OBLICZENIA POLA PRZEPŁYWU Musimy wyznaczyć pole przepływu, ale i w nim mogą być nieliniowości. 6.2-1 Człon ciśnieniowy Zaczynając dyskretyzację równania pędu w kierunku x (rys. 6.1) jedynym nowym członem jest człon ciśnieniowy -dp/dx, który należy scałkować w objętości kontrolnej. W wyniku otrzymamy spadek ciśnienia pw-pe, który wyraża siłę ciśnieniową netto wywartą na objętość kontrolną na objętość kontrolną o jednostkowym polu przekroju. Celem wyrażenia pw-pe w zależności od ciśnienia w punktach węzłowych, możemy założyć liniowy profil zmienności ciśnienia. Jeżeli dodatkowo powierzchnie między objętościami kontrolnymi umiejscowione są w połowie odległości między nimi, to mamy

222

EwEPPwew

pppppppp +=

+−

+=− (6.1)

Rys. 6.1 Trzypunktowa siatka. Oznacza to, że równanie pędu posiada różnicę ciśnienia pomiędzy punktami P i W, z wyłączeniem punktu P. Oznacza to, że siatka , na której wyznaczane jest pole ciśnienia jest dwa razy rzadsza od stosowanej siatki. Zmniejsza to dokładność rozwiązania. Inną komplikacją, jednak może być, to co jest widoczne na rys. 6.2, gdzie przedstawiono ciśnienie przy pomocy wartości węzłowych. Charakter

zygzakowaty pola ciśnienia nie może być uważany za realny, ale dla każdego punktu P odpowiadająca różnica pW - pE wynosi zero!!!. Stąd wynika, że równanie pędu będzie „brało pod uwagę” stały charakter ciśnienia, które w rzeczywistości będzie miało charakter falowy. Tego typu niebezpieczeństwo będzie jeszcze bardziej zaakcentowane w przypadku dwuwymiarowym. W podobny sposób jak równanie w kierunku x jest pod wpływem pW - pE, to równanie w kierunku y jest pod wpływem pS – pN; i wówczas ciśnienie pp nie odgrywa żadnej roli. Mając to na uwadze, możemy wnioskować, że pole ciśnienia pokazane na rys. 6.3, które jest utworzone z czterech dowolnych wartości ciśnienia zaaranżowanych na wzór szachownicowy, nie powodowałoby siły ciśnieniowej w kierunku x i y.

Rys. 6.2 Zygzakowate pole ciśnienia.

Rys. 6.3 Szachownicowe pole ciśnienia. Stąd też , z punktu widzenia równania pędu, silnie nieliniowe pole ciśnienia byłoby uważane za stałe pole ciśnienia. Tego typu pole ciśnienia powstawałoby podczas procedury iteracyjnej i nic nie byłoby w stanie zatrzymać tego, a równanie pędu byłoby nieświadome obecności tak zmienionego pola ciśnień. Liczby, użyte na rys. 6.2 i 6.3 nie mają żadnego znaczenia praktycznego, po prostu pokazują wzór ułożony z dowolnych liczb. W przypadku trójwymiarowym, mógłby powstać nawet bardziej złożony wzór, który byłby interpretowany jako stałe pole ciśnienia. Jeżeli jako rozwiązanie pola ciśnienia otrzymuje się takie rozwiązanie to jest ono bezwzględnie niepożądane. Jakiekolwiek dodanie pola ciśnienia typu szachownicowego powoduje powstanie nowego pola ciśnienia. 6.2-2 Dyskretyzacja równania ciągłości Podobny problem powstaje gdy próbujemy skonstruować równanie dyskretyzacyjne równania ciągłości. Dla przypadku ustalonego 1D przy stałej gęstości, równanie ciągłości ma postać

0=dxdu (6.2)

Całkując w granicach objętości kontrolnej z rys. 6.1 0=− we uu (6.3)

Użycie profilu liniowego dla u oraz centralnego usytuowania granic objętości kontrolnej, prowadzi do

022

=+

−+ PwEP uuuu

(6.4)

lub

0=− WE uu (6.5)

Wynika stąd, że zdyskretyzowane równanie ciągłości wymaga równości prędkości w punktach węzłowych odległych od siebie o 2 punkty, a nie o 1. Wynikiem tego jest pole prędkości typu z rys. 6.4, które nie są rzeczywiste, ale spełniają zdyskretyzowane równanie ciągłości (6.5). W przypadkach 2D i 3D można stworzyć podobne charakterystyki prędkości, czyli takie które spełniają równanie ciągłości, ale nie mają racjonalnego wytłumaczenia fizycznego.

Rys. 6.4 Falowe pole prędkości. Tego typu problemy muszą być rozwiązane zanim sformułowana

zostanie metoda numeryczna rozwiązania pola prędkości i ciśnienia. W

literaturze przedmiotu można znaleźć kilka metod, w których tego typu

problemy nie poświęcono zbyt wiele uwagi. W takich przypadkach,

nierealne rozwiązania są unikane poprzez specjalne traktowanie w

warunkach brzegowych, przewymiarowanie warunków brzegowych,

podrelaksację celem wygładzenia strzału początkowego, czy też

ostatecznie szczęśliwy przypadek. Niestety, większość z tych metod

zaakceptowałaby pole prędkości i ciśnienia z Rys. 6.2 – 6.4 jako dobre

rozwiązania, i należy przy ich użyciu stosować specjalnych trików aby

ustrzec się tego typu pułapek.

Zanim przejdziemy do opisania sposobów ominięcia tego typu problemów, należy zauważyć, że większość problemów w analizie numerycznej jest związana z pierwszymi pochodnymi. Druga pochodna zawsze stabilna i nie przedstawia trudności. Z drugiej strony, wszystkie komplikacje, na jakie natrafiliśmy w dziale konwekcyjnym można odnieść do pierwszej pochodnej reprezentującej człon konwekcyjny; natomiast w tym przypadku, pierwsze pochodne ciśnienia (w równaniu pędu) oraz prędkości (w równaniu ciągłości) powodują różnego rodzaju nonsensy. 6.3 SPOSÓB: SIATKA PRZESTAWIONA Problemy, z którymi spotkaliśmy się dotychczas mogą zostać rozwiązane w taki sposób, że nie musimy wyznaczać wszystkich zmiennych w tych samych punktach węzłowych. Możemy, jeżeli wymaga tego sytuacja, ustawić osobną siatkę obliczeniową dla każdej ze zmiennych zależnych. Oczywiście, nie trzeba korzystać z tej formy, jeżeli nie idą za tym żadne korzyści. W przypadku składowych pola prędkości można skorzystać bardzo wydatnie z faktu, że można je zorganizować na różnych siatkach niż dla innych zmiennych. Spowoduje to, że pozbędziemy się kłopotów opisanych powyżej. Tego typu przestawiona siatka ("staggered" grid) została zastosowana w procedurze SIMPLE Patankara i Spaldinga (1972a). W siatce przestawionej składowe prędkości są wyznaczane dla punktów, które leżą na granicy objętości kontrolnych. Z tego względu, składowa prędkości u w kierunku x jest liczona na powierzchniach, które są prostopadłe do kierunku x.

Rys. 6.5. Siatka przestawiona dla u Lokalizacje dla prędkości u są pokazane na rys. 6.5 poprzez krótkie strzałki, podczas gdy punkty węzłowe (odtąd będą nazywane jako główne punkty węzłowe) są pokazane jako otwarte kółka. Linia przerywana wskazuje na powierzchnie graniczne między objętościami kontrolnymi. Można zauważyć, że w odniesieniu do głównych punktów węzłowych, lokalizacja u jest przestawiona tylko w kierunku x. Innymi słowy, lokalizacja dla składowej u znajduje się na linii na kierunku x łączącej dwa sąsiadujące główne punkty węzłowe. W zależności czy lokalizacja u znajduje się dokładnie w połowie drogi między punktami węzłowymi zależy od sposobu, w jaki rozmieszczone są objętości kontrolne. Lokalizacja u musi się znajdować na powierzchni granicznej objętości kontrolnej niezależnie od faktu, czy ta leży w równej odległości między punktami węzłowymi. Łatwo jest spostrzec w jaki sposób lokalizacje składowych prędkości ϑ i w miałyby być zdefiniowane. Na rys. 6.6, pokazano 2D siatkę, wraz z lokalizacjami dla u i ϑ na odpowiednich powierzchniach objętości kontrolnych. Można sobie również wyobrazić odpowiednie rozmieszczenia punktów siatki dla sytuacji 3D.

Rys. 6.6 Przestawione lokalizacje dla u i ϑ. → = u; ↑ = ϑ; o = inne zmienne. Natychmiastową konsekwencją przestawionej siatki są przepływy przez powierzchnie objętości kontrolnych (Γ), których składowe prędkości wyznacza się bez konieczności interpolacji. Jednakże, tego typu cecha, aczkolwiek pozytywna w ustawianiu ogólnego równania dyskretyzacyjnego dla φ, nie jest najważniejszą cechą siatki przestawionej. Zalety są dwie. Dla typowej objętości kontrolnej (pokazanej jako obszar zacieniony na rys. 6.6) łatwo zauważyć, że zdyskretyzowane równanie ciągłości zawiera różnice składowych prędkości dla sąsiadujących punktów, a to zabezpiecza przed falowym polem prędkości (np. z rys. 6.4) w równaniu ciągłości. W przypadku siatki przestawionej, jedynym “odpowiednim polem prędkości” byłoby takie, które spełnia równanie ciągłości. Drugą ważną zaletą siatki przestawionej jest to, że różnica ciśnień pomiędzy dwoma sąsiadującymi punktami staje się teraz siłą napędową dla składowych prędkości zlokalizowanych pomiędzy tymi punktami węzłowymi. W konsekwencji, pola ciśnień (jak z rys. 6.2 i 6.3) nie byłyby już “odczuwane jako stałe pola ciśnień i nie powstawałyby jako możliwe rozwiązania.

