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8/3/2019 Microsoft Word Teoria Elec

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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 1FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA

Teora Electromagntica II Ing. Edwin Nieto Ros

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TEORIA ELECTROMAGNETICA II

CAPITULO 1 LAS ECUACIONES DE CAMPO 4

1-1 Campos vectoriales 4

1-2 Ecuaciones de campo en forma integral. 8

1-3 Ecuaciones de campo en forma diferencial 8

1-4 Ecuacin de la continuidad 10

1-5 Teorema de la energa 12

1-6 Potenciales escalar y vectorial.. 16

1-6-1 Ajuste de los potenciales18

1-6-2 Las ecuaciones de potencial...20

CAPITULO 2 LA ONDA PLANA 22

2-1 La ecuacin de onda 222-2 Solucin de D ALEMBERT. 23

2-3 Transversalidad impedancia de onda.............................................................. 28

2-4 Onda armnica con direccin de propagacin arbitraria................................ 32

CAPITULO 3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA 373-1 Flujo de energa en medios sin perdida............................................................37

CAPITULO 4 CONDICIONES DE BORDE 404-1 Condiciones de borde de

E ..............................................................................414-2 Condiciones de borde de

H ..........................................................................42

4-3 Condiciones de borde de D

........................................................................... 43

4-4 Condiciones de borde de

B ..............................................................................43

4-5 Condiciones de borde de

J..............................................................................44

4.6 Condiciones de borde de S

.............................................................................45

CAPITULO 5 POLARIZACION 47

CAPITULO 6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS 53

6-1 Onda estacionaria..............................................................................................53

6-2 Grupo de ondas.................................................................................................54

6.3 Dispersin.........................................................................................................57

6.4 Velocidad de la seal........................................................................................61

CAPITULO 7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS 64

7-1 Atenuacin Y Corrimiento De Fase..................................................................64

7.2 Caractersticas De Dispersin Del Conductor...................................................69

7.3 Casos Limites De Los Conductores Metlicos Y Aislantes..............................72

7.4 Efecto Pelicular O Piel De Un Conductor Cilndrico......................................76

7.6 Flujo De Energa En Medios Con Prdidas......................................................81




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CAPITULO 8 REFLEXION Y REFRACCION 86

8.1 Ondas Parciales Y Condiciones De Frontera...............................................86

8.2 Polarizacin De La Onda Incidente Paralela Al Plano Incidente...............88

8.3 Polarizacin De La Onda Incidente Perpendicular Al Plano Incidente.....93

CAPITULO 9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA 95

9.1 Condiciones De Frontera ...........................................................................97

9.2 Onda Tem...................................................................................................99

9.3 Onda Tm....................................................................................................101

9.4 Onda Te.....................................................................................................110

9.5 Gua De Onda Rectangular........................................................................112

9.6 Conductores De Ondas Dielctricos..........................................................113

CAPITULO 10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIN 11510.1 Ondas No Homogneas En Conductores ................................................115

10.2 La Primera Ecuacin De La Lnea...........................................................120

10.3 La Segunda Ecuacin De La Lnea..........................................................123

10.4 Ecuaciones De Una Lnea De Transmisin Con Conductores Reales Y

Sus Soluciones...................................................................................................126

CAPITULO 11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS 131

11.1 Definicin Y Ajuste De Potenciales........................................................131

11.2 Ecuaciones De Los Potenciales Y Sus Soluciones..................................134




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1. LAS ECUACIONES DE CAMPO

Las ecuaciones de Maxwell describen el mundo de los campos vectoriales

electromagnticos. Se nos presenta aqu una doble dificultad: Primero, los campos

electromagnticos no son directamente captados por nuestros sentidos, con excepcin de

la luz; por eso, por mucho tiempo se han buscado analogas mecnicas para su

visualizacin. Y segundo, un campo vectorial sobrepasa nuestras posibilidades

imaginativas, por ello hemos recurrido a representaciones muy simplificadas, como los

cuadros de lneas de campo, los cuales reproducen incompletamente los sucesos fsicos

reales en el espacio.

En este captulo nos ocuparemos de los orgenes y propiedades de los campos vectoriales;

de la estructura matemtica y del contenido fsico de las ecuaciones de campo de

Maxwell.

1.1 CAMPOS VECTORIALES

Los orgenes de un campo vectorial

A tenemos que diferenciarlos entre fuentes (pozos o

cadas) y torbellinos.

Fuentes o pozos son puntos en el espacio con la propiedad de que en ellos inician o

terminan lneas de campo (fig. 1a). Cuando existen fuentes o pozos del campo vectorial

en un volumen V se tiene:

A dS

S

. 0 (1.1)

El valor de esta integral es una medida del flujo del vector A

a travs de la superficie o de

la intensidad de la fuente encerrada en ella. Es la integral nula, entonces el volumen no

contiene fuentes.




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Los torbellinos, tambin denominadas orificios, son lneas de campo con la propiedad de

que estas se cierran alrededor de las lneas del torbellino (fig. 1b). Cuando los torbellinos

del campo vectorial

A se distribuyen en una superficie S, se tiene:

A dr

C

. 0 (1.2)

Fig. 1 Fuente y Torbellino




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El valor de esta integral es una medida de la circulacin del vector A

a lo largo del

contorno C o de la intensidad del torbellino. Si esta integral es nula, la superficie S,

delimitada por C, est libre de torbellinos.

A los campo vectoriales podemos diferenciarlos segn su origen en:

Campos Fuente Puros ( Campos libres de torbellinos )

Campos Torbellinos Puros ( Campos libres de fuentes )

Campos Mixtos

Un campo libre de fuentes y torbellinos (Campo Homogneo) puede existir nicamente en

un recinto finito, en donde la causa u origen del campo est fuera de este recinto, en el

caso ideal en infinito. Todo campo vectorial es aproximadamente homogneo si est lo

suficientemente alejado de la fuente y torbellino que lo producen.

