Tomasz Runka

Wydział Fizyki Technicznej

Wykład 45h

Ćwiczenia rachunkowe 15h

Zaliczenie na ocenę

Zaliczenie

Konsultacje

Zajęcia wyrównawcze 30h

ul. Nieszawska 13APokój 405

Zajęcia nieobowiązkowe

Wiadomości wstępneWielkości fizyczne, działania na wektorach, operatory różniczkowe

1. KinematykaPrędkość, przyspieszenie i równania ruchu postępowego i obrotowego

2. DynamikaMasa i moment bezwładności, siła, moment siły, pęd, moment pędu, zasady dynamiki

3. Układy inercjalne i nieinercjalne

I. Klasyczna mechanika nierelatywistyczna

3. Układy inercjalne i nieinercjalneSiły bezwładności, ruch ciał o zmiennej masie

4. Praca moc i energiaPraca, siły zachowawcze i niezachowawcze, energia kinetyczna i potencjalna

5. Zasady zachowaniaZasada zachowania: pędu, momentu pędu, energii mechanicznej i innych wielkości

6. Oddziaływanie grawitacyjneSiła grawitacyjna, pole grawitacyjne, ruch w polu, prawa Keplera

Gaz doskonały, gaz rzeczywisty, zasady termodynamiki, mikroskopowainterpretacja ciśnienia i temperatury, zjawiska transportu w gazach

II. Termodynamika – wybrane zagadnienia

III. ElektrostatykaPrawo Coulomba, pole elektryczne, dipol elektryczny, prawo Gaussa,potencjał elektryczny, pojemność elektryczna, energia elektryczna,kondensator, dielektryki

IV. Prąd elektryczny

Prąd stały, prawo Ohma, teoria Drudego-Lorentza przewodnictwaelektrycznego metali, prawa Kirchhoffa, praca prądu elektrycznegoelektrycznego metali, prawa Kirchhoffa, praca prądu elektrycznego

V. Magnetyzm i indukcja elektromagnetyczna

Siła Lorentza, ruch cząstek naładowanych w polu magnetycznym, siłaelektrodynamiczna, prawo Ampera, prawo Biota-Savarta, indukcjaelektromagnetyczna, energia pola magnetycznego, równania Maxwella

VI. Drgania i fale

Drgania harmoniczne proste, drgania tłumione, drgania wymuszone,rezonans, równanie fali akustycznej, rozwiązanie równania falowego, faleelektromagnetyczne, interferencja, dyfrakcja, polaryzacja

VII. Szczególna teoria względnościTransformacja Lorentza, skrócenie długości, wydłużenie czasu(dylatacja), relatywistyczne składanie prędkości, masa relatywistyczna,energia relatywistczna

VIII. Fizyka współczesna• Fale materii• Efekt fotoelektryczny• Efekt Comptona• Promieniowanie cieplne• Model Bohra budowy atomu wodoru• Probabilistyczna interpretacja fal materii, funkcja falowa i gęstość• Probabilistyczna interpretacja fal materii, funkcja falowa i gęstość

prawdopodobieństwa• Zasada nieoznaczoności Heisenberga• Równanie Schrödingera• Elementy fizyki ciała stałego, aspekty eksperymentalne badania ciała

stałego• Najnowsze osiągnięcia fizyki eksperymentalnej w zakresie

nanotechnologii

Literatura stanowiąca uzupełnienie wykładu:

D. Halliday, R. Resnick, Fizyka, t.I i II, PWN, Warszawalub nowe wydanie t. I-V

J. Orear, Fizyka, t. I i II, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa

Cz. Bobrowski, Fizyka – krótki kurs, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa

Techniczne, Warszawa

W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Podstawy Fizyki, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa

Wykład prof. Z. Kąkola z AGH Kraków http://home.agh.edu.pl/~kakol/wsieci_pl.htm

J. Massalski, M. Massalska – Fizyka dla inżynierów, cz. 1, 2, WNT, 1980

Główny cel - poszukiwanie i poznawanie podstawowych praw przyrody,od których zależą wszystkie zjawiska fizyczne

FIZYKA

Prawa fizyki wyrażają związki i relacje międzyróżnymi wielkościami fizycznymi

Typ oddziaływań Źródło Względne ZasięgTyp oddziaływań Źródło Względne natężenie

Zasięg

GrawitacyjneSłabeElektromagnetyczneJądrowe

MasaWszystkie cząstki elementarneŁadunek elektrycznyHadrony (protony,neutrony,mezony)

~ 10-38

~ 10-5

~ 10-2

1

DługiKrótki (10-15m) DługiKrótki (10-14m)

