MECHANIKA PŁYNÓW ZBIÓR ZADAŃ - konin.edu.pl · PDF fileZBIÓR ZADAŃ...

Andrzej Raczyński

MECHANIKA PŁYNÓW

ZBIÓR ZADAŃ

PWSZ w Koninie

Turek, luty 2012

2

W opracowaniu znajdują się zadania własne

a także zadania ze zbiorów opublikowanych przez Z. Orzechowskiego oraz E. Burkę i T. Nałęcza

Spis rozdziałów

1. HYDROSTATYKA 4

2. KINEMATYKA PŁYNÓW 26

3. DYNAMIKA PŁYNÓW DOSKONAŁYCH 37

4. DYNAMIKA PŁYNÓW LEPKICH 63

Główne oznaczenia

A - pole powierzchni [m2]

dh - średnica hydrauliczna [m]

G - ciężar [N]

g - przyśpieszenie ziemskie, 9,81 m/s2

m - masa [kg]

m - masowe natężenie przepływu [kg/s]

p - ciśnienie (ogólnie) [Pa]

pat - ciśnienie atmosferyczne [Pa], [hPa], [bar]

pn - nadciśnienie [Pa], [kPa], [MPa]

P - siła parcia [N]

T - temperatura bezwzględna [K]; czas procesu [s]

v - prędkość liniowa [m/s]

V - objętość [m3]

V - objętościowe natężenie przepływu [m3/s]

α - współczynnik prędkości [–]

β - współczynnik kontrakcji [–]

ζ - współczynnik oporu miejscowego (straty miejscowej) [–]

λ - współczynnik oporu liniowego (straty liniowej) [–]

ν - współczynnik lepkości kinematycznej [m2/s]

ρ - gęstość płynu [kg/m3]

ω - prędkość kątowa [rad/s]

Δ - przyrost (dowolnej wielkości)

Δh - strata „wysokości ciśnienia” [m]

Δp - strata ciśnienia [Pa]

3

Informacje pomocnicze

Tablica 0.1. Współczynnik lepkości kinematycznej ν

powietrza i wody w zależności od temperatury

(dla powietrza przy ciśnieniu p = 101,325 kPa)

t [ºC] ν [m

2/s]

powietrze woda

0 13,3∙10-6

1,79∙10-6

10 13,9∙10-6

1,31∙10-6

20 15,1∙10-6

1,01∙10-6

30 16,0∙10-6

0,80∙10-6

40 16,9∙10-6

0,658∙10-6

50 18,2∙10-6

0,560∙10-6

60 18,9∙10-6

0,478∙10-6

80 20,9∙10-6

0,366∙10-6

100 23,1∙10-6

0,295∙10-6

200 35 ∙10-6

0,160∙10-6

Tablica 0.2. Ciśnienie pary wodnej nasyconej pv

w zależności od temperatury

t [ºC] pv [Pa] t [ºC] pv [Pa]

0 588 55 15740

4 785 60 19917

5 873 65 25007

10 1226 70 31156

15 1706 75 38550

20 2334 80 47356

25 3168 85 57800

30 4236 90 70108

35 5619 85 84524

40 7375 100 101322

45 9581 110 143265

50 12337 120 198536

Re

Rys. 0.1. Współczynnik oporu liniowego λ wg Nikuradsego

4

1. HYDROSTATYKA

Zad. 1.1

Obliczyć ciężar beczki napełnionej olejem o gęstości ρ = 0,88·103 kg/m

3 , wiedząc że masa beczki

wynosi mb = 20 kg, a jej pojemność V jest równa 100 litrów.

Rozwiązanie:

Na ciężar beczki napełnionej olejem składa się ciężar beczki i ciężar oleju. Ciężar każdego ciała jest

iloczynem jego masy i lokalnego natężenia pola grawitacyjnego. W warunkach ziemskich natężenie

pola grawitacyjnego (przyspieszenie ziemskie g) jest równe ok. 9,81 m/s2. Ciężar beczki wynosi więc:

N2,196s

m81,9kg20gmG

2gb

Ciężar oleju obliczymy podobnie na podstawie jego masy. Masa oleju jest iloczynem jego objętości

i gęstości (gęstość to masa jednostki objętości). Musimy przy tym pamiętać o przeprowadzaniu

obliczeń w spójnych jednostkach układu SI.

3ol m1,0litrów100V

kg88m

kg88,0m1,0Vm

3

3olol

N3,863s

m81,9kg88gmG

2olol

Zatem ciężar beczki napełnionej olejem wynosi:

N5,10593,8632,196GGG olb

Zad. 1.2

Beczka pełna oleju waży 1,2 kN , pojemność beczki V wynosi 110 litrów, a masa pustej beczki mb

wynosi 20 kg. Obliczyć gęstość i ciężar właściwy oleju zawartego w beczce.

Odpowiedź: ρ=930 kg/m3, γ=9123 N/m

3

Zad. 1.3

W termometrze rtęciowym objętość rtęci wynosi 0,1 cm3, zaś średnica wewnętrzna rurki d = 0,15 mm.

O ile mm podniesie się poziom rtęci w rurce, jeśli temperatura podniesie się o 10 K ? Współczynnik

rozszerzalności objętościowej rtęci wynosi βt = 18,1·10-5

1/K.

Rozwiązanie:

Współczynnik rozszerzalności objętościowej jest określony następującą zależnością:

V

V

T

1t

Przekształcenie tej zależności umożliwi określenie przyrostu objętości:

3535t cm101,18cm1,0K10

K

1101,18VTV

Podniesienie poziomu rtęci odpowiada przyrostowi wysokości słupka rtęci. Przyrost ten wyznaczymy

na podstawie przyrostu objętości ΔV i pola przekroju słupka A. Przed dokonaniem obliczeń musimy

5

uzgodnić jednostki. Ponieważ średnica rurki jest wyrażona w milimetrach, przeliczmy przyrost

objętości też na milimetry.

3235 mm101,18cm101,18V

Pole przekroju słupka rtęci wynosi:

2222

mm1077,14

)mm15,0(

4

dA

Zatem przyrost wysokości słupka rtęci:

mm2,10mm1077,1

mm101,18

A

Vh

22

32

Zad. 1.4

Średnica wewnętrzna rurki termometru d wynosi 0,2 mm, a początkowa objętość rtęci wynosiła 0,12

cm3. Jak duży nastąpił wzrost temperatury, jeśli poziom rtęci w termometrze podniósł się o 10 mm?

Współczynnik rozszerzalności objętościowej rtęci wynosi βt = 18,1·10-5

1/K.

Odpowiedź: ΔT=14,5 K

Zad. 1.5

Siłownik hydrauliczny o średnicy tłoka D = 80 mm i skoku tłoka s = 500 mm jest całkowicie

wypełniony olejem. Ile wyniesie przesunięcie tłoka, jeśli na tłoczysko będzie działać siła zewnętrzna

F = 30 kN? Współczynnik ściśliwości oleju βp wynosi 56·10-5

mm2/N.

Rozwiązanie:

Współczynnik ściśliwości, zgodnie z definicją, jest określony zależnością:

V

V

p

1p

Przekształcenie tej zależności umożliwi obliczenie zmniejszenia objętości oleju ΔV, a w następstwie

określenie przesunięcia tłoka. Najpierw jednak wyznaczmy zwiększenie ciśnienia w siłowniku,

wywołane działaniem siły F.

MPa97,5)mm80(

N300004

D4

F

A

Fp

22

Objętość wewnętrzna siłownika:

sAV

Zmiana objętości pod wpływem zmiany ciśnienia:

pp sApVpV

Przesunięcie tłoka odpowiadające tej zmianie objętości:

A

Vh

Po podstawieniach obliczamy przesunięcie tłoka:

mm67,1MPa

11056mm500MPa97,5sph 5

p

6

Zad. 1.6

Siłownik hydrauliczny o średnicy tłoka D = 80 mm i skoku tłoka s = 0,5 m jest całkowicie wypełniony

olejem. Obliczyć współczynnik ściśliwości oleju βp , wiedząc że po obciążeniu tłoka siłą F = 35 kN

zauważono przesunięcie tłoka o 2 mm.

Odpowiedź: βp=5,74·10-4

mm2/N

Zad. 1.7

Ile wody należy dopompować do pełnego, zamkniętego i doskonale sztywnego zbiornika o

pojemności 0,5 m3, ażeby wzrost ciśnienia wyniósł Δp = 1000 kPa? Współczynnik ściśliwości wody

βp wynosi 4,7·10-4

m2/MN.

Rozwiązanie:

Znów korzystamy ze wzoru na współczynnik ściśliwości:

V

V

p

1p

z którego po odpowiednim przekształceniu obliczymy zmniejszenie objętości wody, związane ze

wzrostem ciśnienia Δp.

pVpV

Po wyrażeniu Δp i βp w jednostkach podstawowych:

2

66

m

N10Pa10kPa1000p

N

m107,4

MN

m107,4

210

24

p

Obliczamy zmniejszenie objętości;

342

103

2

6 m1035,2N

m107,4m5,0

m

N10V

Ponieważ zakładany przyrost ciśnienia wynika z dopompowania wody do sztywnego zbiornika, to

ilość dopompowanej wody musi skompensować zmniejszenie objętości wody pierwotnie zawartej

w zbiorniku:

334dop dm235,0m1035,2VV

Zad. 1.8

Zamknięte naczynie zawiera 200 l wody. Jaki wzrost ciśnienia wystąpi w tym naczyniu, jeśli

dopompuje się 150 g wody? Współczynnik ściśliwości wody βp wynosi 4,7·10-4

mm2/N.

Odpowiedź: Δp=1,6 MPa

Zad. 1.9

Do menzurki o podanych wymiarach nalano wody do 3/4 jej pojemności. Obliczyć ciśnienie

hydrostatyczne na dnie menzurki.

7

Rozwiązanie:

Ciśnienie hydrostatyczne w dowolnym punkcie pod powierzchnią cieczy zależy tylko od zagłębienia

tego punktu poniżej lustra cieczy. Potrzebna jest więc odległość od lustra wody do dna. Niezależnie od

pojemności menzurki, jeśli pole jej poziomego przekroju jest niezmienne, to wypełnienie jej w ¾

pojemności jest równoznaczne z tym, że woda zajmuje ¾ wysokości menzurki. Wynika z tego, że

wysokość słupa wody wynosi (¾ · 300 mm) = 225 mm = 0,225 m . Tak więc ciśnienie hydrostatyczne

na dnie wynosi:

Pa2207225,081,91000hgp

Zad. 1.10

Do naczynia w kształcie odwróconego stożka o wysokości h = 1m nalano wody do połowy jego

pojemności. Obliczyć ciśnienie hydrostatyczne w najniższym punkcie wnętrza naczynia.

Rozwiązanie:

Ciśnienie hydrostatyczne w określonym miejscu naczynia zależy tylko od położenia lustra cieczy

ponad tym miejscem. Musimy wiec obliczyć, jakie położenie lustra odpowiada połowie objętości

naczynia. Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku pomocniczym.

Pojemność naczynia jest równa objętości stożka o promieniu podstawy R i wysokości H:

232p tgH

3

1HR

3

1V

Objętość wody sięgającej do poziomu oznaczonego h:

232 tgh3

1hr

3

1V

Jeśli woda zajmuje połowę pojemności naczynia, to:

8

pV2

1V

2323 tgH3

1tgh

3

1

33 H2

1h

]m[2

1

2

Hh

33

Znając wysokość h obliczymy ciśnienie na dnie naczynia.

Pa77862

181,91000hgp

3

Zad. 1.11

Rurka do pomiaru przyspieszenia (akcelerometr) została ustawiona na pojeździe. Ile wynosi chwilowe

przyspieszenie pojazdu, jeśli poziomy menisków cieczy są takie, jak na rysunku? Jakie największe

przyspieszenie może być zmierzone tym przyrządem bez utraty cieczy?

Rozwiązanie:

Na rysunku jest podana informacja o położeniu menisków wody w obydwóch gałęziach rurki. Łącząc

te meniski wspólną ukośną płaszczyzną, otrzymamy płaszczyznę powierzchni swobodnej

(uwidocznioną na rysunku pomocniczym). Jeśli wyrazimy równanie powierzchni swobodnej

w zależności od przyśpieszenia pojazdu, to będziemy mogli obliczyć to przyśpieszenie.

Równanie powierzchni swobodnej otrzymamy przekształcając podstawowe równanie statyki cieczy

w postaci różniczkowej:

)dzZdyYdxX(dp

Przyjmijmy układ współrzędnych tak, jak na rysunku pomocniczym:

Określmy teraz jednostkowe siły masowe. Podwyższenie poziomu cieczy w lewej gałęzi rurki

wskazuje na to, że przyśpieszenie jest skierowane w prawo. Wobec tego jednostkowa siła masowa w

kierunku osi x jest skierowana w lewo (przeciwnie do zwrotu przyśpieszenia). Co do wartości

bezwzględnej jest ona równa przyśpieszeniu.

aX

9

Oś y jest skierowana prostopadle do płaszczyzny rysunku. W tym kierunku nie ma żadnego

przyśpieszenia, więc jednostkowa siła masowa Y jest zerowa.

W kierunku pionowym występuje jednostkowa siła masowa wynikająca z grawitacji. Jest ona

zwrócona w dół, czyli przeciwnie do osi z.

gZ

Równanie statyki po podstawieniach:

dzgdxadp

Całkując to równanie otrzymamy:

Czgxap

Stałą całkowania C określimy na podstawie warunku brzegowego: w punkcie o współrzędnych x=0,

z=0 (czyli na powierzchni swobodnej), gdzie ciśnienie jest równe ciśnieniu atmosferycznemu.

C00pat , czyli atpC

Tak więc ciśnienie w cieczy jest wyrażone następującą zależnością w funkcji współrzędnych :

zgxapp at

Powierzchnia swobodna jest powierzchnią złożoną z tych punktów (i tylko tych), w których ciśnienie

jest równe atmosferycznemu. Wystarczy więc przyrównać powyższe wyrażenie do pat, żeby otrzymać

równanie powierzchni swobodnej.

zgxapp atat

0zgxa

Przyśpieszenie a jest parametrem tego równania. Wartość tego parametru można wyznaczyć na

podstawie jakiegokolwiek punktu na powierzchni swobodnej, z wyjątkiem punktu o współrzędnej

x=0. Wygodnym punktem jest punkt znajdujący się na powierzchni cieczy w prawej gałęzi rurki, o

współrzędnych: x = l = 300mm, z = -h = -26mm.

22 s

m85,0

mm300

mm26

s

m81,9

x

zga

Przejdźmy teraz do problemu największego przyśpieszenia, które może być zmierzone. Utrata cieczy

grozi wówczas, gdy ciecz w lewej gałęzi rurki osiągnie poziom wylotu, czyli podniesie się o wymiar

„e”. Naturalnie jednocześnie o tyle samo opadnie poziom cieczy w prawej gałęzi rurki. W tej sytuacji

różnica poziomów między lewą a prawą gałęzią wyniesie:

mm5213226e2hzmax

Zatem największe mierzalne przyśpieszenie wynosi:

22

maxmax

s

m7,1

mm300

mm52

s

m81,9

x

zga

Zad. 1.12

Podczas przyspieszania pojazdu woda w zbiorniku ustawionym na tym pojeździe zachowuje się tak,

jak to przedstawiono na rysunku. Określić kierunek i zwrot ruchu pojazdu oraz chwilowe

przyspieszenie.

10

Odpowiedź: a = 1,96 m/s2; ruch w lewo.

Zad. 1.13

Trzy otwarte naczynia połączone u dołu zostały ustawione w płaszczyźnie podłużnej pojazdu.

Wysokość słupów wody w bezruchu jest widoczna na rysunku. Jakie będą średnie wysokości słupów

wody w naczyniach A, B i C, jeśli pojazd będzie nabierał prędkości w prawo z przyspieszeniem

2 m/s2 ? Jakie byłyby te wysokości, gdyby wodę zastąpiono rtęcią?

Odpowiedź: hA = 211 mm, hB = 160 mm, hC = 109 mm.

Zad. 1.14

Cylindryczne naczynie zawierające olej o gęstości 880 kg/m3 obraca się wokół pionowej osi

z prędkością n = 40 obr/min. Obliczyć nadciśnienie w środku dna i na obrzeżu dna (w punkcie B),

wiedząc że przy podanej prędkości głębokość pod środkowym punktem powierzchni cieczy wynosi

300 mm.

Rozwiązanie:

Rozkład ciśnień wewnątrz cieczy jest określony przez podstawowe równanie statyki cieczy w postaci

różniczkowej W odniesieniu do cieczy zawartej w wirującym cylindrze zastosujemy to równanie

wyrażone we współrzędnych cylindrycznych.

)dzZddrR(dp

11

gdzie r jest kierunkiem promieniowym, υ - kierunkiem obwodowym, „z” oznacza oś skierowaną do

góry, R jest składową jednostkowej siły masowej w kierunku promieniowym, Θ jest składową

jednostkowej siły masowej w kierunku obwodowym, zaś Z jest składową jednostkowej siły masowej

w kierunku pionowym. Przyjmijmy początek układu współrzędnych w środku dna zbiornika (co już

oznaczono na rysunku). Promieniowa składowa jednostkowej siły masowej jest równa przyspieszeniu

dośrodkowemu, ale jej zwrot jest przeciwny do zwrotu tego przyśpieszenia, czyli zgodny z kierunkiem

osi „r”.

2rR

W kierunku obwodowym nie występuje żadne przyśpieszenie, więc Θ = 0.

W kierunku pionowym występuje jednostkowa siła masowa wynikająca z grawitacji. Jest ona

zwrócona w dół, czyli przeciwnie do osi z.

gZ

Równanie statyki po podstawieniach:

dzgdrrdp 2

Całkując to równanie otrzymamy:

Czgr2

p 22

Stałą całkowania C określimy na podstawie warunku brzegowego: w punkcie o współrzędnych r=0,

υ=0 z=0 (czyli w środku dna), gdzie ciśnienie jest równe sumie ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia

hydrostatycznego:

g3,0pm3,0gphgpp atatat)o,o(

C00g3,0pat , czyli g3,0pC at

Tak więc ciśnienie w cieczy jest wyrażone następującą zależnością w funkcji współrzędnych :

)3,0z(gr2

pg3,0pzgr2

p 22

atat2

2

,

zaś odpowiednio nadciśnienie zapiszemy wzorem:

)3,0z(gr2

ppp 22

atn

,

Możemy teraz po kolei obliczyć:

- nadciśnienie w środku dna (r=0, z=0):

Pa25903,081,9880)3,00(g02

p 22

n

- nadciśnienie na obrzeżu dna (r=0,25m, z=0):

)3,00(81,988025,0

30

40

2

880)3,00(gr

30

n

2)3,00(gr

2p 2

2

2

2

22

n

Pa3072pn

12

Zad. 1.15

Cylindryczne naczynie o podanej średnicy, pełne wody, wprawiono w ruch obrotowy wokół osi

pionowej z prędkością n = 90 obr/min. Część wody wylała się. Jak głęboki jest lej utworzony przez

powierzchnię wody?

Wskazówka: Wygodne będzie umieszczenie początku układu współrzędnych w środku powierzchni

swobodnej.

