* Drinż.AleksanderMatuszak,InstytutTechnologiiInformatycznychwInżynieriiLądowej,WydziałInżynieriiLądowej,PolitechnikaKrakowska.

ALeKsAnDerMATuszAK*

ALgoryTMWyznAczAnIAsTrefyścIsKAnej WzAgADnIenIuzAKoTWIeńorAzWPrzyPADKuPrzeKrojużeLbeToWegoProjeKToWAnego

WeDługnL

ALgorIThMforfInDIngcoMPressIonregIonIncAseofAnchorAgeAnDconcreTesecTIon

DesIgneDbyWorKIngsTressMeThoD

s t r e s z c z e n i e

Wartykulepoddanoanaliziezagadnienieznajdowaniastrefyściskanejdlazakotwieńorazdlaprzekrojużelbetowegoprojektowanegowg.nL.sformułowano,opierającsięnawielkościachkinematycznych,metodęprowadzącądorozwiązaniazagadnienia.znalezionoprzypadkiszcze-gólneinatejpodstawiesformułowanoalgorytmznajdowaniastrefyściskanej.zaproponowanosposóbregularyzacjizadaniapozwalającyuniknąćzałamaniaalgorytmu.Podanomiarębłędu,którapozwalaokreślić,nailekońcowerozwiązaniezadaniaspełniazałożenia.Przedyskutowanoteż stabilność algorytmu i tempo zbieżności. Pokazanoprzykłady rozwiązańproponowanymalgorytmem.

Słowa kluczowe: zakotwienia, przekrój żelbetowy, metoda naprężeń liniowych

A b s t r a c t

Inthispaperalgorithmfordeterminigcompressionregionfor twoproblems:anchorageandsectiondesignedbyworkingstressareanalysed.specialcaseswhichmayoccurduringsolutionareexaminedandtheroboustalgorithmisformulated.regularisationtechniqueissuggested.solutionofexampleproblemaregiven.

Keywords: anchorage, concrete cross-section, working stress design

50

1. Wstęp

Metodanaprężeńliniowych(nL)dawniejstosowanabyłapowszechniedookreślaniano­śnościprzekrojówżelbetowych.obecnieczęściowozostaławypartaprzezmetodęnośnościgranicznej(plastyczną),któradajeoszczędniejszeprzekroje.WdalszymciągunLdookreśla-nianośnościstosujesięwprzypadkuobciążeńodużejliczbiecyklibądźobciążeńdynamicz-nych.PonadtometodęnLstosujesiępowszechniedosprawdzaniasgu.

zakotwieniarozumianesątutajjakomocowanieelementustalowego–poprzezsztywnąpłytępodstawy–dopłaskiegoelementubetonowego,zużyciemstalowychłączników.Typo-wojesttomocowaniestalowegosłupadobetonowejpodstawy.

zpunktuwidzeniapraktyki,zarównowprzypadkuzakotwień,jakiprzekrojużelbetowe-goobliczanegowgmetodynL,najbardziejkłopotliwymetapemprojektowaniajestznajdo-waniestrefyściskanejbetonu.

Możnapokazać,żezarównoprojektowaniezakotwień,jakiprojektowanieprzekrojuwgnL,sąodmianamitegosamegozadania[4].różnicasprowadzasiędouwzględnianiabądźpomijaniastaliwstrefieściskanej.fakt,żeobazagadnieniasprowadzająsiędojednegoogól-niejszegozadania,nieułatwiawżadensposóbrozwiązywania.Wogólnymprzypadkuwy-znaczenie strefy ściskanej pozostaje dość trudnym zadaniem, pomimowzględnej prostotyzałożeń.Trudnośćpoleganienaskomplikowanejteorii,alenażmudnychobliczeniach.niewydajesię,abyistniałoproste,ogólnerozwiązanieanalitycznetegozadania.

obecnieużywasiękomputerów,którenawetzłożoneobliczeniawykonująbłyskawicz-nie. jednakkomputer, jakkażdenarzędzie,wnosi swoją specyfikę.Metoda rozwiązywaniatworzonapodkątemwymogówtechnikikomputerowejczęstoznaczącoróżnisięodmetodytworzonejpodkątemobliczeńanalitycznych.

odmiennestosowaniepowoduje,że innecechybywająpożądanewobuprzypadkach.Dlametodanalitycznychcenisięprzedewszystkimłatwośćużyciaiunikanieżmudnychra-chunków.od algorytmu komputerowegowymaga się zwartości i łatwości implementacji.Dlategometodatworzonanapotrzebyalgorytmukomputerowegoczęstokorzystazkoncep-cji,którewydająsięnienaturalnezpunktuwidzeniametodanalitycznych.

opracowując oprogramowanie do projektowania zakotwień [5], niezbędne było znale-zienieskutecznejmetodyznajdowaniastrefyściskanej.sformułowanowięcodpowiednial-gorytm,uzyskującdodatkowoalgorytmdlanL.Algorytmtenwykazujebardzodobrecechynumeryczne,jakzbieżnośćistabilność.

opracowywaniealgorytmuzarównodlazakotwień,jakinL,wniosłonowąjakość,gdyżwprzypadkuzakotwieńniezbędnejestrozwiązanieproblemupojawiającychsięosobliwo-ści, który rzadkowystępujew przypadkunL. jednak, jeśli problem osobliwości zostanierozwiązany,torównieżdlanLuzyskujesięniezawodnyprogram,któryniezałamiesięna-wetwtychrzadkospotykanychprzypadkach.

Poprzetestowaniuwieluwariantów,odoprogramowaniametodyobliczeńanalitycznychaż dometody zorientowanej na obliczenia komputerowewraz z algorytmem,można byłozcałąwyrazistościąuświadomićsobieróżnicemiędzymetodamizorientowanyminaoblicze-niaanalityczne imetodamizorientowanyminaobliczeniakomputerowe.niniejszyartykułwdużymstopniupodsumowujerównieżdoświadczeniawtejkwestii.

51

rys.1.schematpracyprzekrojużelbetowegowedługmetodynL

fig.1.concretecross­sectiondesignedbyworkingstressmethod

2. Sformułowanie zadania i założenia

rozwiązaniezagadnieniabędziesprowadzanedo rozwiązaniaprzekrojusmukłegoprętapryzmatycznego,belkilubsłupa.Wprzypadkuzakotwieńjesttosporeuproszczenie,jednakpraktykapokazuje,żejesttodostateczniedobreprzybliżenierzeczywistości.

rozważaneobciążenieogranicza siędokombinacji czystegozginania i czystego stanuosiowego,awięcprzekrojuprętowegoobciążonegodowolnymukłademsiłpodłużnychimo-mentówzginających.

rozwiązaniestatykibędzieutożsamianezeznalezieniemstrefyściskanej.znająctęstre-fę,możnawyznaczyćzarównonaprężeniawbetonie,jakinaprężenia(siły)wstali.

założono,żeprzemieszczeniaiodkształceniasąnieskończeniemałe.Przyjęto,żeobamateriały,zarównobeton,jakistal,zachowująsięliniowo(dokładniej:

liniowodlaustalonegoznaku).Wramachteoriiprętasmukłegomateriałypracująjednowy-miarowo.WosiowymstanienaprężeniamodułyoungadlabetonujestEb, adlastaliEs.

naprężeniewstaliwynosi:

σs = Esεs (1)naprężeniewbetoniewynosi:

σb = Ebεb (2)

Wzależnościodkontekstu,równania(1)i(2)będąobowiązywałyalbozarównodlaści-skania,jakirozciągania(stalzbrojeniowa),albotylkodlaściskania(beton),albotylkodlarozciągania(kotwy).

ograniczenierównania(1)lub(2)tylkodozakresuściskanialubrozciąganiawprowadzadozadaniasilnąnieliniowość.skutkujetotym,żeprzestajeobowiązywaćsuperpozycja.niemożnawtedyosobnoobliczyćnaprężeńodstanuosiowegoizginania,anastępniedodaćtychwyników,abyuzyskaćkońcowystannaprężenia.

Dlaprecyzjidalszychrozważańprzyjmujesię,żeogólnytermin„wkładkistalowe”bę-dzieobejmowałzarównostalzbrojeniową,jakikotwy.

2.1.założenia

założenia,zarównodlanL,jakizakotwień,możnajednoliciesformułowaćwnastępu-jącysposób:

52

1)przekrojepodlegajązasadziepłaskichprzekrojów(bernoulliego­eulera),2)betonwstrefieściskanejpracujeliniowooraznieprzenosinaprężeńwstrefierozciągania,3)stalpracujeliniowo,alezbrojeniewstrefieściskanejprzenosinaprężenia,akotwywstrefieściskanejnieprzenosząobciążeń,

4)staljesttraktowanajakowkładkimiękkie.Wwypadkuzakotwień,abyzałożenie1nieodbiegałoodrzeczywistegocharakterupracy

konstrukcji,niezbędnajeststalowapłytapodstawy,którajestnieskończeniesztywnanazgina-nie.Toodróżniazakotwieniaodnp.dociskuelementubetonowegodoinnegoelementubetono-wego,dlategoprzyzakotwieniachnajczęściejpodajesiętojakoosobnezałożenie.

Pewnenieporozumieniamożewprowadzaćzałożenie4.będzieonoistotnewdalszejanali-zie,więcwymagapewnegokomentarza.

należyzastrzec,żewprzypadkunLniejesttoograniczeniesamejmetody,araczejzało-żeniezawężającenajczęściejprzyjmowanedlaprzekrojużelbetowego.czasamijestonofor-mułowanejawnie(np.[10]),czasamijednakjestpomijaneibraktegozałożeniaprowadzidobłędnychwzorów(por.wzory7i8w[2]).

założenietomożebyćalternatywniesformułowanejako:naprężeniawstalizbrojenio-wejredukująsiędosiłyskupionejwśrodkuciężkościpręta.oznaczato,żerozkładnaprężeńwpręciestalowymmusibyćstaływobrębiepręta.jesttoniespójnezpozostałymizałożenia-mi,gdzieprzyjmujemyliniowyrozkładodkształceń(4)iproporcjonalnośćnaprężeńwstalidoodkształceń(1).Takwięczestawzałożeńjestwewnętrzniesprzeczny.

jednakjeślirozmiarprętazbrojeniowegojestmały,toodstępstwaodliniowegorozkładunaprężeńsąpomijanie.oznacza to też,żemimośródsiłyskupionejwstosunkudowymia-rówpręta,czyteżwymiarówprzekroju,jestzupełniezaniedbywalny.Wdobrymprzybliżeniuwszystkiezałożeniasąwięcspełnione.

Istotnąkonsekwencjątakiegozałożeniajestbraksztywnościnazginanieprętówzbrojenia.Tacechaodróżniazbrojeniesztywneodmiękkiego.

Dlazakotwieńnieanalizujesiętegoaspektu,jednakponieważkotwysątypowymiprętamistalowymiopodobnejśrednicyjakprętyzbrojenia,więcwydajesię,żenależałobywiden-tycznysposóbtraktowaćtenaspektdlazakotwień.Dlatypowychkotewokrągłychnależałobyzakładaćzakotwieniemiękkie,natomiastwprzypadkuużyciakształtownikastalowegomó-wićozakotwieniusztywnym.

