SEMESTRIWYKTAD 5 TWIERDZENIE 0311T 4I 30

LOKALNEJ ODWRACALNOS .ci

Twierdzenie o lokolng. odwracalnosci jest banochowskim odpowieol

nikiemtwierdzenie o istmieuiu iviznicskowaluosa.

funkyi odwnot .

nej , Ktoregoczgsciq byr wzir ( f' '

)'

(g) = 11ft ( fyy , ).

Od strong praktycsng.

trierdzenie tojest wazhe pmy noawazaniu

Kmywoliniowyoh ukiadiw wspitmgdnyar me pmestmeni skoniseniewy .

miarowq:

TWIERDZENIE ( o LOKALNE ] ODWRACALNOSCI ) X. Ypmestmenie Banoche

f :X > U - > Y odwsorowanie Klasy d, xo EU

, yo= f( xD EY

f'

( xo ) :X → Y jest odwracolne . Wteoby istniejq otwowte otocsenie

Opunktu xo ,0am i Vpunktu yo take

,ze

fhg jest bijekcjq One V, fh : r→O jest keasyc

1i

fyev (f)'

( y )=[f'( f. '

( y ) ) ]-1

DOW '0D Down jcstowsi aiuoj , podzielimy go wigc me pewne etapy :

(1) f'

( x ) jest odwnawlne mie tyuw w xo ale takze me pewnymotocseniu Xo

W teovii pmestmeni Barware fuukqbnuje twierdzenie o wykresie domknigtymKtore mswi ze

.

T : V → w jest hniowe I ciggre wteolyi tylko wteay gayG= { ( J ,T(v ) ) : JEV } c Vxw jest podpmestmenig domkmigtg .

2bion+

GtnaaywaSig wyknaem T. Dowd ⇒ jest tatwy ,

⇐ wudny . festi T jestodwracalne to Gt i Gt . , noznig nice o tromspozycjg w iloosynie

kowtezjanskim , wigc jeili Tjestcigge to T'

tez .

2 tegotwierdzenie wynike wigc ,Ze [ f

'

( xo ) ]' 1

jest odwzovowaniem liniowymiciggrym . Wykazemy terror

,ze sbior odwsorowavi odwnawlnym w

B ( ×, 'D jest sbiorem otuartym .

We '2my TE B ( x. D i T 't

istnieje .

2 nozwazan n.t.tw . owykresie domknigtymwiemy ,

Ze T 's

jest ciggfe satem 11 T -111 jest dobme okreslona. Weimy

dowolne SEB ( × ,y ) take Ze HSHC,,¥y,

wtaty zf

It'S HE 1151111T 'll < 1

W takin pmypadkuisthieje ( atT

' ' SJL .Istotnie

,niech F= - T's

.

Pokazemy ze isthieje (11 - Fy'

. 2apropomy.my ten operator w postedheregu ftp. ( At F + F2+ . . . + an ) . Szeregteu jest ahiezny gdyz HF 11<1

HEfills IZHF HisE- Hein -T.tt#m - so

Many ( A- F)nligno ( ttft . . . + F" )=nk;g[( A-F) H+F+. . .+FY]=n.biz (A - ftp.FFH

..

. - Fm" ) - ftp.H - F

" ) = 11 ( podobniew dmgiejtoeejnosa.

)

Wiemy wise ,ze istnieie ( Itt 's )".

T . ( 11 + T 's )= ( its )

(To( a + Fts )) '

= (H + Fsj 'T '=(T+S5'

satem istniejeodwnotne do

Tts dbe dowolnyar S : 11511 <,,f=,,,

2br.ir odwaorowan'

odwrawlnycnzawiera wigc Knee o srodku w T i promieniu %T→|,

Wrawjgc do problem pochodnych , zebywytazai ,Ze ftx ) jest odwnaaoene

mietylko w xo ale i w poblizu xo mussing wykazai ze ftx ) jest bhsko

f'

Ho) whormie operator owej . 2 zaiozeuie jednak wiemy ze fix ) sale zyod × w Sposito ciggy satem HE > o JS > 0 take izejisli HX - xo 11<8 to

Hf 'H ) . f'

Ho Hs E. Wystaraywigc wsigi e= 1-

211#ix.D-

'

y My uzyskaiwhiosek

, ze isthieje S take,

Ze Ollie Tnateraz wystarcsy 1,

2 pmydasig piiniej .

xeK(×o, 8) f

'

He K( f'No )

, %¢y×# ) wkt.org.

sg jedynie odwsonowa .

2hie odwracalue

. Jako O weizmiemy wigc K(×o , 8) .

(2) f jest ndzhowartosciowe me 0 32D he YEY sdefiniujmy pomocmise odwzonowanie Oly : U → X

¢y(×)=

xt#I x ,)j1( y

- f- At ) ← Dlauego take funky.ie?maTgpneshone

many ytffx)⇐> $y(x)=× Odwsorowanie $y jest rdzhicskowalne :

¢yH=1× - #Ho)] 'f'C x ) = [fixoD" ( f 'Ho) - ftxi )←XEO to ma moving mniejhgniz

'1211 ftxd

'

'll

dlo . xeo H$yHH s 21

Weimy terror xz , x. E 8 wteoly

Htylxd - QYKDH - H$(xa+cx÷xs) -

lolxdlkllxixdfsgpo,

.pl#ylxsttAixD)H '

f£Hz . x. 11

Odwsorowanie $y|g jest odwzorowaniem,

ktorehazywamy onblizajgcym

Dla odwzorowan .

zblizojgcycu many twierdzenie, Ktoretuposiuzy

ham one lemat :

TWIERDZENIE Niece X

zupeinupmestheuipmetryay

:X - > X ablizajgcetzn istnieje 0<X< L take ,ze txs , xz d ( ylxz ) , ylxd ) fxd (×

, ,y )wtedy y ma dokioudniejeden puukt Hoey ,

ton F ! to : ylxo )=×o

DOWOD

XZEX dowolny Xjy( tz ) . . . ×n=y( Xn . , )

dkn ,×m+k)= d ( ymcxd , yh"(xk+ ,) ) { Mildly ,×k+ , ){

e Ni '

( dlx , ,x .)+dK

, ,x ,)+ ... + dark ,xk+ . ) ){ in ( xt.it ... +

xk"

)dK , ,x . )=

= N. ' f# dkz , E) - > 0

32 a .

ctycxkxtfflxo)j1( y.fo ) Wykasanie bijektywnosci moze

polegoi up me pokoisaniu ,Ze

isthieje olobme okre's lone

$y(× ) - x = [ ftxo ) ]"

( y . fat ) odwzorouanie odwrotne.

f'

( xo )[$yG) - × ]= y- f ( × ) Laiozmy ze many pours

( X. f C × ) ) i dla whalouego ye f ( O ) takiego ,Ze

y jestwpobwzuftx ) cnceiuy sualezic

.

peO take,

Ze f ( p ) - 0.

s.se#tEkfo,t / O

LIYXODEY.

fcxij.

skoro ndzniae fkoth) - flyiestpnyblizaua pmez f'

( Xo )h

if 'Ao ) jest odwracoliue to h jest pnyblizaue pmez

[f'( xD ]"

( flxoth ) . fat )

Pnyjmujemy to pnyblizeuie Szukojqo p . Ouywiscie okazuyieh's Ze

$yC×) mieiest doktaoluiep ,ale obigki temu ze Objet ablizajpce

so . Kazolp itcracjg $y jestes.my blizejcclu .

( Xu ) jest

ciggiemGmchjego up . zupeinq : Moi granicq , ozuaczmy jq xo.

Dlo , xo many ,2 ciggfosa

.

y. 33y ( ×o)= y ( limxn ) , limylxu ) = him xn+ ,

= xo i. e ylxo )=×o

Iaiozmy ze Fy :

y (y ) .

-

y . wtedy

ol ( Xo, y) { X d ( y ( x

. ), yly ) )

"

d ( yard , y ( y ) )+ > d ( xoiy ) - 0 → y

- xoa

Wviimy do Oly Jest to odwsovowanie ablizojqce , wise the tych y she

ktorylr $y| ,Mo . wowtosa

.

W O odwsorowanie to me dokiadnie jeden punkt

story . Dlajiakicuytak jest ? Patmgc www.r Oykkx + (f'

Ho ) )"

( y- FHD

stwierdsamy ,Ze due takin the Klingon y

- fk ) jest nieduze, ugh

.

they

w poblizu f ( x ) ( the XEO ) ,a wtq pewnoscip dla ye f ( O ) .

Puukt statyto puukt x : y=fA ) , jednoznocshie wyanouonyoue y . Wnioskujemy ,

ze

fly jest riznowartosciowe.

(3) wez.my V=f( O ) . Zdefiniyi ✓ is punktu (2) f :O → V jest Gjekqig .

