Cz 1 10. METODA SI - RAMA 110. 10. METODA SI - RAMASposb rozwizywania zada metod si przeanalizujemy szczegowo na konkretnychprzykadach liczbowych. Zadanie 1Wykona wykresy si wewntrznych od obcie rzeczywistych ukadu statycznie niewyznaczalnego:P = 54 kNq = 9 kN/mEJ2 EJ43 324[m]EJRys. 10.1. Ukad rzeczywisty z obcieniem zewntrznymUkad jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny. Wybieramy jeden z moliwych ukadwpodstawowych. Odrzucamy mylowo dwie podpory prtowe (pozostawiajc jedynie utwierdzenie) izastpujemy je niewiadomymi siami X1 i X2.P = 54 kNq = 9 kN/mEJ2 EJ43 324X1X2[m]EJRys. 10.2. Ukad podstawowy z niewiadomymi siami X1 i X2Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 2Aby ukad ten by rwnowany ukadowi rzeczywistemu naley go uzupeni o ukad rwnakanonicznych opisujcych warunek identycznoci kinematycznej:611X1+612X2+A1 P=0 621X1+622X2+A2 P=0(10.1)Wcelu obliczenia przemieszczeik, wykonujemy wykresy momentwod si jednostkowychprzyoonych kolejno w miejsca niewiadomych X1i X2, oraz od obcienia zewntrznego (rys. 10.2). Wykresyte nazwiemy kolejno M1 (rys. 10.3), M2 (rys. 10.4),MP0 (rys. 10.5).3 34X1 = 133M1 [m] [m]Rys. 10.3. Wykres momentw od siy jednostkowejprzyoonej w miejsce niewiadomej X13 34X2 = 133M2 [m] [m]Rys. 10.4. Wykres momentw od siy jednostkowejprzyoonej w miejsce niewiadomej X234MP0 [kN/m]54541261 2[m]Rys. 10.5. Wykres momentw odobcienia zewntrznegoMajc gotowe wykresy momentwmoemy przystpi do obliczania wspczynnikwrwnakanonicznych (10.1) przy wykorzystaniu metody Maxwella-Mohra. Uwzgldniajc jedynie momenty zginajceprzemieszczenie obliczamy ze wzoru:6ik=jMiMkEJds (10.2)Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 3Dla uproszczenia cakowania skorzystamy z numerycznej metody Wereszczagina Mohra611 =1 EJ|1 23 3 2 33 +1 2 EJ| 4 3 3=27 m3 EJ622=1 EJ|1 2 3 3 2 33 +1 2 EJ| 4 3 3=27 m3EJ612=621=1 2 EJ| 4 3 3=18 m3 EJA1 P=1 2 EJ|126 +5424 3 239 4284 3=468 kNm3EJA2 P=1 EJ|121 54 (233 132)+1 2 EJ|239 4284 3 126+5424 3=540 kNm3EJUkad rwna kanonicznych przyjmuje posta:27 EJX118 EJX2 +468 EJ=0 18 EJX1 +27 EJX2 540 EJ=0Z rozwizania powyszego ukadu rwna otrzymamy nastpujce wyniki:X1 =7,2kNX2 =15,2kNWarto przy tym zadaniu zastanowi si nad sensem wprowadzania niewiadomych w postaci grupy si.Rys. 10.6 przedstawia ukad podstawowy dla tego zadania przyjty jak poprzednio, z t rnic, e zamiastniewiadomych si X1 i X2 wprowadzono grupy si Z1 i Z2. P = 54 kNq = 9 kN/mEJ2 EJ43 324Z1Z2Z1Z2[m]Rys. 10.6. Ukad podstawowy z niewiadomymi Z1 i Z2 Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 4Wykonajmy zatem ponownie wykresy momentw, tym razem od grup si Z1 i Z2. Wykresy te nazwiemykolejno M1' (rys. 10.7) i M2' (rys. 10.8). Tym razem ukad rwna kanonicznych ma posta:6'11Z1+6'12Z2+A'1 P=06'21Z1+6'22Z2+A'2 P=03 34Z1 = 13M1' [m]Z1 = 1 [m]Rys. 10.7. Wykres momentw od si jednostkowychprzyoonych w miejsce niewiadomych Z13 34Z2 = 13M2' [m]Z2 = 136 [m]Rys. 10.8. Wykres momentw od si jednostkowychprzyoonych w miejsce niewiadomych Z2Przygldajcsiwykresom