Odpowiedź: h = 45 mm

Zad. 1.16

Zamknięte cylindryczne naczynie o wysokości h było napełnione do połowy wodą (jak na rysunku

„a”). Ponad wodą znajdowało się powietrze o ciśnieniu atmosferycznym pat. Po odsłonięciu małego

otworu w dnie naczynia część wody wypłynęła (rys. „b”). O ile opadł poziom wody w naczyniu?

Założyć, że rozprężanie powietrza było izotermiczne, czyli iloczyn ciśnienia i objętości był stały.

Ciśnienie atmosferyczne wynosi 101,3 kPa.

Rozwiązanie:

Wyciekanie wody z naczynia ustało wtedy, kiedy nastąpiła równowaga ciśnień z obu stron otworu

(tzn. z góry i z dołu). Stan ten możemy zapisać równaniem:

at2 pz2

hgp

(*)

gdzie p2 jest nieznanym ciśnieniem nad lustrem wody, zaistniałym po ustaniu wycieku. Jest to

równanie z dwiema niewiadomymi: „p2” i „z”. Podana informacja o stałości iloczynu ciśnienia i

objętości powietrza pozwoli napisać drugie równanie:

221at VpVp ;

V1 to objętość powietrza przed wyciekiem, zaś V2 – po ustaniu wycieku. Jeśli pole poziomego

przekroju naczynia oznaczymy przez „A”, to będziemy mogli zapisać:

Az2

hp

2

hAp 2at

;

zatem z2h

hpp at2

(**)

13

Podstawiając równanie (**) do (*) otrzymamy:

atat pz2

hg

z2h

hp

a po wymnożeniu obydwóch stron przez (h+2z):

)z2h(p)z2hz2h2

ghp atat

0zp2z4h2

gat

22

Jest to równanie kwadratowe ze względu na „z”. Rozwiązując to równanie otrzymamy dwa

pierwiastki: z1 = -10,35 m oraz z2 = 0,024 m. Tylko ten drugi pierwiastek równania jest sensowny, a

zatem już wiemy, że obniżenie poziomu cieczy wynosi z = 24 mm.

Zad. 1.17

Keson (otwarty zbiornik odwrócony do góry dnem) o powierzchni przekroju poziomego A = 8 m2 i

wysokości h = 2,5 m przylega do powierzchni wody. Manometr wskazuje ciśnienie wewnątrz kesonu

równe ciśnieniu atmosferycznemu. Jakie będzie ciśnienie powietrza wewnątrz kesonu po opuszczeniu

go na dno, jeśli głębokość wody H wynosi = 20 m? Jaka objętość wody wpłynie do kesonu? Przyjąć

wartość ciśnienia atmosferycznego = 0,1 MPa.

Odpowiedź: p = 280 kPa; V = 12,9 m3.

Zad. 1.18

Ile wynosi nadciśnienie w przedstawionym zbiorniku gazu, jeśli na manometrze rtęciowym jest

widoczna różnica poziomów 67 mm? Gęstość rtęci wynosi 13550 kg/m3. Uwaga: Podczas wlewania

rtęci do manometru zbiornik był otwarty.

14

Rozwiązanie:

Z uwagi, podanej w treści zadania, wynika, że różnica poziomów rtęci w manometrze wynosi zero

wtedy, gdy ciśnienie w zbiorniku jest równe atmosferycznemu. Przepływ rtęci do zewnętrznej rurki

manometru świadczy o istnieniu nadciśnienia w zbiorniku.

Napiszmy równanie ciśnień na poziomie niższego menisku rtęci.

Ciśnienie absolutne po lewej stronie:

nat ppp

Ciśnienie absolutne na tym samym poziomie po prawej stronie jest sumą ciśnienia atmosferycznego i

ciśnienia hydrostatycznego słupa rtęci o wysokości h = 67 mm.

hgpp at

Przyrównujemy ciśnienia na jednakowych poziomach:

hgppp atnat

z czego otrzymujemy:

kPa9,8Pa8906m067,0s

m81,9

m

kg13550hgp

23n

Zad. 1.19

Ile wynosi ciśnienie absolutne i podciśnienie w gazie wypełniającym przedstawioną w przekroju rurę,

jeśli manometr wodny wykazuje różnicę poziomów 194 mm? Ciśnienie atmosferyczne = 101,3 kPa.

Uwaga: Podczas zalewania manometru ciśnienie w rurze było równe ciśnieniu atmosferycznemu.

Odpowiedź: p = 99,4 kPa; pp = 1,9 kPa.

Zad. 1.20

Jedno z trzech naczyń połączonych jest zamknięte od góry, przy czym jest do niego przyłączony

przewód powietrzny. Jakie różnice poziomów wody powstaną w naczyniach, jeśli przewód będzie

zasilany sprężonym powietrzem o nadciśnieniu 1kPa? Wymiary naczyń są podane w milimetrach.

Odpowiedź: hB - hA = 102 mm; hC - hA = 102 mm.

15

Zad. 1.21

Do trzech połączonych otwartych naczyń o średnicach d1 = 30 mm, d2 = 50 mm i d3 = 60 mm,

zawierających ciecz o gęstości 900 kg/m3, wsunięto szczelne tłoki o różnych masach. Tłoki ustawiły

się na różnych poziomach. Ciężar tłoka 3 wynosi 10 N, a różnice poziomów wynoszą: h1 = 70 mm,

h2 = 170 mm. Obliczyć masy wszystkich tłoków. Pominąć tarcie tłoków o ścianki naczyń.

Rozwiązanie:

Ciężar tłoka „2” znajdziemy z równania ciśnień napisanego dla naczyń „2” i „3” na poziomie „w”,

pamiętając, że tłok naciska na ciecz z siłą równą jego ciężarowi.

3

32

2

2

A

Ghg

A

G

Po podstawieniu: 4

dA

22

2

i 4

dA

23

3

otrzymamy:

4

dhg

d

dGG

22

2

2

3

232

Masa tłoka „2” wynosi:

4

dh

d

d

g

G

g

Gm

22

2

2

3

2322

kg407,04

)m05,0(m17,0

m

kg900

m06,0

m05,0

s

m81,9

N10m

2

3

2

2

2

Analogicznie określimy ciężar tłoka „2” z równania ciśnień napisanego dla naczyń „1” i „2” na

poziomie „v”.

2

21

1

1

A

Ghg

A

G

Po podstawieniu: 4

dA

21

1

i 4

dA

22

2

otrzymamy:

4

dhg

d

dGG

21

1

2

2

121

Masa tłoka „1” wynosi:

16

4

dh

d

dm

4

dh

d

d

g

G

g

Gm

21

1

2

2

12

21

1

2

2

1211

kg102,04

)m03,0(m07,0

m

kg900

m05,0

m03,0kg407,0m

2

3

2

2

Trzeba jeszcze określić masę tłoka „3”:

kg02,1

s

m81,9

N10

g

Gm

2

33

Zad. 1.22

Do jednego z dwóch otwartych naczyń połączonych zawierających wodę nalano cieczy X o nieznanej

gęstości. Poszczególne powierzchnie graniczne usytuowały się tak, jak to widać na rysunku.

Wyznaczyć gęstość cieczy X.

Odpowiedź: ρ = 750 kg/m3

Zad. 1.23

Do jednego z dwóch otwartych naczyń połączonych zawierających wodę nalano cieczy X o nieznanej

gęstości. Ciecz ta wyparła wodę do drugiego naczynia. Obliczyć gęstość cieczy X, wiedząc że

poszczególne powierzchnie graniczne usytuowały się tak, jak to widać na rysunku.

Odpowiedź: ρ = 3000 kg/m3

Zad. 1.24

Do tuby o średnicy 160 mm przyklejono denko przy ciśnieniu atmosferycznym wynoszącym

1025 mbar. Obliczyć siłę, jaka usiłuje wypchnąć to denko, gdy tubę umieści się w próżni

z zachowaniem tej samej temperatury.

17

Rozwiązanie:

W warunkach początkowych na denko działają siły parcia z dwóch stron (od wewnątrz i z zewnątrz

tuby) i naturalnie się równoważą. Po przeniesieniu tuby do próżni znika siła parcia od zewnątrz,

pozostaje zaś niezmieniona (przy zachowaniu stałej temperatury) siła parcia od wewnątrz. Ta

pozostająca siła „usiłuje” wypchnąć denko. Obliczymy ją jako iloczyn powierzchni denka i ciśnienia

panującego w tubie, zachowanego z warunków początkowych:

at2

at pD4

pAP

m16,0mm160D

Pa102500mbar1025pat

N2060Pa102500)m16,0(4

P 2

Zad. 1.25

Do tuby o średnicy 140 mm przyklejono obydwa denka przy ciśnieniu atmosferycznym wynoszącym

1000 hPa. Jaka siła działa na denka, jeśli ciśnienie na zewnątrz tuby spadnie do 0,03 MPa bez zmiany

temperatury?

Odpowiedź: P=1078 N

Zad. 1.26

Jak duża i jak zwrócona siła jest potrzebna, żeby utrzymać przedstawioną cylindryczną beczkę

o ciężarze 2000 N w pięciu kolejnych położeniach wskazanych na rysunku? Rozwiązać korzystając

z zależności ciśnienia od głębokości zanurzenia.

Rozwiązanie:

Według pierwszej zasady statyki, dla zapewnienia spoczynku ciała, siły działające na to ciało muszą

się równoważyć. W każdym z przedstawionych przypadków dodatkowa siła musi równoważyć

wypadkową sił działających ze strony naturalnego otoczenia beczki. Te naturalne siły, to siły masowe

oraz siły powierzchniowe.

W każdym położeniu na beczkę działa siła masowa (ciężar) oraz siły powierzchniowe. Siły

powierzchniowe równoważą się w kierunku poziomym, ale nie muszą się równoważyć w kierunku

pionowym. To właśnie zagadnienie trzeba poddać analizie.

W pierwszym położeniu na górnej i dolnej powierzchni beczki ciśnienia są jednakowe (równe

ciśnieniu atmosferycznemu), więc i siły powierzchniowe są jednakowe. Wobec tego dodatkowa siła F

musi zrównoważyć tylko ciężar beczki G, zatem powinna działać w górę i mieć wartość:

N2000GF

18

W drugim położeniu dolna powierzchnia beczki jest zanurzona na głębokość z = 0,5m. W takim

przypadku działa na nią siła parcia hydrostatycznego:

AzgP

Pole dolnej (albo też górnej) powierzchni beczki wynosi:

222 m385,0m7,04

d4

A

Zatem wartość siły parcia:

N1888m385,0m5,0s

m81,9

m

kg1000P 2

23

Dodatkowa siła F powinna wynosić:

N112N1888N2000PGF

Ponieważ ciężar beczki przeważa nad siłą parcia działającą w górę, to siła F musi też działać w górę.

W trzecim położeniu dolna powierzchnia beczki jest zanurzona na głębokość z = 1m, natomiast górna

powierzchnia beczki nie jest zanurzona. W takim przypadku na beczkę działa siła parcia

hydrostatycznego o wartości:

N3777m385,0m1s

m81,9

m

kg1000AzgP 2

23

Siła ta działa w górę, natomiast w dół działa ciężar beczki G równy 2000N. Wobec tego dla

zachowania równowagi potrzebna jest działająca w dół siła o wartości:

)(N1777N2000N3777GPF

W czwartym położeniu górna powierzchnia beczki jest zanurzona na głębokość z1 = 0,5m, zaś dolna

powierzchnia jest zanurzona na głębokość z2 = 1,5 m. W takim przypadku na górną powierzchnię

beczki działa skierowana w dół siła parcia hydrostatycznego o wartości:

)(N1888m385,0m5,0s

m81,9

m

kg1000AzgP 2

2311

Natomiast na dolną powierzchnię beczki działa skierowana w górę siła parcia o wartości:

)(N5665m385,0m5,1s

m81,9

m

kg1000AzgP 2

2322

Wobec tego dla zachowania równowagi potrzebna jest działająca w dół siła o wartości:

)(N1777N2000N1888N5665GPPF 12

W piątym położeniu górna powierzchnia beczki jest zanurzona na głębokość z1 = 1m, zaś dolna

powierzchnia jest zanurzona na głębokość z2 = 2 m. W takim przypadku na górną powierzchnię beczki

działa skierowana w dół siła parcia hydrostatycznego o wartości:

)(N3777m385,0m1s

m81,9

m

kg1000AzgP 2

2311

Natomiast na dolną powierzchnię beczki działa skierowana w górę siła parcia o wartości:

19

)(N7554m385,0m2s

m81,9

m

kg1000AzgP 2

2322

Wobec tego dla zachowania równowagi potrzebna jest działająca w dół siła o wartości:

)(N1777N2000N3777N7554GPPF 12

Łatwo w tym miejscu zauważyć, że wypadkowa siła parcia działającego na zanurzoną beczkę nie

zależy od głębokości zanurzenia i wynosi:

)(N3777m385,0m1s

m81,9

m

kg1000A)zz(gPPP 2

231212w

co jest zgodne z prawem Archimedesa (na zanurzone ciało działa skierowana ku górze siła wyporu

równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało).

Zad. 1.27

Szklankę pełną wody przykryto szczelnie kartką i ostrożnie odwrócono do góry dnem. Dlaczego woda

nie wylewa się ze szklanki? Wyznaczyć siłę, jaka dociska kartkę do szklanki. Pominąć masę kartki.

Przyjąć wartość ciśnienia atmosferycznego = 0,1 MPa.

Odpowiedź: F = 385 N – 4 N = 381 N.

Zad. 1.28

Na rysunku jest przedstawiony zbiornik z włazem przykrytym pokrywą. Jaka powinna być masa

pokrywy, żeby woda nie wypchnęła jej, gdyby zapomniano przymocować ją śrubami? Wymiary

podane w milimetrach.

Odpowiedź: m = 283 kg.

Zad. 1.29

Cylindryczny zbiornik jest szczelnie połączony z pionową rurą. Ciężar dolnej pokrywy zbiornika

(dennicy D) wynosi 400 N. Obliczyć siłę obciążającą śruby dennicy w dwóch wypadkach:

1) do zbiornika nalano 48 litrów wody;

2) do zbiornika nalano 49 litrów wody.

20

Rozwiązanie:

Najpierw zbadajmy, jaką pojemność ma cylindryczny zbiornik. Dzięki temu będziemy mogli ocenić,

jakie znaczenie ma to, czy nalano 48, czy 49 litrów wody.

Objętość zbiornika:

]litrów[dm066,48m048066,017,04

6,0h

4

DV 33

22

Widać, że jeśli nalano 48 litrów wody, to zbiornik nie jest całkowicie wypełniony, zaś jeśli nalano 49

litrów, to zbiornik jest przepełniony i część wody mieści się w rurze wlewowej.

Siła F obciążająca śruby dennicy jest sumą ciężaru dennicy G i parcia hydrostatycznego (p·A) na

dennicę:

ApGF

Ciśnienie na poziomie dennicy jest równe ρ·g·z, gdzie z jest wysokością słupa wody.

Jeśli nalano 48 litrów wody, to możemy podstawić:

VgGAzgGApGF

(Jak widać, w tym przypadku nie jest konieczne obliczenie wysokości słupa wody)

N871m048066,0s

m81,9

m

kg1000N400F 3

23

W przypadku, kiedy woda częściowo znajduje się w rurze wlewowej, istotna jest wysokość słupa

wody w tej rurze. Obliczmy:

Objętość wody w rurze: 3433r m1034,9m048066,0m049,0V

Wysokość słupa wody w rurze zależy od pola przekroju poprzecznego rury Ar:

m285,5)m015,0(

m1034,94

d

V4

A

Vh

2

34

2

r

r

rr

Stwierdzamy, że wymiar hr jest mniejszy niż wysokość rury, więc można do dalszych obliczeń przyjąć

wysokość słupa wody w rurze równą hr. Zatem łączna wysokość słupa wody nad dennicą:

m455,5285,517,0hhz r

Ciśnienie hydrostatyczne na poziomie dennicy:

Pa53514m455,5s

m81,9

m

kg1000zgp

23

Siła F obciążająca śruby dennicy jest sumą ciężaru dennicy G i parcia hydrostatycznego (p·A) na

dennicę:

21

N155304

)m6,0(Pa53514N400ApGF

2

Łatwo zauważyć, jak dużą zmianę obciążenia dennicy wywołała różnica 1 litra wody.

Zad. 1.30

Obliczyć, jaką siłę R można wywołać w przedstawionej prasie mechaniczno-hydraulicznej za pomocą

siły F = 245 N, gdy wymiary wynoszą: a = 600 mm, b = 50 mm, d = 40 mm, D = 280 mm.

Pominąć ciężar elementów.

Odpowiedź: R = 144 kN

Zad. 1.31

Pionowa ściana stanowi przegrodę między dwoma zbiornikami wody. Wyznaczyć parcie wypadkowe

działające na jeden metr długości ściany oraz moment przewracający ścianę.

Rozwiązanie:

Siłę parcia hydrostatycznego, działającą na dowolną zanurzoną powierzchnię płaską (pionową,

poziomą lub też nachyloną), można obliczyć przez pomnożenie wartości ciśnienia hydrostatycznego

występującego w środku ciężkości tej powierzchni przez pole tej powierzchni. Trzeba przy tym

pamiętać, że w powyższym sformułowaniu chodzi o powierzchnię rzeczywistego kontaktu z cieczą.

Kiedy obliczamy siłę parcia na ścianę częściowo wystającą ponad powierzchnię cieczy, to do obliczeń

wykorzystujemy tylko tę część ściany, która znajduje się poniżej poziomu lustra cieczy, czyli część

zanurzoną.

Ściana widoczna na rysunku jest oblana wodą tylko w części wysokości, i to części różnej z lewej i

z prawej strony. Obliczmy najpierw wartość i położenie wektora parcia działającego z lewej strony.

Ciśnienie na poziomie środka ciężkości oblanej części ściany po lewej stronie:

2

hgp 1

Siła parcia na ścianie o długości „L” (prostopadłej do płaszczyzny rysunku):

22

2

hg)Lh(pAP 1

11

Siła parcia działająca na jeden metr długości ściany (parcie jednostkowe):

m

N44145

2

381,91000

2

hg

L

P 2211

Wektor parcia znajduje się na poziomie środka ciężkości rozkładu ciśnienia hydrostatycznego, czyli

na 1/3 wysokości zanurzonej części ściany. Dla lewej strony jest to poziom określony współrzędną

m13

hz 1

1

Obliczymy teraz analogiczne parametry dla prawej strony ściany.

Ciśnienie na poziomie środka ciężkości oblanej części ściany po prawej stronie:

2

hgp 2

Siła parcia działająca na jeden metr długości ściany (parcie jednostkowe):

m

N7063

2

2,181,91000

2

hg

L

P 2222

Wektor parcia znajduje się na poziomie określonym współrzędną

m4,03

hz 2

2

Na pomocniczym rysunku są przedstawione rozkłady ciśnienia hydrostatycznego i wektory parcia

działającego z obu stron ściany. Wypadkowe parcie jednostkowe jest różnicą parć działających z obu

stron.

m

N37082

m

N7063

m

N44145

L

P

L

P

L

P 21

Moment przewracający ścianę (też odniesiony do jednostki długości ściany) określimy jako różnicę

momentów wywołanych przez wektory parć działających z obu stron ściany, względem jej podstawy.

m

)Nm(41320m4,0

m

N7063m1

m

N44145z

L

Pz

L

P

L

M2

21

1

Zad. 1.32

Jak duża siła parcia hydrostatycznego działa na widoczną ścianę zbiornika z wodą? Narysować

rozkład jednostkowych sił parcia wzdłuż wysokości ściany. Długość ściany wynosi 6 m.

