Teoria grafów i jej zastosowania.

1 / 126

Mosty królewieckie

W Królewcu, na rzece Pregole znajduj¡ si¦ dwie wyspy poª¡czone ze sob¡, a tak»e zbrzegami za pomoc¡ siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek

Czy mo»liwe jest, aby wyruszy¢ z dowolnej cz¦±ci l¡dowej miasta przej±¢ przez ka»dyz mostów dokªadnie jeden raz i powróci¢ do punktu wyj±ciowego (bez przepªywaniaprzez rzek¦)?

2 / 126

Mosty królewieckie

W Królewcu, na rzece Pregole znajduj¡ si¦ dwie wyspy poª¡czone ze sob¡, a tak»e zbrzegami za pomoc¡ siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek

Czy mo»liwe jest, aby wyruszy¢ z dowolnej cz¦±ci l¡dowej miasta przej±¢ przez ka»dyz mostów dokªadnie jeden raz i powróci¢ do punktu wyj±ciowego (bez przepªywaniaprzez rzek¦)?

3 / 126

Mosty królewieckie

W Królewcu, na rzece Pregole znajduj¡ si¦ dwie wyspy poª¡czone ze sob¡, a tak»e zbrzegami za pomoc¡ siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek

Czy mo»liwe jest, aby wyruszy¢ z dowolnej cz¦±ci l¡dowej miasta przej±¢ przez ka»dyz mostów dokªadnie jeden raz i powróci¢ do punktu wyj±ciowego (bez przepªywaniaprzez rzek¦)?

4 / 126

Mosty królewieckie

Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 r. w Bazylei - Szwajcaria, zm. 18 wrze±nia1783 r. w Petersburgu - Rosja) - szwajcarski matematyk, �zyk i astronom, jeden ztwórców nowoczesnej matematyki.

5 / 126

Mosty królewieckie

→ →

6 / 126

Mosty królewieckie

→

→

7 / 126

Mosty królewieckie

→

→

8 / 126

Mosty królewieckie

→ →

9 / 126

Mosty królewieckie

→ →

10 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª¡czonych kraw¦dziami. Ka»da kraw¦d¹ madwa ko«ce, które s¡ wierzchoªkami w gra�e.

11 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª¡czonych kraw¦dziami. Ka»da kraw¦d¹ madwa ko«ce, które s¡ wierzchoªkami w gra�e.

12 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª¡czonych kraw¦dziami. Ka»da kraw¦d¹ madwa ko«ce, które s¡ wierzchoªkami w gra�e.

13 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.

14 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.

15 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.

16 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.

17 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.

18 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.

19 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, w której »adna kraw¦d¹ si¦ nie powtarza nazywamy drog¡ prost¡.

20 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, w której »adna kraw¦d¹ si¦ nie powtarza nazywamy drog¡ prost¡.

21 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡

zamkni¦t¡.

22 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡

zamkni¦t¡.

23 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡

zamkni¦t¡.

24 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡

zamkni¦t¡.

25 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡

zamkni¦t¡.

26 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡

zamkni¦t¡.

27 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡

zamkni¦t¡.

28 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡

zamkni¦t¡.

29 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡

zamkni¦t¡.

30 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo±¢ kraw¦dzi wychodz¡cych z tego wierzchoªka.

31 / 126

Podstawowe de�nicje

De�nicja

Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo±¢ kraw¦dzi wychodz¡cych z tego wierzchoªka.

32 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

33 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

34 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

35 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

36 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

37 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

38 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

39 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

40 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

41 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

42 / 126

Cykl Eulera

De�nicja

Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).

43 / 126

Cykl Eulera

Twierdzenie (Euler, 1736)

W gra�e istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafuma stopie« parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si¦ parzystaliczba kraw¦dzi.

44 / 126

Cykl Eulera

Twierdzenie (Euler, 1736)

W gra�e istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafuma stopie« parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si¦ parzystaliczba kraw¦dzi.

45 / 126

Mosty królewieckie

46 / 126

Problem chi«skiego listonosza

Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«skiMei-Ku Kwan.

Wiadomo, »e listonosz dor¦czaj¡c poczt¦ musi przej±¢ przez wszystkie ulice danegorejonu i powróci¢ na poczt¦.Jak zaplanowa¢ drog¦ listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±niepokonaª jak najkrótsz¡ drog¦?

47 / 126

Problem chi«skiego listonosza

Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«skiMei-Ku Kwan.Wiadomo, »e listonosz dor¦czaj¡c poczt¦ musi przej±¢ przez wszystkie ulice danegorejonu i powróci¢ na poczt¦.

Jak zaplanowa¢ drog¦ listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±niepokonaª jak najkrótsz¡ drog¦?

48 / 126

Problem chi«skiego listonosza

Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«skiMei-Ku Kwan.Wiadomo, »e listonosz dor¦czaj¡c poczt¦ musi przej±¢ przez wszystkie ulice danegorejonu i powróci¢ na poczt¦.Jak zaplanowa¢ drog¦ listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±niepokonaª jak najkrótsz¡ drog¦?

49 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

De�nicja

Niech dany b¦dzie graf G . Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw¦dzi grafu G nazywamytakie pomalowanie wszystkich kraw¦dzi grafu, »e s¡siednie kraw¦dzie maj¡ ró»nebarwy.

50 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

De�nicja

Niech dany b¦dzie graf G . Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw¦dzi grafu G nazywamytakie pomalowanie wszystkich kraw¦dzi grafu, »e s¡siednie kraw¦dzie maj¡ ró»nebarwy.

51 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Powy»sza de�nicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna dopokolorowania wªa±ciwego danego grafu?

De�nicja

Najmniejsz¡ liczb¦ barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw¦dzi grafu Gnazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem χ̄(G).

52 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Powy»sza de�nicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna dopokolorowania wªa±ciwego danego grafu?

De�nicja

Najmniejsz¡ liczb¦ barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw¦dzi grafu Gnazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem χ̄(G).

53 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Jest rzecz¡ oczywist¡, »e je±li najwi¦kszy stopie« wierzchoªka grafu G jest równy d ,to χ̄(G) ≥ d .

54 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Jest rzecz¡ oczywist¡, »e je±li najwi¦kszy stopie« wierzchoªka grafu G jest równy d ,to χ̄(G) ≥ d .

55 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Twierdzenie

Je»eli graf G ma nieparzyst¡ liczb¦ wierzchoªków i ka»dy wierzchoªek ma stopie«d > 0, to χ̄(G) > d.

56 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

De�nicja

Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamygrafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.

Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciuwierzchoªkach.

57 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

De�nicja

Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamygrafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.

Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciuwierzchoªkach.

58 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

De�nicja

Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamygrafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.

Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciuwierzchoªkach.

59 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Twierdzenie

Indeks chromatyczny grafu peªnego Kn wynosi:

χ̄(Kn) =

(n − 1 je»eli n parzyste

n je»eli n nieparzyste

χ̄(K4) = 3 χ̄(K5) = 5 χ̄(K7) = 7

60 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Twierdzenie

Indeks chromatyczny grafu peªnego Kn wynosi:

χ̄(Kn) =

(n − 1 je»eli n parzyste

n je»eli n nieparzyste

χ̄(K4) = 3 χ̄(K5) = 5 χ̄(K7) = 7

61 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.

Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku

Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.

62 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.

Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku

Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.

63 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku

Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.

64 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku

Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.

65 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku

Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.

Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.

66 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku

Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.

67 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku

wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszegodnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawaoznaczona kolorem niebieskim.Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi χ̄(G) = 3, a zatem zgodnie zzaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszymni» trzy dni.

68 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku

wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszegodnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawaoznaczona kolorem niebieskim.

Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi χ̄(G) = 3, a zatem zgodnie zzaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszymni» trzy dni.

69 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku

wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszegodnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawaoznaczona kolorem niebieskim.Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi χ̄(G) = 3, a zatem zgodnie zzaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszymni» trzy dni.

70 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Inne rozwi¡zanie przedstawione jest na rysunku:

71 / 126

Kolorowanie kraw¦dzi

Inne rozwi¡zanie przedstawione jest na rysunku:

72 / 126

Kolorowanie map

De�nicja

Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takageometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw¦dzie mog¡mie¢ co najwy»ej jeden punkt wspólny, b¦d¡cy wierzchoªkiem przylegªym do z tychkraw¦dziami.

73 / 126

Kolorowanie map

De�nicja

Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takageometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw¦dzie mog¡mie¢ co najwy»ej jeden punkt wspólny, b¦d¡cy wierzchoªkiem przylegªym do z tychkraw¦dziami.

74 / 126

Kolorowanie map

75 / 126

Kolorowanie map

76 / 126

Kolorowanie map

De�nicja

Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.

Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.

77 / 126

Kolorowanie map

De�nicja

Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.

Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.

W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.

78 / 126

Kolorowanie map

De�nicja

Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.

Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.

79 / 126

Kolorowanie map

De�nicja

Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.

Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.

80 / 126

Kolorowanie map

De�nicja

Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.

Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.

81 / 126

Kolorowanie map

Twierdzenie

Map¦ mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jejwierzchoªek jest stopnia parzystego.

82 / 126

Kolorowanie map

Twierdzenie

Map¦ mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jejwierzchoªek jest stopnia parzystego.

83 / 126

Kolorowanie map

Twierdzenie

Map¦ mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jejwierzchoªek jest stopnia parzystego.

84 / 126

Kolorowanie map

85 / 126

Kolorowanie map

86 / 126

Kolorowanie map

Twierdzenie (O czterech kolorach, 1976)

Ka»da mapa mo»e by¢ pokolorowana wªa±ciwie co najwy»ej czterema kolorami.

87 / 126

Kolorowanie map

88 / 126

Kolorowanie map

89 / 126

Problem komiwoja»era

De�nicja

Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.

90 / 126

Problem komiwoja»era

De�nicja

Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.

91 / 126

Problem komiwoja»era

De�nicja

Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.

92 / 126

Problem komiwoja»era

De�nicja

Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.

93 / 126

Problem komiwoja»era

De�nicja

Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.

94 / 126

Problem komiwoja»era

De�nicja

Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.

95 / 126

Problem komiwoja»era

Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny Gmiaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir WilliamHamilton (1805-1865) w 1859 roku.

Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w gra�e spójnym, ale do dzi± nies¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e danyspójny graf G ma cykl Hamiltona.

Twierdzenie

Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.

96 / 126

Problem komiwoja»era

Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny Gmiaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir WilliamHamilton (1805-1865) w 1859 roku.

Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w gra�e spójnym, ale do dzi± nies¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e danyspójny graf G ma cykl Hamiltona.

Twierdzenie

Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.

97 / 126

Problem komiwoja»era

Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny Gmiaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir WilliamHamilton (1805-1865) w 1859 roku.

Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w gra�e spójnym, ale do dzi± nies¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e danyspójny graf G ma cykl Hamiltona.

Twierdzenie

Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.98 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.

Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1

2(n− 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!

2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2

= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

99 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡.

Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1

2(n− 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!

2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2

= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

100 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.

Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1

2(n− 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!

2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2

= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

101 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?

Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1

2(n− 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!

2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2

= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

102 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1

2(n− 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!

2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2

= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

103 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1

2(n− 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2

= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2

= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

104 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1

2(n− 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!

2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2

= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

105 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1

2(n− 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!

2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2

= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

106 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1

2(n− 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!

2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2

= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

107 / 126

Problem komiwoja»era

Rozwa»my sie¢ dróg pomi¦dzy pi¦cioma miastami jak na rysunku:

108 / 126

Problem komiwoja»era

Rozwa»my sie¢ dróg pomi¦dzy pi¦cioma miastami jak na rysunku:

109 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 20

110 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 50

111 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 125

112 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 150

113 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 180

114 / 126

Problem komiwoja»era

115 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 20

116 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 35

117 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 60

118 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 100

119 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 120

120 / 126

Problem komiwoja»era

W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowalirozwi¡zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA.

121 / 126

Problem komiwoja»era

W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowalirozwi¡zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA.

122 / 126

Problem komiwoja»era

W 1998 opublikowano rozwi¡zanie obejmuj¡ce 13549 miast USA..

123 / 126

Problem komiwoja»era

W 1998 opublikowano rozwi¡zanie obejmuj¡ce 13549 miast USA..

124 / 126

�ródªa plików gra�cznych

http://pl.wikipedia.org/

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/

http://gtresearchnews.gatech.edu/

125 / 126

Dzi¦kuj¦ za uwag¦!!!

126 / 126