Lokalnie kowariantna kwantowa teoria pola jako podejscie ...
Mechanika Kwantowa
description
Transcript of Mechanika Kwantowa
Mechanika Kwantowa
WYKŁAD 9
Oscylator harmoniczny
III. Proste zagadnienia kwantowe
Plan wykładu
• hamiltonian oscylatora harmonicznego,• rozwiązanie przy pomocy wielomianów
Hermite’a,• rozwiązanie przy pomocy operatorów kreacji
i anihilacji,• hamiltonian w bazie energii.
Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Rozważmy potencjał (energię potencjalną) 1-wymiarowego oscylatora harmonicznego
Wiele potencjałów posiadających minimum w pobliżu punktu x0 można przybliżyć wokół tego
punktu potencjałem typu oscylatora harmonicznego.
2
21kxxV
Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Hamiltonian dla oscylatora ma postać:
gdzie .
Odpowiednie równanie Schrödingera ma postać:
222
22
21
2xm
dxd
mH
mk
xExxmdx
xdm
222
22
21
2
Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Dokonując zamiany zmiennych (na bezwymiarowe)
otrzymamy ostatecznie:
Wielkość jest „naturalną” jednostką długości dla omawianego zagadnienia. Sformułowanie nabiera teraz znaczenia.
xm
022
2
dd
E2
m1
Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Zachowanie asymptotyczne ( ):
Rozwiązanie ścisłe:
gdzie funkcja f spełnia równanie:
2
21
exp
2
21
exp f
012 fff
Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Wielomiany Hermite’a spełniają równanie:
Podstawowe własności:
022 xnHxHxxH nnn
xnHxxHxH nnn 11 22
xnHdxxdH
nn
12
nmn
mnx ndxxHxHe !22
22 expexp1 xdxd
xxH n
nn
n
Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Tak więc funkcje falowe i energie mają postać:
gdzie:
m
xHxm
Ax nnn 2exp
2
,...2,1,0,!2
14 n
n
mA
nn
21
nEn
Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Przykładowe gęstości prawdopodobieństwa
Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Można wykazać, że:
1,1, 22
1nknk
nnm
nxk
1,1, 22
1nknk
nnminpk
Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego
zapiszemy używając operatorów anihilacji i kreacji
222
22
21
2xm
dxd
mH
pixmm
b ˆˆ21ˆ
pixmm
b ˆˆ21ˆ
Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Podstawowe własności operatorów kreacji i anihilacji:
1ˆ,ˆ bb
00ˆ b
1ˆ nnnb 11ˆ nnnb
nnnbb ˆˆ
1,ˆ
nknnbk 1,1ˆ
nknnbk
Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Operatory położenia i pędu mają postać:
bbm
x ˆˆ2
ˆ
bbm
ip ˆˆ2
ˆ
Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Hamiltonian przyjmie postać:
Funkcje falowe otrzymujemy ze stanów:
gdzie stan próżni obliczamy z warunku:
otrzymując wynik identyczny jak poprzednio (przy zastosowaniu metody wielomianów Hermite’a).
21ˆ
21ˆˆ NbbH
0ˆ!1 n
n bxn
nxx
00ˆ b
Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Elementy macierzowe:
nbbkm
nxk ˆˆ2
ˆ
nbbkm
inpk ˆˆ2
ˆ
1,1, 22
1nknk
nnminpk
1,1, 22
1nknk
nnm
nxk
Hamiltonian w bazie energii
Elementy macierzowe operatorów w bazie energii:
...300
...020
...001
...000
b̂
...3000
...0200
...0010
b̂
Hamiltonian w bazie energii
...0300
...3020
...0201
...0010
2ˆ
mx
...0300
...3020
...0201
...0010
2ˆ
mip
Hamiltonian w bazie energii
Hamiltonian w bazie energii:
...27000
...02500
...00230
...00021
ˆ H