ALGEBRY BANACHA . 1. 2. 3. - wms.agh.edu.pl · Twierdzenie Hahna-Banacha i najważniejsze wnioski....

Program przedmiotu:ALGEBRY BANACHA

30 godz. wykładów

Wymagane wiadomości. 1. Podstawowe fakty z analizy funkcjonalnej (równoważność ciągłości funkcjonału liniowego z domkniętością jądra, twierdzenia: Hahna-Banacha, Banacha o izomorfizmie ). 2.Wzór całkowy Cauchy’ego . 3. Twierdzenie Tichonowa o zwartości produktu przestrzeni.

Szczegółowy plan (liczby w przybliżeniu odpowiadają numerom wykładów):

1. Definicje podstawowych typów algebr unormowanych: (algebry z jedynką 1, z inwolucją, Banacha, C*). Przykłady: C[a,b], algebra funkcji znikających w nieskończoności, algebra splotowa L1 = L1(R), i jej wersja dyskretna (izomorficzna z algebrą Wienera). Nieistnienie jedynki w L1(R ). Twierdzenia o dołączaniu jedynki i o istnieniu normy submultyplikatywnej

2. Widmo elementu w algebrze z 1, tw. o otwartości zbioru elementów odwracalnych, o analityczności rezolwenty i o niepustości widm. Przykłady widm. Widmo w podalgebrze (tw. Szyłowa).

3. Tw. Gelfanda-Mazura (przypadek zespolony). Relacja między zbiorem ideałów maksymalnych a funkcjonałami liniowo-multyplikatywnymi na przemiennej algebrze Banacha z 1. Przykłady (ideały w C(K) i w algebrze dyskowej funkcji analitycznych). Widmo algebry, jego zwartość w topologii Gelfanda.

4. Twierdzenie o odwzorowaniu widm, wzory Gelfanda: na widmo i na promień spektralny. Wzmianka o widmach łącznych. Przykłady elementów nilpotentnych i quasinilpotentnych (w L1 [0,1] –funkcje stałe). Radykał, algebry półproste. Dowód, że w algebrze Wienera norma nie jest równoważna promieniowi spektralnemu.

5. Rachunek funkcyjny Riesza-Dunforda. Dowód Gelfanda tw. Wienera. Ogólne tw. o odwzorowaniu widm i o transformacie Gelfanda funkcji analitycznej od elementu.

6. Tw. Stone’a–Weierstrassa (i A.Turowicza). Tw. o transformacie Gelfanda elementu sprzężonego i o rzeczywistości widma elementu samosprzężonego .

7. Tw. Gelfanda-Naimarka o izometrycznym izomorfizmie przemiennych algebr C* z przestrzenią C(K). Przypadek algebr bez 1. Uzwarcenie Cecha-Stone’a X jako widmo algebry funkcji ciągłych ograniczonych na X. nterpretacja N.

8. Nieprzemienne algebry C* . Nieistnienie funkcjonałów liniowo-multyplikatywnych w B(H). Algebra Calkina, tw. Atkinsona (bd.) o związku z operatorami Fredholma

9. Lematy o charakteryzacji elementów nieujemnych w C*-algebrze . Definicja stanów (i warunki równoważne ). Tw. Kreina-Milmana (b.dow.), stany czyste.

10. Związek z mechaniką kwantową. Tw. o wydobywaniu normy przez stany czyste. Przestrzeń stanów jako niekomutatywny odpowiednik widma algebry.

11. Konstrukcja GNS (Gelfanda-Naimarka-Segala) reprezentacji algebry związanej ze stanem. Tw. o zanurzeniu izometrycznym algebry C-* w algebrę operatorów na przestrzeni Hilberta.

12. Lemat Schura dla reprezentacji, czystość stanu a nieprzywiedlność odpowiadającej mu reprezentacji GNS. Uwagi o geometrii rozmaitości Poissona na przestrzeni stanów czystych i o prawdopodobieństwach przejścia między stanami.

13. Lemat Steinhausa, opis widma algebry splotowej L1(R), twierdzenie Wienera-Levy’ego (zarys dow.). Twierdzenie aproksymacyjne Wienera. Odpowiedniki ważone algebry L1(R): algebry Beurlinga i Segala (krótki zarys) .

14. Związek z teorią sygnałów (algebry Segala, w tym algebra Feichtingera wprowadzona w roku 1981). Uwagi o zastosowaniach algebr Banacha do równań całkowych na przykładzie równania Wienera-Hopfa.

Literatura: W.Arveson, An Invitation to C*- Algebras Springer Verl. NY, Heidelberg, Berlin 1976K-H Grochenig , Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, Basel, 2001N.P.Landsman, Mathematical Topics Between Classical and Quantum Mechanics, Springer Verl. NY. 1998G.Pedersen, Analysis Now, Verl. NY, Heidelberg, Berlin 1995W.Żelazko, Algebry Banacha, PWN Warszawa, 1968

Wykład dostępny w wersji angielskiej (program umieszczę na stronie internet.)

Program przedmiotu:ALGORYTMY DLA PROBLEMÓW NP-ZUPEŁNYCH

15 godz. wykładów + 15 godz. ćwiczeń Wymagane wiadomości: znajomość języka C/C++, podstawowe pojęcia kombinatoryki i teorii grafów, podstawowe metody projektowania algorytmów.

1. Algorytmy dokładne dla rozwiązania problemów NP–zupełnych. Przeszukiwanie wyczerpujące. Algorytm z nawrotami dla problemu plecakowego i cyklu Hamiltona w grafie. Drzewo przeszukiwań algorytmu z nawrotami. Algorytm z nawrotami z odcinaniem gałęzi dla problemu plecakowego.

2. Algorytmy z nawrotami z funkcją ograniczającą dla problemu plecakowego. Metoda podziału i ograniczeń dla problemu komiwojażera z funkcją ograniczającą opartą na wartości zredukowanej macierzy odległości.

3. Algorytmy aproksymacyjne dla problemów NP – zupełnych. Definicja algorytmu α -optymalnego. Nieaproksymowalność ogólnego problemu komiwojażera TSP. Algorytm aproksymacyjny dla metrycznego problemu drzewa Steinera z wykorzystaniem minimalnego drzewa rozpinającego.

4. Algorytmy aproksymacyjne oparte na metodzie lokalnego ulepszania dla problemu maksymalnego przekroju w grafie i dla problemu komiwojażera.

5. Schematy aproksymacyjne, wielomianowe schematy aproksymacyjne i w pełni wielomianowe schematy aproksymacyjne. W pełni wielomianowy schemat aproksymacyjny dla problemu plecakowego. Związek między silną NP – zupełnością a istnieniem w pełni wielomianowego schematu aproksymacyjnego.

6. Algorytmy heurystyczne. Algorytmy oparte na metodzie symulowanego wyżarzania i na metodzie poszukiwania z tabu dla problemu plecakowego.

7. Algorytmy genetyczne. Algorytm genetyczny dla problemu plecakowego i dla problemu komiwojażera.

Literatura:V. V. Vazirani, Algorytmy aproksymacyjne. D. L. Kreher, D. R. Stinson, Combinatorial Algorithms.

Program przedmiotu:ANALIZA GRUPOWA RÓWNAŃ CZĄSTKOWYCH

30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

1. Lokalna grupa przekształceń. Grupa Liego. Generator grupy i jego interpretacje. Pierwsze twierdzenie S. Liego. Odwzorowanie wykładnicze.

2. Niezmienniczość funkcji. Rozmaitość algebraiczna maksymalnego rzędu. Niezmienniczość względem działania jednoparametrowej grupy przekształceń.

3. Przedstawienie układu równań cząstkowych jako rozmaitości w odpowiedniej przestrzeni dżetów. Teoria przedłużeń.

4. Kryterium niezmienniczości dla układu równań cząstkowych. Układ równań określających. Przykłady poszukiwań symetrii.

5. Grupa wieloparametrowa. Algebra Liego. Zastosowanie pakietów programowych do poszukiwania symetrii równań różniczkowych.

6. Symetrie a rozwiązania niezmiennicze. Rozwiązania szczególne nieliniowych równań cząstkowych, uzyskiwane za pomocą metod symetrii.

7. Rozmnażanie rozwiązań. Klasy równoważności w zbiorze rozwiązań niezmienniczych. Problem odwrotny analizy grupowej.

8. Uogólnione symetrie. Postać kanoniczna generatora.

9. Równania określające oraz przykłady poszukiwań wyższych symetrii.

10. Użycie pakietów programów komputerowych. Zastosowanie do poszukiwania wyższych symetrii.

11. Zastosowanie wyższych symetrii do znalezienia rozwiązań szczególnych nieliniowych równań cząstkowych.

12. Problemy wariacyjne. Prawa zachowania i twierdzenie E. Noether.

13. Bezpośrednia metoda poszukiwania praw zachowania i jej zastosowania.

14. Użycie pakietów programów komputerowych. Zastosowanie do poszukiwania praw zachowania konkretnych równań cząstkowych.

Literatura:

1. P. Olver, Application of lie Groups to Differential Equations, Springer, NY, 1993. 2. G. Bluman , S. Kumei, Symmetries and Differential Equations,Springer, NY, 1989.3. H. Stephani, Differential Equations: Their Solutions UsingSymmetries, Cambridge Univ. Press, NY, 1989.4. G. Baumann, Symmetry Analysis of Differential Equations withMathematica, Springer, NY, 2000.5. N. Ibragimov, Transformation Groups Applied to Mathematicalphysics, Reidel, Boston, 1985.6. N. Ibragimov (Ed.), CRC Handbook on Group Analysis. Vol.I-III, Boca Raton, 1994.

06 grudnia 2009 r.

Program przedmiotu:ANALIZA DANYCH JAKOŚCIOWYCH

30 godz. konwersatorium

W praktycznych zastosowaniach statystyki pojawia się często konieczność analizy danych o charakterze jakościowym. Na przykład, politolog lub socjolog może klasyfikować respondentów jako mających poglądy lewicowe, liberalne lub konserwatywne i zastanawiać się nad związkiem tej cechy z zamożnością lub płcią respondenta. Wiele przykładów o podobnym charakterze można znaleźć w zagadnieniach biomedycznych (np. w genetyce), w psychologii, ale także w zastosowaniach inżynierskich (np. związanych z kontrolą jakości) i finansowych (np. tzw. credit-scoring, w którym modeluje się prawdopodobieństwo spłaty kredytu przy pomocy tzw. regresji logistycznej). Celem przedmiotu będzie przedstawienie najważniejszych technik modelowania i analizy danych jakościowych z wykorzystaniem pakietu statystycznego R. Zajęcia będą miały w dużej części charakter praktyczny i będą ilustrowane dużą liczbą przykładów.

Wymagane wiadomości: Podstawowy kurs statystyki, np. w zakresie oferowanym w programie studiów licencjackich na WMS.

1. Rodzaje danych jakościowych i ich podstawowe modele probabilistyczne.

2. Twierdzenie o związku optymalnych testów i optymalnych zbiorów ufności. Testy Walda, testy wynikowe i testy ilorazu wiarogodności, oraz generowane przez nie zbiory ufności.

3. Wnioskowanie w modelu dwumianowym i poissonowskim.

4. Wnioskowanie w modelu wielomianowym. Typy planów eksperymentu.

5. Ryzyko względne, ilorazy szans, zmienne ukryte i paradoks Simpsona.

6. Miary zależności dla zmiennych nominalnych: współczynniki Goodmana-Kruskala i Theila.

7. Współczynnik gamma Goodmana-Kruskala zależności dla zmiennych o wartościach uporządkowanych. Test niezależności chi-kwadrat i test ilorazu wiarogodności.

8. Dokładny test Fishera niezależności w tablicach kontyngencji.

9. Uogólnione modele liniowe (GLM): wstęp i przykłady. Dewiancja.

10. Momenty w rodzinach wykładniczych i funkcja wiarogodności w modelach GLM.

11. Metoda największej wiarogodności dla modeli GLM. Algorytm Newtona-Raphsona i algorytm Fishera z interpretacją jako „iteracyjnie ważona metoda najmniejszych kwadratów”.

12. Regresja logistyczna: estymacja, weryfikacja, interpretacja, przykłady.

13. Kodowanie nominalnych zmiennych objaśniających. Kontrasty proste i resztowe.

14. Kontrasty wielomianowe dla zmiennych jakościowych o wartościach uporządkowanych. Modele GLM z funkcją wiążącą typu log-log.

Literatura:1. A.Agresti, Categorical Data Analysis (2nd edition), Wiley, New York, 2002 (Rozdz. 1-7).2. J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i

przyrodniczych, WNT, Warszawa, 2001 (Rozdz. 6).

27 listopada 2009

Program przedmiotuANALIZA FUNKCJONALNA

30 godzin wykładów

1. Przestrzenie unormowane. Przykłady: przestrzeń euklidesowa, przestrzenie ciągów c, c_0, m, l_p, przestrzeń funkcji ciągłych, przestrzenie funkcji całkowalnych, przestrzenie Lebesgue'a L_p i inne. 2. Topologia przestrzeni unormowanej. Zbieżność. Zbieżność w konkretnych przestrzeniach. Zbiory gęste. Przestrzenie ośrodkowe. Przykłady. 3. Przestrzenie Banacha. Podprzestrzenie. Operacje na przestrzeniach Banacha : przestrzenie ilorazowe, sumy proste. 4. Pojęcie funkcjonału liniowego. Funkcjonały liniowe ciągłe. Przedłużanie liniowych funkcjonałów ciągłych. Twierdzenie Hahna-Banacha i najważniejsze wnioski. 5. Przestrzenie sprzężone. Przykłady przestrzeni sprzężonych. Przestrzenie refleksywne. Słaba i osłabiona (*- słaba) topologia. 6. Operatory liniowe w przestrzeniach unormowanych. Ograniczoność a ciągłość. Przestrzeń operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha. Operator sprzężony. 7. Rodzaje zbieżności ciągów operatorów: zbieżność jednostajna, silna zbieżność oraz słaba zbieżność. Twierdzenie Banacha-Steinhausa. 8. Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz o wykresie domkniętym. Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym. 9. Rezolwenta operatora liniowego. Widmo operatora. Klasyfikacja widma. Przykłady. 10. Operatory zwarte. Definicje, przykłady oraz własności podstawowe. Charakter widma operatora zwartego. 11. Przestrzenie Hilberta. Przykłady przestrzeni Hilberta. Ortogonalność. Rzut na podprzestrzeń. 12. Układy ortonormalne. Szeregi Fouriera. Nierówność Bessla. Baza przestrzeni Hilberta. Tożsamość Parsevala. Zagadnienie najlepszej aproksymacji. Twierdzenie Riesza-Fischera. 13. Operatory liniowe w przestrzeni Hilberta. Formy dwuliniowe a operatory. Operatory samosprzężone. O widmie operatora samosprzężonego. Operatory unitarne. 14. Operatory dodatnie. Pierwiastek kwadratowy z operatora dodatniego. Rozkład spektralny operatora samosprzężonego. Twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych (bez dowodu).

Literatura 1. S. G. Krein / red., Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1967. 2. L. A. Lusternik, W. I. Sobolew, Elementy analizy funkcjonalnej, Warszawa, PWN, 1999. 3. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 2002. Literatura dodatkowa 4. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1969. 5. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, Warszawa, PWN, 1989. 6. S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna a zadaniach, Warszawa, PWN, 2007. 7. K. Rudol, Zbiór zadań z analizy funkcjonalnej, I, AGH, 2008.

Program przedmiotuANALIZA NUMERYCZNA

30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń.

1. Arytmetyka numeryczna fl, reprezentacja liczb, typowe operacje zmiennopozycyjne. 2. Podstawowe pojęcia analizy błędów zaokrągleń,równość w sensie 1, numeryczna stabilność i poprawność algorytmów.

3. Interpolacja wielomianowa Lagrange'a i Hermite'a - algorytm różnic dzielonych, błądinterpolacji, przejście od postaci Newtona wielomianu do postacinaturalnej, zbieżność procesu interpolacji. Wielomiany Czebyszewa.

4. Interpolacja funkcjami sklejanymi - przedstawienie funkcjisklejanych, funkcje sklejane naturalne i okresowe, algorytmy dlakubicznych funkcji sklejanych, wyrażenie na błąd.

5. Interpolacja trygonometryczna - postać zespolona i sinusowo--kosinusowawielomianu trygonometrycznego, przypadek węzłów równoodległych,algorytm FFT.

6. Abstrakcyjne zadanie aproksymacji. Aproksymacja średniokwadratowa, układ równańnormalnych Gaussa. Wielomiany ortogonalne i ich własności.

7. Aproksymacja jednostajna - podprzestrzenie Haara, twierdzenie oalternansie. Algorytm Remeza, twierdzenie o zbieżności (bez dowodu).

8. Kwadratury - rząd, kwadratury interpolacyjne. Kwadratury Gaussa - wyrażenie na błąd, wagi, zbieżność.

9. Kwadratury Newtona--Cotesa. Kwadratury złożone.Ekstrapolacja Richardsona, formuła Eulera--Maclaurina. MetodaRomberga. Informacja o obliczaniu całek niewłaściwych i zosobliwościami.

10. Numeryczne rozwiązywanie układów równań liniowych. Algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu głównego -analiza w arytmetyce zmiennoprzecinkowej fl. Algorytm eliminacjiGaussa dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych.

11. Przekształcenia Householdera i ich wykorzystanie do rozkładu ortogonalno-trójkątnego macierzy, rozwiązywania układów równań liniowych i obliczania wyznacznika. Elementy analizy w fl. Metoda ortogonalizacji Grama--Schmidta z poprawianiem.Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów. Iteracyjne poprawianierozwiązania. Metody iteracyjne dla wielkich układów równań liniowych- oparte na metodzie kolejnych przybliżeń (SOR), metoda Czebyszewa,informacja o wielomianach jądrowych, metody gradientowe (metoda cg).

12. Rozwiązywanie równań nieliniowych. Wykładnik zbieżności, efektywność metod iteracyjnych. Twierdzenie o odwzorowaniach zwężających (przypomnienie), twierdzenie Brouwera opunkcie stałym, twierdzenie Borsuka--Ulama (bez dowodów). Metoda Newtona dla układów równań nieliniowych i twierdzenie o jej zbieżności (bez dowodu).

13. Algebraiczny problem własny. Twierdzenie Gerschgorina. Twierdzenie Jordana (przypomnienie). Wrażliwość wartości własnych. Metody wyznacznikowe - metoda bisekcji.

14. Sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaciHessenberga przez podobieństwa ortogonalne, metoda Hymana obliczaniawyznacznika macierzy w postaci Hessenberga. Metoda bisekcji z ciąguSturma dla macierzy symetrycznych trójdiagonalnych. Metoda QR i jejzbieżność.

Literatura:1. J.M. Jankowscy, M. Dryja, Przegląd metod numerycznych, cz. 1,2, WNT, 1981.2. J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do metod numerycznych, cz. 1,2, PWN, 1980.3. D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT, 2006.4. G. Dalquist, A. Bjorck Metody numeryczne, PWN, 1983.5. A. Kiełbasiński, H. Schwetlick, Numeryczna algebra liniowa, WNT, 1992.

Program przedmiotu:ANALIZA RZECZYWISTA I ZESPOLONA


1. Algebra i σ -algebra zbiorów. Funkcje proste i mierzalne. Miara dodatnia i znakozmienna (przykłady). 2. Całka Lebesgue’a (definicja, własności). Lemat Fatou. Twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności.3. Miary zewnętrzna. Warunek Caratheodory’ego. Miara Lebesgue'a: konstrukcja i podstawowe własności miary Lebesgue'a (bez dow.). Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a (bez dow.). Miary zupełne. Miary regularne.4. Miary produktowe. Twierdzenia Tonellego i Fubiniego.5. Funkcje o wahaniu ograniczonym. Funkcje absolutnie ciągłe.6. Geometria i topologia płaszczyzny zespolonej, sfera Riemanna. Zbieżność ciągów i szeregów zespolonych. Kryteria zbieżności szeregów (Weierstrassa, Cauchy'ego, d'Alemberta, Dirichleta). Zespolone ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność jednostajna, niemal jednostajna.7. Szeregi potęgowe. Twierdzenie Abela. Wzór Cauchy'ego-Hadamarda na promień koła zbieżności. Definicja funkcji analitycznej. Zasada identyczności, zasada maksimum. Elementarne funkcje analityczne (exp z, sin z, cos z). Wzory Eulera. 8. Pochodna zespolona. Równania Cauchy'ego-Riemanna. Pochodne funkcji analitycznych. 9. Lokalna odwracalność funkcji analitycznej. Logarytm i pierwiastek. Gałąź jednoznaczna

funkcji analitycznej.10. Całka krzywoliniowa skierowana i nieskierowana z funkcji zespolonej. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego (różne wersje, szkic dowodu). Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej.11. Wzór całkowy Cauchy'ego. Indeks krzywej. Warunki równoważne definicji analityczności (szkic dow.). Nierówności Cauchy’ego. Twierdzenie Liouville'a. 12. Bieguny i osobliwości funkcji analitycznej. Rozwinięcia funkcji analitycznej w szereg

Laurenta. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa (bez dow.)13. Residuum funkcji analitycznej. Twierdzenie o residuach. Zastosowanie twierdzenia o residuach do obliczania całek rzeczywistych.14. Aproksymacja funkcji ciągłych. Twierdzenie Weierstrassa. Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa (bez dow.).Literatura:1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona, (PWN 1999)2. Ludwik M. Drużkowski: Analiza matematyczna dla fizyków (II. Wybrane zagadnienia), (Wyd. UJ 1997)3. Witold Kleiner: Analiza Matematyczna (Tom II), (PWN 1990)4. Franciszek Leja: Funkcje zespolone (PWN 1979)5. Jan Krzyż: Zbiór zadań z funkcji analitycznych (PWN 2005)

4 grudnia 2009

Program przedmiotu:AUTOMATY I SIECI PETRIEGO30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

Cele przedmiotu: Wprowadzone są modele teorii automatów, gramatyk i języków formalnych, modele sieci Petriego oraz modele procesów równoległych. Wykład obejmuje prezentację podstaw teoretycznych algorytmów i ich zastosowania. Zastosowania obejmują zagadnienia z zakresu rozpoznawania obrazów, analizy i zarządzania szeroko rozumianymi systemami produkcyjnymi. Modele procesów równoległych wykorzystują teorię śladów z mocnymi związkami z dynamiką symboliczną, teorią grafów, automatów i języków formalnych.

