Ekonometria Mirosław Wójciak

Literatura obowiązkowaBarczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekonometrii, Wydawnictwo AE Katowice, Katowice 1998Dziechciarz J. Ekonometria – Metody, przykłady, zadania (wyd. 2)Kukuła K (redaktor naukowy): Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996

Jajuga K. : Ekonometria – metody i analiza problemów ekonomicznychBorkowski B, Dudek H, Szczęsny W. :Ekonometria – wybrane zagadnienia

EkonometriaJest „unifikacją teorii ekonomii, statystyki i matematyki” (Ragnar Frish, 1926)

Zbigniew Pawłowski – ekonometria jest nauką o metodach badania ilościowych prawidłowościach występujących w zjawiskach ekonomicznych za pomocą odpowiednie wyspecjalizowanego aparatu matematyczno –statystycznego.

„Ekonometria jest nauką i sztuką stosowania metod statystycznych do mierzenia relacji ekonomicznych” (Gregory C. Chow)

Celem ekonometrii jest dokładne rozpoznanie procesów gospodarczych oraz pomoc decydentom i działaczom gospodarczym w przewidywaniu procesów ekonomicznych i sterowaniu nimi.

Jak? Ile?

Model ekonometrycznyModel zawsze musi być lepszą lub gorszą kopią oryginału (Zdzisław Hellwig).

Wady, zalety modeli:- z jednej strony prostota modelu ułatwia jego zrozumienie- z drugiej strony – nadmierne upraszczanie rzeczywistości

Modelem ekonometrycznym nazywać będziemy konstrukcję formalną, która za pomocą jednego równania bądź też wielu równań odwzorowuje zasadnicze powiązania ilościowe zachodzące między badanymi zjawiskami (Zbigniew Pawłowski).

Budowa tego modelu jest bardzo skomplikowana

Jednorównaniowy model ekonometrycznyy t= f x1t , x2t ,... , xk−1 ;t

Gdzie:y t - zmienna objaśniana inaczej endogeniczna (zależna)x1t , x2t , ... , xk−1 – zmienne objaśniające inaczej zmienne egzogeniczne (niezależne) - ksi - składnik losowy

f- postać analityczna modelu, np.: postać liniowa, potęgowa

Liniowa postać analityczna modelu:

1

y t=1 x1t1 x1t...1 x1t0t

część deterministyczna | część stochastyczna

Gdzie:i – parametry strukturalne modelu

Elementy modelu ekonometrycznego- Zmienne objaśniane – elementy które są wyjaśniane przez poszczególne równania modelu- zmienne objaśniające – zmienne użyte do opisu, wyjaśnienie zmiennych endogemicznych- składnik losowy- - parametry strukturalne – są to wartości wyrażające ilościowy wpływ danej zmiennej przy której

występują na zmienną endogeniczną. - parametry struktury stochastycznej – są to parametry składnika losowego – wariancja ,autokorelacja

Zmienne opóźnione – lub jednego okresu

Składnik losowy w modelu wynika z konieczności uwzględniania:- wpływu wszystkich zmiennych, które wpływają na zmienną endogeniczną nie ujętych w modelu,- różnic między przyjętą postacią analityczną modelu, a istniejącą zależnością w rzeczywistości,- błędy pomiarów zmiennych- czynników losowych wpływających na zmienną endogeniczną.

Specyfikacja modelu ekonometrycznego to:- sprecyzowanie zmiennych objaśniających- sprecyzowanie zmiennych objaśnianych (endogenicznych)- podjęcie decyzji co do charakteru występujących w modelu związków pomiędzy zmiennymi m. in.

postać analityczna.

Specyfikacja modelu ekonometrycznego opiera się na informacjach a priori oraz informacjach pochodzących z badań empirycznych.

Przykład 1Zbudujmy model ekonometryczny popytu na nowe samochody segmentu B. Wyspecyfikujmy zmienną endogeniczną oraz zmienne objaśniające.

y t - popyt na nowe samochody segmentu B w sztx1t - średnia cena nowego samochodu segmentu B w złx2t – dochody ludności na osobą w złx3t – cena benzyny (ceny dóbr komplementarnych) w złx4t – cena przejazdu publicznymi środkami lokomocji za 1 km w zł (ceny dóbr substytucyjnych)y t−1 – popyt na nowe samochody segmentu B w poprzednim roku w szt., t ..- składnik losowy

f- postać analityczna modelu np. postać potęgoway t= x1t

1⋅x2t2⋅...⋅y t−1

5 ⋅et

Etapy budowy modelu ekonometrycznego1.Wyznaczenie celu i zakresu badaniaEtap 1 – specyfikacja modelu – określenie zmiennych – najtrudniejszy

2

Etap 2 – przygotowanie odpowiedniej bazy danych (zbiór danych statystycznych)- na ich podstawie – parametry

