Fizyka Kwantowa Dla Studentów

8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw

1/147

MECHANKA KWANTOWA

zacznij od tego

Jozef E. SienkiewiczSlawomir Telega


2/147

2


3/147

Spis Tresci

1 Wstep 5

2 Podstawy matematyczne 7

2.1 Przestrzen Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Komutatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Stara teoria kwantow 15

3.1 Wzor Plancka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Wzor Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Zjawisko Comptona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Atom Bohra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5 Postulat Sommerfelda-Wilsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6 Hipoteza de Brogliea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.7 Zasada nieoznaczonosci Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Postulaty mechaniki kwantowej 23

5 Stany stacjonarne 25

5.1 Wartosc oczekiwana w stanie stacjonarnym . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Ewolucja czasowa wartosci oczekiwanej . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3 Calki ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.4 Twierdzenie Ehrenfesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5 Twierdzenie wirialne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Pakiety falowe 35

6.1 Fala. Predkosc fazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Pakiet. Pre

dkosc grupowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 Rozmywanie siepakietu falowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7 Zasada odpowiedniosci Bohra 41

8 Zasada zachowania prawdopodobienstwa 45

8.1 Rownanie ciaglosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3


4/147

4 SPIS TRESCI

9 Rozpraszanie na potencjalach 479.1 Bariera potencjalu o skonczonej wysokosci i nieskonczonej szerokosci . 479.2 Bariera potencjalu o skonczonej wysokosci i skonczonej szerokosci. . . 509.3 Prostoka

tna studnia potencjalu o skonczonej gle

bokosci . . . . . . . . 55

10 Stany parzyste i nieparzyste 59

11 Liniowy oscylator harmoniczny 6111.1 Wartosci wlasne i funkcje wlasne. Wielomiany Hermitea. . . . . . . . 6111.2 Funkcje tworza

ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12 Moment pedu 71

12.1 Moment pedu w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12.2 Moment pedu jako generator obrotow infinityzymalnych . . . . . . . 73

12.3 Wartosci wlasne i funkcje wlasne (funkcje kuliste) . . . . . . . . . . . 7712.4 Sztywny rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8612.5 Widmo pasmowe cza

steczki dwuatomowej . . . . . . . . . . . . . . . 88

13 Atom wodoru 8913.1 Wartosci wlasne i funkcje wlasne. Wielomiany Laguerrea. . . . . . . 8913.2 Dyskusja otrzymanych wynikow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

14 Notacja Diraca 99

15 Funkcja uogolniona Delta Diraca. 101

16 Metody przyblizone 10516.1 Rachunek zaburzen dla stanow niezdegenerowanych . . . . . . . . . . 105

16.2 Rachunek zaburzen dla stanow zdegenerowanych . . . . . . . . . . . . 10916.3 Metoda wariacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11216.4 Rachunek zaburzen zalezny od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

17 Macierzowe ujecie mechaniki kwantowej 123

17.1 Macierzowa reprezentacja funkcji i operatorow . . . . . . . . . . . . . 12317.2 Oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12517.3 Macierzowa postac operatorow N , H, a+ i a . . . . . . . . . . . . . . 133

18 Spinowy moment pedu 135

19 Ruch elektronu w ciele stalym 13919.1 Potencjal periodyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13919.2 Fale Blocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14019.3 Pasma energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142


5/147

Rozdzial 1

Wstep

Celem podrecznika, ktory oddajemy do ra

k studentow jest ulatwienie studiowa-

nia mechaniki kwantowej. Wyklady z mechaniki kwantowej na Fizyce Technicznejtrwaja

przez jeden semestr i zajmuja

trzy godziny tygodniowo. Ten wlasnie material

zawarty w skrypcie nalezy potraktowac jako wstep do studiowania bardziej zaawan-

sowanych podrecznikow, ktorych spis znajduje sie na koncu.Poniewaz naszym celem jest osia

gnie

cie duzej jasnosci poszczegolnych wywodow,

czesto uzywamy w trakcie dodatkowych wyjasnien. Wtedy dowod przerywany jest

na znaku. . ., a naste

pnie od tego znaku kontynuowany.

Naszym zadaniem sadwa skrajne sposoby podejscia do studiowania mechaniki kwan-

towej, a jest to dziedzina dosc zaskakujaca i cia

gle wprawiaja

ca w zdumienie i

fascynacje wielu studentow. Pierwszy sposob to proba zrozumienia wszystkiego

od podstaw. Nie polecamy tej metody, a za poparcie niech nam posluzaslowa jed-

nego z tworcow mechaniki kwantowej, laureata nagrody Nobla Murraya Gell-Manna,,Wspolczesna

fizyka

rza

dzi imponuja

ca i balamutna dziedzina, zwana mechanika

kwantowa, ktora wynaleziono piecdziesiat lat temu. Przetrwala ona wzystkie proby iprzypuszczamy, ze jest ona koncepcja

prawidlowa

. Nikt jej nie rozumie, ale wszyscy

wiedza, jak ja

stosowac i jak odnosic do wszystkich zagadnien. Nauczylismy sie

wie

c

zyc ze swiadomoscia faktu, ze nikt jej nie rozumie.

Drugi sposob, praktyczny, polega na szczegolowym rozpracowaniu poszczegolnychzagadnien w ramach przyje

tych aksjomatow. Temu drugiemu podejsciu ma sluzyc

napisany przez nas skrypt.Chcielibysmy gora

co podzie

kowac prof. R. Szmytkowskiemu,

dr. inz. R. Signerskiemu oraz dr. inz. M. Krosnickiemu, dr inz. M. Gruchowskiemu,mgr inz. V. Konopinskiej i mgr inz. P. Kowalczykowi za przeczytanie manuskryptu

oraz za cenne uwagi i dyskusje przed oddaniem tekstu do wydawnictwa.

Jozef E. SienkiewiczSlawomir Telega

5


6/147

6 ROZDZIAL 1. WSTEP


7/147

Rozdzial 2

Podstawy matematyczne

2.1 Przestrzen Hilberta

Definicja Ciag wektorow1, 2, . . .nalezacy do danej przestrzeni wektorowej nazy-

wamy podstawowym (spelniajacym warunek Cauchyego) ze wzgle

du na norme

,

jezeli dla kazdego >0 istnieje liczba naturalna N, taka ze

||m n|| < (2.1.1)dla wszystkich m, n > N.Definicja Przestrzen wektorowa

nazywamy zupelna

ze wzgle

du na norme

, jezeli

kazdy ciag podstawowy wektorow 1, 2, . . . tej przestrzeni ma granice nalezaca

do tej przestrzeni, a wiec jezeli istnieje wektor naleza

cy do tej przestrzeni, taki ze

limn

||n || = 0. (2.1.2)

Definicja AbstrakcyjnaprzestrzeniaHilbertaHnazywamy przestrzen wektorowa, wktorej

1o zdefiniowany jest iloczyn skalarny| C (, H) spelniajacy ponizsze

warunki:

a| =a|, a C (2.1.3)| = | (2.1.4)

(1+ 2)| = 1| + 2| (2.1.5)| 0 (2.1.6)

2o zdefiniowana jest norma jako

|||| =

| (2.1.7)

7


8/147

8 ROZDZIAL 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE

3o zachodzi zupelnosc ze wzgledu na okreslona

w niej norme

.

Kazdy element przestrzeni Hilberta da siezapisac jako skonczona lub nieskonczona

kombinacja liniowa wektorow bazy

=i

aii, (2.1.8)

gdzie{i}i=1,2,... jest ukladem ortonormalnym, tzn. dla dowolnych i oraz ji|j =ij, (2.1.9)

gdzie ijoznacza delteKroneckera. Taki uklad bazowy nazywa siezupelny. Pomnozymywzor (2.1.8) lewostronnie skalarnie przez n ,

n| = n|i

aii,

n

|iaii

=

i

ai

n

|i

=

i

aini=an

ai= i|. (2.1.10)

Waznym dla nas przykladem przestrzeni Hilberta jest przestrzen oznaczana jakoL2.Jej elementami sa

funkcje, ktore sa

calkowalne z kwadratem modulu, tzn. np. w

przypadku jednowymiarowym:

+

|(x)|2 dx < . (2.1.11)

Iloczyn skalarny w przestrzeni L2, spelniajacy wymienione wyzej aksjomaty, dany

jest wzorem:

| = +

(x)(x) dx. (2.1.12)

2.2 Operatory hermitowskie

Definicja Operatorem sprzezonym hermitowsko do danego operatora Ajest taki ope-

rator B, ktory dla elementow, z dziedziny operatorow Ai Bspelnia nastepuja

ca

zaleznosc:|A = B|. (2.2.1)

Ostatnia zaleznosc w przestrzeni L2

ma postac: +

(x)A(x) dx= +

(B(x))(x) dx. (2.2.2)

Fakt, ze B jest sprzezony hermitowsko do Azapisujemy A+ = B.

Definicja Operatorem hermitowskim nazywamy operator, ktory jest samosprzezony,

tzn.A+ = A, (2.2.3)


9/147

ROZDZIAL 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 9

przy czym zakladamy, ze dziedziny operatorow Ai A+ satakie same.

Dla operatora hermitowskiego

|A = A|. (2.2.4)

W mechanice kwantowej uzywamy operatorow, ktore sa:

1o liniowe, tzn.

A(a1+ b2) =a A1+ bA2 (2.2.5)

dla dowolnych funkcji1, 2 H, przy czym stale ai b sa liczbami zespolonymi.2o hermitowskie czyli samosprze

zone.

Przyklad

Udowodnic, ze operator px =ih x jest operatorem hermitowskim na dziedziniefunkcji ktore znikaja

dla x .

Rozwiazanie

Musimy udowodnic, ze

|px = px|Mamy

|px = +

(x)px(x) dx= ih(x)(x)|++

+ih +

x(x)

(x) dx= ih

+

x(x)

(x) dx=

= +

ih

x(x)

(x) dx=

+

(px(x))(x) dx=

= px|.Teraz zajmiemy sie

wlasnosciami operatorow sprze

zonych. Latwo jest pokazac, ze

(A + B)+ = A+ + B+. (2.2.6)

Drugi ze wzorow jest nastepuja

cy

(AB)+ = B+A+. (2.2.7)

Przeprowadzmy dowod. Korzystajac z definicji sprze

zenia operatorow, mozemy

napisac

|

C =

C

+

|.Niech C= AB. Wowczas

|AB = (AB)+|.

Przeksztalcmy lewastrone

powyzszego rownania, korzystaja

c z definicji operatorow

sprzezonych

|AB = A+|B = B+A+|.


10/147


To powinno byc rowne prawej stronie

L= P B+A+| = (AB)+| (AB)+ = B+A+, c.n.w.

W przypadku operatorow hermitowskich wiemy, ze A= A+ i B= B+, czyli

(AB)+ = BA.

Niech teraz B= A, stad

(AA)+ = (A2)+ = A2,

czyli kwadrat operatora Hermitowskiego jest tez operatorem Hermitowskim.Rozwazmy funkcje

f(x) L2 be

da

ca

nadto funkcja

rzeczywista

, to znaczy, ze

f(x) =f(x). Zdefinujmy operator F

F (x) =f(x)(x), (x) L2.

Wykazemy, ze F jest operatorem hermitowskim, czyli, ze

F+ = F .

Musimy wykazac, ze zachodzi ponizsza rownosc

|F = F |.

Zacznijmy od lewej strony

|F = +

(x)F (x) dx= +

(x)f(x)(x) dx=

= +

(f(x)(x))(x) dx= F | c.n.w.

Zajmijmy sie teraz wlasnosciami operatorow hermitowskich. W wyniku dzialania

operatora Ana jakas funkcje

dostajemy inna

funkcje

A= , , H. (2.2.8)

Czasami moze sie zdarzyc, ze

A= a,

/ 0, (2.2.9)

gdzie ajest liczba.

Jest to tak zwane rownanie wlasne operatora A, przy czyma jest wartosciawlasna

,

a jest odpowiadajaca

jej funkcja

wlasna

.

Twierdzenie 1 Wartosci wlasne operatorow hermitowskich sarzeczywiste.

Dowod Wezmy operator hermitowski A= A+ i odpowiadajace mu rownanie wlasne

A= a.