M1'iM2'monazauway, eniektreprzemieszczeniabdzerowe.Sprbujmyzatemsprawdziczynaszespostrzeenias susznei obliczmyponownieprzemieszczeniazukadu rwna kanonicznych:6'11 =1 EJ(2 1 2 3 3 2 33 )=18 m3 EJ6'12=621=1 EJ(123 3 23 123 3 23)=0 6'22=1 EJ18 +1 2 EJ(4 6 6 )=90 m3EJA'1 P=1 EJ|1 2 1 54 (1 32 +2 33)=72kNm3EJA'2 P=72 EJ 1 2 EJ|6 4 1 2(126+54)2 3 4 9 4286 =1008 kNm3EJPo podstawieniu do rwna kanonicznych otrzymujemy dwa rwnania z jedn niewiadom:18 EJZ1+0 Z2 72 EJ =0 0 Z1 +90 EJ Z2 +1008 EJ=0Po rozwizaniurwna otrzymujemy wyniki:Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 5Z1 =4kNZ2 =11,2 kNWydajesi, e wyniki s rne, ale analizujc rys. 10.2 i rys. 10.6 okazuje si, e niewiadome Xisodpowiednimi sumami zmiennych Zi:X1=Z1 +Z2=4+(11,2)=7,2kNX2=Z1Z2=4(11,2)=15,2kNczyli uzyskalimy takie same wyniki unikajc rozwizywania skomplikowanego ukadu rwna.P = 54 kNq = 9 kN/mEJ2 EJ43 3247,2 kN 15,2 kN[m]Rys. 10.9. Stan obcienia siami zewntrznymi oraznadliczbowymi siami X1i X2Pootrzymaniu wartoci niewiadomych X1iX2dokonujemyanalizy kocowej zadania, czyli tworzymywykresy rzeczywistych si wewntrznych w ukadzie podstawowym, obcionym zewntrznie oraz przez siyX1iX2(rys. 10.9). Wartoci si wewntrznych moemyokreliw oparciu ozasad superpozycji. Sumujcwykresymomentwwukadachpodstawowychodobcienia zewntrznegoM0P(rys. 10.5) i wykresyjednostkowe M1 (rys. 10.3), M2 (rys. 10.4) przemnoone przez rzeczywiste wartoci nadliczbowych X1 i X2. Podobnie moemy postpi przy wyznaczaniu si tncych i normalnych :MP(n)=MPO+i =1nMiXiTP(n)=TP0 +i =1nTiXiNP(n)=NP0 +i +1nNiXi(10.3)Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 634MP(n) [kN/m]1 221,630,48,458,813,2Rys. 10.10. Wykres momentw rzeczywistych MP(n) Poniewaniedysponujemywykresami normalnychi tncychani wukadziepodstawowym, ani wukadachodstanw X1=1iX2=1, wykresytychfunkcjimoemynarysowatradycyjniekorzystajczobcie na rys. 10.9 lub inaczej, korzystajc z wykresu momentw w ukadzie statycznie niewyznaczalnym(rys. 10.10). W tym celu dzielimy ukad na pojedyncze pomocnicze fragmenty i dla nich pomoc wyznaczamywartoci si tncych w poszczeglnych przekrojach.54 kN15,2 kN1 27,2 kN321,6 kNm8,4 kNm30,48,4Mp(n) [kNm]Mp(n) [kNm]21,6q = 9 kN/m413,2 kNm58,8 kNmMP(n) [kN/m]58,813,2xRys. 10.11. Rysunki pomocnicze do wykonania wykresu si tncychDobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 7To=15,2| kN T=38,8| kN T=7,2| kN T6=36 9x34TP(n) [kN]1 2-7,238,836,0-15,2+__+Rys. 10.12. Wykres rzeczywistych si tncychTP(n) Wartoci si normalnych mona wyznaczy rwnowac wzy ukadu (rwnowaga si w wzach)N38,8 kN 7,2 kNRys. 10.13. Rwnowaga si w wle ramyY =0- N6=46kN34NP(n) [kN]1 2-46,0_Rys. 10.14. Wykresrzeczywistych si normalnychNP(n) Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 810.1. Sprawdzenia poprawnoci oblicze10.1.1. Sprawdzenie globalneSprawdzenietopoleganazbudowaniupewnegofikcyjnegowykresumomentw MS, bdcego sumwszystkich wykresw jednostkowych ( M1, M2, ..., Mi):MS=i =1nMi(10.4)Na podstawie tak sporzdzonego wykresu obliczamy wspczynnikSSze wzoru: 6SS=MS2 EJ ds(10.5)Okazuje si e warto wspczynnika SS rwna jest sumie wszystkich wspczynnikw macierzy podatnoci:6SS=i =1nk=1n6ik(10.6)Mona to udowodni w nastpujcy sposb:6SS=SMSMSEJds=S1 EJ( M1+M2+...