Elementy termodynamiki wody morskiej, równanie stanu

21.04.23

A. Krężel, fizyka morza - wykład 6

1

Elementy termodynamiki wody morskiej, równanie stanu

Fizyka morza – wykład 6Fizyka morza – wykład 6

21.04.23


2

Parametry stanu wody morskiej Parametry stanu wody morskiej

• Podstawowym parametrem stanu wody morskiej jest jej gęstość. Jest ona w sposób skomplikowany zależna od:

– temperatury T– zasolenia S– ciśnienia p

• Rozkład przestrzenny gęstości mas wodnych w morzu decyduje o charakterze prawie wszystkich procesów fizycznych w tym środowisku tzn. m.in. o:

– dynamice tych mas (prądy morskie)– przenoszeniu masy, ciepła i pędu– rozchodzeniu się fal dźwiękowych– rozpraszaniu światła

• Brak jest sposobu bezpośredniego pomiaru gęstości wody morskiej. Jednak, jest ona zależna od wymienionych wyżej trzech parametrów (T, S i p):

ich pomiar in situ nie sprawia większych trudności, stąd ustalenie dokładnej postaci związku (znanego w fizyce jako równanie stanu) jest jednym z najważniejszych zadań fizyki morza.

• Zadanie to wymaga określenia szeregu współczynników termomechanicznych takich jak np. współczynnik rozszerzalności cieplnej czy ściśliwości jako funkcji zmiennych stanu czyli ρ, T, S i p.

1 dm

dV

( , , )T S p

21.04.23


3

Parametry makroskopowe stanu wody Parametry makroskopowe stanu wody morskiejmorskiej

• W niektórych przypadkach, np. gazów szlachetnych, równanie stanu ma stosunkowo prostą postać, którą znamy po nazwą równania Clapeyrona:

• Dla gazów rzeczywistych, w których uwzględnić trzeba siły wzajem-nego oddziaływania pomiędzy cząstkami, związek ten komplikuje się przyjmując postać znaną z podstawowego kursu fizyki jako równanie Van der Waalsa:

pV nRT

2

2( )

anp V nb nRT

V

21.04.23


4

Zależność ρ=f(S,T,p) jest tak skomplikowana, że w praktyce ustala się ją na podstawie danych empirycznych (pomiarów). Ponieważ niektóre właściwości wody, które równanie stanu musi opisywać, są anomalne to trzeba znaleźć taką ogólną postać aby uwzględnienie tego mogło być kontrolowane. Wydaje się to możliwe, jeśli zmianę objętości właściwej wody morskiej w zależności od ciśnienia temperatury i zasolenia zapiszemy w postaci różniczki zupełnej:

i skorzystamy ze znanych w fizyce definicji współczynników

21.04.23


5

WspółczynnikiWspółczynniki

• Objętościowej rozszerzalności cieplnej, kT:

• Ściśliwości, kp:

• Kontrakcji zasoleniowej (zmian objętości pod wpływem zasolenia), kS

,0

1T

S p

kT

,0

1S

T p

kS

0 ,

1p

S T

kp

21.04.23


6

Rozszerzalność cieplnaRozszerzalność cieplna

Wartości współczynnika rozszerzalności cieplnej dla wody morskiej o różnym zasoleniu, w różnych temperaturach, przy ciśnieniu atmosferycznym (wg Neumann i Pierson, 1966). kT· 106 [K-1]

S [‰]

T [K]

271 273 278 283 288 293 298 303

01020253040

-105 - 65

- 27 - 10 7 38

- 67- 30

5 21 36 65

17 47 75 88

101126

88113135146157177

151170188197206222

207222237244251263

257270281287292301

303314324329332337

• zmiana energii kinetycznej• zmiana struktury molekularnej• elektrostrykcja

21.04.23


7

Ściśliwość wody morskiejŚciśliwość wody morskiej

• Podobnie jak w przypadku rozszerzalności cieplnej mechanizm tego procesu można wyjaśnić specyficzną strukturą molekularną wody

– pod wpływem wzrastającego ciśnienia będą ulegać rozpadowi “luźno upakowane” grupy cząsteczek, a więc ściśliwość wody będzie maleć wraz ze wzrostem ciśnienia

– ze względu na zjawisko elektrostrykcji wzrastające zasolenie także będzie powodować spadek ściśliwości

– wraz ze wzrostem temperatury maleje liczba “luźno upakowanych” grup cząsteczek - ze wzrostem temperatury ściśliwość będzie maleć

• Tak więc ze wzrostem wszystkich trzech parametrów tzn. ciśnienia, temperatury i zasolenia ściśliwość (współczynnik ściśliwości) wody będzie malała, chociaż spadek ten nie będzie przebiegać proporcjonalnie do ich wzrostu lecz w sposób nieliniowy.

