Nagrzewanie wsadów w piecach pośrednich Najczęściej spotykaną aplikacją elektrotermiczną jest nagrzewanie wsadów stałych, umieszczonych w środowisku gazowym, przy doprowadzeniu ciepła przez konwekcję i radiację. Środowisko pośredniczy czynnie w unoszeniu ciepła przejmowanego ze źródła ciepła i przekazywanego do wsadu. W stosunku do promieniowania, środowisko gazowe oddzielające źródło ciepła od wsadu, najczęściej traktowane jest jako diatermiczne, co jest całkowicie słuszne jedynie dla próżni. Najmniejsze odstępstwa od tego założenia występują dla tlenu i azotu, które praktycznie nie mają zdolności promieniowania. Ze względu na stosowanie w piecach elektrycznych regulatorów temperatury, można w piecach nieprzelotowych wprowadzić przestrzenny warunek graniczny trzeciego rodzaju wyrażany stałą wartością temperatury atmosfery grzejnej constt f = i stałą średnią wartością

współczynnika napływu ciepła do wsadu const=α . Po umieszczeniu zimnego wsadu o jednorodnej temperaturze fp tt < w komorze

grzejnej, ciepło napływa do zewnętrznej powierzchni wsadu. Różnica temperatur nagrzanej warstwy zewnętrznej wsadu i zimniejszej od niej warstwy wewnętrznej wywołuje przepływ ciepła w głąb wsadu przez przewodzenie. W rezultacie temperatura w każdym punkcie wsadu zmienia się w czasie nagrzewania:

( )τ,,, zyxft = (1) Nagrzewania można uznać za jednorodne jedynie w przypadku wsadów punktowych, lub wsadów o nieskończonej wartości przewodności cieplnej właściwej. Proces nagrzewania określony jest wówczas, gdy znana jest postać funkcji (1), o której decydują: - Newtonowskie prawo napływu ciepła: ( )

zf ttq −=α (2)

- Prawo Fouriera: n

tq

∂∂

−= λ (3)

- Prawo Fouriera wyrażające prędkość zmiany temperatury wsadu: tat 2∇=

∂∂τ

(4)

Korzystając z prawa zachowania energii, strumień ciepła napływający do zewnętrznej powierzchni wsadu musi być równy strumieniowi odpływającemu z tej powierzchni w głąb wsadu (ciągłość strumienia przepływającego przez powierzchnię):

( )z

zfn

ttt

∂∂

−=−λα

(5)

1. Klasyczna metoda obliczania stanów nieustalonych

Teoria podobieństwa daje możliwość uproszczenia zależności wsadów nagrzewanych pośrednio sposobem konwekcyjno – radiacyjnym. Na przykład układ równań dla płyty można przekształcać:

2

2

x

ta

t

∂∂

=∂∂τ

(1.1)

( )z

zfx

ttt

∂∂

−=−λα

(1.2)

Niech δ oznacza charakterystyczny wymiar płyty (w przypadku nagrzewania dwustronnego ), stanowiący połowę jej grubości. Dzieląc każde z równań (1.1) i (1.2) kolejno

przez różnicę ( )pf tt − i uwzględniając przy tym ,że constt f = i ( )ttt f −−∂=∂ ,

otrzymujemy:

2

2

2

∂

−

−∂

=

∂

−

−∂

δδτ x

tt

tt

a

tt

tt

pf

f

pf

f

(1.3)

z

pf

f

zpf

f

x

tt

tt

tt

tta

∂

−

−∂

=

−

−

δλδ

(1.4)

Powyższe wyniki wskazują, że zmienne mogą być zgrupowane w taki sposób, by utworzyły cztery liczby względne, bezwymiarowe. W rezultacie otrzymujemy funkcję o mniejszej liczbie zmiennych:

=−

−

δλαδ

δτ xa

ftt

tt

pf

f ,,2

(1.5)

