postaci okrelonej wzgldem v, przy czym

nadobowizkowe

268

Dvv =dtd

(10.28)

gdzie D jest macierz diagonaln okrelon wzorem D=UAU-1 o wartociach diagonalnych

równych wartociom własnym macierzy A. Macierz przekształcenia U naley tak dobra,

aby spełniona była równo UA=DU. Zaleno ta reprezentuje sob układ równa

liniowych. Rozwizanie równania stanu (19.28) dane jest w prostej formie

)0()( vv Dtet = (10.29)

Biorc pod uwag, e v=Ux, po wstawieniu tej zalenoci do równania (10.29) otrzymuje

si )0()( UxUx Dtet = , co pozwala napisa wyraenie na x(t) w postaci

)0()( 1 UxUx Dtet −= (10.30)

Oznacza to, e macierz eAt została okrelona wzorem

UU DA tt ee 1−= (10.31)

Zauwamy, e powysza metoda prowadzi do wyniku wyłcznie dla pojedynczych wartoci

własnych macierzy A, podobnie jak metoda Lagrange’a-Sylwestera.

Metoda Cayleya-Hamiltona

Zgodnie z t metod macierz eAt rozwija si w szereg skoczony o n składnikach (n – stopie

macierzy A)

1110 ... −

−+++= nn

t aaae AA1A (10.32)

Dla pełnego okrelenia rozwizania naley wyznaczy wszystkie współczynniki ai (i = 0, 1,...,

n-1) rozwinicia (10.32).

W przypadku pojedynczych wartoci własnych nieznane współczynniki wyznacza si z

rozwizania układu n równa skalarnych, wynikajcych z twierdzenia Cayleya-Hamiltona.

Zgodnie z tym twierdzeniem kada macierz kwadratowa spełnia swoje równanie

269

charakterystyczne. Oznacza to w praktyce, e równanie (10.32) musi by spełnione równie

przez wartoci własne macierzy A (macierz A jest zastpiona w tym równaniu przez kolejne

wartoci własne skalarne). W przypadku pojedynczych wartoci własnych prowadzi to do

układu n równa z n niewiadomymi o postaci

1110

121210

111110

...

. . . . . . . . . . . . . . . . .

...

...2

1

−−

−−

−−

+++=

+++=

+++=

nnnn

ts

nn

ts

nn

ts

sasaae

sasaae

sasaae

n

(10.33)

Rozwizanie powyszego układu równa wzgldem współczynników ai pozwala okreli

pełn posta macierzy eAt według wzoru (10.32).

Wzór Cayleya-Hamiltona obowizuje równie dla wielokrotnych wartoci własnych,

przy czym ubytek równa w zbiorze (10.33) wynikajcy z wielokrotnoci wartoci

własnych uzupełnia si analogicznymi równaniami obowizujcymi dla pochodnych

wzgldem wartoci własnej wielokrotnej. Przykładowo, jeli k-ta warto własna sk

wystpuje podwójnie, wówczas obowizuj dla niej dwie równoci Cayleya-Hamiltona o

postaci

2

121

1110

)1(...2

...

−−

−−

−+++==

+++=

nknk

ts

k

ts

nknk

ts

sansaateds

de

sasaae

kk

k

(10.34)

W ten sposób brakujce równanie w układzie (10.33) zostaje zastpione równaniem dla

pochodnej i układ równa pozostaje rozwizywalny.

Przykład 10.3

Obliczanie macierzy eAt zilustrujemy na przykładzie macierzy stanu A o podwójnej

wartoci własnej. Macierz stanu dana jest w postaci

−−=

0224

A

Rozwizanie

270

Równanie charakterystyczne macierzy A

044)det( 2 =++=− sss A1

Wartoci własne s pierwiastkami równania charakterystycznego i równaj si s1=s2=-2

(pierwiastek podwójny). Wobec podwójnej wartoci własnej macierz eAt wyznaczymy

stosujc metod Cayleya-Hamiltona. Zgodnie z t metod dla macierzy stopnia n=2 mamy

A1A10 aae t +=

Wartoci współczynników ai wyznaczymy rozwizujc układ równa

11

110

11

1

ateds

de

saae

tsts

ts

==

+=


1

2

102 2

ate

aaet

t

=

−=−

−

Rozwizanie wzgldem współczynników a0 i a1 pozwala uzyska

t

tt

tea

teea2

1

220 2

−

−−

=

+=

Po wstawieniu tych wartoci do wzoru na eAt otrzymuje si

( ) ( )( )

+−−=

−−+

+= −−−

−−−−−−

ttt

ttttttt

teete

teteeteteee

222

222222

2222

0224

1001

2A

10.4.4 Obliczanie stanu nieustalonego w obwodzie metod zmiennych stanu

Jak zostało przedstawione na wstpie najwygodniejsz metod obliczenia przebiegów

czasowych w stanie nieustalonym metod zmiennych stanu jest rozdzielenie stanu

nieustalonego po przełczeniu w obwodzie na stan ustalony i przejciowy. Stan ustalony

okrelany jest metod symboliczn, a stan przejciowy metod zmiennych stanu. W ten

nadobowizkowe

271

sposób unika si trudnego problemu całkowania złoonych zalenoci matematycznych. W

efekcie rozwizanie stanu nieustalonego w obwodzie składa si z nastpujcych etapów.

• Okrelenie warunków pocztkowych w obwodzie przed przełczeniem. W praktyce

oznacza to wyznaczenie prdów cewek i napi kondensatorów w obwodzie w stanie

ustalonym (np. metod symboliczn), przejcie na posta czasow tych rozwiza i

okrelenie wszystkich wartoci prdów cewek i napi kondensatorów w chwili

przełczenia. Wartoci pocztkowe iL(0-) oraz uC(0-) utworz wektor stanu x w chwili

pocztkowej 0-.

• Okrelenie stanu ustalonego w obwodzie po przełczeniu (np. metod symboliczn). W

wyniku otrzymuje si wartoci ustalone prdów cewek iLu(t) i napi kondensatorów

uCu(t). Wartoci te tworz wektor xu(t) w stanie ustalonym.

• Okrelenie stanu przejciowego w obwodzie po przełczeniu. Obwód dla stanu

przejciowego powstaje po odrzuceniu wszystkich ródeł wymuszajcych niezalenych

(zwarcie ródeł napicia e(t) oraz rozwarcie ródeł prdowych i(t)), od których

odpowied w stanie ustalonym została ju obliczona. Obwód taki opisuje si równaniem

stanu o postaci dxp/dt=Axp którego rozwizanie okrelone jest zalenoci (10.21) przy

warunkach pocztkowych okrelonych dla składowej przejciowej zmiennych stanu.

Oznacza to konieczno okrelenia dla kadej cewki i kondensatora wielkoci iLp(0+)

oraz uCp(0+). Korzystajc z równania (10.20) otrzymuje si

)0()0()0(

)0()0()0(+−+

+−+

−=

−=

LuLLp

CuCCp

iii

uuu (10.35)

Po okreleniu warunków pocztkowych dla składowej przejciowej mona z zalenoci

(10.21) wyznaczy pełne rozwizanie obwodu w stanie przejciowym.

• Rozwizanie całkowite obwodu składa si z czci ustalonej i przejciowej. Mona je

zapisa w postaci

)()()(

)()()(

tititi

tututu

LpLuL

CpCuC

+=

+= (10.36)

co odpowiada zapisowi macierzowemu dla zmiennych stanu x(t)=xu(t)+xp(t).

272

Przykład 10.4

Rozpatrzmy stan nieustalony w obwodzie RLC przedstawionym na rys. 10.2a po

przełczeniu. Dane elementów: R=5, L=2H, C=0,5F, e(t)=6V (napicie stałe).

a) b)

Rys. 10.2 Obwód RLC do przykładu 10.4: a) obwód wyjciowy, b) posta obwodu do

wyznaczenia stanu przejciowego

Rozwizanie

Warunki pocztkowe w postaci prdu cewki i napicia na kondensatorze oblicza si na

podstawie stanu ustalonego przed przełczeniem. Przy stałym wymuszeniu w obwodzie (=0)

cewka stanowi zwarcie a kondensator przerw. Oznacza to, e prd płyncy w obwodzie jest

równy iL(t)=6/10=0,6A. Std iL(0-)=0,6. Napicie na kondensatorze (przed przełczeniem

pozostaje poza obwodem) jest zerowe, std uC(0-)=0. Po przełczeniu powstaje obwód złoony z szeregowego połczenia elementów R, L i

C. W stanie ustalonym wobec =0 kondensator stanowi przerw i prd ustalony w takim

obwodzie nie płynie, iLu(t)=0 a napicie kondensatora uCu(t)=6. Oznacza to, e warunki

pocztkowe dla składowej ustalonej dane s w postaci: iLu(0+)=0 oraz uCu(0+)=6.

Wyznaczenie stanu przejciowego rozpoczniemy od warunków pocztkowych dla

tego stanu. Warunki pocztkowe dla stanu przejciowego okrelone s w postaci (patrz

równanie (10.35))

660)0()0()0(

6,006,0)0()0()0(

−=−=−=

=−=−=+−+

+−+

CuCCp

LuLLp

uuu

iii

273

Std warunki pocztkowe dla stanu przejciowego mona zapisa w postaci wektorowej

−=

= +

++

66,0

)0(

)0()0(

Cp

Lpp u

ix

Równania stanu przejciowego dotycz obwodu bez wymusze zewntrznych (ródło

napiciowe zwarte) przedstawionego na rys. 10.2b. Z prawa napiciowego Kirchhoffa po

uwzgldnieniu równa elementów obwodu otrzymuje si nastpujce równania róniczkowe

dt

duCi

uRidt

diL

CpLp

CpLpLp

=

=++ 0

Po uporzdkowaniu tych równa otrzymuje si równanie macierzowe stanu w postaci

−−=

−−=

Cp

Lp

Cp

Lp

Cp

Lp

u

i

u

i

C

LLR

dt

dudt

di

025,05,2

01

1

z którego wynika, e macierz stanu A jest równa

−−=

025,05,2

A

Równanie charakterystyczne dla macierzy A dane jest w postaci

015,2)det( 2 =++=− sss A1

Wartoci własne s pierwiastkami równania charakterystycznego i równaj si s1=-2, s2=-0,5.

Macierz eAt wyznaczymy stosujc metod Sylvestera. Zgodnie z t metod

( )( )

( )( ) 2/3

225,05.0

2/35,02

5,02

5,02

21

1

12

2 21

−

−−+

−−=

−−+

−−= −− tttstst ee

sss

ess

see

A1A1A

Po wykonaniu odpowiednich operacji matematycznych otrzymuje si

( ) ( )( ) ( )

+−+−−−= −−−−

−−−−

tttt

ttttt

eeee

eeeee

5,025,02

5,025,02

33,133,033,133,133,033,033,033,1A

274

Rozwizanie okrelajce wektor stanu w stanie przejciowym oblicza si z zalenoci

−+−== −−

−−+

tt

tt

pt

pee

eeet

5,02

5,02

2,72,18,12,1

)0()( xx A

Całkowite rozwizanie obwodu w stanie nieustalonym mona wic przedstawi w postaci

ttCpCuC

ttLpLuL

eetututu

eetititi5,02

5,02

2,72,16)()()(

8,12,1)()()(−−

−−

−+=+=

+−=+=

10.5 Metoda klasyczna rozwizania równa róniczkowych

W przypadku, gdy interesuje nas tylko jedna wybrana zmienna (jeden prd bd jedno

napicie w obwodzie) układ równa stanu pierwszego rzdu mona sprowadzi do jednego

równania róniczkowego n-tego rzdu wzgldem tej zmiennej

)(... 012

2

21

1

1 tfxadtdx

adt

xda

dtxd

adt

xda

n

n

nn

n

nn

n

n =+++++−

−

−−

−

− (10.37)

Rozwizanie powyszego równania róniczkowego, podobnie jak w metodzie zmiennych

stanu, mona przedstawi w postaci sumy dwu składowych: ustalonej )(txu wymuszonej

przez ródło oraz składowej przejciowej )(tx p , zwanej równie składow swobodn,

pochodzc od niezerowych warunków pocztkowych

)()()( txtxtx pu += (10.38)

Składowa wymuszona stanowi rozwizanie ustalone obwodu po komutacji i moe by

wyznaczona metod symboliczn. Składowa przejciowa charakteryzuje fizycznie procesy

zachodzce w obwodzie elektrycznym na skutek niezerowych warunków pocztkowych przy

braku wymusze zewntrznych. Odpowiada ona obwodowi, w którym wyeliminowano

wszystkie zewntrzne ródła wymuszajce (ródła napiciowe zwarte a prdowe rozwarte).

Składowa przejciowa zaley jedynie od warunków pocztkowych (napi

pocztkowych kondensatorów i prdów pocztkowych cewek), struktury obwodu i wartoci

275

parametrów tego obwodu. Dla obwodów elektrycznych zawierajcych elementy rozpraszajce

energi (rezystancje) składowa przejciowa, jak zostanie pokazane póniej, zanika z biegiem

czasu do zera. Równanie składowej przejciowej otrzymuje si zakładajc wymuszenie f(t)

we wzorze (10.37) równe zeru i zastpujc zmienn )(tx poprzez jej składow przejciow

)(tx p . Otrzymuje si wówczas równanie róniczkowe jednorodne o postaci

0... 012

2

21

1

1 =+++++−

−

−−

−

− pp

n

pn

nn

pn

nn

pn

n xadt

dxa

dt

xda

dt

xda

dt

xda (10.39)

Rozwizanie powyszego równania jednorodnego uzyskuje si za porednictwem równania

charakterystycznego

0... 012

21

1 =+++++ −−

−− asasasasa n

nn

nn

n (10.40)

Jest to wielomian n-tego rzdu zmiennej zespolonej s o współczynnikach rzeczywistych ia .

Jest on identyczny z równaniem charakterystycznym otrzymanym dla zmiennych stanu.

Pierwiastki is (i=1, 2, ..., n) tego wielomianu stanowi bieguny układu, identyczne z

wartociami własnymi macierzy stanu A. W tym punkcie ograniczymy si jedynie do

przypadku biegunów pojedynczych. Przy takim załoeniu rozwizanie równania (10.39) dla

składowej przejciowej zapiszemy w postaci

tsn

iip

ieAtx =

=1

)( (10.41)

W rozwizaniu tym współczynniki iA s stałymi całkowania, które naley wyznaczy

wykorzystujc znajomo warunków pocztkowych w obwodzie (napi kondensatorów i

prdów cewek w chwili komutacji t=0). W tym celu naley wyznaczy rozwizanie

równania (10.39) dla kadej składowej przejciowej zmiennej stanu )(tx pk oddzielnie, a

nastpnie rozwizanie całkowite )()()( txtxtx pkukk += dla k=1, 2, ..., n. Kada ze zmiennych

)(txk posiada znan warto rozwizania )0( −kx w chwili t=0 (warunki pocztkowe). Z

cigłoci prdów cewek i napi kondensatorów wynika nastpujca zaleno

276

)0()0()0( ++− += pkukk xxx (10.42)

Piszc t równo dla wszystkich n zmiennych stanu otrzymuje si n równa algebraicznych z

n nieznanymi współczynnikami iA . Z rozwizania tego układu wyznacza si wszystkie

współczynniki iA i podstawia do wzoru ogólnego (10.41). Po wyznaczeniu rozwizania

obwodu dla składowej ustalonej i przejciowej rozwizanie całkowite równania (10.37) jest

sum obu rozwiza czstkowych, to znaczy

)()()( txtxtx pu += (10.43)

Powysza procedura rozwizania stanu nieustalonego w obwodzie poprzez rozwizanie

układu równa róniczkowych wyszego rzdu nosi nazw metody klasycznej. Przy

wikszej liczbie zmiennych jest ona do uciliwa w obliczeniach, gdy wymaga

pracochłonnego wyznaczania rozwiza dla kadej składowej przejciowej zmiennych stanu.

Dlatego w praktyce stosuje si zwykle tylko do równa pierwszego rzdu. W tej pracy

zastosujemy j do rozwizania stanu nieustalonego w obwodzie RL oraz RC przy załczeniu

napicia stałego.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 10.1

Wyznaczy warunki pocztkowe w obwodzie przedstawionym na rys. 10.3. Parametry

elementów obwodu s nastpujce: L=1H, C=0,5F, R=1Ω, )45sin(210)( otte += V,

)45sin(2)( otti −= A.


277

Rozwizanie

Warunki pocztkowe dotycz stanu ustalonego przed przełczeniem, w którym w obwodzie

działaj oba ródła wymuszajce. Stosujc metod symboliczn analizy obwodu otrzymujemy ojeE 4510=

ojeI 45

22 −=

1=ω

1jLjZL == ω

2/ jCjZC −=−= ω

Równania obwodu:

( )LLL IIRIZE ++=

oj

LL e

ZRRIE

I 31,1121,7=+−=

ojCC eIZU 135

24 −==

)31,11sin(221,7)( oL tti +=

)135sin(4)( oC ttu −=

Warunki pocztkowe:

2)0( =−Li

22)0( −=−Cu

Zadanie 10.2

Napisa równanie stanu dla obwodu o strukturze przedstawionej na rys. 10.4.

278


Rozwizanie

Z praw Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rysunku wynika

dtdi

Lute

dtdu

Citi

LC

CL

−=

+=

)(

)(

Po przekształceniach tych równa otrzymujemy

[ ]

[ ])(1

)(1

teuLdt

di

itiCdt

du

CL

LC

−=

−=

Równanie stanu:

⋅

−+

⋅

−=

)()(

0/1/10

0/1/10

ti

te

L

C

i

u

L

C

dtdidt

du

L

C

L

C

Zadanie 10.3

Napisa równanie stanu obwodu o strukturze przedstawionej na rys. 10.5.

279


Rozwizanie

Z równa Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rys. 10.5 otrzymuje si

dt

duCi

dt

duC

Ridtdi

Lu

uute

CL

C

LL

C

CC

21

2

21

21

)(

+=

+=

+=

Po wyznaczeniu 1Cu z równania pierwszego i przekształceniu powstałych równa

otrzymujemy

[ ]

+−+

=

−=

dttde

CiCCdt

du

RiuLdt

di

LC

LCL

)(1

1

121

2

Posta macierzowa równa stanu:

dttde

CCCte

u

i

CC

LLR

dt

dudtdi

C

L

C

L

)(0)(

00

01

1

21

1

21

22

++⋅

+

⋅

+−

−=

Jak wida pomimo trzech elementów reaktancyjnych w obwodzie, równanie stanu jest

drugiego rzdu. Wynika to z faktu, e napicie jednego kondensatora jest liniowo zalene od

280

napicia ródła i napicia na drugim kondensatorze. W wyniku redukcji liczby zmiennych

stanu równania stanu s zalene od pochodnej funkcji wymuszenia.

281

Lekcja 11. Stany nieustalone w obwodach RL i RC

Wstp

Dla zrozumienia istoty stanu nieustalonego rozpatrzymy zjawiska jakie towarzysz procesowi

komutacji w najprostszych obwodach zawierajcych cewk bd kondensator. Oba

wymienione elementy reaktancyjne gromadz energi. Prawo zachowania energii wymusza

pewien stan przejciowy zachodzcy pomidzy stanami ustalonymi przed i po przełczeniu. Musi

upłyn pewien czas trwania stanu przejciowego, w którym stan nieustalony przejdzie w

ustalony.

W tej lekcji analiz stanu nieustalonego przeprowadzimy przy zastosowaniu metody

klasycznej. Podamy opisy róniczkowe obwodów RL i RC oraz ich rozwizania w dziedzinie

czasu. Przebiegi prdów i napi w obwodach zawierajcych jeden element reaktancyjny s

typu wykładniczego, scharakteryzowanego przez stał czasow, decydujc o czasie trwania

stanu nieustalonego. Pokaemy wpływ stałej czasowej na przebiegi czasowe w obu

obwodach.

11.1 Stan nieustalony w szeregowym obwodzie RL przy załczeniu napicia stałego

Jako pierwszy przykład zastosowania metody klasycznej rozpatrzymy stan nieustalony w

obwodzie szeregowym RL przy zerowych warunkach pocztkowych i załczeniu napicia

stałego jak to zostało w symboliczny sposób przedstawione na rys. 11.1. Zerowe warunki

pocztkowe obwodu oznaczaj, e 0)0( =−Li .

Rys. 11.1. Obwód szeregowy RL przy załczeniu napicia stałego

282

Po przełczeniu w obwodzie RL powstaje stan nieustalony, który po okrelonym

czasie prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego wynikajcego z nowego układu

połcze elementów. Stan nieustalony jest superpozycj stanu ustalonego i przejciowego.

Stan ustalony w obwodzie RL przy wymuszeniu stałym oznacza, e cewka stanowi

zwarcie (rys. 11.2a).

Rys. 11.2. Posta obwodu RL do obliczenia składowej a) ustalonej i b) przejciowej

Na podstawie napiciowego prawa Kirchhoffa prd ustalony tej cewki jest równy

REtiLu /)( = (11.1)

Przechodzc do obliczenia stanu przejciowego naley wyeliminowa zewntrzne ródło

zasilajce. Poniewa jest to ródło napiciowe, naley go zewrze. Schemat obwodu dla stanu

przejciowego po zwarciu ródła zasilajcego, dla którego odpowied została włanie

obliczona, ma posta przedstawion na rys. 11.2b. Stosujc prawo napiciowe Kirchhoffa dla

tego obwodu przy uwzgldnieniu

dt

diLu Lp

Lp = (11.2)

otrzymuje si równanie róniczkowe jednorodne (brak wymuszenia) dla składowej

przejciowej o postaci

0=+ LpLp Ri

dt

diL (11.3)

283

Równanie charakterystyczne odpowiadajce powyszemu równaniu róniczkowemu

przyjmuje posta

0=+ RLs (11.4)

Równanie to posiada tylko jeden pierwiastek

LR

s −=1 (11.5)

Wykorzystujc wzór (10.41) rozwizanie stanu przejciowego dla prdu w obwodzie RL

zapiszemy w postaci

RLt

Lp eAi /1

−= (11.6)

w której współczynnik 1A jest nieznan stał całkowania. Rozwizanie całkowite obwodu jest

sum składowej ustalonej i przejciowej. W zwizku z powyszym prd cewki okrelony jest

nastpujcym wzorem

RLt

LpLuL eARE

tititi /1)()()(

−+=+= (11.7)

Z prawa komutacji dla cewki wynika, e )0()0( +− = LL ii , std wobec 0)0( =−Li otrzymuje

si

10 ARE += (11.8)

oraz

REA /1 −= (11.9)

Std rozwizanie okrelajce przebieg prdu cewki w stanie nieustalonym przyjmuje posta

284

−=

−RL

t

L eRE

ti /1)( (11.10)

Wprowadzajc pojcie stałej czasowej τ obwodu RL

RL /=τ (11.11)

rozwizanie na prd cewki w stanie nieustalonym mona zapisa w postaci

−=

−τt

L eRE

ti 1)( (11.12)

Jednostk stałej czasowej jest sekunda (jednostk indukcyjnoci jest 1H = 1Ωs a

jednostk rezystancji 1Ω). Łatwo wykaza, e po upływie trzech stałych czasowych ( τ3=t )

prd cewki uzyskuje prawie 95% swojej wartoci ustalonej a po 5 stałych czasowych a

99,3%. Oznacza to, e praktycznie po 5 stałych czasowych stan nieustalony w obwodzie

zanika przechodzc w stan ustalony.

Na rys. 11.3 przedstawiono przebiegi prdu cewki dla rónych wartoci stałej

czasowej.

Rys. 11.3. Przebieg prdu cewki w stanie nieustalonym

285

Jest to przebieg typu wykładniczego, w którym stan przejciowy trwa tym dłuej im dłusza

jest stała czasowa. Praktycznie po 5 stałych czasowych stan przejciowy w obwodzie zanika

przechodzc w stan ustalony.

Stał czasow obwodu RL mona wyznaczy na podstawie zarejestrowanego

przebiegu nieustalonego bez znajomoci wartoci rezystancji i indukcyjnoci. Zauwamy, e

dla τ=t prd cewki przyjmuje warto

RE

eRE

iL 632,0)1()( 1 =−= −τ (11.13)

Oznacza to, e warto prdu RE

ti tL 632,0)( ==τ wyznacza na osi odcitych warto stałej

czasowej. Sposób wyznaczania stałej czasowej zilustrowany jest na rys. 11.4.

Rys. 11.4. Ilustracja sposobu wyznaczania stałej czasowej na podstawie zarejestrowanego

przebiegu prdu cewki

Wyznaczenie rozwizania na prd w stanie nieustalonym w obwodzie RL pozwala na

okrelenie przebiegu czasowego pozostałych wielkoci w obwodzie. Korzystajc z zalenoci

definicyjnej cewki dtdi

Lu LL = otrzymuje si

286

RLt

LL Ee

dttdi

Ltu /)()(

−== (11.14)

Przebieg napicia na cewce w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym RL


Rys. 11.5. Przebieg napicia na cewce w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym RL

Napicie na rezystorze R, jak wynika z prawa Ohma, jest proporcjonalne do prdu

−==

−RL

t

LR eEtRitu /1)()( (11.15)

i ma kształt identyczny z przebiegiem prdu w obwodzie przedstawionym na rys. 11.3.

11.2 Stan nieustalony w gałzi szeregowej RC przy załczeniu napicia stałego

Rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie szeregowym RC przy zerowych warunkach

pocztkowych i załczeniu napicia stałego (rys. 11.6).

287

Rys. 11.6. Załczenie napicia stałego do obwodu szeregowego RC

Wobec braku zasilania w obwodzie przed przełczeniem w warunki pocztkowe obwodu s

zerowe, co oznacza, e 0)0( =−Cu .

Po przełczeniu powstaje w obwodzie stan nieustalony, który po pewnym czasie

prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego. Stan nieustalony obwodu jest superpozycj

stanu ustalonego i przejciowego. Stan ustalony w obwodzie RC przy wymuszeniu stałym

(ω=0) oznacza, e kondensator stanowi przerw (rys. 11.7a).

