Modele nielinioweFunkcja produkcji
EkonometriaModel nieliniowe i funkcja produkcji
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 1 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Agenda
1 Modele nieliniowe
2 Funkcja produkcji
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 2 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Agenda
1 Modele nieliniowe
2 Funkcja produkcji
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 2 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Outline
1 Modele nieliniowe
2 Funkcja produkcji
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 3 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Modele nieliniowe
Ogólna postać:
y = g (β,x) + ε (1)
gdzie y to zmienna objaśniana,β to wektor parametrów strukturalnych,x to wektor zmiennych objaśniających,ε to składnik losowy.
Szczególne przypadki:Modele liniowe względem parametrów
y = β0 + β1f1 (x1) + . . .+ βkfk (xk) + ε (2)
Modele liniowe względem zmiennychPrzykład:
y = β0 + β1β2x1 + ββ43 x2 + ε (3)
Problem identyfikacji strukturalnych parametrów.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 4 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Modele nieliniowe
Ogólna postać:
y = g (β,x) + ε (1)
gdzie y to zmienna objaśniana,β to wektor parametrów strukturalnych,x to wektor zmiennych objaśniających,ε to składnik losowy.
Szczególne przypadki:Modele liniowe względem parametrów
y = β0 + β1f1 (x1) + . . .+ βkfk (xk) + ε (2)
Modele liniowe względem zmiennychPrzykład:
y = β0 + β1β2x1 + ββ43 x2 + ε (3)
Problem identyfikacji strukturalnych parametrów.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 4 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Modele nieliniowe
Przykłady modeli nieliniowych względem zmiennych, ale liniowychwzględem parametrów:Model wielomianowy:
y = β0 + β1x1 + β2x21 + . . .+ βkxk
1 + ε. (4)
Model hiperboliczny:y = β0 + β2
x1+ ε. (5)
Model logarytmiczny:y = β0 + β1 ln (x1) + ε. (6)
Model z interakcjami (iloczynami):
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x1x2 + ε. (7)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 5 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Efekty krańcowe oraz elastyczności cząstkowe
Efekt krańcowy
Efekt krańcowy = ∂y∂xi
. (8)
Interpretacja: o ile wzrośnie y jeżeli xi wzrośnie o jedną jednostkę.Model liniowy: stały efekt krańcowy równy βi .
Elastyczność cząstkowa
Elastyczność cząstkowa = ∂y/y∂xi/x
. (9)
Interpretacja: o ile % wzrośnie y jeżeli xi wzrośnie o 1%.Model liniowy: elastyczność cząstkowa zależna od bieżacych wartości x iy i równa βixi/y
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 6 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeliWybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.
Wybrane własności logarytmu naturalnegoln(x) < ln(y) dla 0 < x < y,ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x, y > 0,ln(xa) = a ln(x) dla x, a > 0,
ln(ex) = x oraz eln(x) = x dla x > 0.
Model wykładniczy:y = eβ0+β1x1+...+βkxk+ε. (10)
Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = β0 + β1x1 + . . .+ βkxk + ε. (11)
Model funkcji Cobba-Douglasa:y = β0xβ1
1 · . . . · xβkk ε. (12)
Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = ln (β0) + β1 ln (x1) + . . .+ βk ln (xk) + ln (ε) . (13)
Uwaga: założenie ln (ε) ∼ N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 7 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeliWybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.
Wybrane własności logarytmu naturalnegoln(x) < ln(y) dla 0 < x < y,ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x, y > 0,ln(xa) = a ln(x) dla x, a > 0,
ln(ex) = x oraz eln(x) = x dla x > 0.
Model wykładniczy:y = eβ0+β1x1+...+βkxk+ε. (10)
Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = β0 + β1x1 + . . .+ βkxk + ε. (11)
Model funkcji Cobba-Douglasa:y = β0xβ1
1 · . . . · xβkk ε. (12)
Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = ln (β0) + β1 ln (x1) + . . .+ βk ln (xk) + ln (ε) . (13)
Uwaga: założenie ln (ε) ∼ N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 7 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeliWybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.