+Mn)2ds=SM1 M1EJds+SM1 M2EJds+...+SM1 MnEJds++SM2 M1EJds+SM2 M2EJds+...+SM2 MnEJds++SMnM1EJds+SMnM2EJds+...+SMnMnEJds==611 +612 +...+6nn=i =1nk=1n6ikWtensposbotrzymalimymoliwosprawdzeniapoprawnociwyliczewszystkichuzyskanychwspczynnikw ik(z pominiciem iP).Jeeli powysza rwno jest speniona przeprowadzone dotychczasobliczenia s prawidowe. Jeeli nie, to lokalizujemy bd sprawdzeniem lokalnym. 10.1.2. Sprawdzenie lokalneSprawdzenieto,zwanetakewierszowymlubkolumnowym,poleganazlokalizowaniubdu,przezodrbne rozpatrywanie elementw danego wiersza macierzy podatnoci (lub danej kolumny, bo macierz ta jestsymetryczna). Sumowaniate wyraone s wzorem:Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 96is=SMiMSEJds=k=1n6ik(10.7)Gdzie i to numer wykresu jednostkowego (dla Xi = 1) oraz numer sprawdzanego wiersza macierzy.Sprawdzenie poprawnoci wartoci oblicze wyrazw wolnych iP przeprowadza si wzorem:ASP=SMS0 MP0EJds=i =1nAiP(10.8)Dowd na skutecznozalenoci (10.7) i (10.8) jest analogiczny jak dla sprawdzenia globalnego.Po zlokalizowaniu i poprawieniu bdu przystpujemy do dalszej analizy wynikw. 10.1.3. Sprawdzenie wartoci niewiadomych siSprawdzenieto polega na podstawieniu wyznaczonychwielkociXkdorwna kanonicznychistwierdzeniu, czy ukad rwna jestspeniony.10.1.4. Sprawdzenie statyczneTo sprawdzeniemwi nam, czy przy wyznaczonychsiach wewntrznychspeniones warunkistatycznej rwnowagi (X=0, Y=0, M=0). Polega ono na wykazaniu, e spenione s rwnania rwnowagidlacaoci ukadujakrwniedlawybranychjegoczci. Wartozaznaczy, esprawdzenietoniebadapoprawnoci wyliczonychXk,ajedyniesprawdzapoprawnowykreswsi wewntrznychodobciezewntrznych i nadliczbowych (niekoniecznie prawidowych).10.1.5. Sprawdzenie kinematyczneSprawdzenie to jest najwaniejsze, gdy tak naprawd to dopieroono mwi nam czy uzyskane wynikis prawidowe.Polega ono na wykazaniu, e dla wybranych punktw (na og punktw, ktre nie doznajprzemieszczewukadziestatycznieniewyznaczalnym)przemieszczeniasrwnewartociomrzeczywicietam wystpujcym.Zagadnienie wyznaczania przemieszcze w ukadach statycznie niewyznaczalnych wydaje sistosunkowo zoone, gdy zgodnie z uniwersaln zasad pracy wirtualnej w celu okrelenia przemieszczenia,naley znale wykresy si wewntrznychwukadzie statycznie niewyznaczalnymzarwnodla stanurzeczywistegojak i wirtualnego.1 6j=SMP(n)M(n)EJdsebyuzyskawykres momentwodobciezewntrznychtrzeba byorozwiza ukadrwnakanonicznych.Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 10k=1n6ikXk+AiP=0 (10.9)Podobniew celustworzeniawykresumomentw wirtualnych wukadziestatycznieniewyznaczalnymmusimy najpierw wyznaczy reakcje nadliczbowe: k=1n6ikXk+AiP=0AiPObliczamymnocwykres zestanuX1i wykres momentwodobcieniawirtualnegowukadzie podstawowym.10.2. Twierdzenia redukcyjne Wcelu obliczenia dowolnego przemieszczenia wukadzie statycznie niewyznaczalnymnaleywykorzysta zasad prac wirtualnych wprowadzajc do rwnania funkcje si wewntrznych, wynikajcych