Jak zdać maturę z matematykijakzdacmaturezmatematyki.pl/files/jak_zdac_mature_rozszerzenie.pdf ·...

Jak zdać maturę z matematykina poziomie rozszerzonym

DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO!

?

WYDAWNICTWO – ELITMAT

Mińsk Mazowiecki 2013

DARIUSZ KULMA

Autor: Dariusz kulma

Opracowanie redakcyjne: małgorzata zakrzewska

Projekt graficzny okładki: Paulina Kotomska

Projekt graficzny i skład komputerowy: Paulina Kotomska

Druk i oprawa: drukarnia Beltrani Sp. J.ul. Śliwkowa 1 31-982 Kraków tel. 012 262 91 43

W książce wykorzystano zadania udostępnione przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.

Fotografie z www.fotolia.com: © jolopes - id. 47920777; © agsandrew - id. 50762521; © Fernando Batista - id. 18465344; © Pavel Ignatov - id. 34613575; © Poles – id. 49995593; © Mopic - id. 37977608; © zongo - id. 43134490; © Victoria Kalinina - id. 34291472; © EtiAmmos - id. 21178418; © Pavel Timofeev - id.36645670; © Sergey Nivens - id. 35193521; © JiSIGN - id. 34836076; kharlamova_lv - id. 47907680

Zdjęcie autora na okładce: Piotr Bernaś

Copyright by Firma Edukacyjno – Wydawnicza ELITMAT Dariusz Kulma

Wydanie: Firma Edukacyjno – Wydawnicza ELITMAT Dariusz Kulma

Plac Kilińskiego 7/4, 05-300 Mińsk Mazowiecki tel. 51-77777-51 e-mail: [email protected] , www.elitmat.pl

Mińsk Mazowiecki 2013. Wydanie pierwsze. ISBN: 978-83-63975-02-9

Wszystkie książki wydawnictwa są dostępne w sprzedaży wysyłkowej. Zamówienia prosimy składać przez stronę

www.jakzdacmaturezmatematyki.pl bądź na adres [email protected]

3

Wstęp, który przeczytaj koniecznie!

Wtedy będziesz wiedział: co? jak? dlaczego? po co? i kiedy?

Drogi Maturzysto

Na wstępie chciałem Ci pogratulować. Cieszę się, że zamierzasz zdawać matematykę na poziomie rozsze-rzonym. Dlaczego się cieszę? Dlatego, że chcesz zdawać maturę z przedmiotu, który w obecnych czasach otwiera drzwi na najlepsze kierunki studiów. Ktoś może zapytać dlaczego takie kierunki są najlepsze. Co roku „The Wall Street Journal” publikuje ranking zawodów. Wśród dziesiątki najlepszych od wielu lat królują zawody matematyczne lub wykorzystujące matematykę. Matematyk, programista, aktuariusz (specjalista od oceny ryzyka ubezpieczeń), statystyk, analityk systemów komputerowych. W 2009 roku trzy pierwsze zawody w tym rankingu były związane z matematyką. Pamiętajmy, że to, co dzieje się i kształtuje w gospodarce i na rynku pracy w Stanach Zjednoczonych, będzie również miało miejsce po kilku latach w Polsce. A tak naprawdę już się tak dzieje, ponieważ specjaliści po kierunkach technicznych nie mają z reguły problemów ze znalezieniem pracy. Rynek pracy zdecydowanie odwraca się od kierunków huma-nistycznych.

Książka, którą trzymasz w ręku, jest zbiorem wielu doświadczeń i obserwacji. Jak pewnie zauważyłeś, matura z matematyki na poziomie rozszerzonym jest o wiele trudniejsza od tej z poziomu podstawowe-go. Największe problemy sprawia uczniom fakt, że w odróżnieniu od matury na poziomie podstawo-wym, nie ma tak dużej ilości maturalnych „pewniaków”. Często spotykam się z pytaniami: „Na jakie zadania postawić? Czego uczyć się w pierwszej kolejności? Co będzie na pewno?”

