TEORIA GIER I PRAKTYKA NEGOCJACJI:

SYMULACJE W OPARCIU O GRĘ

PLANSZOWĄ „DYPLOMACJA”

Teoria gier statycznych Strategie zdominowane

Iterowane wykreślanie

Gry o sumie zerowej vs niezerowej, dylemat

więźnia, chicken

Równowaga Nasha

Gry z niepełną informacją

[bonus: Schemat arbitrażowy Nasha]

Elementy teorii gier kooperacyjnych

Teoria gier dynamicznych Przetarg ultymatywny, przetarg

naprzemiennych ofert

Zaufanie, oszustwo, reputacja

[bonus: gry dynamiczne z niepełną

informacją]

Stosunki międzynarodowe: teoria

neorealistyczna

Negocjacje BATNA

Stosunek do ryzyka

Cierpliwość

Style negocjacji

Określanie i powiększanie obszaru

zainteresowań stron

Reputacja/zaufanie

Emocje, zdrada, reputacja.

Etyka w negocjacjach.

JAK ZALICZYĆ ZAJĘCIA? Udział w grze dyplomacja „online”

(30 punktów).

o Do 20 punktów zdobyć można za samą

aktywność. 5 punktów kary za każdy

przegapiony lub nonsensowny ruch.

o Do 10 punktów będzie można zdobyć w

zależności od wyników. Zwycięzca każdej

partii dostanie 10/k punktów, gdzie k

będzie liczbą gier, które uda się danemu

studentowi ukończyć w ciągu semestru,

a pozostali dostaną punkty w proporcji

do liczby baz posiadanych na koniec

partii (w szczególności gracze

wyeliminowani wcześniej – zero).

Egzamin końcowy (40 punktów)

Prace domowe/kartkówki/aktywność na

zajęciach (30 punktów)

PIERWSZA WOJNA ŚWIATOWA

https://www.youtube.com/watch?v=-3UjJ5kxiLI

https://www.youtube.com/watch?v=cQfdnMC7

VAc

(i następne części)

Wykaz używanych skrótów i oznaczeń

„dyplomacyjnych”

Reguły gry:

https://www.wizards.com/avalonhill/rules/diplo

macy.pdf

A – armia

F – flota

AT, DE, FR, GB, IT, RU, TR – skróty krajów

Używamy trzyliterowych, pisanych małą literą

skrótów nazw, np. ber=Berlin

mun>ber – ruch z Monachium do Berlina

H – holds (jednostka zostaje w miejscu)

S – supports (jednostka wspiera w obronie lub

ataku), np. bur S (par>gas)

GRY W POSTACI NORMALNEJ

DEFINICJA

Gra G = (N, S1, . . . , Sn, u1, . . . , un)

N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,

S1, S2, . . . , Sn – zbiory strategii; Si – zbiór

strategii gracza i,

u1, u2, . . . , un – funkcje wypłaty; ui : S → R to

funkcja wypłaty gracza i.

Założenia:

racjonalność

wspólna wiedza graczy o grze: gracz i1 wie,

że gracz i2 wie, że ... gracz ik zna wszystkie

zbiory strategii i funkcję wypłat

analogiczne wspólna wiedza graczy o ich

racjonalności

każdy z graczy dokonuje jednokrotnego

wyboru swojej strategii, nie wiedząc jak

wybierają inni.

Podziękowanie: część materiałów oparta jest o slajdy dr.

Marcina Malawskiego, wykorzystane za jego zgodą.

STRATEGIE I WYPŁATY W DYPLOMACJI (UWAGA: do odwołania ignorujemy negocjacje)

N = (Austria, …, Turcja)

ui(s1, s2, . . . , sn) = 1 gdy i wygrał i 0 w przeciwnym

przypadku.

Pojedyncza strategia danego gracza si to przepis co

ma robić dla każdej możliwej dotychczasowej historii

gry. Nawet jeśli ograniczono liczbę lat gry (i np.

wygrywają wszyscy, który do tego czasu nie zostali

wyeliminowani), zbiór Si jest gargantuiczny. Np.

przyjmując dla uproszczenia, że wiosną 1914 każda

jednostka ma cztery możliwe ruchy, mamy 422 ≈

1,8∙1013 historii pierwszego ruchu. Przyjmując, że

jesienią 1914 znów cztery możliwe ruchy, mamy

około 41,8∙1013 możliwych planów działania jesienią

dla pojedynczej jednostki. Zatem typowy gracz

(dysponujący trzema jednostkami) ma około

43(41,8∙1013)3 strategii już w (mało interesującej)

grze ograniczonej do jednego roku (o ile zapomnimy

o ucieczkach i uzupełnieniach). Ta liczba w

rozwinięciu dziesiętnym nie zmieści nam się na

slajdach.

STRATEGIE I AKCJE

Ogromna liczba strategii jest dość typowa dla

gier dynamicznych (podobnie w szachach).

Dużo łatwiej rozważać zbiór AKCJI gracza i po

danej historii H, oznaczany Ai(H). W grach

statycznych (jednoczesnych), takich jak np.

jednokrotna gra papier-nożyce-kamień, zbiór

akcji i zbiór strategii są tożsame, bo jedyna

możliwa historia jest pusta.

Możliwe akcje Francuzów (jeśli nie mają więcej

jednostek niż widać. Uwaga: zawsze

przyjmujemy, że jednostki poza widoczną mapą

nie mają wpływu):

(par>bre, bur>bel)

(par>bre, bur>gas)

…

(par>bre, bur S (par>gas)) [nie wszystkie akcje

mają jakikolwiek sens]

…

ANALIZA POJEDYNCZEGO RUCHU

Na razie skupimy się na zbiorach akcji.

Będziemy traktować pojedynczy ruch tak, jakby

był całą grą. Jeśli tak naprawdę gra się po nim

nie kończy, to skąd mamy wiedzieć jakie są

wypłaty? Powinniśmy używać

prawdopodobieństw końcowego sukcesu, ale

nawet tego nie znamy nawet w przybliżeniu (z

wyjątkiem niektórych przypadków, gdy jest ono

bliskie 0). Naturalną uproszczoną funkcją

wypłat jest ta przypisująca dla każdej

kombinacji akcji graczy ich zmiany w

posiadanej liczbie baz. A więc uNiemcy = −2 gdy

Niemcy po tym ruchu stracą dwie bazy itp.

UWAGA 1: To ma jakiś sens raczej w

zastosowaniu do ruchu jesiennego.

UWAGA 2: W praktyce nie zawsze im więcej

baz w krótkim okresie tym lepiej. A na pewno

użyteczność nie rośnie liniowo.

