1
Lekcja 1. Podstawowe prawa obwodów elektrycznych
Wstp Lekcja pierwsza wprowadza podstawowe pojcia i prawa obwodów elektrycznych, w tym
prd i napicie, elementy liniowe obwodu w postaci rezystora, cewki i kondensatora oraz
ródła sterowane i niezalene. Najwaniejszym prawem teorii obwodów jest prawo prdowe i
napiciowe Kirchhoffa, podane tutaj w postaci ogólnej. Z prawa Kirchhoffa wynikaj reguły
upraszczania obwodów, zdefiniowane dla połczenia szeregowego, równoległego oraz
transfiguracji gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda.
1.1. Podstawowe pojcia obwodów
Teoria obwodów stanowi jedn z dziedzin elektrotechniki zajmujc si stron teoretyczn
zjawisk wystpujcych w obwodach elektrycznych, w tym metodami analizy rozpływu
prdów i rozkładu napi obwodu w stanie ustalonym i nieustalonym. Przyjmuje si, e
nonikami elektrycznoci s czstki elementarne: elektrony i protony wystpujce w atomie.
W przypadku przewodników elektrycznych najwaniejsz rol odgrywaj elektrony
swobodne, stanowice trwałe noniki ujemnego ładunku q, wyzwolone z przycigania jdra
atomu oraz jony, stanowice czsteczki naładowane dodatnio lub ujemnie. Ładunek
elektryczny elektronu, oznaczany jest liter e a jego warto e=1,602⋅10-19C.
Prd elektryczny powstaje jako uporzdkowany ruch ładunków elektrycznych i jest utosamiany
w teorii obwodów z pojciem natenia prdu elektrycznego. W ogólnoci definiowany jest jako
granica stosunku ładunku elektrycznego przepływajcego przez przekrój poprzeczny elementu do
rozpatrywanego czasu, gdy czas ten dy do zera. Prd elektryczny oznaczany bdzie liter i (du lub
mał). Jest wielkoci skalarn a jej jednostk w układzie SI jest amper (A).
Kademu punktowi w rodowisku przewodzcym prd elektryczny mona przyporzdkowa
pewien potencjał mierzony wzgldem punktu odniesienia. Rónica potencjałów midzy dwoma
punktami tego rodowiska nazywana jest napiciem elektrycznym. Jednostk napicia elektrycznego
jest volt (V).
2
1.2. Elementy obwodu elektrycznego
Za obwód elektryczny uwaa bdziemy takie połczenie elementów ze sob, e istnieje moliwo
przepływu prdu w tym połczeniu. Obwód jest odwzorowywany poprzez swój schemat, na którym
zaznaczone s symbole graficzne elementów oraz sposób ich połczenia ze sob, tworzcy okrelon
struktur.
Na struktur obwodu elektrycznego poza elementami składaj si równie gałzie, wzły i
oczka. Gał obwodu jest tworzona przez jeden lub kilka elementów połczonych ze sob w
okrelony sposób. Wzłem obwodu jest zacisk bdcy kocówk gałzi, do którego mona dołczy
nastpn gał lub kilka gałzi. Gał obwodu tworz elementy ograniczone dwoma wzłami. Oczko
obwodu to zbiór gałzi połczonych ze sob i tworzcych drog zamknit dla prdu elektrycznego.
Oczko ma t właciwo, e po usuniciu dowolnej gałzi ze zbioru pozostałe gałzie nie tworz drogi
zamknitej. W obwodzie o zadanej strukturze istnieje cile okrelona liczba wzłów, natomiast liczba
oczek jest wprawdzie skoczona ale bliej nieokrelona.
Element jest czci składow obwodu niepodzieln pod wzgldem funkcjonalnym bez utraty
swych cech charakterystycznych. Na elementy obwodu składaj si ródła energii elektrycznej oraz
elementy akumulujce energi lub rozpraszajce j. W kadym elemencie mog zachodzi dwa lub
nawet wszystkie trzy wymienione tu procesy, cho jeden z nich jest zwykle dominujcy. Element jest
idealny jeli charakteryzuje go tylko jeden rodzaj procesu energetycznego.
Elementy posiadajce zdolno akumulacji oraz rozpraszania energii tworz klas elementów
pasywnych. Nie wytwarzaj one energii a jedynie j przetwarzaj. Najwaniejsze z nich to rezystor,
kondensator oraz cewka. Elementy majce zdolno generacji energii nazywane s ródłami.
Zaliczamy do nich niezalene ródło napicia i prdu oraz ródła sterowane.
Kady element obwodu moe by opisany równaniami algebraicznymi lub róniczkowymi,
wicymi prd i napicie na jego zaciskach. Element jest liniowy, jeli równanie opisujce go jest
liniowe. W przeciwnym wypadku element jest nieliniowy.
1.2.1. Rezystor
Rezystor, zwany równie opornikiem naley do klasy elementów pasywnych rozpraszajcych energi.
W teorii obwodów rezystor uwaa si za element idealny i przypisuje mu tylko jedn cech
(parametr), zwan rezystancj lub oporem. W dalszej czci rozwaa bdziemy wyłcznie rezystor
liniowy. Rezystancj (oporno) oznacza bdziemy liter R a jej odwrotno jest nazywana
konduktancj i oznaczana liter G, przy czym R = 1/G. Symbol graficzny rezystora liniowego
przedstawiony jest na rys. 1.1.
3
Rys. 1.1. Oznaczenie rezystora liniowego
Opis matematyczny rezystora wynika z prawa Ohma, zgodnie z którym
RR Riu = (0.1)
Spadek napicia na rezystorze liniowym jest proporcjonalny do prdu przepływajcego przez niego a
współczynnik proporcjonalnoci jest równy rezystancji R. Warto rezystancji rezystora liniowego
przyjmuje warto stał. Jednostk rezystancji jest om (Ω) a konduktancji siemens (S).
W realizacji praktycznej opornik jest wykonywany najczciej z drutu metalowego o długoci
l, polu przekroju poprzecznego S i rezystancji właciwej ρ. Rezystancja takiego opornika jest wprost
proporcjonalna do l i ρ a odwrotnie proporcjonalna do S, std R = ρ l/S.
1.2.2. Cewka
Cewka zwana równie induktorem naley równie do klasy elementów pasywnych. Ma
zdolno gromadzenia energii w polu magnetycznym. Cewce idealnej przypisuje si tylko
jedn właciwo, zwan indukcyjnoci własn (w skrócie indukcyjnoci) L. W przypadku
cewki liniowej indukcyjno definiuje si jako stosunek strumienia Ψ skojarzonego z cewk
do prdu płyncego przez ni, to znaczy
Li
LΨ= (0.2)
Strumie skojarzony Ψ cewki o z zwojach jest równy sumie strumieni wszystkich zwojów
cewki, to jest φz=Ψ (φ - strumie skojarzony z jednym zwojem cewki, z – liczba zwojów).
Jednostk indukcyjnoci jest henr (H), przy czym 1H = 1Ωs. Napicie cewki wyraone jest
jako pochodna strumienia wzgldem czasu
4
dt
duL
Ψ= (0.3)
W przypadku cewki liniowej, dla której strumie jest iloczynem prdu i indukcyjnoci L,
LLi=Ψ , relacja napiciowo-prdowa upraszcza si do postaci
dt
diLu L
L = (0.4)
Na rys. 1.2 przedstawiono symbol graficzny cewki liniowej o indukcyjnoci L.
Rys. 1.2. Symbol graficzny cewki liniowej
Zauwamy, e przy stałej wartoci prdu cewki napicie na niej jest równe zeru, gdy
pochodna wartoci stałej wzgldem czasu jest równa zeru. Std cewka w stanie ustalonym
obwodu przy prdzie stałym zachowuje si jak zwarcie.
Interesujce zjawiska powstaj w układzie dwu cewek połoonych blisko siebie, w
których zachodzi wzajemne przenikanie si strumieni magnetycznych. Jeli dwie cewki o
indukcyjnociach własnych 1L i 2L s tak usytuowane, e strumie wytworzony przez jedn z
nich jest skojarzony z drug to takie cewki nazywamy sprzonymi magnetycznie. Na rys. 1.3
przedstawiono oznaczenie cewek sprzonych magnetycznie. Gwiazdkami oznaczono
pocztki uzwoje kadej cewki.
Rys. 1.3. Oznaczenie cewek sprzonych magnetycznie
5
Obok indukcyjnoci własnej wprowadza si dla nich pojcie indukcyjnoci wzajemnej M,
jako stosunek strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej i skojarzonego z
cewk drug do prdu płyncego w cewce pierwszej, a wic
2
12
1
21
iiM
Ψ=
Ψ= (1.5)
gdzie 21ψ oznacza strumie skojarzony z cewka drug wytworzony przez prd płyncy w
cewce pierwszej a 12ψ – strumie skojarzony z cewka pierwsz wytworzony przez prd
płyncy w cewce drugiej. Jednostk indukcyjnoci wzajemnej jest równie henr.
Istnienie sprzenia magnetycznego powoduje indukowanie si napi na cewce
wskutek zmian prdu płyncego w cewce drugiej. Zgodnie z prawem indukcji
elektromagnetycznej napicie wytworzone na skutek indukcji wzajemnej okrelone jest
wzorem
dtdi
Mdtdi
LuM21
11 ±= (1.6)
dtdi
Mdtdi
LuM12
22 ±= (1.7)
Znak plus lub minus wystpujcy we wzorze jest uzaleniony od przyjtego zwrotu prdu
wzgldem pocztku uzwojenia cewki. Przyjmuje si znak plus, jeli prdy w obu elementach
sprzonych magnetycznie maj jednakowe zwroty wzgldem zacisków oznaczajcych
pocztek uzwojenia (oznaczone na rysunku gwiazdk). Przy zwrotach przeciwnych przyjmuje
si znak minus. Z zalenoci powyszych wida, e w elementach sprzonych magnetycznie
energia elektryczna moe by przekazywana z jednego elementu do drugiego za
porednictwem pola magnetycznego. Co wicej, nawet przy braku przepływu prdu przez
cewk, moe na niej pojawi si napicie pochodzce ze sprzenia magnetycznego od cewki
drugiej.
1.2.3. Kondensator
Kondensator jest elementem pasywnym, w którym istnieje moliwo gromadzenia
energii w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje si tylko jedn
6
właciwo zwan pojemnoci C. W przypadku kondensatora liniowego pojemno C jest
definiowana jako stosunek ładunku q zgromadzonego w kondensatorze do napicia midzy
okładzinami tego kondensatora
Cuq
C = (1.8)
W układzie SI jednostk ładunku jest kulomb (C), a pojemnoci farad (F), przy czym
1 F = 1 C/V. Zaleno wica napicie i prd kondensatora dana jest w postaci równania
róniczkowego
dt
duCi C
C = (1.9)
Symbol graficzny kondensatora przedstawiony jest na rys. 1.4.
Rys. 1.4. Symbol graficzny kondensatora
Podobnie jak w przypadku cewki, jeli napicie na zaciskach kondensatora jest stałe, jego
prd jest równy zeru (pochodna wartoci stałej wzgldem czasu jest zerem). Kondensator
zachowuje si wtedy jak przerwa (pomimo istnienia napicia prd nie płynie).
1.2.4. Niesterowane ródło napicia i prdu
ródło niesterowane (niezalene) prdu bd napicia, zwane w skrócie ródłem prdu i
ródłem napicia, jest elementem aktywnym, generujcym energi elektryczn, powstajc
zwykle z zamiany innego rodzaju energii, na przykład z energii mechanicznej, słonecznej,
jdrowej itp. W teorii obwodów rozwaa bdziemy ródła idealne nalece do klasy ródeł
napiciowych bd prdowych. Symbol idealnego niesterowanego ródła napicia
przedstawiony jest na rys. 1.5a, natomiast ródła prdu na rys. 1.5.b.
7
Rys. 1.5. Symbole graficzne niesterowanego ródła a) napicia, b) prdu
Niesterowane ródła prdu i napicia maj nastpujce właciwoci.
• Napicie na zaciskach idealnego ródła napicia nie zaley od prdu przepływajcego
przez to ródło, a zatem nie zaley od jego obcienia.
• Przy stałym napiciu u panujcym na zaciskach oraz prdzie i wynikajcym z
obcienia, rezystancja wewntrzna idealnego ródła napiciowego, definiowana w
postaci zalenoci róniczkowej 0==didu
Rw . Std idealne ródło napicia
charakteryzuje si rezystancj wewntrzna równ zeru (zwarcie z punktu widzenia
rezystancyjnego).
• Prd idealnego ródła prdu nie zaley od obcienia tego ródła, a wic od napicia
panujcego na jego zaciskach.
• Przy stałym prdzie płyncym przez idealne ródło prdowe i dowolnym (bliej
nieokrelonym) napiciu panujcym na jego zaciskach rezystancja wewntrzna
idealnego ródła prdowego jest równa nieskoczonoci. Std idealne ródło prdowe
z punktu widzenia rezystancyjnego reprezentuje sob przerw.
Rys. 1.6 przedstawia charakterystyki prdowo-napiciowe obu rodzajów idealnych ródeł
niesterowanych: napicia (rys. 1.6a) i prdu (rys. 1.6b).
8
Rys. 1.6. Charakterystyki prdowo-napiciowe idealnych ródeł niesterowanych:
a) ródło napicia, b) ródło prdu
Dla ródła napiciowego charakterystyka jest równoległa do osi prdowej (warto napicia u
stała), a dla ródła prdowego równoległa do osi napiciowej (warto prdu i stała). Tak
podane charakterystyki odnosz si do ródeł stałych. W przypadku ródeł sinusoidalnych
idealno jest rozumiana jako stało parametrów ródła (amplituda, faza pocztkowa oraz
czstotliwo niezalene od obcienia).
Przykładami ródła napicia stałego jest akumulator, ródła napicia zmiennego -
generator synchroniczny, ródła prdowego - elektroniczny zasilacz prdowy o
stabilizowanym, niezalenym od obcienia prdzie, itp.
1.2.5. ródła sterowane prdu i napicia
W odrónieniu od ródeł niesterowanych, których prd lub napicie (bd parametry
charakteryzujce je, np. amplituda i czstotliwo) były stałe, ustalone na etapie wytworzenia,
ródła sterowane z definicji zale od wielkoci sterujcych, którymi mog by prd lub
napicie dowolnego innego elementu w obwodzie.
ródło sterowane jest wic elementem czterozaciskowym i charakteryzuje si tym, e
napicie lub prd na jego zaciskach wyjciowych s proporcjonalne do napicia lub prdu
zwizanego z druga par zacisków sterujcych. Wyróni mona cztery rodzaje ródeł
sterowanych:
• ródło napicia sterowane napiciem, opisane równaniem
12 auu =
• ródło napicia sterowane prdem, opisane równaniem
12 riu =
• ródło prdu sterowane napiciem, opisane równaniem
12 gui =
• ródło prdu sterowane prdem, opisane równaniem
12 bii =
9
Schematy graficzne wszystkich wymienionych tu rodzajów ródeł sterowanych prdu i
napicia przedstawione s na rys. 1.7.
Rys. 1.7. Schematy graficzne ródeł sterowanych
Wielkoci r, g oraz a i b stanowi współczynniki proporcjonalnoci midzy wielkoci
sterujca i sterowan tych ródeł. Przyjmuj one najczciej wartoci rzeczywiste, cho w
rónego rodzaju modelach mog by równie opisane funkcj zespolon. Naley nadmieni,
e ródła sterowane stanowi bardzo popularne modele wielu elementów elektrycznych i
elektronicznych, takich jak transformatory idealne, maszyny elektryczne, tranzystory
bipolarne i polowe, wzmacniacze operacyjne napiciowe i prdowe, itp.
1.3. Prawa Kirchhoffa
Pod pojciem analizy obwodu elektrycznego rozumie si proces okrelania rozpływu prdów
i rozkładu napi w obwodzie przy załoeniu, e znana jest struktura obwodu oraz wartoci
wszystkich jego elementów. Podstaw analizy obwodów elektrycznych stanowi prawa
Kirchhoffa, podane przez niemieckiego fizyka Gustawa Kirchhoffa w dziewitnastym wieku.
Wyrónia si dwa prawa okrelajce rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie. Pierwsze
prawo Kirchhoffa kojarzy si zwykle z bilansem prdów w wle obwodu elektrycznego a
drugie z bilansem napi w oczku.
1.3.1. Prawo prdowe
Suma prdów w kadym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru
10
0=k
ki (1.10)
Sumowanie dotyczy wszystkich prdów, które dopływaj lub odpływaj z danego oczka, przy
czym wszystkie prdy wpływajce do wzła brane s z jednakowym znakiem a wszystkie
prdy wypływajce z wzła ze znakiem przeciwnym (nie jest istotne czy znak plus dotyczy
prdów wpływajcych czy wypływajcych). Sposób tworzenia równania prdowego
Kirchhoffa zilustrujemy dla jednego wzła obwodu przedstawionego na rys. 1.8.
Rys. 1.8. Przykład wzła obwodu elektrycznego
Prawo Kirchhoffa dla tego wzła z uwzgldnieniem kierunków prdów w wle zapiszemy w
postaci
054321 =−−++ iiiii
Mona je równie zapisa jako bilans prdów dopływajcych i odpływajcych od wzła w
postaci
54321 iiiii +=++
Dla kadego obwodu mona napisa dokładnie n-1 niezalenych równa prdowych, gdzie n
oznacza całkowit liczb wzłów a (n-1) liczb wzłów niezalenych. Bilans prdów w
pozostałym n-tym wle obwodu wynika z równa prdowych napisanych dla n-1 wzłów
11
(jest to wzeł zaleny zwany wzłem odniesienia). Wybór wzła odniesienia jest całkowicie
dowolny.
1.3.2. Prawo napiciowe
Suma napi w kadym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru
0=k
ku (1.11)
Sumowanie dotyczy napi gałziowych wystpujcych w danym oczku zorientowanych
wzgldem dowolnie przyjtego kierunku odniesienia. Napicie gałziowe zgodne z tym
kierunkiem jest brane z plusem a przeciwne z minusem. Sposób pisania równa wynikajcych
z prawa napiciowego Kirchhoffa pokaemy na przykładzie oczka obwodu przedstawionego
na rys. 1.9.
Rys. 1.9. Przykład oczka obwodu z oznaczeniami napi gałziowych
Uwzgldniajc kierunki napi gałziowych równanie napiciowe Kirchhoffa dla tego oczka
przyjmie posta
04321 =−−++ euuuu
Mona je równie zapisa jako bilans napi ródłowych i odbiornikowych w postaci
4321 uuuue −++=
Dla kadego obwodu mona napisa tyle równa oczkowych ile oczek wyodrbnimy w tym
obwodzie, przy czym cz równa oczkowych bdzie równaniami zalenymi (wynikajcymi
12
z liniowej kombinacji innych równa). Liczba równa oczkowych branych pod uwag w
analizie jest wic równa liczbie oczek niezalenych.
Przykład 1.1
Napiszmy równania Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.10.
Rys. 1.10. Schemat obwodu poddanego analizie w przykładzie 1.1
Rozwizanie
Zgodnie z prawami Kirchhoffa równania obwodu przyjm nastpujc posta.
• Równania prdowe:
ii
iii
iii
L
RRL
CLL
==−−
=−−
1
212
21
0
0
• Równania napiciowe:
0
0
21
12
=−−=−−
euu
uuu
RR
RLC
Przedstawiony tu układ równa jest wystarczajcy do uzyskania wszystkich innych wielkoci
prdowych bd napiciowych w obwodzie. Naley go jedynie uzupełni o równania
definicyjne wice prd i napicie kadego elementu. Po takim uzupełnieniu uzyskuje si
pełny opis obwodu a jego rozwizanie pozwala wyznaczy rozpływ prdów i rozkład napi
w obwodzie.
Szczególnie proste zalenoci otrzymuje si dla obwodu rezystancyjnego,
zawierajcego oprócz ródeł wymuszajcych jedynie rezystory oraz (ewentualnie) ródła
sterowane o rzeczywistych współczynnikach sterowania. Dla takich obwodów równania
elementów rezystancyjnych s dane w postaci zalenoci algebraicznych, które wstawione do
równa Kirchhoffa pozwalaj utworzy układ równa algebraicznych o liczbie zmiennych
13
równych liczbie równa. Sposób tworzenia takiego układu równa pokaemy na przykładzie
obwodu z rys. 1.11.
Przykład 1.2
Naley okreli rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie rezystancyjnym o strukturze
przedstawionej na rys. 1.11. Wartoci elementów s nastpujce: R1 = 2Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω,
R4 = 4Ω, e = 10V, iz1 = 2A, iz2 = 5A.
Rys. 1.11. Struktura obwodu poddanego analizie w przykładzie 1.2
Rozwizanie
Z równa Kirchhoffa otrzymuje si
0
0
0
0
42
321
3242
4211
=−−=−+−
=−++=−−−
RR
RRR
z
z
ueu
ueuu
iiii
iiii
Równania elementów rezystancyjnych: ,111 iRuR = ,222 iRuR = 333 iRuR = , 444 iRuR = tworz
wspólnie z równaniami Kirchhoffa nastpujcy układ równa algebraicznych:
eiRiR
eiRiRiR
iiii
iiii
z
z
=−−=−−
−=+−=++
4422
332211
2432
1421
Po wstawieniu danych liczbowych do powyszych równa otrzymuje si:
14
1042
1032
5
2
42
321
432
421
=−−=−−
−=+−=++
ii
iii
iii
iii
W wyniku rozwizania tego układu równa otrzymuje si: i1 = 3,187A, i2 = 0,875A,
i3 = 3,812A oraz i4 = -2,062A. Łatwo sprawdzi przez podstawienie obliczonych wartoci do
układu równa, e bilans prdów w kadym wle oraz bilans napi w kadym oczku
obwodu jest zerowy.
1.4. Przekształcenia obwodów
W analizie obwodów elektrycznych wan rol odgrywa upraszczanie struktury obwodu,
polegajce na zastpowaniu wielu elementów połczonych szeregowo lub równolegle poprzez
jeden element zastpczy. Umoliwia to zmniejszenie liczby równa w opisie obwodu i
uproszczenie etapu rozwizania tych równa. Wyróni mona cztery podstawowe rodzaje
połcze elementów, do których stosuje si przekształcenie. S to:
• połczenie szeregowe
• połczenie równoległe
• połczenie gwiazdowe
• połczenie trójktne.
1.4.1. Układ połczenia szeregowego elementów
W połczeniu szeregowym elementów koniec jednego elementu jest bezporednio połczony
z pocztkiem nastpnego. Rys. 1.12 przedstawia schemat ogólny połczenia szeregowego
rezystorów.
Rys. 1.12. Połczenie szeregowe elementów
15
Prd kadego elementu obwodu jest jednakowy i równy i, natomiast napicie na zaciskach
zewntrznych obwodu jest równe sumie napi poszczególnych elementów tworzcych
połczenie. Napiciowe równanie Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.12 przyjmuje wic posta
iRRRu N )...( 21 +++= (1.12)
Przy oznaczeniu sumy rezystancji przez R
NRRRR +++= ...21 (1.13)
otrzymuje si uproszczenie N rezystorów połczonych szeregowo do jednego rezystora
zastpczego o rezystancji R opisanej wzorem (1.13). Rezystancja wypadkowa połczenia
szeregowego rezystorów jest równa sumie rezystancji poszczególnych elementów tworzcych
to połczenie.
1.4.2. Układ połczenia równoległego elementów
W połczeniu równoległym pocztki i koce wszystkich elementów s ze sob bezporednio
połczone, jak to pokazano dla elementów rezystancyjnych na rys. 1.13.
Rys. 1.13. Połczenie równoległe elementów
Z połczenia tego wynika, e napicie na wszystkich elementach jest jednakowe a prd
wypadkowy jest równy sumie prdów wszystkich elementów obwodu. Prdowe prawo
Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.13 mona wic zapisa w postaci
uGGGi N )...( 21 +++= (1.11)
16
przy czym Gi (i = 1, 2, ..., N) stanowi konduktancje rezystorów, Gi=1/Ri. Przy oznaczeniu
sumy konduktancji przez G, gdzie
NGGGG +++= ...21 (1.12)
otrzymuje si uproszczenie N rezystorów połczonych równolegle do jednego rezystora
zastpczego o konduktancji G opisanej wzorem (1.12). Jak wida w połczeniu równoległym
rezystorów konduktancja wypadkowa jest równa sumie konduktancji poszczególnych
rezystorów.
Szczególnie prosty jest wzór na rezystancj zastpcz dla 2 rezystorów połczonych
równolegle. W tym przypadku 21 GGG += . Uwzgldniajc, e RG /1= po prostych
przekształceniach otrzymuje si
21
21
RRRR
R+
= .
Naley jednak podkreli, e przy trzech (i wicej) elementach połczonych równoległe
wygodniejsze jest operowanie na konduktancjach a przejcie na rezystancj zastpcz
wykonuje si w ostatnim kroku po ustaleniu wartoci sumy konduktancji.
1.4.3. Transfiguracja gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda
Operowanie uproszczonym schematem wynikajcym z połczenia szeregowego i
równoległego elementów jest najwygodniejszym sposobem redukcji obwodu. W przypadku
gdy nie ma elementów połczonych szeregowo czy równolegle moliwe jest dalsze
uproszczenie przez zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójk lub trójkt-gwiazda.
Oznaczenia elementów obwodu trójkta i gwiazdy s przedstawione na rys. 1.14.
17
Rys. 1.14. Połczenie trójktne i gwiazdowe elementów
Transfiguracja trójkta na gwiazd lub gwiazdy na trójkt polega na przyporzdkowaniu
danej konfiguracji elementów konfiguracji zastpczej, równowanej jej z punktu widzenia
zacisków zewntrznych (te same prdy przy tych samych napiciach midzyzaciskowych).
Dla uzyskania niezmienionych prdów zewntrznych obwodu gwiazdy i trójkta rezystancje
midzy parami tych samych zacisków gwiazdy i trójkta powinny by takie same. Zostało
udowodnione, e warunki powysze s automatycznie spełnione, jeli przy zamianie gwiazdy
na trójkt spełnione s nastpujce warunki na rezystancje
3
212112 R
RRRRR ++= (1.13)
1
323223 R
RRRRR ++= (1.14)
2
131331 R
RRRRR ++= (1.15)
Podobnie przy zamianie trójkta na gwiazd rezystancje gwiazdy musz spełnia warunki
312312
31121 RRR
RRR
++= (1.16)
312312
12232 RRR
RRR
++= (1.17)
312312
23313 RRR
RRR
++= (1.18)
18
Przekształcenia równowane obwodu wykorzystujce reguły połczenia szeregowego,
równoległego oraz przekształcenia gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda umoliwiaj dalsz
redukcj tego obwodu i po wykonaniu odpowiedniej liczby przekształce sprowadzenie go do
pojedynczego elementu zastpczego.
Przykład 1.3
Okreli rezystancj zastpcz obwodu przedstawionego na rys. 1.15, widzian z zacisków
1-2. Wartoci rezystancji s nastpujce: Ω= 21R , Ω= 42R , Ω= 33R , Ω= 24R , Ω= 45R ,
Ω= 56R , Ω= 57R oraz Ω= 108R .
Rys. 1.15. Struktura obwodu do przykładu 1.3.
Rozwizanie
Z punktu widzenia zacisków wejciowych 1-2 w obwodzie nie mona wyróni adnego
połczenia szeregowego czy równoległego elementów. Dla uproszczenia struktury tego
obwodu konieczne jest wic zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójkt lub trójkt-
gwiazda w stosunku do rezystorów połoonych najdalej od wzłów wejciowych (w wyniku
przekształcenia nie mog ulec likwidacji wzły wejciowe obwodu). Zamieniajc gwiazd
złoon z rezystorów 2R , 3R i 5R na równowany jej trójkt otrzymuje si
104
434323 =⋅++=R
104
434335 =⋅++=R
19
33,133
444425 =⋅++=R
Schemat obwodu po przekształceniach przedstawiony jest na rys. 1.16.
Rys. 1.16. Schemat obwodu z rys. 1.15 po przekształceniu gwiazda-trójkt
W obwodzie tym mona ju wyróni połczenia równoległe elementów R1 i R23 oraz R4 i
R35. Wykorzystujc reguł upraszczania elementów połczonych równolegle otrzymuje si
667,1231
2311 =
+⋅
=RRRR
Rz
667,1354
3542 =
+⋅
=RRRR
Rz
Rezystory Rz1 i Rz2 s połczone szeregowo. Ich rezystancja zastpcza jest równa
Rz3=Rz1+Rz2=3,333
Jest ona połczona równolegle z rezystorem R25. Std rezystancja zastpcza tego połczenia
wynosi
667,233,13333,333,13333,3
4 =+⋅=zR
20
Rezystory R6, Rz4 i R7 s połczone szeregowo. Ich rezystancja zastpcza wynosi wic
Rz5=R6+Rz4+R7=12,667
Rezystancja ta jest z kolei połczona równolegle z rezystancj R8 tworzc wypadkow
rezystancj obwodu widzian z zacisków zewntrznych. Std całkowita rezystancja zastpcza
obwodu wyraa si wzorem
Ω=+⋅
=+
= 588,510667,12
10667,12
85
85
RRRR
Rz
zwe
Jak wida w powyszym przykładzie przekształcenie gwiazda-trójkt umoliwiło dalsze
uproszczenie obwodu i otrzymanie ostatecznego wyniku na rezystancj widzian z zacisków
wejciowych. Naley jednak zaznaczy, e przekształcenia gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda
s bardziej złoone obliczeniowo w stosunku do reguły upraszczania połczenia szeregowego
i równoległego. Stosuje si je tylko wtedy, gdy w obwodzie nie da si wyróni adnych
połcze szeregowych i równoległych.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 1.1
Stosujc prawa Kirchhoffa wyznaczy prdy w obwodzie przedstawionym na rysunku 1.17,
jeli R1=1Ω, R2=5Ω, R3=10Ω, R4=4Ω, a wartoci ródeł s nastpujce: e=10V, i=5A.
21
Rys. 1.17. Schemat obwodu do zadania 1.1.
Rozwizanie
Korzystajc z praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa opisujcych obwód w postaci
0
0
443322
2211
43
321
=−−=+
=+−=−−
iRiRiR
eiRiR
iii
iii
Po wstawieniu wartoci liczbowych parametrów i rozwizaniu układu równa otrzymuje si:
i1 = 1,011A, i2 = 1,798A, i3 = -0,786A oraz i4 = 4,214A.
Zadanie 1.2
Stosujc prawa Kirchhoffa wyznaczy prdy w obwodzie przedstawionym na rysunku 1.18,
jeli R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, R3 = 5Ω, R4 = 5Ω, a wartoci ródeł s nastpujce: e = 20V, iz1 = 1A,
iz2 = 2A.
Rys. 1.18. Schemat obwodu do zadania 1.2.
Rozwizanie
Korzystajc z praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa opisujcych obwód w postaci
24
332211
232
121
z
z
z
ii
eiRiRiR
iii
iii
=−=−−
−=−=+
Po wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si: i1 = -0,375A, i2 = 1,375A, i3 = 3,375A oraz
i4 = 2A.
22
Zadanie 1.3
Wyznaczy rezystancj wypadkow obwodu przedstawionego na rys. 1.19
Rys. 1.19. Schemat obwodu do zadania 1.3
Rozwizanie
Naley najpierw zastosowa transformacj trójkt-gwiazda lub gwiazda-trójkt w odniesieniu
do wybranych trzech rezystorów obwodu, a nastpnie wykorzysta uproszczenia wynikajce z
powstałych połcze szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działa
otrzymuje si Rwe = 3,18Ω.
Zadanie 1.4
Wyznaczy rezystancj wypadkow obwodu przedstawionego na rys. 1.20
Rys. 1.20. Schemat obwodu do zadania 1.4
23
Rozwizanie
Poniewa w obwodzie nie mona wyróni adnych połcze szeregowych i równoległych
naley najpierw zastosowa transformacj trójkt-gwiazda lub gwiazda-trójkt w odniesieniu
do wybranych trzech rezystorów obwodu (np. transfiguracja gwiazdy 2Ω, 3Ω i 5Ω na
równowany trójkt) a nastpnie wykorzysta uproszczenia wynikajce z powstałych
połcze szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działa otrzymuje si
warto rezystancji zastpczej obwodu równ Rwe = 1,59Ω.
24
Lekcja 2. Metoda symboliczna analizy obwodów w stanie ustalonym
przy wymuszeniu sinusoidalnym
Wstp
Sporód wielu rónych rodzajów wymusze stosowanych w obwodach elektrycznych, do
najwaniejszych naley wymuszenie sinusoidalne, ze wzgldu na to, e w praktyce
codziennej mamy do czynienia z napiciem i prdem sinusoidalnym generowanym w
elektrowniach. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym nastrcza pewne
problemy zwizane z koniecznoci rozwizania układu równa róniczkowych,
wynikajcych z opisu ogólnego kondensatorów i cewek. W lekcji drugiej poznamy metod
symboliczn analizy obwodów RLC w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym.
Dziki tej metodzie układ równa róniczkowo-całkowych opisujcych obwód RLC
zostaje sprowadzony do układu równa algebraicznych typu zespolonego. Wprowadzone
zostanie pojcie wartoci skutecznej zespolonej, impedancji i admitancji zespolonej oraz
prawa Kirchhoffa dla wartoci skutecznych zespolonych. Prawo prdowe i napiciowe
Kirchhoffa dla obwodów RLC w metodzie symbolicznej stosuje si identycznie jak dla
obwodów rezystancyjnych prdu stałego zastpujc rezystancj pojciem impedancji
zespolonej. W rezultacie otrzymuje si wartoci zespolone odpowiedzi, którym mona
przyporzdkowa wartoci chwilowe zgodnie z metod symboliczn. Uzupełnieniem tej
lekcji s wykresy wektorowe przedstawiajce na płaszczynie zespolonej relacje midzy
wartociami skutecznymi prdów i napi gałziowych w obwodzie.
2.1. Parametry sygnału sinusoidalnego
Sygnały sinusoidalne zwane równie harmonicznymi s opisane w dziedzinie czasu
nastpujcym wzorem (w opisie przyjto oznaczenie sygnału napiciowego)
)sin()( ψω += tUtu m (2.1)
Wielkoci wystpujce w opisie maj nastpujce nazwy i oznaczenia:
u(t) - warto chwilowa napicia
25
Um - warto maksymalna (szczytowa) napicia zwana równie amplitud
ψ - faza pocztkowa napicia odpowiadajca chwili t=0
ψω +t - kt fazowy napicia w chwili t
f=1/T - czstotliwo mierzona w hercach (Hz)
T - okres przebiegu sinusoidalnego
fπω 2= - pulsacja mierzona w radianach na sekund.
Wartoci chwilowe sygnałów oznacza bdziemy mał liter a wartoci maksymalne,
skuteczne i wielkoci operatorowe du.
Rys. 2.1. Sygnał sinusoidalny
Rys. 2.1 przedstawia przebieg sygnału sinusoidalnego napicia z oznaczeniami
poszczególnych jego parametrów. O odcitych ma podwójne oznaczenie: czasu oraz fazy
(aktualny kt fazowy).
Przebiegi zmienne w czasie dobrze charakteryzuje warto skuteczna. Dla przebiegu
okresowego f(t) o okresie T jest ona definiowana w postaci
+
=Tt
t
o
dttfT
F0
)(1 2 (2.2)
26
Łatwo udowodni, e warto skuteczna przebiegu okresowego nie zaley od wybory fazy
pocztkowej. Dla okrelenia wartoci skutecznej sygnału sinusoidalnego przyjmiemy sygnał
napiciowy o fazie pocztkowej równej zeru.
)sin()( tUtu m ω= (2.3)
Warto skuteczna tego sygnału okrelona jest wic zalenoci
=T
m dttUT
U0
22 )(sin1 ω (2.4)
Wykonujc operacj całkowania otrzymuje si
2
0
22
0
2
0
22
5,02sin25,05,0
)2cos1(5,0)(sin
mTm
m
T
m
T
m
TUtU
TU
dttUdttU
=−
=−=
ωω
ωω (2.5)
Std po podstawieniu do wzoru (2.4) otrzymuje si
2mU
U = (2.6)
Analogicznie w przypadku prdu sinusoidalnego
)sin()( im tIti ψω += (2.7)
otrzymujemy identyczn relacj
2mI
I = (2.8)
27
Dla sygnału sinusoidalnego warto skuteczna jest wic 2 razy mniejsza ni jego warto
maksymalna.
Drugim parametrem charakteryzujcym sygnał sinusoidalny jest warto rednia, czyli
pole zawarte pod krzyw odniesione do czasu, w którym ta warto jest obliczana. Warto
redni sygnału w okresie T definiuje zaleno
+
=Tt
tr dttf
TF
0
0
)(1
(2.9)
Ze wzgldu na symetri funkcji sinusoidalnej warto rednia całookresowa jest z definicji
równa zeru. W elektrotechnice uywa si pojcia wartoci redniej półokresowej, w której
przyjmuje si 2/TT → . W tym przypadku mona udowodni, e warto rednia
półokresowa dla sygnału sinusoidalnego jest powizana z wartoci maksymaln poprzez
relacj
m
Tt
tmr UdttU
TU
o
o
637,0)sin(2/
12/
== +
ω (2.10)
Naley zauway, e napicie stałe u(t)=U jest szczególnym przypadkiem sygnału
sinusoidalnego, dla którego czstotliwo jest równa zeru (f=0) a warto chwilowa jest stała
i równa u(t)=Um sin(ψ )=U. Jest to wana właciwo, gdy dziki temu metody analizy
obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym mog mie zastosowanie równie do wymusze
stałych przy załoeniu f=0. Dla sygnału stałego warto maksymalna, skuteczna i rednia s
sobie równe i równaj si danej wartoci stałej.
2.2. Metoda symboliczna analizy obwodów RLC w stanie ustalonym przy
wymuszeniu sinusoidalnym
Analiza obwodów zawierajcych elementy RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym napotyka
na pewne trudnoci zwizane z wystpieniem w opisie cewki i kondensatora równa
róniczkowych. Trudnoci te łatwo jest pokona w stanie ustalonym. Stanem ustalonym
obwodu nazywa bdziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak
charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne jest odpowied
równie sinusoidalna o tej samej czstotliwoci cho o rónej amplitudzie i fazie
28
pocztkowej. Dla stanu ustalonego obwodu wprowadzona zostanie metoda symboliczna
sprowadzajca wszystkie operacje róniczkowe i całkowe do działa algebraicznych na
liczbach zespolonych.
Dla wprowadzenia tej metody przyjmijmy, e rozwaany jest obwód szeregowy RLC
(rys. 2.2) zasilany ze ródła napicia sinusoidalnego )sin()( ψω += tUtu m .
Rys. 2.2. Połczenie szeregowe elementów RLC
Z prawa napiciowego Kirchhoffa wynika nastpujcy zwizek midzy napiciami
elementów tego obwodu
CLR uuutu ++=)( (2.11)
Biorc pod uwag podstawowe zalenoci definicyjne dla rezystora, cewki i kondensatora
RiuR = ,
= idtCuC /1
dtdi
LuL =
otrzymuje si
dtdi
LidtC
RitUm ++=+ 1
)sin( ψω (2.12)
Jest to równanie róniczkowo-całkowe opisujce zalenoci midzy wartociami chwilowymi
prdu i napicia wymuszajcego w obwodzie. Pełne rozwizanie tego równania sprowadza si
29
do wyznaczenia dwu składowych prdu, stanowicych odpowied obwodu w stanie
ustalonym i stanie przejciowym:
1. składowej ustalonej, której charakter zmian w czasie jest taki sam jak sygnału
wymuszajcego (przy sinusoidalnym wymuszeniu odpowied równie sinusoidalna o tej
samej czstotliwoci)
2. składowej przejciowej stanowicej rozwizanie równania róniczkowego pochodzcego
od niezerowych warunków pocztkowych.
Składowa przejciowa zanika zwykle szybko w czasie i pozostaje jedynie składowa ustalona.
Stan po zanikniciu składowej przejciowej nazywamy stanem ustalonym obwodu. Składow
ustalon prdu w obwodzie mona otrzyma nie rozwizujc równania róniczkowego
opisujcego ten obwód a korzystajc jedynie z tzw. metody symbolicznej. Istotnym
elementem tej metody jest zastpienie przebiegów czasowych ich reprezentacj zespolon.
Przyjmijmy, e prd )sin()( im tIti Ψ+= ω oraz napicie )sin()( Ψ+= tUtu m ω zastpione
zostały przez wektory wirujce w czasie, odpowiednio I(t) oraz U(t) okrelone w postaci
tjjm eeUtU ωψ=)( (2.13)
tjjm eeItI i ωψ=)( (2.14)
Po zastpieniu wartoci czasowych prdu i napicia w równaniu (2.12) poprzez ich
reprezentacj w postaci wektorów wirujcych otrzymuje si
++= dttICdt
tdILtRItU )(
1)()()( (2.15)
Po wykonaniu operacji róniczkowania i całkowania równanie powysze przyjmuje posta
tjjm
tjjm
tjjm
tjjm eeI
CjeeLIjeeRIeeU iii ωψωψωψωψ
ωω 1++= (2.16)
Dzielc obie strony równania przez tje ω i przechodzc do wartoci skutecznych (w tym celu
naley podzieli obie strony równania przez 2 ) otrzymuje si
30
iii jmjmjmjm eI
Cje
ILje
IRe
U ψψψψ
ωω
21
222++= (2.17)
Oznaczmy przez ψjm eU
U2
= warto skuteczn zespolon napicia, a przez ijm eI
I ψ
2=
warto skuteczn zespolon prdu. Wtedy równanie (2.15) mona zapisa w nastpujcej
postaci obowizujcej dla wartoci skutecznych zespolonych
ICj
LIjRIUω
ω 1++= (2.18)
Składnik
RIUR = (2.19)
odpowiada napiciu skutecznemu zespolonemu na rezystorze. Wielko
LIjUL ω= (2.20)
reprezentuje warto skuteczn zespolon napicia na cewce, a składnik
ICj
UC ω1= (2.21)
odpowiada wartoci skutecznej zespolonej napicia na kondensatorze. Wszystkie napicia i
prd w obwodzie s wartociami zespolonymi. Równanie (2.18) wyraa prawo napiciowe
Kirchhoffa odnoszce si do wartoci skutecznych zespolonych dla obwodu szeregowego
RLC. Stwierdza ono, e przy wymuszeniu sinusoidalnym warto skuteczna napicia
wymuszajcego w obwodzie szeregowym RLC jest równa sumie wartoci skutecznych
zespolonych napi na poszczególnych elementach tego obwodu.
Analizujc posta równania (2.18) mona zauway prost analogi do równania
opisujcego obwód rezystancyjny. W tym celu wprowadzimy uogólnienie rezystancji w
postaci pojcia impedancji zespolonej wicej wartoci skuteczne prdu i napicia na
31
elementach R, L, C w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Z ostatnich równa
na podstawie prawa Ohma mona napisa nastpujce przyporzdkowania:
Dla rezystora
RZR = (2.22)
impedancja ZR jest równa rezystancji tego rezystora.
Dla cewki
LjZL ω= (2.23)
impedancja ZL jest liczb zespolon (urojon) zalen liniowo od czstotliwoci.
Dla kondensatora
C
jCj
ZC ωω11 −== (2.24)
impedancja ZC jest take zespolona i odwrotnie proporcjonalna do czstotliwoci.
Warto LX L ω= nosi nazw reaktancji indukcyjnej a warto C
XC ω1= reaktancji
pojemnociowej. W zwizku z powyszym mona napisa LL jXZ = , CC jXZ −= .
Wprowadzajc oznaczenie wypadkowej impedancji obwodu przez Z, gdzie CLR ZZZZ ++=
zaleno prdowo-napiciow w obwodzie szeregowym RLC mona zapisa w postaci,
znanej jako prawo Ohma dla wartoci symbolicznych
ZIU = (2.25)
lub
ijeIZU
I ψ== (2.26)
gdzie moduł prdu
22 )/1( CLR
UZU
Iωω −+
== (2.27)
32
natomiast kt fazowy prdu
R
CLi
ωωψψ /1arctg
−−= (2.28a)
Faza pocztkowa wektora napicia wymuszajcego jest tu oznaczona przez ψ , a faza
pocztkowa wektora prdu – przez iψ . Rónica faz nazywana jest przesuniciem fazowym
prdu wzgldem napicia i oznaczana liter ϕ , przy czym
R
CLi
ωωψψϕ /1arctg
−=−= (2.28b)
Kt przesunicia fazowego ϕ odgrywa ogromn rol w elektrotechnice, zwłaszcza w
zagadnieniach mocy. Kt ten jest uwaany za dodatni dla obwodów o charakterze
indukcyjnym a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnociowym.
Zauwamy, e wartociom skutecznym prdu oraz napicia mona przyporzdkowa
funkcj czasu. Biorc pod uwag, e przejcie z przebiegu czasowego na opis zespolony
(symboliczny) odbywa si według schematu
ψψω jmm e
UtUtu
2)sin()( →+= (2.29)
powrót z wartoci zespolonej do postaci czasowej polega na pomnoeniu modułu wartoci
skutecznej przez 2 i uzupełnieniu wyniku przez dopisanie funkcji )sin( ψω +t . Std
przykładowo, jeli wynik zespolony prdu dany jest w postaci 5010 jeI = , to odpowiadajcy
mu przebieg czasowy ma posta )50sin(210)( += tti ω . Istnieje równie cisła analogia
midzy konduktancj (odwrotno rezystancji) a odwrotnoci impedancji. Analogicznie do
pojcia konduktancji w obwodzie rezystancyjnym wprowadza si pojcie admitancji
zespolonej dla obwodu RLC. Admitancja jest definiowana jako odwrotno impedancji.
Oznaczana jest najczciej liter Y, przy czym
Y = 1/Z (2.30)
33
Admitancja kondensatora jest równa CjYC ω= , cewki L
jLj
YL ωω11 −== , natomiast
admitancja rezystora jest równa jego konduktancji YR=G=1/R. Podobnie odwrotno
reaktancji X nosi specjaln nazw susceptancji. Warto susceptancji dla kondensatora jest
równa CBC ω= , natomiast dla cewki LBL ω/1= .
2.3 Prawa Kirchhoffa dla wartoci symbolicznych
Przy zastpieniu wartoci rzeczywistych przez wartoci zespolone równania róniczkowe
zostały zastpione przez równania algebraiczne. Nastpiła zatem algebraizacja równa
opisujcych obwód. Wszystkie elementy RLC traktowane s w podobny sposób i
reprezentowane przez swoje impedancje symboliczne w postaci zespolonej. Impedancje
zespolone mog by interpretowane jako uogólnienie rezystancji. Dla obwodu
reprezentowanego w postaci symbolicznej obowizuj prawa Kirchhoffa, które maj
identyczn posta jak dla obwodu rzeczywistego, z ta rónic, e zamiast wielkoci
chwilowych uywa si wielkoci zespolonych.
Prawo prdowe Kirchhoffa
Suma prdów zespolonych w dowolnym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru, co
zapiszemy w postaci
=k
kI 0 (2.31)
W równaniu tym wszystkie prdy dane s w postaci zespolonej.
Prawo napiciowe Kirchhoffa
Suma napi zespolonych w kadym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru, co
zapiszemy w postaci
=k
kU 0 (2.32)
W równaniu tym symbolem U oznaczono wszystkie napicia w postaci zespolonej, zarówno
na gałziach pasywnych jak i ródłowych obwodu. Sposób sumowania (znak plus lub minus)
34
zarówno prdów jak i napi jest taki sam jak w przypadku operowania wartociami
rzeczywistymi.
2.4. Wykresy wektorowe obwodu
W przypadku analizy obwodów RLC w stanie ustalonym wanym pojciem jest wykres
wektorowy przedstawiajcy w sposób orientacyjny zalenoci midzy poszczególnymi
wektorami prdu i napicia w obwodzie. Jak wiadomo kadej liczbie zespolonej mona
przyporzdkowa reprezentacj geometryczn w postaci odpowiedniej zalenoci wektorowej
przedstawionej na płaszczynie, w której o pozioma odpowiada czci rzeczywistej a o
pionowa czci urojonej liczby zespolonej. Konstruujc wykres naley pamita, e
pomnoenie wektora przez operator j jest równowane jego obrotowi o kt 90 stopni
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara gdy operator j jest równy 90je . Podobnie
pomnoenie wektora przez operator -j jest równowane jego obrotowi o kt 90 stopni zgodnie
z ruchem wskazówek zegara gdy operator -j jest równy 90je− . Pomnoenie wektora przez
liczb rzeczywist nie zmienia pozycji wektora w przestrzeni o ile jest to liczba dodatnia lub
zmienia zwrot wektora o o180 jeli liczba ta jest ujemna.
Z zalenoci prdowo-napiciowych dla rezystora jest oczywiste, e
RR RIU = (2.33)
co wobec rzeczywistych, dodatnich wartoci R oznacza, e napicie na rezystorze jest w fazie
z prdem tego rezystora. Dla cewki obowizuje
LL LIjU ω= (2.34)
co oznacza, e napicie na cewce wyprzedza prd o kt 90 . Podobnie napicie na
kondensatorze opónia si wzgldem swojego prdu o kt 90 , gdy
CC IC
jUω1−= (2.35)
Na rys. 2.3 przedstawiono wykresy wektorowe dla rezystora, cewki i kondensatora z
zaznaczeniem przesuni ktowych midzy wektorami prdu i napicia.
35
Rys. 2.3. Wykresy wektorowe dla a) rezystora, b) cewki, c) kondensatora
Przedstawione powyej zasady konstruowania przesuni ktowych midzy wektorami prdu
i napicia umoliwiaj podanie ogólnych zasad postpowania przy konstruowaniu wykresu
wektorowego dla dowolnego obwodu RLC.
Wykres wektorowy z definicji uwzgldnia przede wszystkim przesunicia ktowe
midzy poszczególnymi wektorami. Relacje ilociowe (długoci) poszczególnych wektorów
s mniej istotne i zwykle uwzgldniane w sposób jedynie przybliony. Wykres rozpoczyna si
zwykle od koca obwodu (gałzi najdalej połoonej od ródła). Jeli gał jest połczeniem
szeregowym elementów rozpoczynamy od prdu tej gałzi, a w przypadku połczenia
równoległego – od napicia. Nastpnie rysuje si na wykresie na przemian napicia i prdy
kolejnych gałzi, dochodzc w ten sposób do ródła. Budow wykresu koczy si w
momencie dojcia do prdu i napicia ródłowego obwodu. Relacja wektora prdu
ródłowego wzgldem napicia decyduje o charakterze obwodu. Jeli napicie wypadkowe
(ródłowe) wyprzedza prd wypadkowy lub inaczej mówic prd opónia si wzgldem
napicia - obwód ma charakter indukcyjny. Jeli natomiast napicie opónia si wzgldem
prdu lub prd wyprzedza napicie - mówimy o charakterze pojemnociowym obwodu. Jeli
nie istnieje przesunicie fazowe prdu wypadkowego wzgldem napicia (kt fazowy równy
zeru) mówimy o tzw. stanie rezonansu obwodu, lub po prostu charakterze rezystancyjnym
danego obwodu. Charakter rezystancyjny obwodu moe powsta nawet przy istnieniu w
obwodu indukcyjnoci i pojemnoci w przypadku gdy nastpuje kompensacja odpowiednich
36
składowych indukcyjnej i pojemnociowej wektorów. Sposób postpowania przy
sporzdzaniu wykresów wektorowych przedstawimy na przykładzie konkretnego obwodu.
Przykład 2.1
Narysowa wykres wektorowy prdów i napi dla obwodu RLC o strukturze
przedstawionej na rys. 2.4.
Rys. 2.4. Schemat obwodu RLC do przykładu 2.1
Rozwizanie
Na rys. 2.5 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie RLC z rys. 2.4.
Rys. 2.5. Wykres wektorowy prdów i napi dla obwodu z rys. 2.4
37
Sporzdzanie wykresu rozpoczyna si od prdu I3 dobudowujc kolejno wektory napi i
prdów gałzi przesuwajc si w stron ródła: 3RU ,
3LU , 2RU , 2I , 1I ,
1CU , E. Jak wida
obwód ma charakter pojemnociowy, gdy napicie wypadkowe E opónia si wzgldem
odpowiadajcego mu prdu 1I .
Zadania sprawdzajce
Zadanie 2.1
Wyznaczy rozpływy prdów w obwodzie z rys. 2.6 w stanie ustalonym. Przyj nastpujce
wartoci parametrów: )1000sin(25)( tti = A, Ω= 10R , C = 0,0001F, L = 5mH.
Rys. 2.6. Schemat obwodu do zadania 2.1
Rozwizanie
Wartoci symboliczne elementów obwodu:
1000=ω
5=I
5jLjZL == ω
10/1 jCjZC −== ω
Impedancje obwodu RLC:
1,01,0111
jZZR
YCL
−=++=
ojeY
Z 45
2101 ==
Prdy i napicie w obwodzie:
38
ojeZIU 45
250==
ojR e
RU
I 45
25==
oj
LL e
ZU
I 45
210 −==
oj
CC e
ZU
I 135
2
5==
Wartoci chwilowe prdów i napicia
)451000sin(50)( ottu +=
)451000sin(5)( oR tti +=
)451000sin(10)( oL tti −=
)1351000sin(5)( oC tti +=
Zadanie 2.2
Wyznaczy prdy i napicia w obwodzie przedstawionym na rys. 2.7. Przyj nastpujce
wartoci elementów: )90100sin(220)( otte −= V, Ω= 101R , Ω= 52R , C = 0,001F,
L = 0.05H.
Rys. 2.7. Schemat obwodu do zadania 2.2
Rozwizanie
Wartoci symboliczne elementów obwodu:
39
100=ω ojeE 9020 −=
5jLjZL == ω
10/1 jCjZC −== ω
Impedancje obwodu:
5,25,22
2 jZR
ZRZ
L
LRL +=
+=
5,75,121 jZRZZ CRL −=++=
Prdy i napicia w obwodzie:
18,171,0/ jZEI −==
18,171,4 jIZU RLRL −==
94,023,01 jZ
UI
L
RL −−==
23,094,02 jR
UI RL −==
06,776,11 jIZU CC −−==
8,111,711jIRU R −==
Zadanie 2.3
Sporzdzi wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie przedstawionym na rys. 2.8.
Rys. 2.8. Schemat obwodu do zadania 2.3
Rozwizanie
40
Wykres rozpoczyna si od prdu I3, dodajc kolejno napicia na R3 i L3, napicie UC2, prd
IC2, prd I1 oraz napicie E. Pełny wykres wektorowy przedstawiony jest na rys. 2.9.
Rys. 2.9. Wykres wektorowy obwodu z rys. 2.8
Kt fazowy przesunicia prdu wzgldem napicia zasilajcego jest równy ϕ . Biorc pod
uwag, e napicie wyprzedza prd obwód ma charakter indukcyjny.
41
Lekcja 3. Zagadnienia mocy w obwodach RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym
Wstp
Jednym z najwaniejszych poj w elektrotechnice jest moc elektryczna. Jest ona cile
zwizana ze zjawiskami energetycznymi zachodzcymi w obwodzie o wymuszeniu
sinusoidalnym. Wielkociom prdu i napicia przyporzdkowa mona róne rodzaje mocy.
Lekcja trzecia powicona jest zagadnieniom mocy chwilowej p(t), mocy czynnej P,
mocy biernej Q oraz mocy pozornej S. Poznamy wzory wice poszczególne rodzaje mocy z
prdami i napiciami w obwodzie RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym w stanie ustalonym.
Podane zostan wzory wyraajce energi zgromadzon w cewce i kondensatorze, a na tej
podstawie modele rzeczywistej cewki i kondensatora, uwzgldniajce ich stratnoci. Ostatnim
fragmentem lekcji s zagadnienia dopasowania odbiornika do ródła rzeczywistego o
niezerowej impedancji wewntrznej.
3.1. Moc chwilowa
Warto chwilow napicia i prdu gałzi oznaczymy odpowiednio przez )sin()( tUtu m ω=
oraz )sin()( ϕω −= tIti m przyjmujc dla uproszczenie faz pocztkow napicia równ zeru.
Moc chwilowa p(t), jako jedyna z mocy jest funkcj czasu i definiuje si j w postaci iloczynu
wartoci chwilowych prdu )(ti oraz napicia )(tu w obwodzie
)()()( titutp = (3.1)
Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem
[ ]
)]2cos([cos
)2cos(cos2
)sin()sin()()()(
ϕω
ϕωϕϕωω
−−=
=−−=−==
tIU
tIU
ttIUtitutp mmmm (3.2)
Z powyszej zalenoci wida, e moc chwilowa zawiera dwie składowe: stał )cos(ϕIU
oraz zmienn w czasie )2cos( ϕω −tIU o czstotliwoci dwukrotnie wikszej od
czstotliwoci napicia i prdu w obwodzie. Jest zatem wielkoci zmienn w czasie opisan
42
funkcj okresow harmoniczn. Moc chwilowa nie znajduje wikszego zastosowania
praktycznego, natomiast jest niezbdna dla zdefiniowania mocy czynnej.
3.2. Moc czynna
Moc czynn definiuje si jako warto redni za okres z mocy chwilowej, to jest
+
=Tt
t
dttpT
P0
0
)(1
(3.3)
Podstawiajc do powyszego wzoru funkcj okrelajc moc chwilow w obwodzie, po
wykonaniu operacji całkowania otrzymuje si
ϕcosIUP = (3.4)
Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest wic wielkoci stał równ
iloczynowi modułów wartoci skutecznych napicia i prdu oraz cosinusa kta przesunicia
fazowego midzy wektorem napicia i prdu. Współczynnik ten odgrywa ogromn rol w
praktyce i nosi specjaln nazw współczynnika mocy ( ϕcos ).
Moc czynna stanowi składow stał mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu
RLC a w granicznym przypadku przy 2/πϕ ±= jest równa zeru. Moc czynna osiga warto
najwiksz IUP = wtedy, gdy 0=ϕ , to znaczy gdy odbiornik ma charakter
rezystancyjny, 1cos =ϕ . Warto najmniejsz (P=0) moc osiga w przypadku granicznym,
gdy 2/πϕ ±= , to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator idealny,
.0cos =ϕ Oznacza to, e na elementach reaktancyjnych nie wydziela si moc czynna.
Z przytoczonych rozwaa wynika, e moc czynna jest tym wiksza im mniejszy jest
kt przesunicia fazowego midzy prdem i napiciem. Moe wydziela si jedynie na
elementach rezystancyjnych i odpowiada energii, która wydziela si w jednostce czasu w
postaci ciepła w tych elementach. Uwzgldniajc, e przesunicie fazowe prdu i napicia na
rezystorze jest równe zeru ( 1cos =ϕ ) wzór na moc czynn wydzielan w rezystorze moe
by wyraony w trzech równorzdnych postaciach
22cos UGIRIUP === ϕ (3.5)
43
w których prd I oraz napicie U odpowiadaj rezystorowi R. Jednostk mocy czynnej jest
wat (W) , przy czym 1W=1AV. W praktyce stosuje si równie wielokrotnoci wata w
postaci kilowata (1kW=1000W) lub megawata (1MW=106W) oraz wartoci ułamkowe, np.
miliwat (mW) lub mikrowat (W ).
3.3. Moc bierna W obwodach elektrycznych prdu sinusoidalnego definiuje si trzeci wielko energetyczn
bdc iloczynem napicia i prdu oraz sinusa kta przesunicia fazowego midzy nimi.
Wielko ta oznaczana jest liter Q i nazywana moc biern
ϕsinIUQ = (3.6)
Jednostk mocy biernej jest war (var) bdcy skrótem nazwy woltamper reaktywny.
Ze wzgldu na wystpowanie w definicji mocy biernej funkcji sinusoidalnej jest
oczywiste, e moc bierna jest tym mniejsza im mniejszy jest kt przesunicia fazowego prdu
i napicia. Std w przypadku rezystora, dla którego przesunicie fazowe jest równe zeru
( 0sin =ϕ ) moc bierna jest zerowa Moc bierna moe si wic wydziela jedynie na
elementach reaktancyjnych, gdy tylko dla nich przesunicie fazowe prdu i napicia jest
róne od zera. Przesunicie fazowe prdu i napicia na elementach reaktancyjnych (cewce i
kondensatorze) przyjmuje warto +90 dla cewki oraz -90 dla kondensatora, co oznacza, e
sinus kta jest odpowiednio równy równy +1 dla cewki (moc bierna cewki jest uwaana za
dodatni) oraz –1 dla kondensatora (moc bierna kondensatora jest uwaana za ujemn). Std
przy pominiciu znaku wzór na moc biern elementów reaktancyjnych o reaktancji X moe
by przedstawiony w trzech równorzdnych postaciach
22 1
sin UX
IXIUQ === ϕ (3.7)
W ogólnoci kt przesunicia fazowego ϕ uwaa si za dodatni dla obwodów o charakterze
indukcyjnym (napicie wyprzedza prd) a za ujemny dla obwodów o charakterze
pojemnociowym (napicie opónia si wzgldem prdu). Moc bierna obwodów o
44
charakterze indukcyjnym jest w sumie moc indukcyjn, kojarzona z liczb dodatni a moc
bierna obwodów o charakterze pojemnociowym jest w sumie moc pojemnociow i
kojarzon z liczb ujemn.
3.4. Moc pozorna Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana moc
pozorna. Jest ona proporcjonalna do wartoci skutecznych prdu i napicia, i oznaczana liter
S. Moc pozorna definiowana jest formalnie jako liczba zespolona w postaci iloczynu wartoci
skutecznej zespolonej napicia U i wartoci skutecznej sprzonej prdu I
*UIS = (3.8)
Tak zdefiniowana moc pozorna przedstawia sob sum mocy czynnej (cz rzeczywista S)
oraz mocy biernej (cz urojona S), std
jQPS += (3.9)
Uwzgldniajc, e operator j oznacza przesunicie wektora o kt 90 , ostatniej zalenoci na
moc pozorn przyporzdkowa mona wykres wektorowy mocy, tzw. trójkt mocy
przedstawiony na rys. 3.1.
a) b)
Rys. 3.1. Wykres wektorowy mocy dla obwodu a) o charakterze indukcyjnym,
b) o charakterze pojemnociowym
45
Biorc pod uwag kierunek przesunicia prdu wzgldem napicia na rys. 3.1a wykres mocy
dotyczy obwodu o charakterze indukcyjnym a rys. 3.1b obwodu o charakterze
pojemnociowym. Wykres ten nazywany jest równie trójktem mocy. W trójkcie mocy
składowa czynna i bierna s przyprostoktnymi natomiast moc pozorna przeciwprostoktn.
Zaleno na moc pozorn zespolon mona przedstawi równie w postaci
wykładniczej ϕjeSS = . W zalenoci tej S wyraa moduł mocy pozornej, który moe by
wyraony w postaci iloczynu modułów wartoci skutecznych prdu i napicia
22 QPIUS +== (3.10)
Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rys. 3.1 moliwe jest wyznaczenie
współczynnika mocy. Mianowicie
SP=ϕcos (3.11)
Warto współczynnika mocy wyznaczona z powyszej zalenoci jest identyczna z
wartoci wynikajc z relacji prdowo-napiciowych zachodzcych dla wielkoci
bramowych obwodu. Dla ułatwienia korzystania z poj mocy zestawiono poniej
najwaniejsze postacie wzorów na moc czynn, biern i pozorn
Moc pozorna
jQPUIS +== * (3.12)
Moc czynna
R
URISIUP R
R
22
)Re(cos ==== ϕ (3.13)
Moc bierna
46
X
UXISIUQ X
X
22
)Im(sin ==== ϕ (3.14)
3.5. Bilans mocy W obwodzie elektrycznym, jak w kadym układzie fizycznym obowizuje prawo zachowania
energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca si w tak zwane prawo bilansu mocy.
Jeli całkowit moc pozorn wytworzon przez ródło (lub wiele ródeł wystpujcych w
obwodzie) oznaczymy przez Sg a sumaryczn moc pozorn wydzielon w elementach
odbiornika przez So, to biorc pod uwag prawo zachowania energii obie moce musz by
sobie równe, to znaczy Sg=So. Jest to tak zwana zasada bilansu mocy w obwodach
elektrycznych.
W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje si standardowo, e zwroty
prdów i napi w elementach odbiornikowych s przeciwne sobie a w elementach
ródłowych takie same. Jeli przyjmiemy ujednolicon zasad znakowania prdów i napi na
gałziach obwodu, zakładajc, e niezalenie od rodzaju elementu zwroty prdu i napicia
na gałzi s przeciwne sobie, to zasad bilansu mocy mona sformułowa w ten sposób, e
suma mocy liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa zeru,
Sg+So=0.
Dla zilustrowania wprowadzonych tu poj mocy oraz zasady bilansowania si mocy
rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rys. 3.2.
Przykład 3.1
Niech dany bdzie obwód RLC o strukturze przedstawionej na rys. 3.2 zasilany z
sinusoidalnego ródła napicia )45sin(2100)( += tte ω V o wartoci s
rad1=ω . Wartoci
elementów obwodu s nastpujce: Ω= 1R , FC 5,0= , HL 1= .
47
Rys. 3.2. Schemat obwodu do przykładu 3.1
Naley wyznaczy wartoci skuteczne zespolone prdów i napi elementów oraz moce w
obwodzie.