Może Cię zmartwię, ale w maturze rozszerzonej takich stuprocentowych pewniaków praktycznie nie ma. Jest jednak pewien kanon zadań powtarzających się dość często np. równanie trygonometryczne, rów-nanie kwadratowe z parametrem czy nierówność z podwójną wartością bezwzględną. dokonałem analizy wszystkich zadań maturalnych z ostatnich 5-6 lat z każdego z terminów i okazało się, że można wybrać takie zagadnienia, które powtarzają się cyklicznie. Częściej lub rzadziej, ale jednak. Zadania zamieszczone w tej książce nawiązują do wszystkich tych zagadnień.

Czym ta książka różni się od innych?

Po pierwsze tym, że „Jak zdać maturę z matematyki na poziomie rozszerzonym” to specjalny system przygotowań, który sprawdza się na kursach i zajęciach, które prowadzę. To kilkanaście lat pracy i zbierania doświadczeń, obserwacji, których dokonałem na dziesiątkach tysięcy lekcji, jakie przeprowadziłem. Dzięki systemowi przygotowanie jest naprawdę skuteczne. Każdego roku staram się system udoskonalać.

Książka w 11 działach zawiera w części zasadniczej 202 zadania omówione krok po kroku. W każdym zadaniu zostały wyodrębnione poszczególne etapy i czynności, które trzeba wykonać, aby łatwiej Ci było dokonać analizy. Zadania zostały ułożone parami. Pierwsze zadanie (z numerem nieparzystym) jest zadaniem do analizy. Krok po kroku analizujesz dane zadanie obserwując jak zostało ono rozwiązane. drugie zadanie (z numerem parzystym) jest zadaniem sprawdzającym do samodzielnego wykonania, które jest podobne, często prawie identyczne, a czasami nawiązujące tylko w jakimś stopniu do zadania do analizy. W ten sposób będziesz mógł samodzielnie wyćwiczyć nowe umiejętności i sprawdzić czy już to umiesz. Na kolejnych stronach znajdziesz rozwiązanie krok po kroku tego zadania, aby potwierdzić czy wszystko dobrze rozumiesz i wykonujesz. W żadnej innej książce zadania nie są ułożone w ten sposób. to naprawdę będzie efektywnie działać, a wykonane samodzielnie zadania będą utwierdzały Cię w prze-konaniu, że idziesz w dobrą stronę.

4

Na początku każdego działu znajdziesz ważne informacje i najważniejsze wzory z danego działu. Wiele wzorów czy zagadnień rozszerza treści tablic matematycznych i warto z nich korzystać, bo często pozwolą Ci w szybszy sposób rozwiązać zadanie. Nigdy nie omijaj tej części. Przejrzyj wzory i przypomnij sobie np. które wzory już znasz, a których jeszcze nigdy nie używałeś przy rozwiązywaniu zadań.

Nie wszystkie zadania są zadaniami, które mogłyby znaleźć się na maturze, ale musiały zostać umieszczone w tej książce, aby tworzyła spójną całość i byś mógł łatwiej zrozumieć dany materiał. Dlatego nie omijaj żadnych zadań. Zrób nawet te, które wydają Ci się łatwe, jak i te, które sprawiają Ci trudność. Wszystko dasz radę zrozumieć – tylko bądź konsekwentny w swoich maturalnych przygotowaniach.