11/147


Chcemy wykazac, ze a = a.Poniewaz operator Ajest hermitowski, wolno nam napisac, ze

|A = A|.Przeksztalcmy najpierw lewa

strone

powyzszej rownosci

L=

|A

=

|a

=a

|

.

Teraz zajmijmy sieprawa

strona

P = A| = a| =a|.Poniewaz lewa strona musi rownac sie

prawej sta

d mamy, ze

L= P a| =a| a= a, c.n.w.Twierdzenie 2 Funkcje wlasne operatora hermitowskiego naleza

ce do roznych wartosci

wlasnych sado siebie wzajemnie ortogonalne.

Dowod Wezmy operator hermitowski A = A+. Zapiszmy rownania wlasne tego

operatora dla dwoch roznych wartosci wartosci wlasnych

Al =all,

An= ann.

Musimy wykazac, zel|n = 0.

Wyjdzmy z definicji hermitowskosci operatora A

l|An = Al|n.

Przeksztalcmy lewa

strone

L= l|An = l|ann =anl|n,a teraz prawa

strone

P = Al|n = all|n =al l|n.Poniewaz, jak to wczesniej wykazalismy, wartosci wlasne operatora hermitowskiego,sa

rzeczywiste, to

P =all|n.Przyrownuja

c do siebie obie strony mamy

L= P anl|n =all|n.Przenosza

c wszystko na lewa

strone

otrzymujemy

(an al)l|n = 0.Z zalozenia wiemy, ze an=al, skad

l|n = 0, c.n.w.


12/147


2.3 Komutatory

Definicja Komutatorem dwoch operatorow Ai B nazywamy operator:

[A, B] = AB BA. (2.3.1)W ogolnosci

[A, B] = 0. (2.3.2)Gdy

[A, B] = 0, (2.3.3)

czyliAB= BA. (2.3.4)

to mowimy, ze operatory Ai B komutujaze soba

(sa

przemienne).

Wprowadzmy po jecie sredniego odchylenia standardowego zdefiniowane dla pewnej

wartosci a jako

a= (a a)2. (2.5)

Jezeli [A, B] = 0 , to wtedy obserwable zwiazane z tymi operatorami sa

zgodne.

Na przyklad:[x,py] = 0 xpy 0.

Jezeli [A, B] = 0 , to mamy na przyklad:

[x,px] =ih xpx h2

.

Przyklad Obliczyc komutator

[x,px].Rozwia

zanie:

px= ih x

x= x

[x,px](x) = (xpx pxx)(x) = xpx(x) pxx(x) =x(ih x

(x))

+ih

x(x(x)) = ihx

x(x) + ih(x) + ihx

x(x) =ih(x)

[x,px] =ih.

Twierdzenie Jezeli operatory A i B komutuja ze soba

to istnieja

funkcje, ktore

sa jednoczesnymi funkcjami wlasnymi obu operatorow (w przypadku degeneracji

nie kazda funkcja wlasna operatora B jest funkcjawlasna

operatora A!).

Dowod (sluszny w przypadku, gdy a jest niezdegenerowana wartoscia

wlasna

) Z

zalozenia mamy:AB= BA

A= a.


13/147


Zadzialajmy na obie strony powyzszego rownania lewostronnie operatorem B.

BA= Ba

A(B) =a(B) B = b, a, b C c.n.w.

Ostatnie przejscie polega na zauwazeniu, ze B jest funkcja wlasna operatora Aprzy tej samej wartosci wlasnej a, co w przypadku funkcji wlasnej. Sta

d wniosek,

ze B imogajedynie roznic sie

o pewien czynnik liczbowy. W przestrzeni Hilberta

oznacza to, ze B i posiadajaten sam ,,kierunek, choc moga

miec rozne dlugosci.


14/147



15/147

Rozdzial 3

Stara teoria kwantow

3.1 Wzor Plancka

Zdefiniujmy cialo doskonale czarne jako cialo pochlaniajace cale padaja

ce na nie

promieniowanie. Fizyczna realizacja

ciala doskonale czarnego jest zamknie

te nie-

przezroczyste pudelko z malym otworkiem, beda

ce oslona

dla promieniowania. Jezeli

promieniowanie wewnatrz pudelka jest w rownowadze to jest to promieniowanie ciala

doskonale czarnego. Gestosc energii u wypromieniowanej w jednostce czasu przez

cialo doskonale czarne okreslona jest prawem Stefana-Boltzmana

u= T4, (3.1.1)

przy czym T oznacza temperature bezwzgle

dna

ciala, a jest pewna

stala

. Z

doswiadczenia wiadomo, ze gestosc energii wypromieniowanej w jednostce czasu

w przedziale czestosci oddo+ djest proporcjonalna do di zalezy od cze

stosci

i od temperatury promieniowania, a zatem mozna zapisac ja

w postaciu(, T)d. (3.2)

Wystepuja

ca w powyzszym wzorze funkcjau(, T) nosi nazwe

funkcji rozkladu. Pier-

wszym wzorem otrzymanym w oparciu o klasyczna elektrodynamike

i klasyczna

fizykestatystyczna

byl wzor Rayleigha-Jeansa

u(, T) =82

c3 kT , (3.1.3)

gdzie oznacza czestosc promieniowania, c oznacza pre

dkosc swiatla, a k to stala

Boltzmana. Jednak wzor ten nie jest prawdziwy gdyz dla duzych czestosci mamytak zwana

katastrofe

w nadfiolecie( u ).

Osobaktora rozwia

zala ten problem byl Max Planck (Max Planck, ,,Berliner Be-

richte, Dezember 14, 1900) wprowadzajac poje

ciekwantu energii. Wtedy to po raz

pierwszy pojawilo sieokreslenie kwant, czyli porcja, ke

s. W swoich rozwazaniach

Planck przyjal dziwna

na owe czasy hipoteze

, ze energia moze byc pochlaniana i

wysylana tylko w sposob nieciagly, w kwantach wielkosci h, gdziehjest stala

zwana

dzis stala Plancka. Niemniej jednak uwazal on, ze pole elektromagnetyczne jest

15


16/147

16 ROZDZIAL 3. STARA TEORIA KWANTOW

ciagle i ze przeplyw energii przez pole odbywa sie

w sposob cia

gly. Zaproponowany

przez niego wzor na gestosc energii promieniowania jest postaci

u(, T) =82

c3h

ehkT 1

. (3.1.4)

Dla malych czestosci mozna wykazac, korzystaja

c z rozwinie

cia w szereg funkcji

ex, ze wzor Plancka przechodzi we wzor Rayleigha-Jeansa. Na ponizszym wykre-sie widac katastrofe

w nadfiolecie wzoru Rayleigha-Jeansa (krzywa R--J), oraz dwie

krzywe odpowiadajace wzorowi Plancka dla dwoch roznych temperaturT1 i T2, przy

czym T1< T2.

u(, T)

T2

T1

R J

Rys. 1 Promienowanie ciala doskonale czarnego.

3.2 Wzor Einsteina

W roku 1888 Hertz odkryl zjawisko fotoelektryczne. Polega ono na wybijaniu elek-tronow z metalu przez promieniowanie. Nieco pozniej Lenard na drodze doswiad-czenia wykazal, ze liczba fotoelektronow (elektronow wybijanych z metalu przezswiatlo) jest proporcjonalna do nate

zenia swiatla, i ze maksymalna pre

dkosc fo-

toelektronow (a wiec i energia) nie zalezy od nate

zenia padaja

cego swiatla, a tylko

od jego czestosci. Drugi z powyzszych faktow byl niemozliwy do wykazania meto-

dami klasycznymi, a takze przy pomocy hipotezy Plancka. Powyzszy problem zostalrozwia

zany w 1905 roku przez Alberta Einsteina (Albert Einstein, ,,Annalen der

Physik 17, 132 (1905)), ktory zapostulowal, ze przenoszenie energii w polu elek-tromagnetycznym rowniez jest niecia

gle i odbywa sie

w porcjach zwanych fotonami

(kwantami swietlnymi). Einstein zalozyl, ze foton, padajac na powierzchnie meta-lu, zderza sie

z jednym z elektronow, przekazuja

c mu cala swoja

energie

. Dzie

ki

uzyskanej energii elektron jest w stanie uwolnic siez metalu (czyli wykonac prace

wyjscia W) i otrzymac pewnapre

dkosc. Progowa

energia

jest energia rowna pracy

wyjscia, ktora pozwala na uwolnienie elektronu z metalu bez nadania mu predkosci.

Proces ten opisywany jest wzorem Einsteina

h=mv2

2 + W, (3.2.1)


17/147

ROZDZIAL 3. STARA TEORIA KWANTOW 17

gdzie moznacza maseelektronu, a v jego pre

dkosc.

3.3 Zjawisko Comptona

Zjawiskiem Comptona nazywamy rozpraszanie promieniowania elektromagnetycz-

nego (fotonow) na swobodnych (lub slabo zwiazanych) elektronach. W roku 1921

Arthur Compton zaobserwowal, ze w promieniowaniu rozproszonym oprocz oczeki-wanego promieniowania o niezmienionej dlugosci fali wyste

puje tez cze

sc o zmienionej

dlugosci fali. W swoich rozwazaniach Compton potraktowal to zjawisko jako zderze-nie cza

stki (fotonu) z elektronem, przyjmuja

c, ze oprocz zasady zachowania

energii spelniona jest rowniez zasada zachowania pedu, i ze fotonowi przypisany jest

ped, ktorego wartosc bezwzgle

dna wynosi

p=E

c =

h

c . (3.3.1)

Zmianedlugosci fali mozna opisac wzorem (niezaleznym od materialu tarczy)

= C(1 cos ) (3.3.2)

gdzie Coznacza tzw. comptonowskadlugosc fali i wynosi 0, 024 Angstrema, nato-miast oznacza ka

t rozpraszania. Waznym faktem jest to, ze wartosc nie zalezy

od pierwotnej dlugosci fali promieniowania.

3.4 Atom Bohra

Jakkolwiek obecnie stosuje siekwantowe podejscie oparte na rownaniach Schrodin-

gera lub Diraca, to model atomu Nielsa Bohra byl pierwszym modelem atomu(lub jonu) jednoelektronowego, ktory w miare

satysfakcjonuja

cy sposob tlumaczyl

budoweatomu. W swojej pracy Bohr wyszedl z planetarnego modelu atomu Ruther-

forda, w ktorym elektron krazyl po kolowej lub eliptycznej orbicie wokol cie

zkiego

jadra, jednak zaproponowal kilka bardzo dziwnych jak na owe czasy postulatow.

Cytujac za Cooperem [Leon N. Cooper, Istota i struktura fizyki, PWN, Warszawa

1975, str. 519] ,,w wyglaszaniu stwierdzen sprzecznych z elektrodynamikaMaxwella

i mechanikaNewtona kryla sie

pewna zarozumialosc, ale Bohr byl mlody. Zacytu-

jmy te postulaty.1) W atomie wodoru elektron kra

zy wokol ja

dra ruchem kolowym spowodowanym

sila coulombowskazgodnie z prawami ruch Newtona.

2) Dozwolone sa jedynie te orbity, dla ktorych moment pe

du L jest calkowita

wielokrotnosciah= h

2

L= nh, n= 1, 2, 3, . . .

3) Elektron kraza

cy po dozwolonej orbicie, w niezgodzie z elektrodynamika

klasyczna

,

nie promieniuje energii.


