Algorytmy i Struktury Danych. - Grafywozna.org/students/2014-2015/asd/asd09.pdf · Plan wykładu...

Algorytmy i Struktury Danych.Grafy

dr hab. Bozena [email protected]

Jan Długosz University, Poland

Wykład 9

Bozena Wozna-Szczesniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Plan wykładu

Sciezka EuleraCykle EuleraAlgorytm Bellmana-FordaAlgorytm Dijkstry


Sciezka Eulera

Sciezka Eulera w grafie (skierowanym), to sciezka (droga) prosta,która zawiera kazda krawedz grafu dokładnie jeden raz.Warunkiem istnienia sciezki sa:

1 spójnosc grafu.2 dla grafu skierowanego nalezy sprawdzic, czy dla kazdego

wierzchołka, za wyjatkiem dwóch, stopien wyjsciowy jest równystopniu wejsciowemu.

3 dla grafu nieskierowanego z kazdego wierzchołka, za wyjatkiemdwóch, musi wychodzic parzysta liczba krawedzi.

Graf, który posiada sciezke Eulera nazywamy grafempółeulerowskim


Sciezka Eulera - przykład

Graf ze sciezka Eulera:

Sciezka: 1-> ABCDE -> 3

Graf bez sciezki Eulera:

Nie spełniony warunek 3 istnieniasciezki Eulera


Cykl Eulera

Cykl Eulera to taki cykl w grafie, który zawiera kazda krawedzgrafu dokładnie jeden raz.Warunkiem istnienia cyklu sa:

spójnosc grafu.dla grafu skierowanego nalezy sprawdzic, czy dla kazdegowierzchołka stopien wyjsciowy jest równy stopniu wejsciowemu.dla grafu nieskierowanego z kazdego wierzchołka musi wychodzicparzysta liczba krawedzi.

Graf, który posiada cykl Eulera nazywamy grafem eulerowskim


Sciezka Eulera - przykład

Graf z cyklem Eulera:

Cykl 1: 1-> ABCDEF -> 1Cykl 2: 1-> ABEDCF -> 1Cykl 3: 1-> FCDEBA -> 1Cykl 4: 1-> FEDCBA -> 1

Graf bez cyklu Eulera:

Nie spełniony warunek 3 istnieniacyklu Eulera


Zagadki

Sprawdz, w którym z ponizszych grafów istnieje cykl lub drogaEulera. Jesli w grafie istnieje cykl lub droga Eulera, to mozna janarysowac nie odrywajac ołówka od papieru.


Twierdzenie Eulera, 1736

TwierdzenieSpójny graf G (nieskierowany) ma cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdystopien kazdego wierzchołka w G jest parzysty.

Leonhard Euler (1707 – 1783)


Most

Mostem nazywamy taka krawedz grafu, której usuniecie zwiekszaliczbe spójnych składowych tego grafu.


Wyznaczanie cyklu Eulera

Do wyznaczania syklu Eulera słuzy algorytm Fleury’egoAlgorytm działa zarówno dla grafów skierowanych jak inieskierowanych.Algorytm jest rekurencyjnyAlgorytm zakłada, ze graf jest eulerowski.Algorytm Fleury’ego opiera sie na prostej zasadzie: aby znalezccykl Eulera lub sciezke Eulera, mosty sa ostatnimi krawedziemi,które nalezy przejsc.


Algorytm Fleury’ego

Warunek wstepny:Wejsciowy graf jest grafem eulerowskim, czyli:

jest spójnyw przypadku poszukiwania sciez Eulera - posiada co najwyzej dwawierzchołki o nieparzystym stopniuw przypadku poszukiwania cyklu Eulera - wszytkie wierzchołki muszamiec parzysty stopien

Warunek startowy:W przypadku cyklu: wybierz dowolny wierzchołekW przypadku sciezki: wybierz jeden z wierzchołków nieparzystych



Kroki posrednie: Na kazdym kroku, jesli jest wybór, nie wybierajmostu wystepujacego w czesci grafu, która nie została jeszczeodwiedzona. Jednakze, jesli jest tylko jeden wybór, to wez go.Warunek Koncowy: Kiedy nie mozna przechodzic juz dalej, cykl(sciezka) jest kompletna. [W przypadku cyklu, wracamy dowierzchołka wyjsciowego; w przypadku sciezki dochodzimy dodrugiego wierzchołka o nieparzystym stopniu.]