Ostatnim filarem systemu są powtórki poszczególnych zagadnień czy rodzajów zadań w odpowied-nich odstępach czasowych. Nawiązuje to do odkryć specjalistów od psychologii poznawczej Hermanna Ebbinghausa i Tonego Buzana. Pierwszy z nich zauważył zależność zapominania materiału w czasie i konieczność odpowiedniej ilości powtórek, których powinno być 6-7, by dane zagadnienia pamiętać trwale. Tony Buzan zauważył, że powtórki te będą jeszcze skuteczniejsze, gdy będą w określonym momen-cie. W naszej książce pierwsza powtórka to zadanie sprawdzające. Kolejne będą wtedy, gdy będziesz rozwiązywał zadania z podsumowań, które znajdują się na końcu każdego z działów. Podsumowania składają się w około połowie z zadań testowych i w połowie z otwartych. Wszystkie dotyczą zagadnień z poziomu rozszerzonego. Znajdziesz w nich zadania odnoszące się do wszystkich poprzednich działów - w Podsumowaniu nr 1 będą zadania tylko z pierwszego działu, ale już w Podsumowaniu nr 5 z poprzednich pięciu. dzięki temu cały czas będziesz pamiętał zadania, które powtarzałeś wcześniej. I tak do samej matury! Przy poszczególnych zadaniach w podsumowaniach znajdziesz wskazówki. Najczęściej jest to nu-mer zadania podobnego, a czasem tylko informacja, gdzie szukać wskazówki. Do wszystkich tych zadań znajdziesz odpowiedzi na końcu książki, a nawet rozwiązania krok po kroku, gdy zadanie jest dowodem lub innym zadaniem na wykazywanie. W innych książkach, gdy spotykamy dowody najczęściej nie ma odpowiedzi, ani żadnego rozwiązania. W tej książce jest inaczej.

I jeszcze jedno! Nie bój się dowodów. Zadania tego typu uczą Cię uogólniać matematyczne fakty, są bardzo rozwijające i pobudzające Twoją kreatywność. Staraj się zadań tego typu rozwiązywać jak najwięcej.

Książka przeznaczona jest również do matury w 2015 i kolejnych latach. Budowa matury będzie trochę inna. Pojawią się zadania testowe i zadania kodowane. Treści jednak obowiązujące oraz stopień trudności w ogromnej większości pozostaną takie same. Zmienia się zakres materiału, ale nie będzie go mniej tylko więcej. Treści obowiązujące do matury 2015 zostały zamieszczone w dziale 11. Tam znajdziesz między innymi zadania z rachunku różniczkowego czy obliczania granic.

zostało mi życzyć Ci pracowitości i wytrwałości, bo nie ma złotych środków w przygotowaniach bez tych cech. a sukces sam wtedy przyjdzie! I to większy niż myślisz!

Powodzenia!

spIs tREŚCIstr

1. LICZBY RZECZYWISTE 7

pODsUMOWANIE NR 1 37

2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 39


3. FUNKCJE 69


4. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 89


5. CIĄGI LICZBOWE 107


6. TRYGONOMETRIA 123


7. PLANIMETRIA 139


8. GEOMETRIA KARTEZJAŃSKA 157


9. STEREOMETRIA 175


10. STATYSTYKA, PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA 193


11. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATERIAłU OBOWIĄZUJĄCEGO NA EGZAMINIE MATURALNYM 2015 ROKU. 215


ODPOWIEDZI DO PODSUMOWAŃ NR 1 - 11 231

Wyrażenia algebraiczne to, najprościej można powiedzieć, wyrażenie z jednym lub większą ilością symboli połączonych ze sobą znakami działań np.: yx2 2 czy ab3 . Ważnym elementem tego działu są wzory skró-conego mnożenia. Z tego powodu do tego działu zostały przeniesione przykłady z ich wykorzystaniem.

podstawowe wzory skróconego mnożenia

WZORY Z pRZYKŁADAMI

a b a ab b22 2 2- = - +^ h

x x x x x4 3 4 2 4 3 3 16 24 92 2 2 2$ $- = - + = - +^ ^h h

a b a ab b22 2 2+ = + +^ h

3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 9 12 2 8 17 12 22 2 2$ $+ = + + = + + = +^ ^h h

a b a b a b2 2- + = -^ ^h h

2 3 2 3 2 3 4 3 12 2- + = - = - =^ ^ ^h h h

a b a a b ab b3 33 3 2 2 3- = - + -^ h

x y x x y x y y2 3 2 3 2 23 3 2 2 3$ $ $ $- = - + - =^ ^ ^h h h x x y xy y6 12 83 2 2 3= - + -

a b a a b ab b3 33 3 2 2 3+ = + + +^ h

x x x x x x x2 5 2 3 2 5 3 2 5 5 8 60 150 1253 3 2 2 3 3 2$ $ $ $+ = + + + = + + +^ ^ ^h h h

