TWIERDZENIE PITAGORASA

Spis treści:

1) Kim był Pitagoras

2) Szkoła pitagorejska

3) Trójkąt prostokątny

4) Twierdzenie Pitagorasa

5) Dowody

6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa

7) Twierdzenie Odwrotne

8) Zadania

Kim był Pitagoras ? (572 p. n. e. – 497 p. n. e.)

Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku

Morza Egejskiego.

Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie (harmonijnie) brzmiały.

Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Ciekawostka o Pitagorasie

Cytaty

Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od milczenia.

Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak najprędzej stali się tobie przyjaciółmi

Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki

To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa. Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie, Chinach, Indiach i Babilonii.

Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów twierdzenia Pitagorasa.

Szkoła pitagorejska

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego później nazwano szkołą pitagorejską. W tym

związku obowiązywały bardzo rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej pięcioletnie próby, które polegały

na ćwiczeniu w milczeniu, wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w

okresie próby żaden uczeń nie mógł go oglądać.

Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym

przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne

mienie. Związek pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w południowej Italii. Członkowie uważali

siebie za ludzi o szczególnych zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako obowiązek mieli:

- dbałość o zdrowie,

- dbałość o silne potomstwo,

- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,

- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje

ludźmi. Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz

bronił zdrowej miłości. Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak postępowali. Gdy wracali

do domów mieli odpowiadać sobie na takie trzy pytania:

- jaki popełniłem błąd?

- co zdziałałem?

- jakiego zaniedbałem obowiązku?

Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało,

natomiast muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy. Szkoła pitagorejczyków była religijno –

politycznym związkiem, ale szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby. Mottem

pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela w latach 1509–1510

Trójkąt prostokątny

przeciwprostokątna

przyprostokątna

przy

pro

stokątn

a

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P1=a2

P2=b2

P3 =c 2

P3= P2 + P1

a

cb

P1, P 2 - pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnychP3 – pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej

Twierdzenie

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

c

a

b

kąt prosty

a, b – długości przyprostokątnych c – długość przeciwprostokątnej

c2 = a2 + b2

Twierdzenie Pitagorasa zachowane na zwoju z greckim kodeksem,

wiek IX n.e.

Dowód I

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

a

b

c

b

C2

Dowód II

a

b

c

a

a

b

b

b

c

c

a

a

b2

a2

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten składa się z kwadratu o boku c oraz czterech przystających trójkątów prostokątnych. Jego pole możemy więc zapisać:

Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:

Ostatecznie otrzymujemy:

Dowód III (dowód z podobieństwa trójkątów)

c2

c

A

B

C

ab

c1c2

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:𝑎𝑐= 𝑐2𝑎 czyli 𝑎2 = 𝑐∗𝑐2 𝑎2 = 𝑐∗𝑐2 oraz𝑏𝑐= 𝑐1𝑏 czyli 𝑏2 = 𝑐∗𝑐1

stąd𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐∗𝑐2 + 𝑐∗𝑐1 = 𝑐ሺ𝑐2 + 𝑐1ሻ= 𝑐∗𝑐= 𝑐2 a zatem𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

D

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo

• obliczenie drogi "na skróty",

• obliczanie przekątnej telewizora,

• obliczanie wysokości np. budynku, góry,

• określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach i sportach ekstremalnych),

• obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

• stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa

 

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.  

a2 + b2 = c2

?

Przykładowe

zadania

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:

3cm i 4 cm .

Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.

Trójkąt Egipski

a – 3 cm

b – 4 cm

c - ?

a2 + b2 = c2

c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2

c2 = 9 cm2 + 16 cm2

c2 = 25 cm2

c = √25 cm2

c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)

 

Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.

 

 a – 5 cm

b - ?

c – 13 cm

 

a2 + b2 = c2

 

52 + b2 = 132

25 + b2 = 169

b2 = 169 – 25

b2 = 144

b = √144

b = 12 [cm]

 

 

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)

 

Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20 cm, jest prostokątny?

  ?

22 + 42 = (√20)2

4 + 16 = 20

20 = 20 [cm]

 

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)

 

Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest prostokątnych.

7 cm, 13 cm, 12 cm.

?

72 + 122 = 132

49 + 144 = 169

193 = 169 - Sprzeczność

 

 

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:

Gomułka Sylwia

Kotnis Agata

Pasich Katarzyna

IIb

KONIEC