Rys. 11.7 Schemat obwodu RC dla składowej a) ustalonej, b) przejciowej

Zgodnie z prawem napiciowym Kirchhoffa napicie ustalone kondensatora jest równe

EtuCu =)( (11.16)

Schemat obwodu dla stanu przejciowego (po zwarciu ródła zasilajcego, dla którego

odpowied została włanie obliczona) ma posta przedstawion na rys. 11.7b. Stosujc prawo

napiciowe Kirchhoffa dla tego obwodu i uwzgldniajc, e dt

duCi Cp

Cp = , otrzymuje si

równanie róniczkowe jednorodne o postaci

288

0=+ CpCp u

dt

duRC (11.17)

Równanie charakterystyczne odpowiadajce mu przyjmuje wic posta

01 =+RCs (11.18)

Równanie to posiada jeden pierwiastek RCs /11 −= . W zwizku z powyszym jego

rozwizanie wynikajce ze wzoru (10.41) przyjmie uproszczon posta

RCt

tsCp eAeAu

−== 11

1 (11.19)

W rozwizaniu tym współczynnik 1A jest stał całkowania, któr naley wyznaczy

korzystajc z prawa komutacji. Rozwizanie całkowite bdce sum składowej ustalonej i

przejciowej przybiera wic posta

RCt

CpCuC eAEtututu−

+=+= 1)()()( (11.20)

Z prawa komutacji dla kondensatora wynika, e )0()0( +− = CC uu , std wobec 0)0( =−Cu

otrzymuje si

10 AE += (11.21)

oraz

EA −=1

Rozwizanie czasowe okrelajce przebieg napicia na kondensatorze przyjmuje wic posta

−=

−RCt

C eEtu 1)( (11.22)

289

Wprowadzajc pojcie stałej czasowej τ obwodu RC jako iloczynu rezystancji R i

pojemnoci C

RC=τ (11.23)

rozwizanie na napicie kondensatora w stanie nieustalonym mona zapisa w postaci

−=

−τt

C eEtu 1)( (11.24)

Jak łatwo sprawdzi podstawow jednostk stałej czasowej w obwodzie RC jest równie

sekunda (jednostk rezystancji jest 1Ω = 1V/A, a jednostk pojemnoci jest 1F = 1As/V). Na

rys. 11.8 przedstawiono przebiegi napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym

−=

−τt

C eEtu 1)( dla rónych wartoci stałej czasowej.

Rys. 11.8. Przebiegi napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym przy rónych stałych

czasowych

290

Im dłusza stała czasowa tym dłuej trwa stan przejciowy w obwodzie (zanikanie zmian

napicia do zera).

Łatwo wykaza, e po upływie 3 stałych czasowych ( τ3=t ) napicie uzyskuje prawie

95% swojej wartoci ustalonej a po 5 stałych czasowych a 99,3%. Oznacza to, e

praktycznie po 5 stałych czasowych stan nieustalony w obwodzie zanika przechodzc w stan

ustalony.

Stał czasow mona wyznaczy bezporednio na podstawie zarejestrowanego

przebiegu nieustalonego bez znajomoci wartoci rezystancji i pojemnoci, podobnie jak to

miało miejsce w przypadku obwodu RL. Zauwamy, e dla τ=t napicie na kondensatorze

przyjmuje warto

EeEuC 632,0)1()( 1 =−= −τ (11.25)

Oznacza to, e napicie Etu tC 632,0)( ==τ wyznacza na osi odcitych warto stałej

czasowej. Ilustruje to rys. 11.9.

Rys. 11.9. Wyznaczanie stałej czasowej obwodu RC na podstawie przebiegu czasowego

napicia kondensatora

291

Po okreleniu funkcji opisujcej przebieg napicia na kondensatorze mona okreli przebieg

czasowy prdu w obwodzie. Korzysta si przy tym z zalenoci definicyjnej kondensatora

dtdu

Ci CC = , zgodnie z któr

RCt

cC e

RE

dttdu

Cti−

==)(

)( (11.26)

Przebieg prdu ładowania kondensatora w stanie nieustalonym w obwodzie RC dla rónych

stałych czasowych przedstawia rys. 11.10.

Rys. 11.10. Przebieg prdu ładowania kondensatora w obwodzie RC

W chwili komutacji wystpuje skokowa zmiana wartoci prdu (prd kondensatora nie jest

objty komutacyjnym prawem cigłoci). Przebieg prdu kondensatora dy do wartoci

ustalonej zerowej (w stanie ustalonym kondensator stanowi przerw dla prdu). Stała czasowa

zmian tego prdu jest identyczna jak napicia i równa RC=τ .

Zadania sprawdzajce

Zadanie 11.1

292

Okreli przebieg czasowy napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym w obwodzie

przedstawionym na rys. 11.11. Zastosowa metod klasyczn. Przyj nastpujce wartoci

parametrów: R=10kΩ, C=10µF, mA2)( == Iti .


Rozwizanie

Warunki pocztkowe w obwodzie wynikaj ze stanu ustalonego obwodu przed

przełczeniem, który wobec wymuszenia stałego ma posta uproszczon przedstawion na

rys. 11.12.

Rys. 11.12. Schemat obwodu w stanie ustalonym przed przełczeniem dla wymuszenia

stałego

VIRutu CC 20)0()( === −

Stan ustalony w obwodzie po przełczeniu dotyczy obwodu przedstawionego na rys. 11.13.

293

Rys. 11.13. Schemat obwodu w stanie ustalonym po przełczeniu

VIRutu CuCu 102/)0()( === +

Stan przejciowy dotyczy obwodu po przełczeniu przedstawionego na rys. 11.14

Rys. 11.14 Schemat obwodu w stanie przejciowym po przełczeniu

Równania róniczkowe obwodu:

005,0

02

=+

=+

dt

duu

dt

duRCu

CpCp

CpCp

Równanie charakterystyczne:

200005.01 1 −=→=+ ss

Rozwizanie równania róniczkowego:

t

Cp Aetu 200)( −=

Rozwizanie całkowite obwodu

t

CpCuC Aetututu 20010)()()( −+=+=

Z prawa komutacji dla kondensatora wynika równo

294

101020)0()0( =→+=→= +− AAuu CC

Posta rozwizania ostatecznego:

( )tC etu 200110)( −+=

Stała czasowa obwodu jest wic równa s05,0200/1 ==τ

Zadanie 11.2

Okreli przebieg czasowy prdu cewki w stanie nieustalonym w obwodzie przedstawionym

na rys. 11.15. Zastosowa metod klasyczn. Przyj nastpujce wartoci parametrów:

R=2Ω, R1=5Ω, , L=2H, )sin(220)( tte =


Rozwizanie

Warunki pocztkowe dotycz obwodu przedstawionego na rys. 11.16.

Rys. 11.16. Schemat obwodu do wyznaczania warunków pocztkowych

295

Stosujc do tego obwodu metod symboliczn otrzymuje si kolejno

1=ω

2jLjZL == ω

112222

jjj

Z RL +=+⋅=

( )oj

LRL

RLL e

ZZRZ

EI 5,54

1

32,2 −=+

=

)5,54sin(232,2)( oL tti −=

67,2)0( −=−Li

Wobec odłczenia ródła podczas przełczenia stan ustalony w obwodzie po przełczeniu jest

zerowy, std

0)0(0)( =→= +LuLu iti

Stan przejciowy dotyczy obwodu z rys. 11.17

Rys. 11.17 Schemat obwodu do wyznaczenia składowej przejciowej

Równanie róniczkowe obwodu:

02

2

1

1 =+

+ LpLp i

RRRR

dt

diL


296

065 =+ Lp

Lp idt

di

Równanie charakterystyczne

65

065

1 −=→=+ ss

Rozwizanie równania róniczkowego

t

Lp Aeti 6/5)( −=

Wobec braku składowej ustalonej rozwizanie to jest jednoczenie rozwizaniem pełnym.

Std

t

LpL Aetiti 6/5)()( −==

Z praw komutacji wynika

=→= +− Aii LL )0()0( -2,67

Rozwizanie pełne obwodu przyjmuje wic posta

t

L eti 6/567,2)( −−=

297

Lekcja 12. Metoda operatorowa Laplace’a

Wstp

Opis obwodów elektrycznych w stanie nieustalonym poprzez układ równa róniczkowych

jest wygodn form analizy przy zastosowaniu metod numerycznych. W przypadku

analizowania zjawisk zachodzcych w tych obwodach z zastosowaniem metod analitycznych

metoda ta jest mudna przy duej liczbie elementów indukcyjnych i pojemnociowych i std

jej zastosowanie ograniczone jest praktycznie do rzdu n=2. W takich przypadkach znacznie

wygodniejsze jest zastosowanie metod operatorowych, z których najwaniejsza to metoda

operatorowa Laplace’a. Rachunek operatorowy jako alternatywa do metody klasycznej polega

na algebraizacji równa róniczkowych opisujcych dany obwód. W ten sposób układ równa

róniczkowych zostaje zastpiony układem równa algebraicznych typu funkcyjnego.

Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operacj rozwizywania równa

róniczkowych zastpujc j rozwizaniem układu równa algebraicznych. Istota

przekształcenia Laplace’a polega na tym, e kadej funkcji czasu f(t) okrelonej dla t>0

odpowiada pewna funkcja F(s) okrelona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, kadej

funkcji F(s) odpowiada okrelona funkcja czasu f(t).

W tej lekcji omówimy podstawy rachunku operatorowego Laplace’a. Przedstawione

zostan definicje przekształcenia prostego i odwrotnego oraz podstawowe własnoci

przekształcenia. Podamy przykłady obliczania transformat prostej i odwrotnej, ilustrujce

istot transformacji Laplace’a.

12.1 Wiadomoci podstawowe dotyczce rachunku operatorowego Laplace’a

Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operacj rozwizywania równa

róniczkowych zastpujc j rozwizaniem układu równa algebraicznych. Istota

przekształcenia Laplace’a polega na tym, e kadej funkcji czasu f(t) okrelonej dla t>0

odpowiada pewna funkcja F(s) okrelona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, kadej

funkcji F(s) odpowiada okrelona funkcja czasu f(t). Funkcj f(t) nazywamy oryginałem i

oznaczamy mał liter. Funkcj F(s) nazywamy transformat funkcji okrelon w dziedzinie

298

zmiennej zespolonej s i oznaczamy du liter. Zmienna s jest nazywana czstotliwoci

zespolon, przy czym ωσ js += , gdzie oznacza pulsacj.

W elektrotechnice najczciej uywane jest jednostronne przekształcenie Laplace’a,

okrelone par równa:

∞

−==0

)()()( dtetftfLsF st (12.1)

∞+

∞−

−

⋅==

jc

jc

stdsesFj

sFLtf )(2

1)()( 1

π (12.2)

w których c jest bliej nieokrelon stał warunkujc połoenie granic całkowania w

obszarze zbienoci transformaty. Pierwsze z równa definiuje proste przekształcenie

Laplace’a przyporzdkowujce oryginałowi transformat zmiennej zespolonej s, a drugie

przekształcenie odwrotne dokonujce transformacji odwrotnej, czyli wyznaczajce funkcj

oryginału na podstawie F(s). Zakładamy przy tym, e funkcja f(t) jest funkcj czasu, zadan

dla t>0 i równ 0 dla t<0 oraz, e nie ronie szybciej ni funkcja wykładnicza. Proste

przekształcenie Laplace’a okrelone wzorem (12.1) dokonuje transformacji funkcji czasu f(t)

na funkcj F(s) zmiennej zespolonej s. Przekształcenie odwrotne okrelone wzorem (12.2)

dokonuje transformacji funkcji zespolonej F(s) na funkcj czasu f(t). Wzór ten pełni jedynie

rol definicji i w praktyce nie uywa si go do wyznaczania transformaty odwrotnej,

wykorzystujc w zamian własnoci transformat Laplace’a.

Przykład 12.1

Wyznaczymy z definicji transformat Laplace’a funkcji stałej f(t)=A. Z definicji (12.1)

transformaty otrzymuje si

sA

esA

dteAALsF stst =

−===∞∞

−−

00

)(

Przykład 12.2

299

Jako drugi przykład wyznaczymy transformat Laplace’a funkcji wykładniczej atetf =)( ,

gdzie w ogólnoci βα ja += . Z zastosowania wzoru (12.1) otrzymuje si

( )∞

−−∞

−===

00

1)()( tsastat e

sadteetfLsF

Po wstawieniu granic całkowania i załoeniu, e sa < (warunek zbienoci cigu) otrzymuje

si

as

eL at

−= 1

Naley podkreli, e jednostronne przekształcenie Laplace’a jest okrelone w przedziale od

zera do nieskoczonoci, std posta funkcji dla czasu ujemnego nie ma adnego wpływu na

transformat Laplace’a.

Na przykład funkcja stała f(t)=1 oraz funkcja skoku jednostkowego f(t)=1(t)

(funkcja skokowa Heaviside’a) okrelona wzorem

00

01

)(1<≥

=t

t

dla

dlat (12.3)

maj identyczne transformaty Laplace’a, pomimo tego e dla t < 0 s inne (pierwsza równa 1

a druga równa 0) gdy w zakresie czasowym od zera do nieskoczonoci nie róni si

niczym.

Jakkolwiek definicja przekształcenia Laplace’a umoliwia obliczenie transformaty dla

dowolnej funkcji czasu, w obliczeniach inynierskich posługujemy si najczciej tablicami

transformat Laplace’a zebranymi w poradnikach matematycznych, wykorzystujc przy tym

podstawowe własnoci tego przekształcenia.

300

12.2 Podstawowe własnoci przekształcenia Laplace’a.

Z wielu istniejcych własnoci przekształcenia Laplace’a ograniczymy si tutaj do kilku

podstawowych, których znajomo jest konieczna do okrelenia stanów nieustalonych w

obwodach RLC.

12.2.1 Liniowo przekształcenia

Jeli współczynniki a1 i a2 s dowolnymi stałymi to

[ ] )()()()( 22112211 sFasFatfatfaL +=+ (12.4)

[ ] )()()()( 221122111 tfatfasFasFaL +=+− (12.5)

gdzie symbole L i 1−L oznaczaj odpowiednio transformaty: prost i odwrotn Laplace’a. Z

własnoci liniowoci przekształcenia wynika, e przekształcenie Laplace’a spełnia zasad

superpozycji.

Przykład 12.3

Dla zilustrowania uytecznoci twierdzenia o liniowoci przekształcenia Laplace’a

zastosujemy je do obliczenia transformaty funkcji cos(t). Korzystajc z definicji funkcji

cosinusoidalnej otrzymuje si

+=

−

2)cos(

tjtj eeLtL

ωω

ω

Skorzystamy tutaj z wyprowadzonego wczeniej wzoru na transformat funkcji wykładniczej.

Podstawiajc do odpowiedniego wzoru i stosujc zasad superpozycji otrzymuje si

22

1121

21

21

)cos(ωωω

ω ωω

+=

++

−=+= −

ss

jsjseLeLtL tjtj

12.2.2 Transformata pochodnej funkcji czasu

Transformata pochodnej funkcji czasu spełnia relacj

301

)0()()( +−=

fssFdt

tdfL (12.6)

W której )0( +f oznacza warto pocztkow funkcji f(t). Mnoenie funkcji F(s) przez

zmienn zespolon s odpowiada w dziedzinie czasu róniczkowaniu funkcji. Std operator s

nazywany jest operatorem róniczkowania.

12.2.3 Transformata całki funkcji czasu

Transformata całki funkcji czasu spełnia relacj

ssF

dttfLt )(

)(0

=

(12.7)

Pomnoenie funkcji F(s) przez 1/s odpowiada w dziedzinie czasu całkowaniu funkcji. Std

operator s-1 jest nazywany równie operatorem całkowania.

12.2.4 Przesunicie w dziedzinie czstotliwoci

Rozwamy przesunicie argumentu funkcji operatorowej Laplace’a. Oznacza to, e zamiast

transformaty F(s) bierzemy pod uwag funkcj F(s-a). Twierdzenie o przesuniciu argumentu

zmiennej zespolonej s mówi, e spełniona jest wówczas zaleno

)()( asFtfeL at −= (12.8)

Przesunicie argumentu zespolonego s transformaty o warto a odpowiada w dziedzinie

czasu pomnoeniu funkcji oryginału przez funkcj wykładnicz eat. Korzyci płynce z

powyszej własnoci zademonstrujemy na przykładzie wyznaczania transformaty odwrotnej

Laplace’a funkcji o przesunitym argumencie s.

Przykład 12.4

302

Naley wyznaczy odwrotn transformat Laplace’a funkcji F(s) zadanej w postaci

9)2(2

)( 2 +++=

ss

sF

W rozwizaniu problemu wykorzystamy ostatni własno przekształcenia w odniesieniu do

funkcji rozwaanej w przykładzie 12.3. Zgodnie z wynikami uzyskanymi w tym przykładzie

mamy 22cos(

ωω

+=

ss

tL przy wartoci = 3. Wprowadzajc przesunicie o warto a = 2

w dziedzinie zmiennej zespolonej s uzyskuje si zadan w tym przykładzie funkcj

operatorow Laplace’a. Oznacza to, e jej transformata odwrotna odpowiada funkcji

( )te at ωcos− . Std transformata odwrotna funkcji zadanej w przykładzie wynosi

( )tes

sL t 3cos

3)2(2 2

221 −− =

+++

Twierdzenie o przesuniciu pozwoliło uzyska transformat odwrotn Laplace’a bez

koniecznoci wykonywania operacji całkowania zadanej w definicji przekształcenia

odwrotnego.

12.2.5 Przesunicie w dziedzinie czasu

Transformata Laplace’a funkcji czasu o argumencie przesunitym wzgldem pocztku układu

współrzdnych spełnia nastpujc zaleno

[ ] )()(1)( sFeatatfL as−=−⋅− (12.9)

Przesunicie argumentu funkcji oryginalnej f(t) w dziedzinie czasu f(t-a)tf →)( odpowiada

w dziedzinie czstotliwoci pomnoeniu transformaty Laplace’a funkcji oryginalnej F(s)

(nieprzesunitej) przez funkcj wykładnicz ase− .

Własno powysza jest czsto wykorzystywana przy obliczaniu transformat

nietypowych funkcji jak równie przy analizie obwodów o wymuszeniach impulsowych.

303

Tutaj zilustrujemy jej uyteczno przy obliczaniu transformaty impulsu Diraca,

zwanej funkcj impulsow Diraca. Impulsem Diraca nazywamy wielko )(tδ o

nastpujcych własnociach.

000

)(=≠

∞=

t

t

dla

dlatδ (12.10)

oraz

∞

∞−

= 1)( dttδ (12.11)

Impuls Diraca przyjmuje warto nieskoczon tylko dla jednego punktu t = 0 a w

pozostałym zakresie ma warto zerow. Warto nieskoczona stwarza pewne trudnoci

obliczeniowe. Aby je przezwyciy wprowadza si jej aproksymacj w postaci

[ ])(1)(11

),( htth

ht −−=δ (12.12)

której wykres dla rónych wartoci h przedstawiony jest na rys. 12.1.

Rys. 12.1. Aproksymacja funkcji Diraca przez funkcj impulsow

304

Im mniejsza warto h tym bardziej funkcja aproksymujca zblia si swym wygldem do

funkcji Diraca. W granicy przy 0→h funkcja aproksymujca jest zbiena do rzeczywistej

funkcji Diraca. Transformata Laplace’a dla funkcji aproksymujcej jest dana w postaci

−= −shessh

htL111

,(δ (12.13)

Biorc pod uwag, e delta Diraca jest granic funkcji aproksymujcej otrzymuje si

1111

lim),(lim)(00

=

−== −

→→

sh

hhe

sshhtLtL δδ (12.14)

Transformata Laplace’a funkcji delty Diraca jest równa jednoci.

12.2.6 Transformata splotu

Splot stanowi wane pojcie w teorii obwodów, gdy za jego porednictwem okrela si

odpowiedzi czasowe obwodów rzeczywistych RLC. Splot dwu funkcji czasu f1(t) i f2(t)

oznaczony w postaci )()( 21 tftf ∗ jest zdefiniowany w nastpujcy sposób

−=−=∗tt

dftfdtfftftf0

210

2121 )()()()()()( ττττττ (12.15)

Transformata Laplace’a splotu jest równa zwykłemu iloczynowi transformat poszczególnych

funkcji tworzcych splot

[ ] )()()()( 2121 sFsFtftfL ⋅=∗ (12.16)

Powysza własno nosi w matematyce nazw twierdzenia Borela. Zauwamy, e mnoenie

splotowe dwu funkcji w dziedzinie czasu odpowiada zwykłemu mnoeniu ich transformat w

dziedzinie czstotliwoci. Własno ta jest szczególnie wygodna w analizie obwodów

zarówno w stanie ustalonym jak i nieustalonym. Zamiast mudnych operacji w dziedzinie

305

czasu wykonuje si transformacj Laplace’a funkcji czasowych a nastpnie wszystkie

operacje wykonuje na transformatach.

12.3 Przykłady transformat Laplace’a

Obliczanie transformat Laplace’a polega na zastosowaniu wzoru (12.1) przy zadanej funkcji

oryginału i przeprowadzeniu działa w nim okrelonych (całkowanie funkcji i wyznaczenie

wartoci na granicach całkowania). Przykłady wyznaczania transformaty Laplace’a dla

funkcji impulsowej Diraca, wartoci stałej, funkcji wykładniczej i cosinusoidalnej zostały

zaprezentowane na pocztku tej lekcji.

Obliczanie transformat dla wikszoci funkcji, zwłaszcza bardziej złoonych, nie jest

procesem łatwym i dlatego w praktyce inynierskiej najczciej posługujemy si tablicami

gotowych transformat Laplace’a, których ródło znale mona w wielu poradnikach

matematycznych jak równie podrcznikach powiconych rachunkowi operatorowemu. W

tablicy 12.1 zestawiono wybrane przykłady transformat Laplace’a szczególnie czsto

wykorzystywanych przy rozwizywaniu stanów nieustalonych w obwodach RLC. W dalszej

czci tej lekcji bd one wykorzystane do wyznaczania transformat odwrotnych Laplace’a

(funkcji czasu odpowiadajcych transformatom).

Tablica 12.1 Tablica wybranych transformat Laplace’a

f(t) F(s)

)(tδ 1

1(t) s1

te α− α+s1

)sin( tω 22 ω

ω+s

)cos( tω 22 ω+s

s

)sin( te t ωα− 22)( ωαω

++s

306

)cos( te t ωα− 22)( ωαα++

+s

s

Zawarto tablicy przedstawiajca zbiór funkcji czasu wraz z odpowiadajcymi im

transformatami moe słuy zarówno wyznaczaniu transformaty Laplace’a przy zadanej

funkcji czasu jak i działaniu odwrotnemu, to jest wyznaczeniu oryginału na podstawie zadanej

postaci transformaty. Przykładowo, jeli transformata dana jest wzorem

( ) 22 525

15)(++

=s

sF

to odpowiadajca mu funkcja oryginału odczytana z tablicy 12.1 ma posta

)5sin(15)( 2 tetf t−= .

W dalszej czci rozwaa podamy rozwinicie tej metody pozwalajce na wyznaczenie

transformaty odwrotnej dla dowolnej postaci funkcji wymiernej F(s) korzystajc z tablicy

12.1.

12.4 Wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace’a

Aby wyznaczy funkcj czasu f(t) na podstawie danej transformaty naley dokona

odwrotnego przekształcenia Laplace’a. Zaleno definicyjna okrelona wzorem (12.2) jest

raczej bezuyteczna ze wzgldu na konieczno całkowania złoonych zwykle funkcji, jak

równie na nieokrelone precyzyjnie granice całkowania (stała c w definicji nie jest dokładnie

okrelona). Najczciej korzysta si z porednich metod wyznaczania oryginału wynikajcych

z własnoci samego przekształcenia. Niezalenie od metody zastosowanej do wyznaczenia

oryginału, zakłada bdziemy, e transformata Laplace’a zadana jest w postaci wymiernej,

czyli ilorazu dwu wielomianów zmiennej zespolonej s o współczynnikach rzeczywistych.

01

11

011

1

......

)()(

)(asasas

bsbsbsbsMsL

sF nn

n

mm

mm

++++++++−= −

−

−− (12.17)

307

Dodatkowo przyjmiemy, e stopie licznika jest mniejszy ni stopie mianownika. Jeli

warunek powyszy byłby niespełniony, naley podzieli licznik przez mianownik tak, aby

wymusi spełnienie tego warunku. Sposób postpowania w takim przypadku zilustrujemy na

przykładzie.

Przykład 12.5

Dana jest transformata F(s) o postaci

4532

)( 2

23

+++++=

sssss

sF

Dzielc licznik przez mianownik według najwyszych potg otrzymuje si rozwinicie

funkcji na sum dwu składników potgowych zmiennej s oraz funkcj wymiern spełniajc

warunek, e stopie licznika jest mniejszy ni stopie mianownika

494

12)( 2 +++−+−=

sss

ssF

Przy obliczaniu transformaty odwrotnej powyszej zalenoci tylko ostatni (złoony) składnik

wymaga specjalnego postpowania. Składnik stały (-1) odpowiada funkcji impulsowej Diraca

a funkcja 2s odpowiada bdzie wartoci pochodnej funkcji Diraca pomnoonej przez dwa.

Istnieje wiele metod obliczania transformaty odwrotnej Laplace’a, wykorzystujcych

własnoci przekształcenia. Do najbardziej popularnych nale metoda residuów, rozkładu

funkcji wymiernej na ułamki proste, metoda Heaviside’a oraz metoda bazujca na

wykorzystaniu tablic transformat Laplace’a. Tutaj ograniczymy si do dwu najbardziej

uniwersalnych metod: metody residuów oraz metody tablicowej wykorzystujcej tablice

transformat Laplace’a.

12.4.1 Metoda residuów

Załómy, e funkcja wymierna F(s) zadana jest w postaci ilorazu dwu wielomianów zmiennej

zespolonej s, okrelona wzorem (12.17)

308

)()(

)(sMsL

sF = (12.18)

Pierwiastki licznika funkcji transformaty s nazywane zerami a pierwiastki mianownika

biegunami. Zauwamy, e bieguny s utosamione z pierwiastkami równania

charakterystycznego wystpujcego w metodzie klasycznej lub metodzie wartociami

własnymi macierzy stanu A. W metodzie residuów korzysta si z nastpujcego twierdzenia.