UWAGA 3: Tak naprawdę zdecydowanie nie

jest wszystko jedno, które bazy mamy i gdzie

stoją nasze jednostki

PRZYKŁAD

Austria\Rosja gal>bud gal>vie gal coś

innego [co

nie daje

szans

zdobycia

bazy]

bud>vie −1;1 0;0 0;0

bud>gal lub

bud holds lub

bud sup. sth.

0;0 −1;1 0;0

bud>gdzieś

indziej [gdzie

nie ma szans

zdobycia

bazy]

−1;1 −1;1 0;0

UWAGA 1: zakładamy, że działania innych

jednostek nie mają wpływu na tę interakcję. W

szczególności jeśli AT i RU mają inne jednostki,

to wiersze i kolumny powyższej macierzy nie

odpowiadają dostępnym graczom akcjom (ale

takie rozbicie na osobne gry bez wzajemnego

wpływu jest b. wygodne)

UWAGA 2: jak widać, czasem warto

kolapsować różne możliwe akcje, które (dla

ustalonej akcji przeciwnika) dają te same efekty

Uwaga: nie należy zbyt pochopnie definiować

strategii i wrzucać zbyt wiele do kategorii „inne,

które można pominąć”

Przyjmijmy, że RU i IT są w sojuszu i można

ich traktować jako jednego gracza. Czy AT

może obronić wszystkie swoje bazy? Ponieważ

ma tylko dwie armie, nie może skierować armii

do wszystkich baz. Na oko wystarczy rozważać

następujące strategie (pozostałe nie będą

lepsze):

AT\RU+IT ven>tri,

gal>vie

ven>tri,

gal>bud

bud H, vie>tri −1;1 0;0

vie H, bud>tri 0;0 −1;1

vie H, bud H −1;1 −1;1

Ostatnia strategia AT nigdy nie da lepszego

efektu niż pierwsza, a czasem da gorszy.

Pierwsza i druga są równie dobre: AT ocali bazę

jeśli zgadnie co zrobią RU+IT (albo inaczej

mówiąc RU+IT bazę zdobędą jeśli zgadną co

zrobi AT). A może AT może zrobić jeszcze coś

innego?

Armie AT wzajemnie się blokują, więc bez

wsparcia nie można wejść do żadnej z ich baz!

Czy RU+IT mają na to dobrą odpowiedź? Tak!

gal>vie w połączeniu z ven S (vie>tri)! (albo

analogicznie dla bud). Więc dostajemy macierz

gry:

AT\RU+IT ven>tri,

gal>vie

ven>tri,

gal>bud

gal>vie,

ven S

(vie>tri)

gal>bud,

ven S

(bud>tri)

bud H, vie>tri −1;1 0;0 −1;1 0;0

vie H, bud>tri 0;0 −1;1 0;0 −1;1

vie>tri,

bud>tri

0;0 0;0 −1;1 −1;1

vie H, bud H −1;1 −1;1 0;0 0;0

DOMINACJA

Niech S−i oznacza zbiór strategii łącznych

innych graczy poza graczem i. Powiemy, że

strategia si ∈ Si dominuje strategie si’ jeżeli dla

każdej s−i ∈ S−i zachodzi ui(si, s−i) > ui(si’, s−i).

Czyli si zawsze da lepszy efekt niż si’

Gdy zastąpimy znak „>” znakiem „≥” (lecz dla

przynajmniej jednej s−i nierówność będzie ostra)

otrzymujemy definicję słabej dominacji. Czyli

nigdy si’ nie opłaci nam się lepiej niż si, a dla

przynajmniej jednej kombinacji strategii

pozostałych opłaci się gorzej.

Nie należy używać strategii ściśle

zdominowanych. Ale użycie słabo

zdominowanych może mieć pewien sens, zob.

niżej: (G,L) daje obydwu graczom lepszy efekt

niż (D,P) i nie mają powodu od swojej strategii

odstąpić, o ile nie spodziewają się odstąpienia

przeciwnika.

L P

G 1;1 −1;1

D 1; −1 0;0

ITEROWANE USUWANIE STRATEGII

(SŁABO) ZDOMINOWANYCH IE(W)DS

Jeśli inny gracz ma strategię (słabo)

zdominowaną, to można o niej zapomnieć –

wykreślić ją z macierzy gry. Wtedy może się

okazać, że któraś z naszych strategii staje się

zdominowana itd. Takie postępowanie może

znacznie ułatwić analizę gry.

PRZYKŁAD WYKREŚLANIA SŁABO

ZDOMINOWANYCH

Austria\Rosja gal>bud gal>vie gal coś

innego [co

nie daje

szans

zdobycia

bazy]

bud>vie −1;1 0;0 0;0

bud>gal lub bud

holds lub bud sup.

sth.

0;0 −1;1 0;0

bud>gdzieś

indziej [gdzie nie

ma szans

zdobycia bazy]

−1;1 −1;1 0;0

IEWDS: PRZYKŁAD

Austriacy mogą próbować zdobyć dwie bazy:

rum i bul. Ale (con>bul, aeg>gre) słabo

dominuje każdą inną strategię TR i sev>rum

słabo dominuje każdą inną strategię RU. Więc

można zapomnieć o szansie zdobycia dwóch

baz. Po wykreśleniu stosownych „wierszy” i

„kolumn” atak na rum ze wsparciem (dający

gwarancję zdobycia jednej) słabo dominuje

każdą inną opcję AT.

DEFINICJA: Strategia si gracza i jest jego

najlepszą odpowiedzią na „łączną” strategie s−i

pozostałych graczy, (ozn. si = BRi(s−i)) jeżeli dla

każdej innej strategii si’ ∈ Si zachodzi

ui(si, s−i) ≥ ui(si’, s−i) .

Uwaga 1. Jeżeli si = BRi(s−i), to si nie może być

zdominowana (ale może słabo).

DEFINICJA:

Układ strategii (strategia łączna) s = (s1, s2, . . .

sn) jest równowagą Nasha gry

G = (N, S1, . . . , Sn, u1, . . . , un) jeżeli dla

każdego i = 1, 2, . . . n mamy si = BRi(s−i), czyli

dla każdego i i każdej si’∈Si

ui(s1,…, si−1, si, si+1, … sn) ≥ ui(s1, … , si’, … sn).