Rozwizanie
Wartoci zespolone impedancji i napicia wymuszajcego w obwodzie przy danych
wartociach elementów s równe: 1jLjZL == ω , 2/1 jCjZC −=−= ω , ojeE 45100= .
Impedancja zastpcza połczenia równoległego L i R równa si oj
L
LRL e
ZRRZ
Z 45707.0=+
= .
Impedancja zastpcza połczenia szeregowego C i RLZ jest równa
ojRLC ejjZZZ 6,7178,125,05,0 −=−+=+= . Zgodnie z prawem Ohma prd I w obwodzie jest
równy
o
o
o
j
j
j
C ee
eZE
I 6,116
6,71
45
3,6358,1100 ===
−
Napicia na poszczególnych elementach obwodu dane s w postaci
oj
CCC eIZU 6,266,106==
ojCRLRL eIZU 6,16175,44==
Prdy cewki i rezystora obliczone z prawa Ohma równaj si
48
oj
L
RLL e
ZU
I 6,7175,44==
ojRLR e
RU
I 6.16175,44==
Na rys. 3.3 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie.
Rys. 3.3. Wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie z rys. 3.2
Poszczególne rodzaje mocy wydzielonej w obwodzie równaj si:
Moc pozorna wydawana przez ródło
AV)60001998(6330 6,71* ⋅−==⋅= − jeIESoj
C
Moc czynna rezystora
W19982 == RIP RR
Moc bierna cewki i kondensatora
var2000)Im( * =⋅= LRLL IUQ
var8000)Im( * −=⋅= CCC IUQ
Całkowita moc bierna wydzielona na cewce i kondensatorze równa si
var6000−=+= CL QQQ
Moc wydzielona na rezystorze oraz cewce i kondensatorze równa si dokładnie mocy
dostarczonej przez ródło. Bilans mocy generowanej przez ródło i mocy wydzielonej w
odbiorniku jest zatem równy zeru.
49
3.6 Energia magazynowana w cewce i kondensatorze Cewka i kondensator traktowane jako idealne elementy obwodowe nale do elementów
magazynujcych energi elektryczn i z tego punktu widzenia odgrywaj ogromn rol w
elektrotechnice
.
3.6.1 Energia magazynowana w idealnym kondensatorze Rozpatrzmy kondensator o pojemnoci C zasilony z generatora napiciowego u(t). Obliczymy
energi dostarczon do tego kondensatora w czasie od t0 do t. Energia ta moe by obliczona
jako całka z mocy chwilowej
=t
t
dpttW0
)(),( 0 ττ (3.15)
Uwzgldniajc wzór na moc chwilow i dokonujc odpowiednich operacji całkowania
otrzymujemy
===)(
)(0
000
)()()()(),(
tu
tu
t
t
t
t
uduCdd
duCudiuttW τ
ττττττ (3.16)
Załómy, e czas t0 jest tak chwil, w której napicie u(t) jest zerowe. W takim razie wzór na
energi upraszcza si do postaci
)(21
),( 2)(
00 tCuuduCttW
tu
== (3.17)
Zasadnicz cech kondensatora idealnego jest jego bezstratno, co oznacza, e energia
zgromadzona na nim pozostaje w nim zmagazynowana. Zatem kondensator naładowany do
napicia stałego U posiada energi równ
2
21
CUW = (3.18)
50
Jest to bardzo wana własno kondensatora, wykorzystywana do magazynowania energii
elektrycznej.
3.6.2 Energia magazynowana w idealnej cewce Rozpatrzmy cewk o indukcyjnoci L zasilon z generatora napiciowego u(t). Obliczymy
energi dostarczon do tej cewki w czasie od t0 do t. Energia ta, podobnie jak w przypadku
kondensatora, moe by obliczona jako całka z mocy chwilowej
=t
t
dpttW0
)(),( 0 ττ (3.19)
Uwzgldniajc wzór na moc chwilow i dokonujc odpowiednich operacji całkowania
otrzymujemy
===)(
)(0
000
)()()()(),(
tu
tu
t
t
t
t
idiLdd
diLidiuttW τ
ττττττ (3.20)
Załómy, e czas t0 jest tak chwil, w której prd cewki i(t) jest zerowy. W takim razie wzór
na energi upraszcza si do postaci
)(21
),( 2)(
00 tLiidiLttW
tu
== (3.21)
Zasadnicz cech cewki idealnej jest jej bezstratno, co oznacza, e energia dostarczona do
niej pozostaje w niej zmagazynowana. Zatem cewka, przez która przepływa prd stały I
posiada energi równ
2
21
LIW = (3.22)
51
W odrónieniu od kondensatora, w którym energia zwizana była z napiciem midzy
okładkami (ładunkiem) energia cewki jest uzaleniona od prdu (strumienia magnetycznego).
Std przyjmuje si, e kondensator magazynuje energi w polu elektrycznym a cewka w polu
magnetycznym.
3.7 Rzeczywiste modele cewki i kondensatora W dotychczasowych rozwaaniach traktowalimy cewk i kondensator jako elementy idealne,
posiadajce tylko jedn cech: indukcyjno w przypadku cewki i pojemno w przypadku
kondensatora. Bardziej realistyczne modele tych elementów wymagaj uwzgldnienia ich
stratnoci, któr moemy zamodelowa przy pomocy rezystancji.
3.7.1 Cewka rzeczywista W przypadku cewki rzeczywistej zbudowanej z wielu zwojów drutu (zwykle miedzianego)
naturalny model wymaga uwzgldnienia rezystancji zwojów. Najczciej przyjmuje si model
szeregowy cewki, przedstawiony na rys. 3.4, w którym indukcyjno i rezystancja tworz
połczenie szeregowe.
Rys. 3.4. Szeregowy model cewki rzeczywistej
52
Cewk rzeczywist charakteryzuje jej dobro QL definiowana jako stosunek maksymalnej
energii zgromadzonej w polu magnetycznym do energii rozproszonej w rezystancji w cigu
okresu T
)(
2 max
TWW
QR
LL π= (3.23)
Uwzgldniajc zalenoci energetyczne obowizujce dla cewki i rezystora mona łatwo
udowodni, e wzór powyszy dla modelu szeregowego cewki upraszcza si do postaci
RL
QL
ω= (3.24)
Mnoc licznik i mianownik tej zalenoci przez moduł prdu (wspólnego dla obu
elementów) wzór na dobro mona wyrazi jako stosunek modułu napicia na indukcyjnoci
do modułu napicia na rezystancji
R
LL U
UQ = (3.25)
Jeli uwzgldnimy wykres wektorowy prdów i napi dla szeregowego modelu cewki
(rys. 3.5) otrzymamy nastpujc zaleno
53
Rys.3.5. Wykres wektorowy dla modelu szeregowego cewki
ϕtg=LQ (3.26)
Dobro obwodu jest wic równa tangensowi kta przesunicia fazowego midzy wektorem
prdu i napicia na cewce. W przypadku cewki idealnej kt fazowy jest równy o90 (napicie
na rezystorze szeregowym dy do zera), std taka cewka ma dobro nieskoczon.
3.7.2 Kondensator rzeczywisty Model kondensatora rzeczywistego powinien uwzgldnia naturaln upływno izolacji
midzyokładkowej (skoczon rezystancj izolacji). Naturalny sposób uwzgldnienia tego
prdu to przyjcie modelu równoległego, w którym na całkowity prd kondensatora składa si
prd pojemnoci C oraz konduktancji G jak to przedstawiono na rys. 3.6.
Rys. 3.6. Równoległy model kondensatora rzeczywistego
Kondensator rzeczywisty charakteryzuje jego dobro QC definiowana jako stosunek
maksymalnej energii pola elektrycznego kondensatora do energii rozproszonej w rezystancji
w cigu okresu T
)(
2 max
TWW
QR
CC π= (3.27)
54
Uwzgldniajc zalenoci energetyczne obowizujce dla kondensatora i rezystora mona
łatwo udowodni, e wzór powyszy dla modelu równoległego kondensatora upraszcza si do
postaci
CRGC
QC ωω == (3.28)
Dobro kondensatora mierzona w modelu równoległym jest tym wiksza im mniejsza jest
jego upływno (wiksza rezystancja), a wic odwrotnie ni dla modelu szeregowego cewki.
Mnoc licznik i mianownik tej zalenoci przez moduł napicia (wspólnego dla obu
elementów) wzór na dobro mona wyrazi jako stosunek modułu prdu pojemnociowego
do modułu prdu upływnociowego rezystancji
R
CC I
IQ = (3.29)
Jeli uwzgldnimy wykres wektorowy prdów i napi dla równoległego modelu
kondensatora (rys. 3.7) otrzymamy nastpujc zaleno
Rys. 3.7. Wykres wektorowy dla modelu równoległego kondensatora
55
ϕtg=CQ (3.30)
Dobro obwodu jest wic równa tangensowi kta przesunicia fazowego midzy wektorem
wypadkowym prdu i napicia na kondensatorze. W przypadku kondensatora idealnego kt
fazowy jest równy o90 (warto prdu upływnociowego dy do zera), std taki kondensator
ma dobro nieskoczon.
3.8 Dopasowanie odbiornika do ródła Rzeczywiste ródło energii elektrycznej mona przedstawi w postaci szeregowego
połczenia idealnego ródła napicia E oraz impedancji wewntrznej ródła Zg jak to
przedstawiono na rys. 3.8
Rys. 3.8. Model rzeczywistego ródła napiciowego generatora
Rozwamy elementarny obwód złoony z rzeczywistego ródła napicia oraz impedancji
odbiornika Z jak to przedstawiono na rys. 3.9.
Rys. 3.9. Rzeczywiste ródło napicia obcione impedancj Z
56
Przyjmijmy ogólny model impedancji wewntrznej ródła w postaci
ggg jXRZ += (3.31)
Podobnie załoymy, e impedancj odbiornika stanowi połczenie szeregowe rezystancji R
oraz reaktancji X, to jest
jXRZ += (3.32)
Dopasowanie odbiornika do generatora rozumiemy jako dobór takiej impedancji odbiornika,
przy której odbiornik pobiera ze ródła maksymaln moc czynn. Z analizy obwodu
przedstawionego na rys. 3.9 wynika, e moc P odbiornika jest okrelona zalenoci
( ) ( )22
2
2
22
XXRR
RER
ZZ
ERIP
ggg+++
=+
== (3.33)
Przy ustalonej wartoci rezystancji odbiornika wyraenie powysze osiga maksimum dla
gXX −= (3.34)
Znak minus oznacza, e reaktancja odbiornika powinna mie charakter odwrotny do
reaktancji generatora. Przy indukcyjnym charakterze impedancji ródła, odbiornik powinien
mie charakter pojemnociowy.
Po uwzgldnieniu tej zalenoci wyraenie na moc przyjmie uproszczon posta
( )2
2
RR
REP
g += (3.35)
Wydzielenie maksymalnej mocy czynnej na rezystorze wymaga, aby pochodna funkcji mocy
wzgldem rezystancji R równała si zeru, czyli
57
0)( =
dRRdP
(3.36)
czyli
( ) ( )
( ) 02
4
2
=+
+−+E
RR
RRRRR
g
gg (3.37)
Równane powysze jest spełnione dla wartoci rezystancji obcienia równej rezystancji
ródła, czyli
gRR = (3.38)
Mona łatwo sprawdzi, e przy takim warunku druga pochodna funkcji mocy wzgldem
rezystancji jest ujemna, co oznacza, e mamy do czynienia z maksimum mocy. Ostatecznie
stwierdzamy, e warunkiem dopasowania odbiornika do generatora ze wzgldu na moc
czynn jest
ggg jXRZZ −== * (3.39)
Łatwo jest pokaza, e przy spełnieniu powyszego warunku na impedancji odbiornika
wydzieli si maksymalna moc czynna maxP równa
gR
EP
4
2
max = (3.40)
Biorc pod uwag, e w obwodzie istniej dwie identyczne rezystancje (odbiornika i
generatora), przez które przepływa identyczny prd moc maksymalna odbiornika stanowi
50% całkowitej mocy wydzielanej przez ródło idealne.
Zadania sprawdzajce
58
Zadanie 3.1
Sporzdzi bilans mocy w obwodzie przedstawionym na rys. 3.10. Przyj nastpujce
wartoci elementów: )sin(250)( tte ω= V, s
rad1=ω , H10=L , F1,0=C , Ω= 151R ,
Ω= 102R .
Rys. 3.10. Schemat obwodu do zadania 3.1
Rozwizanie
Wartoci symboliczne elementów obwodu:
1=ω
50=E
10jLjZL == ω
10/1 jCjZC −== ω
Impedancje obwodu:
1,01111
2
=++=CLAB ZZRZ
10=ABZ
251 =+= RZZ AB
Prdy i napicia w obwodzie:
2/ == ZEI
20== ABAB IZU
21 jZ
UI
C
AB ==
59
22 jZ
UI
L
AB −==
22
3 ==R
UI AB
Moc wydawana prze ródło
0100250* jEISE +=⋅==
Moce elementów
WRIPR 6012
1==
WRIPR 4022
32==
var402
2 == LIQL ω
var4012
1 −=−=C
IQC ω
Moc całkowita odbiornika
010021
jjQjQPPS CLRRodb +=++=
Moc odbiornika jest dokładnie równa mocy ródła.
Zadanie 3.2
Dobra tak wartoci rezystancji 1R i indukcyjnoci L aby w odbiorniku obwodu z rys. 3.11
wydzieliła si maksymalna moc czynna. Obliczy t moc. Dane liczbowe elementów obwodu:
tte sin2100)( = V, Ω= 50gZ , Ω= 20CX , Ω= 202R .
60
Rys. 3.11. Schemat obwodu do zadania 3.2
Rozwizanie
Impedancja całkowita odbiornika
101020202020
11 jjXRj
jjXRZ LL −++=
−⋅−++=
Wobec zerowej wartoci czci urojonej impedancji generatora 0=gX cz urojona
impedancji odbiornika musi by take równa zeru, czyli
Ω=→= 100)Im( LXZ
Dopasowanie odbiornika do generatora pod wzgldem mocy czynnej wymaga, aby
)Re()Re( gZZ =
Ω=→=+ 405010 11 RR
Prd w obwodzie
15050
100 =+
=+
=gZZ
EI
Moc wydawana przez ródło
100* == EISE
Moc odbiornika
502 == RIP
61
Na odbiorniku w warunkach dopasowania mocy wydziela si połowa mocy ródła. Druga
połowa wydziela si na rezystancji ródła.
62
Lekcja 4. Metody analizy złoonych obwodów RLC w stanie ustalonym przy
wymuszeniu sinusoidalnym
Wstp Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym tylko w najprostszym
przypadku połczenia szeregowego lub równoległego elementów jest zagadnieniem prostym,
nie wymagajcym rozwizywania układu równa. W wikszoci bardziej złoonych
obwodów naley liczy si z rozwizaniem wielu równa algebraicznych typu zespolonego.
Lekcja czwarta powicona bdzie skutecznym metodom analizy złoonych obwodów
RLC w stanie ustalonym przy wymuszeniach sinusoidalnych. Podstawowym załoeniem przy
wymuszeniu sinusoidalnym jest przyjcie opisu symbolicznego elementów obwodu, zgodnie
z którym cewka opisana jest impedancj zespolon LjZL ω= a kondensator impedancj
CjZC ω
1−= . ródło sinusoidalne zastpuje si jego wartoci skuteczn zespolon,
okrelan według zasad podanych w lekcji drugiej.
Znanych jest wiele metod umoliwiajcych analiz dowolnie złoonych obwodów
elektrycznych, sporód których omówimy metod klasyczn, opart na prawach Kirchhoffa,
zastosowaniu twierdzenia Thevenina i Nortona oraz metod wzłow i oczkow. W
przypadku wielu wymusze o rónych czstotliwociach niezbdne jest zastosowanie tak
zwanej zasady superpozycji obowizujcej dla obwodów liniowych, wprowadzonej w
kocowej fazie lekcji.
4.1. Metoda równa Kirchhoffa
W metodzie tej wykorzystuje si w bezporedniej formie prawo prdowe i napiciowe
Kirchhoffa uzupełnione o równania symboliczne opisujce poszczególne elementy obwodu.
W efekcie zastosowania praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa algebraicznych o
zespolonych współczynnikach. Jeli załoymy, e obwód posiada b gałzi i n wzłów to w
równaniach opisujcych obwód wykorzystuje si (n-1) równa pochodzcych z prawa
prdowego Kirchhoffa. Pozostałe (b-n+1) równa wynika z prawa napiciowego Kirchhoffa
dla (b-n+1) oczek niezalenych (dowolnie wybranych) w obwodzie.
63
Jak z powyszych rozwaa wynika w metodzie klasycznej wykorzystujcej
bezporednio prawa Kirchhoffa istnieje potrzeba rozwizania układu b równa z b
niewiadomymi. Jest to wic metoda złoona obliczeniowo, zwłaszcza jeli wemie si pod
uwag, e wszystkie równania s zespolone. W efekcie metod t stosuje si głównie w
przypadku obwodów o małej liczbie elementów. Metod zlustrujemy przykładem liczbowym
obliczania prdów i napi w obwodzie przedstawionym na rys. 4.1.
Przykład 4.1
Stosujc równania Kirchhoffa naley obliczy wszystkie prdy i napicia w obwodzie
przedstawionym na rys. 4.1. Przyj nastpujce wartoci parametrów obwodu: Ω= 2R ,
C=0,5F, L=1H, )sin(210)( tte ω= V, )45sin(5)( −= tti ω A, s
rad1=ω .
Rys. 4.1. Schemat obwodu do przykładu 4.1
Rozwizanie
Przy sinusoidalnym wymuszeniu zastosujemy podejcie symboliczne, zgodnie z którym
przebiegi czasowe s zastpione wartociami zespolonymi. W przypadku ródeł przyjmuje
si: 1010 0 == jeE , ojeI 45
25 −= . Impedancja cewki jest równa 1jLjZ L == ω , a
impedancja kondensatora 21
jC
jZC −=−=ω
.
Przy oznaczeniach prdów i napi jak na rys. 4.1 z praw Kirchhoffa wynikaj
nastpujce równania prdowe i napiciowe
0
0
0
32
321
21
=−=−−+=−−
IZRI
IIII
RIIZE
C
L
64
Po uporzdkowaniu równa i wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si układ 3 równa
zespolonych w postaci
0222
5
102
32
45321
21
=+
−=−−
=+
−
IjI
eIII
IjIoj
W obwodzie wyrónione zostały 3 gałzie, w których obliczany jest prd, std jego pełny opis
zawiera 3 niezalene równania. Rozwizanie tych równa prowadzi do wyniku
5,26
1 18,11510 jejI =+=
7,332 01,955,7 jejI −=−=
3,563 01,95,75 jejI =+=
Wartoci chwilowe prdów s zatem wyraone w postaci nastpujcych funkcji
sinusoidalnych
)5,26sin(218,11)(1+= tti ω
)7,33sin(201,9)(2−= tti ω
)3,56sin(201,9)(3+= tti ω
Wykorzystujc prawo Ohma otrzymuje si nastpujce wartoci napi na elementach
pasywnych
5,116
11 18,11 jL eIZU ==
7,.3322 02,18 jeRIU −==
Wartoci chwilowe napi wyraone s w postaci funkcji sinusoidalnych
65
)5,116sin(218,11)(1+= ttu ω
)7,33sin(202,18)(2−= ttu ω
Łatwo sprawdzi, e bilans prdów i napi w obwodzie jest spełniony. Mianowicie w
przypadku prdów (jeden wzeł niezaleny)
0321 =−−+ IIII
oraz napi (dwa oczka niezalene)
0
0
32
21
=−=−−
IZRI
UUE
C
4.2. Metoda oparta na twierdzeniu Thevenina Jednym z waniejszych twierdze w teorii obwodów jest twierdzenie Thevenina. Pozwala
ono zastpi złoony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartociach elementów,
przez obwód prosty bdcy połczeniem szeregowym jednej impedancji zastpczej oraz
ródła napiciowego. Umoliwia znaczne uproszczenie struktury obwodu, a w nastpstwie w
bardzo prosty sposób wyznaczy prd lub napicie jednej wybranej gałzi obwodu.
Twierdzenie Thevenina
Dowolny, aktywny obwód liniowy mona zastpi od strony wybranych zacisków gałzi AB
uproszczonym obwodem równowanym, złoonym z szeregowego połczenia jednego
idealnego ródła napicia i impedancji zastpczej obwodu. Warto ródła zastpczego
oblicza si na podstawie analizy obwodu oryginalnego jako napicie panujce na zaciskach
AB po odłczeniu gałzi AB. Impedancja zastpcza widziana z zacisków AB dotyczy obwodu
po wyłczeniu gałzi AB i po zwarciu wszystkich ródeł napicia oraz rozwarciu ródeł
prdu.
Na rys. 4.2 przedstawiono sposób transformacji obwodu zgodnie z twierdzeniem
Thevenina.
66
Rys. 4.2. Transformacja obwodu zgodnie z twierdzeniem Thevenina
Prd I wystpujcy w gałzi AB obwodu oryginalnego jest równy prdowi I w tej samej
gałzi obwodu uproszczonego. Napicie ABU wystpujce na rysunku reprezentuje ródło
zastpcze, natomiast impedancja ABZ jest impedancj zastpcz obwodu. Przy załoeniu, e
gał AB w której obliczamy prd reprezentowana jest przez impedancj Z, prd tej gałzi
mona obliczy korzystajc z prawa napiciowego Kirchhoffa
0)( =+− ABAB ZZIU (4.1)
z którego wynika wyraenie na prd gałzi w nastpujcej postaci
AB
AB
ZZU
I+
= (4.2)
Metoda Thevenina w wikszoci przypadków znakomicie upraszcza analiz obwodu. Jest
szczególnie uyteczna w przypadkach, w których trzeba wyznaczy tylko jeden prd w
obwodzie, gdy mona dokona tego bez koniecznoci rozwizywania układu równa
algebraicznych lub przy znacznej redukcji liczby tych równa.
Przykład 4.2
Korzystajc z twierdzenia Thevenina wyznaczy prd I w gałzi AB obwodu mostka
przedstawionego na rys. 4.3, jeli )sin(210)( tte ω= V, Ω= 5,70R , Ω= 51R , Ω= 52R a
reaktancje cewki i kondensatora s równe odpowiednio Ω== 5LX L ω oraz
Ω== 10/1 CXC ω , Ω== 5/1 00 CX C ω .
67
Rys. 4.3. Schemat obwodu do przykładu 4.2
Rozwizanie
Na rys. 4.4a przedstawiono schemat obwodu do wyznaczenia impedancji zastpczej
Thevenina.
Rys. 4.4. Postaci obwodu do wyznaczania a) impedancji zastpczej Thevenina,
b) napicia ródła zastpczego
Łatwo pokaza, e impedancja zastpcza tego obwodu jest równa
105,2105
)10(55555
21
21 jjjjj
ZZZZ
RRRR
ZCL
CLAB +=
−−⋅+
+⋅=
++
+=
68
Rys. 4.4b przedstawia obwód do obliczenia wartoci ródła zastpczego ABU w schemacie
zastpczym Thevenina. Obliczajc kolejno prdy
121
1 =+
=RR
EI
jjXjX
EI
CL
22 =−
=
napicie ABU okrela si ze wzoru
15211 −=−= IZIRU CAB
Rys. 4.5 Schemat obwodu zastpczego wynikajcego z twierdzenia Thevenina
Wykorzystujc obwód zastpczy Thevenina z rys. 4.5 i prawo napiciowe Kirchhoffa,
warto skuteczn zespolon prdu I okrela si ze wzoru
2626
00
34,118,11
1555,7105,2
15 jj
CAB
AB eejjjXRZ
UI −−=−=
−++−=
−+=
Wartoci chwilowe prdu i(t) wyznaczane s z zalenoci
A)26sin(34,1)( −−= tti ω
Zauwamy, e zastosowanie twierdzenia Thevenina umoliwiło rozwizanie obwodu
wzgldem jednego wybranego prdu bez koniecznoci rozwizania układu równa
algebraicznych.
69
4.3. Metoda oparta na twierdzeniu Nortona Pozwala ono zastpi złoony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartociach
elementów, przez obwód prosty bdcy połczeniem równoległym jednej impedancji
zastpczej oraz idealnego ródła prdowego.
Twierdzenie Nortona
Dowolny aktywny obwód liniowy mona od strony wybranych zacisków AB zastpi
obwodem równowanym, złoonym z równoległego połczenia idealnego ródła prdu i
impedancji zastpczej obwodu. Warto ródła zastpczego oblicza si w obwodzie
oryginalnym jako prd zwarciowy gałzi AB. Impedancja zastpcza widziana z zacisków AB
dotyczy obwodu po wyłczeniu gałzi AB i po zwarciu wszystkich ródeł napicia oraz
rozwarciu ródeł prdu i jest identyczna z impedancj zastpcz w twierdzeniu Thevenina.
Rys. 4.6 przedstawia schemat transformacji obwodu zgodnie z twierdzeniem Nortona.
Rys. 4.6. Schemat transformacji obwodu według twierdzenia Nortona
Prd I oraz napicie U wystpujce w gałzi AB obwodu oryginalnego s równe
odpowiednio prdowi I oraz napiciu U w tej samej gałzi obwodu uproszczonego. ródło
prdowe zI wystpujce na rysunku reprezentuje ródło zastpcze, natomiast impedancja
ABZ jest impedancj zastpcz obwodu. Przy załoeniu, e gał AB reprezentowana jest
przez impedancj Z, napicie tej gałzi oblicza si z prawa prdowego Kirchhoffa
011 =
+−
ABz ZZ
UI , które pozwala wyrazi poszukiwane napicie gałzi w postaci
70
AB
z
ZZI
U/1/1 +
= (4.3)
Znajomo napicia pozwala wyznaczy na podstawie prawa Ohma prd gałzi korzystajc z
zalenoci ./ ZUI = Podobnie jak metoda Thevenina, zastosowanie twierdzenia Nortona
umoliwia obliczenie prdu i napicia tylko jednej gałzi obwodu. Zwykle z punktu widzenia
obliczeniowego wygodniejsze jest uycie metody Thevenina.
4.4. Równowano twierdzenia Thevenina i Nortona
Twierdzenie Thevenina i Nortona pozwalaj wyznaczy uproszczone schematy zastpcze
tego samego układu elektrycznego z punktów AB obwodu wyjciowego. Oba schematy
uproszczone stanowi wic obwody zastpcze równowane sobie, co oznacza, e prd i
napicie w gałzi AB, która nie uległa zmianie w wyniku transformacji, s takie same.
Oznacza to, e gał szeregowa zawierajca idealne ródło napicia E i impedancj Z moe
by bez zmiany prdu w obwodzie zewntrznym zastpiona gałzi równoległ zawierajc
idealne ródło prdowe I oraz impedancj Z, jak to zilustrowano na rys. 4.7.
Rys. 4.7. Równowano obwodów zastpczych Thevenina i Nortona
Wzajemne relacje midzy wartociami ródła prdu i napicia okrela wzór
ZU
I = (4.4)
71
przy zamianie gałzi szeregowej na równoległ oraz
ZIU = (4.5)
przy zamianie gałzi równoległej na szeregow. Impedancja Z w obu obwodach zastpczych
pozostaje taka sama. Dla zilustrowania korzyci płyncych z równowanoci obu twierdze
rozpatrzmy obwód z rys. 4.8a zawierajcy zarówno ródła prdu jak i napicia. Zastosowanie
równowanoci twierdzenia Thevenina i Nortona pozwala uzyska obwód zawierajcy
wyłcznie jeden typ ródeł (prdowych) jak to przedstawiono na rys. 4.8.
Rys. 4.8. Przykład transformacji obwodu wykorzystujcej równowano obwodów
zastpczych Thevenina i Nortona: a) obwód oryginalny zawierajcy ródła prdu i napicia,
b) obwód po transformacji zawierajcy wyłcznie ródła prdowe
4.5. Metoda potencjałów wzłowych
Metoda potencjałów wzłowych, zwana równie metod wzłow, jest jedn z
najogólniejszych i najczciej stosowanych metod, pozwalajcych wyznaczy prdy
wszystkich gałzi wystpujcych w obwodzie. Jako zmienne przyjmuje si w niej potencjały
poszczególnych wzłów obwodu okrelane wzgldem jednego arbitralnie wybranego wzła
uznanego za wzeł odniesienia („masy”), którego potencjał przyjmuje si za równy zeru.
Liczba równa w tej metodzie jest równa liczbie wzłów niezalenych a wic znacznie
mniejsza ni w metodzie wykorzystujcej bezporednio układ równa otrzymanych w wyniku
zastosowania praw Kirchhoffa.
Metoda wzłowa wynika bezporednio z równa prdowych Kirchhoffa napisanych
dla wszystkich wzłów niezalenych w obwodzie. Prd kadej gałzi obwodu jest wyraany
72
za porednictwem potencjałów wzłowych. Zostało wykazane, e kady obwód liniowy RLC
moe by opisany równaniem macierzowym potencjałów wzłowych o postaci
zrIYV = (4.6)
w której Y jest macierz wzłow o wymiarach NN × , gdzie N jest liczb wzłów
niezalenych w obwodzie, V jest wektorem niezalenych potencjałów wzłowych o wymiarze
N a zrI jest wektorem prdów ródłowych stanowicych wymuszenie. Macierz wzłowa Y
okrelona jest w postaci
= .
...............
...
...
21
22221
11211
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
Y (4.7)
a wektory V oraz zrI dane s jak nastpuje
=
NV
V
V
...2
1
V (4.8)
=
zrN
zr
zr
zr
I
I
I
...2
1
I (4.9)
Elementy iiY połoone na głównej diagonalnej macierzy Y nazywane s admitancjami
własnymi wzła i-tego. W przypadku obwodów RLC bez ródeł sterowanych admitancja
własna wzła i-tego jest równa sumie admitancji wszystkich gałzi włczonych w i-tym
wle. Elementy ijY połoone poza główn diagonaln s admitancjami wzajemnymi
midzy wzłem i-tym oraz j-tym. Admitancja wzajemna dwu wzłów jest równa admitancji
łczcej te wzły wzitej ze znakiem minus. Admitancja wzajemna wzła i-tego oraz j-tego
73
jest taka sama jak wzła j-tego oraz i-tego, tzn. jiij YY = . Macierz admitancyjna Y dla
obwodów RLC bez ródeł sterowanych jest wic macierz symetryczn.
Elementy wektora wymusze prdowych zrI s równe sumie wszystkich prdów
ródłowych wpływajcych do danego wzła, przy czym prd ródłowy dopływajcy do wzła
bierze si ze znakiem plus a prd odpływajcy od wzła ze znakiem minus.
Naley podkreli, e metoda potencjałów wzłowych dopuszcza istnienie w
obwodzie jedynie ródeł wymuszajcych typu prdowego. Jeli w obwodzie wystpuj
równie ródła napiciowe naley je przekształci w odpowiednie ródła prdowe
wykorzystujc do tego celu równowano Thevenina – Nortona (patrz rys. 4.7). Sposób
formułowania równa wzłowych zilustrujemy na przykładzie obwodu przedstawionego na
rys. 4.9.
Przykład 4.3
Korzystajc z przedstawionych reguł formułowania równa wzłowych naley napisa
równanie potencjałów wzłowych dla obwodu przedstawionego na rys. 4.9.
Rys. 4.9. Schemat obwodu do przykładu 4.3
Rozwizanie
Obwód zawiera 3 wzły niezalene: 1V , 2V oraz 3V mierzone wzgldem wzła
odniesienia jak to oznaczono na rysunku. Oznaczajc admitancje przez Y, gdzie Y=1/Z
otrzymuje si macierz potencjałów wzłowych Y oraz wektor prdów wymuszajcych zrI w
postaci
74
++−−++−
−=
6544
44322
22
0
0
YYYY
YYYYY
YY
Y
−−−−
+=
5564
4233
21
YEII
IIYE
II
zz
zz
zz
zrI
Równanie potencjałów wzłowych obwodu przyjmuje posta
zrIYV = ,
w której
=
3
2
1
V
V
V
V .
Na podstawie obliczonych wartoci napi wzłowych obwodu mona w prosty
sposób korzystajc z prawa napiciowego Kirchhoffa dla poszczególnych gałzi obwodu
wyznaczy prdy gałziowe. Wystarczy w tym celu zastosowa bd prawo Ohma (jeli gał
zawiera jedynie element pasywny) lub równanie napiciowe Kirchoffa dla gałzi szeregowej
zawierajcej ródło napicia i element pasywny. Przykładowo dla obwodu z rys. 4.9
odpowiednie zalenoci przyjmuj posta
)( 2122 VVYI −=
)( 3233 EVYI −=
)( 3244 VVYI −=
)( 5355 EVYI +=
366 VYI =
Naley podkreli, e metoda potencjałów wzłowych wymaga rozwizania układu N
równa, gdzie N oznacza liczb wzłów niezalenych. Zwykle liczba wzłów jest duo
mniejsza ni liczba elementów obwodu, std metoda potencjałów wzłowych jest znacznie
efektywniejsza ni metoda klasyczna wykorzystujca bezporednio prawa Kirchhoffa.
75
Reguły tworzenia opisu wzłowego przedstawione powyej zakładały istnienie
jedynie elementów pasywnych RLC oraz ródeł wymuszajcych typu prdowego. Dziki
takiemu załoeniu s one bardzo proste i łatwe w stosowaniu.
W przypadku wystpienia ródeł sterowanych w obwodzie trudno jest poda formuł
ogóln pozwalajc okreli zarówno macierz admitancyjn jak i wektor wymusze
prdowych. Zasada tworzenia opisu admitancyjnego w takim przypadku korzysta
bezporednio ze stwierdzenia, e opis admitancyjny powstaje jako uporzdkowany zbiór
równa wynikajcych z prawa prdowego Kirchhoffa, w których wszystkie prdy gałziowe
zostały wyraone poprzez potencjały wzłowe i wartoci ródeł wymuszajcych. Macierz
admitancyjna Y wynika wówczas z uporzdkowania macierzowego powstałego układu
równa. Tak metod tworzenia równa wzłowych zilustrujemy na przykładzie obwodu
przedstawionego na rys. 4.10.
Przykład 4.4
Korzystajc z praw prdowych Kirchhoffa wyznaczy opis admitancyjny obwodu
przedstawionego na rys. 4.10.
Rys. 4.10. Schemat obwodu do przykładu 4.4
Rozwizanie
W obwodzie wystpuj dwa ródła sterowane, z których jedno jest sterowane napiciem
U2=(V2-V1) a drugie prdem I1=V1/Z1. Biorc pod uwag, e napicie wzła trzeciego jest
równe V3=E, w opisie obwodu przy zastosowaniu metody wzłowej wystpuj jedynie dwa
niezalene potencjały wzłowe V1 i V2. Z prawa prdowego Kirchhoffa napisanego dla dwu
wzłów o potencjałach V1 i V2 wynikaj nastpujce równania
76
0
0
2123
21
=−−=+−IIkI
III
Wyraajc wszystkie prdy gałziowe przez napicia wzłowe
[ ])(
)(
121233
1222
111
VVkVEYI
VVYI
VYI
−+−=−=
=
i podstawiajc je do równa prdowych Kirchhoffa otrzymuje si
[ ]0)(
0)()(
11122
1221212123
=−+−=−−−−+−
VYIVVY
VVYVYkVVkVEY
Porzdkujc powyszy układ równa i zapisujc go w postaci zalenoci macierzowej
otrzymuje si ostatecznie układ równa wzłowych
=
−+++−−+
EY
I
V
V
YkYYYkYkY
YYY
32
1
313212312
221
Jest to układ dwu równa z dwoma nieznanymi napiciami wzłowymi V1 oraz V2. Po
rozwizaniu tych równa mona wyznaczy wszystkie poszukiwane prdy w obwodzie,
korzystajc z przytoczonych wczeniej równa.
Naley zwróci uwag na uproszczenia wynikajce z istnienia w obwodzie idealnego
ródła napicia. ródło takie ustala potencjał okrelonego wzła (gdy jest włczone
wzgldem wzła odniesienia) lub uzalenia potencjał jednego wzła wzgldem drugiego (gdy
jest włczone midzy dwoma wzłami niezalenymi). W obu przypadkach prowadzi to do
redukcji liczby równa opisujcych obwód.
4.6. Metoda prdów oczkowych
W metodzie prdów oczkowych, zwanej równie metod oczkow, wprowadza si prdy
oczkowe jako zmienne, czyli prdy przypisane niezalenym oczkom wystpujcym w
obwodzie. Przykładowy wybór oczek niezalenych i oznaczenie prdów oczkowych obwodu
przedstawiono na rys. 4.11.
77
Rys. 4.11. Przykład wyboru oczek niezalenych w obwodzie
Oznaczmy w ogólnoci wektor prdów oczkowych w postaci
=
oN
o
o
o
I
I
I
...2
1
I (4.10)
w której okI oznacza prd oczkowy k-tego oczka. Dla uzyskania opisu oczkowego
wykorzystuje si prawo napiciowe Kirchhoffa napisane dla wszystkich oczek niezalenych
obwodu. Nastpnie wyraa si wszystkie prdy gałziowe poprzez prdy oczkowe (prd
gałziowy jest równy sumie lub rónicy prdów oczkowych przeprowadzonych przez dan
gał) i otrzymuje opis obwodu w postaci układu równa oczkowych
EZI =o (4.11)
gdzie macierz oczkowa Z oraz wektor napi wymuszajcych E przyjmuj posta
= .
...............
...
...
21
22221
11211
NNNN
N
N
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z (4.12)
78
=
NE
E
E
...2
1
E (4.13)
Elementy iiZ połoone na głównej diagonalnej macierzy Z nazywamy impedancjami
własnymi oczka i-tego. Przy załoeniu, e wszystkie prdy oczkowe maj identyczny zwrot,
dla obwodów RLC bez ródeł sterowanych impedancja własna oczka i-tego jest równa sumie
impedancji wszystkich gałzi wystpujcych w oczku. Elementy ijZ połoone poza główn
diagonaln s impedancjami wzajemnymi midzy oczkiem i-tym oraz j-tym. Impedancja
wzajemna dwu oczek przy identycznym zwrocie wszystkich prdów oczkowych jest równa
impedancji wspólnej dla obu oczek wzitej ze znakiem minus. Impedancja wzajemna oczka i-
tego oraz j-tego jest taka sama jak oczka j-tego oraz i-tego, tzn. jiij ZZ = . Macierz Z jest wic
macierz symetryczn.
Element k-ty wektora wymusze napiciowych E jest równy sumie wszystkich napi
ródłowych wystpujcych w k-tym oczku. Przy załoonej orientacji oczka napicie ródłowe
dodaje si ze znakiem plus jeli jego zwrot jest identyczny z t orientacj a ze znakiem minus
jeli ten zwrot jest przeciwny. Sposób tworzenia opisu oczkowego zilustrujemy na
przykładzie obwodu z rys. 4.12.
Przykład 4.5
Dla obwodu przedstawionego na rys. 4.12 napisa równanie prdów oczkowych przy
załoeniu układu oczek niezalenych jak na rysunku.
79
Rys. 4.12 Schemat obwodu do przykładu 4.5
Rozwizanie
Obwód zawiera 3 oczka niezalene, std wymiar macierzy oczkowej jest równy 3,
podobnie jak długo wektora prdów oczkowych oraz wektora napi wymuszajcych.
Korzystajc z podanej wczeniej reguły tworzenia opisu oczkowego otrzymuje si
++−−−++−−−++
=
65151
55433
13321
ZZZZZ
ZZZZZ
ZZZZZ
Z
−+−−
=
61
43
31
EE
EE
EE
E
Biorc pod uwag e obwód zawiera trzy nieznane prdy oczkowe tworzce wektor prdów
[ ] Toooo III 321=I , równanie oczkowe EZI =o stanowi zbiór trzech równa liniowych.
Rozwizanie tego układu równa pozwala okreli te zmienne. Znajomo prdów
oczkowych pozwala wyznaczy wszystkie prdy gałziowe obwodu. Mianowicie
131 oo III −=
12 oII =
80
213 oo III −=
24 oII =
235 oo III −=
36 oII −=
Metoda prdów oczkowych wymaga rozwizania układu N równa, gdzie N oznacza liczb
oczek niezalenych. Podobnie jak w metodzie wzłowej liczba oczek jest zwykle duo
mniejsza ni liczba elementów obwodu, std metoda prdów oczkowych jest duo bardziej
efektywna ni metoda klasyczna wykorzystujca bezporednio prawa Kirchhoffa.
4.7. Zasada superpozycji
Omówione wczeniej metody analizy symbolicznej stanowi dobry i skuteczny sposób
rozwizania problemu przy istnieniu w obwodzie ródeł sinusoidalnych o tej samej
czstotliwoci, gdy dla kadego ródła elementy reaktancyjne LC przedstawiaj sob te
same wartoci reaktancji. Istotna trudno wystpuje dopiero przy istnieniu w obwodzie wielu
ródeł o rónych czstotliwociach. W takim przypadku nie istnieje pojcie impedancji
wspólnej dla kadego ródła, co uniemoliwia zastosowanie metody symbolicznej. Jedynym
rozwizaniem pozostaje wtedy zastosowanie zasady superpozycji. Obowizuje ona tylko dla
obwodów liniowych. Jej tre jest nastpujca.
Zasada superpozycji
Odpowied czasowa obwodu elektrycznego liniowego przy warunkach pocztkowych
zerowych jest równa sumie odpowiedzi czasowych na kade wymuszenie z osobna.
Tak ogólnie sformułowana zasada obowizuje zarówno w stanie ustalonym jak i
nieustalonym obwodu. W przypadku analizy stanów ustalonych jej zastosowanie w analizie
obwodów polega na rozbiciu danego obwodu o wielu wymuszeniach na wiele obwodów
zawierajcych po jednym wymuszeniu, rozwizaniu kadego z nich oddzielnie a nastpnie
zsumowaniu odpowiedzi czasowych kadego obwodu. Naley pamita przy tym o zasadzie,
e eliminowane ródła s zastpowane zwarciem (jeli ródło jest napiciowe) lub
rozwarciem (gdy ródło jest prdowe).
81
Naley podkreli, e zgodnie z zasad superpozycji sumowanie odpowiedzi
pochodzcych od rónych wymusze moe odbywa si wyłcznie w dziedzinie czasu.
Sumowanie wartoci zespolonych od poszczególnych wymusze byłoby powanym błdem,
gdy sugerowałoby istnienie rozwizania obwodu zawierajcego tylko jedn harmoniczn.
Ilustracj stosowania zasady superpozycji w analizie obwodów przedstawiono na rys. 4.13.
Rys. 4.13. Ilustracja zasady superpozycji w obwodach liniowych
Przykład 4.6
Stosowanie praktyczne zasady superpozycji zostanie zilustrowane na przykładzie obwodu z
rys. 4.14a zawierajcego dwa ródła, z których jedno jest stałe a drugie sinusoidalne. Naley
dokona analizy obwodu stosujc zasad superpozycji. Przyj nastpujce wartoci
elementów: Ω= 2R , HL 2= , FC 1= , )45sin(210)( += tti ω A, Vte 2)( = , s
rad1=ω .
82
Rys. 4.14 Schematy obwodów do przykładu 4.6: a) schemat obwodu oryginalnego o dwu
ródłach, b) schemat obwodu dla ródła stałego, c) schemat obwodu dla ródła
sinusoidalnego
Rozwizanie
Ze wzgldu na wystpienie w obwodzie 2 rónych typów wymusze (ródło napiciowe stałe
i ródło prdowe sinusoidalne) konieczne jest zastosowanie w analizie zasady superpozycji.
Na rys. 4.14c przedstawiono schemat obwodu przy istnieniu ródła sinusoidalnie zmiennego
i(t) a na rys. 4.14b obwód dla ródła napiciowego o wartoci stałej e(t) = E. Wymuszenie
stałe moe by rozpatrywane równie jak sinusoidalne o czstotliwoci równej zeru. Biorc
pod uwag, e dla ródła stałego 0=ω , reaktancja cewki staje si zerowa ( 0== LX L ω ) a
reaktancja kondensatora równa nieskoczonoci ( ∞== CXC ω/1 ). Oznacza to, e z punktu
widzenia wymuszenia stałego w stanie ustalonym cewka stanowi zwarcie a kondensator
przerw.
Dla obwodu o wymuszeniu sinusoidalnym wartoci reaktancji indukcyjnej i
pojemnociowej s odpowiednio równe: Ω== 2LX L ω , Ω== 1/1 CXC ω . Rozwizujc
obwód przy wymuszeniu sinusoidalnym otrzymuje si
5,0111111
jRRjXjXZ CLRLC
+=++−
+=
4,08,05,01
1j
jZ RLC −=
+=
oj18,445)( 8,94ej2,838,48)4,08,0(10 =+=−== jeIZU jRLC
IRLC
ojRLCI ejR
UI 162)(
1 47,44,124,4 −=−−=−=
oj
C
RLCI ejjX
UI 108)(
2 94,848,883,2 =+−=−
=
oj
L
RLCI ejjX
UI 6,71)(
3 47,424,441,1 −=−==
)(1
)(4
IRLCI IR
UI −==
Wartociom zespolonym prdu towarzysz nastpujce postacie rozwizania w czasie
83
)162sin(247,4)()(1
−= tti I ω
)108sin(294,8)()(2
+= tti I ω
)6,71sin(247,4)()(3
−= tti I ω
)162sin(247,4)()(4
−−= tti I ω
Rozwizanie obwodu z rys. 4.14b przy wymuszeniu stałym nie wymaga stosowania metody
symbolicznej, gdy jest to obwód rezystancyjny, dla którego mona od razu poda
rozwizanie w czasie. Poszczególne prdy równaj si
1)()( )(3
)(1 ===
RE
titi EE
0)()( )(4
)(2 == titi EE
Całkowite rozwizanie na prdy w obwodzie jest sum rozwiza obwodu dla wymuszenia
sinusoidalnego oraz stałego. Std
A)162sin(247,41)(1−+= tti ω
A)108sin(294,8)(2+= tti ω
A)71sin(247,41)(3−+= tti ω
A)162sin(247,4)(4−−= tti ω
Naley podkreli, e odpowiednio do zasady superpozycji sumowanie odpowiedzi
prdowych na wymuszenie stałe i sinusoidalne mogło odby si wyłcznie w dziedzinie
czasu.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 4.1
Stosujc metod Thevenina obliczy prd w gałzi AB obwodu przedstawionego na rys. 4.15.
Dane liczbowe elementów: Ω= 41R , Ω= 82R , Ω= 23R , Ω= 24R , tte ωsin230)( = V.
84
Rys. 4.15 Schemat obwodu do zadania 4.1
Rozwizanie
Impedancja z zacisków AB obwodu (rys. 4.16a) jest równa
Rys. 4.16 Schematy obwodu do obliczania: a)impedancji ZAB, b) napicia UAB, c) prdu Ix
93,242
42
31
31 =+
++
=RR
RRRR
RRZ AB
Prdy w obwodzie z rys. 4.16b:
85
56
30
311 ==
+=
RRE
I
31030
422 ==
+=
RRE
I
Napicie UAB
41122 =−= IRIRU AB
Poszukiwany prd Ix z obwodu zastpczego Thevenina (rys. 4.16c)
A36,1==AB
ABx Z
UI
Zadanie 4.2
Napisa równanie potencjałów wzłowych dla obwodu przedstawionego na rys. 4.17
Rys. 4.17 Schemat obwodu do zadania 4.2
Rozwizanie
Przy podanych na rysunku oznaczeniach potencjałów wzłów mierzonych wzgldem wzła
odniesienia bezporednie zastosowanie prawa prdowego Kirchhoffa do wszystkich wzłów
obwodu i wyraenie prdów poprzez potencjały wzłowe pozwala uzyska równanie
wzłowe w postaci
86
−
−=
+−−−++−
−+
2
111
3
2
1
433
3322
221
00
0
I
IEY
V
V
V
YYY
gYgYYY
YYY
Zadanie 4.3
Napisa macierzowe równanie oczkowe dla obwodu przedstawionego na rys. 4.18
Rys. 4.18 Schemat obwodu do zadania 4.3
Rozwizanie
Z prawa napiciowego Kirchhoffa zastosowanego do trzech oczek zaznaczonych na rysunku
po wyraeniu prdów gałziowych poprzez prdy oczkowe otrzymujemy równanie oczkowe
o postaci
−=
+−+−
+−−++
3
32
1
3
2
1
655
424
54541
00
E
EE
E
I
I
I
ZZZ
ZZZ
rZZZZZ
o
o
o
Zadanie 4.4
87
Wyznaczy rozwizanie obwodu z rys. 4.19 stosujc zasad superpozycji. Przyj
)90sin(22)( otti += ω A, 5)( == Ete V, Ω= 1R , HL 1= , FC 5,0= , s
rad1=ω .
Rys. 4.19 Schemat obwodu do zadania 4.4
Rozwizanie
A) Rozwizanie obwodu dla składowej stałej (ródło E)
Obwód dla składowej stałej przedstawiono na rys. 4.20a. Cewka w stanie ustalonym dla
składowej stałej jest zwarciem a kondensator przerw.
Rys. 4.20 Schemat obwodu dla poszczególnych ródeł: a) ródło napicia stałego,
b) ródło prdu sinusoidalnego
Dla prdu stałego tylko jeden prd, )(ERi , jest róny od zera. Jego warto jest równa
5)( ==RE
i ER
0)()( == EC
EL ii
B) Rozwizanie obwodu dla składowej zmiennej (ródło i(t))
88
Obwód dla składowej sinusoidalnej przedstawiono w postaci symbolicznej na rys. 4.20b.
Parametry symboliczne obwodu s nastpujace: ojeI 902= , 1jLjZL == ω ,
2/1 jCjZC −== ω . Impedancja zastpcza cewki i kondensatora jest równa
2jZZ
ZZZ
CL
CLLC =
+=
Napicie i prdy w obwodzie:
4)( −== IZU LCI
AB
2)(
)( jZ
UI
C
IABI
C −==
4)(
)( jZ
UI
L
IABI
L ==
0)( =IRI
Wartoci prdów wyraone w postaci czasowej:
)90sin(22)()( oIC tti −=
)90sin(24)()( oIL tti +=
0)()( =ti IR
Całkowite rozwizanie obwodu jest sum obu składowych:
A)90sin(22)()()( )()( oIC
ECC ttititi −=+=
A)90sin(24)()()( )()( oIL
ELL ttititi +=+=
A5)()()( )()( =+= tititi IR
ERR
89
Lekcja 5. Analiza obwodów sprzonych magnetycznie
Wstp
Interesujce zjawiska powstaj w obwodach zawierajcych cewki połoone blisko siebie, w
których strumienie magnetyczne obu cewek zachodz na siebie. Nastpuje wówczas zjawisko
sprzenia magnetycznego obu obwodów i przenoszenia energii z jednego obwodu do
drugiego.
W lekcji pitej dokonamy analizy zjawisk powstajcych w obwodach sprzonych
magnetycznie. Wprowadzone zostan metody analizy takich obwodów, wykorzystujce
eliminacj sprze magnetycznych. Sprzenia magnetyczne umoliwiaj budow
urzdzenia zwanego transformatorem, transformujcego poziom napicia wejciowego w
wyjciowe o innej wartoci. Ostatnia cz lekcji powicona bdzie analizie transformatora
powietrznego i transformatora zbudowanego na rdzeniu ferromagnetycznym. W tym ostatnim
przypadku mamy do czynienia z obwodem nieliniowym, do którego stosuje si specjalne
metody analizy.
5.1. Zjawiska fizyczne przy sprzeniu magnetycznym cewek
Przyjmijmy, e dwie cewki s połoone blisko siebie w taki sposób, e strumie magnetyczny
jednej cewki obejmuje równie drug. Całkowity strumie skojarzony z dan cewk
(strumie skojarzony jest sum strumieni φ kadego zwoju cewki, co przy z zwojach o
identycznym strumieniu daje φz=Ψ ) jest wtedy sum obu strumieni jeli ich kierunki s
zgodne lub ich rónic, jeli kierunki strumieni s przeciwne. Strumienie obu cewek
zapiszemy wówczas w postaci.
12111 Ψ±Ψ=Ψ (5.1)
21222 Ψ±Ψ=Ψ (5.2)
Strumie 11Ψ wytworzony jest w cewce pierwszej od prdu tej cewki a strumie 12Ψ
wytworzony w cewce pierwszej pochodzi od prdu cewki drugiej skojarzonej z pierwsz.
90
Podobnie strumie 22Ψ wytworzony jest w cewce drugiej od prdu tej cewki a strumie 21Ψ
wytworzony w cewce drugiej pochodzi od prdu cewki pierwszej skojarzonej z drug.
Uwzgldniajc pojcie indukcyjnoci własnej i wzajemnej wprowadzone w rozdziale
pierwszym dla cewek liniowych sprzonych magnetycznie obowizuj nastpujce relacje:
• Indukcyjnoci własne
1
111 i
LΨ= (5.3)
2
222 i
LΨ= (5.4)
• Indukcyjnoci wzajemne
2
1212 i
MΨ= (5.5)
1
2121 i
MΨ= (5.6)
Dla rodowisk o tej samej przenikalnoci magnetycznej obie indukcyjnoci wzajemne s
sobie równe, to znaczy MMM == 2112 . Dla dwu cewek sprzonych magnetycznie definiuje
si współczynnik sprzenia jako redni geometryczn współczynników sprzenia obu
cewek, przy czym współczynnik sprzenia jednej cewki z drug jest okrelany jako stosunek
strumienia głównego cewki pochodzcego od prdu własnego do strumienia całkowitego
cewki. Współczynnik sprzenia cewek oznacza bdziemy liter k. Spełnia on nastpujc
relacj
21LLkM = (5.7)
z której wynika, e współczynnik sprzenia k jest równy
21LL
Mk = (5.8)
91
Przy idealnym (pełnym) sprzeniu cewek warto współczynnika sprzenia jest równa
jeden (k=1). Indukcyjno wzajemna jest wówczas redni geometryczn indukcyjnoci
własnych obu cewek. Przy braku sprzenia magnetycznego midzy cewkami warto k=0.
Sprzenie magnetyczne powoduje indukowanie si napicia w cewce od zmian prdu
własnego cewki i od zmian prdu cewki z ni sprzonej. Wzory okrelajce odpowiednie
napicia na cewkach sprzonych magnetycznie dane s wówczas w postaci
dtdi
Mdtdi
Ldt
du 21
11
1 ±=Ψ= (5.9)
dtdi
Mdtdi
Ldt
du 12
22
2 ±=Ψ= (5.10)
Znak plus lub minus wystpujcy we wzorze odpowiada sprzeniu bd dodatniemu (znak
plus) bd ujemnemu (znak minus). Rodzaj sprzenia zaley od kierunku prdu cewki
wzgldem pocztku uzwojenia. Rys. 5.1 przedstawia sytuacje odpowiadajce sprzeniu
dodatniemu a rys. 5.2 ujemnemu.
Rys. 5.1. Ilustracja sprzenia dodatniego dwu cewek
Rys. 5.2. Ilustracja sprzenia ujemnego dwu cewek
Zauwamy, e przy istnieniu sprzenia magnetycznego w cewce generowane jest napicie na
cewce nawet przy prdzie własnym cewki równym zeru. Oznacza to przenoszenie si energii
z jednego obwodu do drugiego drog magnetyczn.
92
5.2. Analiza obwodów magnetycznie sprzonych przy wymuszeniu sinusoidalnym
5.2.1. Równania symboliczne elementów sprzonych magnetycznie
Analiza obwodów ze sprzeniami magnetycznymi w stanie ustalonym przy wymuszeniu
sinusoidalnym moe by przeprowadzona przy zastosowaniu metody symbolicznej, w której
w miejsce róniczkowania wprowadza si działania na liczbach zespolonych. Dla
wymuszenia sinusoidalnego wzory róniczkowe upraszczaj si do zalenoci algebraicznych
typu zespolonego, które podobnie jak dla indukcyjnoci własnych wyprowadzonych w
rozdziale drugim mona zapisa w postaci
2111 MIjILjU ωω ±= (5.11)
1222 MIjILjU ωω ±= (5.12)
Znak plus obowizuje dla sprzenia dodatniego (strumienie magnetyczne obu cewek
sumuj si) a znak minus dla sprzenia ujemnego (strumienie magnetyczne obu cewek
odejmuj si). Jak wida z powyszych wzorów cewki sprzone magnetycznie reprezentuj
sob reaktancje, przy czym mona tu wyróni dwa rodzaje reaktancji: reaktancj
indukcyjn własn (zwan dotd reaktancj indukcyjn) i reaktancj indukcyjn
wzajemn. Wprowadmy nastpujce oznaczenia
MX M ω= - reaktancja indukcyjna wzajemna
MjZM ω= - impedancja indukcyjna wzajemna.
Napicie skuteczne zespolone na cewkach sprzonych mona wówczas opisa
nastpujcymi wzorami
2112111 MIjILjIZIZU ML ωω ±=±= (5.13)
1221222 MIjILjIZIZU ML ωω ±=±= (5.14)
w których 1LZ oraz 2LZ oznaczaj impedancje indukcyjnoci własnych cewki pierwszej i
drugiej, 11 LjZ L ω= , 22 LjZ L ω= . Dla wyznaczenia wartoci skutecznej napicia na cewce
sprzonej musz by znane zarówno warto skuteczna prdu jednej cewki jak i drugiej,
93
sprzonej z ni. Znak sprzenia (plus lub minus) powoduje zmniejszanie (sprzenie
ujemne) lub zwikszanie (sprzenie dodatnie) napicia danej cewki.
Najwaniejszym elementem analizy obwodów ze sprzeniami magnetycznymi jest
wyznaczenie prdów poszczególnych gałzi w obwodzie. Bezporednie zastosowanie
poznanych dotd metod analizy obwodów (metoda wzłowa, oczkowa, Thevenina czy
Nortona) wymaga w pierwszej kolejnoci wyeliminowania sprzenia magnetycznego cewek,
a wic pozbycia si wpływu prdu jednej cewki na napicie cewki drugiej.
5.2.2. Eliminacja sprze magnetycznych
Eliminacja sprze magnetycznych jest moliwa bezporednio na podstawie analizy
struktury obwodu i uwzgldnienia połoenia pocztków uzwoje cewek wzgldem wzłów
wspólnych (lub uznanych za wspólne przy braku ich bezporedniego połczenia). W tym
przypadku mona wyróni dwa rodzaje połcze:
• dwie cewki sprzone magnetycznie maj jednakowo usytuowane pocztki uzwoje
wzgldem wzła - takie cewki uwaa bdziemy za jednoimienne (rys. 5.3)
Rys. 5.3. Cewki jednoimienne
• dwie cewki sprzone magnetycznie maj przeciwnie usytuowane pocztki uzwoje
wzgldem wzła - takie cewki uwaa bdziemy za rónoimienne (rys. 5.4).
Rys. 5.4. Cewki rónoimienne
W przypadku cewek jednoimiennych eliminacja sprzenia magnetycznego prowadzi do
obwodu zastpczego przedstawionego na rys. 5.5..
94
Rys. 5.5. Eliminacja sprzenia magnetycznego cewek jednoimiennych
W gałziach zawierajcych cewki pojawiła si impedancja wzajemna ze znakiem minus a w
gałzi wspólnej impedancja wzajemna ze znakiem plus. Łatwo mona pokaza, e przy takim
sposobie eliminacji sprze magnetycznych napicia na zaciskach zewntrznych 1, 2 i 3 przy
niezmienionych prdach zewntrznych w obu obwodach równaj si sobie (co jest warunkiem
równowanoci).
Schemat z rys. 5.6 odpowiada eliminacji sprzenia w przypadku dwu cewek
rónoimiennych.
Rys. 5.6. Eliminacja sprzenia magnetycznego cewek rónoimiennych
W gałziach zawierajcych cewki pojawiła si impedancja wzajemna ze znakiem plus a w
gałzi wspólnej impedancja wzajemna ze znakiem minus. Łatwo udowodni, e przy takim
sposobie eliminacji sprze napicia na zaciskach zewntrznych 1, 2 i 3 w obu obwodach
(oryginalnym i po eliminacji sprzenia) przy tych samych prdach zewntrznych równaj si
sobie (co jest warunkiem równowanoci).
Przy eliminacji sprze magnetycznych przyjty zwrot prdów nie ma adnego
wpływu na kocow posta obwodu bez sprze. Ma na ni wpływ jedynie usytuowanie
95
pocztków uzwoje cewek wzgldem wspólnego wzła, czyli jednoimienno lub
rónoimienno cewek sprzonych magnetycznie.
W obu przypadkach otrzymuje si obwody bez sprze, równowane oryginalnym
jedynie pod wzgldem prdowym. Napicia w obu obwodach w czci podlegajcej
przekształceniu s całkowicie róne. Rzeczywiste napicia panujce na elementach
podlegajcych transformacji powinny by okrelane bezporednio na podstawie obwodu
oryginalnego i powinny uwzgldnia sprzenie magnetyczne (wzory 5.13 i 5.14).
Naley podkreli, e przy wielu cewkach sprzonych ze sob, eliminacja kadego
sprzenia midzy dwoma wybranymi cewkami moe zachodzi niezalenie od pozostałych
sprze, co znakomicie ułatwia przeprowadzenie procesu eliminacji sprze.
Przykład 5.1
Na rys. 5.7a przedstawiony jest obwód zawierajcy trzy cewki sprzone magnetycznie ze
sob. Stosujc metod eliminacji sprze do kadej pary cewek sprzonych ze sob
otrzymuje si schemat obwodu bez sprze, równowany pod wzgldem prdowym
obwodowi ze sprzeniami (rys. 5.7b).
Rys. 5.7. Przykład eliminacji sprze magnetycznych wielu cewek: a) obwód oryginalny,
b) obwód po eliminacji sprze
Przy analizie obwodów elektrycznych zawierajcych sprzenia magnetyczne
pierwszym krokiem jest eliminacja sprze magnetycznych zgodnie z zasadami podanymi
96
wyej. Dziki temu kady element obwodu staje si uzaleniony jedynie od swojego prdu.
Schemat obwodu po eliminacji sprze jest równowany obwodowi oryginalnemu jedynie
pod wzgldem prdowym. Std obwód taki moe słuy wyłcznie obliczeniu prdów. Dla
wyznaczenia napi gałziowych naley wróci do obwodu pierwotnego ze sprzeniami
magnetycznymi. Napicia na elementach sprzonych oblicza naley uwzgldniajc
sprzenia midzy cewkami przy wykorzystaniu wzorów (5.13) i (5.14).
Przykład 5.2
Obliczy rozpływ prdów i rozkład napi na poszczególnych elementach obwodu
elektrycznego ze sprzeniami magnetycznymi, przedstawionego na rys. 5.8. Naley przyj
nastpujce wartoci elementów: Ω= 101R , HL 21 = , HL 22 = , HM 1= , FC 02,0= oraz
wymuszenie napiciowe sinusoidalne )4510sin(2100)( += tte V.
Rys. 5.8. Schemat obwodu elektrycznego do przykładu 5.2
Rozwizanie
Dla podanych wyej wartoci parametrów obwodu impedancje zespolone odpowiadajce
poszczególnym elementom s równe:
10=ω
2011 jLjZ == ω
2022 jLjZ == ω
10jMjZM == ω
5/1 jCjZC −=−= ω
45100 jeE =
97
Pierwszym etapem analizy jest eliminacja sprzenia magnetycznego midzy cewkami.
Schemat obwodu po eliminacji przedstawiony jest na rys. 5.9.
Rys. 5.9. Schemat obwodu po eliminacji sprze magnetycznych
Rozwizanie tego obwodu wzgldem prdów gałziowych uzyskamy redukujc obcienie
ródła do jednej impedancji zastpczej. Stanowi j połczenie szeregowe impedancji
indukcyjnej i pojemnociowej
25530 jjjZLC =−=
oraz układu równoległego rezystora i cewek
6182010
)1010(30j
jjj
ZRL −=+
−⋅=
Impedancja zastpcza jest wic równa
1918 jZZZ LCRL +=+=
Prd I w obwodzie okrelony jest wzorem
10,082,31918
100 45
jj
eZE
Ij
−=+
==
98
Spadek napicia na połczeniu równoległym elementów jest równy
77,2413,6812 jIZU RL −=⋅=
Prdy w gałziach równoległych s równe
27,283,03012
1 jjU
I −−==
17,264,41010
122 j
jU
I +=−
=
W nastpnym etapie po obliczeniu prdów mona przej do obliczenia napi posługujc si
schematem oryginalnym obwodu (ze sprzeniami magnetycznymi). Korzystajc z prawa
Ohma i zalenoci definicyjnych sprzenia magnetycznego otrzymuje si
68,2145,4610 2 jIU R +==
13,6877,24111 jIZIZU ML +=+=
68,2145,46122 jIZIZU ML +=+=
10,1952,0 jIZU CC −−==
5.3 Transformator
5.3.1 Podstawy fizyczne działania transformatora
Transformator jest układem przetwarzajcym napicie wejciowe w napicie wyjciowe za
porednictwem strumienia magnetycznego przy braku bezporedniego połczenia
galwanicznego midzy obu zaciskami (wejciowymi i wyjciowymi). Transformatory mog
by stosowane do rónych celów, ale podstawowym ich zadaniem jest zmiana wartoci
napicia wejciowego na inn warto napicia wyjciowego. Moe to by zarówno
podwyszenie jak i obnienie wartoci. Przy zmianie napicia ulegaj odpowiedniej zmianie
równie prdy w uzwojeniach transformatora.
W analizie teoretycznej przyjmowa bdziemy transformator idealizowany, czyli taki w
którym nie ma strat energii, nie istnieje zjawisko rozpraszania strumienia magnetycznego
(współczynnik sprzenia magnetycznego k=1), nie wystpuj efekty pasoytnicze (np.
99
pojemnoci midzyzwojowe), nie uwzgldniona jest rezystancja uzwoje, zjawiska prdów
wirowych itp..
Przekazywanie energii elektrycznej z jednego obwodu do drugiego nastpuje za
porednictwem pola elektromagnetycznego (strumienia magnetycznego). Na rys. 5.10
przedstawiono pogldowy schemat transformatora zasilanego napiciem U1 i obcionego po
stronie wtórnej impedancj Zo.
Rys. 5.10. Pogldowy schemat transformatora
Uzwojenie, do którego jest zazwyczaj doprowadzone ródło energii elektrycznej, nazywamy
uzwojeniem pierwotnym, natomiast uzwojenie, do którego jest dołczony odbiornik,
nazywamy uzwojeniem wtórnym. Zaciski uzwojenia pierwotnego stanowi wejcie układu,
a zaciski uzwojenia wtórnego - wyjcie. Odpowiednie napicia i prdy w transformatorze
nazywamy pierwotnymi lub wtórnymi. Wszystkie wielkoci i parametry zwizane z
uzwojeniem pierwotnym opatrzymy wskanikiem 1, a wielkoci i parametry zwizane z
uzwojeniem wtórnym – wskanikiem 2.
Do uzwojenia pierwotnego przyłoone jest napicie sinusoidalnie zmienne o wartoci
chwilowej u1(t). Warto chwilow prdu w uzwojeniu pierwotnym oznaczymy przez )(1 ti .
Pod wpływem zmiennego w czasie prdu i1(t) w przestrzeni otaczajcej uzwojenie powstaje
zmienny strumie magnetyczny φ , bdcy superpozycj strumieni 1φ i 2φ . Przy załoeniu
jego równomiernego rozkładu na przekroju S, strumie jest iloczynem indukcji magnetycznej
100
B i przekroju S, BS=φ . Strumie ten kojarzy si zarówno z uzwojeniem pierwotnym
wytwarzajc strumie skojarzony φ11 z=Ψ , jak i uzwojeniem wtórnym wytwarzajc w nim
strumie skojarzony φ22 z=Ψ . Zgodne z prawem indukcji elektromagnetycznej pod
wpływem zmiennego w czasie strumienia magnetycznego indukuje si napicie u(t)
dtd
tuΨ=)( (5.15)
Jeli do uzwojenia wtórnego dołczymy odbiornik, to pod wpływem napicia
zaindukowanego w tym uzwojeniu popłynie prd i2(t).
W zalenoci od rodowiska w jakim zamyka si wytworzony wokół uzwoje strumie
magnetyczny rozróniamy transformatory powietrzne (korpus transformatora wykonany z
dielektryka o przenikalnoci magnetycznej wzgldnej bliskiej jednoci) i transformatory z
rdzeniem ferromagnetycznym (korpus wykonany z rdzenia ferromagnetycznego). Zanim
przejdziemy do omówienia obu rodzajów transformatorów, przedstawimy zalenoci
obowizujce dla transformatora idealnego.
5.3.2 Transformator idealny
Wyidealizowanym typem transformatora jest tak zwany transformator idealny, w którym
zakłada si pełne sprzenie magnetyczne, brak strat (wszystkie rezystancje równe zeru) i
pominicie zjawisk pasoytniczych. Symbol graficzny transformatora idealnego
przedstawiono na rys. 5.11.
Rys. 5.11. Symbol graficzny transformatora idealnego
W schemacie tym pomija si zwykle symbol sprzenia magnetycznego pozostawiajc
jedynie oznaczenie pocztków uzwoje transformatora. Transformator idealny jest w pełni
opisany poprzez tak zwan przekładni zwojow, okrelajc stosunek napicia pierwotnego
101
do wtórnego (przekładni napiciow) na podstawie liczby zwojów pierwotnych i wtórnych.
Przekładnia napiciowa transformatora idealnego niezalenie od sposobu wykonania i od
obcienia, powinna by równa przekładni zwojowej okrelonej wzorem
2
1
zz
n = (5.16)
Oznacza to, e relacja midzy napiciem pierwotnym i wtórnym jest nastpujca
22
11
2
1 Uzz
UnUU =→= (5.17)
Wobec załoenia o braku strat w samym transformatorze idealnym moc dostarczona na
zaciski pierwotne równa si mocy na zaciskach wtórnych, to jest 21 SS = (podobnie jest z
moc czynn i biern). Przy oznaczeniu przekładni transformatora idealnego przez n, z
warunku równoci mocy wejciowej i wyjciowej
*22
*11 IUIU =
wynika relacja midzy prdem pierwotnym i wtórnym transformatora. Mianowicie
21
1I
nI = (5.18)
Obie zalenoci (5.17) i (5.18) mona zapisa w nastpujcej postaci macierzowej
=
2
2
1
1 10
0
I
U
n
n
I
U (5.19)
Powysze równanie macierzowe nazywane jest równaniem łacuchowym transformatora
idealnego. Wykonanie transformatora idealnego w praktyce nie jest moliwe, jednak
współczesne realizacje techniczne transformatorów zwłaszcza transformatory z rdzeniem
ferromagnetycznym s bliskie ideału.
102
5.4 Transformator powietrzny
Działanie transformatora zasadniczo nie zaley od tego w jakim rodowisku zamyka si
strumie skojarzony z uzwojeniem transformatora. Sposób analizowania transformatora
powietrznego i transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym jest jednak nieco inny. W tym
punkcie ograniczymy si do transformatora powietrznego. Przyjmiemy, e korpus
transformatora wykonany jest z materiału nieferromagnetycznego.
Transformator powietrzny jest układem dwu cewek magnetycznie sprzonych,
nawinitych na korpusie wykonanym z dielektryka o wzgldnej przenikalnoci magnetycznej
bliskiej jednoci. Model idealnego transformatora powietrznego (bez uwzgldnienia
rezystancji uzwoje) obcionego impedancj Zo jest przedstawiony na rys. 5.12.
Rys. 5.12. Model idealnego transformatora powietrznego
Indukcyjnoci własne uzwoje oznaczone s przez L1 i L2 a indukcyjno wzajemna przez M,
przy czym 21LLkM = . Sprzenie magnetyczne tego typu transformatora nie jest zbyt
dobre i charakteryzuje si stosunkowo duym współczynnikiem rozproszenia, a zatem małym
współczynnikiem sprzenia k ( ).1<<k
Napicie zasilajce wywołuje w obwodzie pierwotnym prd I1, wytwarzajcy strumie
magnetyczny. Energia obwodu pierwotnego przenosi si do obwodu wtórnego poprzez
sprzenie magnetyczne, zaznaczone symbolicznie jako indukcyjno wzajemna M. Pod
wpływem zaindukowanego napicia przy zamknitym obwodzie wtórnym płynie prd I2,
odkładajc na impedancji odbiornika napicie U2.
Rozróniamy trzy zasadnicze stany pracy transformatora: stan jałowy - gdy zaciski
wtórne s rozwarte, stan zwarcia - gdy zaciski wtórne s połczone bezimpedancyjnie oraz
stan obcienia - gdy do zacisków wtórnych jest dołczony odbiornik o skoczonej
impedancji.
103
Analizujc transformator w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym
zastosujemy metod symboliczn. Z definicji sprzenia magnetycznego obu cewek przy
załoonym zwrocie prdów i przyjciu pocztków uzwoje jak na rys. 5.12 wynikaj
nastpujce równania opisujce obwód
2111 IjXIjXU ML += (5.20)
[ ]1222 IjXIjXU ML +−= (5.21)
Znak minus wystpujcy we wzorze na U2 wynika z kierunku U2 zaznaczonego na rysunku
5.12. Z równania (5.20) i (5.21) wynika nastpujcy wzór okrelajcy prd wejciowy układu
1
211
L
M
jXIjXU
I−= (5.22)
Podstawiajc wyraenie na prd do równania drugiej cewki otrzymuje si
( )
−+−= 21
1222 IjXU
jXjX
IjXU ML
ML (5.23)
Po przekształceniu tego równania otrzyma mona zaleno napicia wyjciowego
transformatora przy obcieniu oZ od napicia zasilajcego obwód oraz od prdu obcienia
−+−=
1
2
2211
2L
ML
L
M
XX
jjXIUXX
U (5.24)
Zauwamy, e nawet dla wyidealizowanego transformatora powietrznego współczynnik
sprzenia k<<1, std 21212
LLLLM XXXkXX <<= . Oznacza to, e napicie wyjciowe
transformatora zaley bardzo silnie od prdu obcienia, co jest cech niepodan, gdy
oznacza due wahania napicia wyjciowego przy zmianie obcienia.
Jedynie w przypadku stanu jałowego transformatora, dla którego 02 =I , przekładnia
transformatora nie zaley od obcienia. W takim przypadku
104
11
2 UXX
UL
M−= (5.25)
Jeli uwzgldnimy, e reaktancje cewek s proporcjonalne do liczby zwojów według relacji 211 KzX L = , 2
22 KzX L = , 21 zKzX M = gdzie K oznacza pewn stał konstrukcyjn, to z
zalenoci (5.24) wynika
111
22
1U
nU
zz
U −=−= (5.26)
Z powyszej zalenoci wida, e jedynie w stanie jałowym transformatora powietrznego
stosunek napicia pierwotnego transformatora do napicia wtórnego jest równy stosunkowi
liczby zwojów pierwotnych do wtórnych (z dokładnoci do znaku), a wic przekładni
zwojowej (transformator idealny)
nzz
UU
−=−=2
1
2
1 (5.27)
Jest to cecha bardzo podana z punktu widzenia praktycznego, gdy pozwala w bardzo
prosty sposób zmienia poziomy napi zarówno w gór (liczba zwojów wtórnych wiksza
od liczby zwojów pierwotny) jak i w dół (liczba zwojów wtórnych mniejsza ni liczba
zwojów pierwotnych).
Zauwamy, e podana relacja napiciowa midzy napiciami pierwotnym i wtórnym
transformatora idealnego jest dokładnie realizowana przez transformator powietrzny jedynie
w stanie jałowym. Niestety obcienie transformatora powietrznego powoduje zniekształcenie
tej relacji przez prd obcienia. W zwizku z powyszym transformator powietrzny w stanie
obcienia nie moe by uwaany za transformator idealny.
5.5 Transformator z rdzeniem ferromagnetycznym
5.5.1 Podstawowe prawa obwodów magnetycznych
Ogromn popraw własnoci transformatora uzyskuje si przy zastosowaniu zamiast cewek
powietrznych cewek z rdzeniem ferromagnetycznym (elazem). Rdze ferromagnetyczny
tworzy zamknity obwód magnetyczny, stanowicy drog o małej opornoci dla strumienia
105
magnetycznego φ , powstałego w wyniku działania ródła pola magnetycznego. ródłem pola
magnetycznego moe by albo uzwojenie, przez które przepływa prd elektryczny albo
magnes trwały, bdcy ciałem ferromagnetycznym, w którym pole powstało i trwa nadal,
mimo e w obszarze na zewntrz ciała prd nie płynie.
W wyniku przepływu prdu przez cewk transformatora powstaje pole magnetyczne o
indukcji B i nateniu H (B i H s wielkociami wektorowymi). Jednostk indukcji
magnetycznej jest tesla ( 211mVs
T = ) a natenia magnetycznego amper na metr (mA
). W
materiale ferromagnetycznym kierunki wektorów B i H s zgodne. Zaleno midzy
indukcj B i nateniem pola H okrelona jest w ogólnoci w postaci ptli histerezy (rys.
15.3).
Rys. 5.13 Pierwotna krzywa magnesowania elaza
W przypadku transformatorów ograniczamy si zwykle do pierwotnej krzywej
magnesowania (krzywa przechodzca przez pocztek układu współrzdnych), nie
uwzgldniajc niejednoznacznoci procesu magnesowania (ptli histerezy). Wektory indukcji
i natenia pola magnetycznego w elazie mona wówczas powiza jednoznacznym
równaniem nieliniowym opisujcym krzyw magnesowania pierwotnego
HH rµµµ 0== (5.28)
106
gdzie µ jest przenikalnoci magnetyczn bezwzgldn rodowiska, bdc funkcj
natenia pola H wyraon w mH
, 0µ - stał magnetyczn próni (przenikalno
magnetyczna próni) równ mH7104 −⋅π a rµ - przenikalnoci magnetyczn wzgldn,
wskazujc ile razy przenikalno danego rodowiska jest wiksza od przenikalnoci próni.
Dla materiałów ferromagnetycznych przenikalno magnetyczna w zakresie liniowym
krzywej magnesowania osiga bardzo due wartoci rzdu tysicy a nawet setek tysicy w
przypadku specjalnych materiałów ferromagnetycznych. Niestety przy duych wartociach
natenia pola magnetycznego nastpuje nasycenie wartoci indukcji (patrz krzywa
magnesowania na rys. 5.13) i w efekcie znaczne zmniejszenie wartoci przenikalnoci
wzgldnej. W zastosowaniach praktycznych punkt pracy transformatora połoony jest zwykle
w czci liniowej i dlatego mona z duym prawdopodobiestwem załoy bardzo du
warto współczynnika przenikalnoci wzgldnej.
W rozpatrywanym rdzeniu ferromagnetycznym o polu przekroju poprzecznego S
zamyka si strumie magnetyczny φ , powizany z indukcj magnetyczn B zalenoci
=S
dSBφ (5.29)
Przy załoeniu równomiernego rozkładu strumienia φ w polu przekroju poprzecznego
(B = B = const) powysze wyraenie upraszcza si do postaci BS=φ . Jednostk strumienia
magnetycznego w układzie SI jest weber (1Wb=1Vs).
W przypadku obwodów magnetycznych rozgałzionych strumie φ spełnia tzw.
prawo Kirchhoffa dla strumieni w wle, zgodnie z którym suma algebraiczna strumieni
magnetycznych (z uwzgldnienie ich zwrotu), w kadym wle obwodu magnetycznego jest
równa zeru, czyli
0=k
kφ (5.30)
Przykład interpretacji tego prawa dla jednego wzła obwodu magnetycznego przedstawiony
jest na rys. 5.14
107
Rys. 5.14. Schemat wzła obwodu magnetycznego
Równanie Kirchhoffa dotyczce strumieni w tym wle przyjmuje posta
0321 =−+ φφφ
Strumie magnetyczny φ w transformatorze jest skojarzony z kadym zwojem cewki.
Całkowity strumie skojarzony ze wszystkimi z zwojami cewki okrelony jest wic wzorem
φz=Ψ (5.31)
Drugim podstawowym prawem obwodów magnetycznych jest prawo przepływu Ampera,
zgodnie z którym całka liniowa wektora natenia pola magnetycznego H po krzywej
zamknitej l w polu magnetycznym równa si prdowi przenikajcemu przez powierzchni
ograniczon t krzyw, czyli
=l k
kk IzdlH (5.32)
W ogólnym wzorze Ampera uwzgldniono wiele uzwoje wzbudzajcych o liczbie zwojów
kz i prdach kI . Przy jednym uzwojeniu cewki zawierajcym z zwojów, przez które
przepływa prd I i załoeniu, e natenie pola na całej drodze l jest jednakowe i równe H,
prawo Ampera upraszcza si do postaci skalarnej
zIHl = (5.33)
108
Iloczyn natenia pola magnetycznego H na odcinku pola o długoci l przez długo tego
odcinka nazywany jest napiciem magnetycznym, a iloczyn prdu I przez liczb z zwojów
cewki – sił magnetomotoryczn, oznaczan zwykle w postaci zI=Θ .
Zaleno (5.33) wie bezporednio wektor natenia pola magnetycznego z prdem
elektrycznym obwodu wzbudzajcym to pole. Przy znanym wymuszeniu prdowym i
wymiarach cewki pozwala ona okreli warto natenia pola magnetycznego
lzI
H = (5.34)
Prawo przepływu Ampera wyraone zalenoci (5.32) moe by napisane dla dowolnego
oczka obwodu magnetycznego, przyjmujc posta tzw. drugiego prawa Kirchhoffa dla
obwodu magnetycznego. Zgodnie z tym prawem dla kadego oczka obwodu magnetycznego
suma algebraiczna napi magnetycznych wszystkich elementów oczka jest równa sumie
algebraicznej sił magnetomotorycznych zawartych w tym oczku. Zapiszemy to w postaci
=k k
kkkk IzlH (5.35)
We wzorze tym zostało załoone, e obwód magnetyczny tworzy wiele gałzi o długoci lk
kada, przy czym w kadej gałzi natenie magnetyczne przyjmuje warto Hk. Przykładowo
równania Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego przedstawionego na rys. 5.15 zawierajcego
Rys. 5.15. Przykład obwodu magnetycznego o dwu oczkach
109
dwa niezalene oczka, przy załoonych oznaczeniach jak pokazano na rysunku mona
zapisa w postaci:
• równania napi magnetycznych
113311 IzlHlH =+
222233 IzlHlH =−
• równanie strumieni
0321 =−− φφφ
Strumienie i natenia pola magnetycznego powizane s za porednictwem krzywej
magnesowania elaza )( kkkkk HfSBS ==φ dla k=1, 2, 3. Ze wzgldu na nieliniowy
charakter krzywej magnesowania równania powysze tworz wic układ równa
nieliniowych.
Istotnym pojciem w teorii obwodów magnetycznych jest pojcie reluktancji, czyli
oporu jaki jest stawiany strumieniowi magnetycznemu na drodze przepływu. Jeli wemiemy
pod uwag fragment obwodu magnetycznego o przekroju S i długoci l którym przepływa
stały strumie φ , to z definicji napicia magnetycznego µU wynika
φµµ
φµ S
ll
SHlU === (5.36)
Wielko
Sl
Rµµ = (5.37)
110
nazywana jest reluktancj (oporem magnetycznym). W przypadku rdzenia
ferromagnetycznego warto przenikalnoci magnetycznej µ jest bardzo dua, co oznacza, e
opór magnetyczny na tej drodze jest mały. Z kolei w przypadku powietrza 0µµ = przyjmuje
warto bardzo mał, co powoduje, e opór magnetyczny na takiej drodze jest bardzo duy.
Oznacza to, e dla cewki zbudowanej na rdzeniu ferromagnetycznym strumie
rozproszenia (cz strumienia zamykajca si przez powietrze) jest pomijalnie mały, a
prawie cały strumie zamyka si przez elazo. Przy dwu cewkach umieszczonych na takim
rdzeniu strumie jednej cewki przenika wic prawie całkowicie drug cewk co powoduje, e
sprzenie magnetyczne jest idealne, a współczynnik sprzenia magnetycznego k bliski
jednoci.
5.5.2 Analiza transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym
Rdze ferromagnetyczny ma zdolno skupiania pola magnetycznego i zmniejszania w ten
sposób strumienia rozproszenia zamykajcego si przez powietrze otaczajce cewk. Wynika
std, e współczynnik sprzenia magnetycznego k dla dwu cewek umieszczonych na
wspólnym rdzeniu jest bliski maksymalnej wartoci równej jeden ( 1≈k ). Oznacza to, e dla
cewek z rdzeniem ferromagnetycznym indukcyjno wzajemna jest w przyblieniu redni
geometryczn indukcyjnoci własnych obu cewek ( 21LLM ≈ ). Ta cecha zdecydowała o
zastosowaniu cewek z rdzeniem ferromagnetycznym do budowy transformatorów, które
zbliaj si swoim zachowaniem do transformatorów idealnych.
Jeli załoymy punkt pracy transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym w czci
liniowej charakterystyki magnesowania to układ taki moe by traktowany jako transformator
liniowy, analogicznie do transformatora powietrznego, ale o wartoci współczynnika
sprzenia k bliskim jednoci. Schemat zastpczy takiego transformatora przy pominiciu
rezystancji uzwoje jest identyczny jak w przypadku transformatora powietrznego (rys. 5.12).
Oznacza to, e ma tu zastosowanie wzór (5.24) okrelajcy relacj midzy napiciem
pierwotnym i wtórnym transformatora, który wobec zalenoci 21LLM ≈ mona przepisa
tutaj w postaci
111
21221
12 U
XX
XXX
jjXIUXX
UL
M
L
LLL
L
M −=
−+−≈ (5.38)
111
Jak wida z powyszej zalenoci dla transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym
przekładnia napiciowa nie zaley od prdu obcienia (pod warunkiem e punkt pracy
połoony jest w liniowej czci charakterystyki magnesowania a współczynnik sprzenia
magnetycznego jest równy jednoci). Oznacza to, e niezalenie od obcienia relacja midzy
napiciem pierwotnym i wtórnym dana jest w postaci
11
21
12 U
zz
UXX
UL
M =≈ (5.39)
Napicie wtórne transformatora jest zalene wyłcznie od przekładni zwojowej i napicia
wejciowego układu. Jest to zatem realizacja podstawowej zalenoci charakterystycznej dla
transformatora idealnego. Przy pominiciu strat w transformatorze relacja midzy prdem
pierwotnym i wtórnym spełnia równie drug zaleno transformatora idealnego (wzór
5.17). Wynika std wniosek, e transformator z rdzeniem ferromagnetycznym jest dobrym
przyblieniem transformatora idealnego.
4.1 Zadania do samodzielnego rozwizania
Zadanie 5.1
Narysowa obwody zastpcze bez sprze magnetycznych odpowiadajce obwodom ze
sprzeniami przedstawionym na rys. 5.16a,b.
Rys. 5.16. Schematy obwodów ze sprzeniami magnetycznymi do zadania 5.1
112
Rozwizanie
Na rys. 5.17a,b przedstawiono obwody zastpcze nie zawierajce sprze magnetycznych.
Odpowiadaj one obwodom oryginalnym z rys. 5.16 pod wzgldem prdowym.
Rys. 5.17 Obwody bez sprze magnetycznych odpowiadajce rys. 5.16
Zadanie 5.2
Wyznaczy rozpływy prdów w obwodzie przedstawionym na rys. 5.18.
Rys. 5.18 Schemat obwodu elektrycznego ze sprzeniem magnetycznym do zadania 5.2
113
Przyj nastpujce wartoci parametrów elementów obwodu: R=5, L1=2H, L2=2H, M=1H
oraz )45sin(5)( += tti A.
Rozwizanie
Posta obwodu po eliminacji sprzenia magnetycznego przedstawiono na rys. 5.19
Rys. 5.19 Obwód bez sprze magnetycznych odpowiadajcy schematowi z rys. 5.18.
Wielkoci symboliczne charakteryzujce elementy obwodu:
ojeI 45
25=
( ) 111 jMLjZ =−= ω
( ) 022 =−= MLjZ ω
1jMjZM == ω
Impedancja zastpcza obwodu wobec 02 =Z
oj
M
M eZR
RZZ 45
21=
+=
Napicie UAB
5jZIU AB ==
Prdy:
114
5jR
UI AB
R ==
01 =I
532 ===M
AB
ZU
II
Napicia na elementach równoległych w obwodzie oryginalnym i zastpczym s sobie równe
i wynosz 5jU AB = . Mona to łatwo sprawdzi w obwodzie oryginalnym obliczajc napicia
na cewkach sprzonych. Mianowicie
52111jMIjILjU L =+= ωω
51222jMIjILjU L =+= ωω
Zadanie 5.3
Wyznaczy rozwizanie obwodu z rys. 5.20 zawierajcego transformator idealny o przekładni
zwojowej równej n=2. Przyj nastpujce wartoci parametrów obwodu:
)sin(210)( tte ω= V, 1=ω rad/s, Ω= 5R , C=0,2F.
Rys. 5.20. Schemat obwodu do zadania 5.3
Rozwizanie
Wielkoci symboliczne charakteryzujce elementy obwodu:
10=E
115
5/1 jCjZC −=−= ω
5,25,2 jZR
RZZ
C
CRC −=
+=
Układ równa opisujcych obwód:
RCZIU
In
I
nUU
URIE
22
21
21
11
1
=
=
=+=
Po wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si
)5,25,2(21
2
510
22
21
21
11
jIU
II
UU
UI
−=
=
=+=
Po uproszczeniu tego układu równa otrzymuje si
( ) 145210510 Ie
oj−+=
Std
30,045,01 jI +=
60,090,02 12 jII +==
76,079,322 jIZU RC −==
5,158,72 21 jUU −==
15,075,023 j
RU
I −==
76,015,024 j
ZU
IC
+==
116
Łatwo sprawdzi, e stosunek prdu I1 do prdu I2, 21
2
1 =II
, podczas gdy 22
1 =UU
.
117
Lekcja 6. Rezonans w obwodach elektrycznych
Wstp Lekcja szósta powicona bdzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC.
Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC, w którym prd i napicie s ze sob
w fazie. W stanie rezonansu przesunicie fazowe prdu i napicia jest zerowe, co oznacza, e
argument impedancji lub admitancji zespolonej obwodu jest take równy zeru. Obwód nie
pobiera adnej mocy biernej a cile mówic nastpuje zjawisko kompensacji tej mocy. Moc
bierna indukcyjna obwodu jest równa mocy pojemnociowej. Poniewa znaki mocy biernej
indukcyjnej i pojemnociowej s przeciwne, w warunkach rezonansu całkowita moc bierna
jest zerowa.
W obwodzie RLC zjawisko rezonansu wymaga, aby reaktancja wypadkowa obwodu (lub
jej odwrotno zwana susceptancj) była równa zeru. Czstotliwo, przy której reaktancja
lub susceptancja obwodu znika jest nazywana czstotliwoci rezonansow. Podane zostan
odpowiednie wzory pozwalajce na wyznaczenie wartoci tej czstotliwoci, jak równie
wprowadzone zostan inne pojcia wane dla zjawiska rezonansu, takie jak dobro,
rozstrojenie bezwzgldne i wzgldne, pasmo przepustowe, rezystancja charakterystyczna.
Analizie zostan poddane charakterystyki czstotliwociowe obwodów rezonansowych.
Rezonans wystpi moe w dowolnej konfiguracji elementów RLC, tym nie mniej bada
si szczególne połczenia elementów prowadzce do tego zjawiska. Rezonans wystpujcy w
obwodzie, w którym elementy R, L, C s połczone szeregowo nazywamy rezonansem
napi lub rezonansem szeregowym. W przypadku, gdy rezonans dotyczy obwodu
równoległego R, L, C taki rezonans nazywamy rezonansem prdów lub rezonansem
równoległym.
118
6.1. Rezonans szeregowy
Przyjmijmy, e do połczenia szeregowego elementów R, L, C przedstawionego na rys. 6.1.
Rys. 6.1. Obwód rezonansowy szeregowy RLC
jest przyłoone napicie sinusoidalnie zmienne o wartoci skutecznej zespolonej U i pulsacji
fπω 2= . Przy zastosowaniu metody symbolicznej w analizie tego obwodu mona napisa
nastpujce równanie napiciowe Kirchhoffa
[ ])( CLCLCLR XXjRIIjXIjXRIUUUU −+=−+=++= (6.1)
Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC, w którym prd i napicie s ze sob
w fazie. Zgodnie z t definicj warunek rezonansu obwodu wymaga, aby prd I oraz napicie
U były ze sob w fazie. Osignie si to, jeli cz urojona powyszej zalenoci bdzie
równa zeru, czyli
CL XX = .
Uwzgldniajc, e LX L ω= oraz CXC ω/1= z powyszego warunku otrzymuje si wzór
okrelajcy pulsacj rezonansow rω w postaci
LCr
1=ω (6.2a)
Czstotliwo rezonansowa obwodu wynosi zatem
119
LC
fr π21= (6.2b)
Równo reaktancji indukcyjnej i pojemnociowej oznacza, e w stanie rezonansu napicia na
cewce i kondensatorze s równe co do modułu ale przeciwnie skierowane, czyli
CL UU −=
Zmiana czstotliwoci zmienia oczywicie relacj midzy napiciami na tych elementach
reaktancyjnych (przeskalowanie wartoci). Dla czstotliwoci mniejszych ni rezonansowa
napicie na kondensatorze jest wiksze ni na cewce (przy mniejszej czstotliwoci
impedancja kondensatora jest wiksza), a przy czstotliwociach wikszych ni rezonansowa
napicie na cewce wiksze ni na kondensatorze (impedancja cewki ronie wraz ze wzrostem
czstotliwoci a impedancja kondensatora maleje). Na rys. 6.2 przedstawiono wykresy
wektorowe prdu i napi w obwodzie szeregowym RLC dla czstotliwoci mniejszych ni
rezonansowa (rys. 6.2a), dla czstotliwoci rezonansowej (rys. 6.2b) oraz dla czstotliwoci
wikszych ni rezonansowa (rys. 6.2c).
a) b) c)
Rys. 6.2 Wykresy wektorowe obwodu rezonansowego RLC: a) stan przed rezonansem, b) stan rezonansu, c) stan po rezonansie
120
Z przesuni ktowych midzy wektorami widoczne jest, e przed rezonansem obwód
szeregowy RLC ma charakter pojemnociowy, w czasie rezonansu – rezystancyjny, a dla
czstotliwoci wikszych ni rezonansowa – indukcyjny.
6.1.1 Parametry rezonansu szeregowego
Rezonans moe by scharakteryzowany wieloma parametrami, z których najwaniejsze to
czstotliwo rezonansowa, dobro obwodu rezonansowego, rezystancja charakterystyczna,
rozstrojenie obwodu oraz pasmo przenoszenia czstotliwoci.
Czstotliwo rezonansowa obwodu szeregowego RLC została zdefiniowana powyej
jako LC
fr π21= . Jest ona jednoznacznie okrelona jako funkcja indukcyjnoci L oraz
pojemnoci C. Rezystancja R nie ma adnego wpływu na warto czstotliwoci obwodu
szeregowego RLC.
Drugim wanym parametrem obwodu rezonansowego jest dobro Q okrelana zwykle
w punkcie rezonansowym (dla czstotliwoci rezonansowej). W obwodzie szeregowym RLC
dobroci nazywamy stosunek napicia na elemencie reaktancyjnym (kondensatorze lub
cewce) do napicia na elemencie rezystancyjnym w czasie rezonansu. Std warto dobroci
moe by wyznaczona ze wzoru
RCR
LU
U
U
UQ
r
r
R
C
R
L
ωω 1==== (6.3)
Po uwzgldnieniu wzoru na pulsacj rezonansow, dobro Q mona wyrazi w jednoznacznej
postaci uzalenionej wyłcznie od parametrów obwodu RLC
RCL
Q = (6.3)
Wielko wystpujca w liczniku nazywana jest rezystancj charakterystyczn ρ
121
CL=ρ (6.5)
Rezystancja charakterystyczna obwodu rezonansowego szeregowego RLC jest uzaleniona
wyłcznie od wartoci indukcyjnoci i pojemnoci.
6.1.2 Charakterystyki czstotliwociowe rezonansu
Charakterystykami czstotliwociowymi obwodu rezonansowego nazywa bdziemy
zaleno prdu i napi od czstotliwoci (pulsacji). Dla otrzymania charakterystyk
czstotliwociowych z równania (6.1) wyznaczmy prd I jako funkcj pulsacji
( )CjLjR
UI
ωωω
/1−+= (6.6)
Przepisujc powysz zaleno zespolon w postaci wykładniczej otrzymujemy wzór
( ) )()( ωϕωω jeII = (6.7)
w którym )(ωI oznacza moduł prdu a )(ωϕ - faz uzalenion od czstotliwoci napicia
zasilajcego. Wielkoci te opisane s nastpujco
( )22 /1
)(CLR
UI
ωωω
−+= (6.8)
R
CL ωωωϕ /1arctg)(
−−= (6.9)
Zaleno modułu od czstotliwoci (pulsacji) nazywamy charakterystyk amplitudow
rezonansu a zaleno fazy od czstotliwoci (pulsacji) – charakterystyk fazow. Na rys.
6.3a przedstawiono charakterystyk modułu prdu a rys. 6.3b – fazy prdu w funkcji pulsacji
ω .
122
Rys. 6.3 Charakterystyki czstotliwociowe prdu w obwodzie rezonansowym:
a) charakterystyka amplitudowa, b) charakterystyka fazowa
Wartoci elementów symulowanego obwodu były równe: L=1H, C=1F, R=1,8 Ω . Dla
punktu rezonansowego 1=rω charakterystyka przyjmuje warto maksymaln a faza warto
zerow.
Wraz ze zmian prdu zmieniaj si równie napicia na pozostałych elementach
obwodu RLC. Dla wyznaczenia tych zalenoci mona wykorzysta prawo Ohma, zgodnie, z
którym przy zastosowaniu podejcia symbolicznego otrzymuje si
• dla indukcyjnoci
)()( ωωω LIjUL = (6.10)
• dla pojemnoci
C
IjU C ω
ωω )()( −= (6.11)
123
Podstawiajc do powyszych zalenoci wzór okrelajcy prd mona otrzyma wyraenia na
moduły i fazy napicia na cewce i kondensatorze. Charakterystyki amplitudowe tych napi
s wyraone w postaci
( )22 /1
)(CLR
LUU L
ωω
ωω
−+= (6.12)
( )22 /1
)(CLRC
UUC
ωωωω
−+= (6.13)
Na rys. 6.4 przedstawiono przykładowe charakterystyki czstotliwociowe amplitudowe
napicia na cewce i kondensatorze w obwodzie RLC o podanych wczeniej parametrach przy
pulsacji rezonansowej równej jeden i dobroci obwodu 55,0=Q .
Rys. 6.4 Charakterystyki amplitudowe napicia na cewce i kondensatorze
Jak wida dla czstotliwoci rezonansowej obwodu napicia na reaktancjach s sobie równe.
Charakterystyki fazowe napi na cewce i kondensatorze, jak wynika ze wzorów
(6.10) i (6.11) róni si od charakterystyki fazowej prdu tylko o warto 2/π i s
przesunite na osi pionowej bd w dół bd w gór. Łatwo pokaza, e s one okrelone
nastpujco
124
• Charakterystyka fazowa napicia cewki
R
CLL
ωωπωϕ /1arctg
2)(
−−= (6.14)
• Charakterystyka fazowa napicia kondensatora
R
CLC
ωωπωϕ /1arctg
2)(
−−−= (6.15)
Kształt charakterystyk fazowych napicia na cewce i kondensatorze jest identyczny z
charakterystyk fazow prdu. Jedynym wyjtkiem jest przesunicie tych charakterystyk w
osi pionowej o warto kta równ o90± .
Ogromny wpływ na charakterystyki czstotliwociowe zarówno amplitudow jak i
fazow wywiera dobro obwodu. Im wysza jest dobro tym charakterystyka prdu w funkcji
czstotliwoci jest bardziej stroma. Zmniejszenie dobroci powoduje spłaszczenie
charakterystyki prdu (gorsza selektywno obwodu rezonansowego).
Rys. 6.5 Ilustracja wpływu dobroci na charakterystyk amplitudow prdu
Rys. 6.5 przedstawia wpływ dobroci na charakterystyk amplitudow prdu przy stałej
wartoci amplitudy napicia zasilajcego. Im wiksza dobro tym charakterystyka
amplitudowa jest bardzie stroma i wsza.
125
Na rys. 6.6 zilustrowano wpływ dobroci na charakterystyki amplitudowe napicia
cewki i kondensatora dla tych samych wartoci czstotliwoci rezonansowej i dobroci jak na
rys. 6.6.
Rys. 6.6 Charakterystyki amplitudowe napicia na cewce i kondensatorze
Zaobserwowa mona pojawienie si maksimum w charakterystyce zarówno napicia
cewki jak i kondensatora. Łatwo mona udowodni, e punkt maksymalny obu charakterystyk
pojawia si jedynie przy dobrociach obwodu wikszych ni 2
1. Dobro
21=Q odpowiada
najbardziej płaskiemu przebiegowi charakterystyk amplitudowych.
Dla wprowadzenia nastpnego parametru obwodu rezonansowego, jakim jest
rozstrojenie bezwzgldne, napiszmy wyraenie na napicie rezystora R w postaci
)/1(
)(CLjR
RU
U R
ωωω
−+= (6.16)
któr przekształcimy nastpujco
jarctgxR exU
U −
+=
21
1)(ω (6.17)
Wielko
126
R
CLRX
xωω /1−== (6.18)
nosi nazw rozstrojenia bezwzgldnego obwodu rezonansowego RLC. Rozstrojenie
bezwzgldne jest proporcjonalne do wartoci całkowitej reaktancji obwodu przy okrelonej
czstotliwoci. Rozstrojenie jest równe zeru tylko dla punktu rezonansowego. Rozstrojenie
bezwzgldne jest pewnego rodzaju wskanikiem odstrojenia obwodu od rezonansu.
Przyjmuje wartoci z przedziału (-∞, ∞).
Stopie odstrojenia pulsacji od wartoci rezonansowej okrela poza rozstrojeniem
bezwzgldnym, równie rozstrojenie wzgldne, definiowane za pomoc wzoru
ωω
ωωδ r
r
−= (6.19)
Mona łatwo pokaza, e rozstrojenie bezwzgldne x obwodu RLC jest powizane z
rozstrojeniem wzgldnym δ relacj
R
Qxδρδ == (6.20)
Zaleno ta wskazuje, e przy tym samym rozstrojeniu bezwzgldnym x w obwodzie
o wikszej dobroci Q wystpuje mniejsze rozstrojenie wzgldne. W wikszoci zastosowa
charakterystyki rezonansowe obwodu wykorzystywane s w bliskim otoczeniu pulsacji
rezonansowej. W takich warunkach mona zastosowa nastpujce przyblione wzory na
rozstrojenie wzgldne i bezwzgldne
r
r
r
rrr
r ωωω
ωωωωωω
ωω
ωωδ
−≅
−+=−= 2
))(( (6.21)
QQx 2≅= δr
r
ωωω −
(6.22)
Istotnym parametrem obwodu rezonansowego jest pasmo przepustowe. Pasmem
przepustowym (przepuszczania) szeregowego obwodu rezonansowego RLC nazywamy
127
przedział czstotliwoci (f1, f2) w otoczeniu czstotliwoci rezonansowej fr, na kracach
którego warto skuteczna sygnału napicia na rezystorze R w obwodzie jest równa 2
UU R =
(spadek wartoci charakterystyki logarytmicznej UUR
10log20 o 3dB w stosunku do wartoci
maksymalnej). Jest to tak zwane pasmo 3 decybelowe. Oznacza to, e w pamie
przepustowym zachodzi zaleno
2
1≥U
U R (6.23)
Mona udowodni, e 3 decybelowe pasmo przepustowe (f2-f1) obwodu rezonansowego
okrelone jest zalenoci
Qf
ff r=− 12 (6.24)
Im wysza dobro Q obwodu tym jest ono wsze, natomiast zmniejszenie dobroci obwodu
rozszerza to pasmo.
Zjawiska w obwodzie rezonansowym odgrywaj wan rol w technice przetwarzania
sygnałów. Układy rezonansowe wchodz w skład zarówno generatorów harmonicznych jak i
filtrów elektrycznych i elektronicznych. Dziki właciwoci przenoszenia lub tłumienia
sygnałów w okrelonym pamie czstotliwoci wykorzystuje si je jako układy dostrajajce w
radioodbiornikach i telewizorach. W liniach teletransmisyjnych układy rezonansowe
umoliwiaj przekazywanie wielu sygnałów za pomoc jednej linii przesyłowej przy
zastosowaniu rónych czstotliwoci.
6.2 Rezonans równoległy
Rezonans prdów zwany równie rezonansem równoległym moe wystpi w obwodzie
zawierajcym połczenie równoległe elementów RLC. Istnieje wiele struktur obwodów, w
których moe powsta rezonans prdów. Warunkiem jest pojawienie si równoległego
połczenia cewki i kondensatora, przy czym zarówno cewka jak i kondensator moe by w
układzie połcze z innymi elementami rezystancyjnymi.
128
6.2.1 Zalenoci podstawowe rezonansu prdów
Na rys. 6.7 przedstawiono przykładowy najprostszy obwód rezonansu równoległego RLC.
Rys. 6.7 Obwód rezonansowy równoległy RLC
Podobnie jak w przypadku obwodu szeregowego przyjmiemy wymuszenie sinusoidalne o
zmiennej czstotliwoci, ale tym razem załoymy je w postaci ródła prdowego
)sin()( tIti m ω= . Wykorzystujc w opisie obwodu metod symboliczn równanie prdowe
Kirchhoffa dla tego obwodu przyjmie posta
( )[ ]LCjGULjUCUjGUIIII CLR ωωωω /1/ −+=−+=++= (6.25)
Warunkiem rezonansu równoległego jest przyjcie przez kt fazowy midzy prdem I oraz
napiciem U wartoci równej zeru. Nastpi to wtedy, gdy cz urojona zalenoci (6.25)
przyjmie warto zerow, czyli gdy
LCL
C11 =→= ω
ωω (6.26)
Warunek powyszy bdzie spełniony, gdy czstotliwo zasilania przyjmie warto
czstotliwoci rezonansowej okrelonej zalenoci
LC
fr π21= (6.27)
129
Jak wida czstotliwo rezonansowa w obwodzie równoległym z rys. 6. 7 jest okrelona
identycznym wzorem jak w obwodzie szeregowym RLC. W odrónieniu od obwodu
szeregowego w obwodzie równoległym dobroci nazywamy stosunek prdu LI lub CI (s
sobie równe w chwili rezonansu) do prdu RI w elemencie rezystancyjnym RI
GLG
CI
I
I
IQ
r
r
R
C
R
L
ωω 1==== (6.28)
Po uwzgldnieniu RG /1= i wzoru (6.27) na czstotliwo rezonansow otrzymuje si
relacj okrelajc dobro równoległego obwodu rezonansowego RLC o strukturze
przedstawionej na rys. 6.7 w postaci
CL
RQ = (6.29)
Tym razem dobro obwodu jest wprost proporcjonalna do wartoci rezystancji a odwrotnie
proporcjonalna do rezystancji charakterystycznej. Dobro obwodu wzrasta wic ze wzrostem
wartoci rezystancji, odwrotnie ni to miało miejsce w obwodzie rezonansu szeregowego
(przy wikszej rezystancji równoległej płynie przez ni mniejszy prd upływnociowy).
6.2.2 Charakterystyki czstotliwociowe obwodu rezonansowego równoległego
Dobro Q, podobnie jak w obwodzie rezonansu szeregowego, ma ogromny wpływ na
charakterystyki czstotliwociowe obwodu RLC. Zauwamy, e z równania (6.25) mona
wyznaczy napicie na elementach R, L, C w postaci
( ) )()(/1
ωϕωωω
ω jeULjCjG
IU =
−+= (6.30)
w którym )(ωU oznacza moduł napicia a )(ωϕ - faz uzalenion od czstotliwoci prdu
zasilajcego. Wielkoci te opisane s nastpujc funkcj
130
( )22 /1
)(LCG
IU
ωωω
−+= (6.31)
G
LC ωωωϕ /1arctg)(
−−= (6.32)
Na rys. 6.8a przedstawiono charakterystyk modułu napicia (charakterystyk amplitudow) a
rys. 6.8b wykres fazy napicia (charakterystyk fazow) w funkcji pulsacji ω dla obwodu
rezonansowego o 1=rω i dobroci Q=0,6.
Rys. 6.8 Charakterystyka amplitudowa (a)
i fazowa (b) napicia w obwodzie równoległym RLC
W punkcie rezonansowym (czstotliwo zasilania równa czstotliwoci rezonansowej)
charakterystyka amplitudowa przyjmuje warto maksymaln a faza warto zerow.
Charakterystyki te s analogiczne do charakterystyk dla obwodu szeregowego przy
uwzgldnieniu formalnych zmian wystpujcych we wzorach (prd w obwodzie szeregowym
odpowiada napiciu na połczeniu równoległym elementów). Zmiana kształtu charakterystyk
czstotliwociowych obwodu równoległego na skutek zmian dobroci jest równie identyczna
131
jak miało to miejsce w obwodzie szeregowym RLC. Odpowiednikiem napicia na elementach
L i C w obwodzie szeregowym jest prd tych elementów w obwodzie równoległym.
Zachowanie si tych charakterystyk w funkcji pulsacji wynika z prawa Ohma dla cewki i
kondensatora, to jest
)()( ωωω CUjIC =
oraz
LjUIL ωωω /)()( −=
Ograniczajc si jedynie do charakterystyk amplitudowych mona łatwo wykaza, e
charakterystyki te opisuj si nastpujcymi wzorami
( )22 /1
)(LCG
CIIC
ωω
ωω
−+= (6.33)
( )22 /1
)(LCGL
IIL
ωωωω
−+= (6.34)
Na rys. 6.9 przedstawiono charakterystyki amplitudowe prdu cewki i kondensatora w funkcji
pulsacji dla dobroci 2
1<Q wynikajce z relacji (6.33) i (6.34).
Rys. 6.9 Charakterystyki amplitudowe prdu cewki i kondensatora
132
Zmiana dobroci obwodu wpływa w zasadniczy sposób na przebieg tych charakterystyk.
Mona łatwo udowodni, e dla dobroci 2
1>Q pojawiaj si punkty ekstremalne
(maksima) w obu charakterystykach, podobnie jak przy rezonansie szeregowym, przy czym
wystpuje przesunicie tych maksimów wzgldem punktu rezonansowego. Przesunicie to
maleje wraz ze zwikszaniem si dobroci. Przy dobroci 2
1≤Q punkty ekstremalne w obu
charakterystykach nie wystpuj a przebieg charakterystyk amplitudowych staje si
monotoniczny.
Rezonans równoległy podobnie jak szeregowy ma głównie zastosowanie w układach
filtrów i generatorów, gdzie pełni rol układu wzmacniajcego sygnały w okrelonym
zakresie czstotliwoci i tłumicego w pozostałym.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 6.1
Okreli warunek rezonansu w obwodzie przedstawionym na rys. 6.10 przy załoeniu
wymuszenia sinusoidalnego. Wyznaczy czstotliwo, przy której w obwodzie nastpi
rezonans. Przyj nastpujce znormalizowane wartoci parametrów obwodu: R=10Ω, L=1H
oraz C=1F.
Rys. 6.10 Schemat obwodu do zadania 6.10
Rozwizanie
Impedancja zastpcza obwodu okrelona jest wzorem
2
2
2
3
10010099
100101
ωω
ωω
ωω
ω +−+
+=
++−= j
LjRLRj
CjZ
133
Warunek rezonansu:
0100990)Im( 2 =−→= ωZ
Std czstotliwo, przy której wystpi rezonans jest okrelona wzorem
99100=rω
6Hz1,099
10021 ==πrf
Zadanie 6.2
Wyznaczy pojemno C, przy której w obwodzie z rys. 6.11 zachodzi rezonans szeregowy.
Rys. 6.11 Schemat obwodu do zadania 6.2
Wymuszenie w obwodzie dane jest w postaci )4000sin(250)( tte = . W warunkach
rezonansu wyznaczy prdy i napicia w obu obwodach. Przyj nastpujce wartoci
parametrów obwodu: R=1000Ω, L=0,25H, L1=0,5H.
Rozwizanie
Impedancja zastpcza obwodu okrelona jest wzorem
CjLj
CjLj
RLjRLj
Z
ωω
ωω
ωω
1
1
1
1
−
−+
+=
134
Po wstawieniu wartoci parametrów otrzymuje si
110414001016
11048001032
11041000
400800 6
8
6
8
6 −⋅−⋅+
−⋅−⋅=
−⋅−+=
CC
jC
CC
jjZ
Jak z powyszego wzoru wynika, w obwodzie moliwy jest zarówno rezonans szeregowy jak
i równoległy. W przypadku rezonansu szeregowego wymaganego w treci zadania warunek
jest nastpujcy
0140010160)Im( 8 =−⋅→= CZ
Std
nF8751016
14008 =
⋅=C
W warunkach rezonansu poszczególne impedancje obwodu wynosz
400800 jZRL +=
400jZ LC −=
Prdy i napicia w obwodzie:
AZZ
EI
LCRL
0625,0=+
=
2550 jIZU RLRL +==
025,00125,01
1 jLj
UI RL
L −==ω
jIZU LCLC 25−==
025,0−==Lj
UI LC
L ω
0875,0=−
=
Cj
UI LC
C
ω
025,005,0 jR
UI RL
R +==
135
163
Lekcja 7. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniu niesinusoidalnym
Wstp
W tej lekcji zajmiemy si analiz obwodów liniowych RLC w stanie ustalonym przy
wymuszeniach okresowych niesinusoidalnych. Odpowiedzi takich obwodów s w ogólnoci
równie funkcjami okresowymi niesinusoidalnymi. Wiele urzdze elektrycznych generuje
sygnały okresowe o kształcie rónicym si od sinusoidy. Mog to by prostowniki diodowe
lub tyrystorowe, transformatory przecione pracujce w zakresie nieliniowoci krzywej
magnesowania, generatory uniwersalne napi prostoktnych, piłokształtnych itp. Okresowe
przebiegi niesinusoidalne nazywa bdziemy równie odkształconymi, uznajc przebiegi
sinusoidalne za najbardziej elementarne przebiegi okresowe.
Istnieje konieczno opracowania metodyki analizy obwodów zawierajcych sygnały
niesinusoidalne. Podstawowym problemem w analizie tych obwodów jest wyraenie
przebiegów niesinusoidalnych poprzez funkcje sinusoidalne, dla których analiza jest bardzo
prosta. Metod powszechnie stosowan jest rozwinicie funkcji czasowych opisujcych
przebieg niesinusoidalny w szereg Fouriera.
Zostanie pokazane, e dowolne okresowe wymuszenie róne od sinusoidalnego moe by
przedstawione jako suma wielu wymusze harmonicznych (sinusoidalnych) o
czstotliwociach bdcych wielokrotnoci czstotliwoci podstawowej. Rozwinicie
szeregu Fouriera zostanie zaprezentowane tutaj w postaci trygonometrycznej oraz
wykładniczej. Wprowadzone zostanie twierdzenie Parsevala, pozwalajce wyrazi warto
redni za okres iloczynu dwu funkcji okresowych poprzez współczynniki rozwinicia
wykładniczego Fouriera obu funkcji. Podane zostan wzory na warto skuteczn przebiegów
niesinusoidalnych oraz na moce wystpujce w obwodzie o przebiegach niesinusoidalnych.
Wprowadzone zostanie nowe pojcie mocy – moc odkształcenia (deformacji). Poznamy
metod analizy obwodów ze ródłami niesinusoidalnymi w stanie ustalonym przy
zastosowaniu zasady superpozycji.
164
7.1. Szereg Fouriera
7.1.1. Wprowadzenie
Zgodnie z twierdzeniem Fouriera funkcj okresow f(t) o okresie T (czstotliwo f=1/T)
mona przedstawi w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji
sinusoidalnych o czstotliwociach kf jeli funkcja ta spełnia tak zwane warunki Dirichleta.
Niech dana bdzie funkcja okresowa f(t) okrelona w przedziale 0-T, gdzie T oznacza
okres tej funkcji. Załómy, e funkcja ta spełnia warunki Dirichleta, to znaczy, e w
przedziale 0-T jest bezwzgldnie całkowalna, czyli
∞< dttfT
)( (7.1)
ma skoczon liczb maksimów i minimów a w przedziale 0-T co najwyej skoczon liczb
punktów niecigłoci tk, przy czym w kadym punkcie niecigłoci istniej skoczone granice
prawostronna i lewostronna a warto funkcji w tym punkcie przyjmuje si jako redni
arytmetyczn granicy lewo- i prawostronnej, to jest
[ ])()(21
)( +− += kkk tftftf (7.2)
7.1.2. Posta trygonometryczna szeregu Fouriera
Kada funkcja okresowa spełniajca wymienione warunki Dirichleta moe by wyraona za
pomoc nieskoczonego, zbienego szeregu Fouriera. Suma tego szeregu dla dowolnego
punktu czasu t jest równa wartoci funkcji f(t), co znaczy
)sin()(1
0 kk
k tkFFtf ψω ++= ∞
= (7.3)
lub
[ ]∞
=
++=1
0 )sin()cos()(k
kk tkBtkAAtf ωω (7.4)
165
Szereg po prawej stronie równa (7.3) i (7.4) nazywa bdziemy szeregiem
trygonometrycznym Fouriera. W szeregu tym wyróni naley nastpujce parametry
k - rzd harmonicznej (k = 1, 2, 3,...)
kF - amplituda k-tej harmonicznej
00 AF = - składowa stała przebiegu
kψ - faza pocztkowa k-tej harmonicznej
T
fππω 2
2 == - pulsacja harmonicznej podstawowej
)sin( 11 ψω +tF - podstawowa harmoniczna przebiegu
)sin( kk tkF ψω + - k-ta harmoniczna przebiegu (k = 1, 2, 3, ...)
Naley podkreli, e czstotliwo harmonicznej podstawowej jest identyczna z
czstotliwoci przebiegu niesinusoidalnego f(t). Czstotliwoci kolejnych harmonicznych s
wielokrotnoci czstotliwoci harmonicznej podstawowej, czyli ωω kk = . Współczynniki
rozwinicia trygonometrycznego Fouriera wyznacza si z nastpujcych wzorów
+
=0
0
)(1
0
tT
t
dttfT
A (7.5)
+
=0
0
)cos()(2 tT
tk dttktf
TA ω (7.6)
dttktfT
BtT
tk
+
=0
0
)sin()(2 ω (7.7)
Chwila czasowa t0 moe by wybrana dowolnie a jej wybór nie ma wpływu na wynik
transformacji. Obie postacie szeregu Fouriera (7.3) i (7.4) s sobie równowane, jeli
spełnione s nastpujce warunki
22kkk BAF += (7.8)
166
k
kk B
Aarctg=ψ (7.9)
W ogólnoci szereg Fouriera zawiera nieskoczenie wiele harmonicznych. W praktyce
wikszo harmonicznych maleje do zera przy zwikszajcym si rzdzie tych
harmonicznych. Std w obliczeniach uwzgldnia si jedynie niewielk liczb tych
harmonicznych uzyskujc zadowalajce przyblienie. Metod rozkładu przebiegu
niesinusoidalnego na szereg Fouriera zilustrujemy na przykładzie przebiegu prostoktnego.
Przykład 7.1
Wyznaczy rozwinicie Fouriera dla przebiegu prostoktnego okresowego o okresie T
przedstawionego na rys. 7.1
Rys. 7.1. Przebieg prostoktny okresowy
Rozwizanie
Dla przebiegu podanego na rys. 7.1 pulsacja T/2πω = . Poszczególne współczynniki
rozwinicia trygonometrycznego Fouriera opisane s wzorami
TT
AAdtT
dttfT
AT
T
T
T
12/
2/0 2
1)(
1 1
1
=== −−
)2sin(2
)cos(2
)cos()(2 1
2/
2/
1
1TT
kk
AdttkA
Tdttktf
TA
T
T
T
Tk ⋅
⋅===
−−
ππ
ωω
0)sin(2
)sin()(2 1
1
2/
2/
=== −−
T
T
T
Tk dttkA
Tdttktf
TB ωω
167
Z uzyskanych wzorów na współczynniki Fouriera wynika, e zadany przebieg czasowy
prostoktny opisa mona w postaci nieskoczonej sumy harmonicznych o postaci
∞
=
⋅+=
1
11 )cos()2sin(2
2)(k
tkTT
kk
ATT
Atf ωππ
Wyraenie o postaci sinusoidalnej stojce przy cos(kt) oznacza amplitud k-tej
harmonicznej. Jak wida warto tej amplitudy maleje wraz ze wzrostem k. W ogólnym
przypadku przy dowolnej wartoci T1 rozwinicie w szereg Fouriera zawiera moe
wszystkie harmoniczne, przy czym amplitudy tych harmonicznych s modulowane funkcj
sinusoidaln.
Szczególnie prost form przyjmuje rozwinicie w szereg Fouriera przy wypełnieniu
impulsów prostoktnych w stosunku 1:1. Wtedy 4/1 TT = a rozwinicie f(t) upraszcza si do
postaci
...)7cos(72
)5cos(52
)3cos(32
)cos(2
2)( +−+−+= t
At
At
At
AAtf ω
πω
πω
πω
π
W tym przypadku szereg Fouriera zawiera jedynie harmoniczne nieparzyste a amplituda k-tej
harmonicznej jest k-krotnie mniejsza ni harmonicznej podstawowej. Kolejne składniki
rozwinicia róni si znakiem (znak minus odpowiada wprowadzeniu przesunicia fazowego
o kt 180o). Rys. 7.2 przedstawia wykres amplitudy i fazy poszczególnych składowych
rozkładu Fouriera (w przypadku fazy przyjto
+=2
sincosπωω tt ).
168
Rys. 7.2. Wykres amplitudy (a) i fazy (b) składowych rozkładu Fouriera
Rozkład przebiegu niesinusidalnego na składowe harmoniczne oznacza jego
aproksymacj poprzez nieskoczon sum składników. Kade ograniczenie tej sumy do
liczby skoczonej wprowadza pewien błd aproksymacji, a wic przyblienie przebiegu
rzeczywistego przez funkcje aproksymujce. Na rys. 7.3 przedstawiono efekty przybliania
przebiegu prostoktnego przez ograniczon sum harmonicznych przy coraz wikszej ich
liczbie uwzgldnianej w aproksymacji (N=2, N=3, N=4 uwzgldniajc składow zerow).
Rys. 7.3. Przyblienie impulsu prostoktnego przez skoczon sum harmonicznych
Jak wida pomimo uwzgldnienia w rozwiniciu jedynie 4 harmonicznych przyblienie jest
do dokładne i odzwierciedla podstawowy kształt impulsu. Zwikszenie liczby
harmonicznych uwzgldnione w sumie zwiksza dokładno odwzorowania impulsu.
169
7.1.3. Posta wykładnicza szeregu Fouriera
W pewnych zastosowaniach posta trygonometryczna (7.3) szeregu Fouriera nie jest
wystarczajca i dlatego wprowadza si komplementarn posta wykładnicz, bdc
rozwiniciem funkcji trygonometrycznych w funkcje wykładnicze. Korzysta si przy tym z
definicji funkcji sinusoidalnej i cosinusoidalnej, zgodnie z którymi
jee
ttjtj
2)sin(
ωω
ω−−= (7.10)
2
)cos(tjtj ee
tωω
ω−+= (7.11)
Po zastosowaniu elementarnych przekształce wzoru (7.4) otrzymuje si
∞
=
−∞
=
++
−+=
110 22
)(k
tjkkktjk
k
kk ejBA
ejBA
Atf ωω (7.12)
Wprowadmy oznaczenia
2
kkk
jBAX
−= (7.13)
oraz
2
kkk
jBAX −−
−−
= (7.14)
Ze wzgldu na parzysto funkcji cosinusoidalnej i nieparzysto funkcji sinusoidalnej
słuszne s nastpujce równoci
kk AA −= (7.15)
kk BB −−= (7.16)
170
Oznacza to,e
*
2 kkk
k XjBA
X =+
=− (7.17)
gdzie znak * oznacza sprzenie liczby zespolonej. Uwzgldnienie tej zalenoci we wzorze
(7.12) prowadzi do wyniku
−∞
−=
∞
=
++=11
0)(k
tjkk
tjk
kk eXeXAtf ωω (7.18)
który moe zosta zapisany w skrócie jako
tjk
kk
keXAtf ω∞
≠−∞=
+=0
0)( (7.19)
Jest to tak zwana posta wykładnicza szeregu Fouriera, w której wartoci współczynników
rozwinicia Xk s zespolone w odrónieniu od rzeczywistych wartoci współczynników
szeregu trygonometrycznego. Współczynniki te mog by otrzymane z rozwinicia
trygonometrycznego bd bezporednio z relacji
+
−=Tt
t
tjkk dtetf
TX
0
0
)(1 ω (7.20)
Wykres kX okrelony dla dyskretnych wartoci k reprezentujcych sob dyskretne
czstotliwoci nazywany jest widmem amplitudowym funkcji f(t). Ze wzgldu na to, e
współczynniki rozwinicia wykładniczego spełniaj warunek kk XX −= , widmo
amplitudowe jest symetryczne wzgldem osi rzdnych (wartoci widma amplitudowego dla
dodatnich i ujemnych czstotliwoci s identyczne). Z kolei wykres kk XX argarg −=− , czyli
widmo fazowe jest symetryczne wzgldem pocztku układu współrzdnych (wartoci kta
fazowego dla czstotliwoci ujemnych s przeciwne wzgldem tych samych wartoci dla
czstotliwoci dodatnich).
171
Rozwinicie funkcji f(t) w posta wykładnicz oznacza rozkład energii sygnału w zakresie
czstotliwoci dodatniej i ujemnej. Jeli rzeczywista warto amplitudy k-tej harmonicznej
wynosi Ak, to k-ty prek widma amplitudowego szeregu wykładniczego Fouriera przyjmie
warto 2
kA dla czstotliwoci dodatniej i identyczn warto dla czstotliwoci ujemnej.
Przykład 7.2
Wyznaczy posta wykładnicz szeregu Fouriera, jeli
)5sin(12)3cos(7)sin(5)cos(105)( tttttf ωωωω ++++=
Rozwizanie
Dla uzyskania postaci wykładniczej szeregu Fouriera skorzystamy z zalenoci definicyjnych
funkcji sinusoidalnej i kosinusoidalnej: jee
ttjtj
2)sin(
ωω
ω−−= ,
2)cos(
tjtj eet
ωω
ω−+= . Po
wstawieniu tych zalenoci do szeregu Fouriera otrzymujemy
jeeee
jeeee
tftjtjtjtjtjtjtjtj
212
27
25
2105)(
5533 ωωωωωωωω −−−− −+++−+++=
Uwzgldniajc, e 2/πjej = i grupujc odpowiednie składniki otrzymujemy
tjjtjtjtjtjtjj eeeejejeeetf ωπωωωωωπ 52/3352/ 627
)5,25(5)5,25(27
6)( −−−− ++−+++++=
Po sprowadzeniu liczb zespolonych do postaci wykładniczej otrzymuje si nastpujc posta
wykładnicz szeregu Fouriera
tjjtjtjjtjjtjtjj eeeeeeeeeetfoooo ωωωωωω 59035,265,263590 65,36,556,55,36)( −−−−− ++++++=
Charakterystyka amplitudowa szeregu wykładniczego Fouriera opisujcego funkcj f(t)
przedstawiona jest na rys. 7.4a, natomiast charakterystyka fazowa na rys. 7.4b.
172
Rys. 7.4 Charakterystyka amplitudowa (a) i fazowa (b) szeregu wykładniczego Fouriera
opisujcego funkcj f(t) z przykładu
Czstotliwo zmienia si w zakresie od ∞− do ∞ . Prki amplitudowe i fazowe zostały
rozłoone w sposób symetryczny w obu zakresach, przy czym charakterystyka amplitudowa
jest funkcj parzyst a charakterystyka fazowa - nieparzyst. Energia sygnału utosamiona z
amplitud została zatem rozdzielona na dwie równe czci. Amplituda k-tej harmonicznej jest
równa podwojonej wartoci amplitudy k-tego prka z zakresu dodatniego lub ujemnego.
7.1.4 Twierdzenie Parsevala
Rozpatrzmy dwie funkcje f(t) i g(t) o tym samym okresie T spełniajce warunki Dirichleta.
Przedstawmy je w postaci wykładniczej Fouriera
tjk
kk eftf ω
∞
−∞=
=)( (7.21)
tjk
kk egtg ω
∞
−∞=
=)( (7.22)
173
w której pulsacja podstawowa ω jest okrelona poprzez okres funkcji Tπω 2= . Przy takich
załoeniach twierdzenie Parsevala mona sformułowa nastpujco.
Twierdzenie Parsevala
Jeli funkcje f(t) i g(t) s okresowe o tym samym okresie T i obie spełniaj warunki
Dirichleta, to warto rednia z iloczynu tych funkcji za okres okrelona jest zalenoci
+ ∞
−∞=
∞
−∞=
===Tt
t kkk
kkk fggfdttgtf
Ttgtf
0
0
**)()(1
)()( (7.23)
w której kf i kg oznaczaj rozwinicie wykładnicze funkcji zadanych f(t) i g(t) a znak *
oznacza operacj sprzenia liczby zespolonej.
Twierdzenie Parsevala okrela warto redni za okres iloczynu dwu funkcji
okresowych f(t) i g(t) o tym samym okresie. Z twierdzenia wynika, e warto redni tworz
jedynie iloczyny składników rozkładu wykładniczego o tym samym rzdzie. Składniki sumy
pochodzce od iloczynów składowych rónego rzdu s równe zeru. W szczególnym
przypadku gdy f(t)=g(t) wzór Parsevala upraszcza si do postaci
+ ∞
−∞=
=Tt
t kkfdttf
T
0
0
22 )(
1 (7.24)
gdy mnoenie liczby zespolonej przez sprzon oznacza kwadrat modułu liczby zespolonej, 2*
kkk fff = . Ostatni wzór wie si bezporednio z obliczeniem wartoci skutecznej
przebiegu niesinusidalnego, rozwinitego w szereg Fouriera.
