REAKCJA DYNAMICZNA PŁYNU MECHANIKA PŁYNÓW

REAKCJA DYNAMICZNA PŁYNU

MECHANIKA PŁYNÓW

W.97. Maja 2009 r.

Mechanika i budowa maszynWydział Mechaniczny Technologiczny

Politechnika Śląska

Elementy hydrauliki

Elementy hydraulikiPoruszający się płyn napotykając na drodze przeszkodę w postaci ciała sztywnego wywołuje na jego powierzchni reakcję dynamiczną jako wypadkową pola ciśnień. Przez dS z jaką płyn działa na sztywną ścianę wynosi:

(1)gdzie:

τ – jest naprężeniem stycznym, przy uwzględnieniu lepkości płynu, - jest wersorem stycznym do powierzchni S

dSzSpdFs S

d )( )(

0

0z

Elementy hydrauliki

Siła przeciwnie skierowana = - nazywa się reakcją dynamiczną strumienia.Wektor główny sił powierzchniowych działającychw obszarze V określony jest wzorem :

(2)

R dF

)(V

dVqqF

Elementy hydraulikiWektor główny sił statycznych, wywołanych polem ciśnień, określa zależność:

(3)Równanie równowagi kinetostatycznej przepływu płynu zgodnie z zasadą pędu ma postać:

(4)gdzie jest składową normalną wektora prędkości do powierzchni S.

dVqFS

S )(

FqFsRSdS

n )(

n

Elementy hydraulikiReakcję dynamiczną strumienia swobodnego, przy pominięciu sił powierzchniowych i masowych, określa zależność:(5)gdzie jest elementarnym natężeniem przepływu przez powierzchnię ds.Jeżeli przyjmiemy jednorodne pole prędkości dla strugi, to całka we wzorze (5) jest równa różnicy wektorów pędów: (6)gdzie:

dQRS

)(

dQ

QQQQR )( 21222111

QQQ 21

Elementy hydrauliki

Korzystając z zależności geometrycznych (rys.1) można wyznaczyć moduł reakcji dynamicznej przy jednakowych natężeniach przepływów:(7)

gdzie:

2211 sinsin SQR

sin21 SQQ

21

SSS 21

Elementy hydrauliki

Rys. 1. Rozkład reakcji strumienia

R

Elementy hydraulikiKorzystając z twierdzenia cosinusów obliczono również wartość reakcji R:

(8)

2sin)cos1(2 222 QQR

cos2 212

22

12 RRRRR

QRR 21

Elementy hydraulikiZakładając różne pola przekrojów przewodów oraz różne prędkości przepływów , można z zależności geometrycznych ustalić wartość wypadkowej reakcji:

(9)gdzie:

1 2

cos2 212

22

1 RRRRR

211111 SQR

222222 SQR

Elementy hydrauliki

W szczególności dla kąta α = :

gdzie:

jest ilorazem pól przekrojów poprzecznych przewodów.

2

21 1 RR

1

2

SS

Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o

zmiennym przekroju

Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju

Rozpatrzmy przepływ płaski płynu przez nieprostoliniowy przewód o zmiennym przekroju (Rys.2):

Rys.2. Rozkład obciążeń przewodu


Na wejściu przewodu o polu przekroju płyn posiada prędkość , natomiast na wyjściu o polu przekroju prędkość .W przekrojach A, B przewodu płyn idealny określony jest wektorami pędów:

(10)

1S

2S1

2

111 QP 222 QP

111 SQ 222 SQ


Różnica wektorów pędów jest równa reakcji dynamicznej strumienia: (11)

Z uwagi na prawo ciągłości przepływu zachodzi warunek:

(12)

QQQPPR 22112

1221 QQQ2

1

SS


Wypadkowa reakcja dynamiczna strumienia jest przyłożona w punkcie A określonym przez przecięcie kierunku wektora pędu z konturem przewodu ilustruje (Rys.3) wraz z wyznaczonym kierunkiem reakcji , który jest przesunięty równolegle do punktu A. Wektor reakcji dynamicznej rozkładamy następnie na składowy wektor poziomy i pionowy w kierunku osi x, y, układu współrzędnych. Wartość reakcji dynamicznej można obliczyć ze wzorów (9) i (10)

2pR

R

R


Rys.3. Rozkład obciążeń przewodu

PRZYKŁAD 1

PRZYKŁAD 1

Wyznaczyć wartość i kierunek reakcji dynamicznej działającej na przewód z dwoma rozgałęzieniami pod kątem α (rys. 4). Natężenie przepływu w przewodzie wejściowym 0-1 wynosi Q. Ciśnienie płynu w przekroju 0 wynosi .

