Anna DubieckaBarbara Dubiecka-KrukZbigniew GóralewiczTomasz MalickiPiotr Piskorski

Andrzej Ziemieńczuk

Matematyka 2020 okładka strona tytułowa.indd 1 2011-04-05 13:59:30

Anna Bazyluk

Henryk Sienkiewicz

SPIS TREŚCI

O podręczniku ________________________________________________________________ 4

1. Statystyka Śmietankowe ponad wszystko _________________________________________ 7

2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach Spójrz na podstawy! __________________ 15

3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach Spójrz na wykładniki! _______________ 21 4. Potęga o wykładniku całkowitym Ile punktów? ____________________________________ 26 Pora na kalkulator! nr 1 ______________________________________________________ 36

Jak to rozwiązać? nr 1 _______________________________________________________ 38 Trening przed klasówką nr 1 ___________________________________________________ 43

5. Wielokąty wpisane w okrąg Spotkanie na rynku ____________________________________ 46 6. Położenie prostej względem okręgu Sieczne, styczne i… ______________________________ 53

7. Wielokąty opisane na okręgu Latanie precyzyjne ____________________________________ 61 8. Obwód i pole koła Jak długi jest okrąg? ___________________________________________ 70

Jak to rozwiązać? nr 2 _______________________________________________________ 80

Trening przed klasówką nr 2 ___________________________________________________ 83 Infografi ka: √2 łączy Europę __________________________________________________ 86

9. Mnożenie sum algebraicznych Jak to nazwać? ______________________________________ 88

10. Kwadrat sumy wyrażeń algebraicznych Kwadraty w sumach ____________________________ 94

11. Różnica kwadratów wyrażeń algebraicznych Szybkie rachowanie _________________________ 99

12. Przekształcanie wzorów Wzór na wzory _________________________________________ 104

Jak to rozwiązać? nr 3 _______________________________________________________ 110

Trening przed klasówką nr 3 ___________________________________________________ 114

13. Twierdzenie Pitagorasa Kwadraty na trójkącie ______________________________________ 117

14. Wprowadzenie pojęcia pierwiastka Matematyczna maszynka ___________________________ 125

15. Mnożenie i dzielenie pierwiastków Dwójkowanie ___________________________________ 133

16. Budowa odcinków o niewymiernych długościach Patrz i licz! ___________________________ 141

Pora na kalkulator! nr 2 ______________________________________________________ 145

17. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa Jak długi musi być trap? ___________________________ 147

18. Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych Pitagoras u Kartezjusza __________________ 154

Jak to rozwiązać? nr 4 _______________________________________________________ 159

Trening przed klasówką nr 4 ___________________________________________________ 163

19. Przyporządkowania SMS-owy zawrót głowy _______________________________________ 167

20. Pojęcie funkcji Gdzie Tomek ma domek? __________________________________________ 173

21. Własności funkcji Jakie to funkcje? _____________________________________________ 184

22. Proporcjonalność prosta Jak szybko napełni się akwarium? ______________________________ 190

23. Funkcja liniowa Jaki obwód? _________________________________________________ 196

24. Równania liniowe z dwiema niewiadomymi Ile banknotów? ____________________________ 205

25. Układ równań. Interpretacja grafi czna Gdzie się spotkają? _____________________________ 213

26. Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania Jak ciężkie są pieniądze? ______________ 219

Jak to rozwiązać? nr 5 _______________________________________________________ 225

Trening przed klasówką nr 5 ___________________________________________________ 231 Infografi ka: Wystarczą dwie kreski _______________________________________________ 236

27. Ostrosłupy Składamy trójkąty _________________________________________________ 238

28. Pole powierzchni i objętość ostrosłupa Trzy w jednym ________________________________ 246

29. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w zadaniach Pitagoras w Egipcie _____________________ 251

30. Określanie szans Wyścigi pionków ______________________________________________ 258

Jak to rozwiązać? nr 6 _______________________________________________________ 267

Trening przed klasówką nr 6 ___________________________________________________ 271 Infografi ka: Z czego składa się sześcian _____________________________________________ 274

