1

PROF. DR HAB. GRAŻYNA KARMOWSKA

TEORIA RENOWACJITEORIA RENOWACJI(TEORIA ODNOWY)(TEORIA ODNOWY)

2

punktem wyjścia TO jest demografia matematyczna,

jej głównym zadaniem jest ustalenie zmian zachodzących w liczebności i strukturze populacji,

teorię demografii matematycznej można uogólnić na inne zbiory, których pewne elementy przybywają a inne ubywają.

PRZEDMIOT TEORII ODNOWY PRZEDMIOT TEORII ODNOWY

3

DEFINICJA TEORII ODNOWYDEFINICJA TEORII ODNOWY TO stanowi zespół metod matematyczno-

statystycznych służących do ustalenia prawidłowości w procesie  ubywania elementów tworzących zbiór pewnych obiektów trwałego użytkowania

oraz do określenia liczby obiektów, które w danym okresie będą musiały być zastąpione nowymi obiektami o takich samych lub podobnych własnościach.

[Banasiński]

4

Odnowa środków produkcji dokonuje się w samym procesie produkcji, przy czym odbywa się odmiennie w przypadku środków obrotowych i środków trwałych.

Środki obrotowe zużywają  się w ciągu jednego cyklu obrotowego o znanym okresie i w końcu każdego takiego okresu muszą być odnowione, aby proces produkcyjny mógł być kontynuowany.

DEFINICJA TEORII ODNOWYDEFINICJA TEORII ODNOWY

5

odnowa środków obrotowych nie nasuwa większych trudności,

środki trwałe nie zużywają się w ciągu 1 cyklu produkcji i pozostają w procesie produkcyjnym przez dłuższy czas zwany okresem użytkowania danego środka

DEFINICJA TEORII ODNOWYDEFINICJA TEORII ODNOWY

6

ZAŁOŻENIA ZAŁOŻENIA rozpatrywane środki trwałe są jednorodne, obiekty pozostają w użytkowaniu całkowitą liczbę

okresów i ubywają w końcu okresu (czas życia środków trwałych jest zmienną losową typu skokowego),

proces zużywania się środków trwałych jest procesem reprodukcji prostej (przez cały czas badania liczba obiektów jest stała),

istnieje górny kres trwania obiektów wynoszących (omega) lat.

7

Czas życia urządzenia – czas użytkowania aż do momentu powstania uszkodzenia,

Potrafimy dokładnie określić moment kiedy urządzenie staje się bezużyteczne,

Wszystkie warunki eksploatacji urządzeń są podobne,

Wszystkie urządzenia zostały wprowadzone do eksploatacji jednocześnie.

ZAŁOŻENIAZAŁOŻENIA

8

PRZEDMIOT TEORII ODNOWY Jeżeli za zbiór przyjmiemy środki trwałe, to

możemy traktować go jako populację, w której istnieje „wymieralność” i „narodziny” elementów tej populacji. 

Wymierają elementy, które zostają zużyte w procesie produkcji i muszą być z tego procesu usunięte, a rodzą się elementy nowe, wprowadzone do procesu produkcji.

9

RODZAJE PROCESÓW ODNOWY RODZAJE PROCESÓW ODNOWY

proces odnowy w pełnym toku rozwijający się proces odnowy

10

Aby wyrównać powstały ubytek w roku t należy wprowadzić tyle obiektów ile ulega wycofaniu N0(t) (trzeba wprowadzić do użytkowania).

Określa ono liczbę obiektów N0(t), które trzeba odnowić w danym roku dla wyrównania ubytku obiektów wychodzących z zużycia.