En las figuras (2a) y (2b) se indica por medio de la integral de flujo (1.1) y de la integral

de circulacin ( 1.2 ) cules son los orgenes de ciertos campos vectoriales.

Campo Fuente Puro

Fig. 2a Clasificacin de los campos vectoriales




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Campo Torbellino Puro

Campo Fuente-Torbellino

Campo Homogneo

Fig. 2b Clasificacin de los campos vectoriales




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1.2 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL

Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell , es decir :

Forma Integral Forma Diferencial

E dr B dS

SC

rotE B

(1.3)

SdDJrdHC S

rotH J D

(1.4)

D dS dV

VS

divD

(1.5)

B dS

S

0 divB

0 (1.6)

Ecuaciones para ED

la materia B1

H

J E

(1.7)

(1.8)

(1.9)

Las dos primeras ecuaciones de la tabla (1.3 1.4) describen la circulacin de una

variable de campo elctrico y de una variable de campo magntico; o sea los torbellinos

de los dos campos: Lneas u orificios con 0B

son torbellinos de la intensidad de campo

elctrico

E y lneas u orificios con 0DJ

son torbellinos de la intensidad de campo

magntico

H.

El otro par de ecuaciones de campo (1.5 1.6) describe el flujo de unas variables de

campo elctrico y magntico; es decir las fuentes de los dos campos.

Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o

la causa de los campos elctrico y magntico. Dado que un campo vectorial recin a

travs de la informacin de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera nica -




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hasta un campo homogneo aditivo o sea un campo espacial constante -, el nmero de

cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia, sino que es

matemticamente necesario y suficiente.

Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen

cada uno con diferentes variables de campo; de tal manera que tenemos tambin 4

variables de campo, dos elctricas y dos magnticas. Esto no es necesario pero si facilita

el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos.

En resumen: El campo elctrico es un campo fuente - torbellino. Las causas ms simples

son las cargas, pero tambin una induccin que cambia con el tiempo produce campos

elctricos.

El campo magntico es un campo torbellino libre de fuentes. La causa ms simple de un

campo magntico es una corriente circuital (malla), la cual corresponde a un dipolo

magntico. Cargas magnticas, hasta lo que se sepa, no hay.

1.3 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL

Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss, podemos pasarnos a la forma

diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral.

Para un vector

A continuo segn los dos teoremas de integral se tiene :

Stokes:

A dr rotA dS

SC

(1.10)

Gauss: S V

dVAdivSdA

(1.11)




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El vector rot

A describe pues, la circulacin diferencial de

A alrededor de un elemento

de superficie Sd

, y el escalar div

A describe el flujo diferencial de

A a travs de un

volumen diferencial dV.

Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (1.3 1.4)

y el teorema de Gauss de igual forma a (1.5 1.6); as obtenemos la forma diferencial de

las ecuaciones de campo.

Esta forma diferencial es en su formulismo matemtico especialmente corta y clara.

Aunque la solucin de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difcil, siempre

tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no

homogneas y acopladas. Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones

diferenciales lineales de primer orden. La linealidad permite aplicar el principio de

superposicin para obtener la solucin: se superponen fuentes y torbellinos, se superponen

tambin sus campos.

Para la solucin de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial.

La forma integral es, fsicamente hablando, ms visual y para la solucin ventajosa

cuando se presentan geometras sencillas. Esto es especialmente del caso, cuando un

campo vectorial posee solamente una nica componente que no desaparece, la cual en el

intervalo de integracin es constante.

1.4 ECUACION DE LA CONTINUIDAD

En este subcaptulo y el siguiente trataremos, como primera consecuencia de la ecuaciones

de Maxwell, los teoremas de conservacin de la carga elctrica y de la energa

electromagntica .

Obteniendo la divergencia en la ecuacin de campo (1.4) en la forma diferencial se tiene:

)DJ(div)Hrot(div




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y considerando que para un campo vectorial

A arbitrario, continuo y diferenciable,

permanentemente se satisface la siguiente identidad: div rotA( )

0

se obtiene que: div J D(

)

0 (1.12)

La ecuacin (1.12) se conoce como la ecuacin de la continuidad, la cual se compone de

la densidad de corriente de conduccin

J y la densidad de corriente de desplazamiento

D

. Introduzcamos en (1.12) la ecuacin (1.5), se tiene:

divJ divD

0

divJ

0 (1.13)

En esta formulacin, la ecuacin de la continuidad es el teorema de la conservacin de la

carga elctrica. Con el propsito de obtener la forma integral de (1.13), se obtiene la

integral de volumen a los dos lados, o sea:

divJdv dvVV

. 0

Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene

0 dv.sdJS V

(1.14)

En un volumen V (contorno del campo), la carga puede cambiar temporalmente solamente

segn la corriente de carga a travs de la carcaza S.

La forma integral de (1.12):

00 sd)DJ(dv)DJ(divSV

(1.15)




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se utilizar ms adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de

corriente.

1.5 TEOREMA DE LA ENERGIA

En este captulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el

contorno del campo. El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad,

o sea prdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacin de equilibrio),

como tambin fuentes de energa, o sea fuentes de voltaje, pues al resultado que se llega

con fuentes de corriente es el mismo, siguiendo un camino anlogo.

La corriente tambin puede tener naturaleza no elctrica, como por ejemplo origen

qumico en elementos galvnicos. Tales orgenes no elctricos podemos describirlos a

travs de un modelo elctrico equivalente con una variable de campo equivalente,

especficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE

o como una fuente de corriente, por medio de una densidad de corriente

Jeq . Si se

presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado, tenemos que aadir en la

ecuacin de los materiales este efecto, as:

J E E eq .( ) (1.16)

E.JJ eq

(1.17)

Adems tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puedetener una interaccin con su entorno, esto es, puede aceptar o entregar energa a travs de

su superficie.

Desarrollaremos la ecuacin de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello

la densidad de potencia p como variable descriptiva .




