ekonometria teoria

5/13/2018 ekonometria teoria - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/ekonometria-teoria 1/17

1

Czym się różni szereg czasowy od próby przekrojowej?

Najczęściej analizuje się próby przekrojowe i szeregi czasowe. Próba przekrojowa powstaje jako wynik ankiety przeprowadzonej w

danym momencie czasu dla pewnej grupy respondentów. Jest to więc próba, która dotyczy wielu obiektów, ale pochodzi z jednego

momentu czasu. W tym opracowaniu przyjęto zasadę, że liczba obserwacji w próbie przekrojowej oznaczana jest przez n a indeks

obserwacji oznaczany jest przez i.

Innym typem danych jest szereg czasowy. Szereg czasowy zawiera obserwacje dotyczące jednego obiektu w kolejnych okresachczasu. W przypadku szeregów czasowych przyjęło się oznaczać liczebność próby przez T i indeksować poszczególne obserwacje

używając t .

Zapisać model liniowy. Podać interpretację poszczególnych elementów tego modelu.

– zmienna objaśniana

– wektor zmiennych objaśniających

– nieznany wektor parametrów

– zaburzenie losowe

i – indeks obserwacji, N – liczba obserwacji

Podać wzajemne relacje między wartościami obserwowanymi zmiennej zależnej, oszacowaniami parametrów, wartościami

dopasowanymi i resztami.

Wektor wartości dopasowania: , gdzie b jest oszacowanie wektora parametrów a X macierzą obserwacji dla zmiennych

zależnych. Wektor reszt: , gdzie y jest wektorem obserwacji dla zmiennych niezależnych.

Wyjaśnić różnicę między parametrami i oszacowaniami parametrów oraz między odchyleniami losowymi i resztami.

Parametry są nielosowe ale obserwowalne. Oszacowania parametrów są funkcjami obserwowalnych , a więc są obserwowalne

ale z reguły są losowe. Na przykład w KMRL o wektorze parametrów zakładamy, że jest nielosowy i nieobserwowalny ale

oszacowanie tego parametru

jest losowe, ponieważ jest funkcją błędów losowych . Błędy losowe w KMRL odpowiadają za losową niewyjaśnioną część

zmienności

Reszty stanowią oszacowanie błędów losowych i liczymy je jako różnice między dopasowanymi i zaobserwowanymi

Skąd bierze się nazwa Metoda Najmniejszych Kwadratów?

Stąd, że estymator MNK znajdujemy minimalizując sumę kwadratów reszt.

gdzie

Robimy tak, ponieważ budując jakąś zależność za pomocą modelu dążymy do tego aby stworzony model jak najlepiej oddawał

rzeczywistość, czyli był jak najbardziej realny. W tym celu staramy się tak oszacować parametry aby różnice między wartościam i a

oszacowaniami były jak najmniejsze, a wtedy nasz model będzie najlepiej oddawał rzeczywistość.



2

Wyprowadzić estymator MNK dla modelu ze stałą i jedną zmienną objaśniającą.

Model teoretyczny

Model wyestymowany

Znajdowanie ekstremów funkcji

1)

2)

ponieważ:

Co to jest układ równań normalnych?

Układ równań normalnych jest układem k równań w którym niewiadomymi są elementy wektora oszacowań b. Rozwiązaniem tego

układu równań są oszacowania parametrów modelu.

– ogólna postać układu równań normalnych

Wyprowadzić estymator MNK dla modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi.

Szacujemy model

RSS

Ponieważ oraz są skalarami otrzymujemy:

Następnie należy zminimalizować sumę kwadratów reszt.



3

Ponieważ macierz X ma pełen rząd kolumnowy, to macierz jest dodatnio określona więc jest odwracalna i jest szukanym

minimum. Zapisujemy warunek pierwszego rzędu

Mnożymy obie strony równania przez macierz z lewej strony

Dlaczego nie da się uzyskać oszacowań MNK, jeśli liczba zmiennych definiujących jest większa od liczby obserwacji?

