Fizyka 1- Mechanika - fuw.edu.plszef/Fizyka 1/F1_W02.pdf · 1 2 0 0 gt y t y t y v t obserwator na...

Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

[email protected] http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika Wykład 2 12.X.2017

mailto:[email protected]



http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Pojęcia podstawowe

12.X.2017 Fizyka 1 - Wykład 2

Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest to jednak konieczne ! Przykład: “wózek” na torze powietrznym. Ważne jest,żeby ciało nie miało dodatkowych “stopni swobody” (np. obroty , drgania własne, stany wzbudzone) Położenie punktu materialnego całkowicie określa jego “stan”.

pojęcie punktu materialnego umożliwia prosty opis wielu sytuacji fizycznych.

Na ogół przyjmujemy, że punkt materialny obdarzony jest masą

Pojęcia podstawowe


Ruch Zmiana położenia ciała względem wybranego układu odniesienia.

Układ odniesienia Ciało, które wybieramy jako “punkt odniesienia”. Najczęściej jest nim Ziemia lub punkt na jej powierzchni. Układ odniesienia można też zdefiniować określając jego położenie (lub ruch) względem wybranego ciała lub grupy ciał.

Przykłady: • układ związany ze stołem w sali wykładowej • układ związany z lecącym samolotem • układ środka masy zderzających się cząstek • układ związany ze środkiem Galaktyki


Pierwszy krok w opisie ruchu to wprowadzenie układu współrzędnych – definiując

początek układu i kierunek dodatni osi współrzędnych.

Położenie, droga, przemieszczenie

Strzałka wskazuje kierunek dodatni

początek

0x kxpx

Pojęcia podstawowe


Tor ruchu Opisuje zmianę położenia ciała w czasie W ogólnym przypadku - postać parametryczna toru: Wektor położenia ciała (wszystkie jego współrzędne) wyrażamy jako funkcje czasu.

r

trtztytxr

tzztyytxx

,,


Droga

Droga to całkowita odległość w przebytej podróży. Jeśli podróżujesz z punktu xp do Paryża

i z powrotem pokonujesz drogę 5000 km.

Początek i koniec podróży

0x

px

Cel podróży

km2500

km200

x


Przemieszczenie

Przemieszczenie to zmiana położenia netto. Jeśli jedziemy z domu do punktu xp, dalej do

Paryża i z powrotem do punktu xp, to przemieszczenie wyniesie 200 km.

Początek i koniec podróży

0x

px

Cel podróży

km2500

km200

x

Funkcje


W fizyce bardzo często staramy się opisać zależności pomiędzy różnymi wielkościami w postaci funkcyjnej. Na ogół do oznaczenia funkcji używamy symbolu odpowiadającego danej wielkości fizycznej, np.:

droga - s, wysokość - h, prędkość - v Postać funkcyjna zależy jednak od wyboru argumentu funkcji ! W przypadku opisu toru: y(t) i y(x) to dwie różne funkcje ! choć opisują tą samą wielkość fizyczną

Prędkość średnia


W odstępie czasu: Punkt materialny przemieścił się o: Prędkośc średnią definiujemy jako:

1212 ttt

121212 trtrrrr

12

1212

t

rv śr


Prędkość i prędkość średnia

Prędkość średnia jest zdefiniowana jako droga dzielona przez całkowity czas podróży:

Średnia prędkość = droga / całkowity czas

Pytanie: Czy prędkość średnia auta jest: równa 40 km/h,

większa niż 40 km/h, czy mniejsza niż 40 km/h?