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La densidad de potencia generada por la fuente es:

eqeq EJp

e introduciendo (1.16) se obtiene:

EJJpEJ

Jp eqeq

2

1

con la ecuacin de campo

J rotH D

se tiene

p J rotH D E eq 1

2

(

)

p J E D E rotH eq

1

2

.

. (1.18)

La ltima relacin puede transformarse por medio de la siguiente relacin vectorial:

Hrot.EErot.H)HE(div

E)H(H)E()HE(div

)EH()HE()HE(div

(1.19)

(la flecha indica el trmino sobre el cual acta el operador Nabla )

p J E D div E H H rotE eq

1

2

.

( ) .




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y con la ecuacin de campo rotE B

se tiene

)HE(divB.HD.EJpeq

21

(1.20)

Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia:

SmeJeq sdHEPPPP

( (1.21)

es decir, la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al

efecto Joule.

P J dvJV

1 2

(1.22)

ms la potencia elctrica

P E DdveV

.

(1.23)

ms la potencia magntica

dvB.HPV

m

(1.24)

y ms la potencia radiada a travs de la superficie.

Para un medio lineal :

D E . ;

B H .

dvE.2

1

t.dv.E.EP 2

VV

e




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22

2

1

2

1E.wE.

t.p ee

: Densidad de energa elctrica

de igual forma para 2mm

H.2

1wP

: Densidad de energa magntica

La densidad de flujo de potencia a travs de la superficie

HES

(1.25)

se denomina el vector de Poynting. El significado fsico del vector de Poynting no est

libre de dificultades. Nosotros podemos superponer un campo electrosttico en un campo

magnetosttico de tal manera que sea S E H 0 . Entonces significara este producto

vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece, aunque esto no es del caso

en campos electrostticos. En realidad, se tiene como consecuencia de (1.19), y con las

ecuaciones en campos electrostticos libres de corriente que:

div S H rotE E rotH . . .

0

y con ello tambin que: 0S

Sd.S

para cualquier superficie S, coincidiendo esto con la experiencia.

La divergencia deS , la cual aparece en el equilibrio de potencia, es fsicamente libre de

malentendidos. El vectorS , por s mismo en cambio, se debe usar con precaucin pues

no est definido de una manera nica al conocer solamente sus fuentes a travs de (1.21) y

no sus torbellinos.

Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo

(rango del campo), que no posee fuentes, esto es que peq 0 , y con un material libre de

prdidas ( 0 , y reales) con funciones locales nicas D E y H B . Debido a la

unicidad de las ecuaciones del material, las diferenciales totales son :




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DdEdwe

. y BdHdw

m

.

e integrando podemos definir una densidad de energa

D

e DdEw0

.

B

m BdHw0

.

con lo que obtenemos :

Sdivwwdtd me

(1.26)

Que es el teorema de conservacin de la energa: En cualquier punto del entorno la

variacin temporal de la densidad de energa es igual al flujo diferencial de la densidad

de flujo de potencia.

1.6. POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL

La ecuacin de campo divB

0 , satisfagamos con la siguiente consideracin :

B rotA (1.27)

reemplacemos sta en la ecuacin de campo rotE B

0AErotArotErot

(1.28)

y as mismo satisfagamos esta ecuacin con la siguiente consideracin:




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AgradVE (1.29)

Las ecuaciones (1.27) y (1.29) son las definiciones del potencial vectorial magntico y del

potencial escalar elctrico, respectivamente.

Formulando (1.27) en forma integral se tiene:

B dS rotA dS

S S

. .

y aplicando Stokes se llega a:

Adr B dS

C S

. (1.30)

o sea que el vector

A es un campo-torbellino. Las lneas de induccin son lneas tipo

torbellino de

A . O formulando de otra manera: Las lneas de campo de

A encierran a la

lneas de campo de

B (ver figura 3).

Fig. 3 Lneas de induccin como lneas de torbellino del potencial vectorial




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La circulacin del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada c es igual al flujo

magntico a travs de la superficie S encerrada por la curva "c".

1.6.1. AJUSTE DE LOS POTENCIALES

Los dos potenciales no son definidos en forma nica por (1.27) y por (1.29). Para el

potencial vectorial

A reconocemos enseguida que hasta aqu solamente se han definido

sus torbellinos pero no sus fuentes. Dado que los campos continuos son nicos y que los

potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos, los que deben

satisfacer las ecuaciones de campo, debemos imponer condiciones adicionales a los

potenciales para hacerlos nicos. Se define este proceso como ajuste de los potenciales.

Nosotros mostraremos a continuacin de una manera explcita la no unicidad de los

potenciales. Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A' ',

con sus

respectivos campos :

''

'''

ArotB

AgradVE

Construyamos con una funcin escalar F r t, arbitraria, que posea la segunda derivada,el par de potenciales nuevo de la siguiente manera :

gradFAA

FVV

'

'

Esto conduce al mismo campo, as :




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''''

'''''

''

B=Arot=Frot.grad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B

E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E

)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E

El potencial escalar es as nico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un

campo escalar F arbitrario, y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo

campo escalar. Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los

potenciales, esto es introducir una condicin ms, la cual debe satisfacer las ecuaciones de

campo. Al definir solamente las ecuaciones, como hemos visto, los torbellinos del

potencial vectorial

A , nosotros podemos elegir libremente las fuentes de

A . La

consideracin ms sencilla es:

div

A = 0 (1.31)

que es conocida como el ajuste de Coulomb.

Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste, la funcin de ajuste F(r, t)

est determinada. Para ello supongamos que el par de potenciales V A' ',

no satisfacen el

ajuste del Coulomb:

div 'A

0

Entonces : divA div A dF

' gra 0

0FAdiv2'

'2 AdivF

En el caso que se conozcan los potenciales desajustados V,

A', lo cual significa tambin

que se conoce la div

A', obtenemos la funcin de ajuste como solucin de la ecuacin

diferencial de Poisson. En todo caso, debemos disponer de una constante por medio de

una normalizacin apropiada.