Ponieważ w takim przypadku macierz jest macierzą osobliwą i nie da się znaleźć wielkości

Pokazać, że w modelu ze stałą suma reszt jest równa zeru.

- tzn. że średni błąd oszacowania wynosi 0

Ponieważ w modelu ze stałą:

Z pierwszej własności hiperpłaszczyzny regresji (ortogonalność x i e)

Analizując pierwsze równanie tego układu otrzymujemy (bo pierwszy wiersz X to wiersz jedynek), czyli

Pokazać, że w modelu ze stałą średnia wartość zmiennej zależnej równa jest średniej 2 wartości dopasowanych.



4

Udowodnić, że w modelu ze stałą

Całkowita suma kwadratów:

- wariancja empiryczna y

Wyjaśniona suma kwadratów:

- wariancja empiryczna

Suma reszt kwadratów:

Poza tym - z własno. hiperpłaszczyzny

Podać interpretację

można zatem interpretować jako procent zmienności wyjaśnianej przez model. Wartość nie zależy od jednostek w jakich

wyrażona jest y i x.

Wyjaśnić, dlaczego nie można używać do porównywania modeli?

jest szeroko stosowaną statystyką opisową i nie służy do porównywania modeli. Jest to związane z tym, że rośnie zawsze wraz

z dodaniem kolejnych zmiennych, ponieważ gdy zmniejszamy zbiór, na którym minimalizujemy funkcję celu to uzyskana wminimum funkcja celu będzie większa lub równa wartości funkcji w minimum dla minimalizacji bez ograniczeń.



5

Dlatego też dodając do modelu nawet całkowicie bezsensowną zmienną uzyskujemy lepsze dopasowanie. Więc kierując się jako

jedynym kryterium wyboru modelu zawsze wybierzemy model o największej liczbie zmiennych.

Kiedy mówimy, że model można sprowadzić do modelu liniowego względem przekształconych zmiennych?

Wyjaśnić co to jest efekt cząstkowy.

Linia regresji opisuje zależność między wartością oczekiwaną a wartościami . Zmianę oczekiwanego w reakcji na

zmianę można zapisać jako .

Efekt ten jest liczony przy założeniu, że pozostałe zmienne nie zmieniają się i nazywany jest efektem cząstkowym.

W modelu liniowym efekt cząstkowy dla jest równy . Parametr opisuje zatem zmianę oczekiwanej wartości

na skutek jednostkowej zmiany przy założeniu, że wszystkie pozostałe zmienne nie ulegają zmianie.

Podać definicję elastyczności cząstkowej.

Elastycznością cząstkową nazywamy procentową zmianę oczekiwanego y w reakcji na 1% zmianę .

Ze znanego wzoru na pochodną logarytmu wynika

dzięki czemu możemy zapisać wzór na elastyczność cząstkową jako:



6

Podać definicję semielastyczności cząstkowej.

Czasami trudno jest mówić o zmianie procentowej w przypadku niektórych zmiennych. W takiej sytuacji używamy

semielastyczności., gdyż liczenie elastyczności nie ma sensu. Semielastyczność mierzy oczekiwaną procentową zmianę y w reakcji na

jednostkową zmianę .

Semielastyczność nie zależy od jednostek, w których mierzymy zmienne w modelu.

Podać postać przekształcenia Boxa-Coxa i wyjaśnić do czego jest stosowane w ekonometrii.

Przekształcenie Boxa-Coxa dane jest wzorem

To przekształcenie pozwala stwierdzić, która forma funkcyjna (liniowa, logarytmiczna, odwrotna) modelu jest najlepiej dopasowana

do dostępnego zbioru danych empirycznych.

Dlaczego zmienną dyskretną (nominalną) rozkodowujemy za zmienne zerojedynkowe?