18/147


4) Elektron przy przejsciu z orbity o wyzszej energi Ea na orbite o nizszej energiiEb emituje foton o energii

Eab= hab=Ea Eb. (3.4.1)

Energia elektronu znajdujacego sie

na n-tej orbicie wynosi

En =mv2n

2 Ze2

rn= RZ2

n2 , (3.4.2)

przy czymvnoznacza predkosc elektronu na n-tej orbicie,rnjej promien, natomiastR oznacza stala

Rydberga

R=me4

2h2 13, 6 eV. (3.4.3)

3.5 Postulat Sommerfelda-Wilsona

Model atomu Bohra zostal uogolniony na przypadek torow eliptycznych przez urod-zonego w Krolewcu Arnolda Sommerfelda. Zamienil on warunek kwantowy BohraL= nh na bardziej ogolny zwany dzis warunkiem kwantowym Sommerfelda-Wilsona.Zalozmy, ze mamy uklad o f stopniach swobody opisywany przez wspolrze

dne

uogolnione q1, q2, . . . , q f i pedy uogolnione p1, p2, . . . , pf. Sommerfeld zapostulowal,ze dla kazdego stopnia swobody na torze stacjonarnym

pldql =nh, l= 1, . . . , f (3.5.1)

przy czymnjest liczbacalkowita

, a symbol oznacza calkepo konturze zamknietym

(tu po orbicie).Wykazemy, ze w przypadku orbity kolowej warunek kwantowy Sommerfelda-Wilsonaprzechdzi w warunek kwantowy Bohra. Wiemy, ze energia ukladu dana jest wzorem

E=mv2

2 Z e

2

r (3.5.2)

Predkosc punktu poruszaja

cego sie

po okre

gu o promieniu r dana jest wzorem

v= r , (3.5.3)

przy czym oznacza predkosc katowa. Podstawiajac to do wzoru na energiemamy

E=mr22

2 Ze

2

r . (3.5.4)

Z mechaniki teoretycznej wiemy, ze ped uogolniony dany jest wzorem

pl =L

. (3.5.5)


19/147


W naszym przypadku l= 1, poniewaz mamy jeden stopien swobody. Wystepuja

ce

we wzorzeL oznacza lagrangian zdefiniowany jako roznica energii kinetycznej i en-ergii potencjalnej

L =Ek V = mr22

2

Ze

2

r

=

mr22

2 +

Ze2

r . (3.5.6)

W naszym przypadku wspolrzedna uogolniona q1 = , stad q1 = . Czyli peduogolniony dany jest wzorem

pl=L

=

mr22

2 +

Ze2

r

=

mr22

2 =

=mr2.

Wstawiamy to do warunku kwantowania Sommerfelda-Wilsona i mamy

2

0

mr2 d= nh.

Stad dostajemy

mr2 20

d= nh,

co jest rowne2mr2= nh.

Wiemy jednak, zemr2= mvr= L

oraz

h2 = h.

Po podstawieniu dostajemy warunek kwantowy Bohra

L= nh, n= 1, 2, . . . .

3.6 Hipoteza de Brogliea

Do poczatkow XIX wieku swiatlo bylo uwazane za szybko poruszaja

ce sie

cza

stki

(korpuskuly). W roku 1801 doswiadczalne badanie interferencji zmienilo ten poglad

i sugerowalo falowa nature swiatla. Hipoteza czastkowej natury swiatla zostalazarzucona do roku 1923, kiedy to Arthur Compton odkryl, ze kwanty promieniowa-nia X maja

pe

d i energie

. W sumie pokazano, ze swiatlo posiada zarowno cechy

falowe, jak i cechy czasteczkowe. W roku 1924 ksia

ze

Louis de Broglie opublikowal

swojaprace

doktorska

pod tytulem ,,Badania nad teoria

kwantow, w ktorej postu-

lowal, ze poniewaz swiatlo wykazuje wiele wlasciwosci korpuskularnych, to czastki

(elektrony), ze wzgledu na symetrie

w przyrodzie, powinny wykazywac wlasciwosci

falowe. Te idee zostaly udowodnione doswiadczalnie juz w roku 1924, gdy wykazano,


20/147


21/147


parami komplementarnymi sana przyklad (y, py), (z, pz), energia i czas (E, t) oraz

skladowe momentu pedu (Lx, Ly). Natomiast do par niekomplementarnych, czyli

zgodnych zaliczamy (L2, Lx), wspolrzedne polozenia (x, y), lub tez (px, z).Zajmijmy sie

teraz nierownoscia

, ktora w szczegolnym przypadku przechodzi w

zasade nieoznaczonosci Heisenberga. Niech Ai B be

da

operatorami hermitowskimi

spelniajacymi zwia

zek komutacyjny

[A, B] =iC. (3.7.2)

Z analizy funkcjonalnej wiemy, ze norma jest zawsze wieksza lub rowna zeru, czyli

wolno nam napisac, ze

||(A + iB)||2 = (A + iB)|(A + iB) 0, (3.7.3)

przy czym jest pewnastala

rzeczywista

.

Rozpisujac lewa

strone

powyzszej nierownosci, mamy

A

|A

+

A

|iB

+

iB

|A

+

iB

|iB

0,

co jest rownowazne

A|A + i(A|B B|A) +2B|B 0.

Uporzadkujmy to wyrazenie wzgle

dem pote

g

2B|B + i(A|B B|A) + A|A 0.

Aby ta nierownosc byla prawdziwa, to wyroznik odpowiadajacego jej rownania

kwadratowego powinien byc mniejszy badz rowny zeru. Mamy

[i(A|B B|A)]2 4B|BA|A 0.

Korzystajac z hermitowskosci operatorow A i B, mozemy przeksztalcic pierwszy

czlon w powyzszym wzorze

A|B B|A = |AB |BA = |(AB BA) = |[A, B].

Natomiast drugi z czlonow mozemy zapisac, korzystajac rowniez z hermitowskosci,

jako

B

|B

A

|A

=

|B2

|A2

.

Korzystajac z tych obliczen, mozemy zapisac nasza

nierownosc jako

[i|[A, B]]2 4|B2|A2 0.

Pamietamy, ze dla danego operatora O wyrazenie|O opisuje jego wartosc

sredniaO, czyli dostajemy

[i[A, B]]2 4B2A2 0.


22/147


Stad po prostych przeksztalceniach dochodzimy do wzoru

B2A2 14

[i[A, B]]2

Podnosimy obie strony do potegi 1

2

B2A2 12[i[A, B]]2.Zasta

pmy teraz Ai B przez A i B

(B)2(A)2 1

2

[i[A, B]]2.

Komutator wystepuja

cy po prawej stronie powyzszej nierownosci mozemy zapisac

jako

[A, B] = [A

A

, B

B

] = [A, B]

[A,

B

]

[

A

, B] + [

A

,

B

].

PoniewazA iB sa liczbami, to trzy ostatnie komutatory sa

rowne zeru i w

rezultacie dostajemy[A, B] = [A, B] =iC. (3.7.4)

Po wstawieniu otrzymanego wyniku do rozwazanej przez nas nierownosci dochodzi-my do wyrazenia

(B)2(A)2 12|C|. (3.7.5)

W praktyce czesto oznaczamy

(O)2

przez O, stad wolno nam napisac, ze

AB 12|C|.

Wstawmy teraz zamiast operatorow A i B operatory xi p. Wiemy, ze

[x,p] =ih.

Wstawiajac to do otrzymanej przez nas postacinierownosci dostajemy

xp 12

h,

czyli jednaz postaci zasady nieoznaczonosci Heisenberga.


23/147


24/147

24 ROZDZIAL 4. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ

Interpretacja funkcji falowej zostala podana przez Maxa Borna. Dla przypadku jed-nowymiarowego|(x)|2 okresla ge

stosc prawdopodobienstwa znalezienia cza

steczki

w przedziale [x, x + dx], natomiast |(x)|2 dxjest prawdopodobienstwem znalezieniacza

steczki w przedziale [x, x+ dx]. Poniewaz cza

stka na pewno jest gdzies zlokali-

zowana, to z powyzszej interpretacji otrzymujemy warunek normalizacyjny

+

||2 dx= 1, L2. (4.0.4)

Rownanie Schrodingera jest rownaniem liniowym, tzn. jezeli i sarozwia

zaniami

rownania (4.0.3), to + , gdzie , C, rowniez, jest rozwiazaniem tego

rownania.

Niech rozwiazanie rownania Schrodingera be

dzie rowne = i = ||ei,

gdzie ei jest czynnikiem fazowym. Wspolczynnik normalizacyjny jest okreslonyz dokladnoscia

do czynnika fazowego.

DowodKorzystaja

c z warunku normalizacyjnego

+

||2 dx= 1,

mozemy napisac

1 = +

||2 dx= +

||2 dx= +

()() dx=

= +

dx=

|

|ei

|

|ei

+

|

|2 dx=

= ||2 +

||2 dx || = 1+||2 dx

.

Zwykle wybieramyei = 1 i wtedy|| = .


25/147

Rozdzial 5

Stany stacjonarne

5.1 Wartosc oczekiwana w stanie stacjonarnym

Zalozmy, ze operator Hamiltona H jest niezalezny od czasu, tzn.

Ht

= 0. (5.1.1)

Rozwiazmy rownanie Schrodingera z czasem

H =ih

t,

gdzie

H= h2

2m

2

x2+ V(x) (5.1.2)

Zalozmy, ze rozwiazanie tego rownania jest postaci

(x, t) = (x)T(t). (5.1.3)

Wstawiajac je do rownania, otrzymujemy

H((x)T(t)) =ih

t((x)T(t)),

co jest rownowazne

T(t)H(x) =ih(x)

tT(t).

Dzielimy lewostronnie obie strony przez (x)T(t)

1(x)

H(x) =ih 1T(t)

t

T(t).

Poniewaz obie strony rownania sa funkcjami roznych zmiennych i stoi pomie

dzy

nimi znak rownosci, wnioskujemy, ze muszabyc one rowne pewnej stalej, zwanej

stalaseparacji. Oznaczmy ja

przez E,

1

(x)H(x) =ih

1

T(t)

tT(t) =E.

25


26/147

26 ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE

Dostajemy stad dwa rownania, z ktorych pierwsze mozna przepisac w postaci

E= 1

(x)H(x)

H(x) =E(x). (5.1.4)

Jest to rownanie wlasne dla niezaleznego od czasu operatora Hamiltona H, znanejako niezalezne od czasu rownanie Schrodingera. W wyniku jego rozwia

zania dosta-

jemy wartosci wlasne En i odpowiadajace im funkcje wlasne n(x), czyli

Hn(x) =Enn(x), n= 1, 2, . . . (5.1.5)

Teraz zajmijmy siedrugim rownaniem

E=ih 1

T(t)

tT(t)

t T(t) = iEh T(t). (5.1.6)Korzystaja

c z teorii rownan rozniczkowych zwyczajnych wiemy, ze rozwia

zniem tego

rownania jest funkcja postaci

T(t) =AeiEht. (5.1.7)

Z rozwiazania niezaleznego od czasu rownania Schrodingera mamy wartosci wlasne

energii En, czyli

T(t) =AeiEnh t. (5.1.8)

Wiemy, ze

En=nh n =E

nh . (5.1.9)

Ostatecznie mamyT(t) =Aeint. (5.1.10)

Tak wiec rozwia

zanie rownania Schrodingera z czasem wynosi

n(x, t) =An(x)eint. (5.1.11)

Funkcja ta opisuje uklad w stanie stacjonarnym.

5.2 Ewolucja czasowa wartosci oczekiwanej

Niech nasz uklad znajduje siew stanie stacjonarnym opisywanym funkcja

n(x, t) =An(x)eint. (5.2.1)

Dla chwilit= 0 mamyn(x, t= 0) =An(x). (5.2.2)


27/147

ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE 27

Wprowadzmy operator postaci

eithH (5.2.3)

i zadzialajmy nim na funkcjen(x, 0)

eithHn(x, 0) =Ae

ithHn(x) =

. . .

Z definicji funkcji ex

wiemy, ze

ex =+n=0

xn

n! = 1 + x+

1

2x2 + . . . . (5.2.4)

Skorzystajmy z tego rozwiniecia

. . .=A

1 +

it

hH

+

1

2

it

hH

2+ . . .

n(x) =

=An(x) + A it

h Hn(x) +

1

2

it

h2

H2n(x) + . . .=. . .

Korzystajac z niezaleznego od czasu rownania Schrodingera mamy

H2n(x) = H(Hn(x)) = H(Enn(x)) =EnHn(x) =E2nn(x).

Wstawiamy to do naszych przeksztalcen

. . .=A

1 +

it

hEn

+

1

2

it

hEn

2+ . . .

n(x) =Ae

ithEnn(x) =

=Aeintn(x) = n(x, t).

Zatem mozemy napisace

ithHn(x, 0) = n(x, t). (5.2.5)

Stad e

ithH zwany jest operatorem ewolucji czasowej.