Uwaga 2. Strategie w równowadze nie mogą

zostać usunięte w procesie IEDS (ale mogą w

IEWDS)

Problemy z równowagą Nasha

1. Nie zawsze istnieje

2. Gdy istnieje, bywa nieoptymalna w sensie

Pareto

3. W tej samej grze może być ich wiele

AT\RU+IT ven>tri,

gal>vie

ven>tri,

gal>bud

gal>vie,

ven S

(vie>tri)

gal>bud,

ven S

(bud>tri)

bud H,

vie>tri −1;1* 0*;0 −1;1* 0*;0

vie H,

bud>tri 0*;0 −1;1* 0*;0 −1;1*

vie>tri,

bud>tri 0*;0 0*;0 −1;1* −1;1*

vie H, bud

H −1;1* −1;1* 0*;0 0*;0

Wypłaty odpowiadające BR danego gracza

oznaczono gwiazdką. Ponieważ nie ma dwóch

gwiazdek dla tej samej pary strategii – nie ma

równowagi Nasha.

IT\AT tri>ven tri>alb

ven>tri 0*;0* 1; −0,8

ven>pie −0,8;1 0,2;0,2

(uwaga: przyjmujemy, że jednostki gdzieś

indziej mogą coś zdziałać, ale nie od razu

zdobyć bazę. To coś ma, przyjmijmy arbitralnie,

wartość 0,2)

Wybór strategii dominujących prowadzi do

jedynej równowagi, w której wypłaty są Pareto-

zdominowane przez wypłaty osiągane dla

pewnej nie-równowagowej kombinacji strategii.

Tego typu sytuację nazywamy czasem

dylematem więźnia.

GRY O SUMIE ZEROWEJ

Gra (N, S1, . . . , Sn, u1, . . . , un) jest grą o sumie

stałej, jeśli istnieje taka stała C, że dla każdej

strategii łącznej (s1, . . . , sn) ∈ S zachodzi

Σiui(s1, . . . , sn) = C.

Częściej mówi się o grach o sumie zerowej, co

na jedno wychodzi, bo odjęcie stałej od

wszystkich wypłat danej osoby nie zmienia gry.

W dwuosobowych grach o sumie zerowej nie

ma miejsca na współpracę – zysk innego gracza

jest tożsamy z moją stratą. Są to gry ściśle

konkurencyjne. Dla innych gier – ważne

negocjacje!

Dotychczas rozważaliśmy głównie gry o sumie

zerowej. Cała gra w dyplomację, o ile jest tylko

jeden zwycięzca, jest taką grą. Lokalny konflikt

także, jeśli wszystkie bazy są już zajęte i

jedynym celem jest maksymalizacja liczby baz.

Ale na początku są i bazy neutralne.

DE\GB nth>hol nth>bel

ruh>hol 0;0 1;1

ruh>bel 1;1 0;0

gra (anty)koordynacji – w ogóle nie ma

konfliktu

GB\RU nwy H nwy>swe

nth>nwy 0;1 1;1

coś innego 0;1 0;1

Rosji jest wszystko jedno co się zdarzy, ale GB

nie – zmienna suma.

Właściwości równowag

w grach ściśle konkurencyjnych

Gdy (s1, s2) , (r1, r2) są równowagami takiej gry,

to

u1(s1, s2) ≥ u1(r1, s2) (bo s1 jest BR1(s2))

u1(r1, s2)=−u2(r1, s2) ≥ −u2(r1, r2) = u1(r1, r2) (bo

r2 jest BR2(r1))

u1(r1, r2) ≥ u1(s1, r2) (bo r1 jest BR1(r2))

u1(s1, r2)=−u2(s1, r2) ≥ −u2(s1, s2) = u1(s1, s2) (bo

s2 jest BR2(s1))

i stąd

u1(s1, s2) = u1(r1, r2) i oczywiście u2(s1, s2) =

u2(r1, r2) (wszystkie równowagi są równie

dobre),

(s1, r2) , (r1, s2) też są równowagami

(„równowagi są wymienne”),

W grach ściśle konkurencyjnych tę wielkość –

wypłatę gracza 1 w równowadze – nazwiemy

wartością gry.

STRATEGIE MIESZANE

Strategia mieszana to wybór strategii w sposób

losowy.

Gdy Si jest zbiorem strategii gracza i w grze G,

to zbiorem jego strategii mieszanych jest Si*:

zbiór wszystkich rozkładów

prawdopodobieństwa na Si.

Będziemy rozważać tylko gry ze skończoną

liczbą strategii, wówczas przez

σi,k oznaczymy prawdopodobieństwo użycia

przez gracza i jego strategii nr k.

Elementy Si będziemy nazywać strategiami

czystymi.

Strategią nieczystą będziemy nazywać tylko

wyjątkową podłość.

Nośnik strategii mieszanej to zbiór strategii

czystych wybieranych z dodatnim

prawdopodobieństwem.

Oczekiwana wypłata ze strategii mieszanej

będzie średnią z wypłat ze strategii czystych,

ważoną ich prawdopodobieństwami.

Austria\Rosja q: gal>bud (1−q): gal>vie

p: bud>vie −1;1 0;0

(1−p): bud>gal 0;0 −1;1

[p, q to prawd. zagrania danej strategii]

Wypłata RU: pq+(1−p)(1−q)

Kiedy gracz zechce grać jakąś strategię czystą z

dodatnim prawdopodobieństwem? Kiedy żadna

inna strategia czysta nie przynosi mu średnio

rzecz biorąc więcej. Załóżmy, że p=0,7.

Wówczas gal>bud przyniesie średnio 0,7, a

gal>vie średnio 0,3. Więc RU nie zechce

mieszać – jedyną BR jest gal>bud. Ale

BRAT(gal>bud)=bud>gal, a

BRRU(bud>gal)=gal>vie itd. Stąd wnioskujemy

jak szukać równowag w strategiach mieszanych.

ZNAJDOWANIE RÓWNOWAG

W STRATEGIACH MIESZANYCH

Krok pierwszy: ustalić nośniki.

Krok drugi: rozwiązać układ nierówności na σi,k

by żadna strategia czysta należąca do nośnika

nie dawała mniej niż jakaś inna strategia czysta.

W naszym przypadku

EURU(gal>bud)=p= (1−p)=EURU(gal>vie), stąd

p=0,5

I analogicznie q=0,5

Ale nie zawsze mieszać należy z równymi

prawdopodobieństwami. Np. przyjmijmy, że RU

woli pozyskać bud niż vie, bo obok ma bazę w

rum, więc zdoła bud utrzymać. Natomiast jeśli

zdobędzie vie, to ocenia, że z pr. 0,5 szybko

straci go na rzecz Niemiec.

AT\RU q: gal>bud (1−q): gal>vie

p: bud>vie −1;1 0;0

(1−p): bud>gal 0;0 −1;0,5

W wyliczeniu q nic się nie zmienia – Rosja

nadal rzuca uczciwą monetą. Ale AT już nie!