Rolę zmiennych w równaniu (1.5) odgrywa liczba Fouriera, liczba Biota, współrzędna względna i temperatura kryterialna. - Klasyfikacja wsadów Liczba Biota różni się od znanej z teorii konwekcji liczby Nusselta jedynie znaczeniem przewodności cieplnej właściwej, która w przypadku Biota oznacza własność wsadu traktowanego jako obiekt w stanie stałym. Jeżeli liczbę Bi przedstawimy jako:

=

δλα

Bi (1.6)

To widzimy jej sens fizyczny jako liczby ujawniającej stosunek wielkości decydujących o przewodności cieplnej toru napływu ciepła do wsadu, oraz toru przewodzenia ciepła we wsadzie. Liczba ta jest więc wskaźnikiem opisującym przepływ ciepła tymi dwoma torami, występujący m. in. przy nagrzewaniu pośrednim konwekcyjno – radiacyjnym. Wsady dzieli się zasadniczo na drobne i masywne. Tych znaczeń nie traktujemy w sensie dosłownym. Wsady drobne są to wsady, które nagrzewają się w sposób bliski jednorodnemu, wobec czego można proces nagrzewania opisać funkcją )(τft = . We wsadach masywnych mamy podczas nagrzewania tak duże różnice temperatur, że trzeba wykorzystać funkcję ),( τxft = . Wsad można uznać zdecydowanie za drobny, jeżeli Bi<=0,25 Jeżeli Bi>0,5, wewnętrznego spadku temperatury pominąć nie można i wsad uznajemy jako masywny. - Wsad drobny Nagrzewanie wsadu drobnego jest przypadkiem, gdy temperatura wsadu jest jednorodna w każdej chwili czasowej. Ilość ciepła wymieniana między otoczeniem i wsadem w czasie τd może być obliczona na podstawie wzoru Newtona:

( ) τ−α= dFttdQ zf (2.1) Ponieważ energia ta powoduje podwyższenie temperatury wsadu, słuszna jest więc zależność:

mcdtdQ = (2.2) Na podstawie (2.1) i (2.2) mamy:

tt

dt

N

d

f −=

τ (2.3)

gdzie:

zF

mcN

α= (2.4)

Po scałkowaniu (2.3) mamy: ( ) AttN F +−−=τ lnlnlnln//// (2.5)

Wielkość stałej całkowania określimy na podstawie warunku początkowego, że w chwili

ptt0 =→=τ :

( )pf ttA −= lnlnlnln (2.6)

Podstawiając (2.6) do (2.5) otrzymujemy ostatecznie:

N

pf

f ett

tt τ−

=−

− (2.7)

Korzystając z temperatury kryterialnej otrzymujemy:

pf

f

tt

tt

−−

=Θ Neτ

−=Θ⇒ (2.8)

Jako, że nie określono żadnego kierunku przepływu ciepła, zależność (2.8) słuszna jest zarówno dla procesu nagrzewania ( tt f > ), jak i studzenia ( tt f < ). Zależność pozwalająca na określenie czasu nagrzewania wsadu drobnego do temperatury t wynika bezpośrednio z (2.8):

))))////ln(ln(ln(ln( Θ=τ 1N (2.9) Rzeczywisty przebieg nagrzewania różni się od opisanego funkcją (2.9), ponieważ wielkość N nie jest stała w procesie nagrzewania. Główną przyczyną zmienności N jest są zmiany współczynnika α , którego wartość zależy od temperatury wsadu t, zmieniającej się od temperatury początkowej pt do końcowej kt . Posługując się zależnością (2.9) należy

wprowadzać średnią wartość N, dla średniej wartości współczynnika przejmowania ciepła:

kf

pf

pk

śr

tt

tt

ttt

−

−−

=∆

ln

(2.10)