1. Elementy teorii półgrup skończonych; półgrupy i monoidy wolne; 2. Automaty skończenie stanowe, języki regularne; automat minimalny; automaty

deterministyczne i niedeterministyczne; lemat o pompowaniu; wyrażenia regularne; tw. Kleene’a.

3. Gramatyki; klasyfikacja Chomsky' ego4. Języki bezkontekstowe; własności, gramatyka - postać Chomsky'ego i Greibach; automat

ze stosem; lemat o pompowaniu; 5. Relacje wymierne; transducer – model realizujacy relację wymierną6. Sieci Petriego – wiadomości wstępne. Miejsca i tranzycje – reguły odpalania; przykłady

modelowania przy wykorzystaniu sieci (przetwarzanie równoległe, protokoły komunikacji dla przepływu danych, synchronizacja, układy multiprocesorów)

7. Własności sieci Petriego związane z dynamiką – osiągalność, ograniczoność, bezpieczeństwo, żywotność, odwracalność – warunki dla ich zaistnienia

8. Analiza sieci Petriego – macierz przyległości i równania stanu. Warunki typu wkw gwarantujące określone własności dynamiczne sieci; algorytmy dla drzew pokrywalności i osiągalności

9. Klasyfikacja sieci Petriego i własności poszczególnych klas; kryteria dla określonych klas10. Własności sieci Petriego wynikające ze struktury sieci i warunki typu wkw11. Problemy redukcji sieci Petriego (miejsca i tranzycje). Hierarchizacja.12. Stochastyczne sieci Petriego i wartościowanie przebiegu. Sieci kolorowalne13. Modelowanie, analiza i zarządzanie systemami produkcyjnymi – „case study” – systemy

cykliczne (linia produkcyjna, system składająco/rozkładający, hala produkcyjna) – systemy acykliczne (short-term planning, scheduling)

14. Elementy teorii śladów i dynamika symboliczna procesów równoległych.

Literatura:

1. W.Foryś, M.Foryś, Teoria języków formalnych i automatów, AOW EXIT, Warszawa 2005

2. J.M.Proth, X.Xie – Petri Nets, A Tool for Design and Management of Manufacturing Systems, John Wiley&Sons, 1996

3. W.Reisig, G.Rozenberg (Eds) – lectures on Petri Nets I: Basic Models, LNCS 1491, Springer 1998

4. W.Reisig, G.Rozenberg (Eds) – lectures on Petri Nets II: Applications, LNCS 1492, Springer 1999

Program przedmiotu:BAZY DANYCH

30 godz. konwersatorium (zajęcia laboratoryjne)

1. Wprowadzenie: zadania baz danych, modele danych, języki, użytkownicy, architektura.

2. Relacyjna baza danych. Projektowanie schematu bazy danych.3. Normalizacja: 1NF, 2NF, 3NF, przykłady.4. Wprowadzenie do Visual FoxPro.5. Działania na bazach danych: konstrukcja oraz modyfikacja baz danych, indeksowanie

i filtrowanie tabel, konstrukcja zapytań, tworzenie widoków, przedstawienie informacji w dogodnej postaci dla użytkownika.

6. Elementy programowania w Visual FoxPro: tworzenie projektu oraz dołączanie do niego elementów składowych, zasady konstrukcji oraz przykłady klas obiektów, menu użytkownika, ekranów, raportów.

7. Wymiana informacji między obiektami.8. Wprowadzenie do języka SQL: zapytanie select, operacje na zbiorach, funkcje

agregujące, wartości null, widoki, modyfikowanie danych, złączenia.9. Przykłady aplikacji bazodanowych: książka adresowa, obsługa małej firmy.10. Realizacja indywidualnych projektów.

Literatura:1. P. Beynon–Davies, Systemy baz danych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000, 2003.2. H. Garcia-Molina, J. Ullman, J. Widom, Systemy baz danych. Pełny wykład, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006.3. Dokumentacja programu Visual FoxPro firmy Microsoft.

26 stycznia 2010

Program przedmiotuDRGANIA NIELINIOWE I CHAOTYCZNE30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

Wymagane wiadomości – podstawowe wiadomości z teorii równań różniczkowych

1. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań, układy liniowe, potoki i podprzestrzenie niezmiennicze, układy nieliniowe.

2. Liniowe i nieliniowe układy dyskretne, orbity okresowe, sekcje i odwzorowania Poincarégo, strukturalna stabilność.

3. Wstęp do teorii chaosu - przykłady: równania van der Pola, Duffinga, Lorenza.

4. Teoria bifurkacji. Przykłady bifurkacji, rozmaitości centralne, twierdzenie o rozmaitości centralnej, twierdzenie o rozmaitości normalnie hiperbolicznej, bifurkacja Hopfa.

5. Formy normalne i algorytm sprowadzania do formy normalnej,

6. Przykłady sprowadzania do formy normalnej.

6. Metoda uśredniania, uśrednianie i odwzorowania Poincarégo, przykłady, lokalne bifurkacje.

7. Metoda Melnikowa na przykładzie perturbacji orbity homoklinicznej.

8. Metoda Melnikowa dla wyżej wymiarowych układów hamiltonowskich.

9. Metoda Melnikowa - Przykład zastosowania w równaniach Duffinga, oraz wahadła.

10. Stabilność orbit subharmonicznych.

11. Podkowa Smale'a jako przykład niezmienniczego zbioru hiperbolicznego.

12. Hiperboliczne zbiory niezmiennicze i ich stabilność.

13. Atraktory chaotyczne i ich stabilność, strukturalna stabilność.

14. Dynamika symboliczna, chaos, i metody topologiczne.

Literatura:

J. Guckenheimer, P. Holmes, Nonlinear Oscilations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields.

Program przedmiotu:DYNAMIKA SYMBOLICZNA


Wymagane wiadomości. Podstawowe wiadomości z zakresu analizy matematycznej, teorii równań różniczkowych i teorii grafów.

1. Równoważne sposoby definiowania shiftów. Pojęcie języka dynamicznego. Przykłady – shift złotego podziału, parzysty, skończonego typu. Twierdzenie o charakteryzacji shiftu przez język dynamiczny.

2. Ciągłość, odwzorowania blokowe i układy topologicznie sprzężone. Twierdzenia o obrazie shiftu przez odwzorowania blokowe różnych typów. Twierdzenie o warunku koniecznym na to, aby odwzorowanie blokowe typu sliding block code było sprzężeniem. Przykłady.

3. Pojęcie shiftu skończonego typu. Reprezentacja grafowa shiftu skończonego typu. Macierz przyległości grafu reprezentującego shift. Twierdzenie o typie shiftu sprzężonego do shiftu skończonego typu. Pojęcie shiftu macierzowego. Twierdzenia o shiftach zadanych przez grafy i macierze; sprzężenie.

4. Grafy etykietowane i pojęcie sofic shiftu. Nieredukowalność shiftu i grafu. Twierdzenie o podgrafie istotnym. Prezentacje minimalne. Twierdzenie o charakteryzacji sofic shiftu przez faktor shiftu typu skończonego.

5. Twierdzenia o „right-resolving” reprezentacji. Algorytmiczne rozwiązania wybranych problemów. Przykłady.

6. Pojęcie entropii topologicznej. Entropia topologiczna dla shiftów skończonego typu i sofic shiftów. Przykłady obliczeń. Twierdzenie Frobeniusa-Perrona. Zliczanie ścieżek w grafie i obliczanie entropii topologicznej. Twierdzenie o entropii nieredukowalnego shiftu typu sofic i shiftu macierzowego. Twierdzenie o entropii w przypadku macierzy prymitywnej. Przykłady.

7. Definicja układu dynamicznego i jego własności dynamicznych (tranzytywność, mieszanie, entropia topologiczna). Związki wprowadzonych wcześniej pojęć (nieredukowalność, prymitywność, entropia topologiczna definiowana poprzez język shiftu) z własnościami dynamicznymi.

Literatura:1. D. Lind and B. Marcus, An introduction to symbolic dynamicsand coding, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.2. H. Xie, Gramatical Complexity and One-dimensional DynamicalSystems, Directions in Chaos. World Scientific, Singapore, 1996.3. P. Kurka, Topological and symbolic dynamics, CoursSpecialises [Specialized Courses], 11. Societe Mathematique de France, Paris, 2003.

4 grudnia 2009

DYSKRETNE MODELE RYNKÓW FINANSOWYCH


1. Model dwumianowy w jednym kroku, pojęcie portfela, braku arbitrażu, wycena przez replikację, istnienie jedynej miary martyngałowej i jej zastosowanie do wyceny instrumentów pochodnych.

2. Model trójmianowy jako najprostszy przykład rynku niezupełnego, przedział cen wyznaczony przez rodzinę miar martyngałowych, strategie super i subosłony.

3. Uzupełnienie modelu przez dodanie aktywa. Warunek zupełności w języku macierzy cen. Przedział cen instrumentów pochodnych związany z uzupełnieniem rynku.

4. Wiele kroków. Pojęcie strategii jako przewidywalnego procesu, wartość strategii. Strategie samofinansujące się, warunek konieczny i wystarczający. Ceny i strategie zdyskontowane. Strategie dopuszczalne, zasada braku arbitrażu.

5. Model dwumianowy, wycena opcji europejskich. Zastosowanie pojęcia martyngału w modelu dwumianowym z dokładnym opisem filtracji. Ceny opcji jako przykład martyngału.

6. Własność Markowa. Osłona przed ryzykiem dla wystawiającego opcję. Przejście graniczne we wzorze na cenę opcji.

7. Pierwsze twierdzenie fundamentalne w jednym kroku. Lemat o separacji.

8. Transformacja martyngałowa. Twierdzenie o reprezentacji w modelu dwumianowym.

9. Wersja twierdzenia dla wielu kroków. Drugie twierdzenie fundamentalne. Wiele walorów, charakteryzacja zupełności przez dopasowanie liczby stopni swobody do liczby walorów.

10. Definicja opcji amerykańskiej jako obwiedni Snella. Momenty zatrzymania, optymalne.

11. Procesy zastopowane, własności. Własności martyngałowe obwiedni, charakteryzacja.

12. Przykłady momentów optymalnych: twierdzenia o momencie maksymalnym i minimalnym.

13. Rozkład Dooba submartyngału i zastosowanie do charakteryzacji momentów optymalnych. Wycena opcji amerykańskich w drzewach dwumianowych, osłona przed

ryzykiem.

14. Kontrakty futures w drzewach dwumianowych. Opcje egzotyczne.

Literatura:S.Shreve, Stochastic Calculus for Finance I, The Binomial Asset Pricing Model, Springer 2004.2. M.Capiński, T.Zastawniak, Mathematics for Finance, Springer, London 2007.3. S.Pliska, Introduction to Mathematical Finance. Discrete time models, Blackwell, Oxford 19975. R.Elliott, P.E.Kopp, Mathematics of Financial Markets, Springer

Program przedmiotu:EKONOMETRIA

Wykłady 30 godz. + laboratorium komputerowe 30 godz.

1. Usystematyzowanie i poszerzenie podstawowych pojęć i notacji z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, w tym: wybrane rozkłady prawdopodobieństwa, warunkowa wartość oczekiwana, testy weryfikujące wybrane hipotezy, własności estymatorów, metoda najmniejszych kwadratów, metoda największej wiarygodności.

2. Omówienie, pod kątem zastosowań ekonometrycznych, możliwości i wad wybranych programów komputerowych i języków programowania. Charakterystyka zależności między zmiennymi. Regresja liniowa cz. I: model regresji liniowej, twierdzenie Gaussa-Markowa (przypadek jednowymiarowy), badanie istotności parametrów.

3. Regresja liniowa cz. II: model normalnej regresji liniowej, wnioskowanie statystyczne dla MNRL, analiza reszt, dekompozycja wariancji, miary dopasowania modelu do danych, predykcja.

4. Regresja wieloraka cz. I: model (normalnej) regresji wielorakiej, twierdzenie Gaussa-Markowa (przypadek wielowymiarowy), wnioskowanie statystyczne.

5. Regresja wieloraka cz. II: algorytmy doboru zmiennych do modelu, analiza reszt, analiza wariancji, miary dopasowania modelu do danych, algorytm tworzenia modelu regresji.

6. Regresja nieliniowa. Jakościowe zmienne objaśniające w modelu regresji. Regresja dla zmiennych zależnych od czasu. Studium przypadku: badanie zależności między dochodem nominalnym w USA oraz liczbą plam na Słońcu – problem regresji pozornej. Studium przypadku: wpływ wprowadzenia przepisu zapinania pasów na śmiertelność w wypadkach samochodowych.

7. Problem naruszenia założeń modelu regresji: brak normalności reszt, heteroskedastyczność i autokorelacja reszt. Identyfikacja obserwacji odstających. Miary wpływu poszczególnych obserwacji na model. Studium przypadku: model CAPM.

8. Szeregi czasowe. Nieformalne metody prognozowania: średnia ruchoma, wygładzanie wykładnicze, metoda Holta i Wintersa. Procesy stacjonarne w węższym i szerszym sensie. Funkcje autokowariancji i autokorelacji. Procesy autoregresyjne (AR): stacjonarność, estymacja parametrów, prognoza.

9. Procesy liniowe. Dekompozycja Walda (bd). Wzór Barletta (bd). Procesy średniej ruchomej (MA): zagadnienie identyfikacji rzędu modelu, estymacja parametrów, prognoza.

10. Procesy ARMA: problem stacjonarności, pojęcie przyczynowości i odwrotności, prognoza liniowa, algorytm Durbina-Levinsona.

11. Funkcja autokorelacji cząstkowej. Rola funkcji ACF i PACF w określaniu rzędu modelu ARMA. Estymacja parametrów procesu ARMA. Kryteria AICC i BIC jako miary dopasowania modelu.

12. Procesy niestacjonarne. Metody wyznaczania trendu i sezonowości: średnie ruchome, wygładzanie wykładnicze, różnicowanie. Procesy ARIMA i SARIMA. Problem pierwiastków jednostkowych. Studium przypadku: analiza sprzedaży biletów lotniczych.

13. Zarysowanie na przykładach problemu heteroskedastyczności. Modele autoregresyjnej warunkowej heteroskedastyczności (ARCH): stacjonarność, gaussowskość, „grube ogony”, wyznaczanie rzędu modelu, estymacja parametrów.

14. Zarysowanie na przykładach problemu persystencji wariancji. Uogólnione modele autoregresyjnej warunkowej heteroskedastyczności (GARCH): stacjonarność, estymacja parametrów, prognoza zmienności, znaczenie założenia o rozkładzie t-Studenta dla procesu reszt. Podsumowanie wykładu.

Literatura:

1. Brockwell, Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, Springer-Verlag, New York2. Brockwell, Davis, Time Series: Theory and Methods, Springer-Verlag, New York3. Greene, William, Econometric Analysis, Prentice Halls4. Neter, Wasserman, Kutner, Applied Linear Regression Models, IRWIN5. Maddala G.S., Ekonometria, Wydawnictwo Naukowe PWN

ELEMENTY TEORII APROKSYMACJI

30 godz. wykładówI. Aproksymacja w przestrzeni unormowanej. 1. Podstawowe twierdzenie aproksymacyjne w przestrzeni liniowej unormowanej. Własności

najlepszej aproksymacji.2. Twierdzenie o jednoznaczności elementu najlepszej aproksymacji. 3. Maksymalne funkcjonały liniowe. Aproksymacja jednostajna funkcji ciągłych.4. Wielomiany Bernsteina. Twierdzenia Weierstrassa i Stone’a-Weierstrassa.5. Charakteryzacja elementów optymalnych w przestrzeni funkcji ciągłych na zbiorach

zwartych. Twierdzenie Kołmogorowa. Warunek Haara, układy Czebyszewa.6. Twierdzenie Haara-Kołmogorowa o jednoznaczności. Wielomiany algebraiczne i

trygonometryczne najlepszej aproksymacji. Wielomiany Czebyszewa.7. Algorytm Remeza (bd). Nierówności Bernsteina i Markowa.

Kraków, 5 grudnia 2009 r.

IV. Funkcje gięte (splines) 12. Podstawowe własności. 13. Interpolacja i najlepsza aproksymacja w

przestrzeni L2. 14. Aproksymacja w przestrzeni LP,

II. Aproksymacja w przestrzeni Hilberta. 8. Twierdzenie aproksymacyjne w przestrzeni Hilberta. Układy ortonormalne, nierówność Bessla, równość Parsevala. 9. Wielomiany ortogonalne. 10. Szeregi Fouriera, podstawowe własności. 11. Twierdzenie o zbieżności szeregu Fouriera funkcji o wahaniu ograniczonym (bd). Twierdzenie Fejera.

FUNKCJE GIĘTE I FALKI30 godz. wykładów

I. Wstęp. 1. Od analizy Fouriera do analizy falkowej 2. Analiza wieloskalowa funkcje gięte i falki. 3. Algorytmy rozkładów falkowych i rekonstrukcje.

IV. Funkcje skalujące i falki. 13. Analiza wieloskalowa. 14. Rozkład falkowy przestrzeni L2(R). Konstrukcja falek za pomocą funkcji giętych.

III. Funkcje gięte na osi rzeczywistej. 10. Przestrzeń podstawowych funkcji giętych. 11. Bazowe funkcje gięte i ich własności. 12. Algorytm rozdrobienia.

II. Analiza harmoniczna. 4. Przekształcenie Fouriera, podstawowe własności. 5. Splot i delta-funkcja, twierdzenie o przekształceniu

odwrotnym.6. Przekształcenie Fouriera funkcji całkowalnych z

kwadratem, tożsamość Parsevala, twierdzenie o transformacie Fouriera w przestrzeni L2(R).

7. Szeregi Fouriera, podstawowe własności, nierówność Bessla

8. Twierdzenie Riesza-Fishera, tożsamość Parsevala, twierdzenie o zbieżności szeregu Fouriera funkcji w przestrzeni L2(0,2π ).

9. Twierdzenia o zbieżności szeregu Fouriera w przestrzeni funkcji ciągłych i 2π -okresowych (bd). Wzór sumacyjny Poissona.

Kraków, 5 grudnia 2009 r.

Program przedmiotu:GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA30 godz. wykładu + 30 godz. ćwiczeń

Cel przedmiotu: Poznanie podstawowych metod i pojęć geometrii różniczkowej. Uwypuklenie związków z algebrą, topologią, analizą matematyczną i równaniami różniczkowymi. Podkreślenie, że geometria różniczkowa dostarcza podstawowych modelii metod dla wielu zagadnień w naukach fizycznych i technicznych. Zwrócenie uwagi na algebraiczne podstawy geometrii różniczkowej. Wyrobienie u studentów zdolności dostrzegania schematów, niezbędnych przy korzystaniu z literatury specjalistycznej z wielu działów matematyki i matematyki stosowanej.

1. Przypomnienie podstawowych wiadomości dotyczących grup i innych struktur algebraicznych. Działanie grupy na zbiór.

2. Pojęcie grupy topologicznej wraz z podstawowymi własnościami. Grupy i algebry macierzy (ortogonalne, hermitowskie, symplektyczne, specjalne). Definicja i własności odwzorowania wykładniczego.

3. Geometria jako teoria niezmienników grup przekształceń. Rola odwzorowania wykładniczego.

4. Elementy algebry wieloliniowej. Iloczyn tensorowy i potęga zewnętrzna.

5. Pojęcie rozmaitości różniczkowej, atlasu, mapy i struktury różniczkowej. Przestrzeń styczna (dwie definicje) .

6. Odwzorowanie styczne (różniczka). Podrozmaitości. Wiązki styczne i kostyczne oraz wiązki wektorowe. Pola wektorowe.

7. Pola wektorowe (kont.), przepływy, krzywe całkowe. Algebra Liego pól wektorowych. Formy różniczkowe. Różniczka zewnętrzna, iloczyny zewnętrzny i wewnętrzny, pochodna Liego.

8. Powierzchnie gładkie w przestrzeni euklidesowej. Całkowanie form różniczkowych, twierdzenie Stokesa.

9. Całkowanie form różniczkowych (kont.). Potencjał, pole potencjalne, warunki konieczne i wystarczające dla potencjalności pola .

10. Koneksja afiniczna, przeniesienie równoległe, pochodna kowariantna. Symbole Christoffla.

11. Krzywizna, skręcenie, równania strukturalne. Geodezyjne i ich własności.

12. Tensor metryczny, rozmaitość riemannowska. Koneksja riemannowska, jej charakteryzacja i własności.

13. Zupełność i twierdzenie Hopfa - Rinova. Krzywizna sekcyjna. Lemat Schura.

14. Grupy Liego i ich algebry Liego. Odwzorowanie wykładnicze. Homomorfizmy grup i algebr Liego.

Bibliografia:1. J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, BM, PWN 1985.2. S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces, Academic Press 1962.3. W. Wojtyński, Grupy i Algebry Liego, BM, PWN 1986.

Program przedmiotuGRAFY I SIECI30 godzin wykładów, 30 godzin ćwiczeń

Cele przedmiotu: Przedstawienie zaawansowanych kierunków teorii grafów i sieci z uwzględnieniem zastosowań.

Wymagania wstępne: teoria grafów.

1. Grafy skierowane. (10 godz. wykładu). Grafy skierowane. Droga, droga prosta, ścieżka, kontur, cykl w grafach skierowanych. Słaba i silna spójność. Cykl Eulera. Tw. Eulera.Cykl hamiltonowski i ścieżka hamiltonowska.

2. Turnieje, turnieje tranzytywne. Tw. Redei. Tw. Moona. Tw. Meyniela bd. Tw. Ghouila-Houriego bd. Tw. Thomassena o cyklach parzystych bd. Tw. Nash-Williamsa.

3. Tw. Robbinsa o orientacji grafu nieskierowanego. Składowe silnie spójne grafu. Tw. Roya i Gallaia. Jądro grafu.

4. Tw. Richardsona. Jądro w grafach przechodnich i symetrycznych. Zastosowanie tw. Eulera: problem dalekopisu.

5. Klasyczne przestrzenie liniowe związane z grafami. Własności macierzy sąsiedztwa, incydencji i oczek.

6. Sieci. (7 godz wykładu). Sieć czynności w planowaniu przedsięwzięć. Metoda ścieżki krytycznej. Metoda PERT.

7. Przepływy w sieciach. Tw. Forda–Fulkersona.

8. Sieci elektryczne i gazowe.

9. Prawa Kirchhoffa. Grafy doskonałe. (5 godz. wykładu). Grafy „alfa”-doskonałe i „gamma”-doskonałe. Hipotezy Berge'a. Tw. Lovasza bd.