Twierdzenie

Jeeli funkcja F(s) jest ilorazem dwu wielomianów L(s) i M(s), przy czym stopie

wielomianu mianownika jest wyszy ni stopie wielomianu licznika (n>m) to oryginał

funkcji f(t) okrelony jest nastpujcym wzorem

[ ] [ ]=

=− =

n

i

stss esFressFL

i1

1 )()( (12.19)

Sumowanie odbywa si po wszystkich biegunach funkcji operatorowej F(s) niezalenie od

tego, czy bieguny s pojedyncze czy wielokrotne.

Residuum funkcji ][res wyznacza si korzystajc ze wzorów wynikajcych z

własnoci przekształcenia Laplace’a. W przypadku bieguna l-krotnego wzór jest nastpujcy

[ ] [ ]stlil

l

ssst

ss esssFdsd

lesFres

ii))((lim

)!1(1

)( 1

)1(

−−

= −

−

→= (12.20)

Szczególnie proste zalenoci otrzymuje si dla bieguna jednokrotnego is . W takim

przypadku l=1 i wzór na residuum ulega znacznemu uproszczeniu

[ ] [ ]stiss

stss esssFesFres

ii))((lim)( −= →= (12.21)

Wzór (12.19) wykorzystujcy residuum funkcji jest stosowalny dla dowolnych biegunów

funkcji F(s), w tym biegunów rzeczywistych, zespolonych, jednokrotnych i wielokrotnych.

Jednake przy biegunach zespolonych obliczenie residuum jest procesem do złoonym i

metoda nie jest konkurencyjna wzgldem innych.

309

Przykład 12.6

Jako pierwszy przykład rozpatrzmy wyznaczenie transformaty odwrotnej Laplace’a funkcji

F(s) danej wzorem

)3)(1(5

)(++

=ss

ssF

Zadana funkcja ma dwa bieguny: 11 −=s oraz 32 −=s . Wykorzystujc wzór (12.19)

otrzymuje si

[ ] [ ]stss

stss esFresesFrestf )()()(

21 == +=

Na podstawie wzoru (12.21) otrzymuje si

[ ] [ ] ttttstss

stss eeeeessFessFtf 331 5,75,2

)13()3(5

)31()1(5

)3)((lim)1)((lim)(21

−−−−→→ +−=

+−−⋅+

+−−⋅=+++=

Przykład 12.7

Funkcja operatorowa F(s) dana jest wzorem

)4()3(10

)( 2 ++=

sssF

Wystpuj 3 bieguny funkcji, z których jeden jest pojedynczy a dwa pozostałe równe sobie

(jeden biegun podwójny): s1=s2=-3, s3=-4. Wykorzystujc wzory (12.20) i (12.21) otrzymuje

si nastpujcy schemat oblicze

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] tttsts

sts

sts

sts

stss

stsss

eetees

esds

d

essFessFdsd

esFresesFrestf

433243

42

3

1010)3(

10lim

410

lim

)4)((lim)3)((lim)!12(

1

)()()(321

−−−−→−→

−→−→

===

+−=

++

+=

=+++−

=

=+=

310

12.4.2 Metoda wykorzystujca tablice transformat

Metoda residuów jakkolwiek koncepcyjnie bardzo prosta staje si mudna, jeli bieguny

układu s zespolone. Jest to szczególnie widoczne przy wysokich stopniach mianownika

transmitancji operatorowej. W takich przypadkach zwykle korzystniejsze jest zastosowanie

metody wykorzystujcej tablice transformat Laplace’a.

Przy korzystaniu z tablic transformat naley poprzez elementarne przekształcenia

doprowadzi dan transformat do postaci standardowej znajdujcej si w tablicy transformat

(u nas tablica 12.1) a nastpnie odczyta z niej oryginał. Jest ona szczególnie wygodna jeli

bieguny układu s zespolone, gdy w procesie przekształcania transformaty nie wystpuje

potrzeba wyznaczania tych biegunów a wszystkie obliczenia dokonywane s na wartociach

rzeczywistych. W praktyce przy stosowaniu tej metody transmitancj wyszych rzdów (n>2)

rozkłada si na składniki rzdu drugiego i wszystkie przekształcenia dokonuje na

wielomianach rzdu pierwszego lub drugiego. Id metody wyjanimy na przykładach

liczbowych

Przykład 12.8

Obliczy transformat odwrotn Laplace’a dla funkcji F(s) danej w postaci

11

)( 2 ++=

sssF

Wobec zespolonych pierwiastków mianownika wykorzystamy tablic transformat 12.1.

Porównanie postaci danej transformaty z danymi zawartymi w tablicy wskazuje, e naley j

doprowadzi do postaci transformaty odpowiadajcej funkcji sinusoidalnej tłumionej

wykładniczo (wiersz 6 w tablicy). Kolejno czynnoci jest tu nastpujca

( ) ( )22 4/35,0

4/33/4)(

++=

ssF

Porównanie tej postaci z wierszem szóstym tablicy 12.1 pokazuje, e 5,0=α a 4/3=ω .

Funkcja oryginału jest wic okrelona wzorem

311

)4/3sin(3/4)( 5,0 tetf t−=

Przykład 12.9

Jako przykład drugi rozpatrzymy transformat trzeciego rzdu o biegunach zespolonych.

)102)(1(3

)( 2 ++++=

ssss

sF

W tym przypadku przed zastosowaniem metody tablicowej naley najpierw rozłoy funkcj

zadan na składniki o rzdach nie wikszych ni drugi. Ogóln posta rozkładu zapiszemy w

nastpujcej formie

)102()1()( 2 ++

+++

=ss

CBss

AsF

Współczynniki A, B i C rozkładu naley wyznaczy w taki sposób, aby obie strony zalenoci

równały si sobie. Współczynnik A mona wyznaczy stosujc metod residuum, zgodnie z

któr

92

)1()(lim)(1

1 =+==−→

−= ssFsFresAs

s

Wobec zespolonych wartoci biegunów drugiego składnika rozkładu współczynniki B i C

najlepiej jest wyznaczy jako rónic funkcji zadanej F(s) i składnika pierwszego rzdu, to

jest

1022/7

92

)1(9/2

)102)(1(3

)102( 222 +++−=

+−

++++=

+++

sss

sssss

ssCBs

Std funkcja zadana F(s) moe by zapisana w postaci

312

1022/7

92

)1(9/2

)( 2 +++−

+=

sss

ssF

Ze wzgldu na liniowo przekształcenia Laplace’a transformata odwrotna sumy jest równa

sumie transformat odwrotnych kadego składnika oddzielnie. Pierwszy składnik sumy

odpowiada trzeciemu wierszowi tablicy 12.1. Std

tes

L −− =

+ 92

)1(9/21

Składnik drugi wymaga wykonania wstpnych przekształce doprowadzajcych jego posta

do wierszy szóstego i siódmego tablicy 12.1. W efekcie tych przekształce otrzymuje si

2222222 3)1(3

275

3)1()1(

92

3)1(6/53)1(

92

1022/7

92

++−−

+++−=

++⋅++−=

+++−

sss

ss

sss

Transformata odwrotna tego wyraenia moe by zatem zapisana w postaci

)3sin(275

)3cos(92

3)1(3

275

3)1()1(

92

1022/7

92

22221

21

tete

sss

Lss

sL

tt −−

−−

−−

=

++−

+++−=

+++−

Std na mocy twierdzenia o liniowoci transformata odwrotna Laplace’a zadanej funkcji F(s)

jest sum transformat odwrotnych obu składników rozkładu

)3sin(275

)3cos(92

92

)(1 teteesFL ttt −−−− −−=

Zadania sprawdzajce

Zadanie 12.1

Wyznaczy transformat odwrotn Laplace’a dla transmitancji operatorowej F(s)

313

)5)(2)(1(

1)(

+++=

ssssF

Rozwizanie

W rozwaanym przypadku wszystkie bieguny s rzeczywiste i pojedyncze. Ich wartoci s

równe: s1=-1, s2=-2, s3=-5. Najskuteczniejsz metod pozostaje w tym przypadku metoda

residuów, zgodnie z któr

st

sst

sst

s esFresesFresesFrestf )()()()( 521 −→−→−→ ++=

Warto funkcji residuum dla poszczególnych biegunów jest równa

tst

s

sts eessFesFres −

−→−→ =+=

41

)1)((lim)(1

1

tst

s

sts eessFesFres 2

22 3

1)2)((lim)( −

−→−→ −=+=

tst

s

sts eessFesFres 5

55 12

1)5)((lim)( −

−→−→ =+=

Sumujc poszczególne składniki otrzymujemy

ttt eeetf 52

121

31

41

)( −−− +−=

Zadanie 12.2

Wyznaczy transformat odwrotn Laplace’a dla transmitancji operatorowej F(s)

2)5)(3)(2()(

+++=

ssss

sF

314

Rozwizanie

W rozwaanym przypadku wszystkie bieguny s rzeczywiste, przy czym jeden z nich jest

podwójny. Ich wartoci s równe: s1=-2, s2=-3, s3=s4=-5. Najskuteczniejsz metod pozostaje

w tym przypadku metoda residuów, zgodnie z któr

st

sst

sst

s esFresesFresesFrestf )()()()( 532 −→−→−→ ++=

Warto funkcji residuum dla poszczególnych biegunów jest równa

tst

s

sts eessFesFres 2

22 9

2)2)((lim)( −

−→−→ −=+=

tst

s

sts eessFesFres 3

33 4

3)3)((lim)( −

−→−→ =+=

( ) ttst

s

sts teeessF

dsd

esFres 552

55 6

53619

)5)((lim)( −−

−→−→ −−=+=

Sumujc poszczególne składniki otrzymujemy

tttt teeeetf 5532

65

3619

43

92

)( −−−− −−+−=

Zadanie 12.3

Wyznaczy transformat odwrotn Laplace’a dla transmitancji operatorowej

)10(2

)( 2 +++=ss

ssF

Rozwizanie

W rozwaanym przypadku mamy do czynienia z biegunami zespolonymi, std przy

wyznaczaniu transformaty odwrotnej Laplace’a wygodniejsza jest metoda wykorzystujca

tablice transformat. W tym celu przekształcimy wyraenie transformaty do postaci

( )2224/39)5,0(

4/3939/45,1)5,0()10(

2)(

++

⋅⋅++=++

+=s

sss

ssF

315

Z porównania szóstego i siódmego wiersza w tablicy 12.1 z wyraeniem opisujcym zadan

transformat otrzymuje si

( ) ( )tetetf tt 4/39sin393

4/39cos)( 5,05,0 −− +=

316

Lekcja 13. Metoda operatorowa analizy stanów nieustalonych w obwodach

elektrycznych

Wstp

W metodzie operatorowej Laplace’a zastpuje si układ równa róniczkowych poprzez

układ równa algebraicznych zmiennej zespolonej s. Jakkolwiek bezporednie zastosowanie

transformacji Laplace’a do równa róniczkowych opisujcych obwód elektryczny pozwala

uzyska opis obwodu w dziedzinie operatorowej, najlepsz metod analizy obwodów w stanie

nieustalonym przy zastosowaniu przekształcenia Laplace’a jest okrelenie transformat prdów

i napi bezporednio na podstawie obwodu bez koniecznoci układania równa

róniczkowo-całkowych.

W tej lekcji wprowadzimy metod operatorow Laplace’a do analizy stanu

nieustalonego w obwodzie RLC bezporednio na podstawie struktury obwodu bez stosowania

równa róniczkowych. Podamy modele operatorowe rezystora, cewki i kondensatora.

Zostanie wprowadzona metoda superpozycji stanów ustalonego i przejciowego rozdzielajca

analiz obwodu w stanie ustalonym po przełczeniu od analizy w stanie przejciowym. Zalet

takiego podejcia jest znaczne uproszczenie oblicze, zwłaszcza przy wystpieniu ródeł

sinusoidalnych.

13.1 Modele operatorowe elementów obwodu

Aby uzyska bezporednie przetworzenie postaci oryginalnej obwodu na obwód w dziedzinie

operatorowej Laplace’a naley kady element obwodu zastpi odpowiednim modelem w

dziedzinie operatorowej. Tutaj podamy te modele dla trzech podstawowych elementów

obwodu RLC.

13.1.1 Rezystor

Prawo Ohma dotyczce wartoci chwilowych prdu i napicia dla rezystora mona zapisa w

postaci

)()( tRitu RR = (13.1)

317

Jest to równanie algebraiczne wice prd i napicie na zaciskach elementu. Stosujc

transformacj Laplace’a do obu stron równania otrzymuje si

)()( sRIsU RR = (13.2)

Jak wynika z powyszej zalenoci impedancja operatorowa dla rezystora jest równa samej

rezystancji RsZR =)( . Rys. 13.1 przedstawia model operatorowy rezystora, obowizujcy w

dziedzinie zmiennej zespolonej s.

Rys. 13.1. Model operatorowy rezystora

13.1.2 Cewka

Dla uzyskania modelu operatorowego cewki idealnej zastosujemy przekształcenie Laplace’a

bezporednio do równania opisujcego cewk w dziedzinie czasu

dt

tdiLtu L

L

)()( = (13.3)

i wykorzystamy własno dotyczc transformaty pochodnej. W efekcie otrzymuje si

)0()()( +−= LLL LissLIsU (13.4)

Powyszemu równaniu mona przyporzdkowa schemat obwodowy cewki w dziedzinie

operatorowej przedstawiony na rys. 13.2

318

Rys.13.2 Model operatorowy cewki idealnej

Jest to połczenie szeregowe impedancji operatorowej odpowiadajcej cewce idealnej i ródła

napiciowego. Zaciski A-B modelu odpowiadaj zaciskom A-B w oryginalnym symbolu

cewki. Impedancja sLsZL =)( jest impedancj operatorow cewki a )0( +LLi reprezentuje

ródło napicia stanowice integraln cz modelu.

13.1.3 Kondensator

Dla uzyskania modelu operatorowego kondensatora idealnego skorzystamy z jego opisu w

dziedzinie czasu

dt

duCti C

C =)( (13.5)

Zastosujemy przekształcenie Laplace’a do obu stron równania kondensatora. W efekcie takiej

operacji otrzymuje si

)0()()( +−= CCC CussCUsI (13.6)

Przepiszemy t zaleno w postaci

s

usI

sCsU C

C

)0()(

1)(

+

+= (13.7)

Równaniu powyszemu mona przyporzdkowa schemat operatorowy kondensatora

przedstawiony na rys. 13.3.

319

Rys. 13.3 Model operatorowy kondensatora idealnego

W modelu tym funkcja sC

Z C

1= reprezentuje impedancj operatorow kondensatora a

suC )0( +

- ródło napiciowe stanowice integraln cz modelu.

Modele operatorowe odpowiadajce podstawowym elementom obwodu pozwalaj

przyporzdkowa kademu obwodowi rzeczywistemu jego schemat zastpczy w dziedzinie

transformat. W schemacie tym niezerowe warunki pocztkowe uwzgldnione s poprzez

dodatkowe ródła napicia wystpujce w modelu operatorowym cewki i kondensatora. Taki

sposób podejcia do analizy stanu nieustalonego jest wygodny ze wzgldu na to, e

umoliwia napisanie równa (algebraicznych, funkcyjnych) w postaci operatorowej

bezporednio na podstawie schematu zastpczego bez potrzeby tworzenia równa

róniczkowych opisujcych obwód.

13.2 Prawa Kirchhoffa dla transformat

Dla schematu operatorowego obwodu słuszne s prawa Kirchhoffa, analogiczne do

praw obowizujcych w dziedzinie czasu.

Prawo prdowe

Suma transformat prdów w dowolnym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru

=

=n

kk sI

1

0)( (13.8)

320

Prawo napiciowe

Suma transformat napi gałziowych w dowolnym oczku obwodu elektrycznego jest równa

zeru

=

=n

kk sU

1

0)( (13.9)

W równaniach tych transformaty prdów i napi zastpiły wartoci czasowe wystpujce w

podstawowej wersji praw Kirchhoffa. Znaki prdów i napi wystpujcych w równaniach

(13.8) i (13.9) ustalane s w identyczny sposób jak w przypadku podstawowej wersji praw

Kirchhoffa podanych dla wielkoci rzeczywistych.

13.3 Obliczenia prdów i napi w obwodzie metod operatorow

Obliczenia prdów i napi w stanie nieustalonym obwodu metod operatorow

sprowadza si bd do wyznaczenia transformaty odpowiedniej wielkoci a nastpnie

obliczenia transformaty odwrotnej Laplace’a dla okrelenia zmiennej w dziedzinie czasu. Do

obliczenia transformat prdów i napi mona stosowa wszystkie poznane dotd metody

analizy obwodów, w tym metod równa Kirchhoffa, oczkow, potencjałów wzłowych,

Thevenina i Nortona operujce transformatami Laplace’a zamiast wartociami zespolonymi

czy wartociami w dziedzinie czasu (dla obwodu rezystancyjnego).

Podstawowymi zaletami metody operatorowej jest łatwo uwzgldnienia

niezerowych warunków pocztkowych (przez wprowadzenie ródeł napiciowych w modelu

operatorowym) oraz sprowadzenie operacji róniczkowych do działa algebraicznych.

W ogólnoci rozwizujc stan nieustalony w obwodzie metod operatorow naley

wyróni kilka etapów.

1. Okrelenie warunków pocztkowych w obwodzie, poprzez wyznaczenie rozwizania

ustalonego obwodu przed przełczeniem i obliczenie wartoci napi na kondensatorach i

prdów cewek w chwili −= 0t , to jest )0( −Li oraz )0( −

Cu

2. Okrelenie rozwizania obwodu w stanie ustalonym po przełczeniu przy zastosowaniu

metody symbolicznej z wykorzystaniem dowolnej metody analizy. Wynikiem jest posta

czasowa rozwizania ustalonego prdów cewek )(tiLu i napi kondensatorów )(tuCu .

321

Przez załoenie t=0 otrzymuje si wartoci prdów i napi w chwili pocztkowej, to jest

)0( +Lui oraz )0( +

Cuu .

3. Okrelenie rozwizania obwodu w stanie przejciowym po przełczeniu przy

zastosowaniu metody operatorowej. Dla otrzymania takiego rozwizania naley wykona

nastpujce etapy:

• utworzenie schematu obwodu dla składowej przejciowej poprzez wyeliminowanie

ródeł zewntrznych wymuszajcych (zwarcie ródeł napicia i rozwarcie ródeł

prdu); obwód rzeczywisty dla składowej przejciowej w dziedzinie czasu nie zawiera

adnych ródeł wymuszajcych

• okrelenie warunków pocztkowych dla składowej przejciowej przy wykorzystaniu

praw komutacji, zgodnie z którymi )0()0()0( ++− += pu xxx ; z równania tego wynikaj

nastpujce wzory na warunki pocztkowe dla składowych przejciowych prdu

cewki i napicia kondensatora

)0()0()0( +−+ −= LuLLp iii (13.10)

)0()0()0( +−+ −= CuCCp uuu (13.11)

• utworzenie schematu operatorowego obwodu w stanie przejciowym poprzez

zastpienie elementów rzeczywistych obwodu ich modelami operatorowymi dla

składowej przejciowej i rozwizanie obwodu wzgldem poszukiwanych prdów i

napi operatorowych

• wyznaczenie transformaty odwrotnej Laplace’a dla poszukiwanych wielkoci

przejciowych okrelonych w punkcie poprzednim; w wyniku otrzymuje si )(tiLp

oraz )(tuCp .

4. Rozwizanie obwodu w stanie nieustalonym jest sum składowej ustalonej oraz składowej

przejciowej, to jest

)()()( tititi LpLuL += (13.12)

)()()( tututu CpCuC += (13.13)

322

Składowa przejciowa zanika z czasem do zera i pozostaje jedynie składowa ustalona

okrelajca przebieg wielkoci w stanie ustalonym. Taka metodyka rozwizania stanów

nieustalonych przy zastosowaniu transformacji Laplace’a nosi nazw metody superpozycji

stanów, gdy rozdziela w sposób jawny stan ustalony od stanu przejciowego. Jest

szczególnie zalecana przy wymuszeniach sinusoidalnych, cho obowizuje równie dla

obwodów prdu stałego. Zalet takiego podejcia jest jej uniwersalno i stosowalno do

kadego obwodu liniowego RLC niezalenie od rodzaju wymuszenia (wymuszenia stałe lub

sinusoidalne maj jedynie wpływ na stan ustalony i s wyeliminowane przy rozwizywaniu

stanu przejciowego).

Naley podkreli, e rozbicie stanu nieustalonego na ustalony i przejciowy jest

zalecane jedynie przy istnieniu wymusze sinusoidalnych w obwodzie po przełczeniu. Jeli

ródła takie nie wystpuj schemat operatorowy moe dotyczy obwodu całkowitego, bez

rozbijania go na schemat dla składowej ustalonej i przejciowej. W takim przypadku

pozostawia si zewntrzne ródła wymuszajce w obwodzie przyjmujc ich model

operatorowy, czyli zastpujc posta czasow ródła (warto stała A przy wymuszeniu

stałym) przez funkcj sA

. Warunki pocztkowe równie nie podlegaj modyfikacji, co

oznacza, e )0()0( −+ = LL ii oraz )0()0( −+ = CC uu .

Przykład 13.1

Wyznaczy przebieg czasowy napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym w obwodzie

z rys. 13.4 po przełczeniu. Dane liczbowe parametrów obwodu s nastpujce:

Ω== 121 RR , HL 1= , FC 1= , 10)(2 =te V. ródło wymuszajce sinusoidalne dane jest w

nastpujcej postaci )4/sin(25)(1 π+= tte V.

323

Rys. 13.4. Schemat obwodu do przykładu 13.10.

Rozwizanie

W rozwizaniu problemu wyznaczymy najpierw warunki pocztkowe w obwodzie

rozwizujc stan ustalony przed przełczeniem. Poniewa przed przełczeniem w obwodzie

wystpowały dwa ródła: stałe i sinusoidalne w obliczeniu warunków pocztkowych (stan

ustalony przed przełczeniem) naley zastosowa metod superpozycji ródeł.

324

Rys. 13.5 Schematy obwodu: a) w stanie ustalonym przed przełczeniem (ródło

sinusoidalne), b) w stanie ustalonym przed przełczeniem (ródło stałe), c) w stanie

ustalonym po przełczeniu, d) schemat operatorowy dla składowej przejciowej

Schemat obwodu w stanie ustalonym przed przełczeniem przy wymuszeniu sinusoidalnym

przedstawiony jest na rys. 13.5a. Wobec rezonansu równoległego w gałzi LC prd

wydawany przez ródło jest równy zeru a napicie na tej gałzi jest równe napiciu ródła.

Std

)4/sin(25)()1( π+= ttuCu

Prd cewki (warto skuteczna zespolona) dany jest wzorem

4/4/

)1( 51

5 ππ

jj

Lu ej

eI −==

co odpowiada postaci czasowej

)4/sin(25)()1( π−= ttiLu

Uwzgldniajc ródło stałe e2(t) uzyskuje si znaczne uproszczenie obwodu (cewka dla prdu

stałego w stanie ustalonym stanowi zwarcie a kondensator przerw) jak to przedstawiono na

rys. 13.5b. Rozwizanie na prd cewki i napicie kondensatora ma wic posta:

0)()2( =tuCu

101

10)()2( ==tiLu

Dokonujc superpozycji obu rozwiza otrzymuje si

)4/sin(2510)()()( )2()1( π−+=+= ttititi LuLuLu

325

)4/sin(25)()()( )2()1( π+=+= ttututu CuCuCu

Std warunki pocztkowe s nastpujce: 5)0( =−Cu , 5)0( =−

Li .

Po przełczeniu w obwodzie pozostaje jedynie ródło sinusoidalne e1(t). Schemat

obwodu dla tego wymuszenia pokazany jest na rys. 13.5c. Z analizy tego obwodu wynika

nastpujca procedura rozwizania. Wobec rezonansu równoległego w gałzi LC prd

wydawany przez ródło jest równy zeru a napicie na tej gałzi jest równe napiciu ródła.

Std

)4/sin(25)( π+= ttuCu

Prd cewki (warto skuteczna zespolona) dany jest wzorem

4/45

51

5 πjj

Lu ej

eI −==

co odpowiada postaci czasowej

)4/sin(25)( π−= ttiLu

Stan pocztkowy dla składowej ustalonej prdu cewki i napicia kondensatora przyjmuje wic

nastpujce wartoci:

5)0( =+Cuu

oraz

5)0( −=+Lui

Warunki pocztkowe dla składowej przejciowej prdu i napicia s zatem równe:

0)0()0()0( =−= +−+CuCCp uuu

326

10)0()0()0( =−= +−+LuLLp iii

Schemat operatorowy obwodu przedstawiono na rys. 13.5d (ródło wewntrzne przy

kondensatorze nie wystpuje, bo 0)0( =+Cpu . Zastosowanie metody potencjałów wzłowych

do wyznaczenia postaci operatorowej rozwizania prowadzi do wyniku

15,0

105,0/1

/10)( 2 ++

−=++

−=ssss

ssUCp

Wobec zespolonych wartoci własnych (pierwiastków mianownika transformaty napicia) w

wyznaczaniu oryginału zastosujemy metod wykorzystujc tablice transformat. W zwizku z

powyszym transformat przedstawimy w postaci przekształconej

( )( ) ( )

( )( ) ( )22222

16/1525,0

16/1533,10

16/1525,0

15/161016/1515,0

10)(

++−=

++

⋅⋅−=++

−=ssss

sUCp

Powyszej funkcji operatorowej mona przyporzdkowa nastpujc posta czasow (patrz

wiersz szósty tablicy 12.1)

( )tetu tCp 16/15sin33,10)( 25,0−−=

Rozwizanie całkowite okrelajce napicie kondensatora jest sum składowej ustalonej i

przejciowej

( )tettututu tCpCuC 16/15sin33,10)4/sin(25)()()( 25,0−−+=+= π

Składowa przejciowa zanika z biegiem czasu ze stał czasow 4=τ i po około 5 stałych

czasowych pozostaje jedynie składowa ustalona sinusoidalna.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 13.1

327

Okreli przebieg napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym po przełczeniu metod

operatorow w obwodzie przedstawionym na rys. 13.6. Przyj nastpujce parametry

obwodu:R1=50Ω, R2=100Ω, C1=10µF, C2=20µF, 50)(1 =te V, 100)(2 =te V.