Zmienną dyskretną przyjmującą s wartości należy rozkodować na s-1 zmiennych zerojedynkowych. Rozkodowanie umożliwia

zarówno określenie kierunku zależności, jak i interpretację zależności liniowej, której nie można określić bez rozkodowania. Przy

rozkodowaniu pomija się tzw. poziom bazowy zjawiska aby uniknąć problemu współliniowości grupy zmiennych 0-1 ze stałą w

modelu.

Dlaczego w modelu nie powinno się zamieszczać stałej i wszystkich zmiennych zerojedynkowych związanych z poziomami

zmiennej dyskretnej?

Jeśli zmienna dyskretna ma s poziomów, to jedna i tylko jedna z s utworzonych na jej podstawie zmiennych zerojedynkowych

przyjmuje wartość 1 a pozostałe przyjmują wartość 0. Wynika z tego, że . Istnieje więc taka kombinacja liniowa , która

daje kolumnę jedynek. Oznacza to, że zbiór zawierający wszystkie zmienne dyskretne oraz stałą jest współliniowy.



7

Porównaj zastosowania znanych ci kontrastów ze standardowym sposobem rozkodowania zmiennej dyskretnej.

Kontrasty w odchyleniach: jeśli jedynym celem badania jest zidentyfikowanie tych poziomów zmiennej dyskretnej których wpływy

wyróżnia się wyraźnie od wpływu pozostałych poziomów, wtedy celowe jest użycie kontrastów w odchyleniach.

Parametry:

Kontrasty w różnicach (efekty progowe): gdy można logicznie uporządkować zmienną dyskretną interesować nas może efekt wzrostu

zmiennej o jeden poziom. Sposób zdefiniowania zmiennych zerojedynkowych zależy czy są uporządkowane:

Ros.:

Male.:

W każdym przypadku definiuje o jedną zmienną mniej niż jest poziomów zmiennej dyskretnej.

Wyjaśnić, co to znaczy, że miedzy zmiennymi w modelu występują interakcje.

Model regresji liniowej można rozszerzyć wprowadzając do niego jako sztucznie stworzone predykatory np. iloczyny dwóch lub

większej liczby zmiennych objaśniających. Pozwala to na uwzględnienie tzw. interakcji pomiędzy zmiennymi, czyli zmiany siły

wpływu jednej ze zmiennych przy różnych wartościach innej zmiennej.

Interakcje stosujemy gdy poszczególne zmienne wzmacniają się nawzajem, to znaczy gdy siła oddziaływania jednej zmiennej

niezależnej jest warunkowana wielkością innych zmiennych niezależnych.

Opisać sposoby przybliżania zależności nieliniowej za pomocą modelu liniowego.

1. Poprzez modele wielomianowe. Odwołują się do twierdzenia Taylora, że każdą funkcję różniczkowaną można przybliżyć

wielomianem. Przy użyciu uogólnionej wersji szeregu Taylora możliwe jest przybliżenie nieliniowej funkcji wielu zmiennych.

2. Poprzez modele schodkowe. Tzn. przybliżenie za pomocą funkcji schodkowej, którą otrzymujemy, jeśli podzielimy zmienną

niezależną na przedziały i każdemu z przedziałów przypiszemy jedną zmienną zerojedynkową.

3. Poprzez model krzywej łamanej. Tzn. zakładamy tu, że zależność między wartością oczekiwaną zmiennej zależnej a zmienną

niezależną jest ciągła i przedziałami liniowa.

Wymienić założenia Klasycznego Modelu Regresji Liniowej (KMRL).

1. Model jest liniowy

2. Zmienne objaśniające są nielosowe dla i=1,…,N

3. Wartość oczekiwana błędu losowego jest równa zeru:

4. Kowariancja między dwoma różnymi błędami losowymi jest równa zero: dla - (brak autokorelacji)

5. Wariancja błędu losowego jest taka sama dla wszystkich obserwacji (homoskedastyczność): dla i=1,…,N



8

Udowodnić, że w KMRL estymator b jest nieobciążony.