23

Odpowiedź: P = 117720 N

Zad. 1.33

Na rysunku jest przedstawiony w dwóch rzutach otwarty zbiornik z wodą. Wymiary liniowe są podane

w milimetrach. Obliczyć parcie hydrostatyczne na pochyloną ścianę zbiornika.

Odpowiedź: P = 3,69 kN

Zad. 1.34


w milimetrach. Obliczyć parcie hydrostatyczne na pokrywę włazu znajdującego się u dołu zbiornika.


Zad. 1.35


w milimetrach. Obliczyć parcie hydrostatyczne na pokrywę włazu znajdującego się u dołu zbiornika.


24

Zad. 1.36

Jedna ze ścian otwartego zbiornika wody jest zaokrąglona cylindrycznie, a jej promień r = 1 m.

Obliczyć parcie na tę ścianę i kąt nachylenia wektora parcia do poziomu, wiedząc że głębokość wody

jest równa r.

Odpowiedź: P = 16440 N; α = 57,5˚

Zad. 1.37

Do widocznego otwartego cylindrycznego naczynia (wymiary podane w milimetrach) wlano 100 dm3

wody. Sprawdzić, czy woda wypełniła naczynie. Obliczyć siłę parcia hydrostatycznego działającego

na pokrywkę P przyklejoną w środku dna.


Zad. 1.38

Cylinder o średnicy D = 0,6 `m jest napełniony wodą. Jak duża siła F powinna działać na tłok, żeby

woda w otwartym przewodzie P znajdowała się na granicy przelewania?

Odpowiedź: Fmin= 832 N

Zad. 1.39

Otwarte naczynie w kształcie odwróconego ostrosłupa prawidłowego o podanych wymiarach zostało

napełnione wodą. Obliczyć parcie hydrostatyczne działające na jedną ścianę naczynia.

25


Zad. 1.40

Do otwartego naczynia w kształcie odwróconego klina o dwóch ścianach pionowych, o podstawie

kwadratowej 1m1m i wysokości równej 1m, nalano wody do połowy pojemności. Obliczyć parcie

hydrostatyczne na każdej ścianie naczynia.

Odpowiedź: P =: 2742 N, 578 N, 2742 N, 578 N

Zad. 1.41

Do otwartego stożkowego zbiornika o podanych wymiarach nalano wody do poziomu h. Obliczyć siłę

F, jaka obciąża śruby kołnierza K. Ciężar pokrywy wynosi 200 N.

Odpowiedź: F = 1163 N

Zad. 1.42

Zamknięty zbiornik walcowo-stożkowy jest wypełniony wodą. Jak duże siły działają na śruby

kołnierzy K1 i K2, gdy manometr M nie wykazuje nadciśnienia, a jak duże wówczas, gdy manometr

wykazuje 0,3 MPa nadciśnienia? Ciężar stożkowej części zbiornika wynosi 3000 N, zaś ciężar dolnej

pokrywy = 1000 N.

Odpowiedź:

Jeśli pn = 0: FK1 = 24,1 kN; FK2 = 83,6 kN

Jeśli pn = 0,3 MPa: FK1 = 259,7 kN; FK2 = 1026 kN

26

2. KINEMATYKA PŁYNÓW

Zad. 2.1

Elementy płynu przemieszczają się po okręgu, którego promień jest zaczepiony w początku układu

współrzędnych x-y i ma wymiar 4. Ruch odbywa się w kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu

wskazówek zegara), a prędkość obwodowa elementu jest równa 12. Napisać wyrażenia określające

składowe prędkości w funkcji współrzędnych x i y.

Rozwiązanie:

Na podstawie informacji podanych w treści zadania możemy narysować okrąg i na nim wektor

prędkości elementów płynu (wektor umieszczamy w dowolnym punkcie). Rzutując wektor v na

kierunki układu współrzędnych otrzymujemy składowe prędkości v:

sinvvx cosvvy

Jak łatwo zauważyć, można wyrazić funkcje kąta α w zależności od współrzędnych punktu

przyłożenia wektora v:

r

yvvx

r

xvv y

Jeśli do wyrażeń tych podstawimy wiadome wartości v i r, to otrzymamy:

y3y4

12vx x3x

4

12v y

Ruch odbywa się po okręgu, czyli jest ruchem płaskim. Prędkość w kierunku „z” jest wiec równa zeru.

Zatem ostatecznie możemy napisać:

y3vx x3v y 0vz

Zad. 2.2

Przepływ jest określony przez następujące ustalone składowe prędkości: vx = 4, vy = 0, vz = -2,5x.

Określić równanie linii prądu dla elementu płynu, który w pewnej chwili przechodzi przez punkt

(0, 9, 0). Wyznaczyć też położenie tego elementu po czasie Δt = 2 s.

Rozwiązanie:

Dysponując składowymi prędkości, możemy określić równanie linii prądu rozpoczynając od

różniczkowego równania linii prądu:

zyx v

dz

v

dy

v

dx

Wiadomo, że prędkość w kierunku y jest równa zero (ruch jest płaski), toteż musimy ograniczyć

równanie różniczkowe do dwóch składowych: „x” i „z”:

27

zx v

dz

v

dx

Podstawimy teraz wartości składowych prędkości:

x5,2

dz

4

dx

albo inaczej:

dxx2

5dz4

Po scałkowaniu otrzymujemy:

Cx4

5z4 2

Stałą całkowania wyznaczymy na podstawie informacji o współrzędnych punktu, przez który

przeszedł element płynu (0,0,0).

Cx4

5z4 2

C02

504 2 , stąd C=0

Ostatecznie równanie linii prądu w płaszczyźnie x-z ma postać:

2x16

5z

W kierunku „y” nie występuje ruch (vy = 0), więc współrzędna „y” linii prądu jest niezmienna:

9y

28

Drugim zagadnieniem jest znalezienie położenia (x, y, z) określonego elementu płynu po określonym

czasie. Pomocne będzie w tym celu wyrażenie definiujące elementarne przesunięcie, np. w kierunku x:

dt4dtvdx x

Całkując to równanie otrzymamy wartość przesunięcia x:

1Ct4x

Stała całkowania może być określona z warunku, że w chwili t=0 współrzędna położenia x była równa

zero.

1C00 , stąd 0C1

t4x

Po czasie t = 2 [sekundy] współrzędna „x” wynosi: 824x

Współrzędną „z” po tym samym czasie wyznaczymy z równania linii prądu:

20816

5x

16

5z 22

Współrzędna „y” jest niezmienna i wynosi 9.

Poszukiwane współrzędne wynoszą (8, 9, -20).

Zad. 2.3

Określić rodzinę linii prądu, wiedząc że przepływ jest opisany następującym ustalonym polem

prędkości: vx = -2y, vy = 2x, vz = 0

Rozwiązanie:

Rozpoczynamy od różniczkowego równania linii prądu:

zyx v

dz

v

dy

v

dx

Wobec faktu, że vz=0, pozostawiamy tylko dwa elementy równania i podstawiamy dane wyrażenia.

yx v

dy

v

dx ;

x2

dy

y2

dx

; 0dyy2dxx2

Całkując ostatnie równanie otrzymamy:

Cyx 22 ; .constz

Rozpoznajemy w tym równaniu równanie okręgu. Linie prądu stanowią więc rodzinę okręgów o

środku położonym w początku układu współrzędnych x-y. Zwrot obiegu po tych okręgach może być

znaleziony na podstawie np. danego wyrażenia vx = -2y. Wynika z niego, że dla dodatnich wartości

„y” składowa vx jest zwrócona w lewo, czyli ruch jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Zad. 2.4

Wyznaczyć linię prądu dla elementu płynu, który porusza się ruchem opisanym w zadaniu 3,

a w chwili t = 0 znajdował się w punkcie (4, 0, 0). Zapisać współrzędne tego punktu

w dowolnej chwili t.

Rozwiązanie:

W zadaniu 2.3 określiliśmy rodzinę linii prądu w postaci rodziny okręgów o równaniu:

29

Cyx 22

Wiedząc, że pewien element płynu przechodził w chwili t = 0 przez punkt (4, 0, 0), możemy

sprecyzować okrąg, po jakim wędruje ten element. Znajdźmy stałą C:

C04 22 ; stąd 24C

Równanie okręgu: 222 4yx

Zapisanie położenia punktu w dowolnej chwili jest możliwe po scałkowaniu wyrażenia opisującego

elementarne przesunięcie.

dty2dtvdx x

Posługując się znalezionym równaniem okręgu zapiszemy, że:

dtx42dx 22

Rozdzielając zmienne otrzymamy:

dt2x4

dx

22

W wyniku całkowania będzie:

Ct24

xsinarc

Wiemy, że w chwili t=0 było x=4, więc:

C024

4sinarc , stąd

21sinarcC

t224

xsinarc

)t2(cost22

sin4

x

Zależność współrzędnej „x” od czasu: )t2(cos4x

Zależność współrzędnej „y” od czasu określimy na podstawie równania okręgu.

)t2sin(4)t2(cos14)t2(cos44x4y 222222

Wiemy, że vz=0, więc współrzędna „z” nie zależy od czasu:

0dt0dtvdz z

Po scałkowaniu 'Cz

30

Wiadomo, że w chwili t=0 (jak też w każdej innej chwili) było z=0, więc C’=0

0 z

Poszukiwane wyrażenia mają postacie: )t2(cos4x , )t2sin(4y , 0 z

Zad. 2.5

Określić rodzinę linii prądu, wiedząc że przepływ jest opisany następującym ustalonym polem

prędkości:

vx = 6y, vy = -6x, vz = 0.

Odpowiedź: rodzina okręgów o równaniu x2 + y

2 = const., ruch w kierunku ujemnym.

Zad. 2.6

Wyznaczyć linię prądu dla elementu płynu, który porusza się ruchem opisanym w zadaniu 5,

a w pewnej chwili znajdował się w punkcie (4, 3, 0). Obliczyć prędkość liniową i kątową

elementów na tej linii.

Odpowiedź: okrąg x2 + y

2 = 5

2, z = 0; v = 30; ω = 6 rad/s

Zad. 2.7

Przepływ jest określony następującym polem prędkości: vx = πy, vy = -πx, vz = 2. Określić linie

prądu.

Rozwiązanie:

Składowe prędkości vx i vy są wzajemnie sprzężone ze współrzędnymi „y” i „x”, natomiast prędkość

w kierunku „z” jest stała. Rozważmy wiec najpierw ruch w płaszczyźnie x-y, pisząc odpowiednią

część różniczkowego równania linii prądu.

yx v

dy

v

dx ;

x

dy

y

dx

; 0dyydxx

Po scałkowaniu otrzymujemy:

'C2

y

2

x 22

Dzieląc obie strony równania przez π/2 otrzymamy:

222 Cyx

Łatwo z tego równania wywnioskować, że w płaszczyźnie x-y ruch odbywa się po okręgach, których

środek leży w początku układu współrzędnych.

Ponieważ prędkość vz jest stała, to ruch w kierunku „z” jest ruchem jednostajnym. Położenie

w kierunku „z” wyrazimy posługując się równaniem:

dt2dtvdz z

a po scałkowaniu: constt2z

Łącząc otrzymane wyrażenia stwierdzamy, że opisany ruch jest kombinacją ruchu po okręgu

w płaszczyźnie x-y i ruchu prostoliniowego w kierunku „z”, czyli jest ruchem po liniach śrubowych.

Zad. 2.8

31

Ile wynosi prędkość kątowa przepływu opisanego w zadaniu 7 w rzucie na płaszczyznę x-y? Jakie

będą w chwili t = ½ współrzędne elementu płynu, który w chwili t = 0 znajdował się w punkcie (0,

3, 0)?

Rozwiązanie:

Prędkość kątowa może być obliczona na podstawie prędkości liniowej w ruchu po okręgu. Prędkość

liniową obliczymy z sumy jej składowych:

ryxyxvvv 2222222y

2x

Prędkość kątowa: r

v

Współrzędne punktu, w którym znajdzie się element płynu po określonym czasie, obliczamy

posługując się całkowaniem elementarnych przesunięć w czasie t. Weźmy pod uwagę kierunek „x”.

dtydtvdx x

Ze względu na późniejsze całkowanie, dobrze byłoby pozbyć się zmiennej „y”. Posługując się

znalezionym równaniem okręgu zapiszemy, że:

22 xry

dtxrdx 22

Rozdzielając zmienne otrzymamy:

dtxr

dx

22

Całkujemy teraz to równanie.

Ctr

xsinarc

Wiemy, że w chwili t=0 było x=0, y=3, więc:

- promień okręgu, po którym przemieszcza się element w płaszczyźnie x-y:

330yxr 2222

- stała całkowania wynika z warunku C00sinarc , stąd 0C

tr

xsinarc

)tsin(r

x

)tsin(rx

Teraz już możemy wyznaczyć współrzędną „x” położenia elementu płynu po czasie t=1/2

32

sin3)tsin(rx

Współrzędną „y” znajdziemy z równania okręgu

033xry 2222

Współrzędną „z” określimy na drodze całkowania elementarnych przesunięć w kierunku „z”.

32

dt2dtvdz z

'Ct2z

Ponieważ w chwili t=0 było z=0, więc C’=0, a w konsekwencji: t2z

Dla chwili t=1/2 otrzymujemy: 1z

Poszukiwane współrzędne wynoszą (3, 0, 1).

Zad. 2.9

Przepływ jest określony następującym polem prędkości: vx = 4y, vy = -x, vz = 0. Określić linię prądu

dla elementu płynu, który w pewnej chwili znajdował się w punkcie (0, 1, 0)

Odpowiedź: elipsa o półosiach: a = 2, b = 1, położona w początku układu współrzędnych x-y.

Zad. 2.10

Przepływ jest określony następującym polem prędkości: vx = 0, vy = 3y, vz = -3z. Określić linię prądu

dla elementu płynu, który w pewnej chwili znajdował się w punkcie (0, 2, 2).

Odpowiedź: hiperbola o równaniu y·z = 4; element zbliża się asymptotycznie do osi y.

Zad. 2.11

Pompa napełnia widoczny zbiornik wodą. Pojemność zbiornika wynosi 500 dm3 . Prędkość przepływu

w przewodzie tłocznym PT wynosi 2 m/s. Wewnętrzna średnica tego przewodu jest równa 18 mm .

Jak długo trwa napełnianie zbiornika od stanu pustego?

Rozwiązanie:

Zgodnie z definicją, objętościowe natężenie przepływu jest stosunkiem przyrostu objętości cieczy

(w naczyniu) do czasu, w jakim ten przyrost nastąpił. W wypadku napełniania od stanu pustego można

wyrazić objętościowe natężenie przepływu jako iloraz pojemności naczynia i czasu jego napełniania t:

t

VV

Tak więc czas napełniania zbiornika wynika z ilorazu pojemności zbiornika V i objętościowego

natężenia dopływu V . Wiadoma jest pojemność zbiornika, ale natężenia przepływu nie znamy.

Trzeba je obliczyć na podstawie prędkości przepływu w przewodzie tłocznym i pola przekroju tego

przewodu, przy czym musimy pamiętać o zapisie w jednostkach układu SI (wymiary liniowe

w metrach).

s

m10089,5

4

018,02

4

dvAvV

34

22

Czas napełniania zbiornika wyniesie:

s22.min16s98210089,5

5,0

V

Vt

4

33

Zad. 2.12

Naczynie o pojemności 60 dm3 napełnia się wodą w ciągu 2 minut. Wyznaczyć objętościowe

i masowe natężenie wypływu wody z przewodu zasilającego. Wyznaczyć też średnią prędkość

przepływu wody przez ten przewód, wiedząc że jego średnica wewnętrzna wynosi 20 mm.

Odpowiedź: V = 5·10-4

m3/s, m = 0,5 kg/s, v = 1,59 m/s .

Zad. 2.13

Masowe natężenie wypływy wody z wylewki W wynosi 0,1 kg/s. Średnica przelotu w wylewce d = 12

mm . Średnica otworu w naczyniu D = 16 mm . W czasie obserwacji nie zauważono zmiany poziomu

wody w naczyniu. Obliczyć objętościowe natężenie wypływu wody z naczynia, prędkość wypływu

z naczynia i prędkość wody w wylewce.

Rozwiązanie:

To, że poziom wody w naczyniu nie zmienia się, jest dowodem na to, że masowe natężenie przepływu

w wylewce jest takie samo, jak w otworze w naczyniu. Ponieważ rozpatrywanym płynem jest woda,

czyli ciecz praktycznie nieściśliwa, można uznać, że również objętościowe natężenia przepływu

w wylewce i w otworze są takie same. Obliczmy to objętościowe natężenie przepływu, przyjmując

gęstość wody równą 1000 kg/m3 :

s

m101

1000

1,0mV

34

Prędkość wypływu wody z naczynia można obliczyć na podstawie objętościowego natężenia

przepływu i pola przekroju otworu. Musimy pamiętać przy tym o wyrażeniu średnicy D w metrach.

s

m497,0

016,0

4101

D

4V

A

Vv

2

4

2D

D

Prędkość wypływu wody z wylewki obliczymy podobnie, z tą tylko różnicą, że oprzemy się na

średnicy przelotu wylewki d.

s

m884,0

012,0

4101

d

4V

A

Vv

2

4

2d

d

Zad. 2.14

Obliczyć prędkość v gazu przepływającego przez rurociąg, wiedząc że prędkość jego przepływu przez

turbinę przepływomierza vt wynosi 32 m/s. Założyć niezmienną gęstość gazu.

34

Rozwiązanie:

Działanie przepływomierza polega na wykorzystaniu energii płynącego gazu do napędzania małej

turbiny, osadzonej w odpowiednim korpusie. Korpus turbiny zajmuje pewną część przekroju kanału,

więc gaz jest zmuszony do „przeciśnięcia” się między korpusem turbiny a korpusem zewnętrznym. To

powoduje chwilowe zwiększenie prędkości gazu.

W analizie zmian prędkości przepływu obowiązuje prawo zachowania masy. Oznacza to, że taka sama

jest masa gazu przepływającego w czasie Δt przez przekrój kołowy o średnicy D = 98 mm, jak i przez

przekrój pierścieniowy wokół korpusu turbiny o wymiarach D/d = 98/60 mm (pomijamy przy tym

obecność cienkich łopatek turbiny w tym polu).

tmm ; tvAtvA ttt

Przy założeniu niezmiennej gęstości gazu uprościmy równanie do postaci:

tt vAvA

(Ten zapis wyraża niezmienność objętościowego natężenia przepływu)

t

222

v4

dDv

4

D

Z tego równania obliczymy prędkość v.

s

m20

98

6098

s

m32

D

dDvv

2

22

2

22

t

Zad. 2.15

Kolektor o średnicy D = 200 mm przyjmuje wodę z dwóch przewodów o średnicy d = 120 mm.

Prędkość przepływu w przewodzie „a” wynosi 2 m/s, zaś w przewodzie „b” 1,4 m/s. Przewodem „c” o

średnicy dc = 150 mm jest odbierana woda w ilości 0,015 m3/s. Obliczyć natężenie i prędkość

przepływu w kolektorze w przekrojach 1 i 2. Założyć, że przewody są wypełnione wodą w całym

przekroju.