Rozwizanie

Warunki pocztkowe:

50)0( 11 ==− euC

100)0( 22 ==− euC

Ze wzgldu na wymuszenie stałe nie zachodzi potrzeba stosowania metody superpozycji

stanu. Schemat operatorowy obwodu w stanie nieustalonym przedstawiony jest na rys. 13.7

Rys. 13.7 Schemat operatorowy obwodu

Z metody potencjałów wzłowych zastosowanych do obwodu z rys. 9.18 wynika

328

( ) ( )55

25

15

10210100/150/1

0102010100100

5050

)( −−

+−+−

+++

⋅+++=

ss

uusssU

CC

C

( )10003105,2250

)(5

+⋅+=

sss

sUC

Bieguny układu:

s1 = 0

s2 = -1000

Transformata odwrotna Laplace’a

st

Csst

CsC essUsesUtu )1000)((lim)(lim)( 10000 ++= −→→

tC etu 1000

350

3250

)( −+=

W stanie ustalonym przy ∞→t mamy 3

250)( =tuCu V.

Zadanie 13.2

Okreli prd cewki w stanie nieustalonym po przełczeniu w obwodzie przedstawionym na

rys. 13.8. Przyj nastpujce wartoci parametrów obwodu: R=2Ω , L=1H, C=1/4F,

)454sin(210)( otte += .

329


Rozwizanie

1) Warunki pocztkowe w obwodzie:

4=ω

25,2

4410 45

=+

=j

eI

oj

L

)4sin(5,2)( ttiL =

0)0( =−Li

0)0( =−Cu

2) Stan ustalony po przełczeniu w obwodzie (rys. 13.9)

Rys. 13.9. Schemat obwodu w stanie ustalonym po przełczeniu

330

oo

jj

Lu ejj

eI 31,11

45

77.2142

10 −=−+

=

ojLuCu eIjU 31,10177,21 −=⋅−=

)31,114sin(277,2)( oLu tti −=

)31,1014sin(277,2)( oCu ttu −=

76,0)0( −=+Lui

84,3)0( −=+Cuu

3) Stan przejciowy po przełczeniu

Schemat operatorowy przedstawiony jest na rys. 13.10.

Rys. 13.10 Schemat operatorowy obwodu po przełczeniu

Warunki pocztkowe dla stanu przejciowego:

76,0)0()0()0( =−= +−+LuLLp iii

84,3)0()0()0( =−= +−+CuCCp uuu

Posta operatorowa rozwizania

331

4284,376,0

/42/)0()0(

)( 2 ++−=

++−

=++

sss

ss

suLisI CpLp

Lp

Wobec zespolonych biegunów zastosujemy metod tablicow okrelenia transformaty

odwrotnej. Zgodnie z ni

( ) ( )22 31

33

16,4)1(76,0

)(++

⋅−+=

s

ssILp

)3sin(67,2)3cos(76,0)( teteti ttLp

−− −=

Rozwizanie całkowite na prd cewki w stanie nieustalonym

)3sin(67,2)3cos(76,0)31,114sin(277,2)()()( tetettititi ttoLpLuL

−− −+−=+=

332

Lekcja 14. Stan nieustalony w obwodzie RLC przy załczeniu napicia

stałego

Wstp

Jednym z najwaniejszych przypadków stanu nieustalonego s zjawiska powstajce w

obwodzie RLC zawierajcym jednoczenie cewk i kondensator. W obwodzie takim powstaj

godne uwagi zjawiska, które znalazły ogromne zastosowanie w wielu dziedzinach elektroniki

i elektrotechniki.

W tej lekcji zostanie przedstawiona analiza stanu nieustalonego w obwodzie

szeregowym RLC. Analiza zostanie przeprowadzona przy zastosowaniu rachunku

operatorowego Laplace’a. W zalenoci od wartoci rezystancji mog powsta trzy przypadki

rozwizania: przypadek oscylacyjny, gdy aktualna rezystancja obwodu jest mniejsza od

krytycznej, przypadek aperiodyczny krytyczny, gdy ta rezystancja jest równa rezystancji

krytycznej oraz przypadek aperiodyczny, gdy rezystancja obwodu jest wiksza od krytycznej.

Szczególnie interesujcy jest przypadek oscylacyjny, w którym przy zasilaniu obwodu

napiciem stałym powstaj drgania sinusoidalne o tłumionej amplitudzie. Przy rezystancji

równej zeru w obwodzie powstaj drgania sinusoidalne niegasnce.

14.1 Równanie operatorowe obwodu Rozpatrzmy załczenie napicia stałego E do gałzi szeregowej RLC przedstawionej na rys.

14.1.

Rys. 14.1. Załczenie napicia stałego do obwodu szeregowego RLC

333

Wobec zerowych warunków pocztkowych (brak wymuszenia w obwodzie przed

przełczeniem) mamy 0)0( =−Cu , 0)0( =−

Li .

Stan ustalony w obwodzie przy wymuszeniu stałym nie wymaga specjalnych oblicze,

gdy wobec przerwy, jak reprezentuje kondensator, prd w obwodzie nie płynie ( 0)( =tiLu )

a napicie na kondensatorze jest równe napiciu zasilajcemu EtuCu =)( .

Rys. 14.2 Schemat operatorowy obwodu RLC w stanie nieustalonym

Schemat operatorowy obwodu w stanie nieustalonym przedstawiony jest na rys. 14.2.

Warunki pocztkowe napicia kondensatora i prdu cewki okrelaj równania

0)0()0( == −+CC uu (14.1)

0)0()0( == −+LL ii (14.2)

Z prawa napiciowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu wynika nastpujca posta

operatorowa prdu cewki

LCs

LR

s

LEsCRsL

sEsI

1/

/1/

)(2 ++

=++

= (14.3)

Dla wyznaczenia transformaty odwrotnej naley obliczy pierwiastki mianownika

transmitancji, czyli

012 =++

LCs

LR

s (14.4)

334

W wyniku rozwizania tego równania otrzymuje si dwa pierwiastki (bieguny układu)

LCL

RL

Rs

122

2

1 −

+−= (14.5)

LCL

RL

Rs

122

2

2 −

−−= (14.6)

Z postaci wzoru opisujcego bieguny wynika, e w zalenoci od znaku funkcji

podpierwiastkowej moliwe s 3 przypadki rozwizania.

• Przypadek aperiodyczny dla CL

R 2> . Przy spełnieniu tego warunku oba bieguny s

rzeczywiste i ujemne. Charakter zmian prdu w obwodzie w stanie przejciowym jest

aperiodyczny (nieokresowy) zanikajcy do zera w sposób wykładniczy.

• Przypadek aperiodyczny krytyczny wystpujcy dla CL

R 2= . Przy spełnieniu tego

warunku oba bieguny s rzeczywiste i równe sobie. Charakter zmian prdu w obwodzie w

stanie przejciowym jest równie aperiodyczny, podobnie jak w przypadku pierwszym,

ale jego czas trwania jest najkrótszy z moliwych.

• Przypadek oscylacyjny (periodyczny) wystpujcy dla CL

R 2< . Przy spełnieniu tego

warunku oba bieguny s zespolone (zespolony i sprzony z nim). Charakter zmian prdu

w obwodzie w stanie przejciowym jest sinusoidalny tłumiony, o oscylacjach

zanikajcych do zera.

Rezystancja CL

R 2= nazywana jest rezystancj krytyczn i oznaczana w postaci krR .

14.2 Przypadek aperiodyczny

Rozpatrzymy najpierw przypadek pierwszy (aperiodyczny). Ze wzgldu na to, e oba bieguny

s rzeczywiste w obliczeniach transformacji odwrotnej najwygodniej jest zastosowa metod

residuów. Zgodnie z ni przebieg czasowy prdu )(tip mona zapisa w postaci

335

[ ]tsts ee

LCLR

L

Eti 21

12

2

)(2

−

−

= (14.7)

Podstawiajc wartoci s1 i s2 okrelone wzorami (14.5) i (14.6) otrzymuje si posta

hiperboliczn rozwizania na prd cewki w stanie nieustalonym

−

−

=

−t

LCLR

she

LCLR

L

Eti

tL

R 121

2

)(2

22

(14.8)

We wzorze wystpuje czynnik tłumicy typu wykładniczego t

LR

e 2−

. Wielko L

R2

=α

nazywana jest współczynnikiem tłumienia. Jej warto jest proporcjonalna do wartoci

rezystancji. Im wiksza rezystancja tym wiksze tłumienie w obwodzie.

W podobny sposób wyznaczy mona pozostałe przebiegi czasowe w obwodzie:

napicie cewki i kondensatora. Transformata napicia na kondensatorze wyraona jest

wzorem

++==

LCs

LR

ssLCE

sIsC

sU C 11

)(1

)(2

(14.9)

Po zastosowaniu wzoru na residuum otrzymujemy

( )tstsC eses

LCLR

EEtu 21

1221

22

)( −

−

+= (14.10)

Obliczenie napicia cewki w stanie nieustalonym moe by uzyskane bezporednio z postaci

czasowej poprzez róniczkowanie zalenoci na prd cewki. Po wykonaniu odpowiednich

działa otrzymuje si

336

[ ]tstsL eses

LCLR

Edtdi

Ltu 21212 1

22

)( −

−

== (14.11)

Na rys. 14.3 przedstawiono przebiegi prdu, napicia na kondensatorze i cewce w stanie

nieustalonym w obwodzie RLC dla R = 2,3Ω, C = 1F i L = 1H przy załczeniu napicia

stałego E = 1V. Dla przyjtych wartoci parametrów elementów mamy do czynienia z

przypadkiem aperiodycznym.

Rys. 14.3. Przebiegi prdu i napi w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego

Prd w obwodzie oraz napicie na kondensatorze zachowuj cigło i spełniaj prawa

komutacji. W stanie ustalonym prd w obwodzie nie płynie (kondensator w stanie ustalonym

stanowi przerw) a napicie na kondensatorze przyjmuje warto napicia zasilajcego E.

Zauwamy ponadto, e wartoci maksymalnej prdu odpowiada zerowa warto napicia na

cewce (dtdi

LtuL =)( ). W chwili, gdy napicie na cewce osiga warto maksymaln ujemn,

w przebiegu napicia na kondensatorze mona zauway punkt przegicia.

Na rys. 14.4 przedstawiono wykresy przebiegów ładowania kondensatora w obwodzie

RLC dla przypadku aperiodycznego opisanego wzorem (14.10) dla 3 rónych wartoci

współczynnika tłumienia L

R2

=α .

337

Rys. 14.4. Przebiegi napi na kondensatorze dla rónej wartoci współczynnika tłumienia

Jak wida, im wiksza jest warto tego współczynnika, tym dłuej trwa dochodzenie do

stanu ustalonego. Interesujce jest porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie

RLC w stanie aperiodycznym (wzór 14.10) oraz w obwodzie RC. Napicie i prd

kondensatora w obwodzie RC, jak zostało pokazane w lekcji jedenastej opisane s funkcjami

( )RCtC eEtu /1)( −−= , RCt

C eRE

ti /)( −= . Na rys. 14.5 przedstawiono przebiegi napicia na

kondensatorze (rys. 14.5a) oraz prdu (rys. 14.5b).

Rys. 14.5 Porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RC i RLC

338

W napiciu uC(t) w obwodzie RLC widoczny jest łagodnie narastajcy przebieg z punktem

przegicia. Prd ładowania kondensatora, bdcy jednoczenie prdem cewki, narasta od

wartoci zerowej z zachowaniem cigłoci, a wic spełniajc warunki nakładane przez prawa

komutacji. W obwodzie RC widoczny jest gwałtowny skok prdu w chwili przełczenia

(prawa komutacji nie dotycz prdu kondensatora).

14.3 Przypadek aperiodyczny krytyczny

W przypadku aperiodycznym krytycznym, wobec spełnienia relacji CL

R 2= oba

pierwiastki mianownika s równe i transformata prdu wyraa si wzorem

2

2

/)(

+=

LR

s

LEtI (14.12)

Zastosowanie wzoru na residuum dla pierwiastka podwójnego α−=−==L

Rss

221 prowadzi

do nastpujcej postaci prdu cewki )(ti

t

LR

teLE

ti 2)(−

= (14.13)

W analogiczny sposób mona wyznaczy pozostałe przebiegi (napicia kondensatora i cewki)

dla stanu aperiodycznego krytycznego. W przypadku napicia na cewce bezporednio poprzez

róniczkowanie funkcji czasowej prdu otrzymuje si

−==−

tL

REe

dtdi

Ltut

LR

L 21)( 2 (14.14)

339

Napicie na kondensatorze w stanie nieustalonym mona uzyska bezporednio z prawa

napiciowego Kirchhoffa napisanego dla obwodu z rys. 14.1 po przełczeniu. Mianowicie

+−=−−=−

tL

REeEtutRiEtu

tL

R

LLC 21)()()( 2 (14.15)

Na rys. 14.6 przedstawiono przebieg ładowania kondensatora w stanie aperiodycznym

krytycznym na tle przypadku aperiodycznego.

Rys. 14.6. Porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RLC dla przypadku

aperiodycznego i aperiodycznego krytycznego

Jedyna rónica wystpuje w czasie trwania stanu przejciowego, który najszybciej zanika dla

przypadku krytycznego. Charakter przebiegu prdu i napi w obwodzie dla przypadku

aperiodycznego krytycznego jest podobny do zwykłego przypadku aperiodycznego, z tym, e

najszybciej uzyskiwany jest stan ustalony (stan przejciowy trwa najkrócej z moliwych).

14.4 Przypadek oscylacyjny

Przypadek oscylacyjny zmian prdu i napi w obwodzie szeregowym RLC wystpuje przy

spełnieniu warunku CL

R 2< a wic przy małych wartociach rezystancji R. W tym

przypadku oba bieguny s zespolone. Dla wyznaczenia postaci czasowej prdu wygodniej jest

340

zastosowa metod tablic transformat. W tym celu naley przekształci wyraenie na prd

operatorowy w taki sposób, aby doprowadzi je do postaci wystpujcej w tablicy 12.1. Dla

zadanej postaci prdu przekształcenia te s jak nastpuje

2

22

2

22

2

2

2

41

/

41

2

41

1/

)(

LR

LC

LE

LR

LCLR

s

LR

LC

LCs

LR

s

LEsI

−

⋅

−+

+

−=

++= (14.16)

Wprowadmy oznaczenie

2

2

41

LR

LC−=ω (14.17)

Wielko ω jest pulsacj drga własnych obwodu RLC wystpujcych w przypadku

oscylacyjnym. Wykorzystujc tablic transformat 12.1 moemy uzyska posta czasow

prdu w obwodzie. Mona j zapisa w postaci

)sin()( 2 teL

Eti

tL

R

ωω

−= (14.18)

Prd w przypadku oscylacyjnym opisany jest funkcj sinusoidaln o amplitudzie zmieniajcej

si według funkcji wykładniczej. Czynnik t

LR

e 2−

stanowi tłumienie przebiegu sinusoidalnego a

jego warto jest proporcjonalna do wartoci rezystancji obwodu RLC. Odwrotno

współczynnika tłumienia charakteryzuje stał czasow RL2=τ obwodu RLC z jak tłumione

s drgania sinusoidalne.

Wykorzystujc podstawowe relacje zachodzce midzy zmiennymi w obwodzie

szeregowym RLC mona wyznaczy pozostałe napicia w obwodzie w stanie nieustalonym.

W przypadku cewki napicie uzyskuje si przez zróniczkowanie funkcji opisujcej prd

ładowania.

341

)sin()( 2 ϕωω

−−==−

teLC

Edtdi

Ltut

LR

L (14.19)

gdzie kt ϕ jest okrelony relacj

LR

ar2/

ctgωϕ = (14.20)

Napicie na kondensatorze wyznaczy mona bezporednio z prawa napiciowego Kirchhoffa

zastosowanego do obwodu rzeczywistego z rys. 14.1

−−−=−−=

−)sin()sin()()()( 2 ϕωω

ωt

CL

tReL

EEtRituEtu

tL

R

LC (14.21)

Na rys. 14.7 przedstawiono przebiegi prdu i napi w stanie nieustalonym w obwodzie RLC

przy wystpieniu przypadku oscylacyjnego, czyli przy CL

R 2< .

Rys. 14.7. Przebiegi czasowe w obwodzie RLC dla przypadku oscylacyjnego

342

Przebieg prdu ma charakter sinusoidalny, tłumiony wykładniczo do zera. Obwiednie

przebiegu prdu s wyznaczone funkcjami t

LR

eL

Etf 2)(

−±=

ω. Przy zasilaniu obwodu RLC

napiciem stałym wytworzyły si drgania własne o pulsacji 2

2

41

LR

LC−=ω . Pulsacja ta

zaley wyłcznie od parametrów obwodu RLC. Głównym czynnikiem regulujcym warto

pulsacji wobec małej wartoci rezystancji R dla przypadku oscylacyjnego jest warto

indukcyjnoci L oraz pojemnoci C. Przy danych wartociach L, C i regulowanej rezystancji,

pulsacja ronie przy malejcej wartoci rezystancji .

Drgania w obwodzie powstaj na skutek wymiany energii midzy polem

elektrycznym kondensatora a polem magnetycznym cewki. Na skutek skoczonej wartoci

rezystancji zachodzi rozpraszanie energii w postaci ciepła wydzielanego na rezystorze. Std

oscylacje powstajce w obwodzie maj charakter malejcy. Szybko tłumienia okrela stała

tłumienia L

R2

=α . Im wiksza warto rezystancji tym wiksze tłumienie w obwodzie i

szybsze zanikanie drga sinusoidalnych do zera.

Na rys. 14.8 przedstawiono przykładowe przebiegi ładowania kondensatora w

obwodzie RLC dla przypadków oscylacyjnych przy zmieniajcej si wartoci rezystancji.

Rys. 14.8. Przebiegi napicia na kondensatorze dla przypadku oscylacyjnego przy

zmieniajcej si wartoci rezystancji

343

Widoczne jest, e im mniejsza warto rezystancji tym dłuej trwa stan przejciowy w

obwodzie. Wobec małych wartoci rezystancji wynikajcych z warunku wystpowania

przypadku oscylacyjnego jej wpływ na czstotliwo drga własnych obwodu (wzór 14.17)

jest stosunkowo niewielki.

Naley podkreli, e jakkolwiek wyraenia analityczne opisujce przebiegi czasowe

w obwodzie dla rónych przypadków tłumienia s znacznie rónice si miedzy sob,

wszystkie reprezentuj charakter cigły. Poszczególne przypadki przechodz w siebie

nawzajem przy cigłej zmianie wartoci rezystancji. Przy małej rezystancji tłumienie jest

małe i przebieg prdu oraz napi jest oscylacyjny, tłumiony wykładniczo. Wzrost wartoci

rezystancji powoduje wzrost tłumienia, drgania trwaj krócej a przy pewnej wartoci

krytycznej CL

Rkr 2= przechodz w przebieg aperiodyczny (krytyczny), przy którym nie

obserwuje si ju drga. Dalszy wzrost rezystancji niewiele zmienia w charakterze

jakociowym przebiegów poza wydłueniem stanu przejciowego. Ilustracj powyszego

zjawiska na przykładzie napicia )(tuC w obwodzie przedstawiono na rys. 14.9.

Rys. 14.9. Przebiegi napicia na kondensatorze w obwodzie RLC przy cigłej zmianie

wartoci rezystancji

344

14.5 Obwód bezstratny LC w stanie nieustalonym

Interesujce zjawiska w stanie nieustalonym wystpuj w obwodzie RLC o zerowej

rezystancji. Obwód taki nazywa bdziemy obwodem LC. Jak wynika z przedstawionych

wyej wzorów tłumienie w takim obwodzie jest zerowe ( 02

==L

Rα ) a pulsacja drga

własnych zaley wyłcznie od indukcyjnoci i pojemnoci i okrelona jest wzorem

LC1=ω (14.22)

Przy zerowym tłumieniu drgania oscylacyjne powstałe w obwodzie na skutek stanu

przejciowego nigdy nie gasn. Obwód zasilony napiciem stałym generuje niegasnce

drgania sinusoidalne stajc si generatorem sygnałów harmonicznych. Przypadek powstania

drga niegasncych w obwodzie LC przedstawiono na rys. 14.10, na którym przedstawiono

przebieg napicia na kondensatorze, prdu w obwodzie oraz napicia cewki.

Rys. 14.10. Przebiegi prdu i napi w stanie nieustalonym w obwodzie LC

W obwodzie zaobserwowa mona powstanie dwukrotnego przepicia na kondensatorze

(warto maksymalna napicia jest równa 2E).

Zjawisko powstawania niegasncych drga sinusoidalnych w obwodzie LC

wykorzystuje si powszechnie w generatorach drga harmonicznych. W rozwizaniach

345

praktycznych takich generatorów konieczne jest jednak zastosowanie elementów

odtłumiajcych, kompensujcych skoczone tłumienie wynikajce z istnienia rezystancji

uzwoje cewki i skoczonej stratnoci kondensatora. Rol układów odtłumiajcych obwód

pełni mog elementy aktywne generujce energi, takie jak wzmacniacze operacyjne,

tranzystory, pewne typy diód itp.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 14.1

Wartoci indukcyjnoci i pojemnoci w obwodzie szeregowym RLC s równe: L = 0,01H

oraz F1=C . Okreli zmiany czstotliwoci drga własnych tego obwodu w funkcji

wartoci rezystancji R zmieniajcej si od zera do rezystancji krytycznej.

Rozwizanie

Czstotliwo drga własnych obwodu szeregowego RLC dana jest wzorem

2482

2

1025,01021

41

21

RL

RLC

f ⋅−=−=ππ

Rezystancja krytyczna

Ω== 2002CL

Rkr

Na rys. 14.11 przedstawiono zaleno czstotliwoci drga własnych obwodu od wartoci

rezystancji R w podanym zakresie zmian rezystancji

346

Rys. 14.11. Wykres zalenoci czstotliwoci drga własnych obwodu od wartoci rezystancji

Zadanie 14.2

Okreli charakter odpowiedzi czasowej w obwodzie szeregowym RLC, jeli indukcyjno

L = 0,1H, pojemno C = 10-5F a wartoci rezystancji s równe: a) R = 50Ω, b) R = 200Ω,

c) R = 500Ω.

Rozwizanie

Charakter odpowiedzi czasowych w obwodzie RLC zaley od stosunku rezystancji obwodu

do rezystancji krytycznej. W przypadku danych w obwodzie rezystancja krytyczna jest równa

Ω== 2002CL

Rkr

W zwizku z powyszym otrzymujemy:

a) krRR < → przypadek oscylacyjny

b) krRR = → przypadek aperiodyczny krytyczny

c) krRR > → przypadek aperiodyczny

347

Lekcja 15. Transmitancja operatorowa obwodów

Wstp

W tej lekcji wprowadzone zostanie pojcie transmitancji operatorowej obwodu. Podane

zostan definicje rónych rodzajów transmitancji oraz metod ich wyznaczania

wykorzystujcych impedancje operatorowe elementów. Poznamy zwizek transmitancji

operatorowej z opisem stanowym obwodu. Wprowadzone zostan definicje odpowiedzi

impulsowej i skokowej oraz ich zwizek z transmitancj operatorow. Na podstawie opisu

operatorowego i odpowiedzi impulsowej zostanie wyjanione pojcie stabilnoci obwodu i

udowodniony zwizek stabilnoci z połoeniem biegunów na płaszczynie zmiennej

zespolonej.

15.1 Definicja transmitancji operatorowej

Rozwaania dotyczce analizy stanów nieustalonych metod operatorow zakładały badanie

zjawisk zachodzcych w obwodach na skutek przełcze. W ogólnym przypadku

zakładalimy wystpienie niezerowych warunków pocztkowych wynikajcych ze stanu

obwodu przed komutacj. Badania dotyczyły dowolnych prdów lub napi w obwodzie. Z

punktu widzenia praktycznego szczególnie wany jest przypadek zerowych warunków

pocztkowych i obliczania jedynie wybranego prdu lub napicia w obwodzie traktowanego

jako sygnał wyjciowy. W takim przypadku wygodnie jest wprowadzi pojcie transmitancji

operatorowej.

Wemy pod uwag obwód złoony z dowolnych elementów pasywnych RLCM i

ródeł sterowanych nie zawierajcych wewntrz adnych ródeł niezalenych. Wyrónijmy w

tym obwodzie jedn par zacisków uwaanych za wejciowe, do których przykładamy ródło

wymuszajce oraz drug par zacisków wyjciowych, z których zbieramy prd (zaciski

zwarte) lub napicie (zaciski rozwarte).

Transmitancja operatorowa okrela zwizek midzy transformat operatorow sygnału

wyjciowego (odpowiedzi), któr tutaj oznaczymy w ogólnoci przez Y(s) oraz transformat

operatorow wymuszenia (sygnału wejciowego), oznaczon ogólnie przez X(s).

Transmitancj operatorow nazywa bdziemy stosunek transformaty sygnału wyjciowego

348

(prdu lub napicia) do transformaty sygnału wejciowego układu (ródła napiciowego lub

prdowego) przy zerowych warunkach pocztkowych

)()(

)(sXsY

sT = (15.1)

W zalenoci od sygnału wejciowego i wyjciowego układu wyróni mona cztery rodzaje

transmitancji operatorowych: transmitancja napiciowa, prdowa, napiciowo-prdowa i

prdowo-napiciowa. Przyjmijmy oznaczenie bramy wejciowej cyfr 1 a bramy wyjciowej

cyfr 2 jak to pokazano na rys. 15.1.

Rys. 15.1. Oznaczenie układu przy definicji transmitancji

15.1.1 Transmitancja napiciowa (napiciowo-napiciowa)

Transmitancja napiciowa dotyczy stosunku dwu napi zewntrznych układu. Sygnałem

wejciowym jest ródło napiciowe, a sygnałem wyjciowym napicie na dowolnym

elemencie uznane za napicie wyjciowe. Jest ona definiowana w postaci

)()(

)(1

2

sUsU

sTu = (15.2)

W definicji transmitancji napiciowej zakłada si, e napicie wyjciowe układu mierzone

jest w stanie jałowym tzn. przy ∞=0Z (bez obcienia zacisków wyjciowych, I2=0).

