Post on 20-May-2019
Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/
Fizyka 1- Mechanika Wykład 2 12.X.2017
Pojęcia podstawowe
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest to jednak konieczne ! Przykład: “wózek” na torze powietrznym. Ważne jest,żeby ciało nie miało dodatkowych “stopni swobody” (np. obroty , drgania własne, stany wzbudzone) Położenie punktu materialnego całkowicie określa jego “stan”.
pojęcie punktu materialnego umożliwia prosty opis wielu sytuacji fizycznych.
Na ogół przyjmujemy, że punkt materialny obdarzony jest masą
Pojęcia podstawowe
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Ruch Zmiana położenia ciała względem wybranego układu odniesienia.
Układ odniesienia Ciało, które wybieramy jako “punkt odniesienia”. Najczęściej jest nim Ziemia lub punkt na jej powierzchni. Układ odniesienia można też zdefiniować określając jego położenie (lub ruch) względem wybranego ciała lub grupy ciał.
Przykłady: • układ związany ze stołem w sali wykładowej • układ związany z lecącym samolotem • układ środka masy zderzających się cząstek • układ związany ze środkiem Galaktyki
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Pierwszy krok w opisie ruchu to wprowadzenie układu współrzędnych – definiując
początek układu i kierunek dodatni osi współrzędnych.
Położenie, droga, przemieszczenie
Strzałka wskazuje kierunek dodatni
początek
0x kxpx
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Pierwszy krok w opisie ruchu to wprowadzenie układu współrzędnych – definiując
początek układu i kierunek dodatni osi współrzędnych.
Położenie, droga, przemieszczenie
Strzałka wskazuje kierunek dodatni
początek
0x kxpx
Pojęcia podstawowe
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Tor ruchu Opisuje zmianę położenia ciała w czasie W ogólnym przypadku - postać parametryczna toru: Wektor położenia ciała (wszystkie jego współrzędne) wyrażamy jako funkcje czasu.
r
trtztytxr
tzztyytxx
,,
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Droga
Droga to całkowita odległość w przebytej podróży. Jeśli podróżujesz z punktu xp do Paryża
i z powrotem pokonujesz drogę 5000 km.
Początek i koniec podróży
0x
px
Cel podróży
km2500
km200
x
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Przemieszczenie
Przemieszczenie to zmiana położenia netto. Jeśli jedziemy z domu do punktu xp, dalej do
Paryża i z powrotem do punktu xp, to przemieszczenie wyniesie 200 km.
Początek i koniec podróży
0x
px
Cel podróży
km2500
km200
x
Funkcje
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
W fizyce bardzo często staramy się opisać zależności pomiędzy różnymi wielkościami w postaci funkcyjnej. Na ogół do oznaczenia funkcji używamy symbolu odpowiadającego danej wielkości fizycznej, np.:
droga - s, wysokość - h, prędkość - v Postać funkcyjna zależy jednak od wyboru argumentu funkcji ! W przypadku opisu toru: y(t) i y(x) to dwie różne funkcje ! choć opisują tą samą wielkość fizyczną
Prędkość średnia
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
W odstępie czasu: Punkt materialny przemieścił się o: Prędkośc średnią definiujemy jako:
1212 ttt
121212 trtrrrr
12
1212
t
rv śr
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Prędkość i prędkość średnia
Prędkość średnia jest zdefiniowana jako droga dzielona przez całkowity czas podróży:
Średnia prędkość = droga / całkowity czas
Pytanie: Czy prędkość średnia auta jest: równa 40 km/h,
większa niż 40 km/h, czy mniejsza niż 40 km/h?
