Andrzej Łukasik

Wykłady z filozofii przyrody

Część pierwsza

Filozoficzne zagadnienia mechaniki kwantowej

SPIS TREŚCI

Wstęp............................................................................................................................................3Podstawy doświadczalne mechaniki kwantowej.........................................................................8

Kwantowy charakter zjawisk..................................................................................................8Dualizm korpuskularno-falowy.............................................................................................13

Elementy matematyki mechaniki kwantowej............................................................................26

Wektory.................................................................................................................................27Liczby zespolone...................................................................................................................31Algebra macierzy..................................................................................................................35Przestrzeń Hilberta................................................................................................................55Operatory liniowe..................................................................................................................61Elementy rachunku różniczkowego i całkowego..................................................................74

Postulaty mechaniki kwantowej.................................................................................................82

Reprezentacja stanu układu...................................................................................................82Reprezentacja wielkości fizycznych.....................................................................................88Ewolucja stanu układu kwantowego w czasie......................................................................93Postulat pomiaru....................................................................................................................94Podsumowanie......................................................................................................................96

Logika kwantowa.......................................................................................................................99Macierz gęstości.......................................................................................................................102Mechanika kwantowa a spór determinizm-indetermiizm........................................................105Klasyczne a kwantowe pojęcie prawdopodobieństwa.............................................................109Zasada nieoznaczoności...........................................................................................................127Problem pomiaru w mechanice kwantowej.............................................................................141

Eksperyment z opóźnionym wyborem................................................................................142Kot Schrödingera.................................................................................................................147Przyjaciel Wignera..............................................................................................................149Pomiar zerowy.....................................................................................................................149

Kwantowe splątanie.................................................................................................................154

Paradoks EPR......................................................................................................................155Nierówność Bella................................................................................................................162Realizm i lokalność w mechanice kwantowej.....................................................................164

1

Interpretacje mechaniki kwantowej.........................................................................................168

Interpretacja kopenhaska.....................................................................................................170Ukryty porządek..................................................................................................................175Interpretacja wielu światów................................................................................................179Sumy po historiach..............................................................................................................183Wszechświat uczestniczący.................................................................................................199Interpretacja transakcyjna...................................................................................................200QBism..................................................................................................................................202Interpretacja statystyczna....................................................................................................203OR.......................................................................................................................................205Dekoherencja.......................................................................................................................209

Mechanika kwantowa a redukcjonizm i antyredukcjonizm.....................................................210Mechanika kwantowa a realizm i antyrealizm.........................................................................210Mechanika kwantowa a problem obiektywności poznania......................................................211Mechanika kwantowa a umysł.................................................................................................211Kwantowomechaniczne pojęcie elementarnych składników materii......................................212Zakończenie.............................................................................................................................232Bibliografia..............................................................................................................................233Indeks.......................................................................................................................................242

2

Wstęp

W rzeczywistości cała fizyka jest fizyką kwantową — prawa fizyki kwantowej są najogólniejszymi znanymi nam prawami przyrody. […] Fizyka klasyczna dotyczy tych aspektów przyrody, które nie wiążą się bezpośrednio z zagadnieniem podstawowych składników materii.

Eyvind H. Wichmann1

Sposób, w jaki musimy opisać Naturę, jest dla nas na ogół niepojęty.

Richard P. Feynman2

Praca niniejsza przeznaczona jest głównie dla studentów kierunków humanistycznych, przede wszystkim filozofii i kognitywistyki, zainteresowanych podstawami i filozoficznymi zagadnieniami mechaniki kwantowej. Jej celem jest również dostarczenie wiedzy niezbędnej do samodzielnego studiowania fachowej literatury dotyczącej filozoficznych zagadnień mechaniki kwantowej, a także prac, w których elementy mechaniki kwantowej wykorzystywane są poza fizyką – na przykład w kwantowej teorii umysłu lub w modelowaniu procesów poznawczych i czynności decyzyjnych.

W trakcie wykładów monograficznych o filozoficznych zagadnieniach mechaniki kwantowej, jakie prowadziłem dla studentów filozofii i kognitywistyki Instytutu Filozofii Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie okazało się, że zagadnienia te cieszą się dużym zainteresowaniem adeptów nauk humanistycznych. Pewien problem jednak związany jest z tym, że w szkolnej edukacji poprzestaje się zwykle

1 E. H. Wichmann, Fizyka kwantowa, tłum. W. Gorzkowski, A. Szymacha, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, s. 17.

2 R. P. Feynman, QED. Osobliwa teoria światła i materii, tłum. H. Białkowska, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1992, s. 81.

3

na fizyce klasycznej (i to w bardzo ograniczonym zakresie), a informacje na temat mechaniki kwantowej mają charakter szczątkowy. Ponadto ze względu na brak wiedzy na temat podstaw formalizmu matematycznego studenci kierunków humanistycznych zainteresowani filozoficznymi zagadnieniami mechaniki kwantowej skazani są niemal wyłącznie na literaturę o charakterze popularnonaukowym. Oczywiście jest wiele godnych polecenia książek i artykułów na ten temat, jednak ograniczenie się do literatury popularnonaukowej, w której na ogół unika się symboli matematycznych, często prowadzi do powierzchownego rozumienia zagadnień, a nawet do nieporozumień. Dobrym przykładem może być utożsamienie nieoznaczoności, o jakiej mowa w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga z potocznie rozumianą niedokładnością lub niepewnością, podczas gdy w rzeczywistości chodzi o średnie odchylenie standardowe, wielkość precyzyjnie zdefiniowaną w statystyce matematycznej. Podobnie, fakt, że cząstki elementarne, takie jak elektrony czy fotony przejawiają również własności falowe jest dość powszechnie znany, ale większość osób skłonna jest wyobrażać sobie fale mechaniki kwantowej na podobieństwo fal na wodzie, a więc jako drgania jakiegoś ośrodka materialnego, podczas gry naprawdę chodzi o całkowicie abstrakcyjne obiekty, a mianowicie o fale prawdopodobieństwa, zdefiniowane przy użyciu liczb zespolonych i zespolonej przestrzeni Hilberta. Przyjąłem założenie, że Czytelnik nie posiada żadnej ugruntowanej wiedzy na temat mechaniki kwantowej, a znajomość matematyki najwyżej na poziomie szkoły średniej, dlatego zamieściłem elementarne wiadomości na temat formalizmu matematycznego wykorzystywanego w mechanice kwantowej.

Rozdział Podstawy doświadczalne mechaniki kwantowej zawiera podstawowe informacje na temat kwantowego charakteru zjawisk i dualizmu korpuskularno-falowego, które w radykalny sposób odróżniają fizykę kwantową od fizyki klasycznej. Rozdział Elementy matematyki mechaniki kwantowej stanowi elementarne wprowadzenie do formalizmu mechaniki kwantowej. Ponieważ praca niniejsza w żadnym wypadku nie jest podręcznikiem mechaniki kwantowej, to jedynym celem tego rozdziału jest omówienie znaczenia używanych symboli i pokazanie na

4

bardzo prostych przykładach, jak działa ten formalizm. Wektory, liczby zespolone, macierze, przestrzeń Hilberta, operatory liniowe oraz rachunek różniczkowy i całkowy to elementy języka mechaniki kwantowej. Zapewne dla adepta studiów humanistycznych będzie to najtrudniejsza część książki, ale mam nadzieję, że włożony w jej zrozumienie wysiłek sowicie się opłaci. Po przedstawieniu podstaw formalizmu omówione są Postulaty mechaniki kwantowej. Pierwsza część pracy ma więc bardziej matematyczny i fizyczny niż filozoficzny charakter, powinna jednak pomocna w zrozumieniu filozoficznych zagadnień mechaniki kwantowej. W rozdziale Indeterminizm mechaniki kwantowej przeprowadzono dyskusję zasady nieoznaczoności Heisenberga i kwantowomechanicznego pojęcia prawdopodobieństwa. W rozdziale Problem pomiaru w mechanice kwantowej omówione są takie paradoksy, jak kot Schrödingera, eksperyment z opóźnionym wyborem, przyjaciel Wignera i pomiar zerowy. Rozdział Kwantowe splątanie dotyczy paradoksu Einsteina, Podolsky’ego i Rosena, nierówności Bella oraz zagadnienia realizmu i lokalności w mechanice kwantowej. W rozdziale Interpretacje mechaniki kwantowej przedstawiona jest kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej Bohra i Heisenberga oraz wybrane kontrpropozycje – m.in. koncepcja ukrytego porządku Bohma, interpretacja wielu światów Everetta, interpretacja sumy po historiach Feynmana, interpretacja transakcyjna Cramera, interpretacja statystyczna, model dekoherencji Żurka oraz interpretacja obiektywnej redukcji Penrose’a. Rozdział Kwantowomechaniczne pojęcie elementarnych składników materii ukazuje różnice między pojęciem cząstki klasycznej a cząstki kwantowej. W Bibliografii poza specjalistycznymi publikacjami dotyczącymi mechaniki kwantowej i jej zagadnień filozoficznych starałem się umieścić również prace o charakterze popularnonaukowym, z których mogliby korzystać studenci. Wiele ciekawych artykułów dotyczących różnych zagadnień mechaniki kwantowej można znaleźć w czasopismach „Świat Nauki” i „Wiedza i Życie”. Polecam również stronę internetową arXiv.org, która zawiera nieprzebrane wprost bogactwo prac dotyczących omawianych tu zagadnień. Wybrane kluczowe terminy podaję również w języku angielskim, co ma na celu ułatwienie Czytelnikowi studiowanie

5

tekstów anglojęzycznych. Mechanika kwantowa jest powszechnie uznawana za najdoskonalszą

teorię fizyczną, jaką kiedykolwiek skonstruowano, a dokładność jej przewidywań jest wprost imponująca. Na przykład w elektrodynamice kwantowej (QED – quantum electrodynamics), opisującej oddziaływanie światła i materii (czyli elektronów i fotonów), zgodność przewidywań teoretycznych z wynikami pomiarów pewnej wielkości fizycznej, zwanej momentem magnetycznym elektronu jest rzędu 10-11, co odpowiada zmierzeniu odległości z Los Angeles do Nowego Jorku (ok. 4 400 km) z dokładnością grubości włosa ludzkiego (ok. 0,05 mm).3 Zastosowania praktyczne mechaniki kwantowej spotykamy zaś dosłownie na każdym kroku – od komputera, przy użyciu którego piszę te słowa, przez telefony komórkowe i fotokomórki po nanotechnologię i – zapewne w niedalekiej przyszłości – komputery kwantowe. Co więcej, nawet wydawałoby się tak proste zjawiska jak to, że siedząc na krześle nie przenikam przez jego powierzchnię i nie spadam w wyniku przyciągania grawitacyjnego Ziemi, chociaż nasze ciała (jak również krzesła) „zbudowane są” w 99,99 % z próżni, uzyskuje wyjaśnienie dopiero na gruncie mechaniki kwantowej (zakaz Pauliego).

Z fantastyczną dokładnością przewidywań i olbrzymią skalą zastosowań praktycznych osobliwie kontrastuje fakt, że nie ma jak dotąd jednej, powszechnie przyjmowanej interpretacji mechaniki kwantowej, a obraz świata, do jakiego teoria ta prowadzi, radykalnie różni się od obrazu świata ukształtowanego na podstawie naszego codziennego doświadczenia, jest pełen paradoksów i tajemnic, przeczy naszym intuicjom, a nawet – jak się wydaje – naszej „zwykłej” klasycznej logice. Rozważnie paradoksalnych aspektów mechaniki kwantowej, takich jak żywy/martwy kot Schrödingera, Einsteina „upiorne działanie na odległość” czy pomiar zerowy, jest doskonałym ćwiczeniem umysłu, pozwala zobaczyć rzeczy w nowym świetle i wykroczyć poza ciasne ramy zdroworozsądkowego pojmowania świata. Studiowanie mechaniki kwantowej i jej filozoficznych konsekwencji pozwala również pozbyć się pewnych przesądów na temat tego, jaki – naszym zdaniem – „powinien

3 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 13.

6

być” świat i poszerza horyzonty umysłowe, chociaż, być może, na koniec Czytelnik będzie zmuszony zgodzić się z opinią Feynmana, że „nikt nie rozumie mechaniki kwantowej”.4

4 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, tłum. P. Amsterdamski, Prószyński i S-ka, Warszawa 2000, s. 137.

7

Podstawy doświadczalne mechaniki kwantowej

Spór o to czy materia ma naturę ciągłą, czy też dyskretną rozpoczął się jeszcze w starożytnej filozofii przyrody. Znakomita większość filozofów była przekonana o tym, że materia jest ciągła i nie istnieją ostateczne, dalej już niepodzielne składniki materii. Pogląd ten implikował oczywiście przekonanie, że nie może istnieć próżnia, rozumiana wówczas jako całkowicie pusta przestrzeń. Taki pogląd głosił między innymi jeden z największych i zarazem najbardziej wpływowych filozofów starożytności Arystoteles.

Odmiennego zdania byli atomiści Leukippos i Demokryt, którzy utrzymywali, że istnieją ostateczne, wieczne, niezmienne i niepodzielne cząstki materii, zwane przez nich atomami, które poruszają się odwiecznie w nieskończonej przestrzeni. Pogląd ten aż do wieku XVII miał niewielu zwolenników, do czego przyczyniły się zarówno względy naukowe jak i pozanaukowe, w tym religijne. Dyskusje na temat ciągłości lub nieciągłości materii oraz możliwości istnienia próżni miały przez wieki charakter całkowicie spekulatywny. Atomizm uzyskał status teorii naukowej dopiero w XIX wieku – najpierw za sprawą prac Johna Daltona, a następnie dzięki kinetyczno-molekularnej teorii materii. Dziś nikt nie ma wątpliwości, że zwykła materia1 składa się z atomów (chociaż wiemy, że nie są one ani niepodzielne, ani wieczne).

Kwantowy charakter zjawisk

Pod koniec XIX wieku, gdy odkryto elektrony, cząstki materii drobniejsze niż atomy (J. J. Thomsom, 1897) powstała jakościowo nowa sytuacja w fizyce: obok pytań o to, jak materia jest zbudowana z atomów,

1 Jednak zauważyć należy, że „zwykła materia”, czyli materia, z jakiej zbudowane są obiekty dane nam w codziennym doświadczeniu, a także odległe galaktyki i inne widzialne obiekty kosmiczne, stanowi jedynie jakieś 5% zawartości Wszechświata. Około 95% zawartości Wszechświata to ciemna materia i ciemna energia. Nie wiadomo obecnie, jakiego rodzaju obiekty stanowią ciemną materię, która oddziałuje wyłącznie grawitacyjnie.

8

powstał problem o charakterze bardziej fundamentalnym, a mianowicie jak zbudowane są same atomy. Odkrycie jądra atomowego (E. Rutherford, 1911) doprowadziło do sformułowania planetarnego modelu atomu, w którym niemal cała masa i cały ładunek dodatni atomu są skoncentrowane w bardzo małym obszarze (o wielkości rzędu 10-15 m), zwanym jądrem atomowym, a po orbitach, podobnie jak planety wokół Słońca, krążą ujemnie naładowane elektrony. Rozmiary atomów są rzędu 10-10 m, a więc o pięć rzędów wielkości większe niż rozmiary jądra. Jeżeli wyobrazimy sobie, że powiększamy rozmiary atomu tak, że jądro atomowe ma wielkość główki od szpilki, czyli ok. 1 mm (10-3 m), to wówczas pierwsza orbita elektronu znajdowałaby się w odległości około 100 m od jądra. Okazuje się, że również same atomy są „zbudowane” w ponad 99,99 % z pustej przestrzeni.