10. Grafy doskonałe. Grafy silnego porządku. Grafy z cięciwami.

11. Grafy przedziałów. Zastosowania. Tw. Chudnovsky'ej i innych.

12. Problemy ekstremalne w grafach. (6 godz. wykładu).Problemy ekstremalne dla ścieżek i cykli. Tw. Posy.

13. Problemy ekstremalne dla grafów pełnych. Tw. Turana.

14. Problem Zarankiewicza. Tw. Erdősa-Stone'a bd. Zastosowania.

Literatura:

[1] B. Bollobas, Modern Graph Theory, Springer-Verlag, New York 1998.

[2] J. A. Bondy and U.S.R. Murty, Graphs Theory with Applications, Macmillan. London, 1976. [3] N. Deo, Teoria grafów i jej zastosowania w technice i informatyce, PWN, W-wa 1980.[4] R. J. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, PWN, W-wa 1985.

Program przedmiotuINSTRUMENTY O STAŁYM DOCHODZIE


Wymagane wiadomości:

1. Rynek finansowy, podział i mechanizm funkcjonowania. Instrumenty rynku kapitałowego i pieniężnego

2. Wartość pieniądza w czasie pojedyncza płatność i strumień płatności. Wartość dzisiejsza, wartość przyszła. Stopa efektywna.

3. Renta wieczysta, renta okresowa. Obligacje. Wycena obligacji.

4. Miary stopy zwrotu obligacji.

5. Stopa zwrotu w terminie do wykupu portfela obligacji.

6. Własności funkcji ceny obligacji.

7. Struktura terminowa stopy procentowej.

8. Stopy spot, forward, par.

9. Metoda bootstrapu.

10. Teorie krzywych dochodowości.

11. Ryzyko stopy procentowej Duration. Duration FisheraWeila.

12. Duration portfela obligacji.

13. Immunizacja portfela papierów dłużnych. Wypukłość obligacji.

14. Zarządzanie portfelem obligacji. Strategie motyla. Problem dopasowania przepływów.

Literatura: G.Luenberger, Teoria inwestycji finansowych, PWN 2003.L.Mattellini, P.Priaulet, Fixedincome securities, Wiley, 2003. B.Tuckman, Fixed Income Securities, Wiley, 2002.

Program przedmiotu:KODY BLOKOWE

Wykład 30 godz.

1. Gromadzenie i przesyłanie informacji. System PESEL. Kodowanie kontra szyfrowanie. Kanał przesyłowy, błędy losowe, błędy systematyczne. Niezawodność kanału. Wykrywanie i korygowanie błędów. Schemat transmisji z kodowaniem i dekodowaniem. Założenia o kanale.

2. Kod blokowy. Alfabet. Ciała Galois. Ciała reszt, ciała wielomianów. Przykłady konstrukcji ciał skończonych. Kod binarny lub nie. Kod liniowy, kod nieliniowy. Sprawność kodu.

3. Słowa informacyjne, słowa kodowe, błąd addytywny, słowo otrzymane. Długość kodu: n. Moc (liczność) kodu. Wymiar k kodu liniowego. Kontrola parzystości i jej efektywność. 4. Metryka Hamminga. Waga słowa. Dekodowanie wg największego prawdopodobieństwa (MLD). Dekodowanie pełne lub nie. Dystans kodu. Twierdzenia o wykrywaniu lub korygowaniu błędów.

5. Generowanie kodu liniowego. Ortogonalność słów. Kod dualny. Baza i macierz generująca. Liczba baz kodu liniowego binarnego. Elementarne przekształcenia wierszowe i algorytmy znajdowania bazy (macierzy generującej) kodu i/lub kodu dualnego. Macierz kontroli parzystości.

6. Przykłady rachunkowe. Kodowanie za pomocą macierzy generującej. Kod liniowy systematyczny. Kody równoważne. Macierz kontroli parzystości determinuje dystans kodu liniowego. 7. Kod Hamminga binarny [n,k,d] z parametrami n = 2^r – 1 dla r > 2, k = n – r, d = 3. Ograniczenie Hamminga (ograniczenie dla upakowania kul). Kody doskonałe. Kody trywialne.

8. Warstwy kodu (translacje). Słownik kodu. Objaw (syndrom) warstwy. Dekodowanie: standardowa tablica dekodująca (SDA). Przykład: SDA dla kodu Hamminga.

9. Wydłużanie kodu. Kod Golaya jako przedziurawienie wydłużonego kodu Golaya. Kody Reeda-Mullera (info).

10. Ograniczenie Singletona. Kody MDS. Kody sympleks. Ograniczenie Gilberta-Varshamova (Warszamowa). Ograniczenie Plotkina. 11. Kody liniowe cykliczne. Wielomian generujący, jego charakteryzacja. Liczba kodów cyklicznych danej długości. Macierz kontroli parzystości kodu cyklicznego i wielomian generujący jego kod dualny. 12. Wielomiany idempotentne, faktoryzacje dwumianu 1 + x^n, znajdowanie wszystkich kodów cyklicznych długości n. Element pierwotny ciała jako generator grupy multiplikatywnej tego ciała. Wielomian pierwotny stopnia m. Ciało Galois z mnożeniem modulo wielomian pierwotny.

13. Wielomian minimalny elementu ciała. Kody BCH (Bosego-Chaudhuriego-Hocquenghama), w szczególności pierwotne i w wąskim sensie. Dystans projektowany i ograniczenie BCH. Kod Hamminga jako kod cykliczny. 14. Kody Reeda-Solomona. Kody Hadamarda. Entropia i twierdzenia Shannona.

Literatura:1. D.R. Hankerson et al. (7 co-authors), Coding Theory and Cryptography. The Essentials, Marcel Dekker, 2nd ed., New York and Basel, 2000.2. G.A. Jones, J.M. Jones, Information and Coding Theory, Springer, 2002.3. F.J. MacWilliams, N.J.A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, 1977.4. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, Cambridge Univ. Press, 2006.

Program przedmiotuKOMBINATORYKA EKSTREMALNA

30 godzin konwersatorium

Wymagane wiadomości:

1-2. Metody zliczania.Liczby Stirlinga I i II rodzaju. Liczba permutacji typu (l_1,l_2,...,l_n) zbioru n-elementowego (tw. Cauchy'ego), liczba podziałów typu (l_1,l_2,...,l_n) zbioru n-elementowego. Wybory z powtórzeniami - sformułowanie Lovásza, Pélikana i Vesztergombiego. Metoda podwójnego zliczania – liczby Turána T(n,k,l) . Metoda średnich.

3. Zasada gołębnika – twierdzenie Erdősa-Szekeresa.4. Słoneczniki – rodziny zbiorów przecinających. Twierdzenie Erdősa-Ko-Rado.5. Metody algebraiczne.

Przestrzenie wektorów incydencji: nierówność Fishera. Miasta parzyste i nieparzyste. Funkcje k-progowe – lemat Razborowa (z dowodem Lovásza, Shmoysa i Tardosa).

6. Przestrzenie wielomianów.Twierdzenia o liczności zbiorów punktów równoodległych i zbioru punktów o dwóch odległościach. Twierdzenie o rodzinach zbiorów L-przecinających. Twierdzenie Bollobása (z algebraicznym dowodem Lovásza).

7. Twierdzenie Ramseya (dla zbiorów i dla grafów). Konstrukcja grafów Ramseya (Frankl i Wilson).

Literatura.1.L. Babai i P. Frankl, Linear Algebra Methods in Combinatorics, Preliminary Version 2, University of Chicago 1993.2.S. Jukna, Extremal Combinatorics: With Applications in Computer Science, Springer 2001.3.W. Lipski i W. Marek, Analiza kombinatoryczna, PWN 19864.L. Lovász, D.B. Shmoys i E. Tardos, Combinatorics in computer science, w: Handbook of Combinatorics, R. Graham, M. Grötschel, i L. Lovász, Handbook of Combinatorics, Elsevier Science, vol. 2, 1995.

Program przedmiotu:KOMUNIKACJA W GRAFACH

30 godz. wykładu

Wymagane wiadomości: Podstawowe pojęcia teorii grafów.

1. Przypomnienie podstawowych pojęć i notacji teorii grafów: stopień, tw. o uściskach dłoni, grafy zwykłe, digrafy, multigrafy; podgrafy; drogi, ścieżki, cykle. Iloczyn kartezjański. Ciągi 0-1. Kody Graya.

2. Spójność wierzchołkowa i krawędziowa. Parametry κ i κ’. Tw. Whitneya. Grafy 2-spójne. Lemat o rozszerzaniu. Warunki równoważne 2-spójności.

3. Ucho. Rozkład uszaty. Tw. Whitneya o rozkładzie uszatym. Uogólnione rozkłady uszate. Spójność w digrafach. Tw. Robbinsa.

4. Dyfuzja (broadcasting). Minimalne grafy dyfuzji. Kostka p-wymiarowa jako minimalny graf dyfuzji.

5. Wymiana informacji (gossiping). Kostka p-wymiarowa jako minimalny graf wymiany. Wymiana w grafie pełnym. .

6. Minimalizacja liczby połączeń. Tw. Bakera-Shostaka.7. Dowód twierdzenia Bakera-Shostaka.8. Realizacja permutacji. Algorytm dla ścieżki i kraty. 9. Motyle otwarte FFT. Własności rekursywne. Sieci Beneša. Ścieżki rozłączne w

sieciach Beneša.10. Realizacja permutacji dla motyli zwiniętych BF(n). 11. Motyl jako sieć uniwersalna. 12. Zanurzenia grafów. Dylatacja, zatłoczenie, ekspansja. Zanurzanie krat w kostkę.13. Zanurzanie drzew binarnych i drzew BDR(n). Graf CCC(n) (cube-connected-graph).

Zanurzenie grafu CCC(n) w graf BF(n) 14. Sieci dynamiczne (komutacyjne). Sieci bez blokady. Sieci ustawne. Sieci Closa. Inne

sieci komutacyjne.15. Podsumowanie.

Literatura:• J. de Rumeur, Communications dans les réseaux de processeurs, Paryż, Masson 1994.• M. Woźniak, Dyfuzja informacji w grafach, Kraków, Wydawnictwa AGH, 1996. • M. Woźniak, Wprowadzenie do problemów komunikacji w grafach, Kraków,

Wydawnictwa AGH, 1999.

5 grudnia 2009

Program przedmiotu:KRYPTOGRAFIA 30 godz. konwersatorium

Cele przedmiotu: Przedstawienie metod zabezpieczania informacji, ograniczania dostępu do niej poprzez szyfrowanie oraz metod przełamywania tych ograniczeń. Przedstawienie aktualnie wykorzystywanych algorytmów i protokołów kryptograficznych, jak również ukazanie perspektywy historycznej rozwoju tych metod.

1. Klasyczne (symetryczne) kryptosystemy monoalfabetyczne i polialfabetyczne (kryptosystem Cezara, Hilla, afiniczny, Vigenere’a, Beauforta, Playfaira); twierdzenia i algorytmy z arytmetyki modularnej i podstaw teorii liczb .

2. Maszyny rotorowe – ENIGMA; podstawy teoretyczne; historia; tw. które rozstrzygnęło II wojnę światową .

3. DES, schemat Feistela; kryptoanaliza różnicowa; metody probabilistyczne .4. AES; elementy ciał Galois.5. Idea klucza publicznego, funkcje jednokierunkowe ; problem plecakowy i

kryptosystem plecakowy. 6. Algorytm Shamira przełamania kryptosystemu plecakowego, elementy teorii krat i

algorytm LLL; tw. uzasadniające poprawność. 7. RSA - 8. Liczby pseudopierwsze - testy pierwszości: Fermata, Solovaya-Strassena, Millera-

Rabina. 9. Problemy faktoryzacji; algorytm oparty na krzywych eliptycznych; podstawy teorii

krzywych eliptycznych.10. Logarytm dyskretny i przydzielanie kluczy; ciała Galois cd. ;

kryptosystem Rabina, ElGamala, McEliece; podpis elektroniczny - wykorzystanie RSA.

11. Krzywe eliptyczne; kryptografia na krzywych eliptycznych część I.12. Krzywe eliptyczne; kryptografia na krzywych eliptycznych część II.13. Protokół kryptograficzny – wprowadzenie; rzut monetą przez telefon; poker

telefoniczny.14. Częściowe odkrywanie sekretu; dowody o wiedzy zerowej.

Literatura:[1] N.Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, WNT, Warszawa, 1995[2] R.A.Mollin, RSA and Public-Key Cryptography, Chapman_Hall CRC, 2003[3] B. Schneier, Applied cryptography, John Wiley&Sons, 1994[3] W.Trappe, L.C.Washington, Introduction to cryptography with Coding Theory,Prentice Hall, 2002[4] L.C.Washington, Elliptic Curves, Number Theory and Cryptography, Chapman_Hall CRC, 2003[5] Internet - strony www wskazane na wykładzie

Program przedmiotu: MATEMATYKA UBEZPIECZEŃ NA ŻYCIE 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń

1. Model probabilistyczny. Funkcja przeżycia, dalsza długość trwania życia, ciągła i dyskretna, intensywność umieralności, rozkłady umieralności, przykłady. Tablice długościtrwania życia: selektywne, końcowe, sumaryczne. 2. Założenia o umieralności w okresach ułamkowych (jednostajny rozkład, założenieBalducciego, stała intensywność umieralności). Oczekiwana dalszadługość trwania życia, wariancja dalszej długości trwania życia (przypadek ciągły i dyskretny). 3. Ubezpieczenia na życie. Ubezpieczenie na całeżycie, na dożycie, mieszane, ubezpieczenia odroczone, ubezpieczeniao zmiennych płatnościach, wersje ciągła i dyskretna. Wariancjawartości obecnej świadczeń. 4. Zależność między ubezpieczeniami ciągłymi i dyskretnymi. Ogólne ubezpieczenia na życie. Zależności rekurencyjne i różniczkowe dla ubezpieczeń dyskretnych i ciągłych. 5. Renty życiowe. Renty życiowe dyskretne i ciągłe. Renty dyskretne płatne rocznie i częściej niż rocznie. 6. Renty dożywotnie, terminowe, odroczone.Wariancja wartości obecnej różnych rodzajów rent. Renty dyskretne i ciągłe o zmiennychpłatnościach. 7. Zależności rekurencyjne. Wartości rent zaczynających się w okresach ułamkowych. 8. Składki netto. Różne zasady obliczania składkinetto. Zasada równoważności. Składki dyskretne okresowe i płatne wsposób ciągły. Zależność między jednorazową składką netto askładkami okresowymi.

9. Składki dyskretne płatne $m$ razy do roku. Wariancja straty ubezpieczyciela. Składki dla poszczególnych typów ubezpieczeń w różnych wersjach. Przykłady składek. Ogólny przypadekświadczeń i składek. 10. Obliczanie składki za pomocą funkcji użyteczności, porównanie z zasadą równoważności. Składki brutto, typowe koszty ubezpieczenia. Informacja o funkcjach komutacyjnych. 11. Rezerwy matematyczne. Rezerwy ciągłe i dyskretne, formuła w terminach przyszłych świadczeń i składek, formuła retrospektywna. 12. Różne wzory na rezerwy (w terminach świadczeń, formuła `rentowa', formuła `składkowa'). Rezerwy w przypadku ogólnych świadczeń i składek, przykłady. 13. Rezerwy dla składek płatnych m razy do roku, związek z rezerwami w przypadkuskładek rocznych. Wzory rekurencyjne dla rezerw dyskretnych.

14. Rezerwy w okresach ułamkowych. Zależność różniczkowa dla rezerw ciągłych. Literatura: 1. H.U. Gerber, Life Insurance Mathematics , Springer Verlag,1990. 2. N.L. Bowers et al, Actuarial Mathematics , The Society ofActuaries, 1986. 3. M. Skałba, Ubezpieczenia na Życie , WNT, 1999. 4. B. Błaszczyszyn, T. Rolski, Podstawy Matematyki Ubezpieczeńna Życie , WNT, 2004.

Program przedmiotu:

METODY NUMERYCZNE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH


Wymagane wiadomości: ogólna wiedza z teorii równań różniczkowych, teorii macierzy i analizy funkcjonalnej.

1. Usystematyzowanie i uzupełnienie podstawowych pojęć: określoność formy kwadratowej, określoność macierzy, macierz z dominującą diagonalą, macierz dodatnia, macierz dodatniego typu, macierz monotoniczna, macierz rzutująca, macierz unormowana względem zadanej podprzestrzeni, norma wektorowa i macierzowa, zgodność norm , forma liniowa i dwuliniowa. Twierdzenie o zależności określoności macierzy z dominacją diagonali (bd.). Twierdzenia o zasadzie maksimum dla dowolnej macierzy i macierzy znormalizowanej (bd.). Warunek konieczny i wystarczający monotoniczności macierzy (bd). Twierdzenie o zależności monotoniczności macierzy z zasadą maksimum (bd.). Twierdzenie o rozszerzonej zasadzie maksimum dla macierzy (bd.). Twierdzenie o zależności macierzy dodatniego typu z monotonicznością (bd.).

2. Klasyfikacja liniowych i semiliniowych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu. Definicja nieliniowego równania różniczkowo-funkcyjnego cząstkowego drugiego rzędu typu parabolicznego i eliptycznego w sensie Waltera. Przykładowe modele fizyczne. Wzór Taylora z różnymi postaciami reszty (bd.). Twierdzenie o wartości średniej w przestrzeniach Banacha (bd.). Wprowadzenie do teorii metod numerycznych: definicja zgodności, rzędu aproksymacji, zbieżności, stabilności i dobrego postawienia metody.

3. Klasyczne równania fizyki oraz wybrane metody rozwiązywania zagadnień początkowych i brzegowych z nimi związanych (krótki przegląd). Metoda różnicowa dla dwuwymiarowego równania Poissona z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Dyskretyzacja, funkcja siatkowa, ilorazy różnicowe. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności. Metody różnicowe dla wielowymiarowych nieliniowych równań eliptycznych z warunkiem brzegowym typu Dirichleta (informacyjnie). Metody rozwiązywania niejawnych schematów różnicowych (metoda Gaussa, metoda Banacha).

4. Metody różnicowe jawne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowych parabolicznych z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Dyskretyzacja, funkcja siatkowa, podstawowe ilorazy różnicowe. Twierdzenie o szybkości aproksymacji ilorazami różnicowymi (bd.). Twierdzenie o nierównościach różnicowych. Definicja uogólnionego warunku Perrona. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności.

5. Twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego parabolicznego z warunkiem brzegowym typu Dirichleta (wniosek ze zbieżności metody różnicowej) (bd.). Zastosowanie rozważanych metod różnicowych do równania przewodnictwa cieplnego. Poprawiona metoda różnicowa dla równań quasi-liniowych. Metody różnicowo-funkcyjne jawne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych

1

parabolicznych z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Definicja operatora Volterry. Aproksymacja czynnika funkcyjnego operatorem schodkowym i wielomianowym.

6. Metody różnicowo-funkcyjne jawne i niejawne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych parabolicznych z różnymi warunkami brzegowymi (informacyjnie). Metody rozwiązywania niejawnych schematów różnicowych (metoda Gaussa, metoda Banacha, metoda Newtona). Porównanie z metodami jawnymi. Metoda różnicowa jawna dla jednowymiarowego równania struny drgającej z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Twierdzenia o zgodności, zbieżnościi stabilności.

7. Metody różnicowo-funkcyjne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych pierwszego rzędu z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Schematy różnicowe Laxa, Eulera i uogólniony Eulera. Porównanie metod.

8. Metoda prostych dla jednowymiarowego równania przewodnictwa cieplnego z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Dyskretyzacja, aproksymacja. Twierdzenie o oszacowaniu a priori układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu z warunkiem początkowym (bd.). Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności. Porównanie z metodami różnicowymi.

9. Twierdzenie Gaussa-Greena (bd.), twierdzenie o całkowaniu przez części (bd.), wzory Greena (bd). Twierdzenie o równoważności silnej, półsłabej i słabej postaci wariacyjnej zagadnienia brzegowego typu Dirichleta dla jednowymiarowego równania Poissona. Półsłaba postać wariacyjna zagadnienia brzegowego typu Dirichleta dla dwuwymiarowego równania Poissona. Twierdzenie o równoważności równań wariacyjnych i zagadnienia minimalizacji pewnej formy kwadratowej.

10. Metoda Galerkina, metoda Ritza. Macierz sztywności, różne metody dyskretyzacji na przykładzie zagadnienia brzegowego typu Dirichleta dla jednowymiarowego równania Poissona.

11. Skończenie wymiarowy odpowiednik twierdzenia o równoważności równań wariacyjnych i zagadnienia minimalizacji pewnej formy kwadratowej. Metoda typu elementów skończonych. Elementy teorii interpolacji, wyznaczanie bazy typu elementów skończonych przy pomocy interpolacji w przypadku jednowymiarowym.

12. Przestrzenie typu elementów skończonych w przypadku jedno, dwu i trójwymiarowym. Elementy odcinkowe, prostokątne, trójkątne, krzywoliniowe i czworościenne, twierdzenia o regularności (bd.). Zastosowanie do równania Poissona. Metoda spektralna rozwiązywania skończenie wymiarowych równań wariacyjnych.

13. Zastosowanie metody elementów skończonych do równania przewodnictwa cieplnego. Optymalność elementu skończonego. Twierdzenia o zbieżności i stabilności metody elementów skończonych (bd.).

2

14. Elementy Hsieha-Clougha-Tochera (HCT), zredukowane elementy HCT i elementy Morleya. Zastosowanie do liniowych i quasi-liniowych równań różniczkowych cząstkowych typu eliptycznegoi parabolicznego drugiego i czwartego rzędu. Addytywne metody Schwartza rozwiązywania skończenie wymiarowych równań wariacyjnych dla zredukowanej metody HCT, dekompozycja przestrzeni, algorytmy. Porównanie z metodami różnicowymi.

Literatura:

1. J. Descloux, Méthode des éléments finis, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Lausanne 1973 [Metod koniecznych elementow, Mir, Moskwa 1976].