Graf eulerowski:Wybieramy wierzchołek F jak

startowy



Idziemy z F do C



Idziemy z C do D



Idziemy z D do A. (Mozna równiez isc z D do B, ale nie mozna z D doF, bo DF jest mostem)



Idziemy z A do C. (Mozna równiez isc z A do E, ale nie mozna z A doB, bo AB jest mostem)



Idziemy z C do E. Nie ma wyboru.



Idziemy z E do A. Nie ma wyboru.



Idziemy z A do B, potem z B do D i na koniec z D do F. Jednoznacznasciezka.



Kolejne kroki algorytmu - podsumowanie.



Dany jest graf półeulerowski. Znalezc sciezke Eulera.



Mozemy wystartowac z wierzchołka J lub wierzcholka E.Startujemy z wierzchołka J.



Z wierzchołka J mamy 5 mozliwych dróg. Wszystkie sa OK.Wybieramy droge do wierzchołka K



Z wierzchołka K mamy 3 mozliwe drogi. Wszystkie sa OK. Wybieramydroge do wierzchołka B.



Z wierzchołka B mamy 3 mozliwe drogi. Wszystkie sa OK. Wybieramydroge do wierzchołka C.



Z wierzchołka C mamy 3 mozliwe drogi. Wszystkie sa OK. Wybieramydroge do wierzchołka L.



Z wierzchołka L mamy 3 mozliwe drogi. Wszystkie sa OK. Wybieramydroge do wierzchołka K.



Z wierzchołka K mamy tylko 1 droge, droge do wierzchołka H.



Z wierzchołka H mamy 3 mozliwe drogi: do G, I oraz J. Nie mozemywybrac drogi z H do G, bo jest mostem. Pozostałe dwie sa Ok.Wybieramy droge do wierzchołka J.



Z wierzchołka J mamy 3 mozliwe drogi: do A, B oraz I. Nie mozemywybrac drogi z J do I, bo jest mostem. Pozostałe dwie sa Ok.Wybieramy droge do wierzchołka B.



Z wierzchołka B do wierzcholka G prowadzi jednoznaczna drogapoprzez wierzcholki A, J, I oraz H.



Z wierzchołka G do wierzcholka E prowadzi wiele dróg. Oto jedna znich: z G do F, potem do E, potem do D, potem do C, potem do E,potem do G, potem do L i na koncu do E.INNA DROGE PROSZE odnalezc jako cwiczenie !!!


Cykl Eulera - Zastosowania

Rysowanie/wycinanie figur przy pomocy ploteraProblem chinskiego listonosza – W roku 1962 chinski matematykMei-Ko Kwan sformułował nastepujacy problem:

Listonosz roznoszac listy musi przejsc przez wszystkieulice w swojej dzielnicy co najmniej jeden raz i wrócic napoczte. Poniewaz jest człowiekiem leniwym, chciałbymiec jak najkrótsza do przejscia trase. Znalezienie takiejtrasy jest problemem, który nazwano problememchinskiego listonosza (ang. Chinese postman problem -CPP).


Etykietowany graf skierowany

DefinicjaEtykietowanym grafem skierowanym nazywamy struktureG = (V ,E ,w : E → Z ) gdzie

V to zbiór wierzchołków,E ⊆ {(u, v) : u, v ∈ V} to zbiór uporzadkowanych parwierzchołków ze zbioru V , zwanych krawedziami.w : E → Z jest funkcja wagi; wagi reprezentuja pewne wielkosci(np. długosc drogi).


Etykietowany graf skierowany - przykład

1

-3

v

1

1

2

31

u

23Pytanie: Czynajkrótsza sciezkapomiedzywierzchołkami u i vmoze zawierac cykl?

Odpowiedz: Jesli wgraf istnieje najkrótszasciezka z u do v , to wgrafie tym równiezistnieje najkrótszasciezka z u do v , któranie zawiera cykli.


Etykietowany graf skierowany - przykład

1

-3

v

1

1

2

31

u

23Pytanie: Czynajkrótsza sciezkapomiedzywierzchołkami u i vmoze zawierac cykl?Odpowiedz: Jesli wgraf istnieje najkrótszasciezka z u do v , to wgrafie tym równiezistnieje najkrótszasciezka z u do v , któranie zawiera cykli.