Przytychzałożeniachtypowyschematpracyprzekrojużelbetowegojestpokazanynarys.1,gdziezaznaczonajestczęśćprzekrojuzbetonemściskanym.naprężeniawbetonierosnąliniowo od zera na osi obrotu przekroju dowartościmaksymalnejw górnychwłóknach.częstodlailustracjipokazujesięrysębiegnącąodgranicystrefyściskanejdodolnychwłó-kien,cojestbardzosugestywne,alejestuproszczeniem.równieżzbrojeniejestnarysowaneschematycznie,gdyżzamiastzbrojeniarozłożonegowsposóbciągływzdłużlinii,musząbyćdyskretneprętyzbrojeniowe.

53

rys.2.schematpracyzakotwienia

fig.2.Anchoragetoconcrete

schematpracyzakotwieńjestpokazanynarys.2.Widaćzachodzącepodobieństwa,jakteżpewneróżnice,któresąpomijanenaetapierozwiązywaniastatyki,alezaczynająbyćistotneprzyprojektowaniu.

3. Układ współrzędnych i oznaczenia

Dosyćistotnąkwestiądlaspójnościiprzejrzystościdalszychwyprowadzeńjestużywanyukładwspółrzędnychiprzyjętakonwencjaznakowania.

3.1.układwspółrzędnych

Przyjęto,żeprzekrójbelkilubpłytapodstawy(dlazakotwień)leżywpłaszczyźnieOxy, czyliośbelkilubsłupajestrównoległadoosiz (por.rys.3).

Pozakierunkiemosi prętanie jestwyróżniany tu żadenpunkt ani kierunek.Początekukładuniemusibyćwśrodkuciężkości,aosieukładuniemusząpokrywaćsięgłównymiosiamibezwładnościprzekroju.Wszystkiezależnościpozostająważnewdowolnymukła-dziewspółrzędnych.

obciążeniejestzadawanewzględempoczątkuukładuwspółrzędnych.

3.2.Konwencjeznakowania

Ponieważzadaniebędzierozpatrywanewramachteoriibeleksmukłych,analizaskupiasięwyłącznienanaprężeniunormalnymwprzekroju.Ignorowanesąpozostałeskładoweten-soranaprężenia.Analogicznie traktowanesąodkształcenia. Interesującymiwartościamisą:naprężenienormalneσzz, oznaczanejakoσ, orazanalogiczneodkształcenieεzz,oznaczanejakoε.Indeksamigórnymis lubb będąrozróżnianewraziepotrzebytewielkościodpowiedniodlastaliibetonu.

Przyjęto, żedodatnie jest naprężenie rozciągające.Wkonsekwencji, dodatnia siłan jestrozciągającaidziaławzdłużosiz. Pozostałesiły(poprzeczne)zuwaginakontekstrozważańbędąpomijane.Pomijanyjestrównieżmomentskręcającydziałającywokółosiz.

54

rys.3.układwspółrzędnychikonwencjaznakowaniamomentów

fig.3.coordinatesystemforcross­sectionandpositivebendingmoments

3.2.1.Momentyzginające

bardziej kłopotliwe jest znakowanie momentów zginających i kątów obrotu. Możnakorzystaćziloczynuwektorowegolubwprowadzićinnysposóbznakowania.

Do pokazania konwencji znakowania rozważmy elementarną siłęF będącą wynikiemdziałanianaprężeniaσ nawycinkuΔxnaΔy,położonymwpierwszejćwiartceukładu(por.rys.3).

stosowanieiloczynuwektorowego

M r F= × wprowadzaspójneznakowaniepseudo-wektoramomentów(izwiązanychznimikątówobrotu),jednakichznakisąniezgodnezprzy-wyczajeniamiinżynierskimi.Dodatkowo,wprowadzapozornąasymetrięwrównaniach,gdyżrównaniewzględemx mainneznakiniżrównaniewzględemy. ztegopowoduzostanieużytainnakonwencjaznakowania.oznaczenia(indeksy)momentówbędązwiązanezosią,wokółktórejdziałamoment.MomentMx wywołujeobrótφxwokółosiX,amomentMy,obrótφY wokółosiY. znakimomentówsątakdobrane,żedodatniasiłaF przydodatnimx wywołujedodatnimomentMy = F · x. Analogicznie,przydodatnimy mamydodatniMy = F · y. Dodatniasiławpierwszejćwiartceukładuwspółrzędnychwywołujedodatniemomenty.

znakowanieobrotówmusibyćidentycznejakmomentów.DodatniezwrotyMx i My sąpokazanenarys.3.

3.2.2.Krzywizny

Krzywiznydefiniowanebędąjakopierwszepochodnekątówobrotu:

κφ

κφ

xx

yy

z z=∂∂

=∂∂

(3)

copozwoliuniknąćproblemówzeznakiem,gdyżjestonuwzględnionywznakowaniukątaobrotu.

Konsekwencjąprzyjęciazasadypłaskichprzekrojówbernoulliego­eulerajestrównanieodkształceńdlaprzekrojupręta:

55

ε ε κ κ( , )x y y xx y= + +0 (4)

gdzieε0jestodkształceniemwpoczątkuukładuwspółrzędnych.geometrycznie,poleodkształ­ceńε(x,y) tworzypłaszczyznęnadobszaremprzekroju.

3.2.3.energia

Przyjęta poprzednio konwencja znakowania gwarantuje niezmienniczość iloczynuskalarnegoobliczanegodlawielkościciągłychσ(x,y), ε(x,y) iodpowiadającychimwielkościdyskretnych,wpostaciwielkościprzekrojowych.zachodziwtedytożsamość:

A x x y yx y x y N M Mσ ε ε κ κ∫ ⋅ = + +( , ) ( , ) 0 (5)

W konsekwencji wielkości energetyczne, a więc niezmiennicze, można równoważnieobliczaćnapoziomiepunktubądźnapoziomieprzekroju,korzystającz lewej lubprawejstronyrówności(5).

3.2.4.ośobrotu

równanie(4)wyrażateżpołożenieosiobrotuprzekroju,gdyżdlaznanych(obliczonych)ε0,κx

iκy równanie

ε κ κ0 0+ + =x yy x (6)

opisujezbiórpunktów(owspółrzędnychx,y), gdzieodkształceniejestzerowe.oś obrotu często nazywa się osią obojętną, gdyż dlamateriałów liniowo­sprężystych,

przenoszącychzarównościskanie,jakirozciąganie,jesttopołożeniepunktów,gdzienapręże-niasązerowe.Wprzypadkuopisywanychzagadnieńbraknaprężeńniekonieczniejestkonse-kwencjązerowychodkształceń,więcbardziejadekwatnejestkinematycznepojęcieosiobrotuprzekroju.

4. Sformułowanie kinematyczne

4.1.Wadypodejściastatycznego

Analitycznysposóbrozwiązaniazadaniazakotwień,podanyw[7,8],jestopartynastaty-ce.rozwiązaniedlaprzekrojuprostokątnegosprowadzasiędowielomianutrzeciegostopniaokreślającegowysokośćstrefyściskanej.Dlaprzekrojuinnegoniżprostokątnyanalogicznepostępowanienieprowadzidowielomianu,aledopewnej funkcjinieliniowej,zależnejodwielkościstrefyściskanej.

Dlaznanej(założonej)częściściskanejprzekrojumożnanapisaćrównaniaokreślającesiływewnętrzneiobliczyćjakąśmiaręniespełnieniawarunkówrównowagi.Prowadzitodorówanianieliniowegowyrażającegorównowagęczylizadaniesprowadzanejestdoposzuki-waniamiejscazerowegofunkcjinieliniowej.używając jakiejśmetody iteracyjnej rozwiązy-waniarównanianieliniowego:bisekcji,regula-falsi czy siecznych,możnauzyskaćiteracyjnyschematznajdowaniarównowagi.

56

najszybsza z metod poszukiwania pierwiastka, metoda stycznych, wymaga znajomo-ścipochodnejfunkcji,conaogółniejestłatwedouzyskania,dlategojestrzadkoużywanawtymzagadnieniu.

naturalnymuogólnieniemiteracyjnegopodejścianaprzypadekzginaniawzględemobuosibyłobyposzukiwanierównowagiwdwukierunkach,czyliwyrażającejsięprzezdwiewiel-kości.

Przy realizacji programu do zakotwień [5] ta koncepcja doprowadziła początkowo dowersjiproceduryznajdującejstrefęściskanąwpostacibardzozbliżonejdoopisanejprzezdiLudovico[1].Proceduranapisanawedługtejkoncepcjidziałała,alewtrakcietestówstalepojawiałysięnoweprzypadkiszczególnewymagająceuwzględnienia.Proceduraokazałasięskomplikowana,niezbytwydajnainiedawałagwarancjiniezawodności.Poszukiwanowięcalternatywnegopodejścia,którełatwiejprowadziłobydowyniku.

Artykułżaka [9] dotyczy projektowania przekroju żelbetowego, przy daleko bardziejzłożonychmodelachkonstytutywnychdlabetonuistaliniżdlanL.Wiedzącjuż,żeprojekto­wanie przekroju żelbetowego i zakotwieńw zasadzie sprowadza się do identycznych za-łożeń,zaczerpniętoztegoartykułukoncepcję,abymetodęrozwiązaniaoprzećnapodejściukinematycznym.zasadnicząróżnicąbyłosformułowaniezadaniawzględemniewiadomychε0,κ

x iκy, aniewzględemzestawuniewiadomych,opisującychgeometrięstrefyściskanej.To podejście okazało się być bardziej efektywne. Procedurawykorzystująca podejście

kinematyczneokazałasiębyćnietylkozwarta,przejrzystainiezawodna,alerównieżwykazy-wałazaskakującoszybkązbieżność.jakoefektubocznyuzyskanomożliwośćobliczaniaprze-krojuwgnL.

5. Równania równowagi w podejściu kinematycznym

Dla kinematyki przekroju opisanej przez (4) musimy spełnić równania równowagizuwzględnieniemzwiązkówkonstytutywnych(1)i(2).

PolepowierzchniprzekrojuAskładasięzpolapowierzchnibetonuAb ipolapowierzchnistaliA – Ab. PolebetonuAb jestdzielonemyślowonadwieczęści:Ad polebetonuściska-nego(ε<0)ipozostałączęść(Ab –Ad). stalniejestdzielonanaczęśćściskanąirozciąganą;przezAs oznaczanajestpolepowierzchnistaliprzenoszącejnaprężenia.DlanLjesttoprzekrójwszystkichwkładekstalowych(wtedyAb +AS = A), natomiastdlakotewAs jesttoprzekrójkotewwyciąganych(wtedyAb +AS ≤ A).

Przy tychoznaczeniachmożna rozpisaćszczegółowowarunki równowagiwpoczątkuukładuwspółrzędnych.

5.1.równaniarównowagi5.1.1.sumasił

sumarzutówsiłnaośZ,czyli Z∑ = 0 :

Ab

A s

s

ddA dA Nσ σ∫ ∫+ − = 0 (7)

57

naogółdrugacałkawrównaniu(7)jestzamieniananasumę,przymilczącymzałożeniu,żeσs jeststałewobrębiejednejwkładki,coprowadzido:

Ab

A s

sis

F Ad

is

s

dA F Nσ σ∫ ∫∑+ − =∈

0 (8)

sumowanie przebiega po wszystkich wkładkach przenoszących naprężenia F Ais

s∈ . WprzypadkunLprzebiegapowszystkichprętach, takżeściskanych,adlakotewjedyniewstrefierozciąganej.Wdalszymciągupomijanyjestjawnyzapiszakresusumowania.