Przedrostki jednostek metrycznych

Przedrostek Skrót Potęga dziesięciu

tera

giga

mega

kilo

centy

T

G

M

k

c

1012

109

106

103

10-2centy

mili

mikro

nano

piko

femto

c

m

µ

n

p

f

10

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

Wektory

• dodawanie wektorów

y

x

j

i

θ

a ay

ax

yx aaa jirrr +=

w przestrzeni trójwymiarowej

zyx akaaarrrr ++= ji

22yx aaa +=długość wektora

222zyx aaaa ++=

• skalarne mnożenie wektorów

yyxx babaabba +==⋅ θcosrr

gdzie θ jest kątem pomiędzy

wektorami iar

br

• mnożenie wektorowe

bacrrr ×= długość tego wektora c = ab sinθ

gdzie θ jest kątem pomiędzy

wektorami iar

br

Kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory a i b,

tzn. prostopadły do tych wektorów. Zwrot wektora c wyznacza reguła śruby prawoskrętnej

Przykład:FrMrrr×= moment siły

prLrrr×= moment pędu

http://home.agh.edu.pl/~kakol/wsieci_pl.htm

Operatory różniczkowe

( ) ( ) ( ) ( ) ( )z

zyxfk

y

zyxfj

x

zyxfizyxfzyxfgrad

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇≡,,,,,,

,,,,rrr

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rrv

operator Nabla

np. gradVE −=r

aaaaadiv zyx ∂

+∂+

∂=⋅∇≡ rr

zyxaadiv zx

∂+

∂+

∂=⋅∇≡ rr

ρ=Ddivr

Pole elektryczne jest źródłowei rozbieżne

http://home.agh.edu.pl/~kakol/wsieci_pl.htm

rrr BErot

∂−=

rr

Linie sił pola magnetycznego są krzywymi zamkniętymi

http://home.agh.edu.pl/~kakol/wsieci_pl.htm

0=Bdivr

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇≡

zyx aaa

zyx

kji

aarot

rrr

rr

∂∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂∂

+

∂

∂−

∂

∂=

y

a

x

ak

x

a

z

aj

z

a

y

ai xyzxyz rrr

t

BErot

∂∂−=

r

Zmienne w czasie pole magnetyczne jest źródłem

wirowego pola elektrycznego

Kinematyka

Dział mechaniki zajmujący się zagadnieniami ruchubez uwzględnienia jego przyczyn

Prędkość średniat

rVsr ∆

∆=

rr

Prędkość chwilowatd

rd

t

rV

tch

rrr

≡∆∆

=→∆ 0

lim

Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu

Przyspieszeniet

V

ta

∆∆=

∆−

=rrr

r 0VV

ta

d

dVr

r =

stałe

chwilowe

gdy prędkość zmienia się

jednostajnie z czasem

Przyspieszenie to tempo zmian prędkości

tar

nar

ar

tir

nir

Składowe styczna i normalna przyspieszenia

nnttnt iaiair

Vi

td

Vda

rrrrr +=+=2

td

Vdat =

r

Van

2

=

składowa styczna przyspieszenia

składowa normalna przyspieszenia(dośrodkowe)r (dośrodkowe)

Wartość przyspieszenia wypadkowego

222

22

+

=+=

r

V

td

Vdaaa nt

Ruch jednostajnie zmienny

( )t

ad

d tV=

Całkowanie kinematycznych równań ruchu

( )t

Vd

d tS=oraz

( ) ∫ +== 1CatdtatV ( ) 100 CVV ==

stąd ( ) atVtV +=stąd ( ) atVtV += 0

( ) ( ) ( ) 2

2

002

Cat

tVdtatVdttVtS ++=+== ∫ ∫ ( ) 200 CSS ==

stąd ( )2

2

00

attVStS ++=

Całkujemy równania ruchu stosując całki oznaczone ( )t

ad

d tV=

( )( )

∫∫=

=t

t

tV

V

dtatdV

000

( ) atVtV =− 0

( )( )∫∫∫==

+==t

t

t

t

tS

S

dtatVdtVdS

0

0

0 000

po drugim całkowaniu

( )2

2

00

attVStS +=−

( ) atVtV += 0

( )2

at( )2

2

00

attVStS ++=

∫ ⋅=−t

dtaVV

0

0

t t t t

a

00

∫ ⋅=−t

dtVSS

0

0

S-S0V-V0

a(t) V(t)

Całki oznaczone określają pole powierzchni po wykresem !!!

V0

Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe

td

dαω

rr =

2

2

td

d

td

d αωε

rrr ==

rv ω= ra ε=

( ) tt εωω ±= 0 ( )2

2

0

tttε

ωαα ±+=2

Powyższe związki są bardzo podobne do równańkinematycznych ruchu postępowego

Dynamika

Opisując ruch ciał, uwzględniamy ich masy oraz działające na nie siły

Masa bezwładna jest miarą bezwładności ciała tzn. oporu jaki ciało stawia sile zmieniającej stan jego ruchu

Masa jest wielkością charakteryzującą bezwładność ciała lub jego oddziaływanie z polem grawitacyjnym

Masa i moment bezwładności

Środek masy układu punktów materialnychŚrodek masy układu punktów materialnych

∑=

=

≡Ni

i

iismrm

Mr

1

1 rrgdzie ∑

=

=

≡Ni

i

imM

1

Rozpatrzmy ciało sztywne o ciągłym rozkładzie masy

∫∑=

→∆≡∆=

MN

iii

msm

dmrM

mrM

ri

010

1lim

1 rrr∑ ∫=

→∆≡∆=

N

i

M

im

dmmMi 1 0

0lim

∞→N

W ruchu obrotowym bezwładność ciała zależy nie tylko od jego masy, ale także od odległości od osi obrotu

Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności

- dla punktu materialnego

Moment bezwładności

2mrI =

- dla układu punktów materialnych ∑=

=N

i

iirmI

1

2

∞→N

- dla bryły sztywnej ∑ ∫=

→∆=∆=

N

i

M

iim

dmrrmIi 1 0

22

0lim

Twierdzenie Steinera

2MaIIsm+=

Ism – moment bezwładności względem środka masy

a – odległość między dwiema osiami

∞→N

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu i przybierawartości ekstremalne względem osi głównych, a odpowiadające immomenty nazywamy – głównymi momentami bezwładności

W przypadku ogólnym moment bezwładności definiujemy jako tensor

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

I

zzzyzx

Elementy diagonalne tensora: Ixx, Iyy, Izz są momentami bezwładności względem osi x, y,z.

Składowe o wskaźnikach mieszanych np. Ixy nazywamy momentami dewiacyjnymi lub zboczenia

Momenty bezwładności wybranych brył

Siła i moment siły

Siły występujące w mechanice klasycznej maja naturę grawitacyjną lub elektromagnetyczną

Nie będziemy teraz wnikać w makroskopową naturę sił, lecz skupimy się na skutkach spowodowanych ich działaniem

Bezpośrednim skutkiem działania siłyF na ciało o masie m jest nadanietemu ciału przyspieszenia

amFrr

≡ [1N=1kg·m/s2]

W ruchu obrotowym odpowiednikiemsiły jest moment siły, który dla cząstkiznajdującej się w odległości r odnieruchomej osi obrotu definiujemyjako

FrMrrr×≡

α⋅= sinFrMrrr

Dla ciała sztywnego ε=ε== ∑∑rrrrIIMM

i

i

i

i

Pęd i moment pędu

Pęd cząstki o masie mi i prędkości Vi iiVmprr ≡

Pęd układu N cząstek ∑∑==

==N

iii

N

ii Vmpp

11

rrr

Pęd całkowity możemy wyrazić jakoiloczyn wypadkowej masy orazprędkości środka masy tego układu

∑∑==

=N

iii

N

iism rmmr

11

rr

Różniczkując otrzymujemy ∑∑==

=N

i

ii

N

ii

sm

td

rdmm

td

rd

11

rr

MmN

ii =∑

=1

Zakładając, że masa całkowita układu jest sumą mas poszczególnych cząstek otrzymujemy

pVmMVN

iiism

r==∑=1

Moment pędu cząstki o pędzie pi której położenie określa wektor ri iii prL

rrr×≡

Dla układu N cząstek ( )∑∑==

×==N

iii

N

ii prLL

11

rrrr

Dla bryły sztywnej IILLi

ii

i ωω rrrr=== ∑∑

W najbardziej ogólnym przypadku, gdy moment pędu i prędkośćkątowa nie są współliniowe (kolinearne)kątowa nie są współliniowe (kolinearne)

ωIL ˆ=r

Moment bezwładności jest tensorem

Zasady dynamiki

Dynamika opiera się na trzech zasadach sformułowanych przezNewtona w 1686 r. w dziele: „Philosophiae Naturalis PrincipiaMathematica”

I zasada (zasada bezwładności)

Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub porusza się ruchemprostoliniowym i jednostajnym, jeśli siły przyłożone nie zmuszająciała do zmiany tego stanu

Tłumaczenie W. Natansona

II zasada (równanie ruchu)

Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej iodbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona

td

pdF

rr= am

td

rdm

td

VdmF

rrr

r===

2

2

Postać uogólniona II zasady dynamiki

III zasada (zasada akcji i reakcji)

Względem każdego działania (akcji) istnieje równe muprzeciwdziałanie (reakcja) skierowane przeciwnie, tj. wzajemnedziałania dwóch ciał są zawsze równe sobie i skierowaneprzeciwnie

1221 →→ −= FFrr

II zasada dynamiki w ruchu obrotowym

FrMLd rrrr

×== FrMtd

Ld rrr×==

Dla bryły sztywnejεIM ˆ=

r

Precesja bryły sztywnej

Obracająca się względem swojej osi symetrii bryła sztywna, doznajeprecesji, tzn., że jej oś symetrii wiruje wokół kierunku polagrawitacyjnego z prędkością ωωωωp