5 km

1t

5 km

2t

hkm /30hkm /50

Obliczenia prędkości średniej


21

21

21

21

2

2

1

1 ,,vv

vvs

v

s

v

sttt

v

st

v

st

Wyprowadzamy wzór końcowy, sprawdzamy wymiar, po czym podstawiamy wartości liczbowe. Czasy przejazdu odcinków i czas całkowity:

Średnia prędkość to całkowita droga przez czas całkowity:

21

21

21

21

21

21

2222

vv

vv

vvs

vsv

vv

vvs

s

t

svśr

Wymiar prędkości jest prawidłowy, podstawiamy więc wartości liczbowe

hkmvv

vvv śr /5,37

8

300

80

50302

5030

503022

21

21


Prędkość chwilowa

Definicja:

Oznacza to, że określamy średnią prędkość w coraz to krótszym przedziale czasu; wtedy kiedy czas staje

się niemal zerowy uzyskujemy prędkość chwilową.

Pytanie: czy to oznacza dzielenie przez zero we wzorze (2.1)?

t

xv

t

0lim (2.1)


Prędkość chwilowa czas[s] droga [m]

0 0

0,25 9,85

0,5 17,2

0,75 22,3

1 25,6

1,25 27,4

1,5 28,1

1,75 28

2 27,4

0

5

10

15

20

25

30

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Dro

ga [

m]

Czas [s]

S(t)

droga [m]


Prędkość chwilowa Wykres poniżej pokazuje jak możemy mierzyć

prędkość w coraz to krótszych przedziałach czasu. Prędkość chwilowa to tangens kąta nachylenia krzywej

drogi od czasu.


Prędkość chwilowa a pochodna

Dla ruchu jednostajnego. Niech x(t)=vt, policzmy dx/dt.

t

xv

t

0lim

t

tfttf

t

ftf

dt

df

tt

00limlim

vt

vttvvt

t

vtttv

t

txttxvt

dt

dx

t

ttx

0

00

lim

limlim

vvt


Prędkość chwilowa a pochodna

Ruch jedn. przyspieszony. Niech x(t)=at2, policzmy dx/dt.

t

xv

t

0lim

t

tfttf

t

ftf

dt

df

tt

00limlim

attaat

t

attttta

t

attta

t

txttx

dt

dx

tt

tt

22lim2

lim

limlim

0

222

0

22

00

atat 22

231 3ttntt nn

Możemy uogólnić uzyskany wynik !


Prędkość i nachylenie krzywej

Wykres położenia względem czasu dla ruchu o stałej prędkości ma stałe nachylenie.

Wykres położenia względem czasu dla ruchu o

zmiennej prędkosci ma zmienne nachylenie.

3.0 s

4.5 m

Dla t= 1,7 s

nachylenie = v = 4.5 m/3.0 s = 1.5 m/s

Klasyfikacja ruchów


Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne

• prostoliniowy, odbywający się wzdłuż linii prostej Zawsze możemy tak wybrać układ współrzędnych aby • płaski, odbywający się w ustalonej płaszczyźnie • po okręgu

Ze względu na przyspieszenie • jednostajny wartość prędkości pozostaje stała: • jednostajnie przyspieszony przyspieszenie jest stałe:

txitrtzty x 0

tyitxitrtz yx 0

constv

consta

Ruch jednostajny prostoliniowy


Najprostszy przypadek ruchu: Jednostajny Prostoliniowy Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi X: Położenie (przebyta droga) jest liniową funkcją czasu. Drogi przebyte w równych odcinkach czasu są sobie równe.

constv

v

constv

0 a

0000

00

00

;)(

,

ttvxtxvtxC

CvtxCtvvdttx

txxconstdt

dxv

Transformacja Galileusza


Wybór układu odniesienia Dwa identyczne działa ustawione są pionowo: jedno na peronie, a drugie na wagonie. Strzał z działa w wagonie - pionowy

Czy ruch pionowy będzie identyczny?

2

2

0021

gttvytyty

obserwator na peronie

Ruch poziomy jest jednakże różny.

uttx

tx

2

1 0

0v0v

u

y

obserwator w wagonie



Wybór układu odniesienia Dwa identyczne działa ustawione są pionowo: jedno na peronie, a drugie na wagonie. Strzał z działa na peronie - pionowy

W kierunku pionowym ruch jest identyczny.