Wyprowadzić postać macierzy wariancji kowariancji b i podać interpretację jej parametrów.

Elementy na przekątnej macierzy to wariancje elementów wektora , a elementy poza przekątną to kowariancje

między elementami wektora

Podać (słownie) treść twierdzenia Gaussa-Markowa i wyjaśnić, dlaczego jest ono ważne.

Dla spełnionych założeń KMRL estymator MNK jest najlepszym estymatorem wektora parametrów w klasie liniowych i

nieobciążonych estymatorów tego parametru.

Znaczenie twierdzenia polega na sprecyzowaniu warunków dla których MNK daje najlepsze możliwe oszacowania nieznanych

parametrów.

Pokazać, że jest nieobciążonym estymatorem

jest nieobciążonym estymatorem

A ponieważ , a macierz jest idempotentna, to suma kwadratów reszt jest równa:

Suma kwadratów reszt jest skalarem, czyli ślad skalara jest równy temu skalar owi

( )

( - własność operatora śladu, ślad iloczynu dwóch macierzy równy jest śladowi iloczynu tych

macierzy przemnożonych w odwrotnej kolejności



9

Udowodnić, że jest nieobciążonym estymatorem .

jest nieobciążonym estymatorem

Na przekątnej macierzy stoją oszacowania wariancji elementów wektora oszacowań b (np. ), a poza przekątną – kowariancje

między tymi oszacowaniami.

Podać postać estymatora dla kombinacji liniowej i udowodnić, że jest on nieobciążony.

Kombinację liniową parametrów zapiszemy jako iloczyn skalarny nielosowego wektora współczynników i wektora parametrów

.

Nieobciążonym estymatorem jest analogiczna kombinacja elementów wektora oszacowań .

Co to jest prognoza? Udowodnić że prognoza postaci jest nieobciążona.

Prognoza z modelu jest to przewidywana przez model wartość dla danego wektora zmiennych objaśniających . Dla modelu

spełniającego założenia KMRL prognoza jest nieobciążona, ponieważ oczekiwany błąd prognozy jest równy

zeru

Ponieważ estymator MNK jest nieobciążony a wartość oczekiwana jest z założeń KMRL równa 0.

Podać 2 źródła błędu prognozy i wzór na wariancję błędu prognozy.

Wariancja prognozy wynosi:

Jest ona sumą niedokładności oszacowań parametrów oraz błędu losowego.



10

Co to oznacza, że estymator jest nieobciążony i dlaczego jest to ważne?

Wyjaśni w jaki sposób porównujemy wariancje dla estymatorów wektora parametrów i w jaki sposób można to uzasadnić.

Wyprowadzić rozkład małopróbkowy estymatora MNK. Jakie założenie, poza standardowymi KMRL, należy w tym

przypadku przyjąć?

założenie

- nielosowe a b jest funkcją liniową o rozkładzie normalnym to z własności rozkładu normalnego wynika, że funkcja taka ma też

układ normalny, zatem

Konieczne jest dodanie założenia o normalności rozkładu błędów losowych i

* ten zapis pozwala na łączne zapisanie założenia o zerowości , o braku autokorelacji i homoskedastyczności =

oraz normalności rozkładu

Jaka postać ma statystyka służąca do testowania hipotezy o tym, że ?

Testowanie hipotez polega na badaniu prawdopodobieństwa uzyskania otrzymanej wartości statystyki testowej przy założonej

hipotezie zerowej . Statystyka t przy testowaniu hipotezy przyjmuje postać:

oraz przy spełnionych założeniach KMRL, błąd losowy ma rozkład normalny, a jest prawdziwe to statystyka t ma rozklad t-

studenta z N-K stopniami swobody.



11

Mając oszacowanie oraz oszacowanie odchylenia standardowego tego oszacowania wyjaśnić w jaki sposób należy

zbudować przedział ufności dla . Ilosc obserwacji wynosi N, ilość szacowanych parametrów K, a poziom ufności 1- .