Etap 3 – estymacja parametrów modelu – (zastosowanie ekonometrii)Etap 4 – weryfikacja oszacowanego modelu pod względem formalnym (czy są spełnione założenia) i

merytorycznym Etap 5 – praktyczne wykorzystanie modelu ekonometrycznego

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych1 Klasyfikacja modeli ekonometrycznych ze względu na postać analityczną- liniowe- nieliniowe sprowadzalne do liniowych (potęgowe)- nieliniowe niesprowadzalne do liniowych

2 Ze względu na udział czynnika czasu:- statyczne- dynamiczne – to takie modele w którym występują zmienne opóźnione w czasie lub zmienna

czasowa t

3 Ze względu na poznawcze cechy modelu:- modele przyczynowo-skutkowe – opisowe, (np, wzrost ceny - przyczyna, spadek sprzedaży - skutek)- modele symptomatyczne - modele tendencji rozwojowych – (inaczej funkcje trendu) jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna

czasowa

Dane statystyczne w badaniach ekonometrycznych

Dane statystyczne wykorzystane w modelowaniu ekonometrycznym powinny charakteryzować się:- dokładnością – brak błędu powtarzalnego,- wiarygodnością – muszą odzwierciedlać rzeczywisty stan,- porównywalnością – - kompletnością – brak braku danych

Rodzaje danych statystycznychDane statystyczne typu:- makroekonomicznego- mikroekonomicznego

Dane o charakterze:- dane przekrojowe y i- szeregi czasowe y t- dane przekrojowo – czasowe y ti np w różnych województwach od roku2003 do 2005

Liczba zmiennych egzogenicznych:Czy powinno się wprowadzić jak najwięcej zmiennych czy tez zbiór ten ograniczyć do najważniejszych cech?Wstępnie ustalony zbiór zmiennych musi podlegać selekcji ze względu na:- kryteria oceny merytoryczno-formalnych własności zmiennych- kryteria wartości informacyjnej zmiennych

Pożądane własności zmiennych objaśniających

3

Zmienne objaśniające powinny charakteryzować się następującymi własnościami:- zapewnienie dostatecznie dużej zmienności (czasowej lub przestrzennej)- są nieskorelowane lub co najwyżej słabo skorelowane między sobą (postulat braku redundancji)- są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą.

Macierz R i R0

Współczynniki korelacji między zmiennymi objaśniającymi, a zmienną objaśnianą oznaczymy jako r 0j i tworzą one wektor R0

Współczynniki korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi oznaczymy jako r ij i tworzą one macierz R.

R0=[r 01

r 02

..r 0q] R=[ 1 r12 .. r 1q

r 21 1 .. r 2q

.. .. .. ..r q1 rq2 .. 1 ]

tu współczynniki powinny być a tu jak najmniejszejak największe,

@@ Zad. Dom I i II rozdział. Barczak

Metoda Z. HellwigaNośnikiem informacji o zmiennej endogenicznej jest potencjalna zmienna objaśniająca.

Pojemnością indywidualnego nośnika informacji jest wyrażenie:

hkj=r 0j

2

1∑i=1

pk

∣r ij∣// od i =1 do ??

hkj∈⟨0 ;1⟩

Gdzier oj – współczynnik korelacji liniowej między Y a x j

r ij – współczynnik korelacji liniowej między x i a x j

Pojemnością integralną k tej kombinacji potencjalnych zmiennych objaśniających jest wyrażenie:

H k=∑j=1

pk

hk , dla k=1,2 , ... , L , H k∈⟨0,1⟩

Liczba możliwych kombinacji potencjalnych zmiennych objaśniających jest równa:

L=2 p−1

Pojemności integralna stanowi kryterium wyboru odpowiedniego zestawu zmiennych objaśniających.

Wady metody Z. Hellwiga (optymalnego wyboru predykant)- pracochłonności obliczeń np. przy 5 potencjalnych zmiennych objaśniających jest do sprawdzenia już 31 kombinacji Zalety metody optymalnego wyboru predyktant

4

- metoda jednoznacznie wskazuje na najlepszą kombinacją spośród wszystkich możliwych kombinacji

@@ Dom – rozdział 3 Barczak

Uwagi wstępne – KMNKWyrażenia klasyczna metoda najmniejszych kwadratów KMNK będziemy używali w odniesieniu do metody szacowania parametrów strukturalnych modelu liniowego

y i=1 x1i2 x2i...k xki0i ; i=1,2 , ... , n

Będziemy używać następujących oznaczeń:y i – i –ta obserwacja zmiennej objaśnianejx ji – i –ta obserwacja j-tej zmiennej objaśniającej x26 to 6 obserwacja 2 zmiennej

Y=[ y1

y2

..yn] X=[ x11 x21 ... xk1 1

x12 x22 ... xk2 1.. .. ... .. 1

x1n x2n ... xkn 1]=[1

2

..n] =[

1

2

..k

0

]Przy tych oznaczeniach jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny może być zapisany jako:

Y=X⋅

Założenia KMNKZastosowanie KMNK wymaga przyjęcia następujących założeń:1.postać modelu jest liniowa względem parametrów (lub sprowadzalna do liniowej),2.zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi (z góry ustalone – musimy je znać)3.zmienne objaśniające są niezależne i wolne od współliniowości –nie istnieje między zmiennymi dokładna zależność liniowa4. r X =k ≤ n (X- macierz obserwacji na zmiennych objaśniających) – warunek na liczebność

i współliniowość próby,jeżeli 3 i 4 nie zostanie spełnione5. E =0 , czyli składniki losowe dla wszystkich obserwacji mają wartości oczekiwane równe

zero6. E T = 2 I , czyli składnik losowy dla każdej obserwacji ma skończoną wariancję 2 , natomiast cov i , j=07. składnik losowy nie jest skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi

IE

Estymacja parametrów modelu liniowego KMNKCzęść deterministyczna modelu ekonometrycznego wyznacza nam wartości teoretyczną zmiennej y. Zapiszmy model jako:

5

Y=X⋅

Y=X⋅a

S=Y−Xa T Y−Xamin

Trzeba wyznaczyć taki wektor a, dla którego powyższa funkcja osiągnie minimum

Otrzymujemy następujący estymator wektora a:

a= X T X −1 X T Y

wektor a jest nazywany wektorem ocen parametrów

Postać modelu można zapisać jako:

y i=a1 x1ia2 x2i...ak xkia0

Luby i=a1 x1ia2 x2i...ak xkia0ui

gdzie

u i= y i− y i

Wartość oceny a j - interpretacja (parametry a informują o ile zmieni się y jeżeli ...

Własności estymatora KMNKPrzy spełnionych założeniach estymatory liniowe uzyskane KMNK są:- zgodne - wraz ze wzrostem próby maleje błąd szacunku- nieobciążone – estymator nie wykazuje błędów- najefektywniejsze – mają najmniejszą wariancję, są najbardziej precyzyjne

Z macierzą wariancji i kowariancji daną wzorem:

D2 a= 2 X T X −1

Założenia KMNK a własności estymatora:- jeżeli zmienne objaśniające są współliniowe, to nie istnieje estymator KMNK- jeżeli wariancja składnika losowego nie jest stała to estymator nie jest najefektywniejszy- jeżeli składnik losowy jest zależny: cov t ,t≠0 , a w zbiorze zmiennych objaśniających nie

ma Y t− .. to estymator KMNK nie jest najefektywniejszy- jeżeli składnik losowy jest zależny: cov t ,t≠0 , a w zbiorze zmiennych objaśniających

występuje Y t− . To estymator KMNK nie jest zgodny- jeżeli wariancja składnika losowego jest funkcją zmiennych objaśniających, to estymator KMNK nie

jest zgodny.

Estymacja parametrów struktury stochastycznejInnymi słowy miary dopasowania modelu do danych empirycznych.1. nieobciążonym estymatorem wariancji składnika losowego jest wariancja resztowa zdefiniowana następującym wzorem:

6

Su2= 1

n−k∑i=1

n

y i− yi2= 1

n−k∑i=1

n

ui2

Lub wyrażona wzorem macierzowym:

Su2= 1

n−k[Y T Y−Y T X a ] Y T Y=∑ y 2

Y T X= X T Y T

2. odchylenie resztowe (odchylenie standardowe składnika losowego) zdefiniowane jako:

Su=S u2

3. współczynnik zmienności przypadkowej (wyrazistości) zdefiniowany jako:

V u=S u

y⋅100

interpretacja ...Jeśli wartość V u nie przekracza wartości V* (np. 10%), to przyjmuje się, że model jest dopuszczalny

4. współczynnik zbieżności zdefiniowany jako:

2=∑i=1

n

y i− y i2

∑i=1

n

y i− y i2

2∈⟨0 ;1⟩

interpretacja:

2=n−k ⋅S u

2

n⋅S y2 = ∑ ui

2

∑ y i2−∑ y i

2

n

5. współczynnik determinacji (jaką część można wyjaśnić) zdefiniowany jako:

R2=1−2 R2∈⟨0 ;1⟩

6. Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów szacuje się na podstawie:

D2 a=S u2 X T X −1

W macierzy tej na głównej przekątnej są wariancje ocen parametrów D2 a j

D a j=D2a jinterpretacja ...