Rys.4. Rozkład obciążeń przewodu hydraulicznego

1p

PRZYKŁAD 1

ROZWIĄZANIE:Z prawa ciągłości przepływu wynika wzór:

(a)gdzie:

11332211 S

QSSSQ

32211

1

21 S

S

1

32 S

S

PRZYKŁAD 1

Korzystając z bilansu energii kinetycznej dla przewodów:

gdzie:

(b)

23

22

211 2

121

21 p

223

22 a 1

21

2 2 pa

PRZYKŁAD 1

Rozwiązując układ równań (a) i (b) obliczono wartości prędkości , w przewodach rozgałęźnika:

(c)

2 3

111213

1212

211

3211

2 )1(1)(1

PRZYKŁAD 1gdzie:

1

221

21

22

21

2221

220 )1()(

12

12

2

12

12

1

)2()1(

)2()1(

p

p

210

21

22

1 )1(

PRZYKŁAD 1Reakcje dynamiczne w odcinkach przewodu posiadają wartości:

Wektory tych reakcji zaznaczono na rys.5.

211111 SQR

21

222

222222 SSQR

21

21

213

233333 SSQR

PRZYKŁAD 1

Rys.5. Rozkład obciążeń przewodu hydraulicznego

PRZYKŁAD 1Ich suma daje wektor reakcji strumienia R. Przecinając kierunek reakcji ze ścianką przewodu 0-1 wyznaczono punkt A zaczepienia siły wypadkowej R. Wartość reakcji wynosi przy tym:(f)

natomiast reakcji wypadkowej R: (g)

23R

23R

cos2 322

32

223 RRRRR

cos2 2312

232

1 RRRRR

PRZYKŁAD 1

gdzie:

oraz

222

2cos2cos2 23132

23

22

21

RRRRRRRR

REAKCJA PRZY UDERZENIU

STRUMIENIA O PRZEGRODĘ

Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę

Zagadnienie to należy rozpatrzyć oddzielnie jako:


Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny


Założono, że struga płynu porusza się poziomo i uderza o nieruchomą przeszkodę w postaci płaskiej pionowej ściany ustawionej prostopadle (Rys.6),

Rys.6. Rozkład obciążeń strumienia przy uderzeniu

o ścianę nieruchomą ustawioną prostopadle


Pole powierzchni ściany jest znacznie większe od pola przekroju S strugi. Struga uderzając w ścianę ustawioną prostopadle rozpływa się na powierzchni ściany.

Pęd strugi określa reakcję dynamiczną po przemnożeniu przez natężenie przepływu Q:

(13)

Nie występuje przy tym reakcja styczna do ściany.

P

2 SQPQR


lub ukośnie, pod kątem α do poziomu (rys.7).

Rys.7. Rozkład obciążeń strumienia przy uderzeniu o ścianę nieruchomą ustawioną ukośnie


W przypadku uderzenia strugi o ścianę pochyłą reakcja dynamiczna posiada kierunek prostopadły do ściany o wartości odpowiadającej rzutowi wektora pędu:

(14)

Składowa styczna reakcji:

(15)

sinsin 2SPQR

coscos''' 2SPQTTT


Założono, że struga o polu przekroju S z prędkością ν uderza w przegrodę, przemieszczającą się z prędkością u (rys.8).

Rys.8. Rozkład oddziaływań na ścianę zakrzywioną ruchomą


Reakcja strumienia o natężeniu przepływu Q posiada wartość:

(16)gdzie:

jest prędkością względną.

'' QR

0' u


Z prawa ciągłości przepływu wynika równość:

(17)stąd

(18) Podstawiając (18) do równości (16) określono reakcję dynamiczną strumienia.