31. Procent składany Jak działa bank? _____________________________________________ 276 ODPOWIEDZI ____________________________________________________________ 282 SKOROWIDZ ____________________________________________________________ 293

4

O podręczniku

Każdy moduł zaczyna się od Startera,który wprowadza w nową tematykę

Moduły, czyli poszczególne tematy, w obrębie podręcznika ponumerowano w sposób ciągły

Treści matematyczne w „ramce z wykrzyknikiem” powinieneś dobrze zrozumieć i zapamiętać, będą potrzebne w dalszej edukacji

Tą ikoną oznaczono dodatkowe zadania,które znajdziesz w papierowym zeszycie ćwiczeń oraz jegoelektronicznej wersji na stronie internetowej

5

numer lekcji

w zeszycie ćwiczeń

Treści matematyczne umieszczone w „ramce ze spinaczem” ułatwiają przypomnienie i zebranie wiadomości

Zadanie to warto wykonać w grupie, dyskutując o jego rozwiązaniu, porównując rezultaty pracy, formułując spostrzeżenia i wnioski

Treści matematyczne w „ramce z klamrami” to komentarze lub dodatkowe wyjaśnienia

5

� Znak równości

Wystarczą dwie kreskiObecnie używany znak równości = pojawił się po raz pierwszy w druku w roku 1557 w angielskim podręczniku arytmetyki The Whetstone of Witte Roberta Recorde’a.

Symbole + i − po raz pierwszy pojawiły się w podręczniku z zakresu ekonomii autorstwa Johannesa Widmanna, wydanym w Lipsku w 1489 roku. Znak zbliżony kształtem do znaku plusa pojawił się już w dziele Mikołaja Oresme (1323–1382) Algorismus proportionum (1356). Pochodzi prawdopodobnie od słowa et (znaczy: i), które – napisane niestarannie – gubi e (samo t przypomina krzyżyk).

Skąd wziął się pomysł wprowadzenia nowego symbolu? Autor tłumaczy to następująco:

Pierwsze równanie, które występuje na reprodukowanej stronie, obecnie należałoby zapisać w formie 14x + 15 = 71. Widoczny znak φ odnosi się do jednostki, w której wyrażone były wielkości związane równaniem; mogły to być funty, łokcie, uncje itp. Znak niewiadomej obejmował nie tylko liczbę, ale i jednostkę.

Urodził się w Walii. Studiował w Oksfordzie i Cambridge, gdzie w 1545 roku uzyskał tytuł doktora medycyny. Był praktykującym lekarzem, m.in. nadwornym lekarzem Edwarda VI; powołany przez króla nadzorował prace w mennicach w Bristolu i Dublinie oraz w kopalni srebra w Irlandii. Zasłynął jako autor elementarnych podręczników matematyki. Aby poszerzyć krąg odbiorców, pisał po angielsku (a nie po łacinie, jak było wówczas praktykowane), posługując się prostym, jasnym językiem. Ogromne wyczucie dydaktyczne, którym się wykazał w swoich pracach – większość miała postać dialogu między nauczycielem i uczniem – wskazuje na to, że prawdopodobnie zajmował się też nauczaniem. Ogromny sukces odniosła The Grounde of Artes, pierwsza angielska książka dotycząca algebry, wydana w roku 1543 (The Whetstone of Witte było jej kontynuacją).

��

Aby uniknąć nudnego powtarzania tych słów – jest równe – będę wstawiał, tak jak zwykle to robię w moich pracach, parę równoległych bliźniaczych kresek jednakowej długości, w taki sposób ======, ponieważ żadne dwie rzeczy nie mogą być bardziej równe.

pra

Praca projektowa

wraz ze wskazówkami do jej wykonania

Polecenie oznaczone strzałką odnosi się do każdego podpunktu zadania

Atrakcyjne infografi ki, łączące ilustracje z informacjami, zachęcą Cię do zainteresowania się matematyką