Po podstawieniu założenia (1) dotyczącego naprężeń w stali σs oraz założenia (2)dotyczącegonaprężeniaściskającychnapowierzchnibetonuσb, równanie(8)możnaprze-pisaćnastępująco:

A

b si i i

s

dE x y E x y F N∫ ∑+ − =ε ε( , ) ( , ) 0 (9)

Podstawiającrównanieodkształceń(4)doobuczłonówrównania,przyczymdrugiczłonwwersjidyskretnej,z(9)wynika:

A

bx y

sx i y i i

s

dE y x E y x F N∫ ∑+ + + + + − =( ) ( )ε κ κ ε κ κ0 0 0 (10)

Pootwarciunawiasów(przyzałożeniujednorodnościzarównostali,jakibetonu)iużyciutypowychoznaczeń:

A d A x

bA y

b

d d dA y S x S1= = =∫ ∫ ∫

F A F y S F x Sis

s is

i xs

is

i ys∑ ∑ ∑= = =

anastępniepouporządkowaniuwzględemε0,κx i κy równanieprzybierapostać:

( ) ( ) ( )E A E A E S E S E S E S Nbd

s s bxb s

xs

xb

yb s

ys

y+ + + + + − =ε κ κ0 0 (11)

5.1.2.sumamomentówwzględemosiX

DrugimrównaniemjestsumamomentówwzględemosiX,czyli MOx∑ = 0

Ab s s

i xd

y F y Mσ σ∫ ∑+ − = 0 (12)

Popodstawieniudorównania(12)równaniawynikającegozzałożenia(1)dotyczącegonaprężeńwstaliσs orazzałożenia(2)dotyczącegonaprężeńściskającychnapowierzchnibe-tonuσb, uwzględnieniutypowychoznaczeńdlamomentubezwładnościimomentudewiacji

A x

bA xy

b

d dy J xy D2 = =∫ ∫

58

F y J F x y Dis

i xs

is

i i xys∑ ∑= =2

orazuporządkowaniu,otrzymujesię:

( ) ( ) ( )E S E S E J E J E D E D Mbxb s

xs b

xb s

xs

xb

xyb s

xys

y x+ + + + + − =ε κ κ0 0 (13)

Wartowtymmiejscupodkreślić,żezamianacałkinasumęw(7)ianalogiczniewnastęp­nych,szczególniew(12),odbywasięprzyzałożeniu,żenaprężeniewstali jeststałe.Dlamałychpowierzchni Fi

s odstępstworozkładunaprężeniaodstałegojestniewielkie.Dokład­niejszaanalizapokazuje,żejeśliwkładkistalowemająprzekrójbisymetryczny(np.kołowy),towartości A S S i Ds x

sys

xys, , iobliczanejakosumysądalejpoprawne,czylidladowolnego

liniowegorozkładunaprężeńwewkładkachwyrażeniazwiązaneztymiczłonamibędądo-kładne.

rozbieżność pojawia się dopiero przy momentach bezwładności. Poprawny wynikwymagałby uwzględnienia w J x

s i J ys momentu bezwładności każdej wkładki stalowej

względemjejśrodkaciężkości.Tradycyjniepomijasięteczłonyjakozaniedbywalnewobeccałejsumy.jednocześnie,jeśliteczłonyniebyłybyzaniedbywalne,czylirozmiarywkładkistalowejbyłynatyleduże,żeliniowyrozkładnaprężeńbyłbyistotnieróżnyodstałego,towkładkatakamiałabymożliwośćprzenoszeniamomentu.5.1.3.sumamomentówwzględemosiY

sumamomentówwzględemosiY: MOy∑ = 0 :

A

b s si y

dx F x Mσ σ∫ ∑+ − = 0 (14)

rozważając równanie sumymomentówwzględemosiY (14) i dokonując podobnychprzekształceń,możnauzyskaćanalogicznywynik.Prościejjednak,korzystajączpostulowa-nejprzywyborzeukładuwspółrzędnychsymetrii,uzyskaćodpowiednierównanie,zamienia-jącw(13)indeksyx nay.

( ) ( ) ( )E S E S E D E D E J E J Mbyb s

ys b

xyb s

xys

xb

yb s

ys

y y+ + + + + − =ε κ κ0 0 (15)

5.1.4układrównań

zestawiającrównania(11),(13)oraz(15)wpostacimacierzowej

E A E A E S E S E S E S

E S E S E J E J E D

bd

ss

bxb s

xs b

yb s

ys

bxb s

xs b

xb s

xs b

xy

+ + +

+ + bb sxys

bxb s

xs b

xyb s

xys b

yb s

ys

E D

E S E S E D E D E J E S

+

+ + +

ε0κκκ

x

y

x

y

NMM

=

(16)

lubwkrótkiejnotacji: KQ = F (17)

59

układ równań (16) jest identycznyzukładem,któryotrzymuje siędlaprzekrojuprętasmukłegowteoriiwytrzymałości.jedyna,aleistotnaróżnicatkwiwdefinicjicharakterystykgeometrycznychwystępującychwtymukładzie.Wprzypadkumateriałuprzenoszącegoza-równościskanie,jakirozciąganie,charakterystykigeometryczneliczonesądlacałegoprze-kroju.Wrównaniu(16)liczonesątylkodlaściskanej(dlabetonu)bądźrozciąganej(dlako-tew)częściprzekroju.stąddlamateriałuprzenoszącegozarównościskanie,jakirozciąganie,charakterystykisąniezależneodpołożeniaosiobrotu,natomiastdlamateriałówprzenoszącychtylkonaprężeniajednegoznakuwyrazymacierzyK sązależneodpołożeniaosiobrotu.

z tejwłaściwościwynikanieco innastrategia rozwiązywania.Klasycznie takie równa-nia są rozprzęganeprzywykorzystaniuosigłównych,centralnych.osiecentralnepowodująwyzerowaniewszystkichmomentów statycznych, awięc rozprzęgnięcie pierwszego, i na-stępnych.następnieobrótukładudoosicentralnychpowodujezerowaniemomentudewiacji,awięcrozprzężenieostatnichdwurównań.

KiedywyrazymacierzyK sąniezależneodobciążenia(położeniaosiobrotu),jesttobar-dzoefektywnysposóbpostępowania.jednorazowaoperacjaposzukiwaniaosigłównych,cen-tralnychdajeniezależnerównania,któremożnarozwiązywaćdladowolnegoukładuobciąże-nia,szczególniezuwzględnieniemobowiązującejwtedysuperpozycji.

KiedywyrazymacierzyK są zależneodpołożeniaosiobrotu, a superpozycjanieobo-wiązuje,rozprzęganieukładurównańdlakażdegonowegopołożeniaosiobrotuprzestajebyćefektywnymsposobemrozwiązywaniaukładurównań(16).

5.1.5.Dodatniaokreśloność

Macierzukładu(17)jestsymetryczna.jestteżdodatniopółokreślona.Dodatniapółokreślo­nośćmacierzyK wynikazfaktu,żewyrażenie:

12

0Q KQT ≥

przedstawiaenergięsprężystąukładu,por.(5).Macierz układu jest tylko dodatnio półokreślona, gdyż mogą pojawić się przypadki

szczególne,kiedymożebyćosobliwa.PrzypadkiosobliwościmacierzyK sązwiązanezkon-kretnymiukładamigeometrii.jesttoanalogiadometodyprzemieszczeń(lubMes),gdzieosobliwośćmacierzysztywnościmożesiępojawićjakoskutekchwiejnościukładu.

6. Metoda rozwiązywania

6.1.równaniarównowagi

równanie(17)możebyćinterpretowanejakonieliniowerównanierównowagi:

W(Q)=F (18)

gdzieW(Q) tosiływewnętrznewywołanestanemdeformacjiQnatomiastF toprzyłożo-neobciążeniezewnętrzne.PoszukujesiętakiegoQ,abywywołanetądeformacjąsiływe-wnętrzneW(Q),byłyrównezadanemuobciążeniuzewnętrznemuF.

60

równanie równowagi (18) określa jaki warunek ma spełniać rozwiązanie, jednak niemówi.jaktorozwiązanieznaleźć.Abypraktyczniewykorzystaćrównanierównowagi,należyrozpatrzyćprzejściemiędzydwomastanamirównowagi.

Pierwszy,znanystanrównowagi,opisanyjestprzezstandeformacjiQ0iobciążenieF0,taki żeKQ0 = F0.Drugi,poszukiwany,gdziezadana jestnowawartośćobciążeniaF lubrównoważnieprzyrostobciążenia∆F = F–F0orazposzukiwanyjestnowystandeformacjiQlubrównoważnie,przyrostdeformacji∆Q = Q–Q0.

rozwijając funkcję sił wewnętrznychW(Q)w szeregTaylora,w otoczeniu położeniarównowagiQ0,otrzymujemy:

W Q Q W WQ

Q Q WQ

QQ Q( ) ( ) ...0 0

2

20 0

12

+ = + ∂∂

+ ∂∂

+∆ ∆ ∆ ∆T (19)

oznaczającpierwsząpochodnąsiłwewnętrznychwzględemprzemieszczeńprzekrojowych,czylitzw.macierzstyczną,przezKT:

∂∂

=WQ

K QQ0 0T ( ) (20)

wtedy,pomijającczłonywyższegorzęduniżpierwszywrozwinięcie(19),możnazapisaćjako

W(Q0 + ∆Q)=W0 + KT(Q0)∆Q+...

Wkonsekwencjiprzyrostsiłwewnętrznychbędziesięwyrażałjako:

∆W(∆Q)=KT(Q0)∆Q + O(∆Q)

gdzieczłonywyższegorzęduoznaczonojakoO(∆Q).jesttotypowesformułowanieprzyrosto­we,powszechnieużywanenp.wnieliniowejanalizieMes.

Przyrostsiłwewnętrznych∆Wmusibyćrównyprzyrostowiobciążenia∆F,więc:

∆F = KT(Q0)∆Q + O(∆Q) (21)

jeżelipominiesięczłonO(∆Q)idlazadanego∆FiznanegoKT(Q0)rozwiążerównanie:

∆ ∆F K Q Q= T ( )0 (22)

tootrzymujesię ∆ Q jakoprzybliżenie∆Q.PominięteczłonyO(∆Q)sązależneodwyż-szychpotęg∆Q,więcimmniejszyjestprzyrost∆Q,tymmniejszybłądpowodujeichpominię-cieitymbliżejjestrozwiązaniadokładnego.