Wybrane własności logarytmu naturalnegoln(x) < ln(y) dla 0 < x < y,ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x, y > 0,ln(xa) = a ln(x) dla x, a > 0,
ln(ex) = x oraz eln(x) = x dla x > 0.
Model wykładniczy:y = eβ0+β1x1+...+βkxk+ε. (10)
Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = β0 + β1x1 + . . .+ βkxk + ε. (11)
Model funkcji Cobba-Douglasa:y = β0xβ1
1 · . . . · xβkk ε. (12)
Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = ln (β0) + β1 ln (x1) + . . .+ βk ln (xk) + ln (ε) . (13)
Uwaga: założenie ln (ε) ∼ N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 7 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeliWybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.
Wybrane własności logarytmu naturalnegoln(x) < ln(y) dla 0 < x < y,ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x, y > 0,ln(xa) = a ln(x) dla x, a > 0,
ln(ex) = x oraz eln(x) = x dla x > 0.
Model wykładniczy:y = eβ0+β1x1+...+βkxk+ε. (10)
Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = β0 + β1x1 + . . .+ βkxk + ε. (11)
Model funkcji Cobba-Douglasa:y = β0xβ1
1 · . . . · xβkk ε. (12)
Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln (y) = ln (β0) + β1 ln (x1) + . . .+ βk ln (xk) + ln (ε) . (13)
Uwaga: założenie ln (ε) ∼ N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 7 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Interpretacja przekształceń logarytmicznych
1 Relacja typu poziom - poziom, tj.
y = α+ βx. (14)
Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β jednostek.2 Relacja typu poziom - logarytm, tj.
y = α+ β ln x. (15)
Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β100 jednostek.
3 Relacja typu logarytm - poziom, tj.
ln y = α+ βx. (16)
Wzrost X o jednostkę odpowiada wzrostowi y o 100β % jednostek.4 Relacja typu logarytm - logarytm, tj.
ln y = α+ β ln x. (17)
Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β % jednostek.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 8 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Estymacja parametrów strukturalnych modeli nieliniowych
1 Model linearyzowane/ liniowe względem parametrów:Metoda estymacji: standardowa dla modeli liniowych (np. MNK).W przypadku MNK standardowe testowanie własności statystycznych skład-nika losowego (autokorelacja, heteroskedastycznośc, normalność).Uwaga: w przypadku modeli linearyzowanych należy pamiętać o przekształ-ceniach, aby odpowiednio interpretować wyniki oszacowań.
2 Model ściśle nielinioweMetoda estymacji: nieliniowa MNK (non-linear least squares).
minβ
∑i
e2i (18)
gdzie e = y − g(x, β).Zagadanienie optymalizacji nieliniowej: wybór wartości początkowych, moż-liwość uzyskania minimum lokalnego.Analogiczne sprawdzanie własności składnika losowego.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 9 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Identyfikacja nieliniowości w modelu nieliniowym
Test poprawnej specyfikacji RESET.Problem autokorelacji/ heteroskedastyczności składnika losowegomoże wska-zywać na błędną specyfikację modelu.Test liniowych restrykcji Walda:
Uwzględnienie kwadratów, sześcianów czy interakcji zmiennych objaśniającychoraz testowanie ich łącznej istotności.Przykład:
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x21 + β4x2
2 + β5x1x2 + ε, (19)
i hipoteza zerowaH0 : β3 = β4 = β5 = 0. (20)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 10 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Outline
1 Modele nieliniowe
2 Funkcja produkcji
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 11 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Funkcja produkcjiopisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektemprocesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K ,L). (21)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji1 Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
MPK(K,L) =∂F(K,L)∂K
> 0 oraz MPL(K,L) =∂F(K,L)
∂L> 0, (22)
gdzie MPK(K,L) = FK oraz MPL(K,L) = FL.2 Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂K
=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i
∂MPL(K,L)∂L
=∂2F(K,L)
∂L2 < 0. (23)
3 Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂L
=∂2F(K,L)∂K∂L
> 0 i∂MPL(K,L)
∂K=∂2F(K,L)∂L∂K
> 0. (24)
