WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu

WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynuprzez odkształcalne ciało porowate;

Biomechanika przepływów

WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;

Na tym wykładzie omówione zostaną podstawowe relacje opisujące procesy : wymianyciepła, dyfuzji, oraz mechaniki przepływu płynów podczas przepływu przez ciało porowate.

Wymiana ciepła

Ruch ciepła (wymiana ciepła) jest to pojęcie obejmujące cały kompleks zagadnieńprzenoszenia ciepła miedzy ciałami – względnie między częściami tego samego ciała- uwarunkowany występowaniem różnicy temperatur.

różnica temperatur wymiana ciepła

p

vzyx

p cq

zq

y

q

xq

ctT 1

gęstość strumienia cieplnego q (obciążenie cieplne) [ W / m2 ]


vp qqdivctT

lub w innej notacji:

podstawiając wyrażenie na pierwsze prawo Fouriera:

dxdT

qx

vp qzT

zyT

yxT

xc

tT

Jest to ogólne równanie przewodzenia ciepła w ciele izotropowym z uwzględnieniemwewnętrznych źródeł ciepła.


w ogólnej postaci λ przybiera postać macierzy:

€

x 0 0

0 λ y 0

0 0 λ z

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

dla materiału ortotropowego

Przykład 1Stacionarne przewodzenie ciepła wzdłuż długiej bryły

stałe temperatury T1 i T2 na ścianach

brak przepływu ciepła wzdłuż osi z

przypadek 2D x – y dla T2=0 rozkładtemperatury opisuje równanie:


Przykład 2 Nieustalone przewodzenie ciapła przez pół-nieskończoną bryłę:

stały strumień ciepła q na granicy ciała

Początkowa tempertaura ciała 0

Analityczne rozwiązanie:


2

2

2

2

2

2

zT

yT

xT

czT

uyT

uxT

utT

pzyx

Jest to równanie energii opisujące rozkład temperatury w poruszającymsię płynie.

Korzystając z definicji pochodnej wędrownej:

zT

uyT

uxT

utT

DtDT

zyx

pc

adyfuzyjności cieplnej:

i wprowadzając operator Laplacea równanie energii przyjmuje postać:

TaDtDT 2


Dyfuzja

Omówimy procesy przenoszenia masy w wieloskładnikowych ośrodkach ze szczególnym uwzględnieniem procesów przepływowych. Najogólniej rzecz ujmującróżne rodzaje transportu masy podzielić można na dwie zasadnicze grupy:

Przenoszenie molekularne - DYFUZJA Makroskopowe mieszanie elementówpłynu - KONWEKCJA

Zaznaczyć należy, że podczas wymiany masy w płynach obydwa sposoby przenoszeniawystępują z reguły jednocześnie.


Jeżeli w różnych punktach płynu składającego się z dwóch składników A i B,pozostającego w spoczynku lub poruszającego się ruchem laminarnym będą różnestężenia obu składników to wówczas wystąpi spontaniczny ruch cząstek z miejsc o stężeniu wyższym do miejsc o stężeniu niższym.

Mamy doczynienia z procesem DYFUZJI

Stężenie dyfundującej substancji może być określone w postaci stężenia masowego,molowego lub odpowiednich stężeń ułamkowych. Wzory definicyjne zestawionoponiżej:

stężenie masowe składnikaVmi

i

stężenie molowe składnika

i

iii MV

nc

stężenie molowe dla gazów doskonałych

TR

pc i

i



ułamek masowy składnika

i

iw

ułamek molowy składnika w fazie ciekłejcc

nn

x i

i

ii

ułamek molowy składnika w fazie gazowej

pp

cc

x iii

gdzie: mi – masa składnika; V – objętość mieszaniny; ni – liczba moli składnika;pi – ciśnienie cząstkowe; Mi – masa molowa; ρ, c, p – odpowiednie wielkości dla mieszaniny.


Każdy składnik dyfundujący w mieszaninie przemieszcza się z właściwą sobie prędkością vi względem układu współrzędnych umiejscowionych w przestrzeni.Stąd wypadkowa prędkość mieszaniny, w zależności od użytych stężeń, może byćobliczona jako :

lokalna średnia prędkość masowa

n

iii v

v 1

lub jako:

lokalna średnia prędkość molowa

c

vc

c

vcv

n

iii

n

ii

n

iii

1

1

1


Rozpatrując dyfuzję składnika w strumieniu płynu opieramy się na doświadczalnymprawie FICKA, które dla warunków izotermicznych i izobarycznych wyrażone jestwzorem:

dxdc

DJ AABAX

lub dla dowolnych warunków:

dxdy

DcJ AABAX

molowa gęstość strumienia w kierunku x [ mol / m2 * s ]

współczynnik dyfuzji [ m2 / s ]

prawo FICKA

Równanie KONWEKCJI - DYFUZJI


Równanie to można zapisać w postaci:

AAABA RcD

DtDc 2

równanie KONWEKCJI - DYFUZJI

Dla współrzędnych prostokątnych:

AAAA

ABA

zA

yA

xA R

zc

yc

xc

Dz

cu

yc

uxc

ut

c

2

2

2

2

2

2


Gdy nie zachodzą przemiany chemiczne :

AABA cD

DtDc 2

A dla płynów w spoczynku u = 0:

AABA cDt

c 2 drugie prawo Ficka

Ogranicza się ono do opisu dyfuzji w ciałach stałych oraz płynach nieruchomych, pełna analogia do drugiego prawa Fouriera jest oczywista.