Model Rutherforda był oparty na koncepcjach fizyki klasycznej, zaś atomy wydawały się przypominać miniaturowe układy planetarne. Planety krążą po orbitach, ponieważ są przyciągane siłą grawitacji przez Słońce. Siła przyciągania elektrycznego między jądrem a elektronem na niemal taką samą postać matematyczną, jak siła grawitacji, co wydawało się uzasadniać analogię budowy atomu z budową układu planetarnego. Jednak elektron posiada ładunek elektryczny, a poruszając się po orbicie, porusza się ruchem przyspieszonym (siła przyciągania elektrycznego nadaje mu przyspieszenie dośrodkowe). Z klasycznej elektrodynamiki Maxwella wiadomo, że cząstka naładowana poruszająca się ruchem przyspieszonym powinna w sposób ciągły promieniować energię, a w rezultacie utraty energii w bardzo krótkim czasie (jak pokazują obliczenia w czasie rzędu 10-8 s, czyli stumilionowej części sekundy) elektron powinien spaść na jądro, co przeczy obserwowalnej stabilności atomów. Poza tym ciągłe promieniowanie atomów było niezgodne ze znanym już wówczas faktem, że każdy pierwiastek emituje i absorbuje jedynie ściśle określone dyskretne linie widmowe.2

2 Podane tu informacje mają charakter jedynie szkicowy. Czytelnikom zainteresowanym historycznym rozwojem mechaniki kwantowej polecam klasyczną już pracę: M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York 1966. Ukazało się również wydanie poszerzone w 2014 r.

9

Niels Bohr w 1913 roku sformułował model atomu wodoru,3 w którym wprowadził koncepcję nieciągłych, czyli skwantowanych orbit (wartości promieni takich orbit mogą przybierać jedynie ściśle określone wielkości). Zgodnie z nią w atomie istnieją pewne wyróżnione orbity, zwane stanami stacjonarnymi, na których krążący elektron nie promieniuje energii. Założenie to było oczywiście sprzeczne z elektrodynamiką klasyczną, ale pozwoliło na wyjaśnienie nieciągłego widma atomów oraz zrozumienie budowy układu okresowego pierwiastków. Zdaniem Bohra, elektrony emitują lub absorbują światło, gdy „przeskakują” pomiędzy orbitami stacjonarnymi. Przeskoki te mają charakter nieciągły – elektron może znajdować się na jednej orbicie stacjonarnej, w następnej chwili na innej orbicie, ale nie znajduje się nigdzie pomiędzy tymi orbitami. Postulat Bohra był niewątpliwie niezgodny z naszymi intuicjami dotyczącymi ciągłości ruchu. Ponieważ wartości energii na orbitach są skwantowane, również emisja lub absorpcja światła przez elektrony zachodzi w postaci nieciągłych porcji energii, zwanych kwantami.

Hipotezę kwantów energii wprowadził w 1900 Max Planck.4 Pracował on wówczas nad problemem zwanym promieniowaniem ciała doskonale czarnego, czyli – mówiąc prosto – chciał otrzymać matematyczny wzór opisujący, w jaki sposób ciała promieniują energię w zależności od ich

Historię odkryć cząstek elementarnych i opis metod eksperymentalnych fizyki cząstek elementarnych zawiera godna polecenia praca: F. Close, M. Marten, Ch. Sutton, The Particle Odyssey. A Journey to the Heart of the Matter, Oxford University Press, Oxford, New York 2004. O początkach teorii kwantów: Th. Kuhn, Black-Body Theory and Quantum Discontinuity: 1894-1912, Clarendon Press, Oxford 1978.

3 N. Bohr, On the Constitution of Atoms and Molecules, „Philosophical Magazine” 1913, Series 6, Vol. 26, [w:] http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Bohr/Bohr-1913a.html.

4 M. Planck, Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspektrum, „Annalen der Physik” 1901, Vol. 4, s. 553–563, [w:] http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/historic-papers/1901_309_553-563.pdf.; tłum. polskie: M. Planck, O teorii prawa rozkładu energii w widmie normalnym, tłum. K. Napiórkowski, [w:] S. Butryn (red.), Max Planck. Nowe drogi poznania fizycznego a filozofia, Wydawnictwo IFiS PAN, Warszawa 2003, s. 2–7.

10

temperatury. Podejmowane wcześniej próby sformułowania teorii promieniowania ciała doskonale czarnego na podstawie elektrodynamiki klasycznej, zgodnie z którą światło jest ciągłą falą elektromagnetyczną, nie dawały poprawnych rezultatów. Planckowi udało się sformułować poprawną teorię przy założeniu, że podczas oddziaływania z materią promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane i absorbowane w sposób nieciągły, czyli właśnie kwantami. Energia kwantu świetlnego jest proporcjonalna do jego częstości:

E=hν

gdzie ν jest częstością, natomiast h pewną stałą, zwaną współcześnie stałą Plancka. Jest to jedna z fundamentalnych stałych fizycznych i pojawia się w większości równań mechaniki kwantowej. Jest to stała o wymiarze działania, dlatego też nazywana bywa również elementarnym kwantem działania. Działanie jest wielkością fizyczną o wymiarze energia x czas. W układzie SI wartość stałej Plancka wynosi w przybliżeniu 6,63 10-34 Js (dżul razy sekunda). Jest to wielkość niezmiernie mała, co – jak się okazuje – powoduje, że większości efektów kwantowych nie obserwujemy w świecie bezpośredniego doświadczenia. Ponieważ w wielu równaniach często pojawia się stałą Plancka podzielona przez 2 π , oznaczono ją specjalnym symbolem ℏ i nazwano „zredukowaną stałą Plancka”, „kreśloną stałą Plancka” lub po prostu „h kreślone”.

Albert Einstein w 1905 roku sformułował teorię zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego.5 Zjawisko to polega na wybijaniu elektronów z powierzchni metalu pod wpływem padającego światła. W celu poprawnego opisu zjawiska założył on, że światło nie jest ciągłą falą elektromagnetyczną, jak dotychczas przyjmowano w klasycznej elektrodynamice Maxwella, ale jest zbiorem cząstek poruszających się z prędkością światła, które później nazwano fotonami. Energia E fotonu i

5 A. Einstein, Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, „Annalen der Physik” 1905, Series 4, Vol. 17, s. 132–148.

11

jego pęd p wyrażają się następującymi wzorami:

E=hν

p=hλ=hν

c

gdzie ν jest częstością, λ jest długością fali światła, c oznacza prędkość światła w próżni.

Louis Victor de Broglie w 1924 roku wysunął hipotezę,6 że skoro fale świetlne mogą zachowywać się jak cząstki, to również cząstki materii, takie jak elektrony, mogą przejawiać własności falowe. Zgodnie z hipotezą de Broglie’a, z każdą cząstką o pędzie p (p = mv) związana jest pewna fala materii o długości:

λ= hp

Hipoteza ta została potwierdzona w doświadczeniach Davissona i Germenra (1927), w których zaobserwowano interferencję elektronów, czyli zjawisko typowe dla fal. De Broglie traktował te fale jako realne fale w trójwymiarowej przestrzeni fizycznej, wiadomo jednak obecnie, że fale mechaniki kwantowej są tworami nieco bardziej abstrakcyjnymi – falami prawdopodobieństwa, o czym będzie mowa w dalszej części rozdziału.

Dualizm korpuskularno-falowy6 W pracy doktorskiej Badania z teorii kwantów (Recherches sur la théorie des Qu-

anta) obronionej na Sorbonie w 1924 roku. Por. Radiation — Waves and Quanta, Note of Louis de Broglie, presented by Jean Perrin, „Comptes rendus” 1923, Vol. 177, s. 507–510, trans. by B. & B. Lane, [w:] http://www.davis-inc.com/physics/broglie/broglie.shtml; L. de Broglie, The Wave Nature of the Electron, [w:] Nobel Lectures…, Physics 1922–1941, s. 244–259

12

W schemacie pojęciowym fizyki klasycznej dysponujemy takimi pojęciami, jak cząstki i fale. Są one, podobnie jak inne pojęcia fizyczne, takie jak na przykład pojęcie siły, idealizacjami mającym swe źródło w świecie codziennego doświadczenia. Pojęcie cząstki, to w istocie pojęcie „kawałka materii”. Cząstką możemy nazwać elektron, ziarenko piasku, ale równie dobrze na przykład kulę bilardową. Co jednak właściwie mamy na myśli mówiąc, że coś jest cząstką? Przede wszystkim zapewne to, że cząstka istnieje w pewnym dobrze określonym miejscu w czasie i przestrzeni (lub – używając pojęcia ze szczególnej teorii względności: w czasoprzestrzeni). Jeżeli w jednym miejscu przestrzeni znajduje się jakaś cząstka, to w tym samym miejscu w tym samym czasie nie może się znajdować inna cząstka. Przypisujemy bowiem cząstkom atrybut nieprzenikliwości, zupełnie podobnie, jak traktowano atomy w starożytnej filozofii przyrody. Sądzimy ponadto, że cząstki posiadają pewne cechy, takie jak kształt, wielkość czy masę. Traktujemy je również jako obiekty rozróżnialne, posiadające pewną indywidualność. Jeżeli na przykład na stole bilardowym zamienię miejscami kulę białą z czarną, to otrzymam nowy układ kul, czyli nowy stan rzeczy, przynajmniej zasadniczo rozróżnialny od poprzedniego. Jeżeli zamienię miejscami na przykład dwie kule czerwone (powiedzmy przy grze w snookera), to nawet jeśli nie jestem w stanie rozróżnić, czy kule zostały zamienione miejscami czy też nie, to – obiektywnie rzecz biorąc – po zamianie miejscami kul otrzymuję inny układ niż był wcześniej. Cząstki zaliczamy do kategorii ontologicznej rzeczy: są to przedmioty istniejące w czasie i przestrzeni, jednostkowe i konkretne, a ponadto dookreślone pod względem charakterystyki treściowej.

Poświęćmy teraz nieco uwagi pojęciu fali. Zapewne każdy obserwował fale na wodzie – mogą się one przenikać i nakładać, czego efektem będzie zwiększenie lub zmniejszenie amplitudy drgań. Trudno wyobrazić sobie fale na wodzie… bez wody. Ruch falowy polega bowiem na drganiu cząstek pewnego ośrodka materialnego. Fala nie jest rzeczą, lecz należy do ontologicznej kategorii procesu: nie jest obiektem samodzielnym bytowo, to znaczy mówiąc prościej: jeśli nie ma wody, to również nie ma fal na wodzie, ponieważ po prostu nie ma co drgać. W odróżnieniu od

13

cząstek fale ponadto nie są obiektami dobrze zlokalizowanymi w przestrzeni, lecz obiektami rozciągłymi; w odróżnieniu od cząstek dwie fale w tym samym czasie mogą znajdować się w tym samym obszarze przestrzeni (zjawisko interferencji) i wreszcie w odróżnieniu od cząstek fale nie posiadają indywidualności, to znaczy jeśli przenikają się przez siebie (czyli w pewnej chwili dwie fale znajdują się w tym samym obszarze przestrzeni), to nie da się wskazać na jedną z tych fal i powiedzieć, że to jest „ta” fala w odróżnieniu od „tamtej”.

Z matematycznego punktu widzenia cząstkę zwykle reprezentujemy graficznie jako punkt, falę zaś jako sinusoidę (ponieważ falę o dowolnie skomplikowanym kształcie możemy otrzymać w rezultacie nałożenia na siebie wielu fal sinusoidalnych o różnych amplitudach i długościach). Z punktu widzenia fizyki klasycznej coś, co jest cząstką, nie może być zatem falą i vice versa. Okazuje się jednak, że mikroobiekty przejawiają własności właściwe zarówno dla cząstek, jak i dla fal.

Omówimy teraz pewien eksperyment, który – jak twierdzi Feynman – zawiera wszystkie tajemnice mechaniki kwantowej.7 Jeśli nawet nie wszystkie, to wiele zdumiewających aspektów mikroświata rzeczywiście można opisać odwołując się do tego eksperymentu lub do różnych jego modyfikacji. Dlatego szczegółowa analiza eksperymentu na dwóch szczelinach jest niezmiernie ważna dla zrozumienia dalszej części materiału dotyczącego mechaniki kwantowej.

7 Por. R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, tłum. P. Amsterdamski, Prószyński i S-ka, Warszawa 2000, s. 138. Historyczne ujęcie zagadnienia można znaleźć w pracy: P. Achinstein, Particles and Waves. Historical Essays in the Philosophy of Science, Oxford University Press, New York, Oxford 1991; L. V. de Broglie, The Revolution in Physics. A Nonmathematical Survey of Quanta, transl. by R. W. Niemeyer, The Noonday Press, New York 1958. Wiele interesujących artykułów na temat różnic między klasycznym a kwantowomechanicznym pojęciem elementarnych składników materii można znaleźć w pracy: E. Castellani (ed.), Interpreting Bodies. Classical and Quantum Objects in Modern Physics, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1998. O pojęciu cząstek i fal na gruncie kwantowej teorii pola por. P. Teller, An Interpretive Introduction to Quantum Field Theory, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1995. O zagadnieniu indywidualności cząstek elementarnych por. S. French, D. Krause, Identity in Physics. A Historical, Philosophical, and Formal Analysis, Clarendon Press, Oxford 2008.

14

Opisany zostanie eksperyment interferencyjny na dwóch szczelinach najpierw dla klasycznych cząstek, później dla klasycznych fal, a wreszcie dla cząstek kwantowych, takich jak elektrony czy fotony. W tym ostatnim wypadku rezultaty są dość zaskakujące.8 Będziemy w dalszej części odwoływać się do bardzo prostego modelu, podkreślić jednak należy, że nie mówimy o eksperymentach wyłącznie myślowych, ale eksperymenty tego typu były wielokrotnie przeprowadzane i przebiegają dokładnie tak, jak tu zostanie opisane.

Przeprowadźmy najpierw eksperyment z klasycznym cząstkami (por. rys. #). Układ doświadczalny składa się ze źródła cząstek Z, przesłony z dwiema wąskimi równoległymi szczelinami S1 i S2 oraz ekranu E, na którym rejestrujemy liczbę cząstek trafiającą w poszczególne miejsca ekranu. Odległość między szczelinami jest dużo większa niż rozmiary cząstek i dużo większa niż długość fali fotonu (w przypadku eksperymentu ze światłem).

Źródło Z emituje cząstki w kierunku przesłony z dwiema wąskimi szczelinami S1 i S2. O cząstkach zakładamy, że są trwałe – nie rozpadają się na części po zderzeniu z przeszkodą czy po trafieniu w ekran. Sytuacja, w której otwarte są dwie szczeliny przedstawia się następująco: klasyczne cząstki są niepodzielne i poruszają się po dobrze określonych trajektoriach. Niektóre z nich przejdą przez szczelinę S1 i trafią w pewien punkt ekranu, inne zaś przejdą przez szczelinę S2. Każda cząstka może dotrzeć do ekranu albo przez szczelinę S1 albo przez szczelinę S2. Rozkład cząstek na ekranie jest następujący (por. rys. #): te cząstki, które przeszły przez szczelinę S1 skupią się w niewielkim obszarze tuż za pierwszą szczeliną, te, które przeszły przez szczelinę S2 wylądują naprzeciwko drugiej szczeliny. Gdybyśmy teraz zamknęli jedną ze szczelin, powiedzmy S1, cząstki mogłyby przelecieć tylko przez szczelinę

8 Opis tego eksperymentu zawiera każdy podręcznik mechaniki kwantowej i niemal każda popularnonaukowa praca na ten temat. Osobiście szczególnie polecam opis w: R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych…, s. 135-156 oraz R. Penrose, Nowy umysł cesarza. O komputerach, umyśle i prawach fizyki, tłum. P. Amsterdamski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996. Rozdział 6 książki Penrose’a zatytułowany „Tajemnica kwantowej magii” stanowi znakomite wprowadzenie do mechaniki kwantowej na poziomie niewymagającym znajomości zaawansowanej matematyki.

15

S2 (analogiczną sytuację otrzymujemy przy zamknięciu drugiej szczeliny). Obraz, jaki obserwujemy na ekranie, czyli liczba cząstek w danym miejscu jest równa sumie liczb cząstek, które przeszły przez szczelinę S1 i trafiły w ten punkt ekranu plus liczba cząstek, które przeszły przez S2. Inaczej mówiąc prawdopodobieństwo (czyli w tym wypadku względna częstość) znalezienia cząstki w pewnym punkcie ekranu jest równe sumie prawdopodobieństw cząstek przechodzących niezależnie przez szczeliny S1 albo S2.