EURU(gal>bud) = p = 0,5(1−p) = EURU(gal>vie),

stąd p=1/3.

To jest nieintuicyjne – przy zmianie wypłat RU

zachowanie zmienia tylko AT.

Uwaga: Niektóre strategie (nawet jeśli nie są

zdominowane) mogą nie należeć do nośnika

równowagowej strategii mieszanej. To główna

trudność w szukaniu równowag w strategiach

mieszanych w większych grach.

TWIERDZENIE NASHA:

Każda gra skończona ma równowagę Nasha

(być może w strategiach mieszanych).

AT\RU+IT ven>tri,

gal>vie

ven>tri,

gal>bud

gal>vie,

ven S

(vie>tri)

gal>bud,

ven S

(bud>tri)

bud H, vie>tri −1;1 0;0 −1;1 0;0

vie H, bud>tri 0;0 −1;1 0;0 −1;1

vie>tri,

bud>tri

0;0 0;0 −1;1 −1;1

vie H, bud H −1;1 −1;1 0;0 0;0

Brak równowagi w strategiach czystych

Szukamy równowagi w strategiach mieszanych.

1. Wartość gry musi wynosić −0,5 (dlaczego?).

2. Właśnie tyle musi przynosić każda strategia

AT, a każda strategia RU+IT: 0,5 (dlaczego?)

3. rodzina równowag: p1=p2, p3=p4, q1= q4, q2=q3

GRY Z NIEPEŁNĄ INFORMACJĄ

Czasem nie wiemy jaka jest struktura wypłat

innych graczy (a oni wiedzą). W rozważanym

przykładzie możemy nie wiedzieć czy Włochy i

Rosja współpracują, czy wręcz przeciwnie –

nienawidzą się (albo nie chcą się zdradzić ze

swym sojuszem). W tym ostatnim przypadku

współpraca mogłaby być dla nich de facto

wykluczona.

AT uważa, że gra z pr. w w tę grę:

AT\RU+IT 1 ven>tri,

gal>vie

ven>tri,

gal>bud

gal>vie,

ven S

(vie>tri)

gal>bud,

ven S

(bud>tri)

bud H, vie>tri −1;1 0;0 −1;1 0;0

vie H, bud>tri 0;0 −1;1 0;0 −1;1

vie>tri,

bud>tri

0;0 0;0 −1;1 −1;1

vie H, bud H −1;1 −1;1 0;0 0;0

… i z prawdopodobieństwem 1− w w tę:

AT\RU+IT 2 ven>tri,

gal>vie

ven>tri,

gal>bud

gal>vie,

ven S

(vie>tri)

gal>bud,

ven S

(bud>tri)

bud H, vie>tri −1;1 0;0 −1;-5 0;-5

vie H, bud>tri 0;0 −1;1 0;-5 −1;-5

vie>tri,

bud>tri

0;0 0;0 −1;-5 −1;-5

vie H, bud H −1;1 −1;1 0;-5 0;-5

(Wartość −5 jest arbitralna. −1 albo −100 da te

same teoretyczne przewidywania.) Jak znaleźć

optymalne strategie? Ta sama logika wzajemnie

optymalnych odpowiedzi: RU+IT typu 1 oraz

RU+IT typu 2 wybierają BR na strategię

mieszaną gracza AT. AT wybiera BR na

strategię mieszaną wynikającą ze strategii obu

typów przeciwnika i ich postrzeganej częstości.

Niech qi, i=1,…4 oznaczają parametry strategii

mieszanej gracza RU+IT typu 1 i podobnie z ri

dla typu 2. qi, i=1,…4 dla gracza AT jak

wcześniej. Dla uproszczenia przyjmijmy, że vie

i bud są traktowane symetrycznie, zatem p1=p2,

q1=q2, q3=q4, r1=r2=0,5, r3=r4=0 (zdominowane)

Wypłaty ze strategii AT:

1: −w(q1+q3) − 0,5(1−w) = − 0,5

2: −w(q2+q4) − 0,5(1−w) = − 0,5

3: −w(q3+q4)= −2wq3

4: −w(q1+q2) − (1−w)= −2wq1 − (1−w)

Jeśli q3<q1, lub w<0,5, to strat. 3 dominuje

pozostałe.

Wypłaty RU+IT typu 1:

1: p1+p4

2: p2+p4= p1+p4

3: p1+p3

4: p2+p4= p1+p3

Gdy p4>p3, ten gracz wybierze tylko strategie 1 i

2, wtedy strategia 3 AT dominuje pozostałe,

więc RU+IT typu 1 wybierałby jednak tylko

strategie 3 i 4. Zatem p3≥p4.

Przypadek 1: p3>p4. Wtedy q1=q2=0, q3=q4=0,5

Wypłaty ze strategii AT:

1, 2: –0,5, 3: –w, 4: − (1−w)

To jest zgodne z p3≥p4 gdy w≤0,5.

Przypadek 1a: w<0,5: p3=1

Przypadek 1b: w=0,5: p3≥p4 (nic nowego)

Przypadek 2: p3=p4.

Przypadek 2a: p3=p4>0

Wypłaty AT ze strategii 3 i 4 równe:

−2wq3 =−2wq1−(1−w)

q3= q1+(1−w)/2w

ale i q3=0,5−q1, więc q1+(1−w)/2w=0,5−q1

q1=0,25−(1−w)/4w, co jest możliwe (tj. q1

pozostaje w dopuszczalnym przedziale [0,1]) dla

w z przedziału [1/2,1].

Wtedy wypłata AT ze strategii 4 wyniesie

−2w(0,25−(1−w)/4w)−(1−w)= −0,5w+0,5(1−w)

−(1−w)=0,5, czyli ze wszystkich tyle samo.

Przypadek 2b: p3=p4=0. To oznacza, że trzecia i

czwarta strategia nie mogą przynieść więcej niż

pierwsza lub druga.

0,5≥ −2wq3

0,5≥ −2wq1 − (1−w)

lecz dodajmy stronami:

ponieważ −2wq3 −2wq1 − (1−w)=1, musimy

mieć w dwie równości. Co znów daje ten sam

wniosek: q1=0,25−(1−w)/4w.

Podsumowując, im bardziej AT wierzy we

współpracę rosyjsko-włoską (większe w), tym

częściej oni powinni wchodzić do Triestu (a nie

wspierać podstępnie austriacki atak) gdy

faktycznie współpracują. Natomiast AT

powinien wybierać vie>tri, bud>tri jeśli uważa

tę współpracę za mało prawdopodobną i

mieszać (ale przy tym wybierać (vie H, bud H)

nie częściej niż vie>tri, bud>tri) gdy uważa za

prawdopodobną.

