Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika Wykład 13 11.01.2018

Transformacja Galileusza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Wybór układu odniesienia Dwa identyczne działa ustawione są pionowo: jedno na peronie, a drugie na wagonie.

Czy ruch pionowy będzie identyczny?

2

2

0021

gttvytyty

Dla obserwatora na peronie ruch w pionie jest identyczny.

Ruch poziomy jest jednakże różny.

uttx

tx

2

1 0

0v0v

u

y

Peron wsk.1 Wagon – wsk.2

Transformacja Galileusza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Wybór układu odniesienia Dwa identyczne działa ustawione są pionowo: jedno na peronie, a drugie na wagonie.

W kierunku pionowym ruch jest identyczny.

Dla obserwatora na wagonie teraz porusza się peron.

02

1

tx

uttx

Ruch pionowy nie zmienia się.

2

2

0021

gttvytyty

0v0v

u

y

x

Peron – wsk.1 Wagon – wsk.2

Transformacja Galileusza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Rozważmy dwa układy odniesienia związane z obserwatorami O i O’ poruszające się względem siebie ruchem jednostajnym, prostoliniowym. Przyjmijmy, że osie układów są równoległe i ruch względny zachodzi w kierunku osi X.

W chwili t=t0=0 początki układów pokrywały się.

Obserwując ten sam ruch obserwatorzy mierzą inną zależność położenia od czasu. Jeśli wiemy jak obserwatorzy poruszają się względem siebie, znamy powinniśmy móc wyznaczyć transformacje: (x, y, z) (x’, y’, z’)

V

Transformacja Galileusza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Transformacja współrzędnych przestrzennych

Transformacja Galileusza

zz

yy

tVxx

Transformacja Galileusza prowadzi do wzoru na składanie prędkości.

Czas w obydwu układach jest identyczny t=t’,a jest to podstawowe założenie fizyki klasycznej (Newtona).

Vvvdt

tdV

dt

xd

dt

xd

Gdzie - prędkość względna V

Transformacja Galileusza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Transformacja Galileusza zapewnia niezmienniczość klasycznych praw ruchu (zasad dynamiki Newtona) przy zmianie układu odniesienia! W roku 1604 Galileusz sformułował zasadę względności: “Wszystkie układy odniesienia poruszające się względem siebie ze stałą prędkością są równoważne” Zasada względności nie oznacza wcale, że nie istnieje wyróżniony układ odniesienia.

Obserwacje mikrofalowego promieniowania tła, pozostałości Wielkiego Wybuchu, w którym powstał Wszechświat, pozwalają wskazać związany z nim układ odniesienia.

Czy tylko transformacja Galileusza jest zgodna z zasadą względności?!

Zdarzenia i czasoprzestrzeń

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Zdarzenie Zdarzenie: jednoczesne określenie czasu i położenia. Zjawisko zachodzące w pewnym miejscu w przestrzeni i w pewnej chwili czasu. Przykłady: • obserwacja (pomiar) położenia jabłka (w danej chwili czasu) • zderzenie kulek (zaniedbując ich rozmiary) • rozszczepienie jądra atomowego • start rakiety • lądowanie rakiety na Księżycu • wysłanie lub rejestracja impulsu laserowego, cząstki itp.

ZDARZENIE = CZAS + POŁOŻENIE Od pierwszego wykładu zajmowaliśmy się różnego typu zdarzeniami...

Wykres Minkowskiego

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

x

ct ctx Obserwujemy jakiś obiekt i rejestrujemy w sposób ciągły zmiany jego położenia w czasie. Mamy ciągłą serię pomiarów. Zbiór zdarzeń opisujących ruch konkretnego ciała nazywamy "linią świata" tego ciała. W wymiarach przestrzennych linia świata to po prostu tor. Znając linię świata wiemy dokładnie jak poruszało się dane ciało. Oczywiście kształt linii świata zależy od wybranego układu odniesienia