Rys. #. Eksperyment z dwiema szczelinami dla klasycznych cząstek

Możemy to zapisać następująco:N1 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę S1

N2 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę S2

N12 – prawdopodobieństwo, czyli średnia liczba cząstek trafiających w dane miejsce ekranu, gdy otwarte są szczeliny S1 i S2

W tym przypadku N12 = N1 + N2. Wykres liczby klasycznych cząstek trafiających w określone punkty ekranu przedstawia rysunek #.

Rezultat eksperymentu jest łatwy do zrozumienia, ponieważ cząstka klasyczna porusza się po określonej trajektorii zupełnie niezależnie od tego, czy jest otwarta jedna szczelina czy też obydwie – cząstka albo trafi w szczelinę pierwszą albo w drugą albo odbije się od przesłony. Cząstka po prostu „nie wie” czy otwarta jest jedna szczelina, czy też dwie

16

szczeliny.

Rys. #. Wykresy reprezentujące średnią liczbę cząstek klasycznych przechodzących a) przez szczelinę S1 (S2 zamknięta) – krzywa N1 albo przez szczelinę S2 (S1 zamknięta) – krzywa N2, b) obydwie szczeliny otwarte – krzywa N12 = N1 + N2.

Rozważmy teraz podobny eksperyment z klasycznymi falami. Źródło emituje falę, która dociera do układu dwóch szczelin. Zgodnie z zasadą Huyghensa, znaną z teorii klasycznego ruchu falowego, szczeliny stają się źródłami nowych fal, które interferują ze sobą (por. rys. #). Interferencja jest to zjawisko typowe dla wszelkiego ruchu falowego. Polega ono na nakładaniu się fal. Interferują fale na wodzie, fale świetlne, a także fale dźwiękowe. W najprostszym przypadku falę możemy przedstawić jako sinusoidę, w której położenie względem osi OY odpowiada drganiu cząsteczek ośrodka. Na przykład na rysunku # punkt A reprezentuje maksymalne wychylenie w górę, punkt B maksymalne wychylenie w dół, natomiast punk C – brak drgań.

Jeżeli w tym samym obszarze przestrzeni spotykają się dwie fale, to nakładają się na siebie – w miejscach, w których drgania cząsteczek ośrodka zachodzą w tym samym kierunku (fale zgodne w fazie) następuje wzmocnienie drgań (interferencja konstruktywna), w miejscach, w

17

których drgania zachodzą w przeciwnych kierunkach następuje wygaszenie drgań (interferencja destruktywna).

Gdy fale docierają do ekranu obserwujemy efekt interferencji: największą amplitudę będzie mieć fala wypadkowa, w której grzbiet fali dochodzącej ze szczeliny S1 pokrywa się z grzbietem fali pochodzącej ze szczeliny S2. Jest to oczywiście miejsce położone dokładnie pośrodku odległości między szczelinami – w tym obszarze obserwujemy maksimum drgań, ponieważ fale docierające do tego miejsca z obydwu szczelin mają taki sam dystans do przebycia, czyli będą zgodne w fazie. W miarę oddalania się w jedną albo drugą stronę od środka ekranu, zaobserwujemy zmniejszenie się amplitudy drgań a następnie kolejne maksimum drugiego rzędu itd. Otrzymamy zatem charakterystyczny obraz interferencyjny. W przypadku eksperymentu ze światłem jest to układ jasnych i na przemian ciemnych prążków interferencyjnych, przy czym najjaśniejszy prążek znajduje się właśnie pośrodku ekranu.

Rys. #. Interferencja fal: a) konstruktywna, b) destruktywna.

18

Rys. #. Interferencja fal na dwóch szczelinach.

Interesuje nas natężenie fali w poszczególnych punktach ekranu. Natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu modułu amplitudy

I∝|A|2 . Jeżeli mamy do czynienia z dwiema falami, to aby obliczyć natężenie fali w pewnym miejscu ekranu najpierw musimy dodać do siebie amplitudy fal pochodzących od szczelin S1 i S2, a następnie podnieść tę sumę do kwadratu:

I 1,2=|A1+A2|2

Przez I 1,2 oznaczyliśmy natężenie fali w danym punkcie ekranu w przypadku gdy otwarte są obydwie szczeliny. Oczywiście natężenie sumy fal nie jest równe sumie natężeń, ponieważ amplituda może mieć wartość dodatnią albo ujemną, w związku z czym drgania mogą się wzmacniać

albo wzajemnie się tłumić: I 1,2≠|A1|2+|A2|

2. W przypadku gdy

zasłonimy jedną ze szczelin, to nie wystąpi interferencja. Wykres natężenia fali w poszczególnych punktach ekranu dla eksperymentu z klasycznymi falami przedstawione są na rysunku #.

19

Rys. #. Natężenie fal dla eksperymentu interferencyjnego z klasycznymi falami w przypadku, gdy otwarte są obydwie szczeliny.

Rozważmy teraz rezultaty eksperymentu z cząstkami kwantowymi. Strumień elektronów (lub fotonów) przepuszczamy przez układ dwóch szczelin. Niech źródło emituje cząstki o bardzo małym natężeniu tak, że w zadanej jednostce czasu przez układ szczelin przechodzi tylko jedna cząstka. Ustalmy przede wszystkim, dlaczego w eksperymencie tym możemy mówić o elektronach jako o cząstkach. Otóż gdy elektron dotrze do ekranu, pozostawia zawsze ślad w ściśle określonym miejscu, czyli zachowuje się dokładnie tak, jakby był klasyczną cząstką: obiektem o ściśle określonej masie, ładunku itd. Nigdy nie obserwujemy aby po wyemitowaniu ze źródła jednej cząstki powstał ślad w dwóch lub większej liczbie miejsc na ekranie. Wysyłamy następny elektron i znów otrzymujemy na ekranie ślad cząstki, kolejny elektron i kolejny ślad itd. Jednak obserwujemy, że w miarę jak liczba śladów rośnie, zaczyna dziać się coś zaskakującego – ślady elektronów tworzą charakterystyczny wzór interferencyjny, dokładnie taki, jak w przypadku interferencji fal.

20

Rys. #. Obraz na ekranie w eksperymencie z dwiema szczelinami dla: a) jednego; b) dziesięciu; c) stu; d) tysiąca elektronów. Stopniowo pojawiają się charakterystyczne prążki interferencyjne. Obydwie szczeliny otwarte.

Zgodnie z myśleniem opartym na fizyce klasycznej, cząstki poruszają się po dobrze określonych torach. Zatem elektron przechodząc przez przesłonę z dwiema szczelinami, powinien przejść albo przez jedną szczelinę albo przez drugą – skoro jest niepodzielną cząstką materii nie może przejść przez obydwie szczeliny równocześnie. Jednak gdyby elektron przechodził albo przez jedną szczelinę albo przez drugą, wówczas moglibyśmy elektrony podzielić na te, które dotarły do ekranu przechodząc przez pierwszą szczelinę i na te, które dotarły przez szczelinę drugą. Zatem obraz na ekranie powinien być tak sam jak ten, który otrzymaliśmy dla klasycznych cząstek. Obserwujemy jednak zupełnie inny obraz – obraz interferencyjny właściwy dla fal. Wiemy jednak, że elektrony są cząstkami, a w każdym razie trafiając na ekran zachowują się jak cząstki. Jak zatem cząstki mogą interferować, skoro interferencja jest zjawiskiem typowym dla fal, a pojęcie fali i pojęcie cząstki odnoszą się do radykalnie odmiennych obiektów? Czy zatem jeden niepodzielny elektron przechodzi w jakiś sposób przez dwie szczeliny równocześnie? Oczywiście możemy tę hipotezę sprawdzić

21

umieszczając na przykład przy szczelinach odpowiednie detektory: gdy elektron przejdzie w pobliżu jednej szczeliny detektor zareaguje, przekazując nam informację o tym, przez którą szczelinę przeszedł elektron. Okazuje się jednak, że wówczas reaguje tylko jeden detektor, nigdy zaś dwa, co znaczy, że elektron przechodzi tylko przez jedną szczelinę, nigdy przez obydwie równocześnie. Jeżeli podjęliśmy próbę określenia, przez którą szczelinę przechodzi detektor, to znika nam obraz interferencyjny i rozkład prawdopodobieństw na ekranie jest taki jak w przypadku klasycznych cząstek.

Podsumujmy: gdy otwarte są dwie szczeliny i nie podejmujemy próby określenia przez którą z nich przeszedł elektron, to obserwujemy na ekranie obraz interferencyjny charakterystyczny dla zjawisk falowych – w tym sensie elektrony zachowują się jak fale. Jednak obraz ten składa się z pojedynczych śladów, takich jakie zostawiłyby pojedynczo trafiające na ekran cząstki. Gdybyśmy chcieli twierdzić, że wprawdzie nie wiemy, przez którą szczelinę przeleciał elektron, ale – skoro jest niepodzielną cząstką – to musiał przelecieć albo przez jedną albo przez drugą szczelinę, to takie twierdzenie jest z pewnością fałszywe, ponieważ wówczas nie nastąpiłaby wówczas interferencja, czyli obraz na ekranie byłby zupełnie inny ot tego, który obserwujemy. Najbardziej zdumiewające jest nie to, że elektrony inaczej zachowują się, gdy „nie są obserwowane”, a inaczej, gdy „są obserwowane” – obserwacja, przez którą szczelinę przechodzi elektron jest przecież związana z oddziaływaniem między elektronem a detektorem, ale to, że elektrony jak gdyby „wiedziały” czy otwarta jest tylko jedna ze szczelin, czy też obydwie, ponieważ sytuacje te prowadzą do całkowicie odmiennych obrazów cząstek na ekranie. Jeszcze bardzie zdumiewające jest to, że otwarcie drugiej szczeliny, czyli otwarcie elektronowi drugiej drogi sprawia, że w pewne punkty ekranu, w które mógł elektron trafić, gdy otwarta była tylko jedna szczelina, teraz trafić nie może. Wszelkie porównania z zachowaniem rzeczy ze świata makroskopowego wypadają w mechanice kwantowej dość sztucznie, ale niektóre z nich pozwalają bardziej uświadomić sobie niezwykły charakter zjawisk na poziomie kwantowym: powiedzmy, że mam w pokoju dwa okna, z których jedno

22

jest zasłonięte zasłoną. W słoneczny dzień odsłaniam w pewnej chwili zasłonę i w rezultacie w niektórych miejscach pokoju robi się… ciemniej. Odsłaniając elektronowi (lub fotonowi) drugą drogę sprawiam, że pewne miejsca na ekranie stają się dla niego nieosiągalne.

Rys. # Interferencja elektronów na dwóch szczelinach.

Poprawny opis eksperymentu interferencyjnego polega na przypisaniu poszczególnym elektronom pewnej liczby zespolonej, zwanej amplitudą prawdopodobieństwa. Jeżeli elektron może dotrzeć do ekranu dwiema różnymi drogami, to aby uzyskać zgodny z doświadczeniem rezultat, musimy dodać do siebie amplitudy prawdopodobieństwa dla tych dwóch możliwości, a następnie obliczyć prawdopodobieństwo trafienia elektronu w określony punkt podnosząc sumę tych amplitud do kwadratu:

P1,2=|A1+A2|2

23

Zauważmy w przypadku klasycznych fal mówimy o amplitudach trójwymiarowych fal w przestrzeni fizycznej, natomiast w wypadku zjawisk kwantowych są to zespolone (czyli wyrażane wielkościami zespolonymi) amplitudy prawdopodobieństwa (pojęcie to zostanie szerzej omówione w dalszej części pracy). W tym wypadku prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w pewnym punkcie ekranu nie jest równe sumie prawdopodobieństw znalezienia elektronu, który dotarł do ekranu przez szczelinę pierwszą plus prawdopodobieństwo tego, że dodarł do ekranu przez szczelinę drugą. „Elektrony docierają do detektorów w całości, tak jak pociski, ale prawdopodobieństwo rejestracji elektronów jest określone takim wzorem jak natężenie fali. W tym sensie elektron zachowuje się jednocześnie jak cząstka i jak fala”.9

Nasuwa się pytanie, czy elektrony (lub fotony lub jakiekolwiek inne obiekty opisywane przez mechanikę kwantową) są „naprawdę” cząstkami czy też falami? Pytanie takie chyba odzwierciedla jedynie ograniczoność naszej wyobraźni w odniesieniu do mikroświata. W fizyce klasycznej, która wyrosła przecież z obserwacji świata codziennego doświadczenia, rzeczywiście dysponujemy takimi pojęciami, jak cząstka i fala, jednak w mikroświecie odległym od naszego bezpośredniego doświadczenia takie pojęcia mają ograniczony zasięg stosowalności. Jak pisze Leon N. Cooper „światło jest falą lub cząsteczką w stopniu nie większym, niż ten, w jakim siła jest wektorem a kamyki liczbami. Znajomość matematycznej struktury fal i nasze obserwacje światła, nasuwają nam przekonanie, że możemy połączyć z fizyczną realnością, jaką jest światło, twór matematyczny znany nam jako fala i że struktura i relacje matematyczne fal w ich świecie, są w jakiś sposób odbiciem struktury i relacji światła w świecie realnym”.10 Mikroobiekty nie są podobne do niczego, co znamy z naszego codziennego doświadczenia. „Fotony i elektrony zachowują się w sposób nie mający żadnego odpowiednika klasycznego, w sposób kwantowomechaniczny”.11 Nie potrafimy sobie poglądowo przedstawić ruchu elektronów pomiędzy

9 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 147.10 L. N. Cooper, Istota i struktura fizyki, tłum. J. Kozubowski, Z. Majewski, A. Pindor,

J. Prochorow, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, s. 270.11 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 136.

24

aktem emisji ze źródła i aktem detekcji na ekranie, ale potrafimy to zjawisko precyzyjnie opisać formalizmem matematycznym mechaniki kwantowej.

25

Elementy matematyki mechaniki kwantowej

Przed prezentacją pojęciowych podstaw i dyskusją filozoficznych zagadnień mechaniki kwantowej omówione zostaną na dość elementarnym poziomie elementy formalizmu matematycznego, niezbędnego dla zrozumienia omawianych zagadnień.1 Ponieważ stan układu kwantowomechanicznego w pewnej chwili t jest reprezentowany przez wektor z zespolonej przestrzeni Hilberta, należy nieco miejsca poświęcić najpierw wektorom i liczbom zespolonym, a następnie omówić strukturę przestrzeni Hilberta. Wielkości mierzalne w mechanice kwantowej są reprezentowane przez operatory działające w przestrzeni Hilberta, dlatego podano podstawowe informacje na temat rachunku operatorowego. Operatory natomiast są reprezentowane przez odpowiednie macierze, stąd paragraf dotyczący rachunku macierzowego.

1 Szerzej o matematycznych podstawach mechaniki kwantowej w ujęciu na przestrzeni Hilberta szczególnie polecam następujące prace: R. Shankar, Mechanika kwantowa, tłum. M. Łukaszewski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007; S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2006; L. I. Schiff, Mechanika kwantowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977; M. Grabowski, R. S. Ingarden, Mechanika kwantowa. Ujęcie w przestrzeni Hilberta, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa …; R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, t. III. Mechanika kwantowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1974 (i wydania późniejsze); D. Z. Albert, Quantum Mechanics and Experience, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, London, England 1992; J. Bub, The Interpretation of Quantum Mechanics, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht – Holland / Boston – U. S. A. 1974; R. Penrose, Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rządzących Wszechświatem, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006. Omówienie matematycznych podstaw mechaniki kwantowej z ukierunkowaniem na zastosowania w kognitywistyce zawiera praca: J. R. Busemeyer, P. Bruza, Quantum Models of Cognition and Decision, Cambridge University Press, Cambridge 2014. Znakomite wprowadzenie do mechaniki kwantowej zawierające niezbędny aparat matematyczny stanowi praca: L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics. The Theoretical Minimum, Penguin Random House UK 2015. Warto również polecić całkowicie pozbawione matematyki wprowadzenie J. Al.-Kalili, Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych, tłum. U. i M. Seweryńscy, Prószyński i S-ka, Warszawa 2015.