I tu pewnie był przykład 1 na szacowanie parametrów strukturalnych modelu ekonometrycznego//zał 1 str. 4

Ekonometria wykład 2/3 28.10.2006

7

Weryfikacja modelu

1. Testowanie istotności parametrów strukturalnych- testowanie istotności parametrów testem t-Studenta- testowanie istotności parametrów testem Fischera-Snedecora ( za pomocą współczynnika korelacji wielorakiej)

2. Analiza własności reszt,- autokorelacja składnika losowego- jednorodność wariancji składnika losowego- normalność składnika losowego

Test t-Studenta na istotność parametrówJeżeli spełnione są założenia KMNK to sprawdzianem hipotezy zerowej

H 0: j=0wobec hipotezy alternatywnej

H 1: j≠0 // jest istotnyjest statystyka t-Studenta o n-k stopniach swobody

t j=a j− j

D a j; j=1,2 , ... , k

gdziea j - ocena parametru strukturalnego j

D a j - błąd szacunku parametru j

jeżeli wartość statystyki:∣t j∣ >= t , n−k gdzie t , n−k wartość krytyczna odczytana z tablic t-Studenta

to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej.

jeżeli∣t j∣ < t , n−k

to brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Przyczyny nieistotności parametrów strukturalnych:

• brak zależności pomiędzy X j i Y• mała dokładność lub nieodpowiednia jakość danych statystycznych• mało liczna próba• przyjęta niewłaściwa postać analityczna modelu• pominięcie w modelu innych ważnych zmiennych objaśniających• okoliczności przypadkowe, wynikające z losowości próby

przykład 1Zbadaj czy dochody ludności i średnia cena nowego samochodu istotnie kształtują popyt na samochody?

model z przykładu 1:y t=1,470 x1t−0,629 x2t2,609u t

gdzie y t popyt w tys, x1 dochody w setkach, x2 średnia cena samochodu

tzn: Sprawdź istotność parametrów stojących przy zmiennych x1 i x2 we wzorze są to 1i2 .

8

badamy zatem parametr 1 ( dochody)

H 0:1=0

wobec hipotezy alternatywnej

obliczamy wartość statystyki t-Studenta:

t s=a j− j

D a j=

1,470−00,217 = 6,774 // skąd mamy 0,217 ?? nie mam tego przykładu

t 0,05;12−3=2,262

wartość statystyki jest większa od wartości krytycznej

|6,774|>2,262

więc hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej.

co oznacza, że parametr jest statystycznie istotny a więc dochody ludności istotnie kształtują popyt na samochody

i analogicznie 2

|-3,901|

hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, czyli parametr jest statystycznie istotny, a więc średnia cena nowego samochodu kształtuje popyt na samochody.

Test Fischera-Snedecora istotności współczynnika korelacji wielorakiej.H 0: R w=0H 1: R w0 współczynnik jest istotny // >

Sprawdzianem jest statystyka postaci:

F= R 2

1−R2 . n−kk−1

Statystyka F ma rozkład F Fischera-Snedecora o (k-1) i (n-k) stopniach swobody.

Jeżeli wartość statystyki F≥F ;k−1, n−k

gdzie F ;k−1, n−k wartość odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu F Fischera-Snedecora o (k-1) i (n-k) stopniach swobody oraz to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej.

Jeżeli FF ;k−1, n−k

To nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Test F Fischera-Snedecora istotności współczynnika korelacji wielorakiej przykład:Sprawdź czy model dostatecznie opisuje sprzedaż samochodów.

H 0: R w=0H 1: R w0

9

F= R 2

1−R2 . n−kk−1

= 0,9451−0,945

. 12−33−1

=77,318

F 0,05;2;9 = 4,26

77,318>4,26

Hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej.Model statystycznie istotnie opisuje sprzedaż samochodów

Autokorelacja składnika losowegoNa ogół autokorelację można wyrazić w postaci relacji:

t= f t−1 ,t−2 , ... ,t−W związku z tym spełniona jest zależność

T ≠2 I

W praktyce przyjmuje się na ogół funkcję liniową, a maksymalne opóźnienie czasowe wynosi jeden lub dwa

t=1t−1t autokorelacja rzędu pierwszego

Estymator współczynnika autokorelacji rzędu dany jest wzorem:

r =∑

t=1

n

u .ut−

∑t=1

n

ut2

, r należy <-1;1>

// pierwszego rzędu to jest jeden

autokorelacja (...) - przyczyny 1. Błędy specyfikacji równania.

– pominięcie ważnej zmiennej objaśniającej – błąd specyfikacji statycznej– pominięcie właściwego opóźnienia zmiennej objaśniającej, a w szczególności zmiennej

objaśnianej – błąd specyfikacji dynamicznej,– niewłaściwa postać funkcyjna równania.