Dla obserwatora na wagonie teraz porusza się peron.

02

1

tx

uttx

Ruch pionowy nie zmienia się.

2

2

0021

gttvytyty

0v0v

u

y

x



Rozważmy dwa układy odniesienia związane z obserwatorami O i O’ poruszające się względem siebie ruchem jednostajnym, prostoliniowym. Przyjmijmy, że osie układów są równoległe i ruch względny zachodzi w kierunku osi X.

W chwili t=t0=0 początki układów pokrywały się.

Obserwując ten sam ruch obserwatorzy mierzą inną zależność położenia od czasu. Jeśli wiemy jak obserwatorzy poruszają się względem siebie, znamy powinniśmy móc wyznaczyć transformacje: (x, y, z) (x’, y’, z’)

V



Transformacja współrzędnych przestrzennych


zz

yy

tVxx

Transformacja Galileusza prowadzi do wzoru na składanie prędkości.

Czas w obydwu układach jest identyczny t=t’,a jest to podstawowe założenie fizyki klasycznej (Newtona).

Vvv

Gdzie - prędkość względna Vdt

tdV

dt

xd

dt

dx

Ruch prostoliniowy zmienny


Zależność drogi od prędkości Przypadek ogólny: znamy prędkość V (t) czy możemy wyznaczyć zależność położenia od czasu ? Możemy sumować przesunięcia dx po krótkich przedziałach czasu dt. Przesunięcie ciała w czasie t = t−t0

Graficznie: pole pod krzywą V (t) Matematycznie, przechodząc do granicy dt 0 -całka oznaczona

dtdt

dtvdxx

t

t

dtvx

0

Ruch jednostajnie przyspieszony


Jednostajnie przyspieszony Ruch ze stałym przyspieszeniem

Prostoliniowy Ruch jest prostoliniowy: Przyspieszenie musi mieć kierunek zgodny z kierunkiem prędkości

t

t

dttavvdttavd

tvvttavtvaconstdt

vd

0

0

0000

consta

constavconstv

v

Ruch jednostajnie przyspieszony


Prostoliniowy (jednowymiarowy) Prędkość jest liniową funkcją czasu: Położenie jest kwadratową funkcją czasu:

00 ttavtv

0002

1ttvvxx

Licząc pole trapezu mamy:

200002

1ttattvxx

Po podstawieniu wyrażenia na prędkość:

t

t

t

t

dtttavxvdtxx

00

0000

To samo dostajemy z całkowania prędkości:

Szczegóły obliczeń (1)


00 ttavtv Gdy prędkość jest liniową funkcją czasu:

Położenie wyliczamy jako całkę z funkcji opisującej prędkość

dtttavxdttvxtxtvdt

dxt

t

t

t

00

0000

Korzystamy z faktu, że całka z sumy funkcji jest równa sumie całek

dtatdttadtvxdtattavxtx

t

t

t

t

t

t

t

t

0000

000000

Wyliczając poszczególne całki mamy: 00

2

0

2

00022

ttattt

attvxtx

Poi uporządkowaniu wyrazów:

22

2

02

00

2

000

tttt

tattvxtx

Szczegóły obliczeń (2)


Zauważmy, ze wyraz w nawiasie to suma kwadratów:

22

2

00

2

000

ttt

tattvxtx

20000

2

00

2

0002

22

tta

ttvxtttta

ttvxtx

W szczególnym przypadku gdy czas t0=0:

2

2

00

attvxtx

Wyrażenia powyższe opisuje ruch jednostajnie przyspieszony startujący w czasie t0=0 z położenia x0 z prędkością początkową v0

Fizyka 1- Mechanika - fuw.edu.plszef/Fizyka 1/F1_W02.pdf · 1 2 0 0 gt y t y t y v t obserwator na...

Documents

Transcript of Fizyka 1- Mechanika - fuw.edu.plszef/Fizyka 1/F1_W02.pdf · 1 2 0 0 gt y t y t y v t obserwator na...