26

Dynamikę układu opisuje równanie Schrödingera, które jest równaniem różniczkowym. Zrozumienie znaczenia tego równania wymaga zatem znajomości podstaw rachunku różniczkowego i całkowego. Przyjęto założenie, że Czytelnik dysponuje wiedzą z matematyki na poziomie szkoły średniej i nie posiada wiedzy na temat liczb zespolonych, macierzy, operatorów czy równań różniczkowych. Rozdział ten jednak w żadnym wypadku nie pretenduje do podręcznikowego ujęcia mechaniki kwantowej – jego celem jest wyłącznie wyjaśnienie najważniejszych formuł matematycznych używanych w tej teorii, które kryją się za takimi pojęciami, jak superpozycja stanów, splątanie, wektory i wartości własne czy redukcja wektora stanu. Czytelnicy znający wspomniane elementy formalizmu matematycznego mogą oczywiście ten rozdział pominąć.

Wektory

Pojęcie wektora znane jest ze szkolnej matematyki. Przedstawiamy go zwykle jako strzałkę i mówimy, że wektor ma określoną długość, kierunek i zwrot. Wektory odgrywają bardzo ważną rolę w fizyce, ponieważ wiele wielkości fizycznych to właśnie wielkości wektorowe. Przykładami takich wielkości są wektor położenia r , prędkość v ,

przyspieszenie a , pęd p=m v , moment pędu l=m r× v czy siła F (znaczenie symbolu „¿ ” zostanie wyjaśnione niebawem). Innym rodzajem wielkości fizycznych są wielkości skalarne, takie jak masa m, temperatura T, energia E, czy czas t. Wartości wielkości skalarnych wyrażane one po prostu liczbami, czyli skalarami.

Jeżeli mówimy, że ciało porusza się ruchem zmiennym pod wpływem działającej siły, to sensowne jest zapytanie: w jakim kierunku działa siła? Od kierunku i wartości działania siły zależy bowiem ruch ciała. Jeżeli natomiast ktoś mnie pyta o godzinę, odpowiem po prostu, że jest, na przykład, 12:36 i nikt nie będzie pytał „w którą stronę”.

Na wektorach można wykonywać określone działania. Wektor można pomnożyć przez liczbę rzeczywistą a. Otrzymujemy wówczas wektor równoległy do naszego wyjściowego wektora o długości większej (gdy

27

a>1 ) lub mniejszej (gdy a<1 ). Gdy a<0 otrzymujemy wektor skierowany przeciwnie (por. rys. #). W szczególności gdy a=−1 , to

wektor taki nazywamy wektorem przeciwnym. Wektor 0 nazywamy

wektorem zerowym, natomiast wektor 1 wektorem jednostkowym.Dodawanie wektorów w=u+ v odbywa się następująco: początek

drugiego wektora przykładamy w punkcie reprezentującym koniec pierwszego wektora. Wektor wypadkowy ma początek w początku pierwszego wektora i koniec w końcu drugiego wektora (por. rys. #). Rezultatem dodawania wektorów jest wektor.

Wektory można również mnożyć przez siebie (dzielenie przez wektor nie jest zdefiniowane). Określone są dwa rodzaje iloczynów wektora przez wektor.

Iloczyn skalarny (oznaczany symbolem „¿”) dwóch wektorów u i v jest liczbą o wartości równej iloczynowi długości tych wektorów i kosinusa kąta pomiędzy nimi:

u⋅v=|u||v|cos α ,

gdzie |v| oznacza długość wektora. Zauważmy, że jeżeli dwa wektory są

do siebie prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi 0 (cos 90o=0 ).Długość wektora obliczmy następująco: każdy wektor możemy

rozłożyć na składowe w kartezjańskim układzie odniesienia, albo – inaczej mówiąc – w pewnej bazie. Na rysunku # przedstawiono składowe

wektora na płaszczyźnie XY. Oznaczymy jest (v x , v y) .

28

Rys. #. Składowe wektora na płaszczyźnieKorzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

|v|2=vx2+v y

2

stąd:

|v|=√v x2+v y

2

W przypadku płaszczyzny dowolny wektor możemy zapisać jako:

v=(v x , v y ) ,

dla przestrzeni trójwymiarowej:

v=(v x , v y , vz ) .

Chociaż nasza wyobraźnia jest trójwymiarowa i nie potrafimy sobie wyobrazić przestrzeni cztero- czy dziesięciowymiarowej, to jednak z matematycznego punktu widzenia możemy mówić o cztero-, pięcio- a nawet nieskończeniewielowymiarowej przestrzeni. Wówczas wektor możemy zapisać następująco:

v=(v1 , v2 ,. ..v i . .. ),

gdzie symbole i = 1, 2, … oznaczają kolejne składowe wektora. Długość składowej wektora jest równa długości rzutu prostokątnego tego wektora na kierunek i-tego wektora bazy.

Biorąc pod uwagę składowe wektorów w danej bazie mnożenie wektora przez liczbę, sumę wektorów i iloczyn skalarny możemy zapisać

29

następująco:

a v=(av1 , av 2 , .. .) ,u+ v=(u1+v1 ,u2+v2 , . .. ),

u⋅v=(u1 v1 , u2 v2 , .. .) .

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów (oznaczany symbolem „¿ ”) jest wektorem w skierowanym prostopadle do płaszczyzny, na której leżą wektory u i v o długości równej:

|w|=|u||v|sin α

Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy 0, to wektory te

są do siebie równoległe (sin 0o=0 ).

Rys. #. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów. Możemy sobie wyobrazić, że jeżeli prawą ręką „kręcimy” pierwszy wektor na drugi, to wówczas odchylony prostopadle kciuk pokaże nam kierunek wektora będącego iloczynem. Jest on zawsze prostopadły do

płaszczyzny, w której leżą wektory u i v .

30

Zbiór wektorów, dla których zdefiniowane jest mnożenie wektora przez skalar, dodawanie wektorów oraz iloczyn skalarny nazywamy przestrzenią wektorową (vector space). Strukturę taką tworzą „wektory-strzałki”, ale również zupełnie innego rodzaju obiekty, takie jak na przykład macierze, o czym będzie mowa w dalszej części.

Liczby zespolone

W szkolnej matematyce na ogół poprzestaje się na tak zwanych liczbach rzeczywistych (real numbers). Mówi się na przykład, że nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, co oznacza, że

równanie x2=−1 nie ma rozwiązań. Jednak zbiór liczb rzeczywistych

można rozszerzyć, wprowadzając tak zwaną jednostkę urojoną, oznaczaną symbolem i (imaginary), którą definiujemy następująco:

i=√−1

Liczbą zespoloną (complex number) nazywamy liczbę postaci:

z=x+iy ,

gdzie x , y∈R , gdzie R oznacza zbiór liczb rzeczywistych (tę postać liczby zespolonej nazywamy postacią algebraiczną). Zbiór liczb postaci z=x+iy nazywamy zbiorem liczb zespolonych, przy czym pierwszą część sumy nazywamy częścią rzeczywistą (co oznaczamy często symbolem Re), drugą zaś częścią urojoną (oznaczaną symbolem Im). Nazwy „liczba rzeczywista” i „liczba urojona” są czysto konwencjonalne i z filozoficznego punktu widzenia obydwa zbiory liczb są równie „rzeczywiste” lub równie „urojone” („nierzeczywiste”) – to już zależy od przyjmowanego stanowiska w filozofii matematyki, którym zagadnieniem nie będziemy się tu zajmować. Nadmienimy jedynie, że niektórzy

31

filozofowie, zwani platonikami, utrzymują, że liczby (i inne obiekty matematyczne) istnieją niezależnie od umysłu poznającego podmiotu, a nawet niezależnie od świata fizycznego i są przez matematyków odkrywane (i w tym sensie zarówno liczby rzeczywiste jak i zespolone są dla nich „rzeczywiste”), inni zaś twierdzą, że liczby są jedynie konstrukcjami umysłu i poza umysłem nie przysługuje im żadne istnienie.

Liczbę postaci

z¿=x−iy

nazywamy liczbą sprzężoną (conjugate) do liczby zespolonej z.Liczby zespolone nie są porównywalne. Wiemy doskonale, jak

porównywać liczby rzeczywiste. Wiemy na przykład, że 3 jest większe

niż 2 oraz, że π jest większe niż √2 . Nie wiemy jednak, jak porównać,

powiedzmy, z1=1−2 i oraz z2=−3+i . Porównywać możemy jednak moduły liczb zespolonych. Liczby zespolone interpretujemy jako punkty na płaszczyźnie zespolonej (por. rys. #) albo jako wektory na płaszczyźnie zespolonej zaczepione w początku układu. Na osi OX odkładamy część rzeczywistą, na osi OY – część urojoną liczby zespolonej.

Rys. #. Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej. Liczbie zespolonej z = x + iy odpowiada punkt o współrzędnych (x, y), albo wektor [x, y] zaczepiony w początku

32

układu.

Odległość od początku układu współrzędnych, gdzie znajduje się dany punkt reprezentujący liczbę zespoloną z wynosi r. Zatem:

sin ϕ= y|z|= y

r ,

cos ϕ= x|z|= x

r .

Otrzymujemy stąd x=|z|cos ϕ oraz y=|z|sin ϕ . Dowolną liczbę

zespoloną z=x+iy możemy więc zapisać w postaci:

z=|z|(cosϕ+isin ϕ ).

Postać tę nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Wielkość r=|z| nazywamy modułem liczby zespolonej. Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

|z|2=x2+ y2,

czyli

|z|=√x2+ y2.

Zauważmy przy tym, że kwadrat modułu liczby zespolonej jest równy iloczynowi tej liczby i liczby sprzężonej:

zz¿=( x+iy )(x−iy)=x2+ y2,

33

zatem moduł liczby zespolonej można wyrazić wzorem:

|z|=√zz¿

Liczby zespolone możemy do siebie dodawać i odejmować (dodajemy bądź odejmujemy część rzeczywistą do rzeczywistej a zespoloną do zespolonej), mnożyć przez siebie i dzielić. Podstawowe wzory na sumę, różnicę, iloczyn i iloraz liczb zespolonych są następujące:2

z1+z2=( x1+iy1)+( x2+iy2)=( x1+x2)+i( y1+ y2 ) ,z1− z2=(x1+¿ iy 1)−(x2+iy 2)=(x1− x2)+i( y1− y2) ¿,

z1 z2=( x1+iy1 )( x2+iy2 )=( x1 x2− y1 y2 )+ i( x1 y2+x2 y1 ) ,z1

z2=

x1+iy1

x2+ iy2=( x1 x2+ y1 y2 )+i( y1 x2−x1 y2)

x22+ y2

2.

Zauważmy, że wyrażenie występujące po prawej stronie w mianowniku ostatniego równania jest kwadratem modułu liczby

zespolonej z 2 :

|z2|2=x2

2+ y22.

Podamy jeszcze wyrażenie na kwadrat sumy dwóch liczb zespolonych, ponieważ będziemy się do niego odwoływać w dalszych rozważaniach. Rozważmy dwie liczby zespolone w i z. Niech kąt między wektorami wynosi α. Wówczas korzystając z twierdzenia kosinusów otrzymujemy:

|w+z|2=|w|2+|z|2+2|w||z|cos α2 Określone są również działania: potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych,

które nie będą potrzebne dla niniejszych rozważań.

34

Układ współrzędnych na płaszczyźnie, w którym położenie punktu jest określone przez podanie współrzędnej x-owej i współrzędnej y-owej nazywamy kartezjańskim układem współrzędnych. Nie jest to jednak jedyna możliwość jednoznacznego określenia położenia punktu na płaszczyźnie. Położenie punktu P (x, y) możemy również jednoznacznie wyznaczyć podając długość promienia wodzącego r i kąt ϕ , jaki tworzy promień wodzący z osią OX. Taki układ nazywamy układem biegunowym (polar coordinates). Liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci wykładniczej:

z=|z|(cosϕ+isin ϕ )=|z|e iϕ,

gdzie e≈2,7183 jest podstawą logarytmów naturalnych. Liczbę sprzężoną oraz iloczyn dwóch liczb zespolonych możemy wówczas zapisać następująco:

z¿=|z|e−iϕ,

z1 z2=|z 1|eiϕ1|z 2|e

iϕ2=|z 1||z 2|ei (ϕ1+ϕ2 )

.

Algebra macierzy

Macierzą (matrix) nazywamy tablicę liczb złożoną z m wierszy i n kolumn:

A=[ a11 a12 .. . a1n

a21 a22 .. . a2 n

.. . .. . .. . .. .am1 am2 .. . amn

].

35

Wielkości występujące w macierzy nazywamy jej elementami macierzowymi. Elementy macierzowe mogą być liczbami rzeczywistymi, liczbami zespolonymi lub funkcjami. Element macierzowy i-tego wiersza

i j-tej kolumny będziemy oznaczać symbolem a ij (zawsze pierwszy wskaźnik odnosi się do wiersza, drugi do kolumny macierzy).

Jeżeli liczba wierszy równa jest liczbie kolumn (m=n), to macierz taką nazywamy macierzą kwadratową (square matrix). Liczbę n nazywamy wówczas wymiarem macierzy (dimension). W dalszej części rozważań ograniczymy się wyłącznie do macierzy o skończonej liczbie wierszy i kolumn, chociaż rozważania można uogólnić na przypadek macierzy o nieskończonej liczbie wierszy i kolumn.

Przekątną główną (diagonal) macierzy kwadratowej A nazywamy ciąg (a11 , a22 , .. . , ann) .

Specjalnymi rodzajami macierzy są macierz diagonalna, macierz jednostkowa i macierz zerowa.

Macierzą diagonalną albo przekątniową (diagonal matrix) nazywamy macierz, której wszystkie elementy znajdujące się poza przekątną główną wynoszą zero:

D=[d11 0 .. . 00 d22 .. . 0

.. . . .. .. . . ..0 0 .. . dnn

]Macierz diagonalną zapisujemy często w następującej postaci:

D=diag [d11 , d22 , .. . , dnn ]

Macierz jednostkową I (identity matrix) definiujemy jako macierz diagonalną, której wszystkie elementy leżące poza przekątną główną wynoszą 0, natomiast wszystkie elementy na przekątnej głównej wynoszą

36

1. Elementy macierzowe macierzy jednostkowej możemy zapisać następująco:

δ ij=1 dla i= j0 dla i≠ j ,

gdzie symbol δ ij nazywa się deltą Kroneckera.Macierz jednostkowa ma więc następującą postać:

I=[ 1 0 .. . 00 1 .. . 0. .. . . . .. . .. .0 0 .. . 1 ] .

Macierzą zerową 0 nazywamy macierz, której wszystkie elementy są równe zero:

0=[ 0 0 . .. 00 0 . .. 0

. .. . .. . .. . . .0 0 . .. 0 ] .

Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową, której

elementy macierzowe spełniają warunek: a ij=a ji . Na przykład następująca macierz jest macierzą symetryczną:

A=[1+i 00 1 ].

Macierzą transponowaną AT (transpose matrix) nazywamy macierz B,

37

która powstaje z macierzy A przez zamianę wierszy i kolumn:

B = AT, bmn = anm .

Jeżeli

A=[ a11 a12 .. . a1n

a21 a22 .. . a2 n

.. . .. . .. . .. .am1 am 2 .. . amn

], to

B=AT=[a11 a21 . .. am 1

a12 a22 . .. am 2

. .. .. . . .. . . .a1n an 2 . .. anm

].