Badanie autokorelacji – test Durbina-WatsonaHipoteza zerowa H 0: 1=0Hipoteza alternatywna: H 1:10 // lub 10 w zależności od d

Sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka

d=∑t=2

n

u t−u t−12

∑t=1

n

u t2

, d∈⟨0 ; 4⟩

// dopiero po policzeniu wartości statystyki wybieramy hipotezę alternatywną !!jeżeli d>2 to hipoteza przyjmuje postać 10 i należy obliczyć d' ze wzoru

10

d'=4-dbo tablice D-W są od 0 do 2jeżeli d<2 to hipoteza przyjmuje postać 10wtedy d' nie liczymy

Rozkład sprawdzianu d przy założeniu, że H 0 jest prawdziwa i składniki losowe mają rozkład normalny N 0, zależy od:n-liczba obserwacji,K-liczba zmiennych objaśniających !!!!//duże k

Z tablic wartości krytycznych testu D-W odczytuje się d L i d U dwie wartości krytyczne

Kiedy d<2, czyli hipoteza alternatywna przyjmuje postać 10 mamy możliwe sytuacji1. d≤d L to hipotezę zerową odrzucamy, - korelacja występuje2. d Ldd U to nie można podjąć decyzji czy autokorelacja jest istotna czy nie 3. d U≤d to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Kiedy d>2 czyli hipoteza alternatywna przyjmuje postać 10 mamy możliwe sytuacje:4. d '≤d L to hipotezę zerową odrzucamy, - korelacja występuje5. d Ld 'd U to nie można podjąć decyzji czy autokorelacja jest istotna czy nie 6. d U≤d ' to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Test Durbina-Watsona jest testem trójstronnym (posiada tzw. obszar niekonkluzywności – nie można podjąć decyzji)

Pomiędzy estymatorem r 1 a statystyką Durbina-Watsona d zachodzi relacja:

d≈2 1−r 1

W przypadku stwierdzenia autokorelacji mamy możliwości:

• usunąć przyczyny autokorelacji• zastosować procedury estymacji w warunkach autokorelacji (np uogólnioną metodę najmniejszych

kwadratów)• pozostać przy metodzie najmniejszych kwadratów godząc się z mniejszą efektywnością

estymatorów

Test D-W przykład

Zbadaj czy występuje autokorelacja składnika losowego w modelu sprzedaży samochodów

po obliczeniu statystyki d=2,741d'=1,259n=12 i K=2 liczba zmiennych objaśniającychd L =0,812 d U = 1,579

XERO Kukuła s. 58 zrobić

ponieważ <d' < to nie można podjąć decyzji czy autokorelacja jest istotna czy nie (powinniśmy zastosować inny test na badanie autokorelacji)

11

oszacujemy estymator r 1 ze wzoru:

r 1=∑t=2

n

u t . ut−1

∑t=1

n

u t2

=−1,603,71

=−0,431

Jednorodność wariancjiW związku z tym spełniona jest zależność // w związku z czym?

T =i2 I // równe czy różne

i2=k i.

2

gdzie k i współczynniki wyrażenia zmienności wariancji składnika losowego dla i-tej obserwacji (i=1,2, ... n)

Jednorodność wariancji – test Goldfelda-QuandtaW teście tym próbę statystyczną dzieli się na dwie pod próby ( n1i n2 ) tak, że:

1. n 1n 2=n tzn wszystkie obserwacje z próby statystycznej są uwzględnione lub

2. n 1n 2n (liczba pominiętych obserwacji nie może przekraczać 1/3 obserwacji 0,33n) //jeśli liczba n jest parzystą to nie pomija się żadnej??//(na kolokwium poda jak ma być dzielona próba)

generalnie przyjmujemy że n 1=n2

Dla obu pod prób szacowane są parametry strukturalne modeluDla tak oszacowanych modeli liczy się wariancje resztowe

S u12 i S u2

2

// i stosujemy zwykły test Fischera-Stedeckora na równość wariancji ( nie było?)

W teście Goldfelda-Quandta weryfikujemy hipotezę:

H 0:12=2

2 wobec hipotezy alternatywnejH 1:1

222

Jeżeli prawdziwa jest hipoteza zerowa wówczas stosunek wariancji reszt

F=S u1

2

S u22

ma rozkład F Fischera-Snedecora o m1=n2−k i m2=n1−k stopniach swobody

Jeżeli F≥F ;m1, m2 to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej.

Przykład 1 //zał 2 do wykładu 2Próbę statystyczną podzielono na n1=5i n2=5Dla obu pod prób oszacowano modele

Su12 =0,338 Su2

2 =1,053

12

F= 3,115

F 0,05 ,5−1,5−3=19,0

3,115 < 19nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, możemy przyjąć że wariancje w obu podpróbach

n1i n2 są równe.

Oznacza to że wariancja jest jednorodna.