Rozwiązanie:

Na rysunku widzimy rozgałęziony układ przewodów. Zasadnicze równanie dla takiego układu

stanowi, że suma masowych natężeń dopływu jest równa sumie masowych natężeń odpływu.

35

W wypadku wody (ciecz praktycznie nieściśliwa) możemy zamiast natężeń masowych użyć natężeń

objętościowych.

Jeśli interesuje nas natężenie przepływu w przekroju „1” kolektora, to odpowiednie równanie ma

postać:

ba1 VVV

albo inaczej, z użyciem iloczynów przekrojów i prędkości:

b

2

a

2

bbaa1 v4

dv

4

dvAvAV

s

m0385,04,12

4

12,0vv

4

dV

32

ba

2

1

Średnia prędkość przepływu w przekroju „1”:

s

m225,1

2,0

40385,0

D

4V

A

Vv

22

1

1

1

Przekrój „2” znajduje się za rozgałęzieniem przewodów, więc przepływ w nim będzie zmniejszony o

tę ilość wody, która odpłynie przewodem „c”. Możemy napisać równanie wiążące przepływy

w przekrojach „1”, „2” i w przewodzie „c”, ale możemy również napisać równanie dla całego układu.

Poniżej jest wykorzystane równanie napisane dla całego układu:

bac2 VVVV

cba2 VVVV

cba

2

cb

2

a

2

2 Vvv4

dVv

4

dv

4

dV

s

m0235,0015,04,11

4

12,0V

32

2

Średnia prędkość w przekroju „2” wynosi:

s

m746,0

2,0

40235,0

D

4V

A

Vv

22

2

2

22

Zad. 2.16

Kolektor o średnicy D = 300 mm odbiera powietrze z pięciu kanałów o średnicy d = 150 mm.

Prędkości przepływu w kanałach wynoszą: va= 12 m/s, vb= 16 m/s. Obliczyć natężenie i średnią

prędkość przepływu w kolektorze w przekrojach 1 ÷ 5, zakładając niezmienną gęstość powietrza.

Odpowiedź:

1V = 212, 2V = 495, 3V = 778, 4V = 990, 5V = 1202 dm3/s;

v1 = 3 , v2 = 7 , v3 = 11 , v4 = 14 , v5 = 17 m/s.

36

Zad. 2.17

Strumień cieczy o natężeniu przepływu 480 dm3/min płynący w kanale o średnicy 80 mm łączy się ze

strumieniem 270 dm3/min płynącym w kanale o średnicy 60 mm. Ile powinna wynosić średnica kanału

wspólnego, jeśli jest wymagane utrzymanie w nim prędkości nie większej, niż w którymkolwiek

z tych dwóch kanałów? Założyć, że przewody są wypełnione wodą w całym przekroju.

Odpowiedź: D = 100 mm.

Zad. 2.18

Pojemniki P o kształcie zamkniętego cylindra są przesyłane pneumatycznie w rurociągu o średnicy

wewnętrznej 43 mm. Prędkość przepływu powietrza w rurociągu v jest równa 15 m/s, zaś zmierzona

prędkość podnoszenia pojemnika u wynosi 10 m/s. Ile wynosi prędkość powietrza w szczelinie

między pojemnikiem a ścianką rurociągu, liczona względem ścianki (vs) oraz względem pojemnika

(vp)? Pominąć zmiany gęstości powietrza.

Rozwiązanie:

W dużym oddaleniu od pojemnika prędkość przepływu jednolitego strumienia powietrza w rurociągu

wynosi v, ale w otoczeniu pojemnika stwierdzamy jednoczesne występowanie dwóch strumieni

powietrza: jeden strumień popycha pojemnik, czyli przemieszcza się z jego prędkością (oznaczmy ją

„u”), zaś drugi strumień „przeciska” się wokół pojemnika z prędkością bezwzględną vs i wyprzedza go

(patrz - rysunek pomocniczy). Zapiszmy równanie ciągłości przepływu z założeniem niezmiennej

gęstości powietrza.

s

2222

v4

dDu

4

dv

4

D

Z tego równania możemy wyznaczyć prędkość bezwzględną powietrza w szczelinie vs.

s

m8,32

038,0043,0

10038,015043,0

dD

udvDv

22

22

22

22

s

Prędkość powietrza w szczelinie względem pojemnika wyznaczymy jako różnicę prędkości.

s

m8,22108,32uvv sp

37

3. DYNAMIKA PŁYNÓW DOSKONAŁYCH

Zad. 3.1

Jak duże nadciśnienie powinno panować wewnątrz przedstawionego zbiornika, ażeby wypływało

z niego 1,5 m3 gazu na sekundę? Przyjąć, że gęstość gazu wynosi 0,8 kg/m

3.

Rozwiązanie:

Energia potencjalna ciśnienia gazu zawartego w zbiorniku może przemienić się w energię kinetyczną

wypływu tego gazu. Bilans energii wyraża równanie Bernoulliego. Ponieważ zagadnienie dotyczy

ciśnienia, wygodniej będzie zastosować tę postać równania, która wyraża energię jednostki objętości

płynu.

22

22

11

21 zgp

2

vzgp

2

v

Przekrój (1) obieramy w głębi zbiornika na poziomie osi, natomiast przekrój (2) – w miejscu wylotu

gazu do otoczenia.

Podstawienia do równania Bernoulliego:

średnia prędkość gazu w przekroju (1): v1 ≈ 0 ;

ciśnienie absolutne w przekroju (1): p1 = pat+pn (pn jest poszukiwanym nadciśnieniem);

wysokość „z” usytuowania przekroju (1) i przekroju (2) jest taka sama, ponadto należy

zauważyć, że w wypadku gazu znaczenie wysokości jest znikome;

ciśnienie absolutne za wylotem (w przekroju 2) p2 = pat ;

prędkość gazu w miejscu wypływu (v2) musi być znaleziona z innego warunku.

Po wprowadzeniu aktualnych uproszczeń równanie Bernoulliego przyjmie następującą postać:

at

22

nat p2

vpp

2

vp

22

n

Prędkość wylotowa gazu musi być taka, żeby zapewnić wypływ 1,5 m3 na sekundę. Jest to

objętościowe natężenie przepływu. Przy znanej średnicy otworu wylotowego obliczamy prędkość:

s

m22,21

)m3,0(

s/m5,14

d

V4

A

Vv

2

3

22

Zatem wymagane nadciśnienie w zbiorniku wynosi:

Pa180m

N180

2

)s/m22,21(m/kg8,0

2

vp

2

2322

n

38

Zad. 3.2

Obliczyć prędkość wypływu i wydatek powietrza wypływającego z rury przez widoczny otwór.

W rurze panuje nadciśnienie równe 0,375 kPa. Przyjąć, że gęstość powietrza wynosi 1,2 kg/m3.

Odpowiedź: v = 25 m/s, V = 49 dm3/s

Zad. 3.3

W wyniku zasysania powietrza z atmosfery do rury o średnicy d = 200 mm, woda w rurce szklanej R

podłączonej do otworu w ściance rury podniosła się do wysokości h = 80 mm. Obliczyć objętościowe

natężenie przepływu powietrza. Przyjąć gęstość powietrza równą 1,2 kg/m3. Pominąć ciężar słupka

powietrza w rurce.

Rozwiązanie:

Zachowanie się słupka cieczy w rurce szklanej wskazuje na to, że ciśnienie w przepływającym

powietrzu jest mniejsze, niż ciśnienie atmosferyczne. To zmniejszenie ciśnienia wynika z przemiany

pewnej części energii ciśnienia w energię kinetyczną. Niezmienność sumy energii jest opisana

równaniem Bernoulliego.

22

22

11

21 zgp

2

vzgp

2

v

Przyjmijmy przekrój (1) daleko przed wlotem do rury ssawnej, zaś przekrój (2) w tym miejscu, gdzie

znajduje się rurka pomiarowa.


średnia prędkość powietrza w przekroju (1): v1 ≈ 0 ;

ciśnienie absolutne w przekroju (1): p1 = pat

wysokość „z” usytuowania przekroju (1) i przekroju (2) jest taka sama, ponadto należy

pamiętać, że w wypadku gazu znaczenie wysokości jest znikome;

ciśnienie absolutne w przekroju (2) musi być określone na podstawie obserwacji cieczy

w rurce szklanej.


2

22

at p2

vp

,

z której możemy wyznaczyć prędkość v2

2at2 pp2

v

(*)

39

Zajmijmy się teraz tym, co zaszło w rurce szklanej. Dla poziomu lustra cieczy w naczyniu możemy

napisać równanie równowagi statycznej, biorąc pod uwagę z jednej strony ciśnienie na powierzchni

swobodnej cieczy, a z drugiej strony ciśnienie wewnątrz rurki szklanej. Gęstość wody oznaczamy

symbolem ρw.

hgpp w2at

hgpp w2at

To wyrażenie możemy podstawić do wcześniej uzyskanej zależności (*) i obliczyć prędkość v2.

s

m17,3608,081,91000

2,1

2hg

2v w2

Dysponując informacją o średnicy kanału i zakładając, że obliczona prędkość jest jednakowa w całym

przekroju, możemy obliczyć objętościowe natężenie przepływu.

AvV 2

s

m14,1

4

2,017,36

4

dvV

322

2

Zad. 3.4

Obliczyć prędkość przepływu powietrza w osi kanału, wiedząc że różnica poziomów wody w rurce

Pitota wynosi z = 35 mm. Przyjąć gęstość powietrza równą 1,2 kg/m3. Porównać wynik uzyskany przy

uwzględnieniu ciśnienia statycznego słupków powietrza zawartego w rurce oraz bez uwzględnienia

tego ciśnienia.

Odpowiedź: v = 23,9 m/s

Zad. 3.5

Jakiej różnicy poziomów wody należy się spodziewać w rurce manometru, jeśli natężenie przepływu

powietrza przedstawioną przez zwężkę wynosi 0,5 m3/s?

Przyjąć gęstość powietrza 1,2 kg/m

3.

Pominąć ciężar słupków powietrza w manometrze.

Odpowiedź: H = 232 mm

40

Zad. 3.6

Obliczyć objętościowe natężenie przepływu powietrza w przedstawionym kanale, wiedząc że różnica

poziomów na manometrze wodnym wynosi H = 90 mm. Przyjąć gęstość powietrza równą 1,2 kg/m3 .

Pominąć ciężar słupków powietrza zawartego w rurce manometru.

Rozwiązanie:

W zwężeniu kanału następuje zwiększenie prędkości przepływu, czyli wzrost energii kinetycznej.

Musi to się odbyć kosztem energii innego rodzaju energii (suma energii ma pozostać niezmienna).

Korzystamy z równania Bernoulliego.

22

22

11

21 zgp

2

vzgp

2

v

Przyjmijmy przekrój (1) w przekroju odpowiadającym lewej gałęzi manometru, zaś przekrój (2)

w przekroju odpowiadającym jego prawej gałęzi.

Jedyne uproszczenie w powyższym zapisie wynika ze spostrzeżenia, że środki przekrojów (1) i (2)

znajdują się na tym samym poziomie.

21 zz

Z równania Bernoulliego otrzymujemy:

2121

22 ppvv

2

(*)

Różnicę ciśnień (p1 - p2) łatwo określimy na podstawie wskazania wodnego manometru. Wystarczy

w tym celu zapisać równanie równowagi wody na poziomie niższego menisku.

Hgpp w21

czyli Hgpp w21

Podstawiając to do równania (*) otrzymamy:

Hgvv2

w21

22

(**)

Nie jesteśmy jeszcze w stanie wyznaczyć prędkości v1 ani v2 , gdyż obydwie są niewiadomymi.

Potrzebne jest jeszcze jedno równanie. Będzie nim równanie ciągłości przepływu. Przy niezmiennej

gęstości powietrza, równanie to określa równość objętościowego natężenia przepływu w przekrojach

(1) i (2).

4

dv

4

dv

22

2

21

1

z równania tego otrzymamy:

41

2

1

221

d

dvv

co możemy podstawić do (**)

Hgd

dvv

2w

4

1

222

22

Z tego wyrażenia obliczamy prędkość v2 .

s

m62,39

1

5,012,1

09,081,910002

d

d1

Hg2v

44

1

2

w2

Zatem możemy już obliczyć objętościowe natężenie przepływu. Mnożymy w tym celu obliczoną

prędkość w przekroju (2) przez pole powierzchni tego samego przekroju.

s

m0778,0

4

05,092,36

4

dvAvV

3222

222

Uwaga: Równie dobrze moglibyśmy obliczyć prędkość w przekroju (1) i pomnożyć przez pole

powierzchni przekroju (1).

Zad. 3.7

Obliczyć średnią prędkość powietrza na wylocie z przedstawionego kanału do atmosfery, wiedząc że

wskazanie manometru wodnego wynosi z = 200 mm. Przyjąć gęstość powietrza równą 1,2 kg/m3.

Pominąć ciężar słupków powietrza zawartego w rurce manometrycznej.

Odpowiedź: v = 58 m/s

Zad. 3.8

Otwór, przez który woda wypływa ze zbiornika, ma średnicę wewnętrzną równą 35 mm. Jaka różnicę

poziomów „z” należy utrzymywać, żeby w ciągu minuty wypływało 240 dm3 wody?

Rozwiązanie:

Przyczyną ruchu wody (wypływu ze zbiornika) jest energia potencjalna wody, uzyskana dzięki

określonej wysokości lustra cieczy ponad otworem wypływowym. Przemiana energii potencjalnej

42

w energię kinetyczną odbywa się bez zmiany całkowitej ilości energii, co wyraża równanie

Bernoulliego. Skorzystamy z tego równania w celu obliczenia właściwej wysokości „z”. Ponieważ

zagadnienie dotyczy wysokości, wygodniej będzie zastosować tę postać równania, która wyraża

energię jednostki masy płynu.

22

22

11

21 z

g

p

g2

vz

g

p

g2

v

Przekrój (1) przyjmiemy na poziomie lustra cieczy, zaś przekrój (2) tuż za otworem wypływowym.

Poziom odniesienia przyjmiemy na poziomie otworu wypływowego.


prędkość wody w przekroju (1): v1 ≈ 0 ;

ciśnienie absolutne w przekroju (1): p1 = pat;

wysokość „z1” (nad poziomem odniesienia) jest równa „z”;

wysokość położenia otworu wypływowego „z2” (nad poziomem odniesienia) jest równa zero;

ciśnienie absolutne w przekroju (2) p2 = pat = p1;

prędkość wody w miejscu wypływu (v2) musi być znaleziona z podanej wartości wydatku.


g2

vz

22

Prędkość wypływu musi być taka, żeby zapewnić wypływ V = 240 dm3 na minutę. Przeliczając na

jednostkę układu SI otrzymamy V = 4·10-3

m3/s. Przy znanej średnicy otworu wypływowego

obliczamy prędkość:

s

m16,4

)m035,0(

s/m1044

d

V4

A

Vv

2

33

22

Zatem właściwa różnica poziomów wynosi:

m88,081,92

16,4z

2

Zad. 3.9

Otwór, przez który wypływa woda z przedstawionej kolumny, ma średnicę wewnętrzną równą 40 mm.

Jaka jest prędkość wypływu i jak duże objętościowe natężenie wypływu w chwili, gdy poziom wody

jest w oznaczonym miejscu? Wymiary są podane w milimetrach.

43

Odpowiedź: v = 3,96 m/s, V = 5 dm3/s.

Zad. 3.10

Woda przepływa między otwartymi zbiornikami kanałem widocznym na rysunku. Obliczyć średnią

prędkość wody w tym kanale przy podanych położeniach luster wody, pomijając opory przepływu.

Odpowiedź: v = 9,9 m/s .

Zad. 3.11

Woda przepływa z jednego otwartego zbiornika do drugiego przez lewar. Średnica przelotu = 30 mm.

Wyznaczyć objętościowe natężenie przepływu przy podanej różnicy poziomów luster wody. Obliczyć

też ciśnienie absolutne w najwyższym punkcie lewara, przyjmując że ciśnienie atmosferyczne wynosi

1 bar. Opory przepływu pominąć.

Odpowiedź: V = 5,4 dm3/s, p = 60,76 kPa .

Zad. 3.12

Woda wypływa z otwartego zbiornika przez kanał składający się z dwóch odcinków o średnicach D =

30 mm i d = 20 mm. Obliczyć prędkość wody w obu odcinkach oraz ciśnienie w kanale o średnicy D,

wiedząc że H = 4 m. Przyjąć wartość ciśnienia atmosferycznego 981 hPa. Pominąć opory przepływu.

Rozwiązanie:

Wypływ wody przez otwór wylotowy (o średnicy d) jest spowodowany spiętrzeniem jej do poziomu

H, a prędkość tego wypływu może być wyznaczona za pomocą równania Bernoulliego, napisanego

dla przekrojów (1) i (3). Wynika z tego, że obecność kanału o pośredniej średnicy D nie ma znaczenia.

44

33

23

11

21 z

g

p

g2

vz

g

p

g2

v

Za poziom odniesienia przyjmiemy poziom otworu wylotowego.


prędkość wody w przekroju (1): v1 ≈ 0 ;


wysokość „z1” (nad poziomem odniesienia) jest równa H;

wysokość położenia otworu wypływowego „z3” (nad poziomem odniesienia) jest równa zero;

ciśnienie absolutne w przekroju (2) p3 = pat;


g2

vH

23

s

m85,8481,92Hg2v3

Prędkość wody w odcinku kanału o średnicy D obliczymy na podstawie równania ciągłości

przepływu. Zakładając niezmienną gęstość wody napiszemy:

4

dv

4

Dv

2

3

2

2

s

m937,3

03,0

02,085,8

D

dvv

22

32

Obliczenie ciśnienia w kanale o średnicy D wymaga porównania całkowitej energii wody w przekroju

(2) i w którymś z pozostałych dwóch przekrojów. Wybierzmy do porównania przekrój (1).

22

22

11

21 z

g

p

g2

vz

g

p

g2

v


prędkość wody w przekroju (1), ciśnienie absolutne w przekroju (1) i wysokość „z1” - jak

zapisane wyżej;

wysokość położenia przekroju (2) „z2” (nad poziomem odniesienia) jest równa zero;

Po podstawieniach otrzymujemy:

g

p

g2

vH

g

p 222at

2

vHgpp

22

at2

Biorąc pod uwagę wcześniej obliczoną prędkość v2 otrzymamy:

Pa1295902

937,31000481,9100098100p

2

2

45

Zad. 3.13

Wyznaczyć chwilową prędkość i chwilowe natężenie wypływu wody z otwartego zbiornika przez

mały ostrokrawędziowy otwór. Dane: średnica otworu d = 10 mm, wysokość H = 2 m, współczynnik

prędkości α = 0,96 , współczynnik kontrakcji β = 0,75.

Rozwiązanie:

Słowo „chwilowe” użyte w treści zadania ma zwrócić uwagę na fakt, że prędkość wypływu wody

z ograniczonego zbiornika nie jest stała, ponieważ poziom lustra będzie coraz niższy. Możemy tylko

obliczyć chwilowe parametry wypływu przy określonym poziomie lustra.

Podane w treści zadania informacje o współczynnikach prędkości i kontrakcji wskazują na to, że

obliczenia powinny uwzględniać zjawiska zachodzące w otworze, a w tym pewną stratę energii.

Zacznijmy jednak od obliczeń nie uwzględniających strat, a podane współczynniki posłużą później

jako poprawki do wyników obliczeń.