Prędkość światła

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Historia pomiarów Już Galileusz zastanawiał się nad prędkością rozchodzenia się światła. Jako pierwszy zaproponował pomiar prędkości światła metodą czasu przelotu. Jednak przy ówczesnych dokładnościach pomiarów (L 1m, t 1s) było to niewykonalne. Nie w warunkach ziemskich... W1676 Ole Rømer zauważył, że obserwowany na Ziemi czas zaćmień satelity Io Jowisza zależy od położenia Ziemi względem Jowisza. Maksymalne opóźnienie czasu zaćmienia wynosi około 16 minut. Według ówczesnych pomiarów orbity Ziemi oszacował c = 214000 km/s W 1727 William Bradley wyznaczył prędkość światła z aberracji gwiazd. Gwiazdy zmieniają w ciągu roku swoje położenie na sferze niebieskiej o ok. 20.5 sekundy łuku, co jest wywołane przez ruch Ziemi dookoła Słońca (przy skończonej prędkości rozchodzenia się światła). Na tej podstawie wyznaczył c = 301000 km/s

Prędkość światła - Romer

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Zdjęcie Jowisza i jego księżyca Io wykonane przez teleskop Hubble’a. Ciemna plama to cień Io.

Prędkość światła - Romer

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Okres obiegu Jowisza to 11,9 lat. Maksymalne opóźnienie czasu zaćmienia wynosi około 16 minut

skms

km

s

kmc /10300

960

10300

6016

10300 366

Dzisiejsza średnica orbity Ziemi to ok. 300 mln km.

Prędkość światła

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

W latach 70-tych XX wieku prędkość światła zmierzono z dokładnością do około 1 m/s ! Mierzono też prędkości rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w innych zakresach częstości (od fal radiowych, =107 Hz do promieniowania , =1024 Hz). Brak różnic w granicach błędów pomiarowych. Dziś już nie mierzymy prędkości światła ! W 1983 roku prędkość światła została zdefiniowana jako

c = 299 792 458 m/s (dokładnie) wybrana wartość zgodna z wcześniejszymi pomiarami

Teraz 1 metr jest zdefiniowany jako odległość jaką pokonuje światło w próżni w czasie równym 1/299792458 sekundy…

Pomiar prędkości światła

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Używamy do pomiaru prędkości światła laser impulsowy, płytka dwudzielna i fotodetektor. Impulsy detektora rejestrujemy przy pomocy oscyloskopu, który mierzy opóźnienie impulsu odbitego od lustra względem impulsu biegnącego bezpośrednio z lasera.

laser

detektorlustro

s

Dodatkowa droga światła

l=2s, a prędkość światła wyznaczymy ze wzoru: t

sc

2

Prędkość światła

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Z równań Maxwella wynika, że prędkość światła zależy jedynie od stałych opisujących oddziaływania magnetyczne i elektryczne (prawo Ampera i prawo Coulomba).

Z transformacji Galileusza wynika, że powinna zależeć od układu odniesienia! Ale ten sam problem możemy dostrzec w przypadku dźwięku. Prędkość rozchodzenia się dźwięku wyraża się przez parametry ośrodka (!). Z definicji jest więc ustalona tylko względem ośrodka (w układzie w którym ośrodek spoczywa).Dzięki temu nie ma sprzeczności z transformacją Galileusza i jego prawem “dodawania” prędkości.

Podobnie mogłoby być w przypadku światła: jeśli jesteśmy w stanie wskazać ośrodek w którym światło się rozchodzi, to równania Maxwella nie są sprzeczne z transformacją Galileusza. Poszukiwany ośrodek nazwano eterem...

Doświadczenie Michelsona-Morleya

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Kierunek ruchu względem eteru jest wyróżniony !

c

v

c

L

vc

cL

vc

L

vc

Lt

z

zZZ

;1

12

2

2

1

22

1111

2

2

22

22

1

122

c

L

vc

Lt

Z

1887 Pomiar prędkości Ziemi względem eteru. Czas przelotu światła w ramionach interferometru:

t1 t2 !

Eksperyment nie potwierdzał przewidywań

Doświadczenie Michelsona-Morleya

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Wyniki Negatywny wynik doświadczenia Michelsona-Morleya wskazywał, że Ziemia nie porusza się względem ośrodka, w którym rozchodzi się światło. Doświadczenia tego typu powtarzano wielokrotnie, także w dłuższych okresach (aby wykorzystać zmianę kierunku prędkości Ziemi w ruchu orbitalnym) zawsze z wynikiem negatywnym. Wszystkie wyniki wskazywały, że prędkość światła jest stała (względem źródła) i nie zależy od układu odniesienia w którym jest mierzona. W świetle tych wyników Równania Maxwella nie dawały się pogodzić z Transformacją Galileusza (postulatem uniwersalności czasu).