Dlarozpatrywanegotutajzagadnieniazachodzibardzoistotnawłaściwość:macierzstycz-naKTjesttożsamościoworównamacierzyKzrównaniarównowagi(17)

KT = K (23)

61

uzasadnienietejwłaściwościzostaniepodaneniecopóźniej(wpkt.6.2),obecniesku-pimyuwagęnauproszczeniusformułowania(21),którewnosirównanie(23).rozwinięciewszereg(19)możnarównoważniezapisaćjako:

F = W(Q0 + ∆Q)=K(Q0)Q0 + KT(Q0)∆Q+... (24)

uwzględniając(23)orazwyłączającK,dostajemy:

F = K(Q0)(Q0 + ∆Q)+... (25)czyli

F = K(Q0)(Q)+O(∆Q) (26)

Wtensposóbotrzymujesięrównoważnedo(21)sformułowaniewwielkościachcałkowi-tych,aniewprzyrostach.

rzecząwartąpodkreśleniajestfakt,żebłądwynikającyzpominięciaczłonówwyższegorzędujestzależnyod∆QanieodQ,gdyżjesttojedynieinaczejzapisanerównanieprzyrosto-we(21).zachowanazostajewięcwłaściwość,żebłądbardzoszybkomalejewrazzezmniej-szaniemsię∆Q,czyliwrazzezbliżaniemsiędopołożeniarównowagi.

6.2.Macierzstyczna

Wynikwpostaci równania (26) został uzyskany przy założeniu, żemacierz sztywności,określająca równowagę, jest jednocześniemacierzą styczną, czyli jest równa pochodnej siłwewnętrznychwzględemzmiennychstanudeformacji.

Wykazanie tegow formie ścisłego dowodu jest dosyć trudne i obfitujew subtelnościnaturymatematycznej.Wartopodaćprosteuzasadnienie takiejwłaściwości,używającargu-mentacjiwynikającejzmechaniki.Pozwalatolepiejzrozumiećpracętakiegoukładu.

Pierwszapochodnaw(19)jesttoliniowaczęśćzmianysiłwewnętrznychWwynikającazmałejzmianyQ.zmianęQmożnamyśloworozłożyćnaczęśćwynikającązproporcjo-nalnejzmianyskładowychQ(zmianaskali)orazzezmianyproporcjimiędzysamymiskłado-wymiQ.

6.2.1.skalowalność

efektzmianyskaliodkształceńwkażdympunkcie,bezprzemieszczaniaosiobrotu,por.(4)jestliniowy:

W Q K Q KQ W Q( ) ( )λ λ λ λ= ⋅ = = (27)

czyliλ­krotniewiększeskładoweQwywołujeλ­krotniewiększeodkształceniewkażdympunkcie(por.równ.(4)).Tozkoleipowodujeλ­krotniewiększesiływewnętrzne,zuwaginabudowęzwiązkówkonstytutywnych(1)i(2),którenietylkosąliniowedlaustalonegoznaku,alerównieżjednorodne(bezczłonustałego).Tawłasnośćbędzienazywanaskalowal-nościąsiłwewnętrznych.

Taki efekt nie będzie zachodził ani dla nieliniowych związków konstytutywnych, aninawetdlaodcinkowo­liniowych.

62

zeskalowalnościsiłwewnętrznych,czyli równania(27),bezpośredniowynika,żedlaproporcjonalnejzmianyQmacierzKjestmacierząstycznągdyż

K W QQ

K Q QQ

K QQ

Q KT = ∂∂

= ∂ ⋅∂

= ∂∂

⋅ + ⋅( ) ( ( ) ) ( ) 1 (28)

jeśli położenie osi obrotu się nie zmienia, to charakterystyki geometryczne obszaruściskanegoteżpozostająniezmienione.TozkoleiimplikujeniezmiennośćmacierzyK,czyliczłon ∂ ∂K Q/ jestzerowyiwtedyzachodziKT = K.

Wprzypadkuzmianyproporcji składowychwQ, czyliprzesunięciaosiobrotu, człon∂ ∂K Q/ dajeorzędyniższewartościzmianywmacierzyukładu.Możnatouzasadnićwtensposób,żejeśliwpewnymmomenciecałyprzekrójjestściskanyidanesącharakterystykite-gożprzekroju,togdybypoliczyćcharakterystykiprzekrojubezmałegofragmentu(ośobrotuprzesunęłasięzzewnętrzprzekrojudowewnątrziodcinaniewielkifragmentprzekroju),tozmianawartościcharakterystykbyłabyznikoma.ztegowynika,żemacierzKjestprzynaj-mniejbardzodobrymprzybliżeniemmacierzystycznej.

Abypokazać, żenie jest to tylkoprzybliżenie, ale równieżw tymwypadkuzachodzipostulowanarówność(20),należyodwołaćsiędoformalnegowyprowadzenia.

6.2.2.zmianaproporcji

efekt zmiany proporcji najłatwiej prześledzić, obliczając wyraz K11, czyli∂ ∂ = ∂ ∂W Q N1 1 0/ / ,ε gdyżsamazmianaodkształceńwpoczątkuukładu,przyzachowanychkrzywiznach, jestnieproporcjonalna,a łatwopoddajesię interpretacjimechanicznej.Takazmianaopisujeprzesunięcieosiobrotubezzmianynachyleniapłaszczyznyodkształceń.

MacierzstycznanaprzykładziepierwszegowyrazumacierzyK:

∂∂

= ∂∂

= ∂∂

∂∂

= ∂∂

⋅∫ ∫ ∫N x y dA x y x y dA dA

A A Aεσε

σε

εε

σε0 0 01( , ) ( , ) ( , )

(29)

gdzie skorzystanoz różniczkowania funkcji złożonej anastępniez równaniapłaszczyzny

odkształceń(4),abywyliczyć∂∂εε0.

rozdzielonocałkęnawobszarzecałegoprzekroju.4natrzyczęści:rozciąganybetonAb –Ad, ściskanybetonorazstalAs. całkawpierwszymobszarzeznika,gdyżpochodnafunkcjizerowejjestteżfunkcjązerową.Pozostałedwieczęścimożnazapisaćjako:

∂∂

= ∂∂

+ ∂∂

⋅∫ ∑N dA FAd

is

iεσε

σε0

(30)

Dlabetonu,zrównania(2)wynika ∂∂

=σε

Eb , adlastalizrównania(1)wynika∂∂

=σε

E s , więc:

∂∂

= ⋅ + = +∫ ∑N E dA E F E A E AbAd

sis b

ds

siε0

1 (31)

gdzienatychmiastmożnarozpoznaćwyrazK11 zrównania(16).

63

Wwyprowadzeniurównania(29)dokonanopewnychuproszczeń,gdyżfunkcja ∂ ∂σ ε/ dlabetonunie jest różniczkowaniawzerze,aponadtoobszarcałkowaniaAd sięzmienia.jednakdokładniejszaanalizategowyrażeniaprowadzidotakichsamychwyników.

6.3.ciągprzybliżeń

Korzystajączewzoru(22)opisującegoprzybliżenierozwiązania,bardzołatwoskonstru-owaćmetodęiteracyjnąznajdującąrozwiązaniedokładne.

Tworzonyjestnastępującyciągprzybliżeń:dlaznanegopoczątkowegostanuodkształ-ceniaQ0–iwynikającegozniegopoczątkowegopołożeniaosiobrotu–obliczanesąodpo-wiedniecharakterystykigeometryczneściskanejczęściprzekrojuiwynikającąznichma-cierzK(Q0).

następnierozwiązywanyjestukładrównań:

K(Q0)Q1= F

znającQ1,możnaotrzymaćzrówania(6)nowepołożenieosiobrotu.Dlanowegostanudeformacji(oraznowejosiobrotu)możnaobliczyćK(Q1),anastępnierozwiązać

K(Q1)Q2 = F

Powtarzająctencykl,rozwiązującciągrównańliniowych:

K(Qn–1)Qn = F (32)

obliczasięciągprzybliżeńrozwiązania:

Q1,Q2,...,Qn → Q

jeśliciągtenjestzbieżny,towgranicydostajemyrówność:K(Q)Q = F.Wzór(32)jestwzoremtzw.iteracjiprostej,ajednocześnie–ponieważmacierzKjest

macierząstyczną–dostajesięmetodęnewtona­raphsona(stycznych).jakoefektubocznysformułowaniakinematycznegootrzymujesięjednąznajszybszychmetoditeracyjnych.

Wzór(32)upraszcza implementacjęwporównaniuzesformułowaniemprzyrostowym(21).Dajetomożliwośćnapisaniaprzejrzystegoieleganckiegokoduprogramu.

ogólnieznanąwadąmetodynrjestto,żeniedajegwarancjizbieżności.jestzbieżna,jeśli przybliżenie początkowe jest dostateczneblisko rozwiązania.Wnieliniowej analizieMesjesttopowszechnieznanezjawisko,gdyżtrzebadobieraćdługośćkrokuprzyrostowe-go.zkoleiwinnychzagadnieniach,jakwzóriteracyjnynapierwiastekkwadratowy,metodanrjestzbieżnaniezależnieodpoczątkowejwartościprzybliżenia.

Wrozpatrywanymzagadnieniuniewiadomo,czyciągiteracjibędziezbieżnyniezależnieodpoczątkowegoprzybliżenia.Wtrakcieprzeprowadzonychtestównienatrafiononaprzy-padek,kiedyciągiteracyjnybyłbyrozbieżny.jednakniemadowodu,żetakieprzypadkinieistnieją.równieżniewiadomo,czynieistniejemożliwośćpowstaniapętli.

64

7. Algorytm

Metodajesttutajrozumianajakociągoperacji,któreinżyniermusiwykonać,abyuzyskaćwynik.jesttowięcrozumieniabliskie(czytożsame)zpojęciemmetodyanalitycznej.Dlaodróżnieniaalgorytmjesttutajrozumianyjakociągoperacji,któremawykonaćprogram.

Pozornie prosta, ale fundamentalna różnica sprowadza się do analizy przypadkówszczególnych.Dokładniejdoczasu,kiedysięjeuwzględnia.człowiekuwzględniaprzypadkiszczególneiinneodstępstwaodogólnegoschematu,kiedysięnanienatkniewtrakcierozwią-zywania.Wtedy sprawdza, z jakimprzypadkiem szczególnymmado czynienia, i cofa sięwobliczeniach,abydostosowaćtokpostępowaniadotejsytuacji.

Komputermusimiećzgóryzaprogramowanąobsługęwszelkichsytuacji,którewymaga­jąnajdrobniejszejchoćbymodyfikacjiogólnegosposobupostępowania.Analizawszelkichalternatywnych sposobówpostępowaniamusi być przeprowadzona przed napisaniempro-gramu.Dopieropouwzględnieniuwszystkichmożliwychwariantów,któremogązaistniećwtrakcierozwiązywania,zmetodyrozwiązywaniamożnauzyskaćalgorytm.

należytuodróżnićprzypadkiszczególneodweryfikacjipoprawnościdanych.sprawdza-nie danych jest tu całkowiciepomijane,gdyżzakres sprawdzeńbardzozależyodkontekstuużyciaalgorytmu.Przykładowo,jeśliużytkownikniewprowadzabezpośredniowartościmo-dułuyoungadlabetonu,tylkowybieraklasębetonuzzadanejlisty,toniemapotrzeby,abyproceduraznajdującastrefęściskanąweryfikowałatęwartość.zakładasięwięc,żedanesąpoprawne.należyokreślićkiedy–dlapoprawnychdanych–ciągoperacjiokreślonychprzezmetodęrozwiązywaniamożewymagaćinnegoschematupostępowania.

Wprzypadkuopisywanejmetodynależywziąćpoduwagętrzypotencjalneźródłaproble­mów,któretrzebauwzględnićwalgorytmie:pewneoperacjezwiązanegeometrią,przypadkiosobliwościmacierzysztywnościorazniektóreproblemyimplementacyjne.