αsinmgrMtd

Ld==

Nieskończenie małą zmianę momentu pędu wyrażamy skalarnie:

ϕα dLdL ⋅= sin ϕd infinityzymalny kąt obrotu

αϕ

α sinsin mgrtd

dL

td

Ld=⋅=stąd

uwzględniając, żep

td

dω

ϕ=

otrzymujemy

ωω

I

mgr

L

mgrp == α

r=Lsinαdϕ

Niezmienniczość w sensie Galileusza

Zasada bezwładności – postulat istnienia inercjalnego układu odniesienia

Istnieje układ inercjalny, tzn. taki układ odniesienia, w którym ciałospoczywa lub porusza się ruchem prostoliniowym i jednostajnym,jeżeli wypadkowa siła działająca na to ciało równa się zero

Jeśli istnieje jeden układ inercjalny, to istnieje ich nieskończenie wiele

Transformacje Galileusza

.

,

,

,

tt

zz

yy

Vtxx

=′

=′

=′

−=′z

x

y

0

y’

0

z’

x’

V

constmm =′=td

Vdm

td

Vdm xx

′′

= xx FF ′=

Różniczkując i mnożąc przez masę otrzymujemy

VVV xx +′=

( ) Vtd

xdVtx

td

d

td

xd−=−

′=′′

xVtd

xd ′=′

xVtd

xd=

Po zróżniczkowaniu pierwszego równania

Ruch jednostajny prostoliniowy jednego układu odniesienia względem innego inercjalnego układu nie wpływa na zmianę siły !!!

tdtd ′

Siła jest niezmiennicza względem transformacji Galileusza !!!

Zasada względności Galileusza stanowi, że w układach inercjalnych, w tych samych warunkach, zjawiska mechaniczne przebiegają jednakowo

Układy inercjalne i nieinercjalne

Podstawę klasyfikacji układów odniesienia stanowi I zasada dynamikiczyli zasada bezwładności.

Układ odniesienia, w którym spełniona jest zasada bezwładności,nazywamy układem inercjalnym

Układ odniesienia, w którym nie jest spełniona zasadabezwładności, nazywamy układem nieinercjalnym

Siły bezwładności występują wyłącznie w nieinercjalnych układachodniesienia

• układ nieinercjalny poruszający się wyłącznie ruchem• układ nieinercjalny poruszający się wyłącznie ruchemtranslacyjnym – siła bezwładności zwana siłą d’Alemberta

amFbrr

−=

1) Oba układy są inercjalne

2) Jeden z układów staje się nieinercjalny

http://home.agh.edu.pl/~kakol/wsieci_pl.htm

• układ nieinercjalny porusza się ruchem obrotowym, a cząstka w

• układ nieinercjalny porusza się wyłącznie ruchem obrotowym – siłaodśrodkowa

dar

odFr r

Vad

2

=r

r

VmFod

2

=

amFbrr

−=

( )ωrrr×= VmFc 2

• układ nieinercjalny porusza się ruchem obrotowym, a cząstka wtym układzie porusza się z prędkością V – siła odśrodkowa i siłaCoriolisa

Człowiek poruszający się na zewnątrz wirującej tarczy

http://home.agh.edu.pl/~kakol/wsieci_pl.htm

Siły tarciaRr

Qr

Tr

Siła, która przeciwstawia się ruchowi ciała nazywana jest siłą tarcia. Jest styczna do podłoża.

Tarcie statyczne charakteryzuje siła tarcia działająca międzynieruchomymi powierzchniami

sT=µ współczynnik tarcia statycznego – stosunek maksymalnej

N

ss

F

T=µ współczynnik tarcia statycznego – stosunek maksymalnej

siły Ts do siły nacisku FN

Tarcie kinetyczne charakteryzuje siła tarcia działająca międzyporuszającymi się względem siebie powierzchniami

N

kk

F

T=µ

współczynnik tarcia kinetycznego – stosunek siły Tk do siły nacisku FN

Siły tarcia zależą od siły nacisku, nie zależą od wielkości powierzchnistyku i w przypadku tarcia kinetycznego od prędkości !!!