Drzewo najkrótszych sciezek

Sformułowanie problemuWejscie:

Etykietowany graf skierowany G = (V ,E ,w : E → Z )Wierzchołek r ∈ V .

Wyjscie:Drzewo T o korzeniu r takie, ze sciezka z r do kazdegowierzchołka u w T jest najkrótsza siezka z r do u w grafie G.

Załozenie: Rozwazane grafy maja wierzchołki osiagalne zwybranego wierzchołka (korzenia) r a.

aDlaczego? Wierzchołki nieosiagalne moga byc usuniete w czasieliniowym


Czy najkrótsza sciezka zawsze istnieje ?

Raczej nie ...



Graf G posiada drzewo najkrótszych sciezek wtedy i tylko wtedy,gdy G nie zawiera ujemnych cykli.Dla kazdego wierzchołka u grafu G istnieje najkrótsza sciezka zkorzenia r do wierzchołka u, która nie zawiera cykli.Suma wszystkich najkrótszych sciezek jest drzewem najkrótszychsciezek grafu G ukorzenionego w wierzchołku r .

Problem znalezienia drzewa najkrótszych sciezek jestrównowazny problemowi znalezienia odległosci kazdego zwierzchołków u grafu G od korzenia r 1.

1Przez odległosc od wierzchołka r do wierzchołka u w grafie G rozumiemy długoscnajkrótszej sciezki w grafie G prowadzacej z r do u.



Graf G posiada drzewo najkrótszych sciezek wtedy i tylko wtedy,gdy G nie zawiera ujemnych cykli.Dla kazdego wierzchołka u grafu G istnieje najkrótsza sciezka zkorzenia r do wierzchołka u, która nie zawiera cykli.Suma wszystkich najkrótszych sciezek jest drzewem najkrótszychsciezek grafu G ukorzenionego w wierzchołku r .Problem znalezienia drzewa najkrótszych sciezek jestrównowazny problemowi znalezienia odległosci kazdego zwierzchołków u grafu G od korzenia r 1.

1Przez odległosc od wierzchołka r do wierzchołka u w grafie G rozumiemy długoscnajkrótszej sciezki w grafie G prowadzacej z r do u.


Richard Ernest Bellman - (26.08.1920-19.03.1984)

Twórca programowaniadynamicznego (DynamicProgramming 1957)W 1979 roku otrzymał IEEEMedal of Honor za ”wkład wteorie sterowania i procesówdecyzyjnych, szczególnie zastworzenie i zastosowanieprogramowaniadynamicznego”.1975 - Członek amerykanskiejakademii Nauki i Sztuki.Wiecej na http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_E._Bellman

Zródło: http://logistyka.math.uni.lodz.pl/Bellman.jpeg


http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_E._Bellman



http://logistyka.math.uni.lodz.pl/Bellman.jpeg

http://logistyka.math.uni.lodz.pl/Bellman.jpeg

Lester Randolph Ford, junior (ur. 23.09.1927)

Syn matematyka Lester R.Forda, senioraAmerykanski matematykspecjalizujacy sie walgorytmach przepływu w sieciAutor algorytmuBellmana-Forda doznajdowania najkrótszejsciezki w grafach, któreposiadaja krawedzie zujemnymi wagami.

Zródło:http://arodrigu.webs.upv.es/


http://arodrigu.webs.upv.es/

http://arodrigu.webs.upv.es/

Algorytm Forda-Bellmana

Algorytm słuzy do wyznaczania najmniejszej odległosci odustalonego wierzchołka s do wszystkich pozostałych w grafieskierowanym bez cykli o ujemnej długosci.Warunek nieujemnosci cyklu jest spowodowany faktem, ze wgrafie o ujemnych cyklach najmniejsza odległosc miedzyniektórymi wierzchołkami jest nieokreslona, poniewaz zalezy odliczby przejsc w cyklu.


Algorytm Forda-Bellman

Dany jest graf G = (V ,E ,w → N) i macierz A, która dla kazdejpary wierzchołków u i v zawiera wage krawedzi (u, v) (ozn.w((u, v))). Jesli krawedz (u, v) nie istnieje, to przyjmujemy, ze jejwaga wynosi nieskonczonosc i wpisujemy ∗.