Trudności opisane powyżej były cechą charakterystyczną wyznaczania wszystkich zmiennych na tych samych punktach węzłowych. Tego problemu nie ma w przypadku siatki przestawionej. Ma to jednak też i swoją cenę. Program komputerowy oparty na siatce przestawionej musi mieć zakodowane indeksowanie oraz informacje geometryczne dotyczące składowych prędkości i musi wykonywać raczej żmudne interpolacje. Jednak, należy stwierdzić, że korzyści użycia siatki przestawnej daleko przewyższają nakłady. 6.4 RÓWNANIA PĘDU Należy jeszcze raz nadmienić, że jeżeli dane jest pole prędkości, to rozwiązanie równania pędu można szukać na drodze rozwiązania równania konwekcji-dyfuzji dla zmiennej ogólnej φ. W równaniu pędu, φ oznacza stosowny składnik prędkości, a Γ i S muszą mieć narzucone ich odpowiednie znaczenia. Założenie siatki przestawnej powoduje jednak, że zdyskretyzowana postać równania pędu jest nieco inna niż pozostałe równania dyskretyzacyjne, wyznaczone dla głównych punktów węzłowych. Nie jest to jednak taka wielka wada. Przestawiona objętość kontrolna dla równania pędu w kierunku x jest pokazana na rys. 6.7. Jeżeli skoncentrujemy się tylko na składowej u, to nie zauważymy niczego szczególnego dla tej OK. Jej powierzchnie leżą pomiędzy punktem e oraz odpowiednimi lokalizacjami punktów sąsiadujących u. Objętość kontrolna jest, jednak, przestawiona w odniesieniu do normalnej OK. wokół punktu P. Przesunięcie występuje jedynie w kierunku x, tak, że powierzchnie prostopadłe do tego kierunku przechodzą przez główne punkty węzłowe P i E. Ten rozkład pokazuje jedną z zalet siatki przestawionej. Różnica pP-pE może być użyta do wyznaczenia siły ciśnieniowej działającej na OK. w przypadku prędkości u.

Rys. 6.7 Objętość kontrolna dla u. Obliczenie współczynnika dyfuzji oraz masowego natężenia przepływu na powierzchniach OK. pokazanej na rys. 6.7. wymaga stosownej interpolacji; niemniej podobna interpolacja do tej pokazanej w przypadku konwekcji-dyfuzji, może zostać zastosowana. Wynikające równanie dyskretyzacyjne ma postać ( ) eEPnbnbee Appbuaua −++= ∑ (6.6)

Liczba członów sąsiadujących zależy od wymiaru zagadnienia. Dla sytuacji 2D pokazanej na rys. 6.7 pokazano czterech sąsiadów u poza objętością kontrolną; w przypadku 3D, należałoby włączyć 6 sąsiadów u. Sąsiadujące współczynniki anb opisują połączoną konwekcję-dyfuzję na granicach objętości kontrolnej. Człon b jest zdefiniowany podobnie jak człony źródłowe (5.57) czy (5.62), ale człon ciśnieniowy nie jest włączony w wielkościach źródłowych SC i SP. Gradient ciśnienia powoduje istnienie ostatniego członu w (6.6). Jako że musimy także wyznaczyć pole ciśnienia, niestosownym byłoby włączenie ciśnienia do członu źródłowego równania pędu. Człon (pP-pE)Ae oznacza siłę ciśnieniową działającą na OK. u, Ae – powierzchnia działania ciśnienia. Dla 2D Ae = Δy × 1, w 3D Ae = Δy Δz.

Rys. 6.8 Objętość kontrolna dla ϑ. Równania pędu dla innych kierunków są rozważane w podobny sposób. Na rys. 6.8 pokazano OK. dla kierunku y równania pędu; jest ona przesunięta w kierunku y. Równanie dyskretyzacyjne dla ϑn ma postać ( ) nNPnbnbnn Appbaa −++= ∑ ϑϑ (6.7)

gdzie (pp - pN)An jest odpowiednią siłą ciśnieniową. W przypadku 3D można zapisać podobne równanie dla składowej w. Równania pędu mają rozwiązanie jedynie w przypadku gdy dane jest pole ciśnienia lub jest oszacowane w jakiś sposób. Dopóki nie będziemy znali właściwego pola ciśnienia, to wynikowe pole prędkości nie będzie spełniało równania ciągłości. Takie niedokładne pole prędkości, oparte na zgadniętym polu ciśnienia p* oznaczmy przez u*, ϑ*,w*. Wielkości z gwiazdkami będą wynikały z rozwiązania następujących równań dyskretyzacyjnych:

( ) eEPnbnbee Appbuaua **** −++= ∑ (6.8)

( ) nNPnbnbnn Appbaa **** −++= ∑ ϑϑ (6.9)

( ) tTPnbnbtt Appbwawa **** −++= ∑ (6.10)

W tych równaniach składowe prędkości i ciśnienia posiadają indeks górny *. Lokalizacja t leży na kierunku z pomiędzy punktami P i T. 6.5 KOREKTA CIŚNIENIA I PRĘDKOŚCI Celem naszym jest znalezienie sposobu poprawienia odgadniętego ciśnienia p* tak, że wynikające pole prędkości oznaczone gwiazdką będzie stopniowo zbliżało się do spełnienia równania ciągłości. Załóżmy, że właściwa wartość ciśnienia p składa się z

(6.11) '* ppp +=

gdzie p' będzie oznaczało korektę ciśnienia. Następnie, musimy poznać w jaki sposób składowe prędkości odnoszą się do tej zmiany ciśnienia. W podobny sposób można wprowadzić odpowiednie korekty prędkości u', ϑ', w':

(6.12) ''' *** wwwuuu +=+=+= ϑϑϑ

Jeżeli odejmiemy (6.8) od (6.6), otrzymamy

( ) eEPnbnbee Appuaua '''' −+= ∑ (6.13)

W tym miejscu, na ślepo odrzucamy człon ∑ 'nbnbua z równania (6.13).

Dyskusję tego przeprowadzimy w dalszej części. Na tę chwilę powiedzmy, że zrobiliśmy tak tylko ze względu na ułatwienia numeryczne. W wyniku mamy

( ) eEPee Appua ''' −= (6.14)

lub

( ) eEPe dppu ''' −= (6.15)

gdzie

e

ee a

Ad ≡ (6.16)

Równanie (6.15) nazwiemy korektą prędkości, którą można zapisać w postaci

( ) eEPee dppuu ''* −+= (6.17)

(6.17) pokazuje jak wielkość z gwiazdką ue* ma być korygowana, aby

w konsekwencji korekty ciśnienia, aby dać w wyniku ue. Korekty prędkości w innych kierunkach można zapisać w postaci:

( ) nNPnn dpp ''* −+=ϑϑ (6.18)

( ) tTPtt dppww ''* −+= (6.19)

Stąd, poczyniliśmy wszelkie przygotowania, aby uzyskać równanie dyskretyzacyjne dla p'. Przejdziemy teraz do jego zastosowania. 6.6 RÓWNANIE KORYGUJĄCE CIŚNIENIE Skupimy się teraz na równaniu ciągłości, które przekształcimy w równanie korygujące ciśnienie. Dla celów tego wyprowadzenia, założymy, że gęstość ρ nie jest bezpośrednio zależna od ciśnienia. Później przedyskutujemy konsekwencje tego założenia. Wyprowadzenia poniżej przeprowadzono dla przypadku 3D; wersje 1D i 2D można uzyskać w prosty sposób. Równanie ciągłości ma postać

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

xw

xxu

tρϑρρρ (6.20)

Scałkujemy je po zacienionym obszarze OK. z rys. 6.9. Ta sama OK. była użyta w wyprowadzeniu równania dyskretyzacyjnego dla zmiennej ogólnej φ. Dla celów całkowania członu ∂φ/∂t, zakładamy, że gęstość ρP przeważa w OK. Również składowe prędkości jak ue ulokowane na granicy OK. będą rządziły masowym natężeniem przepływu dla całej powierzchni. Zgodnie z praktyką ze schematu w pełni niejawnego, nowe wartości prędkości i gęstości (tj. te dla czasu t + Δt) założymy, że

przeważają one podczas kroku czasowego; stare wartości gęstości ρP0

(tj., dla czasu t) pojawią się tylko w członie ∂φ/∂t.