2. M. Dryja, J. Jankowska, M. Jankowski, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, Część 1,2, WNT, Warszawa 1982.

3. Z. Fortuna, M. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, WNT, Warszawa 1998.

4. A.A. Samarski, Wstęp do teorii schematów różnicowych, Nauka, Moskwa 1971.

5. L. Sapa, A finite difference method for quasi-linear and nonlinear differential functional parabolic equations with Dirichlet’s condition, Annales Polonici Mathematici, tom 93, nr 2 (2008), str. 113-133.

6. R.S. Varga, On a discrete maximum principle, SIAM Journal on Numerical Analysis, tom 3, nr 2 (1966), str. 355-359.

27 stycznia 2010

3

Program przedmiotu:

METODY NUMERYCZNE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH


Wymagane wiadomości: ogólna wiedza z teorii równań różniczkowych, teorii macierzy i analizy funkcjonalnej.

1. Usystematyzowanie i uzupełnienie podstawowych pojęć: określoność formy kwadratowej, określoność macierzy, macierz z dominującą diagonalą, macierz dodatnia, macierz dodatniego typu, macierz monotoniczna, macierz rzutująca, macierz unormowana względem zadanej podprzestrzeni, norma wektorowa i macierzowa, zgodność norm. Twierdzenie Gerszgorina (bd.). Twierdzenie o zależności określoności macierzy z dominacją diagonali. Twierdzenie Vargi o zasadzie maksimum dla macierzy.

2. Twierdzenie o zasadzie maksimum dla macierzy znormalizowanej. Warunek konieczny i wystarczający monotoniczności macierzy. Twierdzenie o zależności monotoniczności macierzy z zasadą maksimum. Twierdzenie o rozszerzonej zasadzie maksimum dla macierzy. Twierdzenie o zależności macierzy dodatniego typu z monotonicznością.

3. Klasyfikacja liniowych i semiliniowych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu. Definicja nieliniowego równania różniczkowo-funkcyjnego cząstkowego drugiego rzędu typu parabolicznego i eliptycznego w sensie Waltera. Przykładowe modele fizyczne. Definicja eliptyczności funkcji, definicja paraboliczności rozwiązania nieliniowego równania różniczkowo-funkcyjnego. Wzór Tayloraz różnymi postaciami reszty (bd.). Twierdzenie o wartości średniej w przestrzeniach Banacha (bd.). Wprowadzenie do teorii metod różnicowych: definicja zgodności, rzędu aproksymacji, zbieżności, stabilności i dobrego postawienia metody.

4. Klasyczne równania fizyki oraz wybrane metody rozwiązywania zagadnień początkowych i brzegowych z nimi związanych (krótki przegląd). Metoda różnicowa dla dwuwymiarowego równania Poissona z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Dyskretyzacja, funkcja siatkowa, ilorazy różnicowe. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności.

5. Metody różnicowe dla wielowymiarowych nieliniowych równań eliptycznych z warunkiem brzegowym typu Dirichleta (informacyjnie). Metody rozwiązywania niejawnych schematów różnicowych (metoda Gaussa, metoda Banacha).

6. Metody różnicowe jawne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowych parabolicznych z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Dyskretyzacja, funkcja siatkowa, podstawowe ilorazy różnicowe. Twierdzenie o szybkości aproksymacji ilorazami różnicowymi. Twierdzenie o nierównościach różnicowych.

7. Metody różnicowe dla równań parabolicznych, c.d. Definicja uogólnionego warunku Perrona. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności.

8. Twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego parabolicznego z warunkiem brzegowym typu Dirichleta (wniosek ze zbieżności metody różnicowej). Zastosowanie rozważanej metody różnicowej do równania przewodnictwa cieplnego. Poprawiona metoda różnicowa dla równań quasi-liniowych.

9. Metody różnicowo-funkcyjne jawne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych parabolicznych z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Definicja operatora Volterry. Aproksymacja czynnika funkcyjnego operatorem schodkowym i wielomianowym.

10. Metody różnicowo-funkcyjne niejawne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych parabolicznych z różnymi warunkami brzegowymi (informacyjnie). Metody rozwiązywania niejawnych schematów różnicowych (metoda Gaussa, metoda Banacha, metoda Newtona). Porównanie z metodami jawnymi.

11. Metoda różnicowa jawna dla jednowymiarowego równania struny drgającej z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności.

12. Metoda prostych dla jednowymiarowego równania przewodnictwa cieplnego z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Dyskretyzacja, aproksymacja. Twierdzenie o oszacowaniu a priori układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu z warunkiem początkowym (bd.). Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności. Porównanie z metodami różnicowymi.

13. Metody różnicowo-funkcyjne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych pierwszego rzędu z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Schematy różnicowe Laxa, Eulera i uogólniony Eulera. Porównanie metod.

14. Metody wariacyjne dla jedno i dwuwymiarowego równania Poissona z warunkiem brzegowym typu Dirichleta (metoda Galerkina, metoda Ritza i metoda elementów skończonych). Twierdzenie o równoważności kilku postaci wariacyjnych w przypadku jednowymiarowym. Twierdzenie o zależności postaci wariacyjnych z minimalizacją funkcjonału w przypadku jednowymiarowym (bd.) Twierdzenie o zbieżności. Porównanie z metodami różnicowymi.

Literatura:

1. M. Dryja, J. Jankowska, M. Jankowski, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, Część 1,2, WNT, Warszawa 1982.

2. Z. Fortuna, M. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, WNT, Warszawa 1998.

3. A.A. Samarski, Wstęp do teorii schematów różnicowych, Nauka, Moskwa 1971.

4. L. Sapa, A finite difference method for quasi-linear and nonlinear differential functional parabolic equations with Dirichlet’s condition, Annales Polonici Mathematici, tom 93, nr 2 (2008), str. 113-133.

5. R.S. Varga, On a discrete maximum principle, SIAM Journal on Numerical Analysis, tom 3, nr 2 (1966), str. 355-359.

7 grudnia 2009

Program przedmiotu:

METODY NUMERYCZNE DLA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH


1. Podstawowe definicje i twierdzenia z teorii równań różniczkowych zwyczajnych, przydatnych w dalszej części wykładu: istnienie, jednoznaczność i ciągła zależność rozwiązań. Analityczne rozwiązywanie wybranych typów równań, w tym układów równań liniowych i równań wyższych rzędów. Punkty stacjonarne i ich stabilność.

2. Zasady konstruowania schematów różnicowych. Metody Taylora. Ogólna postać schematu Rungego-Kutty, wyprowadzenie metody typu jawnego. Macierz Butchera.

3. Rząd metody jednokrokowej, błąd lokalny i jego oszacowanie. Twierdzenie o zgodności schematu. Zbieżność schematu jednokrokowego - definicja zbieżności i dwa twierdzenia o zbieżności.

4. Pojęcie zero-stabilności schematu jednokrokowego. Twierdzenie o zero-stabilności i zgodności schematu. Absolutna stabilność, przykłady wyznaczania obszarów absolutnej stabilności schematu.

5. Definicja równania różnicowego i jego rozwiązania. Bazy rozwiązań równania jednorodnego, funkcja generująca oraz metoda przewidywania dla równania niejednorodnego.

6. Definicja i przykłady schematów wielokrokowych, wyznaczanie współczynników dla tych metod. Wyznaczanie rzędu. Definicja stabilności i twierdzenie o stabilności schematu wielokrokowego.

7. Twierdzenie o rzędzie liniowego schematu wielokrokowego - (pierwsza bariera stabilności Dalquista).

8. Pojęcie własności root condition i twierdzenie o zbieżności schematu wielokrokowego. Twierdzenie o współczynnikach schematu symetrycznego.

9. Dowód twierdzenia o zbieżności liniowego schematu wielokrokowego. Pojęcie sztywności problemu różniczkowego.

10. Sztywność układu równań różniczkowych (przykłady, wskaźnik sztywności), schematy A-stabilne. Analiza stabilności schematu BDF (metody różnic wstecznych). Szkic dowodu twierdzenia o stabilności schematu BDF.

11. Metody strzału i różnicowa dla problemu brzegowego.

12. Twierdzenie o stabilności metody różnicowej dla problemu brzegowego.

13. Metoda wariacyjna Ritza-Rayleigha, konstrukcja baz przestrzeni rozwiązań.

14. Ogólne metody zmiennokrokowe, zasady konstrukcji i przykłady zastosowań tych metod.

Literatura:1. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT 1999.2. J.C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, Wiley 2003.3. C.H. Edwards, D.E. Penney, Differential equations and linear algebra, Prentice Hall 20014. D. Dubin, Numerical and analytical methods for scientists and engineers using Mathematica, Wiley 2003.5. E. Hairer, S. Norsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, Springer, 2000.

10.12.2009

Program przedmiotu:METODY OBLICZENIOWE I ICH KOMPUTEROWA REALIZACJA

30 godz. wykładów + 30 godz. laboratorium

Wymagane wiadomości. Zakres kursu analizy numerycznej ze studiów pierwszego stopnia. Cele przedmiotu: Położenie nacisku na praktyczną stronę procesu obliczeniowego: wybór metody, analizę gotowych algorytmów pod kątem możliwości ich realizacji na istniejącym sprzęcie, kryteria wyboru narzędzi programistycznych, gotowych aplikacji, dostępnych bibliotek numerycznych, graficznych. Przeprowadzanie samodzielnych symulacji komputerowych z wykorzystaniem dostępnych procedur bibliotecznych. Zaprezentowanie i porównanie różnych metod rozwiązywania równań różniczkowych. Przeprowadzanie symulacji komputerowych pewnych konkretnych procesów fizycznych. Omówienie pewnych aspektów algorytmów zrównoleglenia obliczeń.

1. Wprowadzenie do przedmiotu. Omówienie literatury i dostępnego oprogramowania numerycznego. Zagadnienie dynamicznej alokacji pamięci. Dostępne biblioteki graficzne. Proste algorytmy wykreślania krzywych, powierzchni, izolinii i izopowierzchni funkcji.

2. Kodowanie macierzy rzadkich. Algorytm Knutha kodowania rzadkich macierzy. Metoda gradientów sprzężonych rozwiązywania układu równań liniowych z rzadką macierzą symetryczną. Techniki informatyczne.

3. Oszacowanie błędu i kontrola długości kroku w metodach rozwiązywania problemu początkowego dla równań różniczkowych zwyczajnych.

4. Wektor Nordsiecka. Sztywne układy równań różniczkowych.

5. Metoda elementu skończonego - wprowadzenie. Postać wariacyjna równań różniczkowych. Metoda Galerkina. Metoda elementu skończonego.

6. Jednowymiarowy przypadek równania Poissona i równania Fouriera-Kirchhoffa. Dyskretyzacja metodą elementu skończonego - wzory dla różnych wariantów warunków brzegowych.

7. Kontynuacja poprzedniego wykładu - twierdzenia o zbieżności metody i oszacowaniu błędu .

8. Jednowymiarowe zagadnienie dyfuzji wzajemnej mieszaniny o stałym stężeniu. Dyskretyzacja metodą elementu skończonego - wzory. Twierdzenia o zbieżności metody i oszacowaniu błędu.

9. Metody hp--adaptacyjne - wprowadzenie. Przypadek jednowymiarowy.

10. Kontynuacja - algorytm hp-adaptacji.

11. Automatyczne generatory siatek. Algorytm Delaunaya. Program EasyMesh.

12. Stacjonarny rozkład temperatury w ośrodku niejednorodnym. Rozkład temperatury w bryle trójwymiarowej. Metoda elementu skończonego i …

13. … metoda spektralna.

14. Metody iteracyjne rozwiązywania układów algebraicznych równań liniowych i nieliniowych - przypomnienie. Obliczenia równoległe - przykładowe algorytmy.

Literatura:1. K. Atkinson, W. Han, Theoretical Numerical Analysis, A Functional Analysis Framework, Springer-Verlag New York, Inc., 2001.2. B. Bożek, Metody Obliczeniowe i Ich Komputerowa Realizacja, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Kraków 2005.3. R.L. Burden, J.D. Faires, Numerical Analysis third edition, Prindle, Weber & Schmidt, Boston 1988.4. R. Barret, M. Berry, T.F. Chan, J. Demmel, J.M. Donato, J. Dongarra, V. Eijkhout, R. Pozo, Ch. Romine, H. Vorst, Templates for the Solution of Linear Systems: Buildind Blocks for Iterative Methods, http://www.netlib.org:templates/templates/Templates.html.5. J. Descloux, Méthode des éléments finis, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse, 1973.6. D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006.7. P. Šolin, Partial Differential Equations and Finite Element Method, Wiley-Interscience, 2006.

Forma zaliczenia: Na podstawie realizacji kilku projektów obowiązkowych o narastającym stopniu trudności i jednego przydzielonego indywidualnie.

28 listopada 2009

Program przedmiotu:

METODY ITERACYJNE DLA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH


Wymagane wiadomości: ogólna wiedza matematyczna głównie z metod numerycznych i analizy funkcjonalnej.

1. Twierdzenie Banacha (bd.). Twierdzenie Picarda w wersji lokalnej i globalnej, szkic dowodu z wykorzystaniem twierdzenia Banacha. Analiza przykładów równań różniczkowych.

2. Definicja liniowego i wieloliniowego operatora ograniczonego. Definicja normy liniowego i wieloliniowego operatora ograniczonego. Definicja pierwszej różniczki Frécheta i pierwszej pochodnej Frécheta. Obliczanie różniczek Frécheta różnych operatorów.

3. Definicja różniczek Frécheta wyższych rzędów i pochodnych Frécheta wyższych rzędów. Obliczanie różniczek Frécheta różnych operatorów, cd.

4. Metoda Newtona. Uogólniona metoda Newtona-Kantorowicza w przestrzeniach Banacha. Twierdzenie Kantorowicza o zbieżności oraz istnieniu i jednoznaczności rozwiązania (bd.). Analiza przykładów równań i układów równań algebraicznych.

5. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania x-Ax=y, twierdzenie o odwracalności operatora I-A, gdzie A jest operatorem w przestrzeni Banacha. Zastosowanie w uogólnionej metodzie Newtona-Kantorowicza do pewnego równania różnicowego.

6. Twierdzenie o zbieżności i istnieniu rozwiązania dotyczące uogólnionej metody Newtona-Kantorowicza (bd.). Analiza przykładów.

7. Uogólniona metoda gradientowa typu Newtona dla funkcjonałów na przestrzeniach Banacha. Twierdzenie o zbieżności (bd.). Analiza przykładów.

8. Twierdzenie Riesza-Frécheta (bd.). Definicja uogólnionego gradientu. Konstrukcja ciągu w uogólnionej metodzie gradientowej typu Newtona dla funkcjonałów na przestrzeniach Hilberta. Analiza przykładów.

9. Konstrukcja ciągu w uogólnionej metodzie gradientowej typu Newtona dla funkcjonałów na przestrzeniach Lp. Analiza przykładów równań całkowych.

10. Przybliżone rozwiązywanie równań całkowych z wykorzystaniem uogólnionej metody gradientowej typu Newtona, cd.

11. Twierdzenie o różniczkowalności normy i kwadratu normy w rzeczywistych przestrzeniach Hilberta. Uogólniona metoda gradientowa typu Newtona dla operatorów w przestrzeniach Hilberta. Twierdzenie o zbieżności (bd.). Analiza przykładów układów równań algebraicznych.

12. Rozszerzona metoda Newtona. Metoda Czebyszewa. Twierdzenie o zbieżności (bd). Analiza przykładów równań algebraicznych.

13. Uogólniona metoda Czebyszewa dla operatorów w przestrzeniach Banacha. Twierdzenie o zbieżności (bd). Uogólniona metoda gradientowa typu Czebyszewa dla operatorów w przestrzeniach Banacha (informacyjnie). Analiza przykładów równań i układów równań algebraicznych.

14. Porównanie przedstawionych metod (zastosowanie, szybkość zbieżności). Kwestia przyśpieszania zbieżności. Informacja o innych metodach.

Literatura:

1. M. Altman, Metody przybliżone analizy funkcjonalnej, PAN, Wrocław 1963.

2. W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1970.

3. J. Stoer, Wstęp do metod numerycznych, tom 1,2, PWN, Warszawa 1980.

4. J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa 1987.

5. E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications, Springer, New York 1986.

7 grudnia 2009

Program przedmiotu:METODY LINIOWE

Forma: 30 godz. konwersatorium, zaliczenie. Udział części ćwiczeniowej –ponad 70%.

Przedmiot może być realizowany równolegle z kursem analizy funkcjonalnej, lub po tym kursie, (nie przed nim). Wiadomości wymagane: Podstawowy kurs analizy, w tym podstawy całki i miary Lebesgue’a.Szczegółowy plan (liczby w znacznym przybliżeniu odpowiadają tygodniom zajęć): Hasła kursywą odpowiadają treściom przedstawianym przez prowadzącego. Pozostałe –realizowane są na podstawie zadań.

1. Przykłady i własności przestrzeni metrycznych. Kryterium Hausdorffa zwartości zbiorów w przestrzeniach zupełnych. Lemat Riesza. Brak zwartości kuli względem normy. Zwartość w przestrzeniach ciągowych. Twierdzenie Ascoliego – Arzeli. Zwartość operatora zanurzenia przestrzeni funkcji klasy C 1 w przedziale [0,1] w przestrzeń C[0,1].

2. Oszacowania i obliczanie normy operatorowej macierzy. Norma Frobeniusa. Oszacowania normy rezolwenty i otwartość zbioru operatorów odwracalnych w przestrzeni Banacha. Normy operatorów diagonalnych w przestrzeni ciągowej lp , operatory przesunięcia, przesunięcia ważone.

3. Przykłady zastosowania twierdzenia Banacha o kontrakcji (tw. Picarda), prostsze operatory podstawiania.

4. Przestrzeń Lebesgue’a funkcji całkowalnych z p-tą potęgą. W przypadku zmiennych losowych –kryterium w terminach rozkładu. Badanie zbieżności w L p (µ) ( zadania), kryterium zwartości w L p (µ), operatory mnożenia w L p (µ) przez funkcję mierzalną .

5. Gęstość zbioru funkcji klasy C∞, o nośnikach zwartych w L p (R) . Twierdzenie o przeciętnej ciągłości funkcji z L p (R) . Sploty, regularyzacja.

6. Całka Bochnera funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha. Zastosowanie do oszacowań i własności splotu. Związek z twierdzeniem Fubiniego.

7. Badanie, czy dana norma może pochodzić od iloczynu skalarnego. Twierdzenie Jordana – von-Neumanna. Operacja brania sumy prostej przestrzeni Hilberta, zapis operatora w postaci macierzy blokowej. Postać Jordana macierzy.

8. Twierdzenie o charakteryzacji wariacyjnej rzutu prostopadłego. Zadania na znajdywanie rzutu i ortogonalizację metodą Grama-Schmidta. Ortogonalność rzutu o normie 1, rzuty ukośne w przestrzeniach Banacha. Pseudo-odwrotność operatora (Moore-Penrose’a).

9. Rozwijanie w szereg trygonometryczny Fouriera. Średnie Cesaro, Tw. Fejera. Wzmianka o bazach Schaudera i o układach nadkompletnych . Twierdzenie Shannona o nadpróbkowaniu (b.d.).

10. Części widma operatorów ograniczonych. Ortogonalność podprzestrzeni własnych operatorów normalnych. Twierdzenie o odwzorowaniu widm. Operator Volterry.

11. Operatory Hilberta-Schmidta (H-S). Operatory całkowe. Test Schura (b.d.) Twierdzenia o zwartości, charakteryzacja operatorów (H-S) na L 2 (µ), zadania o postaci operatorów sprzężonych. Alternatywa Fredholma (zarys dow.), funkcje Greena.

12. Przykłady projekcji spektralnych i zastosowania twierdzenia spektralnego. Wzór Stieltjesa na projekcje spektralne (b.d.). Funkcje od operatora. Twierdzenie o homomorficzności rachunku funkcyjnego Riesza-Dunforda (b.d.) Przykłady macierzowe

13. Przykłady operatorów symetrycznych niesamosprzężonych w przestrzeni Hilberta. Indeksy defektu. Samosprzężoność wybranych operatorów (zadania). Operatory nieujemne, formy dodatnio określone.

14. Przykłady C 0 −półgrup operatorowych i ich generatorów. Twierdzenie o rozwiązaniu równań ewolucyjnych i o generowaniu C0 −półgrup (zarys dow.). Równanie przewod-

nictwa ciepła. Operatory dysypatywne, tw. Phillipsa-Lumera o generowaniu półgrup kontrakcyjnych (b.d.)

Program przedmiotu:METODY PROBABILISTYCZNE MATEMATYKI DYSKRETNEJ 30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

Wymagane wiadomości. Podstawowe pojęcia teorii grafów i rachunku prawdopodobieństwa; twierdzenie Tichonowa o iloczynie kartezjańskim przestrzeni zwartych.

1. Zliczanie obiektów kombinatorycznych, w tym kombinacje z powtórzeniami, rozmieszczenia. Zasada włączania i wyłączania. Działanie grupy na zbiorze.

2. Lemat Burnside’a. Twierdzenie Pólyi i jego zastosowania.

3. Podstawy ekstremalnej teorii zbiorów.

4. Podstawowy model grafów losowych. Wybrane niezmienniki grafów jako zmienne losowe.

5. Twierdzenie Ramseya. Liczby Ramseya.

6. Podstawowa metoda probabilistyczna i jej zastosowanie do oszacowania liczb Ramseya i liczb van der Waerdena oraz 2-kolorowania hipergrafów.

7. Systemy różnych reprezentantów. Metoda wartości oczekiwanej i jej zastosowanie: zbiory wolne od sum, 2-kolorowanie hipergrafów.

8. Metoda modyfikacji i jej zastosowanie do oszacowania liczb Ramseya i liczby niezależności grafu. Twierdzenie o zbiorze dominującym.

9. Twierdzenie Tutte’a o grafach bez trójkątów o dowolnie dużej liczbie chromatycznej - z dowodem Mycielskiego. Twierdzenie Erdősa o istnieniu grafów z dowolnie dużą talią i dużą liczbą chromatyczną.

10. Lokalny lemat Lovásza w wersji symetrycznej (bd.) i jego zastosowanie do 2-kolorowania regularnych hipergrafów jednolitych.

