Grafy - Algorytmy grafowe --- wyszukiwanie najkrótszych ... · Algorytm Prima-Dijkstry 4...

WprowadzenieNajkrótsze ścieżkiMinimalne drzewa

Najkrótsze ścieżki pomiędzy dowolną parą wierzchołków

GrafyAlgorytmy grafowe — wyszukiwanie najkrótszych ścieżek i minimalnych

drzew spinających

Rafał Nowak

Instytut InformatykiWydział Matematyki i Informatyki

Uniwersytet Wrocławski

17 kwietnia 2007 / Majówka z informatyką

Rafał Nowak Grafy



GrafŚcieżkaCyklDrzewo

O czym to będzie?

1 Grafy - wprowadzenie

2 Wyszukiwanie najkrótszych ścieżek z jednego źródłaPrzeglądanie grafu wszerzAlgorytm Dijkstry

3 Minimalne drzewa spinająceAlgorytm Prima-Dijkstry

4 Najkrótsze ścieżki pomiędzy dowolną parą wierzchołkówAlgorytm Floyda-Warshalla

Rafał Nowak Grafy




Co to jest graf?

Definicja (nieformalna)

Graf to zbiór wierzchołków połączonych krawędziami

Przykłady

Rafał Nowak Grafy




Rafał Nowak Grafy




Wzorzec = abaaba

START b

a

a

a

ab

b

b

aba

a b

abaa

a

a

abaab

b

abaaba

a

b

a

Definicja (formalna)

Graf to para 〈V,E〉, gdzie V - oznacza zbiór wierzchołków,a E ⊂ V × V oznacza zbiór krawędzi. Krawędź 〈u, v〉 ∈ Ejest

parą uporządkowaną, w wypadku grafów skierowanych— digrafów,

parą nieuporządkowaną, w wypadku grafównieskierowanych

Definicja

Ścieżka to ciąg krawędzi 〈u1, u2〉, 〈u2, u3〉, . . . , 〈un−1, un〉

Rafał Nowak Grafy




a

b

d

e

c

0

2,2

1,1

1,2

1,2

2,1

1,0

Definicja

Cyklem nazywamy ścieżkę dla której u1 = un, tj. zaczynającąi kończącą się w tym samym wierzchołku.

Definicja

Stopniem wierzchołka u nazywamy liczbę krawędzi z nimpołączonych. Dla grafów skierowanych można mówić o stopniuwejściowym i wyjściowym.

Definicja (spójność)

Graf nieskierowany G jest spójny, jeśli każda para wierzchołkówjest połączona pewną ścieżką.

Definicja (acykliczność)

Graf nie zawierający żadnego cyklu nazywamy acyklicznym.

Rafał Nowak Grafy




Definicja

Drzewem nazywamy acykliczny graf spójny

Twierdzenie

Niech graf G ma n wierzchołków; poniższe zdania są równoważne:

G jest drzewem

G jest spójny i ma n− 1 krawędziG jest acykliczny i ma n− 1 krawędzi

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

O czym to będzie?





Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Problem

Definicja

Odległością wierzchołka u od v jest długość najkrótszej ścieżki łączej uz v, przy czym, na razie, długość ścieżki określamy jako liczbę jejkrawędzi.

Problem

Dane:

graf (skierowany) G = 〈V,E〉pewien wierzchołek u ∈ V (źródło, ujście)

Wynik:

odległości wierzchołka u do wszystkich pozostałych wierzchołków

najkrótsze ścieżki wyznaczające te odległości

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 1 (drzewo)