Wypływ ze zbiornika następuje wskutek nacisku słupa wody znajdującej się ponad poziomem otworu.

W zależnościach fizycznych ten nacisk jest obrazowany przez energię potencjalną. Równanie energii

(równanie Bernoulliego) zapiszemy dla przekroju „1” wyznaczonego przez lustro cieczy (gdzie jest

maksymalna energia potencjalna), oraz dla przekroju „2” w miejscu wypływu do otoczenia (gdzie

występuje wypływ z poszukiwaną prędkością).

22

22

11

21 z

g

p

g2

vz

g

p

g2

v

Za poziom odniesienia wygodnie jest przyjąć poziom otworu wypływowego.


prędkość v1 jest pomijalnie mała;


wysokość „z1” względem poziomu odniesienia jest równa H;

prędkość v2 to poszukiwana prędkość wypływu;


wysokość „z2” względem poziomu odniesienia jest równa zero.

Po wprowadzeniu tych podstawień równanie Bernoulliego przyjmie następującą postać:

g2

vH

2

Z tej zależności można określić prędkość odpowiadającą idealnemu przetworzeniu energii:

Hg2v

W tym miejscu należy wprowadzić poprawkę uwzględniającą stratę energii w otworze, dzięki czemu

obliczymy prędkość rzeczywistą przy danej wysokości H:

s

m01,6281,9296,0Hg2vrz

46

Chwilowe objętościowe natężenie wypływu obliczymy korzystając z jeszcze jednej poprawki,

a mianowicie współczynnika kontrakcji (pozornego zmniejszenia otworu wypływowego).

s

m10354,0

4

01,001,675,0

4

dvAvV

33

22

rzrzrz

Zad. 3.14

Woda wypływa z widocznego otwartego zbiornika dwoma ostrokrawędziowymi otworami o średnicy

10 mm. Oznaczone wymiary wynoszą: H = 3 m, h = 0,2 m, k = 2 m. Obliczyć chwilowe objętościowe

natężenie wypływu przez górny i przez dolny otwór. Przyjąć w każdym otworze współczynnik

prędkości równy 0,97 a współczynnik kontrakcji równy 0,85 .

Odpowiedź: gV = 0,257 dm3/s; dV = 0,48 dm

3/s.

Zad. 3.15

W przedstawionym zbiorniku nad powierzchnią wody panuje nadciśnienie p = 1 bar utrzymywane za

pomocą sprężonego powietrza. Z jaką prędkością wypływa woda przez widoczny po prawej stronie

mały otwór ostrokrawędziowy, jeśli współczynnik prędkości = 0,95 ? Przyjąć wymiar K = 1,2 m.

Odpowiedź: vrz = 14,2 m/s

Zad. 3.16

W widocznym zbiorniku występują dwie nieszczelności (B i C), ale dzięki układowi zasilającemu

utrzymywane jest nadciśnienie p równe w miejscu pomiaru 0,3·105 Pa. Obliczyć, z jaką prędkością

wypływa woda przez nieszczelności, wiedząc że współczynnik prędkości w nich wynosi = 0,96 ? Ile

wody musi dostarczać układ zasilający w ciągu minuty dla zapewnienia stałego ciśnienia, jeśli pole

prześwitu każdej nieszczelności A = 4 mm2 ? Przyjąć wartość współczynnika kontrakcji β = 0,75 .

47

Rozwiązanie:

Obliczmy najpierw prędkość wypływu przez otwór górny. Jak zawsze w tego typu zagadnieniach,

punktem wyjścia jest równanie Bernoulliego, wyrażające równość sum energii w wybranych

przekrojach w warunkach idealnych. Obierzmy przekrój „1” na poziomie manometru (gdyż w tym

miejscu potrafimy określić energię potencjalną cieczy), zaś przekrój „2” w miejscu wypływu wody do

atmosfery (tam występuje poszukiwana prędkość).

22

22

11

21 z

g

p

g2

vz

g

p

g2

v

Za poziom odniesienia wygodnie jest przyjąć poziom manometru.



ciśnienie absolutne w przekroju (1): p1 = pat+p

wysokość „z1” względem poziomu odniesienia jest równa zero;

prędkość v2 to poszukiwana prędkość wypływu przez górny otwór vB;


wysokość „z2” względem poziomu odniesienia jest równa 0,5·D.


2

D

g2

v

g

p 2B


Dgp2

vB

Rzeczywista prędkość będzie wyznaczona po uwzględnieniu współczynnika prędkości:

s

m40,66,181,9

1000

30000296,0Dg

p2vB

Teraz zajmijmy się wypływem przez otwór dolny (C). Znowu użyjemy równania Bernoulliego, przy

czym obierzemy przekrój „1” na poziomie manometru (jak poprzednio), zaś przekrój „2” w miejscu

wypływu wody przez otwór „C”.

22

22

11

21 z

g

p

g2

vz

g

p

g2

v

Za poziom odniesienia przyjmijmy powtórnie poziom manometru.



48

ciśnienie absolutne w przekroju (1): p1 = pat+p

wysokość „z1” względem poziomu odniesienia jest równa zero;

prędkość v2 to poszukiwana prędkość wypływu przez dolny otwór vC;


wysokość „z2” względem poziomu odniesienia jest równa -0,5·D (ujemna).


2

D

g2

v

g

p 2C


Dgp2

vC

Rzeczywista prędkość będzie wyznaczona po uwzględnieniu współczynnika prędkości:

s

m35,86,181,9

1000

30000296,0Dg

p2vC

Skoro żądane jest zachowanie w zbiorniku stałego ciśnienia, to układ zasilający musi dostarczać wodę

z takim natężeniem dopływu, jakie jest natężenie wypływu przez nieszczelności. Obliczymy je

uwzględniając współczynnik kontrakcji.

s

m1043,410435,840,675,0AvvAvAvV

356

BABBrz

Pytanie dotyczyło ilości wody dostarczanej w ciągu minuty, więc musimy dokonać odpowiedniego

obliczenia.

3333

5 dm655,2m10655,2s60s

m1043,4tVV

Inaczej mówiąc, objętościowe natężenie dopływu wody musi wynosić 2,655 dm3/min.

Zad. 3.17

Z jaką prędkością wypływa woda z przedstawionego cylindra przez otwory B i C, jeśli siła F

działająca na tłok wynosi 1500 N, a współczynnik prędkości = 0,96 ? O jaki odcinek przesuwa się

tłok w ciągu minuty, jeśli pole przekroju każdego otworu A wynosi 3 mm2 ? Przyjąć współczynnik

kontrakcji β = 0,8.

Rozwiązanie:

Jeśli na tłok działa zewnętrzna siła F, a jednocześnie tłok ma pozostawać w stanie równowagi

statycznej, to woda musi działać na tłok z siłą parcia P=F. Musi to wywoływać w wodzie pewne

ciśnienie.

49

Wiadomo, że parcie na dowolną powierzchnię płaską jest iloczynem pola tej powierzchni i ciśnienia

hydrostatycznego w jej środku ciężkości. Tłok współpracuje z cylindrem, więc ma kształt kołowy.

Środek ciężkości powierzchni tłoka leży zatem na osi cylindra. Mamy więc możliwość obliczenia

ciśnienia w osi cylindra po na podstawie siły parcia i pola powierzchni tłoka.

Pa53056,0

15004

D

F4

A

Pp

22o

Prędkość wypływu przez otwory B i C określimy identycznie, jak w zadaniu 3.18

s

m087,26,081,9

1000

5305296,0Dg

p2vB

s

m90,36,081,9

1000

5305296,0Dg

p2vC

Wskutek tych nieszczelności, z cylindra ucieka woda z natężeniem wypływu:

s

m10436,110390,3087,28,0AvvAvAvV

356

BABBrz

Ubytek objętości wody w ciągu jednej minuty wynosi:

343

5rz m10615,8s60

s

m10436,1tVV

Ponieważ siła nacisku na tłok jest stała, to tłok będzie przesuwał się w prawo zachowując to samo

ciśnienie w cylindrze. Przesunięcie tłoka w ciągu minuty Δ musi być takie, żeby skompensować

ubytek wody. Wartość Δ obliczymy z warunku, że iloczyn przesunięcia tłoka i pola jego powierzchni

jest równy objętości utraconej wody.

V4

D2

mm05,3m1005,36,0

10615,84

D

V4 3

2

4

2

Zad. 3.18

W długiej pionowej rurze, otwartej u góry, jest wykonany otwór ostrokrawędziowy o średnicy 5 mm.

Oczekuje się, że będzie przez niego wypływać woda z natężeniem 6 dm3/min. Współczynnik

prędkości w otworze wynosi 0,96 , zaś współczynnik kontrakcji 0,8 . Ile powinno wynosić ciśnienie

hydrostatyczne na poziomie otworu? Jak wysoki powinien być słup wody w rurze ponad otworem?

Odpowiedź: p = 22 kPa ; H = 2,24 m .

50

Zad. 3.19

Wyznaczyć chwilową prędkość przepływu wody z lewej do prawej komory otwartego zbiornika

w trzech przedstawionych przypadkach. Wymiary wynoszą: H = 2 m , h = 1,2 m , w1 = 1 m ,

w2 = 0,2 m , w3 = 0,1 m. W każdym przypadku przyjąć współczynnik prędkości równy 0,98.


Zad. 3.20

W otwartym kanale o stałej szerokości płynie woda ze średnią prędkością 5 km/godz. W pewnym

miejscu na całej szerokości dna kanału znajduje się wzniesienie (garb) o wysokości g = 20 cm, co

powoduje lokalne obniżenie powierzchni wody. Wyznaczyć wymiar tego obniżenia h.

Rozwiązanie:

Jeżeli woda napotyka przeszkodę w postaci poprzecznego garbu, to jest zmuszona do zwiększenia

prędkości (musi być zachowane równanie ciągłości przepływu). Zwiększenie prędkości powoduje

zmniejszenie ciśnienia w wodzie (prawo zachowania energii) wskutek czego lokalnie „zapada się” jej

powierzchnia swobodna. Jak wynika z tego wywodu, rozwiązanie problemu jest oparte na spełnieniu

dwóch równań: równania Bernoulliego i równania ciągłości przepływu, dla przekroju (1) przed

przeszkodą i dla przekroju (2) w miejscu przeszkody, obydwóch związanych z powierzchnią

swobodną wody.

22

22

11

21 z

g

p

g2

vz

g

p

g2

v

Za poziom odniesienia przyjmijmy poziom lustra wody w oddaleniu od przeszkody.



wysokość „z1” jest równa zero (to jest poziom odniesienia);


wysokość „z2” (względem poziomu odniesienia) jest równa -h;


2

22

1

21 z

g2

vz

g2

v

albo inaczej hg2vv 21

22

51

Biorąc pod uwagę to, że szerokość kanału jest w każdym miejscu jednakowa, równanie ciągłości

przepływu zapiszemy następująco:

)hgH(vHv 21

Dwa ostatnie równania stanowią układ równań z dwiema niewiadomymi: v2 i h. Rozwiążmy te

równania. Z drugiego otrzymujemy:

h8,0

v

h2,01

1v

hgH

Hvv

1

112

Podstawiając to wyrażenie do pierwszego równania, otrzymamy:

hg2vh8,0

v 21

2

1

Z tego równania można wyznaczyć obniżenie powierzchni wody „h”:

21

21

v6,1g28,1

v36,0h

Wiedząc, że prędkość wody w oddaleniu od przeszkody v1 wynosi 5 km/h = 1,389 m/s, obliczymy:

mm73m073,0389,16,181,928,1

389,136,0h

2

2

Zad. 3.21

Określić minimalną wysokość H położenia lustra wody w otwartym zbiorniku A, przy której przepływ

tej wody przez zwężkę powoduje zasysanie cieczy o takiej samej gęstości z otwartego naczynia B.

Ciśnienie na wylocie z przewodu jest takie samo, jak nad zbiornikami. Opory przepływu pominąć.

Odpowiedź: Hmin = 0,5 m

Zad. 3.22

Wyznaczyć chwilową prędkość wypływu (przy aktualnej wysokości H) oraz czas całkowitego

opróżnienia otwartego cylindrycznego zbiornika przez otwór o średnicy ½ cala. Wymiary wynoszą:

H = 1,6 m , D = 1,2 m. Współczynnik prędkości ma wartość 0,98 , zaś współczynnik kontrakcji jest

równy 0,7.

52

Rozwiązanie:

Obliczenie aktualnej prędkości wypływu (przy podanej wysokości słupa wody H) zostało już

objaśnione poprzednio, np. w zadaniu 3.15.

s

m49,56,181,9298,0Hg2vrzH

Opróżnianie zbiornika jest zjawiskiem przebiegającym ze zmienną prędkością, ponieważ zmienna

(coraz mniejsza) jest wysokość słupa wody. Czas całkowitego opróżnienia zbiornika wymaga

scałkowania czasów elementarnych potrzebnych do wypływu elementarnych porcji wody.

Potrzebna będzie oś „z”, na której będzie odmierzany chwilowy poziom lustra cieczy. Niech oś „z”

będzie zaczepiona na poziomie dna i skierowana do góry.

Objętość cieczy, która wypłynęła w elementarnym czasie dt wynosi V ·dt, przy czym objętościowe

natężenie przepływu V jest zależne od chwilowej rzeczywistej prędkości wypływu vrz i od

skutecznego pola przekroju otworu. Oznaczmy to skuteczne pole symbolem „a”.

avV rz

Chwilowa rzeczywista prędkość wypływu vrz jest zależna od chwilowej wysokości słupa wody „z”.

zg2vrz

Skuteczne pole przekroju otworu wyrazimy jako iloczyn geometrycznego pola ao i współczynnika

kontrakcji β.

4

daa

2

o

Łącząc te wyrażenia, otrzymamy wzór określający chwilowe natężenie wypływu.

zg24

davV

2

rz

Z drugiej strony patrząc, można wyrazić objętość cieczy, która wypłynęła w elementarnym czasie,

jako iloczyn pola powierzchni lustra cieczy (oznaczonej „A”) i elementarnego przesunięcia tego lustra

dz. Ponieważ poziom lustra obniża się, to przyrosty dz są ujemne. W celu poprawnego wyrażenia

objętości przepływającej cieczy musimy odwrócić znak dz.

dz4

D)dz(AdtV

2

Podstawiając V z przedostatniej zależności do ostatniej, otrzymamy:

dz4

Ddtzg2

4

d 22

z czego po rozdzieleniu zmiennych wynika:

53

z

dz

g2d

Ddt

2

2

Całkowanie musimy przeprowadzić w następujących granicach:

- czas od 0 do T (tzn. do szukanego czasu całkowitego opróżnienia zbiornika)

- wymiar „z” od H do zera.

H

02

20

H2

2T

0 z

dz

g2d

D

z

dz

g2d

Ddt

H2g2d

Dz2

g2d

DT

2

2H

02

2

s743381,9

6,12

0127,0

2,1

7,098,0

1

g

H2

d

D1T

22

Czas opróżniania zbiornika ma wynosić 7433 s, czyli ok. 124 minut.

Zad. 3.23

Wyznaczyć chwilową prędkość wypływu (przy aktualnej wysokości H) oraz czas całkowitego

opróżnienia otwartego stożkowego zbiornika przez mały ostrokrawędziowy otwór o średnicy 7 mm.

Wymiary wynoszą: H = 0,4 m , D = 0,35 m , = 15. Współczynnik prędkości ma wartość 0,96 ,

zaś współczynnik kontrakcji jest równy 0,8.

Odpowiedź: v = 2,69 m/s; T = 1379 s 23 min.

Zad. 3.24

Wyznaczyć objętościowe i masowe natężenie wypływu wody z otwartego zbiornika przez duży

prostokątny otwór o wysokości b i szerokości 2b. Wymiary wynoszą: H = 1,5 m , h = 0,2 m ,

b = 0,35 m.

Odpowiedź: V = 0,658 m3/s; m = 658 kg/s.

54

Zad. 3.25

Wyznaczyć siłę, jaka działa na otwarte naczynie na skutek wypływu wody przez otwór o średnicy

d = 15 mm i o zaokrąglonym profilu, gdy wysokość słupa wody wynosi H = 40 cm.

Rozwiązanie:

Przyrost pędu masy cieczy wypływającej ze zbiornika musi wywoływać się reakcyjną skierowaną

przeciwnie do wektora przyrostu pędu.

)vv(VR 0

Ponieważ w tego typu zagadnieniach ważne jest właściwe określenie znaku wielkości obliczanej, dla

porządku ustanówmy oś poziomą (x) o określonym zwrocie, jak pokazano na rysunku. Jeśli prędkości

będą oznakowane zgodnie z biegiem tej osi, to i reakcja strumienia będzie oznakowana zgodnie z tym

biegiem. Prędkość początkowa cieczy v0 jest równa zero (dotyczy cieczy znajdującej się w naczyniu

z dala od otworu wypływowego). Prędkością końcową v jest prędkość uzyskana przez ciecz na

wylocie z otworu. Zgodnie z wiedzą o prędkości wypływu cieczy doskonałej przez otwór z łagodną

krawędzią możemy napisać:

Hg2v

Ciecz wypływa w stronę dodatniego kierunku osi x, więc znak tej prędkości musi być dodatni.

Objętościowe natężenie przepływu V przez otwór wyrazimy za pomocą prędkości i pola przekroju

otworu. W otworze z łagodną krawędzią nie powstaje zjawisko kontrakcji.

4

dHg2

4

dvAvV

22

Reakcja strumienia wynosi więc:

22

dHg2

)Hg20(4

dHg2R

N4,1015,04,081,910002

R 2

Ujemny znak reakcji strumienia wskazuje na to, że reakcja ta jest zwrócona w lewo. Należy więc

spodziewać się, że naczynie odjedzie na rolkach w lewo.

Zad. 3.26

Wyznaczyć siłę, jaka działa na naczynie na skutek wypływu wody przez otwór ostrokrawędziowy o

średnicy d = 15 mm, gdy wysokość słupa wody wynosi H = 0,4 m. Przyjąć współczynnik prędkości

równy 0,97 oraz współczynnik kontrakcji równy 0,7.

55

Odpowiedź: R = 0,91 N (w lewo)

Zad. 3.27

Otwarty zbiornik o masie m = 5 kg zawiera 70 litrów wody. Woda wypływa swobodnie przez otwór

o średnicy d2 = 20 mm , a jednocześnie jest dostarczana strumieniem o średnicy d1 = 10 mm z takim

natężeniem, że poziom wody w zbiorniku utrzymuje się na wysokości h = 30 cm. Obliczyć siłę

nacisku zbiornika na podpory (pozorny ciężar).

Rozwiązanie:

Przyjmijmy najpierw oś prędkości i sił (oś z), co pozwoli na właściwe określenie znaków sił.