11. Twierdzenie Erdősa-Lovásza o kolorowaniu prostej rzeczywistej.

12. Własności grafów asymptotycznie prawie pewne. Przykłady.

13. Funkcje progowe własności grafów. Metoda pierwszego momentu. Metoda drugiego momentu.

14. Twierdzenie o funkcji progowej dla własności zawierania kliki rzędu k. Ewolucja grafów losowych (bd.).

Literatura:Z. Palka, A. Ruciński, Niekonstruktywne metody matematyki dyskretnej, WNT 1996.N. Alon, J. Spencer, The Probabilistic Method, J.Wiley & Sons 1992.

26 listopada 2009

MODEL BLACKA-SCHOLESA


Wymagane wiadomości: Procesy stochastyczne, Dyskretne modele rynków finansowych.

1. Całka stochastyczna jako proces. Własność martyngałowa.

2. Definicja wariacji i wariacji kwadratowej. Twierdzenie DoobaMeyera o istnieniu kompensatora dla submartyngałów (bd.). Twierdzenie o postaci kompensatora. Wariacja kwadratowa procesu Wienera, całki stochastycznej, procesu Ito. Jednoznaczność reprezentacji Ito.

3. Riemannowska aproksymacja całki stochastycznej. Wzór Ito dla funkcji ograniczonej procesu Ito. Problem z funkcją nieograniczoną.

4. Lokalizacja. Rozszerzenie definicji całki stochastycznej. Istnienie całki stochastycznej jako procesu. Twierdzenie o lokalizacji.

5. Lokalne martyngały, własności.

6. Wzór Ito w wersji ogólnej. Zastosowanie do wyceny opcji w specjalnym przypadku (Markowa). Wyprowadzenie równania cząstkowego Blacka-Scholesa.

7. Inne zastosowania wzoru Ito - eksponencjalny martyngał, wzór Feynmana-Kaca, całkowanie przez części, różniczka iloczynu.

8. Równanie stochastyczne Blacka-Scholesa, istnienie i jednoznaczność, wycena opcji

9. Stochastyczne równania różniczkowe. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności. Równanie liniowe, wzór na rozwiązanie.

10. Twierdzenia: o reprezentacji, Levy'ego, Girsanowa. Wniosek: zmiana dryfu w stochastycznym równaniu różniczkowym.

11. Model BlackaScholesa: walory, strategie. Istnienie miary martyngałowej.

12. Zupełność modelu Blacka-Scholesa.

13. Strategie dopuszczalne - eliminacja patologii. Optymalność strategii dopuszczalnych, jednoznaczność strategii replikujących.

14. Wycena opcji. Dowód wzoru BlackaScholesa. Zastosowania.

Literatura:J.M.Steele, Stochastic calculus and Financial Applications, Springer 2001. S.Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, ContinuousTime Models, Springer 2004.B.Oksendal, Stochastic Differential Equations, Springer 2003.T.Bjork, Arbitrage theory in continuous time, Oxford 2004.

Program przedmiotu:

MODELE MATEMATYCZNE W PRZYRODZIE I TECHNICE

30 godz. wykładów

Wymagania:

Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe, rachunek prawdopodobieństwa wskazane: znajomość oprogramowania CAS (computer algebra system), np. Mathematica

1. Wprowadzenie do modelowania matematycznego

2. Modele jednowymiarowe z czasem ciągłym; modele populacyjne; model Malthusa; model rozpadu promieniotwórczego; błędy przybliżeń w modelowaniu na przykładzie modelu wahadła matematycznego.

3. Modele nieliniowe; model Verhulsta; rozwiązania stacjonarne; stabilność rozwiązań stacjonarnych.

4. Przykłady modeli rzeczywistych populacji opartych o dynamikę logistyczną; analiza liczby rozwiązań stacjonarnych; pętla histerezy; modele z odławianiem populacji.

5. Modele przestrzenne; modele uwzględniające zjawiska dyfuzyjne;

6. Modele wielowymiarowe; warunki stabilności rozwiązań stacjonarnych w modelach wielowymiarowych; model roweru;

7. Modele populacyjne: model Lotki-Volterry; rozwiązania okresowe; stabilność rozwiązań okresowych.

8. Tw. Poincarego (bd.); modele populacji konkurujących; modele epidemiologiczne (wprowadzenie).

9. Modele epidemiologiczne cd.; modele SIR, SEIR, SIS; odczytywanie wartości liczbowych współczynników z rzeczywistych danych epidemiologicznych; metody przybliżone, metoda Monte Carlo.

10. Modele z czasem dyskretnym. jednej populacji; rozwiązania okresowe; punkt bifurkacji podwojenia okresu; zastosowania komputerów w analizie modeli z czasem dyskretnym.

11. Tw. Li-Yorke'a i tw. Szarkowskiego (oba bd.); chaos w modelach dyskretnych; atraktory i zbiory stabilne; atraktory dziwne.

12. Modele dyskretne wielu populacji; macierze Leslie'ego; modele ze strukturą wieku.

13. Modele dyskretne z opóźnieniem; rozwiązania okresowe i ich stabilność;

14. Model interakcji małżeńskich.

Szczegółowy program zależeć będzie od indywidualnych potrzeb i zainteresowań słuchaczy; wszystkie twierdzenia przytaczane będą bez dowodów (w miarę zainteresowania słuchaczy podany będzie schematyczny zarys dowodu).

Literatura:

J. D. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006

J. D. Murray, Mathematical biology II, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1993

W.T. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975

Program przedmiotuMODELOWANIE I SYMULACJA W FINANSACHSpecjalność: matematyka finansowa30 godz. konwersatorium

Wymagane wiadomości: Model BlackaScholesa

1. Kalibracja modeli finansowych.

2. Modelowanie cen przy pomocy równań różnicowych i różniczkowych.

3. Modelowanie cen akcji przy użyciu równań z losowością.

4. Generowanie cen o rozkładzie lognormalnym

5. Generowanie cen w modelu Bacheliera. Generowanie cen w modelu Blacka-Scholesa.

6. Metody Monte Carlo dla opcji egzotycznych. Zastosowanie na przykładzie wyceny opcji barierowych oraz azjatyckiej opcji kupna.

7. Wycena opcji amerykańskich metodą Monte Carlo. Rekurencyjne ujęcie problemu wyceny.

8. Metoda drzew losowych.

9. Metoda wyceny opcji w modelu z losowymi nieciągłymi skokami. Generowanie realizacji procesu Poissona ze stałym skokiem.

10. Generowanie realizacji procesu Poissona z losowym skokiem. Równanie dyfuzji ze skokiem oraz zmiana numeraire.

11. Wycena obligacji w modelach z losową stopą procentową.

12. Gaussowskie modele krótkiej stopy procentowej; model Vasicka oraz model Ho Lee. Generowanie realizacji procesu krótkiej stopy procentowej.

13. Optymalne sterowanie w stochastycznym programowaniu z czasem dyskretnym, w wycenie opcji.

14. Zastosowanie do rozwiązania problemu Mertona.

Literatura:1. Monte Carlo Methods in Financial Engineering, P. Glasserman. 2. A course in Derivative Securities; Introduction to Theory and Computation, K. Back. 3. Dynamic Asset Pricing Theory, D. Duffie.

4. Stochastic Optimal Control: The DiscreteTime Case, P. Bertsekas, E. Shreve.

Program przedmiotu:NIELINIOWE MODELE ZJAWISK PRZYRODNICZYCH 30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

1. Teoria wymiarów i podobieństwa. Twierdzenie Pi Buckinghama. Przykłady zastosowań w klasycznej teorii wymiarów. Dowód twierdzenia Pitagorasa.

2. Zagadnienia samopodobne w teorii równań cząstkowych. Ściśle rozwiązywalny model wybuchu cieplnego.

3. Rozwiązania typu fali biegnącej. Inne modele nieliniowe. Asymptotyki pośrednie.

4. Wybuchy cieplne w nieliniowych modelach transportu. Rozwiązania dokładne. Efekt lokalizacji.

5. Zagadnienie Dirichleta: efekt pełnej lokalizacji energii cieplnej i rozwiązania typu "blow-up."

6. Transport w ośrodkach aktywnych. Różne typy rozwiązań wybuchających.

7. Zasada maksimum i twierdzenia porównawcze. Rola rozwiązań samopodobnych.

8. Nieliniowe równana falowe: model Eulera i model Burgersa.

9.Tworzenie się fali uderzeniowej. Rola lepkości. Przekształcenie Cole’a-Hopfa. 10.Pełny opis rozwiązań równania Burgersa. Nieliniowy analog zasady superpozycji.

11 Teoria ''płytkiej wody'' i równanie Kortevega-de Vriesa (KdV). Związek z innymi modelami fizycznymi.

12 Przekształcenie Hiroty. Rozwiązania jedno- i dwusolitonowe.

13 Istnienie ''strefy solitonowej'' w zbiorze danych Cauchy’ego. Eksperymenty numeryczne.

14. Model „płytkiej wody” a fala tsunami. Całkowalność nieliniowych równań cząstkowych.

Literatura:

1. G. Barenblatt, Similarity, Self-Similarity and IntermediateAsymptotics, Cambridge Univ. Press, 1985.2. L. Debnath, Nonlinear Partial Differential Equations forScientists and Engineers, Birkhauser, Boston, 2005.3. R. Dodd, J. Ejlbeck, J. Gibbon, H. Morris, Solitons andNonlinear Wave Equations, Academic Press, London, 1985.4. D. Dubin, Numerical and Analytical Methods for Scientistsand Engineers Using Mathematica, Wiley, New Jersey, 2003.

5. N. Karlov, N. Kirichenko, Kolebanija, Volny, Struktury, Nauka, Moskwa, 2006 (in Russian).6. A. Samarskii, V. Galaktionov, S. Kurdiumov, A. Mikhailov, Blow-up Regimes in Quasiliniear Parabolic Equations, Academic Press, London, 1994.7. A. Samarskii, A. Mikhailov, Principles of Mathematical Modelling: Ideas, Methods, Examples, Taylor & Francis, 2002.8. A. Scott, Nonlinear Science, Oxford Univ. Press, 2003.9. G. Witham, Linear and Nonlinear Waves, Wiley, NY, 1974.

06 grudnia 2009 r.

Program przedmiotuOBLICZENIA KWANTOWE 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń

1. Model obliczeń kwantowych. Bit kwantowy (qubit), rejestr kwantowy, pomiar stanu, podstawowe operacje (bramki) kwantowe.

2. Równoległość kwantowa, stany EPR, teleportacja, uniwersalny zbiór operacji unitarnych.

3. Wyrocznia (zapytanie kwantowe), algorytmy kwantowe, kwantowa transformacja Fouriera.

4. Estymacja fazy, ułamki łańcuchowe, szukanie rzędu elementu w grupie.

5. Algorytm Shora rozkładu liczb naturalnych na czynniki pierwsze, koszt, prawdopodobieństwo sukcesu. 6. Przeszukiwanie baz danych -- algorytm Grovera. Potrzebne operacje unitarne, iteracje Grovera. 7. Koszt algorytmu Grovera, oszacowania z dołu – optymalność algorytmu Grovera. 8. Sumowanie liczb na komputerze kwantowym. Iterowany operator Grovera, algorytm sumowania wyrazów ciągu zero-jedynkowego. 9. Przybliżone sumowanie liczb rzeczywistych i obliczanie średniej liczb, jego analiza.

10. Oszacowania z dołu dla podstawowych zadań dyskretnych na komputerze kwantowym. Metoda wielomianowa oszacowań z dołu. 11. Oszacowania z dołu dla zadań przybliżania k -tego najmniejszego elementu, mediany, średniej n liczb. 12. Całkowanie na komputerze kwantowym. Model obliczeń kwantowych dla zadań ciągłych. 13. Algorytm Novaka i jego optymalność. 14. Informacja o rozwiązywaniu innych zadań ciągłych na komputerze kwantowym(np. o rozwiązywaniu problemów początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych).

Literatura: 1. M.A.~Nielsen, I.L.~Chuang, Quantum Computation and QuantumInformation , Cambridge Univ. Press, 2000. 2. Artykuły z lat 1994-2005 Grovera, Shora, Bealsa et al,Brassarda et al, Heinricha, Novaka, Nayaka i Wu i innych.

Program przedmiotuOPCJE REALNE


Wymagane wiadomości: Model dyskretny wyceny opcji.

1. Przykłady wprowadzające problem wyceny firmy (przepływów gotówkowych).

2. NPV, IRR, miary stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych.

3. Elementy teorii podejmowania decyzji, modele preferencji, funkcje użyteczności.

4. NPV projektu i wartość dla akcjonariuszy – zasada separacji Fishera.

5. NPV projektu a koszt kapitału własnego, koszt kapitału obcego, średni ważony koszt kapitału.

6. NPV projektu a struktura kapitału, wycena firmy.

7. Podstawowe opcje realne w firmie i ich wycena.

8. Opcje złożone i ich wycena.

9. Opcje przełączania i ich wycena.

10. Opcje o wielu źródłach niepewności (tęczowe) i ich wycena.

11. Praktyczne aspekty wyceny opcji: estymacja zmienności przepływów gotówkowych.

12. Modyfikacje drzewa dwumianowego w modelu wyceny opcji.

13. Wybrane algorytmy numeryczne wyceny opcji realnych.

14. Metoda Longstaffa-Schwartza wyceny opcji amerykańskiej.

Literatura:T.Copeland, V.Antikarov, Real Options. A Practitioner’s Guide, Thomson, Texere, 2003. A.Dixit, R.Pindyck, Investment under Uncertainty, Princeton University Press, 1994.

Program przedmiotuPROCESY STOCHASTYCZNE


1. Wielowymiarowe zmienne losowe i ich przykłady (wielowymiarowy rozkład normalny). Rozkłady funkcji jedno- i wielowymiarowych zmiennych losowych. Funkcja charakterystyczna i inne transformaty.

2. Warunkowa wartość oczekiwana: Przypomnienie definicji gdy warunkiem jest zdarzenie, zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym, partycja, sigma-ciało, dowolna zmienna losowa. Warunkowa wartość oczekiwana jako projekcja w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem.

3. Własności warunkowej wartości oczekiwanej. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych i ich rozkładów oraz ich związki. Twierdzenia graniczne (bd.). Twierdzenia o zbieżności dla warunkowych wartości oczekiwanych. Nierówność Jensena.

4. Martyngały w czasie dyskretnym. Definicja procesu stochastycznego w czasie dyskretnym, trajektorie, rozkłady, filtracja generowana przez proces. Proces adaptowany, przewidywalny. Definicja martyngału, submartyngału, supermartyngału. Przykłady. Zastosowania w grach losowych.

5. Momenty zatrzymania, proces zastopowany. Twierdzenie o opcjonalnym stopowaniu. Błądzenie przypadkowe, własności momentu pierwszego przejścia przez barierę.

6. Maksymalna nierówność Dooba. Własność liczby przekroczeń. Twierdzenie Dooba o zbieżności supermartyngału. Jednostajnie całkowalne martyngały, zbieżność. Twierdzenie 0-1 Kołmogorowa (bd.).

7. Łańcuchy Markowa. Definicja i przykłady. Klasyfikacja stanów. Twierdzenie graniczne

8. Procesy w czasie ciągłym. Definicja, trajektorie, filtracja, procesy adaptowane. Regularność procesów. Twierdzenie Kołmogorowa o trajektoriach ciągłych (bd.). Martyngały w czasie ciągłym, nierówności Dooba (bd.). Proces Poissona.

9. Proces Wienera. Skalowane błądzenie przypadkowe. Definicja procesu Wienera. Konstrukcje procesu Wienera przez twierdzenie Kołmogorowa o rozkładach zgodnych oraz z użyciem falek (bd).

10. Własności trajektorii. Wariacja i wariacja kwadratowa procesu Wienera. Twierdzenie Dooba-Meyera (bd.)

11. Całka stochastyczna Ito. Definicja dla funkcji schodkowych w klasie procesów całkowalnych z kwadratem . Aproksymacja procesów procesami schodkowymi.

12.Własności całki: liniowość, izometria. Twierdzenie Meyera o niemożności definicji całki stochastycznej po ścieżkach.

13. Definicja procesu Ito. Wzór Ito i jego zastosowania

14. Dowód wzoru Ito dla przypadku Y(t)=f(W(t)).

Literatura:Z.Brzeźniak, T.Zastawniak, Basic Stochastic Processes, Springer 2000.

Program przedmiotu:PROGRAMOWANIE DYSKRETNE

30 godz. wykładów + 30 godz. laboratorium

Wymagane wiadomości. Podstawy programowania liniowego. Obsługa podstawowych funkcji programu Mathematica i elementy programowania w C++.

1. Programowanie dyskretne, programowanie całkowitoliczbowe, programowanie binarne, optymalizacja kombinatoryczna. Zastosowania układanie rozkładów jazdy pociągów, planów lotów samolotów, sporządzanie harmonogramów prac dużych przedsięwzięć inwestycyjnych, planowanie produkcji, podejmowanie optymalnych decyzji.

2. Modele matematyczne wybranych problemów. Przegląd metod stosowanych do rozwiązywania zadań PC, klasyfikacja: modeli matematycznych, zagadnień praktycznych, metod numerycznych.

3. Ograniczenia w zadaniach PC. Liniowe układy diofantyczne, macierze unimodularne, postać Smitha i Hermita macierzy. Kraty ze skończonym zbiorem generatorów.

4. Twierdzenia o istnieniu rozwiązań liniowych układów diofantycznych. Macierze pseudoodwrotne. Metody rozwiązywania układów diofantycznych.

5. Wielościany wymierne, ściany wielościanów, wielościany całkowite. Macierze totalnie unimodularne, przedziałowe, zbalansowane. Twierdzenie Veinotta Dantziga o związkach tych macierzy z wielościanami całkowitymi.

6. Twierdzenia HoffmanaKruskala o związkach macierzy wielościanami i grafami. Zadanie transportowe i przydziału.

7. Równanie dualne programowania liniowego. Totalna dualna całkowitość (TDC) (Edmonds, Giles). Bazy Hilberta. Twierdzenia o układach TDC i wielościanach całkowitych.

8. Wielomianowy algorytm testowania TDC. Grafy doskonałe i układy TDC. Twierdzenie Lovasza (bd).

9. Metoda podziału i ograniczeń Dakina dla PC i programowania zerojedynkowego, przegląd pośredni, algorytm Balasa.

10. Zadanie plecakowe i załadunku. Problemy pokrycia, rozbicia i upakowania zbiorów.

11. Twierdzenia Gomory'egoChvatala o płaszczyznach odcinających, rząd Chvatala. Algorytmy płaszczyzn odcinających.

12. Zastosowania metody płaszczyzn odcinających, problem komiwojażera.

13. Metody geometrii algebraicznej. Pierścień wielomianów. Ideał. Twierdzenie Hilberta o zerach.

14. Bazy Groebnera. Algorytm Buchbergera. Zastosowania i kierunki rozwoju optymalizacji dyskretnej, problemy i nowe możliwości.

Literatura:1. R. S. Garfinkel, G. L. Nemhauser, Programowanie całkowitoliczbowe, PWN Warszawa, 1978.2. A. Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming, Wiley, 1987.3. M. M. Sysło, N. Deo, J. S. Kowalik, Algorytmy optymalizacji dyskretnej, PWN Warszawa, 1999.4. S. Walukiewicz, Programowanie dyskretne, PWN Warszawa, 1986.5. L.A. Wolsey, Integer Programming, Wiley, 1998.

03 grudnia 2009

Program przedmiotuPROGRAMOWANIE NIELINIOWE

Wykład 30 godzin, ćwiczenia 30 godzin

1.Przykłady zadań programowania nieliniowego. Zbiory, stożki i funkcje wypukłe. Warunek konieczny i wystarczający wypukłości funkcji różniczkowalnej. Warunek konieczny i wystarczający wypukłości funkcji posiadającej pochodne cząstkowe drugiego rzędu.

2.Funkcje pseudowypukłe i quasiwypukłe i ich własności. Warunek konieczny i wystarczający quasiwypukłości funkcji. Warunek konieczny i wystarczający istnienia minimum dla funkcji wypukłej i pseudowypukłej.

3. Kierunki dopuszczalne dla zadań programowania nieliniowego. Warunki dopuszczalności kierunków. Warunki regularności ograniczeń. Tw.Farkasa. Twierdzenie o warunkach koniecznych optymalności.

4.Twierdzenie Kuhna-Tuckera. Postacie warunków Kuhna-Tuckera. Warunki wystarczające optymalności.

5.Definicja funkcji Lagrange’a i punktu siodłowego. Warunki konieczne i wystarczające istnienia punktu siodłowego.

6. Twierdzenie o związku punktu siodłowego z rozwiązaniem optymalnym zadania programowania nieliniowego Twierdzenie Karlina.

7.Zadanie pierwotne i dualne programowania nieliniowego. Zbiory dopuszczalne dla zadania dualnego. Twierdzenie Wolfe’a o dualności zadań.

8. Twierdzenie Mangasariana o odwracalności zadań dualnych. Twierdzenia o nieograniczoności funkcji celu dla zadania dualnego. Twierdzenie o nieistnieniu rozwiązania zadania pierwotnego.

9. Zadania programowania kwadratowego. Algorytm Wolfe’a.

10.Algorytmy poszukiwania minimum bez ograniczeń. Złoty podział odcinka, aproksymacja kwadratowa, metoda Hooke’a, metoda Neldera, metoda kierunków sprzężonych.

11.Definicja ciągu zewnętrznych funkcji kary. Twierdzenia o zbieżności rozwiązań zadań pochodnych rozwiązywanych z użyciem zewnętrznych funkcji kar.

12. Twierdzenia o postaci funkcji zewnętrznych kar. Twierdzenia o postaci zewnętrznych funkcji kar dla sumy i iloczynu zbiorów. Algorytm Schmitta- Foxa.

13. Definicja wewnętrznych funkcji kar. Twierdzenie o zbieżności zadań pochodnych rozwiązywanych przy pomocy wewnętrznych funkcji kar. Twierdzenie o postaci wewnętrznych funkcji kar. Algorytm Powella.

14. Zadania związane. Warunki na to aby zadania były związane. Dekompozycja zadań metodą optymalizacji parametrycznej. Dekompozycja zadań metodą cen.