Teraz zajmijmy siewartoscia

oczekiwana

w stanie stacjonarnym. Niech nasz uklad

znajduje siew stanie opisywanym funkcja

(x, t) = (x)eit. (5.2.6)

Chcemy znalezc wartosc sredniaobserwabliA, zakladaja

c ze

odpowiadajacy jej operator hermitowski Anie zalezy od czasu (tzn. A = A(t)). Dla

dowolnej chwili czasu t mozemy napisac:

At= |A = +

(x, t)A(x, t) dx=

= +

(x)eit A(x)eit dx= +

(x)A(x) dx=

= +

(x, 0)A(x, 0) dx= |At=0 = At=0.


28/147


Tak wiec wykazalismy, ze wartosc oczekiwana obserwabli A, opisywanej przez oper-

ator A = A(t), w stanie stacjonarnym jest stala i zawsze rowna wartosci oczekiwanejw chwili t = 0, czyli

At=0 = At. (5.2.7)Teraz zajmiemy sie

ewolucja

czasowa

wartosci oczekiwanej w dowolnym stanie,

niekoniecznie stacjonarnym. Wiemy, ze w przestrzeniL2 wartosc srednia obserwabli

A opisywanej przez operator hermitowski A dana jest wzorem

A = +

A dx,

i ze moze to byc jedynie funkcja czasu. Zrozniczkujmy to wyrazenie po czasie.

d

dtA =

t

+

A dx=

= +

(

tA +

A

t + A

t) dx=

. . .

Z zaleznego od czasu rownania Schrodingera

ih

t = H

i z tego, ze

H= h2

2m

2

x2+ V(x)

H= Hmozemy napisac

t = i

h

H,

t =

i

hH.

Wstawiamy powyzszy wynik do naszych przeksztalcen i mamy

. . .= +

(i

hHA +

A

t A i

hH) dx=

= +

A

t dx +

i

h

+

HA dx ih

+

AH dx=. . .

Pierwsza calka jest z definicji wartoscia sredniaoperatora At , czyli mamy

. . .= A

t + i

hH|A i

h|AH =. . .

Korzystamy z hermitowskosci operatora Hamiltona H

. . .= A

t + i

h|HA i

h|AH =. . .


29/147


A teraz wykorzystujemy liniowosc iloczynu skalarnego

. . .= A

t + i

h|HA AH =

A

t + i

h|(HA AH) =

= A

t + i

h|[H, A] =. . .

Ale|[H, A] jest wartosciaoczekiwana

(srednia

) operatora [H, A], czyli

. . .= A

t + i

h[H, A].

Ostatecznie wolno nam napisac, ze

d

dtA =

A

t + i

h[H, A]. (5.2.8)

5.3 Calki ruchuW dalszym cia

gu zakladamy, ze

A = A(t)czyli

A

t = 0. (5.3.1)

Wowczas dostajemy rownanie ruchu postaci

d

A

dt = i

h[H,

A]. (5.3.2)

Zalozmy ponadto, ze mamy stany stacjonarne. Wtedy

tA = 0, (5.3.3)

skad

[H, A] = 0. (5.3.4)Zajmijmy sie

teraz dowolnym stanem (niekoniecznie stacjonarnym), przy czym wcia

z

niech obowiazuje zalozenie, ze

A = A(t)czyli

A

t = 0

i zalozmy, ze operator hermitowski Aopisujacy obserwable

A komutuje z operatorem

Hamiltona H, czyli[A, H] = 0. (5.3.5)


30/147


Napiszmy wzor opisujacy ewolucje

czasowa

wartosci sredniej (oczekiwanej)

d

dtA =

A

t + i

h[H, A]. (5.3.6)

Jezelid

dtA

= 0,

to wartosc srednia (oczekiwana) obserwabli jest stala w czasie. Nazywamy jawowczas

stalaruchu lub calka

ruchu.

Dla przykladu rozpatrzmy operator Hamiltona H niezalezny w sposob jawny odczasu (

tH= 0). Poniewaz

[H, H] = 0,

todH

dt = 0.

Poniewaz obserwabla

opisywana

przez operator Hamiltona Hjest energia Eto

dE

dt = 0.

co oznacza, ze energia ukladu, ktorego hamiltonian nie zalezy jawnie od czasu, jestcalka

ruchu.

5.4 Twierdzenie Ehrenfesta

W mysl twierdzenia Ehrenfesta rownania mechaniki kwantowej redukuja sie

do

rownan mechaniki klasycznej po podstawieniu wartosci srednich. Inaczej mowiac,rownania mechaniki kwantowej dla wartosci srednich maja

postac odpowiednich

rownan mechaniki klasycznej. Przedstawmy dzialanie tej zasady rozwazajac przyk-

ladowe zagadnienie. Wezmy niezalezny od czasu operator x, czyli

x

t = 0. (5.4.1)

Wypiszmy raz jeszcze wzor opisujacy ewolucje

czasowa

wartosci oczekiwanej (sred-

niej) obserwabliAodpowiadajacej operatorowi A

ddt

A = At

+ ih[H, A].

Wstawmy za A operator xd

dtx = i

h[H,x].

Wiemy ponadto, ze[ px,x] = ih.


31/147


Korzystajac z tego obliczmy komutator

[H,x] = [p2x2m

+ V(x),x] = 1

2m[p2x,x] + [V(x),x] =

. . .

Drugi czlon wynosi zero, gdyz dowolna funkcja zalezna odx komutuje z x= x. Takwie

c mamy

. . .= 12m

(pxpxx xpxpx) =. . .Dodajemy i odejmujemy od wyrazenia w nawiasie pxxpx.

. . .= 1

2m(pxpxx pxxpx+ pxxpx xpxpx) =

= 1

2m(px(pxx xpx) + (pxx xpx)px) =

= 1

2m(px[px,x] + [px,x]px) =

= 1

2m(ihpx ihpx) = ih

mpx.

Wracamy do rownania opisujacego ewolucje

czasowa

wartosci oczekiwanej i wsta-

wiamy otrzymany wynik

d

dtx = i

h[H,x] = i

h

(i)hm

px.

Po uproszczeniu otrzymujemy wzor

px =mddt

x (5.4.2)

beda

cy kwantowym odpowiednikiem znanego z mechaniki klasycznej wyrazenia na

wartosc pedu

px=mdx

dt. (5.4.3)

5.5 Twierdzenie wirialne

Klasyczne, znane z mechaniki teoretycznej, twierdzenie o wiriale ma postac

nV = 2T, (5.5.1)

gdzie n oznacza stopien jednorodnosci potencjalu,V wartosc sredniapotencjalu,

aT wartosc srednia energii kinetycznej.

Wrocmy do mechaniki kwantowej i wprowadzmy niezalezny od czasu operator

A=r p. (5.5.2)


32/147


Zalozmy ponadto, ze mamy stany stacjonarne. Wtedy, zgodnie z udowodniona

wczesniej wlasnoscia, wartosc srednia operatora jest stala w czasie. Napiszmy wzor

opisujacy ewolucje

czasowa

wartosci sredniej (oczekiwanej) operatora A

d

dtA =

A

t + i

h[H, A].

Korzystajac z wczesniejszych wnioskow, mozemy napisac powyzszy wzor w prostszejpostaci

i

h[H, A] = 0. (5.5.3)

Obliczmy komutator[H, A] = [H, r p ]. (5.5.4)

Operator H jest postaci

H=p2

2m+ V , V =V(r), (5.5.5)

czyli

[H, A] = [p2

2m+V , r p ] = [ p

2

2m, r p ] + [V , r p ]

gdzie operatorpjest postacip= ih. (5.5.6)

Obliczmy najpierw komutator [V , r p]. Dzialajac nim na funkcje

probna

(r) i

kladac V =V, mamy

[V, r p ](r) = (Vr p r p V)(r) =

=Vr p(r) r p(V (r)) =Vr p(r) +ihr (V (r)) ==Vr p(r) + ihr (V)(r) + ihr V (r) =

=r V p(r) r (p V)(r) r V p(r) = r (p V)(r)czyli mamy

[V , r p ] = r (pV) =ihr V (5.5.7)Aby obliczyc komutator [ p

2

2m, r p ], wygodnie jest najpierw obliczyc pomocniczy

komutator [ px2,x px], pamietajac przy tym o obliczonym przy rozpatrywaniu twier-

dzenia Ehrenfesta komutatorze

[p2x,x] = 2ihpx.[ px

2,x px] = px2xpx xpxp2x= (p2xx xp2x)px=

= [p2x,x]px = 2ihpxpx = 2ihp2xPamie

taja

c ponadto o tym, ze

[k,pm] =ihkm k, m= x, y,z,


33/147


mozemy przystapic do obliczen

[p2

2m, r p] = 1

2m[p

2, r p] = 1

2m[p2x+ p

2y+ p

2z,xpx+ y py+ zpz] =

= 1

2m([p2x,xpx] + [p

2y,y py] + [p

2z,zpz]) =

= 1

2m(2ihp2x 2ihp2y 2ihp2z) =

ih

m(p2x+ p

2y+ p

2z) =

ih

mp2.

W sumie mamy

[H, r p ] = ihm

p2

+ ihr V. (5.5.8)Ze wzoru na ewolucje

czasowa

wartosci oczekiwanej (sredniej) otrzymalismy

i

h[H, r p ] = 0.

Po podstawieniu obliczonego powyzej komutatora dostajemyi

h ih

mp2 + ihr V = 0. (5.5.9)

Po uproszczeniu dochodzimy do wzoru

p2

m+r V = 0 (5.5.10)

skad

p2

m+

r

V

= 0. (5.5.11)

Wprowadzmy operator energii kinetycznej

T = p2

2m (5.5.12)

Wowczas mamy 2T + r V = 0 (5.5.13)

czyli2T = r V = 0. (5.5.14)

Dla V =V(r) mozemy napisac, ze

V(r) = rr

d

drV(r). (5.5.15)

Teraz zajmijmy sie szczegolnym przypadkiem, a mianowicie potencjalem kulom-

bowskim postaci

V(r) = Ze2

r . (5.5.16)


34/147


Wowczas

r V(r) =r rr

d

drV(r) =

r2

r

d

drV(r) =r

d

dr

Ze

2

r

= r

Ze2

r2 =

=Ze2

r = V(r).

Dla potencjalu kulombowskiego mamy zatem

2T = V, (5.5.17)

skad latwo dostajemy, ze

T = 12V. (5.5.18)

Otrzymany wzor, identyczny ze wzorem otrzymanym w mechanice klasycznej, czesto

sluzy do sprawdzania skomplikowanych obliczen numerycznych.


35/147

Rozdzial 6

Pakiety falowe

6.1 Fala. Predkosc fazowa

Zapiszmy rownanie wlasne dla operatora momentu pedu p

p(r) =p(r). (6.1.1)

Zapisujac je w jawnej postaci, otrzymujemy

ih(r) =p(r). (6.1.2)W przypadku jednowymiarowym nasze rownanie przechodzi w

ih ddx

(x) =px(x), (6.1.3)

gdzie (x) jest funkcja wlasna

, a px wartoscia wlasna. Rozwiazujac to rownanie

(np. przez separacje zmiennych lub przez rownanie charakterystyczne) dochodzimydo funkcji wlasnej postaci

(x) =Aeipxhx. (6.1.4)

Korzystajac ze wzoru Eulera

ei = cos + i sin , (6.1.5)

mozemy przepisac to rozwiazanie w innej postaci

(x) =A

cos

pxh

x

+ i sin

pxh

x

. (6.1.6)

Z fizyki fal wiemy, ze wzor ten opisuje czesc przestrzenna

stacjonarnej fali monochro-

matycznej. Jesli x (, +) to funkcja ta nie nalezy do przestrzeniL2. Mozemyto prosto wykazac. Jak pamie

tamy, przestrzenL2 jest to przestrzen funkcji calkowal-

nych z kwadratem, tzn. calka z kwadratu funkcji po calej przestrzeni jest mniejszaod nieskonczonosci. Zapiszmy ta

calke

+

|(x)|2dx= +

(x)(x)dx=

35


36/147

36 ROZDZIAL 6. PAKIETY FALOWE

= +

Aei

pxhx

Aeipxhxdx=

+

AeipxhxAei

pxhxdx=

= |A|2 +

dx +.

Niech bedzie dlugoscia

fali cza

stki opisywanej przez rozwia

zanie naszego rownania

wlasnego. Przejdzmy teraz z xdo x+ (x

x+ ).