Przedział ufności sprawdza precyzje oszacowań parametrów. Przedziały ufności dla parametru można skonstruować posługując się

wyprowadzonym rozkładem statystyki t .

Przy założeniu poziom ufności 1-

Przedział ufności szukam przekształcając

= =

=

Czym różnią się przedziały ufności dla wartości oczekiwanych i realizacji prognoz.

Jak należy testować hipotezę postaci używając do tego sum kwadratów reszt z modelu bez ograniczeń i z

ograniczeniami?

Liczymy model bez ograniczeń. Następnie wstawiamy ograniczenia wynikające z do modelu i estymujemy model z

ograniczeniami. Do testowania wykorzystujemy statystykę

- suma kwadratów reszt w modelu z narzuconymi ograniczeniami

- suma kwadratów reszt w modelu bez ograniczeń

Wyjaśnić, jakie korzyści i niebezpieczeństwa łączą się z narzuceniem ograniczeń na model.

Korzyści: uzyskiwane wartości oszacowań parametrów mają niższą wariancję w przypadku prawidłowości ograniczeń.

Niebezpieczeństwo: w przypadku, gdy nałożone ograniczenia są nieprawdziwe uzyskane oszacowanie będzie obciążone. W pewnych

przypadkach (np. pominięcie zmiennej istotnej) uzyskany estymator może nie być zgodny.



12

Do czego służą testy diagnostyczne?

Służą do testowania prawdziwości założeń modelu. Przykładowo w przypadku KMRL testy diagnostyczne mogą być wykorzystane

do testowania prawdziwości założeń o homoskedastyczności, braku autokorelacji, czy normalności rozkładu błędu losowego.

Za pomocą jakiego testu testujemy prawidłowość formy funkcyjnej? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada H0 w tym teście?

Jaka jest hipoteza alternatywna w tym teście?

Za pomocą testu RESET (regression specification error test).

- liniowa funkcja – poprawna

= nieliniowa forma modelu – niepoprawna

Test RESET polega na testowaniu hipotezy o łącznej nieistotności potęg wartości teoretycznych zmiennej

Za pomocą jakiego testu weryfikowana jest normalność składnika losowego? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada H0 w tym

teście? Jaka jest hipoteza alternatywna w tym teście? Jakie są konsekwencje dla własności MNK, jeśli H0 jest fałszywe?

Test Jarque-Bera= składnik losowy ma układ normalny

= brak normalności rozkładu

Nawet gdy błędy losowe to twierdzenia Gaussa-Markowa są spełnione i estymator jest najlepszym liniowym i

nieobciążonym estymatorem a estymator MNK macierzy wariancji kowariancji jest estymatorem nieobciążonym.

W przypadku fałszywości estymator jest najlepszym estymatorem wśród estymatorów liniowych i nieobciążonych, jednak

można znaleźć nieobciążony estymator nieliniowy, który jest bardziej efektywny od estymatora MNK.

Za pomocą jakich testów testujemy stabilność parametrów? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada H0 w tym testach? Jakie są

hipotezy alternatywne w tym testach?

1.Test prognoz.

- w okresie estymacji model ma te same parametry co w okresie prognozy

- w okresie estymacji model ma różne parametry niż w okresie prognozy

2.Test Chowa

- parametry modeli szacowanych w różnych próbkach są sobie równe (stabilne)

- parametry modeli szacowanych w różnych próbkach są różne (niestabilne)



13

Za pomocą jakich testów można testować heteroskedastyczność? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada H0 w tych testach?

Jakie są hipotezy alternatywne w tym testach?

1.Test Goldfelda-Quandta

- wariancja błędu losowego jest taka sama dla wszystkich obserwacji (homoskedastyczność)

- wariancja błędu losowego nie jest taka sama dla wszystkich obserwacji (heteroskedastyczność)

Stosujemy go jeśli możliwe jest podzielenie obserwacji na dwie grupy taki sposób, że dla prawdziwej hipotezy alt ernatywnej,

wariancje błędów losowych w tych dwóch grupach są różne.

