•równanie Eulera,

•równanie ciągłości przepływu,

•równanie Bernoulliego.

Wykład 6

1. Równanie Eulera1. Równanie Eulera

Siły masowe i powierzchniowe działające na element płynu

W poruszającym się płynie oddziaływują następujące siły:

- siły masowe,

- siły powierzchniowe,

- siły bezwładności.

1 1

2 2

p p pp dy dxdz p dy dxdz dxdydz

y y y

1 1

2 2

p p pp dz dxdy p dz dxdy dxdydz

z z z

Siły powierzchniowe działające w kierunku osi x będą równe:

analogicznie dla osi y, z

1

2

3

ponieważ płyn porusza się to składowe wektora sił bezwładności (d’Alemberta) przedstawiają się następująco ma

składowe sił masowych

5

4

Suma sił czynnych masowych i bezwładności w każdym dowolnym kierunku ruchu jest równa 0, stąd

0ydvpYdxdydz dxdydz dxdydz

y dt

0zdvpZdxdydz dxdydz dxdydz

z dt

6

7

8

po uproszczeniu otrzymamy

0ydvpY

y dt

0zdvpZ

z dt

9

10

11

lub po podzieleniu przez

10ydvp

Yy dt

10zdvp

Zz dt

ponieważ zmiana prędkości odbywa się w przestrzeni jak i w czasie uwzględniamy pochodną substancjalną równą

y y y y yx y z

dv v v v vv v v

dt t x y z

z z z z zx y z

dv v v v vv v v

dt t x y z

11

12

otrzymamy

1

1

y y y yx y z

z z z zx y z

v v v vpY v v v

y t x y z

v v v vpZ v v v

z t x y z

są to równania Eulera dla płynu doskonałego, które w zapisie wektorowym mają postać

13

14

2. Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego

Masa płynu wpływającego w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi

a wypływającego przez przekrój 2-2:

Różnica pomiędzy obu masami, jeśli jest różna od 0, musi równać się zmianie masy płynu zawartego pomiędzy przekrojami 1 i 2 oddalonymi od siebie o ds. Zmiana ta spowodowana jest zmianą gęstości płynu.

d AA ds dt Adt ds A ds ds dt

dt s s s

Po wymnożeniu oraz pominięciu wielkości małych wyższego rzędu otrzymamy

15

16

17

d A v

A v Av A 0dt s s s

lub po uwzględnieniu zasady różniczkowania iloczyn równanie przybiera postać

Dla ruchu ustalonego (niezależnego od czasu) równanie przybiera postać

Czyli dla płynu ściśliwego równanie jest spełnione jeśli

natomiast dla płynu nieściśliwego równanie jest spełnione jeśli

18

19

20

21

22

Pierwsza wielkość nazywa się strumieniem masy, a równanie równaniem ciągłości dla płynu ściśliwego

Druga wielkość nazywa się strumieniem objętości, a równanie równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego

Z równań wynika, że

Jeśli w polu o przekroju A prędkość nie jest jednakowa, to wówczas w równaniach ciągłości przepływu występuje prędkość średnia vśr równa

23

24

25

26

3. Równanie ciągłości ruchu ogólnym (trójwymiarowym)

y

x

z

0

A

B

C

dx

dz

dy

xv

xx

vv dx

x

Przez ściankę OABC (wzdłuż osi x) w czasie dt przepływa masa równa

natomiast przez przeciwległą ściankę wypływa w tym samym czasie masa

Różnica pomiędzy masą wpływającą do prostopadłościanu a wypływającą wynosi

Podobnie postępujemy dla pozostałych dwóch par ścianek, otrzymując różnice mas wpływu i wypływu równe

y

z

vdx dy dz dt

y

vdx dy dz dt

z

27

28

29

30

31

Suma tych różnic równa się zmianie masy zawartej w objętości prostopadłościanu wskutek zmiany gęstości czyli

Porównując równanie (32) z sumą równań (29-31) otrzymamy

32

yx zvv vd

dxdydzdt dx dy dz dt dx dy dz dt dx dy dz dtdt x y z

33

po podzieleniu przez dx dy dz dt otrzymamy

0

yx z

yx z

vv vd

dt x y z

vv vd

dt x y z

34

35

Jest to równanie ciągłości w formie Eulera dla ruchu płynu ściśliwego

Zapis równania (35) można uprościć stosując pojęcie dywergencji div v

yx zvv v

div vx y z

Czyli otrzymamy równanie (35) w postaci

Dla płynu nieściśliwego =const stąd a zatem równanie ciągłości jest równe

0d

dt

lub

36

37

38

39

4. Równanie Bernoulliego4. Równanie Bernoulliego

Założenia: płyn nielepki, nieściśliwy, ruch jednowymiarowy, ustalony, prędkość jest stała w przekroju poprzecznym strugi.

energii potencjalnej ciśnienia, równej iloczynowi siły powierzchniowej i przesunięcia , czyli

Wydzielimy odcinek strugi zawarty między przekrojami 1-1 i 2-2, określimy energię mechaniczną cieczy w czasie dt. W czasie dt ciecz z przekroju 1-1 przemieści się o do przekroju 1’-1’, a z przekrój 2-2 o do 2’-2’. Całkowita energia mechaniczna płynu przepływającego przez przekrój 1-1 w czasie dt składa się z:

1 1ds dt2 2ds dt

energii kinetycznej masy , poruszającej się z prędkością , czyli

1 1p A1 1ds dt

Vdm pq dt 1

energii potencjalnej położenia

40

41

42

Całkowita energia przepływająca w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi

2c1 V 1 1 V V 1

1E gq z dt p q dt gq v dt,

2a przez przekrój 2-2

2c2 V 2 2 V V 2

1E gq z dt p q dt gq v dt.

2

(43)

(44)

Ponieważ ruch odbywa się bez strat energetycznych, to:

(45)

zatem

2 2V 1 1 V V 1 V 2 2 V V 2

1 1gq z dt p q dt gq v dt gq z dt p q dt gq v dt.

2 2(46)

Po podzieleniu równania (46) obustronnie przez otrzymamy: Vgq dt

(47)

Równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci:

(48)

z pg2v

2g

Po pomnożeniu równań (47-48) obustronnie przez g otrzymamy:

(49)

(50)

gz p

2v2

Interpretacja geometryczna równania Bernoulliego