Uff, teraz trochę prostszy przykład gry z

niepełną informacją. Francja obiecuje coś

Niemcom. Niemcy mogą uwierzyć lub nie (i

stosownie wybrać ruchy). Macierz wypłat:

Niemcy\Francja dotrzymać zdradzić

wierzyć 1;1 −2;2−c

nie wierzyć 0;0 0; −c

c to znany tylko Francuzom francuski koszt

zdradzenia (wynikający z wewnętrznej

uczciwości albo chęci ochrony swojej reputacji).

Przyjmijmy dla uproszczenia:

𝑐 = {0 z pr. 𝑤 (𝑛𝑖𝑒𝑢𝑐𝑧𝑐𝑖𝑤𝑦)2 w p. p. (uczciwy)

Dla uczciwej FR zdrada jest ściśle

zdominowana. Oznaczmy pr. dotrzymania przez

nieuczciwego przez q. Wypłaty DE:

Wierzyć: w[q−2(1−q)]+1−w = 1−3w(1−q)

Nie wierzyć: 0

Przypadek 1: Niemcy wierzą, czyli p=1

Wówczas nieuczciwa FR zdradza, czyli q=0.

Wypłata DE: 1−3w ≥0 (bo inaczej nie chcieliby

wierzyć). Czyli to możliwe gdy w≤1/3.

Nieuczciwa FR ma wypłatę 2.

Przypadek 2: Niemcy czasem wierzą, 1>p>0.

Wówczas nieuczciwa FR zdradza, czyli q=0.

Wypłata DE: 1−3w =0 (bo inaczej nie chcieliby

mieszać). Czyli to możliwe tylko gdy w=1/3.

Nieuczciwa FR ma wypłatę 2p.

Przypadek 3: Niemcy nie wierzą, czyli p=0.

Wówczas nieuczciwej FR wszystko jedno.

1−3w(1−q)≤0, 3w(1−q)≥1, q≤1−1/(3w)

Czyli Niemcy ufają, gdy nieuczciwych mało –

nieuczciwi na tym zyskują. Od pewnego momentu

Niemcy nie ufają. Wtedy im więcej jest w przyrodzie

nieuczciwych (w duże), tym częściej nieuczciwy

udaje uczciwego (q duże).

W szczególnym przypadku DE ufają czasem.

NIEKOMPLETNA INFORMACJA: JESZCZE

JEDEN PRZYKŁAD

Czy Włosi powinni zajmować Tunis czy

próbować Grecję?

IT\TR bul>gre

[w+(1−w)q]

bul sth else

[(1−w)(1−q)]

ion>tun [p] 1;2 1;1+b

ion>gre [1−p] 0;1 1,2;0,8+b

b to znany tylko TR pożytek z sth else.

𝑏 = {0 z pr. 𝑤 0,5 w p. p.

Gdy b=0, bul sth else jest zdominowane, więc

nie będzie grane.

Wypłaty gracza IT:

ion>tun: 1

ion>gre: 1,2(1−w)(1−q)

Wypłaty gracza TR typu 2:

bul>gre: 1+p

bul sth else: 1+0,5−0,2(1−p)

Przypadek 1: p=1. Musi być 1,2(1−w)(1−q)≤1.

Ale q będzie 1, więc to spełnione na pewno

Przypadek 2: 1>p>0. Czyli 1,2(1−w)(1−q)=1.

q=1−5/[6(1−w)]. Musi zachodzić w≤1/6. Jeśli

0<q<1, to musi być

1+p=1,3−0,2p, czyli

p=3/8

jeśli q=0 (w=1/6), to może być 1+p<1,3−0,2p,

p<3/8

Przypadek 3: p=0. Musi być 1,2(1−w)(1−q)≥1.

q=0, 1,2(1−w) ≥1, czyli musi zachodzić w≤1/6.

Podsumowując: najbardziej prawdopodobne jest

ion>tun, bul>gre, które jest NE w grze z pełną

informacją (dla obu typów TR). Jednak gdy jest

wysokie pr., że TR odniesie duże korzyści z

ruchu sth else (w≤1/6), istnieją inne równowagi.

GRY Z NIEKOMPLETNĄ INFORMACJĄ:

PRZYPADEK CONTINUUM TYPÓW.

REINTERPRETACJA STRATEGII

MIESZANYCH

DE\GB nth>bel

[q] [kg/x]

nth>hol [1−q]

[(x−kg)/x]

ruh>hol [p] [(x−kd)/x] 2+d;1 0;0

ruh>bel [1−p] [kd/x] 0;0 1;2+g

Zmodyfikujmy nieco naszą grę (anty)-

koordynacji. Każdy z graczy chętniej zająłby

Holandię (np. bo graniczy z bazą w Kilonii).

Najpierw załóżmy, że g=d=0, czyli gra z

kompletną informacją. Mamy trzy równowagi

(hol,bel), (bel,hol) i mieszana (p=2/3, q=1/3). Ta

ostatnia może wynikać nie z mieszania explicite,

a z istnienia continuum typów, które wybierają

strategie czyste. Załóżmy, że d i g mają rozkład

jednostajny na [0,x]. Tylko DE zna d, tylko GB

zna g. Duża wartość d (większa od pewnej

krytycznej wartości kd, co zdarzy się z pr.

(x−kd)/x) skłania DE do gry (hol). Duża wartość

g (większa od pewnej krytycznej wartości kg, co

zdarzy się z pr. (x−kg)/x) skłania GB do gry

(hol). Pokażemy, że dla małego x równowaga

gry z niekompletną informacją zbiega do

mieszanej równowagi gry z kompletną

informacją, czyli tak (x−kd)/x jak i (x−kg)/x

zbiegają do 2/3 przy x zbiegającym do 0.

Oczekiwane wielkości wypłat DE wyniosą:

hol: kg(2+d)/x

bel: (x−kg)/x

Zatem DE powinny wybrać (hol) gdy

d≥(x−3kg)/kg. Ta wielkość to właśnie

poszukiwane kd. Podobnie wypłaty GB wyniosą:

bel: (x−kd)/x

hol: kd/(2+g)x

Stąd możemy wyznaczyć kg=(x−3kd)/kd.

Teraz mamy układ dwóch równań na kg, kd.

Widzimy, że kd = kg

Zatem kd2+3kd =x. Dla x zbiegającego do zera i

dodatniego kd, wyraz kd2 staje się

zaniedbywalnie mały, zatem kd≈x/3 i oczywiście

kg≈x/3, zatem (x−kd)/x, (x−kg)/x zbiegają do 2/3,

CBDO.