Zaletą testu jest to, że jako jedyny ma rozkład wyprowadzony dla małych prób.

2.Test Breuscha-Pagana

– homoskedastyczność

– heteroskedastyczność

Test Breuscha-Pagana stosujemy jeśli nie jest nam znana postać funkcyjna zależności między zmiennymi a odchyleniem

standardowym błędu losowego.

3.Test White’a

– homoskedastyczność

– heteroskedastyczność

Odrzucona hipoteza zerowa w tym teście wskazuje tylko, że w modelu występuję heteroskedastyczność, ale nie daje wskazówki jak

tę heteroskedastyczność można usunąć z modelu.

Za pomocą jakich testów testuje sie autokorelacje? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada H0 w tych testach? Jakie są

hipotezy alternatywne w tym testach?

1.Test Durbina-Watsona

- brak autokorelacji

– błąd losowy w modelu podlega autokorelacji pierwszego rzędu

Zalety: test małopróbkowy

Wady:

– występowanie obszaru braku konkluzji – wykrywa jedynie autokorelację pierwszego rzędu

– nie można stosować jeśli w modelu występuje opóźniona zmienna zależna

2. Test Breuscha-Godfreya

- brak autokorelacji

– błąd losowy w modelu podlega autokorelacji dla i=1,…,s

Jaki skutek może mieć pominięcie istotnej zmiennej w modelu?

Załóżmy, że prawdziwy jest model

a my oznaczamy estymator MNK wektora parametrów w modelu jako .

Wartość oczekiwana tego estymatora jest równa:

W przypadku pominięcia istotnych zmiennych estymator MNK nie jest estymatorem nieobciążonym, a jego obciążenie jest równe:



14

W jakim szczególnym przypadku można uzyskać prawidłowe oszacowania parametrów mimo, że w modelu pominięto istotne

zmienne?

Istnieją dwa ważne przypadki, dla których pominięcie zmiennej nie powoduje obciążenia estymatora.

1.

2. to jest, gdy są ortogonalne. W tej sytuacji, mimo pominięcia części zmiennych objaśniających, MNK będzie dalej

nieobciążony. Jeśli kowariancje empiryczne między zmiennymi to estymatory parametrów przy wszystkich zmiennych

poza stałą będą nieobciążone. Ponieważ stała w modelu nie jest interpretowana więc problem jest rozwiązany.

Dlaczego z modelu powinno się usuwać zmienne nieistotne?

Załóżmy, że estymujemy model , gdy w rzeczywistości prawdziwy jest .

W takim przypadku szacowany parametr , a zmienne zawarte w nie wpływają na zmienną zależną. Z własności

estymatorów z ograniczeniami. Estymator z ograniczeniami jest nieobciążony i ma mniejszą wariancję od estymatora bez ograniczeń.

Jeśli prawdziwe jest ograniczenie , a zatem prawdziwy jest model , natomiast estymowanym modelem jest

to uzyskany estymator parametru będzie nieobciążony, ale będzie miał wyższą wariancję niż estymator

uzyskany na podstawie . W modelu w którym występują zmienne nieistotne estymator MNK ma wyższą wariancję niż

w modelu, z którego usunięto zmienne nieistotne.

Parametry przy zmiennych i są dodatnie. Zmienne są ujemnie skorelowane. Jaki będzie wpływ pominięcia zmiennejna oszacowanie parametru przy zmiennej ?

Co to jest obserwacja nietypowa? Kiedy obserwację nietypową można uznać za błędną?

Obserwacja nietypowa to znaczy, że charakteryzuje się nietypowymi na tle pozostałych obserwacji cechami. Obserw acja nietypowa

nie jest jednak błędna w tym sensie, że mechanizm, który w przypadku tej obserwacji determinuje zmienną zależną jest w dalszy m

ciągu mechanizmem opisywanym przez nasz model.