Rys. 6.9 OK. dla równania ciągłości. Z tymi założeniami, postać scałkowana (6.20) przedstawia się

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0

0

=ΔΔ−+ΔΔ−+

ΔΔ−+Δ

ΔΔΔ−

yxwwxz

zyuut

zyx

btsn

wePP

ρρρϑϑρ

ρρρρ

(6.21)

Jeżeli teraz podstawimy wszystkie wyrażenia na składowe prędkości podane przez wyrażenia korekty prędkości [w postaci (6.17)-(6.19)], to otrzymamy, po przekształceniach, następujące równanie dyskretyzacyjne dla p':

(6.22) bpapapapapapapa BBTTSSNNWWEEPP ++++++= '''''''

gdzie zyda eeE ΔΔ= ρ (6.23a)

zyda wwW ΔΔ= ρ (6.23b)

xzda nnN ΔΔ= ρ (6.23c)

xzda ssS ΔΔ= ρ (6.23d)

yxda ttT ΔΔ= ρ (6.23e)

yxda bbB ΔΔ= ρ (6.23f)

BTSNWEP aaaaaaa +++++= (6.23g)

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] yxwwxz

zyuut

zyxb

tbns

ewPP

ΔΔ−+ΔΔ−+

ΔΔ−+Δ

ΔΔΔ−=

****

**0

ρρρϑϑρ

ρρρρ

(6.23h)

Odkąd wartości gęstości ρ będą wyznaczone tylko w głównych punktach węzłowych, wartości między OK. takie jak ρe mogą być wyznaczone przy pomocy byle jakiej interpolacji. Jakakolwiek metoda interpolacji, to wartość ρe musi być zgodnie użyta dla dwóch OK., do których powierzchnia należy (zasada I). Można zauważyć z równania (6.23h), że człon b w równaniu korygującym ciśnienie jest praktycznie (pomnożoną przez (-1)) lewą częścią zdyskretyzowanego równania ciągłości (6.21) wyznaczonego w zależności od prędkości z gwiazdką. Jeżeli b=0, to oznacza to, że prędkości z gwiazdką, w połączeniu z osiągalną wartością (ρP

0 - ρP), spełniają równanie ciągłości i nie wymagana jest korekta ciśnienia. Stąd wynika, że człon b reprezentuje “człon masowy”, który musi być wchłonięty przez korektę ciśnienia (poprzez związane z nią korekty prędkości). Mamy teraz sformułowane wszystkie równania wymagane do uzyskania składowych prędkości i ciśnienia. Spójrzmy teraz globalnie na cały algorytm rozwiązania. 6.7 ALGORYTM SIMPLE

Jedna z prostszych procedur umożliwiających obliczenia pola przepływu posiada nazwę SIMPLE (Semi Implicit Method for Pressure-Linked Equations). Procedura jest autorstwa Patankar i Spalding (1972), Caretto, Gosman, Patankar, i Spalding (1972), oraz Patankar (1975). 6.7-1 Sekwencja operacji Ważnymi operacjami, w kolejności ich wykonywania są:

1. Zgadnij pole ciśnienia p*

2. Rozwiąż równania pędu (6.8)-(6.10), celem otrzymania u*, ϑ*, w*

3. Rozwiąż równanie p'. 4. Wyznacz ciśnienie p z (6.11) przez dodanie p' do p* 5. Wyznacz u, ϑ, w z ich wartości z gwiazdką używając zależności

korekt prędkości (6.17)-(6.19). 6. Rozwiąż równanie dyskretyzacyjne dla innych wielkości φ

(temperatura, stopień zapełnienia, wielkości turbulentne) jeżeli wpływają one na pole prędkości poprzez własności płynu, człony źródłowe oraz inne. (Jeżeli dane φ nie ma wpływu na pole przepływu, to lepiej wyznaczyć tę wielkość po otrzymaniu zbieżnego rozwiązania pola prędkości).

7. Potraktować skorygowane ciśnienie jako nową wartość ciśnienia odgadniętą p*, wrócić do punktu 2, i powtórzyć całą procedurę dopóki nie otrzyma się zbieżnego rozwiązania.

6.7-2 Dyskusja równania opisującego korektę ciśnienia Jak pamiętamy odrzuciliśmy człon ∑ '

nbnbua podczas wyprowadzania równania korekty prędkości, zal. (6.17). Należy teraz wytłumaczyć motywację tego postępowania oraz wyjaśnić, że nie miało to wpływu na wyprowadzenie.

1. Jeżeli pozostawilibyśmy wyrażenia typu to musiały by one

być wyrażone w zależności od korekt ciśnienia i korekt prędkości w punktach sąsiadujących u

'nbnbua

nb. Te punkty, z kolei, pociągnęły by za sobą kolejne punkty sąsiednie, itd. Końcowo, zależność korekty prędkości zawierałaby korektę ciśnienia dla wszystkich punktów węzłowych w przestrzeni obliczeniowej, a wynikowe równanie korekty ciśnienia byłoby bardzo obszerne i nie praktyczne do dalszego zastosowania. W końcu brnęlibyśmy w kierunku rozwiązywania bezpośredniego całego układu równań pędu i ciągłości, czegoś czego chcieliśmy uniknąć. Odrzucenie członu pozwala nam na ustawienie równania opisującego p' w postaci ogólnego równania dyskretyzacyjnego oraz przyjąć sekwencyjną procedurę, po jednym równaniu.

∑ 'nbnbua

2. Słowa semi-implicit w nazwie SIMPLE są właśnie po to aby zaznaczyć opuszczenie członu ∑ '

nbnbua . Człon ten reprezentuje nie bezpośredni lub niejawny wpływ korekty ciśnienia na prędkość, korekty ciśnienia w sąsiadujących lokalizacjach wpływają na sąsiadujące prędkości i to powoduje korektę prędkości, na czym nam zależy. Nie rozpatrujemy tego wpływu i dlatego mamy do czynienia ze schematem tylko częściowo niejawnym.

3. Opuszczenie jakiegokolwiek członu byłoby nieakceptowalne, jeśli znaczyłoby to że stracilibyśmy szansę na poprawne rozwiązanie równania pędu i ciągłości. Jednak rozwiązanie przy pomocy procedury SIMPLE nie zawiera żadnego błędu wynikającego z ominięcia . W zbieżnym rozwiązaniu otrzymujemy pole prędkości takie, że wielkości prędkości z gwiazdką spełniają równanie ciągłości. Szczegóły wyprowadzenia równania ciśnienia p są nieważne w świetle faktu uzyskania zbieżnego rozwiązania.

∑ 'nbnbua

4. Warto skoncentrować się na krokach w ostatniej iteracji, po której to deklarujemy pełną zbieżność. Mamy, w wyniku poprzednich iteracji, pewne pole ciśnienia. Używając go jako p* rozwiązujemy równania pędu celem otrzymania u*, ϑ*, w*. Z takiego pola prędkości wyznaczamy człon masowy b do równania korekty

ciśnienia. Jako że to ma być nasza ostatnia iteracja, wartość b powinna wynosić praktycznie zero dla wszystkich objętości kontrolnych, Wówczas, p’=0 dla wszystkich punktów węzłowych byłoby akceptowalnym rozwiązaniem (6.22) i wszystkie prędkości i ciśnienia z gwiazdką byłyby właśnie właściwymi wartościami końcowymi. Stąd wynika, że jeżeli człon masowy b jest wszędzie równy zero, to jest to wystarczającym stwierdzeniem, że mamy do czynienia z właściwym polem ciśnienia i ,że ostatnie rozwiązanie ciśnienia p nie jest potrzebne w ostatniej iteracji. Oczywiście, zbieżne rozwiązanie jest wówczas bez wpływu żadnych aproksymacji poczynionych w wyprowadzaniu równania ciśnienia p, równania, którego nawet nie wykorzystujemy w ostatniej iteracji.

5. Z tego też faktu, człon masowy b służy nam jako wskaźnik zbieżności rozwiązania przepływowego. Iteracje muszą być kontynuowane aż do momentu gdy wartość b we wszystkich punktach będzie wystarczająco mała.

6. Z takim rozumieniem, równanie korekty ciśnienia może być postrzegane jako algorytm pośredni, prowadzący nas do właściwej korekty pola ciśnienia, ale nie mający wpływu na końcowe rozwiązanie. Jak tylko otrzymamy zbieżne rozwiązanie, wszystkie zależności opisujące równanie p' dadzą takie samo rozwiązanie.

7. Szybkość zbieżności będzie jednak zależała od danej specyfikacji równania opisującego p'. Jeżeli ominiemy zbyt wiele członów, wówczas może pojawić się rozbieżność.

8. Podana procedura rozwiązania jest narażona na rozbieżność, chyba że zastosujemy podrelaksację. Z reguły podrelaksujemy u*, ϑ*, w* (w odniesieniu do wartości z poprzedniej iteracji u, ϑ, w) w rozwiązywaniu równania pędu (wraz ze współczynnikiem relaksacji α, wprowadzonym w (4.55), równym około 0.5]; następnie dodajemy tylko część p' do p*. Innymi słowy, zamiast używać (6.11), stosujemy

(6.24) '* ppp pα+=

gdzie αp = około 0.8. Celem równania (6.24) jest wyznaczenie p, które będzie użyte jako p* w następnej iteracji, I tutaj mamy pewną wolność w przyjęciu p* (Proponowane wartości współczynnika relaksacji tj. α=0.5 i αp = 0.8, spełniały wymagania w większości zagadnień przepływowych, ale nie należy ich uważać za wartości optymalne, gdyż tego typu uwarunkowania mogą się zmieniać w zależności od problemu.