1

7

2

10

12

85

3

11 14

46

9

13

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


INF

INF

INF

INF

INF

INF0

INF

INF INF

INFINF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


2

3

1

3

4

40

2

4 4

34

4

5

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


INF

INF

INF

INF

INF

INF0

INF

INF INF

INFINF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


INF

INF

1

INF

INF

INF0

INF

INF INF

INFINF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


2

INF

1

INF

INF

INF0

INF

INF INF

INFINF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


2

INF

1

INF

INF

INF0

2

INF INF

INFINF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


2

3

1

INF

INF

INF0

2

INF INF

INFINF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


2

3

1

3

INF

INF0

2

INF INF

INFINF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


2

3

1

3

INF

INF0

2

INF INF

3INF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


2

3

1

3

4

40

2

INF INF

34

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


2

3

1

3

4

40

2

4 4

34

4

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


2

3

1

3

4

40

2

4 4

34

4

5

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

INF

INF

INF

INF INF

INF

INF

0 INFINF

INF

INF INFINFINF

INF

INF

INF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

INF

INF

INF

INF INF

INF

INF

0 INFINF

INF

INF INF1INF

INF

INF

INF

INF

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

INF

INF

INF

INF INF

INF

INF

0 INFINF

INF

INF INF1INF

INF

INF

INF

1

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

INF

INF

INF

1 INF

INF

INF

0 INFINF

INF

INF INF1INF

INF

INF

INF

1

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

INF

INF

INF

1 2

INF

INF

0 INFINF

INF

INF INF1INF

INF

INF

INF

1

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

INF

INF

2

1 2

INF

INF

0 INFINF

INF

INF INF1INF

INF

INF

INF

1

INF

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

INF

INF

2

1 2

INF

INF

0 INFINF

INF

INF INF1INF

INF

INF

INF

1

2

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

2

INF

2

1 2

2

INF

0 22

INF

INF INF12

INF

INF

INF

1

2

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

2

3

2

1 2

2

INF

0 22

INF

INF INF12

INF

INF

INF

1

2

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

2

3

2

1 2

2

3

0 22

INF

INF INF12

INF

INF

INF

1

2

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

2

3

2

1 2

2

3

0 22

4

INF INF12

INF

INF

INF

1

2

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

2

3

2

1 2

2

3

0 22

4

INF INF12

4

INF

INF

1

2

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

2

3

2

1 2

2

3

0 22

4

5 512

4

INF

INF

1

2

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

2

3

2

1 2

2

3

0 22

4

5 512

4

5

INF

1

2

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład 2

2

3

2

1 2

2

3

0 22

4

5 512

4

5

6

1

2

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przeglądanie Grafu Wszerz (ang. breadth first search)

BFS(G, s)

1: for all u ∈ V do2: color[u]← BIAŁY; dist[u]←∞; prev[u]← NIL3: end for4: color[s]← CZERWONY; dist[s]← 0; Q.push(s)5: while not Q.empty() do6: u← Q.front() {u to wierzchołek pierwszy w kolejce}7: for all v ∈ Adj[u] do8: if color[v] = BIAŁY then9: color[v]← CZERWONY10: dist[v]← dist[u] + 1; prev[v]← u11: Q.push(v) {wstaw v na koniec kolejki}12: end if13: end for14: Q.pop(); color[u]← SZARY {zabierz u z kolejki i pomaluj go na szaro}15: end while

Złożoność: O(n+m), alg. Dijkstry

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Problem

Rozważmy teraz grafy ważone, tzn. niech dana będzie nieujemnafunkcja wagowa c : E → 〈0,∞).

Długość ścieżki definiujemy jako sumę wag jej krawędzi

a

b

15

d

8

10

c

10

7

B

C

10

A

10

D

7 8

Problem

Dane:

ważony graf (skierowany)G = 〈V,E, c : E → 〈0,∞)〉pewien wierzchołek u ∈ V (źródło, ujście)

Wynik:

odległości wierzchołka u do wszystkichpozostałych wierzchołków


Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Problem

Rozważmy teraz grafy ważone, tzn. niech dana będzie nieujemnafunkcja wagowa c : E → 〈0,∞).Długość ścieżki definiujemy jako sumę wag jej krawędzi

a

b

15

d

8

10

c

10

7

B

C

10

A

10

D

7 8

Problem

Dane:

ważony graf (skierowany)G = 〈V,E, c : E → 〈0,∞)〉pewien wierzchołek u ∈ V (źródło, ujście)

Wynik:

odległości wierzchołka u do wszystkichpozostałych wierzchołków


Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

BFS – źle działa

0

INF

5

INF

100

INF

6

INF1

INF

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


0

5

5

INF

100

INF

6

INF1

INF

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


0

5

5

100

100

INF

6

INF1

INF

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


0

5

5

100

100

11

6

INF1

INF

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


0

5

5

100

100

11

6

INF1

INF

2

200

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


0

5

5

100

100

11

6

121

INF

2

200

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra


0

5

5

100

100

11

6

121

300

2

200

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Algorytm BFS należy zmodyfikować tak, aby wybierał z kolejkiwierzchołki o najmniejszej odległości od źródła

