Mechanika Kwantowa

WYKŁAD 9

Oscylator harmoniczny

III. Proste zagadnienia kwantowe

Plan wykładu

• hamiltonian oscylatora harmonicznego,• rozwiązanie przy pomocy wielomianów

Hermite’a,• rozwiązanie przy pomocy operatorów kreacji

i anihilacji,• hamiltonian w bazie energii.

Hamiltonian oscylatora harmonicznego

Rozważmy potencjał (energię potencjalną) 1-wymiarowego oscylatora harmonicznego

Wiele potencjałów posiadających minimum w pobliżu punktu x0 można przybliżyć wokół tego

punktu potencjałem typu oscylatora harmonicznego.

2

21kxxV

Hamiltonian oscylatora harmonicznego

Hamiltonian dla oscylatora ma postać:

gdzie .

Odpowiednie równanie Schrödingera ma postać:

222

22

21

2xm

dxd

mH

mk

xExxmdx

xdm

222

22

21

2

Hamiltonian oscylatora harmonicznego

Dokonując zamiany zmiennych (na bezwymiarowe)

otrzymamy ostatecznie:

Wielkość jest „naturalną” jednostką długości dla omawianego zagadnienia. Sformułowanie nabiera teraz znaczenia.

xm

022

2

dd

E2

m1

Hamiltonian oscylatora harmonicznego

Zachowanie asymptotyczne ( ):

Rozwiązanie ścisłe:

gdzie funkcja f spełnia równanie:

2

21

exp

2

21

exp f

012 fff

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a

Wielomiany Hermite’a spełniają równanie:

Podstawowe własności:

022 xnHxHxxH nnn

xnHxxHxH nnn 11 22

xnHdxxdH

nn

12

nmn

mnx ndxxHxHe !22

22 expexp1 xdxd

xxH n

nn

n

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a

Tak więc funkcje falowe i energie mają postać:

gdzie:

m

xHxm

Ax nnn 2exp

2

,...2,1,0,!2

14 n

n

mA

nn

21

nEn

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a

Przykładowe gęstości prawdopodobieństwa

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a

Można wykazać, że:

1,1, 22

1nknk

nnm

nxk

1,1, 22

1nknk

nnminpk

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji

Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego

zapiszemy używając operatorów anihilacji i kreacji

222

22

21

2xm

dxd

mH

pixmm

b ˆˆ21ˆ

pixmm

b ˆˆ21ˆ

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji

Podstawowe własności operatorów kreacji i anihilacji:

1ˆ,ˆ bb

00ˆ b

1ˆ nnnb 11ˆ nnnb

nnnbb ˆˆ

1,ˆ

nknnbk 1,1ˆ

nknnbk

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji

Operatory położenia i pędu mają postać:

bbm

x ˆˆ2

ˆ

bbm

ip ˆˆ2

ˆ

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji

Hamiltonian przyjmie postać:

Funkcje falowe otrzymujemy ze stanów:

gdzie stan próżni obliczamy z warunku:

otrzymując wynik identyczny jak poprzednio (przy zastosowaniu metody wielomianów Hermite’a).

21ˆ

21ˆˆ NbbH

0ˆ!1 n

n bxn

nxx

00ˆ b

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji

Elementy macierzowe:

nbbkm

nxk ˆˆ2

ˆ

nbbkm

inpk ˆˆ2

ˆ

1,1, 22

1nknk

nnminpk

1,1, 22

1nknk

nnm

nxk

Hamiltonian w bazie energii

Elementy macierzowe operatorów w bazie energii:

...300

...020

...001

...000

b̂

...3000

...0200

...0010

b̂

Hamiltonian w bazie energii

...0300

...3020

...0201

...0010

2ˆ

mx

...0300

...3020

...0201

...0010

2ˆ

mip

Hamiltonian w bazie energii

Hamiltonian w bazie energii:

...27000

...02500

...00230

...00021

ˆ H