7.2 Warto skuteczna napicia i prdu niesinusoidalnego
W przypadku analizy obwodów o przebiegach niesinusoidalnych okresowych sygnał prdu i
napicia w obwodzie przedstawiany jest zwykle w postaci szeregu trygonometrycznego
Fouriera
174
)sin()( 0 kk
km tkUUtu ψω ++= (7.25)
)sin()( 0 kkk
km tkIIti ϕψω −++= (7.26)
w których kmU oraz kmI s amplitudami k-tej harmonicznej odpowiednio napicia u(t) i prdu
i(t). kΨ jest faz pocztkow k-tej harmonicznej a kϕ jest ktem przesunicia fazowego k-tej
harmonicznej prdu wzgldem k-tej harmonicznej napicia.
Korzystajc z twierdzenia Parsevala mona udowodni, e warto skuteczna
przebiegu składajcego si z sumy wielu harmonicznych moe by obliczona na podstawie
wartoci skutecznych kadej harmonicznej z osobna. Biorc pod uwag zaleno (7.24) i
uwzgldniajc relacj midzy wartoci maksymaln i skuteczn mona pokaza, e warto
skuteczna przebiegu niesinusoidalnego jest pierwiastkiem z sumy kwadratów wartoci
skutecznych poszczególnych harmonicznych. W przypadku napicia i prdu opisanych
zalenociami (7.25) i (7.26) wzory na moduł wartoci skutecznej przyjmuj posta
...2
22
12
02 +++== UUUUU
kk (7.27)
...2
22
12
02 +++== IIIII
kk (7.28)
w której kU oraz kI oznaczaj wartoci skuteczne odpowiednio napicia i prdu k-tej
harmonicznej. Warto skuteczna (moduł) napicia i prdu niesinusoidalnego jest równa
pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów modułów wartoci skutecznych wszystkich
harmonicznych oraz składowej stałej.
W przypadku wystpienia w przebiegu wielu harmonicznych wanym wskanikiem
odkształcenia tego przebiegu od sinusoidy jest współczynnik zawartoci harmonicznych h.
Współczynnik ten definiuje si jako stosunek wartoci skutecznej przebiegu f(t) po usuniciu
z niego składowej stałej i pierwszej harmonicznej do wartoci skutecznej przebiegu po
usuniciu z niego jedynie składowej stałej. Przy oznaczeniu wartoci skutecznych
odpowiednich harmonicznych przez Fk wzór na współczynnik zawartoci harmonicznych
mona zapisa w postaci
175
...
...2
32
22
1
24
23
22
+++
+++=
FFF
FFFh (7.29)
Jeli badany przebieg zawiera jedynie składow podstawow (pierwsz) to jak łatwo
zauway współczynnik zawartoci harmonicznych jest równy zeru, co oznacza brak
odkształcenia krzywej od postaci sinusoidalnej.
7.3. Moc przy przebiegach niesinusoidalnych
Niezalenie od charakteru zmiennoci w czasie przebiegów prdu i napicia moc
chwilowa w obwodzie jest wyraona tym samym wzorem p(t)=u(t)i(t). Korzystajc z tej
zalenoci oraz uwzgldniajc twierdzenie Parsevala wyraajcego iloczyn dwu sum
harmonicznych mona udowodni, e moc czynna P jako warto rednia z iloczynu prdu i
napicia w obwodzie
=T
dttituT
P0
)()(1
(7.30)
przy wystpieniu wielu harmonicznych jest równa sumie mocy czynnych poszczególnych
harmonicznych, włczajc w to składow stał
∞
=
+=1
00 cosk
kkk IUIUP ϕ (7.31)
Analogicznie jak dla przebiegów sinusoidalnych równie przy przebiegach odkształconych
istnieje pojcie mocy biernej, jako sumy mocy biernych pochodzcych od poszczególnych
harmonicznych, czyli
∞
=
=1
sink
kkk IUQ ϕ (7.32)
176
Analogicznie do obwodów z przebiegami sinusoidalnymi równie dla przebiegów
niesinusoidalnych wprowadza si pojcie modułu mocy pozornej jako iloczynu wartoci
skutecznej napicia odkształconego przez warto skuteczn prdu odkształconego, czyli
⋅==k
kk
k IUIUS22
(7.33)
Naley zaznaczy, e tak zdefiniowana wielko oznacza moduł mocy pozornej a nie moc
pozorn zespolon. Z porównania wzorów (7.31), (7.32) i (7.33) wynika, e w odrónieniu od
przebiegów sinusoidalnych suma kwadratów mocy czynnej i mocy biernej nie jest równa
kwadratowi mocy pozornej. Dla zachowania bilansu mocy wprowadza si w zwizku z tym
nowy rodzaj mocy, zwanej moc odkształcenia lub deformacji. Moc t oznacza bdziemy
liter D. Jej warto musi by tak dobrana aby wszystkie rodzaje mocy bilansowały si. W
zwizku z powyszym przyjto nastpujcy zwizek midzy poszczególnymi rodzajami mocy
2222DQPS ++= (7.34)
Oznacza to, e moc deformacji definiuje równanie
222PQSD −−= (7.35)
Stosunek mocy czynnej do mocy pozornej nazywamy, przez analogi do przebiegów
sinusoidalnych, współczynnikiem mocy i okrelamy wzorem
SP=υcos (7.36)
Współczynnik mocy obwodu przy wymuszeniu niesinusoidalnym tylko z definicji
przypomina współczynnik mocy obwodu przy wymuszeniu harmonicznym. W rzeczywistoci
jego interpretacja jest pozbawiona sensu fizycznego jak posiada ϕcos .
177
7.4. Metodyka rozwizania obwodów przy wymuszeniu niesinusoidalnym
W przypadku wystpienia w obwodzie RLC wymuszenia niesinusoidalnego obliczenie
odpowiedzi w stanie ustalonym musi uwzgldni fakt istnienia wielu harmonicznych
(teoretycznie nieskoczenie wielkiej liczby) rónicych si czstotliwoci. Załómy, e do
obwodu RLC przyłoono okresowe napicie niesinusoidalne u(t) jak to przedstawiono na rys.
rys. 7.5.
a) b)
Rys. 7.5. Ilustracja zastosowania zasady superpozycji przy rozwizywaniu obwodów o
wymuszeniu napiciowym niesinusoidalnym: a) obwód o wymuszeniu niesinusoidalnym,
b) superpozycja obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym
Napicie to mona przedstawi w sposób przybliony za pomoc skoczonej sumy n
harmonicznych
)(...)()()()sin()( 32101
0 tutututuUtkUUtu nk
n
kkm +++++=++=
=
ψω (7.37)
w której n jest najwiksz wartoci harmonicznej uwzgldnionej w rozwiniciu Fouriera.
Wobec liniowoci obwodu mona zastosowa zasad superpozycji i obliczy prdy od
poszczególnych ródeł oddzielnie (rys. 7.5b). Przy wymuszeniu typu napiciowego ródła
eliminowane z obwodu zwiera si.
W przypadku wystpienia w obwodzie ródeł wymuszajcych prdowych
)(...)()()()sin()( 32101
0 titititiItkIIti nk
n
kkm +++++=++=
=
ψω (7.38)
178
postpuje si podobnie, analizujc obwód dla kadej harmonicznej oddzielnie (rys. 7.6).
Poniewa ródła harmoniczne typu prdowego s połczone równolegle eliminacja danego
ródła polega na rozwarciu jego zacisków.
a) b)
Rys. 7.6 Ilustracja zastosowania zasady superpozycji przy rozwizywaniu obwodów o
wymuszeniu prdowym niesinusoidalnym: a) obwód o wymuszeniu niesinusoidalnym,
b) superpozycja obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym
Naley przy tym pamita, e kade ródło ma inn czstotliwo, bdc
wielokrotnoci czstotliwoci podstawowej i wynoszc ωω kk = . Poniewa zarówno
reaktancja pojemnociowa )(kCX jak i indukcyjna )(k
LX jest funkcj czstotliwoci, zatem
reaktancje te dla harmonicznej rzdu k wynosz odpowiednio
Lk
L kXLkX == ω)( (7.39)
kXCkX Ck
C //1)( == ω (7.40)
gdzie LX L ω= jest reaktancj indukcyjn dla składowej harmonicznej podstawowej a
CX C ω/1= - reaktancj pojemnociow dla harmonicznej podstawowej. Dla kadej
harmonicznej wymuszenia naley przeprowadzi oddzieln analiz odpowiedniego obwodu
przy zastosowaniu jednej z poznanych wczeniej metod (metoda praw Kirchhoffa, oczkowa,
wzłowa, Thevenina itp.). Wynikiem analizy s wartoci prdów i napi poszczególnych
gałzi obwodu oraz odpowiednie moce: czynna i bierna dla kadej harmonicznej. Po
wyznaczeniu odpowiedzi dla kadej harmonicznej oddzielnie naley wyznaczy wypadkowe
wartoci skuteczne odpowiednich prdów i napi oraz mocy według wzorów podanych
179
wczeniej w tej lekcji. Sposób postpowania przy analizie obwodów z przebiegami
niesinusoidalnymi zostanie zilustrowany na przykładzie.
Przykład 7.3
Rozwamy schemat obwodu poddanego analizie przedstawiony na rys. 7.7. Przyjmijmy
nastpujce wartoci liczbowe parametrów obwodu: Ω= 11R , Ω= 22R , HL 11 = , HL 22 = ,
FC 4/11 = , FC 2/12 = . Wymuszenie napiciowe e(t) opisane jest sum harmonicznych
)2sin(210)sin(22010)( ttte ωω ++= V, przy czym 1=ω rad/s.
Rys. 7.7. Schemat obwodu do przykładu 7.3
Rozwizanie
Ze wzgldu na istnienie w wymuszeniu trzech harmonicznych naley dokona trzech analiz
obwodu, za kadym razem zakładajc jedno wymuszenie i eliminujc pozostałe (wobec
wymuszenia napiciowego ródła eliminowane ulegaj zwarciu).
• Harmoniczna zerowa (składowa stała)
Harmoniczna zerowa przedstawia sob wymuszenie stałe (czstotliwo wymuszenia
zerowa). Oznacza to, e w tym przypadku impedancje cewek s równe zeru (Zl=jωL=0) a
impedancje kondensatorów równe nieskoczonoci (ZC=1/(jωC)=∞). Obwód dla
harmonicznej zerowej przedstawiony jest na rys. 7.8 (wszystkie cewki zwarte, kondensatory
rozwarte).
180
Rys. 7.8 Posta obwodu dla harmonicznej zerowej (składowej stałej)
Wobec przerwy w obwodzie prd składowej stałej nie moe płyn, std 0)0( =i oraz
0)0( =S , 100)0(
1 == EuC . Pozostałe prdy i napicia w obwodzie s zerowe. Wszystkie moce
obwodu wobec zerowych wartoci prdów s take równe zeru.
• Harmoniczna podstawowa
Schemat obwodu dla harmonicznej podstawowej jest identyczny ze schematem ogólnym
przedstawionym na rys. 7.7, z tym, e zamiast napicia e(t) uwzgldniona jest składowa
podstawowa )sin(220)(1 tte ω= . Przy jednostkowej pulsacji wymuszenia ω=1 reaktancje
indukcyjna i pojemnociowa obwodu dla harmonicznej podstawowej s odpowiednio równe:
11)1(
1 == LX L ω
22)1(2 == LX L ω
4/1 1)1(1 == CX C ω
2/1 2)1(2 == CX C ω
Impedancja połczenia równoległego elementów jest równa 22 == RZ r (rezonans
równoległy elementów). Kolejne obliczenia mona przedstawi w nastpujcej formie:
)1(2
45)1( 7,42411
20R
j Iejj
I ==+−+
=
45)1()1( 4,9 j
rAB eIZU ==
181
45
2
)1()1(2 7,4 j
L
ABL e
jXU
I −==
45
2
)1()1(2 7,4 j
C
ABC e
jXU
I −−=−
=
7,667,667,420 45)1(1
)1( jeIES j −=⋅== −∗
• Harmoniczna druga
Harmoniczna druga reprezentuje sob równie wymuszenie sinusoidalne o czstotliwoci
dwukrotnie wikszej ni czstotliwo podstawowa. Schemat obwodu dla tej harmonicznej
jest identyczny ze schematem ogólnym obwodu przedstawionym na rys. 7.7, z tym, e
zamiast napicia e(t) przyłoona jest jego druga składowa )2sin(210)(2 tte ω= . Przy
pulsacji wymuszenia harmonicznej drugiej 222 == ωω , reaktancje indukcyjna i
pojemnociowa dla harmonicznej drugiej s równe:
212)2(
1 == LX L ω
422)2(
2 == LX L ω
2/1 12)2(
1 == CXC ω
1/1 22)2(
2 == CXC ω
Impedancja połczenia równoległego elementów jest teraz równa r
r YZ
1= , gdzie
75,05,0111
)2(2
)2(22
jjXjXR
YCL
r +=++= .
Std
5611,1 j
r eZ −= .
Kolejno dalszych oblicze w obwodzie jest nastpujca:
6,2956
)2( 37,511,1221
10 jj e
ejjI =
+−+= −
182
26)2()2( 97,5 jrAB eIZU −==
116)2(
2
)2()2(
2 49,1 j
L
ABL e
jXU
I −==
64)2(
2
)2()2(
2 97.5 j
C
ABC e
jXU
I ==
26
2
)2()2(
2 98,2 jABR e
RU
I −==
5,267,4637,510 6,29)2(2
)2( jeIES j −=⋅== −∗
Wartoci skuteczne prdów w obwodzie s równe:
AI 13,737,57,4 22 =+= ,
AI R 57,598,27,4 222 =+=
AI L 93,449,17,4 222 =+=
AI C 62,797,57,4 222 =+=
Warto skuteczna napicia ródła jest równa
VE 5,24102010 222 =++=
Moc pozorna (moduł) wydawana przez ródło jest równa
VAIES 65,174==
183
Całkowita moc czynna i bierna wydana przez ródło s równe odpowiednio
113,4W46,766,7)2()1()0( =+=++= PPPP
oraz
-93,2var26,5--66,7)2()1( ==+= QQQ
Moc odkształcenia
VAQPSD 64,942,934,11365,174 222222 =−−=−−=
W obwodzie powstała bardzo dua moc odkształcenia. Wytłumaczeniem tego faktu jest
wystpowanie zjawiska rezonansu zarówno dla harmonicznej podstawowej (cewka druga i
kondensator drugi) jak i dla harmonicznej drugiej (cewka pierwsza i kondensator pierwszy).
Moc bierna wypadkowa w elementach reaktancyjnych w stanie rezonansu jest zerowa co
pomniejsza moc biern całego obwodu dla tych harmonicznych. Z drugiej strony wszystkie
harmoniczne tworz wartoci skuteczne zarówno prdu jak i napicia, std ich iloczyn
tworzcy moduł mocy pozornej przyjmuje du warto. W bilansie mocy wpływa to na
znaczne zwikszenie mocy deformacji.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 7.1
Przedstawi funkcj
)7cos(8)5cos(16)sin(2010)( ttttf ωωω +++=
w postaci wykładniczej szeregu Fouriera.
Rozwizanie
Z definicji funkcji sinus i cosinus wynika nastpujca zaleno
184
28
216
22010)(
7755 tjtjtjtjtjtj eeeejee
tfωωωωωω −−− ++++−+=
Std posta wykładnicza szeregu Fouriera dana jest zalenoci
tjtjtjjtjjtjtj eeeeeeeetfoo ωωωωωω 75909057 4810101084)( ++++++= −−−−
Zadanie 7.2
Zapisa twierdzenie Parsevala dla dwu przebiegów czasowych danych w nastpujcej postaci
)3cos(12)2cos(16)sin(105)( ttttf ωωω +++=
)5cos(12)2cos(10)sin(82)( ttttg ωωω +++=
Rozwizanie
Z definicji funkcji sinus i cosinus otrzymuje si nastpujce postaci wykładnicze szeregu
Fouriera dla obu funkcji
212
216
2105)(
3322 tjtjtjtjtjtj eeeejee
tfωωωωωω −−− ++++−+=
tjtjtjjtjjtjtj eeeeeeeetfoo ωωωωωω 32909023 6855586)( ++++++= −−−−
212
210
282)(
5522 tjtjtjtjtjtj eeeejee
tgωωωωωω −−− ++++−+=
tjtjtjjtjjtjtj eeeeeeeetgoo ωωωωωω 52909025 6542456)( ++++++= −−−−
Działania okrelone twierdzeniem Parsevala przyjm wic posta
130600658456006584525)()( 90909090 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= −− oooo jjjj eeeetgtf
185
Zadanie 7.3
Wyznaczy wskazania przyrzdów pomiarowych w obwodzie z rys. 7.9.
Rys. 7.9 Schemat obwodu do zadania 7.3
Przyj nastpujc posta wymuszenia )2sin(215)sin(22010)( ttte ++= . Wartoci
parametrów obwodu s nastpujce: R=2Ω, L=0,5H, C=0,5F.
Uwaga: Woltomierze i amperomierze włczone w obwodzie mierz moduły wartoci
skutecznych odpowiednio napicia i prdu.
Rozwizanie
Poniewa wymuszenie zawiera trzy harmoniczne, naley rozwiza obwód trzy razy dla
kadego wymuszenia oddzielnie.
• Harmoniczna zerowa (składowa stała)
Obwód dla składowej stałej 10)0( =E przedstawiony jest na rys. 7.10 (cewka zwarta,
kondensator przerw)
186
Rys. 7.10. Obwód dla harmonicznej zerowej
5)0(
)0( ==R
EI
0)0( =VU
• Harmoniczna podstawowa ( 1=ω )
Kolejno oblicze jest nastpujca:
20)1( =E
5,0)1( jLjZL == ω
2/)1( jCjZC −=−= ω
667,05,1
)2(5,0)1( jj
jjZLC =
−−=
39)1(
)1()1( j
RZE
ILC
−=+
=
62)1()1()1( jIZU LCV +==
• Harmoniczna druga ( 2=ω )
Kolejno oblicze jest nastpujca:
15)2( =E
1)2( jLjZL == ω
1/)2( jCjZC −=−= ω
∞=)2(LCZ
0)2( =I
15)2( =VU
Wskazania amperomierza i woltomierza (moduły odpowiednich wielkoci) sa równe:
72.102)2(2)1(2)0( =++= IIII A
187
28,162)2(2)1(2)0( =++= VVVV UUUU V
Zadanie 7.4
Wyznaczy moce: czynn, biern, pozorn i odkształcenia w obwodzie przedstawionym na
rys. 7.11.
Rys. 7.11 Schemat obwodu do zadania 7.4
W obwodzie wystpuje wymuszenie prdowe i(t) dane w nastpujacej postaci
)3sin(2)sin(225)( ttti ++= . Przyj wartoci parametrów: R=5Ω, L=1H, C=1/9F.
Rozwizanie
Ze wzgldu na wystpowanie w wymuszeniu trzech harmonicznych naley zastosowa
superpozycj ródeł. Zgodnie z t metod obliczamy kolejno.
• Harmoniczna zerowa (składowa stała)
Obwód dla harmonicznej zerowej przedstawiony jest na rysunku 7.12 (cewka zwarta,
kondensator przerw).
Rys. 7.12 Schemat obwodu dla harmonicznej zerowej
188
5)0( =I
5)0()0( == IIL
0)0()0( == CR II
0)0( =ABU
0)0()0()0( == IUS AB
• Harmoniczna podstawowa ( 1=ω )
Kolejno oblicze jest nastpujca:
2)1( =I
1)1( jLjZL == ω
9/)1( jCjZC −=−= ω
89,02,09
11
151)1( j
jjYRLC −=
−++=
14,248,0)1(
)1()1( j
YI
URLC
AB +==
48,014,2)1(
)1()1( j
ZU
IL
ABL −==
053,024,0)1(
)1()1( j
ZU
IC
ABC +−==
43,0096,0)1(
)1( jR
UI AB
R +==
28,496,0)*1()1()1( jIUS AB +==
• Harmoniczna trzecia ( 3=ω )
Kolejno oblicze jest nastpujca:
1)3( =I
3)3( jLjZL == ω
3/)3( jCjZC −=−= ω
5)3( == RZRLC (rezonans prdów)
189
5)3()3( == RIU AB
3/5)3(
)3()3( j
ZU
IL
ABL −==
3/5)3(
)3()3( j
ZU
IC
ABC ==
1)3(
)3( ==R
UI AB
R
015*)3()3()3( jIUS AB +==
Wartoci skuteczne prdów i napi s nastpujce:
48,52)3(2)1(2)0( =++= IIII A
09,12)3(2)1(2)0( =++= RRRR IIII A
70,52)3(2)1(2)0( =++= LLLL IIII A
68,12)3(2)1(2)0( =++= CCCC IIII A
46,52)3(2)1(2)0( =++= ABABABAB UUUU V
Moce w wydzielone przez ródło w obwodzie:
90,29== IUS AB VA
96,15)3()1()0( =++= PPPP W
28,4)3()1()0( =++= QQQQ var
92,24222 =−−= QPSD VA
190
Lekcja 8. Układy trójfazowe
Wstp
Do najwaniejszych, z punktu widzenia praktycznego, nale układy trójfazowe, zawierajce
generator złoony z trzech ródeł sinusoidalnych o tej samej czstotliwoci i przesunitych w
fazie oraz odbiornik trójfazowy składajcy si z trzech impedancji połczonych bd w
trójkt bd w gwiazd. Układy takie s powszechnie stosowane w technice i z tego powodu
analiza zjawisk w takich układach jest szczególnie wana.
Lekcja ósma powicona jest teorii obwodów trójfazowych. Wprowadzone zostan
podstawowe pojcia, takie jak generator trójfazowy, odbiornik trójfazowy, wykresy
wektorowe prdów i napi trójfazowych a take relacje midzy prdami i mocami przy
połczeniu odbiornika w gwiazd i trójkt. Rozwaone zostan układy pomiarowe mocy w
obwodach trójfazowych trójprzewodowych i czteroprzewodowych. Pokaemy, e w
trójfazowym układzie cewek rozmieszczonych przestrzennie moliwe jest uzyskanie wektora
natenia pola magnetycznego o niezmiennej amplitudzie, wirujcego ze stał prdkoci
ktow, zdolnego do wykonania pracy. Zjawisko to jest podstaw budowanych współczenie
maszyn elektrycznych trójfazowych.
8.1. Pojcia wstpne
8.1.1. Definicja układu trójfazowego
Układem trójfazowym nazywamy układ trzech obwodów elektrycznych, w których istniej
trzy ródła napi sinusoidalnych o jednakowej czstotliwoci, przesunite wzgldem siebie o
okrelony kt fazowy i wytworzone w jednym generatorze zwanym generatorem
trójfazowym. Poszczególne obwody generatora trójfazowego nazywa bdziemy fazami i
oznacza literami A, B, C lub kolejnymi cyframi 1, 2, 3. Przykład połczenia 3 faz generatora
w jeden układ gwiazdowy przedstawiony jest na rys. 8.1.
191
Rys. 8.1. Układ faz generatora trójfazowego połczonego w gwiazd
Punkt wspólny wszystkich trzech faz generatora oznaczony jest cyfr 0. Poszczególnym
napiciom fazowym przypisuje si wskaniki A, B, C lub w przypadku oznaczenia
liczbowego cyfry 1, 2, 3. Układ napi ródłowych generatora trójfazowego nazywa
bdziemy symetrycznym, jeli napicia kolejnych faz s przesunite wzgldem siebie o kt
o120
π32
a amplitudy ich s sobie równe. Wartoci chwilowe poszczególnych napi
fazowych układu symetrycznego mona zapisa w postaci
)sin()( Ψ+= tEte mA ω (8.1)
)120sin()( omB tEte −Ψ+= ω (8.2)
)120sin()( omC tEte +Ψ+= ω (8.3)
w której Em oznacza amplitud, ω pulsacj wspóln dla wszystkich faz (przy generacji napi
trójfazowych w jednym generatorze jest to zapewnione automatycznie) a kt Ψ jest
pocztkowym ktem fazowym napicia w fazie A. W normalnym systemie trójfazowym
przyjmuje si tzw. kolejno wirowania zgodn, w której faza B opónia si wzgldem fazy
A o kt o120 a faza C (opóniona wzgldem fazy B o kolejny kt o120 ) wyprzedza faz A o
kt równy o120 .
192
Rys. 8.2. Przebiegi czasowe napi trójfazowych
Na rys. 8.2 przedstawiono przebiegi czasowe napi trójfazowych przy kcie pocztkowym Ψ
równym zeru. Napicia s zmienne sinusoidalnie przy czym wystpuj regularne przesunicia
o kt o120 midzy poszczególnymi sinusoidami.
8.1.2. Układ napi fazowych
Wobec sinusoidalnej postaci wymusze w analizie układów trójfazowych zastosujemy
metod symboliczn. Zgodnie z t metod napicia sinusoidalne zastpuje si ich postaci
zespolon, która dla przyjtych funkcji sinusoidalnych moe by zapisana nastpujco
Ψ= jmA e
EE
2 (8.4)
oo j
Ajm
B eEeE
E 120)120(
2−−Ψ == (8.5)
oo j
Ajm
C eEeE
E 120)120(
2== +Ψ (8.6)
W praktyce wobec nieustannej zmiany wartoci napi w czasie faza pocztkowa Ψ moe by
przyjta dowolnie. Najczciej dla wygody zakłada bdziemy, e jest równa zeru. Wykres
193
wektorowy napi trójfazowych opisanych zalenociami (8.4) - (8.6) dla kta fazowego Ψ0
przedstawiony jest na rys. 8.3.
Rys. 8.3. Wykres wektorowy napi trójfazowych generatora
Punkt wspólny napi, odpowiadajcy wspólnemu punktowi połczenia faz generatora
oznaczony jest cyfr 0. Na kocach napi fazowych zaznaczone s oznaczenia faz (A, B, C).
Napicie fazowe generatora to napicie midzy punktem kocowym wektora a punktem
zerowym. Wirowanie faz (zmiana pozycji wektora w czasie) w generatorze trójfazowym
odbywa si w przyjtym układzie współrzdnych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Rys. 8.4. Wektory napi trójfazowych wirujce w czasie
194
Rys. 8.4 pokazuje wektory napi generatora trójfazowego wirujce w czasie. Wektory fazy B
i C nadaj za wektorem A, przy czym przesunicia fazowe midzy nimi s stałe i równe
dokładnie o120 . Wan cech trójfazowego generatora symetrycznego jest zerowanie si
sumy napi fazowych
0=++ CBA EEE (8.7)
Warto zerowa sumy wynika bezporednio z symetrii poszczególnych napi. Mianowicie
023
5,023
5,01120120 =
+−−−=++=++ − jjEeEeEEEEE A
jA
jAACBA
oo
8.1.3. Układ napi midzyfazowych
Oprócz napi fazowych wyrónia si układ napi midzyfazowych, zwanych równie
liniowymi, czyli napi panujcych midzy punktami zewntrznymi poszczególnych faz. Przy
trzech napiciach fazowych mona wyróni trzy napicia midzyfazowe: ABE , BCE oraz
CAE , przy czym
BAAB EEE −= (8.8)
CBBC EEE −= (8.9)
ACCA EEE −= (8.10)
Z definicji napi midzyfazowych wynika, e niezalenie od symetrii ich suma jest zawsze
równa zeru gdy wszystkie napicia tworz trójkt zamknity. Rys. 8.5 pokazuje układ napi
midzyfazowych generatora trójfazowego z przyjtymi oznaczeniami. Symbol EAB oznacza,
e strzałka wektora napicia na wykresie jest skierowana w stron pierwszego wskanika w
oznaczeniu (u nas litera A).
195
Rys. 8.5. Układ napi midzyfazowych na tle napi fazowych
Z symetrii napi fazowych wynika bezporednio symetria napi midzyfazowych. Napicia
te s równe i przesunite wzgldem siebie o kt o120 , czyli
BAAB EEE −=
ojABBC eEE 120−=
ojABCA eEE 120=
Układ napi midzyfazowych symetrycznych tworzy wic trójkt równoboczny.
Wykorzystujc relacje obowizujce dla tego trójkta łatwo jest udowodni, e napicie
midzyfazowe jest 3 razy wiksze ni napicie fazowe, co zapiszemy w ogólnoci jako
fmf EE 3= (8.11)
gdzie fE oznacza moduł napicia fazowego a mfE moduł napicia midzyfazowego.
196
8.2. Analiza układów trójfazowych
8.2.1. Połczenia trójfazowe generatora i odbiornika
Układ napi fazowych generatora moe by połczony bd w gwiazd bd w trójkt.
Schemat obu połcze przedstawiony jest na rys. 8. 6
Rys. 8.6. Połczenia faz generatora trójfazowego w a) gwiazd, b) trójkt
Przy połczeniu trójktnym generatora odbiornik jest zasilany napiciem midzyfazowym
trójprzewodowym. Przy połczeniu generatora w gwiazd napicie zasilajce jest napiciem
fazowym a liczba przewodów moe by równa trzy bd cztery (przy czterech przewodach
zasilajcych jednym z nich jest przewód zerowy, zwany równie przewodem neutralnym).
W układzie trójfazowym odbiornik zawiera równie trzy fazy, przy czym moe by on
połczony w gwiazd lub w trójkt. Oba sposoby połczenia odbiornika przedstawione s na
rys. 8.7.
Rys. 8.7. Odbiornik trójfazowy połczony w a) gwiazd, b) trójkt
197
W zalenoci od sposobu połczenia generatora i odbiornika mona w układach trójfazowych
wyróni cztery rodzaje połcze. S to:
• generator i odbiornik połczone w gwiazd (układ gwiazdowy)
• generator i odbiornik połczone w trójkt (układ trójktny)
• generator połczony w gwiazd a odbiornik w trójkt
• generator połczony w trójkt a odbiornik w gwiazd.
Z punktu widzenia metodyki analizy obwodów istotne s tylko dwa pierwsze rodzaje
połcze. Dwa pozostałe s wtórne wzgldem pierwszych i nie wnosz nowych elementów do
metody analizy.
8.2.2. Układ gwiazdowy faz generatora i odbiornika
Rozpatrzmy układ połcze gwiazdowych odbiornika i generatora (gwiazda-gwiazda) z
oznaczeniami prdów i napi przedstawionymi na rys. 8.8.
Rys. 8.8. Układ trójfazowy gwiazdowy
Punkt 0 oznacza punkt wspólny faz generatora. Punkt N jest punktem wspólnym impedancji
fazowych odbiornika. Zakładamy symetri napi fazowych generatora i dowolne wartoci
impedancji odbiornika. Przyjmijmy do analizy układ czteroprzewodowy z impedancj
przewodu zerowego równa NZ . Warto impedancji NZ moe by dowolna, w szczególnoci
zerowa (bezporednie zwarcie punktów wspólnych generatora i odbiornika) lub nieskoczona
198
(układ trójprzewodowy bez przewodu zerowego). Napicie midzy punktem zerowym
odbiornika i generatora oznaczymy przez UN i nazywa bdziemy napiciem
niezrównowaenia.
Układ napi trójfazowych odbiornika tworz napicia na poszczególnych jego
fazach, czyli CBA UUU ,, . W efekcie w obwodzie trójfazowym o połczeniu gwiazda-gwiazda
wyrónia si dwa układy napi trójfazowych gwiazdowych: generatora CBA EEE ,, i
odbiornika CBA UUU ,, .
Dla obliczenia prdów w obwodzie naley wyznaczy układ napi odbiornikowych.
Najlepiej dokona tego wyznaczajc napicie UN. Zastosujemy metod potencjałów
wzłowych przy załoeniu, e punkt 0 jest wzłem odniesienia a poszukiwany potencjał
wzłowy jest równy UN. Zgodnie z metod potencjałów wzłowych otrzymuje si
( )NCBANCCBBAA YYYYUYEYEYE +++=++ (8.12)
Std
( )NCBA
CCBBAAN YYYY
YEYEYEU
+++++= (8.13)
gdzie wielkoci oznaczone symbolem Y s admitancjami: A
A ZY
1= , B
B ZY
1= , C
C ZY
1= oraz
NN Z
Y1= . Wyznaczenie wartoci napicia UN pozwala obliczy wartoci napi
odbiornikowych. Z prawa napiciowego Kirchhoffa napisanego dla trzech oczek w obwodzie
wynika
NAA UEU −= (8.14)
NBB UEU −= (8.15)
NCC UEU −= (8.16)
Przy znanych wartociach admitancji odbiornika obliczenie prdu polega na zastosowaniu
prawa Ohma. Mianowicie
199
AAA UYI = (8.17)
BBB UYI = (8.18)
CCC UYI = (8.19)
NNN UYI = (8.20)
Suma prdów w wle N jest równa zeru, zatem NCBA IIII =++ . Moce wydzielone w
odbiorniku trójfazowym oblicza si jako sum mocy wydzielonych w poszczególnych fazach
odbiornika, czyli
*AAAAA IUjQPS =+= (8.21)
*BBBBB IUjQPS =+= (8.22)
*CCCCC IUjQPS =+= (8.23)
Moc wydzielona na impedancji przewodu zerowego oznacza moc strat. Jest ona równa
*NNNNN IUjQPS =+= (8.24)
Otrzymane wyniki mona zinterpretowa na wykresie wektorowym prdów i napi w
obwodzie. Rys. 8.9 przedstawia przypadek obcienia niesymetrycznego.
200
Rys. 8.9. Wykres wektorowy prdów i napi obwodu trójfazowego przy obcieniu
niesymetrycznym
Widoczne s dwie gwiazdy napi fazowych: generatora o rodku w punkcie 0 i odbiornika o
rodku w punkcie N. Dla obu gwiazd obowizuje jeden trójkt napi midzyfazowych.
Przesunicie potencjału punktu N wzgldem 0 (napicie UN róne od zera) jest spowodowane
niesymetri odbiornika. Napicie UN jest nazywane równie napiciem niezrównowaenia.
W pracy układu trójfazowego gwiazdowego mona wyróni kilka szczególnych
przypadków:
• odbiornik symetryczny z dowoln wartoci impedancji przewodu zerowego
• odbiornik niesymetryczny przy zwartym przewodzie zerowym
• zwarcie fazy odbiornika przy przerwie w przewodzie zerowym.
Odbiornik symetryczny
W przypadku symetrii obcienia impedancje wszystkich faz odbiornika s równe sobie
201
ZZZZ CBA === (8.25)
Podstawiajc te wartoci do wzoru na napicie UN otrzymuje si
( )
03
=+
++=N
CBAN YY
EEEYU (8.26)
gdzie admitancja Y=1/Z. Ze wzgldu na symetri napi generatora suma jego napi
fazowych jest równa zeru (wzór (8.7)), std napicie niezrównowaenia UN w przypadku
symetrii jest zerowe. Oznacza to, e gwiazdy napi odbiornikowych i generatorowych
pokrywaj si ze sob. Prdy fazowe w tym przypadku wyznacza si wic szczególnie prosto
na podstawie układu napi generatora, bez potrzeby obliczania napicia niezrównowaenia
UN.
AA YEI = (8.27)
BB YEI = (8.28)
CC YEI = (8.29)
Wobec równych wartoci admitancji poszczególnych faz, suma prdów fazowych
( ) 0=++= CBAN EEEYI (8.30)
jest zerowa, ze wzgldu na zerowanie si sumy napi fazowych generatora. Prd w
przewodzie zerowym nie płynie, niezalenie od wartoci impedancji ZN tego przewodu. Na
rys. 8.10 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym
symetrycznym. Wszystkie prdy i napicia tworz układ symetryczny o jednakowych
amplitudach i jednakowych przesuniciach poszczególnych wektorów wzgldem siebie.
202
Rys. 8.10. Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym symetrycznym
Odbiornik symetryczny jest jednym z czciej wystpujcych przypadków w praktyce.
Przykładami takich odbiorników s: silniki elektryczne trójfazowe czy piece grzejne
trójfazowe (zwykle o duej mocy).
• Odbiornik niesymetryczny przy zwartym przewodzie zerowym
Znaczne uproszczenia wystpuj w analizie jeli punkt 0 i N układu trójfazowego s
połczone bezimpedancyjnie (ZN=0). W takim przypadku napicie niezrównowaenia UN = 0
niezalenie od symetrii impedancji odbiornika. Prdy fazowe s wówczas okrelane
bezporednio na podstawie układu napi generatorowych
AAA EYI = (8.31)
BBB EYI = (8.32)
CCC EYI = (8.33)
203
Suma tych prdów w ogólnym przypadku odbiornika niesymetrycznego jest róna od zera
CBAN IIII ++= (8.34)
Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym niesymetrycznym przy zwarciu
bezimpedancyjnym punktów wspólnych odbiornika i generatora przedstawiony jest na rys.
8.11.
Rys. 8.11. Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym przy ZN=0
• Zwarcie fazy odbiornika przy przerwie w przewodzie zerowym
Interesujcy przypadek połczenia trójprzewodowego midzy odbiornikiem i generatorem
układu trójfazowego powstaje w stanie awaryjnym odbiornika przy zwarciu jednej z faz.
Rys. 8.12 przedstawia posta obwodu trójfazowego w rozwaanym przypadku przy zwarciu
fazy A odbiornika (ZA=0).
204
Rys. 8.12. Przypadek zwarcia jednej fazy odbiornika trójfazowego
Jak wida z rysunku napicie UN równa si napiciu fazowemu generatora w fazie zwartej.
Dla schematu z rysunku mamy
AN EU = (8.35)
Ten sam wynik mona otrzyma równie ze wzoru ogólnego (8.13) po podstawieniu
∞==A
A ZY
1. Odpowiednie prdy fazowe odbiornika w rozwaanym przypadku s okrelone
wzorami
( )ABBB EEYI −= (8.36)
( )ACCC EEYI −= (8.37)
Prd fazy A nie moe by okrelony z prawa Ohma, gdy zarówno napicie na fazie
odbiornika jak i jego impedancja s równe zeru. Prd ten moe by okrelony jedynie z prawa
prdowego Kirchhoffa, zgodnie z którym
CBA III −−= (8.38)
Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym dla tego przypadku
przedstawiony jest na rys. 8.13.
205
Rys. 8.13. Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym
przy zwarciu fazy A odbiornika
Przykład 8.1
Obliczy prdy i napicia poszczególnych faz odbiornika w układzie przedstawionym na rys.
8.14. Przyj zasilanie trójfazowe symetryczne o napiciu fazowym równym 400V. Wartoci
parametrów obwodu s nastpujce: R=40Ω, XC=30Ω, XL=60Ω, X12=10Ω, X23=20Ω,
X31=20Ω.
206
Rys. 8.14. Schemat układu trójfazowego do przykładu 8.1
Rozwizanie
Ze wzgldu na wystpowanie sprzenia magnetycznego pierwszym etapem rozwizania jest
eliminacja tych sprze. Układ odbiornika po likwidacji sprze magnetycznych jest
przedstawiony na rys. 8. 15
Rys. 8.15. Schemat odbiornika trójfazowego po likwidacji sprze magnetycznych
Przyjmijmy układ napi fazowych generatora w nastpujcej postaci
0400 j
A eE =
207
ojB eE 120400 −=
ojC eE 120400=
Impedancje poszczególnych faz odbiornika z rys. 8.15 s równe
0
6060
240404090
45
===
=+=
C
jB
jA
Z
ejZ
ejZo
o
Wobec zwarcia w fazie C odbiornika (ZC = 0) nie zachodzi potrzeba stosowania wzoru (8.13)
do wyznaczenia napicia niezrównowaenia, gdy UN = EC. W tej sytuacji poszczególne
prdy fazowe s równe
8,68,125240
400400 75
45
120
jee
eZ
UEI
o
o
o
j
j
j
A
NAA −==−=
−= −
6,1160
40040090
120120
−=−=−
=−
o
oo
j
jj
B
NBB
e
eeZ
UEI
.
8,68,9 jIII BAC +=−−=
Po obliczeniu prdów na podstawie schematu zastpczego bez sprze magnetycznych dla
wyznaczenia napi w układzie naley powróci do obwodu ze sprzeniami. Rzeczywiste
napicia na fazach odbiornika wynosz
2633223112 jIjXIjXIjXRIU CBALAA +=+++=
335182312 jIjXIjXIjXU CABLB −−=++=
182331 −=−++= CCBACLC IjXIjXIjXIjXU
Zauwamy, e istnieje ogromna rónica midzy rzeczywistym napiciem UC w fazie C,
18−=CU , a napiciem w tej samej fazie w obwodzie po likwidacji sprze, 0=CU .
Obwód po likwidacji sprze jest równowany obwodowi oryginalnemu jedynie pod
wzgldem prdowym. Napicia na gałziach zawierajcych cewki sprzone nie odpowiadaj
208
ich odpowiednikom w obwodzie bez sprze. Na rys. 8.16 przedstawiono wykres
wektorowy prdów i napi w obwodzie po likwidacji sprze.
Rys. 8.16. Wykres wektorowy układu trójfazowego po likwidacji sprze magnetycznych w
przykładzie 8.1
8.2.3 Układ trójktny faz odbiornika i generatora
Schemat elektryczny połcze elementów obwodu trójfazowego o odbiorniku i generatorze
połczonych w trójkt (układ trójkt-trójkt) przedstawia rys. 8.17.
209
Rys. 8.17. Układ trójfazowy trójktny
Przyjmijmy dla uproszczenia, e impedancje przewodów zasilajcych poszczególne fazy s
zerowe. Oznacza to, e napicia na fazach odbiornika (włczonych midzyfazowo) s
napiciami midzyfazowymi generatora, to jest
ABAB EU = (8.39)
BCBC EU = (8.40)
CACA EU = (8.41)
Std przy zadanych wartociach impedancji odbiornika prdy fazowe tego odbiornika s
okrelone wzorami
ABABAB EYI = (8.42)
BCBCBC EYI = (8.43)
CACACA EYI = (8.44)
Prdy przewodowe zasilajce obwód trójktny odbiornika mog by wyznaczone z zalenoci
CAABA III −= (8.45a)
ABBCB III −= (8.45b)
BCCAC III −= (8.45c)
Zauwamy, e wobec powyszych wzorów suma prdów przewodowych w układzie,
niezalenie od wartoci impedancji odbiornika jest równa zeru
210
0=++ CBA III (8.46)
Rys. 8.18 przedstawia wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym o
połczeniu trójktnym.
Rys. 8.18. Wykres wektorowy prdów i napi w układzie trójfazowym o połczeniu
trójktnym
W przypadku pełnej symetrii generatora i odbiornika wszystkie układy napi i prdów w
układzie bd równie symetryczne a przesunicia midzy prdami oraz napiciami
poszczególnych faz w odpowiednich układach bd równe o120 . Interesujca jest wówczas
relacja midzy prdami fazowymi oraz liniowymi układu. Z wykresu wektorowego
211
przedstawionego na rys. 8.18 wida, e w przypadku symetrycznym moduły wszystkich
prdów liniowych s sobie równe, podobnie jak moduły wszystkich prdów fazowych przy
równych przesuniciach fazowych midzy wektorami o kt o120 . Z analizy przesuni
ktowych wynika, e kt midzy wektorem prdu fazowego If oraz liniowego Il jest równy o30 . Z zalenoci trygonometrycznych wynika, e
o
f
l
I
I30cos
5,0= (8.47)
skd po prostych przekształceniach matematycznych otrzymuje si
fo
fl III 330cos2 == (8.48)
W układzie symetrycznym prd liniowy jest 3 razy wikszy ni prd fazowy. Jest to
identyczna relacja jaka istnieje midzy napiciami fazowymi i midzyfazowymi (liniowymi).
Przykład 8.2
Obliczy prdy w yłach kabla zasilajcego silnik trójfazowy o mocy P = 47,5kW, cosϕ = 0,9
i napiciu liniowym (miedzyprzewodowym) równym 380V. Załoy połczenie faz silnika w
trójkt. Przyj 80% sprawno silnika (η = 0,8). Moc silnika z uwzgldnieniem sprawnoci
wyraa si wzorem ϕη cos3 ff IUP = . Jak zmieni si prdy po rozwarciu jednej z faz
silnika, np. fazy A.
Rozwizanie
Schemat zastpczy silnika w postaci trzech identycznych impedancji Z połczonych w trójkt
przedstawiony jest na rys. 8.19.
212
Rys. 8.19. Schemat połcze faz silnika trójfazowego
Przy symetrycznym połczeniu faz silnika, przez poszczególne fazy o równej impedancji Z
przepływaj prdy o tej samej wartoci, przesunite wzgldem siebie o kt o120 opónione
wzgldem odpowiednich napi fazowych (silnik ma charakter indukcyjny) o ten sam kt ϕ .
Napicie fazowe odbiornika jest równe napiciu midzyfazowemu generatora, std
VUU mff 380== . Uwzgldniajc wzór na moc silnika otrzymuje si
AU
PI
ff 7,57
cos3==
ϕη
Przy pełnej symetrii połcze faz silnika wszystkie prdy liniowe zasilajce ten silnik s
równie symetryczne, czyli równe co do modułu i przesunite w fazie o kt o120 . Oznacza to,
e
AIIII fCBA 1003 ====
Na rys. 8. 20 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w silniku trójfazowym przy
pełnej symetrii połcze.
213
Rys. 8.20. Wykres wektorowy prdów i napi silnika trójfazowego w warunkach pełnej
symetrii
W przypadku przerwy jednej z faz odbiornika, np. fazy A, prd tej fazy jest równy zeru,
natomiast pozostałych faz jest niezmieniony. Uwzgldniajc przerw w fazie A obwodu z
rys. 8.18, prd liniowy w fazie A i B jest teraz równy prdowi fazowemu silnika, natomiast
prd liniowy fazy C pozostał nie zmieniony w stosunku do przypadku symetrii, to znaczy
AII fA 7,57==
AII fB 7,57==
AII fC 1003 ==
Najbardziej obcionym przewodem zasilajcym jest teraz przewód fazy C. Pozostałe
przewody zasilajce przenosz prd zmniejszony w stosunku do normalnej pracy silnika.
214
Oddzielnym problemem przy analizie układu trójfazowego połczonego w trójkt jest
uwzgldnienie impedancji przewodów zasilajcych. Przypadek taki pokazany jest na rys.
8.21.
Rys. 8.21. Zasilanie odbiornika trójfazowego trójktnego z uwzgldnieniem impedancji
przewodów zasilajcych
Przy nieznanych prdach liniowych nie mona obliczy napi panujcych na odbiorniku,
gdy nieznane s spadki napi na impedancjach przewodów zasilajcych. To z kolei
uniemoliwia wyznaczenie prdów fazowych tego odbiornika. Aby uzyska rozwizanie
naley w pierwszej kolejnoci zamieni trójkt impedancji na równowany mu układ
gwiazdowy (rys. 8.22).
Rys. 8.22. Układ trójfazowy gwiazdowy równowany układowi trójktnemu z rys. 8.20
W wyniku zamiany otrzymuje si znany ju układ gwiazda-gwiazda, w którym impedancje
fazowe oraz impedancje przewodów doprowadzajcych s połczone szeregowo stanowic
215
rozszerzon impedancj poszczególnych faz. Stosujc znan metodyk rozwizania takiego
układu oblicza si wszystkie prdy liniowe IA, IB oraz IC.
Po obliczeniu prdów liniowych mona obliczy napicia midzyfazowe w
rzeczywistym odbiorniku z rys. 8.21 jako
BBAAAB IZIZU −= (8.49)
CCBBBC IZIZU −= (8.50)
AACCCA IZIZU −= (8.51)
Po obliczeniu napi fazowych odbiornika wyznaczenie prdów odbywa si na podstawie
prawa Ohma
BA
ABAB Z
UI = (8.52)
C
BCBC Z
UI
B
= (8.53)
CA
CACA Z
UI = (8.54)
Omówione tu połczenia układu trójfazowego w gwiazd i trójkt s podstawowymi
układami pracy w systemach trójfazowych. Jeli w analizie wystpi połczenie mieszane, np.
gwiazda-trójkt lub trójkt-gwiazda naley w pierwszej kolejnoci drog odpowiedniej
zamiany trójkta na gwiazd lub gwiazdy na trójkt doprowadzi do jednego z wczeniej
omówionych układów a nastpnie wykona odpowiednie obliczenia stosujc jedn z
poznanych metod.
8.3. Pomiar mocy w układach trójfazowych
8.3.1. Pomiar mocy czynnej w układzie czteroprzewodowym
Z bilansu mocy w układzie trójfazowym wynika, e moc wytworzona w generatorze
trójfazowym równa sumie mocy poszczególnych jego faz odnajduje si w postaci mocy
wydzielonej w fazach odbiornika. W przypadku mocy chwilowej wydzielonej w odbiorniku
mamy
216
CCBBAA iuiuiutp ++=)( (8.55)
Moc czynna P odbiornika jest całk po okresie T z mocy chwilowej. Std
++==T
CC
T
BB
T
AA
T
dtiuT
dtiuT
dtiuT
dttpT
P0000
111)(
1 (8.56)
Poszczególne składniki sumy odpowiadaj mocy poszczególnych faz. Adaptujc wzory na
moc w układzie jednofazowym otrzymuje si
CCCBBBAAA IUIUIUP ϕϕϕ coscoscos ++= (8.57)
gdzie
AU , BU , CU - moduły wartoci skutecznych napi fazowych odbiornika,
AI , BI , CI - moduły wartoci skutecznych prdów fazowych odbiornika
Aϕ , Aϕ , Aϕ - kty przesuni fazowych miedzy napiciami i prdami faz
Wzór okrelajcy całkowit moc czynn w układzie trójfazowym mona wic przedstawi
jako
CBA PPPP ++= (8.58)
Moc czynna pobierana przez odbiornik trójfazowy jest równa sumie mocy czynnych
poszczególnych faz. W przypadku ogólnym obwodu trójfazowego niesymetrycznego, w
którym nie ma korelacji midzy poszczególnymi fazami pomiar mocy czynnej wymaga
uycia trzech watomierzy, z których kady mierzy moc jednej fazy. Schemat połcze trzech
watomierzy w tym przypadku przedstawiono na rys. 8.23. Cewka prdowa kadego
watomierza zasilana jest odpowiednim prdem fazowym a cewka napiciowa mierzy napicie
odpowiedniej fazy.
217
Rys. 8.23. Pomiar mocy czynnej za pomoc trzech watomierzy w układzie niesymetrycznym
czteroprzewodowym
W przypadku układu symetrycznego ze wzgldu na równo prdów i przesuni
ktowych w poszczególnych fazach odbiornika moc wskazywana przez kady watomierz
byłaby taka sama. Std do pomiaru mocy w tym układzie wystarczy uycie jednego
watomierza (rys. 8. 24)
Rys. 8.24. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym symetrycznym czteroprzewodowym
za pomoc jednego watomierza
Moc całkowita P układu trójfazowego jest potrojon wartoci wskazania watomierza
APP 3= (8.59)
Wobec pełnej symetrii odbiornika watomierz moe by włczony w dowolnej fazie,
niekoniecznie w fazie A. W kadym przypadku watomierz włczony w danej fazie mierzy
prd fazy i napicie fazowe wzgldem punktu neutralnego.
218
8.3.2. Pomiar mocy czynnej w układzie trójprzewodowym
Jeli układ symetryczny odbiornika jest zasilany trzema przewodami (brak dostpu do punktu
zerowego) wówczas pomiar mocy jednym watomierzem wymaga utworzenia sztucznego
punktu o potencjale równym potencjałowi punktu zerowego. Biorc pod uwag, e przy
symetrycznym odbiorniku potencjał UN=0 punkt o potencjale zerowym mona wytworzy
stosujc dodatkowy układ trzech rezystorów i włczajc kocówk watomierza do tego
układu, jak to pokazano na rysunku 8.25.
Rys. 8.25. Pomiar mocy czynnej w układzie symetrycznym trójprzewodowym za pomoc
jednego watomierza
W przypadku odbiornika niesymetrycznego o trzech przewodach zasilajcych pomiar
całkowitej mocy układu moe by dokonany przy pomocy dwu watomierzy. Dla pokazania
takiej moliwoci przepiszemy wzór na moc chwilow układu
CCBBAA iuiuiutp ++=)( (8.60)
W układzie trójprzewodowym suma prdów przewodowych jest równa zeru, co znaczy, e
219
0=++ CBA iii (8.61)
Eliminujc prd iC z zalenoci na moc chwilow, uzyskuje si
BCBACA iuuiuutp )()()( −+−= (8.62)
Moc czynna jako warto rednia za okres z mocy chwilowej dla przebiegów sinusoidalnych
moe wic by wyraona w postaci
21 coscos ϕϕ BCBACA IUUIUUP −+−= (8.63)
W wyraeniu tym prdy i napicia dotycz modułów wartoci skutecznych odpowiednich faz
natomiast kty 1ϕ i 2ϕ oznaczaj przesunicia fazowe midzy odpowiednio napiciem UAC i
prdem IA oraz midzy napiciem UBC i prdem IB. Powysza zaleno umoliwia podanie
schematu elektrycznego połcze elementów pomiarowych obwodu. Schemat pomiaru mocy
przy pomocy dwu watomierzy nosi nazw układu Arona i podany jest na rys. 8.26.
Rys. 8.26. Układ Arona do pomiaru mocy za pomoc dwu watomierzy
Cewki prdowe watomierzy włczone s w dwie linie odbiornika trójfazowego, natomiast
cewki napiciowe włczone s midzy dan faz i faz trzeci, w której nie ma włczonego
watomierza.
Powyszy schemat pomiarowy jest słuszny zarówno dla układu niesymetrycznego jak
i symetrycznego. W przypadku układu symetrycznego zastosowanie go do pomiaru mocy
220
czynnej umoliwia uzyskanie take innych informacji o obwodzie trójfazowym, w
szczególnoci mocy biernej oraz kta przesunicia fazowego.
Zauwamy, e w przypadku pełnej symetrii moduły i kty przesunicia fazowego
prdów wzgldem odpowiednich napi fazowych w poszczególnych fazach s równe
IIII CBA === (8.64)
ϕϕϕϕ === CBA (8.65)
Przy załoeniu odbiornika gwiazdowego wykres wektorowy prdów i napi obwodu
przedstawiony jest na rys. 8.27.
Rys. 8.27. Wykres wektorowy prdów i napi symetrycznego układu trójfazowego
221
Z analizy zalenoci ktowych na tym rysunku wynika, e
o301 −= ϕϕ (8.66)
o302 += ϕϕ (8.67)
Std wzór na moc wskazywan przez oba watomierze upraszcza si do postaci
( )oof
of
oCA
IU
IUIUUP
30sinsin30coscos3
)30cos(3)30cos(1
ϕϕ
ϕϕ
+
=−=−−= (8.68)
( )oof
of
oCB
IU
IUIUUP
30sinsin30coscos3
)30cos(3)30cos(2
ϕϕ
ϕϕ
−
=+=+−= (8.69)
Suma obu wskaza watomierzy jest wic równa
ϕϕ cos330coscos3221 IUIUPPP fo
f ==+= (8.70)
Jak wida suma wskaza obu watomierzy jest potrojon wartoci mocy jednej fazy, co
wobec symetrii odbiornika jest potwierdzeniem poprawnoci działania układu Arona.
8.3.3. Pomiar mocy biernej w układzie trójfazowym symetrycznym
Odejmujc od siebie wskazania obu przyrzdów udowodnimy, e rónica wskaza jest
proporcjonalna do mocy biernej układu. Mianowicie
ϕϕ sin330sinsin3221 IUIUPP fo
f ==− (8.71)
Biorc pod uwag, e moc bierna jednej fazy jest równa ϕsinIUQ ff = z ostatniej
zalenoci wynika nastpujcy wzór
222
3
21 PPQ f
−= (8.72)
a moc bierna całkowita układu trójfazowego symetrycznego jest równa
)(3 1 PPQ −= (8.73)
Tak wic zastosowanie dwu watomierzy zamiast jednego, w przypadku symetrii odbiornika,
ma t zalet, e dostarcza informacji jednoczenie o mocy czynnej i mocy biernej układu.
Dodatkowo, jeli uwzgldnimy, e kt przesunicia fazowego jest w pełni okrelony przez
moc czynn i biern według wzoru
PQ=ϕtg (8.74)
na podstawie wskaza watomierzy mona bezporednio okreli kt przesunicia fazowego
midzy prdami i napiciami fazowymi w układzie
21
213arctgPPPP
+−=ϕ (8.75)
Std na podstawie pomiaru mocy dwoma watomierzami jest moliwe okrelenie trzech
wielkoci jednoczenie: mocy czynnej, mocy biernej oraz kta przesunicia fazowego midzy
prdami i napiciami w obwodzie.
Jeli interesuje nas jedynie moc bierna mona j zmierzy stosujc tylko jeden
watomierz. Układ pomiarowy w tym przypadku pokazany jest na rys. 8.28
Rys. 8.28. Pomiar mocy biernej przy pomocy jednego watomierza
223
Cewka prdowa watomierza mierzy prd jednej fazy a cewka napiciowa włczona jest
midzy dwie pozostałe fazy. Watomierz mierzy moc wynikajc z iloczynu prdu IA, napicia
UBC oraz kosinusa kta zawartego midzy wektorem prdu IA i napicia UBC. Wykres
wektorowy prdów i napi w obwodzie z zaznaczeniem poszukiwanego kta fazowego 1ϕ
midzy prdem IA a napiciem UBC przedstawiony jest na rys. 8.29.
Rys. 8.29. Wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie symetrycznym z rys. 8.28
Jest oczywiste, e kt ten jest równy ϕϕ −= o901 . Oznacza to, e wskazanie watomierza jest
równe
ϕϕϕ sin3)90cos(3cos 1 fo
fBCA UIUIUIP =−== (8.76)
Całkowita moc bierna Q symetrycznego układu trójfazowego jest równa potrójnej mocy
jednej fazy PQ 3= .
224
8.3.4. Porównanie mocy w układzie trójfazowym trójktnym i gwiazdowym
Przełczenie impedancji odbiornika z połczenia trójktnego w gwiazdowe powoduje
zmian mocy wydzielonej w odbiorniku. Załómy dla uproszczenia, e obwód trójfazowy jest
symetryczny o impedancji fazy równej Z. Schemat połczenia trójktny i gwiazdowy
impedancji przedstawiony jest na rys. 8.30.
Rys. 8.30. Układy połcze impedancji Z odbiornika symetrycznego w a) trójkt, b) gwiazd
Jak łatwo pokaza dla układu trójktnego moc czynna P układu jest równa
( )
ϕϕ cos9cos3
3
22
Z
U
Z
UP
ff == (8.77)
natomiast w układzie gwiazdowym wobec UN = 0 mamy
ϕcos3
2
Z
UP
f= (8.78)
Jak wynika z powyszych wzorów przy przełczeniu odbiornika symetrycznego z gwiazdy na
trójkt pobór mocy czynnej wzrasta 3-krotnie. Przy tej samej wartoci impedancji w obu
połczeniach oznacza to 3 -krotny wzrost prdu płyncego przez impedancj.
8.4. Wirtualne laboratorium obwodów elektrycznych
Do oblicze prdów, napi i mocy w obwodach trójfazowych został opracowany program
„Obwody trójfazowe” pozwalajcy na symulacj pracy takiego układu.
225
Rys. 8.31. Główne okno programu „Obwody trójfazowe”
Rysunek 8.31 przedstawia okno główne programu. Centralne pole zajmuje schemat badanego
obwodu (dostpne konfiguracje: gwiazda-gwiazda Y-Y, gwiazda-trójkt Y-∆, trójkt-trójkt
∆-∆ i trójkt-gwiazda ∆-Y), z symbolicznie zaznaczonym odbiornikiem i zasilaniem
trójfazowym. Uruchomienie programu odbywa si poprzez kliknicie w obrbie jego ikony.
Uytkownik moe wówczas definiowa własn struktur obwodu (∆,Υ, przewód zerowy),
rodzaj i wartoci parametrów odbiornika (R, L, C), wartoci ródeł wymuszajcych,
impedancj przewodu zerowego, format liczb zespolonych.
W wyniku oblicze otrzymuje si wartoci prdów, napi i mocy w obwodzie, jak równie
wykres wektorowy prdów i napi oraz ich przebiegi czasowe. Program stanowi efektywne
wirtualne laboratorium obwodów trójfazowych, umoliwiajce studentowi samodzielne
badanie zjawisk zachodzcych w obwodach trójfazowych.
8.5. Pole magnetyczne wirujce w układach trójfazowych
Wanym zastosowaniem układów trójfazowych s maszyny elektryczne, silniki bd
generatory trójfazowe. W silnikach energia elektryczna jest zamieniana na energi
226
mechaniczn, podczas gdy w generatorach odwrotnie – energia mechaniczna jest
przetwarzana na energi elektryczn. Pokaemy, e zamiana energii elektrycznej na energi
mechaniczn w postaci ruchu obrotowego jest moliwa w układach trójfazowych za
porednictwem pola magnetycznego wytwarzanego przez uzwojenia trójfazowe silnika. Jak
pokazano w lekcji pitej przepływ prdu I przez uzwojenie o z zwojach jest zwizane z
wytworzeniem pola magnetycznego o nateniu H. Przy oznaczeniu długoci drogi
magnetycznej przez l natenie pola magnetycznego H okrela prawo przepływu Ampera,
zgodnie z którym
lzI
H = (8.79)
Przy sinusoidalnym prdzie natenie pola zmienia si równie sinusoidalnie. Energia
elektryczna w pojedynczym uzwojeniu nie przetworzy si zatem bezporednio na energi
ruchu, gdy zwoje przez które przepływa prd sinusoidalny poddawane s działaniu pola
oscylacyjnego o zmiennym co pół okresu kierunku. Dla wytworzenia ruchu uzwojenia musi
by ono poddane działaniu wektora o stałej amplitudzie wirujcego w czasie. Pole takie moe
zosta wytworzone midzy innymi w układzie trójfazowym pod warunkiem rozmieszczenia
uzwoje przesunitych wzgldem siebie w przestrzeni. Przyjmijmy, e zwoje przez które
przepływa prd trójfazowy
)sin( tIi mA ω= (8.80)
)120sin( omB tIi −= ω (8.81)
)120sin( omC tIi += ω (8.82)
rozmieszczone s symetrycznie w przestrzeni z przesuniciem ktowym co o120 jak to
pokazano na rys. 8.31
227
Rys. 8.32. Układ uzwoje trójfazowych przesunitych symetrycznie w przestrzeni
wytwarzajcych pola magnetyczne
Na rysunku zaznaczono kierunki wektorów natenia pola powstajce w poszczególnych
uzwojeniach. Moduły tych wektorów wynikaj z prawa przepływu Ampera i wobec
sinusoidalnych prdów fazowych zmieniaj si równie sinusoidalnie
)sin()( tHtH mA ω= (8.83)
)120sin()( omB tHtH −= ω (8.84)
)120sin()( omC tHtH += ω (8.85)
Wypadkowe pole magnetyczne wynika z sumy poszczególnych wektorów HA(t), HB(t), HC(t)
pochodzcych od wszystkich faz układu trójfazowego. Moduły wartoci tych wektorów s
opisane wzorami jak wyej natomiast ich kierunki s przesunite symetrycznie o kt o120 jak
to pokazano na rys. 8.31.
Umiemy wektory natenia pola magnetycznego na płaszczynie zespolonej,
przyjmujc o rzeczywist zgodnie z kierunkiem składowej fazy A. Wtedy wektor
wypadkowy H(t) moe by opisany wzorem
228
[ ][ ] [ ] ( )tj
mtj
mmm
oom
oom
Cj
Bj
A
eHeHjtjtHtjtH
tjttH
tjtjtH
tetettoo
ωωωωωω
ωωω
ωωω
−−
−
==−==+
=+−=
=
+
+−+−
−−+
=++=
90
120120
23
23
)sin()cos(23
)cos()sin(23
)cos(120sin3120cos)sin()sin(
)120sin(23
5,0)120sin(23
5,0)sin(
)()()()( HHHH
(8.86)
Oznacza to, e
• wektor wypadkowy natenia pola magnetycznego H(t) jest wektorem wirujcym
jednostajnie w czasie z prdkoci ktow równ ω zgodnie z ruchem wskazówek zegara
• moduł tego wektora jest stały i równy mHt23
)( =H .
Wytworzone przez trójfazowy układ uzwoje pole magnetyczne jest wic polem wirujcym
zdolne do nadania ruchu tym uzwojeniom. Pozwala zamieni energi elektryczn w energi
mechaniczn. Kierunek ruchu wynika z przyjtego kierunku wirowania faz napicia
zasilajcego trójfazowego. Przy załoonym przez nas układzie zgodnym kierunek wirowania
pola jest zgodny z kierunkiem wskazówek zegara. Przy zamianie kolejnoci faz w układzie
trójfazowym (faza B zamieniona z C) mamy do czynienia z kierunkiem przeciwnym
wirowania faz. W przypadku pola magnetycznego oznacza to bdzie zmian wirowania pola
na przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Na rys. 8.32 zilustrowano wirowanie pola
magnetycznego powstałego w omówionym układzie trzech cewek
Rys. 8.33. Ilustracja wirowania wektora wirujcego H
229
Zadania sprawdzajce
Zadanie 8.1
Wyznaczy prdy w obwodzie trójfazowym podanym na rys. 8.33. Przyj nastpujce
wartoci parametrów elementów: VE f 200= , ZA = 10, ZB = (10-j10), ZC = (10+j10),
ZN = 50.