a b a b a ab b3 3 2 2- = - + +^ ^h h

x x x x x8 2 2 2 43 3 3 2- = - = - + +^ ^h h

a b a b a ab b3 3 2 2+ = + - +^ ^h h

x x x x x27 3 3 3 93 3 3 2+ = + = + - +^ ^h h

Wyrażenia algebraiczne2

39

a a a a1 1 1n n 1f- = - + + + -^ ^h h

x x x x x x1 1 15 2 3 4- = - + + + +^ ^h h

a b a b a a b a b ab bn n n n n k k n n1 2 1 2 1f f- = - + + + + + +- - - - - -^ ^h h

x x x x x x x32 2 2 2 4 8 165 5 5 4 3 2- = - = - + + + +^ ^h h

x y z x y z xy yz xz2 2 22 2 2 2+ + = + + + + +^ h

a b a b a b ab2 4 4 4 22 2 2+ + = + + + + +^ h

Wykazywanie równań i nierówności

Jednym z najbardziej podstawowych dowodów w wyrażeniach algebraicznych jest zależność:

xx 1 2x R

$+d +

/

Udowodnijmy zależność zarówno algebraicznie jak i graficznie.

pRZYKŁAD

Wykaż, że dla każdej liczby x Rd + zachodzi zależność x 2x

1 $+

|xx x

x xx xx

1 2

1 22 1 01 0

2

2

2

$$

$

$

$

+

+

- +

-^ h

Kwadrat różnicy jest zawsze nieujemny.

x 1 0x

2

R

$-d +

/ ^ h

To bardzo ważna zależność, do której wielokrotnie będziemy się odwoływać i to nie tylko w tym dziale.

Analogicznie możemy zapisać: yx

xy 2

,x y R

$d

+

+

/

40

Wyrażenia algebraiczne.

ZADANIE 39. ZADANIE do analizy.

Udowodnij, że dla każdego a i b wyrażenie a b a b24 2$ -^ h jest prawdziwe.

ROZWIĄZANIE

Opuszczamy nawias, porządkujemy i zapisujemy wyrażenie jako kwadrat różnicy, który jest zawsze nieu-jemny

a a b ba a b b

a b

22 0

0

4 2 2

4 2 2

2 2

$

$

$

-

- +

-^ h

a b 0,a b

2 2

R$-

d d/ ^ h

ZADANIE 40. ZADANIE sprawdzające. 4 pkt sierpień 2010

Wykaż, że nierówność a b a b2 2

4 4 2 24$

+ + jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b.

ROZWIĄZANIE

ZADANIE 41. ZADANIE do analizy. 3 pkt czerwiec 2012

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich , ,a b c di prawdziwa jest nierówność ac bd a b c d2 2 2 2$#+ + +

ROZWIĄZANIE

Podnosimy nierówność stronami do kwadratu, porządkujemy przenosząc wyrażenia na jedną stronę oraz przedstawiamy jako kwadrat różnicy, który jest zawsze nieujemny

|

|

ac bd a b c da c abcd b d a b c da c abcd b d a c a d b c b dabcd a d b ca d abcd b cad bc

22

2 0 12 0

0

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

$

$

#

#

#

#

$

$

+ + +

+ + + +

+ + + + +

- - -

- +

-

^ ^

^

^

h h

h

h

ad bc 0, , ,a b c d

2

R$-

d d/ ^ h

ZADANIE 42. ZADANIE sprawdzające.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb , , ,k l m n prawdziwa jest nierówność k m l n k l m n2 2 2 2 4 4 4 4$#+ + + .

ROZWIĄZANIE

41


ODpOWIEDZI.

odpowiedź do ZADANIA 40. 4 pkt sierpień 2010

Wykaż, że nierówność a b a b2 2

4 4 2 24$

++ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b.

