MECHANIKA 2

MECHANIKA 2

Wykład Nr 9

Dynamika układu punktów materialnych

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych

Układ nazwiemy nieswobodnym, jeżeli wystąpią

jakiekolwiek ograniczenia ruchów.

Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie geometrycznym, którym przypisane są pewne masy.

Układ nazwiemy swobodnym, gdy nie istnieją żadne ograniczenia, które krępowałyby ruchy punktów.

Szczególnym modelem układu nieswobodnego punktów

materialnych jest ciało sztywne (bryła materialna), którego

więzy polegają na tym, że wzajemne odległości dwu

dowolnych punktów bryły nie ulegają zmianie w czasie

ruchu.


Więzy ograniczające swobodę ruchów poszczególnych punktów

Układ nieswobodny

Siły działające na układ (rys. 1) dzielimy na: zewnętrzne, wewnętrzne.


Rys. 1

Siłami wewnętrznymi nazywamy wzajemne oddziaływania poszczególnych punktów układu na siebie.

Siłami zewnętrznymi nazywamy siły pochodzące od działania innych ciał, nie wchodzących w skład badanego układu.

Jedna konkretna siła może być zewnętrzna dla jednego, wewnętrzna zaś dla drugiego układu.

Na przykład siła ciężkości jest dla punktu materialnego siłą zewnętrzną, natomiast będzie ona siłą wewnętrzną dla układu złożonego z Ziemi i danego punktu.

Uwaga!

– wektor przyspieszenia masy mi – wypadkowa z sił zewnętrznych, działających na

punkt

– masa punktu

Dynamiczne równanie ruchu i-tego PUNKTU pod działaniem wypadkowej sił zewnętrznych działających na badany punkt oraz sił wewnętrznych układu ma postać:

(1)

im ia

iF

kiik W–W

gdzie:

– siła wewnętrzna oddziaływania masy mk na masę mi, przy czym k = 1,...,n.

Układ równań (1) w postaci wektorowej można przedstawić w równoważnej postaci analitycznej np. we współrzędnych kartezjańskich

(2)

W przypadku występowania więzów ograniczających ruch układu, obok wzajemnego oddziaływania punktów materialnych na siebie, należałoby wprowadzić po prawej stronie siły reakcji więzów.

Równania (1) możemy zapisać w postaci


(3)

przedstawiającej zasadę bezwładności d'Alemberta w odniesieniu do układu punktów materialnych.

Wektory nazywamy siłami bezwładności lub siłami d'Alemberta punktów materialnych o masach

Siły działające na poszczególne punkty materialne

poruszającego się układu równoważą się w każdej chwili z

„pomyślanymi” siłami bezwładności.

iim– a

im


Współrzędne środka masy układu punktów materialnych:

Ruch środka masy układu punktów materialnych

a) w postaci wektorowej(4)

gdzie

– masa całkowita

n

mm1k

i

b) w postaci analitycznej (np. w układzie kartezjańskim)

(5)

gdzie

SSS zyx ,, – współrzędne środka masy układu punktów materialnych

Różniczkując równanie (4) względem czasu otrzymujemy

(6)

gdzie wektor przedstawia pęd masy punktu im

– wektor pędu ogólnego układu punktów materialnych.

Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi całej masy układu, skupionej w jego środku masy.


Różniczkując po raz drugi równanie (4) napiszemy

(7)

lub (8)

Suma sił bezwładności punktów materialnych równa się sile bezwładności masy całkowitej, skupionej w środku masy tego układu.


Wstawiając wzór do równania (8)

otrzymujemy

n

iiim1

WFak

ik

(9)

Zauważmy jednak, że wektor główny sił wewnętrznych układu,

występujących tzw. dwójkami zerowymi , jest równy zeru,

czyli

kiik W–W

(10)

a więc (11)


Zasada ruchu środka masy układu Zasada ruchu środka masy układu punktów materialnychpunktów materialnych

Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak

samo jak punkt, w którym skupiona jest cala masa układu i

na który działa suma wszystkich sił zewnętrznych.

Zasadę ruchu środka masy układu punktów materialnych,

przedstawioną w postaci wektorowej wzorem (11), możemy

też opisać analitycznie

(12)


Uwzględniając wzory orazmożemy napisać:

Zasada pędu układu punktów materialnych

lub też zgodnie z oznaczeniem pędu:

(13)

(14)

Pęd układu punktów materialnych wynosi:

(15)

Zauważmy, że w przypadku gdy wektor główny sił zewnętrznych będzie równy zeru, wówczas pęd układu będzie wektorem stałym (co do modułu i co do kierunku). Jest to tzw. zasada zachowania pędu układu punktów materialnych.