(x + ) =Aeipxh (x+). (6.1.7)

To powinno byc rowne (x), czyli

(x) =Aeipxhx =(x+ ) =Aei

pxh (x+). (6.1.8)

Stad mamy

Aeipxhx =Aei

pxh (x+) (6.1.9)

czyli

1 =eipx

h = cospx

h

+ i sinpx

h

. (6.1.10)

Aby powyzszy warunek byl spelniony, to

pxh

= 2n (6.1.11)

px=2nh

=2nh

2 =

nh

=n

h

. (6.1.12)

Pamietaja

c o postulacie de Brogliea

= hp (6.1.13)

mozemy stwierdzic, ze wartosc wlasna skladowej operatora pedu jest wielokrotnoscia

fali de Brogliea.W naszych dalszych rozwazaniach be

dziemy korzystali z postaci funkcji wlasnej

skladowej operatora pedu

(x) =Aeikx, (6.1.14)

gdzie ped pmozemy wyrazic jako

p= hk, (6.1.15)

a liczbe falowa

k jako

k=2

. (6.1.16)

Rozwazmy teraz czastke

swobodna

opisywana

zaleznym od czasu rownaniem Schro-

dingera

ih

t= H. (6.1.17)


37/147

ROZDZIAL 6. PAKIETY FALOWE 37

Jak wiemy z poprzednich rozdzialow, funkcje mozemy zapisac jako

(x, t) =(x)eit, (6.1.18)

gdzie (x) jest rozwiazaniem niezaleznego od czasu rownania Schrodingera

H(x) =E(x). (6.1.19)

Postaramy sie teraz znalezc postac funkcji (x). Poniewaz cza

stka jest cza

stka

swobodna, to nie znajduje sie

w polu zadnego potencjalu. Dlatego nasz hamiltonian

jest postaci

H= p2x2m

= h2

2m

d2

dx2. (6.1.20)

Wstawiamy go do rownania Schrodingera niezaleznego od czasu

h2

2m

d2

dx2(x) =E(x), (6.1.21)

skad

d2

dx2(x) +

2mE

h2 (x) = 0. (6.1.22)

Rozwiazuja

c to rownanie rozniczkowe, dostajemy

(x) =Aei

2mEh

x + Bei

2mEh

x (6.1.23)

Dla czastki swobodnej calkowita energia jest rowna samej energii kinetycznej, czyli

E=

p2x2m 2mE=p

2

x. (6.1.24)

Wstawiamy to do rozwiazania rownania Schrodingera niezaleznego od czasu i mamy

(x) =Aeipxhx + Bei

pxhx. (6.1.25)

Korzystamy z tego, ze

px= hk (6.1.26)

i dostajemy

(x) =Aeikx + Beikx. (6.1.27)

Jezeli A= 0, lub B = 0 to funkcja ta jest taka sama jak funkcje wlasne skladowejoperatora pe

du.

Pelna funkcje

falowa

uzyskamy, mnoza

c funkcje

(x) przez eit, w wyniku czego

dostajemy

(x, t) =Aei(kxt) + Bei(kx+t) (6.1.28)

gdzie pierwszy czlon opisuje fale rozchodza

ca

sie

w kierunku x, a drugi w kierunku

x.


38/147


Wezmy teraz dowolna funkcje

falowa

f = f(x, t), ale zalozmy, ze jej zaleznosc od

argumentu jest nastepuja

ca:

f(x, t) =f(x Vft), (6.1.29)

gdzie

Vf=

x

t (6.1.30)be

dziemy nazywac pre

dkosc fazowa

. Niech teraz

t t + t (6.1.31)

x x + x (6.1.32)Wowczas

f(x+ x, t + t) =f[(x+ x) Vf(t + t)] =

=f(x + x Vft Vft) =f(x+ x Vft xt

t) =

f(x + x Vft x) =f(x Vft) =f(x, t).Zatem

f(x+ x, t + t) =f(x, t). (6.1.33)

Niech funkcja falowa bedzie postaci

(x, t) =Aei(kxt) =Aeik(xkt),

czyli predkosc fazowa Vf bedzie rowna

Vf=

k . (6.1.34)

W wyniku przeksztalcen dostajemy

Vf=

k =

h

hk =

E

p =

p2

2m

p =

p

2m=

Vklasyczna2

.

Predkosc fazowa Vf jest rowna polowie predkosci klasycznej Vklasyczna

Vf=Vklasyczna

2 . (6.1.35)

Poniewaz ped jest dobrze okreslony

p=h

, (6.1.36)

to w mysl zasady nieoznaczonosci Heisenberga

xp h2

. (6.1.37)


39/147

ROZDZIAL 6. PAKIETY FALOWE 39

nie mozemy nic powiedziec o polozeniu czastki, czyli moze ona zna jdowac sie

wsze

dzie.

Mozemy to latwo wykazac wprost z definicji gestosci prawdopodobie

nstwa napotka-

nia czastki. Zalozmy funkcje

falowa

postaci

(x, t) =Aei(kxt).

Gestosc prawdopodobienstwa jest zdefiniowana jako

P(x, t) = |(x, t)|2. (6.1.38)Obliczmy te

wartosc

P(x, t) = |(x, t)|2 = ((x, t))(x, t) = (Aei(kxt))Aei(kxt) ==Aei(kxt)Aei(kxt) = |A|2,

czyli gestosc prawdopodobienstwa napotkania cza

stki jest stala i taka sama na calej

osi xP(x, t) = |A|2. (6.1.39)

6.2 Pakiet. Predkosc grupowa

Funkcja opisujaca pakiet falowy w przypadku jednowymiarowym jest postaci

(x, t) = 1

2

+

ei(kx(k)t)(k)dk (6.2.1)

Jak nam wiadomo z matematyki jest to transformata Fouriera funkcji (k)ei(k)t.Cze

sc przestrzenna pakietu okreslana jest przez (x, 0).

(x, 0) = 12

+

eikx(k)dk. (6.2.2)

Jest to klasyczna transformata Fouriera. W przypadku trojwymiarowym funkcjaopisuja

ca pakiet falowy jest postaci

(r, t) = 1

(2)32

ei(

kr(k)t)(k)d3k, (6.2.3)

przy czym calkowanie odbywa siepo calej przestrzeni pe

dow.

Zwiazki pomie

dzy pe

dem p, a energia

E sa

postaci

=(k). (6.2.4)Sa

to tzw. zwia

zki dyspersyjne (pamie

tamy, ze p= hk, a E= h).

Pakiet falowy porusza siez pre

dkoscia

grupowa

Vg zdefiniowana jako

Vg =(k)

k =

h(k)

hk =

E(p)

p =

p2

2m

p =

p

m=Vklasyczna.

Vg =Vklasyczna. (6.2.5)


40/147


6.3 Rozmywanie siepakietu falowego

Najpierw rozwinmy szereg z dokladnosciawyrazu pierwszego rze

du

(k) =(k0) +(k)

k |k=k0 + . . . 0+ Vg (6.3.1)

gdzie 0 =(k0) i= k

k0. Wstawiamy to rozwiniecie do wzoru

(x, t) = 1

2

+

ei(kx(k)t)(k)dk

i dostajemy

(x, t) = 1

2

+

ei((+k0)x0t)Vgt(k0+ )d, (6.3.2)

czyli

(x, t) = 1

2ei(k0x0t)

+

ei(xVgt)(k0+ )d. (6.3.3)

Czyli caly pakiet falowy porusza sie z pre

dkoscia

grupowa

Vg (wnioskujemy to z

postaci funkcji podcalkowej). Po przejsciu x i czasie t postac pakietu sie nie

zmieni. Rozwinmy teraz(k) w szereg Taylora z dokladnosciado wyrazow drugiego

rzedu

(k) =0+ Vg +1

2

2

k2|k=k0 2 + . . . 0+

Vg+

1

2

2

k2|k=k0

(6.3.4)

czyli w porownaniu ze wzorem (6.3.1)

Vg Vg+1

2

2

k2 |k=k0 . (6.3.5)Wstawiamy to rozwinie

cie do wzoru opisuja

cego pakiet falowy

(x, t) = 1

2

+

ei(kx(k)t)(k)dk

i dostajemy

(x, t) = 1

2ei(k0x0t)

+

ei(x(Vg+122k2

|k=k0)t)(k0+ )d, (6.3.6)

czyli

(x, t) = 1

2ei(k0x0t)

+

ei(xVgt)122k2

|k=k0t(k0+ )d. (6.3.7)

Pod calkamamy dodatkowy czlon w stosunku do poprzedniego wzoru, ktory ewolu-

uje ze zmianati . Poniewaz dodatkowy czlon zalezy od , to rozne cze

sci pakietu

falowego beda

sie

poruszaly z nieco roznymi pre

dkosciami, wie

c pakiet falowy ulega

stopniowemu rozmyciu w czasie.


41/147

Rozdzial 7

Zasada odpowiedniosci Bohra

W mysl zasady odpowiedniosci Bohra przejscie z mechaniki kwantowej do mechanikiklasycznej dokonuje sie

przy przejsciu z h do zera (h 0). Praktycznie te

granice

osiaga sie

przy przejsciu z liczbami kwantowymi do nieskonczonosci (n +), o

ile wynik nie zalezy od h. Dla przykladu rozpatrzmy czastke

w jednowymiarowej,

nieskonczonej studni potencjalu

V(x) =

0 x (0, L)+ x / (0, L). (7.1)

Najpierw przeprowadzmy rozwazania zgodne z mechanika klasyczna

. Wewna

trz

przedzialu (0, L) na czastke

nie dziala zadna sila (poza momentami, gdy naste

puje

odbicie od scianek), czyli jej polozenie opisywane jest wzorem opisujacym ruch jed-

nostajny po lini prostej z predkoscia

V

x(t) =x0+ V t, x0 = x(t0), (7.2)

gdzie x0 oznacza polozenie poczatkowe.Prawdopodobienstwo znalezienia cza

stki w przedziale (x, x+dx) jest wprost propor-

cjonalne do czasu przelotu drogi dxoznaczonego przez dti odwrotnie proporcjonalnedo okresu w ktorym cza

stka przebywa droge

od 0 do L, ktory oznaczamy przez T.

Zapiszmy to w jawnej postaci

Pdx=dt

T. (7.3)

Po prawej stronie rownania mnozymy licznik i mianownik przez V i korzystamy ztego, ze

Vdt= dx, (7.4)V T =L. (7.5)

Stad mamy

Pdx=dt

T =

Vdt

V T =

dx

L,

czyli w koncu

Pdx=dx

L. (7.6)

41


42/147

42 ROZDZIAL 7. ZASADA ODPOWIEDNIOSCI BOHRA

Upraszczajac dxmamy wzor na ge

stosc prawdopodobienstwa

P = 1

L. (7.7)

W ogolnosciP =P(x), tu jednak mamy szczegolny przypadek P =const.Teraz rozpatrzymy to zagadnienie przy pomocy mechaniki kwantowej. Poniewaz

V = V(t) to mamy problem stacjonarny, tak wiec musimy rozwiazac rownanieSchrodingera bez czasuH(x) =E(x).

Podzielmy przestrzen na trzy obszary

obszar I x 0obszar II x (0, L)obszar III x L.

(7.8)

Pomiedzy obszarami I i II oraz pomie

dzy II i III musimy narzucic tak zwane warunki

zszyciaI(0) =II(0),II(L) =II I(L).

(7.9)

Dodatkowo mamy jeszcze dwa warunki na pochodne funkcji falowych

I(0) =II(0),

II(L) =II I(L).

(7.10)

Poniewaz studnia potencjalu ma nieskonczonagle

bokosc, to

I(x) 0,II I(x) 0.

(7.11)

Zatem wolno nam pominac indeks i zamiastIIpisac. Z warunkow zszycia mamy,

ze(0) = 0,(L) = 0.

(7.12)

W obszarze II potencjal jest zerowy, czyli rozwiazanie be

dzie tutaj takie samo jak

dla czastki swobodnej. Obliczylismy je wczesniej i jest ono postaci

(x) =Aeikx + Beikx.