PROCES ODNOWY W PEŁNYM PROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKUTOKU

11

PROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKUPROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKU

t - jednostka czasu, w rozpatrywanym zbiorze znajdują się obiekty

wprowadzone do użytkowania przed rokiem, dwoma laty,…, -lat;

liczba obiektów wprowadzonych do użytkowania odpowiednio w roku: t-1,t-2,… ,

prawdopodobieństwo ubytku spośród obiektów (współczynnik eliminacji)

)(),...,(),( tN2tN1tN 000

t

ppp 21 ,...,,

12

PROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKUPROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKU Liczba urządzeń, które przetrwały okres t (współczynnik dotrwania)

Prawdopodobieństwo, że dane urządzenie (wprowadzone do eksploatacji w chwili 0) przetrwa okres tt

)(

)()(

0N

tNt

)()( ttp

13

ptNp1tNtN 0100 )(...)()(

10 p1tN )(

przed rokiem wychodzi z użytkowania

ogólna liczba ubytku w czasie t:

14

ROZWIJAJĄCY SIĘ PROCES ODNOWYROZWIJAJĄCY SIĘ PROCES ODNOWY

przyjmujemy, że pierwsze obiekty zostały wprowadzone do użytkowania w roku t=0 i w liczbie NN00(0)(0)

liczba obiektów, które trzeba odnowić w kolejnych latach dla wynosi: No(1)=No(0)p1 ,...,,21t

1jj

0100

20100

100

pjNN

p0Np1NN

p0Np1N2N

p0N1N

)()(

)(...)()(

)()()(

)()(

15

TO ustala prawidłowości w procesie ubywania elementów tworzących zbiór pewnych obiektów trwałego użytkowania,

określa liczbę obiektów, które w danym okresie będą musiały być zastąpione nowymi obiektami,

zajmuje się również wyznaczaniem optymalnego okresu użytkowania.

ROZWIJAJĄCY SIĘ PROCES ODNOWYROZWIJAJĄCY SIĘ PROCES ODNOWY

16

WYZNACZANIE OPTYMALNEJ WYZNACZANIE OPTYMALNEJ POLITYKI ODNOWYPOLITYKI ODNOWY

w zakresie obiektów, które psują się nagle obiekty, których koszty utrzymania rosną z

czasem

17

Problem 1. W firmie zainstalowanych jest 1000 lampek

kontrolnych. Wymiana uszkodzonej lampki kosztuje 100 zł, a wymiana prewencyjna 20 zł. Określ optymalną politykę renowacyjną wobec lampek kontrolnych, wiedząc, że współczynniki eliminacji wynoszą odpowiednio: p1=0,1; p2=0,3; p3=0,4; p4=0,2

18

Rozwiązanie:Ubytki lampek w poszczególnych okresach: N(0)=1000 N(1)=1000x0,1=100 N(2)=1000x0,3+100x0,1=310 N(3)=1000x0,4+100x0,3+310x0,1=400+30+31=461 N(4)=1000x0,2+100x0,4+310x0,3+461x0,1=379,1

19

Koszty wymiany wszystkich urządzeń po pierwszym okresie:

K1=100x100+900x20=28 000 zł

Odpowiednio w następnych latach: K2=(100+310)x100+690x20=54 800zł K3=(100+310+461)x100+539x20=87 880zł K4=(100+310+461+379,1)x100+621x20=137 420zł

Rozwiązanie:

20

Polityka odnowy a koszty średniookresowe

OkresOkres Koszty Koszty eksploatacjieksploatacji

Koszty Koszty średniookresoweśredniookresowe

0

1

2

3

20 000

28 000

54 800

97 880

-

28 000

27 400

32 626,6

4 137 420 34 355

21

W ZAKRESIE OBIEKTÓW, W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE PSUJĄ SIĘ NAGLEKTÓRE PSUJĄ SIĘ NAGLE

wyróżniamy 2 rodzaje kosztów wymiany: - koszt wymiany urządzenia zużytego; - koszt wymiany urządzenia jeszcze sprawnego.

1k

2k

22

W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE PSUJĄ SIĘ NAGLEPSUJĄ SIĘ NAGLE

Zakładamy, że koszt wymiany urządzenia zużytego jest wyższy niż koszt wymiany urządzenia jeszcze sprawnego, czyli .

Jeżeli powyższa nierówność zachodzi to może się okazać, że opłaca się wymienić wszystkie urządzenia, kiedy jeszcze są sprawne.

