1

Wykład 9

Mechanika płynów

Wrocław University of Technology

2

Płyny

Mechanika płynów

Płyn — w odróżnieniu od ciała stałego — to substancja zdolna do przepływu.

Gdy umieścimy go w naczyniu, przyjmie kształt tego naczynia.

Płyny — pod tą nazwą rozumiemy ciecze i gazy!

3

Gęstość

Mechanika płynów

Gęstość płynu jest równa

V

m

Aby wyznaczyć gęstość płynu ρ w pewnym jego punkcie, wydzielamy mały

element objętości ΔV w otoczeniu tego punktu i mierzymy masę Δm płynu

zawartego w tej objętości.

3310001

m

kg

cm

g

Substancja lub ciało Gęstość [kg/m3]

Przestrzeń międzygwiazdowa 10-20

Powietrze (20oC, 1 atm) 1.21

Styropian 60.5

Lód 0.917 . 103

Krew 1.060 . 103

Ziemia 5.5 . 103

Słońce 1.4 . 103

Jądro uranu 3 . 1017

4

Ciśnienie

S

Fp

Mechanika płynów

Definicja:

2/111 mNPaPascal

jednostkowa siła prostopadła do powierzchni ΔS

F

1 Atm = 1.01 . 105 Pa = 1.013 bar =

= 760 Tr = 14.7 funt/in2

Atmosfera (atm) jest to - jak wskazuje sama nazwa -

przybliżona wartość średnia ciśnienia atmosferycznego

na poziomie morza. Tor (Tr), nazwany tak na cześć

Evangelisty Toricellego, który wynalazł barometr

rtęciowy w 1647 roku, nazywany jest również

milimetrem słupa rtęci (mm Hg).

5

Płyny w spoczynku

mgFF 12

Mechanika płynów

SpFSpF 2211

2112 yySgSpSp

2112 yygpp

Oznaczając przez p0 ciśnienie atmosferyczne na

powierzchni cieczy, otrzymujemy:

pphyppy 22011 ,oraz,0

ghpp 0

6

Płyny w spoczynku

Mechanika płynów

Ciśnienie w pewnym punkcie w płynie znajdującym się w równowadze statycznej

zależy od głębokości tego punktu pod powierzchnią płynu, a nie zależy od

poziomych rozmiarów płynu ani zbiornika, w którym płyn jest zawarty.

ghpp 0

7

Pomiary ciśnienia

Mechanika płynów

Manometr rtęciowy Manometr otwarty

8

Prawo Pascala

Mechanika płynów

W zamkniętej objętości nieściśliwego płynu zmiana ciśnienia jest przenoszona

bez zmiany wartości do każdego miejsca w płynie i do ścian zbiornika.

Ciśnienie p w dowolnym punkcie cieczy P wynosi:

ghpp zewn

Następnie, do zbiornika ze śrutem dosypujemy nieco

śrutu, w wyniku czego ciśnienie pzewn wzrasta o

Δpzewn. Zatem zmiana ciśnienia w punkcie P jest

równa Δp:

zewnpp

Ten przyrost ciśnienia nie zależy od h, a więc musi

być taki sam w każdym punkcie cieczy, co właśnie

stwierdza prawo Pascala.

9

Prasa hydrauliczna

Mechanika płynów

wyj

wyj

wej

wej

S

F

S

Fp

wej

wyj

wejwyjS

SFF

Jeśli przesuniemy tłok wejściowy w dół o odcinek

dwej, to tłok wyjściowy przesunie się w górę o

odcinek dwyj

wyjwyjwejwej dSdSV

wyj

wej

wejwyjS

Sdd

stąd gdy Swyj > Swej , przemieszczenie tłoka

wyjściowego jest mniejsze niż przemieszczenie

tłoka wejściowego.

Praca wykonana przez siłę wyjściową:

wejwej

wyj

wej

wej

wej

wyj

wejwyjwyj dFS

Sd

S

SFdFW

10

Prawo Archimedesa

Mechanika płynów

Na ciało całkowicie lub częściowo zanurzone w

płynie działa ze strony płynu siła wyporu Fw. Jest

ona skierowana pionowo do góry, a jej wartość

jest równa ciężarowi mpg płynu wypartego przez

to ciało.

Siła wyporu, jaka działa na ciało w płynie, ma

wartość:

gmF pwyp

przy czym mp jest masą płynu wypartego przez

ciało.