ROZWIĄZANIE

Podnosimy nierówność stronami do czwartej potęgi, porządkujemy przenosząc wyrażenia na jedną stronę oraz przedstawiamy jako kwadrat różnicy, który jest zawsze nieujemny

|

|

a b a b

a b a b

a b a a b b

a b a a b ba a b b

a b

2 2

2 2

2 42 4

2 2 22 0

0

4 4 2 2

4 4 2 2

4 4 4 2 2 4

4 4

2

4 4 4 2 2 4

4 2 2 4

2 2 2

$

$

$

$

$

$

$

+ + +

- +

-

+ +

+ +

+ + +

`

^

j

h

a b 0,a b

2 2 2

R$-

d d/ ^ h

odpowiedź do ZADANIA 42.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb , , ,k l m n prawdziwa jest nierówność k m l n k l m n2 2 2 2 4 4 4 4$#+ + + .

ROZWIĄZANIE

Podnosimy nierówność stronami do kwadratu, porządkujemy przenosząc wyrażenia na jedną stronę oraz przedstawiamy jako kwadrat różnicy, który jest zawsze nieujemny

|

|

k m l n k l m nk m k m l n l n k l m nk m k m l n l n k m k n l m l nk n k m l n l m

k n k m l n l m

k n l m

222 0 1

2 0

0

2 2 2 2 4 4 4 4 2

4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4

4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 4 2 2 2 2 4 4

4 4 2 2 2 2 4 4

2 2 2 2 2

$

$

#

#

#

#

$

$

+ + +

+ + + +

+ + + + +

- + - -

- +

-

^ ^

^

^

h h

h

h

k n l m 0, , ,k l m n

2 2 2 2 2

R$-

d d/ ^ h

42



Wykaż, że nierówność log logb a10 9 4a b $+ + jest prawdziwa dla każdego ;a 0 1d ^ h i ;b 0 1d ^ h.

ROZWIĄZANIE

1° Korzystamy ze wzoru loglog ba 1b a= i porządkujemy

nierównośćloglog bb 96 0a a

$+ +

2° Jeśli ;a 0 1d ^ h i ;b 0 1d ^ h, to log ba jest dodatni, więc usuwamy mianownik mnożąc stronami

|loglog log

log log

bb b

b b

96 0

6 9 0

a a a

a a2

$$

$

+ +

+ +

3° Nierówność można przedstawić jako kwadrat sumy, który jest zawsze nieujemny

log b 3 0a2 $+^ h


Wykaż, że dla ;x 0 1d ^ h prawdziwa jest nierówność log log x5 2 5 2 1x 2#+^ h .

ROZWIĄZANIE

43


ODpOWIEDZI.


Wykaż, że dla ;x 0 1d ^ h prawdziwa jest nierówność log log x15 2 5 2x 2#+^ h .

ROZWIĄZANIE Przekształcamy nierówność tak, aby przedstawić ją w postaci kwadratu

|log

log loglog log

log logx

xx

x x25

10 25 210 25 2 0

10 0

x

x

2

2

2

2 2$

#

#

#

+ -

+ +

+ +

UWAGA! Wyrażenie log x2 dla ;x 0 1d ^ h jest liczbą ujemną.

log log

log log

log

x x

x x

x

10 25 0

10 25 0

5 0

2 22

22

2

22

$

$

$

+ +

+ +

+^ h

log x 5 0;x 0 1

22 $+

d d/ ^^

hh

NOtAtKI

44



Uzasadnij, że jeżeli a b 1+ = i a b 92 2+ = , to a b 494 4+ = .

ROZWIĄZANIE

1° Przekształcamy pierwsze równanie, podnosząc stronami do kwadratu

|a ba a b ba b ab

92 81

81 2

2 2 2

4 2 2 4

4 4 2

+ =

+ + =

+ = - ^ h

2° Przekształcamy drugie równanie, podnosząc stronami do kwadratu

|a ba ab ba b ab

12 1

2 1

2

2 2

2 2

9

+ =

+ + =

+ + =\

3° Podstawiamy wyznaczoną wartość do pierwszego równania

|:abab2 8 2

4=-

= -

a ba ba b

81 2 481 3249

4 4 2

4 4

4 4

$+ = - -

+ = -

+ =d

^ h


Oblicz x y4 4+ , jeśli x y 262 2+ = oraz x y 2+ = .

ROZWIĄZANIE

45


ODpOWIEDZI.