(19)

')( QuSSQ

)('

uQQ

22

)()(' uSuQRR


Maksymalna wartość reakcji występuje dla i wynosi:

Moc strumienia wynosi:

(20)

21

max u

QSR41

41 2

max

2)( uSuRuP 3

max 81 SP


W drugim przypadku rozpatrzono uderzenie strumienia cieczy o ścianę zakrzywioną, stanowiącą model łopatki turbiny (Rys.9)

Rys.9 Rozkład oddziaływań na ścianę zakrzywioną


Reakcję dynamiczną strumienia wyznaczono z zasady pędu strumienia i stanowi ona wektor: (21)gdzie:

(22)Składowe wektora prędkości w układzie współrzędnych

(x, y) wynoszą:

(23)

R

)( 21 QR

u 11 ' uv 22 '

uX '1 cos)('2 uX 0'1 y sin)('2 uy


Na tej podstawie wyznaczono składowe reakcji dynamicznej:

(24)

Moduł reakcji dynamicznej wynosi: (25)

(26)

)cos1)(()''( 21 uQQR XXx

sin)()''( 21 uQQR yyy

2222 sin)cos1()( uQRRR yx

2sin)(2 uQR SQQQ 21


Wektor reakcji jest nachylony do poziomu pod kątem:

(27)

Moc reakcji strumienia przy uderzeniu o łopatkę wynosi: (28)

Składowa pionowa posiada moc równą zero.

22

tgRR

tgx

y

)cos1)(( uQuuRP x

yR


Maksymalna wartość reakcji strumienia występuje dla kąta α=180˚ i wynosi:

(29)

Przyjmując prędkość otrzymano maksymalną wartość reakcji i mocy strumienia dla kąta α = 180˚:

(30)

)(2)(2max uSuQR

)(2)(2max uSuuQuP

21

u

2max* SQR 32

max 21

21* SQP


Rozwiązaniem technicznym, wykorzystującym maksymalną moc strumienia przepływu, jest turbina Eltona, w której kąt rozwarcia łopatki jest jednak mniejszy niż 180˚ (rys.10).

Rys.10. Rozkład obciążeń dla łopatki Peltona


Turbina wodna Eltona jest złożona z dwóch łopatek, tworząc figurę symetryczną. Łopatka ta znalazła dość szerokie zastosowanie w urządzeniach technicznych związanych z turbiną Peltona.

Rys.11. Turbina wodna Peltona

PRZYKŁAD 2

PRZYKŁAD 2

Obliczyć reakcję dynamiczną strumienia wody przepływającego przez kołowy otwór w ścianie nachylonej do poziomu pod kątem α do przewodu o średnicy d, jeżeli prędkość strumienia wynosi ν (rys.12)

Rys.12. Rozkład obciążeń

strugi

PRZYKŁAD 2ROZWIĄZANIE:

Natężenie przepływu:

Reakcje strumienia wody wpływającej do otworu oraz wypływającej są równe i wynoszą:

Całkowita reakcja strumienia jest różnicą obydwu wektorów:

)4

(2dSQ

1R2R

22

1 4 dQR 12 RR

21 RRR

PRZYKŁAD 2Składowe reakcji w kierunkach osi x, y wynoszą :

Całkowita reakcja strumienia posiada wartość:

2sin2)cos1(cos 2

1121 RRRRRx

sinsin 12 RRRy

cos2 212

22

12 RRRRR

2sin22)cos1(2 2

12

12 RRR

2sin

22sin2 2

2

1 dRR

PRZYKŁAD 2Maksymalna wartość reakcji:

dla α = 180˚Minimalna wartość reakcji:

dla α = 0Obliczono moc strumienia:

22

max 2dR

0min R

2sin

23

2 dRP

PRZYKŁAD 2oraz moc maksymalną:

dla α = 180˚ Reakcja jako wypadkowa posiada położenie zaznaczone na rys.13.

Rys.13. Rozkładobciążeń strugi

32max 2

1 dP

R

REAKCJA DYNAMICZNA PŁYNU MECHANIKA PŁYNÓW

Documents

Transcript of REAKCJA DYNAMICZNA PŁYNU MECHANIKA PŁYNÓW