Siła nacisku zbiornika na podpory (nazwijmy ją F) jest sumą następujących sił:

1) ciężaru zbiornika z wodą: VggmG

2) reakcji wody wpadającej do zbiornika z prędkością początkową v1 i zatrzymanej do prędkości

v0 = 0:

110111 vV)vv(VR

3) reakcji wody wypływającej ze zbiornika, której prędkość początkowa v0 = 0, zaś prędkość wypływu

oznaczymy v2:

222022 vV)vv(VR

Dodatnie znaki wymienionych sił oznaczają zgodność ich zwrotu z biegiem osi „z”. Nacisk zbiornika

na podpory wynosi:

2211 vVvVVggmF

Ponieważ zgodnie z założeniem poziom wody nie zmienia się, to :

56

21 VV , więc 4

dv

4

dv

22

2

21

1

2

1

221

d

dvv

Co po podstawieniu prowadzi do równania:

1

d

dvVVggm)vv(VVggmF

2

1

222212

Prędkość wypływu przez mały otwór (v2) określamy ze znanego już wzoru:

hg2v2 ,

zaś objętościowe natężenie przepływu przez ten otwór wynika z zależności:

4

dhg2

4

dvV

22

22

22

Ostatecznie siła nacisku na podpory wynosi:

1

d

ddhg

2VggmF

2

1

222

N741101,0

02,002,03,081,91000

207.081,9100081,95

2

2

Dodatni znak wyliczonej wartości oznacza, że wektor siły nacisku jest zgodny z biegiem osi „z”.

Łatwo obliczyć, że siła F jest większa od łącznego ciężaru zbiornika i wody. Oznacza to, że dodana

reakcja wody wpadającej jest większa, niż odjęta reakcja wody wypływającej. Dzieje się tak dlatego,

że mimo jednakowego natężenia dopływu i wypływu, prędkość wody wpadającej jest większa, niż

prędkość wody wypływającej (a reakcja cieczy jest proporcjonalna do natężenia przepływu i do

prędkości).

Zad. 3.28

Wiadro o pojemności 16 litrów i masie 1 kg jest napełniane wodą w czasie 10 s, przy czym wylot

z przewodu o średnicy 20 mm znajduje się na wysokości H = 1 m ponad wiadrem. Obliczyć nacisk

wiadra na podłoże w ostatniej chwili jego napełniania.

Odpowiedź: FN = 178 N

57

Zad. 3.29

Płyta o ciężarze 500 N i o środku ciężkości w punkcie określonym wymiarem L = 0,5 m , zawieszona

na poziomej osi, jest odpychana przez strumień wody o polu przekroju 7 cm2. Wskutek tego

oddziaływania płyta jest odchylona od pionu o kąt = 12. Obliczyć prędkość strumienia wody,

pomijając straty energii. Wymiar H wynosi 700 mm.

Rozwiązanie:

Prędkość strumienia wody decyduje o reakcji strumienia. Jeśli więc uda się nam określić wartość tej

reakcji, to będzie możliwe wyznaczenie prędkości wody.

Stan obciążenia płyty jest przedstawiony na szkicu. Symbol G oznacza ciężar płyty. Ponieważ

wiadomo, że jest to stan równowagi, to możemy napisać równanie momentów względem punktu O.

cos

HRsinLG n

wynika z tego, że składowa normalna reakcji strumienia musi być równa:

cossinH

LGRn

(*)

Z drugiej strony, składowa normalna reakcji strumienia jest określona zależnością:

)vv(VR n2n1n

Oznaczmy poszukiwaną prędkość strumienia przez v. Rzut prędkości strumienia na kierunek

normalny wynosi:

cosvv n1

Po uderzeniu w przeszkodę, rzut prędkości wody na kierunek normalny wynosi zero.

0v n2

Wobec tego składowa normalna reakcji strumienia wynosi:

cosvVR n

Ponieważ objętościowe natężenie przepływu spełnia zależność vAV (A oznacza przekrój

strumienia), to

cosvAR 2n (**)

58

Łącząc zależności (*) i (**) otrzymamy:

cossinH

LGcosvA 2

s

m3,1012sin

7,00007,01000

5,0500sin

HA

LGv

Z taką prędkością (teoretycznie) musi napływać woda.

Zad. 3.30

Płyta zawieszona jednym brzegiem na poziomej osi jest podtrzymywana przez strumień wody

wypływający z prędkością 15 m/s z przewodu o średnicy 20 mm. Środek ciężkości płyty znajduje się

w punkcie określonym wymiarem a = 0,25 m. Obliczyć ciężar płyty. Wymiary: b = 35 cm, h = 2 m.

Pominąć straty energii wywołane tarciem.

Odpowiedź: G = 89,9 N

Zad. 3.31

Woda wypływa z dyszy o średnicy 12 mm do góry z prędkością 8 m/s, unosząc płaską tarczę o masie

200 g. Na jakiej wysokości h tarcza pozostanie w równowadze? Pominąć straty spowodowane

tarciem.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia: średnica dyszy: d, początkowa prędkość strumienia wody: v1, masa tarczy: m.

Stan równowagi tarczy należy rozumieć w ten sposób, że siły działające na nią równoważą się. Siły te

to ciężar G i reakcja strumienia R. Ciężar tarczy jest niezmienny, ale reakcja strumienia jest zależna od

wysokości: im wyżej, tym mniejsza prędkość v2 wody uderzającej w tarczę i w konsekwencji mniejsza

reakcja strumienia. Na pewnym (poszukiwanym) poziomie h siły G i R zrównują swoje wartości i tam

ustabilizuje się położenie tarczy.

59

Ciężar tarczy wynosi gmG . Reakcja strumienia jest określona zależnością:

)vv(VR knn2

v2n oznacza składową normalną prędkości strumienia wody dolatującej do tarczy, zaś vkn składową

normalną prędkości tej samej wody po uderzeniu. Ponieważ tarcza jest ustawiona prostopadle do

kierunku strumienia, to składowa v2n jest równa prędkości strumienia dolatującego do tarczy v2. Po

uderzeniu woda rozpływa się symetrycznie na wszystkie strony w płaszczyźnie tarczy i wypadkowa

prędkość wody jest równa zero. Wobec tego vkn=0.

2vVR (*)

Objętościowe natężenie przepływu V określimy w miejscy wypływu wody z dyszy, gdzie znamy

zarówno średnicę otworu d, jak i prędkość v1

1

2

v4

dV

Prędkość v2 zależy od początkowej prędkości wypływu wody z dyszy v1 oraz od hamującego działania

grawitacji. Możemy obliczyć tę prędkość w oparciu o równość sumy energii strumienia wody na

poziomie wylotu z dyszy i na poziomie tarczy (za pomocą równania Bernoulliego):

hgp2

vp

2

vat

22

at

21

, stąd hg2vv 2

12

Podstawiając te wyrażenia do wzoru (*) otrzymamy:

hg2vv4

dR 2

11

2

Rozwiązanie uzyskamy po przyrównaniu tak określonej siły R do ciężaru tarczy G:

gmhg2vv4

d 211

2

Po odpowiednich przekształceniach można obliczyć wymiar h określający poziom równowagi.

m02,381000012,0

81,92,08

81,92

8

vd

gm8

g2

vh

2242

22

21

242

221

Zad. 3.32

Woda wypływa z dyszy o średnicy 12 mm do góry z prędkością 8 m/s, unosząc wklęsłą tarczę o masie

200 g. Kształt tarczy jest taki, że woda opuszczająca tarczę jest skierowana pionowo w dół. Na jakiej

wysokości h tarcza pozostanie w równowadze? Pominąć straty spowodowane tarciem.

60

Odpowiedź: h = 3,2 m

Zad. 3.33

Korytem o przekroju 0,2 m2 płynie woda z prędkością 4 m/s. Pomijając straty energii, obliczyć reakcję

cieczy na koryto (napór hydrodynamiczny) w miejscu zmiany kierunku przepływu.

Odpowiedź: S = 5077 N

Zad. 3.34

Do końca poziomego przewodu jest przymocowana śrubami dysza, zwiększająca prędkość wypływu

wody do atmosfery. Określić zwrot i wartość całkowitej siły działającej na dyszę, wiedząc że

nadciśnienie w przewodzie wynosi 5 barów. (Uwzględnić siły hydrostatyczne i hydrodynamiczne).

Wymiary średnic: D = 100 mm, d = 50 mm.

Rozwiązanie:

Dysza jest poddana działaniu następujących sił:

sił powierzchniowych, będących skutkiem ciśnień panujących na poszczególnych

powierzchniach,

reakcji strumienia wody, który doznaje zwiększenia prędkości między przekrojem wlotowym

a wylotowym.

Prędkości i ciśnienia są zilustrowane na szkicu. Z analizy ciśnień wynika, że tylko na powierzchni o

średnicy D panuje inne ciśnienie, niż na każdej innej powierzchni (występuje tu nadciśnienie Δp).

61

Gdyby nie było tego nadciśnienia, to wszystkie siły powierzchniowe musiałyby się zredukować,

niezależnie od kształtu ciała. (Nawet w najbardziej skomplikowanym przedmiocie, umieszczonym

w środowisku o jednakowym ciśnieniu w każdym punkcie, siły powierzchniowe znoszą się). Wobec

tego całkowita siła powierzchniowa działająca na dyszę może być obliczona z iloczynu nadciśnienia

na powierzchni o średnicy D i pola tej powierzchni.

2D4

pP

Naturalnie siła ta działa w prawo, ponieważ nadciśnienie występuje po lewej stronie dyszy.

Reakcję strumienia wyrazimy zależnością:

21x vvVRR

Całkowita reakcja strumienia R

jest skierowana wzdłuż osi x, ponieważ obydwie rozpatrywane

prędkości mają kierunki zgodne z osią x (nie występują prędkości w żadnym innym kierunku).

Interesuje nas całkowita siła F działająca na dyszę. Ważne jest takie przeprowadzenie obliczeń, żeby

uzyskać poprawną informację o zwrocie tej siły. Co do zwrotu siły R, to wiadomo, że zachowanie

reguł znakowania prędkości (względem osi x) jest gwarancją tego, że dodatnia wartość R będzie

oznaczać zwrot zgodny ze zwrotem osi x. Siła P jest zwrócona zgodnie ze zwrotem osi x (zostało to

wyżej ustalone), czyli jej dodatni znak jest poprawny. Możemy więc zbudować wyrażenie opisujące

całkowitą siłę F:

212 vvVD

4pF

Ponieważ prędkości v1 i v2 mają zwroty zgodne ze zwrotem osi x, to możemy napisać:

212 vvVD

4pF

Objętościowe natężenie przepływu możemy określić jako iloczyn prędkości v1 i pola przekroju

wlotowego o średnicy D.

1

221

22211

22

v

v1vD

4D

4pvvvD

4D

4pF

(*)

Nie znamy ani prędkości wlotowej, ani wylotowej. Musimy określić te prędkości na podstawie

informacji o nadciśnieniu przed dyszą. Posłużymy się równaniem Bernoulliego i równaniem ciągłości

przepływu.

Według równania Bernoulliego dla przekrojów D i d:

at

22

at

21 p

2

vpp

2

v

p2)vv( 21

22 (**)

Według równania ciągłości przepływu:

2

2

1

1

2

d

D

A

A

v

v

(***)

Łącząc równania (**) i (***) otrzymamy:

1d

D

p2v

4

21

62

Po podstawieniu tego wyrażenia oraz proporcji (***) do wzoru (*) uzyskamy wyrażenie

umożliwiające obliczenie siły F:

1d

D

21D

4pF

2

2

N2356

105,0

1,0

211,0

4500000F

2

2

Zauważmy, że w nawiasie wystąpił ujemny znak wyrażenia za jedynką. Oznacza to, że zwrot reakcji

strumienia jest przeciwny do zwrotu siły powierzchniowej, co jest zgodne z obserwacjami

praktycznymi (reakcja strumienia wypływającego z dyszy „stara się” odrzucić dyszę do tyłu). Jednak

w tym wypadku przeważa siła powierzchniowa P i gdyby nie śruby mocujące dyszę, nastąpiłoby

wyrzucenie dyszy wraz ze strumieniem wody.

Zad. 3.35

W poziomym rurociągu o średnicy d = 500 mm znajduje się kolano o kącie zagięcia = 30. Obliczyć

siłę wywieraną na to kolano przez wodę płynącą z natężeniem 600 dm3/s. Nadciśnienie w rurociągu

wynosi 1 bar.


Zad. 3.36

Obliczyć siłę naporu wody na kolano odwracające kierunek przepływu. Kolano leży w płaszczyźnie

poziomej. Średnica przewodu d wynosi 300 mm, nadciśnienie w przewodzie jest równe 0,03 MPa

a prędkość przepływu = 3 m/s.


63

4. DYNAMIKA PŁYNÓW LEPKICH

Zad. 4.1

Woda o temperaturze 10ºC przepływa rurą o średnicy wewnętrznej d = 0,2 m, wypełniając ją

w połowie. Natężenie przepływu jest równe 1 dm3/s. Określić charakter przepływu.

Rozwiązanie:

Charakter przepływu (laminarny czy turbulentny) określimy na podstawie liczby Reynoldsa. Liczbę tę

oblicza się według wzoru:

hdv

Re

gdzie v oznacza średnią prędkość przepływu, dh oznacza średnicę hydrauliczną strumienia, zaś ν jest

współczynnikiem lepkości kinematycznej cieczy.

Prędkość v obliczymy na podstawie podanego natężenia przepływu ( V = 1 dm3/s = 0,001 m

3/s) i

przekroju strumienia. Woda wypełnia rurę w połowie, więc pole przekroju strumienia wynosi:

222

m0157,04

2,0

2

1

4

d

2

1A

Prędkość średnia przepływu:

s

m0637,0

0157,0

001,0

A

Vv

W wypadku, kiedy strumień nie przepływa rurą o przekroju kołowym lub nie wypełnia jej w całości,

musimy obliczyć średnicę hydrauliczną według wzoru:

U

A4d h

gdzie A jest polem przekroju strumienia (jak wyżej), natomiast U oznacza tę część obwodu przekroju

kanału, która jest w kontakcie z cieczą. W analizowanym tu przypadku, ciecz kontaktuje się z kanałem

na połowie jego całkowitego obwodu wewnętrznego, więc:

m314,02,02

1d

2

1U

wobec tego m2,0314,0

0157,04dh

Współczynnik lepkości kinematycznej znajdziemy w tablicy 0.1 na podstawie temperatury wody.

W temperaturze 10ºC woda ma współczynnik lepkości kinematycznej równy 1,31·106 m

2/s. Możemy

już obliczyć liczbę Reynoldsa.

97251031,1

2,00637,0Re

6

64

Obliczona wartość wskazuje na to, że charakter przepływu jest niepewny (może być laminarny lub

turbulentny). Tylko przy wartości liczby Reynoldsa poniżej 2340 charakter przepływu jest na pewno

laminarny.

Zad. 4.2

Zamkniętym kanałem o podanych wymiarach wewnętrznych płynie woda o temperaturze 20ºC

z natężeniem przepływu wynoszącym 17,5 dm3/s. Obliczyć liczbę Reynoldsa dla tego przepływu

i określić jego charakter. Jak duże może być natężenie przepływu, jeśli miałby być zachowany jego

laminarny charakter?

Odpowiedź: Re = 40792 (przepływ raczej turbulentny); grV = 1 dm3/s.

Zad. 4.3

Zamkniętym kanałem o podanych wymiarach wewnętrznych płynie woda o temperaturze 20ºC

z prędkością średnią 0,1 m/s, przy czym wykorzystane jest tylko 90% przepustowości kanału.

Obliczyć liczbę Reynoldsa i określić charakter przepływu.

Odpowiedź: Re = 55200 (przepływ turbulentny).

Zad. 4.4

Otwartym kanałem trapezowym o podanych wymiarach (w metrach) płynie woda o temperaturze 40ºC

z natężeniem 2 m3/s. Określić liczbę Reynoldsa i charakter przepływu.

Odpowiedź: Re = 1,26·106 (przepływ turbulentny).

Zad. 4.5

Po nachylonej powierzchni spływa woda wskutek działania sił grawitacyjnych. Szerokość strumienia

b (prostopadła do płaszczyzny rysunku) wynosi 100 cm. Zakładając, że grubość strumienia płynu jest

niezmienna, ruch jest ustalony a przepływ laminarny, wyznaczyć rozkład prędkości i rozkład ciśnień

65

po grubości strumienia oraz objętościowe natężenie przepływu. Przyjąć współczynnik lepkości

kinematycznej wody 1 mm2/s oraz ciśnienie atmosferyczne 101 kPa. Sprawdzić, czy słuszne było

założenie dotyczące charakteru przepływu.

Rozwiązanie:

Problem rozkładu prędkości i ciśnienia w płynie lepkim może być rozwiązany za pomocą równań

Naviera-Stokesa. Przypomnijmy sobie pełną postać tych równań:

0z

v

y

v

x

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

x

p1X

2

x2

2

x2

2

x2

xz

xy

xx

x

0z

v

y

v

x

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

y

p1Y

2

y2

2

y2

2

y2

y

z

y

y

y

x

y

0z

v

y

v

x

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

z

p1Z

2

z2

2

z2

2

z2

zz

zy

zx

z

W rozpatrywanym zagadnieniu wygodnie będzie przyjąć przechylony układ wspólrzędnych, tak by

jedna z osi była pociągnięta wzdłuż kierunku przepływu, druga prostopadle do podłoża, a trzecia

w poprzek strumienia. Taki układ współrzędnych jest przedstawiony na rysunku poniżej.

W zgodzie z tym układem, opiszmy teraz zmienne należące do równań Naviera-Stokesa.

Jeśli jedyną masową siłą zewnętrzną jest siła grawitacji, to:

w kierunku x: singX

w kierunku y: 0Y

w kierunku z: cosgZ

Jeśli grubość strumienia płynu jest niezmienna, a jednocześnie na całej długości przepływu występuje

powierzchnia swobodna, na której ciśnienie jest równe atmosferycznemu, to nie ma powodu, żeby

ciśnienie wewnątrz strumienia zmieniało się w kierunku x.

0x

p

66

Skoro szerokość warstwy płynu jest znacznie większa od grubości, to zagadnienie można rozpatrywać

jako płaskie (w każdym przekroju równoległym do płaszczyzny x-z występuje taki sam przepływ),

więc nie wystąpią różnice ciśnienia w kierunku y. Wobec tego:

0y

p

Skoro zagadnienie jest rozpatrywane jako płaskie, a przepływ zachodzi w kierunku x, to nie wystąpią

składowe prędkości w innych kierunkach. Zatem:

0v,0v zy

0z

v,0

y

v,0

x

v,0

z

v,0

y

v,0

x

vzzzyyy

0z

v,0

y

v,0

x

v,0

z

v,0

y

v,0

x

v2

z2

2

z2

2

z2

2

y2

2

y2

2

y2

Skoro przekrój strumienia jest niezmienny, to składowa prędkości w kierunku x (vx) jest niezmienna

wzdłuż osi x. Ponieważ zagadnienie rozpatrujemy jako płaskie, to nie uwzględniamy również zmian

prędkości vx w kierunku y.

0y

v,0

y

v,0

x

v,0

x

v2

x2

x

2

x2

x

Skoro ruch jest ustalony, to pochodna prędkości vx względem czasu jest równa zero.

0t

vx

Po wprowadzeniu wszystkich wymienionych podstawień do równań Naviera-Stokesa otrzymamy

tylko dwa następujące równania:

0z

vsing

2

x2

0z

p1cosg

Dla uproszczenia zapisów pomińmy dalej indeks „x” przy prędkości vx, ponieważ jest to całkowita

prędkość ruchu cieczy „v”. Wobec tego otrzymany układ równań można zapisać w postaci:

sing

z

v2

2

(*)

cosgz

p

(**)

Równanie (*) jest różniczkowym równaniem zależności prędkości v od współrzędnej „z”. Rozkład

prędkości wzdłuż tej współrzędnej określimy przez dwukrotne całkowanie tego równania.

1Csinzg

z

v

21

2

CzCsin2

zgv

Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych.