Kryterium wyboru optymalnej polityki odnowy jest minimum sumy kosztów odnowy.

21 kk

23

Na podstawie równań odnowy obliczamy ile w poszczególnych latach przeciętnie zużyje się urządzeń.

Następnie wyliczamy przeciętny wydatek na jeden okres wynikający z polityki odnowy wszystkich urządzeń, co jeden okres, co dwa, itd.

Optymalna wartość odpowiadać będzie najniższemu wydatkowi przeciętnemu na jeden okres.

Minimalny koszt wskazuje nam, po którym okresie czasu najkorzystniej jest wymienić wszystkie urządzenia.

W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE PSUJĄ SIĘ NAGLEPSUJĄ SIĘ NAGLE

24

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM

obiekty tej grupy w miarę upływu czasu starzeją się fizycznie i moralnie.

po pewnym czasie eksploatacja urządzenia staje się tak kosztowna, że zachodzi konieczność jego wymiany na nowe.

w związku z tym powstaje problem wyznaczenia problem wyznaczenia optymalnego okresu użytkowania urządzeniaoptymalnego okresu użytkowania urządzenia tzn., w jakim momencie stare urządzenie powinno być wymienione na nowe

25

Funkcja kryterium stanowi minimalne przeciętne roczne koszty.

Przyjmujemy, że koszty utrzymania rozpatrywanego obiektu są niemalejącą funkcją czasu, a wartość złomu jest stała.

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM

26

C - koszt zakupu urządzenia, Z - wartość złomu, N - liczba lat eksploatacji, T- przeciętne roczne koszty całkowite, F(t)- stopa wydatków na utrzymanie

urządzenia.

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM

27

Dla f(0)=0f(0)=0 oraz f(n)f(n) jest funkcją niemalejącą utrzymujemy warunek minimum funkcji w postaci f(n)=Tf(n)=T.

a więc min Tmin T nastąpi dla takiego nn, dla którego nakłady bieżące f(n)f(n) (stopa utrzymania) zrównają się z dotychczas poniesionymi przeciętnymi kosztami.

Opierając się na tych wynikach możemy zadecydować, kiedy należy odnowić urządzenie pod warunkiem, że dysponujemy dokładnym wzorem określającym koszty utrzymania.

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEMUTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM

28

Jeżeli mamy dane roczne koszty utrzymania to nie musimy korzystać z przedstawionych wyżej warunków gdyż możemy przystąpić do wymiany urządzenia wówczas, gdy przeciętne koszty osiągają minimum.

Przeciętne koszty roczne obliczamy następująco: od wartości początkowej odejmujemy wartość złomu a dodajemy bieżące koszty eksploatacji liczone od początku aż do danego roku włącznie i dzielimy przez okres użytkowania

OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEMUTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM

29

Metoda Houldena

n

0 n

zdttf

n

1

n

c

n

nK)(

)(

Roczny przeciętny koszt utrzymania:

Łączny koszt eksploatacji urządzenia przez nn okresów:

n

0zdttfcnK )()(

30

Metoda Houldena Szukamy minimum

n

n

n

nKdttf

nn

zcnf

nfn

dttfnn

zc

n

nK

0

022

'

)()(

1)(

0)(1

)(1)(

Dla wartości skokowych:

n

0jjK

t

1

n

zctf )(

31

Problem 2. Cena zakupu samochodu c=120 tys. zł, cena

złomu z=10 tys. zł. Średnie bieżące koszty eksploatacji (paliwo, części zamienne, naprawy) przedstawia tabela:

Okres 1 2 3 4 5 6 7

Koszty (tys.zł)

5 10 15 25 35 55 77

32

Rozwiązanie: Wyznaczamy minimum średniookresowych

kosztów utrzymania samochodu:

Okresy Koszty średniookresowe

1

2

3

4

55

6

7

115,00

62,50

46,67

41,25

40,0040,00

42,50

46,43

Po piątym okresie eksploatacji samochód należy wymienić

33

MIŁEGO

DNIA