To przykład ogólnej prawidłowości (Harsanyi,

1973), pokazujący, że strategia w równowagach

mieszanych to sytuacja niepewności co do akcji

przeciwnika – wynikającej niekoniecznie z

randomizowania explicite, ale być może z

(drobnej) wątpliwości co do jego preferencji.

GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ

(DRZEWA GRY) Niektórzy z graczy mogą podejmować decyzje

wiedząc coś o decyzjach innych graczy. To oznacza,

że tamte są wcześniejsze – czas gra rolę.

Dopuszczamy także możliwość, że gracz podejmuje

decyzje wielokrotnie.

Nadal zakładamy wspólną wiedzę o grze (graczach,

możliwych akcjach i wypłatach), racjonalność i

wspólną wiedzę o racjonalności,

DEFINICJA:

(N, W, (W1, . . . ,Wn,W0,WK), I, (u1, … , un), P)

gdzie

N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,

W = (W,E) – drzewo gry (graf skierowany spójny

bez cykli):

W – wierzchołki (sytuacje w grze),

E – łuki (przejścia między nimi),

W1,W2, . . . ,Wn – rozbicie zbioru W na zbiory

decyzyjne graczy :

W = W1 ∪ . . . ∪ Wn ∪ W0 ∪ WK.

Wj – zbiór wierzchołków w których decyzję (o

wyborze akcji) podejmuje gracz j,

WK – zbiór wierzchołków końcowych (liści),

W0 – zbiór wierzchołków, w których następuje

posunięcie losowe

Nadto:

A – zbiór akcji – nazw łuków,

A(w) – zbiór akcji odpowiadających łukom

wychodzącym z wierzchołka w,

I – struktura informacyjna – rozbicie każdego ze

zbiorów W1, ... , Wn na

zbiory informacyjne (Wj = Ij,1 ∪ . . . ∪ Ij,kj ),

u1, u2, . . . , un – funkcje wypłaty

ui : WK → R funkcja wypłaty gracza i.

P – rodzina rozkładów prawdopodobieństwa

wyników posunięć losowych:

dla każdego w ∈ W0 mamy Pw – rozkład na A(w)

Struktura informacyjna pozwala modelować stan

(nie)wiedzy gracza: gracz nie potrafi powiedzieć w

którym z wierzchołków danego zbioru

informacyjnego się znajduje.

Dwa ruchy: wiosna, jesień

bel hol

GB GB

b h b h

… tutaj podobnie …

b h

GB GB

b h b h

0;0 1;1 1;1 0;0

Przerywana linia obejmuje wszystkie wierzchołki w

tym samym zbiorze informacyjnym – GB nie wie

czy DE wybrał bel czy hol. To kto pierwszy się rusza

jest arbitralne; ważne, że ten drugi i tak nie wie jak

ruszył się pierwszy.

DE

DE

Matka Natura

FR uczciwa [1−w] FR nieuczciwa [w]

DE DE

wierzyć nw w nie wierzyć

zdradzić d

-2;0 1,1

z. dotrz.

z. d. z. d.

0;-2 0;0 -2;2 1;1 0;0 0;0

Niemcy\Francja dotrzymać zdradzić

wierzyć 1;1 −2;2−c

nie wierzyć 0;0 0; −c

FR

W grach z niepełną informacją

możliwe są sytuacje, w których aktualnie decydujący

gracz nie zna całej dotychczasowej historii gry

= są to gry z co najmniej jednym więcej-niż-jedno-

elementowym zbiorem informacyjnym.

Ale zakładamy, że gracze znają swoje obecne opcje,

własne przeszłe ruchy i nigdy nie zapominają.

Dlaczego poniższe zbiory informacyjne są

niepoprawne?

Gracz 1

Gracz 2

Gracz 1

Gracz 2

Strategia w grze w postaci ekstensywnej –

funkcja sj: Wj → A taka że

(1) ∀w ∈ Wj sj(w) ∈ A(w) ,

(2) w,w′ ∈ Ij,k ⇒ sj(w) = sj(w′).

= kompletny plan rozegrania całej gry.

Strategie łączne – jak w postaci normalnej, s =

(s1, s2, . . . , sn).

Jeśli nie ma posunięć losowych, strategia łączna

jednoznacznie wyznacza wierzchołek końcowy,

w którym gra się skończy. Jeśli są – można

określić rozkład prawdopodobieństwa na

możliwych końcach gry i stąd wartości

oczekiwane wypłaty. Każdą grę w postaci

drzewa można zatem zapisać także w postaci

macierzy (i vice versa).

Stąd na drzewa przenoszą się pojęcia

– dominacji i słabej dominacji

– najlepszej odpowiedzi

– równowagi Nasha

Podgra gry w postaci ekstensywnej

to dowolne poddrzewo W’ = (W’,E’) drzewa W

(= dowolny wierzchołek w i cała część drzewa

W następująca po w) o ile nie przecinamy

żadnego zbioru informacyjnego gry.

Ćwiczenie: wróć do drzew gry z poprzednich

stron i zidentyfikuj wszystkie podgry.

Każda strategia (czysta lub mieszana) w grze

wyznacza strategię w dowolnej jej podgrze

(przez obcięcie).

Równowaga stabilna względem podgier

(doskonała, Subgame-Perfect Nash Equilibrium,

SPNE):

Równowaga Nasha (s1, s2,… , sn) w grze w

postaci ekstensywnej stanowi SPNE

jeśli po obcięciu do dowolnej podgry wyznacza

w tej podgrze równowagę.

DE

zaufać nie ufać

GB 0;0

dotrzymać zdradzić

1;1 -1;2

DE

samolubnie ofiarnie

GB 0;2

ukarać zazgrzytać zębami i odpuścić

−1; −1 1;0

Ćwiczenie: znajdź równowagi powyższych gier.

Które z nich są SPNE? Jak warunek stabilności

względem podgier ma się do eliminacji strategii

słabo zdominowanych?

Ćwiczenie: rozważ rodzinę gier dynamicznych z

pełną informacją, w której każdy z graczy ma

zawsze dwie możliwe akcje, A lub B, i wypłaty

zależą tylko od podjętych akcji. Podaj

przykładową funkcję wypłaty, która spowoduje,

że

a) opłaca się ruszać jako pierwszemu

b) nie opłaca się ruszać jako pierwszemu

c) kolejność ruchów nie ma znaczenia

Czy można podać ogólne warunki na f. wypłaty,

które spowodują, że gra należy do typu a), b) lub

c)?