9. Należy zauważyć, że podczas każdej iteracji prędkości nie są pozostawiane jako wielkości z gwiazdką, ale są korygowane przy użyciu korekty prędkości. Wynikające pole prędkości spełnia zdyskretyzowane równanie ciągłości, bez względu na fakt, że podstawiane wartości korekty ciśnienia są tylko wartościami przybliżonymi. Wynika stąd, że obliczenia zbiegają się poprzez szereg pól prędkości spełniających równanie ciągłości. Ma to szereg zalet. Pole prędkości, które spełnia spełniające równanie ciągłości jest zawsze lepszym rozwiązaniem niż wielkości prędkości z gwiazdką. Użycie podrelaksacji w odniesieniu do tych prędkości pomaga również utrzymać wielkości z gwiazdką jako sensowne oraz człon masowy na odpowiednio niskim poziomie. Co więcej, rozwiązanie innych równań będzie się odbywało na podstawie pola przepływu spełniającego równanie masy. Należy jednak podkreślić inną rzecz, nie należy podrelaksować korekty prędkości.

10. W wyprowadzaniu równania p' traktujemy gęstość ρ jako znaną, czyli wpływ zmian gęstości na pole ciśnień jest nieuwzględniony. Może to być uważane za dodatkową aproksymację w równaniu p'. Jest to podstawa każdej metody iteracyjnej, która traktuje wiele wpływów na dane równanie w sposób przybliżony, a następnie przenosi komplet informacji do następnej iteracji. Gęstość ρ jest z reguły wyznaczana ze stosownego równania stanu. Zawiera wpływ temperatury, koncentracji, czy ciśnienia. Tak długo jak możemy uzyskać rozwiązanie tak długo wystarcza do rozwiązań przybliżona wartość p'.

11. W przypadku przepływów ściśliwych (przepływy naddźwiękowe), zależność gęstości od ciśnienia może być tak duża, że może prowadzić do rozbieżności schematu. W takich przypadkach należy wyprowadzić wersję równania korekty ciśnienia dla warunków ściśliwych.

12. Można zauważyć, że równanie opisujące p' jest bardzo podobne do równania dyskretyzacyjnego opisującego przewodnictwo cieplne. W zależności opisującej korektę prędkości (6.15), można traktować korektę prędkości ue' jako strumień ciepła wymuszony różnicą temperatur pP' pE'

13. Struktura równania p’ typu równanie przewodnictwa powoduje, że nie wykazuje ono charakteru jednokierunkowego. Wiadomo, że wpływ ciśnienia jest dwukierunkowy czyli innymi słowy eliptyczny. Jednokierunkowy charakter w przepływie w warstwie przyściennej jest osiągany poprzez dodatkowe założenie o polu ciśnienia, np. że pomijamy zmiany ciśnienia w kierunku prostopadłym do przepływu. Przepływy naddźwiękowe wykazują charakter jednokierunkowy.

Warto jest zauważyć ścisłą zależność pomiędzy zachowaniem teoretycznym oraz skutkami obliczeniowymi. 6.7-3 Warunki brzegowe dla równania korygującego ciśnienie Równanie pędu jest szczególnym przypadkiem równania ogólnego na φ , i dlatego ogólne podejście w traktowaniu warunku brzegowego stosuje się i tutaj. Aczkolwiek równanie p' nie jest naszym równaniem podstawowym, to należy poświęcić kilka słów komentarza nt. warunków brzegowych w tym równaniu.

Rys. 6.10 Brzegowa OK dla równania ciągłości. Zwykle mamy do czynienia z dwoma rodzajami warunków brzegowych. Mamy albo dane ciśnienie (i niewiadomą prędkość) lub mamy daną składową prędkości prostopadłą do granicy. Dane ciśnienie na granicy. Jeżeli odgadnięte pole ciśnienia p* jest zaaranżowane w taki sposób, że na granicy mamy p*=pdane, wówczas wartość p' na granicy wynosi zero. Jest to podobne do przypadku danej wartości temperatury w równaniu przewodzenia ciepła. Dana składowa normalna prędkości na granicy. Jeżeli siatka jest zorganizowana w taki sposób, że brzeg pokrywa się z powierzchnią boczną OK. to będziemy mieli do czynienia z sytuacją podobną jak na rys. 6.10. Dana jest prędkość ue. W wyprowadzaniu równania na p' dla pokazanej OK, przepływ przez powierzchnię OK nie powinien być wyrażony w zależności od ue

* oraz odpowiedniej korekty, lecz tylko w zależności od ue. Wówczas, , nie pojawi się pE', lub aE przyjmie wartość zero w równaniu p'. Z tego też względu nie będzie wymagana informacja o pE'.

6.7-4 Względna natura ciśnienia Następujący opis WB na p' prowadzi do subtelnej ale niemniej ważnej kwestii. Wyobraźmy sobie przepływ w pełni rozwinięty o stałej gęstości, w którym dane są wartości prędkości normalnych w każdym punkcie granicznym. Jako że nie jest dane ciśnienie brzegowe i wszystkie współczynniki brzegowe takie jak aE =0, wówczas równanie p' będzie bez możliwości ustalenia wartości bezwzględnej p'. Współczynniki równania p' mają postać aP = ∑ nba , [(6.23g)]; i to oznacza, że p' oraz p' + C(C – dowolna stała) spełniałyby równanie p'. Tego typu sytuacja nie przedstawia kłopotów. W takim przypadku (gdzie gęstość nie jest uzależniona od ciśnienia) absolutna wartość ciśnienia – a stąd i korekty ciśnienia nie ma znaczenia; ważne są jedynie różnice ciśnienia, a te nie ulegają zmianie nawet po dodaniu dowolnej stałej do pola opisującego p'. Ciśnienie jest wówczas wartością względną a nie bezwzględną. Jeżeli wartość bezwzględna p nie jest sprecyzowana, to czy obliczenia zbiegły by się? Szczęśliwym trafem metoda iteracyjna rozwiązywania równań algebraicznych zbiega się do rozwiązania, którego wartość bezwzględna jest zależna od strzału początkowego. Metoda bezpośrednia napotkałaby macierz osobliwą i nie dałaby w wyniku rozwiązania. Pomocne wówczas jest przypisanie wartości p' w jednej OK i rozwiązanie równań p' dla pozostałych OK. Taka sama technika może być użyta w metodzie iteracyjnej, ale pozostawienie p' aby znalazło właściwą wartość daje szybsze rozwiązanie niż naciskanie aby miało ono szczególną wartość w punkcie. Innym sposobem spojrzenia na nieokreślone pole p' jest zauważenie, że równanie ciągłości dla wszystkich OK. nie jest liniowo niezależnym zestawem. Odkąd, w odpowiednio ustalonym zagadnieniu, dane WB musi spełniać równanie masy, to równanie ciągłości dla ostatniej OK. nie przenosi żadnej informacji, która nie byłaby już zawarta w

równaniu ciągłości dla wszystkich innych OK. Stąd, jeżeli tylko jedno z równań OK. jest wykluczone (a wartości p' są tam przypisane), to wynikowe pole prędkości będzie spełniało warunki ciągłości dla wszystkich objętości kontrolnych. W wielu przypadkach wartość bezwzględnego ciśnienia jest dużo większa od lokalnej różnicy ciśnień które są napotykane. Jeżeli używałoby się wartości bezwzględnych ciśnień za p, to powstałyby błędy zaokrąglenia w obliczeniach różnic typu pP-pE. Stąd, najlepiej jest ustawić p=0 jako wartość odniesienia dla stosownego punktu węzłowego i wyznaczać pozostałe wartości ciśnienia w zależności od wartości odniesienia. Podobnie, zanim rozwiążemy równanie p' podczas każdej z iteracji, warto wystartować ze strzału p' = 0 dla wszystkich punktów, tak żeby rozwiązanie na p' nie wymagało dużych wartości bezwzględnych. Gdy ciśnienie jest znane dla niektórych punktów brzegowych, lub gdy gęstość zależy od ciśnienia nie powstaje wówczas nieoznaczoność w obliczeniach ciśnienia. 6.8 ZMODYFIKOWANY ALGORYTM: SIMPLER Nowy algorytm SIMPLER powstał celem poprawienia zbieżności schematu numerycznego (SIMPLE Revised (Patankar, 1979a)). 6.8-1 Motywacja Aproksymacja wprowadzona podczas wyprowadzania równania na p' (opuszczenie członu ) prowadzi do stosunkowo znacznych korekcji ciśnienia, stąd podrelaksacja jest tutaj koniecznie wymagana. Odkąd wpływ punktów sąsiadujących na korektę prędkości jest usunięty z zależności korygującej prędkość, całe zadanie korekty prędkości spada na barki korekty ciśnienia i to właśnie prowadzi do skomplikowanych obliczeń ciśnienia. W większości przypadków można stwierdzić, że