NormalnośćPoprawna interpretacja testu F i testu t – czyli testów istotności zmiennych objaśniających jest możliwa pod warunkiem przyjęcia założenia stwierdzającego że rozkład składnika losowego modelu jest rozkładem normalnym - N 0,

w tym celu użyjemy testu asymetrii i kurtozy (kolejny moment centralny)

Normalność - test Jarque-BeraTestowane są hipotezy:H 0: składnik losowy ma rozkład normalny

przy hipotezie alternatywnejH 1: składnik losowy modelu nie ma rozkładu normalnego

Do oszacowania wartości statystyki Jarque-Bera tego testu wyznaczamy najpierw

S= 1n∑t=1

n

u t2

Następnie obliczamy :

B1=1n∑t=1

n u t3

S 32

asymetria

B2=1n∑t=1

n u t4

S4 kurtoza

statystyka Jarque-Bera ma postać:

JB=n B1

6B2−32

24 JB rozkład chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody.

Krytyczną wartością testu na poziomie istotności =0,05 odczytaną z tablic wartości rozkładu 2 jest liczba : 5,991Jeżeli JB≥5,991

to hipotezę H 0 o normalności rozkładu składnika losowego należy odrzucić

13

Przykład:H 0 składnik losowy modelu ma rozkład normalnyH 1 składnik losowy modelu nie ma rozkładu normalnego

robimy tabelkę w arkuszuu u2 u3 u4 // z którego przykładu ??sumy: 3,71 -0,79 3,19zatem

S= 1n∑t=1

n

u t2= 3,71

12 =0,556

B1=1n∑t=1

n u t3

S 32

= 1n S 3∑

t=1

n

u t3

2

= 0,147

B2=1n∑t=1

n u t4

S4=1

n S 4∑t=1

n

u t4= 1

12⋅0,5564⋅3,19 = 2,782

ostatecznie otrzymujemy

JB=n B 1

6B2−32

24=0,318

Ponieważ JB<5,991 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej głoszącej o normalności rozkładu składnika losowego.Możemy przyjąć, że rozkład jest normalny

dotąd na 3+ :)

Co to jest prognozowaniePrognozowanie to przewidywanie przyszłych zdarzeń, a jego celem jest zmniejszenie ryzyka w procesie podejmowania decyzji.Funkcje prognozowania:– tworzenie przesłanek do podejmowania decyzji– aktywizująca– informacyjna – przygotowuje nas na zmiany

Prognozy muszą być wiarygodne

Dokładność prognozWyróżniamy dwa rodzaje mierników dokładności predykcji, a mianowicie:• mierniki dokładności ex ante (oceny błędu ex ante)• mierniki dokładności ex post (błędy ex post) // mówią o dokładności modelu

Zasada predykcji nieobciążonejZasada predykcji nieobciążonej polega na tym, że:

yTp=E Y T

T-horyzont prognozyY T zmienna prognozowanayT

p prognoza zmiennej Y T w okresie TE Y T wartość oczekiwana rozkładu zmiennej prognozowanej Y T w okresie T

14

yTp=E Y T / f y t

Własność zasady predykcji nieobciążonej dana jest wzorami:

E Y T− yTp=0

V 2=E Y T− yTp2min

Zasada predykcji oparta na przedziale ufności

.. można sformułować w postaci następującej reguły – należy wskazać taki przedział I Tp aby

zachodziła równośćP yT∈I T

p=1− ; 1−≥0,90gdzie I T

p – przedział predykcji poziom istotności ( 1− wiarygodność predykcji)yT wartość zmiennej prognozowanej Y T w okresie T

Prognozowanie na podstawie klasycznych modeli trenduW szeregach czasowych można wyróżnić dwie składowe:• składową systematyczną• składową przypadkową (zwaną też składnikiem losowym lub wahaniami przypadkowymi)

Składowa systematyczna może wystąpić w postaci 1. Trendu2. Stałego (średniego) poziomu3. Składowej periodycznej:

wahania cykliczne, np tygodniowe wahania sezonowe (roczne)

Model tendencji rozwojowej... można zapisać ogólnie y t=F [ f t ,it ,t ]

gdzie f(t) – funkcja trendui t – wahania periodyczne,t – wahania przypadkowe

Jeżeli powiązania między składowymi szeregu czasowego są typu

y t= f t ∑i=1

n

it t

to model nosi nazwę modelu addytywnego// mówi o bezwzględnie stałych odchyleniach od modeluw przypadku

y t= f t ∏i=1

n

[1it ] [1t ]

// mówimy wyższa o 10% - mówi o względnie stałych odchyleniach od trendu

15

to model nosi nazwę modelu multiplikatywnego

Modele tendencji rozwojowejNajczęściej stosowane postacie analityczne funkcji trendufunkcja liniowa

y t=1⋅t0t

funkcja wykładnicza

y t=e1⋅t0t lub y t=01t e1

funkcja logistyczna

y t=0

11e2 tt // wykres dochodzący

Przykład 2 zał 2 do wykładu

Prognoza punktowa, trend liniowy.

yTp=a1⋅Ta0 (T=n+1, n+2, ...)