5 km
1t
5 km
2t
hkm /30hkm /50
Obliczenia prędkości średniej
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
21
21
21
21
2
2
1
1 ,,vv
vvs
v
s
v
sttt
v
st
v
st
Wyprowadzamy wzór końcowy, sprawdzamy wymiar, po czym podstawiamy wartości liczbowe. Czasy przejazdu odcinków i czas całkowity:
Średnia prędkość to całkowita droga przez czas całkowity:
21
21
21
21
21
21
2222
vv
vv
vvs
vsv
vv
vvs
s
t
svśr
Wymiar prędkości jest prawidłowy, podstawiamy więc wartości liczbowe
hkmvv
vvv śr /5,37
8
300
80
50302
5030
503022
21
21
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Prędkość chwilowa
Definicja:
Oznacza to, że określamy średnią prędkość w coraz to krótszym przedziale czasu; wtedy kiedy czas staje
się niemal zerowy uzyskujemy prędkość chwilową.
Pytanie: czy to oznacza dzielenie przez zero we wzorze (2.1)?
t
xv
t
0lim (2.1)
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Prędkość chwilowa czas[s] droga [m]
0 0
0,25 9,85
0,5 17,2
0,75 22,3
1 25,6
1,25 27,4
1,5 28,1
1,75 28
2 27,4
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Dro
ga [
m]
Czas [s]
S(t)
droga [m]
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Prędkość chwilowa Wykres poniżej pokazuje jak możemy mierzyć
prędkość w coraz to krótszych przedziałach czasu. Prędkość chwilowa to tangens kąta nachylenia krzywej
drogi od czasu.
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Prędkość chwilowa a pochodna
Dla ruchu jednostajnego. Niech x(t)=vt, policzmy dx/dt.
t
xv
t
0lim
t
tfttf
t
ftf
dt
df
tt
00limlim
vt
vttvvt
t
vtttv
t
txttxvt
dt
dx
t
ttx
0
00
lim
limlim
vvt
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Prędkość chwilowa a pochodna
Ruch jedn. przyspieszony. Niech x(t)=at2, policzmy dx/dt.
t
xv
t
0lim
t
tfttf
t
ftf
dt
df
tt
00limlim
attaat
t
attttta
t
attta
t
txttx
dt
dx
tt
tt
22lim2
lim
limlim
0
222
0
22
00
atat 22
231 3ttntt nn
Możemy uogólnić uzyskany wynik !
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Prędkość i nachylenie krzywej
Wykres położenia względem czasu dla ruchu o stałej prędkości ma stałe nachylenie.
Wykres położenia względem czasu dla ruchu o
zmiennej prędkosci ma zmienne nachylenie.
3.0 s
4.5 m
Dla t= 1,7 s
nachylenie = v = 4.5 m/3.0 s = 1.5 m/s
Klasyfikacja ruchów
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne
• prostoliniowy, odbywający się wzdłuż linii prostej Zawsze możemy tak wybrać układ współrzędnych aby • płaski, odbywający się w ustalonej płaszczyźnie • po okręgu
Ze względu na przyspieszenie • jednostajny wartość prędkości pozostaje stała: • jednostajnie przyspieszony przyspieszenie jest stałe:
txitrtzty x 0
tyitxitrtz yx 0
constv
consta
Ruch jednostajny prostoliniowy
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Najprostszy przypadek ruchu: Jednostajny Prostoliniowy Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi X: Położenie (przebyta droga) jest liniową funkcją czasu. Drogi przebyte w równych odcinkach czasu są sobie równe.
constv
v
constv
0 a
0000
00
00
;)(
,
ttvxtxvtxC
CvtxCtvvdttx
txxconstdt
dxv
Transformacja Galileusza
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Wybór układu odniesienia Dwa identyczne działa ustawione są pionowo: jedno na peronie, a drugie na wagonie. Strzał z działa w wagonie - pionowy
Czy ruch pionowy będzie identyczny?
2
2
0021
gttvytyty
obserwator na peronie
Ruch poziomy jest jednakże różny.
uttx
tx
2
1 0
0v0v
u
y
obserwator w wagonie
Transformacja Galileusza
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Wybór układu odniesienia Dwa identyczne działa ustawione są pionowo: jedno na peronie, a drugie na wagonie. Strzał z działa na peronie - pionowy
W kierunku pionowym ruch jest identyczny.