Algorytm Forda-Bellmana w kazdym kroku oblicza górneoszacowanie odległosci od wierzchołka r do wszystkichpozostałych wierzchołków v (ozn. d(v)).W pierwszym kroku przyjmujemy d(v) = w((r , v)).Gdy stwierdzimy, ze d(v) > d(u) + w((u, v)), to kazdorazowopolepszamy aktualne oszacowanie i podstawiamyd(v) := d(u) + w((u, v)).Algorytm konczy sie, gdy zadnego oszacowania nie mozna juzpoprawic. Wówczas macierz d(v) zawiera najkrótsze odległosciod wierzchołka r do wszystkich pozostałych.



Dany jest graf G = (V ,E ,w → N) i macierz A, która dla kazdejpary wierzchołków u i v zawiera wage krawedzi (u, v) (ozn.w((u, v))). Jesli krawedz (u, v) nie istnieje, to przyjmujemy, ze jejwaga wynosi nieskonczonosc i wpisujemy ∗.Algorytm Forda-Bellmana w kazdym kroku oblicza górneoszacowanie odległosci od wierzchołka r do wszystkichpozostałych wierzchołków v (ozn. d(v)).

W pierwszym kroku przyjmujemy d(v) = w((r , v)).Gdy stwierdzimy, ze d(v) > d(u) + w((u, v)), to kazdorazowopolepszamy aktualne oszacowanie i podstawiamyd(v) := d(u) + w((u, v)).Algorytm konczy sie, gdy zadnego oszacowania nie mozna juzpoprawic. Wówczas macierz d(v) zawiera najkrótsze odległosciod wierzchołka r do wszystkich pozostałych.



Dany jest graf G = (V ,E ,w → N) i macierz A, która dla kazdejpary wierzchołków u i v zawiera wage krawedzi (u, v) (ozn.w((u, v))). Jesli krawedz (u, v) nie istnieje, to przyjmujemy, ze jejwaga wynosi nieskonczonosc i wpisujemy ∗.Algorytm Forda-Bellmana w kazdym kroku oblicza górneoszacowanie odległosci od wierzchołka r do wszystkichpozostałych wierzchołków v (ozn. d(v)).W pierwszym kroku przyjmujemy d(v) = w((r , v)).

Gdy stwierdzimy, ze d(v) > d(u) + w((u, v)), to kazdorazowopolepszamy aktualne oszacowanie i podstawiamyd(v) := d(u) + w((u, v)).Algorytm konczy sie, gdy zadnego oszacowania nie mozna juzpoprawic. Wówczas macierz d(v) zawiera najkrótsze odległosciod wierzchołka r do wszystkich pozostałych.



Dany jest graf G = (V ,E ,w → N) i macierz A, która dla kazdejpary wierzchołków u i v zawiera wage krawedzi (u, v) (ozn.w((u, v))). Jesli krawedz (u, v) nie istnieje, to przyjmujemy, ze jejwaga wynosi nieskonczonosc i wpisujemy ∗.Algorytm Forda-Bellmana w kazdym kroku oblicza górneoszacowanie odległosci od wierzchołka r do wszystkichpozostałych wierzchołków v (ozn. d(v)).W pierwszym kroku przyjmujemy d(v) = w((r , v)).Gdy stwierdzimy, ze d(v) > d(u) + w((u, v)), to kazdorazowopolepszamy aktualne oszacowanie i podstawiamyd(v) := d(u) + w((u, v)).

Algorytm konczy sie, gdy zadnego oszacowania nie mozna juzpoprawic. Wówczas macierz d(v) zawiera najkrótsze odległosciod wierzchołka r do wszystkich pozostałych.



Dany jest graf G = (V ,E ,w → N) i macierz A, która dla kazdejpary wierzchołków u i v zawiera wage krawedzi (u, v) (ozn.w((u, v))). Jesli krawedz (u, v) nie istnieje, to przyjmujemy, ze jejwaga wynosi nieskonczonosc i wpisujemy ∗.Algorytm Forda-Bellmana w kazdym kroku oblicza górneoszacowanie odległosci od wierzchołka r do wszystkichpozostałych wierzchołków v (ozn. d(v)).W pierwszym kroku przyjmujemy d(v) = w((r , v)).Gdy stwierdzimy, ze d(v) > d(u) + w((u, v)), to kazdorazowopolepszamy aktualne oszacowanie i podstawiamyd(v) := d(u) + w((u, v)).Algorytm konczy sie, gdy zadnego oszacowania nie mozna juzpoprawic. Wówczas macierz d(v) zawiera najkrótsze odległosciod wierzchołka r do wszystkich pozostałych.