Rys. 8.34. Schemat obwodu trójfazowego do zadania 8.1
Rozwizanie
Przyjmujemy nastpujce wartoci symboliczne elementów:
o
o
jC
jB
A
eE
eE
E
120
120
200
200
200
=
=
=−
1,01 ==
AA Z
Y
05,005,01
jZ
YB
B +==
230
05,005,01
jZ
YC
C −==
02,01 ==
NN Z
Y
Napicie niezrównowaenia UN
18,124=+++
++=NCBA
CCBBAAN YYYY
YEYEYEU
Prdy fazowe:
( ) 58,7=−= ANAA YUEI
( ) 87,1955,2 jYUEI ANAA −−=−=
( ) 87,1955,2 jYUEI ANAA +=−=
48,2== NNA YUI
Zadanie 8.2
Wyznaczy prdy w układzie trójfazowym przedstawionym na rys. 8.34. Przyj nastpujce
wartoci parametrów elementów: VE f 200= , R = 100Ω, XL = 50Ω, XC = 50Ω.
Rys. 8.35. Schemat obwodu trójfazowego do zadania 8.2
Rozwizanie
231
Przyjmujemy nastpujce wartoci symboliczne elementów:
o
o
jC
jB
A
eE
eE
E
120
120
200
200
200
=
=
=−
0=−= CLB jXjXZ
01,01 ==R
YA
∞==B
B ZY
1
02,01
jZ
YC
C ==
Wobec zwarcia w fazie B napicie niezrównowaenia UN = EB.
Prdy fazowe:
( ) 73,13 jYUEI ANAA +=−=
( ) 93,6−=−= CNCC YUEI
( ) 73,193,3 jIII CAB −=+−=
Zadanie 8.3
Wyznaczy prdy w układzie trójfazowym o odbiorniku połczonym w trójkt
przedstawionym na rys. 8.35. Sporzdzi wykres wektorowy prdów i napi. Przyj
nastpujce wartoci parametrów elementów: VE f 200= , R = XL = XC = 10Ω.
232
Rys. 8.36. Schemat obwodu trójfazowego do zadania 8.3
Rozwizanie
Napicia midzyfazowe:
fmf EE 3=
o
o
jCA
jBC
AB
eE
eE
E
120
120
3200
3200
3200
=
=
=−
Prdy fazowe odbiornika:
oj
C
ABAB e
jXE
I 90320=−
=
oj
L
BCBC e
jXE
I 210320 −==
ojCACA e
RE
I 120320==
Prdy liniowe układu:
64,432,17 jIII CAABA +=−=
32,1730 jIII ABBCB −−=−=
68,1268,12 jIII BCCAC +=−=
233
Wykres wektorowy prdów i napi przedstawiony jest na rys. 8.36.
Rys. 8.37. Wykres wektorowy prdów i napi obwodu
234
Lekcja 9. Składowe symetryczne w układach trójfazowych
Wstp
Lekcja dziewita powicona jest składowym symetrycznym: zgodnej, przeciwnej i zerowej,
jako opisu obwodów trójfazowych niesymetrycznych. Niesymetria w obwodzie trójfazowym
jest zjawiskiem niepodanym. Wystpienie składowej innej ni zgodna wiadczy o powstałej
asymetrii. W lekcji podane zostan wzory okrelajce poszczególne składowe symetryczne
oraz ich podstawowe własnoci. Wprowadzone zostan układy filtrów składowych
symetrycznych, pozwalajce w prosty sposób kontrolowa niesymetri w układzie
trójfazowym.
9.1. Rozkład na składowe symetryczne
W dotychczasowych rozwaaniach układów trójfazowych ograniczylimy si do analizy
układów o symetrycznym zasilaniu, czyli takich w których amplitudy wszystkich napi
fazowych s równe, a przesunicia ktowe midzy poszczególnymi fazami o120 . W
rzeczywistych układach ze wzgldu na skoczon impedancj przewodów zasilajcych przy
rónych prdach fazowych powstaj rónice w napiciach fazowych generatora
„wychodzcych” na lini. Oznacza to rónice zarówno w amplitudach poszczególnych napi
jak i przesuniciach fazowych w stosunku do o120 . Std załoenie symetrii napi generatora
w układach rzeczywistych jest niedopuszczalne. Drugi aspekt niesymetrii dotyczy samych
prdów i napi na elementach odbiornika trójfazowego. Nawet przy symetrycznym zasilaniu
ale załoeniu niesymetrii odbiornika powstaje sytuacja, w której zarówno prdy jak i napicia
na gałziach obwodu s niesymetryczne. Std powstaje potrzeba stworzenia metodyki analizy
układów trójfazowych niesymetrycznych, zwłaszcza pod ktem stworzenia miar
odkształcenia od symetrii. Takim narzdziem s składowe symetryczne.
Metoda składowych symetrycznych polega na tym, e stosujc odpowiednie
przekształcenia liniowe zastpuje si układ trzech wektorów trójfazowych niesymetrycznych
przez równowane mu trzy układy trzech wektorów symetrycznych. Niesymetryczne ródło
zasilania trójfazowego zostaje zastpione przez układ trzech ródeł trójfazowych, z których
235
jedno jest o kolejnoci wirowania zgodnej (kolejno identyczna jak w układach rozwaanych
dotd), drugie o kolejnoci przeciwnej i trzecie o kolejnoci zerowej (brak przesunicia
midzy wektorami fazowymi). Ilustracja takiego rozkładu jest przedstawiona na rys. 9.1
Rys. 9.1. Ilustracja metody rozkładu niesymetrycznego układu napi trójfazowych na sum
trzech układów napi trójfazowych symetrycznych
Układowi 3 napi niesymetrycznych trójfazowych przyporzdkowa mona równowany
układ trzech ródeł trójfazowych, reprezentujcych składow zerow (brak przesunicia
midzy napiciami fazowymi), składow zgodn (napicie fazy B opónia si wzgldem fazy
A a napicie fazy C wyprzedza napicie fazy A) oraz składow przeciwn (napicie fazy B
wyprzedza napicie fazy A natomiast napicie fazy C opónia si wzgldem napicia fazy A).
Ilustracja takiego przekształcenia pokazana jest na rys. 9.2
236
Rys. 9.2. Przekształcenie równowane generatora napi niesymetrycznych na trzy generatory
napi symetrycznych
Symbolem a oznaczono wektor jednostkowy obrotu o kt o120
23
5,0120 jeaoj +−== (9.1)
Mona łatwo pokaza, e słuszna jest nastpujca zaleno
01 2 =++ aa (9.2)
Równowano obu układów napi z rys. 9.2 wymaga, aby spełnione były nastpujce
równoci
210 EEEEA ++= (9.3)
212
0 aEEaEEB ++= (9.4)
22
10 EaaEEEC ++= (9.5)
gdzie 0E , 1E , 2E oznaczaj składowe kolejnoci odpowiednio zerowej, zgodnej i przeciwnej
(faza A odpowiedniego układu). Zapis macierzowy powyszej zalenoci przyjmuje posta
237
=
2
1
0
2
2
11
111
E
E
E
aa
aa
E
E
E
C
B
A
(9.6)
Z zalenoci tej na podstawie danych wartoci rzeczywistych napi fazowych AE , BE , CE
otrzyma mona składowe symetryczne 0E , 1E , 2E . Dokonujc odwrócenia macierzy w
powyszej zalenoci otrzymuje si
=
C
B
A
E
E
E
aa
aa
E
E
E
2
2
2
1
0
11
111
31
(9.7)
Identyczny rozkład na składowe symetryczne przypisa mona niesymetrycznemu układowi
prdów oraz impedancji przez prost zamian symbolu E na symbol prdu I oraz impedancji
Z. W przypadku prdów rozkład na składowe symetryczne dany jest wzorem
=
C
B
A
I
I
I
aa
aa
I
I
I
2
2
2
1
0
11
111
31
(9.8)
Zaleno opisujca rozkład na składowe symetryczne impedancji jest z kolei nastpujaca
=
C
B
A
Z
Z
Z
aa
aa
Z
Z
Z
2
2
2
1
0
11
111
31
(9.9)
Identyczne zalenoci przyporzdkowa mona wielkociom midzyfazowym. W tym
przypadku wskaniki fazowe A, B, C zastpuje si wskanikami midzyfazowymi
odpowiednio AB, BC oraz CA. Przykładowo, w przypadku rozkładu napi midzyfazowych
na składowe symetryczne mamy
238
=
CA
BC
AB
E
E
E
aa
aa
E
E
E
2
2
2
1
0
11
111
31
(9.10)
Zalenoci opisujce rozkład na składowe symetryczne s identyczne dla napi, prdów i
impedancji midzyfazowych. Niezalenie od tego wynik uzyskany z takiego rozkładu róni
si znacznie od siebie, szczególnie w przypadku wystpowania symetrii. Rónice pokaemy
na przykładzie.
Przykład 9.1
Dokona rozkładu na składowe symetryczne układu trójfazowego symetrycznego napi,
gdzie EEA = , EaEeEoj
B2120 == − , aEEeE
ojC == 120 .
Rozwizanie
Zgodnie z podanymi wczeniej wzorami rozkładu na składowe symetryczne otrzymuje si
( ) ( ) 0131
31 2
0 =++=++= aaEEEEE CBA
( ) ( ) EaaEEaaEEE CBA =++=++= 3321 1
31
31
( ) ( ) ( ) 0131
131
31 2242
2 =++=++=++= aaEaaEaEEaEE CBA
Rozkład na składowe symetryczne układu napi symetrycznych prowadzi do spodziewanego
wyniku. Istnieje jedynie składowa zgodna równa napiciu zasilajcemu, pozostałe składowe
s zerowe. Zerowanie si składowych zerowej i przeciwnej wiadczy o symetrii układu
trójfazowego. Taka sytuacja obowizuje w przypadku zarówno napi jak i prdów. Dotyczy
to wielkoci fazowych i midzyfazowych.
Przykład 9.2
239
Dokona rozkładu na składowe symetryczne układu trzech impedancji stanowicych
obcienie układu trójfazowego. Przyjmiemy symetri obcienia, to znaczy ZA=Z, ZB=Z,
ZC=Z.
Rozwizanie
Stosujc identyczne wzory opisujce rozkład impedancji na składowe symetryczne otrzymuje
si
( ) ( ) ZZZZZZ CBA =++=++= 11131
31
0
( ) ( ) 0131
31 22
1 =++=++= aaZZaaZZZ CBA
( ) ( ) 0131
31 22
2 =++=++= aaZaZZaZZ CBA
Pomimo zastosowania identycznych wzorów wynik rozkładu na składowe symetryczne
równych impedancji jest całkowicie róny od rozkładu napi. Tym razem istnieje wyłcznie
składowa zerowa impedancji. Pozostałe składowe symetryczne (zgodna i przeciwna) s równe
zeru. Wynik ten jest zrozumiały biorc pod uwag, e układ identycznych impedancji stanowi
z definicji składow zerow (brak przesuni fazowych midzy impedancjami).
9.2. Własnoci składowych symetrycznych
Składowe symetryczne napi, prdów i impedancji zdefiniowane wzorami (9.7) – (9.10)
maj interesujce własnoci charakteryzujce niesymetri wielkoci trójfazowych.
Podstawowe własnoci mona sformułowa nastpujco.
• W układzie symetrycznym zgodnym napi (prdów) składowa zerowa i przeciwna
znikaj, a składowa zgodna jest równa napiciu (prdowi) fazy podstawowej. Dowód
powyszej własnoci przedstawiony został w przykładzie 9.1.
• W układzie symetrycznym przeciwnym napi (prdów) składowa zerowa i zgodna
znikaj, a składowa przeciwna jest równa napiciu (prdowi) fazy podstawowej. Dowód
240
powyszej własnoci przy prostej zamianie kolejnoci zgodnej na przeciwn w napiciach
oryginalnych wynika z rozwaa zawartych w przykładzie 9.1.
• Wystpienie w rozkładzie na składowe symetryczne napi lub prdów o kierunku
wirowania zgodnym składowej zerowej i przeciwnej wiadczy o niesymetrii układu
badanych napi lub prdów.
• W układzie symetrycznym zerowym impedancji (wszystkie trzy impedancje równe sobie)
składowa zgodna i przeciwna znikaj, a składowa zerowa jest równa impedancji zadanej.
Dowód powyszej własnoci przedstawiony został w przykładzie 9.2
• W układzie trójfazowym trójprzewodowym składowa zerowa prdów liniowych jest
równa zeru. Wynika to z faktu, e suma prdów liniowych w obwodzie trójprzewodowym
jest z definicji równa zeru (prd przewodu zerowego wobec jego braku musi by równy
zeru), to znaczy 03 0 ==++ IIII CBA .
• W układzie trójfazowym czteroprzewodowym prd w przewodzie zerowym jest równy
potrójnej wartoci składowej zerowej, IN=3I0. Własno ta wynika bezporednio z prawa
prdowego Kirchhofa, zgodnie z którym 03IIIII CBAN =++= .
• Składowa symetryczna zerowa układu napi midzyfazowych jest równa zeru. Dowód
powyszej własnoci wynika z faktu, e suma napi midzyfazowych niezalenie od
symetrii jest z definicji równa zeru (układ napi midzyfazowych tworzy trójkt
zamknity), to znaczy 03 0 ==++ EEEE CABCAB .
• Składowa zgodna i przeciwna napi midzyfazowych w przypadku zerowania si
jednego z napi s sobie równe i równaj si napiciu fazowemu układu trójfazowego.
Dowód tej własnoci wynika bezporednio z definicji rozkładu. Zauwamy, e przy braku
jednego napicia midzyfazowego dwa pozostałe s sobie równe i przeciwnie skierowane.
Jeli przyjmiemy, e UBC=0 oraz UAB=Emf, UCA=-Emf, gdzie Emf oznacza napicie
midzyprzewodowe to ze wzorów na składowe symetryczne otrzymuje si
( ) ( ) oo jf
jmfmfmfCABCAB eEeEjEaEEaaEEE 303022
1 331
23
5,131
131
31 ==
+=−=++=
( ) ( ) oo jf
jmfmfmfCABCAB eEeEjEaEaEEaEE 30302
2 331
23
5,131
131
31 −− ==
−=−=++=
241
Jak z powyszego wida obie składowe rozkładu (zgodna i przeciwna) s równe co do
modułu wartoci napicia fazowego Ef i symetrycznie przesunite wzgldem fazy zerowej
o kt o30± . Konstrukcj graficzn składowych symetrycznych dla tego przypadku
przedstawiono na rys. 9.3
Rys. 9.3. Konstrukcja graficzna składowych zgodnej i przeciwnej układu napi
midzyprzewodowych przy braku jednego z napi
• W maszynach elektrycznych składowa zgodna prdów wywołuje pole wirujce zgodnie z
kierunkiem prdkoci obrotowej maszyny a układ przeciwny prdów - pole wirujce
przeciwne do tej prdkoci. Dua niesymetria w układzie trójfazowym objawiajca si
przewag składowej przeciwnej moe wic spowodowa zmian kierunku wirowania
maszyny.
• Składowa przeciwna wystpujca w maszynie elektrycznej wirujcej w kierunku
zgodnym indukuje w maszynie prdy o podwójnej czstotliwoci. Std wywiera ona
niekorzystny wpływ na prac maszyny (zwikszony efekt grzania maszyny).
242
9.3. Prawo Kirchhoffa dla składowych symetrycznych
Rozkład napi i impedancji na składowe symetryczne umoliwia bezporednie wyznaczenie
składowych symetrycznych prdów w obwodzie bez koniecznoci rozwizywania obwodu dla
wielkoci rzeczywistych. Zalenoci zachodzce midzy składowymi symetrycznymi napi,
prdów i impedancji wynikaj z tak zwanego prawa Kirchhoffa dla składowych
symetrycznych. Prawo to odnosi si do układu gwiazdowego. Przyjmijmy, e składowe
symetryczne odpowiednio napi fazowych, prdów fazowych i impedancji fazowych
oznaczymy w postaci 0E , 1E , 2E (napicia), 0I , 1I , 2I prdy) oraz 0Z , 1Z , 2Z (impedancje).
Wtedy prawo Kirchhoffa zapiszemy w nastpujcej formie
+=
2
1
0
012
201
120
2
1
0 3
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZZ
E
E
E N
(9.11)
Przy skoczonej impedancji przewodu zerowego wystpi wszystkie harmoniczne prdów
fazowych. Jeli przewód zerowy nie istnieje ( ∞=NZ ) wówczas z definicji prd składowej
zerowej jest równy zeru i powyszy układ równa redukuje si do rzdu drugiego (równanie
pierwsze jako nieokrelone odrzuca si)
=
2
1
01
20
2
1
I
I
ZZ
ZZ
E
E (9.12)
Naley podkreli, e równanie Kirchhoffa dla składowych symetrycznych stanowi
interesujcy z punktu widzenia teoretycznego zwizek midzy składowymi symetrycznymi
napi, prdów i impedancji. Jest wygodn form bezporedniego wyznaczenia składowych
symetrycznych prdu. Nie naley go jednak traktowa jako metody wyznaczania
rzeczywistych prdów w obwodzie trójfazowym przy niesymetrycznym zasilaniu, gdy
zwykła teoria obwodów trójfazowych (bez rozkładu na składowe symetryczne) znacznie
szybciej i prociej prowadzi do wyniku.
243
9.4. Filtry składowych symetrycznych
Filtrami składowych symetrycznych nazywamy układy pomiarowe, których zadaniem jest
wydzielenie odpowiednich składowych symetrycznych napicia lub prdu wystpujcych w
układzie trójfazowym. Filtry takie pełni uyteczn rol w systemie elektroenergetycznym
informujc o wystpowaniu niesymetrii wielkoci napi lub prdów w poszczególnych
fazach układu trójfazowego.
Rozróniamy filtry składowej zerowej, przeciwnej i zgodnej. Najłatwiejsze w
budowie s filtry składowej zerowej prdu i napicia. Wynika to z faktu, e składowa zerowa
stanowi jedn trzeci sumy mierzonych napi lub prdów niesymetrycznych. Urzdzenie
filtrujce musi zatem mierzy sum odpowiednich wielkoci i by przeskalowane w stosunku
1:3. Sporód wielu istniejcych rozwiza filtrów przedstawimy tu 3 wybrane rozwizania
przezentujce filtr składowej zerowej prdów liniowych, filtr składowej zerowej napi
fazowych oraz filtr składowej zgodnej i przeciwnej prdów liniowych.
9.4.1. Filtr składowej zerowej prdów liniowych
W obwodzie trójfazowym czteroprzewodowym (tylko w takim układzie składowa zerowa
moe by róna od zera) włczenie amperomierza bezporednio do przewodu zerowego
pozwoliłoby zmierzy sum prdów liniowych, czyli równie składow zerow tych prdów.
Taki sposób nie jest jednak stosowany ze wzgldu na to, e wymagałby ingerencji w
pracujcy system. W zamian stosuje si metody nieinwazyjne polegajce na zastosowaniu
przekładników prdowych, których włczenie do sieci nie wymaga adnych przełcze w
obwodzie głównym. Przekładnik prdowy transformuje prd pierwotny na prd wtórny
proporcjonalny do prdu pierwotnego ze współczynnikiem proporcjonalnoci k. Jeli prd
pierwotny przekładnika jest równy I1 to prd I2 płyncy po stronie wtórnej przekładnika jest
równy I2=kI1. Schemat układu filtru składowej zerowej prdów liniowych przedstawiony jest
na rys. 9.4.
244
Rys. 9.4. Układ filtru składowej symetrycznej zerowej prdów liniowych
Jak łatwo pokaza uzwojenia wtórne przekładników tworz połczenie równoległe a prd
płyncy przez miernik jest równy sumie prdów liniowych przeskalowanych przez
przekładni k przekładnika. W zwizku z powyszym wskazanie przyrzdu jest równe
03)( kIIIIkI CBAp =++= (9.13)
k
II p
30 = (9.14)
Zwykłe przeskalowanie przyrzdu pomiarowego prdu Ip pozwala na uzyskanie wskazania
równego składowej zerowej prdów liniowych.
9.4.2. Filtr składowej zerowej napi fazowych
Filtr składowej zerowej napi fazowych (rys. 9.5) wykorzystuje równie przekładniki, tym
razem napiciowe, przetwarzajce napicie pierwotne na napicie wtórne zgodnie z relacj
U2=kU1, gdzie k jest przekładni przekładnika. Dziki zastosowaniu przekładnika moliwe
jest obnienie napi pierwotnych do poziomu niskiego a jednoczenie galwaniczne
odizolowanie toru pomiarowego od obwodu głównego.
245
Rys. 9.5 Filtr składowej zerowej napi fazowych
Woltomierz pomiarowy włczony jest na sum napi wtórnych przekładnika. Suma napi
składowej zgodnej i przeciwnej jest równa zeru ze wzgldu na ich symetri. Pozostaje jedynie
wskazanie od składowej zerowej. Woltomierz mierzc sum napi
kUUUU CBAp )( ++= (9.15)
mierzy jednoczenie składow zerow, gdy składowa zerowa jest równa 1/3 tej sumy. W
zwizku z tym składowa zerowa napi fazowych jest proporcjonalna do wskazania
woltomierza, to jest
pUk
U31
0 = (9.16)
9.4.3. Filtr składowej zgodnej i przeciwnej prdów liniowych
Sporód wielu istniejcych rozwiza filtru składowych zgodnych i przeciwnych prdu
omówimy układ uniwersalny, który w zalenoci od doboru parametrów moe pełni rol
246
bd filtru składowej zgodnej bd przeciwnej. Schemat układu filtru przedstawiony jest na
rys. 9.6.
Rys. 9.6 Schemat filtru składowej zgodnej i przeciwnej prdów liniowych
W filtrze zastosowane s równie przekładniki prdowe. Załómy, e uwzgldniamy
impedancj Zp amperomierza pomiarowego. Dodatkowym załoeniem jest zasilanie
trójprzewodowe odbiornika trójfazowego, dla którego słuszna jest relacja 0=++ CBA III . Na
podstawie prawa napiciowego Kirchhoffa dla oczka zaznaczonego na rysunku moemy
napisa
0=++ ppZCCZAA IZIZIZ (9.17)
Prdy IZA oraz IZC mona wyznaczy z prdowego prawa Kirchhoffa jako
pAZA IkII += (9.18)
pCZC IkII += (9.19)
247
Podstawiajc powysze zalenoci do napiciowego prawa Kirchhoffa otrzymuje si
pCA
CCAAp ZZZ
IZIZkI
+++
−= (9.20)
Prdy przewodowe podlegajce rozkładowi na składowe symetryczne, wobec zerowania si
składowej zerowej, mona zapisa w postaci
21 III A += (9.21)
22
1 IaaIIC += (9.22)
Po podstawieniu tych wyrae do wzoru na prd Ip otrzymuje si
( ) ( )
pCA
CACAp ZZZ
ZaZIaZZIkI
+++++
−=2
21 (9.23)
Wzór powyszy wskazuje na to, e prd pomiarowy przy odpowiednim doborze impedancji
moe by proporcjonalny zarówno do składowej zgodnej jak i przeciwnej. Jeli chcemy
mierzy składow zgodn prdów, naley wyzerowa czynnik stojcy przy prdzie składowej
przeciwnej, to jest
02 =+ CA ZaZ (9.24)
Wystarczy w tym celu dobra impedancje w taki sposób, aby
CCA ZjZaZ
+=−=
23
5,02 (9.25)
Istnieje wiele rozwiza tego równania. Wystarczy przyj na przykład
RZC = (9.26)
248
2
32
Rj
RZ A += (9.27)
Oznacza to, e przy wyborze impedancji ZA i ZC okrelonych powyszymi wzorami
(impedancja ZC jest rezystancj a impedancja ZA połczeniem szeregowym rezystancji R/2 i
indukcyjnoci o reaktancji 2
3R
X L = ) amperomierz wskae prd proporcjonalny do
składowej zgodnej prdów liniowych, przy czym
1
23
2
23
223
2 kIZR
Rj
R
Rj
RRj
R
I
p
p
+++
+−+−= (9.28)
Po uproszczeniu wzoru otrzymuje si
16/33
kIZeR
RjI
pjp +
−=π
(9.29)
Jeli zaniedbamy impedancj wewntrzn amperomierza pomiarowego otrzymamy
3/1
πjp ekII = (9.30)
Wskazanie amperomierza wystpujcego w filtrze (moduł mierzonego prdu) jest wic równe
składowej zgodnej prdów liniowych układu, z uwzgldnieniem przekładni k przekładnika
prdowego.
W analogiczny sposób mona otrzyma filtr składowej przeciwnej prdów. W tym
celu naley wyzerowa czynnik przy składowej zgodnej prdów we wzorze (9.23), czyli
0=+ CA aZZ (9.31)
Warunek ten moe by spełniony przy wyborze
RZC = (9.32)
249
2
32
Rj
RaZZ CA −=−= (9.33)
Oznacza to, e dla uzyskania filtru składowej przeciwnej naley wybra impedancj ZC
równ rezystancji R natomiast ZA bdc połczeniem szeregowym rezystancji R/2 oraz
reaktancji pojemnociowej 2
3R
XC = . Prd mierzony przez amperomierz bdzie teraz
równy
2
23
2
23
223
2 kIZR
Rj
R
Rj
RRj
R
I
p
p
++−
−−−−= (9.34)
Po uproszczeniu wzoru otrzymuje si
26/33
kIZeR
RjI
pjp +
−−=− π
(9.35)
Jeli zaniedbamy impedancj wewntrzn amperomierza pomiarowego otrzymamy
3/22
πjp ekII = (9.36)
Wskazanie amperomierza filtru (moduł wartoci skutecznej zespolonej) jest wic równe
składowej przeciwnej prdów liniowych układu, z uwzgldnieniem przekładni k przekładnika
prdowego.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 9.1
250
W symetrycznym układzie trójfazowego generatora zamieniono kocówki fazy A.
Wyznaczy rozkład na składowe symetryczne układu napi fazowych takiego generatora,
jeli VE f 1000= .
Rozwizanie
Po uwzgldnieniu błdnego połczenia napicia fazy A rozkład napi fazowych
przedstawiony jest na rys. 9.7
Rys. 9.7. Wykres wektorowy napi generatora trójfazowego z zadania 9.1
Wartoci skuteczne zespolone napi fazowych s równe:
o
o
jC
jB
A
eE
eE
E
120
120
1000
1000
1000
=
=
−=−
Składowe symetryczne napi równaj si
( ) 67,66631
0 −=++= CBA EEEE
( ) 33,33331 2
1 =++= CBA EaaEEE
( ) 67,66631 2
2 −=++= CBA aEEaEE
251
Zadanie 9.2
Zmierzono nastpujce wartoci napi liniowych (midzyfazowych) w układzie
trójfazowym: V200=ABU , V400=BCU , V400=CAU . Wyznaczy składowe symetryczne
tych napi.
Rozwizanie
Na rys. 9.8 przedstawiono trójkt napi midzyfazowych z napiciem ABU jako podstaw.
Rys. 9.8 Trójkt napi midzyfazowych do zadania 9.2
Dla wyznaczenia wartoci skutecznych zespolonych tych napi naley wyznaczy kt ϕ
zaznaczony na rysunku. Z podstawowych zalenoci geometrycznych wynika, e
oarc 5,75400100
cos =
=ϕ
Wartoci skuteczne zespolone napi liniowych s wic równe
200=ABU
ojBC eU 5,104400 −=
252
ojCA eU 5,104400=
Składowa zerowa napi liniowych jest równa zeru, gdy układ tych napi tworzy trójkt
zamknity.
( ) 031
0 =++= CABCAB UUUU
Składowe symetryczne zgodna i przeciwna napi liniowych równaj si
( )=++= CABCAB UaaUUU 21 3
1323,63
( )=++= CBA aUUaUU 22 3
1-123,53
Rys. 9.9 przedstawia konstrukcj graficzn składowych zgodnej i przeciwnej napi
liniowych.
a)
253
b)
Rys. 9.9. Konstrukcja graficzna składowych symetrycznych: a) zgodnej,
b) przeciwnej napi liniowych
254
Lekcja 10. Metoda równa róniczkowych w analizie stanów nieustalonych
w obwodach
Wstp
W wyniku przełcze lub zmiany wartoci parametrów obwodu RLC powstaje w nim stan
nieustalony, charakteryzujcy si tym, e kształt odpowiedzi obwodu jest inny ni
wymuszenia. Na przykład przy stałym wymuszeniu odpowied jest zmienna wykładniczo,
bd sinusoidalnie. Z upływem czasu odpowiedzi tego typu zanikaj i ich charakter znów
odpowiada charakterowi wymuszenia. Z czasem powstaje wic nowy stan ustalony w
obwodzie o zmienionej strukturze na skutek przełczenia. W stanie nieustalonym obwodu
mona zaobserwowa interesujce zjawiska, które odgrywaj ogromn rol w praktyce.
Analiza tych zjawisk pozwala z jednej strony unikn pewnych niebezpieczestw zwizanych
z przepiciami, które mog wystpi w obwodzie a z drugiej strony wykorzysta te zjawiska
do generacji przebiegów zmiennych w czasie (np. generatory napi harmonicznych).
W tej lekcji zaprezentowane zostan podstawowe metody opisu obwodów RLC w
stanie nieustalonym przy zastosowaniu równa róniczkowych. Wprowadzona zostanie
metoda równa stanu oraz tak zwana metoda klasyczna. Równania stanu s zbiorem wielu
równa róniczkowych pierwszego rzdu zapisanych w postaci jednego równania
macierzowego BuAxx +=dtd
. Zmiennymi stanu tworzcymi wektor x s napicia
kondensatorów i prdy cewek, dla których obowizuj tak zwane prawa komutacji,
pozwalajce na wyznaczenie warunków pocztkowych w obwodzie.
W metodzie klasycznej zbiór równa róniczkowych pierwszego rzdu zostaje
zastpiony jednym równaniem róniczkowym wyszego rzdu wzgldem jednej zmiennej
stanu. Wprowadzone zostanie pojcie równania charakterystycznego oraz biegunów układu,
decydujcych o charakterze rozwizania obwodu w stanie nieustalonym.
255
10.1 Podstawowe pojcia stanów nieustalonych
Analizujc przebiegi czasowe procesów zachodzcych w obwodach elektrycznych naley
wyróni dwa stany:
• stan ustalony charakteryzujcy si tym, e posta odpowiedzi jest identyczna z postaci
wymuszenia (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne odpowied ustalona
jest równie sinusoidalna o tej samej czstotliwoci cho innej fazie pocztkowej i innej
amplitudzie)
• stan przejciowy, w którym przebiegi czasowe odpowiedzi maj inny charakter ni
wymuszenie (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie stałe odpowied obwodu jest
wykładniczo malejca czy oscylacyjna).
Stan nieustalony w obwodzie RLC powstaje jako nałoenie si stanu przejciowego (zwykle
zanikajcy) i stanu ustalonego przy zmianie stanu obwodu spowodowanego przełczeniem.
Moe on wystpi w wyniku przełcze w samym obwodzie pasywnym (zmiana wartoci
elementów, zwarcie elementu, wyłczenie elementu) lub w wyniku zmiany sygnałów
wymuszajcych (parametrów ródeł napiciowych i prdowych, w tym take załczeniem lub
wyłczeniem ródła). Dowoln zmian w obwodzie nazywa bdziemy komutacj. Zakłada
bdziemy, e czas trwania komutacji jest równy zeru, co znaczy e wszystkie przełczenia
odbywaj si bezzwłocznie.
W obwodach elektrycznych proces komutacji modeluje si zwykle przy pomocy
wyłczników i przełczników wskazujcych na rodzaj przełczenia. Chwil czasow
poprzedzajc bezporednio komutacj oznacza bdziemy w ogólnoci przez −0t (w
szczególnoci przez −0 ), natomiast chwil bezporednio nastpujc po komutacji przez +0t
(w szczególnoci przez +0 ), gdzie 0t jest chwil przełczenia (komutacji).
10.2 Prawa komutacji
10.2.1 Własnoci energetyczne cewki i kondensatora
Przejcie z jednego stanu ustalonego do drugiego, powstajcego na skutek komutacji, musi
uwzgldni zasad zachowania energii. Odnosi si ona do elementów gromadzcych energi
elektryczn, w tym do kondensatora i cewki. Powstanie stanów nieustalonych w obwodzie
jest wic cile zwizane z właciwociami gromadzenia energii w elementach
256
reaktancyjnych obwodu (cewce i kondensatorze). Warto energii nagromadzonej w polu
magnetycznym cewki o strumieniu Ψ oraz prdzie Li jest opisana wzorem
LL iW Ψ=21
(10.1)
Przy załoeniu, e warto indukcyjnoci L cewki pozostaje niezmieniona w wyniku
przełczenia, wobec LLi=Ψ wzór na energi cewki moe by uproszczony do postaci
2
21
LL LiW = (10.2)
Podobnie warto energii nagromadzonej w polu elektrycznym kondensatora zawierajcego
ładunek q i naładowanego do napicia Cu wynosi
CC quW21= (10.3)
Przy załoeniu, e warto pojemnoci C kondensatora pozostaje niezmieniona w wyniku
przełczenia i wobec CCuq = wzór na energi kondensatora moe by uproszczony do
postaci
2
21
CC CuW = (10.4)
Z zasady zachowania energii wynika, e energia cewki i kondensatora nie moe zmieni
swojej wartoci w sposób skokowy. Z zasady cigłoci energii w obwodzie wynikaj tzw.
prawa komutacji, które mówi o cigłoci strumienia i prdu w cewce oraz o cigłoci
ładunku i napicia na kondensatorze. Prawo dotyczce cewki nazywa bdziemy pierwszym
prawem, a dotyczce kondensatora – drugim prawem komutacji.
10.2.2 Pierwsze prawo komutacji
Strumie skojarzony cewki nie moe ulec skokowej zmianie na skutek przełczenia w
obwodzie, co oznacza, e strumie ten w chwili tu przed komutacj jest równy strumieniowi
257
w chwili tu po komutacji, co mona zapisa w postaci (w równaniu przyjto, e komutacja
zachodzi w chwili t0=0)
)0()0( +− Ψ=Ψ (10.5)
Uwzgldniajc, e strumie skojarzony z cewk jest równy LLi=Ψ , przy niezmienionej
wartoci indukcyjnoci pierwsze prawo komutacji mona równie zapisa w postaci
)0()0( +− = LL ii (10.6)
Jest to najczciej w praktyce uywana posta pierwszego prawa komutacji w odniesieniu do
cewki.
10.2.3 Drugie prawo komutacji
Ładunek zgromadzony na kondensatorze nie moe zmieni si w sposób skokowy na skutek
komutacji, co oznacza, e ładunek ten w chwili tu przed komutacj jest równy ładunkowi w
chwili tu po komutacji, co mona zapisa w postaci
)0()0( +− = qq (10.7)
Uwzgldniajc, e ładunek zgromadzony na kondensatorze jest równy CCuq = , przy
niezmienionej wartoci pojemnoci kondensatora, drugie prawo komutacji mona równie
zapisa w postaci
)0()0( +− = CC uu (10.8)
Ostatnia posta prawa komutacji dotyczca napicia na kondensatorze jest najczciej
uywana w praktyce.
Naley zaznaczy, e prawa komutacji dotycz wyłcznie prdu (strumienia) cewki i
napicia (ładunku) kondensatora. Inne wielkoci zwizane z tymi elementami (prd
kondensatora, napicie cewki) jak równie prd i napicie na rezystorze nie s zwizane
bezporednio zalenociami energetycznymi i mog zmienia si w sposób skokowy podczas
258
komutacji. Wartoci jakie przybieraj tu po komutacji wynikaj bd z praw Kirchhoffa bd
z prawa Ohma.
Przy załoeniu, e chwil komutacji uwaa bdziemy za chwil pocztkow analizy
obwodu w stanie nieustalonym ( 00 =t ) istotnym problemem w analizie obwodu jest
wyznaczenie warunków pocztkowych procesu, czyli wartoci napi na kondensatorach i
prdów cewek w chwili przełczenia (u nas )0( −Li oraz )0( −
Cu ). Zwykle przyjmuje si, e
przełczenie nastpuje ze stanu ustalonego obwodu. Warunki pocztkowe wynikaj wówczas
z wartoci ustalonych tych wielkoci w chwili tu przed przełczeniem −= 00t . Warunki
pocztkowe mog by przy tym zerowe, jeli prdy wszystkich cewek i napicia wszystkich
kondensatorów w chwili przełczenia miały wartoci zerowe. Znajomo warunków
pocztkowych w obwodzie jest niezbdna przy wyznaczaniu rozwizania obwodu w stanie
nieustalonym.
Wyznaczenie stanu pocztkowego napicia kondensatora i prdu cewki w obwodzie
sprowadza si do
• rozwizania stanu ustalonego obwodu przed przełczeniem (przy wymuszeniach
sinusoidalnych metod symboliczn),
• okrelenia postaci czasowej tego rozwizania dla prdu cewki )(tiL i napicia
kondensatora )(tuC oraz
• wyznaczenia wartoci tego rozwizania odpowiadajcego chwili czasowej przełczenia (u
nas )0( −Li oraz )0( −
Cu ).
10.3 Opis stanowy obwodu RLC
Wykorzystujc opis ogólny elementów RLC oraz prawa Kirchhoffa łatwo pokaza, e liniowe
obwody elektryczne RLC w stanach nieustalonych mog by opisane przez równania
róniczkowe i całkowe. Porzdkujc te równania i eliminujc zmienne nie bdce prdami
cewek i napiciami kondensatorów mona uzyska tak zwan posta kanoniczn opisu w
postaci układu równa róniczkowych, który mona przedstawi nastpujco
259
)(...
..................
)(...
)(...
2211
222221212
112121111
tfxaxaxadt
dx
tfxaxaxadt
dx
tfxaxaxadt
dx
nnnnnnn
nn
nn
++++=
++++=
++++=
(10.9)
Zmienne 1x , 2x , .., nx wystpujce w równaniach oznaczaj prdy cewek lub napicia
kondensatorów (tzw. zmienne stanu). W opisie obwodu operuje si zwykle minimalnym
zbiorem zmiennych stanu, które s niezbdne dla wyznaczenia pozostałych wielkoci w
obwodzie. Liczba zmiennych stanu n zaley od liczby reaktancji w obwodzie i jest najczciej
równa (w szczególnych przypadkach mniejsza) sumie liczby kondensatorów i cewek
włczonych w obwodzie. Stałe współczynniki aij wystpujce w równaniu (10.9) stanowi
kombinacje wartoci parametrów R, L, C, M elementów pasywnych obwodu oraz parametrów
ródeł sterowanych. Funkcje czasu f1(t), f2(t), ..., fn(t) zwizane s z wymuszeniami
napiciowymi i prdowymi w obwodzie. Przedstawiony powyej układ równa mona
zapisa w postaci macierzowej
+
⋅
=
)(...
)()(
......
..................
...
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
tf
tf
tf
x
x
x
aaa
aaa
aaa
dtdx
dtdxdt
dx
nnnnnn
n
n
n
(10.10)
W przypadku obwodów liniowych funkcje fi(t) wystpujce po prawej stronie wzoru s
liniowymi funkcjami wymusze prdowych i napiciowych. Oznaczajc wymuszenia
prdowe bd napiciowe w ogólnoci przez ui mona te funkcje zapisa przy pomocy
zalenoci macierzowej
⋅
=
mnmnn
m
m
n u
u
u
bbb
bbb
bbb
tf
tf
tf
......
..................
)(...
)()(
2
1
21
22221
11211
2
1
(10.11)
260
Jeli macierz zawierajc elementy aij oznaczymy jako A, macierz o elementach bij jako
macierz B, wektory zawierajce zmienne stanu przez x a wartoci wymusze przez u, to
równanie stanu opisujce obwód elektryczny mona przedstawi w postaci
)()()(
ttdt
td BuAxx += (10.12)
Jest to ogólna posta opisu stanowego obwodu liniowego RLC. Reprezentuje ona układ n
równa róniczkowych liniowych rzdu pierwszego. Elementy macierzy A i B zale
wyłcznie od wartoci parametrów obwodu. Elementy wektora u stanowi ródła niezalene
prdu i napicia w obwodzie. Zmienne stanu to niezalene napicia na kondensatorach i prdy
cewek.
10.4. Rozwizanie stanów nieustalonych w obwodach metod zmiennych stanu 10.4.1 Rozwizanie ogólne Jak zostało pokazane w punkcie poprzednim układ równa róniczkowych opisujcych
obwód elektryczny moe by przedstawiony w postaci macierzowego równania stanu (10.12).
Jeli załoymy, e wektor stanu x(t) jest n-wymiarowy a wektor wymusze u(t) m-
wymiarowy, to macierz stanu A ma wymiar nn × , a macierz B mn× . Równanie (10.12)
nazywane jest macierzowym równaniem stanu obwodu elektrycznego. Rozwizanie tego
równania pozwala wyznaczy przebieg czasowy zmiennych stanu tworzcych wektor x(t).
Jeli dodatkowo interesuj nas inne zmienne w obwodzie, na przykład prdy i napicia
rezystorów, prdy kondensatorów czy napicia na cewkach to naley sformułowa drugie
równanie, tzw. równanie odpowiedzi y(t), które uzalenia poszukiwane wartoci od
zmiennych stanu i wymusze. Równanie to zapiszemy w postaci
)()()( ttt DuCxy += (10.13)
Równania (10.12) i (10.13) tworz par równa stanu
)()()(
)()()(
ttt
ttdt
td
DuCxy
BuAxx
+=
+= (10.14)
261
która w pełni opisuje stan obwodu przy załoeniu, e znane s warunki pocztkowe x0=x(t0),
gdzie t0 oznacza chwil przełczenia. W przypadku ogólnym rozwizanie równania stanu
przyjmuje posta
ττ dtetett
t
ttt
−− +=0
0 )()()( )(0
)( Buxx AA (10.15)
Zaleno powysza stanowi rozwizanie ogólne, które dla konkretnych wartoci funkcji
wymuszajcych zadanych wektorem u wyznacza rozwizanie czasowe dla zmiennych stanu.
We współczesnych metodach numerycznych równania stanu stanowi punkt wyjcia w
okrelaniu dokładnego rozwizania równa liniowych lub przyblionego dla
zlinearyzowanych równa stanu. S one równie bardzo wygodne w zastosowaniach
przyblionych metod całkowania równa róniczkowych ze wzgldu na to, e wszystkie
równania stanu s rzdu pierwszego, dla których istniej wyspecjalizowane metody
całkowania przyblionego.
W rozwizaniu (10.15) równania stanu wystpuj dwa człony, z których pierwszy jest
zaleny tylko od warunków pocztkowych niezerowych (energii zgromadzonej w cewkach i
kondensatorach), a drugi stanowi odpowied obwodu na wymuszenia tworzce wektor u(t).
Pierwsz cz nazywa bdziemy składow przejciow, a drug – składow wymuszon
(ustalon). Zaleno (10.15) moe wic by przedstawiona w postaci
)()()( ttt up xxx += (10.16)
W praktyce obliczenie składowej ustalonej według zalenoci (10.15), zwłaszcza przy
wymuszeniu sinusoidalnym, jest niezwykle uciliwe, gdy wymaga całkowania złoonych
funkcji macierzowych. W zamian mona wykorzysta fakt, e stan nieustalony jest
superpozycj stanu ustalonego i przejciowego, i w rozwizaniu stanu ustalonego zastosowa
metod symboliczn analizy obwodów, która pozwala wyznaczy rozwizanie w stanie
ustalonym bez operacji całkowania (patrz lekcja 4). W ten sposób stan nieustalony rozbity
zostaje na dwa niezalene od siebie stany: stan ustalony (składowa xu(t)), pochodzcy od
niezalenych wymusze, wyznaczany metod symboliczn oraz stan przejciowy (składowa
xp(t)), w którym te wymuszenia nie wystpuj (ródła napiciowe zwarte a prdowe
262
rozwarte). Zauwamy, e przy braku wymuszenia (u=0) obwód dla składowej przejciowej
opisuje si prostszym równaniem stanu
)(
)(t
dttd
pp Ax
x=
(10.17)
którego rozwizanie nie wymaga całkowania funkcji i dane jest w postaci
)()(0
)0( +−= tet ptt
p xx A (10.18)
Jeli dodatkowo przyjmiemy, e chwila przełczenia t0 oznacza pocztek liczenia czasu (t0=0)
to w naszym podejciu xp(t0+)=xp(0+). Zauwamy, e wartoci pocztkowe w obwodzie
dotycz chwili tu po przełczeniu, oznaczanej zwykle symbolem 0+. Przy rozbiciu stanu
nieustalonego na dwie składowe wymagane jest wic wyznaczenie wartoci xp(0+) dla
składowej przejciowej. Mona tego dokona korzystajc z praw komutacji, które tutaj
przepiszemy w postaci
)0()0()0()0( +++− +== pu xxxx (10.19)
Przy znanych wartociach )0( −x oraz )0( +ux z zalenoci (10.19) mona wyznaczy warto
)0( +px , jako
)0()0()0( +−+ −= up xxx (10.20)
W tej sytuacji rozwizanie równania stanu (10.17) mona przedstawi w postaci
)0()( += pt
p et xx A
(10.21)
w której warto )0( +px jest okrelona zalenoci (10.20). Do okrelenia rozwizania w
stanie przejciowym naley wyznaczy jeszcze macierz eAt, w której wykładnik jest macierz
a nie skalarem. Dla obliczenia eAt naley w pierwszej kolejnoci obliczy wartoci własne
macierzy stanu A.
263
10.4.2 Wartoci własne i wektory własne macierzy kwadratowej
Załómy, e A jest macierz kwadratow stopnia n. Macierz (s1-A) nazywana jest macierz
charakterystyczn A, przy czym 1 oznacza macierz jednostkow stopnia n, to jest macierz
diagonaln 1=diag(1, 1,..., 1). Wyznacznik macierzy charakterystycznej det(s1-A) nazywamy
wielomianem charakterystycznym macierzy, a równanie
det(s1-A)=0 (10.22)
nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Równanie to po rozwiniciu
wyraenia wyznacznika przyjmuje posta wielomianu n-tego stopnia
0... 011
1 =++++ −− asasas n
nn (10.23)
Pierwiastki tego równania s1, s2, ..., sn nazywamy wartociami własnymi macierzy A. Mog
one przyjmowa wartoci rzeczywiste lub zespolone, pojedyncze lub wielokrotne. Z kad
wartoci własn si skojarzony jest wektor własny xi o niezerowej wartoci i wymiarze n,
spełniajcy równanie
iii s xAx = (10.24)
Jeli wszystkie wartoci własne s róne to na podstawie równania (10.24) mona napisa n
równa liniowych o postaci
nnn s
s
s
xAx
xAxxAx
=
==
...............222
111
(10.25)
z rozwizania których mona wyznaczy wszystkie wektory własne xi.
Przykład 10.1
Dla macierzy stanu
264
−−−−
=3122
A
wyznaczy wartoci i wektory własne
Rozwizanie
Równanie charakterystyczne
0453122
1001
det)det( 2 =++=
−−−−
−
=− ssss A1
Pierwiastki tego równania bdce wartociami własnymi A s równe s1=-4 oraz s2=-1.
Wektory własne spełniaj relacj (10.25), która w naszym przypadku przyjmie posta
−=
−−−−
−=
−−−−
22
12
22
12
21
11
21
11
13122
43122
x
x
x
x
x
x
x
x
Powyszym równaniom odpowiadaj cztery równania skalarne o postaci
222212
122212
212111
112111
3
22
43
422
xxx
xxx
xxx
xxx
−=−−−=−−
−=−−−=−−
Biorc pod uwag, e dwa sporód nich s zalene, dwie zmienne mona przyj dowolnie,
na przykład x11=1 oraz x21=1. Z rozwizania pozostałych 2 równa otrzymuje si wektory
własne o postaci
−=
=
12
,11
21 xx
Przykład 10.2
Napisa układ równa stanu dla obwodu elektrycznego przedstawionego na rys. 10.1
265
Rys. 10.1. Schemat obwodu do przykładu 10.2
Rozwizanie
Z praw Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rys. 10.1 wynikaj nastpujce równania
CL
LCC
iii
uuRie
−=++=
Biorc pod uwag, e
dtdi
Lu LL =
oraz
dt
duCi C
C =
równania Kirchhoffa mona przekształci do równowanej postaci równa róniczkowych
iidt
duC
udt
diLiiRe
LC
CL
L
−=
++−= )(
które przyjmuj uporzdkowan form odpowiadajc postaci (10.9)
iC
iCdt
du
iLR
eL
uL
iLR
dtdi
LC
CLL
11
11
−=
++−−=
266
Równania powysze mona zapisa w postaci zalenoci macierzowej równania stanu, w
której zmiennymi stanu s prd cewki i napicie kondensatora.
−+
−−
=
i
e
C
LR
Lu
i
C
LLR
dtdudtdi
C
L
C
L
10
1
01
1
Wektor stanu x jest równy
=
C
L
u
ix
a wektor wymusze
=
i
eu .
Obwód liniowy zawierajcy dwa elementy reaktancyjne (cewka i kondensator) opisuje si
wic macierzowym równaniem stanu drugiego rzdu. Macierz stanu A jest macierz równie
drugiego rzdu o współczynnikach uzalenionych od wartoci rezystancji, pojemnoci oraz
indukcyjnoci. Macierz B zawiera dwa wiersze (liczba zmiennych stanu) oraz dwie kolumny
(liczba wymusze w obwodzie). Przyjmujc w analizie wartoci liczbowe obwodu: R=2Ω,
L=1H, C=1F otrzymuje si macierz stanu A o postaci
−−=
0112
A
Równanie charakterystyczne tej macierzy jest równe
120112
00
det)det( 2 ++=
−−−
=− ss
s
ss A1
Wartoci własne (pierwiastki równania charakterystycznego) s w tym przypadku sobie
równe i wynosz 121 −== ss . Dla rozwaanego obwodu RLC s one połoone w lewej
półpłaszczynie zmiennej zespolonej s na ujemnej osi rzeczywistej.
267
10.4.3 Wyznaczanie macierzy eAt
Kluczem do wyznaczenia rozwizania obwodu w stanie przejciowym metod zmiennych
stanu jest okrelenie macierzy eAt. Istnieje wiele metod rozwizania tego zadania. Tutaj
przedstawimy trzy z nich: metod Lagrange’a-Sylvestera, diagonalizacji macierzy oraz
Cayleya-Hamiltona. W kadej z nich wymagane jest wyznaczenie wartoci własnych si
macierzy A.
Metoda Lagrange’a-Sylvestera
W metodzie tej macierz eAt wyznacza si z prostej zalenoci podanej w postaci jawnej
( )
( )
∏
∏=
≠
≠
−
−=
n
rn
rtrt
n
rtt
tst
ss
see r
1
A1A (10.26)
Z analizy powyszego wzoru widoczne jest, e metoda Lagrange’a-Sylvestera obowizuje
jedynie dla przypadku wartoci własnych pojedynczych (przy wartociach wielokrotnych
mianownik zalenoci staje si zerowy).
Metoda diagonalizacji macierzy
W metodzie diagonalizacji macierzy zastpuje si obliczenie macierzy eAt poprzez
transformacj macierzy A do postaci diagonalnej D o tych samych wartociach własnych.
Diagonalna macierz D posiada prost form macierzow eDt, bdc równie macierz
diagonaln o postaci
=
ts
ts
ts
t
ne
e
e
e
000............000000
2
1
D (10.27)
Mnoc obustronnie równanie stanu dx/dt = Ax przez nieosobliw macierz U przekształca
si je do postaci d(Ux)/dt = UAx. Wprowadmy nowy wektor v = Ux. Wówczas oryginalne
równanie stanu przekształca si do postaci okrelonej wzgldem v, przy czym
nadobowizkowe
268
Dvv =dtd
(10.28)
gdzie D jest macierz diagonaln okrelon wzorem D=UAU-1 o wartociach diagonalnych
równych wartociom własnym macierzy A. Macierz przekształcenia U naley tak dobra,
aby spełniona była równo UA=DU. Zaleno ta reprezentuje sob układ równa
liniowych. Rozwizanie równania stanu (19.28) dane jest w prostej formie
)0()( vv Dtet = (10.29)
Biorc pod uwag, e v=Ux, po wstawieniu tej zalenoci do równania (10.29) otrzymuje
si )0()( UxUx Dtet = , co pozwala napisa wyraenie na x(t) w postaci
)0()( 1 UxUx Dtet −= (10.30)
Oznacza to, e macierz eAt została okrelona wzorem
UU DA tt ee 1−= (10.31)
Zauwamy, e powysza metoda prowadzi do wyniku wyłcznie dla pojedynczych wartoci
własnych macierzy A, podobnie jak metoda Lagrange’a-Sylwestera.
Metoda Cayleya-Hamiltona
Zgodnie z t metod macierz eAt rozwija si w szereg skoczony o n składnikach (n – stopie
macierzy A)
1110 ... −
−+++= nn
t aaae AA1A (10.32)
Dla pełnego okrelenia rozwizania naley wyznaczy wszystkie współczynniki ai (i = 0, 1,...,
n-1) rozwinicia (10.32).
W przypadku pojedynczych wartoci własnych nieznane współczynniki wyznacza si z
rozwizania układu n równa skalarnych, wynikajcych z twierdzenia Cayleya-Hamiltona.
Zgodnie z tym twierdzeniem kada macierz kwadratowa spełnia swoje równanie
269
charakterystyczne. Oznacza to w praktyce, e równanie (10.32) musi by spełnione równie
przez wartoci własne macierzy A (macierz A jest zastpiona w tym równaniu przez kolejne
wartoci własne skalarne). W przypadku pojedynczych wartoci własnych prowadzi to do
układu n równa z n niewiadomymi o postaci
1110
121210
111110
...
. . . . . . . . . . . . . . . . .
...
...2
1
−−
−−
−−
+++=
+++=
+++=
nnnn
ts
nn
ts
nn
ts
sasaae
sasaae
sasaae
n
(10.33)
Rozwizanie powyszego układu równa wzgldem współczynników ai pozwala okreli
pełn posta macierzy eAt według wzoru (10.32).
Wzór Cayleya-Hamiltona obowizuje równie dla wielokrotnych wartoci własnych,
przy czym ubytek równa w zbiorze (10.33) wynikajcy z wielokrotnoci wartoci
własnych uzupełnia si analogicznymi równaniami obowizujcymi dla pochodnych
wzgldem wartoci własnej wielokrotnej. Przykładowo, jeli k-ta warto własna sk
wystpuje podwójnie, wówczas obowizuj dla niej dwie równoci Cayleya-Hamiltona o
postaci
2
121
1110
)1(...2
...
−−
−−
−+++==
+++=
nknk
ts
k
ts
nknk
ts
sansaateds
de
sasaae
kk
k
(10.34)
W ten sposób brakujce równanie w układzie (10.33) zostaje zastpione równaniem dla
pochodnej i układ równa pozostaje rozwizywalny.
Przykład 10.3
Obliczanie macierzy eAt zilustrujemy na przykładzie macierzy stanu A o podwójnej
wartoci własnej. Macierz stanu dana jest w postaci
−−=
0224
A
Rozwizanie
270
Równanie charakterystyczne macierzy A
044)det( 2 =++=− sss A1
Wartoci własne s pierwiastkami równania charakterystycznego i równaj si s1=s2=-2
(pierwiastek podwójny). Wobec podwójnej wartoci własnej macierz eAt wyznaczymy
stosujc metod Cayleya-Hamiltona. Zgodnie z t metod dla macierzy stopnia n=2 mamy
A1A10 aae t +=
Wartoci współczynników ai wyznaczymy rozwizujc układ równa
11
110
11
1
ateds
de
saae
tsts
ts
==
+=
Po wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si
1
2
102 2
ate
aaet
t
=
−=−
−
Rozwizanie wzgldem współczynników a0 i a1 pozwala uzyska
t
tt
tea
teea2
1
220 2
−
−−
=
+=
Po wstawieniu tych wartoci do wzoru na eAt otrzymuje si
( ) ( )( )
+−−=
−−+
+= −−−
−−−−−−
ttt
ttttttt
teete
teteeteteee
222
222222
2222
0224
1001
2A
10.4.4 Obliczanie stanu nieustalonego w obwodzie metod zmiennych stanu
Jak zostało przedstawione na wstpie najwygodniejsz metod obliczenia przebiegów
czasowych w stanie nieustalonym metod zmiennych stanu jest rozdzielenie stanu
nieustalonego po przełczeniu w obwodzie na stan ustalony i przejciowy. Stan ustalony
okrelany jest metod symboliczn, a stan przejciowy metod zmiennych stanu. W ten
nadobowizkowe
271
sposób unika si trudnego problemu całkowania złoonych zalenoci matematycznych. W
efekcie rozwizanie stanu nieustalonego w obwodzie składa si z nastpujcych etapów.
• Okrelenie warunków pocztkowych w obwodzie przed przełczeniem. W praktyce
oznacza to wyznaczenie prdów cewek i napi kondensatorów w obwodzie w stanie
ustalonym (np. metod symboliczn), przejcie na posta czasow tych rozwiza i
okrelenie wszystkich wartoci prdów cewek i napi kondensatorów w chwili
przełczenia. Wartoci pocztkowe iL(0-) oraz uC(0-) utworz wektor stanu x w chwili
pocztkowej 0-.
• Okrelenie stanu ustalonego w obwodzie po przełczeniu (np. metod symboliczn). W
wyniku otrzymuje si wartoci ustalone prdów cewek iLu(t) i napi kondensatorów
uCu(t). Wartoci te tworz wektor xu(t) w stanie ustalonym.
• Okrelenie stanu przejciowego w obwodzie po przełczeniu. Obwód dla stanu
przejciowego powstaje po odrzuceniu wszystkich ródeł wymuszajcych niezalenych
(zwarcie ródeł napicia e(t) oraz rozwarcie ródeł prdowych i(t)), od których
odpowied w stanie ustalonym została ju obliczona. Obwód taki opisuje si równaniem
stanu o postaci dxp/dt=Axp którego rozwizanie okrelone jest zalenoci (10.21) przy
warunkach pocztkowych okrelonych dla składowej przejciowej zmiennych stanu.
Oznacza to konieczno okrelenia dla kadej cewki i kondensatora wielkoci iLp(0+)
oraz uCp(0+). Korzystajc z równania (10.20) otrzymuje si
)0()0()0(
)0()0()0(+−+
+−+
−=
−=
LuLLp
CuCCp
iii
uuu (10.35)
Po okreleniu warunków pocztkowych dla składowej przejciowej mona z zalenoci
(10.21) wyznaczy pełne rozwizanie obwodu w stanie przejciowym.
• Rozwizanie całkowite obwodu składa si z czci ustalonej i przejciowej. Mona je
zapisa w postaci
)()()(
)()()(
tititi
tututu
LpLuL
CpCuC
+=
+= (10.36)
co odpowiada zapisowi macierzowemu dla zmiennych stanu x(t)=xu(t)+xp(t).
272
Przykład 10.4
Rozpatrzmy stan nieustalony w obwodzie RLC przedstawionym na rys. 10.2a po
przełczeniu. Dane elementów: R=5, L=2H, C=0,5F, e(t)=6V (napicie stałe).
a) b)
Rys. 10.2 Obwód RLC do przykładu 10.4: a) obwód wyjciowy, b) posta obwodu do
wyznaczenia stanu przejciowego
Rozwizanie
Warunki pocztkowe w postaci prdu cewki i napicia na kondensatorze oblicza si na
podstawie stanu ustalonego przed przełczeniem. Przy stałym wymuszeniu w obwodzie (=0)
cewka stanowi zwarcie a kondensator przerw. Oznacza to, e prd płyncy w obwodzie jest
równy iL(t)=6/10=0,6A. Std iL(0-)=0,6. Napicie na kondensatorze (przed przełczeniem
pozostaje poza obwodem) jest zerowe, std uC(0-)=0. Po przełczeniu powstaje obwód złoony z szeregowego połczenia elementów R, L i
C. W stanie ustalonym wobec =0 kondensator stanowi przerw i prd ustalony w takim
obwodzie nie płynie, iLu(t)=0 a napicie kondensatora uCu(t)=6. Oznacza to, e warunki
pocztkowe dla składowej ustalonej dane s w postaci: iLu(0+)=0 oraz uCu(0+)=6.
Wyznaczenie stanu przejciowego rozpoczniemy od warunków pocztkowych dla
tego stanu. Warunki pocztkowe dla stanu przejciowego okrelone s w postaci (patrz
równanie (10.35))
660)0()0()0(
6,006,0)0()0()0(
−=−=−=
=−=−=+−+
+−+
CuCCp
LuLLp
uuu
iii
273
Std warunki pocztkowe dla stanu przejciowego mona zapisa w postaci wektorowej
−=
= +
++
66,0
)0(
)0()0(
Cp
Lpp u
ix
Równania stanu przejciowego dotycz obwodu bez wymusze zewntrznych (ródło
napiciowe zwarte) przedstawionego na rys. 10.2b. Z prawa napiciowego Kirchhoffa po
uwzgldnieniu równa elementów obwodu otrzymuje si nastpujce równania róniczkowe
dt
duCi
uRidt
diL
CpLp
CpLpLp
=
=++ 0
Po uporzdkowaniu tych równa otrzymuje si równanie macierzowe stanu w postaci
−−=
−−=
Cp
Lp
Cp
Lp
Cp
Lp
u
i
u
i
C
LLR
dt
dudt
di
025,05,2
01
1
z którego wynika, e macierz stanu A jest równa
−−=
025,05,2
A
Równanie charakterystyczne dla macierzy A dane jest w postaci
015,2)det( 2 =++=− sss A1
Wartoci własne s pierwiastkami równania charakterystycznego i równaj si s1=-2, s2=-0,5.
Macierz eAt wyznaczymy stosujc metod Sylvestera. Zgodnie z t metod
( )( )
( )( ) 2/3
225,05.0
2/35,02
5,02
5,02
21
1
12
2 21
−
−−+
−−=
−−+
−−= −− tttstst ee
sss
ess
see
A1A1A
Po wykonaniu odpowiednich operacji matematycznych otrzymuje si
( ) ( )( ) ( )
+−+−−−= −−−−
−−−−
tttt
ttttt
eeee
eeeee
5,025,02
5,025,02
33,133,033,133,133,033,033,033,1A
274
Rozwizanie okrelajce wektor stanu w stanie przejciowym oblicza si z zalenoci
−+−== −−
−−+
tt
tt
pt
pee
eeet
5,02
5,02
2,72,18,12,1
)0()( xx A
Całkowite rozwizanie obwodu w stanie nieustalonym mona wic przedstawi w postaci
ttCpCuC
ttLpLuL
eetututu
eetititi5,02
5,02
2,72,16)()()(
8,12,1)()()(−−
−−
−+=+=
+−=+=
10.5 Metoda klasyczna rozwizania równa róniczkowych
W przypadku, gdy interesuje nas tylko jedna wybrana zmienna (jeden prd bd jedno
napicie w obwodzie) układ równa stanu pierwszego rzdu mona sprowadzi do jednego
równania róniczkowego n-tego rzdu wzgldem tej zmiennej
)(... 012
2
21
1
1 tfxadtdx
adt
xda
dtxd
adt
xda
n
n
nn
n
nn
n
n =+++++−
−
−−
−
− (10.37)
Rozwizanie powyszego równania róniczkowego, podobnie jak w metodzie zmiennych
stanu, mona przedstawi w postaci sumy dwu składowych: ustalonej )(txu wymuszonej
przez ródło oraz składowej przejciowej )(tx p , zwanej równie składow swobodn,
pochodzc od niezerowych warunków pocztkowych
)()()( txtxtx pu += (10.38)
Składowa wymuszona stanowi rozwizanie ustalone obwodu po komutacji i moe by
wyznaczona metod symboliczn. Składowa przejciowa charakteryzuje fizycznie procesy
zachodzce w obwodzie elektrycznym na skutek niezerowych warunków pocztkowych przy
braku wymusze zewntrznych. Odpowiada ona obwodowi, w którym wyeliminowano
wszystkie zewntrzne ródła wymuszajce (ródła napiciowe zwarte a prdowe rozwarte).
Składowa przejciowa zaley jedynie od warunków pocztkowych (napi
pocztkowych kondensatorów i prdów pocztkowych cewek), struktury obwodu i wartoci
275
parametrów tego obwodu. Dla obwodów elektrycznych zawierajcych elementy rozpraszajce
energi (rezystancje) składowa przejciowa, jak zostanie pokazane póniej, zanika z biegiem
czasu do zera. Równanie składowej przejciowej otrzymuje si zakładajc wymuszenie f(t)
we wzorze (10.37) równe zeru i zastpujc zmienn )(tx poprzez jej składow przejciow
)(tx p . Otrzymuje si wówczas równanie róniczkowe jednorodne o postaci
0... 012
2
21
1
1 =+++++−
−
−−
−
− pp
n
pn
nn
pn
nn
pn
n xadt
dxa
dt
xda
dt
xda
dt
xda (10.39)
Rozwizanie powyszego równania jednorodnego uzyskuje si za porednictwem równania
charakterystycznego
0... 012
21
1 =+++++ −−
−− asasasasa n
nn
nn
n (10.40)
Jest to wielomian n-tego rzdu zmiennej zespolonej s o współczynnikach rzeczywistych ia .
Jest on identyczny z równaniem charakterystycznym otrzymanym dla zmiennych stanu.