zobcieniawirtualnegoorazzobcieniarzeczywistego.Jednakmonajednztychfunkcji(wirtualnlubrzeczywist) wyznaczy stosujc dowolny ukad podstawowy (statycznie wyznaczalny).1 6(n)=SMP(n)M(n)EJds=SMP(n)M(0)EJds=SMP(0)M(n)EJds (10.10)Zadanie 2Wyznaczy przemieszczenie pionowe punktu znajdujcego si w miejscu przyoenia siyP(rys. 10.1) stosujc trzy rne ukady podstawowe (statycznie wyznaczalne) dla obcienia wirtualnego.a) Przywykorzystaniuzalenoci(10.10) dorozwizniapotrzebnenambddwawykresy:wczeniejsporzdzonywykresmomentwrzeczywistych MP(n)zrys. 10.10, orazwykresmomentwwprzyjtymukadzie podstawowym obcionym si wirtualn (po kierunku poszukiwanego przemieszczenia).34MP(n) [kN/m]1 221,630,48,458,813,2[m]EJ2 EJ1 3 241 3 [m]2 3 2 3 0[m]M1Przemieszczenie wyznaczamy korzystajc z twierdzenia redukcyjnego:Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 111 6P(n)=SMP(n)M(0)EJds6P(n)=1 EJ|121 2 3(2 330,4 1 38,4 )+1 22 2 32 330,4 =19,33(3)EJb) Obliczamy przemieszczenie po przyjciu innego ukadu podstawowego dla obcienia wirtualnegoEJ2 EJ1 3 24[m]34MP(n) [kN/m]1 221,630,48,458,813,2[m]11 3 4 3 10[m]MPrzemieszczenie wyznaczone ze wzoru (10.10) ma warto :1 6P(n)=SMP(n)M(0)EJds6P(n)=1 EJ|121 1 (2 38,4 1 330,4 )+1 23 1 2 321,6 =19,33(3)EJc) Na koniec sprawdzamy rachunki dla jeszcze innego ukadu podstawowego:341 21134MP(n) [kN/m]1 221,630,48,458,813,2[m]2 EJEJ[m]0[m]1MWarto przemieszczenia wyznaczamy mnoc i cakujc powysze wykresy :1 6P(n)=SMP(n)M(0)EJds6P(n)=1EJ |121 1 (2 38,4 1 330,4 )+1 2 EJ|1 2 (58,813,2)4 1 2 39 4284 1 =19,33(3)EJDobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 12Wewszystkichprzypadkachotrzymalimyidentycznewartociprzemieszczecodowodzi,eukadpodstawowy moe by przyjty dowolnie.10.2.1. Dowd pierwszego twierdzenia redukcyjnegoDowd twierdzeniaprzytoczymy uwzgldniajc w obliczeniach przemieszcze jedynie wpywmomentw zginajcych. Sprbujemy dowie prawdziwoci twierdzenia:SMP(n)M(n)EJds=SMP(n)M(0)EJds (10.11)Zgodnie z zasad superpozycji mona zapisa, e :MP(n)=MP(0)+X1 M1+X2 M2 +...+XnMnM(n)=M(0)+X1 M1+X2 M2 +...+XnMn(10.12)FunkcjeMp(n) i M(n) podstawiamy do wyraenia pod pierwsz cak:MP(n)M(n)=(MP(0)+X1 M1+X2 M2 +...+XnMn)( M(0)+X1 M1+X2 M2 +...+XnMn)==M0 ( MP(0)+X1 M1+X2 M2 +...+XnMn)++X1 (MP(0)M1+X1 M12+X2 M2 M1 +...+XnMnM1)++X2 (MP(0)M2+X1 M1 M2+X2 M2 M2 +...+XnMnM2)+...++Xn(MP(0)Mn+X1 M1 Mn+X2 M2 Mn+...+Mn2 Xn)(10.13)Biorcpoduwag, ecakaziloczynumomentwpodzielonegoprzesztywnojest odpowiednimprzemieszczeniem :611 =SM12 EJ ds622 =SM22 EJ ds6nn=SMn2 EJ ds(10.14)612=621 =SM1 M2EJds61n=6n1=SM1 MnEJds62n=6n2=SM2 MnEJds(10.15)Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 13A1 P=SM1 MP0EJdsA2 P=SM2 MP0EJdsAnP=SMnMP0EJds(10.16)Wykorzystujc to we wzorze (10.13) zapiszemy:1 6j=SMP(n)M(n)EJds=X1 ( X1 611 +X2 612 +..+Xn61 n+A1 P)++X2 ( X1 621 +X2 622 +...+Xn62 n+A2 P)++Xn( X1 6n1+X2 6n2+...