Korzystajac ze wzoru Eulera

ei = cos + i sin

mozemy rozwiazanie rownania Schrodingera zapisac w nieco innej postaci

(x) =Aeikx + Beikx =A(cos(kx) +i sin(kx)) + B(cos(kx) i sin(kx)) =

= (A + B) cos(kx) + (A B)i sin(kx) =Ccos(kx) + D sin(kx),


43/147

ROZDZIAL 7. ZASADA ODPOWIEDNIOSCI BOHRA 43

czyli(x) =Ccos(kx) + D sin(kx), (7.13)

gdzieC=A + B, (7.14)

D= (A B)i. (7.15)

W tym przypadku warunki brzegowe daja nam dyskretne rozwiaznia. Aby towykazac skorzysta jmy z warunku brzegowego.

(0) = 0 C= 0, (7.16)

czyli nasza funkcja falowa jest postaci

(x) =D sin(kx). (7.17)

Mamy jeszcze jeden warunek brzegowy

(L) = 0

D sin(kL) = 0

(7.18)

sin(kL) = 0 (7.19) kL = n, n= 0, 1, 2, . . . (7.20)

co prowadzi do dyskretnego rozwiazania na liczbe

falowa

k

kn=n

L. (7.21)

Z drugiej strony liczba falowa k zdefiniowana jest jako

kn =

2

n . (7.22)

Porownujac dwa ostatnie wzory, dostajemy

2

n=

n

L, (7.23)

czyli

L=nn

2 . (7.24)

Jest to tak zwany warunek fal stojacych, oznaczaja

cy ze na odcinku od 0 do L musi

byc calkowita wielokrotnosc polowek dlugosci fali . Liczbe n nazywamy liczbakwantowa

. Nasze rozwia

zanie jest postaci

n(x) =D sin(knx) =D sin

n

Lx

. (7.25)

Dlandodatnich i ujemnych funkcje falowe satakie same (z dokladnoscia

do czynnika

fazowego) poniewazsin(x) = sin(x).


44/147

44 ROZDZIAL 7. ZASADA ODPOWIEDNIOSCI BOHRA

Zatem mozemy bracn = 0, 1, 2, . . .nie tracac zadnych rozwia

zan. Jednak dlan = 0

funkcja falowa(x) tozsamosciowo rowna siezeru, czyli wolno nam pomina

cn = 0.

Ostatecznie

n(x) =D sin

n

Lx

, n= 1, 2, . . . (7.26)

Majac dane rozwia

zania naknmamy rowniez rozwiazania na wartosci wlasne energii

En (energia bedzie rowna tylko energi kinetycznej, gdyz potencjal rowny jest zeru).

En= p2n2m

=(hkn)

2

2m =

1

2m

n22h2

L2 =n2

2h2

2mL2 =n2E1,

czyliEn = n

2E1, (7.27)

gdzie

E1= 2h2

2mL2 (7.28)

jest najnizszadozwolona

energia

(energia

stanu podstawowego).

StalaD mozemy znalezc, korzystaja

c z warunku normalizacyjnego

1 = +

|n(x)|2dx= L0

|D|2 sin2( nL

x)dx. (7.29)

Po obliczeniu powyzszej calki dochodzimy do wyrazenia

|D|2 L2

= 1 |D| =

2

L. (7.30)

Poniewaz z dokladnosciado czynnika fazowego

|D| =D (7.31)

toD=

2

L. (7.32)

Nasze rozwiazanie wygla

da teraz naste

puja

co

n(x) =

2

Lsin(knx) =

2

Lsin(

n

Lx), n= 1, 2, . . . (7.33)

W celu otrzymania pelnej funkcji falowej otrzymany wynik nalezy pomnozyc przezeint, gdzien=

Enh

. Gestosc prawdopodobienstwa wn-tym stanie energetycznym

dana jest wzorem

Pn(x) = |n(x)|2

. (7.34)Usredniaja

c powyzszy wzor, dla duzych liczb kwantowych, po pewnym, niwielkim,

ale makroskopowym przedziale przedzialu (0, L) dostajemy wzor na gestosc praw-

dopodobienstwa

P = 1

L.

Zgodnie z zasadaodpowiedniosci Bohra otrzymalismy taki sam wzor, jak w mecha-

nice klasycznej.


45/147

Rozdzial 8

Zasada zachowaniaprawdopodobienstwa

8.1 Rownanie ciaglosci

Jak wiemy, gestosc prawdopodobienstwa znalezienia cza

stki dana jest wyrazeniem

P(r, t) = |(r, t)|2 = (r, t)(r, t), (8.1.1)

Poniewaz to, ze czastka znajduje sie

gdziekolwiek jest pewne, to

Vc

P(r, t)d3r= 1, d3r= dxdydz, (8.1.2)

gdzie Vc oznacza cala przestrzen (pomijamy stany z widma ciaglego). Jest tooczywiscie warunek normalizacyjny. Zrozniczkujmy go po czasie i dostajemy

t

Vc

P(r, t)d3r= 0 (8.1.3)

czyli warunek normalizacyjny jest zachowany (staly w czasie). Niech V bedzie

dowolnapodprzestrzenia przestrzeni Vc

t

V

P(r, t)d3r=V

t((r, t)(r, t))d3r=

V

t

+

t d3r= . . .

Korzystajac z rownania Schrodingera zaleznego od czasu

H =ih

t,

mozemy napisac, ze

t = i

hH, (8.1.4)

45


46/147

46 ROZDZIAL 8. ZASADA ZACHOWANIA PRAWDOPODOBIENSTWA

t =

i

hH. (8.1.5)

Podstawiamy to do naszej calki

. . .= ih

V

[(H) + H] d3r= . . .

Teraz wstawiamy jawnapostac operatora Hamiltona

H= p2

2m+ V(r) = h

2

2m2 + V(r) (8.1.6)

i dostajemy. . .= i

h

V

h2

2m2 V(r)

+

+ h

2

2m2 + V(r)

d3r=

. . .

Wyrazy V(r) i V(r) upraszczajasie

i mamy

. . .= ihV

h

2

2m2

h2

2m 2 d3r=

= ih2m

V

(2 2)d3r= . . .Dodajemy i odejmujemy i mamy

. . .= ih2m

V

[(2 + )

(2 + )]d3r==

ih

2mV

[

(

)

(

)]d3r=

= ih2m

V

[( )]d3r= . . .Oznaczmy

j= ih

2m( ), (8.1.7)

i otrzymujemy w koncu V

tP(r, t)d3r=

V

jd3r, (8.1.8)lub

V

t

P(r, t) + j d3r= 0. (8.1.9)Poniewaz V jest dowolna

obje

toscia

, sta

d wynika, ze

tP(r, t) + j = 0. (8.1.10)

Jest to tak zwane rownanie ciaglosci, przy czym P(r, t) oznacza ge

stosc praw-

dopodobienstwa, aj gestosc strumienia pra

du prawdopodobienstwa.


47/147

Rozdzial 9

Rozpraszanie na potencjalach

9.1 Bariera potencjalu o skonczonej wysokosci i

nieskonczonej szerokosci

Rozwazmy czastke o pedzie p = hk poruszajaca sie w kierunku osi x padajaca nabariere

potencjalu V(x) okreslona

w ponizszy sposob

V(x) =

0 dla x 0,V0 dla x >0.

(9.1.1)

Caly obszar dzielimy na dwie czesci i rozwia

zujemy w nich niezalezne od czasu

rownanie Schrodingera

h2

2m

d2

dx2(x) + V(x)(x) =E(x).

Dla x 0 (obszar I) niezalezne od czasu rownanie Schrodingera przyjmuje postac

h2

2m

d2

dx2(x) =E(x), (9.1.2)

natomiast dla x >0 (obszar II) mamy

h2

2m

d2

dx2(x) = (E V0)(x). (9.1.3)

W obszarze I rozwiazanie jest takie samo, jak dla cza

stki swobodnej, czyli

I(x) =Aeikx + Beikx, A, B=const, (9.1.4)

gdzie

k=

2mE

h2 . (9.1.5)

Aby rozwiazac rownanie w obszarze II wystarczy oznaczyc

E =E V0, (9.1.6)

47


48/147

48 ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH

i dostajemy rownanie podobne do poprzedniego

h2

2m

d2

dx2(x) =E(x). (9.1.7)

Stosujac analogiczne rozwazania dostajemy rozwia

zanie postaci

II

(x) =C eix + Deix, C, D= const, (9.1.8)

przy czym

=

2mE

h2 =

2m(E V0)

h2 . (9.1.9)

Wiemy, ze czastka pada z lewej strony, czyli w obszarze II nie moze byc fali ida

cej

w lewo, tak wiec D= 0 (poza przypadkiem czysto urojonego). Sta

d mamy

II(x) =C eix, (9.1.10)

co prowadzi do

(x) =

Aeikx + Beikx =I(x) dlax 0,Ceix =II(x) dlax >0.

(9.1.11)

Skorzystajmy z warunkow zszycia

I(0) =II(0) (9.1.12)

id

dxI(x)|x=0= d

dxII(x)|x=0, (9.1.13)

skad dostajemy

A + B=C, k(A B) =C. (9.1.14)Z tych dwoch rownan w prosty sposob wyznaczamy, ze

C= 2k

k+ A, (9.1.15)

B=k

2k C=

k 2k

2k

k+ A=

k k+

A. (9.1.16)

Podstawiajac jawne postacie k i, dostajemy

C= 2

E

E+

E V0 A, (9.1.17)

B=

E E V0E+

E V0

A. (9.1.18)

Czesc funkcji falowej poruszaja

ca

sie

w kierunku osi x w obszarze I mozemy inter-

pretowac jako falepadaja

ca

, cze

sc poruszaja

ca

sie

w tym samym obszarze w druga

strone jako fale

odbita

, natomiast funkcje

falowa

poruszaja

ca

sie

w kierunku x w


49/147

ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH 49

obszarze II jako fale przepuszczona

przez bariere

. Korzystaja

c z tej interpretacji

mozemy obliczyc gestosc pra

du prawdopodobienstwa dla cza

stek padaja

cych jA,

odbitych jBi przepuszczonych jC. Pamietamy, ze gestosc pradu prawdopodobienstwadefiniujemy jako

j= ih

2m( ). (9.1.19)

Obliczmy ge

stosc pra


stek padaja

cych jA, korzystaja

cz powyzszej definicji.

jA = ih

2m(Aeikx(Aeikx) (Aeikx)Aeikx) =

= ih

2m(AeikxAeikx AeikxAeikx) =

= ih

2m(|A|2eikx(ik)eikx |A|2eikxikeikx) =

= ih

2m(

2ik|A

|2) =

hk

m |A

|2,

czyli mamy

jA=hk

m|A|2. (9.1.20)

W analogiczny sposob obliczamy gestosc pra


stek

odbitychjB i przepuszczonychjC i mamy:

jB = hk

m|B|2 (9.1.21)

oraz

jC=

h

m |C|2

(9.1.22)

(tylko dla rzeczywistego, dla czysto urojonego jC= 0). Zdefiniujmy wspolczynnikodbiciaR i wspolczynnik przenikania T

R=

jBjA

(9.1.23)

T =

jCjA

. (9.1.24)

Wspolczynniki te sa

miara

prawdopodobienstwa odpowiednio odbicia i przeniknie

ciaczastki. W naszym przypadku wspolczynniki te wyrazac sie

be

da

wzorami

R=BA

2

=

E E V0E+

E V0

2

(9.1.25)

oraz

T =CA

2 k

= 2

E

E+

E V0

2

E V0

E

. (9.1.26)


50/147


Przeprowadzmy dyskusjeotrzymanych przez nas wynikow w zaleznosci od wysokosci

bariery potencjalu V0 i od energii padajacej czastki E.

1. Jezeli V0 = 0, to latwo wykazac, ze R = 0 i T = 1, czyli odbicie nie jestmozliwe i wszystkie cza

stki przechodza

przez bariere

.

2. Jezeli E > V0 to czastka moze zostac odbita lub przepuszczona, przy czym

II(x) = 2A

E

E+

E V0eih

2m(EV0)x (9.1.27)

gdzie E V0 jest liczbarzeczywista.