Praca, moc i energia

α

F sinα

F cosα

F

Na ciało działa stała siła F, przemieszczając ciało na drodze ∆∆∆∆r

αcosrFrFW ∆=∆⋅=∆ rr

Praca wykonana przez stałą siłę F

Praca zmiennej siły F(r) działającej na drodze od punktu A do punktu B

Elementarna praca wykonana przez siłę F (r ) na drodze ∆∆∆∆rb Elementarna praca wykonana przez siłę Fi(ri) na drodze ∆∆∆∆ri

iiiiii rFrFW αcos∆=∆⋅=∆ rr

aα1

1rr∆

( )11 rFrr

irr∆

( )ii rFrr

αi

b

Całkowita praca na drodze krzywoliniowej ab jest w przybliżeniu sumą prac elementarnych:

∑ ∑= =

∆⋅=∆≈n

i

n

iiiiab rFWW

1 1

rr

Jeśli długości elementarnych przesunięć ∆∆∆∆ri będą zbiegać do zera, wówczas

( ) rdrFrFW

b

a

n

iii

rab

i

rrrrr⋅≡∆⋅≡ ∫∑

=→∆ 10lim

a b

F (r)

r

W

Całkowanie funkcji F(r) w zadanychgranicach jest równe polu powierzchnipod krzywą F(r) i jest równe pracywykonanej przez tę siłę na drodze ab.

Moc średnia Moc chwilowaMoc średnia

t

WPśr ∆

∆=

Moc chwilowa

td

Wd

t

WP

t=

∆∆

=→∆ 0

lim

Zauważmy, że przy stałej sile moc jest równa iloczynowi skalarnemuwektorów siły i prędkości

VFtd

rdFP

rrr⋅=⋅= [1W = J/s]

Energia kinetyczna

Załóżmy, że na ciało o stałej masie m działa siłazachowawcza F(r), nadając mu przyspieszenie a(t) m

Fa

rr =

Wykonana praca jest więc równa

0

20

22

222kk

V

V

V

V

b

a

b

a

b

a

EEmVmVV

mdVVm

drtd

dVmrdamrdFW

−=+===

=⋅=⋅=⋅=

∫

∫ ∫ ∫rrrr

Energia potencjalna

Połowę iloczynu masy cała razy kwadrat jego prędkości nazywamy energiąkinetyczną tego ciała.

22200 VV

Wyrażenie 0kk EEW −= nazywamy twierdzeniem o pracy i energii ciała

Energia zależna w sposób jawny od położenia ciała nazywana jest energiąpotencjalną

dla pola grawitacyjnego blisko powierzchni Ziemi ( ) mgzzE p =

Energia potencjalna sprężystości

m

k

x(t)

0

xkFrr

−=

Siła sprężystości

Działamy siłą zewnętrzną F równoważącą siłę sprężystości

0cos22

kAxkdxxkdxkxrdFW

AAb A A

====⋅= ∫ ∫ ∫=

orr

220cos

00 0 0

kdxxkdxkxrdFW

a

====⋅= ∫ ∫ ∫=

Wykonana praca została zmagazynowana w postaci pewnej energii – energii potencjalnej sprężystości

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

2

2ωIEko =

Energia kinetyczna ruchu obrotowego zależy od momentu bezwładności ciała i prędkości kątowej

Siły zachowawcze i niezachowawcze

Jeżeli praca wykonana przez siłę podczas przemieszczania ciałapo dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru, to siłę takąnazywamy siłą zachowawczą.

Siły nie spełniające tego warunku są siłami niezachowawczymi,nazywanymi często siłami rozpraszającymi lub dyssypatywnymi.

0)2()1( =+ BAAB WW ⇒

)2()1(BAAB WW −=

)2()2(BAAB WW −=

)2()1(ABAB WW =

Przykładem siły zachowawczej jest siła grawitacyjna

http://home.agh.edu.pl/~kakol/wsieci_pl.htm

gFr

gFr

a

b c

d

Ziemia

πcosdrFdW gab =

0cosdrFdW gcd =

0cos 2 == πdrFdW gbc

0cos 2 == πdrFdW gda

zatem

000 =−=+++= ababcdababcd WWWWW

Udowodniliśmy, że praca po konturze abcd wynosi zero, a więcsiła grawitacyjna jest siłą zachowawczą.

Zasady zachowania w fizyce

Zasada zachowania pędu

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ cząstekwynosi zero, to całkowity pęd układu pozostaje stały

.0 constptd

pdFz =⇒== r

rr

==∑

=sm

N

iii VMVmp

rrr

1

Stałość pędu oznacza nie tylko stałość jego wartości ale takżeStałość pędu oznacza nie tylko stałość jego wartości ale takżestałość jego kierunku !!!