7.1.geometria

Problemygeometrycznewynikajągłówniezrelacjimiędzypłaszczyznąodkształceńaosiąobrotu.zostanąopisanewpunkcie7.1.1ipunkcie7.1.2.

Kłopotliwyjestteżalgorytmobliczaniacharakterystykczęściściskanejprzekroju,któryjestistotnączęściąalgorytmurozwiązywaniastatyki.Ponieważjednakrozwiązywaniestaty-kinieodwołujesięwsposóbjawnyanidosposobuwyznaczaniaczęściściskanejprzekroju,aninawetdopołożeniaosiobrotuczyteżsposobujejreprezentacji,więcobliczeniacharakte-rystykmożna(anawetnależy)realizowaćjakoosobnyalgorytm.

samozagadnieniewyznaczaniacharakterystykczęściściskanejjestnatylenietrywial-ne,ajednocześniekrytycznieważnedlapoprawnościiniezawodnościrozwiązaniacałegozadania,żewymagaosobnegopotraktowania.Tutajjedyniezostanązasygnalizowanepewneproblemyogólneorazwpunkcie7.1.2pewne trudnościmogące siępojawićna stykuobualgorytmów.

Wyznaczaniecharakterystykczęściściskanejprzekrojulogicznieskładasięzdwuetapów:wyznaczenieczęściściskanejorazobliczeniedlaniejcharakterystyk.

znajdowanie części ściskanej można potraktować jako zadanie czysto geometryczne.Danyjestobszar(przekrój)opisanyprzezjegobrzeg(zreguływielobok)orazzadanajestprosta(ośobrotu),któradzieliobszarnadwieczęści.należywyznaczyćobszarściskany,czyliznaleźćwielobokopisującybrzegczęściściskanej.

65

Wbrewpozoromjesttozadaniedośćskomplikowane,znaneztzw.geometriiobliczenio-wej.Dlaprzekroju,któryniejestwypukły,częśćściskanamożeskładaćsiękilkurozłącznychpodobszarów(por.przykładz9.2).

należytuzasygnalizować,żezagadnieniewwersjigeometrycznejsprowadzasiędozagad­nieniapołożeniapunktuwzględemprostej.Wydajesię,żewtymprzypadkuwyznaczanieczę-ści ściskanej przekrojumożebyćosiągnięte zapomocą znacznieprostszychmetod, jednakanalizaiopistegozagadnieniawykraczaznaczniepozaramytegoartykułu.

7.1.1.zeroweobciążenie

jeśliobciążeniejestzerowe,układrównań(16)majednoznaczne(zerowe)rozwiązanie,aledeformacjajestrównieżzerowa,więcpołożenieosiobrotuwynikającez(6)jestnieokre-ślone.niemożnawtedywyznaczyć,któraczęśćprzekrojujestściskana,aktórarozciągana,iobliczyćcharakterystykgeometrycznychczęściściskanej.

Koniecznejestsprawdzenie,czyobciążeniejestniezerowe.Wydajesię,żewystarczającyjestnajprostszytesttypu: FTF > ρ1

gdzieρ1 jestmałąliczbąrzęduzeramaszynowego.gdywarunekjestniespełniony,tosposóbpotraktowaniategoprzypadkuzależyodkon-

tekstuużyciaalgorytmu,gdyżmożnaobliczyćnaprężenia,aleniemożnanarysowaćstrefyściskanej.

7.1.2.siławrdzeniuprzekroju

niecopodobneproblemy,wynikającezodwzorowaniapłaszczyznyodkształceńnaośob-rotu(6)pojawiająsięprzysilewrdzeniuprzekroju.jeśliobciążeniezmierzadoczystegościskanialubrozciągania,toośobrotuzmierzadonieskończoności.formalnietenproblemniedotyczysamejmetodyrozwiązywania,jednakmożepowodowaćbłędywprocedurzewy-znaczającejcharakterystykigeometryczne.Taniezawszejestprzystosowanadooperowanianazbytdużychwartościachwspółrzędnych.Wyznaczaniepunktuprzecięciabokuprzekrojunietylkozprostąleżącąw„nieskończoności”,alerównieżzprostąbardzoodległąodprzekro-jumożepowodowaćbłędywynikającezeskończonejdokładnościarytmetykiprocesora.

niejesttocechasamegoalgorytmurozwiązywania;raczejsposobuwyznaczaniacharakte­rystykgeometrycznych,należyjednakdostosowaćtenelementalgorytmudosposobuoblicza-niacharakterystyk.

sątrzymożliwości:możnanieużywaćjawniepołożeniaosiobrotu–jeślimamydostoso-wanądotegoproceduręobliczaniacharakterystykgeometrycznych,możnaprzełączaćwal-gorytmiegałąźnasiłęwrdzeniu(botemuodpowiadaośobrotupozaprzekrojem)albopostwierdzeniu,żeośobrotujestdaleko,używać–tylkodoobliczaniacharakterystyk–zamiastrzeczywistejosi,dowolnejosifikcyjnej, która leżywumiarkowanejodległości, alena ze-wnątrzprzekroju.

7.2.osobliwośćmacierzy

Ponieważzadaniesprowadzonodociągurównańliniowych(32),kluczowymproblememjestzagwarantowanie,żemacierzukładuKjestnieosobliwa.

66

Możliwość pojawienia się osobliwości związanej z macierzą układu, przy obliczaniuprzekrojużelbetowego,zostaładostrzeżonaprzezPisaniego[6],aleautorraczejstawiapyta-nie,niżpróbujeznaleźćodpowiedź.

Istotnejestwięcpoznanieianalizamożliwychźródełosobliwości,kiedyjesttoźlepostawio­nezadanie,którenieposiadarozwiązania,akiedywynikjakiegośszczególnegozachowaniasiękonstrukcji.

Analizamożliwościpojawieniasięosobliwejmacierzyukładuwydajesiębyćdosyćtrud-nym zadaniem, jednak wykorzystanie interpretacji mechanicznej wyrazów tej macierzyznacznietęanalizęupraszcza.

należyzacząćodspostrzeżenia,żewukładzieosigłównych,centralnych(dlaprzekrojuzłożonego stalowo­betonowego)macierzK będziemiała postać diagonalną.Możnawięczawszeznaleźćukładwspółrzędnych,którydiagonalizujemacierzK.Wtakimukładzieoso-bliwośćmanifestujesięzerowąwartością(lubwartościami)nadiagonali.

odwrotnie,jeśliwszystkiewyrazydiagonalnesąróżneodzerawukładzieosigłównych,centralnych,tomacierzbędzienieosobliwawkażdymukładziewspółrzędnych.

ztegorozumowaniawynika,żewystarczyprzeanalizowaćmożliwośćpojawieniasięwy-razuzerowegonadiagonalidlaukładugłównego,centralnego,abyzidentyfikowaćwszystkiemożliweprzypadkiosobliwościmacierzyK.

7.2.1.strefaściskana

jeśliistniejestrefaściskanabetonu,tomacierzukładu(16)jestściśledodatniookreślo-na­czylirównieżnieosobliwa.Wynikatozwłaściwościcharakterystykdowolnegoobszarupłaskiego.Precyzyjniej,zachodzitowtedy,kiedypowierzchniastrefyściskanejjestniezero-wa.Kiedyobszarściskanydegenerujesiędoliniilubpunktu,toniemagwarancjinieosobliwo-ści.Tenprzypadekszczególnyzostanierozważonywpunkcie7.2.2.

Pozostajądorozważeniaprzypadki,kiedyAd=0awtedyukład(16)przyjmujepostać:

E A E S E SE S E J E DE S E D E J

ss

sxs s

ys

sxs s

xs s

xys

sys s

xys s

ys

ε0κκκ

x

y

x

y

NMM

=

(33)

czyliwmacierzyukładupozostająjedynieczłonyzależneodstali.cechymacierzytegoukładu(33)zależą wyłącznieodrozmieszczeniawkładekstalowych.osobliwośćukładu(33)rzad-kodotyczyzadanianL,gdyżstosowanewpraktycezasadyrozmieszczeniaprętówzbroje-niowychnaogółniedopuszczajądopowstaniaukładuosobliwego.Wprzypadkuzakotwieńprzepisy eoTA bardzo ograniczająmożliwe sposoby rozmieszczania wkładek stalowychi dopuszczają – awręcz narzucają – układy, które łatwomogąwygenerować osobliwośćwukładzie(33).Wszczególnościdopuszczająukładyzjednąkotwąiukładyzjednymrzę-demkotew.

skupić sięnależyna znalezieniu takichukładówgeometrycznych,któredająosobliwąmacierzwrównaniach(33).

W dalszej analizie bardzo pomocne będzie spostrzeżenie, że w rzeczywistości wyrazymacierzyukładu(33)sąważonąsumą(wagiEsFi

s) wartościamicharakterystykgeometrycz-nychdlaukładupunktówutworzonegoprzezwkładkistalowe.

67

7.2.2.równaniestanuosiowego

Pierwszerównanieukładu(16)lub(33)opisujestanosiowy,ajegowyrazdiagonalnyjestzależnyodpowierzchni.Powierzchnia jestniezmiennikiem,więcwkontekścieosobliwościmożnapominąćpozostałeczłonyrównania,gdyżistniejeukład,wktórymmomentystatycznesięzerują,apowierzchniapozostajeniezmieniona.

Pierwszywspółczynnikwrównaniu(33)zależyodpowierzchniAs. WprzypadkunLwar­tośćzerowaoznaczałabybrakzbrojenia,cooznaczabłądwdanych.Wprzypadkuzakotwieńtopowierzchniakotewwyciąganych,przezcorozumowaniestajeniecobardziejzłożone.jeśliwstrefierozciąganejznajdująsiękotwy,toAs ≠0.jeśliwszystkiekotwyznajdująsięwstrefieściskanej,toAs = 0,alewtedyistniejestrefaściskana,czyliAd ≠0,awięcK11 wogólnymrównaniu(16)będzieniezerowe.

Pozostajejeszczeprzypadekgraniczny,kiedyobszarściskanydegenerujesiędoliniilubpunktu.WtedyAd = 0ajeśliwszystkiekotwysąnaliniiczywpunkcie,doktórychdegene-rujesięstrefaściskana,torównieżmożliwejest As =0.

jednak przypadek zdegenerowanej strefy ściskanej oznacza, że linia lub punkt, gdziewystępujeściskanie,musząbyćnabrzeguprzekroju.zerowanieK11 byłobymożliwetylkowtedy,gdybykotwymogłyznajdowaćsięnabrzegupodstawybetonowej.PrzepisyeTAg[3]niezezwalająnaumieszczaniekotewbliżejniżcmin odkrawędzi.

PojawieniesięzerowejwartościK11 należytraktowaćjakobłądwdanychbądźbłądwalgo­rytmieobliczaniacharakterystyk.

