ALGEBRAICZNE METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA …wsalejda/AMRRS STJ.pdf · Mechanika kwantowa i...

Włodzimierz SalejdaMichał H. TycMarcin Just

ALGEBRAICZNE METODYROZWIĄZYWANIARÓWNANIA SCHRODINGERA

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Wrocław 2002

Podręcznik przeznaczony jest dla studentów specjalności Fizyka komputerowa, Fizyka ciałastałego i podobnych. Omawia metody algebraiczne rozwiązywania stacjonarnego jednowy-miarowego równania Schrodingera oraz symetrycznego algebraicznego zagadnienia własnego,jak również przykłady zastosowania opisanych metod w zagadnieniach fizyki ciała stałegoi atomowej. Zawiera opis pakietu programów MARRS, służącego do rozwiązywania stacjo-narnego jednowymiarowego równania Schrodingera.

Wszystkie zastrzeżone znaki towarowe i firmowe występujące w podręczniku są znakami ich

właścicieli.

Fanom fizyki komputerowej

Spis treści

Przedmowa 9

Podziękowania 11

Spis ważniejszych oznaczeń i skrótów 13

1. Wprowadzenie 15

2. Równanie Schrodingera jako algebraiczne zagadnienie własne 212.1. Własności stanów związanych. Potencjały wiążące . . . . . . . . . . 212.2. Algebraiczne zagadnienie własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2. Potencjał Lenarda–Jonesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.3. Potencjał Morse’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.4. Potencjał Konwenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Wyznaczanie wybranych wartości i wektorów własnychtrójdiagonalnej macierzy symetrycznej 293.1. Metoda Martina–Deana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Algorytm Martina–Deana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Metody wyznaczania wektorów własnych . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1. Proste metody rekurencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.2. Metoda DWSZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4. Metoda ciągów Sturma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Równanie masy efektywnej 394.1. Podstawy formalizmu masy efektywnej . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Algebraiczne zagadnienie własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Numeryczna analiza równania Schrodingera za pomocą metodróżnic skończonych wyższych rzędów 455.1. Metoda Guardioli–Rosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2. Zagadnienie własne dla macierzy ∆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3. Symetryczne algebraiczne zagadnienie własne w metodzie

Guardioli–Rosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4. Pięciopunktowe przybliżenie drugiej pochodnej . . . . . . . . . . . . 515.5. Metoda Lindberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.6. Kwazisymetryczna macierz trójdiagonalna . . . . . . . . . . . . . . . 535.7. Ekstrapolacja Richardsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5

6 Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera

6. Metody numeryczne rozwiązywania symetrycznego gęstegoalgebraicznego zagadnienia własnego 596.1. Elementarne ortogonalne przekształcenia podobieństwa . . . . . . . 60

6.1.1. Obroty Jacobiego i Givensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.1.2. Odbicie Householdera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2. Metoda QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3. Algorytm QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3.1. Dekompozycja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3.2. Rekombinacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3.3. Przesunięcie widma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3.4. Niewymierny algorytm QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.3.5. Niewymierny algorytm QL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.3.6. Obliczanie wektorów własnych macierzy trójdiagonalnej . . . 726.3.7. Wymierne algorytmy QR i QL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3.8. Niejawny algorytm QL/QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4. Metoda „dziel i rządź” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.5. Metoda Householdera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.6. Zagadnienie własne dla macierzy pasmowej . . . . . . . . . . . . . . 856.7. Metoda Jacobiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.8. Metoda potęgowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.9. Metoda iteracji odwrotnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.10. Metoda bisekcji i iteracji odwrotnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.11. Porównanie wydajności przedstawionych metod . . . . . . . . . . . . 946.12. Zagadnienie własne dla macierzy hermitowskiej . . . . . . . . . . . . 96Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7. Zastosowania 997.1. Dynamika sieci łańcuchów atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1.1. Macierz dynamiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.1.2. Widmo częstości własnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2. Model silnego wiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3. Dynamika spinowa układów jednowymiarowych . . . . . . . . . . . . 1067.4. Zagadnienie radialne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.5. Atom wodoru w zewnętrznym stałym polu elektrycznym . . . . . . . 109

7.5.1. Przypadek trójwymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.5.2. Przypadek dwuwymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.6. Kropka kwantowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.7. Dynamika elektronów w jednowymiarowych supersieciach w ramach

modelu Kroniga–Penneya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.8. Układy niskowymiarowe w niejednorodnym polu magnetycznym . . 116

7.8.1. Supersieć półprzewodnikowa w polu magnetycznym . . . . . . 1177.8.2. Dwuwymiarowy gaz elektronowy w niejednorodnym polu

magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Spis treści 7

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8. Pakiet MARRS 1238.1. Charakterystyka programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.2. Graficzny interfejs użytkownika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.3. Schemat wykonywania obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.4. Dobór algorytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9. Dokładność i szybkość algorytmów 1299.1. Wybrane potencjały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.2. Wybrane wyniki obliczeń numerycznych . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.3. Analiza dokładności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.3.1. Dokładność operacji zmiennoprzecinkowych . . . . . . . . . . 1399.3.2. Skalowanie wartości własnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.3.3. Błąd aproksymacji różnicowej drugiej pochodnej . . . . . . . . 1409.3.4. Zależność wyników numerycznych od wyboru przedziału

całkowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.4. Dokładność a czas obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10. Niestacjonarne równanie Schrodingera 14710.1. Ewolucja układu kwantowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.2. Metody rozwiązywania dyskretnego równania ewolucji . . . . . . . . 148Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

11. Zakończenie 151

A. Problemy do samodzielnego rozwiązania 153A.1. Zagadnienia jednowymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153A.2. Zagadnienia radialne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156A.3. Zagadnienie jednowymiarowe — porównanie metod . . . . . . . . . . 157A.4. Redukcja Householdera — porównanie podprogramów bibliotecznych 157A.5. Symetryczne gęste zagadnienie własne — porównanie metod

i podprogramów bibliotecznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158A.6. Trójdiagonalne zagadnienie własne — porównanie różnych

algorytmów i podprogramów bibliotecznych . . . . . . . . . . . . . . 158A.7. Przypadek prawie zwyrodniały (potencjał okresowy) . . . . . . . . . 159A.8. Przypadek prawie zwyrodniały (potencjał Konwenta) . . . . . . . . . 159A.9. Trójdiagonalny układ równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B. Elementy algebry liniowej 161

C. Aproksymacja pochodnych przy pomocy różnic skończonych 169Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

D. Klasyczna aproksymacja Padego 173Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

E. Biblioteki podprogramów 177

F. Programy źródłowe 179


Bibliografia 191

Skorowidz 201

Przedmowa

Mechanika kwantowa i informatyka to dwie najważniejsze rewolucje naukoweXX wieku [1], które spowodowały spektakularny rozwój techniki komputerowej [2–5].W dwóch ostatnich dekadach XX wieku przemysł komputerowy odniósł oszałamiającysukces komercyjny1), zmieniając oblicze naszej cywilizacji, co szczególnie widoczne jestw sferze stosunków społecznych i gospodarczych w krajach wysoko i średnio rozwi-niętych. Rosnące wykładniczo, zgodnie z prawami Moore’a [4, 5], moce obliczeniowe2)

oraz spadek cen komputerów3) poszerzają ciągle obszary ich zastosowań [5–7]. Jed-nocześnie wiele wybitnych postaci ze świata nauki wyraża sceptyczne poglądy i snujepesymistyczne przewidywania dotyczące znaczenia komputerów w przyszłości [8, 9].Już dzisiaj dostrzega się bariery ograniczające obecny wykładniczy rozwój technikikomputerowej, oparty na zaawansowanych technologiach półprzewodnikowych [4, 7].Szybko rosnące moce obliczeniowe i powszechna dostępność maszyn cyfrowych

oraz postępy w tworzeniu oprogramowania zrewolucjonizowały sposoby rozwiązy-wania problemów inżynierskich oraz prowadzenie badań w naukach przyrodniczychi technicznych. W ostatnich latach powstała nowa dziedzina fizyki, zwana fizyką kom-puterową [10–16]. Jest to nauka interdyscyplinarna, łącząca fizykę teoretyczną, teorięalgorytmów numerycznych [17–27] oraz programowanie. Jej podstawowym narzędziemjest komputer. Warto w tym miejscu zauważyć, że prekursorami fizyki komputero-wej byli wybitni matematycy i fizycy zaangażowani w realizację Projektu Manhat-tan [28, 29].Obszernym działem fizyki komputerowej są metody numeryczne i komputerowe

opracowane dla analizowania i rozwiązywania zagadnień mechaniki kwantowej. Pod-stawowym równaniem nierelatywistycznej mechaniki kwantowej jest niezależne odczasu (stacjonarne) równanie Schrodingera. Analityczne rozwiązania tego równania sąznane tylko w szczególnych przypadkach, omawianych szeroko w podręcznikach me-chaniki kwantowej i przedstawianych w bieżącej literaturze naukowej [30–40]. W zde-cydowanej większości przypadków równanie Schrodingera nie jest rozwiązywalne ści-śle. Stosowane są wówczas metody przybliżone lub komputerowe.W tym podręczniku przedstawiamy algebraiczne metody numerycznego rozwią-

zywania równania Schrodingera (szczególnie dużo uwagi poświęcimy metodom siat-kowym), których istota polega na sprowadzeniu go do algebraicznego zagadnieniawłasnego [41–53]. Uzasadnia to, naszym zdaniem, użytą w tytule i stosowaną w pod-ręczniku terminologię. Prezentowane podejście algebraiczne ma wiele bardzo istotnych

1) Pierwszy komputer przeznaczony na rynek został wyprodukowany w 1951 roku.2)Współczesną technikę komputerową charakteryzuje wykładniczy wzrost wydajności mikroproce-sorów (mierzonej częstotliwością taktowania mikroprocesora, która obecnie przekracza 1GHz) orazpojemności pamięci i nośników danych.3) Przy rosnących wykładniczo, zgodnie z drugim prawem Moore’a [5], nakładach finansowych nabudowę nowych fabryk podzespołów elektronicznych.

9


zalet (przede wszystkim względną uniwersalność) i nie zostało dotychczas wyczerpu-jąco opisane.Istotnymi elementami podręcznika są: MARRS4) — pakiet programów kompute-

rowych oraz zbiór podprogramów w języku FORTRAN-77, w których zaimplemento-wano wiele zaawansowanych i efektywnych algorytmów numerycznych.Jeden z autorów (W. S.) od roku akademickiego 1995/96 prowadzi dla uczestników

studiów magisterskich oraz inżynierskich Wydziału Podstawowych Problemów Tech-niki Politechniki Wrocławskiej wykłady pt. Metody komputerowe fizyki oraz Fizykakomputerowa. Podręcznik powstał na bazie tych wykładów, które wzbogacili ich bylisłuchacze, a obecnie współautorzy: Michał H. Tyc oraz Marcin Just.Mamy nadzieję, że książka umożliwi zainteresowanym Czytelniczkom i Czytel-

nikom zdobycie umiejętności posługiwania się najnowszą technologią informatycznąi metodologią fizyki komputerowej oraz pozwoli zapoznać się z aktualnym stanemwiedzy w zakresie zaawansowanych metod i algorytmów numerycznych stosowanychm.in. do rozwiązywania stacjonarnego, jednowymiarowego równania Schrodingera.Opisany w podręczniku pakiet programówMARRS oraz podprogramy są efektyw-

nymi narzędziami fizyki komputerowej, a także pożytecznymi pomocami dydaktycz-nymi, które można wykorzystać na wykładach fizyki ogólnej, mechaniki kwantowej,fizyki ciała stałego lub fizyki struktur niskowymiarowych.

Wrocław, maj 2002 W. Salejda

4)Metody Algebraiczne Rozwiązywania Równania Schrodingera.

Podziękowania

Autorzy składają podziękowania prof. dr. hab. Tadeuszowi Paszkiewiczowi, pra-cownikowi naukowo-dydaktycznemu Instytutu Fizyki Uniwersytetu Rzeszowskiego(poprzednio Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Wrocławskiego) oraz prof.dr. hab. Piotrowi Pierańskiemu, pracownikowi naukowo-dydaktycznemuWydziału Fi-zyki Technicznej Politechniki Poznańskiej, za wnikliwe recenzje i cenne uwagi, któreprzyczyniły się do podniesienia wartości merytorycznej i dydaktycznej podręcznika.Autorzy wyrażają także swoją wdzięczność dr hab. Krystynie Ziętak, prof. nadzw.Politechniki Wrocławskiej, pracownikowi naukowo-dydaktycznemu Instytutu Mate-matyki Politechniki Wrocławskiej, za przeczytanie manuskryptu i wartościowe uwagi.Członkom komisji programowych dla specjalności Fizyka komputerowa (dzienne

studia magisterskie) i Fizyka komputerowa w nauce i technice (dzienne studia inży-nierskie) na Wydziale Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej:dr. hab. Atoniemu C. Mitusiowi, dr. Jerzemu Peisertowi, dr. inż. Pawłowi Scharochowii dr. inż. Januszowi Andrzejewskiemu, autorzy wyrażają podziękowania za dyskusjezwiązane z treścią wykładów Metody komputerowe fizyki i Fizyka komputerowa orazzawartością niniejszego podręcznika.Dr. inż. Januszowi Andrzejewskiemu i dr. inż. Pawłowi Scharochowi z Instytutu

Fizyki Politechniki Wrocławskiej autorzy dziękują również za rady dotyczące bibliotekprocedur numerycznych dostępnych w Internecie.Jeden z autorów (W. S.) wyraża wdzięczność studentom Wydziału Podstawowych

Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej, byłym i obecnym słuchaczom wykła-dów Metody komputerowe fizyki oraz Fizyka komputerowa, za ciągłe zachęcanie dowydania wykładów w formie książkowej.

11

Spis ważniejszych oznaczeń i skrótów

1, 1 wektor jednostkowy, macierz jednostkowa;0, 0 wektor zerowy, macierz zerowa;A,B, . . . , Ω symbole wielkości fizycznych posiadających wymiar;a, b, . . . , ω symbole wielkości bezwymiarowych;A,B, . . . ,Ω wektory kolumnowe posiadające wymiar, A = (A1, . . . , An)

T;a, b, . . . ,ω wektory kolumnowe bezwymiarowe, a = (a1, . . . , an)

T;A,B, . . . ,Ω macierze;Ai,j wyraz stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie macierzy A;aT, AT wektor transponowany (wierszowy), macierz transponowana;‖a‖p, ‖A‖p norma p wektora, macierzy;

a · b = aTb iloczyn skalarny wektorów a i b;a⊗ b = abT iloczyn zewnętrzny wektorów a i b;C zbiór liczb zespolonych;Cn×m zbiór macierzy zespolonych o n wierszach i m kolumnach;

c∗ liczba zespolona sprzężona z c;D := d/dx operator różniczkowania;D2[j/m] aproksymanta Padego rzędu [j/m] operatora drugiej pochodnej;detA = |A| wyznacznik macierzy A;diag(a) macierz diagonalna o wyrazach a1, . . . , an na diagonali;E , ε energia, bezwymiarowa energia;Gi,G

Ti macierz obrotu Givensa;

L macierz trójkątna dolna;Lc charakterystyczny dla danego zagadnienia rozmiar liniowy;M masa cząstki;n liczba punktów siatki, liczba kolumn i wierszy macierzy;O(sk),O(nk) wielkość mała rzędu sk (|s| ≪ 1), wielkość rzędu nk;Q macierz ortogonalna;R macierz trójkątna górna;R zbiór liczb rzeczywistych;Rn×m zbiór macierzy rzeczywistych o n wierszach i m kolumnach;

S, s krok siatki, bezwymiarowy krok siatki;T rzeczywista symetryczna macierz trójdiagonalna (trójprzekątniowa);trid(b,a, c) macierz trójdiagonalna o wyrazach a1, . . . , an na diagonali,

b1, . . . , bn−1 na poddiagonali i c1, . . . , cn−1 na naddiagonali;V (X), v(x) potencjał o wymiarze energii, bezwymiarowy potencjał;vi = v(xi) wartość potencjału w i-tym punkcie dyskretnej siatkiVc charakterystyczna dla danego zagadnienia wartość energii;Xi, xi współrzędna, bezwymiarowa współrzędna i-tego punktu siatki;α = 2MVcL

2c/~

2 bezwymiarowy parametr skali ;∆s operator centralnej różnicy skończonej na siatce o kroku s;

∆2 = trid[(1, . . . , 1), (−2, . . . ,−2), (1, . . . , 1)]dyskretna reprezentacja operatora drugiej pochodnej;

13


η(A) liczba ujemnych wartości własnych macierzy A;Ψ(X) funkcja falowa posiadająca wymiar;ψ(x) bezwymiarowa funkcja falowa;ψi = ψ(xi) wartość funkcji falowej w i-tym punkcie dyskretnej siatki;ψ = (ψ1, . . . , ψn)

T wektor określony wartościami funkcji falowej na siatce;⌊z⌋ nawiększa liczba całkowita nie większa od z (zaokrąglenie w dół);⌈z⌉ najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od z (zaokrąglenie w górę).

∗ ∗ ∗AZW Algebraiczne Zagadnienie Własne;DWSZ metoda Dy, Wu, Spratlina i Zhenga;EISPACK EIgenSystem PACKage

(nazwa biblioteki podprogramów);LAPACK Linear Algebra PACKage

(nazwa biblioteki podprogramów);MARRS Metody Algebraiczne Rozwiązywania Równania Schrodingera

(nazwa pakietu programów);RS Równanie Schrodingera;

Rozdział 1Wprowadzenie

W reprezentacji położeń stacjonarne równanie Schrodingera (RS) ma postać za-gadnienia własnego dla operatora energii (hamiltonianu) H [30–40]

HΨ = EΨ. (1.1)

Liczbę E nazywamy wartością własną operatora H (energią własną), a funkcję fa-lową Ψ — funkcją własną. W ogólnym przypadku zbiór wartości własnych E (widmohamiltonianu) możemy podzielić na dwie części: widmo dyskretne, odpowiadającestanom związanym opisywanym normowalnymi funkcjami falowymi, tj. takimi, że∫|Ψ(R)|2 dnR = 1, oraz widmo ciągłe, odpowiadające stanom rozproszeniowym opi-sywanym nienormowalnymi funkcjami falowymi. W tym podręczniku przedstawiamymetody numeryczne rozwiązywania RS z widmem dyskretnym.W układach jednowymiarowych równanie (1.1) przyjmuje postać[

− ~2

2Md2

dX2+ V (X)

]

Ψ(X) = EΨ(X), (1.2)

gdzie M oznacza masę cząstki, ~ = h/(2π) — stałą Diraca, X — położenie cząstki,V (X) — potencjał zadany na przedziale 〈A,B〉.Analiza numeryczna zagadnienia własnego (1.2) jest prowadzona za pomocą:metod różnic skończonych, zwanych też metodami siatkowymi [54–58], a wśródnich• metod macierzowych, zwanych także metodami globalnymi,• metod strzałów, zwanych również metodami Numerowa [14, 41, 59];metody wariacyjnej [30–40];metod elementów skończonych.

Metody te charakteryzujemy poniżej.

Metody macierzowe. Oparte są na aproksymacji drugiej pochodnej za pomocąróżnic skończonych [60] wartości Ψi = Ψ(Xi) na dyskretnym zbiorze punktów, zwa-nych dalej siatką, których współrzędne określają związki:

Xi = A+ iB −An+ 1

= A+ iS (i = 0, . . . , n+ 1), (1.3)

gdzie 〈A,B〉 jest przedziałem całkowania równania (1.2). Zbiór liczb Ψi (wektor Ψ )stanowi aproksymację funkcji falowej.Taka dyskretyzacja pozwala sprowadzić RS do postaci algebraicznego zagadnienia

własnego [41–53]

HΨ = EΨ

15


z macierzą H o określonej postaci; zazwyczaj jest to symetryczna macierz pasmowa.O takiej macierzy mówimy, że jest rozrzedzona, ponieważ liczba jej niezerowych wy-razów jest rzędu n.

Metody strzałów. W tym podejściu, korzystając z aproksymacji drugiej pochod-nej za pomocą różnic skończonych na siatce (1.3), formułujemy jednowymiarowe od-wzorowania (w ogólnym przypadku nieliniowe)

Ψi = F→(Ψi−1, . . . , Ψi−m,C,P , E), (1.4)

Ψi = F←(Ψi+1, . . . , Ψi+m,C,P , E), (1.5)

gdzie C = (C1, . . . , Cc) i P = (P1, . . . , Pp) oznaczają stałe i parametry modelu, a E toszukana wartość własna. Obliczenia prowadzimy zazwyczaj według natępującego sche-matu:1. Dokonujemy próbnego wyboru wartości własnej E = E0.2. Obliczamy wartości Ψi funkcji falowej na siatce (1.3) za pomocą dwóch różnychprocedur. Jeden ciąg

(Ψ→i ) = (Ψ1, Ψ2, . . . , Ψn−1, Ψn) (1.6)

wyznaczamy za pomocą odwzorowania (1.4), rozpoczynając obliczenia od ob-szaru 〈A,A + DA〉, gdzie DA ≪ B − A; jest to procedura wstępująca. Drugiciąg

(Ψ←i ) = (Ψn, Ψn−1, . . . , Ψ2, Ψ1) (1.7)

wyznaczamy za pomocą odwzorowania (1.5), startując z obszaru 〈B−DB, B〉,gdzie DB ≪ B −A (procedura zstępująca).Zauważmy, że do uruchomienia procedur (1.6) i (1.7) wymagana jest znajo-mość dokładnego lub przybliżonego rozwiązania równania (1.2) na brzegachprzedziału całkowania 〈A,B〉.

3. Sprawdzamy poprawność wyboru wartości własnej E0 oraz otrzymanych warto-ści funkcji falowej za pomocą warunku zszycia w wybranym punkcie siatki Xm.Zazwyczaj żąda się, aby pochodne logarytmiczne funkcji falowej otrzymane zapomocą obu procedur obliczeniowych (1.6) i (1.7) były w punkcie Xm równez zadaną dokładnością.

4. Kończymy obliczenia, jeśli warunek zszycia jest spełniony. Za wartość wła-sną przyjmujemy wtedy E0, a za wartości odpowiadającej jej funkcji własnejw punktach siatki — obliczone w procesach (1.6) i (1.7) wartości Ψi.W przeciwnym razie obliczenia powtarzamy dla nowej próbnej wartości wła-snej E ′0.

Ten sposób rozwiązywania RS jest stosowany w większości programów dołączonychdo podręcznika [40].

1. Wprowadzenie 17

Metoda wariacyjna Rayleigha–Ritza–Galerkina. Funkcję falową reprezentu-jemy jako kombinację liniową n funkcji bazowych, które wybieramy kierując się zasadąprostoty i warunkami symetrii rozpatrywanego zagadnienia [61]. Następnie z zasadywariacyjnej otrzymujemy algebraiczne zagadnienie własne [41–53] z macierzą gęstą,w której liczba wyrazów różnych od zera jest rzędu n2.Funkcję falową Ψ rozwijamy zazwyczaj w ortogonalnej bazie Φ(l):

Ψ(X) =n∑

l=1

clΦ(l)(X). (1.8)

Po podstawieniu skończonego szeregu (1.8) do wyrażenia

〈Ψ |H|Ψ〉 = E〈Ψ |Ψ〉możemy wyznaczyć energię

E = 〈Ψ |H|Ψ〉〈Ψ |Ψ〉 =

n∑

i,l=1

c∗i cl〈Φ(i)|H|Φ(l)〉n∑

i,l=1

c∗i cl〈Φ(i)|Φ(l)〉=

n∑

i,l=1

c∗i clHi,l

n∑

i,l=1

c∗i clSi,l

,

która jest funkcją nieznanych współczynników cl.Z warunków ekstremum

∂E∂ci

(i = 1, . . . , n)

otrzymujemy jednorodny układ równańn∑

i=1

(Hi,l − ESi,l)cl = 0 (l = 1, . . . , n),

który ma niezerowe rozwiązanie dla wartości energii będących rozwiązaniami równaniawiekowego

det(H− ES) = 0,gdzie H oraz S są macierzami n× n o wyrazach odpowiednio Hi,l, Si,l. Dodajmy, żejeżeli dokonamy wyboru ortonormalnej bazy funkcji, to Si,l = δi,l.

Metody elementów skończonych. W tych metodach RS całkujemy (analitycznielub numerycznie) na skończonej liczbie pododcinków przedziału 〈A,B〉, a otrzymanerozwiązania zszywamy na granicach podprzedziałów. W tej grupie znajduje się znanai popularna metoda zwana metodą macierzy przejścia1) [32], w której zazwyczaj przy-bliżamy potencjał V (X) funkcją przedziałami stałą.

∗ ∗ ∗1) Ang. transfer matrix method.


Podstawową trudnością, jaką napotykamy próbując zastosować do rozwiązania RSmetodę strzałów, wariacyjną lub elementów skończonych, jest to, że przed przystą-pieniem do obliczeń numerycznych musimy dokonać możliwie trafnego wyboru war-tości własnych lub funkcji własnych. Zależy od tego efektywność tego rodzaju metod.W tym sensie nie są one uniwersalne.W podręczniku pragniemy skupić uwagę Czytelniczek i Czytelników na metodach

macierzowych, ponieważ przewyższają pozostałe pod następującymi względami:Do uruchomienia obliczeń numerycznych nie jest wymagane określenie na wstę-pie początkowych wartości własnych lub funkcji własnych.

W czasie obliczeń numerycznych nie wykonujemy procedury dopasowania.

Pozwalają wykorzystać zaawansowane i najbardziej efektywne komputerowealgorytmy numerycznej algebry liniowej [41–53,62, 63].

W zakończeniu wprowadzenia streścimy zawartość podręcznika.W rozdziale 2 formułujemy stacjonarne jednowymiarowe równanie Schrodingera

jako algebraiczne zagadnienie własne. Szczegółowo przedstawiamy oraz ilustrujemyprzykładami procedurę dyskretyzacji RS. Pokazujemy sposób sprowadzania RS dopostaci algebraicznego zagadnienia własnego z symetryczną macierzą trójdiagonalną,przybliżając operator drugiej pochodnej na dyskretnej siatce punktów za pomocąformuły trójpunktowej.Rozdział 3 jest poświęcony numerycznym metodom wyznaczania wybranych war-

tości i wektorów własnych symetrycznej macierzy trójdiagonalnej. Szczególnie dużomiejsca poświęcamy zastosowaniu twierdzenia o ujemnych wartościach własnych ma-cierzy symetrycznej oraz efektywnej metodzie wyznaczania wektorów własnych ma-cierzy trójdiagonalnej, zwanej tu metodą DWSZ.Kolejny rozdział przedstawia uogólnienie zaprezentowanego wcześniej podejścia

na przypadek zagadnień opisywanych jednowymiarowym równaniem masy efektyw-nej [40, 64, 65]. Zaproponowany nowy algorytm pozwala na efektywne wyznaczaniepoziomów energetycznych i funkcji falowych elektronów w niskowymiarowych struk-turach półprzewodnikowych.W rozdziale 5 omawiamy najogólniejsze podejście do rozwiązywania stacjonar-

nego jednowymiarowego RS w ramach metod różnic skończonych, zaproponowaneprzez R. Guardiolę i J. Rosa [56]. Formalizm ten, przy zastosowaniu dokładniejszychprzybliżeń operatora drugiej pochodnej, pozwala sprowadzić RS do algebraicznegozagadnienia własnego z gęstą macierzą symetryczną. Stosunkowo dużo uwagi poświę-camy szczególnemu przypadkowi — metodzie Lindberga, w której mamy do czynieniaz kwazisymetryczną macierzą trójdiagonalną.W rozdziale 6 omawiamy algorytmy numerycznej algebry liniowej, za pomocą któ-

rych można wyznaczać wszystkie wartości i wektory własne gęstej symetrycznej ma-cierzy rzeczywistej. Najwięcej miejsca poświęcamy najefektywniejszym algorytmom:QR/QL oraz „dziel i rządź” (ang. divide and conquer).Kolejny rozdział zawiera przykłady zastosowań przedstawionych w podręczniku

metod i algorytmów numerycznych do badania układów fizycznych będących obiek-

1. Wprowadzenie 19

tami zainteresowania fizyki fazy skondensowanej i atomowej.Opracowany przez dwóch autorów (M.J. i W.S.) i dołączony na płytce CD pakiet

MARRS, stworzony na platformie Delphi, jest opisany w rozdziale 8, będącym krótkimprzewodnikiem użytkownika.W następnym rozdziale 9 przedstawione są wyniki obliczeń numerycznych otrzy-

manych dla wybranych potencjałów za pomocą dołączonych do podręcznika podpro-gramów. Otrzymane wyniki pozwalają sformułować ważne wnioski dotyczące dokład-ności, szybkości i zakresu stosowalności omawianych algorytmów numerycznych.Przedostatni rozdział jest poświęcony odrębnemu zagadnieniu, jakie stanowi nie-

stacjonarne równanie Schrodingera; omawiamy algorytm numeryczny rozwiązywaniatego problemu, oparty na metodach macierzowych.Rozdział 11 zawiera krótkie podsumowanie.W dodatkach A–F zamieszczone są propozycje projektów do samodzielnej reali-

zacji przez studentów, niezbędne wiadomości z zakresu algebry liniowej, formalizmuróżnic skończonych i aproksymant Padego, wykaz popularniejszych bibliotek proce-dur numerycznych oraz opis podprogramów, w których zaimplementowano wybranealgorytmy.Podręcznik zamyka spis literatury źródłowej.Istotną częścią podręcznika są zamieszczone na końcu rozdziałów zadania do samo-

dzielnego rozwiązania, mające pomóc w zrozumieniu i opanowaniu przedstawionychtreści.

Rozdział 2Równanie Schrodingera jako algebraiczne zagadnieniewłasne

W tym rozdziale szczegółowo przedstawiamy metodę sprowadzania stacjonarnegojednowymiarowego równania Schrodingera (1.2) najpierw do dyskretnej postaci bez-wymiarowej, a następnie do algebraicznego zagadnienia własnego dla symetrycznejmacierzy trójdiagonalnej — problemu, który będziemy bezpośrednio rozwiązywać nu-merycznie. Procedurę tę przeprowadzimy dla zagadnienia kwantowego oscylatora har-monicznego, a dodatkowo dla kilku potencjałów znanych z chemii kwantowej i fizykifazy skondensowanej. Najpierw jednak omówimy krótko własności stanów związanychi warunki ich istnienia [30–40].

2.1. Własności stanów związanych. Potencjały wiążące

Zajmujemy się poszukiwaniem stanów związanych cząstki kwantowej opisanej rów-naniem Schrodingera (1.2), poruszającej się w obszarze 〈A,B〉, w którym zadano po-tencjał w jawnej postaci V (X). Innymi słowy, interesują nas wartości własne Ej na-leżące do dyskretnego widma energetycznego oraz przynależne do nich zlokalizowanefunkcje własne Ψ (j) spełniające warunek unormowania

∫ B

A

Ψ∗(X)Ψ(X) dX = 1 (2.1)

oraz warunki brzegowe

Ψ(A) = Ψ(B) = 0. (2.2)

Dla uproszczenia zapisu wskaźnik j będziemy odtąd pomijać, o ile nie będzie toprowadzić do niejasności.Warunkiem koniecznym na to, aby rozpatrywany potencjał był wiążący, tj. aby

równanie (1.2) posiadało choć jedno rozwiązanie odpowiadające stanowi związanemu,jest to, by funkcja V (X) posiadała lokalne minimum (minima). Potencjały takie na-zywamy jamopodobnymi. Warunek ten nie jest jednak warunkiem wystarczającym,nawet w przypadku jednowymiarowym. Dokładniejsza analiza [66] prowadzi do na-stępującego wniosku:

Twierdzenie 2-1. Niech V−, V+ > −∞ są asymptotycznymi wartościami potencjałuodpowiednio dla X → ∓∞, a Vm < min(V−, V+) — jego wartością w minimumlokalnym. Wówczas dla V− = V+ istnieje zawsze co najmniej jeden stan związany,a dla V− 6= V+ stan związany może istnieć przy spełnieniu dodatkowych warunków.

21


Równanie Schrodingera rozwiązujemy numerycznie metodą algebraiczną zawszena skończonym przedziale 〈A,B〉. Przyjęte warunki brzegowe (2.2) fizycznie odpowia-dają nieskończonym (nieprzenikalnym) barierom potencjału umieszczonym w punk-tach X = A i X = B. Jak zobaczymy, warunki te będą odgrywać w naszych rozwa-żaniach bardzo istotną rolę. W większości przypadków ten typ warunków brzegowychnie stoi w sprzeczności z rzeczywistym zachowaniem funkcji falowych przy X → Ai X → B, o ile tylko przedział całkowania wybierzemy poprawnie.

2.2. Algebraiczne zagadnienie własne

Aby maksymalnie uprościć formuły, przed przystąpieniem do dyskretyzacji rów-nania Schrodingera (1.2), sprowadzimy je do postaci bezwymiarowej. W tym celuprzedstawimy potencjał w postaci

V (X) = Vcv(X/Lc) = Vcv(x),

gdzie x = X/Lc jest bezwymiarową współrzędną, Lc — parametrem o wymiarzedługości, określający charakterystyczny rozmiar liniowy układu lub zasięg oddziały-wania, natomiast Vc jest charakterystyczną energią

1). Punkty siatki (1.3) mają terazbezwymiarowe współrzędne

xi = a+ is (i = 0, . . . , n+ 1), (2.3)

gdzie bezwymiarowe współrzędne końców przedziału całkowania a i b oraz bezwymia-rowy krok s siatki wynoszą

a =A

Lc, b =

B

Lc, s =

S

Lc=b− an+ 1

.

Wejściowe równanie (1.2) łatwo przekształcamy do postaci[

− 1L2c

d2

dx2+2MVc

~2

V (Lcx)Vc

]

Ψ(Lcx) =2MVc

~2

EVcΨ(Lcx).

Wprowadzając bezwymiarowy (por. zadanie 2/1) parametr skali

α = 2MVcL2c/~2, (2.4)

bezwymiarową funkcję falową2) ψ(x) =√Lc Ψ(Lcx) i bezwymiarową energię własną

ε = E/Vc, otrzymujemy (patrz zadanie 2/2) bezwymiarowe równanie Schrodingera[

− d2

dx2+ αv(x)

]

ψ(x) = αεψ(x). (2.5)

1)W rzeczywistości Lc i Vc można wybrać zupełnie dowolnie, np. Lc = 1m i Vc = 1J. Przyjęciewielkości charakterystycznych dla zagadnienia powoduje jednak, że operujemy dogodnymi w ra-chunkach liczbami rzędu jedności, co dodatkowo zmniejsza prawdopodobieństwo wystąpienia błędunadmiaru podczas obliczeń numerycznych.2) Zgodnie z warunkiem unormowania (2.1), funkcja falowa Ψ(X) ma wymiar [m−1/2].

2. Równanie Schrodingera jako algebraiczne zagadnienie własne 23

Przeprowadzimy teraz dyskretyzację równania (2.5), przybliżając drugą pochodnąfunkcji ψ(x) w punktach x1, . . . , xn siatki (2.3) z pomocą formuły trójpunktowej (C.7)

d2ψdx2

∣∣∣∣x=xi

=ψ(xi + s)− 2ψ(xi) + ψ(xi − s)

s2+O(s2) =

=ψi+1 − 2ψi + ψi−1

s2+O(s2).

Użyty tutaj symbol O(s2) oznacza, że aproksymujemy drugą pochodną w punktachsiatki z dokładnością do wyrazów, których wartości są rzędu s2. W rezultacie otrzy-mujemy układ n równań

−ψi−1 + (2 + s2αvi)ψi − ψi+1 = s2αεψi (i = 1, . . . , n), (2.6)gdzie vi = v(xi). Jeśli dla uproszczenia zapisu wprowadzimy oznaczenia

ε = s2αε, vi = s2αvi (2.7)

i skorzystamy z warunków brzegowych (2.2), które przyjmują postać ψ0 = ψ(a) = 0,ψn+1 = ψ(b) = 0, to otrzymamy jednorodny układ równań

(2 + v1)ψ1 − ψ2 = εψ1−ψ1 + (2 + v1)ψ2 − ψ3 = εψ2

. . ....

−ψi−1 + (2 + vi)ψi − ψi+1 = εψi. . .

...−ψn−2 + (2 + vn−1)ψn−1 − ψn = εψn−1

−ψn−1 + (2 + vn)ψn = εψn,w którym niewiadomymi są zarówno przeskalowana energia ε, jak i wartości ψi funkcjifalowej na siatce. Zapisując powyższy układ równań w formie macierzowej

2 + v1 −1−1 2 + v2

. . .. . .

. . .. . .

. . . 2 + vn−1 −1−1 2 + vn

ψ1

ψ2...

ψn−1

ψn

= ε

ψ1

ψ2...

ψn−1

ψn

, (2.8)

otrzymujemy algebraiczne zagadnienie własne dla dyskretnego operatora energii H:Hψ = εψ, (2.9)

którego rozwiązaniami są pary (ε,ψ), gdzie s−2ε — aproksymacja wartości własnejzagadnienia (2.5), a wektor ψ — dyskretna aproksymacja funkcji falowej ψ(x).W dalszym ciągu będziemy posługiwać się pojęciami wartości własnej i funkcji

własnej, mając na myśli ich aproksymacje.Jak widzimy, macierz H jest symetryczną trójdiagonalną macierzą rzeczywistą,

której wyrazy diagonalne określa potencjał v(x):H = trid[(−1, . . . ,−1), (2 + v1, . . . , 2 + vn), (−1, . . . ,−1)].


W ramach metody siatkowej sprowadziliśmy stacjonarne jednowymiarowe równa-nie Schrodingera (1.2) do algebraicznego zagadnienia własnego dla symetrycznej ma-cierzy trójdiagonalnej. Spodziewamy się, że dla rosnącego n (i malejącego s) będzieono coraz lepszym przybliżeniem wejściowego równanie Schrodingera (1.2). Stajemyzatem przed koniecznością rozwiązania metodami numerycznymi AZW dla macierzytrójdiagonalnej dużych rozmiarów.Należy tu wspomnieć, że przybliżenie drugiej pochodnej za pomocą różnic skoń-

czonych może zawieść w przypadku funkcji wykazujących osobliwości. Znane są za-gadnienia własne, w których metoda różnic skończonych w formie tu przedstawionejzawodzi. Typowym przykładem jest dwuwymiarowe zagadnienie radialne3), w którymfunkcja falowa stanu podstawowego ψ(0)(x) ∼ √x dla x→ 0 (patrz zadania 2/3 i 2/4).W takich przypadkach należy poszukać odpowiednich zmiennych lub zastosować innąmetodę rozwiązywania równania Schrodingera.

2.3. Przykłady

Pokażemy teraz, jak doprowadzić stacjonarne jednowymiarowe RS do dyskretnejpostaci dla kilku wybranych potencjałów. Warto to wykonać w jawny sposób, z uwagina konieczność zapisania równania Schrodingera w postaci bezwymiarowej.Podrozdział ten można pominąć przy pierwszym czytaniu.

2.3.1. Oscylator harmoniczny

Zastosujemy przedstawione powyżej podejście do przypadku ściśle rozwiązywal-nego — kwantowego oscylatora harmonicznego. Pozwoli nam to przetestować po-prawność procedur komputerowych przez porównanie wyników numerycznych z ana-litycznymi.Potencjał oscylatora harmonicznego ma postać

V (X) = 12KX2 = 12MΩ

2X2,

gdzie Ω =√

K/M jest charakterystyczną częstością. Rozwiązaniami RS[

− ~2

2Md2

dX2+12MΩ2X2

]

Ψ(X) = EΨ(X) (2.10)

są wartości własne energii Ej = (1+2j)E0 dla j = 0, 1, . . . , gdzie E0 = 12~Ω, a funkcjewłasne Ψ (j)(X) są funkcjami Hermite’a [30–40].Z uwagi na parzystość potencjału V (X) = V (−X) wybieramy symetryczny prze-

dział całkowania 〈−A,A〉, na którym określamy siatkę punktów

Xi = −A+2Ain+ 1

= −A+ iS.

3) Np. zagadnienie dwuwymiarowego atomu wodoru Bohra lub, w teorii niskowymiarowych strukturpółprzewodnikowych, dwuwymiarowego ekscytonu.


Zastosowanie trójpunktowego przybliżenia (C.7) dla drugiej pochodnej prowadzi dorównania

− ~2

2MS2(Ψi−1 − 2Ψi + Ψi+1) + 12MΩ

2X2i Ψi = EΨi (i = 1, . . . , n),

a po pomnożeniu obydwu stron powyższego równania przez 2MS2/~2,

−Ψi−1 +(

2 +MΩS2

~

MΩX2i~

)

Ψi − Ψi+1 =MΩS2

~

2E~Ω

Ψi. (2.11)

Zauważmy, że wielkość Lc =√

~/(MΩ) ma wymiar długości, a wszystkie ułamkiobecne w powyższym równaniu są wielkościami bezwymiarowymi (por. zadanie 2/5).Dalej będziemy stosować Lc jako jednostkę długości, a występującą w równa-

niu (2.11) wielkość 12~Ω = E0 = Vc jako jednostkę energii. Aby otrzymać bezwymia-rową dyskretną postać RS (2.10), musimy jeszcze pomnożyć obydwie strony równania(2.11) przez

√Lc:

−ψi−1 + (2 + s2vi)ψi − ψi+1 = s2εψi (i = 1, . . . , n). (2.12)

Bezwymiarowa energia równa jest ε = E/E0, potencjał vi = x2i , a punkty siatki i jejkrok określają wzory

xi = a+ is = a(2i

n+ 1− 1)

, s =2an+ 1

.

Zauważmy, że a = A/Lc jest bezwymiarową połówkową szerokością przedziału całko-wania.Układ równań (2.12) równoważny jest AZW (2.8), w którym vi = s

2vi, ε = s2ε.

W tym miejscu należy zauważyć, że do bezwymiarowego dyskretnego równa-nia (2.12) można również dojść, odgadując postać parametrów Lc i Vc za pomocąanalizy wymiarowej. Następnie ze wzoru (2.4) otrzymujemy α = 1, a wielkości vi i εz (2.7) podstawiamy do (2.8).Załóżmy, że w wyniku numerycznego rozwiązania zagadnienia własnego (2.8)

otrzymaliśmy liczby εnumj (n) = s2εnumj (n) = s2Enumj (n)/E0. Pokażemy teraz, żeεnumj (n) ∼ n−2. Wiedząc z kursu mechaniki kwantowej [30–40], że dokładne warto-ści energii wynoszą Ej = 12~Ω(2j + 1), po prostych przeliczeniach otrzymujemy

s−2εnumj (n) =Enumj (n)

E0≃EjE0= 2j + 1 (j = 0, 1, . . . ). (2.13)

Spróbujmy oszacować rząd wielkości εnum(n). Dla j = 0 mamy s−2εnum0 (n) ≃ 1,więc

εnumj (n) ∼ s2 =(2an+ 1

)2

≪ 1

dla ustalonego a, j ≪ n i n→∞.O poprawności algorytmu numerycznego (i zapisanych w wybranym języku pro-

gramowania podprogramów komputerowych) możemy się przekonać w prosty sposób,


tj. sprawdzając przybliżoną równość (2.13), a o ich dokładności będą świadczyć war-tości względnych różnic

∣∣∣∣

Enumj (n)− EjE0

∣∣∣∣=∣∣∣∣

(n+ 12a

)2

εnumj (n)− (2j + 1)∣∣∣∣

(j = 0, 1, . . . ).

Oszacujmy dokładność wyznaczonych numerycznie energii Enumj (n). Oznaczmyprzez σnumj (n) dokładność4) wyznaczenia wartości εnumj (n). Wtedy błąd Σnumj (n) ob-liczonej wartości Enumj (n) wynosi

Σnumj (n) =(n+ 12a

)2

E0σnumj (n),

co oznacza, że wartość błędu numerycznie wyznaczonej wartości własnej Enumj (n)rośnie wraz ze wzrostem n jak n2. Nakłada to określone ograniczenia na wartość n(tj. na rozmiar macierzy w AZW).Jak widzimy, gdy używamy formuły trójpunktowej, wzrost n pozwala z jednej

strony poprawić dokładność przybliżenia drugiej pochodnej, ale z drugiej strony —co wynika z powyższej analizy — przyczynia się do zmniejszenia dokładności wyzna-czanych numerycznie wartości własnych Enumj . Wnioski te słuszne są dla wszystkichmetod różnic skończonych. Dokładniejszą analizę tego problemu, popartą wynikamiobliczeń numerycznych, przedstawiamy w rozdziale 9.

2.3.2. Potencjał Lenarda–Jonesa

Potencjał Lenarda–Jonesa, używany do modelowania oddziaływań międzyczą-steczkowych, ma postać

V (Y ) = Vc[(C/Y )12 − (D/Y )6

], (2.14)

gdzie Vc jest stałą o wymiarze energii, a C iD— stałymi o wymiarze długości5). Jedną

z tych stałych możemy przyjąć jako jednostkę długości, wprowadzając bezwymiarowąwspółrzędną (na przykład) y = Y/D. W bezwymiarowymRS (2.5) występuje wówczaspotencjał

v(y) = γ12y−12 − y−6, (2.15)

gdzie γ = C/D jest bezwymiarowym parametrem, a za jednostkę energii przyjęli-śmy Vc. W równaniu (2.5) stała α = 2MVcD

2/~2.Zbadajmy przebieg zmienności funkcji (2.15). Obliczając pochodną dv/dy, znaj-

dujemy minimum w punkcie ym = 21/6γ2 z wartością vm = v(ym) = − 14a

−12. Może sięokazać wygodne znormalizowanie rodziny potencjałów Lenarda–Jonesa względem po-łożenia minimum i głębokości jamy. Przyjmując za bezwymiarowe jednostki długościi energii ym i |vm|, otrzymujemy

v(x) = x−12 − 2x−6, (2.16)

4) Jest ona nie lepsza od dokładności maszynowej (epsilon maszynowego), który przy posługiwaniu

się zmiennymi typu REAL*8, double lub równoważnego jest rzędu 10−15.5) Spotyka się też inną postać V (Y ) = Vc(C/Y

12− D/Y 6), wówczas stałe C i D mają wymiary

odpowiednio m12 i m6.


gdzie x = y/ym jest nową współrzędną, a stała α wynosi 2−2/3γ−8MVcD

2/~2.

2.3.3. Potencjał Morse’a

Potencjał Morse’a używany jest do modelowania oddziaływania atomów w dwu-atomowych cząsteczkach. Opisany jest równaniem

V (X) = Vc[

e−2CX − 2e−CX]

, (2.17)

gdzie Vc jest stałą o wymiarze energii, 1/C — stałą o wymiarze długości. Stałe temożna przyjąć za jednostki. Wówczas w bezwymiarowym RS (2.5) obecny jest bez-wymiarowy potencjał

v(x) = e−2x − 2e−x, (2.18)

gdzie x = CX — bezwymiarowa współrzędna, a stała α = 2MVc/(C2~2).

Badając przebieg funkcji (2.18) stwierdzamy, że ma ona minimum w punkcie x = 0i osiąga tam wartość −Vc. Innym charakterystycznym punktem, do którego mogliby-śmy odnieść jednostkę długości, jest miejsce zerowe xz = − ln 2. Wartość ta nie zależyod parametru C. Nową zmienną y = x/xz uzyskuje się przez przeskalowanie o czynnikrzędu jedności, dlatego jej wprowadzenie jest niecelowe.

2.3.4. Potencjał Konwenta

Potencjał Konwenta [67–70] znalazł zastosowanie w modelowaniu wiązań wodoro-wych. Dany jest wzorem

V (X) = Vc(c coshDX − 1)2, (2.19)

gdzie, jak poprzednio, Vc jest stałą o wymiarze energii, 1/D — stałą o wymiarze dłu-gości; c > 0 jest bezwymiarowym parametrem decydującym o charakterze potencjału(jednojamowy dla c > 1; dwujamowy dla c < 1).Ze względu na zmianę charakteru potencjału przy zmianie wartości c trudno jest

znaleźć opisujące go uniwersalne parametry (jak położenie minimów, miejsc zerowych,wartości minimalne itp.) inne niż Vc, c, D. Dlatego przyjmiemy Vc za jednostkę energiii 1/D za jednostkę długości, co daje bezwymiarowy potencjał

v(x) = (c coshx− 1)2, (2.20)

gdzie x = DX — nowa współrzędna oraz α = 2MVc/(~D)2.

Zadania

2/1. Pokazać, że współczynnik α dany wzorem (2.4) jest wielkością bezwymiarową.2/2.Wyprowadzić równanie (2.5).2/3. Pokazać bezpośrednim rachunkiem (przy użyciu kalkulatora lub komputera),że trójpunktowe przybliżenie drugiej pochodnej funkcji

√x jest numerycznie niepo-

prawne w granicy x→ 0. Wskazówka: rozważyć punkt x1 = s.


2/4. Znaleźć przykłady innych różniczkowalnych dwukrotnie funkcji, dla których trój-punktowe przybliżenie drugiej pochodnej funkcji jest numerycznie niepoprawne.2/5.Wyznaczyć wymiar stałej Lc z równania (2.11). Pokazać, że stojące we wzo-rze (2.11) wyrażenie S2X2i /L

4c jest bezwymiarowe.

Rozdział 3Wyznaczanie wybranych wartości i wektorów własnychtrójdiagonalnej macierzy symetrycznej

W tym rozdziale zajmiemy się bliżej niektórymi algorytmami numerycznego roz-wiązywania AZW typu (2.8). Zaprezentujemy algorytmy wyznaczania wartości wła-snych (algorytm Martina–Deana) i wektorów własnych (algorytm DWSZ) trójdiago-nalnej macierzy symetrycznej.Podstawowe wiadomości z zakresu algebry liniowej, dotyczące rozpatrywanych

zagadnień, zamieszczone są w Dodatku B.

3.1. Metoda Martina–Deana

Zastosujmy twierdzenie Martina–Deana (B-17) do macierzy trójdiagonalnej. Z rów-nania (B.1) wynika, że liczba lww(z) wartości własnych macierzy

T =

d1 e1

e1. . .

. . .. . .

. . . en−1

en−1 dn

(3.1)

mniejszych od danej liczby z jest równa liczbie ujemnych wyrazów w ciągu liczbowym

u1 = d1 − z, ui = di − z −e2i−1ui−1

(i = 2, . . . , n). (3.2)

Jak widzimy, lww(z) wynosi

lww(z) = η(T− z1) =n∑

i=1

η(ui),

gdzie η(A) oznacza liczbę ujemnych wartości własnych A.Te same wzory można wyprowadzić stosując do macierzy trójdiagonalnej twier-

dzenie Sylvestera (B-14)

T− z1 =

d1 − z e1

e1. . .

. . .. . .

. . . en−1

en−1 dn − z

= LDLT, (3.3)

29


gdzie L jest macierzą trójkątną (a ściślej bidiagonalną) dolną1), a D = diag(u1, . . . , un)jest macierzą diagonalną2). Z twierdzenia Sylvestera wynika, że bezwładności macierzyT− z1 i D są jednakowe.Ostatnią równość możemy zapisać w postaci

T− z1 =

1

l1. . .. . .

. . .

ln−1 1

u1. . .. . .

un

1 l1. . .. . .. . . ln−1

1

,

gdzie wartości li, ui są nieznane. Wykonując odpowiednie działania, otrzymujemyzwiązki

d1 − z = u1, ui−1li−1 = ei−1, di − z = l2i−1ui−1 + ui (i = 2, . . . , n),a podstawiając drugą równość do trzeciej, znaną już rekurencję

u1 = d1 − z, ui = di − z −e2i−1ui−1

(i = 2, . . . , n).

Podany algorytm wyznaczania liczby ujemnych wartości własnych symetrycznejmacierzy trójdiagonalnej jest stabilny i wykonywalny nawet przy dzieleniu przezzero3), ponieważ jeśli ui−1 = 0, to ui = −∞ i ui+1 = di+1 − z.

3.2. Algorytm Martina–Deana

Sformułujemy algorytm Martina–Deana, wykorzystujący ciąg (3.2) do znajdowa-nia wartości własnej εj trójdiagonalnej macierzy symetrycznej T z zadaną dokładno-ścią σ przy użyciu metody bisekcji.Algorytm 3-1. (Martina–Deana)Procedura Wartość wł MD(d, e, j, z−, z+, σ, ε):znajduje j-tą wartość własną εj macierzy T = trid(e,d, e) z dokładnością σ(z−, z+〉 — wstępne oszacowanie przedziału zawierającego pojedynczą wartość własną

Powtarzaj:zp := (z− + z+)/2;Jeśli z+ − z− 6 σ: ε := zp; Koniec;Jeśli η(T− zp1) = j − 1: z− := zp,w przeciwnym wypadku z+ := zp.

Koniec.

1) Pod pojęciem macierzy trójkątnej dolnej L rozumiemy macierz, która ma niezerowe wyrazy li,jna diagonali i poniżej niej, tj. li,j 6= 0 dla j 6 i oraz li,j = 0 dla j > i.2)W ogólnym przypadku rozkład ma postać S(T− z1)ST = LDLT, gdzie S — macierz permutacji.Dla nieosobliwej macierzy trójdiagonalnej rozkład może być wykonany bez permutacji (S = 1),a algorytm jest numerycznie stabilny [50].3)O ile komputer będzie stosownie zaprogramowany, tj. zamiast generować błąd dzielenia przezzero, przyjmie a/0 = sgn a · ∞, zgodnie z arytmetyką IEEE [49, 50, 71, 72].

3. Wybrane wartości i wektory własne macierzy trójdiagonalnej 31

Podprogram BISECT wykorzystujący rozwinięcie powyższego algorytmu zamieszczonyjest w Dodatku F.W jaki sposób wyznaczyć wstępnie przedział (z(0)− , z

(0)+ 〉? Możemy posłużyć się

twierdzeniami B-7 i B-8. Z drugiego z nich wynika, że wszystkie wartości własne εjmacierzy H występującej w AZW (2.8) należą do przedziału 〈minni=1 vi, 4+maxni=1 vi〉.Warunek ten pozostaje w zgodzie z faktem, że wartości własne hamiltonianu nie mogąleżeć poniżej globalnego minimum potencjału. Zazwyczaj będziemy się też ograniczaćdo wartości własnych εj < max

ni=1 vi, ponieważ wartości własne leżące powyżej mak-

simum potencjału pojawiają się na skutek nałożenia warunków brzegowych (2.2).Dogodną metodą poszukiwania wszystkich wartości własnych w zadanym prze-

dziale jest wyszukiwanie binarne (por. wspomniany podprogram BISECT), polega-jące na sukcesywnym połowieniu przedziału aż do uzyskania zbioru podprzedziałów(z(0)−,j, z

(0)+,j〉 zawierających pojedyncze wartości własne εj , tj. spełniających warunki

η(T− z(0)−,j1) = j − 1, η(T− z(0)+,j1) = j.

Opisana wyżej metoda bisekcji jest stabilna numerycznie i pozwala wyznaczyćwszystkie wartości własne ε1, . . . , εn macierzy T z zadaną dokładnością. Metoda tajest dość czasochłonna, zwłaszcza w przypadku dużych macierzy. Jej zbieżność możnaprzyspieszyć, wykorzystując własności wielomianu charakterystycznego macierzy. Bę-dziemy o tym mówić w podrozdziale 3.4.

3.3. Metody wyznaczania wektorów własnych

Ponieważ nieznana jest uniwersalna metoda wyznaczania wektorów własnych ma-cierzy (3.1), poniżej przedstawiamy najprostsze metody rekurencyjne oraz „stosun-kowo uniwersalną” metodę zaproponowaną przez Dy, Wu, Spratlina [73] i Zhenga [74],którą będziemy dalej nazywali metodą DWSZ.Załóżmy, że wyznaczyliśmy z zadaną dokładnością j-tą wartość własną εj al-

gebraicznego zagadnienia własnego (2.8) przy pomocy opisanej uprzednio metodyMartina–Deana. W dalszym ciągu rozdziału dla uproszczenia zapisu pominięty zo-stanie indeks j. Tym niemniej należy pamiętać, że nasze rozważania dotyczą j-tegowektora własnego odpowiadającego j-tej wartości własnej, tzn. ψ := ψ(j) oraz ε := εj .Zajmiemy się problemem numerycznego obliczenia współrzędnych4) wektora wła-

snego ψ = (ψ1, . . . , ψn)T AZW postaci

d1 − ε e1

e1. . .

. . .. . .

. . . en−1

en−1 dn − ε

ψ1......ψn

= 0. (3.4)

4) Przypominamy, że ψi = ψ(xi).


3.3.1. Proste metody rekurencyjne

Jeśli założymy ψ1 6= 0 (możemy przyjąć ψ1 = 1), to pozostałe współrzędne wektoraw oparciu o równanie (3.4) można wyrazić poprzez ψ1 w następujący sposób:

Algorytm 3-2. (Prosta metoda rekurencji do przodu)Procedura Wektor wł w przód(d, e, n, ε, σψ ,ψ, sukces):

ψ1 := 1; ψ2 := −(d1 − ε)/e1;Dla i = 3, . . . , n: ψi := −(ei−2ψi−2 + (di−1 − ε)ψi−1)/ei−1;ψ := ψ/‖ψ‖2; normowanie wektora

Jeśli |en−1ψn−1 + (dn − ε)ψn| < σψ : sukces := TAKw przeciwnym wypadku: sukces := NIE; metoda zawiodła

Koniec.

Liczba σψ jest wymaganą dokładnością obliczeń (gdyby komputer wykonywał obli-czenia z nieskończoną dokładnością, mielibyśmy en−1ψn−1−(dn− ε)ψn = 0). W przy-padku, gdy ostatnia nierówność nie jest spełniona, musimy wyznaczyć wektor własnyinną metodą.Druga, bardzo podobna, prosta metoda rekurencji polega na założeniu, że ψn 6= 0:

Algorytm 3-3. (Prosta metoda rekurencji do tyłu)Procedura Wektor wł w tył(d, e, n, ε, σψ ,ψ, sukces):

ψn := 1; ψn−1 := −(dn − ε)/en−1;Dla i = n− 2, . . . , 1: ψi := −(ei+1ψi+2 + (di+1 − ε)ψi+1)/ei;ψ := ψ/‖ψ‖2; normowanie wektora

Jeśli |e1ψ2 + (d1 − ε)ψ1| < σψ: sukces := TAKw przeciwnym wypadku: sukces := NIE; metoda zawiodła

Koniec.

Przedstawione proste algorytmy rekurencyjne 3-2 i 3-3 nie zawsze pozwalają nu-merycznie wyznaczyć wektor własny, na co zwrócił uwagę Wilkinson [45]. Poniżejprezentujemy metodę ogólniejszą.

3.3.2. Metoda DWSZ

Przedstawimy obecnie, za pracami [73, 74], zmodyfikowany dla naszych celów,algorytm DWSZ obliczania wektorów własnych macierzy trójdiagonalnej.Zapiszmy układ równań (3.4) w następującej postaci:

d1 − ε e1

e1. . .

. . .. . .

. . . ek−2

ek−2 dk−1 − ε

ψ1...

ψk−2

ψk−1

=

0...0

−ek−1ψk

, (3.5)

ek−1ψk−1 + (dk − ε)ψk + ekψk+1 = 0, (3.6)


dk+1 − ε ek+1

ek+1. . .

. . .. . .

. . . en−1

en−1 dn − ε

ψk+1

ψk+2...ψn

=

−ekψk0...0

. (3.7)

Zdefiniujmy (n− 1) liczb Θ−1 , . . . , Θ−n−1 oraz (n− 1) liczb Θ+2 , . . . , Θ+n :Θ−1 = (d1 − ε)−1, Θ−i = (di − ε− e2i−1Θ−i−1)−1 (i = 2, . . . , n− 1), (3.8)

Θ+n = (dn − ε)−1, Θ+i = (di − ε− e2iΘ+i+1)−1 (i = n− 1, . . . , 2). (3.9)

Przy pomocy ciągów (Θ+i ) bądź (Θ−i ) możemy równania (3.5)–(3.7) zapisać na dwa

równoważne sposoby:

ψ2 = −e1Θ+2 ψ1 ψn−1 = −en−1Θ−n−1ψn......

ψk = −ek−1Θ+k ψk−1 ψk = −ekΘ−k ψk+1ψk+1 = −ekΘ+k+1ψk ψk−1 = −ek−1Θ−k−1ψk...

...ψn = −en−1Θ+n ψn−1 ψ1 = −e1Θ−1 ψ2.

(3.10)

Równania w lewej kolumnie wyprowadzamy kolejno od ostatniego do pierwszego,korzystając z równań (3.5)–(3.7) i definicji Θ+i (3.9). Podobnie równania w prawejkolumnie otrzymujemy od pierwszego do ostatniego, korzystając z definicji Θ−i (3.8).Wzory znajdujące się pod kreską w (3.10) pozwalają sformułować następujący al-

gorytm znajdowania współrzędnych wektora własnego odpowiadającego wyznaczonejwcześniej wartości własnej:

Algorytm 3-4. (DWSZ)Procedura Wektor wł DWSZ (d, e, n, ε, σψ,ψ):

Θ−1 = 1/(d1 − ε);Dla i = 2, . . . , n− 1: Θ−i = 1/(di − ε− e2i−1Θ−i−1);Θ+n = 1/(dn − ε);Dla i = n− 1, . . . , 2: Θ+i = 1/(di − ε− e2iΘ+i+1);k :=Wybierz punkt pocz

1: ψk := 1;Dla i = k + 1, . . . , n: ψi = −ei−1Θ+i ψi−1;Dla i = k − 1, . . . , 1: ψi = −eiΘ−i ψi+1;ψ := ψ/‖ψ‖2; normowanie wektora

rk := |ek−1ψk−1 + (dk − ε)ψk + ekψk+1|;Jeśli rk > σψ:

k :=Wybierz inny punkt pocz ;idź do 1.

Koniec.


Uwagi praktyczne dotyczące algorytmu DWSZ:1. Jeżeli musimy powtórzyć obliczenia dla nowej wartości k, wygodnie jest znaleźćwskaźnik jmax współrzędnej wyznaczonego wektora ψ, której moduł jest naj-większy. Praktyka pokazuje, że przyjmując k = jmax możemy znacznie zmniej-szyć (nawet o kilka rzędów) wartość rk.

2. Efektywniejszym sposobem wyboru indeksu k jest znalezienie wskaźnika j, dlaktórego rj osiąga minimum. Ponieważ

rj =∣∣ej−1ψj−1 + (dj − ε)ψj + ejψj+1

∣∣ =

∣∣−e2j−1Θ−j−1 + dj − ε− e2jΘ+j+1

∣∣ψj ,

poszukiwanie k można przeprowadzić już na etapie obliczania ciągów (Θ±i ).W ten sposób unikamy wielokrotnego wyznaczania współrzędnych wektora ψ.

Omówiony tu algorytm równoważny jest zastosowaniu specyficznego rozkładu ma-cierzy T − ε1, zwanego w języku angielskim twisted factorization. Rozkład ten wy-maga jej przedstawienia w postaci iloczynów LDLT oraz UDUT. Szczegółowa dys-kusja wykorzystania tego rozkładu, łącznie z analizą dokładności, jest przedmiotemprac [75, 76].Warto podkreślić, że algorytm ten pozwala wyznaczyć pojedynczy wektor własny

macierzy T kosztem O(n) operacji, a wszystkie jej wektory kosztem O(n2) opera-cji. Wektor ψ(j) jest poprawnie wyznaczany pod warunkiem, że wartość własna εjjest izolowana, tj. nie leży bardzo blisko innych wartości własnych; zadowalającymkryterium jest [76]

|ε(num)j − εj |mini6=j |εi − εj |

61

2(n+ 1),

gdzie ε(num)j oznacza numerycznie wyznaczoną wartość własną, a pozostałe symbole— dokładne wartości własne.

3.4. Metoda ciągów Sturma

Przy wyznaczaniu wartości własnych macierzy T możemy, zamiast z własnościciągu (3.2), skorzystać ze szczególnych własności jej wielomianu charakterystycznegoW (z) = det(T − z1) stopnia n. Wartości własne ε1, . . . , εn macierzy T są jego miej-scami zerowymi.Dla danej liczby z wartość wielomianu charakterystycznego W (z) możemy obli-

czyć w stosunkowo prosty sposób, wykorzystując strukturę macierzy T. Rozwijającwyznacznik względem kolejnych wierszy, otrzymujemy

p0(z) = 1, p1(z) = d1 − z,pi(z) = (di − z)pi−1(z)− e2i−1pi−2(z) (i = 2, . . . , n)

(3.11)

oraz W (z) = pn(z).Ciąg (3.11) nosi nazwę ciągu Sturma. Ma on następujące właściwości [22, 25, 45]:1. Jeśli wszystkie ei 6= 0, to miejsca zerowe wielomianu pi(z) rozdzielają miejscazerowe wielomianu pi+1(z). Twierdzenie to łatwo jest udowodnić przez spro-


wadzenie do sprzeczności. Z faktu pi(z) = pi−1(z) = 0 wynikałoby, że p0 = 0,co przeczy założeniu.

2. Niech L(z) oznacza liczbę par sąsiednich wyrazów ciągu (3.11), które mająjednakowe znaki; przyjmujemy, że zero ma znak dodatni. Wtedy liczba wartościwłasnych macierzy T nie mniejszych od z (tzn. większych lub równych z)wynosi L(z).

3. Niech N(z) oznacza liczbę zmian znaków sąsiednich wyrazów ciągu (3.11).Wtedy liczba wartości własnych macierzy T mniejszych od z wynosi N(z).

4. Jeśli pi(z) = 0, to pi+1(z)pi−1(z) < 0. Jak łatwo zauważyć, w takim przypadkupi+1(z) = −e2ipi−1(z), czyli znaki pi+1(z) i pi−1(z) są przeciwne.

Podane właściwości wykorzystamy do sformułowania odmiennej od metody bisek-cji procedury znajdowania wartości własnych T, zwanej metodą styczna–sieczna [17].Przytoczymy najpierw założenia, przy których można ją stosować.Niech W (z) wykazuje na przedziale 〈z1, z2〉 następujące właściwości:

W (z) zmienia znak, tj. W (z1)W (z2) < 0.

W (z) jest monotoniczny, tj. pochodna W ′(z) = ddzW (z) ma stały znak.

W (z) jest funkcją wypukłą lub wklęsłą, tj. druga pochodnaW ′′(z) = d2

dz2W (z)ma stały znak.

Do weryfikacji powyższych założeń bedą nam potrzebne efektywne procedury oblicza-nia wartości pierwszej i drugiej pochodnej W (z).Różniczkując wyrazy ciągu (3.11), otrzymujemy

p′0(z) = 0, p′1(z) = −1,p′i(z) = (di − z)p′i−1(z)− pi−1(z)− e2i−1p′i−2(z) (i = 2, . . . , n)

oraz W ′(z) = p′n(z). Przez ponowne różniczkowanie obliczamy W′′(z) = p′′n(z):

p′′0(z) = 0, p′′1(z) = 0,

p′′i (z) = (di − z)p′′i−1(z)− 2p′i−1(z)− e2i−1p′′i−2(z) (i = 2, . . . , n).Przedstawimy teraz szczegółowo metodę styczna–sieczna przyjmując, że W (z)

spełnia powyższe założenia. Zajmiemy się najpierw przypadkiem przedstawionymna rys. 3.1-a. Niech, dla ustalenia uwagi, y1 = W (z1) > 0, y2 = W (z2) < 0 orazy3 = W (z3) < 0, gdzie z3 jest odciętą punktu, w którym prosta przechodząca przezpunkty (z1, y1) i (z2, y2) (czyli sieczna) przecina oś OX :

z3 =y1z2 − y2z1y1 − y2

= z2 +y2(z2 − z1)y1 − y2

.

Obliczmy również odciętą z4 punktu, w którym styczna do W (z) w punkcie (z1, y1)przecina oś OX :

z4 = z1 −y1y′1,


a)

y2

y3

y4

y1

y

zz1 z4 z3 z2

b)

y1

y4

y3

y2

y

zz1 z4 z3 z2

c)

y2

y4

y3

y1

y

zz1 z3 z4 z2

d)

y1

y3

y4

y2

y

zz1 z3 z4 z2

Rys. 3.1. Metoda styczna–sieczna dla funkcji wypukłych (a, d) oraz wklęsłych (b, c). Ozna-czenia: —— funkcja y(z), - - - - styczna, – – – sieczna


gdzie y′1 = W ′(z1) jest wartością pochodnej wielomianu charakterystycznego W (z)w punkcie z = z1. Dokonujemy teraz podstawień

z1 := z4, y1 :=W (z4),

z2 := z3, y2 :=W (z3)

i powtarzamy całą procedurę na nowym przedziale 〈z1, z2〉. Obliczenia kończymy, gdy|z2 − z1| < σ, gdzie σ jest wymaganą dokładnością wyznaczenia wartości własnej.Pozostały jeszcze do rozważenia trzy przypadki:

W (z1) < 0, W (z3) > 0, W (z2) > 0 (rys. 3.1-b),

W (z1) > 0, W (z3) > 0, W (z2) < 0 (rys. 3.1-c),

W (z1) < 0, W (z3) < 0, W (z2) > 0 (rys. 3.1-d).W przypadku pierwszego z nich postępujemy podobnie jak powyżej, co pozosta-

wiamy Czytelniczkom i Czytelnikom do samodzielnego zweryfikowania.Dwa ostatnie przypadki są także podobne do siebie, dlatego przedstawimy me-

todę styczna-sieczna jedynie dla W (z1) < 0, W (z3) < 0, W (z2) > 0. Po określeniuprzedziału 〈z1, z2〉 i wartości y1, y2, y′2 oraz

z3 =y1z2 − y2z1y1 − y2

= z1 +y1(z2 − z1)y1 − y2

,

łatwo znajdujemy nowy przedział 〈z3, z4〉 zawierający poszukiwany pierwiastek, gdzie

z4 = z2 −y2y′2.

Dokonując podstawień

z2 := z4, y2 :=W (z4),

z1 := z3, y1 :=W (z3),

kończymy algorytm.

Zadania

3/1.Wyprowadzić postać ciągu (3.2) w oparciu o twierdzenie Martina–Deana.3/2. Pokazać, że detL = detLT = 1 (udowodnić równość det(T− z1) = det(D− z1).3/3.W oparciu o algorytm Martina–Deana napisać program i wyznaczyć za jego po-mocą dziesięć najniższych wartości własnych energii oscylatora harmonicznego (patrzparagraf 2.3.1). Wyniki numeryczne porównać z rezultatami analitycznymi.

3/4.Wyznaczyć numerycznie 7 najniższych wartości własnych energii cząstki kwan-towej w polu potencjału Lenarda–Jonesa (paragraf 2.3.2).3/5.Wyznaczyć numerycznie 8 najniższych wartości własnych energii cząstki kwan-towej w polu potencjału Morse’a (paragraf 2.3.3). Wyniki numeryczne porównać z re-zultatami analitycznymi [30] (zob. też rozdział 9).


3/6.Wyznaczyć numerycznie 6 najniższych wartości własnych energii cząstki kwan-towej w polu potencjału Konwenta (paragraf 2.3.4). Wyniki numeryczne porównaćz rezultatami analitycznymi [67–70] (zob. też rozdział 9).3/7.Wyjaśnić, dlaczego warunki poprawności otrzymanego wektora własnego w al-gorytmach 3-2, 3-3 i 3-4 sprawdzamy po uprzednim unormowaniu wektora.3/8.Wyprowadzić wzory (3.10).

Rozdział 4Równanie masy efektywnej

Własności fizyczne niskowymiarowych układów półprzewodnikowych, takich jakdruty i studnie kwantowe czy supersieci, są często badane w przybliżeniu masy efek-tywnej [40, 64, 65], który pokrótce przedstawimy poniżej. Pokażemy dalej, że równaniemasy efektywnej można sprowadzić do algebraicznego zagadnienia własnego z syme-tryczną macierzą trójdiagonalną.

4.1. Podstawy formalizmu masy efektywnej

Rozważmy kryształ, w którym prawo dyspersji elektronów (lub dziur) jest para-boliczne. Zależność energii E elektronu od wektora falowego Q w ogólnym przypadkujest anizotropowa:

E(Q) = ~2

2Q ·M−1Q = ~

2

2

∑

i,j

Wi,jQiQj (i, j = x, y, z), (4.1)

gdzieM jest tensorem masy efektywnej; dla uproszczenia zapisu wprowadziliśmy ten-sor odwrotności masy efektywnejW =M−1, reprezentowanego w wybranym układziewspółrzędnych przez symetryczną macierz 3 × 3 o wyrazach Wi,j . Nie będziemy turozważać praw dyspersji wyższych rzędów ani innych, bardziej skomplikowanych wy-rażeń dla energii kinetycznej [77, 78].Jeżeli elektron znajduje się w pobliżu dna pasma (tzn. jego energia nie jest zbyt

duża), możemy jego funkcję falową Φ(R) przedstawić w postaci paczki falowej [79]

Φ(R) =∑

Q

cQeiQ·RU

0(R) = U

0(R)Ψ(R),

gdzie U0jest funkcją Blocha na dnie pasma, a Ψ funkcją falową obwiedni1). Jeżeli ze-

wnętrzny potencjał V zmienia się mało na odległościach porównywalnych z rozmiaremkomórki elementarnej kryształu i jest zbyt słaby, by powodować przejścia do innychpasm energetycznych, funkcja obwiedni spełnia stacjonarne2) równanie Schrodingera

[E(−i∇) + V (R)]Ψ(R) = EΨ(R),gdzie E(−i∇) — operator utworzony z E(Q) przez formalne podstawienie operatorareprezentującego Q. Wykorzystując zależność (4.1), możemy napisać ogólną postaćrównania masy efektywnej:

[

−~2

2∇W(R)∇ + V (R)

]

Ψ(R) = EΨ(R) (4.2)

1) Ang. envelope function.2) Przypadek niestacjonarny można rozpatrywać w analogiczny sposób.

39


albo, równoważnie,[

−~2

2

∑

i,j

∂

∂RiWi,j(R)

∂

∂Rj+ V (R)

]

Ψ(R) = EΨ(R).

W równaniu tym tensor odwrotności masy efektywnej może być funkcją położenia.Odpowiada to przestrzennej zmienności własności materiału tworzącego układ, np.składu chemicznego supersieci.W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać tylko jednowymiarowy przypadek równa-

nia (4.2); wtedy[

−~2

2ddX

W (X)ddX+ V (X)

]

Ψ(X) = EΨ(X). (4.3)

W przypadku, gdy masa efektywna jest przedziałami stała (np. gdy stykają się zesobą w punkcie X0 różne materiały A i B)

W (X) =WA (X < X0)WB (X > X0),

możemy na sąsiadujących przedziałach osobno rozwiązać „zwykłe” równania Schro-dingera dla cząstek o masach Mi = 1/Wi (i = A,B):

[

− ~2

2Mi

d2

dX2+ V (X)

]

Ψi(X) = EΨi(X),

a następnie zszyć rozwiązania, nakładając odpowiednie warunki na funkcję obwiedni Ψi jej pochodną dΨdX . Prowadzi to do różnych odmian opisanej pokrótce we wstępie me-tody macierzy przejścia, którą nie będziemy się tu szczegółowo zajmować. W litera-turze dyskutowane są różne postaci tych warunków [80–83]. Najprostsze i najczęściejużywane to

ΨA(X0−) = ΨB(X0+), WAdψAdX

∣∣∣∣X0−= WB

dψBdX

∣∣∣∣X0+

, (4.4)

tj. funkcje Ψ i W dΨdX są ciągłe. Łatwo się przekonać, że warunki te prowadzą do

zachowania ciągłości strumienia prawdopodobieństwa

J =~

2iM

(

Ψ∗dΨdX− Ψ dΨ

∗

dX

)

.

Należy jednak pamiętać, że warunki (4.4) nie są dokładne, ponieważ w rzeczywi-stości ciągła musi być pełna funkcja falowa elektronu UQΨ , tj. funkcje UQ musiałybybyć jednakowe w obu materiałach. Nawet dla podobnych do siebie pod względemskładu chemicznego i struktury krystalicznej materiałów jest to tylko przybliżenie.

4. Równanie masy efektywnej 41

4.2. Algebraiczne zagadnienie własne

Omówimy teraz sposób rozwiązywania jednowymiarowego równania masy efek-tywnej (4.3) dla dowolnej funkcjiM(X). Postępując podobnie jak w podrozdziale 2.2,zapisujemy wyjściowe równanie w postaci bezwymiarowej, analogicznej do (2.5),

[

− ddxw(x)

ddx+ αv(x)

]

ψ(x) = αεψ(x), (4.5)

gdzie x, w, v, ε są odpowiednio bezwymiarowym położeniem, odwrotną masą, poten-cjałem i energią, wyrażonymi w jednostkach Lc, 1/Mc i Vc, a ψ(x) =

√Lc Ψ(Lcx) jest

bezwymiarową funkcją falową. Stała α ma wartość 2McVcL2c/~2.

Aby otrzymać dyskretną postać równania (4.5), przybliżymy złożony operatorróżniczkowy ddxw(x)

ddx za pomocą różnic skończonych. Poniżej opiszemy najprostsze

spośród możliwych podejść [55], dające dokładność O(s2) i sprowadzające problemdo symetrycznego trójdiagonalnego zagadnienia własnego.Zdefiniujmy f(x) = w(x) ddxψ(x). Równanie (4.5) zapiszemy w postaci

− ddxf(x) + αv(x)ψ(x) = αεψ(x). (4.6)

Wprowadźmy na siatce pomocnicze punkty o współrzędnych

xi+1/2 = a+ (i+12 )s. (4.7)

Będziemy przybliżać wartości f(x) w punktach (4.7) na siatce o kroku 12s, stosującróżnice centralne (C.3). Otrzymamy

fi±1/2 = wdψdx

∣∣∣∣xi±1/2

= ±wi±1/2ψi±1 − ψi

s+O(s2).

W celu przybliżenia pochodnej dfdx w punktach o całkowitych wskaźnikach, zasto-sujmy wzór (C.3) na różnicę centralną dla siatki o kroku 12s:

dfdx

∣∣∣∣xi

=fi+1/2 − fi−1/2

s+O(s2) =

=wi−1/2ψi−1 − (wi−1/2 + wi+1/2)ψi + wi+1/2ψi+1

s2+O(s2). (4.8)

Jak widzimy, w punktach siatki o niecałkowitych wskaźnikach są określone tylkowartości funkcji w, natomiast funkcja falowa ψ jest reprezentowana na punktacho wskaźnikach całkowitych, tak jak w dyskretnej postaci (2.6) zwykłego równaniaSchrodingera. W ten sposób, pomimo zastosowania siatki złożonej z 2n+1 punktów,otrzymamy AZW (4.9) rozmiaru n× n.Zauważmy, że ciągłość funkcji f = w dψdx jest drugim z warunków (4.4). O tym,

że jest on spełniony, przekonujemy się mnożąc równanie (4.6) przez s i podstawiajączależność (4.8). Otrzymujemy

lims→0[f(z − 12s)− f(z + 12s)] = lims→0αs[ε− V (x)]ψ(x) = 0.


Wykorzystując schemat dyskretyzacji (4.8), możemy zapisać równanie masy efek-tywnej (4.5) dla n kolejnych punktów siatki xi:

−wi−1/2ψi−1 + (wi−1/2 + wi+1/2 + vi)ψi − wi+1/2ψi+1 = εψi,gdzie vi = αs2vi, ε = αs2ε. Nakładając warunki brzegowe ψ0 = ψn+1 = 0, możemyzapisać powyższy układ równań w postaci macierzowego zagadnienia własnego

Hψ = εψ (4.9)

z trójdiagonalną macierzą postaci

H =

w1/2 + w3/2 + v1 −w3/2−w3/2

. . .. . .

. . .. . . −wn−1/2

−wn−1/2 wn−1/2 + wn+1/2 + vn

.

Jest to symetryczna macierz trójdiagonalna, której wartości własne można wyzna-czać np. metodą bisekcji z wykorzystaniem twierdzenia Martina–Deana, a wektorywłasne — przy pomocy metody DWSZ.

Zadania

4/1. Napisać program pozwalający znaleźć numeryczne rozwiązania stacjonarnegojednowymiarowego równania masy efektywnej (tj. energie i funkcje falowe stanówzwiązanych) dla dowolnych zależności V (X) iM(X), zadanych przez tablice wartości.4/2.W przypadku heterostruktur półprzewodnikowych GaAs-AlcGa1−cAs możemyprzyjąć3), że w pasmie przewodnictwa

V (c) = c · 873meV, m(c) = (0,067 + 0,083c)me;

w obszarze wypełnionym materiałem o większym ułamku molowym Al (oznaczonymprzez c) znajduje się bariera studni kwantowej.Znaleźć energie i funkcje falowe stanów własnych w strukturze Al0,3Ga0,7As-GaAs--Al0,3Ga0,7As, tworzącej studnię kwantową o szerokości 500 A, tj. dla zależności składumateriału od położenia postaci

c(x) =

0 (|x| < 250 A)0,3 (|x| > 250 A).

4/3. Poczynione w poprzednim zadaniu założenie o idealnie schodkowym charakterzezależności c(x), a co za tym idzie, V (X) i M(X), nie jest uzasadnione. Zbadać, jakzmienią się poziomy energetyczne i funkcje falowe, jeśli przyjmiemy zależność postaci

c(x) =

0 (|x| 6 250 A− d)0,15 + 0,15d (|x| − 250) (250 A− d < |x| < 250 A + d)0,3 (|x| > 250 A + d),

3)Dla c < 0,45. Podane parametry pochodzą z pracy [84], a tzw. band offset dla pasma przewod-nictwa przyjęto równy 70%

4. Równanie masy efektywnej 43

gdzie parametr d opisuje rozmycie granic studni? Jak zależą wyniki od wartości pa-rametru d?4/4. Znaleźć stany związane elektronów w strukturze GaAs-AlcGa1−cAs, której za-leżność składu od współrzędnej zadana jest funkcją

c(x) = 0,3[

1− e−(x/d)2]

,

gdzie d = 250 A.

Rozdział 5Numeryczna analiza równania Schrodingera za pomocąmetod różnic skończonych wyższych rzędów

W tym rozdziale zajmiemy się metodami różnic skończonych umożliwiającymiprzybliżanie drugiej pochodnej w równaniu Schrodingera (1.2) z dokładnością wyższąniż O(s2) w sensie, o którym jest mowa w Dodatku C. Przedstawimy ogólną metodęGuardioli–Rosa [56] oraz jej przypadki szczególne, zwane metodą pięciopunktową orazmetodą Lindberga [57].

5.1. Metoda Guardioli–Rosa

Niech funkcja f(x) będzie zadana na przedziale 〈a, b〉, a fi = f(xi) oznaczają jejwartości na siatce punktów (2.3) o kroku s. Rozwinięcie Taylora pozwala otrzymaćzwiązek pomiędzy wartościami f w sąsiednich punktach siatki:

f(x+ s) =(

1 + sD+s2

2!D2 +

s3

3!D3 + · · ·

)

f(x),

gdzie D = ddx . Ostatnią równość możemy zapisać formalnie w postaci

f(x+ s) = esDf(x).

Operator ∆s centralnej różnicy zdefiniujemy teraz jako

∆sf(x) = f(x+12s)− f(x− 12s),

co w zapisie symbolicznym ma postać

∆sf(x) =[exp(12sD)− exp(− 12sD)

]f(x)

i pozwala przyjąć

∆s = exp(12sD) − exp(− 12sD) = 2 sinh(12sD).

Rozwikłanie powyższej relacji prowadzi do związków

sD = 2 sinh−1(12∆s) (5.1)

s2D2 = 4[sinh−1(12∆s)

]2. (5.2)

Po rozwinięciu funkcji odwrotnej do sinhx (tj. ar sinhx) w szereg Taylora [85],z relacji (5.1) i (5.2) otrzymujemy

s2D2 = ∆2s

(

1− 112∆2s +

190∆4s −

1560∆6s +

13150∆8s −

116632

∆10s +

+184084

∆12s −1

411840∆14s +

11969110

∆16s + · · ·)

. (5.3)

45


Zauważmy, że we wzorze (5.3) występują tylko parzyste potęgi ∆s. Zapewnia to, żew naszych rozważaniach pojawią się wartości f w punktach xi siatki (2.3). Nieparzystepotęgi ∆s określone są przez wartości f w punktach xi±1/2 spoza siatki (2.3).Dodajmy, że wartość kroku s jest uwzględniona w definicji ∆s, chociaż w jaw-

nej postaci nie występuje po prawej stronie równości (5.3). Uwzględnienie w (5.3)wszystkich wyrazów do ∆2ns włącznie oznacza, że druga pochodna jest wyznaczonaz dokładnością O(s2n+2) [86].Szereg (5.3) jest zbieżny dla |12s| < 1. Aby zwiększyć promień zbieżności przy-

bliżenia s2D2, zastępujemy go aproksymantą Padego [87]. Zastosowanie proceduryz Dodatku D prowadzi do następujących aproksymant Padego dla operatora s2D2:

s2D2[1/0] = ∆2s −s4D4

12(5.4)

s2D2[2/0] = ∆2s

(

1− ∆2s

12

)

+s6D6

90, (5.5)

s2D2[1/1] =∆2s

1 + 112∆

2s

+s6D6

240, (5.6)

s2D2[3/0] = ∆2s

(

1− ∆2s

12+∆4s90

)

+s8D8

560, (5.7)

s2D2[2/1] =∆2s(1 +

120∆

2s)

1 + 215∆

2s

− 23s8D8

75600, (5.8)

s2D2[1/2] =∆2s

1 + 112∆

2s − 1

240∆4s

− 31s8D8

60480, (5.9)

s2D2[4/0] = ∆2s

(

1− ∆2s

12+∆4s90− ∆

6s

560

)

+s10D10

3150, (5.10)

s2D2[3/1] =∆2s(1 +

13168∆

2s − 23

10080∆4s)

1 + 956∆

2s

+3s10D10

1411200, (5.11)

s2D2[2/2] =∆2s(1 +

31252∆

2s)

1 + 1363∆2s +

233780∆

4s

+79s10D10

4762800, (5.12)

s2D2[1/3] =∆2s

1 + 112∆

2s − 1

240∆4s +

3160480∆

6s

+289s10D10

725760, (5.13)

s2D2[5/0] = ∆2s

(

1− ∆2s

12+∆4s90− ∆

6s

560+∆8s3150

)

− 6,01 · 10−5s12D12, (5.14)

s2D2[4/1] =∆2s(1 +

17180∆

2s − 1

270∆4s +

43226800∆

6s)

1 + 845∆

2s

− 3,688 · 10−6s12D12, (5.15)

s2D2[3/2] =∆2s(1 +

49276∆

2s +

7928980∆

4s)

1 + 623∆

2s +

433220∆

4s

− 1,156 · 10−6s12D12, (5.16)

5. Metody różnic skończonych wyższych rzędów 47

s2D2[2/3] =∆2s(1− 641

6360∆2s)

1− 372120∆

2s − 959

76320∆4s +

2989132054400∆

6s

− 3,287 · 10−5s12D12, (5.17)

s2D2[1/4] =∆2s

1 + 112∆

2s − 1

240∆4s +

3160480∆

6s − 289

725760∆8s

− (5.18)

− 1,256 · 10−5s12D12, (5.19)

gdzie

∆2ns f(x) =2n∑

k=0

(2nk

)

(−1)kf(x+ (n− k)s). (5.20)

Sens matematyczny wprowadzonych aproksymant (5.4)–(5.19), mających ogólnąpostać

s2D2[j/m] =a2∆

2s + a4∆

4s + · · ·+ a2j∆2js

1 + b2∆2s + b4∆4s + · · ·+ b2m∆2ms=

J(∆2s)M(∆2s)

:=M−1(∆2s)J(∆2s),

staje się jasny po ich zastosowaniu do równania Schrodingera

s2D2ψ(x)∣∣x=xi= αs2[v(xi)− ε]ψ(xi). (5.21)

Podstawiając do równania (5.21)

s2D2ψ(x)∣∣x=xi≃ M−1(∆2s)J(∆

2s)ψ(x)

∣∣x=xi

otrzymujemy

M−1(∆2s)J(∆2s)ψ(x)

∣∣x=xi= αs2[v(x) − ε]ψ(x)

∣∣x=xi

. (5.22)

Działając na obie strony równania (5.22) operatorem M(∆2s), dostajemy

J(∆2s)ψ(x)∣∣x=xi= αs2M(∆2s)[v(x) − ε]ψ(x)

∣∣x=xi

. (5.23)

Jak widzimy, operatory M(∆2s) i J(∆2s) działają odpowiednio na lewą i prawą rów-

nania (5.21).W praktyce obliczeń numerycznych stosujemy obcięty szereg Taylora (5.3) lub

odpowiednie aproksymanty Padego przytoczone wyżej.Formuły Padego (5.4)–(5.19) opatrzono standardowymi symbolami typu [j/m],

które oznaczają to, że w liczniku i mianowniku występują odpowiednio wielomianyj-tego i m-tego stopnia względem ∆2s.Zauważmy, że aproksymanty Padego typu [j/0] odpowiadają j-punktowemu przy-

bliżeniu drugiej pochodnej za pomocą różnic skończonych. Aproksymanty Padegotypu [1/m] są m-punktowymi metodami Numerowa. Uogólnione metody Numerowaodpowiadają diagonalnym aproksymantom Padego. Jak widzimy, uogólniona metodaNumerowa (5.6) odpowiadająca aproksymancie s2D2[1/1] jest dokładniejsza od me-tody pięciopunktowej Taylora (5.5). Ogólnie, aproksymanta s2D2[j/m] jest poprawnado wyrazów rzędu s2(j+m+1).Dla praktycznych zastosowań najlepszymi aproksymantami Padego są te, które

przy danej sumie j +m zawierają najniższe potęgi s (s2n odpowiada (2n+ 1)-punk-towemu przybliżeniu). Odpowiada to aproksymantom [j/j] oraz [(j + 1)/j].


Przystąpimy do wyprowadzenia algebraicznego zagadnienia własnego w metodzieGuardioli–Rosa. W tym celu wybieramy jedną z aproksymant Padego (5.4)–(5.19).Stosujemy wzór (5.23) do każdego punktu siatki. W rezultacie otrzymujemy uogól-nione algebraiczne zagadnienie własne [24, 45, 50, 53]

Jψ =M(V − ε1)ψ, (5.24)

gdzie V = diag(v1, . . . , vn) — macierz diagonalna,

J =j∑

k=1

νk∆2k, M = 1+

m∑

l=1

µl∆2l, (5.25)

a ∆2 oznacza symetryczną macierz trójdiagonalną o postaci

∆2 =

−2 1

1 . . .. . .

. . .. . . 1

1 −2

. (5.26)

Przy wyprowadzaniu (5.24) posłużono się wzorem (5.20) oraz zastosowano dlaoperatorów ∆4,∆6, . . . następujące warunki brzegowe:

f−i = −fi, fn+i = −fn−i+2. (5.27)

Powodują one, że wektory własne odpowiednich macierzy są periodyczne z okre-sem 2n+ 2, co we współrzędnej x odpowiada odległości 2(b− a).Rozwiążemy teraz zagadnienie własne dla macierzy ∆2, której diagonalizacja bę-

dzie konieczna w naszych rozważaniach.

5.2. Zagadnienie własne dla macierzy ∆2

Zastosowanie aproksymanty (5.4) w równaniu (5.21), przy dodatkowym założeniuv(x) = const i przy zadanych poprzednio warunkach brzegowych (2.2), prowadzi dozagadnienia własnego postaci

∆2q = λq, (5.28)

gdzie ∆2 jest macierzą (5.26). W dziedzinie, którą się zajmujemy, zagadnienie (5.28)jest paradygmatem1). Macierz tę diagonalizujemy za pomocą ortogonalnego prze-kształcenia podobieństwa [20, 45, 88]:

Q∆2QT = Λ = diag(λ, . . . , λn), (5.29)

gdzie Λ jest macierzą diagonalną, macierz ortogonalna Q ma wyrazy2)

Qi,k =

√

2n+ 1

sinikπ

n+ 1, (5.30)

1) Słowa paradygmat używamy tutaj w celu podkreślenia znaczenia problemu (5.28), odgrywającegorolę ogólnie przyjętego wzorca rozwiązywania zagadnienia własnego.2) Analityczne rozwiązanie zagadnienia (5.28) podane jest w rozdziale 3 książki [88].


a wartości własne wk macierzy (5.26) są równe

λk = −4 sin2kπ

2(n+ 1)(k = 1, . . . , n).

Dodajmy, że wektory własne macierzy ∆2 są kolumnami macierzy Q.W celu uzasadnienia podanych formuł napiszmy ciąg równości słuszny dla dowol-

nego k [20]:

sin(i− 1)kπn+ 1

+ sin(i+ 1)kπn+ 1

= 2 coskπ

n+ 1sin

ikπ

n+ 1(i = 1, . . . , n),

wynikający ze znanego wzoru dla sumy sinusów. Od i-tej równości odejmujemy obu-stronnie 2 sin ikπ

n+1 i otrzymujemy

sin(i− 1)kπn+ 1

− 2 sin ikπ

n+ 1+ sin

(i+ 1)kπn+ 1

= 2(

coskπ

n+ 1− 1)

sinikπ

n+ 1.

Ponieważ cos kπn+1 − 1 = −2 sin

2 kπ2(n+1) , to

sin(i− 1)kπn+ 1

− 2 sin ikπ

n+ 1+ sin

(i+ 1)kπn+ 1

= −4 sin2 kπ

2(n+ 1)sin

ikπ

n+ 1.

Macierzowy zapis ostatniego układu równań dla j = 1, . . . , n jest postaci (5.28), cokończy nasze uzasadnienie.Dodajmy jeszcze, że macierzową reprezentację operatora ∆2ks na siatce punk-

tów (2.3) przy założonych warunkach brzegowych (5.27) zadają macierze ∆2k. Dlak = 2 nieskomplikowane obliczenia prowadzą do wzoru

∆4 =

5 −4 1

−4 6 . . .. . .

1 . . .. . .. . . 1

. . .. . . 6 −41 −4 5

.

W tym przypadku warunki brzegowe mają postać

f−1 = −f1, f0 = fn+1 = 0, fn+2 = −fni wtedy

∆4sf(x)|x=x1 = f−1 − 4f0 + 6f1 − 4f2 + f3 = 5f1 − 4f2 + f3.


5.3. Symetryczne algebraiczne zagadnienie własne w metodzieGuardioli–Rosa

W ogólnym przypadku równanie (5.24) jest niesymetrycznym uogólnionym zagad-nieniem własnym, ponieważM(V−ε1) jest macierzą niesymetryczną. Sprowadzimy jedo symetrycznego AZW. W tym celu mnożymy (5.24) obustronnie przez macierz Q,diagonalizującą przez podobieństwo macierz ∆2 — patrz wzory (5.29)–(5.30):

QJψ = QM(V − ε1)ψ. (5.31)

Zajmiemy się oddzielnie lewą i prawą stroną ostatniego równania. Z jawnej postacimacierzy J (5.25) oraz z własności macierzy Q wynika, że

QJψ = Qj∑

k=1

νk∆2kψ = Q

j∑

k=1

νk

(

∆2QTQ)k

ψ =

=j∑

k=1

νkQ∆2QT · · ·Q∆2QT

︸︷︷︸

k razy

Qψ =j∑

k=1

νk

(

Q∆2QT)k

Qψ =

=

(j∑

k=1

νkΛk

)

Qψ = ΓQψ, (5.32)

gdzie Γ jest macierzą diagonalną Γ = diag(γ1, . . . , γn) o elementach

γi =j∑

k=1

νk(−4)k sin2kiπ

2(n+ 1). (5.33)

W przypadku prawej strony równania (5.31) podobne przekształcenia dają:

(QMV − εQM)ψ = (QMQT)(QVQTQ)ψ − ε(QMQT)Qψ = K(V − ε1)Qψ, (5.34)gdzie macierz diagonalna K = diag(κ1, . . . , κn) i ma elementy

κi = 1 +m∑

l=1

µl(−4)l sin2liπ

2(n+ 1), (5.35)

natomiast V jest macierzą gęstą o wyrazach

Vi,k =2

n+ 1

n∑

l=1

sinilπ

n+ 1vl sin

klπ

n+ 1. (5.36)

Ze wzorów (5.32) i (5.34) wynika relacja

Γφ = K(V − ε1)φ,gdzie φ = Qψ. Mnożymy obustronnie ostatnią równość przez K−1 i grupujemy wy-razy, otrzymując

(−K−1Γ+ V)φ = εφ. (5.37)

Ostatnie równanie jest algebraicznym zagadnieniem własnym dla symetrycznejmacierzy gęstej, ponieważ macierz K−1Γ jest diagonalna i VT = V, co wynika zewzoru (5.36).


Numeryczne rozwiązywanie AZW z macierzą gęstą będzie dyskutowane w następ-nym rozdziale. Zaprezentowane tutaj podejście, wykorzystujące diagonalizację macie-rzy J i M, ma zastosowanie dla aproksymant Padego s2D2[j/m] przy m > 1 — patrzwzory (5.4)–(5.19). Dalej zajmiemy się przypadkami [2/0] (5.5) oraz [1/1] (5.6), któremożna analizować w prostszy sposób. W metodach tych druga pochodna jest lokalnieprzybliżana z dokładnością do wyrazów O(s4).

5.4. Pięciopunktowe przybliżenie drugiej pochodnej

Najprostszą pojęciowo metodą wyższego rzędu jest metoda wykorzystująca pię-ciopunktowe przybliżenie drugiej pochodnej (5.5) albo, równoważnie, (C.9).Po sprowadzeniu RS do postaci bezwymiarowej, równanie różnicowe dla i-tego

punktu siatki (2.3) przyjmuje postać

ψi−2 − 16ψi−1 + (30 + vi)ψi − 16ψi+1 + ψi+2 = εψi, (5.38)

gdzie tym razem

ε = 12αs2ε, vi = 12αs2vi.

Pokażemy, że (5.38) ma postać algebraicznego zagadnienia własnego dla syme-trycznej macierzy pasmowej, której wyrazy potrafimy wyznaczyć. Wypiszmy jawnepostaci równań (5.38) dla poszczególnych wartości i:

(30 + v1)ψ1 − 16ψ2 + ψ3 = εψ1. . .

...ψi−2 − 16ψi−1 + (30 + vi)ψi − 16ψi+1 + ψi+2 = εψi

. . ....

ψn−2 − 16ψn−1 + (30 + vn)ψn = εψn,

gdzie uwzlędniono warunki brzegowe ψ0 = ψ(a) = ψn+1 = ψ(b) = 0, ψ−1 = ψn+2 = 0.Powyższy układ równań można zapisać w postaci AZW

30 + v1 −16 1

−16 30 + v2. . .

. . .

1 . . .. . .

. . . 1. . .

. . . 30 + vn−1 −161 −16 30 + vn

ψ1

ψ2...

ψn−1

ψn

= ε

ψ1

ψ2...

ψn−1

ψn

.

Otrzymaliśmy więc algebraiczne zagadnienie własne

Pψ = εψ


dla symetrycznej macierzy pentadiagonalnej

P =

d1 e1 f1

e1 d2. . .

. . .

f1. . .

. . .. . . fn−2

. . .. . . dn−1 en−1

fn−2 en−1 dn

, (5.39)

której wyrazy diagonalne określa potencjał v(x).W celu wyznaczenia wartości własnych macierzy (5.39) możemy ponownie zasto-

sować twierdzenia Martina–Deana (B-17). Postępując analogicznie, jak w przypadkumacierzy trójdiagonalnej (podrozdział 3.1), otrzymujemy dwa wzajemnie zależne ciągi

u1 = d1 − z, u2 = d2 − z −p21u1, ui = di − z −

f2i−2ui−2

− p2i−1ui−1

(i = 3, . . . , n),

p1 = e1, pi = ei −pi−1fi−2ui−2

(i = 2, . . . , n− 1).(5.40)

Liczba lww(z) wartości własnych macierzy Pmniejszych od zadanej liczby z jest równaliczbie ujemnych wyrazów w ciągu (ui):

lww(z) = η(P− z1) =n∑

i=1

η(ui). (5.41)

Wartości własne macierzy pentadiagonalnejPmożemy teraz wyznaczać za pomocąmetody bisekcji opisanej w podrozdziale 3.2.

5.5. Metoda Lindberga

Pokażemy za Lindbergiem [57], że aproksymanta Padego s2D2[1/1] postaci (5.6)prowadzi do zagadnienia własnego z kwazisymetryczną [45] macierzą trójdiagonalną.Zastosowanie przybliżenia

s2D2 ≃(

1 +112∆2s

)−1∆2s

w równaniu (5.21), na podstawie (5.23), prowadzi do związku(

1 +112∆2s

)

s2α[v(x) − ε]ψ(x)∣∣∣∣x=xi

= ∆2sψ(x)∣∣x=xi

. (5.42)

Jeśli wprowadzimy oznaczenia

v(x) =112s2αv(x), ε =

112s2αε,

to równanie (5.42) przyjmie postać

(12 + ∆2s)[v(x)− ε]ψ(x)∣∣x=xi= ∆2sψ(x)

∣∣x=xi

.


Rozpiszmy lewą stronę powyższego równania:

(12 + ∆2s)[v(x)− ε]ψ(x)∣∣x=xi=

= 12(vi − ε)ψi + [(vi−1 − ε)ψi−1 − 2(vi − ε)ψi + (vi+1 − ε)ψi+1] (5.43)

i prawą:

∆2sψ(x)∣∣x=xi= ψi−1 − 2ψi + ψi+1. (5.44)

Stosując wzory (5.43) i (5.44) do równania Schrodingera we wszystkich punktachsiatki (2.3), otrzymujemy uogólnione zagadnienie własne

Gψ = εFψ, (5.45)

gdzie G jest niesymetryczną, a F — symetryczną macierzą trójdiagonalną:

G =

2 + 10v1 −1 + v2−1 + v1

. . .. . .

. . .. . . −1 + vn

−1 + vn−1 2 + 10vn

, F =

10 1

1 . . .. . .

. . .. . . 1

1 10

.

Zajmiemy się teraz wyznaczeniem wartości i wektorów własnych uogólnionegozagadnienie własnego (5.45).

5.6. Kwazisymetryczna macierz trójdiagonalna

Definicja 5-1. Niesymetryczną rzeczywistą macierz trójdiagonalną postaci

T′ =

d′1 f ′1

e′1. . .

. . .. . .

. . . f ′n−1

e′n−1 d′n

(5.46)

nazywamy kwazisymetryczną, jeśli e′if′i > 0 dla i = 1, . . . , n− 1.

Dowolną trójdiagonalną macierz kwazisymetryczną T′ można za pomocą prze-kształcenia podobieństwa określonego przez macierz diagonalną S przekształcić w ma-cierz symetryczną T [45]:

ST′S−1 = T, (5.47)

gdzie S = diag(s1, . . . , sn) oraz

s1 = 1, si =

√√√√

i−1∏

l=1

e′l

/ i−1∏

l=1

f ′l (i = 2, . . . , n). (5.48)

Wyrazy macierzy T = trid[(e1, . . . , en−1), (d1, . . . , dn), (e1, . . . , en−1)] są równe

di = d′i, ei =

√

e′if′i . (5.49)


Lindberg udowodnił następujące twierdzenie [57]:Twierdzenie 5-2. Wszystkie wartości własne równania (5.45) są rzeczywiste i należądo przedziału 〈vmin + w1, vmax + wn〉, gdzie

vmin = minni=1 vi, vmax = max

ni=1 vi, wi =

sin2 iπ2(n+1)

2 + cos2 iπ2(n+1)

.

Załóżmy, że spełniony jest warunek z > vmin. Wówczas wszystkie wyrazy poza-diagonalne macierzy

G− zF =

2 + 10(v1 − z) −1 + v2 − z−1 + v1 − z

. . .. . .

. . .. . . −1 + vn − z

−1 + vn−1 − z 2 + 10(vn − z)

są ujemne. Zgodnie z wzorami (5.46)–(5.49), jest ona wtedy kwazisymetryczna, a za-tem podobna do symetrycznej macierzy trójdiagonalnej

T(z) = S(z)(G− zF)S−1(z),gdzie T(z) = trid[(e1(z), . . . , en−1(z)), (d1(z), . . . , dn(z)), (e1(z), . . . , en−1(z))] oraz

di(z) = 2 + 10(vi − z), e2i (z) = (vi − z − 1)(vi+1 − z − 1).Na mocy twierdzenia Martina–Deana, liczba ujemnych wartości własnych T(z),

będąca zarazem liczbą wartości własnych wejściowego zagadnienia własnego (5.45),jest równa liczbie ujemnych wyrazów w ciągu

u1 = d1(z), ui = di(z)−e2i−1(z)ui−1

(i = 2, . . . , n). (5.50)

W oparciu o ciąg (5.50), wartości własne równania (5.45) można wyznaczać zapomocą opisanego wcześniej algorytmu 3-1.Wektory własne ψ w (5.45) można wyznaczyć metodą DWSZ przedstawioną

w paragrafie 3.3.2 w wersji dla macierzy symetrycznych. Nadaje się ona do wy-znaczania wektorów własnych niesymetrycznych macierzy trójdiagonalnych T′ po-staci (5.46) [55, 73, 74].Niech ε będzie znalezioną wartością własną. W celu wyznaczenia przynależnego

do niej wektora własnego, wprowadźmy (n− 1) liczb Θ−1 , . . . , Θ−n−1 oraz (n− 1) liczbΘ+n , . . . , Θ

+2 , zdefiniowanych następująco:

Θ−1 = (d′1 − ε)−1, Θ−i = (d

′i − ε− e′i−1f ′i−1Θ−i−1)−1 (i = 2, . . . , n− 1),

Θ+n = (d′n − ε)−1, Θ+i = (d

′i − ε− e′if ′iΘ+i+1)−1 (i = n− 1, . . . , 2).

Przy pomocy ciągów (Θ+) bądź (Θ−) wyznaczamy współrzędne wektora własnego.Kładziemy ψk = 1 i obliczamy

ψi =−Θ−i f ′iψi+1 (i = k − 1, . . . , 1)−Θ+i e′i−1ψi−1 (i = k + 1, . . . , n).


Wszystkie obliczenia, łącznie z weryfikacją poprawności otrzymanego wektora wła-snego, prowadzić należy podobnie do postępowania określonego w algorytmie 3-4.Zamiast stosować metodę DWSZ do macierzy niesymetrycznej G − zF, możemy

zauważyć, że z równania (G− εF)ψ = 0 wynika0 = S(ε)0 = S(ε)(G− εF)S−1(ε)S(ε)ψ = T(ε)S(ε)ψ.

Oznaczmy S(ε)ψ = φ. Z uwagi na symetryczność macierzy T możemy zastosować sy-metryczny algorytm DWSZ do wektora φ, a następnie obliczyć wektor ψ = S−1(ε)φ.

5.7. Ekstrapolacja Richardsona

Dokładność wyznaczania wartości własnych oraz współrzędnych wektorów wła-snych AZW można w prosty sposób zwiększyć, rozwiązując RS (1.2) jedną z poda-nych metod dla dwóch różnych wartości s i s′ < s kroku siatki (2.3). W tym celunależy posłużyć się metodą zwaną ekstrapolacją Richardsona [54], którą teraz krótkoprzedstawimy.Przyjmijmy, że druga pochodna występująca w RS jest aproksymowana za pomocą

centralnych różnic skończonych, których dokładność jest rzędu O(s2) (jak w metodzietrójpunktowej). Dodatkowe obliczenia pozwalają osiągnąć dokładność rzędu O(s4).Rozpatrzmy funkcję f , której przybliżone wartości fi(s) oraz f ′j(s′) są znane

na dwóch siatkach xi = a+ is oraz x′j = a+ js

′. Dokładna wartość funkcji w punkciex = xi = x

′j , wspólnym dla obu siatek

3), wynosi

fdokł(x) = fi(s) + Cs2 +O(s4) = f ′j(s

′) + C(s′)2 +O[(s′)4]. (5.51)

Zauważmy, że przyjęto założenie, iż lokalnie błąd przybliżenia (5.51) jest postaciwielomianu Cs2 +Ds4 + Es6 + · · · .Rozwiązując układ równań (5.51) względem C, otrzymujemy

fdokł(x) ≃ f ′j(s′) +f ′j(s

′)− fi(s)(s/s′)2 − 1 =

(s/s′)2f ′j(s′)− fi(s)

(s/s′)2 − 1 ,

gdzie tym razem dokładność wyrażenia stojącego po prawej stronie ostatniej równościjest rzędu O(s4). Jak widać, znając C możemy twierdzić, że dokładność otrzymanychwartości jest rzędu O(s4). Dla typowego przypadku s′ = 12s otrzymujemy

fdokł(x) =22f ′j − fi22 − 1 + O(s

4) = f ′j +f ′j − fi22 − 1 + O(s

4). (5.52)

Przyjmijmy teraz, że aproksymujemy drugą pochodną za pomocą centralnych róż-nic skończonych z dokładnością rzędu O(s2n). Dodatkowe obliczenia pozwalają osią-gnąć dokładność rzędu O(s2n+2).Niech s′ = 12s, wtedy

fdokł(x) = fi + Cs2n +O(s2n+2) = f ′j + C

s2n

22n+O[(12s)

2n+2]. (5.53)

3) Jeśli s′ = 12s, to jedna siatka jest podzbiorem drugiej. Taki przypadek będziemy dalej rozważać.


Rozwiązując układ równań (5.53) względem C, otrzymujemy

fdokł(x) =22nf ′j − fi22n − 1 + O(s

2n+2) = f ′j +f ′j − fi22n − 1 + O(s

2n+2). (5.54)

Wzór (5.54) można stosować do dowolnej wielkości wyznaczanej numerycznie,także do wartości własnych oraz współrzędnych wektorów własnych zagadnienia wła-snego, obliczanych którąś z metod przedstawionych w poprzednich rozdziałach.Zilustrujemy to postępowanie na prostym przykładzie. W tabeli zawarte są przy-

bliżone wartości pewnej funkcji f(x) wyznaczone z podaną dokładnością:

krok dokładność ekstrapolowana ekstrapolowanas O(s2) z dokł. O(s4) z dokł. O(s6)0,2 23,9944 ց

ր 23,91490,4 24,2328

ցր 23,9147ց

ր 23,91810,8 25,1768

Poszczególne wartości w tabeli otrzymano, przyjmując

fdokł = obliczona numerycznie wartość + błąd.

Pierwszą liczbę w trzeciej kolumnie obliczamy, zakładając

fdokł ≃ fekstr = 23,9944 + C(0,2)2 = 24,2328 + C(0,4)2,i dalej, ze wzoru (5.52),

fekstr = 23,9944 +23,9944− 24,2328

3= 23,9149,

gdzie fdokł = fekstr +O[(0,4)4]. Podobnie obliczamy drugą liczbę z kolumny trzeciej:

fekstr = 24,2328 + C(0,4)2 = 25,1768 + C(0,8)2,

skąd

fekstr = 24,2328 +24,2328− 25,1768

3= 23,9181,

gdzie tym razem fdokł = fekstr +O[(0,8)4].

Jeśli teraz rozwiążemy układ równań

fekstr = 23,9149 + C(0,4)4 = 23,9181 + C(0,8)4,

to ze wzoru (5.54) dla n = 2 otrzymamy stojącą w czwartej kolumnie tabeli liczbę

fekstr = 23,9149 +23,9149− 23,9181

15= 23,9147,

będącą wartością funkcji f(x) z dokładnością do O[(0,8)6]. Dodajmy, że dokładnawartość funkcji wynosi 23,9144.


Zadania

5/1. Korzystając z szeregu Taylora

sinh−1 x = x− 1 · x3

2 · 3 +1 · 3 · x52 · 4 · 5 −

1 · 3 · 5 · x72 · 4 · 6 · 7 + · · · ,

wyprowadzić trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia (5.3).5/2. Udowodnić za pomocą indukcji matematycznej wzór (5.20).5/3.Wyprowadzić wyrażenia na następujące aproksymanty Padego dla s2D2: [2/0],[1/1], [3/0], [2/1], [1/2], [4/0].5/4.Wyprowadzić bezpośrednim rachunkiem postać macierzy ∆4.5/5. Uzasadnić równość (5.24). Posłużyć się warunkami brzegowymi (5.27).5/6. Korzystając ze związku ∆ = QTΛQ, wyprowadzić wzór (5.32).5/7. Pokazać słuszność formuł (5.34)–(5.36), pozwalających sprowadzić uogólnioneAZW (5.24) do postaci symetrycznego AZW.5/8.Wyprowadzić wzór (5.38) posługując się aproksymantą Padego (5.5). Wska-zówka: można skorzystać ze wzoru (5.20).5/9. Stosując twierdzenie Martina–Deana (B-17) wyprowadzić formuły (5.40).5/10. Pokazać, że siedmiopunktowe przybliżenie drugiej pochodnej ma postać

d2ψdx2

∣∣∣∣xi

=2ψi−3 − 27ψi−2 + 270ψi−1 − 490ψi + 270ψi+1 − 27ψi+2 + 2ψi+3

180s2+O(s6).

5/11. Zapisać jednowymiarowe stacjonarne równanie Schrodingera w postaci algebra-icznego zagadnienia własnego, wykorzystując siedmiopunktowe przybliżenie drugiejpochodnej z zadania 5/10.5/12.Wykorzystując twierdzenie Martina–Deana, sformułować algorytm pozwala-jący wyznaczać wartości własne AZW z poprzedniego zadania metodą bisekcji.5/13.Wyprowadzić uogólnione macierzowe zagadnienie własne w metodzie Lind-berga — wzory (5.43)–(5.45).5/14. Pokazać, że wyrazy macierzy symetrycznej T podobnej do T′ wyrażają sięwzorami (5.49).5/15.Wyznaczyć numerycznie za pomocą metody Guardioli–Rosa dla aproksymantyPadego h2D2[4/0] dziesięć najniższych poziomów energetycznych i odpowiadającychim funkcji falowych cząstki kwantowej o masie M poruszającej się w polu potencjałuV (X) = 12CX

2 = 12MΩ2X2, gdzie parametr Ω =

√

C/M .5/16. Zastosować ekstrapolację Richardsona do zwiększenia dokładności wyznaczaniaenergii i funkcji falowych oscylatora harmonicznego metodą trójpunktową. Porównaćotrzymane wyniki z wynikami wybranej metody wyższegu rzędu.

Rozdział 6Metody numeryczne rozwiązywania symetrycznegogęstego algebraicznego zagadnienia własnego

Przedmiotem naszego zainteresowania będzie w tym rozdziale symetryczne gęstealgebraiczne zagadnienie własne (AZW)

Ax = λx, (6.1)

którego macierz A = AT jest gęsta i ma rozmiar n× n. Liczba niezerowych wyrazówtej macierzy jest rzędu n2.Przedstawimy i szczegółowo omówimy najefektywniejsze z obecnie znanych al-

gorytmów stosowanych do numerycznego rozwiązywania zagadnienia (6.1). Wydajesie, że stanowią one najważniejszą dziedzinę współczesnej numerycznej algebry li-niowej [41–53]. Ich rozumienie i sprawne posługiwania się nimi powinno należeć dokanonu wiedzy i umiejętności absolwentów uniwersyteckich kierunków przyrodniczychoraz wyższych uczelni technicznych. W szczególności dotyczy to studentów kierunkówlub specjalności Fizyka komputerowa.Prawie wszystkie numeryczne metody rozwiązywania AZW (6.1) wykonywane są

w dwóch etapach. Są nimi:1. Redukcja za pomocą odpowiednich transformacji wejściowej macierzy A do po-staci macierzy specjalnej zawierającej dużą liczbę wyrazów zerowych (macierzyrozrzedzonej ). Przykładem macierzy specjalnej jest symetryczna macierz trój-diagonalna oraz macierz Hessenberga [21, 41].

2. Numeryczne rozwiązanie AZW z macierzą specjalną.Wynikiem redukcji symetrycznej rzeczywistej macierzy gęstej A jest symetryczna

macierz trójdiagonalna T:

QTAQ = T =

d1 e1

e1. . .

. . .. . .

. . . en−1

en−1 dn

, (6.2)

gdzie Q oznacza macierz ortogonalną. Wynikiem redukcji macierzy niesymetrycznejjest macierz Hessenberga [41–53].Widmo macierzy T (wartości własne λ1 . . . , λn) jest takie samo, jak macierzy A,

ponieważ są one podobne (patrz twierdzenie B-11). Wektory własne xi macierzy Amożemy łatwo otrzymać, znając wektory własne yi macierzy T: xi = Qyi.Konieczność wydzielenia dwóch etapów podyktowana jest specyfiką rozwiązywa-

nego zagadnienia własnego, sprowadzającego się do wyznaczenia zer wielomianu cha-rakterystycznego. W ogólnym przypadku (tj. dla n > 5) nie istnieją zamknięte ana-

59


lityczne formuły na pierwiastki wielomianu n-tego stopnia. Dlatego pierwiastki tewyznaczamy za pomocą odpowiednich procedur iteracyjnych wykonywanych na ma-cierzy A.Działania na macierzach gęstych wymagają dużej liczby operacji zmiennoprze-

cinkowych (LOZ). Wystarczy zauważyć, że przy operacjach takich jak mnożenie czyodwracanie macierzy, LOZ jest rzędu n3. Operacje na macierzach specjalnych są nato-miast o wiele mniej kosztowne w sensie LOZ, np. dla macierzy trójdiagonalnych LOZjest rzędu n. Odnotujmy jednak, że redukcja macierzy gęstej do postaci specjalnejwymaga O(n3) operacji.W rozdziale tym przedstawimy najpierw algorytmy numeryczne, za pomocą któ-

rych wyznaczamy wszystkie wartości własne rzeczywistej symetrycznej macierzy trój-diagonalnej. Jak się okaże, najefektywniej realizują to algorytmy QR/QL oraz „dzieli rządź”, które szczegółowo scharakteryzujemy. Następnie omówimy metodę Househol-dera stosowaną do redukcji macierzy gęstej do postaci trójdiagonalnej oraz metodęGivensa stosowaną do macierzy pasmowych. Opiszemy również kilka innych metoddiagonalizacji macierzy.Zanim zajmiemy się bliżej wspomnianymi algorytmami, opiszemy przekształcenia

ortogonalnego podobieństwa, którymi będziemy się posługiwać.

6.1. Elementarne ortogonalne przekształcenia podobieństwa

Redukcję macierzy A do postaci specjalnej, jaką jest macierz trójdiagonalna (6.2)oraz numeryczne wyznaczanie jej wartości własnych prowadzi się z wykorzystaniem or-togonalnych przekształceń podobieństwa zdefiniowanych w Dodatku B. Poniżej przed-stawiamy najprostsze takie przekształcenia, którymi są obroty Jacobiego i Givensaoraz odbicia Householdera. Transformacje te będziemy dalej nazywali elementarnymiortogonalnymi przekształceniami podobieństwa.

6.1.1. Obroty Jacobiego i Givensa

Transformacje Jacobiego i Givensa odpowiadają obrotowi wektora o kąt ϕ w płasz-czyźnie XkOXl n-wymiarowej przestrzeni (R

n), jak pokazuje rys. 6.1.

XXXXXXXXXX

XXXXXXXXXX

q

ϕ

31kXXXy1l

: xA

AAKx′

Rys. 6.1. Obrót w płaszczyźnie XkOXl

6. Symetryczne gęste zagadnienie własne 61

Obrót Jacobiego reprezentuje macierz J postaci

J =

1 · · · k · · · l · · · n

1 1...

. . .

k cosϕ − sinϕ...

. . .

l sinϕ cosϕ...

. . .

n 1

. (6.3)

Jak widać, jej niezerowymi wyrazami są (wybieramy k < l):

Jk,k = Jl,l = cosϕ, Jk,l = −Jl,k = − sinϕ, Ji,i = 1 (i 6= k, l).Łatwo jest sprawdzić, że macierz J jest ortogonalna, tj.

JTJ = JJT = 1, (6.4)

Ogólna postać macierzy obrotu Givensa G odpowiada macierzy Jacobiego (6.3).Rozróżnianie obrotów Jacobiego i Givensa ma charakter tradycyjny i wiąże się z ichodmiennym zastosowaniem w różnych algorytmach.Przytoczymy postać macierzy Givensa Gi, którą będziemy posługiwali się w celu

wyzerowania za pomocą transformacji podobieństwa wyrazu pozadiagonalnego Ti+1,imacierzy trójdiagonalnej (6.2). Odpowiednia macierz Givensa ma postać

Gi =

1 · · · i i+ 1 · · · n

1 1...

. . .

i ci −sii+ 1 si ci...

. . .

n 1

, (6.5)

gdzie ci = cosϕ oraz si = sinϕ.Do dalszych celów potrzebna nam będzie znajomość wyniku mnożenia GTi T:

. . .

1

ci si

−si ci

1. . .

. . .. . .

. . . di−1 ei−1

ei−1 di ei

ei di+1 ei+1

ei+1 di+2. . .

. . .. . .

.


W rezultacie otrzymujemy macierz

i− 1 i i+ 1 i+ 2. . .

. . .

i− 1 . . . di−1 ei−1

i e′i−1 d′i e′i g′i

i+ 1 f ′i−1 E′i d′i+1 e′i+1

i+ 2 ei+1 di+2. . .

. . .. . .

,

gdzie

e′i−1 = ciei−1, d′i = cidi + siei, e′i = ciei + sidi+1, g′i = siei+1,

f ′i−1 = −siei+1, E′i = −sidi + ciei, d′i+1 = −siei + cidi+1, e′i+1 = ciei+1.

Kąt obrotu Givensa ϕ wybieramy w taki sposób, aby otrzymać E′i = 0, co prowadzido następujących wartości funkcji trygonometrycznych kąta ϕ:

si =ei

√

d2i + e2i

, ci =di

√

d2i + e2i

. (6.6)

Zauważmy, że tak dokonana transformacja psuje trójdiagonalną strukturę macie-rzy T (6.2), ponieważ pojawiają się dodatkowe wyrazy poza głównymi nad- i poddia-gonalami, którymi są g′i = siei+1, f

′i−1 = −siei+1.

6.1.2. Odbicie Householdera

Niech w będzie wektorem wyznaczającym pewną hiperpłaszczyznę Π w prze-strzeni Rn (wektorem normalnym). Odbicie względem tej hiperpłaszczyzny (rys. 6.2)jest przekształceniem ortogonalnym opisanym macierzą

Z = 1− 2w ⊗w = 1− 2wwT =

1− 2w21 −2w1w2 · · · −2w1wn−2w2w1 1− 2w22 · · · −2w2wn...

.... . .

...−2wnw1 −2wnw2 · · · 1− 2w2n−1

, (6.7)

gdzie wektor w = (w1, . . . , wn)T jest unormowany, tj. wTw = 1, a symbol ⊗ oznacza

iloczyn zewnętrzny (patrz dodatek B).Tak zdefiniowana macierz Z jest symetryczna (Z = ZT), co wynika bezpośrednio

z jej definicji (6.7), oraz ortogonalna (Z−1 = ZT), co uzasadniamy bezpośrednimrachunkiem

ZTZ = Z2 = 1− 4w ⊗w + 4(w ⊗w)(w ⊗w) = 1− 4wwT + 4w(wTw)wT = 1,gdzie uwzględniono relację wTw = 1.


ΠXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXX

HHHHH

q

6w6y

: t ∈ Π

x

j x′

Rys. 6.2. Przekształcenie Householdera: y = (w⊗w)x = w(w ·x) — rzut x na kierunek w,t = (1 − w ⊗ w)x = x − y — rzut x na Π , x′ = (1 − 2w ⊗ w)x = x − 2y — odbicie xwzględem Π

6.2. Metoda QR

Przedstawimy teraz iteracyjną metodę wyznaczania wszystkich wartości własnychmacierzy T (6.2), noszącą nazwę metody QR [41–53]. Rozpoczniemy od kilku wpro-wadzających uwag o charakterze matematycznym.Jeśli A = QR i B = RQ, gdzie Q jest macierzą ortogonalną, a R — macierzą

trójkątną górną, to R = QTA iB = RQ = QTAQ.

Oznacza to, że macierz B jest podobna do macierzy A.Wyobraźmy sobie teraz, że dla danej wejściowej macierzy A = A1 tworzymy ciąg

macierzy do niej podobnych zgodnie z następującą regułą:Al = QlRl, Al+1 = RlQl = Q

Tl AlQl (l = 1, 2, . . .). (6.8)

U podstaw takiej procedury leży fakt, że każdą symetryczną macierz rzeczywistąmożna przedstawić w postaci iloczynu A = QR (patrz twierdzenia B-21 i B-22).W praktyce, podczas obliczeń numerycznych za pomocą algorytmu QR dokonuje

się dodatkowych zabiegów polegających na:Przesuwaniu widma macierzy wejściowej o wartość zl, co odpowiada zamianieAl 7→ Al− zl1. Bez przesunięcia wyrazy niediagonalne (Al)i,j dążą do zera jak∼(λi/λj)l, gdzie λi i λj są wartościami własnymi macierzy A. Dla λi ≃ λjzbieżność iteracji QR jest bardzo powolna. Wartość zl dobieramy tak, abyiloraz

(λi − zlλj − zl

)l

(6.9)

zapewniał szybszą zbieżność algorytmu. Problem wyboru zl omówimy dalej.Deflacji macierzy Al, czyli sukcesywnym zmniejszaniu jej rozmiaru, a więcpodziale na bloki, w miarę jak wyrazy niediagonalne stają się dostateczniemałe.

Interesuje nas granica ciągu Al przy l → ∞, tj. własności macierzy A∞. Wil-kinson [45] udowodnił twierdzenie dotyczące tej granicy, które jest nazywane twier-dzeniem QR Wilkinsona (jego dowód można znaleźć w podręcznikach [21, 24]). Nie


będziemy przytaczać odpowiedniego twierdzenia dotyczącego algorytmu QR dla do-wolnych (gęstych symetrycznych lub niesymetrycznych) macierzy. W przedstawianejtu strategii rozwiązywania symetrycznego gęstego AZW, algorytm QR z przesunię-ciem widma stosowany jest w drugim etapie, tj. do macierzy trójdiagonalnej, w postaci

Tl − zl1 = QlRl, Tl+1 = RlQl + zl1.

Dlatego przytoczymy tylko uproszczoną wersję twierdzenia Wilkinsona dla symetrycz-nej macierzy trójdiagonalnej.Twierdzenie 6-1. (QR Wilkinsona) Jeśli T1 ma wszystkie wyrazy pozadiago-nalne niezerowe1), to

liml→∞Tl = diag(λ1, . . . , λn),

gdzie λi są wartościami własnymi T1.Pokazuje się [21, 24], że jeżeli wykonujemy przesuwanie widma w sposób zapropo-

nowany przez Wilkinsona, wyrazy pozadiagonalne e(l)i macierzy Tl zawsze dążą dozera. Zbieżność ta jest co najmniej kwadratowa, tj.

|e(l+1)i | 6 c|e(l)i |2, c > 0.

W większości konkretnych zagadnień zbieżność jest co najmniej sześcienna.Jeśli macierz T1 ma co najmniej jeden zerowy wyraz pozadiagonalny, to zagadnie-

nie własne rozpada się na dwa lub więcej zagadnień własnych mniejszych rozmiarów,do których stosuje się już twierdzenie 6-1. Odpowiada to dokonaniu deflacji macie-rzy T1.W praktyce obliczeń numerycznych postępujemy w ten sposób, że w każdym kroku

procesu iteracji (6.8) z Al = Tl wyznaczamy macierz QTl spełniającą zależność

QTl Tl = Rl,

tj. wykonujemy takie przekształcenia ortogonalne, aby macierz Tl doprowadzić dopostaci macierzy trójkątnej górnej Rl. Ten etap obliczeń nazywany jest dekompozycją.Nie obliczamy przy tym macierzy QTl w jawnej postaci, ale przedstawiamy ją jakoiloczyn elementarnych transformacji, którymi zazwyczaj są obroty Givensa (6.5).Następnie, znając postać Rl, wyznaczamy macierz Tl+1 = RlQl = Q

Tl TlQl, mno-

żąc prawostronnie Rl przez Ql. Ten etap obliczeń nosi nazwę rekombinacji.Procedurę tę powtarzamy wielokrotnie aż do momentu, gdy wyrazy pozadiago-

nalne macierzy Tl+1 nie staną się dostatecznie małe (tj. są co do wartości bezwzględ-nej mniejsze od liczby zadanej przez użytkownika lub epsilon maszynowego). Wówczasprzerywamy obliczenia i za wartości własne przyjmujemy wyrazy stojące na diagonalimacierzy Tl+1.Wykonanie jednego kroku iteracji QR z przesuwaniem widma dla macierzy T

wymaga 6n operacji zmiennoprzecinkowych. Dla wyznaczenia metodą QR wszyst-kich wartości własnych T wymagane jest 6n2 operacji. Jeżeli wyznaczamy równieżwektory własne, to całkowita LOZ wynosi ∼6n3. Redukcja macierzy A do postaci1) A zatem niezdegenerowane (pojedyncze) wartości własne — por. twierdzenie B-18.


trójdiagonalnej wymaga wykonania ∼ 43n3 lub ∼ 83n

3 operacji zmiennoprzecinkowych,w zależności od tego, czy są wyznaczane tylko wartości własne, czy także wektory wła-sne. Całkowity koszt wyznaczenia wszystkich wartości i wektorów własnych rzeczy-wistej symetrycznej macierzy gęstej wynosi zatem ∼263 n

3 operacji, a samych wartościwłasnych — jedynie ∼ 43n

3 operacji. Występujące w powyższych oszacowaniach stałewspółczynniki mogą zależeć od szczegółów implementacji algorytmów; podajemy jeza podręcznikiem [50].Gdybyśmy rozwiązywali symetryczne gęste AZW bez wykonywania pierwszego

etapu strategii, to liczba operacji zmiennoprzecinkowych byłaby rzędu n4, ponieważpojedyncza iteracja QR dla macierzy gęstej wymaga wykonania O(n3) operacji [50].

6.3. Algorytm QR

Przedstawimy obecnie szczegółowo pojedynczy krok algorytmu QR w przypadkutrójdiagonalnej rzeczywistej macierzy symetrycznej postaci (6.2).Zgodnie z tym, co powiedzieliśmy poprzednio, jeden krok algorytmu QR polega

na wykonaniu:

1. Ortogonalno-trójkątnej dekompozycji wejściowej macierzy do postaci macierzygórnej trójkątnej R:

QTT = R. (6.10)

2. Rekombinacji macierzy R w odwrotnym porządku:

T = RQ. (6.11)

6.3.1. Dekompozycja

Dekompozycję macierzy T wykonujemy za pomocą n− 1 obrotów GivensaGTn−1 · · ·GT1 T,

gdzie macierze Gi mają postać (6.5).Rezultatem wykonania wszystkich n − 1 obrotów Givensa jest macierz trójkątna

górna R postaci

R =

r1 q1 v1

r2 q2. . .

. . .. . .

. . .. . . qn−2 vn−2

rn−1 qn−1

rn

. (6.12)


W pierwszym kroku procedury dekompozycji wybieramy kąt obrotu GT1 tak, abyznikał wyraz (GT1T)2,1. W wyniku obrotu dostajemy

GT1T =

c1 s1

−s1 c1

1. . .

d1 e1

e1 d2 e2

e2 d3. . .

. . .. . .

=

r1 q1 v1

p2 w2

e2 d3. . .

. . .. . .

,

gdzie, przyjmując

p1 = d1, c0 = 1,

po prostych przekształceniach algebraicznych otrzymujemy:

r1 = c1p1 + s1e1 =√

p21 + e21, c1 = p1/r1, s1 = e1/r1,

q1 = c1c0e1 + s1d2, v1 = s1e2, (6.13)

p2 = c1d2 − s1c0e1, w2 = c1e2.

Kąt obrotu GT2 wybieramy tak, aby znikał wyraz (GT2 GT1 T)3,2. Wynikiem działania

jest macierz GT2GT1T postaci

1

c2 s2

−s2 c2

1. . .

r1 q1 v1

p2 w2

e2 d3 e3

e3 d4. . .

. . .. . .

=

r1 q1 v1

r2 q2 v2

p3 w3

e3 d4. . .

. . .. . .

,

gdzie, jak łatwo pokazać,

r2 = c2p2 + s2e2 =√

p22 + e22, c2 = p2/r2, s2 = e2/r2,

q2 = c2c1e2 + s2d3, v2 = s2e3, (6.14)

p3 = c2d3 − s2c1e2, w3 = c2e3.

W wyniku obrotu GTi otrzymujemy GTi · · ·GT1 T, tj.

. . .

ci si

−si ci. . .

. . .. . .

. . .

pi wi 0

ei di+1 ei+1. . .

. . .. . .

=

. . .. . .

. . .

ri qi vi

0 pi+1 wi+1. . .

. . .. . .

,

gdzie

ri = cipi + siei =√

p2i + e2i , ci = pi/ri, si = ei/ri

qi = cici−1ei + sidi+1, vi = siei+1, (6.15)

pi+1 = cidi+1 − sici−1ei, wi+1 = ciei+1.


Postępując analogicznie w (n − 1)-ym kroku, wyzerujemy ostatni wyraz poddia-gonalny i otrzymamy macierz trójkątną górną (GTn−1 · · ·GT1T = R):

. . .

1

cn−1 sn−1

−sn−1 cn−1

. . .. . .

. . .

rn−2 qn−2 vn−2

pn−1 wn−1

en−1 dn

=

. . .. . .

. . .

rn−2 qn−2 vn−2

rn−1 qn−1

rn

.

Otrzymana macierz ma następujące elementy:

rn−1 = cn−1pn−1 + sn−1en−1 =√

p2n−1 + e2n−1,

cn−1 = pn−1/rn−1, sn−1 = en−1/rn−1,

qn−1 = cn−1cn−2en−1 + sn−1dn,

pn = cn−1dn − sn−1cn−2en−1 = rn.Ostatecznie algorytm dekompozycji (6.10), sprowadzający macierz T (6.2) do po-

staci macierzy trójkątnej górnej R (6.12), w pojedynczym kroku metody QR możnasformułować następująco:Algorytm 6-2. (dekompozycji)Procedura Dekompozycja QR(d, e,p, q, r, c, s, n):

p1 := d1; c0 := 1;Dla i = 1, . . . , n− 1:

ri :=√

p2i + e2i ; ci := pi/ri; si := ei/ri;

qi := cici−1ei + sidi+1; pi+1 := cidi+1 − sici−1ei; vi := siei+1;rn := pn;

Koniec.Odnotujmy, że w rzeczywistości w trakcie obliczeń według algorytmu QR nie mu-

simy zapamiętywać wszystkich liczb pi, qi, ci, si, ani w ogóle wyznaczać wyrazów vi.Ich wartości podano tu dla ułatwienia zrozumienia pojedynczego kroku algorytmu.

6.3.2. Rekombinacja

Przejdziemy obecnie do przedstawienia procesu rekombinacji (6.11), tj. do przy-wracania macierzy trójkątnej górnej R (6.12) pierwotnej postaci macierzy trójdiago-nalnej T = RQ. W tym celu będziemy sukcesywnie mnożyć macierz R (6.12) prawo-stronnie przez macierze Givensa Gi o postaci (6.5).Rozpatrzymy obecnie kilka początkowych obrotów. Napiszmy wynik pierwszego

mnożenia:

RG1 =

r1 q1 v1

r2 q2. . .

r3. . .. . .

c1 −s1s1 c1

1. . .

=

d1 q′1 v1

e1 d′2 q2. . .

r3. . .. . .

,


gdzie

d1 = r1c1c0 + q1s1, q′1 = q1c1 − s1r1, e1 = r2s1, d′2 = r2c1.

Wynikiem obrotu G2 jest macierz RG1G2 postaci

d1 q′1 v1

e1 d′2 q2 v2

r3 q3. . .

r4. . .. . .

1

c2 −s2s2 c2

1. . .

=

d1 q1 v1

e1 d2 q′2 v2

e2 d′3 q3. . .

r4. . .. . .

,

o wyrazach

q1 = (q1c1 − s1r1)c2 + s2v1 = e1, v1 = c2v1 − s2(q1c1 − s1r1) = 0,d2 = r2c1c2 + q2s2, q′2 = −r2c1s2 + q2c2e2 = r3s2, d′3 = r3c2.

Równości v1 = 0 i q1 = e1 wynikają z warunku zachowywania symetryczności macie-rzy przez transformację podobieństwa.W wyniku obrotu G3 otrzymujemy macierz RG1G2G3 postaci

d1 e1

e1 d2 q′2 v2

e2 d′3 q3. . .

r4. . .. . .

1

1

c3 −s3s3 c3

. . .

=

d1 e1

e1 d2 q2 v2

e2 d3 q′3. . .

e3 d′4. . .. . .

,

gdzie

q2 = q′2c3 + v2s3 = q2c2c3 − r2c1s2c3 + s3v2 = e2

v2 = v2c3 − q′2s3 = c3v2 − s3(q2c2 − r2c1s2) = 0,d3 = d

′3c3 + q3s3 = r3c2c3 + q3s3,

q′3 = c3q3 − d′3s3 = c3q3 − r3c2s3,e3 = r4s3, d′4 = r4c3.

W i-tym kroku procedury rekombinacji dostajemy macierz RG1 · · ·Gi, tj.

. . .

. . . q′i−1 vi−1

. . . d′i qi. . .

ri+1. . .. . .

. . .

ci −sisi ci

. . .

=

. . .

. . . qi−1 vi−1

. . . di q′i. . .

ei d′i+1. . .. . .

,


której wyrazy dane są wzorami

qi−1 = q′i−1ci + vi−1si = qi−1ci−1ci − ri−1ci−2si−1ci + sivi−1,

vi−1 = vi−1ci − q′i−1si = civi−1 − si(qi−1ci−1 − ri−1ci−2si−1),di = d′ici + qisi = rici−1ci + qisi,

q′i = ciqi − d′isi = ciqi − rici−1si,ei = ri+1si, d′i+1 = ri+1ci.

Można sprawdzić, że dla i = 2, . . . , n spełnione są relacje

qi−1 = ei−1, vi−1 = 0. (6.16)

Na podstawie przeprowadzonych rozważań proces rekombinacji (6.11) w pojedyn-czym kroku metody QR możemy sformułować w postaci algorytmu:Algorytm 6-3. (rekombinacji)Procedura Rekombinacja QR(d, e, r, q, c, s, n):Dla i = 1, . . . , n− 1:

di := rici−1ci + qisi; ei := ri+1si;dn := rncn−1;

Koniec.

6.3.3. Przesunięcie widma

W celu przyspieszenia procesu zbieżności algorytmów QR i QL zastosujemy po-dejście zaproponowane przez Wilkinsona [41, 45]. Przypuśćmy, że lewy górny narożnikdiagonalizowanej metodą QR macierzy ma postać

d1 e1

e1 d2. . .

. . .. . .

.

Widmo poddajemy przesunięciu o wartość zl (6.9), będącą pierwiastkiem równania∣∣∣∣∣

d1 − λ e1

e1 d2 − λ

∣∣∣∣∣= 0,

leżącym bliżej d1. Jego rozwiązaniami są:

λ1 =d1 + d2 −

√

(d2 − d1)2 + 4e212

=d1 + d2 − 2|e1|

√

g2 + 12

oraz

λ2 =d1 + d2 +

√

(d2 − d1)2 + 4e212

=d1 + d2 + 2|e1|

√

g2 + 12

,

gdzie g = (d2 − d1)/(2e1).Przekształcimy nieco otrzymane wyrażenia na pierwiastki:

λ1 = d1 +d2 − d1 − 2|e1|

√

g2 + 12

, λ2 = d1 +d2 − d1 + 2|e1|

√

g2 + 12

,


co prowadzi do wzorów

λ1 = d1 −e1

g sgn e1 +√

g2 + 1, λ2 = d1 −

e1

g sgn e1 −√

g2 + 1.

Uzasadnimy teraz, że jako wartość przesunięcia widma należy wybrać liczbę

zl = d1 −|e1|

g + sgn g√

g2 + 1. (6.17)

W tym celu przyjrzyjmy się następującej tabeli:sgn e1 sgn g zl

+ + d1 − e1/[

g +√

g2 + 1]

+ − d1 − e1/[

g −√

g2 + 1]

− + d1 − |e1|/[

g +√

g2 + 1]

− − d1 − |e1|/[

g −√

g2 + 1]

.

Wynika z niej, że wartości zl (6.17) określają jeden z pierwiastków λ1 i λ2 leżącybliżej d1. Opisany sposób przesuwania widma jest zaimplementowany w podprogra-mach TQL1 i TQL2 biblioteki EISPACK.

6.3.4. Niewymierny algorytm QR

Sformułujemy pełny krok algorytmu QR na podstawie algorytmów dekompozy-cji (6-2) i rekombinacji (6-3). Zauważmy, że można go wykonać w pojedynczej pętli.Zamiast przeprowadzać kolejno dekompozycję i rekombinację, możemy zastosowaćobroty Givensa w następującej kolejności:

A(n−1) = GTn−1TlGn−1, A(n−2) = GTn−2A

(n−1)Gn−2, . . . ;

Tl+1 = A(1) = GT1 A

(2)G1.

Zatem nie musimy przechowywać w pamięci wartości funkcji trygonometrycznychdla wszystkich obrotów Givensa oraz liczb pi, ri, qi. Teraz możemy sformułowaćalgorytm:Algorytm 6-4. (niewymierny QR)Procedura Transformacja QR(d, e, n):

p := d1; c := 1;Dla i = 1, . . . , n− 1:

g := cei; h := cp; r :=√

p2 + e2i ;Jeśli i > 1: ei−1 := sr;c := p/r; s := ei/r; p := cdi+1 − sg; di := h+ s(cg + sdi);

en−1 := sp; dn := cp;Koniec.


Przedstawiony algorytm jest nazywany niewymiernym algorytmem QR z uwagina konieczność obliczania w nim pierwiastków kwadratowych. Zwróćmy uwagę, że powykonaniu algorytmu 6-4 w miejsce wyrazów macierzy Tl wpisane zostają wyrazymacierzy Tl+1.Dodajmy, że w jednym kroku algorytmu QR musimy wykonać 4n dodawań, 10n

mnożeń, 2n dzieleń oraz n pierwiastkowań.

6.3.5. Niewymierny algorytm QL

Przeformułujemy nieco nasz algorytm, nadając mu postać algorytmu QL, któryjest częściej implementowany w bibliotekach procedur numerycznych z uwagi namniejsze błędy zaokrągleń w trakcie obliczeń (wniosek taki wyciągnięto na podstawiewieloletniej praktyki). W algorytmie QL dekompozycję i rekombinację wykonujemynastępująco:1. Wynikiem dekompozycjiG1G2 · · ·Gn−1Tmacierzy trójdiagonalnej jest macierztrójkątna dolna

L =

r1

w1 r2

z1 w2. . .

. . .. . .

. . .. . . wn−2 rn−1

zn−2 wn−1 rn

.

Tym razem dekompozycję rozpoczynamy od prawego dolnego narożnika ma-cierzy trójdiagonalnej, zerując kolejne wyrazy naddiagonalne.

2. Rekombinacji macierzy L do postaci trójdiagonalnej dokonujemy za pomocąprzekształceń Givensa

T = LGTn−1 · · ·GT1 .Postępując w sposób analogiczny do przedstawionego w przypadku niewymiernego

algorytmu QR, otrzymujemy ostateczną postać niewymiernego algorytmu QL:

Algorytm 6-5. (niewymierny QL)Procedura Transformacja QL(d, e, n):

p := dn; c := 1;Dla i = n, . . . , 2:

g := cei−1; h := cp; r :=√

p2 + e2i−1;

Jeśli i < n: ei := sr;c := p/r; s := ei−1/r; p := cdi−1 − sg; di := h+ s(cg + sdi−1);

e1 := sp; d1 := cp;Koniec.


Opisany wyżej niewymierny algorytm QL jest zaimplementowany (w postaci wy-konującej również przesunięcia widma) m.in. w podprogramach biblioteki EISPACKTQL1 i TQL2 (podprogram TQL2 wyznacza również wszystkie wektory własne macie-rzy).

6.3.6. Obliczanie wektorów własnych macierzy trójdiagonalnej

Wyznaczanie wektorów własnych można przeprowadzić na dwa sposoby.1. Znając widmo λ1, . . . , λn macierzy trójdiagonalnej wyznaczone metodą QLlub QR, możemy obliczać współrzędne kolejnych wektorów własnych, stosującmetodę DWSZ.

2. Kolumny macierzy QT przekształcenia podobieństwa

QTQT = Λ = diag(λ1, . . . , λn),

gdzie QT = GTn−1GTn−2 · · ·GT1 , są wektorami własnymi T (i-ta kolumna odpo-

wiada wartości własnej λi, co jest konsekwencją związku TQT = QTΛ).

Pierwszy sposób wymaga użycia tylko 3n dodatkowych komórek pamięci operacyj-nej (dwa n-wyrazowe ciągi (Θ±i ) oraz n współrzędnych wektora). Obliczony wektorwłasny można zapisać w pamięci zewnętrznej i zwolnić pamięć operacyjną. Drugisposób wymaga n2 komórek pamięci do przechowywania macierzy Q (względnie QT).

6.3.7. Wymierne algorytmy QR i QL

Konieczność obliczania w każdym kroku pierwiastków kwadratowych wydłużaznacznie czas numerycznego wyznaczania wartości własnych macierzy trójdiagonalnejza pomocą niewymiernych algorytmów QR lub QL. Okazuje się, że pierwiastkowa-nia można uniknąć. Opiszemy teraz zmodyfikowane w odpowiedni sposób algorytmy,zwane wymiernymi algorytmami QL i QR. Przedstawimy wersję opublikowaną w ar-tykule [89]; inne realizacje opisane są w rozdziale 8 podręcznika [48].Wprowadźmy nowe zmienne:

gi =pici−1

, hi = pici−1.

Zauważmy, że

gi+1 =pi+1ci= di+1 −

sici−1eici

= di+1 −sici−1e

2i

sipi= di+1 −

e2igi,

gdzie uwzględniono związek pisi = eici. Znając gi możemy wyznaczyć

hi+1 = pi+1ci = gi+1c2i = gi+1

p2ir2i,

a ponadto

di = pici−1 + qisi = hi + (cici−1ei + sidi+1)si = hi + s2i (hi + di+1),

ponieważ ci−1 = hi/pi, ciei/pi = si.


Wykorzystując wyżej wyprowadzone wzory możemy obecnie sformułować wy-mierny algorytm QR:Algorytm 6-6. (wymierny QR)Procedura Wymierna transformacja QR(d, e, n):

g := h := d1;Dla i = 1, . . . , n− 1:

p2 := gh; r2 := p+ e2i ;Jeśli i > 1: e2i−1 := r

2s2;s2 := e2i /r

2; di := h+ s2i (h+ di+1);

g := di+1 − e2i /g; h := gp2/r2;e2n−1 := ghs

2; dn := h;Koniec.Zaprezentowany algorytm wymaga 4n dodawań, 4n mnożeń oraz 3n dzieleń w każ-

dym kroku.W podobny sposób sformułujemy teraz wymierny algorytm QL. Wprowadzamy

zmienne

gi =pici, hi = pici

i obliczamy kolejno

gi−1 =pi−1ci−1= di−1 −

si−1ciei−1ci−1

= di−1 −e2i−1cipi= di−1 −

e2i−1gi

,

hi = pici = gic2i = gi

p2i+1r2i+1

.

Uwzględniając, że ci+1 = hi+1/pi+1 i pi+1si = eici, mamy

di+1 = ci+1pi+1 + siqi+1 = hi+1 + si(cici+1ei + sidi) = hi+1 + s2i (hi+1 + di).

Opierając się na powyższych wzorach oraz niewymiernym algorytmie QL (6-5),możemy sformułowaćAlgorytm 6-7. (wymierny QL)Procedura Wymierna transformacja QL(d, e, n):

g := h := dn;Dla i = n, . . . , 2:

p2 := gh; r2 := p2 + e2i−1;Jeśli i < n: e2i := r

2s2;s2 := e2i−1/r

2; di := h+ s2(h+ di−1);

g := di−1 − e2i−1/g; h := gp2/r2;e21 := ghs

2; d1 := h.Koniec.Przedstawiony algorytm jest zaimplementowany w podprogramach TQLRAT biblio-

teki EISPACK, a zmodyfikowane wersje powyższych algorytmów QL i QR — w pod-programie SSTERF biblioteki LAPACK [53].


6.3.8. Niejawny algorytm QL/QR

Praktyka obliczeń pokazuje, że przedstawione wyżej algorytmy nie dają popraw-nych wyników dla macierzy, wartości wyrazów których różnią się o wiele rzędów.W takich przypadkach stosujemy niejawny algorytm QL/QR [41, 45, 50]. Sens słowaniejawny polega na tym, że nie obliczamy jawnie rozkładu QL macierzy T. Prze-kształcenie ortogonalne Q wyznaczamy jako iloczyn obrotów Givensa i innych pro-stych macierzy ortogonalnych. Opisywany algorytm oparty jest na podanym niżejtwierdzeniu:Twierdzenie 6-8. JeśliA jest niezdegenerowaną macierzą symetryczną i T = QTAQ— macierzą trójdiagonalną o dodatnich wyrazach pozadiagonalnych, a Q — macie-rzą ortogonalną, to macierze T i Q są jednoznacznie określone przez ostatni wierszmacierzy QT.Dowód. Niech qi oznacza i-tą kolumnę macierzy Q. Zapiszmy macierz Q

T jakon-kolumnowy wektor, którego ostatni wiersz qTn jest znany.

QT =

qT1...qTn

, Q = (q1, . . . , qn), qi =

Q1,i...

Qn,i

.

Rozpiszmy obecnie równość TQT = QTA:

d1 e1

e1 d2. . .

. . .. . .

. . .. . . dn−1 en−1

en−1 dn

qT1

qT2...

qTn−1

qTn

=

qT1

qT2...

qTn−1

qTn

A.

Wtedy n-ty wiersz tej macierzowej równości ma w zapisie wektorowym postać

en−1qTn−1 + dnq

Tn = q

TnA. (6.18)

Z uwagi na ortogonalność Q, zachodzi qTi qj = δi,j , więc po wymnożeniu ostatniejrówności przez qn otrzymujemy

dn = qTnAqn.

Jeśli znamy wektor qn, możemy wyznaczyć dn. Ponadto z równości (6.18) wynika

en−1qTn−1 = v

Tn−1, (6.19)

gdzie vTn−1 = qTnA− dnqTn jest także znanym wektorem. Podnosząc do kwadratu obie

strony równości (6.19), otrzymujemy

e2n−1 = vTn−1vn−1, en−1 = ‖vn−1‖2,

co pozwala wyznaczyć (n− 1)-y wiersz macierzy QT:

qTn−1 =

vTn−1en−1

.


Jak widać, znając ostatni wiersz qTn macierzy QT, wyznaczamy wyrazy en−1 i dn

macierzy T oraz wiersz qTn−1 macierzy QT. Można sprawdzić, że jeśli znamy qn−j

i qn−j+1 oraz (n − j)-y wiersz macierzy Q, to jesteśmy w stanie wyznaczyć qn−j−1oraz (n− j)-y wiersz T. 2

Zastosujmy powyższe twierdzenie do macierzy A = Tl. Niech

Tl+1 = QTl TlQl,

gdzie QTl jest macierzą ortogonalną i ma taki sam ostatni wiersz jak QTl w algoryt-

mie QL. Wtedy

Ql = Ql, Tl+1 = Tl+1.

Przypomnijmy, że w l-tym kroku algorytmu QL (wskaźnik l będziemy dalej pomijaćz uwagi na prostotę zapisu)

QT = G1 · · ·Gn−1;ostatni wiersz QT jest taki sam, jak ostatni wiersz macierzy Givensa Gn−1, zerującejwyraz (n− 1, n) macierzy T− z1, której wyrazy są równe

cn−1 =dn − z

√

e2n−1 + (dn − z)2, sn−1 =

−en−1√

e2n−1 + (dn − z)2.

W ten sposób przesunięcie widma wprowadzamy niejawnie poprzez parametry c i s.Zauważmy, że macierz Gn−1TG

Tn−1 jest postaci

. . .. . .

. . . dn−3 en−3

en−3 dn−2 en−2 fn−2

en−2 dn−1 en−1

fn−2 en−1 dn

, (6.20)

w której dodatkowe niezerowe wyrazy fn−2 stoją na drugiej pod- i naddiagonali. Mu-simy ją zredukować do postaci trójdiagonalnej za pomocą macierzy S, której ostatnimwierszem jest (0, . . . , 0, 1). W ten sposób ostatni wiersz QT = SGn−1 będzie równyostatniemu wierszowi Gn−1.W celu przywrócenia macierzy (6.20) postaci trójdiagonalnej wykonujemy n − 2

obrotów Givensa Gj w płaszczyznach (j, j + 1) dla j = n− 2, . . . , 1. Obrót Gj zerujewyraz (j, j +2) i generuje niezerowy wyraz (j − 1, j +1); dla j = 1 dodatkowy wyraznie jest generowany. W ten sposób niezerowy wyraz przemieszcza się w górę po drugiejpod- i naddiagonali, aż „wypada poza macierz”, co kończy jedno przekształcenieomawianego tu niejawnego algorytmu QL:

QT = QT = SGn−1 = G1 · · · Gn−2Gn−1.Omówiony algorytm zaimplementowany jest m.in. w podprogramach IMTQL2 z bi-

blioteki EISPACK oraz TQLI z Numerical Recipes, jak również w podprogramieSSTEQR bibilioteki LAPACK, wywoływanym przez SSTEV. Dodajmy, że podprogram


SSTEV wybiera wymierny algorytm QR/QL, jeśli nie żądamy obliczania wektorówwłasnych.Praktyka pokazuje, że średnia liczba iteracji niejawnego algorytmu QL przypada-

jących na jedną wyznaczaną wartość własną wynosi 1,3–1,6. Liczba operacji zmien-noprzecinkowych w jednej iteracji wynosi ∼20n [44 (r. 11)], zatem do diagonalizacjimacierzy T potrzeba ∼30n2 operacji.

6.4. Metoda „dziel i rządź”

Najszybszym algorytmem numerycznym pozwalającym wyznaczać wszystkie wek-tory i wartości własne symetrycznej macierzy trójdiagonalnej o rozmiarze większymod 25 × 252) jest metoda „dziel i rządź”3) (MDiR) [50, 90, 91], którą przedstawimyponiżej.Zapiszemy macierz trójdiagonalną jako sumę trzech macierzy rozrzedzonych w na-

stępujący sposób:

T =

d1 e1

e1. . .

. . .. . .

. . . em−1

em−1 dm em

em dm+1 em+1

em+1. . .

. . .. . .

. . . en−1

en−1 dn

=

=

(

T1 0

0 T2

)

+

|em| em

em |em|

=

(

T1 0

0 T2

)

+ |em|v ⊗ v,

gdzie T1 i T2 są macierzami trójdiagonalnymi

T1 =

d1 e1

e1. . .

. . .. . . dm−1 em−1

em−1 dm − |em|

, T2 =

dm+1 − |em| em+1

em+1 dm+2. . .

. . .. . . en−1

en−1 dn

,

a wektor v = (0, . . . , 0, sgn em, 1, 0, . . . , 0)T ma niezerowe współrzędne o wskaźnikach

m i (m+ 1).

2) Rozmiar ten zależy od typu komputera.3) Ang. Divide-and-Conquer.


Załóżmy, że znane są rozkłady macierzy T1 i T2 względem wartości własnych

T1 = QT1 Λ1Q1, T2 = Q

T2 Λ2Q2,

gdzie Λ1 i Λ2 są macierzami diagonalnymi (innymi słowy, znamy przekształcenieortogonalne diagonalizujące macierze T1 i T2). Wtedy

T =

(

T1 0

0 T2

)

+ v ⊗ v =(

QT1 Λ1Q1 0

0 QT2 Λ2Q2

)

+ v ⊗ v =

=

(

QT1 0

0 QT2

)[(

Λ1 0

0 Λ2

)

+ u⊗ u](

Q1 0

0 Q2

)

,

gdzie = |em| oraz

u =

(

Q1 0

0 Q2

)

v =

(

±ostatnia kolumna Q1pierwsza kolumna Q2

)

. (6.21)

Zatem wartości własne T są takie same, jak podobnej do niej macierzy D+ u⊗ u,gdzie

D =

(

Λ1 0

0 Λ2

)

= diag(r1, . . . , rn).

Załóżmy, że wartości własne ri macierzy D są uporządkowane: rn < · · · < r1, oraz żemacierz D− λ1 jest nieosobliwa. Jeśli λ jest wartością własną macierzy D+ u⊗ u,to wtedy

det(D+ u⊗ u− λ1) = det(D− λ1) det[1+ (D− λ1)−1u⊗ u],a zatem

det[1+ (D− λ1)−1u⊗ u] = 0.Na mocy twierdzenia B-24, dla dowolnych dwóch wektorów x,y zachodzi równośćdet(1+ x⊗ y) = 1 + x · y, więc

f(λ) := 1 + [(D− λ1)−1u] · u = 1 + n∑

i=1

u2iri − λ

= 0, (6.22)

co oznacza, że wartości własne macierzy T są pierwiastkami równania f(λ) = 0. Po-

nieważ > 0, pochodna f ′(λ) = ∑n

i=1u2i

(ri−λ)2 > 0 i funkcja f(λ) jest ściśle rosnącapoza punktami λ = ri (patrz rys. 6.3). W tym miejscu rozważamy ogólny przypadek,gdy wszystkie ri są różne (wartości własne są niezdegenerowane) oraz ui 6= 0. Wykresf(λ) posiada asymptoty pionowe w punktach λ = ri, skąd wynika, że kolejne war-tości własne macierzy T leżą w przedziałach (ri, ri+1). Z uwagi na monotonicznośćf(λ) na tych przedziałach, jej pierwiastki można wyznaczać za pomocą szybko zbież-nej metody Newtona lub metody styczna–sieczna (patrz podrozdział 3.4). Ponieważkoszt wyznaczenia f(λ) i f ′(λ) jest rzędu n, to do wyznaczenia wszystkich n wartościwłasnych T potrzeba O(n2) operacji arytmetycznych.Przy wyznaczaniu wektorów własnych stosujemy następujące twierdzenie [50]:


f

λ

Rys. 6.3. Przebieg przykładowej funkcji f(λ) = 1 + 0,25−2−x

+ 0,75−1−x

+ 0,51−x+ 0,52−x

Twierdzenie 6-9. Jeśli λ jest wartością własną macierzy D + u ⊗ u, gdzie —stała, to (D− λ1)−1u jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ.Ponieważ macierz D− λ1 jest diagonalna, to koszt wyznaczenia jednego wektora

własnego jest rzędu n operacji arytmetycznych.Podsumujemy nasze dotychczasowe rozważania w postaci rekurencyjnego algo-

rytmu, którego struktura jest przedstawiona na rysunku 6.4.Algorytm 6-10. (dziel i rządź)Procedura Dziel i rządź (T,Q,Λ, n):Jeśli n = 1:Q := 1; Λ := T; Koniec;

m := ⌈n/2⌉;T1 := trid((e1, . . . , em−1), (d1, . . . , dm−1, dm − ), (e1, . . . , em−1));T2 := trid((em+1, . . . , en−1), (dm+1 − , dm+2, . . . , dn), (em+1, . . . , en−1));v = (0, . . . , 0, sgn em, 1, 0, . . . , 0)

T;Wywołaj Dziel i rządź (T1,Q1,Λ1,m);Wywołaj Dziel i rządź (T2,Q2,Λ2, n−m);

u :=

(

Q1 0

0 Q2

)

v; D :=

(

Λ1 0

0 Λ2

)

;

λ := miejsca zerowe(1 +

∑ni=1

(u2i /(ri − x)

), x);

Dla i = 1, . . . , n: q′i := (D− λi1)−1u;

QT := (q′1, . . . , q′1)T

(

Q1 0

0 Q2

)

;

Koniec.


JJ...........

@@@@@@@

JJ...........

@@@@@@@

JJ

@@

@@

@

@@

@@@

@@

@@@

JJ...........

@@@@@@@

JJ...........

@@@@@@@

JJ

@@

@@

@

@@

@@@

@@

@@@

JJ

@@

@@

@@

@@

@@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

Poziom 1

Poziom 2

Poziom 3

...

Rys. 6.4. Schemat działania algorytmu „dziel i rządź” na kolejnych poziomach rekurencji

Koszt wyznaczenia wartości własnych jest rzędu n2, wektorów własnych zaś jestznacznie większy: ∼43cn

3 (tak duża liczba operacji wynika z konieczności mnożeniamacierzy w ostatnim kroku algorytmu). Tym niemniej, z uwagi na stosowanie deflacji,c≪ 1, a ponadto jest to liczba istotnie mniejsza niż ∼6n3 dla metody QR [92 (r. 30)].Tak duży zysk wynika z tego, że iteracje w algorytmie „dziel i rządź” wykonywane sąna funkcji skalarnej.Należy zwrócić uwagę, że przechowywanie pośrednich macierzy na kolejnych po-

ziomach rekurencji wymaga użycia dużej liczby komórek pamięci operacyjnej. Przywyznaczaniu samych wartości własnych jest to 2n2, a przy wyznaczaniu wartościi wektorów własnych — aż 3n2 komórek [91], co ogranicza rozmiar wejściowego za-gadnienia własnego.Zajmiemy się obecnie metodami rozwiązywania równania wiekowego f(λ) = 0.

Jeśli wartość ui jest mała (ale jeszcze zbyt duża jeszcze do wykonania deflacji), toprosta metoda iteracji Newtona staje się nieprzydatna. Wtedy, zamiast przybliżaćf(λ) za pomocą funkcji liniowej, w charakterze aproksymanty stosujemy funkcję

g(λ) =c1

rj − λ+

c2rj+1 − λ

+ c3,

gdzie ck (k = 1, 2, 3) są nieznanymi stałymi współczynnikami. Ten sposób postępo-


wania, nieco zmodyfikowany, jest wykorzystywany w podprogramie SLAED4 bibliotekiLAPACK. Załóżmy, że znane są nam wartości ck. Wtedy możemy rozwiązać równaniekwadratowe g(λ) = 0:

c1(rj+1 − λ) + c2(rj − λ) + c3(rj − λ)(rj+1 − λ) = 0. (6.23)

Niech µ(l) będzie przybliżoną wartością pierwiastka λj w l-tym kroku iteracjiNewtona; naturalnym wyborem dla µ(1) jest środek przedziału 〈rj , rj+1〉. W pobliżutego pierwiastka mamy

g(λ) =c1

rj − λ+

c2rj+1 − λ

+ c3 ≃ f(λ) = 1 + n∑

i=1

u2iri − λ

=

= 1 + j∑

i=1

u2iri − λ

+ n∑

i=j+1

u2iri − λ

= 1 + f1(λ) + f2(λ).

Zauważmy teraz, że dla λ ∈ (rj , rj+1) funkcja f1(λ) jest sumą składników dodatnich,a funkcja f2(λ) — ujemnych. Obie mogą być zatem policzone dokładnie, w przeci-wieństwie do ich sumy.Wybieramy teraz liczby c1 oraz c1, tak aby funkcja

g1(λ) = c1 +c1

rj − λspełniała relacje

g1(µ(l)) = f1(µ

(l)), g′1(µ(l)) = f ′1(µ

(l)).

Wtedy to hiperbola g1(λ) jest styczna do wykresu funkcji f1(λ) dla λ = µ(l). Można

pokazać, że

c1 = f′1(µ(l))(rj − µ(l))2, c1 = f1(µ

(l))− f ′1(µ(l))(rj − µ(l)).Podobnie wyznaczamy liczby c2 i c2 dla funkcji

g2(λ) = c2 +c2

rj+1 − λ,

która powinna spełniać relacje

g2(µ(l)) = f2(µ

(l)), g′2(µ(l)) = f ′2(µ

(l)).

Ostatecznie szukana funkcja g(λ) ma postać

g(λ) = 1 + g1(λ) + g2(λ) =c1

rj − λ+

c2rj+1 − λ

+ (c1 + c2 + 1). (6.24)

Możemy teraz rozwiązać równanie kwadratowe (6.23) względem λ, przyjąć µ(l+1) = λza kolejne przybliżenie pierwiastka i powtórzyć całą procedurę.Przedstawiony wcześniej sposób obliczania wektorów własnych, oparty na twier-

dzeniu 6-9, nie jest numerycznie stabilny, jeśli poszczególne wartości własne niewielesię różnią. Wtedy obliczone wektory (D− λj1)−1u i (D− λj+11)−1u mogą być bar-dzo bliskie siebie, obarczone dużymi błędami i nieortogonalne. Można wybrnąć z tejtrudności przez zastosowanie formatu zmiennoprzecinkowego o większej liczbie cyfr


znaczących przy obliczaniu różnic dj − λj i dj − λj+1. Niestety, w wielu maszy-nach układy arytmetyki zmiennoprzecinkowej nie obsługują formatu dłuższego niż64-bitowy (DOUBLE PRECISION w Fortranie). Rozwiązania czysto programowe (tzw.arytmetyka wielokrotnej precyzji) są znacznie mniej efektywne.Numerycznie stabilny algorytm wyznaczania wektorów własnych dla macierzy

typu D+u⊗u można sformułować na podstawie twierdzenia Lownera (B-23), któreprzytaczamy za książką [50] w Dodatku B:

Algorytm 6-11. (stabilny dziel i rządź)Procedura Dziel i rządź stab(T,Q,Λ, n):Jeśli n = 1:Q := 1; Λ := T; Koniec;

m := ⌈n/2⌉;T1 := trid((e1, . . . , em−1), (d1, . . . , dm−1, dm − ), (e1, . . . , em−1));T2 := trid((em+1, . . . , en−1), (dm+1 − , dm+2, . . . , dn), (em+1, . . . , en−1));v = (0, . . . , 0, sgn em, 1, 0, . . . , 0)

T;Wywołaj Dziel i rządź (T1,Q1,Λ1,m);Wywołaj Dziel i rządź (T2,Q2,Λ2, n−m);

u :=

(

Q1 0

0 Q2

)

v; D :=

(

Λ1 0

0 Λ2

)

;

λ := miejsca zerowe(1 +

∑ni=1

(u2i /(ri − x)

), x);

Dla i = 1, . . . , n: wi :=

√n∏

j=1

(λj − ri)/ n∏

j=1,j 6=i(rj − ri);

Dla i = 1, . . . , n: q′i := (D− λi1)−1w;

QT := (q′1, . . . , q′1)T

(

Q1 0

0 Q2

)

;

Koniec.

Jak widzimy, w tej metodzie wyznaczamy najpierw wartości własne macierzyD+ v ⊗ v, a następnie znajdujemy macierz postaci D + w ⊗ w, która ma takiesame wartości własne, i dla niej obliczamy wektory własne (jako (D− λi1)−1w).Można pokazać [50], że różnica między macierzami D+ v ⊗ v i D+w ⊗w jest

dostatecznie mała, co oznacza, że wektory własne macierzy D+w⊗w są stabilnyminumerycznie przybliżeniami wektorów własnych D+ v ⊗ v.Wyznaczając wektor w z twierdzenia Lownera, obliczamy tylko różnice rj − ri,

λj − ri, iloczyny, ilorazy tych liczb, oraz pierwiastki. Wykonywanie tych operacjiz odpowiednią dokładnością zapewnia wysoką stabilność algorytmu.Istnieje jeszcze szybsza implementacja algorytmu „dziel i rządź”, oparta na szyb-

kiej metodzie multipolowej [50], używanej w zagadnieniach elektrostatyki. Wykorzy-stuje ona analogię pomiędzy sumą występującą we wzorze (6.22) a wyrażeniem na siłęelektrostatyczną pochodzącą od układu ładunków umieszczonych w przestrzeni dwu-wymiarowej. Zastosowanie metody multipolowej zmniejsza liczbę operacji do ∼n logn,


a nawet do ∼n. Nie będziemy jej tu omawiać; zaimplementowana jest ona w podpro-gramie SLAED3 biblioteki LAPACK.

6.5. Metoda Householdera

Omawiając strategię rozwiązywania symetrycznego gęstego zagadnienia własnegostwierdziliśmy, że macierz gęstą A można (i należy) sprowadzić do macierzy trójdia-gonalnej T za pomocą przekształceń podobieństwa.Redukcję macierzy gęstej do postaci trójdiagonalnej wykonuje się zwykle metodą

Householdera, zwaną także metodą odbić Householdera. Można użyć w tym celu rów-nież obrotów Givensa, co jednak w przypadku gęstej macierzy A jest bardziej czaso-chłonne.Zapiszmy gęstą macierz symetryczną A1 := A w postaci blokowej:

A1 =

∗ ∗ · · · ∗∗ ∗ · · · ∗....... . ....

∗ ∗ · · · ∗

=

(

c1 bT1

b1 D1

)

,

gdzie gwiazdki oznaczają wyrazy niezerowe; c1 jest skalarem, b1 — wektorem o (n−1)współrzędnych, a D1 — macierzą rozmiaru (n− 1)× (n− 1).Pierwszym etapem sprowadzania A1 do postaci trójdiagonalnej jest wyzerowanie

n−2 wyrazów pierwszego wiersza i pierwszej kolumny, tj. doprowadzenie jej za pomocąprzekształcenia podobieństwa do postaci

A2 =

∗ σ2

σ2 ∗ · · · ∗.... . ....

∗ · · · ∗

. (6.25)

Zażądamy, aby dokonywało się to w wyniku następujących przekształceń:

A2 = ZT1A1Z1 =

(

1 0T

0 ZT1

)(

c1 bT1

b1 D1

)(

1 0T

0 Z1

)

=

(

c1 bT1 Z1

ZT1 b1 ZT1D1Z1

)

, (6.26)

gdzie 0 oznacza (n − 1)-wymiarowy wektor zerowy, Z1 — macierz ortogonalną roz-miaru (n− 1)× (n− 1)4) postaci

Z1 = 1− 2w1 ⊗w1 = 1− 2w1wT1 ,a w1 ∈ R

n−1 — pewien unormowany wektor, którego składowe wyznaczymy dalej.Z porównania wzorów (6.25) i (6.26) wynika równość wektorowa

ZT1 b1 = b1 − 2w1wT1 b1 = b1 − 2w1(w1 · b1) = (σ2, 0, . . . , 0)T (6.27)

4)Macierze Zm (z kreską) mają rozmiar n× n, a macierze Zm — rozmiar (n−m)× (n−m).


(skorzystaliśmy z własności łączności mnożenia macierzy). Zwróćmy uwagę, że orto-gonalne przekształcenie zachowuje długość wektora (‖ZT1 b1‖2 = ‖b1‖2), co pozwalawyznaczyć

σ22 =n−1∑

i=1

b2i , σ = − sgn b1

√√√√

n−1∑

i=1

b2i , (6.28)

gdzie, dla uproszczenia zapisu, liczby bi oznaczają składowe wektora b1. Znak liczbyσ wybrano w powyższy sposób dla zmniejszenia błędów zaokrągleń w dalszych obli-czeniach.Oznaczmy w1 · b1 = K1 i porównajmy współrzędne wektorów w równości (6.27):

b1 − 2w1K1 = σ

b2 − 2w2K1 = 0...

bn−1 − 2wn−1K1 = 0

⇒

b1 − σ2 = 2w1K1b2 = 2w2K1

...bn−1 = 2wn−1K1,

(6.29)

gdzie wi oznacza i-tą współrzędną wektora w1. Po podniesieniu do kwadratu otrzy-mujemy

b21 − 2b1σ2 + σ22 = 4w21K21b22 = 4w22K

21

...

b2n−1 = 4w2n−1K21 ,

a po dodaniu wszystkich równań stronami,n−1∑

i=1

b2i + σ22 − 2b1σ2 = 4K21

n−1∑

i=1

w2i = 4K21‖w1‖2 = 4K21 .

Korzystając z równości (6.28), otrzymujemyσ2(σ2 − b1) = 2K21 .

W tym miejscu widać powód wyboru postaci (6.28 σ: odejmowanie liczb o jednako-wych znakach mogłoby prowadzić do utraty cyfr znaczących [71].Obliczoną wartość K1 =

√

σ2(σ2 − b1)/2 podstawiamy do (6.29) i otrzymujemywspółrzędne wektora w1:

w1 =1

√

2σ2(σ2 − b1)(b1 − σ2, b2, . . . , bn−1)T.

Pozostaje nam jeszcze do obliczenia prawy dolny blok macierzy A2:

ZT1D1Z1 = (1− 2w1 ⊗w1)D1(1− 2w1 ⊗w1) == D1 − 2w1 ⊗w1D1 − 2D1w1 ⊗w1 + 4w1 ⊗w1D1w1 ⊗w1 == D1 − 2w1wT1 D1 − 2D1w1wT1 + 4w1wT1 D1w1wT1 == D1 − 2w1uT1 − 2u1wT1 + 4w1uT1w1wT1 == D1 −w1vT1 − v1wT1 = D1 −w1 ⊗ v1 − v1 ⊗w1, (6.30)


gdzie wprowadziliśmy pomocnicze wektory

u1 = D1w1, v1 = 2[u1 − (w1 · u1)w1].Prowadząc obliczenia według tego schematu, nie wykonujemy mnożenia pełnych ma-cierzy (koszt O(n3) operacji arytmetycznych), lecz ograniczamy się do iloczynów ska-larnych i zewnętrznych wektorów (koszt O(n2) operacji). Oszczędzamy również nawielkości obszaru roboczego pamięci operacyjnej.W kolejnych krokach algorytmu zerujemy dalsze wiersze i kolumny macierzy A.

W m-tym kroku macierz ma postać

Am =

∗ ∗∗ . . . . . .. . .. . . ∗∗ ∗ ∗ · · · ∗∗ ∗ · · · ∗....... . ....

∗ ∗ · · · ∗

=

(

Cm BTmBm Dm

)

,

gdzie blok Cm ∈ Rm×m ma już formę trójdiagonalną, a blok Bm ∈ R

(n−m)×m zawieraniezerowe wyrazy tylko w ostatniej kolumnie:

Bm = (0, . . . ,0, bm).

W kroku m-tym przekształcenie podobieństwa ma postać

Am+1 = ZTmAmZm =

(

1m 0Tm0m ZTm

)(

Cm BTmBm Dm

)(

1m 0Tm0m Zm

)

=

=

(

Cm BTmZmZTmBm ZTmDmZm

)

, (6.31)

gdzie 1m ∈ Rm×m jest macierzą jednostkową, 0m ∈ R

(n−m)×m jest macierzą zerową,zaś Zm ∈ R

(n−m)×(n−m) — macierzą Householdera. W lewym dolnym (i analogiczniew prawym górnym) bloku otrzymujemy

ZTmBm = ZTm(0, . . . ,0, bm) = (0, . . . ,0,Z

Tmbm) =

σm+1

.

Wynik działania ZTmDmZm obliczamy analogicznie, jak w pierwszym kroku.Po wykonaniu n−2 kroków otrzymujemy macierz trójdiagonalnąT = An−1, której

wartości własne możemy wyznaczyć np. metodą QL.Do wyznaczenia wektorów własnych wejściowej macierzy A potrzebna jest znajo-

mość macierzy Q ortogonalnej transformacji podobieństwa

T = QTAQ = ZTn−2 · · · ZT1AZ1 · · · Zn−2.


Jej wyrazy znajdujemy, dokonując akumulacji elementarnych przekształceń Zm:

Q0 = 1, Qm = Qm−1Zm (m = 1, . . . , n− 2), Q = Qn−2.

Również w tym postępowaniu nie musimy wykonywać kosztownego mnożenia peł-nych macierzy. Zauważmy, że

Qm−1Zm = Qm−1(1− 2wwT) = Qm−1 − q ⊗ w,gdzie wT = (0, . . . , 0, w1, . . . , wn−m) to wektor w

T uzupełniony zerami do n współ-rzędnych, a pomocniczy wektor q = Qm−1w.Powyższe rozważania zapiszemy teraz w postaci algorytmu:

Algorytm 6-12. (Householdera)Procedura Redukcja Householdera(T,Q, n):Q := 1; inicjalizacja macierzy Q0 = 1Dla m = 1, . . . , n− 2: główna pętla: n− 2 odbić Householdera

σ := − sgnAm+1,m√∑n

i=m+1A2i,m;

K :=√

2σ(σ − b1); w1 := (Am+1,m − σ)/K;Dla i = 2, . . . , n−m: wi := Am+i,m/K; współrzędne wektora w

Am+1,m := Am,m+1 := σ;Dla i = 2, . . . , n−m: Am+i,m := 0; zerowanie wyrazów w m-tej kolumnie

Dla i = 1, . . . , n−m: ui :=∑n−m

j=1 Am+i,m+jwj ; współrzędne wektora u

t :=∑n−m

i=1 wiui;Dla i = 1, . . . , n−m: vi := ui − twi; współrzędne wektora v

Dla i = 1, . . . , n−m: transformacja ZTmDm−1ZmDla j = 1, . . . , i: Am+i,m+j := Am+i,m+j − vjui − ujvi;

Dla i = 1, . . . , n: qi :=∑n−m

j=1 Qi,m+jwj ; współrzędne wektora q

Dla i = 1, . . . , n: akumulacja przekształceń podobieństwa Qm := Qm−1ZmDla j = m+ 1, . . . , n: Qi,j := Qi,j − qiwj−m;

Koniec.Przedstawiony algorytm jest zaimplementowany m.in. w podprogramach TRED1

i TRED2 biblioteki EISPACK oraz TRED2 z Numerical Recipes. Jedyną różnicą jest to,że podprogramy te wykonują trójdiagonalizację zaczynając od ostatniego (a nie odpierwszego) wiersza. Odbicia Householdera wykorzystuje także podprogram SSYTRD,wywoływany przez wspomniany wcześniej podprogram SSYEV biblioteki LAPACK.

6.6. Zagadnienie własne dla macierzy pasmowej

Wiele zagadnień fizycznych opisywanych przez równania różniczkowe prowadzi doalgebraicznego zagadnienia własnego z macierzą pasmową (inaczej wstęgową albo war-koczową), tj. mającą niezerowe wyrazy tylko na przekątnej głównej oraz na m poddia-gonalach i m′ naddiagonalach; zazwyczaj są to macierze symetryczne, więc m = m′.Z macierzą taką mieliśmy do czynienia analizując pięciopunktowe przybliżenie drugiej


pochodnej w równaniu Schrodingera, a także w zadaniu 5/11 (przybliżenie siedmio-punktowe).Łatwo zauważyć, że do przechowywania takiej macierzy potrzebujemy zaledwie

∼(m + 1)n komórek pamięci. Można się także spodziewać, że koszt redukcji takiejmacierzy do postaci trójdiagonalnej będzie mniejszy niż dla macierzy pełnej. Jest takrzeczywiście, nie możemy jednak stosować w tym przypadku metody Householdera,gdyż „psuje” ona pasmową strukturę macierzy.Redukcję macierzy pasmowej do postaci trójdiagonalnej wykonujemy za pomocą

obrotów Givensa. Najpierw „trójdiagonalizujemy” pierwszy wiersz (a zarazem pierw-szą kolumnę, ze względu na zachowywanie symetrii macierzy przez ortogonalne prze-kształcenia podobieństwa), następnie drugi, trzeci itd. Redukcję każdego wiersza roz-poczynamy od zerowania najbardziej zewnętrznego wyrazu; dla ustalenia uwagi niechbędzie to A1,m+1. W macierzy poddanej transformacji podobieństwa

A′ = GTm,m+1AGm,m+1,

zerującej Am+1,1, pojawia się wyraz niezerowy A′m,2m+1 w (m + 1)-ej poddiago-

nali (poza pasmem wejściowej macierzy). Stosując teraz kolejno obroty G2m,2m+1,G3m,3m+1,G4m,4m+1, . . . , „przesuwamy” go w dół, aż „wypadnie poza macierz”, jakna rys. 6.5 (ostatni obrót nie generuje nowego niezerowego wyrazu). Obrotów tychjest ⌊n−1m ⌋.

∗ ∗ ∗ 0∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ↓∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ↓∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ →

→∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

→∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗↓ ∗ ∗ ∗ ∗

Rys. 6.5. Schemat algorytmu redukcji macierzy pasmowej do postaci trójdiagonalnej. Strzałkipokazują działanie kolejnych obrotów Givensa

Analogiczną procedurę wykonujemy dla innych wyrazów w poszczególnych wier-szach, skąd liczba elementarnych transformacji podobieństwa potrzebnych do redukcjimacierzy wynosi ntr 6 m−1

m n2, co przekłada się na liczbę operacji zmiennoprzecinko-wych nop 6

(4 + 13

2m

)n2 [48]. Widać stąd, że dla m < 1

6n metoda ta jest szybsza odmetody Householdera.Nie przedstawiamy tu jawnej postaci algorytmu redukcji macierzy pasmowej do

postaci trójdiagonalnej. Osoby zainteresowane odsyłamy do podręczników [46, 48] oraz


opisów bibliotek EISPACK [51] i LAPACK [53] (podprogramy odpowiednio BANDRi SSBTRD).

6.7. Metoda Jacobiego

Poddajmy macierz symetryczną A przekształceniu podobieństwa przy użyciu ob-rotów Jacobiego (6.3):

A′ = JTAJ. (6.32)

W tym przekształceniu zmieniają się jedynie wyrazy macierzyA znajdujące się w k-teji l-tej kolumnie oraz k-tym i l-tym wierszu, a ich wartości wynoszą

A′i,k = A′k,i = cAi,k + sAi,l (i 6= k, l),

A′i,l = A′l,i = cAi,l − sAi,k (i 6= k, l),

A′k,k = c2Ak,k + s2Al,l + 2csAk,l, (6.33)

A′l,l = s2Ak,k + c2Al,l − 2csAk,l,

A′k,l = A′l,k = (c

2 − s2)Ak,l + cs(Al,l −Ak,k),gdzie dla uproszczenia zapisu wprowadziliśmy oznaczenia c = cosϕ, s = sinϕ.Przekształceń Jacobiego używa się do diagonalizacji macierzy niewielkich rozmia-

rów. Spośród innych przekształceń ortogonalnych obroty Jacobiego wyróżniają sięnajszybszym zmniejszaniem sumy kwadratów wyrazów pozadiagonalnych macierzywejściowej [41].Transformację Jacobiego wykonuje się w taki sposób, aby wyraz A′k,l macierzy A

′

był równy zeru, tj.

(c2 − s2)Ak,l + cs(Al,l −Ak,k) = 0 ⇒ ctg 2ϕ =c2 − s22cs

=Ak,k −Al,l2Ak,l

.

Transformacja ta odpowiada diagonalizacji macierzy 2× 2:(

c s

−s c

)(

Ak,k Ak,l

Al,k Al,l

)(

c −ss c

)

=

(

A′k,k 0

0 A′l,l

)

.

Kąt ϕ oraz wartości jego odpowiednich funkcji trygonometrycznych wyznaczamy zapomocą algorytmu Rutishausera [45]. Niech

z = ctg 2ϕ, t = tgϕ = s/c,

a poszukiwany kąt ϕ ∈ 〈−π4 , π4 〉. Wartość parametru t wyznaczamy rozwiązując rów-nanie kwadratowe

t2 + 2tz − 1 = 0. (6.34)

Rozwiązaniami są

t1 = −(z +√

z2 + 1), t2 = −(z −√

z2 + 1). (6.35)


Wybieramy ten pierwiastek, którego wartość jest mniejsza:

t =sgn z

|z|+√z2 + 1

=

−z +√z2 + 1 =

1

z +√z2 + 1

(z > 0)

−z −√z2 + 1 =

1

z −√z2 + 1

(z < 0).(6.36)

W przypadku gdy |z| ≫ 1, przyjmujemy t = 1/(2z).Można pokazać, że

c =1√1 + t2

, s = tc, τ = tgϕ

2=

s

1 + c. (6.37)

W ten sposób wyeliminowaliśmy konieczność czasochłonnego obliczania funkcji try-gonometrycznych.Korzystając z wprowadzonych zmiennych, wzorom (6.33) nadajemy postać nume-

rycznego algorytmu Rutishausera:

A′i,k = Ai,k + s(Ai,l − τAi,k) (i 6= k, l),A′i,l = Ai,l − s(Ai,k + τAi,l) (i 6= k, l),A′k,k = Ak,k + tAk,l, (6.38)

A′l,l = Al,l − tAk,l,A′k,l = 0.

Przytoczymy teraz algorytm odpowiadający pojedynczej transformacji (6.32):Algorytm 6-13. (Rutishausera)Procedura Obrót Jacobiego(A,Q,A′,Q′, n, k, l,wektory własne)

z := (Ak,k −Al,l)/(2Ak,l); t := sgn z/(|z|+√z2 + 1);

c := 1/√t2 + 1; s := tc;

A′k,k := Ak,k + tAk,l; A′l,l := Al,l − tAk,l; A′l,k := 0;

Dla i = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , l− 1, l + 1, . . . , n:A′i,k := Ai,k + s(Ai,l − τAi,k); A′i,l := Ai,l − s(Ai,k + τAi,l);

Jeśli wektory własne = TAK:Dla i = 1, . . . , n: Q′i,k := Qi,k + s(Qi,l − τQi,k); Q′i,l := Qi,l − s(Qi,k + τQi,l).

Koniec.Koszt pojedynczego obrotu Jacobiego jest rzędu n operacji zmiennoprzecinkowych.

Jeżeli wyznaczamy również wektory własne, musimy akumulować kolejne transforma-cje:

Λ = JTm · · · JT1 AJ1 · · · Jm = QTAQ.Pełną diagonalizację metodą Jacobiego wykonujemy, wywołując powyższą proce-

durę dla wybranych wskaźników (k, l) odpowiednią liczbę razy, aż macierz A′ będzieróżnić się dostecznie mało od macierzy diagonalnej. Miarą tej różnicy może być sumakwadratów wyrazów pozadiagonalnych

S2(A′) =∑

i<j

(A′i,j)2.


Można pokazać, żeS2(A′) = S2(A)−A2k,l < S2(A). (6.39)

Implementacje algorytmu Rutishausera mają różną postać [41]:W postępowaniu opartym na klasycznym algorytmie Jacobiego kolejne obrotywykonujemy tak, aby wyzerować największy co do modułu wyraz Ak,l. Pokażdym obrocie spełniona jest nierówność S2(A′) 6 (1 − 2

n(n−1) )S2(A), a po

m obrotach — nierówność S2(A(m)) 6 (1 − 2n(n−1) )

mS2(A). Taka procedurajest najbardziej czasochłonna ze względu na konieczność wyszukiwania przykażdym obrocie największego spośród 12n(n− 1) wyrazów.W innej odmianie algorytmu przeglądamy kolejno (kolumnami) pozadiago-nalne wyrazy Ak,l. Obrót w celu wyzerowania wyrazu A

′k,l wykonujemy tylko

dla dostatecznie dużych wartości |Ak,l|. W podprogramie JACOBI z NumericalRecipes [41] realizowane jest to następująco:• Podzas pierwszych trzech procesów przeglądania macierzy A obroty wy-konywane są tylko dla tych wskaźników (k, l), dla których spełniona jestnierówność

|Ak,l| >15n2

∑

j<i

|Ai,j |.

• Podczas kolejnych procesów przeglądania obroty są pomijane, jeśli zacho-dzą nierówności |Ak,l| ≪ |Ak,k| i |Ak,l| ≪ |Al,l|. W takich przypadkach odrazu przyjmowane jest A′k,l = 0.

Praktyka obliczeń numerycznych pokazuje, że metoda Jacobiego jest zazwyczaj2,5–5 razy wolniejsza od metody QR (włączając czas potrzebny na redukcję macierzydo postaci trójdiagonalnej). Zaletą metody Jacobiego jest duża dokładność wyzna-czania małych wartości własnych i odpowiadających im wektorów własnych.

6.8. Metoda potęgowa

Metodą znacznie prostszą od opisanych powyżej, ale o stosunkowo małym zakresiestosowalności, jest metoda potęgowa, pozwalająca wyznaczać największą co do mo-dułu wartość własną λmax macierzy i odpowiadający jej wektor własny. Odpowiednialgorytm ma następującą postać [50]:Algorytm 6-14. (potęgowy)Procedura Iteracja potęgowa(A, n, σ,x, λmax)x := dowolny wektor (n);Powtarzaj

x′ := x; λ′max := λmax; poprzednie wartości

x := Ax; x := x/‖x‖2; λmax := xTAx;aż kryterium zbieżności(. . .) 6 σ;

Koniec.


Jako wartość funkcji kryterium zbieżności(. . .) przyjmujemy różnicę |λmax−λ′max|lub ‖x− x′‖2.Pokażemy najpierw zbieżność metody potęgowej na przykładzie macierzy diago-

nalnej A = Λ = diag(λ1, . . . , λn), gdzie |λ1| > |λ2| > · · · > |λn|. Zauważmy, żex(i) = Λix(0)/‖Λix(0)‖2, gdzie x(i) oznacza wartość x w i-tym obiegu pętli, oraz

Λix(0) = Λi(s1, . . . , sn)T = (λi1s1, . . . , λ

insn)

T = s1λi1

(

1, (λ2λ1 )i( s2s1 ), . . . , (

λnλ1)i( sns1 )

)T

,

gdzie założono, iż s1 6= 0. Ponieważ |λj/λ1| < 1 dla j 6= 1, to wektor x(i) dla rosną-cych i staje się coraz bliższy wektorowi jednostkowemu (±1, 0, . . . , 0)T, tj. wektorowiwłasnemu odpowiadającemu największej wartości własnej λ1. Zatem

limi→∞(x(i))TΛx(i) = (±1, 0, . . . , 0)λ1(±1, 0, . . . , 0)T = λ1.

W przypadku ogólnym zakładamy, że macierz jest diagonalizowalna: A = QTΛQ.Zapiszmy QT = (q1, . . . , qn), gdzie kolumny qj są unormowanymi wektorami własny-mi przynależnymi do wartości własnych λj , oraz x

(0) = QTQx(0) = QT(s1, . . . , sn)T.

Ponieważ QTQ = 1, i-ta potęga macierzy A wynosi

Ai = (QTΛQ) · · · (QTΛQ)︸︷︷︸

i razy

= QTΛiQ,

co pozwala napisać ciąg równości

Aix(0) = (QTΛiQ)QT(s1, . . . , sn)T = QT(λi1s1, . . . , λ

insn)

T =

= s1λi1QT(

1, (λ2λ1 )i( s2s1 ), . . . , (

λnλ1)i( sns1 )

)T

.

Jak widzimy, ostatni wektor ponownie dąży do (1, 0, . . . , 0)T. Mamy

limi→∞

x(i) = lim

i→∞Aix(0)

‖Aix(0)‖2= QT(1, 0, . . . , 0)T = q1.

Ostatecznie

limi→∞(x(i))TAx(i) = qT1 Q

TΛQq1 = (±1, 0, . . . , 0)TΛ(±1, 0, . . . , 0)T = λ1.

Wadą tej metody jest to, że nie działa ona przy takim wyborze x(0), przy któ-rym s1 = 0. Jej zbieżność zależy od wartości ilorazów λj/λ1. Uniemożliwia to m.in.stosowanie tego podejścia do macierzy ortogonalnych, dla których |λj | = 1.


6.9. Metoda iteracji odwrotnych

W celu wyznaczenia wartości własnych macierzy A innych niż wartość maksy-malna, wykonujemy przesunięcie widma o wartość z i stosujemy metodę potęgową domacierzy (A− z1)−1:Algorytm 6-15. (iteracji odwrotnych)Procedura Iteracja odwrotna(A, n, z, σ,x, λ)x := dowolny wektor (n);Powtarzaj

x′ := x; λ′ := λ; poprzednie wartości

x := (A− z1)−1x; x := x/‖x‖2; λ := xTAx;aż kryterium zbieżności(. . .) 6 σ;

Koniec.Zbieżność metody iteracji odwrotnych pokazuje się w sposób analogiczny, jak dla

metody potęgowej.Obliczanie macierzy odwrotnej na początku pętli jest procesem czasochłonnym

i wprowadzającym stosunkowo duże błędy zaokrągleń [24]. Zamiast obliczać macierzodwrotną, można wyznaczyć x rozwiązując układ równań

(A− z1)x = x′,co jest szybsze i dokładniejsze. Nie będziemy tu przedstawiać algorytmów rozwią-zywania ogólnego układu równań liniowych, opisanych szczegółowo w podręczni-kach [21, 24, 25, 53]. Opiszemy tylko metodę rozwiązywania trójdiagonalnego układurównań

(T− z1)x = b, (6.40)

z jakim mamy do czynienia, jeśli uprzednio sprowadziliśmy gęstą macierz A do po-staci trójdiagonalnej za pomocą ortogonalnych przekształceń podobieństwa (6.2). Poobliczeniu metodą iteracji odwrotnych wektora własnego x macierzy T, znajdujemyodpowiadający mu wektor własny w macierzy A z relacji w = Qx.Metoda rozwiązywania trójdiagonalnego układu równań (6.40) opiera się na roz-

kładzie macierzy T− z1 na iloczyn LD′LT, gdzie

L =

1

l1. . .. . .

. . .

ln−1 1

, D′ =

d′1. . .. . .

d′n

.

Łatwo pokazać, że

d′1 = d1 − z, d′i = di − z −e2i−1d′i−1

(i = 2, . . . , n),

a wyrazy pozadiagonalne li macierzy L są równe

li =eid′i

(i = 1, . . . , n− 1).


Układ równań (6.40) jest równoważny układowi

LD′LTx = b, (6.41)

który rozwiązujemy w trzech etapach:Rozwiązujemy Lw = b względem w.Rozwiązujemy D′y = w względem y. Ponieważ D′ jest macierzą diagonalną,mamy yi = wi/ui i krok ten wygodnie jest wykonać razem z następnym.

Rozwiązujemy LTx = y względem x.Schemat ten można zapisać w postaci natępującego algorytmu:Algorytm 6-16. (rozwiązywania trójdiagonalnego układu równań)Procedura Rozwiąż trójdiag(d, e, r, b,x)

d′1 := d1 − z;Dla i = 2, . . . , n: rozkład T− z1 = LD′LT

d′i := di − z − e2i /d′i−1; li−1 := ei−1/d′i−1;w1 := b1;Dla i = 2, . . . , n: wi := bi − li−1wi−1; Lw = b — podstawianie w przódxn := wn/d

′n;

Dla i = n− 1, . . . , 1: xi := wi/d′i − lixi+1; D′LTx = w — podstawianie wsteczKoniec.Algorytm ten pozwala na oszczędne wykorzystywanie pamięci operacyjnej, ponie-

waż obliczane wartości mogą być zapisywane na miejscu starych, jeśli te nie są jużpotrzebne: d′i na miejscu di, li na miejscu ei, a wi oraz xi na miejscu bi.W serii prac [93] wyprowadzono stosunkowo proste analityczne wyrażenia dla

wyrazów macierzy odwrotnej do macierzy trójdiagonalnej. Niech T′ = trid(e,d,f)będzie dowolną (niesymetryczną) macierzą trójdiagonalną n×n. Wówczas B = (T′)−1jest macierzą gęstą o wyrazach

Bj,j =(

dj − ej−1fj−1zj−2zj−1− ejfj

yj+2yj+1

)−1

Bi,j =

− fizi−1zi

Bi+1,j = (−1)j−ij−i∏

k=1

fj−kzi−1zj−1

Bj,j (i < j)

− ei−1yi+1yi

Bi−1,j = (−1)i−ji−j∏

k=1

ej+k−1yi+1yj+1

Bj,j (i > j),

(6.42)

gdzie (zi) i (yi) są ciągami zdefiniowanymi następująco:

z0 = 1, z1 = d1, zi = dizi−1 − ei−1fi−1zi−2 (i = 2, . . . , n),yn+1 = 1, yn = dn, yi = diyi+1 − eifiyi+2 (i = n− 1, . . . , 1),

a e0 = fn = 0.Obliczenie macierzy odwrotnej według powyższych formuł wymaga n2 + 7n − 7

operacji arytmetycznych. Algorytm nie załamuje się (nie występuje dzielenie przezzero) dla macierzy diagonalnie dominujących, tj. gdy |di| > |ei−1|+ |fi|. Wzory (6.42)


mogą być wykorzystane do stworzenia algorytmu numerycznego rozwiązującego trój-diagonalny układ równań (patrz projekt A.9).Odmianą metody iteracji odwrotnych stanowi metoda ilorazów Reyleigha [50],

która jest zbieżna kubicznie, co oznacza, że liczba miejsc znaczących zwiększa siętrzykrotnie w każdym kroku; dowód jej zbieżności podany jest w podręczniku [50].

Algorytm 6-17. (ilorazów Reyleigha)Procedura Iteracja Reyleigha(A, n, , σ,x, λ)x := dowolny wektor (n); x := x/‖x‖2;Powtarzaj

y := (A− 1)−1x; w rzeczywistości rozwiązujemy układ równań

x := y/‖y‖2; := xTAx;aż ‖Ax− x‖2 6 σ;λ := ;

Koniec.

6.10. Metoda bisekcji i iteracji odwrotnych

W tej metodzie do obliczania zadanej liczby wartości własnych macierzy A z okre-ślonego przedziału wykorzystujemy algorytm bisekcji oparty na twierdzeniu Sylve-stera (B-14). Opisaliśmy go dokładnie w rozdziale 3; jeżeli A jest macierzą gęstą,musimy ją najpierw sprowadzić do postaci trójdiagonalnej. Wektory własne są wy-znaczane za pomocą algorytmu iteracji odwrotnych opisanym w poprzednim podroz-dziale. Tym razem za przesunięcia zj przyjmujemy kolejne wartości własne λj .Wyznaczenie k wartości własnych metodą bisekcji wymaga tylko ∼nk operacji

zmiennoprzecinkowych, a zatem dla k≪ n metoda ta jest znacznie szybsza od innych.Obliczenie k wektorów własnych metodą iteracji odwrotnych wymaga również ∼nkoperacji. Jednakże gdy poszczególne wartości własne leżą zbyt blisko siebie, wyzna-czone wektory własne nie są ortogonalne i wymagają reortogonalizacji zmodyfikowanąmetodą Grama–Schmidta [50] kosztem ∼nk2 operacji.Jeśli kolumny macierzy Q = (q1, . . . , qm) są obliczonymi wektorami własnymi

wymagającymi reortogonalizacji, wówczas odpowiedni algorytm przedstawia się na-stępująco:

Algorytm 6-18. (Grama–Schmidta)Procedura Ortogonalizacja GS (Q, n,m)Dla i = 1, . . . ,m:Dla j = 1, . . . , i− 1: qi := qi − (qj · qi)qj ;r := ‖qi‖2;Jeśli r = 0: Przerwij; wektory liniowo zależne

qi := qi/r;Koniec;


Innym sposobem reortogonalizacji jest wykonanie rozkładu macierzy Q względemwartości szczególnych (Singular Value Decomposition, SVD). Rozkład ten można wy-konać np. za pomocą podprogramów SGESVD z LAPACK-a lub SVDCMP z NumericalRecipes.Metoda bisekcji i iteracji odwrotnych jest zaimplementowana jako jeden z warian-

tów w podprogramie SSYEVX biblioteki LAPACK. Jej kolejne etapy są wykonywaneprzez podprogramy SSYTRD (redukcja trójdiagonalna), SSTEBZ (bisekcja) i SSTEIN(iteracje odwrotne i, w razie potrzeby, reortogonalizacja Grama–Schmidta).Czasochłonnej reortogonalizacji można uniknąć, stosując podejście zaproponowane

przez Dhillona i Parletta [75], opierające się na reprezentacji macierzy T − µ1 zapomocą iloczynu LDLT, gdzie L jest macierzą bidiagonalną, a µ — odpowiedniodobranym przesunięciem widma. Otrzymane w tej metodzie wektory własne majązagwarantowaną ortogonalność.Podejście to prowadzi do pierwszego stabilnego algorytmu pozwalającego wyzna-

czać wszystkie wartości i wektory własne trójdiagonalnej macierzy symetrycznej kosz-tem O(n2) operacji zmiennoprzecinkowych. Dla wartości własnych o dużych względ-nych odległościach, tzn.

∣∣∣∣

εj − εj±1maxi(εi, εi±1)

∣∣∣∣= O(1) (i = 1, . . . , n),

istnieje matematyczny dowód poprawności algorytmu. Jeśli powyższy warunek niejest spełniony (wartości własne grupują się), to — jak się wydaje — podejście to dajerównież poprawne wyniki, lecz brak jest na to matematycznego uzasadnienia.

6.11. Porównanie wydajności przedstawionych metod

Przedstawimy porównanie czasów [50, 53, 91] potrzebnych na rozwiązanie pełnegosymetrycznego zagadnienia własnego (wyznaczenie wszystkich wektorów i wartościwłasnych) za pomocą następujących podprogramów biblioteki LAPACK:

1. Transformacji Householdera i iteracji QR (SSYTRD + SSTEQR),

2. Transformacji Householdera i bisekcji z odwrotnymi iteracjami (SSYTRD +SSTEBZ + SSTEIN),

3. Transformacji Householdera i metody „dziel i rządź” (SSYEVD).W tabeli podane są stosunki czasów tAZW rozwiązywania przy użyciu podpro-

gramu SSYEVD zagadnienia własnego rozmiaru n × n do czasów tmnoż mnożenia ma-cierzy n× n dla stacji roboczej IBM RS600/590 o szczytowej wydajności ∼250 · 106operacji zmiennoprzecinkowych na sekundę:

Rozmiar Tylko wartości własne Wartości i wektory własnemacierzy tAZW/tmnoż tAZW/tmnoż100 3,1 9,31000 1,1 2,8


Widać, że czas wyznaczania wartości własnych dla dostatecznie dużych macierzyjest porównywalny z czasem mnożenia macierzy, natomiast czas wyznaczania wartościi wektorów własnych jest około trzykrotnie dłuższy.Porównanie metod 1–3 przeprowadzono dla dwóch szczególnych typów macierzy:

macierzy losowych, których wartości własne leżą (przeciętnie) daleko od siebie,

macierzy, których wartości własne tworzą ciąg geometryczny λi = (12 )i−1.

Testy przeprowadzono dla macierzy trójdiagonalnych (bez pierwszego etapu, tj. trans-formacji Householdera) oraz dla macierzy pełnych.Metoda „dziel i rządź” (MDiR) okazała się zdecydowanie najszybsza. W przy-

padku losowych macierzy trójdiagonalnych metoda bisekcji i iteracji odwrotnych byłaporównywalna z MDiR (∼3 razy wolniejsza dla n = 100, ∼1,5 razy wolniejsza dlan = 1000), natomiast metoda QR okazała się być najwolniejsza (∼3 razy wolniejszaod MDiR dla n = 100 i ∼15 razy wolniejsza dla n = 1000). W przypadku macierzytrójdiagonalnych o widmie tworzącym ciąg geometryczny, metoda QR była wolniejszaod MDiR ∼5 razy (dla n = 100) i ∼55 razy (dla n = 1000), a metoda bisekcji i iteracjiodwrotnych ∼8 razy (dla n = 100) i ∼73 razy (dla n = 1000). Jak widać, przewagametody „dziel i rządź” nad pozostałymi rośnie dla rosnącego rozmiaru macierzy.Powyższe proporcje ulegają znacznemu spłaszczeniu przy rozwiązywaniu gęstego

zagadnienia własnego, ponieważ każda z użytych metod zawiera czasochłonny etapredukcji macierzy symetrycznej do postaci trójdiagonalnej. Dla macierzy losowych100 × 100 czas rozwiązywania gęstego AZW metodami 1 i 2 jest ∼1,8 razy dłuż-szy niż metodą 3, natomiast dla macierzy 1000 × 1000 czasy dla metod 2 i 3 sąporównywalne5), a metoda 1 jest ∼2,6 razy wolniejsza. Dla macierzy o widmie two-rzącym ciąg geometryczny metoda 1 jest ∼1,7 razy wolniejsza, a metoda 2 ∼2,3 razywolniejsza od metody 3. Proporcje te nie zmieniają się istotnie dla n = 100–1000.Przypomnijmy tu jednak, że algorytm „dziel i rządź” wymaga dużego obszaru

roboczego pamięci operacyjnej w związku z jego rekurencyjną strukturą, co stanowijego wadę.Z uwagi na to, że dla n . 25 metoda QR jest najszybsza, w praktycznych imple-

mentacjach algorytmu „dziel i rządź” dokonuje się rekurencyjnego podziału macierzytrójdiagonalnej na bloki o rozmiarach nie przekraczających 25 × 25, do których na-stępnie stosuje się algorytm QR/QL.Więcej szczegółowych informacji dotyczących wydajności poszczególnych metod

można znaleźć w podręczniku [53] i pracach [75, 91].

5)Metoda bisekcji i iteracji odwrotnych jest w tym przypadku bardzo szybka, ponieważ wartościwłasne leżą daleko od siebie i nie jest potrzebna czasochłonna reortogonalizacja wektorów własnych.


6.12. Zagadnienie własne dla macierzy hermitowskiej

Algebraiczne zagadnienie własne

Ax = λx (6.43)

dla zespolonej macierzy hermitowskiej AH = (A∗)T = A ∈ Cn×n, gdzie λ ∈ R (war-

tości własne macierzy hermitowskiej są rzeczywiste), można rozwiązywać za pomocąodpowiednich wersji algorytmów QL i QR, działających na liczbach zespolonych.Innym rozwiązaniem jest sprowadzenie problemu (6.43) do zagadnienia własnego

z symetryczną macierzą rzeczywistą. Niech

A = B+ iC, B,C ∈ Rn×n, (6.44)

oraz

x = u+ iv, u,v ∈ Rn;

zauważmy, że

BT = B, CT = −C. (6.45)

Rozdzielając hermitowskie zagadnienie własne na część rzeczywistą i urojoną

(B+ iC)(u + iv) = (Bu− Cv) + i(Cu + Bv) = λu+ iλv,możemy je zapisać w postaci rzeczywistego zagadnienia własnego dla macierzy roz-miaru 2n× 2n:

(

B −CC B

)(

u

v

)

= λ

(

u

v

)

. (6.46)

Macierz występująca w równaniu (6.46) jest symetryczna ze względu na związki (6.45).Unormowany wektor własny macierzy jest określony z dokładnością do czynnika

fazowego (tj. liczby zespolonej o module 1). Zatem wektor e−iπ/2x = −ix = v−iu jesttakże rozwiązaniem zagadnienia własnego (6.43) przynależnym do wartości własnej λ:

(

B −CC B

)(

v

−u

)

= λ

(

v

−u

)

.

Oznacza to, że każdej wartości własnej λ macierzy rzeczywistej 2n × 2n z równa-nia (6.46) odpowiadają dwa ortogonalne wektory własne

(

u

v

)

,

(

v

−u

)

.

Innymi słowy, wartości własne macierzy z równania (6.46) są dwukrotnie zdegenero-wane.Podkreślmy, że rozwiązując numerycznie zagadnienie (6.46) otrzymujemy 2n war-

tości własnych, spośród których tylko n jest różnych, oraz 2n wektorów własnych(n par). Wektory z każdej pary opisują ten sam stan fizyczny i rozwiązanie wejścio-wego zespolonego zagadnienia własnego możemy zbudować z dowolnego z nich.


Zadania

6/1. Sprawdzić własność ortogonalności macierzy obrotu Jacobiego, tj. relację (6.4).6/2. Pokazać, że wzory (6.6) określają funkcje trygonometryczne kąta obrotu Gi-vensa.6/3.Wyprowadzić formuły (6.13)–(6.15) określające wyrazy macierzy R w procesiedekompozycji.6/4. Udowodnić, że w procesie rekombinacji spełniona jest relacja (6.16).6/5. Pokazać, że przekształcenia podobieństwa wykonane za pomocą obrotów Gi-vensa zachowują własność trójdiagonalności macierzy symetrycznej.6/6. Zbadać średnią liczbę iteracji jawnego, niejawnego i wymiernego algorytmu QL,potrzebnych do wyznaczenia jednej wartości własnej symetrycznej macierzy trójdia-gonalnej. Przeprowadzić odpowiednie symulacje na PC.6/7. Uzasadnić postać (6.21) wektora u w metodzie „dziel i rządź”.6/8.Wyprowadzić jawne postaci współczynników c1, c2, c1 i c2 występujących wewzorze (6.24).6/9. Sprawdzić słuszność wzoru (6.30). Przeprowadzić analogiczne rozważania dlaprawego dolnego bloku macierzy A3.6/10.Wyprowadzić wzory (6.33) dla wyrazów macierzy poddanej przekształceniuJacobiego.6/11. Uzasadnić sformułowanie algorytmu Rutishausera (6.34)–(6.38).6/12.Wykazać prawdziwość nierówności (6.39) opisującej zmniejszanie się wyrazówpozadiagonalnych macierzy w metodzie Jacobiego.6/13. Zbadać czas wyznaczania m wartości własnych symetrycznej macierzy trójdia-gonalnej rozmiaru n× n metodą bisekcji. Dla jakich m i n metoda ta jest szybsza odpozostałych?6/14. Zbadać, dla jakich rozmiarów symetrycznych macierzy trójdiagonalnych me-toda „dziel i rządź” (podprogram SSTEDC z LAPACK-a) jest szybsza od metodyQL/QR niewymiernej (SSTEQR) oraz wymiernej (SSTERF).6/15. Pokazać, że macierz w równaniu (6.46) jest symetryczna.6/16.Wyznaczyć macierze B i C (6.44) dla macierzy hermitowskiej

A =

(

2 3− 2i3 + 2i 4

)

.

Zapisać jawną postać odpowiedniego rzeczywistego zagadnienia własnego.

Rozdział 7Zastosowania

Przedstawimy wybrane zagadnienia fizyki ciała stałego i fizyki atomowej, do któ-rych mogą być zastosowane omówione dotychczas metody numeryczne. Uwagę sku-pimy na dynamice drgań atomów, falach spinowych i widmach elektronowych ukła-dów jednowymiarowych. Zajmiemy się także rozwiązywaniem dwu- i trójwymiarowegorównania Schrodingera z potencjałem o symetrii odpowiednio osiowej i sferycznej orazwybranymi problemami o niższej symetrii: dwu- i trójwymiarowym atomem wodoruw zewnętrznym polu elektrycznym. W tych szczególnych przypadkach symetria po-tencjału pozwala na rozdzielenie zmiennych i sprowadzanie problemu do jednowymia-rowego zagadnienia własnego lub układu takich zagadnień. Podamy także przykładzastosowania omawianych metod w fizyce kropek kwantowych oraz innych niskowy-miarowych układów półprzewodnikowych.

7.1. Dynamika sieci łańcuchów atomów

Hamiltonian opisujący w przybliżeniu harmonicznym dynamikę drgań jednowy-miarowego łańcucha atomów ma postać [94–96]

Hf =12

n∑

i=1

P 2iMi

+12

n∑

i=1

Ki+1,i(Ui+1 − Ui)2, (7.1)

gdzie Pi i Ui są odpowiednio pędami (w podejściu kwantowym — operatorami pędu)i wychyleniami z położenia równowagi (w podejściu kwantowym — operatorami wy-chylenia) i-tego atomu o masie Mi, a Ki±1,i są stałymi siłowymi zadającymi oddzia-ływania pomiędzy najbliższymi sąsiadami.

7.1.1. Macierz dynamiczna

Niezależnie od podejścia (klasycznego lub kwantowego) widmo energetyczne ha-miltonianu (7.1) określa układ równań ruchu

Mi

d2UidT 2

= Ki,i−1Ui−1 − (Ki,i−1 +Ki+1,i)Ui +Ki+1,iUi+1 (i = 1, . . . , n). (7.2)

Sprowadzimy obecnie układ równań (7.2) do postaci zagadnienia własnego dlamacierzy symetrycznej, którą nazywamy macierzą dynamiczną.Z uwagi na postać prawych stron układu równań (7.2) przyjmujemy, że w stanie

stacjonarnym

U(T ) = (U1(T ), . . . , Un(T )) = Ze−iΩT = (Z1, . . . , Zn)e

−iΩT ,

99


gdzie Zi — amplituda drgań i-tego atomu. Po podstawieniu do równań (7.2) otrzy-mujemy

−MiΩ2Zi = Ki,i−1Zi−1 − (Ki,i−1 +Ki+1,i)Zi +Ki+1,iZi+1. (7.3)

Nadamy równaniom (7.3) postać bezwymiarową. Wprowadźmy parametry modelu— wielkości Kc, Mc, Ac charakteryzujące oddziaływania sprężyste, masy atomówi odległości między nimi, a także częstość Ω2c = Kc/Mc. Wtedy z równania (7.3)otrzymujemy

−KcAcKi,i−1Kc

Zi−1Ac+KcAc

(Ki,i−1Kc

+Ki+1,i

Kc

)ZiAc−KcAc

Ki+1,i

Kc

Zi+1Ac=

=(Ω

Ωc

)2

Ω2cMi

McMcAc

ZiAc

(i = 1, . . . , n).

Jak widać, bezwymiarowymi parametrami modelu są

ki,i±1 =Ki,i±1Kc

, zi =ZiAc, ω =

Ω

Ωc, mi =

Mi

Mc.

Zatem możemy zapisać powyższe równania w bezwymiarowej postaci

−ki,i−1zi−1 + (ki,i−1 + ki+1,i)zi − ki+1,izi+1 = ω2mizi (i = 1, . . . , n). (7.4)

Otrzymany układ równań (7.4) nie odpowiada symetrycznemu AZW. Jeśli wpro-wadzimy nowe bezwymiarowe zmienne dynamiczne w = (w1, . . . , wn), gdzie

wi = zi√

mi,

to, po prostych przekształceniach, otrzymujemy symetryczne AZW

−ki,i−1

√mimi−1

wi−1 +ki,i−1 + ki+1,i

mi

wi −ki+1,i

√mimi+1

wi+1 = ω2wi (i = 1, . . . , n),

które możemy zapisać jako równanie macierzowe

Tw = ω2w,

gdzie T jest macierzą trójdiagonalną postaci (3.1). Jej diagonalne i pozadiagonalnewyrazy są odpowiednio równe

di =ki,i−1 + ki+1,i

mi

, ei =−ki+1,i√mimi+1

.

Jeśli na rozważany układ nałożymy szczególny rodzaj warunków brzegowych: swo-bodne (k0,1 = kn,n+1 = 0) lub ustalone (w0 = wn+1 = 0), to macierz dynamiczna Tjest rzeczywista, symetryczna i trójdiagonalna. Wartości i wektory własne takiej ma-cierzy wyznaczamy metodami opisanymi w poprzednich rozdziałach.Po nałożeniu na układ swobodnych bądź ustalonych warunków brzegowych oraz

uwzględnieniu oddziaływań pomiędzy dalszymi sąsiadami (ki,i+j 6= 0, j > 2), macierzdynamiczna staje się symetryczną rzeczywistą macierzą pasmową o j nad- i poddia-gonalach (szerokość pasma wynosi 2j + 1). Zagadnienie własne dla takiej macierzyrozwiązujemy metodami opisanymi w podrozdziale 6.6. W przypadku cyklicznychwarunków brzegowych (wn+1 = w1e

iqn, gdzie q = QAc) i gdy uwzględniamy tylko

7. Zastosowania 101

oddziaływania najbliższych sąsiadów, macierz dynamiczna staje się macierzą hermi-towską i kwazitrójdiagonalną postaci

T =

d1 e1 e0

e1. . .

. . .. . .

. . . en−1

e∗0 en−1 dn

, (7.5)

gdzie

e0 =−kn,n+1√mnm1

eiqn.

Wartości własne macierzy (7.5) możemy wyznaczać numerycznie metodą bisekcji,posługując się twierdzeniem Martina–Deana [97]. Liczba η(T−x1) wartości własnychmacierzy T mniejszych od danej liczby rzeczywistej x wynosi

η(T− x1) =n∑

i=1

η(ui),

gdzie (ui) jest następującym ciągiem liczbowym:

u1 = d1 − x, ui = di − x−e2i−1ui−1

(i = 2, . . . , n− 1),

un = dn −n−2∑

i=1

s2iui− x− (en−1 + sn−1)

2

un−1,

s1 = e0, si = −ei−1si−1ui−1

(i = 2, . . . , n− 1),

(7.6)

W przypadku uwzględnienia oddziaływań dalszych sąsiadów i nałożenia cyklicz-nych warunków brzegowych, w lewym dolnym i prawym górnym narożniku macierzydynamicznej pojawiają się bloki rozmiaru j×j (odpowiednio macierz trójkątna górnai dolna). Macierz dynamiczna jest wtedy zespolona i hermitowska. Do wyznaczaniajej wartości własnych można również zastosować twierdzenie Martina–Deana [97].

7.1.2. Widmo częstości własnych

Funkcja rozkładu częstości g(ω) [95, 98] określa liczbę różnych częstości własnychtranslacyjnie niezmienniczego układu przypadających na jednostkowy przedział czę-stości. W celu otrzymania jawnej postaci g(ω) zauważmy, że n wartości wektorów qz pierwszej strefy Brillouina przypada na odcinek o długości 2π. Zatem

g(ω) dω = 2n

2πdq ⇒ g(ω) =

n

π

dqdω

.

O funkcji g(ω) mówimy także jako o gęstości częstości własnych kryształu lub funkcjigęstości stanów fononowych.


Wyznaczymy jawną postać g(ω) dla monoatomowego okresowego łańcucha ato-mów. Zajmiemy się najpierw funkcją g(ω2). Zauważmy, że

g(ω2) =n

π

1dω2/dq

, 0 6 ω2 6 4

(patrz zadanie 7/3). Ponieważ

ω2(q) = 2(1− cos q), dω2

dq= 2 sin q,

to

cos q = 1− ω2

2, 2 sin q =

√

ω2(4− ω2).Ostatecznie otrzymujemy

g(ω2) =n

π

1√

ω2(4− ω2). (7.7)

Jak widać, funkcja gęstości g(ω2) wykazuje istnienie osobliwości typu (ω2)−1/2

i (4 − ω2)−1/2 odpowiednio dla ω2 → 0 i ω2 → 4. Osobliwości te nazywane sąosobliwościami Van Hove’a.Za pomocą przedstawionych metod można badać dynamikę sieci nieuporządko-

wanych łańcuchów atomów. Układy takie można modelować na różne sposoby [95,99–101], zadając:

losowy rozkład stałych sprężystych albo mas atomów,niezależne losowe rozkłady stałych sprężystych i mas atomów.

W takich układach spodziewamy się punktowego charakteru widma energetycznegoi zlokalizowanych wektorów własnych [100, 101], tj. takich, w których amplitudy wy-chyleń maleją wykładniczo wraz z odległością od określonego punktu, zwanego punk-tem lokalizacji.W drugiej połowie lat 80. i w latach 90. XX wieku przedmiotem intensywnych

badań w fizyce ciała stałego były struktury kwaziperiodyczne, nazywane kwazikrysz-tałami albo kryształami aperiodycznymi [102–112]. Jednowymiarowy kwazikryształtypu Fibonacciego Kl rzędu l jest typowym przykładem, dlatego bedziemy mówilio nim jako o paradygmacie. Otrzymujemy go, stosując do dwóch składników (komó-rek elementarnych) A i B regułę podstawiania

B 7→ A, A 7→ AB,

co równoważne jest konstrukcji rekurencyjnej

K0 = B, K1 = A, K2 = K1K0 = AB, . . . , Kl = Kl−1Kl−2.

Podobnie jak w przypadku nieuporządkowanych łańcuchów, modulacji mogą pod-legać położenia lub masy atomów. W pierwszym przypadku (łańcuch monoatomowy)atomy położone są w węzłach jednowymiarowej kwazisieci

xi = i+1ζ

⌊i

ζ

⌋

(i = 1, 2, . . .),

7. Zastosowania 103

gdzie ζ = 12 (1 +√5) jest liczbą niewymierną określającą złoty podział odcinka. Od-

działywanie najbliższych sąsiadów zadają stałe siłowe

ki,i+1 = k0[1 + ξ(1 − di,i+1)]zależne od bezwymiarowych odległości

di,i+1 = xi+1 − xi =

1(⌊i+1ζ

⌋−⌊iζ

]= 0)

1 + 1ζ(⌊i+1ζ

⌋−⌊iζ

⌋= 1) (7.8)

między sąsiednimi węzłami sieci. Parametr ξ jest parametrem kwaziperiodyczności.W drugim przypadku (tzw. binarny łańcuch Fibonacciego) zakłada się, że okre-

sowa sieć jest dekorowana kwaziperiodycznie dwoma rodzajami atomów o masachmA

i mB, natomiast ki,i+1 = k0 = const. Zapełnianie węzłów sieci dokonuje się zgodniez regułą

mi =

mA

(⌊i+1ζ

⌋−⌊iζ

⌋= 0)

mB

(⌊i+1ζ

⌋−⌊iζ

⌋= 1).

Dokładniejsza analiza dynamiki drgań łańcucha Fibonacciego, w którym jedno-cześnie modulowane są masy atomów i stałe sprężyste [97, 104, 111–115], pokazała, żewidmo częstości własnych jest fraktalem1), a funkcja rozkładu częstości własnych

g(z) =1nη(T− z1),

jest multifraktalem2) (przypomnijmy, że η(T− z1) jest liczbą wartości własnych ma-cierzy T mniejszych od liczby rzeczywistej z). Funkcja gęstości częstości własnych niejest określona w punktach ωw należących do widma, ponieważ nie istnieje granica

limr→0

g(ωw + r) − g(ωw)r

.

Widmo energetyczne ma charakter zbioru Cantora, natomiast funkcja g(z) ma cha-rakter funkcji Cantora zwanej diabelską drabiną [116]. Więcej informacji na ten te-mat można znaleźć w cytowanych wyżej pracach oraz podręcznikach matematycz-nych [123, 124].Znając widmo drgań łańcucha atomów, możemy zbadać jego własności termo-

dynamiczne [125], ponieważ energia wewnętrzna E układu w temperaturze Θ wynosi

E(Θ) =n∑

i=1

~ωi

exp(

~ωikBΘ

)

− 1.

1)Wymiar zbioru będącego widmem fononowym jest ułamkowy [116–120]2)Multifraktalem nazywamy obiekt fraktalny, którego wymiar fraktalny przyjmuje wartości z okre-ślonego przedziału [119–122]


7.2. Model silnego wiązania

Rozpatrzymy dynamikę elektronu w jednowymiarowym układzie, poruszającegosię w potencjale [94, 96]

V (X) =n∑

i=1

V a(X −Xi). (7.9)

Potencjał V (X) nie musi być funkcją okresową; jego źródłem są atomy ułożone naprostej w punktach Xi (i = 1, . . . , n).Zakładamy, że znane jest rozwiązanie atomowego zagadnienia własnego w przy-

padku translacyjnie niezmienniczego, jednowymiarowego układu:

~2

2Md2Φ(i)(X)dX2

+ [Eai − V ai (X −Xi)]Φ(i)(X) = 0 (i = 1, . . . , n),

tj. znamy energie Eai elektronów w atomowych stanach związanych, których funkcjefalowe Φ(i)(X) = Φ(X −Xi) są także znane.Naszym zadaniem jest rozwiązanie równania Schrodingera z potencjałem (7.9):

~2

2Md2Ψ(X)dX2

+ [E − V (X)]Ψ(X) = 0. (7.10)

Zastosujemy w tym celu podejście wariacyjne. Zakładamy, że funkcja falowa Ψ(X)jest kombinacją liniową funkcji atomowych

Ψ(X) =∑

i

ciΦ(X −Xi) =∑

i

ciΦ(i)(X).

Wyznaczymy współczynniki ci z warunku stacjonarności wartości oczekiwanejoperatora energii. Mnożymy równanie (7.10) lewostronnie przez

∑

i c∗iΦ(i), a prawo-

stronnie przez∑

j cjΦ(j) i następnie całkujemy po X . Otrzymujemy

E =

∑

i,j

c∗i cjHi,j

∑

i,j

c∗i cjJi,j, (7.11)

gdzie

Hi,j =∫ ∞

−∞Φ(i)(X)

[

− ~2

2Md2

dX2+ V (X)

]

Φ(j)(X) dX (7.12)

oraz

Ji,j =∫ ∞

−∞Φ(i)(X)Φ(j)(X) dX.

Wielkości Ji,j określa się mianem całek przekrywania. Założyliśmy tu, że atomowefunkcje falowe Φ(i) są rzeczywiste.Z równania (7.12) wynika następujący związek:

Hi,j = Eai Ji,j +∫ ∞

−∞Φ(i)[V (X)− V a(X −Xj)]Φ

(j) = Eai Ji,j + V ′i,j ,

gdzie V ′i,j są elementami macierzowymi potencjału V (X)− V a(X −Xj).

7. Zastosowania 105

Dla równania (7.11) warunek stacjonarności ma postać∂E∂c*i= 0 (i = 1, . . . , n).

Otrzymujemy z niego jednorodny układ równań∑

j

[Hi,jcj − Ji,jEcj ] =∑

j

[V ′i,j − (E − Eai )Ji,j ]cj = 0 (i = 1, . . . , n). (7.13)

Ma on niezerowe rozwiązanie c = (c1, . . . , cn) pod warunkiem, że jego wyznacznik jestrówny zeru, co prowadzi do zagadnienia wiekowego.Zapisując otrzymany jednorodny układ równań (7.13) w nieco innej postaci∑

j

V ′i,jcj +∑

j

Ji,jEai cj = E∑

j

Ji,jcj (i = 1, . . . , n),

łatwo zauważamy, że jest to uogólnione zagadnienie własne

(V′ + EaJ)c = EJc,gdzie V′ i J są macierzami o wyrazach odpowiednio V ′i,j i Ji,j , a E

a = diag(Ea1 , . . . , Ean).Wprowadzając nowe zmienne c′ = Jc otrzymujemy standardowe algebraiczne zagad-nienie własne

(V′J−1 + Ea)c′ = Ec′. (7.14)

W przypadku okresowego układu jednowymiarowego możemy założyć, że:V ′i,j = Vc 6= 0 dla i = j ± 1,całki przekrywania Ji,j = Jcδi,j , Jc 6= 0.

Wtedy układ równań (7.14) przyjmuje postać

εa1 v′1

v′1. . .

. . .. . .

. . . v′n−1

v′n−1 εan

c1......cn

= ε

c1......cn

, (7.15)

gdzie

εai =EaiEc, v′i =

V ′i,i+1JcEc

, ε =EEc.

Dla monoatomowego łańcucha wszystkie wielkości v′i oraz εai przyjmują ustalone

wartości v′ i εa. Rozwiązań w tym przypadku możemy poszukiwać w postaci

ci = ceiqxi = ceiqi

(przyjęliśmy tu jednostkowe odległości międzyatomowe, xi = i). Po podstawieniu do(7.13) otrzymujemy równanie

ε(q)− εa = 2v′ cos q,gdzie q jest wektorem z pierwszej strefy Brillouina. Szerokość pasma energetycznegowynosi |4v′|.


W ogólnym przypadku wartości v′i oraz εai należy traktować jako parametry mo-

delu. Podobnie jak w przypadku drgań łańcuchów atomów, spodziewamy się, że cha-rakter widma energetycznego elektronów i funkcji falowej będzie zależał od tych pa-rametrów.Jednowymiarowy model silnego wiązania jest przedmiotem wielu prac [103–109].

Rozpatrywano zarówno modele nieuporządkowanych, jak i kwaziperiodycznych struk-tur jednowymiarowych. Dynamikę elektronów w łańcuchach nieuporządkowanychmo-deluje się w następujący sposób:

Wyrazy diagonalne w równaniu (7.15) są zadawane w określony (losowy lubdeterministyczny) sposób, a wyrazy pozadiagonalne są ustalone. Model takizwany jest modelem z nieuporządkowaniem typu diagonalnego.Wyrazy diagonalne w równaniu (7.15) są stałe, zaś pozadiagonalne są zadawanelosowo lub deterministycznie. Model taki zwany jest modelem z nieuporządko-waniem typu pozadiagonalnego.Zarówno wyrazy diagonalne, jak i pozadiagonalne macierzy w równaniu (7.15)są zadawane losowo lub deterministycznie.

W modelach takich bada się charakter elektronowego widma energetycznego orazwłaściwości elektronowych funkcji falowych. Głównym przedmiotem badań było za-gadnienie lokalizacji i delokalizacji elektronów, odpowiadające przejściu metal–izola-tor.

7.3. Dynamika spinowa układów jednowymiarowych

Zajmiemy się teraz innym interesującym zagadnieniem dotyczącym widma wzbu-dzeń elementarnych łańcucha atomów obdarzonych własnymi momentami magnetycz-nymi (spinami).Hamiltonian takiego układu ma w modelu Heisenberga [96 (r. 33), 126, 127], postać

H = −12

∑

i,j; i6=jJi,jsi · sj − µB

∑

i

Bzszi ,

gdzie µB jest magnetonem Bohra, Bz jest zewnętrznym polem magnetycznym skiero-wanym wzdłuż osi OZ, a składowe operatora spinu spełniają reguły komutacji

[sxi , syj ] = is

zi δi,j , [syi , s

zj ] = is

xi δi,j , [szi , s

xj ] = is

yi δi,j . (7.16)

Wygodnie jest wprowadzić operatory kreacji i anihilacji (podnoszenia i opuszcza-nia)

s+i = sxi + is

yi , s−i = (s

+i )∗ = sxi − isyi ,

które spełniają reguły komutacyjne

[s+i , s−j ] = 2s

zi δi,j , [szi , s

±j ] = ±s±i δi,j . (7.17)

Stosując operatory kreacji i anihilacji oraz wykorzystując reguły komutacji mo-żemy łatwo sprawdzić, że

si · sj = 12 (s+i s−j + s

−i s+j ) + s

zi szj = s

+i s−j + s

zi szj . (7.18)

7. Zastosowania 107

Zajmiemy się teraz widmem wzbudzeń elementarnych rozważanego układu. W tymcelu napiszemy równania ruchu dla operatorów kreacji

i~ds+jdT= −[H, s+j ] = µBBzs+j −

∑

i

Ji,j(s+i s

zj − szi s+j ) (j = 1, . . . , n). (7.19)

Stacjonarnych rozwiązań układu równań (7.19) będziemy poszukiwali w postaci

s+i (T ) = s+i e−iΩT ,

zakładając, żespiny są uporządkowane równolegle do osi OZ,

wartości składowych z-owych operatorów spinu spełniają relację szi ≃ s, gdzies jest wartością spinu,

całka wymiany Ji,j 6= 0 dla i = j ± 1 (uwzględniamy jedynie oddziaływaniepomiędzy najbliższymi sąsiadami).

Wtedy układ równań (7.19) przyjmuje postać

~Ωs+j = µBBzs+j + s(Jj−1,j + Jj+1,1)s

+j − Jj−1,jss+j−1 − Jj+1,jss+j+1, (7.20)

równoważną zagadnieniu własnemu

d1 e1

e1. . .

. . .. . .

. . . en−1

en−1 dn

s+1......s+n

= ~Ω

s+1......s+n

,

gdzied1 = µBBz + sJ1,2,

dj = µBBz + s(Jj−1,j + Jj,j+1) (j = 2, . . . , n− 1),dn = µBBz + sJn−1,n,

ej = sJj,j+1 (j = 1, . . . , n− 1).W przypadku okresowego łańcucha monoatomowego możemy założyć następującą

postać rozwiązania równania (7.20)

s+j = seiqj ,

które prowadzi do znanego wyrażenia na energię wzbudzeń magnonowych

~Ω(q) = µBBz + 2sJ(1− cos q) = µBBz + 4sJ sin2(12q),gdzie J jest wartością całki wymiany pomiędzy najbliższymi sąsiadami.Widmo spinowych wzbudzeń elementarnych w układach nieuporządkowanych oraz

kwaziperiodycznych można badać w sposób analogiczny do przedstawionego w pod-rozdziałach dotyczących dynamiki sieci i dynamiki elektronów.


7.4. Zagadnienie radialne

W tym podrozdziale pokazujemy, w jaki sposób można sprowadzić trójwymiarowerównanie Schrodingera ze sferycznie symetrycznym potencjałem V (R) = V (R) dopostaci jednowymiarowego zagadnienia własnego. Wejściowe równanie Schrodingerajest następujące [30 (r. 5)]:

[

− ~2

2M∇2 + V (R)

]

Ψ(R) = EΨ(R). (7.21)

We współrzędnych sferycznych laplasjan ma postać

∇2 = 1R2

∂

∂R

(

R2∂

∂R

)

+[1sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2+1sinϑ

∂

∂ϑ

(

sinϑ∂

∂ϑ

)]

.

Będziemy szukali rozwiązań równania (7.21) w postaci

Ψ(R) = U(R)Yl,m(ϑ, ϕ),

gdzie Yl,m (l = 0, 1, . . . ; m = −l, . . . , l) — harmoniki sferyczne, a funkcja radialnaU(R) spełnia równanie

[1R2ddR

(

R2ddR

)

− l(l + 1)R2

+2M~2[E − V (R)]

]

U(R) = 0.

Nadamy ostatniemu równaniu postać podobną do rozpatrywanej w poprzednichprzypadkach. W tym celu wprowadzimy nową funkcję χ, taką że

U(R) = χ(R)/R.

Mamy

dUdR=1R

dχdR− χ

R2, R2

dUdR= RdχdR− χ, d

dR

(

RdχdR− χ

)

=d2χdR2

oraz1R2dχdR

(

R2dUdR

)

=1R

d2χdR2

.

Z powyższych relacji otrzymujemy[

− d2

dR2+2M~2

(

V (R) +~2l(l + 1)2MR2

)]

χ(R) =2ME

~2χ(R). (7.22)

Sprecyzujemy obecnie postać potencjału. Niech energię potencjalną zadaje funkcja

V (R) =K

R(np. potencjał kulombowski), gdzie parametr K ma wymiar [J · m]. Wprowadzimyatomowe jednostki masy, długości, czasu i energii:

Mc =M, Lc =~2

M |K| , Tc =~3

MK2, Vc =

MK2

2~2. (7.23)

Używając tych jednostek nadamy równaniu (7.22) postać bezwymiarową. Za-uważmy, że współczynniki wszystkich jego wyrazów mają wymiar [m−2]. Dlatego

7. Zastosowania 109

mnożymy je obustronnie przez L2c , co prowadzi do poszukiwanego zagadnienia wła-snego

[

− d2

dr2+(l(l+ 1)r2

+2 sgnK

r

)]

χ(r) = εχ(r), (7.24)

gdzie r = R/Lc, ε = E/Vc.W przypadku gdyK < 0 (tak jest dla atomu wodoru), potencjał V (R) jest wiążący

i równanie (7.24) można rozwiązywać numerycznie za pomocą metod macierzowychomówionych w rozdziałach 2–5. Znane są także analityczne wyrażenia na wartościwłasne w równaniu (7.24):

εn = −1n2, (n = 1, 2, . . . ). (7.25)

Dokładnie rozwiązywalne zagadnienie atomu wodoru może być wykorzystane dotestowania programów komputerowych używanych następnie do numerycznego roz-wiązywania równania Schrodingera w przypadkach, gdy nie są znane rozwiązania ana-lityczne.

7.5. Atom wodoru w zewnętrznym stałym polu elektrycznym

Zaprezentujemy sposób sprowadzenia problemu trój- i dwuwymiarowego atomuwodoru poddanego działaniu zewnętrznego stałego pola elektrycznego [30 (r. 5 i 10),128] do układu dwóch jednowymiarowych zagadnień własnych. Pozwoli to nam badaćefekt Starka w atomie wodoru oraz wpływ zewnętrznego pola elektrycznego na ener-gię wiązania trój- i dwuwymiarowego ekscytonu Wanniera–Motta za pomocą metodmacierzowych.Z uwagi na umieszczenie rozpatrywanych układów w polu elektrycznym, rozwa-

żane zagadnienia mają charakter kwazistacjonarny, co oznacza, że czas życia każdegopoziomu energetycznego jest skończony. Innymi słowy, potencjał wchodzący w rów-nanie Schrodingera nie wykazuje globalnego minimum w sensie, o którym była mowaw rozdziale 2.

7.5.1. Przypadek trójwymiarowy

Równanie Schrodingera opisujące rozpatrywany układ ma postać [30][

− ~2

2M

(∂2

∂X2+

∂2

∂Y 2+

∂2

∂Z2

)

+K

R+ eEZ

]

Φ(X,Y, Z) = EΦ(X,Y, Z), (7.26)

gdzie K = −e2/(4πǫ0ǫ), a E jest natężeniem zewnętrznego pola elektrycznego rów-noległego do osi OZ. Obok jednostek atomowych (7.23) w postaci

Vc =Me4

32π2ǫ20ǫ2~2, Lc =

4πǫ0ǫ~2

Me2, Mc =M,

będziemy używać jednostki natężenia pola elektrycznego

Ec = Vc/(eLc).


Wtedy wektorem wodzącym jest r = R/Lc, a natężeniem pola f = E/Ec. Jest toduża jednostka, której wartość jest porównywalna z natężeniem pola powodującegojonizację atomu.W powyższych jednostkach równanie (7.26) przyjmuje bardzo prostą postać:[

−(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)

− 2r+ fz

]

φ(x, y, z) = εφ(x, y, z). (7.27)

W celu rozdzielenia zmiennych w równaniu (7.27), wprowadzimy ortogonalnewspółrzędne paraboliczne (ξ, η, ϕ), związane ze wpółrzędnymi kartezjańskimi nastę-pującymi relacjami:

x =√ξη cosϕ, ξ = r + z,

y =√ξη sinϕ, η = r − z,

z = 12 (ξ − η), ϕ = arg(x + iy),

r =√

x2 + y2 + x2 = 12 (ξ + η).

Zauważmy, że ξ, η > 0. Wyrazimy element objętości i laplasjan przez współrzędneparaboliczne:

d3r = 14 (ξ + η) dξ dη dϕ,

∇2 = 4ξ + η

[∂

∂ξ

(

ξ∂

∂ξ

)

+∂

∂η

(

η∂

∂η

)]

+1ξη

∂2

∂ϕ2.

W nowych zmiennych równanie (7.27) przyjmuje postać

− 4ξ + η

[∂

∂ξ

(

ξ∂

∂ξ

)

+∂

∂η

(

η∂

∂η

)]

− 1ξη

∂2

∂ϕ2− 4ξ + η

+ξ − η2

f

φ = εφ. (7.28)

Pomnożymy równanie (7.28) przez czynnik [− 14 (ξ + η)]. Otrzymamy∂

∂ξ

(

ξ∂φ

∂ξ

)

+∂

∂η

(

η∂φ

∂η

)

+ξ + η4ξη

∂2φ

∂ϕ2+ φ− ξ2 − η2

8fφ+

ξ + η4

εφ = 0. (7.29)

Rozwiązań równania (7.29) poszukamy w postaci φ(ξ, η, ϕ) = g1(ξ)g2(η)eimϕ [30].

Po podzieleniu przez φ otrzymujemy

1g1

ddξ

(

ξdg1dξ

)

+1g2

ddη

(

ηdg2dη

)

− m2

4ξ− m2

4η+ 1− ξ2 − η2

8f +

ξ + η4

ε = 0.

Równanie to zawiera stałe oraz wyrazy zależne tylko od ξ i tylko od η. Może onobyć spełnione dla dowolnych (ξ, η) wtedy i tylko wtedy, gdy

1g1

ddξ

(

ξdg1dξ

)

− m2

4ξ+ β1 −

fξ2

8+εξ

4= 0

1g2

ddη

(

ηdg2dη

)

− m2

4η+ β2 +

fη2

8+εη

4= 0,

gdzie parametry separacji β1, β2 spełniają związek

β1 + β2 = 1.

7. Zastosowania 111

Z powyższego układu równań wynika para związków

[ddξ

(

ξddξ

)

+(

β1 −m2

4ξ− fξ2

8+εξ

4

)]

g1(ξ) = 0

[ddη

(

ηddη

)

+(

β2 −m2

4η+fη2

8+εη

4

)]

g2(η) = 0.

(7.30)

W celu pozbycia się wyrazów z pierwszymi pochodnymi w równaniach (7.30) wpro-wadzimy nowe funkcje χ1, χ2, takie że

g1(ξ) = χ1(ξ)/√

ξ, g2(η) = χ2(η)/√η.

Z definicji funkcji χ1, χ2 wynikają warunki brzegowe χ1(0) = χ2(0) = 0.Po prostych przekształceniach otrzymujemy układ dwóch sprzężonych równań róż-

niczkowych

[

− d2

dξ2+(m2 − 14ξ2

− β1ξ+fξ

8

)]

χ1(ξ) =ε

4χ1(ξ)

[

− d2

dη2+(m2 − 14η2

− β2η− fη

8

)]

χ2(η) =ε

4χ2(η).

(7.31)

Mają one postać równań Schrodingera, w których rolę potencjałów odgrywają funkcje

v1(ξ) =m2 − 14ξ2

− β1ξ+fξ

8, v2(η) =

m2 − 14η2

− β2η− fη

8. (7.32)

v

ξ, η

v1(ξ)

v2(η)

ηmax

Rys. 7.1. Efektywne potencjały jednowymiarowe v1, v2 w zagadnieniu trójwymiarowegoatomu w zewnętrznym polu elektrycznym dla stanu podstawowego (m = 0)

Zauważmy, że przy f > 0 potencjał v1(ξ) jest zawsze wiążący (jamopodobny),czego nie można powiedzieć o potencjale v2(η), który ma charakter bariery (rys. 7.1).


Ta własność jest źródłem wspomnianej kwazistacjonarności rozpatrywanego zagad-nienia.Numeryczną analizę układu równań (7.31) wygodnie jest prowadzić przy założeniu,

że parametry separacji mają postać β1 =12 + δ oraz β2 =

12 − δ. W obliczeniach,

zmieniając δ, wyznaczamy wartości własne 14ε(β1) i14ε(β2) z równań (7.31). Kiedy

znajdujemy takie δ0, że ε(β1) = ε(β2) = ε, będziemy uważać ε za szukaną wartośćwłasną równania (7.27).Dodatkowego komentarza wymaga sposób nakładania na badany układ warun-

ków brzegowych. W przypadku wiążącego potencjału v1(ξ) nie napotykamy na żadnetrudności kładąc χ1(ξmax) = 0 dla dostacznie dużej wartości ξmax. Drugie równanieukładu (7.31) rozwiązujemy, umieszczając nieskończoną barierę potencjału w punkcieo współrzędnej odpowiadającej jego maksimum: v2(ηmax) = ∞. Ten sposób nume-rycznej analizy został zastosowany w pracach [128].

7.5.2. Przypadek dwuwymiarowy

Rozpatrzymy teraz dwuwymiarowymodel atomu wodoru lub ekscytonuWanniera–Motta, w którym ruch związanych cząstek ograniczony jest do płaszczyzny XOY . Po-tencjał oddziaływania elektrostatycznego przyjmiemy w postaci 1/r, odpowiadającejprzestrzeni trójwymiarowej3).Jeśli zewnętrzne pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi OX , to po wprowa-

dzeniu jednostek (7.23) otrzymujemy bezwymiarowe równanie Schrodingera[

−(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)

− 2r+ fx

]

ψ(x, y) = εψ(x, y).

Aby rozdzielić zmienne tego równania, zastosujemy ortogonalne współrzędne parabo-liczne płaskie (ξ, η), związane z kartezjańskimi (x, y) wzorami

x = 12 (ξ2 − η2) ξ = sgnx

√r + x

y = ξη η =√r − x

r =√

x2 + y2 = 12 (ξ2 + η2).

(7.33)

Zauważmy, że przy takim określeniu η > 0. Element powierzchni we współrzęd-nych (7.33) ma postać

d2r = (ξ2 + η2) dξ dη,

a laplasjan

∇2 = 1ξ2 + η2

(∂2

∂ξ2+

∂2

∂η2

)

.

Równanie (7.33) we współrzędnych parabolicznych przyjmuje postać[

− 1ξ2 + η2

(∂2

∂ξ2+

∂2

∂η2

)

− 4ξ2 + η2

+ξ2 − η22

f

]

ψ(ξ, η) = εψ(ξ, η), (7.34)

3) Jest to najprostszy model ekscytonu w studni kwantowej.

7. Zastosowania 113

a jego rozwiązań poszukujemy w postaci iloczynu ψ(ξ, η) = g1(ξ)g2(η). Po obustron-nym pomnożeniu (7.34) przez −(ξ2 + η2)/ψ otrzymujemy

1g1

∂2g1∂ξ2+1g2

∂2g2∂η2+ 4− ξ4 − η4

2f + ξ2ε+ η2ε = 0. (7.35)

Podobnie jak w przypadku trójwymiarowym, mamy tu wyrazy stałe oraz zależnetylko od ξ i tylko od η. Równanie (7.35) może być spełnione dla dowolnych (ξ, η)wtedy i tylko wtedy, gdy

1g1

∂2g1∂ξ2+ β1 −

ξ4f

2+ ξ2ε = 0

1g2

∂2g2∂η2+ β2 +

η4f

2+ η2ε = 0

oraz

β1 + β2 = 4, (7.36)

gdzie β1, β2 są parametrami rodzielenia zmiennych. Ostatecznie otrzymujemy układdwóch sprzężonych równań różniczkowych

[

− d2

dξ2+(

−ξ2ε+ ξ4f

2

)]

χ1(ξ) = β1χ1(ξ)[

− d2

dη2+(

−η2ε− η4f

2

)]

χ2(η) = β2χ2(η).

(7.37)

Mają one postać równań Schrodingera, w których rolę potencjałów odgrywają funkcje

v1(ξ) = −εξ2 + 12fξ4, v2(η) = −εη2 − 12fη

4.

Zwróćmy uwagę, że w tym przypadku poszukiwanymi wartościami własnymi sąstałe separacji β1 i β2, natomiast energia wiązania atomu (ekscytonu) ε jest parame-trem funkcji v1 i v2. Dla danego natężenia pola elektrycznego f rozwiązanie układurównań (7.37) polega na znalezieniu takiej energii wiązania ε, dla której wartościwłasne obu równań spełnią związek (7.36). Podejście to zostało zastosowane w pra-cach [129].Kwestia warunków brzegowych wymaga dodatkowego komentarza. Energia wiąza-

nia ε jest ujemna, więc potencjał v1(ξ) (rys. 7.2) jest zawsze jamopodobny (wiążący)i możemy położyć g1(−ξmax) = g1(ξmax) = 0. Potencjał v2(η) jest określony tylko napółprostej, gdyż η > 0, i nie ma żadnych podstaw do położenia v2(0) = 0. Można jed-nak rozszerzyć dziedzinę zmiennej η na cały zbiór R, zauważając, że parom (−ξ,−η)i (ξ, η) odpowiada we wzorach (7.33) ta sama para (x, y). W ten sposób „rozszerzona”funkcja ψ(ξ, η) wykazuje własność symetrii

ψ(−ξ,−η) = ψ(ξ, η),równoważną warunkom

g1(−ξ) = g1(ξ), g2(η) = g2(−η)albo

g1(−ξ) = −g1(ξ), g2(η) = −g2(−η).


v

ξ, η

v1(ξ)

v2(η)

−ηmax ηmax

Rys. 7.2. Potencjały jednowymiarowe v1, v2 w zagadnieniu dwuwymiarowego atomu w ze-wnętrznym polu elektrycznym

Warunki te nie są trudne do spełnienia. Potencjały v1(ξ) i v2(η) są funkcjami pa-rzystymi, więc g1(ξ) i g2(η) nie mogą być funkcjami dowolnymi, a tylko parzy-stymi badź nieparzystymi. Obliczenia prowadzimy zatem na rozszerzonym przedziale−ηmax < η < ηmax, stawiając nieskończone bariery potencjału w punktach ±ηmax.

7.6. Kropka kwantowa

Rozważania nad kropką kwantową z parabolicznym potencjałem wiążącym w ze-wnętrznym jednorodnym polu magnetycznym, zawierającą dwa elektrony, prowadządo jednowymiarowego równania Schrodingera [130–132]

[

− d2

dz2+ v(z)

]

u(z) = εu(z). (7.38)

Potencjał w tym równaniu ma postać (patrz rys. 7.3)

v(z) = z2 +2λz+m2 − 14z2

, (7.39)

gdzie z = R/Lc jest bezwymiarową współrzędną radialną,

λ =LcA, A =

8πǫ0ǫ~2

KM*e2, Lc =

√

2~M*Ω

,

Ω jest parametrem charakteryzującym potencjał wiążący, a M∗ — masą efektywnąelektronu. Ze względu na sposób wyprowadzenia równania (7.38), należy dodać wa-runek brzegowy u(0) = 0 dla funkcji falowej.

7. Zastosowania 115

v

z

vm=1(z)

vm=0(z)

Rys. 7.3. Potencjał kropki v(z) kwantowej przy λ = 2 dla liczby kwantowej m = 0 i m = 1

Kształt potencjału (7.39) zależy od liczby kwantowej m = 0,±1,±2, . . . Przym = 0 potencjał (dla parametru λ > 0,62) posiada, oprócz minimum globalnegov(0) = −∞, minimum lokalne dla z = zmin > 0. Z powodów fizycznych interesująnas stany związane zlokalizowane wokół z = zmin, tj. stany o energiach ε > v(zmin).Liczba tych stanów zależy od wartości parametru λ; pierwszy stan pojawia się dlaλ ≃ 1,1.

7.7. Dynamika elektronów w jednowymiarowych supersieciachw ramach modelu Kroniga–Penneya

Prostym i adekwatnym modelem używanym do opisu dynamiki elektronów w jed-nowymiarowych supersieciach jest model Kroniga–Penneya.W pracach [133–135] zba-dano przewodnictwo elektryczne supersieci aperiodycznych. Przy założeniuMs =Mb,potencjał w hamiltonianie przyjęto w postaci układu prostokątnych barier (rys. 7.4).Hamiltonian układu ma w tym przypadku postać hamiltonianu modelu Kroniga–

–Penneya [133, 134]

H(X) = − ~2

2Md2

dX2+

n∑

i=1

Vi(X), (7.40)

gdzie Vi jest potencjałem i-tej prostokątnej bariery; wartość potencjału w obszarzestudni przyjęto równą zeru. Stacjonarne równanie Schrodingera dla badanego układuma formę

HΨ (j) = EjΨ (j), (7.41)

gdzie H zadany jest przez (7.40).


-X

6V

X1 X2 X3 X4

Ms Ms MsMb Mb

Rys. 7.4. Jednowymiarowy potencjał w modelu Kroniga–Penneya

Wartości własne Ej i funkcje własne Ψ (j) dla zagadnienia (7.41) można wyznaczaćodpowiednio za pomocą metody bisekcji Martina–Deana i metody DWSZ.W pracy [135] przeanalizowano jednowymiarową supersieć półprzewodnikową,

w której masa efektywna nośników prądu zależała od położenia. Założono, że masanośników prądu pod barierą jest równa Mb, a w obszarach studni kwantowych Ms(rys. 7.4). Hamiltonian ma wtedy postać

H(X) =n∑

i=1

[

−θ(X −Ai)θ(Ai+1 −X)~2

2Mi

d2

dX2+ Vi(X)

]

, (7.42)

gdzie θ jest funkcją Heaviside’a.Zagadnienie własne z hamiltonianem (7.42) sprowadzono do AZW za pomocą

schematu dyskretyzacji opisanego w rozdziale 4. Wartości własne i wektory własneponownie możemy wyznaczać za pomocą metody bisekcji Martina–Deana i metodyDWSZ.

7.8. Układy niskowymiarowe w niejednorodnym polumagnetycznym

W ostatnim czasie prowadzone są badania transportu nośników ładunku elek-trycznego w układach niskowymiarowych poddanych działaniu niejednorodnego polamagnetycznego [136–138].W tym rozdziale przedstawimy krótko dwa szczególne przy-padki, którymi są: supersieć w prostopadłym do jej kierunku wzrostu4) niejednorod-nym polu magnetycznym oraz dwuwymiarowy gaz nieoddziałujących elektronów pod-dany działaniu prostopadłego niejednorodnego pola magnetycznego.

4)Mianem tym określamy kierunek, wzdłuż którego kolejne warstwy struktury układane są w sto-sownym procesie technologicznym.

7. Zastosowania 117

7.8.1. Supersieć półprzewodnikowa w polu magnetycznym

Rozważmy jednowymiarową supersieć umieszczoną w polu magnetycznym prosto-padłym do jej kierunku wzrostu OZ (tzw. konfiguracja Voigta, rys. 7.5). Zajmiemysię przypadkiem, gdy pole jest jednorodne bądź modulowane tylko wzdłuż osi OZ:

B = [0, B(Z), 0].

-

6

0 zL

x

y

A B A A B B B A A B A A

B B B B B

Rys. 7.5. Schemat supersieci w polu magnetycznym

Wybierając cechowanie Landaua, otrzymujemy potencjał wektorowy postaci

A = [A(Z), 0, 0],

gdzie, przypomnijmy,B = ∇×A. Jeżeli ruch elektronu w kierunkuOX jest swobodny,tj. opisany falą płaską o wektorze falowym K, to jego funkcja falowa ma postaćiloczynu

Φ(X,Z) = eiKXΨ(Z).

Po prostych przekształceniach dostajemy kwazijednowymiarowe równanie Schro-dingera[

−~2

2ddZ

1M(Z)

ddZ+[~K + e

cA(Z)]2

M(Z)+ V (Z) + g(Z)µBB(Z)σZ

]

Ψ(Z) = EΨ(Z)

z dodatkowym składnikiem potencjału pochodzącym od pola magnetycznego, spara-metryzowanym przez K:

Vm(K;Z) =[~K + e

cA(Z)]2

M(Z).

Ponieważ kierunek wektora B jest stały w przestrzeni, powyższe równanie zespinem rozpada się na dwa równania postaci[

−~2

2ddZ

1M(Z)

ddZ+ Vm(K;Z) + V (Z)± g(Z)µBB(Z)

]

Ψ±(Z) = E±Ψ±(Z) (7.43)

dla dwóch składowych spinowych funkcji falowej Ψ = (Ψ+, Ψ−)T.


7.8.2. Dwuwymiarowy gaz elektronowy w niejednorodnym polu magnetycznym

Zajmijmy się teraz hetorostrukturą półprzewodnikową zawierającą warstwę dwu-wymiarowego gazu elektronowego (w płaszczyźnie XOY ), umieszczoną w polu ma-gnetycznym równoległym do kierunku wzrostu OZ (tzw. konfiguracja Faradaya) i mo-dulowanym wzdłuż osi OX :

B = [0, 0, B(X)].

Układ taki można otrzymać np. nanosząc na strukturę półprzewodnikową szereg pa-sków z materiału ferromagnetycznego lub nadprzewodzącego (rys. 7.6).

-

6

x

yz

6B

-x

0

@@I 2DEG

66 66??

Rys. 7.6. Konfiguracja jednowymiarowo modulowanego pola magnetycznego. Dwuwymia-rowy gaz elektronowy (2DEG) znajduje się w warstwie zaznaczonej grubszą linią

Wybierając cechowanie Landaua otrzymujemy potencjał wektorowy postaci

A = [0, A(X), 0].

Jeżeli ruch elektronu w kierunku OY jest swobodny opisany falą płaską o wektorzefalowym K, tj.

Φ(X,Y ) = eiKY Ψ(X),

wówczas — podobnie jak poprzednio — otrzymujemy kwazijednowymiarowe równanieSchrodingera

[

− ~2

2Md2

dX2+[~K + e

cA(X)]2

M+ gµBB(X)σZ

]

Ψ(X) = EΨ(X).

Tym razem występuje tylko potencjał pochodzący od pola magnetycznego

Vm(K;X) =1M

[

~K +e

cA(X)

]2

,

a masa efektywna nie zależy od położenia. Potencjał ten może tworzyć układ bariero złożonym kształcie.Równanie ze spinem rozpada się na dwa równania dla składowych spinowych

funkcji falowej Ψ , które szczególnie prostą postać[

− d2

dx2+ 2vm(k;x)± gb(x)

]

ψ±(x) = 2ε±ψ±(x) (7.44)

7. Zastosowania 119

przyjmują w „naturalnym” dla pola magnetycznego układzie jednostek, opartym naczęstości cyklotronowej Ωc = |e〈B〉/(Mc)|, energii cyklotronowej ~Ωc oraz długościmagnetycznej lB =

√

~c/|e〈B〉|; 〈B〉 jest charakterystyczną (np. średnią) wartościąindukcji magnetycznej.Jak widzimy, równania (7.43) i (7.44) można analizować numerycznie metodami

algebraicznymi w celu otrzymania poziomów energetycznych w rozważanych ukła-dach oraz zbadania własności magnetotransportu elektronowego (przewodnictwo Lan-dauera [112, 133–135,139, 140], tunelowanie).

Zadania

7/1.W oparciu o klasyczne równania Hamiltona wyprowadzić równanie (7.2)7/2.Wyprowadzić równanie (7.2) w przypadku kwantowym.7/3. Dla okresowego łańcucha n identycznych atomów wyprowadzić relację dyspersji

Ω(Q) = 2

√

K

M

∣∣∣∣sin

QA

2

∣∣∣∣,

gdzie Q ∈ 〈−π/A, π/A) jest wektorem falowym z pierwszej strefy Brillouina, A —odległością międzyatomową (rozmiarem komórki elementarnej), K — stałą sprężystą,M — masą atomów. Wskazówka: w równaniu (7.3) przyjąć Zl ∼ eiQlA.7/4.Wyprowadzić równania (7.4). Wskazówka: podzielić i-te równanie przez mi.7/5.Wyprowadzić wzory (7.6) korzystając z twierdzenia Martina–Deana.7/6. Opierając się na twierdzeniu Martina–Deana, wyprowadzić algorytm (analo-giczny do (7.6)) wyznaczania wartości własnych macierzy dynamicznej dla układujednowymiarowego, w którym uwzględniamy oddziaływania najbliższych i drugichz kolei sąsiadów.7/7. Pokazać, że funkcja gęstości stanów fononowych g(ω) jednowymiarowego krysz-tału ma postać

g(ω) =4nπ

1√

(2− ω)(2 + ω).

Jakiego typu osobliwości Van Hove’a wykazuje funkcja g(ω)?7/8. Obliczyć funkcje rozkładu (dystrybuanty) stanów fononowych jednowymiaro-wego kryształu [98]

g(ω2) =∫ ω2

0

g(z2) dz2, g(ω) =∫ ω

0

g(z) dz,

gdzie g(ω2) dane jest wzorem (7.7), a g(ω) jest podane w zadaniu poprzednim.7/9.Wyznaczyć numerycznie wektory własne odpowiadające 5. i 25. wartości własnejmonoatomowego okresowego łańcucha atomów. Przyjąć swobodne warunki brzegowei n = 103. Jaki jest charakter tych wektorów własnych (tj. zdelokalizowany czy zloka-lizowany)?


7/10.Wyznaczyć numerycznie unormowaną funkcję rozkładu g(ω2) = η(T−ω21)/nczęstości własnych monoatomowego okresowego łańcucha n = 2 · 103 atomów. Wy-znaczyć histogramy funkcji g(ω2) dla różnych szerokości podprzedziałów.

7/11.Wyznaczyć numerycznie wartości własne macierzy dynamicznej (7.5) dla łań-cucha z zadania 7/10, przyjmując cykliczne warunki brzegowe. Obliczenia przepro-wadzić dla q = 0 i q = π. Otrzymane wyniki porównać z wyrażeniami analitycznymi(patrz zadanie 7/3).

7/12.Wyznaczyć numerycznie unormowaną funkcję rozkładu g(ω) = η(T − ω1)/nczęstości własnych monoatomowego periodycznego łańcucha n = 2 · 103 atomów.Wyznaczyć histogram funkcji g(ω) dla różnych szerokości podprzedziałów.

7/13.Wyznaczyć numerycznie widmo energetyczne łańcucha n = 103 atomów, w któ-rym znajduje się lekki lub ciężki atom domieszki o masie md. Przyjąć: (a) md = 0,1;(b) md = 10. Pozostałe masy mi = 1. Założyć swobodne warunki brzegowe. Jaki jesttym razem charakter wektorów własnych?

7/14.Wyznaczyć numerycznie widmo energetyczne łańcucha n = 100 atomów, w któ-rym stałe sprężyste są ustalone, a masy atomów zadaje rozkład jednostajny na prze-dziale 〈12 , 5〉. Założyć swobodne warunki brzegowe. Jaki jest charakter wektorów wła-snych (zlokalizowany, zdelokalizowany)?

7/15.Wyznaczyć numerycznie widmo energetyczne łańcucha n = 100 atomów, w któ-rym stałe sprężyste zadaje rozkład jednostajny na przedziale 〈0,3; 2〉, a masy atomów— rozkład jednostajny na przedziale 〈0,1; 2〉. Założyć swobodne warunki brzegowe.Jaki jest charakter wektorów własnych (zlokalizowany, zdelokalizowany)?

7/16.Wyznaczyć numerycznie widmo drgań monoatomowego łańcucha kwaziperio-dycznego, gdy n = 987 (rząd l = 15) atomów. Przyjąć swobodne warunki brzegowei parametr kwaziperiodyczności ξ = 1.

7/17.Wyznaczyć numerycznie widmo drgań binarnego kwaziperiodycznego łańcuchan = 1597 (rząd l = 16) atomów. Przyjąć swobodne warunki brzegowe i parametrkwaziperiodyczności ξ = 2.

7/18.Wyznaczyć numerycznie unormowaną funkcję rozkładu g(ω2) = η(T−ω21)/nczęstości własnych dla układu z zadania 7/16. Wyznaczyć histogramy funkcji g(ω2)dla różnych szerokości podprzedziałów.

7/19.Wyznaczyć numerycznie unormowaną funkcję rozkładu g(ω2) = η(T−ω21)/nczęstości własnych dla układu z zadania 7/17. Wyznaczyć histogramy funkcji g(ω2)dla różnych szerokości podprzedziałów.

7/20.Wyznaczyć zależność pojemności cieplnej CV (Θ) = dE/dΘ od temperaturydla periodycznego łańcucha atomów z zadania 7/10.

7/21.Wyznaczyć poziomy energetyczne elektronów w periodycznym łańcuchu 900atomów. Obliczyć funkcję rozkładu wartości własnych i odpowiedni histogram (odpo-wiadający gęstości stanów elektronowych).

7/22.Wyznaczyć 7., 474. i 847. wektor własny w łańcuchu z zadania 7/21.

7. Zastosowania 121

7/23.Wyznaczyć numerycznie elektronowe widmo energetyczne dla łańcucha 200atomów, w którym pozadiagonalne wyrazy macierzy (7.15) są ustalone, a wyrazydiagonalne zadaje rozkład jednostajny na przedziale 〈12 , 32 〉.7/24.Wyznaczyć numerycznie elektronowe widmo energetyczne łańcucha n = 300atomów, w którym wyrazy diagonalne macierzy (7.15) zadaje rozkład jednostajnyna przedziale 〈0,7; 1,3〉, a wyrazy pozadiagonalne są ustalone. Jaki jest charakterwektorów własnych (zdelokalizowany czy zlokalizowany)?7/25.Wyprowadzić reguły komutacji (7.17) korzystając z (7.16).7/26.Wyprowadzić związek (7.18).7/27.Wyznaczyć numerycznie widmo magnonowe dla periodycznego łańcucha 500spinów. Obliczyć unormowaną funkcję rozkładu g(z) = η(T− z1)/n energii własnychmagnonów, gdzie z = ~Ω/(kBΘ). Wyznaczyć histogramy funkcji g(z) dla różnychszerokości podprzedziałów.7/28.Wyznaczyć numerycznie widmo magnonowe dla periodycznego łańcucha 600spinów, w którym całka wymiany między przyjmuje wartości Ji,i+1 = (−1)iJ0. Obli-czyć unormowaną funkcję rozkładu g(z) = η(T− z1)/n energii własnych magnonów,gdzie z = ~Ω/(kBΘ). Wyznaczyć histogramy funkcji g(z) dla różnych szerokości pod-przedziałów.7/29.Wyznaczyć numerycznie widmo magnonowe łańcucha n = 103 spinów, w któ-rym są losowo umieszczone dwa atomy domieszek o spinach sd. Przyjąć sd = 3;pozostałe spiny si = 1. Założyć swobodne warunki brzegowe.7/30.Wyznaczyć numerycznie widmo magnonowe monoatomowego kwaziperiodycz-nego łańcucha n = 987 (rząd l = 15) spinów. Założyć zależność całki wymiany pomię-dzy najbliższymi sąsiadami postaci Ji,i+1 = J0[1+ξ(1−di,i+1)], gdzie di,i+1 = xi+1−xi(patrz wzór (7.8). Przyjąć swobodne warunki brzegowe i parametr kwaziperiodyczno-ści ξ = 2. Wyznaczyć numerycznie unormowaną funkcję rozkładu g(z) = η(T− z1)/nenergii własnych, gdzie z = ~Ω/(kBΘ). Wyznaczyć histogramy funkcji g(z) dla róż-nych szerokości podprzedziałów.7/31.Wyznaczyć numerycznie widmo magnonowe łańcucha n = 100 spinów, w któ-rym całki wymiany są zadane rozkładem jednostajnym na przedziale 〈12J0, 32J0〉. Za-łożyć swobodne warunki brzegowe. Jaki jest charakter wektorów własnych (zdeloka-lizowany czy zlokalizowany)?7/32.Wyznaczyć zależność pojemności cieplnej CV (Θ) = dE/dΘ od temperaturydla periodycznego łańcucha spinów z zadania 7/27.7/33.Wyprowadzić równanie radialne (7.24).7/34. Rozwiązać numerycznie równanie (7.24) za pomocą kilku wybranych metodi porównać rezultaty z rozwiązaniem analitycznym (7.25).7/35.W oparciu o algorytm Martina–Deana napisać program i wyznaczyć za jegopomocą osiem najniższych wartości własnych elektronu w atomie wodoru. Zbadać,jak na wyniki numeryczne wpływa szerokość przedziału, liczba n punktów siatki orazliczba kwantowa l. Wyniki numeryczne porównać z rezultatami analitycznymi.


7/36.Wyprowadzić bezwymiarowe równanie Schrodingera (7.27) dla atomu wodoruw polu elektrycznym.7/37.Wyprowadzić układ zagadnień własnych (7.31).7/38.Wyznaczyć dla m = 0 i λ = 2 wszystkie stany związane cząstki opisanejrównaniem (7.38) leżące powyżej minimum lokalnego potencjału (7.39) przy warunkubrzegowym u(0) = 0.7/39.Wyprowadzić równania (7.43) i (7.44).

Rozdział 8Pakiet MARRS

Program MARRS — Metody Algebraiczne Rozwiązywania Równania Schrodin-gera został napisany w języku Delphi. Stanowi uniwersalne narzędzie pozwalająceużytkownikowi w prosty sposób rozwiązywać stacjonarne równanie Schrodingera dladowolnego kształtu jednowymiarowych studni potencjału. Jest przyjaznym użytkow-nikowi instrumentem badawczo-dydaktycznym w dziedzinie mechaniki kwantowej i fi-zyki struktur niskowymiarowych, przydatnym zarówno dla pracowników naukowych,jak i studentów. Pierwsi mogą przy pomocy programu MARRS wyznaczyć wstępnerozwiązania wielu problemów, oszacować parametry doświadczalne, ocenić wyniki eks-perymentu, czy też sprawdzić poprawność rozwiązań analitycznych. Studenci w prostyi pobudzający do myślenia sposób mają szansę sprawdzić swą wiedzę z dziedziny me-chaniki kwantowej, poznać wydajne metody rozwiązywania równania Schrodingerai przeprowadzić samodzielnie proste eksperymenty.Pakiet MARRS zapisany jest na dołączonej do książki płytce CD oraz dostępny

w Internecie pod adresem http://www.if.pwr.wroc.pl/~ssalejda/programy/.Szczegółowe informacje o programie zawarte są w pracach [141] oraz w dołączonych

do programu plikach pomocy.

8.1. Charakterystyka programu

Omówimy krótko najważniejsze możliwości pakietu programów MARRS i przed-stawimy jego zalety.

Graficzny interfejs użytkownika. Program wykorzystuje w pełni możliwości sys-temów Windows 95/NT i zgodnych. Posługiwanie się programem jest proste dziękizgodnemu z intuicją rozmieszczeniu na ekranie elementów sterujących (przycisków, su-waków, menu itp.) Natychmiastowa prezentacja graficzna wyników na ekranie w spo-sób znaczący przyspiesza i ułatwia pracę. Stała kontrola wizualna postępu obliczeń(m.in. wyświetlanie częściowych rezultatów) z możliwością przerwania ich w dowol-nej chwili bez utraty dotychczasowych wyników stwarza komfortowe warunki pracyz programem. Interfejs użytkownika opisujemy szczegółowo dalej.

Integracja z systemem operacyjnym. Program spełnia funkcję serwera OLE,dzięki czemu udostępnia swoje możliwości obliczeniowe wszystkim innym programomw środowisku Windows. Wielowątkowość i obsługa schowka systemowego pozwala naprostą wymianę danych z pozostałymi aplikacjami.

123


Współpraca z aplikacjami Microsoft Office. Użytkownik może łatwo wyko-rzystywać otrzymane wyniki we własnych opracowaniach i publikacjach bez potrzebydokonywania żmudnej konwersji danych.

Bogaty zestaw procedur obliczeniowych. Zaimplementowano metody: trój-punktową, pięciopunktową, Lindberga, Guardioli–Rosa i ich zoptymalizowane od-miany, co zapewnia dużą szybkość obliczeń i pozwala wyznaczać wartości własnez określoną przez użytkownika dokładnością oraz porównywać efektywności różnychalgorytmów. Do wyznaczania wektorów własnych zastosowano metodę DWSZ.

Różne sposoby określania potencjału. Użytkownik może zadać potencjał:wzorem;

rysując wykres na ekranie za pomocą myszki;

importując tabelę wartości z programu Microsoft Excel 97.

Funkcje porównywania. Program pozwala na szybkie badanie wpływu zmiankształtu potencjału na widmo wartości własnych. Proste przełączanie między arku-szami roboczymi daje możliwość wizualnej oceny zmiany położenia poziomów ener-getycznych i kształtu funkcji falowych.

Pliki pomocy. Podstawowe zasady posługiwania się programem, elementarne wia-domości na temat problematyki fizycznej i szczegółowy opis zastosowanych algoryt-mów numerycznych dostępne są w języku polskim.

Zapis i odtwarzanie stanu pracy. Pracę z programem można przerwać w do-wolnym momencie, zapisując całość arkusza roboczego bądź wybrane wyniki obliczeńi parametry, a następnie odtworzyć dane i kontynuować obliczenia.

Funkcje testowe. Dołączone narzędzia, w tym arkusz w formacie MS Excela za-wierący specjalne makrodefinicje, pozwalają ocenić efektywność każdej z metod dlaróżnych typów potencjałów.

8.2. Graficzny interfejs użytkownika

Praca z programem oparta jest na tzw. kartach roboczych. Każda karta zawierakomplet informacji opisujących dany problem fizyczny i niezbędnych do wykonaniaobliczeń.W głównym oknie programu można wydzielić obszary oznaczone na rys. 8.1 cy-

frami 1–6. U góry znajduje się poziomy pasek menu, pozwalający na zarządzaniekartami roboczymi, tj. nawigację (1), tworzenie nowej karty (2), odczyt lub zapisaktywnej karty roboczej lub potencjału (2a).

8. Pakiet MARRS 125

Poniżej paska menu wyświetlana jest bieżąca karta robocza, podzielona na dwieczęści: kontrolki (3–5) służące do określania parametrów obliczeń po lewej i obszargraficznej prezentacji wyników (6).Opcje związane z pracą programu i sposobem wyświetlania wyników (m.in. sposób

wyświetlania funkcji falowej — wartość lub kwadrat modułu, kolorystyka ekranu;rys. 8.2) dostępne są po wciśnięciu odpowiedniego przycisku z górnego paska menu.

Rys. 8.1. Okno główne programu MARRS

Rys. 8.2. Okno opcji programu MARRS

Obszary 3 i 4 są przedstawione w powiększeniu na rysunkach 8.4 i 8.5.


W obszarze 3 użytkownik ustala

masę cząstki;

przedział energii, w którym program wyznacza wartości własne i który jestprzedstawiany w obszarze graficznym 6 (na pionowej osi);

granice przedziału całkowania (i zarazem przedziału pokazywanego w obszarzegraficznym na osi poziomej).

Rys. 8.3. Parametry zagadnienia

W obszarze 4 użytkownik

dokonuje wyboru metody obliczania wartości własnych spośród dziesięciu za-implementowanych;

określa liczbę punktów siatki w przedziale całkowania (stopień podziału), od-dzielnie dla wyznaczania wartości własnych i wektorów własnych;

podaje dokładność obliczeń.

Rys. 8.4. Wybór metody obliczeniowej i określenie jej parametrów

W obszarze 5 pokazane są wyznaczone wartości własne. Wskazanie jednej z nich(przez kliknięcie myszką) powoduje obliczenie odpowiadającej jej funkcji falowej bądźkwadratu jej modułu i wyświetlenie go w obszarze 6, w którym pokazany jest takżewykres potencjału oraz poziome linie reprezentujące wyznaczone poziomy energe-tyczne.

8. Pakiet MARRS 127

8.3. Schemat wykonywania obliczeń

Aby przeprowadzić obliczenia dla danego zagadnienia fizycznego, należy wykonaćnastępujące kroki, przedstawione schematycznie na rys. 8.5:1. Wprowadzić postać potencjału jednym z dostępnych sposobów.2. Ustalić parametry dla badanego zagadnienia (masę cząstki, przedział całkowa-nia).

3. Wyznaczyć energie z odpowiedniego przedziału za pomocą wybranej metodyobliczeniowej.

4. Wyznaczyć odpowiadające im funkcje falowe.

8.4. Dobór algorytmu

Użytkownik programu może wyznaczyć dokładność zaimplementowanych w pa-kiecie algorytmów dla zmieniającej się w przedziale od n = 10 do n = 64 000 liczbypunktów siatki. Obliczenia przeprowadzone są za pomocą arkusza kalkulacyjnego Mi-crosoft Excel (procedury obliczeniowe programu MARRS wywoływane są za pomocąmakrodefinicji Visual Basica). Wyniki testów są automatycznie przedstawiane w po-staci czytelnych tabel i wykresów bez dodatkowej ingerencji użytkownika. Przykła-dowe rezultaty zamieszczone są w Dodatku pracy [141].Otrzymane w ten sposób wyniki stanowią użyteczne źródło informacji na temat

optymalnego wykorzystania procedur numerycznych pakietu MARRS. Umożliwiająporównanie zachowania się poszczególnych metod dla podstawowych klas potencja-łów (porównaj także rozdział 7). Ułatwiają również dobór do konkretnego zagadnieniaoptymalnej metody obliczeniowej i jej parametrów (liczba punktów siatki, dokładnośćobliczeń), zapewniając uzyskanie wymaganej dokładności przy względnie krótkim cza-sie obliczeń.


Rys. 8.5. Schemat rozwiązywania stacjonarnego jednowymiarowego równania Schrodingeraza pomocą programu MARRS

Rozdział 9Dokładność i szybkość algorytmów

Ten rozdział poświęcamy przedstawieniu wyników otrzymanych za pomocą opi-sanych dotychczas algorytmów dla wybranych potencjałów reprezentujących kilkacharakterystycznych klas. Są to potencjały wiążące, posiadające pojedyncze lub po-dwójne minimum lokalne i wykazujące różne zachowania asymptotyczne na granicachprzedziałów określoności. Wszystkie one posiadają rozwiązania analityczne, co umoż-liwia weryfikację poprawności wyników numerycznych.Zaprezentujemy wyniki obliczeń poziomów energetycznych i funkcji falowych dla

wybranych potencjałów. Pokażemy, że postać potencjału ma istotny wpływ na do-kładność otrzymywanych rezultatów. Przedstawimy także zależności pomiędzy liczbąpunktów siatki, osiąganą dokładnością i czasem trwania obliczeń. Na tej podstawiemożna określić zachowanie się poszczególnych metod dla różnych klas potencjałów,wyznaczyć optymalne (z punktu widzenia efektywności) wartości parametrów wej-ściowych procedur i wybrać najwłaściwszy algorytm do konkretnego zagadnienia fi-zycznego.Przedstawione wyniki numeryczne otrzymane zostały za pomocą podprogramów,

których kody źródłowe są zawarte w Dodatku F i na dołączonej płytce CD. Podobnewyniki [141] otrzymać można, używając narzędzi pakietu MARRS. Zachęcamy rów-nież Czytelników do samodzielnego zbadania tej problematyki.

9.1. Wybrane potencjały

Poniżej charakteryzujemy krótko potencjały (rys. 9.1), które wykorzystaliśmy dobadania dokładności i efektywności procedur numerycznych. Ponieważ porównywaniewyników numerycznych i analitycznych jest dogodniejsze w postaci bezwymiarowej(analityczne wartości energii własnych są zwykle prostymi ułamkami), podajemy obiepostaci: bezwymiarową i wymiarową (w programie MARRS dane wejściowe i wynikisą liczbami mianowanymi).

Oscylator harmoniczny. Równanie Schrodingera określone jest wzorem[

− ~2

2Md2

dX2+MΩ2X2

2

]

Ψ(X) = EΨ(X),

a jego postać bezwymiarowa — wzorem[

− d2

dx2+ x2

]

ψ(x) = εψ(x).

129


Energie kolejnych stanów własnych

Ej = ~Ω(j − 12 ), εj = 2j − 1 (j = 1, 2, . . . )

są oddalone o stałą wartość, co czyni ten potencjał (rys. 9.1-a) idealnym do weryfikacjiwyników — można jej dokonać wręcz naocznie.

Potencjał Konwenta. Najprostszy przykład symetrycznego potencjału podwójnejstudni, czyli oscylator anharmoniczny typu V (X) = AX4 − BX2 jest nierozwiązy-walny analitycznie. Z tego względu użyliśmy potencjału Konwenta [67–70] (rys. 9.1-b),charakteryzującego się względnie prostą postacią i posiadającego rozwiązania anali-tyczne dla pewnych szczególnych wartości parametrów. Równanie Schrodingera z tympotencjałem ma postać

[

− ~2

2Md2

dX2+

~2D2

8M(2k + 1)2

(b

2k + 1cosh(DX)− 1

)2]

Ψ(X) = EΨ(X)

lub, w zmiennych bezwymiarowych,[

− d2

dx2+ α

(b

2k + 1coshx− 1

)2]

ψ(x) = αεψ(x), α = 14 (2k + 1)2.

Dla k = 1 (α = 94 ) znane są rozwiązania analityczne [67–70]:

E1 = ~2D2

8M

[

b2 + 7− 4√14 + b

2]

, ε1 =19

[

b2 + 7− 4√14 + b

2]

,

E2 = ~2D2

8M (b2 + 5), ε2 =

19 (b2 + 5),

E3 = ~2D2

8M

[

b2 + 7 + 4√14 + b

2]

, ε3 =19

[

b2 + 7 + 4√14 + b

2]

.

Do obliczeń przyjęliśmy b = 0,03.

Potencjał Morse’a. Potencjał ten (rys. 9.1-c) wybrany został ze względu na swojezastosowania w chemii fizycznej do opisu widm cząsteczkowych. Odpowiednie równa-nie Schrodingera ma postać1)

[

− ~2

2Md2

dX2+ Vc

(

e−2CX − 2e−CX)]

Ψ(X) = EΨ(X),

gdzie C, Vc — parametry, a jego postać bezwymiarowa to[

− d2

dx2+ α(e−2x − 2e−x)

]

ψ(x) = αεψ(x).

Dokładne wartości najniższych energii dla tych potencjałów to odpowiednio [30]

Ej = −Vc[

1− j − 12√α

]2

, εj = −[

1− j − 12√α

]2

(j = 1, . . . , jmax),

gdzie α = 2MVc/(~C)2, jmax = ⌈

√α− 12⌉.

1)W przykładowym arkuszu roboczym programu MARRS zapisana jest nieco inna postać poten-cjału Morse’a, przesunięta o stałą: V (X) = Vc(1− e

−CX )2.

9. Dokładność i szybkość algorytmów 131

a)v

x

b)v

x

c)v

x

d)v

x

l = 0

l = 1

Rys. 9.1. Poglądowe wykresy potencjałów wybranych do testowania procedur numerycznych:(a) potencjał oscylatora harmonicznego; (b) potencjał Konwenta; (c) potencjał Morse’a; (d)potencjał kulombowski dla dwóch wartości orbitalnej liczby kwantowej l


Potencjał kulombowski. Trójwymiarowe równanie Schrodingera — zagadnienieatomu wodoru — sprowadzamy, dzięki symetrii sferycznej, do postaci jednowymiaro-wej, korzystając z procedury opisanej w podrozdziale 7.4:

[

− ~2

2Md2

dX2+

~2l(l + 1)2MX2

− e2

4πǫ0X

]

Ψ(X) = EΨ(X);

e oznacza ładunek elektronu, M — masę zredukowaną układu elektron–proton, zaśl = 0, 1, 2, . . . jest orbitalną liczbę kwantową. W jednostkach atomowych (7.23) otrzy-mujemy

[

− d2

dx2+l(l+ 1)x2

− 2x

]

ψ(x) = εψ(x).

Rozwiązaniami są [33]

Ej = −Me4

32π2ǫ20~2(j + l)2, εj = −

1(j + l)2

(j = 1, 2, . . . ).

Oddzielnie rozpatrujemy przypadki l = 0 i l 6= 0. Otrzymujemy w ten sposób poten-cjały należące do dwóch różnych klas (rys. 9.1-d) — dla l = 0 potencjał nie wykazujeskończonego minimum (osobliwość typu − 1X ), dla l 6= 0 potencjał ma minimum lo-kalne i osobliwość typu + 1X2 . (Z uwagi na te osobliwości należy przypomnieć, żeprocedury numeryczne nie wyznaczają wartości potencjału w krańcowych punktachprzedziału całkowania 〈0, rmax〉.)

9.2. Wybrane wyniki obliczeń numerycznych

W tabelach 9.1–9.5 zestawione są wyniki otrzymane dla wybranych potencjałówza pomocą programu PREC napisanego w języku FORTRAN-77 z wykorzystaniempodprogramów opisanych w Dodatku F; kod źródłowy programu PREC znajduje sięna dołączonej płytce CD. Program został skompilowany kompilatorem GNU Fortrang77

2) w wersji dla środowiska DOS (opcje optymalizacji -O2) i był uruchomiany, jeślinie zaznaczono inaczej, na komputerze klasy PC z mikroprocesorem AMD Athlontaktowanym zegarem o częstotliwości 1200MHz.Każda z tabel zawiera obliczone trzema metodami (trójpunktową, Lindberga

i Guardioli–Rosa) energie trzech najniższych stanów własnych (ε1, ε2, ε3) dla różnejliczby punktów siatki n, a także ich wartości dokładne, dane formułami analitycznymi.Liczba punktów siatki zmienia się od 26 − 1 = 63 do 215 − 1 = 32767 dla metodytrójpunktowej i metody Lindberga, oraz od 24 − 1 = 15 do 28 − 1 = 255 dla metodyGuardioli–Rosa (GR). Zróżnicowanie to jest spowodowane znacznie większą złożono-ścią obliczeniową metody GR (O(n3) operacji zmiennoprzecinkowych plus O(n) nakażdą wartość własną) i jej znacznie większym zapotrzebowaniem na pamięć (O(n2)komórek); dla metod trójpunktowej i Lindberga mamy odpowiednio O(n) operacji nakażdą wartość własną i O(n) komórek pamięci.

2)Dostępnym nieodpłatnie (patrz dodatek F).


Tabele zawierają dodatkowo dokładności obliczonych energii. Jako miarę dokład-ności obliczeń j-tej energii własnej przyjęliśmy niepewność względną

rj =∣∣∣∣

εnumj − εjεj

∣∣∣∣, (9.1)

gdzie εnumj oznacza wartość własną wyznaczoną numerycznie, a εj — jej wartość do-kładną (analityczną). Niepewność względną charakteryzuje zamiennie inny parametr— liczba cyfr znaczących

lj = − log10 rj ,którego wartości są zamieszczone w tabelach 9.1–9.5.Program PREC umożliwia dodatkowo pomiar czasu obliczeń. Zauważmy, że algo-

rytmy bisekcji (i niektóre inne algorytmy znajdowania wartości własnych macierzy)posiadają parametr wejściowy, określony jako zadana dokładność (np. σ w algoryt-mie 3-1). Zadanie zbyt małej wartości σ powoduje niepotrzebne wydłużenie obli-czeń (reprezentacja macierzowa (2.9) równania Schrodingera jest przybliżona, więcdokładniejsze wyznaczenie wartości własnych macierzy H nie musi oznaczać poprawydokładności obliczanych wartości własnych Ej hamiltonianu H). Aby uwolnić się odtego problemu i znaleźć rzeczywiste, minimalne czasy obliczeń, każdy z algorytmówbadamy w dwóch krokach:1. Wyznaczamy maksymalną dokładność r = 13 (r1 + r2 + r3) osiąganą dla danejliczby punktów siatki n poprzez wykonanie obliczeń dla wartości parametruzadana dokładność rzędu epsilon maszynowego.

2. Mierzymy czas trwania obliczeń t, zadając dokładność uzyskaną w kroku pierw-szym.

Zmierzone czasy t oraz dokładności, reprezentowane przez średnią liczbę cyfr zna-czących

l = 13 (l1 + l2 + l3)

przedstawione są na wykresach l(n) i l(t) (rys. 9.2–9.8) i zostaną dokładniej omówionew kolejnych podrozdziałach.


Tabela 9.1. Wyniki obliczeń dla potencjału oscylatora harmonicznego (przedział całkowania〈a, b〉 = 〈−7, 7〉)

Energie Cyfry znaczącen ε1 ε2 ε3 l1 l2 l3

Metoda trójpunktowa

255 0,99981304487523 2,99906508442331 4,99756881334243 3,7 3,5 3,31023 0,99998831735314 2,99994158621972 4,99984812258788 4,9 4,7 4,54095 0,99999926984257 2,99999634921071 4,99999050794166 6,1 5,9 5,716383 0,99999995436512 2,99999977182590 4,99999940674745 7,3 7,1 6,965535 0,99999999714782 2,99999998573912 4,99999996292172 8,5 8,3 8,1

Metoda Lindberga

255 0,99999993009267 2,99999951059048 4,99999825185098 7,2 6,8 6,51023 0,99999999972703 2,99999999808920 4,99999999317566 9,6 9,2 8,94095 0,99999999999894 2,99999999999254 4,99999999997335 12,0 11,6 11,316383 0,99999999999997 3,00000000000003 4,99999999999985 13,5 14,0 13,565535 0,99999999999952 3,00000000000048 4,99999999999952 12,3 12,8 13,0

Metoda Guardioli–Rosa (aproksymanta [3/2])

31 0.99999994205930 2.99999922574831 4.99999477771376 7.2 6.6 6.063 0.99999999995068 2.99999999935431 4.99999999574412 10.3 9.7 9.1127 0.99999999999990 2.99999999999939 4.99999999999607 13.0 12.7 12.1255 1.00000000000000 3.00000000000006 4.99999999999978 15.0 13.7 13.4511 1.00000000000224 2.99999999999976 4.99999999999648 11.6 13.1 12.2

Wartości dokładne

— 1,00000000000000 3,00000000000000 5,00000000000000 ∞ ∞ ∞

l

n

l

t [ms]

Rys. 9.2. Wyniki dla potencjału oscylatora harmonicznego. Zależność dokładności (liczby cyfrznaczących l) wyników numerycznych od liczby punktów siatki n (po lewej) i czasu obliczeń t(po prawej) w metodach: Guardioli–Rosa (GR), trójpunktowej (3p) i Lindberga (L)


Tabela 9.2. Wyniki obliczeń dla potencjału Konwenta (parametr b = 0,03, przedział całko-wania 〈a, b〉 = 〈−8, 8〉)

Energie Cyfry znaczącen ε1 ε2 ε3 l1 l2 l3


255 0,55511148050809 0,55551068298819 1,00043762482779 3,6 3,6 4,21023 0,55524689212571 0,55564650538980 1,00049576752221 4,8 4,8 5,44095 0,55525535100209 0,55565498993725 1,00049939858744 6,0 6,0 6,616383 0,55525587966490 0,55565552020448 1,00049962551790 7,2 7,2 7,865535 0,55525591270625 0,55565555334612 1,00049963970101 8,4 8,4 9,0

Metoda Lindberga

255 0,55525579508393 0,55565543508465 1,00049959232021 6,7 6,7 7,31023 0,55525591444144 0,55565555508547 1,00049964045797 9,1 9,1 9,74095 0,55525591490719 0,55565555555372 1,00049964064581 11,5 11,5 12,116383 0,55525591490900 0,55565555555555 1,00049964064654 14,0 14,0 14,765535 0,55525591490901 0,55565555555555 1,00049964064651 14,4 14,4 13,5


31 0,55524668257101 0,55564627607349 1,00049599418856 4,8 4,8 5,463 0,55525591165999 0,55565555229003 1,00049963939015 8,2 8,2 8,9127 0,55525591490628 0,55565555555281 1,00049964064549 11,3 11,3 12,0255 0,55525591490904 0,55565555555554 1,00049964064664 13,3 13,4 13,0511 0,55525591490890 0,55565555555556 1,00049964064614 12,7 15,4 12,4

Wartości dokładne

— 0,55525591490901 0,55565555555556 1,00049964064655 ∞ ∞ ∞

l

n

l

t [ms]

Rys. 9.3. Wyniki dla potencjału Konwenta. Zależność dokładności (liczby cyfr znaczących l)wyników numerycznych od liczby punktów siatki n (po lewej) i czasu obliczeń t (po prawej)w metodach: Guardioli–Rosa (GR), trójpunktowej (3p) i Lindberga (L)


Tabela 9.3. Wyniki obliczeń dla potencjału Morse’a (parametr α = 25, przedział całkowania〈a, b〉 = 〈−3, 9〉)

Energie Cyfry znaczącen −ε1 −ε2 −ε3 l1 l2 l3


255 0,81011956716462 0,49039474387133 0,25060819286672 3,8 3,1 2,61023 0,81000746762408 0,49002463578098 0,25003791499769 5,0 4,3 3,84095 0,81000046670575 0,49000153959724 0,25000236930979 6,2 5,5 5,016383 0,81000002916903 0,49000009622428 0,25000014808039 7,4 6,7 6,265535 0,81000000182306 0,49000000601401 0,25000000925502 8,6 7,9 7,4

Metoda Lindberga

255 0,81000017013349 0,49000068276847 0,25000123634919 6,7 5,9 5,31023 0,81000000066353 0,49000000266228 0,25000000481983 9,1 8,3 7,74095 0,81000000000259 0,49000000001040 0,25000000001882 11,5 10,7 10,116383 0,81000000000001 0,49000000000004 0,25000000000007 13,9 13,1 12,565535 0,81000000000000 0,49000000000000 0,25000000000000 14,9 15,1 14,6


31 0,80999920738317 0,49007058827919 0,25034848303217 6,0 3,8 2,963 0,81000001152400 0,49000006149961 0,25000014160756 7,8 6,9 6,2127 0,81000000000952 0,49000000005044 0,25000000011537 10,9 10,0 9,3255 0,81000000000002 0,49000000000004 0,25000000000010 13,7 13,1 12,4511 0,81000000000002 0,49000000000002 0,24999999999996 13,6 13,4 12,8

Wartości dokładne

— 0,81000000000000 0,49000000000000 0,25000000000000 ∞ ∞ ∞

l

Æn

l

t [ms]

Rys. 9.4. Wyniki dla potencjału Morse’a. Zależność dokładności (liczby cyfr znaczących l)wyników numerycznych od liczby punktów siatki n (po lewej) i czasu obliczeń t (po prawej)w metodach: Guardioli–Rosa (GR), trójpunktowej (3p) i Lindberga (L)


Tabela 9.4. Wyniki obliczeń dla potencjału kulombowskiego (l = 0, przedział całkowania〈a, b〉 = 〈0, 75〉)



255 0,97941658125694 0,24867309387079 0,11084745728657 1,7 2,3 2,61023 0,99866248059997 0,24991623712626 0,11109455919781 2,9 3,5 3,84095 0,99991619501660 0,24999476153006 0,11111007632751 4,1 4,7 5,016383 0,99999476136540 0,24999967258276 0,11111104643600 5,3 5,9 6,265535 0,99999967258212 0,24999997953637 0,11111110706890 6,5 7,1 7,4

Metoda Lindberga

255 0,95923088912473 0,24482902422861 0,10957159897739 1,4 1,7 1,91023 0,99669665770281 0,24958660351682 0,11098857593844 2,5 2,8 3,04095 0,99978066168023 0,24997258060187 0,11110298663611 3,7 4,0 4,116383 0,99998609459576 0,24999826181599 0,11111059609278 4,9 5,2 5,365535 0,99999912788673 0,24999989098581 0,11111107881059 6,1 6,4 6,5

Metoda Guardioli–Rosa (aproksymanta [3/2]) — zawodzi zupełnie

31 0,17210022821496 0,08563925563819 0,05118873718940 0,1 0,2 0,363 0,21072160467530 0,09891711658181 0,05723422630341 0,1 0,2 0,3127 0,23408504577355 0,10630909191360 0,06045598160774 0,1 0,2 0,3255 0,24468906908917 0,10952812287810 0,06183022023684 0,1 0,3 0,4511 0,24845334293636 0,11065205584705 0,06230615688024 0,1 0,3 0,4

Wartości dokładne

— 1,00000000000000 0,25000000000000 0,11111111111111 ∞ ∞ ∞

l

n

l

t [ms]

Rys. 9.5. Wyniki dla potencjału kulombowskiego (l = 0). Zależność dokładności (liczby cyfrznaczących l) wyników numerycznych od liczby punktów siatki n (po lewej) i czasu obliczeń t(po prawej) w metodach: Guardioli–Rosa (GR), trójpunktowej (3p) i Lindberga (L)


Tabela 9.5. Wyniki obliczeń dla potencjału kulombowskiego (l = 1, przedział całkowania〈a, b〉 = 〈0, 100〉)



255 0,25081340883922 0,11148505728578 0,06269241346022 2,5 2,5 2,51023 0,25004974296261 0,11113403401616 0,06251181085621 3,7 3,7 3,74095 0,25000310469129 0,11111254206471 0,06250073735154 4,9 4,9 4,916383 0,25000019402664 0,11111120053897 0,06250004608075 6,1 6,1 6,165535 0,25000001212660 0,11111111670033 0,06250000287954 7,3 7,3 7,3

Metoda Lindberga

255 0,25032370816289 0,11122554418979 0,06255105512988 2,9 3,0 3,11023 0,25000550801243 0,11111304802612 0,06250086234361 4,7 4,8 4,94095 0,25000008794270 0,11111114200383 0,06250001374707 6,5 6,6 6,716383 0,25000000138156 0,11111111159631 0,06250000021536 8,3 8,4 8,565535 0,25000000002162 0,11111111111870 0,06250000000285 10,1 10,2 10,3


31 0,11724684018119 0,06499770337333 0,04125195951349 0,3 0,4 0,563 0,26324598870983 0,11585002489644 0,06461035532841 1,3 1,4 1,5127 0,25221425876731 0,11189728771417 0,06285085992361 2,1 2,2 2,3255 0,25029504443227 0,11121502529631 0,06254627862663 2,9 3,0 3,1511 0,25003770010715 0,11112435961408 0,06250589626926 3,8 3,9 4,0

Wartości dokładne

— 0,25000000000000 0,11111111111111 0,06250000000000 ∞ ∞ ∞

l

n

l

t [ms]

Rys. 9.6. Wyniki dla potencjału kulombowskiego (l = 1). Zależność dokładności (liczby cyfrznaczących l) wyników numerycznych od liczby punktów siatki n (po lewej) i czasu obliczeń t(po prawej) w metodach: Guardioli–Rosa (GR), trójpunktowej (3p) i Lindberga (L)


9.3. Analiza dokładności

Wyznaczone numerycznie energie własne i wartości funkcji falowej w punktachsiatki są tylko przybliżeniami wartości dokładnych. Źródłami błędów w obliczeniachnumerycznych są:

skończona dokładność reprezentacji liczb rzeczywistych w komputerze orazwykonywanych operacji zmiennoprzecinkowych,

skalowanie wartości własnych macierzy H wraz z kwadratem kroku siatki s(paragraf 2.3.1),

ograniczona dokładność aproksymacji pochodnych za pomocą różnic skończo-nych (podrozdział 5.1, dodatek C),

skończona długość przedziału całkowania.Znajomość tych przyczyn pozwala zminimalizować ich wpływ, zostaną więc one ko-lejno omówione.

9.3.1. Dokładność operacji zmiennoprzecinkowych

Reprezentacja liczby zmiennoprzecinkowej w komputerze zajmuje ściśle określonąi skończoną liczbę komórek pamięci, zatem jej dokładność (liczba cyfr znaczących)jest także skończona. W tabeli 9.6 zestawione są dokładności poszczególnych typówzmiennoprzecinkowych, dostępnych w języku Delphi.

Tabela 9.6. Typy danych zmiennoprzecinkowych dostępne w językach Delphi i FOR-TRAN-77. Uwaga: liczba dziesiętnych cyfr znaczących nie może być podana jako liczbacałkowita, gdyż komputer używa wewnętrznie reprezentacji dwójkowej.

Nazwa typu Długość reprezentacji Liczba cyfrDelphi FORTRAN-77 (bajty) znaczącychSINGLE REAL 4 6–7REAL — 6 11–12DOUBLE DOUBLE PRECISION 8 16–17EXTENDED — 10 19–20

Typy SINGLE, DOUBLE, EXTENDED (w nazewnictwie Delphi) są zgodne z normąIEEE 754 oraz architekturą wewnętrzną jednostek arytmetyki zmiennoprzecinkowejmikroprocesorów (FPU ) rodziny Intel x86/x87 i zgodnych [142, 143] (typ REAL wy-stępuje głównie ze względów historycznych). W programie MARRS używany jest typDOUBLE, za wyjątkiem fragmentów kodu, w których wymagana była największa do-stępna dokładność i użyty został typ EXTENDED. W programie prec wykorzystywanyjest typ DOUBLE PRECISION, co może skutkować nieco mniejszą dokładnością; tym nie-mniej kompilator g77 potrafi niejawnie umieszczać niektóre zmienne lokalne i wynikipośrednie w rejestrach FPU x87, co odpowiada użyciu typu EXTENDED.


Większość algorytmów zaimplementowanych w programach MARRS i PREC wyko-rzystuje długie, rekurencyjnie zdefiniowane ciągi, których liczba wyrazów jest równaliczbie punktów siatki. Może to prowadzić do kumulowania się błędów zaokrągleń,a co za tym idzie, nie można dowolnie poprawiać dokładności poprzez zwiększanieliczby punktów siatki n.

9.3.2. Skalowanie wartości własnych

Przyjmijmy, że kumulacja błędów numerycznych nie pogarsza istotnie dokładnościwyznaczania poszczególnych wartości własnych macierzy H przy wzroście n (założenieto jest spełnione np. dla algorytmu bisekcji [25]). Niech dokładność ta wynosi σ.Obliczone wartości własne εnumj macierzy H związane są z przybliżeniami Enumj energiiwłasnych hamiltonianu H wzorem

Enumj =Vcεnumj

s2α. (9.2)

Błędy skalują się analogicznie:

|Enumj − Ej | =Vcσ

s2α≈ K(1)j n2,

gdzie stałaK(1)j = Vcσ/[(b−a)2α] (por. wzory (2.3)–(2.9). Ze wzoru (9.1) otrzymujemyzależność

r(1)j ≈ K

(1)j n2 ≈

K(1)j

Ejn2 = k(1)j n2. (9.3)

Widzimy zatem, że skalowanie wartości własnych (9.2) prowadzi do spadku do-kładności wyznaczania energii własnych hamiltonianu przy zagęszczeniu siatki.

9.3.3. Błąd aproksymacji różnicowej drugiej pochodnej

Na dokładność obliczonych energii własnych hamiltonianu istotnie wpływa skoń-czona dokładność aproksymacji różnicami skończonymi operatora drugiej pochodnej.Niech ∆2s oznacza wybrany operator różnicowy na siatce o kroku s. Wówczas

d2

dx2ψ(x)

∣∣∣∣x=xi

= ∆2sψ(x)∣∣x=xi+O(sp),

gdzie O(sp) oznacza błąd aproksymacji, p > 2 — liczba parzysta (w przypadku przy-bliżenia trójpunktowego (rozdział 3) mamy p = 2, w metodzie Lindberga (podroz-dział 5.5) i przybliżeniu pięciopunktowym (podrozdział 5.4) p = 4, a w metodzieGuardioli–Rosa (podrozdział 5.1) z aproksymantą Padego [j/m] — p = 2(j + m)).Wstawiając operator ∆2s do równania Schrodingera (2.5) i przenosząc błąd O(s

p) najego prawą stronę, otrzymujemy

[−∆2s + s2αv(x)

]ψ(x) = s2α[ε+O(sp)]ψ(x).


Wnosimy stąd, że obliczona bezwymiarowa energia własna jest obarczona błędemrzędu O(sp): εnumj = εj +O(s

p), a zatem

r(2)j ≈

|Enumj − Ej|Ej

=VcEj|εnumj − εj| = O(sp) = k

(2)j n−p, (9.4)

gdzie stała k(2)j zależy od wyboru operatora różnicowego oraz od wartości (p+ 2)-ejpochodnej funkcji falowej ψ(j)(x) na przedziale 〈a, b〉 (por. wzory (5.4)–(5.19)).Uwzględniając składniki błędu pochodzące ze skalowania wartości własnych oraz

aproksymacji różnicowej (wzory (9.3) i (9.4)), otrzymujemy łączne oszacowanie błędu:

rj = r(1)j + r

(2)j ≈ k

(1)j n2 + k(2)j n−p. (9.5)

Funkcja (9.5) ma dwa składniki — rosnący i malejący, zatem posiada minimum dlapewnej wartości n = n0. Wynika stąd, że zwiększając liczbę punktów siatki powyżej n0pogarszamy, a nie poprawiamy dokładność!Oszacowanie (9.5) ma charakter jedynie jakościowy. Teoretyczne wyznaczenie war-

tości n0 jest bardzo trudne (np. własności przybliżenia drugiej pochodnej zależą odpostaci funkcji falowej, a zatem od postaci potencjału). Rzeczywistą dokładność osią-ganej za pomocą podprogramów z Dodatku F możemy znaleźć, analizując wynikitestów zestawione w tabelach 9.1–9.5 i na rysunkach 9.2–9.6. Podobna analiza przepro-wadzona została w publikacjach [141] dla procedur numerycznych programu MARRS.Zgodnie z przewidywaniami dokładność obliczeń poprawia się przy wzroście n aż

do osiągnięcia najlepszej wartości, a dalsze zwiększanie n nie poprawia, a nawet po-garsza wyniki (punkty przegięcia na wykresach — rys. 9.2–9.6). Efekt ten najlepiejwidać na gładkich, nieosobliwych potencjałach (oscylatora harmonicznego, Konwentai Morse’a — rys. 9.2–9.4). Wyniki przeprowadzonych testów są istotnie różne dlametody Guardioli–Rosa (GR) oraz dla metod trójpunktowej i Lindberga. Różnice tewynikają z fundamentalnych różnic między tymi metodami: w metodzie GR mamydo czynienia z algebraicznym zagadnieniem własnym z macierzą gęstą, w pozostałych— z macierzą pasmową. Co prawda metoda GR zapewnia znacznie lepsze przybli-żenie drugiej pochodnej (dla aproksymanty Padego [3/2] — z dokładnością O(s10)),wykazuje jednak znacznie większą złożoność obliczeniową i jest bardziej podatna nakumulację błędów zaokrągleń. Skutkiem tego jest spadek dokładności już dla n ∼ 200dla potencjałów nieosobliwych. Tymczasem dla metody Lindberga efekt ten wystę-puje przy n ∼ 2 · 104, a dla najmniej złożonej obliczeniowo metody trójpunktowej niezostał zaobserwowany nawet przy n ∼ 6 · 105.Dla osobliwego potencjału kulombowskiego z l = 0 metoda GR zawodzi zupełnie

(tabela 9.4, rys. 9.5) i nie działa zadowalająco dla l = 1 (tabela 9.5, rys. 9.6); takżemetoda Lindberga nie wypada w tych przypadkach tak dobrze w porównaniu z metodątrójpunktową, jak dla potencjałów nieosobliwych. Otrzymane rezultaty wskazują, żedla potencjałów zbliżonych do osobliwych należy stosować metodę GR co najmniejz dużą ostrożnością.Liniowa zależność liczby cyfr znaczących od logarytmu n, widoczna na rys. 9.2–9.6

(aż do osiągnięcia najlepszej dokładności danej metody) świadczy o istnieniu zależ-


ności potęgowej, wyrażającej się równoważnymi formułami

r = Cn−q ⇐⇒ l = q log10 n− log10 C.Spodziewamy się, że wartość wykładnika q będzie bliska liczbie p, określającej do-kładność przybliżenia drugiej pochodnej O(sp) w równaniu Schrodingera. Stała Cnatomiast może zależeć od kształtu potencjału. Otrzymane przez nas wyniki, zebranew tabeli 9.7, potwierdzają słuszność tych oczekiwań w przypadku potencjałów nie-osobliwych. Natomiast dla potencjałów z osobliwościami metody wyższych rzędów(p > 2) sprawują się poniżej oczekiwań.

Tabela 9.7. Wartości parametrów C, q i pw wyrażeniach r = Cn−q i O(sp) dla poszczególnychpotencjałów i metod

Potencjał Metoda p q ± 0,1 log10 C ± 0,1trójpunktowa 2 2,0 1,2

oscylator harmoniczny Lindberga 4 3,9 2,9GR [3/2] 10 10,0 8,6trójpunktowa 2 2,0 1,6

Morse’a Lindberga 4 4,0 3,6GR [3/2] 10 10,3 11,4trójpunktowa 2 2,0 2,2

kulombowski (l = 1) Lindberga 4 2,9 3,7GR [3/2] 10 2,9 3,3

9.3.4. Zależność wyników numerycznych od wyboru przedziału całkowania

Stosowane podejście algebraiczne zakłada zerowe wartości funkcji falowej na koń-cach przedziału całkowania 〈a, b〉 (i poza nim), przy czym przedział ten musi byćskończony (|a|, |b| < ∞). Fizyczny sens tych warunków brzegowych sprowadza siędo umieszczenia na końcach przedziału całkowania nieskończonych barier potencjału.Widać stąd, że metody algebraiczne szczególnie nadają się do rozwiązywania równa-nia Schrodingera z potencjałami zadanymi na skończonych przedziałach, w którychnieskończone bariery występują explicite (np. potencjał Poschla [35]).Zastosowane warunki brzegowe mają wpływ na wyniki numeryczne dla potencja-

łów określonych na nieskończonych przedziałach. W dyskusji uwzględnimy dwa typypotencjałów, posiadających:

skończoną liczbę stanów związanych (np. skończona studnia prostokątna, po-tencjały Morse’a i Lennarda–Jonesa);

nieskończoną liczbę stanów związanych (np. oscylator harmoniczny, nieskoń-czona studnia prostokątna lub trójkątna, potencjały Konwenta, Tody [144]i kulombowski).


Tabela 9.8. Wpływ granic całkowania na dokładność obliczania energii własnych na przy-kładzie oscylatora harmonicznego. Wyniki dla metody trójpunktowej, n = 210 − 1 = 1023

Energie obliczone Energie dokładne Cyfry znaczącej εnumj εj lj1 0,99999716725788 1,00000000000000 5,52 3,00001013660034 3,00000000000000 5,53 5,00035278427913 5,00000000000000 4,24 7,00328754084526 7,00000000000000 3,35 9,01912323729884 9,00000000000000 2,76 11,07859709737236 11,00000000000000 2,17 13,24187219537654 13,00000000000000 1,78 15,58678715583260 15,00000000000000 1,49 18,18116369745394 17,00000000000000 1,2

ε, v

x

Rys. 9.7. Wpływ granic całkowania na dokładność obliczania funkcji falowych na przykła-dzie potencjału oscylatora harmonicznego (- - - - potencjał z nieskończonymi barierami nakońcach przedziału, —— dokładne funkcje falowe, – – – funkcje obliczone numerycznie me-todą DWSZ). Pokazane są funkcje ψ2, ψ5 oraz ψ7 (ψ1 — stan podstawowy)

Dla obu typów potencjałów musimy koniecznie zadbać o to, aby granice prze-działu całkowania leżały w obszarach, gdzie dokładna funkcja falowa poszukiwanegostanu własnego jest dostatecznie bliska zeru. Zilustrujemy to na przykładzie oscyla-tora harmonicznego. Tabela 9.8 oraz rysunek 9.7 przedstawiają porównanie wynikównumerycznych i analitycznych (energii i funkcji falowych) otrzymanych przy właści-wym i niewłaściwym wyborze granic całkowania. Widać, że granice 〈a, b〉 = 〈−4, 4〉są dość dobrze dobrane tylko dla niższych stanów własnych. Zwróćmy uwagę na to,że przy prawidłowo dobranych granicach obliczona numerycznie funkcja falowa dąży


do zera asymptotycznie, podobnie jak rozwiązanie analityczne.Oczywiste jest, że obliczenia numeryczne prowadzone dla potencjałów o nieskoń-

czonej liczbie stanów związanych dają nam tylko skończoną liczbę najniżej położonychpoziomów energetycznych. Szerokość przedziału całkowania musimy dobrać tak, abyna jego końcach potencjał miał wartości większe od energii poszukiwanego stanu wła-snego. Inaczej mówiąc, spośród otrzymanych numerycznie energii, sens fizyczny mogąmieć mniejsze od Vg = min(V (a), V (b)); na rys. 9.7 tą wartością jest Vg = 4

2 = 16.Warunek ten wiąże się z warunkiem poprzednim: jeśli poziom energetyczny znajdujesię dostatecznie głęboko poniżej Vg, to funkcja falowa zanika w barierze dostatecznieszybko.Podkreślmy, że wybór właściwego (tj. dostatecznie szerokiego) przedziału całko-

wania nie może polegać na jego niekontrolowanym poszerzaniu — w takim przypadkualbo pogarszamy dokładność obliczeń zwiększając skok siatki, albo nadmiernie zwięk-szamy ilość punktów siatki, co niepotrzebnie wydłuża obliczenia i również może wpły-nąć ujemnie na ich dokładność. Także bardzo małe wartości funkcji falowej w pobliżukońców nazbyt szerokiego przedziału (być może nawet poniżej najmniejszej liczby re-prezentowalnej w stosowanym formacie zmiennoprzecinkowym) mogą prowadzić doniedokładności lub istotnych trudności przy numerycznym wyznaczaniu funkcji falo-wych.

9.4. Dokładność a czas obliczeń

W praktycznych zastosowaniach, obok wymaganej dokładności obliczeń, istotnymczynnikiem jest ich czas trwania i niezbędny rozmiar pamięci operacyjnej3). Dokład-ność obliczeń rzędu 12–14 cyfr jest w praktyce rzadko potrzebna, szczególnie gdyporównujemy wyniki obliczeń z danymi eksperymentalnymi, zazwyczaj obarczonymiznacznie większymi niepewnościami.Analizując zależności osiąganej liczby cyfr znaczących wyniku numerycznego od

czasu obliczeń (rys. 9.2–9.6), możemy wyciągnąć następujące wnioski:Dla nieosobliwych potencjałów metody Lindberga i Guardioli–Rosa [3/2] wy-kazują się porównywalną dokładnością maksymalną (10–12 cyfr znaczących),a czasy obliczeń są tego samego rzędu (rys. 9.2–9.4).Osiągnięcie danej dokładności metodą trójpunktową wymaga w przypadku po-tencjałów nieosobliwych znacznie dłuższego czasu obliczeń — około 10-krotniedłuższego dla 5 cyfr znaczących, 100-krotnie dłuższego dla 8 i (z ekstrapolacjiwyników) 1000-krotnie dłuższego dla 12 cyfr znaczących.W przypadku potencjałów osobliwych metoda Guardioli–Rosa [3/2] nie po-zwala wyznaczyć energii własnych z zadowalającą dokładnością. Dla takichpotencjałów istotniejsza wydaje się być duża lokalna gęstość siatki w pobliżu

3) Problemy tego rodzaju nie zawsze można rozwiązać poprzez zakup szybszego (zazwyczaj droż-szego) komputera. Innym rozwiązaniem jest zastosowanie (lub odkrycie nowego) efektywniejszegoalgorytmu.


osobliwości, niż duża dokładność O(sp) przybliżenia drugiej pochodnej. Me-toda Lindberga w przypadku potencjałów osobliwych działa dość dobrze, leczjej dokładność może być mniejsza od teoretycznej wartości O(s4), a nawetzbliżona do dokładności O(s2) metody trójpunktowej.

Dla zadanej liczby punktów siatki najszybsza jest metoda trójpunktowa, a dladanej dokładności — zazwyczaj metoda Lindberga.

Najbardziej stabilna i uniwersalna, ze względu na zachowanie się dla zbadanychprzez nas klas potencjałów, wydaje się być metoda trójpunktowa, choć metodaLindberga niewiele jej ustępuje.

Pogłębiona analiza algorytmów oraz nasze dotychczasowe doświadczenia w pracyz nimi pozwalają wnosić dodatkowo, że:

Metody GR i Lindberga zachowują się dla potencjałów nieciągłych (np. pro-stokątne studnie potencjału; program PREC zawiera również taki przykład) po-dobnie, jak dla potencjałów osobliwych. W tym przypadku dodatkowym czyn-nikiem wpływającym na dokładność wszystkich metod jest położenie punktówsiatki względem punktów nieciągłości potencjału.

Metoda pięciopunktowa (rzędu O(s4)) zachowuje się podobnie do metody Lind-berga. Osiąga nieznacznie gorszą dokładność i jest wolniejsza, zatem jej stoso-wanie nie wydaje się być celowe.

Jeżeli oprócz energii obliczamy także funkcje falowe, to metoda GR staje sięwzględnie mało efektywna: w procesie redukcji macierzy gęstej do postaci trój-diagonalnej musimy akumulować ortogonalne transformacje podobieństwa, cowymaga dodatkowej pamięci i istotnie wydłuża czas obliczeń (por. podroz-dział 6.5; opcja ta nie jest zaimplementowana w programie PREC). Natomiastmetoda trójpunktowa lub Lindberga umożliwia wyznaczanie funkcji falowychstosunkowo niedużym kosztem, odpowiednio metodą DWSZ lub metodą DWSZuogólnioną na kwazisymetryczne macierze trójdiagonalne.

Wyznaczanie wartości własnych macierzy, występujących w metodach: trój-punktowej i Lindberga, można przyspieszyć, stosując metodę bisekcji (wyszuki-wanie binarne) tylko do lokalizacji przedziałów zawierających pojedyncze war-tości własne. Następnie w tych podprzedziałach stosujemy metody oparte nawartościach wielomianu charakterystycznego i jego pochodnych (ciąg Sturma,patrz podrozdział 3.4); są one jednak nieco mniej dokładne, niż metoda bisek-cji. Algorytmy takie zaimplementowane są w programie MARRS.

Rozmiar pamięci operacyjnej potrzebny do osiągnięcia danej dokładności jesttego samego rzędu w metodach GR i Lindberga, i mniejszy niż w metodzietrójpunktowej.

Przy tym samym rozmiarze siatki, zapotrzebowanie na pamięć operacyjnądla metod: trójpunktowej, Lindberga i pięciopunktowej jest znacznie mniej-sze niż dla metody GR, która wymaga O(n2) komórek zamiast O(n). Kosztemistotnego spowolnienia obliczeń, można nawet zredukować zapotrzebowanie na


pamięć metod: trójpunktowej i Lindberga do O(1), obliczając wielokrotnievi = v(xi).

Powyższe wnioski można podsumować następująco: w ogólnym przypadku naj-bardziej warta polecenia wydaje się być metoda Lindberga — jest dokładna, szybkai względnie uniwersalna. Metoda trójpunktowa, jako najprostsza i zarazem najbar-dziej uniwersalna i stabilna, także jest godna uwagi (przypomnijmy, że można jąłatwo uogólnić na przypadek równania masy efektywnej — rozdział 4). Metoda Guar-dioli–Rosa działa bardzo dobrze, ale tylko w przypadku potencjałów nieosobliwych.Na koniec przedstawiamy porównanie zależności l(t) dla programu PREC urucho-

mionego na dwóch mikrokomputerach należących do różnych generacji (rys. 9.8).Zmiana komputera powoduje w zasadzie tylko wzrost szybkości obliczeń o stałyczynnik.4) Pewne niewielkie różnice w wydajności poszczególnych algorytmów po-jawiają się też po zastosowaniu różnych kompilatorów. Z drugiej strony, przeprowa-dzenie testów na maszynach o architekturze odmiennej od PC, do czego Czytelnikówzachęcamy, może dać nieco inną klasyfikację algorytmów ze względu na ich wydajność.

l

t [ms]

Rys. 9.8. Zależność liczby cyfr znaczących l wyników od czasu obliczeń t (oscylator harmo-niczny, metoda Guardioli–Rosa (GR) oraz metoda trójpunktowa (3p)). Wyniki dla: PC z mi-kroprocesorem Intel i486DX2 80MHz, rok prod. 1994 (i486), PC z mikroprocesorem AMDAthlon 1200MHz, rok prod. 2001 (Athlon). Liczba punktów siatki n — jak na rys. 9.2–9.6

4)Dokładniejsza analiza wykazuje, że ów czynnik jest nieco inny dla każdej z metod, choć tegosamego rzędu. Poszczególne algorytmy nieco inaczej zmieniają swoje zachowanie po zastosowaniumikroprocesora z tej samej rodziny, lecz o nowocześniejszej architekturze.

Rozdział 10Niestacjonarne równanie Schrodingera

Do tej pory zajmowaliśmy się wyłącznie stacjonarnym (bezczasowym) równaniemSchrodingera. Warto także poświęcić nieco miejsca równaniu Schrodingera z czasem,opisującym ewolucję układu kwantowego i będącym odrębnym i ważnym zagadnie-niem.

10.1. Ewolucja układu kwantowego

Przyjmujemy, że na cząstkę działa zależne od czasu T i zmiennej przestrzennej Xpole potencjalne V (X,T ). Dynamikę jednowymiarowego układu kwantowego określaw obrazie Schrodingera równanie falowe

i~∂

∂TΨ(X,T ) = H(X,T )Ψ(X,T ) =

[

− ~2

2M∂2

∂X2+ V (X,T )

]

Ψ(X,T ), (10.1)

gdzie Ψ(X,T ) — zależna od czasu funkcja falowa.Rozpatrzymy przypadek, gdy hamiltonian nie zależy jawnie od czasu. Całkując

powyższe równanie, otrzymujemy

Ψ(X,T +∆T ) = exp(H∆Ti~

)

Ψ(X,T ), (10.2)

gdzie eH/(i~)∆T jest unitarnym operatorem ewolucji, co zapewnia spełnienie warunku∫ ∞

−∞Ψ∗(X,T )Ψ(X,T ) dX = 1.

Jak widać, znając funkcję falową w pewnej chwili T0, możemy wyznaczyć jej wartościdla dowolnej chwili T .Postępując analogicznie, jak w rozdziale 2, możemy równanie (10.1) sprowadzić

do postaci bezwymiarowej:

iα∂

∂tψ(x, t) =

[

− ∂2

∂x2+ αv(x)

]

ψ(x, t). (10.3)

Obok jednostek długości Lc, masy Mc i energii Vc, wprowadziliśmy dodatkowo jed-nostkę czasu Tc = ~/Vc.Ewolucję układu będziemy rozważać w skończonym przedziale czasowym 〈tp, tk〉

oraz na skończonym przedziale 〈a, b〉 zmienności współrzędnej przestrzennej. Sformu-łujemy dyskretną postać równania (10.3), posługując się siatką punktów

(xi, tj) = (a+ is, tp + jτ), s =b− anx + 1

, τ =tk − tpnt + 1

.

147


Stan układu (przybliżoną wartość funkcji falowej) w chwili tj reprezentuje wektor

ψ(j) = (ψ(j)1 , . . . , ψ(j)nx )

T,

gdzie ψ(j)i = ψ(xi, tj).

Operatorowi energii nadajemy także dyskretną (przybliżoną) postać H, stosującjedną z aproksymacji operatora drugiej pochodnej przedstawionych w rozdziałach 2i 5. W dalszych rozważaniach zastosujemy przybliżenie trójpunktowe (macierz wewzorze (2.8)).Dyskretną postacią formalnego rozwiązania (10.2) czasowego równania Schrodin-

gera jest

ψ(j+1) = exp[−iHτ/α]ψ(j) (10.4)

Macierz unitarna U = exp(−iHτ/α) określa nieskończony szereg. W obliczeniachnumerycznych używamy jej przybliżonej postaci. Stosując aproksymanty Padego naj-niższych rzędów, otrzymujemy

U[1/0] = 1− iHτ/α, (10.5)

U[0/1] = (1+ iHτ/α)−1, (10.6)

U[1/1] = (1+ 12 iHτ/α)−1(1− 12 iHτ/α). (10.7)

Można pokazać, że aproksymanty (10.5) i (10.6) nie są macierzami unitarnymi(por. zadanie 10/2; unitarność operatora ewolucji własność UH = U−1) oznacza,iż spełnione jest relacja ‖ψ(j+1)‖2 = ‖ψ(j)‖2). Dla unitarnej aproksymanty (10.7)otrzymamy dyskretną postać czasowego równania Schrodingera

(1+ 12 iHτ/α)ψ(j+1) = (1− 12 iHτ/α)ψ

(j). (10.8)

10.2. Metody rozwiązywania dyskretnego równania ewolucji

Przedstawimy krótko metody numerycznego rozwiązywania równania (10.8).Stosując trójpunktowe przybliżenie dla drugiej pochodnej (C.7), otrzymujemy

z równania (10.8) dla każdego z punktów siatki x1, . . . , xn

−iβψ(j+1)i−1 + [1 + iβ(2 + vi)]ψ(j+1)i − iβψ(j+1)i+1 =

= iβψ(j)i−1 + [1− iβ(2 + vi)]ψ(j)i + iβψ

(j)i+1 (i = 1, . . . , n), (10.9)

gdzie β = τ/(2αs2), a vi = αs2vi. Nakładając warunki brzegowe ψ0 = ψn = 0,oznaczające znikanie funkcji falowej na brzegach przedziału 〈a, b〉 w dowolnej chwiliczasu, otrzymujemy z (10.9) równanie macierzowe

1 + iβ(2 + v1) −iβ−iβ . . .

. . .. . .

. . . −iβ−iβ 1 + iβ(2 + v1)

ψ(j+1)1......

ψ(j+1)n

=

10. Niestacjonarne równanie Schrodingera 149

=

1− iβ(2 + v1) iβiβ . . .

. . .. . .. . . −iβiβ 1− iβ(2 + v1)

ψ(j)1......

ψ(j)n

. (10.10)

Po prawej stronie znaku równości występuje iloczyn macierzy trójdiagonalneji wektora, który można łatwo wyznaczyć kosztem ∼n operacji zmiennoprzecinkowych;zwróćmy jednak uwagę, że każde dodawanie lub mnożenie liczb zespolonych wymagakilku elementarnych operacji zmiennoprzecinkowych.Pozostaje nam do rozwiązania trójdiagonalny układ równań

Tψ(j+1) = φ, (10.11)

gdzie φ = (1− 12 iHτ/α)ψ(j), a T = 1+ 12 iHτ/α jest zespoloną symetryczną macierzą

trójdiagonalną. Układ równań tej postaci zazwyczaj rozwiązuje się przy wykorzysta-niu rozkładu trójkątnego macierzy T w postaci T = SLR, gdzie L—macierz trójkątnadolna z jedynkami na diagonali, R — macierz trójkątna górna i S — macierz prze-stawień wierszy. Nie będziemy tu omawiać szczegółowo algorytmu takiego rozkładu.Zaimplementowany jest on np. w podprogramie CGTSV biblioteki LAPACK, którymożna wykorzystać do rozwiązywania układu równań (10.11).Można pokazać, że zastosowanie przybliżeń operatora drugiej pochodnej różnicami

skończonymi wyższych rzędów prowadzi do układu równań z zespoloną macierzą pa-smową.

Zadania

10/1.Wyprowadzić aproksymanty Padego (10.5)–(10.7).10/2.Wykazać, że aproksymanty (10.5) i (10.6) nie są unitarne, natomiast (10.7)jest.10/3. Znaleźć postać równania (10.10) dla układu opisanego hamiltonianem masyefektywnej, którego postać bezwymiarowa znajduje się w równaniu (4.5).

Rozdział 11Zakończenie

Mamy nadzieję, że po dokładnym zapoznaniu się z treścią tej książki, Czytelniczkalub Czytelnik nauczą się rozwiązywać samodzielnie zagadnienia fizyczne prowadzącedo stacjonarnego jednowymiarowego równania Schrodingera lub, ogólniej, symetrycz-nego AZW. Podręcznik ten będzie stanowił pomoc przy tworzeniu własnych progra-mów komputerowych i korzystaniu z pakietu MARRS lub podprogramów bibliotecz-nych.Jesteśmy przekonani, że zawartość tego podręcznika będzie cennym materiałem

dydaktycznym służącym studentom, jak i nauczycielom akademickim prowadzącymwykłady, ćwiczenia rachunkowe lub zajęcia w laboratoriach komputerowych z fizyki,fizyki kwantowej, mechaniki kwantowej, fizyki ciała stałego, fizyki komputerowej czyfizyki struktur niskowymiarowych.W tym wydaniu podręcznika nie omawialiśmy metod numerycznych rozwiązywa-

nia dwu- i trójwymiarowego równania Schrodingera (poza przypadkami, które dająsię sprowadzić do problemów jednowymiarowych), ani też — bardziej szczegółowo— czasowego równania Schrodingera. Autorzy mają nadzieję, że przedstawione onezostaną w następnych wydaniach.Będziemy wdzięczni wszystkim Czytelniczkom i Czytelnikom, którzy zauważą nie-

dociągnięcia tego wydania i podzielą się z nami swoimi uwagami i spostrzeżeniami.Najłatwiej będzie to uczynić za pomocą poczty elektronicznej — oto adresy autorów:

Włodzimierz SalejdaE-mail: [email protected]: http://www.if.pwr.wroc.pl/~ssalejda/

Michał H. TycE-mail: [email protected]: http://www.if.pwr.wroc.pl/~mhtyc/

Marcin JustE-mail: [email protected]: http://www.if.pwr.wroc.pl/~mjust/

151

Dodatek AProblemy do samodzielnego rozwiązania

W celu nabycia przez studentów umiejętności posługiwania się przedstawionymiw tym podręczniku metodami, poniżej zamieszczamy zagadnienia do samodzielnegorozwiązania w formie studenckich projektów. Z podręczników mechaniki kwantowej,zbiorów zadań i bieżącej literatury wybraliśmy kilkanaście zagadnień. Są to jednowy-miarowe równania Schrodingera z różnymi potencjałami lub problemy trójwymiarowesprowadzające się do jednowymiarowych.

A.1. Zagadnienia jednowymiarowe

Dla potencjału wybranego z listy zamieszczonej poniżej, napisać (w dowolnymjęzyku programowania) program umożliwiający:

Obliczanie energii własnych kilku najniższych stanów związanych cząstki kwan-towej z zadaną przez użytkownika dokładnością;

Badanie wpływu na wyznaczone numerycznie wartości i wektory własne:

• parametrów określających potencjał — należy rozpatrzyć możliwe postacipodanych potencjałów V (X) w zależności od parametrów; parametry na-leży dobierać tak, aby V (X) posiadał minimum globalne;

• szerokości przedziału całkowania 〈A,B〉;• liczby punktów siatki n.

Jeśli dostępne są wyniki analityczne, należy porównać je z rezultatami numerycznymi.Otrzymane należy wyniki przedstawić w postaci odpowiednich wykresów i tabel, prze-analizować je i sformułować wnioski.

Lista potencjałów jednowymiarowych

Należy rozważyć dowolne dodatnie wartości parametrów C, c, D, d, chyba żezostały one zadane.1. Studnia trójkątna

V (X) =10nVc (x < 0)VcCX (x > 0).

2. Studnia trójkątno-paraboliczna

V (X) =VcC|X | (x < 0)VcDX

2 (x > 0).

153


3. Studnia półparaboliczna

V (X) =10nVc (x < 0)VcCX

2 (x > 0).

4. Niesymetryczna studnia liniowa

V (X) =VcC|X | (x < 0)VcDX (x > 0).

5. Oscylator asymetryczny

V (X) =

VcCX2 (x < 0)

VcDX2 (x > 0).

6. Symetryczna studnia prostokątna

V (X) =−Vc (|X | < C)0 (|X | > C).

7. Niesymetryczna studnia prostokątna

V (X) =

DVc (X 6 −C)−Vc (|X | < C)0 (X > C).

8. Potencjał Morse’a

V (X) = Vc(

e−2CX − 2e−CX)

;

wartości dokładne [30]

En = −Vc

[

1− (n+ 12 )~C

√2MVc

]2

(n = 0, . . . , nmax),

gdzie nmax =⌈√2MVc~C − 32

⌉

; jeśli√2MVc <

12~C, nie ma stanów związanych.

9. Potencjał Tellera

V (X) =−Vc

cosh2(X/C);


En = −~2C2

8M

[√

1 +8MVc~2C2

− (2n+ 1)]

(n = 0, . . . , nmax),

gdzie nmax =⌈12

√

1 + 8MVc~2C2 − 32

⌉

.

10. Potencjał Tody [144]

V (X) = Vc(e−CX +DX).

11. Potencjał wykładniczy

V (X) = −Vce−|X|/C .

A. Problemy do samodzielnego rozwiązania 155

12. Potencjał Gaussa

V (X) = −Vce−CX2

.

13. Potencjał Lenarda–Jonesa

V (X) = Vc[(C/X)12 − (D/X)6

](X > 0).

14. Potencjał Kratzera

V (X) = Vc

(C

X− X

C

)2

(X > 0);


En = ~Ω

[

n+12+14

(√

MΩC2

~− 1−

√

MΩC2

~

)]

(n = 0, 1, . . .),

gdzie Ω =√

8Vc/(MC2).15. Potencjał Poschla

V (x) = Vc

(1

cos2 CX+

d

sin2 CX

)

, 0 < X <π

2C, d ∈ 12 , 1, 2;


En =~2C2

2M(2λ+ 2ν + 2n)2 (n = 0, 1, . . .),

gdzie liczby λ i ν spełniają równania:

2λ(2λ− 1) = 2MVc~2C2

, 2ν(2ν − 1) = d2MVc~2C2

.

16. Potencjał

V (X) = Vc ctg2 πX

C, 0 < X < C;


En =~2π2

2MC2(n2 − 4λn+ 2λ) (n = 1, 2, . . .), λ =

14

[

1−√

1 +8MC2Vc

~2π2

]

.

17. Potencjał Konwenta [67–70]

V (X) = Vc(c coshDX − 1)2, c ∈ 12 , 1, 5;w przypadku tego potencjału rozwiązania analityczne można wyznaczyć tylkodla pewnych szczególnych wartości parametrów, np. dla Vc = 9~

2D2/(8M)i c 6 1 trzy najniższe poziomy energetyczne określają wzory

E0,2 = 19Vc[

7 + 9c2 ∓ 4√14 + 9c

2]

, E1 = 19Vc(5 + 9c2).

18. Studnia podwójna

V (X) = Vc(− 12CX2 + 14DX

4);

przyjąć różne wartości parametru C1/2/D1/4.


19. Studnia podwójna

V (X) = VcC(|X | −D)2;zbadać przypadki D → 0 i D →∞.

20. Oscylator anharmoniczny

V (X) = Vc(CX2 +DX4 + EX6 + FX8);

przyjąć różne wartości parametrów C, D, E, F .

A.2. Zagadnienia radialne

Wyznaczyć numerycznie podaną liczbę k energii i funkcji własnych dla kulistosy-metrycznego potencjału wybranego z poniższej listy.

Lista potencjałów trójwymiarowych

1. Studnia prostokątna

V (R) =−Vc (R < C)0 (R > C)

k = 5,

2. Potencjał Morse’a

V (R) = Vc

[

exp(

−2cR−DD

)

− 2 exp(

−cR−DD

)]

, k = 10;


En = −VC +~c

D

√

2VCM(n+ 12 )−

~2c2

2MD2(n+ 12 )

2 (n = 0, 1, . . .).

3. Kulistosymetryczny potencjał Kratzera

V (R) = 2Vc

(12C2

R2− C

R

)

, k = 4;


En = −2MC2V 2C

~2

[

n+ 12 +√

(l + 12 )2 + 2MC2Vc/~

2]−2

(n = 0, 1, . . .).

4. Potencjał Hultena (l = 0)

V (R) = −Vce−R/C

1− e−R/C , k = 8;


En = −Vc(β2 − n22nβ

)2

(n = 1, 2, . . .), β =

√

2MC2Vc~2

.


5. Potencjał

V (R) =C

R2+DR2, k = 4;


En = ~√

D/2M[

4n+ 2 +√

(2l + 1)2 + 8mC/~2]

(n = 0, 1, . . .).

6. Potencjał

V (R) =C

R2− D

R, k = 3;


En = −2MD2

~2

[

2n+ 1 +√

(2l+ 1)2 + 8mC/~2]−2

(n = 0, 1, . . .).

A.3. Zagadnienie jednowymiarowe — porównanie metod

Wyznaczyć numerycznie 10 pierwszych energii i funkcji własnych kwantowegooscylatora harmonicznego o masie M z potencjałem V (X) = 1

2KX2 = 1

2MΩ2X2

za pomocą metody:1. Trójpunktowej (rozdział 3);2. Pięciopunktowej (podrozdział 5.4);3. Lindberga;4. Guardioli–Rosa z aproksymantą Padego s2D2[3/0];5. Guardioli–Rosa z aproksymantą Padego s2D2[4/0];6. Guardioli–Rosa z aproksymantą Padego s2D2[5/0];7. Guardioli–Rosa z aproksymantą Padego s2D2[2/2];8. Guardioli–Rosa z aproksymantą Padego s2D2[3/2].Otrzymane wyniki porównać z analitycznymi. Porównać metody pod względem

efektywności (dokładności, szybkości, wymaganego rozmiaru pamięci operacyjnej).

A.4. Redukcja Householdera — porównanie podprogramówbibliotecznych

Zredukować gęstą macierz symetryczną do postaci trójdiagonalnej za pomocątransformacji Householdera. Zbadać zależność czasu wykonania zadania od rozmiarumacierzy. Wykorzystać różne procedury biblioteczne (SSYTRD z LAPACK-a, TRED1,TRED2 z EISPACK-a, TRED2 z Numerical Recipes, ewentualnie inne).Przeanalizować przypadki, gdy akumulowane są elementarne transformacje podo-

bieństwa (potrzebne później do wyznaczania wektorów własnych wejściowej macierzygęstej), oraz gdy krok ten jest pomijany.


A.5. Symetryczne gęste zagadnienie własne — porównaniemetod i podprogramów bibliotecznych

Zbadać zależność czasu rozwiązywania gęstego symetrycznej zagadnienia własnegood jego rozmiaru za pomocą następujących metod:

transformacji Householdera i iteracji QR/QL — podprogramy

• SSYTRD + SSTEQR (LAPACK),• TRED2 + IMTQL2 (EISPACK),• TRED2 + TQLI (Numerical Recipes);transformacji Householdera i bisekcji z iteracjami odwrotnymi — podprogramy

• SSYTRD + SSTEBZ + SSTEIN (LAPACK),• TRED2 + TSTURM (EISPACK);transformacji Householdera i bisekcji z metodą DWSZ — podprogramy

• SSYTRD + SSTEBZ (LAPACK) + DWSZ (patrz dodatek F),• TRED2 + TRIDIB (EISPACK) + DWSZ;transformacji Householdera i metody „dziel i rządź” — podprogram SSYEVD(LAPACK).

metody Jacobiego — podprogram JACOBI (Numerical Recipes).Można użyć także podprogramów z innych źródeł, również własnych.

A.6. Trójdiagonalne zagadnienie własne — porównanie różnychalgorytmów i podprogramów bibliotecznych

Wyznaczyć zależność czasu obliczania wszystkich wartości własnych trójdiagonal-nej macierzy symetrycznej od jej rozmiaru za pomocą algorytmów QR/QL:

niewymiernego z jawnym przesunięciem widma — podprogram TQL1 (EIS-PACK);

niewymiernego z niejawnym przesunięciem widma — podprogramy

• IMTQL1 (EISPACK),• SSTEQR (LAPACK),• TQLI (Numerical Recipes);wymiernego — podprogramy:

• TQLRAT (EISPACK),• SSTERF (LAPACK).


A.7. Przypadek prawie zwyrodniały (potencjał okresowy)

Wyznaczyć energie własne z przedziału 〈−VC, VC〉 i odpowiadające im funkcjewłasne cząstki kwantowej o masie m poruszającej się w potencjale

V (X) =Vc cos(AX) (|AX | < 6π)∞ (|AX | > 6π).

Rozwiązać odpowiednie algebraiczne zagadnienie własne, wykorzystując stabilną wer-sję metody „dziel i rządź” (podprogram SSTEDC z LAPACK-a) oraz metody: bisek-cji i DWSZ. Zweryfikować numerycznie ortogonalność obliczonych wektorów wła-snych w obu przypadkach. Jak otrzymane wyniki zależą od parametru skali α =2mVc/(A

2~2)?

Zadanie dodatkowe: zbadać ortogonalność wektorów własnych wyznaczonych nie-stabilną wersją metody „dziel i rządź” (wymaga samodzielnego zaprogramowania lubprzeróbki odpowiedniego podprogramu bibliotecznego).

A.8. Przypadek prawie zwyrodniały (potencjał Konwenta)

Wyznaczyć energie własne dwóch najniżej położonych poziomów energetycznychi odpowiadające im funkcje własne cząstki kwantowej o masie m poruszającej sięw potencjale Konwenta (2.20) dla c = 12 oraz α = 1 i α = 10. Odpowiednie algebra-iczne zagadnienie własne rozwiązać za pomocą stabilnej wersji metody „dziel i rządź”(podprogram SSTEDC z LAPACK-a) oraz bisekcji i metody DWSZ. Zweryfikować nu-merycznie ortogonalność obliczonych wektorów własnych w obu przypadkach.Zadanie dodatkowe — jak w poprzednim projekcie.

A.9. Trójdiagonalny układ równań

Korzystając z wyników prac [93] zaprogramować w dowolnym języku algorytmwyznaczania macierzy odwrotnej do symetrycznej macierzy trójdiagonalnej. Wykonaćtesty dla macierzy o wyrazach losowych z przedziału 〈−1, 1〉. Wyniki porównać z re-zultatami otrzymanymi przy pomocy standardowych procedur biblioteki LAPACK.Porównać czasy wykonywania i dokładność wyników (tj. wyznaczyćTT−1−1). Zbadaćefektywność zastosowania zaprogramowanej procedury do rozwiązywania trójdiago-nalnego układu równań.

Dodatek BElementy algebry liniowej

W tym dodatku przytaczamy najważniejsze definicje i twierdzenia matematyczne,którymi posługujemy się przy formułowaniu algorytmów pozwalających numerycznierozwiązywać algebraiczne zagadnienie własne Ax = λx.Na wstępie wprowadzimy definicje normy wektora, wartości własnej i wektora

własnego, promienia spektralnego macierzy oraz wybranych norm macierzowych.

Definicja B-1. Normą ‖x‖2 wektora x ∈ Rn nazywamy liczbę

‖x‖2 =

√√√√

n∑

i=1

x2i =√x · x,

gdzie liczby xi są składowymi wektora x, a x · x oznacza iloczyn skalarny (B-16).Definicja B-2. Wartością własną i wektorem własnym macierzy A ∈ R

n×n nazy-wamy odpowiednio liczbę λ i wektor x 6= 0, spełniające równość

Ax = λx.

Jeżeli A = AT, ma ona dokładnie n wartości własnych λi i dokładnie n niezależnychliniowo wektorów własnych xi. Wszystkie wartości i wektory własne są rzeczywiste,a wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne, tj.xi · xj = 0, jeśli λi 6= λj .

Definicja B-3. Promieniem spektralnym macierzy A ∈ Rn×n nazywamy liczbę

(A) = maxni=1 |λi|,gdzie λi są wartościami własnymi A.

Definicja B-4. Normą ‖A‖1 macierzy A ∈ Rn×n nazywamy liczbę

‖A‖1 = maxnj=1n∑

i=1

|Ai,j |,

gdzie Ai,j są wyrazami j-tej kolumny A.

Definicja B-5. Normą ‖A‖∞ macierzy A ∈ Rn×n nazywamy liczbę

‖A‖∞ = maxni=1n∑

j=1

|Ai,j |,

gdzie Ai,j są wyrazami i-tego wiersza A.

161


Definicja B-6. Normą ‖A‖2 macierzy A ∈ Rn×n nazywamy liczbę

‖A‖2 = maxx 6=0‖Ax‖2‖x‖2

;

Można pokazać, że ‖A‖2 =√

(ATA) =√

λmax(ATA), gdzie λmax(ATA) — najwięk-

sza wartość własna dodatnio określonej macierzy ATA.Przytoczymy teraz twierdzenia, pozwalające szacować położenie widma macierzy

na osi liczb rzeczywistych.Twierdzenie B-7. Dla macierzy A spełniona jest nierówność (A) 6 ‖A‖p, gdziep = 1,∞.Twierdzenie B-8. (Gershgorina) Wszystkie wartości własne rzeczywistej macie-rzy symetrycznej1) A leżą w zbiorze S =

⋃ni=1 Pi, gdzie

Pi = 〈Ai,i − ri, Ai,i + ri〉, ri =n∑

j=1j 6=i

|Ai,j |.

Jeżeli k przedziałów Pi tworzy zbiór rozłączny z pozostałymi, to w zbiorze tym leżydokładnie k wartości własnych macierzy A.Zdefiniujemy transformację macierzy przez podobieństwo oraz podamy niektóre

jej własności.Definicja B-9. Niech S będzie niesobliwą macierzą kwadratową. Przekształceniempodobieństwa nazywamy odwzorowanie

A 7→ B = S−1AS.Definicja B-10. Macierze A i B nazywamy podobnymi, jeśli istnieje nieosobliwa ma-cierz S taka, że B = S−1AS.

Twierdzenie B-11. Macierze podobne mają takie same wartości własne. Jeśli wek-tor q jest wektorem własnym macierzy A odpowiadającym jej wartości własnej λ,to wektor p = S−1q jest wektorem własnym macierzy B odpowiadającym równieżwartości własnej λ.

Dowód. Jeśli Aq = λq, to S−1Aq = λS−1q. Ponieważ p = S−1q, to q = Sp i mamyS−1ASp = Bp = λS−1Sp = λp. 2

Do klasy przekształceń podobieństwa należą w szczególności:1. Przekształcenia ortogonalne z rzeczywistymi macierzami S, które spełniająrelację

ST = S−1

gdzie ST oznacza macierz transponowaną. Macierze takie przyjęto oznaczaćw literaturze za pomocą symbolu Q. Dla macierzy ortogonalnej wyznacznikdetQ = ±1; jeśli detQ = 1, macierz tę nazywamy właściwą.

1) Istnieje również ogólniejsza wersja twierdzenia Gershgorina, dotycząca macierzy niesymetrycz-nych [21, 25].


2. Przekształcenia unitarne, z zespolonymi macierzami S, które spełniają relację

S−1 = SH

gdzie SH = (ST)∗ oznacza macierz sprzężoną po hermitowsku. Macierze takieprzyjęto oznaczać symbolem U.

Twierdzenie B-12. Ortogonalne przekształcenia podobieństwa zachowują własnośćsymetryczności macierzy.

Dowód. Transponujemy macierz B: BT = (QTAQ)T = QTATQ = B. 2

Podobnie unitarne przekształcenia podobieństwa zachowują własność hermitow-skości macierzy (AH = A).W podręczniku odwołujemy się często do twierdzenia Sylvestera, nazywanego

w matemetyce twierdzeniem o bezwładności macierzy symetrycznej lub formy kwa-dratowej , oraz związanego z nim twierdzenia Martina–Deana.

Definicja B-13. Bezwładnością2) macierzy symetrycznej A nazywamy trójkę liczbcałkowitych (η, ν, ξ), gdzie η, ν i ξ są liczbami odpowiednio ujemnych, zerowych i do-datnich wartości własnych macierzy A.

Twierdzenie B-14. (Sylvestera) Niech A będzie macierzą symetryczną, a X —macierzą nieosobliwą (detX 6= 0). Wtedy macierze A i XTAX mają tę samą bezwład-ność.

Dowód twierdzenia Sylvestera można znaleźć w podręczniku [50].Do sformułowania twierdzenia Martina–Deana potrzebne nam będzie jeszcze jedno

pojęcie:

Definicja B-15. Iloczynem zewnętrznym wektorów v ∈ Rn i w ∈ R

m w wybranejbazie nazywamy macierz n×m

v ⊗w = |v〉〈w| = vwT =

v1...vn

(w1, . . . , wm) =

v1w1 · · · v1wm...

. . ....

vnw1 · · · vnwm

.

Podkreślmy w tym miejscu, że iloczynu zewnętrznego nie należy mylić z iloczynemskalarnym:

Definicja B-16. Iloczynem skalarnym wektrów v,w ∈ Rn nazywamy liczbę

v ·w = 〈v|w〉 = vTw = (v1, . . . , vn)

w1...wn

=

n∑

i=1

viwi.

2)W języku angielskim stosowany jest termin inertia.


Twierdzenie B-17. (Martina–Deana) Niech A ∈ Rn×n będzie symetryczną ma-

cierzą blokowo-trójdiagonalną postaci

A =

D1 ET1

E1. . .

. . .. . .

. . . ETm−1Em−1 Dm

,

gdzie Di ∈ Rli×li są macierzami symetrycznymi, a Ei ∈ R

li+1×li ; rozmiary klatek speł-niają zależność

∑mi=1 li = n. Niech η(X) oznacza liczbę ujemnych wartości własnych

macierzy X. Wtedy

η(A− z1) =m∑

i=1

η(Ui),

gdzie (Ui) jest ciągiem macierzy postaci

U1 = D1 − z11, Ui = Di − z1i − Ei−1U−1i−1ETi−1 (i = 2, . . . ,m), (B.1)

a 1i ∈ Rli×li jest macierzą jednostkową stosownego rozmiaru.

Dowód powyższego twierdzenia podano w pracy [100].Zastosujmy twierdzenie Martina–Deana do dowolnej (gęstej) rzeczywistej macierzy

symetrycznej A. W tym celu zajmijmy się macierzą A1 = A − z1, którą dzielimy nacztery klatki:

A1 =

(

u1 yT1

y1 D1

)

, (B.2)

gdzie u1 = A1,1 − z (jest to skalar) oraz

y1 =

A2,1...

An,1

, D1 =

A2,2 − z · · · A2,n...

. . ....

An,2 · · · An,n − z

;

D1 jest macierzą (n− 1)× (n− 1), a y1 — wektorem o n− 1 współrzędnych.Na podstawie twierdzenia Martina–Deana otrzymujemy

η(A1) = η(u1) + η(D1 − y1 ⊗ y1/u1) = η(u1) + η(A2), (B.3)

gdzie wynikiem iloczynu zewnętrznego y1 ⊗ y1 jest macierz (n − 1) × (n − 1). Jakwidzimy, liczba η(A1) jest określona za pomocą znaku skalara u1 oraz liczby ujemnychwartości własnych macierzy A2 = D1 − y1 ⊗ y1/u1 rozmiaru (n− 1)× (n− 1).W drugim kroku dzielimy na klatki macierz A2:

A2 =

(

u2 yT2

y2 D2

)

, (B.4)

gdzie u2 jest wyrazem stojącym w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie macie-rzy A2, y jest wektorem o współrzędnych określonych przez pozadiagonalne wyrazypierwszej kolumny A2, zaś D2 — macierzą rozmiaru (n − 2) × (n − 2), otrzymaną


z A2 przez skreślenie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny. Ponowne zastosowanietwierdzenia B-17 daje

η(A2) = η(u2) + η(D2 − y2 ⊗ y2/u2) = η(u2) + η(A3), (B.5)

W kolejnych krokach (dla i = 3, . . . , n− 1) powtarzamy powyższą procedurę:

Ai = Di−1 −yi−1 ⊗ yi−1

ui−1=

(

ui yTi

yi Di

)

(B.6)

oraz

η(Ai) = η(ui) + η(Ai+1), (B.7)

gdzie Ai+1 — macierz rozmiaru (n− i)× (n− i); w ostatnim kroku An jest skalarem,co kończy postępowanie.Równanie (B.7) jest podstawowym wynikiem umożliwiającym efektywne wyzna-

czanie wartości własnych macierzy. Pokazuje ono, że liczba lww(z) wartości własnychsymetrycznej macierzy rzeczywistej A mniejszych od danej liczby rzeczywistej z jestokreślona za pomocą znaków n wielkości skalarnych ui obliczanych rekurencyjnie(patrz (B.2)–(B.6)).W naszych rozważaniach najczęściej mamy do czynienia z macierzą trójdiagonalną

potaci

T =

d1 e1

e1. . .

. . .. . .

. . . en−1

en−1 dn

, (B.8)

dla której słuszne jest następujące twierdzenie:Twierdzenie B-18. Jeśli wszystkie wyrazy e2, e3, . . . , en macierzyT są niezerowe, tojej wartości własne są jednokrotne3) (w fizyce używa się terminu niezdegenerowane).Ostatnie twierdzenie ma istotne znaczenie w obliczeniach numerycznych, które

prowadzone są zawsze ze skończoną dokładnością (określoną liczbą σm, zwaną epsilonmaszynowym). Może się tak zdarzyć, że wyniki obliczeń numerycznych będą wska-zywały na degenerację (tj. równość z dokładnością σm) dwóch lub większej liczbywartości własnych rozpatrywanego AZW z macierzą (B.8), mimo że wszystkie ei 6= 0.Wtedy degeneracja ta ma charakter artefaktu komputerowego.Należy także zauważyć, że jeśli macierz T otrzymaliśmy jako numeryczny wynik

przekształcenia ortogonalnego T = QTAQ pewnej macierzy symetrycznej A, to war-tości własne A są równe wartościom własnym T tylko w przybliżeniu. W szczególnościwynik ei = 0 może być skutkiem błędów zaokrągleń i degeneracja wartości własnych Tniekoniecznie oznacza degenerację wartości własnych A. I odwrotnie, możemy otrzy-mać macierz T z wyrazami ei 6= 0 (z dokładnością maszynową), nawet jeśli A mawielokrotne wartości własne.

3) Ich krotności algebraiczne oraz geometryczne [21] wynoszą 1.


Podstawą wszystkich algorytmów diagonalizacji macierzy jest następujące twier-dzenie:Twierdzenie B-19. (Schura) Dla każdej macierzy hermitowskiej A rozmiaru n×nistnieje macierz unitarna U spełniająca równość

UHAU = diag(λ1, . . . , λn),

gdzie liczby rzeczywiste λi są wartościami własnymi macierzy A, a i-ta kolumnamacierzy U jest wektorem własnym odpowiadającym λi. Macierz A ma n liniowoniezależnych, różnych wektorów własnych [21, 50].Na mocy tego twierdzenia każdą macierz hermitowską można zdiagonalizować za

pomocą przekształcenia unitarnego podobieństwa.Wniosek B-20. Dla każdej rzeczywistej macierzy symetrycznej A rozmiaru n × nistnieje macierz ortogonalna Q (rzeczywista) spełniająca równość

QTAQ = diag(λ1, λ2, . . . , λn),

gdzie liczby rzeczywiste λi są wartościami własnymi macierzy A, a i-ta kolumnamacierzy Q jest wektorem własnym odpowiadającym λi. Macierz A ma n liniowoniezależnych, różnych wektorów własnych.Zatem każdą symetryczną macierz rzeczywistą można zdiagonalizowalna przy po-

mocy ortogonalnego przekształcenia podobieństwa.Przytoczymy jeszcze (bez dowodu) twierdzenie [25 (r. 6), 50 (r. 3)], będące pod-

stawą metod QR i QL.Twierdzenie B-21. Każdą rzeczywistą macierz prostokątną A ∈ R

m×n (m > n),mającą k 6 n liniowo niezależnych kolumn, można przedstawić w postaci A = QR,gdzie Q ∈ R

m×k jest macierzą ortogonalną, a R ∈ Rk×n jest macierzą trapezoidalną

górną.Rozkład ten można otrzymać stosując metodę Gramma–Schmidta (może być ona

numerycznie niestabilna, ale na niej najprościej oprzeć dowód [21 (r. 4), 25 (r. 6),45 (r. 4), 50 (r. 3)]), Householdera [21 (r. 4 i 6), 25 (r. 6), 45 (r. 4 i 8)] lub Givensa[21 (r. 6), 25 (r. 6), 45 (r. 4 i 8)].Twierdzenie B-22. Jeżeli macierz kwadratowa A ∈ R

n×n jest nieosobliwa, to ist-nieje jednoznaczny (z dokładnością do znaków) rozkład A = QR.Wyznaczanie wektorów własnych w metodzie „dziel i rządź” (podrozdział 6.4) jest

oparte na twierdzeniu, które przytaczamy poniżej.Twierdzenie B-23. (Lownera) Niech D = diag(d1, . . . , dn) będzie macierzą dia-gonalną i dn < · · · < d1, a liczby αi spełniają nierówności

dn < αn < · · · < di+1 < αi+1 < di < αi < · · · < d1 < α1.

Wtedy istnieje wektor w taki, że αi są dokładnymi wartościami własnymi macierzyM = D+w ⊗wT i

w2i =n∏

j=1

(αj − di)/

n∏

j=1j 6=i

(dj − di).


Dowód. Wykorzystamy twierdzenie B-24. Wtedy wielomian charakterystyczny ma-cierzy M przyjmuje postać

det(M− λ1) = det(D+w ⊗wT − λ1) == det(D− λ1) det[1+ (D− λ1)−1w ⊗wT] =

=n∏

j=1

(dj − λ)[

1 +n∑

j=1

w2jdj − λ

]

=

=n∏

j=1

(dj − λ)

1 +

n∑

j=1j 6=i

w2jdj − λ

+ w2i

n∏

j=1j 6=i

(dj − λ).

Połóżmy teraz λ = di i porównajmy wynik z wielomianem charakterystycznym Mrozłożonym na czynniki:

det(M− λ1) =n∏

j=1

(αj − di) = w2in∏

j=1j 6=i

(dj − di).

Stąd już łatwo otrzymujemy wartości wi. Są one dodatnie ze względu na uporządko-wanie liczb αj i dj . 2

Twierdzenie B-24. Niech 1 ∈ Rn×n będzie macierzą jednostkową, a x,y ∈ R

n —dowolnymi wektorami. Wówczas

det(1+ x⊗ y) = 1 + x · y.Dowód. Niech x′ = x/‖x‖2 oraz X = (x′,X′) jest macierzą ortogonalną o pierwszejkolumnie x′ (X′ ∈ R

n×(n−1)). Wtedy

det(1+ x⊗ y) = det[XT(1+ x⊗ y)X] = det(1+ XTxyTX).Ponieważ XTx = (‖x‖2, 0, . . . , 0)T oraz yTX = (yTx′,yTX′), mamy

1+ (XTx)(yTX) =

(

1 + ‖x‖2yTx′ ‖x‖2yTX′

0 1

)

.

Jest to macierz trójkątna i jej wyznacznik wynosi 1 + ‖x‖2yTx′ = 1 + xTy. 2

Dodatek CAproksymacja pochodnych przy pomocy różnicskończonych

Za podręcznikiem [60] przedstawimy tu krótko zasady numerycznego różniczko-wania, które stanowią podstawę naszych rozważań.Niech funkcja rzeczywista f(x) będzie określona na przedziale 〈a, b〉. Załóżmy, że

znane są nam wartości tej funkcji fi = f(xi) w równo oddalonych punktach

xi = a+ is (i = 0, . . . , n+ 1), s =b− an+ 1

. (C.1)

Zbiór punktów (C.1) będziemy dalej nazywać jednowymiarową siatką. Zauważmy,że xi ∈ 〈a, b〉 i f(a) = f0, f(b) = fn+1.Podamy teraz wzory pozwalające przybliżać wartości pochodnych funkcji f za

pomocą znanych wartości fi.

Wzory dla pierwszej pochodnej

formuła różniczkowania do przodu

f (I)(xi) = f(I)i =

fi+1 − fis

+O(s); (C.2)

różnica centralna

f (I)(xi) = f(I)i =

fi+1 − fi−12s

+O(s2); (C.3)


f (I)(xi) = f(I)i =

−fi+2 + 4fi+1 − 3fi2s

+O(s2); (C.4)

różnica centralna

f (I)(xi) = f(I)i =

−fi+2 + 8fi+1 − 8fi−1 + fi−212s

+O(s4). (C.5)

Wzory dla drugiej pochodnej


f (II)(xi) = f(II)i =

fi+2 − 2fi+1 + fis2

+O(s); (C.6)

różnica centralna


fi+1 − 2fi + fi−1s2

+ O(s2); (C.7)

169




−fi+3 + 4fi+2 − 5fi+1 + 2fis2

+O(s2); (C.8)

różnica centralna


−fi+2 + 16fi+1 − 30fi + 16fi−1 − fi−212s2

+O(s4); (C.9)

Wzory dla trzeciej pochodnej


f (III)(xi) = f(III)i =

fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1 − fis3

+O(s); (C.10)

różnica centralna

f (III)(xi) = f(III)i =

−fi+2 − 2fi+1 + 2fi−1 − fi−22s3

+O(s2). (C.11)

Wzory dla czwartej pochodnej


f (IV)(xi) = f(IV)i =

fi+4 − 4fi+3 + 6fi+2 − 4fi+1 + fis4

+O(s); (C.12)

różnica centralna

f (IV)(xi) = f(IV)i =

fi+2 − 4fi+1 + 6fi − 4fi−1 + fi−2s4

+O(s2). (C.13)

Wyprowadzenie podanych wzorów polega na rozwinięciu w szereg Taylora funk-cji f(x) w odpowiednio wybranych punktach siatki (C.1):

fi+2 = fi + 2sf(I)i + 2s

2f(II)i + 43s

3f(III)i + 2

3s4f(IV)i +O(s5)

fi+1 = fi + sf(I)i +

12s2f(II)i + 16s

3f(III)i + 1

24s4f(IV)i +O(s5)

fi−1 = fi − sf(I)i +

12s2f(II)i − 16s

3f(III)i + 1

24s4f(IV)i −O(s5)

fi−2 = fi − 2sf(I)i + 2s

2f(II)i − 43s

3f(III)i + 2

3s4f(IV)i −O(s5)

oraz wykonaniu kilku prostych przekształceń algebraicznych. Pokażemy to na przy-kładach.Obliczając różnicę fi+1 − fi−1 dostajemy

f(I)i =

fi+1 − fi−12s

+O(s2),

gdzie O(s2) oznacza pominięte wyrazy, będące rzędu s2.W celu uzasadnienia wzoru z różnicą centralną dla drugiej pochodnej należy wy-

znaczyć sumę fi+1 + fi−1, z której po prostych przekształceniach otrzymujemy

f(II)i =

fi+1 − 2fi + fi−1s2

+O(s2),

C. Aproksymacja pochodnych przy pomocy różnic skończonych 171

ponieważ f (I) została wyznaczona z dokładnością O(s2).Obliczymy teraz drugą pochodną z dokładnością do wyrazów O(s4). W tym celu

zauważmy, że

fi+1 + fi−1 = 2fi + s2f(II)i +

s4

12f(IV)i ,

skąd wynika, że

s4f(IV)i = 12(fi+1 + fi−1 − 2fi − s2f

(II)i ).

Podstawienie powyższej równości do wzoru

fi+2 + fi−2 = 2fi + 4s2f(II)i +

4s4

3f(IV)i ,

prowadzi do wyniku

f(II)i =

−fi+2 + 16fi−1 − 30fi + 16fi−1 − fi−212s2

+O(s4).

Zadania

C/1. Uzasadnić podane wyżej wzory dla pierwszej (C.5) i trzeciej (C.11) pochodnej,odpowiadające różnicom centralnym.Wskazówka: Korzystając z odpowiednich szeregów Taylora, zapisać wyrażenia dla(fi+1−fi−1) oraz (fi+2−fi−2) i rozwiązać otrzymany układ dwóch równań ze względuna f (I)i oraz f

(III)i .

C/2. Pokazać, że podane wyżej formuły dla drugiej (C.9) i czwartej (C.13) pochodnejodpowiadające różnicom centralnym są rozwiązaniami układu równań otrzymanegopo obliczeniu sum fi+1 + fi−1 oraz fi+2 + fi−2 (przy wykorzystaniu odpowiednichszeregów Taylora).C/3.Wyprowadzić podane wzory dotyczące aproksymacji do przodu: (C.2), (C.4),(C.6), (C.8), (C.10) i (C.12).C/4. Jaką postać będą miały odpowiednie wzory dla pochodnych, jeżeli w miejsceaproksymacji do przodu zastosujemy aproksymację do tyłu (tj. wykorzystującą tylkowartości fi, fi−1, . . . )?

Dodatek DKlasyczna aproksymacja Padego

Jednym z bardziej efektywnych sposobów aproksymacji funkcji rzeczywistej jednejzmiennej jest aproksymacja Frobeniusa–Padego [87], którą tu krótko przedstawimy.Niech funkcja rzeczywista f(z) ma w otoczeniu punktu z = 0 znane rozwinięcie

w szereg potęgowy Taylora

f(z) =∞∑

i=0

cizi. (D.1)

Definicja D-1. Aproksymantą Padego [j/m]f (z) nazywamy funkcję wymierną po-staci

[j/m]f(z) =a0 + a1z + · · ·+ ajzj

1 + b1z + · · ·+ bmzm,

spełniającą relację [j/m]f (0) = f(0), której szereg Taylora wokół z = 0 pokrywa sięze skończoną liczbą początkowych wyrazów szeregu (D.1).Zauważmy, że w aproksymancie [j/m]f mamy j + 1 współczynników w liczniku

orazm w mianowniku. W sumie daje to liczbę (m+j+1) dowolnych współczynników,które łatwo można wyznaczyć.Z definicji aproksymanty wynika, że

f(z) = [j/m]f (z) + O(zj+m+1) =

a0 + a1z + · · ·+ ajzj

1 + b1z + · · ·+ bmzm+O(zj+m+1). (D.2)

Wynika stąd równośćf(z)(1 + b1z + · · ·+ bmzm) = a0 + a1z + · · ·+ ajzj +O(zj+m+1),

z której otrzymujemy (z dokładnością do wyrazów O(zj+m+1))(c0 + c1z + · · · )(1 + b1z + · · ·+ bmzm) = a0 + a1z + · · ·+ ajzj. (D.3)

Porównanie współczynników przy odpowiednich potęgach po obu stronach ostatniejrówności prowadzi do układu równań

cj−m+1 · · · cj...

. . ....

cj · · · cj+m−1

bm...b1

= −

cj+1...

cj+m

, (D.4)

którego rozwiązanie daje szukane współczynniki b1, . . . , bm. Przyjęto tu umownie, żeci = 0 dla i < 0. Jeśli j = m, to powyższy układ równań przyjmuje postać

c1 · · · cj.... . .

...cj · · · c2j−1

bj...b1

= −

cj+1...c2j

,

173


Pozostaje jeszcze wyznaczyć nieznane współczynniki a0, . . . , aj . Z relacji (D.3), po-równując współczynniki przy z0, . . . , zj, otrzymujemy kolejno

a0 = c0, a1 = c1 + b1c0,

ak = ck +min(k,m)∑

i=1

bick−i. (D.5)

Jeśli j = m, to ostatnie równanie przyjmuje postać

ak = ck +k∑

i=1

bick−i.

Równania (D.4) i (D.5) pozwalają jednoznacznie określić współczynniki ai, biaproksymanty Padego [j/m]f .Każde rozwinięcie f(z) w szereg potęgowy ma swój promień zbieżności |z| < R.

Aproksymanty Padego są zbieżne zazwyczaj w nieco szerszym obszarze niż odpowiedniszereg Taylora, co decyduje o ich przydatności.

Przykład. Niech

f(z) =

√

1 + 12z1 + 2z

= 1− 34z + 3932z2 − · · · .

Wyznaczmy aproksymantę [1/1] tej funkcji, tj.a0 + a1z1 + b1z

= 1− 34z + 3932z2 +O(z3).

Z powyższej równości wynika, że

1 + b1z − 34z − 34b1z2 + 3932z

2 +O(z3) = a0 + a1z,

skąd znajdujemy 34b1 =3932 i b1 =

138 oraz a0 = c0 = 1, a1 = c1+b1c0 =

78 . Ostatecznie

[1/1]f(z) =1 + 78z

1 + 138 z=8 + 7z8 + 13z

.

Zauważmy, że limz→∞ f(z) = 12 , a wartość limz→∞[1/1]f(z) =

713 , co oznacza do-

kładność 8%.

Na zakończenie wspomnijmy, że klasyczna aproksymanta Padego [j/m]f (D.2)istnieje (w sensie równości (D.3)) pod warunkiem [87], że dla z = 0 zachodzi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

cj−m+1 · · · cj cj+1...

. . ....

...cj · · · cj+m−1 cj+m

zm · · · z 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0,

gdzie ponownie położono ci = 0 dla i < 0.

D. Klasyczna aproksymacja Padego 175

Przykład. Aproksymanta Padego [1/1]f funkcji f(z) = 1 + z2 jest równa 1, ale

1 + z2 6= 1, ponieważ w tym przypadku wyznacznik∣∣∣∣∣

c1 c2

z 1

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

0 1

z 1

∣∣∣∣∣

znika dla z = 0.

Przedstawione podejście Frobeniusa–Padego może być uogólnione na funkcje ope-ratorów, co wykorzystujemy w rozdziale 5.

Zadania

D/1.Wyprowadzić układy równań (D.4) i (D.5).D/2.Wyznaczyć początkowe aproksymanty Padego jednej z następujących funkcji:sin z, cos z, tg z, sin zz ,

tg zz , arc sin z, arc tg z, sinh z, cosh z, tgh z, e

z. Oszacować do-kładność przybliżenia danej funkcji za pomocą aproksymanty Padego w ograniczonymprzedziale. Posłużyć się tablicami matematycznymi (np. [85]) zawierającymi odpo-wiednie rozwinięcia wymienionych funkcji wokół z = 0. Wskazówka: Można użyćprogramu PADE z Numerical Recipes.

Dodatek EBiblioteki podprogramów

Opisane w tym podręczniku algorytmy są zaimplementowane w wielu bibliotekachpodprogramów, zarówno komercyjnych, jak i powszechnie dostępnych, tj. należącychdo public domain. Większość z nich jest zaprogramowana w językach Fortran 77/90i C/C++, niektóre także w innych (Pascal, Java).Biblioteki komercyjne sprzedawane są najczęściej w postaci binarnej (tj. skom-

pilowanej dla określonej platformy sprzętowej, kompilatora i systemu operacyjnego).Zazwyczaj ceny kodów źródłowych takich bibliotek są wysokie.Biblioteki niekomercyjne dostępne są w postaci kodów źródłowych, co czyni je

praktycznie uniwersalnymi, tj. możliwymi do zastosowania w dowolnym środowisku.Dostęp do kodów źródłowych pozwala ponadto na zapoznanie się ze szczegółamiimplementacji i technikami efektywnego programowania.Spośród bibliotek niekomercyjnych na szczególną uwagę zasługują EISPACK oraz

LAPACK, dostępne w Internecie pod adresem http://www.netlib.org/.Biblioteka EISPACK1) zawiera podprogramy pozwalające rozwiązywać zagadnie-

nia własne dla macierzy gęstych (symetrycznych i niesymetrycznych rzeczywistychoraz hermitowskich i niehermitowskich zespolonych), pasmowych i trójdiagonalnych,podprogramy pomocnicze oraz podprogramy wykonujące rozkład macierzy względemwartości szczególnych. Opis biblioteki znajduje się w pracach [51, 52].Biblioteka LAPACK2), będąca rozwinięciem EISPACK-a oraz innej biblioteki,

LINPACK-a, zawiera praktycznie pełny zestaw podprogramów z zakresu numerycz-nej algebry liniowej. Pozwalają one m.in. na rozwiązywanie układów równań linio-wych i zagadnień własnych dla rzeczywistych i zespolonych macierzy gęstych i spe-cjalnych (pasmowych, trójdiagonalnych, trójkątnych itp.) oraz liniowego zagadnienianajmniejszych kwadratów, wykonanie rozkładu macierzy względem wartości szcze-gólnych. Podprogramy LAPACK-a napisane są w sposób umożliwiający obliczeniarównoległe na dużych wieloprocesorowych maszynach, ale działają dobrze również nazwykłym PC. Podręcznik użytkownika [53] jest dostępny w Internecie wraz z całąbiblioteką w postaci elektronicznej.Spośród bibliotek komercyjnych wymienimy kilka, cieszących się większą popular-

nością:Numerical Recipes (dostępne w postaci kodów źródłowych w Fortranie, Club Pascalu, zamieszczonych w książkach [41–44] wraz z obszernymi opisami).Teksty książek (za wyjątkiem wersji dla Pascala) są dostępne bezpłatnie w In-ternecie pod adresem http://www.nr.com/, jednakże za kody podprogramów

1) Ang. EIGensystem PACKage.2) Ang. Linear Algebra PACKage.

177


wciąż należy płacić;bibliotekę NAG3) (adres internetowy: http://www.nag.com/);bibliotekę IMSL4) firmy Visual Numerics Inc. (http://www.vni.com/).bibliotekę ESSL5) firmy IBM, przeznaczoną dla produkowanych przez nią stacjiroboczych rodzin RS/6000 i 370(http://www.austin.ibm.com/software/Apps/essl.html).

Biblioteki NAG i IMSL są dostępne na najpopularniejsze platformy sprzętowe i pro-gramowe.

3)Numerical Algorithms Group

4)International Mathematical and Statistical Libraries.

5)Engineering and Scientific Subroutine Library

Dodatek FProgramy źródłowe

Dołączona do książki płytka CD zawiera kody źródłowe podprogramów w językuFORTRAN-77, realizujących algorytmy rozwiązywania równania Schrodingera omó-wione w rozdziałach 2–5. Zapisane na niej są również kody programów: PREC (służą-cego do badania dokładności i szybkości działania poszczególnych algorytmów; wynikiprezentowane są w rozdziale 9) oraz OSCFN (obliczającego funkcje falowe oscylatoraharmonicznego przedstawione na rys. 9.7).Tabela F.1 zawiera spis najważniejszych podprogramów i krótki opis ich działania.

Szczegółowe opisy znajdują się w komentarzach wewnątrz kodów źródłowych.

Tabela F.1. Podprogramy dołączone na płytce CD

Podprogram Typ macierzy Działanie

VGRIDV diagonalna diag(v) obliczenie wartości potencjału na siatce

GUARDROS H dla metody Guardioli–Rosa obliczenie wyrazów macierzy

TRED1 symetryczna redukcja do postaci trójdiagonalnej

(EISPACK) metodą Householdera

DEAN dowolna T = trid(e, d,e)

DEAN3 H dla metody trójpunktowej zliczanie wartości własnych

DEANl H dla metody Lindberga mniejszych od zadanej liczby

DEAN5 H dla metody pięciopunktowej

EIGVL1 H dla wybranej metody przygotowanie macierzy

BISECT dowolna znajdowanie wartości własnych

w zadanym przedziale (metoda bisekcji)

EIGVL2 H dla wybranej metody diagonalizacja

EIGVAL H dla wybranej metody eigvl1 + eigvl1

DWSZ dowolna T = trid(e, d,e) wyznaczanie wektora własnego

DWSZ3 H dla metody trójpunktowej przynależnego do danej wartości

DWSZL H dla metody Lindberga własnej (metoda DWSZ)

Poniżej zamieszczamy kody źródłowe kilku najważniejszych podprogramów, reali-zujących opisane w rozdziale 3 algorytmy Martina–Deana i DWSZ. Podprogramy tedziałają dla symetrycznych macierzy trójdiagonalnychT = trid(e,d, e) o niezerowychwyrazach pozadiagonalnych. Jeżeli któreś z wyrazów ei = 0, wtedy macierz rozpadasię na bloki, do których można już stosować poniższe podprogramy.Podprogram DEAN znajduje liczbę wartości własnych macierzy T mniejszych od z,

179


tj. η(T− z1). W celu przyspieszenia obliczeń, do funkcji przekazywany jest wektor e2zawierający kwadraty wyrazów pozadiagonalnych1). Dodatkowe przyspieszenie mo-żemy uzyskać, jeżeli wiemy, że dla danej liczby z zachodzi nierówność η(T− z1) 6 k,gdzie k 6 n. Wówczas po znalezieniu k ujemnych wyrazów ciągu (ui) możemy prze-rwać główną pętlę. Jest to szczególnie istotne przy najniżej leżących wartościach wła-snych.Funkcja działa prawidłowo w arytmetyce IEEE 754 (tj. gdy dzielenie przez zero

daje wynik „∞”) przy wyłączonym zgłaszaniu wyjątków [71, 72, 142, 143]. Jeżeli danykompilator nie jest zgodny z normą IEEE 754, w pewnych przypadkach może nastąpićprzerwanie wykonywania programu z błędem dzielenia przez zero. Można się przedtym zabezpieczyć, dodając instrukcję w rodzaju „if (u.eq.0.) u=1e-37” przed in-strukcją dzielenia.

integer function dean(d,e2,n,w,k)

* ... zwraca liczbę wartości własnych symetrycznej macierzy

* ... trójdiagonalnej mniejszych od zadanej liczby rzeczywistej

implicit none

* ... parametry wywołania

* d() przekątna główna macierzy

* e2() kwadraty wyrazów pozadiagonalnych, niezerowe

* n rozmiar macierzy

* w zadana liczba

* k górne ograniczenie na wartość dean(...), jeśli znane

double precision d(*),e2(*),w

integer n,k

* ... zmienne lokalne

double precision u

integer i,j

j=0

u=d(1)-w

if (u.lt.0.) j=1

do 281 i=2,n

u=d(i)-w-e2(i-1)/u

* ... licz ujemne wyrazy ciągu

if (u.lt.0.) j=j+1

* ... zakończ przeszukiwanie tak szybko, jak to możliwe

if (j.eq.k) goto 282

281 continue

282 dean=j

return

end

1) Eliminacja jednego mnożenia nie powoduje jednak bardzo dużego wzrostu szybkości działaniafunkcji, gdyż zdecydowanie najbardziej czasochłonną operacją w pętli jest dzielenie zmiennoprzecin-kowe (przynajmniej na mikroprocesorach Intel i486 i nowszych [142, 143]).


Podprogramy DEAN3, DEANL oraz DEAN5 wykonują analogiczne zadania; ciągi (ui)obliczane są dla szczególnych postaci macierzy trójdiagonalnych lub pentadiagonal-nych, występujących odpowiednio w metodach: trójpunktowej, Lindberga i pięcio-punktowej dyskretyzacji równania Schrodingera. Ciągi te zadane są wzorami (3.2),(5.50) i (5.40), przy czym z uwagi na zmniejszenie błędów zaokrągleń, wyrazy macie-rzy zależne od potencjału są za każdym razem obliczane (tj. parametrem wejściowymjest wektor v, a nie wektory d i e). Zwróćmy uwagę, że wartość u wyrażeniu typu

u=2.+(v(i)-w)-1./u

ma szansę być obliczone dokładniej niż w sekwencjid(i)=2.+v(i)

u=d(i)-w-1./u

w przypadku, gdy v(i), w ≪ 2, a tak zwykle jest, gdyż potencjał i energia skalująsię ze skokiem siatki s jak s2. Ponadto w podprogramie dla metody pięciopunktowejobliczane są odwrotności liczb ui, gdyż zmiennoprzecinkowe mnożenie jest zazwyczajszybsze od dzielenia2)

Podprogram BISECT znajduje metodą bisekcji wszystkie wartości własne macie-rzy T leżące w przedziale (zmin, zmax〉, wykorzystując zewnętrzną funkcję FCNT dowyznaczania η(T− z1). Umożliwia to zastosowanie podprogramu nie tylko do syme-trycznej macierzy trójdiagonalnej, ale — po podstawieniu pod fcnt funkcji innej niżpowyżej opisana funkcja DEAN — również do macierzy pentadiagonalnych itp.Podanie zbyt małej dokładności tol nie powoduje zapętlenia się podprogramu

z uwagi na warunek z = z1∨z = z2, gdzie z = 12 (z1+ z2); będzie on prawdziwy, gdyz1 i z2 będą się różnić w reprezentacji zmiennoprzecinkowej tylko najmniej znaczącymbitem. Z uwagi na to, że na niektórych maszynach (np. na PC) wyniki częściowe mogąbyć obliczane z dokładnością większą niż DOUBLE PRECISION, konieczne są dodatkoweśrodki ostrożności (komentarz za etykietą 220).W celu przyspieszenia działania podprogramu, informacje uzyskane podczas suk-

cesywnego połowienia początkowego przedziału są wykorzystywane do szacowaniagranic podprzedziałów, w których leżą kolejne wartości własne (patrz komentarze).

subroutine bisect(d1,d2,n,fcnt,wmin,wmax,tol,m,wk1,wk2,w,m1,m2)

* ... znajduje metodą bisekcji wartości własne macierzy pasmowej

* ... nieokreślonego typu, leżące w zadanym przedziale

implicit none


* d1(),d2()

* (<) zadają w dowolny, znany funkcji fcnt(...) sposób,

* macierz pasmową (np. d1 -- wyrazy diagonalne, itd.)

* n (<) rozmiar macierzy

* fcnt(...)

* funkcja zliczająca wartości własne mniejsze od zadanej liczby

* wmin,wmax

2) Na wielu mikroprocesorach z rodziny Intel 80x86/x87 nawet wielokrotnie szybsze.


* (<) granice przedziału zawierającego wartości własne

* tol (<) dokładność lokalizacji wartości własnych;

* UWAGA: tol=0d0 pozwala osiągnąć maksymalną dokładność

* m (<) liczba poszukiwanych najmniejszych wartości własnych

* wk1(),wk2()

* (#) tablice robocze

* w() (>) kolejne wartości własne, jeśli zostały znalezione

* m1 (>) numer pierwszej wartości własnej w przedziale, minus 1

* m2 (>) numer ostatniej wartości własnej w przedziale,

* jeśli m2<=m1, brak wartości własnych w przedziale,

* jeśli m2-m1>m, zapisane tylko m najmniejszych wartości własnych

integer n,m,wk2(m),m1,m2

double precision d1(*),d2(*),w(m),wmin,wmax,tol,wk1(2,m)

integer fcnt

external fcnt

* ... zmienne robocze i lokalne

* wk1(1,?),wk1(2,?)

* aktualne oszacowania z dołu i z góry kolejnych wartości własnych

* wk2() wartości funkcji fcnt(...) dla liczb wk1(?,2)

* z aktualne przybliżenie bieżącej wartości własnej

* z1,z2 oszacowania z dołu i z góry bieżącej wartości własnej

* k,k1,k2 wartość fcnt(...) dla dla z,z1,z2

* k20 wartość k2 przed zawężeniem bieżącego przedziału

* m2a numer ostatniej wartości własnej mieszczącej się w tablicy w()

double precision z,z1,z2

integer i,j,k,m2a,k1,k2,k20

* ... podprogram zewnętrzny

logical bischk

external bischk

* ... liczba wartości własnych w przedziale <wmin,wmax>

m1=fcnt(d1,d2,n,wmin,n)

m2=fcnt(d1,d2,n,wmax,n)

if (m2.le.m1) return

m2a=min(m2-m1,m)

* ... początkowe oszacowania z dołu i z góry wartości własnych

do 205 i=1,m2a

wk1(1,i)=wmin

wk1(2,i)=wmax

wk2(i)=m2

205 continue

k1=m1

i=1

* ... pętla główna -- kolejne wartości własne


210 continue

* ... ustal przedział poszukiwań dla w[m1+i]

z1=wk1(1,i)

z2=wk1(2,i)

k2=wk2(i)

k20=k2

* ... pętla -- bisekcja

220 continue

z=0.5*(z1+z2)

* ... wywołanie funkcji zmusza kompilatory optymalizujące do zapisania

* ... zmiennych w pamięci i zabezpiecza przed wejściem w nieskończoną

* ... pętlę dla zbyt małych wartości tol, jeśli wyniki częściowe

* ... mogą być obliczane z dokładnością większą niż "double precision"

if ((z2-z1.le.tol).or.bischk(z1,z,z2)) goto 225

k=fcnt(d1,d2,n,z,k2)

* ... wybór prawego albo lewego podprzedziału

if (k.eq.k1) then

z1=z

else

z2=z

j=k-m1

* ... jeśli w przedziale wciąż więcej niż jedna wartość własna,

* ... poprawa oszacowań dla w[k] (z góry) oraz dla w[k+1] (z dołu)

if ((k2-k1.gt.1).and.(j.le.m2a)) then

wk2(j)=k

wk1(2,j)=z2

if (j.lt.m2a) wk1(1,j+1)=z2

end if

k2=k

end if

goto 220

* ... koniec pętli -- bisekcja

* ... zapamiętanie znalezionej wartości własnej w[m1+i]

* ... lub ciągu numerycznie nierozróżnialnych wartości własnych

* ... w[m1+i],...,w[k2] leżących w przedziale o szerokości tol

225 do 226 j=i,min(k2-m1,m2a)

226 w(j)=z

* ... przejście do następnej wartości własnej lub zakończenie

i=k2-m1+1

if (i.gt.m2a) return

k1=k2

* ... uporządkowanie oszacowań dla wartości własnych leżących

* ... w początkowym przedziale <wm[i],wp[i]>:

* ... oszacowania z dołu muszą tworzyć ciąg rosnący

do 230 j=i,min(k20-m1,m2a)

if (wk1(1,j).lt.z2) then


wk1(1,j)=z2

else

z2=wk1(1,j)

end if

230 continue

* ... to samo dla oszacowań z góry

z2=wmax

k2=m2

do 235 j=min(k20-m1,m2a),i,-1

if (wk1(2,j).gt.z2) then

wk1(2,j)=z2

wk2(j)=k2

else

z2=wk1(2,j)

k2=wk2(j)

end if

235 continue

goto 210

* ... koniec głównej pętli

end

* ----------------------------------------------------------------------

logical function bischk(x1,x,x2)

* ... sprawdza, czy x leży na brzegu przedziału <x1,x2>

implicit none

double precision x1,x,x2

bischk=(x.eq.x1).or.(x.eq.x2)

return

end

Podprogram DWSZ wyznacza unormowany wektor własny macierzy T, znajdującpunkt początkowy w sposób opisany w podrozdziale 3.3.2. W podanej postaci pod-program działa poprawnie w arytmetyce IEEE 754.Warto w tym miejscu zwrócić uwagę, że popularne koprocesory arytmetyczne ro-

dziny Intel 80x87 oraz jednostki arytmetyki zmiennoprzecinkowej mikroprocesorówi486 i nowszych wykonują obliczenia zgodnie z normą IEEE 754 [142, 143]. Wyłącze-nie obsługi wyjątków (ich zamaskowanie) może jednak wymagać napisania krótkiegopodprogramu w języku maszynowym. W tym kontekście wart polecenia jest kompi-lator g77, dostępny bezpłatnie dla środowisk DOS/Windows3), Linux i wielu innych,który domyślnie nie włącza obsługi wyjątków.Pętla obliczająca współrzędne wektora własnego y zawiera zabezpieczenie przed

sytuacją, gdy jedna z numerycznie obliczonych współrzędnych yi jest dokładnie równazeru. W takim przypadku z i-tego wiersza układu równań (3.4) otrzymujemy, żeei−1yi−1 = −eiyi+1. Przykładem takiego „złośliwego” wektora własnego jest wektor

3)M.in. pod adresem internetowym ftp://ftp.leo.org/pub/comp/os/os2/leo/gnu/emx+gcc/g77/.


własny macierzy ∆2 (5.26) przynależny do wartości własnej z = 2 (dla dowolnegon nieparzystego).Podprogram przystosowany jest do obliczania unormowanych funkcji falowych

zgodnie z warunkiem∫ l

0 |y(x)|2 dx ≃

∑ni=1 |yi|

2 l/n = 1.subroutine dwsz(d,e,n,w,l,wk,y,k,rem)

* ... oblicza metodą DWSZ unormowany wektor własny przynależny do

* ... danej wartości własnej symetrycznej macierzy trójdiagonalnej

implicit none


* d() (<) przekątna główna macierzy

* e() (<) wyrazy pozadiagonalne, niezerowe

* n (<) rozmiar macierzy

* w (<) wartość własna

* l (<) długość przedziału (do normowania);

* jeśli l=dble(n), wektor jest normowany do jedności

* wk() (#) tablica robocza

* y() (>) wektor własny

* k (>) wybrany punkt startowy

* rem (>) unormowana reszta (błąd) w punkcie x[k]

integer n,k

double precision d(n),e(n),w,l,wk(n,2),y(n),rem


double precision rmin,r,t

integer i

rmin=1d+308

* ... ciąg -e[i]Theta^-[i]

wk(1,1)=-e(1)/(d(1)-w)

do 310 i=2,n-1

310 wk(i,1)=-e(i)/(e(i-1)*wk(i-1,1)+d(i)-w)

* ... ciąg -e[i-1]Theta^+[i]

wk(n,2)=-e(n-1)/(d(n)-w)

do 315 i=n-1,2,-1

t=e(i)*wk(i+1,2)+d(i)-w

wk(i,2)=-e(i-1)/t

r=abs(e(i-1)*wk(i-1,1)+t)

* ... wybór punktu początkowego z najmniejszą resztą

if (r.lt.rmin) then

rmin=r

k=i

end if

315 continue

y(k)=1.

t=1.

do 320 i=k-1,1,-1


if (y(i+1).ne.0.) then

y(i)=y(i+1)*wk(i,1)

else

* ... zabezpiecznie przed 0 razy nieskończoność

y(i)=-e(i+1)*y(i+2)/e(i)

end if

* ... norma wektora

t=t+y(i)**2

320 continue

do 325 i=k+1,n

if (y(i-1).ne.0.) then

y(i)=y(i-1)*wk(i,2)

else

* ... zabezpiecznie przed 0 razy nieskończoność

y(i)=-e(i-2)*y(i-2)/e(i-1)

end if

* ... norma wektora

t=t+y(i)**2

325 continue

* ... normowanie takie, by SUM[i=1,n](y(x[i])^2 l/n)=1

t=sqrt(n/(l*t))

do 330 i=1,n

330 y(i)=y(i)*t

* ... reszta w punkcie x[k]

rem=rmin*t

return

end

Podprogramy DWSZ3 i DWSZL wykonują analogiczne zadanie dla szczególnych po-staci macierzy trójdiagonalnych, występujących w metodach: trójpunktowej i Lind-berga (dostosowane są do współpracy z DEAN3 i DEANL).Podprogram GUARDROS oblicza według wzorów (5.33), (5.35) i (5.36) wyrazy ma-

cierzy symetrycznej (−K−1Γ+ V) występującej w równaniu (5.37), dla której rozwią-zujemy zagadnienie własne w metodzie Guardioli–Rosa. Podprogram posiada wbudo-wane tabele współczynników dla 15 różnych aproksymant Padego, danych wzorami(5.4)–(5.19).Przeprowadzane w nim obliczenia są dość czasochłonne (O(n3) operacji zmienno-

przecinkowych), dlatego zadbano o minimalizację ilości wywołań funkcji SIN — jejwartości dla wszystkich możliwych 2n + 2 argumentów są przechowywane w tablicyroboczej.

subroutine guardros(ap,v,n,uplo,wk,h,ldh)

* ... wyznacza macierz symetryczną do diagonalizacji

* ... w metodzie Guardioli--Rosa z aproksymantą Padego [j/m]

implicit none


* ap (<) wybrana aproksymanta:


* ap=1 [1/0], ap=2 [1/1], ap=3 [1/2], ap=4 [1/3], ap=5 [1/4],

* ap=6 [2/0], ap=7 [2/1], ap=8 [2/2], ap=9 [2/3], ap=10 [3/0],

* ap=11 [3/1], ap=12 [3/2], ap=13 [4/0], ap=14 [4/1], ap=15 [5/0].

* v() (<) przeskalowany potencjał

* n (<) liczba punktów siatki

* uplo (<) do wypełnienia górny trójkąt h (’U’), dolny (’L’) lub cała

* wk() (#) tablica robocza

* h() (>) obliczona macierz

integer ap,n,ldh

double precision v(n),wk(0:2*n+1),h(ldh,n)

character*1 uplo


integer i,k,l,il,kl,n2

double precision gamma,kappa,q,vv,s,ss

logical up,lo

double precision pi

parameter (pi=3.14159265358979d+0)

* ... tablice współczynników aproksymant

double precision nu(4,15),mu(4,15)

* ... liczba wyrazów w liczniku i mianowniku

integer apj(15),apm(15)

save nu,mu,apj,apm

data nu /

& 0d0,0d0,0d0,0d0,

& 0d0,0d0,0d0,0d0,

& 0d0,0d0,0d0,0d0,

& 0d0,0d0,0d0,0d0,

& 0d0,0d0,0d0,0d0,

& (-1d0/12),0d0,0d0,0d0,

& (1d0/20),0d0,0d0,0d0,

& (31d0/252),0d0,0d0,0d0,

& (-641d0/6360),0d0,0d0,0d0,

& (-1d0/12),(1d0/90),0d0,0d0,

& (13d0/168),(-23d0/10080),0d0,0d0,

& (49d0/276),(79d0/28980),0d0,0d0,

& (-1d0/12),(1d0/90),(-1d0/560),0d0,

& (17d0/180),(-1d0/270),(43d0/226800),0d0,

& (-1d0/12),(1d0/90),(-1d0/560),(1d0/3150) /

data mu /

& 0d0,0d0,0d0,0d0,

& (1d0/12),0d0,0d0,0d0,

& (1d0/12),(-1d0/240),0d0,0d0,

& (1d0/12),(-1d0/240),(31d0/60480),0d0,


& (1d0/12),(-1d0/240),(31d0/60480),(-289d0/725760),

& 0d0,0d0,0d0,0d0,

& (2d0/15),0d0,0d0,0d0,

& (13d0/63),(23d0/3780),0d0,0d0,

& (-37d0/2170),(-959d0/76320),(29891d0/32054400),0d0,

& 0d0,0d0,0d0,0d0,

& (9d0/56),0d0,0d0,0d0,

& (6d0/23),(43d0/3220),0d0,0d0,

& 0d0,0d0,0d0,0d0,

& (8d0/45),0d0,0d0,0d0,

& 0d0,0d0,0d0,0d0 /

data apj / 1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5 /

data apm / 0,1,2,3,4,0,1,2,3,0,1,2,0,1,0 /

* ... rodzaj wypełnienia

up=((uplo.ne.’l’).and.(uplo.ne.’L’))

lo=((uplo.ne.’u’).and.(uplo.ne.’U’))

* ... tablica sinusów dla przyspieszenia działania

q=pi/(n+1)

n2=2*n+2

do 260 l=0,n2-1

260 wk(l)=dsin(l*q)

* ... elementy macierzy

do 275 i=1,n

do 270 k=1,i

* ... transformata

vv=0.

il=0

kl=0

do 263 l=1,n

* ... indeksy w tablicy sinusów rosną modulo 2*n+2

il=il+i

if (il.ge.n2) il=il-n2

kl=kl+k

if (kl.ge.n2) kl=kl-n2

vv=vv+wk(il)*wk(kl)*v(l)

263 continue

vv=2.*vv/(n+1)

if (i.ne.k) then

* ... wstaw wyrazy pozadiagonalne na właściwe pozycje

if (lo) h(i,k)=vv

if (up) h(k,i)=vv

else

* ... wyrazy diagonalne gamma[i]/kappa[i]

s=-4.*sin(0.5*i*q)**2

* ... wyraz gamma[i]: suma szeregu


ss=s

gamma=s

do 265 l=1,apj(ap)-1

ss=ss*s

gamma=gamma+nu(l,ap)*ss

265 continue

* ... wyraz kappa[i]: suma szeregu

ss=1d0

kappa=1d0

do 267 l=1,apm(ap)

ss=ss*s

kappa=kappa+mu(l,ap)*ss

267 continue

* ... wstaw do macierzy

h(i,i)=vv-gamma/kappa

endif

270 continue

275 continue

return

end

Diagonalizacja otrzymanej macierzy polega na zredukowaniu jej do postaci trójdia-gonalnej (np. podprogramem TRED1 z biblioteki EISPACK, a następnie zastosowaniunp. algorytmu bisekcji (BISECT, DEAN) — jest on efektywniejszy od algorytmuQL/QR,gdy wyznaczamy tylko część widma macierzy (w przypadku równania Schrodingera— kilka lub kilkanaście najmniejszych wartości własnych).

Bibliografia

[1] M. Kaku, Wizje, czyli jak nauka zmieni świat w XXI wieku, Prószyński i S-ka,Warszawa 2000.

[2] R. Kurzweil, Świat Nauki, nr 12(100), 72 (1999).[3] A. Toffler, Polityka, nr 2(2227), 26 (2000).[4] W. Salejda, Co wiedzieć powinien inżynier o fizycznej naturze informacji i pro-cesach jej przetwarzania?, wykład habilitacyjny przedstawiony Radzie Nauko-wej Wydziału Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej16 grudnia 1999;http://www.if.pwr.wroc.pl/~ssalejda/.

[5] J. Birnbaum, R. S. Williams, Physics Today, I 2000, 38.[6] G.J. Milburn, Inżynieria kwantowa, Prószyński i S-ka, Warszawa 1999.[7] G.J. Milburn, Procesor Feynmana, Wydawnictwo CIS, Warszawa 2000.[8] R. Penrose, Nowy umysł cesarza, PWN, Warszawa 1995.[9] J. Horgan, Koniec nauki czyli o granicach wiedzy u schyłku ery naukowej, Pró-szyński i S-ka, Warszawa 1999.

[10] P.L. DeVries, A First Course in Computational Physics, Wiley, New York 1994.[11] P.L. DeVries, Am. J. Phys., 64, 364 (1996) — przewodnik po literaturze, cza-sopismach naukowych oraz adresach internetowych dotyczących fizyki kompu-terowej do roku 1995.

[12] S.E. Koonin, D.C. Meredith, Computational Physics: Fortran Version, Addison--Wesley, Reading 1995.

[13] A.L. Garcia, Numerical Methods for Physics, Prentice-Hall, New York 1994.[14] R.H. Landau, M.J.P. Mejia, Computational Physics, Wiley, New York 1997.[15] N.J. Giordano, Computational Physics, Prentice-Hall, New York 1997.[16] T. Pang, Metody obliczeniowe w fizyce. Fizyka i komputery, PWN, Warszawa2001.

[17] B.P. Demidoviq, I.A. Maron, Osnovy vyqislitelьnoi matematiki,wyd. 4 popr., Nauka, Moskva 1970.

[18] A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, wyd. 3, PWN, Warszawa 1983.[19] G. Dahlquist, A. Bjorck, Metody numeryczne, PWN, Warszawa 1983.[20] J.M. Ortega, W.G. Poolle, An Introduction to Numerical Methods for Differen-tial Equations, Pitman Publishing, 1981;Dж. Ortega, U. Pul, Vvedenie v qislennye metody rexeni differen-cialьnyh uravnenii, Nauka, Moskva 1986.

[21] J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do analizy numeryznej, PWN, Warszawa 1987.

191


[22] J. i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, część 1, WNT,Warszawa 1981.M. Dryja, J. i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych,część 2, WNT, Warszawa 1988.

[23] G. Hammerlin, K.-H. Hoffman, Numerical Mathematics, seria UndergraduateTexts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991.

[24] A. Kiełbasiński, H. Schwetlick, Numeryczna algebra liniowa, WNT, Warszawa1992.

[25] Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, seria Podręcz-niki akademickie: Elektronika, Informatyka, Telekomunikacja, WNT, Warszawa1993.

[26] E. Majchrzak, B. Mochnacki,Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspek-ty praktyczne i algorytmy, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1996.

[27] A.A. Samarski, J.S. Nikołajew, Metody rozwiązywania równań siatkowych,PWN, Warszawa 1988.

[28] R.W. Seidel, From Mars to Minerva: The Origin of Scientific Computing in theAtomic Energy Commission Labs, Physics Today, X 1996, 33.

[29] A.E. Brenner, Physics Today, X 1996, 24.[30] L.D. Landau, E.M. Lifszyc, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1985;

L.D. Landau, E.M. Lifxic, Teoretiqeska fizika, T. 3, Kvantovamehanika. Nereltivistska teori, Nauka, Moskva 1989.

[31] E. Merzbacher, Quantum Mechanics, wyd. 3, Wiley, New York 1998.

[32] R.L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, wyd. 3, Addison-Wesley Long-man, New York 1998.

[33] I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński, Teoria kwantów, PWN, Warszawa1991.

[34] W. Greiner, Quantum Mechanics. An Introduction, wyd. 2 popr., Springer--Verlag, Berlin 1993.

[35] S. Flugge, Practical Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin 1999.

[36] R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, wyd. 2, Plenum Press, NewYork–London 1994.

[37] F. Mandl, Quantum Mechanics, Wiley, Chichester 1992.

[38] J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Reading 1994.[39] F. Schwabl, Quantum Mechanics, wyd. 2 popr., Springer-Verlag, Berlin 1995.

[40] P. Harrison, Quantum Wells, Wires and Dots. Theoretical and ComputationalPhysics, Wiley, Chichester 2000.

[41] B.P. Flannery, W.H. Press, Numerical Recipes in FORTRAN 77. The Art ofScientific Computing Volume 1, Volume 1 of Fortan Numerical Recipes, Cam-bridge University Press, Cambridge 1993.

Bibliografia 193

[42] B.P. Flannery, M. Metcalf, S.A. Teukolsky, W.H. Press, W.T. Vetterling, Nume-rical Recipes in Fortran 90. The Art of Parallel Scientific Computing Volume 2,Volume 2 of Fortan Numerical Recipes, Cambridge University Press, Cambridge1996.

[43] W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, Numerical Recipesin C. The Art of Scientific Computing. Second Edition, Cambridge UniversityPress, Cambridge 1993.

[44] W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, Numerical Reci-pes in Pascal. The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press,Cambridge 1992.

[45] J.H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford1965;Dж.H. Uilkinson, Algebraiqeska problema sobstvennyh znaqenii, Na-uka, Moskva 1970.

[46] J.H. Wilkinson, C. Reinsch (red.), Handbook for Automatic Computations, t. 2,Linear Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg 1971.

[47] F.S. Acton, Numerical Methods that Work, The Mathematical Association ofAmerica, Washington 1990.

[48] B.N. Parlett, The Symmetric Eigenavalue Problem, Prentice–Hall, New York1980;B. Parlett, Simmetriqna problema sobstvennyh znaqenii. Qislennyemetody, Mir, Moskva 1983.

[49] N.J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM, Philadel-phia 1996.

[50] J.W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia 1997.

[51] B.T. Smith et al., Matrix eigensystems routines — EISPACK guide, seria Lec-ture Notes in Computer Science, t. 6, wyd. 2, Springer-Verlag, 1990.

[52] B.W. Garbow et al.,Matrix eigensystem routines — EISPACK guide extension,seria Lecture Notes in Computer Science, t. 51, wyd. 2, Springer-Verlag, 1990.

[53] E. Anderson et al., LAPACK Users’ Guide, wyd. 3, SIAM, Philadelphia 2000;http://wwww.netlib.org/lapack/lug/lapack_lug.html.

[54] J.F. Van der Maelen Urıa, S. Garcıa-Granda, A. Menendez-Velazquez, Am. J.Phys., 64, 327 (1996).

[55] W. Salejda, M.H. Tyc, J. Andrzejewski, M. Kubisa, J. Misiewicz, M. Just,K. Ryczko, Acta Phys. Pol. A, 95, 881 (1999).

[56] R. Guardiola, J. Ros, J. Comput. Phys., 45, 374 (1982).

[57] B. Lindberg, J. Chem. Phys., 88, 3805 (1988).

[58] G.C. Groenenboom, H.M. Buck, J. Chem. Phys., 92, 4374 (1990).


[59] J. Killingbeck, Microcomputer Algorithms, Hilger, Bristol, 1991;J. Killingbeck, G. Jolicard, Phys. Lett. A, 172, 313 (1993);J. Killingbeck, Phys. Lett. A, 261, 40 (1999).

[60] C.F. Gerald, P.O. Wheatley, Applied Numerical Analysis, Addison-Wesley,Reading 1989.

[61] M.A. Nunez, Phys. Rev. A, 47, 3620 (1992);M.A. Nunez, G. Izquierdo B., Int. J. Quantum Chem., 47, 405 (1993);M.A. Nunez, Int. J. Quantum Chem., 50, 113 (1993);M.A. Nunez, Int. J. Quantum Chem., 51, 57 (1994).

[62] B. Baron, Metody numeryczne w Turbo Pascalu, Helion, Gliwice 1995.

[63] A. Marciniak, D. Gregulec, J. Kaczmarek,Numerical Procedures in Turbo Pascalfor Your PC, seria Biblioteka Użytkownika Mikrokomputerów, t. 25, Nakom,Poznań 1992;A. Marciniak, D. Gregulec, J. Kaczmarek, Podstawowe procedury numerycznew języku Turbo Pascal, seria Biblioteka Użytkownika Mikrokomputerów, t. 29,wyd. 3, Nakom, Poznań 1997.

[64] W.A. Harrison, Teoria ciała stałego, PWN, Warszawa 1976.

[65] G. Bastard, Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures, LesEditions de Physique, Les Ulis Cedex 1988.

[66] C.A. Kocher, Am. J. Phys., 45, 71 (1977).

[67] H. Konwent, Phys. Lett. A, 118, 467 (1986).

[68] H. Konwent, Acta Phys. Pol. A, 71, 637 (1987).

[69] H. Konwent, Phys. Stat. Sol. B, 138, K7 (1986).

[70] H. Konwent, P. Machnikowski, P. Magnuszewski, A. Radosz, J. Phys. A: Math.Gen., 31, 7541 (1998).

[71] D. Goldberg, ACM Computing Surveys 23, 5 (1991);http://www.sns.ias.edu/Main/computing/compilers_html/common-tools/

numerical_comp_guide/goldberg1.doc.html.

[72] W. Kahan, Lecture notes on the status of IEEE standard 754 for binaryfloating-point arithmetics, Berkeley 1995; e-printhttp://HTTP.CS.Berkeley.EDU/~wkahan/ieee754status/ieee754.ps.

[73] K.S. Dy, S.Y. Wu, T. Spratlin, Phys. Rev. B, 20, 4237 (1979).

[74] Z. Zheng, J. Phys. Cond. Matt., 19, L689 (1986).

[75] I.S. Dhillon, A New O(n2) Algorithm for the Symmetric Tridiagonal Eigenva-lue/Eigenvector Problem, praca doktorska, University of California, Berkeley1997;http://www.cs.utexas.edu/users/inderjit/;I.S. Dhillon, B.N. Parlett, Orthogonal eigenvectors and relative gaps,http://www.cs.utexas.edu/users/inderjit/.

Bibliografia 195

[76] B.N. Parlett, I.S. Dhillon, Linear Algebra and Its Applications, 267, 247 (1997);http://www.cs.utexas.edu/users/inderjit/.

[77] B.A. Foreman, Phys. Rev. B, 52, 12241 (1995).[78] R. Balian, D. Bessis, Phys. Rev. B, 51, 17624 (1995).[79] O. Madelung, Introduction to Solid-State Theory, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1978.

[80] T. Ando, S. Mori, Surf. Sci. 113, 124 (1982).[81] T. Ando, S. Wakahara, H. Akera, Phys. Rev. B, 40, 11609 (1989).[82] B. Laikhtman, Phys. Rev. B, 46, 4769 (1992).[83] B.A. Foreman, Phys. Rev. Lett., 80, 3823 (1998).[84] S. Adachi, J. Appl. Phys., 58, R1 (1985).[85] M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, seria Ap-plied Mathematics, t. 55, National Bureau of Standards 1964.

[86] F.B. Hildebrand, Introduction to Numerical Analysis, rozdział 5, McGraw–Hill,New York 1974.

[87] G.A. Baker, Jr., P. Graves-Morris, Pade Approximants. seria Encyclopedia ofMathematics and its Applications, t. 13 i 14, Addison-Wesley, Reading 1981;Dж. Beiker, ml., P. Greivs-Morris, Approksimacii Pade, Mir, Mos-kva 1986.

[88] G.D. Smith, Numerical solution of partial differrential equations, wyd. 3, Cla-rendon Press, Oxford 1985.

[89] C.H. Reinsch, Num. Math., 25, 591 (1971).[90] J.J.M. Cuppen, Numer. Math., 36, 177 (1981).[91] J. Rutter, A Serial Implementation of Cuppen’s Divide and Conquer Algorithmfor the Symmetric Eigenvalue Problem, Report No. UCB/CSD 97/799, Com-puter Science Division, University of California, Berkeley 1994;http://sunsite.berkeley.edu/NCSTRL/.

[92] L.L. Trefethen, D. Bau III, Numerical linear algebra, SIAM, Philadelphia 1997.[93] G.Y. Hu, R.F. O’Connell, J. Phys. A: Math. Gen., 29, 1511 (1996);S. Simons, J. Phys. A: Math. Gen., 30, 755 (1997);H.A. Yamani, M.S. Abdelmonem, J. Phys. A: Math. Gen., 30, 2889 (1997);D.A. Lavis, B.W. Southern, I.F. Wilde, J. Phys. A: Math. Gen., 30, 7229 (1997);Y. Huang, W.F. McColl, J. Phys. A: Math. Gen., 30, 7919 (1997).

[94] R.E. Peierls, Quantum Theory of Solids, rozdział 1, Clarendon Press, Oxford1955.

[95] A. Czachor, Drgania atomów w ciele stałym, rozdział 6, PWN, Warszawa 1982.[96] N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Fizyka ciała stałego, rozdział 22, PWN,Warszawa1986.

[97] W. Salejda, Communication of Joint Inst. Nucl. Res., E17–90–241, Dubna1990.


[98] A.M. Kosewicz, Mechanika fizyczna nieidealnych krystalicznych ciał stałych,Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 2000.

[99] F.J. Dyson, Phys. Rev., 92, 1331 (1953).

[100] P. Dean, Rev. Mod. Phys., 44, 127 (1972);P. Din, Kolebatelьnye spektry neupordoqennyh sistem. Qislennyerezulьtaty, w: Vyqislitelьnye metody v teorii tverdogo tela, roz-dział 8, Mir, Moskva 1975.

[101] H. Bottger, Principles of the Theory of Lattice Dynamics, Academie-Verlag,Berlin 1983.

[102] D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, J. W. Cahn, Phys. Rev. Lett., 53, 1951(1984).

[103] Workshop on Aperiodic Crystals, J. Physique Coll. C, 3 (1986).

[104] P.J. Steinhardt, S. Ostlund, The Physics of Quasicrystals, World Scientific,Singapore 1987.

[105] P. Guyot, P. Krammer, M. de Boissieu, Rep. Prog. Phys., 54, 1373 (1991).

[106] S.J. Poon, Adv. Phys., 41, 303 (1992).

[107] Fourth International Conference on Quasicrystals, St. Louis, USA, 31 V–5 VI1992, J. Non-Cryst. Solids, 153–4 (1993); materiały tej konferencji zawierająreprezentatywne pozycje dotyczące struktur aperiodycznych.

[108] A.I. Goldman, R.F. Kelton, Rev. Mod. Phys., 65, 213 (1993).

[109] D.P. DiVincenzo, P.J. Steinhardt (red.), Quasicrystals: The State of the Art,World Scientific, Singapore 1991.

[110] D. Levine, P.J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett., 53, 2477 (1984);D. Levine, P.J. Steinhardt, Phys. Rev. B, 34, 596 (1986);J.E.S. Socolar, P.J. Steinhardt, Phys. Rev. B, 34, 617 (1986);G.Y. Onoda, P.J. Steinhardt, D.P. DiVincenzo, J.E.S. Socolar, Phys. Rev. Lett.,60, 2563 (1988);J.E.S. Socolar, Phys. Rev. B, 39, 10519 (1989);H.-C. Jeng, P.J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett., 73, 1943 (1994);H. Gahler, Phys. Rev. Lett., 74, 334 (1995);H.-C. Jeng, P.J. Steinhardt, Phys. Rev. B, 55, 3520 (1997).

[111] W. Salejda, Int. J. Mod. Phys. B, 9, 1429 (1995);W. Salejda, Int. J. Mod. Phys. B, 9, 1453 (1995);W. Salejda, Int. J. Mod. Phys. B, 9, 1475 (1995).

[112] W. Salejda, Dynamika sieci i przewodnictwo elektryczne kwazijednowymiaro-wych struktur aperiodycznych. Autoreferat habilitacyjny, e-printhttp://www.if.pwr.wroc.pl/~ssalejda/habil_ps.zip.

[113] W. Salejda, Acta Phys. Pol. A, 78, 323 (1990).

[114] W. Salejda, Int. J. Mod. Phys., 5, 825 (1991).

Bibliografia 197

[115] W. Salejda, materiały konferencjiKomputerowe Obliczenia Dużej Skali. 1. Szko-ła Fizyki Komputerowej, 365, Instytut Fizyki Jądrowej im. H. Niewodniczań-skiego w Krakowie, Kraków 1994.

[116] B.B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman and Com-pany, New York 1983.

[117] M. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press, Boston 1988.[118] K. Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Sons, Chichester 1990.[119] T.C. Halsey, M.H. Jensen, L.P. Kadanoff, I. Procaccia, B.I. Shraiman, Phys.

Rev. A, 33, 1141 (1986).[120] A.I. Olemskii, A.. Flat, Usp. Fiz. Nauk, 163, 1 (1993).[121] G. Paladin, A. Vulpiani, Phys. Rep., 156, 147 (1987).[122] A.P. Siebesma,Multifractals in Condensed Matter, praca doktorska, The Cheese

Press, Edam 1989.[123] M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. 1. Functional

Analysis, Academic Press, New York 1972;M. Rid, B. Saimon, Metody sovremennoi matematiqeskoi fiziki, T. 1,Funkcionalьnyi analiz, Mir, Moskva 1977.

[124] P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.[125] W. Salejda, Communication of Joint Inst. Nucl. Res., E17–88–880, Dubna

1988;W. Salejda, Int. J. Mod. Phys., 3, 1109 (1989).

[126] S.V. Tblikov, Metody kvantovoi teorii magnetizma, Nauka, Moskva1975.

[127] D.C. Mattis, The theory of magnetism I: statics and dynamics, wyd. 2 popr.,Springer-Verlag, Berlin 1988.

[128] K. Ryczko,Wpływ ekscytonów na podstawowe przejścia optyczne w półprzewod-nikach w obecności zewnętrznego pola elektrycznego. Praca magisterska, InstytutFizyki Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1996;S.I. Pokutnyi, W. Salejda, J. Misiewicz, K. Ryczko, Ukr. fz. жurn., 43, 1259(1998).

[129] M.H. Tyc, Dwuwymiarowy ekscyton w zewnętrznym polu elektrycznym. Pracamagisterska, Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1998;S.I. Pokutnyi, M.H. Tyc, W. Salejda, J. Misiewicz, Ukr. fz. жurn., 46, 113(2001);S.I. Pokutnyi, M.H. Tyc, W. Salejda, J. Misiewicz, Fizika Tverdogo Tela,43, 888 (2001).

[130] L. Jacak, P. Hawrylak, A. Wójs, Kropki kwantowe, seria Prace naukowe Insty-tutu Fizyki Politechniki Wrocławskiej. Monografie, Oficyna Wydawnicza Poli-techniki Wrocławskiej, Wrocław 1996.

[131] L. Jacak, P. Hawrylak, A. Wójs, Quantum Dots, Springer-Verlag, Berlin–Heidel-berg–New York, 1998.


[132] J. Krasnyj, A. Mituś, W. Salejda, L. Jacak, Modelling of qubits in multielectronquantum dots; exploiting the singlet-triplet transition, praca prezentowana naSQID Meeting, Torino, 23–24 VI 2000;L. Jacak, J. Krasnyj, D. Jacak, W. Salejda, A. Mituś, Acta Phys. Pol. A, 99,277 (2001).

[133] W. Salejda, Proceedings of the VI-th Max Born Symposium on The Nature ofCrystalline States, Kudowa-Zdrój, Poland, 21–24 IX 1995, Physica A, 232, 769(1996).

[134] W. Salejda, P. Szyszuk, Physica A, 252, 547 (1998).

[135] W. Salejda, M. Kubisa, J. Misiewicz, K. Ryczko, M. Tyc, Materiały XXVII Mię-dzynarodowej Szkoły Materiałów Półprzewodnikowych „Jaszowiec ’98”, Ustroń--Jaszowiec, 7–12 VI 1998, Acta Phys. Pol. A, 94, 514 (1998).

[136] J.Q. You, L. Zhang, Q.B. Yang, Phys. Rev. B, 55, 1314 (1997).

[137] F.M. Peeters, P. Vasilopoulos, Phys. Rev. B, 47, 7508 (1993);F.M. Peeters, A. Matulis, Phys. Rev. B, 48, 15166 (1993);A. Matulis, F.M. Peeters, Phys. Rev. Lett., 72, 1518 (1994);I.S. Ibrahim, F.M. Peeters, Am. J. Phys., 63, 171 (1995);J.Q. You, L. Zhang, P.K. Ghosh, Phys. Rev. B, 52, 17243 (1995);I.S. Ibrahim, F.M Peeters, Phys. Rev. B, 52, 17321 (1995);Y. Guo, B. Gu, W. Duan, Y. Zhang, Phys. Rev. B, 55, 9314 (1997);J.Q. You, L. Zhang, Q.B. Yang, Phys. Rev. B, 55, 15757 (1997);Z.L. Ji, D.W.L. Sprung, Phys. Rev. B, 56, 1045 (1997);F.M. Peeters, I.S. Ibrahim, V.A. Schweigert, Phys. Rev. B, 56, 7508 (1997);Y. Guo, Z.-Q. Li, B.-L. Gu, Q. Sun, J.-Z. Yu, Y. Kawazoe, Eur. Phys. J. B, 3,263 (1998);Y. Guo, B.-L. Gu, Z.-Q. Li, Y. Kawazoe, Phys. Lett. A, 238, 185 (1998);O.M. Yevtushenko, K. Richter, Phys. Rev. B, 58, 14839 (1998);F.M. Peeters, J. de Boeck, Hybrid magnetic-semiconductor nanostructures, w:H.S. Nalwa (red.), Nanostructured Materials and Nanotechnology, AcademicPress, San Diego 2002.

[138] P. Templin, Dwuwymiarowy gaz elektronowy w niejednorodnym prostopadłympolu magnetycznym. Praca magisterska, Raport SPR–334/98, Instytut FizykiPolitechniki Wrocławskiej, Wrocław 1998.

[139] R. Landauer, Phil. Mag., 21, 863 (1970);M. Buttiker, Y. Imry, R. Landauer, S. Pinhas, Phys. Rev. B, 31, 6207 (1985);P. Erdos, R. C. Hendron, Adv. Phys., 31, 65 (1982);R. Landauer, Z. Phys. B, 68, 217 (1987).

[140] W. Salejda, M.H. Tyc, Physica A, 303, 493 (2002).

[141] M. Just, Numeryczne metody rozwiązywania równania Schrodingera. ProgramMARRS. Praca magisterska, Raport SPR–333/1998, Instytut Fizyki Politech-niki Wrocławskiej, Wrocław 1998;

Bibliografia 199

W. Salejda, M. Just, M.H. Tyc, Computational Methods in Science and Tech-nology, 6, 73 (2000).

[142] M. Tuszyński, R. Goczyński, Koprocesory 80287, 80387 oraz i486, Kompute-rowa Oficyna Wydawnicza „Help”, Warszawa 1992.

[143] H. Małysiak, B. Pochopień, E. Wróbel, Procesory arytmetyczne, WNT, War-szawa 1993.

[144] M. Toda, Theory of Nonlinear Lattices, wyd. 2, Springer-Verlag, Berlin 1989.[145] J.B. Brojan, J. Mostowski, K. Wódkiewicz, Zbiór zadań z mechniki kwantowej,

wyd. 2 popr., PWN, Warszawa 1978.

Skorowidz

algebraiczne zagadnienie własne, 15, 17,21, 29, 42, 48, 51, 54, 55, 59, 100,105, 107, 116, 151, 161, 165, 177

algebraiczne zagadnienie własneuogólnione, 48, 50, 53, 105

algorytm dekompozycji, 67algorytm DWSZ, 33algorytm dziel i rządź, 78algorytm dziel i rządź stabilny, 81algorytm Grama–Schmidta, 93algorytm Householdera, 85algorytm ilorazów Reyleigha, 93algorytm iteracji odwrotnych, 91algorytm Martina–Deana, 30algorytm potęgowy, 89algorytm prostej rekurencji do tyłu, 32algorytm prostej rekurencji w przód, 32algorytm QL niejawny, 74algorytm QL niewymierny, 71algorytm QL wymierny, 72algorytm QR, 65algorytm QR niejawny, 74algorytm QR niewymierny, 70algorytm QR wymierny, 72algorytm rekombinacji, 69algorytm rozwiązywania trójdiagonalnego

układu równań, 92algorytm Rutishausera, 88aproksymanta Padego, 46, 52, 148, 173arytmetyka IEEE, 30, 180, 184atom wodoru, 24, 109, 132

bezwładność macierzy, 163

C (język programowania), 177ciąg Sturma, 34, 145czas obliczeń, 132, 134–138, 144

dekompozycja, 64, 65, 70, 71Delphi, 19, 123dokładność obliczeń, 132, 134–140, 144dwuwymiarowy gaz elektronowy, 118

dyskretyzacja, 15, 23, 42, 116

EISPACK, 70, 72, 73, 75, 85, 87, 177, 179,189

ekscyton, 24, 109ekstrapolacja Richardsona, 55epsilon maszynowe, 26, 133, 165

formuła pięciopunktowa, 51, 86, 170, 171formuła siedmiopunktowa, 57, 86formuła trójpunktowa, 23, 148, 169, 170Fortran, 81, 132, 177, 179fraktal, 103funkcja falowa, 15–17, 22, 39, 104, 114,

117, 118, 125, 127, 147, 185funkcja falowa obwiedni, 39funkcja gęstości stanów, 101funkcja własna, 15, 21, 116

Java, 177

kropka kwantowa, 114kwazikryształ, 102

LAPACK, 73, 75, 80, 82, 85, 87, 94, 149,177

macierz diagonalna, 30, 48, 50, 53, 166macierz dynamiczna, 99macierz hermitowska, 96, 101, 166, 177macierz kwazitrójdiagonalna, 101macierz odwrotna, 91, 92macierz pasmowa, 16, 85, 100, 149, 177macierz pentadiagonalna, 52, 181macierz rozrzedzona, 16, 59macierz symetryczna, 50, 59, 82, 87, 95,

96, 162–166, 177macierz trójdiagonalna, 23, 24, 29, 30, 32,

42, 48, 53, 59, 65, 72, 76, 82, 92,95, 100, 149, 164, 165, 177, 179

macierz trójkątna, 30, 63, 65, 71, 149, 167,177

magnony, 107

201


MARRS (program), 10, 123, 151metoda bisekcji, 30, 42, 52, 93, 95, 101,

116, 181metoda DWSZ, 32, 42, 54, 55, 72, 116,

124, 143, 145, 184metoda dziel i rządź, 76, 95, 166metoda Grama–Schmidta, 93, 166metoda Guardioli–Rosa, 45, 50, 124, 132,

134–138, 141, 144, 146metoda Householdera, 82, 86, 95metoda iteracji odwrotnych, 91, 93, 95metoda Jacobiego, 87metoda Lindberga, 52, 124, 132, 134–138,

141, 144–146, 181, 186metoda macierzy przejścia, 17, 40metoda Numerowa, 15, 47metoda pięciopunktowa, 51, 124, 145, 181metoda potęgowa, 89metoda QL, 72, 166metoda QR, 63, 72, 95, 166metoda strzałów, 15, 16, 18metoda styczna–sieczna, 35metoda trójpunktowa, 23, 55, 124, 132,

134–138, 141, 143, 146, 181, 186metoda wariacyjna, 15, 17, 18, 104metody elementów skończonych, 15, 17, 18metody siatkowe, 9, 15, 24model Heisenberga, 106model Kroniga–Penneya, 115multifraktal, 103

norma macierzy, 161, 162norma wektora, 161Numerical Recipes, 75, 85, 89, 94, 177

obrót Givensa, 61, 64, 65, 67, 70, 71, 74, 86obrót Jacobiego, 61, 87odbicie Householdera, 62, 82operator kreacji/anihilacji, 106oscylator harmoniczny, 24, 129, 134, 143

Pascal, 177pole elektryczne, 109pole magnetyczne, 106, 114, 116potencjał Konwenta, 27, 130, 135potencjał kulombowski, 108, 132, 137, 138potencjał Lenarda–Jonesa, 26

potencjał Morse’a, 27, 130, 136potencjał wektorowy, 117, 118promień spektralny, 161przekształcenie ortogonalne, 48, 60, 64, 74,

91, 162, 166przesunięcie widma, 63, 64, 69, 75, 91, 93

redukcja, 59, 82, 86, 89rekombinacja, 64, 65, 67, 70, 71rekurencja, 30, 32, 78, 79, 102, 165rozmiar pamięci operacyjnej, 145równanie masy efektywnej, 39, 116równanie Schrodingera niestacjonarne, 147równanie Schrodingera stacjonarne, 9,

15–18, 21, 47, 53, 86, 104, 108,109, 112, 114, 115, 118, 123, 151

równanie wiekowe, 17, 79, 105różnice skończone, 15, 16, 24, 26, 41, 45,

149, 169

siatka, 15, 16, 22–25, 41, 45, 46, 51, 53, 55,126, 132, 147, 169

spin, 106, 117, 118stan związany, 15, 21, 104, 115strumień prawdopodobieństwa, 40supersieć, 39, 115, 117szereg Taylora, 45, 47, 170, 173, 174

trójdiagonalny układ równań, 91twierdzenie Gershgorina, 31, 162twierdzenie Lownera, 81, 166twierdzenie Martina–Deana, 29, 52, 54,

101, 164twierdzenie QR Wilkinsona, 63, 64twierdzenie Schura, 166twierdzenie Sylvestera, 29, 93, 163

wartość własna, 15, 16, 21, 23, 29, 30, 34,42, 49, 52, 54, 55, 59, 63, 72, 76,78, 89, 91, 93, 94, 96, 101, 103,112, 113, 116, 126, 161–166,179–181

warunki brzegowe, 21–23, 31, 42, 48, 49,51, 100, 101, 111–114, 142, 148

wektor własny, 29, 31, 42, 49, 54, 55, 59,72, 76, 77, 81, 84, 88, 89, 91, 94,96, 102, 116, 124, 126, 161, 162,166, 184

Skorowidz 203

widmo częstości własnych, 101wielomian charakterystyczny, 31, 34, 37,

59, 167wyznacznik macierzy, 34, 105, 162, 167,

175

zagadnienie radialne, 24, 108zagadnienie własne, 15, 104, 108, 116

ALGEBRAICZNE METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA …wsalejda/AMRRS STJ.pdf · Mechanika kwantowa i...

Documents

Transcript of ALGEBRAICZNE METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA …wsalejda/AMRRS STJ.pdf · Mechanika kwantowa i...