Zasada zachowania momentu pędu

.0 constLtd

LdM z =⇒==

rr

r

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układwynosi zero, to wektor momentu pędu układu pozostaje stały

Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, ze suma energiipotencjalnej i kinetycznej ciała jest wielkością stałą

Zasada zachowania energii mechanicznej

Zasada ta jest słuszna tylko wtedy, gdy wypadkowa siła działającana ciało (układ) jest siłą zachowawczą

( ) .2

0

2

constEmV

rE p ==+

Przykład

m

k

x(t)

0

Oscylator harmoniczny prosty

=+=+22

22mVkx

EE kp

( ) tAtx ωsin=

( ) ( )tA

td

txdtV ωω cos==

=+= tAm

tAk

ωωω 22222 cos2

sin2

( ) .2

cossin2

0

222

2

constEkA

ttkA

===+= ωω

Inne zasady zachowania i ich rola w fizyce

Ogólna zasada zachowania energii głosi, że całkowita energia układuizolowanego jest wielkością stałą, a pomiędzy poszczególnymirodzajami energii mogą zachodzić przemiany

Zasada zachowania masy – całkowita masa układu zamkniętego jestwielkością stałą

Zasada zachowania energii-masy – równoważność energii i masy

2mcE =mcE =

Zasada zachowania ładunku – we wszystkich zjawiskach związanych zprzemieszczaniem się ładunków elektrycznych w zamkniętymukładzie wzajemnie oddziałujących ciał, algebraiczna sumawszystkich ładunków elektrycznych pozostaje stała

.1

constqQn

ii ==∑

=

Zasada zachowania liczby leptonowej i barionowej

W układzie zamkniętym suma liczb leptonowych ΣΣΣΣLi i liczb barionowychΣΣΣΣBi pozostaje stała niezależnie od przebiegających procesów

Grawitacja

W 1686 roku Newton w „Philosophiae Naturalis PrincipiaMathematica” stwierdził, że dwa ciała o masachpunktowych M i m przyciągamją się siłą odwrotnieproporcjonalną do kwadratu odległości r między tymiciałami

2r

MmGF =

⋅= −

2

21110)85(67259.6

kg

NmG

W zapisie wektorowym zależność można przedstawić:

rr

MmG

r

r

r

MmGF

rr

r

32−=⋅−=

Ujemny znak oznacza, że wektoryF i r są antyrównoległe, czyli żesiła jest przyciągająca

Siła z jaką ciała się przyciągają nie zależy od ośrodka w którym ciałasię znajdują. Siły grawitacyjnej nie można zaekranować.

W przypadku gdy ciała są kulami o stałych gęstościach, siłasprowadza się do oddziaływania między masami, które sązlokalizowane w środkach mas obu kul

Pole grawitacyjne

Przyciąganie grawitacyjne między dwoma ciałami nie jestoddziaływaniem tych ciał na odległość, lecz, zachodzi zapośrednictwem pewnego pola sił – pola grawitacyjnego

masa M ⇔⇔⇔⇔ masa mpole grawitacyjne ⇔⇔⇔⇔

V2

const=γr

r

γr const≠γr

VV1

rV1

V2pole jednorodne

pole o rozkładzie kulisto-symetrycznym

Pole grawitacyjne jest polem wektorowym. Jeżeli w polu wytworzonym przezmasę M znajdzie się cząstka o masie m, to będzie się poruszać wzdłuż linii siłpola grawitacyjnego.

Natężenie pola grawitacyjnego

Natężeniem pola grawitacyjnego wytwarzanego przez masę M nazywamystosunek siły grawitacyjnej F działającej na masę m, znajdującą się w tympolu, do wielkości tej masy

m

Fr

r =γ rr

GM rr

3−=γ

Natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni Ziemi nazywane jestprzyspieszeniem grawitacyjnym g = 9,81 m/s2. Wartość ta zależy odszerokości geograficznej – wpływ ruchu obrotowego Ziemi i jej spłaszczenia.

Grawitacyjna energia potencjalna

Obliczmy pracę, jaką wykonuje pole grawitacyjne wytworzone przez masę M,przesuwając masę punktową m z położenia A do B

−==−=⋅= ∫ ∫

AB

r

r

B

A

r

r

ABrr

GMmr

GMmdrr

GMmrdFW

B

A

B

A

1112

rr

Praca ta nie zależy od drogi, ale tylko od punktu początkowego i końcowego– pole zachowawcze

Pracę wykonuje pole grawitacyjne kosztem energii potencjalnej cząstki m

( ) ( )[ ] ( ) ( )ApBpApBppAB rErErErEEW +−=−−=∆−=

gdy ( ) ⇒=∞→ 0Ap rE ( ) ( )rErE pBp =

r

GMmWE rp −=−= ∞

Ep(r)

0

*

r0

Grawitacyjna energia potencjalna jest ujemna,co wynika z faktu, że siła grawitacyjna macharakter przyciągający

Dla ciała znajdującego się w małej wysokości h nad powierzchnią Ziemi, wzór*rozwijamy w szereg Taylora

−−≈

+−=

+−=

ZZZZZp

R

h

R

GMm

RhR

GMm

hR

GMmE 1

1

1

Ustalając poziom odniesienia energii potencjalnej na powierzchni Ziemi:

( ) ( ) mghmhR

GMREhREE

Z

ZpZpp ==−+=∆2

mghE p =

Potencjał grawitacyjny

Stosunek energii potencjalnej ciała do jego masy – potencjał grawitacyjny

E GM

m

EV

p=r

GMV −=

Miejsca geometryczne punktów pola grawitacyjnego o stałej wartościpotencjału nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi

Między natężeniem pola grawitacyjnego i potencjałem istnieje ścisły związek

( )( )rV

m

rErdF

mrd

r

p

r

rr

rrrr −=−=⋅=⋅ ∫∫∞∞

1γ

We współrzędnych kartezjańskich

dzdydxrd zyx γγγγ ++=⋅ rr oraz ( ) ( )zyxVrV ,,=r

( ) Vzyxz

V

y

V

x

Vzyx

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

−== ,,,,,, γγγγr

Związek operatorowy między potencjałem i natężeniem pola grawitacyjnego

( ) gradVVr −≡−∇=rrγ

Pole potencjalne to takie pole wektorowe, w którym całka po dowolnymkonturze zamkniętym z wektora natężenia tego pola wynosi zero

Wektor gradientu jest zawsze prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej

Prawa Keplera

Ruch ciała w polu grawitacyjnym opisuje równanie tzw.krzywej stożkowej

( )θ

θcos1 e

pr

+=

p – parametr; e - mimośród

m

Lpα

20= GMm=α

m

LEe

2

2002

1α

+= E0 – całkowita energiamα mα

Dla e > 1 – hiperbola, dla e = 1 – parabola, dla e < 1 – elipsa, natomiastdla e = 0 - okręgiem

Kepler sformułował w latach 1609 – 1619 trzy prawa:

I prawo Keplera

Każda planeta porusza się po elipsie, w której ognisku znajduje się Słońce

Całkowita energia planety E0 jest wtedy ujemna

II prawo Keplera

Promień wodzący planety zakreśla w równych czasach równe pola – stałaprędkość polowa

( )rdrSdrrr

×=21

( )Vrtd

rdr

td

Sd rrr

rr

r ×=

×==

21

21σ

Ponieważ moment pędu planety w polu siły centralnej jest stały

( )1 Lr

rrr

rr

rdr

a

minr maxr

( ) .22

1 0 constm

LVmr

m==×=

rrrσ

III prawo Keplera

Kwadraty okresów obiegu planet są wprost proporcjonalne do sześcianówwielkich półosi orbit

33

2

22

aconstap

T ⋅==σπ

σσσσ – prędkość polowa

Ruch drgający

Ruch, w którym położenie ciała x(t) powtarza się, nazywamydrganiem. Jeżeli powtarzalność zachodzi po tym samym czasie T,zwanym okresem, ruch taki nazywamy drganiem okresowym.

( ) ( )txTtx =+

Ruch harmoniczny

k

x(t)

Siła harmoniczna (sprężystości) – siłaproporcjonalna do wychylenia ciała o zwrocieprzeciwnym do wychylenia

xkFrr

−=m

0

xkFrr

−=

( ) ( )ϕω += txtx m cos

πνπ

ω 22==

T

( ) ( ) ( )ϕωω +−=== txtd

txdxtV m sin&

( ) ( ) ( )ϕωω +−=== txtd

txdxta m cos2

2

2

&&

Równanie ruchu harmonicznego

kxma −=( ) )( ϕω += tim extx

( ) ( )ϕω += txtx m cos

( ) ( )ϕωω +−= txtV m sin

( ) ( )ϕωω +−= txta cos2

Zależność położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu

Po podstawieniu do równania ruchu otrzymujemy

m

k=ω

k

mT π2=

( ) ( )ϕωω +−= txta m cos2

kxma −=

Okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A

Wahadło matematyczne

Masa punktowa zawieszona na nierozciągliwej nici

θθ

sin2

2

2

2

gtd

dL

td

sd−==

θLs =

θsinggt −=

Ruch będzie harmoniczny dla małych kątów θθθθ ,wtedy θθ ≈sin

θθ

L

g

td

d−=

2

2

Ltd

sL

g

td

sd−=

2

2

Odpowiada to równaniu

std

sd 2

2

2

ω−=

g

LT π2=

Za przyspieszenie można podstawić

L

g=ω

Okres drgań wahadła zależy od jegodługości i przyspieszenia grawitacyjnego

Wahadło fizyczne

Wahadłem fizycznym nazywamy ciało sztywnewykonujące drgania względem osi poziomejprzechodzącej przez punkt O

Punkt C jest środkiem masy ciała sztywnego

Moment siły M działający na ciało wynosi

θsinmghM −=

Z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

2

θε sinmghI −= θθ

sin2

2

mghtd

dI −= Dla małych wychyleń

θθ ≈sinθ

θmgh

td

dI −=

2

2

( ) ( )ϕωθθ += tt cos0

I

mgh=ω

mgh

IT π2=

Okres drgań wahadła fizycznegozależy od momentu bezwładnościwahadła, masy i odległości h