349

15.1.2 Transmitancja prdowa (prdowo-prdowa)

Transmitancja prdowa dotyczy stosunku dwu prdów zewntrznych układu, z których jeden

jest prdem wymuszajcym a drugi prdem gałzi uznanym za prd wyjciowy i jest

definiowana w postaci

)()(

)(1

2

sIsI

sTi = (15.3)

W definicji tej transmitancji zakłada si, e prd wyjciowy I2 jest mierzony w czci

bezimpedancyjnej gałzi wyjciowej 00 =Z odpowiadajcej U2 = 0.

15.1.3 Transmitancja napiciowo-prdowa

Transmitancja napiciowo-prdowa przyjmuje napicie na dowolnym elemencie obwodu jako

sygnał wyjciowy Y(s). Sygnałem wejciowym X(s) jest wymuszenie prdowe. Jest zatem

zdefiniowana w postaci

)()(

)(1

2

sIsU

sTui = (15.4)

Napicie U2 mierzone jest w stanie jałowym ( ∞=0Z ) obwodu.

15.1.4 Transmitancja prdowo-napiciowa

Transmitancj prdowo-napiciow definiuje si jako stosunek prdu wyjciowego do

napicia wejciowego (sygnałem wejciowym X(s) jest napicie wymuszajce a sygnałem

wyjciowym Y(s) prd dowolnego elementu w obwodzie)

)()(

)(1

2

sUsI

sTiu = (15.5)

Szczególnym przypadkiem transmitancji napiciowo-prdowej jest impedancja wejciowa

układu, w definicji której przyjmuje si, e prd i napicie dotycz tej samej bramy

wejciowej. Jej definicja jest przyjmowana w postaci

)()(

)(1

1

sIsU

sZwe = (15.6)

350

Definicja impedancji wejciowej układu zakłada dowolny stan obcienia Z0. Naley jednak

zwróci uwag, e kada zmiana impedancji obcienia zmienia impedancj wejciow. Std

definiujc impedancj wejciow naley sprecyzowa, przy jakim obcieniu jest ona

wyznaczana.

W identyczny sposób mona zdefiniowa impedancj wyjciow, w której prd i

napicie dotycz bramy wyjciowej układu Odwrotno impedancji wejciowej (lub

wyjciowej) nazywana jest admitancj wejciow (wyjciow), która moe by

zinterpretowana jako szczególny przypadek transmitancji prdowo-napiciowej.

15.2 Transmitancja operatorowa obwodów RLC

Przy wyznaczaniu transmitancji operatorowej obwodu zawierajcego rezystancje,

indukcyjnoci, indukcyjnoci sprzone i pojemnoci wykorzystuje si model operatorowy

poszczególnych elementów R, L, C i M wprowadzony w lekcji poprzedniej. Przy załoeniu

zerowych warunków pocztkowych dla indukcyjnoci i pojemnoci modele tych elementów

nie zawieraj ródeł a jedynie impedancje operatorowe Z(s). Zestaw impedancji

operatorowych dla elementów pasywnych przedstawiono w tablicy 15.1

Tablica 15.1 Impedancje operatorowe przyporzdkowane elementom pasywnym

Element Impedancja operatorowa

Rezystancja R RZR =

Indukcyjno własna L sLZL =

Indukcyjno wzajemna M± sMZ M ±=

Pojemno C sC

ZC

1=

Dla obwodów pasywnych zawierajcych elementy R, L, C i M obliczenie transmitancji

operatorowej polega na zastpieniu elementu rzeczywistego poprzez ich impedancje

operatorowe a nastpnie wykorzystujc dowoln metod analizy (metoda praw Kirchhoffa,

wzłowa, oczkowa, Thevenina, Nortona) naley wyznaczy odpowied operatorow w

funkcji wymuszenia. Wobec liniowoci obwodu kada jego odpowied (dowolny prd i

351

dowolne napicie) jest liniow funkcj wymuszenia. Obliczajc transmitancj dzieli si

odpowied przez wymuszenie, w wyniku czego zmienna bdca wymuszeniem ulega redukcji

i w efekcie transmitancja zaley wyłcznie od parametrów RLC obwodu oraz ródeł

sterowanych, bdc jednoczenie funkcj zmiennej zespolonej s. Metod wyznaczania

transmitancji operatorowej zilustrujemy na przykładzie obwodu LC przedstawionego na rys.

15.2.

Przykład 15.1

Naley wyznaczy transmitancj napiciow obwodu przedstawionego na rys. 15.2a,

zakładajc, e napicie wyjciowe pochodzi z elementów L i C połczonych równolegle.

Rys. 15.2. Schematy obwodów do wyznaczania transmitancji: a) obwód oryginalny, b)

schemat operatorowy obwodu

352

Rozwizanie

Schemat operatorowy obwodu do wyznaczenia transmitancji przedstawiony jest na rys. 15.2b

(warunki pocztkowe s z definicji zerowe). Zastpujc cewk i kondensator połczone

równolegle jedn impedancj zastpcz )(sZ LC

LCs

sC

sCsL

sCsL

sZ LC 1

1

1

1

)(2 +

=+

⋅=

i stosujc prawo napiciowe Kirchhoffa do tak uproszczonego obwodu, otrzymuje si

)()(

)()( 1

12 sU

sLsZsZ

sULC

LC

+=

Po prostych przekształceniach uzyskuje si wynik na transmitancj napiciow w postaci

++

=

++

=+

==

LCCLs

CL

LCCLss

sCL

sLsZsZ

sUsU

sTLC

LCu

11

1

11

1

)()(

)()(

)(

1

2

1

1

3

1

11

2

W ostatecznym wyraeniu na transmitancj operatorow zmienna stanowica wymuszenie nie

wystpuje (uległa redukcji). Przyjmijmy nastpujce wartoci elementów obwodu: L = 1H,

L1 = 0,5H, C = 1F (wartoci znormalizowane). Podstawiajc je do wzoru na Tu(s)

otrzymujemy

32

)( 2 +=

ssTu

Jest to tak zwana posta wymierna, zawierajca wielomian zmiennej zespolonej s zarówno w

liczniku (stopie równy zeru) jak i w mianowniku (stopie równy dwa).

W ogólnym przypadku obwodu elektrycznego liniowego zawierajcego rezystory,

cewki i kondensatory oraz ródła sterowane dowolna transmitancja operatorowa ma posta

funkcji wymiernej o stopniu licznika równym m i stopniu mianownika równym n

353

01

11

011

1

......

)()(

)(asasas

bsbsbsbsMsL

sT nn

n

mm

mm

++++++++== −

−

−− (15.7)

Współczynniki ai mianownika oraz bi licznika s funkcjami parametrów elementów obwodu i

dla ich konkretnych wartoci przyjmuj wartoci rzeczywiste. Najwyszy stopie wielomianu

jest równy (w szczególnych przypadkach mniejszy) liczbie elementów reaktancyjnych (cewek

i kondensatorów) obwodu. Najczciej w obwodach wystpujcych w praktyce stopie

mianownika jest nie mniejszy ni stopie licznika.

Pojcie impedancji operatorowej jest uogólnieniem impedancji zespolonej elementów

stosowanej w metodzie symbolicznej przy analizie stanów ustalonych w obwodzie

zawierajcym wymuszenia sinusoidalne. Łatwo pokaza to zakładajc s = jω we wzorach

okrelajcych odpowiednie impedancje operatorowe. Dla elementów indukcyjnych i

pojemnociowych przy załoeniu s = jω otrzymuje si nastpujce zalenoci

)()( ωωω jZLjsZ LjsL ===

(15.8)

)()( ωωω jZMjsZ MjsM =±==

(15.9)

)(1

)( ωωω jZ

CjsZ CjsC ==

= (15.10)

Impedancje Z(jω) reprezentuj impedancje symboliczne elementów RLC, obowizujce w

analizie stanów ustalonych przy wymuszeniach sinusoidalnych. Załoenie s=jω upraszcza

zatem opis obwodu w stanie nieustalonym do opisu obwodu w stanie ustalonym przy

załoeniu wymuszenia sinusoidalnego.

15.3 Zwizek transmitancji operatorowej z opisem stanowym układu

Jak zostało pokazane w lekcji dziesitej obwody liniowe RLC mog by opisane w dziedzinie

zmiennych stanu poprzez równanie stanu, którego posta macierzowa jest nastpujca

BuAxx +=dtd

(15.11)

354

Zmienna x jest wektorem zmiennych stanu, u wektorem wymusze napiciowych i

prdowych wystpujcych w obwodzie, A jest macierz stanu a B – macierz wymusze.

Jeli zbiór sygnałów wyjciowych obwodu oznaczymy w postaci wektora y, to mona je

wyrazi jako kombinacj liniow zmiennych stanu oraz wymusze. Oznacza to, e wektor

wyjciowy y moe by zapisany w postaci macierzowej

DuCxy += (15.12)

Wielkoci C i D wystpujce we wzorze stanowi równie macierze o odpowiednich

wymiarach.

W stosunku do opisu macierzowego (15.11) i (15.12) zastosujemy przekształcenie

Laplace’a. Przy załoeniu zerowych warunków pocztkowych i uwzgldnieniu własnoci

przekształcenia dotyczcej transformaty pochodnej, z równania (15.11) otrzymuje si

)()()( ssss BUAXX += (15.13)

Std

( ) )()( 1 sss BUA1X −−= (15.14)

Poddajc równie drugie równanie stanu (15.12) przekształceniu Laplace’a otrzymuje si

)()()( sss DUCXY += (15.15)

Po uwzgldnieniu zalenoci (15.14) otrzymuje si

( ) ( )[ ] )()()()( 11 ssssss UDBA1CDUBUA1CY +−=+−= −− (15.16)

Przy uwzgldnieniu jednego wejcia (wymiar wektora u równy jeden) i jednego wyjcia

(wymiar wektora y równy take jeden) wektor wyjciowy Y(s) staje si skalarem Y(s),

podobnie jak wymuszenie U(s). Transmitancja operatorowa jest wic okrelona w postaci

355

( )[ ]DssUsY

sT +−== − BA1C 1

)()(

)( (15.17)

We wzorze tym macierz D uprociła si do skalara. Zauwamy, e mianownik transmitancji

operatorowej jest równy wielomianowi charakterystycznemu macierzy A, to jest

)det()( A1 −= ssM (15.18)

Pierwiastki tego mianownika (bieguny układu) s tosame z wartociami własnymi macierzy

stanu A. Wzór (15.17) stanowi zwizek midzy opisem stanowym układu a opisem

operatorowym transmitancyjnym.

Przykład 15.2

Wyznaczy opis transmitancyjny układu opisanego nastpujcymi macierzami stanu

−−

=32

15A ,

=

10

B , [ ]61=C , 2=D .

Na podstawie wzoru (15.17) otrzymuje si

( )[ ]138

57222)( 2

21

++++=+−= −

ssss

DssT BA1C

Wartoci własne macierzy stanu, bdce równie biegunami układu s równe 73,51 −=s ,

27,22 −=s .

15.4 Odpowied impulsowa i skokowa układu

Opis obwodu w dziedzinie zmiennej zespolonej s pozwala bada jego zachowanie przy

pobudzeniu dowolnym wymuszeniem. Szczególnie wane s właciwoci dynamiczne

obwodów (stan nieustalony) przy pobudzeniu za pomoc pewnych wymusze standardowych.

Do takich wymusze naley impuls Diraca )(tδ oraz funkcja skoku jednostkowego 1(t).

356

15.4.1 Odpowied impulsowa

Odpowiedzi impulsow układu nazywamy jego odpowied czasow na wymuszenie w

postaci impulsu Diraca przy zerowych warunkach pocztkowych obwodu. Dla wyznaczenia

odpowiedzi impulsowej wykorzystuje si pojcie transmitancji operatorowej T(s).

Transformata funkcji impulsowej Diraca jest równa 1, zatem obliczajc odpowied obwodu

przyjmiemy wymuszenie X(s)=1. Bezporednio z definicji transmitancji wynika

)()(1

)()()(

)( sTsYsY

sXsY

sT =→== (15.19)

Odpowied impulsowa układu jest transformat odwrotn Laplace’a sygnału Y(s). Std

[ ] [ ])()()( 11 sTLsYLty −− == (15.20)

Z powyszej zalenoci wynika, e odpowied impulsowa jest transformat odwrotn

Laplace’a transmitancji operatorowej T(s) układu.

15.4.2 Odpowied skokowa

Odpowiedzi skokow układu nazywamy odpowied czasow tego układu na wymuszenie w

postaci skoku jednostkowego 1(t) przy zerowych warunkach pocztkowych obwodu. Biorc

pod uwag, e transformata Laplace’a funkcji jednostkowej 1(t) jest równa 1/s otrzymuje si

)(1

)(/1

)()()(

)( sTs

sYssY

sXsY

sT =→== (15.21)

Odpowied skokowa jest transformat odwrotn Laplace’a sygnału Y(s). Std

[ ]

== −− )(1

)()( 11 sTs

LsYLty (15.22)

Odpowied skokowa układu jest wic transformat odwrotn Laplace’a transmitancji

operatorowej T(s) tego układu, podzielonej przez zmienn zespolon s. Podobnie jak

357

odpowied impulsowa odpowied skokowa jest okrelona w pełni przez transmitancj

operatorow T(s) układu.

Przykład 15.3

Dla zilustrowania rozwaa teoretycznych obliczmy odpowied impulsow i skokow układu

o zadanej transmitancji operatorowej

( )( )511

)(++

=ss

sT

Rozwizanie

Stosujc metod residuów dla zadanej postaci transmitancji T(s) otrzymujemy:

• odpowied impulsow

( )( )ttst

sst

s eees

esss

Lty 551

1

41

41

11

lim5

1lim

511

)( −−−→−→

− −=+

++

=

++=

• odpowied skokow

( )( )

( )( ) ( ) ( )ttst

sst

sst

s eeess

ess

ess

sssLty

5510

1

05,025,02,01

1lim

51

lim51

1lim

511

)(

−−−→−→→

−

+−=+

++

+++

=

++=

Na rys. 15.3 przedstawiono wykres czasowy odpowiedzi impulsowej (rys. 15.3a) i skokowej

(rys. 15.3b) układu o zadanej postaci transmitancji operatorowej T(s).

358

a)

b)

Rys. 15.3 Odpowiedzi a) impulsowa, b)skokowa układu

359

15.5 Stabilno układów liniowych

Opis układów liniowych za pomoc transmitancji operatorowej bd równowany mu opis

równaniami stanu pozwala bada bada cechy jakociowe układu na podstawie analizy

połoenia jego biegunów (wartoci własnych macierzy stanu). Do najwaniejszych cech

układu nale pojcie stabilnoci oraz charakter odpowiedzi układu w stanie przejciowym na

skutek przyłoenia wymuszenia zewntrznego.

Stabilno układu jest rozumiana w sensie ograniczonej amplitudy odpowiedzi na

wymuszenie o skoczonej wartoci. Układ nazywa bdziemy stabilnym, jeli jego

odpowied czasowa na skoczon warto pobudzenia bdzie ograniczona co do amplitudy.

Stabilno wymaga, aby przy zaniku pobudzenia odpowied układu w stanie ustalonym przy

∞→t była ograniczona co do amplitudy (stabilno w sensie zwykłym) lub zerowa

(stabilno w sensie asymptotycznym). Oznacza to, e dla układów stabilnych odpowied w

stanie przejciowym powinna zanika do zera lub co najmniej nie narasta, pozostajc na

ustalonym poziomie.

Stabilno układu moe wic by oceniana na podstawie odpowiedzi impulsowej. Jeli

odpowied ta zanika do zera lub pozostaje na stałym poziomie przy ∞→t układ jest

stabilny. Jeli natomiast odpowied impulsowa ma charakter narastajcy w czasie – układ jest

niestabilny. Zauwamy, e odpowied impulsowa jest transformat odwrotn Laplace’a

transmitancji operatorowej

[ ])()( 1 sTLty −= (15.23)

Jeli bieguny układu oznaczymy przez is gdzie i = 1, 2, ..., n, wówczas w przypadku

biegunów jednokrotnych na podstawie metody residuów odpowied impulsowa moe by

wyraona wzorem

tsn

ii

ieAty =

=1

)( (15.24)

Wzór ten dowodzi, e jeli wszystkie bieguny układu s połoone wyłcznie w lewej

półpłaszczynie zmiennej zespolonej s, 0)( ≤isR , wówczas odpowied impulsowa zanika z

czasem do zera lub pozostaje ograniczona co do amplitudy (gdy cz biegunów lub

wszystkie znajd si na osi urojonej).

360

Sytuacja jest nieco bardziej złoona, gdy cz biegunów jest wielokrotna. Dla

uproszczenia ograniczymy si tylko do biegunów dwukrotnych. Załómy, e liczba takich

dwukrotnych biegunów jest równa m. W takim przypadku zastosowanie wzorów na residuum

przy obliczaniu transformaty odwrotnej prowadzi do wyniku

tsm

kk

tsn

ii

ki etBeAty ==

+=11

)( (15.25)

Przy niezerowej wartoci czci rzeczywistej biegunów połoonych w lewej półpłaszczynie

odpowied przejciowa układu przy ∞→t bdzie zanika do zera (układ stabilny

asymptotycznie). Przy połoeniu biegunów na osi urojonej 0)( =isR układ moe by stabilny

(cho nie asymptotycznie), jeli s to bieguny pojedyncze lub niestabilny, jeli bieguny s

wielokrotne. Utrata stabilnoci na skutek połoenia bieguna wielokrotnego na osi urojonej

wynika z pojawienia si we wzorze na odpowied impulsow czynnika proporcjonalnego do

czasu. Zauwamy, e przy spełnieniu warunku 0)Re( =ks i załoeniu bieguna zespolonego

ωjsk = wyraenie tsk

kteB moe by rozwinite do postaci ( )tjttBteB kts

kk ωω sincos += .

Wobec ograniczonych wartoci funkcji sinus i cosinus czynnik ten przy ∞→t narasta

nieograniczenie, co prowadzi do utraty stabilnoci.

W konsekwencji warunkiem stabilnoci układu jest połoenie biegunów w lewej

półpłaszczynie, a w przypadku biegunów wielokrotnych wyłczenie ich z osi urojonej.

Rys. 15.4. Zaleno stabilnoci układu od połoenia biegunów

361

Na rys. 15.4 zilustrowano wpływ połoenia biegunów na stabilno układu. O urojona

rozgraniczajca obszar stabilny od niestabilnego jest obszarem warunkowo stabilnym

(stabilny w sensie zwykłym przy biegunach jednokrotnych i niestabilny przy biegunach

wielokrotnych).

Interesujcy jest równie wpływ połoenia biegunów na charakter odpowiedzi

impulsowej układu liniowego. Rys. 15.5 przedstawia odpowiedzi impulsowe układu drugiego

rzdu przy rónych połoeniach biegunów.

362

Rys. 15.5 Odpowiedzi impulsowe układu drugiego rzdu przy rónych połoeniach biegunów

W zalenoci od wartoci biegunów mamy do czynienia ze stanem aperiodycznym (bieguny

połoone na osi rzeczywistej) oraz oscylacyjnym (bieguny zespolone). Zanikanie odpowiedzi

impulsowej do zera wiadczy o stabilnoci asymptotycznej układu. Odpowied o

ograniczonej amplitudzie nie zanikajca z czasem wiadczy o stabilnoci zwykłej układu.

Odpowied narastajca z czasem jest cech układu niestabilnego.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 15.1

Wyznaczy transmitancj operatorow typu napiciowego obwodu z rys. 15.6. Załoy:

R = 1Ω, L = 2H, C = 1F.

363


Rozwizanie

Schemat operatorowy obwodu przy zerowych warunkach pocztkowych stosowany do

wyznaczenia transmitancji przedstawiony jest na rys. 15.7

Rys. 15.7. Posta operatorowa obwodu

Kolejne etapy wyznaczania transmitancji:

Prd I(s)

)(1/1

)()( 12

1 sUsRCLCs

sCsCsLR

sUsI

++=

++=

Napicie wyjciowe

)(1

1)(

1)( 122 sU

sRCLCssI

sCsU

++==

Transmitancja napiciowa

LCLsRsLC

sUsU

sTu /1//1

)()(

)( 22

2

++==

364

Po podstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si

5,05,05,0

)( 2 ++==

sssTu

Zadanie 15.2

Wyznaczy odpowied impulsow i skokow dla obwodu przedstawionego na rys. 15.8.

Odpowiedzi dotycz napicia wyjciowego obwodu przy zasilaniu napiciowym. Załoy

nastpujce wartoci elementów: R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, L = 2H, C = 0,5F.


Rozwizanie

Schemat operatorowy obwodu przy zerowych warunkach pocztkowych stosowany do

wyznaczenia transmitancji przedstawiony jest na rys. 15.9

365

Rys. 15.9. Posta operatorowa obwodu

Kolejne etapy wyznaczania transmitancji:

Prd I(s)

)(1)(/1

)()( 1

212

21

1 sURRsCLCs

sCsCsLRR

sUsI

+++=

+++=

Napicie wyjciowe

)()()( 22 sIsLRsU +=

Transmitancja napiciowa

1)()(

)()(

)(2

22

1

2

++++==

RRsCLCssCRsL

sUsU

sTu

Po podstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si

15,0

)( 2

2

+++=

ssss

sTu

Odpowied impulsowa okrelona bdzie przy zastosowaniu metody korzystajcej z tablic

transformat. W zwizku z powyszym

( )( )22

2

24/3)5,0(

4/3)5,0(5,01

115,0

1)(++

++−=++

+−=s

sss

ssTu

[ ] )4/3sin()4/3cos(5,0)()()( 5,05,01 tetetsTLty ttu

−−− −−== δ

Odpowied skokowa

366

( ) )4/3cos(4/3)5,0(

)5,0(1

5,0)()( 5,0

22

12

11 tes

sL

sss

LssT

Lty tu −−−− =

++

+=

+++=

=

Odpowiedzi impulsowa i skokowa układu podane s na rys. 15.10

a) odpowied impulsowa

b) odpowied skokowa

367

Rys. 15.10. Odpowiedzi impulsowa i skokowa układu

Zadanie 15.3

Wyznaczy impedancj wejciow w postaci operatorowej dla obwodu przedstawionego na

rys. 15.11. Impedancj wejciow potraktowa jako transmitancj napiciowo-prdow.


368

Rozwizanie

Z prawa prdowego i napiciowego Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rys. 15.11

otrzymuje si

( )kIUYIII

UUYIZIIZU

o

o

=−+−−−=−+−

)()(

)(

11

112111

gdzie oo ZY /1= . Z równania drugiego otrzymuje si

k

UYII o 11 −=

Po podstawieniu do wzoru pierwszego otrzymujemy

121

21121 UY

kZZ

YZIk

kZZZoo

++=−+

Std

)( 212

121

1

1

ZZYYkZkZZZ

IU

Zoo

we ++−+==

369

Lekcja 16. Charakterystyki czstotliwociowe układów

Wstp

Transmitancja operatorowa poza odpowiedziami czasowymi pozwala równie wyznaczy

charakterystyki obwodu w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym o zmiennej

wartoci czstotliwoci.

W lekcji szesnastej skupimy si na charakterystykach czstotliwociowych obwodów

RLC. Podane zostan definicje charakterystyki amplitudowej i fazowej oraz logarytmicznej

charakterystyki amplitudowej a take sposób ich wyznaczania na podstawie transmitancji

operatorowej. Rozwaone zostan przykłady charakterystyk czstotliwociowych układów

pierwszego rzdu: członu całkujcego i róniczkujcego oraz przesuwnika fazowego.

Zdefiniowane zostan podstawowe transmitancje operatorowe drugiego rzdu, opisujce filtry

bikwadratowe typu dolnoprzepustowego, rodkowoprzepustowego oraz górnoprzepustowego.

Przedstawione zostan charakterystyki czstotliwociowe odpowiadajce tym filtrom oraz

przeanalizowany zostanie wpływ dobroci filtru na kształt charakterystyk

czstotliwociowych.

16.1 Definicje charakterystyk czstotliwociowych

Charakterystyk czstotliwociow układu nazywa bdziemy zaleno wartoci sygnału

wyjciowego tego układu od czstotliwoci przy jednostkowym wymuszeniu sinusoidalnym

przyłoonym na wejcie układu. Charakterystyk t mona wyznaczy bezporednio na

podstawie transmitancji operatorowej T(s). Nosi ona nazw transmitancji widmowej układu.

Oznaczmy transmitancj widmow w postaci )( ωjT . Łatwo pokaza, e jest ona

zdefiniowana jako transmitancja operatorowa dla ωjs = , to znaczy

ωωjs

sTjT=

= )()( (16.1)

370

Transmitancja widmowa reprezentuje sob liczb zespolon bdc funkcj pulsacji ω.

Przedstawiajc j w postaci wykładniczej, to jest )()()( ωϕωω jejTjT = mona zdefiniowa

dwa rodzaje charakterystyk czstotliwociowych:

• charakterystyka amplitudowa przedstawia sob zaleno modułu transmitancji

widmowej )( ωjT od pulsacji ω (czstotliwoci f), to jest )( ωjT

• charakterystyka fazowa okrela zaleno argumentu transmitancji widmowej )( ωjT od

pulsacji (czstotliwoci) to jest )(ωϕ . Charakterystyka fazowa reprezentuje sob

przesunicie fazowe midzy sygnałem wejciowym a wyjciowym dla danej pulsacji ω .

Charakterystyki czstotliwociowe przedstawia si zwykle na wykresie modułu lub fazy w

zalenoci od pulsacji (czstotliwoci). Jeli wielkoci podlegajce wykrelaniu róni si

znacznie pod wzgldem wartoci (np. zmieniaj si w zakresie od 1 do 610 ) wygodnie jest

wprowadzi skal logarytmiczn zwykle o podstawie 10. Dotyczy to okrelonego zakresu

czstotliwoci. W przypadku charakterystyki amplitudowej skal logarytmiczn przelicza si

na decybele (dB) definiujc logarytmiczn charakterystyk amplitudow

( ))(log20 10 ωjT (16.2)

Na rys. 16.1 przedstawiono przykładowo charakterystyk amplitudow (rys. 16.1a) oraz

logarytmiczn charakterystyk amplitudow (rys. 16.1b) odpowiadajc tej samej transmitacji

danej wzorem

322,0778,0487,1945,0287.0082.0003.0

)( 234

24

++++++=

ssssss

sT

371

Rys. 16.1. Posta liniowa (a) oraz logarytmiczna (b) charakterystyki amplitudowej

odpowiadajcej transmitancji T(s)

Kady rodzaj przedstawienia charakterystyki amplitudowej podkrela inne szczegóły w jej

przebiegu. Charakterystyka logarytmiczna podkrela stosunkowo niewielkie w skali globalnej

zmiany dynamiczne w tak zwanym pamie zaporowym, gdzie amplituda sygnału jest bardzo

mała w stosunku do pasma przepustowego, podczas gdy skala liniowa uwypukla globalny

charakter przebiegu tracc drobne szczegóły w zakresie czstotliwoci gdzie wartoci

sygnałów s małe.