CIĘŻAR

POZORNY

CIĘŻAR

RZECZYWISTY

WARTOŚĆ SIŁY

WYPORU = -

11

Ruch płynów doskonałych

Mechanika płynów

1. Przepływ ustalony. Przepływ jest ustalony

(nazywany też laminarnym), gdy prędkość

poruszającego się płynu w każdym wybranym

punkcie nie zmienia się w upływem czasu,

zarówno co do wartości, jak i co do kierunku.

2. Przepływ nieściśliwy. Będziemy zakładać,

podobnie jak to już robiliśmy dla płynów w

spoczynku, że nasz doskonały płyn jest

nieściśliwy, to znaczy, że jego gęstość jest stała.

3. Przepływ nielepki. Z grubsza rzecz biorąc,

lepkość płynu jest miarą oporu, jaki stawia płyn

jego przepływowi.

4. Przepływ bezwirowy.

12

Równanie ciągłości

Mechanika płynów

13

Równanie ciągłości

Mechanika płynów

Prędkość elementu e jest równa v, zatem w

przedziale czasu Δt element ten przebywa

wzdłuż rury odcinek o długości Δx = v Δt.

Wobec tego w przedziale czasu Δt przez linię

przerywaną przepływa płyn o objętości ΔV

równej

tSvxSV

tvStvSV 2211

2211 vSvS - równanie ciągłości

Wynika z niego, że prędkość przepływu wzrasta, gdy maleje pole przekroju

poprzecznego, przez który płyn przepływa.

14

Równanie Bernoulliego

Mechanika płynów

Oznaczenia:

y1, v1 i p1 - poziom, prędkość i ciśnienie płynu

wchodzącego do rury z lewej strony;

y2, v2 i p2 - odpowiednie wielkości odnoszące się

do płynu wychodzącego z rury z prawej strony.

2

2

221

2

112

1

2

1gyvpgyvp

constgyvp 2

2

1

Równanie Bernoulliego:

15

Równanie Bernoulliego

Mechanika płynów

• Równanie Bernoulliego dla płynu w spoczynku, v1 = v2 = 0

2112 yygpp

• Równanie Bernoulliego dla płynu, który w trakcie przepływu nie zmienia

położenia w pionie (y jest stałe np. y = 0)

2

22

2

112

1

2

1vpvp

Jeśli przy przepływie wzdłuż poziomej linii prądu prędkość elementu płynu

wzrasta, to ciśnienie płynu maleje i na odwrót.

Równanie Bernoulliego stosuje się ściśle jedynie dla płynu doskonałego. Gdy

występują siły lepkości, nie wolno nam pominąć zmian energii termicznej płynu.

16

Równanie Bernoulliego

Mechanika płynów

Wyprowadzenie

Zasada zachowania energii w postaci związku pracy ze zmianą energii kinetycznej:

kEW

Zmiana energii kinetycznej jest wynikiem zmiany prędkości płynu między końcami

rury, a zatem wynosi:

2

1

2

2

2

1

2

22

1

2

1

2

1vvVmvmvEk

Praca wykonana nad układem ma dwa źródła. Po pierwsze, siła ciężkości

(Δmg) wykonuje pracę Wg nad płynem o masie Δm, wznosząc go z poziomu

wejściowego na wyjściowy. Praca ta jest równa:

1212 yyVgyymgWg

Jest ona ujemna ze względu na przeciwne kierunki przemieszczenia płynu

(skierowanego w górę) i siły ciężkości (skierowanej w dół).

17

Równanie Bernoulliego

Mechanika płynów

Po drugie, praca jest też wykonywana nad układem (na wejściowym końcu

rury), gdy płyn jest wtłaczany do rury, oraz przez układ (na wyjściowym końcu

rury), gdy płyn jest wypychany z rury. Całkiem ogólnie możemy powiedzieć,

że praca wykonana przez siłę o wartości F, działającą na próbkę płynu o polu

przekroju poprzecznego S, przy przemieszczeniu płynu na odległość Δx, jest

równa

VpxSpxpSxF

Praca wykonana nad układem jest zatem równa p1ΔV, a praca wykonana przez

okład wynosi - p2ΔV. Ich suma Wp jest równa:

VppVpVpWp 1212

Związek pracy ze zmianą energii kinetycznej:

kpg EWWW

2

1

2

212122

1vvVppVyyVg

18

Efekt Magnusa

Mechanika płynów

19

Efekt Magnusa

Mechanika płynów

20

Efekt Magnusa

Mechanika płynów

21

Efekt Magnusa

Mechanika płynów