Oblicz x y4 4+ , jeśli x y 262 2+ = oraz x y 2+ = .

ROZWIĄZANIE

1° Przekształcamy pierwsze równanie, podnosząc stronami do kwadratu

|x yx x y yx y xy

262 676

676 2

2 2 2

4 2 2 4

4 4 2

+ =

+ + =

+ = - ^ h

2° Przekształcamy drugie równanie, podnosząc stronami do kwadratu

|x yx xy yx y xy

22 4

2 4

2

2 2

2 2

26

+ =

+ + =

+ + =S

3° Podstawiamy wyznaczoną wartość do pierwszego równania

|:xyxy2 22 2

11=-

= -

x yx yx y

676 2 11676 242434

4 4 2

4 4

4 4

$+ = - -

+ = -

+ =d

^ h

NOtAtKI

46



Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami dodatnimi oraz ab 1= , to a b3 3 16$+ +^ ^h h .

ROZWIĄZANIE

1° Wyznaczamy ab 1= i podstawiamy do lewej strony nierówności

aL a b a 13 3 3 3= + + = + + =^ ^ ^ ^h h h h

2° Upraszczamy i redukujemy a aa a3 31 3 9 10 3= + + + = + + =

3° Wyłączamy 3 przed nawias aa P110 3 162

$ $= + +d$

^ h\

W nawiasie otrzymaliśmy sumę odwrotności dwóch liczb dodatnich, która jest zawsze większa bądź równa 2.

ZADANIE 48. ZADANIE sprawdzające. 3 pkt czerwiec 2013

Uzasadnij, że jeżeli a b2 0$+ , to a b a b2 33 3 2$+ .

ROZWIĄZANIE


Wykaż, że dla dowolnych , ,x y z R! + wyrażenie x y zx y z 1 1 1 9$ $+ + + +^ `h j .

ROZWIĄZANIE

x y z yx

zx

xy

zy

xz

yz

yx

xy

zx

xz

zy

yzL x y z P1 1 1 1 1 1 3 9

2 2 2

$ $= + + + + = + + + + + + + + = + + + + + +d$ $ $

^ `h j[ [ [


Uzasadnij, że jeżeli liczby , ,a b c są dodatnie i a b c 2+ + = to a b c1 1 1

214$+ + .

ROZWIĄZANIE

47


ODpOWIEDZI.

odpowiedź do ZADANIA 48. 3 pkt czerwiec 2013

Uzasadnij, że jeżeli a b2 0$+ , to a b a b2 33 3 2$+ .

ROZWIĄZANIE

1° Wyznaczamy a i b z warunku ba 2$- ; b a2$-

2° Przekształcamy lewą stronę nierówności

L a b a a b b2 23 3 2 2$ $= + = +

3° Podstawiamy wyznaczone wartości a i b

( )ba a b b a b a a b a b a b P22 2 2 4 32 2 2 2 2 2 2$ $ $ $ $ $ $+ = - + - - +d

^ h


Uzasadnij, że jeżeli liczby , ,a b c są dodatnie i a b c 2+ + = , to a b c1 1 1

214$+ + .

ROZWIĄZANIE

|a b c

a b c

a b c

ba

ca

ab

cb

ac

bc

ba

ab

cb

bc

ca

ac

a b c

a b c a b c

a b c

L P

1 1 121

1 1 121

1 1 1

4

4

9

1 1 1 3 9

2

2 2 2

$

$

$

$

$

$ $

+ + + +

+ + + + + +

+ + + +

= + + + + + + + + = + + + + + +d$ $ $

^

^ ^ ^

^ ^

h

h h h

h h

1 2 344 44

[ [ [

48



Uzasadnij, że jeżeli x y z 0+ + = , to x y z xyz33 3 3+ + = .

ROZWIĄZANIE

1° Wyznaczamy z z pierwszego równania z x y=- -

2° Podstawiamy do lewej strony równania L x y z x y x yx y x x y xy y

x y xy xy x y xyz P3 3

3 3 3 3z

3 3 3 3 3 3

3 3 3 2 2 3

2 2

= + + = + + - - =

= + - - - - =

=- - = - - = =d

^

^

h

h\


Wykaż, że jeżeli x y 1+ = , to x y xy x y33 3+ + = + .

