Podstawy mechaniki płynów - biofizyka układu krążenia

29 października, 2008

Ciecze i gazy to płyny

• Zmieniają kształt pod wpływem znikomo małych sił

• Nie posiadają sprężystości kształtu, posiadają sprężystość objętości

• Stan stały - duże moduły sprężystości objętościowej i postaciowej

• Stan ciekły - mniejszy moduł sprężystości objętościowej, bardzo mały postaciowej

• Stan gazowy – mały moduł sprężystości objętościowej brak postaciowej

Płyny doskonałe charakteryzują się brakiem ściśliwości i brakiem lepkości

• Ruch płynów nazywamy przepływem

• Przepływ jest stacjonarny, gdy w określonym punkcie przestrzeni prędkość przepływu jest stała niezależnie od czasu

• Przepływ jest laminarny gdy wszystkie cząstki płynu poruszają się po torach równoległych do siebie

Hydromechanika (hydrostatyka, hydrodynamika)

• Gazy w odróżnieniu od cieczy muszą znajdować się w stanie sprężonym i odznaczają się dużą ściśliwością

• Nie będziemy wnikać w budowę molekularną ale będziemy płyny traktować jako ośrodki ciągłe to znaczy, że gęstość jest ciągłą funkcją współrzędnych przestrzennych

Hydrostatyka

• Prawo Pascala: Ciśnienie rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo, także w cieczach nieściśliwych i nieważkich

• Ciśnienie hydrostatyczne: ph = ρchg

• Ciśnienie na pewnej głębokości h jest większe od ciśnienia zewnętrznego pz o ciśnienie słupa cieczy o wysokości h

• Ciśnienie rośnie liniowo z głębokością i nie zależy od kształtu naczynia

Ciśnienie całkowite

• pc = pz + ρchg• pc – ciśnienie całkowite [Pa]

• pz – ciśnienie zewnętrzne [Pa]

• ρc – gęstość cieczy [kg/m3]

• h – wysokość słupa cieczy [m]

• g – przyspieszenie ziemskie [kgm/s2]

Ciśnienie aerostatyczne

• Ciśnienie powietrza zmienia się wykładniczo wraz z wysokością h

• e ≈ 2,718…

• ρ0 – gęstość powietrza w 273 K

• p0 = 1,013251·105N/m2

0

0

0p

hg

a epp

Prawo Archimedesa: na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi wypartej przez to ciało cieczy

• Q = Vρg (ciężar ciała) ρ – gęstość ciała

• W = Vρ0g (siła wyporu) ρ0 – gęstość cieczy

• R = W – Q (siła wypadkowa)

• ρ > ρ0 ; R < 0 ciało tonie

• ρ=ρ0; R=0 ciało pływa na dowolnej głębokości

• ρ < ρ0; R>0 ciało pływa częściowo zanurzone

Prawo Torricellego

2R

2r

2R»2r

ghv 2h

Miary przepływu

• Strumień masy Φm = m/t [kg/s]

• Strumień objętości ΦV = V/t [m3/s]

• Strumień energii ΦE = E/t [J/s]

Prawo ciągłości strumienia

• równanie ciągłości masy

S1v1ρ1Δt S2v2ρ2 Δt

v1S1ρ1Δt = v2S2 ρ2Δt

ρ1 = ρ2

v1S1 = v2S2 = const

Prawo Bernouliego(przepływ ustalony, ciecz doskonała)

• p + ½ρv2 + ρgh = const• p – ciśnienie statyczne - gęstość cieczy• ½ρv2 – ciśnienie dynamiczne• ρgh – ciśnienie hydrostatyczne• Suma energii kinetycznej, potencjalnej i

ciśnienia jednostki masy (lub objętości) ustalonego przepływu cieczy doskonałej jest wielkością stałą

Rozkład prędkości cieczy w rurze

v

Współczynnik lepkości

x

vSF

FV0

x

∆x v+∆vv

S – powierzchnia płyty

∆v/∆x – stosunek spadku prędkości do przyrostu głębokości

η – współczynnik proporcjonalności dx

dvSF

Współczynnik lepkości

Współczynnik proporcjonalności η nazywamy dynamicznym współczynnikiem lepkości cieczy lub współczynnikiem tarcia wewnętrznego

η [Ns/m2]≡[Pas]≡[kg/ms]

P (puaz) ≡ [Ns/10m2]

Krew

• Krew stanowi zawiesinę erytrocytów (krwinki czerwone), leukocytów (krwinki białe) i trombocytów (płytki krwi) w plazmie i jest środowiskiem zapewniającym transport różnorodnych substancji w organizmie. Krew rozprowadza przede wszystkim gazy oddechowe tlen i dwutlenek węgla.