Takie wyróżnienie oznacza wiązkę

zadaniową,czyli serię zadań powiązanych ze sobą tematycznie

Rozszerzenie– treści nieobowiązkowe, przeznaczone dla chętnych

���������� ��

– zestaw czterech zadań na zakończenie każdego modułu

Symbol kłódkioznacza zagadkę

6

Pora na kalkulator!to rozdział poświęcony obliczeniom na kalkulatorze

���������������– tu znajdują się przykładowo rozwiązane zadania

Zadanie Problem

– jego rozwiązanie wymaga nieco więcej cierpliwości lub niekonwencjonalnego podejścia

�� ������� ��������to zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania umożliwiający powtórzenie materiału

7

1Statystyka

Badania TNS OBOP pokazują, że aż 38% Polaków lubi jeść lody o smaku śmietankowym, a 24% deklaruje, że jest to ich ulubiony smak. Na drugim miejscu uplasował się smak waniliowy (16%), a po nim czekoladowy (14%) i truskawkowy (10%). Lody o innych smakach mają nie więcej niż 3% zwolenników. Polacy najczęściej wybierają lody śmietankowe, gdyż bu-dzą one bardzo pozytywne skojarzenia. Polacy kojarzą je przede wszystkim z latem (19%), śmietaną (10%) i waka-cjami (8%).

1 Jaki smak lodów podawali najczęściej respondenci opisanego badania?

1 Wymień cztery najpopularniejsze smaki lodów.1 Sporządź diagram ilustrujący „lodowe” gusty

Polaków.1 Jakie skojarzenia i u ilu procent badanych wywołują

najczęściej lody śmietankowe? 1 Zaproponuj ankietę, która mogłaby posłużyć Ci do

przeprowadzenia podobnych badań w Twojej klasie.

kawiarnie

morze

plaża

0% 4% 8% 12% 16% 20%

11%

13%

11%

patyczek

12%

9%

0% 4% 8% 12% 16% 20%

pucharekdo lodów

źródło: http://www.tns-global.pl/

Najczęściej kojarzone z lodami śmietankowymi miejsca/przedmioty

Śmietankowe

ponad wszystko

10

1

Średnią arytmetyczną wyników nazywamy iloraz sumy wszyst-kich wyników przez liczbę tych wyników.Przykład: Średnia arytmetyczna liczb 4, 3, 8 równa jest 5, bo

3. Na diagramie przedstawionoliczbę poszczególnych ocen uzy-skanych na sprawdzianie. Obliczśrednią ocen z tego sprawdzianu.

4. Tabela przedstawia wyniki pchnięcia kulą w czasie rozgrywek sportowych między przedstawicielami klas pierwszych i drugich.a) Oblicz średni wynik uzyskany

przez przedstawicieli klas pierw-szych, a następnie przez przedsta-wicieli klas drugich.

b) Oblicz średnią liczbę punktów zdobytych przez przedstawicieli klas pierwszych, a następnie przez przedstawicieli klas drugich.

c) Oblicz średni wynik wszystkich zawodników oraz średniąliczbę punktów, jaką uzyskali wszyscy zawodnicy.

d) Które klasy uzyskały wynik powyżej średniej wszystkichzawodników?

5. Oblicz średni czas trwania jednego utworu na poniższej płycie.(Pamiętaj, że obliczenia dotyczą jednostek czasu).

1. Nad pięknym, modrym Dunajem – walc 2. Szybka polka 3. Róże południa 4. Odgłosy wiosny 5. Marsz perski 6. Życie artysty 7. Szybka polka węgierska 8. Wiedeńska krew – walc 9. Marsz z operetki „Baron Cygański”

Łączny czas:

10:032:55 9:16 6:58 2:20 9:35 2:49 9:27 2:52

56:15

Statystyka

Uwaga! Średnią arytmetyczną rozpatrujemy tylko dla wyników liczbowych.

Jeśli w zadaniu mówimy o średniej, to mamy na myśli średnią arytmetyczną.

