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8/2/2019 PG -Teoria

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2ª Série do Ensino Médio

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

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2, 4, 8, 16, 32, ...

144, 72, 36, 18, 9, ...

3, 9, 27, ... , 2187.

10, –10, 10, –10, ...

Cada uma das sequências de números acima pode serconsiderada uma “P.G.”, ou seja, uma ProgressãoGeométrica. Sabe porquê?

1024, 256, 64, ... , 1, ¼ .

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Depois de aprendermos que as sequências numéricaspodem representar uma Progressão Aritmética, ficamais simples definir o que vem a ser uma Progressão

Geométrica.

Numa Progressão Aritmética (P.A.), a partir de um valorinicial, soma-se uma parcela fixa. Por exemplo:

7

+

11

+

15

+

19

+

23

+

…

1

×

3

×

9

×

27

×

81

×

…

Numa Progressão Geométrica (P.G.), a partir de um valorinicial, multiplica-se por um fator fixo. Por exemplo:

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Vimos também que a P.A. pode ser representada de umaforma genérica pela fórmula = + − 1 . onde a razão (parcela) pode ser identificada por

− ou − ou ... − ; Como podemos representar uma ProgressãoGeométrica de forma geral?

= 1 Vamos voltar à P.G. 1, 3, 9, 27, 81, ...

= 3 = 1 × 3

= 9 = 3 × 3 = 1 × 3 × 3

= 27 = 9 × 3 = 3 × 3 × 3 = 1 × 3 × 3 × 3

= 81 = 27 × 3 = 9 × 3 × 3 = 3 × 3 × 3 × 3 = = 1 × 3 × 3 × 3 × 3

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Complicado? Vamos tentar melhorar

= 1

= 1 × 3

= 1 × 3 × 3

= 1 × 3 × 3 × 3

= 1 × 3 × 3 × 3 × 3 = 1 × 3

= 1 × 3

= 1 × 3

= 1 × 3

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Complicado? Vamos tentar melhorar

= 1

= 1 × 3

= 1 × 3 × 3

= 1 × 3 × 3 × 3

= 1 × 3 × 3 × 3 × 3 = 1 × 3

= 1 × 3

= 1 × 3

= 1 × 3

= 1 × 3

.

.

.

= 1 × 3;

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= 1

= 1 × 3

= 1 × 3 × 3

= 1 × 3 × 3 × 3

= 1 × 3 × 3 × 3 × 3 = × 3

= × 3

= × 3

= × 3

= × 3

.

.

.

= × 3;

Como = 1 …

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= 1

= 1 × 3

= 1 × 3 × 3

= 1 × 3 × 3 × 3

= 1 × 3 × 3 × 3 × 3 = ×

= ×

= ×

= ×

= ×

.

.

.

= × ;

E 3 é o fator que se repete, então... vamos fazer 3 =

Fórmula do termo geralde uma P.G.

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Recapitulando:

P.A. P.G.

+ ×

+ 2 ×

+ 3 × .

.

.

.

.

.

+ − 1 . × ;

=

=

=

=

=

.

.

.

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Por que será que, na P.A., a razão érepresentada pela letra e na P.G.

pela letra ?

Vimos que, nas Progressões Aritméticas, a razão – “ratio”, parte, parcela – é o valor fixo que se adiciona a cada

termo, tanto que, para determiná-la, basta subtrair de umtermo seu antecedente: = − = − = ⋯

Qual será o cálculo para determinar a razão em uma P.G.?Você já sabe?

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2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...

3 , 9 , 27, ... , 2187.

Vamos voltar aos exemplos de P.G. lá do comecinho:

× × × × ×

× × ×

P.G. Crescente e Infinita

P.G. Crescente e Finita

Você saberia dizer, na segunda P.G., qual o elemento queantecede o último?

FÁCIL!2187 ÷ 3 = 729

÷ ÷ ÷

729

÷ ÷ ÷ ÷

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P.A. P.G.