Jeli badany zakres czstotliwoci jest bardzo szeroki (np. od 1Hz do 1MHz)

wygodnie jest wprowadzi skal logarytmiczn równie dla czstotliwoci. Charakterystyk

fazow wykrela si zwykle w skali liniowej dla fazy i liniowej lub logarytmicznej dla

czstotliwoci (pulsacji).

Przykład 16.1

Wyznaczy charakterystyki czstotliwociowe transmitancji napiciowej układu RL

przedstawionego na rys. 16.2a

372

Rys. 16.2 Schematy obwodu do przykładu 16.1: a) schemat rzeczywisty,

b) posta operatorowa obwodu

Rozwizanie

Zastpujc elementy rzeczywiste poprzez ich impedancje operatorowe otrzymuje si kolejno:

)(/

/)()( 112 sU

LRsLR

sUsLR

RsU

+=

+=

LRsLR

sUsU

sT/

/)()(

)(1

2

+==

Podstawiajc ωjs = do powyszej zalenoci otrzymuje si

( )( )RLje

LR

LRLRj

LRjT /arctg

22 /

//

/)( ω

ωωω −

+=

+=

Charakterystyka amplitudowa układu okrelona jest wic zalenoci

( )22 /

/)(

LR

LRjT

+=

ωω

a charakterystyk fazow opisuje wzór

)/arctg()( RLωωϕ −=

373

Rys. 16.3 przedstawia wykresy charakterystyki amplitudowej i fazowej obwodu o

wartociach 1=R i L=1H w funkcji pulsacji ω .

Rys. 16.3. Wykres charakterystyki amplitudowej i fazowej układu

Charakterystyka amplitudowa wskazuje na dobre (nie tłumione) przenoszenie czstotliwoci

małych. W miar wzrostu wartoci czstotliwoci charakterystyka amplitudowa maleje, co

oznacza, e sygnał wyjciowy ma coraz mniejsz amplitud. Taki obwód ma wic charakter

układu dolnoprzepustowego (szeregowo włczona cewka w miar wzrostu czstotliwoci ma

coraz wiksz impedancj tłumic przebieg prdu przepływajcego przez rezystor

wyjciowy).

16.2 Przykłady transmitancji operatorowych pierwszego rzdu

W praktyce inynierskiej zdefiniowano wiele uytecznych postaci transmitancji

operatorowych. Tutaj ograniczymy si jedynie do trzech najprostszych transmitancji

pierwszego rzdu: układu całkujcego, róniczkujcego oraz przesuwnika fazowego.

374

16.2.1 Układ całkujcy

Transmitancja idealnego układu całkujcego definiowana jest w postaci

sksT /)( = (16.3)

Układ nosi nazw całkujcego, gdy operator 1/s w dziedzinie czstotliwoci zespolonej

Laplace’a oznacza całkowanie funkcji w dziedzinie czasu. Charakterystyk czstotliwociow

układu całkujcego opisuje zaleno

90/)( je

kjkjT −==

ωωω (16.4)

Wykres charakterystyki amplitudowej

ω

ω kjT =)( (16.5)

oraz fazowej

90)( −=ωϕ (16.6)

dla układu całkujcego przy k>0 przedstawiono na rys. 16.4.

375

Rys. 16.4 Charakterystyki czstotliwociowe układu całkujcego: a) amplitudowa, b) fazowa

Charakterystyka amplitudowa jest typu hiperbolicznego, a charakterystyka fazowa stała

(przesunicie fazowe stałe i równe 90− niezalenie od czstotliwoci).

16.2.2 Układ róniczkujcy

Transmitancja układu róniczkujcego dana jest w postaci

kssT =)( (16.7)

Układ nosi nazw róniczkujcego, gdy operator s w dziedzinie czstotliwoci zespolonej

oznacza róniczkowanie funkcji w dziedzinie czasu. Charakterystyka czstotliwociowa

opisana jest zalenoci

90)( jekkjjT ωωω == (16.8)

376

Charakterystyka amplitudowa jest funkcj liniow

ωω kjT =)( (16.9)

a charakterystyka fazowa stała, niezalenie od czstotliwoci

90)( =ωϕ (16.10)

Wykres obu charakterystyk układu róniczkujcego przy k>0 przedstawiono na rys. 16.5.

Rys. 16.5 Charakterystyki czstotliwociowe układu róniczkujcego: a) amplitudowa,

b) fazowa

377

16.2.3 Przesuwnik fazowy

Przesuwnik fazowy jest układem przesuwajcym faz napicia wyjciowego wzgldem

wejciowego bez zmiany amplitudy sygnału. Transmitancj przesuwnika fazowego okrela

zaleno

asas

sT++−=)( (16.11)

Charakterystyka czstotliwociowa przesuwnika okrelona jest nastpujc relacj

( )

( )( )ωφ

ωφ

ωφ

ωω

ωωω 2

22

22

1)( jj

j

eee

a

aajaj

jT −−

=⋅+

+=++−= (16.12)

gdzie kt ( )ωφ okrelony jest wzorem

=aωωφ arctg)( . Powysza zaleno potwierdza, e

przesuwnik fazowy nie zmienia amplitudy sygnału wejciowego ( 1)( =ωjT ) a wpływa

jedynie na przesunicie fazowe midzy sygnałem wejciowym i wyjciowym.

Charakterystyka fazowa przesuwnika okrelona jest zalenoci

−=aωωϕ arctg2)( (16.13)

Na rys. 16.6 przedstawiono wykres charakterystyki fazowej przesuwnika o transmitancji

(16.11) w funkcji pulsacji dla wartoci a=1.

378

Rys. 16.6. Charakterystyka fazowa przesuwnika w funkcji pulsacji

Przesunicie fazowe układu jest funkcj czstotliwoci i zmienia si od zera do wartoci o180 . Warto przesunicia fazowego dla konkretnej wartoci czstotliwoci mona

regulowa poprzez zmian współczynnika a transmitancji. Na rys. 16.7 przedstawiono wykres

przedstawiajcy zmian kta przesunicia fazowego układu dla pulsacji jednostkowej przy

zmianie wartoci współczynnika a.

Rys. 16.7. Charakterystyka fazowa przesuwnika w funkcji wartoci współczynnika a

379

16.3 Transmitancje operatorowe układów drugiego rzdu

16.3.1 Posta ogólna transmitancji bikwadratowej

Szczególnym przypadkiem transmitancji operatorowej jest transmitancja drugiego rzdu,

zwana bikwadratow, szczególnie czsto wykorzystywana w teorii filtrów. Ogólna posta tej

transmitancji dana jest wzorem

01

201

22

)()(

)(asasbsbsb

sMsL

sT++++== (16.14)

W przypadku wykorzystania tej transmitancji w teorii filtrów wielomiany licznika i

mianownika zakłada si w specjalnej postaci. W przypadku mianownika przyjmuje si

20

02)( ωω ++= sQ

ssM (16.15)

Wielko 0ω jest pulsacj rodkow (rezonansow) filtru a Q dobroci. Posta licznika

transmitancji jest uzaleniona od rodzaju filtru. Tutaj rozpatrzymy przykładowo trzy

podstawowe rodzaje filtrów i ich transmitancje. S to

• Filtr dolnoprzepustowy

)(

)(20

sMA

sT DPDP

ω= (16.16)

Wielko DPA jest wzmocnieniem filtru w pamie przepustowym i mierzona jest dla 0=s .

• Filtr rodkowoprzepustowy

)(

)(

0

sM

sQ

AsT

SP

SP

ω

= (16.17)

Wielko SPA jest wzmocnieniem filtru w pamie przepustowym i mierzona jest dla pulsacji

0ωjs = .

380

• Filtr górnoprzepustowy

)(

)(2

sMsA

sT GPSP = (16.18)

Wielko GPA jest wzmocnieniem filtru w pamie przepustowym i mierzona jest dla pulsacji

równej ∞=s .

Charakterystyki czstotliwociowe filtrów otrzymuje si po wstawieniu ωjs = do

transmitancji operatorowej odpowiadajcej danemu rodzajowi filtru. Moduł zalenoci

wyznacza charakterystyk amplitudow a kt fazowy – charakterystyk fazow.

16.3.2 Charakterystyki czstotliwociowe filtru dolnoprzepustowego

Po wstawieniu zalenoci ωjs = do wzoru na transmitancj )(sTDP otrzymuje si

charakterystyk filtru dolnoprzepustowego w postaci

Qj

AjT DP

DP022

0

20

)()( ωωωω

ωω+−

= (16.19)

Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystyk amplitudow a

faza – charakterystyk fazow układu. Charakterystyki te wyraone s w postaci

• charakterystyka amplitudowa

2

02220

20

)(

)(

+−

=

Q

AjT DP

DP

ωωωω

ωω (16.20)

• charakterystyka fazowa

381

)(

arctg)( 220

0

ωωωωωϕ

−−=

Qj (16.21)

Na rys. 16.8a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 16.8b

charakterystyki fazowe filtru dolnoprzepustowego drugiego rzdu dla dwu rónych dobroci:

2/1>Q oraz 2/1≤Q .

a) b)

Rys. 16.8. Charakterystyki czstotliwociowe filtru bikwadratowego dolnoprzepustowego:

a) amplitudowe, b) fazowe

Dla dobroci 2/1>Q charakterystyka amplitudowa jest niemonotoniczna i osiga

maksimum dla pulsacji

20 2/11 Qm −= ωω (16.22)

Dla dobroci 2/1≤Q przebieg charakterystyki amplitudowej staje si monotoniczny

(pulsacja mω przyjmuje warto nierzeczywist – urojon). Przy 2/1=Q charakterystyka

jest maksymalnie płaska.

382

Pulsacja mω (jeli jest okrelona) jest róna od pulsacji rodkowej 0ω . Jak z

charakterystyk czstotliwociowych wida pulsacja rodkowa odpowiada wartoci przy której

przesunicie fazowe układu jest równe –90 stopni. Moe by wic łatwo wyznaczona z

charakterystyki fazowej. Dobro układu mona z kolei prosto wyznaczy wykorzystujc

posta charakterystyki amplitudowej. Obliczajc j dla dwu wartoci czstotliwoci: zerowej i

rodkowej otrzymuje si

)0(

)( 0

DP

DP

T

jTQ

ω= (16.23)

Wyznaczenie dobroci na podstawie charakterystyk czstotliwociowych polega wic na

okreleniu wartoci charakterystyki amplitudowej dla dwu czstotliwoci: zerowej i

rodkowej a nastpnie podstawieniu tych wartoci do powyszego wzoru.

16.3.3 Charakterystyki czstotliwociowe filtru rodkowoprzepustowego

Po wstawieniu zalenoci ωjs = do wzoru na transmitancj )(sTSP otrzymuje si

charakterystyk czstotliwociowej filtru rodkowoprzepustowego w postaci

Qj

QjA

jTSP

SP022

0

0

)()( ωωωω

ωω

ω+−

= (16.24)


faza – charakterystyk fazow układu. Charakterystyki te wyraone s w postaci


2

02220

0

)(

)(

+−

=

QQ

AjT SP

SP

ωωωω

ωωω (16.25)


383

)(

arctg90)( 220

0

ωωωωωϕ

−−=

Qj o (16.26)


charakterystyki fazowe filtru rodkowoprzepustowego drugiego rzdu dla dwu rónych

dobroci, przy czym 21 QQ >

a) b)

Rys. 16.9 Charakterystyki czstotliwociowe filtru rodkowoprzepustowego drugiego rzdu:

a) amplitudowe, b) fazowe

Z charakterystyk czstotliwociowych wida, e pulsacja rodkowa odpowiada

wartoci maksymalnej charakterystyki amplitudowej. Dobro filtru okrela stosunek pulsacji

rodkowej 0ω do 3 decybelowego pasma przenoszenia 0ω∆ (zakres czstotliwoci którego

krace wyznaczaj wartoci charakterystyki amplitudowej przyjmujce 2/1 wartoci

maksymalnej)

0

0

ωω

∆=Q (16.27)

Interpretacja 3 decybelowego pasma przenoszenia przedstawiona jest na rys. 16.10.

384

Rys. 16.10 Interpretacja 3 decybelowego pasma przenoszenia

16.3.4 Charakterystyki czstotliwociowe filtru górnoprzepustowego

Po wstawieniu zalenoci ωjs = do wzoru na transmitancj )(sTGP otrzymuje si

charakterystyk czstotliwociow filtru górnoprzepustowego w postaci

Qj

AjT GP

GP022

0

2

)()( ωωωω

ωω+−

−= (16.28)


faza – charakterystyk fazow układu. Charakterystyki te wyraone s wzorami


2

02220

2

)(

)(

+−

=

Q

AjT GP

GP

ωωωω

ωω (16.29)


385

)(

arctg180)( 220

0

ωωωωωϕ

−−=

Qj o (16.30)


charakterystyki fazowe filtru dolnoprzepustowego drugiego rzdu dla dwu rónych dobroci:

2/1>Q oraz 2/1≤Q .

a) b)

Rys. 16.11 Charakterystyki czstotliwociowe filtru górnoprzepustowego: a) amplitudowe,

b) fazowe

Dla dobroci 2/11 >Q charakterystyka amplitudowa jest niemonotoniczna i osiga

maksimum dla pulsacji

20

2/11

1

Qm

−= ωω (16.31)

Dla dobroci 2/11 ≤Q przebieg charakterystyki amplitudowej staje si monotoniczny i

maksimum funkcji nie wystpuje. Przy 2/11 =Q charakterystyka jest maksymalnie płaska.

386

Pulsacja mω (jeli jest okrelona) jest róna od pulsacji rodkowej 0ω . Jak z

charakterystyk czstotliwociowych wida pulsacja rodkowa odpowiada wartoci przy której

przesunicie fazowe układu jest równe 90 stopni. Moe by wic łatwo wyznaczona z

charakterystyki fazowej. Dobro układu mona z kolei prosto wyznaczy wykorzystujc

posta charakterystyki amplitudowej. Obliczajc j dla dwu wartoci czstotliwoci:

czstotliwoci maksymalnej (teoretycznie nieskoczonej) i rodkowej otrzymuje si

)()( 0

∞=

GP

GP

TjT

Qω

(16.32)

Wyznaczenie dobroci na podstawie charakterystyk czstotliwociowych polega wic na

okreleniu wartoci charakterystyki amplitudowej dla dwu czstotliwoci: maksymalnej

(teoretycznie nieskoczonej) i rodkowej a nastpnie podstawieniu do powyszego wzoru.

16.4 Charakterystyki czstotliwociowe układu n-tego rzdu

Najbardziej ogólnym przypadkiem jest układ opisany transmitancj operatorow T(s) n-tego

rzdu o postaci ogólnej zadanej wzorem

01

11

011

1

......

)(asasasabsbsbsb

sT nn

nn

mm

mm

++++++++= −

−

−− (16.33)

Załczony do podrcznika program interakcyjny CHARAKTERYSTYKI umoliwia

wykrelanie charakterystyk czstotliwociowych (amplitudowych i fazowych) układów

opisanych za pomoc transmitancji operatorowej o postaci okrelonej wzorem (16.33).

Transmitancja widmowa T(j) takiego układu wyznaczana jest z transmitancji operatorowej

T(s) przez podstawienie s=j. W wyniku otrzymuje si

( ) ( )( ) ( ) 01

11

011

1

...

...)(

ajajaja

bjbjbjbjT n

nn

n

mm

mm

++++++++= −

−

−−

ωωωωωωω (16.34)

Transmitancja widmowa przedstawia sob funkcj zespolon pulsacji ω i moe by zapisana

w postaci ogólnej jako

387

)()()( ωωω jBAjT += (16.35)

Cz rzeczywista A() i urojona B() s funkcjami zarówno współczynników ai, bi licznika

i mianownika transmitancji operatorowej, jak i aktualnej wartoci pulsacji . Charakterystyka

amplitudowa przedstawia sob moduł transmitancji widmowej okrelony wzorem

)()()( 22 ωωω BAjT += (16.36)

Charakterystyka fazowa jest faz transmitancji widmowej i wyznaczana jest z zalenoci

=

)()(

)(ωωωϕ

AB

arctg (16.37)

Powysze zalenoci zostały wykorzystane do badania charakterystyk czstotliwociowych

układów opisanych transmitancj operatorow T(s) zadawan przez uytkownika. Wejcie w

program CHARAKTERYSTYKI nastpuje przez kliknicie w ikon programu.

Rys. 16.12. Okno programu CHARAKTERYSTYKI

388

Uytkownik zadaje stopie licznika i mianownika transmitancji, a take wartoci wszystkich

współczynników wielomianu licznika i mianownika. Okrela równie zakres pulsacji, dla

którego wykrelane bd charakterystyki czstotliwociowe. W programie załoono, e

maksymalny rzd układu nie powinien przekroczy wartoci 9.

Wykorzystujc podane wczeniej zalenoci czstotliwociowe program wykrela

charakterystyki amplitudowe (liniow i logarytmiczn wyraon w decybelach) oraz

charakterystyk fazow w stopniach. Charakterystyki filtru zostaj wykrelone w oddzielnych

oknach, pozwalajcych na skalowanie oraz ogldanie w powikszeniu poszczególnych

odcinków krzywych.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 16.1

Wyznaczy charakterystyki czstotliwociowe obwodu przedstawionego na rys. 16.13 biorc

pod uwag transmitancj napiciow.


Rozwizanie

Transmitancja napiciowa obwodu okrelona jest wzorem

11

/1/1

)(+

=+

=sRCsCR

sCsTu

Transmitancja widmowa obwodu okrelona jest na podstawie transmitancji operatorowej

)(sTu przy załoeniu ωjs =

389

11

)(+

=RCj

jTu ωω

Charakterystyka amplitudowa

( ) 1

1)(

2 +=

RCjTu

ωω

Charakterystyka fazowa

( )RCωωϕ arctg)( −=

Na rys. 16.14 przedstawiono charakterystyk amplitudow i fazow dla wartoci

jednostkowych elementów obwodu (R = 1 Ω i C = 1F)

Rys. 16.14 Charakterystyki czstotliwociowe obwodu z rys. 16.12:

a) charakterystyka amplitudowa, b) charakterystyka fazowa

390

Zadanie 16.2

Wykreli charakterystyki czstotliwociowe członu inercyjnego pierwszego rzdu opisanego

wzorem

21

)(++=

ss

sT

Rozwizanie

Przy załoeniu ωjs = otrzymuje si charakterystyk widmow postaci

21

)(++=

ωωω

jj

jT

Charakterystyka amplitudowa

4

1)(

2

2

++=

ωωωjT

Charakterystyka fazowa

2arctgarctg)(

ωωωϕ −=

Na rys. 16.15 przedstawiono wykresy charakterystyki amplitudowej (rys. 16.15a) i fazowej

(rys. 16.15b).

391

Rys. 16.15 Wykresy charakterystyki amplitudowej (a) i fazowej (b) członu inercyjnego z

zadania 16.2

Zadanie 16.3

Napisa wyraenie na transmitancj filtru bikwadratowego dolno-, rodkowo- i

górnoprzepustowego o nastpujcych parametrach: 10 =ω , Q = 2 przy jednostkowych

wzmocnieniach w pasmach przepustowych.

Rozwizanie

Korzystajc z podstawowych wzorów na transmitancje bikwadratowe otrzymuje si

• Filtr dolnoprzepustowy

15,01

)( 2 ++=

sssTDP

• Filtr rodkowoprzepustowy

15,05,0

)( 2 ++=

sss

sTDP

392

• Filtr górnoprzepustowy

15,0)( 2

2

++=

sss

sTDP

393

Lekcja 17. Czwórniki

Wstp

W opisie obwodów elektrycznych bardzo czsto interesuj nas jedynie odpowiedzi dotyczce

jednej gałzi obwodu w zalenoci od sygnału wymuszajcego przyłoonego na wejciu

obwodu. W takim przypadku wygodnie jest sprowadzi opis obwodu do zalenoci

wystpujcych midzy prdami i napiciami na zaciskach uwaanych za wejcie i wyjcie,

wprowadzajc pojcie czwórnika.

Lekcja siedemnasta powicona jest podstawowym informacjom o czwórnikach.

Zostan podane definicje oraz podstawowe opisy macierzowe czwórników: impedancyjny,

admitancyjny, hybrydowy oraz łacuchowy. Rozpatrzone zostan róne połczenia

czwórnikowe oraz opisy macierzowe takich układów. Pokazany zostanie zwizek

transmitancji operatorowej z opisem macierzowym czwórnika.

17.1 Definicja czwórnika

Czwórnik jest elementem czterozaciskowym, majcym dwie pary uporzdkowanych

zacisków, z których jedna para jest wejciem a druga para wyjciem Oznaczenie czwórnika z

zaznaczonymi zwrotami prdów i napi kocówkowych jest przedstawione na rys. 17.1.

Rys. 17.1. Oznaczenie czwórnika z zaznaczonymi zwrotami prdów i napi

W odniesieniu do wejcia i wyjcia czwórnika musi by spełniony warunek równoci

prdów:

'11 II = (17.1)

394

'22 II = (17.2)

jak to zaznaczono na rysunku. Sygnały prdu i napicia po stronie wejciowej oznacza

bdziemy ze wskanikiem 1, a po stronie wyjciowej – ze wskanikiem 2. Przyjmiemy

umownie, e oba prdy: na wejciu i wyjciu s zwrócone do prostokta oznaczajcego

czwórnik.

W zalenoci od elementów tworzcych obwód, czwórnik moe by liniowy (gdy

wszystkie elementy obwodu s liniowe) lub nieliniowy. W dalszych rozwaaniach

ograniczymy si wyłcznie do czwórników liniowych. Czwórnik nazywa bdziemy

pasywnym, jeli nie wytwarza energii a jedynie pobiera j ze ródła zasilajcego i przetwarza

w okrelony sposób. Czwórnik złoony z samych elementów pasywnych R, L, C i M jest

zawsze czwórnikiem pasywnym. Czwórnik pasywny jest zdolny do gromadzenia i

rozpraszania energii pobranej ze ródła, moe j równie oddawa na zewntrz, jednak w

dowolnej chwili czasowej t energia ta nie moe przewysza energii pobranej. Czwórnik,

który nie spełnia powyszych warunków jest czwórnikiem aktywnym (generatorem energii).

17.2 Równania czwórnika

Czwórnik moe by scharakteryzowany za pomoc dwóch równa liniowych wicych ze

sob dwa wielkoci prdowe i dwie napiciowe dotyczce bramy wejciowej i wyjciowej:

1I , 2I , 1U oraz 2U . W zalenoci od wyboru zmiennych mona wyróni 6 podstawowych

postaci równa czwórnika. S to

• posta admitancyjna, w której prdy wejciowy i wyjciowy (I1, I2) s wyraone w

zalenoci od napi zewntrznych (U1, U2)

• posta impedancyjna, w której napicia wejciowe i wyjciowe (U1, U2) s wyraone w

zalenoci od prdów kocówkowych (I1, I2)

• posta hybrydowa w której para wielkoci (U1, I2) jest wyraona jako funkcja drugiej pary

(I1, U2)

• posta hybrydowa odwrotna w której para wielkoci (I1, U2) jest wyraona jako funkcja

drugiej pary (U1, I2)

• posta łacuchowa w której para wielkoci (U1, I1) dotyczca zacisków wejciowych jest

wyraona jako funkcja drugiej pary (U2, I2) zwizanej z zaciskami wyjciowymi

395

• posta łacuchowa odwrotna w której para wielkoci (U2, I2) dotyczca zacisków

wyjciowych jest wyraona jako funkcja drugiej pary (U1, I1) zwizanej z zaciskami

wejciowymi.

17.2.1 Równanie admitancyjne

Jeeli za zmienne niezalene przyjmie si napicia obu bram U1 oraz U2 czwórnik przyjmie

opis admitancyjny, który mona wyrazi w postaci

=

=

2

1

2

1

2221

1211

2

1

U

U

U

U

YY

YY

I

IY (17.3)

Macierz Y jest nazywana macierz admitancyjn a parametry tej macierzy maj interpretacj

admitancji operatorowych.

17.2.2 Równanie impedancyjne

Jeeli za zmienne niezalene przyjmie si prdy obu bram I1 oraz I2 , czwórnik przyjmie opis

impedancyjny, który mona wyrazi w postaci

=

=

2

1

2

1

2221

1211

2

1

I

I

I

I

ZZ

ZZ

U

UZ (17.4)

Macierz Z jest nazywana macierz impedancyjn a parametry tej macierzy maj interpretacj

impedancji operatorowych. Łatwo jest udowodni, e macierze impedancyjna i admitancyjna

s powizane relacj

1−= ZY (17.5)

17.2.3 Równanie hybrydowe

Przy opisie hybrydowym za zmienne niezalene wybiera si prd wejciowy i napicie

wyjciowe czwórnika. Równanie hybrydowe przyjmuje si w postaci

=

=

2

1

2

1

2221

1211

2

1

U

I

U

I

HH

HH

I

UH (17.6)

396

w której H jest macierz hybrydow. Jak wida z opisu hybrydowego parametr H11 ma

interpretacj impedancji a H22 admitancji. Parametry H12 i H21 s bezwymiarowe i wyraaj

stosunek odpowiednio dwu napi i dwu prdów w obwodzie.

17.2.3 Równanie hybrydowe odwrotne

Opis hybrydowy odwrotny czwórnika definiuje si w postaci

=

=

2

1

2

1

2221

1211

2

1

I

U

I

U

GG

GG

U

IG (17.7)

Stanowi on odwrotno opisu hybrydowego macierz H. Obie macierze powizane s

nastpujca relacj 1−= HG .