Trend liniowyliczba studentów w szkole X prognoza na 2007zatem po oszacowaniu otrzymujemy model

y t=0,770 t10,267u t

czyli z roku na rok ilość studentów rośnie o 0,770 tysiąca (interpretacja a1 )

Czyli prognoza punktowa na n=12 (2007)yT=12

p = 0,770 12+10,267 = 19,503Spodziewana liczba studentów w 2007 roku wynosi 19,503 tysiąca osób

Wahania sezonowe – model Kleina

Y t= f t 1V 1t2 V 2t...m V mti

- to wskaźniki sezonowościV - to zmienne przyjmujące wartości 0 a 1 w swoim okresie

Dla addytywnych wahań sezonowych zachodzi:

∑i=1

m

i=0

wtedy więc

m=−∑i=1

m−1

i

Podstawiając do modelu wyjściowego otrzymujemy:Y T= f t 1V 1t−V mt 2V 2t−V mt ...m−1V m−1 t−V mtt

16

w przypadku danych półrocznych (wahań o długości cyklu 2) cała procedura wygląda następująco

Y t=1 t1V 1t2 V 2t0t

dla modelu zachodzi relacja

m=−∑i=1

m−1

i tzn 2=−1

Podstawiając relację do modelu otrzymujemy:Y t=1 t1V 1t−V 2t0t

Model Kleina prognozowaniePrognoza punktowa

Y TP=a1⋅Tb⋅V 1T−V 2Ta0 (T=n+1, n+2, ...)

Błąd ex ante prognozy

* // jeszcze wróci

V=X PT D2a X PS u

2

gdzie X p wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanymD2 a macierz wariancji i kowariancji estymatorów,S u

2 wariancja resztowa

Przykład 3 zał 2przedsiębiorstwo budowlane

parametry przy t: interpretacjaZ półrocza na półrocze sprzedaż budowlana przedsiębiorstwa rośnie o 0,375 mln złotych przy czym w pierwszym półroczu sprzedaż budowlana jest mniejsza o 1,5 mln złotych a w drugim większa o 1,5 mln złotych niż by to wynikało z trendu

Prognoza na 2006:Y I−2006=0,375⋅11 – 1,510,23 = 12,85 mln złY II−2006=0,375⋅121,510,23 = 16,25 mln zł

czterookresowe są w xero – też będą na kolokwium

wykład ekonometria 3/3 12.12.2006

Predykcja na podstawie liniowego modelu jednorównaniowegoy=X

Prognoza punktowayT

P=a1 x1Ta2 x2T ...ak x kTa0

gdzie x1T , x2T wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanymBłąd ex ante prognozy

17

V= X PT D2a X PS u

2

X P – wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym

Względny błąd prognozy wynosi

V *= VyT

P⋅100

V *≤

Estymacja przedziałowa – przedział ufnościPrzedział predykcji na okres lub moment T na podstawie omawianego modelu najczęściej buduje się symetrycznie wokół prognozy

P yTP – t ;n− k⋅V yT yT

Pt ;n−k⋅V =1−

Wartości zmiennych objaśniających

Ustalenie wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym1. Na poziomie planowanym np wydatki na reklamę.2. Poprzez zbudowanie odpowiednich funkcji trendu i ich ekstrapolacje.3. Budowa osobnego modelu ekonometrycznego (przyczynowo-skutkowego)4. Obliczenie zbioru prognoz zmiennej objaśnianej odpowiadającym różnym praktycznie

możliwym wartościom zmiennych objaśniających w okresie TNP

Y T=3,45 x1t−1,55 x2t15u t

gdzie x1t - dochody ludności w setkach złx2t - cena przeciętna telewizora

Sprawdź czy prognoza jest dopuszczalna na poziomie 5% wiedząc żeSU=1,2 // a we wzorze ma być SU

2 :)a macierz wariancji i kowariancji estymatorów ma postać:

D2 a=[ 0,08 0,06 −0,400,06 0,25 −1,20−0,40 −1,20 2,00 ]

Prognoza dla dochodów

X 1TP =1,48e0,1⋅14=6,002=6,00

Prognoza dla ceny:wzrost 10% więc

X 2TP =7⋅1,1=7,7

Prognoza dla y:yT

P=3,45⋅6 – 1,55⋅7,715=23,765

18

Spodziewana sprzedaż telewizorów w 2006 roku wyniesie 23,765 tys. sztuk

Błąd prognozy ex ante

V=X PT D2a X PS u

2=[6,0 7,71] [D2a]⋅[6,07,71 ]1,22=1,96651,44=1,846

^ tu wartości na okres prognozowany!!

V *= VyT

P⋅100= 1,84623,765

⋅100=7,8

Rzeczywista realizacja popytu na telewizory odchylać się będzie od postawionej prognozy +_ 1,846 tys sztuk co stanowi 7,8% zmiennej prognozowanej

Nasza prognoza nie jest dopuszczalna.

