Opracowali: Michał Starzonek i Artur Szumalski

Żył w latach około 570-497 przed naszą erą

Grecki filozof-mistyk i matematyk Uznawał liczbę za prazasadę bytu Założył szkołę pitagorejską Odkrył odcinki niewspółmierne Sformułował twierdzenie dziś nazywane

twierdzeniem Pitagorasa

przyprostokątna

przyprostokątna

przeciwprostokątna 60

30

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości

przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów

długości jego przyprostokątnych.

222 cba

2c2a

2b

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to pole kwadratu zbudowanego na

przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów

zbudowanych na przyprostokątnych!

Rozwiążemy wspólnie jedno zadanie, które sprawdzi waszą wiedzę na temat

w/w twierdzenia Pitagorasa.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna a ma długość 3 cm a przyprostokątna b 4 cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Wielokątem o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych.

Trójkąt pitagorejski - trójkąt o bokach a, b, c wyrażonych liczbami naturalnymi, spełniających wyrażenie:

Wzór ten odnosi się do twierdzenia Pitagorasa.

Przykładowy dowód tego twierdzenia został umieszczony poniżej.

222 cba

Dowodów twierdzenia Pitagorasa jest wiele. Przedstawiam najłatwiejszy w zrozumieniu dowód w postaci układanki. Gdybyśmy zbudowali na bokach trójkąta prostokątnego kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na jego przyprostokątnych będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Ilustruje to animacja znajdująca się obok.

Trójkąt egipski - najprostszy z trójkątów pitagorejskich. Jego stosunek długości boków wynosi 3:4:5. Egipcjanie wiedzieli, że jest on trójkątem prostokątnym i wykorzystywali go do wyznaczania kąta prostego przy procesie odnawiania granic gruntowych.

n a b c

1 3 4 5

2 5 12 13

3 7 24 25

4 9 40 41

5 11 60 61

6 13 84 85

7 15 112 113

8 17 144 145

Jeżeli w trójkącie kwadratu długość jednego boku jest równy sumie

kwadratów długości boków pozostałych, to ten trójkąt jest

prostokątny. Założenie: a, b, c - boki trójkąta,

c2 =a2+b2

Ślimak to konstrukcja złożona z trójkątów prostokątnych, w których jedna z przyprostokątnych ma długość 1, a druga jest równa długości przeciwprostokątnej poprzedniego trójkąta.

I tak kolejne przeciwprostokątne mają następujące długości:

... ,39 ,8 ,7 ,6 ,5 ,24 ,3 ,2

Kilka dodakowych zadań

Chłopiec trzyma latawiec na sznurku długości 37 m. Jego kolega stoi w odległości 35 m od niego i widzi, że latawiec jest dokładnie nad nim. Oblicz jak wysoko latawiec zawisł nad głową chłopca.

Na początku warto wykonać rysunek pomocniczy:

37 m

35 m

a = 35 m

b =

?

c =

37 m

a = 35 m

b =

?

c =

a2 + b2 = c2

Ponieważ musimy wyznaczyć b przekształcamy wzór:

b2 = c2 – a2

Podstawiamy dane do wzoru:

b2 = 372 – 352

b2 = 1369 – 1225

b2 = 144144b b =12

Odp. Latawiec zawisł 12 metrów na głową chłopca.

Na powierzchni jeziora, którego głębokość jest równa 8 m, znajduje się boja zakotwiczona na lince długości

17 m. Oblicz średnicę okręgu, jaki boja może „zakreślić” na powierzchni wody.

Wykonujemy rysunek pomocniczy:

r = ?r = ?

l = 17 m

l = 17 m

g =

8 m

g =

8 m

r = ?r = ?

l = 17 m

l = 17 m

g =

8 m

g =

8 m

g2 + r2 = l2

wyznaczamy r:

r2 = l2 - g2

Podstawiamy dane do wzoru:

r2 = 172 – 82

r2 = 289 – 64

r2 = 225225r

r =15

Odp. Boja może „zakreślić” okrąg o średnicy 30 metrów.

d = 15 · 2 = 30