Pierwiastki is (i=1, 2, ..., n) tego wielomianu stanowi bieguny układu, identyczne z
wartociami własnymi macierzy stanu A. W tym punkcie ograniczymy si jedynie do
przypadku biegunów pojedynczych. Przy takim załoeniu rozwizanie równania (10.39) dla
składowej przejciowej zapiszemy w postaci
tsn
iip
ieAtx =
=1
)( (10.41)
W rozwizaniu tym współczynniki iA s stałymi całkowania, które naley wyznaczy
wykorzystujc znajomo warunków pocztkowych w obwodzie (napi kondensatorów i
prdów cewek w chwili komutacji t=0). W tym celu naley wyznaczy rozwizanie
równania (10.39) dla kadej składowej przejciowej zmiennej stanu )(tx pk oddzielnie, a
nastpnie rozwizanie całkowite )()()( txtxtx pkukk += dla k=1, 2, ..., n. Kada ze zmiennych
)(txk posiada znan warto rozwizania )0( −kx w chwili t=0 (warunki pocztkowe). Z
cigłoci prdów cewek i napi kondensatorów wynika nastpujca zaleno
276
)0()0()0( ++− += pkukk xxx (10.42)
Piszc t równo dla wszystkich n zmiennych stanu otrzymuje si n równa algebraicznych z
n nieznanymi współczynnikami iA . Z rozwizania tego układu wyznacza si wszystkie
współczynniki iA i podstawia do wzoru ogólnego (10.41). Po wyznaczeniu rozwizania
obwodu dla składowej ustalonej i przejciowej rozwizanie całkowite równania (10.37) jest
sum obu rozwiza czstkowych, to znaczy
)()()( txtxtx pu += (10.43)
Powysza procedura rozwizania stanu nieustalonego w obwodzie poprzez rozwizanie
układu równa róniczkowych wyszego rzdu nosi nazw metody klasycznej. Przy
wikszej liczbie zmiennych jest ona do uciliwa w obliczeniach, gdy wymaga
pracochłonnego wyznaczania rozwiza dla kadej składowej przejciowej zmiennych stanu.
Dlatego w praktyce stosuje si zwykle tylko do równa pierwszego rzdu. W tej pracy
zastosujemy j do rozwizania stanu nieustalonego w obwodzie RL oraz RC przy załczeniu
napicia stałego.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 10.1
Wyznaczy warunki pocztkowe w obwodzie przedstawionym na rys. 10.3. Parametry
elementów obwodu s nastpujce: L=1H, C=0,5F, R=1Ω, )45sin(210)( otte += V,
)45sin(2)( otti −= A.
Rys. 10.3. Schemat obwodu do zadania 10.1
277
Rozwizanie
Warunki pocztkowe dotycz stanu ustalonego przed przełczeniem, w którym w obwodzie
działaj oba ródła wymuszajce. Stosujc metod symboliczn analizy obwodu otrzymujemy ojeE 4510=
ojeI 45
22 −=
1=ω
1jLjZL == ω
2/ jCjZC −=−= ω
Równania obwodu:
( )LLL IIRIZE ++=
oj
LL e
ZRRIE
I 31,1121,7=+−=
ojCC eIZU 135
24 −==
)31,11sin(221,7)( oL tti +=
)135sin(4)( oC ttu −=
Warunki pocztkowe:
2)0( =−Li
22)0( −=−Cu
Zadanie 10.2
Napisa równanie stanu dla obwodu o strukturze przedstawionej na rys. 10.4.
278
Rys. 10.4. Schemat obwodu do zadania 10.2
Rozwizanie
Z praw Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rysunku wynika
dtdi
Lute
dtdu
Citi
LC
CL
−=
+=
)(
)(
Po przekształceniach tych równa otrzymujemy
[ ]
[ ])(1
)(1
teuLdt
di
itiCdt
du
CL
LC
−=
−=
Równanie stanu:
⋅
−+
⋅
−=
)()(
0/1/10
0/1/10
ti
te
L
C
i
u
L
C
dtdidt
du
L
C
L
C
Zadanie 10.3
Napisa równanie stanu obwodu o strukturze przedstawionej na rys. 10.5.
279
Rys. 10.5 Schemat obwodu do zadania 10.3
Rozwizanie
Z równa Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rys. 10.5 otrzymuje si
dt
duCi
dt
duC
Ridtdi
Lu
uute
CL
C
LL
C
CC
21
2
21
21
)(
+=
+=
+=
Po wyznaczeniu 1Cu z równania pierwszego i przekształceniu powstałych równa
otrzymujemy
[ ]
+−+
=
−=
dttde
CiCCdt
du
RiuLdt
di
LC
LCL
)(1
1
121
2
Posta macierzowa równa stanu:
dttde
CCCte
u
i
CC
LLR
dt
dudtdi
C
L
C
L
)(0)(
00
01
1
21
1
21
22
++⋅
+
⋅
+−
−=
Jak wida pomimo trzech elementów reaktancyjnych w obwodzie, równanie stanu jest
drugiego rzdu. Wynika to z faktu, e napicie jednego kondensatora jest liniowo zalene od
280
napicia ródła i napicia na drugim kondensatorze. W wyniku redukcji liczby zmiennych
stanu równania stanu s zalene od pochodnej funkcji wymuszenia.
281
Lekcja 11. Stany nieustalone w obwodach RL i RC
Wstp
Dla zrozumienia istoty stanu nieustalonego rozpatrzymy zjawiska jakie towarzysz procesowi
komutacji w najprostszych obwodach zawierajcych cewk bd kondensator. Oba
wymienione elementy reaktancyjne gromadz energi. Prawo zachowania energii wymusza
pewien stan przejciowy zachodzcy pomidzy stanami ustalonymi przed i po przełczeniu. Musi
upłyn pewien czas trwania stanu przejciowego, w którym stan nieustalony przejdzie w
ustalony.
W tej lekcji analiz stanu nieustalonego przeprowadzimy przy zastosowaniu metody
klasycznej. Podamy opisy róniczkowe obwodów RL i RC oraz ich rozwizania w dziedzinie
czasu. Przebiegi prdów i napi w obwodach zawierajcych jeden element reaktancyjny s
typu wykładniczego, scharakteryzowanego przez stał czasow, decydujc o czasie trwania
stanu nieustalonego. Pokaemy wpływ stałej czasowej na przebiegi czasowe w obu
obwodach.
11.1 Stan nieustalony w szeregowym obwodzie RL przy załczeniu napicia stałego
Jako pierwszy przykład zastosowania metody klasycznej rozpatrzymy stan nieustalony w
obwodzie szeregowym RL przy zerowych warunkach pocztkowych i załczeniu napicia
stałego jak to zostało w symboliczny sposób przedstawione na rys. 11.1. Zerowe warunki
pocztkowe obwodu oznaczaj, e 0)0( =−Li .
Rys. 11.1. Obwód szeregowy RL przy załczeniu napicia stałego
282
Po przełczeniu w obwodzie RL powstaje stan nieustalony, który po okrelonym
czasie prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego wynikajcego z nowego układu
połcze elementów. Stan nieustalony jest superpozycj stanu ustalonego i przejciowego.
Stan ustalony w obwodzie RL przy wymuszeniu stałym oznacza, e cewka stanowi
zwarcie (rys. 11.2a).
Rys. 11.2. Posta obwodu RL do obliczenia składowej a) ustalonej i b) przejciowej
Na podstawie napiciowego prawa Kirchhoffa prd ustalony tej cewki jest równy
REtiLu /)( = (11.1)
Przechodzc do obliczenia stanu przejciowego naley wyeliminowa zewntrzne ródło
zasilajce. Poniewa jest to ródło napiciowe, naley go zewrze. Schemat obwodu dla stanu
przejciowego po zwarciu ródła zasilajcego, dla którego odpowied została włanie
obliczona, ma posta przedstawion na rys. 11.2b. Stosujc prawo napiciowe Kirchhoffa dla
tego obwodu przy uwzgldnieniu
dt
diLu Lp
Lp = (11.2)
otrzymuje si równanie róniczkowe jednorodne (brak wymuszenia) dla składowej
przejciowej o postaci
0=+ LpLp Ri
dt
diL (11.3)
283
Równanie charakterystyczne odpowiadajce powyszemu równaniu róniczkowemu
przyjmuje posta
0=+ RLs (11.4)
Równanie to posiada tylko jeden pierwiastek
LR
s −=1 (11.5)
Wykorzystujc wzór (10.41) rozwizanie stanu przejciowego dla prdu w obwodzie RL
zapiszemy w postaci
RLt
Lp eAi /1
−= (11.6)
w której współczynnik 1A jest nieznan stał całkowania. Rozwizanie całkowite obwodu jest
sum składowej ustalonej i przejciowej. W zwizku z powyszym prd cewki okrelony jest
nastpujcym wzorem
RLt
LpLuL eARE
tititi /1)()()(
−+=+= (11.7)
Z prawa komutacji dla cewki wynika, e )0()0( +− = LL ii , std wobec 0)0( =−Li otrzymuje
si
10 ARE += (11.8)
oraz
REA /1 −= (11.9)
Std rozwizanie okrelajce przebieg prdu cewki w stanie nieustalonym przyjmuje posta
284
−=
−RL
t
L eRE
ti /1)( (11.10)
Wprowadzajc pojcie stałej czasowej τ obwodu RL
RL /=τ (11.11)
rozwizanie na prd cewki w stanie nieustalonym mona zapisa w postaci
−=
−τt
L eRE
ti 1)( (11.12)
Jednostk stałej czasowej jest sekunda (jednostk indukcyjnoci jest 1H = 1Ωs a
jednostk rezystancji 1Ω). Łatwo wykaza, e po upływie trzech stałych czasowych ( τ3=t )
prd cewki uzyskuje prawie 95% swojej wartoci ustalonej a po 5 stałych czasowych a
99,3%. Oznacza to, e praktycznie po 5 stałych czasowych stan nieustalony w obwodzie
zanika przechodzc w stan ustalony.
Na rys. 11.3 przedstawiono przebiegi prdu cewki dla rónych wartoci stałej
czasowej.
Rys. 11.3. Przebieg prdu cewki w stanie nieustalonym
285
Jest to przebieg typu wykładniczego, w którym stan przejciowy trwa tym dłuej im dłusza
jest stała czasowa. Praktycznie po 5 stałych czasowych stan przejciowy w obwodzie zanika
przechodzc w stan ustalony.
Stał czasow obwodu RL mona wyznaczy na podstawie zarejestrowanego
przebiegu nieustalonego bez znajomoci wartoci rezystancji i indukcyjnoci. Zauwamy, e
dla τ=t prd cewki przyjmuje warto
RE
eRE
iL 632,0)1()( 1 =−= −τ (11.13)
Oznacza to, e warto prdu RE
ti tL 632,0)( ==τ wyznacza na osi odcitych warto stałej
czasowej. Sposób wyznaczania stałej czasowej zilustrowany jest na rys. 11.4.
Rys. 11.4. Ilustracja sposobu wyznaczania stałej czasowej na podstawie zarejestrowanego
przebiegu prdu cewki
Wyznaczenie rozwizania na prd w stanie nieustalonym w obwodzie RL pozwala na
okrelenie przebiegu czasowego pozostałych wielkoci w obwodzie. Korzystajc z zalenoci
definicyjnej cewki dtdi
Lu LL = otrzymuje si
286
RLt
LL Ee
dttdi
Ltu /)()(
−== (11.14)
Przebieg napicia na cewce w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym RL
przedstawiono na rys. 11.5.
Rys. 11.5. Przebieg napicia na cewce w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym RL
Napicie na rezystorze R, jak wynika z prawa Ohma, jest proporcjonalne do prdu
−==
−RL
t
LR eEtRitu /1)()( (11.15)
i ma kształt identyczny z przebiegiem prdu w obwodzie przedstawionym na rys. 11.3.
11.2 Stan nieustalony w gałzi szeregowej RC przy załczeniu napicia stałego
Rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie szeregowym RC przy zerowych warunkach
pocztkowych i załczeniu napicia stałego (rys. 11.6).
287
Rys. 11.6. Załczenie napicia stałego do obwodu szeregowego RC
Wobec braku zasilania w obwodzie przed przełczeniem w warunki pocztkowe obwodu s
zerowe, co oznacza, e 0)0( =−Cu .
Po przełczeniu powstaje w obwodzie stan nieustalony, który po pewnym czasie
prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego. Stan nieustalony obwodu jest superpozycj
stanu ustalonego i przejciowego. Stan ustalony w obwodzie RC przy wymuszeniu stałym
(ω=0) oznacza, e kondensator stanowi przerw (rys. 11.7a).
Rys. 11.7 Schemat obwodu RC dla składowej a) ustalonej, b) przejciowej
Zgodnie z prawem napiciowym Kirchhoffa napicie ustalone kondensatora jest równe
EtuCu =)( (11.16)
Schemat obwodu dla stanu przejciowego (po zwarciu ródła zasilajcego, dla którego
odpowied została włanie obliczona) ma posta przedstawion na rys. 11.7b. Stosujc prawo
napiciowe Kirchhoffa dla tego obwodu i uwzgldniajc, e dt
duCi Cp
Cp = , otrzymuje si
równanie róniczkowe jednorodne o postaci
288
0=+ CpCp u
dt
duRC (11.17)
Równanie charakterystyczne odpowiadajce mu przyjmuje wic posta
01 =+RCs (11.18)
Równanie to posiada jeden pierwiastek RCs /11 −= . W zwizku z powyszym jego
rozwizanie wynikajce ze wzoru (10.41) przyjmie uproszczon posta
RCt
tsCp eAeAu
−== 11
1 (11.19)
W rozwizaniu tym współczynnik 1A jest stał całkowania, któr naley wyznaczy
korzystajc z prawa komutacji. Rozwizanie całkowite bdce sum składowej ustalonej i
przejciowej przybiera wic posta
RCt
CpCuC eAEtututu−
+=+= 1)()()( (11.20)
Z prawa komutacji dla kondensatora wynika, e )0()0( +− = CC uu , std wobec 0)0( =−Cu
otrzymuje si
10 AE += (11.21)
oraz
EA −=1
Rozwizanie czasowe okrelajce przebieg napicia na kondensatorze przyjmuje wic posta
−=
−RCt
C eEtu 1)( (11.22)
289
Wprowadzajc pojcie stałej czasowej τ obwodu RC jako iloczynu rezystancji R i
pojemnoci C
RC=τ (11.23)
rozwizanie na napicie kondensatora w stanie nieustalonym mona zapisa w postaci
−=
−τt
C eEtu 1)( (11.24)
Jak łatwo sprawdzi podstawow jednostk stałej czasowej w obwodzie RC jest równie
sekunda (jednostk rezystancji jest 1Ω = 1V/A, a jednostk pojemnoci jest 1F = 1As/V). Na
rys. 11.8 przedstawiono przebiegi napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym
−=
−τt
C eEtu 1)( dla rónych wartoci stałej czasowej.
Rys. 11.8. Przebiegi napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym przy rónych stałych
czasowych
290
Im dłusza stała czasowa tym dłuej trwa stan przejciowy w obwodzie (zanikanie zmian
napicia do zera).
Łatwo wykaza, e po upływie 3 stałych czasowych ( τ3=t ) napicie uzyskuje prawie
95% swojej wartoci ustalonej a po 5 stałych czasowych a 99,3%. Oznacza to, e
praktycznie po 5 stałych czasowych stan nieustalony w obwodzie zanika przechodzc w stan
ustalony.
Stał czasow mona wyznaczy bezporednio na podstawie zarejestrowanego
przebiegu nieustalonego bez znajomoci wartoci rezystancji i pojemnoci, podobnie jak to
miało miejsce w przypadku obwodu RL. Zauwamy, e dla τ=t napicie na kondensatorze
przyjmuje warto
EeEuC 632,0)1()( 1 =−= −τ (11.25)
Oznacza to, e napicie Etu tC 632,0)( ==τ wyznacza na osi odcitych warto stałej
czasowej. Ilustruje to rys. 11.9.
Rys. 11.9. Wyznaczanie stałej czasowej obwodu RC na podstawie przebiegu czasowego
napicia kondensatora
291
Po okreleniu funkcji opisujcej przebieg napicia na kondensatorze mona okreli przebieg
czasowy prdu w obwodzie. Korzysta si przy tym z zalenoci definicyjnej kondensatora
dtdu
Ci CC = , zgodnie z któr
RCt
cC e
RE
dttdu
Cti−
==)(
)( (11.26)
Przebieg prdu ładowania kondensatora w stanie nieustalonym w obwodzie RC dla rónych
stałych czasowych przedstawia rys. 11.10.
Rys. 11.10. Przebieg prdu ładowania kondensatora w obwodzie RC
W chwili komutacji wystpuje skokowa zmiana wartoci prdu (prd kondensatora nie jest
objty komutacyjnym prawem cigłoci). Przebieg prdu kondensatora dy do wartoci
ustalonej zerowej (w stanie ustalonym kondensator stanowi przerw dla prdu). Stała czasowa
zmian tego prdu jest identyczna jak napicia i równa RC=τ .
Zadania sprawdzajce
Zadanie 11.1
292
Okreli przebieg czasowy napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym w obwodzie
przedstawionym na rys. 11.11. Zastosowa metod klasyczn. Przyj nastpujce wartoci
parametrów: R=10kΩ, C=10µF, mA2)( == Iti .
Rys. 11.11. Schemat obwodu do zadania 11.1
Rozwizanie
Warunki pocztkowe w obwodzie wynikaj ze stanu ustalonego obwodu przed
przełczeniem, który wobec wymuszenia stałego ma posta uproszczon przedstawion na
rys. 11.12.
Rys. 11.12. Schemat obwodu w stanie ustalonym przed przełczeniem dla wymuszenia
stałego
VIRutu CC 20)0()( === −
Stan ustalony w obwodzie po przełczeniu dotyczy obwodu przedstawionego na rys. 11.13.
293
Rys. 11.13. Schemat obwodu w stanie ustalonym po przełczeniu
VIRutu CuCu 102/)0()( === +
Stan przejciowy dotyczy obwodu po przełczeniu przedstawionego na rys. 11.14
Rys. 11.14 Schemat obwodu w stanie przejciowym po przełczeniu
Równania róniczkowe obwodu:
005,0
02
=+
=+
dt
duu
dt
duRCu
CpCp
CpCp
Równanie charakterystyczne:
200005.01 1 −=→=+ ss
Rozwizanie równania róniczkowego:
t
Cp Aetu 200)( −=
Rozwizanie całkowite obwodu
t
CpCuC Aetututu 20010)()()( −+=+=
Z prawa komutacji dla kondensatora wynika równo
294
101020)0()0( =→+=→= +− AAuu CC
Posta rozwizania ostatecznego:
( )tC etu 200110)( −+=
Stała czasowa obwodu jest wic równa s05,0200/1 ==τ
Zadanie 11.2
Okreli przebieg czasowy prdu cewki w stanie nieustalonym w obwodzie przedstawionym
na rys. 11.15. Zastosowa metod klasyczn. Przyj nastpujce wartoci parametrów:
R=2Ω, R1=5Ω, , L=2H, )sin(220)( tte =
Rys. 11.15. Schemat obwodu do zadania 11.2
Rozwizanie
Warunki pocztkowe dotycz obwodu przedstawionego na rys. 11.16.
Rys. 11.16. Schemat obwodu do wyznaczania warunków pocztkowych
295
Stosujc do tego obwodu metod symboliczn otrzymuje si kolejno
1=ω
2jLjZL == ω
112222
jjj
Z RL +=+⋅=
( )oj
LRL
RLL e
ZZRZ
EI 5,54
1
32,2 −=+
=
)5,54sin(232,2)( oL tti −=
67,2)0( −=−Li
Wobec odłczenia ródła podczas przełczenia stan ustalony w obwodzie po przełczeniu jest
zerowy, std
0)0(0)( =→= +LuLu iti
Stan przejciowy dotyczy obwodu z rys. 11.17
Rys. 11.17 Schemat obwodu do wyznaczenia składowej przejciowej
Równanie róniczkowe obwodu:
02
2
1
1 =+
+ LpLp i
RRRR
dt
diL
Po wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si
296
065 =+ Lp
Lp idt
di
Równanie charakterystyczne
65
065
1 −=→=+ ss
Rozwizanie równania róniczkowego
t
Lp Aeti 6/5)( −=
Wobec braku składowej ustalonej rozwizanie to jest jednoczenie rozwizaniem pełnym.
Std
t
LpL Aetiti 6/5)()( −==
Z praw komutacji wynika
=→= +− Aii LL )0()0( -2,67
Rozwizanie pełne obwodu przyjmuje wic posta
t
L eti 6/567,2)( −−=
297
Lekcja 12. Metoda operatorowa Laplace’a
Wstp
Opis obwodów elektrycznych w stanie nieustalonym poprzez układ równa róniczkowych
jest wygodn form analizy przy zastosowaniu metod numerycznych. W przypadku
analizowania zjawisk zachodzcych w tych obwodach z zastosowaniem metod analitycznych
metoda ta jest mudna przy duej liczbie elementów indukcyjnych i pojemnociowych i std
jej zastosowanie ograniczone jest praktycznie do rzdu n=2. W takich przypadkach znacznie
wygodniejsze jest zastosowanie metod operatorowych, z których najwaniejsza to metoda
operatorowa Laplace’a. Rachunek operatorowy jako alternatywa do metody klasycznej polega
na algebraizacji równa róniczkowych opisujcych dany obwód. W ten sposób układ równa
róniczkowych zostaje zastpiony układem równa algebraicznych typu funkcyjnego.
Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operacj rozwizywania równa
róniczkowych zastpujc j rozwizaniem układu równa algebraicznych. Istota
przekształcenia Laplace’a polega na tym, e kadej funkcji czasu f(t) okrelonej dla t>0
odpowiada pewna funkcja F(s) okrelona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, kadej
funkcji F(s) odpowiada okrelona funkcja czasu f(t).
W tej lekcji omówimy podstawy rachunku operatorowego Laplace’a. Przedstawione
zostan definicje przekształcenia prostego i odwrotnego oraz podstawowe własnoci
przekształcenia. Podamy przykłady obliczania transformat prostej i odwrotnej, ilustrujce
istot transformacji Laplace’a.
12.1 Wiadomoci podstawowe dotyczce rachunku operatorowego Laplace’a
Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operacj rozwizywania równa
róniczkowych zastpujc j rozwizaniem układu równa algebraicznych. Istota
przekształcenia Laplace’a polega na tym, e kadej funkcji czasu f(t) okrelonej dla t>0
odpowiada pewna funkcja F(s) okrelona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, kadej
funkcji F(s) odpowiada okrelona funkcja czasu f(t). Funkcj f(t) nazywamy oryginałem i
oznaczamy mał liter. Funkcj F(s) nazywamy transformat funkcji okrelon w dziedzinie
298
zmiennej zespolonej s i oznaczamy du liter. Zmienna s jest nazywana czstotliwoci
zespolon, przy czym ωσ js += , gdzie oznacza pulsacj.
W elektrotechnice najczciej uywane jest jednostronne przekształcenie Laplace’a,
okrelone par równa:
∞
−==0
)()()( dtetftfLsF st (12.1)
∞+
∞−
−
⋅==
jc
jc
stdsesFj
sFLtf )(2
1)()( 1
π (12.2)
w których c jest bliej nieokrelon stał warunkujc połoenie granic całkowania w
obszarze zbienoci transformaty. Pierwsze z równa definiuje proste przekształcenie
Laplace’a przyporzdkowujce oryginałowi transformat zmiennej zespolonej s, a drugie
przekształcenie odwrotne dokonujce transformacji odwrotnej, czyli wyznaczajce funkcj
oryginału na podstawie F(s). Zakładamy przy tym, e funkcja f(t) jest funkcj czasu, zadan
dla t>0 i równ 0 dla t<0 oraz, e nie ronie szybciej ni funkcja wykładnicza. Proste
przekształcenie Laplace’a okrelone wzorem (12.1) dokonuje transformacji funkcji czasu f(t)
na funkcj F(s) zmiennej zespolonej s. Przekształcenie odwrotne okrelone wzorem (12.2)
dokonuje transformacji funkcji zespolonej F(s) na funkcj czasu f(t). Wzór ten pełni jedynie
rol definicji i w praktyce nie uywa si go do wyznaczania transformaty odwrotnej,
wykorzystujc w zamian własnoci transformat Laplace’a.
Przykład 12.1
Wyznaczymy z definicji transformat Laplace’a funkcji stałej f(t)=A. Z definicji (12.1)
transformaty otrzymuje si
sA
esA
dteAALsF stst =
−===∞∞
−−
00
)(
Przykład 12.2
299
Jako drugi przykład wyznaczymy transformat Laplace’a funkcji wykładniczej atetf =)( ,
gdzie w ogólnoci βα ja += . Z zastosowania wzoru (12.1) otrzymuje si
( )∞
−−∞
−===
00
1)()( tsastat e
sadteetfLsF
Po wstawieniu granic całkowania i załoeniu, e sa < (warunek zbienoci cigu) otrzymuje
si
as
eL at
−= 1
Naley podkreli, e jednostronne przekształcenie Laplace’a jest okrelone w przedziale od
zera do nieskoczonoci, std posta funkcji dla czasu ujemnego nie ma adnego wpływu na
transformat Laplace’a.
Na przykład funkcja stała f(t)=1 oraz funkcja skoku jednostkowego f(t)=1(t)
(funkcja skokowa Heaviside’a) okrelona wzorem
00
01
)(1<≥
=t
t
dla
dlat (12.3)
maj identyczne transformaty Laplace’a, pomimo tego e dla t < 0 s inne (pierwsza równa 1
a druga równa 0) gdy w zakresie czasowym od zera do nieskoczonoci nie róni si
niczym.
Jakkolwiek definicja przekształcenia Laplace’a umoliwia obliczenie transformaty dla
dowolnej funkcji czasu, w obliczeniach inynierskich posługujemy si najczciej tablicami
transformat Laplace’a zebranymi w poradnikach matematycznych, wykorzystujc przy tym
podstawowe własnoci tego przekształcenia.
300
12.2 Podstawowe własnoci przekształcenia Laplace’a.
Z wielu istniejcych własnoci przekształcenia Laplace’a ograniczymy si tutaj do kilku
podstawowych, których znajomo jest konieczna do okrelenia stanów nieustalonych w
obwodach RLC.
12.2.1 Liniowo przekształcenia
Jeli współczynniki a1 i a2 s dowolnymi stałymi to
[ ] )()()()( 22112211 sFasFatfatfaL +=+ (12.4)
[ ] )()()()( 221122111 tfatfasFasFaL +=+− (12.5)
gdzie symbole L i 1−L oznaczaj odpowiednio transformaty: prost i odwrotn Laplace’a. Z
własnoci liniowoci przekształcenia wynika, e przekształcenie Laplace’a spełnia zasad
superpozycji.
Przykład 12.3
Dla zilustrowania uytecznoci twierdzenia o liniowoci przekształcenia Laplace’a
zastosujemy je do obliczenia transformaty funkcji cos(t). Korzystajc z definicji funkcji
cosinusoidalnej otrzymuje si
+=
−
2)cos(
tjtj eeLtL
ωω
ω
Skorzystamy tutaj z wyprowadzonego wczeniej wzoru na transformat funkcji wykładniczej.
Podstawiajc do odpowiedniego wzoru i stosujc zasad superpozycji otrzymuje si
22
1121
21
21
)cos(ωωω
ω ωω
+=
++
−=+= −
ss
jsjseLeLtL tjtj
12.2.2 Transformata pochodnej funkcji czasu
Transformata pochodnej funkcji czasu spełnia relacj
301
)0()()( +−=
fssFdt
tdfL (12.6)
W której )0( +f oznacza warto pocztkow funkcji f(t). Mnoenie funkcji F(s) przez
zmienn zespolon s odpowiada w dziedzinie czasu róniczkowaniu funkcji. Std operator s
nazywany jest operatorem róniczkowania.
12.2.3 Transformata całki funkcji czasu
Transformata całki funkcji czasu spełnia relacj
ssF
dttfLt )(
)(0
=
(12.7)
Pomnoenie funkcji F(s) przez 1/s odpowiada w dziedzinie czasu całkowaniu funkcji. Std
operator s-1 jest nazywany równie operatorem całkowania.
12.2.4 Przesunicie w dziedzinie czstotliwoci
Rozwamy przesunicie argumentu funkcji operatorowej Laplace’a. Oznacza to, e zamiast
transformaty F(s) bierzemy pod uwag funkcj F(s-a). Twierdzenie o przesuniciu argumentu
zmiennej zespolonej s mówi, e spełniona jest wówczas zaleno
)()( asFtfeL at −= (12.8)
Przesunicie argumentu zespolonego s transformaty o warto a odpowiada w dziedzinie
czasu pomnoeniu funkcji oryginału przez funkcj wykładnicz eat. Korzyci płynce z
powyszej własnoci zademonstrujemy na przykładzie wyznaczania transformaty odwrotnej
Laplace’a funkcji o przesunitym argumencie s.
Przykład 12.4
302
Naley wyznaczy odwrotn transformat Laplace’a funkcji F(s) zadanej w postaci
9)2(2
)( 2 +++=
ss
sF
W rozwizaniu problemu wykorzystamy ostatni własno przekształcenia w odniesieniu do
funkcji rozwaanej w przykładzie 12.3. Zgodnie z wynikami uzyskanymi w tym przykładzie
mamy 22cos(
ωω
+=
ss
tL przy wartoci = 3. Wprowadzajc przesunicie o warto a = 2
w dziedzinie zmiennej zespolonej s uzyskuje si zadan w tym przykładzie funkcj
operatorow Laplace’a. Oznacza to, e jej transformata odwrotna odpowiada funkcji
( )te at ωcos− . Std transformata odwrotna funkcji zadanej w przykładzie wynosi
( )tes
sL t 3cos
3)2(2 2
221 −− =
+++
Twierdzenie o przesuniciu pozwoliło uzyska transformat odwrotn Laplace’a bez
koniecznoci wykonywania operacji całkowania zadanej w definicji przekształcenia
odwrotnego.
12.2.5 Przesunicie w dziedzinie czasu
Transformata Laplace’a funkcji czasu o argumencie przesunitym wzgldem pocztku układu
współrzdnych spełnia nastpujc zaleno
[ ] )()(1)( sFeatatfL as−=−⋅− (12.9)
Przesunicie argumentu funkcji oryginalnej f(t) w dziedzinie czasu f(t-a)tf →)( odpowiada
w dziedzinie czstotliwoci pomnoeniu transformaty Laplace’a funkcji oryginalnej F(s)
(nieprzesunitej) przez funkcj wykładnicz ase− .
Własno powysza jest czsto wykorzystywana przy obliczaniu transformat
nietypowych funkcji jak równie przy analizie obwodów o wymuszeniach impulsowych.
303
Tutaj zilustrujemy jej uyteczno przy obliczaniu transformaty impulsu Diraca,
zwanej funkcj impulsow Diraca. Impulsem Diraca nazywamy wielko )(tδ o
nastpujcych własnociach.
000
)(=≠
∞=
t
t
dla
dlatδ (12.10)
oraz
∞
∞−
= 1)( dttδ (12.11)
Impuls Diraca przyjmuje warto nieskoczon tylko dla jednego punktu t = 0 a w
pozostałym zakresie ma warto zerow. Warto nieskoczona stwarza pewne trudnoci
obliczeniowe. Aby je przezwyciy wprowadza si jej aproksymacj w postaci
[ ])(1)(11
),( htth
ht −−=δ (12.12)
której wykres dla rónych wartoci h przedstawiony jest na rys. 12.1.
Rys. 12.1. Aproksymacja funkcji Diraca przez funkcj impulsow
304
Im mniejsza warto h tym bardziej funkcja aproksymujca zblia si swym wygldem do
funkcji Diraca. W granicy przy 0→h funkcja aproksymujca jest zbiena do rzeczywistej
funkcji Diraca. Transformata Laplace’a dla funkcji aproksymujcej jest dana w postaci
−= −shessh
htL111
,(δ (12.13)
Biorc pod uwag, e delta Diraca jest granic funkcji aproksymujcej otrzymuje si
1111
lim),(lim)(00
=
−== −
→→
sh
hhe
sshhtLtL δδ (12.14)
Transformata Laplace’a funkcji delty Diraca jest równa jednoci.
12.2.6 Transformata splotu
Splot stanowi wane pojcie w teorii obwodów, gdy za jego porednictwem okrela si
odpowiedzi czasowe obwodów rzeczywistych RLC. Splot dwu funkcji czasu f1(t) i f2(t)
oznaczony w postaci )()( 21 tftf ∗ jest zdefiniowany w nastpujcy sposób
−=−=∗tt
dftfdtfftftf0
210
2121 )()()()()()( ττττττ (12.15)
Transformata Laplace’a splotu jest równa zwykłemu iloczynowi transformat poszczególnych
funkcji tworzcych splot
[ ] )()()()( 2121 sFsFtftfL ⋅=∗ (12.16)
Powysza własno nosi w matematyce nazw twierdzenia Borela. Zauwamy, e mnoenie
splotowe dwu funkcji w dziedzinie czasu odpowiada zwykłemu mnoeniu ich transformat w
dziedzinie czstotliwoci. Własno ta jest szczególnie wygodna w analizie obwodów
zarówno w stanie ustalonym jak i nieustalonym. Zamiast mudnych operacji w dziedzinie
305
czasu wykonuje si transformacj Laplace’a funkcji czasowych a nastpnie wszystkie
operacje wykonuje na transformatach.
12.3 Przykłady transformat Laplace’a
Obliczanie transformat Laplace’a polega na zastosowaniu wzoru (12.1) przy zadanej funkcji
oryginału i przeprowadzeniu działa w nim okrelonych (całkowanie funkcji i wyznaczenie
wartoci na granicach całkowania). Przykłady wyznaczania transformaty Laplace’a dla
funkcji impulsowej Diraca, wartoci stałej, funkcji wykładniczej i cosinusoidalnej zostały
zaprezentowane na pocztku tej lekcji.
Obliczanie transformat dla wikszoci funkcji, zwłaszcza bardziej złoonych, nie jest
procesem łatwym i dlatego w praktyce inynierskiej najczciej posługujemy si tablicami
gotowych transformat Laplace’a, których ródło znale mona w wielu poradnikach
matematycznych jak równie podrcznikach powiconych rachunkowi operatorowemu. W
tablicy 12.1 zestawiono wybrane przykłady transformat Laplace’a szczególnie czsto
wykorzystywanych przy rozwizywaniu stanów nieustalonych w obwodach RLC. W dalszej
czci tej lekcji bd one wykorzystane do wyznaczania transformat odwrotnych Laplace’a
(funkcji czasu odpowiadajcych transformatom).
Tablica 12.1 Tablica wybranych transformat Laplace’a
f(t) F(s)
)(tδ 1
1(t) s1
te α− α+s1
)sin( tω 22 ω
ω+s
)cos( tω 22 ω+s
s
)sin( te t ωα− 22)( ωαω
++s
306
)cos( te t ωα− 22)( ωαα++
+s
s
Zawarto tablicy przedstawiajca zbiór funkcji czasu wraz z odpowiadajcymi im
transformatami moe słuy zarówno wyznaczaniu transformaty Laplace’a przy zadanej
funkcji czasu jak i działaniu odwrotnemu, to jest wyznaczeniu oryginału na podstawie zadanej
postaci transformaty. Przykładowo, jeli transformata dana jest wzorem
( ) 22 525
15)(++
=s
sF
to odpowiadajca mu funkcja oryginału odczytana z tablicy 12.1 ma posta
)5sin(15)( 2 tetf t−= .
W dalszej czci rozwaa podamy rozwinicie tej metody pozwalajce na wyznaczenie
transformaty odwrotnej dla dowolnej postaci funkcji wymiernej F(s) korzystajc z tablicy
12.1.
12.4 Wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace’a
Aby wyznaczy funkcj czasu f(t) na podstawie danej transformaty naley dokona
odwrotnego przekształcenia Laplace’a. Zaleno definicyjna okrelona wzorem (12.2) jest
raczej bezuyteczna ze wzgldu na konieczno całkowania złoonych zwykle funkcji, jak
równie na nieokrelone precyzyjnie granice całkowania (stała c w definicji nie jest dokładnie
okrelona). Najczciej korzysta si z porednich metod wyznaczania oryginału wynikajcych
z własnoci samego przekształcenia. Niezalenie od metody zastosowanej do wyznaczenia
oryginału, zakłada bdziemy, e transformata Laplace’a zadana jest w postaci wymiernej,
czyli ilorazu dwu wielomianów zmiennej zespolonej s o współczynnikach rzeczywistych.
01
11
011
1
......
)()(
)(asasas
bsbsbsbsMsL
sF nn
n
mm
mm
++++++++−= −
−
−− (12.17)
307
Dodatkowo przyjmiemy, e stopie licznika jest mniejszy ni stopie mianownika. Jeli
warunek powyszy byłby niespełniony, naley podzieli licznik przez mianownik tak, aby
wymusi spełnienie tego warunku. Sposób postpowania w takim przypadku zilustrujemy na
przykładzie.
Przykład 12.5
Dana jest transformata F(s) o postaci
4532
)( 2
23
+++++=
sssss
sF
Dzielc licznik przez mianownik według najwyszych potg otrzymuje si rozwinicie
funkcji na sum dwu składników potgowych zmiennej s oraz funkcj wymiern spełniajc
warunek, e stopie licznika jest mniejszy ni stopie mianownika
494
12)( 2 +++−+−=
sss
ssF
Przy obliczaniu transformaty odwrotnej powyszej zalenoci tylko ostatni (złoony) składnik
wymaga specjalnego postpowania. Składnik stały (-1) odpowiada funkcji impulsowej Diraca
a funkcja 2s odpowiada bdzie wartoci pochodnej funkcji Diraca pomnoonej przez dwa.
Istnieje wiele metod obliczania transformaty odwrotnej Laplace’a, wykorzystujcych
własnoci przekształcenia. Do najbardziej popularnych nale metoda residuów, rozkładu
funkcji wymiernej na ułamki proste, metoda Heaviside’a oraz metoda bazujca na
wykorzystaniu tablic transformat Laplace’a. Tutaj ograniczymy si do dwu najbardziej
uniwersalnych metod: metody residuów oraz metody tablicowej wykorzystujcej tablice
transformat Laplace’a.
12.4.1 Metoda residuów
Załómy, e funkcja wymierna F(s) zadana jest w postaci ilorazu dwu wielomianów zmiennej
zespolonej s, okrelona wzorem (12.17)
308
)()(
)(sMsL
sF = (12.18)
Pierwiastki licznika funkcji transformaty s nazywane zerami a pierwiastki mianownika
biegunami. Zauwamy, e bieguny s utosamione z pierwiastkami równania
charakterystycznego wystpujcego w metodzie klasycznej lub metodzie wartociami
własnymi macierzy stanu A. W metodzie residuów korzysta si z nastpujcego twierdzenia.
Twierdzenie
Jeeli funkcja F(s) jest ilorazem dwu wielomianów L(s) i M(s), przy czym stopie
wielomianu mianownika jest wyszy ni stopie wielomianu licznika (n>m) to oryginał
funkcji f(t) okrelony jest nastpujcym wzorem
[ ] [ ]=
=− =
n
i
stss esFressFL
i1
1 )()( (12.19)
Sumowanie odbywa si po wszystkich biegunach funkcji operatorowej F(s) niezalenie od
tego, czy bieguny s pojedyncze czy wielokrotne.
Residuum funkcji ][res wyznacza si korzystajc ze wzorów wynikajcych z
własnoci przekształcenia Laplace’a. W przypadku bieguna l-krotnego wzór jest nastpujcy
[ ] [ ]stlil
l
ssst
ss esssFdsd
lesFres
ii))((lim
)!1(1
)( 1
)1(
−−
= −
−
→= (12.20)
Szczególnie proste zalenoci otrzymuje si dla bieguna jednokrotnego is . W takim
przypadku l=1 i wzór na residuum ulega znacznemu uproszczeniu
[ ] [ ]stiss
stss esssFesFres
ii))((lim)( −= →= (12.21)
Wzór (12.19) wykorzystujcy residuum funkcji jest stosowalny dla dowolnych biegunów
funkcji F(s), w tym biegunów rzeczywistych, zespolonych, jednokrotnych i wielokrotnych.
Jednake przy biegunach zespolonych obliczenie residuum jest procesem do złoonym i
metoda nie jest konkurencyjna wzgldem innych.
309
Przykład 12.6
Jako pierwszy przykład rozpatrzmy wyznaczenie transformaty odwrotnej Laplace’a funkcji
F(s) danej wzorem
)3)(1(5
)(++
=ss
ssF
Zadana funkcja ma dwa bieguny: 11 −=s oraz 32 −=s . Wykorzystujc wzór (12.19)
otrzymuje si
[ ] [ ]stss
stss esFresesFrestf )()()(
21 == +=
Na podstawie wzoru (12.21) otrzymuje si
[ ] [ ] ttttstss
stss eeeeessFessFtf 331 5,75,2
)13()3(5
)31()1(5
)3)((lim)1)((lim)(21
−−−−→→ +−=
+−−⋅+
+−−⋅=+++=
Przykład 12.7
Funkcja operatorowa F(s) dana jest wzorem
)4()3(10
)( 2 ++=
sssF
Wystpuj 3 bieguny funkcji, z których jeden jest pojedynczy a dwa pozostałe równe sobie
(jeden biegun podwójny): s1=s2=-3, s3=-4. Wykorzystujc wzory (12.20) i (12.21) otrzymuje
si nastpujcy schemat oblicze
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] tttsts
sts
sts
sts
stss
stsss
eetees
esds
d
essFessFdsd
esFresesFrestf
433243
42
3
1010)3(
10lim
410
lim
)4)((lim)3)((lim)!12(
1
)()()(321
−−−−→−→
−→−→
===
+−=
++
+=
=+++−
=
=+=
310
12.4.2 Metoda wykorzystujca tablice transformat
Metoda residuów jakkolwiek koncepcyjnie bardzo prosta staje si mudna, jeli bieguny
układu s zespolone. Jest to szczególnie widoczne przy wysokich stopniach mianownika
transmitancji operatorowej. W takich przypadkach zwykle korzystniejsze jest zastosowanie
metody wykorzystujcej tablice transformat Laplace’a.
Przy korzystaniu z tablic transformat naley poprzez elementarne przekształcenia
doprowadzi dan transformat do postaci standardowej znajdujcej si w tablicy transformat
(u nas tablica 12.1) a nastpnie odczyta z niej oryginał. Jest ona szczególnie wygodna jeli
bieguny układu s zespolone, gdy w procesie przekształcania transformaty nie wystpuje
potrzeba wyznaczania tych biegunów a wszystkie obliczenia dokonywane s na wartociach
rzeczywistych. W praktyce przy stosowaniu tej metody transmitancj wyszych rzdów (n>2)
rozkłada si na składniki rzdu drugiego i wszystkie przekształcenia dokonuje na
wielomianach rzdu pierwszego lub drugiego. Id metody wyjanimy na przykładach
liczbowych
Przykład 12.8
Obliczy transformat odwrotn Laplace’a dla funkcji F(s) danej w postaci
11
)( 2 ++=
sssF
Wobec zespolonych pierwiastków mianownika wykorzystamy tablic transformat 12.1.
Porównanie postaci danej transformaty z danymi zawartymi w tablicy wskazuje, e naley j
doprowadzi do postaci transformaty odpowiadajcej funkcji sinusoidalnej tłumionej
wykładniczo (wiersz 6 w tablicy). Kolejno czynnoci jest tu nastpujca
( ) ( )22 4/35,0
4/33/4)(
++=
ssF
Porównanie tej postaci z wierszem szóstym tablicy 12.1 pokazuje, e 5,0=α a 4/3=ω .
Funkcja oryginału jest wic okrelona wzorem
311
)4/3sin(3/4)( 5,0 tetf t−=
Przykład 12.9
Jako przykład drugi rozpatrzymy transformat trzeciego rzdu o biegunach zespolonych.
)102)(1(3
)( 2 ++++=
ssss
sF
W tym przypadku przed zastosowaniem metody tablicowej naley najpierw rozłoy funkcj
zadan na składniki o rzdach nie wikszych ni drugi. Ogóln posta rozkładu zapiszemy w
nastpujcej formie
)102()1()( 2 ++
+++
=ss
CBss
AsF
Współczynniki A, B i C rozkładu naley wyznaczy w taki sposób, aby obie strony zalenoci
równały si sobie. Współczynnik A mona wyznaczy stosujc metod residuum, zgodnie z
któr
92
)1()(lim)(1
1 =+==−→
−= ssFsFresAs
s
Wobec zespolonych wartoci biegunów drugiego składnika rozkładu współczynniki B i C
najlepiej jest wyznaczy jako rónic funkcji zadanej F(s) i składnika pierwszego rzdu, to
jest
1022/7
92
)1(9/2
)102)(1(3
)102( 222 +++−=
+−
++++=
+++
sss
sssss
ssCBs
Std funkcja zadana F(s) moe by zapisana w postaci
312
1022/7
92
)1(9/2
)( 2 +++−
+=
sss
ssF
Ze wzgldu na liniowo przekształcenia Laplace’a transformata odwrotna sumy jest równa
sumie transformat odwrotnych kadego składnika oddzielnie. Pierwszy składnik sumy
odpowiada trzeciemu wierszowi tablicy 12.1. Std
tes
L −− =
+ 92
)1(9/21
Składnik drugi wymaga wykonania wstpnych przekształce doprowadzajcych jego posta
do wierszy szóstego i siódmego tablicy 12.1. W efekcie tych przekształce otrzymuje si
2222222 3)1(3
275
3)1()1(
92
3)1(6/53)1(
92
1022/7
92
++−−
+++−=
++⋅++−=
+++−
sss
ss
sss
Transformata odwrotna tego wyraenia moe by zatem zapisana w postaci
)3sin(275
)3cos(92
3)1(3
275
3)1()1(
92
1022/7
92
22221
21
tete
sss
Lss
sL
tt −−
−−
−−
=
++−
+++−=
+++−
Std na mocy twierdzenia o liniowoci transformata odwrotna Laplace’a zadanej funkcji F(s)
jest sum transformat odwrotnych obu składników rozkładu
)3sin(275
)3cos(92
92
)(1 teteesFL ttt −−−− −−=
Zadania sprawdzajce
Zadanie 12.1
Wyznaczy transformat odwrotn Laplace’a dla transmitancji operatorowej F(s)
313
)5)(2)(1(
1)(
+++=
ssssF
Rozwizanie
W rozwaanym przypadku wszystkie bieguny s rzeczywiste i pojedyncze. Ich wartoci s
równe: s1=-1, s2=-2, s3=-5. Najskuteczniejsz metod pozostaje w tym przypadku metoda
residuów, zgodnie z któr
st
sst
sst
s esFresesFresesFrestf )()()()( 521 −→−→−→ ++=
Warto funkcji residuum dla poszczególnych biegunów jest równa
tst
s
sts eessFesFres −
−→−→ =+=
41
)1)((lim)(1
1
tst
s
sts eessFesFres 2
22 3
1)2)((lim)( −
−→−→ −=+=
tst
s
sts eessFesFres 5
55 12
1)5)((lim)( −
−→−→ =+=
Sumujc poszczególne składniki otrzymujemy
ttt eeetf 52
121
31
41
)( −−− +−=
Zadanie 12.2
Wyznaczy transformat odwrotn Laplace’a dla transmitancji operatorowej F(s)
2)5)(3)(2()(
+++=
ssss
sF
314
Rozwizanie
W rozwaanym przypadku wszystkie bieguny s rzeczywiste, przy czym jeden z nich jest
podwójny. Ich wartoci s równe: s1=-2, s2=-3, s3=s4=-5. Najskuteczniejsz metod pozostaje
w tym przypadku metoda residuów, zgodnie z któr
st
sst
sst
s esFresesFresesFrestf )()()()( 532 −→−→−→ ++=
Warto funkcji residuum dla poszczególnych biegunów jest równa
tst
s
sts eessFesFres 2
22 9
2)2)((lim)( −
−→−→ −=+=
tst
s
sts eessFesFres 3
33 4
3)3)((lim)( −
−→−→ =+=
( ) ttst
s
sts teeessF
dsd
esFres 552
55 6
53619
)5)((lim)( −−
−→−→ −−=+=
Sumujc poszczególne składniki otrzymujemy
tttt teeeetf 5532
65
3619
43
92
)( −−−− −−+−=
Zadanie 12.3
Wyznaczy transformat odwrotn Laplace’a dla transmitancji operatorowej
)10(2
)( 2 +++=ss
ssF
Rozwizanie
W rozwaanym przypadku mamy do czynienia z biegunami zespolonymi, std przy
wyznaczaniu transformaty odwrotnej Laplace’a wygodniejsza jest metoda wykorzystujca
tablice transformat. W tym celu przekształcimy wyraenie transformaty do postaci
( )2224/39)5,0(
4/3939/45,1)5,0()10(
2)(
++
⋅⋅++=++
+=s
sss
ssF
315
Z porównania szóstego i siódmego wiersza w tablicy 12.1 z wyraeniem opisujcym zadan
transformat otrzymuje si
( ) ( )tetetf tt 4/39sin393
4/39cos)( 5,05,0 −− +=
316
Lekcja 13. Metoda operatorowa analizy stanów nieustalonych w obwodach
elektrycznych
Wstp
W metodzie operatorowej Laplace’a zastpuje si układ równa róniczkowych poprzez
układ równa algebraicznych zmiennej zespolonej s. Jakkolwiek bezporednie zastosowanie
transformacji Laplace’a do równa róniczkowych opisujcych obwód elektryczny pozwala
uzyska opis obwodu w dziedzinie operatorowej, najlepsz metod analizy obwodów w stanie
nieustalonym przy zastosowaniu przekształcenia Laplace’a jest okrelenie transformat prdów
i napi bezporednio na podstawie obwodu bez koniecznoci układania równa
róniczkowo-całkowych.
W tej lekcji wprowadzimy metod operatorow Laplace’a do analizy stanu
nieustalonego w obwodzie RLC bezporednio na podstawie struktury obwodu bez stosowania
równa róniczkowych. Podamy modele operatorowe rezystora, cewki i kondensatora.
Zostanie wprowadzona metoda superpozycji stanów ustalonego i przejciowego rozdzielajca
analiz obwodu w stanie ustalonym po przełczeniu od analizy w stanie przejciowym. Zalet
takiego podejcia jest znaczne uproszczenie oblicze, zwłaszcza przy wystpieniu ródeł
sinusoidalnych.
13.1 Modele operatorowe elementów obwodu
Aby uzyska bezporednie przetworzenie postaci oryginalnej obwodu na obwód w dziedzinie
operatorowej Laplace’a naley kady element obwodu zastpi odpowiednim modelem w
dziedzinie operatorowej. Tutaj podamy te modele dla trzech podstawowych elementów
obwodu RLC.
13.1.1 Rezystor
Prawo Ohma dotyczce wartoci chwilowych prdu i napicia dla rezystora mona zapisa w
postaci
)()( tRitu RR = (13.1)
317
Jest to równanie algebraiczne wice prd i napicie na zaciskach elementu. Stosujc
transformacj Laplace’a do obu stron równania otrzymuje si
)()( sRIsU RR = (13.2)
Jak wynika z powyszej zalenoci impedancja operatorowa dla rezystora jest równa samej
rezystancji RsZR =)( . Rys. 13.1 przedstawia model operatorowy rezystora, obowizujcy w
dziedzinie zmiennej zespolonej s.
Rys. 13.1. Model operatorowy rezystora
13.1.2 Cewka
Dla uzyskania modelu operatorowego cewki idealnej zastosujemy przekształcenie Laplace’a
bezporednio do równania opisujcego cewk w dziedzinie czasu
dt
tdiLtu L
L
)()( = (13.3)
i wykorzystamy własno dotyczc transformaty pochodnej. W efekcie otrzymuje si
)0()()( +−= LLL LissLIsU (13.4)
Powyszemu równaniu mona przyporzdkowa schemat obwodowy cewki w dziedzinie
operatorowej przedstawiony na rys. 13.2
318
Rys.13.2 Model operatorowy cewki idealnej
Jest to połczenie szeregowe impedancji operatorowej odpowiadajcej cewce idealnej i ródła
napiciowego. Zaciski A-B modelu odpowiadaj zaciskom A-B w oryginalnym symbolu
cewki. Impedancja sLsZL =)( jest impedancj operatorow cewki a )0( +LLi reprezentuje
ródło napicia stanowice integraln cz modelu.
13.1.3 Kondensator
Dla uzyskania modelu operatorowego kondensatora idealnego skorzystamy z jego opisu w
dziedzinie czasu
dt
duCti C
C =)( (13.5)
Zastosujemy przekształcenie Laplace’a do obu stron równania kondensatora. W efekcie takiej
operacji otrzymuje si
)0()()( +−= CCC CussCUsI (13.6)
Przepiszemy t zaleno w postaci
s
usI
sCsU C
C
)0()(
1)(
+
+= (13.7)
Równaniu powyszemu mona przyporzdkowa schemat operatorowy kondensatora
przedstawiony na rys. 13.3.
319
Rys. 13.3 Model operatorowy kondensatora idealnego
W modelu tym funkcja sC
Z C
1= reprezentuje impedancj operatorow kondensatora a
suC )0( +
- ródło napiciowe stanowice integraln cz modelu.
Modele operatorowe odpowiadajce podstawowym elementom obwodu pozwalaj
przyporzdkowa kademu obwodowi rzeczywistemu jego schemat zastpczy w dziedzinie
transformat. W schemacie tym niezerowe warunki pocztkowe uwzgldnione s poprzez
dodatkowe ródła napicia wystpujce w modelu operatorowym cewki i kondensatora. Taki
sposób podejcia do analizy stanu nieustalonego jest wygodny ze wzgldu na to, e
umoliwia napisanie równa (algebraicznych, funkcyjnych) w postaci operatorowej
bezporednio na podstawie schematu zastpczego bez potrzeby tworzenia równa
róniczkowych opisujcych obwód.
13.2 Prawa Kirchhoffa dla transformat
Dla schematu operatorowego obwodu słuszne s prawa Kirchhoffa, analogiczne do
praw obowizujcych w dziedzinie czasu.
Prawo prdowe
Suma transformat prdów w dowolnym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru
=
=n
kk sI
1
0)( (13.8)
320
Prawo napiciowe
Suma transformat napi gałziowych w dowolnym oczku obwodu elektrycznego jest równa
zeru
=
=n
kk sU
1
0)( (13.9)
W równaniach tych transformaty prdów i napi zastpiły wartoci czasowe wystpujce w
podstawowej wersji praw Kirchhoffa. Znaki prdów i napi wystpujcych w równaniach
(13.8) i (13.9) ustalane s w identyczny sposób jak w przypadku podstawowej wersji praw
Kirchhoffa podanych dla wielkoci rzeczywistych.
13.3 Obliczenia prdów i napi w obwodzie metod operatorow
Obliczenia prdów i napi w stanie nieustalonym obwodu metod operatorow
sprowadza si bd do wyznaczenia transformaty odpowiedniej wielkoci a nastpnie
obliczenia transformaty odwrotnej Laplace’a dla okrelenia zmiennej w dziedzinie czasu. Do
obliczenia transformat prdów i napi mona stosowa wszystkie poznane dotd metody
analizy obwodów, w tym metod równa Kirchhoffa, oczkow, potencjałów wzłowych,
Thevenina i Nortona operujce transformatami Laplace’a zamiast wartociami zespolonymi
czy wartociami w dziedzinie czasu (dla obwodu rezystancyjnego).
Podstawowymi zaletami metody operatorowej jest łatwo uwzgldnienia
niezerowych warunków pocztkowych (przez wprowadzenie ródeł napiciowych w modelu
operatorowym) oraz sprowadzenie operacji róniczkowych do działa algebraicznych.
W ogólnoci rozwizujc stan nieustalony w obwodzie metod operatorow naley
wyróni kilka etapów.
1. Okrelenie warunków pocztkowych w obwodzie, poprzez wyznaczenie rozwizania
ustalonego obwodu przed przełczeniem i obliczenie wartoci napi na kondensatorach i
prdów cewek w chwili −= 0t , to jest )0( −Li oraz )0( −
Cu
2. Okrelenie rozwizania obwodu w stanie ustalonym po przełczeniu przy zastosowaniu
metody symbolicznej z wykorzystaniem dowolnej metody analizy. Wynikiem jest posta
czasowa rozwizania ustalonego prdów cewek )(tiLu i napi kondensatorów )(tuCu .
321
Przez załoenie t=0 otrzymuje si wartoci prdów i napi w chwili pocztkowej, to jest
)0( +Lui oraz )0( +
Cuu .
3. Okrelenie rozwizania obwodu w stanie przejciowym po przełczeniu przy
zastosowaniu metody operatorowej. Dla otrzymania takiego rozwizania naley wykona
nastpujce etapy:
• utworzenie schematu obwodu dla składowej przejciowej poprzez wyeliminowanie
ródeł zewntrznych wymuszajcych (zwarcie ródeł napicia i rozwarcie ródeł
prdu); obwód rzeczywisty dla składowej przejciowej w dziedzinie czasu nie zawiera
adnych ródeł wymuszajcych
• okrelenie warunków pocztkowych dla składowej przejciowej przy wykorzystaniu
praw komutacji, zgodnie z którymi )0()0()0( ++− += pu xxx ; z równania tego wynikaj
nastpujce wzory na warunki pocztkowe dla składowych przejciowych prdu
cewki i napicia kondensatora
)0()0()0( +−+ −= LuLLp iii (13.10)
)0()0()0( +−+ −= CuCCp uuu (13.11)
• utworzenie schematu operatorowego obwodu w stanie przejciowym poprzez
zastpienie elementów rzeczywistych obwodu ich modelami operatorowymi dla
składowej przejciowej i rozwizanie obwodu wzgldem poszukiwanych prdów i
napi operatorowych
• wyznaczenie transformaty odwrotnej Laplace’a dla poszukiwanych wielkoci
przejciowych okrelonych w punkcie poprzednim; w wyniku otrzymuje si )(tiLp
oraz )(tuCp .
4. Rozwizanie obwodu w stanie nieustalonym jest sum składowej ustalonej oraz składowej
przejciowej, to jest
)()()( tititi LpLuL += (13.12)
)()()( tututu CpCuC += (13.13)
322
Składowa przejciowa zanika z czasem do zera i pozostaje jedynie składowa ustalona
okrelajca przebieg wielkoci w stanie ustalonym. Taka metodyka rozwizania stanów
nieustalonych przy zastosowaniu transformacji Laplace’a nosi nazw metody superpozycji
stanów, gdy rozdziela w sposób jawny stan ustalony od stanu przejciowego. Jest
szczególnie zalecana przy wymuszeniach sinusoidalnych, cho obowizuje równie dla
obwodów prdu stałego. Zalet takiego podejcia jest jej uniwersalno i stosowalno do
kadego obwodu liniowego RLC niezalenie od rodzaju wymuszenia (wymuszenia stałe lub
sinusoidalne maj jedynie wpływ na stan ustalony i s wyeliminowane przy rozwizywaniu
stanu przejciowego).
Naley podkreli, e rozbicie stanu nieustalonego na ustalony i przejciowy jest
zalecane jedynie przy istnieniu wymusze sinusoidalnych w obwodzie po przełczeniu. Jeli
ródła takie nie wystpuj schemat operatorowy moe dotyczy obwodu całkowitego, bez
rozbijania go na schemat dla składowej ustalonej i przejciowej. W takim przypadku
pozostawia si zewntrzne ródła wymuszajce w obwodzie przyjmujc ich model
operatorowy, czyli zastpujc posta czasow ródła (warto stała A przy wymuszeniu
stałym) przez funkcj sA
. Warunki pocztkowe równie nie podlegaj modyfikacji, co
oznacza, e )0()0( −+ = LL ii oraz )0()0( −+ = CC uu .
Przykład 13.1
Wyznaczy przebieg czasowy napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym w obwodzie
z rys. 13.4 po przełczeniu. Dane liczbowe parametrów obwodu s nastpujce:
Ω== 121 RR , HL 1= , FC 1= , 10)(2 =te V. ródło wymuszajce sinusoidalne dane jest w
nastpujcej postaci )4/sin(25)(1 π+= tte V.
323
Rys. 13.4. Schemat obwodu do przykładu 13.10.
Rozwizanie
W rozwizaniu problemu wyznaczymy najpierw warunki pocztkowe w obwodzie
rozwizujc stan ustalony przed przełczeniem. Poniewa przed przełczeniem w obwodzie
wystpowały dwa ródła: stałe i sinusoidalne w obliczeniu warunków pocztkowych (stan
ustalony przed przełczeniem) naley zastosowa metod superpozycji ródeł.
324
Rys. 13.5 Schematy obwodu: a) w stanie ustalonym przed przełczeniem (ródło
sinusoidalne), b) w stanie ustalonym przed przełczeniem (ródło stałe), c) w stanie
ustalonym po przełczeniu, d) schemat operatorowy dla składowej przejciowej
Schemat obwodu w stanie ustalonym przed przełczeniem przy wymuszeniu sinusoidalnym
przedstawiony jest na rys. 13.5a. Wobec rezonansu równoległego w gałzi LC prd
wydawany przez ródło jest równy zeru a napicie na tej gałzi jest równe napiciu ródła.
Std
)4/sin(25)()1( π+= ttuCu
Prd cewki (warto skuteczna zespolona) dany jest wzorem
4/4/
)1( 51
5 ππ
jj
Lu ej
eI −==
co odpowiada postaci czasowej
)4/sin(25)()1( π−= ttiLu
Uwzgldniajc ródło stałe e2(t) uzyskuje si znaczne uproszczenie obwodu (cewka dla prdu
stałego w stanie ustalonym stanowi zwarcie a kondensator przerw) jak to przedstawiono na
rys. 13.5b. Rozwizanie na prd cewki i napicie kondensatora ma wic posta:
0)()2( =tuCu
101
10)()2( ==tiLu
Dokonujc superpozycji obu rozwiza otrzymuje si
)4/sin(2510)()()( )2()1( π−+=+= ttititi LuLuLu
325
)4/sin(25)()()( )2()1( π+=+= ttututu CuCuCu
Std warunki pocztkowe s nastpujce: 5)0( =−Cu , 5)0( =−
Li .
Po przełczeniu w obwodzie pozostaje jedynie ródło sinusoidalne e1(t). Schemat
obwodu dla tego wymuszenia pokazany jest na rys. 13.5c. Z analizy tego obwodu wynika
nastpujca procedura rozwizania. Wobec rezonansu równoległego w gałzi LC prd
wydawany przez ródło jest równy zeru a napicie na tej gałzi jest równe napiciu ródła.
Std
)4/sin(25)( π+= ttuCu
Prd cewki (warto skuteczna zespolona) dany jest wzorem
4/45
51
5 πjj
Lu ej
eI −==
co odpowiada postaci czasowej
)4/sin(25)( π−= ttiLu
Stan pocztkowy dla składowej ustalonej prdu cewki i napicia kondensatora przyjmuje wic
nastpujce wartoci:
5)0( =+Cuu
oraz
5)0( −=+Lui
Warunki pocztkowe dla składowej przejciowej prdu i napicia s zatem równe:
0)0()0()0( =−= +−+CuCCp uuu
326
10)0()0()0( =−= +−+LuLLp iii
Schemat operatorowy obwodu przedstawiono na rys. 13.5d (ródło wewntrzne przy
kondensatorze nie wystpuje, bo 0)0( =+Cpu . Zastosowanie metody potencjałów wzłowych
do wyznaczenia postaci operatorowej rozwizania prowadzi do wyniku
15,0
105,0/1
/10)( 2 ++
−=++
−=ssss
ssUCp
Wobec zespolonych wartoci własnych (pierwiastków mianownika transformaty napicia) w
wyznaczaniu oryginału zastosujemy metod wykorzystujc tablice transformat. W zwizku z
powyszym transformat przedstawimy w postaci przekształconej
( )( ) ( )
( )( ) ( )22222
16/1525,0
16/1533,10
16/1525,0
15/161016/1515,0
10)(
++−=
++
⋅⋅−=++
−=ssss
sUCp
Powyszej funkcji operatorowej mona przyporzdkowa nastpujc posta czasow (patrz
wiersz szósty tablicy 12.1)
( )tetu tCp 16/15sin33,10)( 25,0−−=
Rozwizanie całkowite okrelajce napicie kondensatora jest sum składowej ustalonej i
przejciowej
( )tettututu tCpCuC 16/15sin33,10)4/sin(25)()()( 25,0−−+=+= π
Składowa przejciowa zanika z biegiem czasu ze stał czasow 4=τ i po około 5 stałych
czasowych pozostaje jedynie składowa ustalona sinusoidalna.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 13.1
327
Okreli przebieg napicia na kondensatorze w stanie nieustalonym po przełczeniu metod
operatorow w obwodzie przedstawionym na rys. 13.6. Przyj nastpujce parametry
obwodu:R1=50Ω, R2=100Ω, C1=10µF, C2=20µF, 50)(1 =te V, 100)(2 =te V.