'nbnbua∑

równanie korekcyjne ciśnienia poprawia w sposób poprawny prędkości, lecz raczej źle się zachowuje podczas korekty ciśnienia. Celem docenienia tego argumentu, rozpatrzmy proste zagadnienie, tj. takie gdzie mamy do czynienia z 1D przepływem o stałej gęstości, gdzie prędkość jest zadana na wlocie. Łatwo jest zauważyć, że prędkość w tym zagadnieniu jest zależna tylko od równania ciągłości, i stąd ciągłość spełniająca pole prędkości, uzyskana na końcu pierwszej iteracji, będzie wynikiem końcowym. Wyznaczone ciśnienie, będzie jednakże dalekie od rozwiązania końcowego, z powodu przybliżonej natury równania opisującego p'. Zabrałoby to wiele iteracji zanim ustabilizowałoby się zbieżne pole ciśnienia, pomimo faktu, że pole prędkości ustabilizowało się bardzo wcześnie. Jeżeli zatrudnimy równanie korygujące ciśnienie jedynie w celu korekcji prędkości oraz zabezpieczymy inne możliwości otrzymania poprawionego pola ciśnień, to skonstruujemy bardziej wydajny algorytm. Jest to podstawą SIMPLERa. 6.8-2 Równanie ciśnienia Równanie do wyznaczania pola ciśnienia można wyprowadzić w następujący sposób. Równanie pędu (6.6) najpierw zapisujemy w postaci

( EPee

nbnbe ppd

abua

u −++

= ∑ ) (6.25)

gdzie de zdefiniowano w równaniu (6.16). Zdefiniujmy teraz pseudoprędkość ue w postaci

e

nbnbe a

buau

+= ∑ˆ (6.26)

Można zauważyć, że ue składa się z sąsiadujących prędkości unb i nie zawiera ciśnienia. Równanie (6.25) przybiera postać ( )EPeee ppduu −+= ˆ (6.27)

Podobnie możemy zapisać ( )NPnee ppd −+=ϑϑ (6.28)

( )TPtee ppdww −+= ˆ (6.29)

Łatwo jest zauważyć, podobieństwo tych równań oraz równań (6.l7)-(6.19). Tutaj, û, , ŵ pojawiają się w miejsce uϑ̂ *, ϑ*, w* a ciśnienie p zastępuje p'. Następnie wynika stąd, że jeżeli wyprowadzenia w SIMPLE byłyby dokonywane w oparciu o nowe wyrażenia korygujące prędkości zawierające û, , ŵ to otrzymanoby równanie opisujące ciśnienie. Można to zapisać jako

ϑ̂

bpapapapapapapa BBTTSSNNWWEEPP ++++++= (6.30)

gdzie aE, aW, aN, aS, aT, aB, oraz aP są dane równaniami (6.23a)-6.23g), a b jest w postaci

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] yxww

xzzyuut

zyxb

tb

nsewPP

ΔΔ−+

ΔΔ−+ΔΔ−+Δ

ΔΔΔ−=

ˆˆ

ˆˆˆˆ0

ρρ

ϑρϑρρρρρ

(6.31) Należy zauważyć, że wyrażenie na b jest jedyną różnicą pomiędzy równaniem opisującym ciśnienie (6.30) a równaniem korygującym ciśnienie (6.22). Wyrażenie (6.31) na b wykorzystuje pseudoprędkości û,

, ŵ, podczas gdy b, w przypadku równania na p’, wyło wyznaczane w zależności od wielkości z gwiazdką. ϑ̂

Jako że równania opisujące ciśnienie oraz równanie korygujące ciśnienie są praktycznie identyczne, to jednak istnieje jedna główna różnica. W

przypadku równania opisującego pole ciśnień nie czyniono żadnych przybliżeń. Z tego powodu, jeżeli wprowadzono by właściwe pole prędkości do obliczeń pseudoprędkości, wówczas równanie ciśnienia dałoby w wyniku właściwą wartość ciśnienia. 6.8-3 ALGORYTM SIMPLER Zmodyfikowany algorytm składa się z rozwiązania równania ciśnień celem otrzymania pola ciśnienia oraz rozwiązania równania korygującego ciśnienie celem korekcji prędkości. Sekwencja operacji jest następująca. 1. Startuj ze odgadniętymi wartościami ciśnienia. 2. Wyznacz współczynniki dla równania pędu a stąd wyznacz û, , ŵ z równań (6.26) przez podstawienie wartości sąsiadujących prędkości u

ϑ̂

nb. 3. Wyznacz współczynniki dla równania ciśnienia (6.30) oraz

rozwiąż to celem otrzymania pola ciśnień. 4. Traktując pole ciśnień jako p* rozwiąż równania pędu celem

otrzymania u*, ϑ*, w* 5. Wyznacz człon masowy b [(6.23h)] a następnie rozwiąż równanie

opisujące p'. 6. Skoryguj pole prędkości używając równań (6.17)-(6.19), ale nie

koryguj ciśnienia. 7. Rozwiąż równania dyskretyzacyjne dla innych φ, jeśli wymagane. 8. Wróć do punktu 2 i powtarzaj do osiągnięcia zbieżności. 6.8-4 Dyskusja

1. Łatwo zauważyć, że w przypadku 1D zadanie rozpatrywane powyżej w 6.8-1, algorytm SIMPLER od razu dałby zbieżne rozwiązanie. Ogólnie, jako że równanie korygujące ciśnienie dałoby stosowne pole prędkości oraz równanie ciśnienia dałoby bezpośrednio (bez przybliżeń) właściwe pole ciśnienia, zbieżność byłaby szybsza.

2. W algorytmie SIMPLE odgadnięte pole ciśnienia odgrywa istotną rolę. Z drugiej strony, SIMPLER nie używa zgadywanych ciśnień, ale wydobywa pole ciśnienia z danego pola prędkości.

3. Jeżeli dane pole prędkości okazuje się być tym właściwym polem prędkości, wówczas równanie ciśnienia w algorytmie SIMPLER da w zamian właściwą wartość pola ciśnienia i nie będą wymagane iteracje. Jeżeli, z drugiej strony, to samo właściwe pole prędkości oraz odgadnięte pole ciśnień byłyby użyte w algorytmie SIMPLE, wówczas na samym początku mielibyśmy pogorszenie obliczeń. Użycie odgadniętych ciśnień prowadziłoby to wielkości z gwiazdkami, które byłyby różne od właściwych wielkości prędkości. Wówczas przybliżenia w równaniu opisującym p’ spowodowałyby obliczenie niewłaściwego pola prędkości i ciśnienia po pierwszej iteracji. Zbieżność uzyskana byłaby po szeregu iteracjach, pomimo faktu, że mieliśmy właściwe pole prędkości na początku obliczeń.

4. Z powodu podobieństwa równania ciśnienia oraz równania korygującego ciśnienie, dyskusja w sekcji 6.7-3 o WB dla równania p’, jest ona również obowiązująca dla równania ciśnienia. Co więcej, względna natura ciśnienia omawianego w sekcji 6.7-4 mogłaby być opisana przez odniesienie do równania ciśnienia.

5. Pomimo że SIMPLER charakteryzuje się większą zbieżnością niż SIMPLE, to należy pamiętać, że jedna iteracja wymaga więcej czasu. W odniesieniu do SIMPLE najpierw musi być rozwiązane dodatkowo równanie ciśnień, a po drugie wyznaczenie û, , ŵ nie ma swego odbicia w SIMPLE. Jednakże z powodu, że SIMPLE wymaga mniej iteracji aby osiągnąć rozwiązanie, dodatkowy trud ma swoje uzasadnienie w oszczędności globalnej w czasie obliczeń.

ϑ̂

7. WYKOŃCZENIA PROCEDURY OBLICZENIOWEJ Przedstawiona procedura obliczeniowa ma na celu rozwiązanie sprzężonych równań przy użyciu schematu iteracyjnego. W tym miejscu spójrzmy globalnie na schemat iteracyjny.

1. Technika iteracji odgrywa podwójną rolę: a. Nasze równania, są ogólnie nieliniowe i sprzężone. Sprowadzamy je do nominalnie liniowej postaci oraz wyznaczamy współczynniki z poprzednich iteracji. b. Nominalnie liniowe równania algebraiczne dla jednej zmiennej zależnej są rozwiązywane przy pomocy metody iteracyjnej (np. metoda linia po linii) raczej niż przy pomocy metody bezpośredniej..

2. Rozwiązanie iteracyjne równań algebraicznych nie musi osiągać pełnej zbieżności, gdyż w każdej chwili wykonujemy operacje jedynie na współczynnikach przybliżonych. Po iterowaniu równań dyskretyzacyjnych do pewnego stopnia, musimy powtórzyć obliczenia współczynników. Należy pamiętać o stosownej liczbie iteracji w tym momencie, czyli znalezieniu “złotego środka” pomiędzy liczbą iteracji oraz ponownym wyznaczeniu współczynników.

3. Podobne uwagi dotyczyły zagadnień przedstawionych podczas analizy sprzężenia pomiędzy polem ciśnienia i prędkości. Były one rozwiązywane w sposób sekwencyjny zamiast bezpośredni (np. MES). Rozwiązanie bezpośrednie wymaga ogromnej ilości pamięci operacyjnej oraz pamięci. Jako że równania pędu są nieliniowe ogromne wysiłki komputerowe są przeznaczane na rozwiązywanie równań podczas każdej iteracji. Równanie pędu jest z reguły sprzężone z równaniem energii (poprzez własności fizyczne oraz siły wyporu), z równaniami opisującymi turbulencję (lepkość turbulentna) i innymi. W takim przypadku przeznaczenie całego wysiłku na bezpośrednie rozwiązanie wszystkich równań zamiast podejścia sekwencyjnego wydaje się być niewłaściwe.