67

Dla z = 0 (czyli dla warstwy przyściennej), w wypadku przepływu laminarnego, przyjmujemy v = 0.

Stąd C2 jest równe zero.

Wiedząc, że w przepływie laminarnym różnica prędkości warstw znika przy zbliżaniu się do

powierzchni swobodnej (prędkości stają niemal jednakowe), możemy napisać, że dla z = h będzie:

0z

v

Posługując się równaniem pierwszej pochodnej otrzymujemy:

1Csinhg

0

Stąd

sinhg

C1

Ostatecznie równanie prędkości przyjmuje następującą postać:

2

zzh

singsin

zhgsin

2

zgv

22

Maksymalną prędkość, tzn. prędkość warstwy powierzchniowej, obliczymy podstawiając z = h.

s

m77,0

2

003,0

101

1sin81,9

2

hsing

2

hhh

singv

2

6

22

Rozkład ciśnienia w kierunku „z” określimy podobnie, całkując równanie (**).

3Ccoszgp

Warunkiem brzegowym jest informacja, że ciśnienie na powierzchni swobodnej jest równe ciśnieniu

atmosferycznemu. Dla z = h będzie wiec p = pat .

3at Ccoshgp

coshgpC at3

Ostatecznie równanie ciśnienia przyjmuje następującą postać:

coszhgpp at

Największa wartość ciśnienia występuje przy podłożu (tam gdzie z = 0) i wynosi:

Pa101029cos003,081,91000101000cos0hgpp at

Objętościowe natężenie przepływu znajdziemy przez scałkowanie przepływu w całym przekroju

strumienia.

h

0

2h

0

2z

zA

dz2

zzh

singbdzb

2

zzh

singdzbvdAvV

2

1

3

hsingb

6

h

2

hsingb

6

z

2

zh

singb 333h

0

32

s

m1054,1

3

003,0

101

1sin81,91 33

3

6

Sprawdzenie, czy przepływ istotnie miał charakter laminarny, wymaga znajomości średniej prędkości

przepływu i średnicy hydraulicznej kanału. Obliczmy więc te parametry.

68

s

m513,0

003,01

1054,1

hb

V

A

Vv

6

śr

Średnicę hydrauliczną obliczymy przy założeniu, że strumień ma powierzchnię swobodną, ale

z boków jest ograniczony ścianami odległymi od siebie o podany wymiar b.

m0119,0003,0003,01

003,014

hhb

hb4

U

A4dh

Liczba Reynoldsa:

6108101

0119,0513,0dvRe

6

hśr

Wartość liczby Reynoldsa nie potwierdza słuszności założenia, że przepływ wody po danej pochyłości

ma charakter laminarny, więc rozwiązanie należy uznać za wątpliwe.

Zad. 4.6

Na rysunku jest przedstawiony kanał o prostokątnym przekroju poprzecznym (szerokość kanału,

wynosząca 1 m, jest prostopadła do płaszczyzny rysunku). Spadek ciśnienia w oleju płynącym w

kanale Δp/L wynosi 4 kPa na metr bieżący. Gęstość oleju jest równa 870 kg/m3 a współczynnik

lepkości kinematycznej wynosi 30 mm2/s. Pomijając siły grawitacyjne i zakładając, że przepływ jest

laminarny, określić funkcję rozkładu prędkości oraz maksymalną i średnią prędkość przepływu.

Sprawdzić, czy słuszne było założenie dot. charakteru przepływu.

Rozwiązanie:

Funkcja rozkładu prędkości w płynie lepkim może być uzyskana z równań Naviera-Stokesa.

Rozpoczynamy od pełnej postaci tych równań:

0z

v

y

v

x

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

x

p1X

2

x2

2

x2

2

x2

xz

xy

xx

x

0z

v

y

v

x

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

y

p1Y

2

y2

2

y2

2

y2

y

z

y

y

y

x

y

0z

v

y

v

x

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

z

p1Z

2

z2

2

z2

2

z2

zz

zy

zx

z

Najpierw musimy określić układ wspólrzędnych. Przyjmijmy oś x wzdłuż kierunku przepływu i

w środku kanału, oś y w poprzek strumienia, zaś oś z prostopadle do podłoża.. Układ współrzędnych

jest przedstawiony na rysunku poniżej.

69

W zgodzie z tym układem, opiszmy teraz zmienne należące do równań Naviera-Stokesa.

Jeśli nie występują żadne siły masowe (nawet pominięto siłę grawitacji), to:

0Z,0Y,0X

Jeśli grubość strumienia płynu (h) jest znacznie mniejsza od jego szerokości, to zagadnienie można

rozpatrywać jako płaskie (w każdym przekroju równoległym do płaszczyzny x-z występuje taki sam

przepływ). Wobec tego nie wystąpią różnice ciśnienia w kierunku y:

0y

p

Wobec braku siły grawitacyjnej i przepływu w kierunku „z”, nie mogą wystąpić różnice ciśnienia

w kierunku „z”.

0z

p

Skoro zagadnienie jest rozpatrywane jako płaskie, a przepływ zachodzi w kierunku x, to nie wystąpią

składowe prędkości w innych kierunkach. Zatem:

0v,0v zy

0z

v,0

y

v,0

x

v,0

z

v,0

y

v,0

x

vzzzyyy

0z

v,0

y

v,0

x

v,0

z

v,0

y

v,0

x

v

2

z2

2

z2

2

z2

2

y2

2

y2

2

y2

Skoro przekrój strumienia jest niezmienny, to składowa prędkości w kierunku x (vx) jest niezmienna

wzdłuż osi x. Ponieważ zagadnienie rozpatrujemy jako płaskie, to nie uwzględniamy również zmian

prędkości vx w kierunku y.

0y

v,0

y

v,0

x

v,0

x

v2

x2

x

2

x2

x

Skoro ruch jest ustalony, to pochodna prędkości vx względem czasu jest równa zero.

0t

v x

Gradient ciśnienia w kierunku x jest określony przez podany spadek ciśnienia w kanale.

L

p

x

p

Po wprowadzeniu wszystkich wymienionych podstawień do równań Naviera-Stokesa otrzymamy

tylko jedno następujące równanie:

0z

v

L

p12

x2

Dla uproszczenia zapisów pomińmy dalej indeks „x” przy prędkości vx, ponieważ jest to całkowita

prędkość ruchu cieczy „v”. Otrzymane równanie można zapisać w postaci:

70

L

p1

z

v2

2

Jest to różniczkowe równanie zmian prędkości w zależności od współrzędnej „z”. Funkcję prędkości

otrzymamy przez dwukrotne scałkowanie tego równania.

1CzL

p1

z

v

Stałą C1 wyznaczymy na podstawie warunku brzegowego: dla z = 0 (czyli w środku grubości

strumienia) rozkład prędkości ma swoje łagodne maksimum, czyli pierwsza pochodna rozkładu

prędkości jest równa zero:

1C00 stąd C1 = 0

zL

p1

z

v

Drugie całkowanie:

2

2

C2

z

L

p1v

Drugi warunek brzegowy uzyskamy na podstawie założenia, że w przepływie laminarnym warstwa

przyścienna ma prędkość równą zero.

Dla z = 0,5·h v = 0

2

2

C8

h

L

p10

8

h

L

p1C

2

2

Ostatecznie funkcja prędkości ma następującą postać:

8

h

L

p1

2

z

L

p1v

22

2222

h

z21

L

p

8

h

2

z

8

h

L

p1v

Maksymalna prędkość przepływu występuje w środku grubości strumienia, czyli dla z = 0.

s

m479,0

005,0

0214000

87010308

005,0v

2

6

2

W celu obliczenia średniej prędkości przepływu musimy poznać wartość objętościowego natężenia

przepływu.

2/h

0

222/h

0A

dzh

z21

L

p

8

hb2dzbv2dAvV

2/h

0

2

322/h

0

2

22

h3

z4z

L

p

4

hbdz

h

z41

L

p

4

hb

71

s

m10596,14000

870103012

005,01

L

p

12

hb

6

h

2

h

L

p

4

hb 33

6

332

Wreszcie obliczymy prędkość średnią:

s

m319,0

005,01

10596,1

hb

V

A

Vv

3

śr

W celu określenia charakteru przepływu musimy wyznaczyć liczbę Reynoldsa, a do tego celu będzie

potrzebna znajomość średnicy hydraulicznej kanału.

U

A4d h

Obwód przekroju poprzecznego kanału jest równy sumie boków prostokąta: b+b+h+h.

m1095,9005,0005,011

005,014

hhbb

hb4d 3

h

Liczba Reynoldsa wynosi:

1061030

1095,9319,0dvRe

6

3hśr

Wartość liczby Reynoldsa wskazuje na to, że przepływ rzeczywiście ma charakter laminarny.

Zad. 4.7

Olej o współczynniku lepkości kinematycznej 50 mm2/s płynie przedstawioną rurą z prędkością

średnią równą 1,1 m/s. Sprawdzić, czy przepływ jest laminarny. Jeśli tak, to wyznaczyć prędkość

przepływu w osi rury (punkt 1) oraz w odległości 10 mm od ścianki rury (punkt 2).

Rozwiązanie:

O charakterze przepływu świadczy liczba Reynoldsa. Dla przewodu o przekroju kołowym, całkowicie

zalanego, średnica hydrauliczna jest równa średnicy wewnętrznej. Możemy więc podstawić i obliczyć.

22001050

1,01,1dvRe

6

hśr

Wartość Re wskazuje na to, że przepływ jest laminarny. Skoro tak, to ma zastosowanie prawo Hagena

- Poiseuille’a, mówiące o tym, że przy ustalonym i laminarnym przepływie płynu nieściśliwego

w przewodzie o przekroju kołowym, rozkład prędkości jest paraboloidalny. Rozkład ten jest określony

wzorem:

4

rR

l

pv

22

(*)

Dysponując tym wzorem możemy wyprowadzić zależność objętościowego natężenia przepływu od

straty ciśnienia.

72

R

0

32R

0

22R

0A

drrrR2l

pdrr2

4

rR

l

pdrr2vdAvV

8

R

l

p

4

R

2

R

2l

p

4

r

2

rR

2l

p 444R

0

422

Następnie możemy określić współzależność prędkości średniej i straty ciśnienia.

8

R

l

p

R

1

8

R

l

p

A

Vv

2

2

4

śr

(**)

Wiążąc ze sobą zależności (*) i (**) otrzymamy wzór pomocny przy obliczaniu zadanych prędkości.

22

2

śr22

2

śr rRR

v2

4

rR

R

v8v

Korzystając z tego wzoru obliczymy prędkość w zadanych miejscach.

1) w osi rury (r = 0): s

m2,21,12v20R

R

v2v śr

2

2

śr

2) w miejscu odległym o 10 mm od ścianki rury, gdzie odległość od osi wynosi r = 40 mm.

s

m079,04050

50

1,12rR

R

v2v 22

2

22

2

śr

Zad. 4.8

Olej o współczynniku lepkości kinematycznej 40 mm2/s płynie przedstawioną rurą z natężeniem

5 dm3/s. Sprawdzić, czy przepływ jest laminarny. Jeśli tak, to wyznaczyć prędkość przepływu

w punkcie 1, w punkcie 2 (odległym od osi o ¼ średnicy rury) oraz w punkcie 3, leżącym na ściance

rury.

Odpowiedź: v1 = 1,99 m/s; v2 = 1,49 m/s; v3 = 0

Zad. 4.9

Olej o gęstości 880 kg/m3 i współczynniku lepkości kinematycznej 40·10

-6 m

2/s przepływa poziomym

przewodem o średnicy wewnętrznej 10 mm. Manometr „1” wskazuje 8 kPa, zaś manometr „2”

wskazuje 6 kPa. Obliczyć prędkość przepływu, zakładając jego laminarny charakter. Po obliczeniu

prędkości sprawdzić poprawność tego założenia.

Rozwiązanie:

Prędkość przepływu w poziomym przewodzie jest proporcjonalna do gradientu ciśnienia. Zależność ta

jest wyrażona przez wzór Hagena. Zgodnie z tym wzorem, średnia prędkość przepływu v wynosi:

73

32

d

L

pv

2

s

m089,0

880104032

01,0

2

60008000

32

d

L

ppv

6

222n1n

Wzór Hagena jest poprawny dla przepływu laminarnego, więc musimy teraz sprawdzić, czy obliczona

prędkość potwierdza taki właśnie charakter przepływu.

221040

01,0089,0dvRe

6

h

Daleko mniejsza od 2340 liczba Reynoldsa jest potwierdzeniem, że przepływ ma charakter laminarny,

czyli obliczenie prędkości według wzoru Hagena jest uzasadnione.

-------------------------------------------------------------------------

Przedstawione zadnie można równie dobrze rozwiązać nie pamiętając wzoru Hagena, a korzystając z

równania Bernoulliego dla płynu lepkiego i wzoru Darcy’ego wyrażającego stratę liniową. Za

przekroje (1) i (2) przyjmiemy naturalnie miejsca przyłączenia manometrów.

pzgp2

vzgp

2

v22

22

11

21


średnia prędkość gazu w przekrojach (1) i (2) jest taka sama: v1 = v2 = v;

ciśnienie absolutne w przekroju (1): p1 = pat+pn1 (pn1 jest nadciśnieniem wskazanym przez

manometr 1);

ciśnienie absolutne w przekroju (2) p2 = pat +pn2;

wysokość „z” usytuowania przekroju (1) i przekroju (2) jest taka sama;

Suma strat ciśnienia wg wzoru Darcy’ego:

d

L

2

vp

2

Współczynnik straty liniowej w warunkach laminarnych jest określony wzorem:

dv

64

Re

64

Po wprowadzeniu wymienionych podstawień, równanie Bernoulliego przyjmie następującą postać:

22n

2

2n1nd

Lv32p

d

L

dv

64

2

vpp

Można z tego wyrażenia wyznaczyć prędkość:

L32

dppv

22n1n

Otrzymana zależność jest dokładnie taka sama, jak wcześniej uzyskana ze wzoru Darcyego, więc nie

ma sensu ponowne obliczanie wartości prędkości.

Zad. 4.10

Jaką siłę F należy przyłożyć do tłoka, ażeby wymusić wypływ oleju z prędkością 0,2 m/s? Gęstość

oleju wynosi 870 kg/m3, zaś współczynnik lepkości kinematycznej 30·10

-6 m

2/s. Wewnętrzna średnica

przewodu jest równa 12 mm. Pominąć energię kinetyczną płynu.

74

Odpowiedź: F = 27,3 N

Zad. 4.11

Jak duży jest współczynnik lepkości kinematycznej cieczy wypływającej z przedstawionego otwartego

zbiornika, jeśli w ciągu minuty wypływa jej 360 cm3? Średnica przewodu równa jest 8 mm. Założyć

laminarny charakter przepływu, ale po obliczeniu lepkości sprawdzić poprawność tego założenia.

Pominąć energię kinetyczną cieczy płynącej przewodem

Rozwiązanie:

Przedstawione zadanie na pewno może być rozwiązane za pomocą równania Bernoulliego. Ponieważ

jednak możemy zauważyć, że istotne straty zachodzą tylko w przewodzie poziomym, a ponadto

w treści zadania jest zaznaczone, że energia kinetyczna płynącej cieczy jest pomijalnie mała (zapewne

w związku z bardzo małą prędkością), to w konsekwencji możliwe jest rozwiązanie problemu za

pomocą zależności wynikającej ze wzoru Hagena:

128

d

L

pV

4

Przekształcając tę zależność otrzymamy:

V128

d

L

p 4

W ten sposób możemy określić lepkość na podstawie zachowania się cieczy w przewodzie, gdy

znamy stratę ciśnienia w tym przewodzie Δp. Łatwo możemy tę stratę określić: Ciśnienie na wylocie z

przewodu jest równe atmosferycznemu, zaś na początku przewodu – odpowiada ciśnieniu

hydrostatycznemu na wiadomej głębokości H w zbiorniku.

Hgpp at1

at2 pp

Hgppp 21

Przewód jest poziomy, więc cała ta różnica ciśnień jest stratą ciśnienia. Podstawiając to wyrażenie do

wzoru na współczynnik lepkości, otrzymamy:

V128

d

L

Hg 4

75

Konieczne jest jeszcze wyrażenie natężenia przepływu w m3 na sekundę.

s

m106

s60

m1036,0

min1

cm360V

36

333

s

m106,109

106128

008,0

5,1

181,9 26

6

4

Po dokonaniu rachunku, powinniśmy sprawdzić, czy metoda obliczenia była uzasadniona.

Wyznaczamy prędkość przepływu a potem liczbę Reynoldsa.

s

m12,0

008,0

1064

d

V4

A

Vv

2

6

2

7,8106,109

008,012,0dvRe

6

h

Zdecydowanie możemy stwierdzić, że przepływ jest laminarny.

----------------------------------------------------------------

Poniżej jest dodatkowo przedstawione rozwiązanie tego samego zadania na podstawie pełnego

równania Bernoulliego.

hzg

p

g2

vz

g

p

g2

v2

222

11

21

Niech przekrój (1) znajduje się na poziomie lustra cieczy, zaś przekrój (2) w miejscu wypływu cieczy

z przewodu. Za poziom odniesienia przyjmijmy poziom wypływu z przewodu.




wysokość z1 względem poziomu odniesienia jest równa H;

prędkość v2 to prędkość wypływu v, którą obliczymy na podstawie natężenia przepływu;


wysokość z2 względem poziomu odniesienia jest równa zero.

Suma strat wysokości na długości przewodu jest opisana wzorem Darcy’ego:

d

L

g2

vh

2


d

L1

g2

v

d

L

g2

v

g2

vH

222


dv

64

Re

64

Po wprowadzeniu wymienionych podstawień, z równania Bernoulliego otrzymamy następujące

wyrażenie:

2

2

dv

L641

g2

vH

,

z którego można otrzymać zależność pozwalającą obliczyć współczynnik lepkości:

76

1

v

Hg2

L64

dv2

2

Podstawiając 2d

V4v

, otrzymamy:

1

V8

Hgd

L64

V4

2

42

Według tego obliczenia, współczynnik lepkości wynosi:

s

m105,1091

1068

181,9008,0

5,164

1064 26

26

426

Jak widać, różnica między wynikami obydwóch obliczeń jest mniejsza, niż 1‰. Za dokładniejsze

należy uznać obliczenie drugie, ponieważ nie pominięto w nim energii kinetycznej cieczy, ale

pierwszy sposób jest mniej pracochłonny, więc w tym wypadku bardziej praktyczny.

Zad. 4.12

Obliczyć, jaka jest wartość współczynnika lepkości kinematycznej cieczy wypływającej ze zbiornika,

gdy w ciągu minuty wypływa jej 3,6 dm3, zaś manometr wskazuje nadciśnienie 8,7 kPa. Gęstość

cieczy wynosi 880 kg/m3. Średnica przewodu równa jest 10 mm. Założyć laminarny charakter

przepływu, ale po obliczeniu lepkości sprawdzić poprawność tego założenia. Pominąć energię

kinetyczną cieczy płynącej przewodem

Odpowiedź: ν = 27·10-6

m2/s

Zad. 4.13

Obliczyć prędkość i natężenie wypływu oleju z otwartego zbiornika przez przewód o średnicy

wewnętrznej 15 mm i długości L = 6 m. Współczynnik lepkości kinematycznej oleju wynosi 40

mm2/s. Założyć laminarny charakter przepływu, ale po obliczeniu prędkości sprawdzić poprawność

tego założenia. Energię kinetyczną cieczy płynącej przewodem można pominąć.