+

:

−

: − =

×

:

÷

:

=

Na P.G., a razão é oresultado de umquociente e daí a

representação pelaletra

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144, 72, 36, 18, 9, ...

Vamos determinar a razão de cada uma das ProgressõesGeométricas (ainda) dos exemplos iniciais:

P.G. Decrescente e Infinita

=72

144 =1

2

1024, 256, 64, ... , 1, ¼ . P.G. Decrescente e Finita

=256

1024 =

1

4

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P.A. P.G.

Observe!

Razão positiva > 0

CRESCENTE

Razão negativa < 0

DECRESCENTE

Razão positiva e > 1

CRESCENTE

Razão positiva e < 1

DECRESCENTE

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MOMENTOCRIATIVO

Partindo de = 1, vamos criar...

1) Uma P.A. decrescente:

2) Uma P.G. crescente:

3) Uma P.A. crescente:

4) Uma P.G. decrescente:

= −1

1,0,−1,−2,−3,…

= 5

1,5,25,125,625,…

= 4

1,5,9,13,17,…

= 110

1,1

10

,1

100

,1

1000

, …

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E como fica a P.G.com razão

negativa?

Exemplo 1: = 2 = −2

2,−4,8,−16,32,…

Exemplo 2: = 12 = −

12,−6,3,−3

2,3

4, …

<

⇓ P.G. ALTERNADA

(nem crescente,nem decrescente)

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P.A.

P.G.OBSERVE MAIS!

= − = −

2 = +

Média ARITMÉTICA

= +

2

=

=

. = .

= .

= ± .

Média GEOMÉTRICA

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P.G. (2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...)

4 = 2 × 8

8 = 4 × 16

Em três termos em P.G., o quadrado do termo do meio éigual ao produto do antecedente pelo consequente ou, otermo central é a média geométrica entre os outros dois.

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P.G. (2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...)

8 = 2 × 32

Numa P.G., o quadrado do termo “do meio” é igual aoproduto dos termos equidistantes do centro.

… , ; , … , , … , : , …

= ; . : ou = ± ; . :

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EXEMPLOS DE QUESTÕES SOBRE P.G.:

1) Calcule o 1º termo da P.G em que a4 = 64 e q = 2.

= × ;

64 = × 2;

64 = × 2

8 = 64 ∴ = 8

2) Qual é a razão de uma P.G em que a1= 4 e a4= 4000?

4000 = 4 × ;

4 = 4000

= 1000 ⇒ = 1000

∴ = 10

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3) Calcule o 10° termo da P.G (9,27...)

= 279 = 3

= 9 × 3; = 9 × 3

= 3 × 3 ∴ = 3

4) Numa P.G, temos a5 = 32 e a8 = 256. Calcule o primeirotermo e a razão dessa P.G.

32 = × (I)

256 = × (II)

Dividindo, membro a membro,(II) por (I), temos:

256

32=

×

×

8 =

(I) 32 = × 2

16 = 32

∴ = 2

8

∴ = 2

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EXERCÍCIOS:

1) Numa PG a1 + a2 = 3 e a4 + a5 = 24, a razão da PG é :

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

+ = 3

+ . = 3

+ = 24

. + . = 24

⇒ . 1 + = 3 (I)

⇒ .. 1 + = 24 (II)

Dividindo, membro a membro, (II) por (I), vem que:

. . 1 +

. 1 + =

24

3

8

⇒ = 8 ∴ = 2

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2) A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216.Então, o termo médio é igual a:

a) 2 b) 6 c) 18 d) 5 e) 12

Três números em P.G.: .

Produto = 216:

. . . = 216 ⇒ = 216 ∴ = 6

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3) Uma fábrica vendia 12 camisetas por mês para certarede de academias desde janeiro de um determinado ano.Devido ao verão, essa venda foi triplicada a cada mês, de

setembro a dezembro. O total de camisetas vendidas nessequadrimestre e a média de vendas, por mês, durante oano, foram, respectivamente,a) 1.536 e 128b) 1.440 e 128c) 1.440 e 84d) 480 e 84

e) 480 e 48

Jan: = 12

Fev: = 12

Ago: = 12

.