Require: Macierz A dla grafu G = (V ,E ,w : E → N), wierzchołek r1: for each v ∈ V do2: d(v) = w((r , v));3: end for4: for k := 1 to |V | − 2 do5: for each v ∈ V \ {r} do6: for each u ∈ V do7: d(v) := min{d(v),d(u) + w((u, v))}8: end for9: end for

10: end for


Algorytm Forda-Bellman - przykład

1 2 3 4 5 61 0 2 4 * * *2 * 0 * * 4 *3 * * 0 -2 3 *4 1 * * 0 * 25 * * * * 0 *6 * 2 * * 1 0

k d(1) d(2) d(3) d(4) d(5) d(6)0 0 2 4 * * *1 0 2 4 2a 6b 4c2 0 2 4 2 5d 43 0 2 4 2 5 4

k=0 d(v) = w((1, v)). Przepisujemy pierwszy wiersz macierzy wag krawedzi.

a. W kroku k = 0, d(4) = ∗, gdyz nie istnieje krawedz (1,4). Mozemy jednak przejsc przez wierzchołek 3 (odległosc od 1do 3 wynosi 4) a nastepnie do 4 (waga krawedzi [3, 4] = −2), długosc drogi od 1 do 4 wynosi wiec 4 − 2 = 2.

b. Do wierzchołka 5 mozemy dojsc przez 2, 3, lub 6. Wybieramy droge o najmniejszej długosci:d(2) + w(2, 5) = 2 + 4 = 6, d(3) + w(3, 5) = 4 + 3 = 7, d(6) + w(6, 5) = ∗ + 1. Wybieramy opcje z wierzchołkiemnr. 2.

c. Do wierzchołka 6 mozemy dojsc przez 4 (do którego dochodzimy przez 3) droga jest wiec nastepujaca: 1, 3, 4, 6 a jejdługosc wynosi d(4) + w(4, 6) = 2 + 2 = 4.

d. Z punktu (b.) wynika, ze do wierzchołka 5 mozemy dojsc takze poprzez wierzchołek 6. W poprzednim kroku poznalismyodległosc do wierzchołka 6 i nie wynosi ona juz nieskonczonosc. Zatem długosc drogi do wierzchołka 5 poprzez 6:d(6)+w(6,5)=4+1=5. Jest to wartosc mniejsza niz aktualna (6), wiec znalezlismy krótsza droge.

k=3 Nic sie nie zmieniło od kroku k=2. Konczymy obliczenia i mamy wektor najkrótszych dróg od wierzchołka r = 1 dowszystkich pozostałych.


Algorytm Dijkstry

Algorytm Dijkstry słuzy do wyznaczania najmniejszej odległosciod ustalonego wierzchołka r do wszystkich pozostałych w grafieskierowanym.

W odróznieniu jednak od Algorytmu Forda-Bellmana, grafwejsciowy nie moze zawierac krawedzi o ujemnych wagach.W algorytmie tym pamietany jest zbiór Q wierzchołków, dlaktórych nie obliczono jeszcze najkrótszych sciezek, oraz wektord [v ] odległosci od wierzchołka r do v . Poczatkowo zbiór Qzawiera wszystkie wierzchołki, a wektor d jest pierwszymwierszem macierzy zawierajacym wagi krawedzi.


Algorytm Dijkstry

Algorytm Dijkstry słuzy do wyznaczania najmniejszej odległosciod ustalonego wierzchołka r do wszystkich pozostałych w grafieskierowanym.W odróznieniu jednak od Algorytmu Forda-Bellmana, grafwejsciowy nie moze zawierac krawedzi o ujemnych wagach.

W algorytmie tym pamietany jest zbiór Q wierzchołków, dlaktórych nie obliczono jeszcze najkrótszych sciezek, oraz wektord [v ] odległosci od wierzchołka r do v . Poczatkowo zbiór Qzawiera wszystkie wierzchołki, a wektor d jest pierwszymwierszem macierzy zawierajacym wagi krawedzi.