7.2.3.równaniastanugiętnego

stanzginaniajestopisanyprzezdrugieitrzecierównaniew(16).zakładającznowucentral­nyukładwspółrzędnych,pozostajedoanalizypodukładowymiarze2×2,któregomacierzjestblokiemmacierzyK.

bloktenniejesttensorem,gdyżmaniewłaściweznaki.Wynikatozprzyjętejkonwencjiznakowaniakątówobrotu(awięcikrzywizn)orazmomentów.gdybyprzyjąćkonwencjęzgodnąziloczynemwektorowym(wtedyκy i My zmieniająznaknaprzeciwny),toblokprzed-stawiałbywprosttensorbezwładności.ztegojednakwynika,żebloktenmożna,takjakten-sor,doprowadzićdopostacidiagonalnej.

Ponieważ jest on związany z tensorembezwładności układu punktów,więc zagadnieniesprowadzasiędokwestii:kiedyukładpunktówmożedaćzerowemomentybezwładności?Przytakiejinterpretacjiodpowiedźjestznana:albopunktyleżąwzdłużprostejiwtedymomentbezwładnościwzględemtejprostejjestzerowy,albojestdokładniejedenpunkt(kotew,prętzbrojenia) iw układzie, którego początek będziew tym punkcie,momenty bezwładnościwzględemobuosibędązerowe.

7.3.układypunktówgenerująceosobliwość

W przypadku punktów (kotew, zbrojenia) leżących wzdłuż prostej – przyjmijmy, żewzdłużosiy–układrównań(33)przyjmujepostać:

E A

E J

NMM

ss

sys

x

y

x

y

0 00 0 00 0

0

=

εκκ

(34)

68

Wszystkiewspółczynnikidrugiegorówania(34)sięzerują,więcrównaniealbojestspełnio-netożsamościowo,gdyMx = 0,albojestsprzeczne,gdyMx ≠0.

Przypadekzerowaniasiędrugiegowierszazpunktuwidzeniamechanikioznaczałby,żesiływewkładkachułożonychwzdłużosiyniemogąwywołać(zrównoważyć)momentuMx. nawetjeśliMx = 0,topomimożerównaniejestspełnionetożsamościowo,układjestosobliwyiniedasięgorozwiązać.jeśliMx ≠0,towstanierównowagiprowadzitodosprzeczności.jednakniemożnawykluczyć,żetakistanpojawisięjakoprzejściowywtrakcieiteracji,kie-dyrównowagajeszczeniezostałaosiągnięta;kiedysiływewnętrzneiobciążeniezewnętrzneniesąjeszczezgodne.należytupodkreślićznaczenietegofaktu:dlastanukońcowegoma-cierzKmożebyćnieosobliwa,alewtrakcieprocesuiteracyjnegomożepojawićsięosobli-wość.Takistanprzejściowyuniemożliwiarozwiązanieukładurównań.oznaczatozałamaniealgorytmu.

Analogicznyproblempojawiasięwprzypadkupojedynczegopunktuwcentrumukładuwspółrzędnych,alewtedyobamomentybezwładnościw(34)sązeroweiobarównaniaopisu­jącestangiętnyalbosąspełnionetożsamościowo,albosprzeczne.bezwzględunainterpretacjępowodujetozałamaniealgorytmu.

7.3.1.regularyzacja

Pokazano,żeosobliwośćwynikazniemożnościprzeniesieniaprzezwkładkistalowemo­mentów.jesttoskutekzałożeń,gdzietkwizerowasztywnośćgiętnawkładek.

Takiezałożenienieodpowiadarzeczywistości.Wkładkistalowemająmałąwłasnąsztyw-nośćgiętnąwporównaniuzesztywnościącałegoprzekroju,aleniejesttowartośćzerowa.jeśliniepominiesięwłasnejsztywnościgiętnejstali,czylimomentówbezwładnościprętówwzględemśrodkaciężkościpręta,tokonstrukcjaprzestajebyćchwiejna,nawetukładzjednąwkładką.

sposobem na ewentualne pojawienie się osobliwości jest eliminowanie jej za pomocączłonuuwzględniającegosztywnośćwłasnąprętów.TakwięcdomacierzyukładuKmożnadodaćmacierzKM zdefiniowanąnastępująco:

K E JE J

Ms

oxs

soys

=

∑∑

0 0 00 00 0

(35)

gdzie Joxs∑ jestsumąmomentówbezwładnościwkładek.

Dlakażdejwkładkimoment bezwładności Joxs jest liczonywzględemosix’ przecho-

dzącejprzezśrodekciężkościwkładki.Analogiczniedefiniowanejest Joxs∑ iwprzypadku

przekrojukołowegoobiewartościsąsobierówne.Wświetlepoprzedniejanalizyjestoczy-wiste, żeK + KM jest zawsze nieosobliwe.zamiast równania (32) rozwiązywany będzieukład:

(K(Qn–1) + KM(Qn–1))Qn = F (36)

Wtensposóbrozwiązywanejestzadanieniecoogólniejsze–ibliższerzeczywistości–niżzakładane,gdyżuwzględnianajestsztywnośćgiętnastali.Wkonsekwencjinależyspodzie-

69

waćsięniecozmienionegorozwiązania.jednak,jeślirozmiarywkładeksąpomijalnewsto-sunkudorozmiarówprzekroju,tozmianarozwiązaniapowinnabyćrównieżpomijalna.jeślijednak rzeczywiściewystąpiłaosobliwość, czyli znacząca część zginania jest przenoszonaprzezzginaniewkładek,tootrzymujesięrozwiązanie,któreniepowinnobyćzaakceptowane,gdyżniemieścisięwramachzałożeń.oszacowanienakońcuróżnicymiędzytymidwomarozwiązaniamidajeinformację,nailezagadnieniemieścisięwramachprzyjętychzałożeń.

Wartonadmienić,żewzagadnieniachnumerycznych,gdziepojawiasiępodobnejnaturyosobliwość, używa się tzw. regularyzacjiTichonowa. Polega ona na dodaniu dowyrazówdiagonalnychmałychwartości,takżemacierzprzestajebyćosobliwa.Wartośćtęnależystaran-niedobrać,zbytdużazmieniwartośćrozwiązania,zbytmałanieusunieosobliwości.

Dobórtejwartościniejestłatwy,gdyżwielkościwmacierzymogąsięzmieniaćwsze-rokichgranicach.Przykładowo,zmiana jednostek,w jakichzadawanesąwymiaryprzekro-ju,zmilimetrównametry,zmieniawartośćmomentówbezwładnościomnożnik10–12.niemożnawięcumieścićwprogramiejakiejśustalonej„małej”wartości.Wielkośćstrefyściska-nejmożezmieniaćsięwtrakcieiteracjiodpełnegoprzekrojubetonudoprzekrojuwkładek.równieżproporcjemiędzyJx aJy mogąbyćbardzoróżnewkolejnychkrokachiteracyjnych.należałobywięcdodawaćwartościwodpowiedniejrelacjidowyrazówmacierzyK.

Dodawanie macierzyKM może być postrzegane jako regularyzacja Tichonowa. jednakwtymprzypadkuniemażadnychtrudnościzdoboremwartości,gdyżdodawanewielkościwynikajązespójnejteoriimechanicznej,awięcbędąsięonedostosowywaćdonp.zmianyjednostek.

zewzględu na użyciewartości Joxs i Joy

s jedynie do regularyzacji nie jest konieczneobliczaniedokładnychwartościtychmomentów.Każdespójneoszacowaniejestwystarcza-jącodobre.jesttoistotnedlanp.wkładekgwintowanych,gdziedanesąwartości Fi

s , alezazwyczajnie jestdanawartośćmomentubezwładności.Wystarczającodokładne jestnp.obliczeniemomentubezwładnościnapodstawieśrednicy,gdzieśrednicęmożnawyliczyć z Fj

s jakdlaprętaokrągłego.

7.4.ocenabłędu

Abyocenićwpływewentualnejosobliwości,należydlaznalezionegoQosobnoobliczyćsiływewnętrzne,któregenerująobiemacierze(36)

KQ + KMQ = FN + FM = F (37)

WartotutajzwrócićuwagęnaznaczenieQwrównaniu(37).szukającprzypadkuosobli­wejmacierzyK,dobieranebyłotakieQ,przyktórympotencjalnaosobliwośćmożesiępo-jawić.

natomiastprzyweryfikacjirozwiązaniakońcowegodanejestQ,któreniekonieczniejesttymnajbardziejniekorzystnymprzypadkiem.Przykładowo,układzjednąwkładkągenerujemacierzK zpodwójnąosobliwością,aletylkodlatakichQ,dlaktórychcałyprzekrójjestrozciągany.WtedywwektorzeFN będziecałeobciążeniemomentowe.Dlawszystkichinnychprzypadków(por.rys.2)tensamprzekrójbędziedawałnieosobliwąmacierzK,awwektorzeFM będązeranumeryczne.

Potejuwadzenależywrócićdopytania,czydodaniepewnejwielkościdomacierzyukła-duzmieniasięrozwiązanie?Ajeślizmienia,towjakimstopniu?

70

WwektorzeFM pierwszaskładowaznaturyjestrównazeru(przynajmniejnumeryczne-mu).PozostajeocenićskładowemomentowewobuwektorachFN i FM.

składowemomentowewpierwszymwektorzepokazująmomentyprzenoszoneprzezbe-tonimomentyodsiłyskupionychwewkładkach.składowemomentowewdrugimwektorzeodzwierciedlająnatomiastczęśćmomentuprzenoszonąprzezzginaniewkładek.

jeślitadrugaczęśćjestpomijalnawstosunkudopierwszej,toodzyskujemyrozwiązaniew ramach początkowych założeń.Wystarczy, aby sztywnośćwłasna prętów była pomijalnawstosunkudosztywnościukładu,gdyżmomentyzewnętrznebędąprzenoszoneproporcjonal-niedotychsztywności.Proporcjeobutychwielkościwkońcowymrozwiązaniupozwalająoce-nić,naileotrzymanerozwiązanieodpowiadazałożeniomteorii.jednakoilesamakoncepcjajestdosyćoczywista,toszczegółyporównaniaobuczłonówsąowielebardziejskomplikowane.

Podstawowym źródłem trudności jest fakt, że wartości składowych momentów w obuwektorachsązależneodukładuwspółrzędnych,awięcwzależnościodwyboruukładubędzie-mymieliróżneproporcjemiarFN i FM.

niezbędnejestwięcznalezienietakiegosposobuocenybłędurozwiązania,którybędzieobiektywny;niezależnyodprzyjętegoukładuwspółrzędnych.Takim sposobemokazało sięwykorzystanieenergiisprężystej.

energiasprężystajestniezmiennikiem,więcznaturyjestniezależnaodwyboruukładuwspółrzędnych.

7.4.1.energiasprężysta

energiasprężystaukładuwyrażasięwzorem(por.równanie(5))

E = 12

Q FT (38)

jeśliobiestronyrównania(37)zostanąpomnożoneprzez 12

QT , touzyskasięzależnośćenergetyczną:

E E E= + = +N MT

NT

M12

12

Q F Q F (39)

WartośćE przedstawia pracęwykonaną przez obciążenie zewnętrzne i jednocześnieenergięsprężystązgromadzonąprzezukład,któramożebyćrozdzielonanaczęśćEN i EM.

członEN przedstawiaczęśćenergiisprężystejzwiązanejznaprężeniaminormalnymi,alebezenergiizwiązanejzezginaniemwkładekstalowych.Tęostatniączęśćenergiireprezen-tujeczłonEM.

energiacałościE jestzawszedodatnia(dlaniezerowegoobciążenia–zgodniez7.1.1).więcmożnaobliczyćułamek:

p MT

MT=

EE

=Q FQ F

(40)

Ponieważwartośćp jestmiarąwzględną,jestonaniewrażliwanaskalowanie,czylizmia-nęjednostek.