4. W omawianej metodzie komputerowej nie ma bezpośredniej różnicy pomiędzy rozwiązaniem zawierającym zagadnienie w pełni ustalone a zagadnieniem, w którym wykonuje się jeden krok czasowy. W przypadku nieustalonym problem jest następujący: Mając dane wartości φ dla czasu t oraz wartości odgadnięte φ dla t+Δt, znajdź wartości φ dla t+Δt. Tak samo jak w przypadku zagadnienia ustalonego musimy wykonać pewną liczbę iteracji dla

każdego kroku czasowego w przypadku nieustalonym. W związku z powyższym będzie wykonywanych szereg tego typu kroków czasowych aby wypełnić nałożony przedział czasowy.

5. Stąd rozwiązanie zagadnienia nieustalonego wymaga wysiłku, który jest porównywalny z rozwiązaniem sekwencji ustalonej w czasie. Jest to częściowa prawda, ale jest też i jedna inna cecha. Dla stosownych wartości Δt, znane wartości φ dla czasu t mogą być użyte jako wartości strzału dla niewiadomej φ w kroku t+Δt. Jako że jest to stosunkowo dobry strzał (w porównaniu ze strzałem, jaki należy wykonać w przypadku ustalonym) i dlatego z reguły wymagana jest jedynie kilka iteracji aby osiągnąć zbieżne rozwiązanie dla danego kroku czasowego. Czasami może to być nawet jedna iteracja. Tego typu metody zawierają z reguły małe kroki czasowe, podczas gdy większa liczba iteracji jest wymagana dla większych wartości Δt.

6. Tego typu metoda jednej iteracji na krok czasowy (one-iteration-per-time-step method) jest czasami używana do otrzymania rozwiązania ustalonego po wykonaniu wielu kroków czasowych. Wówczas, tego typu kroki czasowe są tak naprawdę iteracjami, gdzie człon niestacjonarny daje w pewnym sensie podrelaksację.

7. Program komputerowy, który posiada iterację w ramach kroku czasowego powinien posiadać możliwość przechowania wartości φ w chwili t oraz φ w chwili t+Δt. Program dla warunków ustalonych, z drugiej strony, wymaga pamięci jedynie dla jednego zestawu wartości φ, które są sukcesywnie zmieniane aż do momentu osiągnięcia zbieżności.

8. Technika iteracyjna znacznie upraszcza konstrukcję metody numerycznej oraz pokazuje drogę, na której, przynajmniej z założenia, można rozpatrywać wszystkie nieliniowości oraz sprzężenia. Warto w tym miejscu przyjrzeć się zasadom zbieżności.

a. Cztery zasady podstawowe pozwoliły nam otrzymać takie

równania dyskretyzacyjne, które mogłyby, dla stałych wartości

współczynników, zagwarantować zbieżność metody punkt po punkcie lub linia po linii.

b. Jeżeli współczynniki nie pozostają stałe, ale ich zmiana jest raczej powolna, to raczej zawsze otrzymamy zbieżne rozwiązanie. Właściwa linearyzacja członu źródłowego oraz właściwa podrelaksacja zmiennych zależnych zwolniłaby, w ogólności, zmiany w zmiennych oraz we współczynnikach.

c. Inne zmienne również mogą być podrelaksowane, co przyczyni się do ich szybszego wyznaczenia. Dla przykładu, gęstość ρ jest często głównym ogniwem między równaniami przepływu oraz równaniem temperatury, koncentracji, itp. Podrelaksacja ρ via

( ) oldnew ραραρ −+= 1 (7.1)

spowodowałaby, że pole prędkości przejmowałoby raczej powoli zmiany w polu temperatury czy koncentracji. Współczynnik dyfuzji Γ może być podrelaksowany celem ograniczenia wpływu pola turbulencji na pole prędkości. Wartość Γ jest liczona z warunku

( ) oldnew Γ−+Γ=Γ αα 1 (7.2)

Podobnie jak w (7.1), α oznacza współczynnik relaksacji. Podrelaksacja wymaga aby α było dodatnie, ale mniejsze od jedności. Sprzężenie pomiędzy różnymi zmiennymi często objawia się poprzez człon źródłowy (np. siłą wyporu w równaniu pędu zależy od temperatury). Można podrelaksować człon źródłowy via

( ) oldCnewCC SSS αα −+= 1 (7.3)

Można podrelaksować także WB. Np. gorąca ścianka albo wirująca tarcza nie wymaga założenia swej temperatury końcowej czy prędkości obrotowej od razu od pierwszej iteracji; WB może być powoli dopasowywany w trakcie iteracji, aż do momentu uzyskania wymaganej wartości. Wówczas

( ) oldBnewBB φααφφ −+= 1 (7.4)

Oczywiście, wartości pojawiające się w (7.l)-(7.4) nie muszą być takie same, a także nie trzeba używać wciąż tej samej wartości dla każdego punktu węzłowego.

d. Należy pamiętać, że nie ma ogólnej gwarancji, że dla wszystkich nieliniowości oraz sprzężeń otrzymamy zawsze zbieżne rozwiązanie. Poznane procedury podrelaksacji mogą być pomocne w wielu przypadkach, ale w niektórych przypadkach będą wymagane specjalne procedury podrelaksacji.

9. Jak już zauważyliśmy proces iteracyjny jest zbieżny, gdy kolejne

iteracje nie spowodują znaczących zmian w wartościach zmiennych zależnych. W praktyce proces iteracyjny jest kończony gdy pewne kryterium zbieżności jest spełnione. Właściwe kryterium zbieżności zależy od natury zagadnienia. Zwykle rozpatruje się najbardziej znaczące wielkości otrzymywane w rozwiązaniu ( prędkość maksymalna, całkowite naprężenia styczne, spadek ciśnienia, strumień cieplny) oraz wymaga się aby w dwu kolejnych iteracjach względna zmiana tych wielkości była mniejsza od pewnej małej liczby. Często wymaga się aby względne zmiany w punktach węzłowych dla wszystkich zmiennych zależnych formułowały kryterium zbieżności. Tego typu kryterium może czasami być mylące. Gdy używana jest znacząca podrelaksacja, wówczas zmiany zmiennych zależnych w dwóch kolejnych iteracjach są intencyjnie spowalniane, co może kojarzyć się ze zbieżnością, ale w rzeczywistości szukane rozwiązanie jest jeszcze bardzo odległe. Bardziej znaczącą metodą monitorowania zbieżności jest monitorowanie zgodności równania dyskretyzacyjnego z bieżącymi wartościami zmiennych zależnych. Dla każdego punktu węzłowego, reszta R może być wyznaczona z zależności

PPnbnb abaR φφ −+= ∑ (7.5)

Oczywiście gdy równanie dyskretyzacyjne jest spełnione wówczas R-=0. Właściwym kryterium zbieżności byłoby aby największa wartość |R| była mniejsza od pewnej założonej liczby. Przypadkowo, wartość członu b z (6.22), która jest resztą z równania ciągłości, może być wykorzystana jako jeden ze współczynników zbieżności.

7.2 LINEARYZACJA CZŁONU ŹRÓDŁOWEGO Jedną z zasad podstawowych (zasada 3) wymagała aby w przypadku linearyzacji członu źródłowego zachodził rozkład członu źródłowego na dwie części PPC SSS φ+= (7.6)

gdzie wielkość SP nie powinna być dodatnia. Teraz powrócimy do zagadnienia linearyzacji członu źródłowego celem potwierdzsenia, że często człony źródłowe przyczyniają się do rozbieżności zagadnienia i ich właściwa linearyzacja jest często kluczem do otrzymania zbieżnego rozwiązania. 7.2-1 Dyskusja

1. Ważnym jest monitorowanie niezamierzonych wartości ujemneych członu SP. Na przykład w przypadku współrzędnych walcowych, rθz, równanie pędu dla ϑθ zawiera człon źródłowy ρϑr ϑθ /r. Kuszącym jest wyrażenie tego członu w postaci SC=0 oraz SP=- ρϑr /r. Jeżeli jednak ϑr przyjmie wartości ujemne, wówczas daje to wartości dodatnie SP. Właściwą formulacją byłoby

θϑρϑ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−= 0,

rS r

C (7.7a)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−= 0,

rS r

Pρϑ

(7.7b)

gdzie [[ ]] oznacza większą z wartości w nawiasach. 2. Zawsze możliwym jest założenie SP =0, oraz przyporządkowanie

SC = S. Nie jest to jednak często pożądane. Efekt dużego ujemnego SP jest taki sam jak zbyt dużej podrelaksacji i opóźnia zbieżność. Jak opisano to wcześniej, najlepszym rozwiązaniem jest linearyzacja, która powoduje linię prostą PPC SSS φ+= styczną do rzeczywistej krzywej S ~ φ. Użycie mniejszej wartości SP powoduje pogorszenie właściwego przewidzenia spadku S ze wzrostem φ. Użycie zbyt dużych wartości SP daje większy zapas bezpieczeństwa (czasami pożądane), ale raczej spowalnia zbieżność.

3. Ponieważ człon źródłowy jest z reguły duży, zawsze warto rozpatrywać wartości ekstremalne, gdzie człon źródłowy dominuje równanie dyskretyzacyjne. W takim przypadku możemy zapisać równanie dyskretyzacyjne w postaci.

