TEORIA GRAFÓW

33
TEORIA GRAFÓW 2006 Andrzej Ruciński

description

TEORIA GRAFÓW. 2006 Andrzej Ruciński. WYKŁAD 1. Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne. Przykład 1. ZOO. Budujemy domowe zoo mając do dyspozycji kozę, lwa, wilka, słonia, jastrzębia, zająca i mysz Cel: jak najmniej klatek, zapewniając bezpieczeństwo wszystkich zwierząt. k. l. m. w. z. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of TEORIA GRAFÓW

Page 1: TEORIA GRAFÓW

TEORIA GRAFÓW

2006

Andrzej Ruciński

Page 2: TEORIA GRAFÓW

WYKŁAD 1.

Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.

Page 3: TEORIA GRAFÓW

Przykład 1. ZOO

• Budujemy domowe zoo mając do dyspozycji kozę, lwa, wilka, słonia, jastrzębia, zająca i mysz

• Cel: jak najmniej klatek, zapewniając bezpieczeństwo wszystkich zwierząt

Page 4: TEORIA GRAFÓW

k

l

s

w

j

z

m

Page 5: TEORIA GRAFÓW

l

s

w

j

k

z

m

Page 6: TEORIA GRAFÓW

Przykład 2. Podział na pary

• Dzielimy grupę 10 osób na pary

• Każdy chce być w parze ze swoim znajomym

Page 7: TEORIA GRAFÓW

Graf Petersena

A

B

CD

E

F

G

HI

J

Page 8: TEORIA GRAFÓW

Graf Petersena

A

B

CD

E

F

G

HI

J

Page 9: TEORIA GRAFÓW

A

B

Page 10: TEORIA GRAFÓW

A

B

Page 11: TEORIA GRAFÓW

Przykład 3. Muzeum

• Zwiedzamy muzeum będące labiryntem korytarzy, w którym obrazy wiszą po obu stronach

• Cel: przejść każdy korytarz 2 razy i wrócić do wyjścia

Page 12: TEORIA GRAFÓW

PLAN MUZEUM

a

bc

d

e

a

b c

d

e

Page 13: TEORIA GRAFÓW

Przykład 4. Trzy domki i trzy studnie

• Mieszkańcy trzech domków chcą korzystać z trzech studni, ale tak by nigdy nie musieli spotkać się w drodze do nich

• Czy jest to możliwe?

Page 14: TEORIA GRAFÓW

D1 D2 D3

S1 S2 S3

? ?

Page 15: TEORIA GRAFÓW

Pojęcie grafu

• Graf to para zbiorów G=(V,E), gdzie

• V to skończony zbiór (wierzchołków)

• E to zbiór 2-elementowych podzbiorów zbioru V (krawędzi)

2

VE

•Inaczej, graf to relacja symetryczna i antyzwrotna•Jeszcze inaczej: symetryczna 0-1 macierz kwadratowa z zerami na przekątnej

Page 16: TEORIA GRAFÓW

Grafy puste i pełne. Dopełnienia grafów.

Graf pełny nV

2

VE

E

VVG

2,

nn KN

nK

Dopełnienie grafu G:

Graf pusty

Page 17: TEORIA GRAFÓW

Te same czy takie same?

a b

c d

G2

a d

c b

G3

a b

c d

G4

a b

d c

G5

a b

d e

G6

a b

c d

G1

Page 18: TEORIA GRAFÓW

Izomorfizm grafów

• Na przykład G1 jest izomorficzny z G2, bo

• f(a)=a, f(c)=c, f(b)=d, f(d)=b

21 GG 21: VVf 21 )()( EvfufEuv

• G1=G5, G2=G3, wszystkie grafy mają tę samą strukturę – są izomorficzne

Page 19: TEORIA GRAFÓW

Automorfizmy

• Automorfizm to izomorfizm grafu w siebie

a b

c d

G1

• Na przykład f(a)=a, f(d)=d, f(c)=b, f(b)=c to 1 z 8 automorfizmów grafu G1

Page 20: TEORIA GRAFÓW

Samodopełnianie

• G nazywamy samodopełniającym, gdy jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem

Na przykład

Page 21: TEORIA GRAFÓW

Stopnie wierzchołków

Zachodzi wzór

)(2)( GevdVv

G

Stopniem wierzchołka v nazywamy liczbę dG(v)=d(v) krawędzi grafu zawierających (incydentnych z) v

gdzie e(G)=|E|

Page 22: TEORIA GRAFÓW

Ciąg stopni grafu

Ciąg stopni grafu

Uwaga: Nie każdy ciąg liczb naturalnych jest ciągiem stopni grafu, np. 4,4,3,2,1 lub 3,3,3,2,2

VvG vd )(

• Δ(G)= Δ to największy stopień wierzchołka w grafie,

• δ(G)=δ to najmniejszy stopień.

• Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień k

Page 23: TEORIA GRAFÓW

Podgrafy

• Indukowane

• Rozpięte

• Ani takie, ani takie

Page 24: TEORIA GRAFÓW

Podgrafy indukowane

• Podgraf grafu G=(V,E) indukowany przez podzbiór wierzchołków W to graf G[W]=(W,E’), gdzie E’ składa się ze wszystkich krawędzi grafu G o obu końcach w W.

Page 25: TEORIA GRAFÓW

Podgraf indukowany - ilustracja

W={a,b,c}, G[W] – kolor czerwony

a

b

c

Page 26: TEORIA GRAFÓW

Podgrafy rozpięte

• Rozpięty podgraf grafu G to graf G’=(V,E’), gdzie E’ jest podzbiorem E

Page 27: TEORIA GRAFÓW

Podgrafy

• Podgrafem grafu G=(V,E) nazywamy graf G’=(V’,E’), gdzie V’ jest podzbiorem V, a E’ jest podzbiorem E.

Page 28: TEORIA GRAFÓW

Spójność

• Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B (graf jest w 1 „kawałku”)

Inaczej

22

:,BA

EBABAV

Page 29: TEORIA GRAFÓW

Grafy niespójne

A B

B1B2

Page 30: TEORIA GRAFÓW

Wierzchołek cięcia

• G-v=G[V-v]

• Wierzchołek v grafu spójnego G nazywamy wierzchołkiem cięcia, gdy G-v nie jest spójny

• Inaczej, istnieje podział V na A i B :

vBA

22

BAE

Page 31: TEORIA GRAFÓW

Cykle

• Cykl to 2-regularny graf spójny.

• Inaczej: cykl to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, {v_n, v_1} są jego jedynymi krawędziami.

• Notacja C_n, dla n=3,4,...

Page 32: TEORIA GRAFÓW

Cykle : ilustracja

C_3=K_3

C_4

C_5

Page 33: TEORIA GRAFÓW

Ścieżki

• ścieżki (grafy spójne o 2 wierzchołkach stopnia 1, a pozostałych o stopniu 2)

• Inaczej: ścieżka to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, są jego jedynymi krawędziami.

• Notacja P_n, dla n=1,2,...