Literatura:

1. M.Cannon, C.Callum, E. Polak Sterowanie optymalne I programowanie nieliniowe.

2. J.Cea Optymalizacja. Teoria i algorytmy3. W.Findeisen, J. Szymanowski, A. Wierzbicki Teoria i metody

obliczeniowe optymalizacji.4. B. Martos Programowanie nieliniowe. Teoria i metody.

Program przedmiotu:RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA


Celem przedmiotu jest wprowadzenie bardziej zaawansowanych pojęć rachunku prawdopodobieństwa, potrzebnych do specjalistycznych wykładów na studiach II stopnia oraz do samodzielnego czytania literatury specjalistycznej.

Wymagania wstępne: zaliczony kurs pt. „Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa”.

1. Przypomnienie pojęcia wektora losowego, w szczególności wektora o wielowymiarowym rozkładzie normalnym oraz transformacje wektorów losowych. Sigma-podciała i częściowa informacja, prawdopodobieństwo warunkowe względem sigma-ciała, twierdzenie o istnieniu regularnych rozkładów warunkowych (bd).

2. Przypadki szczególne regularnych rozkładów warunkowych: wektory o rozkładach ciągłych, dyskretnych i przypadek mieszany. Rozkład ujemny dwumianowy i jego interpretacje aktuarialne.

3. Warunkowa wartość oczekiwana (WWO) względem sigma-ciała: definicja, istnienie, związek z regularnymi rozkładami warunkowymi, własności.

4. Własności WWO (c.d.), przykłady zastosowań, funkcja regresji.

5. Przypomnienie pojęć zbieżności z prawdopodobieństwem jeden i zbieżności według prawdopodobieństwa dla zmiennych losowych, twierdzenie Scheffego, słaba zbieżność .

6. Lemat Słuckiego, konstrukcja Skorochoda, charakteryzacje słabej zbieżności.

7. Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych i ich własności.

8. Własności funkcji charakterystycznych (c.d.). W szczególności: twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a i twierdzenie Levy’ego-Cramera.

9. Centralne twierdzenia graniczne Lindeberga-Levy’ego, Moivre’a-Laplace’a, Lindeberga (bd) i Lapunowa.

10. Słaba zbieżność wektorów losowych, funkcje charakterystyczne wektorów losowych, wielowymiarowy zdegenerowany rozkład normalny, twierdzenie Cramera-Wolda, twierdzenie Lindeberga-Levy’ego dla wektorów losowych.

11. Rozkład wielomianowy i jego asymptotyka, zbieżność wektorów losowych według prawdopodobieństwa i z prawdopodobieństwem jeden, twierdzenie Riesza.

12. Twierdzenie o odwzorowaniu ciągłym (czyli o zbieżności transformowanych ciągów wektorów losowych), rozkłady form kwadratowych wektorów normalnych, zastosowanie do zbadania asymptotyki „statystyki chi-kwadrat”, asymptotyczna normalność, metoda delta.

13. Łańcuchy Markowa: definicje i podstawowe własności.

14. Pojęcie i przykłady procesów stochastycznych: twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu (bd), funkcje wartości oczekiwanej i autokowariancji, procesy stacjonarne, procesy gaussowskie, proces Poissona, proces Ornsteina-Uhlenbecka, proces Wienera.

Literatura:1. Jakubowski J., Sztencel R. - "Wstęp do teorii prawdopodobieństwa", Script, 2001..2. Billingsley, P. - "Prawdopodobieństwo i miara", PWN, 1987.3. Feller, W. - "Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa", tom I, II, PWN, 1977..

Program przedmiotuRACHUNEK WARIACYJNY


1. Wiadomości wstępne. Przegląd zagadnień ekstremalnych analizy elementarnej oraz podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej związane z rachunkiem wariacyjnym.

2. Najprostsze zagadnienie rachunku wariacyjnego. Różniczka funkcjonału. Warunki koniecznie istnienia ekstremum. Równanie Eulera. Przypadek wielu zmiennych. Pochodna wariacyjna. Niezmienniczość równań Eulera.

3. Uogólnienia najprostszego zagadnienia rachunku wariacyjnego na przypadek przestrzeni Banacha i Hilberta.

4. Zagadnienia parametryczne. Zagadnienia wariacyjne w postaci parametrycznej. Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów. Ekstremum warunkowe.

5. Wzór podstawowy dla wariacji funkcjonału. Ogólny wzór dla wariacji funkcjonału. Zadanie z końcami ruchomymi. Przypadek ekstremal niegładkich. Warunki Weierstrassa-Erdmanna.

6. Warunki dostateczne istnienia ekstremum. Funkcjonały kwadratowe. Druga wariacja funkcjonału. Wzór dla drugiej wariacji. Warunki Legendre'a. Warunki dostateczne istnienia ekstremum słabego.

7. Wprowadzenie w teorię ekstremum silnego. Równanie Hamiltona-Jacobiego. Twierdzenie Jacobiego.

8. Wybrane zastosowania. Zasada Hamiltona i ciągłe układy mechaniczne. Równania drgań poprzecznych struny, membrany, pręta i płyty.

9. Wariacyjne wyprowadzenie równań Maxwella w elektrodynamice klasycznej. 10. Podstawy wariacyjnej teorii potencjału. Zasady Dirichleta i Thomsona. 11. Metody wariacyjne w fizyki współczesnej: wariacyjne wyprowadzenie równań

Schrödingera, Kleina-Gordona i Diraca. 12. Informacja o bezpośrednich metodach rachunku wariacyjnego. Metoda energetyczna.

Funkcjonał metody energetycznej. 13. Metoda Ritza i metoda łamanych. 14. Metody wariacyjne w zagadnieniu Sturma-Liouville'a. Zagadnienie wartości własnych.

Metoda Rayleigha-Ritza.

Literatura: 1. I. M. Gelfand, S. W. Fomin, Rachunek wariacyjny, Warszawa, PWN, 1972. 2. S. G. Michlin, C. L. Smolicki, Metody przybliżone rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych, Warszawa, PWN, 1970. 3. K. Tatarkiewicz, Rachunek wariacyjny, cz. 1,2, Warszawa, PWN, 1970. 4. E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications III: Variational Methods and Optimization, Springer-Verlag, New-York, Berlin, Heideberg, Tokio, 1984.

Program przedmiotuRÓWNANIA CAŁKOWE


1. Wiadomości wstępne. Pojęcie równania całkowego. Związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi. Sprowadzenie pewnych zagadnień do rozwiązania równań całkowych (pewne równania całkowe fizyki matematycznej, równania całkowe teorii potencjału, równania całkowe zagadnień Dirichleta i Neumanna, drgania własne struny oraz membrany, nacisk sztywnego stempla na sprężystą półprzestrzeń, etc.). 2. Klasyfikacja równań całkowych. Równania Fredholma i Volterry. Równania Urysona oraz Hammersteina. Równanie całkowe z jądrami zależnymi od różnicy argumentów. Równania Wienera-Hopfa. Równanie Abela i niektóre inne typy równań całkowych. 3. Metoda kolejnych przybliżeń. Rozwiązanie równań Fredholma. Konstrukcja przybliżeń. Rezolwenta Fredholma. Własności rezolwenty. Przypadek równania Volterry. 4. Metoda kolejnych przybliżeń dla równań nieliniowych. Rozwiązanie równań Hammersteina. Równania Urysona. 5. Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym. Rozwiązanie równań Fredholma. Równania z jądrami specjalnymi. Przypadek równania Hammersteina. 6. Równanie całkowe Abela. Zagadnienie Abela. Równanie całkowe Abela i jego uogólnienia. Podstawowe metody rozwiązywania. 7. Alternatywa Fredholma. Równania całkowe z jądrami zwartymi. Twierdzenia Fredholma. 8. Równania symetryczne. Jądra symetryczne. Układy wartości własnych i funkcji własnych. Szereg Hilberta-Schmidta. Rozwiązanie symetrycznego równania całkowego. Rezolwenta jądra symetrycznego. Własności ekstremalne wartości własnych i funkcji własnych. 9. Metoda Fredholma. Szeregi Fredholma. Wyznacznik i minory Fredholma. Wyrażenie funkcji własnych jądra przez minory Fredholma. 10. Równanie całkowe z jądrami zależnymi od różnicy argumentów. Rozwiązywanie równań typu splotu za pomocą przekształceń Laplace'a oraz Fouriera. 11. Równania na półosi z całkowalnymi jądrami. Warunki rozwiązalności. Metoda faktoryzacji. 12. Przykłady zastosowań: podstawowe zagadnienie teorii promieniowania, brzegowa refleksja fal elektromagnetycznych, zagadnienie teorii lepkosprężystości, potencjał krążka przewodzącego, etc. 13. Metody przybliżone. Zwykła metoda iteracji. Warunki zbieżności. Modyfikacje metody iteracji. Zastępowanie jądrem zdegenerowanym. Metoda Galerkina. 14. Metody przybliżone wyznaczania liczb charakterystycznych. Metoda Ritza, metoda śladów, metoda Kelloga, etc.

Literatura: 1. M. A. Krasnosielski i in., Równania całkowe, Warszawa, WNT, 1975. 2. S. G. Michlin, C. L. Smolicki, Metody przybliżone rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych, Warszawa, PWN, 1970. 3. Adam Piskorek, Równania całkowe. Elementy teorii i zastosowania, Warszawa,WNT, 1997. 4. W. Pogorzelski, Równania całkowe i ich zastosowania. T. 1 : Własności ogólne równań Fredholma i Volterry, Warszawa, PWN, 1953, T. II: Układy równań całkowych, równania całkowe nieliniowe, zastosowania równań całkowych w teorii równań różniczkowych, Warszawa, PWN, 1958, T. III : Równania całkowe mocno osobliwe, zagadnienia brzegowe w teorii funkcji analitycznych. Warszawa, PWN, 1960, T. IV : Zastosowania równań całkowych, Warszawa, PWN, 1962. 5. K. Yosida, Lectures on differential and integral equations, Inter. Publ. New York, London, 1968.

Program przedmiotu:RÓWNANIA FIZYKI MATEMATYCZNEJ II 30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

1. Podstawowe równania fizyki matematycznej: równania dynamiki gazu (układ równań Eulera), równania Naviera-Stokesa, równanie transportu ciepła. Wyprowadzenie równania falowego z układu równań Eulera.

2. Inne równania ważne z punktu widzenia zastosowań: równanie elastodynamiki, równania Laplace’a, Poissona, Schrödingera, Maxwella. Klasyfikacja liniowych równań cząstkowych rzędu drugiego.

3. Przedstawienie podstawowych typów zagadnień początkowo-brzegowych. Klasyczne i uogólnione rozwiązania. Problemy dobrze i źle postawione.

4. Klasyczne oraz uogólnione zagadnienia Cauchy’ego dla niejednorodnego równania falowego: twierdzenie podstawowe o istnieniu rozwiązania uogólnionego. Rozwiązanieklasyczne.

4. Wzory Kirchhoffa, Poissona, d'Alemberta.

6. Propagacja fali w nR . Zasada Huygensa. Prawa zachowania.

7. Klasyczne oraz uogólnione zagadnienie Cauchy’ego dla niejednorodnego równania transportu: twierdzenie podstawowe o istnieniu rozwiązana uogólnionego. Warunki zapewniające istnienie rozwiązania klasycznego.

8. Rozwiązanie zagadnienia o wybuchu cieplnym. Zasada maksimum i asymptotyki rozwiązań zagadnień początkowych w przypadku danych początkowych o skończonej −pLnormie.

9. Zastosowanie metody Fouriera do rozwiązania zagadnienia początkowo-brzegowego opisującego drganie poprzeczne struny zamocowanej na końcach odcinka prostej.

10. Operator Laplace’a we współrzędnych krzywoliniowych. Rozwiązywanie zagadnień brzegowych dla prostych obszarów metodą rozdzielenia zmiennych. Funkcje Legendre’a i ich własności.

11. Drgania w obszarach ograniczonych. Ogólny schemat rozdzielenia zmiennych. Drgania membrany prostokątnej.

12. Drgania okrągłej membrany. Zagadnienie Sturma-Liouville’a. Równanie Bessla. Własności funkcji Bessla. Szeregi funkcji ortogonalnych.

13. Propagacja ciepła w obszarach ograniczonych. Stygnięcie okrągłego walca.

14. Dyfuzja w obecności reakcji łańcuchowej. Określenie parametrów krytycznych reaktora jądrowego.

Literatura:

1. V.S. Vladimirov, Uravnenija matematičeskoj fiziki,Nauka, Moskwa, 1967 (w języku rosyjskim).2. V.A. Vladimirov, Wstęp do teorii dystrybucji, Skrypt uczelniany (dostępny na stronie www), Kraków, 2007.3. K.Maurin, Analiza, cz. II, PWN, Warszawa, 1972.4. A. Tikhonov, A. Samarskij, Równania fizyki matematycznej,PWN, Warszawa, 1963.5. P. Olver, Application of Lie Groups to Differential Equations, Springer, NY, 1994.6. D. Dubin, Numerical and Analytical Methods for Scientists and Engineers Using Mathematica, Wiley, New Jersey, 2003.

06 grudnia 2009 r.

Program przedmiotu:RÓWNANIA FIZYKI MATEMATYCZNEJ I 30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

1. Opis deterministyczny układu punktów materialnych. Równania ruchu układów mechanicznych. Niezmienniczość względem grupy Galileusza.

2. Układ o jednym stopniu swobody. Funkcja Hamiltona. Energia potencjalna i kinetyczna. Całkowanie jakościowe. Opis wahadła matematycznego.

3. Zasada wariacyjna. Ekstremale. Warunek konieczny ekstremum funkcjonału. Równania Eulera-Lagrange’a. Funkcja Lagrange’a układu mechanicznego. Przykłady.

4. Prawa zachowania. Twierdzenie Noether.

5. Prawa zachowania energii, pędu oraz momentu pędu układu mechanicznego. Całkowanie układu o jednym stopniu swobody.

6. Zastosowanie praw zachowania do całkowania równań ruchu punktu materialnego poruszającego się w polu centralnym.

7. Rozwiązanie zagadnienia dwóch ciał. Prawa Keplera.

8. Małe drgania układu o jednym stopniu swobody. Drgania własne i wymuszone. Rezonans. Dudnienia.

9. Małe drgania układu o wielu stopniach swobody. Sprowadzenie do postaci kanonicznej poprzez wykorzystanie twierdzenia o diagonalizacji pary form kwadratowych.

10. Drgania nieliniowe. Odwzorowania generowane przez potok fazowy układu dynamicznego. Stabilność w sensie Lapunowa. Rezonans parametryczny.

11. Równanie quasi-liniowe cząstkowe rzędu pierwszego w 3R . Interpretacja geometryczna. Postać charakterystyczna. Rozwiązanie ogólne.

12. Charakterystyki, rozwiązanie zagadnienia początkowego. Równana quasi-liniowe w nR .

13. Układ równań quasi-liniowych o 2-ch zmiennych niezależnych. Hiperboliczność, niezmienniki Riemanna, postać charakterystyczna.

14. Analogie ze skalarnym równaniem quasi-liniowym. Metoda poszukiwania niezmienników Riemanna. Rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego.

Literatura:

L.D. Landau, Ye.M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa, 2006.V.I.Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, NY, 2005.

L.E. Elsholtz, Differential Equations and Variational Calculus, Nauka, Moscow, 1968.

06 grudnia 2009 r.

Program przedmiotu:

RYZYKO KREDYTOWE


Wymagane wiadomości: Procesy stochastyczne

1. Pojęcie zdarzenia kredytowego. Akcja jako opcja kupna. Podstawy modelu Mertona. Pojęcie premii za ryzyko kredytowe.

2. Wycena akcji i obligacji w modelu dwumianowym. Problem konfliktu: akcjonariusze - obligatariusze. Ewolucja w czasie premii za ryzyko kredytowe.

3. Teoria strukturalna w czasie ciągłym. Wykorzystanie wzoru Blacka-Scholesa. Problem wyznaczenia nieobserwowalnych parametrów.

4. Podstawy teorii opartej na pierwszym przejściu przez barierę. Wykorzystanie łańcuchów Markowa do badania "ratingu". Teoria Altmana.

5. Rodzaje kredytowych instrumentów pochodnych.

6. Wycena arbitrażowa CDS (kontrakt "credit default swap").

7. Podstawy teorii zredukowanej. Prawdopodobieństwo przeżycia obliczone na podstawie cen obligacji narażonych na ryzyko kredytowe. Wyznaczenie premii za ryzyko.

8. Pojęcie funkcji hazardu, twierdzenie o postaci dla absolutnie ciągłych momentów bankructwa.

9. Uogólnione twierdzenie Bayesa.

10. Twierdzenie o własności martyngałowej indykatora bankructwa.

11. Modelowanie przepływów informacji. Przykład modelu strukturalnego. Twierdzenie o wartości obligacji

12. Konstrukcja kanonicznego momentu bankructwa.

13. Modele hybrydowe.

14. Budowa modelu opartego na przepływach gotówki, wycena firmy.

Literatura:

T.Bielecki, M.Rutkowski, Credit Risk, Modeling, Valuation and Hedging, Springer 2004G.Loffler, P.N.Posch, Credit rosk modeling using Excel and VBA, Wiley 2007

Program przedmiotu:SPEKTRALNA TEORIA OPERATORÓW RÓŻNICZKOWYCH30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

1. Przestrzenie Hilberta. Przestrzenie typu L_2. Klasy Sobolewa W_2^l.

2. Operator różniczkowania na skończonym odcinku. Domkniętość operatora. Warunki brzegowe.

3. Operatory symetryczne i samosprzężone. Indeksy defektu.

4. Samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych. Wzory von Neumanna..

5. Indeksy defektu operatora różniczkowego. Samosprzężone rozszerzenia operatora różniczkowania.

6. Rezolwenta operatora różniczkowego. Widmo operatora różniczkowego.

7. Operator różniczkowy na półosi. Maksymalny operator. Widmo i rezolwenta operatora. Przypadek operatora różniczkowego na całej osi.

8. Operator Sturma-Liouville'a (przypadek regularny). Podstawowe własności.

9. Charakter widma samosprzężonych rozszerzeń operatora Sturma-Liouville'a. Teoria Sturma.

10. Asymptotyka wartości własnych i funkcji własnych. Rozwinięcie według funkcji własnych.

11. Operatory półograniczone. Samosprzężone rozszerzenia metodą Friedrichsa (rozszerzenia sztywne). Przykłady zastosowań do operatorów typu Sturma-Liouville'a.

12. Operatory Sturma-Liouville'a na pólosi (przypadek osobliwy). Twierdzenie o rozwinięciu. Okrąg i punkt Weyla.

13. Całkowy wzór na rezolwenty. Funkcja Weyla-Titchmarsha.

14. Operator energii. Równanie Schrödingera. Kryteria samosprzężoności operatora Schrödingera. Charakter widma. Zagadnienie rozpraszania. Operatory falowe. Warunki istnienia. Macierz (operator) rozproszenia.

Literatura:1.M. S. Birman, M. Z. Solomyak, Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert spaces, D.R. Publ. Company, Dordrecht, Holland, 1987 .2.E. B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press, 1995.3.K. Yosida, Lectures on differential and integral equations, Intercience Publ. INC., New York, London, 1960.4.T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, 1966.5.S. G. Krein /red., Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1967.6.W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, Warszawa, PWN, 1987.7.K. Maurin, Metody przestrzeni Hilberta, Warszawa, PWN, 1967.

30 listopada 2009

Program przedmiotu:STATYSTYKA MATEMATYCZNA


Celem przedmiotu jest wprowadzenie do statystyki matematycznej jako teorii podejmowania decyzji w warunkach niepewności (w zakresie pokrywającym wymagania egzaminu aktuarialnego) z elementami statystyki praktycznej. Wykład obejmuje teorię estymacji i testowania hipotez w próbach skończonych, a także podstawowe wprowadzenie do statystyki asymptotycznej.

Wymagane wiadomości: Oparty na teorii miary kurs rachunku prawdopodobieństwa i podstawowy kurs statystyki, np. w zakresie oferowanym w programie studiów licencjackich na WMS.

1. Dystrybuanta empiryczna, nierówność Dworetzky’ego-Kiefera-Wolfowitza (bd.), twierdzenie Gliwienki-Cantellego, przestrzeń statystyczna, modele parametryczne i nieparametryczne.

2. Problemy statystyczne jako problemy decyzyjne. Reguły niedopuszczalne i dopuszczalne, klasy istotnie zupełne. Statystyka, eksperyment generowany przez statystykę.

3. Statystyki swobodne i statystyki dostateczne. Twierdzenie o rozkładzie warunkowym próby względem wektora statystyk pozycyjnych.

4. Minimalne statystyki dostateczne. Kryterium faktoryzacji. Twierdzenie Rao-Blackwella.

5. Bayesowskie reguły decyzyjne. Twierdzenie o dopuszczalności bayesowskich reguł decyzyjnych. Postać estymatorów bayesowskich parametru skalarnego.

6. Minimaksowe reguły decyzyjne. Twierdzenie o minimaksowości reguł bayesowskich o stałej funkcji ryzyka. Estymator Rubina-Steinhausa.

7. Pojęcie nieobciążonej reguły decyzyjnej. Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji.

8. Wykładnicze rodziny rozkładów, statystyki dostateczne w rodzinach wykładniczych, statystyki zupełne, twierdzenie o minimalności statystyki dostatecznej i zupełnej, twierdzenie o zupełności statystyk dostatecznych w rodzinach wykładniczych. Twierdzenie Basu i twierdzenie Fishera.

9. Twierdzenie o wyznaczaniu estymatorów nieobciążonych o minimalnej wariancji. Nierówność Cramera-Rao i informacja Fishera.

10. Twierdzenie o osiąganiu dolnego ograniczenia dla wariancji w nierówności Cramera-Rao. Macierz informacji Fishera. Wektorowa wersja nierówności Cramera-Rao. Przedziały i zbiory ufności.

11. Estymatory asymptotycznie normalne, asymptotyczna nierówność typu Cramera-Rao dla

estymatorów asymptotycznie normalnych, program Fishera, asymptotyczna efektywność.

12. Metoda największej wiarogodności. Twierdzenia o własnościach estymatorów w próbach skończonych i twierdzenie o asymptotycznym istnieniu i normalności przy warunkach typu Cramera.

13. Metoda najmniejszych kwadratów (MNK). Model liniowy. Twierdzenie Gaussa-Markowa. Własności estymatorów w modelu z losowymi zmiennymi objaśniającymi. MNK dla modeli nieliniowych.