Lp. KlasaWynik[cm]

Punkty

1 2a 950 1002 1b 849 99

3 2c 843 98

4 2b 808 975 1a 783 96

4 + 3 + 83 = 15

3 = 5.liczba wynikówsuma wyników

54321

1 2 3 4 5 6 liczb

a oc

en

ocena

Wykonanie: Orkiestra Der Wiener Volksoper Dyrygent: Peter Falk

Walce i polki

11

1

6. Tabela przedstawia zestawienieliczby wybranych samogłosekw opisie płyty z zadania 5. 1 Która z samogłosek występuje w tym tekście najczęściej?1 Wykonaj tabelę występowania samogłosek w zdaniu:

Matematyka jest królową nauk.Która z samogłosek występuje w tym zdaniu najczęściej?

7. Rzucano 10 razy kostką. Oto wyniki: 2, 4, 6, 3, 1, 4, 2, 5, 5, 4.a) Jaki był średni wynik rzutu kostką?b) Jaki wynik uzyskiwano najczęściej?

Modalną wyników nazywamy wynik najczęściej występujący w danym zbiorze wyników. Modalna nosi też nazwę: moda, dominanta, wartość najczęstsza.Przykłady: W zbiorze wyników {kot, lew, kot, lew, koń, kot} modalną jest kot.W zbiorze wyników {1, 2, 3, 1, 2, 1} modalną jest 1, a w zbiorze wyników {1, 2, 3, 1, 2, 1, 2} są dwie modalne: 1 i 2.

8. W grze Twister prowadzący losuje kolejno kolory pól, które mu-szą zająć uczestnicy. Co jest modalną dziewięciu kolejnych losowań koloru w tej grze, jeśli wylosowano:

9. Określ modalną w podanym zbiorze wyników.a) 1, 5, 2, 5, 3, 3, 6, 4, 5, 4 b) a, c, b, a, b, d, c, d, a

10. Zawodników dwóch drużyn piłkarskich ustawiono według wzrostu. W każdej jedenastce pośrodku stał bramkarz.1 Na którym miejscu w każdym z szeregów stał bramkarz?1 Czy prawdą jest, że połowa zawodników drużyny niebieskiej ma

co najmniej 156 cm wzrostu?1 Ilu zawodników żółtej drużyny ma co najmniej 162 cm wzrostu?

2 2

A E I O U

23 19 14 15 3

?

Jeśli w zbiorze wyników są dwie modalne, to taki zbiór wyników nazy-wa się dwumo-dalny.

156 cm 162 cm

36

Pora na kalkulator! nr 1

W niektórych kalkulatorach są takie przyciski: x^2 x^3 x^y .Pozwalają one potęgować liczby. Np.

7 x^2 = 49

tak można wyznaczyć drugą potęgę liczby 7,

5 x^3 = 125

tak można wyznaczyć trzecią potęgę liczby 5.

1. Zbadajcie, jak działa przycisk x^y .1 Jak za pomocą tego

przycisku wyznaczyć liczbę odwrotną do danej liczby?

1 Co otrzymacie po wciśnięciu poniższej sekwencji przycisków?

2 x^y 0 × 5 =

1 Podajcie możliwie najwięcej sposobów obliczania potęg o różnych podsta-wach i różnych wykładnikach przy użyciu tego przycisku.

Większość prostych kalkulatorów nie ma takich przycisków. Zatem, czy jedynym sposobem obliczenia wartości potęgi o wykładniku naturalnym jest wielokrotne mnożenie podstawy potęgi przez siebie? Czy niemożliwe jest obliczanie potęg o wykładniku całkowitym?

2. Wykonajcie następujące obliczenia na swoich kalkulatorach:5 × = 5 × = =

5 × = = =

1 Jak działa przycisk = w tym przypadku?1 Jak obliczyć wartość potęgi (–2)7? A jak ( 1

3 )5?

Sprawdź, jak działa Twój kalkulator.

Może się zda-rzyć, że Twój kalkulator nie będzie reagował na taką sekwencję przycisków.

37

3. Przycisk = użyty po liczbie 5 i znaku × powodował wyko-nanie polecenia: „Pomnóż liczbę przez 5”. Zbadajcie działanie swo-ich kalkulatorów w sekwencji przycisków:

5 / = 5 / = =

5 / = = =

1 Jak działa przycisk = w tym przypadku?1 Opiszcie, jak za pomocą kalkulatora podnieść liczbę do potęgi

o wykładniku ujemnym.1 Obliczcie za pomocą swoich kalkulatorów wartości potęg: 2–3,

0,5–1, ( 13 )–2.