Obserwacja błędna jest to obserwacja, której powstania nie da się wytłumaczyć w ramach teoretycznego modelu ekonomicznego

stanowiącego podstawę estymowanego modelu. Obserwacje błędne często pojawiają się w wyniku pomyłek powstałych przy

wpisywaniu obserwacji do bazy danych. Na podstawie jednego modelu nie da się ustalić, które obserwacje są błędne. Sam fakt, że

obserwacja nie pasuje do modelu, nie może być powodem uznania jej za obserwację błędną. Część obserwacji można uznać za błędne

na podstawie teorii lub dodatkowych informacji spoza próby.



15

W jakim przypadku obserwacja nietypowa będzie miała znaczący wpływ na wynik regresji?

Wpływ obserwacji nietypowej na wynik regresji zależy od tego na ile pasuje do prostej regresji. Najbardziej niepokojąca jest sytuacja

kiedy obserwacja ma nietypowe wartości dla zmiennych niezależnych, a przy tym słabo pasuje do prostej regresji. Jeśli obserwacja

nietypowa jest poprawna, to jej wystąpienie w próbie pozytywnie wpłynie na precyzję oszacowań współczynników. Nawet jeśli

obserwacja nietypowa jest w rzeczywistości błędna to nie wpływa ona zbyt silnie na oszacowania parametrów, jeśli „pasuje” do

krzywej regresji.

Jakich statystyk używamy do wykrywania obserwacji nietypowych i błędnych?

Za pomocą statystyk opisowych można wykryć obserwacje w próbie, które są nietypowe, słabo pasują do prostej regresji bądź

wyjątkowo silnie wpływają na wynik regresji. Nie są to jednak statystyki, z pomocą których można przetestować, czy dana staty styka

jest błędna.

Do stwierdzenia czy wektor zmiennych niezależnych dla obserwacji jest nietypowy na tle pozostałych X stosuje się statystykęnazywaną dźwignią.

gdzie

Własności dźwigni:

dla każdego modelu

dla modelu ze stałą

Obserwacja jest nietypowa jeśli

Kiedy mówimy, że zmienne w modelu są dokładnie współliniowe? Jak można rozwiązać ten problem?

Dokładna współliniowość pojawia się w modelu gdy kolumny macierzy obserwacji są współliniowe. W przypadku występowania

dokładnej współliniowości możliwe jest uzyskanie wielu równoważnych modeli o różnych wielkościach parametrów. Występowanie

dokładnej współliniowości w modelu jest wynikiem jego błędnej specyfikacji. Jeśli zmienna objaśniająca jest kombinacją liniową

pozostałych zmiennych, to nie wnosi ona do modelu żadnej dodatkowej informacji i tym samym powinna być usunięta z modelu.

Problem dokładnej współliniowości można zatem rozwiązać eliminując z modelu tyle zmiennych, by zmienne pozostawione wmodelu były liniowo niezależne.

Jakie są konsekwencje niedokładnej współliniowości? Za pomocą jakiej statystyki można wykryć niedokładną współliniowość

w modelu?

Niedokładna współliniowość polega na korelacji między zmiennymi objaśniającymi. Niedokładna współliniowość prowadzi do

wzrostu wariancji i błędów standardowych oszacowań parametrów przy skorelowanych zmiennych. W konsekwencji prowadzi do



16

spadku statystyk t przy tych zmiennych i może spowodować, że zmienne te staną się nieistotne w modelu. Występowanie

niedokładnej współliniowości w modelu można wykryć za pomocą statystyki

gdzie jest współczynnikiem determinacji w regresji k -tej zmiennej objaśniającej na pozostałych zmiennych objaśniających. O

silnej niedokładnej współliniowości mówi się, gdy

Pokazać, że dla znanej próby X estymator MNK jest nieobciążony, nawet jeśli ta próba jest losowa. Podać założenia konieczne

do tego dowodu.