Nagrzewanie wsadu masywnego Zaproponowana metoda stanowi uogólnienie podanej powyżej teorii nagrzewania jednorodnego wsadów drobnych. Rozwiązanie ograniczymy do podania sposobu wyznaczania temperatury powierzchni zewnętrznej zt i temperatury środka wsadu st , tworzącego bryłę

geometrycznie regularną. Przy wyznaczaniu stanu cieplnego wsadów masywnych, operujemy tzw. przeciętną temperaturą wsadu, definiowaną podobnie jak poprzednio. Tego rodzaju sposób wyrażania przeciętnej temperatury wsadu możliwy jest pod warunkiem skorygowania zależności (2.8), poprzez wprowadzenie do tej zależności współczynnika korektury k:

N

k

e

τ−

=Θ (2.11)

Czas nagrzewania wsadu masywnego do temperatury kryterialnej wynosi:

( )Θ= /1lnk

Nτ (2.12)

przy czym:

pf

f

tt

tt

−

−=Θ (2.13)

t - przeciętna temperatura wsadu masywnego po upływie czasu τ nagrzewania Współczynnik korektury zależny jest wyłącznie od liczby Biota. Zależnie od tej liczby, wartości współczynnika k dla nieskończenie rozciągłej płyty zebrano w poniższej tablicy. Bi 0,00 0,4 0,8 1,2 1,6 2,00 2,4 2,8 3,2 3,6 4,4 5,2 k 1 0,88 0,79 0,72 0,66 0,61 0,57 0,52 0,48 0,46 0,39 0,33 Możliwe jest również wyznaczenie największej temperatury we wsadzie:

szw ttt −=∆ (2.14)

Największą różnicę temperatur wt∆ można określić dla płyty w następujący sposób:

ttw ∆=∆ 5.1 (2.15)

przy czym t∆ oznacza różnicę między temperaturą zewnętrznej powierzchni wsadu i

przeciętną temperaturą wsadu t. Różnicę tą wyznacza się w sposób opisany poniżej. Na podstawie równania (2.3) mamy:

τddt

Nttt zzf =∆=− (2.16)

przy czym stała czasowa nagrzewania:

zF

mcN

α= (2.17)

Ponieważ występująca w równaniu (2.16) pochodna przeciętnej temperatury t wsadu względem czasu wynosi (jak wynika z (2.11)):

( ) N

k

pf ettN

k

d

dtτ

τ

−−= (2.18)

więc po podstawieniu tej wartości do (2.16) mamy:

( ) N

k

pfz ettkt

τ−

−=∆ (2.19)

Wobec tego, do wyznaczenia temperatury powierzchni zewnętrznej wsadu masywnego można posłużyć się zależnością:

( ) N

k

pffz ettktt

τ−

−−= (2.20)

Odejmując od zt przeciętną temperaturę wsadu ( ) N

k

pff etttt

τ−

−−= otrzymamy:

( )( ) N

k

pf ettkt

τ−

−−=∆ 1 (2.21)

Pamiętając, że:

( ) N

k

pff etttt

τ−

−=− (2.22)

otrzymujemy zależność na szukaną różnicę temperatur:

( )( )ttkt f −−=∆ 1 (2.23)

Maksymalna różnica temperatur dla płyty może zostać wyznaczona na podstawie (2.23) i (2.15). Korzystając na przykład z (2.23), (2.15) i (2.20), można obliczyć najniższą temperaturę wsadu masywnego:

wzs ttt ∆−= (2.24)

Średnia wartość współczynnika przejmowania ciepła obliczana jest jak poprzednio, na podstawie średniej zewnętrznej różnicy temperatur:

( )tt

tt

tttt

f

pf

p

śrzf

−

−−

=−ln

(2.25)

Model Beukena

Innym sposobem obliczania stanów nieustalonych jest analogów do symulacji zjawisk cieplnych w układach wtórnych. W niniejszym rozdziale wykazano możliwość stosowania analogów opartych na elementach dyskretnych do symulacji pól temperatury w stanach stacjonarnych i niestacjonarnych.