17.2.4 Równanie łacuchowe

Równanie łacuchowe czwórnika uzalenia prd i napicie na wejciu czwórnika od prdu i

napicia na jego wyjciu

−=

−

=

2

2

2

2

2221

1211

1

1

I

U

I

U

AA

AA

I

UA (17.8)

W równaniu tym, inaczej ni w pozostałych opisach, przyjmuje si prd 2I wypływajcy z

czwórnika, w zwizku z czym przy załoonym na wstpie zwrocie prdu do czwórnika w

opisie pojawia si prd wyjciowy ze znakiem minus. Elementy macierzy łacuchowej A

nazywane s parametrami łacuchowymi czwórnika.

17.2.5 Równanie łacuchowe odwrotne

Równanie łacuchowe odwrotne czwórnika uzalenia prd i napicie na wyjciu czwórnika

od prdu i napicia na jego wejciu

−=

−

=

1

1

1

1

2221

1211

2

2

I

UB

I

U

BB

BB

I

U (17.9)

397

Ostatni rodzaj opisu czwórnikowego (równanie łacuchowe odwrotne) jest rzadko stosowany.

Macierz B wystpujca w tym opisie nazywana jest macierz łacuchow odwrotn.

Kady z przedstawionych typów macierzy jednoznacznie opisuje czwórnik. Wybór

którego z nich jest uwarunkowany struktur obwodu, sposobem połczenia czwórników,

łatwoci wyznaczenia parametrów, itp. Przejcie z jednego opisu do drugiego polega na

przegrupowaniu zmiennych i wyznaczeniu odpowiednich relacji midzy tymi zmiennymi.

Dua liczba stosowanych opisów macierzowych czwórnika wynika równie z faktu,

e dla niektórych czwórników pewne opisy mog nie istnie. Najbardziej uniwersalne pod

tym wzgldem s opisy hybrydowe wykorzystujce macierz H lub G, które mona otrzyma

dla wikszoci obwodów elektrycznych.

Przykład 17.1

Wyznaczy opis czwórnika przedstawionego na rys. 17.2. Czwórnik ten nosi nazw

czwórnika typu T i jest jedn z najpopularniejszych struktur czwórnikowych.


Rozwizanie

Z prawa napiciowego i prdowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu z rys. 17.2 mona

napisa nastpujce równania

( )( )22221 1 IYZYUIII −++=−=

221121 IZIZUU −+=

Po podstawieniu równania pierwszego do drugiego otrzymuje si

398

( ) ( )( )22121211 1 IYZZZZUYZU −++++=

Jeli jako opis macierzowy przyjmiemy równanie łacuchowe to zalenoci okrelajce prd

wejciowy i napicie wejciowe w funkcji prdu i napicia wyjciowego mona zapisa w

postaci

−

++++

=

2

2

2

21211

1

1

11

I

U

YZY

YZZZZYZ

I

U

Macierz łacuchowa A dana jest wic wzorem

++++

=YZY

YZZZZYZ

2

21211

11

A

Jeli jako opis macierzowy przyjmiemy równanie impedancyjne, wówczas z przetworzenia

równania łacuchowego otrzymujemy

++

=

2

1

2

1

2

1

I

I

ZZZ

ZZZ

U

U

Macierz impedancyjna dana jest wic w postaci

++

=2

1

ZZZ

ZZZZ

Jest to macierz symetryczna, która jest równa macierzy oczkowej obwodu tworzcego

analizowany czwórnik.

17.3 Zwizek transmitancji operatorowych z opisem czwórnikowym

Opis macierzowy czwórników jest najbardziej uniwersalnym opisem układu

czterokocówkowego, obejmujcym wszystkie cztery wielkoci zewntrzne: prdy i napicia

obu bram. Jest zatem idealny do wyznaczenia dowolnej transmitancji układu, gdy z jednego

399

równania czwórnikowego wynikaj wszystkie moliwe zwizki midzy wielkociami

bramowymi. W lekcji tej tym pokaemy zwizek opisu transmitancyjnego z parametrami

macierzowymi czwórnika.

17.3.1 Transmitancja napiciowa

Wemy pod uwag transmitancj napiciow, jako stosunek napicia wyjciowego do

napicia wejciowego w dziedzinie operatorowej przy załoeniu zerowego prdu obcienia

czwórnika ( 0)(2 =sI )

)()(

)(1

2

sUsU

sTu = (17.10)

Z równania łacuchowego, wobec 0)(2 =sI otrzymujemy

)()( 2111 sUAsU = (17.11)

Std

111

2 1)()(

)(AsU

sUsTu == (17.12)

O transmitancji napiciowej decyduje jeden parametr łacuchowy A11 czwórnika. W

identyczny sposób uzyska mona relacj wic transmitancj napiciow z parametrami

dowolnego opisu czwórnikowego. Przykładowo na podstawie opisu admitancyjnego z

równania drugiego czwórnika, wobec 02 =I , wynika

02221212 =+= UYUYI (17.13)

Std

22

21

1

2

)()(

)(YY

sUsU

sTu −== (17.14)

400

17.3.2 Impedancja wejciowa

Okrelenie funkcji impedancji wejciowej układu czwórnika wymaga ustalenia przy jakiej

impedancji obcienia badany jest czwórnik. Załómy w ogólnoci obcienie czwórnika

impedancj Zo. Z równa łacuchowych czwórnika otrzymuje si

)()())(()()(

)()())(()()(

2222212222211

2122112122111

sUYAsUAsIAsUAsI

sUYAsUAsIAsUAsU

o

o

+=−+=+=−+=

(17.15)

gdzie Yo oznacza admitancj obcienia (odwrotno impedacji Zo, Yo=1/Zo). Z powyszych

równa otrzymuje si

o

owe YAA

YAAsIsU

sZ2221

1211

1

1

)()(

)(++== (17.16)

Impedancja wejciowa czwórnika obcionego jest funkcj wszystkich parametrów

łacuchowych tego czwórnika. Pewne uproszczenia powstaj w stanach szczególnych

obcie. Na przykład w stanie jałowym na zaciskach wyjciowych (Yo=0)

21

11)(AA

sZwe = (17.17)

oraz w stanie zwarcia na wyjciu ( ∞=oY )

22

12)(AA

sZwe = (17.18)

impedancja wejciowa zaley wyłcznie od dwóch parametrów łacuchowych. Identyczne

zalenoci okrelajce impedancje wejciow otrzyma mona na podstawie dowolnego opisu

czwórnikowego.

Przykład 17.2

Wyznaczy wyraenie na transmitancj napiciow i impedancj wejciow czwórnika z

przykładu 17.1

401

Rozwizanie

Macierz łacuchowa czwórnika z przykładu 17.1 ma posta

++++

=YZY

YZZZZYZ

2

21211

11

A

Transmitancja napiciowa w stanie jałowym na wyjciu jest wic równa

11111

2

111

)()(

)(ZZ

ZYZAsU

sUsTu +

=+

===

Wobec braku obcienia czwórnika przez impedancj Z2 nie przepływa prd, std całe

napicie wyjciowe pochodzi z impedancji poprzecznej Z (dzielnik impedancyjny).

Impedancja wejciowa czwórnika przy obcieniu bramy wyjciowej impedancj Zo

na podstawie wzoru (17.16) jest równa

o

o

o

owe YYZY

YYZZZZYZYAAYAA

sIsU

sZ)1(

)()1()()(

)(2

21211

2221

1211

1

1

++++++=

++==

Jest ona funkcj wszystkich parametrów układu oraz impedancji obcienia.

17.4 Połczenia czwórników

Mnogo opisów czwórnikowych wynika z rónorodnoci połcze, jakie s moliwe przy

załoeniu dostpnoci obu bram: wejciowej i wyjciowej. Rozwaymy tu podstawowe

połczenie czwórników midzy sob: połczenie łacuchowe, szeregowe, równoległe oraz

szeregowo-równoległe i równolegle-szeregowe.

17.4.1 Połczenie łacuchowe

Połczenie łacuchowe, zwane równie kaskadowym czwórników to takie połczenie , w

którym zaciski wejciowe jednego czwórnika s przyłczone do zacisków wyjciowych

poprzedniego. Przykład połczenia łacuchowego dwu czwórników przedstawiony jest na

rys. 17.3.

402

Rys. 17.3. Połczenie łacuchowe czwórników

Łatwo jest pokaza, e macierz łacuchowa A czwórników połczonych kaskadowo jest

równa iloczynowi macierzy łacuchowych poszczególnych czwórników tworzcych to

połczenie

21AAA = (17.19)

Przy wikszej liczbie czwórników połczonych kaskadowo macierz łacuchowa wypadkowa

jest równa iloczynowi macierzy łacuchowych wszystkich czwórników branych w kolejnoci

ich wystpowania w łacuchu.

nAAAA ⋅⋅⋅= 21 (17.20)

Naley zwróci uwag, e przy mnoeniu macierzy istotna jest kolejno tych macierzy, gdy

w ogólnoci 1221 AAAA ≠ .

17.4.2 Połczenie szeregowe czwórników

Dwa czwórniki s połczone szeregowo, jeli spełnione s warunki:

• prd wejciowy jednego czwórnika jest równy prdowi wejciowemu drugiego a prd

wyjciowy jednego czwórnika jest równy prdowi wyjciowemu drugiego

• napicie wejciowe (wyjciowe) połczenia jest równe sumie napi wejciowych

(wyjciowych) kadego czwórnika.

Na rys. 17.4 przedstawiono układ dwu czwórników połczonych szeregowo, spełniajcy

powysze warunki.

403

Rys. 17.4. Połczenie szeregowe czwórników

Łatwo jest pokaza, e w połczeniu szeregowym czwórników macierz impedancyjna Z

połczenia jest równa sumie macierzy impedancyjnych kadego czwórnika. Oznacza to, e

21 ZZZ += (17.21)

Przy wikszej liczbie czwórników połczonych szeregowo macierz impedancyjna

wypadkowa jest równa sumie macierzy impedancyjnych wszystkich czwórników

wystpujcych w połczeniu.

=

=n

ii

1

ZZ (17.22)

Kolejno sumowania macierzy impedancyjnych nie odgrywa adnej roli.

17.4.3 Połczenie równoległe czwórników

Dwa czwórniki s połczone równolegle, jeli spełnione s warunki:

• napicie wejciowe kadego czwórnika jest takie samo, podobnie napicie wyjciowe

• prd wejciowy (wyjciowy) połczenia jest równy sumie prdów wejciowych

(wyjciowych) kadego czwórnika.

Na rys. 17.5 przedstawiono układ dwu czwórników połczonych równolegle, spełniajcy

powysze warunki.

404

Rys. 17.5. Połczenie równoległe czwórników

Łatwo jest pokaza, e w połczeniu równoległym czwórników macierz admitancyjna Y

połczenia jest równa sumie macierzy admitancyjnych kadego czwórnika. Oznacza to, e

21 YYY += (17.23)

Przy wikszej liczbie czwórników połczonych równolegle macierz admitancyjna

wypadkowa jest równa sumie macierzy admitancyjnych wszystkich czwórników

wystpujcych w połczeniu.

=

=n

ii

1

YY (17.24)

Kolejno sumowania macierzy admitancyjnych nie odgrywa adnej roli.

17.4.4 Połczenie szeregowe-równoległe czwórników

Dwa czwórniki s połczone szeregowo-równolegle, jeli spełnione s warunki:

• prd wejciowy kadego czwórnika jest taki sam a napicie wejciowe połczenia jest

równe sumie napi wejciowych kadego czwórnika

• prd wyjciowy połczenia jest równy sumie prdów wyjciowych kadego czwórnika a

napicie wyjciowe obu czwórników jest takie samo.

Na rys. 17.6 przedstawiono układ dwu czwórników połczonych szeregowo-równolegle

(szeregowo po stronie zacisków wejciowych i równolegle po stronie zacisków

wyjciowych), spełniajcy powysze warunki.

405

Rys. 17.6. Połczenie szeregowo-równoległe czwórników

Łatwo jest pokaza, e w połczeniu szeregowo-równoległym czwórników macierz

hybrydowa H połczenia jest równa sumie macierzy hybrydowych H kadego czwórnika.

Oznacza to, e

21 HHH += (17.25)

Przy wikszej liczbie czwórników połczonych szeregowo-równolegle macierz hybrydowa H,

wypadkowa dla całego połczenia jest równa sumie macierzy hybrydowych H wszystkich

czwórników wystpujcych w połczeniu.

=

=n

ii

1

HH (17.26)

Kolejno sumowania macierzy hybrydowych nie odgrywa adnej roli.

17.4.5 Połczenie równoległo-szeregowe czwórników

Dwa czwórniki s połczone równolegle-szeregowo, jeli spełnione s warunki:

• napicie wejciowe kadego czwórnika jest takie samo a prd wejciowy połczenia jest

równy sumie prdów wejciowych kadego czwórnika

• prd wyjciowy kadego czwórnika jest taki sam a napicie wyjciowe połczenia jest

równe sumie napi wyjciowych kadego z nich.

Na rys. 17.7 przedstawiono układ dwu czwórników połczonych równolegle-szeregowo

(równolegle po stronie zacisków wejciowych i szeregowo po stronie zacisków

wyjciowych), spełniajcy powysze warunki.

406

Rys. 17.7. Połczenie równoległo-szeregowe czwórników

Łatwo jest pokaza, e w połczeniu równolegle-szeregowym czwórników macierz

hybrydowa odwrotna G połczenia jest równa sumie macierzy hybrydowych G kadego

czwórnika. Oznacza to, e

21 GGG += (17.27)

Przy wikszej liczbie czwórników połczonych równolegle-szeregowo macierz hybrydowa

odwrotna G, wypadkowa dla całego połczenia jest równa sumie macierzy hybrydowych G

wszystkich czwórników wystpujcych w połczeniu.

=

=n

ii

1

GG (17.28)

Kolejno sumowania macierzy nie odgrywa adnej roli.

Zadania sprawdzajce

Zadanie 17.1

Wyznaczy macierzowy opis czwórnikowy czwórnika typu Π o strukturze podanej na rys.

17.8.

407

Rys. 17.8. Struktura i oznaczenia admitancji w czwórniku typu Π

Rozwizanie

Układ równa Kirchhoffa opisujcych obwód

( )2133

3222

3111

UUYI

IUYI

IUYI

−=−=

+=

Równania czwórnikowe

( )( ) 2321232

231311

UYYUYI

UYUYYI

++−=−+=

Macierz admitancyjna

+−−+

=323

331

YYY

YYYY

Zadanie 17.2

Wyznaczy macierz łacuchow czwórnika odpowiadajcego obwodowi z rys. 17.9. Okreli

na tej podstawie transmitancj napiciow układu.

408


Rozwizanie

Z równa Kirchhoffa dla obwodu z rys. 17.9 otrzymuje si

22

22212111 U

ZU

IkIZUIZU +

+−=+=

2

2221 Z

UIkII +−=

Opis łacuchowy czwórnika

−

−

−+=

2

2

2

112

1

1

1

11

1

I

U

kZ

kZZZZ

I

U

Transmitancja napiciowa okrelana przy załoeniu 02 =I jest równa

21

2

11

1)(

ZZZ

AsTu +

==

Zadanie 17.3

Wyznaczy transmitancj napiciow czwórnika na podstawie znanej macierzy

impedancyjnej Z.

Rozwizanie

409

Transmitancja napiciowa z załoenia okrelona jest przy warunku 02 =I . Z opisu

impedancyjnego czwórnika

=

=

2

1

2

1

2221

1211

2

1

I

I

I

I

ZZ

ZZ

U

UZ

wobec 02 =I otrzymujemy

1212

1111

IZU

IZU

==

Std

11

21

1

2)(ZZ

UU

sTu ==

410

Lekcja 18. Wybrane zastosowania czwórników

Wstp

Istnieje ogromna rónorodno czwórników wanych z punktu widzenia zastosowa

praktycznych. Tutaj ograniczymy si do trzech, najbardziej reprezentatywnych z punktu

widzenia zastosowa inynierskich: yratora, konwertera ujemno-impedancyjnego oraz

idealnego wzmacniacza napiciowego.

Pokaemy analiz wybranych zastosowa tych czwórników. Udowodnimy

uniwersalno wzmacniacza operacyjnego, pozwalajcego zrealizowa wiele typów układów,

w tym układ sumatora wielowejciowego, układ całkujcy, układ róniczkujcy, przesuwnik

fazowy, yrator i konwerter ujemno-impedancyjny.

18.1 yrator

yrator jest czwórnikiem opisanym nastpujc macierz łacuchow

−

=

2

2

1

1

00

I

U

G

R

I

U

z

z (18.1)

Parametr zG jest nazywany konduktancj yracji a zz GR /1= rezystancj. Oznaczenia

graficzne yratora przedstawione s na rys. 18.1.

Rys. 18.1. Oznaczenia graficzne yratora

411

Znak minus wystpujcy przy prdzie wyjciowym wynika z przyjtego zwrotu prdu

wyjciowego (do pudełka). Równaniu łacuchowemu yratora odpowiada opis admitancyjny

o postaci

−=

2

1

2

1

00

U

U

G

G

I

I

z

z (18.2)

Najwaniejsz własnoci yratora jest przetwarzanie impedancji obcienia w impedancj

odwrotnie proporcjonaln do niej. Rozwamy układ yratora obcionego impedancj oZ

(rys. 18.2).

Rys. 18.2. Układ yratora obcionego impedancj

Impedancja wejciowa takiego układu zdefiniowana w postaci

1

1

IU

Z we = (18.3)

po uwzgldnieniu wzoru (17.16) wobec 011 =A , zRA =12 , zGA =12 , 022 =A jest równa

o

z

o

owe Z

RYAAYAA

Z2

2221

1211 =++= (18.4)

Impedancja układu yratora obcionego impedancj Zo jest odwrotnie proporcjonalna do

impedancji obcienia ze współczynnikiem proporcjonalnoci równym 2zR . Jeli yrator

zostanie obciony kondensatorem o impedancji operatorowej równej Zo = 1/sC (rys. 18.2)

412

to impedancja wejciowa układu jest równa

CsRZ zwe2= (18.5)

Jest to posta odpowiadajca ogólnemu opisowi impedancji operatorowej cewki ZL=sL.

Zatem układ yratora obcionego pojemnoci C przedstawia sob cewk o indukcyjnoci L

CRL z2= (18.6)

Powyszej zalenoci matematycznej mona przyporzdkowa transformacj układow

zilustrowan na rys. 18.3.

Rys. 18.3. Realizacja indukcyjnoci przy pomocy yratora

yrator jako czwórnik jest bardzo łatwo realizowalny w praktyce przy wykorzystaniu

układów tranzystorowych lub wzmacniaczy operacyjnych. Z tego wzgldu układy

wykorzystujce yratory s powszechnie stosowane w układach elektronicznych (np. filtrach)

eliminujc z nich cewki, trudno realizowalne w technologii scalonej.

18.2 Konwerter ujemno-impedancyjny (NIC)

Konwerter ujemno-impedancyjny (NIC) jest czwórnikiem aktywnym (wytwarzajcym

energi) posiadajcym własno przetwarzania prdu bd napicia z ujemnym znakiem.

Wyrónia si dwa rodzaje konwerterów ujemno-impedancyjnych

413

• NIC z inwersj prdu (INIC)

−

−=

2

2

1

1

001

I

U

KI

U

i

(18.7)

• NIC z inwersj napicia (VNIC)

−

−=

2

2

1

1

100

I

UK

I

U u (18.8)

Parametr K (Ki dla konwertera ujemno-impedancyjnego prdu oraz Ku dla konwertera

ujemno-impedancyjnego napicia) jest współczynnikiem przetwarzania bd prdu bd

napicia. W konwerterze INIC prd wejciowy jest proporcjonalny do prdu wyjciowego z

ujemnym współczynnikiem proporcjonalnoci –Ki przy niezmienionej wartoci napicia

wejciowego. W konwerterze VNIC napicie wejciowe jest proporcjonalne do napicia

wyjciowego z ujemnym współczynnikiem proporcjonalnoci –Ku przy niezmienionym

prdzie wejciowym.

Konwerter impedancyjny przetwarza impedancj obcienia w impedancj wejciow

z ujemnym znakiem. Rozwamy układ konwertera INIC obcionego impedancj Zo,

przedstawiony na rys. 18.4

Rys. 18.4. Układ konwertera ujemno-impedancyjnego obcionego impedancj

414

Wykorzystujc równania konwertera i uwzgldniajc równanie opisujce obcienie

22 )( UIZU oo =−= impedancja wejciowa układu dana jest zalenoci

i

o

iwe K

ZIK

UI

UZ −=

−−==

)( 2

2

1

1 (18.9)

Jak z powyszego równania wynika konwerter ujemno-impedancyjny obciony impedancj

Zo reprezentuje sob (z punktu widzenia wejcia) impedancj ujemn io KZ /− . Podobn

własno ma konwerter ujemno-impedancyjny napicia (VNIC).

Cecha ta moe by wykorzystana do realizacji rezystancji ujemnej. Mianowicie

przyjmujc obcienie konwertera rezystancj oo RZ = otrzymuje si impedancj wejciow

równ iowe KRZ /−= . Naley pamita, e ujemna rezystancja zastosowana samodzielnie

prowadzi do niestabilnoci układu (wobec ujemnych wartoci rezystancji bieguny układu

znajd si w prawej półpłaszczynie). Z tego wzgldu stosuje si j zwykle w specjalnych

połczeniach z innymi elementami obwodowymi zapewniajcymi stabilne działanie układu.

Konwerter ujemno-impedancyjny jest łatwo realizowalny w technologii scalonej przy

wykorzystaniu tranzystorów lub wzmacniaczy operacyjnych. Z tego wzgldu jest chtnie

wykorzystywany w elektronice przy realizacji filtrów, generatorów i innych układów

przetwarzania sygnałów.

18.3 Idealny wzmacniacz napiciowy

Idealny wzmacniacz napicia jest czwórnikiem opisanym nastpujc macierz hybrydow

=

2

1

2

1

000

I

U

AU

I (18.10)

Jak wynika z powyszej zalenoci idealny wzmacniacz napiciowy nie pobiera prdu

(impedancja wejciowa równa nieskoczonoci) a przetwarza jedynie napicie wejciowe w

wyjciowe zgodnie z relacj

12 AUU = (18.11)

415

Oznaczenie techniczne wzmacniacza i odpowiadajcy mu schemat obwodowy reprezentujcy

równanie (18.10) przedstawia rys. 18.5.

Rys. 18.5. Oznaczenie wzmacniacza napiciowego o skoczonym wzmocnieniu A

Wejcie układu stanowi przerw (impedancja wejciowa równa nieskoczonoci). Na wyjciu

istnieje jedynie idealne ródło napicia sterowane napiciem. Std impedancja wyjciowa

takiego układu jest równa zeru.

18.4 Idealny wzmacniacz operacyjny

Wzmacniacz operacyjny jest szczególnym rodzajem wzmacniacza napiciowego niezwykle

wanym i czsto stosowanym przy realizacji innych układów. Jego oznaczenie oraz zastpczy

schemat obwodowy przedstawia rys. 18.6.

Rys. 18.6. Oznaczenie idealnego wzmacniacza operacyjnego

Idealny wzmacniacz operacyjny nie pobiera prdu na wejciu (impedancja wejciowa równa

nieskoczonoci) a jego napicie wyjciowe jest proporcjonalne do wejciowego napicia

416

rónicowego −+ −= UUU1 , przy czym +U jest napiciem wejcia nieodwracajcego a −U

napiciem wejcia odwracajcego wzmacniacza

12 AUU = (18.12)

Przy załoeniu idealnoci wzmacniacza operacyjnego warto wzmocnienia A dy do

nieskoczonoci. Biorc pod uwag, e napicie wyjciowe wzmacniacza moe przyjmowa

jedynie wartoci skoczone, napicie rónicowe 1U w idealnym wzmacniaczu operacyjnym

musi by równe zeru. Idealny wzmacniacz operacyjny zachowuje si wic tak, jakby stanowił

na wejciu jednoczenie zwarcie i rozwarcie. W efekcie idealny wzmacniacz operacyjny

charakteryzuje si nastpujcymi właciwociami:

• nieskoczona warto wzmocnienia napiciowego

• zerowa warto impedancji wyjciowej

• nieskoczona impedancja wejciowa

• spełnienie wszystkich powyszych cech dla zakresu czstotliwoci od zera do

nieskoczonoci.

Na rys. 18.7 przedstawiono obwodowy schemat zastpczy idealnego wzmacniacza

operacyjnego, wykorzystujcy ródło napicia sterowane napiciem.

Rys. 18.7. Schemat zastpczy idealnego wzmacniacza operacyjnego

W rzeczywistoci wzmacniacz operacyjny realizowany w technologii scalonej ma skoczon

warto zarówno impedancji wejciowej (rzdu megaomów) jak i wzmocnienia

napiciowego. Co wicej wzmocnienie napiciowe jest w istotny sposób zalene od

czstotliwoci i zmienia si od wartoci około miliona dla napi stałych (f=0) do wartoci

równej jeden przy czstotliwoci rzdu megaherców. Impedancja wyjciowa wzmacniacza

rzeczywistego przyjmuje warto około Ω70 zamiast wartoci zerowej w przypadku

417

idealnym. Wartoci powysze mog si zmienia w zalenoci od technologii wykonania. W

zakresie czstotliwoci do 1kHz rzeczywisty wzmacniacz operacyjny z duym przyblieniem

moe by jednak traktowany jako idealny.

18.5 Wybrane zastosowania wzmacniaczy operacyjnych

Wzmacniacz operacyjny dziki swoim unikalnym cechom znalazł ogromne zastosowanie w

technice elektronicznej. Tutaj ograniczymy si do wybranych zastosowa, w tym realizacji

wzmacniacza sumacyjnego, układu całkujcego, układu róniczkujcego, przesuwnika

fazowego, konwertera ujemno-impedancyjnego oraz yratora.

18.5.1 Wzmacniacz sumacyjny

Wzmacniacz sumacyjny jest układem dokonujcym sumowania napi wejciowych z

odpowiedni, zadan wag. Jeli sygnały wejciowe oznaczymy jako Ui, to napicie

wyjciowe wzmacniacza sumacyjnego dane jest w postaci sumy waonej

jj

jo UkU = (18.13)

Wagi kj oznaczaj wzmocnienie (dodatnie lub ujemne) odpowiedniego sygnału Uj w układzie.