Poka -

zai nalezy ,Ze V list otoueuiem

yo , ayli w sacsegiluosci , ze V jestsbiarem otwowlymw Y

.

Weimy yer i odpowiedni , jedyny xe O taki,

ze fk ) .'

y . Wiemyize O jestotoarty wigc isthicje v : I ( x ,r ) a O

. Weizmy promien D= % , fyxoyyPokazemy ,

Ze

tzeK (y , d) ze V

Weizmywigc dowolne } [ K ( y ,d ) i rozwazmy $3 (5) dhe gek ( × ,r )

Hold} ) -xllf 11103C 5 ) - 431×111+11431×1 - ×H{ 12115×11+11 fkrojy s . fix# s

f Ent Hf'1×05111113 - yll f tzrttzn =r as (5) ek (×

,n )< J

IT

§|k( ×, . ,

me wowtosu .

w KANKO satem 01,

me puuktnaiy w

0,34a nonet wigcg

.

w K( X. v ) . Nazwijmytenpuukt Stony }o .

Wiaowmo satem ,

ze Pg ( 3.1=5 , ayii f( g) = g .

Wniosek : Se f ( 0 ) .

- V . sbyrodowolne a Kly , d) ,

sateen Kly , d) cri Votwowty .

(4) Wiemy juz ze istniejq Oi V otoczenie xo iyo take, ze f :O → V

jest kjekqiq ,ton f

"

istnieje . Dowodzimyleraz rdznicskowalewsa.

f-1

.

Dla wiatwienie uotagi oznacsmy f- '

= : g

Weizmy yet I KEY taki, zeby ytke V

, ayli 111<11 Maia. spodziewa -

my sig , sgodnie 2 tesg ,Ze g

'

( y ) = (f'

( x ) )"

the × : flx )=y

rg ( y ,k)= g(y+k ) - gay ) - ( f 'H)" K = #¥- ffHJK .

.

xth.pl#giytk = h - ( f 'Hj'

K = #'

(xD"

( f 'Hh - k) =

=[ f 'Hj' ( f'

A) h - [f ( xth ) - flx )] ) = - [ FYHJ'

( flxth ) - flx ) - f 'Hh ) =

= - [ f 'Hj'

rffx ,h )

ng ( h,

K ) = - [ fllyjlr ( × ,n ) k→o

y poupgah - so

"

msn.tw = ¥ ,

H #HJHHNTH ,HH{ Itf'exs5 'll"

he " HAD

jaksiq me h do kJoFanicsone"h€hoHctylxth) -PYHHE 2111 nil

Olylxth) . byk )= xtht#

top"(y- flxtn )) - (× + [ f

'

#]" ( y. fix , ))=ft

h +

AT. AHATH)

-

A #at+ Afk )= h - a ( ftp.ffxl)= h - [ftxfjlk

3511h- F

'ED"

klktzhn-

A

h= ht Ak - AK 11h11 f 11h - AKH t HAKH f tz 11h11 t HAKH

tz11h11 f HAKH f HAHHKH

11h11 f ZHAHHKH.

satem k→o pociqgeh→0

lhYhTf 211 All tzn ogranicsone .

Pokazalismy wigc ,Ze rent sachowuje sig wtasciwie

.

(5) Udowodnilismynozhicskowalusc F'

. Posostoje wykazoi "

w sposobcigopy

"Poniewaz many wziv ( f

- '

)'

( y ) = #( f-' ( y ) ) ]

"i wiemy ize

f jest rdzniczkowalne W sposob apgry wystaruy pokazai ,

Ze

ciqgfe jest odwaonowanie

D

B ( x. 4) at 1- > T'

e B ( Y ,x )W celach ogilnorozwojowych pokazemywigcg

.

-

jest to odwzorowanie

vizhia .

kowalnei

DCT )H= - T' 1. Ho T

' ' ( He BC ×, 4) - pmynost )

- 1

D ( Tt H ) - D ( t ) = ( Tt H )"

- T-1

= (11 + T- LH ) T- 2

- T- 1

==L( 11 + TIHJ1

- A) T " =[ a - TH + if '

Hj'

. ... - a ]T "=

-Jesili 11521111<1 = - T

'sHT

- h+ if

' '

H )2T -1.1 . . .

-+ 2h HHH ( %, ,

-

y , pochodno -1

H(T±H)' T.tt ( T" HPT 't

+ . . . HE 11T"

111111T' '

#112 ( 1+11 Tit H 11 + . . . ) f

f HT' 11311

HH' L

- 1- HTHHJten csannik gwarantnie aaaiowanierehty . a