Przykład 1 Jednokierunkowa nieustalona dyfuzja w roztworze rozcieńczonym

Równanie Konwekcji –dyfuzji przyjmuje postać:

€

−∂c

∂t+

∂

∂xD

∂c

∂x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= 0

Dla warunku początkowego postaci:

€

c x, t0( ) = exp−x 2

4Dt0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Stałej wartości współczynnika dyfuzji D =const. I dla warunków brzegowych postaci:

€

c ±x0, t( ) =t0

texp

−x02

4Dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Analityczne rozwiązanie przyjmuje postać:

€

c ±x, t( ) =t0

texp

−x 2

4Dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟


Przepływ płynu:

równanie ciągłości:

0

3

3

2

2

1

1

txu

xu

xu

Dla cieczy nieściśliwej:

03

3

2

2

1

1

xu

xu

xu

Lub w notacji wektorowej:

0udiv


relacje konstytutywne :

€

σ ij = −pδij + τ ij

naprężenia lepkie są proporcjonalne do odkształcenia:

€

τ ij = μ∂ui

∂x j

+∂u j

∂x i

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

delta Kroneckera = 1 dla i=j =0 dla i≠j

lepkość dynamiczna [Pa s]

Dla ośrodka ciągłego równanie ruchu przybiera postać:

€

∂ui

∂t+

∂ui

∂xk

uk

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

∂p

∂x i

+∂τ ik

∂xk

+ f iV


po podstawieniu wyrażeń na naprężenia otrzymujemy:

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xp

gzu

uyu

uxu

ut

u xxxx

xz

xy

xx

x

2

2

2

2

2

21

z

u

y

u

x

u

yp

gz

uu

y

uu

x

uu

t

u yyyy

yz

yy

yx

y

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

zp

gzu

uyu

uxu

ut

u zzzz

zz

zy

zx

z


Lub stosując pojęcie pochodnej wędrownej:

iii upg

DtDu 21

RÓWNANIE NAVIERA - STOKESA

Równanie to opisuje w pełni przepływ lepkiego płynu Newtonowskiego.


Przepływ płynu przez deformowalne ciało porowate:

Rozważmy ciało stałe które jest porowate, a jego pory wypełnione są płynem. Zakładamy, żeciało się deformuje a płyn porusza w stosunku do niego. Dana konfiguracja w chwili t opisanajest na rys. tB . Pozycja punktu P w układzie traktowanym jak ciało ciągłe, opisana jest tr. Parametry fizyczne opisujące stan punktu P to: prędkość ciała stałego u , prędkość płynu q[(strumień objętościowy)/ przez jednoskę powierzchni mieszaniny], i ciśnienie w płynie p.

Stan równowagi dla ciała stałego:

€

1−ε ()∇Tσs+1−ε ()ρsb+k

−1εq−1−ε ()ρs˙ ̇ u =0

naprężenia w ciele stałym

porowatość

macierz przepuszczalności

gęstość ciała stałego

siły masowe

przyśpieszenie ciała stałego


Stan równowagi plynu:

€

ε∇p + ερ f b − k−1εq −ερ f ˙ v f = 0

(uogulnione prawo Darcy)

wykorzystując relację:

€

q = ε v f − ˙ u ( )

możemy otrzymać:

€

−∇p + ρ f b − k−1q − ρ f ˙ ̇ u −ρ f

ε˙ q = 0

jeżeli teraz pomnożymy to przez ε i dodamy do równania na stan równowagi ciała stałego:

€

∇Tσ + ρb − ρ˙ ̇ u − ρ f ˙ q = 0

gdzie:

€

σ = 1−ε( )σ s −εmp mT=[1 1 1 0 0 0] wektor (ciśnienie ma wpływ tylko nanaprężenia normalne)


Potrzebne jest równanie konstytutywne dla ciała stałego:

€

σ ' = CE e − eP( )

odkształcenie całkowite odkształcenie ciała stałego na skutek ciśnienia p

€

e p = −m

3KS

p

równanie dla płynu:

€

∇Tq + mT −mTCE

3KS

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟˙ e +

1−ε

Ks

+ε

K f

−mTCE m

9Ks2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟˙ p = 0

(dla danej konfiguracji i danej porowatości)


W analizie numerycznej problemu można uwzględnić zmiany porowatości:

€

∇T ρ f q( ) +∂ ρ fε( )

∂t= 0

i dalej:

€

∇T ρ f q( ) +ερ f

K f

∂p

∂t+ ρ f

∂ε

∂t= 0

moduł ściśliwości płynu

WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu

Documents

Transcript of WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu