Ekonometria - Model nieliniowe i funkcja...

Modele nielinioweFunkcja produkcji

EkonometriaModel nieliniowe i funkcja produkcji

Jakub Mućk

Katedra Ekonomii Ilościowej

Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 1 / 19

Agenda

1 Modele nieliniowe

2 Funkcja produkcji

Agenda

1 Modele nieliniowe

2 Funkcja produkcji

Outline

1 Modele nieliniowe

2 Funkcja produkcji

Modele nieliniowe

Ogólna postać:

y = g (β,x) + ε (1)

gdzie y to zmienna objaśniana,β to wektor parametrów strukturalnych,x to wektor zmiennych objaśniających,ε to składnik losowy.

Szczególne przypadki:Modele liniowe względem parametrów

y = β0 + β1f1 (x1) + . . .+ βkfk (xk) + ε (2)

Modele liniowe względem zmiennychPrzykład:

y = β0 + β1β2x1 + ββ43 x2 + ε (3)

Problem identyfikacji strukturalnych parametrów.

Modele nieliniowe

Ogólna postać:

y = g (β,x) + ε (1)

gdzie y to zmienna objaśniana,β to wektor parametrów strukturalnych,x to wektor zmiennych objaśniających,ε to składnik losowy.

Szczególne przypadki:Modele liniowe względem parametrów

y = β0 + β1f1 (x1) + . . .+ βkfk (xk) + ε (2)

Modele liniowe względem zmiennychPrzykład:

y = β0 + β1β2x1 + ββ43 x2 + ε (3)

Problem identyfikacji strukturalnych parametrów.

Modele nieliniowe

Przykłady modeli nieliniowych względem zmiennych, ale liniowychwzględem parametrów:Model wielomianowy:

y = β0 + β1x1 + β2x21 + . . .+ βkxk

1 + ε. (4)

Model hiperboliczny:y = β0 + β2

x1+ ε. (5)

Model logarytmiczny:y = β0 + β1 ln (x1) + ε. (6)

Model z interakcjami (iloczynami):

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x1x2 + ε. (7)

Efekty krańcowe oraz elastyczności cząstkowe

Efekt krańcowy

Efekt krańcowy = ∂y∂xi

Interpretacja: o ile wzrośnie y jeżeli xi wzrośnie o jedną jednostkę.Model liniowy: stały efekt krańcowy równy βi .

Elastyczność cząstkowa

Elastyczność cząstkowa = ∂y/y∂xi/x

Interpretacja: o ile % wzrośnie y jeżeli xi wzrośnie o 1%.Model liniowy: elastyczność cząstkowa zależna od bieżacych wartości x iy i równa βixi/y

Modele linearyzowane

Linearyzacja modeliWybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.

Wybrane własności logarytmu naturalnegoln(x) < ln(y) dla 0 < x < y,ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x, y > 0,ln(xa) = a ln(x) dla x, a > 0,

ln(ex) = x oraz eln(x) = x dla x > 0.

Model wykładniczy:y = eβ0+β1x1+...+βkxk+ε. (10)

Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = β0 + β1x1 + . . .+ βkxk + ε. (11)

Model funkcji Cobba-Douglasa:y = β0xβ1

1 · . . . · xβkk ε. (12)

Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = ln (β0) + β1 ln (x1) + . . .+ βk ln (xk) + ln (ε) . (13)

Uwaga: założenie ln (ε) ∼ N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.

1 · . . . · xβkk ε. (12)

Interpretacja przekształceń logarytmicznych

1 Relacja typu poziom - poziom, tj.

y = α+ βx. (14)

Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β jednostek.2 Relacja typu poziom - logarytm, tj.

y = α+ β ln x. (15)

Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β100 jednostek.

3 Relacja typu logarytm - poziom, tj.

ln y = α+ βx. (16)

Wzrost X o jednostkę odpowiada wzrostowi y o 100β % jednostek.4 Relacja typu logarytm - logarytm, tj.

ln y = α+ β ln x. (17)

Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β % jednostek.

Estymacja parametrów strukturalnych modeli nieliniowych

1 Model linearyzowane/ liniowe względem parametrów:Metoda estymacji: standardowa dla modeli liniowych (np. MNK).W przypadku MNK standardowe testowanie własności statystycznych skład-nika losowego (autokorelacja, heteroskedastycznośc, normalność).Uwaga: w przypadku modeli linearyzowanych należy pamiętać o przekształ-ceniach, aby odpowiednio interpretować wyniki oszacowań.

2 Model ściśle nielinioweMetoda estymacji: nieliniowa MNK (non-linear least squares).

e2i (18)

gdzie e = y − g(x, β).Zagadanienie optymalizacji nieliniowej: wybór wartości początkowych, moż-liwość uzyskania minimum lokalnego.Analogiczne sprawdzanie własności składnika losowego.

Identyfikacja nieliniowości w modelu nieliniowym

Test poprawnej specyfikacji RESET.Problem autokorelacji/ heteroskedastyczności składnika losowegomoże wska-zywać na błędną specyfikację modelu.Test liniowych restrykcji Walda:

Uwzględnienie kwadratów, sześcianów czy interakcji zmiennych objaśniającychoraz testowanie ich łącznej istotności.Przykład:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x21 + β4x2

2 + β5x1x2 + ε, (19)

i hipoteza zerowaH0 : β3 = β4 = β5 = 0. (20)

Outline

1 Modele nieliniowe

2 Funkcja produkcji

Funkcja produkcjiopisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektemprocesu produkcji. Najczęściej:

Y = F(K ,L). (21)

Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K).

Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji1 Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:

MPK(K,L) =∂F(K,L)∂K

> 0 oraz MPL(K,L) =∂F(K,L)

∂L> 0, (22)

gdzie MPK(K,L) = FK oraz MPL(K,L) = FL.2 Malejąca produktywność czynników wytwórczych:

∂MPK(K,L)∂K

=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i

∂MPL(K,L)∂L

=∂2F(K,L)

∂L2 < 0. (23)

3 Komplementarność czynników wytwórczych:

∂MPK(K,L)∂L

=∂2F(K,L)∂K∂L

> 0 i∂MPL(K,L)

∂K=∂2F(K,L)∂L∂K

> 0. (24)

4 Stałe korzyści skali:F (λK, λL) = λF (K,L) (25)

Y = F(K ,L). (21)

∂L> 0, (22)

∂MPK(K,L)∂K

=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i

∂MPL(K,L)∂L

=∂2F(K,L)

∂L2 < 0. (23)

∂MPK(K,L)∂L

=∂2F(K,L)∂K∂L

> 0 i∂MPL(K,L)

> 0. (24)

Y = F(K ,L). (21)

∂L> 0, (22)

∂MPK(K,L)∂K

=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i

∂MPL(K,L)∂L

=∂2F(K,L)

∂L2 < 0. (23)

∂MPK(K,L)∂L

=∂2F(K,L)∂K∂L

> 0 i∂MPL(K,L)

> 0. (24)

Y = F(K ,L). (21)

∂L> 0, (22)

∂MPK(K,L)∂K

=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i

∂MPL(K,L)∂L

=∂2F(K,L)

∂L2 < 0. (23)

∂MPK(K,L)∂L

=∂2F(K,L)∂K∂L

> 0 i∂MPL(K,L)

> 0. (24)

Y = F(K ,L). (21)

∂L> 0, (22)

∂MPK(K,L)∂K

=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i

∂MPL(K,L)∂L

=∂2F(K,L)

∂L2 < 0. (23)

∂MPK(K,L)∂L

=∂2F(K,L)∂K∂L

> 0 i∂MPL(K,L)

> 0. (24)

Przychody względem skali

Stałe korzyści skaliF (λK , λL) = λF (K ,L) (26)

Rosnące korzyści skali

F (λK , λL) > λF (K ,L) (27)

Malejące korzyści skali

F (λK , λL) < λF (K ,L) (28)

Funkcja homogeniczna r-tego stopnia

F (λK , λL) = λrF (K ,L) (29)

Analiza graficzna funkcji produkcji

Izokwanta (wartswica)

to krzywa łącząca kombinację nakładów czynników wytwórczych pozwalająca uzy-skać ten sam poziom produktu:

Y (K ,L) = Y0. (30)

Przykład #1:liniowa funkcja produkcji

Y = F(K ,L) = K + L (31)

Izokwanty dla 0 < α < β możnazapisać jako:

L = α−KL = β −K

β = K + L

α = K + L

(α, 0)

(0, α)

(β, 0)

(0, β)

Analiza graficzna funkcji produkcji

Izokwanta (wartswica)

to krzywa łącząca kombinację nakładów czynników wytwórczych pozwalająca uzy-skać ten sam poziom produktu:

Y (K ,L) = Y0. (30)

Przykład #1:liniowa funkcja produkcji

Y = F(K ,L) = K + L (31)

L = α−KL = β −K

β = K + L

α = K + L

(α, 0)

(0, α)

(β, 0)

(0, β)

Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.)

Przykład #2:funkcja produkcji Leontiefa

Y = F(K ,L) = min(K ,L) (32)

Izokwanty dla 0 < α < β,

Czynniki produkcji, tj. praca i ka-pitał, są komplementarne.

β = min(K ,L)

α = min(K ,L)

Przykład #2:funkcja produkcji Leontiefa

Y = F(K ,L) = min(K ,L) (32)

Izokwanty dla 0 < α < β,

Czynniki produkcji, tj. praca i ka-pitał, są komplementarne.

β = min(K ,L)

α = min(K ,L)

Przykład #3:funkcja produkcji Cobba-Douglasa

Y = F(K ,L) = K0.5L0.5 (33)

L = α2

L = β2

β = K0.5L0.5

α = K0.5L0.5

Przykład #3:funkcja produkcji Cobba-Douglasa

Y = F(K ,L) = K0.5L0.5 (33)

L = α2

L = β2

β = K0.5L0.5

α = K0.5L0.5

Dodatkowe definicje i charakterystyki funkcji produkcji

Teczniczne uzbrojenie pracy: iloraz kapitału i pracy K/L.Krańcowa stopa substytucji:

KSS = − FL

FK= − MPL(K ,L)

MPK(K ,L). (34)

Elastyczność substytucji:

σ = ∂(K/L)∂KSS

KSS(K/L) (35)

Funkcja Cobba-Douglasa

F(K ,L) = AKαLβ (36)gdzie A > 0 oraz α, β ∈ (0, 1) .

Dodatnia produkcynojść krańcowa czynników, tj. MPK(K ,L),MPL(K ,L) > 0:

MPK(K ,L) =∂Y∂K

= αAKα−1Lβ = α︸︷︷︸+

A︸︷︷︸+

Kα−1︸︷︷︸+

Lβ︸︷︷︸+

> 0 (37)

Malejąca krańcowa produktywność czynników, tj. FKK < 0 oraz FLL < 0:

∂MPK(K ,L)∂K

=∂2Y∂K2 = (α− 1)αAKα−2 = (α− 1)︸︷︷︸

αAKα−2︸︷︷︸+

< 0 (38)

Komplementarność czynników wytwórczych, tj. FKL > 0 oraz FLK > 0:

∂MPK(K ,L)∂L

=∂2Y∂K∂L

= αβAKα−1Lβ−1 > 0 (39)

Stałe elastyczności cząstkowe. W tym przypadku: α dla K oraz β dla L:

el(Y/K) =∂Y/Y∂K/K

= αAK1−αLβKY

= αAKαLβ

AKαLβ= α (40)

Krańcowa stopa substytucji pracy względem kapitału:

KSS = −MPL(K ,L)MPK(K ,L)

= −βAKαLβ−1

αAKα−1Lβ= −

AKαLβ

AKαLβ= −

Jednostkowa elastyczność substytucji:

σ =∂(K/L)∂KSS

KSS(K/L)

= −α

−(β/α)(K/L)(K/L)

= 1. (42)

Ekonometria - Model nieliniowe i funkcja...

Documents

Transcript of Ekonometria - Model nieliniowe i funkcja...