Dla dowolnego losowego, ale znanego zbioru losowych zmiennych objaśniających, estymator MNK jest nieobciążony.

Najważniejszym założeniem jest brak zależności pomiędzy wartością oczekiwaną błędów losowych a wartościami zmiennych

objaśniających.

Kiedy mówimy, że model można sprowadzić do modelu liniowego względem przekształconych zmiennych?

Muszą być spełnione i przeprowadzone określone warunki

Przykład: Model nieliniowy

Załóżmy, że istnieje przekształcenie określone dla wszystkich możliwych . Stosujemy je do modelu:

Załóżmy, że istnieje funkcja i wzajemnie jednoznaczna funkcja , dla których:

Definiuj. nowe zm. endogeniczne

Definiujemy nowe zm. egzogeniczne

Definiuj. nowy wektor parametrów

Uzyskujemy model postaci

Model ten jest liniowy pod względem przekształconych zmiennych w tym sensie, że zależność między przekształconymi zmiennymi

jest liniowa. Dzięki temu oszacowania wektora parametrów można uzyskać za pomocą MNK. Oszacowanie parametrów

oryginalnego modelu możemy otrzymać z równania .

Co to znaczy, że estymator MNK jest estymatorem zgodnym?

Estymator zgodny daje oszacowanie równe wielkości szacowanego parametru dla wielkości próby dążącej do nieskończoności. Abyestymator był zgodny muszą być spełnione pewne założenia:

1)

2)

dla

3)

4)

dla



17

Kiedy mówimy, że w modelu występuje problem równoczesności? Jakie są jej dwie najczęstsze przyczyny i jakie ma ona

konsekwencje dla własności MNK.

O występowaniu problemu równoczesności mówimy, gdy nieprawdziwe jest założenie że:

W takim przypadku uzyskane oszacowania nie będą zgodne, czyli nawet w przypadku szacowania parametrów na podstawie dużej

próby wartości oszacowań mogą być błędne. Problem ten występuje zazwyczaj w wyniku obecności sprzężeń zwrotnych.

Jak niesferyczność błędów losowych wpływa na własności MNK?

Pokazać w jaki sposób można w przypadku znanej macierzy Ω, sprawdzić model z niesferycznymi błędam i losowymi do

modelu spełniającego założenia MNK .

Jakie są zalety stosowania estymatora MNK w połączeniu z estymatorem odpornym macierzy wariancji i kowariancji wporównaniu do stosowania estymatora UMNK?

Odporne estymatory wariancji – estymatory macierzy wariancji i estymatora MNK, które są zgodne nawet w przypadku

występowania heteroskedastyczności lub autokorelacji.

Estymator można uzyskać z SUMNK pod warunkiem wyestymowania pomocniczego modelu opisującego formę

heteroskedastyczności lub autokorelacji. Często zdarza się, że uzyskane w ten sposób estymatory parametrów i wariancji estymatorówczęsto nie różnią się znacząco od oszacowań uzyskanych za pomocą MNK zachowanie wariancji i kowariancji błędów losowych jest

przy tym z reguły nieistniejące w kontekście analizowanego przez nas pytania badawczego.

Estymator White’a umożliwia przeprowadzenie wnioskowania statystycznego bez konieczności specyfikacji pomocniczego modelu

dla wariancji. Estymator ten jest z tego powodu znacznie łatwiejszy w zastosowaniu niż estymator SUMNK.

Wyjaśnij różnicę między UMNK i SUMNK.

W przypadku UMNK elementy macierzy V są znane. W przypadku, gdy elementy macierzy V są nieznane używa się estymatora

SUMNK, w którym macierz V jest zastępowana oszacowaniem (lub równoważnie zastąpiona jest ). Taką metoda

estymacji nazywa się Stosowalną Uogólnioną Metodą Najmniejszych Kwadratów.

ekonometria teoria

Documents

Transcript of ekonometria teoria