Algorytm Dijkstry

Algorytm Dijkstry słuzy do wyznaczania najmniejszej odległosciod ustalonego wierzchołka r do wszystkich pozostałych w grafieskierowanym.W odróznieniu jednak od Algorytmu Forda-Bellmana, grafwejsciowy nie moze zawierac krawedzi o ujemnych wagach.W algorytmie tym pamietany jest zbiór Q wierzchołków, dlaktórych nie obliczono jeszcze najkrótszych sciezek, oraz wektord [v ] odległosci od wierzchołka r do v . Poczatkowo zbiór Qzawiera wszystkie wierzchołki, a wektor d jest pierwszymwierszem macierzy zawierajacym wagi krawedzi.


Algorytm Dijkstry - pseudokod

Dopóki zbiór Q nie jest pusty wykonuj:Pobierz ze zbioru Q wierzchołek v o najmniejszej wartosci d [v ] iusun go ze zbioru.Dla kazdego nastepnika i wierzchołka v sprawdz czyd [i] > d [v ] + w((v , i)), tzn. czy aktualne oszacowanie odległosci dowierzchołka i jest wieksze od oszacowania odległosci dowierzchołka v plus waga krawedzi (v , i).

Jak widac z powyzszego pseudokodu algorytm wybiera z kolejki Q“najlzejszy” wierzchołek, tzn. jest oparty o strategie zachłanna.


Algorytm Dijkstry - przykład

a b c d ea 0 10 * * 5b * 0 1 * 2c * * 0 4 *d 7 * 6 0 *e * 3 9 2 *

Q d(a) d(b) d(c) d(d) d(e){b,c,d,e} 0 10 * * 5{b,c,d} 0 8 14 7 5{b,c} 0 8 13 7 5{c} 0 8 9 7 5{} 0 8 9 7 5

Najlzejszy wierzchołek jest podkreslony. Wierzchołki, dla którychwyznaczono juz najkrótsze sciezki sa pogrubione


Wyznaczanie najkrótszej drogi w grafie dla znanejodległosci

Algorytm słuzy do wyznaczania w grafie ciagu wierzchołkówus,us+1 . . . ut tworzacych droge miedzy wierzchołkami us i ut odługosci d(us,ut) i jest on najczesciej uzywany razem zalgorytmem Forda-Bellmana lub Dijkstry.

Po wyznaczeniu najkrótszej odległosci d(us,ut) miedzy parawierzchołków w grafie, mozna skonstruowac droge miedzy tymiwierzchołkami taka, ze suma wag jej krawedzi jest równad(us,ut), tzn. mozemy wyznaczyc droge miedzy wierzchołkami usi ut o najkrótszej długosci.Załózmy wiec, ze dla danego grafu opisanego za pomocamacierzy wag krawedzi wywołalismy algorytm wyznaczanianajkrótszej odległosci od ustalonego wierzchołka (us) dowszystkich pozostałych i w jego wyniku otrzymalismy wektorodległosci D.



Algorytm słuzy do wyznaczania w grafie ciagu wierzchołkówus,us+1 . . . ut tworzacych droge miedzy wierzchołkami us i ut odługosci d(us,ut) i jest on najczesciej uzywany razem zalgorytmem Forda-Bellmana lub Dijkstry.Po wyznaczeniu najkrótszej odległosci d(us,ut) miedzy parawierzchołków w grafie, mozna skonstruowac droge miedzy tymiwierzchołkami taka, ze suma wag jej krawedzi jest równad(us,ut), tzn. mozemy wyznaczyc droge miedzy wierzchołkami usi ut o najkrótszej długosci.

Załózmy wiec, ze dla danego grafu opisanego za pomocamacierzy wag krawedzi wywołalismy algorytm wyznaczanianajkrótszej odległosci od ustalonego wierzchołka (us) dowszystkich pozostałych i w jego wyniku otrzymalismy wektorodległosci D.