14. Teoria i lemat Neymana-Pearsona. Testy najmocniejsze w rodzinach z monotonicznym ilorazem wiarogodności. Testy nieobciążone. Test Kołmogorowa-Smirnowa. Test Wilcoxona. Test Kołmogorowa. Testy normalności Lillieforsa i Shapiro-Wilka. Test chi-kwadrat. Test ilorazu wiarogodności.

Literatura:1. J.Bartoszewicz, Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN, 1989.2. C.R. Rao, Modele liniowe statystyki matematycznej, PWN, 1982.3. M. Krzyśko, Statystyka matematyczna, Wydawnictwo UAM, 1996.4. E.L.Lehman, Teoria estymacji punktowej, PWN, 1991.5. A.Jokiel-Rokita, R. Magiera, Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, GiS, 2005.

27 listopada 2009

Statystyka w zarządzaniu

1. Kurs w formie 30 godzinne wykładu i 30 godzinnych ćwiczeń, zawiera metody statystyczne szczególnie przydatne w typowych sytuacjach biznesowych oraz podstawy teorii szeregów czasowych, co umożliwia prognozowanie w oparciu o dane zależne od czasu.

2. Prerekwizyty (następstwo) statystyka

Zakres tematyczny:

1. Wybrane zagadnienia statystyki opisowej:skale pomiarowe, wstępna analiza i metody prezentacji danych, dobór próby losowej (reprezentatywność, losowość próby, sposób losowania, dobór liczebności), podstawy projektowania ankiet

2. Metody nieparametryczne – testy znaków (klasyczny, McNemara, Coxa-Stuarta)

3. Testy serii: losowość, Walda-Wolfowitza

4. Testy rangowe: U Manna-Whitneya, Wilcoxona

5. Testy rangowe: H Kruskala-Wallisa, współczynnik korelacji rang Spermana

6. Testy Chi-kwadrat: zgodności, niezależności

7. Wprowadzenie do szeregów czasowych

8. Podstawowe typy jednowymiarowych szeregów czasowych: biały szum, AR(1), AR(p), MA(q), ARMA(p, q)

9. Stacjonarność szeregów czasowych: kryteria stacjonarności, integracja, modele ARIMA

10. Modelowanie przy pomocy szeregów typu ARIMA: określenie rzędów szeregów czasowych

11. Funkcje ACF i PACF, schemat Boxa-Jenkinsa

12. Dekompozycja i wygładzenie szeregów czasowych: dekompozycja addytywna i multiplikatywna

13. Wygładzanie metodą średnich ruchomych

14. Przykłady filtrów liniowych i nieliniowych.

15. Statystyczna kontrola jakości: statystyka i jakość, karty kontrolne.

16. Statystyki bayesowskie i analiza decyzji: drzewa decyzyjne, użyteczność, wartość informacji. Zastosowania w zarządzaniu.

Literatura:

1. T. F. Jabłoński, Statystyka w biznesie, WSB-NLU, 2001

2. A. D. Aczel; Statystyka w zarządzaniu, PWN 2000

3. R. Carter Hill, W. Griffiths, G. Judge, Undergraduate Econometrics, John Wiley & Sons 1997

Program przedmiotu:STEROWANIE STOCHASTYCZNE W CZASIE CIĄGŁYM30 godzin wykładu

Opis tematyki: Typowym zadaniem sterowania stochastycznego jest znalezienie strategii która maksymalizuje (minimalizuje) średni zysk (koszt). Wykład dotyczy modeli w czasie ciągłym. Znajomość przypadku czasu dyskretnego nie jest niezbędna do zrozumienia wykładu. Tak więc w typowej sytuacji proces sterowany X jest rozwiązaniem równania stochastycznego d X = b(X,u) dt + a(X,u)d Z, X(0)=x,gdzie Z jest procesem Wienera lub, w modelach dopuszczających skoki, procesem Levy'ego. Celem jest znalezienie sterowania u, które dla zadanych T, g oraz G maksymalizuje J(x,u)=E( g(X(t),u(t))d t + G(X(T))).Cele przedmiotu: Poznanie podstawowych twierdzeń i technik teorii sterowanie stochastycznego w czasie ciągłym (programowanie dynamiczne, zasada maksimum Pontriagina, równania Hamiltona-Jacobiego-Bellmana, optymalne stopowanie, sterowanie impulsowe, równania quasi-variacyjne, sterowanie singularne,problemy liniowo-kwadratowe, rozwiązania lepkościowe). Zaznajomienie z konkretnymi zastosowaniami: problemy inwestora, problemy najlepszego czasu sprzedarzy (kupna).Zawartość programowa:1. Pojęcia wstępne (10 godzin). Procesy Markowa w czasie ciągłym, procesy Levy'ego. Generatory procesów zadanych przez stochastyczne równania różniczkowe.2. Problemy deterministyczne (4 godziny). Twierdzenie Bellmana dla problemów sterowania na skończonym i nieskończonym odcinku czasowym. Zasada maksimum Pontriagina. Rozwiązanie problemu liniowo-kwadratowego (liniowa dynamika stanów i kwadratowy funkcjonał kosztu). Sterowanie impulsowe.3. Twierdzenie weryfikacyjne dla stochastycznego problemu optymalnegosterowania. Stochastyczna zasada maksimum. Zastosowania doproblemów inwestora (6 godzin).4. Twierdzenie weryfikacyjne dla problemu optymalnego stopowania,sterowanie impulsowe (6 godzin).5. Sterowanie singularne, rozwiązania lepkościowe (4 godziny).

Literatura:1. W. Fleming, M. Soner, Controlled Markov processes and viscosity solutions, Springer 1993.2. H. Kushner, Introduction to stochastic control, New York 1971.3. B. Oksendal, A. Sulem, Applied stochastic control of jump diffusions, Springer 2004.

4. S. Peszat, J. Zabczyk, Wstęp do teorii sterowania stochastycznego w czasie dyskretnym, manuskrypt.5. J. Yong, X.Y. Zhou, Stochastic controls, Springer 1999.6. J. Zabczyk, Zarys matematycznej teorii sterowania, PWN 1991.

Program przedmiotu:STEROWANIE STOCHASTYCZNE W CZASIE DYSKRETNYM30 godzin wykładu

Opis tematyki: Typowym problemem sterowania stochastycznego jest znalezienie strategii, która maksymalizuje (minimalizuje) średni zysk (koszt). Wykład poświęcony jest modelom w czasie dyskretnym. Tak więc w tej typowej sytuacji proces stanów X jest zadany rekurencyjnie X(n+1) = F(X(n), u(n), ξ(n)), X(0)=x,gdzie (ξ(n)) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie (dyskretny biały szum). Celem jest znalezienie sterowania u, które dla zadanych T, g i G maksymalizuje (lub minimalizuje) J(x,u)=E g(X(n),u(n)) + G(X(T)).Cele przedmiotu: Poznanie podstawowych twierdzeń i technik teorii sterowania stochastycznego w czasie dyskretnym (programowanie dynamiczne, optymalne stopowanie, problemy liniowo-kwadratowe, sterowanie z ergodycznym funkcjonałem kosztu lub zysku, filtr Kalmana). Zaznajomienie z konkretnymi zastosowaniami: problemy inwestora, problemy wyboru (problem sekretarki), problem optymalizacji kosztów na jednostkę czasu (problem wymiany samochodu Howarda), problem rozregulowania.Zawartość programowa:1. Pojęcia wstępne (2 godziny). Przykłady wprowadzające (problem inwestora, sekretarki, problem wymiany samochodu). Markowskie modele decyzyjne. Problem optymalnego sterowania na skończonym odcinku czasowym.2. Programowanie dynamiczne (8 godzin). Twierdzenie Bellmana dla problemów sterowania na skończonym i nieskończonym odcinku czasowym. Rozwiązanie problemu Samuelsona optymalnej konsumpcji i inwestycji. Rozwiązanie problemu liniowo-kwadratowego (liniowa dynamika stanów i kwadratowy funkcjonał kosztu).3. Optymalne stopowanie (8 godzin). Twierdzenie Bellmana dla problemu optymalnego stopowania na skończonym i nieskończonym przedziale czasowym. Zastosowania do problemu wyboru (sekretarki, wynajmu apartamentu). Problem liniowo-kwadratowy.4. Sterowanie z ergodycznym funkcjonałem kosztów (8 godzin). Równania Bellmana-Howarda. Zastosowanie do problemu Howarda (minimalizacji kosztów utrzymania na jednostkę czasu).5. Filtracja i sterowanie z niepełną informacją (6 godzin). Filtr Kalmana. Sprowadzenie problemu z niepełną informacja do problemu z pełną informacją. Zasada separacji. Problemy rozregulowania.

Literatura:1. D.P. Bertsekas, S.E. Shreve, Stochastic optimal control: the discrete time case, Academic Press, New York 1978.2. H. Kushner, Introduction to stochastic control, New York 1971.3. J.R. Norris, Markov Chains, Cambridge Univ. Press 1997.

4. S. Peszat, J. Zabczyk, Wst eo teorii sterowania stochastycznego w czasie dyskretnym, manuskrypt.5. J. Zabczyk, Chance and decision, stochastic control in discrete ime. Quaderni SNS, Pisa 1996.

STOCHASTYCZNE STOPY PROCENTOWE


Wymagane wiadomości: Model Blacka-Scholesa

1. Modele stochastycznych stóp procentowych

2. Drzewo dwumianowe cen obligacji zerokuponowych. Problemy z budową modelu wolnego od arbitrażu.

3. Modele wieloczynnikowe.

4. Wycena instrumentów pochodnych na stopy procentowe (cap, floor).

5. Wycena kontraktu zamiany i opcji na zamianę (swaption)

6. Modele stochastycznych stóp procentowych w czasie ciągłym.

7. Różne opisy dynamiki stóp procentowych: równania na stopy forward, ceny obligacji, stopy zwrotu do wykupu.

8. Podstawowe modele stóp natychmiastowych: Vasicek, CoxIngersolRoss, wzory na ceny, modele uogólnione. Modele afiniczne.

9. Model HJM (HeathJarrowMorton), warunek braku arbitrażu.

10. Twierdzenie o niezależności miary martyngałowej od momentu zapadalności.

11. Zmiana numeratora: miary forward.

12. Model rynkowy. Wyprowadzenie równania na stopy LIBOR.

13. Wzór Blacka.

14. Wycena instrumentów pochodnych.

Literatura:

S.Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, ContinuousTime Models, Springer 2004.T.Bjork, Arbitrage theory in continuous time, Oxford 2004

Program przedmiotu:TEORIA ALGORYTMÓW


Wymagane wiadomości: znajomość języka C/C++, podstawowe pojęcia z teorii grafów.

1. Przypomnienie podstawowych pojęć. Przypomnienie metod zapisu algorytmów (metajęzyk, schemat blokowy) na przykładach poznanych wcześniej prostych algorytmów (wyszukiwanie, sortowanie).

2. Metody oceny efektywności czasowej oraz pamięciowej. Klasyfikacja problemów algorytmicznych pod kątem klas złożoności obliczeniowej. Metody oceny poprawności obliczeniowej (proste przykłady).

3. Przypomnienie definicji struktur grafowych oraz metod ich implementacji. Algorytmy przeszukiwania grafu w głąb – omówienie techniki z nawrotami. Algorytm przeszukiwania wszerz – implementacja operacji kolejkowych.

4. Znajdowanie minimalnego drzewa spinającego w grafie (algorytmy Kruskala oraz Prima) – szczegółowa analiza techniki zachłannego wyboru.

5. Znajdowanie ścieżek o minimalnych długościach w grafach skierowanych (algorytmy: Bellmana-Forda oraz Dijkstry). Znajdowanie najkrótszych ścieżek pomiędzy wszystkim parami wierzchołków (algorytm Floyda-Warshalla) – analiza techniki programowania dynamicznego. 6. Przepływy w sieciach (metoda Forda-Fulkersona). Przepływy w sieciach z dolną i górną przepustowością.

7. Znajdowanie maksymalnego skojarzenia w grafach (algorytm Edmondsa) oraz grafach dwudzielnych. Znajdowanie skojarzenia o minimalnym koszcie.

8. Zagadnienia transportowe: droga Eulera, problem chińskiego listonosza.

9. Zagadnienia transportowe cd.: problem komiwojażera - algorytmy aproksymacyjne na przykładzie TSP z nierównością trójkąta (algorytmy: drzewowy, Christofidesa).

10. Algorytmy testowania planarności grafu (metoda dodawania wierzchołków oraz dodawania krawędzi) 11. Algorytmy znajdowania wzorca w tekście: metoda naiwna, algorytmy: Rabina-Karpa oraz Knutha-Morrisa-Pratta.

12. Algorytmy geometrii obliczeniowej: znajdowanie wypukłej otoczki, znajdowanie pary najmniej odległych punktów, testowania przecinających się odcinków.

13. Bezstratne metody kompresji danych: kodowanie Huffmana, Shannona-Fano. Kompresja stratna obrazów i dźwięku.

14. Przegląd podstawowych algorytmów kryptograficznych: RSA, EIGamal.

Literatura:T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, WNT 2007.

Program przedmiotu:TEORIA DYSTRYBUCJI 30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

1. Konieczność uogólnienia pojęcia funkcji klasycznych. Przykłady fizyczne wymagające takiego uogólnienia. Definicja rozwiązania uogólnionego równania różniczkowego. Związek między rozwiązaniem klasycznym i uogólnionym.

2. Funkcje gładkie i funkcje o zwartych nośnikach. Przestrzeń funkcji próbnych D, topologia w tej przestrzeni. Działania w przestrzeni funkcji próbnych.

3. Przestrzeń dystrybucji D’. Przykłady dystrybucji. Dystrybucje regularne i syngularne. Delta Diraca jako przykład dystrybucji syngularnej. Równość dystrybucji.

4. Działania na dystrybucjach: zamiana zmiennych, mnożenie dystrybucji przez funkcję gładką. Różniczkowanie dystrybucji, własności różniczkowania, związki między pochodną klasyczną i pochodną uogólnioną.

5. Nośnik dystrybucji. Twierdzenie o rozkładzie jedności.

6. Równania różniczkowe w przestrzeni dystrybucji D’. Twierdzenie o rozwiązaniu równania f’(x)=0 w przestrzeni D’. Twierdzenie o rozwiązaniu układu równań różniczkowych liniowych o współczynnikach z przestrzeni funkcji gładkich. Definicja funkcji pierwotnej.

7. Pewne równanie algebraiczne w przestrzeni D’ i jego zastosowania do równań różniczkowych w przestrzeni D’.

8. Rozwiązanie podstawowe operatorów różniczkowych liniowych. Przykłady rozwiązań podstawowych. Zastosowania w teorii równań różniczkowych.

9. Definicja iloczynu tensorowego i jego własności.

10. Splot dystrybucji, problem istnienia. Przykłady dystrybucji, dla których splot jest dobrze określony.

11. Własności splotu, różniczkowanie splotu, zastosowanie do równań różniczkowych.

12. Przestrzeń Schwartza S, własności. Działania oraz topologia w tej przestrzeni.

13. Przestrzeń dystrybucji temperowanych S’. Przykłady dystrybucji temperowanych. Działania w przestrzeni S’. Topologia w tej przestrzeni.

14. Transformacja Fouriera w przestrzeni Schwartza S i przestrzeni dystrybucji temperowanych S’. Własności transformacji Fouriera. Przykłady transformat. Uwagi o zastosowaniach w teorii równań różniczkowych.

Literatura:1. V.S. Vladimirov, Uravnenija Matematiceskoj Fiziki, Nauka, Moskwa 1970.2. V.A. Vladimirov, Wstęp do teorii dystrybucji (skrypt), WMS AGH, Kraków 2007.3. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

5 grudnia 2009

Program przedmiotu:TEORIA GIER

30 godz. wykładów

Wymagania: matematyka dyskretna (teoria grafów), algebra liniowa, analiza matematyczna I.

1. Wprowadzenie; definicja gry i strategii; Gry w postaci ekstensywnej; gry kombinatoryczne;2. Gra "Nim"; drzewo gry; pozycje P i N; suma NIM;3. Rozszerzenie gry "Nim"; tw. Boutona; gry na grafach skierowanych;4. Funkcja Sprague'a-Grundy'ego; gry na wyczerpanie; przykłady i zastosowania;5. Gry w postaci normalnej; macierz gry; gry dwuosobowe o sumie zero; strategie czyste i strategie mieszane;6. Tw. o minimaksie (z ideą dowodu); punkty siodłowe; strategie zdominowane;7. Analiza gier 2xn i mx2; gry symetryczne; górna i dolna wartość gry; wartość gry;8. Zastosowanie programowania liniowego do rozwiązywania gier macierzowych;9. Drzewo Kuhna; tw. Kuhna-Tuckera (bd.) niepełną informacją; uproszczona wersja pokera;10.Gry stochastyczne; gry rekursywne; gry iterowane; model von Neumanna uproszczonego pokera;11.Gry dwuosobowe o sumie różnej od zera; gry niekooperacyjne; poziomy i strategie bezpieczeństwa; punkty równowagi;12.Gry kooperacyjne; gry o transferowalnej (TU) i nietransferowalnej (NTU) użyteczności;13.Gry wieloosobowe; gry w postaci funkcji charakterystycznej; imputacje; rdzeń gry;14.Wartość Shapleya; gry w głosowanie; indeks Shapleya-Rubika; jądro gry;

Literatura:G.Owen, Teoria gier. PWN, Warszawa, 1975P.D.Straffin. Teoria gier. Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2004N.Nisan, Algorithic Game Theory. Cambridge University Press, 2007P.Morris, Introduction to Game Theory, Springer-Verlag, New York, 1994

Program przedmiotu:TEORIA GRAFÓW 30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

1. Usystematyzowanie i poszerzenie podstawowych pojęć i notacji teorii grafów, w tym grafy zwykłe, digrafy, multigrafy; podgrafy; drogi, ścieżki, cykle. Przykłady zastosowań grafów do modelowania zjawisk. Izomorfizm grafów; grupa automorfizmów grafu. Hipoteza rekonstrukcyjna Ulama. Grafy spójne i składowe spójności. Spójność wierzchołkowa grafu.

2. Twierdzenie (szczególne i ogólne) Mengera o spójności wierzchołkowej. Spójność krawędziowa grafu. Twierdzenie (szczególne i ogólne) Mengera o spójności krawędziowej.

3. Związek twierdzeń Mengera z twierdzeniami „minimaksowymi”. Skończone zbiory częściowo uporządkowane; tw. Dilwortha.

4. Cykl Eulera i droga Eulera. Charakteryzacja multigrafów eulerowskich i jednobieżnych. Algorytm Fleury’ego. Problem chińskiego listonosza, algorytm Edmondsa-Johnsona.

5. Cykl i ścieżka Hamiltona. Zwięzłość grafu. Twierdzenie Bondy’ego-Chvátala. Domknięcie Bondy’ego-Chvátala grafu. Stabilność własności grafów.

6. Warunki wystarczające istnienia cyklu Hamiltona: Bondy’ego-Chvátala, Orego, Diraca, Chvátala-Erdősa i Fana.

7. Inne własności typu hamiltonowskiego: pancykliczność, trasowalność, jednorodna trasowalność. Problem komiwojażera. Rozkład grafu na izomorficzne podgrafy. Rozkład grafu pełnego na cykle Hamiltona i na skojarzenia.

8. Systemy trójek Steinera. Twierdzenie Turána.

9. Twierdzenie Cayleya o liczbie drzew etykietowanych. Kod Prüfera. Dowód Pitmana twierdzenia Cayleya.

10. Graf topologiczny. Graf płaski i graf planarny. Wzór Eulera dla grafów płaskich. Graf dualny do grafu płaskiego.

11. Minor i minor topologiczny grafu. Twierdzenie Kuratowskiego (bd.) Zanurzanie grafów w powierzchnie dodatniego rodzaju. Rodzaj grafu. Wzór Eulera dla grafów dodatniego rodzaju. Twierdzenie Ringla-Youngsa (bd.).

12. Liczba chromatyczna grafu. Twierdzenie Brooksa. Wielomian chromatyczny grafu. Twierdzenie o rozkładzie wielomianu chromatycznego.

13. Historia twierdzenia o czterech kolorach. Kolorowanie wierzchołków grafu z list. Twierdzenie Thomassena o wymuszonej liczbie chromatycznej grafów planarnych.

14. Kolorowanie właściwe krawędzi grafu. Twierdzenie Wizinga. Twierdzenie Kőniga o

indeksie chromatycznym grafu dwudzielnego.

Literatura:R.J. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, PWN, Warszawa 2000.

26 listopada 2009

Program przedmiotu:TEORIA PORTFELA I ZARZĄDZANIE RYZYKIEM30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

1. Teoria Markowitza. Miary ryzyka i zwrotu. Wariancja portfela dla dwóch walorów, charakteryzacja zbioru portfeli osiągalnych. Uwzględnienie waloru wolnego od ryzyka i optymalizacji opartej na krzywych obojętności.

2. Twierdzenie o separacji, wyznaczenie portfela rynkowego. Uwzględnienie stopy lokaty różnej od stopy pożyczki.

3. Przypadek dowolnej liczby walorów, wzór na ryzyko portfela. Wyznaczenie brzegu efektywnego i linii rynku kapitałowego.

4. Twierdzenie o redukcji do dwóch walorów. Uwzględnienie ograniczeń na krótkie pozycje.

5. Model CAPM. Definicja współczynnika beta, twierdzenie o postaci oczekiwanego zwrotu; premia za ryzyko.

6. CAPM w modelu dwumianowym. Wersja wzoru dająca wartość waloru, pojęcie równoważnika pewności.

7. Pokazanie równoważności CAPM z teorią Schweizera minimalizacji ryzyka; problem ujemnych cen. Zastosowanie CAPM i teorii portfela do zarządzania finansami firm.

8. Miary ryzyka. Pojęcie koherentnych miar ryzyka, aksjomaty, przykłady i kontrprzykłady. Pojęcie dominacji stochastycznej. Zbiory dopuszczalne, twierdzenia o równoważności.

9. Definicja wartości narażonej na ryzyko (VaR) i budowa koherentnych modyfikacji (warunkowy VaR). Wykorzystanie opcji sprzedaży do zarządzania VaR.

10. Rynki niezupełne. Funkcje użyteczności, użyteczność von NeumanaMorngensterna. Twierdzenie o równoważności problemu optymalizacji i braku arbitrażu. Walory ArrowDebreu.