Tak zmodyfikowany algorytm powinień poprawiać odległości nawetczerwonym (czyli odwiedzonym wcześniej) wierzchołkom

W ten sposób, otrzymujemy algorytm Dijkstry

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra




0

INF

5

INF

100

INF

6

INF1

INF

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra




0

5

5

INF

100

INF

6

INF1

INF

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra




0

5

5

100

100

INF

6

INF1

INF

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra




0

5

5

100

100

11

6

INF1

INF

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra




0

5

5

100

100

11

6

121

INF

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra




0

5

5

100

100

11

6

121

14

2

INF

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra




0

5

5

100

100

11

6

121

14

2

114

100

100

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

INF

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

INF

7 80 INF

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

13INF

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

INF

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

INF

7 80 INF

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

INF

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 INF

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

20

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 INF

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

20

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

20

10

10

33

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

20

10

10

33

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

20

10

10

33

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

28

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

22

5

INF

50

20

10

10

33

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

28

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

22

5

INF

50

20

10

10

33

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

28

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

22

5

95

50

20

10

10

33

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

28

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

22

5

95

50

20

10

10

33

6

30

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

28

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

22

5

95

50

20

10

10

33

6

30

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

27

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

INF

12

22

5

95

50

20

10

10

33

6

30

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

INF

50

12

22

5

95

50

20

10

10

33

6

30

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

30

50

12

22

5

95

50

20

10

10

33

6

30

4

30

INF

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

30

50

12

22

5

95

50

20

10

10

33

6

30

4

30

24

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

27

50

12

22

5

95

50

20

10

10

33

6

30

4

30

24

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

27

39

12

22

5

95

50

20

10

10

33

6

30

4

30

24

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

27

39

12

22

5

77

50

20

10

10

33

6

30

4

30

24

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Przykład

27

39

12

22

5

34

50

20

10

10

33

6

30

4

30

24

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Dijkstra(G, s)

1: dist[s]← 0; Q.insert(s)2: for all u ∈ V \ {s} do3: dist[u]←∞; prev[u]← NIL; Q.insert(u)4: end for5: while not Q.empty() do6: u← Q.min() {u to wierzchołek z minimalną wartością dist}7: for all v ∈ Adj[u] do8: if dist[u] + c (〈u, v〉) < dist[v] then9: dist[v]← dist[u] + c (〈u, v〉); prev[v]← u10: Q.decreaseKey(v) {uaktualnij kolejkę Q}11: end if12: end for13: Q.delMin() {usuń minimalny wierzchołek z kolejki priorytetowej}14: end while

Złożoność: O ((m+ n) logn) = O(n2 logn

),O (m+ n logn) = O

(n2),

alg. BFS , alg. Prima-Dijkstry

Rafał Nowak Grafy



BFSDijkstra

Algorytm Dijkstry znajduje pewne drzewo spinające

27

39

12

22

5

34

50

20

10

10

33

6

30

4

30

24

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

O czym to będzie?





Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Problem

Dane:

nieskierowany graf ważony G = 〈V,E, c〉, c : E → 〈< 0,∞)Wynik:

minimalne drzewo spinające grafu G (ang. minimum spanning tree), tj.takie drzewo spinające, dla którego suma wag na krawędziach jestminimalna.

99

818

3

6

9

42

10

8 7

93

4

9

29 5

4

1

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Algorytm Dijkstry nie znajduje minimalnego drzewa spinającego

27

39

12

22

5

34

50

20

10

10

33

6

30

4

30

24

4

15

7 80 25

10

18

16

1

21

13 17

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Algorytm Prima-Dijkstry znajduje minimalne drzewo spinające

5

12

12

7

5

4

50

1

10

10

6

6

13

4

30

4

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Algorytm Dijkstry należy zmodyfikować tak, abydist[v] = c (〈prev[v], v))