Na przykład:

AT=[1 1+i0 2 ]

T=[ 1 0

1+ i 2 ] .Macierzą sprzężoną (conjugate transpose) A† (czytaj „a z krzyżem”,

ang. dagger – sztylet) nazywamy macierz, która powstaje z macierzy A przez transpozycję (zamianę wierszy i kolumn) i sprzężenie zespolone (adjoint) każdego elementu macierzowego.

Jeżeli

A=[ a11 a12 .. . a1n

a21 a22 .. . a2 n

.. . .. . .. . .. .am1 am 2 .. . amn

], to

A†=B=[a11¿ a21¿ .. . am1 ¿

a12¿ a22¿ .. . am2 ¿

. .. . . . .. . .. .a1n¿ an 2¿ .. . anm¿

],

co możemy zapisać również następująco:

B=A† , b ji=aij¿

.

Na przykład:

38

A†=[1+i 0i 1 ]

†=[1−i −i

0 1 ] .Macierzą hermitowską3 (Hermitian matrix) lub samosprzężoną (self-

adjoint) nazywamy macierz, która spełnia następujący warunek:

H†=H .

Po wykonaniu transpozycji i sprzężenia zespolonego każdego elementu macierzowego, poszczególne elementy macierzowe macierzy

hermitowskiej spełniają zależność: a ij=a ji ¿ . Zauważmy, że aby

powyższy warunek mógł być spełniony, elementy diagonalne macierzy muszą wyrażać się liczbami rzeczywistymi. Macierze hermitowskie pełnią fundamentalna rolę w mechanice kwantowej, ponieważ reprezentują wielkości fizyczne mierzalne, czyli obserwable.

Na przykład macierz A jest hermitowska, ponieważ

A†=[ 1 i−i 2 ]

†=[ 1 i−i 2 ]=A

,

natomiast macierz B nie jest hermitowska:

B†=[1 i0 2 ]

†=[ 1 0−i 2 ]≠B

.

Macierze można mnożyć przez skalar (liczbę rzeczywistą lub zespoloną), dodawać do siebie (i odejmować) oraz mnożyć przez siebie. Zdefiniowanych jest kilka rodzajów mnożenia macierzy: iloczyn wewnętrzny, iloczyn zewnętrzny oraz iloczyn Kroneckera.

3 Od nazwiska francuskiego matematyka Charles’a Hermite’a (1822-1901).

39

Mnożenie macierzy przez skalar (multiply by scalar) a polega na pomnożeniu przez skalar każdego elementu macierzowego:

aA=a[ a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

.. . . . . . . . .. .am 1 am2 . . . amn

]= [ aa11 aa12 . .. aa1n

aa21 aa22 . .. aa2n

.. . .. . . .. . . .aam1 aam 2 . .. aamn

].

Dodawanie i odejmowanie (adding and substracting) macierzy jest określone, gdy obydwie macierze mają taką samą liczbę wierszy m i taką samą liczbę kolumn n. Dodawanie macierzy polega na dodaniu elementu

macierzowego a ij macierzy A do elementu macierzowego b ij macierzy B:

A+B=[ a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

.. . .. . . . . .. .am1 am2 . . . amn

]+[ b11 b12 . .. b1n

b21 b22 . .. b2n

.. . . . . . .. . . .bm 1 bm 2 . .. bmn

]=

= [ a11+b11 a12+b12 . .. a1 n+b1 n

a21+b21 a22+b22 . .. a2 n+b2n

.. . . .. . .. . ..am 1+bm1 am2+bm 2 . .. amn+bmn

].

Analogicznie definiujemy odejmowanie macierzy – wystarczy

zauważyć, że A−B=A+(−1 )B .Na przykład sumę dwóch macierzy 2×2 obliczamy następująco:

[1+ i 0i 1 ]+[1−i −i

0 1 ]=[1−i+(1−i) 0+(−i )i+0 1+1 ]=[2−2 i −i

i 2 ] .Mnożenie macierzy (iloczyn wewnętrzny macierzy – matrix inner

40

product, który oznaczany symbolem „¿”) jest zdefiniowane, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy A jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy B i przebiega według następującego algorytmu: mnożymy „wiersz przez kolumnę”, przy czym rezultat mnożenia jest następujący: element macierzowy pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy C jest równy sumie iloczynów elementów macierzowych pierwszego wiersza macierzy A i pierwszej kolumny macierzy B, drugiej kolumny elementu macierzowego pierwszego wiersza macierzy A i drugiego wiersza pierwszego elementu macierzowego macierzy B itd. Element macierzowy c ij jest równy iloczynowi skalarnemu i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B:

A⋅B=[ a11 a12 .. . a1 n

a21 a22 .. . a2 n

. .. .. . .. . .. .am1 am2 .. . amn

] ¿ [ b11 b12 . .. b1n

b21 b22 . .. b2n

.. . . . . . .. . . .bm 1 bm2 . .. bmn

] =

= [a11b11+a12b21+.. .+a1n bm 1 .. . a11 b1 n+a12b2 n+. . .+a1 n bmn

a21 b11+a22b21+. ..+a2n bm 1 .. . a21b1 n+a22b2n+ .. .+a2 n bmn

.. . .. . .. .am1 b11+am 2b21+.. .amn bm 1 .. . am1 b1n+am 2 b2n+.. .+amnbmn

].

Macierz C=A⋅B jest macierzą o liczbie wierszy równej liczbie wierszy macierzy A i liczbie kolumn równej liczbie macierzy B.

Na przykład:

[1−i −i0 1 ]⋅[2 0

i 1 ]=[2(1−i)+(−i)i (1−i)⋅0+(−i )⋅10⋅2+1i 0⋅0+1⋅1 ]=[3−2 i −i

i 1 ] .W zastosowaniach rachunku macierzowego w mechanice kwantowej

często będziemy mieć do czynienia z mnożeniem macierzy n×n (reprezentującą operator odpowiadający mierzonej wielkości fizycznej)

41

przez wektor kolumnowy (reprezentujący wektor stanu układu). Mnożenie przebiega wówczas następująco:

A⋅B=[ a11 a12 .. . a1 n

a21 a22 .. . a2 n

. . . .. . .. . .. .am 1 am2 .. . amn

]⋅[ b1

b2

.. .bn]=[ a11b1+a12 b2+ .. . a1n bn

a12b1+a22b2+.. . a2 n bn

.. .an 1 b1+an 2 b2+ .. . an 1n bn

].

Zauważmy, że w odróżnieniu od mnożenia zwykłych liczb, iloczyn dwóch macierzy może być macierzą zerową, pomimo tego, że żadna z nich nie jest macierzą zerową. Na przykład:

[0 00 1 ]⋅[1 0

0 0 ]=[0 00 0 ] .

Jeżeli elementy macierzowe macierzy A, B i C oznaczymy

odpowiednio a ij , b ij i c ij , natomiast skalar symbolem „a”, wówczas działania te możemy zapisać następująco:

aA=aaij ,A+B=aij+b ij=aij+b ij=cij ,

A⋅B=aij⋅bij=∑k=1

n

aik bkj=c ij.

Symbol ∑i=1

n

(grecka litera „sigma”) oznacza sumę kolejnych wyrażeń od

i = 1 do i = n. Wyrażenie ∑i=1

n

ai oznacza więc a1+a2+.. .+an . W dalszej

części, w celu uproszczenia zapisu, górną granicę sumowania n będziemy

42

często pomijać i sumowanie będziemy oznaczać symbolem ∑

i .Zdefiniowaliśmy mnożenie macierzy przez skalar, dodawanie

macierzy oraz mnożenie macierzy przez macierz. Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne:

A+B=B+A ,A+(B+C )=( A+B )+C .

Mnożenie macierzy nie zawsze jest przemienne, w odróżnieniu od mnożenia skalarów, co ma bardzo ważne konsekwencje w mechanice kwantowej. Jeśli A⋅B=B⋅A , wówczas macierze takie nazywamy macierzami przemiennymi. Spełnione są prawa łączności mnożenia i rozdzielności mnożenia względem dodawania:

A⋅(B⋅C )=(A⋅B)⋅C ,A⋅(B+C )=A⋅B+A⋅C .

Dla macierzy jednostkowej I i macierzy zerowej 0 zachodzą następujące związki:

A⋅I=I⋅A=AA⋅0=0⋅A=0

Macierz jednostkowa i macierz zerowa pełnią więc analogiczną rolę jak liczby 0 i 1 w zwykłej algebrze liczb.

Macierzą odwrotną (inverse matrix) do macierzy A nazywamy macierz A-1, taką, że:

A⋅A−1=A−1⋅A=I ,

co znaczy, że iloczyn danej macierzy i macierzy odwrotnej równy jest

43

macierzy jednostkowej. Macierz odwrotna jest zdefiniowana tylko dla macierzy kwadratowej n×n . Nie każda macierz kwadratowa posiada macierz odwrotną. O macierzy, która posiada macierz odwrotną, mówimy, że jest nieosobliwa, o macierzy, która nie posiada macierzy odwrotnej mówimy, że jest osobliwa. Warunkiem koniecznym istnienia macierzy odwrotnej jest, aby jej wyznacznik był różny od zera (por. niżej).

Dla przykładu znajdziemy macierz odwrotną do macierzy

A=[ i 01 2 ] .

Nieznane elementy macierzowe macierzy odwrotnej oznaczmy a, b, c, d. Wiemy, że iloczyn pewnej macierzy i macierzy do niej odwrotnej jest macierzą jednostkową, zatem:

A⋅A−1=[ i 01 2 ]⋅[a b

c d ]=[ ia iba+2 c b+2d ]=[1 1

1 1 ] .Macierze są równe, jeśli poszczególne elementy macierzowe są sobie

równe, zatem otrzymujemy układ równań:

ia=1ib=1

a+2c=1b+2d=1

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy elementy macierzowe macierzy odwrotnej:

a=−ib=−i

44

c=1+i2

d= 1+i2

Macierz odwrotna do macierzy A ma więc następującą postać:

A−1=[ −i −i1+i

21+i

2 ].

Macierz kwadratowa A stopnia n nazywa się macierzą ortogonalną (orthogonal), gdy iloczyn macierzy transponowanej AT przez macierz A jest macierzą jednostkową:

AT⋅A=I

Sprzężenie hermitowskie iloczynu macierzy jest iloczynem ich sprzężeń w odwrotnej kolejności:

( A⋅B⋅C )†=C†⋅B†⋅A†.

Podobną regułę stosujemy również w odniesieniu do wszystkich operacji na iloczynie macierzy: należy wykonać określone operacje nad poszczególnymi macierzami a następnie zmienić kolejność czynników.

Jeżeli sprzężenie hermitowskie macierzy jest jednocześnie macierzą do niej odwrotną, to macierz taką nazywamy macierzą unitarną (unitary matrix):

U†=U−1.

Z powyższego wynika, że

45

U⋅U †=I , U†⋅U=I .

Macierzą podobną do macierzy A jest macierz B powstająca z macierzy A przy pomocy nieosobliwej macierzy S w sposób następujący:

B=S−1 AS .

Jeżeli A jest macierzą jednokolumnową, wówczas tworząc z niej

macierz sprzężoną po hermitowsku A†

możemy ją pomnożyć przez inną macierz kolumnową B. Tak uzyskaną wielkość nazywamy iloczynem skalarnym (matrix inner product):

A†⋅B=[a1¿ a2

¿ .. . an¿ ]⋅[b1

b2

. ..bn]=a1

¿ b1+a2¿ b2+. ..+an

¿ bn

.

Podstawowe własności iloczynu skalarnego omówione zostaną w paragrafie następnym.

Zdefiniowany jest również iloczyn macierzy kolumnowej A przez macierz wierszową B†, zwany iloczynem zewnętrznym (matrix outer product), który jest macierzą o następującej postaci:

A⋅B†=[a1

a2. ..an]⋅[b1

¿ b2¿ . .. bn

¿ ]=[a1b1¿ a1b2

¿ .. . a1bn¿

a2b1¿ a2b2

¿ .. . a2 bn¿

.. . . .. .. . .. .an b1

¿ a2b2¿ .. . an bn

¿ ].

Dokładniejsze informacje na temat znaczenia tego obiektu zostaną podane przy omawianiu operatorów rzutowych. Zauważmy w tym miejscu jedynie, że iloczyn skalarny jest liczbą zespoloną, natomiast

46

iloczyn zewnętrzny jest macierzą.Jeszcze jednym ważnym rodzajem iloczynu macierzy jest iloczyn

Kroneckera (Kronecker product), który definiujemy następująco:

A⊗B=[ a11 B a12B . .. a1 m Ba21B a22B . .. a2 m B. .. . .. . .. . . .an 1 B an 2 B . .. anm B ]

,

gdzie

a ij B=aij [b11 b12 . .. b1m

b21 b22 . .. b2m

. .. .. . . .. . ..bn1 bn 2 . .. bnm

]=[aij b11 aij b12 . . . aij b1 m

aij b21 a ij b22 . . . aij b2 m

.. . . . . . . . . . .aij bn1 aij bn 2 . . . a ij bnm

].

Rozważmy konkretny przykład. Niech A będzie macierzą 3×2 oraz B macierzą 2×2 . Wówczas iloczyn Kroneckera A⊗B jest macierzą 6×4 :

[1 0i −12 −i ]⊗ [1 2

i 1 ]=[1 2 0 0i 1 0 0i 2 i −1 −2−1 i −i −12 4 −i −2i2i 2 1 −i

].

Iloczyn Kroneckera jest nieprzemienny, spełnia zaś prawa łączności i rozdzielności:

A⊗B≠B⊗A

47

A⊗(B⊗C )=( A⊗B)⊗CA⊗(B+C )=(A⊗B )+( A⊗C )

Termin „iloczyn Kroneckera” stosujemy w odniesieniu do macierzy, gdy mamy do czynienia z dwoma wektorami kolumnowymi używamy określenia iloczyu tensorowy (tensor product). Zapisujemy go następująco:

v⊗u=[ v1

v2.. .vn]⊗ [u1

u2.. .un]=[

v1u1

v1u2

. ..v1 un. ..vn u1

v2 u2. ..vn un

]Dla macierzy kwadratowej A definiujemy wyznacznik macierzy

(detrminant). Jest to odwzorowanie, które macierzy kwadratowej przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę (rzeczywistą lub zespoloną).

Oznaczamy jest symbolem det A lub |A|:

det A=∑i=1

n

(−1)i+ j aij det A ij,

gdzie det Aij oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Macierz, której wyznacznik det A≠0 nazywamy macierzą nieosobliwą. Jeżeli det A=0 , to macierz taką nazywamy macierzą osobliwą. Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego rzędu, to:

48

det (A⋅B )=det A det B .

Dla macierzy kwadratowych rzędu drugiego i trzeciego znane są proste wzory obliczania wyznaczników:

det [a11 a12

a21 a22 ]=a11 a22−a21a22 .

det [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]= a11a22a33 + a12a23 a31 + a21a32 a13

– a31a22 a13 – a21a12 a33 – a32a23 a11 .

Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową, zaś λ skalarem. Wówczas macierz A−λI nazywamy macierzą charakterystyczną macierzy A, natomiast równanie:

det (A−λI )=0

nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Równanie to możemy również zapisać w postaci:

det [a11− λ a12 . .. a1 n

a21 a22− λ . .. a2 n

. .. .. . . .. . ..ann an2 . .. ann−λ ]=0

.

Pierwiastki tego równania nazywamy wartościami własnymi macierzy A.Równanie

49

AX=aX ,

gdzie A jest macierzą kwadratową wymiaru n, X jest wektorem (czyli macierzą kolumnową), natomiast a jest skalarem nazywamy równaniem własnym macierzy. Podobnie jak w rachunku operatorowym, którego podstawy są omówione w dalszej części pracy, wektory X nazywamy wektorami własnymi (eigenvectors), zaś liczby a – wartościami własnymi (eigenvalue) macierzy A. Jeżeli dla danej wartości własnej istnieje tylko jeden wektor własny, to mówimy o przypadku niezdegenerowanym, jeśli jednej wartości własnej odpowiada więcej niż jeden wektor własny, to mówimy o przypadku zdegenerowanym (degeneracy). Zagadnienie własne pełni bardzo ważną rolę w mechanice kwantowej, a jego rozwiązanie przedstawia się następująco.4 Po pomnożeniu przez macierz jednostkową I równanie nasze możemy przedstawić w następującej postaci:

( A−aI )X=0

Otrzymujemy jednorodny układ n równań liniowych z n niewiadomymi, które są współrzędnymi wektora X. Układ taki posiada nietrywialne (tzn. poza rozwiązaniem X = 0, które nazywamy trywialnym) rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik układu jest równy zeru:

det (A−aI )=0 .