Wahadło torsyjne

Jest przykładem wahadła fizycznego

Na podstawie prawa Hooke’a zapiszemy zależnośćmiędzy momentem siły i kątem skręcenia

θDM =

D – współczynnik proporcjonalności zwanymomentem kierującym

Na podstawie II zasady dynamiki ruchu

D

IT π2=

θθ

Dtd

dI −=

2

2

Na podstawie II zasady dynamiki ruchuobrotowego

Przyspieszenie kątowe w torsyjnym ruchu harmonicznym jest równe ωωωω2θθθθ i popodstawieniu do równania ruchu otrzymujemy zależność na okres drgańwahadła torsyjnego

( ) ( )ϕωθθ += tt cos0

Drgania dwu ciał

x1

m2 m1

k

0

x2

F -F

µ

k

0

-F

Rozważmy układ dwóch ciał połączonych ze sobą sprężyną o stałejsprężystości k i długości swobodnej l

( ) lxxx −−= 21

µµµµ - masa zredukowana( ) lxxx −−= 21

Równania ruchu ciał opisują równania

kxtd

xdm −=

21

2

1

kxtd

xdm +=

22

2

2

Mnożąc równania przez odpowiednioprzez m2 i m1, następnie odejmując jestronami otrzymamy

kxmkxmtd

xdmm

td

xdmm 122

22

2121

2

21 −−=−

Co można zapisać następująco

( ) kxxxtd

d

mm

mm−=−

+ 212

2

21

21

gdzie

21

21

mm

mm

+=µ µµµµ - masa zredukowana

Ponieważ l jest stałe, możemy zauważyć

( )2

2

212

2

td

xdxx

td

d=−

2212 tdtd

Równanie ruchu ciał przyjmuje postać

02

2

=+ xk

td

xd

µ

+=

21

111

mmµ

µω

k=

kT

µπ2=

Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy

Drgania tłumione

W ogólnym przypadku równanie drgań tłumionychoscylatora mechanicznego ma postać

0=++ kxbVma

02

2

=++ xm

k

td

dx

m

b

td

xd

Podstawiając:m

b

2=β

m

k=2ω

02 2

2

2

=++ xtd

dx

td

xdωβ

m2 m

( ) ( )ϕωβ += −textx t

tm cos

Rozwiązanie powyższego równania

Proponowane rozwiązanie zawieraczynnik oscylacyjny i tłumiący

ββββ - współczynnik tłumienia

gdzie2

22

−==m

b

m

ktt πνω

Warunek na częstotliwość kołową drgań tłumionych

22 βωω −=t

Wykres ruchu harmonicznego tłumionego w zależności od czasu

Gdy występuje tarcie, częstotliwość kołowa drgań jest mniejsza, a więc okresdłuższy.Amplituda ruchu stopniowo maleje do zera. Przedział czasu ττττ, po którymamplituda ruchu drgającego tłumionego spada do 1/e wartości początkowej,nazywamy średnim czasem życia oscylacji.

Drgania wymuszone i rezonans

Dotychczas mówiliśmy o drganiach:

m

k=ω

2

22

−==m

b

m

ktt πνω

Gdy na ciało działa zewnętrzna siła okresowa powstają drgania wymuszone

Równanie ruchu dla oscylatora wymuszonego można zapisać w postaci

swobodnych tłumionych

Równanie ruchu dla oscylatora wymuszonego można zapisać w postaci

tFkxtd

dxb

td

xdm wymm ωcos

2

2

=++

Rozwiązanie powyższego równania

( ) ( )ϕω −= tG

Ftx wym

m sin

gdzie

( ) 222222wymwym bmG ωωω +−=

G

barc

wymωϕ cos=

Załóżmy że układ drga z częstotliwością siły wymuszającej oraz że ruch niejest tłumiony

Gdy b = 0, wtedy 22 ωω −= wymmGJest duże, gdy częstotliwość kołowasiły wymuszającej bardzo różni się odczęstotliwości drgań własnych ωωωω

( ) ( )ϕω −= tG

Ftx wym

m sin Wtedy amplituda Fm/G jest mała

Jeśli częstotliwość kołowa siły wymuszającej zbliża się do częstotliwości drgańwłasnych (nietłumionych), wtedy

ωω →wym 0→G ∞→G

Fm

GDla rzeczywistych oscylatorów tłumionych (b ≠≠≠≠ 0)istnieje charakterystyczna wartość wymuszającejczęstotliwości kołowej ωωωωwym przy której amplitudaoscylacji osiąga wartość maksymalną

Takie zjawisko nazywa się rezonansem, acharakterystyczną częstotliwość, przy którejamplituda osiąga maksimum nazywamyczęstotliwością rezonansową

Im mniejsze tłumienie układu, tym częstotliwośćrezonansowa jest bliższa częstotliwości układunietłumionego