4 Stałe korzyści skali:F (λK, λL) = λF (K,L) (25)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 12 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Funkcja produkcjiopisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektemprocesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K ,L). (21)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji1 Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
MPK(K,L) =∂F(K,L)∂K
> 0 oraz MPL(K,L) =∂F(K,L)
∂L> 0, (22)
gdzie MPK(K,L) = FK oraz MPL(K,L) = FL.2 Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂K
=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i
∂MPL(K,L)∂L
=∂2F(K,L)
∂L2 < 0. (23)
3 Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂L
=∂2F(K,L)∂K∂L
> 0 i∂MPL(K,L)
∂K=∂2F(K,L)∂L∂K
> 0. (24)
4 Stałe korzyści skali:F (λK, λL) = λF (K,L) (25)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 12 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Funkcja produkcjiopisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektemprocesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K ,L). (21)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji1 Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
MPK(K,L) =∂F(K,L)∂K
> 0 oraz MPL(K,L) =∂F(K,L)
∂L> 0, (22)
gdzie MPK(K,L) = FK oraz MPL(K,L) = FL.2 Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂K
=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i
∂MPL(K,L)∂L
=∂2F(K,L)
∂L2 < 0. (23)
3 Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂L
=∂2F(K,L)∂K∂L
> 0 i∂MPL(K,L)
∂K=∂2F(K,L)∂L∂K
> 0. (24)
4 Stałe korzyści skali:F (λK, λL) = λF (K,L) (25)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 12 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Funkcja produkcjiopisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektemprocesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K ,L). (21)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji1 Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
MPK(K,L) =∂F(K,L)∂K
> 0 oraz MPL(K,L) =∂F(K,L)
∂L> 0, (22)
gdzie MPK(K,L) = FK oraz MPL(K,L) = FL.2 Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂K
=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i
∂MPL(K,L)∂L
=∂2F(K,L)
∂L2 < 0. (23)
3 Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂L
=∂2F(K,L)∂K∂L
> 0 i∂MPL(K,L)
∂K=∂2F(K,L)∂L∂K
> 0. (24)
4 Stałe korzyści skali:F (λK, λL) = λF (K,L) (25)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 12 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Funkcja produkcjiopisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektemprocesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K ,L). (21)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji1 Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
MPK(K,L) =∂F(K,L)∂K
> 0 oraz MPL(K,L) =∂F(K,L)
∂L> 0, (22)
gdzie MPK(K,L) = FK oraz MPL(K,L) = FL.2 Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂K
=∂2F(K,L)∂K2 < 0 i
∂MPL(K,L)∂L
=∂2F(K,L)
∂L2 < 0. (23)
3 Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K,L)∂L
=∂2F(K,L)∂K∂L
> 0 i∂MPL(K,L)
∂K=∂2F(K,L)∂L∂K
> 0. (24)
4 Stałe korzyści skali:F (λK, λL) = λF (K,L) (25)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 12 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Przychody względem skali
Stałe korzyści skaliF (λK , λL) = λF (K ,L) (26)
Rosnące korzyści skali
F (λK , λL) > λF (K ,L) (27)
Malejące korzyści skali
F (λK , λL) < λF (K ,L) (28)
Funkcja homogeniczna r-tego stopnia
F (λK , λL) = λrF (K ,L) (29)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 13 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji
Izokwanta (wartswica)
to krzywa łącząca kombinację nakładów czynników wytwórczych pozwalająca uzy-skać ten sam poziom produktu:
Y (K ,L) = Y0. (30)
Przykład #1:liniowa funkcja produkcji
Y = F(K ,L) = K + L (31)
Izokwanty dla 0 < α < β możnazapisać jako:
L = α−KL = β −K
K
L
β = K + L
α = K + L
(α, 0)
(0, α)
(β, 0)
(0, β)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 14 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji
Izokwanta (wartswica)
to krzywa łącząca kombinację nakładów czynników wytwórczych pozwalająca uzy-skać ten sam poziom produktu:
Y (K ,L) = Y0. (30)
Przykład #1:liniowa funkcja produkcji
Y = F(K ,L) = K + L (31)
Izokwanty dla 0 < α < β możnazapisać jako:
L = α−KL = β −K
K
L
β = K + L
α = K + L
(α, 0)
(0, α)
(β, 0)
(0, β)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 14 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.)