Modelowanie ustalonych pól temperatury na analogu typu siatka rezystorów

Zasada stosowania analogów w postaci siatki rezystorów do symulacji zjawisk cieplnych w stanach ustalonych wykazana została na prostym przykładzie dwuwymiarowego pola podzielonego siatką dyskretyzującą na jednakowe prostokąty o bokach x∆ i y∆ (rys. 3.1).

Rys. 3.1. Siatka prostokątna dyskretyzująca płaskie pole temperatur.

Dla węzła oznaczonego numerem „0”, równanie różniczkowe Laplace'a przyjmuje

następującą postać:

02

2

2

2

=+y

t

x

t

δδ

δδ

(3.1)

Przy oznaczeniach z rys. 3.1, równanie powyższe przedstawić można w postaci

różnicowej:

0 1

3

2

4

y

x x

y

( ) ( ) ( ) ( )0

204

203

202

201 =

∆

−+

∆

−+

∆

−+

∆

−

y

tt

y

tt

x

tt

x

tt (3.2)

Równanie (3.2) ma analogiczną postać, jak równanie wynikające z zastosowania

pierwszego prawa Kirchoffa do siatki rezystorów:

04

04

3

03

2

02

1

01 =−

+−

+−

+−

R

VV

R

VV

R

VV

R

VV (3.3)

Równania (3.2) i (3.3) będą analogiczne, jeśli temperatury w węzłach siatki dyskretyzującej pole temperatur będą proporcjonalne do potencjałów elektrycznych w odpowiednich węzłach siatki rezystorów, oraz opory cieplne będą proporcjonalne do odpowiednich oporów elektrycznych1

VSt t ⋅= (3.4)

2121

1RSRS

y

xWW wW ⋅=⋅=⋅

∆∆

==λ

(3.5)

4343

1RSRS

x

yWW wW ⋅=⋅=⋅

∆∆

==λ

(3.6)

Wielkość tS użyta we wzorze (3.4) jest tzw. skalą temperatur, definiowaną jako

stosunek temperatury do odpowiadającego jej potencjału elektrycznego. Współczynnik skali temperatur bardzo często przyjmowany jest jako równy 10 do potęgi całkowitej, co pozwala na szybkie przeliczanie potencjałów w węzłach siatki na temperatury modelowanego pola. Analogicznie, wielkość wS użyta w zależnościach (3.5) i (3.6), jest skalą oporu,

definiowaną w ogólnym przypadku jako:

δλγ

δδλ

δγ

γλδ

Sl

ll

F

l

FR

WS

zyx

zyx

e

x

t

x

w ⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅== : (3.7)

Przy czym wielkość δS jest skalą wymiarów liniowych.

Wartości rezystancji oporników modelujących pole temperatury dla siatki jak na rys. 3.1, dobrać można na podstawie poniższych zależności:

0

1R

y

x

Sy

xR

w

x ⋅∆∆

=⋅

⋅∆∆

=λ

(3.8)

0

1R

x

y

Sx

yR

w

y ⋅∆∆

=⋅

⋅∆∆

=λ

(3.9)

1 Rozpatrywany jest przypadek siatki dwuwymiarowej. Przyjęto, iż opory cieplne (i odpowiadające im rezystancje) są różne w osi poziomej i pionowej.

Wartość 0R jest charakterystyczna dla każdej siatki. W zagadnieniach praktycznych bardzo

chętnie korzysta się z tej wielkości, ponieważ poprzez jej odpowiedni dobór, można bardzo łatwo zestawić model i wykonać dokładne pomiary.