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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL

Con:

AVgradAgradVArotrot

AgradVE;AxBH

EEDJHx

1

11

adems con:

3212

2

2

2

2

2

.VAdivgradEAA

VAdivgradgradVAAA

VVAdivgradAAA

VgradgradV.AdivgradAAA

AVgradA.gradV.AAdivgrad

AAdivgrad

AgraddivAdivgradArotrot

Por otro lado:




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33122 .AdivVAdivV

AgradVdivEdivDdiv

Introduciendo la condicin de Lorentz: divA u V

(1.34)

se tiene :

331

321

2

2

.VV

.J.AA

Sea f(x,y,z,t) una onda que se propaga con velocidad v, entonces la ecuacin diferencial

de esa onda es :

)f,z,y,x(gfv

1f 2

2

comparando se tiene :

1v (1.35)

Para el espacio libre0

1

.cv

velocidad de la luz en el espacio libre

Se definem

Fx,

m

Fx

m

H 1290

7

010854810

36

1104




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2. LA ONDA PLANA

En este captulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad

de campo

E y

H a partir de las ecuaciones de Maxwell.

2.1 LA ECUACION DE ONDA

Nos limitaremos a un medio ilimitado, isotrpico, homogneo y lineal. Las variables del

material son escalares, independientes de la posicin en todo el entorno del campo

infinito:

.cte,,

Adems supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar

un campo, fuentes de voltaje o de corriente.

000 eqJ,eqE,

Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser:

DJHrot

BErot

)1.2(

0

0

Bdiv

Ddiv

Como se vio en el captulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos

magntico y elctrico por medio de la realizacin de un rotacional en las dos primeras

ecuaciones de campo:




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BrotErot.rot

EE.

DJ.Hrot.H.rot

BB.ErotErot.DJrotHrot.rot

HH.

Adems con rot rotA d divA A. gra .

2 se tiene:

0;00

,,

)2.2(..

..

2

2

eqeq JE

cte

HHH

EEE

Para medios aislantes 0 , los campos de ondas son:

0)3.2(

0.

0.

2

2

HH

EE

Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo

Eo H, se

tiene:

2 21

01

v

siendo v.

(2.4)

A la ecuacin (2.4) se la conoce como ecuacin de onda.

2.2 SOLUCION DE DALEMBERT

Como una solucin sencilla e inicial de la ecuacin de onda (2.4), que muestra las

propiedades de una onda, busquemos una solucin, en la que a ms del tiempo t, dependa

Mas condiciones de (2.2)




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de una sola coordenada cartesianaz:

01

2

2

22

2

tvz

)t,z(

(2.5)

o sea

0

vtzvtz

con el cambio de variables

vt.

.

z.

.

z..

z..

zvt

zvt

1

1(2.6)

obtenemos:

zzz

vtvtvt

y con esto la ecuacin de onda queda como:

0

02

Su solucin:

zvtgzvtftzgf

,

, (2.7)




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se denomina la solucin de DAlembert.

Siendofy g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua. En la

solucin general aparece una constante de integracin, la cual no consideramos pues sta

describe un campo constante en posicin y tiempo.

Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales:

f vt z (2.8)

En la fig. 4 se tienen dos eventos de esta solucin para los tiempos t1 y t t t2 1 como

funcin de la variable posicionalz.

1 1 f vt z

2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )

al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma eltiempo t, es decir,

f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2

Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambin la separacin constante v t .

Con otras palabras: La funcin de posicin se ha movido z v t en la direccin

positiva dez durante el tiempo t sin distorsin.

Definicin de onda: Si existe algn evento en alguna regin espacial a un cierto tiempo, y

si dicho evento se presenta en alguna otra regin espacial despus de haber transcurrido

cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es

proporcional a la diferencia de tiempo (z t), se dice que dicho evento constituye una




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onda. La constante de proporcionalidad entre la separacin y el tiempo constituye la

velocidad de propagacin (fase).

Fig. 4 Sucesos de la solucin f(vt - z)

A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcin posicin -

tiempo se le llama fase de la onda. Superficies de fase constante se denominan superficies

de fase. En el presente caso son planos de fase:

vt - z = constante (2.9)

Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana. La velocidad con la que

las superficies de fase se mueven a travs del espacio se denomina como velocidad de

fase, la cual, de (2.9) resulta ser:

vdt -dz = 0 vdt

dz (2.10)

La velocidad de fase de la onda segn la ecuacin (2.4) depende de las variables del

material del medio de propagacin. En el vaco es la velocidad de fase de una onda

electromagntica idntica a la velocidad de la luz co o

1/ .




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La onda parcialf(vt-z) de la solucin general (2.7) tiene as un plano de fase z = cte que se

mueve en la direccin positiva de z con velocidad v. La onda parcial g(vt+z) tiene el

mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase, la cual tambin,

como es obvio, depende solamente del medio de propagacin. La nica diferencia es que

para el plano de fase para esta onda parcial se tiene :

v-=dt

dz0=dz+dtv

es decir el plano de fase se mueve en la direccin negativa dez.

La solucin total de DAlambert (2.4) consiste de la superposicin de las dos ondas

parciales las cuales se propagan a lo largo del ejez, la una en el sentido positivo y la otra

en el sentido negativo. Dado que la causa del campo de las ondas lo habamos colocado

en infinito y que nos habamos limitado nicamente a la dependencia espacial de z, en

efecto hay estas dos posibilidades: que el transmisor se encuentre en z - y que la

onda se propague en el sentido positivo dez; o que el transmisor se encuentre en z +

y que la onda se propague en el sentido negativo de z. Debido a la linealidad de las

ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente. Tal

superposicin de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como: Ondas

estacionarias, dispersin e interferencia de ondas, de lo cual nos ocuparemos ms

adelante.

La solucin total (2.4) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian nicamente

por el sentido de propagacin, nos permite manejar una de las dos. Nos limitaremos, en lo

que viene a continuacin, a la propagacin de las ondas en el sentido positivo de z.