Dla obserwatora na wagonie teraz porusza się peron.
02
1
tx
uttx
Ruch pionowy nie zmienia się.
2
2
0021
gttvytyty
0v0v
u
y
x
Transformacja Galileusza
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Rozważmy dwa układy odniesienia związane z obserwatorami O i O’ poruszające się względem siebie ruchem jednostajnym, prostoliniowym. Przyjmijmy, że osie układów są równoległe i ruch względny zachodzi w kierunku osi X.
W chwili t=t0=0 początki układów pokrywały się.
Obserwując ten sam ruch obserwatorzy mierzą inną zależność położenia od czasu. Jeśli wiemy jak obserwatorzy poruszają się względem siebie, znamy powinniśmy móc wyznaczyć transformacje: (x, y, z) (x’, y’, z’)
V
Transformacja Galileusza
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Transformacja współrzędnych przestrzennych
Transformacja Galileusza
zz
yy
tVxx
Transformacja Galileusza prowadzi do wzoru na składanie prędkości.
Czas w obydwu układach jest identyczny t=t’,a jest to podstawowe założenie fizyki klasycznej (Newtona).
Vvv
Gdzie - prędkość względna Vdt
tdV
dt
xd
dt
dx
Ruch prostoliniowy zmienny
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Zależność drogi od prędkości Przypadek ogólny: znamy prędkość V (t) czy możemy wyznaczyć zależność położenia od czasu ? Możemy sumować przesunięcia dx po krótkich przedziałach czasu dt. Przesunięcie ciała w czasie t = t−t0
Graficznie: pole pod krzywą V (t) Matematycznie, przechodząc do granicy dt 0 -całka oznaczona
dtdt
dtvdxx
t
t
dtvx
0
Ruch jednostajnie przyspieszony
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Jednostajnie przyspieszony Ruch ze stałym przyspieszeniem
Prostoliniowy Ruch jest prostoliniowy: Przyspieszenie musi mieć kierunek zgodny z kierunkiem prędkości
t
t
dttavvdttavd
tvvttavtvaconstdt
vd
0
0
0000
consta
constavconstv
v
Ruch jednostajnie przyspieszony
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Prostoliniowy (jednowymiarowy) Prędkość jest liniową funkcją czasu: Położenie jest kwadratową funkcją czasu:
00 ttavtv
0002
1ttvvxx
Licząc pole trapezu mamy:
200002
1ttattvxx
Po podstawieniu wyrażenia na prędkość:
t
t
t
t
dtttavxvdtxx
00
0000
To samo dostajemy z całkowania prędkości:
Szczegóły obliczeń (1)
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
00 ttavtv Gdy prędkość jest liniową funkcją czasu:
Położenie wyliczamy jako całkę z funkcji opisującej prędkość
dtttavxdttvxtxtvdt
dxt
t
t
t
00
0000
Korzystamy z faktu, że całka z sumy funkcji jest równa sumie całek
dtatdttadtvxdtattavxtx
t
t
t
t
t
t
t
t
0000
000000
Wyliczając poszczególne całki mamy: 00
2
0
2
00022
ttattt
attvxtx
Poi uporządkowaniu wyrazów:
22
2
02
00
2
000
tttt
tattvxtx
Szczegóły obliczeń (2)
12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2
Zauważmy, ze wyraz w nawiasie to suma kwadratów:
22
2
00
2
000
ttt
tattvxtx
20000
2
00
2
0002
22
tta
ttvxtttta
ttvxtx
W szczególnym przypadku gdy czas t0=0:
2
2
00
attvxtx
Wyrażenia powyższe opisuje ruch jednostajnie przyspieszony startujący w czasie t0=0 z położenia x0 z prędkością początkową v0