Postulaty Einsteina

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

W roku 1905 Einstein opublikował pracę “O elektrodynamice ciał w ruchu”. Zawarł w niej dwa postulaty, które “wystarczają do podania prostej, wolnej od sprzeczności elektrodynamiki ciał w ruchu, opartej na teorii Maxwella...” 1. prawa fizyki są identyczne w układach będących względem siebie

w ruchu jednostajnym prostoliniowym (zasada względności) 2. prędkość światła w próżni, c, jest jednakowa w każdym kierunku

we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od wzajemnego ruchu obserwatora i źródła (uniwersalność prędkości światła)

Drugi postulat oznacza odrzucenie transformacji Galileusza na rzecz równań Maxwella. Okazuje się że transformacja Galileusza nie jest jedyną transformacją, która zgodna jest z zasadą względności. Jeśli odrzucimy postulat uniwersalności czasu istnieje drugie rozwiązanie

Transformacja Lorentza.

Względność czasu

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Uniwersalność prędkości światła nie da się pogodzić z uniwersalnością czasu ! Rozważmy obserwatora O’, który porusza się z prędkością v względem układu O:

Obserwator O’ odmierza przedziały czasu: c

Lt

2'

Dla obserwatora O światło ma dłuższą drogę:

2222'2 tvLL

2

22

2

2

2 2'2

c

tvL

c

Lt

2

2

2

2

22

1

''

21

ttt

c

Lt

Dla obserwatora

O zegar w O’ chodzi wolniej !

Względność czasu

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

c

Lt

2'

Dla obserwatora O światło ma dłuższą drogę:

2222'2 tvLL

222

2

22

2

2

2 2'2tt

c

tvL

c

Lt

2

2

2

2

22

1

''

21

ttt

c

Lt

Dla obserwatora

O zegar w O’ chodzi wolniej !

Teoria względności Einsteina

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Układy powinny być równoważne!? Pozorny paradoks wynika z faktu, że pomiar narusza symetrię między układami: obserwujemy zegar, który jest związany z konkretnym układem odniesienia.

21

'

tt

Dla obserwatora O zegar w początku układu O’ chodzi wolniej:

Obserwator O stwierdzi Obserwator O’ stwierdzi że w układzie O’: że w układzie O:

zegary nie są poprawnie zsynchronizowane wszystkie obce zegary chodzą wolniej niż powinny

pełna symetria

Transformacja Lorentza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Transformacja liniowa Aby zachować niezmienniczość praw przyrody względem przesunięć w czasie i przestrzeni, transformacja współrzędnych między układami powinna mieć postać:

'

'

'

'

z

y

x

t

L

z

y

x

t

Gdzie L jest macierzą 4x4

Wymiary poprzeczne Rozważmy jednostkowe pręty umieszczone w obu układach wzdłuż osi Y (lub Z). Z symetrii zagadnienia, żaden obserwator nie może stwierdzić, że jego pręt jest dłuższy, lub krótszy.

'

'

zz

yy

Transformacja Lorentza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

c

vgdziett

,

1

1,'

2

Szukamy więc transformacji w ogólnej postaci:

''

''

DxCtx

BxAtt

'

'

x

t

DC

BA

x

tLub w postaci macierzowej:

Dylatacja czasu Przyjmijmy, że w obu układach pierwsze “tyknięcie” zegara świetlnego ma współrzędne (0, 0, 0, 0). Drugie “tyknięcie” w układzie O’: ma współrzędne (t’, 0, 0, 0) W układzie O drugie „tyknięcie”:

21

'

tt

'ctctvtx cC

A

Gdy x’=0 mamy:

Transformacja Lorentza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

''

''

DxCtx

BxAtt

Pierwsze “tyknięcie” zegara świetlnego ma współrzędne w obydwu układach (0, 0, 0, 0), W chwili t=t’=0 z początku układów emitowane są dwa impulsy światła, zgodnie i przeciwnie do v. Dla obu obserwatorów rozchodzą się one z prędkością c.

''''''

''''''

'

ctBAtcctDCtctxctx

ctBAtcctDCtctxctx

tcxOO

AD

cB

c

c

c

CB

122

Drugi impuls

Mamy już A i C, wyznaczamy B i D. Dodając i odejmując stronami mamy: '' DxCtx '' BxAtt

Pierwszy impuls

Dodając stronami:

Odejmując stronami:

Transformacja Lorentza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

''

''

DxCtx

BxAtt

Pierwsze “tyknięcie” zegara świetlnego ma współrzędne w obydwu układach (0, 0, 0, 0),

''''''

''''''

'

ctBAtcctDCtctxctx

ctBAtcctDCtctxctx

tcxOO

AD

cB

c

c

c

CB

122

Drugi impuls

Mamy już A i C, wyznaczamy B i D. '' DxCtx '' BxAtt

Pierwszy impuls

O

O

W obydwu układach emisja dwu impulsów światła, zgodnie i przeciwnie do v

Dodając stronami mamy:

Odejmując stronami mamy:

'' 2tBcCt

'' cAtDct

Transformacja Lorentza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

''''

''

zzyyxctx

xctct

Ostatecznie otrzymujemy:

''''''

''''''

xctxxctDxCtx

xctctxc

tBxAtt

AD

cc

c

c

CB

122

cC

A

''

''

DxCtx

BxAtt

Transformacja Lorentza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Ostatecznie otrzymujemy:

Lub w zapisie macierzowym:

'

'

'

'

1000

0100

00

00

'

'

''

''

z

y

x

ct

z

y

xct

xct

z

y

x

ct

Uproszczony zapis macierzowy:

'

'

''

''

x

ct

xct

xct

x

ct

'' zzyy

''''

''

zzyyxctx

xctct

Odwrotna transformacja Lorentza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

TL w zapisie macierzowym:

'

'

x

ct

x

ct

xtcx

xtcct

2

1

tcxx

xcttc

2

1

xctxx

tcxcttc

2

2

2

1

ctxx

xcttc

2

2

12

11 ctxx

xcttc

2

2

12

11

Ostatecznie OTL w zapisie macierzowym:

x

ct

x

tc

ctxx

xcttc

2

1

ale:

1

1 2

Wykres Minkowskiego

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

x

ct ctx

Graficzna reprezentacja transformacji Lorentza Osie układu O’ nachylone są do osi O pod kątem: Długości jednostek osi układu O’ widziane w układzie O są wydłużone o czynnik . Ale także obserwator O’ widzi wydłużenie osi układu O !

tc

xcv tan

Wykres Minkowskiego

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

x

ct ctx

Oś układu ct’ ma równanie x’=0 Oś układu x’ ma równanie ct’=0 Nachylenia osi primowanych względem ct i x to

tc

0tc

xct

ctx

0

ctxx

xcttc

2

1

xct

xct

0

0x

x

Transformacja Lorentza

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

W ogólności Transformacja Lorentza opisuje transformację różnicy współrzędnych:

Lub w zapisie macierzowym:

'

'

'

'

1000

0100

00

00

'

'

''

''

z

y

x

tc

z

y

xtc

xtc

z

y

x

tc

Interwał czasoprzestrzenny

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

2222zyxtcsab

Interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami definiujemy jako:

Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza ! To “odległość” w czasoprzestrzeni. Nie zależy od układu odniesienia, w którym go mierzymy.

Przyczynowość Jeśli Sab>0 to można znaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia A i B będą zachodzić w tym samym miejscu. określa odstęp czasu między zdarzeniami w tym układzie. Jeśli zdarzenia A i B związane są z ruchem jakiejś cząstki czas własny

abs

Przyczynowość

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

O - “tu i teraz” bezwzględna przyszłość: zdarzenia na które możemy mieć wpływ zdarzenia bez związku przyczynowego bezwzględna przeszłość: zdarzenia, które mogły mieć wpływ na nas

00 AOA tiS

00 AOA tiS

0OAS

Interwał czasoprzestrzenny

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

xtcx

xtctc

Interwał czasoprzestrzenny to niezmiennik transformacji Lorentza !

2222zyxtcsab

'

'

x

ct

x

ct

'' zzyy

22222xtcxtcxtcsab

xtcxtcxtcxtcsab 22

22222

22222 11 xtcsab

222222 1 xtcxtcsab

Dylatacja czasu

11.01.2018 Fizyka 1 - Wykład 13

Czas życia cząstek

Czas życia mionu (w spoczynku): = 2,2 μs Gdyby nie było dylatacji czasu:

średni zasięg L=v =c c=659 m Miony produkowane w górnych warstwach atmosfery mają jednak bardzo duże energie:

(E ~3 GeV ) ~30, ale t= Bez problemu docierają do powierzchni Ziemi:

średni zasięg c ~ 20 km