Entonces para los dos vectores de campo se tiene:

-= zvtEE

(2.11)

-= zvtHH




28/135



Dado que el campo en el plano de fase es constante, o sea homogneo, se denomina a la

onda como onda homognea plana. Para ondas no homogneas, a ms de la funcin

de fase, se tiene una dependencia espacial de la amplitud; por ejemplo E=A(x, y)f(vt - z)

(ejemplo : dipolo de Herzt-onda esfrica no homognea).

2.3 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA

Introduciendo ahora la solucin de DAlambert (2.11) en las ecuaciones de Maxwell

(2.1), especficamente en las dos divergencias se tiene :

2.1200

x0=

00x

0=

z

Hz

z

zvtHz

y

zvtHyzvtHxHdiv

z

Ez

z

zvtEz

y

zvtEyzvtExEdiv

conz

Ez

z.

Ez

vt.

Ez

vt

Ez

se tiene que 2.1300 vt

Hz

vt

Ez

Las ecuaciones (2.12) y (2.13) expresan que en la direccin de propagacin solamente puede existir un

campo independiente de tiempo y de la posicin; es decir, un campo esttico homogneo. Este tipo de

campo carece de inters en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podramos asumir que:

Ez = 0 y Hz = 0

expresando en forma vectorial :




29/135



0,,=

2.140,,=

HyHxH

EyExE

Los vectores de campo estn perpendiculares a la direccin de propagacin. Por ello a

este tipo de onda se denomina onda transversal.

De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene:

2.15a-=

-=-

0+--

+-=

0

vt

Hyv

z

Ex

vt

Hxv

z

Ey

zyt

Hyx

t

HxErot

z

y

Ex

x

Eyy

z

Exx

z

Ey

EyExzyx

zyx

Erot

aaa

aaa

aaa

2.15b-=

-=-

+-

0+--

vt

Eyv

z

Hx

vt

Exv

z

Hy

zy

Hx

x

Hyy

z

Hxx

z

HyHrot

zyt

Eyx

t

ExHrot

aaa

aaa

Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que :




30/135



2.16-=zvt

y que segn (2.4) v =1/ v se tiene que los dos pares de ecuaciones 2.15a y 2.15b son

idnticas en cruz.

Entonces de (2.15a) y de (2.16) obtenemos:

0=HyExzz

yHv-=

z

Ex

0Hx-Eyzz

xHv=

z

Ey

Segn (2.16) desaparece tambin la derivada con respecto a vt en la expresin entre

parntesis. Separando nuevamente aqu un campo esttico homogneo del proceso de una

onda, obtenemos:

2.17-=+= HxEyHyEx

la variable 2.18=

Z

tiene la dimensin de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de

propagacin. La impedancia de onda para el vaco es Zo 377 .

Es decir, tenemos dos pares de constantes del vaco que son equivalentes uno respecto el

otro, especficamente o y o , y , c,Zo. Resumiendo los resultados, se tiene para la onda

transversal, homognea, plana:




31/135



0,,H

(2.19)0,,E

Z

zvtEx

Z

zvtEy

zvtEyzvtEx

Para una onda electromagntica las intensidades de campo elctrico y magntico no son

independientes una de la otra, sino que estn relacionadas por medio de la impedancia de

onda. O sea que se tiene dos grados de libertad, especficamenteEx yEy o magnitud y

direccin del vector de campo elctrico. Los dos dependen del transmisor a travs de su

intensidad y polarizacin.

Con (2.17) y (2.19) podemos obtener la magnitud y la direccin de la intensidad de campo

magntico:

2.210ZEy-Ex=

....

2.20

22

22

Z

ExEy

EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE

Z

E

Z

ExEyHyHxH

Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccin de propagacin, sino que

tambin son perpendiculares entre s. Los dos vectores conjuntamente con la direccin de

propagacin forman un eje de simetra tridimensional ortogonal.

El conocimiento que la onda electromagntica es una onda transversal y que su velocidad

de fase en el vaco es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la

suposicin que las ondas de luz son ondas electromagnticas. La comprobacin

experimental la logr, en 1888, Heinrich Hertz.




32/135



2.4 ONDA ARMNICA CON DIRECCIN DE PROPAGACIN ARBITRARIA

A continuacin queremos considerar ondas peridicas continuas con una funcin de fase

armnica. Dado que el argumento (fase) tiene la dimensin de longitud, obtenemos con

una longitud de normalizacin lo siguiente:

z t A vt z, cos 2

dondeA es la amplitud de la onda y la longitud peridica espacial o longitud de onda

(ver figura 5). El nmero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades

de longitud se denomina como nmero de onda y es:

2.222=k

La longitud peridica temporal se denomina duracin de la oscilacin o perodo

2.23v

T

y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular

0z

A

Fig. 5 Periodicidad Espacial de Onda Armnica




33/135



2.242T

2= f

con estas tres relaciones (2.22 2.24), se tiene para la onda armnica:

2.25acos, kztAtz o en su representacin compleja, la cual para ondas armnicas es apropiada:

2.25be.Retz, zk-twjA

Para la velocidad de fase de la onda armnica obtenemos:

2.26k

=cte

fasedt

dzv

Una onda armnica tiene una frecuencia y un nmero de onda fijo y con ello, segn

(2.26), una velocidad de fase fija. Por ello, tambin se denomina a esta onda como onda

monocromtica. Una onda monocromtica pura es una abstraccin, pues ella es ilimitada

espacial y temporalmente. En la realidad se tiene que ver con la superposicin de ondas

monocromticas. La relacin (2.26) entre las magnitudes de periodicidad y k se

denomina relacin de dispersin, aunque las manifestaciones de dispersin recin

aparecen con la superposicin de ondas de frecuencia diferente.

Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana, homognea, transversal y armnica

para cualquier direccin de propagacin, la cual no coincide con un eje cartesiano.