Modelowanie nieustalonych pól temperatury na analogu typu siatka RC

Możliwość wykorzystania analogii termokinetyczno – elektrycznej do modelowania nieustalonych pól temperatury po raz pierwszy dowiedziona została przez C. L. Beukena w roku 1934. Istotą pomysłu Beukena było zastąpienie linii długiej łańcuchem czwórników typu T, składającym się z biernych elementów RC. Dzięki odpowiedniemu doborowi parametrów elektrycznych układu, możliwe stało się spowolnienie przebiegów, umożliwiające ich obserwację za pomocą przyrządów wskazówkowych. Klasyczny model Beukena, oraz inne modele bierne RC, powstałe w wyniku rozszerzania jego koncepcji, opierają się na założeniu nieskończenie dużej szybkości propagacji zaburzenia cieplnego, a więc i elektrycznego. Dla takiego przypadku, równanie Fouriera opisujące nieustalone pole temperatur w ośrodkach jednorodnych i izotropowych przy jednokierunkowym przepływie ciepła, bez wewnętrznych źródeł ciepła, ujęte jest wzorem (3.10).

tgradat

t

t

2⋅=δτδ

(3.10)

Wielkość ta jest dyfuzyjnością cieplną ośrodka, w którym rozprzestrzenia się

zaburzenie cieplne:

tt

tc

aρλ⋅

= (3.11)

Możliwość analogowego modelowania równania nieustalonego pola temperatury wykazana została dla prostego przypadku jednowymiarowego przewodzenia ciepła. W przypadku zastosowania do rozwiązania równania (3.10) metody typu nieciągła przestrzeń – ciągły czas, otrzymuje się dla układu jednowymiarowego:

( ) ( ) ( )iiii

t

tt ttx

ttxd

dtcx −

∆+−

∆=⋅∆⋅ −+ 11

λλτ

ρ (3.12)

Gdzie:

( ) ttt Ccx =⋅∆⋅ρ jest pojemnością cieplną, a λx∆- oporem cieplnym elementu pola

temperatur o długości x∆ i jednostkowym przekroju.

Dla klasycznego modelu Beukena (rys. 3.2), równanie wynikające z zastosowania równania Kirchoffa do węzła „i” siatki RC, przyjmuje postać określoną równaniem (3.13).

RC

RC

RC

R

Vi-1 iV i+1V

Rys. 3.2. Klasyczny model Beukena

R

VV

R

VV

d

dVC iiii

e

i

e

−+

−= −+ 11

τ (3.13)

Porównując zależności (3.12) i (3.13), można łatwo zauważyć, iż przejście między wielkościami cieplnymi i elektrycznymi wymaga oprócz wcześniej poznanych skal (temperatur i oporu), zdefiniowania dodatkowych współczynników skali pojemności ( cS ) i

czasu ( τS ):

e

t

cC

CS = (3.14)

e

cSττ

τ = (3.15)

Po zastąpieniu wielkości cieplnych, analogicznymi wielkościami elektrycznymi w równaniu (3.12), otrzymuje się:

−+

−⋅=⋅

⋅ −+

R

VV

R

VV

S

S

d

dVC

S

SS iiii

W

t

e

ie

tc 11

ττ

(3.16)

Warto zauważyć, iż zależności (3.13) i (3.16) będą identyczne, jeżeli współczynniki skali spełniały będą zależność:

cW SSS ⋅=τ (3.17)

Z powyższego wzoru wynika, że zakładając skalę czasu, jednocześnie ustala się wielkość iloczynu eCR ⋅ . Z kolei wybór rezystorów i kondensatorów wymaga często

uwzględnienia pewnych ograniczeń wynikających ze standaryzacji elementów wchodzących w skład modelu. Dla ogólnego przypadku, w którym wartości oporów i pojemności cieplnych wyznaczane są na podstawie zależności (3.18) i (3.19), wzór (3.17) może zostać rozwinięty do postaci ujętej równaniem (3.20).