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

INF

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

INF

7 80 INF

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

13INF

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

INF

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

INF

7 80 INF

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

INF

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 INF

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

18

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 INF

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

18

10

10

INF

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

18

10

10

18

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

INF

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

18

10

10

18

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

INF

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

INF

5

INF

50

18

10

10

18

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

13

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

7

5

INF

50

18

10

10

18

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

13

13 INF

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

7

5

INF

50

18

10

10

18

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

13

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

7

5

80

50

18

10

10

18

6

INF

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

13

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

7

5

80

50

18

10

10

18

6

13

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

13

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

INF

INF

12

7

5

80

50

18

10

10

18

6

13

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

5

INF

12

7

5

80

50

18

10

10

18

6

13

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

5

INF

12

7

5

80

50

10

10

10

18

6

13

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

5

12

12

7

5

80

50

10

10

10

18

6

13

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

5

12

12

7

5

50

50

10

10

10

18

6

13

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

5

12

12

7

5

50

50

1

10

10

18

6

13

4

30

INF

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

5

12

12

7

5

50

50

1

10

10

18

6

13

4

30

10

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

5

12

12

7

5

50

50

1

10

10

18

6

13

4

30

4

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

5

12

12

7

5

50

50

1

10

10

6

6

13

4

30

4

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Przykład

5

12

12

7

5

4

50

1

10

10

6

6

13

4

30

4

4

15

7 80 10

10

18

1

1

10

13 2

2

0

15

1

10

10

132

2

6

20

18

Rafał Nowak Grafy



Prim-Dijkstra

Dijkstra-Prim(G, s = 1)

1: dist[s]← 0; Q.insert(s)2: for all u ∈ V \ {s} do3: dist[u]←∞; prev[u]← NIL; Q.insert(u)4: end for5: while not Q.empty() do6: u← Q.min() {u to wierzchołek z minimalną wartością dist}7: for all v ∈ Adj[u] ∩Q do8: if c (〈u, v〉) < dist[v] then9: dist[v]← c (〈u, v〉); prev[v]← u10: Q.decreaseKey(v) {uaktualnij kolejkę Q}11: end if12: end for13: Q.delMin() {usuń minimalny wierzchołek z kolejki priorytetowej}14: end while

Złożoność: O ((m+ n) logn) = O(n2 logn

),O (m+ n logn) = O

(n2),

alg. Dijkstry

Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

O czym to będzie?





Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

Problem

Problem

Dane:

ważony graf (skierowany) G = 〈V,E, c : E → 〈0,∞)〉

Wynik:

odległości pomiędzy dowolną parą wierzchołków u, v (d[u][v])


Algorytm Naiwny

dla każdego wierzchołka u ∈ V wykonajza pomocą algorytmu Dijkstra(G, u) oblicz wartościd[u][v]← dist[v]

Złożoność: O (n(m+ n) logn) = O(n3 logn

),O(mn+ n2 logn

)= O(n3),

alg. Dijkstry

Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

Problem

Problem

Dane:

ważony graf (skierowany) G = 〈V,E, c : E → 〈0,∞)〉Wynik:

odległości pomiędzy dowolną parą wierzchołków u, v (d[u][v])


Algorytm Naiwny

dla każdego wierzchołka u ∈ V wykonajza pomocą algorytmu Dijkstra(G, u) oblicz wartościd[u][v]← dist[v]

Złożoność: O (n(m+ n) logn) = O(n3 logn

),O(mn+ n2 logn

)= O(n3),

alg. Dijkstry

Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

Algorytm Floyda-Warshalla

Definicja

Wierzchołkiem wewnętrznym ścieżki 〈u1, u2〉, 〈u2, u3〉, . . . , 〈un−1, un〉nazywamy dowolny wierzchołek ze zbioru {u2, u3, . . . , un−1}.

Oznaczenia

Załóżmy, że wierzchołki ze zbioru V są ponumerowane liczbaminaturalnymi od 1 do n.