3. Jezeli E=V0 to mozliwe jest tylko odbicie, gdyz R= 1, a T = 0.

4. Jezeli E < V0 to niemozliwe jest odbicie i przepuszczenie czastki, co wynika

nie ze wzoru (9.1.26), ale z definicji wektora gestosci pradu, przy czym

II(x) = 2A

E(

E E V0)

(

E+

E V0)2e

1h

2m(V0E)x, (9.1.28)

gdzie V0 Ejest liczbarzeczywistadodatnia.

9.2 Bariera potencjalu o skonczonej wysokosci iskonczonej szerokosci.

Niech czastka o pe

dzie p = hk pada na bariere

potencjalu okreslona

w ponizszy

sposob

V(x) =

0 dla x a.

(9.2.1)

Rownanie Schrodingera dla tego zagadnienia jest postaci

h22m

d2dx2

(x) = E(x) dlax a. (9.2.2)

1. Niech 0< E < V0. Wowczas rozwiazanie rownanie Schrodingera jest postaci

(x) =

Aeikx + Beikx dla x a,

(9.2.3)


51/147


przy czym A, B,C,D,F,G sastalymi, natomiast

k=1

h

2mE, (9.2.4)

=1

h

2m(V0 E), (9.2.5)

oraz obie liczby k i sa

liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Zalozmy, ze naszaczastka, znajduja

c sie

w obszarze x a moze przebywac tylko fala przepusz-czona, natomiast nie ma zadnej fali, w tym obszarze, w kierunkux. Sta

d funkcja

falowa jest postaci

(x) =

Aeikx + Beikx dla x a.

(9.2.6)

Korzystajac z cia

glosci funkcji falowej i jej pierwszej pochodnej w punktach 0 i a

(czyli z warunkow zszycia)dostajemy uklad czterech rownan na staleA, B,C,F iG:

A + B=F+ G,ik(A B) =(F G),Ceika =F ea + Gea,

ikCeika =(F ea Gea).(9.2.7)

Postaramy sieteraz wyznaczycA w funkcjiC. Wymnozmy pierwsze rownanie przez

i dodajmy je oraz odejmijmy od rownania drugiego, a nastepnie wymnozmy trzecie

rownanie rowniez przez i dodajmy je oraz odejmijmy od rownania czwartego. Todaje nam cztery ponizsze rownania

ik(A B) + (A + B) = 2F,ik(A B) (A + B) = 2G,

ikCeika + Ceika = 2F ea,ikCeika Ceika = 2Gea.

(9.2.8)

Po wymnozeniu obustronnie rownania trzeciego przez ea i czwartego przez ea

dostajemy uklad postaci

ik(A B) + (A + B) = 2F,ik(A B) (A + B) = 2G,

(ik+ )Ce(ik)a

= 2F,(ik )Ce(ik+)a = 2G.(9.2.9)

Poniewaz prawe strony rownan odpowiednio pierwszego i trzeciego, oraz drugiego iczwartego sa

sobie rowne, to ich lewe strony rowniez powinny byc sobie rowne. Sta

d

dostajemy uklad dwoch rownan.

ik(A B) + (A + B) = (ik+ )Ce(ik)a,ik(A B) (A + B) = (ik )Ce(ik+)a. (9.2.10)


52/147


53/147


i w ten sposob mamy oba szukane wspolczynniki.Bardzo waznym wnioskiem jest to, ze dla cza

stki o energii nizszej od energii ba-

riery potencjalnej istnieje niezerowe prawdopodobienstwo przejscia przez tabariere

.

Zjawisko to, niemozliwe w mysl praw opisujacych fizyke

klasyczna

, nazywane jest

zjawiskiem tunelowym. Powyzsze rozwazania pozwalaja, choc w sposob bardzo up-

roszczony, zrozumiec rozpad promieniotworczy , czy tez zjawiska wystepuja

ce w

polprzewodnikach.2. Niech E=V0. Wowczas rownanie Schrodingera jest postaci

h2

2m

d2

dx2(x) =

E(x) dlax a.

(9.2.20)

Funkcja falowa beda

ca jego rozwia

zaniem dana jest wzorem

(x) =


(9.2.21)

przy czym A, B,C,D,F iG sastalymi, a

k= 1

h

2mE (9.2.22)

jest liczbarzeczywista

, wie

ksza

od zera.

Tak jak w poprzednim przypadku wiemy, ze D= 0 i korzystamy z ciaglosci funkcji

i jej pierwszej pochodnej w 0 i w a, skad dostajemy uklad czterech rownan

A + B=G,ik(A

B) =F,

Ceika =F a + G,ikCeika =F.

(9.2.23)

Wstawmy rownanie pierwsze i drugie do rownania trzeciego, skad mamy

ika(A B) + A + B =C eika. (9.2.24)Po uporza

dkowaniu mamy

(1 + ika)A + (1 ika)B=C eika. (9.2.25)Przyrownuja

c do siebie lewe strony rownania drugiego i czwartego, dostajemy nowe

rownanieik(A B) =ikCeika, (9.2.26)

skad mamy

B=A Ceika. (9.2.27)Wstawiamy to do zmodyfikowanego poprzednio rownania trzeciego

(1 + ika)A + (1 ika)(A Ceika) =C eika. (9.2.28)


54/147


Upraszczajac powyzsza

rownosc, dochodzimy do postaci

C= 2A

2 ika eika. (9.2.29)

Korzystajac z obliczonego juz wczesniej wyrazenia opisuja

cego wspolczynnik przejscia,

dostajemy

T =CA2

= 22 ika e

ika2

=

4

4 + (ka)2 . (9.2.30)Wnioskuja

c z wartosci tych wspolczynnikow mozemy stwierdzic, ze, inaczej niz dla

bariery o nieskonczonej szerokosci, czastka o energii rownej wysokosci bariery po-

tencjalu moze zostac przepuszczona lub odbita.3. Niech E > V0. Wowczas rownanie Schrodingera przyjmuje postac

h2

2m

d2

dx2(x) =

E(x) dlax a.

(9.2.31)

Funkcja falowa beda

ca jego rozwia

zaniem jest postaci

(x) =


(9.2.32)

przy czym

k=1

h

2mE, (9.2.33)

= 1

h

2m(E V0) (9.2.34)

i oba te wspolczynniki sa liczbami rzeczywistymi, wie

kszymi od zera.

Analogicznie, jak w poprzednich przypadkach, wolno nam przyjac, ze D = 0.

Korzystajac z warunkow zszycia, dostajemy uklad rownan

A + B=F+ G,ik(A B) =i(F G),F eia + Geia =C eika,

i(F eia Geia) =ikCeika.(9.2.35)

Dodajemy i odejmujemy pierwsze rownanie pomnozone przez od drugiego, anaste

pnie trzecie pomnozone przez od czwartego, ska

d dostajemy

(k+ )A (k )B= 2F,(k

)A

(k+ )B=

2G,

2F eia = (k+ )Ceika,2Geia = (k )Ceika.

(9.2.36)

Nastepnie mnozymy obustronnie rownanie trzecie przez eia i czwarte przez eia

(k+ )A (k )B= 2F,(k )A (k+ )B= 2G,

2F = (k+ )Cei(k)a,2G= (k )Cei(k+)a.

(9.2.37)


55/147


Przyrownujemy do siebie lewastrone

rownania pierwszego z prawa

strona

rownania

trzeciego, a potem postepujemy analogicznie z rownaniem drugim i czwartym

(k+ )A (k )B= (k+ )Cei(k)a, (9.2.38)(k )A (k+ )B= (k )Cei(k+)a. (9.2.39)

Teraz wyznaczamy z obu rownan B

k+

k (A Cei(k)a) =B, (9.2.40)

k k+

(A Cei(k+)a) =B. (9.2.41)Przyrownuja

c do siebie lewe strony, dostajemy rownosc ponizszej postaci

k+

k (A Cei(k)a) =

k k+

(A Cei(k+)a). (9.2.42)

Upraszczajac powyzsze wyrazenie, dostajemy

4k

k2 2 A=

k+

k ei(k)a k

k+ ei(k+)a

C, (9.2.43)

czyli

C= 4k

k2 2

k+

k ei(k)a k

k+ ei(k+)a

1A. (9.2.44)

Korzystajac z wczesniejszych rozwazan mozemy napisac, ze

T = |C

A |2 = | 4k

k2 2k+

k ei(k)a k

k+ ei(k+)a1 |2 (9.2.45)

i zeR= 1 T. (9.2.46)

Mozna wykazac, ze wartosc wspolczynnika przejscia Tnie zawsze jest rowna jednosci,a wie

c cza

stki o energii wie

kszej od wysokosci bariery potencjalu moze zostac jednak

przez niaodbita. Cza

stka na pewno przejdzie przez bariere

tylko wtedy, gdyT = 1.

Energie odpowiadajace temu przypadkowi to tak zwane energie rezonansowe.

9.3 Prostokatna studnia potencjalu o skonczonejgle

bokosci

Niech dana bedzie studnia potencjalu zdefiniowana wzorem

V(x) =

0 dla x < a,V0 dla a 0 a,0 dla x > a.

(9.3.1)


56/147


Rozwazmy czastke

o energii mniejszej od zera, ale wie

kszej odV0,V0 < E < 0

(rozpatrujemy stany zwiazane). Rownanie Schrodingera opisuja

ce ta

cza

stke

jest

postaci

h2

2m

d2

dx2(x) =

E(x) dlax < a,(E+ V0)(x) dla a x a,E(x) dlax > a.

(9.3.2)

Rozwia

zaniem tego rownania jest funkcja falowa

(x) =

Aekx + Bekx dla x < a,Fcos(x) + G sin(x) dla a x a,Cekx + Dekx dla x > a,

(9.3.3)

przy czymA, B,C,D,F i Gsastalymi, a

k= 1

h

2mE (9.3.4)

i

= 1

h2m(E+ V0) (9.3.5)

sa liczbami rzeczywistymi wie

kszymi od zera.

Poniewaz dla x < a i x > a istnieje skonczone prawdopodobienstwo znalezieniacza

stki, to czlony da

zace do nieskonczonosci musza

znikac. Sta

d wolno nam przyja

c,

ze B= 0 i C= 0. Zatem funkcja falowa przyjmuje postac

(x) =

Aekx dla x < aFcos(x) + G sin(x) dla a x aDekx dla x > a.

(9.3.6)

Korzystajac z warunkow zszycia dla x = a i x =a, dostajemy uklad czterech

rownan Aeka =Fcos(a) G sin(a)kAeka =(Fsin(a) + G cos(a))

Deka =Fcos(a) + G sin(a)kDeka = (Fsin(a) G cos(a)).

(9.3.7)

Dodajmy i odejmijmy rownanie pierwsze od trzeciego, a nastepnie posta

pmy ana-

logicznie z rownaniami drugim i czwartym.

2Fcos(a) = (A + D)eka

2G sin(a) = (D A)eka2Fsin(a) =k(A + D)eka

2G cos(a) = k(D A)eka.

(9.3.8)

Z matematyki wiadomo, ze wolno nam obrac jednaze stalych dowolnie. Wobec tego

niech na poczatek G= 0. Wowczas mamy uklad rownan postaci

2Fcos(a) = (A + D)eka,0 = (D A)eka,

2Fsin(a) =k(A + D)eka,0 = k(D A)eka.

(9.3.9)


57/147


Z rownania drugiego (lub czwartego) w prosty sposob dostajemy, ze:

A= D. (9.3.10)

Podstawiamy to pierwszego rownania i mamy

F =A 1

cos(a)

eka. (9.3.11)

Z kolei to podstawiamy do rownania trzeciego skad dostajemy

k= tg(a). (9.3.12)

Funkcja falowa jest postaci

(x) =

Aekx dla x < a,A e

kacos(a)

cos(x) dla a x a,Aekx dla x > a.

(9.3.13)

Funkcja ta jest parzysta.Teraz przyjmijmy, ze F= 0. Wykonuja

c analogiczne rachunki jak powyzej, dosta-

jemyk= ctg(a) (9.3.14)

A= D (9.3.15)G= A

1

sin(a)eka. (9.3.16)

Stad funkcja falowa jest postaci

(x) =

Aekx dla x a.

(9.3.17)

Ta funkcja jest nieparzysta.Pamie

taja

c, ze

k= 1

h

2mE >0,i ze

=1

h

2m(E+ V0)> 0,

mozemy napisack2 + 2 =

2m

h2V0. (9.3.18)

Pamietamy rowniez, ze dla parzystej funkcji falowej mamy

k= tg(a),

a dla nieparzystejk= ctg(a).