Przykład #2:funkcja produkcji Leontiefa
Y = F(K ,L) = min(K ,L) (32)
Izokwanty dla 0 < α < β,
Czynniki produkcji, tj. praca i ka-pitał, są komplementarne.
K
L
β = min(K ,L)
α = min(K ,L)
α
α
β
β
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 15 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.)
Przykład #2:funkcja produkcji Leontiefa
Y = F(K ,L) = min(K ,L) (32)
Izokwanty dla 0 < α < β,
Czynniki produkcji, tj. praca i ka-pitał, są komplementarne.
K
L
β = min(K ,L)
α = min(K ,L)
α
α
β
β
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 15 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.)
Przykład #3:funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Y = F(K ,L) = K0.5L0.5 (33)
Izokwanty dla 0 < α < β możnazapisać jako:
L = α2
K
L = β2
LK
L
β = K0.5L0.5
α = K0.5L0.5
α2
α2
β2
β2
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 16 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.)
Przykład #3:funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Y = F(K ,L) = K0.5L0.5 (33)
Izokwanty dla 0 < α < β możnazapisać jako:
L = α2
K
L = β2
LK
L
β = K0.5L0.5
α = K0.5L0.5
α2
α2
β2
β2
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 16 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Dodatkowe definicje i charakterystyki funkcji produkcji
Teczniczne uzbrojenie pracy: iloraz kapitału i pracy K/L.Krańcowa stopa substytucji:
KSS = − FL
FK= − MPL(K ,L)
MPK(K ,L). (34)
Elastyczność substytucji:
σ = ∂(K/L)∂KSS
KSS(K/L) (35)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 17 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Funkcja Cobba-Douglasa
F(K ,L) = AKαLβ (36)gdzie A > 0 oraz α, β ∈ (0, 1) .
Dodatnia produkcynojść krańcowa czynników, tj. MPK(K ,L),MPL(K ,L) > 0:
MPK(K ,L) =∂Y∂K
= αAKα−1Lβ = α︸︷︷︸+
A︸︷︷︸+
Kα−1︸ ︷︷ ︸+
Lβ︸︷︷︸+
> 0 (37)
Malejąca krańcowa produktywność czynników, tj. FKK < 0 oraz FLL < 0:
∂MPK(K ,L)∂K
=∂2Y∂K2 = (α− 1)αAKα−2 = (α− 1)︸ ︷︷ ︸
−
αAKα−2︸ ︷︷ ︸+
< 0 (38)
Komplementarność czynników wytwórczych, tj. FKL > 0 oraz FLK > 0:
∂MPK(K ,L)∂L
=∂2Y∂K∂L
= αβAKα−1Lβ−1 > 0 (39)
Stałe elastyczności cząstkowe. W tym przypadku: α dla K oraz β dla L:
el(Y/K) =∂Y/Y∂K/K
= αAK1−αLβKY
= αAKαLβ
AKαLβ= α (40)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 18 / 19
Modele nielinioweFunkcja produkcji
Krańcowa stopa substytucji pracy względem kapitału:
KSS = −MPL(K ,L)MPK(K ,L)
= −βAKαLβ−1
αAKα−1Lβ= −
β
α
KL
AKαLβ
AKαLβ= −
β
α
KL
(41)
Jednostkowa elastyczność substytucji:
σ =∂(K/L)∂KSS
KSS(K/L)
= −α
β
−(β/α)(K/L)(K/L)
= 1. (42)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 19 / 19
Top Related