TEORIA GRAFÓW
description
Transcript of TEORIA GRAFÓW
TEORIA GRAFÓW
2006
Andrzej Ruciński
WYKŁAD 1.
Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.
Przykład 1. ZOO
• Budujemy domowe zoo mając do dyspozycji kozę, lwa, wilka, słonia, jastrzębia, zająca i mysz
• Cel: jak najmniej klatek, zapewniając bezpieczeństwo wszystkich zwierząt
k
l
s
w
j
z
m
l
s
w
j
k
z
m
Przykład 2. Podział na pary
• Dzielimy grupę 10 osób na pary
• Każdy chce być w parze ze swoim znajomym
Graf Petersena
A
B
CD
E
F
G
HI
J
Graf Petersena
A
B
CD
E
F
G
HI
J
A
B
A
B
Przykład 3. Muzeum
• Zwiedzamy muzeum będące labiryntem korytarzy, w którym obrazy wiszą po obu stronach
• Cel: przejść każdy korytarz 2 razy i wrócić do wyjścia
PLAN MUZEUM
a
bc
d
e
a
b c
d
e
Przykład 4. Trzy domki i trzy studnie
• Mieszkańcy trzech domków chcą korzystać z trzech studni, ale tak by nigdy nie musieli spotkać się w drodze do nich
• Czy jest to możliwe?
D1 D2 D3
S1 S2 S3
? ?
Pojęcie grafu
• Graf to para zbiorów G=(V,E), gdzie
• V to skończony zbiór (wierzchołków)
• E to zbiór 2-elementowych podzbiorów zbioru V (krawędzi)
2
VE
•Inaczej, graf to relacja symetryczna i antyzwrotna•Jeszcze inaczej: symetryczna 0-1 macierz kwadratowa z zerami na przekątnej
Grafy puste i pełne. Dopełnienia grafów.
Graf pełny nV
2
VE
E
VVG
2,
nn KN
nK
Dopełnienie grafu G:
Graf pusty
Te same czy takie same?
a b
c d
G2
a d
c b
G3
a b
c d
G4
a b
d c
G5
a b
d e
G6
a b
c d
G1
Izomorfizm grafów
• Na przykład G1 jest izomorficzny z G2, bo
• f(a)=a, f(c)=c, f(b)=d, f(d)=b
21 GG 21: VVf 21 )()( EvfufEuv
• G1=G5, G2=G3, wszystkie grafy mają tę samą strukturę – są izomorficzne
Automorfizmy
• Automorfizm to izomorfizm grafu w siebie
a b
c d
G1
• Na przykład f(a)=a, f(d)=d, f(c)=b, f(b)=c to 1 z 8 automorfizmów grafu G1
Samodopełnianie
• G nazywamy samodopełniającym, gdy jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem
Na przykład
Stopnie wierzchołków
Zachodzi wzór
)(2)( GevdVv
G
Stopniem wierzchołka v nazywamy liczbę dG(v)=d(v) krawędzi grafu zawierających (incydentnych z) v
gdzie e(G)=|E|
Ciąg stopni grafu
Ciąg stopni grafu
Uwaga: Nie każdy ciąg liczb naturalnych jest ciągiem stopni grafu, np. 4,4,3,2,1 lub 3,3,3,2,2
VvG vd )(
• Δ(G)= Δ to największy stopień wierzchołka w grafie,
• δ(G)=δ to najmniejszy stopień.
• Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień k
Podgrafy
• Indukowane
• Rozpięte
• Ani takie, ani takie
Podgrafy indukowane
• Podgraf grafu G=(V,E) indukowany przez podzbiór wierzchołków W to graf G[W]=(W,E’), gdzie E’ składa się ze wszystkich krawędzi grafu G o obu końcach w W.
Podgraf indukowany - ilustracja
W={a,b,c}, G[W] – kolor czerwony
a
b
c
Podgrafy rozpięte
• Rozpięty podgraf grafu G to graf G’=(V,E’), gdzie E’ jest podzbiorem E
Podgrafy
• Podgrafem grafu G=(V,E) nazywamy graf G’=(V’,E’), gdzie V’ jest podzbiorem V, a E’ jest podzbiorem E.
Spójność
• Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B (graf jest w 1 „kawałku”)
Inaczej
22
:,BA
EBABAV
Grafy niespójne
A B
B1B2
Wierzchołek cięcia
• G-v=G[V-v]
• Wierzchołek v grafu spójnego G nazywamy wierzchołkiem cięcia, gdy G-v nie jest spójny
• Inaczej, istnieje podział V na A i B :
vBA
22
BAE
Cykle
• Cykl to 2-regularny graf spójny.
• Inaczej: cykl to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, {v_n, v_1} są jego jedynymi krawędziami.
• Notacja C_n, dla n=3,4,...
Cykle : ilustracja
C_3=K_3
C_4
C_5
Ścieżki
• ścieżki (grafy spójne o 2 wierzchołkach stopnia 1, a pozostałych o stopniu 2)
• Inaczej: ścieżka to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, są jego jedynymi krawędziami.
• Notacja P_n, dla n=1,2,...