FW

⋅=λδ

(3.18)

tttttt cFcVcmC ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= ρδρ (3.19)

ete

tcW

CRaCR

CWSSS

⋅⋅=

⋅

⋅=⋅=

2δτ (3.20)

Warunki brzegowe

Rozwiązanie równania przewodzenia ciepła (3.10) wymaga zawsze podania warunków początkowych i brzegowych. W stanach cieplnie nieustalonych, warunki początkowe określane są jako pole temperatur w chwili czasowej 0=τ . Bardzo często warunek początkowy przyjmowany jest jako jednorodne pole temperatury. Model Beukena pozwala na realizację warunków brzegowych dowolnego typu, z mieszanymi włącznie. Warunek brzegowy pierwszego rodzaju realizowany jest przez doprowadzenie do granicznych węzłów modelu, potencjału V w przyjętej skali temperatur VtS t /= . Przy

analizie stanów niestacjonarnych, możliwa jest symulacja zmiennych w czasie temperatur na brzegu analizowanego obszaru, poprzez doprowadzenie do węzłów granicznych, zmiennego w czasie potencjału. Realizacja warunku brzegowego drugiego rodzaju polega na doprowadzeniu do węzłów granicznych prądu o wartości odpowiadającej strumieniowi cieplnemu przepływającemu przez brzeg analizowanego obszaru:

PSPI /= (3.21)

Wielkość PS jest skalą mocy, spełniającą poniższą zależność:

WtP SSS /= (3.22)

Warunek brzegowy trzeciego rodzaju polega na włączeniu między źródło napięcia o potencjale too StV /= a węzeł graniczny, rezystancji obliczonej według zależności:

WbW

b

bSFS

WR

⋅⋅==α

1 (3.23)

Opór bW jest tzw. oporem przejmowania ciepła.

Współczynnik α jest tzw. współczynnikiem przejmowania ciepła

Wewnętrzne źródła ciepła mogą być modelowane poprzez doprowadzenie do odpowiednich węzłów sieci prądów odpowiadających mocom źródeł ciepła.

Stanowisko laboratoryjne

Wygląd używanego w ćwiczeniu analizatora przedstawiono na rys. 3.3. Urządzenie pozwala na modelowanie jednowymiarowych układów termokinetycznych w stanach cieplnie ustalonych i nieustalonych.

5 6

1 2 3 4

Rys. 3.3. Wygląd stanowiska laboratoryjnego 1- Zespół czwórników RC; 2- Zespół zasilaczy; 3- Moduł pomiarowy; 4- Moduł sterujący;

5- Sonda pomiarowa; 6- Multimetr

Zasadniczą część modelu stanowią czwórniki RC (1 na rys. 3.3), umożliwiające odwzorowywanie parametrów cieplnych analizowanego układu. Stanowisko składa się z 24 identycznych czwórników, o schemacie przedstawionym na rys. 3.4. Każdy z czwórników ma rezystancję nastawianą w zakresie od 0 do 211.1 kΩ z rozdzielczością 0.1 kΩ , oraz pojemność regulowaną w zakresie 0 – 21.11 Fµ z rozdzielczością 0.01 Fµ . Model budowany jest poprzez łączenie poszczególnych elementów siatki dyskretyzacyjnej za pomocą zewnętrznych przewodów.

R

C

P1

P2

Rys. 3.4. Schemat pojedynczego czwórnika w laboratoryjnym analizatorze przebiegów

cieplnych.

Przy pomocy centralnego sterowania przekaźnikami kontraktonowymi ( 2P na rys. 3.4), istnieje możliwość równoczesnego rozładowania pojemności modelu (przycisk „Rozładowanie” zlokalizowany w module sterującym pokazanym na rys. 3.5.

SiećPracaZamr.Rozład.

Rys. 3.5. Podstawowe przyciski modułu sterującego.

Użycie przycisku „Zamrożenie” ( 1P na rys. 3.5) powoduje rozłączenie wszystkich pojemności modelu. W stanie „zamrożenia” możliwe jest dokonanie pomiarów potencjałów w poszczególnych węzłach modelu, skorygowanie wartości rezystorów (przy analizie nieliniowej), etc.

Analizator umożliwia przeprowadzenie symulacji rozmaitych układów termokinetycznych. Możliwe jest zadawanie dowolnych warunków brzegowych za pomocą wewnętrznych lub zewnętrznych źródeł napięcia lub prądu. Zasilacze pozwalają dodatkowo na odwzorowywanie wewnętrznych źródeł ciepła, poprzez wprowadzenie prądów do węzłów sieci reprezentujących źródłowe elementy różnicowe. Zaleca się stosowanie zewnętrznych zasilaczy napięciowo – prądowych ze względu na lepsze parametry pracy tych zespołów, oraz możliwość bardzo precyzyjnej nastawy napięcia i prądu.

Przy zadawaniu warunków brzegowych pierwszego i trzeciego rodzaju, nie

należy przekraczać napięcia 10V. Przy korzystaniu z zasilaczy prądowych, nie należy

przekraczać granicznej wartości prądu 2 mA.

Badania

Wykonanie ćwiczenia polega na symulacji układu termokinetycznego o parametrach zadanych przez prowadzącego. W niniejszym rozdziale omówiono etapy pracy wspólne dla wszystkich modeli.

Przed przystąpieniem do wykonania części pomiarowej, należy obliczyć parametry elektryczne modelu. W tym celu najłatwiej postępować według poniższej instrukcji.

W pierwszym kroku należy przyjąć skalę temperatur tS , opierając się na założeniu, iż

wykorzystuje się górny zakres napięciowy analizatora, który w danym przypadku wynosi 10V:

10

tS t

∆=

°V

C (3.24)

Jednocześnie należy przyjąć skalę czasu τS , określającą ile razy przebiegi elektryczne

będą spowolnione (lub przyspieszone) w stosunku do przebiegów cieplnych (3.15)

Na podstawie zależności (3.20) napisać można, że

τ

δSa

CRt

e ⋅=⋅

2

[ F⋅Ω ] (3.25)

Gdzie ta jest dyfuzyjnością cieplną określoną na podstawie zależności (3.11), a δ -

wymiarem charakterystycznym.

Znając iloczyn eCR ⋅ (3.11), wyznaczyć można skalę pojemności i skalę oporu.

W celu wyznaczenia skali pojemności, należy obliczyć pojemność cieplną układu termokinetycznego na podstawie zależności (3.19).

Należy przyjąć ilość czwórników RC układu (N czwórników), oraz założyć pojemność elektryczną pojedynczego czwórnika (np. X Fµ ).

Znając pojemność cieplną pojedynczego czwórnika, należy wyznaczyć pojemność elektryczną całego układu: [ ]FXNCe µ⋅= 2.

Wyznaczenie wielkości opisanych w poprzednich punktach jest równoważne z

przyjęciem skali pojemności: 610−⋅

=e

t

cC

CS

⋅⋅FK

sW

Należy pamiętać, iż spełniona musi być równość (3.20), więc skalę oporu wyznacza

się jako: C

WS

SS τ=

Opór cieplny pojedynczego elementu warstwy podzielonej na N części wyznacza się

na podstawie zależności3 FN

W⋅⋅

=λδ

Rezystancja jednego czwórnika dla takiego przypadku wynosi WS

WR =

W analogiczny sposób (z zachowaniem skali oporu) oblicza się opory przejmowania ciepła (dla warunków brzegowych trzeciego rodzaju), oraz wartości rezystancji, które

2 Rozważania dotyczą modeli zbudowanych z jednego materiału. W przypadku modeli składających się z wielu warstw, należy wyznaczyć pojemność cieplną i elektryczną dla jednej warstwy, a następnie odpowiednie wartości warstw kolejnych wyznaczać z zachowaniem obliczonych skal. 3 Dla równoległoboku

odpowiadają tym oporom.