Pochodna względem czasu wektora ogólnego pędu układu punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych, działających na dany układ.

Wzór

(16)

możemy przedstawić za pomocą równoważnych trzech równań analitycznych

Jeżeli część układu punktów materialnych zmienia w

pewnej chwili swój pęd pod wpływem tylko sił

wewnętrznych, wówczas pęd pozostałej części układu

ulega odpowiedniej zmianie, zgodnie z warunkami

gdyż

Zasada pędu układu punktów materialnych

Całkując równanie w przedziale czasu

od

lub

Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych

Fpp1

dtd

dtd n

ii

1t 2t do , otrzymamy

(18)

(17)

Jak już wiemy z dynamiki punktu, wektor ii ddt

F

przedstawia elementarny impuls siły iF

w czasie dta więc równanie

(19)

(20)

Przyrost wektora pędu układu punktów materialnych w określonym przedziale czasu jest równy sumie impulsów sił zewnętrznych, działających na ten układ.

Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych

możemy przedstawić również w postaci:

Kręt ogólny układu punktów materialnych

Kręty (momenty wektorów pędów) poszczególnych punktów materialnych układu względem bieguna O wynoszą:

Krętem ogólnym układu punktów materialnych względem

przyjętego bieguna nazywamy sumę wektorów krętów

poszczególnych punktów materialnych.


ZASADA KRĘTU

Pochodna wektora krętu ogólnego układu po czasie względem

dowolnego bieguna jest równa wektorowi momentu głównego sił

zewnętrznych, działających na ten układ względem tego samego

bieguna.

Postać analityczna tej zasady w układzie współrzędnych x, y, z:

(21)


W przypadku gdy suma momentów sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, czyli

kręt ogólny jest wektorem stałym

natomiast

Jest to tzw. zasada zachowania krętu układu punktów materialnych. Warto podkreślić, że ani siły wewnętrzne, ani ich momenty nie mogą zmienić krętu ogólnego układu.

pr

A

i

n

iii m ρρ

1

wii

n

ii m vρ

1

ASASA

n

iiiAi

n

ii mm mm vρvρvρvρ

11

- kręt układu, umieszczonego w początku A ruchomego układu odniesienia ξ, η, ζ względem punktu A

– kręt obrotu układu ξ, η, ζ względem punktu A

– kręt ruchu względnego układu punktów materialnych

w środku masy, poruszającej się z prędkością środka układu ruchomego, względem tego środka.

– kręt całej masy układu, skupionej


Omówimy tu dwa charakterystyczne przypadki:a) Środek układu ruchomego pokrywa się ze środkiem masy układu punktów materialnych; układ ruchomy wykonuje ruch postępowy.


pr S – moment względem bieguna stałego O pędu ogólnego,

skupionego w środku masy układu (tu założono w środku układu ruchomego);

wii

n

1ii v

mρ

– kręt ogólny względem środka masy układu w wyniku ruchu względnego punktów materialnych.

b) Środek układu ruchomego jest ustalony i pokrywa się ze środkiem układu stałego czyli oraz zyxO ,,, 0r A

0v A

wówczas wzór

sprowadza się do postaci

I w tym przypadku kręt ogólny jest sumą dwu krętów: - ruchu obrotowego układ ruchomego- ruchu względnego układu punktów materialnych.


Zakładając w szczególnym przypadku, że punkty materialne połączone są sztywno z układem ruchomym, czyli 0v wi

otrzymamy

Jest to kręt ciała sztywnego.


Druga zasada dynamiki Newtona dla układu

materialnych – zasada pędu:

Ruch układu o zmiennej masie

Zakładając, że od układu odrywa się z prędkością bezwzględną masa , określimy elementarną zmianę wektora pędu układu

bv

dm

przy czym

Smv

– wektor pędu układu przed oderwaniem się masy dm

bS dmddmm vv–v– S

– pęd układu po oderwaniu się masy

dm


Uwzględniając wzór

napiszemy, po pominięciu iloczynu różniczek,

gdzie

nazywamy siłą reakcji cząstki oddzielającej się.


W przypadku gdy równocześnie oddziela się lub przyczepia więcej mas , równanie jdm

napiszemy w ogólniejszej postaci

gdzie

zaś – wektor prędkości względnej oddzielającej się lub dołączającej się masy jdm

(22)

Wzór (30) przedstawia tzw. równanie Mieszczerskiego, charakteryzujące ruch układu o zmiennej masie.


MECHANIKA 2

Documents

Transcript of MECHANIKA 2