Powstaje pytanie, jakawartośćp może być uznana za poprawną, a przy jakiej należyzakwestionowaćrozwiązanie?Autorowiniesąznaneoszacowania,któreokreślałyby,jakienierównomiernościnaprężeńwewkładkachstalowychmożnauznaćzadopuszczalne.

71

Dosyćzłożonerozważaniaprowadządowstępnegowniosku,żedlapoprawnegorozwiąza-niawartośćp niepowinnaprzekraczać1⋅10–3.niejesttojednakzagadnienierozstrzygnięte.

8. Implementacja

Wskazane jest, aby algorytm był w maksymalnym możliwym stopniu niezależny odimplementacji.jednaknigdyniedajesięgozupełniewyrwaćzkonteksturealizacji.Dlategozostanąopisanepewneaspektyimplementacyjne,którewydająsiębyćistotne.

W tym i następnym punkcie będą rozważane dwa odmienne konteksty zastosowaniaalgorytmu:doobliczeńanalitycznychidobudowyoprogramowania.Każdykontekstwnosiswojąspecyfikę.

obliczeń analitycznych nie należy rozumieć zbyt dosłownie, typowe rachunki są zbytżmudne.Wjednostkowychprzypadkachmożezaistniećkonieczniośćdokonaniaręcznychob-liczeń,choćbydlazweryfikowaniawynikówdziałaniaprogramu.zastosowaniejakiejśformywspomaganiaprogramem(np.obliczanie charakterystykgeometrycznychprogramem typucADirozwiązywanieukładurównańarkuszemkalkulacyjnym)pozwalazrealizowaćoblicze-niawsposóbanalogicznydoanalitycznych.

8.1.Wybórprzybliżeniapoczątkowego

Wybórprzybliżeniapoczątkowegoniepowinienwpływaćnawynikkońcowy.jednakwpły-wanailośćiteracji,którychpowinnobyćjaknajmniej.

Dodatkowowtymprzypadkuniemagwarancji,żeprocesiteracyjnyjestzawszezbieżny.Wiadomonatomiast,żebędziezbieżnywpobliżurozwiązania.jestwięcrozsądne,abystaran-niewybieraćjaknajlepszeprzybliżeniepoczątkowe.

8.1.1.Analityczne

Ilośćiteracjiszczególnieodczuwalnawprzypadkuobliczeńanalitycznych,gdziekażdadodatkowa iteracja to ciąg żmudnych rachunków,więcwarto, korzystając z racjonalnychprzesłanek,wybraćjaknajlepszeprzybliżeniepoczątkowe.Wtymzagadnieniuistniejąbar-dzoprosteinżynierskieprzesłankidowyboruracjonalnegoprzybliżeniapoczątkowego.

najprostszymwyboremwydajesięośobrotuprzebiegającaprzezśrodekciężkościprzekro-ju(zazwyczajznany).Dodatkowo,możnateżdobraćkątnachyleniatak,abyośbyłaprostopadładowektoramomentów.Tego typu kryteria niewymagają liczenia żadnych charakterystykgeometrycznychnapoczątku­zakładając,żezadanesącharakterystykicałegoprzekroju,jakrównieżśrodekciężkości.

8.1.2.Program

Wprzypadkuobliczeńautomatycznych,czylikompletnegoprogramu,niemakonieczno-ścistaraniasięokażdąiterację,więcdowolnywybór,którybędziewmiarębliskirozwiąza-nia,jestdobry,gdyżalgorytmjestszybkozbieżnyi–pozaskrajnymiwypadkami(np.szukaniaobwiedni)–wymagapomijalnychzasobówwstosunkudodostępnychmocy.

specyfikapolegatutajnatym,żedoobliczeńręcznychtypowozadanesącharakterystykicałegoprzekroju,natomiastzazwyczajniesąonedanymidlaprogramu.Programotrzymuje

72

daneogeometriiprzekroju(np.punktytworzącebrzeg)iprzedrozpoczęciemobliczeńnale-żałobyobliczyćcharakterystyki.

Tensamschemat,jakdlaobliczeńanalitycznych,realizujeprzyjęcieprzybliżeniapocząt­kowegoQ0=[–10–3,0,0]doobliczeńautomatycznych.Wartośćtaodpowiadaε0=10

–3,czyli0,1%,iniejestkrytyczna.Takiwybórodpowiadastanowiosiowegościskania,więcwpierw-szymkrokuzostanąobliczonecharakterystykidlacałegoprzekroju.

Wybórpoczątkowegoprzybliżeniajakocałegoprzekrojuściskanegojestkonserwatywny,alebardzobezpieczny.jaktobyłopokazanewpunkcie7.wszystkieprzypadkiosobliwościmacierzyKwystępująwprzypadkubrakustrefyściskanejbetonu.niezależnieodrozmieszcze-niawkładekstalowychwpierwszymkrokudostajesiębardzodobrzeuwarunkowanyukład.

8.2.Kryteriumzakończenia

Dyskusja o kryteriach zakończenia ma jedynie sens w odniesieniu do implementacjikomputerowej.Przyobliczeniachanalitycznychnatychmiastwidać,czypołożenieosiobrotusięjeszczezmieniaczypraktyczniepozostajewmiejscu.

Wprzypadkuprogramukomputerowegoniewidaćjawniepośrednichpołożeńosiobrotuiniezbędnejestpodaniekryteriumzakończeniaiteracji.

naturalnym,numerycznymkryteriumzakończeniaprocesuiteracyjnego(granicyciągu)jestkryteriumnaprzyrostwyrazu.Wmomencie,kiedy∆Q = Qn –Qn–1 jestdostateczniemałe,możnauznać,żeprocesosiągnąłgranicę–znalezionorozwiązanie.

znającwartośćkońcowąQzewzoru(6)możnawyznaczyćpołożenieosiobrotuprze-kroju.

normamatematycznatypudługość|∆Q|niejestzbytnaturalnąmiarą,wektor(macierzo-wy)Qzawierabowiemodkształceniaikrzywizny,czyliwielkościoróżnychmianach(jednost-kach),teoretyczniemogłabybyćdośćzawodna.

bardziejnaturalnawydajesięmiaraopartanadługościwpostaciodległościosiobrotuodwybranegopunktuczypunktów.zkoleiniezawszejestonałatwadowyznaczeniazuwaginakątobrotu.

jaktozostaniepokazanewprzykładach,procesjestnatyleszybkozbieżny,żewłaściwiekażdamiaraspełniswojezadanie,aoptymalizacjaojednąiteracjęwięcejlubmniejniewy-dajejestwartauwagi.

Wpraktycestosowanozarównomiarę|∆Q|,jakinajprostsząmiaręodległościwpostaciodległościosiobrotuodśrodkaprzekroju,zdodatkowymwarunkiem,żeilośćiteracjiniemożebyćmniejszaniżtrzy.Toostatnieograniczeniewynikazfaktu,żeośobrotujestdefinio-wananietylkoprzezpunkty,aleistotnajestorientacja,czylinp.kolejnośćpunktów.Teoretycz-niemożesięwięczdarzyć,żeośobrotu,jakoprosta,przydwukolejnychiteracjachniezmienipołożenia,alezmieniorientację–czyliobszar,którybyłściskany,będzierozciąganyiod-wrotnie.odległościsięniezmienią,alerozwiązaniejeszczenieosiągnęłostanukońcowego.

Wpraktyceograniczenia,jakienarzucanonadokładnośćrozwiązania,mogąbyćbardzorygorystyczne,gdyżprzyszybkiejzbieżnościnawetżądanieobliczaniapołożeniaosiobrotuzdokładnościądotysięcznychczęścimilimetra(cojestzupełniebezużytecznezpunktuwi-dzeniapraktyki),niepowodowałozwiększeniailościiteracjiowięcejniżjednalubdwie.

73

if FTF < ρ thenQ = 0wyjście(por.7.1.1)end ifQ = 10–3×[–1,0,0]repeatQ0 = Q

znajdźstrefęściskanąobliczcharakterystykigeometrycznedlaobszaruściskanegozbudujK i KMrozwiążQ ←(K + KM)Q = F

∆Q = Q–Q0

until |∆Q|<tol

obliczE = 12

Q FT

obliczE MT

M= 12

Q K Q

oblicz p M=EE

if p>10–3 thenbłąd,wyjście–por.7.4.end if

rys.4.Algorytmrozwiązania(pseudokod)

fig.4.8.2.1.Testowanie

Wartoodnotować,żezadaniejestbardzowrażliwenabłędywewspółczynnikach.omył-kowowpisanybłędnymnożnikdomomentudewiacjiskutkowałzbieżnościądoinnejgranicy,czylidoinnegopołożeniastrefyściskanej.Pomocnejestto,żewtymzagadnieniułatwospraw-dzić,bądźoszacować,poprawnośćwynikukońcowego.

Absolutnymminimumtestówjestsprawdzenieprzykładuwprzesuniętymukładziewspół­rzędnych.Wtedymomentystatyczne imomentdewiacji sąniezerowe,więc jakiekolwiekniespójnościwewspółczynnikachspowodujązbieżnośćdoinnejgranicy.

9. Przykłady

9.1.Przekrójprostokątny

Pokazanyzostanieprzykładzaczerpniętyzpodręcznika[8,s.371].geometriaukładujestpodananarys.5.betonoEb = 20,5gPa,staloEs = 205gPa,obciążenie:siłapodłużna N = –320kn(ściskanie)imoment(wśrodkuciężkości)Mx = 128knm.

74

jakokotwyprzyjętostaloprzekrojuFs =3,53cm2,coodpowiadaokrągłymprętomośred­

nicyφ=21,2mm(w[8]jestomyłkowoFs = 3,415cm2,aledoobliczeńjestprzyjmowanawartośćjakpowyżej).

rys.5.geometriaprzekrojuprostokątnego,wymiarywmm

fig.5.geometryofrectangularcross­section,dimensionsinmm

Początekukładuwspółrzędnychzostałprzyjętywśrodkuciężkościprzekroju.Ponieważprzekrójjestsymetrycznyizginanywzględemjednejosi,więcośobrotujestza-

wszerównoległadoosix układuwspółrzędnych.Położenieosiobrotujestjednoznacznieokre­śloneprzezwartośćy, dlaktórejprzecinaonaośy.

narysunku6pokazanesąkrzyweilustrująceprzebiegiteracjiwzależnościodpoczątko-wegoprzybliżenia.obliczeniaprowadzonodlawartościtol = 10–7.

Dlalepszejczytelnościnaosipionowejrysunku,zamiastpołożeniaosiobrotu,pokazanogranicęstrefyściskanej(wartośćwmm).