Schemat układu sumujacego sygnały wejciowe z dowoln wag przy ograniczeniu si do

jednego sygnału o wzmocnieniu ujemnym i jednego o wzmocnieniu dodatnim przedstawiono

na rys. 18.8.

418

Rys. 18.8. Schemat sumatora dwu sygnałów

Wobec przyjtych oznacze elementów i napi wzłowych z prdowego prawa Kirchhoffa

napisanego dla dwu wzłów obwodu wynikaj nastpujce równania

( )( ) ( )0011

022

UUGUGUUG

UGUUG

f −+=−

=−−−−−

+++

(18.14)

Ze wzgldu na nieskoczon warto wzmocnienia wzmacniacza operacyjnego napicie w

obu punktach sumacyjnych wzmacniacza jest sobie równe, to znaczy

−+ = UU (18.15)

Z rozwizania tego układu równa wynika

220

2 UGG

GU

+= +

+ (18.16)

oraz

419

11

220

1020 U

GG

UGG

GGG

GG

Uf

f

f

−+

++= +

−

(18.17)

Przy dwu sygnałach wejciowych sygnał wyjciowy wzmacniacza sumacyjnego jest wic

równy sumie waonej sygnałów wejciowych

22110 UkUkU += (18.18)

przy czym współczynniki wzmocnie obu torów

fG

Gk 1

1 −= (18.19)

20

1022 GG

GGG

GG

k f

f +++

= +

−

(18.20)

s przeciwnego znaku. Przedstawiona powyej struktura wzmacniacza pozwala wic

zrealizowa dowolne wzmocnienie, zarówno dodatnie jak i ujemne. Zauwamy, e jeli

przyjmiemy zrównowaony układ rezystorów, spełniajcy warunek równoci sumy

konduktancji włczonych w obu wzłach sumacyjnych

2010 GGGGG f +=++ +− (18.21)

to wyraenie na wzmocnienie k2 upraszcza si do postaci analogicznej jak wzmocnienie k1,

czyli

fG

Gk 2

2 = (18.22)

Przy spełnieniu warunku zrównowaenia konduktancji w wzłach sumacyjnych oba

wzmocnienia (dodatnie i ujemne) s okrelone jako stosunek odpowiedniej dla danego toru

konduktancji wejciowej do konduktancji sprzenia zwrotnego Gf. Reguła doboru

420

rezystorów dla uzyskania odpowiedniego wzmocnienia jest wic bardzo prosta, a

poszczególne tory nie wpływaj na siebie.

Co wicej przedstawiony tu układ wzmacniacza sumacyjnego łatwo jest uogólni na

sumator o dowolnej liczbie wej i wyj przez dodanie nastpnych kanałów.

Rys. 18.9. Schemat sumatora wielowejciowego o wzmocnieniach dodatnich i

ujemnych

Na rys. 18.9 przedstawiono schemat sumatora o wielu wejciach odwracajcych realizujcych

wzmocnienia ujemne i nieodwracajcych realizujcych wzmocnienia dodatnie pozwalajcych

uzyska dowolne, niezalene od siebie wartoci wzmocnie w kanale przy spełnieniu

warunku zrównowaenia konduktancji w wzłach dodatnim i ujemnym

+−

=

++

=

−− +=++n

kk

n

kkf GGGGG

10

10 (18.23)

421

Wzmocnienia w poszczególnych torach s wyraone wzorami identycznymi do przypadku

układu o dwu wejciach

f

ii G

Gk

−− −= (18.24)

dla −= ni ,...,2,1 oraz

f

ii G

Gk

++ = (18.25)

dla += ni ,...,2,1 . Warunek zrównowaenia jest łatwy do spełnienia ze wzgldu na

wystpienie nadmiarowych wartoci konduktancji doziemnych +0G oraz −

0G .

18.5.2 Układ całkujcy

Schemat układu realizujcego operacj całkowania z wykorzystaniem wzmacniacza

operacyjnego jest przedstawiony na rys. 18.10.

Rys. 18.10. Schemat układu całkujcego

Przyjmujc wzmacniacz jako idealny i wykorzystujc fakt, e wzmacniacz nie pobiera prdu

a jego napicie rónicowe jest równe zeru otrzymuje si nastpujce równania opisujce

układ

RIU =1 (18.26)

422

IsC

U1

2 −= (18.27)

Z przekształcenia tych równa wynika wzór na transmitancj napiciow

sRCU

UsT

1)(

1

2 −== (18.28)

Z porównania wzoru z zalenoci definicyjn układu całkujcego sksT /)( = wynika, e

obwód z rys. 18.10 realizuje człon całkujcy ze współczynnikiem RC

k1−= . Warto

współczynnika k jest ujemna.

18.5.3 Układ róniczkujcy

Schemat układu realizujcego operacj róniczkowania o transmitacji kssT =)( z

wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego jest przedstawiony na rys. 18.11.

Rys. 18.11. Schemat układu róniczkujcego

Podobnie jak w przypadku poprzednim przyjmujemy wzmacniacz jako idealny.

Uwzgldniajc to otrzymuje si nastpujce równania opisujce układ.

IsC

U1

1 = (18.29)

RIU −=2 (18.30)

423

Z przekształcenia tych równa wynika wzór na transmitancj napiciow układu

sRCUU

sT −==1

2)( (18.31)

Z porównania transmitacji z zalenoci definicyjn kssT =)( wynika, e obwód z rys. 18.11

realizuje człon róniczkujcy ze współczynnikiem RCk −= . Warto współczynnika jest

ustalana poprzez dobór rezystancji i pojemnoci układu.

18.5.4 Układ przesuwnika fazowego

Schemat układu przesuwnika fazowego przedstawiony jest na rys. 18.12.

Rys. 18.12. Schemat przesuwnika fazowego

Po uwzgldnieniu idealnoci wzmacniacza otrzymuje si nastpujce równania opisujce

obwód

21

1I

sCRU

+= (18.32)

211 2 UIRU f += (18.33)

212

1I

sCIRU f +−= (18.34)

424

Z pierwszego i drugiego równania wynika

sCR

UI

/11

2 += (18.35)

fRUU

I2

211

−= (18.36)

Po podstawieniu tych wielkoci do wzoru trzeciego opisujcego napicie wyjciowe

otrzymuje si

1121

2 /1/1

/11

2U

RCsRCs

sCRU

sCRUU

RUf

f ++−=

++

−−= (18.37)

Transmitancja napiciowa układu wynikajca z powyszego wzoru jest wic nastpujca

RCsRCs

UU

sT/1/1

)(1

2

++−== (18.38)

Z porównania tego wyniku z ogólna postaci transmitancji przesuwnika fazowego

asas

sT++−=)( (18.39)

wynika, e układ z rys. 18.12 realizuje przesuwnik fazowy z wartoci parametru a okrelon

wyraeniem

RCa /1= (18.40)

Sterujc wartoci rezystancji R lub pojemnoci C moemy zatem kształtowa

charakterystyk fazow przesuwnika i kt przesunicia midzy napiciem wejciowym i

wyjciowym.

425

18.5.5 Konwerter ujemno-impedancyjny (NIC)

Schemat obwodu przedstawiajcego realizacj konwertera ujemno-impedancyjnego prdu


Rys. 18.13. Schemat układu INIC

Po uwzgldnieniu idealnoci wzmacniacza operacyjnego z równa Kirchhoffa wynikaj

nastpujce zwizki

21 UU = (18.41)

2211 IRIR = (18.42)

Mona je zapisa w formie równania łacuchowego czwórnika

−

−=

2

2

1

2

1

1

0

01

I

U

RR

I

U (18.43)

odpowiadajcego dokładnie opisowi konwertera ujemno-impedancyjnego prdu ze stał

konwersji

1

2

RR

Ki = (18.44)

426

Ustalenie wartoci tej stałej odbywa si poprzez odpowiedni dobór rezystancji wystpujcych

w układzie.

18.5.6 yrator

yrator jest wyjtkowo wanym elementem obwodu, stosowanym powszechnie w

elektronice. Sporód wielu istniejcych realizacji obwodowych pokaemy jedn, łatw w

praktycznej implementacji stosujc wzmacniacze sumacyjne napiciowe o skoczonych

wzmocnieniach równych 1± . Schemat obwodowy yratora przedstawia rys. 18.14.

Rys. 18.14. Układ realizacji yratora wykorzystujcy wzmacniacze sumacyjne

Przy załoeniu idealnoci wzmacniaczy (impedancja wejciowa nieskoczona, impedancja

wyjciowa zerowa) prdy wejciowy i wyjciowy układu opisuj relacje

( )[ ] 22111 UGUUUGI zz =−−= (18.45)

( )[ ] 11222 UGUUUGI zz −=+−= (18.46)

Równanie admitancyjne układu dane jest wic w postaci

−=

2

1

2

1

00

U

U

G

G

I

I

z

z (18.47)

z której wynika, e konduktancja yracji jest równa konduktancji Gz wystpujcej w układzie.

427

18.6 Analiza układów ze wzmacniaczami operacyjnymi metod grafów przepływu

sygnałów Masona

Efektywna analiza układów elektronicznych zawierajcych wzmacniacze operacyjne przy

bezporednim uyciu praw Kirchhoffa jest moliwa jedynie dla obwodów zawierajcych mał

liczb wzmacniaczy. Przy analizie duych układów o wielu wzmacniaczach operacyjnych

najbardziej efektywne pozostaje zastosowanie metody grafów przepływowych Masona.

18.6.1 Podstawowe pojcia grafów Masona

Graf Masona jest graficznym odzwierciedleniem układu równa liniowych i odpowiada

przepływowi sygnałów w obwodzie elektrycznym. Wyróni w nim mona wzły,

odpowiadajce zmiennym wystpujcym w równaniu oraz gałzie opisane wagami,

odpowiadajce współczynnikom równa. Przykładowo, jeli dany jest układ równa

liniowych

2222121

1212111

Fxaxa

Fxaxa

=+=+

(18.48)

to w pierwszej kolejnoci naley go przekształci do postaci

22221212

12121111

)1(

)1(

Fxaxax

Fxaxax

−++=−++=

(18.49)

Graf Masona odpowiadajcy powyszemu układowi równa przedstawiony jest na rys. 18.15

Rys. 18.15. Graf Masona odpowiadajcy układowi równa liniowych (18.49)

428

Kademu wzłowi grafu odpowiada zmienna xi (i = 1, 2 w przykładzie) lub wymuszenie

jednostkowe. Wzły połczone s gałziami, którym przyporzdkowane s współczynniki

przy poszczególnych zmiennych układu równa (18.49). Współczynniki te, zwane

wzmocnieniami (transmitancjami) gałzi stanowi wagi, z jakimi sumowane s zmienne w

poszczególnych wzłach. Sygnał wzła (zmienna xi) jest równy sumie wagowej sygnałów

dopływajcych do danego wzła. W grafie mona wyróni ptle składajce si z gałzi

jednakowo skierowanych tworzcych zamknity cykl (bez powtórze gałzi i wzłów). W

szczególnoci ptl moe tworzy jedna gał wychodzca i wchodzca do tego samego

wzła. Transmitancja ptli jest równa iloczynowi wzmocnie (transmitancji) gałzi

tworzcych ptl.

Jedn z najwaniejszych zalet grafów Masona jest prosta reguła topologiczna

okrelajca dowolny sygnał w grafie. Reguła ta dotyczy transmitancji definiowanej jako

stosunek sygnału dowolnego wzła grafu uznanego za wyjciowy do sygnału wzła

ródłowego, czyli wzła z którego sygnały jedynie odpływaj (w przykładzie takim wzłem

jest wzeł o sygnale równym jeden). Oznaczmy t transmitancj przez we

wy

x

xT = . Zgodnie z

reguł Masona transmitancj t okrela wzór

∆

∆=k

kkTT (18.50)

W powyszym wyraeniu oznacza wyznacznik główny grafu okrelany zgodnie ze wzorem

...1,,,

+−+−=∆ kji

kjiji

jii

i GGGGGG (18.51)

We wzorze tym pierwsza suma oznacza sumowanie po wszystkich transmitancjach ptli Gi

istniejcych w grafie. Suma druga dotyczy iloczynów transmitancji ptli rozłcznych branych

po dwie naraz. Suma trzecia dotyczy iloczynów transmitancji ptli rozłcznych branych po

trzy. Rozwinicie wyznacznika prowadzi si a do wyczerpania wszystkich moliwych

kombinacji wielokrotnych ptli rozłcznych, biorc sumy na przemian ze znakiem plus i

minus, jak to pokazano we wzorze (18.51).

429

Wyraenie ∆k

kkT w liczniku transmitancji dotyczy sumowania po wszystkich

drogach prowadzcych od wzła ródłowego (wejciowego) do wzła wyjciowego, przy

czym Tk oznacza iloczyn wzmocnie gałzi prowadzcych od ródła do wzła wyjciowego a

k jest wyznacznikiem okrelonym dla tej czci grafu (podgrafu), która jest rozłczna z k-

t drog Tk (przy braku ptli w podgrafie wyznacznik jest tosamociowo równy 1).

Z rozwizania grafu z rys. 18.15 przy pomocy reguły Masona otrzymuje si

nastpujce transmitancje (wzeł ródłowy jest skojarzony z sygnałem jednostkowym):

( ) ( )[ ] ( )( )11111 221121122211

12222111 +++++++−

−==

aaaaaaaFaF

xT

( ) ( )[ ] ( )( )11111 221121122211

11221122 +++++++−

−−==

aaaaaaaFaF

xT

Rozwizania na wartoci zmiennych x1 i x2 układu równa (18.48) uzyskano bezporednio na

podstawie reguły topologicznej Masona zastosowanej wzgldem grafu z rys. 18.15. W

identyczny sposób mona wyznaczy rozwizanie dowolnie złoonego systemu opisanego

poprzez graf Masona.

Jako nastpny przykład rozpatrzmy graf przepływu sygnałów przedstawiony na rys. 18.16, o

wzmocnieniach gałzi opisanych literami a, b, c, … l.

Rys. 18.16. Graf przepływu sygnałów do przykładu

430

Stosujc reguł Masona wyznaczymy transmitancj wexx

T 5= . Bezporednio na podstawie

analizy struktury grafu otrzymuje si

( ) ( ) cdhlhlcdlcdhlhcdlbfjlbcejladfjhadgkhbgklaej

T−+++++−

−+−+−+−+−+−=1

)1()1()1()1()1()1(

W transmitancji tej wyraenie mianownika (wyznacznik główny ) zawiera trzy składniki

zwizane z ptlami (suma wzmocnie wszystkich ptli, iloczynów wzmocnie ptli

rozłcznych branych po dwa i ptli rozłcznych branych po trzy).

18.6.2 Zastosowanie grafu Masona w analizie obwodów ze wzmacniaczami

Graf Masona mona narysowa dla kadego obwodu, w szczególnoci obwodu zawierajcego

wzmacniacze napiciowe, bez koniecznoci wypisywania układu równa opisujcych ten

obwód. Aby stworzy reguły automatycznego tworzenia grafu rozpatrzmy wybrane rodzaje

połcze elementów składowych obwodu. Na rys. 18.17a przedstawiono typowe połczenie

elementów pasywnych w wle k.

a) b)

Rys. 18.17. Typowe połczenie elementów pasywnych w wle (a)

oraz graf Masona odpowiadajcy takiemu połczeniu (b)

Z prawa prdowego Kirchhoffa dla tego wzła wynika nastpujce równanie

431

( ) ( ) ( ) kkknnkk VYVVYVVYVVY 02211 ... =−++−+− (18.52)

Po prostych przekształceniach otrzymuje si

nsk

n

skskk V

YY

VYY

VYY

V +++= ...22

11 (18.53)

gdzie Ysk jest sum admitancji włczonych w wle k-tym, =

+=n

iiksk YYY

10 . Powyszemu

równaniu odpowiada graf Masona przedstawiony na rys. 18.17b. Graf ten ma struktur

podobn do struktury obwodu, przy czym kademu elementowi Yi (i = 1, 2, ..., n) odpowiada

wzmocnienie gałzi grafu równe sk

i

YY

. Kada gał jest skierowana do wzła Vk, którego

reprezentacj graficzn w danej chwili tworzymy. Biorc pod uwag powysze, graf

odpowiadajcy wzłowi z rys. 18.17a moe by utworzony automatycznie bez potrzeby

pisania równa Kirchhoffa.

W przypadku obwodu zawierajcego wzmacniacze napiciowe konieczne staje si

podanie reguły tworzenia grafu odpowiadajcego wzmacniaczowi. Na rys. 18.18a

przedstawiony jest wzmacniacz napiciowy o dwu wejciach (inwersyjnym i nieinwersyjnym)

o wzmocnieniu A w obu torach (w szczególnoci wzmocnienie A moe dy do

nieskoczonoci, jak to ma miejsce w idealnych wzmacniaczach operacyjnych).

a) b)

Rys. 18.18. Model wzmacniacza napiciowego o dwu wejciach (a) i jego graf Masona (b)

Napicie wyjciowe Vo wzmacniacza opisuje wyraenie

21 AVAVVo −=

432

któremu mona przyporzdkowa bezporednio graf Masona przedstawiony na rys. 18.18b.

Budujc graf dla złoonego obwodu elektrycznego naley wyróni w nim wzły i

zwizane z nimi potencjały wzłowe. Wzłem ródłowym (niezalenym) grafu jest ródło

wymuszajce istniejce w obwodzie, wzgldem którego definiowana jest transmitancja T. Z

tego wzła sygnały mog jedynie odpływa. Budow grafu rozpoczynamy od ułoenia

wszystkich wzłów grafu w układzie podobnym do ich rozmieszczenia w obwodzie.

Nastpnie budujemy oddzielnie reprezentacj graficzn dla kadego wzła reprezentujcego

zmienn zalen korzystajc bd z reguły dotyczcej wzła z elementami pasywnymi (rys.

8.17) bd wzła odpowiadajcego wzmacniaczowi (rys. 18.18). Jeli wzeł połoony jest na

wyjciu wzmacniacza jego reprezentacja graficzna odpowiada wzmacniaczowi, w

przeciwnym wypadku wzłowi „pasywnemu”.

18.6.3 Przykłady zastosowania grafów w analizie obwodów

Przykład 18.1

Sposób automatycznego tworzenia grafu dla obwodu elektrycznego przedstawimy na

przykładzie obwodu z rys. 18.19.

Rys. 18.19. Przykład obwodu ze wzmacniaczem operacyjnym

Obwód zawiera trzy wzły zalene (V1, V2 i Uwy), w zwizku z tym naley zbudowa

reprezentacj graficzn dla kadego z nich (V1 i V2 – wzły pasywne, Uwy – wzeł na wyjciu

wzmacniacza). Na rys. 18.20 przedstawiono graf przepływu sygnałów odpowiadajcy

obwodowi z rys. 18.19.

433

Rys. 18.20. Graf przepływu sygnałów odpowiadajcy obwodowi z rys. 18.19

Z reguły Masona zastosowanej do tego grafu wynika nastpujce rozwizanie

21

34

2

5

21

23

1

1

2

3

1sssss

ss

we

wy

YYYY

AYY

AYY

YYY

YY

A

U

UT

++−

−==

gdzie 43211 YYYYYs +++= , 532 YYYs += . Po uproszczeniu wzoru otrzymuje si ostateczn

posta rozwizania

43152

321

31

YAYYAYYYYYAY

U

UT

ssswe

wy

++−−

==

Przy potraktowaniu wzmacniacza jako idealnego o nieskoczonym wzmocnieniu ( ∞→A )

wzór powyszy upraszcza si do postaci

( ) 4343215

31

YYYYYYYYY

T++++

−=∞

stanowicej czsto punkt wyjciowy przy projektowaniu filtrów elektrycznych.

434

Przykład 18.2

Jako przykład rozpatrzmy obwód elektryczny RC z picioma wzmacniaczami napiciowymi

o skoczonych wzmocnieniach przedstawiony na rys. 18.21. Naley wyznaczy transmitancj

napiciow T=Uwy/Uwe tego obwodu stosujc metod grafów przepływowych Masona.

Rys. 18.21. Obwód elektryczny do przykładu 18.2

Graf przepływu sygnałów odpowiadajcy temu obwodowi, utworzony w sposób

automatyczny zgodnie z regułami podanymi w punkcie poprzednim, przedstawiony jest na

rys. 18.22.

Rys. 18.22. Graf przepływu sygnałów dla obwodu z rys. 18.21

435

Po zastosowaniu reguły Masona otrzymuje si nastpujc posta transmitancji napiciowej T

obwodu.

swysswysswysswys

swysswysswys

YYYYK

YYY

YYYYK

YYY

YY

YY

KYY

YY

KYY

YY

K

T

4

424

4

24

5

765

5

26

6

5

53

4

4

32

4

4

11

1 −−−−

++=

gdzie 43214 YYYYYs +++= , 7655 YYYYs ++= , 64 YYYswy += . Po uproszczeniu wzoru

otrzymuje si rozwizanie zadania w postaci

( )54245

2447654

2654

46535432411

ssssswyss

ss

YYYKYYYYYKYYYYYYYYKYYYKYYK

T−−−−

++=

Podstawiajc konkretne wartoci na poszczególne admitancje obwodu otrzymuje si

transmitancj operatorow obwodu T=T(s).

Przykład 18.3

Jako nastpny przykład rozpatrzymy obwód RC z trzema wzmacniaczami operacyjnymi o

wzmocnieniach A, przedstawiony na rys. 18.23, realizujcymi funkcj transmitancji

napiciowej we

wy

U

UsT =)( .

Rys. 18.23. Struktura obwodu RC z trzema wzmacniaczami operacyjnymi

436

Graf Masona odpowiadajcy temu obwodowi przedstawiony jest na rys. 18.24. Zawiera on

pi ptli, wród których wystpuj ptle rozłczne po dwie i po trzy.

Rys. 18.24. Graf Masona odpowiadajcy obwodowi z rys. 18.23

Stosujc reguł Masona otrzymuje si nastpujc posta transmitancji napiciowej.

)()( 6

4

4

3

2

13

sMYG

YG

YG

AsT sss=

gdzie mianownik transmitancji M(s) dany jest wzorem

642

2123

642

2323

42

2122

6

22

4

12

64

433

42

322

6

2

4

1

21

21

21

21

21

1)(

ssssssssss

ssssss

YYY

CCsA

YYYCGsGA

YYCCsA

Y

sCA

Y

sCA

YY

GGA

YYGGA

YAsC

YAsC

AsM

+

++++

+

+++++=

W praktyce przyjmuje si zwykle wzmacniacz operacyjny jako element idealny o

wzmocnieniu ∞→A . Przy takim załoeniu transmitancja upraszcza si do postaci funkcji

bikwadratowej typu dolnoprzepustowego

437

( ) ( )214323221212

431

5,05,0)(

GGGGCGsGGGCCsGGG

sT++++

=

Zadania sprawdzajce

Zadanie 18.1

Okreli impedancj wejciow układu przedstawionego na rys. 18.25.

Rys. 18.25. Schemat układu do zadania 18.1.

Rozwizanie

Układ yratora obcionego pojemnoci realizuje sob indukcyjno L, przy czym CRL z2= .

Schemat układu po zastpieniu yratora i pojemnoci jedn indukcyjnoci L przedstawiony

jest na rys. 18.26.

Rys. 18.26. Schemat układu zastpczego do rys. 18.15

438

Jest to układ połczenia równoległego rezystancji R i impedancji indukcyjnej ZL=sL, wobec

czego impedancja wejciowa całego układu jest równa

RCsRRCsR

sLRsLR

Zz

zwe +

=+⋅= 2

2

Zadanie 18.2

Wyznaczy macierz łacuchow zastpcz układu przedstawionego na rys. 18.27

Rys. 18.27. Układ połcze czwórników do zadania 18.2

Rozwizanie

Układ przedstawiony na rysunku moe by potraktowany jako połczenie łacuchowe trzech

czwórników, jak to przedstawiono na rys. 18.27. Dwa czwórniki s yratorami o macierzy

łacuchowej

==

00

31z

z

G

RAA

Trzeci czwórnik stanowi kondensator C. Macierz łacuchowa tego czwórnika wyraa si

wzorem

=

101

2 sCA

Macierz łacuchowa układu 3 czwórników połczonych kaskadowa wyraa si wzorem

439

=

==

101

10

101

00 2

321z

z

z

z

z sCRG

R

sCG

RAAAA

Łatwo mona pokaza, e wynik kocowy odpowiada czwórnikowi o strukturze

przedstawionej na rys. 18.28, z indukcyjnoci nieuziemion równ 2zCRL = .

Rys. 18.28. Schemat zastpczy połczenia czwórników z rys. 18.17

Zadanie 18.3

Zrealizowa układ sumatora trójwejciowego z wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego o

wzmocnieniach równych 11 −=k , 52 −=k , 23 =k .

Rozwizanie

Wykorzystamy w realizacji schemat układu z rys. 18.9. Przyjmiemy arbitralnie warto

rezystancji Rf sprzenia zwrotnego równ Rf = 10kΩ, co odpowiada konduktancji

SG f410−= . Dla uzyskania wzmocnienia k1 = -1 naley przyj 4

1 10−− =G S, co odpowiada

101 =−R kΩ. Realizacja k2 = -5 wymaga zastosowania 42 105 −− ⋅=G S ( 22 =−R kΩ). Uzyskanie

k3 = 2 jest moliwe przy wyborze 43 102 −+ ⋅=G S ( 53 =+R kΩ). Warunek zrównowaenia

konduktancji w obu wzłach wejciowych wzmacniacza wymaga, aby

++−−− +=+++ 30210 GGGGGG f

Podstawiajc odpowiednie wartoci otrzymuje si nastpujc posta warunku

zrównowaenia konduktancji

440

40

40 102107 −+−− ⋅+=⋅+ GG

Przyjmujc 00 =−G (brak rezystora) oraz 40 105 −+ ⋅=G S ( 20 =+R kΩ) otrzymuje si schemat

układu sumatora przedstawiony na rys. 18.29.

Rys. 18.29. Schemat sumatora trójwejciowego do zadania 18.3

Teoria obwodow

Documents

Transcript of Teoria obwodow