4. Zbadajcie działanie kalkulatorów w sekwencji przycisków.a) b)

4 + =

4 + = =

4 + = = =

c) d)5 + 6 =

5 + 6 = =

5 + 6 = = =

e) f)5 × 6 =

5 × 6 = =

5 × 6 = = =

1 Jakie działanie wykonuje kalkulator po każdym naciśnięciu przy-cisku = ?

5. Pies goni zająca, który jest 48 m przed nim. Jeden skok zająca to 80 cm, a skok psa w tym samym czasie to 120 cm. Po ilu skokach pies dogoni zająca?1 Jak można rozwiązać to zadanie przy użyciu dwóch kalkulatorów?1 Zaproponujcie inne zadania, w których u�ycie kalkulatora

upraszcza rozwi�zanie.

15 15

16 16

1 0 × =

1 0 × = =

1 0 × = = =

5 – 3 =

5 – 3 = =

5 – 3 = = =

1 2 / 3 =

1 2 / 3 = =

1 2 / 3 = = =

Z czego składa się sześcianKażdy wie, jak wygląda sześcian. Nic prostszego: sześć kwadratowych ścian, osiem wierzchołków i osiem jednakowych narożnych kątów. Ale czy wiesz, że można go podzielić na trzy jednakowe ostrosłupy albo dwa jednakowe jedenastościany?

� Trzy ostrosłupy –

geometryczny tryptyk

Z pozoru taki podział wydaje się niemożliwy, a jednak… Wystarczy wybrać trzy ściany, które mają wspólnywierzchołek, a następnie ze wspólnego wierzchołka poprowadzić przekątne tych ścian oraz przekątną bryły. Odcinki te wyznaczają płaszczyzny cięcia.

Z tych trzech ostrosłupów można utworzyć

ciekawe kompozycje. Trudno w nich

rozpoznać nasz sześcian…

K-dronowy blok budowlany

K-dronowy globus

� K-dronowy świat

K-dron może być wykonany z różnych materiałów, np. połączenie kształtu K-dronu z materią betonu stworzyło blok budowlany, który oprócz walorów estetycznych ma właściwości rozpraszania dźwięku.

Poza produkcją przedmiotów użytkowych, takich jak zegarki czy biżuteria, największe zastosowanie znalazł w tworzeniu zabawek-układanek.

Siatka

K-dronu

Dwa K-drony

� Niezwykły jedenastościan

Niebanalnego podziału sześcianu na dwa jednakowe jedenastościany dokonał polski grafi k Janusz Kapusta. Stworzona przez niego bryła okazała się na tyle wyjątkowa, że w 1987 roku została opatentowana w Stanach Zjednoczonych i nazwana K-dronem.

WYDAWNICTWASZKOLNEI PEDAGOGICZNE

wsip.pl ��infolinia: 800 220 555

W zeszycie ćwiczeń

znajdziesz zadania, które

skutecznie pomogą ci

przygotować się do kartkówek,

sprawdzianów i egzaminu.

Możesz korzystać z ćwiczeń w wersji

papierowej lub elektronicznej.

Ćwiczysz online, tak jak lubisz

i kiedy chcesz. Zadania są zgodne

z podręcznikiem i wymaganiami

egzaminu gimnazjalnego.

PRZYDA CI SIĘ TAKŻE„Zbiór zadań” wraz z suplementem zawierającym 100 zadań egzaminacyjnych, dzięki któremu utrwalisz wiadomości, rozwiniesz umiejętności matematyczne i przygotujesz siędo sprawdzianów i konkursów.

W ze

znajdz

skutec

przygo

spraw

Może

papie

Ćwic

i kied

z po

egz

Dobry sposób na egzamin!Nowy zeszyt ćwiczeń

w wersji papierowej i elektronicznej na

Wejdź na i sprawdź się!