RÓWNOWAGA SEKWENCYJNA

(SEQUENTIAL EQUILIBRIUM)

Tym razem oszczędzamy formalizmów. Oprócz

Strategii każdy z graczy w każdym zbiorze

informacyjnym formułuje Przekonania (Beliefs)

tj. rozkład prawdopodobieństwa na należących

do tego zbioru wierzchołkach. W równowadze

te przekonania muszą być „rozsądne”, w obliczu

tego jakie strategie są grane. Natomiast strategie

muszą maksymalizować oczekiwaną wartość

pod warunkiem przekonań. „Rozsądne”

przekonania w zbiorach informacyjnych, które

zostaną osiągnięte z niezerowym

prawdopodobieństwem można wyznaczyć

korzystając z Wzoru Bayesa, w pozostałych

przy pomocy bardziej skomplikowanego

rozumowania, którego nie będziemy

analizować. W każdym razie równowagi

sekwencyjne są stabilne względem podgier.

PRZYKŁAD

Natura czyni GE uczciwymi lub nie (GE znają

swój typ, pozostali znają tylko rozkład, np.

50/50). Następnie GE oszukują AT lub nie. Po

czym FR musi zdecydować czy wierzyć GE czy

nie, A GE czy dotrzymać czy nie.

Matka Natura

GE uczciwe [1−w] GE nieuczciwe [w]

GE GE

nie oszukać AT o. o. nie oszukać AT

w n w nie

wierzyć nie

GE

wierzyć nie

FR

FR powinna aktualizować swoje przekonania co

do typu GE obserwując jego akcję wobec AT.

Jeśli w równowadze uczciwe GE oszukują AT z

prawdopodobieństwem 0, a nieuczciwe z

prawdopodobieństwem p, to FR, obserwując, że

AT została oszukana wnioskuje, że GE są

nieuczciwe, a gdy AT nie została oszukana,

powinna wierzyć, że GE są uczciwe z

prawdopodobieństwem (1−w)/[(1−w)+pw].

Nieuczciwe GE mogą zyskać na udawaniu

uczciwych, przynajmniej na początku, o ile

naprawdę uczciwych jest dostatecznie dużo

(zakładamy, że FR jest skłonna uwierzyć gdy jest

dostatecznie pewna uczciwości GE oraz że GE

zyskują gdy FR im wierzy).

GRY PRZETARGU (targowania się)

Założenia: Dwóch graczy. Do podziału jest

„ciasto” o początkowej wielkości 1.

Gracz 1 zaczyna propozycją podziału: (k1, k2)

gdzie k1 + k2 = 1. Kto odrzucił w chwili t

propozycję drugiego, ten w t +1 składa własną.

Pierwsza przyjęta propozycja kończy grę.

Wynik gry: (a, b, t); t ∈ N – czas;

a, b – otrzymane części ciasta (a + b = 1).

Ciasto jest pożądane:

u1(k1, k2, t) > u1(k1− ε, k2+ε, t) oraz

u2(k1, k2, t) < u2(k1−ε, k2+ε, t)

dla dowolnych k1, k2 i t oraz ε > 0

Cias to pieniądz:

ui(k1, k2, t) > ui(k1, k2, t + 1).

Np. ui(k1, k2, t) = δt−1

ki

gdzie δ1, δ2 ∈(0, 1) – współczynniki dyskonta

graczy 1 i 2 – miary niecierpliwości

(„o ile bardziej lubię świeże ciasto od

wyschniętego”).

ZASTOSOWANIE „DYPLOMACYJNE”

A i B próbują sformować koalicję przeciwko C.

Muszą dogadać się co do podziału zdobytych

baz. Jednemu z nich (przyjmijmy: A) może się

bardziej spieszyć.

Interpretacje opóźnienia i niechęci do niego:

1.[pomiędzy rundami] Tylko jedna propozycja

na rundę. C może bardziej zagrażać A niż B,

albo bazy C będące w zasięgu A mogą

zostać łatwiej przejęte przez jeszcze innego

gracza – każdy ruch zwłoki więcej kosztuje

A niż B.

2.[w obrębie rundy] Wiele propozycji na

rundę. A może bardziej zależeć by szybko

skończyć negocjacje niż B, bo np. chce

zdążyć pogadać z innymi, musi się uczyć do

egzaminu, nie chcę wyjść na chciwca itp.

Przetarg Stahla – ograniczony w czasie. Np.

runda się niedługo kończy. W zadanym z góry

momencie T przy braku porozumienia pozostałe

ciasto zostaje podzielone w ustalonych z góry

proporcjach K1,K2, K1 + K2 = 1.

Ta gra jest skończona i jedyną SPNE łatwo

znaleźć rozwiązując od końca (indukcja

wsteczna).

Ćwiczenie: Austria i Niemcy negocjują warunki

sojuszu przeciw Rosji. Każda runda zmniejsza

postrzeganą przez Austrię wartość sojuszu o

20% a przez Niemcy o 10%. Jeśli się nie

dogadają w ciągu dwóch rund, w t = 3

automatycznie podzielą się po równo (przed

uwzględnieniem dyskonta). Narysuj drzewo gry

i znajdź SPNE. A co by było, gdyby propozycje

mogła składać tylko Austria?

Uwaga 1: wysoka BATNA popłaca.

Uwaga 2: inicjatywa w negocjacjach popłaca

Przetarg Rubinsteina – bez ograniczenia czasu

trwania.

Możliwa jest „wieczna niezgoda”, (0, 0,∞).

ui(0, 0,∞) = 0.

Oznaczamy:

x(t)

= (x1(t)

,1 − x1(t)

) – propozycja gracza 1

złożona w nieparzystej chwili t,

y(t)

= (y1(t)

, 1 − y1(t)

) – propozycja gracza 2

złożona w parzystej chwili t.

Każdy podział ciasta (a, 1 − a) może być

osiągnięty w pewnej równowadze Nasha. Oto

dające ją strategie:

Gracz 1 (s1): Zawsze proponuję (a, 1 − a), na

(y1(t)

, 1 – y1(t)

) zgadzam się wtedy i tylko wtedy

gdy y1(t)

≥ a

Gracz 2 (s2): Zawsze proponuję (a, 1 − a), na

(x1(t)

,1 − x1(t)

)) zgadzam się wtedy i tylko wtedy

gdy 1 − x1(t)

≥ 1 − a.