Pierwszakrzywapokazujeprzebieg iteracji,kiedypoczątkowogranica strefyściskanejjest na górnej krawędzi przekroju,więc cały przekrój jest równomiernie ściskany.Drugakrzywapokazujeprzebiegiteracji,kiedyośobrotuigranicastrefyściskanejpoczątkowojestwpołowieprzekroju(górnaczęśćjestściskana).czwartakrzywapokazujeprzebiegiteracji,kiedypoczątkowagranicastrefyściskanejjestnadolnejkrawędziprzekroju,czylinapocząt-kucałyprzekrójjestrozciągany.Wreszcietrzecia,kiedyośobrotujestwpołowiewysokościprzekroju,aledolnaczęśćjestściskana,agórnarozciągana.

Wartozwrócićuwagę,żekrzywatrzeciaiczwartamająniemaltensampunktwpierw-szejiteracji.Potemtekrzywesiępokrywają.Widaćteż,żenawetwnajgorszymprzypadku,okołoczwartego,piątegokrokuwobuprzypadkachosiąganejestrozwiązaniedokładne.

jeśliprawidłowozostanieoszacowaneprzybliżeniepoczątkowe,jakdladrugiejkrzywej,to już drugi krok daje niemal dokładne rozwiązanie (y = 86,522mmwobec dokładnego y = 87,233mm).

uzasadniatowszystko,conapisanowczęścidotyczącejzbieżnościistabilnościorazstrate-giiwyboruprzybliżeniapoczątkowego.

Końcowawartośćbłęduenergetycznegowyniosłap = 9 , 5 ⋅10–5.Pokazanerozwiązaniedotyczyzadaniakotew,którejakowykazującesilniejsząnielinio-

wośćjesttutajistotniejsze.Warteprzytoczeniajestporówanierozwiązaniategosamegoza-daniadlanL,czylizamiastkotewsątoprętyzbrojenia,którychpowierzchnięimodułyoungaprzyjętoidentycznąjakdlakotew.

75

WprzypadkunLprętyściskanedodatkowostabilizująalgorytm,natomiastzewzględunato,żeprzekrój jest słabozbrojony,algorytmniewykazywał istotnych różnicwcharakterzezbieżności.nieco różne jest końcowe położenie granicy strefy ściskanej, które wyniosło y= 94,072mm.

rys.6.Wykrespołożeniagranicystrefyściskanejwkolejnychiteracjachdlaróżnychprzybliżeńpoczątkowychgranicystrefyściskanej(opiswtekście)

fig.6.functionofcompressedzonerangedependendofiterationnumberfordifferentinitialcompressedzone

9.2.Przekrójniesymetryczny(kątowy)

Mniejtrywialnymprzykłademjestprzekrójniesymetrycznypokazanynarys.7,któregowymiarysązaczerpniętezartykułu[2].Wzasadzietakiprzekrójniejeststosowanydlazako-twień,więcobliczeniazostałyprzeprowadzonedlanL.zartykułuzaczerpniętogeometrięprzekroju,położenieorazrozmiarφ6prętówzbrojenia.

Przyjęto, że beton o module younga 20,5 gPa jest zbrojony stalą o module younga 205gPa.

rys.7.Przekrójniesymetryczny,wymiaryipołożenieprętówzbrojeniowych

fig.7.L­section,sizeofsectionandlocationofreinforcementbars

76

Ten przykład daje możliwość dokonania interesującego porównania wpływu niesymetrycz­nego zbrojenia na rozwiązanie.

Jeśli obciążenie zostanie dobrane w ten sposób, aby strefa ściskana miała kształt prosto­kąta o wysokości 2,5 cm znajdującego się w górnej części przekroju – czyli była powyżej bocznej półki przekroju – oraz pominie się pręty zbrojenia znajdujące się w bocznej półce, jak na rys. 8 (z lewej), to otrzymamy rozwiązanie identyczne jak dla przekroju prostokątnego o wymiarach 10×15 cm zbrojonego symetrycznie sześcioma prętami.

Rozwiązując zadany przekrój z tak dobranym obciążeniem można zobaczyć wpływ dodatko­wych dwóch prętów z prawej strony przekroju oraz betonu w półce na rozmiary i kształt strefy ściskanej – rys. 8 (z prawej).

Ze względu na to, że układ osi głównych, centralnych nie jest w tym przypadku natural­ny ani wygodny, obliczenia są prowadzone w układzie, gdzie osie są równoległe do krawędzi, a początek układu jest w lewym dolnym rogu przekroju. Względem tego punktu wyznaczone w podany sposób obciążenie wynosi: N = 40,8 kN, Mx = –1550,9 Nm i My = 2040,0 Nm.

Dla całego przekroju, jeśli dwa pręty z prawej strony nie zostaną pominięte, oś obrotu nie jest już równoległa do osi x, jak to jest pokazane na rys. 8 (z prawej). Pokazuje to, jaki może być ilościowy wpływ asymetrii zbrojenia, co jest nieco zaskakujące. Podobnego, chociaż w mniejszej skali, skutku należy się spodziewać dla przekroju prostokątnego, gdzie zbrojenie z jednej strony jest mniejsze niż z drugiej.

Wart odnotowania jest kształt strefy ściskanej. Strefa staje się dwoma rozłącznymi obszara­mi, co ilustruje trudności mogące się pojawić z algorytmem wyznaczania charakterystyk stre­fy ściskanej.

Rozwiązanie uzyskuje się znowu w 6 iteracjach. W tabeli 1 podano położenia osi obrotu dla kolejnych iteracji, poczynając od przekroju równomiernie ściskanego. Jest to iteracja zero­wa, dla której oś obrotu składa się wyłącznie z punktów niewłaściwych, dlatego w tabeli nie ma tego kroku. Położenia osi obrotu podano w tzw. notacji odcinkowej. Każdy wiersz tabeli podaje dwa punkty na płaszczyźnie xy: (x,0) oraz (0,y). Widać wyraźnie, że już po trzech iteracjach uzyskuje się wyniki z błędem mniejszym niż 1 mm.

Rys. 8. Porównanie rozwiązania dla przekroju niesymetrycznego z różnym zbrojeniem dla tego samego obciążenia

Fig. 8. Comparison of compressed zone shape for two different reinforcement and the same load

77

T a b e l a 1

Współrzędne odcinkowe położenia osi obrotu w kolejnych iteracjach

Iteracja x [mm] y [mm]1 298,30328 109,512152 331,67385 138,182063 339,13142 146,092014 339,74742 146,887635 339,73878 146,897756 339,73877 146,89775

Warto przy okazji skomentować wpływ sztywności giętnej zbrojenia. Obciążenie, które moż na wyliczyć analitycznie dla zadanej wysokości strefy ściskanej i znanych położeń (i pola prze kroju) sześciu prętów zbrojenia, różni się o wartość –4,17329 Nm w stosunku do obcią­żenia, które daje rzeczywistą wysokość strefy ściskanej. Różnica wynika właśnie z uwzględ­nienia mo mentów przenoszonych przez zginanie prętów zbrojenia. Jest to wartość wynoszące ok. 4 Nm przy całości 1500 Nm, więc jest pomijalna. Jednak dla wartości Mx = –1546,8 Nm nie można odtworzyć rozwiązania z wysokością strefy ściskanej równej dokładnie 2,5 cm.

Ze względu na małą wartość poprawki momentowej obliczony błąd energetyczny jest nie­wielki i wynosi p = 4,3 ⋅ 10–4.

10. Wnioski

Sformułowano prosty, stabilny i efektywny algorytm obliczeniowy wyznaczania strefy ści skanej dla zakotwień. Algorytm ten może być równocześnie używany do obliczania strefy ści skanej dla NL.

Pokazano, że macierz sztywności układu jest jednocześnie macierzą styczną, przez co zbież ność podanego algorytmu jest kwadratowa. Jednocześnie powoduje to, że obliczenia daje się realizować jako tzw. iterację prostą, co bardzo upraszcza programowanie. Brakuje jed­nak dowo du, że zbieżność algorytmu jest niezależna od wyboru przybliżenia początkowego oraz że nie jest możliwy cykl.

Niezawodność algorytmu osiągnięto poprzez rozwiązanie bardziej ogólnego zadania, niż wy magają tego założenia zadania. Uwzględnienie skończonych rozmiarów wkładek stalowych, czy li niezerowej sztywności giętnej, daje gwarancję braku osobliwości macierzy w rozwiązy­wanym układzie równań. Takie podejście jest nie tylko sposobem na regularyzację zagadnienia dla przy padków analizowanych w artykule. Może być też sposobem na niezawodny algorytm przekrojo wy dla innych związków konstytutywnych betonu i stali.

Sformułowano obiektywną miarę błędu rozwiązania rozumianego jako błąd niespełnienia założeń zadania. Jednak nie ma dokładnych kryteriów liczbowych, w jakim zakresie rozwiąza­nie należy uznać za poprawne, a kiedy należałoby je odrzucić.

Na tym dość prostym, z punktu widzenia mechaniki, przykładzie pokazano różnice mię­dzy metodą zorientowaną na obliczenia ręczne i metodą zorientowaną na obliczenia automa­

78

tyczne. Wyeksponowano też, jak długa droga wiedzie od metody rozwiązywania do algorytmu. Chociaż prezentowany przypadek nie jest typowy, to jednak pokazuje, że formułowanie algo­rytmu często wymaga gruntownego rozumienia mechaniki i często nie może być pozostawione informatykom. Powinni oni dostać algorytm, a nie metodę.

L i t e r a t u r a

[1] L u d o v i c o Di M., L i g n o l a G.P., P r o t a A., C o s e n z a E., Nonlinear Analy-sis of Cross Sections under Axial Load and Biaxial Bending, ACI Structural Journal, 107(4): 390­399,7/8 2010.

[2] D u n d a r C., T o k g o z S., T a n r i k u l u A.K., B a r a n T., Behaviour of reinforced and concrete-encased composite columns subjected to biaxial bending and axial load, Building and Environment, 43 (6): 1109­1120, 2008.

[3] ETAG 001 European Technical Approval Guidelines, Annex C., EOTA, wydanie 2006, 1997.

[4] M a t u s z a k A., Związek między statyką zakotwień oraz statyką przekroju żelbeto­wego według metody naprężeń liniowych, Czasopismo Techniczne 4­B/2010, Kraków 2010, s. 75­86.

[5] M a t u s z a k A., S ł o ń s k i M., Projektowanie zakotwień do betonu według prze­pisów EOTA: ETAG i TR29, Nowoczesne rozwiązania konstrukcyjno­materiałowo­ ­technologiczne, wolumen IV, 243­264, PZITB w Gliwicach, 2010. XXV Ogólno­polskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji, Szczyrk 10–13 marca 2010.

[6] P i s a n i M.A., A numerical method to analyse compact cross-sections, Computers & Structures, 59 (6): 1063­1072, 1996.

[7] Ł u b i ń s k i M., F i l i p o w i c z A., Ż ó ł t o w s k i W., Konstrukcje metalowe. Część I Podstawy projektowania, Arkady, Warszawa 1986.

[8] Ł u b i ń s k i M., F i l i p o w i c z A., Ż ó ł t o w s k i W., Konstrukcje metalowe. Część I Podstawy projektowania, Arkady, Warszawa 2000.

[9] Z a k M.L., Computer analysis of reinforced concrete sections under biaxial bending and longitudinal load, ACI Structur al Journal, 90 (2): 163­169, 1993.

[10] Z u p a n D., S a j e M., Analytical integration of stress field and tangent material moduliover concrete cross-sections, Computers & Structures, 83 (28­30): 2368­2380, 2005.