Designemos con n al vector unitario en la direccin de propagacin, el cual al mismo

tiempo es la normal al plano de fase, y denominemos como vector nmero de onda o

tambin vector de onda a: (ver fig 6)

2.27n2=n

kk

x

y

z

Pk

r

direccin de

propagacin




34/135



Planos de fase son los lugares geomtricos de todos los puntos P, para los cuales se tiene:

cte=r.k-t

con lo que obtendremos para los vectores de campo:

r.k-tH=H

2.28r.k-tE=E

Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas

ortogonales se tiene tambin aqu:

0=H.E;0=H.k;0=E.k

As podemos resumir estas relaciones de direccin con la relacin de magnitud (2.20)

Zk

Exk=H

(2.29)




35/135



Para una dependencia armnica del tiempo podemos asumir que:

HH;EE

HjH;EjE

eeHeHH

eeEeEE

tjrkjrktj

tjrkjrktj

22

Las Ecuaciones de Maxwell, quedaran como:

0

Bdiv

Ddiv

DjJHrotDjJHrotDJHrot

BjErotBjErotBErot

Para (2.2), se tiene:

00022

22

eqeq J;E;;cte,,

H.jHH

E.jEE

HjHH

EjEE

22

22

Para (2.3), se obtiene:


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36/135



0

0

)2.2(00

0

22

22

22

22

HH

EE

descondicioneHH

EE




37/135



3. ENERGIA DE UNA ONDA PLANA

Toda onda est relacionada con el transporte de energa. Para la onda electromagntica se

describe este mediante el campo del vector de Poynting.

3.1.FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS

Para una onda plana transversal con una direccin de propagacin arbitraria k

se tiene la

relacin (2.29) entre los vectores de campo. Con esto obtenemos para el vector de

Poynting:

Zk

)Exk(xE=HxE=S

)B.A(C-)C.A(B=CxBxA

2Ek=)k.E(E-)E.E(k=ExkxE

k

kHZ

k

k.

Z

E=S 2

2

(3.1)

El transporte de energa se lleva a cabo en la direccin de propagacin, como fsicamente

se espera.

La velocidad del transporte de energa ligado con la onda denominmosla velocidad de la

energa VE. Con el propsito de obtener una expresin para VE consideremos un elemento

de volumen (ver fig. 4.1) de longitud dl en la direccin de propagacin, de rea transversal

A y cuyo contenido de energa es:

dW= w A . dl




38/135


39/135



Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energa de

una onda armnica.

De (3.1) con E E cos (wt - k r)o

se tiene:

S1

ZE cos (wt - k r) .

k

ko2 2

k

k.)]rk2-(2wtcos+[1E

2Z

1S 2o

(3.4)

La densidad de flujo energtico cambia con el doble de la frecuencia de la onda. Debido a

la componente DC, la magnitud de

S nunca es negativa. De especial inters es el valor

promedio en el tiempo de la magnitud sobre un perodo completo de la onda, el cual se le

denomina como Intensidad de la onda.

2

o

2

o H2

ZE

2Z

1=S(t)=I (3.5)




40/135



4. CONDICIONES DE BORDE

En este captulo queremos obtener para las variables de campo ms relevantes las

condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de

espesor finito h ( ver figura 4.1). Separemos al vector de campo

A a los dos lados, en

una componente normal An, la cual describe el flujo de

A a travs de la pared; y en una

componente tangencial At la cual describe la circulacin de

A alrededor de la pared.

Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacin debemos aplicar una ecuacin

de integral de flujo (una ecuacin de circulacin para el vector

A) a una parte diferencial

de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero. Con ello deben considerarse

solamente las propiedades de la pared de separacin y no de los medios.

An2

At1

An1

At2

h1 2

Fig. 4.1 Grfico para demostrar las condiciones de Borde




41/135



4.1 CONDICIONES DE BORDE DE

E

Utilizando la ecuacin de campo S sdBr.dE

a un contorno infinitesimal (ver

fig. 4.2) y considerando que la superficie de separacin, cuando h 0, no puede llevar

ningn flujo magntico.

0)drEt-t(E

drtEdrtEr.dElim

Q

P21

P

Q

2

Q

P

10h

Dado que esto es independiente de los lmites de integracin P y Q; se tiene que la

componente tangencial de la intensidad de campo elctrico es continua en la separacin de

los medios, pues:

Et1 = Et2 (4.1)

Fig. 4.2 Contorno y superficies infinitesimales




42/135



4.2. CONDICIONES DE BORDE DE

H

En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidadde corriente finita. La mayora de conductores poseen un valor finito para la

conductividad. Sin embargo, la conductividad puede ser muy grande y para muchas

aplicaciones prcticas es til asumir que ella es infinita. Como demostraremos ms

adelante, la profundidad de penetracin en un conductor de un campo elctrico alterno y la

corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad. As, en

un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluir en una placa (pelicular) cerca

de la superficie. La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme laconductividad se aproxima a infinito. Esto da lugar a un nuevo concepto til: la placa de

corriente. En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS

pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande.

En forma anloga, partiendo de S

sd)D+J(r.dH , y considerando que la superficie

de separacin para el caso , esto es J

, puede fluir una densidad de corriente

superficial, es decir:

J s =m

A=]sJ[;hJlim

J0h

r.dHlim0h

S

sdJlimJ

0h

drJs)drHt-t(HQ

P

21

Ht1 - Ht2 = 0 para




43/135



Js

Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht.


D

La ecuacin de campo vS

dV.sd.D

apliqumosla a una superficie infinitesimal

(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacin puede llevar una

densidad de carga superficial.

h.limh

S

0

Vh

Sh

dV.limsd.Dlim

00

S

S

S

S

DnDndSds)DnDn( 2121

Dn1-Dn2 = S (4.3)


B

Anlogamente, si aplicamos la ecuacin de campo homognea sd.B

0 a una superficie

infinitesimal obtenemos:

S

hds)BnBn(sd.Blim 021

0




44/135



Bn1- Bn2 = 0 (4.4)

4.5. CONDICIONES DE BORDE DE

J

Asimismo, si aplicamos la ecuacin homognea de la continuidad a una superficie

infinitesimal obtenemos:

00

S

hsd)DJ(lim

S

sd]n)DJ(n)DJ[( 021

021

n)DJ(n)DJ(

(4.5)

Introduciendo (4.3) en (4.5) se tiene:

02121

)nDnD()JnJn(

021 S)JnJn(

S)JnJn( 21 (4.6)

La componente normal de la densidad de corriente total es continua, segn (4.5). La

componente normal de la densidad de corriente de conduccin, al contrario, cambia en la

superficie de separacin con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo.