Krew• Krew jest płynem nie spełniającym warunków

Newtona, jest to płyn plastyczno-lepki

• Lepkość krwi zależy od:

• hematokrytu (stosunek objętości krwinek do objętości krwi)

• temperatury

• przekroju naczynia

ηpowietrza = 17,8·10-6 ηwody = 10·10-4

ηkrwi = 20·10-4 [kg/ms]

Temperatura a lepkość krwi

• Lepkość krwi podobnie jak innych płynów wykładniczo zależy od temperatury

• W temperaturze 0o C krew jest 2,5 razy bardziej lepka niż w temperaturze 37oC

Serce

• Rytmiczne skurcze i rozkurcze serca wymuszają ruch krwi w układzie krążenia

• Serce stanowi rodzaj pompy, która nie zużywa energii do napełniania (przedsionki i komory napełniają się w sposób bierny), serce zużywa energię podczas opróżniania

• Nie jest pompą ssąco-tłoczącą, nie wytwarza podciśnienia podczas napełniania. Ciśnienie w komorach jest zawsze dodatnie

Fala tętna• Rytmiczne skurcze serca wprowadzają do

układu tętniczego zarówno dużego jak i płucnego, w odstępach około 0,8 s, takie same objętości krwi około 70 cm3 (pojemność wyrzutowa serca w spoczynku). Dzięki dużemu oporowi obwodowemu krew ta nie od razu zostaje włączona w obieg krążenia, lecz rozciąga podatne ściany tętnicy głównej, dzięki czemu tuż za sercem tworzy się wybrzuszenie, które rozchodzi się w kierunku obwodowym w postaci fali tętna

Liczba Reynoldsa• Eksperymenty pokazują, że w pewnych

warunkach przepływ laminarny przechodzi w turbulentny (burzliwy)

• Re = vdρ/η• v – prędkość cieczy,• d – średnica rury,• ρ – gęstość cieczy• η - współczynnik lepkości

• Re < 2000 (2300) przepływ laminarny• Re > 3000 przepływ turbulentny• 2000 (2300) < Re < 3000 charakter

nieustalony

Siły aero- i hydrodynamiczne

• Siły aero- i hydrodynamiczne wynikają z lepkości płynu opływającego przeszkodę - opór tarcia oraz z różnicy ciśnień przed i za przeszkodą powstającej w wyniku opływu turbulentnego – opór ciśnienia

• O tym który rodzaj oporu przeważa, decyduje kształt i położenie ciała względem kierunku ruchu

Siła oporu aero- i hydrodynamicznego

Ra,h = ½ρCx(α)Sv2

gdzie:ρ – gęstość płynu [kg/m3]Cx(α) – współczynnik kształtu zależny od kierunku opływu [-]S – pole powierzchni przekroju czołowego [m2]v – prędkość płynu względem obiektu

Opór ciał o różnym kształcie

24 20 8 6 2 1

v2r

S = const, ρ = const, v2 = constZmienia się kształt czyli Cx

Przyjęto, że opór kształtu opływowego jest równy 1

Siła i moc oporu aero- i hydrodynamicznego

Ra,h = ½ρCx(α)Sv2

Dla tego samego obiektu poruszającego się w określonym płynie siła oporu zależy od kwadratu prędkości natomiast moc od prędkości w trzeciej potędze:

Ra,h = kv2 Pa,h = kv3

Ciśnienie hydrostatyczne krwi

(wg. Jaroszyka)

Schemat układu krwionośnego

(wg. Jaroszyka)

Przepływ krwi w układzie krwionośnym

(wg Jaroszyka)

(wg Jaroszyka)

Prędkości przepływu krwi

10 μm

Odkształcenia krwinki w zależności od prędkości przepływu

Siły i momenty sił działające na jacht żaglowy w ruchu

• Siły i momenty aerodynamiczne

• Siły i momenty hydrodynamiczne

• Siły i momenty grawitacyjne

• Siły i momenty hydrostatyczne

Składowe siły aerodynamicznej działającej na jacht żaglowy w

płaszczyźnie poziomej

A

A – siła aerodynamiczna

XA – siła napędowa

YA – siła dryfu

W – prędkość wiatru

XA

YA

Wżagiel

Zadanie na „6”

Z jaką siłą Fa i mocą Pa wiatr napędza jacht żaglowy typu Ω, o powierzchni żagli S = 15 m2 płynący pełnym wiatremz prędkością vj = 2 w (węzłów)? Wiatr wieje z prędkością vw = 5 m/s. Współczynnik aerodynamiczny jachtu z żaglami przy wietrze od rufy,cx = 1,5.