11. Przykłady funkcji użyteczności, zgodność z klasyczną teoria portfela. Uwzględnienie konsumpcji, wycena w stanie równowagi, optymalność w sensie Pareto.

12. Miara awersji do ryzyka (współczynnik ArrowaPratta). Wycena instrumentów pochodnych z wykorzystaniem funkcji użyteczności.

13. Elementy sterowania stochastycznego w przypadku dyskretnym: przykłady numeryczne problemów optymalizacji w zarządzaniu ryzykiem.

14. Portfele optymalnego wzrostu. Problem maksymalizacji stopy zwrotu, logarytmiczna funkcja użyteczności. Strategia Kelly'ego. Strategia pompowania. Obszar dopuszczalny, twierdzenie o dwóch portfelach.

Literatura:E.J.Elton, M.J.Gruber, Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych, WIG Press 2002.G.Luenberger, Teoria inwestycji finansowych, PWN 2003.

Program przedmiotu:TEORIA RYZYKA


Wymagane wiadomości. Rachunek prawdopodobieństwa: rozkłady ciągłe i dyskretne (jedno i wielowymiarowe), charakterystyki zmiennej losowej, dystrybuanta, rozkłady warunkowe

1. Ryzyko i wycena ryzyka. Kalkulacja składki w oparciu o pojęcie kwantyla. Dekompozycja składki. Rozkład ucięty.

2. Rozkład dyskretno-ciągły. Model ryzyka indywidualnego. Splot rozkładów – definicja ogólna. Twierdzenie o rozkładzie sumy niezależnych zmiennych losowych. Sploty rozkładów ciągłych i dyskretnych – przypomnienie. Sploty rozkładów dyskretno-ciągłych.Funkcja generująca momenty, twierdzenie o określoności, własności.

3. Twierdzenie o równości k-tej pochodnej funkcji generującej momenty w zerze i k-tego momentu zmiennej losowej. Funkcja generująca momenty rozkładu gamma. Funkcja generująca kumulanty. Kumulanta.

4. Model ryzyka łącznego; rozkłady złożone. Rozkłady liczby szkód: Poissona, dwumianowy, ujemny dwumianowy. Rozkład ujemny dwumianowy jako: efekt losowania ryzyk z niejednorodnej populacji; rozkład złożony.

5. Twierdzenia o dodawaniu rozkładów złożonych. Kumulanty rozkładów złożonych. Twierdzenie Panjera.

6. Dyskretyzacje rozkładów ciągłych. Modyfikacje rozkładu liczby szkód: wyróżnianie szkód przez ubezpieczyciela, wyróżnianie szkód przez ubezpieczonego. Wnioski.

7. Rozkład beta i beta-dwumianowy. Praktyka – estymacja parametrów dla rozkładu z ogonem poissonowskim. Podział ryzyka. Udział własny ubezpieczonego.

8. Typy kontraktów: proporcjonalny, z udziałem własnym, z limitem odpowiedzialności. Twierdzenie o optymalnym kontrakcie ubezpieczeniowym. Nadwyżka szkody.

9. Momenty składowych ryzyka. Porządkowanie ryzyk. Twierdzenie o najlepszym i najgorszym ryzyku w zadanej klasie ryzyk. Własności porządku stochastycznego (bd). Inflacja (deflacja) a typy kontraktów.

10. Praktyka – aproksymacje parametrów i rozkładów. Przesunięty rozkład gamma.

11. Kalkulacja składki: metoda Haldane’a. Formuły: Wilsona-Hilferty’ego, Fishera-Corinsha. Dekompozycja składki. 12. Proces nadwyżki ubezpieczyciela (ciągły i dyskretny). Ruina i prawdopodobieństwo ruiny. Kalkulacja składki. Współczynnik dopasowania. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności współczynnika dopasowania.

13. Twierdzenie: dokładny wzór na prawdopodobieństwo ruiny. Klasyczny model nadwyżki szkód. Twierdzenie o maksymalnej łącznej stracie (bd). Rozkład kolejnych strat

14. Twierdzenie o głębokości deficytu w momencie ruiny (bd). Szacowania prawdopodobieństwa ruiny. Funkcja hazardu.

Literatura:W. Otto „Ubezpieczenie majątkowe, część I, Teoria ryzyka”N. Bowers „Actuarial Mathematics”

02. 12. 2009

Program przedmiotu:TOPOLOGIA II 30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń

Сelеm wykładu jest zapoznanie z роdstаwоwуmi роjęсiаmi, zаsаdami i metodami topologii algebraicznej i różniczkоwеj, w szczególności obliczenie grup homologii i grup podstawowych niektórych rozmaitości, еlеmentami pól wektorowych na rozmaitościach gładkich, a także ich zаstоsоwаniаmi w naukach ścisłych.

1.Kompleksy simplicjalne i wielościany. Charakterystyka Eulera kompleksu, jej topologiczna niezmienniczość. Przestrzenie komórkowe.

2.Metody obliczania grupy podstawowej. Twierdzenie van Kampena.

3.Przekształcenia nakrywające. Podnoszenie przekształceń i homotopii.

4. Nakrycia regularne i uniwersalne.

5.Kompleksy łańcuchowe i ich homologie. Homologie singularne przestrzeni topologicznych i ich podstawowe własności. Ciąg Mayera-Vietorisa.

6.Obliczenie grup homologii sfer, przestrzeni rzutowych i powierzchni. 7.Aproksymacje оdwzоrоwań gładkich. 8.Rоzmаitоści gładkie w przestrzeni euklidesowej. Orientacja rоzmаitоśсi gładkiej. Rozmaitości Grassmana.9. Zаnurzеniе rоzmаitośсi, immersje. Punkty rеgulаrnе odwzorowań gładkich.10. Twierdzenie Вrouwеrа о punkcie stałуm. 11. Тwiеrdzеniе Sarda. 12. Stopień odwzorowania гоzmаitоśсi gładkich orientowalnych i jego zastоsоwаniа.13. Funkcje gładkie nа rоzmаitоśсiасh. Punkty krytyczne funkcji.14. Indeks punktu krytycznego. Twierdzenie Poincarego-Hopfa (bd.)

LIТERATURA

1.G.Bredon, Topology and Geometry, New York, 1993.

2.Duda Rоmаn, Wрrоwаdzеniе do topologii, Bibl. Mat., 1986. 3.M.Greenberg, Wykłady z topologii algebraicznej, Warszawa, 1980 4. Hirsch М.К, Diffеrеntiаl topology, New York, Sрringег- Verlag, 19765. Milnor Jоhn, Topology frоm diffеrеntiаl роint of view, Ргinсеtоn Univеrsitу press,

Рrinсеtоn, 1965.

6. Мunkrеs, J.R., Еlеmеntаrу diffеrеntiаl topology, Аnn. Math. Studies, 54, Рrinсеtоn, New Jersey, Рrinсеtоn Univегsitу Press, 1966.

7. Wallace Andrew, Topologia różniсzkоwа, Warszawa, 1979, PWN. 159, 1979.

Program przedmiotu:TOPOLOGIA

30 godz. wykładów

1. Definicje topologii (różne podejścia). Przestrzenie topologiczne. Przykłady (w szczególności: przestrzeń metryczna jako przestrzeń topologiczna). Zbiory otwarte, zbiory domknięte. Domknięcie, wnętrze i brzegu zbioru. Zbiory gęste i brzegowe. Ośrodkowość.

2. Otoczenie. Baza otoczeń punktu. Pełny układ otoczeń. Baza topologii. Aksjomaty przeliczalności. Związek z ośrodkowością.

3. Przekształcenia i funkcje ciągłe. Kryteria ciągłości. Przekształcenia domknięte, otwarte i homeomofrizmy. Podstawowe własności.

4. Porównywanie topologii. Topologie początkowe i końcowe. Podprzestrzeń. Przestrzeń topologiczna ilorazowa. Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych.

5. Aksjomaty oddzielania (w szczególności: przestrzenie Hausdorffa, regularne oraz normalne). Przykłady. Lemat Uryshona. Twierdzenie Tietzego o przedłużaniu funkcji (bd).

6. Zbieżność w przestrzeni topologicznej. Ciągi uogólnione i filtry. Przestrzenie ciągowe i przestrzenie typu Frecheta.

7. Przestrzenie zwarte. Zwartość a domkniętość. Normalność przestrzeni zwartych. Zbiory przeliczalnie zwarte i ciągowo zwarte. Twierdzenie Tichonowa.

8. Przekształcenia i funkcje ciągłe na przestrzeniach zwartych. Twierdzenia typu Weierstrassa. Przestrzenie przekształceń ciągłych. Przestrzenie lokalnie zwarte. Uzwarcenie Aleksandrowa (informacyjnie).

9. Przestrzenie metryzowalne. Zwartość w przestrzeniach metrycznych. Twierdzenie Hausdorffa.

10. Przestrzenie funkcyjne. Rodziny funkcji wspólnie ograniczone i równociągłe. Twierdzenie Arzeli-Ascoliego. Zastosowania.

11. Przestrzenie spójne. Operacje na przestrzeniach spójnych. Obraz zbioru spójnego przez przekształcenie ciągłe. Różne rodzaje spójności. Przykłady.

12. Homotopie. Homotopijna równoważność funkcji. Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej.

13. Rozmaitość różniczkowalna. Klasyfikacja rozmaitości różniczkowalnych wymiaru 1 i 2.

14. Grafy. Topologia grafów. Twierdzenie Kuratowskiego o grafach.

Literatura:R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1976K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 1980N. Bourbaki, Topologie générale, Paris 1953J. L. Kelley, General topology, Springer – Verlag New York Berlin Heidelberg 1955W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1996

4 stycznia 2010

Program przedmiotu:

WSTĘP DO ZARZĄDZANIA FINANSAMI

30 w + 30 ćw

1. Model dwumianowy. Definicja modelu dwumianowego w jednym kroku. Pojęcie zwrotu. Walor wolny od ryzyka. Portfel inwestycyjny.

2. Długa i krótka pozycja, opis krótkiej sprzedaży, system depozytów zabezpieczających. Podzielność walorów. Portfel samofinansujący się, dopuszczalny, arbitrażowy.

3. Zasada braku arbitrażu i wynikające z niej ograniczenia na model. Model dwuetapowy, opis przestrzeni probabilistycznej, ilustracja warunkowej wartości oczekiwanej.

4. Wartość pieniądza w czasie. Obligacje zero-kuponowe i implikowane stopy procentowe. Struktura czasowa stóp procentowych. Pojęcie rachunku rynku pieniężnego.

5. Kapitalizacja prosta i złożona (dyskretna), kapitalizacja ciągła. Obliczanie wartości dzisiejszej i przyszłej.

6. Renty wieczyste i okresowe, renta z góry. Analiza kredytów o równych ratach. Wycena obligacji kuponowych.

7. Renta wieczysta rosnąca, model Gordona cen akcji. Porównanie inwestycji w obligacje i w rachunek rynku pieniężnego przy zmianie stóp procentowych. Sygnalizacja problemów związanych z modelowaniem losowych stóp procentowych.

8. Wycena instrumentów pochodnych. Pojęcie instrumentu pochodnego. Przykłady: opcje kupna i sprzedaży, kontrakt terminowy forward. Wyprowadzenie wzoru na cenę forward. Zastosowanie instrumentów pochodnych do osłony przed ryzykiem.

9. Replikacja instrumentu pochodnego w jednym kroku. Dowód arbitrażowy wzoru na cenę opcji kupna i sprzedaży. Własności cen w zależności od parametrów. Wycena dowolnego instrumentu pochodnego.

10. Pojęcie martyngału, prawdopodobieństw martyngałowych (neutralnych względem ryzyka). Zastosowanie do wyceny instrumentów pochodnych. Osłona przed ryzykiem w dwóch krokach (delta hedging), konstrukcja dynamicznych strategii osłony. Opcja amerykańska, wycena.

11. Model trójmianowy jako najprostszy model rynku niezupełnego, problem wyceny, brak jednoznaczności miary martyngałowej i konsekwencje tego faktu.

12. Teoria portfela i inżynieria finansowa. Oczekiwany zwrot. Odchylenie standardowe jako miara ryzyka. Pojęcie brzegu efektywnego. Dopuszczenie waloru wolnego od ryzyka, linia rynku kapitałowego.

13. Finanse firm. Sprawozdania finansowe. Źródła zagrożeń - ryzyko kursowe, stóp procentowych, zmiany cen. Metody osłony z wykorzystaniem instrumentów pochodnych. Pojęcie kosztu kapitału, budżetowanie kapitałowe, wycena projektów i

firm.

14. Problem ryzyka kredytowego. Akcja firmy zadłużonej jako opcja kupna (model Mertona). Wycena obligacji firm narażonych na bankructwo, implikowany koszt długu.

Literatura:

1. M. Capiński, T. Zastawniak, Mathematics for Finance, Springer 2004.

3. J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje, WIG-Press, 1998.

Program przedmiotu:WYBRANE ROZDZIAŁY MATEMATYKI STOSOWANEJ


Wymagane wiadomości: Podstawowe pojęcia matematyczne.

Konwersatorium prowadzone przez wielu wykładowców na zaproszenie osoby prowadzącej przedmiot. Zajęcia prowadzone przez poszczególne osoby będą mogły się różnić długością (od 2 do kilkunastu godzin), formą (ćwiczenia, wykład itp.), jak i zakresem materiału (byle dotyczył on aspektów zastosowań matematyki). Tematem mogą być aktualnie prowadzone badania. Przewidywana jest możliwość wystąpień gości wydziału. W konsekwencji, niektóre zajęcia mogą być prowadzone po angielsku.

5 grudnia 2009

Program przedmiotu:ZARZĄDZANIE SYSTEMEM INFORMATYCZNYM 30 godz. lab.

Wymagane wiadomości: podstawy programowania i baz danych

1. Wprowadzenie do inżynierii oprogramowania. Inżynieria systemów komputerowych. Proces tworzenia i rozwoju systemu - cykl życiowy.

2. Zdefiniowanie tematów Systemu Informatycznego (SI) w podgrupach – zespołach.

3. Analiza potrzeb względem SI wewnątrz firmy. Pisanie studium wstępnego dla SI.

4. Faza wywiadu - ustalenie wymagań i ich dokumentacja. Sposoby klasyfikacji żądań.

5. Wywiad i pisanie strategicznego studium po fazie wywiadu dla SI (w zespołach).

6. Graficzny język modelowania UML: diagramy usecase ze szczegółowym opisem przypadków użycia.

7. Analiza przypadków użycia dla SI (w zespołach).

8. Graficzny język modelowania UML – cd.: diagramy klas, stanów i sekwencji.

9. Projektowanie diagramu klas, stanów i sekwencji dla SI (w zespołach).

10. Implementacja interfejsu użytkownika dla SI (w zespołach).

11. Implementacja SI (w zespołach).

12. Projektowanie różnych systemów. Architektura oprogramowania. Bezpieczeństwo systemów - systemy krytyczne.

13. Weryfikacja i zatwierdzanie. Testowanie SI (w zespołach).

14. Zarządzanie personelem. Zarządzanie projektem. Analiza kosztów i zysków.

15. Ocena zaimplementowanych systemów.

W ramach laboratorium przewidziana jest współpraca z pracownikami firmy Ericpol Telecom. Literatura:1. Sommerville I., Inżynieria oprogramowania.2. Booch G., Jacobson I., Rumbaugh J., UML Przewodnik Użytkownika.3. Beynon-Davis P., Inżynieria Systemów Informacyjnych.

Program przedmiotu:ZARZĄDZANIE RYZYKIEM - STUDIUM PRZYPADKÓW 30 godz. konwersatorium

Wymagane wiadomości: Model Blacka-Scholesa.

1. Parametry greckie i ich zastosowanie do osłony przed ryzykiem.

2. Osłona przez ryzykiem zmian stóp procentowych.

3. Osłona portfeli inwestycyjnych z wykorzystaniem instrumentów pochodnych.

4. Wycena obligacji korporacyjnych.

5. Wycena firm.

6. Decyzje strategiczne w zarządzaniu firmą. Wykorzystanie instrumentów pochodnych.

7. Ryzyko kredytowe. Osłona przez ryzykiem bankructwa.

8. Problem wyceny obligacji narażonych na ryzyko bankructwa i wyznaczenia implikowanej stopy procentowej.

9. Strategie opcyjne (spread, butterfly, straddle).

10. Budowa strategii o zadanym profilu wypłaty.

11. Opcje egzotyczne i ich wykorzystanie.

12. Osłona przed ryzykiem zmiany kursu walutowego.

13. Wykorzystanie opcji do zarządzania wartością narażoną na ryzyko (VaR).

14. Aspekty praktyczne związane z finansami firm.

Literatura:G. C. Chacko, V. Dessian, P. A. Hecht, A. Sjoman, Financial Instruments and Markets,. E. Dimson, P. Marsh. Cases in Corporate Finance,

Program przedmiotu:ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA


Wymagane wiadomości. Podstawowe wiadomości z zakresu teorii obliczalności. Podstawowe pojęcia i twierdzenia z teorii grafów. Przydatna znajomość języka angielskiego na poziomie średniozaawansowanym.

1. Maszyna z dostępem swobodnym i maszyna Turinga oraz pojęcie funkcji obliczalnych. Teza Churcha.

2. Modyfikacje maszyn Turinga - taśmy wielościeżkowe, maszyny wielotaśmowe. Twierdzenie o równoważności obliczeniowej różnych modeli maszyn. Definicja niedeterministycznej maszyny Turinga. Usystematyzowanie i poszerzenie podstawowych pojęć teorii złożoności obliczeniowej takich jak złożoność czasowa i pamięciowa dla deterministycznego oraz niedeterministycznego modelu maszyny Turinga.

3. Formalizm funkcji rekurencyjnych – klasa funkcji prymitywnie rekurencyjnych i rekurencyjnych, tw. Goedla-Kleeniego o eliminacji rekursji (bd.), tw. Kleeniego o formie normalnej rekursji (bd.).

4. Elementy lambda-rachunku. Tw. o równoważności formalizmów funkcji rekurencyjnych, lambda rachunku i maszyn Turinga (bd.).

5. Przykłady języków rekurencyjnych, rekurencyjnie przeliczalnych i takich, które nie są rekurencyjnie przeliczalne. Dwa twierdzenia Rice’a (bd.).

6. Elementy logiki predykatów. Twierdzenie Goedla (bd.).

6. Klasy złożoności. Twierdzenie o przyspieszeniu liniowym. Twierdzenie o liniowej kompresji pamięci. Twierdzenie Bluma o przyspieszaniu (bd.). Hierarchie złożoności. Twierdzenie o hierarchii pamięciowej. Twierdzenie Savitcha. Inkluzje klas złożoności.

7. Klasy problemów P i NP. Twierdzenie o inkluzjach pomiędzy klasami. Definicja problemu decyzyjnego. Związek pomiędzy problemem decyzyjnym, a językiem akceptowanym przez maszynę Turinga. Definicja relacji transformalności wielomianowej i jej własności. Pojęcie równoważności problemów. Definicja problemu zupełnego w swojej klasie złożoności.

8. Problem spełnialności. Twierdzenie Cooka.

9. Twierdzenie o NP-zupełności problemu 3-spełnialności. Sześć najsławniejszych problemów NP-zupełnych. Techniki dowodzenia NP-zupełności: twierdzenia o NP-zupełności problemu pokrycia wierzchołkowego, cyklu Hamiltona, ścieżki Hamiltona itp.

10. Szczegółowe omówienie dowodzenia NP-zupełności przez zacieśnienie, lokalne zastąpienie oraz techniką składowych na podstawie poznanych twierdzeń. Definicja podproblemu. Analiza złożoności problemów i podproblemów za pomocą NP-zupełności. Analiza podproblemów na przykładzie twierdzeń o NP-zupełności problemu 3-kolorowalności grafów. Twierdzenie Brooksa (bd.).

11. Pojęcie problemu liczbowego. Definicja silnej NP-zupełności. Definicja problemu pseudowielomianowego. Algorytm dynamiczny dla problemu podziału jako przykład algorytmu pseudowielomianowego. Pojęcie transformacji pseudowielomianowej.

12. Pojęcie problemu nieliczbowego. Twierdzenie o złożoności problemów nieliczbowych. Pojęcie problemów silnie NP-zupełnych. Twierdzenie o silnej NP-zupełności problemów nieliczbowych. Dowodzenie silnej NP-zupełności za pomocą transformacji wielomianowej: problem 3-podziału, problem zanurzania grafów, problem podziału zadań, problem komiwojażera.

13. Definicja problemu optymalizacyjnego. Optymalizacyjne wersje pewnych problemów NP-zupełnych. Pojęcie transformacji w sensie Turinga. Pojęcie problemu NP-trudnego oraz NP-łatwego. Porównywanie trudności obliczeniowych problemów optymalizacyjnych na przykładzie optymalizacyjnego problemu pokrycia wierzchołkowego. Definicja rozwiązania optymalnego minimalizacji i maksymalizacji. Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego. Stała aproksymacji.

14. Algorytmy bez stałej aproksymacji oraz ze stałą aproksymacji dla optymalizacyjnego problemu pokrycia wierzchołkowego i optymalizacyjnego problemu maksymalnego skojarzenia w grafie. Typy schematów aproksymacyjnych. Definicja wielomianowego schematu aproksymacyjnego. Pojęcie w pełni wielomianowego schematu aproksymacyjnego. Omówienie na przykładzie problemu plecakowego. Schematy aproksymacyjne dla problemu komiwojażera.

Literatura:1. A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman, Projektowanie i analiza algorytmów, Helion, 2003.2. A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman, Wprowadzenie do teorii automatów, języków i obliczeń, PWN, 2003.3. G. Boolos, R. Jeffrey, Computability and Logic, Cambridge Univ. Press, 1980.4. M. Garey, D. Johnson, Computers and intractability, W. H. Freeman and Company, 2003.5. V. Vazirani, Algorytmy aproksymacyjne, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 2005.

30 listopada 2009

ALGEBRY BANACHA . 1. 2. 3. - wms.agh.edu.pl · Twierdzenie Hahna-Banacha i najważniejsze wnioski....

Documents

Transcript of ALGEBRY BANACHA . 1. 2. 3. - wms.agh.edu.pl · Twierdzenie Hahna-Banacha i najważniejsze wnioski....