Równanie to jest jednocześnie równaniem charakterystycznym macierzy (characteristic equastion). Rozwiązując je otrzymujemy

wszystkie wartości własne a i , i = 1, 2, …, n. Następnie dla każdej z

wartości własnych a i rozwiązujemy równanie ( A−aI )X=0 wyznaczając wektory własne.

4 Por. S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej…, s. 446n.

50

Rozważmy prosty przykład wyznaczania wektorów własnych i wartości własnych dla pewnej macierzy A reprezentującej przekształcenie obrotu:5

A=[1 0 00 0 −10 1 0 ] .

Rozwiązujemy równanie charakterystyczne macierzy i wyznaczamy jej wartości własne:

det (A−λI )=det [1− λ 0 00 0−λ −10 1 0−λ ]=(1− λ)( λ2+1)=0

.

Rozwiązanie równania charakterystycznego daje nam następujące

wartości własne: λ1=1 , λ2=i , λ3=−i . Następnie rozwiązujemy

równanie własne dla pierwszej wartości własnej ( A−λ1 I )X=0 i wyznaczamy składowe pierwszego wektora własnego:

[1−1 0 00 0−1 −10 1 0−1 ]⋅[ x1

x2

x 3]=[000 ]

,

skąd otrzymujemy równania:

0=0−x2−x3=0

5 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 49n.

51

x2−x3=0

zatem x2=x3=0 .Nasze równanie spełnia więc każdy wektor o składowych:

[ x1

00 ] .

Ponieważ pierwsza składowa wektora jest dowolna, to możemy przyjąć taką jej wartość, aby wektor własny był unormowany do jedności, czyli

X ( λ1=1)→[100 ] .Symbol X ( λ1=1) oznacza w tym przypadku wektor własny

odpowiadający pierwszej wartości własnej. Rozwiązujemy następnie

równanie własne odpowiadające wartości własnej λ2=i :

[1−i 0 00 0−i −10 1 0−i ]⋅[ x1

x2

x 3]=[000 ]

skąd otrzymujemy:(1−i ) x1=0−ix2−x3=0

52

x2−ix3=0

Dwa ostatnie równania są liniowo zależne (aby się o tym przekonać, wystarczy jedno z nich pomnożyć stronami przez i), co znaczy, że otrzymujemy następujące zależności na składowe drugiego wektora własnego:

x1=0x2=ix3

Równanie spełniają więc wszystkie wektory postaci:

X ( λ2=i)→[ 0ix3

x 3].

Podobnie, jak poprzednim przypadku, możemy wybrać rozwiązanie unormowane, czyli takie, że długość wektora (wyrażona przez iloczyn skalarny wektora sprzężonego po hermitowsku i danego wektora) jest jednostkowa:

[0 −ix3 x3 ]⋅[ 0ix3

x 3]=0+x3

2+x32=1

,stąd otrzymujemy:

x3=1√2

Nasz drugi wektor własny ma więc postać:

53

X ( λ2=i)→ 1√2 [0i1 ]

Postępując w podobny sposób otrzymujemy trzeci wektor własny

odpowiadający wartości własnej λ3=−i :

X ( λ3=−i)→ 1√2 [ 0−i1 ] .

Wyznaczyliśmy w ten sposób wszystkie wartości własne i wektory własne macierzy A, czyli rozwiązaliśmy zagadnienie własne.

Śladem macierzy (trace) nazywany sumę elementów macierzowych leżących na przekątnej, czyli sumę elementów diagonalnych macierzy:

trA=∑i

aii=a11+a22+.. .+ann.

Podamy jeszcze kilka prostych zastosowań macierzy. Układ równań liniowych

a11x1+ a12 x2+. .. +a1 n xn ¿b1

a12 x1+ a22 x2+. .. +a2 n xn ¿b2. .. . . . . .. .. .am 1x1+ am 2 x2+. .. amn xn ¿bm

możemy zapisać jako A⋅X=B , gdzie A jest macierzą współczynników, X – wektorem niewiadomych, natomiast B – kolumną wyrazów wolnych:

54

[ a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

.. . . . . . . . . . .am1 am 2 . . . amn

]⋅¿ ¿[ x1

x2

.. .xn]=[ b1

b2

.. .bm].

Obraz P’ (x, y) punktu P (x, y) w rezultacie obrotu o kąt φ na płaszczyźnie możemy zapisać następująco:

x '=x cosϕ− y sin ϕy '=x sin ϕ+ y cosϕ

Współrzędne punktu P’ (x, y) otrzymujemy mnożąc kolumnę współrzędnych punktu P (x, y) przez macierz M, związaną z przekształceniem obrotu, gdzie

M=[cosϕ −sin ϕsin ϕ cos ϕ ] .

Podobnie, obraz P’ (x’, y’) punktu P (x, y) w symetrii osiowej względem prostej o równaniu y = x, otrzymujemy w wyniku działania macierzy M na kolumną współrzędnych punktu P (x, y):

[ x 'y ' ]=[0 1

1 0 ]⋅[ xy ] .Otrzymujemy:

x '=0 x+1 y= yy '=1 x+0 y=x .

Macierz związana z symetrią osiową względem prostej y = x ma więc

55

następującą postać:

M=[0 11 0 ] .

W mechanice kwantowej operatorom reprezentującym wielkości fizyczne przyporządkowane są macierze. Macierze reprezentują pewne operacje (działania) wykonywane na wektorach reprezentujących stan układu fizycznego. Szczegóły omówione zostaną w rozdziale dotyczącym postulatów mechaniki kwantowej.

Przestrzeń Hilberta

Stosować będziemy notację zaproponowaną przez Paula Diraca,6 powszechnie używaną w mechanice kwantowej. W notacji tej wektory

oznaczamy symbolem |v ⟩ (czytaj „ket” – jest to część angielskiego

terminu oznaczającego nawias – bracket). Symbol „bra” ⟨ v| oznacza

sprzężenie zespolone do keta |v ⟩ . Notacja Diraca jest bardzo wygodna, ponieważ dzięki niej wiele rachunków wykonuje się niemal automatycznie.

Przestrzeń liniowa (linear space) V jest to zbiór wektorów (ketów), dla których zdefiniowana jest suma wektorów oraz mnożenie wektora przez skalar (liczbę rzeczywistą lub zespoloną), przy czym spełnione są

następujące aksjomaty: jeżeli kety |v ⟩ , |w ⟩∈V oraz a ,b∈C , to:

6 P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford at the Clarendon Press 1947. Polecam jako bardzo dobre wprowadzenie: R. B. Griffiths, Consistent Quantum Theory, Cambridge University Press 2002. Praca jest również dostępna w Internecie: http://quantum.phys.cmu.edu.CQT.

56

1. |v ⟩+|w ⟩∈V , a|v ⟩∈V . Przestrzeń V jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar.

2. a (|v ⟩+|w ⟩ )=a|v ⟩+a|w ⟩ . Mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów (distributivity towards vectors).

3. (a+b)|v ⟩=a|v ⟩+b|v ⟩ . Mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania skalarów (distributivity towards scalars).

4. a (b|v ⟩)=ab|v ⟩ . Mnożenie wektora przez skalar jest łączne (associativity).

5. |v ⟩+|w ⟩=|w ⟩+|v ⟩ . Dodawanie wektorów jest przemienne (commutativity).

6. |v ⟩+(|w ⟩+|u ⟩)=(|w ⟩+|v ⟩ )+|u ⟩ . Dodawanie wektorów jest łączne (associativity).

7. |v ⟩+|0 ⟩=|v ⟩ . Istnieje element zerowy |0 ⟩ .8. |v ⟩+|−v ⟩=|0 ⟩ . Do każdego wektora istnieje wektor przeciwny.

Zbiór liczb a, b,… nazywa się ciałem, nad którym określona jest przestrzeń liniowa. Jeśli zbiór ten jest zbiorem liczb rzeczywistych, to przestrzeń nazywa się liniową przestrzenią rzeczywistą, jeśli zbiór jest zbiorem liczb zespolonych, to przestrzeń nazywa się zespoloną przestrzenią liniową.

Zbiór wektorów |1 ⟩ , |2 ⟩… |n ⟩ nazywa się niezależny liniowo (linearly independent), jeżeli równanie

∑i=1

n

ai|i⟩=|0 ⟩

57

jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby a i są równe zero. W przeciwnym wypadku zbiór jest liniowo zależny (linearly dependent), co oznacza, że przynajmniej jeden z tych wektorów może być wyrażony jako kombinacja liniowa pozostałych.

Wymiarem (dimension) n przestrzeni V nazywamy maksymalną liczbę wektorów niezależnych liniowo. Zbiór n liniowo niezależnych wektorów

|i ⟩ przestrzeni n-wymiarowej nazywamy bazą (basis) w tej przestrzeni. Każdy wektor może być przedstawiony w postaci kombinacji liniowej (linear combination) wektorów bazy:

|v ⟩=∑i=1

n

v i|i ⟩,

gdzie wektory |i ⟩ są wektorami bazy, a współczynniki vi są składowymi wektora w tej bazie. Jest to analogiczna sytuacja, jak w przypadku „wektorów-strzałek” w elementarnej algebrze: każdy „wektor-strzałkę” v=(v x , v y , vz ) możemy rozłożyć na składowe w kartezjańskim układzie

współrzędnych XYZ, w którym wersory (wektory jednostkowe) i , j , k

stanowią bazę: v=vx i +v y j+v z k .Sumę dwóch wektorów definiujemy przez sumę ich składowych. Jeżeli

|v ⟩=∑i

vi|i ⟩

oraz |w ⟩=∑

iwi|i ⟩

,to

|v ⟩+|w ⟩=∑i(v i+wi )|i ⟩

.

58

Mnożenie wektora przez skalar polega na pomnożeniu przez skalar każdej składowej wektora:

a|v ⟩=∑i

av i|i⟩.

Iloczyn skalarny (inner product) ⟨v|w⟩ dwóch wektorów jest liczbą zespoloną spełniającą następujące aksjomaty:

1. ⟨v|v ⟩≥0 . ⟨v|v ⟩=0 wtedy i tylko wtedy, gdy |v ⟩=|0 ⟩ .2. ⟨v|w⟩=⟨w|v ⟩

¿. Iloczyn skalarny jest symetryczny względem

sprzężenia zespolonego (conjugate symetry).

3. ⟨ v|(a|w ⟩+b|u ⟩ )=a ⟨v|w ⟩+b ⟨v|u ⟩ . Iloczyn skalarny jest liniowy (linearity).7

Jeżeli ⟨v|w⟩=0 , to wektory |v ⟩ i |w ⟩ nazywamy ortogonalnymi (orthogonal). Ortogonalność jest pewnym uogólnieniem pojęcia prostopadłości wektorów na płaszczyźnie, jednak nie należy tych pojęć utożsamiać. Na przykład – dokładniej będzie o tym mowa w dalszej części pracy – stany ortogonalne (określone w przestrzeni Hilberta) takiej własności cząstek elementarnych jak spin odpowiadają przeciwnym

kierunkom w przestrzeni fizycznej (na przykład |↑ ⟩ i |↓ ⟩ – „w górę” i „w

dół”, albo |→ ⟩ i |← ⟩ – „w prawo” i „w lewo” względem określonych

kierunków w przestrzeni, natomiast stany |↑ ⟩ i |→ ⟩ (prostopadłe w 7 Liniowość określamy względem drugiego czynnika w iloczynie. Iloczyn skalarny

jest antyliniowy (anti-linearity) względem pierwszego czynnika w iloczynie, co

zapisujemy następująco: ⟨(av+bw )|u⟩=a¿ ⟨v|u⟩+b¿ ⟨w|u⟩ . Własność ta wynika bezpośrednio z aksjomatu 2.

59

przestrzeni fizycznej) nie są do siebie ortogonalne.Normą (norm) lub długością (lenght) wektora nazywamy wyrażenie:

|v|=√⟨v|v ⟩ .Jeżeli wektor ma normę jednostkową, to wektor taki nazywamy

unormowanym do jedności (normalized vector). Przestrzeń liniową nad ciałem liczb zespolonych (linear space over complex numbers) z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią Hilberta (Hilbert space). Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią stanów mechaniki kwantowej, co znaczy, że stan układu w mechanice kwantowej reprezentowany jest przez wektor z przestrzeni Hilberta. Iloczyn skalarny odgrywa fundamentalną rolę w mechanice kwantowej, ponieważ jest używany do obliczania prawdopodobieństw wyników pomiarów wielkości fizycznych.

Zbiór wektorów bazy, z których każdy ma normę (długość) jednostkową i które są parami ortogonalne nazywamy bazą ortonormalną (orthonormal). Wektory bazy ortonormalnej spełniają warunek:

⟨ i| j ⟩=δ ij=1 dla i= j0 dla i≠ j .

Jeżeli dwa wektory przedstawione za pomocą składowych w bazie i-tej i j-tej następująco:

|v ⟩=∑i

v i|i⟩,

|w ⟩=∑j

w j| j ⟩,

wówczas iloczyn skalarny może być przedstawiony jako:

60

⟨v|w⟩=∑i∑

jv i¿w j ⟨i| j⟩

.

Po skorzystaniu z własności delty Kroneckera (⟨i| j⟩=δ ij) , wyrażenie na iloczyn skalarny redukuje się do następującej postaci:

⟨v|w⟩=∑i

vi¿wi

.

Podprzestrzeń (subspace) jest to podzbiór elementów przestrzeni liniowej V, które stanowią przestrzeń liniową. Na przykład dla wektorów na płaszczyźnie XY podprzestrzenią jest zbiór wektorów równoległych do osi OX i zbiór wektorów równoległych do osi OY.

Sumę dwóch podprzestrzeni V i⊕V j definiujemy jako zbiór zawierający wszystkie elementy pierwszej przestrzeni, wszystkie elementy drugiej przestrzeni i wszystkie ich kombinacje liniowe.

Podkreślić należy, że obiektów przestrzeni Hilberta, zwanych „wektorami”, nie należy utożsamiać z „wektorami-strzałkami” znanymi z elementarnej matematyki. Mogą to być zupełnie inne obiekty, takie jak na przykład funkcje, macierze albo jeszcze inne obiekty (oczywiście funkcji ani macierzy nie można przypisać długości i kierunku).

Ponieważ każdy wektor (ket) jest jednoznacznie wyznaczony przez składowe w pewnej bazie, to możemy go przedstawić jako macierz jednokolumnową:

|v ⟩→[ v1

v2

.. .vn]

Wektorom wierszowym [w1 w2 . .. wn ] można jednoznacznie

61

przyporządkować obiekty ⟨w|, zwane „bra”. Każdemu wektorowi

kolumnowemu (czyli ketowi) |v ⟩ można przyporządkować wektor bra ⟨ v| przez transpozycję (kolumnę zamieniamy na wiersz) i sprzężenie zespolone:

⟨ v|→ [v1¿ v2

¿ . . . vn¿ ] .

Otrzymujemy w ten sposób dwie przestrzenie wektorowe: przestrzeń ketów i przestrzeń bra (zwaną przestrzenią dualną – dual space). Każdemu ketowi odpowiada pewien bra. Iloczyn skalarny wektorów jest iloczynem macierzy transponowanej względem wektora kolumnowego

|v ⟩ ze sprzężeniem zespolonym i wektora kolumnowego |w ⟩ , co zapisujemy następująco:

⟨v|w⟩=[ v1¿ .. . vn

¿ ]⋅[w1

.. .wn]=v1

¿w1+ .. .+vn¿ wn=∑

iv i¿wi

.

Jeżeli ketowi |v ⟩ odpowiada bra ⟨ v|, wówczas ketowi a|v ⟩=|av ⟩ odpowiada bra ⟨ av|, przy czym ⟨ av|=⟨ v|a¿ .

Operatory liniowe

Operatorem (operator) działającym na przestrzeni liniowej V nazywamy odwzorowanie, które pewnemu wektorowi przyporządkowuje inny wektor, albo – inaczej mówiąc – przekształca jeden ket w inny ket:

Ω|v ⟩=|v ' ⟩ .

62

Operator nazywamy operatorem liniowym (linear operator) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek (w dalszej części będziemy rozważać jedynie operatory liniowe):

Ω( a |v ⟩+b |u ⟩ )=a Ω|v ⟩+b Ω|u ⟩ .8

Najprostszym operatorem jest operator jednostkowy I (zwany też operatorem tożsamościowym lub identycznościowym – identity

operator). Operator jednostkowy działając na dowolny ket |v ⟩ nie zmienia jego postaci:

I|v ⟩=|v ⟩ .

W celu zilustrowania działania operatorów na dowolny ket rozważmy następujący przykład.9 Niech R będzie operatorem obrotu o kąt ½π wokół osi OX w przestrzeni trójwymiarowej. Działanie tego operatora na

wektory bazy, które oznaczymy |1 ⟩ , |2 ⟩ i |3 ⟩ możemy zapisać następująco (por. rys. #):

R|1 ⟩=|1⟩R|2 ⟩=|3 ⟩

R|3 ⟩=−|2 ⟩

8 Podobnie, operator nazywamy operatorem antyliniowym (anti-linear operator),

jeżeli spełniony jest warunek: Ω( α |v ⟩+ β |w ⟩ )=α¿ Ω|v ⟩+β¿ Ω|w ⟩ .9 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 36-37.

63

Rys. #. Operator R obrotu o kąt ½π wokół osi OX w przestrzeni trójwymiarowej

Jeżeli znamy działanie dowolnego operatora na wektory bazy, wówczas znamy również działanie tego operatora na dowolny wektor.

Jeżeli |i ⟩ są wektorami bazy, to:

Ω|i ⟩=|i ' ⟩ .

Wiemy, że każdy wektor |v ⟩ można rozłożyć na składowe w pewnej bazie:

|v ⟩=∑i

v1|i ⟩.

Działając operatorem Ω na ten wektor otrzymujemy:

Ω|v ⟩=Ω∑i

v1|i ⟩=∑iΩv i|i ⟩=∑

iv i|i ' ⟩

.

W przestrzeni trójwymiarowej dowolny wektor możemy zapisać w postaci następującej kombinacji liniowej wektorów bazy:

|v ⟩=v1|1 ⟩+v2|2⟩+v3|3 ⟩

64

W przypadku rozważanego operatora obrotu R otrzymujemy:

R|v ⟩=Rv1|1 ⟩+Rv2|2 ⟩+Rv3|3 ⟩=v1|1 ⟩+v2|3 ⟩−v3|2 ⟩ .

Iloczyn dwóch operatorów spełnia następujący warunek:

AΩ|v ⟩=A(Ω|v ⟩ )=A|Ω v ⟩ .

Rezultat działania iloczynu operatorów na dowolny ket obliczamy

działając najpierw operatorem znajdującym się przy kecie |v ⟩ (i

uzyskując pewien nowy ket |Ωv ⟩ ), a następnie działając drugim operatorem na ket, będący rezultatem działania pierwszego operatora.

Podobnie jak w przypadku macierzy mnożenie operatorów na ogół nie jest przemienne. Wyrażenie

[ A ,Ω]=AΩ−Ω A

nazywamy komutatorem operatorów (commutator). Jeżeli komutator dwóch operatorów jest równy zero AΩ−Ω A=0 , to mówimy, że operatory takie komutują ze sobą (są przemienne). Wówczas kolejność działania tych operatorów na dowolny wektor nie ma znaczenia: AΩ=Ω A . Jeżeli komutator operatorów nie jest równy zero AΩ−Ω A≠0, to operatory takie nie komutują ze sobą (nie są przemienne). Wtedy AΩ≠Ω A i rezultat działania na dowolny wektor stanu zależy od kolejności.

Operatorem odwrotnym (inverse operator) Ω-1 do operatora Ω nazywamy taki operator, że iloczyn danego operatora i operatora do niego odwrotnego jest operatorem jednostkowym:

65

ΩΩ−1=Ω−1Ω=I .

Operator może również działać na wektory bra – warunki liniowości i pozostałe są podobne, jak w przypadku operatorów działających na kety:

⟨ v|Ω=⟨ v '|,(⟨ v|a+⟨u|b )Ω=a ⟨ v|Ω+b ⟨u|Ω .

Przestrzeń wektorów bra tworzy przestrzeń dualną (dual space). Wektory bra i wektory ket są różnymi, ale związanymi ze sobą obiektami.

Każdemu ketowi a|v ⟩=|av ⟩ odpowiada pewien wektor bra ⟨ av|=⟨ v|a¿ . Podobnie każdemu ketowi

Ω|v ⟩=|Ωv ⟩odpowiada pewien wektor bra:

⟨Ω v|=⟨ v|Ω†.

Operator Ω†

(czytaj: omega z krzyżem, ang. dagger – sztylet) nazywamy operatorem sprzężonym (adjoint operator) do operatora Ω , gdy spełniony jest następujący warunek:

⟨u|Ω† v ⟩=⟨Ωu|v ⟩ .

Elementy macierzowe operatora w pewnej bazie można zapisać następująco:

Ω†

ij=⟨ i|Ω†| j ⟩=⟨Ω i| j ⟩=⟨ j|Ω i ⟩¿=Ω¿

ji.

66

Oznacza to, że macierz odpowiadająca operatorowi sprzężonemu Ω†

jest macierzą transponowaną i sprzężoną w sensie zespolonym w stosunku do macierzy odpowiadającej operatorowi Ω .

Operator nazywamy operatorem samosprzężonym (self-adjoint operator), albo operatorem hermitowskim (Hermitian operator), jeżeli

H†=H .

Operatory hermitowskie pełnią fundamentalną rolę w mechanice kwantowej – wielkości fizyczne mierzalne (obserwable) są reprezentowane właśnie przez operatory hermitowskie. Wartości własne operatorów hermitowskich wyrażają się liczbami rzeczywistymi (real numbers) i są interpretowane jako wyniki pomiarów wielkości fizycznych reprezentowanych przez dany operator.

Operatory hermitowskie spełniają następujące zależności:

⟨v|Hu ⟩=⟨Hv|u⟩=⟨v|H † u⟩ .

Operator nazywamy operatorem unitarnym (unitary operator), jeżeli

U† U=I .

Po wprowadzeniu operatora unitarnego do iloczynu skalarnego nie zmienia się wartość norm wektorów (co znaczy również, że wartość iloczynu skalarnego pozostaje taka sama):

⟨Uu|Uv ⟩=⟨u|v ⟩ .Ponieważ

⟨Uu|Uv ⟩=⟨u|U† Uv⟩ ,

to iloczyn operatora unitarnego i operatora doń sprzężonego jest równy

67

operatorowi jednostkowemu:

U†=U−1.

Załóżmy, że mamy pewną bazę |i ⟩ n wektorów ortonormalnych (unormowanych do jedności i parami ortogonalnych). Baza taka jednoznacznie określa n-wymiarową przestrzeń Hilberta, w której

dowolny ket |v ⟩ jest reprezentowany przez n współrzędnych:

|v ⟩→[⟨1|v ⟩⟨2|v ⟩.. .⟨n|v ⟩ ] .

Wektor bazy |k ⟩ jest wówczas reprezentowany przez wektor kolumnowy, w którym występują same zera i jedynka na k-tym miejscu:

|k ⟩→[⟨1|k ⟩⟨2|k ⟩.. .⟨k|k ⟩.. .⟨n|k ⟩

]=[00.. .1.. .0].

Podobnie jak każdy wektor (ket) można przedstawić w postaci składowych w pewnej bazie za pomocą n liczb, tak każdy operator może być przedstawiony w postaci macierzy n×n , czyli za pomocą n2 liczb. Elementy macierzowe tej macierzy nazywamy elementami macierzowymi operatora (matrix elements).

68

Załóżmy, że mamy pewną bazę |i ⟩ .10 Wówczas transformację

wektorów bazy do nowej bazy |i ' ⟩ można zapisać jako

Ω|i ⟩=|i ' ⟩ .

Transformację dowolnego wektora obliczamy następująco:

Ω|v ⟩=Ω∑i

v i|i ⟩=∑i

v iΩ|i ⟩=∑i

vi|i ' ⟩

Wektory nowej bazy |i ' ⟩ są znane, jeśli znane są ich składowe w bazie pierwotnej, czyli liczby

⟨ j|i ' ⟩=⟨ j|Ω|i ⟩=Ω ji .

Liczby te nazywamy właśnie elementami macierzowymi operatora w danej bazie.

Składowe dowolnego wektora |v ' ⟩ powstającego z wektora |v ⟩ po

transformacji bazy z |i ⟩ do |i ' ⟩ można wyrazić za pomocą składowych

wektora |v ⟩ i elementów macierzowych operatora Ωij :

vi '=⟨ i|v ' ⟩=⟨ i|Ω|v ⟩=⟨ i|Ω(∑j v j| j⟩ )= ∑

jv j⟨ i|Ω| j ⟩

= ∑

jΩij|v j ⟩

.

Transformację wektora możemy zapisać również następująco:

10 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 38n; R. G. Griffiths, Consistent Quantum Theory…, s. 32n.

69

[v1 'v2 '.. .vn ' ]=[

⟨ 1|Ω|1 ⟩ ⟨1|Ω|2⟩ . .. ⟨1|Ω|n ⟩⟨ 2|Ω|1 ⟩ ⟨2|Ω|2 ⟩ . .. ⟨2|Ω|2⟩. .. .. . . .. . ..⟨ n|Ω|1 ⟩ ⟨n|Ω|2 ⟩ . .. ⟨ n|Ω|n ⟩ ]⋅[

v1

v2

. . .vn].

Poszczególne kolumny tej macierzy są składowymi wektora otrzymanego przez przekształcenie kolejnych wektorów bazy.

Przejdziemy teraz do omówienia bardzo ważnej klasy operatorów stosowanych w mechanice kwantowej, a mianowicie operatorów rzutowych.

Wiemy, że dowolny ket |v ⟩ można zapisać w bazie |i ⟩ następująco:

|v ⟩=∑i|i ⟩ ⟨ i|v ⟩

,

gdzie iloczyn skalarny ⟨ i|v ⟩ oznacza i-tą składową wektora w danej bazie. Powyższe równanie możemy zapisać następująco:

|v ⟩=(∑i|i ⟩ ⟨ i|)|v ⟩

.

Ponieważ równanie to jest spełnione dla dowolnego wektora, to wyrażenie w nawiasie musi być operatorem jednostkowym:

I=∑i|i ⟩ ⟨ i|

.

Równanie to możemy zapisać w następującej postaci:

I=∑i|i ⟩ ⟨ i|=∑

iPi

,

70

gdzie Pi=|i ⟩ ⟨ i| nazywamy operatorem rzutowym (projection operator,

projector) na ket |i ⟩ . Jego działanie na dowolny ket polega na rzutowaniu

tego keta na ket bazy |i ⟩ , czyli wydziela z dowolnego keta |v ⟩ jego część

skierowaną w kierunku |i ⟩ :

Pi|v ⟩=|i ⟩ ⟨ i|v ⟩ .

Rys. #. Ilustracja działania operatora rzutowania Pi na wektor |v ⟩ .

Zauważmy, że suma wszystkich operatorów rzutowych jest równa operatorowi jednostkowemu:

I=∑i

Pi.

Równanie to nosi nazwę relacji zupełności – suma rzutów wektora na wszystkie kierunki bazy jest równa temu wektorowi. Fakt ten ma ważne konsekwencje dla obliczania prawdopodobieństw rezultatów pomiarów w mechanice kwantowej. Otóż proces pomiaru może być opisany właśnie za pomocą operatorów rzutowych jako rzutowanie wektora stanu na podprzestrzeń stanów własnych operatora odpowiadającego mierzonej

71

wielkości fizycznej. Wielkości ⟨ i|v ⟩ nazywamy amplitudami prawdopodobieństwa. Operator rzutowy jest hermitowski, czyli P† = P i idempotentny (indempotent). Ostatni warunek oznacza, że P2 = P, co znaczy, że ponowne rzutowanie na ten sam wektor bazy nie zmienia już postaci wektora:

Pi Pi=|i ⟩ ⟨ i||i ⟩ ⟨ i|=⟨i|i⟩|i ⟩ ⟨ i|=|i ⟩ ⟨ i|=Pi .

Wielkość ⟨ i|i ⟩ , która jest iloczynem skalarnym (czyli liczbą

zespoloną), należy odróżnić od wielkości |i ⟩ ⟨ i|, która jest operatorem. Jest to iloczyn pewnego keta i keta do niego sprzężonego (wzięty w odwrotnej kolejności w stosunku do iloczynu skalarnego), co możemy zapisać następująco:

|i ⟩⟨ i|→[ 0. ..1

. ..0]⋅[0 . . . 1 . . . 0 ]=[ 0 . . . 0

. .. 1 . ..

0 . . . 0].

Odpowiadająca mu macierz ma wszystkie elementy macierzowe równe zero, poza jedynką na i-tym miejscu na przekątnej. Iloczyn keta i keta do niego sprzężonego nazywamy iloczynem zewnętrznym (outer product) w odróżnieniu od iloczynu skalarnego, nazywanego niekiedy iloczynem wewnętrznym (inner product to dosłownie „iloczyn wewnętrzny”, ale w polskiej literaturze używa się terminu „iloczyn skalarny”).

W mechanice kwantowej podstawowe znaczenie ma równanie własne operatora. Ma ono następującą postać:

72

Ω|v ⟩=λ|v ⟩ .

W tym wypadku działanie operatora Ω na ket |v ⟩ sprowadza się do pomnożenia tego keta przez liczbę, którą nazywamy wartością własną

(eigenvalue) operatora. Ket |v ⟩ nazywamy wówczas wektorem własnym (eigenvector). Dla operatorów hermitowskich wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Możliwe wartości obserwabli są reprezentowane przez wartości własne operatorów.

Rozważmy konkretny przykład.11 Niech operator będzie macierzą 2 na 2 o następującej postaci:

Ω=[1 22 1 ]

Wówczas wektory

|v1 ⟩=[11 ]oraz

|v2⟩=[ 1−1]

są wektorami własnymi, ponieważ:

[1 22 1 ]⋅[11 ]=[1+2

2+1 ]=[33 ]=3[11 ] ,11 L. Susskind, Mechanika kwantowa…, s. 67.

73

[1 22 1 ]⋅[ 1

−1]=[1−22−1 ]=[−1

1 ]=−1 [ 1−1]

W rezultacie działania operatora w pierwszym przypadku wektor został po prostu pomożony przez 3, w drugim natomiast pomnożony przez –1. Liczby 3 i – 1 są wartościami własnym tego operatora.

Jeżeli dwa operatory komutują ze sobą, wówczas posiadają one wspólną bazę wektorów własnych i wartości wielkości fizycznych reprezentowanych przez te operatory mogą być zmierzone jednocześnie z dowolną dokładnością. Jeśli operatory nie komutują ze sobą, to nie mają wspólnych wektorów własnych i wartości wielkości fizycznych reprezentowanych przez te operatory nie mogą być zmierzone jednocześnie z dowolną dokładnością. Nieprzemienność (noncommutativity) pewnych operatorów jest charakterystyczną cechą formalizmu mechaniki kwantowej. Proces pomiaru jest reprezentowany przed działanie operatora na wektor stanu i pomiar na układzie kwantowym zmienia stan tego układu, co w fundamentalny sposób odróżnia pomiary kwantowe od pomiarów klasycznych. Kolejność wykonywanych pomiarów ma istotne znaczenie, o czym będzie szerzej mowa w rozdziale dotyczącym zasady nieoznaczoności Heisenberga.