+Xn6nn+AnP)+SM(0)MP(n)EJds(10.17)Na mocyrwna kanonicznych metodysi, wartoci wnawiasach s rwne zeru.Ostatecznietwierdzenie (10.11) zostao udowodnione.1 6j=SM(n)M(n)EJds=SMP(n)M0EJds (10.18)10.2.2. Dowd drugiego twierdzenia redukcyjnegoWceluobliczeniadowolnegoprzemieszczeniawukadziestatycznieniewyznaczalnym, wystarczyrozwiza ukad ten od obcienia wirtualnego, za rzeczywisty stan obcie okreli dla dowolnego ukadupodstawowego statycznie wyznaczalnego.1 6j=SMP(n)M(n)EJds=SMP(0)M(n)EJds (10.19)Wartozaznaczy,e dzikitwierdzeniaredukcyjnemu wrozwaanym ukadziemona przeprowadzibardzoduosprawdzekinematycznych, gdymoemyprzyj wielernychukadwpodstawowych.Reasumujc, kontrole kinematyczn najlepiej przeprowadza stosujc inny ukad podstawowy niwykorzystywanyprzyliczeniu niewiadomych,poniewaefektemtegosprawdzeniabyobytylkowykazaniepoprawnoci rwnania kanonicznego.Uwzgldniajc wobliczeniachprzemieszczejedyniewpywmomentwzginajcychudowodnimytwierdzenie redukcyjne w postaci:1 6j=SMP(n)M(n)EJds=SMP(0)M(n)EJdsDobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 14Zgodnie z zasad superpozycjimoment w ukadzie statycznie niewyznaczalnym jest rwny:MP(n)=MP(0)+X1 M1+X2 M2 +...+XnMnM(n)=M(0)+X1 M1+X2 M2 +...+XnMnFunkcjeMP(n) i M(n) podstawiamy do wyraenia podcakowego:MP(n)M(n)=(MP(0)+X1 M1+X2 M2 +...+XnMn)(MP(0)+X1 M1+X2 M2 +... .+XnMn)==Mp0( M(0)+X1 M1+X2 M2 +.... +XnMn)++X1 ( M(0)M1+X1 M12+X2 M2 M1 +.... +XnMnM1)++X2 ( M(0)M2+X1 M1 M2+X2 M2 M2 +.... +XnMnM2)+...++Xn( M(0)Mn+X1 M1 Mn+X2 M2 Mn+...+Mn2 Xn)(10.20)Biorc pod uwag wyraenia (10.14), (10.15), (10.16) oraz (10.20) otrzymamy :1 6j=SMP(n)M(n)EJds=X1 ( X1 611 +X2 612 +..+Xn61n+A1 P)++X2 ( X1 621 +X2 622 +...+Xn62n+A2 P)++Xn( X1 6n1+X2 6n2+...+Xn6nn+AnP)+SMP(0)M(n)EJds(10.21)Na mocy rwna kanonicznych metody si, wartoci w nawiasach s rwne zeru. Po ich wyeliminowaniu otrzymujemy twierdzenie redukcyjne:1 6j=SMP(n)M(n)EJds=SMP(0)M(n)EJdsZadanie 3Dokona sprawdzenia oblicze ukadu statycznie niewyznaczalnego z rys. 10.1Obliczone wczeniej przemieszczenia (wspczynniki macierzy podatnoci) maj warto:61 1=18 EJ61 2=62 1=0 62 2=90 EJA1P=72 EJA2P=1008 EJDobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 15a) Sprawdzenie globalneSumujemy wykresy Z1 i Z2 aby otrzyma wykres Ms.334Z1 = 1 3M1' [m]Z1 = 13 34Z2 = 13M2' [m]Z2 = 13634Ms [m]1 266[m] [m] [m]Rys. 10.17. Zestawienie wykresw momentw od stanu Z1 i Z2 Przy wykorzystaniu wzoru (10.5) otrzymujemy warto wspczynnika SS.6SS=1 EJ(1 2 6 3 2 36 )+1 2 EJ(6 4 6 )=108 EJAby sprawdzi nasze obliczenia wedug (10.6) musimy znale jeszcze drug stron rwnania:i =1nk=1n6ik=61 1+61 2+62 1+62 2=18+0+0+90EJ=108 EJ Sprawdzenie globalne jest spenione poniewa :6SS=i =1nk=1n6ik108 EJ=108 EJb) Sprawdzenia lokalne3 34Z1 = 1 3M1' [m]Z1 = 134Ms [m]1266 [m] [m]Rys. 10.18. Wykres momentw w stanie M'1 i MsDobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 16Dla rozwaanego przykadu suma wspczynnikw pierwszego wiersza macierzy podatnoci wynosi:k=1n61 k=61 1+61 2=18+0EJ=18 EJAby sprawdzi obliczenia musimy znale jeszcze warto wspczynnika 1S. W tym celu naley przemnoywykresy M1' i MS.61 S=SM1 MSEJds=1 EJ|1 23 3 2 36=18 EJPoniewa:6iS=18 EJ =k=12 61k=18 EJRwnanie (10.7) jest spenione dla wiersza pierwszego.W celu sprawdzenia kolumny wyrazw wolnych, zgodnie ze wzorem (10.8) obliczamy sum:k=1nAk