58/147


Wprowadzmy nowe zmienne

= ka, =a. (9.3.19)

Wowczas dostajemy dwa uklady rownan przestepnych (jeden dla parzystej funkcji

falowej, a drugi dla nieparzystej)

= tg(),2 + 2 = 2ma

2

h2 V0,

(9.3.20)

i= ctg(),

2 + 2 = 2ma2

h2 V0.

(9.3.21)

Korzystajac z drugiego rownania w dowolnym z powyzszych ukladow rownan, mozemy

wyznaczyc wartosci wlasne energii

2 + 2 =2ma2

h2 V0

2 =

2ma2

h2 V0

2 =

2ma2

h2 V0

a22 =

=2ma2

h2 V0 a2 1

h22m(E+ V0) = 2ma

2

h2 E

En = h2

2ma22. (9.3.22)

Powyzsze uklady rownan w najprostszy sposob mozna rozwiazc graficznie i uzyskac

w ten sposob kolejne wartosci , ktore umozliwiajanam wyznaczenie wartosci wlas-

nych.


59/147


60/147

60 ROZDZIAL 10. STANY PARZYSTE I NIEPARZYSTE

Natomiast kiedy= 1, to dostajemy rownanie wlasne postaci

P (x) = (x) (10.10)

skad

(x) = (x) (10.11)

Czyli funkcja wlasna operatora parzystosci P jest parzysta dla wartosci wlasnej = 1 i nieparzysta dla wartosci wlasnej =1 (sa

to jedyne wartosci wlasne

tego operatora). Teraz musimy udowodnic, ze przy parzystym potencjale (tzn.V(x) = V(x)) hamiltonian Hkomutuje z operatorem parzystosci P. Wowczasbe

da

one mialy te same funkcje wlasne, czyli tylko parzyste lub nieparzyste. Oper-

ator Hamiltona H jest postaci

H= p2

2m+ V(x), V(x) =V(x). (10.12)

Obliczmy komutator [H, P], dzialajac nim na dowolna

funkcje

probna

(x) z przes-

trzeniL2

.[H, P](x) = HP (x) PH(x) =

= h2

2m

d2

dx2(P (x)) + V(x)P (x) P

h2

2m

d2

dx2(x) + V(x)(x)

=

= h2

2m

d2

dx2(x) + V(x)(x) + h

2

2m

d2

dx2(x) V(x)(x) =

=V(x)(x) V(x)(x).Potencjal z zalozenia jest parzysty, czyli V(x) =V(x), ska

d

V(x)(x) V(x)(x) = 0. (10.13)Dlatego

[H, P] = 0, (10.14)

czyli funkcje wlasne Hamiltonianu Hbeda

rowniez parzyste, ba

dz nieparzyste.


61/147

Rozdzial 11

Liniowy oscylator harmoniczny

11.1 Wartosci wlasne i funkcje wlasne. Wielomia-ny Hermitea.

Rozwazmy czastke poruszajacasie pod wplywem sily

F = kx. (11.1.1)

Korzystajac z faktu, ze

F = ddx

V(x), (11.1.2)

mozemy wyznaczyc potencjal pochodzacy od sily F

V(x) =kx2

2

(11.1.3)

Potencjal jest parzysty, czyli, korzystajac z wiadomosci zawartych w poprzednim

rozdziale, wiemy, ze funkcje wlasne hamiltonianu H mogabyc tylko parzyste lub

nieparzyste. Zapiszmy hamiltonian H

H= h2

2m

d2

dx2+

kx2

2 . (11.1.4)

Wprowadzmy oznaczenie

= k

m

, (11.1.5)

wowczas

H= h2

2m

d2

dx2+

1

2m2x2. (11.1.6)

Poniewaz potencjal nie zalezy od czasu, wiec mamy zagadnienie stacjonarne, czyli

musimy rozwiazac niezalezne od czasu rownanie Schrodingera

H(x) =E(x).

61


62/147

62 ROZDZIAL 11. LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY

Po podstawieniu jawnej postaci hamiltonianu mamy

h2

2m

d2

dx2(x) +

1

2m2x2(x) =E(x). (11.1.7)

Mnozymy obie strony przez 2h

i dostajemy

hm d2

dx2 (x) + mh x2(x) =2Eh (x). (11.1.8)

Wprowadzajac oznaczenia

=

m

h , (11.1.9)

=2E

h, (11.1.10)

dostajemy

12

d2

dx2(x) + 2x2(x) =(x). (11.1.11)

Wprowadzmy nowazmienna=x, (11.1.12)

wtedyd

dx=

d

dx

d

d =

d

d, (11.1.13)

d2

dx2 =

d

dx

d

dx=2

d2

d2. (11.1.14)

Po zamianie zmiennych w rownaniu mamy

d2

d2 () + 2

() =(), (11.1.15)

przy czym(x) =(). Po uporzadkowaniu rownanie przyjmuje postac

d2

d2() + ( 2)() = 0. (11.1.16)

Rozpatrzmy teraz przypadek dla bardzo duzych( +). Wowczas w rownaniumozemy pomina

c , co prowadzi do rownania

d2

d2

()

2() = 0. (11.1.17)

Zgadujemy rozwiazanie (z dokladnoscia

do stalej)

() =e2

2 . (11.1.18)

Sprawdzmy czy jest ono rzeczywiscie rozwiazaniem naszego rownania

() =e2

2 ,


63/147

ROZDZIAL 11. LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY 63

() = e 2

2 ,

() = e 2

2 + ()22e 2

2 ,

() = (1 + 2)e 2

2 .

Pamietamy, ze +, czyli wolno nam pomina

c1. Ostatecznie mamy

() =2e 22 .

Po podstawieniu obliczonych powyzej wyrazen (tzn.(x) i (x)) do rownania (11.1.17)mamy

2e2

2 () 2e 2

2 () = 0,

a wiec funkcja () postaci

() =e2

2 ,

jest rozwiazaniem bezczasowego rownania Schrodingra dla naszego zagadnienia dla

bardzo duzych (

+

). Musimy zwrocic uwagena fakt, ze () = e+

2

2 przy + da

zy do nieskonczonosci, a nas interesuja

tylko takie rozwia

zania, ktore

daza

do zera (czyli takie, ktore mozna unormowac). Dlatego ze wzgle

dow fizycznych

odrzucamy rozwiazanie () =e+

2

2 i mamy rozwiaznie () =e

2

2.Wezmy teraz dowolne . Postulujemy, ze rozwia

zanie be

dzie postaci

() =e2

2 H(), (11.1.19)

gdzie H() oznacza jakas funkcje

. Obliczmy pierwsza

i druga

pochodna

()

() = e 2

2 H() +e2

2 H() = (H() + H())e 2

2 ,

() = (H() H() + H())e 2

2 (H() + H())e 2

2 =

= (H() 2H() + (2 1)H())e 2

2 .

Wstawiamy to do rownania i dostajemy

(H() 2H() + (2 1)H())e 2

2 + ( 2)e 2

2 H() = 0. (11.1.20)

Dzielimy obustronnie przeze2

2

H()

2H() + (2

1)H() + (

2)H() = 0. (11.1.21)

Przeksztalcajac, mamy

H() 2H() + ( 1)H() = 0. (11.1.22)Rozpatrzymy to rownanie oddzielnie dla przypadku funkcji parzystych i funkcjinieparzystych. Poniewaz rozwia

zanie jest postaci

() =e2

2 H(),


64/147


a wyraz e2

2 jest zawsze parzysty, to funkcja H() musi byc parzysta, badz niepa-

rzysta. Zacznijmy od funkcji wlasnej parzystej, czyli parzystego H(). Mozemy gozapisac jako

H() =+k=0

ck2k. (11.1.23)

Naszym zadaniem jest znalezienie wzoru okreslajacego wspolczynniki ck. Obliczmy

pierwszai drugapochodnaH():

H() =+k=0

2kck2k1, (11.1.24)

H() =+k=0

2k(2k 1)ck2k2 (11.1.25)

i wstawmy je do rownania Hermitea

+

k=0 2k(2k 1)ck

2k2

+

k=0 4kck

2k

+

+

k=0( 1)ck

2k

= 0. (11.1.26)

W pierwszym czlonie wolno nam sumowac od 1, gdyz dla k = 0 cale wyrazenie sie

zeruje, czyli ten czlon mozemy przepisac jako

+k=0

2k(2k 1)ck2k2 =+k=1

2k(2k 1)ck2k2 =. . .

Teraz zamieniamy indeksy z k na k + 1

. . .=

+

k=0 2(k+ 1)(2k+ 1)ck+1

2k

.

Wstawiamy to do rownania

+k=0

2(k+ 1)(2k+ 1)ck+12k

+k=0

4kck2k +

+k=0

( 1)ck2k = 0.

Wciagamy wszystko pod wspolna

sume

+

k=0(2(k+ 1)(2k+ 1)ck+1+ ( 1 4k)ck)2k = 0. (11.1.27)

Korzystajac z niezaleznosci liniowej funkcji 2k wnioskujemy, ze

2(k+ 1)(2k+ 1)ck+1+ ( 1 4k)ck = 0, k = 0, 1, 2, . . . (11.1.28)ska

d mozemy wyznaczyc rekurencyjny wzor na ck+1

ck+1= 4k+ 1

2(k+ 1)(2k+ 1)ck. (11.1.29)


65/147

ROZDZIAL 11. LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY 65

Stad, jesli c0jest rozne od zera i jesli je znamy, to znamy tez wszystkie wspolczynniki

ck. Wielomian H() ma byc skonczonego stopnia, czyli musimy urwac sume naktoryms z wyrazow. Na przyklad niech to be

dzie wyrazcN (k= N), czylicN+1= 0

(i wszystkie pozostale tez).

cN+1 = 0 4N+ 1 2(N+ 1)(2N+ 1)

cN= 0 (11.1.30)

4N+ 1 = 0 = 4N+ 1, N= 0, 1, 2, . . . (11.1.31)czyli

= 1, 5, 9, . . . (11.1.32)

Kwantowanie energii wynika bezposrednio ze wzoru (11.1.10).Zajmijmy sie

teraz przypadkiem funkcji wlasnych nieparzystych. Postulujemy,

ze saone postaci

H() =+

k=0dk

2k+1. (11.1.33)

Pierwsza i druga pochodna wynoszaodpowiednio

H() =+k=0

(2k+ 1)dk2k, (11.1.34)

H() =+k=0

2k(2k+ 1)dk2k1. (11.1.35)

Podstawiamy to do rownania

+k=0

2k(2k+ 1)dk2k1 +

k=0

2(2k+ 1)dk2k+1 +

+k=0

( 1)dk2k+1 = 0,

skad

+k=0

2k(2k+ 1)dk2k1 +

+k=0

( 1 4k 2)dk2k+1 = 0. (11.1.36)

Analogicznie jak dla funkcji parzystych w pierwszej sumie przechodzimy z k do k +1

+

k=0 2k(2k+ 1)dk2k1

+

k=1 2(k+ 1)(2k+ 3)dk+12k+1

+k=0

2(k+ 1)(2k+ 3)dk+12k+1.

Stad mamy

+k=0

2(k+ 1)(2k+ 3)dk+12k+1 +

+k=0

( 1 4k 2)dk2k+1 = 0.


66/147


Po uporzadkowaniu wyrazenia i wcia

gnie

ciu wszystkich wyrazow pod wspolna

sume

mamy

+k=0

(2(k+ 1)(2k+ 3)dk+1+ ( 1 4k 2)dk)2k+1 = 0. (11.1.37)

Korzystajac z niezaleznosci liniowej funkcji 2k+1, mozemy napisac, ze

2(k+ 1)(2k+ 3)dk+1+ ( 4k 3)dk = 0, k= 0, 1, 2, . . . (11.1.38)ska

d

dk+1= 4k 3

2(k+ 1)(2k+ 3)dk. (11.1.39)

Korzystajac z tego, ze H() jest wielomianem skonczonego rze

du, urywam

Fizyka Kwantowa Dla Studentów

Documents

Transcript of Fizyka Kwantowa Dla Studentów