Algorytm słuzy do wyznaczania w grafie ciagu wierzchołkówus,us+1 . . . ut tworzacych droge miedzy wierzchołkami us i ut odługosci d(us,ut) i jest on najczesciej uzywany razem zalgorytmem Forda-Bellmana lub Dijkstry.Po wyznaczeniu najkrótszej odległosci d(us,ut) miedzy parawierzchołków w grafie, mozna skonstruowac droge miedzy tymiwierzchołkami taka, ze suma wag jej krawedzi jest równad(us,ut), tzn. mozemy wyznaczyc droge miedzy wierzchołkami usi ut o najkrótszej długosci.Załózmy wiec, ze dla danego grafu opisanego za pomocamacierzy wag krawedzi wywołalismy algorytm wyznaczanianajkrótszej odległosci od ustalonego wierzchołka (us) dowszystkich pozostałych i w jego wyniku otrzymalismy wektorodległosci D.



Z wektora D odczytujemy najmniejsza odległosc miedzywierzchołkami us i ut : D[ut ] = d(us,ut).Po wykonaniu ponizszego algorytmu na stosie otrzymamy ciagwierzchołków us, . . . ,ut bedacych droga miedzy wierzchołkiem usi ut o długosci d(us,ut).

AlgorytmRequire: Stos S, wierzchołki poczatkowy us i koncowy ut

1: push(S,ut);2: v := ut ;3: while v ! = us do4: znajdz wierzchołek u taki, ze D(v) = D(u) + w((u, v));5: push(S,u);6: v := u;7: end while


Przykład

1 2 3 4 5 61 0 2 4 * * *2 * 0 * * 4 *3 * * 0 -2 3 *4 1 * * 0 * 25 * * * * 0 *6 * 2 * * 1 0

Jak widac z macierzy wag graf ten makrawedzie o ujemnych wagach, musimy wieczastosowac algorytm Forda-Bellmana. Wwyniku jego działania otrzymamy wektor dpostaci:D[1] = 0, D[2] = 2, D[3] = 4, D[4] = 2,D[5] = 5, D[6] = 4.

Załózmy ze wierzchołkiem, wzgledem któregowyznaczac bedziemy najkrótsza droge jestwierzchołek o indeksie 1. Dlatego tezD[1] = 0. Musimy tez wybrac wierzchołekkoncowy – niech bedzie to wierzchołek nr. 5.Z wektora D odczytujemy najmniejszaodległosc miedzy wierzchołkami 1 i 5, tj.D[5] = d(1, 5) = 5. Wyznaczamy drogełaczaca wierzchołek 1 i 5 o długosci równej 5.


Przykład, cd.

Po wykonaniu pierwszej linii algorytmu otrzymamy anstepujaceparametry: Stos = {5}, v = 5, D[v ] = 5, u =?,D[u] + w((u, v)) =?.Poszukujemy teraz wierzchołka u. Sprawdzamy wartosciD[u] + w((u, v)) tylko dla tych wierzchołków u, które sapoprzednikami wierzchołka v . W naszym przypadkupoprzednikami wierzchołka 5 sa wierzchołki 2, 3 i 6. Sprawdzamywiec: D[2] + w((2,5)) = 2 + 4 = 6! = D[5],D[3] + w((3,5)) = 4 + 3 = 7! = D[5], orazD[6] + w((6,5)) = 4 + 1 = 5 = D[5].Znalezlismy wierzchołek u = 6, wykonujemy zatem instrukcje 5 i 6algorytmu: Stos = {5,6}, v = 6, D[v ] = 4, u =?,D[u] + w((u, v)) =?.


Przykład, cd.

Tym razem nie mamy zbyt duzego wyboru, gdyz jedynympoprzednikiem wierzchołka nr. 6 jest 4. A wiecD[4] + w((4,6)) = 2 + 2 = 4 = d [6], zatem m = 4. Dalej algorytmprzebiega podobnie:Stos = {5,6,4}, v = 4, D[v ] = 2, u = 3,D[u] + w((u, v)) = 4 + (−2) = 4.Stos = {5,6,4,3}, v = 3, D[v ] = 4, u = 1,D[u] + w((u, v)) = 0 + 4 = 4.Tu algorytm sie konczy, gdyz w nastepnej iteracji v = 1. A zatemdroga miedzy wierzchołkiem 1 i 5 o długosci 5 jest nastepujaca:(1,3,4,6,5).


Algorytmy i Struktury Danych. - Grafywozna.org/students/2014-2015/asd/asd09.pdf · Plan wykładu...

Documents

Transcript of Algorytmy i Struktury Danych. - Grafywozna.org/students/2014-2015/asd/asd09.pdf · Plan wykładu...