Niech D[u, v, k] oznacza minimalną długość ścieżki od u do v, którejwierzchołki wewnętrzne należą do zbioru {1, 2, . . . , k},Naszym zadaniem jest obliczyć D[u, v, n] dla dowolnej pary u, v,

Niech

D[u, v, 0] =

0, gdy u = v,c (〈u, v〉) , gdy 〈u, v〉 ∈ E,∞, gdy 〈u, v〉 /∈ E,

Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall


Definicja


Oznaczenia


Niech D[u, v, k] oznacza minimalną długość ścieżki od u do v, którejwierzchołki wewnętrzne należą do zbioru {1, 2, . . . , k},

Naszym zadaniem jest obliczyć D[u, v, n] dla dowolnej pary u, v,

Niech

D[u, v, 0] =


Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall


Definicja


Oznaczenia


Niech D[u, v, k] oznacza minimalną długość ścieżki od u do v, którejwierzchołki wewnętrzne należą do zbioru {1, 2, . . . , k},Naszym zadaniem jest obliczyć D[u, v, n] dla dowolnej pary u, v,

Niech

D[u, v, 0] =


Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

Jak wyznaczyć D[u, v, k]?Zależność rekurencyjna

u vD[u,v,k-1]

k

u

k

D[u,k,k-1]

v

D[k,v,k-1]

Są dwaj kandydaci na wartość D[u, v, k]:

D[u, v, k − 1] — ścieżka od u do v niewykorzystująca wierzchołka kD[u, k, k − 1] +D[k, v, k − 1] — ścieżka od u do kplus ścieżka od k do v

Jako D[u, v, k] należy obrać wartość minimalną spośróddwóch kandydatów.

Zależność rekurencyjna

D[u, v, k]← min ( D[u, v, k − 1], D[u, k, k − 1] +D[k, v, k − 1] )

Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall


u vD[u,v,k-1]

k

u

k

D[u,k,k-1]

v

D[k,v,k-1]


D[u, v, k − 1] — ścieżka od u do v niewykorzystująca wierzchołka k

D[u, k, k − 1] +D[k, v, k − 1] — ścieżka od u do kplus ścieżka od k do v




Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall


u vD[u,v,k-1]

k

u

k

D[u,k,k-1]

v

D[k,v,k-1]


D[u, v, k − 1] — ścieżka od u do v niewykorzystująca wierzchołka kD[u, k, k − 1] +D[k, v, k − 1] — ścieżka od u do kplus ścieżka od k do v




Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

Floyd-Warshall(G = 〈V,E, c〉)1: for u = 1 to n do2: for v = 1 to n do

3: D[u, v, 0] =


4: end for5: end for6: for k = 1 to n do7: for u = 1 to n do8: for v = 1 to n do9: D[u, v, k]← min (D[u, v, k − 1], D[u, k, k − 1] +D[k, v, k − 1])10: end for11: end for12: end forEnsure: ∀u,v∈V d[u][v] = D[u, v, n]

Złożoność czasowa i pamięciowa: O(n3)

Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

Algorytm Floyda-Warshalla można zaimplementować używającO(n2) pamięci

Aby mieć wiadomość o ścieżce od u do v realizującej najkrótsząodległość, wystarczy pamiętać π[u, v] będądy wierzchołkiempośrednim pomiędzy u i v.

Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

Algorytm Floyda-Warshalla można zaimplementować używającO(n2) pamięciAby mieć wiadomość o ścieżce od u do v realizującej najkrótsząodległość, wystarczy pamiętać π[u, v] będądy wierzchołkiempośrednim pomiędzy u i v.

Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

Floyd-Warshall(G = 〈V,E, c〉)1: for u = 1 to n do2: for v = 1 to n do3: d[u, v]←∞; π[u, v]← NIL4: end for5: d[u, u]← 06: end for7: for all 〈u, v〉 ∈ E do8: d[u, v]← c (〈u, v〉); π[u, v]← u9: end for10: for k = 1 to n do11: for u = 1 to n do12: for v = 1 to n do13: if d[u, v] > d[u, k] + d[k, v] then14: d[u, v]← d[u, k] + d[k, v]; π[u, v]← π[k, v]15: end if16: end for17: end for18: end for

Złożoność czasowa: O(n3), Złożoność pamięciowa: O(n2)

Rafał Nowak Grafy



Floyd-Warshall

Dziękuję

Koniec

Rafał Nowak Grafy

Grafy - Algorytmy grafowe --- wyszukiwanie najkrótszych ... · Algorytm Prima-Dijkstry 4...

Documents

Transcript of Grafy - Algorytmy grafowe --- wyszukiwanie najkrótszych ... · Algorytm Prima-Dijkstry 4...