•równanie Eulera,
•równanie ciągłości przepływu,
•równanie Bernoulliego.
Wykład 6
1. Równanie Eulera1. Równanie Eulera
Siły masowe i powierzchniowe działające na element płynu
W poruszającym się płynie oddziaływują następujące siły:
- siły masowe,
- siły powierzchniowe,
- siły bezwładności.
1 1
2 2
p p pp dy dxdz p dy dxdz dxdydz
y y y
1 1
2 2
p p pp dz dxdy p dz dxdy dxdydz
z z z
Siły powierzchniowe działające w kierunku osi x będą równe:
analogicznie dla osi y, z
1
2
3
ponieważ płyn porusza się to składowe wektora sił bezwładności (d’Alemberta) przedstawiają się następująco ma
składowe sił masowych
5
4
Suma sił czynnych masowych i bezwładności w każdym dowolnym kierunku ruchu jest równa 0, stąd
0ydvpYdxdydz dxdydz dxdydz
y dt
0zdvpZdxdydz dxdydz dxdydz
z dt
6
7
8
po uproszczeniu otrzymamy
0ydvpY
y dt
0zdvpZ
z dt
9
10
11
lub po podzieleniu przez
10ydvp
Yy dt
10zdvp
Zz dt
ponieważ zmiana prędkości odbywa się w przestrzeni jak i w czasie uwzględniamy pochodną substancjalną równą
y y y y yx y z
dv v v v vv v v
dt t x y z
z z z z zx y z
dv v v v vv v v
dt t x y z
11
12
otrzymamy
1
1
y y y yx y z
z z z zx y z
v v v vpY v v v
y t x y z
v v v vpZ v v v
z t x y z
są to równania Eulera dla płynu doskonałego, które w zapisie wektorowym mają postać
13
14
2. Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego
Masa płynu wpływającego w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi
a wypływającego przez przekrój 2-2:
Różnica pomiędzy obu masami, jeśli jest różna od 0, musi równać się zmianie masy płynu zawartego pomiędzy przekrojami 1 i 2 oddalonymi od siebie o ds. Zmiana ta spowodowana jest zmianą gęstości płynu.
d AA ds dt Adt ds A ds ds dt
dt s s s
Po wymnożeniu oraz pominięciu wielkości małych wyższego rzędu otrzymamy
15
16
17
d A v
A v Av A 0dt s s s
lub po uwzględnieniu zasady różniczkowania iloczyn równanie przybiera postać
Dla ruchu ustalonego (niezależnego od czasu) równanie przybiera postać
Czyli dla płynu ściśliwego równanie jest spełnione jeśli
natomiast dla płynu nieściśliwego równanie jest spełnione jeśli
18
19
20
21
22
Pierwsza wielkość nazywa się strumieniem masy, a równanie równaniem ciągłości dla płynu ściśliwego
Druga wielkość nazywa się strumieniem objętości, a równanie równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego
Z równań wynika, że
Jeśli w polu o przekroju A prędkość nie jest jednakowa, to wówczas w równaniach ciągłości przepływu występuje prędkość średnia vśr równa
23
24
25
26
3. Równanie ciągłości ruchu ogólnym (trójwymiarowym)
y
x
z
0
A
B
C
dx
dz
dy
xv
xx
vv dx
x
Przez ściankę OABC (wzdłuż osi x) w czasie dt przepływa masa równa
natomiast przez przeciwległą ściankę wypływa w tym samym czasie masa
Różnica pomiędzy masą wpływającą do prostopadłościanu a wypływającą wynosi
Podobnie postępujemy dla pozostałych dwóch par ścianek, otrzymując różnice mas wpływu i wypływu równe
y
z
vdx dy dz dt
y
vdx dy dz dt
z
27
28
29
30
31
Suma tych różnic równa się zmianie masy zawartej w objętości prostopadłościanu wskutek zmiany gęstości czyli
Porównując równanie (32) z sumą równań (29-31) otrzymamy
32
yx zvv vd
dxdydzdt dx dy dz dt dx dy dz dt dx dy dz dtdt x y z
33
po podzieleniu przez dx dy dz dt otrzymamy
0
yx z
yx z
vv vd
dt x y z
vv vd
dt x y z
34
35
Jest to równanie ciągłości w formie Eulera dla ruchu płynu ściśliwego
Zapis równania (35) można uprościć stosując pojęcie dywergencji div v
yx zvv v
div vx y z
Czyli otrzymamy równanie (35) w postaci
Dla płynu nieściśliwego =const stąd a zatem równanie ciągłości jest równe
0d
dt
lub
36
37
38
39
4. Równanie Bernoulliego4. Równanie Bernoulliego
Założenia: płyn nielepki, nieściśliwy, ruch jednowymiarowy, ustalony, prędkość jest stała w przekroju poprzecznym strugi.
energii potencjalnej ciśnienia, równej iloczynowi siły powierzchniowej i przesunięcia , czyli
Wydzielimy odcinek strugi zawarty między przekrojami 1-1 i 2-2, określimy energię mechaniczną cieczy w czasie dt. W czasie dt ciecz z przekroju 1-1 przemieści się o do przekroju 1’-1’, a z przekrój 2-2 o do 2’-2’. Całkowita energia mechaniczna płynu przepływającego przez przekrój 1-1 w czasie dt składa się z:
1 1ds dt2 2ds dt
energii kinetycznej masy , poruszającej się z prędkością , czyli
1 1p A1 1ds dt
Vdm pq dt 1
energii potencjalnej położenia
40
41
42
Całkowita energia przepływająca w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi
2c1 V 1 1 V V 1
1E gq z dt p q dt gq v dt,
2a przez przekrój 2-2
2c2 V 2 2 V V 2
1E gq z dt p q dt gq v dt.
2
(43)
(44)
Ponieważ ruch odbywa się bez strat energetycznych, to:
(45)
zatem
2 2V 1 1 V V 1 V 2 2 V V 2
1 1gq z dt p q dt gq v dt gq z dt p q dt gq v dt.
2 2(46)
Po podzieleniu równania (46) obustronnie przez otrzymamy: Vgq dt
(47)
Równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci:
(48)
z pg2v
2g
Po pomnożeniu równań (47-48) obustronnie przez g otrzymamy:
(49)
(50)
gz p
2v2
Interpretacja geometryczna równania Bernoulliego
Top Related