Rys. 13.6 Schemat obwodu do zadania 13.1
Rozwizanie
Warunki pocztkowe:
50)0( 11 ==− euC
100)0( 22 ==− euC
Ze wzgldu na wymuszenie stałe nie zachodzi potrzeba stosowania metody superpozycji
stanu. Schemat operatorowy obwodu w stanie nieustalonym przedstawiony jest na rys. 13.7
Rys. 13.7 Schemat operatorowy obwodu
Z metody potencjałów wzłowych zastosowanych do obwodu z rys. 9.18 wynika
328
( ) ( )55
25
15
10210100/150/1
0102010100100
5050
)( −−
+−+−
+++
⋅+++=
ss
uusssU
CC
C
( )10003105,2250
)(5
+⋅+=
sss
sUC
Bieguny układu:
s1 = 0
s2 = -1000
Transformata odwrotna Laplace’a
st
Csst
CsC essUsesUtu )1000)((lim)(lim)( 10000 ++= −→→
tC etu 1000
350
3250
)( −+=
W stanie ustalonym przy ∞→t mamy 3
250)( =tuCu V.
Zadanie 13.2
Okreli prd cewki w stanie nieustalonym po przełczeniu w obwodzie przedstawionym na
rys. 13.8. Przyj nastpujce wartoci parametrów obwodu: R=2Ω , L=1H, C=1/4F,
)454sin(210)( otte += .
329
Rys. 13.8. Schemat obwodu do zadania 13.2
Rozwizanie
1) Warunki pocztkowe w obwodzie:
4=ω
25,2
4410 45
=+
=j
eI
oj
L
)4sin(5,2)( ttiL =
0)0( =−Li
0)0( =−Cu
2) Stan ustalony po przełczeniu w obwodzie (rys. 13.9)
Rys. 13.9. Schemat obwodu w stanie ustalonym po przełczeniu
330
oo
jj
Lu ejj
eI 31,11
45
77.2142
10 −=−+
=
ojLuCu eIjU 31,10177,21 −=⋅−=
)31,114sin(277,2)( oLu tti −=
)31,1014sin(277,2)( oCu ttu −=
76,0)0( −=+Lui
84,3)0( −=+Cuu
3) Stan przejciowy po przełczeniu
Schemat operatorowy przedstawiony jest na rys. 13.10.
Rys. 13.10 Schemat operatorowy obwodu po przełczeniu
Warunki pocztkowe dla stanu przejciowego:
76,0)0()0()0( =−= +−+LuLLp iii
84,3)0()0()0( =−= +−+CuCCp uuu
Posta operatorowa rozwizania
331
4284,376,0
/42/)0()0(
)( 2 ++−=
++−
=++
sss
ss
suLisI CpLp
Lp
Wobec zespolonych biegunów zastosujemy metod tablicow okrelenia transformaty
odwrotnej. Zgodnie z ni
( ) ( )22 31
33
16,4)1(76,0
)(++
⋅−+=
s
ssILp
)3sin(67,2)3cos(76,0)( teteti ttLp
−− −=
Rozwizanie całkowite na prd cewki w stanie nieustalonym
)3sin(67,2)3cos(76,0)31,114sin(277,2)()()( tetettititi ttoLpLuL
−− −+−=+=
332
Lekcja 14. Stan nieustalony w obwodzie RLC przy załczeniu napicia
stałego
Wstp
Jednym z najwaniejszych przypadków stanu nieustalonego s zjawiska powstajce w
obwodzie RLC zawierajcym jednoczenie cewk i kondensator. W obwodzie takim powstaj
godne uwagi zjawiska, które znalazły ogromne zastosowanie w wielu dziedzinach elektroniki
i elektrotechniki.
W tej lekcji zostanie przedstawiona analiza stanu nieustalonego w obwodzie
szeregowym RLC. Analiza zostanie przeprowadzona przy zastosowaniu rachunku
operatorowego Laplace’a. W zalenoci od wartoci rezystancji mog powsta trzy przypadki
rozwizania: przypadek oscylacyjny, gdy aktualna rezystancja obwodu jest mniejsza od
krytycznej, przypadek aperiodyczny krytyczny, gdy ta rezystancja jest równa rezystancji
krytycznej oraz przypadek aperiodyczny, gdy rezystancja obwodu jest wiksza od krytycznej.
Szczególnie interesujcy jest przypadek oscylacyjny, w którym przy zasilaniu obwodu
napiciem stałym powstaj drgania sinusoidalne o tłumionej amplitudzie. Przy rezystancji
równej zeru w obwodzie powstaj drgania sinusoidalne niegasnce.
14.1 Równanie operatorowe obwodu Rozpatrzmy załczenie napicia stałego E do gałzi szeregowej RLC przedstawionej na rys.
14.1.
Rys. 14.1. Załczenie napicia stałego do obwodu szeregowego RLC
333
Wobec zerowych warunków pocztkowych (brak wymuszenia w obwodzie przed
przełczeniem) mamy 0)0( =−Cu , 0)0( =−
Li .
Stan ustalony w obwodzie przy wymuszeniu stałym nie wymaga specjalnych oblicze,
gdy wobec przerwy, jak reprezentuje kondensator, prd w obwodzie nie płynie ( 0)( =tiLu )
a napicie na kondensatorze jest równe napiciu zasilajcemu EtuCu =)( .
Rys. 14.2 Schemat operatorowy obwodu RLC w stanie nieustalonym
Schemat operatorowy obwodu w stanie nieustalonym przedstawiony jest na rys. 14.2.
Warunki pocztkowe napicia kondensatora i prdu cewki okrelaj równania
0)0()0( == −+CC uu (14.1)
0)0()0( == −+LL ii (14.2)
Z prawa napiciowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu wynika nastpujca posta
operatorowa prdu cewki
LCs
LR
s
LEsCRsL
sEsI
1/
/1/
)(2 ++
=++
= (14.3)
Dla wyznaczenia transformaty odwrotnej naley obliczy pierwiastki mianownika
transmitancji, czyli
012 =++
LCs
LR
s (14.4)
334
W wyniku rozwizania tego równania otrzymuje si dwa pierwiastki (bieguny układu)
LCL
RL
Rs
122
2
1 −
+−= (14.5)
LCL
RL
Rs
122
2
2 −
−−= (14.6)
Z postaci wzoru opisujcego bieguny wynika, e w zalenoci od znaku funkcji
podpierwiastkowej moliwe s 3 przypadki rozwizania.
• Przypadek aperiodyczny dla CL
R 2> . Przy spełnieniu tego warunku oba bieguny s
rzeczywiste i ujemne. Charakter zmian prdu w obwodzie w stanie przejciowym jest
aperiodyczny (nieokresowy) zanikajcy do zera w sposób wykładniczy.
• Przypadek aperiodyczny krytyczny wystpujcy dla CL
R 2= . Przy spełnieniu tego
warunku oba bieguny s rzeczywiste i równe sobie. Charakter zmian prdu w obwodzie w
stanie przejciowym jest równie aperiodyczny, podobnie jak w przypadku pierwszym,
ale jego czas trwania jest najkrótszy z moliwych.
• Przypadek oscylacyjny (periodyczny) wystpujcy dla CL
R 2< . Przy spełnieniu tego
warunku oba bieguny s zespolone (zespolony i sprzony z nim). Charakter zmian prdu
w obwodzie w stanie przejciowym jest sinusoidalny tłumiony, o oscylacjach
zanikajcych do zera.
Rezystancja CL
R 2= nazywana jest rezystancj krytyczn i oznaczana w postaci krR .
14.2 Przypadek aperiodyczny
Rozpatrzymy najpierw przypadek pierwszy (aperiodyczny). Ze wzgldu na to, e oba bieguny
s rzeczywiste w obliczeniach transformacji odwrotnej najwygodniej jest zastosowa metod
residuów. Zgodnie z ni przebieg czasowy prdu )(tip mona zapisa w postaci
335
[ ]tsts ee
LCLR
L
Eti 21
12
2
)(2
−
−
= (14.7)
Podstawiajc wartoci s1 i s2 okrelone wzorami (14.5) i (14.6) otrzymuje si posta
hiperboliczn rozwizania na prd cewki w stanie nieustalonym
−
−
=
−t
LCLR
she
LCLR
L
Eti
tL
R 121
2
)(2
22
(14.8)
We wzorze wystpuje czynnik tłumicy typu wykładniczego t
LR
e 2−
. Wielko L
R2
=α
nazywana jest współczynnikiem tłumienia. Jej warto jest proporcjonalna do wartoci
rezystancji. Im wiksza rezystancja tym wiksze tłumienie w obwodzie.
W podobny sposób wyznaczy mona pozostałe przebiegi czasowe w obwodzie:
napicie cewki i kondensatora. Transformata napicia na kondensatorze wyraona jest
wzorem
++==
LCs
LR
ssLCE
sIsC
sU C 11
)(1
)(2
(14.9)
Po zastosowaniu wzoru na residuum otrzymujemy
( )tstsC eses
LCLR
EEtu 21
1221
22
)( −
−
+= (14.10)
Obliczenie napicia cewki w stanie nieustalonym moe by uzyskane bezporednio z postaci
czasowej poprzez róniczkowanie zalenoci na prd cewki. Po wykonaniu odpowiednich
działa otrzymuje si
336
[ ]tstsL eses
LCLR
Edtdi
Ltu 21212 1
22
)( −
−
== (14.11)
Na rys. 14.3 przedstawiono przebiegi prdu, napicia na kondensatorze i cewce w stanie
nieustalonym w obwodzie RLC dla R = 2,3Ω, C = 1F i L = 1H przy załczeniu napicia
stałego E = 1V. Dla przyjtych wartoci parametrów elementów mamy do czynienia z
przypadkiem aperiodycznym.
Rys. 14.3. Przebiegi prdu i napi w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego
Prd w obwodzie oraz napicie na kondensatorze zachowuj cigło i spełniaj prawa
komutacji. W stanie ustalonym prd w obwodzie nie płynie (kondensator w stanie ustalonym
stanowi przerw) a napicie na kondensatorze przyjmuje warto napicia zasilajcego E.
Zauwamy ponadto, e wartoci maksymalnej prdu odpowiada zerowa warto napicia na
cewce (dtdi
LtuL =)( ). W chwili, gdy napicie na cewce osiga warto maksymaln ujemn,
w przebiegu napicia na kondensatorze mona zauway punkt przegicia.
Na rys. 14.4 przedstawiono wykresy przebiegów ładowania kondensatora w obwodzie
RLC dla przypadku aperiodycznego opisanego wzorem (14.10) dla 3 rónych wartoci
współczynnika tłumienia L
R2
=α .
337
Rys. 14.4. Przebiegi napi na kondensatorze dla rónej wartoci współczynnika tłumienia
Jak wida, im wiksza jest warto tego współczynnika, tym dłuej trwa dochodzenie do
stanu ustalonego. Interesujce jest porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie
RLC w stanie aperiodycznym (wzór 14.10) oraz w obwodzie RC. Napicie i prd
kondensatora w obwodzie RC, jak zostało pokazane w lekcji jedenastej opisane s funkcjami
( )RCtC eEtu /1)( −−= , RCt
C eRE
ti /)( −= . Na rys. 14.5 przedstawiono przebiegi napicia na
kondensatorze (rys. 14.5a) oraz prdu (rys. 14.5b).
Rys. 14.5 Porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RC i RLC
338
W napiciu uC(t) w obwodzie RLC widoczny jest łagodnie narastajcy przebieg z punktem
przegicia. Prd ładowania kondensatora, bdcy jednoczenie prdem cewki, narasta od
wartoci zerowej z zachowaniem cigłoci, a wic spełniajc warunki nakładane przez prawa
komutacji. W obwodzie RC widoczny jest gwałtowny skok prdu w chwili przełczenia
(prawa komutacji nie dotycz prdu kondensatora).
14.3 Przypadek aperiodyczny krytyczny
W przypadku aperiodycznym krytycznym, wobec spełnienia relacji CL
R 2= oba
pierwiastki mianownika s równe i transformata prdu wyraa si wzorem
2
2
/)(
+=
LR
s
LEtI (14.12)
Zastosowanie wzoru na residuum dla pierwiastka podwójnego α−=−==L
Rss
221 prowadzi
do nastpujcej postaci prdu cewki )(ti
t
LR
teLE
ti 2)(−
= (14.13)
W analogiczny sposób mona wyznaczy pozostałe przebiegi (napicia kondensatora i cewki)
dla stanu aperiodycznego krytycznego. W przypadku napicia na cewce bezporednio poprzez
róniczkowanie funkcji czasowej prdu otrzymuje si
−==−
tL
REe
dtdi
Ltut
LR
L 21)( 2 (14.14)
339
Napicie na kondensatorze w stanie nieustalonym mona uzyska bezporednio z prawa
napiciowego Kirchhoffa napisanego dla obwodu z rys. 14.1 po przełczeniu. Mianowicie
+−=−−=−
tL
REeEtutRiEtu
tL
R
LLC 21)()()( 2 (14.15)
Na rys. 14.6 przedstawiono przebieg ładowania kondensatora w stanie aperiodycznym
krytycznym na tle przypadku aperiodycznego.
Rys. 14.6. Porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RLC dla przypadku
aperiodycznego i aperiodycznego krytycznego
Jedyna rónica wystpuje w czasie trwania stanu przejciowego, który najszybciej zanika dla
przypadku krytycznego. Charakter przebiegu prdu i napi w obwodzie dla przypadku
aperiodycznego krytycznego jest podobny do zwykłego przypadku aperiodycznego, z tym, e
najszybciej uzyskiwany jest stan ustalony (stan przejciowy trwa najkrócej z moliwych).
14.4 Przypadek oscylacyjny
Przypadek oscylacyjny zmian prdu i napi w obwodzie szeregowym RLC wystpuje przy
spełnieniu warunku CL
R 2< a wic przy małych wartociach rezystancji R. W tym
przypadku oba bieguny s zespolone. Dla wyznaczenia postaci czasowej prdu wygodniej jest
340
zastosowa metod tablic transformat. W tym celu naley przekształci wyraenie na prd
operatorowy w taki sposób, aby doprowadzi je do postaci wystpujcej w tablicy 12.1. Dla
zadanej postaci prdu przekształcenia te s jak nastpuje
2
22
2
22
2
2
2
41
/
41
2
41
1/
)(
LR
LC
LE
LR
LCLR
s
LR
LC
LCs
LR
s
LEsI
−
⋅
−+
+
−=
++= (14.16)
Wprowadmy oznaczenie
2
2
41
LR
LC−=ω (14.17)
Wielko ω jest pulsacj drga własnych obwodu RLC wystpujcych w przypadku
oscylacyjnym. Wykorzystujc tablic transformat 12.1 moemy uzyska posta czasow
prdu w obwodzie. Mona j zapisa w postaci
)sin()( 2 teL
Eti
tL
R
ωω
−= (14.18)
Prd w przypadku oscylacyjnym opisany jest funkcj sinusoidaln o amplitudzie zmieniajcej
si według funkcji wykładniczej. Czynnik t
LR
e 2−
stanowi tłumienie przebiegu sinusoidalnego a
jego warto jest proporcjonalna do wartoci rezystancji obwodu RLC. Odwrotno
współczynnika tłumienia charakteryzuje stał czasow RL2=τ obwodu RLC z jak tłumione
s drgania sinusoidalne.
Wykorzystujc podstawowe relacje zachodzce midzy zmiennymi w obwodzie
szeregowym RLC mona wyznaczy pozostałe napicia w obwodzie w stanie nieustalonym.
W przypadku cewki napicie uzyskuje si przez zróniczkowanie funkcji opisujcej prd
ładowania.
341
)sin()( 2 ϕωω
−−==−
teLC
Edtdi
Ltut
LR
L (14.19)
gdzie kt ϕ jest okrelony relacj
LR
ar2/
ctgωϕ = (14.20)
Napicie na kondensatorze wyznaczy mona bezporednio z prawa napiciowego Kirchhoffa
zastosowanego do obwodu rzeczywistego z rys. 14.1
−−−=−−=
−)sin()sin()()()( 2 ϕωω
ωt
CL
tReL
EEtRituEtu
tL
R
LC (14.21)
Na rys. 14.7 przedstawiono przebiegi prdu i napi w stanie nieustalonym w obwodzie RLC
przy wystpieniu przypadku oscylacyjnego, czyli przy CL
R 2< .
Rys. 14.7. Przebiegi czasowe w obwodzie RLC dla przypadku oscylacyjnego
342
Przebieg prdu ma charakter sinusoidalny, tłumiony wykładniczo do zera. Obwiednie
przebiegu prdu s wyznaczone funkcjami t
LR
eL
Etf 2)(
−±=
ω. Przy zasilaniu obwodu RLC
napiciem stałym wytworzyły si drgania własne o pulsacji 2
2
41
LR
LC−=ω . Pulsacja ta
zaley wyłcznie od parametrów obwodu RLC. Głównym czynnikiem regulujcym warto
pulsacji wobec małej wartoci rezystancji R dla przypadku oscylacyjnego jest warto
indukcyjnoci L oraz pojemnoci C. Przy danych wartociach L, C i regulowanej rezystancji,
pulsacja ronie przy malejcej wartoci rezystancji .
Drgania w obwodzie powstaj na skutek wymiany energii midzy polem
elektrycznym kondensatora a polem magnetycznym cewki. Na skutek skoczonej wartoci
rezystancji zachodzi rozpraszanie energii w postaci ciepła wydzielanego na rezystorze. Std
oscylacje powstajce w obwodzie maj charakter malejcy. Szybko tłumienia okrela stała
tłumienia L
R2
=α . Im wiksza warto rezystancji tym wiksze tłumienie w obwodzie i
szybsze zanikanie drga sinusoidalnych do zera.
Na rys. 14.8 przedstawiono przykładowe przebiegi ładowania kondensatora w
obwodzie RLC dla przypadków oscylacyjnych przy zmieniajcej si wartoci rezystancji.
Rys. 14.8. Przebiegi napicia na kondensatorze dla przypadku oscylacyjnego przy
zmieniajcej si wartoci rezystancji
343
Widoczne jest, e im mniejsza warto rezystancji tym dłuej trwa stan przejciowy w
obwodzie. Wobec małych wartoci rezystancji wynikajcych z warunku wystpowania
przypadku oscylacyjnego jej wpływ na czstotliwo drga własnych obwodu (wzór 14.17)
jest stosunkowo niewielki.
Naley podkreli, e jakkolwiek wyraenia analityczne opisujce przebiegi czasowe
w obwodzie dla rónych przypadków tłumienia s znacznie rónice si miedzy sob,
wszystkie reprezentuj charakter cigły. Poszczególne przypadki przechodz w siebie
nawzajem przy cigłej zmianie wartoci rezystancji. Przy małej rezystancji tłumienie jest
małe i przebieg prdu oraz napi jest oscylacyjny, tłumiony wykładniczo. Wzrost wartoci
rezystancji powoduje wzrost tłumienia, drgania trwaj krócej a przy pewnej wartoci
krytycznej CL
Rkr 2= przechodz w przebieg aperiodyczny (krytyczny), przy którym nie
obserwuje si ju drga. Dalszy wzrost rezystancji niewiele zmienia w charakterze
jakociowym przebiegów poza wydłueniem stanu przejciowego. Ilustracj powyszego
zjawiska na przykładzie napicia )(tuC w obwodzie przedstawiono na rys. 14.9.
Rys. 14.9. Przebiegi napicia na kondensatorze w obwodzie RLC przy cigłej zmianie
wartoci rezystancji
344
14.5 Obwód bezstratny LC w stanie nieustalonym
Interesujce zjawiska w stanie nieustalonym wystpuj w obwodzie RLC o zerowej
rezystancji. Obwód taki nazywa bdziemy obwodem LC. Jak wynika z przedstawionych
wyej wzorów tłumienie w takim obwodzie jest zerowe ( 02
==L
Rα ) a pulsacja drga
własnych zaley wyłcznie od indukcyjnoci i pojemnoci i okrelona jest wzorem
LC1=ω (14.22)
Przy zerowym tłumieniu drgania oscylacyjne powstałe w obwodzie na skutek stanu
przejciowego nigdy nie gasn. Obwód zasilony napiciem stałym generuje niegasnce
drgania sinusoidalne stajc si generatorem sygnałów harmonicznych. Przypadek powstania
drga niegasncych w obwodzie LC przedstawiono na rys. 14.10, na którym przedstawiono
przebieg napicia na kondensatorze, prdu w obwodzie oraz napicia cewki.
Rys. 14.10. Przebiegi prdu i napi w stanie nieustalonym w obwodzie LC
W obwodzie zaobserwowa mona powstanie dwukrotnego przepicia na kondensatorze
(warto maksymalna napicia jest równa 2E).
Zjawisko powstawania niegasncych drga sinusoidalnych w obwodzie LC
wykorzystuje si powszechnie w generatorach drga harmonicznych. W rozwizaniach
345
praktycznych takich generatorów konieczne jest jednak zastosowanie elementów
odtłumiajcych, kompensujcych skoczone tłumienie wynikajce z istnienia rezystancji
uzwoje cewki i skoczonej stratnoci kondensatora. Rol układów odtłumiajcych obwód
pełni mog elementy aktywne generujce energi, takie jak wzmacniacze operacyjne,
tranzystory, pewne typy diód itp.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 14.1
Wartoci indukcyjnoci i pojemnoci w obwodzie szeregowym RLC s równe: L = 0,01H
oraz F1=C . Okreli zmiany czstotliwoci drga własnych tego obwodu w funkcji
wartoci rezystancji R zmieniajcej si od zera do rezystancji krytycznej.
Rozwizanie
Czstotliwo drga własnych obwodu szeregowego RLC dana jest wzorem
2482
2
1025,01021
41
21
RL
RLC
f ⋅−=−=ππ
Rezystancja krytyczna
Ω== 2002CL
Rkr
Na rys. 14.11 przedstawiono zaleno czstotliwoci drga własnych obwodu od wartoci
rezystancji R w podanym zakresie zmian rezystancji
346
Rys. 14.11. Wykres zalenoci czstotliwoci drga własnych obwodu od wartoci rezystancji
Zadanie 14.2
Okreli charakter odpowiedzi czasowej w obwodzie szeregowym RLC, jeli indukcyjno
L = 0,1H, pojemno C = 10-5F a wartoci rezystancji s równe: a) R = 50Ω, b) R = 200Ω,
c) R = 500Ω.
Rozwizanie
Charakter odpowiedzi czasowych w obwodzie RLC zaley od stosunku rezystancji obwodu
do rezystancji krytycznej. W przypadku danych w obwodzie rezystancja krytyczna jest równa
Ω== 2002CL
Rkr
W zwizku z powyszym otrzymujemy:
a) krRR < → przypadek oscylacyjny
b) krRR = → przypadek aperiodyczny krytyczny
c) krRR > → przypadek aperiodyczny
347
Lekcja 15. Transmitancja operatorowa obwodów
Wstp
W tej lekcji wprowadzone zostanie pojcie transmitancji operatorowej obwodu. Podane
zostan definicje rónych rodzajów transmitancji oraz metod ich wyznaczania
wykorzystujcych impedancje operatorowe elementów. Poznamy zwizek transmitancji
operatorowej z opisem stanowym obwodu. Wprowadzone zostan definicje odpowiedzi
impulsowej i skokowej oraz ich zwizek z transmitancj operatorow. Na podstawie opisu
operatorowego i odpowiedzi impulsowej zostanie wyjanione pojcie stabilnoci obwodu i
udowodniony zwizek stabilnoci z połoeniem biegunów na płaszczynie zmiennej
zespolonej.
15.1 Definicja transmitancji operatorowej
Rozwaania dotyczce analizy stanów nieustalonych metod operatorow zakładały badanie
zjawisk zachodzcych w obwodach na skutek przełcze. W ogólnym przypadku
zakładalimy wystpienie niezerowych warunków pocztkowych wynikajcych ze stanu
obwodu przed komutacj. Badania dotyczyły dowolnych prdów lub napi w obwodzie. Z
punktu widzenia praktycznego szczególnie wany jest przypadek zerowych warunków
pocztkowych i obliczania jedynie wybranego prdu lub napicia w obwodzie traktowanego
jako sygnał wyjciowy. W takim przypadku wygodnie jest wprowadzi pojcie transmitancji
operatorowej.
Wemy pod uwag obwód złoony z dowolnych elementów pasywnych RLCM i
ródeł sterowanych nie zawierajcych wewntrz adnych ródeł niezalenych. Wyrónijmy w
tym obwodzie jedn par zacisków uwaanych za wejciowe, do których przykładamy ródło
wymuszajce oraz drug par zacisków wyjciowych, z których zbieramy prd (zaciski
zwarte) lub napicie (zaciski rozwarte).
Transmitancja operatorowa okrela zwizek midzy transformat operatorow sygnału
wyjciowego (odpowiedzi), któr tutaj oznaczymy w ogólnoci przez Y(s) oraz transformat
operatorow wymuszenia (sygnału wejciowego), oznaczon ogólnie przez X(s).
Transmitancj operatorow nazywa bdziemy stosunek transformaty sygnału wyjciowego
348
(prdu lub napicia) do transformaty sygnału wejciowego układu (ródła napiciowego lub
prdowego) przy zerowych warunkach pocztkowych
)()(
)(sXsY
sT = (15.1)
W zalenoci od sygnału wejciowego i wyjciowego układu wyróni mona cztery rodzaje
transmitancji operatorowych: transmitancja napiciowa, prdowa, napiciowo-prdowa i
prdowo-napiciowa. Przyjmijmy oznaczenie bramy wejciowej cyfr 1 a bramy wyjciowej
cyfr 2 jak to pokazano na rys. 15.1.
Rys. 15.1. Oznaczenie układu przy definicji transmitancji
15.1.1 Transmitancja napiciowa (napiciowo-napiciowa)
Transmitancja napiciowa dotyczy stosunku dwu napi zewntrznych układu. Sygnałem
wejciowym jest ródło napiciowe, a sygnałem wyjciowym napicie na dowolnym
elemencie uznane za napicie wyjciowe. Jest ona definiowana w postaci
)()(
)(1
2
sUsU
sTu = (15.2)
W definicji transmitancji napiciowej zakłada si, e napicie wyjciowe układu mierzone
jest w stanie jałowym tzn. przy ∞=0Z (bez obcienia zacisków wyjciowych, I2=0).
349
15.1.2 Transmitancja prdowa (prdowo-prdowa)
Transmitancja prdowa dotyczy stosunku dwu prdów zewntrznych układu, z których jeden
jest prdem wymuszajcym a drugi prdem gałzi uznanym za prd wyjciowy i jest
definiowana w postaci
)()(
)(1
2
sIsI
sTi = (15.3)
W definicji tej transmitancji zakłada si, e prd wyjciowy I2 jest mierzony w czci
bezimpedancyjnej gałzi wyjciowej 00 =Z odpowiadajcej U2 = 0.
15.1.3 Transmitancja napiciowo-prdowa
Transmitancja napiciowo-prdowa przyjmuje napicie na dowolnym elemencie obwodu jako
sygnał wyjciowy Y(s). Sygnałem wejciowym X(s) jest wymuszenie prdowe. Jest zatem
zdefiniowana w postaci
)()(
)(1
2
sIsU
sTui = (15.4)
Napicie U2 mierzone jest w stanie jałowym ( ∞=0Z ) obwodu.
15.1.4 Transmitancja prdowo-napiciowa
Transmitancj prdowo-napiciow definiuje si jako stosunek prdu wyjciowego do
napicia wejciowego (sygnałem wejciowym X(s) jest napicie wymuszajce a sygnałem
wyjciowym Y(s) prd dowolnego elementu w obwodzie)
)()(
)(1
2
sUsI
sTiu = (15.5)
Szczególnym przypadkiem transmitancji napiciowo-prdowej jest impedancja wejciowa
układu, w definicji której przyjmuje si, e prd i napicie dotycz tej samej bramy
wejciowej. Jej definicja jest przyjmowana w postaci
)()(
)(1
1
sIsU
sZwe = (15.6)
350
Definicja impedancji wejciowej układu zakłada dowolny stan obcienia Z0. Naley jednak
zwróci uwag, e kada zmiana impedancji obcienia zmienia impedancj wejciow. Std
definiujc impedancj wejciow naley sprecyzowa, przy jakim obcieniu jest ona
wyznaczana.
W identyczny sposób mona zdefiniowa impedancj wyjciow, w której prd i
napicie dotycz bramy wyjciowej układu Odwrotno impedancji wejciowej (lub
wyjciowej) nazywana jest admitancj wejciow (wyjciow), która moe by
zinterpretowana jako szczególny przypadek transmitancji prdowo-napiciowej.
15.2 Transmitancja operatorowa obwodów RLC
Przy wyznaczaniu transmitancji operatorowej obwodu zawierajcego rezystancje,
indukcyjnoci, indukcyjnoci sprzone i pojemnoci wykorzystuje si model operatorowy
poszczególnych elementów R, L, C i M wprowadzony w lekcji poprzedniej. Przy załoeniu
zerowych warunków pocztkowych dla indukcyjnoci i pojemnoci modele tych elementów
nie zawieraj ródeł a jedynie impedancje operatorowe Z(s). Zestaw impedancji
operatorowych dla elementów pasywnych przedstawiono w tablicy 15.1
Tablica 15.1 Impedancje operatorowe przyporzdkowane elementom pasywnym
Element Impedancja operatorowa
Rezystancja R RZR =
Indukcyjno własna L sLZL =
Indukcyjno wzajemna M± sMZ M ±=
Pojemno C sC
ZC
1=
Dla obwodów pasywnych zawierajcych elementy R, L, C i M obliczenie transmitancji
operatorowej polega na zastpieniu elementu rzeczywistego poprzez ich impedancje
operatorowe a nastpnie wykorzystujc dowoln metod analizy (metoda praw Kirchhoffa,
wzłowa, oczkowa, Thevenina, Nortona) naley wyznaczy odpowied operatorow w
funkcji wymuszenia. Wobec liniowoci obwodu kada jego odpowied (dowolny prd i
351
dowolne napicie) jest liniow funkcj wymuszenia. Obliczajc transmitancj dzieli si
odpowied przez wymuszenie, w wyniku czego zmienna bdca wymuszeniem ulega redukcji
i w efekcie transmitancja zaley wyłcznie od parametrów RLC obwodu oraz ródeł
sterowanych, bdc jednoczenie funkcj zmiennej zespolonej s. Metod wyznaczania
transmitancji operatorowej zilustrujemy na przykładzie obwodu LC przedstawionego na rys.
15.2.
Przykład 15.1
Naley wyznaczy transmitancj napiciow obwodu przedstawionego na rys. 15.2a,
zakładajc, e napicie wyjciowe pochodzi z elementów L i C połczonych równolegle.
Rys. 15.2. Schematy obwodów do wyznaczania transmitancji: a) obwód oryginalny, b)
schemat operatorowy obwodu
352
Rozwizanie
Schemat operatorowy obwodu do wyznaczenia transmitancji przedstawiony jest na rys. 15.2b
(warunki pocztkowe s z definicji zerowe). Zastpujc cewk i kondensator połczone
równolegle jedn impedancj zastpcz )(sZ LC
LCs
sC
sCsL
sCsL
sZ LC 1
1
1
1
)(2 +
=+
⋅=
i stosujc prawo napiciowe Kirchhoffa do tak uproszczonego obwodu, otrzymuje si
)()(
)()( 1
12 sU
sLsZsZ
sULC
LC
+=
Po prostych przekształceniach uzyskuje si wynik na transmitancj napiciow w postaci
++
=
++
=+
==
LCCLs
CL
LCCLss
sCL
sLsZsZ
sUsU
sTLC
LCu
11
1
11
1
)()(
)()(
)(
1
2
1
1
3
1
11
2
W ostatecznym wyraeniu na transmitancj operatorow zmienna stanowica wymuszenie nie
wystpuje (uległa redukcji). Przyjmijmy nastpujce wartoci elementów obwodu: L = 1H,
L1 = 0,5H, C = 1F (wartoci znormalizowane). Podstawiajc je do wzoru na Tu(s)
otrzymujemy
32
)( 2 +=
ssTu
Jest to tak zwana posta wymierna, zawierajca wielomian zmiennej zespolonej s zarówno w
liczniku (stopie równy zeru) jak i w mianowniku (stopie równy dwa).
W ogólnym przypadku obwodu elektrycznego liniowego zawierajcego rezystory,
cewki i kondensatory oraz ródła sterowane dowolna transmitancja operatorowa ma posta
funkcji wymiernej o stopniu licznika równym m i stopniu mianownika równym n
353
01
11
011
1
......
)()(
)(asasas
bsbsbsbsMsL
sT nn
n
mm
mm
++++++++== −
−
−− (15.7)
Współczynniki ai mianownika oraz bi licznika s funkcjami parametrów elementów obwodu i
dla ich konkretnych wartoci przyjmuj wartoci rzeczywiste. Najwyszy stopie wielomianu
jest równy (w szczególnych przypadkach mniejszy) liczbie elementów reaktancyjnych (cewek
i kondensatorów) obwodu. Najczciej w obwodach wystpujcych w praktyce stopie
mianownika jest nie mniejszy ni stopie licznika.
Pojcie impedancji operatorowej jest uogólnieniem impedancji zespolonej elementów
stosowanej w metodzie symbolicznej przy analizie stanów ustalonych w obwodzie
zawierajcym wymuszenia sinusoidalne. Łatwo pokaza to zakładajc s = jω we wzorach
okrelajcych odpowiednie impedancje operatorowe. Dla elementów indukcyjnych i
pojemnociowych przy załoeniu s = jω otrzymuje si nastpujce zalenoci
)()( ωωω jZLjsZ LjsL ===
(15.8)
)()( ωωω jZMjsZ MjsM =±==
(15.9)
)(1
)( ωωω jZ
CjsZ CjsC ==
= (15.10)
Impedancje Z(jω) reprezentuj impedancje symboliczne elementów RLC, obowizujce w
analizie stanów ustalonych przy wymuszeniach sinusoidalnych. Załoenie s=jω upraszcza
zatem opis obwodu w stanie nieustalonym do opisu obwodu w stanie ustalonym przy
załoeniu wymuszenia sinusoidalnego.
15.3 Zwizek transmitancji operatorowej z opisem stanowym układu
Jak zostało pokazane w lekcji dziesitej obwody liniowe RLC mog by opisane w dziedzinie
zmiennych stanu poprzez równanie stanu, którego posta macierzowa jest nastpujca
BuAxx +=dtd
(15.11)
354
Zmienna x jest wektorem zmiennych stanu, u wektorem wymusze napiciowych i
prdowych wystpujcych w obwodzie, A jest macierz stanu a B – macierz wymusze.
Jeli zbiór sygnałów wyjciowych obwodu oznaczymy w postaci wektora y, to mona je
wyrazi jako kombinacj liniow zmiennych stanu oraz wymusze. Oznacza to, e wektor
wyjciowy y moe by zapisany w postaci macierzowej
DuCxy += (15.12)
Wielkoci C i D wystpujce we wzorze stanowi równie macierze o odpowiednich
wymiarach.
W stosunku do opisu macierzowego (15.11) i (15.12) zastosujemy przekształcenie
Laplace’a. Przy załoeniu zerowych warunków pocztkowych i uwzgldnieniu własnoci
przekształcenia dotyczcej transformaty pochodnej, z równania (15.11) otrzymuje si
)()()( ssss BUAXX += (15.13)
Std
( ) )()( 1 sss BUA1X −−= (15.14)
Poddajc równie drugie równanie stanu (15.12) przekształceniu Laplace’a otrzymuje si
)()()( sss DUCXY += (15.15)
Po uwzgldnieniu zalenoci (15.14) otrzymuje si
( ) ( )[ ] )()()()( 11 ssssss UDBA1CDUBUA1CY +−=+−= −− (15.16)
Przy uwzgldnieniu jednego wejcia (wymiar wektora u równy jeden) i jednego wyjcia
(wymiar wektora y równy take jeden) wektor wyjciowy Y(s) staje si skalarem Y(s),
podobnie jak wymuszenie U(s). Transmitancja operatorowa jest wic okrelona w postaci
355
( )[ ]DssUsY
sT +−== − BA1C 1
)()(
)( (15.17)
We wzorze tym macierz D uprociła si do skalara. Zauwamy, e mianownik transmitancji
operatorowej jest równy wielomianowi charakterystycznemu macierzy A, to jest
)det()( A1 −= ssM (15.18)
Pierwiastki tego mianownika (bieguny układu) s tosame z wartociami własnymi macierzy
stanu A. Wzór (15.17) stanowi zwizek midzy opisem stanowym układu a opisem
operatorowym transmitancyjnym.
Przykład 15.2
Wyznaczy opis transmitancyjny układu opisanego nastpujcymi macierzami stanu
−−
=32
15A ,
=
10
B , [ ]61=C , 2=D .
Na podstawie wzoru (15.17) otrzymuje si
( )[ ]138
57222)( 2
21
++++=+−= −
ssss
DssT BA1C
Wartoci własne macierzy stanu, bdce równie biegunami układu s równe 73,51 −=s ,
27,22 −=s .
15.4 Odpowied impulsowa i skokowa układu
Opis obwodu w dziedzinie zmiennej zespolonej s pozwala bada jego zachowanie przy
pobudzeniu dowolnym wymuszeniem. Szczególnie wane s właciwoci dynamiczne
obwodów (stan nieustalony) przy pobudzeniu za pomoc pewnych wymusze standardowych.
Do takich wymusze naley impuls Diraca )(tδ oraz funkcja skoku jednostkowego 1(t).
356
15.4.1 Odpowied impulsowa
Odpowiedzi impulsow układu nazywamy jego odpowied czasow na wymuszenie w
postaci impulsu Diraca przy zerowych warunkach pocztkowych obwodu. Dla wyznaczenia
odpowiedzi impulsowej wykorzystuje si pojcie transmitancji operatorowej T(s).
Transformata funkcji impulsowej Diraca jest równa 1, zatem obliczajc odpowied obwodu
przyjmiemy wymuszenie X(s)=1. Bezporednio z definicji transmitancji wynika
)()(1
)()()(
)( sTsYsY
sXsY
sT =→== (15.19)
Odpowied impulsowa układu jest transformat odwrotn Laplace’a sygnału Y(s). Std
[ ] [ ])()()( 11 sTLsYLty −− == (15.20)
Z powyszej zalenoci wynika, e odpowied impulsowa jest transformat odwrotn
Laplace’a transmitancji operatorowej T(s) układu.
15.4.2 Odpowied skokowa
Odpowiedzi skokow układu nazywamy odpowied czasow tego układu na wymuszenie w
postaci skoku jednostkowego 1(t) przy zerowych warunkach pocztkowych obwodu. Biorc
pod uwag, e transformata Laplace’a funkcji jednostkowej 1(t) jest równa 1/s otrzymuje si
)(1
)(/1
)()()(
)( sTs
sYssY
sXsY
sT =→== (15.21)
Odpowied skokowa jest transformat odwrotn Laplace’a sygnału Y(s). Std
[ ]
== −− )(1
)()( 11 sTs
LsYLty (15.22)
Odpowied skokowa układu jest wic transformat odwrotn Laplace’a transmitancji
operatorowej T(s) tego układu, podzielonej przez zmienn zespolon s. Podobnie jak
357
odpowied impulsowa odpowied skokowa jest okrelona w pełni przez transmitancj
operatorow T(s) układu.
Przykład 15.3
Dla zilustrowania rozwaa teoretycznych obliczmy odpowied impulsow i skokow układu
o zadanej transmitancji operatorowej
( )( )511
)(++
=ss
sT
Rozwizanie
Stosujc metod residuów dla zadanej postaci transmitancji T(s) otrzymujemy:
• odpowied impulsow
( )( )ttst
sst
s eees
esss
Lty 551
1
41
41
11
lim5
1lim
511
)( −−−→−→
− −=+
++
=
++=
• odpowied skokow
( )( )
( )( ) ( ) ( )ttst
sst
sst
s eeess
ess
ess
sssLty
5510
1
05,025,02,01
1lim
51
lim51
1lim
511
)(
−−−→−→→
−
+−=+
++
+++
=
++=
Na rys. 15.3 przedstawiono wykres czasowy odpowiedzi impulsowej (rys. 15.3a) i skokowej
(rys. 15.3b) układu o zadanej postaci transmitancji operatorowej T(s).
358
a)
b)
Rys. 15.3 Odpowiedzi a) impulsowa, b)skokowa układu
359
15.5 Stabilno układów liniowych
Opis układów liniowych za pomoc transmitancji operatorowej bd równowany mu opis
równaniami stanu pozwala bada bada cechy jakociowe układu na podstawie analizy
połoenia jego biegunów (wartoci własnych macierzy stanu). Do najwaniejszych cech
układu nale pojcie stabilnoci oraz charakter odpowiedzi układu w stanie przejciowym na
skutek przyłoenia wymuszenia zewntrznego.
Stabilno układu jest rozumiana w sensie ograniczonej amplitudy odpowiedzi na
wymuszenie o skoczonej wartoci. Układ nazywa bdziemy stabilnym, jeli jego
odpowied czasowa na skoczon warto pobudzenia bdzie ograniczona co do amplitudy.
Stabilno wymaga, aby przy zaniku pobudzenia odpowied układu w stanie ustalonym przy
∞→t była ograniczona co do amplitudy (stabilno w sensie zwykłym) lub zerowa
(stabilno w sensie asymptotycznym). Oznacza to, e dla układów stabilnych odpowied w
stanie przejciowym powinna zanika do zera lub co najmniej nie narasta, pozostajc na
ustalonym poziomie.
Stabilno układu moe wic by oceniana na podstawie odpowiedzi impulsowej. Jeli
odpowied ta zanika do zera lub pozostaje na stałym poziomie przy ∞→t układ jest
stabilny. Jeli natomiast odpowied impulsowa ma charakter narastajcy w czasie – układ jest
niestabilny. Zauwamy, e odpowied impulsowa jest transformat odwrotn Laplace’a
transmitancji operatorowej
[ ])()( 1 sTLty −= (15.23)
Jeli bieguny układu oznaczymy przez is gdzie i = 1, 2, ..., n, wówczas w przypadku
biegunów jednokrotnych na podstawie metody residuów odpowied impulsowa moe by
wyraona wzorem
tsn
ii
ieAty =
=1
)( (15.24)
Wzór ten dowodzi, e jeli wszystkie bieguny układu s połoone wyłcznie w lewej
półpłaszczynie zmiennej zespolonej s, 0)( ≤isR , wówczas odpowied impulsowa zanika z
czasem do zera lub pozostaje ograniczona co do amplitudy (gdy cz biegunów lub
wszystkie znajd si na osi urojonej).
360
Sytuacja jest nieco bardziej złoona, gdy cz biegunów jest wielokrotna. Dla
uproszczenia ograniczymy si tylko do biegunów dwukrotnych. Załómy, e liczba takich
dwukrotnych biegunów jest równa m. W takim przypadku zastosowanie wzorów na residuum
przy obliczaniu transformaty odwrotnej prowadzi do wyniku
tsm
kk
tsn
ii
ki etBeAty ==
+=11
)( (15.25)
Przy niezerowej wartoci czci rzeczywistej biegunów połoonych w lewej półpłaszczynie
odpowied przejciowa układu przy ∞→t bdzie zanika do zera (układ stabilny
asymptotycznie). Przy połoeniu biegunów na osi urojonej 0)( =isR układ moe by stabilny
(cho nie asymptotycznie), jeli s to bieguny pojedyncze lub niestabilny, jeli bieguny s
wielokrotne. Utrata stabilnoci na skutek połoenia bieguna wielokrotnego na osi urojonej
wynika z pojawienia si we wzorze na odpowied impulsow czynnika proporcjonalnego do
czasu. Zauwamy, e przy spełnieniu warunku 0)Re( =ks i załoeniu bieguna zespolonego
ωjsk = wyraenie tsk
kteB moe by rozwinite do postaci ( )tjttBteB kts
kk ωω sincos += .
Wobec ograniczonych wartoci funkcji sinus i cosinus czynnik ten przy ∞→t narasta
nieograniczenie, co prowadzi do utraty stabilnoci.
W konsekwencji warunkiem stabilnoci układu jest połoenie biegunów w lewej
półpłaszczynie, a w przypadku biegunów wielokrotnych wyłczenie ich z osi urojonej.
Rys. 15.4. Zaleno stabilnoci układu od połoenia biegunów
361
Na rys. 15.4 zilustrowano wpływ połoenia biegunów na stabilno układu. O urojona
rozgraniczajca obszar stabilny od niestabilnego jest obszarem warunkowo stabilnym
(stabilny w sensie zwykłym przy biegunach jednokrotnych i niestabilny przy biegunach
wielokrotnych).
Interesujcy jest równie wpływ połoenia biegunów na charakter odpowiedzi
impulsowej układu liniowego. Rys. 15.5 przedstawia odpowiedzi impulsowe układu drugiego
rzdu przy rónych połoeniach biegunów.
362
Rys. 15.5 Odpowiedzi impulsowe układu drugiego rzdu przy rónych połoeniach biegunów
W zalenoci od wartoci biegunów mamy do czynienia ze stanem aperiodycznym (bieguny
połoone na osi rzeczywistej) oraz oscylacyjnym (bieguny zespolone). Zanikanie odpowiedzi
impulsowej do zera wiadczy o stabilnoci asymptotycznej układu. Odpowied o
ograniczonej amplitudzie nie zanikajca z czasem wiadczy o stabilnoci zwykłej układu.
Odpowied narastajca z czasem jest cech układu niestabilnego.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 15.1
Wyznaczy transmitancj operatorow typu napiciowego obwodu z rys. 15.6. Załoy:
R = 1Ω, L = 2H, C = 1F.
363
Rys. 15.6. Schemat obwodu do zadania 15.1
Rozwizanie
Schemat operatorowy obwodu przy zerowych warunkach pocztkowych stosowany do
wyznaczenia transmitancji przedstawiony jest na rys. 15.7
Rys. 15.7. Posta operatorowa obwodu
Kolejne etapy wyznaczania transmitancji:
Prd I(s)
)(1/1
)()( 12
1 sUsRCLCs
sCsCsLR
sUsI
++=
++=
Napicie wyjciowe
)(1
1)(
1)( 122 sU
sRCLCssI
sCsU
++==
Transmitancja napiciowa
LCLsRsLC
sUsU
sTu /1//1
)()(
)( 22
2
++==
364
Po podstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si
5,05,05,0
)( 2 ++==
sssTu
Zadanie 15.2
Wyznaczy odpowied impulsow i skokow dla obwodu przedstawionego na rys. 15.8.
Odpowiedzi dotycz napicia wyjciowego obwodu przy zasilaniu napiciowym. Załoy
nastpujce wartoci elementów: R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, L = 2H, C = 0,5F.
Rys. 15.8. Schemat obwodu do zadania 15.2
Rozwizanie
Schemat operatorowy obwodu przy zerowych warunkach pocztkowych stosowany do
wyznaczenia transmitancji przedstawiony jest na rys. 15.9
365
Rys. 15.9. Posta operatorowa obwodu
Kolejne etapy wyznaczania transmitancji:
Prd I(s)
)(1)(/1
)()( 1
212
21
1 sURRsCLCs
sCsCsLRR
sUsI
+++=
+++=
Napicie wyjciowe
)()()( 22 sIsLRsU +=
Transmitancja napiciowa
1)()(
)()(
)(2
22
1
2
++++==
RRsCLCssCRsL
sUsU
sTu
Po podstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si
15,0
)( 2
2
+++=
ssss
sTu
Odpowied impulsowa okrelona bdzie przy zastosowaniu metody korzystajcej z tablic
transformat. W zwizku z powyszym
( )( )22
2
24/3)5,0(
4/3)5,0(5,01
115,0
1)(++
++−=++
+−=s
sss
ssTu
[ ] )4/3sin()4/3cos(5,0)()()( 5,05,01 tetetsTLty ttu
−−− −−== δ
Odpowied skokowa
366
( ) )4/3cos(4/3)5,0(
)5,0(1
5,0)()( 5,0
22
12
11 tes
sL
sss
LssT
Lty tu −−−− =
++
+=
+++=
=
Odpowiedzi impulsowa i skokowa układu podane s na rys. 15.10
a) odpowied impulsowa
b) odpowied skokowa
367
Rys. 15.10. Odpowiedzi impulsowa i skokowa układu
Zadanie 15.3
Wyznaczy impedancj wejciow w postaci operatorowej dla obwodu przedstawionego na
rys. 15.11. Impedancj wejciow potraktowa jako transmitancj napiciowo-prdow.
Rys. 15.11. Schemat obwodu do zadania 15.3
368
Rozwizanie
Z prawa prdowego i napiciowego Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rys. 15.11
otrzymuje si
( )kIUYIII
UUYIZIIZU
o
o
=−+−−−=−+−
)()(
)(
11
112111
gdzie oo ZY /1= . Z równania drugiego otrzymuje si
k
UYII o 11 −=
Po podstawieniu do wzoru pierwszego otrzymujemy
121
21121 UY
kZZ
YZIk
kZZZoo
++=−+
Std
)( 212
121
1
1
ZZYYkZkZZZ
IU
Zoo
we ++−+==
369
Lekcja 16. Charakterystyki czstotliwociowe układów
Wstp
Transmitancja operatorowa poza odpowiedziami czasowymi pozwala równie wyznaczy
charakterystyki obwodu w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym o zmiennej
wartoci czstotliwoci.
W lekcji szesnastej skupimy si na charakterystykach czstotliwociowych obwodów
RLC. Podane zostan definicje charakterystyki amplitudowej i fazowej oraz logarytmicznej
charakterystyki amplitudowej a take sposób ich wyznaczania na podstawie transmitancji
operatorowej. Rozwaone zostan przykłady charakterystyk czstotliwociowych układów
pierwszego rzdu: członu całkujcego i róniczkujcego oraz przesuwnika fazowego.
Zdefiniowane zostan podstawowe transmitancje operatorowe drugiego rzdu, opisujce filtry
bikwadratowe typu dolnoprzepustowego, rodkowoprzepustowego oraz górnoprzepustowego.
Przedstawione zostan charakterystyki czstotliwociowe odpowiadajce tym filtrom oraz
przeanalizowany zostanie wpływ dobroci filtru na kształt charakterystyk
czstotliwociowych.
16.1 Definicje charakterystyk czstotliwociowych
Charakterystyk czstotliwociow układu nazywa bdziemy zaleno wartoci sygnału
wyjciowego tego układu od czstotliwoci przy jednostkowym wymuszeniu sinusoidalnym
przyłoonym na wejcie układu. Charakterystyk t mona wyznaczy bezporednio na
podstawie transmitancji operatorowej T(s). Nosi ona nazw transmitancji widmowej układu.
Oznaczmy transmitancj widmow w postaci )( ωjT . Łatwo pokaza, e jest ona
zdefiniowana jako transmitancja operatorowa dla ωjs = , to znaczy
ωωjs
sTjT=
= )()( (16.1)
370
Transmitancja widmowa reprezentuje sob liczb zespolon bdc funkcj pulsacji ω.
Przedstawiajc j w postaci wykładniczej, to jest )()()( ωϕωω jejTjT = mona zdefiniowa
dwa rodzaje charakterystyk czstotliwociowych:
• charakterystyka amplitudowa przedstawia sob zaleno modułu transmitancji
widmowej )( ωjT od pulsacji ω (czstotliwoci f), to jest )( ωjT
• charakterystyka fazowa okrela zaleno argumentu transmitancji widmowej )( ωjT od
pulsacji (czstotliwoci) to jest )(ωϕ . Charakterystyka fazowa reprezentuje sob
przesunicie fazowe midzy sygnałem wejciowym a wyjciowym dla danej pulsacji ω .
Charakterystyki czstotliwociowe przedstawia si zwykle na wykresie modułu lub fazy w
zalenoci od pulsacji (czstotliwoci). Jeli wielkoci podlegajce wykrelaniu róni si
znacznie pod wzgldem wartoci (np. zmieniaj si w zakresie od 1 do 610 ) wygodnie jest
wprowadzi skal logarytmiczn zwykle o podstawie 10. Dotyczy to okrelonego zakresu
czstotliwoci. W przypadku charakterystyki amplitudowej skal logarytmiczn przelicza si
na decybele (dB) definiujc logarytmiczn charakterystyk amplitudow
( ))(log20 10 ωjT (16.2)
Na rys. 16.1 przedstawiono przykładowo charakterystyk amplitudow (rys. 16.1a) oraz
logarytmiczn charakterystyk amplitudow (rys. 16.1b) odpowiadajc tej samej transmitacji
danej wzorem
322,0778,0487,1945,0287.0082.0003.0
)( 234
24
++++++=
ssssss
sT
371
Rys. 16.1. Posta liniowa (a) oraz logarytmiczna (b) charakterystyki amplitudowej
odpowiadajcej transmitancji T(s)
Kady rodzaj przedstawienia charakterystyki amplitudowej podkrela inne szczegóły w jej
przebiegu. Charakterystyka logarytmiczna podkrela stosunkowo niewielkie w skali globalnej
zmiany dynamiczne w tak zwanym pamie zaporowym, gdzie amplituda sygnału jest bardzo
mała w stosunku do pasma przepustowego, podczas gdy skala liniowa uwypukla globalny
charakter przebiegu tracc drobne szczegóły w zakresie czstotliwoci gdzie wartoci
sygnałów s małe.
Jeli badany zakres czstotliwoci jest bardzo szeroki (np. od 1Hz do 1MHz)
wygodnie jest wprowadzi skal logarytmiczn równie dla czstotliwoci. Charakterystyk
fazow wykrela si zwykle w skali liniowej dla fazy i liniowej lub logarytmicznej dla
czstotliwoci (pulsacji).
Przykład 16.1
Wyznaczy charakterystyki czstotliwociowe transmitancji napiciowej układu RL
przedstawionego na rys. 16.2a
372
Rys. 16.2 Schematy obwodu do przykładu 16.1: a) schemat rzeczywisty,
b) posta operatorowa obwodu
Rozwizanie
Zastpujc elementy rzeczywiste poprzez ich impedancje operatorowe otrzymuje si kolejno:
)(/
/)()( 112 sU
LRsLR
sUsLR
RsU
+=
+=
LRsLR
sUsU
sT/
/)()(
)(1
2
+==
Podstawiajc ωjs = do powyszej zalenoci otrzymuje si
( )( )RLje
LR
LRLRj
LRjT /arctg
22 /
//
/)( ω
ωωω −
+=
+=
Charakterystyka amplitudowa układu okrelona jest wic zalenoci
( )22 /
/)(
LR
LRjT
+=
ωω
a charakterystyk fazow opisuje wzór
)/arctg()( RLωωϕ −=
373
Rys. 16.3 przedstawia wykresy charakterystyki amplitudowej i fazowej obwodu o
wartociach 1=R i L=1H w funkcji pulsacji ω .
Rys. 16.3. Wykres charakterystyki amplitudowej i fazowej układu
Charakterystyka amplitudowa wskazuje na dobre (nie tłumione) przenoszenie czstotliwoci
małych. W miar wzrostu wartoci czstotliwoci charakterystyka amplitudowa maleje, co
oznacza, e sygnał wyjciowy ma coraz mniejsz amplitud. Taki obwód ma wic charakter
układu dolnoprzepustowego (szeregowo włczona cewka w miar wzrostu czstotliwoci ma
coraz wiksz impedancj tłumic przebieg prdu przepływajcego przez rezystor
wyjciowy).
16.2 Przykłady transmitancji operatorowych pierwszego rzdu
W praktyce inynierskiej zdefiniowano wiele uytecznych postaci transmitancji
operatorowych. Tutaj ograniczymy si jedynie do trzech najprostszych transmitancji
pierwszego rzdu: układu całkujcego, róniczkujcego oraz przesuwnika fazowego.
374
16.2.1 Układ całkujcy
Transmitancja idealnego układu całkujcego definiowana jest w postaci
sksT /)( = (16.3)
Układ nosi nazw całkujcego, gdy operator 1/s w dziedzinie czstotliwoci zespolonej
Laplace’a oznacza całkowanie funkcji w dziedzinie czasu. Charakterystyk czstotliwociow
układu całkujcego opisuje zaleno
90/)( je
kjkjT −==
ωωω (16.4)
Wykres charakterystyki amplitudowej
ω
ω kjT =)( (16.5)
oraz fazowej
90)( −=ωϕ (16.6)
dla układu całkujcego przy k>0 przedstawiono na rys. 16.4.
375
Rys. 16.4 Charakterystyki czstotliwociowe układu całkujcego: a) amplitudowa, b) fazowa
Charakterystyka amplitudowa jest typu hiperbolicznego, a charakterystyka fazowa stała
(przesunicie fazowe stałe i równe 90− niezalenie od czstotliwoci).
16.2.2 Układ róniczkujcy
Transmitancja układu róniczkujcego dana jest w postaci
kssT =)( (16.7)
Układ nosi nazw róniczkujcego, gdy operator s w dziedzinie czstotliwoci zespolonej
oznacza róniczkowanie funkcji w dziedzinie czasu. Charakterystyka czstotliwociowa
opisana jest zalenoci
90)( jekkjjT ωωω == (16.8)
376
Charakterystyka amplitudowa jest funkcj liniow
ωω kjT =)( (16.9)
a charakterystyka fazowa stała, niezalenie od czstotliwoci
90)( =ωϕ (16.10)
Wykres obu charakterystyk układu róniczkujcego przy k>0 przedstawiono na rys. 16.5.
Rys. 16.5 Charakterystyki czstotliwociowe układu róniczkujcego: a) amplitudowa,
b) fazowa
377
16.2.3 Przesuwnik fazowy
Przesuwnik fazowy jest układem przesuwajcym faz napicia wyjciowego wzgldem
wejciowego bez zmiany amplitudy sygnału. Transmitancj przesuwnika fazowego okrela
zaleno
asas
sT++−=)( (16.11)
Charakterystyka czstotliwociowa przesuwnika okrelona jest nastpujc relacj
( )
( )( )ωφ
ωφ
ωφ
ωω
ωωω 2
22
22
1)( jj
j
eee
a
aajaj
jT −−
=⋅+
+=++−= (16.12)
gdzie kt ( )ωφ okrelony jest wzorem
=aωωφ arctg)( . Powysza zaleno potwierdza, e
przesuwnik fazowy nie zmienia amplitudy sygnału wejciowego ( 1)( =ωjT ) a wpływa
jedynie na przesunicie fazowe midzy sygnałem wejciowym i wyjciowym.
Charakterystyka fazowa przesuwnika okrelona jest zalenoci
−=aωωϕ arctg2)( (16.13)
Na rys. 16.6 przedstawiono wykres charakterystyki fazowej przesuwnika o transmitancji
(16.11) w funkcji pulsacji dla wartoci a=1.
378
Rys. 16.6. Charakterystyka fazowa przesuwnika w funkcji pulsacji
Przesunicie fazowe układu jest funkcj czstotliwoci i zmienia si od zera do wartoci o180 . Warto przesunicia fazowego dla konkretnej wartoci czstotliwoci mona
regulowa poprzez zmian współczynnika a transmitancji. Na rys. 16.7 przedstawiono wykres
przedstawiajcy zmian kta przesunicia fazowego układu dla pulsacji jednostkowej przy
zmianie wartoci współczynnika a.
Rys. 16.7. Charakterystyka fazowa przesuwnika w funkcji wartoci współczynnika a
379
16.3 Transmitancje operatorowe układów drugiego rzdu
16.3.1 Posta ogólna transmitancji bikwadratowej
Szczególnym przypadkiem transmitancji operatorowej jest transmitancja drugiego rzdu,
zwana bikwadratow, szczególnie czsto wykorzystywana w teorii filtrów. Ogólna posta tej
transmitancji dana jest wzorem
01
201
22
)()(
)(asasbsbsb
sMsL
sT++++== (16.14)
W przypadku wykorzystania tej transmitancji w teorii filtrów wielomiany licznika i
mianownika zakłada si w specjalnej postaci. W przypadku mianownika przyjmuje si
20
02)( ωω ++= sQ
ssM (16.15)
Wielko 0ω jest pulsacj rodkow (rezonansow) filtru a Q dobroci. Posta licznika
transmitancji jest uzaleniona od rodzaju filtru. Tutaj rozpatrzymy przykładowo trzy
podstawowe rodzaje filtrów i ich transmitancje. S to
• Filtr dolnoprzepustowy
)(
)(20
sMA
sT DPDP
ω= (16.16)
Wielko DPA jest wzmocnieniem filtru w pamie przepustowym i mierzona jest dla 0=s .
• Filtr rodkowoprzepustowy
)(
)(
0
sM
sQ
AsT
SP
SP
ω
= (16.17)
Wielko SPA jest wzmocnieniem filtru w pamie przepustowym i mierzona jest dla pulsacji
0ωjs = .
380
• Filtr górnoprzepustowy
)(
)(2
sMsA
sT GPSP = (16.18)
Wielko GPA jest wzmocnieniem filtru w pamie przepustowym i mierzona jest dla pulsacji
równej ∞=s .
Charakterystyki czstotliwociowe filtrów otrzymuje si po wstawieniu ωjs = do
transmitancji operatorowej odpowiadajcej danemu rodzajowi filtru. Moduł zalenoci
wyznacza charakterystyk amplitudow a kt fazowy – charakterystyk fazow.
16.3.2 Charakterystyki czstotliwociowe filtru dolnoprzepustowego
Po wstawieniu zalenoci ωjs = do wzoru na transmitancj )(sTDP otrzymuje si
charakterystyk filtru dolnoprzepustowego w postaci
Qj
AjT DP
DP022
0
20
)()( ωωωω
ωω+−
= (16.19)
Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystyk amplitudow a
faza – charakterystyk fazow układu. Charakterystyki te wyraone s w postaci
• charakterystyka amplitudowa
2
02220
20
)(
)(
+−
=
Q
AjT DP
DP
ωωωω
ωω (16.20)
• charakterystyka fazowa
381
)(
arctg)( 220
0
ωωωωωϕ
−−=
Qj (16.21)
Na rys. 16.8a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 16.8b
charakterystyki fazowe filtru dolnoprzepustowego drugiego rzdu dla dwu rónych dobroci:
2/1>Q oraz 2/1≤Q .
a) b)
Rys. 16.8. Charakterystyki czstotliwociowe filtru bikwadratowego dolnoprzepustowego:
a) amplitudowe, b) fazowe
Dla dobroci 2/1>Q charakterystyka amplitudowa jest niemonotoniczna i osiga
maksimum dla pulsacji
20 2/11 Qm −= ωω (16.22)
Dla dobroci 2/1≤Q przebieg charakterystyki amplitudowej staje si monotoniczny
(pulsacja mω przyjmuje warto nierzeczywist – urojon). Przy 2/1=Q charakterystyka
jest maksymalnie płaska.
382
Pulsacja mω (jeli jest okrelona) jest róna od pulsacji rodkowej 0ω . Jak z
charakterystyk czstotliwociowych wida pulsacja rodkowa odpowiada wartoci przy której
przesunicie fazowe układu jest równe –90 stopni. Moe by wic łatwo wyznaczona z
charakterystyki fazowej. Dobro układu mona z kolei prosto wyznaczy wykorzystujc
posta charakterystyki amplitudowej. Obliczajc j dla dwu wartoci czstotliwoci: zerowej i
rodkowej otrzymuje si
)0(
)( 0
DP
DP
T
jTQ
ω= (16.23)
Wyznaczenie dobroci na podstawie charakterystyk czstotliwociowych polega wic na
okreleniu wartoci charakterystyki amplitudowej dla dwu czstotliwoci: zerowej i
rodkowej a nastpnie podstawieniu tych wartoci do powyszego wzoru.
16.3.3 Charakterystyki czstotliwociowe filtru rodkowoprzepustowego
Po wstawieniu zalenoci ωjs = do wzoru na transmitancj )(sTSP otrzymuje si
charakterystyk czstotliwociowej filtru rodkowoprzepustowego w postaci
Qj
QjA
jTSP
SP022
0
0
)()( ωωωω
ωω
ω+−
= (16.24)
Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystyk amplitudow a
faza – charakterystyk fazow układu. Charakterystyki te wyraone s w postaci
• charakterystyka amplitudowa
2
02220
0
)(
)(
+−
=
AjT SP
SP
ωωωω
ωωω (16.25)
• charakterystyka fazowa
383
)(
arctg90)( 220
0
ωωωωωϕ
−−=
Qj o (16.26)
Na rys. 16.9a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 16.9b
charakterystyki fazowe filtru rodkowoprzepustowego drugiego rzdu dla dwu rónych
dobroci, przy czym 21 QQ >
a) b)
Rys. 16.9 Charakterystyki czstotliwociowe filtru rodkowoprzepustowego drugiego rzdu:
a) amplitudowe, b) fazowe
Z charakterystyk czstotliwociowych wida, e pulsacja rodkowa odpowiada
wartoci maksymalnej charakterystyki amplitudowej. Dobro filtru okrela stosunek pulsacji
rodkowej 0ω do 3 decybelowego pasma przenoszenia 0ω∆ (zakres czstotliwoci którego
krace wyznaczaj wartoci charakterystyki amplitudowej przyjmujce 2/1 wartoci
maksymalnej)
0
0
ωω
∆=Q (16.27)
Interpretacja 3 decybelowego pasma przenoszenia przedstawiona jest na rys. 16.10.