Odpowiedź: v = 0,57 m/s; V = 0,1 dm3/s

77

Zad. 4.14

Czas napełniania 100-litrowej beczki wodą pobieraną z basenu wynosi 100 sekund. Średnica

przewodu jest równa 20 mm. Obliczyć całkowitą stratę wysokości (albo stratę ciśnienia), jaka

powstaje w przewodzie.

Rozwiązanie:

Woda wylewa się z przewodu z określoną prędkością, uzyskaną dzięki temu, że poziom lustra

znajduje się wyżej. Następuje przemiana energii potencjalnej wysokości na energię kinetyczną

(prędkości). Przemiana ta mogłaby być równoważna (zupełna), gdyby nie strata energii w przewodzie.

Bilans energii łącznie z sumą strat energii zapiszemy za pomocą równania Bernoulliego. Możemy

zdecydować się na wyrażenie straty energii w postaci sumy strat wysokości ΣΔh i wobec tego

użyjemy równania Bernoulliego w postaci geometrycznej

hzg

p

g2

vz

g

p

g2

v2

222

11

21

Niech przekrój (1) znajduje się na poziomie lustra cieczy, zaś przekrój (2) w miejscu wylotu wody nad

beczką. Za poziom odniesienia przyjmijmy poziom wylotu wody.




wysokość z1 względem poziomu odniesienia jest równa sumie podanych wymiarów (3 m);

prędkość v2 to prędkość wypływu v, którą obliczymy na podstawie czasu napełniania beczki;




hg2

vz

2

1

Natężenie wypływu wynika z czasu napełniania beczki o pojemności V = 0,1 m3.

T

VV

Prędkość wypływu jest określona zależnością:

Td

V4

d

4

T

V

A

Vv

22

Po tych podstawieniach możemy obliczyć sumę strat wysokości:

m48,281,92

1

10002,0

1,043

g2

1

Td

V43

g2

vzh

2

2

2

2

2

1

Całkowitą stratę energii można wyrazić też w postaci sumy strat ciśnienia:

kPa4,24Pa2436448,281,91000hgp

78

Zad. 4.15

Olej o gęstości 0,86·103 kg/m

3 i współczynniku lepkości kinematycznej 20 mm

2/s przepływa ukośnym

przewodem o średnicy wewnętrznej 10 mm. Manometr „1” wskazuje 8 kPa, zaś manometr „2”

wskazuje 6 kPa. Obliczyć prędkość przepływu, zakładając jego laminarny charakter. Po obliczeniu

prędkości sprawdzić poprawność tego założenia. Wskazówka: Ze względu na różnicę wysokości

położenia manometrów, zadania nie można rozwiązać za pomocą wzoru Hagena.


Zad. 4.16

Ile kilogramów paliwa wypływa w ciągu minuty z otwartego zbiornika, jeśli manometr zainstalowany

przed dyszą rozpylacza wskazuje nadciśnienie 45 kPa? Długość przewodu wynosi 30 m, zaś jego

średnica 25 mm. Gęstość paliwa jest równa 880 kg/m3, współczynnik lepkości kinematycznej

25 mm2/s. Pominąć energię kinetyczną paliwa. Założyć laminarny charakter przepływu, ale po

obliczeniu wydatku sprawdzić poprawność tego założenia.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

nadciśnienie wskazywane przez manometr: pn = 45000 Pa,

długość przewodu: L = 30 m,

średnica przewodu: d = 0,025 m,

gęstość paliwa: ρ = 880 kg/m3,

współczynnik lepkości kinematycznej paliwa: ν = 25·10-6

m2/s,

Jak zwykle w tego typu zagadnieniach, nasuwa się pomysł obliczenia natężenia przepływu za pomocą

wzoru Hagena. Jednak w tym zadaniu wlot i wylot przewodu prowadzącego paliwo znajdują się na

różnych poziomach, przez co utrudniona jest ocena wartości straty ciśnienia wywołanej przepływem.

Niezależnie bowiem od przepływu, między punktem wlotowym a wylotowym musi wystąpić różnica

ciśnień powodowana różnicą wysokości. Możemy ominąć ten problem, przystępując do rozwiązania

zadania za pomocą równania Bernoulliego i ten sposób zastosujemy najpierw.

hzg

p

g2

vz

g

p

g2

v2

222

11

21

Niech przekrój (1) znajduje się na poziomie lustra cieczy, zaś przekrój (2) w miejscu przyłączenia

manometru. Za poziom odniesienia przyjmijmy poziom przyłączenia manometru.

79




wysokość z1 względem poziomu odniesienia jest równa H;

prędkość v2 to nieznana prędkość przepływu v, potrzebna do obliczenia natężenia przepływu;

ciśnienie absolutne w przekroju (2) p2 = pat+pn;


Suma strat wysokości na długości przewodu jest opisana wzorem Darcy’ego:

d

L

g2

vh

2


d

L

g2

v

g

pp

g2

vH

g

p 2nat

2at

g

pH

d

L

g2

v

g2

v n22


dv

64

Re

64

Po wprowadzeniu tego podstawienia, z równania Bernoulliego otrzymamy następujące wyrażenie:

0g

pHv

gd

L32

g2

v n

2

2

Jest to równanie drugiego stopnia ze względu na poszukiwaną prędkość v i jako takie musimy je

rozwiązać. Wyznaczmy współczynniki równania:

0509684,081,92

1

g2

1a

914373,381,9025,0

10253032

gd

L32b

2

6

2

7873228,081,9880

450006

g

pHc n

Wyróżnik równania wynosi:

48283,157873228,00509684,04914373,3ca4b 22

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

s

m77

0509684,02

48283,15914373,3

a2

b'v

s

m2006,0

0509684,02

48283,15914373,3

a2

b"v

Pierwszy pierwiastek jest absurdalny (prędkość wypływu nie może być ujemna), więc przyjmujemy:

80

s

m2006,0v

Obliczamy teraz masowe natężenie przepływu:

s

kg0867,0

4

025,02006,0880

4

dvAvm

22

Pytanie dotyczyło masy paliwa dostarczonej w ciągu minuty, więc musimy pomnożyć m przez czas

(60 sekund).

kg20,5600867,0tmm

Jak widać, rozwiązanie zadania za pomocą równania Bernoulliego jest możliwe, ale jest pracochłonne

(rozwiązywaliśmy równanie drugiego stopnia). Spróbujmy rozwiązać to zadanie jeszcze raz,

posługując się tym razem wzorem Hagena. W celu określenia straty ciśnienia w przewodzie,

przeprowadźmy następujące rozumowanie: Gdyby w przewodzie nie zachodziła strata energii (na

przykład jak przy zatrzymanym przepływie), to manometr pokazywałby nadciśnienie wywołane

słupem cieczy o wysokości H (wynosiłoby ono 'np = ρ·g·H = 51797 Pa). Skoro manometr pokazuje

tylko nadciśnienie pn = 45000 Pa, to znaczy, że zaszła strata ciśnienia, której miarą jest różnica tych

wielkości.

Pa67974500051797pHgp n

Znając wartość straty ciśnienia, możemy obliczyć objętościowe natężenie przepływu, posługując się

wzorem Hagena. Następnie przeliczymy natężenie objętościowe na masowe:

128

d

L

pV

4 ; Vm

s

kg0869,0

1025128

025,0

30

6797

128

d

L

pm

6

44

Masa paliwa dostarczonego w ciągu 60 sekund:

kg21,5600869,0tmm

Rozwiązanie uzyskaliśmy znacznie szybciej, ale musimy zdawać sobie sprawę z tego, że pominęliśmy

po drodze energię kinetyczną płynącego paliwa, to znaczy wpływ prędkości jego przepływu na

wskazanie manometru. Okazało się jednak, że przy przepływie cieczy (w przeciwieństwie do gazów),

znaczenie tej energii jest niewielkie: różnica wyników jest rzędu 2‰.

Na koniec musimy sprawdzić, czy poprawne było założenie o laminarnym charakterze przepływu.

Określamy liczbę Reynoldsa.

2001025

025,02006,0dvRe

6

h

Jak wynika z tej liczby, przepływ paliwa w przewodzie jest laminarny.

Zad. 4.17

Na jaką wysokość H trzeba podnieść otwarty zbiornik z olejem, żeby natężenie wypływu wynosiło co

najmniej 0,6 dm3/min, aż do chwili opróżnienia zbiornika? Średnica przewodu wynosi 8 mm

a długość 20 m. Współczynnik lepkości kinematycznej oleju jest równy 25 mm2/s.

81

Odpowiedź: H = 5,05 m

Zad. 4.18

Poziomym rurociągiem o długości L = 100 m i o średnicy wewnętrznej d = 78 mm przepływa w ciągu

godziny 1 m3 wody o temperaturze 10˚C. Obliczyć spadek ciśnienia na długości rurociągu wiedząc, że

chropowatość ścian rurociągu k = 2,6 mm.

Rozwiązanie:

W celu przyjęcia właściwej metody obliczania spadku ciśnienia, musimy najpierw określić charakter

przepływu. Wyznaczmy w tym celu liczbę Reynoldsa, uprzednio określając natężenie przepływu i

prędkość wody. Współczynnik lepkości kinematycznej wody w danej temperaturze zaczerpniemy z

tablicy 0.1

s

m10777,2

s3600

m1

T

VV

34

3

s

m0581,0

078,0

10777,24

d

V4v

2

4

2

34591031,1

078,00581,0dvRe

6

h

Charakter przepływu jest trudny do określenia, a zatem w celu wyznaczenia współczynnika oporu

liniowego skorzystamy z wykresu Nikuradsego. Potrzebna jest wartość względnej gładkości rury.

306,2

78

k

d

Dla Re = 3459 oraz d/k = 30 odczytujemy, że λ = 0,04. Wobec tego, zgodnie ze wzorem Darcy’ego,

spadek ciśnienia wynosi:

Pa872

0581,01000

078,0

10004,0

2

v

d

Lp

22

Zad. 4.19

Poziomym rurociągiem o długości L = 100 m i o przekroju kołowym o średnicy wewnętrznej d = 78

mm przepływa w ciągu godziny 10 m3 wody o temperaturze 10˚C. Obliczyć spadek ciśnienia na

długości rurociągu wiedząc, że chropowatość ścian rurociągu k = 2,6 mm.

Odpowiedź: Δp = 13 kPa

Zad. 4.20


mm przepływa w ciągu godziny 100 m3 wody o temperaturze 15˚C. Nadciśnienie tłoczenia (na

początku rurociągu) wynosi 25 barów. Obliczyć nadciśnienie na końcu rurociągu wiedząc, że

82

chropowatość ścian rurociągu k = 0,4 mm. Współczynnik lepkości kinematycznej wody w podanej

temperaturze jest równy 1,14·10-6

m2/s.

Odpowiedź: pn = 7,5 bara

Zad. 4.21


mm przepływa w ciągu godziny 100 m3 wody o temperaturze 15˚C. Nadciśnienie tłoczenia (na

początku rurociągu) wynosi 25 barów. Obliczyć nadciśnienie na końcu rurociągu wiedząc, że

chropowatość ścian rurociągu k = 0,8 mm. Współczynnik lepkości kinematycznej wody w podanej

temperaturze jest równy 1,14·10-6

m2/s.

Odpowiedź: pn = 1,9 bara

Zad. 4.22

Kanał o średnicy 0,1 m i długości A łączy dwa zbiorniki, między którymi różnica poziomów lustra

wody wynosi H. Obliczyć objętościowe natężenie przepływu, przyjmując współczynnik strat

liniowych w kanale λ równy 0,03 , współczynnik straty wlotowej ζw = 0,5 a współczynnik straty

wylotowej ζwy = 1.

Rozwiązanie:

W sytuacji, kiedy mamy uwzględnić zarówno straty liniowe, jak i miejscowe, właściwą drogą

postępowania będzie wykorzystanie równania Bernoulliego dla cieczy lepkiej. Za pomocą tego

równania znajdziemy prędkość, a później obliczymy natężenie przepływu.

hzg

p

g2

vz

g

p

g2

v2

222

11

21

Niech przekrój (1) znajduje się na poziomie lustra cieczy w lewym zbiorniku, zaś przekrój (2)

w miejscu wypływu z kanału do prawego zbiornika. Za poziom odniesienia przyjmijmy poziom tego

wypływu. Oznaczmy różnicę poziomów między lustrem wody w prawym zbiorniku a poziomem

odniesienia przez h.




wysokość z1 względem poziomu odniesienia jest równa H+h;

prędkość v2 to nieznana prędkość przepływu v, potrzebna do obliczenia natężenia przepływu;

ciśnienie absolutne w przekroju (2) określamy zgodnie z wiedzą na temat ciśnienia

hydrostatycznego: p2 = pat+ ρ·g·h;


Suma strat wysokości jest opisana zależnością:

83

d

L

g2

vh

2


d

L

g2

v

g

hg

g

p

g2

vhH

g

p 2at

2at

d

L1

g2

vH

2

Po przekształceniu tej zależności można obliczyć prędkość przepływu:

d

L1

Hg2v

a następnie objętościowe natężenie przepływu:

s

m027,0

15,01,0

303,01

281,92

4

1,0

d

L1

Hg2

4

dV

32

wyw

2

Zad. 4.23

Z otwartego zbiornika wypływa woda przez gładki przewód o długości L = 40 m i o średnicy

d = 100 mm. Jaka jest wysokość H poziomu wody w zbiorniku, jeśli objętościowe natężenie wypływu

wynosi 18 dm3/s? Współczynniki oporu miejscowego: ζw = 0,5 , ζk = 0,2 , ζz = 5 ; współczynnik

lepkości kinematycznej wody ν = 10-6

m2/s.


Zad. 4.24

Z otwartego zbiornika jest czerpana ciepła woda (30ºC) za pomocą przewodu tworzącego syfon.

Wewnętrzna średnica przewodu wynosi 40 mm, chropowatość jest równa 0,1 mm a długość 148 m.

Do jakiej wysokości H jest napełniony zbiornik, jeśli 120-litrowa beczka podstawiona pod wylewkę

napełnia się w ciągu 2 minut? Dane: e = 0,3 m, h = 1 m, współczynniki oporu miejscowego: ζs = 3 ,

ζk = 0,3 , ζz = 6.

84


Zad. 4.25

Nadciśnienie powietrza w zbiorniku pn wynosi 0,3 MPa, średnica przewodu d = 30 mm, jego długość

L wynosi 16 m, współczynnik oporu liniowego λ = 0,03 , współczynniki oporu miejscowego ζw = 0,5 ,

ζk = 0,3 , ζz = 5. Wymiary: H = 2 m, h = 20 m, e = 0,3 m. Obliczyć natężenie wypływu wody ze

zbiornika przy otwartym zaworze. Jakie nadciśnienie ustali się przed zaworem, jeśli zostanie on

zamknięty?

Rozwiązanie:

Wypływ wody przez wysoko wyniesiony przewód będzie możliwy, jeśli wystarczy na to energii

nadanej wodzie. Do zapisania bilansu energii użyjemy równania Bernoulliego dla cieczy lepkiej. Za

pomocą tego równania znajdziemy prędkość, a potem obliczymy natężenie przepływu.

hzg

p

g2

vz

g

p

g2

v2

222

11

21

Niech przekrój (1) znajduje się na poziomie lustra cieczy w zbiorniku, zaś przekrój (2) w miejscu

wypływu z przewodu do atmosfery. Za poziom odniesienia przyjmijmy poziom najniższego odcinka

przewodu.



ciśnienie absolutne w przekroju (1): p1 = pat+pn;

wysokość z1 względem poziomu odniesienia jest równa H+e;

prędkość v2 to nieznana prędkość wypływu v, potrzebna do obliczenia natężenia przepływu;


wysokość z2 względem poziomu odniesienia jest równa h.

Suma strat wysokości jest opisana zależnością:

d

L

g2

vh

2


85

d

L

g2

vh

g

p

g2

veH

g

pp 2at

2nat

hd

L1

g2

veH

g

p 2n

Z tego równania obliczymy prędkość v.

d

L1

p)heH(g2v n

s

m286,3

53,035,003,0

1603,011000

300000)203,02(81,910002

Objętościowe natężenie przepływu wynosi więc:

s

m103,2286,3

4

03,0v

4

dV

33

22

Kwestię nadciśnienia, jakie ustali się przed zaworem po jego zamknięciu, możemy rozważyć na

gruncie statyki cieczy, podobnie jak dla naczyń połączonych. Absolutne ciśnienie w najniższym

odcinku przewodu możemy zapisać w dwóch aspektach: 1- po lewej stronie (pod zbiornikiem), 2 – po

prawej stronie (pod prawą gałęzią przewodu. W aspekcie pierwszym wynosi ono:

eHgpp n

W aspekcie drugim, ciśnienie to jest sumą nieznanego ciśnienia na najwyższym poziomie

zamkniętego przewodu pnz oraz ciśnienia hydrostatycznego od słupa „h”:

hgpp nz

Z przyrównania tych zapisów obliczymy nadciśnienie pnz.

hgpeHgp nzn

heHgpp nnz

Pa126363203,0281,91000300000pnz

kPa126pnz

Do tego samego wyniku można też dojść, wykorzystując równanie Bernoulliego: Porównajmy energię

zatrzymanej wody w przekroju (1) i tuż przed zaworem (niech to będzie przekrój „z”).

pzgp2

vzgp

2

vzz

2z

11

21


prędkości są zerowe, zatem straty również nie występują;

ciśnienie absolutne w przekroju (1): p1 = pat+pn ;

wysokość z1 względem poziomu odniesienia jest równa H+e;

ciśnienie absolutne w przekroju (z) pz = pat + pnz ;

wysokość zz względem poziomu odniesienia jest równa h.

Otrzymujemy:

hgppeHgpp nzatnat

86

a po przekształceniu

heHgpp nnz

Wyrażenie to jest identyczne, jak otrzymane wcześniej z równania statyki.

Zad. 4.26

Jak duże powinno być nadciśnienie w zbiorniku, żeby na najwyższym poziomie czerpania uzyskać

wypływ wody z natężeniem 1 dm3/s przy zamkniętych zaworach na niższych poziomach?

Wewnętrzna średnica przewodu = 25 mm, chropowatość wewnętrzna wynosi 0,8 mm , współczynniki

oporu miejscowego ζk = 0,25 , ζt = 0,3 , ζw = 0,5 , ζz = 5 , współczynnik lepkości kinematycznej wody

wynosi 1,3·10-6

m2/s.

Odpowiedź: pn = 234 kPa

Zad. 4.27

Jakie może być najwyższe położenie osi pompy nad lustrem wody, jeśli podciśnienie w komorze

ssącej nie może być większe, niż 0,05 MPa przy natężeniu przepływu równym 20 dm3/s? Długość

przewodu ssącego jest równa 12 m, jego wewnętrzna średnica = 120 mm, współczynnik strat

liniowych λ = 0,03 , współczynniki strat miejscowych ζs = 5 , ζk = 0,25.


MECHANIKA PŁYNÓW ZBIÓR ZADAŃ - konin.edu.pl · PDF fileZBIÓR ZADAŃ...

Documents

Transcript of MECHANIKA PŁYNÓW ZBIÓR ZADAŃ - konin.edu.pl · PDF fileZBIÓR ZADAŃ...