Numeryczna metoda różnic skończonych. Metody numeryczne nie będą prezentowane w niniejszej instrukcji. W celach

porównawczych, rozpatrzona zostanie metoda różnic skończonych polegająca na zastąpieniu ogólnego równania przewodzenia ciepła (4), układem równań różnicowych. W analizowanym przypadku nagrzewania wsadu, równanie to może zostać sprowadzone do postaci jednowymiarowej. Można je podzielić płaszczyznami prostopadłymi do kierunku przewodzenia ciepła. Zasada tworzenia modelu numerycznego jest analogiczna jak przy modelu beukena. Możemy więc napisać dla i-tego elementu i wybranego kroku czasowego:

ττττ

τ ∆

−=

∂∂ + ,1,

,

ii

i

ttt (3/26)

( )τττττττ

τ

,1,,12,1,,,1

,

2

2

211

−+−+ +−

∆≈

∆

−−

∆

−

∆=

∂∂

iii

iiii

i

tttxx

tt

x

tt

xx

t (3.27)

Po podstawieniu powyższych zależności do równania (4) otrzymujemy:

( )τττττ

τ ,1,,12,1, 2 −+

+ +−∆

=∆

−iii

ii tttx

att(3.28)

Nie wchodząc w szczegóły, powyższa zależność pozwala na uproszczone rozwiązanie równania (4). Zależność ta jest uproszczona przez pominięcie wyższych członów szeregu Taylora ( pochodna temperatury po czasie ). Jest to metoda z krokiem w przód. Na podstawie znanych temperatur z poprzedniego kroku czasowego określamy temperaturę 1, +τit . A co z

warunkami brzegowymi? W celu ich uwzględnienia, opór przejmowania ciepła α/1 zastępuje się takim samym

oporem przewodzenia ciepła przez warstwę ciała o grubości αλδ /= . W pobliżu brzegu ciała tworzy się warstwę o grubości 2/x∆ i równanie przewopdzenia przyjmuje postać:

∆

−−

−

∆=

∆

−+

x

tttt

x

att FFoFF ττττττ

αλτ,1,,,,1,

/2/(3.29)

Równania 3.28 i 3.29 bardzo łatwo zaimplementować na przykład w math cad. Generalnie

procedura postępowania jest następująca: - dobrać podział różnicowy ciała ( na odcinki dx ); - założyć temperatury początkowe - założyć warunki brzegowe - założyć długość kroku czasowego i ilość iteracji - rozwiązać. ZADANIA: Poniższe zadania rozwiązać przy wykorzystaniu następujących metod: - metoda klasyczna ( korzystając z kryteriów podobieństwa ) - metoda analogowa RC ( model beukena ) - metoda numeryczna. Wyniki porównać. Obliczyć odchyłki pomiędzy wynikami. Ocenić dokładność i

przydatność poznanych metod.

ZAD 1 Arkusz blachy o grubości 5 mm o temperaturze początkowej C20t p °= , którego masa

właściwa wynosi 7850kg/m^3, ciepło właściwe 0.15 kJ/kgK i przewodności cieplnej właściwej 40 W/mK ma być nagrzany do temperatury 920˚C w elektrycznym piecu komorowym 950˚C. Przy założeniu obustronnego napływu ciepła alfa=280, obliczyć czas nagrzewania blachy w tych warunkach. ZAD 2 Wyznaczyć stan termiczny nagrzanego wsadu i jednostkową moc użyteczną potrzebną do nagrzania od 20ºC do 1200ºC wsadu w postaci kęsów stalowych o przekroju poprzecznym 16x16 cm, o przewodności cieplnej właściwej 36 W/mK, cieple właściwym 0,16kJ/kgK i masie właściwej 7850 kg/m^3. Wymienione kęsy ułożono bezpośrednio na spodzie elektrycznego pieca o temperaturze 1250ºC. Zakładamy, że po wsunięciu zimnego wsadu, współczynnik napływu ciepła z komory grzejnej pieca wynosi średnio 450 W/(m^2K).