384
Rys. 16.10 Interpretacja 3 decybelowego pasma przenoszenia
16.3.4 Charakterystyki czstotliwociowe filtru górnoprzepustowego
Po wstawieniu zalenoci ωjs = do wzoru na transmitancj )(sTGP otrzymuje si
charakterystyk czstotliwociow filtru górnoprzepustowego w postaci
Qj
AjT GP
GP022
0
2
)()( ωωωω
ωω+−
−= (16.28)
Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystyk amplitudow a
faza – charakterystyk fazow układu. Charakterystyki te wyraone s wzorami
• charakterystyka amplitudowa
2
02220
2
)(
)(
+−
=
Q
AjT GP
GP
ωωωω
ωω (16.29)
• charakterystyka fazowa
385
)(
arctg180)( 220
0
ωωωωωϕ
−−=
Qj o (16.30)
Na rys. 16.11a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 16.11b
charakterystyki fazowe filtru dolnoprzepustowego drugiego rzdu dla dwu rónych dobroci:
2/1>Q oraz 2/1≤Q .
a) b)
Rys. 16.11 Charakterystyki czstotliwociowe filtru górnoprzepustowego: a) amplitudowe,
b) fazowe
Dla dobroci 2/11 >Q charakterystyka amplitudowa jest niemonotoniczna i osiga
maksimum dla pulsacji
20
2/11
1
Qm
−= ωω (16.31)
Dla dobroci 2/11 ≤Q przebieg charakterystyki amplitudowej staje si monotoniczny i
maksimum funkcji nie wystpuje. Przy 2/11 =Q charakterystyka jest maksymalnie płaska.
386
Pulsacja mω (jeli jest okrelona) jest róna od pulsacji rodkowej 0ω . Jak z
charakterystyk czstotliwociowych wida pulsacja rodkowa odpowiada wartoci przy której
przesunicie fazowe układu jest równe 90 stopni. Moe by wic łatwo wyznaczona z
charakterystyki fazowej. Dobro układu mona z kolei prosto wyznaczy wykorzystujc
posta charakterystyki amplitudowej. Obliczajc j dla dwu wartoci czstotliwoci:
czstotliwoci maksymalnej (teoretycznie nieskoczonej) i rodkowej otrzymuje si
)()( 0
∞=
GP
GP
TjT
Qω
(16.32)
Wyznaczenie dobroci na podstawie charakterystyk czstotliwociowych polega wic na
okreleniu wartoci charakterystyki amplitudowej dla dwu czstotliwoci: maksymalnej
(teoretycznie nieskoczonej) i rodkowej a nastpnie podstawieniu do powyszego wzoru.
16.4 Charakterystyki czstotliwociowe układu n-tego rzdu
Najbardziej ogólnym przypadkiem jest układ opisany transmitancj operatorow T(s) n-tego
rzdu o postaci ogólnej zadanej wzorem
01
11
011
1
......
)(asasasabsbsbsb
sT nn
nn
mm
mm
++++++++= −
−
−− (16.33)
Załczony do podrcznika program interakcyjny CHARAKTERYSTYKI umoliwia
wykrelanie charakterystyk czstotliwociowych (amplitudowych i fazowych) układów
opisanych za pomoc transmitancji operatorowej o postaci okrelonej wzorem (16.33).
Transmitancja widmowa T(j) takiego układu wyznaczana jest z transmitancji operatorowej
T(s) przez podstawienie s=j. W wyniku otrzymuje si
( ) ( )( ) ( ) 01
11
011
1
...
...)(
ajajaja
bjbjbjbjT n
nn
n
mm
mm
++++++++= −
−
−−
ωωωωωωω (16.34)
Transmitancja widmowa przedstawia sob funkcj zespolon pulsacji ω i moe by zapisana
w postaci ogólnej jako
387
)()()( ωωω jBAjT += (16.35)
Cz rzeczywista A() i urojona B() s funkcjami zarówno współczynników ai, bi licznika
i mianownika transmitancji operatorowej, jak i aktualnej wartoci pulsacji . Charakterystyka
amplitudowa przedstawia sob moduł transmitancji widmowej okrelony wzorem
)()()( 22 ωωω BAjT += (16.36)
Charakterystyka fazowa jest faz transmitancji widmowej i wyznaczana jest z zalenoci
=
)()(
)(ωωωϕ
AB
arctg (16.37)
Powysze zalenoci zostały wykorzystane do badania charakterystyk czstotliwociowych
układów opisanych transmitancj operatorow T(s) zadawan przez uytkownika. Wejcie w
program CHARAKTERYSTYKI nastpuje przez kliknicie w ikon programu.
Rys. 16.12. Okno programu CHARAKTERYSTYKI
388
Uytkownik zadaje stopie licznika i mianownika transmitancji, a take wartoci wszystkich
współczynników wielomianu licznika i mianownika. Okrela równie zakres pulsacji, dla
którego wykrelane bd charakterystyki czstotliwociowe. W programie załoono, e
maksymalny rzd układu nie powinien przekroczy wartoci 9.
Wykorzystujc podane wczeniej zalenoci czstotliwociowe program wykrela
charakterystyki amplitudowe (liniow i logarytmiczn wyraon w decybelach) oraz
charakterystyk fazow w stopniach. Charakterystyki filtru zostaj wykrelone w oddzielnych
oknach, pozwalajcych na skalowanie oraz ogldanie w powikszeniu poszczególnych
odcinków krzywych.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 16.1
Wyznaczy charakterystyki czstotliwociowe obwodu przedstawionego na rys. 16.13 biorc
pod uwag transmitancj napiciow.
Rys. 16.13. Schemat obwodu do zadania 16.1
Rozwizanie
Transmitancja napiciowa obwodu okrelona jest wzorem
11
/1/1
)(+
=+
=sRCsCR
sCsTu
Transmitancja widmowa obwodu okrelona jest na podstawie transmitancji operatorowej
)(sTu przy załoeniu ωjs =
389
11
)(+
=RCj
jTu ωω
Charakterystyka amplitudowa
( ) 1
1)(
2 +=
RCjTu
ωω
Charakterystyka fazowa
( )RCωωϕ arctg)( −=
Na rys. 16.14 przedstawiono charakterystyk amplitudow i fazow dla wartoci
jednostkowych elementów obwodu (R = 1 Ω i C = 1F)
Rys. 16.14 Charakterystyki czstotliwociowe obwodu z rys. 16.12:
a) charakterystyka amplitudowa, b) charakterystyka fazowa
390
Zadanie 16.2
Wykreli charakterystyki czstotliwociowe członu inercyjnego pierwszego rzdu opisanego
wzorem
21
)(++=
ss
sT
Rozwizanie
Przy załoeniu ωjs = otrzymuje si charakterystyk widmow postaci
21
)(++=
ωωω
jj
jT
Charakterystyka amplitudowa
4
1)(
2
2
++=
ωωωjT
Charakterystyka fazowa
2arctgarctg)(
ωωωϕ −=
Na rys. 16.15 przedstawiono wykresy charakterystyki amplitudowej (rys. 16.15a) i fazowej
(rys. 16.15b).
391
Rys. 16.15 Wykresy charakterystyki amplitudowej (a) i fazowej (b) członu inercyjnego z
zadania 16.2
Zadanie 16.3
Napisa wyraenie na transmitancj filtru bikwadratowego dolno-, rodkowo- i
górnoprzepustowego o nastpujcych parametrach: 10 =ω , Q = 2 przy jednostkowych
wzmocnieniach w pasmach przepustowych.
Rozwizanie
Korzystajc z podstawowych wzorów na transmitancje bikwadratowe otrzymuje si
• Filtr dolnoprzepustowy
15,01
)( 2 ++=
sssTDP
• Filtr rodkowoprzepustowy
15,05,0
)( 2 ++=
sss
sTDP
392
• Filtr górnoprzepustowy
15,0)( 2
2
++=
sss
sTDP
393
Lekcja 17. Czwórniki
Wstp
W opisie obwodów elektrycznych bardzo czsto interesuj nas jedynie odpowiedzi dotyczce
jednej gałzi obwodu w zalenoci od sygnału wymuszajcego przyłoonego na wejciu
obwodu. W takim przypadku wygodnie jest sprowadzi opis obwodu do zalenoci
wystpujcych midzy prdami i napiciami na zaciskach uwaanych za wejcie i wyjcie,
wprowadzajc pojcie czwórnika.
Lekcja siedemnasta powicona jest podstawowym informacjom o czwórnikach.
Zostan podane definicje oraz podstawowe opisy macierzowe czwórników: impedancyjny,
admitancyjny, hybrydowy oraz łacuchowy. Rozpatrzone zostan róne połczenia
czwórnikowe oraz opisy macierzowe takich układów. Pokazany zostanie zwizek
transmitancji operatorowej z opisem macierzowym czwórnika.
17.1 Definicja czwórnika
Czwórnik jest elementem czterozaciskowym, majcym dwie pary uporzdkowanych
zacisków, z których jedna para jest wejciem a druga para wyjciem Oznaczenie czwórnika z
zaznaczonymi zwrotami prdów i napi kocówkowych jest przedstawione na rys. 17.1.
Rys. 17.1. Oznaczenie czwórnika z zaznaczonymi zwrotami prdów i napi
W odniesieniu do wejcia i wyjcia czwórnika musi by spełniony warunek równoci
prdów:
'11 II = (17.1)
394
'22 II = (17.2)
jak to zaznaczono na rysunku. Sygnały prdu i napicia po stronie wejciowej oznacza
bdziemy ze wskanikiem 1, a po stronie wyjciowej – ze wskanikiem 2. Przyjmiemy
umownie, e oba prdy: na wejciu i wyjciu s zwrócone do prostokta oznaczajcego
czwórnik.
W zalenoci od elementów tworzcych obwód, czwórnik moe by liniowy (gdy
wszystkie elementy obwodu s liniowe) lub nieliniowy. W dalszych rozwaaniach
ograniczymy si wyłcznie do czwórników liniowych. Czwórnik nazywa bdziemy
pasywnym, jeli nie wytwarza energii a jedynie pobiera j ze ródła zasilajcego i przetwarza
w okrelony sposób. Czwórnik złoony z samych elementów pasywnych R, L, C i M jest
zawsze czwórnikiem pasywnym. Czwórnik pasywny jest zdolny do gromadzenia i
rozpraszania energii pobranej ze ródła, moe j równie oddawa na zewntrz, jednak w
dowolnej chwili czasowej t energia ta nie moe przewysza energii pobranej. Czwórnik,
który nie spełnia powyszych warunków jest czwórnikiem aktywnym (generatorem energii).
17.2 Równania czwórnika
Czwórnik moe by scharakteryzowany za pomoc dwóch równa liniowych wicych ze
sob dwa wielkoci prdowe i dwie napiciowe dotyczce bramy wejciowej i wyjciowej:
1I , 2I , 1U oraz 2U . W zalenoci od wyboru zmiennych mona wyróni 6 podstawowych
postaci równa czwórnika. S to
• posta admitancyjna, w której prdy wejciowy i wyjciowy (I1, I2) s wyraone w
zalenoci od napi zewntrznych (U1, U2)
• posta impedancyjna, w której napicia wejciowe i wyjciowe (U1, U2) s wyraone w
zalenoci od prdów kocówkowych (I1, I2)
• posta hybrydowa w której para wielkoci (U1, I2) jest wyraona jako funkcja drugiej pary
(I1, U2)
• posta hybrydowa odwrotna w której para wielkoci (I1, U2) jest wyraona jako funkcja
drugiej pary (U1, I2)
• posta łacuchowa w której para wielkoci (U1, I1) dotyczca zacisków wejciowych jest
wyraona jako funkcja drugiej pary (U2, I2) zwizanej z zaciskami wyjciowymi
395
• posta łacuchowa odwrotna w której para wielkoci (U2, I2) dotyczca zacisków
wyjciowych jest wyraona jako funkcja drugiej pary (U1, I1) zwizanej z zaciskami
wejciowymi.
17.2.1 Równanie admitancyjne
Jeeli za zmienne niezalene przyjmie si napicia obu bram U1 oraz U2 czwórnik przyjmie
opis admitancyjny, który mona wyrazi w postaci
=
=
2
1
2
1
2221
1211
2
1
U
U
U
U
YY
YY
I
IY (17.3)
Macierz Y jest nazywana macierz admitancyjn a parametry tej macierzy maj interpretacj
admitancji operatorowych.
17.2.2 Równanie impedancyjne
Jeeli za zmienne niezalene przyjmie si prdy obu bram I1 oraz I2 , czwórnik przyjmie opis
impedancyjny, który mona wyrazi w postaci
=
=
2
1
2
1
2221
1211
2
1
I
I
I
I
ZZ
ZZ
U
UZ (17.4)
Macierz Z jest nazywana macierz impedancyjn a parametry tej macierzy maj interpretacj
impedancji operatorowych. Łatwo jest udowodni, e macierze impedancyjna i admitancyjna
s powizane relacj
1−= ZY (17.5)
17.2.3 Równanie hybrydowe
Przy opisie hybrydowym za zmienne niezalene wybiera si prd wejciowy i napicie
wyjciowe czwórnika. Równanie hybrydowe przyjmuje si w postaci
=
=
2
1
2
1
2221
1211
2
1
U
I
U
I
HH
HH
I
UH (17.6)
396
w której H jest macierz hybrydow. Jak wida z opisu hybrydowego parametr H11 ma
interpretacj impedancji a H22 admitancji. Parametry H12 i H21 s bezwymiarowe i wyraaj
stosunek odpowiednio dwu napi i dwu prdów w obwodzie.
17.2.3 Równanie hybrydowe odwrotne
Opis hybrydowy odwrotny czwórnika definiuje si w postaci
=
=
2
1
2
1
2221
1211
2
1
I
U
I
U
GG
GG
U
IG (17.7)
Stanowi on odwrotno opisu hybrydowego macierz H. Obie macierze powizane s
nastpujca relacj 1−= HG .
17.2.4 Równanie łacuchowe
Równanie łacuchowe czwórnika uzalenia prd i napicie na wejciu czwórnika od prdu i
napicia na jego wyjciu
−=
−
=
2
2
2
2
2221
1211
1
1
I
U
I
U
AA
AA
I
UA (17.8)
W równaniu tym, inaczej ni w pozostałych opisach, przyjmuje si prd 2I wypływajcy z
czwórnika, w zwizku z czym przy załoonym na wstpie zwrocie prdu do czwórnika w
opisie pojawia si prd wyjciowy ze znakiem minus. Elementy macierzy łacuchowej A
nazywane s parametrami łacuchowymi czwórnika.
17.2.5 Równanie łacuchowe odwrotne
Równanie łacuchowe odwrotne czwórnika uzalenia prd i napicie na wyjciu czwórnika
od prdu i napicia na jego wejciu
−=
−
=
1
1
1
1
2221
1211
2
2
I
UB
I
U
BB
BB
I
U (17.9)
397
Ostatni rodzaj opisu czwórnikowego (równanie łacuchowe odwrotne) jest rzadko stosowany.
Macierz B wystpujca w tym opisie nazywana jest macierz łacuchow odwrotn.
Kady z przedstawionych typów macierzy jednoznacznie opisuje czwórnik. Wybór
którego z nich jest uwarunkowany struktur obwodu, sposobem połczenia czwórników,
łatwoci wyznaczenia parametrów, itp. Przejcie z jednego opisu do drugiego polega na
przegrupowaniu zmiennych i wyznaczeniu odpowiednich relacji midzy tymi zmiennymi.
Dua liczba stosowanych opisów macierzowych czwórnika wynika równie z faktu,
e dla niektórych czwórników pewne opisy mog nie istnie. Najbardziej uniwersalne pod
tym wzgldem s opisy hybrydowe wykorzystujce macierz H lub G, które mona otrzyma
dla wikszoci obwodów elektrycznych.
Przykład 17.1
Wyznaczy opis czwórnika przedstawionego na rys. 17.2. Czwórnik ten nosi nazw
czwórnika typu T i jest jedn z najpopularniejszych struktur czwórnikowych.
Rys. 17.2. Schemat obwodu do przykładu 17.1
Rozwizanie
Z prawa napiciowego i prdowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu z rys. 17.2 mona
napisa nastpujce równania
( )( )22221 1 IYZYUIII −++=−=
221121 IZIZUU −+=
Po podstawieniu równania pierwszego do drugiego otrzymuje si
398
( ) ( )( )22121211 1 IYZZZZUYZU −++++=
Jeli jako opis macierzowy przyjmiemy równanie łacuchowe to zalenoci okrelajce prd
wejciowy i napicie wejciowe w funkcji prdu i napicia wyjciowego mona zapisa w
postaci
−
++++
=
2
2
2
21211
1
1
11
I
U
YZY
YZZZZYZ
I
U
Macierz łacuchowa A dana jest wic wzorem
++++
=YZY
YZZZZYZ
2
21211
11
A
Jeli jako opis macierzowy przyjmiemy równanie impedancyjne, wówczas z przetworzenia
równania łacuchowego otrzymujemy
++
=
2
1
2
1
2
1
I
I
ZZZ
ZZZ
U
U
Macierz impedancyjna dana jest wic w postaci
++
=2
1
ZZZ
ZZZZ
Jest to macierz symetryczna, która jest równa macierzy oczkowej obwodu tworzcego
analizowany czwórnik.
17.3 Zwizek transmitancji operatorowych z opisem czwórnikowym
Opis macierzowy czwórników jest najbardziej uniwersalnym opisem układu
czterokocówkowego, obejmujcym wszystkie cztery wielkoci zewntrzne: prdy i napicia
obu bram. Jest zatem idealny do wyznaczenia dowolnej transmitancji układu, gdy z jednego
399
równania czwórnikowego wynikaj wszystkie moliwe zwizki midzy wielkociami
bramowymi. W lekcji tej tym pokaemy zwizek opisu transmitancyjnego z parametrami
macierzowymi czwórnika.
17.3.1 Transmitancja napiciowa
Wemy pod uwag transmitancj napiciow, jako stosunek napicia wyjciowego do
napicia wejciowego w dziedzinie operatorowej przy załoeniu zerowego prdu obcienia
czwórnika ( 0)(2 =sI )
)()(
)(1
2
sUsU
sTu = (17.10)
Z równania łacuchowego, wobec 0)(2 =sI otrzymujemy
)()( 2111 sUAsU = (17.11)
Std
111
2 1)()(
)(AsU
sUsTu == (17.12)
O transmitancji napiciowej decyduje jeden parametr łacuchowy A11 czwórnika. W
identyczny sposób uzyska mona relacj wic transmitancj napiciow z parametrami
dowolnego opisu czwórnikowego. Przykładowo na podstawie opisu admitancyjnego z
równania drugiego czwórnika, wobec 02 =I , wynika
02221212 =+= UYUYI (17.13)
Std
22
21
1
2
)()(
)(YY
sUsU
sTu −== (17.14)
400
17.3.2 Impedancja wejciowa
Okrelenie funkcji impedancji wejciowej układu czwórnika wymaga ustalenia przy jakiej
impedancji obcienia badany jest czwórnik. Załómy w ogólnoci obcienie czwórnika
impedancj Zo. Z równa łacuchowych czwórnika otrzymuje si
)()())(()()(
)()())(()()(
2222212222211
2122112122111
sUYAsUAsIAsUAsI
sUYAsUAsIAsUAsU
o
o
+=−+=+=−+=
(17.15)
gdzie Yo oznacza admitancj obcienia (odwrotno impedacji Zo, Yo=1/Zo). Z powyszych
równa otrzymuje si
o
owe YAA
YAAsIsU
sZ2221
1211
1
1
)()(
)(++== (17.16)
Impedancja wejciowa czwórnika obcionego jest funkcj wszystkich parametrów
łacuchowych tego czwórnika. Pewne uproszczenia powstaj w stanach szczególnych
obcie. Na przykład w stanie jałowym na zaciskach wyjciowych (Yo=0)
21
11)(AA
sZwe = (17.17)
oraz w stanie zwarcia na wyjciu ( ∞=oY )
22
12)(AA
sZwe = (17.18)
impedancja wejciowa zaley wyłcznie od dwóch parametrów łacuchowych. Identyczne
zalenoci okrelajce impedancje wejciow otrzyma mona na podstawie dowolnego opisu
czwórnikowego.
Przykład 17.2
Wyznaczy wyraenie na transmitancj napiciow i impedancj wejciow czwórnika z
przykładu 17.1
401
Rozwizanie
Macierz łacuchowa czwórnika z przykładu 17.1 ma posta
++++
=YZY
YZZZZYZ
2
21211
11
A
Transmitancja napiciowa w stanie jałowym na wyjciu jest wic równa
11111
2
111
)()(
)(ZZ
ZYZAsU
sUsTu +
=+
===
Wobec braku obcienia czwórnika przez impedancj Z2 nie przepływa prd, std całe
napicie wyjciowe pochodzi z impedancji poprzecznej Z (dzielnik impedancyjny).
Impedancja wejciowa czwórnika przy obcieniu bramy wyjciowej impedancj Zo
na podstawie wzoru (17.16) jest równa
o
o
o
owe YYZY
YYZZZZYZYAAYAA
sIsU
sZ)1(
)()1()()(
)(2
21211
2221
1211
1
1
++++++=
++==
Jest ona funkcj wszystkich parametrów układu oraz impedancji obcienia.
17.4 Połczenia czwórników
Mnogo opisów czwórnikowych wynika z rónorodnoci połcze, jakie s moliwe przy
załoeniu dostpnoci obu bram: wejciowej i wyjciowej. Rozwaymy tu podstawowe
połczenie czwórników midzy sob: połczenie łacuchowe, szeregowe, równoległe oraz
szeregowo-równoległe i równolegle-szeregowe.
17.4.1 Połczenie łacuchowe
Połczenie łacuchowe, zwane równie kaskadowym czwórników to takie połczenie , w
którym zaciski wejciowe jednego czwórnika s przyłczone do zacisków wyjciowych
poprzedniego. Przykład połczenia łacuchowego dwu czwórników przedstawiony jest na
rys. 17.3.
402
Rys. 17.3. Połczenie łacuchowe czwórników
Łatwo jest pokaza, e macierz łacuchowa A czwórników połczonych kaskadowo jest
równa iloczynowi macierzy łacuchowych poszczególnych czwórników tworzcych to
połczenie
21AAA = (17.19)
Przy wikszej liczbie czwórników połczonych kaskadowo macierz łacuchowa wypadkowa
jest równa iloczynowi macierzy łacuchowych wszystkich czwórników branych w kolejnoci
ich wystpowania w łacuchu.
nAAAA ⋅⋅⋅= 21 (17.20)
Naley zwróci uwag, e przy mnoeniu macierzy istotna jest kolejno tych macierzy, gdy
w ogólnoci 1221 AAAA ≠ .
17.4.2 Połczenie szeregowe czwórników
Dwa czwórniki s połczone szeregowo, jeli spełnione s warunki:
• prd wejciowy jednego czwórnika jest równy prdowi wejciowemu drugiego a prd
wyjciowy jednego czwórnika jest równy prdowi wyjciowemu drugiego
• napicie wejciowe (wyjciowe) połczenia jest równe sumie napi wejciowych
(wyjciowych) kadego czwórnika.
Na rys. 17.4 przedstawiono układ dwu czwórników połczonych szeregowo, spełniajcy
powysze warunki.
403
Rys. 17.4. Połczenie szeregowe czwórników
Łatwo jest pokaza, e w połczeniu szeregowym czwórników macierz impedancyjna Z
połczenia jest równa sumie macierzy impedancyjnych kadego czwórnika. Oznacza to, e
21 ZZZ += (17.21)
Przy wikszej liczbie czwórników połczonych szeregowo macierz impedancyjna
wypadkowa jest równa sumie macierzy impedancyjnych wszystkich czwórników
wystpujcych w połczeniu.
=
=n
ii
1
ZZ (17.22)
Kolejno sumowania macierzy impedancyjnych nie odgrywa adnej roli.
17.4.3 Połczenie równoległe czwórników
Dwa czwórniki s połczone równolegle, jeli spełnione s warunki:
• napicie wejciowe kadego czwórnika jest takie samo, podobnie napicie wyjciowe
• prd wejciowy (wyjciowy) połczenia jest równy sumie prdów wejciowych
(wyjciowych) kadego czwórnika.
Na rys. 17.5 przedstawiono układ dwu czwórników połczonych równolegle, spełniajcy
powysze warunki.
404
Rys. 17.5. Połczenie równoległe czwórników
Łatwo jest pokaza, e w połczeniu równoległym czwórników macierz admitancyjna Y
połczenia jest równa sumie macierzy admitancyjnych kadego czwórnika. Oznacza to, e
21 YYY += (17.23)
Przy wikszej liczbie czwórników połczonych równolegle macierz admitancyjna
wypadkowa jest równa sumie macierzy admitancyjnych wszystkich czwórników
wystpujcych w połczeniu.
=
=n
ii
1
YY (17.24)
Kolejno sumowania macierzy admitancyjnych nie odgrywa adnej roli.
17.4.4 Połczenie szeregowe-równoległe czwórników
Dwa czwórniki s połczone szeregowo-równolegle, jeli spełnione s warunki:
• prd wejciowy kadego czwórnika jest taki sam a napicie wejciowe połczenia jest
równe sumie napi wejciowych kadego czwórnika
• prd wyjciowy połczenia jest równy sumie prdów wyjciowych kadego czwórnika a
napicie wyjciowe obu czwórników jest takie samo.
Na rys. 17.6 przedstawiono układ dwu czwórników połczonych szeregowo-równolegle
(szeregowo po stronie zacisków wejciowych i równolegle po stronie zacisków
wyjciowych), spełniajcy powysze warunki.
405
Rys. 17.6. Połczenie szeregowo-równoległe czwórników
Łatwo jest pokaza, e w połczeniu szeregowo-równoległym czwórników macierz
hybrydowa H połczenia jest równa sumie macierzy hybrydowych H kadego czwórnika.
Oznacza to, e
21 HHH += (17.25)
Przy wikszej liczbie czwórników połczonych szeregowo-równolegle macierz hybrydowa H,
wypadkowa dla całego połczenia jest równa sumie macierzy hybrydowych H wszystkich
czwórników wystpujcych w połczeniu.
=
=n
ii
1
HH (17.26)
Kolejno sumowania macierzy hybrydowych nie odgrywa adnej roli.
17.4.5 Połczenie równoległo-szeregowe czwórników
Dwa czwórniki s połczone równolegle-szeregowo, jeli spełnione s warunki:
• napicie wejciowe kadego czwórnika jest takie samo a prd wejciowy połczenia jest
równy sumie prdów wejciowych kadego czwórnika
• prd wyjciowy kadego czwórnika jest taki sam a napicie wyjciowe połczenia jest
równe sumie napi wyjciowych kadego z nich.
Na rys. 17.7 przedstawiono układ dwu czwórników połczonych równolegle-szeregowo
(równolegle po stronie zacisków wejciowych i szeregowo po stronie zacisków
wyjciowych), spełniajcy powysze warunki.
406
Rys. 17.7. Połczenie równoległo-szeregowe czwórników
Łatwo jest pokaza, e w połczeniu równolegle-szeregowym czwórników macierz
hybrydowa odwrotna G połczenia jest równa sumie macierzy hybrydowych G kadego
czwórnika. Oznacza to, e
21 GGG += (17.27)
Przy wikszej liczbie czwórników połczonych równolegle-szeregowo macierz hybrydowa
odwrotna G, wypadkowa dla całego połczenia jest równa sumie macierzy hybrydowych G
wszystkich czwórników wystpujcych w połczeniu.
=
=n
ii
1
GG (17.28)
Kolejno sumowania macierzy nie odgrywa adnej roli.
Zadania sprawdzajce
Zadanie 17.1
Wyznaczy macierzowy opis czwórnikowy czwórnika typu Π o strukturze podanej na rys.
17.8.
407
Rys. 17.8. Struktura i oznaczenia admitancji w czwórniku typu Π
Rozwizanie
Układ równa Kirchhoffa opisujcych obwód
( )2133
3222
3111
UUYI
IUYI
IUYI
−=−=
+=
Równania czwórnikowe
( )( ) 2321232
231311
UYYUYI
UYUYYI
++−=−+=
Macierz admitancyjna
+−−+
=323
331
YYY
YYYY
Zadanie 17.2
Wyznaczy macierz łacuchow czwórnika odpowiadajcego obwodowi z rys. 17.9. Okreli
na tej podstawie transmitancj napiciow układu.
408
Rys. 17.9. Schemat obwodu do zadania 17.2
Rozwizanie
Z równa Kirchhoffa dla obwodu z rys. 17.9 otrzymuje si
22
22212111 U
ZU
IkIZUIZU +
+−=+=
2
2221 Z
UIkII +−=
Opis łacuchowy czwórnika
−
−
−+=
2
2
2
112
1
1
1
11
1
I
U
kZ
kZZZZ
I
U
Transmitancja napiciowa okrelana przy załoeniu 02 =I jest równa
21
2
11
1)(
ZZZ
AsTu +
==
Zadanie 17.3
Wyznaczy transmitancj napiciow czwórnika na podstawie znanej macierzy
impedancyjnej Z.
Rozwizanie
409
Transmitancja napiciowa z załoenia okrelona jest przy warunku 02 =I . Z opisu
impedancyjnego czwórnika
=
=
2
1
2
1
2221
1211
2
1
I
I
I
I
ZZ
ZZ
U
UZ
wobec 02 =I otrzymujemy
1212
1111
IZU
IZU
==
Std
11
21
1
2)(ZZ
UU
sTu ==
410
Lekcja 18. Wybrane zastosowania czwórników
Wstp
Istnieje ogromna rónorodno czwórników wanych z punktu widzenia zastosowa
praktycznych. Tutaj ograniczymy si do trzech, najbardziej reprezentatywnych z punktu
widzenia zastosowa inynierskich: yratora, konwertera ujemno-impedancyjnego oraz
idealnego wzmacniacza napiciowego.
Pokaemy analiz wybranych zastosowa tych czwórników. Udowodnimy
uniwersalno wzmacniacza operacyjnego, pozwalajcego zrealizowa wiele typów układów,
w tym układ sumatora wielowejciowego, układ całkujcy, układ róniczkujcy, przesuwnik
fazowy, yrator i konwerter ujemno-impedancyjny.
18.1 yrator
yrator jest czwórnikiem opisanym nastpujc macierz łacuchow
−
=
2
2
1
1
00
I
U
G
R
I
U
z
z (18.1)
Parametr zG jest nazywany konduktancj yracji a zz GR /1= rezystancj. Oznaczenia
graficzne yratora przedstawione s na rys. 18.1.
Rys. 18.1. Oznaczenia graficzne yratora
411
Znak minus wystpujcy przy prdzie wyjciowym wynika z przyjtego zwrotu prdu
wyjciowego (do pudełka). Równaniu łacuchowemu yratora odpowiada opis admitancyjny
o postaci
−=
2
1
2
1
00
U
U
G
G
I
I
z
z (18.2)
Najwaniejsz własnoci yratora jest przetwarzanie impedancji obcienia w impedancj
odwrotnie proporcjonaln do niej. Rozwamy układ yratora obcionego impedancj oZ
(rys. 18.2).
Rys. 18.2. Układ yratora obcionego impedancj
Impedancja wejciowa takiego układu zdefiniowana w postaci
1
1
IU
Z we = (18.3)
po uwzgldnieniu wzoru (17.16) wobec 011 =A , zRA =12 , zGA =12 , 022 =A jest równa
o
z
o
owe Z
RYAAYAA
Z2
2221
1211 =++= (18.4)
Impedancja układu yratora obcionego impedancj Zo jest odwrotnie proporcjonalna do
impedancji obcienia ze współczynnikiem proporcjonalnoci równym 2zR . Jeli yrator
zostanie obciony kondensatorem o impedancji operatorowej równej Zo = 1/sC (rys. 18.2)
412
to impedancja wejciowa układu jest równa
CsRZ zwe2= (18.5)
Jest to posta odpowiadajca ogólnemu opisowi impedancji operatorowej cewki ZL=sL.
Zatem układ yratora obcionego pojemnoci C przedstawia sob cewk o indukcyjnoci L
CRL z2= (18.6)
Powyszej zalenoci matematycznej mona przyporzdkowa transformacj układow
zilustrowan na rys. 18.3.
Rys. 18.3. Realizacja indukcyjnoci przy pomocy yratora
yrator jako czwórnik jest bardzo łatwo realizowalny w praktyce przy wykorzystaniu
układów tranzystorowych lub wzmacniaczy operacyjnych. Z tego wzgldu układy
wykorzystujce yratory s powszechnie stosowane w układach elektronicznych (np. filtrach)
eliminujc z nich cewki, trudno realizowalne w technologii scalonej.
18.2 Konwerter ujemno-impedancyjny (NIC)
Konwerter ujemno-impedancyjny (NIC) jest czwórnikiem aktywnym (wytwarzajcym
energi) posiadajcym własno przetwarzania prdu bd napicia z ujemnym znakiem.
Wyrónia si dwa rodzaje konwerterów ujemno-impedancyjnych
413
• NIC z inwersj prdu (INIC)
−
−=
2
2
1
1
001
I
U
KI
U
i
(18.7)
• NIC z inwersj napicia (VNIC)
−
−=
2
2
1
1
100
I
UK
I
U u (18.8)
Parametr K (Ki dla konwertera ujemno-impedancyjnego prdu oraz Ku dla konwertera
ujemno-impedancyjnego napicia) jest współczynnikiem przetwarzania bd prdu bd
napicia. W konwerterze INIC prd wejciowy jest proporcjonalny do prdu wyjciowego z
ujemnym współczynnikiem proporcjonalnoci –Ki przy niezmienionej wartoci napicia
wejciowego. W konwerterze VNIC napicie wejciowe jest proporcjonalne do napicia
wyjciowego z ujemnym współczynnikiem proporcjonalnoci –Ku przy niezmienionym
prdzie wejciowym.
Konwerter impedancyjny przetwarza impedancj obcienia w impedancj wejciow
z ujemnym znakiem. Rozwamy układ konwertera INIC obcionego impedancj Zo,
przedstawiony na rys. 18.4
Rys. 18.4. Układ konwertera ujemno-impedancyjnego obcionego impedancj
414
Wykorzystujc równania konwertera i uwzgldniajc równanie opisujce obcienie
22 )( UIZU oo =−= impedancja wejciowa układu dana jest zalenoci
i
o
iwe K
ZIK
UI
UZ −=
−−==
)( 2
2
1
1 (18.9)
Jak z powyszego równania wynika konwerter ujemno-impedancyjny obciony impedancj
Zo reprezentuje sob (z punktu widzenia wejcia) impedancj ujemn io KZ /− . Podobn
własno ma konwerter ujemno-impedancyjny napicia (VNIC).
Cecha ta moe by wykorzystana do realizacji rezystancji ujemnej. Mianowicie
przyjmujc obcienie konwertera rezystancj oo RZ = otrzymuje si impedancj wejciow
równ iowe KRZ /−= . Naley pamita, e ujemna rezystancja zastosowana samodzielnie
prowadzi do niestabilnoci układu (wobec ujemnych wartoci rezystancji bieguny układu
znajd si w prawej półpłaszczynie). Z tego wzgldu stosuje si j zwykle w specjalnych
połczeniach z innymi elementami obwodowymi zapewniajcymi stabilne działanie układu.
Konwerter ujemno-impedancyjny jest łatwo realizowalny w technologii scalonej przy
wykorzystaniu tranzystorów lub wzmacniaczy operacyjnych. Z tego wzgldu jest chtnie
wykorzystywany w elektronice przy realizacji filtrów, generatorów i innych układów
przetwarzania sygnałów.
18.3 Idealny wzmacniacz napiciowy
Idealny wzmacniacz napicia jest czwórnikiem opisanym nastpujc macierz hybrydow
=
2
1
2
1
000
I
U
AU
I (18.10)
Jak wynika z powyszej zalenoci idealny wzmacniacz napiciowy nie pobiera prdu
(impedancja wejciowa równa nieskoczonoci) a przetwarza jedynie napicie wejciowe w
wyjciowe zgodnie z relacj
12 AUU = (18.11)
415
Oznaczenie techniczne wzmacniacza i odpowiadajcy mu schemat obwodowy reprezentujcy
równanie (18.10) przedstawia rys. 18.5.
Rys. 18.5. Oznaczenie wzmacniacza napiciowego o skoczonym wzmocnieniu A
Wejcie układu stanowi przerw (impedancja wejciowa równa nieskoczonoci). Na wyjciu
istnieje jedynie idealne ródło napicia sterowane napiciem. Std impedancja wyjciowa
takiego układu jest równa zeru.
18.4 Idealny wzmacniacz operacyjny
Wzmacniacz operacyjny jest szczególnym rodzajem wzmacniacza napiciowego niezwykle
wanym i czsto stosowanym przy realizacji innych układów. Jego oznaczenie oraz zastpczy
schemat obwodowy przedstawia rys. 18.6.
Rys. 18.6. Oznaczenie idealnego wzmacniacza operacyjnego
Idealny wzmacniacz operacyjny nie pobiera prdu na wejciu (impedancja wejciowa równa
nieskoczonoci) a jego napicie wyjciowe jest proporcjonalne do wejciowego napicia
416
rónicowego −+ −= UUU1 , przy czym +U jest napiciem wejcia nieodwracajcego a −U
napiciem wejcia odwracajcego wzmacniacza
12 AUU = (18.12)
Przy załoeniu idealnoci wzmacniacza operacyjnego warto wzmocnienia A dy do
nieskoczonoci. Biorc pod uwag, e napicie wyjciowe wzmacniacza moe przyjmowa
jedynie wartoci skoczone, napicie rónicowe 1U w idealnym wzmacniaczu operacyjnym
musi by równe zeru. Idealny wzmacniacz operacyjny zachowuje si wic tak, jakby stanowił
na wejciu jednoczenie zwarcie i rozwarcie. W efekcie idealny wzmacniacz operacyjny
charakteryzuje si nastpujcymi właciwociami:
• nieskoczona warto wzmocnienia napiciowego
• zerowa warto impedancji wyjciowej
• nieskoczona impedancja wejciowa
• spełnienie wszystkich powyszych cech dla zakresu czstotliwoci od zera do
nieskoczonoci.
Na rys. 18.7 przedstawiono obwodowy schemat zastpczy idealnego wzmacniacza
operacyjnego, wykorzystujcy ródło napicia sterowane napiciem.
Rys. 18.7. Schemat zastpczy idealnego wzmacniacza operacyjnego
W rzeczywistoci wzmacniacz operacyjny realizowany w technologii scalonej ma skoczon
warto zarówno impedancji wejciowej (rzdu megaomów) jak i wzmocnienia
napiciowego. Co wicej wzmocnienie napiciowe jest w istotny sposób zalene od
czstotliwoci i zmienia si od wartoci około miliona dla napi stałych (f=0) do wartoci
równej jeden przy czstotliwoci rzdu megaherców. Impedancja wyjciowa wzmacniacza
rzeczywistego przyjmuje warto około Ω70 zamiast wartoci zerowej w przypadku
417
idealnym. Wartoci powysze mog si zmienia w zalenoci od technologii wykonania. W
zakresie czstotliwoci do 1kHz rzeczywisty wzmacniacz operacyjny z duym przyblieniem
moe by jednak traktowany jako idealny.
18.5 Wybrane zastosowania wzmacniaczy operacyjnych
Wzmacniacz operacyjny dziki swoim unikalnym cechom znalazł ogromne zastosowanie w
technice elektronicznej. Tutaj ograniczymy si do wybranych zastosowa, w tym realizacji
wzmacniacza sumacyjnego, układu całkujcego, układu róniczkujcego, przesuwnika
fazowego, konwertera ujemno-impedancyjnego oraz yratora.
18.5.1 Wzmacniacz sumacyjny
Wzmacniacz sumacyjny jest układem dokonujcym sumowania napi wejciowych z
odpowiedni, zadan wag. Jeli sygnały wejciowe oznaczymy jako Ui, to napicie
wyjciowe wzmacniacza sumacyjnego dane jest w postaci sumy waonej
jj
jo UkU = (18.13)
Wagi kj oznaczaj wzmocnienie (dodatnie lub ujemne) odpowiedniego sygnału Uj w układzie.
Schemat układu sumujacego sygnały wejciowe z dowoln wag przy ograniczeniu si do
jednego sygnału o wzmocnieniu ujemnym i jednego o wzmocnieniu dodatnim przedstawiono
na rys. 18.8.
418
Rys. 18.8. Schemat sumatora dwu sygnałów
Wobec przyjtych oznacze elementów i napi wzłowych z prdowego prawa Kirchhoffa
napisanego dla dwu wzłów obwodu wynikaj nastpujce równania
( )( ) ( )0011
022
UUGUGUUG
UGUUG
f −+=−
=−−−−−
+++
(18.14)
Ze wzgldu na nieskoczon warto wzmocnienia wzmacniacza operacyjnego napicie w
obu punktach sumacyjnych wzmacniacza jest sobie równe, to znaczy
−+ = UU (18.15)
Z rozwizania tego układu równa wynika
220
2 UGG
GU
+= +
+ (18.16)
oraz
419
11
220
1020 U
GG
UGG
GGG
GG
Uf
f
f
−+
++= +
−
(18.17)
Przy dwu sygnałach wejciowych sygnał wyjciowy wzmacniacza sumacyjnego jest wic
równy sumie waonej sygnałów wejciowych
22110 UkUkU += (18.18)
przy czym współczynniki wzmocnie obu torów
fG
Gk 1
1 −= (18.19)
20
1022 GG
GGG
GG
k f
f +++
= +
−
(18.20)
s przeciwnego znaku. Przedstawiona powyej struktura wzmacniacza pozwala wic
zrealizowa dowolne wzmocnienie, zarówno dodatnie jak i ujemne. Zauwamy, e jeli
przyjmiemy zrównowaony układ rezystorów, spełniajcy warunek równoci sumy
konduktancji włczonych w obu wzłach sumacyjnych
2010 GGGGG f +=++ +− (18.21)
to wyraenie na wzmocnienie k2 upraszcza si do postaci analogicznej jak wzmocnienie k1,
czyli
fG
Gk 2
2 = (18.22)
Przy spełnieniu warunku zrównowaenia konduktancji w wzłach sumacyjnych oba
wzmocnienia (dodatnie i ujemne) s okrelone jako stosunek odpowiedniej dla danego toru
konduktancji wejciowej do konduktancji sprzenia zwrotnego Gf. Reguła doboru
420
rezystorów dla uzyskania odpowiedniego wzmocnienia jest wic bardzo prosta, a
poszczególne tory nie wpływaj na siebie.
Co wicej przedstawiony tu układ wzmacniacza sumacyjnego łatwo jest uogólni na
sumator o dowolnej liczbie wej i wyj przez dodanie nastpnych kanałów.
Rys. 18.9. Schemat sumatora wielowejciowego o wzmocnieniach dodatnich i
ujemnych
Na rys. 18.9 przedstawiono schemat sumatora o wielu wejciach odwracajcych realizujcych
wzmocnienia ujemne i nieodwracajcych realizujcych wzmocnienia dodatnie pozwalajcych
uzyska dowolne, niezalene od siebie wartoci wzmocnie w kanale przy spełnieniu
warunku zrównowaenia konduktancji w wzłach dodatnim i ujemnym
+−
=
++
=
−− +=++n
kk
n
kkf GGGGG
10
10 (18.23)
421
Wzmocnienia w poszczególnych torach s wyraone wzorami identycznymi do przypadku
układu o dwu wejciach
f
ii G
Gk
−− −= (18.24)
dla −= ni ,...,2,1 oraz
f
ii G
Gk
++ = (18.25)
dla += ni ,...,2,1 . Warunek zrównowaenia jest łatwy do spełnienia ze wzgldu na
wystpienie nadmiarowych wartoci konduktancji doziemnych +0G oraz −
0G .
18.5.2 Układ całkujcy
Schemat układu realizujcego operacj całkowania z wykorzystaniem wzmacniacza
operacyjnego jest przedstawiony na rys. 18.10.
Rys. 18.10. Schemat układu całkujcego
Przyjmujc wzmacniacz jako idealny i wykorzystujc fakt, e wzmacniacz nie pobiera prdu
a jego napicie rónicowe jest równe zeru otrzymuje si nastpujce równania opisujce
układ
RIU =1 (18.26)
422
IsC
U1
2 −= (18.27)
Z przekształcenia tych równa wynika wzór na transmitancj napiciow
sRCU
UsT
1)(
1
2 −== (18.28)
Z porównania wzoru z zalenoci definicyjn układu całkujcego sksT /)( = wynika, e
obwód z rys. 18.10 realizuje człon całkujcy ze współczynnikiem RC
k1−= . Warto
współczynnika k jest ujemna.
18.5.3 Układ róniczkujcy
Schemat układu realizujcego operacj róniczkowania o transmitacji kssT =)( z
wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego jest przedstawiony na rys. 18.11.
Rys. 18.11. Schemat układu róniczkujcego
Podobnie jak w przypadku poprzednim przyjmujemy wzmacniacz jako idealny.
Uwzgldniajc to otrzymuje si nastpujce równania opisujce układ.
IsC
U1
1 = (18.29)
RIU −=2 (18.30)
423
Z przekształcenia tych równa wynika wzór na transmitancj napiciow układu
sRCUU
sT −==1
2)( (18.31)
Z porównania transmitacji z zalenoci definicyjn kssT =)( wynika, e obwód z rys. 18.11
realizuje człon róniczkujcy ze współczynnikiem RCk −= . Warto współczynnika jest
ustalana poprzez dobór rezystancji i pojemnoci układu.
18.5.4 Układ przesuwnika fazowego
Schemat układu przesuwnika fazowego przedstawiony jest na rys. 18.12.
Rys. 18.12. Schemat przesuwnika fazowego
Po uwzgldnieniu idealnoci wzmacniacza otrzymuje si nastpujce równania opisujce
obwód
21
1I
sCRU
+= (18.32)
211 2 UIRU f += (18.33)
212
1I
sCIRU f +−= (18.34)
424
Z pierwszego i drugiego równania wynika
sCR
UI
/11
2 += (18.35)
fRUU
I2
211
−= (18.36)
Po podstawieniu tych wielkoci do wzoru trzeciego opisujcego napicie wyjciowe
otrzymuje si
1121
2 /1/1
/11
2U
RCsRCs
sCRU
sCRUU
RUf
f ++−=
++
−−= (18.37)
Transmitancja napiciowa układu wynikajca z powyszego wzoru jest wic nastpujca
RCsRCs
UU
sT/1/1
)(1
2
++−== (18.38)
Z porównania tego wyniku z ogólna postaci transmitancji przesuwnika fazowego
asas
sT++−=)( (18.39)
wynika, e układ z rys. 18.12 realizuje przesuwnik fazowy z wartoci parametru a okrelon
wyraeniem
RCa /1= (18.40)
Sterujc wartoci rezystancji R lub pojemnoci C moemy zatem kształtowa
charakterystyk fazow przesuwnika i kt przesunicia midzy napiciem wejciowym i
wyjciowym.
425
18.5.5 Konwerter ujemno-impedancyjny (NIC)
Schemat obwodu przedstawiajcego realizacj konwertera ujemno-impedancyjnego prdu
przedstawiony jest na rys. 18.13.
Rys. 18.13. Schemat układu INIC
Po uwzgldnieniu idealnoci wzmacniacza operacyjnego z równa Kirchhoffa wynikaj
nastpujce zwizki
21 UU = (18.41)
2211 IRIR = (18.42)
Mona je zapisa w formie równania łacuchowego czwórnika
−
−=
2
2
1
2
1
1
0
01
I
U
RR
I
U (18.43)
odpowiadajcego dokładnie opisowi konwertera ujemno-impedancyjnego prdu ze stał
konwersji
1
2
RR
Ki = (18.44)
426
Ustalenie wartoci tej stałej odbywa si poprzez odpowiedni dobór rezystancji wystpujcych
w układzie.
18.5.6 yrator
yrator jest wyjtkowo wanym elementem obwodu, stosowanym powszechnie w
elektronice. Sporód wielu istniejcych realizacji obwodowych pokaemy jedn, łatw w
praktycznej implementacji stosujc wzmacniacze sumacyjne napiciowe o skoczonych
wzmocnieniach równych 1± . Schemat obwodowy yratora przedstawia rys. 18.14.
Rys. 18.14. Układ realizacji yratora wykorzystujcy wzmacniacze sumacyjne
Przy załoeniu idealnoci wzmacniaczy (impedancja wejciowa nieskoczona, impedancja
wyjciowa zerowa) prdy wejciowy i wyjciowy układu opisuj relacje
( )[ ] 22111 UGUUUGI zz =−−= (18.45)
( )[ ] 11222 UGUUUGI zz −=+−= (18.46)
Równanie admitancyjne układu dane jest wic w postaci
−=
2
1
2
1
00
U
U
G
G
I
I
z
z (18.47)
z której wynika, e konduktancja yracji jest równa konduktancji Gz wystpujcej w układzie.
427
18.6 Analiza układów ze wzmacniaczami operacyjnymi metod grafów przepływu
sygnałów Masona
Efektywna analiza układów elektronicznych zawierajcych wzmacniacze operacyjne przy
bezporednim uyciu praw Kirchhoffa jest moliwa jedynie dla obwodów zawierajcych mał
liczb wzmacniaczy. Przy analizie duych układów o wielu wzmacniaczach operacyjnych
najbardziej efektywne pozostaje zastosowanie metody grafów przepływowych Masona.
18.6.1 Podstawowe pojcia grafów Masona
Graf Masona jest graficznym odzwierciedleniem układu równa liniowych i odpowiada
przepływowi sygnałów w obwodzie elektrycznym. Wyróni w nim mona wzły,
odpowiadajce zmiennym wystpujcym w równaniu oraz gałzie opisane wagami,
odpowiadajce współczynnikom równa. Przykładowo, jeli dany jest układ równa
liniowych
2222121
1212111
Fxaxa
Fxaxa
=+=+
(18.48)
to w pierwszej kolejnoci naley go przekształci do postaci
22221212
12121111
)1(
)1(
Fxaxax
Fxaxax
−++=−++=
(18.49)
Graf Masona odpowiadajcy powyszemu układowi równa przedstawiony jest na rys. 18.15
Rys. 18.15. Graf Masona odpowiadajcy układowi równa liniowych (18.49)
428
Kademu wzłowi grafu odpowiada zmienna xi (i = 1, 2 w przykładzie) lub wymuszenie
jednostkowe. Wzły połczone s gałziami, którym przyporzdkowane s współczynniki
przy poszczególnych zmiennych układu równa (18.49). Współczynniki te, zwane
wzmocnieniami (transmitancjami) gałzi stanowi wagi, z jakimi sumowane s zmienne w
poszczególnych wzłach. Sygnał wzła (zmienna xi) jest równy sumie wagowej sygnałów
dopływajcych do danego wzła. W grafie mona wyróni ptle składajce si z gałzi
jednakowo skierowanych tworzcych zamknity cykl (bez powtórze gałzi i wzłów). W
szczególnoci ptl moe tworzy jedna gał wychodzca i wchodzca do tego samego
wzła. Transmitancja ptli jest równa iloczynowi wzmocnie (transmitancji) gałzi
tworzcych ptl.
Jedn z najwaniejszych zalet grafów Masona jest prosta reguła topologiczna
okrelajca dowolny sygnał w grafie. Reguła ta dotyczy transmitancji definiowanej jako
stosunek sygnału dowolnego wzła grafu uznanego za wyjciowy do sygnału wzła
ródłowego, czyli wzła z którego sygnały jedynie odpływaj (w przykładzie takim wzłem
jest wzeł o sygnale równym jeden). Oznaczmy t transmitancj przez we
wy
x
xT = . Zgodnie z
reguł Masona transmitancj t okrela wzór
∆
∆=k
kkTT (18.50)
W powyszym wyraeniu oznacza wyznacznik główny grafu okrelany zgodnie ze wzorem
...1,,,
+−+−=∆ kji
kjiji
jii
i GGGGGG (18.51)
We wzorze tym pierwsza suma oznacza sumowanie po wszystkich transmitancjach ptli Gi
istniejcych w grafie. Suma druga dotyczy iloczynów transmitancji ptli rozłcznych branych
po dwie naraz. Suma trzecia dotyczy iloczynów transmitancji ptli rozłcznych branych po
trzy. Rozwinicie wyznacznika prowadzi si a do wyczerpania wszystkich moliwych
kombinacji wielokrotnych ptli rozłcznych, biorc sumy na przemian ze znakiem plus i
minus, jak to pokazano we wzorze (18.51).
429
Wyraenie ∆k
kkT w liczniku transmitancji dotyczy sumowania po wszystkich
drogach prowadzcych od wzła ródłowego (wejciowego) do wzła wyjciowego, przy
czym Tk oznacza iloczyn wzmocnie gałzi prowadzcych od ródła do wzła wyjciowego a
k jest wyznacznikiem okrelonym dla tej czci grafu (podgrafu), która jest rozłczna z k-
t drog Tk (przy braku ptli w podgrafie wyznacznik jest tosamociowo równy 1).
Z rozwizania grafu z rys. 18.15 przy pomocy reguły Masona otrzymuje si
nastpujce transmitancje (wzeł ródłowy jest skojarzony z sygnałem jednostkowym):
( ) ( )[ ] ( )( )11111 221121122211
12222111 +++++++−
−==
aaaaaaaFaF
xT
( ) ( )[ ] ( )( )11111 221121122211
11221122 +++++++−
−−==
aaaaaaaFaF
xT
Rozwizania na wartoci zmiennych x1 i x2 układu równa (18.48) uzyskano bezporednio na
podstawie reguły topologicznej Masona zastosowanej wzgldem grafu z rys. 18.15. W
identyczny sposób mona wyznaczy rozwizanie dowolnie złoonego systemu opisanego
poprzez graf Masona.
Jako nastpny przykład rozpatrzmy graf przepływu sygnałów przedstawiony na rys. 18.16, o
wzmocnieniach gałzi opisanych literami a, b, c, … l.
Rys. 18.16. Graf przepływu sygnałów do przykładu
430
Stosujc reguł Masona wyznaczymy transmitancj wexx
T 5= . Bezporednio na podstawie
analizy struktury grafu otrzymuje si
( ) ( ) cdhlhlcdlcdhlhcdlbfjlbcejladfjhadgkhbgklaej
T−+++++−
−+−+−+−+−+−=1
)1()1()1()1()1()1(
W transmitancji tej wyraenie mianownika (wyznacznik główny ) zawiera trzy składniki
zwizane z ptlami (suma wzmocnie wszystkich ptli, iloczynów wzmocnie ptli
rozłcznych branych po dwa i ptli rozłcznych branych po trzy).
18.6.2 Zastosowanie grafu Masona w analizie obwodów ze wzmacniaczami
Graf Masona mona narysowa dla kadego obwodu, w szczególnoci obwodu zawierajcego
wzmacniacze napiciowe, bez koniecznoci wypisywania układu równa opisujcych ten
obwód. Aby stworzy reguły automatycznego tworzenia grafu rozpatrzmy wybrane rodzaje
połcze elementów składowych obwodu. Na rys. 18.17a przedstawiono typowe połczenie
elementów pasywnych w wle k.
a) b)
Rys. 18.17. Typowe połczenie elementów pasywnych w wle (a)
oraz graf Masona odpowiadajcy takiemu połczeniu (b)
Z prawa prdowego Kirchhoffa dla tego wzła wynika nastpujce równanie
431
( ) ( ) ( ) kkknnkk VYVVYVVYVVY 02211 ... =−++−+− (18.52)
Po prostych przekształceniach otrzymuje si
nsk
n
skskk V
YY
VYY
VYY
V +++= ...22
11 (18.53)
gdzie Ysk jest sum admitancji włczonych w wle k-tym, =
+=n
iiksk YYY
10 . Powyszemu
równaniu odpowiada graf Masona przedstawiony na rys. 18.17b. Graf ten ma struktur
podobn do struktury obwodu, przy czym kademu elementowi Yi (i = 1, 2, ..., n) odpowiada
wzmocnienie gałzi grafu równe sk
i
YY
. Kada gał jest skierowana do wzła Vk, którego
reprezentacj graficzn w danej chwili tworzymy. Biorc pod uwag powysze, graf
odpowiadajcy wzłowi z rys. 18.17a moe by utworzony automatycznie bez potrzeby
pisania równa Kirchhoffa.
W przypadku obwodu zawierajcego wzmacniacze napiciowe konieczne staje si
podanie reguły tworzenia grafu odpowiadajcego wzmacniaczowi. Na rys. 18.18a
przedstawiony jest wzmacniacz napiciowy o dwu wejciach (inwersyjnym i nieinwersyjnym)
o wzmocnieniu A w obu torach (w szczególnoci wzmocnienie A moe dy do
nieskoczonoci, jak to ma miejsce w idealnych wzmacniaczach operacyjnych).
a) b)
Rys. 18.18. Model wzmacniacza napiciowego o dwu wejciach (a) i jego graf Masona (b)
Napicie wyjciowe Vo wzmacniacza opisuje wyraenie
21 AVAVVo −=
432
któremu mona przyporzdkowa bezporednio graf Masona przedstawiony na rys. 18.18b.
Budujc graf dla złoonego obwodu elektrycznego naley wyróni w nim wzły i
zwizane z nimi potencjały wzłowe. Wzłem ródłowym (niezalenym) grafu jest ródło
wymuszajce istniejce w obwodzie, wzgldem którego definiowana jest transmitancja T. Z
tego wzła sygnały mog jedynie odpływa. Budow grafu rozpoczynamy od ułoenia
wszystkich wzłów grafu w układzie podobnym do ich rozmieszczenia w obwodzie.
Nastpnie budujemy oddzielnie reprezentacj graficzn dla kadego wzła reprezentujcego
zmienn zalen korzystajc bd z reguły dotyczcej wzła z elementami pasywnymi (rys.
8.17) bd wzła odpowiadajcego wzmacniaczowi (rys. 18.18). Jeli wzeł połoony jest na
wyjciu wzmacniacza jego reprezentacja graficzna odpowiada wzmacniaczowi, w
przeciwnym wypadku wzłowi „pasywnemu”.
18.6.3 Przykłady zastosowania grafów w analizie obwodów
Przykład 18.1
Sposób automatycznego tworzenia grafu dla obwodu elektrycznego przedstawimy na
przykładzie obwodu z rys. 18.19.
Rys. 18.19. Przykład obwodu ze wzmacniaczem operacyjnym
Obwód zawiera trzy wzły zalene (V1, V2 i Uwy), w zwizku z tym naley zbudowa
reprezentacj graficzn dla kadego z nich (V1 i V2 – wzły pasywne, Uwy – wzeł na wyjciu
wzmacniacza). Na rys. 18.20 przedstawiono graf przepływu sygnałów odpowiadajcy
obwodowi z rys. 18.19.
433
Rys. 18.20. Graf przepływu sygnałów odpowiadajcy obwodowi z rys. 18.19
Z reguły Masona zastosowanej do tego grafu wynika nastpujce rozwizanie
21
34
2
5
21
23
1
1
2
3
1sssss
ss
we
wy
YYYY
AYY
AYY
YYY
YY
A
U
UT
++−
−==
gdzie 43211 YYYYYs +++= , 532 YYYs += . Po uproszczeniu wzoru otrzymuje si ostateczn
posta rozwizania
43152
321
31
YAYYAYYYYYAY
U
UT
ssswe
wy
++−−
==
Przy potraktowaniu wzmacniacza jako idealnego o nieskoczonym wzmocnieniu ( ∞→A )
wzór powyszy upraszcza si do postaci
( ) 4343215
31
YYYYYYYYY
T++++
−=∞
stanowicej czsto punkt wyjciowy przy projektowaniu filtrów elektrycznych.
434
Przykład 18.2
Jako przykład rozpatrzmy obwód elektryczny RC z picioma wzmacniaczami napiciowymi
o skoczonych wzmocnieniach przedstawiony na rys. 18.21. Naley wyznaczy transmitancj
napiciow T=Uwy/Uwe tego obwodu stosujc metod grafów przepływowych Masona.
Rys. 18.21. Obwód elektryczny do przykładu 18.2
Graf przepływu sygnałów odpowiadajcy temu obwodowi, utworzony w sposób
automatyczny zgodnie z regułami podanymi w punkcie poprzednim, przedstawiony jest na
rys. 18.22.
Rys. 18.22. Graf przepływu sygnałów dla obwodu z rys. 18.21
435
Po zastosowaniu reguły Masona otrzymuje si nastpujc posta transmitancji napiciowej T
obwodu.
swysswysswysswys
swysswysswys
YYYYK
YYY
YYYYK
YYY
YY
YY
KYY
YY
KYY
YY
K
T
4
424
4
24
5
765
5
26
6
5
53
4
4
32
4
4
11
1 −−−−
++=
gdzie 43214 YYYYYs +++= , 7655 YYYYs ++= , 64 YYYswy += . Po uproszczeniu wzoru
otrzymuje si rozwizanie zadania w postaci
( )54245
2447654
2654
46535432411
ssssswyss
ss
YYYKYYYYYKYYYYYYYYKYYYKYYK
T−−−−
++=
Podstawiajc konkretne wartoci na poszczególne admitancje obwodu otrzymuje si
transmitancj operatorow obwodu T=T(s).
Przykład 18.3
Jako nastpny przykład rozpatrzymy obwód RC z trzema wzmacniaczami operacyjnymi o
wzmocnieniach A, przedstawiony na rys. 18.23, realizujcymi funkcj transmitancji
napiciowej we
wy
U
UsT =)( .
Rys. 18.23. Struktura obwodu RC z trzema wzmacniaczami operacyjnymi
436
Graf Masona odpowiadajcy temu obwodowi przedstawiony jest na rys. 18.24. Zawiera on
pi ptli, wród których wystpuj ptle rozłczne po dwie i po trzy.
Rys. 18.24. Graf Masona odpowiadajcy obwodowi z rys. 18.23
Stosujc reguł Masona otrzymuje si nastpujc posta transmitancji napiciowej.
)()( 6
4
4
3
2
13
sMYG
YG
YG
AsT sss=
gdzie mianownik transmitancji M(s) dany jest wzorem
642
2123
642
2323
42
2122
6
22
4
12
64
433
42
322
6
2
4
1
21
21
21
21
21
1)(
ssssssssss
ssssss
YYY
CCsA
YYYCGsGA
YYCCsA
Y
sCA
Y
sCA
YY
GGA
YYGGA
YAsC
YAsC
AsM
+
++++
+
+++++=
W praktyce przyjmuje si zwykle wzmacniacz operacyjny jako element idealny o
wzmocnieniu ∞→A . Przy takim załoeniu transmitancja upraszcza si do postaci funkcji
bikwadratowej typu dolnoprzepustowego
437
( ) ( )214323221212
431
5,05,0)(
GGGGCGsGGGCCsGGG
sT++++
=
Zadania sprawdzajce
Zadanie 18.1
Okreli impedancj wejciow układu przedstawionego na rys. 18.25.
Rys. 18.25. Schemat układu do zadania 18.1.
Rozwizanie
Układ yratora obcionego pojemnoci realizuje sob indukcyjno L, przy czym CRL z2= .
Schemat układu po zastpieniu yratora i pojemnoci jedn indukcyjnoci L przedstawiony
jest na rys. 18.26.
Rys. 18.26. Schemat układu zastpczego do rys. 18.15
438
Jest to układ połczenia równoległego rezystancji R i impedancji indukcyjnej ZL=sL, wobec
czego impedancja wejciowa całego układu jest równa
RCsRRCsR
sLRsLR
Zz
zwe +
=+⋅= 2
2
Zadanie 18.2
Wyznaczy macierz łacuchow zastpcz układu przedstawionego na rys. 18.27
Rys. 18.27. Układ połcze czwórników do zadania 18.2
Rozwizanie
Układ przedstawiony na rysunku moe by potraktowany jako połczenie łacuchowe trzech
czwórników, jak to przedstawiono na rys. 18.27. Dwa czwórniki s yratorami o macierzy
łacuchowej
==
00
31z
z
G
RAA
Trzeci czwórnik stanowi kondensator C. Macierz łacuchowa tego czwórnika wyraa si
wzorem
=
101
2 sCA
Macierz łacuchowa układu 3 czwórników połczonych kaskadowa wyraa si wzorem
439
=
==
101
10
101
00 2
321z
z
z
z
z sCRG
R
sCG
RAAAA
Łatwo mona pokaza, e wynik kocowy odpowiada czwórnikowi o strukturze
przedstawionej na rys. 18.28, z indukcyjnoci nieuziemion równ 2zCRL = .
Rys. 18.28. Schemat zastpczy połczenia czwórników z rys. 18.17
Zadanie 18.3
Zrealizowa układ sumatora trójwejciowego z wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego o
wzmocnieniach równych 11 −=k , 52 −=k , 23 =k .
Rozwizanie
Wykorzystamy w realizacji schemat układu z rys. 18.9. Przyjmiemy arbitralnie warto
rezystancji Rf sprzenia zwrotnego równ Rf = 10kΩ, co odpowiada konduktancji
SG f410−= . Dla uzyskania wzmocnienia k1 = -1 naley przyj 4
1 10−− =G S, co odpowiada
101 =−R kΩ. Realizacja k2 = -5 wymaga zastosowania 42 105 −− ⋅=G S ( 22 =−R kΩ). Uzyskanie
k3 = 2 jest moliwe przy wyborze 43 102 −+ ⋅=G S ( 53 =+R kΩ). Warunek zrównowaenia
konduktancji w obu wzłach wejciowych wzmacniacza wymaga, aby
++−−− +=+++ 30210 GGGGGG f
Podstawiajc odpowiednie wartoci otrzymuje si nastpujc posta warunku
zrównowaenia konduktancji
440
40
40 102107 −+−− ⋅+=⋅+ GG
Przyjmujc 00 =−G (brak rezystora) oraz 40 105 −+ ⋅=G S ( 20 =+R kΩ) otrzymuje si schemat
układu sumatora przedstawiony na rys. 18.29.
Rys. 18.29. Schemat sumatora trójwejciowego do zadania 18.3
Top Related