0≈+ PPC SS φ (7.8)

które prowadzi do rozwiązania

P

CP S

S−=φ~ (7.9)

W tym przypadku, oznacza wartość graniczną φPφ~

P w sytuacji dominującego członu źródłowego. Na rys. 7.1 przedstawiono ten przypadek graficznie. Jeżeli wartość S* odnosi się do bieżącej wartości φPP

* to rozwiązaniem równania dyskretyzacyjnego będzie wartość Pφ

~ , która odpowiada punktowi, gdzie PPC SSS φ+= przecina oś odciętych. Jeżeli S ma większą wartość, będzie bliżej φ *

P Pφ~

PP . Mała wartość SP powoduje większą zmianę w φP od φPP

* do Pφ~ .

Efekt podrelaksacji S jest wówczas oczywisty. P4. Czasami, rozwiązanie gdzie dominuje człon źródłowy może służyć w

zaproponowanie takiej linearyzacji gdzie φP pozostaje w rozsądnym

zakresie. Załóżmy, że bieżąca wartość φPP

* oraz wymagamy aby w następnej iteracji wartość φ była bliższa wartości P Pφ

~ . Można to zabezpieczyć poprzez linearyzację

*

*

ˆˆ

PP

PC

SSφφφ−

−= (7.10a)

*

*

ˆPP

PSSφφ −

−= (7.10b)

Rys. 7.1 Rozwiązanie dla przypadku dominującego członu źródłowego.

Wymagana wartość powinna być wyznaczona z rozważań fizycznych. Na przykład niech φ oznacza udział masowy m

Pφ~

l substancji chemicznej. Z definicji, ml musi znajdować się pomiędzy 0 i 1. Dla bieżącej wartości ml

*, jeżeli S* jest dodatnie, ml będzie się zwiększać i możemy przyjąć = 1. Dla ujemnych wartości S

lm~* , można przyrównać do zera. Możemy być nawet lm~

bardziej konserwatywni i wymagać, aby w jednej iteracji ml przesuwało się tylko w pół drogi w kierunku limitu fizycznego. Wówczas przyjęło by wartość (mlm~ l

*+1)/2 dla dodatnich S* oraz ml

*/2 dla ujemnych S*. Z powodu, że powyższe rozważania dotyczą zagadnienia z dominujących członem źródłowym, to następna wartość iterowana nie będzie dokładnie równa Pφ

~ , gdyż pozostałe człony równania będą miały na nią wpływ. Ponadto, nie kontrolujemy bezwzględnego rozwiązania dla φP, ale postęp w kolejnych iteracjach. Uważamy, aby nie dokonywać gwałtownych zmian wielkości liczonych oraz fizycznie nierealnych wartości powstających podczas procesu iteracyjnego.

4. Zwykle można założyć znaną wartość φ tylko dla WB. Jakkolwiek, każda wymagana wartość φ może być zaaranżowana jako rozwiązanie w danym punkcie wewnętrznym przez nałożenie SC oraz SP w tym punkcie w postaci

(7.11a) desiredPCS ,3010 φ=

3010−=PS (7.11b)

gdzie 1030 oznacza wystarczająco wielką liczbę aby pozostałe człony dyskretyzacji nie liczyły się. W konsekwencji mamy

0≈+ PPC SS φ (7.12)

desiredPP

CP S

S,φφ =−= (7.13)

Tego typu procedura może być użyta do reprezentacji wewnętrznych przeszkód oraz “wysp” w przestrzeni obliczeniowej poprzez włączenie wewnętrznych WB. 7.2-2 Linearyzacja członu dla zawsze dodatnich wartości zmiennych Niektóre wielkości zawsze muszą pozostać dodatnie, np. udział masowy, energia kinetyczna turbulencji, skala turbulencji, strumienie radiacyjne.

Jako że tego typu wielkości posiadają zarówno człony źródłowe dodatnie oraz ujemne (tj. generacja oraz destrukcja) to człon źródłowy netto często może być ujemny. Jeżeli takie zjawisko jest traktowane w sposób niewłaściwy, wówczas zawsze dodatnia wielkość może przypadkowo przyjąć zdecydowanie ujemną wartość. Zasada podstawowa o dodatnich współczynnikach (Zasada 2) jest zasadniczym kryterium zabezpieczającym fizycznie realne wyniki. Dodatkowym wymaganiem dla zawsze dodatnich zmiennych jest aby SC było zawsze dodatnie (a SP zawsze ujemne). Zagwarantowanie tych warunków spowoduje, że nie będziemy mieli do czynienia z ujemnymi wartościami φ. Jest kilka sposobów gwarantujących dodatność SC. Załóżmy że (7.14) 0,0 2121 >>−= SSSSS

gdzie S1 jest dodatnią częścią członu źródłowego oraz S2 jest jego częścią ujemną. Mając

P

SSSφ

21 −= (7.15)

nakładamy 1SSC = (7.16a)

oraz

*2

PP

SS

φ−= (7.16b)

gdzie φPP

* jest bieżącą wartością φ . P

7.3 GEOMETRIE NIEREGULARNE Zaproponowaliśmy naszą metodę numeryczną w układzie kartezjańskim. Niestety większość zagadnień nie zawsze można opisać w takim układzie współrzędnych i należy przeanalizować, w jaki sposób można zastosować naszą metodę do geometrii nieregularnych. 7.3-1 Współrzędne krzywoliniowe ortogonalne Nie wymagane jest wyprowadzenie metody numerycznej dla przypadku walcowego czy sferycznego, czy nawet ogólnego we współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych. Co więcej można zastosować siatkę ortogonalną krzywoliniową jak na rys. 7.2. Dla takiej siatki, wyznaczenie poszczególnych długości, powierzchni i objętości nie jest już tak bezpośrednie jak w przypadku siatki kartezjańskiej, ale sposób jest bardzo podobny.

Rys. 7.2 OK. w siatce ortogonalnej krzywoliniowej.

Warunek ortogonalności siatki jest jednak bardzo ważny w stosowaniu metody, gdyż wyznaczamy strumień dyfuzji przez powierzchnię objętości kontrolnej w zależności od wartości φ dla dwóch punktów węzłowych i krytycznym jest aby powierzchnia między OK. była prostopadła do linii łączącej dwa punkty węzłowe. Dla dowolnego kształtu przestrzeni obliczeniowej konstrukcja ortogonalnego układu krzywoliniowego jest bardzo poważnym problemem. Jeżeli jesteśmy w stanie stworzyć taką siatkę, wówczas użycie współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych jest bardzo przydatne w wyznaczaniu nieregularnych geometrii. 7.3-2 Siatka regularna z obszarami wyłączonymi Czasami program komputerowy napisany dla siatki regularnej (no. Kartezjańskiej) może być przekształcony do obliczeń kształty nieregularne. Można tak zrobić poprzez wyłączenie części OK., “blocking-off", w taki sposób że pozostałe OK tworzą przestrzeń nieregularną. Niektóre przykłady pokazano na rys. Fig. 7.3, gdzie obszary zacieniowane to obszary wyłączone. Oczywiście, nieregularne brzegi są przybliżane przy pomocy serii kroków prostokątnych, ale często otrzymuje się w ten sposób dobre wyniki. Operacja blokowania polega na nałożeniu znanych wartości rozwiązania φ w nieaktywnych OK. Jeżeli obszar nieaktywny reprezentuje nieruchomy brzeg ciała stałego, to wówczas składowe prędkości w tym obszarze muszą przyjąć wartości zero. Jeżeli region ma być izotermiczny, wówczas należy położyć znane wartości temperatury w nieaktywnych OK.

Rys. 7.3 Obszary wyłączone na siatce regularnej. Są dwa sposoby, według których można nakładać wartości funkcji w nieaktywnych OK. Jedna metoda to nałożenie dużych wartości członu źródłowego. Alternatywnie można użyć harmonicznej średniej Γ dla powierzchni bocznej OK (rozdział 4.2-3). Jako że można we właściwy sposób operować nawet dużymi nieciągłościami Γ, to w przypadku obszaru nieaktywnego można przypisać tę wartość dla nominalnego WB I ta wartość przeważałaby w całej objętości kontrolnej. Z drugiej strony, rozwiązanie po stronie aktywnej pozostanie bez wpływu dużych wartości Γ. W szczególności, prędkości w obszarze nieaktywnym mogą być ustawione jako zera poprzez użycie dużych wartości lepkości w obszarze oraz wartości zero na nominalnym brzegu. Należy pamiętać, że w ten sposób można traktować jedynie raczej proste warunki brzegowe. Bardziej skomplikowane WB będą wymagały

modyfikacji członów źródłowych w obszarze aktywnym przyległym do granicy rzeczywistej. Również metoda wyłączania marnuje czas komputerowy oraz jego pamięć, gdyż należy wykonywać bezcelowe obliczenia w zakresie nieaktywnym i te obliczenia muszą być przechowywane. Jednakże korzyści wynikające z zalet użycia siatki regularnej do zagadnień o bardziej skomplikowanej geometrii przewyższają wady. Kolejną zaletą średniej harmonicznej Γ jest możliwość modelowania sprzężonego zagadnienia wymiany ciepła. 7.3-3 Sprzężona wymiana ciepła Rozpatrzmy sytuację z rys. 7.4. Płyn płynie kanałem, gdzie znajduje się wewnętrzne żeberko. Ścianka kanału oraz żebro posiadają skończoną grubość oraz umiarkowaną przewodność. Znane są cieplne WB na zewnętrznej powierzchni ścianki, np. temperatura. Jest to sprzężone zagadnienia wymiany ciepła gdyż należy rozpatrywać zarówno przewodzenie w ciele stałym oraz konwekcję w płynie oraz należy „sczepić” oba te rozwiązania na granicy płyn ciało stałe. Obliczenia odrębnych rozwiązań dla ciała stałego oraz płynu zawierają procedurę iteracyjną wymaganą do sczepienia. Metoda średniej harmonicznej Γ oferuje łatwiejszą alternatywę. W tej procedurze zagadnienie jest rozwiązywane poprzez użycie przestrzeni obliczeniowej, która zawiera zarówno obszar płynu jak i ciała stałego, gdzie zewnętrzna powierzchnia ścianki pokrywa się z brzegiem przestrzeni obliczeniowej. Z tego względu WB dla pola prędkości i temperatury mogą być w prosty sposób przepisane dla zewnętrznej powierzchni ścianki. Procedura obliczeniowa spoczywa na możności pokonania dużej wartości zmiany skokowej wartości Γ. Gdy rozwiązywane są równania prędkości, Γ dla punktów węzłowych w regionie cieczy przybiera wartość lepkości płynu, podczas gdy dla punktów węzłowych w zakresie ścianki Γ ma po prostu dużą wartość. Ma to na celu zabezpieczenie, że na zewnętrznej powierzchni ścianki

będzie przeważała prędkość zero (i w całym zakresie ścianki) i dlatego obszar płynu dostałby właściwy WB.

Rys. 7.4 Sprzężona wymiana ciepła. Dla celów rozwiązania pola temperatury nakładamy że Γ reprezentuje rzeczywiste wartości współczynników przenikania w ciele stałym i w płynie. Zagadnienie jest rozwiązywane jako zagadnienie konwekcyjno-przewodzeniowe w całej przestrzeni obliczeniowej, ale odkąd prędkości równają się zero w ciele stałym to i wartość liczby Pecleta wynosiłaby zero oraz w wyniku w zakresie ciała stałego obliczenia są czysto przewodnościowe. Z tego względu wynikające rozwiązanie dałoby nam rozkład temperatury w ciele stałym oraz w płynie, któ®e są automatycznie zgodne na granicy ciecz-ciało stałe. W przypadku naszych obliczeń ta powierzchnie jest po prostu punktem wewnętrznym, która jest traktowana jak każda inna OK.

7.4 SUGESTIE PRZYGOTOWANIA I TESTOWANIA PROGRAMU Aby wykonać obliczenia praktyczne, metoda numeryczna musi być zaimplementowana w programie komputerowym. Wymaga to zorganizowanych działań oraz wysiłku aby stworzyć wydajny program i dodatkowo bez błędów. Po napisaniu o weryfikacji programu komputerowego staje się on ważnym narzędziem dalszej pracy. Otwiera on całe spektrum możliwości rozwiązywania złożonych problemów. Poniższe sugestie mają na celu stworzenie takiego programu.

1. Pierwszym krokiem w projekcie program mu komputerowego jest zdefiniowanie zakresu programu I jego ograniczeń. Czy będzie 2D czy 3D, w układzie kartezjańskim czy cylindrycznym, siatka stała czy zmienna, gęstość stała czy zmienna, dla warunków ustalonych czy nieustalonych? Zbyt duża ogólność powoduje, że program będzie bardzo obszerny i niewygodny w analizie prostych zagadnień. Zbyt mała ogólność zawęża wykorzystanie programu do pewnej wąskiej specjalności. Początkowo lepiej jest rozwijać programu od wersji ograniczonej, ale w elastycznych ramach, tak że można by łatwo program rozwijać.

2. Warto rozróżnić pomiędzy operacjami ogólnymi (wyznaczanie współczynników oraz rozwiązanie równań) oraz operacjami zależnymi od danego zagadnienia (wyznaczanie Γ, SC, SP oraz WB dla danej wielkości). Ogólne operacje powinny być najpierw zaprogramowane, a następnie testowane dla wszystkich możliwych opcji programu.

3. Gdy program komputerowy jest już napisany to musi być on szczegółowo przetestowany. Każdy program zawiera błędy, które trzeba wykryć i poprawić.

4. Pomocnym jest testowanie poszczególnych części programu osobno, zanim połączone zostaną poszczególne części w całość. Np. procedura wyznaczająca równania dyskretyzacyjne może być osobno testowana poprzez podstawienie dowolnych współczynników.

5. Większość początkowego testowania odbywa się na siatkach rzadkich. Oszczędza to czas komputerowy i odkąd wynikowe pola φ zawierają jedynie niewielką liczbę liczb, to łatwo jest je przeanalizować i zinterpretować. Czasami powinno się nawet wykonać serię obliczeniową ręcznie. Również siatki rozrzedzone dają wyniki zgodne z fizyką.

6. Rozwiązanie zagadnienia metodą objętości kontrolnych zabezpiecza, że wszystkie równania spełniają zasady zachowania w przestrzeni obliczeniowej. Tego typu zgodność można sprawdzić i jest to jeden z lepszych testów. W sprawdzaniu poszczególnych bilansów należy używać tych samych założeń co w programie, np. co do profili w równaniach dyskretyzacyjnych. Następnie, dla dobrze zbieżnego rozwiązania, należy sprawdzić to samo dla różnej ilości węzłów. Czasami bilans całkowity może być ustawiony jako kryterium zbieżności.

7. Celem zweryfikowania wewnętrznej zgodności programu komputerowego należy przeprowadzić kilka testów. Jednym z nich jest to, że zbieżne rozwiązanie jest niezależne od wartości strzału oraz współczynników relaksacji.

8. Orientacja układu współrzędnych dla danego zagadnienia jest oczywiście dowolna. Poprawność programu komputerowego może być sprawdzona poprzez rozwiązanie tego samego zagadnienia zamieniając współrzędne x i y.

9. Jeżeli WB powodują, że rozwiązanie będzie symetryczne wokół linii czy płaszczyzny to wskazane jest aby obliczenia wykonywać dla jednej części powtarzającej się czy symetrycznej. Np. przepływ między dwiema równoległymi płytami można rozpatrywać jako przepływ między jedną ścianką oraz płaszczyzną symetrii. Podczas testowania programu można jednak wykorzystać całą przestrzeń obliczeniową by sprawdzić czy symetria jest zachowana w rozwiązaniu.

10. Załóżmy, że rozwiązanie dla danego zagadnienia jest wyznaczone poprzez wartości pewnych parametrów bezwymiarowych. Np. liczba Reynoldsa Re = ρud/μ może być

parametrem rządzącym. Rozwiązanie dla pewnej wartości Re może być otrzymane według następujących danych,

ρ=1 d=1 μ=1 u=Re lub

ρ=Re d=1 μ=1 u=1 lub

ρ=10 d=Re/50 μ=1 u=5 czy jakąkolwiek inną kombinację. Bezwymiarowy wynik musi być taki sam dla każdego zestawu liczb. Szczególnie ważne jest np. przejście laminarno-turbulentne.

11. Zasada superpozycji, która jest stosowana w przypadku liniowego przewodzenia ciepła, może być użyta do testowania zgodności programu komputerowego. Wówczas nałożenie rozwiązań dwóch prostszych zagadnień prowadzi do bardziej skomplikowanego rozwiązania. Komputer można wykorzystać do otrzymania wszystkich trzech rozwiązań oraz stosownego porównania.

12. Zachowanie programu dla wartości granicznych może również być dobrym testem rozwiązania. 3D program komputerowy może być zastosowany do rozwiązania zagadnienia 2D celem potwierdzenia, że zagadnienie jest rzeczywiście 2D. Obliczenia przepływu w kanale powinny pokazać, że przepływ jest w pełni rozwinięty w pewnej odległości od wlotu. Program dla przepływu lepkiego powinien być w stanie wykonać obliczenia dla przepływu nielepkiego, przy założeniu że lepkość wynosi zero.

13. Testy opisane dotychczas miały na celu sprawdzenie jakościowe obliczeń. Obliczenia ilościowe są również bardzo ważne, gdyż mówią nam o dokładności obliczeń. Porównanie z osiągalnymi rozwiązaniami dokładnymi jest pożyteczną drogą sprawdzenia dokładności programu komputerowego. Wraz ze zwiększeniem liczby węzłów rozbieżność powinna maleć. Czasami mogą być kłopoty z wpisaniem równania analitycznego (konieczność wyznaczenia szeregów, itp.)

14. Opublikowana procedura numeryczna może służyć jako test zgodności nowego programu komputerowego (porównać z nią).

8.4 METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Figure 8.1 Examples of domain discretization by triangular elements. 8.4-3 Metoda elementów skończonych oparta na metodzie elementów skończonych

Figure 8.2 Control volume for the triangular grid.

1. Standardowa funkcja kształtu dla elementu skończonego trójkątnego

cybxa ++=φ (8.1)

Alternatywna postać funkcji kształtu

cYuXBA +Γ

+=ρφ exp (8.2)

Figure 8.3 Macrotriangles and subtriangles.