Mechanika kwantowa dla początkujących

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Stanisław

Kryszewski

SKRYPT Z FIZYKI

Mechanika kwantowa

dla

początkujących


SKRYPT Z FIZYKI

Stanisław Kryszewski

Mechanika kwantowa

dla

początkujących

Gdańsk 2010


Uniwersytet Gdański

© Copyright by Stanisław Kryszewski

Skład komputerowy (LaTeX): Stanisław Kryszewski

Projekt okładki i strony tytułowej: xxx

All rights reserved

Uniwersytet Gdański

Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki

Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki

80-952 Gdańsk, ul. Wita Stwosza 57

Spis treści

Od autora vi

1 Cząstki i fale 11.1 Fale elektromagnetyczne i fotony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Analiza doświadczenia interferencyjnego Young’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Eksperyment pierwszy – jedna szczelina otwarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Eksperyment drugi – obie szczeliny otwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Dualizm korpuskularno–falowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Podsumowanie omawianych doświadczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Kwantowa unifikacja obu aspektów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Dualizm korpuskularno–falowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Idea rozkładu spektralnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 Dyskusja eksperymentu polaryzacyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Wnioski kwantowo-mechaniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Funkcje falowe i równanie Schrödingera 152.1 Hipoteza de Broglie’a. Funkcje falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Uwagi i komentarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Uzasadnienie równania Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3 Uogólnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Gęstość i prąd prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 Gęstość prądu prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Ciągłość prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Stacjonarne równanie Schrödingera 283.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Stacjonarne równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Cząstka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Stacjonarne funkcje falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.2 Problemy interpretacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.3 Nowa (inna) interpretacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Stany związane i rozproszeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.1 Dyskusja ogólna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2 Uwagi o ciągłości funkcji falowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 364.1 Przegląd metod matematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.1 Przestrzeń funkcji falowych – przestrzeń Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.2 Operatory na przestrzeni funkcji falowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.3 Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

S.Kryszewski SPIS TREŚCI ii

4.2 Pomiary kwantowo-mechaniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.1 Obserwable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2 Pomiar kwantowo-mechaniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.3 Postulaty pomiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.4 Efekty interferencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.5 Przypadek z degeneracją . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Wartości oczekiwane i dyspersje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.1 Wartości oczekiwane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.2 Dyspersje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Konstrukcja operatorów – obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.1 Operatory położenia i pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.2 Zasada odpowiedniości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.3 Hamiltonian cząstki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Nawiasy Poissona i relacje komutacyjne. Metoda kwantowania . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Równanie Schrödingera 665.1 Zachowanie normy wektora stanu – funkcji falowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Równanie Schrödingera dla układu konserwatywnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.1 Ewolucja w czasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.2 Normowanie funkcji falowej (5.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.3 Stan początkowy – stan własny hamiltonianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.4 Uwagi o zachowaniu energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Ewolucja wartości oczekiwanej obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.1 〈A〉t – liczbowa funkcja czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.2 Równanie ruchu dla 〈A〉t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4 Równania Ehrenfesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.4.1 Wyprowadzenie równań Ehrenfesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4.2 Dyskusja. Granica klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Zasada nieoznaczoności 796.1 Formalna zasada nieoznaczoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.1 Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.1.2 Zasada nieoznaczoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.1.3 Warunki minimalizacji zasady nieoznaczoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2 Dyskusja i pewne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2.1 Ogólne sformułowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2.2 Relacja nieoznaczoności położenie–pęd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2.3 Zastosowanie do atomu w modelu Bohra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3 Zasada nieoznaczoności energia – czas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Ważny przykład – oscylator harmoniczny 887.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.1.1 Klasyczny oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.1.2 Dlaczego oscylator jest taki ważny? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2 Stacjonarne równanie Schrödingera dla oscylatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.2 Zamiana zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2.3 Zachowanie asymptotyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.2.4 Równanie dla funkcji f(ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2.5 Rozwiązania. Wielomiany Hermite’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2.6 Podsumowanie: funkcje i energie własne oscylatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.3 Pewne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3.1 Element macierzowy operatora położenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

ii

S.Kryszewski SPIS TREŚCI iii

7.3.2 Element macierzowy operatora pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3.3 Elementy macierzowe 〈 k |x2 |n 〉 oraz 〈 k | p2 |n 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.3.4 Zasada nieoznaczoności dla oscylatora w stanie ψn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.3.5 Szacowanie energii stanu podstawowego z zasady nieoznaczoności . . . . . . . . . . 102

8 Notacja Diraca 1048.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.2 Kety i bra. Notacja Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.3 Operatory liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.3.1 Operatory, kety i bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.3.2 Operator rzutowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.4 Sprzężenia hermitowskie w notacji Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.4.1 Definicja operatora sprzężonego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.4.2 Własności sprzężenia hermitowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.4.3 Uwagi dodatkowe i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.4.4 Notacja Diraca – reguły mnemotechniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.5 Operatory hermitowskie – obserwable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

9 Reprezentacje w przestrzeni stanów 1149.1 Definicja reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.1.1 Intuicyjne wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.1.2 Relacje ortonormalności i zupełności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.2 Reprezentacje ketów, bra oraz operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2.1 Reprezentacje ketów i bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2.2 Reprezentacja iloczynu skalarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2.3 Uwagi o normowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189.2.4 Reprezentacja |ψ′ 〉 = A |ψ 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189.2.5 Reprezentacja iloczynu operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.2.6 Elementy macierzowe operatora sprzężonego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.2.7 Wyrażenie dla 〈ϕ | A |ψ 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.3 Nowa terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.3.1 Funkcje falowe w reprezentacji U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.3.2 Operatory w reprezentacji U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.3.3 Uwagi dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

10 Reprezentacje położeniowa i pędowa 12510.1 Reprezentacja położeniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.1.1 Definicja reprezentacji położeniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.1.2 Funkcje falowe w reprezentacji położeniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.1.3 Operatory w reprezentacji położeniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.1.4 Operator pędu w reprezentacji położeniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.1.5 Zasada odpowiedniości w reprezentacji położeniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10.2 Reprezentacja pędowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.3 Związek między reprezentacjami |~r 〉 i | ~p 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

10.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.3.2 Funkcje własne pędu w reprezentacji położeniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.3.3 Zmiana reprezentacji – pary fourierowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13510.3.4 Cząstka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610.3.5 Kłopoty interpretacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

11 Oscylator harmoniczny w reprezentacji energetycznej 13911.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.2 Operatory anihilacji i kreacji – ogólna teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

iii

S.Kryszewski SPIS TREŚCI iv

11.3 Operatory anihilacji i kreacji – podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14511.4 Zastosowanie do oscylatora harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

11.4.1 Operatory anihilacji i kreacji dla oscylatora harmonicznego . . . . . . . . . . . . . 14711.4.2 Hamiltonian oscylatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14811.4.3 Konstrukcja stanu próżni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14911.4.4 Konstrukcja stanów 〈x |n 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14911.4.5 Przykłady innych zastosowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12 Zupełny zbiór obserwabli komutujących 15312.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15312.2 Twierdzenia matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15412.3 Zupełny zbiór obserwabli komutujących (ZZOK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15712.4 Uwagi praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

13 Postulaty mechaniki kwantowej 16113.1 Postulat 1: wektor stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16213.2 Postulat 2: obserwable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16313.3 Postulat 3: wyniki pomiarów – wartości własne obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16413.4 Postulat 4: prawdopodobieństwo wyników pomiarowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

13.4.1 Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16413.4.2 Przypadek widma dyskretnego z degeneracją . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16513.4.3 Przypadek widma ciągłego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16613.4.4 Ogólne komentarze do postulatu 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

13.5 Postulat 5: pomiar – redukcja wektora stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16713.6 Postulat 6: ewolucja w czasie – równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

14 Kwantowa teoria momentu pędu 17014.1 Orbitalny moment pędu – wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

14.1.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17014.1.2 Relacje komutacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

14.2 Ogólny operator moment pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17314.2.1 Definicje i uwagi wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17314.2.2 Relacje komutacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

14.3 Wartości własne operatorów ~J2 oraz J3 = Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17614.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17614.3.2 Wartość własna m jest ograniczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17714.3.3 Własności J±| j m 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17714.3.4 Wartości własne ~J2 oraz J3 = Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17814.3.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

14.4 Wektory własne operatorów ~J2 oraz J3 = Jz. Reprezentacja standardowa . . . . . . . . . 180

15 Orbitalny momentu pędu 18215.1 Ogólne własności orbitalnego momentu pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

15.1.1 Przypomnienie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18215.1.2 Wartości własne i wektory własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18315.1.3 Elementy macierzowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

15.2 Orbitalny moment pędu w reprezentacji położeniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18415.2.1 Współrzędne kartezjańskie i sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18415.2.2 Operatory Lk we współrzędnych sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18615.2.3 Operator ~L2 we współrzędnych sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18715.2.4 Wartości własne i funkcje własne ~L2 i L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

15.3 Harmoniki sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19115.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

iv

S.Kryszewski SPIS TREŚCI v

15.3.2 Harmoniki sferyczne – zebranie informacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

16 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 19516.1 Układ środka masy i ruch względny. Przypomnienie z fizyki klasycznej . . . . . . . . . . . 19516.2 Kwantowe zagadnienie dwóch ciał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

16.2.1 Separacja zmiennych w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19816.2.2 Wartości i funkcje własne hamiltonianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19916.2.3 Współrzędne sferyczne. Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

16.3 Stacjonarne równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20316.3.1 Zupełny zbiór obserwabli komutujących . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20316.3.2 Radialne równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20416.3.3 Zachowanie się funkcji radialnych w r = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

16.4 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

17 Atom wodoropodobny 21017.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21017.2 Stabilność atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

17.2.1 Dyskusja klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21117.2.2 Dyskusja kwantowo-mechaniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

17.3 Kwantowo-mechaniczna teoria atomu wodoropodobnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21317.3.1 Równanie radialne – dyskusja własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21317.3.2 Rozwiązanie równania radialnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21517.3.3 Dyskusja rekurencji i kwantowanie energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

17.4 Dyskusja uzyskanych rezultatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22217.4.1 Poziomy energetyczne. Główna liczba kwantowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22217.4.2 Radialne funkcje falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22517.4.3 Jawne wyrażenia dla kilku pierwszych funkcji radialnych . . . . . . . . . . . . . . . 22617.4.4 Średni rozmiar atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

17.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

A Wielomiany Hermite’a i ich własności 230A.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230A.2 Relacje rekurencyjne i równanie różniczkowe Hermite’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231A.3 Całki z wielomianami Hermite’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233A.4 Inne sposoby obliczania całek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236A.5 Inny sposób znajdowania wielomianów Hermite’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Bibliografia 237

Skorowidz 239

v

S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA – Od autora vi

Od autora

Mechanika kwantowa jest w moim przekonaniu najtrudniejszym i chyba najważniejszymprzedmiotem wykładanym w trakcie uniwersyteckich studiów fizyki. Jej trudność wynikaz wielu powodów.

Po pierwsze, mechanika kwantowa wymaga odrzucenia wielu nawyków i intuicyjnychprzyzwyczajeń typowych dla fizyki klasycznej i życia codziennego. Na przykład, doskona-le znane i zrozumiałe pojęcie toru ruchu ciała materialnego, jest zupełnie nie adekwatne,by nie rzec fałszywe, w obszarze mikroświata opisywanego za pomocą mechaniki kwanto-wej. Studiując ten przedmiot trzeba włożyć wiele trudu, aby porzucić argumenty i sposóbmyślenia właściwy dla makroświata w którym żyjemy.

Po drugie, przewidywania mechaniki kwantowej są, z natury rzeczy, statystyczne.Nie możemy przewidzieć jak będzie przebiegać dane zjawisko, czy efekt fizyczny. Jedyneco możemy powiedzieć to to, że z takim lub innym prawdopodobieństwem zdarzy się takiczy inny wynik eksperymentu.

Po trzecie, formalizm matematyczny mechaniki kwantowej jest zasadniczo inny. Mó-wiąc w sporym uproszczeniu, fizyka klasyczna bazuje przede wszystkim na równaniachróżniczkowych. Tak jest w mechanice klasycznej, elektrodynamice i termodynamice. Na-tomiast mechanika kwantowa "żyje" w przestrzeniach Hilberta – przestrzeniach wekto-rowych z iloczynem skalarnym. Konkretne zastosowania prowadzą do trudnego pojęciareprezentacji. Najpopularniejsza z nich – położeniowa – daje równanie Schrödingera, któ-re jest już równaniem różniczkowym. Pozwala to używać narzędzi analizy matematycznej,takich samych jak w fizyce klasycznej. Nie jest moim celem ścisłe omówienie aparatu ma-tematycznego mechaniki kwantowej. Jedynym, jak mi się wydaje, bezdyskusyjnym faktemjest to, że matematyka mechaniki kwantowej sprawia wiele trudności studentowi, którydopiero zapoznaje się z przedmiotem.

Kolejnym powodem, dla które studiowanie mechaniki kwantowej jest trudne, są pod-ręczniki. Zdanie powyższe może, na pierwszy rzut oka, wydać się dziwaczne. Przecieżpodręczniki mają służyć studentowi jako pomoc i drogowskaz w studiowaniu. Istniejewiele podręczników lepszych i gorszych, różniących się, czasem zasadniczo, objętościąmateriału. Zazwyczaj treści zawarte w książce są znacznie szersze niż materiał podsta-wowego wykładu mechaniki kwantowej. Utrudnia to studiującemu selekcję i rozróżnienie,co jest naprawdę ważne i zgodne z programem wykładów. Co więcej, w wielu podręcz-

vi

S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA – Od autora vii

nikach długie i złożone przekształcenia matematyczne są potraktowane skrótowo, alboteż sformułowane w postaci zadań (zwykle bez odpowiedzi). W związku z tym, student"ginie" w gąszczu czysto matematycznych wyprowadzeń i przestaje koncentrować się nafizyce usiłując uzupełnić brakujące kroki matematyczne. Chlubnym wyjątkiem jest tumonumentalne, liczące ponad 1000 stron, dzieło Cohena-Tannoudjiego, Diu i Laloë [6].Niestety książka ta jest trudno dostępna i to tylko w wersji anglojęzycznej. Podręczni-kowi temu zawdzięczam bardzo wiele. Niniejszy skrypt powstał pod wielkim wpływemCohena-Tannoudjiego. W wielu miejscach powinienem zawrzeć odpowiednie odnośniki.Nie uczyniłem tego, aby nie zakłócać studiów osoby początkującej. Tym nie mniej pragnęwyrazić swoje uznanie i podziękowania autorom pracy o niezwykłych walorach pedago-gicznych, zawierającej (w porównaniu z innymi książkami) ogromną liczbę przykładówi pięknych dyskusji fizycznych.

Powyższe uwagi wyjaśniają motywy jakie mi przyświecały w trakcie przygotowywaniatej pracy. Skrypt ten powstawał w ciągu około dziesięciu lat, gdy prowadziłem kursowewykłady i ćwiczenia z mechaniki kwantowej na Uniwersytecie Gdańskim. Zebrane ma-teriały stopniowo rozrastały się i były umieszczane na mojej stronie internetowej.Ciągle też nanosiłem poprawki i uzupełniałem tekst. Niniejszy skrypt jest opracowaną nanowo i w wielu miejscach zmienioną wersją pierwszych piętnastu rozdziałów. Nie wyczer-puje to programu podstawowego kursu mechaniki kwantowej ale, moim zdaniem, stanowifundamentalny trzon, niezbędny do dalszego studiowania przedmiotu.

Kontynuacją będzie druga część, która nosi roboczy tytuł Mechanika kwantowa – wy-brane zagadnienia. Będą tam zebrane dalsze rozdziały "starego skryptu", a także zostanądodane pewne nowe. Obie części łącznie będą zawierać nieco więcej materiału niż wymaga-ne treści programowe wykładu uniwersyteckiego. Wiele różnych wyprowadzeń, przykładów(zadań ćwiczeniowych), a także dodatków matematycznych będzie zebranych w trzeciejczęści, którą wstępnie nazywam Mechanika kwantowa. Uzupełnienia. W planach jest takżeopracowanie zbioru zadań i to z pełnymi rozwiązaniami.

Pozostaje pytanie, na ile mój skrypt pozwoli ominąć trudności opisane na początku.Zawsze będę wdzięczny czytelnikom za wszelkie uwagi. Rzeczą ludzką jest się mylić, więcna pewno nie udało mi się uniknąć błędów drukarskich, czy językowych. Mam natomiastnadzieję, że nie ma tu żadnych poważnych błędów merytorycznych. Proszę o uwagi i ko-mentarze (zawsze można coś poprawić) na mój email: [email protected].

Stanisław Kryszewski

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

vii

http://iftia9.univ.gda.pl/~sjk/

S.Kryszewski 1. Cząstki i fale 1

Rozdział 1

Cząstki i fale

Celem tego rozdziału jest omówienie i wprowadzenie pewnych zasadniczych idei mechanikikwantowej. Trzeba jednak wyraźnie podkreślić, że omawiane tu zagadnienia są przedsta-wione w sposób, który nie jest ani kompletny, ani też ścisły. Mechanika kwantowa burzywiele z prostych i intuicyjnie oczywistych koncepcji fizyki klasycznej. Dlatego też w roz-dziale tym wskażemy na pewne trudności interpretacyjne, które wymuszają odstąpienieod idei typowo klasycznych.

Nie będziemy tu omawiać historii powstawania i rozwoju mechaniki kwantowej. Kwe-stie natury historycznej są szeroko omawiane w literaturze. Zainteresowanego czytelnikaodsyłamy więc, na przykład, do znakomitej "Historii fizyki" autorstwa profesora AndrzejaK. Wróblewskiego [16], a także do innych dość elementarnych podręczników [1, 7]. Ponadtogodne polecenia są książki profesora Białkowskiego [2, 3, 4] opisujące rozwój i osiągnięciafizyki współczesnej.

Nie będziemy także dyskutować problemów natury filozoficznej. Mechanika kwantowajest diametralnie inna niż dobrze zrozumiała fizyka klasyczna. Dlatego też, ta pierwsza,rodzi cały szereg pytań i problemów interpretacyjnych. Autor niniejszych wykładów nieczuje się dostatecznie kompetentny, aby wskazywać prace filozoficzne dotyczące mechanikikwantowej i związanej z nią problematyki ontologicznej czy też epistemologicznej. Jedy-nym wyjątkiem jest, zawierające ogromną bibliografię, monumentalne dzieło brytyjskiegofizyka Rogera Penrose’a [13]. Książka ta zawiera przegląd praktycznie całej współczesnejfizyki, jej podstaw matematycznych i problemów filozoficznych wynikających z takich czyinnych trudności interpretacyjnych.

1.1 Fale elektromagnetyczne i fotony

Pewne, jak się wydaje fundamentalne, koncepcje mechaniki kwantowej omówimy na przy-kładzie światła. Kluczowe doświadczenia ze światłem są dobrze znane i łatwe do wyobra-żenia, są więc dobrym punktem wyjścia do dyskusji podstawowych idei. Zanim do niejprzejdziemy, w wielkim skrócie przedstawimy rozwój poglądów dotyczących natury świa-tła. Warto tu polecić książkę Hakena [10], w której szeroko przedstawiono zagadnieniapotraktowane tutaj "telegraficznie".

1


Newton (XVII-XVIII w.) uważał światło za strumień korpuskuł. Jego autorytet spra-wił, że falowe podejście Huygensa było mało popularne. Dopiero na początku XIX w.przełomowe doświadczenia Younga i Fresnela dotyczące interferencji i dyfrakcji spowodo-wały definitywne odrzucenie idei Newtona i przyjęcie opisu falowego. ElektrodynamikaMaxwella pozwalająca na wyprowadzenie równania falowego ugruntowała te koncepcje.Doświadczenia Hertza z falami elektromagnetycznymi w zasadzie zakończyły fundamen-talne badania światła – fali elektromagnetycznej.

Kłopoty zaczęły się pod koniec XIX wieku, gdy próbowano teoretycznie wyprowa-dzić tzw. widmo promieniowania ciała doskonale czarnego. Udało się to zrobić Planckowiw 1900 roku. Okazało się konieczne wprowadzenie koncepcji kwantu światła – fotonu.Einstein w 1905 roku posłużył się tą ideą, co pozwoliło mu wyjaśnić właściwości zjawi-ska fotoelektrycznego. Kolejnym potwierdzeniem istnienia fotonów był efekt Comptona(1924).

Podsumowując ten skrótowy przegląd, stwierdzamy, że mamy do czynienia z duali-zmem korpuskularno-falowym. Oznacza to, że światło w pewnych sytuacjach zachowujesię jak fala elektromagnetyczna o częstości ω i wektorze falowym ~k. Natomiast w oddzia-ływaniach z materią, światło zachowuje się jak strumień (wiązka, itp.) cząstek – fotonów.Fali elektromagnetycznej o częstotliwości ν = ω/2π i długości λ = c/ν odpowiadająfotony o energii i pędzie wynoszących

E = hν = ~ω, ~p = ~~k, przy czym∣∣∣~k ∣∣∣ =

2πλ. (1.1)

W powyższych relacjach występuje stała Plancka

h = 6, 62 ∗ 10−34 J · s, ~ =h

2π= 1, 05 ∗ 10−34 J · s. (1.2)

W dalszej części wykładu mówiąc "stała Plancka" praktycznie zawsze będziemy mieć namyśli ~, a nie samo h, bo tak jest znacznie wygodniej.

1.2 Analiza doświadczenia interferencyjnego Young’a

Motto1 : "W gruncie rzeczy nie potrafimy całkowicie wyjaśnić tajemniczego charakterutego zjawiska [interferencji światła lub cząstek materialnych (SK)], to znaczy nieumiemy "wytłumaczyć", dlaczego przebiega w taki, a nie inny sposób, możemynatomiast "opowiedzieć", w jaki sposób ono przebiega, a mówiąc o tym, opowiemyrównocześnie o podstawowych osobliwościach mechaniki kwantowej w ogóle."

Richard P. Feynman

Rozważymy znane skądinąd doświadczenie ugięcia i interferencji światła na dwóch szcze-linach (interferencyjne doświadczenie Young’a). Oba doświadczenia, o których będziemy

1Piękną dyskusję interferencji elektronów znajdziemy w podręczniku Feynmana [9] (t.I, cz.2, rozdz.37, str.173).

2


mówić przedstawione są schematycznie na rysunku (1.1). Celem naszej analizy jest pokaza-nie, że korpuskularne i falowe aspekty natury światła są niezbędne do pełnej interpretacjizjawiska interferencji światła na dwóch szczelinach. W omawianych tu doświadczeniach

z

E2

x

E1

x

S1

S2

P

Dwa

doswiadczenia

Otwarte

S1 albo S2

I1

I2

I1 + I2

Otwarte

S1 i S2

Rys. 1.1: Schemat dwóch doświadczeń dyfrakcyjno-interferencyjnych nadwóch wąskich szczelinach.

światło pochodzi z pewnego źródła znajdującego się daleko w lewo. Praktycznie równole-gła wiązka rozchodzi się wzdłuż osi z i pada z lewej na przesłonę P , w której znajdują siędwie szczeliny S1 i S2. Po przejściu przez nie, światło pada na ekran (E1 w pierwszym, E2

w drugim doświadczeniu). Na ekranach są gęsto rozmieszczone detektory, które zliczająpadające fotony (mierzą natężenie światła). Zliczenia fotonów mogą być, w razie potrze-by, sumowane. Dają więc informację (w funkcji x – odległości od osi z) o powstałym naekranie obrazie. Wyniki takich doświadczeń (tj. zależności natężeń od x) ilustrują wykresy"nad" ekranami E1 i E2.

1.2.1 Eksperyment pierwszy – jedna szczelina otwarta

Jedna ze szczelin (najpierw S2) jest zasłonięta, czyli światło przechodzi przez szczelinę S1

i ulega na niej ugięciu (dyfrakcji), a następnie pada na ekran E1. W rezultacie, uśrednionepo czasie natężenie I1 światła na ekranie E1 przedstawia linia ciągła. Następnie, w dru-giej części eksperymentu, zakrywamy szczelinę S1 i pozwalamy światłu przechodzić przezszczelinę S2. Linia przerywana I2 odpowiada uśrednionemu natężeniu mierzonemu w tejsytuacji. Linia kropkowana przedstawia sumę natężeń I1 + I2 zmierzonych w czasie obuczęści eksperymentu.

3


Fala ugięta na szczelinie Si i padająca na ekran E1 w pewnym punkcie odległym o x odosi z ma formalną postać

fi = Ai(x) cos(ωt− kz + φi

), i = 1, 2. (1.3)

Amplituda Ai jest zależna od x, bo energia fali kulistej maleje wraz z kwadratem odległościod źródła (w tym wypadku szczeliny).

Faza φi zależy od długości drogi optycznej od szczeliny Si do danego punktu naekranie, a więc także zależy od współrzędnej x. Natężenie takiej fali, mierzone przezdetektory na ekranie wynosi

Ii = α A2i (x) cos2

(ωt− kz + φi

), (1.4)

gdzie współczynnik α zależy od wyboru układu jednostek. Uśredniając po okresie drgańfali uzyskamy

Ii =12α A2

i (x), (1.5)

bowiem cos2 uśrednia się2 do 1/2. Wykresy na rysunku (1.1) ("nad" ekranem E1) przed-stawiają właśnie takie natężenia I1 oraz I2, a także ich sumę, która jest złożeniem wynikówdwóch części eksperymentu.

1.2.2 Eksperyment drugi – obie szczeliny otwarte

Teraz odsłaniamy jednocześnie obie szczeliny i usuwamy ekran E1. Światło przechodziw kierunku ekranu E2, na którym rejestrujemy charakterystyczne prążki interferencyjne.Natężenie światła na ekranie ma intensywne maksima (interferencja konstruktywna, gdyróżnica dróg optycznych od szczelin S1 i S2 do danego punktu na ekranie jest całkowitąwielokrotnością długości fali λ) oraz minima (interferencja destruktywna, gdy różnica drógoptycznych jest nieparzystą wielokrotnością λ/2).

W tym przypadku, na detektor w danym punkcie ekranu E2 padają dwie fale pocho-dzące z dwóch szczelin i detektor rejestruje natężenie (chwilowe)

I = α(f1 + f2

)2

= α[A1 cos

(ωt− kz + φ1

)+ A2 cos

(ωt− kz + φ2

)]2= α A2

1 cos2(ωt− kz + φ1

)+ α A2


)+ 2 α A1 A2 cos

(ωt− kz + φ1

)cos(ωt− kz + φ2

). (1.6)

Z tożsamości trygonometrycznej 2 cos β cos γ = cos(β + γ) + cos(β − γ), wynika, że

I = α A21 cos2

(ωt− kz + φ1

)+ α A2


)+ α A1 A2 cos

(2ωt− 2kz + φ1 + φ2

)+ α A1 A2 cos

(φ1 − φ2

). (1.7)

2Można to zrozumieć prosto i intuicyjnie. cos2 oscyluje pomiędzy zerem a jedynką. Zatem średniorówna się 1/2.

4


Uśredniając względem czasu widzimy, że trzeci składnik nie daje wkładu (średnia wartośćcosinusa jest równa zeru). Wobec tego

I =12α A2

1 +12α A2

2 + α A1 A2 cos(φ1 − φ2

). (1.8)

Wyrażając amplitudy przez natężenia (por. (1.5), Ai =√

2Ii/α ) otrzymujemy

I = I1 + I2 + 2√I1 I2 cos

(φ1 − φ2

). (1.9)

Dla prostoty rozważań przyjmijmy że A1 = A2, a co za tym idzie I1 = I2, wówczasnatężenie I światła rejestrowanego na ekranie E2 zmienia się od Imin = 0 do Imax = 4 I1.Natężenie I nie jest więc prostą sumą natężeń światła biegnącego od każdej ze szczelin.Zauważmy ponadto, że zależność amplitud od x sprawia, że obraz interferencyjny jesttakże scharakteryzowany pewną obwiednią, która opisuje zanik obrazu, gdy odchylenie|x| od środka ekranu staje się duże.

Różnica faz δ = (φ1 − φ2) występująca we wzorze (1.9) może być w zasadzie do-wolna i zależy od różnicy dróg optycznych od szczelin S1 i S2 do danego punktu naekranie. Światło spójne (koherentne) charakteryzuje się dobrze określonymi i niezmien-nymi w czasie różnicami fazowymi. W świetle niespójnym (niekoherentnym) różnice fazszybko i chaotycznie fluktuują w czasie. Gdybyśmy więc przeprowadzali doświadczenieinterferencyjne z falą niespójną, wówczas różnice faz szybko zmieniałyby się i cos δ uśred-niłby się do zera. Na ekranie E2 zaobserwowalibyśmy ten sam efekt, co przy zsumowaniurezultatów doświadczenia pierwszego. Warunkiem otrzymania prążków interferencyjnychjest więc spójność wiązki padającej. Na ekranie E2 obserwujemy prążki tylko wtedy, gdyświatło przechodzące przez szczeliny S1 i S2 jest koherentne.

Warto tutaj polecić jako ćwiczenie, wyprowadzenie znanych ze szkoły warunków okre-ślających położenie maksimów i minimów interferencyjnych

x =

nλL

d, maksima(

12 + n

) λL

d, minima,

(1.10)

gdzie d jest odległością pomiędzy szczelinami, zaś L odległością między przesłoną P ,a ekranem E2, na którym rejestrujemy prążki interferencyjne.

1.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego

Interpretacja i opis zjawiska interferencji w języku teorii falowej nie sprawia poważniej-szych trudności. Fale rozprzestrzeniają się w całej przestrzeni i w pewnych obszarachinterferują konstruktywnie, a w innych destruktywnie. W naszym intuicyjnym podejściu,cząstki to obiekty dobrze zlokalizowane przestrzennie, mające rozmiary znacznie mniejszeniż jakiekolwiek inne długości charakteryzujące doświadczenie (szerokość szczelin, czy od-ległość między nimi). Jak więc interpretować efekt interferencji w ujęciu korpuskularnym?

5


Mówimy tu o świetle, a więc o fotonach, ale równie dobrze moglibyśmy mówić o innychcząstkach, np. o elektronach czy neutronach.

Fala padająca na przesłonę ulega ugięciu na szczelinach w przesłonie. Możemy uznać,że ugięcie takie da się wyjaśnić zderzeniami fotonów z brzegami szczelin. Bardziej dokład-na analiza pokazałaby, że nie jest to argument całkiem wystarczający, choć intuicyjniesensowny. Aby więc nie komplikować sytuacji, pozostańmy przy tym niezbyt ścisłym wy-jaśnieniu. Zliczenia fotonów odbywające się na ekranach mogą polegać na badaniu stopniazaczernienia kliszy fotograficznej. Można także stosować fotopowielacze, które komputero-wo zliczają poszczególne fotony (i w razie potrzeby sumują takie zliczenia). A więc i to codzieje się w konkretnym punkcie "na ekranie" możemy dość łatwo zrozumieć w ramachkorpuskularnej interpretacji zjawiska. Trudności pojawiają się, gdy chcemy zrozumieć cha-rakter całego obrazu zarejestrowanego na ekranie.

Doświadczenie pierwsze (z otwartą jedną szczeliną) nie nastręcza specjalnych trudno-ści interpretacyjnych. Fotony padające na otwartą szczelinę uginają swój tor lotu (ulegająna niej dyfrakcji). W rezultacie obserwujemy krzywą natężenia z maksimum naprzeciwkoszczeliny otwartej. Rzeczywiście nie widać tu specjalnych kłopotów z interpretacją.

Doświadczenie drugie jest już znacznie trudniejsze do interpretacji. Jak to się dzieje,że cząstki – fotony dają na ekranie E2 prążki interferencyjne? Być może fotony jakośoddziałują ze sobą przed i za przesłoną? Nie ma jednak żadnych przesłanek fizycznych,aby sądzić, że takie oddziaływania w ogóle istnieją. Co więcej, współczesne urządzeniapozwalają wysyłać i rejestrować pojedyncze fotony (innymi słowy można wiązkę padającąbardzo osłabić). Detektory (fotopowielacze) będą więc rejestrować pojedyncze "kliknię-cia". W takim przypadku lecący ku ekranowi foton nie ma partnera, z którym mógłbyoddziaływać. Jeżeli więc za powstanie obrazu interferencyjnego odpowiedzialne są jakieśoddziaływania pomiędzy fotonami, to obraz interferencyjny powinien zniknąć. Jaki więcbędzie obraz powstały na ekranie przy sumowaniu zliczeń, gdy padają nań pojedynczefotony tak, aby zjawiska ugięcia kolejnych fotonów na szczelinie i potem ich detekcja, byłyzdarzeniami niezależnymi?

Gdy otwarte są obie szczeliny, a czas rejestracji jest krótki (tylko kilka fotonów zdą-żyło dolecieć do ekranu) obserwujemy dobrze zlokalizowane punkty, w których kolejnefotony uderzają w ekran. Rozkład tych punktów jest losowy, w tym sensie, że przy powta-rzaniu doświadczenia, punkty te są rozłożone za każdym razem w inny sposób. A zatem,w krótkim czasie, widzimy na ekranie pojedyncze punkty. Sugeruje to, że potrzebna jestinterpretacja korpuskularna, która na dodatek powinna mieć charakter probabilistyczny.Rozumiemy przez to, że potrzebny jest jakiś sposób obliczania prawdopodobieństwa te-go, gdzie padnie foton. Jednocześnie powinniśmy także zdać sobie sprawę, że już tutajpojawia się pierwszy znak zapytania nad słusznością naszych intuicji polegających nazastosowaniu klasycznego rozumienia ruchu cząstek.

Jeżeli jednak czas obserwacji rośnie, to rejestrujemy coraz więcej fotonów i widzimy,że zsumowany obraz na ekranie coraz lepiej odtwarza prążki interferencyjne. Obraz inter-

6


ferencyjny "buduje się" wraz z upływem czasu. A zatem wygląda na to, że w tej sytuacjipotrzebne jest podejście na gruncie teorii falowej (bo właśnie ona daje poprawny opisprążków).

Otrzymaliśmy więc dwa wnioski. Przy małej liczbie fotonów (krótki czas rejestracji)wydaje się, że potrzebujemy opisu korpuskularnego, a na dodatek mającego charakterprobabilistyczny, bo identyczne fotony ulegają ugięciu w przypadkowy (losowy) sposób.Natomiast przy dużej liczbie fotonów (długi czas) właściwy jest opis falowy. Stwierdzeniate są nie do pogodzenia. Co bowiem trzeba wybrać, gdy liczba fotonów (i czas rejestracji)są średnie, ani małe ani duże ?

Być może foton, przy przejściu przez przesłonę dzieli się na jakieś subcząstki, któreoddziałując ze sobą dają na ekranie obraz interferencyjny? Gdyby jednak tak było, to sto-sując odpowiednio czułe detektory rejestrowalibyśmy na ekranie kilka "kliknięć" (przyjednym fotonie padającym). To się jednak nigdy nie zdarza. Foton albo jest zarejestro-wany, albo nie – jest niepodzielny. Może więc jego trajektoria jest bardzo skomplikowana(np. zapętlona przez obie szczeliny). Jednak taka hipoteza jest z jednej strony dziwaczna,a z drugiej nie może doprowadzić do jakiegokolwiek opisu rozkładu prążków interferen-cyjnych powstałych na ekranie. A więc droga do wyjaśnienia interferencji nie prowadziprzez wprowadzanie dziwnych hipotez.

Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną trudność. Intuicja (klasyczna) podpowiada, że foton,lecąc od źródła ku przesłonie, przelatuje następnie albo przez szczelinę S1, albo przez S2.Ugina się na niej i potem trafia w ekran w pewnym punkcie x. Jeżeli foton przeleciałprzez jedną szczelinę, to co za różnica czy druga jest zasłonięta, czy otwarta. Natrafiamywięc na jeszcze jeden trudny aspekt. Wyniki doświadczeń przy jednej szczelinie zasłonięteji przy obu otwartych są przecież zasadniczo różne. Wskazuje to, że określenie przez którąszczelinę przeleciał foton, niszczy obraz interferencyjny. Doświadczenie potwierdza, żerzeczywiście tak jest.

1.3 Dualizm korpuskularno–falowy

1.3.1 Podsumowanie omawianych doświadczeń

1. Pojedynczy foton ulega ugięciu na szczelinie i trafia w ekran losowo. Nie umiemyprzewidzieć, gdzie konkretnie trafi.

2. Długo trwająca obserwacja (sumowanie rejestracji pojedynczych fotonów) sprawia,iż powstaje obraz interferencyjny (prążki jasne i ciemne). Potrafimy ściśle przewi-dzieć gdzie powstaną prążki jasne, a gdzie ciemne. Sugeruje to, że fotony trafiająw pewne punkty ekranu z większym, a w inne z mniejszym prawdopodobieństwem.

3. W pewnych sytuacjach sensowny wydaje się opis korpuskularny, a w innych falowy.Jak trzeba więc postępować, aby pogodzić ze sobą dwa, zasadniczo różne, typypodejść teoretycznych?

7


4. Warunkiem otrzymania obrazu interferencyjnego jest niemożność określenia przezktórą szczelinę przeleciał foton. Każe to wątpić, czy foton ma dobrze określonątrajektorię (w rozumieniu fizyki klasycznej).

Podsumowując, możemy stwierdzić, że dyskusja zjawiska interferencji prowadzi do tajem-niczych, i dziwnych wniosków. Na zakończenie podkreślmy raz jeszcze, że nasze rozważaniadotyczące interferencji światła (fotonów) mogą równie dobrze dotyczyć dowolnych cząstekmaterialnych, jak np. elektrony czy protony. Co więcej dzisiejsza technika doświadczalnapozwala przeprowadzać eksperymenty interferencyjne, w których uczestniczą atomy. Od-powiednio przygotowane atomy tworzą tzw. kondensat Bose-Einsteina, w którym bada sięróżnorodne zjawiska. Zagadnienia te, ze względu na falowy charakter materii, nazywanebywają optyką atomową.

1.3.2 Kwantowa unifikacja obu aspektów

W świetle powyższej dyskusji widzimy, że pełny opis (wszystkich wspomnianych aspek-tów) zjawiska interferencji nie jest możliwy, jeśli rozumując na gruncie zasad fizyki kla-sycznej bierzemy pod uwagę tylko podejście korpuskularne, albo tylko falowe. Co więcej,wydawać by się mogło, że bazując na koncepcjach fizyki klasycznej nie można pogodzićobu spojrzeń. Pokażemy, że tak być nie musi, choć automatycznie okaże się koniecznabardzo krytyczna analiza koncepcji i intuicyjnych pojęć obecnych w dobrze znanej fizyceklasycznej. Wiele swojskich i dobrze ugruntowanych intuicji klasycznych trzeba odrzucić,aby poprawnie i spójnie opisać zjawiska mikroświata. Omówimy teraz wskazane wyżejtrudności i pozorne paradoksy, choć być może w nieco innej kolejności.

Po pierwsze zauważmy, że określenie przez którą szczelinę przelatuje foton wymagajakiegoś dodatkowego mechanizmu detekcji. Wiemy zaś, że za taką informację "płacimy"zanikiem obrazu interferencyjnego (por. rysunek 1.1, ekran E1).Wniosek : Pomiar (w tym wypadku prosta detekcja fotonu) wykonany na układzie fi-

zycznym w zasadniczy sposób zakłóca układ. Tego nie ma w fizyce klasycznej,gdzie proces pomiaru ma zaniedbywalny wpływ na badany układ fizyczny.

Po drugie, intuicyjnie czujemy, że foton przechodzi przez którąś ze szczelin (nie dzieli sięna subcząstki), jednak zachowuje się zupełnie inaczej w zależności od tego, czy drugaszczelina jest otwarta, czy nie.Wniosek : Intuicyjna koncepcja fotonu jako cząstki, która przelatuje przez określoną

szczelinę jest myląca. W konsekwencji pojęcie trajektorii cząstki należy posta-wić pod znakiem zapytania. Trzeba je albo w zasadniczy sposób zrewidować,albo wręcz całkowicie odrzucić.

I wreszcie po trzecie, fotony padające pojedynczo na ekran, stopniowo (wraz z upływemczasu – wzrostem całkowitej liczby zarejestrowanych fotonów) budują obraz interferencyj-ny. Natomiast dla pojedynczego fotonu mamy wyraźny aspekt probabilistyczny. Mimo, że

8


fotony są emitowane przez źródło w identycznych warunkach, to jednak padają na ekranw różnych punktach. Nie możemy przewidzieć, gdzie trafi pojedynczy foton.Wniosek : Warunki początkowe nie określają jednoznacznie wyników doświadczenia

(stanu końcowego). Tak więc kolejna koncepcja klasyczna musi być zakwestio-nowana lub wręcz odrzucona. Przewidywania fizyczne dla pojedynczej cząstkimają charakter probabilistyczny. Możemy badać jedynie prawdopodobieństwotego, że foton trafi w ten czy inny punkt ekranu. Przy wielu cząstkach (wielekolejnych zdarzeń) potrafimy obliczyć rozkład statystyczny – określić, w którepunkty ekranu trafi dużo, a w które mało cząstek.

Całkiem analogiczne wnioski otrzymamy analizując całkiem inne eksperymenty u pod-staw których leży zjawisko interferencji. Przykładami mogą być dyfrakcja elektronów nakryształach, rozpraszanie neutronów na jądrach (oddziaływania silne) atomów tworzącychciała o najróżniejszych strukturach.

1.3.3 Dualizm korpuskularno–falowy

Aspekty falowe i korpuskularne są nierozłączne. Oba są potrzebne do opisu interferencji(jak również wielu innych zjawisk). Światło, a także inne cząstki – składniki mikroświata,zachowują się jak fala i jak faktyczne cząstki materialne. Podejście falowe umożliwia ob-liczanie prawdopodobieństw tego, co stanie się z cząstką w danej sytuacji fizycznej. Abyto stwierdzenie wyjaśnić, znów powracamy do światła i fotonów.

Informacje o fotonie zawarte są (jest to jedna z możliwości) w natężeniu pola elek-trycznego ~E(~r, t) fali elektromagnetycznej. Pole to jest rozwiązaniem równań Maxwella.W przeprowadzonej powyżej analizie fi (por. (1.3)) oznaczało np. jedną ze składowychpola ~E. Amplitudę fali możemy próbować interpretować jako amplitudę prawdopodo-bieństwa znalezienia fotonu w punkcie ~r w chwili t. Stwierdzenie to oznacza, że kwadratmodułu amplitudy, a więc natężenie światła I ∼ |~E|2 jest miarą prawdopodobieństwatego, gdzie (w danej chwili) znajduje się foton (miarą, bo aby w sposób ścisły mówić oprawdopodobieństwie, należałoby najpierw odpowiednio unormować natężenie I do je-dynki).

Powyższe rozważania dotyczące fotonu są zdecydowanie nieścisłe, pozwalają jednakwnioskować, że jedna z głównych idei mechaniki kwantowej polegać powinna na tym, abycząstce przypisać pewną funkcję ψ(~r, t) która nosi cechy fali. Ta funkcja falowa powinnamieć charakter amplitudy prawdopodobieństwa3 pozwalający na wyliczenie prawdopodo-bieństwa tego, co może dać pomiar takiej czy innej wielkości fizycznej. Co więcej, falowycharakter funkcji ψ(~r, t) powinien zapewniać możliwości zachodzenia zjawiska interferen-cji. Oczywiście na razie nie wiemy w jaki sposób wyznaczać taką funkcję, ani też jakimiwłasnościami powinna się charakteryzować. Na różnorodne, powstające w tym miejscu

3Mówimy o amplitudzie prawdopodobieństwa, bowiem dopiero jej kwadrat (modułu) daje prawdopo-dobieństwo. Jest to analogiczne do opisu fali (1.3), której kwadrat pozwala obliczyć natężenie (1.5).

9


pytania dotyczące funkcji falowej związanej z daną cząstką, będziemy sukcesywnie od-powiadać w dalszym ciągu wykładu. Na razie poprzestaniemy na postulacie, że z każdącząstką musimy związać pewną funkcję ψ(~r, t) – funkcję falową.

Należy tu stwierdzić, że choć dyskusja własności światła okazała się być owocna, tojednak fotonom – cząstkom ultrarelatywistycznym, w zasadzie nie można przyporządko-wać funkcji falowej (próby takie, mniej czy bardziej udane, znane są z literatury przed-miotu). Analogia "optyczna" jest pożyteczna, trzeba jednak pamiętać, że NIE wolno iśćzbyt daleko i wierzyć, że pole ~E(~r, t) ściśle opisuje stan fotonu. Opis taki wymaga teoriirelatywistycznej, jaką jest elektrodynamika kwantowa. W dyskutowanych tutaj zagadnie-niach mamy do czynienia jedynie z analogią. Pomimo tego zastrzeżenia, poczynimy jeszczepewne dodatkowe uwagi na temat światła – fotonów. Wnioski jakie uzyskamy będą bo-wiem dotyczyć także funkcji falowych związanych z cząstkami materialnymi (elektronami,protonami, itp.).

Równania Maxwella są liniowe, obowiązuje więc zasada superpozycji. Zasada ta stwier-dza, że jeśli ~E1 i ~E2 opisują fale elektromagnetyczne, to również a1

~E1 + a2~E1 (gdzie aj są

dowolnymi stałymi) także jest taką falą. Zasada ta leży u podstaw klasycznego wyja-śnienia zjawiska interferencji (patrz (1.6)). W fizyce kwantowej, gdzie będziemy mówić ofunkcjach falowych ψ(~r, t), zasada superpozycji musi także obowiązywać i dotyczyć wła-śnie samych funkcji falowych – amplitud prawdopodobieństwa. Sprawia to, że w domeniekwantowej także będziemy mieć do czynienia ze zjawiskami interferencji (na przykład falzwiązanych z elektronami).

Jak już mówiliśmy, teoria kwantowa (łącząca aspekty korpuskularny i falowy) pozwalajedynie na obliczanie prawdopodobieństw zajścia pewnych zdarzeń (wyników pomiarów).Eksperyment musi więc bazować na wielokrotnych powtórzeniach doświadczenia w iden-tycznych warunkach. W przypadku doświadczenia Young’a potrzeba było bardzo wielufotonów, aby w końcu powstał obraz interferencyjny, określający gdzie fotony "najchęt-niej" (z największym prawdopodobieństwem) trafiają w ekran.

1.4 Idea rozkładu spektralnego

1.4.1 Dyskusja eksperymentu polaryzacyjnego

Omówimy teraz inne doświadczenie optyczne, związane z polaryzacją fal świetlnych. Znówpodkreślamy, że mówimy o świetle ze względu na większą poglądowość dyskusji. Mogliby-śmy równie dobrze mówić o innych doświadczeniach, np. o doświadczeniu Sterna-Gerlachadotyczącym spinu elektronu. Układ doświadczalny byłby zupełnie inny. Rolę polaryzato-rów spełniałyby odpowiednio skonstruowane magnesy. Analiza doświadczenia byłaby nie-co bardziej złożona, lecz zasadnicze wnioski pozostałyby niezmienione. Skupimy się więcna dyskusji światła, mając jednak w pamięci wspomniane w poprzedniej części rozdziałuograniczenia.

10


z

θ

~Ein

~ein

x

~ex

y

~ey

~ep

Polaryzator

~Eout

~ex

Rys. 1.2: Schemat doświadczenia polaryzacyjnego.

Rozważamy wiązkę światła spolaryzowanego liniowo i rozprzestrzeniającego się w kie-runku osi z i padającą z lewej strony na polaryzator. Falę taką opiszemy za pomocąformuły

~E(~r, t) = E0~ein ei(ωt−kz). (1.11)

Jednostkowy wektor polaryzacji ~ein tworzy z osią x kąt θ (por. rys 1.2) i ze względuna poprzeczność fali elektromagnetycznej, leży w płaszczyźnie xy. E0 jest pewną ampli-tudą fali. Fala ta pada na polaryzator, który przepuszcza światło o polaryzacji wzdłuż~ep = ~ex, natomiast pochłania fale o polaryzacji wzdłuż ~ey. A więc za polaryzatorem falęprzechodzącą przedstawimy wzorem

~Eout(~r, t) = E′

0~ex ei(ωt−kz), (1.12)

co opisuje falę całkowicie spolaryzowaną (również liniowo) wzdłuż kierunku ustawieniapolaryzatora.

Ponadto, znane z klasycznej optyki prawo Malusa orzeka, że natężenie światła prze-chodzącego określone jest przez kąt θ (jaki tworzy wektor polaryzacji padającego światłaz kierunkiem ustawienia polaryzatora) relacją

I ′ = I0 cos2 θ, (1.13)

gdzie I0 jest natężeniem światła padającego na polaryzator. Gdy polaryzacja fali padającejtworzy kąt θ → 0 z osią x to "cała fala" przechodzi. Jeżeli zaś θ → π/2, to polaryzator

11


jest nieprzezroczysty dla fali padającej (spolaryzowanej prostopadle do jego ustawienia).Widzimy więc, że analiza tego doświadczenia na poziomie klasycznym, w języku teoriifalowej, jest dobrze znana i intuicyjnie oczywista.

Dyskusja korpuskularna

Jak zaś omówić doświadczenie polaryzacyjne w ramach podejścia korpuskularnego?Sytuacja fizyczna jest ta sama, co przedstawiona na rysunku 1.2. Światło padające ma

polaryzację w kierunku ~ein tworzącym kąt θ z osią x. Załóżmy dalej, że wiązka padającajest bardzo osłabiona tak, że na polaryzator padają pojedyncze fotony. Detektor zliczającyfotony umieszczony jest zaraz za polaryzatorem, jego "kliknięcie" oznacza, że foton prze-szedł przez polaryzator. Zgodnie z naszą intuicją foton albo przejdzie przez polaryzator,albo nie. Nie wiemy na pewno, co się stanie z fotonem o polaryzacji ~ein 6= ~ep. Musi-my myśleć w kategoriach probabilistycznych. Nonsensem jest bowiem "’ułamek fotonu"’.Po doświadczeniu z wieloma fotonami (a więc po dostatecznie długim czasie), gdy źródłowyemituje N 1 fotonów, możemy oczekiwać, że detektor za polaryzatorem zarejestrujeN cos2 θ fotonów. Efekt (rezultat) klasyczny, zgodny z teorią falową odtwarza się dopierowtedy, gdy N jest duże. Potwierdza się więc oczekiwanie, że opis pojedynczego fotonumusi mieć aspekt probabilistyczny. Oznacza to, że znów jesteśmy zmuszeni zrewidowaćpojęcia intuicyjne, oczywiste na gruncie fizyki klasycznej.

1.4.2 Wnioski kwantowo-mechaniczne

1. Pomiar (w tym wypadku detekcja fotonu po przejściu przez polaryzator), możedawać tylko pewne, ściśle określone wyniki (tzw. rezultaty lub wartości własne).W dyskutowanym doświadczeniu mamy dwie możliwości

• foton przechodzi przez polaryzator;• foton nie przechodzi.

Wynik pomiaru jest więc "skwantowany" – przyjmuje tylko określone dopuszczalnewartości. W przypadku klasycznym, nie ma ograniczeń na wynik doświadczenia,natężenie I ′ fali przechodzącej (przy danym I0) może przyjmować dowolne wartości.

2. Każdemu dopuszczalnemu wynikowi pomiaru (doświadczenia) odpowiada tzw. stanwłasny. Tutaj mówimy o polaryzacji fotonu, mamy więc dwa takie stany,

~ein = ~ex, oraz ~ein = ~ey. (1.14)

Jeżeli polaryzację fotonu padającego określa ~ein = ~ex, to foton przechodzi przez po-laryzator, jeżeli zaś ~ein = ~ey, to foton jest pochłonięty i nie przechodzi. Odpowied-niość między rezultatami doświadczenia, a stanami własnymi można więc określićtak: jeśli foton przed pomiarem (przejściem przez polaryzator) jest w jednym zestanów własnych to odpowiedni rezultat pomiaru występuje (daje się przewidzieć)z prawdopodobieństwem 1.

12


3. Jeżeli przed pomiarem (tj. przed przejściem przez polaryzator) stan fotonu jestdowolny (np. ~ein = (cos θ, sin θ), jak na rysunku 1.2), to jedynie możliwe jestokreślenia prawdopodobieństwa otrzymania jednego z rezultatów własnych. Może-my wówczas mówić, że z takim to a takim prawdopodobieństwem foton przejdzieprzez polaryzator. Aby znaleźć to prawdopodobieństwo, trzeba stan fotonu rozłożyćna kombinację liniową stanów własnych. W naszym przypadku mamy

~ein = ~ex cos θ + ~ey sin θ. (1.15)

Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru jednego z rezultatów własnychotrzymujemy biorąc kwadrat modułu współczynnika stojącego przy danym staniewłasnym. Oczywiście suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych rezultatówpomiaru musi dawać 1. Ostatnie żądanie wynika stąd, że jakikolwiek (spośród do-puszczalnych) wynik otrzymujemy z pewnością, a więc z prawdopodobieństwem 1.W przypadku doświadczenia polaryzacyjnego, z (1.15) wynika, że odpowiednie praw-dopodobieństwa to

Pprzejscie = cos2 θ, oraz Pabsorpcja = sin2 θ. (1.16)

Nietrudno zauważyć, że prawdopodobieństwa te można wyrazić następująco

Pprzejscie =∣∣∣~ein · ~ex∣∣∣2 =

∣∣∣(~ex cos θ + ~ey sin θ) · ~ex∣∣∣2 = cos2 θ (1.17a)

Pabsorpcja =∣∣∣~ein · ~ey∣∣∣2 =

∣∣∣(~ex cos θ + ~ey sin θ) · ~ey∣∣∣2 = sin2 θ. (1.17b)

Odpowiednie prawdopodobieństwa są więc kwadratami modułów rzutów wektorapolaryzacji fotonu padającego na stany własne: ~ex – "przejdzie" oraz ~ey – "nieprzejdzie". Suma tych prawdopodobieństw jest oczywiście równa 1, tak jak być po-winno. I tak na przykład, gdy θ = π/2 otrzymujemy Pprzejscie = 0, Pabsorpcja = 1.Przedstawione tu zasady stanowią przykład koncepcji tzw. rozkładu spektralnego.Rozkład typu (1.15) jest specyficzny dla omawianego doświadczenia polaryzacyj-nego i wynika on z kierunków narzuconych przez wybraną orientację polaryzatora.W ogólnym wypadku, analogiczne rozkłady są określone charakterem eksperymentui mogą być bardzo różne. W trakcie wykładu napotkamy wiele różnych przykładówtakich rozkładów spektralnych.

4. Za analizatorem światło jest całkowicie spolaryzowane wzdłuż kierunku ~ep = ~ex.Jeśli dalej umieścimy drugi, tak samo zorientowany polaryzator, to fotony nań pa-dające mają już ściśle określoną polaryzację ~ep′ = ~ex. A więc według pkt. 2 i 3znajdują się w stanie własnym odpowiadającym ustawieniu drugiego polaryzatora.Wobec tego przejdą przezeń z prawdopodobieństwem równym jedności. Z powyż-szych rozważań wynika, że skutkiem pierwszego pomiaru polaryzacji dla fotonu,który miał polaryzacją dowolną ~ein = (cos θ, sin θ), jest skokowa jej zmiana na ~ex.

13


Przed polaryzatorem mieliśmy ~E(~r, t) ‖ ~ein. Po przejściu mamy dodatkową informa-cję – foton przeszedł. Ta nowa informacja przejawia się w zmianie stanu. Polaryzacjajest teraz opisana wektorem ~ex. Potwierdza to poczynione uprzednio stwierdzenie,że pomiar w istotny sposób zakłóca (wręcz zmienia) stan układu fizycznego.

Omawiane tutaj doświadczenie polaryzacyjne pozwala wyrobić sobie pewne intuicjedotyczące zasadniczych koncepcji mechaniki kwantowej. Jej formalizm matematyczny jestbowiem bardzo złożony i często pojęcia fizyczne są ukryte w "gąszczu matematycznym".

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

14

S.Kryszewski 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 15

Rozdział 2

Funkcje falowe i równanie Schrödingera

Każda teoria fizyczna, w tym i mechanika kwantowa bazuje na zbiorze postulatów – prawprzyrody, które można (i to na różne sposoby) uzasadniać. Nie można jednak tych po-stulatów wyprowadzić z jakichkolwiek ogólniejszych (bardziej fundamentalnych) zasad,czy praw. Rolę takich postulatów odgrywają np. prawa Newtona w mechanice klasycznej,lub równania Maxwella w elektrodynamice. W tym rozdziale sformułujemy (na początkuw nieco uproszczony sposób) pewne podstawowe postulaty mechaniki kwantowej. W dal-szych rozdziałach będziemy je uzupełniać, uogólniać, omawiać i badać ich konsekwencjefizyczne.

Wprowadzimy tu pojęcie funkcji falowej, które sprawia, że opis układu kwantowo-mechanicznego jest radykalnie odmienny od tego, co jest znane z fizyki klasycznej. Wpro-wadzimy także (jako postulat, mający jednak pewne uzasadnienie) równanie Schrödingeraokreślające ewolucję czasową funkcji falowych. Nadamy im określoną interpretację i zba-damy warunki nałożone na funkcje falowe przez zadaną interpretację.

2.1 Hipoteza de Broglie’a. Funkcje falowe

Dyskusja przeprowadzona w poprzednim rozdziale wskazuje, że opis mikroświata powinienłączyć aspekty falowe i korpuskularne. Co więcej, w mikroświecie mamy do czynieniaz koncepcjami probabilistycznymi, a więc zupełnie odmiennymi od dobrze nam znanychpojęć klasycznych.

W mechanice klasycznej układ fizyczny jest opisany za pomocą współrzędnych i pędówuogólnionych. W przypadku jednej cząstki mamy wektor położenia ~x(t) i pęd ~p(t), czylidwa wektory, o trzech składowych każdy. Zależność od czasu wynika np. z hamiltonow-skich równań ruchu, które przy zadanych warunkach początkowych mają jednoznacznerozwiązania. Współrzędne i pędy uogólnione są więc sparametryzowane czasem i tymsamym wyznaczają trajektorię ruchu cząstki.

Wstępna dyskusja wskazuje, że koncepcje klasyczne są całkiem nieodpowiednie doopisu zjawisk mikroświata. Odrzucimy je więc, postępując w duchu hipotezy de Broglie’a.Hipoteza ta mówi, że cząstki (wszystkie, a nie tylko fotony) mają zarówno własnościfalowe, jak i korpuskularne. Wskazuje na to np. dyfrakcja elektronów na kryształach (do-

15


świadczenie Davissona i Germera w 1927 roku). Postulat de Broglie’a mówi dalej, żecząstce o energii E i pędzie ~p przypisujemy falę o częstości ω = 2πν i wektorze falowym~k, przy czym obowiązują następujące związki

E = ~ω = hν, ~p = ~~k. (2.1)

Długość fali jest związana z wektorem falowym

λ =2π

|~k|=

2π~|~p|

=h

|~p|. (2.2)

Zwróćmy uwagę, że nie wolno napisać λ = c/ν, co sugerowałoby, że cząstka ma prędkośćświatła. Ponieważ cząstka ma masę m 6= 0, więc nie może poruszać się z prędkościąświatła.

Prowadząc dalszą dyskusję skupimy uwagę na pojedynczej cząstce. Później przepro-wadzimy stosowne uogólnienia. Idąc za de Broglie’m przyjmiemy jak postulat następującestwierdzenie.

Postulujemy, że układ fizyczny (na razie jedna cząstka) jest w pełni opisany zapomocą tzw. funkcji falowej, którą oznaczamy

ψ(~r, t) − funkcja falowa. (2.3)

Innymi słowy – stan układu jest dany funkcją falową ψ(~r, t).

Badaniem własności funkcji falowej zajmiemy się nieco dalej. Na razie poczynimy nastę-pujące uwagi.

1. Wektor ~r – argument funkcji falowej NIE wiąże się w żaden prosty sposób z poło-żeniem cząstki.

2. Funkcja falowa może zależeć od innych wielkości (parametrów). Zależy to od tego,jaki układ fizyczny chcemy opisać. W dalszym ciągu wykładu będziemy mieć doczynienia z wieloma konkretnymi przykładami.

3. Stan kwantowo-mechaniczny układu (a więc funkcja falowa) to zbiór nieskończeniewielu liczb – wartości funkcji falowej we wszystkich dopuszczalnych punktach ~r i dlakolejnych chwil czasu t.

4. Dopuszczamy funkcje falowe o wartościach zespolonych

ψ(~r, t) ∈ C, (2.4)

co wkrótce omówimy szerzej.

W poprzednim rozdziale wspominaliśmy o doświadczeniach interferencyjnych, w którychfale się sumują. Możliwość opisu takich efektów zapewnia kolejny postulat.

16


Jeśli ψ1(~r, t) oraz ψ2(~r, t) są funkcjami falowymi układu fizycznego (cząstki) towówczas ich superpozycja

ψ(~r, t) = α1 ψ1(~r, t) + α2 ψ2(~r, t), (2.5)

jest także funkcją falową i to dla dowolnych liczb zespolonych α1, α2 ∈ C. Po-stulat ten dotyczy kombinacji liniowej dowolnej ilości funkcji falowych, bowiemmożna stosować go sukcesywnie. Nazywamy go zasadą superpozycji.

Powyższy postulat prowadzi do ważnej konkluzji. Funkcje falowe musimy wyznaczać zapomocą takiego, czy innego równania falowego. Zasada superpozycji wymaga, aby od-powiednie równanie falowe było liniowe: kombinacja liniowa rozwiązań musi także byćfunkcją falową – rozwiązaniem tego równania. Matematycznym wyrazem tego żądaniajest stwierdzenie, że przestrzeń funkcji falowych jest przestrzenią wektorową, w którejkombinacje liniowe elementów przestrzeni są też jej elementami.

2.2 Równanie Schrödingera

W powyższych rozważaniach postulowaliśmy istnienie funkcji falowych. Kolejny krok bu-dowania mechaniki kwantowej polega na podaniu metody ich znajdowania.

Nadal skupiamy uwagę na pojedynczej (bezspinowej) cząstce o masie m. Przyjmiemyponadto, ze cząstka ta znajduje się w pewnym polu sił zewnętrznych takich, że energiapotencjalna cząstki dana jest pewną funkcją V = V (~r, t) – funkcją argumentu ~r i czasu.Dla tej sytuacji fizycznej przyjmujemy kolejny postulat.

Postulujemy, że funkcja falowa ψ(~r, t) odpowiadająca rozważanej cząstce spełniarównanie falowe

i~∂

∂tψ(~r, t) = − ~2

2m∇2 ψ(~r, t) + V (~r, t) ψ(~r, t), (2.6)

zwane (jednocząstkowym) równaniem Schrödingera.

Równanie Schrödingera jest jednym z najważniejszych równań fizyki współczesnej. Je-go analiza i zastosowania stanowić będą główną oś niniejszych wykładów. Konsekwencjefizyczne wynikające z równania Schrödingera są niezwykle głębokie i złożone. Dlatego na-sza dyskusja będzie stopniowa, zaczniemy od najistotniejszych faktów. O prawidłowościteorii fizycznej koniec końców rozstrzyga doświadczenie. Ilość doświadczeń potwierdzają-cych poprawność mechaniki kwantowej (a zatem i równania Schrödingera) jest absolutnieprzytłaczająca.

17


2.2.1 Uwagi i komentarze

Równanie Schrödingera będzie zasadniczym "obiektem" naszych rozważań. Jego konse-kwencje fizyczne są niezwykle złożone, dlatego też nie jest możliwe ogólne omówieniewłasności tego równania. Wskażemy tutaj jedynie kilka bardzo ważnych faktów istotnychdla zrozumienia dalszego ciągu wykładu.

1. Lewa strona równania Schrödingera zawiera jednostkę urojoną i =√−1. Jest to

więc równanie zespolone.

Wniosek : Funkcja falowa – rozwiązanie równania zespolonego jest funkcją rze-czywistych argumentów ~r i t, ale wartości ψ(~r, t) są zespolone. Wyja-śnia to stwierdzenie (2.4), które uprzednio nie miało uzasadnienia.

2. Równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu względemczasu.

Wniosek : Rozwiązanie równanie Schrödingera wymaga zadania warunku po-czątkowego (dla pewnej chwili t0)

ψ(~r, t0) = ψ0(~r). (2.7)

Zwróćmy uwagę, że warunek początkowy jest funkcją, a nie zbioremkilku liczb (jak miało to miejsce w mechanice klasycznej). Zgodniez teorią równań różniczkowych możemy stwierdzić, że przyjęty dlachwili t0 warunek początkowy jednoznacznie określa funkcję falowądla chwil późniejszych. Jest to zgodne z postulatem, że funkcja falowaw pełni określa stan układu. Równanie Schrödingera jednoznaczniewyznacza funkcję falową dla t > t0. Równanie to jest więc w pełnideterministyczne, nie ma tu żadnych aspektów probabilistycznych.

3. Równanie Schrödingera zawiera laplasjan

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2, ~r = (x, y, z), (2.8)

jest więc (cząstkowym) równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem zmien-nej ~r, zwanej niekiedy zmienną przestrzenną. Obszar zmienności tej zmiennej (w za-sadzie należącej do R3) zależy od konkretnego zagadnienia fizycznego. Czasem jestto obszar nieskończony, a czasem skończony. Omówimy to bardziej szczegółowo poprzedstawieniu podstawowych własności i interpretacji fizycznej funkcji falowej. Za-uważmy jeszcze, że można konstruować modele jedno- lub dwuwymiarowe. W pierw-szym przypadku równanie Schrödingera będzie zwykłym równaniem różniczkowym(a nie cząstkowym).

18


4. Prawa strona równania Schrödingera zawiera energię1 potencjalną V (~r, t) cząstki,która jest funkcją, przez którą po prostu mnożymy funkcję falową. Konkretne przy-kłady pojawią się w dalszych rozdziałach. Dla cząstki swobodnej (nieoddziałującej)mamy V (~r, t) ≡ 0 i drugiego członu po prawej stronie równania (2.6) po prostu niema.

5. Równanie Schrödingera (2.6) jest ewidentnie liniowe. Jego rozwiązania w oczywistysposób spełniają zasadę superpozycji (2.5), a co za tym idzie dopuszczają zjawiskainterferencji.

6. Równanie Schrödingera opisuje ewolucję czasową fali (funkcji falowej). W każdejchwili czasu mamy nieskończenie wiele wartości funkcji ψ dla wszystkich~r ∈ V ⊂ R3.Uzasadnia to stwierdzenia dotyczące doświadczenia Younga, że pytanie przez którąszczelinę przeszła cząstka jest pozbawione sensu fizycznego. Automatycznie traci teżznaczenie pojęcie trajektorii cząstki. Czegoś takiego w mechanice kwantowej nie ma.

Powyższe uwagi są natury raczej matematycznej, a nie fizycznej. Ponadto nadal małowiemy o funkcjach falowych – możliwych rozwiązaniach równania Schrödingera. Nawią-żemy do tych problemów po omówieniu pewnych zagadnień wynikających z równaniaSchrödingera.

2.2.2 Uzasadnienie równania Schrödingera

Jak mówiliśmy we wstępie, równanie Schrödingera jest postulatem mechaniki kwantowej,a więc można je przyjąć jako prawo przyrody – bez żadnego uzasadnienia. Z drugiej stronyuzasadnienie takie pozwala lepiej je zrozumieć oraz ustalić zakres jego stosowalności.

Rozpoczniemy analizę od rozważenia cząstki swobodnej. Najprostszą intuicyjnie jest(zespolona) fala płaska typu exp(i ~k·~r−iωt). Fala taka rozciąga się w całej przestrzeni, cokłóci się z intuicyjnie rozumianym pojęciem "lokalizacji" cząstki. Oczekujemy bowiem, żecząstka jest "jakoś zlokalizowana przestrzennie". Modyfikujemy więc falę płaską, tworząctzw. pakiet falowy

ψ(~r, t) =∫d 3k A(~k) ei (~k·~r − ωt ). (2.9)

Obwiednia A(~k) (amplituda pakietu) określa wagę z jaką poszczególne fale płaskie wcho-dzą w skład pakietu, a także sprawia2, że pakiet jest "przestrzennie ograniczony".

Korzystając z postulatów de Broglie’a (2.1) wyrażamy wektor falowy ~k i częstość ωpoprzez pęd ~p i energię E. Nasz pakiet falowy przybiera wtedy postać

ψ(~r, t) =∫d 3p A(~p) exp

[i ~p ·~r

~− iEt

~

]. (2.10)

1W praktycznych zastosowaniach mechaniki kwantowej często mówi się żargonowo "potencjał" zamiast"energia potencjalna". Trzeba jednak pamiętać, że jest to nieprecyzyjny żargon.

2Wynika to z własności transformat Fouriera, bowiem pakiet ψ(~r, t) jest transformatą amplitudy A(~k).Szeroka, czy też rozmyta amplituda A(~k) "zwęża", a więc lokalizuje pakiet ψ(~r, t) i na odwrót.

19


Stałe pojawiające się w wyniku zamiany zmiennej całkowania zostały "wciągnięte" doamplitudy A(~p).

Aby dobrze zrozumieć dalszy ciąg rozumowania przypomnijmy, że naszym celem jestuzasadnienie równania Schrödingera dla cząstki swobodnej, tzn. równania

i~∂

∂tψ(~r, t) +

~2

2m∇2 ψ(~r, t) = 0, (2.11)

co wynika z (2.6) dla zerującej się energii potencjalnej. Chcemy teraz, aby (na mocy zasadysuperpozycji) pakiet (2.10) będący superpozycją fal płaskich spełniał równanie (2.11).

Z jednej strony mamy różniczkowanie względem czasu, więc z (2.10) otrzymujemy

i~∂

∂tψ(~r, t) =

∫d 3p A(~p) E exp

[i ~p ·~r

~− iEt

~

]. (2.12)

Z drugiej strony dwukrotne różniczkowanie względem zmiennych przestrzennych daje(uwaga na znaki)

~2

2m∇2 ψ(~r, t) = − 1

2m

(−i~∇

)2ψ(~r, t)

= −∫d 3p A(~p)

(~p2

2m

)exp

[i ~p ·~r

~− iEt

~

]. (2.13)

Dodając stronami powyższe relacje, mamy

i~∂

∂tψ(~r, t) +

~2

2m∇2 ψ(~r, t) =

=∫d 3p A(~p)

(E −

~p2

2m

)exp

[i ~p ·~r

~− iEt

~

]. (2.14)

Aby uzasadnić równanie Schrödingera (2.11) musimy żądać zerowania się obu stron związ-ku (2.14). Będzie to zachodzić jeśli

E =~p2

2m, (2.15)

co stanowi dobrze znany nierelatywistyczny związek pomiędzy energią kinetyczną cząstkia jej pędem. Wnioskujemy więc, że równanie Schrödingera jest spełnione, jeśli zachodzirelacja (2.15). Ta ostatnia nie budzi sprzeciwu, więc równanie Schrödingera (dla cząstkiswobodnej) można uznać za uzasadnione.

W tym miejscu należy zwrócić uwagę, że przeprowadzone uzasadnienie równaniaSchrödingera pozwala wypisać dwie odpowiedniości

i~∂

∂t- E − energia, (2.16a)

− i~∇ - ~p − pęd. (2.16b)

Wynikają one stąd, że zastosowanie operatorów po lewej do pakietu falowego produkujepod całką mnożniki: energii E oraz pędu ~p. Wypisane odpowiedniości wskazują na ważny

20


związek pomiędzy operatorami ( w tym wypadku różniczkowymi), a dobrze określony-mi (i jasno zrozumiałymi), mierzalnymi wielkościami fizycznymi. Jest to związek bardzoważny, wrócimy do niego w ciągu dalszej konstrukcji formalizmu mechaniki kwantowej.Omówimy znaczenie operatorów, ich własności, sposoby formalnego ich obliczania, itd.

Oczywiście konsekwencją relacji (2.16b) jest kolejna odpowiedniość

− ~2

2m∇2 -

~p2

2m= Ekin − energia kinetyczna. (2.17)

Dzięki temu, możemy na pełne równanie Schrödingera (dla cząstki oddziałującej)

i~∂

∂tψ(~r, t) =

[− ~2

2m∇2 + V (~r, t)

]ψ(~r, t), (2.18)

spojrzeć jako na relację energetyczną

energia całkowita = energia kinetyczna + energia potencjalna, (2.19)

co stanowi specyficzne jego uzasadnienie. Można oczywiście przeprowadzić bardziej pre-cyzyjne i nieco bardziej ścisłe rozumowanie. Tak czy inaczej, równanie Schrödingera jestpostulatem, a uzasadnienie ma jedynie sens jako heurystyczne wyjaśnienie pojęć. Na za-kończenie tych rozważań podkreślmy, że mamy tu do czynienia z fizyką nierelatywistyczną.Fakt ten ma istotne znaczenie, bowiem pozwala narzucić pewne warunki na funkcje falowe.Wrócimy do tego nieco dalej.

2.2.3 Uogólnienie

Relacje (2.17) i (2.18) pozwalają przeprowadzić daleko idące uogólnienie. Wielkości w na-wiasie kwadratowym po prawej stronie relacji (2.18) odpowiadają sumie nierelatywistycz-nych energii kinetycznej i potencjalnej – hamiltonianowi cząstki. Dokonując takiego utoż-samienia, piszemy

H = − ~2

2m∇2 + V (~r, t), (2.20)

co nazwiemy operatorem Hamiltona (w skrócie hamiltonianem) dla oddziałującej cząstkio masie m. Równanie Schrödingera zapisane za pomocą hamiltonianu ma postać

i~∂

∂tψ(~r, t) = H ψ(~r, t). (2.21)

Skądinąd wiemy, że różniczkowanie względem czasu jest związane z energią (patrz (2.16a))i dlatego hamiltonian jest operatorem energii. Zwróćmy uwagę, że klasyczny hamiltoniancząstki jest funkcją współrzędnych i pędów uogólnionych. Natomiast hamiltonian kwanto-wo-mechaniczny to operator (tu różniczkowy), działający na funkcję falową cząstki. Sensfizyczny hamiltonianu jest więc podobny jak w fizyce klasycznej – to operator energii –ale jego struktura i natura matematyczna jest radykalnie inna.

21


Równanie (2.21) jest uzasadnione dla pojedynczej, oddziałującej cząstki. Pozwala onona niezmiernie ważne uogólnienie. Mianowicie, przyjmiemy następujący postulat

Niech H oznacza hamiltonian (operator energii) dowolnego układu fizycznego.Funkcja falowa Ψ(t) opisująca tenże układ spełnia równanie Schrödingera

i~∂

∂tΨ(t) = H Ψ(t) (2.22)

które określa ewolucję funkcji falowej w czasie. Do jego rozwiązania potrzebnajest znajomość funkcji falowej Ψ0 = Ψ(t0) dla pewnej chwili początkowej t0.

Postulat ten nie określa sposobu konstrukcji hamiltonianu, nie precyzuje też od ja-kich innych zmiennych zależy funkcja falowa Ψ(t). Oba wskazane problemy trzeba jakośrozwiązać. Zajmiemy się nimi szczegółowo w dalszych rozdziałach.

2.3 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej

Analizowane do tej pory równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowym. Teoriatakich równań dostarcza wiele różnorodnych narzędzi pozwalających znaleźć rozwiązania.Powstaje jednak pytanie, czy wszystkie matematycznie poprawne rozwiązania są równieżfizycznie dopuszczalne. Aby poszukać odpowiedzi trzeba wiedzieć, jak należy interpreto-wać funkcje falowe. Czy i jaki sens fizyczny one niosą?

Dyskutując doświadczenie interferencyjne wspomnieliśmy, że funkcja falowa powinnamieć jakąś interpretację probabilistyczną. To luźne pojęcie sprecyzujemy i zbadamy jegokonsekwencje. Ponownie skupimy uwagę na pojedynczej cząstce.

Funkcja falowa ψ(~r, t) jest amplitudą gęstości prawdopodobieństwa znalezieniacząstki w otoczeniu punktu ~r w chwili t. Oznacza to, że prawdopodobieństwodP (~r, t) znalezienia cząstki w objętości d3r wokół punktu ~r (w chwili t) wynosi

dP (~r, t) = C |ψ(~r, t)|2 d 3r, (2.23)

gdzie C ∈ R+ jest pewną stałą, którą wkrótce określimy. Mówimy o gęstościprawdopodobieństwa, ponieważ zmienna ~r ∈ R3 jest zmienną ciągłą.

Podkreślmy, że argument~r nie jest (w sensie dosłownym) położeniem cząstki. Wektor~r jestpołożeniem określonym jedynie z pewną gęstością prawdopodobieństwa, proporcjonalnądo |ψ(~r, t)|2. Innymi słowy nie możemy orzekać (tak jak w mechanice klasycznej), żecząstka znajduje się w tym czy innym punkcie przestrzeni. Możemy jedynie mówić o praw-dopodobieństwie znalezienia cząstki w otoczeniu danego punktu. Wynika stąd ponownie,że nie można określić trajektorii cząstki, w mechanice kwantowej pojęcie to traci sens.

22


Relacja (2.23) zawiera stałą dodatnią C. Określimy ją teraz. Oczywiście prawdopo-dobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek w R3 musi być równe jedności. Oznacza to,że ∫

R3dP (~r, t) = 1. (2.24)

Powyższy warunek, wraz z postulatem (2.23) pociąga za sobą

C∫

R3d 3r |ψ(~r, t)|2 = 1. (2.25)

Stąd zaś wynika natychmiast, że po pierwsze∫R3d 3r |ψ(~r, t)|2 <∞, (2.26)

co oznacza, że funkcja falowa musi być całkowalna w kwadracie (modułu, jest to bowiemna ogół funkcja zespolona). Po drugie, z relacji (2.25) mamy

C =1∫

R3 d3r |ψ(~r, t)|2

=1‖ ψ ‖2

, (2.27)

gdzie ‖ . ‖ oznacza normę w przestrzeni funkcji falowych. Normę tę definiuje mianownikczęści środkowej. "Nowa" funkcja falowa

ψ(~r, t) =√C ψ(~r, t) =

ψ(~r, t)‖ψ‖

, (2.28)

jest więc unormowana, w tym sensie, że∫R3d 3r

∣∣∣ψ(~r, t)∣∣∣2 = 1. (2.29)

Wniosek : Dopuszczalna fizycznie funkcja falowa musi być całkowalna w kwadracie(patrz (2.26)). Pozwala to ją unormować i zamiast (2.23) napisać

dP (~r, t) = |ψ(~r, t)|2 d 3r, (2.30)

gdzie ‖ψ‖ = 1, tak jak w (2.29). Wniosek niniejszy dotyczy wszelkich funkcjifalowych, a nie tylko funkcji dla jednej cząstki. W dalszym ciągu wykładuzawsze będziemy normować funkcje falowe.

Konsekwencją jest stwierdzenie, że nie wszystkie matematycznie poprawne rozwiązaniarównania Schrödingera są fizycznie dopuszczalne. Nienormowalne (niecałkowalne w kwa-dracie) rozwiązania odrzucamy jako fizycznie niedozwolone. Klasa dopuszczalnych fizycz-nie rozwiązań jest węższa niż klasa wszystkich możliwych rozwiązań. Ograniczenie to ma,jak dalej pokażemy, niezwykle istotne konsekwencje fizyczne. Funkcje nienormowalne niemogą odpowiadać dopuszczalnym fizycznie stanom cząstki. Mimo to jednak, w niektórychsytuacjach wygodnie jest posługiwać się funkcjami nienormowalnymi, nie należącymi doklasy funkcji całkowalnych w kwadracie. Dotyczy to tzw. fal płaskich, które omówimynieco dalej. Konieczne jednak będą pewne dodatkowe kroki interpretacyjne.

23


Warto jeszcze poświęcić nieco uwagi na wnioski wynikające z żądania normowaniafunkcji falowych.

• W całce normalizacyjnej (2.29) element objętości d 3r ma wymiar m3 (objętości).Jedynka po prawej stronie jest bezwymiarowa. Wynika stąd, że funkcja falowa mawymiar[

ψ(~r, t)]

= m−3/2, (dla pojedynczej cząstki). (2.31)

• Dwie funkcje falowe różniące się o czynnik α ∈ C (tj. ψ1 oraz ψ2 = αψ1, możnautożsamić. Normowanie na ogół usunie niejednoznaczność. Należy tu jednak zwrócićuwagę na szczególny przypadek α = eiϕ, ϕ ∈ R. W tej sytuacji |α| = 1 i normowanienic nie daje. Wnioskujemy, że czynnik eiϕ jest bez znaczenia, bowiem nie zmieniawielkości |ψ|2 – czyli gęstości prawdopodobieństwa. Nieco subtelniejsza sytuacja mamiejsce przy tworzeniu superpozycji kilku funkcji falowych. Omówimy to w dalszychczęściach wykładu.

• W granicy |~r| → ∞ funkcja falowa spełnia warunek

lim|~r|→∞

ψ(~r, t) = 0. (2.32)

Intuicyjnie mówiąc, funkcje falowe mające niezerujące się (asymptotycznie) "ogony"są niecałkowalne w kwadracie, a więc fizycznie niedopuszczalne.

Interpretacja probabilistyczna (a więc wymóg normowalności) funkcji falowych ogra-nicza klasę dopuszczalnych rozwiązań równania Schrödingera. Jest to teoria nierelatywi-styczna, a więc nie dopuszcza procesów anihilacji i kreacji cząstek. Fakt ten prowadzi downiosku, że gęstość prawdopodobieństwa |ψ(~r, t)|2 musi być funkcją ciągłą. Gdyby gęstośćta doznawała skoku (czego nie wyklucza żądanie całkowalności w kwadracie) oznaczało byto, że cząstki (z pewnym prawdopodobieństwem) znikają lub powstają. Mamy więc kolejneograniczenie klasy sensownych fizycznie rozwiązań równania Schrödingera. Po wprowadze-niu odpowiednich pojęć pokażemy, że (przy pewnych ograniczeniach) ciągłe powinny byćtakże pochodne (cząstkowe) funkcji falowej.

Unormowana i ciągła funkcja falowa jest amplitudą gęstości prawdopodobieństwa –pozwala obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w zadanym podobszarze do-stępnej dla niej przestrzeni. Funkcja falowa nie mówi niczego o trajektorii cząstki. Pojęcietoru cząstki – typowe dla mechaniki klasycznej – nie ma sensu w mechanice kwantowej.Z drugiej strony wiemy, że możliwe są efekty interferencyjne. Dzięki liniowości równaniaSchrödingera kombinacja liniowa α1ψ1 +α2ψ2 funkcji falowych ψ1 oraz ψ2 jest poprawnąfunkcją falową. Po unormowaniu (polegającym na odpowiednim przedefiniowaniu współ-czynników) kombinacja ta prowadzi do gęstości prawdopodobieństwa |α1ψ1 + α2ψ2|2. Roz-

24


wijając, otrzymujemy

|α1ψ1 + α2ψ2|2 = (α1ψ1 + α2ψ2)∗ (α1ψ1 + α2ψ2)

= |α1|2 |ψ1|2 + |α2|2 |ψ2|2 + α∗1α2ψ∗1ψ2 + α1α

∗2ψ1ψ

∗2

= |α1|2 |ψ1|2 + |α2|2 |ψ2|2 + 2 Re α∗1α2ψ∗1ψ2 . (2.33)

Pierwsze dwa składniki odpowiadają gęstościom prawdopodobieństwa dla funkcji ψ1 orazψ2 oddzielnie. Ostatni składnik jest typowym wyrażeniem interferencyjnym (warto goporównać z odpowiednim członem relacji (1.6)). Widzimy więc, że omawiana interpretacjaprobabilistyczna ewidentnie dopuszcza możliwość efektów interferencyjnych i dostarczanarzędzi do ich opisu.

2.4 Gęstość i prąd prawdopodobieństwa

2.4.1 Gęstość prądu prawdopodobieństwa

Nadal będziemy rozważać pojedynczą cząstkę (bezspinową) o masie m poruszającą sięw polu sił zewnętrznych, a więc mającą energię potencjalną V (~r, t). Równanie Schrödin-gera dla funkcji falowej ma postać

i~∂ψ(~r, t)∂t

= − ~2

2m∇2ψ(~r, t) + V (~r, t) ψ(~r, t), (2.34a)

zaś równanie sprzężone (w sposób zespolony) to

−i~ ∂ψ∗(~r, t)∂t

= − ~2

2m∇2ψ∗(~r, t) + V (~r, t) ψ∗(~r, t), (2.34b)

bowiem energia potencjalna musi być funkcją rzeczywistą. Oznaczmy gęstość prawdo-podobieństwa znalezienia cząstki w otoczeniu punktu ~r jako ρ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 = ψ∗ψ.W dalszych rozważaniach pominiemy argumenty funkcji falowych, co nie powinno pro-wadzić do nieporozumień. Zbadamy zmiany ρ w małym obszarze V1 zachodzące wrazz upływem czasu. Obliczać będziemy więc pochodną

∂

∂t

∫V1d 3r ρ(~r, t) =

∫V1d 3r

(∂ψ∗

∂tψ + ψ∗

∂ψ

∂t

). (2.35)

Posługując się równaniami (2.34) eliminujemy po prawej pochodne czasowe

∂

∂t

∫V1d 3r ρ(~r, t) =

∫V1d 3r

[(+

~2mi

∇2ψ∗ − 1i~V ψ∗

)ψ

+ ψ∗(− ~

2mi∇2ψ +

1i~V ψ

)]. (2.36)

Działanie energii potencjalnej V na funkcje falowe sprowadza się do mnożenia. Dwa skład-niki zawierając V wzajemnie znoszą się. Otrzymujemy więc

∂

∂t

∫V1d 3r ρ(~r, t) =

∫V1d 3r

[− ~

2mi

(ψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗

)]. (2.37)

25


Przypominamy znane z analizy wektorowej twierdzenie Greena. Mówi ono, że dla dowol-nych funkcji ψ(~r) i φ(~r) zachodzi równość3

φ∇2ψ − ψ ∇2φ = div[φ(∇ψ

)− ψ

(∇φ

) ]. (2.38)

Na mocy twierdzenia Greena relacja (2.37) przybiera postać

∂

∂t

∫V1d 3r ρ(~r, t) = − ~

2mi

∫V1d 3r div

[ψ∗ (∇ψ)− ψ (∇ψ∗)

]. (2.39)

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym (jako gradienty) jest wektorem. Definiujemy więcwielkość wektorową

~J(~r, t) =~

2mi

[ψ∗(~r, t)

(∇ψ(~r, t)

)− ψ(~r, t)

(∇ψ∗(~r, t)

)], (2.40)

zwaną gęstością prądu prawdopodobieństwa. Stosując wprowadzone oznaczenie w (2.39),uzyskujemy

∂

∂t

∫V1d 3r ρ(~r, t) = −

∫V1d 3r div

[~J(~r, t)

], (2.41)

co stanowi tzw. całkowe prawo ciągłości (zachowania) prawdopodobieństwa, które terazomówimy bardziej szczegółowo.

2.4.2 Ciągłość prawdopodobieństwa

Prawo całkowe (2.41) można interpretować na dwa sposoby.Najpierw zauważmy, że obszar całkowania V1 jest całkowicie dowolny. Zatem z postaci

całkowej wynika różniczkowa

∂

∂tρ(~r, t) = − div ~J(~r, t), (2.42)

która jest formalnie identyczne z równaniem ciągłości ładunku wynikającym z równań Ma-xwella w elektrodynamice klasycznej. Rozumując przez analogię, wnioskujemy, że związek(2.42) jest lokalnym prawem zachowania prawdopodobieństwa – nie znika ono, lecz jedynie"przepływa" z jednego obszaru do innego. Co więcej, niemożliwość zachodzenia procesówanihilacji i kreacji cząstek sprawia, że zarówno ρ(~r, t) jak i ~J(~r, t) powinny być ciągłew obszarach dostępnych dla cząstek. Skoki obu wielkości oznaczałyby znikanie lub po-wstawanie cząstek, a to jest niemożliwe w teorii nierelatywistycznej. Uzasadniliśmy więc(wspomniany uprzednio) fakt, że funkcja falowa i jej pochodne (występujące w prądzie~J) powinny być ciągłe. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja cząstki "zamkniętej w skrzyn-ce". Cząstka nie może przebywać na zewnątrz "skrzynki", więc na brzegu i na zewnątrz"skrzynki" musi być ψ = 0 i gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki na zewnątrz

3Jest ona bardzo prosta do udowodnienia, jeśli tylko wykonamy różniczkowania po lewej stronie,zapisanej jako ∂k

[φ(∂kψ)− ψ(∂kφ)

].

26


znika. Gęstość prądu ~J (czyli pochodne funkcji falowej) może doznawać skoku – cząstkaodbija się od ścian i cząstka pozostaje wewnątrz "skrzynki".

Zastosowanie całkowego twierdzenia Gaussa w relacji (2.41) pozwala uzyskać innespojrzenie na prawo ciągłości prawdopodobieństwa. Otrzymujemy wtedy

∂

∂t

∫V1d 3r ρ(~r, t) = −

∮∂V1

d~S · ~J(~r, t). (2.43)

gdzie ∂V1 oznacza powierzchnię zamkniętą – brzeg objętości V1, zaś d~S to element po-wierzchni brzegu prostopadły doń i skierowany na zewnątrz. Łatwo widać, że (2.43) jestprawem zachowania. Istotnie, jeśli d~S i ~J tworzą kąt ostry – prawdopodobieństwo "wy-pływa" na zewnątrz – iloczyn skalarny pod całką jest dodatni. Cała prawa strona jestujemna. Oznacza to, że pochodna po lewej też jest ujemna, a więc prawdopodobieństwoznalezienia cząstki wewnątrz V1 maleje. Odwrotnie, jeśli pomiędzy d~S i ~J jest kąt roz-warty to prawdopodobieństwo "wnika" do wnętrza obszaru. Iloczyn skalarny jest ujemny,a prawa strona (2.43) dodatnia. A więc ρ(~r, t) wewnątrz rośnie – ma dodatnią pochodną.Rozumowanie to, jak się wydaje, dobrze wyjaśnia sens prawa ciągłości prawdopodobień-stwa.

Na zakończenie zauważmy, że z omawianej teorii wynika następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.1 Równanie Schrödingera (2.34a) zachowuje normę funkcji falowej.To znaczy,

‖ψ(t)‖2 = 1, dla dowolnej chwili t. (2.44)

Dowód. Funkcja falowa musi znikać dla |~r| → ∞. Jeśli więc objętość V1 rośnie to prądwystępujący po prawej stronie relacji (2.43) dąży do zera. Wobec tego przy |~r| → ∞,z (2.43) otrzymujemy

∂

∂t

∫R3d 3r ρ(~r, t) =

∂

∂t

∫R3d 3r |ψ(~r, t)|2 =

∂

∂t‖ψ‖2 = 0. (2.45)

Znikanie pochodnej normy mówi nam, że norma ta jest stała w czasie. Jeśli więc funk-cja falowa była unormowana w pewnej chwili czasu, to pozostaje unormowana w każdejinnej chwili czasu. Rozumowanie to można powtórzyć dla sytuacji "cząstki w skrzynce".Na jej brzegach prąd prawdopodobieństwa musi znikać (cząstka nie wydostaje się na ze-wnątrz). Różnica polega tylko na tym, ze całka w (2.45) przebiega po skończonej objętości"skrzynki". A więc istotnie równanie Schrödingera zachowuje normę funkcji falowej.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

27

S.Kryszewski 3. Stacjonarne równanie Schrödingera 28

Rozdział 3

Stacjonarne równanie Schrödingera

3.1 Wprowadzenie

W wielu praktycznych lub modelowych zastosowaniach energia potencjalna cząstki niezależy od czasu. Niezależny od czasu jest więc cały hamiltonian i równanie Schrödingera(dla pojedynczej, bezspinowej cząstki o masie m) przyjmuje postać

i~∂

∂tψ(~r, t) = H ψ(~r, t) =

[− ~2

2m∇2 + V (~r)

]ψ(~r, t). (3.1)

Po lewej stronie mamy pochodną ∂/∂t – operator zależny tylko od czasu, a po prawejhamiltonian – zależny jedynie od zmiennych przestrzennych. Fakty te pozwalają szukaćrozwiązania w postaci iloczynu

ψ(~r, t) = g(t) ϕ(~r), (3.2)

gdzie g(.) to funkcja wyłącznie czasu, zaś ϕ(.) wyłącznie zmiennej~r ∈ R3. Po podstawieniudo (3.1) otrzymujemy

i~ ϕ(~r)dg(t)dt

= g(t)[− ~2

2m∇2 + V (~r)

]ϕ(~r). (3.3)

Funkcje g i ϕ nie mogą być tożsamościowo równe zeru (bo rozwiązanie (3.2) byłoby try-wialne), zatem

i~g(t)

dg(t)dt

=1

ϕ(~r)

[− ~2

2m∇2 + V (~r)

]ϕ(~r). (3.4)

Lewa strona zależy wyłącznie od czasu, a prawa jedynie od ~r. Dwie funkcje różnych zmien-nych mogą być równe jedynie wtedy, gdy obie są równe pewnej stałej, którą oznaczymyprzez E (nie przesądzając na razie o jej sensie fizycznym). Równanie (3.4) staje się efek-tywnie dwoma równaniami

dg(t)dt

= − iE

~g(t) (3.5a)[

− ~2

2m∇2 + V (~r)

]ϕ(~r) = Eϕ(~r). (3.5b)

28


Pierwsze z uzyskanych równań nie zależy od energii potencjalnej. Innymi słowy, jest onosłuszne dla cząstki w dowolnym polu potencjalnym. Jego rozwiązanie jest trywialne

g(t) = C0 exp[−iE

~(t− t0)

], (3.6)

gdzie t0 jest pewną chwilę początkową. Stałą całkowanie C0 można opuścić, lub włączyćdo funkcji ϕ(~r), bowiem i tak będziemy musieli przeprowadzić normowanie. Rozwiązanierównania Schrödingera będzie więc postaci

ψ(~r, t) = ϕ(~r) exp[−iE

~(t− t0)

]. (3.7)

Pełna funkcja falowa ma być unormowana:∫d~r |ψ(~r, t)|2 =

∫d~r |ϕ(~r)|2 = 1, czyli nor-

mowaniu podlega wyłącznie funkcja ϕ(~r). Cała zależność czasowa pełnej funkcji falowejzawarta jest w czynniku eksponencjalnym o jednostkowym module. Odwołanie się do hipo-tezy de Broglie’a (dyskutowanej w poprzednim rozdziale) pozwala dodatkowo utożsamićstałą separacji E z energią całkowitą cząstki.

Drugie z rozseparowanych równań, tj. relacja (3.5b) stanowi tzw. stacjonarne rów-nanie Schrödingera, któremu poświęcimy dużo więcej uwagi. Wynika to stąd, że równa-nie to może mieć bardzo różne postaci – zależne od kształtu energii potencjalnej. Nato-miast zależność czasowa w (3.7) jest zawsze taka sama. Dlatego też stacjonarne równanieSchrödingera jest niemal tak samo ważne jak równanie pełne, z czasem. Właśnie równaniustacjonarnemu poświęcimy najwięcej czasu.

3.2 Stacjonarne równanie Schrödingera

Stacjonarne równanie Schrödingera zapiszemy krótko

H ϕ(~r) = E ϕ(~r), (3.8)

z hamiltonianem danym lewą stroną (3.5b). Powyższe równanie dopuszcza uogólnienia,bowiem H może oznaczać hamiltonian dowolnego układu fizycznego, a nie tylko cząstkiw polu potencjalnym.

Z matematycznego punktu widzenia równanie (3.8) stanowi zagadnienie własne dlaoperatora Hamiltona – operatora energii. Fakt ten ponownie uzasadnia nazwanie wiel-kości E energią. W następnym rozdziale szerzej omówimy wszelkie niezbędne narzędziamatematyczne. Jak się okaże, znaczenie zagadnień własnych typu (3.8) jest nie do prze-cenienia. Zagadnienie własne dla hamiltonianu danego układu fizycznego nie zależy odczasu. Można powiedzieć, że rozwiązania zdają sprawę ze "struktury" badanego układu.

Rozwiązanie zagadnienia własnego (3.8) prowadzi zazwyczaj do pewnego zbioru En,(n = 1, 2, . . .) – dopuszczalnych wartości własnych hamiltonianu. Zwykle mówimy wtedy,że dozwolone energie są skwantowane. Natomiast funkcje falowe – funkcje własne hamilto-nianu – tworzą pewną rodzinę funkcyjną. Czasem zdarza się, że jednej i tej samej wartości

29


En odpowiada kilka różnych funkcji falowych

En - ϕinn (~r), in = 1, 2, . . . . . . , gn, (3.9)

gdzie liczbę całkowitą gn nazwiemy stopniem degeneracji energii En. Jeśli energia En jestniezdegenerowana, to odpowiada jej jedna i tylko jedna funkcja falowa. W takim wypadkugn = 1 i indeks in jest zbyteczny (można go pominąć).

Równanie Schrödingera jest liniowe: suma rozwiązań jest także rozwiązaniem (zasadasuperpozycji). Dlatego rozwiązanie (3.7) można uogólnić, pisząc kombinację liniową

ψ(~r, t) =∑n

gn∑in=1

αinn ϕinn (~r) exp[−iEn

~(t− t0)

], αinn ∈ C. (3.10)

Zespolone współczynniki αinn można ustalić za pomocą unormowanego warunku począt-kowego. Na mocy twierdzenia (2.44) możemy wówczas twierdzić, że nasze rozwiązanie jesttakże unormowane. Techniczne kroki normowania bywają trudne i żmudne. Omówimy jebardziej dokładnie po wprowadzeniu bardziej subtelnych technik matematycznych.

Powyższe uwagi nie są ani wyczerpujące, ani w pełni ścisłe. Potrzebne są one jednak,aby rozpocząć rozwiązywanie prostych zadań modelowych i przykładów (ćwiczeń rachun-kowych). W dalszych rozważaniach omówimy zarówno teorię, jak i pewne zastosowaniawprowadzonych wyżej koncepcji.

3.3 Cząstka swobodna

3.3.1 Stacjonarne funkcje falowe

Przy uzasadnianiu równania Schrödingera posłużyliśmy się koncepcją pakietu falowego– superpozycji fal płaskich. Te ostatnie, są rzeczywiście (co zaraz pokażemy) rozwiąza-niami równania Schrödingera i choć sprawiają poważne trudności interpretacyjne (któreomówimy), to jednak bywają w praktyce niezmiernie pożyteczne.

Aby maksymalnie uprościć rachunki, rozważymy problem jednowymiarowy. Badamycząstkę swobodną, więc energia potencjalna V (x) = 0 i zgodnie z (3.5b) stacjonarnerównanie Schrödingera redukuje się do

− ~2

2md 2

dx2φ(x) = E φ(x), (3.11)

gdzie E jest całkowitą – w tym przypadku kinetyczną (cząstka swobodna, Epot = V = 0)– energią cząstki. W myśl powyższych rozważań pełna funkcja falowa to

ψ(x, t) = φ(x) exp(− iEt

~

). (3.12)

Zauważmy jeszcze, że nie wprowadzamy tu a priori żadnych ograniczeń współrzędnej x,a zatem x ∈ R. Ponieważ E jest energią kinetyczną, więc E > 0 i można wprowadzić

30


oznaczenia

E = ~ω, k =

√2mE~2

=

√2mω

~∈ R+. (3.13)

Równanie (3.11) można więc przepisać w postaci

d 2

dx2φ(x) + k2φ(x) = 0. (3.14)

Jest ono dobrze znane (tzw. równanie typu oscylatora harmonicznego), ma więc równiedobrze znane rozwiązanie

φ(x) = Aeikx + B e−ikx, (3.15)

gdzie trzeba wyznaczyć i przedyskutować stałe A i B (w ogólności zespolone). Pełnafunkcja falowa funkcja falowa (3.12) cząstki swobodnej będzie więc postaci

ψ(x, t) = Aeikx−iωt + B e−ikx−iωt, (3.16)

co stanowi sumę dwóch fal płaskich: fala z współczynnikiem A biegnie w prawo (w kie-runku rosnących x-ów). Druga fala (proporcjonalna do B) biegnie w lewo (ku malejącymx-om). Aby lepiej zrozumieć sens fizyczny uzyskanego rozwiązania, a także trudności in-terpretacyjne, obliczmy odpowiednią gęstość prawdopodobieństwa

ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 =∣∣∣(Aeikx + B e−ikx

)e−iωt

∣∣∣2=

∣∣∣ Aeikx + B e−ikx∣∣∣2

= |A|2 + |B|2 +(A∗B e−2ikx + AB∗ e2ikx

). (3.17)

Od razu natrafiamy tu na trudność. Normowanie wymaga, aby∫∞−∞ dx |ψ(x, t) | 2 = 1.

Widzimy jednak, że powyższa gęstość jest niecałkowalna na R. Mamy więc dwa wyjścia.Albo odrzucić uzyskane rozwiązania, albo zmienić lub uzupełnić dotychczasową interpre-tację. Szczególna prostota fal płaskich sprawia, że atrakcyjny jest drugi sposób – zmianainterpretacji.

Zanim do tego przejdziemy, zwróćmy jeszcze uwagę na ewidentny człon interferencyjnyw (3.17). Wiemy, że dwie przeciwbieżne fale o tej samej częstości są spójne, więc interferujątworząc falę stojącą. Najlepiej to widać, jeśli położymy A = B, wówczas

ρ(x, t) = 2 |A|2 + |A|2(e−2ikx + e2ikx

)= 2 |A|2

(1 + cos (2kx)

), (3.18)

co rzeczywiście przedstawia falę stojącą.

31


3.3.2 Problemy interpretacyjne

Wracamy do kłopotów interpretacyjnych. Najpierw obliczymy gęstość prądu prawdopo-dobieństwa. Adaptując definicję (2.40) do przypadku jednowymiarowego otrzymamy

J(x, t) =~

2mi

(φ∗(x)

d φ(x)dx

− φ(x)d φ∗(x)dx

), (3.19)

bowiem czynnik wykładniczy zawierający czas się skraca. Wykonując elementarne obli-czenia mamy

J(x, t) =~

2mi

[(A∗ e−ikx + B∗ eikx

)(ik)

(Aeikx − B e−ikx

)−

(Aeikx + B e−ikx

)(− ik)

(A∗ e−ikx − B∗ eikx

)]=

~km

(|A|2 − |B|2

). (3.20)

Fala o amplitudzie A biegnie w prawo. Odpowiada jej prąd prawdopodobieństwa

J+(x, t) =~km|A|2, (3.21)

zaś fala o amplitudzie B biegnie z lewa na prawo (w kierunku malejących x), a odpowiadajej ujemny prąd prawdopodobieństwa

J−(x, t) = − ~km|B|2. (3.22)

Spróbujmy zinterpretować te prądy (pamiętając też o problemie normowania). Badamyfale o wektorze falowym ±k i częstości ω. Prędkość fazowa takich fal (korzystamy z hipo-tezy de Broglie’a i koncentrujemy się na fali biegnącej w prawo),

vf =ω

k=

~ω~k

=E

p=

1p· p

2

2m=

p

2m=

vkl2, (3.23)

gdzie vkl to klasyczna prędkość cząstki (vkl = p/m) różna od prędkości fazowej fal. Za-uważmy, że z hipotezy de Broglie’a i wyrażenia dla energii wynika

~ω = E = Ekin =p2

2m=

~2k2

2m, (3.24)

czyli ω = ~k2/2m jest właściwym związkiem dyspersyjnym. Wynika z niego prędkośćgrupowa

vg =dω(k)dk

=d

dk

(~k2

2m

)=

~km

=p

m= vkl. (3.25)

Wnioskujemy, że gęstości prądów zawierają prędkość grupową fal, którą można przyrów-nać do klasycznej prędkości cząstki. Wynika stąd ważny wniosek: klasyczna prędkość ma,w przypadku kwantowym dość wątpliwy sens. Dużo bezpieczniej jest mówić o pędzie

32


p = ~k. Stwierdzenie to, choć istotne dla zrozumienia istotnych cech mechaniki kwanto-wej nie pomaga jednak w usunięciu trudności interpretacyjnych dotyczących normowaniagęstości (3.17).

Eleganckim sposobem uniknięcia kłopotów byłoby konsekwentne używanie pakietówfalowych. Przykład takiego opisu można znaleźć w Uzupełnieniach. Stosowanie pakietówjest znacznie trudniejsze z matematyczno-technicznego punktu widzenia. Ponadto gubimywtedy wielką prostotę fal płaskich. Koniecznie potrzebujemy zmiany perspektywy – nowejlub innej interpretacji.

3.3.3 Nowa (inna) interpretacja

Zmiana interpretacji polega na następującym rozumowaniu. Rozważmy mianowicie falęφ+(x, t) = Aeikx−iωt (biegnącą w prawo). Związana z nią jest gęstość prawdopodobieństwaρ+ = |A|2 – oczywiście nienormowalna na R. Odpowiedni prąd prawdopodobieństwato J+ = (~k/m)|A|2 = vklρ+. Wyrażenie to przypomina inne – klasyczną formułę dlagęstości prądu elektrycznego ~jq = ρq~v wywołanego przepływem ładunków o gęstości ρqz prędkością ~v.

Analogia ta pozwala interpretować fale płaskie jako fale odpowiadające ciągłemu stru-mieniowi cząstek. Amplituda |A|2 jest wtedy miarą gęstości strumienia cząstek porusza-jących się w prawo – miarą tego ile cząstek zawiera się w jednostce objętości strumienia.Oczywiście analogicznie reinterpretujemy |B|2 – dla cząstek poruszających się w lewo.Można wykazać (choć nie jest to wcale proste), że uzyskane w ten sposób przewidywaniafizyczne są zgodne z wynikami otrzymanymi przy konsekwentnym stosowaniu pakietówfalowych. Przykład zastosowania "rozszerzonej" interpretacji można znaleźć w Uzupełnie-niach, gdzie badamy model rozpraszania cząstek na jednowymiarowej, skończonej studnienergii potencjalnej.

Mimo omówionych problemów interpretacyjnych fale płaskie typu (3.15) bywają poży-tecznym, bo matematycznie prostym, narzędziem w wielu zagadnieniach mechaniki kwan-towej. Przy posługiwaniu się nimi należy jednak wykazać się sporą dozą ostrożności. Pro-blem w tym, że fale płaskie są nienormowalne. Nazywanie ich funkcjami falowymi wydajesię więc być pewnym nadużyciem terminologicznym (niestety dość częstym). Do dyskusjitych problemów wrócimy raz jeszcze po wprowadzeniu pojęć reprezentacji położenioweji pędowej.

3.4 Stany związane i rozproszeniowe

3.4.1 Dyskusja ogólna

Prowadząc dalszą dyskusję pozostajemy przy bezspinowej cząstce poruszającej się w pew-nym polu takim, że energia potencjalna cząstki nie zależy od czasu. Rozwiązania równaniaSchrödingera mają postać sfaktoryzowaną (3.2), przy czym funkcja ϕ(~r) spełnia równanie

33


stacjonarne (3.5b) lub (3.8). Wydaje się być intuicyjnie oczywistym, że wartość całkowitejenergii E cząstki determinuje charakter rozwiązań. Załóżmy, że energia potencjalna V (~r)zmienia się w granicach

Vmin ¬ V (~r) ¬ Vmax. (3.26)

przy czym nie przesądzamy, czy Vmin i/lub Vmax są skończone, czy też nie. Energia całko-wita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej. Oczywiście Ekin 0, co pociągaza sobą równie oczywistą nierówność E > Vmin. Do rozważenia pozostają więc dwie moż-liwości

(i) Vmin < E < Vmax, (3.27a)

(ii) E > Vmax. (3.27b)

Obie możliwe sytuacje są zasadniczo różne. Scharakteryzujemy je w sposób jakościowyi intuicyjny (bez podawania ścisłych dowodów matematycznych).

ad (i) Rozwiązania stacjonarnego równania Schrödingera odpowiadające energiomE < Vmax nazwiemy stanami związanymi. Nazwa ta pochodzi z mechanikiklasycznej, gdzie ruch cząstki jest w takim przypadku ograniczony. Co więcej,intuicyjnie rozumiemy, że aby zerwać wiązanie trzeba dostarczyć energii. Przyodwoływaniu się do analogii klasycznej trzeba zachować sporą dozę ostrożno-ści, bowiem przewidywania mechaniki kwantowej niejednokrotnie są sprzecznez klasyczną intuicją. Chodzi tu, na przykład, o efekty typu tunelowania cząst-ki o energii E < Vmax przez klasycznie nieprzekraczalną barierę potencjału.Tak właśnie przebiega proces promieniotwórczego rozpadu jąder atomowych.Dlatego też, niniejsze rozważania należy traktować ostrożnie, raczej jako pewnewskazówki, a nie jako jednoznaczne rozstrzygnięcia.

Stanom związanym odpowiadają na ogół dyskretne – skwantowane ener-gie. Tylko pewne energie z przedziału (Vmin, Vmax) prowadzą do fizyczniedopuszczalnych rozwiązań stacjonarnego równania Schrödingera. Natomiastfunkcje falowe są normowalne i znikają przy dużych |~r|, (patrz (2.32).

ad (ii) W przypadku gdy energia całkowita cząstki E > Vmax, dozwolone fizycznieenergie tworzą zwykle zbiór ciągły. Rozwiązaniami stacjonarnego równaniaSchrödingera są funkcje nienormowalne, które dla |~r| → ∞ zachowują się jakfale płaskie. Stany takie nazywamy rozproszeniowymi, ponieważ w przypadkuklasycznym ruch cząstki byłby nieograniczony i odpowiadałby, przy |~r| → ∞,cząstce swobodnej, która ulega rozpraszaniu na potencjale V (~r) i ponownieoddala się. Stosowanie pakietów falowych pozwala ominąć problemy związanez funkcjami nienormowalnymi. Niestety jest to znacznie bardziej złożone mate-matycznie. W praktyce, przy dyskusji stanów rozproszeniowych, używamy falpłaskich, reinterpretując ich amplitudy jako miary gęstości strumienia cząstek.Jest to zgodne z omawianym wyżej omówieniem.

34


Zwracamy uwagę, że posługujemy się tu sformułowaniami typu "zwykle", "na ogół"itp. Jeszcze raz apelujemy o ostrożność przy rozwiązywaniu konkretnych problemów. Me-chanika kwantowa niejednokrotnie prowadzi do wniosków ewidentnie sprzecznych z co-dzienną, klasyczną intuicją. Przy uprawianiu mechaniki kwantowej należy o tym pamiętać,traktować powyższe uwagi jako orientacyjne i ufać bardziej formalizmowi matematyczne-mu niż nawykom klasycznym.

Można by tu mnożyć przykłady różnych sytuacji fizycznych, omawiać takie czy innemodele z różnorodnie zadanymi energiami potencjalnymi. Pewne przykłady rozważymyw dalszych rozdziałach, a inne są przedstawione w Uzupełnieniach.

3.4.2 Uwagi o ciągłości funkcji falowych

Jak już wspominaliśmy, funkcja falowa powinna być ciągła, zapewnia to bowiem, że niemogą zachodzić procesy anihilacji i kreacji cząstek. Prawo ciągłości prawdopodobieństwa(2.41) lub (2.42) wymaga ponadto, aby i prąd prawdopodobieństwa był ciągły. Skorogęstość ρ nie doznaje skoku, to również i prąd ~J powinien być ciągły. Z określenia (2.40)wynika więc, że funkcja falowa powinna być ciągła wraz z przestrzennymi pochodnymipierwszego rzędu.

Warunki te obowiązują w przypadku gdy energia potencjalna cząstki jest funkcjąciągłą, co ma miejsce w realnych sytuacjach fizycznych. Czasami jednak wygodnie jestmodelować rzeczywistość nieciągłą energią potencjalną, bowiem prowadzi to do znacz-nie prostszych stacjonarnych równań Schrödingera. Jeżeli nieciągłości (skoki) energii po-tencjalnej są skończone, wówczas żądanie ciągłości funkcji falowej wraz z pochodnymipozostaje w mocy.

Jeżeli natomiast w pewnym obszarze mamy V = ∞, to obszar ten jest dla cząstkiniedostępny (energia cząstki nie może być nieskończona). Prawdopodobieństwo znalezie-nia cząstki w takim obszarze jest tożsamościowo równe zeru, więc i funkcja falowa musi wnim znikać. Wobec tego na granicach obszaru dostępnego dla cząstki gęstość prawdopo-dobieństwa, która musi być ciągła, powinna spadać do zera. A więc na brzegu dostępnegodla cząstki obszaru mamy ψ|∂V = 0. Skoro więc funkcja falowa znika na brzegu, to równieżznika tam prąd ~J. Wewnątrz obszaru mamy ~J 6= 0, na brzegu i na zewnątrz ~J = 0. Zfaktów tych nie wynika jednak, że na granicy dostępnego obszaru pochodne przestrzen-ne funkcji falowej powinny być ciągłe. A zatem w punktach, gdzie energia potencjalnadoznaje skoku nieskończonego, żądamy tylko ciągłości (czyli zerowania się) tylko funkcjifalowej.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

35

S.Kryszewski 4. Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 36

Rozdział 4

Podstawy formalizmu mechanikikwantowej

Wykład metod matematycznych fizyki, prowadzony zwykle na II-gim roku studiów, powi-nien zapewnić odpowiednie przygotowanie czytelnika rozpoczynającego studiowanie me-chaniki kwantowej. Mimo to przypomnimy najważniejsze fakty. Celem naszym jest poglą-dowość i koncentracja raczej na fizycznych, niż matematycznych aspektach teorii. Ponadtoustalimy tu terminologię i notację typową dla literatury fizycznej (niekiedy nieco inną niżstosowana w pracach matematycznych). Czytelnika zainteresowanego ścisłą fizyką mate-matyczną odsyłamy do bardziej specjalistycznej literatury, na przykład [5, 12, 15].

4.1 Przegląd metod matematycznych

4.1.1 Przestrzeń funkcji falowych – przestrzeń Hilberta

Uwaga : W wielu poniższych wzorach będziemy często pomijać argumenty funkcji falo-wych, co nie powinno wpłynąć na przejrzystość i sensowność formuł.

Przestrzeń wektorowa F funkcji falowych

Interpretacja probabilistyczna narzuca na funkcje falowe pojedynczej cząstki (układu fi-zycznego) warunek normalizacyjny∫

Vd 3r |ψ(~r, t) |2 = ‖ψ‖2 = 1, (4.1)

gdzie V jest skończonym, lub nieskończonym obszarem w przestrzeni R3. Ogranicza toklasę dopuszczalnych funkcji falowych do przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem.Przestrzeń ta jest przestrzenią Hilberta, oznaczaną zazwyczaj przez L2. Inne przesłankinatury fizycznej każą dalej ograniczyć przestrzeń funkcyjną. Żądamy, aby funkcje falowemiały własności:

• były ciągłe i różniczkowalne tyle razy ile trzeba;• na brzegach obszaru V funkcje falowe powinny znikać;• jeśli V – obszar nieskończony, to lim|~r|→∞ ψ(~r) = 0.

Pracujemy na ogół w podprzestrzeni przestrzeni L2. Podprzestrzeń tą oznaczymy przez F .

36


Wniektórych przypadkach wygodnie jest pracować w przestrzeni funkcji nienormowalnychw powyższym sensie. Sytuacja taka ma miejsce np. dla cząstki swobodnej (gdy energiapotencjalna znika). O sytuacji tej już wspominaliśmy i wskazaliśmy sposoby ominięciakłopotów z funkcjami nienormowalnymi (patrz rozdz. 3.3).

Fakt, że funkcje falowe tworzą przestrzeń wektorową jest bardzo istotny. Własnościprzestrzeni wektorowych wskazują, że kombinacje liniowe funkcji falowych są także funk-cjami falowymi. W ten sposób, niejako automatycznie, uwzględniamy zasadę superpozycji.

Przestrzeń F jest wyposażona w naturalny iloczyn skalarny

ϕ, ψ ∈ F - 〈ϕ |ψ 〉 ∈ C, (4.2)

który jest zdefiniowany przez następującą całkę

〈ϕ |ψ 〉 =∫

Vd 3r ϕ∗(~r) ψ(~r). (4.3)

Iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej musi spełniać warunki:

〈ϕ |ψ 〉 = 〈ψ |ϕ 〉∗, (4.4a)

〈ϕ |(λ1 ψ1 + λ2 ψ2

)〉 = λ1 〈ϕ |ψ1 〉 + λ2 〈ϕ |ψ2 〉, (4.4b)

〈(λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2

)|ψ 〉 = λ∗1 〈ϕ1 |ψ 〉 + λ∗2 〈ϕ2 |ψ 〉. (4.4c)

przy czym relacja (4.4c) wynika z dwóch poprzednich. Formuły (4.4b) i (4.4c) oznaczają,że iloczyn skalarny jest liniowy w drugim, a antyliniowy w pierwszym składniku.

Z definicji iloczynu skalarnego wynika określenie normy wektora z przestrzeni F

R 3 ‖ψ‖2 = 〈ψ |ψ 〉 =∫

Vd 3r |ψ(~r) |2 =

∫Vd 3r ψ∗(~r) ψ(~r). (4.5)

Iloczyn skalarny w przestrzeni F spełnia bardzo ważną nierówność, zwaną nierównoś-cią Schwarza

|〈ψ1 |ψ2 〉|2 ¬ 〈ψ1 |ψ1 〉〈ψ2 |ψ2 〉. (4.6)

Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wektory ψ1, ψ2 ∈ F są proporcjonalne, to znaczygdy ψ1 = λψ2, (λ ∈ C) (dowód, patrz [5], str.143).

Baza ortonormalna w F

W przestrzeni Hilberta (wektorowej) można wybrać bazę ortonormalną, tj. zbiór funkcji(wektorów) ui spełniających warunek

〈ui |uj 〉 =∫

Vd 3r u∗i (~r) uj(~r) = δij, (4.7)

i takich, że dla dowolnej funkcji falowej ψ(~r) ∈ F można zbudować rozkład

ψ(~r) =∑i

ci ui(~r), ci ∈ C. (4.8)

37


Rozkład ten jest jednoznaczny. Jeśli funkcja falowa zależy od innych parametrów (np.od czasu), to współczynniki ci rozkładu także będą zależeć od tych parametrów. Mnożącrozkład (4.8) przez u∗k(~r), całkując i korzystając z (4.7) sprawdzamy, że współczynnikici dane są wzorem

ck = 〈uk |ψ 〉 =∫

Vd 3r u∗k(~r) ψ(~r). (4.9)

Zwróćmy uwagę, że indeksy numerujące wektory bazy tworzą pewien zbiór I. Indeksówtych jest tyle, ile wynosi wymiar przestrzeni Hilberta F . Zatem zbiór I może być skoń-czony lub nie, co zależy od charakteru konkretnego zagadnienia.

Dla dwóch wektorów ϕ, ψ ∈ F możemy wypisać rozkłady typu (4.8), to jest

ϕ(~r) =∑i

bi ui(~r), ψ(~r) =∑i

ci ui(~r), (4.10)

wówczas z ortonormalności bazy i własności iloczynu skalarnego wynika, że iloczyn ska-larny to

〈ϕ |ψ 〉 =∫

Vd 3r ϕ∗(~r) ψ(~r) =

∫Vd 3r

∑i

b∗i u∗i (~r)

∑j

cj uj(~r)

=∑i,j

b∗i cj

∫Vd 3r u∗i (~r) uj(~r) =

∑i,j

b∗i cj δij =∑i

b∗i ci, (4.11)

zaś odpowiednie normy wynoszą

‖ϕ ‖2 =∑i

| bi |2, oraz ‖ψ ‖2 =∑i

| ci |2. (4.12)

W szczególności, dla unormowanej funkcji falowej mamy więc

‖ψ ‖2 = 1 ⇐⇒∑i

| ci |2 = 1, (4.13)

co oczywiście ma zasadnicze znaczenie przy probabilistycznej interpretacji funkcji falowej.

Relacja zupełności

Rozważmy rozkład (4.8) funkcji falowej i weźmy pod uwagę wyrażenie (4.9) dla współ-czynników tego rozkładu. Otrzymujemy wtedy

ψ(~r) =∑i

ci ui(~r) =∑i

〈ui |ψ 〉 ui(~r) =∑i

[ ∫Vd 3x u∗i (~x) ψ(~x)

]ui(~r)

=∫

Vd 3x

[∑i

u∗i (~x) ui(~r)]ψ(~x). (4.14)

Porównując obie strony tej relacji, wnioskujemy że∑i

u∗i (~x) ui(~r) = δ(~x−~r), (4.15)

co stanowi tzw. relację zupełności dla funkcji ui(~r) tworzących bazę w przestrzeni F .I na odwrót, zbiór funkcji spełniających relację (4.15) tworzy bazę w F .

38


4.1.2 Operatory na przestrzeni funkcji falowych

Operatory liniowe w F

Operator działający na przestrzeni F jest odwzorowaniem

A : F - F , (4.16)

to znaczy wektorowi (funkcji) ψ ∈ F przyporządkowuje inny wektor ψ ′ = A ψ ∈ F(z tej samej przestrzeni). W naszych rozważaniach ograniczamy się do badania operatorówliniowych, to jest takich, dla których

A(λ1 ψ1 + λ2 ψ2

)= λ1 A ψ1 + λ2 A ψ2, (4.17)

dla dowolnych λ1, λ2 ∈ C. Rezultatem działania operatora liniowego na kombinację linio-wą wektorów jest odpowiednia kombinacja rezultatów działania operatora na poszczególnewektory.

Operatory można mnożyć (składać) (zwróćmy uwagę, że jako pierwszy działa na funk-cję falową operator stojący z prawa)(

AB)ψ = A

(B ψ

)= A ψ ′, (4.18)

gdzie ψ ′ = B ψ. Należy z całą mocą podkreślić, że mnożenie operatorów jest na ogółnieprzemienne (nie jest obojętne w jakiej kolejności działają), to jest

A B 6= B A. (4.19)

Komutatory

Bardzo pożyteczne jest pojęcie komutatora dwóch operatorów[A, B

]= A B − B A. (4.20)

Za jego pomocą, zamiast relacji (4.19), wygodnie jest zapisać nieprzemienność mnożenia(składania) operatorów w postaci[

A, B]

= C, (4.21)

gdzie operator C jest na ogół różny od zera.Przykładem operatorów działających na funkcje falowe są: operator mnożenia funkcji

falowej przez współrzędną x i operator różniczkowania względem tej współrzędnej

X ψ(~r) = xψ(~r), Dx ψ(~r) =∂

∂ xψ(~r). (4.22)

Pracując z tymi operatorami należy zachować pewną ostrożność wynikającą stąd, że mo-gą one wyprowadzać funkcje falowe z przestrzeni funkcji normowalnych, tzn. rezultat ichdziałania na funkcję normowalną może być funkcją, która już nie jest normowalna. Jestto pewien niuans matematyczny, który może w pewnych zastosowaniach mieć duże zna-czenie. Mimo to jednak, nie będziemy się zbytnio przejmować tą trudnością. W większościbadanych tu konkretnych przypadków takich problemów nie ma.

39


Twierdzenie 4.1 Zdefiniowane powyżej operatory X oraz Dx są nieprzemienne. Ich ko-mutator wynosi

[X, Dx

]=

[x,

∂

∂ x

]= − 1. (4.23)

Dowód. Niech ψ(~r) ∈ F będzie dowolną funkcją falową. Wówczas mamy

[X, Dx

]ψ(~r) =

(x∂

∂ x− ∂

∂ xx

)ψ(~r) = x

∂ ψ(~r)∂ x

− ∂

∂ x

[xψ(~r)

]= x

∂ ψ(~r)∂ x

−(∂ x

∂ x

)ψ(~r) − x

∂ ψ(~r)∂ x

= − ψ(~r), (4.24)

bowiem składniki pierwszy i trzeci (zawierające pochodne funkcji falowej) się znoszą.Z dowolności funkcji ψ wynika teza (4.23).

Podamy teraz pewne pożyteczne własności komutatorów. Pierwsza z nich mówi, żekomutator zmienia znak przy przestawieniu operatorów, tzn.[

A, B]

= −[B, A

]. (4.25)

Komutator jest liniowy, a więc[A, B + C

]=[A, B

]+[A, C

], (4.26)

Analogiczna relacja obowiązuje także gdy suma jest w pierwszym członie komutatora.Dwie dalsze relacje są często spotykane w praktycznych obliczeniach. Są to komutatoryz iloczynami operatorów, a mianowicie[

A, B C]

= B[A, C

]+[A, B

]C. (4.27a)

[A B, C

]= A

[B, C

]+[A, C

]B. (4.27b)

Oczywiście posługując się nawiasami, możemy analizować komutatory złożone z bardziejskomplikowanych iloczynów. Wreszcie, ostatnia relacje dotyczy komutatorów podwójnychz cyklicznie zmieniającą się kolejnością operatorów[

A,[B, C

] ]+[B,

[C, A

] ]+[C,

[A, B

] ]= 0. (4.28)

Warto może przypomnieć, że bardzo podobne relacje obowiązują także dla nawiasówPoissona w mechanice klasycznej.

40


Elementy macierzowe operatorów

Operator A działając na funkcję falową ψ produkuje nową funkcję ψ ′ = Aψ. Możnawięc obliczać iloczyn skalarny

〈ϕ |ψ ′ 〉 = 〈ϕ | A ψ 〉 =∫

Vd 3r ϕ∗(~r)

[A ψ(~r)

]. (4.29)

Tak obliczoną liczbę (w ogólności zespoloną) nazywamy elementem macierzowym opera-tora A i zwyczajowo zapisujemy w następującej postaci∫

Vd 3r ϕ∗(~r) A ψ(~r) = 〈ϕ | Aψ 〉 = 〈ϕ | A |ψ 〉. (4.30)

Jak pokażemy dalej, notacja ta jest wygodna i pożyteczna. Ma ona charakter mnemotech-niczny, a ponadto pozwala na pewne interesujące uogólnienia.

Zagadnienie własne dla operatora

Równanie operatorowe

A ψ = λψ, gdzie λ ∈ C, (4.31)

nazywamy zagadnieniem własnym dla operatora A. Wektor ψ nazywamy wektoremwłasnym, zaś liczbę λ (w ogólności zespoloną) wartością własną. Intuicyjnie można tozrozumieć w następujący sposób: wektory własne operatora A są to takie wektory, żedziałanie operatora A "wydłuża" je lub "skraca", przy czym jednak ich "kierunek" pozo-staje niezmieniony.

Operatory sprzężone

Niech A będzie operatorem na przestrzeni Hilberta F . Operator A† nazwiemy sprzężonymdo operatora A, jeśli dla wszystkich ϕ, ψ ∈ F spełniony jest warunek

〈ψ |(A† ϕ

)〉 = 〈

(Aψ

)|ϕ 〉. (4.32)

Sprzęganie operatora jest więc swego rodzaju regułą przenoszenia go z prawego do lewegoskładnika iloczynu skalarnego (lub na odwrót). Zapisując powyższe iloczyny skalarne zapomocą całek otrzymamy∫

Vd 3r ψ∗(~r)

(A† ϕ(~r)

)=

∫Vd 3r

(Aψ(~r)

)∗ϕ(~r) =

[∫Vd 3r ϕ∗(~r)

(A ψ(~r)

)]∗. (4.33)

Posługując się elementami macierzowymi i regułą (4.32) piszemy tak

〈ψ | A† |ϕ 〉 = 〈ψ | A†ϕ 〉 = 〈 Aψ |ϕ 〉 = 〈ϕ | Aψ 〉∗ = 〈ϕ | A |ψ 〉∗, (4.34)

gdzie korzystamy z własności iloczynu skalarnego.

41


Operator A† – sprzężony do danego operatora A jest wyznaczony jednoznacznie, przyczym podstawowe własności operacji sprzęgania operatorów są następujące(

A+ B)†

= A† + B†,(A B

)†= B† A†,(

A†)†

= A,(α A

)†= α∗ A†, dla α ∈ C. (4.35)

Dowody (wyprowadzenia) tych własności można znaleźć w podręcznikach algebry liniowejlub metod matematycznych fizyki [5, 12].

Zwróćmy uwagę, że jeżeli przestrzeń F jest skończenie wymiarowa, to operator Aw niej działający, jest reprezentowany przez macierz złożoną z elementów aij ∈ C. Ope-rator sprzężony A† jest wówczas reprezentowany przez macierz transponowaną o współ-czynnikach sprzężonych w sposób zespolony(

A)ij

= aij =⇒(A†)ij

= a∗ji. (4.36)

Lemat 4.1 Operatorem sprzężonym do operatora Dx (patrz (4.22) jest operator

D†x =(∂

∂ x

)†= − ∂

∂ x. (4.37)

Dowód. Jako punkt wyjścia weźmy prawą stronę warunku (4.32). Dla dowolnych funkcjifalowych ψ(~r) i ϕ(~r) mamy

〈(Dxψ

)|ϕ 〉 =

∫Vd 3r

(∂ ψ∗(~r)∂ x

)ϕ(~r). (4.38)

Całkę obliczamy przez części

〈(Dxψ

)|ϕ 〉 = ψ∗(~r) ϕ(~r)

∣∣∣∣∂V−

∫Vd 3r ψ∗(~r)

(∂ ϕ(~r)∂ x

). (4.39)

Pierwszy człon obliczany na brzegu ∂V obszaru V zeruje się, co wynika z przyjętych napoczątku rozdziału założeń dotyczących funkcji falowych. Widzimy więc, że

〈(Dxψ

)|ϕ 〉 =

∫Vd 3r ψ∗(~r)

(− ∂ ϕ(~r)

∂ x

)= 〈ψ |

(− ∂

∂ x

)ϕ 〉. (4.40)

Porównując wynik z lewą stroną (4.32) stwierdzamy, że teza (4.37) jest udowodniona.

Funkcje operatorów

Jeżeli zwykła (liczbowa) funkcja f(z) ma rozwinięcie w szereg potęgowy (szereg Taylora)

f(z) =∞∑n=0

fn zn, fn ∈ C, (4.41)

42


to za pomocą tego rozwinięcia definiujemy funkcję operatora A

F = f(A) =∞∑n=0

fn An. (4.42)

Ponieważ umiemy mnożyć i dodawać operatory, definicja taka jest zrozumiała. Nie bę-dziemy tu badać matematycznych kwestii dotyczących na przykład zbieżności szeregówoperatorowych. W pewnych przypadkach udaje się praktycznie wyliczyć taki szereg, copozwala zapisać funkcję operatorową w zwartej postaci.

Niech λ i ϕ będą wartością i wektorem własnym operatora A (tzn. Aϕ = λϕ). Wówczasλk i ϕ są rozwiązaniami zagadnienia własnego dla k-tej potęgi operatora A. Wynika toz wielokrotnego podziałania operatorem A na wektor własny ϕ. Stosując to rozumowaniedo kolejnych składników rozwinięcia (4.42) stwierdzamy, że f(λ) i ϕ są, odpowiednio,wartością własną i wektorem własnym funkcji operatorowej f(A).

4.1.3 Operatory hermitowskie

Bez wchodzenia w subtelności matematyczne przyjmiemy, że operator samosprzężony –hermitowski – to taki, dla którego

A = A†, (4.43)

a zatem taki dla którego, na mocy (4.34), zachodzi

〈ψ | A |ϕ 〉 = 〈ϕ | A |ψ 〉∗, lub 〈ψ | A |ϕ 〉∗ = 〈ϕ | A |ψ 〉. (4.44)

Twierdzenie 4.2 Operator Px = −i~Dx jest hermitowski, t.j

(Px)†

=(−i~ ∂

∂ x

)†= Px. (4.45)

Dowód. Na mocy ostatniej z relacji (4.35) oraz z (4.37) mamy(Px)†

=(−i~ Dx

)†= i~

(Dx

)†= i~

(−Dx

)= Px, (4.46)

co kończy dowód.Operatory hermitowskie mają szereg pożytecznych własności, z których będziemy

w trakcie wykładu często korzystać.

1. Jeżeli A = A†, to A = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 〈ψ | A |ψ 〉 = 0 dla wszystkichwektorów (funkcji) ψ ∈ F .

2. Operator A jest hermitowski wtedy i tylko wtedy, gdy

〈ψ | A |ψ 〉 ∈ R, (4.47)

dla każdego ψ ∈ F . Relacja ta wynika automatycznie z definicji (4.44).

43


3. Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste.

A− hermitowski, oraz A u = λu, =⇒ λ ∈ R . (4.48)

Relacja (4.47) mówi, że 〈u | A |u 〉 ∈ R . Wobec tego uzyskujemy 〈u | A |u 〉 =λ〈u |u 〉 = λ ‖u ‖2 ∈ R . Ponieważ norma wektora jest z definicji rzeczywista, więcw rezultacie

λ =〈u | A |u 〉‖u ‖2

∈ R . (4.49)

4. Jeżeli A = A† (operator hermitowski) to jego wektory własne odpowiadające różnymwartościom własnym są ortogonalne.

A− hermitowski

A u1 = λ1u1

A u2 = λ2u2

λ1 6= λ2

=⇒

u1 ⊥ u2

to znaczy

〈u1 |u2 〉 = 0

. (4.50)

Z założenia, a także z własności (4.4) iloczynu skalarnego otrzymujemy następującyciąg równości λ2〈u1 |u2 〉 = 〈u1 |λ2u2 〉 = 〈u1 | A |u2 〉. Korzystamy dalej z (4.44)i uzyskujemy

λ2 〈u1 |u2 〉 = 〈u2 | A |u1 〉∗ = 〈u2 |λ1 u1 〉∗ =(λ1 〈u2 |u1 〉

)∗= λ∗1 〈u2 |u1 〉∗ = λ1 〈u1 |u2 〉 (4.51)

co wynika z faktu, że λ1 ∈ R, oraz z własności iloczynu skalarnego. A zatem(λ2 − λ1

)〈u1 |u2 〉 = 0. (4.52)

Ponieważ λ1 6= λ2, więc musi być 〈u1 |u2 〉 = 0, co kończy dowód.

5. Dyskutując własności hamiltonianu (relacje (3.8) – (3.10)) wprowadziliśmy pojęciedegeneracji energii. Uogólniamy i mówimy, że wartości własne operatora (hermitow-skiego, ale niekoniecznie) są zdegenerowane, jeśli jednej i tej samej wartości własnejopowiada gn różnych wektorów własnych. Wówczas

A uinn = an uinn , in = 1, 2, . . . , gn. (4.53)

a więc jednej wartości własnej an odpowiadają funkcje własne dodatkowo numero-wane przez in = 1, 2, . . . , gn. Liczbę gn nazywamy stopniem degeneracji wartościwłasnej an. Mówimy, że an jest gn-krotnie zdegenerowana. Funkcje uinn

gnin=1 odpo-

wiadają jednej i tej samej wartości własnej, nie możemy więc a priori twierdzić, żesą one ortogonalne. Można jednak udowodnić, że funkcje te rozpinają gn-wymiarową

44


podprzestrzeń Fn przestrzeni F , a więc stanowią w Fn bazę, którą można następ-nie poddać procedurze ortogonalizacji i w końcu unormować. Dlatego też możemynapisać

〈uinn |ujmm 〉 =∫d~r[uinn (~r)

]∗ujmm (~r) = δnm δin,jm . (4.54)

6. Dowolna kombinacja liniowa funkcji uinn in=1,2,...,gn odpowiadających gn-krotnie zde-generowanej wartości własnej an operatora A

ψn =gn∑in=1

Cinn uinn , Cin

n ∈ C, (4.55)

jest funkcją własną operatora A odpowiadającą tej samej wartości własnej. Istotnie,z liniowości problemu wynika, że

A ψn = A

( gn∑i=1

Cinn uinn

)=

gn∑i=1

Cinn A uinn

=gn∑i=1

Cinn an u

inn = an

( gn∑i=1

Cinn uinn

)= an ψn, (4.56)

co kończy uzasadnienie tezy.

7. Jeżeli badając zagadnienie własne dla operatora A – hermitowskiego znajdziemywszystkie wartości własne an o stopniu degeneracji odpowiednio równym gn, topodzielimy przestrzeń F na gn-wymiarowe podprzestrzenie Fn (oczywiście może sięzdarzyć gn = 1). Przeprowadzając (o ile to potrzebne, gdy gn 6= 1) procedurę orto-normalizacji w każdej z podprzestrzeni Fn, otrzymamy ortonormalny zbiór wektorów(funkcji) uinn (funkcje odpowiadające różnym n są, zgodnie z (4.50) ortogonalne).Twierdzimy, że w przestrzeni skończenie wymiarowej

dim F = N <∞, A = A†,

=⇒ uinn − baza ortonormalna w F . (4.57)

W takim przypadku baza liczy skończoną liczbę elementów. Wobec tego, podobniejak w (4.8) możemy zapisać dowolny wektor (funkcję) z F w postaci rozwinięcia

ψ(~r) =N∑n

gn∑in=1

Cinn uinn (~r), gdzie Cin

n = 〈uinn |ψ 〉. (4.58)

gdzie sumy są skończone. Twierdzimy, że w przestrzeni skończenie wymiarowej do-wolny wektor można rozłożyć w bazie utworzonej przez wektory własne operatorahermitowskiego. W przestrzeni nieskończenie wymiarowej twierdzenie to może, alenie musi, być prawdziwe. Oczywiście o ile zachodzi, to wtedy baza liczy nieskończe-nie wiele elementów i suma w (4.58) jest także nieskończona.

45


8. Jeżeli funkcja f(z) jest rzeczywista (współczynniki rozwinięcia w szereg są rzeczy-wiste) to wówczas f(z)− rzeczywista

A = A† − hermitowski

=⇒

F = f(A) = F †

hermitowski

. (4.59)

Jeżeli więc operator A = A† spełnia zagadnienie własne Au = au, a ∈ R, tozagadnienie własne dla f(A) ma rozwiązanie z rzeczywistymi wartościami własnymif(a) i tymi samymi wektorami własnymi, co jest zgodne z uwagami dotyczącymirozwinięcia (4.42).

4.2 Pomiary kwantowo-mechaniczne

4.2.1 Obserwable

Obserwablą nazwiemy taki operator hermitowski, dla którego zbiór wektorów własnychtworzy bazę (ortonormalną) w przestrzeni F i to niezależnie od jej wymiaru. Wobec tego,z definicji mamy A = A† − obserwabla

A uinn = an uinn

=⇒

an ∈ R, degeneracja gn−krotna

uinn − baza ortonormalna w F

(4.60)

Dla dowolnej funkcji falowej ψ ∈ F można zbudować rozkład postaci (4.58), spełniającywarunek

∑n

gn∑in=1

∣∣∣Cinn

∣∣∣2 = 1, (4.61)

wynikający z żądania unormowania funkcji falowej (por. (4.13). W relacjach tych bazauinn , a co za tym idzie i sumowania (względem indeksu n), mogą być skończone lub nie.

W poprzednich rozdziałach wspominaliśmy już o tym, że różnym wielkościom fizycz-nym odpowiadają operatory na przestrzeni funkcji falowych. Tutaj uogólnimy to stwier-dzenie przyjmując następujący postulat.

Postulujemy, że każdej wielkości fizycznej A (której sensu fizycznego na razienie precyzujemy), możemy przyporządkować pewną obserwablę

wielkosc fizyczna A - A = A† obserwabla, (4.62)

a więc operator hermitowski. Operator ten ma rzeczywiste wartości własnean∈ R (zdegenerowane, lub nie). Funkcje (wektory) własne obserwabli tworzą

bazę ortonormalną w przestrzeni stanów (funkcji falowych).

46


4.2.2 Pomiar kwantowo-mechaniczny

Jak wiadomo, stan układu fizycznego jest w pełni określony przez funkcję falową ψ(~r, t)– wektor z pewnej przestrzeni Hilberta F . Zajmiemy się teraz omówieniem sposobu prze-widywania wyników pomiarów, które dostarczają informacji o układzie fizycznym. Wska-żemy, jak na podstawie znajomości funkcji falowej możemy uzyskać takie informacje.W układach fizycznych można mierzyć różne wielkości je charakteryzujące, np.: energię,pęd, moment pędu, spin, itp., itd. Oczywiście to, jakie wielkości mają sens i jakie sąmierzalne zależy zarówno od struktury układu, jak i od warunków konkretnego doświad-czenia.

Koncepcja pomiaru w fizyce klasycznej ma prosty, intuicyjny sens, który nie wymagaspecjalnych komentarzy. W mechanice kwantowej sytuacja jest jednak inna. Postaramy sięprzedstawić i wyjaśnić najważniejsze aspekty pojęcia pomiaru kwantowo-mechanicznego.Omówimy najprostszą i najbardziej ortodoksyjną interpretację, tzw. interpretację kopen-haską, którą zawdzięczamy Nielsowi Bohrowi. Jest ona nieco uproszczona, bowiem znanesą nowocześniejsze i bardziej złożone podejścia, których subtelności są do dziś przed-miotem kontrowersji oraz aktywnych badań naukowych. Poprzestaniemy na najprostszejdyskusji, aby nie utrudniać (ponad konieczność) początków zapoznawania się z mechanikąkwantową.

Przede wszystkim przyjmiemy, że pomiar jest dokonywany za pomocą makroskopo-wego aparatu podlegającego zasadom fizyki klasycznej. Do jego opisu (w najprostszym– kopenhaskim – przypadku) niepotrzebna jest mechanika kwantowa. Co więcej, przyj-miemy też, że urządzenie pomiarowe jest, przynajmniej teoretycznie, tak dokładne i pre-cyzyjne jak tylko to potrzebne (w praktyce, niestety, istnieją różnorodne ograniczenianatury technicznej). Oznacza to, że nasz aparat jest dokładny, ewentualne błędy pomia-rowe są nieistotne lub zaniedbywalnie małe.

We wcześniejszych rozdziałach sformułowaliśmy już pewne postulaty mechaniki kwan-towej. Kwestie związane z pomiarami dokonywanymi na układach kwantowo-mechanicz-nych także sprowadzimy do postulatów. Rozpoczniemy od dość obszernego omówieniaproblemów, ponieważ poruszane tu zagadnienia są niezmiernie ważne, pokazują bowiemjak bardzo mikroświat jest różny od makroświata, a także jak dalece musimy odrzucićprzyzwyczajenia wynikające z codziennej fizyki klasycznej.

W dalszych rozważaniach interesować nas będzie pomiar wielkości fizycznej A, którejprzyporządkowana jest obserwabla A = A† (zgodnie z poprzednim postulatem). Główneidee związane z pomiarem kwantowo-mechanicznym są schematycznie przedstawione narysunku. Po kolei omówimy poszczególne elementy.

A. Układ (aparat) pomiarowy i możliwe rezultaty

Pomiar dowolnej wielkości fizycznej wykonujemy za pomocą o dpowiednio dobranego apa-ratu pomiarowego. Centralny prostokąt na rysunku przedstawia taki właśnie aparat. Poje-

47


dynczy, fizycznie sensowny pomiar musi dać w rezultacie (odpowiednio mianowaną) liczbęrzeczywistą. Pomiar klasyczny może dać dowolny wynik (w sensownych granicach). Np.energia poruszającego się ciała może być dowolna. W mechanice kwantowej sytuacja jestzasadniczo inna. Możliwe wyniki pomiaru są ograniczone do zbioru an – wartości wła-snych obserwabli A przyporządkowanej wielkości A. Wyjaśnia to dlaczego żądamy, aby

Uk ladpomiarowywielkosci A

Wartosci an

ψ(~r, t)

=∑nCnun(~r)

ψ ′(~r, t)

= uk(~r)

ak

z prawdopodob.

Pk = |Ck|2∑n|Cn|2

Rys. 4.1: Ilustracja do dyskusji postulatów pomiarowych mechaniki kwantowej.

obserwablą był operator hermitowski – wartości własne, jako jedyne możliwe wyniki po-miaru muszą być liczbami rzeczywistymi. Zbiór wartości an może być skończony lub nie(od tego zależy także kształt zbioru wskaźników). Charakter zbioru an zależy od tegojaki układ fizyczny rozważamy, i jaką konkretnie wielkość fizyczną mierzymy.

B. Układ fizyczny przygotowany do pomiaru

Aby "przystąpić" do pomiaru1 musimy odpowiednio przygotować układ fizyczny. Możemytutaj (w pewnym uproszczeniu) powiedzieć, że układ jest przygotowany, jeśli potrafimyprzypisać mu funkcję falową ψ(~r, t). Funkcję tę możemy rozłożyć w bazie ortonormalnejtworzonej przez funkcje własne obserwabli A. Załóżmy, dla prostoty, że mamy do czynieniaz przypadkiem bez degeneracji. Zatem tuż przed pomiarem funkcja falowa miała postać

ψ(~r) =∑n

Cn un(~r), gdzie Cn = 〈un |ψ 〉 =∫Vd4r u∗n(~r) ψ(~r, t). (4.63)

Tak przygotowany do pomiaru układ fizyczny ilustruje fala "wchodząca" do przyrządu po-miarowego (rys. 4.1). Oczywiście normowanie funkcji ψ(~r, t) wymaga spełnienia warunku(4.61), to jest∑

n

∣∣∣Cn ∣∣∣2 = 1. (4.64)

1Niektóre słowa ujmujemy w cudzysłów, po to aby podkreślić ich intuicyjne – by nie rzec – metafo-ryczne znaczenie.

48


C. Pomiar i jego wynik

Przygotowany układ fizyczny "wchodzi" do aparatu pomiarowego. Znany jest zbiór moż-liwych rezultatów eksperymentu. Jednak intuicja podpowiada, że wynik pomiaru możebyć tylko jeden. I tak jest rzeczywiście. Aparat pomiarowy "rejestruje" jedną z wartościwłasnych obserwabli A. Oznaczmy ten rezultat przez ak (dolna część rysunku 4.1).

W tym miejscu pojawia się kolejna fundamentalna różnica pomiędzy przewidywaniamiklasycznymi a kwantowo-mechanicznymi. Rozumując klasycznie, dobrze czujemy, że seriaidentycznych pomiarów przeprowadzonych na identycznie przygotowanych takich samychukładach fizycznych, da zawsze jeden i ten sam wynik. W mechanice kwantowej jest jednakcałkiem inaczej.

Seria pomiarów kwantowo-mechanicznych wykonana na wielu kopiach układu fizycz-nego przygotowanego zawsze w stanie ψ(~r, t) może dać w każdym oddzielnym przypadkuinny wynik. Raz będzie to ak, innym razem am 6= ak, a jeszcze kiedy indziej dostaniemyaj, różne od ak i od am. Nie jesteśmy w stanie przewidzieć jaki będzie wynik konkretnegopomiaru z serii. Jest to jeden z powodów, dla których mechanika kwantowa jest tak bardzoinna niż fizyka klasyczna.

D. Prawdopodobieństwo uzyskania danego rezultatu

Mechanika kwantowa pozwala nam przewidzieć jedynie prawdopodobieństwo tego, żew wyniku pomiaru wielkości A otrzymamy wartość własną ak. Wynosi ono

Pk =|Ck |2∑n |Cn |2

=|〈uk |ψ 〉|2∑n | 〈un |ψ 〉 |2

=|〈uk |ψ 〉|2

‖ψ‖2. (4.65)

Mianowniki powyższych wyrażeń wypisaliśmy w sposób jawny. Zwróćmy uwagę, że gdybyfunkcja falowa ψ została przemnożona przez dowolną liczbę α ∈ C , to prawdopo-dobieństwa nie ulegną zmianie – liczba |α|2 pojawi się i w liczniku i w mianowniku –czyli skróci się. Jeżeli jednak funkcja falowa jest prawidłowo unormowana, to mianownikisą równe jedności. To samo dotyczy zagadnień własnych. Dodatkowa liczba pojawiającasię po obu stronach równości Aun = anun nie ma znaczenia, ponownie skraca się. Są tokolejne przyczyny, dla której zawsze będziemy normować funkcje falowe.

Zwróćmy uwagę, że iloczyn skalarny w licznikach to nic innego niż kwadrat modułurzutu wektora ψ na (jednowymiarową – przypadek bez degeneracji) podprzestrzeń rozpiętąprzez funkcję uk(~r) odpowiadającą (zmierzonej) wartości własnej ak. Iloczyn skalarnyCk = 〈uk |ψ 〉 nazywamy amplitudą prawdopodobieństwa tego, że w wyniku pomiaruwielkości fizycznej A otrzymamy wartość własną ak obserwabli A. Mówimy też niekiedy,że 〈uk |ψ 〉 jest amplitudą prawdopodobieństwa tego, że cząstka przygotowana w stanieψ jest w stanie uk. Stwierdzenie takie ma (niestety) charakter nieco żargonowy i niejakoantycypujący pomiar, bowiem w domyśle zostaje powiedzenie, że "w wyniku pomiaruwielkości A otrzymamy wartość własną ak".

49


Oczywiście prawdopodobieństwa Pk dane w (4.65) spełniają

∑k

Pk = 1, (4.66)

co wynika z warunku (4.64) normowania funkcji ψ(~r, t). Innymi słowy, prawdopodobień-stwo otrzymania jakiegokolwiek wyniku pomiaru musi być (i jest) zawsze równe 1.

E. Stan układu po pomiarze

Przechodzimy do ostatniej kwestii dotyczącej pomiaru kwantowo-mechanicznego. Naj-pierw odwołajmy się do intuicji klasycznej. Pomiar prędkości (np. dwa szybko po sobiezrobione zdjęcia) poruszającego się obiektu w żaden sposób jej nie zmienia. Inaczej mó-wiąc, pomiar dokonany na układzie klasycznym nie zmienia stanu tego układu.

W mechanice kwantowej ponownie mamy do czynienia z całkiem inną sytuacją. Jeżeliw rezultacie pomiaru wielkości fizycznej A otrzymaliśmy wartość własną ak obserwabliA, to funkcja falowa ψ(~r) (sprzed pomiaru) przechodzi w nową funkcję

ψ(~r) -pomiar ak

ψ ′(~r) = uk(~r), (4.67)

co przedstawia fala "wychodząca" na rys. 4.1. Stan układu po pomiarze jest opisywanyprzez funkcję falową uk, będącą stanem (wektorem) własnym obserwabli A z jednowymia-rowej (brak degeneracji) podprzestrzeni Fk odpowiadającej zmierzonej wartości własnej.Efekt ten, zachodzący w chwili pomiaru, nazywamy "redukcją" funkcji falowej. Nazwa tabierze się stąd, że z całej kombinacji liniowej (4.63) "wybrany"został stan odpowiadającyrezultatowi pomiaru.

Redukcja funkcji falowej zachodząca w chwili pomiaru jest jednym z najbardziej ta-jemniczych aspektów mikroświata i do dziś budzi kontrowersje. Jednym z wyjaśnień jeststwierdzenie, że redukcja funkcji falowej zachodzi dlatego, że aparat pomiarowy jest (we-dług naszych założeń) obiektem klasycznym. Nie jest to wyjaśnienie zadowalające, bo-wiem nie można wytyczyć granicy pomiędzy "światami" klasycznym, a kwantowym. Pełnykwantowo-mechaniczny opis układu złożonego z badanego układu i z przyrządu pomiaro-wego jest możliwy, lecz też nie w pełni zadowalający. Jako ciekawostkę można powiedzieć,że Roger Penrose [13] wiąże redukcję funkcji falowej z zupełnie dziś nieznanymi efektamiwynikającymi z kwantowej natury oddziaływań grawitacyjnych.

Nie wchodząc w szczegóły toczącej się do dziś dyskusji przyjmujemy redukcję funk-cji falowej jako postulat, zresztą dobrze potwierdzony doświadczalnie. Pomiar "niszczy"funkcję falową ψ(~r, t) (tę sprzed pomiaru) i "ustala" nową uk(~r), która następnie ewolu-uje w czasie zgodnie z równaniem Schrödingera, tak jak mówiliśmy o tym w poprzednichrozdziałach.

50


4.2.3 Postulaty pomiarowe

Powyższa dyskusja (dla przypadku bez degeneracji) pozwala syntetycznie sformułowaćtzw. pomiarowe postulaty mechaniki kwantowej

1. Jedynymi możliwymi wynikami pomiaru wielkości fizycznej A, której od-powiada obserwabla A są wartości własne tejże obserwabli.

Pomiar A - jedna z wartości własnych, np. ak. (4.68)

2. Załóżmy, że układ fizyczny jest przygotowany w stanie opisanym funkcjąfalową

ψ(~r) =∑n

Cn un(~r), przy czym∑n

∣∣∣Cn ∣∣∣2 = 1, (4.69)

gdzie Cn = 〈un |ψ 〉, zaś un(~r) to funkcje własne obserwabli A.Prawdopodobieństwo tego, że w wyniku pomiaru wielkości A otrzymamywartość własną ak wynosi

Pk =|Ck |2∑n |Cn |2

= |〈uk |ψ 〉|2, (4.70)

gdzie druga równość wynika z warunku normowania.

3. Po pomiarze, gdy otrzymaliśmy wartość własną ak obserwabli A, następujeredukcja (patrz (4.67) funkcji falowej – do funkcji własnej uk(~r) odpowia-dającej zmierzonej wartości ak.

Warto w tym miejscu poczynić pewne dodatkowe uwagi. Punkt pierwszy powyższegopostulatu implikuje, że zbiór możliwych wyników pomiaru wielkości fizycznej A nie zależyod tego jaka (przed pomiarem) funkcja falowa ψ(~r, t) opisywała stan układu. Zbiór ak zależy jedynie od obserwabli A – od jej wartości własnych. Konkretne własności obserwablicharakteryzujących dany układ fizyczny zależą od jego natury (czy też struktury), a nie odtego jaka jest jego aktualna funkcja falowa. Z drugiej strony, prawdopodobieństwa (4.70)otrzymania konkretnej wartości ak zależą już od ψ poprzez amplitudy Ck = 〈uk |ψ 〉.

Zauważmy także, że jeśli układ fizyczny został przygotowany w stanie własnym ob-serwabli A, to jest gdy w kombinacji (4.63) mamy Cn = δnk, czyli gdy ψ(~r) = uk(~r),wówczas w wyniku pomiaru wielkości fizycznej A otrzymamy wartość ak z prawdopo-dobieństwem równym jedności. Oczywiście po pomiarze stan ten pozostaje niezmieniony– redukcja funkcji falowej jest trywialna. Wnioskujemy stąd, że jeśli nastąpiła faktycz-na redukcja ψ → uk, to "szybki" (co oznacza, że "nie zdąży" zadziałać schrödigerowskaewolucja czasowa) następny pomiar ponownie da ten sam wynik ak.

51


4.2.4 Efekty interferencyjne

Wspominaliśmy już, że w zasadzie można funkcję falową pomnożyć przez dowolną liczbęα ∈ C , co nie ma wpływu na przewidywania fizyczne (prawdopodobieństwa). Podkreśla-liśmy jednak wielokrotnie, że wygodnie i sensownie jest normować funkcje falowe. Uwagite dotyczą również mnożnika α = eiφ, φ ∈ R. Funkcje falowe ψ oraz eiφψ można utożsa-mić – czynnik eiφ o jednostkowym module nie ma znaczenia fizycznego. Mówimy więc, żeglobalny czynnik fazowy (tj. czynnik eiφ) może być wybrany dowolnie. Inaczej rzecz sięma z tzw. fazą względną. Wyjaśnimy teraz o co tu chodzi.

Niech ψ1 i ψ2 oznaczają dwie funkcje falowe, o których zakładamy, że są

• unormowane, tj. 〈ψ1 |ψ1 〉 = 〈ψ2 |ψ2 〉 = 1,

• ortogonalne, tj. 〈ψi |ψj 〉 = δij. (4.71)

Mogą to być np. dwie funkcje własne pewnej obserwabli B odpowiadające różnym war-tościom własnym b1 6= b2. W zasadzie (jak mówiliśmy wyżej) funkcje ψj oraz eiφjψj (dlaj = 1, 2) reprezentują ten sam stan fizyczny. Rzeczywiście tak jest, gdy rozpatrujemy tefunkcje oddzielnie.

Zbudujmy jednak superpozycję (kombinację liniową)

Ψ = α1 eiφ1 ψ1 + α2 e

iφ2 ψ2, (4.72)

gdzie liczby α1, α2, φ1, φ2 ∈ R. Aby ustalić terminologię, przepiszmy tę superpozycjętak

Ψ = eiφ1(α1 ψ1 + α2 e

iχ ψ2

), (4.73)

gdzie φ1 nazwiemy fazą globalną, zaś χ = φ2− φ1 fazą względną. Zbadajmy normowanie,to znaczy iloczyn skalarny

〈Ψ |Ψ 〉 =⟨eiφ1

(α1 ψ1 + α2 e

iχ ψ2

) ∣∣∣∣ eiφ1(α1 ψ1 + α2 eiχ ψ2

)⟩. (4.74)

Na mocy własności iloczynu skalarnego widzimy, że z pierwszego członu "wypada" e−iφ1 , az drugiego eiφ1 – zatem globalne czynniki fazowe znoszą się. Rozpisując starannie pozostałeprzyczynki otrzymujemy

〈Ψ |Ψ 〉 = α21〈ψ1 |ψ1 〉 + α1α2 e

iχ 〈ψ1 |ψ2 〉 + α1α2 e−iχ 〈ψ2 |ψ1 〉 + α2

2〈ψ2 |ψ2 〉. (4.75)

Dzięki przyjętym założeniom stwierdzamy, że drugi i trzeci składnik znikają, zatem

〈Ψ |Ψ 〉 = α21 + α2

2, (4.76)

co stanowi warunek normowania (jest to szczególny przypadek relacji (4.60) lub (4.69),który nie zależy ani od fazy globalnej, ani względnej.

52


Jeśli w stanie opisanym tą superpozycją dokonamy pomiaru wielkości B, to prawdo-podobieństwo uzyskania wartości b1 i b2 wynoszą odpowiednio (według postulatu (4.70))

P (bj) = |〈ψj |Ψ 〉|2 =∣∣∣∣⟨ψj ∣∣∣∣ eiφ1(α1 ψ1 + α2 e

iχ ψ2

)⟩∣∣∣∣2= α2

1 | 〈ψj |ψ1 〉 |2 + α22 | 〈ψj |ψ2 〉 |2

= α21 δj1 + α2

2 δj2, (4.77)

bowiem |eiχ| = |eiφ1| = 1. Możemy więc powiedzieć, że z prawdopodobieństwem α21 zmie-

rzyliśmy b1, a b2 z prawdopodobieństwem α22. Mówimy żargonowo (choć nieprawidłowo),

że nasz układ jest w stanie ψ1 lub ψ2 z prawdopodobieństwami α21 oraz α2

2, odpowiednio.Niech teraz A będzie inną obserwablą, która ma wartości własne an (dla prostoty,

niezdegenerowane) i odpowiednie (unormowane i ortogonalne) wektory (funkcje) własneun. Jeśli nasz układ fizyczny jest w którymś ze stanów ψj, to na mocy relacji (4.69)prawdopodobieństwo uzyskania wyniku pomiarowego an wynosi: Pj(an) = | 〈un |ψj 〉 |2.

Co będzie w przypadku omówionej wyżej superpozycji Ψ ? Co możemy powiedziećo prawdopodobieństwie PΨ(an) = | 〈un |Ψ 〉 |2. Podstawiamy więc Ψ według (4.73) i obli-czamy

PΨ(an) =∣∣∣∣⟨un ∣∣∣∣ eiφ1(α1 ψ1 + α2 e

iχ ψ2

)⟩∣∣∣∣2. (4.78)

Czynnik eiφ1 można wyłączyć (liniowość iloczynu skalarnego), a jego moduł jest równy 1.Ponownie przekonujemy się, że faza globalna nie ma znaczenia. Idąc dalej, mamy

PΨ(an) =∣∣∣∣α1 〈un |ψ1 〉 + α2 e

iχ 〈un |ψ2 〉∣∣∣∣2. (4.79)

Obliczenia kwadratu modułu sumy dwóch liczb zespolonych jest proste. W rezultacieotrzymujemy

P (an) = |α1|2∣∣∣〈un |ψ1 〉

∣∣∣2 + |α2|2∣∣∣〈un |ψ1 〉

∣∣∣2 + 2α1α2 Reeiχ〈un |ψ1 〉∗〈un |ψ2 〉

= |α1|2P1(an) + |α2|2P2(an) + 2α1α2 Re

eiχ〈un |ψ1 〉∗〈un |ψ2 〉

. (4.80)

Uzyskaliśmy więc dość skomplikowane wyrażenie zawierające ewidentny człon interferen-cyjny, który zależy nie tylko od liczb αj, ale także od względnej fazy pomiędzy składni-kami superpozycji. Obecność członu interferencyjnego jest charakterystyczna dla mecha-niki kwantowej. Jednocześnie, omówiony przykład dobrze ilustruje fakt, że faza globalnafunkcji falowej jest bez znaczenia (można ją wybrać w sposób dowolny), natomiast fazawzględna ma znaczenie zasadnicze i w żadnym wypadku nie wolno o niej zapominać.

Na zakończenie tej dyskusji omówimy różnicę pomiędzy superpozycją (jak w (4.73)),a tak zwaną mieszaniną statystyczną. Wspominaliśmy już, że liczby α2

j bywają nazywaneprawdopodobieństwami z jakimi w superpozycji Ψ występują stany ψj. Jest to nadużycie,niestety dość powszechne. Zanalizujmy to dokładniej. Rozważmy znów pomiar wielkości

53


fizycznej A. Jeśli nasz układ jest w stanie ψj, (j = 1, 2) z prawdopodobieństwem α2j ,

a prawdopodobieństwo otrzymania wartości an wynosi Pj(an), to łączne prawdopodo-bieństwo otrzymania an dane jest jako suma

P (an) = α21 P1(an) + α2

2 P2(an), (4.81)

bowiem (w rozumieniu statystycznym) układ jest w stanie ψ1 lub ψ2.Wyrażenie (4.81) jest istotnie inne niż uprzednio otrzymane (4.80). Płynie stąd wnio-

sek, że superpozycja i mieszanina statystyczna to zupełnie różne pojęcia, których niewolno mylić. Należy więc unikać wspomnianych żargonowych określeń i obliczać prawdo-podobieństwa dla superpozycji tak, jak to zrobiliśmy w relacjach (4.78)–(4.80).

Mieszaniny statystyczne można oczywiście uwzględnić w formalizmie mechaniki kwan-towej. Prowadzi to do koncepcji operatora gęstości, co jednak wychodzi poza zakres ni-niejszego wykładu.

4.2.5 Przypadek z degeneracją

Przeprowadzona do tej pory dyskusja dotyczyła obserwabli A, której wartości własnesą niezdegenerowane. Trzeba więc uogólnić naszą analizę na przypadek z degeneracją.Rozkład funkcji falowej na funkcje własne obserwabli A ma teraz postać (4.58), przywarunku normowania (4.63). Wygodnie nam będzie posługiwać się nieco zmodyfikowanymzapisem, dlatego relacji napiszemy

ψ(~r) =∑n

ψn(~r), gdzie ψn (~r) =gn∑in=1

Cinn uinn (~r). (4.82)

Funkcje ψn są więc kombinacjami liniowymi funkcji własnych obserwabli A, które odpo-wiadają jednej i tej samej wartości własnej an. Możemy je interpretować jako "składowe"(rzuty) pełnej funkcji falowej, leżące w gn-wymiarowych podprzestrzeniach Fn przestrze-ni F . Każda z funkcji ψn jest funkcją własną obserwabli A, to jest spełnia relacjęAψn = anψn i to niezależnie od wartości współczynników kombinacji (druga część (4.82).Wynika to z własności (4.56) wektorów własnych operatorów. Co więcej, funkcje takieodpowiadające dwóm różnym wartościom własnym są ortogonalne

〈ψm |ψn 〉 = δmn. (4.83)

Dowód przeprowadzamy metodą taką samą w stwierdzeniu (4.50). Zwróćmy ponadto uwa-gę, że funkcje ψn(~r) nie są na ogół unormowane.

Rozważmy ponownie pomiar wielkości fizycznej A. Wynikiem pomiaru może znowubyć tylko jedna z wartości własnych obserwabli A, powiedzmy ak. Tak samo jak poprzed-nio, dopuszczalne wyniki pomiaru nie zależą od funkcji falowej ψ. Natomiast prawdopo-dobieństwo uzyskania właśnie takiego wyniku zależy od stanu układu i jest dane przezkwadrat modułu rzutu wektora ψ na podprzestrzeń Fk, a więc przez

Pk =|〈ψk |ψ 〉|2∑

n

∑gnin=1 |Cin

n |2=

|〈ψk |ψk 〉|2∑n

∑gnin=1 |Cin

n |2. (4.84)

54


Równość iloczynów skalarnych 〈ψk |ψk 〉 = 〈ψk |ψ 〉 wynika z ortogonalności wektorówψm o różnych indeksach. Istotnie

〈ψk |ψ 〉 =gk∑ik=1

(Cikk

)∗∑n

gn∑in=1

Cinn 〈u

ikk |uinn 〉

=gk∑ik=1

∑n

gn∑in=1

(Cikk

)∗Cinn δkn δikin =

gk∑ik=1

∣∣∣Cikk

∣∣∣2 = 〈ψk |ψk 〉. (4.85)

Wobec tego, w przypadku degeneracji, prawdopodobieństwo uzyskania w wyniku pomiaruwartości ak wynosi

Pk =

∑gkik=1

∣∣∣Cikk

∣∣∣2∑n

∑gnin=1 |Cin

n |2=

∑gkik=1

∣∣∣〈uikk |ψ 〉∣∣∣2∑n

∑gnin=1 | 〈uinn |ψ 〉 |2

=

∑gkik=1

∣∣∣〈uikk |ψ 〉∣∣∣2‖ψ‖2

, (4.86)

gdzie ponownie można pominąć mianownik, jako równy jedności ze względu na normowa-nie funkcji falowej ψ. Otrzymane prawdopodobieństwo (4.86) ewidentnie stanowi uogól-nienie wzoru (4.65), do którego się redukuje, gdy przy brak degeneracji "odpada" sumapo indeksie ik. Suma wszystkich uzyskanych tu prawdopodobieństw jest równa jedności,tak samo jak w przypadku bez degeneracji (wynika to z warunku normowania funkcjifalowej).

Po pomiarze (wartości ak) funkcja falowa ψ redukuje się do podprzestrzeni Fk. A za-tem, dla przypadku z degeneracją, stan układu po pomiarze wyraża się

ψ(~r) =∑n

gn∑in=1

Cinn uinn (~r) -

pomiar akψ ′(~r) =

ψk(~r)‖ψk‖

, (4.87)

gdzie jawnie normujemy zredukowaną funkcję falową. Ponieważ ‖ψk‖2 = 〈ψk |ψk 〉 =〈ψk |ψ 〉, więc podstawiając (4.82) i (4.85) do powyższego, dostajemy

ψ(~r) -pomiar ak

ψ ′(~r) =∑gkik=1 Cik

k uikk (~r)√∑gkik=1 |C

ikk |2

=∑gkik=1 u

ikk (~r) 〈uikk |ψ 〉√∑gkik=1 |C

ikk |2

. (4.88)

Tym razem mianownik jest potrzebny, bo ψk nie była unormowana. Podsumowując stwier-dzamy, że stan układu tuż po pomiarze jest stanem własnym obserwabli A z wartościąwłasną ak. Podkreślmy jednak, że nie jest dowolny wektor z podprzestrzeni Fk, lecz "część"wektora ψ (sprzed pomiaru) leżąca w Fk i potem unormowana. Zauważmy jeszcze, że prze-chodząc we wzorze (4.88) do przypadku niezdegenerowanego (gn = 1, indeks in zbyteczny)otrzymujemy

ψ(~r) -pomiar ak

ψ′(~r) =Ck uk(~r)|Ck|

= eiArg(Ck) uk(~r), (4.89)

co różni się od formuły (4.67) jedynie globalnym czynnikiem fazowym o module równym 1.Czynnik ten nie ma znaczenia fizycznego, więc przewidywania fizyczne wynikające z (4.67)i z powyższych relacji są jednakowe.

55


Aby praktycznie wykorzystać te reguły, trzeba odpowiedzieć na zasadnicze pytanie,jak konstruować obserwablę (operator) A odpowiadający wielkości fizycznej A. Jeżeli bę-dziemy umieli to zrobić, wówczas (przynajmniej w zasadzie) rozwiązujemy zagadnieniewłasne dla tego operatora, to jest znajdujemy zbiory an oraz un – wartości i wektorywłasne. Rozkładając funkcję falową ψ w szereg względem bazy un obliczymy współczyn-niki Cn = 〈un |ψ 〉, czyli amplitudy prawdopodobieństwa. Tym samym możemy obliczyćprawdopodobieństwo (4.65), tego że w wyniku pomiaru uzyskamy dla wielkości fizycz-nej A wartość równą an. Zanim zajmiemy się odpowiedzią na pytanie, jak skonstruowaćobserwablę A, rozważymy jeszcze pewne inne zagadnienia ogólne.

4.3 Wartości oczekiwane i dyspersje

4.3.1 Wartości oczekiwane

Mechanika kwantowa, w przeciwieństwie do fizyki klasycznej, nie pozwala przewidywaćwyników pojedynczego pomiaru. Nie jesteśmy na ogół w stanie powiedzieć, że wynikpomiaru wielkości fizycznej A da konkretny wynik. Możemy natomiast powiedzieć, żewynik ak (wartość własną obserwabli A) otrzymamy z prawdopodobieństwem Pk (patrz(4.69) lub (4.86)). Wiedząc jak układ jest przygotowany (znając odpowiednią funkcję falo-wą), możemy jedynie obliczać prawdopodobieństwa takich czy innych rezultatów pomiaru.Co więcej, po pomiarze następuje redukcja funkcji falowej i (na ogół) układ przechodzido stanu innego niż ten, w którym go przygotowano. Tak więc pojedynczy pomiar niedaje informacji o funkcji falowej przed pomiarem, a jedynie o stanie układu po pomiarze,który to stan jest stanem własnym obserwabli odpowiadającym zmierzonej wartości wła-snej. Wyjątkiem jest sytuacja, gdy układ przed pomiarem został przygotowany w stanieun(~r) – jednym ze stanów własnych obserwabli A odpowiadającej mierzonej wielkości fi-zycznej. Pojedynczy pomiar możemy uznać za metodę przygotowania układu fizycznegow określonym stanie wybranej obserwabli.

Jak więc wygląda realistyczna sytuacja pomiarowa pozwalająca wnioskować o funk-cji falowej ψ(~r, t) charakteryzującej stan układu zanim dokonaliśmy pomiaru? Ponieważposługujemy się pojęciem prawdopodobieństwa, pouczające jest rozważenie sytuacji po-miarowej z punktu widzenia standardowego rachunku prawdopodobieństwa.

Załóżmy, że wynik ak pewnego doświadczenia pojawia się z prawdopodobieństwem pk.Jaki jest średni wynik dużej serii złożonej z N 1 pomiarów, w której każdy z wynikówak otrzymano nk razy? Najpierw zauważmy, że w oczywisty sposób

∑k nk = N . Zgodnie

z częstościową interpretacją prawdopodobieństwa możemy napisać pk = nk/N (stosunekliczby zdarzeń sprzyjających do ogólnej liczby zdarzeń, co jest słuszne przynajmniej przyN →∞). Możemy więc intuicyjnie stwierdzić, że średni wynik pomiarów to

〈 a 〉 =∑k aknkN

=∑k

akpk, (4.90)

56


Wracamy teraz do zagadnień mechaniki kwantowej. Rozważmy, dla prostoty, przypa-dek bez degeneracji. Wielkości fizycznej A odpowiada obserwabla A o wartościach wła-snych an i wektorach własnych un stanowiących bazę ortonormalną w przestrzeni funkcjifalowych. Stan układu fizycznego opisywany jest (unormowaną) funkcją falową ψ, którązgodnie z (4.63) możemy rozłożyć w bazie

ψ =∑n

Cnun, Cn = 〈un |ψ 〉,∑n

|Cn|2 = 1. (4.91)

Przyjmijmy, że mamy bardzo wiele identycznych układów, każdy przygotowany w sta-nie ψ. W każdym z nich wykonujemy pomiar wielkości A. Nie możemy przewidzieć do-kładnie wyniku pojedynczego pomiaru. Umiemy jedynie stwierdzić, że pomiar taki dawartość ak z prawdopodobieństwem Pk = |Ck|2 = |〈uk |ψ 〉|2. Przypomnijmy, że liczbaCn = 〈un |ψ 〉 jest amplitudą prawdopodobieństwa tego, że w wyniku pomiaru wielko-ści A w układzie przygotowanym stanie ψ zmierzono wartość własną an, a po pomiarze(redukcja) układ znalazł się w stanie un.

Możemy też spojrzeć inaczej. Pomiaru wielkości A dokonujemy w jednym układzieznajdującym się w stanie ψ. Z prawdopodobieństwem Pk otrzymujemy wartość ak. Poredukcji funkcji falowej ponownie przygotowujemy układ tak, aby znów znalazł się wstanie ψ. Ponawiamy pomiar, spodziewając się na ogół innego rezultatu am, który zdarzysię z innym prawdopodobieństwem Pm. Następnie powtarzamy tę procedurę wielokrotnie,pytając o średnią wartość naszych rezultatów doświadczalnych. Wracamy teraz do pytaniajaka więc będzie wartość średnia wyników takiej serii pomiarów?

W obu przypadkach, rozumując na gruncie rachunku prawdopodobieństwa, stwierdza-my, że średnia wartość z wielu pomiarów powinna wynosić

〈A 〉 =∑k

akPk. (4.92)

Rozważmy tę wielkość, korzystając z wprowadzonych już faktów dotyczących pomiarówi ich prawdopodobieństw. Z postulatu (4.69) otrzymujemy

〈A 〉 =∑k

akPk =∑k

ak|〈uk |ψ 〉|2 =∑k

akC∗kCk, (4.93)

gdzie ostatni krok wynika z rozkładu (4.91). Wiemy, że funkcje un tworzą bazę orto-normalną, wobec tego korzystając z własności iloczynu skalarnego mamy

〈A 〉 =∑k

∑m

amC∗kCmδkm =

∑k

∑m

amC∗kCm〈uk |um 〉

=∑k

∑m

C∗kCm

∫Vd 3r u∗n(~r) am um(~r) (4.94)

Ponieważ amum = Aum, więc z liniowości wyrażeń wynika dalej

〈A 〉 =∑k

∑m

C∗kCm

∫Vd 3r u∗k(~r)

(A um(~r)

)

=∫

Vd 3r

(∑n

C∗nu∗n(~r)

)(A∑m

Cmum(~r))

(4.95)

57


Rozpoznajemy rozwinięcia (4.91) funkcji falowej i jej sprzężenia. Otrzymujemy więc

〈A 〉 =∫

Vd 3r ψ∗(~r)

(A ψ(~r)

)= 〈ψ | A |ψ 〉, (4.96)

gdzie posłużyliśmy się zapisem (4.30) dla elementu macierzowego operatora. Stwierdzamywięc, że mechanika kwantowa pozwala obliczyć poszukiwaną średnią za pomocą wzoru(przepisu matematycznego) (4.96).

Liczbę (mianowaną) 〈A 〉 = 〈ψ | A |ψ 〉 nazywamy wartością oczekiwaną wielkościfizycznej A (której odpowiada operator – obserwabla A) dla układu fizycznego, któregostan opisuje funkcja falowa ψ. Podkreślmy raz jeszcze, że obliczenia 〈A 〉 dotyczą• albo średniego wyniku pomiarów przeprowadzonych na dużej liczbie identycznie

przygotowanych (w stanie ψ) egzemplarzy danego układu fizycznego;• albo długiej serii pomiarów wykonywanych w jednym układzie, który po kolejnym

pomiarze jest ponownie przygotowany w stanie ψ.

Zauważmy, że wartość oczekiwana 〈A 〉 = 〈ψ | A |ψ 〉 jest zawsze rzeczywista, co wy-nika zarówno z powyższego wyprowadzenia, jak i z własności (4.47) operatorów hermi-towskich. Po drugie, widzimy, że ważną rolę odgrywa fakt unormowania funkcji falowych,której norma nie pojawia się w mianownikach. I wreszcie zauważmy, że zmiana global-nej fazy funkcji falowej (tj. zamiana ψ → eiφψ) w żaden sposób nie wpływa na wielkośćobliczanej wartości oczekiwanej.

Oczywiście pozostaje problem konstrukcji operatorów hermitowskich – obserwabli od-powiadających wielkościom fizycznym. Aby wykorzystać praktycznie formułę (4.96) trzebawiedzieć jak operator A działa na funkcję falową ψ(~r).

4.3.2 Dyspersje

Rozważymy sytuację, gdy faktyczny pomiar jest dokonywany na wielu identycznie przy-gotowanych egzemplarzach badanego układu. Każdy z pomiarów daje którąś z wartościwłasnych ak obserwabli A z prawdopodobieństwem Pk = |〈uk |ψ 〉|2. Wielokrotnie powta-rzane pomiary dostarczają więc informacji o rozkładzie Pk i tym samym o funkcji falowejψ układu. Rozkład prawdopodobieństwa można scharakteryzować za pomocą dyspersji(wariancji) zdefiniowanej jako

σ2(A) =⟨(A− 〈A 〉

)2⟩

=⟨(A2 − 2〈A 〉A+ 〈A 〉2

)⟩= 〈A2 〉 − 〈A 〉2 = 〈ψ | A2 |ψ 〉 − 〈ψ | A |ψ 〉2, (4.97)

przy czym 〈A 〉 ∈ R jest liczbą komutująca z dowolnym operatorem. Natomiast 〈A2 〉obliczamy korzystając z rozkładu (4.91) i otrzymujemy

〈A2 〉 = 〈ψ | A2 |ψ 〉 = 〈ψ |(A2∑k

uk〈uk |ψ 〉)⟩

=∑k

〈uk |ψ 〉〈ψ | A2uk 〉 =∑k

a2k |〈uk |ψ 〉|

2 =∑k

a2k |Ck|

2 , (4.98)

58


bowiem z zagadnienia własnego obserwabli A wynika, że A2 uk = a2k uk. Łącząc teraz

formuły (4.97), (4.98) i (4.93) dostajemy

σ2(A) =∑k

a2k |Ck|

2 −(∑

k

ak |Ck|2)2

. (4.99)

Dyspersja rozkładu wyników pomiarowych jest więc dość skomplikowanym wyrażeniem,które jest nieujemne, co wkrótce ściśle udowodnimy. Sukcesywne pomiary wielkości fi-zycznej A w układzie przygotowanym w stanie ψ pozwalają zbudować rozkład prawdo-podobieństwa Pk = |〈uk |ψ 〉|2, zaś jego dyspersja σ2(A) dostarcza dalszych informacjio funkcji falowej ψ.

Szczególna sytuacja ma miejsce wtedy, gdy stan ψ układu tuż przed pomiarem jeststanem własnym obserwabli A. Oznacza to, zgodnie z (4.91), że ψ = us, a zatem współ-czynniki rozkładu spełniają Cn = δns. Zachodzi wówczas następujące

Twierdzenie 4.3 Stan ψ układu jest stanem własnym obserwabli A wtedy i tylko wtedygdy dyspersja σ2(A) zeruje się. Formalnie piszemy

ψ = us ⇐⇒σ2(A) = 0

. (4.100)

Wartość oczekiwana obserwabli jest wtedy równa jednej z jej wartości własnych.

Dowód. Załóżmy najpierw, że ψ = us, czyli Cn = δns. Wówczas we wzorze (4.99) sumyzawierają efektywnie po jednym składniku

σ2(A) =∑k

a2k δks −

(∑k

ak δms

)2

= a2s −

(as)2

= 0, (4.101)

co kończy dowód pierwszej części twierdzenia.Przeprowadzimy dowód w przeciwną stronę. Rozważmy operator A = A−〈A 〉, gdzie

〈A 〉 jest wartością oczekiwaną wielkości A w dowolnym (unormowanym) stanie ψ. Obli-czamy normę wektora∥∥∥ Aψ ∥∥∥2

= 〈 Aψ | Aψ 〉 = 〈ψ | A2ψ 〉, (4.102)

bowiem operator A jest hermitowski (suma operatora hermitowskiego i liczby rzeczywi-stej). Idąc dalej, mamy∥∥∥ Aψ ∥∥∥2

= 〈ψ |(A− 〈A 〉

)(A− 〈A 〉

)|ψ 〉

= 〈ψ | A2 |ψ 〉 − 2〈A 〉〈ψ | A |ψ 〉 + 〈A 〉2〈ψ |ψ 〉= 〈ψ | A2 |ψ 〉 − 〈A 〉2〈ψ |ψ 〉 = σ2(A), (4.103)

co wynika z definicji średnich oraz z normowania stanu ψ. Teraz, z założenia σ2(A) = 0.Zatem

∥∥∥ Aψ ∥∥∥2= 0. Zerową normę ma tylko wektor zerowy, więc

Aψ = 0 =⇒ Aψ = 〈A 〉ψ. (4.104)

59


Ostatnia równość oznacza, że funkcja ψ jest funkcją własną obserwabli A z wartościąwłasną 〈A 〉. Twierdzenie jest udowodnione.

W dowodzie poprzedniego twierdzenia "ukryty" jest dowód następnego.

Twierdzenie 4.4 Dyspersja dowolnej wielkości fizycznej mierzona w dowolnym stanieukładu fizycznego jest zawsze nieujemna.

σ2(A) 0, dla każdej obserwabli A. (4.105)

Dowód. We wzorze (4.103) pokazaliśmy, że σ2(A) = ‖Aψ‖2. Norma dowolnego wektorajest nieujemna, co kończy dowód.

Jeśli funkcja falowa układu jest superpozycją stanów własnych obserwabli odpowiada-jących różnym wartościom własnym (czyli nie spełnia założenia twierdzenia (4.100)), towówczas dyspersja σ2(A) > 0. Mówimy wtedy, że wielkość fizyczna, której odpowiada ob-serwabla A nie ma dobrze określonej wartości, bowiem możliwe są różne wyniki pomiarów(z różnymi prawdopodobieństwami).

4.4 Konstrukcja operatorów – obserwabli

4.4.1 Operatory położenia i pędu

Prowadzenie konkretnych obliczeń wymaga przepisu określającego sposób konstrukcji ope-ratorów, a co za tym idzie, sposób ich działania na funkcje falowe. Przepisy takie możnawprowadzać w bardzo ogólny i dość abstrakcyjny sposób. Przykłady takiego postępowa-nia omówimy w dalszych rozdziałach. Na obecnym etapie budowy formalizmu mechanikikwantowej przyjmiemy dwa poniższe przyporządkowania jako postulaty.

1. Operator położenia cząstki oznaczymy przez R. Jest to operator złożony z trzechskładowych (tzw. operator wektorowy) R = (X1, X2, X3), których działanie na funk-cję falową sprowadza się do jej pomnożenia przez odpowiednią współrzędną

Xj : ψ(~r) - Xjψ(~r) = xj ψ(~r), j = 1, 2, 3. (4.106)

Współrzędne są rzeczywiste, więc tak zdefiniowany operator jest hermitowski. Po-nieważ działanie operatora R sprowadza się do mnożenia funkcji falowej przez od-powiednie współrzędne, więc często przyjmujemy, że

R = ~r, (4.107)

czyli po prostu utożsamiamy operator z samym wektorem wodzącym.

2. Operatorem pędu jest operator P = −i~∇. Ma on trzy składowe, z których każdadziała na funkcję falową

Pj : ψ(~r) - Pjψ(~r) = − i~ ∂

∂xjψ(~r). (4.108)

60


Zgodnie z twierdzeniem (4.45) jest to operator hermitowski. Zwróćmy uwagę, żew tej chwili formalizujemy intuicyjne przypuszczenie (2.16b).

Należy podkreślić, że mówimy tu o operatorach położenia i pędu, a nie o położeniu i pę-dzie cząstki. Mechanika kwantowa nie może nam powiedzieć, jakie jest położenie czy pędcząstki. Jedyne co możemy orzec (na mocy relacji (4.96)) to to, że dla cząstki znajdują-cej się w stanie opisywanym funkcją falową ψ(~r, t) wartości oczekiwane położenia i pęduwynoszą odpowiednio

〈~r 〉 = 〈ψ | R |ψ 〉 =∫

Vd 3r ψ∗(~r, t) ~r ψ(~r, t), (4.109a)

〈 ~p 〉 = 〈ψ | P |ψ 〉 =∫

Vd 3r ψ∗(~r, t)

[−i~∇ ψ(~r, t)

]. (4.109b)

Jedną z zasadniczych cech mechaniki kwantowej, całkowicie odmienną od fizyki kla-sycznej jest to, że obserwable–operatory nie są przemienne – nie komutują. W oparciu otwierdzenie (4.23) i definicje (4.106), (4.108), możemy napisać kanoniczną relację komu-tacyjną dla operatorów położenia i pędów[

Xj, Pk]

= i~δjk. (4.110)

W dalszych rozdziałach rozwiniemy formalizm mechaniki kwantowej, w ramach któregopokażemy, że przedstawione tu rozumowanie można odwrócić. Chodzi o to, że jako po-stulat można przyjąć relację komutacyjną (4.110), a z niej wyprowadzić definicje (4.106)i (4.108), co odbierze im status postulatów.

Umowa terminologiczna

Pisząc funkcję falową w postaci ψ = ψ(~r, t) usiłowaliśmy powstrzymać się od nazywaniajej argumentu ~r położeniem cząstki. Przypominamy więc, że sens fizyczny mają jedynie:

• |ψ(~r, t)|2 – gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w sąsiedztwie punktu~r ∈ V (por. (2.23) i jego dyskusja);• 〈~r 〉 – wartość oczekiwana (4.109a) określająca średnią wartość zmierzonego poło-

żenia cząstki (pomiar wielokrotny).

Aby uniknąć dziwolągów słownikowych czy gramatycznych, od tej pory będziemy mówićo wektorze ~r – argumencie funkcji falowej jako o wektorze położenia. Jest to jednakumowa terminologiczna nie niosąca sensu fizycznego. Pamiętamy, że wektor ~r NIE jestpołożeniem cząstki, w tym sensie co w mechanice klasycznej.

4.4.2 Zasada odpowiedniości

W mechanice klasycznej stan układu fizycznego jest określony przez podanie współrzęd-nych i pędów uogólnionych (zmiennych kanonicznych) qi(t), pi(t) w funkcji czasu. Wiel-kości te ewoluują w czasie zgodnie z hamiltonowskimi równaniami ruchu. Wielkości fizycz-ne charakteryzujące układ (np. energia, pęd kinetyczny, moment pędu, itp.) są zbudowane

61


jako pewne funkcje zmiennych kanonicznych. Na gruncie klasycznym potrafimy (dla jed-nej cząstki) zbudować funkcję Akl = Akl(~rkl, ~pkl, t) (gdzie indeks"kl" oznacza klasyczny),która odpowiada jakiejś wielkości fizycznej. Ponieważ wiemy jak tworzyć funkcje opera-torów (por. (4.42)), więc nasuwa się myśl, aby w klasycznej funkcji Akl zamienić ~rkl → Roraz ~pkl → P, co pozwoliłoby dostać pewien operator. Natrafiamy jednak od razu na dwietrudności.

• Funkcję Akl budujemy na ogół za pomocą zmiennych kanonicznych (współrzęd-nych uogólnionych, np. sferycznych). Postać takich funkcji może zależeć od wyboruukładu współrzędnych. Nie wiemy więc, jaki układ współrzędnych jest właściwy doprzeprowadzenia zamiany wielkości klasycznych na operatory.• Operatory nie komutują. Wiemy, że R · P 6= P · R. Istotnie, dla operatorów mamy

R · P − P · R = XkPk − PkXk = i~δkk = 3i~. (4.111)

Wynika to z relacji komutacyjnej (4.110) i z faktu, że δkk = 3, co jest konsekwen-cją umowy sumacyjnej. Co gorsza, iloczyn operatorów R · P nie jest hermitowski,bowiem(

R · P)†

=(XPx + Y Py + ZPz

)†= PxX + PyY + PzZ = P · R 6= R · P. (4.112)

Iloczyn taki nie jest więc obserwablą – nie może odpowiadać wielkości fizycznej,choć klasyczny iloczyn skalarny ~rkl · ~pkl = ~pkl ·~rkl nie sprawia żadnych trudności.

Można uniknąć tych trudności przez przyjęcie następujących założeń.

1. Klasyczną wielkość Akl budujemy we współrzędnych kartezjańskich i wtedy sto-sujemy podstawienia (4.106) i (4.108) tworząc w ten sposób operator kwantowo-mechaniczny.

2. W razie potrzeby stosujemy procedurę symetryzacyjną. Aby wyjaśnić, na czym topolega, zilustrujemy ją przykładem

~rkl · ~pkl -12

(R · P + P · R

). (4.113)

Wobec relacji (4.112) operator po prawej jest ewidentnie hermitowski, może więcbyć obserwablą – odpowiadać wielkości fizycznej.

W świetle tych uwag, formułujemy zasadę odpowiedniości, zwaną też czasami zasadąkwantowania.

Kwantowo-mechaniczną obserwablę (operator hermitowski) A tworzymy z klasycznejwielkości fizycznej Akl(~rkl, ~pkl, t) wyrażonej we współrzędnych kartezjańskich przez pod-stawienia

~rkl - R = ~r, ~pkl - P = −i~∇, (4.114)

62


przy (o ile taka potrzeba zachodzi) zastosowaniu odpowiedniej procedury symetryzacji.Zasadę tą bez trudu stosujemy dla jednej cząstki i łatwo uogólniamy dla N cząstek,gdy operatory będą mieć dodatkowo numer określający, do której cząstki się odnoszą.Po zbudowaniu obserwabli możemy, znów w razie potrzeby, przejść do innego układuwspółrzędnych.

W zasadzie można formułować zasadę odpowiedniości w sposób bardziej ogólny –niezależny od układu współrzędnych. Podejście takie jest jednak znacznie bardziej skom-plikowane (odpowiednie relacje nie byłyby takie proste jak (4.114)). Zyskując na elegancjimatematycznej niewiele byśmy zyskali na fizycznym zrozumieniu teorii.

Na zakończenie podkreślamy, że

• istnieją wielkości fizyczne (np. spin cząstek elementarnych), które nie mają odpo-wiednika w fizyce klasycznej. Wówczas konstrukcja odpowiedniego operatora – ob-serwabli musi być przeprowadzona innymi metodami.• czas t nie jest obserwablą. Jest to parametr zewnętrzny mierzony za pomocą zegara

zewnętrznego w stosunku do jakiekolwiek układu kwantowo-mechanicznego.

4.4.3 Hamiltonian cząstki

Hamiltonian układu fizycznego pełni w mechanice klasycznej zasadniczą rolę i odpowiadaenergii układu. Skupiając na razie uwagę na pojedynczej cząstce o masie m, wypisujemyjej klasyczny hamiltonian

Hkl =~p2kl

2m+ V (~rkl, t), (4.115)

gdzie V (~rkl, t) jest energią potencjalną wynikającą z oddziaływania cząstki z otoczeniem.Energia potencjalna jest funkcją położenia cząstki, więc jej kwantowo-mechaniczny odpo-wiednik będzie tą samą funkcją operatora R, której działanie na funkcję falową sprowadzasię do pomnożenia ψ(~r, t) przez V (~r, t).

Przechodząc do mechaniki kwantowej, stwierdzamy, że wielkości fizycznej jaką jestenergia odpowiadać będzie operator Hamiltona, który dla jednej cząstki ma postać

H =P2

2m+ V (R, t) = − ~2

2m∇2 + V (~r, t). (4.116)

Wynik ten, uzyskany w oparciu o zasadę odpowiedniości oczywiście w pełni pokrywasię z postulowaną relacją (2.6), którą później uzasadniliśmy (patrz (2.9)–(2.19)). Wspo-minaliśmy już także, że powyższe równanie Schrödingera jest przypadkiem szczególnymrównania

i~∂

∂tψ(~r, t) = H ψ(~r, t), (4.117)

gdzie H jest operatorem energii (hamiltonianem) dowolnego układu fizycznego, którytrzeba skonstruować za pomocą zasady odpowiedniości. Podkreślamy raz jeszcze, że relacja(4.117) jest postulatem mechaniki kwantowej, zaś (4.116) to jego szczególne zastosowanie.

63


4.5 Nawiasy Poissona i relacje komutacyjne.Metoda kwantowania

Omawialiśmy formalizm mechaniki kwantowej stosując pojęcia intuicyjne. Nie było na-szym celem ani przedstawienie formalnego opisu pełnej struktury matematycznej mecha-niki kwantowej, ani też utrzymanie matematycznej ścisłości. W tym podrozdziale skróto-wo omówimy jeden ze sposobów formalnego przejścia od fizyki klasycznej do kwantowej.W tym celu przypomnijmy znane z mechaniki klasycznej pojęcie nawiasów Poissona. Roz-ważmy układ fizyczny o n stopniach swobody opisany współrzędnymi i pędami kanonicz-nymi (qi, pi). Wielkości fizyczne A i B przedstawione są za pomocą funkcji Akl(qi, pi)oraz Bkl(qi, pi). Tworzymy dla nich nawiasy Poissona zdefiniowane następująco

Akl, BklP =n∑j=1

(∂ Akl∂qj

∂ Bkl

∂pj− ∂ Bkl

∂qj

∂ Akl∂pj

)(4.118)

Przechodząc na grunt mechaniki kwantowej wiemy, że wielkościom fizycznym A i B musi-my przyporządkować odpowiednie obserwable (operatory hermitowskie) A oraz B. Regułaich konstrukcji jest następująca. Klasyczne nawiasy Poissona muszą przechodzić w komu-tator operatorów

Akl, BklP -kwantowanie

1i~[A, B

]. (4.119)

Tak narzucony warunek kwantowania wystarczy do skonstruowania mechaniki kwantowejw odpowiednio dobranej przestrzeni funkcji falowych. Zastępuje on zasadę odpowiedniości,bowiem narzucenie relacji komutacyjnych pozwala wyznaczyć postać operatorów.

Aby lepiej zilustrować tę procedurę, rozważmy pojedynczą cząstkę opisaną klasycznietrzema składowymi położenia ~r = (x1, x2, x3) i trzema składowymi pędu ~p = (p1, p2, p3).Bez trudu obliczamy nawiasy Poissona

xk, xmP =3∑j=1

(∂ xk∂xj

∂ xm∂pj

− ∂ xm∂xj

∂ xk∂pj

)= 0, (4.120a)

pk, pmP =3∑j=1

(∂ pk∂xj

∂ pm∂pj

− ∂ pm∂xj

∂ pk∂pj

)= 0, (4.120b)

xk, pmP =3∑j=1

(∂ xk∂xj

∂ pm∂pj

− ∂ pm∂xj

∂ xk∂pj

)= δkm. (4.120c)

W myśl reguły (4.119) klasyczne nawiasy Poissona przechodzą w związki komutacyjne dlaoperatorów położenia i pędu[

Xk, Xm

]= 0,

[Pk, Pm

]= 0,

[Xk, Pm

]= i~δkm. (4.121)

Ostatnia z nich jest identyczna z relacją (4.110), która wynikła z konkretnej postaci ope-ratorów Xk oraz Pm i ma charakter ogólniejszy, bo nie zależy od postaci występujących

64


w niej operatorów – jest narzucona z góry. Można więc przeprowadzić konstrukcję opera-torów w następujący sposób:• wybrać (ustalić) relacje komutacyjne;• dobrać odpowiednią przestrzeń Hilberta (przestrzeń stanów – funkcji falowych);• znaleźć konkretną postać operatorów.

Warto zwrócić uwagę, że rezultaty ostatniego kroku (tj. postać operatorów) zależą oddoboru przestrzeni Hilberta. W dalszych rozdziałach podamy przykłady takiej właśnieprocedury. W szczególności, trzecia relacja (4.121) zastosowana do operatorów położeniai pędu w odpowiednio dobranej przestrzeni funkcji falowych doprowadzi nas do uprzedniopostulowanych odpowiedniości (4.106) i (4.108). Omówimy i inne przykłady, w którychrelacje komutacyjne posłużą jako punkt wyjścia do konstrukcji operatorów – obserwabli.

Metoda konstrukcji formalizmu mechaniki kwantowej polegająca na zastąpieniu kla-sycznych nawiasów Poissona przez komutatory kwantowo-mechanicznych operatorów jestjednak żmudna. Rozpoczynając studia nad mechaniką kwantową powinno się wiedziećo istnieniu tej metody i o szczególnej roli, jaką w niej odgrywają komutatory. W dalszymciągu wykładu najczęściej jednak będziemy wybierać bardziej intuicyjne, choć z pewnościąmniej ścisłe podejście.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

65

S.Kryszewski 5. Równanie Schrödingera 66

Rozdział 5

Równanie Schrödingera

W poprzednich rozdziałach postulowaliśmy równanie Schrödingera, które określa ewolucję(dynamikę) funkcji falowej [dla jednej cząstki równanie (2.6) i ogólniejsze (2.22)]. Po wpro-wadzeniu zasadniczych koncepcji mechaniki kwantowej dysponujemy narzędziami umoż-liwiającymi dyskusję różnorodnych, a bardzo ważnych, wniosków płynących z równaniaSchrödingera, które tutaj zapiszemy w postaci

i~∂

∂tψ(~r, t) = H ψ(~r, t). (5.1)

gdzie H jest hamiltonianem – hermitowskim operatorem odpowiadającym energii układufizycznego. Będziemy starać się prowadzić dość ogólne rozważania, więc nie precyzujemyjaka jest konkretna postać operatora H. Posługiwać się będziemy tutaj tylko jednymwektorem ~r – argumentem funkcji falowej. Intuicyjnie więc mamy przed oczami układfizyczny złożony po prostu z jednej cząstki. Możemy jednak uważać, że ~r symbolizujezbiór argumentów, a d~r oznacza odpowiedni element wielowymiarowej (dla wielu cząstek)objętości. Dlatego też rozważania nasze można łatwo uogólnić, wobec czego twierdzimy,że odnoszą się one do ogólnego (choć na razie bliżej nieokreślonego) układu fizycznego.

5.1 Zachowanie normy wektora stanu – funkcji falowej

Dyskutując probabilistyczną interpretację funkcji falowej wprowadziliśmy pojęcia gęstościprawdopodobieństwa ρ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 i prądu (2.40). Za pomocą równania Schrödin-gera dla jednej cząstki wyprowadziliśmy równanie ciągłości prądu prawdopodobieństwa(2.41), a także wykazaliśmy, że norma funkcji falowej jest stała w czasie (patrz (2.45).Udowodnimy teraz fakt ogólniejszy. Równanie Schrödingera z dowolnym (a nie tylko jed-nocząstkowym (2.6) lub (2.20) hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej, to jest,że ‖ψ(~r, t)‖2 = const. Innymi słowy norma nie zależy od czasu. Dowolna funkcja falowa(stan układu fizycznego) raz unormowana do jedności (na przykład w chwili początkowej),pozostaje unormowana w dowolnej innej chwili czasu. Pokażemy, że jest to konsekwencjąhermitowskości hamiltonianu. Aby wykazać to stwierdzenie, rozważymy sprzężone równa-

66


nie Schrödingera, tj. równanie hermitowsko sprzężone do (5.1):

− i~ ∂

∂tψ∗(~r, t) = H† ψ∗(~r, t) = H ψ∗(~r, t) (5.2)

bo H = H†. Nie ma znaczenia, czy H jest jawnie zależny od czasu, czy też nie. Korzystającz reguł różniczkowania badamy teraz pochodną kwadratu normy. Z powyższych równańotrzymujemy

∂

∂t‖ψ(~r, t)‖2 =

∫d~r

(∂ψ∗

∂tψ + ψ∗

∂ψ

∂t

)=

i

~

∫d~r

[(Hψ∗

)ψ − ψ∗

(Hψ

)]=

i

~[〈 Hψ |ψ 〉 − 〈ψ | Hψ 〉

]=

i

~[〈ψ | H†ψ 〉 − 〈ψ | Hψ 〉

],

(5.3)

gdzie przedostatni krok wynika z definicji iloczynu skalarnego, zaś ostatni z reguł sprzę-gania hermitowskiego. Hermitowskość hamiltonianu prowadzi do wniosku, że

∂

∂t‖ψ(~r, t)‖2 = 0. (5.4)

A zatem ‖ψ(~r, t)‖2 = const. = ‖ψ(~r, t0)‖2 czyli unormowana funkcja falowa ewoluującazgodnie z równaniem Schrödingera pozostaje zawsze unormowana. Dzięki temu możemyłatwo utrzymać probabilistyczną interpretację funkcji falowej. Stwierdzenie to odzwiercie-dla fakt, że cząstki nie giną, więc prawdopodobieństwo ich znalezienia w całej dostępnejprzestrzeni jest zawsze równe 1, co wydaje się być intuicyjnie oczywiste.

Z faktu zachowania normy funkcji falowej nie wynika, że lokalna gęstość prawdo-podobieństwa ρ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 jest też stała (pamiętajmy, że ~r symbolizuje, o ile topotrzebne, zbiór zmiennych dla wielu (kilku) cząstek). Wręcz odwrotnie, spodziewamysię, że skoro cząstka może się poruszać, to prawdopodobieństwo znalezienia jej w różnychczęściach dostępnego obszaru będzie się w czasie zmieniać. Innymi słowy, prawdopodo-bieństwo "’przelewa"’ się z jednego podobszaru do drugiego. W przypadku jednej cząstkiilustruje to prawo zachowania prądu prawdopodobieństwa (2.41) lub (2.42). Uogólnieniatego prawa na przypadek wielu cząstek nie będziemy badać. Poprzestaniemy na wynikachdla jednej cząstki, a zatem nie ma potrzeby powtarzać rozważań z rozdziału 2.

5.2 Równanie Schrödingeradla układu konserwatywnego

Układ fizyczny nazywamy konserwatywnym (lub zachowawczym) jeśli jego hamiltoniannie zależy od czasu. W takim wypadku, za pomocą zasady odpowiedniości można dośćłatwo skonstruować hamiltonian. Jeśli tylko znamy hamiltonian klasycznyHkl jako funkcjękanonicznych położeń i pędów, to hamiltonian kwantowo-mechaniczny będzie postaci

H = Hkl(R, P) = Hkl(~r,−i~∇), (5.5)

67


czyli będzie tą samą funkcją operatorów położenia i pędu. Oczywiście, w myśl naszej umo-wy, operatory R oraz P mogą oznaczać odpowiednie rodziny, na przykład numerowaneindeksami odpowiadającymi cząstkom tworzącym badany układ fizyczny.

Jak wiemy z dyskusji w rozdziale 3 (patrz (3.7) funkcja falowa (dla hamiltonianuniezależnego od czasu) wyraża się jako iloczyn

ψ(~r, t) = e−iE(t−t0)/~ ϕ(~r), (5.6)

w którym zmienne przestrzenne i czas są rozseparowane, zaś E oznacza energię układu.Funkcja ϕ(~r) jest niezależna od czasu, spełnia równanie

H ϕ(~r) = E ϕ(~r), (5.7)

i musi być unormowana ‖ϕ‖ = 1. Równanie powyższe jest zagadnieniem własnym dlaoperatora Hamiltona H = H(~r,−i~∇) i stanowi stacjonarne równanie Schrödingera.Funkcję falową (stan kwantowo-mechaniczny) ψ(~r, t) określony równaniem (5.6) nazwiemystanem stacjonarnym.

Konkretna postać równania (5.7) oczywiście zależy od postaci hamiltonianu, a więc odtego z jakim układem fizycznym mamy do czynienia. W dalszym ciągu wykładu rozważy-my przykłady układów konserwatywnych, dla których będziemy rozwiązywać stacjonarnerównanie Schrödingera, tj. zagadnienie własne dla odpowiedniego hamiltonianu. Tutaj zaśprzedstawimy pewne ogólne własności tego równania.

Twierdzenie 5.1 Jeśli stan układu zachowawczego jest stanem stacjonarnym, to wartośćoczekiwana energii jest stała w czasie. To znaczy

〈ψ | H |ψ 〉 = const., dla stanu stacjonarnego ψ(~r, t). (5.8)

Dowód. Ponieważ układ jest z założenia konserwatywny, więc hamiltonian nie zależy odczasu. Na mocy (5.6) mamy więc

〈ψ | H |ψ 〉 =∫d~r ψ∗(~r, t) H ψ(~r, t) =

∫d~r eiE(t−t0)/~ ϕ∗(~r) H e−iE(t−t0)/~ ϕ(~r)

=∫d~r ϕ∗(~r) H ϕ(~r), (5.9)

bowiem człony wykładnicze, jako liczby zespolone komutujące z operatorami i funkcjami,znoszą się. Widzimy, że wartość oczekiwana energii nie zależy od czasu, czyli jest stała.

5.2.1 Ewolucja w czasie

Rozważymy tu dokładnie problem sygnalizowany już w rozdziale 3. Posługując się in-tuicyjnym rozumowaniem i zasadą superpozycji twierdziliśmy, że funkcja falowa (3.10)przedstawia ogólną postać funkcji falowej dla układów konserwatywnych. Tutaj uzasadni-my i ściśle wyprowadzimy omawianą funkcję falową, a także omówimy pewne jej własności.

68


Założenia w punkcie wyjścia naszych rozważań są następujące.

• Badamy równanie Schrödingera (5.1) z czasem.

• Znana jest początkowa funkcja falowa ψ(~r, t0) ≡ ψ0(~r), która jest unormowana dojedności.

• Znane są rozwiązania zagadnienia własnego dla hamiltonianu

H unα(~r) = En unα(~r), (5.10)

gdzie dodatkowy indeks α uwzględniamożliwość degeneracji.

• Hamiltonian H jest obserwablą, więc jego funkcje własne spełniają relacje ortonor-malności i zupełności

〈unα |umβ 〉 = δnm δαβ,∑n

∑α

u∗nα(~r) unα(~r ′) = δ(~r−~r ′). (5.11)

i tworzą niezależną od czasu bazę w przestrzeni funkcji falowych badanego układu.

Dowolną funkcję falową, a więc także rozwiązanie równania Schrödingera ψ(~r, t) możnarozłożyć w bazie. Poszukiwane rozwiązanie możemy więc zapisać tak

ψ(~r, t) =∑n,α

cnα(t) unα(~r), (5.12)

gdzie cała informacja o zależności od czasu jest zawarta we współczynnikach cnα(t). Kon-strukcja powyższej funkcji falowej sprowadza się więc do znalezienia tych współczynników.Aby je obliczyć podstawiamy rozkład (5.12) do równania Schrödingera (5.1)). Korzystającz liniowości hamiltonianu H otrzymujemy

i~∑n,α

d cnα(t)dt

unα(~r) =∑n,α

cnα(t) H unα(~r) =∑n,α

En cnα(t) unα(~r), (5.13)

Mnożymy teraz obustronnie przez u∗mβ(~r), całkujemy po d~r, czyli tworzymy iloczyny ska-larne. Zatem mamy

i~∑n,α

d cnα(t)dt

〈umβ |unα 〉 =∑n,α

En cnα(t) 〈umβ |unα 〉. (5.14)

Na mocy relacji ortonormalności (5.11) iloczyny skalarne produkują delty Kroneckerai sumy redukują się do pojedynczych składników. W ten sposób otrzymujemy

d cmβ(t)dt

= − iEn~

cmβ(t). (5.15)

Zwróćmy uwagę, że równanie to moglibyśmy otrzymać od razu z (5.13) odwołując się dojednoznaczności przedstawienia wektorów (funkcji) w bazie. Całkowanie równania (5.15)jest proste (zmienne się rozdzielają). Wynik jest następujący

cmβ(t) = cmβ(t0) e−iEn(t−t0)/~. (5.16)

69


Współczynniki cmβ(t0) oczywiście zależą od warunku początkowego i zaraz je wyznaczymy.Uzyskany wynik podstawiamy do postulowanego rozwiązania (5.12) i mamy

ψ(~r, t) =∑n,α

cnα(t0) e−iEn(t−t0)/~ unα(~r). (5.17)

Powyższy rozkład jest analogiczny do uzyskanego uprzednio (3.10) i stanowi jego uzasad-nienie. Dla chwili początkowej, z (5.17) wynika, że

ψ0(~r) = ψ(~r, t0) =∑n,α

cnα(t0) unα(~r). (5.18)

Ponownie mnożymy obustronnie z lewej przez u∗mβ(~r) i całkując po d~r dostajemy iloczynyskalarne

〈umβ |ψ0 〉 =∑n,α

cnα(t0) 〈umβ |unα 〉. = cmβ(t0), (5.19)

gdzie ostatni krok wynika z relacji ortonormalności (5.11). Podstawiając do (5.18), uzy-skujemy

ψ(~r, t) =∑n,α

〈unα |ψ0 〉 e−iEn(t−t0)/~ unα(~r), (5.20)

Jest to właśnie poszukiwane rozwiązanie równania Schrödingera dla układu zachowaw-czego.

Wyniki te pozwalają nakreślić ogólną procedurę rozwiązywania równania Schrödingeradla układów zachowawczych (z hamiltonianem niezależnym jawnie od czasu).

1. Najpierw musimy rozwiązać równanie stacjonarne (5.10), czyli znaleźć energie wła-sne i odpowiednie funkcje własne hamiltonianu tworzące bazę w przestrzeni funkcjifalowych układu.

2. Trzeba znaleźć współczynniki cnα(t0) według wzoru (5.19).

3. Ostatni krok to konstrukcja rozwiązania w oparciu o formułę (5.20).

Oczywiście najistotniejszy (i technicznie najtrudniejszy) jest krok pierwszy. Dlatego teżstacjonarnemu równaniu Schrödingera poświęcimy najwięcej uwagi. Można bowiem po-wiedzieć, że rozwiązania stacjonarne (energie i funkcje własne hamiltonianu) stanowiąo strukturze układu fizycznego. Znajomość tych rozwiązań pozwala stosunkowo prostowykonać pozostałe kroki.

5.2.2 Normowanie funkcji falowej (5.20)

Udowodniliśmy już, że równanie Schrödingera zachowuje normę funkcji falowej i to nieza-leżnie od tego czy hamiltonian jest, czy też nie jest funkcją czasu. Mimo to, zrobimy pro-ste ćwiczenie rachunkowe, w którym wykażemy, że funkcja falowa (5.20) jest rzeczywiście

70


unormowana. W wyrażeniu tym, czynniki 〈unα |ψ0 〉 oraz exp[−iEn(t− t0)/~] to zwykłeliczby zespolone. Dlatego obliczenie iloczynu skalarnego nie jest trudne

‖ψ‖2 = 〈ψ(~r, t) |ψ(~r, t) 〉=∑n,α

∑m,β

〈unα |ψ0 〉∗ 〈umβ |ψ0 〉 ei(En−Em)(t−t0)/~ 〈unα |umβ 〉, (5.21)

gdzie liczby można "wyjąć" z iloczynu skalarnego (pamiętając o antyliniowości w pierw-szym składniku). Z ortonormalności (5.11) wynika, że suma staje się pojedyncza

‖ψ‖2 =∑n,α

〈unα |ψ0 〉∗ 〈unα |ψ0 〉 =∑n,α

〈ψ0 |unα 〉〈unα |ψ0 〉. (5.22)

Przedstawimy teraz rozumowanie, z którego będziemy wielokrotnie korzystać. Dlategoteż przeprowadzimy je starannie, aby móc się do niego odwoływać. W powyższej relacjirozpiszemy jawnie iloczyny skalarne

‖ψ‖2 =∑n,α

∫Vd~r ψ∗0(~r) unα(~r)

∫Vd~r ′ u∗nα(~r ′) ψ0(~r ′)

=∫

Vd~r∫

Vd~r ′ ψ∗0(~r)

[∑n,α

u∗nα(~r ′) unα(~r)]ψ0(~r ′), (5.23)

bowiem mnożenie funkcji falowych jest przemienne. Na mocy relacji zupełności (5.11)eliminujemy sumę w nawiasie

‖ψ‖2 =∫

Vd~r

∫Vd~r ′ ψ∗0(~r) δ(~r ′ −~r) ψ0(~r ′)

=∫

Vd~r ψ∗0(~r) ψ0(~r) = 〈ψ0 |ψ0 〉 = ‖ψ0‖2 = 1, (5.24)

ponieważ początkowa funkcja falowa jest z założenia unormowana.Uwaga : W nieco mnemotechniczny sposób dokonajmy skrótu myślowego pomiędzy re-

lacjami (5.22) a (5.24). Prowadzi to do równości

∑n,α

〈ψ0 |unα 〉〈unα |ψ0 〉 = 〈ψ0 |ψ0 〉. (5.25)

Możemy więc powiedzieć, że zachodzi formalna relacja

∑n,α

|unα 〉〈unα | = 1. (5.26)

Rzeczywiście tak jest, choć uzasadnienie tego faktu wymaga wprowadzenia tzw.notacji Diraca, czym zajmiemy się w dalszych rozdziałach. Dlatego też "mne-motechniczną" regułę (5.26) warto zapamiętać.

5.2.3 Stan początkowy – stan własny hamiltonianu

Załóżmy, że stan początkowy jest stanem własnym hamiltonianu odpowiadającym ener-gii Em. Jeśli energia ta jest gm-krotnie zdegenerowana, to ψ0(~r) jest superpozycją (kom-

71


binacją liniową)

ψ0(~r) =∑β

bβ umβ(~r), (5.27)

(por. relacja (4.55) i następne). Zgodnie z omówioną procedurą potrzebujemy iloczynówskalarnych 〈unα |ψ0 〉. Na podstawie (5.27), z liniowości iloczynu skalarnego w drugimskładniku i ortonormalność stanów własnych hamiltonianu, mamy

〈unα |ψ0 〉 =∑β

bβ 〈unα |umβ 〉 =∑β

bβ δnmδαβ =∑β

bβ δnmδαβ = bα δnm. (5.28)

Tak obliczone współczynniki podstawiamy do rozwiązania ogólnego (5.20) otrzymując

ψ(~r, t) =∑n,α

bα δnm e−iEn(t−t0)/~ unα(~r)

=∑α

bα e−iEm(t−t0)/~ umα(~r) = e−iEm(t−t0)/~

∑α

bα umα(~r)

= e−iEm(t−t0)/~ ψ0(~r). (5.29)

Stan aktualny (w chwili t > t0) i stan początkowy różnią się globalnym (niezależnymod ~r) czynnikiem fazowym. Jak wiemy, różnica ta nie ma znaczenia fizycznego. Oba stanyniosą dokładnie tą samą informację fizyczną. Oczywiście ψ(~r, t) pozostaje stanem wła-snym hamiltonianu przy niezmienionej energii, zaś relacja (5.29) jest przykładem stanustacjonarnego (5.7).

Ze szczególnego (stacjonarnego) rozwiązania (5.29) (ψ0 – stan własny hamiltonianu),wynika także, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w otoczeniu punktu~r jest niezależna od czasu. Istotnie, z (5.29) mamy od razu

ρ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 = |ψ0(~r)|2 , (5.30)

bo czynnik wykładniczy ma moduł równy jedności. W ogólnym wypadku, gdy do rozwią-zania (5.20) wchodzą stany (funkcje) odpowiadające różnym energiom, będziemy mieli doczynienia ze złożonymi efektami interferencyjnymi (por. relację (2.33) i jej omówienie),które będą zależeć od czasu.

Na zakończenie, zbadajmy wartość oczekiwaną obserwabli A = A(~r, ~p), skonstruowa-nej zgodnie z zasadą odpowiedniości i niezależnej jawnie od czasu, obliczanej dla układufizycznego znajdującego się w stanie stacjonarnym (5.29). Wprost z definicji mamy

〈A 〉 = 〈ψ | A |ψ 〉 =∫

Vd 3r ψ∗(~r, t) A ψ(~r, t)

=∫

Vd 3r ψ∗0(~r) A ψ0(~r) = 〈ψ0 | A |ψ0 〉 = 〈A 〉0, (5.31)

bowiem czynnik wykładniczy się skraca (faza globalna jest bez znaczenia fizycznego).Wnioskujemy więc, że dla układu w stanie własnym hamiltonianu wartości oczekiwaneniezależnych od czasu obserwabli są także od czasu niezależne.

72


5.2.4 Uwagi o zachowaniu energii

Z powyższych rozważań wynika, że stan własny hamiltonianu (dla układu konserwatyw-nego) w wyniku ewolucji czasowej pozostaje stanem własnym odpowiadającym tej samejenergii. Możemy więc powiedzieć, że energia jest zachowana. Jest to więc wniosek w pełnizgodny z ogólniejszą relacją (5.9), słuszną dla dowolnego stanu.

Inne spojrzenie na uzyskane rezultaty jest następujące. W chwili początkowej t0 mie-rzymy energię układu. Otrzymujemy jedną z wartości własnych hamiltonianu, np. En.Po pomiarze, stan układ (funkcja falowa) redukuje się do odpowiedniego stanu własnego(o postaci typu (5.27)). Jest to stan stacjonarny, którego ewolucja w czasie polega napojawieniu się fizycznie nieistotnego czynnika fazowego. Ponowny pomiar energii da tensam wynik, czyli energia układu jest stała.

Oczywiście w obecności oddziaływań zewnętrznych lub dla hamiltonianu zależnego odczasu sytuacja się komplikuje. Do dyskusji takich zagadnień wrócimy w dalszych częściachwykładu.

5.3 Ewolucja wartości oczekiwanej obserwabli

5.3.1 〈A〉t – liczbowa funkcja czasu

W mechanice klasycznej wielkości charakteryzujące układ fizyczny są funkcjami współ-rzędnych uogólnionych i ewentualnie czasu. Piszemy wtedy Akl = Akl(~rkl, ~pkl, t) Współ-rzędne ~rkl i ~pkl są funkcjami czasu, ich ewolucją rządzą hamiltonowskie równania ruchu.A więc klasyczna wielkość Akl(~r, ~p, t) zależy od czasu w sposób niejawny (uwikłany) po-przez ~r i ~p, a także jawnie, na co wskazuje jej trzeci argument.

Przechodzimy teraz do mechaniki kwantowej i według zasady odpowiedniości tworzy-my operator hermitowski – obserwablę

Akl(~r, ~p, t) - A(~r,−i~∇, t), (5.32)

przy czym operatory położenia i pedu (por. (4.106) oraz (4.108) od czasu nie zależą.Niech teraz stan układu będzie dany funkcją falową ψ(~r, t). Wartość oczekiwana ob-

serwabli A to

〈A 〉t = 〈ψ(t) | A |ψ(t) 〉 =∫d~r ψ∗(~r, t) A ψ(~r, t). (5.33)

Wyrażenie to jest rzeczywistą funkcją czasu (po lewej oznacza to indeks t). Obliczeniecałki względem d~r "usuwa" zależność od argumentu ~r. Pozostała zależność od czasumoże być dwojaka. Po pierwsze ψ(~r, t) zależy od czasu, a po drugie sama obserwablemoże być jawnie od czasu zależna. Wyjątkiem jest sytuacja (por. (5.31), gdzie ψ(~r, t) jeststanem stacjonarnym, a obserwabla nie zależy jawnie od czasu. Jeżeli jednak A = A(t)(obserwabla jest funkcją czasu), to wartość oczekiwana 〈A 〉t zależy od czasu nawet wtedy,gdy stan ψ jest stacjonarny.

73


5.3.2 Równanie ruchu dla 〈A〉t Równanie ruchu dla <A(t)>

Jak zmienia się wartość 〈A 〉t? Aby to zbadać, zróżniczkujmy relację (5.33)

d

dt〈A 〉t =

∂

∂t

∫d~r ψ∗(~r, t) A ψ(~r, t)

=∫d~r

[(∂ψ∗

∂t

)A ψ + ψ∗

(∂A

∂t

)ψ + ψ∗ A

(∂ψ

∂t

)]. (5.34)

Obecność środkowego składnika oznacza, że obserwabla może jawnie zależeć od czasu. Po-sługując się równaniem Schrödingera (5.1) i jego sprzężeniem (5.2) eliminujemy pochodneczasowe funkcji falowej

d

dt〈A 〉t =

∫d~r

[− 1i~(H†ψ∗

)A ψ + ψ∗

∂A

∂tψ +

1i~ψ∗A

(Hψ

)]. (5.35)

Drugi składnik to po prostu wartość oczekiwana pochodnej czasowej operatora A. Zapi-sując nieco bardziej formalnie iloczyny skalarne mamy

d

dt〈A 〉t =

⟨∂A

∂t

⟩− 1

i~〈 Hψ | Aψ 〉 +

1i~〈ψ | AHψ 〉. (5.36)

Hamiltonian jest hermitowski, więc 〈 Hψ | Aψ 〉 = 〈ψ | H†Aψ 〉 = 〈ψ | HAψ 〉, więc

d

dt〈A 〉t =

⟨∂A

∂t

⟩+

1i~〈ψ |

(AH − HA

)|ψ 〉. (5.37)

Ostatnie wyrażenie to wartość oczekiwana komutatora, zatem

i~d

dt〈A 〉t =

⟨ [A, H

] ⟩+ i~

⟨∂A(t)∂t

⟩. (5.38)

Zwróćmy też uwagę, że jak dotąd niczego nie zakładaliśmy o hamiltonianie H, dopuszcza-my, że może zależeć od czasu. Ostatni składnik jest obecny tylko wtedy, gdy obserwablaA jest jawnie zależna od czasu.

Znaczenie praktyczne równania ruchu (5.38) jest małe. Aby je wykorzystać, trzebaby obliczyć dwie wartości oczekiwane – te po prawej stronie. Potem trzeba rozwiązaćrównanie różniczkowe pierwszego rzędu względem czasu. Na ogół dużo prościej jest bez-pośrednio obliczać 〈 A 〉t z relacji (5.33). Mimo to, formuła (5.38) ma istotne znaczenieformalno-teoretyczne.

Jeśli obserwabla A nie zależy jawnie od czasu, drugi składnik po prawej stronie formuły(5.38) znika. Wówczas

i~d

dt〈A 〉t =

⟨ [A, H

] ⟩. (5.39)

Pozwala to sformułować następujący wniosek.

74


Twierdzenie 5.2 Jeśli obserwabla A jest przemienna z hamiltonianem, to jest stałą ru-chu.

A = A†,∂A

∂t= 0[

A, H]

= 0

=⇒

d

dt〈A 〉t = 0,

〈A 〉t = const.

. (5.40)

Dowód: jest oczywisty.Zwróćmy w tym miejscu uwagę, że powyższe twierdzenie niczego nie mówi o stanie ψ,

dla którego obliczamy 〈A 〉t. Dlatego też jest ono bardziej ogólne niż związek (5.31), dlastanu własnego hamiltonianu – określonego w (5.27). Pokażemy, że z (5.40) wynika (5.31),nawet wtedy gdy [A, H] 6= 0. Niech więc ψ0 spełnia zagadnienie własne: Hψ0 = Emψ0.Wówczas, na mocy (5.39)mamy

i~d

dt〈A 〉t = 〈ψ0 |

(AH − HA

)|ψ0 〉

= 〈ψ0 | AH |ψ0 〉 − 〈ψ0 | HA |ψ0 〉= 〈ψ0 | A | Hψ0 〉 − 〈 H†ψ0 | A |ψ0 〉= Em 〈ψ0 | A |ψ0 〉 − Em 〈ψ0 | A |ψ0 〉 = 0, (5.41)

bowiem H = H†. Uzyskany rezultat oznacza, że 〈A 〉t = const. Widzimy, że wynika tostąd, iż wybrany stan (w którym obliczamy wartość oczekiwaną) jest stanem własnymhamiltonianu.

Zauważmy, że dowolny (także zależny od czasu) hamiltonian komutuje sam ze sobą.Wobec tego z (5.38) wynika, że wartość oczekiwana energii spełnia

d

dt〈E 〉t =

⟨∂H(t)∂t

⟩. (5.42)

Jeśli więc hamiltonian od czasu nie zależy, to energia jest zachowana – stała

∂H

∂t= 0, =⇒ E = const., (5.43)

co uprzednio (acz inną metodą) już wykazaliśmy. Warto może wspomnieć, że w mechaniceklasycznej stałą ruchu jest wielkość fizyczna, której nawiasy Poissona z hamiltonianemznikają (zerują się). W procedurze kwantowania (4.119) nawiasy Poissona przechodząw komutatory. Dlatego stwierdzenie (5.40)) możemy uznać za kwantowo-mechanicznyodpowiednik jednej z tez mechaniki klasycznej.

5.4 Równania Ehrenfesta

Otrzymana powyżej relacja (5.38) jest punktem wyjścia do wyprowadzenia tzw. równańEhrenfesta. Równania te pozwalają zrozumieć związek pomiędzy mechaniką kwantowąi klasyczną, a także określają sposób przejścia między tymi teoriami.

75


5.4.1 Wyprowadzenie równań Ehrenfesta

Ponownie skoncentrujemy uwagę na bezspinowej cząstce o masiem poruszającej się w poluo energii potencjalnej V (~r). Jej hamiltonian ma standardową postać

H =P2

2m+ V (~r). (5.44)

Zastosujemy przedstawiony formalizm do dyskusji wartości oczekiwanych operatorów po-łożenia i pędu R oraz P cząstki. Żaden z nich nie zależy od czasu (por (4.106) i (4.108),wobec czego, na mocy (5.38) otrzymujemy równania ruchu

i~d

dt〈~r 〉t =

⟨ [R, H

] ⟩, (5.45a)

i~d

dt〈 ~p 〉t =

⟨ [P, H

] ⟩. (5.45b)

Wartości oczekiwane obliczamy dla pewnego stanu ψ układu, nie ma tu jednak konieczno-ści dokładniejszego jego precyzowania. Aby przeprowadzić dalszą dyskusję relacji (5.45)musimy o obliczyć dwa komutatory. Pierwszy z nich to[

R, H]

=1

2m

[R, P2

]+[R, V (~r)

]. (5.46)

Drugi komutator po prawej znika, bo działanie operatora położenia i jego funkcji polegana mnożeniu funkcji falowej, a takie działania są przemienne. Idąc dalej, wypisujemy krokpo kroku pozostały komutator. Korzystamy ze wzorów (4.27) i dostajemy[

R, H]

=1

2m

[~ekXk, Pn Pn

]=

~ek2m

[Xk, Pn

]Pn + Pn

[Xk, Pn

]=

~ek2m

2i~ δkn Pn =i~m~ek Pk =

i~mP. (5.47)

Teraz obliczamy drugi komutator:[P, H

]. Oczywiście operator pędu komutuje ze swoim

kwadratem, pozostaje więc[P, V (~r)

]. Niech φ(~r) oznacza dowolną funkcję falową badanej

cząstki, wówczas mamy[P, V (~r)

]φ(~r) = −i~~ek

[∇k, V (~r)

]φ(~r)

= −i~~ek∇k

(V (~r)φ(~r)

)− V (~r)∇kφ(~r)

= −i~~ekφ(~r)

(∇kV (~r)

)+ V (~r)

(∇kφ(~r)

)− V (~r)

(∇kφ(~r)

), (5.48)

co wynika z reguł różniczkowania. Z dowolności funkcji falowej φ(~r) wynika dalej, że[P, H

]= − i~~ek∇kV (~r) = − i~∇ V (~r). (5.49)

Obliczone komutatory wstawiamy do formuł (5.45) i dostajemy

d

dt〈~r 〉t =

1m〈 P 〉t, (5.50a)

d

dt〈 ~p 〉t = − 〈∇ V (~r) 〉. (5.50b)

76


Są to właśnie poszukiwane równania Ehrenfesta – kwantowo-mechaniczne równania ruchudla wartości oczekiwanych położenia i pędu cząstki (bezspinowej) poruszającej się w poluo potencjale V (~x).Uwaga : Równania Ehrenfesta są formalnie bardzo podobne do klasycznych równań ru-

chu cząstki

d

dt~xkl(t) =

1m~pkl(t), (5.51a)

d

dt~pkl(t) = − grad V (~x) = ~Fkl, (5.51b)

gdzie ~Fkl jest klasyczną siłą potencjalną działającą na cząstkę. Analogia pomię-dzy równaniami (5.50) i(5.51) jest oczywista, wymaga jednak ostrożnej i sta-rannej dyskusji.

5.4.2 Dyskusja. Granica klasyczna

Niech ψ(~r, t) (dla której obliczamy wartości oczekiwane) przedstawia pakiet falowy. Dladobra dyskusji wartość oczekiwaną 〈~r 〉t nazwiemy centrum pakietu. Zauważmy przy tym,że centrum to nie musi się pokrywać z argumentem ~rmax, dla którego |ψ(~r, t))| osiągawartość maksymalną. Zbiór położeń 〈~r 〉t sparametryzowany czasem t stanowi wówczastrajektorię, wzdłuż której porusza się centrum pakietu. Podkreślić warto, że mówimyo trajektorii pakietu, który z konieczności ma pewne rozmycie, a nie o trajektorii cząstki.Jeżeli pakiet jest wąski – jego szerokość przestrzenna jest mała w porównaniu ze wszelkimiinnymi, istotnymi dla badanego układu odległościami – to położenie pakietu jest dobrzeokreślone (choć tylko w przybliżeniu) przez położenie centrum.

Czy ruch centrum pakietu podlega prawom mechaniki klasycznej? Równanie (5.50a)mówi, że prędkość centrum pakietu jest równa średniemu pędowi podzielonemu przezmasę cząstki. Idąc tą drogą, możemy lewą stronę formuły (5.50b) interpretować jakom ·d2〈~r 〉t/dt2. Odpowiedź na postawione pytanie byłaby pozytywna, gdyby prawa stronaodpowiadała klasycznej sile

~Fkl = − grad V (~r)∣∣∣∣~r = 〈~r 〉

(5.52)

czyli gradientowi energii potencjalnej wziętemu w centrum pakietu. Kształt prawej stronyw (5.50b) jest jednak inny. Możemy powiedzieć, że jest to siła uśredniona po obszarzecałego pakietu. Tak rozumiana średnia siła to

〈 grad V (~r) 〉 =∫d 3r ψ∗(~r, t) [∇V (~r) ] ψ(~r, t) 6= grad V (~r)

∣∣∣∣~r = 〈~r 〉

, (5.53)

bowiem średnia wartość funkcji nie jest na ogół równa wartości tejże funkcji obliczonejdla średniej wartości jej argumentu.

77


Wniosek : Argumenty te są przesłanką do udzielenia odpowiedzi negatywnej: w ogól-nym przypadku ruch centrum pakietu podlega prawom mechaniki kwantowej,a NIE klasycznej.

Uzyskane rezultaty pozwalają dyskutować dalej – tym razem w sposób przybliżony.Zapiszmy część (5.53) inaczej

〈 grad V (~r) 〉 =∫d 3r |ψ(~r, t) |2 ∇V (~r). (5.54)

Załóżmy, że funkcja |ψ(~r, t) |2 jest ostro wypikowana w okolicach centrum 〈~r 〉, a jedno-cześnie w otoczeniu tego punktu ∇ V (~r) jest wolnozmienny. W takim przypadku, tamgdzie |ψ(~r, t) |2 jest istotnie różne od zera, gradient energii potencjalnej jest praktyczniestały. Powyższą całkę można wówczas przybliżyć w następujący sposób

〈 grad V (~r) 〉 ≈ ∇V (~r)∣∣∣∣~r = 〈~r 〉

∫d 3r |ψ(~r, t) |2 = gradV (~r)

∣∣∣∣~r = 〈~r 〉

, (5.55)

ponieważ funkcja falowa (pakiet) jest unormowana.W granicy makroskopowej (klasycznej) długość fali de Broglie’a λB (patrz (2.2) jest

zwykle znacznie mniejsza niż odległości na jakich V (~x) zmienia się znacząco. w istot-ny sposób. Ponadto, rozmycie (szerokość) pakietu jest zwykle rzędu kilku λB. W takimprzypadku relacja (5.55) jest dobrze uzasadniona. A zatem ruch pakietu falowego jestw dobrym przybliżeniu klasyczny i odpowiada ruchowi cząstki klasycznej. W takim wła-śnie duchu analizuje się zdjęcia śladów cząstek elementarnych w komorze pęcherzykoweji mówi o ich trajektoriach. Należy jednak zawsze pamiętać, że jest to rozumowanie przy-bliżone, a także mieć świadomość warunków stosowalności takich przybliżeń.

Wnioski płynące z równań Ehrenfesta są bardzo ważne. Wykazaliśmy, że równaniamechaniki klasycznej wynikają z równania Schrödingera – równania kwantowo-mechanicz-nego – w określonej sytuacji przybliżonej (granicznej). Warunki spełnienia tego przybliże-nia są, dla układów makroskopowych, spełnione doskonale. Gdzie jednak przebiega granicapomiędzy "światami" kwantowym i klasycznym, tego nie wiadomo. Sytuacje wątpliwe lubtrudne trzeba zawsze dobrze i wnikliwie przeanalizować i przemyśleć.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

78

S.Kryszewski 6. Zasada nieoznaczoności 79

Rozdział 6

Zasada nieoznaczoności

Mało która zasada fizyczna jest źródłem tylu nieporozumień, by nie rzec przekłamań,co zasada nieoznaczoności. Niestety wielokrotnie się zdarza, że ludzie mało kompetentnisnują rozważania o przyrodzie posługując się ztrywializowaną (lub niepełną) interpretacjątejże zasady. Bywa też, że zasada nieoznaczoności jest podstawą do tworzenia dziwacznychteorii quasi-filozoficznych. Aby uniknąć nieporozumień warto dobrze prześledzić pocho-dzenie i znaczenie heisenbergowskiej zasady nieoznaczoności.

6.1 Formalna zasada nieoznaczoności

6.1.1 Pojęcia wstępne

Rozważmy pewien układ fizyczny, którego stan opisuje odpowiednia, unormowana funk-cja falowa. Niech A, B będą pewnymi obserwablami (operatorami hermitowskimi), którespełniają relację komutacyjną[

A, B]

= AB − BA = i~ C, (6.1)

gdzie czynnik ~ został wprowadzony dla wygody. Komutator jest antyhermitowski, tzn.[A, B

]†=(AB − BA

)†= B†A† − A†B†

= BA− AB = −[A, B

], (6.2)

co wynika z reguł (4.35) sprzęgania hermitowskiego. Z drugiej strony z (6.1) mamy[A, B

]†= −

[A, B

]= − i~ C†. (6.3)

Porównując z relacją (6.1) stwierdzamy, że dzięki czynnikowi i =√−1, operator C jest

także hermitowski.Zgodnie z zasadami przedstawionymi w rozdziale 4 możemy utworzyć rzeczywiste

wartości oczekiwane (por., (4.96)

〈A 〉 = 〈ψ | A |ψ 〉, 〈B 〉 = 〈ψ | B |ψ 〉, (6.4)

79


oraz dyspersje (zawsze nieujemne). Dla obserwabli A

σ2(A) =⟨(A− 〈A 〉

)2⟩= 〈A2 〉 − 〈A 〉2, (6.5)

i analogicznie dla B.Dla wygody dalszych rozważań warto jest przedefiniować obserwable A i B:

A = A− 〈A 〉 = A†, B = B − 〈B 〉 = B†, (6.6)

Wykażemy teraz kilka pożytecznych własności tych operatorów.

Lemat 6.1 Operator pomocniczy A ma następujące własności

a) A = A†, (6.7a)

b) 〈 A 〉 = 0, (6.7b)

c) σ2(A) = 〈 A2 〉 = σ2(A). (6.7c)

Identyczne relacje zachodzą dla operatora B.

Dowód.ad a). Hermitowskość A wynika z dwóch faktów: A = A† oraz 〈A 〉 ∈ R.ad b). Z definicji uśredniania wynika, że obliczanie średniej ze średniej niczego nie zmienia(bo to jest liczba), tzn., 〈〈A 〉〉 = 〈ψ | 〈A 〉ψ 〉 = 〈A 〉, ponieważ funkcja falowa ψ jestunormowana. Pociąga to za sobą stwierdzenie, że 〈 A 〉 = 〈A 〉 − 〈A 〉 = 0.ad c). Weźmy pod uwagę A i A. Wprost z (6.6) mamy

σ2(A) = 〈(A− 〈A 〉

)2〉 = 〈 A2 〉. (6.8)

Z relacji (6.7b) wynika dalej

σ2(A) = 〈(A− 0

)2〉 = 〈

(A− 〈 A 〉

)2〉 = σ2(A), (6.9)

co należało wykazać.Dla operatorów B i B dowód przebiega identycznie.

Lemat 6.2 Operatory A i B spełniają tę samą relację komutacyjną co operatory wyjś-ciowe A oraz B, to jest[

A, B]

=[A, B

]= i~C. (6.10)

Dowód. Wystarczy skorzystać z definicji (6.6) w komutatorze. Liczby rzeczywiste 〈A 〉oraz 〈B 〉 są przemienne z operatorami. Po rozpisaniu komutatora widać, że składnikiz liczbami się skrócą. Zostanie jedynie[

A, B]

= AB − BA = i~C. (6.11)

co kończy dowód lematu.

80


Na zakończenie tej części rozważań podamy twierdzenie pomocne przy wyprowadzeniuzasady nieoznaczoności.

Twierdzenie 6.1 Dla dowolnego operatora G w przestrzeni Hilberta H (niekonieczniehermitowskiego) i dla dowolnej funkcji falowej φ ∈ H spełniona jest nierówność

〈φ | G† G |φ 〉 0, (6.12)

a równość zachodzi jedynie dla Gφ = 0.

Dowód. Podobnie jak w (4.102) mamy

〈φ | G† G |φ 〉 = 〈φ | G†Gφ 〉 = 〈 Gφ | Gφ 〉 = ‖ G ψ ‖2 0, (6.13)

co wynika z reguł "przenoszenia" hermitowskiego (patrz (4.32)) i z własności normy.Warto tu zauważyć analogie do relacji (4.102), którą posługiwaliśmy się badając dyspersje.

6.1.2 Zasada nieoznaczoności

W celu wyprowadzenia zasady nieoznaczoności zbudujemy operator pomocniczy

G = A− iaB, a ∈ R, (6.14)

który jest ewidentnie niehermitowski, bowiem G† = A+ iaB, co wynika z (6.7a). Na mocytwierdzenia (6.12), dla funkcji falowej ψ naszego układu, mamy

〈ψ |(A+ iaB

) (A− iaB

)|ψ 〉 0. (6.15)

Zauważmy, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy

G ψ =(A− iaB

)ψ = 0, (6.16)

co nam się dalej przyda. Analizując dalej relację (6.15) wymnażamy przestrzegając upo-rządkowania operatorów (A i B nie komutują). W ten sposób uzyskujemy

〈ψ | A2 |ψ 〉 − ia〈ψ | (AB − BA) |ψ 〉+ a2〈ψ | B2 |ψ 〉 0. (6.17)

Na podstawie (6.7c) rozpoznajemy dyspersje, a za pomocą (6.10) eliminujemy komutator.W ten sposób mamy

σ2(A) + a~〈 C 〉+ a2σ2(B) 0. (6.18)

Jest to nieujemny trójmian kwadratowy parametru a ∈ R. Jego wyróżnik musi więc byćniedodatni, czyli

∆ = ~2〈 C 〉2 − 4 σ2(A) σ2(B) ¬ 0, (6.19)

co oczywiście jest równoważne warunkowi

σ2(A) σ2(B) ~2

4〈 C 〉2. (6.20)

A to właśnie jest słynna heisenbergowska zasada nieoznaczoności, którą teraz szczegółowoprzedyskutujemy.

81


6.1.3 Warunki minimalizacji zasady nieoznaczoności

Mówimy, że zasada nieoznaczoności jest zminimalizowana, jeśli w (6.20) zachodzi równość,tj. gdy

σ2(A) σ2(B) =~2

4〈 C 〉2, (6.21)

Operatory A i B są tu ustalone, domyślamy się więc, że minimalizacja (6.21) zachodzićbędzie dla jakiejś szczególnej funkcji falowej ψ. Jak taką funkcję wyznaczyć?

Rozumujemy teraz w następujący sposób. Jeśli zachodzi równość (6.21), to wyróżnik∆ w równaniu (6.18) jest także zerem. Wówczas trójmian (6.18) osiąga minimalną wartośćrówną zero dla (podwójnego) pierwiastka

a = − ~〈 C 〉2σ2(B)

. (6.22)

Gdy trójmian się zeruje, to lewa strona relacji (6.15) jest także równa zeru (z niej bowiemotrzymaliśmy trójmian), a to z kolei zachodzi gdy ma miejsce równość (6.16), w którejtrzeba wziąć a o wartości danej powyżej. W ten sposób mamy przepis na znalezieniefunkcji falowej ψ minimalizującej zasadę nieoznaczoności. Wykorzystując wprowadzoneoznaczenia zapiszemy warunek (6.16) w postaci

(A− 〈A 〉

)ψ = − i ~〈 C 〉

2σ2(B)

(B − 〈 B 〉

)ψ. (6.23)

Zwróćmy uwagę, że z równości (6.21) możemy wyrazić σ2(B) przez σ2(A). Wówczas za-miast (6.23) otrzymujemy

(A− 〈A 〉

)ψ = − 2i σ2(A)

~〈 C 〉

(B − 〈 B 〉

)ψ. (6.24)

Oczywiście powyższe dwa równania są ściśle równoważne i znaleziona za pomocą jednegoz nich funkcja falowa ψ minimalizuje zasadę nieoznaczoności.

Przy praktycznych obliczeniach postępujemy w następujący sposób.

• Ustalamy (wybieramy) niekomutujące operatory A i B.

• Zadajemy jako parametry rzeczywiste średnie 〈A 〉 = a oraz 〈B 〉 = b.

• Trzecim parametrem rzeczywistym jest, na przykład w/g (6.22)

λ = − ~〈 C 〉2σ2(B)

. (6.25)

• Na podstawie (6.23) konstruujemy równanie

(A− a)ψ = −iλ(B − b)ψ (6.26)

które następnie rozwiązujemy i znajdujemy funkcję falową ψ minimalizującą zasadęnieoznaczoności.

82


6.2 Dyskusja i pewne zastosowania

6.2.1 Ogólne sformułowanie

Formalnie wyprowadzoną zasadę nieoznaczoności możemy sformułować słownie.

Dwie obserwable niekomutujące A oraz B nie mogą być jednocześnie określone(zmierzone) z dowolną dokładnością. Dyspersje pomiarów muszą spełniać nie-równość

σ2(A) σ2(B) ~2

4〈 C 〉2, (6.27)

gdzie C = C† wynika z relacji komutacyjnej[A, B

]= i~ C.

Wniosek : Pomiar wielkości fizycznych, których operatory komutują, jest możliwy z do-wolną dokładnością, bowiem wtedy C = 0.

Sens zasady nieoznaczoności (6.27) można streścić w taki oto sposób. PrzygotowujemyN 1 identycznych egzemplarzy badanego układu fizycznego (tzn. każdy z nich jestjest opisany tą samą funkcją falową ψ). W N/2 układów dokonujemy pomiarów wielkościA (której odpowiada obserwabla A). Otrzymujemy pewien zbiór rezultatów skupionychwokół wartości średniej 〈A 〉 i mających pewien rozkład o szerokości scharakteryzowa-nej przez

√σ2(A). W pozostałych układach mierzymy obserwablę B. Dostajemy znów

pewien zestaw wyników wokół 〈B 〉 z rozkładem o szerokości√σ2(B). Niezależnie od

dokładności aparatury pomiarowej (może być idealna) szerokości obu rozkładów będąspełniać nierówność (6.27). Zasada nieoznaczoności jest prawem przyrody, zaś dyspersjew niej występujące nie mają nic wspólnego z błędami pomiarowymi (aparaturowymi).Nieokreśloności wynikające z zasady nieoznaczoności mają charakter zasadniczy. Idealny(bezbłędny) pomiar nie może przekroczyć ograniczeń z niej wynikających.

Znaczenie zasady nieoznaczoności jest nie do przecenienia, a jej praktyczne zastosowa-nia są naprawdę istotne. W tym rozdziale, z konieczności ograniczamy się do omówieniatylko kilku wybranych zagadnień. O innych wspomnimy w dalszych rozdziałach.

6.2.2 Relacja nieoznaczoności położenie–pęd

Najczęściej spotykany przykład zastosowania zasady nieoznaczoności dotyczy współrzęd-nej położenia i odpowiedniej składowej pędu. Weźmy pod uwagę x-ową składową położeniai pędu (por. (4.106), (4.108) oraz spełnianą przez nie regułę komutacyjną (4.110)

X = x, Px = − i~ ∂

∂x,

[X, Px

]= i~. (6.28)

83


Z relacji komutacyjnej oczywiście wynika C = 1. Ścisłe zastosowanie zasady nieoznaczo-ności (6.27) pozwala napisać

σ2(x) σ2(px) ~2

4. (6.29)

Występujące tu dyspersje są dobrze określone i mają jasny sens fizyczny. Zwróćmy uwagę,że z relacji (6.29) wynika, że nie istnieją stany (funkcje falowe), w których jednocześnie zni-kają obie dyspersje. Możliwe jest, że σ2(X)→ 0, wówczas jednak musi być σ2(Px)→∞.Lokalizując cząstkę, czyli zyskując dokładną informację o składowej x jej położenia, tra-cimy jednocześnie jakąkolwiek możliwość określenia odpowiedniej składowej pędu. Rzeczjasna, może też być odwrotnie.

Często jednak, choć nieściśle, pisze się

∆x ·∆px ~2, (6.30)

nazywając ∆x i ∆px nieokreślonościami (lub rozmyciem) położenia i pędu. Nie są topojęcia ścisłe, a ponadto nie wspomina się zwykle, że chodzi o składowe wzdłuż jednejosi. Pamiętać należy, że ścisły sens przypisujemy relacji(6.29), natomiast (6.30) jest jedynieintuicyjnym przybliżeniem i może służyć do oszacowań jakościowych.

Warto w tym miejscu zdać sobie sprawę z rzędów wielkości. Rozważmy pyłek kurzuo średnicy d = 1 µm = 1 · 10−6 m. Oszacowanie masy takiego pyłka to m ≈ 10−14 kg.Jeśli porusza się on z prędkością v = 1 mm/s = 1 · 10−3 m/s, to jego pęd wynosip = mv ≈ 10−17 Js/m. Zastosujemy teraz "intuicyjną" zasadę nieoznaczoności (6.30) (cowolno zrobić, bowiemy prowadzimy tylko oszacowania).

Przypuśćmy, że położenie pyłka określamy (mierzymy) z dokładnością do 0.01 d =10−8 m. Wówczas kwantowo-mechaniczna niepewność określenia pędu szacuje się jak

∆p ~2∆x

≈ 6 · 10−34

2 · 10−8≈ 3 · 10−26 Js

m. (6.31)

Wobec tego, względna nieokreśloność pędu ma wartość ∆p/p ≈ 10−9, co jest grubo poniżejmożliwości pomiarowych. Co więcej, jeśli pyłek jest "szybszy" – ma większy pęd – to iloraz∆p/p jeszcze bardziej maleje.

Wnioskujemy, że w odniesieniu do ciał makroskopowych, niepewność pomiarowe wy-nikające z zasady nieoznaczoności są bez żadnego praktycznego znaczenia. Natomiastw mikroświecie (a więc w zagadnieniach mechaniki kwantowej) jest odwrotnie, zasadanieoznaczoności ma bardzo istotne znaczenie i konsekwencje.

6.2.3 Zastosowanie do atomu w modelu Bohra

Model atomu zaproponowany przez Bohra jest znany ze szkoły średniej, więc nie będziemygo tu omawiać, lecz po prostu zeń skorzystamy. W modelu tym, elektron krążący wokół

84


protonu (atom wodoru) traktowany jest jako cząstka klasyczna poruszająca się po orbiciekołowej. Podany przez Bohra warunek kwantowania określa moment pędu elektronu

L = rp = n ~, n = 1, 2, 3, . . . . . . (6.32)

a więc wiąże pęd elektronu i promień jego orbity.Aby sensownie mówić o orbicie (jako o obiekcie przestrzennym) względne niepewności

położenia (mierzonego wzdłuż orbity) i pędu powinny być małe, tzn.

∆x r, ∆p p. (6.33)

Przypomnijmy ponadto, że liczba n numeruje poziomy energetyczne. Jeśli atom nie od-działuje z otoczeniem, to ta liczba powinna być ustalona, bowiem energia jest ustalona,a co za tym idzie (w tym uproszczonym przypadku) n jest też stałe. Łącząc powyższenierówności, piszemy

∆x∆pr p

1. (6.34)

Z drugiej strony, relacja nieoznaczoności (6.30) mówi, że iloczyn takich niepewności powi-nien być co najmniej rzędu ~. Korzystając z warunku kwantowania (6.32) otrzymujemy

1 ∆x∆pr p

~n ~

=1n

=⇒ 1 1n

=⇒ n 1, (6.35)

co oznacza, że przyjęte (zdroworozsądkowe) warunki (6.33) mogą być spełnione jedyniedla dużych wartości liczby kwantowej n. Model Bohra dla małych n prowadzi do sprzecz-ności z zasadą nieoznaczoności, co wystarczy do jego odrzucenia. Oczywiście wiąże się toz tym, że nie wolno w mechanice kwantowej używać koncepcji trajektorii. Warto jednakzauważyć, że dla dużych n (tzw. atomy Rydbergowskie) analogie klasyczne mogą być poży-teczne. Innymi słowy możemy stwierdzić, że elektrony wzbudzone do stanów kwantowycho dużej wartości liczby kwantowej n zachowują się podobnie do cząstek klasycznych. Jestto jednak analogia wyłącznie jakościowa.W praktycznych obliczeniach i zastosowaniachjest lepiej (i bezpieczniej) posługiwać się mechaniką kwantową.

6.3 Zasada nieoznaczoności energia – czas

Punktem wyjścia dla naszych rozważań będzie zasada nieoznaczoności (6.27) zapisanabezpośrednio za pomocą komutatora

σ2(A) σ2(B) ~2

4

⟨1i~[A, B

] ⟩2

. (6.36)

Założymy, że obserwabla A nie zależy jawnie od czasu, (a zatem ∂A/∂t = 0. Zamiastobserwabli B weźmiemy hamiltonian (wielkość fizyczna B to po prostu energia). Wobec

85


tego, zamiast (6.36) mamy

σ2(A) σ2(E) ~2

4

⟨1i~[A, H

] ⟩2

, (6.37)

Przypomnijmy teraz formułę (5.38) opisującą ewolucję czasową wartości oczekiwanej. Po-zwala ona wyeliminować komutator i napisać

σ2(A) σ2(E) ~2

4

(d〈A 〉dt

)2

, (6.38)

co oczywiście prowadzi do wniosku, że

σ2(A)∣∣∣∣∣ d〈A 〉dt

∣∣∣∣∣2 σ2(E) ~2

4, (6.39)

co trzeba teraz starannie przedyskutować. Dyspersja σ2(A) = 〈A2 〉 − 〈A 〉2 opisuje(średniokwadratowe) odchylenie wyników pomiaru A od wartości oczekiwanej 〈A 〉 (śred-niej). Natomiast pochodna d〈A 〉/dt mówi nam, jakie jest tempo zmian (w czasie)wartości oczekiwanej. Jeżeli przez ∆A oznaczymy charakterystyczne dla obserwabli Aodchylenie, zachodzące w ciągu czasu τA, to możemy dokonać oszacowań

σ2(A) ≈ (∆A)2 , orazd〈A 〉dt

≈ ∆AτA

. (6.40)

Za ich pomocą przekształcamy pierwszy czynnik w (6.39) otrzymując

σ2(A)∣∣∣∣∣ d〈A 〉dt

∣∣∣∣∣2 ≈ (∆A)2(

∆AτA

)2 = τ 2A. (6.41)

Czas τA możemy interpretować jako czas potrzebny na to, aby zmiany wartości 〈A 〉wynikłe z ewolucji czasowej były porównywalne z typowym odchyleniem określonym przez√σ2(A). Korzystając z (6.41) w relacji (6.39), piszemy

τA · σ(E) ~2, (6.42)

co nazwiemy relacją nieoznaczoności energia–czas. Zaprezentowane tu podejście jest nie-odzowne, bowiem nie ma czegoś takiego jak operator czasu – czas jest parametrem ze-wnętrznym, a nie wielkością fizyczną charakteryzującą dany układ fizyczny. Znane sąw literaturze inne metody wyprowadzania zasady nieoznaczoności energii–czas, jednakich dyskusja zupełnie się nie mieści w ramach tego wykładu.

Relację (6.39) zazwyczaj zapisujemy nieco prościej, a mianowicie

∆t ·∆E ~. (6.43)

86


Jej interpretacja jest następująca. Jeśli w układzie fizycznym zachodzą zmiany mającecharakterystyczny czas trwania ∆t, to towarzyszące tym efektom zmiany energii są sza-cowane przez ∆E ≈ ~/∆t, jak to wynika z relacji (6.43).

Na przykład, z doświadczenia wiadomo, że elektron w atomie przebywa w stanie wzbu-dzonym przez pewien skończony czas ∆t (zwykle rzędu kilku, kilkunastu nanosekund).Jest to tzw. czas życia stanu wzbudzonego. Po upływie tego czasu elektron wraca do stanupodstawowego emitując jednocześnie foton – kwant pola elektromagnetycznego. Z rela-cji nieoznaczoności (6.43) wynika, że zmiana energii elektronu, a więc i energia fotonu(zasada zachowania energii) są określone z dokładnością do ∆E = ~/∆t. Możemy więcpowiedzieć, że

• stan wzbudzony elektronu w atomie ma pewne rozmycie ∆E energii. Innymi słowywzbudzony poziom energetyczny ma pewną szerokość.

• Energia fotonu jest także "rozmyta". Przy powtarzaniu pomiarów stwierdzamy,że rejestrowane kolejno fotony mają częstości w obrębie pasma (widma) o szero-kości rzędu ∆ω = ∆E/~.

Na zakończenie zauważmy, że jeśli konserwatywny układ fizyczny znajduje się w staniewłasnym hamiltonianu, to jak wiemy, jego energia pozostaje stała w czasie, co odpowia-da nieokreśloności (rozmyciu) energii ∆E = 0. Zasada nieoznaczoności (6.43) implikuje∆t → ∞, co oznacza, że układ taki przebywa w danym stanie dowolnie długo. Jestto dodatkowe uzasadnienie nazwy "stan stacjonarny". Oczywiście obecność oddziaływańzewnętrznych może spowodować, że stan układu będzie ulegać zmianom. Wpływ oddzia-ływań (zaburzeń) zewnętrznych będziemy dyskutować w dalszych częściach wykładu.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

87

S.Kryszewski 7. Ważny przykład – oscylator harmoniczny 88

Rozdział 7

Ważny przykład – oscylatorharmoniczny

7.1 Wprowadzenie

7.1.1 Klasyczny oscylator harmoniczny

Przypomnijmy w skrócie najważniejsze fakty dotyczące układu fizycznego jakim jest kla-syczny, jednowymiarowy oscylator harmoniczny. Formalnie rzecz biorąc, oscylator to ciałoo masie m poruszające się w polu o energii potencjalnej (potencjale)

V (x) = 12 kx

2, (7.1)

gdzie k jest tak zwanym współczynnikiem sprężystości. Energia ta określa działającą naoscylator siłę

Fx = − dV (x)dx

= −kx. (7.2)

Powyższe wyrażenie na siłę bywa zwane prawem Hooke’a. Z drugiego prawa dynamikiNewtona wynika równanie ruchu oscylatora

mx+ kx = 0, (7.3)

które można też zapisać za pomocą częstości ω

x+ ω2x = 0, gdzie ω =

√k

m. (7.4)

Nietrudno jest skonstruować klasyczny hamiltonian oscylatora

Hkl =p2

2m+

12kx2 =

p2

2m+

12mω2x2. (7.5)

Klasyczny oscylator ma energię całkowitą niezależną od czasu (stałą ruchu), bowiem czasjest zmienną cykliczną (nie występuje jawnie w hamiltonianie). Rozwiązanie równaniaruchu (7.3), czy też równań hamiltonowskich wynikających z (7.5) to

x(t) = A cos(ωt+ φ), (7.6)

przy czym amplituda A i faza φ zależą od warunków początkowych. Z relacji (7.6) wynika,że ruch klasycznego oscylatora jest przestrzennie ograniczony, bowiem x ∈ [−A, A].

88


7.1.2 Dlaczego oscylator jest taki ważny?

Dla prostoty dyskusji skupimy uwagę na oscylatorze jednowymiarowym, bowiem uogól-nienie na przypadki wielowymiarowe zazwyczaj nie jest trudne. W bardzo wielu realnychsytuacjach fizycznych energia potencjalna V (x) jest gładką (różniczkowalną) funkcją po-siadającą wyraźne minimum. Niech x0 oznacza punkt, w którym V (x0) = min. Wówczas,w otoczeniu otoczeniu tego punktu można V (x) rozwinąć w szereg Taylora

V (x) = V (x0) +12!d2V (x)dx

|x=x0 · (x− x0)2 + . . . . . . . (7.7)

Z założenia V (x) ma w x0 minimum, więc

d V (x)dx

∣∣∣∣∣x=x0

= 0,d2V (x)dx

∣∣∣∣∣x=x0

> 0. (7.8)

Następnie przeskalujmy energię tak, aby V (x0) = 0, oznaczmy V ′′(x)|x=x0 = k, oraz za-mieńmy zmienne y = x−x0. Energię potencjalną (7.7) możemy wówczas zapisać w postaci

V (y) =12ky2 + . . . . . . . (7.9)

Jeżeli wyrazy wyższych rzędów są małe w porównaniu z 12kx

2, to można je zaniedbać.Tym samym energia potencjalna (w otoczeniu minimum) sprowadza się do sytuacji od-powiadającej oscylatorowi harmonicznemu.

x

V (x)

Rys. 7.1: Przybliżenie parabolą w okoli-cach minimum.

Przedstawione powyżej rozważania podsumo-wuje jedno krótkie zdanie: gładką funkcję moż-na w okolicach minimum przybliżyć parabolą.Jest to geometryczny opis relacji (7.9).

Przykładem układu fizycznego, do którestosuje się nasza dyskusja jest molekuła dwu-atomowa. Gdy atomy są blisko (małe x) wów-czas się silnie odpychają, i wtedy V (x) → ∞.Na odwrót, gdy są daleko (duże x), to prak-tycznie nie oddziałuja i wówczas V (x)→ 0. Wodległościach pośrednich atomy się przyciąga-ją, tworzą stan związany (energia potencjalnajest ujemna) – tworzą molekułę. Wnioskujemy,że dla pośrednich x-ów V (x) musi mieć mini-mum. Wykres takiej energii przedstawia (cią-

gła) krzywa niebieska. Na ten wykres nałożono czerwoną (przerywaną) parabolę. Widać,że okolicach minimum parabola dobrze przybliża energię potencjalną. Możemy oczekiwać,że molekuła będzie wykonywać drgania wokół x0 – będzie wydłużać się i kurczyć.

Oczywiście im dalej od minimum, tym przybliżenie jest gorsze. Jest to szczególniewyraźne dla x > x0, w takim przypadku poprawki wyższych rzędów (zaniedbane w (7.9)

89


zaczynają odgrywać coraz większą rolę – oscylator staje się anharmoniczny i nasze prosteprzybliżenie staje się niestosowalne.

Można mnożyć przykłady układów fizycznych, dla których energia potencjalna maprzebieg podobny do przedstawionego na rysunku. Można, choć z pewną dozą ostrożności,stosować omówione przybliżenie. Kluczową bowiem zaletą oscylatora harmonicznego jestto, że potrafimy ściśle rozwiązać odpowiednie stacjonarne równanie Schrödingera, czymsię teraz zajmiemy.

7.2 Stacjonarne równanie Schrödingeradla oscylatora harmonicznego

7.2.1 Wprowadzenie

W rozdziałach 3 i 5 stwierdziliśmy, że rozwiązanie równania Schrödingera, w gruncie rze-czy, sprowadza się do znalezienia rozwiązań stacjonarnych, a więc do zagadnienia własne-go dla hamiltonianu rozważanego układu fizycznego. Operator Hamiltona dla kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego konstruujemy oczywiście za pomocą zasady od-powiedniości. Bierzemy hamiltonian klasyczny (7.5), w którym pęd i współrzędną zastę-pujemy operatorami (patrz (4.106), (4.108)). Otrzymujemy więc operator

H =P 2x

2m+

12mω2X2 = − ~2

2md2

dx2+

12mω2x2, (7.10)

bowiem mamy tu przypadek jednowymiarowy, czyli Px = −(i~)d/dx, zaś działanie X2 po-lega na mnożeniu funkcji falowej przez x2. Wobec tego stacjonarne równanie Schrödingeradla oscylatora ma postać

− ~2

2md2ψ(x)dx2

+12mω2x2ψ(x) = Eψ(x), (7.11)

gdzie funkcja falowa zależy oczywiście od jednej zmiennej.

Uwaga : Energia potencjalna V (x) = 12mω

2x2 jest skończona dla dowolnego skończone-go x. Na gruncie kwantowo–mechanicznym nie ma więc powodu ograniczaniaa priori obszaru zmienności argumentu x. A więc mamy x ∈ R.

Funkcja falowa musi być normowalna, więc rozwiązań równania (7.11) poszukujemy w kla-sie funkcji spełniających warunek∫ ∞

−∞dx | ψ(x) |2 <∞. (7.12)

Jak zobaczymy, ogranicza to zbiór matematycznie dopuszczalnych rozwiązań. Co więcej,zgodnie z dyskusją w rozdziale 2 żądanie (7.12) implikuje dodatkowo, że

lim|x|→∞

ψ(x) = 0. (7.13)

90


Rozwiązanie zagadnienia własnego (7.11) podzielimy na etapy. Szukamy funkcji speł-niających równanie różniczkowe

d2ψ(x)dx2

+(

2mE~2

− m2ω2

~2x2

)ψ(x) = 0, (7.14)

przy warunkach (7.12) i (7.13).

7.2.2 Zamiana zmiennych

Dyskutując różne zagadnienia fizyczne wielokrotnie potrzebujemy określenia, czy danawielkość fizyczna jest duża, czy mała. Aby móc coś takiego stwierdzić musimy mieć odpo-wiednią skalę porównawczą. Stwierdzenie, że masa atomu jest mała nie bardzo ma sens,bowiem jest ona rzeczywiście mała w porównania z pyłkiem kurzu, lecz duża w porównaniuz masą elektronu. Ewidentnie potrzebujemy skali porównawczej. Jednym ze sposobów jestznalezienie skali, naturalnej dla danego problemu fizycznego. Omówimy to na przykładziedługości naturalnej dla kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego opisywane-go równaniem Schrödingera (7.11) lub (7.14). Oscylator jest scharakteryzowany trzemazadanymi parametrami: m, ω i ~ (mechanika kwantowa!). Z tych trzech parametrów kon-struujemy wielkość o wymiarze długości. Musimy więc mieć

[dług.] = maωb~c, (7.15)

gdzie wykładniki a, b i c są liczbami rzeczywistymi. Ponieważ

[m] = kg, [ω] =1s, [~] = J · s =

kg ·m2

s(7.16)

więc warunek ten sprowadza się do

[dług.] = kga(1

s

)b (kg ·m2

s

)c= (kg)a+c m2c s−b−c. (7.17)

Żądamy zgodności wymiarów, co pociąga za sobą układ równań dla wykładników

a+ c = 0, 2c = 1, −b− c = 0. (7.18)

Stąd zaś mamy od razu c = 12 , a = −1

2 i b = −12 . Wracając do równania (7.15)

otrzymujemy

[dług.] = m−1/2 ω−1/2 ~1/2 =

√~mω

. (7.19)

Jest to właśnie poszukiwana naturalna "jednostka" długości charakteryzująca kwantowo--mechaniczny oscylator harmoniczny.

Wprowadzamy nową, bezwymiarową zmienną

ξ =√mω

~x. (7.20)

91


Wynikają stąd dwie korzyści. Po pierwsze, teorie matematyczne (a więc i teoria równańróżniczkowych) dotyczą zmiennych bezwymiarowych. Po drugie, nabierają teraz sensustwierdzenia typu ξ 1, co oznacza, że współrzędna x przyjmuje wartości znaczniewiększe niż naturalna jednostka (7.19).

Szukamy rozwiązania w zależności od nowej zmiennej. Z definicji (7.20) wynikająrelacje

d

dx=

dξ

dx

d

dξ=√mω

~d

dξ, (7.21a)

d2

dx2=

d

dx

d

dx=

dξ

dx

d

dξ

(√mω

~d

dξ

)=

mω

~d2

dξ2. (7.21b)

Posługując się powyższymi relacjami w równaniu (7.14) i skracając pojawiający się czyn-nik mω/~, otrzymujemy równanie w zmiennej ξ

d2ψ(ξ)dξ2

+(E − ξ2

)ψ(ξ) = 0, (7.22)

gdzie wprowadziliśmy oznaczenie dla energii przeskalowanej do wielkości bezwymiarowej

E =2E~ω

. (7.23)

Widzimy więc, że naturalną jednostką energii dla oscylatora jest iloczyn ~ω. Oczywiścierównanie (7.22) ma nadal strukturę zagadnienia własnego, tyle że w zmiennych bezwymia-rowych. Poszukiwane funkcje falowe w zmiennej x wyrażają się teraz (w myśl dokonanejzamiany) wzorem

ψ(x) = ψ(ξ) = ψ(x

√mω

~

), (7.24)

o czym należy pamiętać, bowiem zmierzamy do konstrukcji funkcji falowych w zależnościod ξ, tj. od funkcji współrzędnej x. Oczywiście wymóg normowalności ψ(x) oznacza, żeto samo musi dotyczyć funkcji ψ(ξ). Przy zamianie zmiennych (7.20) odpowiednie całkiróżnią się jedynie czynnikiem liczbowym. Istotnie

∫ ∞−∞

dx | ψ(x) |2 =∫ ∞−∞

dξ

√~mω| ψ(ξ) |2 <∞. (7.25)

Ponadto, z (7.13) wynika także warunek

lim|ξ|→∞

ψ(ξ) = 0. (7.26)

7.2.3 Zachowanie asymptotyczne

Dla dużych |ξ| ma zachodzić warunek (7.26). Zbadajmy więc równanie (7.22) dla dużychwartości zmiennej, tzn. dla takich ξ, że (|ξ| |E|), czyli gdy wartość własna E jest

92


zaniedbywalna w porównaniu z |ξ|. W tym przybliżeniu, równanie (7.22) sprowadza siędo

d2ψ(ξ)dξ2

− ξ2ψ(ξ) ≈ 0. (7.27)

Łatwo jest zgadnąć przybliżone rozwiązanie tego równania. Mianowicie

ψ(ξ) ≈ exp(± 1

2ξ2), (7.28)

jest takim rozwiązaniem. Istotnie, przez proste różniczkowanie mamy

dψ(ξ)dξ

= ± ξψ(ξ),d2ψ(ξ)dξ2

= ± ψ(ξ) + ξ2ψ(ξ). (7.29)

Dla dużych ξ pierwszy człon w drugiej pochodnej jest zaniedbywalny w porównaniu z dru-gim. Funkcja (7.28) spełnia więc w przybliżeniu asymptotyczne równanie (7.27). Funkcjata musi być normowalna. Matematycznie dopuszczalne rozwiązanie exp(+ξ2/2), jest fi-zycznie nie do przyjęcia, jest to bowiem funkcja rozbieżna i niecałkowalna w kwadracie.A zatem, jako przybliżone rozwiązanie dla dużych ξ przyjmujemy

ψ(ξ) ≈ exp(− 1

2ξ2), (7.30)

które można unormować. Mamy więc wyrażenie przybliżone, zadowalające dla dużych ξ.Potrzebujemy rozwiązania ścisłego. Postulujemy więc rozwiązanie równania (7.22) w po-staci

ψ(ξ) = exp(− 1

2ξ2)f(ξ), (7.31)

gdzie f(ξ) jest funkcją, którą trzeba znaleźć.Zanim do tego przejdziemy poczynimy pewne uwagi. Funkcja falowa musi być normo-

walna, a więc f(ξ) musi być taka, aby

∫ ∞−∞

dξ∣∣∣∣exp

(− 1

2ξ2)f(ξ)

∣∣∣∣2 <∞. (7.32)

Funkcja f(ξ) powinna być "przyzwoita". Z analizy matematycznej wiemy, że funkcjawykładnicza exp(−ξ2/2) "wygasza" (dla dostatecznie dużych ξ) dowolny wielomian, tzn.

limξ→∞

exp(− 1

2ξ2)ξn = 0, dla dowolnego n = 0, 1, 2, 3, . . . . . . (7.33)

co zapewnia spełnienie warunku (7.26). Można by więc z góry żądać, aby f(ξ) była wie-lomianem. Tak rzeczywiście jest. Stwierdzenie to można uzasadnić (na różne sposoby)całkowicie ściśle, a na dodatek bez żadnych założeń wstępnych. Omówimy to nieco dalej.

93


7.2.4 Równanie dla funkcji f(ξ)

Funkcja (7.31) ma ściśle spełniać równanie (7.22). Wykonując różniczkowania otrzymuje-my

ψ′(ξ) = exp(− 1

2ξ2) [−ξf(ξ) + f ′(ξ)

], (7.34a)

ψ′′(ξ) = exp(− 1

2ξ2) [

ξ2f(ξ)− f(ξ)− 2ξf ′(ξ) + f ′′(ξ)], (7.34b)

gdzie primy oznaczają różniczkowanie względem argumentu. Obliczoną drugą pochodnąpodstawiamy równania (7.22), wspólny czynnik wykładniczy uprasza się i po elementar-nym skróceniu, otrzymujemy

f ′′(ξ) − 2ξf ′(ξ) + (E − 1)f(ξ) = 0. (7.35)

Jest to formuła ścisła, wynika bowiem z równania Schrödingera (7.22) przy zastosowaniupostulatu (7.31). Jeśli znajdziemy f(ξ), to możemy zbudować "wyjściową" funkcję falowąψ(x) za pomocą formuły (7.24), która ma teraz postać

ψ(x) = A exp(−1

2ξ2)f(ξ)

= A exp(−mω

2~x2)f(x

√mω

~

). (7.36)

przy czym A jest stałą, którą trzeba wyznaczyć z warunku normalizacyjnego.Poszukiwanie rozwiązań równania (7.35) można poprowadzić na kilka sposobów.

• Pierwszym z nich jest sprowadzenie (7.35) do tzw. konfluentnego równania hiper-geometrycznego. Rozwiązanie jest wtedy kombinacją liniową konfluentnych funkcjihipergeometrycznych, które są przedstawione (zdefiniowane) za pomocą nieskończo-nych szeregów.

• Inny sposób polega na rozwinięciu f(ξ) w szereg Taylora f(ξ) =∑∞n=0 anξ

n, co popodstawieniu do (7.35) prowadzi do relacji rekurencyjnych dla współczynników an.

W obu wymienionych podejściach (mówiąc niezbyt ściśle) okazuje się, że dla dużych |ξ|"odtwarza" się matematycznie poprawne rozwiązanie exp

(+1

2ξ2), które jednak, z przy-

czyn fizycznych, zostało odrzucone. Jedynym wyjściem jest żądanie, aby nieskończoneszeregi urywały się – redukowały do wielomianów. Żądanie to prowadzi do kwantowa-nia energii: dopuszczalne wartości liczby E w (7.35) mogą przyjmować tylko pewne, ściśleokreślone, wartości. W tych rozważaniach pójdziemy nieco uproszczoną drogą. Nie chcemybowiem wchodzić w naszkicowane komplikacje matematyczne. Po prostu zaakceptujemyargumenty wskazujące, że funkcja f(ξ) musi być wielomianem.

7.2.5 Rozwiązania. Wielomiany Hermite’a

Wracamy do analizy równania (7.35) i szukamy rozwiązań w postaci wielomianów. Po-służymy się przy tym pewnymi dodatkowymi przesłankami. Szukamy rozwiązań zagad-nienia własnego (7.11), czyli zagadnienia własnego dla hamiltonianu oscylatora, które po

94


odpowiednich transformacjach sprowadziło się do równania (7.35). Hamiltonian jest ope-ratorem hermitowskim – jego funkcje własne muszą tworzyć bazę w przestrzeni funkcjifalowych na R. Poszukiwane wielomiany powinny (w świetle związku (7.36)) prowadzićdo zbioru funkcji falowych ortonormalnych na R.

Nasze dalsze kroki nie są eleganckie z punktu widzenia matematyki. Pytamy, czyistnieją wielomiany spełniające omówione wymagania? Odpowiedzi na to pytanie szukamyw podręczniku fizyki matematycznej [5], albo też w poradnikach matematycznych [11, 14].Znalezionymi kandydatami są wielomiany Hermite’a oznaczane jako Hn(ξ)1. Mają onenastępujące własności.

1. Spełniają równanie różniczkowe (tzw. równanie Hermite’a)

f ′′(ξ)−2ξf ′(ξ)+2nf(ξ) = 0, dla f(ξ) = Hn(ξ), n = 0, 1, 2, 3, . . . . . . , (7.37)

które jest formalnie bardzo podobne do naszego równania (7.35). Do tego podobień-stwa wrócimy za chwilę.

2. Wielomiany Hermite’a są zdefiniowane za pomocą tzw. wzoru Rodriguesa

Hn(ξ) = (−1)n eξ2 dn

dξne−ξ

2, (7.38)

który pozwala sukcesywnie znajdować jawną ich postać (patrz Dodatek A).

3. Spełniają na R relację ortogonalności∫ ∞−∞

dξ e−ξ2Hn(ξ)Hm(ξ) = 2nn!

√π δnm, (7.39)

4. Spełniają następujące relacje rekurencyjne

Hn+1(ξ) = 2ξ Hn(ξ)− 2nHn−1(ξ) (7.40)d

dξHn(ξ) = 2nHn−1(ξ). (7.41)

Musimy teraz odnieść fakty znalezione w źródłach matematycznych do naszego problemu.Przede wszystkim zestawiamy nasze równanie Schrödingera (7.35) z równaniem Her-

mite’a (7.37). Stwierdzamy, że oba te równania się pokrywają (a więc (7.35) ma rozwią-zanie wielomianowe) jedynie wtedy gdy

E − 1 = 2n =⇒ E = 2n+ 1, n = 0, 1, 2, 3, . . . . . . (7.42)

Wykorzystując oznaczenie (7.23) otrzymujemy

E = En = ~ω(n+ 1

2

), n = 0, 1, 2, 3, . . . . . . (7.43)

1W dodatku A podajemy informacje na temat wielomianów Hermite’a. Przeprowdzamy niektóre do-wody używanych tu relacji, a także przedstawiamy metody obliczania całek, z których będziemy tutajkorzystać.

95


Oznacza to, że dopuszczalne fizycznie (wielomianowe, czyli normowalne) rozwiązaniaotrzymujemy jedynie dla energii danych relacją (7.43) – energia oscylatora jest skwanto-wana. Oczywiście zbiór uzyskanych energii stanowi jednocześnie zbiór wartości własnychhamiltonianu oscylatora.

Idąc dalej, stwierdzamy, że skoro równanie (7.35) sprowadza się do równania Hermi-te’a, to na mocy relacji (7.36) i (7.37) możemy wypisać funkcje falowe – funkcje własnehamiltonianu oscylatora

ψ(x) = ψn(x) = An exp(−mω

2~x2)Hn

(x

√mω

~

). (7.44)

Pozostaje określić stałe normalizacyjne An, w ogólności zależne od liczby kwantowej n.Wyznaczamy je z warunku normowania 1 =

∫∞−∞ dx |ψ(x)|2. Musimy więc obliczyć całkę

1 = |An|2∫ ∞−∞

dx exp(−mω

~x2)Hn

(x

√mω

~

)Hn

(x

√mω

~

). (7.45)

Wprowadzamy nową zmienną całkowania

y = x

√mω

~=⇒ x = y

√~mω

, zatem dx = dy

√~mω

, (7.46)

Jest ona bezwymiarowa, bowiem odwrotność pierwiastka (patrz (7.19) ma wymiar długo-ści, tak samo jak zmienna x. Zatem

1 = |An|2√

~mω

∫ ∞−∞

dy e−y2Hn(y)Hn(y). (7.47)

Otrzymana całka to nic innego niż całka ortogonalizacyjna wielomianów Hermite’a (7.39),więc

1 = |An|2√

~mω

· 2nn!√π, =⇒ An =

√mω

π~1

2nn!, (7.48)

gdzie wybraliśmy fazę równą zeru.

7.2.6 Podsumowanie: funkcje i energie własne oscylatora

Punktem wyjścia naszych rozważań był hamiltonian (7.10) jednowymiarowego kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego i odpowiednie, stacjonarne równanie Schrödin-gera (7.11). Dokonując odpowiednich przekształceń, sprowadziliśmy problem do równania(7.35). Następnie argumentowaliśmy, że rozwiązaniami tego równania powinny być wie-lomiany. Stwierdziliśmy, że tak jest rzeczywiście, pod warunkiem, że energie własne sąskwantowane

En = ~ω(n+

12

), n = 1, 2, 3, . . . . . . (7.49)

Przypomnijmy, że powyższa reguła kwantowania energii jest konsekwencją narzuceniawarunków fizycznych (normowalności) na rozwiązania matematycznie możliwe do otrzy-mania.

96


W tym miejscu zwróćmy uwagę na dwa fakty.

• Minimalna energia (jak mówimy, energia stanu podstawowego) wynosi E0 = 12 ~ω.

Jest to odmienne od sytuacji klasycznej, gdzie Emin = 0. Fakt ten ma ponadtoznaczące konsekwencje, np. w elektrodynamice kwantowej. Oczywiście odpowiedniadyskusja wybiega daleko poza ramy niniejszych rozważań. Niezerową energię stanupodstawowego omówimy nieco dalej w kontekście zasady nieoznaczoności.

• Poziomy energetyczne oscylatora są równoodległe

En+1 − En = ~ω[(n+ 1) + 1

2

]− ~ω

(n+ 1

2

)= ~ω, (7.50)

co również okaże się istotne.

Energiom (7.49) odpowiadają funkcje własne (patrz (7.44) i (7.48))

ψn(x) =(mω

π~

)1/4 1√2n n!

exp(−mω

2~x2)Hn

(x

√mω

~

). (7.51)

Relacja ortogonalności wielomianów Hermite’a (7.39) pozwala upewnić się, że powyższefunkcje stanowią bazę ortonormalną w przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie na R.Na zakończenie zauważmy, że funkcje falowe ψn(x) mają określoną parzystość.

• Gdy liczba kwantowa n jest parzysta (n = 2k), to funkcja ψ2k(x) jest funkcją pa-rzystą.

• Jeśli zaś n = 2k + 1 (nieparzyste) to ψ2k+1(x) jest funkcją nieparzystą.

Matematycznie rzecz biorąc, fakty te wynikają z własności wielomianów Hermite’a (patrzDodatek A). Ze strony fizycznej jest to konsekwencja parzystości energii potencjalnejV (x) = 1

2mωx2.

Najbardziej ogólna funkcja falowa dla oscylatora harmonicznego jest kombinacją linio-wą stanów własnych (7.51), które tworzą bazę (ortonormalną). Dowolny stan oscylatorama więc postać

ψ(x) =∞∑n=0

cn ψn(x), cn ∈ C,∞∑n=0

|cn|2 = 1. (7.52)

Oczywiście (por. (4.61), (4.64)) ostatnia relacja jest warunkiem normowania funkcji falo-wej. Współczynniki cn są amplitudami prawdopodobieństwami tego, że w wyniku pomiaruenergii oscylatora opisanego funkcją falową – kombinacją liniową (7.52), otrzymamy ener-gię En daną w (7.49).

7.3 Pewne zastosowania

Oscylator harmoniczny jest, jak wiemy, modelem (choć często tylko przybliżonym) wieluukładów fizycznych. Otrzymane ścisłe rozwiązania stacjonarnego równania Schrödingeradla oscylatora są więc często barszo pożyteczne. Dlatego warto "przećwiczyć" metodyobliczania niektórych wielkości. Przedstawimy tu obliczenia pewnych elementów macie-rzowych operatorów związanych z oscylatorem.

97


7.3.1 Element macierzowy operatora położenia

Element macierzowy operatora położenia to

〈ψk | X |ψn 〉 =∫ ∞−∞

dx ψ∗k(x) x ψn(x) = 〈 k |x |n 〉, (7.53)

gdzie pierwsza równość wynika z definicji (4.30), zaś druga jest wygodnym, skrótowymzapisem, którym będziemy się posługiwać. Podstawiamy funkcje własne (7.51) oscylatoraharmonicznego i otrzymujemy

〈 k |x |n 〉 =√mω

π~

∫ ∞−∞

dx

√1

2k k! 2n n!exp

(−mω

~x2)

× Hk

(x

√mω

~

)x Hn

(x

√mω

~

), (7.54)

przy czym zwracamy uwagę na x pomiędzy wielomianami Hermite’a. Dokonujemy zamia-ny zmiennych identycznej jak w (7.46) i całka powyższa przyjmuje postać

〈 k |x |n 〉 =

√~mω

∫ ∞−∞

dyHk(y) y Hn(y)√π 2k k! 2n n!

e−y2. (7.55)

Zauważmy, że przed całką pojawia się naturalna długość (7.19), a funkcja podcałkowajest bezwymiarowa. Całka występująca w (7.55) jest identyczna z całką I(1)

kn , obliczonąw dodatku A i daną wzorem (A.43), który jest tu najwygodniejszy. Korzystając z niego,otrzymujemy

〈 k |x |n 〉 =

√~mω

√1

2k k! 2n n!

[2k−1 k! δk,n+1 + 2k (k + 1)! δk,n−1

]. (7.56)

Dalsze przekształcenia polegają na systematycznym wykorzystaniu delt Kroneckera, coprowadzi do

〈 k |x |n 〉 =

√~mω

2n (n+ 1)!√2n+1 (n+ 1)! 2n n!

δk,n+1

+2n−1 n!√

2n−1 (n− 1)! 2n n!δk,n−1

. (7.57)

Dalsze kroki to proste uproszczenia, co w końcu daje

〈 k |x |n 〉 =

√~mω

√n+ 12

δk,n+1 +√n

2δk,n−1,

, (7.58)

co stanowi końcowy rezultat. Z uzyskanej relacji wynika, że wartość oczekiwana położeniadla oscylatora znajdującego się w stanie własnym energii ψn wynosi

〈x 〉 = 〈n |x |n 〉 =∫ ∞−∞

dx ψ∗n(x) x ψn(x) = 0, (7.59)

czego mnożna by od razu oczekiwać, bowiem funkcje ψn(x) mają określoną parzystość,zatem funkcja podcałkowa jest nieparzysta i całka musi znikać. Wynik (7.59) (nieco nie-ściśle) mówi, że oscylator "najczęściej" przebywa w x = 0, co wydaje się być zgodnez intuicją fizyczną.

98


7.3.2 Element macierzowy operatora pędu

W tym wypadku, znów wprost definicji (4.108) i (4.30) mamy

〈ψk | Px |ψn 〉 = 〈 k | p |n 〉

=∫ ∞−∞

dx ψ∗k(x) Px ψn(x) = − i~∫ ∞−∞

dx ψ∗k(x)d

dxψn(x). (7.60)

Podstawiamy funkcje własne oscylatora harmonicznego z (7.51) i dostajemy

〈 k | p |n 〉 = − i√m~ωπ

√1

2k k! 2n n!

∫ ∞−∞

dx exp(− mωx2

2~

)

×Hk

(x

√mω

~

)d

dx

[exp

(− mωx2

2~

)Hn

(x

√mω

~

)]. (7.61)

Ponownie dokonujemy zamiany zmiennej całkowania zgodnie z (7.46). Wobec tego

〈 k | p |n 〉 = − i√m~ωπ

√1

2k k! 2n n!

∫ ∞−∞

dy e−y2/2 d

dy

[e−y

2/2 Hn(y)]

= − i√

m~ωπ 2k k! 2n n!

∫ ∞−∞

dy e−y2Hk(y)

[−y Hn(y) +

dHn(y)dy

]. (7.62)

Na mocy relacji rekurencyjnej (7.41) eliminujemy pochodną wielomianu Hermite’a

〈 k | p |n 〉 = i

√m~ω

π 2k k! 2n n!

∫ ∞−∞

dy e−y2Hk(y)

[y Hn(y) − 2nHn−1(y)

]. (7.63)

Jest to suma dwóch całek. Pierwszą z nich jest już znana całka I(1)kn , a druga to po prostu

całka ortogonalizacyjna (7.39). Wobec tego piszemy

〈 k | p |n 〉 = i√mω~

√1

2k k! 2n n!

[2k−1 k! δk,n+1

+ 2k (k + 1)! δk,n−1 + 2n 2k k! δk,n−1

]. (7.64)

Dalsze obliczenia biegną bardzo podobnie jak w przypadku elementu 〈 k |x |n 〉. Najpierw,dzięki deltom Kroneckera eliminujemy indeks k, potem po prostu upraszczamy. Ponadtodwa ostatnie składniki zawierają tę samą deltę – można je łatwo połączyć. W rezultacietych przekształceń otrzymujemy poszukiwany element macierzowy operatora pędu

〈 k | p |n 〉 = i√mω~

√n+ 12

δk,n+1 −√n

2δk,n−1

, (7.65)

Zwróćmy uwagę, że jest on czysto urojony, co może być niepokojące, bowiem pęd jestobserwablą fizyczną. Nie ma jednak powodu do obaw, ponieważ element macierzowy dlaktórego k 6= n nie jest wielkością bezpośrednio mierzalną. Taką jest wartość oczekiwana

99


〈n | p |n 〉, która, ze względu na obecność delt Kroneckera, zeruje się. Wynika to zresztąwprost z definicji

〈 p 〉 = 〈n | p |n 〉 = − i~∫ ∞−∞

dx ψ∗n(x)d

dxψn(x) = 0, (7.66)

bo ψn(x) i jej pochodna mają odwrotne parzystości. Funkcja podcałkowa jest znów niepa-rzysta, całka daje zero. Znów interpretacja jest dość intuicyjna. Oscylator równie częstoporusza się w prawo, co w lewo. Średnio rzecz biorąc jego pęd jest równy zeru.

7.3.3 Elementy macierzowe 〈 k |x2 |n 〉 oraz 〈 k | p2 |n 〉

Elementy te można oczywiście obliczać posługując się tymi samymi metodami. Ze względuna kwadraty operatorów położenia i pędu obliczenia są nieco bardziej żmudne, choć niepowinny przedstawiać trudności koncepcyjnych. Na przykład obliczając 〈 k | x2 |n 〉 możnadwukrotnie zastosować regułę rekurencyjną (7.40), co sprawia, że rachunki "puchną".Nie przedstawiamy tu obliczeń, a jedynie podajemy końcowe rezultaty. I tak, elementmacierzowy kwadratu operatora położenia ma postać

〈 k |x2 |n 〉 =∫ ∞−∞

dx ψ∗k(x) x2 ψn(x)

=~mω

(n+12

)δk, n +

√n(n− 1)

4δk, n−2 +

√(n+ 1)(n+ 2)

4δk, n+2

. (7.67)

Natomiast element macierzowy kwadratu operatora pędu to

〈 k | p2 |n 〉 = − ~2∫ ∞−∞

dx ψ∗k(x)d2 ψn(x)dx2

= mω~

(n+12

)δk, n −

√n(n− 1)

4δk, n−2 −

√(n+ 1)(n+ 2)

4δk, n+2

. (7.68)

W jednym z dalszych rozdziałów wprowadzimy zupełnie inny sposób opisu oscylatoraharmonicznego. Pokażemy, że żmudne obliczanie całek można zastąpić niemal automa-tycznym formalizmem, który pozwala błyskawicznie znajdywać omawiane tu elementymacierzowe. Tym niemniej, warto choć raz dokonać obliczeń takich jak te przedstawionepowyżej i w Dodatku A.

7.3.4 Zasada nieoznaczoności dla oscylatora w stanie ψn(x)

Przy omawianiu zasady nieoznaczoności położenie-pęd mówiliśmy, że nie ma takich stanówkwantowo-mechanicznych, w których dyspersje położenia i pędu zerują się jednocześnie.Zobaczmy jak to jest dla oscylatora harmonicznego będącego w jednym ze stanów wła-snych ψn(x). Obliczenia dyspersji są elementarne (indeks n wskazuje, że badamy stan

100


własny ψn energii (hamiltonianu) oscylatora harmonicznego)

σ2n(x) = 〈x2 〉 − 〈x 〉2 = 〈x2 〉 =

~mω

(n+

12

), (7.69a)

σ2n(p) = 〈 p2 〉 − 〈 p 〉2 = 〈 p2 〉 = mω~

(n+

12

), (7.69b)

bowiem zgodnie z (7.59) i (7.66) wartości oczekiwane położenia i pędu znikają, natomiastze wzorów (7.67) i (7.68), w których bierzemy k = n, wynikają średnie kwadratów

〈n |x2 |n 〉 =~mω

(n+

12

), 〈n | p2 |n 〉 = mω~

(n+

12

), (7.70)

co wykorzystaliśmy w dyspersjach (7.69). Ich iloczyn ma więc wartość

σ2n(x) σ2

n(p) = ~2(n+

12

)2

. (7.71)

Zasada nieoznaczoności położenie-pęd (6.29) orzeka, że σ2n(x) σ2

n(p) ~24 . Jest więc ona

oczywiście spełniona (ostra nierówność) dla n > 0. Natomiast dla n = 0 (stan podstawo-wy) jest minimalizowana.

Zauważmy ponadto, że (w stanie ψn) wartość oczekiwana energii wynosi

〈E 〉 = 〈n | H |n 〉

=1

2m〈n | p2 |n 〉+

12mω2 〈n |x2 |n 〉 = ~ω

(12 + n

)= En. (7.72)

Powinniśmy spodziewać się właśnie takiego wyniku, ponieważ ψn to (stacjonarny) stanwłasny odpowiadający energii własnej En. Wiemy zaś, że energia układu fizycznego bę-dącego w stanie stacjonarnym nie zmienia się.

Zwróćmy uwagę, że z relacji (7.71) i (7.72) wynika

σ2n(x) σ2

n(p) =E2n

ω2. (7.73)

Stanowi podstawowemu (n = 0) odpowiada więc

σ20(x) σ2

0(p) =14

~2. (7.74)

co jest minimalną wartością, jaką dopuszcza zasada nieoznaczoności. W przypadku kla-sycznym mamy natomiast Emin = 0. Gdyby tak było w sytuacji kwantowo-mechanicznej,oznaczałoby to, że σ2

0(x)σ20(p) = 0, co jest ewidentnie sprzeczne z zasadą nieoznaczoności.

Możemy więc powiedzieć, że fakt iż E0 6= 0 jest konsekwencją zasady nieoznaczoności.W następnej sekcji pokażemy, że tak rzeczywiście jest. Innymi słowy, udowodnimy, żezasada nieoznaczoności wymaga, żeby energie stanów własnych oscylatora spełniały nie-równość 〈E 〉 1

2~ω. A stąd już prosty wniosek, że energia minimalna (energia stanupodstawowego, n = 0) musi być równa 1

2~ω.

101


7.3.5 Szacowanie energii stanu podstawowegoz zasady nieoznaczoności

Celem naszym jest przebadanie wartości oczekiwanej energii oscylatora. Łącząc relacje(7.69) i (7.72) możemy napisać

〈E 〉 =1

2mσ2(p) +

12mω2σ2(x), (7.75)

gdzie pominęliśmy indeks n. Na mocy zasady nieoznaczoności (6.29) mamy

σ2(p) ~2

4 σ2(x). (7.76)

Za pomocą tej relacji eliminujemy w (7.75) dyspersję pędu i zmniejszamy prawą stronę(lewa jest niezmieniona). Prowadzi to nierówności

〈E 〉 ~2

8my+

12mω2y, (7.77)

gdzie dla wygody oznaczyliśmy y = σ2(x). Wprowadźmy teraz funkcję pomocniczą

g(y) =~2

8my+

12mω2y. (7.78)

Wartości tej funkcji są nieujemne, ponieważ dyspersja y = σ2(x) 0. Ponadto

limy→0

g(y) = +∞, limy→+∞

g(y) = +∞, (7.79)

a więc funkcja g(y) (prawa strona nierówności (7.77)) musi mieć minimum. Pochodnafunkcji g(y) to

g′(y) = − ~2

8my2+

12mω2. (7.80)

Łatwo obliczamy, że pochodna znika dla

y1 = ± ~2mω

. (7.81)

Rozwiązanie ujemne odrzucamy (y jest nieujemne).Wracamy do (7.77). Oszacowanie minimalnej wartości 〈E 〉 otrzymamy, gdy podsta-

wimy y1 minimalizujące prawą stronę, bowiem dla dużych n energia 〈E 〉, zgodnie z (7.72),może być także duża. Proste obliczenia prowadzą do wniosku, że

〈E 〉 12

~ω, (7.82)

co jest zgodne z minimum energii wynikającym z warunku kwantowania. Energia stanupodstawowego E0 = 1

2~ω jest więc faktycznie konsekwencją zasady nieoznaczoności.

102


Na zakończenie warto powiedzieć, że równie dobrze moglibyśmy wyznaczyć z zasadynieoznaczoności dyspersję σ2(x) i wyeliminować ją z (7.75). Analogiczne rozumowaniepozwala ponownie uzyskać minimum dla

σ2(p) = y2 =12m~ω. (7.83)

Zauważmy, że dyspersje y1 oraz y2 minimalizujące prawą stronę (7.75) dają

σ2(x) · σ2(p) =~

2mω· m~ω

2=

~2

4, (7.84)

czyli rzeczywiście minimalizują zasadę nieoznaczoności.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

103

S.Kryszewski 8. Notacja Diraca 104

Rozdział 8

Notacja Diraca

8.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu

Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem mówiącym, że kwantowo-mechaniczny stanukładu fizycznego jest w pełni opisany funkcją falową ψ(~r) (dla cząstki bezspinowej, por.(2.3)). Funkcję falową mogliśmy rozkładać w bazie funkcji własnych takiego, czy inne-go operatora – obserwabli, otrzymując zbiór liczb – współczynników rozkładu, czy teżamplitud prawdopodobieństwa. Przy wyborze innej obserwabli (inne funkcje własne) roz-kład, zatem i współczynniki byłyby już inne. Mamy więc do czynienia z sytuacją podobnąjak w przypadku zwykłych wektorów z przestrzeni R3, gdzie każdy wektor jest opisanytrzema liczbami – składowymi (współrzędnymi) w wybranym układzie współrzędnych.Zmiana układu odniesienia prowadzi do innej trójki liczb. Jednak wektor, jako obiektgeometryczny pozostaje zawsze ten sam. Koncepcja ta sprawia, że przy formułowaniuogólnych zasad (praw fizyki, np. prawa dynamiki Newtona, równania Maxwella) uży-wamy wektorów, w związku z czym nie potrzebujemy odwoływać się do jakiegokolwiekukładu współrzędnych.

Podobnym podejściem posłużymy się i teraz – w mechanice kwantowej. Każdemu sta-nowi kwantowo-mechanicznego układu (np. cząstce) przypisujemy pewien wektor, któryoznaczymy przez |ψ 〉, z pewnej przestrzeni Hilberta (zupełnej i ośrodkowej przestrze-ni wektorowej z iloczynem skalarnym, nad ciałem liczb zespolonych). Formalnie pisząc,dokonujemy przyporządkowania

ψ(~r) ∈ F - |ψ 〉 ∈ H. (8.1)

Podkreślmy, że w wektorze |ψ 〉 nie ma żadnej zależności od wektora ~r. Wektorowa prze-strzeń Hilberta H ma, jak to się czasem mówi, charakter abstrakcyjny. Zanim przejdziemydo znacznie bardziej szczegółowego omówienia związku (8.1), poczynimy pewne intuicyjneuwagi. Otóż na relację tę można spojrzeć tak, jak na odpowiedniość między trójką liczb —składowymi wektora z R3 w pewnym układzie współrzędnych, a wektorem — obiektemgeometrycznym, który już w żaden sposób nie zależy od układu odniesienia. Wartościfunkcji falowej w kolejnych punktach ~r (choć jest ich nieskończenie wiele) spełniają rolęanalogiczną do składowych zwykłego wektora. Podejście takie nie jest jedynie sformali-

104


zowaniem mechaniki kwantowej. Pozwala ono na łatwo uchwytne uogólnienia. Są takiesytuacje (np. cząstka ze spinem), dla których nie daje się wprowadzić funkcji falowych,w takim sensie o jakim była mowa do tej pory. Natomiast opis za pomocą formalnychwektorów jest stosunkowo prosty.

Dlatego też postulat o opisie stanu układu sformułujemy inaczej.

Postulujemy, że stan układu fizycznego jest opisany przez pewien wektor (wek-tor stanu lub po prostu stan), należący do odpowiednio dobranej (abstrakcyjnej)przestrzeni Hilberta. Dodatkowo będziemy żądać, aby wektor ten był unormo-wany do jedności

|ψ 〉 ∈ H, ‖ψ‖ = 1. (8.2)

Normę wektora obliczamy za pomocą iloczynu skalarnego, właściwego dla przestrzeni H,ale na razie nie mówimy, w jaki sposób jest on obliczany. Żądanie unormowania potrzebnejest do utrzymania interpretacji probabilistycznej. W dalszej części tego rozdziału omó-wimy formalizm wektorów stanu.

Warto wspomnieć, że w niektórych źródłach mówi się, że stan układu kwantowo-mechanicznego określa "promień" w przestrzeni Hilberta H. Stwierdzenie to oznacza,że zarówno unormowany wektor falowy |ψ 〉 jak i "rozciągnięty" |ψ ′ 〉 = α|ψ 〉, gdzieα ∈ C, oznaczają ten sam stan. Jest to jednak trochę "naciągane", co wynika stąd,że w mechanice kwantowej kluczową rolę odgrywa zasad superpozycji, o której mówiliśmywcześniej (wektory w przestrzeni Hilberta można dodawać). Łatwo można zrozumieć co tojest superpozycja dwóch unormowanych wektorów (także, ale oddzielnie, unormowana).Natomiast nie wiadomo, co to jest superpozycja dwóch "promieni". Jest to argument zaograniczeniem się do unormowanych funkcji falowych.

8.2 Kety i bra. Notacja Diraca

Niech H oznacza pewną przestrzeń Hilberta. Ketem nazwiemy element tej przestrzeni,czyli po prostu wektor |ψ 〉 ∈ H. Szczegóły związku pomiędzy ketami a funkcjami falo-wymi omówimy później. Przestrzeń funkcji falowych F i przestrzeń Hilberta H są izo-morficzne, mimo to jednak będziemy rozróżniać między nimi tak, jak rozróżniamy trójkiliczb i obiekty geometryczne, jakimi są zwykłe trójwymiarowe wektory. Podkreślmy jesz-cze raz, że w kecie |ψ 〉 nie ma żadnej zależności od położenia ~r. W funkcji falowej ψ(~r)punkt ~r ma charakter pewnego (uprzywilejowanego) układu odniesienia. Teraz chcemyo tym zapomnieć, a dalej traktować ów układ odniesienia na równi z jakimkolwiek innym.Wrócimy do tych problemów nieco dalej, gdy będziemy mówić o tzw. reprezentacjach.

Przestrzeń H jest przestrzenią Hilberta, jest więc wyposażona w iloczyn skalarny

|ψ 〉, |φ 〉 ∈ H - 〈ψ |φ 〉 ∈ C, (8.3)

105


przy czym sposób obliczania powinien być zadany oddzielnym przepisem, który na ra-zie przyjmujemy za niesprecyzowany. Własności tego iloczynu skalarnego są oczywiścieformalnie identyczne z relacjami (4.4). Mimo to wypiszmy je raz jeszcze (ale już bezkomentarzy, które oczywiście są takie same jak poprzednio)

• 〈ϕ |ψ 〉 = 〈ψ |ϕ 〉∗, (8.4a)

• 〈ϕ |λ1ψ1 + λ2ψ2 〉 = λ1〈ϕ |ψ1 〉+ λ2〈ϕ |ψ2 〉, gdzie λ1, λ2 ∈ C, (8.4b)

• 〈λ1ϕ1 + λ2ϕ2 |ψ 〉 = λ∗1〈ϕ1 |ψ 〉+ λ∗2〈ϕ2 |ψ 〉, (8.4c)

• 〈ψ |ψ 〉 = ‖ψ‖2 ∈ R, ‖ψ‖ 0, oraz ‖ψ‖ = 0 ⇔ |ψ 〉 = 0. (8.4d)

Wektor |ψ 〉 nazwaliśmy ketem. Wygodnie jest nazwać

〈ψ | − bra. (8.5)

Iloczyn skalarny 〈ϕ |ψ 〉 ∈ C jest "bra-ketem". Nazwę tę wprowadził Dirac, bowiembracket oznacza po angielsku nawias. Mówiąc ściśle, zbiór wszystkich bra tworzy tzw.przestrzeń dualną H∗ – przestrzeń funkcjonałów liniowych działających na przestrzeniwektorowej H. Nie będziemy jednak omawiać aspektów matematycznych1. Tutaj poprze-staniemy na stwierdzeniu, że bra 〈χ | jest obiektem matematycznym, który w działaniuna wektor (ket) |ψ 〉 produkuje liczbę zespoloną, równą iloczynowi skalarnemu wektorów(ketów) |χ 〉 oraz |ψ 〉:

|ψ 〉 ∈ H

〈χ | ∈ H∗

- 〈χ |ψ 〉 ∈ C. (8.6)

Odpowiedniość pomiędzy ketami i bra oznaczymy znakiem † (sprzężenia hermitowskiego)i napiszemy

H 3 |ϕ 〉 -operacja † |ϕ 〉† = 〈ϕ | ∈ H∗. (8.7)

Nie wchodząc w niuanse matematyczne przyjmiemy również, że każdemu bra odpowiadaket, więc dodatkowo określimy operację odwrotną

H∗ 3 〈ϕ | -operacja † 〈ϕ |† = |ϕ 〉 ∈ H. (8.8)

Łącząc obie relacje widzimy, że złożenie dwóch operacji † działa następująco

|ϕ 〉†† =(|ϕ 〉†

)†=

(〈ϕ |

)†= |ϕ 〉. (8.9)

Przyjmiemy tu bez dowodu, że operacja † jest antyliniowa, tzn. ketowi | f 〉 będącemukombinacją liniową | f 〉 = λ1|ϕ1 〉+λ2|ϕ2 〉 (gdzie λ1, λ2 ∈ C) odpowiada bra 〈 f | = | f 〉†

1 Nie przedstawiamy tu kwestii związanych z przestrzenią dualną, bowiem nie jest naszym celemdyskusja matematycznych aspektów mechaniki kwantowej. Zainteresowanych odsyłamy do podręcznikówfizyki matematycznej, a także do Uzupełnień.

106


takie, że

| f 〉† =(λ1|ϕ1 〉+ λ2|ϕ2 〉

)†= λ∗1|ϕ1 〉† + λ∗2|ϕ2 〉† = λ∗1 〈ϕ1 |+ λ∗2 〈ϕ2 | = 〈 f |. (8.10)

Relacja ta dobrze kojarzy się z własnościami sprzężenia hermitowskiego. Stąd zresztąwynika zastosowanie znaku † do oznaczenia odpowiedniości ket ↔ bra.Uwaga : W tym miejscu należy wyjaśnić możliwe nieporozumienie notacyjne. Mnożenie

keta (wektora) przez liczbę zespoloną możemy zapisać jako

|λψ 〉 = λ|ψ 〉. (8.11)

Jakiemu bra odpowiada powyższy ket? Można powiedzieć, że ketowi |λψ 〉 od-powiada bra 〈λψ |. Jednakże na mocy (8.10)

〈λψ | = |λψ 〉† =(λ|ψ 〉

)†= λ∗〈ψ |. (8.12)

"Wyciągając" liczbę λ ∈ C z bra musimy pamiętać o antyliniowości. Wartoten fakt skojarzyć także z antyliniowością iloczynu skalarnego w pierwszymskładniku (8.4c).

8.3 Operatory liniowe

8.3.1 Operatory, kety i bra

Nie wprowadzamy tu nieznanych skądinąd informacji, wręcz odwrotnie, przypominamy(choć może w nieco innym języku) dobrze znane fakty (patrz (4.16) – (4.19)). Naszymcelem jest przede wszystkim wyjaśnienie kwestii notacyjnych. Operator A odwzorowujeprzestrzeń H w siebie

H 3 |ψ 〉 -A |ψ′ 〉 ∈ H, przy czym |ψ′ 〉 = A|ψ 〉. (8.13)

Ograniczamy się do klasy operatorów liniowych, to znaczy takich, że

A(λ1|ψ1 〉+ λ2|ψ2 〉

)= λ1A|ψ1 〉+ λ2A|ψ2 〉, λ1, λ2 ∈ C. (8.14)

Operatory można dodawać, mnożyć przez liczbę zespoloną, co raczej nie wymaga komen-tarzy. Natomiast iloczyn dwóch operatorów rozumiemy jako złożenie dwóch odwzorowań

(B A

)|ψ 〉 = B

[A|ψ 〉

]= B|ψ′ 〉. (8.15)

Takie złożenie jest na ogół nieprzemienne, więc znów pojawia się pojęcie komutatoradwóch operatorów[

A, B]

= AB − BA. (8.16)

107


Pojęcie elementu macierzowego wprowadziliśmy już uprzednio (patrz (4.30)) za pomocącałki – iloczynu skalarnego w przestrzeni funkcyjnej F . Tu zachowamy formalne podo-bieństwo, pisząc

〈ϕ | A |ψ 〉 = 〈ϕ |(A|ψ 〉

)= 〈ϕ |ψ′ 〉 ∈ C, (8.17)

co interpretujemy jako iloczyn skalarny wektorów |ϕ 〉 i |ψ′ 〉 = A|ψ 〉 (lub jako bra〈ϕ | działające na ket |ψ′ 〉). Zauważmy raz jeszcze, że w przeciwieństwie do (4.30), nieprzesądzamy tu niczego o sposobie obliczania iloczynu skalarnego 〈ϕ |ψ′ 〉.

Możliwa jest też inna interpretacja wzoru (8.17). Możemy bowiem napisać

〈ϕ | A |ψ 〉 =(〈ϕ |A

)|ψ 〉 (8.18)

i potraktować 〈ϕ′ | = 〈ϕ |A jako pewne nowe bra.Podkreślmy, że porządek w jakim wypisywane są poszczególne człony wyrażeń, jest

bardzo istotny. 〈ϕ |A to pewne nowe bra z przestrzeni H∗, które może dalej działać naket |ψ 〉 ∈ H. Wobec tego[

〈ϕ |A]|ψ 〉 = 〈ϕ | A |ψ 〉 = 〈ϕ′ |ψ 〉 ∈ C. (8.19)

Z drugiej strony, gdybyśmy napisali w odwrotnej kolejności, tj. A 〈ϕ |, to wtedy mamy[A 〈ϕ |

]|ψ 〉 = A 〈ϕ |ψ 〉 = A · liczba zespolona

= A′ – pewien nowy operator, (8.20)

a więc coś zupełnie innego niż w (8.19).

8.3.2 Operator rzutowy

Warto omówić jeszcze jedną kwestię. A mianowicie zanalizujmy wielkość |ϕ 〉〈ψ |. Łatwozauważyć, że dla dowolnego keta

|φ 〉 3 H -(|ϕ 〉〈ψ |

)|φ 〉 = |ϕ 〉〈ψ |φ 〉 ∈ H, (8.21)

bowiem iloczyn skalarny 〈ψ |φ 〉 jest liczbą, zaś iloczyn keta i liczby zespolonej to wektorz H. Wobec tego

|ϕ 〉〈ψ | = operator na H. (8.22)

Niech teraz |φ 〉 ∈ H będzie unormowany do jedności, tzn. 〈φ |φ 〉 = 1. Zbadajmyszczególny przypadek operatora typu (8.22)

Pφ = |φ 〉〈φ |. (8.23)

108


Operator ten działając na dowolny ket |ψ 〉 ∈ H daje nam

Pφ|ψ 〉 = |φ 〉〈φ |ψ 〉, (8.24)

a więc wektor proporcjonalny do keta |φ 〉. Współczynnikiem proporcjonalności jest ilo-czyn skalarny 〈φ |ψ 〉, który przez analogię ze standardową geometrią, możemy interpre-tować jako długość rzutu wektora |ψ 〉 na unormowany wektor |φ 〉 lub jako cosinus kątapomiędzy dwoma unormowanymi wektorami |φ 〉 i |ψ 〉. Zatem Pφ w/g wzoru (8.24) dajerzut |ψ 〉 na |φ 〉. Dlatego też operator Pφ nazywamy operatorem rzutowym, lub projek-torem (na |φ 〉). Operator ten jest idempotentny, tzn.

P2φ = |φ 〉〈φ |φ 〉〈φ | = |φ 〉〈φ | = Pφ, (8.25)

co wynika z unormowania keta |φ 〉. Własność idempotentności jest typowa dla operatorówrzutowych. Operatory rzutowe są często spotykane w formaliźmie mechaniki kwantowej,dlatego też o nich mówimy.

8.4 Sprzężenia hermitowskie w notacji Diraca

8.4.1 Definicja operatora sprzężonego

Operator A działając na (wektor) ket |ψ 〉 produkuje inny wektor A|ψ 〉 = |ψ ′ 〉. Wektoro-wi temu, na mocy odpowiedniości (8.7) odpowiada bra 〈ψ ′ |, które zapisujemy w postaci

〈ψ ′ | =(|ψ ′ 〉

)†=

(A |ψ 〉

)†= 〈ψ | A†, (8.26)

przy czym ostatnią równość traktujemy jako definicję. A zatem operator A przekształca|ψ 〉 na |ψ ′ 〉, zaś A† pozwala zbudować nowe bra 〈ψ ′ | = 〈ψ | A† ze starego bra 〈ψ |.Przyporządkowanie to możemy też zapisać jako

A|ψ 〉 = |ψ ′ 〉←→

〈ψ ′ | = 〈ψ |A†

, (8.27)

Powyższe relacje określają więc operator A† – czyli operator sprzężony2.

8.4.2 Własności sprzężenia hermitowskiego

Z określenia sprzężenia operatora wyprowadzimy jeszcze inną własność A†. Niech |ϕ 〉 ∈ H– dowolny ket. Wówczas z własności iloczynu skalarnego mamy

〈ϕ |ψ ′ 〉 = 〈ψ ′ |ϕ 〉∗. (8.28)

Po lewej kładziemy |ψ ′ 〉 = A|ψ 〉, a po prawej wstawiamy odpowiednie bra zgodniez relacją (8.27). Wobec tego

〈ϕ | A |ψ 〉 = 〈ψ | A† |ϕ 〉∗. (8.29)2Rozszerzoną dyskusję tego zagadnienia można znaleźć w Uzupełnieniach.

109


Równoważnie, przez zespolone sprzężenie zespolone obu stron, możemy napisać

〈ϕ | A |ψ 〉∗ = 〈ψ | A† |ϕ 〉, (8.30)

dla dowolnych ketów |ϕ 〉 i |ψ 〉. Formuły (8.29) lub (8.30) można uznać za definicjęoperatora A† sprzężonego do A. Wzory te są analogiczne do definicji sprzężenia operatoraw przestrzeni funkcji falowych (por. (4.32) i (4.33)). Widać to szczególnie wyraźnie, gdyzapiszemy inaczej lewą stronę, a mianowicie

〈ϕ | A |ψ 〉∗ =[〈ϕ |

(A|ψ 〉

) ]∗= 〈 (Aψ) |ϕ 〉 (8.31)

co wynika z własności (8.4a) iloczynu skalarnego. Wynik ten możemy teraz przyrównaćdo prawej strony wspomnianej relacji (8.30). Prowadzi to do

〈 Aψ |ϕ 〉 = 〈ψ | A† |ϕ 〉 = 〈ψ | A†ϕ 〉. (8.32)

Otrzymaliśmy więc znaną już regułę "przerzucania" operatora A z lewego do prawegoczłonu iloczynu skalarnego. Nasze wyniki są jednak dosyć formalne. Nie jest na razieoczywiste, jak się one tłumaczą na język funkcji falowych, bowiem nie jest tu określonysposób obliczania iloczynu skalarnego. Problem ten omówimy później, poruszając kwestietzw. reprezentacji w przestrzeni ketów (przestrzeni Hilberta H).

Operacja sprzężenia hermitowskiego operatorów ma dobrze znane własności (4.35).Dla porządku podamy je3 również tutaj(

A+ B)†

= A† + B†,(A B

)†= B† A†,(

A†)†

= A,(λ A

)†= λ∗ A†, dla λ ∈ C. (8.33)

8.4.3 Uwagi dodatkowe i przykłady

Mogą się tu pojawić nieporozumienia podobne do tych, które dyskutowaliśmy w odnie-sieniu do relacji (8.11) i (8.12). Nie jest mianowicie oczywiste, co znaczy zapis | Aψ 〉 oraz〈 Aψ |. Wyjaśniamy to przyjmując następującą umowę. | Aψ 〉 jest innym zapisem ketaA|ψ 〉, natomiast 〈 Aψ | jest to bra stowarzyszone z ketem A|ψ 〉, czyli

| Aψ 〉 ≡ A|ψ 〉 oraz 〈 Aψ | ≡ 〈ψ |A†, (8.34)

co powinno zapobiegać ewentualnym nieporozumieniom.Rozważymy teraz kilka prostych przykładów posługiwania się wprowadzonym forma-

lizmem i notacją Diraca. Nie wnoszą one nic nowego, lecz są pożytecznymi i zalecanymićwiczeniami.

3Ich dowody, w języku właściwym dla niniejszych rozważań (notacji Diraca), można znaleźć w Uzu-pełnieniach.

110


1. Reguły (8.34) "wyjmowania" operatorów z bra wykorzystamy w (8.29), to jest wewzorze 〈ϕ | A |ψ 〉 = 〈ψ | A† |ϕ 〉∗. Po lewej stronie znaku równości operator "wcią-gniemy" w prawo, a po prawej w lewo. Otrzymujemy

〈ϕ | Aψ 〉 = 〈 Aψ |ϕ 〉∗. (8.35)

Ponieważ |ψ ′ 〉 = A|ψ 〉 = | Aψ 〉, oraz 〈ψ ′ | = 〈ψ |A† = 〈 Aψ |, więc widzimy, żerelacja (8.35) to nic innego niż własność 〈ϕ |ψ ′ 〉 = 〈ψ ′ |ϕ 〉∗ iloczynu skalarnego.Potwierdza to wewnętrzną spójność formalizmu.

2. Rozważymy wyrażenie 〈 A†ϕ |ψ 〉. Na mocy reguł (8.34) i (8.33) otrzymujemy

〈 A†ϕ |ψ 〉 = 〈ϕ | (A†)† |ψ 〉 = 〈ϕ | A |ψ 〉 = 〈ϕ | Aψ 〉. (8.36)

Relacja powyższa bywa czasem używana w celu zdefiniowania operatora sprzężonegoA† do operatora A. Ponownie uzyskujemy sposób "przerzucania" operatora z lewejdo prawej strony (lub odwrotnie) iloczynu skalarnego.

3. Nietrudno jest wykazać, że ze wzór (8.36) jest równoważny relacji (8.30). Weźmysprzężenie zespolone po obu stronach (8.36):[

〈 A†ϕ |ψ 〉]∗

= 〈ϕ | Aψ 〉∗. (8.37)

Przekształcamy prawą stronę korzystając z własności iloczynu skalarnego[〈 A†ϕ |ψ 〉

]∗= 〈 Aψ |ϕ 〉. (8.38)

"Wyjmując" operatory zgodnie z (8.34), po lewej mamy A†† = A i dostajemy[〈ϕ | A |ψ 〉

]∗= 〈ψ | A† |ϕ 〉. (8.39)

Nawias kwadratowy można opuścić i odtwarza się relacja (8.30).

Powyższe przykłady pokazują, że notacja Diraca umożliwia proste i szybkie formalnerachunki i to bez odwoływania się do niuansów matematycznych. Pamiętać należy o omó-wionych wyżej zasadach "wyjmowania" operatorów z ketów i bra, a także o kolejnościobiektów, którymi manipulujemy.

8.4.4 Notacja Diraca – reguły mnemotechniczne

Ponieważ sprzęganie po hermitowsku jest często wykorzystywane w obliczeniach kwan-towo-mechanicznych, warto jest zebrać omówione fakty i przedstawić procedurę obliczeńw postaci reguł, o praktycznie mnemotechnicznym charakterze. Obliczając sprzężeniehermitowskie trzeba więc:

111


• dokonać następujących zamian wielkości

λ - λ∗ dla λ ∈ C, (8.40a)

|ψ 〉 - 〈ψ | dla |ψ 〉 ∈ H, 〈ψ | ∈ H∗, (8.40b)

〈ϕ | - |ϕ 〉 dla 〈ϕ | ∈ H∗, |ϕ 〉 ∈ H, (8.40c)

A - A† dla A operator liniowy na H. (8.40d)

• Odwrócić porządek wszystkich wielkości, choć w wypadku liczb zespolonych to niema znaczenia (liczby te są przemienne z wszelkimi innymi obiektami).

Dla przykładu zastosowania powyższych reguł postępowania, rozważmy wielkość (nie jestprzy tym ważne, czy ma ona jakikolwiek sens fizyczny lub matematyczny, czy nie)[

λ〈u |A| v 〉|w 〉B〈ψ |]†

= |ψ 〉B†〈w |〈 v |A†|u 〉λ∗

= λ∗〈 v |A†|u 〉|ψ 〉B†〈w | (8.41)

W ostatnim kroku liczbę zespoloną λ∗ i element macierzowy 〈ψ | A† |w 〉, który też jestliczbą zespoloną, przenieśliśmy na początek wyrażenia, bowiem liczby komutują z wszel-kimi innymi wielkościami.

8.5 Operatory hermitowskie – obserwable

Na podstawie relacji (8.27) można domyślać się, że operatory A i A† są dwoma różnymiobiektami matematycznymi, bowiem |ψ ′ 〉 = A|ψ 〉 to ket – wektor, zaś 〈ψ ′ | = 〈ψ |A† tobra – funkcjonał liniowy. Dlatego też zapis warunku hermitowskości operatora w postaciA = A† nie jest w pełni ścisły4. Należałoby raczej powiedzieć, że jeśli dla dowolnych|ψ 〉, |ϕ 〉 ∈ H zachodzi(

〈ψ |A†)|ϕ 〉 = 〈ψ |

(A|ϕ 〉

)(8.42)

to operator A nazywamy hermitowskim, przy czym zwracamy uwagę na nawiasy wyzna-czające bra po lewej, a keta po prawej. Jeżeli pozwolimy sobie na postępowanie niezbytścisłe, to relację tę wygodnie jest zapisać po prostu pomijając nawiasy

〈ψ | A† |ϕ 〉 = 〈ψ | A |ϕ 〉. (8.43)

Widać więc, że przy operatorze hermitowskim można pominąć znak †. Ze względu naomówione reguły posługiwania się notacją Diraca, pożyteczne jest używanie znaku † takżedla operatorów hermitowskich i pomijanie go dopiero na końcu obliczeń.

Dla operatora hermitowskiego, z relacji (8.30) mamy

〈ϕ | A |ψ 〉∗ = 〈ψ | A† |ϕ 〉 = 〈ψ | A |ϕ 〉, (8.44)4Więcej szczegółów na ten temat można znaleźć w Uzupełnieniach.

112


gdzie druga równość wynika z (8.43). Co więcej, dla operatora hermitowskiego

〈 Aψ |ϕ 〉 = 〈ψ | A† |ϕ 〉 = 〈ψ | A |ϕ 〉 = 〈ψ | Aϕ 〉, (8.45)

gdzie pierwsza równość wynika z reguły "wyjmowania" (8.34), druga to zastosowanie(8.43), zaś trzecia to znów reguła (8.34). Formuła (8.45) wskazuje, że z hermitowsko-ści operatora wynika możliwość "przekładania" go z pierwszego do drugiego składnikailoczynu skalarnego.

Na zakończenie zauważmy, że operator rzutowy (8.24) jest ewidentnie hermitowski

P†φ =(|φ 〉〈φ |

)†= |φ 〉〈φ | = Pφ. (8.46)

Zwróćmy uwagę na mnemotechniczny charakter notacji Diraca. Dzięki temu posłu-gujemy się nią szybko, łatwo i wygodnie. Dodatkową zaletą notacji Diraca jest to, że"ukrywa w sobie" szczegóły natury matematycznej i w ten sposób pozwala wykonywaćobliczenia bez zbytniego zastanawiania się nad pełną ścisłością matematyczną.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

113

S.Kryszewski 9. Reprezentacje w przestrzeni stanów 114

Rozdział 9

Reprezentacje w przestrzeni stanów

Koncepcja reprezentacji w mechanice kwantowej jest ważna, niestety także trudna, dlategowarto temu zagadnieniu poświęcić nieco czasu i uwagi. Co więcej, jak się wydaje, jest toproblem dość skrótowo omawiany w wielu typowych podręcznikach. Dlatego też będziemystarać się możliwie prosto przedstawić to zagadnienie.

9.1 Definicja reprezentacji

9.1.1 Intuicyjne wprowadzenie

Wektor jest abstrakcyjnym pojęciem geometrycznym. Wykonanie konkretnych obliczeńwymaga zadania (wybrania) odpowiedniego układu współrzędnych, w którym wektorutożsamiamy z kolumną liczb. Wybór układu współrzędnych to, innymi słowy, wybórwektorów bazy – jednostkowych wektorów osi układu. Współrzędne wektora to współ-czynniki jego rozkładu na wektory wybranej bazy. Podobnie postępujemy w mechanicekwantowej, choć posługujemy się nieco inną terminologią.

Wybór reprezentacji to po prostu wybór bazy w przestrzeni Hilberta – przestrzenistanów układu fizycznego. Wybierając bazę przedstawiamy wektory przez ich "składowe",zaś operatory reprezentujemy przez odpowiednio obliczone elementy macierzowe. Wybórbazy – reprezentacji jest w zasadzie dowolny, lecz tak jak wybór układu współrzędnychw mechanice klasycznej, jest na ogół podyktowany wygodą obliczeń.

Jako bazę w pewnej przestrzeni Hilberta H wybierzemy zbiór wektorów (ketów),

|uα 〉 = baza w przestrzeniH, α ∈ I. (9.1)

Mówimy często, że dokonaliśmy wyboru reprezentacji U . Jeżeli wybrana baza stanowizbiór wektorów własnych pewnej wielkości fizycznej – obserwabli U , to wybranej bazie– reprezentacji, nadajemy nazwę związaną z ową wielkością fizyczną. Na przykład, gdybaza |uα 〉 odpowiada stanom własnym hamiltonianu, to mówimy o reprezentacji ener-getycznej, bowiem wtedy U = H jest hamiltonianem, czyli operatorem energii.

Zwracamy tu uwagę na następującą okoliczność. Wektory bazy są numerowane indek-sem α z pewnego zbioru I. Możemy tu mieć do czynienia z trzema różnymi przypadkami.

114


• Wymiar przestrzeni Hilberta H jest skończony (dim H = N < ∞). Wówczas zbiórI jest też skończony i zawiera N elementów, które można ponumerować od 1 doN . Wtedy δ(α − β) = δαβ jest zwykłą deltą Kroneckera. Zamiast formalnej całkimożemy napisać∫

Idα =

∑α∈I

=N∑α=1

. (9.2)

• Wymiar przestrzeni H jest nieskończony (dim H = ∞) lecz przeliczalny (mocytakiej, jak zbiór liczb naturalnych N). Zbiór I jest przeliczalny i pokrywa się z N,zaś δ(α− β) = δαβ jest nadal deltą Kroneckera. W tym wypadku mamy∫

Idα =

∑α∈I

=∞∑α=1

. (9.3)

• Wymiar przestrzeni H jest nieskończony, nieprzeliczalny (wówczas dim H = ∞,mocy continuum, jak zbiór liczb rzeczywistych R). Zbiór I też jest nieprzeliczalny,a δ(α− β) nabiera sensu tzw. delty Diraca. Natomiast sumowanie jest już całkowa-niem w zwykłym sensie.

9.1.2 Relacje ortonormalności i zupełności

Poniższe rozważania są uogólnieniem metod przedstawionych w rozdziale 4, co będziemysygnalizować w odpowiednich miejscach. Uogólnienie polega na tym, że tutaj nie odwołu-jemy się do języka funkcji falowych, lecz pracujemy w duchu notacji Diraca i konsekwent-nie się nią posługujemy. Nie precyzujemy także, w jaki sposób należy obliczać iloczynskalarny.

Wybraliśmy reprezentację U , a więc bazę w przestrzeni Hilberta. Zakładamy, że jestto zbiór wektorów ortonormalnych, czyli taki, że wektory te spełniają warunek

〈uα |uβ 〉 = δ(α− β), (9.4)

co stanowi uogólnienie relacji (4.7). Z faktu, że zbiór |uα 〉 jest bazą w H wynika,że dowolny ket (wektor) |ψ 〉 ∈ H można (i to w sposób jednoznaczny) zapisać jakokombinację liniową wektorów bazy postaci

|ψ 〉 =∫Idα f(α) |uα 〉 =

∫Idα |uα 〉 f(α), (9.5)

gdzie współczynniki f(α) są liczbami (zależnymi od parametru α), a więc nie ma znacze-nia, czy napiszemy je przed, czy za wektorem. Rozkład taki nazwać możemy rozkłademketa |ψ 〉 w reprezentacji U . Do dyskusji tego rozkładu wrócimy w dalszym ciągu wy-kładu. Sens całki w powyższym wzorze zależy od omawianego wyżej charakteru zbioruindeksów. Ponownie mamy trzy możliwe przypadki.

• α ∈ zbiór skończony. Całka przechodzi w sumę skończoną. Współczynniki zapi-sujemy jako f(α) = fα, przy czym stanowią one ciąg skończony.

115


• α ∈ zbiór nieskończony, przeliczalny. Całka oznacza sumę nieskończoną (szereg).Współczynniki f(α) = fα tworzą ciąg nieskończonym.

• α ∈ zbiór nieskończony, continuum. Całka pozostaje całką. Współczynniki f(α)są pewną funkcją indeksu α. (W zasadzie nic nie stoi na przeszkodzie, aby oznaczaćją również za pomocą symbolu fα).

Wprowadziliśmy w ten sposób ogólną notację, którą w razie potrzeby możemy dopaso-wać do konkretnego przypadku, odpowiadającego jednej z trzech omówionych możliwości.W dalszym ciągu naszych rozważań nie będziemy za każdym razem, tam gdzie nie jestto konieczne, omawiać tych trzech możliwości. Dalszą dyskusję prowadzimy w notacjiwłaściwej dla trzeciego przypadku. Adaptacja zapisu dla dwóch pozostałych, w świetlepowyższych uwag, nie powinna stanowić żadnego problemu.

Oczywiście z relacji ortonormalności (9.4) zastosowanej do rozkładu (9.5) wynika

〈uβ |ψ 〉 =∫Idα 〈uβ |uα 〉 f(α) =

∫Idα δ(α− β) f(α) = f(β), (9.6)

co warto porównać z (4.9). Wielkości 〈uβ |ψ 〉, gdzie indeks β przebiega odpowiedni zbiórwartości, często bywają nazywane funkcjami falowymi w reprezentacji U (do sprecyzowa-nia i omówienia tej nazwy wrócimy dalej).

Dalsze rozumowanie ilustruje następujący ciąg równości. Korzystamy z (9.5) i (9.6)

|ψ 〉 =∫Idα |uα 〉 f(α) =

∫Idα |uα 〉〈uα |ψ 〉 =

( ∫Idα |uα 〉〈uα |

)|ψ 〉. (9.7)

Warto zwrócić uwagę na (pomocnicze) nawiasy po prawej stronie. Relacja (9.7) musi byćsłuszna dla dowolnego keta |ψ 〉 ∈ H, więc piszemy∫

Idα |uα 〉〈uα | =

∫Idα Pα = 1, (9.8)

gdzie 1 jest operatorem jednostkowym (operatorem identyczności) na rozważanej przest-rzeni Hilberta H. Relację (9.8) nazywamy relacją zupełności bazy w H, lub rozkłademoperatora jednostkowego (w skrócie – jedynki) w reprezentacji U . Operator identycznościna przestrzeni H został więc rozłożony na operatory rzutowe Pα = |uα 〉〈uα |, z którychkażdy rzutuje na kierunek wyznaczony przez kolejny wektor wybranej bazy. Uzyskanatu relacja zupełności koresponduje ze związkiem (4.15). Nie jest to bezpośredni związek,bowiem tu mówimy o operatorach rzutowych, a tam (w rozdz. 4) o funkcjach falowych.Do omówienia tego podobieństwa wrócimy nieco dalej.

Wyprowadziliśmy tutaj relację zupełności zakładając jednoznaczność rozkładu wek-tora w pewnej bazie. Zachodzi też stwierdzenie odwrotne. Jeżeli pewien zbiór wektorówspełnia relację zupełności (9.8), to zbiór ten stanowi bazę ortonormalną w badanej prze-strzeni. Skoro zaś jest bazą, to rozkład typu (9.7) jest jednoznaczny.

116


9.2 Reprezentacje ketów, bra oraz operatorów

9.2.1 Reprezentacje ketów i bra

Analizujemy teraz wektor (ket) |ψ 〉 ∈ H, w której wybrana została baza ortonormalna|uα 〉, czy też innymi słowy, reprezentacja U . Na podstawie formuły (9.5), która jestprzedstawieniem wektora |ψ 〉 jako kombinacji liniowej wektorów bazy, możemy wektorten utożsamić (w reprezentacji U) ze "słupkiem" – kolumną

|ψ 〉 -

...

〈uα |ψ 〉...

=

...

f(α)...

, (9.9)

w którym każdy z elementów jest liczbą obliczoną według przepisu (9.6). Gdy indeksα przebiega zbiór skończony, to kolumna (9.9) ma tyle elementów, ile wynosi wymiarprzestrzeni H. Jeżeli zaś zbiór indeksów jest nieprzeliczalny, to powyższą kolumnę możnautożsamić z pewną zwykłą funkcją parametru (zmiennej) α. Wielkości 〈uα |ψ 〉 są współ-czynnikami rozkładu (składowymi) wektora stanu w wybranej bazie – reprezentacji.

Zupełnie analogicznie możemy złożyć bra i operator jednostkowy, a więc utworzyćnowe bra 〈φ | 1 ∈ H∗, które działając na wektor |ψ 〉 musi dawać to samo co 〈φ |. Wobectego musi być

〈φ | = 〈φ | 1 =∫Idα 〈φ |uα 〉〈uα |. (9.10)

Interpretując powyższy wzór jako rozkład bra na "składowe", widzimy, że 〈φ |uα 〉 =〈uα |φ 〉∗. A więc mamy tu do czynienia ze sprzężeniami zespolonymi współczynników(składowych) keta |φ 〉 hermitowsko sprzężonego z badanym bra. Otrzymany związek jestprzejawem antyliniowej relacji między ketami i bra. Stanowi on rozkład bra 〈φ | w repre-zentacji U . Jeżeli teraz b(α) = 〈uα |ϕ 〉 będą współczynnikami rozkładu (w reprezenta-cji U), takimi jak w (9.5), dla wektora (keta) |ϕ 〉, wówczas ze względu na antyliniowość,odpowiednie bra będzie mieć w przestrzeni H∗ rozkład

〈ϕ | =∫Idβ b∗(β) 〈uβ |, gdzie b∗(β) = 〈ϕ |uβ 〉. (9.11)

9.2.2 Reprezentacja iloczynu skalarnego

Przechodzimy do dyskusji iloczynu skalarnego dwóch wektorów. Z rozkładów (9.11) i (9.5)otrzymujemy

〈ϕ |ψ 〉 =(∫Idβ b∗(β) 〈uβ |

)(∫Idα f(α) |uα 〉

)=∫Idα∫Idβ b∗(β) f(α) 〈uβ |uα 〉, (9.12)

bo liczby b∗(β) i f(α) są przemienne z ketami i bra. Dalej z ortonormalności bazy (9.4)

〈ϕ |ψ 〉 =∫Idα∫Idβ b∗(β) f(α) δ(β − α) =

∫Idα b∗(α) f(α). (9.13)

117


Zauważmy, że powyższa formuła jest ewidentnie analogiczna do relacji (4.11). Widać to ja-sno dla przypadku zbioru I skończonego lub przeliczalnego, gdy całka przechodzi w sumę.W takiej sytuacji możemy napisać szczególnie wyraźnie

〈ψ |ϕ 〉 =∑α∈I

b∗(α) f(α), I − przeliczalny. (9.14)

Wyrażenie (9.13) pozwala jednak na dokonanie ważnego kroku interpretacyjnego. Ponie-waż "składowe" keta f(α) = 〈uα |ψ 〉 uporządkowaliśmy w kolumnę, widzimy, że dlazachowania reguł obliczania iloczynu skalarnego według zasad mnożenia macierzy, należywziąć "składowe" bra w postaci wiersza

〈ϕ | -(

. . . , 〈ϕ |uα 〉, . . .)

=(

. . . , b∗(α), . . .), (9.15)

czyli więc bra 〈φ | w reprezentacji U jest przedstawione za pomocą macierzy jednowier-szowej. A zatem w sensie macierzowym ket |ψ 〉 i bra 〈ψ |, reprezentowane odpowiednioprzez kolumnę i wiersz, są hermitowsko sprzężonymi macierzami (lub ich uogólnieniami nanieskończenie wiele wymiarów). Oczywiście dotyczy to zarówno szczególnego przypadku(9.14), jak i bardziej ogólnego (9.13).

9.2.3 Uwagi o normowaniu

Probabilistyczna interpretacja mechaniki kwantowej wymaga, aby wektor (stan) |ψ 〉 ∈ Hbył unormowany. Ze wzoru (9.13) zastosowanego dla 〈ϕ | = 〈ψ | otrzymujemy

‖ψ‖2 = 〈ψ |ψ 〉 =∫Idα f ∗(α) f(α) =

∫Idα |f(α)|2. (9.16)

Żądanie unormowania stanu |ψ 〉 sprowadza się więc do normowania współczynników roz-kładu tego stanu w bazie |uα 〉. Oczywiście, w przypadku bazy dyskretnej, całka w (9.16)przechodzi w sumę po dyskretnym indeksie i dokładnie odtwarza warunek (4.13).

9.2.4 Reprezentacja |ψ′ 〉 = A |ψ 〉

Wpoprzednich paragrafach omówiliśmy sposób przyporządkowania ketowi |ψ 〉 jego "skła-dowych" f(α) = 〈uα |ψ 〉. Rozważmy teraz następującą sytuację. Niech |ψ ′ 〉 = A |ψ 〉,gdzie A jest operatorem liniowym. Dla obu wektorów mamy rozkłady w reprezentacji U

|ψ 〉 =∫Idα f(α) |uα 〉, gdzie f(α) = 〈uα |ψ 〉 (9.17a)

|ψ ′ 〉 =∫Idβ f(β) |uβ 〉, gdzie f(β) = 〈uβ |ψ ′ 〉. (9.17b)

Powstaje pytanie: jak związek pomiędzy wektorami przekłada się na relację pomiędzywspółczynnikami f(α) i f(β) rozwinięć w reprezentacji U? Nie jest trudno odpowiedziećna postawione pytanie. Z definicji współczynników f(α) przekształconego keta, mamy

f(α) = 〈uα |ψ′ 〉 = 〈uα | A |ψ 〉. (9.18)

118


Posłużymy się teraz metodą zbliżoną do rozumowania prowadzącego od (5.22) do (5.24).Aktualne rozważania są jednak ogólniejsze i bardziej formalne. Przeprowadzimy szczegóło-we obliczenia, a w dalszych częściach wykładu analogiczne rachunki będziemy wykonywaćskrótowo. A mianowicie, pomiędzy operator A a ket |ψ 〉, wstawiamy rozkład jedynki (re-lację zupełności) (9.8). W ten sposób, krok po kroku otrzymujemy

f(α) = 〈uα | A 1 |ψ 〉 = 〈uα | A(∫Idβ |uβ 〉〈uβ |

)|ψ 〉

=∫Idβ 〈uα | A |uβ 〉〈uβ |ψ 〉 =

∫Idβ Aαβ f(β), (9.19)

gdzie wprowadziliśmy tzw. elementy macierzowe operatora A w reprezentacji U , zdefinio-wane jako liczby zespolone

Aαβ = 〈uα | A |uβ 〉 = 〈uα |(Auβ

)〉 ∈ C, (9.20)

co wynika z reguł posługiwania się notacją Diraca. Ponownie zauważamy analogię z rezul-tatami rozdziału 4, a ściślej z wyrażeniem (4.30). Dalsza dyskusja pozwoli podać sposobyjawnego obliczania elementów macierzowych. Wtedy zaś wyliczanie związków typu (9.19)okaże się możliwe.

Zanim omówimy elementy macierzowe 〈uα | A |uβ 〉 zauważmy, że współczynniki f(β)oraz f(α) przedstawiają wektory |ψ 〉 i |ψ ′ 〉 w reprezentacji U jako kolumny (9.9). Przy-glądając się relacji (9.19) widzimy, że aby zachować zgodność ze standardową notacją ma-cierzową – kolumna przedstawiająca przekształcony wektor musi powstać przez przemno-żenie macierzy reprezentującej operator w danej bazie i kolumny "składowych" wektorawyjściowego. Dlatego też wielkości, zwane elementami macierzowymi, rzeczywiście inter-pretujemy jako macierz kwadratową, w której indeks α numeruje wiersze, zaś indeks βkolumny. Macierz taka może być skończona lub nie, co zależy od wymiaru przestrzeniH. Taka interpretacja wyjaśnia także nazwę nadaną obiektom wprowadzonym w równa-niu (9.20). Przedstawioną tu formalną definicję elementów macierzowych warto porównaćz określeniem (4.30) podanym w języku funkcji falowych.

Wybierając konkretną bazę w przestrzeni Hilberta najczęściej kierujemy się łatwościąobliczeń. Załóżmy więc, że baza |uα 〉 jest tak wybrana, że umiemy wyliczyć niezbędnenam elementy macierzowe operatora A. Innymi słowy, przyjmujemy, że umiemy zbudowaćmacierz (9.20) przedstawiającą nasz operator w reprezentacji U . Aby efektywnie wykorzy-stywać relację (9.19) pomiędzy współczynnikami rozkładu dwóch wektorów powiązanychprzez operator A, warto omówić niektóre własności elementów macierzowych operatoraw reprezentacji U .

9.2.5 Reprezentacja iloczynu operatorów

Zbadamy teraz, jak wyrażają się elementy macierzowe dla iloczynu operatorów. Wycho-dząc więc wprost z definicji (9.20) i korzystając po drodze z rozkładu jedynki (9.8) w re-

119


prezentacji U , otrzymujemy(AB

)αβ

= 〈uα | AB |uβ 〉 = 〈uα | A 1 B |uβ 〉

=∫Idγ 〈uα | A |uγ 〉〈uγ | B |uβ 〉 =

∫Idγ Aαγ Bγβ (9.21)

Wprowadzony sposób określania elementu macierzowego iloczynu operatorów w wybranejbazie jest więc zgodny z metodami obliczania iloczynu macierzy. Jeszcze lepiej to widać,jeśli uświadomimy sobie, że gdy zbiór I jest przeliczalny, to wówczas

∫I dα =

∑α∈I i ana-

logia z zasadami mnożenia macierzy staje się oczywista. Potwierdza to słuszność nazwy –elementy macierzowe. Tak więc macierz iloczynu operatorów jest iloczynem odpowiednichmacierzy.

Zauważmy, że wyprowadzenie relacji (9.21) moglibyśmy przeprowadzić w dowolnej in-nej reprezentacji (bazie). Reguła obliczania elementu macierzowego iloczynu operatorównie zależy więc od wyboru reprezentacji, choć oczywiście w dwóch różnych bazach elemen-ty macierzowe będą różne. Praktyczne obliczenia wykonujemy jednak zawsze wybierającjakąś konkretną reprezentację. Powtórzmy raz jeszcze, że jest to sytuacja podobna do tej,w której prawa fizyki klasycznej formułujemy za pomocą wektorów, wielkości geometrycz-nych, niezależnych od wyboru układu współrzędnych. Faktyczne obliczenia prowadzimyjednak w odpowiednio dobranym układzie odniesienia.

9.2.6 Elementy macierzowe operatora sprzężonego

Rozważmy operator A† hermitowsko sprzężony do operatora A. Pytamy jakie są jegoelementy macierzowe w reprezentacji U? Element macierzowy tego operatora jest postaci

(A†)αβ

= 〈uα | A† |uβ 〉 = 〈uβ | A |uα 〉∗ = A∗βα, (9.22)

gdzie w drugiej równości wykorzystaliśmy, znaną już relację 〈ϕ | A |ψ 〉∗ = 〈ψ | A† |ϕ 〉pomiędzy elementami macierzowymi operatora sprzężonego i wyjściowego. Widzimy więc,że macierz operatora sprzężonego tworzymy z macierzy operatora niesprzężonego poprzeztranspozycję i zwykłe sprzężenie zespolone.

Jeżeli operator A jest hermitowski (tzn., A = A†), wówczas (A†)αβ = Aαβ. Zestawiającto (9.22) mamy

A = A† − hermitowski, ⇐⇒ Aαβ = A∗βα. (9.23)

Macierz operatora hermitowskiego jest więc hermitowska, co chyba nie jest wnioskiemnieoczekiwanym. Odnotujmy jeszcze, że diagonalne elementy macierzowe operatora her-mitowskiego są rzeczywiste

Aαα = A∗αα ∈ R, A = A† − hermitowski. (9.24)

120


Tak oczywiście być musi. Załóżmy, że reprezentacja |uα 〉 jest bazą złożoną z wektorówwłasnych hermitowskiego operatora A. W takim przypadku A|uα 〉 = λα|uα 〉 przy czymλα ∈ R. Wtedy

Aαβ = 〈uα | A |uβ 〉 = 〈uα |(A uβ

)〉 = λβ δ(α− β). (9.25)

A więc macierz Aαβ jest diagonalna. Na diagonali mamy Aαα = λα ∈ R – rzeczywistewartości własne operatora hermitowskiego.

Podkreślmy ponownie, że rozważania powyższe, dotyczące operatorów i ich sprzężeńsą niezależne od wyboru reprezentacji (bazy w przestrzeniH), to znaczy przebiegają w tensam sposób w każdej reprezentacji.

9.2.7 Wyrażenie dla 〈ϕ | A |ψ 〉

Po raz kolejny użyjemy metody, którą posłużyliśmy się przy wyprowadzanie relacji (9.19).Rozważając element macierzowy 〈ϕ | A |ψ 〉, a więc liczbę, korzystamy dwukrotnie z roz-kładu jedynki (9.8) i mamy

〈ϕ | A |ψ 〉 = 〈ϕ | 1 A 1 |ψ 〉

=∫Idα∫Idβ 〈ϕ |uα 〉〈uα | A |uβ 〉〈uβ |ψ 〉

=∫Idα∫Idβ b∗(α) Aαβ f(β). (9.26)

Ponieważ współczynniki b∗(α) = 〈ϕ |uα 〉 tworzą wiersz, zaś f(β) = 〈uβ |ψ 〉 kolumnę,więc znów widzimy, że uzyskane wyrażenia nadal są w pełni zgodne z technikami rachunkumacierzowego.

9.3 Nowa terminologia

Podsumujemy wprowadzone pojęcia i zależności pomiędzy nimi. Celem naszym jest przy-pisanie opisanemu formalizmowi, terminologii typowej dla mechaniki kwantowej. Dlategoteż, choć w skrócie, powtórzymy niektóre z powyższych ustaleń.

9.3.1 Funkcje falowe w reprezentacji U

Niech |uα 〉 będzie pewną bazą w przestrzeni Hilberta H – przestrzeni stanów |ψ 〉. Jakuprzednio, nie precyzujemy charakteru zbioru indeksów I 3 α. Stosujemy notację odpo-wiadającą zbiorowi ciągłemu – stąd całki i delty Diraca. Adaptacja do przypadku gdyzbiór I jest zbiorem dyskretnym nie powinno sprawić żadnych trudności, całki staną sięw sumami, a delty Diraca deltami kroneckerowskimi (tak jak to powiedziano na począt-ku rozdziału). Omawianą bazę będziemy nazywać reprezentacją U w danej przestrzeni

121


stanów H. Przypomnijmy, że wektory bazy muszą spełniać relacje

• ortonormalność: 〈uα |uβ 〉 = δ(α− β); (9.27)

• zupełność∫Idα |uα 〉〈uβ | = 1. (9.28)

Dowolny stan, wektor |ψ 〉 ∈ H możemy zapisać w bazie (reprezentacji U) w/g (9.5), przyczym współczynniki rozkładu są iloczynami skalarnymi 〈uα |ψ 〉.

Po tym przypomnieniu jesteśmy gotowi do dokładnego omówienia (już sygnalizowa-nej) terminologii, która jest właściwa dla mechaniki kwantowej i którą będziemy stosowaćw dalszych rozdziałach wykładu.

Dowolny stan |ψ 〉 ∈ H można rozłożyć w bazie|uα 〉

:

|ψ 〉 =∫dα |uα 〉 f(α). (9.29)

Liczbową funkcję parametru α

f(α) = 〈uα |ψ 〉 ∈ C, (9.30)

nazwiemy funkcją falową stanu |ψ 〉 w reprezentacji U .

Interpretacja probabilistyczna wymaga, aby funkcja falowa f(α) (w reprezentacji U) byłaunormowana, to jest∫

Idα |f(α)|2 =

∫Idα 〈uα |ψ 〉∗〈uα |ψ 〉

=∫Idα 〈ψ |uα 〉〈uα |ψ 〉 = 〈ψ |ψ 〉 = 1. (9.31)

Przedostatni krok jest oczywiście konsekwencją zupełności (9.28) wektorów bazy. War-tość funkcji falowej dla pewnego (wybranego) parametru α, tzn. wielkość f(α) = 〈uα |ψ 〉interpretujemy jako amplitudę (gęstości – dla rozkładów ciągłych) prawdopodobieństwatego, że układ fizyczny opisany stanem |ψ 〉 ∈ H, w wyniku pomiaru znaleziony zostaniew stanie |uα 〉. Reprezentacja U jest tutaj dowolna, zatem wymóg unormowania funkcjifalowej dotyczy każdej reprezentacji i zapewnia, że interpretacja probabilistyczna jest nie-zależna od wyboru reprezentacji. Wybór reprezentacji określa natomiast o jakim (czego)prawdopodobieństwie mówimy.

9.3.2 Operatory w reprezentacji U

Niech f(α) i f(α), (α ∈ I) będą odpowiednio funkcjami falowymi dwóch stanów |ψ 〉 oraz|ψ ′ 〉 = A|ψ 〉 w reprezentacji U , tak jak w (9.17). Korzystając bezpośrednio z relacji (9.19)możemy powiązać f(α) – funkcję falową stanu |ψ ′ 〉 w reprezentacji U , z odpowiednią

122


funkcją falową f(α) stanu wyjściowego |ψ 〉 ( w tej samej reprezentacji)

f(α) = 〈uα |ψ ′ 〉 = 〈uα | A |ψ 〉

=∫dβ 〈uα | A |uβ 〉 f(β) =

∫dβ A

(u)αβ f(β), (9.32)

gdzie, za pomocą górnego (dodatkowego) wskaźnika, wyraźnie zaznaczyliśmy, że mówimyo liczbie A(u)

αβ = 〈uα | A |uβ 〉 – elementcie macierzowym operatora A w reprezentacji U .Po raz kolejny podkreślmy spójność z zasadami rachunku macierzowego, prawa stronarelacji (9.32) jest iloczynem macierzy A(u)

αβ i wektora kolumnowego f(β) (por. (9.9)).Związek pomiędzy funkcjami falowymi f(α) i f(β) odpowiadającymi stanom (wekto-

rom) |ψ ′ 〉 = A|ψ 〉 oraz |ψ 〉 zazwyczaj wymaga zapisu takiego jak w (9.32), tj. używaniamacierzy i ich elementów macierzowych, co bywa skomplikowane i technicznie trudne.

W poprzednich rozdziałach mówiliśmy np. o operatorze pędu (4.108), który działającna "starą" funkcję falową produkuje, poprzez różniczkowanie, "nową" funkcję falową.Byłoby by więc rzeczą ze wszech miar pożyteczną, znaleźć taką postać operatora A −→A(u) w reprezentacji U , aby zamiast skomplikowanej relacji (9.32) napisać

A(u)f(α) = f(α), (9.33)

czyli coś prostszego i bardziej przejrzystego. Innymi słowy, chcielibyśmy skonstruowaćoperator A(u) tak, aby mógł on działać bezpośrednio na funkcje falowe f(α) i dawać wefekcie f(α). Jest to na ogół trudne, jednak czasami taka "sztuczka" się udaje. Jej przykła-dem są operatory położenia i pędu omawiane (i stosowane) w poprzednich rozdziałach. Dobardziej szczegółowej analizy tych operatorów wrócimy w następnym rozdziale, w którymprecyzyjnie ustalimy, o czym tak naprawdę mówimy.

Teraz przyjmiemy następującą umowę terminologiczną. Jeśli ciąg równości (9.32)uda się zastąpić relacją (zachodzącą dla dowolnej funkcji falowej f(α))

f(α) = A(u)f(α), (9.34)

to wówczas mówimy, że potrafimy przedstawić operator A w reprezentacji U .

Piszemy wtedy

f(α) = A(u) f(α) = A(u) 〈uα |ψ 〉 (9.35a)

≡ 〈uα | A |ψ 〉 (9.35b)

gdzie funkcja falowa f(α) = 〈uα |ψ 〉 jest określona zgodnie z konwencją (9.30). Ostat-ni człon tych formuł można interpretować jako swoistą regułę "wyjmowania" operatora(w wybranej reprezentacji) z elementu macierzowego, ściśle zdefiniowanego przez całkęw relacji (9.32).

123


Powyższe określenia mogą być nieco niejasne. Dlatego też zilustrujemy je pewnymi(choć dość ogólnymi) rozważaniami. Natomiast w następnym rozdziale omówimy niecobardziej konkretne przypadki.

9.3.3 Uwagi dodatkowe

Załóżmy hipotetycznie, że w pewnej reprezentacji zachodzi relacja

A(u)αβ = 〈uα | A |uβ 〉 = δ(α− β) A(u)(β), (9.36)

czyli, że element macierzowy operatora A jest wyrażony w dość szczególny sposób, bowiemzawiera deltę Diraca (w przypadku skończenie wymiarowym lub przeliczalnym, deltę Kro-neckera). Sprawdźmy więc, jakie są konsekwencje przyjętego założenia. Biorąc pod uwagędwa krańcowe człony ciągu (9.32) otrzymujemy

f(α) =∫dβ δ(α− β)A(u)(β) f(β) = A(u)(α) f(α), (9.37)

przy czym ostatnia równość wynika wprost z całkowania. Widzimy, że jeśli spełnionejest założenie (9.36), to trudności znikają. Dostajemy prosty związek pomiędzy funkcjamifalowymi. Jednocześnie sensowne jest nazwanie operatora A(u)(α) operatorem A w re-prezentacji U . Oczywiście pozostaje odpowiedzieć na pytania, czy konstrukcja elementówmacierzowych, takich jak (9.36) jest możliwa, a jeśli tak, to jak ją przeprowadzać. Pew-ne przykłady podamy w następnym rozdziale, gdzie będziemy badać tzw. reprezentacjępołożeniową.

Na zakończenie rozważmy rolę postulatu (9.36) w nieco bardziej ogólnym elemenciemacierzowym, a mianowicie w f(α) = 〈uα | A |ψ 〉, czyli w taki jak w(9.35b). Stosującznane już metody otrzymujemy ciąg równości

〈uα | A |ψ 〉 = 〈uα | A 1 |ψ 〉 =∫dβ 〈uα | A |uβ 〉〈uβ |ψ 〉. (9.38)

I dalej, z założenia (9.36) oraz umowy (9.30)

〈uα | A |ψ 〉 =∫dβ δ(α− β) A(u)(β) f(β)

= A(u)(α) f(α) = A(u)(α) 〈uα |ψ 〉, (9.39)

co odtwarza przyjętą na mocy umowy regułę (9.35a). Jednocześnie uzyskujemy potwier-dzenie, że szczególna postać elementu macierzowego (9.36) jest uprzywilejowana.

Jeśli potrafimy (w bazie |uα 〉, czyli w reprezentacji U) zapisać elementy macierzowetak jak w (9.36), to automatycznie potrafimy budować operatory w wybranej reprezen-tacji, a także bezpośrednie związki pomiędzy "nową" a "starą" funkcją falową, na którądziała operator. Podkreślmy jednak, że znalezienie jawnej postaci A(u)(α) – operatora Aw reprezentacji U – często nie jest sprawą ani prostą, ani łatwą. Najpierw musimy znaleźćelement macierzowy Aαβ = 〈uα | A |uβ 〉, a następnie tak go przekształcić, aby otrzymaćformułę typu (9.36).

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

124

S.Kryszewski 10. Reprezentacje położeniowa i pędowa 125

Rozdział 10

Reprezentacje położeniowa i pędowa

10.1 Reprezentacja położeniowa

W poprzednich rozdziałach wielokrotnie mówiliśmy o pojedynczej, bezspinowej cząstceo masie m poruszającej się w polu o potencjale (energii potencjalnej) V (~r). Posługiwali-śmy się funkcjami falowymi ψ(~r), których własności przedyskutowaliśmy dość szczegóło-wo. Wyprzedzając nieco tok wykładu stwierdzimy, że funkcje falowe są wektorami stanuw reprezentacji położeniowej. Reprezentacja ta jest szczególnie uprzywilejowana i czę-sto używana. Omówimy ją teraz dokładnie, tworząc jednocześnie przykład praktycznegozastosowania ogólnego formalizmu wprowadzonego w poprzednim rozdziale.

10.1.1 Definicja reprezentacji położeniowej

Wprowadzenie określonej reprezentacji polega na wyborze bazy w przestrzeni stanów.Aby ten cel osiągnąć rozważymy obserwablę R – operator położenia cząstki (patrz tak-że (4.106)), który z założenia jest hermitowski. Zagadnienie własne dla tego operatorazapiszemy w postaci

R |u~r 〉 = ~r |u~r 〉. (10.1)

Operator R jest wektorowy, to znaczy stanowi trójkę operatorów R = (X, Y , Z) =(X1, X2, X3) – po jednym dla każdej ze współrzędnych w zwykłej przestrzeni położeń.Oznacza to, że powyższe równanie "rozpada" się na trzy równania (10.2) – po jednym dlakażdej składowej położenia

Xj |u~r 〉 = xj |u~r 〉, j = 1, 2, 3. (10.2)

gdzie xj to składowe wektora położenia, to jest~r = (x, y, z) = (x1, x2, x3) ∈ R3. Zauważmyteż, że wektor ~r pełni w równaniu (10.1) podwójną rolę. Z jednej strony jest to wartośćwłasna operatora położenia, czyli możliwy wynik pomiaru położenia cząstki. Z drugiejstrony, wektor ten jest indeksem numerującym (w sposób ciągły) wektory własne |u~r 〉operatora położenia. Podkreślmy także, że w świetle uprzednich dyskusji staramy się niemówić o położeniu cząstki, a jedynie o możliwych wynikach pomiarów.

125


Wektory własne operatora hermitowskiego R tworzą bazę (reprezentację) w przest-rzeni Hilberta H – przestrzeni stanów cząstki bezspinowej. A zatem formalną bazę |uα 〉wprowadzoną w (9.1) utożsamiamy z wektorami |u~r 〉, zaś zwykły wektor ~r ∈ R3 od-grywa rolę ciągłego indeksu α. Posłużymy się ogólnie przyjętą notacją, oznaczając wektor|u~r 〉 po prostu jego "numerem", a więc pisząc

|u~r 〉 ≡ |~r 〉 oraz R |~r 〉 = ~r |~r 〉. (10.3)

Musimy jednak pamiętać, że zwykły wektor ~r jest wartością własną operatora R, a więcmożliwym wynikiem pomiaru położenia cząstki. Natomiast |u~r 〉 ≡ |~r 〉 jest wektoremz przestrzeni Hilberta, a zatem zupełnie innym obiektem matematycznym.

Tak zbudowaną reprezentację nazwiemy położeniową. Zbiór wektorów |~r 〉 ∈ Htworzy w przestrzeni Hilberta bazę ciągłą (numerowaną przez ciągły indeks). Wektor ~rjest teraz indeksem, więc w porównaniu z oznaczeniami z poprzedniego rozdziału zachodząodpowiedniości∫

Idα -

∫d 3r, δ(α− β) - δ(~r−~r ′). (10.4)

Będziemy więc nadal mieć do czynienia z całkami i deltami Diraca. Całkę∫d 3r, o ile nie

są zaznaczone granice całkowania, rozumiemy jako całkę po całym obszarze dostępnymdla cząstki. Obszar taki zawiera się w R3, może być podzbiorem całej przestrzeni lub teżbyć całą przestrzenią i oczywiście zastępuje zbiór indeksów I.

Wektory |~r 〉 muszą tworzyć bazę ortonormalną i zupełną (por. (9.4) i (9.8)). Przyj-mujemy, że z założenia są spełnione relacje

〈~r1 |~r2 〉 = δ(~r1 −~r2) − ortonormalnosc, (10.5a)∫d 3r |~r 〉〈~r | = 1 − zupełnosc (tzw. rozkład jedynki). (10.5b)

Na zakończenie tego paragrafu wypiszmy element macierzowy operatora położenia w re-prezentacji położeniowej. Z (10.3) oraz (10.5a) wynika, że

〈~r1 | R |~r2 〉 = 〈~r1 |~r2 |~r2 〉 = ~r2 〈~r1 |~r2 〉 = ~r2 δ(~r1 −~r2), (10.6)

gdzie ~r2 – wartość własna operatora R może być wyniesiona na zewnątrz iloczynu skalar-nego. Jest to lepiej widoczne, gdy rozpiszemy na składowe. Wówczas zamiast powyższejrelacji, mamy

〈x(1)j | Xj |x(2)

j 〉 = 〈x(1)j |x

(2)j |x

(2)j 〉 = x

(2)j 〈x

(1)j |x

(2)j 〉 = x

(2)j δ

(x

(1)j − x

(2)j

), (10.7)

bowiem współrzędną, jako liczbę, oczywiście można "wyjąć" z elementu macierzowego,który przechodzi w iloczyn skalarny. Obliczenia elementu macierzowego operatora położe-nia w reprezentacji położeniowej jest proste. Wyrażenie (10.6) zawiera deltę Diraca. Jeślizestawimy je z (9.36) i późniejszą dyskusją w rozdzaile 9, to widać, że możemy spodziewaćsię uproszczeń rachunkowych.

126


10.1.2 Funkcje falowe w reprezentacji położeniowej

Kontynuujemy rozważania mające na celu konstrukcję reprezentacji położeniowej. Ana-logicznie jak w ogólnym – formalnym przypadku (por. (9.7)) rozkładamy dowolny stan|ψ 〉 ∈ H w wybranej bazie – reprezentacji

|ψ 〉 = 1 |ψ 〉 =∫d 3r |~r 〉〈~r |ψ 〉. (10.8)

Zgodnie z definicją (9.30) i według oznaczeń (10.3) wielkość

〈~r |ψ 〉 = ψ(~r), (10.9)

nazwiemy funkcją falową stanu |ψ 〉 w reprezentacji położeniowej.

Stosuje się tu cała, omawiana w poprzednich rozdziałach interpretacja funkcji falowej.Zgodnie z interpretacją probabilistyczną wzoru (9.30), ψ(~r) – funkcja falowa stanu |ψ 〉w reprezentacji położeniowej – określa amplitudę gęstości prawdopodobieństwa znalezieniacząstki w stanie |~r 〉, lub mówiąc bardziej ściśle, w otoczeniu punktu ~r. Mówimy tu ogęstości, bo mamy do czynienia z reprezentacją ciągłą. Oczywiście jest to w pełni zgodnez interpretacją przedstawioną w rozdziale 2 (patrz (2.23)).

Zbadajmy normowanie stanu |ψ 〉. Tworzymy iloczyn skalarny stanu |ψ 〉 z samymsobą, korzystamy z rozkładu jedynki (10.5b) i stosujemy oznaczenie (10.9), dostając

〈ψ |ψ 〉 = 〈ψ | 1 |ψ 〉 =∫d 3r 〈ψ |~r 〉〈~r |ψ 〉 =

∫d 3r 〈~r |ψ 〉∗〈~r |ψ 〉

=∫d 3r ψ∗(~r) ψ(~r). (10.10)

Wnioskujemy, że funkcja falowa ψ(~r) = 〈~r |ψ 〉 musi być funkcją całkowalną w kwadracie.Jeżeli tylko iloczyn skalarny 〈ψ |ψ 〉 jest skończony, to można przeprowadzić normowa-nie. Oczywiście, żądając aby 〈ψ |ψ 〉 = 1 otrzymujemy z (10.10) standardowy waruneknormalizacyjny dla funkcji falowej (w reprezentacji położeniowej). Przenoszą się tu, i tobez problemu, znane już własności funkcji falowych. Uzasadnia to nazewnictwo i nota-cję wprowadzoną w (10.9), a także formalizuje rozważania prowadzone w rozdz. 2 (patrz(2.23)–(2.30)) jak również w rozdz. 5 (patrz (5.21)–(5.24)).

10.1.3 Operatory w reprezentacji położeniowej

Formalne (abstrakcyjne) operatory działają w przestrzeni Hilberta H. Jeśli dwa stany|ψ ′ 〉, |ψ 〉 ∈ H są związane ze sobą relacją |ψ ′ 〉 = A |ψ 〉, wówczas odpowiednie funkcjefalowe w reprezentacji położeniowej spełniają formuły wynikające z zaadaptowania dobieżących potrzeb relacji (9.19). Po odpowiednich podstawieniach otrzymujemy

ψ ′(~r) = 〈~r |ψ ′ 〉 = 〈~r | A |ψ 〉 =∫d 3r1 〈~r | A |~r1 〉 ψ(~r1). (10.11)

127


Tak jak w ogólnym przypadku, do określenia jak działa operator A na funkcje falowe w re-prezentacji położeniowej, niezbędne są elementy macierzowe 〈~r | A |~r ′ 〉 obliczone w tejżereprezentacji.

Operator położenia

Operator położenia przekształca stan |ψ 〉 w nowy stan |ψ ′ 〉, to znaczy |ψ ′ 〉 = R |ψ 〉.Łatwo znaleźć związek między odpowiednimi funkcjami falowymi w reprezentacji położe-niowej. Na podstawie (10.6), z (10.11) dostajemy

ψ ′(~r) =∫d 3r1 〈~r | R |~r1 〉〈~r1 |ψ 〉 =

∫d 3r1 ~r1 δ(~r−~r1) 〈~r1 |ψ 〉

= ~r 〈~r |ψ 〉 = ~r ψ(~r), (10.12)

przy czym przejście do drugiej linii wynika ze zwykłego całkowania. Działanie operatorapołożenia R, "przeniesione" do przestrzeni funkcji falowych sprowadza się do mnożeniaψ(~r) przez wektor położenia. Wyprowadziliśmy więc rezultat (4.106), który uprzedniomiał charakter postulatu. Porównując (10.12) z relacją (9.39) stwierdzamy, że operatorpołożenia w reprezentacji położeniowej to

R(r) = ~r, (10.13)

co, w świetle dyskusji z rozdziału 4, bynajmniej nie jest wynikiem nieoczekiwanym.

10.1.4 Operator pędu w reprezentacji położeniowej

Działanie operatora pędu na funkcje falowe było już postulowane (patrz (4.108)). Chcemyteraz ten postulat uzasadnić wykorzystując formalizm reprezentacji dany relacjami (9.32)lub (9.35) Potrzebujemy więc elementu macierzowego 〈~r | P |~r ′ 〉.

Aby go obliczyć, musimy mieć jakiś punkt wyjścia. Postąpimy tu zgodnie z opisa-ną w rozdziale 4 ogólną procedurą kwantowania polegającą na zastąpieniu klasycznychnawiasów Poissona (patrz (4.121)) komutatorami pomnożonymi przez i~. Przypomina-my więc kanoniczną relacje komutacyjną (trzecia w (4.121)) dla składowych operatorówpołożenia i pędu:[

Xj, Pk]

= i~δjk. (10.14)

Biorąc teraz element macierzowy 〈~r | · |~r ′ 〉 obu stron relacji komutacyjnej, dostajemy

〈~r |[Xj, Pk

]|~r ′ 〉 = i~δjk〈~r |~r ′ 〉 = i~ δjk δ(~r−~r ′), (10.15)

co wynika z relacji ortonormalności (10.5a). Z drugiej strony, obliczamy bezpośrednioelement macierzowy komutatora, otrzymując

〈~r |[Xj, Pk

]|~r ′ 〉 = 〈~r |

(XjPk − PkXj

)|~r ′ 〉 = (xj − x′j)〈~r |Pk |~r ′ 〉, (10.16)

128


co jest konsekwencją równania własnego (10.2) i jego sprzężenia hermitowskiego. Porów-nując prawe strony uzyskanych relacji mamy

δjkδ(~r−~r ′) = − i

~(xj − x′j)〈~r |Pk |~r ′ 〉. (10.17)

W dalszych obliczeniach wykorzystamy znane z teorii dystrybucji twierdzenie, które przyj-miemy tu bez dowodu1. Otóż zachodzi następujący związek.

Twierdzenie 10.1 Delta-funkcja Diraca ma następującą własność

δjkδ(~r) = − xj∂

∂xkδ(~r). (10.18)

Wykorzystując powyższą tezę po lewej stronie formuły (10.17) możemy napisać

− (xj − x′j)∂

∂xkδ(~r−~r ′) = − i

~(xj − x′j) 〈~r |Pk |~r ′ 〉, (10.19)

po oczywistym skróceniu, otrzymujemy

〈~r |Pk |~r ′ 〉 = − i~ ∂

∂xkδ(~r−~r ′) = i~

∂

∂x′kδ(~r−~r ′), (10.20)

gdzie w ostatnim kroku dokonaliśmy zamiany zmiennych, co prowadzi do zmiany znaku.Należy pamiętać, że wyrażenie to ma sens tylko w ramach teorii dystrybucji, tj. w sen-sie formuły (9.32), gdzie element macierzowy operatora występuje pod znakiem całki.Element macierzowy operatora pędu w reprezentacji położeniowej wykorzystamy w ce-lu znalezienia wyrażenia 〈~r |Pk |ψ 〉, które badamy w sposób podobny do reguły (9.26).Dostajemy więc

〈~r |Pk |ψ 〉 =∫d 3r ′ 〈~r |Pk |~r ′ 〉〈~r ′ |ψ 〉 = i~

∫d 3r ′

[∂

∂x′kδ(~r−~r ′)

]ψ(~r ′). (10.21)

Całkę obliczamy przez części. Człon powierzchniowy (brzegowy) musi znikać, ponieważfunkcja falowa na granicy dostępnego obszaru jest równa zeru (patrz (2.32)). A więc dalej

〈~r |Pk |ψ 〉 = − i~∫d 3r δ(~r−~r ′) ∂

∂x′kψ(~r ′) = − i~ ∂

∂xkψ(~r). (10.22)

Podsumowując te rozważania stwierdzamy, że element macierzowy operatora pędu (10.20)w reprezentacji położeniowej zawiera deltę Diraca, zgodnie z ogólną regułą (9.36). Do-konaliśmy potem takich przekształceń, że doprowadziliśmy do formuły mającej ogólnykształt(9.39). Wobec tego możemy napisać

〈~r |Pk |ψ 〉 = P(r)k ψ(~r) = − i~ ∂

∂xkψ(~r), (10.23)

1Dowód można znaleźć w Uzupełnieniach.

129


a stąd, wobec dowolności funkcji falowej ψ(~r), wynika już konkretna postać operatorapędu w reprezentacji położeniowej. Zauważmy, że jesteśmy tu w zgodzie z ogólną notacjązaproponowaną we wzorach (9.35). Tak więc mamy

P(r)k = − i~ ∂

∂xk, k = 1, 2, 3, (10.24)

czego zresztą należało oczekiwać. Teraz jednak, uzyskana postać operatora pędu w re-prezentacji położeniowej została wyprowadzona z reguły komutacyjnej, a nie przyjętajako postulat. W tym przypadku udało nam się pozbyć całek, możliwy jest zwarty za-pis działania operatora pędu. Jest to więc specyficzna ilustracja relacji (9.35) gdzie sensdystrybucyjny zniknął.

10.1.5 Zasada odpowiedniości w reprezentacji położeniowej

Wykazaliśmy powyżej, że w reprezentacji położeniowej działanie operatorów położeniai pędu na dowolną funkcję falową dane jest wzorami

〈~r | R |ψ 〉 = R(r) ψ(~r) = ~r ψ(~r), (10.25a)

〈~r | P |ψ 〉 = P(r) ψ(~r) = − i~∇ ψ(~r), (10.25b)

czyli działanie operatora położenia na ψ(~r) sprowadza się do mnożenia przez wektor, zaśdziałanie operatora pędu do różniczkowania względem zmiennych przestrzennych.

Można zastosować te same argumenty co poprzednio do potęg operatorów położeniai pędu. Na przykład, stosując dwukrotnie rozkład jedynki, dla kwadratu operatora pęduotrzymamy

〈~r | P2 |ψ 〉 =∫d 3r1

∫d 3r2 〈~r | P |~r1 〉〈~r1 | P |~r2 〉〈~r2 |ψ 〉. (10.26)

Podstawiając elementy macierzowe (10.20), po tych samych, choć coraz bardziej złożonychprzekształceniach dostaniemy

〈~r | P2 |ψ 〉 = − ~2∇2ψ(~r) =(P(r)

)2ψ(~r). (10.27)

Po opisaniu działania operatorów R i P na funkcje falowe ψ(~r), możemy konstruowaćw reprezentacji położeniowej dowolne inne operatory, będące funkcjami tych dwóch. I takna przykład dla hamiltonianu H, mamy

H =P2

2m+ V (R) -

repr. położeniowaH(r) = − ~2

2m∇2 + V (~r). (10.28)

Rezultat dyskusji możemy oczywiście zapisać w sposób bardziej ogólny, a mianowicie

Aklas(~r, ~p) -repr. położeniowa

A(r) = A(~r,−i~∇). (10.29)

W ten sposób, zasada odpowiedniości wprowadzona wcześniej właściwie ad hoc, uzysku-je w języku reprezentacji położeniowej rzetelne uzasadnienie formalne. Związek z fizykąklasyczną, polegający na sposobie konstruowania operatorów na podstawie klasycznychwielkości fizycznych, wyjaśnia szczególną rolę reprezentacji położeniowej.

130


10.2 Reprezentacja pędowa

Pokażemy tutaj, że reprezentacja położeniowa, choć najczęściej używana, nie jest jedynąmożliwą. Omówimy pokrótce reprezentację pędową.

Postępujemy w sposób całkiem podobny do poprzedniego przypadku, dlatego też na-sze postępowanie będzie już nieco skrótowe. Niech P oznacza wektorowy, złożony z 3składowych P = (Px, Py, Pz) = (P1, P2, P3) operator pędu (pewnej cząstki). Jego wekto-ry i wartości własne oznaczymy

P |u~p 〉 ≡ P| ~p 〉 = ~p | ~p 〉, (10.30)

gdzie jak uprzednio ~p jest wartością własną operatora P, czyli możliwym wynikiem pomia-ru pędu cząstki. Oczywiście ~p ∈ R3 i jest zwykłym wektorem. Wektor | ~p 〉 z przestrzeniHilberta oznaczamy jego "numerem" (analogicznie jak to zrobiliśmy w (10.3) dla położe-nia). Stany (wektory) własne operatora hermitowskiego P tworzą w H bazę, a zatem sąortonormalne i zupełne, tj. spełniają relacje

〈 ~p1 | ~p2 〉 = δ(~p1 − ~p2), (10.31a)∫d 3p | ~p 〉〈 ~p | = 1. (10.31b)

Zbiór indeksów jest ponownie zbiorem ciągłym. Wobec tego, tak samo jak w (10.4) całkapo dα stanie się całką względem d 3p, a także δ(α− β) będzie zastąpiona przez δ(~p− ~p ′).Tak wybraną w przestrzeni H reprezentację (bazę) nazwiemy pędową. Postępując dalej,analogicznie jak przy dyskusji reprezentacji położeniowej, otrzymujemy

〈 ~p1 | P | ~p2 〉 = ~p2 〈 ~p1 | ~p2 〉 = ~p2 δ(~p1 − ~p2), (10.32)

co oczywiście jest elementem macierzowym operatora pędu w reprezentacji pędowej.Niech teraz |ψ 〉 ∈ H będzie dowolnym wektorem opisującym stan cząstki. Wówczas

(w analogii do (10.8)) piszemy

|ψ 〉 = 1 |ψ 〉 =∫d 3p | ~p 〉〈 ~p |ψ 〉 =

∫d 3p | ~p 〉 ψ(~p). (10.33)

Oczywiście wielkość

〈 ~p |ψ 〉 = ψ(~p), (10.34)

nazwiemy funkcją falową (cząstki) w reprezentacji pędowej. Sprawdźmy teraz konsekwen-cje normowania stanu |ψ 〉. A zatem

1 = 〈ψ |ψ 〉 = 〈ψ | 1 |ψ 〉 =∫d 3p 〈ψ | ~p 〉〈 ~p |ψ 〉,

=∫d 3p ψ∗(~p) ψ(~p) =

∫d 3p

∣∣∣ ψ(~p)∣∣∣2 , (10.35)

131


gdzie skorzystaliśmy z rozkładu jedynki (10.31b) w reprezentacji pędowej. Widzimy więc,że zgodnie z ogólnymi wymogami, funkcja falowa ψ(~p) w reprezentacji pędowej jest unor-mowana do jedności, tak samo jak to było w reprezentacji położeniowej (i zresztą w każdejinnej, patrz (9.31) i jego dyskusja). Dlatego też interpretujemy funkcję ψ(~p) jako ampli-tudę gęstości prawdopodobieństwa tego, że badana cząstka ma pęd w otoczeniu ~p.

Pracując w reprezentacji położeniowej badaliśmy, w jaki sposób wyrażają się ope-ratory położenia i pędu. Rozważymy ten sam problem w reprezentacji pędowej. Niechwięc |ψ′ 〉 = P|ψ 〉. Wobec tego, podobnie jak przy wyprowadzaniu relacji (10.12), w tymwypadku dostajemy

ψ ′(~p) = 〈 ~p |ψ ′ 〉 = 〈 ~p | P |ψ 〉 = 〈 ~p | P1 |ψ 〉

=∫d 3p1 〈 ~p | P | ~p1 〉〈 ~p1 |ψ 〉. (10.36)

Biorąc pod uwagę wyrażenie (10.32) otrzymujemy

ψ ′(~p) =∫d 3p1 ~p1 δ(~p− ~p1) 〈 ~p1 |ψ 〉 = ~p 〈 ~p |ψ 〉 = ~p ψ(~p) (10.37)

Stwierdzamy, że działanie operatora pędu w reprezentacji pędowej sprowadza się do po-mnożenia funkcji falowej ψ(~p) przez pęd (wartości własną)

P(p) ψ(~p) = ~p ψ(~p), (10.38)

co jest wynikiem podobnym do relacji (10.12) uzyskanej w reprezentacji położeniowej.Dość żmudne obliczenia doprowadziły nas do wyrażenia (10.24) określającego operatorpędu w reprezentacji położeniowej. W dużej mierze analogiczna (nie będziemy więc jej tupodawać) procedura obliczeniowa pozwala znaleźć postać operatora położenia w repre-zentacji pędowej. Otrzymujemy wtedy

R(p) = i~∂

∂~p= i~∇~p, lub X

(p)j = i~

∂

∂pj(10.39)

czyli operator położenia w reprezentacji pędowej to gradient obliczany w przestrzeni pę-dów ~p ∈ R3.

10.3 Związek między reprezentacjami |~r 〉 i | ~p 〉

10.3.1 Wprowadzenie

Wybierając w przestrzeni stanów H bazy |~r 〉 oraz | ~p 〉 skonstruowaliśmy dwie reprezen-tacje. Stanowi |ψ 〉 ∈ H przypisaliśmy funkcje falowe

ψ(~r) = 〈~r |ψ 〉 − w reprezentacji położeniowej, (10.40a)

ψ(~p) = 〈 ~p |ψ 〉 − w reprezentacji pędowej, (10.40b)

132


Przypomnijmy, że te funkcje falowe są one współczynnikami rozkładów (10.8) i (10.33),odpowiednio. Co więcej, wyliczyliśmy operatory położenia i pędu, co jest zestawione w po-niższej tabeli

Reprezentacja

położeniowa pędowa

operator położenia R(r) = ~r X(p)j = i~

∂

∂pj

operator pędu P(r)k = −i~ ∂

∂xkP(p) = ~p

(10.41)

Zastanawia symetria elementów tej tabelki. Oczywista wydaje się być sugestia, że obiereprezentacje są wzajemnie powiązane. Zbadamy ten związek, posługując się znanymijuż metodami. Rozważmy ψ(~r) = 〈~r |ψ 〉 – funkcję falową w reprezentacji położenioweji wykorzystajmy rozkład jedynki w reprezentacji pędowej

ψ(~r) = 〈~r | 1 |ψ 〉 =∫d 3p 〈~r | ~p 〉〈 ~p |ψ 〉

=∫d 3p 〈~r | ~p 〉 ψ(~p). (10.42)

Postępując teraz "odwrotnie", piszemy

ψ(~p) = 〈 ~p | 1 |ψ 〉 =∫d 3r 〈 ~p |~r 〉〈~r |ψ 〉

=∫d 3r 〈 ~p |~r 〉 ψ(~r) =

∫d 3r 〈~r | ~p 〉∗ ψ(~r), (10.43)

przy czym ostatnia równość jest konsekwencją własności iloczynu skalarnego. Z powyż-szych związków wynika, że jeżeli tylko znamy wielkość 〈~r | ~p 〉, to możemy przejść odreprezentacji pędowej do położeniowej (za pomocą (10.42)), lub na odwrót od położenio-wej do pędowej (10.43). Możemy także interpretować iloczyn skalarny 〈~r | ~p 〉 jako swegorodzaju "macierz" przejścia od jednej reprezentacji do drugiej.

Przed obliczeniem iloczynu 〈~r | ~p 〉 zastanówmy się nad jego sensem fizycznym. Umó-wiliśmy się nazywać 〈~r |ψ 〉 funkcją falową stanu |ψ 〉 w reprezentacji położeniowej. Wobectego 〈~r | ~p 〉 możemy nazwać funkcją falową pędu w reprezentacji położeniowej. Ponieważ| ~p 〉 to stan własny operatora pędu, więc możemy jeszcze inaczej powiedzieć, że 〈~r | ~p 〉to funkcja własna pędu w reprezentacji położeniowej. Możemy odwrócić rozumowaniei nazwać 〈 ~p |~r 〉 funkcją własną położenia w reprezentacji pędowej. Co więcej, zgodniez interpretacją probabilistyczną, |〈 ~p |~r 〉|2 jest• gęstością prawdopodobieństwa tego, że cząstka mająca pęd ~p (stan własny) znajduje

się w otoczeniu punktu ~r w przestrzeni;• gęstością prawdopodobieństwa tego, że cząstka znajdująca się w punkcie ~r ma pęd

w otoczeniu wartości ~p, tj. w obszarze (~p+ d~p) w przestrzeni pędów.

Niestety, taka interpretacja sprawia poważne kłopoty, które omówimy po obliczeniu jawnejpostaci funkcji 〈~r | ~p 〉.

133


10.3.2 Funkcje własne pędu w reprezentacji położeniowej

Szukamy więc funkcji własnej pędu w reprezentacji położeniowej, czyli "macierzy" przej-ścia między obiema reprezentacjami. Wygodnie jest oznaczyć

ϕ~p(~r) ≡ 〈~r | ~p 〉. (10.44)

Aby znaleźć tę funkcję, rozważmy element macierzowy powstający przez "obłożenie" za-gadnienia własnego pędu (10.30) przez bra 〈~r |

〈~r | P | ~p 〉 = 〈~r | ~p | ~p 〉 = ~p 〈~r | ~p 〉 = ~p ϕ~p(~r), (10.45)

gdzie po prawej wyciągnęliśmy zwykły wektor (wartość własną pędu) przed element ma-cierzowy. Za pomocą relacji (10.23), w której kładziemy |ψ 〉 = | ~p 〉 otrzymujemy

〈~r | P | ~p 〉 = P(r) 〈~r | ~p 〉 = − i ~∇ ϕ~p(~r), (10.46)

Przyrównując prawe strony otrzymujemy równanie różniczkowe

−i ~∇ ϕ~p(~r) = ~p ϕ~p(~r). (10.47)

Równanie to ma oczywiste rozwiązanie w postaci

ϕ~p(~r) = N0 exp(i

~~p ·~r

), (10.48)

gdzie N0 jest stałą normalizacyjną. Normowanie jest tu jednak sprawą delikatną. Proble-my, na które tu natrafiamy są analogiczne do tych, które omawialiśmy w podrozdziale 3.3.Zauważmy bowiem, że z warunków zupełności bazy położeniowej (10.5b) i z normalizacji(10.31a) wynika∫

d 3r |ϕ~p(~r)|2 =∫d 3r 〈 ~p |~r 〉〈~r | ~p 〉 = 〈 ~p | ~p 〉 = δ(~0). (10.49)

A więc mamy kłopot, bowiem delta Diraca jest dystrybucją, a nie liczbą. Spróbujemyobejść tą trudność. W tym celu warto przypomnieć sobie, że w teorii transformacji Fo-uriera mamy

(2π)3δ(~k1 − ~k2) =∫d 3r exp

[−i(~k1 − ~k2

)·~r]. (10.50)

Wobec tego, dla poszukiwanej funkcji ϕ~p(~r) = 〈~r | ~p 〉 z warunku ortonormalizacji (10.31a)otrzymujemy

δ(~p1 − ~p2) = 〈 ~p1 | ~p2 〉 =∫d 3r 〈 ~p1 |~r 〉〈~r | ~p2 〉

= |N0|2∫d 3r exp

(− i

~~p1 ·~r

)exp

(i

~~p2 ·~r

)= |N0|2

∫d 3r exp

[− i

~(~p1 − ~p2) ·~r

], (10.51)

134


gdzie druga równość wynika z rozkładu jedynki w reprezentacji położeniowej. Zamieniającw elementarny sposób zmienną całkowania ~r = ~~q, na mocy (10.50) dostajemy

δ(~p1 − ~p2) = |No|2 ~3∫d 3q exp [− i (~p1 − ~p2) · ~q ]

= |No|2 ~3 (2π)3 δ(~p1 − ~p2) (10.52)

Widzimy, że stała normalizacyjna musi wynosić

|No|2 =1

(2π~)3=⇒ No =

eiφ√(2π~)3

. (10.53)

Fazę globalną wybieramy równą zeru. Tym samym funkcje własne operatora pędu w re-prezentacji położeniowej są postaci

〈~r | ~p 〉 = ϕ~p(~r) =1

(2π~)3/2exp

(i

~~p ·~r

), (10.54)

przy "warunku normowania"∫d3r 〈 ~p1 |~r 〉〈~r | ~p2 〉 =

∫d3r ϕ∗~p1(~r)ϕ~p2(~r)

=1

(2π~)3

∫d3r exp

[− i

~(~p1 − ~p2

)·~r]

= δ(~p1 − ~p2

). (10.55)

O normowaniu mówimy tu w cudzysłowie. Uzyskany rezultat jest sformalizowaniem trud-ności interpretacyjnych omawianych już w rozdz. 3 (patrz dyskusja formuły (3.17)). Przy-pomnijmy, że możemy na wielkość 〈~r | ~p 〉 spojrzeć na dwa sposoby. Po pierwsze, jest tofunkcja własna pędu w reprezentacji położeniowej, bowiem | ~p 〉 jest stanem własnym pę-du. Po drugie, jest to "macierz" przejścia pomiędzy reprezentacją położeniową a pędową(relacje (10.42) oraz (10.43)).

Łatwo jest sprawdzić, że powyższa funkcja rzeczywiście jest funkcją własną pędu w re-prezentacji położeniowej. Istotnie, zgodnie z przepisem (10.23)

P (r)ϕ~p(~r) = − i~∇ 1(2π~)3/2

exp(i

~~p ·~r

)= − i~ 1

(2π~)3/2

(i

~~p)

exp(i

~~p ·~r

)= ~p ϕ~p(~r), (10.56)

tak jak być powinno. Zajmiemy się teraz analizą "przejścia" pomiędzy badanymi repre-zentacjami.

10.3.3 Zmiana reprezentacji – pary fourierowskie

Do tej pory pracowaliśmy w reprezentacji położeniowej, w której stan |ψ 〉 reprezentujemyza pomocą funkcji falowej ψ(~r) ≡ 〈~r |ψ 〉. Chcemy teraz stan |ψ 〉 przedstawić w repre-zentacji pędowej. Korzystamy ze wzoru (10.43), gdzie podstawiamy 〈~r | ~p 〉, a zatem

ψ(~p) =∫d 3r ϕ∗~p(~r) ψ(~r) =

1(2π~)3/2

∫d 3r exp

(− i

~~p ·~r

)ψ(~r). (10.57)

135


Na odwrót, przechodzimy od reprezentacji pędowej do położeniowej, więc na mocy (10.42)otrzymujemy

ψ(~r) =∫d 3p ϕ~p(~r) ψ(~p) =

1(2π~)3/2

∫d 3p exp

(i

~~p ·~r

)ψ(~p). (10.58)

Wnioskujemy więc, że funkcje falowe stanu |ψ 〉 w reprezentacjach położeniowej i pędowejstanowią parę transformat Fouriera. Załóżmy, że skądinąd znamy (np. z rozwiązania stac-jonarnego równania Schrödingera) funkcję falową cząstki w reprezentacji położeniowej, toza pomocą transformaty (10.57) znajdziemy odpowiednią funkcję falową w reprezentacjipędowej. Transformata (10.58) zapewnia zaś przejście odwrotne – od pędowej funkcjifalowej do zwykłej, tj. do reprezentacji położeniowej.

10.3.4 Cząstka swobodna

Funkcje falowe ϕ~p(~r) = 〈~r | ~p 〉 (w reprezentacji położeniowej) interpretowaliśmy jakofunkcje własne pędu, albo jako współczynniki określające przejście pomiędzy reprezenta-cjami |~r 〉 i | ~p 〉. Możemy jednak nadać tym funkcjom jeszcze inną interpretację. W roz-dziale 3 badaliśmy już kwestie związane z bezspinową cząstką o masie m (patrz (3.11) –(3.18)). Wracamy znów do tego zagadnienia, ale w innym – bardziej formalnym – języku.Hamiltonian takiej cząstki to po prostu energia kinetyczna, czyli ma on postać

H =P2

2m. (10.59)

Zbadajmy stacjonarne równanie Schrödingera, czyli zagadnienie własne dla hamiltonianu

H |φ 〉 = E |φ 〉 =⇒ P2

2m|φ 〉 = E |φ 〉, (10.60)

które w reprezentacji położeniowej przyjmuje postać

− ~2

2m∇2 φ(~r) = E φ(~r), (10.61)

co oczywiście wynika np. z (10.27). Zamiast rozwiązywać równanie różniczkowe (10.61)możemy postąpić inaczej. Drugie z równań (10.60) zapiszemy jako

P2 |φ 〉 = 2mE |φ 〉, (10.62)

co stanowi równanie własne dla kwadratu operatora pędu. Ponieważ zaś P| ~p 〉 = ~p| ~p 〉,więc natychmiast mamy P2| ~p 〉 = ~p2| ~p 〉. Zatem stan |φ 〉 jest stanem własnym pęduproporcjonalnym do stanu | ~p 〉. A więc po podstawieniu do (10.62) (stała proporcjonal-ności i tak się skraca) mamy

~p2 | ~p 〉 = 2mE | ~p 〉. (10.63)

136


Wnioskujemy stąd, że stan | ~p 〉 jest nie tylko stanem własnym pędu, ale także jest stanemwłasnym hamiltonianu (energii) cząstki swobodnej odpowiadającym energii E = ~p2/2m.

Przechodząc do reprezentacji położeniowej stwierdzamy, że funkcja falowa

ϕ~p(~r) = 〈~r | ~p 〉 =1

(2π~)3/2exp

(i

~~p ·~r

)(10.64)

jest funkcją własną pędu oraz funkcją własną energii swobodnej cząstki, przy czym E =~p2/2m. Zwróćmy uwagę, że energia E jest silnie zdegenerowana, bo odpowiadają jej funk-cje własne (10.64), w których energia określa jedynie wartość p = |~p|, zaś kierunek wektorapędu jest dowolny.

10.3.5 Kłopoty interpretacyjne

Normując funkcję własną pędu ϕ~p(~r) = 〈~r | ~p 〉 (w reprezentacji położeniowej) natrafiliśmyna kłopoty. Odwołaliśmy się do "sztuczek" z teorii dystrybucji i transformacji Fouriera.Niestety nie są to jedyne kłopoty. Zgodnie z przyjętą interpretacją 〈~r | ~p 〉 jest amplitudąprawdopodobieństwa tego, że cząstka o pędzie ~p zostanie znaleziona w otoczeniu punktu~r.Wydaje się to być w porządku, dopóki nie uświadomimy sobie, że

|ϕ~p(~r)|2 =

∣∣∣∣∣ 1(2π~)3/2

exp(i

~~p ·~r

)∣∣∣∣∣2

=1

(2π~)3, (10.65)

więc całka z gęstości prawdopodobieństwa po całej przestrzeni R3 daje nieskończoność.Cały kłopot w tym, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całej przestrzeni powin-no być równe jedności. Oczywiście są te same trudności, które napotkaliśmy w rozdziale 3(patrz (3.17) i dalsza dyskusja). Teraz spojrzymy na te problemy w nieco innym świetle.

Zwróćmy uwagę na dwie sprawy. Po pierwsze, zasada nieoznaczoności mówi, że jeślicząstka ma ściśle określony pęd (o rozmyciu dążącym do zera), to rozmycie jej położe-nia powinno dążyć do nieskończoności. W tym więc sensie nasz kłopot może wydawaćsię niewielki. Po drugie, jeśli będziemy całkować gęstość prawdopodobieństwa (10.65) poskończonej objętości (nie wprowadzając żadnych innych modyfikacji), to wynik całkowa-nia powinien być skończony, można więc mieć nadzieję, że jakoś uda się przeprowadzićnormowanie prawdopodobieństwa.

Spróbujmy raz jeszcze uzmysłowić sobie, skąd wzięły się problemy. Wprowadzającreprezentację | ~p 〉 (a potem szukając związków z reprezentacją |~r 〉) przyjęliśmy, że war-tości własne pędu tworzą zbiór ciągły, czego konsekwencją jest relacja ortonormalizacyj-na (10.31a) zawierająca deltę Diraca zamiast delty Kroneckera i z której korzystaliśmyw (10.51). Innymi słowy przyjęliśmy, że operator pędu ma widmo ciągłe. Oczywiście tosamo dotyczy widma energii, gdy traktujemy ϕ~p(~r) jako funkcję własną hamiltonianucząstki swobodnej. Operatory mające widmo ciągłe występują w różnych zagadnieniachfizycznych i sprawiają trudności podobne do omawianych tutaj. Nie jest naszym celem dys-kutowanie matematycznych aspektów tych trudności. Rozwiązuje się je zazwyczaj tech-nikami zbliżonymi do tutaj zastosowanych, tj. (mówiąc w uproszczeniu)) przez odwołanie

137


się do teorii dystrybucji i transformacji Fouriera. Mamy jednak wtedy do czynienia z nie-normowalnymi (w sensie relacji (10.65)) funkcjami falowymi. Jak poradzić sobie z ichinterpretacją fizyczną?

Jeden ze sposobów przenosimy z fizyki klasycznej, gdzie często opisujemy fale za po-mocą tzw. fal płaskich typu exp(i~k · ~r − iωt), które rozciągają się w całej przestrzenii także są kłopotliwe (bo np. traktując je ściśle – niosą nieskończoną energię). Wyjściez kłopotu polega na cichym założeniu, że fale płaskie stanowią składowe pakietów falo-wych. Podobnie możemy postępować w mechanice kwantowej, po cichu myśląc o funkcjachϕ~p(~r) jako o składowych pakietu falowego. Matematyczna analiza pakietów bywa żmudnai dosyć uciążliwa. Funkcje ϕ~p(~r) są zaś proste i łatwo poddają się manipulacjom mate-matycznym. Wygodnie jest się więc nimi posługiwać przyjmując, że w końcu dokonamyich superpozycji tworząc pakiety falowe. Pakiet falowy tworzy normowalną funkcję falowąi jego interpretacja probabilistyczna nie sprawia już żadnych kłopotów. Co więcej, pa-kiet charakteryzuje się skończonymi rozmyciami pędu i położenia, co jest w pełni zgodnez zasadą nieoznaczoności.

Innym sposobem ominięcia omawianych trudności interpretacyjnych jest rozważanieukładów fizycznych w skończonej objętości (w pudle o objętości V). Metoda ta nie tylko(jak już wskazywaliśmy) ogranicza obszar dostępny dla cząstki, lecz także na ogół prowadzido widma dyskretnego, czyli pozwala uniknąć problemów z widmem ciągłym. Funkcjefalowe są wówczas normowalne. Przykładem może być cząstka w nieskończenie głębokiejjamie potencjału, gdzie żadne kłopoty się nie pojawiają.

Należy także przypomnieć możliwość wskazaną w rozdziale 3. Chodzi tu oczywiścieo interpretację fal płaskich, jako "strumień cząstek", co też bywa pożyteczne. Podsumo-wując, stwierdzamy, że funkcje falowe 〈~r | ~p 〉 mogą być pożytecznym narzędziem mate-matycznym (tak samo jak fale płaskie w fizyce klasycznej), a z ich interpretacją radzimysobie w któryś z omówionych sposobów.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

138

S.Kryszewski 11. Oscylator harmoniczny w reprezentacji energetycznej 139

Rozdział 11

Oscylator harmonicznyw reprezentacji energetycznej

11.1 Wprowadzenie

W rozdziale 7 omawialiśmy jednowymiarowy kwantowo-mechaniczny oscylator harmo-niczny, czyli układ fizyczny, którego hamiltonian (patrz (7.10)) ma postać

H =p2

2m+

12mω2x2. (11.1)

Przyjmując postulaty (4.106) i (4.108) skonstruowaliśmy stacjonarne równanie Schrödin-gera. Następnie rozwiązaliśmy to równanie znajdując funkcje ψn(x) – funkcje własne ha-miltonianu i odpowiednie energie własne

En = ~ω(n+ 1

2

), n = 0, 1, 2, . . . . . . (11.2)

Spójrzmy na otrzymane wyniki nieco formalniej, podobnie jak w dwóch poprzednich roz-działach. Hamiltonian oscylatora jest operatorem hermitowskim, można więc dlań wypisaćzagadnienie własne w języku przestrzeni Hilberta

H|φn 〉 = En|φn 〉, (11.3)

Wektory własne |φn 〉 muszą tworzyć bazę ortonormalną i zupełną

〈φm |φn 〉 = δmn,∞∑n=0

|φn 〉〈φn | = 1, (11.4)

bowiem mamy tu do czynienia z dyskretnym zbiorem wartości własnych. Zamiast deltyDiraca i całki, są delta Kroneckera i suma. Oczywiście w przestrzeni stanów rozpiętejprzez wektory |φn 〉 możemy wprowadzić reprezentację położeniową. Wówczas, zgodniez (10.9), możemy napisać

φn(x) = 〈x |φn 〉, (11.5)

nazywając jednocześnie tę wielkość funkcją falową oscylatora w reprezentacji położenio-wej. Oczywiście sensowne jest uważać, że funkcje falowe ψn(x) dane w (7.50) – funkcjewłasne hamiltonianu (11.1) – są tożsame z formalnymi funkcjami 〈x |φn 〉. Pokażemy da-lej, że tak rzeczywiście jest.

139


11.2 Operatory anihilacji i kreacji – ogólna teoria

Przedstawiona tu metoda wprowadzenia operatorów anihilacji i kreacji bazuje na pierwszejczęści1 szóstego rozdziału podręcznika Feynmana [8].

Nasze rozważania rozpoczniemy od założenia, że istnieje pewna przestrzeń Hilberta(być może nieskończenie wiele wymiarowa) w której będzie działać niehermitowski ope-rator a i jego sprzężenie a†. Założymy ponadto, że te dwa operatory spełniają kanonicznąrelację komutacyjną2[

a, a†]

= aa† − a†a = 1. (11.6)

Podkreślmy, że tak naprawdę istotny jest wyłącznie postulat (11.6). Na jego podstawieskonstruujemy odpowiednią przestrzeń Hilberta, a także zbadamy szereg bardzo ważnychwłasności obu operatorów. Tok naszego rozumowania podzielimy na serię lematów i twier-dzeń, które kolejno udowodnimy.

Lemat 11.1 Operator N = a†a ma pewien wektor własny | z 〉 odpowiadający rzeczywistejwartości własnej z, tzn.

N | z 〉 = a†a| z 〉 = z| z 〉, przy czym z ∈ R. (11.7)

Dowód. Teza wynika z faktu, że operator N = a†a jest hermitowski i dalej z własnościoperatorów hermitowskich.Uwaga : Wektor | z 〉 – wektor własny operatora hermitowskiego – można unormować.

W dalszych rozważaniach przyjmiemy, że jest on unormowany, tzn.

‖ | z 〉‖2 = 1, lub 〈 z | z 〉 = 1. (11.8)

Lemat 11.2 Wartość własna operatora N jest (rzeczywista) nieujemna: z ∈ R+.

Dowód. Ponieważ | z 〉 oznacza unormowany wektor własny operatora N , zatem

z = z 〈 z | z 〉 = 〈 z | z | z 〉 = 〈 z | a† a | z 〉 =(〈 z | a†

)(a | z 〉

)=(a | z 〉

)†(a | z 〉

)= ‖ a | z 〉 ‖2. (11.9)

Widzimy, że liczba z jest równa normie pewnego wektora, wobec tego jest to liczba rze-czywista i nieujemna.

Lemat 11.3 Obowiązują następujące relacje komutacyjne[a†a, a

]= −a, (11.10a)[

a†a, a†]

= a†. (11.10b)

1Warto zauważyć, że Feynman zatytułował tę część: "Pewne proste zadanie matematyczne".2Oczywiście poza tym mamy

[a, a

]= 0 =

[a†, a†

].

140


Dowód. Korzystamy z formuły (4.27b) i z kanonicznej relacji komutacyjnej (11.6). Otrzy-mujemy[

a†a, a]

= a† [ a, a ] +[a†, a

]a = a† · 0 + (−1)a.[

a†a, a†]

= a†[a, a†

]+

[a†, a†

]a = a† + 0 · a, (11.11)

co kończy dowód.

Lemat 11.4 Ket | z ′ 〉 = a | z 〉 jest stanem własnym operatora N = a†a odpowiadającymwartości własnej (z − 1), to jest

N a | z 〉 = (z − 1) a | z 〉. (11.12)

Dowód. Jeżeli a | z 〉 6= 0, to wówczas mamy

N a | z 〉 = a†aa | z 〉. (11.13)

Ze względu na relację komutacyjną (11.10a) możemy napisać a†aa = aa†a− a, a zatem

N a | z 〉 = a (a†a− 1) | z 〉 = a z | z 〉 − a | z 〉 = (z − 1)(a | z 〉

), (11.14)

gdzie skorzystaliśmy też z (11.7). Wektor a | z 〉 jest więc stanem własnym operatora Nz wartością własną (z − 1).

Lemat 11.5 Ket a† | z 〉 jest stanem własnym operatora N = a†a i odpowiada wartościwłasnej (z + 1), to jest

N a† | z 〉 = (z + 1) a† | z 〉. (11.15)

Dowód. Dowód jest analogiczny do poprzedniego, tutaj jednak korzystamy z relacjikomutacyjnej (11.10b) zamiast (11.10a).

Lemat 11.6 Normy wektorów a | z 〉 oraz a† | z 〉 wynoszą odpowiednio

‖ a | z 〉 ‖ =√z , ‖ a† | z 〉 ‖ =

√z + 1 . (11.16)

Dowód. Pierwsza norma wynika automatycznie z dowodu lematu 11.2, (patrz (11.9)).Drugą relację dowodzimy analogicznie

‖a† | z 〉‖2 =(a† | z 〉

)† (a† | z 〉

)= 〈 z | a a† | z 〉. (11.17)

Z kanonicznej relacji komutacyjnej mamy a a† = a† a+ 1, wobec tego

‖a† | z 〉‖2 = 〈 z |(a† a+ 1

)| z 〉 = 〈 z | a† a | z 〉+ 〈 z | z 〉

= ‖ a | z 〉 ‖2 + 1 = z + 1, (11.18)

co wynika stąd, że wektor | z 〉 jest unormowany i z pierwszej części tezy, a więc mamydrugą część tezy (11.16), co kończy dowód.

141


Lemat 11.7 Jeśli wektor an | z 〉 6= 0, to jest on wektorem własnym operatora N odpo-wiadającym wartości własnej (z − n):

N an | z 〉 = (z − n) an | z 〉 (11.19)

Dowód. Dowód przez indukcję. Przypadek n = 1 wykazaliśmy w (11.12). Zasadnicząrolę w dowodzie odgrywa relacja N a = aN − a, która wynika z (11.10a). Otrzymujemywtedy

N[an+1 | z 〉

]= N a

[an | z 〉

]=(aN − a

)[an | z 〉

]= aN

[an | z 〉

]− an+1 | z 〉. (11.20)

Na mocy założenia indukcyjnego, którym jest (11.19), dalej uzyskujemy

N[an+1 | z 〉

]= a(z − n) an | z 〉 − an+1 | z 〉

=(z − n− 1

)an+1 | z 〉, (11.21)

bowiem (z − n) jest liczbą. Teza (11.19) słuszna dla pewnego n jest więc również słusznadla n+ 1. Na mocy zasady indukcji matematycznej kończy to dowód.

Lemat 11.8 Istnieje taka liczba całkowita, że

an | z 〉 6= 0, lecz an+1 | z 〉 = 0, (11.22)

Dowód. Z poprzedniego lematu wynika, że an| z 〉 jest wektorem własnym operatora Nodpowiadającym wartości własnej (z − n). Lemat (11.2) mówi, że wartości własne N sąnieujemne. Dla dostatecznie dużego n będziemy mieli (z − n) < 0. Otrzymujemy więcsprzeczność. Wobec tego, musi istnieć taka dodatnia liczba całkowita, że warunki (11.22)będą spełnione, co kończy dowód.

Twierdzenie 11.1 Wartości własne z operatora N zdefiniowane w (11.7) są nieujemny-mi liczbami całkowitymi. Co więcej, istnieje unormowany wektor własny | 0 〉 operatora N ,taki że

a | 0 〉 = 0, (11.23)

który nazwiemy stanem próżni.

Dowód. Wektor an| z 〉 jest wektorem własnym operatora N odpowiadającym wartościwłasnej z − n, możemy więc go unormować i zapisać w postaci

| z − n 〉 =an | z 〉‖an | z 〉‖

. (11.24)

142


Niech n będzie liczbą całkowitą taką, że spełniony jest warunek (11.22). Oznacza to, że

a | z − n 〉 = 0, (11.25)

więc norma uzyskanego wektora wynosi

‖ a | z − n 〉 ‖ = 0. (11.26)

A zatem, z pierwszej z relacji (11.16) wynika, że

‖ a | z − n 〉 ‖ =√z − n = 0. (11.27)

Implikuje to, że z = n. Wartości własne z operatora N = a† a są więc nieujemnymiliczbami całkowitymi. Ponadto, wnioskujemy, że istnieje unormowany wektor | 0 〉, dlaktórego relacja (11.22) jest spełniona i to dla n = 0, bowiem wtedy | z = 0 〉 6= 0, zaśa| z = 0 〉 = 0.

Twierdzenie 11.2 Zgodnie z twierdzeniem 11.1, przez |n 〉 oznaczamy unormowany stanwłasny operatora N , który odpowiada wartości własnej n – nieujemnej liczbie całkowitej.Wówczas, wektory

|n− 1 〉 =a |n 〉√

n, oraz |n+ 1 〉 =

a† |n 〉√n+ 1

, (11.28)

są stanami własnymi operatora N . Relacje te pozwalają na skonstruowanie wszystkichstanów własnych operatora N , przy założeniu, że przynajmniej jeden z nich jest dany(znany). Formuły (11.28) można zapisać równoważnie

a |n 〉 =√n |n− 1 〉, (11.29a)

a† |n 〉 =√n+ 1 |n+ 1 〉. (11.29b)

Dowód. W lemacie 11.4 wykazaliśmy, że wektor a|n 〉 jest stanem własnym N należącymdo wartości własnej (n− 1). Oznacza to, że (zgodnie z wprowadzoną notacją) a |n 〉 jestwektorem proporcjonalnym do wektora |n − 1 〉, tzn. a|n 〉 ∼ |n − 1 〉. Pozostaje ustalićwspółczynnik proporcjonalności. Z lematu 11.6 wynika, że norma ‖ a |n 〉 ‖ =

√n . Wobec

tego wektor

a |n 〉‖ a |n 〉 ‖

=a |n 〉√

n= |n− 1 〉, (11.30)

jest unormowanym wektorem własnym N z wartością własną (n − 1). A zatem jest onrówny wektorowi |n− 1 〉. Pierwsza część twierdzenia jest więc dowiedziona. Drugą częśćdowodzimy w ten sam sposób, korzystając z drugiej równości w (11.16).

Twierdzenie 11.3 Stan własny |n 〉 operatora N = a† a można skonstruować jako

|n 〉 =1√n!

(a†)n| 0 〉, (11.31)

jeśli tylko stan próżni | 0 〉 zdefiniowany w (11.23) jest znany lub dany.

143


Dowód. Dowód przeprowadzamy przez indukcję z (11.29b). Dla n = 1 mamy

| 1 〉 =1√1!

a† | 0 〉 =1√1!

√1 | 1 〉 = | 1 〉, (11.32)

tak jak to być powinno. Dalej, dla n+ 1 dostajemy

|n+ 1 〉 =1√

(n+ 1)!(a†)n+1 | 0 〉

=1√n+ 1

1√n!

a† (a†)n| 0 〉

=1√

n+ 1a† |n 〉

=1√

n+ 1

√n+ 1 |n+ 1 〉 = |n+ 1 〉, (11.33)

gdzie, przechodząc do drugiej linii, wykorzystaliśmy założenie indukcyjne.

Twierdzenie to jasno określa sposób konstrukcji stanów własnych operatora N = a† a.Musimy najpierw zbudować (znaleźć) stan podstawowy – stan próżni | 0 〉, który powi-nien być wyznaczony jednoznacznie. Jeśli tak nie jest, to musimy dodatkowo dysponowaćzupełnym zbiorem komutujących obserwabli3, które będą klasyfikować stany próżni zapomocą dodatkowych liczb kwantowych, ale tym problemem nie będziemy się tu zajmo-wać. Znajdując w ten sposób odpowiedni unormowany stan próżni, możemy następniezbudować stany |n 〉 stosując operator kreacji zgodnie z przepisem (11.31).

Twierdzenie 11.4 Stany własne |n 〉 określone w (11.31) są ortonormalne, to jest

〈n |m 〉 = δnm. (11.34)

Dowód. Ortogonalność wynika z faktu, że stany |n 〉 są unormowanymi stanami własny-mi hermitowskiego operatora N . Bez straty ogólności możemy przyjąć n m, ponieważ〈n |m 〉 = 〈m |n 〉∗. Wówczas, z (11.31) dostajemy

〈n |m 〉 =1√n!m!

〈 0 | an (a†)m | 0 〉. (11.35)

Z drugiej strony mamy relacje komutacyjne

a (a†)m − (a†)m a =[a, (a†)m

]= a†

[a, (a†)m−1

]+

[a, a†

](a†)m−1

= a†[a, (a†)m−1

]+ (a†)m−1. (11.36)

Wielokrotnie stosując takie rozumowanie, w końcu otrzymamy

a (a†)m − (a†)m a = m (a†)m−1, (11.37)3O ZZOK – zupełnym zbiorze obserwabli komutujących – będzie mowa w następnym rozdziale.

144


co można też wykazać stosując indukcję matematyczną. Idąc dalej stwierdzamy, że

〈n |m 〉 =1√n!m!

〈 0 | an−1[m(a†)m−1 + (a†)m a

]| 0 〉

=1√n!m!

m 〈 0 | an−1 (a†)m−1 | 0 〉, (11.38)

bowiem w drugim składniku (w pierwszej linii) występuje czynnik a | 0 〉 = 0. Powtarzająctaką procedurę m-krotnie, uzyskamy w rezultacie relację

〈n |m 〉 =

√m!n!〈 0 | an−m | 0 〉. (11.39)

Dla n > m mamy an−m | 0 〉 = 0, co wynika z definicji stanu próżni. Gdy n = m, to dosta-niemy 〈n |m 〉 = 〈 0 | 0 〉 = 1. A zatem stany |n 〉 są ortogonalne (co nie jest nieoczekiwane)i unormowane, tak jak to być powinno, (porównaj (11.8)).

Powyższy ciąg lematów i twierdzeń kończy badanie konsekwencji kanonicznej relacjikomutacyjnej (11.6). Zbadaliśmy własności operatorów a i a†, a także podaliśmy sposóbkonstrukcji bazy |n 〉 , o ile tylko znany jest stan próżni.

11.3 Operatory anihilacji i kreacji – podsumowanie

Niehermitowskie operatory a i a† są określone przez relację komutacyjną[a, a†

]= 1. (11.40)

Stany |n 〉 są stanami własnymi operatora N = a†a, to jest

N |n 〉 = a†a|n 〉 = n |n 〉, gdzie n = 0, 1, 2, . . . . . . (11.41)

Stan | 0 〉 nazywamy stanem próżni. Spełnia on warunek

a | 0 〉 = 0. (11.42)

Stany |n 〉 są ortonormalne (stany własne operatora hermitowskiego N)

〈m |n 〉 = δmn. (11.43)

Działanie operatorów a i a† na stany |n 〉 określone jest wzorami

a |n 〉 =√n |n− 1 〉, (11.44a)

a† |n 〉 =√n+ 1 |n+ 1 〉. (11.44b)

Operator a nazwiemy teraz operatorem anihilacji, bowiem transformuje on stan |n 〉 wstan |n − 1 〉 (z odpowiednim mnożnikiem). Analogicznie, operator a† przeprowadzającystan |n 〉 w |n + 1 〉 nazwiemy operatorem kreacji. Operator N = a†a działający na stan|n 〉 produkuje liczbę n i dlatego jest nazywany operatorem liczby cząstek.

145


Nazewnictwo to staje się oczywiste jeśli powiemy, że |n 〉 to stan, w którym występujen cząstek. Należy tu jednak zachować ostrożność, bowiem opis cząstek o spinie całkowi-tym (bozonów) jest zasadniczo inny niż fermionów – cząstek o spinie połówkowym. Niebędziemy wchodzić w szczegóły teorii, powiemy tylko, że przedstawiona tu interpretacjadotyczy wyłącznie bozonów. Świetnym przykładem są fotony – kwanty pola elektroma-gnetycznego – cząstki o spinie 1. Matematyczny formalizm operatorów anihilacji i kreacjidoskonale zdaje egzamin w optyce i elektrodynamice kwantowej.

Zauważmy, że formuły (11.44a) i (11.44b) są w pełni spójne z poprzednimi. Pierwszaz nich zgadza się z definicją (11.42) stanu próżni. Co więcej, mamy

a† a |n 〉 = a†√n |n− 1 〉

=√n a† |n− 1 〉

=√n√

(n− 1) + 1 |n 〉 = n |n 〉, (11.45)

jak być powinno, zgodnie z definicją (11.41). Elementy macierzowe operatorów anihila-cji i kreacji łatwo wynikają z równania (11.44) i warunków ortonormalności. Bez truduotrzymujemy

〈m | a |n 〉 =√n 〈m |n− 1 〉

=√n δm,n−1, (11.46a)

〈m | a† |n 〉 =√n+ 1 〈m |n+ 1 〉

=√n+ 1 δm,n+1, (11.46b)

co okaże się pożyteczne w dalszej dyskusji.Na zakończenie, podkreślmy raz jeszcze, że wszystkie wykazane fakty i własności ope-

ratorów wynikają z fundamentalnej relacji komutacyjnej (11.6). Jeśli wykażemy, że jakaśpara wzajemnie sprzężonych (niehermitowskich) operatorów spełnia tę relację, to może-my od razu twierdzić, że są to operatory anihilacji i kreacji, które automatycznie mająwszystkie omawiane tu własności. W konkretnych zastosowaniach praktyczna konstrukcjaprzebiega w następujących zasadniczych krokach:

• budujemy (identyfikujemy) operatory anihilacji i kreacji a oraz a† i sprawdzamyrelację komutacyjną (odtwarzającą relację kanoniczną (11.40));

• znajdujemy (konstruujemy) stan próżni | 0 〉;• konstruujemy stany |n 〉 za pomocą relacji

|n 〉 =(a†)n√n!| 0 〉. (11.47)

146


11.4 Zastosowanie do oscylatora harmonicznego

11.4.1 Operatory anihilacji i kreacji dla oscylatoraharmonicznego

Zastosujemy tutaj przedstawioną powyżej teorię do konkretnego przypadku, a mianowiciedo jednowymiarowego (bezspinowego) oscylatora harmonicznego. Odpowiedni kwantowo-mechaniczny hamiltonian ma postać (11.1). Przypominamy, że występujące w nim ope-ratory położenia i pędu spełniają kanoniczną relację komutacyjną[

x, p]

= i~. (11.48)

Budujemy teraz dwa operatory pomocnicze√mω

~x, oraz

p√mω~

, (11.49)

i bez kłopotu sprawdzamy, że są one bezwymiarowe.

Twierdzenie 11.5 Dwa bezwymiarowe, niehermitowskie operatory b oraz b† zdefiniowanewzorami

b =1√2

(√mω

~x +

ip√mω~

)=

1√2mω~

(mωx + ip ) , (11.50a)

b† =1√2

(√mω

~x − ip√

mω~

)=

1√2mω~

(mωx − ip ) , (11.50b)

są ewidentnie wzajemnie sprzężone i spełniają relację komutacyjną[b, b†

]= 1. (11.51)

Zatem b możemy uznać za operator anihilacji, zaś b† za operator kreacji.

Dowód. Niehermitowskość, bezwymiarowość oraz fakt, że są wzajemnie sprzężone, wy-nika wprost z definicji. Trzeba jedynie wykazać relację komutacyjną (11.51). A zatemz definicji (11.50) otrzymujemy[

b, b†]

=1

2mω~[mωx + ip, mωx − ip

]=

12mω~

m2ω2

[x, x

]− imω

[x, p

]+ imω

[p, x

]+[p, p

] =

imω

2mω~−

[x, p

]+[p, x

] =

i

2~[− i~ + (−i~)

]= 1. (11.52)

Ponieważ operatory b i b† spełniają relację komutacyjną typową dla operatorów anihilacjii kreacji, więc posiadają one wszystkie niezbędne własności. Identyfikacja i nazewnictwowprowadzone w treści twierdzenia są poprawne i uzasadnione.

147


11.4.2 Hamiltonian oscylatora

Relacje (11.50) można łatwo odwrócić (proste rozwiązanie układu dwóch równań z dwiemaniewiadomymi) i wyrazić operatory położenia i pędu przez operatory anihilacji i kreacji

x =

√~

2mω

(b + b†

), p = − i

√mω~

2

(b − b†

), (11.53)

Za pomocą tych związków możemy teraz przekształcić hamiltonian oscylatora. Podstawia-my powyższe związki do (11.1). Wykonując obliczenia musimy bezwzględnie przestrzegaćkolejności operatorów, bowiem są on nieprzemienne4. Kolejne kroki są następujące

H =1

2m

−i√mω~

2

(b − b†

) 2

+12mω2

√ ~2mω

(b + b†

)2

= − ~ω4

(b − b†

)2+

~ω4

(b + b†

)2

= − ~ω4

(bb− bb† − b†b+ b†b†

)+

~ω4

(bb+ bb† + b†b+ b†b†

)=

~ω2

(b b† + b† b

). (11.54)

Z relacji komutacyjnej (11.51) wynika b b† = 1 + b†b, a zatem w końcu mamy

H =~ω2

(2 b†b+ 1

)= ~ω

(b†b+

12

)= ~ω

(N +

12

). (11.55)

gdzie, jak poprzednio, wprowadziliśmy N = b† b – operator liczby cząstek. Rozumowanieto jest jednocześnie uzasadnieniem następującego twierdzenia.

Twierdzenie 11.6 Stany własne energii kwantowego oscylatora harmonicznego to |n 〉– stany własne operatora liczby cząstek N = b†b: tzn. H|n 〉 = En|n 〉. Wartości własneenergii wynoszą

En = ~ω(n+

12

). n = 0, 1, 2, . . . . . . (11.56)

Dowód. Dowód wynika natychmiast z relacji (11.55) i z wyprowadzonych wyżej własnościoperatora N .

Podsumowując tę część rozważań, możemy stwierdzić, że formalne stany |n 〉 stano-wią rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu oscylatora harmonicznego. In-nymi słowy, jest to rozwiązanie w reprezentacji energetycznej, bowiem liczba n ewident-nie numeruje poziomy energetyczne. Oczywiście wyniki formalne, niezmiernie użytecznew elektrodynamice kwantowej, są tu dla nas mniej przydatne. Nasz następny krok będziepolegać na przedstawieniu stanów własnych energii w reprezentacji położeniowej. Innymisłowy, będziemy chcieli zbudować, wspomniane na wstępie, funkcje falowe φn(x) = 〈x |n 〉(por. (11.5)), gdzie w oczywisty sposób zmieniliśmy notację.

4Nie stosują się tzw. wzory skróconego mnożenia.

148


11.4.3 Konstrukcja stanu próżni

Budowanie funkcji φn(x) musimy rozpocząć od konstrukcji funkcji falowej stanu próżni,tj. φ0(x) = 〈x | 0 〉. Następnie, stosując operator kreacji (patrz (11.44b)) będziemy szukaćfunkcji o rosnącej liczbie n. Stan próżni jest zdefiniowany równaniem (11.23) lub (11.42).Posługując się operatorem anihilacji b danym w (11.50a), dostajemy

0 = b | 0 〉 =1√

2mω~

(mωx + ip

)| 0 〉. (11.57)

W reprezentacji położeniowej równanie to przyjmuje postać

0 = 〈x | 1√2mω~

(mωx + ip

)| 0 〉

=1√

2mω~

[mω x + i

(−i~ d

dx

) ]φ0(x). (11.58)

Wynika to oczywiście z postaci operatorów położenia i pędu w reprezentacji położeniowej(patrz tabela (10.41) dla przypadku jednowymiarowego). Po skróceniu czynników liczbo-wych otrzymujemy elementarne równanie różniczkowe pierwszego rzędu

0 =(λx +

d

dx

)φ0(x), gdzie λ =

mω

~. (11.59)

Łatwo sprawdzić, że rozwiązanie tego równania jest proste i ma postać

φ0(x) = A0 exp(− 1

2λx2), (11.60)

gdzie A0 jest stałą normalizacyjną. Obliczamy ją za pomocą tablic całek, co daje

1 = |A0 |2∫ ∞−∞

dx exp(− 1

2λx2)

= |A0 |2√π

λ. (11.61)

Wybierając dowolną fazę stałej A0 równą zeru otrzymujemy funkcję falową stanu podsta-wowego oscylatora

φ0(x) =(λ

π

)1/4

exp(− 1

2λx2), (11.62)

która jest właściwie unormowana. Zwróćmy uwagę, że funkcja ta jest identyczna z ψ0(x)wynikającą z formuły (7.51). Nasze wstępne uwagi, że funkcje własne energii w reprezen-tacji położeniowej 〈x |n 〉 pokrywają się z funkcjami ψn(x) znalezionymi w rozdziale 7znajduje więc (przynajmniej dla n = 0) swoje ścisłe uzasadnienie.

11.4.4 Konstrukcja stanów 〈x |n 〉

Mając już stan próżni w reprezentacji położeniowej, możemy iść dalej i konstruować dal-sze stany. Posłużymy się w tym celu relacją (11.47), którą zapisujemy w reprezentacjipołożeniowej

φn(x) = 〈x |n 〉 =1√n!〈x |

(b†)n| 0 〉. (11.63)

149


Podstawiamy operator b† według (11.50b)

φn(x) =1√n!〈x |

[1√2

(√mω

~x − i p√

mω~

)]n| 0 〉. (11.64)

Posłużywszy się oznaczeniem (11.59) mamy

φn(x) =1√

2n n!〈x |

(√λ x − i p

~√λ

)n| 0 〉. (11.65)

W reprezentacji położeniowej x = x oraz p = −i~(d/dx). Zatem zgodnie z regułą (9.35a)możemy napisać

φn(x) =1√

2n n!

(√λ x − 1√

λ

d

dx

)nφ0(x), (11.66)

co po podstawieniu funkcji falowej (11.62) stanu próżni daje

φn(x) =(λ

π

)1/4 √ 12n n!

(√λx − 1√

λ

d

dx

)nexp

(−λx

2

2

). (11.67)

Jest to równanie funkcjonalne podobne do wzoru Rodriguesa (7.38) lub (A.1) dla wielo-mianów Hermite’a. Aby definitywnie przekonać się, że funkcje falowe φn(x) są tożsamez funkcjami ψn(x) (patrz (7.51)) potrzebne są jeszcze dodatkowe kroki. Dokonajmy za-miany zmiennych (takiej jak w (7.46)

y = x√λ =⇒ d

dx=

dy

dx

d

dy=√λd

dy=⇒ d

dy=

1√λ

d

dx. (11.68)

dzięki czemu, zamiast (11.67), możemy napisać

φn(x) = φn(y) =(λ

π

)1/4 √ 12n n!

(y − d

dy

)nexp

(−y

2

2

). (11.69)

W dodatku matematycznym A dowodzimy, ze wielomiany Hermite’a można obliczać nietylko ze wspomnianego wzoru Rodriguesa, ale także za pomocą formuły (A.45), to jest

Hn(y) = exp(1

2y2)(

y − d

dy

)nexp

(−1

2y2). (11.70)

Zestawiając dwa ostatnie wyrażenia otrzymujemy

φn(x) = φn(y) =(λ

π

)1/4 √ 12n n!

exp(−y

2

2

)Hn(y).

=(mω

π~

)1/4 1√2n n!

exp(−mω

2~x2)Hn

(x

√mω

~

), (11.71)

gdzie w drugiej linii wróciliśmy do "starych" oznaczeń. Porównując powyższe funkcjez (7.51) widzimy, że ponownie uzyskaliśmy znane już funkcje falowe ψn(x) dla oscylatoraharmonicznego.

150


Podsumowując rozważania, stwierdzamy, że metoda wykorzystująca operatory anihi-lacji i kreacji doprowadziła nas najpierw do tzw. rozwiązań w bazie energetycznej, czylido stanów |n 〉. Potem przechodząc do reprezentacji położeniowej znaleźliśmy odpowied-nie funkcje 〈x |n 〉 = φn(x) = ψn(x) identyczne z rozwiązaniami stacjonarnego równaniaSchrödingera w rozdziale 7.

11.4.5 Przykłady innych zastosowań

W rozdziale 7 w dość żmudny sposób znajdowaliśmy elementy macierzowe operatorówpołożenia i pędu. Wymagało to obliczania skomplikowanych całek zawierających wielo-miany Hermite’a. Pokażemy teraz, że za pomocą operatorów anihilacji i kreacji możnaprzeprowadzić odpowiednie rachunki nieomal błyskawicznie.

Zajmiemy się najpierw elementem macierzowym operatora położenia (7.53), to jestliczbą 〈 k |x |n 〉, gdzie | k 〉 i |n 〉 są odpowiednimi stanami w bazie energetycznej. Za po-mocą pierwszej formuły (11.53) wyrażamy operator położenia poprzez operatory anihilacjii kreacji. W ten sposób mamy

〈 k |x |n 〉 =

√~

2mω〈 k | ( b + b† ) |n 〉. (11.72)

Dalej, na mocy (11.44) dostajemy

〈 k |x |n 〉 =

√~

2mω

(√n 〈 k |n− 1 〉 +

√n+ 1 〈 k |n+ 1 〉

). (11.73)

Skąd, z warunku (11.34) – ortonormalności stanów |n 〉 – wynika, że

〈 k |x |n 〉 =

√~

2mω

(√n δk,n−1 +

√n+ 1 δk,n+1

). (11.74)

Rezultat ten jest oczywiście identyczny z odpowiednim elementem macierzowym (7.58)obliczonym przez skomplikowane całkowanie.

Powtarzamy podobne obliczenia dla operatora pędu. Ze drugiego wzoru (11.53) otrzy-mujemy w zupełnie ten sam sposób

〈 k | p |n 〉 = − i√mω~

2〈 k | ( b − b† ) |n 〉

= − i√mω~

2

(√n 〈 k |n− 1 〉 −

√n+ 1 〈 k |n+ 1 〉

)= − i

√mω~

2

(√n δk,n−1 −

√n+ 1 δk,n+1

)(11.75)

co oczywiście dokładnie odtwarza wynik (7.65).Kontynuując nasze rachunki, przypomnijmy, że w rozdziale 7 pominęliśmy oblicze-

nia elementów macierzowych kwadratów operatorów położenia i pędu ze względu na ich

151


stopień komplikacji. Zajmiemy się tym teraz, w języku operatorów anihilacji i kreacji.Musimy jednak pamiętać, że operatory anihilacji b i kreacji b† nie komutują. Dostajemywówczas

〈 k |x2 |n 〉 =~

2mω〈 k | ( b + b† )2 |n 〉

=~

2mω〈 k |

(bb + bb† + b†b + b†b†

)|n 〉 (11.76)

Teraz, niemal automatycznie, stosujemy relacje (11.44) dwukrotnie w każdym z czterechskładników. Prowadzi to do

〈 k |x2 |n 〉 =~

2mω

(√n(n− 1) 〈 k |n− 2 〉 + (n+ 1) 〈 k |n 〉

+ n 〈 k |n 〉 +√

(n+ 1)(n+ 2) 〈 k |n+ 2 〉)

=~

2mω

(√n(n− 1) δk,n−2 + (2n+ 1) δkn

+√

(n+ 1)(n+ 2) δk,n+2

). (11.77)

Wyrażenie to pokrywa się ze wzorem (7.67), który możemy teraz uznać za udowodnionyi to bez żadnego całkowania.

I wreszcie dla kwadratu operatora pędu w całkiem analogiczny sposób mamy

〈 k | p2 |n 〉 = − mω~2〈 k | ( b − b† )2 |n 〉

= − mω~2〈 k |

(bb − bb† − b†b + b†b†

)|n 〉

= − mω~2

(√n(n− 1) 〈 k |n− 2 〉 − (n+ 1) 〈 k |n 〉

− n 〈 k |n 〉 +√

(n+ 1)(n+ 2) 〈 k |n+ 2 〉)

= − mω~2

(√n(n− 1) δk,n−2 − (2n+ 1) δkn

+√

(n+ 1)(n+ 2) δk,n+2

), (11.78)

co oczywiście jest uzasadnieniem formuły (7.68). Prostota powyższych obliczeń jasno po-kazuje jak bardzo pożyteczne są operatory anihilacji i kreacji.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

152

S.Kryszewski 12. Zupełny zbiór obserwabli komutujących 153

Rozdział 12

Zupełny zbiór obserwabli komutujących

12.1 Wprowadzenie

W rozdziale 4 omawialiśmy, w dość ogólny sposób, zagadnienie własne dla obserwabli –operatora hermitowskiego (por. (4.53) i dalsza dyskusja). Wrócimy teraz do tego pro-blemu, stosując konsekwentnie bardziej ogólną notację Diraca i nie przesądzając niczegoo wyborze reprezentacji.

Badamy więc zagadnienie własne dla pewnej obserwabli

A|uinn 〉 = an|uinn 〉, in = 1, 2, . . . . . . , gn, (12.1)

gdzie gn jest stopniem degeneracji wartości własnej an. Zakładamy ponadto, że zbiór an jest dyskretny. Zbiór stanów własnych jest ortonormalny i zupełny

〈ujmm |uinn 〉 = δjm,in δmn,∑n

gn∑in=1

|uinn 〉〈uinn | = 1, (12.2)

i tworzy bazę w przestrzeni stanów H. Przypomnijmy ponadto, że (patrz (4.56)) dowolnakombinacja liniowa

|ψn 〉 =gn∑in=1

Cin|uinn 〉, Cin ∈ C, (12.3)

jest stanem własnym obserwabli A odpowiadającym wartości własnej an. Innymi słowy,podprzestrzeń Hn (o wymiarze gn) rozpięta przez zbiór wektorów |uinn 〉 in=1,...,gn , jestpodprzestrzenią własną obserwabli A. Jeszcze inaczej, dowolny wektor |ψn 〉 ∈ Hn jeststanem własnym operatora A, co oczywiście wynika z możliwości przedstawienia go w po-staci (12.3).

Wniosek : Nie mamy jednoznacznego sposobu konstrukcji baz w podprzestrzeniach Hn.

Można w arbitralny sposób wybrać gn niezależnych liniowo wektorów w Hn i prze-prowadzić proces ortonormalizacji Gramma-Schmidta. Jest to jednak niezadowalające,

153


bowiem wyboru można dokonać na wiele różnych sposobów. Oczywiście skonstruujemybazę i to ortonormalną, ale niejednoznacznie.

W mechanice kwantowej oczekujemy, że wektor stanu jednoznacznie opisuje analizo-wany układ fizyczny. Musimy więc znaleźć sposób usunięcia omówionej wyżej niejedno-znaczności. Trzeba więc ponownie zagłębić się w matematykę. Zrobimy to (jak zwyklezresztą) intuicyjnie, unikając wchodzenia w niuanse.

12.2 Twierdzenia matematyczne

Nasze rozważania rozpoczniemy od dyskusji kilku ważnych i pożytecznych stwierdzeńmatematycznych.

Lemat 12.1 Jeśli dwa operatory A i B komutują i jeśli |ψ 〉 jest stanem własnym A, towektor |ψ′ 〉 = B|ψ 〉 jest także stanem własnym A odpowiadającym tej samej wartościwłasnej. A|ψ 〉 = λ |ψ 〉, λ ∈ R,[

A, B]

= 0.

=⇒A(B|ψ 〉

)= λ

(B|ψ 〉

) . (12.4)

Dowód. Bezpośrednio z założeń, przez prosty rachunek

A(B|ψ 〉

)= AB|ψ 〉 = BA|ψ 〉 = Bλ|ψ 〉 = λ

(B|ψ 〉

), (12.5)

gdzie w drugiej równości skorzystaliśmy z komutacji operatorów A i B, a w ostatniejz przemienności liczby λ z dowolnym operatorem.Zwróćmy tu uwagę na dwa możliwe przypadki.

• Wartość własna λ jest niezdegenerowana. Wówczas |ψ 〉 jest jedynym wektoremwłasnym obserwabli A odpowiadającym liczbie λ. Skoro B|ψ 〉 jest też wektoremwłasnym (przy tej samej wartości własnej) to musi być proporcjonalny do |ψ 〉, toznaczy

B|ψ 〉 = µ |ψ 〉. (12.6)

A więc w tym wypadku wektor |ψ 〉 jest także stanem własnym operatora B.

• Wartość własna λ jest zdegenerowana, więc w przestrzeni H odpowiada jej podprze-strzeń Hλ o wymiarze gλ > 1. Wektor B|ψ 〉 należy do tej samej wartości własnej,a więc musi leżeć w podprzestrzeni Hλ. Pisząc formalnie

B |ψ 〉 ∈

Podprzestrzen Hλ rozpięta przez

wektory własne operatora A

odpowiadające zdegenerowanej

wartosci własnej λ.

. (12.7)

154


Działanie B na wektor własny |ψ 〉 ∈ Hλ operatora A nie wyprowadza go poza tępodprzestrzeń. Mówimy, że podprzestrzeń Hλ jest inwariantna względem B.

Lemat 12.2 Jeśli dwie obserwable A i B komutują i jeśli |ψ1 〉 oraz |ψ2 〉 są dwomawektorami własnymi A odpowiadającymi dwóm różnym wartościom własnym, to elementmacierzowy 〈ψ1 | B |ψ2 〉 jest zerem.

AB = BA

A |ψ1 〉 = λ1|ψ1 〉A |ψ2 〉 = λ2|ψ2 〉

λ1 6= λ2

=⇒ 〈ψ1 | B |ψ2 〉 = 0. (12.8)

Dowód. Zgodnie z poprzednim lematem, z komutacji operatorów A i B wynika, że wek-tor |ψ ′ 〉 = B|ψ2 〉 jest wektorem własnym A należącym do wartości własnej λ2. Zatemwektory |ψ1 〉 i |ψ ′ 〉 odpowiadają różnym wartościom własnym operatora A. Na mocy(4.50) ich iloczyn skalarny musi znikać. Stąd teza.

Twierdzenie 12.1 Jeśli dwie obserwable komutują, to w przestrzeni stanów można skon-struować bazę ortonormalną wspólną dla obu obserwabli.

Uzasadnienie. Przedstawimy tu intuicyjne rozważania, a nie w pełni ścisły dowód.Przyjmijmy, że spełnione są relacje (12.1) – (12.3)

H1

H1

H2

H2

H3

H3

. . . . . .

...

...

Rys. 12.1: Blokowa struktura ma-cierzy operatora B.

omówione na wstępie. Wiemy, że operator B (komu-tujący z A) działając na wektor z Hn nie "wyprowa-dza" go z niej, co zapisujemy intuicyjnie: BHn ⊂ Hn.Wiemy także z poprzedniego lematu, że

〈ujmm | B |uinn 〉 = 0, dla m 6= n, (12.9)

bowiem wektory |ujmm 〉 i |uinn 〉 odpowiadają różnymwartościom własnym operatora A. Gdy jednak m = n

to relacja ta już na ogół nie jest spełniona. Elemen-ty macierzowe pomiędzy wektorami z tej samej pod-przestrzeni są na ogół różne od zera. Oznacza to, żemacierz reprezentująca operator B ma kształt bloko-

wy. Zaznaczone bloki są numerowane indeksem n i są podmacierzami kwadratowymi owymiarze gn × gn. Bloki takie mogą oczywiście mieć różne rozmiary. Mamy teraz dwaprzypadki.

Jeśli wartość własna an jest niezdegenerowana, to wtedy dim H = 1 (indeks górnyprzy |uinn 〉 jest zbyteczny). Odpowiedni blok w macierzy obserwabli B jest wymiaru 1×1.Wektor własny obserwabli A jest jednocześnie wektorem własnym obserwabli B, tak samojak w (12.6).

155


Drugi przypadek zachodzi, gdy wartość własna an jest gn-krotnie zdegenerowana. Blokw macierzy przedstawionej na rys. 12.1 ma wymiar gn × gn. Wektory |uinn 〉 rozpinającepodprzestrzeń Hn są wektorami własnymi obserwabli A, lecz na ogół nie są wektoramiwłasnymi B. Utwórzmy wektor |ψn 〉 ∈ Hn jako dowolną kombinację wektorów rozpi-nających tę podprzestrzeń. Przypomnijmy, że działanie operatora A na |ψn 〉 (por. (4.56)lub (12.1)) to

A |ψn 〉 = A

( gn∑i=1

Cin |uinn 〉)

= an |ψn 〉, gdzie Cin są dowolne, (12.10)

co nie zmienia tej kombinacji poza przemnożeniem przez liczbę. Oznacza to, że w pod-przestrzeni Hn działanie operatora A można przedstawić jako anIn, gdzie In jest macierząjednostkową "obciętą" do podprzestrzeni Hn. Jakkolwiek wybierzemy bazę (ortonormal-ną) w Hn, to zbudowany z niej wektor zawsze będzie stanem własnym A należącym dowartości własnej an. To jest właśnie, wspomniana na wstępie, niejednoznaczność. Aby jausunąć posłużymy się operatorem B który, jak wiemy, działając na |ψn 〉 ∈ Hn nie wypro-wadza go z tej podprzestrzeni. Możemy więc rozważyć jego "obcięcie" do podprzestrzeniHn. Zagadnienie własne dla B badamy więc w podprzestrzeni Hn pisząc

B |ϕinn 〉 = b(n)in |ϕ

inn 〉. (12.11)

gdzie górny indeks przy wartości własnej b(n)in oznacza ograniczenie się do podprzestrzeni

Hn. Hermitowskość B sprawia, że wartości własne b(n)in są rzeczywiste, a wektory |ϕinn 〉

tworzą bazę ortonormalną wHn. Zwróćmy uwagę, na "ciche" założenie, że wartości własneb

(n)in są już niezdegenerowane. Na razie przyjmiemy, że rzeczywiście tak jest. Nieco dalejpowiemy co należy robić, jeśli owo założenie nie jest spełnione.

Oczywiście każdy wektor |ϕinn 〉 ∈ Hn jest taką, czy inną kombinacją liniową wektorów|uin 〉i=1,2,...,gn należących do "starej" bazy. Na mocy relacji (12.10) stwierdzamy, że każ-dy |ϕinn 〉 jest nadal wektorem własnym obserwabli A odpowiadającym wartości własnejan. Postępowanie to możemy zastosować w każdej z podprzestrzeni Hn. Tak skonstruowa-ne wektory |ϕinn 〉 dla kolejnych n i odpowiadających im in = 1, 2, . . . , gn są wektoramiwłasnymi zarówno obserwabli A jak i B, a także stanowią bazę ortonormalną w całejprzestrzeni H. Podsumowując tworzymy procedurę postępowania.

• Przestrzeń H dzielimy na podprzestrzenie Hn – podprzestrzenie własne obserwabliA odpowiadające wartościom własnym an.

• Każda z podprzestrzeni Hn jest inwariantna względem obserwabli B komutującejz A. W Hn znajdujemy bazę złożoną z wektorów własnych B.

• Tak utworzony zbiór wektorów |ϕinn 〉 dla n = 1, 2, . . ., in = 1, 2, . . . , gn jest baząortonormalną w H złożoną z wektorów własnych wspólnych dla obserwabli A i B(przy założeniu, że wartości własne operatora B są niezdegenerowane).

Tak więc twierdzenie jest uzasadnione.

156


Na zakończenie dyskusji matematycznej poczynimy kilka uwag.

1. Zwróćmy uwagę, że uzasadniając twierdzenie przyjęliśmy, że wartości własne b(n)in

obserwabli B w Hn są niezdegenerowane co sprawia, że wektory |ϕin 〉 jednoznacz-nie wyznaczają bazę. Założenie to upraszcza rozważania, ale nie jest konieczne, bozawsze można w Hn znaleźć bazę złożoną z wektorów własnych B, będących jed-nocześnie wektorami własnymi A. Bloki w macierzy (patrz rys. 12.1) wynikają zpodziału na podprzestrzenie przez operator A. Jeśli wartości własne B w Hn sązdegenerowane, to wówczas każdy z bloków będzie podzielony na podbloki, nieko-niecznie o rozmiarze 1×1. Dlatego też dla komutujących obserwabli A i B będziemypisali

A |ϕjpnp 〉 = an |ϕjpnp 〉, B |ϕjpnp 〉 = bp |ϕjpnp 〉. (12.12)

Indeksy n i p rozróżniają wartości własne obu obserwabli. Możemy powiedzieć, żeindeks n numeruje bloki (wynikłe z degeneracji wartości własnej an), indeks p nu-meruje podbloki dla danego n. Górny indeks jp jest potrzebny jeśli podbloki mająwymiar większy niż 1×1, tj. gdy wartości własne B są nadal zdegenerowane. W takiejsytuacji niejednoznaczność nie jest do końca usunięta. Dowolna kombinacja liniowawektorów (których elementy macierzowe tworzą podblok) jest wektorem własnymB, analogicznie jak to było dla obserwabli w bloku Hn. Wkrótce powiemy co trzebarobić w takim przypadku.

2. Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne. Jeżeli dwie obserwable mają wspólnąbazę wektorów własnych to obserwable te komutują. Dowód można przeprowadzićprzez odwrócenie kolejności rozważań.

3. Czasami mamy do czynienia z zagadnieniem własnym obserwabli C, która jest sumądwóch innych obserwabli komutujących, tj.

C = A + B, przy czym[A, B

]= 0. (12.13)

Jeśli znajdziemy zbiór |ϕjpnp 〉 – wspólną bazę dla A i B, to problem dla C jest auto-matycznie rozwiązany. Wektor |ϕjpnp 〉 w oczywisty sposób jest stanem własnym C

C |ϕjpnp 〉 =(an + bp

)|ϕjpnp 〉. (12.14)

Fakt, że |ϕjpnp 〉 stanowią bazę jest ważny. Stąd bowiem wynika, że liczby cnp =an + bp wyczerpują zbiór wartości własnych obserwabli C.

12.3 Zupełny zbiór obserwabli komutujących (ZZOK)

Jeśli mamy obserwablę A o niezdegenerowanych wartościach własnych to wektory własne|un 〉 tworzą bazę w przestrzeni stanów. Podprzestrzenie Hn są jednowymiarowe i są

157


wyznaczone jednoznacznie. Mówimy, że operator A stanowi (jednoelementowy) zupełnyzbiór obserwabli komutujących (ZZOK).

Jeżeli wartości własne A są zdegenerowane (wszystkie, czy tylko niektóre) to pew-ne podprzestrzenie Hn są więcej niż jednowymiarowe. W tych podprzestrzeniach możnawybrać bazę w sposób dowolny. Wartości własne an nie wystarczają do jednoznacznegookreślenia bazy w całej przestrzeni. Aby wyznaczyć bazę w sposób jednoznaczny po-trzebujemy dodatkowych informacji. W tym celu wybieramy obserwablę B komutującąz A i konstruujemy wspólną bazę. Jeśli problem niejednoznaczności zostanie w ten spo-sób usunięty, to zbiór A, B stanowi ZZOK. Jednoznacznie wyznaczona baza |ϕnp 〉odpowiada wartościom własnym an, bp. Wystarczy jeśli B w podprzestrzeniach wy-znaczonych przez A będzie mieć niezdegenerowane wartości własne. Tak jednak być niemusi.

Jeśli dla pary wartości własnych an i bp istnieje kilka wektorów własnych (macierzna rys. 12.1) ma w klatkach podklatki o wymiarze większym niż 1 × 1). Musimy wtedykontynuować proces jednoznacznego wyznaczania bazy. Dobieramy trzecią obserwablę Ckomutującą zarówno z A jak i z B[

C, A]

=[C, B

]=

[A, B

]= 0. (12.15)

Jeśli wartościom własnym an i bp odpowiada tylko jeden wspólny wektor własny A i B,to z konieczności (ze względu na relację (12.15)) jest to także wektor własny obserwabliC. Wynika to oczywiście z pierwszego lematu (12.4). Operator C jest "bez znaczenia"w podklatkach o wymiarze 1× 1.

Jeśli wartościom własnym an i bp odpowiada podprzestrzeńHnp, czyli podklatka o wy-miarze większym niż 1× 1, to możemy wybrać bazę wspólną dla trzech obserwabli A, Bi C. Wówczas trzy wartości własne an, bp i cs wyznaczają wektory własne |ϕnps 〉. Jeśliw ten sposób zbudowana baza jest już określona jednoznacznie, to obserwable A, B, Cstanowią ZZOK.

W razie potrzeby (nadal brak pełnej jednoznaczności) kontynuujemy proces, dobiera-jąc czwartą obserwablę D komutującą z trzema poprzednimi.

Podsumowując mówimy, że zbiór obserwabli A, B, C, . . . stanowi zupełny zbiórobserwabli komutujących (ZZOK), jeśli

• wszystkie obserwable parami komutują;• określenie wartości własnych wszystkich tych operatorów wyznacza jednoznacznie

zbiór wektorów własnych tworzących bazę (ortonormalną) w przestrzeni stanów.

Równoważnie możemy powiedzieć, że zbiór obserwabli A B, C, . . . jest zupełnymzbiorem obserwabli komutujących, jeżeli istnieje jednoznacznie określona baza, której wek-tory są wspólnymi wektorami własnymi wszystkich tych obserwabli jednocześnie.

Należy zdawać sobie sprawę, że wybór ZZOK dla danego układu fizycznego na ogół niejest jednoznaczny. Kierujemy się zazwyczaj wygodą lub też sensem fizycznym obserwabli,wybierając je tak, aby jak najprościej interpretować wyniki.

158


12.4 Uwagi praktyczne

Omówimy tu sytuacje praktyczne, przed którymi stajemy rozważając konkretne problemymechaniki kwantowej. Wiele takich problemów sprowadza się (np. stacjonarne równanieSchrödingera) do rozwiązania zagadnienia własnego pewnej obserwabli A. Chcemy wów-czas wyznaczyć jej wartości i wektory własne, i to w sposób jednoznaczny. Stawiamywówczas pytanie: jakie inne obserwable B, C, itd., komutują z A. Staramy się wówczasznaleźć możliwie najmniejszy zbiór takich operatorów, ale wyczerpujący wszelkie moż-liwości. Chodzi o to, aby nie dało się go w sposób nietrywialny rozszerzyć. Wyjaśnimyto tak. Załóżmy, że operatory A, B, C tworzą ZZOK. Oczywiście np. B2 także będziekomutować z wybranymi operatorami, ale tak naprawdę niczego nowego nie wnosi. Przytakim założeniu mamy[

A, B]

=[B, C

]=

[C, A

]= 0. (12.16)

Operatory te mają wspólny zbiór wektorów własnych

A |φnps 〉 = an |φnps 〉, an ∈ R, n ∈ N , (12.17a)

B |φnps 〉 = bp |φnps 〉, bp ∈ R, p ∈ P , (12.17b)

C |φnps 〉 = cs |φnps 〉, cs ∈ R, s ∈ S, (12.17c)

Omawiając zagadnienie w ogólnym kontekście, musimy pamiętać, że zbiory indeksówN , Poraz S mogą być różne, skończone lub nie, jedne takie, a drugie inne. Charakter zbiorówindeksów zależy od konkretnego zagadnienia. Wektory |φnps 〉 tworzą (jednoznacznieokreśloną) bazę w przestrzeni stanów, więc dowolny wektor |ψ 〉 można w sposób jedno-znaczny rozłożyć w bazie

|ψ 〉 =∑n∈N

∑p∈P

∑s∈S

Cnps |φnps 〉, Cnps ∈ C. (12.18)

W praktycznych zadaniach naszym podstawowym celem jest zwykle wyznaczenie bazy|φnps 〉 w przestrzeni H, a także jednego (lub więcej) spośród trzech zbiorów wartościwłasnych an, bp oraz cs. Rozwiązanie problemu najczęściej przebiega w następują-cych krokach.

• Sprawdzamy, czy dany układ obserwabli stanowi ZZOK. Jeśli nie, to musimy dobraćobserwable tak, aby uzyskać ZZOK, czyli zbiór wszystkich możliwych w danymzagadnieniu obserwabli komutujących.

• Dla obserwabli stanowiących ZZOK rozwiązujemy zagadnienia własne (12.17).

• Odczytujemy z nich dopuszczalne wartości własne an, bp oraz cs.

• Konstruujemy ortonormalną bazę |φnps 〉 w przestrzeni stanów.

159


Przedstawiona procedura jest sformułowana w sposób abstrakcyjny, a przykłady takiegopostępowania podamy w dalszych rozdziałach. Czasami praktyczne obliczenia wykonu-jemy w reprezentacji położeniowej, a wektorami stanu są wówczas funkcje falowe. Takwłaśnie było w rozdziale 7, gdzie rozwiązywaliśmy stacjonarne równanie Schrödingera dlaoscylatora harmonicznego.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

160

S.Kryszewski 13. Postulaty mechaniki kwantowej 161

Rozdział 13

Postulaty mechaniki kwantowej

Mechanika kwantowa, jak zresztą każda inna teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach,które przyjmujemy "na wiarę". Rolę postulatów w mechanice klasycznej pełnią, na przy-kład, zasady dynamiki Newtona, a w elektrodynamice równania Maxwell’a. Nie umiemypowiedzieć dlaczego obowiązują takie, a nie inne postulaty. W fizyce nazywamy je często"prawami przyrody". W matematyce tę samą rolę pełnią aksjomaty.

Zasadniczą różnicą miedzy fizyką a matematyką jest to, że teoria fizyczna jest zawszeweryfikowana doświadczalnie, podczas gdy od teorii matematycznej wymaga się jedyniewewnętrznej niesprzeczności (nie ma, i nie potrzeba żadnego odniesienia do eksperymen-tu). Teoria fizyczna jest sprawdzana w doświadczeniu, które często określa także jej za-kres stosowalności. Trzeba przyznać, że zgodność pomiędzy przewidywaniami mechanikikwantowej i doświadczeniem jest wprost fenomenalna. Potwierdza to słuszność wybranychpostulatów. Potwierdzenie nie oznacza jednak dowodu. Teoria fizyczna nie ma dowodu,choć w matematyce jest to możliwe. Fizyka ma za to potwierdzenie doświadczalne. Należyjednak podkreślić, że wystarczy jedno jedyne rzetelne doświadczenie, które mogłoby skut-kować odrzuceniem mechaniki kwantowej (lub jakiejkolwiek innej teorii fizycznej), gdybytylko jego rezultaty ewidentnie stały w sprzeczności z teorią1.

Postulaty, o których tu będzie mowa, pojawiły się już we wcześniejszych rozdziałach.Teraz je jedynie zbierzemy i uporządkujemy. Zanim to zrobimy poczynimy pewne dodat-kowe uwagi.

1. Postulaty mechaniki kwantowej mają spore znaczenie filozoficzne. Te kwestie zosta-wiamy całkiem poza tokiem wykładu.

2. Postulaty można formułować na różne sposoby, zależne przede wszystkim od stop-nia abstrakcji i wyrafinowania aparatu matematycznego. Można też powiedzieć, żepewne znaczenie ma też swoisty "gust" autora. W tym wykładzie staramy się unikaćkomplikacji matematycznych. Pozostaniemy też w ramach dotychczas przedstawio-nego formalizmu.

1Tego typu sugestie doświadczalne pojawiały się w historii fizyki. Jak do tej pory zawsze okazywałosię, że pomiary były niedokładne lub błędne. Stąd tak ważne jest, aby doświadczenie było rzetelne.

161


3. Każdy postulat opatrzymy pewnymi komentarzami, które nie są ani kompletne aniwyczerpujące. Dyskusje interpretacyjne dotyczące mechaniki kwantowej ciągle trwa-ją i nie sposób uwzględnić wielu spraw, które też mogą być znaczące. Ograniczymysię więc do uwag, które autor niniejszego wykładu uważa za najistotniejsze, przy-najmniej dla czytelnika który dopiero się zapoznaje się z trudną i skomplikowanąmechaniką kwantową.

13.1 Postulat 1: wektor stanu

Postulat 1. W każdej chwili czasu t stan układu fizycznego jest określonyjednoznacznie przez unormowany wektor |ψ(t) 〉 (czyli ‖ψ(t) ‖2 = 1) należącydo odpowiednio dobranej przestrzeni Hilberta H.

Komentarze

1. W przestrzeni wektorowej można budować kombinacje liniowe, co jest odzwiercie-dleniem zasady superpozycji. Jeśli |ψn 〉 n=1,... stanowi zbiór ortonormalnych wek-torów stanu, to wówczas kombinacja

|φ 〉 =∑n=1

Cn|ψn 〉, przy czym Cn ∈ C, oraz∑n=1

∣∣∣Cn∣∣∣2 = 1, (13.1)

jest także unormowanym wektorem stanu. Omawiany postulat jest więc ściśle zwią-zany z zasadą superpozycji. Stany superponowane są źródłem efektów interferencyj-nych charakterystycznych dla mechaniki kwantowej.

2. W literaturze przedmiotu można spotkać stwierdzenie, że stan układu fizycznego jestreprezentowany przez promień w przestrzeni Hilberta. Oznacza to, że wektor λ|ψ 〉dla dowolnego λ ∈ C określa jeden i ten sam stan. Wydaje się to być nieuzasadnione.Chodzi o to, że nie wiadomo jaki jest sens kombinacji liniowej takich "promieni".Tym samym niejasna jest zasada superpozycji. Co więcej, wprowadzając interpreta-cję probabilistyczną trzeba dodatkowo narzucić warunek normowania. Dlatego też,naszym zdaniem, warto przyjąć warunek normowania już w treści postulatu.

3. W rozdziale 2 postulowaliśmy (patrz (2.23) istnienie funkcji falowej ψ(~r, t) opisującejstan układu. Jak wiemy, w przestrzeni H można wybrać różne bazy – reprezenta-cje. Funkcja falowa jest po prostu wektorem stanu w reprezentacji położeniowej:ψ(~r, t) = 〈~r |ψ(t) 〉, jest więc obiektem równoważnym, lecz mniej ogólnym, bowiemmożemy skonstruować inne reprezentacje: pędową, energetyczną i inne. Oczywiście,w konkretnych zastosowaniach jest często łatwiej posługiwać się funkcją falową, niżogólnym, abstrakcyjnym wektorem stanu.

162


13.2 Postulat 2: obserwable

Postulat 2. Każdej mierzalnej wielkości fizycznej A odpowiada obserwabla(operator hermitowski) A działająca w przestrzeni H.

Komentarze

1. Fakt, że operator A jest obserwablą oznacza, że (dla wartości własnych tworzącychzbiór dyskretny)

A = A†, operator

hermitowski

A |uinn 〉 = an |uinn 〉

=⇒

an ∈ R, degener. gn−krotna

|uinn 〉 − baza ortonorm. w H

(13.2)

Warto dodać, że wektory bazy spełniają także warunek zupełności

∑n

gn∑in=1

|uinn 〉〈uinn | = 1, (13.3)

2. Operatory kwantowo-mechaniczne posiadające odpowiedniki klasyczne (np. pęd,energia, moment pędu) można konstruować za pomocą zasady odpowiedniości (patrz(4.114)). Tak na przykład postąpiliśmy w rozdziale 7, konstruując kwantowo-mecha-niczny hamiltonian dla oscylatora harmonicznego. Istnieją jednak takie wielkościfizyczne (np. spin cząstki), dla których trzeba szukać innych metod definiowaniaoperatorów.

3. Ważną rolę odgrywają relacje komutacyjne. Mogą one służyć za punkt wyjścia dookreślenia działania operatorów w przestrzeni Hilberta i do konstrukcji obserwabli.Tak właśnie postąpiliśmy w rozdziale 10, gdzie z reguł komutacyjnych wyprowa-dziliśmy jawną postać operatorów położenia (10.13) i pędu (10.24). Operatory tezostały uprzednio zdefiniowane w (4.114) jako postulaty. Podobnie było w rozdzia-le 11, gdzie z relacji komutacyjnej (11.6) wynikły własności operatorów anihilacjii kreacji. Operatory te pozwoliły przeformułować zagadnienie własne dla oscylatorai rozwiązać je w bardzo prosty i elegancki sposób. Podobnie postąpimy w dalszychrozdziałach badając kwantowo-mechaniczną teorię momentu pędu.

4. Załóżmy ponownie, że obserwable mają odpowiedniki klasyczne. Ich komutatorymożna znaleźć mnożąc przez i~ odpowiednie nawiasy Poissona dla wielkości klasycz-nych (patrz (4.119)). Tak uzyskany komutator służy za punkt wyjścia do konstrukcjijawnej postaci operatorów. Tą drogą poszliśmy w rozdziale 10 budując operator pę-du w reprezentacji położeniowej (patrz (10.14) – (10.24)).

163


13.3 Postulat 3: wyniki pomiarów – wartościwłasne obserwabli

Postulat 3. Jedynym dopuszczalnym wynikiem pomiaru wielkości fizycznej Amoże być któraś z wartości własnych obserwabli (operatora hermitowskiego) A.

Komentarze

1. Wynik pomiaru jest zawsze (mianowaną) liczbą rzeczywistą. Dlatego też A musibyć obserwablą – operatorem hermitowskim. Metody konstrukcji obserwabli są pokrótce opisane w komentarzach do poprzedniego postulatu.

2. Postać obserwabli A, a co za tym idzie, zbiór wartości własnych i stany własne sąokreślone przez fizyczną naturę układu (jego strukturę). Dlatego też zbiór dopusz-czalnych wyników pomiarowych nie zależy od stanu |ψ 〉, w którym układ znajdowałsię tuż przed pomiarem. Znaczenie stanu |ψ 〉 określa następny postulat.

3. Widmo (zbiór wartości własnych obserwabli A) może być dyskretny, co oznacza,że rezultaty pomiaru są skwantowane. Postulat ten bywa więc nazywany zasadąkwantowania.

13.4 Postulat 4: prawdopodobieństwo wynikówpomiarowych

Niech |ψ 〉 oznacza unormowany wektor z przestrzeni H opisujący stan pewnego układufizycznego. Ponadto, niech A oznacza pewną wielkość fizyczną, której odpowiada obser-wabla A. Postulat ten nosi znacznie bardziej "praktyczny" charakter. Nie dotyczy on dośćabstrakcyjnego formalizmu mechaniki kwantowej. Mówi natomiast o wynikach pomiarówi eksperymentów.

13.4.1 Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji

W tym przypadku |ϕn 〉 stanowi zbiór wektorów własnych obserwabli A odpowiadają-cych wartościom własnym an, przy czym zachodzą relacje

A |ϕn 〉 = an |ϕn 〉, − zagadnienie własne,

〈ϕm |ϕn 〉 = δmn, − ortonormalnosc,∑n

|ϕn 〉〈ϕn | = 1, − zupełnosc. (13.4)

164


Postulat 4.A. Prawdopodobieństwo Pn tego, że w wyniku pomiaru wielkościfizycznej A, w układzie opisanym unormowanym wektorem stanu |ψ 〉, otrzy-mamy wartość własną an wynosi

Pn = |〈ϕn |ψ 〉|2 . (13.5)

bowiem wartości własnej an odpowiada tylko jeden wektor własny |ϕn 〉. Wiel-kość 〈ϕn |ψ 〉 nazywamy amplitudą prawdopodobieństwa.

Komentarze

Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji jest, niestety, dość rzadki. Dotyczy onna ogół dość prostych sytuacji modelowych. Wyjątkiem, wartym szczególnej uwagi jestjednowymiarowy oscylator harmoniczny.

13.4.2 Przypadek widma dyskretnego z degeneracją

Tutaj jednej wartości własnej an obserwabli A odpowiada gn (stopień degeneracji wartościwłasnej) różnych wektorów własnych

A |ϕinn 〉 = an |ϕinn 〉, – zagadnienie własne, in = 1, 2, . . . , gn.

〈ϕjmm |ϕinn 〉 = δmn δjm,in , – ortonormalność,∑n

gn∑in=1

|ϕinn 〉〈ϕinn | = 1 – zupełność, (13.6)

Postulat 4.B. Prawdopodobieństwo Pn tego, że w wyniku pomiaru wielkościfizycznej A, w układzie opisanym unormowanym wektorem stanu |ψ 〉, otrzy-mamy wartość własną an wynosi

Pn =gn∑in=1

∣∣∣〈ϕinn |ψ 〉∣∣∣2 . (13.7)

Prawdopodobieństwo jest sumą kwadratów modułów amplitud 〈ϕinn |ψ 〉.

Komentarze

1. W tym przypadku każda kombinacja liniowa stanów o tym samym numerze n, jakimjest oznaczona zmierzona wartość własna, jest wektorem własnym obserwabli A

A

gn∑in=1

Cinn |ϕinn 〉

= an

( gn∑i=1

Cinn |ϕinn 〉

), (13.8)

(patrz także (4.56) i (12.10)).

165


2. Napotykamy tu na niejednoznaczność, bowiem każda kombinacja powyższego typujest wektorem własnym obserwabli A. Tym samym mamy trudności z konstrukcjąjednoznacznego wektora stanu. Aby tę niejednoznaczność usunąć, trzeba zbudowaćZZOK i posłużyć się metodami rachunkowymi opisanymi w rozdziale 12.

13.4.3 Przypadek widma ciągłego

Obserwabla A ma wartości własne β należące do zbioru ciągłego, więc wektory własne|ϕβ 〉 są także numerowane indeksem ciągłym. Wówczas mamy

A |ϕβ 〉 = β |ϕβ 〉, − zagadnienie własne,

〈ϕα |ϕβ 〉 = δ(α− β), − ortonormalnosc uogolniona,∫dβ |ϕβ 〉〈ϕβ | = 1, − zupełnosc. (13.9)

Postulat 4.C. Prawdopodobieństwo dPβ tego, że w wyniku pomiaru wielkościfizycznej A, w układzie opisanym unormowanym wektorem stanu |ψ 〉, otrzy-mamy wartość z przedziału (β, β + dβ) wynosi

dPβ = |〈ϕβ |ψ 〉|2 dβ, (13.10)

a więc |〈ϕβ |ψ 〉|2 jest funkcją ciągła, mającą sens gęstości prawdopodobień-stwa.

13.4.4 Ogólne komentarze do postulatu 41. Niech |ψ 〉 ∈ H będzie dowolnym wektorem stanu pewnego układu fizycznego. War-

tość oczekiwana (średnia wartość z wielu pomiarów) wielkości fizycznej A, którejodpowiada obserwabla A, wynosi

〈A 〉 = 〈ψ | A |ψ 〉. (13.11)

Dla ilustracji rozważmy dalej przypadek bez degeneracji (13.4) i skorzystajmy z roz-kładu jedynki

〈A 〉 = 〈ψ | A |ψ 〉

=∑n

〈ψ | A |ϕn 〉〈ϕn |ψ 〉 =∑n

〈ψ |ϕn 〉 an 〈ϕn |ψ 〉

=∑n

an∣∣∣〈ϕn |ψ 〉∣∣∣2. (13.12)

2. Zestawiając prawe strony powyższych relacji i korzystając z dowolności stanu |ψ 〉możemy dokonać utożsamienia

A =∑n

an |ϕn 〉〈ϕn |, (13.13)

166


co, z matematycznego punktu widzenia, stanowi tzw. rozkład spektralny operatoraA (tzn. rozkład na operatory rzutowe |ϕn 〉〈ϕn |). Analogiczne rozkłady spektralnemożemy oczywiście wypisać dla przypadków widma zdegenerowanego i ciągłego.Posługując się koncepcją rozkładu spektralnego można połączyć postulaty 3 i 4w jeden. Zaletą takiego podejścia jest zmniejszenie liczby postulatów, zaś wadąkonieczność nieco rozbudowanej interpretacji. Dlatego pozostaniemy przy podanymsformułowaniu postulatów mechaniki kwantowej.

3. Z tego postulatu wynika probabilistyczna interpretacja funkcji falowej ψ(~r) =〈~r |ψ 〉. Położenie cząstki ma widmo ciągłe, zaś |~r 〉 to wektor własny operatora poło-żenia. Więc 〈~r |ψ 〉 jest amplitudą gęstości prawdopodobieństwa tego, że w wynikupomiaru położenia cząstki otrzymamy wartość ~r. Innymi słowy, jest to amplitudagęstości prawdopodobieństwa tego, że cząstka znajduje się w punkcie ~r. Postulat 4jest więc uogólnieniem stwierdzenia, że |ψ(~r, t)|2 jest gęstością prawdopodobieństwaznalezienia cząstki w punkcie ~r.

4. Warunek normowania sprawia, że wektory różniące się o stały czynnik |ψ1 〉 = α|ψ2 〉możemy utożsamić.

5. W szczególności, globalny czynnik fazowy jest bez znaczenia fizycznego. Różnicafaz pomiędzy wektorami stanu może jednak mieć istotne znaczenie ze względu namożliwość interferencji amplitud.

13.5 Postulat 5: pomiar – redukcja wektora stanu

Niech wektory |ϕinn 〉 oznaczają wektory własne pewnej obserwabli (tak samo jak w re-lacjach (13.6) Wektory te oczywiście tworzą bazę w odpowiedniej przestrzeni Hilberta.Załóżmy dalej, że układ fizyczny został przygotowany w stanie

|ψ 〉 =∑n=1

gn∑in=1

Cinn |ϕinn 〉,

∑n=1

gn∑in=1

∣∣∣Cinn

∣∣∣2 = 1, (13.14)

przy czym Cinn = 〈ϕinn |ψ 〉.

Postulat 5. Jeśli w układzie fizycznym przygotowanym w stanie |ψ 〉 doko-naliśmy pomiaru wielkości fizycznej A i otrzymaliśmy wartość własną ak, tonatychmiast po pomiarze następuje tzw. redukcja wektora stanu do

|ψ 〉 -pomiar ak

|ψred 〉 =gk∑ik=1

|ϕikk 〉〈ϕikk |ψ 〉√∑gk

sk=1 |〈ϕskk |ψ 〉|2

(13.15)

gdzie wektory |ϕikk 〉 rozpinają podprzestrzeń Hk stanów własnych obserwabli Aodpowiadającą zdgenerowanej wartości własnej ak.

167


Komentarze

1. Warto zwrócić uwagę, że w liczniku mamy indeks sumowania ik = 1, 2, . . . , gk, co od-powiada gk-krotnej degeneracji wartości własnej ak. Natomiast w mianowniku mamywskaźnik sk, który przebiega ten sam zakres wartości, ale jest całkiem niezależny.

2. Stan zredukowany |ψred 〉 jest poprawnie unormowany. Istotnie

〈ψred |ψred 〉 =gk∑jk=1

〈ψ |ϕjkk 〉√S

〈ϕjkk |gk∑ik=1

|ϕikk 〉〈ϕikk |ψ 〉√

S(13.16)

gdzie S oznacza sumę w mianowniku (13.15). Dalej mamy

〈ψred |ψred 〉 =gk∑jk=1

gk∑ik=1

1S〈ψ |ϕjkk 〉〈ϕ

jkk |ϕ

ikk 〉〈ϕ

ikk |ψ 〉. (13.17)

Ze względu na ortonormalność (13.6) mamy 〈ϕjkk |ϕikk 〉 = δjk,ik , suma staje się jed-

nokrotna. W liczniku odtwarza się suma S i w rezultacie 〈ψred |ψred 〉 = 1, tak jakto być powinno.

3. Jeśli zmierzona wartość własna jest niezdegenerowana to ik ≡ 1, więc indeks tenstaje się zbyteczny. Wówczas z postulatu (13.15) mamy

|ψ 〉 -pomiar ak

|ψred 〉 = |ϕk 〉〈ϕk |ψ 〉√|〈ϕk |ψ 〉|2

. (13.18)

Licznik i mianownik różnią się co najwyżej czynnikiem fazowym (bowiem 〈ϕk |ψ 〉 =eiα |〈ϕk |ψ 〉|, zatem |ψred 〉 = eiα|ϕk 〉, zaś faza globalna jest nieistotna fizycznie(można ją opuścić). A zatem w przypadku bez degeneracji możemy napisać

|ψ 〉 -pomiar ak

|ψred 〉 = |ϕk 〉. (13.19)

4. Postulat redukcji stanu można sformułować inaczej. W wyniku pomiaru stan |ψ 〉zostaje rzutowany na podprzestrzeń Hk odpowiadającą zmierzonej wartości wła-snej. Stwierdzenie to wynika stąd, że część prawej strony relacji (13.15) możemyinterpretować jako operator

Pk =gk∑ik=1

|ϕikk 〉〈ϕikk |√∑gk

sk=1 |〈ϕskk |ψ 〉|2

, (13.20)

działający na stan |ψ 〉. Jasne jest, że operator ten jest uogólnieniem operatorarzutowego (8.23), i jako kombinacja liniowa jest także operatorem rzutowania (tyle,że nie na określony wektor, ale na całą podprzestrzeń).

5. Jeśli stan układu przed pomiarem był jednym ze stanów własnych obserwabli A,to pomiar wielkości fizycznej A da wartość ak z prawdopodobieństwem równym 1,a stan układu po pomiarze będzie nadal stanem własnym odpowiadającym tej samejwartości własnej.

6. Postulat o redukcji stanu kwantowo-mechanicznego wydaje się być najbardziej ta-jemniczy i najmniej zrozumiały spośród całej szóstki postulatów. Do dziś budzikontrowersje interpretacyjne. Tu jednak odsyłamy do literatury (np. [13]).

168


13.6 Postulat 6: ewolucja w czasie – równanieSchrödingera

Postulat 6. Stan |ψ(t) 〉 układu fizycznego ewoluuje w czasie zgodnie z równa-niem Schrödingera

i~d

d t|ψ(t) 〉 = H(t) |ψ(t) 〉, (13.21)

gdzie hamiltonian H(t) jest obserwablą (zwaną hamiltonianem) odpowiadającącałkowitej energii układu. Hamiltonian może (ale nie musi) być funkcją czasu.

Uwagi

1. Postulat ten jest jedynym postulatem dynamicznym. Określa on dynamikę wektorastanu, to jest sposób w jaki |ψ(t) 〉 zmienia się w czasie.

2. Jest to równanie pierwszego rzędu względem czasu, więc do jego pełnego rozwiązaniakonieczne jest określenie stanu początkowego dla pewnej chwili t0.

3. Równanie Schrödingera jest w pełni deterministyczne. Ewolucja wektora stanu (lubfunkcji falowej w reprezentacji położeniowej) jest wyznaczona jednoznacznie. Pro-babilistyczna interpretacja mechaniki kwantowej wynika z pozostałych postulatów.

4. Głównym sposobem konstrukcji hamiltonianu jest zasada odpowiedniości. Jeżelipunktem wyjścia jest nierelatywistyczna fizyka klasyczna, wówczas dostajemy nie-relatywistyczną mechanikę kwantową, w której całkowita energia cząstki musi byćznacznie mniejsza niż jej energia spoczynkowa.

5. Znaczenie równania Schrödingera jest nie do przecenienia. Zasadnicza część niniej-szego wykładu jest poświęcona badaniu rozwiązań tego równania i jego różnorodnychkonsekwencji.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

169

S.Kryszewski 14. Kwantowa teoria momentu pędu 170

Rozdział 14

Kwantowa teoria momentu pędu

UWAGA : Począwszy od tego rozdziału będziemy na ogół pomijać "dasz-ki" nad operatorami. Matematyczny sens wielkości pojawiają-cych się w równaniach powinien wynikać z kontekstu.

14.1 Orbitalny moment pędu – wstęp

Kwantowo-mechaniczna teoria momentu pędu może być wprowadzana na różne sposoby.W drugiej części tego wykładu omówimy związek pomiędzy zwykłymi obrotami w prze-strzeni R3 – przestrzeni położeń, a odpowiednimi transformacjami w przestrzeniH stanówukładu fizycznego, czyli w przestrzeni Hilberta. Pokażemy tam, że operator momentu pę-du jest generatorem transformacji w przestrzeni Hilberta, a także wyprowadzimy jegopostać wynikającą z własności obrotów geometrycznych. Tutaj jednak wybieramy prostąi intuicyjną drogę, wynikającą z dobrze znanych zasad fizyki klasycznej1.

14.1.1 Podstawowe definicje

Klasyczny moment pędu cząstki dany jest wyrażeniem ~Lkl = ~rkl × ~pkl. W myśl zasa-dy odpowiedniości (4.114) kwantowo-mechaniczny operator momentu pędu konstruujemyzastępując wielkości klasyczne operatorami. Odpowiedni operator ma więc postać

~L = R× P = ~r× ~p = − i~~r×∇. (14.1)

Operator ten, z przyczyn które wskażemy nieco dalej, nazwiemy orbitalnym momentempędu. Z definicji tej, w oczywisty sposób, wynikają wyrażenia dla poszczególnych składo-wych operatora orbitalnego momentu pędu

L1 ≡ Lx = ypz − zpy = − i~(y∂

∂z− z

∂

∂y

), (14.2a)

L2 ≡ Ly = zpx − xpz = − i~(z∂

∂x− x

∂

∂z

), (14.2b)

1Pewne dodatkowe informacje można także znaleźć w Uzupełnieniach.

170


L3 ≡ Lz = xpy − ypx = − i~(x∂

∂y− y

∂

∂x

). (14.2c)

Po raz kolejny przypomnijmy, że składowe operatorów położenia i pędu spełniają kano-niczne relacje komutacyjne, patrz ostatnia w (4.121), tj.[

xj, pk]

= i~δjk, j, k = 1, 2, 3. (14.3)

Zwróćmy uwagę, że składowe orbitalnego operatora momentu pędu (14.2) są utworzo-ne przez różne składowe operatorów położenia i pędu, które komutują ze sobą. Dlategoteż niepotrzebna jest tu procedura symetryzacyjna (4.113), o której wspominaliśmy przyomawianiu zasady odpowiedniości.

Wygodnie jest zapisać definicję składowych operatora orbitalnego momentu pędu zapomocą standardowych reguł obliczania iloczynu wektorowego

Lm = εmnq xnpq, (14.4)

gdzie zawsze obowiązuje konwencja sumacyjna (sumujemy po powtarzających się wskaź-nikach od 1 do 3), zaś εmnq jest całkowicie antysymetrycznym tensorem III-ego rzędu (tzw.tensorem Levi-Civity). Przypomnijmy też kwestie wymiaru. Bez trudu sprawdzamy, że

[~L]

=[~r× ~p

]= m · kg ·m

s=

kg ·m2

s2· s = J · s =

[~], (14.5)

czyli orbitalny moment pędu ma ten sam wymiar co stała Plancka.Jak wiemy, kwantowo-mechaniczne operatory na ogół są nieprzemienne, zaś relacje

komutacyjne odgrywają zasadniczą rolę. Dlatego badanie orbitalnego momentu pędu roz-poczniemy od znalezienia różnych relacji komutacyjnych przydatnych w dalszych rozwa-żaniach.

14.1.2 Relacje komutacyjne

Wprowadzone definicje wystarczą do zbadania podstawowych relacji komutacyjnych, któ-re ujmiemy jako kolejne lematy.

Lemat 14.1 Składowe operatorów orbitalnego momentu pędu Lm, położenia xn i pędu pq,spełniają następujące reguły komutacyjne[

Lm, xn]

= i~ εmnq xq, (14.6a)[Lm, pn

]= i~ εmnq pq, (14.6b)[

Lm, Ln]

= i~ εmnq Lq. (14.6c)

171


Dowód. Zauważmy, że stała Plancka ~ pojawia się po prawych stronach relacji (14.6)ze względów "wymiarowych". Np. pierwszy komutator ma wymiar

[x]·[L]

= m ·[

~],

co wynika z (14.5). Oczywiście prawa strona w (14.6a) ma dokładnie ten sam wymiar.Komentarz ten dotyczy wszystkich trzech komutatorów, a także następnych stwierdzeń.Przechodzimy teraz do dowodu pierwszej z relacji. Wprost z definicji (14.4) mamy[

Lm, xn]

=[εmjkxjpk, xn

]= εmjk

xj[pk, xn

]+[xj, xn

]pk

= εmjk xj (−i~)δkn + 0 = −i~εmjn xj = i~εmnj xj. (14.7)

co kończy dowód pierwszej z relacji. Dowód drugiej przebiega całkiem analogicznie, więcgo ominiemy. Dowód trzeciej relacji niestety jest nieco dłuższy[

Lm, Ln]

=[Lm, εnqs xqps

]= εnqs

xq[Lm, ps

]+[Lm, xq

]ps

= εnqs

(i~ εmsb xqpb + i~ εmqb xbps

)= i~

(− εsnq εsmb xqpb + εqns εqmb xbps

), (14.8)

gdzie przechodząc do drugiej linii skorzystaliśmy z już udowodnionych relacji (14.6a)i (14.6b). Ponieważ zachodzi związek

εabc εade = δbd δce − δbe δcd, (14.9)

więc dalej otrzymujemy[Lm, Ln

]= − i~

(δnm δqb − δnb δqm

)xqpb + i~

(δnm δsb − δnb δsm

)xbps

= − i~(δnm xqpq − xmpn

)+ i~

(δnm xsps − xnpm

). (14.10)

Pierwszy i trzeci składnik są takie same – znoszą się. Idąc dalej mamy[Lm, Ln

]= i~

(xmpn − xnpm

)= i~

(δam δbn xapb − δan δmb xapb

)= i~

(δma δnb − δna δmb

)xapb (14.11)

Korzystamy ponownie z (14.9) i dostajemy[Lm, Ln

]= i~ εqmn εqab xapb = i~ εqmn Lq, (14.12)

co kończy dowód trzeciej relacji komutacyjnej.Uzyskane relacje komutacyjne dotyczą operatora orbitalnego momentu pędu, mimo

to jednak grają pierwszorzędną rolę w dalszych rozważaniach. Dokonamy bowiem ważne-go uogólnienia. Podkreślaliśmy już wielokrotnie znaczenie reguł komutacyjnych. Analogiaklasyczna pozwoliła nam otrzymać formuły (14.6), z których najistotniejszą (w aktual-nym kontekście) jest ostatnia z nich. Pozwala ona na daleko idące uogólnienia, któreszczegółowo przedyskutujemy.

172


14.2 Ogólny operator moment pędu

14.2.1 Definicje i uwagi wstępne

Zdefiniowany powyżej operator ~L jest tzw. orbitalnym momentem pędu pojedynczej cząst-ki (nazwa ta wynika z analogii klasycznej). Układy fizyczne mogą jednak składać się z wię-cej niż tylko jednej cząstki. Może być wtedy potrzebny całkowity moment pędu układu.Co więcej (jak to omówimy później) cząstki mogą mieć spin, tzw. wewnętrzny momentpędu, całkowicie niezależny od stanu jej ruchu (a więc niezależny od ~L). Widać więc, żepojęcie momentu pędu jest ogólniejsze, nie jest ograniczone do orbitalnego momentu pędupojedynczej cząstki. Dlatego też uogólnimy nasze rozważania wprowadzając operator ~Jskładający się z trzech składowych (operatorowych) ~J = (J1, J2, J3). Na te trzy operatoryte narzucamy dwa warunki. Po pierwsze żądamy aby były to obserwable – operatory her-mitowskie, których wektory własne rozpinają przestrzeń stanów. Po drugie, żądamy abyspełniały one relacje komutacyjne, formalnie identyczne z relacjami komutacyjnymi dlaskładowych operatora orbitalnego momentu pędu, a mianowicie, żądamy aby zachodziłyrelacje[

Jm, Jn]

= i~ εmnq Jq, m, n, q = 1, 2, 3. (14.13)

Operatory Jk nazwiemy operatorami (składowych) momentu pędu (ale już bez jakiego-kolwiek przymiotnika). Co więcej, przypisujemy im właściwy wymiar

[Jk]

=[~], zgodnie

z (14.5). Oczywiście pociąga to za sobą obecność ~ po prawej stronie relacji (14.13). Fakt,że składowe momentu pędu nie komutują ze sobą oznacza (w świetle zasady nieoznaczo-ności), że nie jest możliwy jednoczesny pomiar trzech składowych operatora ~J.

Podkreślmy, że w prowadzonych tu rozważaniach relacja komutacyjna (14.13) jestw gruncie rzeczy postulatem2. Nie wynika ona z jakichś definicji, lecz jest z góry narzuco-nym warunkiem (wynikającym z analogii do orbitalnego momentu pędu). Mimo to jednak,przyjmiemy ją i przebadamy jej najważniejsze konsekwencje, tj. wynikające z niej innereguły komutacyjne, a także inne własności operatorów ogólnego momentu pędu.

Wprowadzimy teraz tzw. operator całkowitego momentu pędu zdefiniowany jako

~J2 = J21 + J2

2 + J23 , (14.14)

oraz dwa operatory pomocnicze

J± = J1 ± i J2, J†+ = J−. (14.15)

Operatory J± nie są hermitowskie, lecz są swoimi wzajemnymi sprzężeniami. J+ bywanazywany operatorem podnoszącym, zaś J− obniżającym. Pochodzenie tej terminologiiwyjaśni się w trakcie naszej dyskusji.

2Wdrugiej części wykładu zbadamy związki operatora momentu pędu z obrotami w R3 i indukowanymitransformacjami w przestrzeni Hilberta. Ich konsekwencją są omawiane relacje komutacyjne.

173


14.2.2 Relacje komutacyjne

Lemat 14.2 Operator całkowitego momentu pędu ~J2 i składowa Jk spełniają relacjękomutacyjną[

~J2, Jk]

= 0, dla k = 1, 2, 3. (14.16)

Dowód. Stosując regułę sumacyjną, z relacji (14.13) otrzymujemy[~J2, Jk

]=[JnJn, Jk

]= Jn

[Jn, Jk

]+[Jn, Jk

]Jn

= i~εnkpJnJp + i~εnkpJpJn. (14.17)

W drugim składniku zamieniamy nazwy wskaźników p↔ n[~J2, Jk

]= i~εnkpJnJp + i~εpknJnJp = i~

(εnkp + εpkn

)JnJp

= i~(−εknp + εknp

)JnJp = 0. (14.18)

co należało wykazać.Naturalnym wnioskiem z powyższego lematu jest stwierdzenie, że możliwy jest jed-

noczesny pomiar całkowitego momentu pędu i jednej (dowolnie wybranej) składowej. Za-zwyczaj wybieramy (z przyczyn historycznych) składową J3 jako współmierzalną z ~J2.

Lemat 14.3 Składowa operatora momentu pędu J3 i operatory J± spełniają relację[J3, J±

]= ± ~J±. (14.19)

Dowód. Przeprowadzamy bezpośredni rachunek, w którym korzystamy z kanonicznejrelacji (14.13). Z własności tensora εabc otrzymujemy[

J3, J±]

=[J3, J1 ± iJ2

]= i~ ε31k Jk ± i2 ~ ε32k Jk

= i~ ε312 J2 ∓ ~ ε321 J1 = i~J2 ± ~ J1

= ± ~(J1 ± i~J2

)= ± ~ J±, (14.20)

co było do wykazania.

Lemat 14.4 Operatory J+ oraz J− spełniają relację komutacyjną[J+, J−

]= 2~ J3. (14.21)

Dowód. Ponownie wykonujemy bezpośrednie obliczenia i dostajemy[J+, J−

]=[J1 + iJ2, J1 − iJ2

]= −i

[J1, J2

]+ i

[J2, J1

]= 2i

[J2, J1

]= 2i2 ~ ε21p Jp = −2 ~ ε213 J3 = 2 ~ J3, (14.22)

co było do wykazania.

174


Lemat 14.5 Operator całkowitego momentu pędu ~J2 i operatory J± spełniają relację[~J2, J±

]= 0. (14.23)

Dowód. Z lematu (14.16) wynika, że[~J2, J±

]=[~J2, J1 ± iJ2

]=[~J2, J1

]± i

[~J2, J2

]= 0, (14.24)

co na mocy (14.16) kończy dowód.

Lemat 14.6 Operator całkowitego momentu pędu ~J2 można wyrazić w postaci

~J2 =12

(J+J− + J−J+

)+ J2

3 . (14.25)

Dowód. Bezpośrednio sprawdzamy (pamiętając, że składowe Jk nie komutują)

~J2 =12

((J1 + iJ2)(J1 − iJ2) + (J1 − iJ2)(J1 + iJ2)

)+ J2

3

=12

(J2

1 − iJ1J2 + iJ2J1 + J22 + J2

1 + iJ1J2 − iJ2J1 + J22

)+ J2

3

=12

(2J2

1 + 2J22

)+ J2

3 (14.26)

co, na mocy definicji (14.14) oczywiście kończy dowód.

Lemat 14.7 Dla operatorów J± zachodzi następująca relacja

J∓J± = ~J2 − J3

(J3 ± ~

). (14.27)

Dowód. Bezpośrednio sprawdzamy (składowe Jk nie komutują)

J∓J± =(J1 ∓ iJ2

)(J1 ± iJ2

)= J2

1 ± iJ1J2 ∓ iJ2J1 − i2 J22

= J21 + J2

2 ± i(J1J2 − J2J1

)= ~J2 − J2

3 ± i2 ~ ε12p Jp

= ~J2 − J23 ∓ ~ ε123 J3 = ~J2 − J3

(J3 ± ~

). (14.28)

co należało pokazać.Warto w tym miejscu stwierdzić, że wszystkie powyższe rezultaty są konsekwencją jed-

nego jedynego założenia, a mianowicie relacji komutacyjnej (14.13) wynikłej z uogólnieniaodpowiedniej reguły dla orbitalnego momentu pędu. Przypomnijmy także, że reguły ko-mutacyjne pozwoliły nam zbudować wektory własne i obliczyć wartości własne. Tak byłodla operatorów anihilacji i kreacji. Chcemy teraz przeprowadzić analogiczne rozumowaniedla ogólnego momentu pędu.

175


14.3 Wartości własne operatorów ~J2oraz J3 = Jz

14.3.1 Wprowadzenie

Operatory ~J2 i J3 komutują, a więc z jednej strony są jednocześnie mierzalne (co wynikaz zasady nieoznaczoności), zaś z drugiej strony mają wspólny zbiór wektorów własnych(patrz rozdział 12). Wektor własny operatorów ~J2 i J3 oznaczymy przez | jm 〉 i napiszemyodpowiednie zagadnienia własne

~J2 | j m 〉 = ~2 λj | j m 〉, (14.29a)

J3 | j m 〉 = ~m | j m 〉, (14.29b)

Rozważane operatory są z założenia hermitowskie, więc liczby λj,m ∈ R są bezwymiaro-we, bowiem poprawny wymiar zapewnia stała Plancka. Liczby λj,m będziemy nazywaćwartościami własnymi operatorów ~J2 i J3, odpowiednio. Może się tak zdarzyć, że opera-tory ~J2 i J3 nie wystarczają do utworzenia zupełnego zbioru obserwabli komutujących.Wówczas może istnieć kilka stanów spełniających powyższe zagadnienie własne. Wtedybędą się one różnić dodatkowym indeksem numerującym stany własne jakiejś trzeciejobserwabli, którą trzeba dołączyć, aby zbudować ZZOK. Na razie pominiemy ten ewen-tualny trzeci indeks, ale do dyskusji tego problemu wrócimy gdzie indziej3. Stany | j m 〉i | j′m′ 〉 odpowiadają różnym wartościom własnym operatorów hermitowskich, są więcortogonalne. Można je unormować, więc przyjmiemy

〈 j m | j ′m ′ 〉 = δjj′ δmm′ . (14.30)

Oczywiście z (14.29) wynikają wartości oczekiwane

〈 j m |~J2 | j m 〉 = ~2 λj, (14.31a)

〈 j m | J3 | j m 〉 = ~m. (14.31b)

Po wprowadzeniu podstawowych określeń przechodzimy do poszukiwania konkretnychwartości liczb kwantowych λj i m. Operator ~J jest hermitowski, wobec tego operator ~J2

jest dodatnio określony, co oznacza że

~2 λj = 〈 j m |~J2 | j m 〉 =∥∥∥ ~J| j m 〉 ∥∥∥2

0, =⇒ λj 0, (14.32)

czyli jego wartości własne są nieujemne. Zauważmy, że zawsze znajdziemy taką liczbęnieujemną j ∈ R+, aby napisać

λj = j(j + 1), j 0, oraz ~J2 | j m 〉 = ~2 j(j + 1) | j m 〉. (14.33)

Wprowadzenie liczby j na tym etapie rozważań jest możliwe, choć na razie niekonieczne.Później wyniknie nam ona w sposób naturalny.

3Odpowiednia dyskusja problemu znajduje się w Uzupełnieniach.

176


14.3.2 Wartość własna m jest ograniczona

Wartość oczekiwana kwadratu k-tej składowej operatora momentu pędu jest nieujemna,bowiem analogicznie jak w (14.32) mamy

〈 j m | J2k | j m 〉 = ‖ Jk| j m 〉‖2 0. (14.34)

Suma dwóch liczb nieujemnych też jest nieujemna, otrzymujemy więc

0 ¬ 〈 j m | J21 | j m 〉 + 〈 j m | J2

2 | j m 〉 = 〈 j m |(J2

1 + J22

)| j m 〉

= 〈 j m |(~J2 − J2

3

)| j m 〉 = ~2

(λj − m2

). (14.35)

Wnioskujemy stąd, że po pierwsze stan | j m 〉 jest stanem własnym operatora (J21 + J2

2 )(odpowiadającym wartości własnej ~2( λj −m2 )), a po drugie że

λj − m2 0. (14.36)

To zaś oznacza, że (dla danego λj) liczba kwantowa m jest ograniczona m2 ¬ λj. Wobectego, stwierdzamy, że dla określonego λj

mmin ¬ m ¬ mmax. (14.37)

Zauważmy, że wartości m mogą być ujemne, ale ograniczone z dołu przez mmin.

14.3.3 Własności J±| j m 〉

W celu dalszego badania wartości własnych λj i m rozważymy działanie operatora pod-noszącego J+ i obniżającego J− na stany | j m 〉. Ponieważ operatory J± komutują z ~J2

(por. (14.23)), więc

~J2(J±| j m 〉

)= ~J2J±| j m 〉 = J±~J2| j m 〉 = ~2λjJ±| j m 〉. (14.38)

Wektor J±| j m 〉 jest więc stanem własnym operatora ~J2 z wartością własną λj. Ponadtoz relacji komutacyjnej (14.19) wynika, że

J3J±| j m 〉 =(J±J3 ± ~J±

)| j m 〉

= J±(~m ± ~

)| j m 〉 = ~(m ± 1)J±| j m 〉. (14.39)

Oznacza to, że wektor J±| j m 〉 jest stanem własnym operatora J3 odpowiadającym war-tości własnej (m ± 1). Zgodnie z określeniami (14.29) własności te posiada także stan| j, m± 1 〉. Wnioskujemy, że musi zachodzić proporcjonalność

J±| j m 〉 = C± | j,m± 1 〉, (14.40)

gdzie C± to stałe, które trzeba oczywiście wyznaczyć. Własność podnoszenia lub obniżanialiczby kwantowej m uzasadnia nazwy operatorów J±.

177


Lemat 14.8 Operatory J± działając na stan | j m 〉 dają

J+| j m 〉 = ~√λj −m(m+ 1) | j,m+ 1 〉, (14.41a)

J−| j m 〉 = ~√λj −m(m− 1) | j,m− 1 〉, (14.41b)

co oczywiście precyzuje postać współczynników C±.

Dowód. Z relacji (14.40) wynika, że C∗±〈 j m± 1 | =(J±| jm 〉

)†= 〈 j m |J∓. Tworzymy

iloczyny skalarne, bierzemy pod uwagę unormowanie stanów | j,m± 1 〉 i otrzymujemy

|C±|2 = 〈 j m | J∓J± | j m 〉 (14.42)

Na mocy relacji (14.27) otrzymujemy dalej

|C±|2 = 〈 j m |[~J2 − J3(J3 ± ~)

]| j m 〉

=[

~2 λj −m ~(m ~± ~)]〈 j m | j m 〉

= ~2 [ λj −m(m± 1)] . (14.43)

Wybieramy fazę równą zero, i z dwóch powyższych równości otrzymujemy współczynnikiC±, stąd teza.

14.3.4 Wartości własne ~J2 oraz J3 = Jz

Stwierdziliśmy uprzednio, że wartość własna m jest ograniczona, patrz (14.37). Wiemytakże, że operator J+ podnosi liczbę kwantową m o 1. Ponieważ m nie może przekroczyćmmax, więc musi zachodzić relacja

J+| j,mmax 〉 = 0. (14.44)

Analogicznie, operator J− obniża liczbę kwantową m o 1, lecz m nie może spaść poniżejmmin, więc musi też być

J−| j,mmin 〉 = 0. (14.45)

Podziałajmy operatorem J− na obie strony relacji (14.44) i skorzystajmy z (14.27) biorącpod uwagę, że stan | j,mmax 〉 jest stanem własnym operatorów ~J2 i J3. Otrzymujemy

0 = J−J+| j,mmax 〉 =[~J2 − J3 (J3 + ~)

]| j,mmax 〉

= ~2[λj −mmax (mmax + 1)

]| j,mmax 〉 (14.46)

W podobny sposób działamy operatorem J+ na obie strony (14.45) i mamy teraz

0 = J+J−| j,mmin 〉 =[~J2 − J3 (J3 − ~)

]| j,mmin 〉

= ~2[λj −mmin (mmin − 1)

]| j,mmin 〉 (14.47)

178


Z uzyskanych wyrażeń wynika więc układ równań λj −mmax (mmax + 1) = 0

λj −mmin (mmin − 1) = 0.(14.48)

Z równań tych eliminujemy λj, i w kolejnych krokach otrzymujemy

mmax(mmax + 1) = mmin(mmin − 1),

(mmax +mmin)(mmax −mmin + 1) = 0, (14.49)

co wynika z elementarnych przekształceń algebraicznych. Ponieważ mmax mmin więcpowyższe równanie może być spełnione tylko wtedy, gdy zeruje się pierwszy czynnik.Wnioskujemy, że

mmax = − mmin. (14.50)

Stan | j,mmin 〉 ma najmniejszą możliwą liczbę kwantową m = mmin. Z relacji (14.41a)wnioskujemy dalej, że działając na ten stan operatorem J+ otrzymamy nowy stan z liczbąkwantową m podniesioną o jeden, tzn., m = mmin + 1. Stosując sukcesywnie operatorJ+ zwiększamy liczbę m, aż wreszcie trafimy na mmax. Dalsze stosowanie J+ (zgodniez (14.44) produkuje zera. A więc mmin i mmax muszą różnić się o liczbę całkowitą (o tyle,ile razy stosowaliśmy operator J+)

mmax −mmin = 2j, (14.51)

gdzie j jest nieujemną liczbą całkowitą (2j parzyste) lub połówkową (2j nieparzyste).Ze względu na równania (14.50) i (14.51) mamy

mmax = j oraz mmin = − j. (14.52)

Stwierdzamy więc, że dopuszczalne wartości liczby kwantowej m to

m = − j, − j + 1, − j + 2, . . . , . . . , j − 2, j − 1, j. (14.53)

Natomiast na mocy pierwszego z równań (14.48) otrzymujemy

λj = j (j + 1), (14.54)

przy czym wiemy, że j jest liczbą nieujemną całkowitą lub połówkową. Liczba ta, wpro-wadzona w (14.33), wynikła teraz w sposób naturalny z całego formalizmu, a ponadtozostał sprecyzowany jej charakter.

179


14.3.5 Podsumowanie

Operatory ~J2 i J3 komutują, mają więc wspólny zbiór (ortonormalnych) wektorów włas-nych | j m 〉, spełniających równania

~J2 | j m 〉 = ~2 j (j + 1) | j m 〉, (14.55a)

J3 | j m 〉 = ~m | j m 〉, (14.55b)

gdzie liczba kwantowa m może przyjmować (2j + 1) różnych wartości

m = − j, − j + 1, − j + 2, . . . , . . . , j − 2, j − 1, j. (14.56)

Liczba kwantowa j jest nieujemna całkowita lub połówkowa

j = 0,12, 1,

32, 2,

52, . . . , . . . , (14.57)

przy czym mamy tu sytuację albo j jest liczbą całkowitą, albo połówkową4.Z własności operatorów J± wynika, że liczba kwantowa m zmienia się krokami o

wielkości jednostkowej. Wobec tego• jeśli j – połówkowa, to m też połówkowa;• jeśli j – całkowita, to m też całkowita.

Widzimy więc, że zbiory wartości własnych j,m rozpadają się na dwie klasy, liczbcałkowitych (tzw. przypadek bozonowy) i połówkowych (przypadek fermionowy).

Warto także przypomnieć działanie operatorów J± na stany | j m 〉:

J+| j m 〉 = ~√j(j + 1)−m(m+ 1) | j,m+ 1 〉

= ~√

(j −m)(j +m+ 1) | j,m+ 1 〉, (14.58a)

J−| j m 〉 = ~√j(j + 1)−m(m− 1) | j,m− 1 〉

= ~√

(j +m)(j −m+ 1) | j,m− 1 〉. (14.58b)

co wynika z (14.41) i (14.54).

14.4 Wektory własne operatorów ~J2 oraz J3 = Jz.Reprezentacja standardowa

Liczby kwantowe j i m wyznaczają stany własne operatorów ~J2 oraz J3. Jeśli liczba j jestustalona, wówczas m przebiega 2j + 1 wartości (14.56). Wynika stąd, że odpowiadającadanemu j przestrzeń Hilberta E(j) ma wymiar

dim E(j) = 2j + 1. (14.59)4Pełne uzasadnienie tego stwierdzenia odkładamy do drugiej części wykładu. Jest to bowiem związane

z własnościami układów fizycznych przy obrotach.

180


Dla j całkowitego (przypadek bozonowy) wymiar ten jest liczbą nieparzystą, zaś gdyj = 1

2(2k + 1), (k 0) (połówkowe – fermiony) to dim E(j) jest parzysty. Wektory| j,m 〉 można w tej sytuacji przedstawić za pomocą "słupków" – zwykłych wektorówkolumnowych, zawierających 2j + 1 składowych.

Przestrzeń taka jest niezmiennicza względem (składowych) operatora ~J. Operator ~J2

nie zmienia ani j ani m. Operatory J1, J2, J3, J± mogą "mieszać" wektory o różnych m,lecz nie zmieniają liczby j. Działanie tych operatorów na wektory z E(j) przekształca jew inne wektory z tej samej podprzestrzeni

E(j) -J1, J2, J3, J±

E(j). (14.60)

W związku z tym, operatory ~J (i ich kombinacje) działające na tej podprzestrzeni możnareprezentować macierzami (hermitowskimi) o wymiarze (2j + 1)× (2j + 1).

Do tej pory mówiliśmy o pewnym ustalonym j. Liczba ta też może się zmieniać się ojeden, albo od zera (bozony), albo od 1

2 (fermiony). Wówczas cała przestrzeń E (wszelkiemożliwe j i m) jest sumą prostą podprzestrzeni E(j)

E = ⊕j E(j), (14.61)

przy czym każda podprzestrzeń jest niezmiennicza wzgledem działania ~J. Wektory rozpi-nające taką przestrzeń są ortogonalne, jak w (14.30), a także spełniają relację zupełności

∑j

j∑m=−j

| j,m 〉〈 j,m | = 1, (14.62)

gdzie po prawej mamy operator jednostkowy w całej przestrzeni E .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

181

S.Kryszewski 15. Orbitalny momentu pędu 182

Rozdział 15

Orbitalny momentu pędu

15.1 Ogólne własności orbitalnego momentu pędu

15.1.1 Przypomnienie wyników

W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy orbitalny moment pędu cząstki poprzez od-wołanie się do fizyki klasycznej i do zasady odpowiedniości. Zbierzemy teraz uzyskaneuprzednio rezultaty. Operator orbitalnego momentu pędu jest operatorem wektorowymmającym trzy składowe

~L = (L1, L2, L3) gdzie Lk = εkmn xm pn, (15.1)

utworzone za pomocą operatorów położenia i pędu. Komutator dwóch składowych to[Lm, Ln

]= i~ εmnp Lp, (15.2)

co uzyskaliśmy z kanonicznej relacji dla położenia i pędu[xm, pn

]= i~δmn.

Wszystkie własności operatora ~J omówione w poprzednim rozdziale zostały wypro-wadzone w oparciu o taką samą formalną relację komutacyjną. Dlatego też wszystkiewyniki poprzedniego rozdziału możemy prawie automatycznie zastosować do orbitalnegomomentu pędu. Trzeba tylko dopasować notację, której wybór ma uzasadnienie histo-ryczne. Definiujemy więc operator całkowitego orbitalnego momentu pędu oraz operatorypodnoszący i obniżający

~L2 = L21 + L2

2 + L23, L± = L1 ± iL2. (15.3)

Relacje komutacyjne przenoszą się bez trudu, dowody przebiegają zupełnie tak samo.A zatem mamy (por. (14.16), (14.19), (14.21) oraz (14.23)[

~L2, Lm]

= 0,[L3, L±

]= ±~L±, (15.4a)[

L±, L∓]

= 2~L3,[~L2, L±

]= 0. (15.4b)

182


Obowiązują też podobne związki operatorowe (por. (14.25), (14.27))

~L2 =12

( L±L∓ + L∓L± ) + L23, (15.5a)

L∓ L± = ~L2 − L3(L3 ± ~), (15.5b)

które można sprawdzić takimi samymi rachunkami jak w poprzednim rozdziale.

15.1.2 Wartości własne i wektory własne

Wyprowadzenie wartości i stanów własnych operatora momentu pędu ~J bazowało wyłącz-nie na regułach komutacyjnych, które są tu formalnie takie same, więc znów przenosimywyniki zmieniając w odpowiedni sposób jedynie notację.

Niech | l,m 〉 oznacza unormowany stan własny operatorów ~L2 oraz L3, wówczas

~L2 | l,m 〉 = ~2 l(l + 1) | l,m 〉, (15.6a)

L3 | l,m 〉 = ~m | l,m 〉, (15.6b)

Układ fizyczny po obróceniu o kąt 2π musi wracać do stanu wyjściowego. Stąd też wynika,że liczby kwantowe l oraz m są liczbami całkowitymi. Wniosek ten, nie mający na razieżadnego uzasadnienia, wyprowadzimy w dalszym ciągu wykładu. Podobnie jak w przy-padku ogólnego momentu pędu tutaj również stany | lm 〉 stanowią bazę ortonormalną

〈 l,m | l′,m′ 〉 = δll′ δmm′ , (15.7)

i zupełną

∑l=0

l∑m=−l

| l,m 〉〈 l,m | = 1, (15.8)

w pełnej analogii do (14.30) i (14.62).

15.1.3 Elementy macierzowe

Domykając z lewej (za pomocą bra) zagadnienia własne (15.6) i korzystając z ortonor-malności (15.7) otrzymujemy

〈 l,m | ~L2 | l′,m′ 〉 = ~2 l(l + 1) δll′ δmm′ , (15.9a)

〈 l,m |L3 | l′,m′ 〉 = ~m δll′ δmm′ , (15.9b)

Następnie, bierzemy (z odpowiednio dopasowaną notacją) formuły (14.58). Domykając,dostajemy kolejny element macierzowy

〈 l,m |L± | l′,m′ 〉 = ~√l(l + 1)−m′(m′ ± 1) δll′ δm,m′±1

= ~√

(l ∓m′)(l ±m′ + 1) δll′ δm,m′±1, (15.9c)

183


Z definicji L± w (15.3) oraz z (15.9c) otrzymujemy ponadto

〈 l,m |L1 | l′,m′ 〉 =~2δll′

[√l(l + 1)−m′(m′ + 1) δm,m′+1

+√l(l + 1)−m′(m′ − 1) δm,m′−1

], (15.10a)

〈 l,m |L2 | l′,m′ 〉 =~2iδll′

[√l(l + 1)−m′(m′ + 1) δm,m′+1

−√l(l + 1)−m′(m′ − 1) δm,m′−1

], (15.10b)

które wynikają z dodania i odjęcia stronami (15.9c) dla operatorów L+ oraz L−.

15.2 Orbitalny moment pęduw reprezentacji położeniowej

Definiując operator orbitalnego momentu pędu postąpiliśmy zgodnie z zasadą odpowied-niości (4.114), to jest wielkości klasyczne zastąpiliśmy operatorami wyrażonymi we współ-rzędnych kartezjańskich. W rezultacie odpowiednie operatory w reprezentacji położenio-wej są dane w (14.2). Wyrażenia te okazują się być niewygodne w praktycznych zastosowa-niach. Po skonstruowaniu operatorów możemy przejść do innego, znacznie wygodniejszego,układu współrzędnych, w tym wypadku sferycznych.

15.2.1 Współrzędne kartezjańskie i sferyczne

Związek pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi i sferycznymi jest następujący

x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ, (15.11)

i na odwrót

r2 = x2 + y2 + z2, cos θ =z

r=

z√x2 + y2 + z2

, tgϕ =y

x. (15.12)

Zamiana zmiennych

Przejście we wzorach (14.2) od współrzędnych kartezjańskich do sferycznych jest ćwicze-niem w różniczkowaniu1. Zbierzemy ważne rezultaty pośrednie, podając ich wyprowadze-nia jedynie w skrócie. Macierz zamiany współrzędnych jest następująca

∂r

∂x= sin θ cosϕ,

∂r

∂y= sin θ sinϕ,

∂r

∂z= cos θ,

∂θ

∂x=

cos θ cosϕr

,∂θ

∂y=

cos θ sinϕr

,∂θ

∂z= = − sin θ

r

∂ϕ

∂x= − sinϕ

r sin θ,

∂ϕ

∂y=

cosϕr sin θ

,∂ϕ

∂z= 0. (15.13)

1Warto jednak, choć raz w życiu, wykonać to ćwiczenie w całości, od początku do końca.

184


Obliczenia dziewięciu pochodnych tworzących powyższą macierz są proste. Naszkicujemysposób obliczania niektórych z nich. A mianowicie, z (15.12) otrzymujemy

∂r

∂x=

∂

∂x

√x2 + y2 + z2

=1

2√x2 + y2 + z2

2x =x

r= sin θ cosϕ. (15.14)

Podobnie obliczamy pozostałe dwa elementy pierwszego wiersza w (15.13). Bierzemy terazdrugą z relacji (15.12), stosując po lewej stronie reguły różniczkowania funkcji złożonejcos θ = cos[θ(x)]. W ten sposób mamy

− sin θ∂θ

∂x=

∂

∂x

z

(x2 + y2 + z2)1/2= −1

2z (x2 + y2 + z2)−3/2 2x

= − z x

r3= −1

rsin θ cos θ cosϕ, (15.15)

gdzie skorzystaliśmy z (15.11). Po skróceniu dostajemy pierwszy wyraz w drugim wierszumacierzy (15.13). Postępując analogicznie z trzecią relacją w (15.12)

1cos2 ϕ

∂ϕ

∂x=

∂

∂x

y

x= − y

x2= − sinϕ sin θ

r cos2 ϕ sin2 θ, (15.16)

a po uproszczeniu dostajemy pierwszy człon w trzecim wierszu macierzy (15.13).Otrzymana wyżej tablica pozwala wyrazić pochodne obliczane względem współrzęd-

nych kartezjańskich przez pochodne we współrzędnych sferycznych. W myśl zasad róż-niczkowania funkcji złożonych otrzymujemy

∂

∂x=

∂r

∂x

∂

∂r+

∂θ

∂x

∂

∂θ+

∂ϕ

∂x

∂

∂ϕ. (15.17)

Korzystając z elementów tablicy (15.13) dostajemy

∂

∂x= sin θ cosϕ

∂

∂r+

cos θ cosϕr

∂

∂θ− sinϕ

r sin θ∂

∂ϕ. (15.18)

Tak samo wyrażamy pozostałe operatory różniczkowania względem zmiennych kartez-jańskich przez odpowiednie operatory we współrzędnych sferycznych. Podajemy gotowepozostałe wyniki

∂

∂y= sin θ sinϕ

∂

∂r+

cos θ sinϕr

∂

∂θ+

cosϕr sin θ

∂

∂ϕ, (15.19)

∂

∂z= cos θ

∂

∂r− sin θ

r

∂

∂θ. (15.20)

185


15.2.2 Operatory Lk we współrzędnych sferycznych

Obliczenia składowych Lk operatora orbitalnego momentu pędu we współrzędnych sfe-rycznych polegają na podstawieniu związków (15.17), (15.19), (15.20) do formuł (14.2).Wygląda to skomplikowanie, jednak wiele członów znosi się parami. Wykorzystanie ele-mentarnych relacji trygonometrycznych także daje znaczne uproszczenia. Nie ma tu więcżadnych trudności koncepcyjnych, a jedynie mamy do czynienia z dość żmudnymi ra-chunkami. Pokażemy tutaj jak obliczać jedną ze składowych operatora momentu pędu.Pozostałe znajduje się bardzo podobnie i dlatego podamy tylko gotowe rezultaty.

Do relacji (14.2a) podstawiamy odpowiednie formuły (15.11) oraz (15.20) i (15.19).W rezultacie

L1 = −i~(y∂

∂z− z ∂

∂y

)

= −i~[r sin θ sinϕ

(cos θ

∂

∂r− sin θ

r

∂

∂θ

)

− r cos θ(

sin θ sinϕ∂

∂r+

cos θ sinϕr

∂

∂θ+

cosϕr sin θ

∂

∂ϕ

)]. (15.21)

Wyrazy zawierające ∂/∂r skracają się. Elementarna trygonometria daje dalej

L1 = −i~[− sin2 θ sinϕ

∂

∂θ− cos2 θ sinϕ

∂

∂θ− cos θ cosϕ

sin θ∂

∂ϕ

]

= i~[sinϕ

∂

∂θ+ ctg θ cosϕ

∂

∂ϕ

], (15.22)

co kończy obliczenia. W analogiczny sposób obliczamy dwie pozostałe składowe operatora~L we współrzędnych sferycznych

L1 = Lx = i~(

sinϕ∂

∂θ+ ctg θ cosϕ

∂

∂ϕ

), (15.23a)

L2 = Ly = i~(− cosϕ

∂

∂θ+ ctg θ sinϕ

∂

∂ϕ

), (15.23b)

L3 = Lz = −i~ ∂

∂ϕ. (15.23c)

Ponieważ składowe podnosząca i obniżająca wyrażają się jako kombinacje L1 oraz L2,więc z powyższych wzorów łatwo uzyskujemy

L+ = ~eiϕ(

∂

∂θ+ i ctg θ

∂

∂ϕ

),

L− = ~e−iϕ(− ∂

∂θ+ i ctg θ

∂

∂ϕ

). (15.24)

186


Warto przypomnieć, że sprzężenie operatora różniczkowania zmienia jego znak, to znaczy

(∂

∂θ

)†= − ∂

∂θ, oraz

(∂

∂ϕ

)†= − ∂

∂ϕ. (15.25)

Z relacji (15.23) widzimy, że operatory L1, L2, L3 są hermitowskie, tak jak to być powinno.Natomiast L+ oraz L− są swymi wzajemnymi sprzężeniami, tj. L†+ = L−, i na odwrót.

15.2.3 Operator ~L2 we współrzędnych sferycznych

W tym wypadku niezbędne rachunki są nadal koncepcyjnie proste, lecz nieco bardziejskomplikowane. Wynika to stąd, że zgodnie z (15.3) musimy znaleźć kwadraty operatorówprzedstawionych we wzorach (15.23). Prześledzimy obliczenia operatora L2

1. Z (15.23a)mamy

L21 = −~2

(sinϕ

∂

∂θ+ ctg θ cosϕ

∂

∂ϕ

)(sinϕ

∂

∂θ+ ctg θ cosϕ

∂

∂ϕ

)

= −~2

[sinϕ

∂

∂θ

(sinϕ

∂

∂θ+ ctg θ cosϕ

∂

∂ϕ

)

+ ctg θ cosϕ∂

∂ϕ

(sinϕ

∂

∂θ+ ctg θ cosϕ

∂

∂ϕ

)]. (15.26)

Pozostaje wykonać niezbędne różniczkowania. Otrzymujemy

L21 = −~2

[sin2 ϕ

∂2

∂θ2− sinϕ cosϕ

sin2 θ

∂

∂ϕ

+ 2 sinϕ cosϕ ctg θ∂2

∂θ ∂ϕ+ ctg θ cos2 ϕ

∂

∂θ

− ctg2 θ cosϕ sinϕ∂

∂ϕ+ ctg2 θ cos2 ϕ

∂2

∂ϕ2

]. (15.27)

Niestety powyższego wzoru nie da się uprościć. Podobnie nieprzyjemny wynik otrzymamyobliczając kwadrat L2. W tym wypadku mamy

L22 = − ~2

[cos2 ϕ

∂2

∂θ2+

sinϕ cosϕsin2 θ

∂

∂ϕ

− 2 sinϕ cosϕ ctg θ∂2

∂θ ∂ϕ+ ctg θ sin2 ϕ

∂

∂θ

+ ctg2 θ sinϕ cosϕ∂

∂ϕ+ ctg2 θ sin2 ϕ

∂2

∂ϕ2

]. (15.28)

Oba uzyskane wyrażenia są mocno złożone, ale wiele członów różni się tylko znakiem. Po-zostałe elegancko się grupują. Biorąc pod uwagę jedynkę trygonometryczną, otrzymujemy

187


sumę

L21 + L2

2 = − ~2[ ∂2

∂θ2+ ctg θ

∂

∂θ+ ctg2 θ

∂2

∂ϕ2

]. (15.29)

Szczęśliwie, z (15.23c) w trywialny sposób mamy

L23 = − ~2 ∂2

∂ϕ2. (15.30)

A zatem operator kwadratu orbitalnego momentu pędu we współrzędnych sferycznychwyraża się jako

~L2 = L21 + L2

2 + L23 = −~2

[ ∂2

∂θ2+ ctg θ

∂

∂θ+ (1 + ctg2 θ)

∂2

∂ϕ2

]. (15.31)

Należy teraz doprowadzić powyższy wynik do wygodniejszej postaci. Przede wszystkimz trygonometrii wiemy, że

1 + ctg2 θ =1

sin2 θ(15.32)

Co więcej, nietrudno jest otrzymać następującą relację różniczkową

∂2

∂θ2+ ctg θ

∂

∂θ=

1sin θ

[sin θ

∂2

∂θ2+ cos θ

∂

∂θ

]

=1

sin θ

[sin θ

∂2

∂θ2+

(∂

∂θsin θ

)∂

∂θ

]

=1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)(15.33)

Wykorzystując to w (15.31) otrzymamy końcowe wyrażenie dla kwadratu orbitalnegomomentu pędu, które wypiszemy niżej.

Podsumowanie

Formuły dla operatorów ~L2 oraz L3 w reprezentacji położeniowej wyrażone we współ-rzędnych sferycznych są podstawowymi wynikami tego paragrafu. Zbieramy je tu razem

~L2 = −~2

[1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1sin2 θ

∂2

∂ϕ2

](15.34a)

L3 = −i~ ∂

∂ϕ(15.34b)

L± = ~ e±iϕ(± ∂

∂θ+ i ctg θ

∂

∂ϕ

), (15.34c)

Okażą się one szczególnie wygodne w dalszych zastosowaniach. Zwróćmy także uwagę,że operator orbitalnego momentu pędu zależy jedynie od zmiennych kątowych, co wskazujena jego ścisłe powiązanie z obrotami.

188


15.2.4 Wartości własne i funkcje własne ~L2 i L3

Wnioski z ogólnego formalizmu

Operatory ~L2 oraz L3 spełniają kanoniczne relacje komutacyjne (15.2), a także zagadnieniawłasne (15.6). Na podstawie ogólnej teorii z poprzedniego rozdziału wiemy, że liczbyl są całkowite lub połówkowe, natomiast m zmienia się od −l do +l skokowo co jeden.Celem naszym jest więc teraz znalezienie funkcji własnych (w układzie współrzędnychsferycznych), a także przedyskutowanie wartości własnych.

Operator ~L zależy wyłącznie od zmiennych kątowych, dlatego w reprezentacji po-łożeniowej wprowadzamy bazę za pomocą stanów kątowych | θ ϕ 〉 = |Ω 〉 (gdzie Ω tokąt bryłowy), którym na podstawie ogólnych rozważań o reprezentacjach w przestrzeniHilberta, przypisujemy następujące własności.

(i) Ortonormalność (zmienne ciągłe)

〈 θ ϕ | θ′ ϕ′ 〉 =1

sin θδ(θ − θ′) δ(ϕ− ϕ′) (15.35)

(ii) Zupełność∫ π

0dθ sin θ

∫ 2π

0dϕ | θ ϕ 〉〈 θ ϕ | = 1. (15.36)

Zauważmy że całkując po kącie bryłowym mamy: dΩ = sin θ dθ dϕ, dlatego też w powyż-szych wzorach pojawił się sin θ.

Odwołując się do ogólnych reguł zapisu operatorów w wybranej reprezentacji, przepi-sujemy równania własne (15.6) w reprezentacji położeniowej | θ ϕ 〉

〈 θ ϕ | ~L2 | l m 〉 = ~L2 〈 θ ϕ | l m 〉 = ~2 l(l + 1) 〈 θ ϕ | l m 〉, (15.37a)

〈 θ ϕ |L3 | l m 〉 = L3 〈 θ ϕ | l m 〉 = ~m 〈 θ ϕ | l m 〉, (15.37b)

Lewe strony są po prostu elementami macierzowymi operatorów ~L2 i L3 w reprezentacjipołożeniowej. W środkowych członach rozumiemy, że odpowiednie operatory są wyrażonew reprezentacji | θ ϕ 〉, czego już nie zaznaczamy górnym indeksem, tak jak to robiliśmynp. w (9.35). Oczywiście więc są to operatory w postaci (15.34). Natomiast po prawejmamy wyrażenia wynikłe z równań własnych (15.6).

Wykorzystując postać operatorów orbitalnego momentu pędu w reprezentacji położe-niowej możemy napisać równania własne dla funkcji falowych 〈 θϕ | lm 〉, które oczywiścienazywamy funkcjami własnymi (w reprezentacji położeniowej) orbitalnego momentu pędu,należącymi do wartości własnych l i m. Posługujemy się tu terminologią ustaloną w roz-dziale 9, przy dyskusji reprezentacji w przestrzeni Hilberta. A zatem z (15.34), (15.37)otrzymujemy parę równań różniczkowych

−~2

[1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1sin2 θ

∂2

∂ϕ2

]〈 θ ϕ | l m 〉 = ~2l(l + 1)〈 θ ϕ | l m 〉 (15.38a)

−i~ ∂

∂ϕ〈 θ ϕ | l m 〉 = ~m 〈 θ ϕ | l m 〉. (15.38b)

189


Równania te pozwalają na wyciągnięcie szeregu ważnych wniosków. Przede wszystkimzauważmy, że po lewej stronie (15.38b) występuje różniczkowanie wyłącznie względemkąta ϕ. Pozwala to na dokonanie faktoryzacji

〈 θ ϕ | l m 〉 = g(ϕ) Flm(θ), (15.39)

bowiem po podstawieniu do (15.38b)

−iFlm(θ)∂

∂ϕg(ϕ) = m g(ϕ) Flm(θ), (15.40)

gdzie funkcja Flm(θ) ewidentnie się skraca. Równanie dla funkcji g(ϕ) jest bardzo proste

−i ∂

∂ϕg(ϕ) = m g(ϕ). (15.41)

Scałkowanie jest elementarne. Stałą całkowania przyjmujemy za dowolną i automatycz-nie włączoną do funkcji Flm. Wszelkich ewentualnych stałych pozbędziemy się na końcu,żądając normowania funkcji 〈 θ ϕ | l,m 〉. Wobec tego

g(ϕ) = eimϕ. (15.42)

Otrzymana postać funkcji g(ϕ) ma bardzo istotne konsekwencje fizyczne. Stan układufizycznego nie może się zmienić, jeśli dokonamy obrotu układu fizycznego o kąt 2π wokółosi z. Oznacza to, że musi być spełniony warunek

g(ϕ+ 2π) = eim(ϕ+2π) = eimϕ e2imπ = g(ϕ) = eimϕ. (15.43)

A zatem musi być e2imπ = 1. Stąd zaś wynika, że liczba kwantowa m może przyjmowaćjedynie wartości całkowite. Możemy powiedzieć, że żądanie, aby m było liczbą całkowitąwynika z żądania niezmienniczości stanu układu fizycznego przy obrotach o kąt 2π. Z fak-tu, że m jest liczbą całkowitą, automatycznie wynika, że liczba kwantowa l też musi byćliczbą całkowitą, bowiem m zmienia się od −l do +l co jeden.

Podsumujmy wnioski wynikające z ogólnych rozważań, które prowadziliśmy w repre-zentacji położeniowej.

• Liczby kwantowe charakteryzujące wartości własne orbitalnego momentu pędu sąliczbami całkowitymi.

l = 0, 1, 2, . . . (15.44a)

m = −l, −l + 1, . . . ,−1, 0, 1, . . . , l − 1, l. (15.44b)

• Funkcje własne orbitalnego momentu pędu w reprezentacji położeniowej (we współ-rzędnych sferycznych) faktoryzują się

〈 θ ϕ | l m 〉 = eimϕ Flm(θ). (15.45)

190


Na zakończenie, wróćmy jeszcze do równania (15.38a). Zauważmy, że pierwsza częśćoperatora różniczkowego po lewej dotyczy wyłącznie kąta θ, a druga (tj. ∂2∂ ϕ2) działającna g(ϕ) = eimϕ wyprodukuje czynnik −m2, nie zmieniając samej funkcji. Tym samymmoże ona być wyniesiona "do przodu" i skraca się z g(ϕ) po prawej. Faktoryzacja (15.39)prowadzi więc do równania

−[

1sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)− m2

sin2 θ

]Flm(θ) = l(l + 1) Flm(θ). (15.46)

gdzie oczywiście l i m są dane w (15.44). Dalsze kroki poświęcimy omówieniu funkcjiwłasnych orbitalnego momentu pędu.

15.3 Harmoniki sferyczne

15.3.1 Wprowadzenie

Wprowadzone funkcje własne(15.45) orbitalnego momentu pędu spełniające równania(15.38) (więc także (15.46) są, jak się okazuje dobrze znanymi funkcjami specjalnymi[11], spotykanymi w wielu, i to całkiem różnych, zagadnieniach fizycznych. Zwyczajowonazywamy je harmonikami sferycznymi i oznaczymy następująco

Ylm(θ, ϕ), = 〈 θ ϕ | l m 〉 = eimϕ Flm(θ), (15.47)

gdzie pojawia się (skracający się w (15.46) czynnik eimϕ. Konstrukcja harmonik (czy też,innymi słowy, rozwiązywanie równania (15.46) jest zajęciem żmudnym i niewiele wno-szącym do zrozumienia fizycznych podstaw mechaniki kwantowej. Dlatego pominiemyrozważania matematyczne skupiając się na tych własnościach harmonik Ylm(θ, ϕ), którebędą przydatne w dalszych rozdziałach. Czytelników zainteresowanych technikami mate-matycznymi odsyłamy do Uzupełnień.

Harmoniki sferyczne Ylm(θ, ϕ) są funkcjami własnymi operatorów ~L2 i L3, spełniająwięc zagadnienia własne (15.37), to jest

~L2 Ylm(θ, ϕ) = ~2l(l + 1) Ylm(θ, ϕ), (15.48a)

L3 Ylm(θ, ϕ), = ~m Ylm(θ, ϕ), (15.48b)

Jako funkcje własne obserwabli stanowią zbiór funkcji ortonormalnych, tzn. spełniają

δll′ δmm′ = 〈 l m | l′ m′ 〉

=∫ π

0dθ sin θ

∫ 2π

0dϕ 〈 l m | θ ϕ 〉〈 θ ϕ | l′ m′ 〉

=∫ π

0dθ sin θ

∫ 2π

0dϕ Y ∗lm(θ, ϕ) Yl′m′(θ, ϕ).

=∫dΩ Y ∗lm(θ, ϕ) Yl′m′(θ, ϕ). (15.49)

191


Pierwsza równość jest wyrazem ortonormalności stanów własnych orbitalnego momentupędu (15.7). Druga wynika z zastosowania relacji zupełności (15.36) do równości poprzed-niej. Trzeci krok to po prostu zastosowanie definicji (15.47), a ostatni to przejście do kątabryłowego.

W reprezentacji położeniowej musi być spełniony warunek (15.35). Korzystając z nie-go, a także z (15.8) otrzymujemy poniższy ciąg równości

1sin θ

δ(θ − θ′) δ(ϕ− ϕ′) = 〈 θ ϕ | θ′ ϕ′ 〉

=∞∑l=0

l∑m=−l〈 θ ϕ | l m 〉〈 l m | θ′ ϕ′ 〉

=∞∑l=0

l∑m=−l

Ylm(θ, ϕ) Y ∗lm(θ′, ϕ′), (15.50)

co stanowi relację zupełności dla harmonik sferycznych, które tym samym, mają wszelkiewłasności jakie powinny mieć funkcje własne fizycznych obserwabli.

15.3.2 Harmoniki sferyczne – zebranie informacji

Nie jest naszym celem prowadzenie wykładu dotyczącego teorii funkcji specjalnych. Zbie-rzemy jedynie pewne rezultaty wyprowadzone w Uzupełnieniach i przedstawimy wzorypożyteczne w dalszym ciągu wykładu.

Harmoniki sferyczne – funkcje własne orbitalnego momentu pędu w reprezentacji po-łożeniowej – można przedstawić na dwa równoważne sposoby

Ylm(θ, ϕ) =(−1)l

2l l!

√√√√2l + 14π

(l +m)!(l −m)!

eimϕ

(sin θ)md l−m

d(cos θ)l−m(sin θ)2l

=(−1)l+m

2l l!

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m)!

eimϕ (sin θ)md l+m

d(cos θ)l+m(sin θ)2l . (15.51)

Z powyższych określeń harmonik sferycznych wynika relacja sprzężenia zespolonego

[Ylm(θ, ϕ)]∗ = (−1)m Yl,−m(θ, ϕ). (15.52)

Harmoniki sferyczne można zapisać za pomocą stowarzyszonych wielomianów Legen-dre’a (patrz Uzupełnienia) w postaci

Yl m(θ, ϕ) = (−1)m√√√√2l + 1

4π(l −m)!(l +m)!

eimϕ Pml (cos θ), (15.53a)

gdzie m 0. Natomiast dla m < 0 mamy

Ylm(θ, ϕ) =

√√√√2l + 14π

(l +m)!(l −m)!

eimϕ P|m|l (cos θ). (15.53b)

192


Przy odbiciu przestrzennym gdy kąty sferyczne ulegają następującym zamianom

θ -odbicie

π − θ, ϕ -odbicie

ϕ+ π, (15.54)

harmoniki sferyczne mają własność

Yl m(θ, ϕ) -odbicie

Yl m(π − θ, ϕ+ π) = (−1)lYl m(θ, ϕ), (15.55)

co, jak mówimy, określa parzystość harmonik sferycznych.Posługując się wzorem (15.51) możemy bez trudu wyliczyć i wypisać kilka pierwszych

harmonik sferycznych. Dla l = 0 jedynie możliwą wartością m jest zero. Zatem

Y00(θ, ϕ) = 〈 θ ϕ | 0 0〉 =

√1

4π. (15.56)

Dla przypadku l = 1 mamy trzy możliwe wartości m = −1, 0, 1. A więc mamy też trzyharmoniki sferyczne

Y1,±1(θ, ϕ) = 〈 θ ϕ | 1 ± 1〉 = ∓√

38π

e±iϕ sin θ, (15.57a)

Y1,0(θ, ϕ) = 〈 θ ϕ | 1 0〉 =

√3

4πcos θ. (15.57b)

Dla l = 2 mamy pięć możliwych m = −2,−1, 0, 1, 2. Odpowiednie pięć harmonik sferycz-nych ma postać

Y2,±2(θ, ϕ) = 〈 θ ϕ | 2 ± 2〉 =

√15

32πe±2iϕ sin2 θ, (15.58a)

Y2,±1(θ, ϕ) = 〈 θ ϕ | 2 ± 1〉 = ∓√

158π

e±iϕ sin θ cos θ, (15.58b)

Y2,0(θ, ϕ) = 〈 θ ϕ | 2 0〉 =

√5

16π

(3 cos2 θ − 1

). (15.58c)

Często przydatna jest relacja rekurencyjna dla harmonik sferycznych

Ylm(θ, ϕ) cos θ = Yl+1,m(θ, ϕ)

√√√√(l +m+ 1)(l −m+ 1)(2l + 1)(2l + 3)

+ Yl−1,m(θ, ϕ)

√√√√ (l +m)(l −m)(2l − 1)(2l + 1)

(15.59)

Harmoniki sferyczne stanowią zupełny zbiór funkcji ortonormalnych, tzn. zachodzirelacja ortonormalności (15.49), a także relacja zupełności (15.50). Tak więc harmonikisferyczne stanowią bazę w przestrzeni funkcji zmiennych kątowych (θ, ϕ). Oznacza to, żedowolną funkcję f(θ, ϕ) można rozłożyć w szereg

f(θ, ϕ) =∞∑l=0

+l∑m=−l

Clm Ylm(θ, ϕ), (15.60)

193


przy czym współczynniki rozwinięcia dane są jako całki w reprezentacji położeniowej (wewspółrzędnych sferycznych)

Clm = 〈 l m | f 〉 =∫ π

0dθ sin θ

∫ 2π

0dϕ Y ∗lm(θ, ϕ) f(θ, ϕ). (15.61)

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

194

S.Kryszewski 16. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 195

Rozdział 16

Stany stacjonarne w potencjalecentralnym

Jednym z najważniejszych problemów mechaniki kwantowej jest opisanie i wyjaśnieniestruktury atomu. W najprostszym atomie – atomie wodoru – proton i elektron oddziałującoulombowsko. Jest to oddziaływanie centralne. Dlatego rozdział niniejszy poświęcimyomówieniu kwantowo-mechanicznego problemu ruchu cząstek oddziałujących siłami cen-tralnymi.

16.1 Układ środka masy i ruch względny.Przypomnienie z fizyki klasycznej

x

y

m1

~r1

m2

~r2

~r12

Rys. 16.1: Dwie cząstki iich położenie względne~r12 = ~r1 −~r2.

Rozważmy układ izolowany złożony z dwóch cząstek o masachm1 i m2. Cząstki te oddziałują przez pole centralne z energiąpotencjalną

V ≡ V(|~r12|

)= V

(|~r1 −~r2|

). (16.1)

Układ jest zamknięty, więc na cząstki nie działają żadne innesiły zewnętrzne. Klasyczny hamiltonian takiego układu maoczywiście postać

H =~p2

1

2m1+

~p22

2m2+ V

(|~r12|

), (16.2)

gdzie ~pj = mj~vj = mj~rj. Hamiltonian ten jest jawnie nie-zależny d czasu (czyli czas jest zmienną cykliczną), więc energia jest stałą ruchu – jestzachowana. Hamiltonowskie równania ruchu

~rj =~pjmj

, ~pj = −∇j V (~r12), j = 1, 2, (16.3)

gdzie ∇j oznacza gradient brany względem położenia j-otej cząstki, nie dają się rozse-parować na oddzielne równania dla każdej z cząstek z osobna. Przyczyną jest oczywiście

195


obecność energii potencjalnej. Omówiony tu opis wiążemy z układem odniesienia, którynazwiemy laboratoryjnym (LAB). Przechodząc do układu środka masy (oznaczymy goskrótem CMS, od ang. center of mass system) można rozseparować równania ruchu. Pole-ga to na następujących, znanych z mechaniki klasycznej, krokach. Położenie środka masywzględem układu LAB dane jest wektorem

~Rcm =m1~r1 + m2~r2m1 + m2

. (16.4)

x

y

m1

~r1

m2

~r2 CM

~Rcm

~x1

~x2

Rys. 16.2: Układ środka masy znajdującego się w punkcie CM . ~Rcm – poło-żenie środka masy względem układu laboratoryjnego (LAB). ~r1, ~r2 – położeniacząstek w LAB. ~x1, ~x2 – położenia cząstek względem środka masy. Położeniewzględne cząstek ~r12 = ~r1 −~r2 = ~x1 − ~x2.

Położenia wyrażone w LAB (tj. ~r1 i ~r2) związane są z położeniami ~x1 oraz ~x2 w CMS,za pomocą relacji

~r1 = ~x1 + ~Rcm =m2~r12

m1 + m2+ ~Rcm (16.5a)

~r2 = ~x2 + ~Rcm = − m1~r12

m1 + m2+ ~Rcm, (16.5b)

co ilustruje rysunek.Biorąc w (16.5) pochodne czasowe, obliczamy prędkości cząstek w LAB za pomocą ichodpowiedników w CMS. Potem budujemy energię kinetyczną, która ma postać

Ekin =12µ ~r

212 +

12

(m1 +m2) ~R2

cm, (16.6)

przy czym gdzie µ = m1m2/(m1 + m2) nazywamy masą zredukowaną układu dwóchcząstek. Łatwo jest też sprawdzić, że całkowity pęd obu cząstek w układzie CMS: m1~x1 +m2~x2 = 0.

196


Wygodnie jest wybrać jako zmienne kanoniczne:

połozenie względne : ~r ≡ ~r12, (16.7a)

połozenie srodka masy : ~R ≡ ~Rcm. (16.7b)

Odpowiednie pędy kanoniczne otrzymamy różniczkując energię kinetyczną względem po-łożeń ~r i ~R

~p = µ~r =m2~p1 −m1~p2

m1 +m2=

µ

m1~p1 −

µ

m2~p2 (16.8a)

~P = (m1 +m2) ~R = ~p1 + ~p2. (16.8b)

Hamiltonian układu możemy wówczas zapisać jako

H =~p2

2µ+

~P2

2M+ V (~r), (16.9)

gdzieM = m1+m2 jest całkowitą masą układu dwóch cząstek. Hamiltonian ten prowadzido równań ruchu

~r = − ∇~r V (~r), ~R = 0. (16.10)

Przedstawiony w skrócie formalizm pozwala na następujące wnioski:

• Z drugiego równania (16.10) wynika ~R = const., Ruch środka masy jest jednostajny,prostoliniowy (na układ nie działają żadne siły zewnętrzne. Wynika to także z cy-kliczności zmiennej ~R (nie występuje ona w hamiltonianie), więc odpowiadający jejpęd kanoniczny jest stałą ruchu.

• Układ CMS porusza się ruchem jednostajnym względem LAB. Jeśli więc LAB byłukładem inercjalnym, to takim też jest CMS.

• ~P2/2M to energia kinetyczna układu jako całości. W myśl poprzedniego punktujest to stała. A zatem drugi składnik hamiltonianu (16.9) jest stały i nie wpływa nakształt równań ruchu. Dlatego, bez straty ogólności, można go pominąć. Przeskalo-wując energię piszemy

H =~p2

2µ+ V (~r). (16.11)

Jest to hamiltonian układu dwóch cząstek w inercjalnym układzie odniesienia CMS.Oczywiście w tym układzie środek masy spoczywa.

• Hamiltonian (16.11) opisuje ruch fikcyjnej cząstki względem nieruchomego centrumsiły. Jest on energią ruchu względnego. Rozwiązując problem ruchu względnegow CMS i dokonując odpowiednich transformacji, możemy ponownie wrócić do ukła-du LAB gdzie przeprowadzamy doświadczenia i pomiary.

197


16.2 Kwantowe zagadnienie dwóch ciał

Omówiliśmy w skrócie klasyczne zagadnienie dwóch ciał. Pokażemy teraz, że podobny spo-sób można także zastosować w mechanice kwantowej. Nasze rozważania są więc przygoto-waniem narzędzi do opisu atomu wodoru, a także innych układów fizycznych, w którychwystępują oddziaływania centralne1.

16.2.1 Separacja zmiennych w mechanice kwantowej

Obserwable związane ze środkiem masy i z ruchem względnym

Wracamy do układu złożonego z dwóch cząstek (bezspinowych) oddziałujących za pośred-nictwem potencjału centralnego V (r12). Na razie nie precyzujemy fizycznego charakterutego oddziaływania. Opis rozpoczynamy od układu LAB, w którym obu cząstkom odpo-wiadają operatory (obserwable) położenia i pędu ~r(1), ~p(1) oraz ~r(2), ~p(2). Operatory tespełniają relacje komutacyjne[

x(m)j , p

(n)k

]= i~ δmnδjk (16.12)

gdzie górne wskaźniki m, n = 1, 2 numerują cząstki. Operatory odpowiadające różnymcząstkom są przemienne (niezależne), o czym informuje nas czynnik δmn. Na mocy zasadyodpowiedniości odwołujemy się do związków klasycznych i konstruujemy nowe operatorypołożenia

~r = ~r(1) − ~r(2), ~R =m1~r(1) +m2~r(2)

m1 +m2, (16.13)

które nazwiemy operatorami położenia względnego i położenia środka masy. Analogicz-nie, przez odwołanie się do klasycznych wyrażeń (patrz (16.8) tworzymy operatory pęduwzględnego i całkowitego

~p =m2 ~p(1) −m1~p(2)

m1 +m2, ~P = ~p(1) + ~p(2). (16.14)

Powstaje w tym miejscu pytanie, czy tak skonstruowane operatory są "dobrymi" opera-torami. Chodzi o to, czy pary ~r i ~p oraz ~R i ~P spełniają prawidłowe reguły komutacyjne.Nietrudno jest sprawdzić, że wszystko jest w porządku. Dla składowych operatorów (wek-torów) ~r i ~p mamy

[xj, pk

]=

x(1)j − x

(2)j ,

m2 p(1)k − m1p

(2)k

m1 +m2

=

x(1)j ,

m2 p(1)k

m1 +m2

+

x(2)j ,

m1 p(2)k

m1 +m2

, (16.15)

1W Uzupełnieniach przedstawimy model molekuły dwuatomowej. posługując się wprowadzonymitu koncepcjami i przedyskutujemy jej podstawowe własności.

198


bowiem komutatory zawierające operatory różnych cząstek znikają. Wobec tego dalej[xj, pk

]=

m2

m1 +m2

[x

(1)j , p

(1)k

]+

m1

m1 +m2

[x

(2)j , p

(2)k

]

=m2

m1 +m2i~ δjk +

m1

m1 +m2i~ δjk = i~ δjk, (16.16)

gdzie przechodząc do drugiej linii skorzystaliśmy z kanonicznych relacji komutacyjnych(16.12) dla operatorów w układzie LAB. Uzyskany rezultat – dla CMS – jest taki jaknależało oczekiwać dla operatorów położenia i pędu. Ponadto pary operatorów (~r, ~p) oraz(~R, ~P) są wzajemnie niezależne, to znaczy komutują. I znów dla przykładu sprawdzamy

[Xj, pk

]=

m1 x(1)j +m2 x

(2)j

m1 +m2,m2 p

(1)k −m1p

(2)k

m1 +m2

=

m1m2

m1 +m2

[x

(1)j , p

(1)k

]− m1m2

m1 +m2

[x

(2)j , p

(2)k

]= 0. (16.17)

bowiem operatory różnych cząstek komutują, a pozostałe komutatory są identyczne i rów-ne i~ δjk. A więc dla zmiennych ruchu względnego i tych "całkowitych" zachodzą kano-niczne relacje komutacyjne[

xj, pk]

= i~ δjk,[Xj, Pk

]= i~ δjk, (16.18)

tak jak to być powinno. Nic nie stoi na przeszkodzie, aby interpretować je jako operatorypołożenia i pędu. Co więcej można bez trudu skonstruować dla nich odpowiednie repre-zentacje. Są więc one równie dobre jak wyjściowe operatory właściwe dla LAB. Zauważmy,że w analogiczny sposób możemy zbudować operator momentu pędu dla CMS. Całkowitymoment pędu to suma

~Ltot = ~L + ~Lcm (16.19)

przy czym ~L = ~r×~p to operatorem momentu pędu ruchu względnego (dla fikcyjnej cząstkio masie zredukowanej µ względem nieruchomego centrum siły). Natomiast ~Lcm = ~R× ~Pto moment pędu środka masy względem LAB. Można oczywiście sprawdzić, że składoweL1, L2, L3 względnego momentu pędu spełniają właściwe relacje komutacyjne (15.2).Jest oczywiście konsekwencja relacji (16.18) dla położeń i pędów.

16.2.2 Wartości i funkcje własne hamiltonianu

W pełnej analogii z mechaniką klasyczną stwierdzamy, że kwantowo-mechaniczny hamil-tonian układu dwóch cząstek możemy zapisać za pomocą operatorów LAB

H =~p2

1

2m1+

~p22

2m2+ V (|~r12|), (16.20)

199


albo też nowych operatorów (odpowiadających CMS)

H =~p2

2µ+

~P2

2M+ V (|~r|), gdzie µ =

m1m2

m1 +m2. (16.21)

Składa się on z dwóch składników

H = Hcm + Hrel, (16.22)

gdzie Hcm = ~P2/2M jest hamiltonianem układu dwóch cząstek jako całości, zaś

Hrel =~p2

2µ+ V (|~r|), (16.23)

stanowi hamiltonian ruchu względnego. Oba składniki komutują[Hcm, Hrel

]= 0. (16.24)

Mamy tu dokładnie sytuację opisaną formułami (12.13) i (12.14). Szukamy rozwiązaniazagadnienia własnego, w którym oba operatory mają wspólne stany własne.

Hcm|ψ 〉 = Ecm|ψ 〉, (16.25a)

Hrel|ψ 〉 = Er|ψ 〉, (16.25b)

lecz pominiemy na razie szczegółową analizę degeneracji obu energii. Hamiltonian całko-wity (16.22) generuje zagadnienie własne

H|ψ 〉 =(Hcm + Hrel

)|ψ 〉 = (Ecm + Er) |ψ 〉, (16.26)

więc odpowiadające mu energie własne są sumą energii ruchu układu jako całości i energiiruchu względnego.

Dla operatorów ~r i ~R naturalna jest reprezentacja położeniowa parametryzowanadwoma wektorami położeń: |~r, ~R 〉. Funkcja falowa ψ(~r, ~R) = 〈~r, ~R |ψ 〉 jest więc zależnaod dwóch zmiennych wektorowych, czyli od sześciu współrzędnych. Operatory pędu w tejreprezentacji to

~p = − i~∇~r, ~P = − i~∇~R. (16.27)

Hamiltonian (16.21) w reprezentacji położeniowej ma postać

H = − ~2

2µ∇2~r −

~2

2M∇2~R + V (|~r|) (16.28)

i "nie miesza" zmiennych ~r z ~R, które są niezależne. Pozwala to szukać funkcji własnychw postaci iloczynu

ψ(~r, ~R) = ϕ(~r) η(~R) to jest 〈~r, ~R |ψ 〉 = 〈~r |ϕ 〉〈 ~R | η 〉. (16.29)

200


Zagadnieniom własnym (16.25) odpowiadają więc równania

Hcm| η 〉 = Ecm| η 〉, Hrel|ϕ 〉 = Er|ϕ 〉. (16.30)

które w reprezentacji położeniowej wyglądają następująco

− ~2

2M∇2~R η(~R) = Ecm η(~R), (16.31a)[

− ~2

2µ∇2~r + V (|~r|)

]ϕ(~r) = Er ϕ(~r), (16.31b)

Postać pierwszego z tych równań jest dokładnie taka sama jak dla cząstki swobodnejo masie M . Dlatego też jego rozwiązanie (patrz (10.54)) to

η(~R) =1

(2π~)3/2exp

i ~P · ~R~

, (16.32a)

przy czym zachodzi relacja

Ecm =~P2

2M 0, (16.32b)

co jest oczywiste dla energii kinetycznej układu jako całości. Energia ta nie jest skwanto-wana (innymi słowy ma widmo ciągłe, może przyjmować dowolne wartości). Oczywiściebardziej interesujące fizycznie jest równanie (16.31b), które dotyczy ruchu względnego czą-stek (ruchu fikcyjnej cząstki o masie zredukowanej µ wokół centrum siły). Postać funkcjifalowej i dopuszczalne wartości energii Er – rozwiązania równania (16.31b) zależą odkonkretnej postaci energii potencjalnej V (~r).

Na zakończenie zauważmy, że prowadziliśmy dyskusję dla pól centralnych, gdzie V za-leży tylko od długości wektora ~r. Moglibyśmy uogólnić analizę do pól, w których V = V (~r)zależy również od kierunku tego wektora. Są to jednak dość rzadkie wypadki, pozostajemywięc przy polach centralnych.

Podsumowanie

Dotychczasowe badanie stacjonarnego równania Schrödingera dla układu fizycznego zło-żonego z dwóch (bezspinowych) cząstek o masachm1 im2, dla których energia potencjalnama charakter centralny, pozwala na następujące wnioski.

• Pełna funkcja falowa wyrażona w zmiennych CMS, tj. przez ~r i ~R (odpowiedniopołożenia względnego i położenia środka masy) ma postać

ψ(~r, ~R) =1

(2π~)3/2exp

i ~P · ~R~

ϕ(~r), (16.33)

gdzie pęd ~P jest pędem układu jako całości.

201


• Energia kinetyczna ruchu układu jako całości wynosi

Ecm =~P2

2M, gdzie M = m1 +m2, (16.34)

jest nieujemna i dowolna (nieskwantowana).

• Energia całkowita układu jest sumą

E = Ecm + Er, (16.35)

gdzie Er jest energią ruchu względnego.

• Dla ruchu względnego trzeba rozwiązać stacjonarne równanie Schrödingera[− ~2

2µ∇2~r + V (|~r|)

]ϕ(~r) = Er ϕ(~r), (16.36)

przy czym µ to masa zredukowana (patrz (16.21).

• Oczywiście powyższe rezultaty można równie dobrze zastosować dla pojedynczejcząstki o masie m poruszającej się w nieruchomym polu V (r). Po prostu zamiastmasy zredukowanej pojawi się masa m. Cały problem redukuje się do stacjonarnegorównania Schrödingera (16.36), tak jak mówiliśmy np. w rozdziale 3.

16.2.3 Współrzędne sferyczne. Hamiltonian

W rozważanym problemie – ruchu w polu sił centralnych – energia potencjalna V (|~r|) =V (r) ma symetrię sferyczną. Przejście do współrzędnych sferycznych (15.11) jest więczupełnie naturalne. W stacjonarnym równaniu Schrödingera (16.36) występuje laplasjan,który we współrzędnych sferycznych ma postać (gdzie pomijamy indeks "~r" przy gradien-cie)

∇2 Φ =1r2

∂

∂r

(r2 ∂Φ

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Φ∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2Φ∂ϕ2

. (16.37)

gdzie Φ = Φ(r, θ, ϕ) jest dowolną funkcją. Występują tu czynniki r−2, więc przypadekgdy r = 0 trzeba analizować szczególnie uważnie. W rozdziale 15 wyprowadziliśmy postaćoperatora orbitalnego momentu pędu ~L2 w reprezentacji położeniowej i we współrzędnychsferycznych

~L2 = − ~2

[1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1sin2 θ

∂2

∂ϕ2

]. (16.38)

Porównując laplasjan i całkowity moment pędu możemy napisać

∇2Φ =1r2

∂

∂r

(r2 ∂ Φ

∂r

)−

~L2

~2r2Φ. (16.39)

202


Stosując to w stacjonarnym równaniu Schrödingera (16.36) otrzymujemy zagadnienie wła-sne − ~2

2µr2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

~L2

2µr2+ V (r)

Ψ(r, θ, ϕ) = E Ψ(r, θ, ϕ), (16.40)

gdzie wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest hamiltonianem (ruchu względnego) wewspółrzędnych sferycznych. A więc mamy

H = − ~2

2µr2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

~L2

2µr2+ V (r). (16.41)

16.3 Stacjonarne równanie Schrödingera

16.3.1 Zupełny zbiór obserwabli komutujących

Jak wiadomo, trzy składowe operatora momentu pędu (w reprezentacji położeniowej,patrz (15.23) działają wyłącznie na zmienne kątowe. W konsekwencji komutują one zewszystkimi operatorami działającymi na zmienną radialną. Wobec tego z postaci hamil-tonianu (16.41) wynika, że dla trzech składowych operatora ~L zachodzą relacje[

H, Lk]

= 0, k = 1, 2, 3. (16.42)

Są one odzwierciedleniem faktu, że hamiltonian jest niezmienniczy względem obrotów.Oczywiście H komutuje również z ~L2. Mimo, że Lx, Ly, Lz są stałymi ruchu (bo komutująz H), to jednak nie komutują między sobą. Jako zupełny zbiór komutujących obserwabliwybieramy H, ~L2 oraz L3. Zgodnie z teorią przedstawioną w rozdziale 12 stwierdzamy, żeoperatory te mają wspólny zbiór stanów własnych. Sprowadza się to do trzech zagadnieńwłasnych

H Ψ(~r) = E Ψ(~r), (16.43a)~L2 Ψ(~r) = λΨ(~r), (16.43b)

L3 Ψ(~r) = µΨ(~r). (16.43c)

gdzie liczby kwantowe E, λ oraz µ są w zasadzie (na razie) nieznane. Z drugiej strony,dwa ostatnie równania nie sprawiają problemu, ponieważ wiemy, że (w reprezentacji po-łożeniowej) funkcjami własnymi operatorów ~L2 oraz L3 są harmoniki sferyczne. Na mocyrelacji (15.48) możemy napisać

~L2 Ylm(θ, ϕ) = ~2l(l + 1) Ylm(θ, ϕ), l = 0, 1, 2, . . . . . . , (16.44a)

L3 Ylm(θ, ϕ) = ~m Ylm(θ, ϕ), m = −l,−l + 1, . . .− 1, 0, 1, . . . , l − 1, l. (16.44b)

Zauważmy, że znajomość rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów ~L2 oraz L3

sugeruje, iż funkcja falowa Ψ(~r) separuje się i może być zapisana jako iloczyn

Ψ(~r) = Ψ(r, θ, ϕ) = R(r) Ylm(θ, ϕ). (16.45)

203


Przekonamy się zaraz, że tak rzeczywiście jest. W tym celu wracamy do hamiltonianu(16.41), który przedstawiamy w postaci

H = Hr +~L2

2µr2, gdzie Hr = − ~2

2µr2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+ V (r). (16.46)

Stacjonarne równanie Schrödingera (16.40) możemy więc zapisać jakoHr +~L2

2µr2

Ψ = EΨ, lub 2µr2(Hr − E

)Ψ = −~L2Ψ, (16.47)

przy czym lewa strona ostatniego równania zależy jedynie od zmiennej radialnej, a pra-wa (poprzez operator ~L2) wyłącznie od zmiennych kątowych. Fakt ten uzasadnia możli-wość faktoryzacji (16.45), bowiem ~L2 nie działa na funkcję radialną R(r). Analogicznie2µr2

(Hr − E

)pozostawia bez zmiany harmoniki Ylm.

Na podstawie tych uwag, stwierdzamy, że

• Funkcja falowa ma postać sfaktoryzowaną (16.45), to jest

Ψ(~r) = Ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Ylm(θ, ϕ). (16.48)

Tym samym zależność kątowa funkcji własnych hamiltonianu jest znana i to raz nazawsze – niezależnie od konkretnej postaci energii potencjalnej V (r).

• Zagadnienia własne (16.43) sprowadzają się do

H R(r) Ylm(θ, ϕ) = E R(r) Ylm(θ, ϕ), (16.49a)~L2 R(r) Ylm(θ, ϕ) = ~2 l(l + 1)R(r) Ylm(θ, ϕ), (16.49b)

L3 R(r) Ylm(θ, ϕ) = ~mR(r) Ylm(θ, ϕ), (16.49c)

co wynika z (16.45) i (16.44). Innymi słowy, funkcje (16.48) automatycznie spełniająrelacje (16.43).

• Pozostaje rozwiązać równanie (16.49a) z hamiltonianem (16.41). Za jego pomocąbędziemy poszukiwać radialnej funkcji falowej R(r), a więc zależności od zmiennejr, bowiem zależność kątowa jest w pełni zawarta w harmonikach sferycznych.

16.3.2 Radialne równanie Schrödingera

Przystępujemy do realizacji ostatniego z powyższych punktów, rozważamy więc równanie

− ~2

2µr2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

~L2

2µr2+ V (r)

Ψ(~r) = EΨ(~r), (16.50)

204


gdzie szukana funkcja falowa ma postać daną w (16.48). Podstawiając ją do (16.50) pa-miętamy, jak operator ~L2 działa na harmoniki sferyczne (por. (16.44a)). Operacje różnicz-kowania względem zmiennej radialnej nie dotyczą harmonik sferycznych, które po prostusię skracają. A zatem łatwo otrzymujemy

− ~2

2µr2

d

dr

(r2 dR

dr

)+

~2l(l + 1)R2µr2

+ V (r)R = E R(r), (16.51)

co stanowi tzw. radialne równanie Schrödingera. Użyliśmy w nim zwykłych pochodnych,a nie cząstkowych, bo funkcja R(r) jest zależna tylko od jednej zmiennej. Jak wspominali-śmy, trzeba będzie uważnie przebadać zachowanie funkcji R(r) w otoczeniu punktu r = 0.Podkreślmy także, że w równaniu radialnym (16.51) liczba kwantowa l jest parametrem,wobec tego w przestrzeni rozwiązań wydzielone są podprzestrzenie o ustalonym l. Co wię-cej, dla każdego l mamy (2l+ 1) możliwych wartości liczby kwantowej m, która w (16.51)jawnie nie występuje. Oczekujemy więc, że energie – wartości własne hamiltonianu – za-leżeć będą od orbitalnej liczby kwantowej l, a także od pewnej innej liczby kwantowej,którą oznaczmy na razie przez α, a jej sens fizyczny trzeba będzie później ustalić. Po-dobną własność muszą mieć także funkcje R(r). Dlatego piszemy R(r) = Rαl(r). Zgodniez powyższymi uwagami równanie (16.51) można zapisać tak[

− ~2

2µr2

d

dr

(r2 d

dr

)+

~2l(l + 1)2µr2

+ V (r)]Rαl(r) = EαlRαl(r). (16.52)

Człon różniczkowy można uprościć przyjmując funkcję radialną w postaci

Rαl(r) =1ruαl(r). (16.53)

Wówczas, po wykonaniu różniczkowania, dostajemy

1r2

d

dr

(r2 dRαl

dr

)=

1r2

d

dr

[r2

(d

dr

1ruαl(r)

)]=

1r

d2uαldr2

. (16.54)

Wykorzystując tę zależność w równaniu (16.52) dostajemy równanie radialne dla funkcjiuαl(r). Skracając czynnik r−1, otrzymujemy

− ~2

2µd2uαl(r)dr2

+~2l(l + 1)

2µr2uαl(r) + V (r) uαl(r) = Eαl uαl(r). (16.55)

Przy uwzględnieniu dokonanych podstawień, pełna funkcja własna ma postać

Ψ(~r) =1ruαl(r) Ylm(θ, ϕ), (16.56)

i jest numerowana przez trzy liczby kwantowe α, l,m. Liczby l i m są znane, natomiastliczbę α należy znaleźć (i nadać jej sens fizyczny).

Zauważmy, że równanie radialne (16.55) możemy zapisać[− ~2

2µd2

dr2+ Veff (r)

]ϕ(r) = Eαl ϕ(r) (16.57)

205


gdzie

Veff (r) = V (r) +~2l(l + 1)

2µr2, przy czym r 0, (16.58)

jest tzw. efektywną energią potencjalną. Pamiętając, że (klasycznie rzecz biorąc) minusgradient z energii potencjalnej to siła, mamy

−∇ ~2l(l + 1)2µr2

= − ~2l(l + 1)2µ

∇( 1r2

)=

~2l(l + 1)2µr3

(~rr

), (16.59)

co oznacza, że przyczynek ~2l(l + 1)/(2µr2) do energii potencjalnej ma charakter odpy-chający, jak to się czasem mówi – "centryfugalny".

16.3.3 Zachowanie się funkcji radialnych w r = 0

Zbadamy teraz jak zachowuje się funkcja R(r) w otoczeniu r = 0. Rozważmy małą kulkęw otoczeniu punktu r = 0. Oczekujemy, że gęstość prądu prawdopodobieństwa przeztaką sferę powinien znikać gdy r → 0. Posługując się definicją (2.40) (we współrzędnychsferycznych) szacujemy prąd prawdopodobieństwa przez powierzchnię sferyczną. Naszeoczekiwanie zapisujemy w postaci(

Ψ∂Ψ∗

∂r− Ψ∗

∂Ψ∂r

)r2 -

r → 00. (16.60)

Czynnik r2 pochodzi stąd, że pole sfery jest proporcjonalne do kwadratu promienia sfery(stałe współczynniki pominęliśmy – przy oszacowaniach są one bez znaczenia). Co więcej,oczekujemy że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w r = 0, także powinno dążyć dozera, gdy objętość kulki dąży do zera. Zatem

|Ψ|2r3 -r → 0

0. (16.61)

Powyższe dwa warunki mają oczywiście wpływ na kształt funkcji u(r) wchodzącej doradialnego równania Schrödingera (16.55). Wykonując elementarne różniczkowania, lewąstronę warunku (16.60) zapisujemy jako[

u

r

d

dr

(u∗

r

)− u∗

r

d

dr

(u

r

)]r2 =

(udu∗

dr− u∗ du

dr

). (16.62)

Warunki (16.60), oraz (16.61) mają więc dla funkcji u(r) postać

udu∗

dr− u∗ du

dr-

r → 00, (16.63a)

|u|2r -r → 0

0. (16.63b)

Należy teraz zbadać ich konsekwencje dla rozwiązań równania radialnego (16.55). Do dal-szych oszacowań przyjmijmy energię potencjalną w postaci V (r) = ~2 V0 r

k/(2µ). Wów-czas równanie (16.55) (po pomnożeniu obustronnie przez 2µ/~2) przybiera kształt

− d2u

dr2+

l(l + 1)r2

u + V0 rk u =

2µ~2E u. (16.64)

206


Zażądajmy teraz: u = rs, przy czym s jest dowolną (na razie nieokreśloną) liczbą. Przytakim założeniu mamy dalej

−s(s− 1) + l(l + 1)r2

+V0

r2rk+2 =

2µE~2

. (16.65)

Jeśli k −2, to dla bardzo małych r, dominuje pierwszy człon po lewej, drugi albo jeststały, albo zaniedbywalnie mały. Zatem asymptotycznie, dla r dążącego do zera, powinnobyć

− s(s− 1)− l(l + 1)r2

≈ 0. (16.66)

Łatwo zauważyć, że ten warunek jest spełniony dla dwóch możliwych wartości liczby s,a mianowicie

s1 = − l, oraz s2 = l + 1. (16.67)

Z powyższych rezultatów wynikają następujące wnioski. Równanie (16.64) jest drugiegorzędu, zatem jego rozwiązanie (dla potencjału V (r) ∼ rk przy k > −2) jest (w otoczeniur = 0) kombinacją liniową

u(r) ∼ C1rs1 + C2r

s2 = C1r−l + C2r

l+1. (16.68)

Jednakże u(r) musi spełniać także fizyczne warunki (16.63). Jest to możliwe tylko wtedygdy C1 = 0, bowiem l jest dowolną nieujemną liczbą całkowitą. Zatem rozwiązanie r−l

musimy z przyczyn fizycznych odrzucić. Dopuszczalne fizycznie rozwiązania radialnegorównania Schrödingera muszą spełniać

u(r) -r → 0

0. (16.69)

Innymi słowy, w otoczeniu r = 0 funkcja radialna R(r) = u(r)/r powinna się zachowywaćjak

R(r) ∼ u(r)r

-r → 0

rl. (16.70)

Na uzyskane warunki nałożone na funkcję radialną można spojrzeć inaczej. Formalnie(czysto matematycznie) rzecz biorąc, równanie radialne (16.55) (lub (16.64) dopuszczar < 0, co oczywiście jest niefizyczne. Możemy przyjąć V (r) = ∞ dla r < 0. Obszar tenjest niedostępny dla cząstki, a więc, zgodnie z dyskusją przeprowadzoną w rozdziale 3,musi tam być R(r) ≡ 0. Ciągłość funkcji falowej wymaga, aby R(r) → 0 dla r → 0+.Żądanie (16.70) zapewnia więc konieczną ciągłość.

16.4 Podsumowanie

W rozdziale tym badaliśmy układ dwóch cząstek o masach m1 i m2 oddziałujących za po-średnictwem pola centralnego i z energią potencjalną V (|~r12|). Dwucząstkowy hamiltonian

207


(16.20) opisuje te cząstki w laboratoryjnym układzie odniesienia. Posługując się analogiąklasyczną dokonaliśmy transformacji do układu odniesienia związanego ze środkiem masyi otrzymaliśmy hamiltonian (16.21). Pozwoliło to wyodrębnić ruch układu jako całości.Środek masy porusza się ruchem jednostajnym, prostoliniowym. Funkcje falowe związa-ne z ruchem względnym są wówczas rozwiązaniami równania Schrödingera (16.36). Poprzejściu do współrzędnych sferycznych, stwierdziliśmy, że operatory orbitalnego momen-tu pędu ~L2 oraz L3 oraz hamiltonian (16.41) tworzą ZZOK. Poszukiwane funkcje falowesą jednocześnie funkcjami własnymi tych trzech operatorów. Dzięki temu funkcje te mająraz na zawsze ustaloną zależność od kątów. Ich postać jest następująca

Ψ(~r) = Ψαlm(r, θ, ϕ) =uαl(r)r

Ylm(θ, ϕ), (16.71)

gdzie liczby kwantowe l i m wynikają z kwantowej teorii orbitalnego momentu pędu.Radialna funkcja falowa uαl(r) spełni tzw. radialne równanie Schrödingera

− ~2

2µd2uαl(r)dr2

+~2l(l + 1)

2µr2uαl(r) + V (r) uαl(r) = E uα(r) (16.72)

i ewidentnie zależy od kształtu energii potencjalnej. Liczba kwantowa α numeruje energiei musi być określona w konkretnych problemach. Może się zdarzyć, że α odpowiada widmuciągłemu energii. Wówczas warunek ortogonalności funkcji radialnych ma postać∫

d3r u∗αl(r)uα′l′(r) = δll′ δ(α− α′). (16.73)

Jeśli energie przyjmują wartości dyskretne, to delta Diraca przechodzi w deltę Kroneckera.Istnienie całek powyższego typu zapewnia warunek zbieżności

uαl(r) -r → 0

0. (16.74)

Aby dokładniej omówić istnienie całek rozważmy całkę normalizacyjną dla pełnej funkcjifalowej Ψ(~r). Żądamy wówczas, aby spełniona była relacja∫

d3r |Ψ(~r)|2 =∫dΩ

∫ ∞0

r2dr |Ψαlm(r, θ, ϕ)|2 = 1. (16.75)

Ze względu na faktoryzację (16.71) możemy napisać∫ ∞0

dr |uαl(r)|2∫dΩ |Ylm(θ, ϕ) |2 = 1. (16.76)

Harmoniki sferyczne są z definicji unormowane, więc w końcu dla funkcji radialnej mamywarunek∫ ∞

0dr |uαl(r)|2 = 1. (16.77)

Żądanie (16.74) powoduje, że funkcja podcałkowa "dobrze" zachowuje się w okolicachr = 0. Oczywiście wymóg normalizacji wyklucza funkcje uαl rozbieżne dla r →∞, z czymspotkaliśmy się już w poprzednich rozdziałach.

208


Wypiszmy jeszcze warunek normowania tzw. funkcji radialnej Rαl(r) = (1/r)uαl(r).Oczywiście w tym wypadku mamy∫ ∞

0dr r2 |Rαl(r)|2 = 1. (16.78)

Na zakończenie zwracamy uwagę na dwa istotne punkty.

• Pełna funkcja falowa Ψαlm opisująca ruch względny dwóch cząstek oddziałującychsiłami centralnymi zależy co najmniej od trzech indeksów – liczb kwantowych. Conajmniej, bo nie wiemy z góry jaki jest charakter liczby α, być może jest ona mul-tiindeksem. Rozważane funkcje falowe są funkcjami własnymi operatorów H – ha-miltonianu, całkowitego momentu pędu ~L2 oraz L3 – rzutu momentu pędu na oś z.Funkcje Ψαlm odpowiadają wartościom własnym

Eαl − energia;

~2 l(l + 1) − pełny moment pędu;

~m − rzut momentu pędu na oś z.

Naturalne jest więc nazwać: α – radialna liczba kwantowa (czasem główna). l i mto orbitalna i magnetyczna liczba kwantowa (nazewnictwo z teorii momentu pędu).Część kątowa funkcji falowej to harmoniki sferyczne, które nie zależą w żaden sposóbod kształtu energii potencjalnej (pod warunkiem, że jest on sferycznie symetryczny).

• Energie Eαl, czyli wartości własne hamiltonianu nie zależą od magnetycznej liczbykwantowej m. Dla konkretnych (ustalonych) liczb α i l mamy więc (2l+ 1) różnychfunkcji falowych odpowiadających tej samej energii (bo tyle różnych wartości możeprzyjmować magnetyczna liczba kwantowa m). Funkcje te są oczywiście wzajemnieortogonalne, jako różne funkcje własne operatora L3. A zatem energie Eαl są conajmniej gαl = (2l + 1)-krotnie zdegenerowane. Jest to degeneracja o charakterzezasadniczym, wynikającym z symetrii sferycznej energii potencjalnej V (r). Inne de-generacje, związane z liczbami kwantowymi α i l mogą też mieć miejsce, ale niemuszą. Zależy to konkretnego problemu. Te dodatkowe degeneracje bywają więczwane przypadkowymi, bowiem różna jest sytuacja w różnych przypadkach.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

209

S.Kryszewski 17. Atom wodoropodobny 210

Rozdział 17

Atom wodoropodobny

UWAGA : W rozdziale tym traktujemy elektron jako cząstkę bezspinową.Innymi słowy, nie bierzemy pod uwagę faktu, że elektron posia-da spin 1/2. W następnej części wykładu rozważymy znaczeniespinu i omówimy jak jego uwzględnienie modyfikuje otrzymanetutaj rezultaty.

17.1 Wprowadzenie

Atom składa się z jądra i elektronów. Jako całość jest elektrycznie obojętny, ładunekjądra i chmury elektronowej wzajemnie się znoszą. Jądro tworzą protony i neutrony, któresą zwane hadronami, bowiem są związane siłami jądrowymi (oddziaływaniem silnym,którego natury i własności nie będziemy tu omawiać). Masy protonu i neutronu wynosząodpowiednio

mP = 1.672 ∗ 10−27 kg, mN = 1.675 ∗ 10−27 kg. (17.1)

Masę jądra atomowego można w przybliżeniu oszacować ze wzoru

M = (A− Z)mN + ZmP , (17.2)

gdzie A – liczba masowa, Z – liczba atomowa (ładunek jądra). Masa jądra jest, w rzeczy-wistości nieco mniejsza niż M wynikająca ze wzoru (17.2). Wiąże się to z tzw. defektemmasy obecnym ze względu na energię wiązania nukleonów w jądrze. Masa elektronu wynosi

me = 9.1 ∗ 10−31 kg, (17.3)

blisko 2000 razy mniej niż masa protonu lub neutronu. Masa zredukowana elektronuw atomie

µ =Mme

M +me

= me1

1 +me/M≈ me

(1− me

M

), (17.4)

210


niewiele się różni od masy elektronu. Rozmiary jądra atomowego są około 5 rzędów wiel-kości mniejsze niż rozmiary atomu jako całości.

Rozważymy tu model atomu złożonego z punktowego jądra o masie M i ładunku Zeoraz z jednego elektronu o masie me i ładunku − e, gdzie e oznacza ładunek elementarnye = 1.6 · 10−19 C. Jądro jest źródłem coulombowskiego pola elektrycznego, więc energiapotencjalna odziaływania elektron – jądro dana jest wzorem

V (r) = − β

r, gdzie β =

Ze2

4πε0. (17.5)

Jest to układ dwóch ciał, które oddziałują za pośrednictwem potencjału centralnego.Rezultaty poprzedniego rozdziału mogą więc z powodzeniem być zastosowane do opisutakiego atomu, który nazwiemy wodoropodobnym. Założymy, że atom jako całość spo-czywa (tzn. jego środek masy jest nieruchomy, co zresztą nie ma tu większego znaczenia).Ruch względny elektronu (względem środka masy, praktycznie pokrywającego się z jądrematomu) opiszemy za pomocą hamiltonianu

H =~p2

2µ− β

r, (17.6)

co jak wiemy, sprowadzi się do analizy odpowiedniego radialnego równania Schrödingera.

17.2 Stabilność atomu

17.2.1 Dyskusja klasyczna

Zanim przejdziemy do kwantowo-mechanicznego opisu atomu wodoru wróćmy na chwilędo modelu klasycznego. W modelu tym elektron krąży po orbicie (dla prostoty kołowej)wokół jądra atomowego. Siła Coulomba jest siłą dośrodkową, zatem

µv2

r=

β

r2, (17.7)

gdzie v – prędkość elektronu, zaś r promień orbity. Obliczając pęd elektronu p = µv

znajdujemy jego energię kinetyczną

Ekin =p2

2µ=

β

2r. (17.8)

Wobec tego całkowita energia elektronu w klasycznym atomie to

Etot = Ekin + Epot =β

2r− β

r= − β

2r. (17.9)

Energia Etot nie jest ograniczona z dołu, bo r może być dowolnie małe. Elektron porusza siępo orbicie kołowej z przyspieszeniem (dośrodkowym). Elektrodynamika klasyczna mówi,że przyspieszający ładunek emituje fale elektromagnetyczne. Fale te unoszą energię, którątraci elektron. Energia elektronu (ujemna) coraz bardziej maleje, więc r maleje. Elektron

211


na orbicie o promieniu r jest niestabilny i w końcu spada na jądro. A więc w modeluklasycznym rozmiary atomu powinny być takie same jak rozmiary jądra. Stwierdzenia tesą ewidentnie sprzeczne z doświadczeniem. Rozmiary atomu są o kilka rzędów wielkościwiększe niż jądra (wskazuje na to słynne doświadczenie Rutherforda). Widzimy więc, żefizyka klasyczna nie może poprawnie opisać struktury atomu.

17.2.2 Dyskusja kwantowo-mechaniczna

Mechanika kwantowa pozwala przeprowadzić proste oszacowania wskazujące, że atom jeststabilny. Elektron w atomie posiada pewien średni pęd 〈 p 〉 i znajduje się w pewnej średniejodległości 〈 r 〉 od jądra. Obie te średnie możemy (z grubsza) przyjąć za charakterystykirozmycia obu wielkości, które muszą spełniać zasadę nieoznaczoności

〈 p 〉〈 r 〉 ~ =⇒ 〈 p 〉 ~〈 r 〉

. (17.10)

Oszacowanie (17.10) pozwala stwierdzić, że energia kinetyczna elektronu

〈Ekin 〉 ≈〈 p 〉2

2µ ~2

2µ〈 r 〉2. (17.11)

Szacując teraz średnią energię całkowitą, mamy

〈Etot 〉 = 〈Ekin 〉 + 〈Epot 〉 ~2

2µ〈 r 〉2− β

〈 r 〉. (17.12)

bowiem 〈Ekin 〉 zastąpiliśmy (zgodnie z (17.11) czymś mniejszym. Podkreślmy, że prowa-dzimy tu jedynie oszacowania rzędów wielkości, a nie ścisłe obliczenia (np. szacujemy 1/rjako 1/〈 r 〉, a nie ściśle przez 〈 r−1 〉). Zbadajmy teraz dokładniej prawą stronę nierówności(17.12). Wprowadźmy w tym celu funkcję

f(x) =~2

2µx2− β

x. (17.13)

Nietrudno sprawdzić, że funkcja ta ma minimum, bowiem

f ′(x) =β

x2− ~2

µx3= 0, dla x =

~2

µβ. (17.14)

Wartość minimalna tej funkcji to

fmin = − µβ2

2 ~2. (17.15)

Jeśli więc w (17.12) zastąpimy prawą stronę jej minimalną wartością fmin, to nierównośćbędzie "tym bardziej" prawdziwa. Mamy więc oszacowanie

〈Etot 〉 − µβ2

2 ~2. (17.16)

212


Otrzymana konsekwencja zasady nieoznaczoności orzeka, że energia całkowita elektronuw atomie jest ograniczona z dołu. Elektron nie może stracić dowolnie dużej energii, a więcnie może spaść na jądro. Mechanika kwantowa, w przeciwieństwie do klasycznej, zapewniastabilność atomu. Co więcej, minimalizacja prawej strony nierówności (17.12) zachodzi dla

〈 r 〉 =~2

µβ, (17.17)

co stanowi oszacowanie rozmiarów atomu gdy elektron ma minimalną energię. Mechanikakwantowa wyjaśnia stabilność atomu na podstawie prawa przyrody jakim jest zasada nie-oznaczoności. Zdumiewający natomiast jest fakt, że oszacowanie (17.16) energii elektronudokładnie pokrywa się ze ściśle obliczoną energią jonizacji (energią najniższego poziomuenergetycznego). Oszacowanie 〈 r 〉 dane w (17.17) także jest bliskie ścisłemu wynikowi.

Przechodzimy teraz do ścisłej dyskusji kwantowo-mechanicznej, która w pełni po-twierdzi otrzymane tu oszacowania.

17.3 Kwantowo-mechaniczna teoriaatomu wodoropodobnego

17.3.1 Równanie radialne – dyskusja własności

Równanie radialne dla atomu wodoropodobnego

Wprzypadku kwantowo-mechanicznym, energia potencjalna elektronu w polu coulombow-skim jądra jest dana wzorem (17.5). Jest to potencjał sferycznie symetryczny (centralny)i zachowuje się jak rk, k −2. Zgodnie z ogólną teorią przedstawioną w rozdziale 16możemy od razu stwierdzić (patrz (16.71), że rozwiązania równania Schrödingera w re-prezentacji położeniowej są postaci

ψαlm = Rαl(r) Ylm(θ, ϕ), =1ruαl(r) Ylm(θ, ϕ), (17.18)

przy czym, funkcja radialna uαl(r) spełnia radialne równanie Schrödingera (16.72), którepo podstawieniu coulombowskiej energii potencjalnej, ma następujący kształt[

− ~2

2µd2

dr2+

~2

2µl(l + 1)r2

− β

r

]uαl(r) = Eαl uαl(r). (17.19)

Przypomnijmy ponadto, że orbitalna liczba kwantowa l jest nieujemną liczbą całkowitą,zaś dla danego l magnetyczna liczba kwantowa przyjmuje (2l+1) różnych wartości całko-witych od −l do l. Co więcej (patrz (16.74), funkcja uαl(r) w otoczeniu r = 0 zachowujesię jak

uαl(r) -r → 0

0. (17.20)

213


r

Veff(r)

E > 0

E < 0

Rys. 17.1: Klasyczny potencjał efektywny w atomie wodoropodobnym.

Liczba kwantowa α jest na razie bliżej nieokreślona i wyniknie z rozwiązania równaniaradialnego. Na zakończenie przypomnijmy jeszcze, że zgodnie z (16.77) mamy waruneknormowania∫ ∞

0dr |uαl(r) |2 = 1. (17.21)

Widmo hamiltonianu

Klasyczny przyciągający potencjał coulombowski jest zmodyfikowany przez tzw. członcentryfugalny tak, że ruch ciała zachodzi w potencjale efektywnym (por. (16.58)

Veff (r) = − β

r+

~L2

2µr2, (17.22)

gdzie ~L jest momentem pędu względem środka masy. Moment pędu jest w polu cen-tralnym zachowany, bowiem komutuje z hamiltonianem (patrz (16.42), więc drugi członw (17.22) ma charakter dominujący dla małych odległości r. Dla dużych r dominuje nato-miast przyciągający człon coulombowski. W rezultacie potencjał efektywny ma minimum,co można w elementarny sposób sprawdzić, badając funkcję Veff (r). Typowy kształt ta-kiego potencjału efektywnego przedstawiony jest na rys.(17.1), z którego jednak nie należywyciągać żadnych wniosków ilościowych.

Wracamy teraz do dyskusji przypadku kwantowego. Można wykazać, że widmo (zbiórenergii Eαl) składa się z części dyskretnej i części ciągłej. Wynika to z następującegorozumowania. Dla energii E > 0 ruch klasyczny jest nieograniczony przestrzennie. W re-zultacie, równanie radialne ma fizycznie dopuszczalne rozwiązania dla E > 0, takie że

214


widmo energii jest ciągłe. Wówczas odpowiednie funkcje falowe (typu zbliżonego do falpłaskich, patrz dyskusja pod koniec rozdziału 3) są nienormowalne w kwadracie, więctrzeba je normować do delty Diraca. Z drugiej strony, dla E < 0, ruch klasyczny jestograniczony. Dla tego przypadku równanie radialne (17.19) ma fizycznie dopuszczalnerozwiązania tylko dla dyskretnych wartości Eαl, zaś funkcje własne sa normowalne jakzwykle do jedynki.

17.3.2 Rozwiązanie równania radialnego

Zamiana zmiennych w równaniu radialnym

W świetle powyższych uwag przechodzimy do dyskusji równania radialnego (17.19). Mno-żymy je stronami przez czynnik −2µ/~2,[

d2

dr2− l(l + 1)

r2+

2µβ~2

1r

]uαl(r) = − 2µEαl

~2uαl(r). (17.23)

Chcemy teraz pozbyć się współczynnika przy członie 1/r w operatorze po lewej. Dokonu-jemy podstawienia

r = ρ~2

µβ=⇒ r

µβ

~2= ρ (17.24)

W tym miejscu wprowadzimy wielkości

aB =~2

µβ=

~2

µ· 4πε0Ze2

, oraz a0 = Z aB =~2

µ· 4πε0

e2, (17.25)

przy czym a0 nazwiemy promieniem Bohra. Nietrudno sprawdzić, że zarówno aB jak i a0mają wymiar długości, co sprawia, że nowa zmienna ρ = r/aB jest bezwymiarowa. Na-stępnie zamieniamy zmienną w operatorach różniczkowania

d

dr=

dρ

dr

d

dρ=

1aB

d

dρ,

d2

dr2=

dρ

dr

d

dρ

d

dr=

1a2B

d2

dρ2. (17.26)

Wykorzystując powyższe podstawienia w równaniu radialnym, dostajemy[d2

dρ2− l(l + 1)

ρ2+

2ρ

]uαl(ρ) = −2µEαl

~2a2B uαl(ρ). (17.27)

Przekształcamy współczynnik po prawej stronie, posługując się formułą (17.24)

2µEαl~2

a2B = Eαl

(4πε0~)2

12µZ

2e4=

EαlEIB

, (17.28a)

gdzie wprowadziliśmy wielkość o wymiarze energii

EIB =µZ2e4

2 (4πε0~)2, (17.28b)

215


która, jak pokażemy później, jest energią jonizacji atomu wodoropodobnego. Nasze rów-nanie radialne w zmiennej ρ = r/aB ma teraz postać[

d2

dρ2− l(l + 1)

ρ2+

2ρ

]uαl(ρ) +

EαlEIB

uαl(ρ) = 0. (17.29)

W jego dalszej analizie ograniczymy się do rozwiąząń z ujemnymi energiami własnymiEαl < 0, a więc do widma dyskretnego (które zresztą otrzymamy). Dlatego możemywprowadzić pomocniczy parametr dodatni

λ2αl = − Eαl

EIB> 0, (17.30)

co pozwala zapisać równanie radialne jako[d2

dρ2− l(l + 1)

ρ2+

2ρ− λ2

αl

]uαl(ρ) = 0, (17.31)

dla zmiennej ρ = r/aB. Przypomnijmy, że funkcja radialna (po zamianie zmiennej) musispełniać warunek (17.20), tj.:

uαl(ρ) -ρ→ 0

0. (17.32)

Uwzględnienie zachowania asymptotycznego

Będziemy teraz postępować podobnie jak w przypadku oscylatora harmonicznego w roz-dziale 7 (patrz relacje (7.27)–(7.33)). A mianowicie, przeprowadzimy jakościową dyskusjęrozwiązania równania (17.31) dla dużych ρ 1. Dla takich ρ człony ρ−1 i ρ−2 przestająodgrywać znaczącą rolę. A więc asymptotycznie, równanie to redukuje się do[

d2

dρ2− λ2

αl

]uαl(ρ) ≈ 0. (17.33)

Rozwiązaniem tego równania (równanie różniczkowe klasycznego oscylatora z urojonączęstością) jest

uαl(ρ) = exp (±ρλαl) . (17.34)

Jest to oczywiście rozwiązanie przybliżone (człony ρ−1 i ρ−2 zaniedbaliśmy) dla dosta-tecznie dużych ρ. Funkcja radialna uαl(ρ) zgodnie z ogólnymi regułami postępowaniaprzy potencjałach centralnych) musi być unormowana do jedności. A więc rozwiązanieasymptotyczne ze znakiem + w eksponencie musimy odrzucić jako nienormowalne, a tymsamym fizycznie nie do przyjęcia. Szukać więc będziemy rozwiązania równania radialnego(17.31) w postaci

uαl(ρ) = exp (−ρλαl) fαl(ρ), (17.35)

216


gdzie nowa, nieznana funkcja fαl(ρ) musi zostać znaleziona. Zanim przejdziemy do kolej-nych kroków rozwiązania równania radialnego przypominamy warunek (17.32). Ze wzglę-du na nasz postulat łatwo widać, że funkcja fαl(ρ) musi spełniać analogiczny warunek

fαl(ρ) -ρ→ 0

0, (17.36)

bowiem czynnik wykładniczy dąży do jedynki, gdy ρ - 0. Zwróćmy jeszcze uwagę,że wyróżniamy tu exp (−ρλαl), ale formalnie nie odrzucamy rozwiązania z plusem, tj.exp (+ρλαl), "siedzi" ono na razie ukryte w funkcji fαl. Trzeba je będzie zidentyfikowaći przy końcu obliczeń odrzucić jako niecałkowalne. Postulat (17.35) musimy teraz wstawićdo równania (17.31) i znaleźć odpowiednie równanie dla funkcji fαl(ρ).

Krok polegający na obliczeniu drugiej pochodnej funkcji uαl danej postulatem (17.35)i podstawienie do (17.31) opuszczamy, (proste ćwiczenie z różniczkowania). Po podstawie-niu, człon wykładniczy uprości się. W rezultacie otrzymamy równanie tylko dla funkcjifαl(ρ), które ma postać[

d2

dρ2− 2λαl

d

dρ+

(2ρ− l(l + 1)

ρ2

)]fαl(ρ) = 0. (17.37)

Rozwiązanie przez szereg potęgowy

Aktualną sytuację rachunkową warto porównać z obliczeniami dotyczącymi oscylatoraharmonicznego. Postulat (17.35) jest w pełnej analogii do (7.31), a równanie (17.37) od-powiada równaniu (7.35). W przypadku oscylatora argumentowaliśmy, że warunek nor-mowania implikuje, iż poszukiwana funkcja pomocnicza musi być wielomianem. Podob-ną argumentacją można posłużyć się również w przypadku równania radialnego (17.37).Funkcja fαl(ρ) faktycznie jest wielomianem. Tym razem jednak nie będziemy opierać sięna "zgadywance", choćby i umotywowanej. Zastosujemy tutaj dość ogólną (i ścisłą) me-todę rozwiązywania równań różniczkowych. Będziemy poszukiwać rozwiązania równania(17.37) w postaci szeregu potęgowego

fαl(ρ) = ρs∞∑q=0

Cqρq =

∞∑q=0

Cqρq+s (17.38)

Czynnik ρs wynika stąd, że musi być spełniony warunek (17.36), który mówi, że szeregnie może rozpoczynać się od wyrazu wolnego. Ponadto, wspomniany warunek sprawia, żeoczekujemy s > 0. Co więcej, sensowne jest przyjąć C0 6= 0, więc zerowy składnik szereguto C0 ρ

s. Wykonując różniczkowania obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji fαl(ρ)przedstawionej za pomocą szeregu. Wyniki, wraz z określeniem (17.38) podstawiamy do

217


równania radialnego (17.37) otrzymując

∞∑q=0

(q + s)(q + s− 1) Cq ρq+s−2 − 2λαl∞∑q=0

(q + s) Cq ρq+s−1

+ 2∞∑q=0

Cq ρq+s−1 − l(l + 1)

∞∑q=0

Cq ρq+s−2 = 0. (17.39)

W równaniu tym grupujemy wyrazy z jednakowymi potęgami zmiennej ρ, czyli pierwszyi ostatni oraz dwa pozostałe. Dostajemy

∞∑q=0

[(q + s)(q + s− 1)− l(l + 1)

]Cq ρ

q+s−2

+∞∑q=0

2[

1− λαl(q + s)]Cq ρ

q+s−1 = 0. (17.40)

Z pierwszego szeregu wyodrębniamy wyraz z numerem q = 0. Mamy więc[s(s− 1)− l(l + 1)

]C0 ρ

s−2

+∞∑q=1

[(q + s)(q + s− 1)− l(l + 1)

]Cq ρ

q+s−2

+∞∑q=0

2[

1− λαl(q + s)]Cq ρ

q+s−1 = 0. (17.41)

W trzecim członie eliminujemy q = 0 przez podstawienie q′ = q + 1, więc q = q′ − 1,przy czym q′ = 1, 2, . . . . Przepisujemy równanie (17.41) z przenumerowanym ostatnimczłonem i otrzymujemy[

s(s− 1)− l(l + 1)]C0 ρ

s−2

+∞∑q=1

[(q + s)(q + s− 1)− l(l + 1)

]Cq ρ

q+s−2

+∞∑q′=1

2[

1− λαl(q′ − 1 + s)]Cq′−1 ρ

q′+s−2 = 0. (17.42)

W obu szeregach najniższa potęga zmiennej ρ jest równa s−1. Opuszczając prim w ostat-nim członie, łączymy oba szeregi i dostajemy równanie[

s(s− 1)− l(l + 1)]C0 ρ

s−2

+∞∑q=1

[(q + s)(q + s− 1)− l(l + 1)

]Cq

+ 2[

1− λαl(q − 1 + s)]Cq−1

ρq+s−2 = 0, (17.43)

które musi być spełnione dla każdego ρ. Wobec tego musi znikać współczynnik w pierw-szym członie, a także wszystkie współczynniki szeregu. Ponieważ z założenia C0 6= 0, więc

218


powyższe równanie jest równoważne następującej parze równań

s(s− 1)− l(l + 1) = 0. (17.44a)[(q + s)(q + s− 1)− l(l + 1)

]Cq = − 2

[1− λαl(q − 1 + s)

]Cq−1, (17.44b)

Pierwsze z nich wynika z pierwszej linii równania (17.43), a drugie z żądania znikaniawspółczynników szeregu, przy czym obowiązuje ono (o czym trzeba pamiętać) dla q 1.Równanie (17.44b) jest związkiem rekurencyjnym (pozwala obliczyć Cq jeśli znamy Cq−1.W relacji tej C0 pełni (na razie) rolę stałej dowolnej, którą później wyznaczymy. Terazz równania (17.44a) mamy

s2 − s− l(l + 1) = 0. (17.45)

Jest to warunek, który już badaliśmy (patrz (16.66) przy ogólnym równaniu radialnym,a zatem

s1 = l + 1, s2 = −l. (17.46)

W ogólnym kontekście mówiliśmy, że pierwiastek s2 = −l trzeba odrzucić, bowiem niezapewnia on właściwego zachowania funkcji radialnej w otoczeniu zera. I teraz postępu-jemy podobnie odrzucając to rozwiązanie, co zresztą jest zgodne z oczekiwaniem s > 0,wynikłym z dyskusji szeregu (17.38). Wybieramy, jako fizyczne, jedynie

s = s1 = l + 1. (17.47)

Skoro więc wykładnik s jest już określony, to wstawiamy go do równania (17.44b), któreprzyjmuje postać[

(q + l + 1)(q + l)− l(l + 1)]Cq = − 2

[1− λαl(q + l)

]Cq−1. (17.48)

Wymnażając i upraszczając mamy w końcu

q(q + 2l + 1

)Cq = − 2

[1− λαl(q + l)

]Cq−1. (17.49)

Stąd oczywiście wynika związek rekurencyjny

Cq = − 21− λαl(q + l)q (q + 2l + 1)

Cq−1, przy czym q 1. (17.50)

Traktując stałą C0 6= 0 za znaną możemy więc zbudować cały szereg. Wobec tego poszu-kiwaną funkcję radialną możemy przedstawić w postaci sfaktoryzowanej

uαl(ρ) = exp (−ρλαl) ρl+1∞∑q=0

Cq ρq, (17.51)

gdzie zmienna ρ związana jest ze współrzędną radialną r = aBρ. Funkcja ta ewidentniespełnia warunek uαl(ρ) -

ρ→ 00. Problem więc sprowadza się do wyznaczenia C0 i do

analizy uzyskanej relacji rekurencyjnej.

219


17.3.3 Dyskusja rekurencji i kwantowanie energii

Na podstawie jakościowej argumentacji (i dzięki analogii z oscylatorem harmonicznym)przewidywaliśmy, że funkcja fαl(ρ) przedstawiona szeregiem (17.38) będzie wielomia-nem. Na razie nie mamy żadnych przesłanek pozwalających "urwać" nieskończony szereg(17.51) i zredukować go do wielomianu. Trzeba więc zbadać wyrazy szeregu dla dużychwartości zmiennej ρ – one bowiem determinują normowalność. Z drugiej strony przy du-żych ρ istotne są wysokie potęgi, czyli q 1. Przeprowadzimy więc odpowiednią dyskusję.

Współczynniki szeregu będącego rozwiązaniem naszego równania radialnego spełnia-ją relację rekurencyjną (17.50). Parametr λαl jest, ogólnie rzecz biorąc, dowolną liczbąrzeczywistą (jej kwadrat jest proporcjonalny do wartości własnej energii). Wobec tegolicznik relacji rekurencyjnej jest na ogół różny od zera dla dowolnego całkowitego q. Dladostatecznie dużych q możemy dokonać przybliżeń w związku rekurencyjnym. Przedewszystkim zaniedbamy jedynki w liczniku i mianowniku, zatem

Cq ≈λαl(q + l)q (q + 2l)

Cq−1, dla q 1. (17.52)

gdzie zmieniliśmy nieco notację (bo dokonujemy oszcowań). Kolejne przybliżenie (dlaniezbyt wielkich l, czyli dla q l) polega na zaniedbaniu liczb l w obu nawiasach, coprowadzi do

Cq -q 1

2λαlq

Cq−1, (17.53)

Załóżmy, że obowiązuje powyższa relacja. Za pomocą indukcji matematycznej można wy-kazać dość oczywisty wniosek

Cq =(2λαl)q

q!C0. (17.54)

Przybliżone w ten sposób współczynniki zastosujemy tworząc szereg analogiczny do tegoz relacji (17.51). Odpowiada to rozwinięciu funkcji

∞∑q=0

Cq ρq =

∞∑q=0

(2λαl)q

q!C0 ρ

q = C0 exp(2λαlρ

)(17.55)

Porównując ten wynik z funkcją radialną (17.51) widzimy, że jeśli licznik relacji rekuren-cyjnej (17.50) nie znika, to dla dużych ρ, gdy odgrywają rolę przede wszystkim duże liczbyq, funkcja radialna zaczyna się zachowywać jak

uαl(ρ) ≈ C0 exp (−ρλαl) ρl+1 exp (2ρλαl) , (17.56)

co jako niecałkowalne, jest fizycznie niedopuszczalne. Zauważmy, że analizując asympto-tyczne zachowanie uαl(ρ) wspomnieliśmy, że przy faktoryzacji (17.35) nie ginie rozwiązaniezachowujące się jak exp (+ρλαl). Właśnie się nam pojawiło z powrotem.

220


Aby zapewnić normowanie musimy odrzucić te rozwiązania, które dają szeregi nies-kończone. A zatem w relacji rekurencyjnej musi się tak zdarzyć, że dla pewnego q licznikznika ∨

q=k∈Nλαl(q + l)− 1 = 0. (17.57)

Wówczas współczynnik Ck = 0. Na mocy rekurencji wszystkie następne współczynnikiCk+p = 0, ostatnim niezerowym współczynnikiem jest Ck−1. Szereg się urywa i zgod-nie z intuicyjnymi przewidywaniami staje się wielomianem zmiennej ρ. Funkcja radialnaprzyjmie postać

uαl(ρ) = exp (−ρλαl) ρl+1k−1∑q=0

Cq ρq, (17.58)

i tym samym jest całkowalna w kwadracie, czyli normowalna. Wynika to stąd, że funkcjawykładnicza "wygasza" wielomian dowolnego (skończonego) stopnia.

Musi więc istnieć taka liczba całkowita k 1 (bo q 1), że

λαl(k + l)− 1 = 0 =⇒ λαl =1

k + l. (17.59)

Według wprowadzonego oznaczenia (17.30) otrzymujemy

λαl =

√− EαlEIB

=1

k + l, dla k 1. (17.60)

Uzyskany rezultat jest równoważny kwantowaniu energii – wartości własnych radialnegorównania Schrödingera. Utożsamiając nieokreśloną dotąd liczbę kwantową α z dodatniąliczbą całkowitą k, możemy napisać

Ekl = − EIB(k + l)2

, dla k 1 oraz l 0. (17.61)

Spośród energii Ekl < 0, tylko te spełniające warunek (17.61) prowadzą do fizycznieakceptowalnych (normowalnych) rozwiązań. Wszystkie inne energie dają rozwiązania nie-normowalne – fizycznie nie do przyjęcia.

Wykorzystując dalej warunek (17.59) i kładąc α = k zapisujemy radialną funkcjęfalową (17.58)

ukl(ρ) = exp(− ρ

k + l

)ρl+1

k−1∑q=0

Cq ρq, (17.62)

Ponadto, związek rekurencyjny (17.50) pozwalający wyliczyć współczynniki wielomianówprzybiera postać

Cq = − 21− q + l

k + lq (q + 2l + 1)

Cq−1, dla q 1, (17.63)

221


gdzie współczynnik C0 gra rolę stałej dowolnej, która zostanie wyznaczona poprzez nor-mowanie (17.21). Widzimy także, że dla q < k licznik różni się od zera, zaś dla q = k

znika i tym samym Cq = 0 dla q k.Warto przypomnieć, że z podobną sytuacją zetknęliśmy się przy dyskusji energii wła-

snych oscylatora. Zażądaliśmy tam, aby pomocnicze funkcje były wielomianami. Rów-nanie Schrödingera sprowadziliśmy do równania Hermite’a (7.37), co pociągnęło za sobąwarunek kwantowania energii (7.38). W przypadku radialnego równania Schrödingera dlaatomu wodoropodobnego wykazaliśmy bezpośrednim rachunkiem, że nieskończony szeregmusi się urywać – prowadzić do wielomianów. Jeśli tak nie jest, to odpowiednie funkcje sąnienormowalne – niedopuszczalne fizycznie. Rozwiązania sensowne fizycznie istnieją podwarunkiem, że spełnione jest żądanie (17.61) – energie własne są skwantowane. Intuicyjneargumenty użyte przy badaniu oscylatora zostały tu zastąpione ścisłym rozumowaniem,które doprowadziło nas do rozwiązań "skwantowanych".

17.4 Dyskusja uzyskanych rezultatów

17.4.1 Poziomy energetyczne. Główna liczba kwantowa

Rozwiązując równanie radialne stwierdziliśmy, że fizycznie sensowne funkcje falowe istniejąpod warunkiem, ze dozwolone energie są skwantowane

Ekl = − EIB(k + l)2

, k 1, l 0. (17.64)

Minimalna energia (energia najniższego poziomu energetycznego) odpowiada liczbom k =1 oraz l = 0, czyli E10 = − EIB. Energia ta jest ujemna, bowiem elektron i jądro tworząukład związany. Aby zerwać wiązanie, czyli zjonizować atom, trzeba dostarczyć do atomuenergię EIB – stąd nazwa – energia jonizacji. Zauważmy, że według oznaczeń (17.5) oraz(17.28b) mamy

E10 = − EIB = − µβ2

2~2, (17.65)

co ściśle odtwarza proste oszacowanie (17.16).Wracamy do dyskusji warunku kwantowania (17.64). Dla ustalonego, całkowitego l,

mamy nieskończenie wiele poziomów energetycznych, bowiem k = 1, 2, . . . . Każdy poziomjest przynajmniej (2l + 1)–krotnie zdegenerowany. Wynika to stąd, że (dla ustalonego l)magnetyczna liczba kwantowa m numerująca harmoniki sferyczne występujące w funkcjifalowej przyjmuje właśnie tyle wartości. Z rozdziału 16 wiemy, że jest to degeneracjao charakterze zasadniczym, wynikająca z symetrii sferycznej potencjału coulombowskiego.Występuje tu jednak również degeneracja przypadkowa, a mianowicie jest tak wtedy gdyk + l = k′ + l′.

W przypadku atomu wodoropodobnego energia nie zależy oddzielnie od liczb kwan-towych k i l, lecz zawsze od ich sumy. Ponieważ k 1, więc wygodnie jest wprowadzić,

222


nową liczbę kwantową n zastępującą sumę k + l. Definiujemy więc tzw. główną liczbękwantową

n = k + l, n = 1, 2, 3, . . . . (17.66)

Zwróćmy uwagę na istotne ograniczenie wynikające z określenia głównej liczby kwantowej.Wiemy, że k 1. Zatem z (17.66) wynika k = n− l 1. Nierówność ta pociąga za sobąnastępną: l ¬ n− 1. Wobec tego, dla danego (określonego) n musi być

l = 0, 1, 2, . . . , n− 1. (17.67)

Orbitalna liczba kwantowa (przy ustalonym n) może więc przyjmować tylko skończonąilość różnych wartości.

Wracając do kwantowania energii za pomocą głównej liczby kwantowej n widzimy, żedozwolone energie atomu wodoropodobnego dane są wzorem

En = − EIBn2

, (17.68)

co jest identyczne z rezultatem wynikającym ze szkolnego modelu Bohra, wyprowadzonymtu jednak z ścisłych zasad mechaniki kwantowej, a nie z poczynionych ad hoc postulatów.

Omówmy jeszcze konwencję terminologiczną. Otóż odpowiednie liczby kwantowe na-zwiemy w następujący spasób

(i) n = 1, 2, 3, 4, . . . . . . − główna;

(ii) l = 0, 1, 2, . . . , n− 1 − orbitalna (azymutalna);

(iii) m = −l, . . . , 0, . . . , l − magnetyczna; (17.69)

Stany scharakteryzowane określoną liczbą n, czyli stany o dobrze określonej energii, (przydowolnych l i m) nazywamy powłoką elektronową. Liczba orbitalna l określa podpowłoki.Dla danego n mamy więc n podpowłok, bo tyle różnych wartości może przyjmować orbi-talna liczba kwantowa. W każdej podpowłoce mamy (2l+1) stanów scharakteryzowanychróżnymi liczbami magnetycznymi m. Na podstawie tej dyskusji łatwo możemy obliczyćkrotność degeneracji n-tej powłoki elektronowej (czy też n-tego poziomu energetycznego)

gn =n−1∑l=0

(2l + 1) = 2(n− 1)n

2+ n = n2. (17.70)

Nie uwzględniamy tu spinu elektronu. Fakt, że elektron posiada spin zwiększa krotnośćdegeneracji o czynnik 2, co daje gn = 2n2. Do problemu spinu powrócimy w drugiej częściwykładu.

223


Notacja spektroskopowa

Tak zwana notacja spektroskopowa pochodzi jeszcze z XIX wieku (sprzed powstania me-chaniki kwantowej). Podpowłokom numerowanym przez orbitalną liczbę kwantową przy-porządkowane są litery w następujący sposób

l = 0 - s

l = 1 - p

l = 2 - d

l = 3 - f

l = 4 - g

. . . . . . i dalej alfabetycznie (17.71)

Dalej notację spektroskopową konstruujemy tak : (liczba)(litera). Liczba z przodu nume-ruje powłoki elektronowe, a więc odpowiada głównej liczbie kwantowej, natomiast literaprzyporządkowuje podpowłoki według powyższej tabeli. A zatem, mamy

1s, n = 1, l = 0, − stan podstawowy2s, n = 2, l = 0,

2p, n = 2, l = 1,

− pierwszy stan wzbudzony

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . itd.

(17.72)

Powłoki elektronowe n = 1, 2, 3, . . . , czasem bywają nazywane dużymi literami: K, L,M, . . . , i dalej alfabetycznie.

Rzędy wielkości

Dozwolone wartości energii elektronu w atomie wodoropodobnym (wartości własne ha-miltonianu) wynikają z otrzymanego warunku kwantowania energii (17.68). Aby go prze-dyskutować rozważmy jawne wyrażenie (17.28) dla energii jonizacji

EIB =µ

2~2

(Ze2

4πε0

)2

=12µ c2Z2

(e2

4πε0~c

)2

. (17.73)

Wprowadzimy teraz niezmiernie pożyteczną bezwymiarową wielkość, zwaną stałą struk-tury subtelnej, którą standardowo oznaczamy przez

α =1

4πε0

(e2

~c

)≈ 1

137≈ 7.3 · 10−3. (17.74)

Posługując się tą stałą, obliczamy energię jonizacji

EIB =µc2

2Z2α2 ≈ 13.6 eV. (17.75)

Ponieważ masa zredukowana µ ≈ me, zatem czynnik µc2 jest bardzo bliski masie spoczyn-kowej elektronu, która wyrażona w jednostkach energii wynosi około 0.5 MeV. Energiajonizacji jest o α2 razy, a więc o około 5.33 · 10−5 razy mniejsza. Omawiana tu teoria jestz założenia nierelatywistyczna, więc oczekujemy, że powinno być EIB µc2. Oznacza to,że schrödingerowska teoria atomu wodoropodobnego jest słuszna jedynie dla lekkich ato-mów, tzn. dla atomów o niewielkiej liczbie Z. Widzimy, że dla ciężkich atomów (Z rzędu

224


kilkudziesięciu) energia jonizacji zbliża się do energii spoczynkowej elektronu. A więc dladużych Z teoria nierelatywistyczna załamuje się i do opisu ciężkich atomów niezbędnastaje się teoria relatywistyczna, co już wybiega poza program naszego wykładu

17.4.2 Radialne funkcje falowe

Znalezione uprzednio radialne funkcje falowe (17.62) zapiszemy w postaci

unl(r) = exp(− Zr

na0

) (Zr

a0

)l+1 n−l−1∑q=0

Cq

(Zr

a0

)q, (17.76)

gdzie liczbę k = n− l zastąpiliśmy główną liczbą kwantową n. Ponadto, zgodnie z (17.24)wróciliśmy do zwykłej zmiennej radialnej r. Warunek rekurencyjny (17.63) zapisany zapomocą liczby n, po elementarnych przekształceniach, to

Cq = − 2n− l − q

n q (q + 2l + 1)Cq−1, q 1. (17.77)

W praktyce okazuje się, że wygodniejsze w użyciu są funkcje Rnl = unl/r, tzn.

Rnl(r) = exp(− Zr

na0

) (Zr

a0

)l n−l−1∑q=0

Cq

(Zr

a0

)q. (17.78)

Szczegółową analizę związku rekurencyjnego (17.77) opuścimy. Matematyczna analiza ge-nerowanych wielomianów nie wnosi informacji fizycznych. Ewentualnych zainteresowanychodsyłamy do Uzupełnień. Ograniczymy się tu jedynie do podania zasadniczych wnioskówpłynących z takiej analizy. Praktyczne zastosowanie relacji rekurencyjnej pozwala zidenty-fikować wielomiany występujące w funkcji (17.78). Okazuje się, że są to tzw. stowarzyszonewielomiany Laguerre’a1, zdefiniowane wzorem

L(s)p (x) =

p∑q=0

(−1)q

q!xq

(p+ s)!(p− q)! (s+ q)!

. (17.79)

Zauważmy że dolny indeks (w tym wypadku p) określa stopień wielomianu, podczas gdys jest parametrem dodatkowym. Za ich pomocą możemy przedstawić radialne funkcjefalowe (17.78) w postaci

Rnl(r) = Anl exp(− Zr

na0

) (2Zrna0

)lL

(2l+1)n−l−1

(2Zrna0

), (17.80)

gdzie argumenty w poszczególnych czynnikach są bezwymiarowe. W wyrażeniu tym może-my manipulować stałymi (lub ich potęgami) tak, aby kształt funkcji był wygodny w prak-tycznych zastosowaniach. Wynika to stąd, że stała normalizacyjna Anl nadal nieustalona.

1Wielomiany te są dobrze znanymi w literaturze funkcjami specjalnymi. W niniejszych rozważaniachpodamy te ich własności, które będą nam potrzebne. W Uzupełnieniach można znaleźć wyprowadzeniai dowody relacji, z których tu korzystamy. Warto jednak zwrócić uwagę, ze różne źródła definiują tewielomiany na różne sposoby. Stosując np. tablice całek, trzeba upewnić się jak zdefiniowane są wielomianyL(α)m (x) i jak określona jest ich normalizacja.

225


Normowanie

Stała normalizacyjną wyznaczamy z warunku (16.78), tj.

1 =∫ ∞

0dr r2 |Rnl(r)|2 . (17.81)

Biorąc funkcję Rnl(r) daną w (17.80), dokonujemy zamiany zmiennej całkowania

2Zna0

r = x, lub r =na02Z

x, (17.82)

i dostajemy

1 =(na02Z

)3

|Anl|2∫ ∞

0dx x2l+2 e−x

[L

(2l+1)n−l−1(x)

]2. (17.83)

Występującą tu całkę można znaleźć w tablicach. Wynosi ona∫ ∞0

dx x2l+2 e−x[L

(2l+1)n−l−1(x)

]2= 2n

(n+ l)!(n− l − 1)!

, (17.84)

Wobec tego z (17.83) od razu dostajemy

1 =(na02Z

)3

|Anl|22n (n+ l)!(n− l − 1)!

. (17.85)

Stąd już bez trudu mamy

|Anl| =( 2Zna0

)3/2√√√√ (n− l − 1)!

2n (n+ l)!. (17.86)

Wybierając fazę stałej normalizacyjnej równą zeru, otrzymujemy ostateczną postać ra-dialnych funkcji falowych atomu wodoropodobnego

Rnl(r) =( 2Zna0

)3/2√√√√ (n− l − 1)!

2n (n+ l)!

(2Zrna0

)lexp

(− Zr

na0

)L

(2l+1)n−l−1

(2Zrna0

), (17.87)

co kończy nasze obliczenia funkcji radialnych.

17.4.3 Jawne wyrażenia dla kilku pierwszych funkcji radialnych

Wyrażenia dla funkcji radialnych atomu wodoropodobnego konstruujemy w oparciu o for-mułę (17.87), w której potrzebujemy jawnej postaci wielomianów Laguerre’a. Te ostatnieznajdujemy w tablicach, lub bez trudu wyznaczamy z definicji (17.79). Mamy wówczas

L(s)0 (x) = 1, (17.88a)

L(s)1 (x) = (s+ 1)− x, (17.88b)

L(s)2 (x) =

12

(s+ 1)(s+ 2)− x(s+ 2) +12x2, (17.88c)

co wystarczy do prostych obliczeń jawnej postaci kilku pierwszych funkcji radialnychatomu wodoropodobnego.

226


Funkcja R10(r)

W tym wypadku mamy n = 1, l = 0 (jedynie możliwe), więc (n − l − 1) = 0, zaś(2l + 1) = 1. W funkcji R10 występuje więc wielomian Laguerre’a L(1)

0 (x) = 1. Z (17.87),po elementarnych przekształceniach, łatwo otrzymujemy

Rn=1, l=0 (r) = 2(Z

a0

)3/2

exp(− Zr

a0

). (17.89)

Funkcja R20(r)

Teraz mamy n = 2 oraz l = 0, a zatem (n − l − 1) = 1, (2l + 1) = 1. Bierzemy więcwielomian L(1)

1 (x) = 2− x. Po prostym uporządkowaniu dostajemy

Rn=2, l=0 (r) = 2(Z

2a0

)3/2 (1− Zr

2a0

)exp

(− Zr

2a0

). (17.90)

Funkcja R21(r)

Analogicznie, mamy n = 2 oraz l = 1, a zatem (n − l − 1) = 0, (2l + 1) = 3. Bierzemywięc wielomian L(3)

0 = 1. Upraszczając współczynniki mamy

Rn=2, l=1 (r) =2√3

(Z

2a0

)3/2 (Zr2a0

)exp

(− Zr

2a0

). (17.91)

Funkcja R30(r)

Tutaj mamy n = 3 oraz l = 0, a zatem (n − l − 1) = 2, (2l + 1) = 1. Z (17.88c) mamywielomian L(1)

2 = x2/2− 3x+ 3. Upraszczając współczynniki dostajemy

Rn=3, l=0 (r) = 2(Z

3a0

)3/2 [1− 2

(Zr

3a0

)+

23

(Zr

3a0

)2 ]exp

(− Zr

3a0

). (17.92)

Funkcja R31(r)

I dalej, mamy n = 3 oraz l = 1, a zatem (n− l − 1) = 1, (2l + 1) = 3. Z (17.88b) mamywielomian L(3)

1 = 4− x. Proste uporządkowanie współczynników daje nam

Rn=3, l=1 (r) =2√

23

(Z

3a0

)3/2 (Zr3a0

) [2−

(Zr

3a0

)]exp

(− Zr

3a0

). (17.93)

Funkcja R32(r)

I wreszcie n = 3 oraz l = 2, a zatem (n − l − 1) = 0, (2l + 1) = 5. Z (17.88a) mamywielomian L(5)

0 = 1. Wobec tego

Rn=3, l=2 (r) =2√

23√

5

(Z

3a0

)3/2 (Zr3a0

)2

exp(− Zr

3a0

). (17.94)

227


17.4.4 Średni rozmiar atomu

Rozmiar atomu wodoropodobnego znajdującego się w stanie opisanym liczbami kwanto-wymi n, l oraz m jest określony poprzez wartość oczekiwaną

〈 r 〉nl = 〈ψnlm | r |ψnlm 〉

=∫ ∞

0dr r3 Rnl(r)Rnl(r)

∫dΩ Y ∗lm(θ, ϕ) Ylm(θ, ϕ)

=∫ ∞

0dr r3 Rnl(r)Rnl(r), (17.95)

bowiem harmoniki sferyczne są ortonormalne. Podstawiając funkcje radialne Rnl(r) we-dług wzoru (17.87), a potem dokonujemy zamiany zmiennej całkowania (17.82) i prze-kształcamy całkę do postaci

〈 r 〉nl =( 2Zna0

)3 (n− l − 1)!2n (n+ l)!

∫ ∞0

(na02Z

)dx

(na02Z

)3

x3 x2l e−x[L

(2l+1)n−l−1(x)

]2

=(n− l − 1)!2n (n+ l)!

(na02Z

) ∫ ∞0

dx x2l+3 e−x[L

(2l+1)n−l−1(x)

]2. (17.96)

Niezbędną całkę ponownie bierzemy z tablic∫ ∞0

dx x2l+3 e−x[L

(2l+1)n−l−1(x)

]2= 2

[3n2 − l(l + 1)

] (n+ l)!(n− l − 1)!

. (17.97)

Podstawiając całkę do (17.96), po elementarnych uproszczeniach otrzymujemy

〈 r 〉nl =a02Z

[3n2 − l(l + 1)

]. (17.98)

Dla stanu podstawowego mamy n = 1 i l = 0, zatem

〈 r 〉10 =3 a02Z

=3

2Z· ~

2

µ· Zβ

=32· ~2

µβ, (17.99)

co niestety nie zgadza się z początkowym oszacowaniem (17.17). Nietrudno oszacować, żea0 ≈ 0.5 · 10−10 m. Atom wodoropodobny jest więc dość mały. Atomy wieloelektrono-we są na ogół większe, lecz ułamki nanometrów są dobrym przybliżeniem rzeczywistychrozmiarów.

17.5 Podsumowanie

Funkcje falowe atomu wodoropodobnego2 (elektronu w polu jądra) są numerowane trzemaliczbami kwantowymi (17.69) i mają postać

ψnlm(~r) = ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnl(r) Ylm(θ, ϕ), (17.100)2Przypominamy, że nie uwzględniamy tu spinu elektronu. Odpowiednie modyfikacje zostaną omówione

w drugiej części wykładu.

228


gdzie funkcje radialne dane są w (17.87), zaś harmoniki sferyczne wprowadziliśmy w roz-dziale 15 jako funkcje własne orbitalnego momentu pędu. Powyższe funkcje są funkcja-mi własnymi operatorów momentu pędu ~L2 i L3 oraz hamiltonianu (17.6), które tworząZZOK. Spełnione są więc równania własne

~L2 ψnlm = ~2 l(l + 1) ψnlm, (17.101a)

L3 ψnlm = ~mψnlm, (17.101b)

H ψnlm = En ψnlm, (17.101c)

przy czym wartości własne energii dane są formułą

En = − EIBn2

= − 1n2

µZ2e4

2 (4πε0~)2= − 1

n2

µc2

2Z2 α2, (17.102)

co wynika z (17.68) i (17.75). Energie te są gn = n2 krotnie zdegenerowane. Degeneracja zewzględu na magnetyczną liczbę kwantową ma charakter zasadniczy. Natomiast degenera-cja względem orbitalnej liczby kwantowej jest przypadkowa, jest to cecha coulombowskiejenergii potencjalnej. Przy innej zależności V (r) od zmiennej radialnej r taka degeneracjamoże nie występować.

Funkcje falowe (17.100) tworzą zupełny zbiór funkcji ortonormalnych. Przedyskutuj-my iloczyn skalarny

〈ψnlm |ψn′l′m′ 〉 =∫ ∞

0dr r2 Rnl(r)Rn′l′(r)

∫dΩ Y ∗lm(θ, ϕ)Yl′m′(θ, ϕ)

= δll′ δmm′∫ ∞

0dr r2 Rnl(r)Rn′l(r), (17.103)

gdzie skorzystaliśmy z ortonormalności harmonik sferycznych (15.49). W pozostałej całceradialnej położyliśmy l = l′, na co zezwala delta Kroneckera. Obliczenie całki jest trudne.Wynika to stąd, że argumenty wielomianów Laguerre’a występujących w funkcjach radial-nych są postaci 2Zr/na0 oraz 2Zr/n′a0. Fakt, że argumenty te są różne sprawia, że jawnewyliczenie omawianej całki jest bardzo kłopotliwe. Dlatego też przyjmiemy bez dowodu,że zachodzi relacja∫ ∞

0dr r2 Rnl(r)Rkl(r) = δnk, (17.104)

co zapewnia ortonormalność ze względu na główną liczbę kwantową.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

229

S.Kryszewski A. Wielomiany Hermite’a i ich własności 230

Dodatek A

Wielomiany Hermite’a i ich własności

A.1 Definicje

Jako podstawową definicję wielomianów Hermite’a przyjmiemy wzór Rodriguesa

Hn(x) = (−1)n ex2 dn

dxne−x

2, (A.1)

który pozwala konstruktywnie obliczać kolejne wielomiany. I tak mamy

H0(x) = 1,

H1(x) = 2x,

H2(x) = 4x2 − 2,

H3(x) = 8x3 − 12x,

H4(x) = 16x4 − 48x2 + 12. (A.2)

Widać więc, że wielomiany Hermite’a stopnia parzystego n = 2k zawierają tylko parzystepotęgi argumentu – są funkcjami parzystymi. Gdy zaś n = 2k + 1, to Hn(ξ) są nieparzy-ste. Można inaczej definiować wielomiany Hermite’a, a potem inaczej wyprowadzać ichwłasności. Wybór definicji jest jednak sprawą "smaku matematycznego".

Zanim przejdziemy do dalszej dyskusji, zauważmy, że zachodzi następująca relacja

dn

dxne−(s−x)2 = (−1)n

dn

dsne−(s−x)2 , (A.3)

która wynika z zasad różniczkowania funkcji złożonej. Zresztą łatwo jest przeprowadzićdowód tej relacji metodą indukcji. Zastosujmy więc (A.3) do wzoru Rodriguesa

Hn(x) = (−1)n ex2 dn

dxne−(s−x)2

∣∣∣∣∣s=0

= ex2 dn

dsne−(s−x)2

∣∣∣∣∣s=0

=dn

dsne−s

2+2sx

∣∣∣∣∣s=0

. (A.4)

230


Przypomnijmy teraz, że funkcję zmiennej s można zapisać w postaci rozwinięcia w szeregTaylora

F (s) =∞∑n=0

sn

n!

(dnF (s)dsn

)s=0

. (A.5)

Rozwinięcie to możemy zastosować do funkcji F (s) = e−s2+2sx pisząc

e−s2+2sx =

∞∑n=0

sn

n!

(dn

dsne−s

2+2sx

)s=0

, (A.6)

skąd, po podstawieniu wyrażenia (A.4), otrzymamy

e−s2+2sx =

∞∑n=0

sn

n!Hn(x). (A.7)

Funkcję stojącą po prawej nazwiemy funkcją tworzącą wielomianów Hermite’a. Wzór Ro-driguesa definiujący Hn(x) jest równoważny definicji (A.7) przez funkcję tworzącą.

A.2 Relacje rekurencyjne i równanieróżniczkowe Hermite’a

Szereg związków pomiędzy wielomianami Hermite’a ujmiemy w postaci krótkich twier-dzeń.

Lemat A.1 Wielomiany Hermite’a spełniają relację rekurencyjną

Hn+1(x) = 2xHn(x)− d

dxHn(x). (A.8)

Dowód. Różniczkując obustronnie wzór Rodriguesa (A.1) mamy

d

dxHn(x) = (−1)n

d

dx

(ex2 dn

dxne−x

2

)

= (−1)n[2xex

2 dn

dxne−x

2+ ex

2 dn+1

dxn+!e−x

2

]= 2xHn(x) − Hn+1(x). (A.9)

Po elementarnym przekształceniu mamy więc tezę.

Lemat A.2 Pochodna z wielomianu Hermite’a wyraża się wzorem

d

dxHn(x) = 2nHn−1(x). (A.10)

231


Dowód. Definicję funkcji tworzącej (A.7) różniczkujemy obustronnie względem x

d

dxe−s

2+2sx = 2s e−s2+2sx =

∞∑n=1

sn

n!d

dxHn(x), (A.11)

gdzie wyraz n = 0 po prawej znika, ponieważ H0(x) = 1. Ponownie stosując (A.7) mamy

∞∑k=0

2 sk+1

k!Hk(x) =

∞∑n=1

sn

n!d

dxHn(x). (A.12)

Po lewej zamieniamy indeks sumowania k → n = k + 1, przy czym n = 1, 2, . . . i otrzy-mujemy

∞∑n=1

2 sn

(n− 1)!Hn−1(x) =

∞∑n=1

sn

n!d

dxHn(x). (A.13)

Współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej s muszą być równe, wobec tego

2(n− 1)!

Hn−1(x) =1n!

d

dxHn(x). (A.14)

Po uproszczeniu dostajemy tezę.

Lemat A.3 Wielomiany Hermite’a spełniają relację rekurencyjną

Hn+1(x) = 2xHn(x) − 2nHn−1(x). (A.15)

Dowód. Teza wynika z podstawienia wzoru (A.10) do relacji rekurencyjnej (A.8).

Twierdzenie A.1 Równanie różniczkowe spełniane przez wielomiany Hermite’a ma po-stać (jest to tzw. równanie Hermite’a)

d 2

dx2Hn(x) − 2x

d

dxHn(x) + 2nHn(x) = 0. (A.16)

Dowód. Weźmy relację rekurencyjną (A.8) i zróżniczkujmy

d

dxHn+1(x) = 2Hn(x) + 2x

d

dxHn(x) − d 2

dx2Hn(x). (A.17)

Stąd wynika

d 2

dx2Hn(x) − 2x

d

dxHn(x) − 2Hn(x) = − d

dxHn+1(x). (A.18)

Do wyrażenia po prawej stronie stosujemy relację (A.10) otrzymując

d 2

dx2Hn(x) − 2x

d

dxHn(x) − 2Hn(x) = − 2(n+ 1)Hn(x). (A.19)

Po uproszczeniu mamy tezę.

232


A.3 Całki z wielomianami Hermite’a

Wielomiany Hermite’a wchodzą do wielu całek spotykanych przy rozwiązywaniu różno-rodnych zagadnień fizycznych. W tym rozdziale skupimy się na przedstawieniu metodyobliczania następujących całek

I(p)kn =

∫ ∞−∞

dy Hk(y)Hn(y) yp e−y2. (A.20)

Posłużymy się funkcją tworzącą wielomianów Hermite’a i zbadamy całkę pomocniczą

J(s, t, a) =∫ ∞−∞

dy e−s2+2sy e−t

2+2ty e2ay−y2 . (A.21)

Przedstawiając funkcje wykładnicze za pomocą ich rozwinięć dostajemy

J(s, t, a) =∫ ∞−∞

dy∞∑k=0

sk

k!Hk(y)

∞∑n=0

tn

n!Hn(y)

∞∑p=0

(2a)p

p!yp e−y

2

=∞∑k=0

∞∑n=0

∞∑p=0

sk tn (2a)p

k! n! p!

∫ ∞−∞

dy Hk(y)Hn(y) yp e−y2

=∞∑k=0

∞∑n=0

∞∑p=0

sk tn (2a)p

k! n! p!I

(p)kn . (A.22)

Trzeba więc obliczyć całkę J po lewej, a następnie wynik rozwinąć w szereg. Porównującwspółczynniki rozwinięć przy odpowiednich potęgach parametrów s, t oraz a możemypóźniej odczytać wartości całek I

(p)kn . Przede wszystkim więc trzeba obliczyć całkę J .

Wychodząc z określenia (A.21)

J(s, t, a) = e−s2−t2

∫ ∞−∞

dy e−y2+2y(s+t+a)

= e−s2−t2+(s+t+a)2

∫ ∞−∞

dy e−y2+2y(s+t+a)−(s+t+a)2

= e−s2−t2+(s+t+a)2

∫ ∞−∞

dy exp− [y − (s+ t+ a)]2 (A.23)

Biorąc nową zmienną całkowania z = y − (s + t + a), sprowadzamy pozostałą całkę dopostaci "tablicowej" i otrzymujemy

J(s, t, a) = e−s2−t2+(s+t+a)2

∫ ∞−∞

dz e−z2

=√π ea

2+2st+2sa+2ta (A.24)

Uzyskane dla całki J wyrażenie rozwijamy w szereg

J(s, t, a) =√π

∞∑m=0

(a2 + 2st+ 2sa+ 2ta)m

m!

=√π

∞∑m=0

[2st+ (a2 + 2sa+ 2ta)]m

m!

=√π

∞∑m=0

1m!

m∑l=0

(m

l

) (2st)l (

a2 + 2sa+ 2ta)m−l

, (A.25)

233


gdzie w ostatnim kroku skorzystaliśmy z rozwinięcia dwumianowego.Zestawmy teraz rozwinięcia (A.22) i (A.25) całki pomocniczej J

∞∑k=0

∞∑n=0

∞∑p=0

sk tn (2a)p

k! n! p!I

(p)kn

=∞∑m=0

√π

m!

m∑l=0

(m

l

) (2st)l (

a2 + 2sa+ 2ta)m−l

. (A.26)

Można by dalej ciągnąć ogólne rozważania i starać się porównywać współczynniki rozwi-nięć po obu stronach. Takie ogólne rachunki są jednak dość skomplikowane, poprzestanie-my więc na szczegółowym omówieniu dwóch przypadków szczególnych.

Przypadek p = 0

Przypadek odpowiada całce

I(0)kn =

∫ ∞−∞

dy Hk(y)Hn(y) e−y2, (A.27)

czyli tzw. całce ortogonalizacyjnej wielomianów Hermite’a. W tym przypadku (p = 0),po lewej stronie wzoru (A.26) interesują nas jedynie te człony rozwinięcia, w którychnie występuje parametr a. Wobec tego parametr ten nie może również występować wodpowiednich członach po stronie prawej. Możliwe to jest jedynie w tych wyrazach, wktórych m = l. Symbol dwumianowy daje wówczas 1 i możemy napisać

∞∑k=0

∞∑n=0

sk tn

k! n!I

(0)kn =

∞∑m=0

√π

m!

(2st)m

(A.28)

Po prawej parametry s i t występują wyłącznie w tej samej potędze, a zatem po lewejzostają jedynie te wyrazy, w których k = n. Oznacza to, że

I(0)kn = I(0)

nn δkn, (A.29)

biorąc to pod uwagę, z (A.28) dalej otrzymujemy

∞∑n=0

sn tn

(n!)2I(0)nn =

∞∑m=0

√π

m!2m sm tm. (A.30)

Stąd już bez trudu odczytujemy wartość poszukiwanej całki

I(0)nn = 2n n!

√π. (A.31)

Łącząc formuły (A.27), (A.29) oraz (A.31) finalnie mamy

I(0)kn =

∫ ∞−∞

dy Hk(y)Hn(y) e−y2

= 2n n!√π δkn, (A.32)

co kończy obliczenia całki ortogonalizacyjnej wielomianów Hermite’a.

234


Przypadek p = 1

Badamy więc teraz całkę

I(1)kn =

∫ ∞−∞

dy Hk(y)Hn(y) y e−y2. (A.33)

Tym razem w relacji (A.26) powinniśmy wyodrębnić człony, w których p = 1, a więcz parametrem a w pierwszej potędze. A zatem po prawej także interesują nas składnikw których występuje a = a1. Człony takie odpowiadają więc przypadkowi, w którymm − l = 1. Zauważmy przy tym, że człon m = 0 nie może dać wkładu (bowiem wtedytakże l = 0), zatem możemy go pominąć, co więcej przyczynek od a2 także jest namniepotrzebnego więc i jego możemy także pominąć. W ten sposób, z (A.26) dostajemy

∞∑k=0

∞∑n=0

sk tn

k! n!2a I(1)

kn =∞∑m=1

√π

m!

(m

m− 1

)2a (2st)m−1(s+ t). (A.34)

Czynnik 2a występujący po obu stronach się skraca, symbol dwumianowy jest równy m.Wobec tego

∞∑k=0

∞∑n=0

sk tn

k! n!I

(1)kn =

∞∑m=1

√π

(m− 1)!(2st)m−1(s+ t)

=√π∞∑m=0

2msm tm(s+ t)m!

, (A.35)

gdzie "przesunęliśmy" indeks sumacyjny. Rozpisując prawą stronę, gdzie zamieniamy in-deks sumowania, otrzymujemy

∞∑k=0

∞∑n=0

sk tn

k!n!I

(1)kn =

∞∑k=0

2k√π

k!

(sk+1 tk + sk tk+1

)≡ P . (A.36)

Aby teraz odczytać współczynniki rozwinięcia, zajmiemy się odpowiednim przekształce-niem prawej strony.

P =√π∞∑k=0

2k

k!tk∞∑n=0

sn δn,k+1 +√π∞∑k=0

2k

k!sk∞∑n=0

tn δn,k+1 (A.37)

W pierwszej sumie zamieniamy nazwy indeksów sumowania n↔ k, otrzymując

P =√π∞∑k=0

∞∑n=0

2n

n!tnsk δk,n+1 +

√π∞∑k=0

∞∑n=0

2k

k!sktn δn,k+1

=√π∞∑k=0

∞∑n=0

sktn

k!n!

(2nk! δk,n+1 + 2kn! δn,k+1

)(A.38)

Ponieważ δk,n+1 = δn,k−1, więc przyrównując lewą stronę (A.36) i prawą (A.38) mamyposzukiwane współczynniki rozwinięcia. A zatem

I(1)kn =

∫ ∞−∞

dy Hk(y)Hn(y) y e−y2

=√π(2nk! δn,k−1 + 2kn! δn,k+1

)=√π[

2n(n+ 1)! δn,k−1 + 2n−1 n! δn,k+1

](A.39)

235


gdzie w drugiej linii skorzystaliśmy z własności delt Kroneckera. Całka I(1)kn jest więc

obliczona "do końca".

A.4 Inne sposoby obliczania całek

Całka I(1)kn

Ponownie zajmiemy się całką

I(1)kn =

∫ ∞−∞

dy Hk(y)Hn(y) y e−y2, (A.40)

ale teraz policzymy ją zupełnie inną metodą. Występujący w obliczanej całce czynniky Hn(y) wyrazimy za pomocą relacji rekurencyjnej (A.15), która pozwala napisać

y Hn(y) =12Hn+1(y) + nHn−1(y), (A.41)

co po wstawieniu do (A.40) daje nam

I(1)kn =

∫ ∞−∞

dy Hk(y)(

12 Hn+1(y) + nHn−1(y)

)e−y

2. (A.42)

Całka ta jest złożona z dwóch całek, przy czym każda z nich jest typu całki ortogonaliza-cyjnej (A.32). Wobec tego bez trudu otrzymujemy

I(1)kn =

[12

2k k!√π δk,n+1 + n 2k k!

√π δk,n−1

]. (A.43)

Korzystając z własności delt Kroneckera otrzymujemy

I(1)kn =

√π[

2n (n+ 1)! δn,k−1 + 2n−1 n! δn,k+1

]. (A.44)

co kończy obliczenia całki I(1)kn , bowiem mamy rezultat identyczny z wynikiem (A.39).

Powyżej przedstawione obliczenia za pomocą funkcji tworzącej są nieco bardziej złożoneniż te, w których korzystaliśmy z relacji rekurencyjnej dla wielomianów Hermite’a. Mi-mo to jednak, w wielu innych zastosowaniach, metoda funkcji tworzącej bywa niezwyklepożyteczna.

A.5 Inny sposób znajdowania wielomianów Hermite’a

Jako definicję wielomianów Hermite’a przyjęliśmy wzór Rodriguesa (A.1. Wykażemy terazpożyteczne twierdzenie.

Twierdzenie A.2 Wielomiany Hermite’a Hn(y) można obliczać za pomocą formuły

Hn(y) = exp(1

2y2)(

y − d

dy

)nexp

(−1

2y2). (A.45)

236


Dowód. Idea dowodu polega na wykazaniu, że tezę – przepis (A.45) można sprowadzićdo wzoru Rodriguesa. Dowodzimy posługując się zasadą indukcji matematycznej. Dlan = 0 formuła (A.45) daje po prostu H0(x) = 1, co jest zgodne z (A.2). Pierwszy punktdowodu przez indukcję jest gotowy. Zakładamy słuszność wzoru (A.45) dla pewnego n > 0i badamy je dla n+ 1. Wydzielając z (n+ 1)-szej potęgi jeden czynnik piszemy

Hn+1(y) = e12y2

(y − d

dy

)e−12y2e12y2

(y − d

dy

)ne−12y2

= e12y2

(y − d

dy

)e−12y2Hn(y). (A.46)

gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Przekształcając prawą stronę mamy

Hn+1(y) = e12y2

[y e−

12y2Hn(y) − d

dy

(e−12y2Hn(y)

)]

= y Hn(y) − e12y2

(−ye−

12y2Hn(y) + e−

12y2 dHn(y)

dy

)

= 2y Hn(y) − dHn(y)dy

. (A.47)

Kolejny krok wymaga pewnej "chytrości". Otrzymujemy wtedy

Hn+1(y) = − ey2[−2y e−y

2Hn(y) + e−y

2 d

dyHn(y)

]

= − ey2[(

d

dye−y

2

)Hn(y) + e−y

2 d

dyHn(y)

]

= − ey2 d

dy

(e−y

2Hn(y)

). (A.48)

Wielomian Hn(y) w ostatniej linii wyrazimy wzorem Rodriguesa (A.1), dostając

Hn+1(y) = − ey2 d

dy

[e−y

2(−1)n ey

2 dn

dyne−y

2

]

= (−1)n+1 ey2 dn+1

dyn+1e−y

2(A.49)

Zgodnie z planem sprowadziliśmy więc tezę do wzoru Rodriguesa. Na mocy zasady indukcjilemat jest udowodniony.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

237

Bibliografia

[1] V. Acosta, C. L. Cowan, B. J. Graham, Podstawy fizyki współczesnej,PWN, Warszawa 1981.

[2] G. Białkowski, Stare i nowe drogi fizyki. U źródeł fizyki współczesnej,Wiedza Powszechna, Warszawa 1980.

[3] G. Białkowski, Stare i nowe drogi fizyki. Fizyka XX wieku,Wiedza Powszechna, Warszawa 1982.

[4] G. Białkowski, Stare i nowe drogi fizyki. Fizyka dnia dzisiejszego,Wiedza Powszechna, Warszawa 1985.

[5] F. W. Byron, R. W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej,PWN, Warszawa 1973.

[6] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Quantum Mechanics,Wiley-Interscience, New York 1991.

[7] R. M. Eisberg, Podstawy fizyki współczesnej,PWN Warszawa 1981.

[8] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Wykłady z mechaniki statystycznej,PWN, Warszawa 1980.

[9] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feymana wykłady z fizyki,PWN, (istnieje kilka wydań; autor dysponuje tym z 1974 roku).

[10] H. Haken, Światło. Fale, fotony, atomy,PWN, Warszawa 1993.

[11] G.A. Korn, T.M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów,PWN Warszawa 1983.

[12] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej,PWN, Warszawa 1972 (istnieją nowsze wydania).

[13] R. Penrose, Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rządzącychWszechświatem, Prószyński i S-ka, Warszawa 2007.

[14] Poradnik matematyczny, red. I. Dziubiński, T. Światkowski, PWN Warszawa 1980.[15] L. Schwartz, Metody matematyczne w fizyce,

PWN, Warszawa 1984.[16] A. K. Wróblewski, Historia fizyki,

PWN Warszawa 2007.

238

Skorowidz

amplituda prawdopodobieństwa, 57atom wodoropodobny, 210

degeneracja, 223funkcje falowe, 213funkcje radialnenormowanie, 226

główna liczba kwantowa, 222hamiltonian, 211kwantowanie energii, 221magnetyczna liczba kwantowa, 223orbitalna liczba kwantowa, 223równanie radialne, 213rekurencja, 219rozwiązanie, 215szereg potęgowy, 217

rzędy wielkości, 210stała struktury subtelnej, 224stabilność atomuklasyczna, 211kwantowa, 212

termy atomowe, 224widmo hamiltonianu, 214

baza ortonormalna, 37iloczyn skalarny, 38norma, 38

bra, 105

cząstka swobodna, 136

degeneracja wartości własnych, 44doświadczenie polaryzacyjne, 10

prawdopodob. absorpcji, 13prawdopodob. przejścia, 13

dualizm korpuskularno-falowy, 2–12, 14dyspersja, 58

własności, 59, 60

element macierzowy operatora, 41

fale elektromagnetyczne, 2foton, 2funkcja falowa, 16, 36

iloczyn skalarny, 37

interferencja, 24interpretacja probabilistyczna, 22norma, 37normowanie, 23przestrzeń Hilberta, 36warunki ciągłości, 24, 35zachowanie normy, 27

funkcja falowa środka masy, 201funkcje operatorowe, 42

gęstość prawdopodobieństwa, 22, 25

hamiltonian, 22, 63harmoniki sferyczne, 191

jawna postać, 193rekurencja, 193

hipoteza de Broglie’a, 15

iloczyn skalarny, 37interferencja światła, 2, 4

destruktywna, 4dyskusja falowa, 3dyskusja korpuskularna, 5konstruktywna, 4

ket, 105komutator, 39

moment pędu, 170iloczyny itp., 175kanoniczne relacje komutacyjne, 173klasyczny, 170kwantowy, 170relacje komutacyjne, 171, 174reprezentacja standardowa, 180wartości własne, 177, 178wektory własne, 176

nawiasy Poissonai komutatory, 64i kwantowanie, 64klasyczne, 64

nierówność Schwartza, 37notacja Diraca, 104

239

S.Kryszewski Skorowidz 240

obserwable, 112operator, 107operator rzutowy, 108reguły mnemotechniczne, 111sprzężenie hermitowskie, 106, 109

obserwabla, 46operator hermitowski, 43

ortogonalność wektorów własnych, 44podstawowe własności, 43wartości własne, 44

operator liniowy, 39notacja Diraca, 107

operator pędu, 60operator położenia, 60operator rzutowy, 108operator sprzężony, 41operatory anihilacji i kreacji, 140

operator liczby cząstek, 140podsumowanie, 145relacja komutacyjna, 140stan próżni, 143stany n-cząstkowe, 143, 145własności, 141, 143, 145

orbitalny moment pędu, 182elementy macierzowe, 183harmoniki sferyczne, 191inne własności, 182relacje komutacyjne, 182reprezentacja położeniowa, 184wartości i funkcje własne, 189wartości i wektory własne, 183współrzędne sferyczne, 186, 187

oscylator harmoniczny, 88elementy macierzowe, 98–100, 152energie własne, 148funkcje i energie własne, 96funkcje własne, 96klasyczny, 88operatory anihilacji i kreacji, 140, 147równanie Schrödingera, 90zachowanie asymptotyczne, 92zasada nieoznaczoności, 100zmienna bezwymiarowa, 92

pomiarefekty interferencyjne, 52, 53możliwe wyniki, 47prawdopodobieństwo wyniku, 49przypadek z degeneracją, 54, 55redukcja funkcji falowej, 50

pomiar i prawdopodobieństwo, 47postulaty

ewolucja w czasie, 169obserwable, 163prawdopodobieństwa, 165, 166redukcja wektora stanu, 167wektor stanu, 162wyniki pomiaru, 164

potencjał centralnykwantowy, 202degeneracja, 209funkcje radialne w zerze, 206moment pędu, 203potencjał efektywny, 206równanie radialne, 204radialne funkcje falowe, 205ZZOK, 203

prąd prawdopodobieństwa, 25ciągłość, 26

przestrzeń Hilberta, 36baza ortonormalna, 37

równania Ehrenfesta, 76granica klasyczna, 77

równanie Schrödingeracząstka swobodna, 30dla jednej cząstki, 17jako postulat, 22podstawowe własności, 18stacjonarne, 28–35uzasadnienie, 19zachowanie normy, 27

równanie Schrödingera, 66oscylator harmoniczny, 90radialne, 204stacjonarne, 68zachowanie normowania, 67

radialne funkcje falowe, 205redukcja funkcji falowej, 50relacja zupełności, 38reprezentacja pędowa

funkcja falowa, 131operator pędu, 131, 132operator położenia, 132pary fourierowskie, 135związek z położeniową, 133

reprezentacja położeniowa, 125definicja, 125funkcje własne pędu, 135kłopoty interpretacyjne, 137operator pędu, 130

240

S.Kryszewski Skorowidz 241

operator położenia, 128operatory, 128ortogonalność i zupełność, 126pary fourierowskie, 135zasada odpowiedniości, 130związek z pędową, 133

reprezentacje, 114elementy macierzowe, 121iloczyn operatorów, 119iloczyn skalarny, 117intuicyjne wprowadzenie, 114normowanie, 118operatory, 123ortonormalność i zupełność, 115pary fourierowskie, 135reprezentacje ketów i bra, 117

rozkład spektralnypodstawowa idea, 13

spójność światła, 5stała Plancka, 2stała struktury subtelnej, 224stacjonarne równanie Schrödingera, 68

ewolucja czasowa, 68stan stacjonarny

wartości oczekiwane, 72stany rozproszeniowe, 33stany związane, 33symetryzacja operatorów, 62

układ środka masy, 198funkcja falowa środka masy, 201hamiltonian, 200operator momentu pędu, 199operatory pędu, 198, 200operatory położenia, 198

wartość oczekiwanaewolucja czasowa, 74

wartość oczekiwana obserwabli, 56–58wektory stanu, 104wielomiany Hermite’a

całki, 234, 236funkcja tworząca, 231relacje rekurencyjne, 231wzór Rodriguesa, 230, 232

zagadnienie dwóch ciał, 198zagadnienie własne dla operatora, 41zasada nieoznaczoności, 79

średnie i dyspersje, 79

dyskusja, 83energia–czas, 85formalna postać, 81położenie i pęd, 83warunki minimalizacji, 82

zasada odpowiedniości, 62zasada superpozycji, 17ZZOK – zupełny zbiór obserwabli komutują-

cych, 154–157, 159

241

Mechanika kwantowa dla początkujących

Documents

Transcript of Mechanika kwantowa dla początkujących