Mechanika Kwantowa

WYKŁAD 12

Stany stacjonarne w potencjale centralnym

IV. Atom wodoru

Plan wykładu

• hamiltonian cząstki w polu centralnym,• separacja zmiennych,• radialne równanie Schrödingera,• liczby kwantowe,• zagadnienie dwóch ciał.

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Zakładamy, że cząstka o masie porusza się w pewnym polu, którego centrum umieszczone jest w początku układu współrzędnych. Energia potencjalna cząstki dana jest funkcją V=V(r) i zależy jedynie od odległości cząstki od centrum pola.

Mówimy wtedy, że cząstka porusza się w polu o potencjale centralnym.

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Hamiltonian cząstki poruszającej się w polu centralnym ma postać

gdzie

Postać hamiltonianu zależy od postaci członu opisującego energię potencjalną.

rVH 22

2

,222 zyxr .,,

zyx

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Stacjonarne równanie Schrödingera ma postać:

W rozpatrywanym przez nas przypadku potencjał ma z założenia symetrię sferyczną, tak więc bardziej użytecznym będzie posługiwanie się układem współrzędnych sferycznych.

rr

ErV2

2

2

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Laplasjan we współrzędnych sferycznych ma postać

dla dowolnej funkcji zależnej od zmiennych Pamiętamy, że operator L2 ma postać (we wsp. sferycznych, w reprezentacji położeniowej):

2

2

2222

22

sin1

sinsin11

rrrr

rr

.,, r

2

2

222

sin1

sinsin1

L

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Możemy więc napisać

pamiętając, że oba człony prawej strony równoważności działają na funkcję zależną od zmiennych

22

22

22 1

rrr

rr L

.,, r

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Musimy więc rozwiązać stacjonarne równanie Schrödingera we współrzędnych sferycznych w postaci

,,,,22 2

22

2

2

rErrVrr

rrr

L

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Operator momentu pędu we wsp. sferycznych (Wykład 11)

iL

iL

iL

z

y

x

sinctgcos

cosctgsin

Separacja zmiennych

Ponieważ składowe operatora momentu pędu działają jedynie na zmienne kątowe, więc komutują one ze wszystkimi operatorami działającymi na zmienną radialną. Mamy więc:

Tak więc jako zupełny zbiór komutujących obserwabli wybieramy H, L2 oraz L3, dla których to operatorów mamy wspólne stany własne.

0, LH

Separacja zmiennych

Możemy napisać:

Pamiętamy także (Wykład 11), że:

gdzie Y to tzw. harmoniki sferyczne.

rr EH

rrL 122 ll

rr mL 3

,1, 22lmlm YllY L

,,3 lmlm mYYL

Separacja zmiennych

Zapisując hamiltonian w postaci

gdzie:

równanie Schrödingera przybierze formę:

(lewa strona zależna od r, prawa od )

2

2

2 rHH r

L

,,,,2 22 rrEHr r L

rVr

rrr

H r

2

2

2

2

,

Separacja zmiennych

co pozwala nam dokonać faktoryzacji funkcji falowej:

Należy więc rozwiązać „jedynie” równanie

,,, lmYrRr r

rr EH

Radialne równanie Schrödingera

Wykorzystując postać funkcji falowej:

w równaniu

otrzymamy radialne równanie Schrödingera:

,,, lmYrRr r

rrL

ErV

rrr

rr 2

22

2

2

22

rERrRrVr

rRlldr

rdRr

drd

r

2

22

2

2

2

1

2

Radialne równanie Schrödingera

Ponieważ w równaniu radialnym występuje liczba kwantowa l oraz wiemy, że dla każdego l mamy 2l+1 możliwych wartości liczby kwantowej m, tak więc funkcja radialna R(r) będzie zależeć od dwóch parametrów:

gdzie sens fizyczny liczby kwantowej zostanie podany w następnym wykładzie.

rRrR l

Radialne równanie Schrödingera

Radialne równanie Schrödingera przyjmie więc postać:

Można uprościć powyższy zapis wprowadzając zależność:

otrzymując:

rRErRrVr

lldrd

rdrd

r lll

2

22

2

2

2

1

2

rur

rR ll 1

ruErurVr

ll

dr

dlll

2

2

2

22

2

12

Radialne równanie Schrödingera

Radialne równanie Schrödingera możemy także zapisać w postaci

gdzie potencjał efektywny:

ruErurVdr

dllleff

2

22

2

2

2

21

rll

rVrVeff

Radialne równanie Schrödingera

Można wykazać, że dla potencjału w postaci , gdzie , w pobliżu r = 0 funkcja radialna powinna się zachowywać jak: krrV ~ 2k

lr

rrR 0

Liczby kwantowe

Podsumowanie1) Dla cząstki poruszającej się w potencjale centralnym funkcje falowe zależą co najmniej od trzech liczb kwantowych

Funkcje te są funkcjami własnymi operatora Hamiltona, kwadratu momentu pędu oraz rzutu momentu pędu na oś z.

,1

, lmllmllm Yrur

YrR rr

Liczby kwantowe

2) Funkcje odpowiadają wartościom własnym:

- energia- pełny moment pędu- rzut momentu pędu na oś z

Nazewnictwo liczb kwantowych: –główna (radialna) liczba kwantowa; l – orbitalna liczba kwantowa;m – magnetyczna liczba kwantowa

rlm

m

ll

E l

12

Liczby kwantowe

3) Funkcje falowe spełniają równania

gdzie:

rrL lmlm ll 122

rr lmlm mL 3

ruErurVr

ll

dr

dlll

2

2

2

22

2

12

,1

lmllm Yrur

r

Zagadnienie dwóch ciał

Zakładamy, że dwa ciała o masach m1 i m2 oddziałują ze sobą z potencjałem zależnym jedynie od ich wzajemnej odległości:

Wprowadzamy nowe zmienne:

., 2121 rrrr VV

21 rrr

21

2211ŚM mm

mm rr

r

m2

m1

r

r1

r2

rŚM

z

xy

Zagadnienie dwóch ciał

Lagranżjan w postaci:

w nowych zmiennych przyjmie formę:

21222

211 21

21

rrrr Vmm L

rrr Vmm

mmmm

2

21

212ŚM21 2

121

L

Zagadnienie dwóch ciał

Zalety wprowadzenia nowych zmiennych:•zagadnienie dwóch oddziałujących z sobą ciał zostało sprowadzone do zagadnienia dwóch cząstek (fikcyjnych), które ze sobą nie oddziałują;•jedną z fikcyjnych cząstek jest środek masy (ŚM) o masie m1+m2, którego pęd jest zachowany. Ruch ŚM możemy pominąć przechodząc do układu środka masy, w którym• drugą cząstką jest cząstka o masie

(masa zredukowana) poruszająca się w polu o potencjale V(r), której ruch musimy wyznaczyć.

;0ŚM r

21

21

mmmm