Termodynamiczny proces zmian objętości właściwej pod wpływem zmian ciśnienia

21.04.23


8

Proces adiabatyczny Proces adiabatyczny

• W morzu bardzo często mamy do czynienia z procesami zachodzącymi wystarczająco szybko aby brak było możliwości wymiany ciepła z otoczeniem. Ma to np. miejsce w trakcie rozchodzenia się fali akustycznej kiedy na przemian ściskane i rozprężane elementy wody odpowiednio rozgrzewają się lub ochładzają albo przy ruchu pionowym mas wodnych w obszarach konwergencji lub dywergencji. Taki proces nazywamy adiabatycznym, a ściskanie lub rozprężanie w taki sposób charakteryzujemy współczynnikiem ściśliwości adiabatycznej zdefiniowanym:

• Wiąże się on ze współczynnikiem ściśliwości izotermicznej prostą zależnością:

,,

,

gdzie p Sp p Q

V S

Ck k

C

,0 ,

1p Q

Q S

kp

21.04.23


9

Proces adiabatyczny Proces adiabatyczny

• Zmiany temperatury wody przebiegające adiabatycznie opisuje równanie Kelvina (1857):

gdzie Cp,S - ciepło właściwe wody morskiej

• Jeśli w równaniu Kelvina zastąpimy ciśnienie przez głębokość to otrzymamy wyrażenie na tzw. adiabatyczny gradient temperatury:

który najczęściej używa się do określania zmiany temperatury jakiej ulegnie woda podniesiona adiabatycznie o 1000 m.

• Dla wody oceanicznej o temperaturze 5°C wynosi on ok. 0.11 K/km. Wartości tego parametru dla różnych kombinacji S, T, p można znaleźć w tablicach opracowanych przez Ekmana.

,,

T T

p SQ S

T kT

p C

, ,

T

Q S p S

T gkT

z C

1;

gp gz p z

21.04.23


10

Temperatura potencjalnaTemperatura potencjalna

• Ponieważ temperatura wody podniesionej szybko z dużej głębokości na powierzchnię, na skutek procesu adiabatycznego może być różna od tej in situ stąd w oceanografii wprowadza się pojęcie temperatury potencjalnej czyli takiej jaką miałaby woda przemieszczona adiabatycznie z jednej głębokości na inną(np. woda o zasoleniu 35 PSU podniesiona z głębokości 10000 m na powierzchnię ma temperaturę potencjalną θ=272.003 K, a temperaturę in situ T=273.16 K)

• Adiabatyczne zmiany T i p przy unoszeniu mas wodnych wywołują także pewne zmiany objętości właściwej. Stąd analogicznie do temperatury możemy też mówić o objętości właściwej potencjalnej i in situ.

21.04.23


11

Kontrakcja zasoleniowaKontrakcja zasoleniowa

W określonej temperaturze i ciśnieniu wzrost liczby jonów soli powoduje proporcjonalny wzrost liczby agregatów jonowych. A więc względna zmiana objętości właściwej wody morskiej jest odwrotnie proporcjonalna do zmian zasolenia - ze wzrostem zasolenia objętość właściwa maleje.

21.04.23


12

Równanie stanu

Wobec złożoności współczynników kT, kp i kS charakteryzują-cych zależność gęstości od zmiennych stanu, znalezienie rozwiązania tego równania na drodze analitycznej wydaje się być mało prawdopodobne. Fakt ten uświadomiono sobie już dość dawno, a postępujący rozwój nauki i metod badawczych i obliczeniowych niewiele zmienił. Rozwój technik obliczeniowych spowodował jedynie, że możliwe staje się zastosowanie w praktyce wyrażeń empirycznych lepiej przybliżających wyniki pomiarów ale wymagających bardzo dużej ilości obliczeń.

0T S p

dk dT k dS k dp

21.04.23


13

• Gęstość jest to stosunek masy danej substancji do jej objętości, a jej ciężar to siła z jaką ta substancja działa (w wyniku przyciągania Ziemi) na podporę utrzymującą ją w danym położeniu względem środka Ziemi. Z kolei ciężar właściwy substancji (ciała) to wielkość fizyczna γ równa granicy stosunku wartości liczbowej ΔG siły ciężkości elementu ciała do jego objętości ΔV, gdy ΔV dąży do 0:

• Zależność pomiędzy ciężarem właściwym a gęstością ciała to oczywiście:

0limV

G dG

V dV

g

21.04.23


14

Umowna gęstość wodyUmowna gęstość wody

W oceanografii najczęściej ciężarem właściwym nazywa się stosunek gęstości danej wody do gęstości wody destylowanej w temperaturze 4°C co oznacza, że liczbowo w systemie cgs ciężar właściwy wody morskiej równy jest jej gęstości. Ponieważ różnice pomiędzy gęstością różnych mas wodnych są niewielkie tzn. praktycznie dotyczą tylko czterech ostatnich ze wspomnianych sześciu cyfr znaczących, Knudsen wprowadził w 1901 r. pojęcia umownego ciężaru właściwego i umownej gęstości. Umowny ciężar właściwy wody morskiej o zasoleniu S, w temperaturze T i pod ciśnieniem atmosferycznym σ0 jest definiowany wyrażeniem:

gdzie g(S, 0, 0) – ciężar właściwy wody morskiej w temperaturze T = 0°C przy ciśnieniu atmosferycz-nym, tj. przy ciśnieniu hydrostatycznym p = 0; g(0,4,0) – ciężar właściwy wody destylowanej w tem-peraturze T = 4°C, przy ciśnieniu atmosferycznym.

umowna gęstość analogicznie:

a umowna objętość właściwa:

30

( ,0,0)1 10

(0,4,0)g

g

S

3101)0,4,0(

)0,,(

TS

T

3109,0)0,4,0(

)0,,(

TS

T

21.04.23


15

Wzór Knudsena Wzór Knudsena

empiryczne wzory Knudsena wiążą umowny ciężar właściwy wody z równowartością chlorkową (słuszny dla 1,47<Cl<22,23‰):

0 = –0,069 + 1,4708 Cl – 0,001570 Cl2 + 0,0000398 Cl3

lub zasoleniem:

0 = –0,093 + 0,8149 S – 0,000482 S2 + 0,0000068 S3

S [PSU] 2 4 6 10 20 30 35 40

0 1.53 3.16 4.78 8.02 16.07 24.10 28.14 32.17

S,20,0-0.21 1.31 2.83 5.86 13.42 20.98 24.78 28.55

21.04.23


16

Wzór Knudsena Wzór Knudsena

W przypadku gęstości umownej, w dowolnej temperaturze, przy ciśnieniu atmosferycznym wzór Knudsena jest nieco bardziej skomplikowany:

T = T + (0 + 0.1324) [1 – AT + BT(0 – 0.1324)]

2( 3.98) 283°C,

503.570 67.26°CT

T T

T

AT = T(4,7867 – 0,098185 T + 0,0010843T 2) · 10-3

BT = T(18,030 – 0,8164 T + 0,01667 T2) · 10-6

21.04.23


17

Równanie stanu

Do całkiem innej postaci równania stanu prowadzi spostrzeżenie, że gęstości wody o różnych wartościach temperatury, zasolenia i ciśnienia praktycznie różnią się między sobą niewiele. Można więc założyć, że gęstość czy objętość właściwa dowolnej wody równa jest gęstości jakiejś przeciętnej (w sensie właściwości) wody i pewnej poprawce wynikającej z odchylania jej parametrów od przeciętnych. Matematycznie takie rozwiązanie możemy otrzymać rozwijając funkcję α(S,T,p) w szereg Taylora w otoczeniu punktu (S,T,p) odpowiadającego właśnie jakiejś wodzie standartowej. Jeśli parametry takiej wody będą wynosić (35,0,0) to:

21.04.23


18

(S, T, p) = (35, 0, 0) +

2

3

1( , , ) (35,0,0) ( , , )

1!

1( , , )

2!

1( , , ) ,...,

3!

S T p dS dT dp S T pS T p

dS dT dp S T pS T p

dS dT dp S T pS T p

21.04.23


19

2 32 3

2 3

2 32 3

2 3

2 32 3

2 3

2 3 32 2

2 2

1 1( , , ) (35,0,0) ...

2 6

1 1...

2 6

1 1...

2 6

1 1...

2 2

S T p dS dS dSS S S

dT dT dTT T T

dp dp dpp p p

dSdT dS dT dT dSS T S T T S

2 3 3

2 22 2

2 3 32 2

2 2

3

1 1...

2 2

1 1...

2 2

...

dSdp dS dp dp dSS p S dp p S

dTdp dT dp dp dTT p T p p T

dSdTdpS T p

21.04.23


20

Kolejne człony w nawiasach opisują odpowiednie “poprawki”: na zasolenie, na temperaturę, na ciśnienie, na wpływ temperatury na wpływ zasolenia, na wpływ ciśnienia na wpływ zasolenia, na wpływ ciśnienia na wpływ temperatury. Można to krótko zapisać w postaci sumy:

(S,T,p) = (35,0,0) + S + T + p + S,T + S,p + T,p + S,T,p

21.04.23


21

Empiryczne równanie stanu wody Empiryczne równanie stanu wody morskiej (UNESCO)morskiej (UNESCO)

1 ( , , 0) ( , , ) =

( , , ) 11 -

S TS T p

S T pp

p

każda wielkość po prawej stronie, z wyjątkiem ciśnienia, jest wyrażona wielomianem.