P 23,765 – 2,228⋅1,846 yT23,7652,228⋅1,846=1−0,05P 19,65 yT27,88=0,95

Z prawdopodobieństwem 95% przedział o końcach (19,65; 27,88) pokryje nieznaną, rzeczywistą realizację popytu na telewizory w tys. sztuk.

Elastyczność

Niech będzie dany model ekonometryczny

y= f x1, x 2,... , xk−1

Model ten jest odzwierciedleniem relacji między procesami lub zdarzeniami gospodarczymi i społecznymiInterpretacja parametrów modeli liniowych – współczynniki proporcjonalnościnieliniowych – informacja jak zmienia się szybkość reakcji w zależności od zmian zmiennej objaśniającej

Miary elastyczności są jednym ze sposobów wnioskowania na podstawie modeli ekonometrycznych

Elastyczność jest miarą względnych zmian zmiennej endogenicznej wywołanych określonymi, względnymi zmianami zmiennej objaśniającej.

Jak zmieni się wartość zmiennej endogenicznej, przy założeniu względnej zmiany zmiennej objaśniającej, lub o ile powinna zmienić się określona zmienna egzogeniczna, aby zmienna objaśniana wzrosła o „p” procent.

NP firma chce zwiększyć sprzedaż o 10% - o ile trzeba zwiększyć wydatki na marketing?

W zależności od zaistniałej sytuacji lub warunków można wykorzystaćmiernik elastyczności klasycznej, do 10%miernik elastyczności różnicowej, powyżej 10%miernik elastyczności całkowitej, modele wielorównaniowe

19

Elastyczność klasyczna:

1. Występują małe zmiany zmiennej x tzn X 0X

X≤0,1

2. Zmiany wyróżnionej zmiennej objaśniającej nie wywołują zmian innych zmiennych

Elastyczność klasyczną zmiennej endogenicznej y względem x i definiujemy jako

xi= y xi⋅

x i

f x1, ... , x k−1

Elastyczność klasyczna przyjmuje różne wartości w zależności od dziedziny modelu ekonometrycznego zatem często nazywa się ją jako elastyczność punktową

Efekt względnych zmian zmiennej objaśnianej wywołanych określoną zmianą wyróżnionej zmiennej objaśniającej można wyznaczyć ze wzoru: y

y= xi

x i

xi

Łączny względny wpływ wszystkich zmiennych można zapisać jako

yy=∑

i=1

k−1

xi

x i

xi

Przykład 1 str 5 załącznik 2trzeba znać punkt dziedziny żeby wyznaczyć elastyczność w tym punkcie

x1 wraz ze wzrostem dochodów ludności o 1% popyt wzrośnie o 0,979% zakładając że dochody wynoszą 300 a cena 4000 zł (punkt dziedziny dla którego policzone)

x2 wraz ze wzrostem ceny samochodów o 1% popyt spadnie (zmaleje) o 0,559% zakładając -”-

Założenie: dochody wynoszą 300 a cena 4000:a) jeżeli dochody ludności wzrosną o 2% popyt wzrośnie o 1,96%b) zmaleje o 5,17%c) zakładając zwiększenie dochodów o 2% aby sprzedaż wzrosła o 6% cena powinna zmaleć przynajmniej o 7,23%

Przykład 2 str 7 zał 2

wykładniki modelu potęgowego są elastycznościami, elastyczności te są stałe w całej dziedzinie

Wraz ze wzrostem wartości maszyn i urządzeń o 1% wartość produkcji wzrośnie o 0,61% przy założeniu że liczba zatrudnionych nie ulegnie zmianieWraz ze wzrostem liczby zatrudnionych o 1% wartość produkcji wzrośnie o 0,32% przy założeniu że wartość maszyn i urządzeń nie ulegnie zmianie.

Przykład interpretacja:Jeżeli liczba zatrudnionych spadnie o 3% a wartość maszyn i urządzeń wzrośnie o 5% to wartość produkcji wzrośnie o 2,09%

Przykład 3 str 7interpretacja wzoruwydatki na rozrywkę mają miejsce gdy dochód przekroczy 713,41 zł

20

maksymalny poziom wydatków na rozrywkę wynosi 467,26

# Domek

jeżeli dochody wzrosną o 1% przy poziomie 1000 to wydatki na rozrywkę wzrosną o 3,27%Jeżeli dochody wzrosną o 1% przy poziomie 3000 to wydatki na rozrywkę wzrosną o 0,86%

Elastyczność cenowa, elastyczność dochodowaJeżeli x i są to cena i dochód to mówimy:

p=−1to popyt na dane dobro jest popytem neutralnym lub też określany jest jako popyt jednostkowy p−1

to popyt elastyczny p−1

to popyt nazywamy popytem sztywnym

Przy wysokiej elastyczności dochodowej (dodatniej) rozwój gospodarczy jest czynnikiem korzystnym dla przedsiębiorstwa

21