P=A1P+A2P=72 +1008EJ=936 EJA nastpnie wspczynnik SP na podstawie wykresw:34MP [kN/m]54541261 2 34Ms [m]1266 [m][m]Rys. 10.19. Wykres momentw w stanie P i MsASP=SMSMPEJds=1 2 EJ|54 +12624 6 2 39 4284 6=936 EJRwnanie (10.8) jest spenione poniewa:ASP=SMSMPEJds=i =1nAiP936 EJ=936 EJDobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 17c) Sprawdzenie wartoci niewiadomych siAbyupewnisi, eukadrwnazosta poprawnierozwizanynaleywartoci niewiadomychXipodstawi do rwna:18 EJ 4+0EJ (11,2)+(72)EJ=0 0 EJ4 +90 EJ(11,2)+1008 EJ=00 =0 0 =0Wartoci nadliczbowych speniaj ukad rwna.d) Sprawdzenie statyczneDysponujc wszystkimisiamiwewntrznymi odcinamymyloworamodpodpr iprzykadamy siyprzypodporowe (reakcje).P = 54 kNq = 9 kN/m3 247,2 kN 15,2 kN146 kN36 kN58,8 kNmK[m]Rys. 10.20. Rama zawieszona na wewntrznych siach przypodporowychObcienie zewntrzne wraz z reakcjami musi spenia rwnania rwnowagi.X : 9 4 36=0 0=0 Y : 7,2 54+15,2 +46=0 0=0 M : 58,8 7,2 3 +9 4 2 +54 1 15,2 3=0 0=0e) Sprawdzenie kinematyczneSkorzystamyztwierdzeniaredukcyjnegoi obliczymyprzemieszczeniemnocrzeczywistywykresmomentw MP(n) przez wykres wirtualny utworzony w nowym ukadzie podstawowym.Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 18ebydokonasprawdzeniamusimypoliczyznaneprzemieszczenie. Wukadziepodstawowymnarys. 10.21 znamy przemieszczenie pionowe i kt obrotu przekroju w dolnej podporze. W rzeczywistoci jesttamutwierdzenie, tak wic wszystkie przemieszczenia s rwne zero. Liczymykt obrotu przekroju(przykadamy wirtualny moment):34MP(n) [kN/m]1221,630,48,458,813,2EJ2 EJ1 3 241 [-]1[m][m]0[m]M1 6 0,50,51 6 Rys. 10.21. Wykresy momentw zginajcych od: obcienia rzeczywistego w ukadzie rzeczywistym (statycznieniewyznaczalnym) oraz od jedynkowej siy w innym ukadzie podstawowymUwzgldniajc tylko wpyw momentw otrzymujemy:1 =1 EJ|1 23 21,6 2 3 1 21 2 1 8,4 (2 31 2 +1 3 1 3 )++1 2 1 30,4 (1 31 2+2 31 3)+1 2 2 30,4 2 31 3+1 2 EJ|1 24 58,8 1 +1 24 13,2 1 +2 3 9 4284 1=0 EJ =0radWynik jest poprawny.10.3. Metoda si dla innych typw obciePodstawow rnic pomidzy obliczaniem ukadw statycznie wyznaczalnych a niewyznaczalnych jestto, ewtychdrugichobcienia takiejak: temperatura, osiadanieczybdmontau wywouj obokprzemieszczekonstrukcji takesiywewntrzne. Dlategoobcieniatenaleyuwzgldniwwyrazachwolnych w rwnaniach kanonicznych, tzn. ikpozostaje bez zmian, natomiast w zalenoci od obcienia iPzastpuje si nastpujcymi wielkociami:10.3.1. Wpyw temperaturyAi t=otAthMids+Niott0 ds (10.22)gdzie :t- wspczynnik rozszerzalnoci termicznej,t - rnica temperatur,Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 19to- rwnomierne ogrzanie,h - wysoko przekroju,Mi i Ni - wykresy si wewntrznych dla stanu Xi =1,t, t, to s takie same jak dla ukadw statycznie wyznaczalnych.Rwnanie kanoniczne przyjmie posta:k=1n6ikXk+Ait=0 (10.23)10.3.2. Wpyw osiadania podprAi A=iRiAiiMii (10.24)gdzie:i -przemieszczenie liniowe podpory,i -przemieszczenie ktowe podpory,Rii Mi-reakcje po kierunkach przemieszczanych podpr.Rwnanie kanoniczne przyjmie posta:k=1n6ikXk+Ai A=0 (10.25)10.3.3. Wpyw bdw montauAi m=iBi mbi m (10.26)gdzie:bim -bd w wymiarze elementu (np. prt zbyt dugi),Bim -sia wewntrzna po kierunku bdnego wymiaru (np. sia normalna).Rwnanie kanoniczne przyjmie posta:k=1n6ikXk+Ai m=0 (10.27)Uwaga!Gdy wpywemzewntrznymjest temperatura, osiadanie podpr lub bdymontau zadanie jestrozwizywalne tylko przy znanym EJ,EA,GA. Wyrazy wolne it,i,imnie s wyraone przez sztywnodlatego te nie mona pomin sztywnoci we wspczynnikach ik.Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 20Zadanie 4Obliczy siy wewntrzne w analizowanej ramie, wywoane dziaaniem temperatury (pominiemy wpywrwnomiernego ogrzania) oraz osiadaniem podpr.EJ2 EJ340,01 rad0,015 [m]-5 oC35 oC25 oC3[m]Rys. 10.22. Ukadrzeczywisty obciony temperatur i osiadaniem podprDo oblicze przyjmujemy ukad podstawowy, ktry daje prostsz posta macierzy podatnoci:EJ2 EJ3 34Z1Z2Z1Z2-5 oC25 oC35 oC0,015 [m]0,01 radRys. 10.23. Ukad podstawowy z niewiadomymi Z1 i Z2 W zadaniu przyjto: wspczynnik rozszerzalnoci termicznej jak dla stali:ot=1,2 1051 C ram wykonan z profili stalowychrygiel ramy I200 sup ramy 2 I200o nastpujcych parametrach:Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 21E=206,01GPa=206,01 106kNm2Jx=2140 108m4 EJ =4408,614kNm2Poniewaukadpodstawowyprzyjtojakwpoprzednimzadaniumoemyskorzystazwykonanychwczeniej wykresw:334Z1 = 1 3M1' [m]Z1 = 13 34Z2 = 13M2' [m]Z2 = 136[m] [m]Rys. 10.24. Wykresy momentw zginajcych w ukadzie podstawowym pochodzce kolejno od: siy jedynkowejprzyoonej w miejsce niewiadomej Z1 i siy jedynkowej przyoonej w miejsce niewiadomej Z2i wczeniej obliczonych wartoci niektrych wspczynnikw:611 =1 EJ(2 1 2 3 3 2 33 )=18 m3 EJ612=621=1 EJ(123 3 23 123 3 23)=0 622=1 EJ18 +1 2 EJ(4 6 6 )=90 m3EJa) Obcienie teperaturW ukadzie rwna kanonicznych:611Z1+612Z2+A1t=0621Z1+622Z2+A2 t=0brakuje jeszcze wyrazw wolnych. Obliczamy je wedug wzoru (10.22) pomijajc wpyw t0.A1t=1,2 1050,20(3 32 40 +3 32 30 )=0,0189mA2t=1,2 1050,20(3 32 40 +3 32 30+6 4 10 )=0,0171mJeeli cay ukad rwna pomnoymy przez EJwspczynniki ikbd liczbami, a wyrazy wolne bd miaywarto:Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 22EJA1t=0,0189 4408,614=83,232kNm3 EJA2 t=0,0171 4408,614=75,387kNm3Ukad rwna kanonicznych przyjmie wic posta:18Z1 +83,323 =0 90 Z2 +75,387 =0Z powyszego ukadu rowna otrzymano wyniki:Z1 =4, 629kNZ2 =0,838kNW miejscu usunitych podpr dziaaj odpowiednie sumy si Zi:Z1+Z2=5,467kNZ1Z2=3,791kNAby uzyska wykres momentw od temperatury obciamy ram tylko siami nadliczbowymi Zi.34Mt(n) [kNm]35,467 kN 3,791 kN16,40111,3735,028[m]Rys. 10.25. Wykresy momentw zginajcychod temperatury w ukadzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym)Kontrol kinematyczn przeprowadzimy mnoc wykres rzeczywisty Mt(n) przez wykres wiryualnyM0.Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 23EJ2 EJ1 3 241 [-]1[m]0[m]M0,50,51 6 1 6 Rys. 10.26. Wykresy momentw zginajcych od: jedynkowej siy wirtualnej w innym ukadzie podstawowymLiczc warto przemieszczenia naley pamita o wpywie temperatury (wpyw t0 pominito):1 6=otAthM(0)ds+Mt(n)M(0)EJds(10.28)Wykres momentw Mt(n) jest poprawny jeli przemieszczenie bedzie zerowe.1 =1 23 1 2(1 EJ2 316,401 1,2 105400,20 )+1 23 1 2(1 EJ 2 311,373 +1,2 105300,20 )++4 1 (5,028 2 EJ1,2 105100,20)=0,000001 0radWykresy si tncych i normalnych rwnie wykonujemy tylko od si Zi.34Tt(n) [kN]3-5,467_+3,791Rys. 10.27. Wykres rzeczywistych si tncych Tt(n)Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 2434Nt(n) [kN]3-9,258_Rys. 10.28. Wykres rzeczywistych si normalnych Nt(n)Wartozwrciuwag, ewykresymomentwzginajcychodoones postroniezimniejszej, cowynika z istnienia (dziaania) dodatkowych wizw. W ukadach statycznie wyznaczalnych zawsze rozciganebyy wkna cieplejsze.b) Obcienie osiadaniem podprPodobniejakwprzypadkutemperaturydorozwizaniaukadurwnabrakujewartoci wyrazwwolnych i. Obliczamy je na podstawie pracy reakcji w stanach jednostkowych.EJ2 EJ3 34Z2Z20,015 [m]0,01 radEJ2 EJ334Z1Z10,015 [m]0,01 radR = 2 R = 0M = 6 M = 0Rys. 10.29. Reakcje w podporach od stanw Z1 oraz Z2A1A=(0,015 1 )=0,015mA2A=(0,015 1 6 0,01)=0,045mCay ukad rwna mnoymy przez EJ, std wartoci wyrazw wolnych:EJA1A=0,015 4408,614 =66,129| kNm3EJA2A=0,045 4408,614 =198,388| kNm3Ukad rwna kanonicznych przyjmie wic posta:Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 2518Z1 +66,129 =0 90 Z2 +198,388 =0Z powyszego ukadu rowna otrzymano wartoci nadliczbowych si:Z1 =3,674kNZ2 =2,204kN A po zsumowaniu wartoci nadliczbowych reakcji:Z1+Z2=5,878kNZ1Z2=1,470kNObciajc ukad podstawowy tylkowyliczonymi siami moemynarysowawykresmomentwzginajcych od obcienia rzeczywistego w ukadzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym).34M(n) [kNm]35,878 kN1,470 kN17,6344,41013,224[m]Rys. 10.30. Wykres momentw zginajcych od obcienia osiadaniem podpr w ukadzie rzeczywistym Kontrola kinematyczna sprawdzenie wykresu momentw M(n).Abywyznaczydowolneprzemieszczeniewukadzie, ktregopodporyosiadajtrzebauwzgldniprac reakcji wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach.Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 26EJ2 EJ3 340,01 rad0,015 [m][m]EJ2 EJ1 3 241 [-]1[m]0[m]M1 6 0,50,51 6 Rys. 10.31. Ukad rzeczywisty poddany obcieniu osiadaniem;wykres momentw zginajcych od jedynkowej siywirtualnej w innym ukadzie podstawowymKorzystamy z wzoru:1 6=R0A+MA(n)M0EJdx (10.29)Podstawiajc wartoci nadliczbowe otrzumujemy przemieszczenie o wartoci bliskiej zeru co znaczy, esprawdzany wykres jest poprawny.1=1EJ (1 2 3 1 2 2 317,634 1 2 3 1 2 2 34,410 )++1 2 EJ( 4 1 13,224)(1 0,01 1 60,015)=0,000001rad0radWykresy si tncych i normalnych w ukadzie rzeczywistym powstaj tylko od si Zi.34T(n) [kN]3-5,878_+1,470Rys. 10.32. Wykres rzeczywistych si tncych T(n)Dobra D., Jambroek S., Komosa M., Mikoajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.AlmaMaterCz 1 10. METODA SI - RAMA 2734N(n) [kN]3-7,348_Rys.10.33. Wykres rzeczywistych si normalnych N(n)10.4. Projektowanie konstrukcji metod siZaprojektowakonstrukcjtzn.przyjprzekrojeelementw(np.prtw,supkwrygliram, itp.)wtakisposbbyspeniwarunekdopuszczalnoci, nieprzekroczynonocielementwlubdopuszczalnychugi.Meks.Wcdop.feks.