.

.

Set: = 36

Out: = 108

Nov: = 324

Dez: = 972

Quadrimestre:36+108

+ 324+ 972

= 1440

Média mensal:

8 × 1 2 + 1 4 4 0

12

= 128

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4) Em um surto epidêmico ocorrido em certa cidade comcerca de 10.000 habitantes, cada indivíduo infectadocontaminava 10 outros indivíduos no período de uma

semana. Supondo-se que a epidemia tenha prosseguidonesse ritmo, a partir da contaminação do primeiroindivíduo, pode-se estimar que toda a população dessacidade ficou contaminada em, aproximadamente:a) 28 diasb) 35 diasc) 42 dias

d) 49 dias

1 semana: = 1 × 10

2 semanas: = 1 × 10 = 100

3 semanas: = 1 × 10 = 1.000 4 semanas: = 1 × 10 = 10.000

Inicial: = 1

4 semanas = 4 × 7 = 28 dias

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Até agora, para somarmos os termos de uma P.G., nãoprecisamos usar nenhuma fórmula, mas não há de sersempre assim.

= + . + . + … + . ;

Vamos multiplicar a igualdade acima por − :

−.= −. − . − … − . ; − .

Somando, membro a membro, as duas igualdades...

− . = − .

. 1 − = . 1 − ⇒ =. 1 −

1 −

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Fórmula da soma dos primeiros termos de uma P.G.:

=

. 1 −

1 − ( = )

Exemplo de aplicação:

Uma moça seria contratada como balconista para trabalharde segunda a sábado nas duas últimas semanas queantecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo

primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro doque ela recebera no dia anterior. A moça recusou otrabalho. Se ela tivesse aceito a oferta, quanto teriarecebido pelos 12 dias de trabalho?

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Dia 1: = 1

Dia 2: = 1 × 2

Dia 3: = 1 × 2 .

.

.

Dia 12: = 1 × 2

=1. 1 − 2

1 − 2 =

2 − 1

2 − 1 = 4096 − 1 = 4095

Resposta: Ela teria recebido R$ 4.095,00 pelos 12dias de trabalho.

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A fórmula que acabamos de aplicar refere-se à soma dos termos de uma P.G. finita ou dos primeiros termos deuma P.G. infinita.

É claro que, numa P.G. infinita e crescente, a soma de seusinfinitos termos será também infinita, mas o que acontecese a P.G., apesar de infinita for decrescente?

Observe:

P.G. 10,1,

,

, … ,

, … ,

, …

Você consegue imaginar o “tamanho” da fração ou

.. ? É tão pequena, tão “próxima de zero” que

seu valor, numa soma, pode facilmente ser desprezado

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Vamos tentar aplicar os dados dessa P.G. na fórmula dasoma considerando infinitos termos:

= . 1 −

1 −

=10. 1− 110

1 −1

10

LEMBRE-SEQUE A IDEIA

DE ∞ ÉABSTRATA! 0

=10

910

=100

9

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Vocês se lembram dessa P.G. (144, 72, 36, 18, 9, ... )com =

?

=144. 1 − 12

1 −12

0

=1441

2 = 288

E qual seria a soma dos infinitos termos da P.G. 2, 4, 8,16, 32, ... onde = 2?

= 2. 1 − 2

1 − 2

∞ APARECEU UM∞ NO MEIO

DA CONTA...

∴ = ∞

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Percebemos que só vale à pena determinar (somados termos de uma P.G. infinita) quando < 1 e afórmula para tal é:

= 1 −

Exemplo: Dada a PG com a2 = 5 e q = 2/5, calcule a soma

dos infinitos termos.

=

=

52

5

=25

2

=25

2

1 −2

5

=25

2

35

=25

2×

5

3 =

125

6

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ISERJ - 2012Professora Telma Castro Silva

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