ROZWIĄZANIE

NOtAtKI

49


ODpOWIEDZI.

odpowiedź do ZADANIA 52 .

Wykaż, że jeżeli x y 1+ = , to x y xy x y33 3+ + = + .

ROZWIĄZANIE

Zauważmy, że każdy dowolny element równania możemy pomnożyć przez sumę x y+ , ponieważ jest ona równa jeden

L x y xy x y xy x yx y x y xyx y x y P

3 33 31 1

3 3 3 3

3 3 2 2

3 3

= + + = + + + =

= + + + =

= + = = = + =d

^

^

h

h

NOtAtKI

50


pODs

UMOW

ANIE

NR

2

Czas na pODsUMOWANIE NR 2! Wykonaj samodzielnie poniższe zadania z poprzednich działów. Zrób je koniecznie. to najważniejszy element naszych przygotowań. Zadania w podsumowaniu są specjalnie tak dobrane, abyś utrwalił i zapamiętał to, czego nauczyłeś się wcześniej.

Gdybyś zapomniał jak rozwiązuje się jakieś zadanie - skorzystaj ze wskazówki. Wskazówka to nu-mer zadania podobnego do tego, które masz rozwiązać lub zawierającego przydatne informacje, które pomogą w rozwiązaniu. Wskazówka może również odsyłać Cię do konkretnego wzoru lub umiejętności.

W zadaniach 2.1 – 2.5. zaznacz jedną poprawną odpowiedź.

ZAD. p. 2.1 Wyrażenie k k k k1 2 3+ + +^ ^ ^h h h, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, jest podzielne przez:

a. 5 B. 9 C. 16 d. 12 WSKAZÓWKA – ZOBACZ ROZWIĄZANIE ZADANIA 68

ZAD. p. 2.2 Rozwiązaniem nierówności ax 5 2$+ jest przedział, gdzie ; ;x 3 121

21

d j3 3- - -^ h. Wynika z tego, że:

a. a 3= B. a 01 C. a jest liczbą pierwszą d. a jest liczbą podzielną przez 3

WSKAZÓWKA – ZOBACZ ROZWIĄZANIE ZADANIA 31

ZAD. p. 2.3 Stopień wielomianu W x x x x1 4 12 5 6$= - -^ ^ ^h h h jest równy:

a. 11 B. 12 C. 17 d. 18

WSKAZÓWKA – ZOBACZ INFORMACJĘ NA STRONIE 51

ZAD. p. 2.4 Jeśli a b 4+ = i a b 102 2+ = , to a b4 4+ jest równe:

a. 100 B. 82 C. 3 14 - d. 3 1 3 12 2- +^ ^h h


ZAD. p. 2.5 Liczba ABCCBA, gdzie , ,A B C są dowolnymi cyframi parzystymi, dzieli się przez:

a. 4 B. 44 C. 22 d. 8


ZAD. p. 2.6 Oblicz wartości m i n, dla których wielomian W x^ h jest podzielny przez wielomian P x^ h, jeśli W x x x mx x n44 3 2= + + - +^ h oraz P x x x 12= + +^ h .


ZAD. p. 2.7 Udowodnij, że wyrażenie AAA AA A+ + jest podzielne przez 41, jeżeli A oznacza dowolną cyfrę.


ZAD. p. 2.8 Dany jest wielomian W x x ax bx 63 2= + + -^ h . Znajdź a i b wiedząc, że jednym z miejsc ze-rowych wielomianu jest liczba 3- , a reszta z dzielenia wielomianu W x^ h przez dwumian x 5+ wynosi 36- .


67

Jak zdać maturę z matematykijakzdacmaturezmatematyki.pl/files/jak_zdac_mature_rozszerzenie.pdf ·...

Documents

Transcript of Jak zdać maturę z matematykijakzdacmaturezmatematyki.pl/files/jak_zdac_mature_rozszerzenie.pdf ·...