Żadna z powyższych równowag nie jest

doskonała. s2 nie jest najlepszą odp. gracza 2 na

s1 w podgrze następującej po propozycji x(1)

=

(x1(1)

,1 − x1(1)

), gdzie 1 − x1(1)

∈ (δ2(1 − a), (1 −

a)

Jedyną równowagą doskonałą modelu z

dyskontem jest para strategii:

Gracza 1: Zawsze proponuję podział (x1, 1− x1),

zgadzam się na podział (y1, 1− y1) ⇔ y1 ≥ δ1x1;

Gracza 2: Zawsze proponuję podział (y1, 1−y1),

zgadzam się na podział (x1, 1− x1) ⇔ 1−x1 ≥

δ2(1−y1), przy czym y1 = δ1x1 , 1−x2 = δ2(1−y2)

Rozwiązanie tego układu równań:

𝑥1 =1 − 𝛿2

1 − 𝛿1𝛿2, 𝑥2 =

𝛿2(1 − 𝛿1)

1 − 𝛿1𝛿2

𝑦1 =𝛿1(1 − 𝛿2)

1 − 𝛿1𝛿2, 𝑦2 =

1 − 𝛿1

1 − 𝛿1𝛿2

Np. przy δ1 = 5/6, δ2 = 4/5

x1 =3/5, x2 =2/5, y1 = y2 =1/2

i w grze, w której pierwszą propozycję składa

gracz 1, dostanie 60% ciasta, gdy zaś gracz 2 –

podzielą się po równo.

Uwaga 2b: Inicjatywa wciąż popłaca.

Ćwiczenie: rozwiąż analogiczną grę, w której

tylko co trzecią propozycję wysuwa gracz 2.

Uwaga 3: Cierpliwość popłaca. Przy ustalonym

δ1: gdy δ2 rośnie, to y2 i x2 rosną.

Uwaga: pierwsza propozycja zawsze zostanie

przyjęta – rozwiązanie będzie efektywne. W

ogólności nie jest to prawdą w przetargach z

niepełną informacją.

GRY KOOPERACYJNE

Zamiast skupiać się na możliwych strategiach

graczy możemy spróbować określić co dana

koalicja może uzyskać jeśli będzie optymalnie

kooperować.

UWAGA: Taki rodzaj analizy ma sens jeśli

spodziewamy się, że gracze dotrzymają

zobowiązań

DEFINICJA: Gra kooperacyjna (z wypłatami

ubocznymi) – para (N, v) gdzie

N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,

Ɲ – zbiór wszystkich podzbiorów N (koalicji),

v: Ɲ → R – funkcja charakterystyczna

(spełniająca v(∅) = 0).

Interpretacja :

v(S) – to co może łącznie uzyskać koalicja S

niezależnie od działań pozostałych.

Każdą grę niekooperacyjną można naturalnie

przedstawić jako kooperacyjną, zakładając, że

członkowie S maksymalizują sumę swoich

wypłat, a pozostali – minimalizują tę sumę.

Za v(S) przyjmujemy wartość takiej gry (o

sumie stałej).

Ćwiczenie: każdy z trzech graczy, A, B i C,

jednocześnie decyduje czy zachować się dobrze

czy źle. Jeśli wszyscy zachowają się dobrze,

wszyscy mają wypłatę 4. Złe zachowanie

zwiększa wypłatę gracza o 1, ale zmniejsza

wypłatę każdego z pozostałych o 2. Przekształć

tę grę na kooperacyjną.

Gra prosta to taka, że każda koalicja ma wartość

0 lub 1, v(N) = 1 i gdy S jest podzbiorem T, to

v(S)≤v(T).

Przykład (gra ważonej większości) Koalicja

mająca ponad połowę baz wygrywa grę (v = 1,

zaś w p.p. v = 0). Wyznacz funkcję

charakterystyczną gdy: a) IT ma 8 baz, RU 10,

TR 16 b) AT ma 5 baz, DE 8, FR 10, GB 11

DEFINICJA: Podział w grze (N, v) to wektor

x = (x1, x2, . . . xn) taki że

∑ 𝑥𝑖 = 𝑣(𝑁)

𝑁

𝑖=1

Oznaczmy 𝑋𝑆 = ∑ 𝑥𝑗𝑗∈𝑆 . Podział x jest

koalicyjnie racjonalny jeżeli dla wszystkich koalicji S mamy XS ≥ v(S). Szczególnie

przekonująca jest indywidualna racjonalność

(warunek spełniony dla jednoelementowych

koalicji: xi≥ vi. Zbiór wszystkich podziałów

koalicyjnie racjonalnych w grze (N, v)

nazywamy rdzeniem (core) tej gry i oznaczamy

C(v).

Niestety rdzeń bywa pusty. Np. łatwo wykazać,

że każda gra v o sumie stałej (tzn. dla

wszystkich S, v(S) + v(N \ S) = v(N)) ma pusty

rdzeń, C(v) = ∅, chyba że jest addytywna,

∀S v(S) = Σj∈S v(j) (czyli koalicje nie mają

w ogóle znaczenia, a gra jest niezbyt ciekawa).

Rdzeń bywa też „dziwny”/mało przekonujący.

Ćwiczenie: znajdź rdzeń każdej z gier

z przykładu z poprzedniej strony.

WARTOŚCI GIER KOOPERACYJNYCH

Wartość to funkcja przypisująca każdej grze

podział w tej grze.

Wartość Shapleya gry (N, v) to podział w tej

grze, 𝜑(𝑣) = (𝜙1(𝑣), … , 𝜑𝑛(𝑣)), dany wzorem

𝜙𝑖(𝑣) = ∑(𝑠 − 1)! (𝑛 − 𝑠)!

𝑛!(𝑣(𝑆) − 𝑣(𝑆\𝑖))

𝑆∈𝑖

Gdzie n oznacza liczbę wszystkich graczy w

grze a s liczebność koalicji s. Interpretacja:

gracze dołączają w losowej kolejności

(wszystkie permutacje jednakowo

prawdopodobne) i każdy otrzymuje swoją

wartość dodaną.

Ćwiczenie Czy wartość Shapleya musi należeć

do rdzenia jeśli ten jest niepusty?

TWIERDZENIE Shapleya:

Jedyną wartością spełniającą łącznie

1. równoprawność: jeżeli gracze i, j są wymienni

w grze v (wymiana jednego na drugiego nie

zmienia v koalicji), to ϕi(v) = ϕj(v),

2. warunek gracza zerowego: jeżeli i jest

graczem zerowym (dodanie go do dowolnej

koalicji nie zmienia jej v), to ϕi(v) = 0,

3. addytywność: dla gry z = v + w mamy ϕ(z) =

ϕ(v) + ϕ (w)

jest wartość Shapleya.

Przykład. AT ma 5 baz, DE 13, FR 16. DE i AT

są skłócone, poniosą więc łączny psychiczny

koszt wyceniany na a ≤ 1 jeśli stworzą

dwuosobową koalicję. Wyznacz wartość

Shapleya. Ile musi wynosić a by rdzeń był

niepusty?