45/135



4.6 CONDICIONES DE BORDE DE S

Aqu apliquemos la integral de equilibrio de potencia (1.21) a una superficie infinitesimaly considerando que la superficie de separacin no puede llevar campos elctrico y

magntico, fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para

.

01 2

0

sv

sd.SdVJlimh

00

sv

sd.SdVJElimh

0 sd.Ssd.JE ss

021 SnSnJE st

paraJE

finitoparaSnSn

st

021

(4.7)




46/135



Ejemplo: Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una

fuente DC. Dar la direccin de los vectores de campo: SyH,E,J

en la resistencia, en los

conductores y en el medio circundante si ( = 0).

J E

E = 0 J S = 0

E = 0 J S = 0

H

Hx

x

o

o

x

x

o

o

o oxx+

- E

S




47/135



5. POLARIZACION

Aunque la magnitud y la direccin de la oscilacin de las intensidades de campo

electromagntico, como lo habamos anotado ya, son determinadas por el transmisor,

podemos aqu discutir las posibles direcciones de oscilacin.

El tipo de onda ms simple que se presenta es cuando la direccin de oscilacin de la

intensidad de campo elctrico

Ey con ella tambin la intensidad de campo magntico H

se conserva espacialmente para cualquier tiempo. Tal tipo de onda se denomina onda con

polarizacin lineal. Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que

la direccin de propagacin sea en el sentido de z y que la direccin de oscilacin de

Esea en el sentido dex; as segn:

kZ

EkH

, la direccin de oscilacin de H

debe ser en

el sentido dey : (ver fig. 5.1)

00,,kzt.EE x

00 ,

Z

kzt.E,H x

(5.1)

Fig. 5.1 Onda plana con polarizacin lineal




48/135



En cambio, para el caso ms general, la intensidad de campo elctrico de una onda plana

transversal que se propaga en la direccin dez puede poseer las dos componentesEx yEy

con amplitudes diferentesA ,B y un ngulo de fase , es decir:

Ex = A cos (t - kz)

Ey = B cos (t - kz + ) (5.2)

Es suficiente que consideremos solamente el caso de E

, pues el H

es correspondiente.

Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de

campo resultante. Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en

un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo, la cual nos proporcionara un

grfico de la variacin temporal de la direccin de oscilacin.

En lugar del parmetro del tiempo tintroduzcamos un nuevo parmetro para la curva, de

la siguiente manera:

t - k z0 = -2

con esto las dos ecuaciones (5.2) se vuelven simtricas.

E

Ax cos ( -

2) = cos

2cos + sen

2sen .

E

B

y cos ( +

2) = cos

2cos - sen

2sen .

De lo que obtenemos una representacin paramtrica de la curva buscada.

A

Ex B

Ey 2 cos 2

cos




49/135



E

Ax

E

B

y 2 sen

2sen .

Que es la representacin paramtrica de una elipse cuyo eje principal no est en las

direcciones de los ejes de coordenadas X y Y. Efectivamente con la identidad

trigonomtrica sen2

+ cos2

.= 1 obtenemos la ecuacin de la elipse:

1

22

22

22

sen

B

E

A

E

cos

B

E

A

E yxyx

(5.3)

La flecha del vector E

de una onda plana armnica en general describe una elipse (ver

fig. 5.2) en un plano que es perpendicular a la direccin de propagacin. Lo mismo es

vlido para el vector de intensidad de campo magntico

H. Por ello, a este tipo de onda

se la denomina onda polarizada elpticamente.

Fig. 5.2 Direccin de oscilacin de una onda con polarizacin.

Se habla de una polarizacin elptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccin de

propagacin la flecha del vector E

gira hacia la izquierda, o sea en contra de las

manecillas del reloj y de una polarizacin elptica de giro derecho cuando sucede lo




50/135



opuesto. La frecuencia de giro, naturalmente, es idntica a la frecuencia de la onda. El

sentido de giro de la polarizacin depende del ngulo de fase. Esta dependencia la

discutiremos a continuacin para los casos especiales de la polarizacin elptica general, a

los cuales pertenece tambin la polarizacin lineal.

1) = 0 ()

con lo que la ecuacin de la elipse (5.3) se reduce a:

que corresponde a ecuaciones de una recta; es decir obtenemos una onda con polarizacin lineal (ver fig.5.3)

2)

La ecuacin (5.3) quedara como:

Que es la ecuacin de una elipse en la representacin de ejes principales (ver fig. 5.3). Los

dos casos = /2 y = 3 /2 se diferencian nicamente mediante el sentido de giro

contrario del vector.

012

102

cos;sen

0B

Ey

A

Ex

23

2

2

1

22

22

cossen

02

2

2

2

BEy

AEx




51/135



Esta direccin de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la

componenteEx en el ngulo de fase . Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la

polarizacin visto en el sentido de la direccin de propagacin:

0 < < polarizacin con giro izquierdo

< < 2 polarizacin con giro derecho

Fig.5.3 Casos especiales de polarizacin Elptica

Adems siB =A, entonces la flecha del vector E

dibuja el crculo:

Ex2

+ Ey2

= A2

y la onda se denomina con polarizacin circular.

Finalmente se puede aadir que la onda polarizada elpticamente (5.2) y tambin el caso

especial de polarizacin circular puede generarse por medio de la superposicin de dos

ondas, las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra.

Para la intensidad de campo elctrico, las dos ondas parciales seran segn (5.2):




52/135



A la inversa, podemos dividir tambin la onda polarizada elpticamente en dos ondas

parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre s. Al incidir una onda plana

perpendicularmente en una reja, la que est construida de alambres paralelos, la

componente de la onda cuya polarizacin es paralela a los alambres de la reja se absorbe,

mientras que la componente cuya polarizacin es perpendicular a dichos alambres

atraviesa la reja (ver fig. 5.4). A esto es lo que se denomina un filtro polarizado. La

constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda. Al incidir la onda, en

general, con polarizacin elptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla

aparece una completa absorcin; es decir un blindaje del campo electromagntico.

Fig. 5.4 Accin de un filtro polarizado

00

00

2

1

,kzt.cosB,E

,,kzt.cosAE




53/135



6. SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS.

En este captulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicin de ondas planas.

Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o

por medio de un divisin de un campo de onda de una sola fuente.

A este tipo de manifestaciones o fenmenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en

especial ondas peridicas y seales, las cuales las podemos juntar como grupos de onda o

conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armnicas

(componentes de Fourier).

6.1 ONDA ESTACIONARIA

Un tipo especial de onda aparece con la superposicin de dos ondas planas armnicas y

linealmente polarizadas, las cuales nicamente difieren en que poseen una velocidad de

fase en magnitud igual pero de direccin contraria y una diferencia de fase . Hagamos

para las dos ondas parciales la consideracin:

kztAEx

kztAEx

.cos.

.cos.

2

1

cambiando de variable

2 kzkz

obtenemos:




54/135



kztAEx

kztAEx

2.cos.

2.cos.

2

1

y la onda resultante ser:

Ex = Ex1

+ Ex2

2cos

2.cos.2

kztA (6.1)

Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de

fase espacialmente fijos, es decir, estacionarios. As:

constantekz 2

A este tipo de onda se denomina onda estacionaria.

La ecuacin (6.1) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada.

Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares

se puede obtener tambin ondas estacionarias con polarizacin circular o elptica.

Ondas estacionarias se producen, por ejemplo, cuando una onda plana incide

perpendicularmente sobre una superficie lmite plana reflectora.

7.2 GRUPO DE ONDAS

Como ya hemos visto, la onda plana armnica y monocromtica es una abstraccin, pues

ella es sin lmites temporal y espacial, debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell

podemos obtener una solucin, o sea una onda no armnica, como una composicin de

Fourier de ondas armnicas con diferente frecuencia o nmero de onda o tambin




55/135



separar en las componentes individuales de Fourier. He aqu la importancia de las ondas

armnicas.

La superposicin de ondas armnicas de diferente frecuencia o nmero de onda se

denomina como un grupo de ondas o tambin como un paquete de ondas.

Por simplicidad tratemos aqu solamente la superposicin de ondas armnicas con la

misma direccin de propagacin y la misma polarizacin lineal, pero con diferente

nmero de onda y amplitud. Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas

resultante escrita en forma compleja se expresa como:

mx

mn

..Re,

k

k

kztjdkekAtzE

(6.2)

Se hace caer en cuenta que en la relacin (2.26) la frecuencia depende complicadamente

de la variable de integracin de la siguiente forma:

k

vk (6.3)

Dado que la funciones () y () no pueden darse en trminos generales, debemos aqu

renunciar a la integracin explcita y nos limitamos a una discusin cualitativa del paquete

de ondas.

Considerando un grupo de ondas con una banda k

k mn < k < k mx

cuyo ancho es pequeo comparado con el nmero de ondas ko en el medio de la banda.

Con una transformacin de variables se tiene:

k = ko + k ; k


56/135



Entonces la ecuacin (6.3), supuestamente conocidas las funciones () y (), podemos

desarrollarla en una serie de Taylor y sta interrumpirla despus del trmino lineal, es

decir:

o

kk

okk

dk

dkk

o

kdk

dk

okk

o

(6.5)

Introduciendo (6.4) y (6.5) en (6.3) se tiene:

kk o ;okk

dk

d

y para (6.2)

mx

mn

..Re,

k

k

zkktkj

o kdekkAtzEoo

o

o

oo

kk

kk

kztkj

o

zktjkdekkAetzE

mx

mn

.Re,

(6.6)

Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacin de amplitud (ver

figura 6.1). La onda portadora es la onda cuya funcin de fase es constante, es decir la

onda con los valores centrales de la banda (o, ko).

La modulacin de amplitud est dada por medio de la integral en la expresin (6.6). Para

un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas, la modulacin de amplitud

es constante, o sea:

ctekztdk

dk

okk

.




57/135



De ah se obtiene para su velocidad:

okkcteMAdk

d

dt

dzVg

(6.7)

Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo.

Fig. 6.1 Grupo de onda

6.3 DISPERSION

En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser

independiente de la frecuencia es decir constante, o dependiente de la frecuencia segn el

medio en el cual se propaga el grupo de ondas.

En el primer caso se denomina al medio sin dispersin y en el segundo dispersivo. Por lo

tanto:

dispesivosmediospara0

dispersindelibresmediospara0

d

dv(6.8)




58/135



En medios no dispersivos, tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de

fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad; esto es, la velocidad

de grupo y la velocidad de fase son idnticas:

Vg = v (6.9)

En cambio, si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente

velocidad de fase, la cual es dependiente de la frecuencia. La velocidad de grupo debe

depender, a ms de la velocidad de fase, tambin de la variacin de la velocidad de fase

con respecto a la frecuencia.

d

dvvfVg ,

Con el propsito de establecer esta relacin entre las velocidades de grupo y de fase en un

medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacin (2.26) para la velocidad de fase en

la relacin (6.7) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se

consideran para o o ko).

dk

d

d

dvkv

dk

vkd

dk

dv

g

gv

d

dv

vv .

Resolviendo con respecto a vg:

d

dv

v

vv

g

1

(6.10)

Se puede ver que la ecuacin (6.9) para medios no dispersivos, e

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