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest modułem ściśliwości K(S,T,p) zdefiniowanym:

( , , ) ( , ,0) 1

( , ,0) ( , , )

S T p S T

S T p K S T p

Równanie to ustala związek pomiędzy zasoleniem S wyrażonym w skali praktycznej, temperaturą T wyrażoną w °C i ciśnieniem p wyrażonym w barach oraz gęstością wody ρ wyrażoną w [kg m-3].

21.04.23


22

Empiryczne równanie stanu wody Empiryczne równanie stanu wody morskiej (UNESCO)morskiej (UNESCO)

Całe równanie najprościej zapisać w postaci 3 wyrażeń:

3/ 2

3/ 2 3/ 2 2

1) ( , , ) ( , ,0) 1( , , )

12) ( , ,0)

( , ,0)

3) ( , , ) ( ) ( )

pS T p S T

K S T p

S T A BS CS DSS T

K S T p E FS GS H IS JS p M NS p

Zawiera ono wielomiany, do piątego stopnia, określające współczynniki A...N w równaniach 2) i 3).

Równanie pozwala określić gęstość wody na podstawie pomiarów temperatury, zasolenia i ciśnienia z błędem ok. 0.009 kg m-3. Zasolenie powinno być określone w skali praktycznej. W innym przypadku podany błąd może być znacznie większy.

A B C

T0

T1

T2

T3

T4

T5

+999,842594+6,793952×10-2

-9,095290×10-3

+1,001685×10-4

-1,120083×10-6

+6,536332×10-9

+8,24493×10-1

-4,08990×10-3

+7,64380×10-5

-8,24670×10-7

+5,38750×10-9

-5,72466×10-3

+1,02270×10-4

-1,65460×10-6

D E F

T0

T1

T2

T3

T4

+4,83140×10-4 19652,21-148,4206-2,327105

+1,360477×10-2

-5,155288×10-5

+54,6746-0,603459

+1,099870×10-2

-6,167000×10-5

G H I

T0

T1

T2

T3

+7,94400×10-2

+1,64930×10-2

-5,30090×10-4

+3,239908+1,43713×10-3

+1,16092×10-4

-5,77905×10-7

+2,2838×10-3

-1,0981×10-5

-1,6078×10-6

J M N

T0

T1

T2

+1,91075×10-4 +8,50935×10-5

-6,12293×10-6

+5,27870×10-8

-9,9348×10-7

+2,0816×10-8

+9,1697×10-10

http://fermi.jhuapl.edu/denscalc.html

http://fermi.jhuapl.edu/denscalc.html

21.04.23


24

Pierwsza zasada termodynamikiPierwsza zasada termodynamiki

• Zmiana energii wewnętrznej układu na jednostkę masy (dU) może zaistnieć jeśli nastąpi wymiana ciepła z otoczeniem (dQ) bez zmiany parametrów zewnętrznych takich jak np. objętość czy ciśnienie, lub nad układem (albo przez układ) zostanie wykonana pewna praca (dW):

dU = dQ + dW

• Jeśli system pozostaje pod stałym ciśnieniem to zmniejszenie jego objętości właściwej (zmiana objętości na jednostkę masy) będzie oznaczać, że jakiś czynnik zewnętrzny wykonał pracę:

dW = -p dα

czyli spowodował zmniejszenie objętości systemu (ściśnięcie go).

• jeśli jakieś substancje chemiczne zostaną wprowadzone do systemu i każda z nich ma jakiś potencjał chemiczny μ przypadający na dni moli to zmiana jego energii wewnętrznej z tego powodu będzie równa:

∑ µi dni

21.04.23


25

• Każdy z wymienionych procesów jest opisywany przez dwie wielkości, z których jedna charakteryzuje jego intensywność a druga ilość substancji mu podlegającej. Zakładając, że w wodzie morskiej wspomniane substancje chemiczne to rozpuszczone w niej sole charakteryzowane przez zasolenie, możemy pierwszą zasadę termodynamiki przepisać w postaci:

...dU dQ pd dS

21.04.23


26

22

2

2 2 2 22 2

2 2

2 3 3 33 3 3

3 3 3

3 3 32 2

2 2 2

1( , , ) (35,0,0)

2

2 2

12 )

6

3 3 3

S T p dS dT dp dSS T p S

dT dp dSdT dSdpT p S T S p

dTdp dS dT dpT p S T p

dS dT dT dS dSS T T S S p

2

3 3 32 2 2

2 2 2

3

3 3 3

6 ) ...

dp

dT dp dp dS dp dTT p p S p T

dS dT dpS T p

Elementy termodynamiki wody morskiej, równanie stanu

Documents

Transcript of Elementy termodynamiki wody morskiej, równanie stanu