Teoria sterowania
26
1 Teoria sterowania Wykład 3 Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejściu i jednym wyjściu) obiektów sterowania. y = ku y u y u 0 y = f(u) 0 du df k Linearyzacja krzywoliniowejcharakterystyki statycznejobiektu u r y r
description
y. y. y = k u. y = f(u). 0. u. u. Teoria sterowania. Wykład 3 Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejściu i jednym wyjściu) obiektów sterowania. y r. u r. y ( t ). u ( t ). Liniowy obiekt sterowania. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Teoria sterowania
1
Teoria sterowaniaWykład 3
Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejściu
i jednym wyjściu) obiektów sterowania.
y = ku
y
u
y
u0
y = f(u)
0
du
dfk
Linearyzacja krzywoliniowej charakterystyki statycznej obiektu
ur
yr
2
• Równanie wejścia – wyjścia (równanie różniczkowe liniowe)
• Transmitancja operatorowa i widmowa
• Równania stanu i równanie wyjścia
u(t) y(t)Liniowy obiekt sterowania
3
Równanie wejścia – wyjścia określa związek zachodzący między sygnałem wejściowym u(t) obiektu a jego sygnałem wyjściowym y(t) i wynika z prawa równowagi dynamicznej ( prawo Newtona, prawa Kirchchoffa itd.)
Transmitancję operatorową uzyskuje się z równania wejścia - wyjścia po jego przekształceniu wg. Laplace’a.
Transmitancja widmowa opisuje obiekt gdy sygnał wejściowy i wyjściowy mają przebiegi sinusoidalne.
Równania stanu uzyskuje się z równania wejścia – wyjścia po wprowadzeniu zmiennych stanu określających stan obiektu w każdej chwili. Zmienne stanu związane są z magazynami energii występującymi w obiekcie.
Równanie wyjścia określa zależność sygnału wyjściowego y(t) od zmiennych stanu x1(t), x2(t), … .
4
(1)
0)0(...)0()0( )1( nyyy 0)0(...)0()0( )1( muuu Zakładając zerowe warunki początkowe
i przekształcając równanie (1) wg. Laplace’a otrzymujemy
)()(...)()(
)()(...)()(
011
1
011
1
sUbssUbsUsbsUsb
sYassYasYsasYsam
mm
m
nn
nn
(2)
011
1
011
1
...
...
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
sU
sYn
nn
n
mm
mm
011
1
011
1
...
...)(
asasasa
bsbsbsbsG
nn
nn
mm
mm
)(
)()(
sU
sYsG
def
(3)
(4)
Równanie wejścia – wyjścia obiektu
mn
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tydta
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
)()()(
...)()(
)()()(
...)(
)()(
012
2
21
1
1
012
2
21
1
1
Transmitancja operatorowa obiektu
5
Transmitancja widmowa obiektu regulacji
)(
)()(
jU
jYjG
def
011
1
011
1
)()()(
)()()()(
ajajaja
bjbjbjbjG
nn
nn
mm
mm
c
darctg
a
barctg
dc
bajG
ejG
edc
eba
jdc
jbajG j
c
djartg
a
bjarctg
)()(
)()(
22
22
)(
22
22
6
Obiekt liniowytsinU)t(u )tsin(Y)t(y
)()()()sin()(
)(sin)(
jeYjYtYty
UjUtUtu
U
eYjG
j )()()(
)(
)()(
jU
jYjG
def
7
)()()()()()( 0012)1(
1)( tubtyatyatyatyatya n
nn
n
)()()()()()(
)()(
)()(
)()(
011
22
11
0
1
32
21
tua
btx
a
atx
a
atx
a
atx
a
atx
txtx
txtx
txtx
nn
n
nn
n
n
nnn
nn
)()( 1 txty
)()(,,)(),()( )1(21 tytxytxtytx n
n
Równanie wyjścia
Równania stanu
Równania stanu i równanie wyjścia
8
Obiekty sterowania
• Bezinercyjne
• Inercyjne
• Oscylacyjne
1.Obiekty statyczne
2.Obiekty astatyczne
Obiekty statyczne
9
)(
)()(
)(
)(
)()(
sU
sYsGk
sU
sY
skUsY
)()( tkuty
ksG )(
Obiekty statyczne
Obiekt bezinercyjny
Równanie wejścia – wyjścia:
Transmitancja operatorowa:
Transmitancja widmowa:
kjG )(
10
uwe(t)
uwy(t)
R1
R2
Przykład obiektu bezinercyjnego
11
Obiekty inercyjne
0
0
0
1001 )()()()(
a
bk
a
aTtkuty
dt
dyTtubtya
dt
dya
1)(
1)(
)(
)()()(
Ts
ksG
Ts
k
sU
sY
skUsYsTsY
Obiekt inercyjny pierwszego rzędu
Równanie wejścia – wyjścia:
T – stała czasowa, k - wzmocnienie
Transmitancja operatorowa:
Transmitancja widmowa:
Tj
kjG
1)(
12
Równanie stanu:
)()(1
)()(
)()(
11
1
tuT
ktx
Tdt
dx
txty
tkutydt
dyT
Równanie wyjścia:
)()( 1 txty
13
Cuwe(t) uwy(t)
i(t)
i(t) R
Przykład obiektu inercyjnego I-go rzędu
14
1)()(
1)()(
)(
)()()()()(
12212
21
12212
21
12212
21
sTTTsTT
ksG
sTTTsTT
k
sU
sY
skUsYssYTTTsYsTT
Obiekt inercyjny drugiego rzędu
)()()(
)()(
)()(
12212
2
21
0
0
0
12
2
0
2
0012
2
2
tkutydt
dyTTT
dt
ydTT
tua
bty
dt
dy
a
a
dt
yd
a
a
tubtyadt
dya
dt
yda
Równanie wejścia – wyjścia:
Transmitancja operatorowa:
15
• Równania stanu:
• Równanie wyjścia: )()( 1 txty
)()()(
)(
)()()(
)()(
2
02
2
11
2
02
21
21
0012
2
2
tua
btx
a
atx
a
a
dt
dx
txdt
dx
txdt
dytxty
tubtyadt
dya
dt
yda
równania stanu
16
R1
C1uwe(t) uwy(t)
i(t)
C2
R2
i1 i2
i2
u1
Przykład obiektu inercyjnego II-go rzędu
17
Obiekt dwuinercyjny
)1)(1()(
21
sTsT
ksG
Przykład obiektu dwuinercyjnego
uwe(t) uwy(t)
i1(t)
R1
C1
i1(t) i2(t)
C2
R2
i2(t)Wzmacniaczseparujący
18
Obiekt inercyjny z opóźnieniem
1)(
1)(
)(
)()()(
0
0
0
Ts
kesG
Ts
ke
sU
sY
eskUsYsTsY
sT
sT
sT
)()( 0Ttkutydt
dyT
Równanie wejścia – wyjścia:
Transmitancja operatorowa:
19
Obiekt oscylacyjny II rzędu
)()(2
)()(
)()(
222
2
2
0
2
0
2
12
2
0012
2
2
tuktydt
dy
dt
yd
tua
bty
a
a
dt
dy
a
a
dt
yd
tubtyadt
dya
dt
yda
nnn
22
2
22
2
222
2)(
2)(
)(
)()()(2)(
nn
n
nn
n
nnn
ss
ksG
ss
k
sU
sY
sUksYssYsYs
Równanie wejścia – wyjścia:
Transmitancja operatorowa:
n - pulsacja drgań nietłumionych, - współczynnik tłumienia.
20
Transmitancja widmowa:
nn
n
nn
n
j
k
jj
kjG
2)(2)()(
22
2
22
2
22
2
222222
2
4)()(
n
ntgj
nn
n ek
jGarc
222222
2
4)()(
nn
nkjG
22
2)(
n
ntgarc
21
Równania stanu:
)()(222
2
2
tuktydt
dy
dt
ydnnn
Zmienne stanu: )()()( 21 txdt
dytxty
)()(2)(
)(
221
22
21
tuktxtxdt
dx
txdt
dx
nnn
równania stanu
Równanie wyjścia:
)()( 1 txty
22
Cuwe(t) uwy(t)
i(t)
i(t) R L
Przykład obiektu oscylacyjnego II rzędu
23
Obiekty astatyczne• Obiekty całkujące• Obiekty całkujące z inercją
Obiekty całkujące
s
ksG
s
k
sU
sYsUkssY cc
c )()(
)()()(
Równanie wejścia – wyjścia:
t
cc duktytukdt
dytu
a
b
dt
dy
tubdt
dya
01
0
01
)()()()(
)(
Transmitancja operatorowa:
Transmitancja widmowa:090)( jccc e
kkj
j
kjG
24
C u(t)
i(t)
i(t)
Przykład obiektu całkującego
t
diC
tu0
)(1
)(
25
Obiekty całkujące z inercją
1
0
1
22
2
012
2
2
)(
)(
a
bk
a
aTtuk
dt
dy
dt
ydT
tubdt
dya
dt
yda
cc
)1()(
)1()(
)(
)()()(2
Tss
ksG
Tss
k
sU
sY
sUkssYsYTs
c
c
c
Równanie wejścia – wyjścia:
Transmitancja operatorowa:
Transmitancja widmowa:
)90(
2
0
)(1)1()( Tarctgjcc e
T
k
Tjj
kjG
26
Silnik obcowzbudny prądu stałego jako przykład obiektu całkującego z inercją
Su(t)
i(t)
m(t), (t)
+
_
+_
= const
)()()( tetRitu dt
dJtm
)(
Równanie wejścia – wyjścia:
)()( tΦkte e )()( tiΦktm m
dt
dJtiΦkm
)(
dt
d
Φk
Jti
m
)(
)()( tΦkdt
d
Φk
RJtu e
m
dt
dt
)(
(3.237)
)(2
2
tukdt
d
dt
dT c
(3.238)
2
emkk
RJT
Φkk
ec
1