Wektory własne operatora hermitowskiego tworzą zupełną bazę wektorów własnych, zatem każdy wektor może być przedstwiony jako suma wektorów własnych operatora hermitowskiego. Twierdzenie to ma fundamentalne znaczenie w mechanice kwantowej.12

Reprezentacja macierzowa operatora hermitowskiego w bazie jego wektorów własnych jest macierzą diagonalną o elementach przekątniowych równych odpowiednim wartościom własnym operatora:

Ωij=⟨ i|Ω| j ⟩=aij ⟨ i| j⟩=ai δij ,czyli

12 Por. L. Susskind, Mechanika kwantowa…, s. 73.

74

[ a1 0 . .. 00 a2 . .. 0.. . .. . . .. . ..0 0 . .. an

].

Śladem operatora (trace) nazywamy sumę jego diagonalnych elementów macierzowych:

TrΩ=∑iΩii

.

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami x, y, z… oznaczać będziemy elementy zbiorów, wielkimi literami X, Y, Z… – zbiory, natomiast symbolami f(x), g(x), … – funkcje. Wyrażenie x∈ X znaczy „element x należy do zbioru X”. Zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy.

Funkcją f (function) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X jednego i tylko jednego elementu zbioru Y, co symbolicznie zapisujemy następująco:

f : X→Y .

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji (domain of a function), zbiór Y –zbiorem wartości funkcji (range of a function).

Funkcje mogą być określone na zbiorach liczbowych, przestrzeniach wektorowych, macierzach, operatorach i innych obiektach matematycznych. W przypadku funkcji liczbowej możemy wyrazić ją w

75

postaci równania:y=f ( x ) ,

gdzie f ( x ) określa sposób przyporządkowania elementów jednego

zbioru elementom drugiego zbioru. Zależność y= f ( x ) możemy przedstawić na płaszczyźnie, otrzymując w ten sposób wykres funkcji. Na osi OX reprezentujemy dziedzinę funkcji, natomiast na osi OY zbiór wartości funkcji.

Granica funkcji w punkcie. Funkcja y= f ( x ) ma granicę (limit) równą g w punkcie x=a wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdej dowolnie

małej liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0 , że jeżeli |x−a|<δ to

|f ( x )−g|<ε . Zapisujemy to następująco:

limx→a

f ( x )=g.

Czytamy „limes przy x dążącym do a f ( x ) równa się g” (łac. limes –

granica). Występujący w definicji symbol |x| nazywamy wartością bezwzględną (modułem) liczby x i definiujemy następująco:

|x|=x dla x≥0-x dla x<0

Z definicji wynika, że wartość bezwzględna każdej liczby jest nieujemna.

Niekiedy mamy do czynienia z taką sytuacją, że musimy określić granicę funkcji, gdy x rośnie nieograniczenie, co zapisujemy symbolicznie:

limx→∞

f ( x )=g,

76

co czytamy: „limes przy x dążącym do nieskończoności f ( x ) równa się g”. Na przykład wartość siły grawitacji w teorii Newtona jest proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między przyciągającymi się ciałami (G jest pewną uniwersalną stałą fizyczną, zwaną stałą grawitacji):

F=Gm 1 m2

r2

Znaczy to, że jeżeli ciała odsuniemy na odległość dwa razy większą, to będą się przyciągać cztery razy słabiej, jeżeli odsuniemy je na odległość trzy razy większą, to będą się przyciągać dziewięć razy słabiej itd., ale dla żadnej skończonej odległości nie otrzymamy wartości równej zero. Wartość siły grawitacji asymptotycznie dąży do zera, gdy odległość między ciałami dąży do nieskończoności (por. rys. #). Asymptotą funkcji nazywamy prostą, do której dana krzywa zbliża się nieograniczenie, ale nigdy jej nie osiąga.

Rys #. Wykres wartości siły grawitacji w teorii Newtona w zależności od odległości między dwoma ciałami.

77

Ciągłość funkcji. Funkcja f ( x ) jest ciągła w punkcie x=a wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ona granicę w tym punkcie, posiada wartość w tym punkcie i granica równa jest wartości:

limx→a

f ( x )=f (a )

Innymi słowy, funkcja f ( x ) jest ciągła w punkcie x=a wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona określona w tym punkcie i dla każdej dowolnie małej

liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0 , że jeżeli |x−a|<δ to

|f ( x )− f (a )|<ε .

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Jeżeli funkcja f ( x ) jest ciągła w przedziale a< x<b oraz dla pewnego punktu x w tym przedziale istnieje granica

limΔx→0

f ( x+Δx )−f ( x )Δx

to granicę tę nazywamy pochodną funkcji (derivative) w tym punkcie i

oznaczamy symbolem f ' ( x ) albo df ( x )

dx . Niekiedy możemy obliczyć pochodną pochodnej funkcji, co nazywamy drugą pochodną i zapisujemy

f ''( x ) albo

d2 f ( x )dx 2

. Ogólnie możemy mówić o n-tej pochodnej funkcji (o ile taka istnieje).

Interpretacja geometryczna pochodnej. Na rysunku # przedstawiono wykres funkcji w przedziale a< x<b . Sieczna przecina wykres funkcji

w punktach o współrzędnych A( x , f ( x ) ) oraz B( x+Δx , f ( x+Δx ))pod kątem α do osi OX. Jeżeli przyrost wartości argumentu Δx dąży do zera, wówczas sieczna przechodzi w styczną do wykresu funkcji w punkcie x. Tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie x jest równy

78

pochodnej funkcji w tym punkcie (por. rys. #):

tg α=df ( x )dx

Interpretacja fizyczna pochodnej. Jeżeli jakaś funkcja wyraża

zależność pewnej wielkości fizycznej od czasu t, co zapisujemy y= f ( t ) , wówczas pochodna po czasie danej wielkości fizycznej wyraża szybkość zmian tej wielkości. Jeżeli pochodna po czasie funkcji jest równa 0, to znaczy, że wielkość ta nie zmienia się w czasie (jest stała). Na przykład w mechanice klasycznej, jeżeli zależność położenia od czasu poruszającego

się ciała wyraża się funkcją x ( t ), to pochodna tej funkcji po czasie jest prędkością ciała:

v=dx ( t )dt .

Rys. #. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie.

79

Różniczka (differential). W fizyce często mamy do czynienia z wielkościami nieskończenie małymi (infinitezymalnymi). Jeżeli przyrost pewnej wielkości dąży do zera, to zamiast Δx piszemy dx i obiekt taki nazywamy różniczką, co znaczy właśnie, że mamy na myśli nieskończenie małą zmianę x. Różniczką funkcji nazywamy iloczyn jej pochodnej przez różniczkę zmiennej niezależnej, co zapisujemy następująco:

dy=f ' ( x )dx

Równanie różniczkowe (differential equation). Równanie różniczkowe

wyraża związek między funkcją y= f ( x ) , jej pochodnymi i zmienną niezależną x:

F ( y , y ', . .. , x )=0

Jeżeli najwyższy rząd pochodnej funkcji y wynosi n, to równanie różniczkowe nazywamy równaniem n-tego stopnia. Wiele problemów w fizyce sprowadza się do rozwiązania odpowiednich równań różniczkowych. Na przykład druga zasada dynamiki Newtona dla cząstki o masie m poruszającej się wzdłuż osi OX pod działaniem siły F może być przedstawiona w postaci następującego równania różniczkowego:

m d2 xdt 2 =F

Możemy je odczytać następująco: iloczyn masy cząstki i jej przyspieszenia (czyli drugiej pochodnej położenia po czasie) jest równy działającej sile. Rozwiązanie tego równania pozwala na obliczenie trajektorii poruszającej się cząstki, a zatem na jednoznaczne przewidywanie jej ruchu. Rozwiązanie równań różniczkowych otrzymujemy dzięki działaniu zwanym całkowaniem, dlatego potrzebna będzie nam jeszcze definicja całki (integral).

80

Całka nieoznaczona (indefinite integral). Całką nieoznaczoną funkcji f ( x ) nazywamy funkcję F (x ), której pochodna jest równa funkcji f ( x ) , co zapisujemy:

∫ f ( x )dx=F ( x )+C

Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania i polega

na poszukiwaniu funkcji F (x ), zwanej funkcją pierwotną (antiderivative). Ponieważ pochodna dowolnej stałej C z definicji wynosi

0, to wszystkie funkcje pierwotne funkcji f ( x )wyrażają się wzorem: F (x )+C .

Rys. #. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej – wartość całki oznaczonej jest równa polu powierzchni pod krzywą między punktami a i b.

Całkę oznaczoną (definite integral) obliczamy następująco (por. rys.

#): jeżeli F (x ) jest funkcją pierwotną funkcji f ( x ), to:

∫a

b

f ( x )dx= F(b )−F (a )

81

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej: całka oznaczona z

funkcji f ( x ) jest równa polu pod krzywą będącą wykresem funkcji f ( x ) ograniczoną wartościami x=a i x=b .

Przy rozwiązywaniu konkretnych problemów fizycznych często korzysta się z gotowych wzorów na obliczanie pochodnych i całek, niekiedy konieczne jest stosowanie metod przybliżonych. Sformułowanie podstaw rachunku różniczkowego i całkowego zawdzięczmy Isaacowi Newtonowi i niezależnie Gottfiedowi Wilhelmowi Leibnizowi (XVII w.). Rachunek ten stanowi niezwykle potężne narzędzie fizyki współczesnej i można śmiało powiedzieć, że bez niego fizyka byłaby po prostu niemożliwa.

Przedstawione w niniejszym wprowadzeniu matematycznym elementy matematyki mechaniki kwantowej są wystarczające do zrozumienia na podstawowym poziomie postulatów mechaniki kwantowej, a następnie do dyskusji jej filozoficznych zagadnień.

82

Postulaty mechaniki kwantowej

W sformułowaniu opartym na teorii przestrzeni Hilberta podstawowe zasady mechaniki kwantowej można przedstawić w postaci czterech następujących postulatów.1

Reprezentacja stanu układu

Stan układu kwantowomechanicznego w pewnej chwili t (system state) jest reprezentowany przez unormowany do jedności wektor z zespolonej

przestrzeni Hilberta |Ψ ⟩ . Pojęcie stanu układu jest oczywiście stosowane również w mechanice

klasycznej – stan układu mechanicznego w pewnej chwili t wyznaczony

jest przez pędy i położenia wszystkich elementów układu: p( t ) i q ( t ). W mechanice klasycznej wprowadza się pojęcie przestrzeni fazowej. Jest to pewna abstrakcyjna przestrzeń matematyczna, wyznaczona przez pędy i położenia, w której jeden punkt reprezentuje stan układu mechanicznego w danej chwili. Na przykład dla ruchu wahadła bez tarcia trajektorią w przestrzeni fazowej jest okrąg reprezentujący cyklicznie zmieniające się pęd i położenie wahadła, natomiast dla ruchu wahadła z uwzględnieniem oporów środowiska trajektoria jest spiralą – wprawione w ruch wahadło porusza się coraz wolniej i zatrzymuje się w punkcie o współrzędnych p=0 i q=0 reprezentującym spoczynek (por. rys. #).

1 Istnieją również inne sformułowania mechaniki kwantowej (por. rozdział o interpretacjach mechaniki kwantowej). W podręcznikach mechaniki kwantowej można też znaleźć różną liczbę postulatów (nazywanych niekiedy także aksjomatami lub zasadami). Ta niejednoznaczność nie stanowi jednak problemu, ponieważ wszystkie sformułowania zawierają taką samą treść fizyczną i prowadzą do takich samych konsekwencji obserwacyjnych.

83

Rys. #. Trajektoria w przestrzeni fazowej dla ruchu wahadła a) bez tarcia; b) z tarciem.

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią stanów mechaniki kwantowej.

Wektor stanu |Ψ ⟩ reprezentuje stan układu kwantowego w pewnej chwili t. O ile jednak pędy i położenia są w mechanice klasycznej wielkościami fizycznymi bezpośrednio mierzalnymi (lub obserwowalnymi), o tyle

wektor stanu |Ψ ⟩ w mechanice nie reprezentuje on niczego, co można bezpośrednio zaobserwować lub zmierzyć, ale znajomość wektora stanu pozwala na obliczenie prawdopodobieństw rezultatów pomiarów różnych wielkości fizycznych, zgodnie z przedstawionym w dalszej części postulatem pomiaru. Probabilistyczna interpretacja wektora stanu (funkcji falowej) została sformułowana przez Maxa Borna (1926) i stanowi jeden z fundamentów kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej Bohra i Heisenberga (o interpretacjach mechaniki kwantowej będzie mowa w dalszej części pracy). Zgodnie z interpretacją kopenhaską wektor stanu

|Ψ ⟩ zawiera wszystkie informacje o układzie, czyli może być utożsamiony ze zbiorem informacji o układzie, jakie pozwala uzyskać

84

fizyka.2

Rozważmy tę kwestię nieco dokładniej. Informacje o obiektach kwantowych uzyskujemy wykonując pomiary różnych wielkości fizycznych za pomocą przyrządów pomiarowych, które oddziałują z badanym obiektem. W mechanice klasycznej zaburzenie stanu badanego obiektu związane z działaniem przyrządu pomiarowego może być zminimalizowane tak, że nie zmienia w istotny sposób stanu układu. W mechanice kwantowej tak jednak nie jest – „eksperymenty – jak rzecz ujmuje Leonard Susskind – nigdy nie są delikatne”3, zawsze mają charakter „inwazyjny” w tym znaczniu, że oddziaływanie, które pozwala zmierzyć jakąś cechę układu zaburza jednocześnie inną cechę tego układu. Precyzyjniej rzecz ujmując, jeżeli operatory reprezentujące dwie obserwable nie komutują ze sobą (zatem nie posiadają wspólnej bazy wektorów własnych), to pomiar jednej z nich całkowicie niszczy informację o drugiej.

Mówiąc, że układ kwantowy znajduje się w stanie reprezentowanym

przez wektor stanu |Ψ ⟩ , rozumiemy przez to, że układ został przygotowany w pewien sposów, to znaczy, że w rezultacie oddziaływania z przyrządem pomiarowym układ znalazł się w jednym ze stanów własnych operatora reprezentującego mierzoną wielkość fizyczną. Jeżeli na przykład eksperyment będzie polegać na pomiarze składowej spinu elektronu, to w rezultacie oddziaływania elektronu z przyrządem pomiarowym możemy uzyskać jedynie dwa możliwe ustawienia spinu elektronu względem pewnej osi w przestrzeni – powiedzmy z. Możliwe wyniki oznaczny „spin w górę” albo „spin w dół”. Załóżmy, że w rezultacie pomiaru uzyskaliśmy wartość „spin w górę”. Znamy wówczas stan kwantowy, czyli wiemy, w jaki sposób układ został przygotowany. Kolejny pomiar, mający na celu określenie składowej spinu w kierunku tej samej osi da z całkowitą pewnością rezultat „spin w górę”. Rezultat pomiaru jest więc w tym przypadku całkowicie zdeterminowany, to

2 Por. I. Białynicki-Birula, E. Białynicka-Birula, Elektrodynamika kwantowa…, s. 15; M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów…, s. 17.

3 L. Susskind, Mechanika kwantowa…, s. 26.

85

znaczy można go przewidzieć z całkowitą pewnością. Inaczej jednak przedstawia się możliwość przewidywania rzutu spinu na inną oś, powiedzmy x. Ponieważ operatory składowych spinu nie komutują ze sobą, wektor własny ospowiadający składowej z spinu nie jest wektorem własnym odpowiadającym składowej x, zatem mierząc składową spinu w kierunku osi x możemy z równym prawdopodobieństwem otrzymać „spin w prawo” albo „spin w lewo”. Określona wartość pojawia się losowo i w tym sensie wynik pomiaru nie jest zdeterinowany.

W mechanice kwantowej obowiązuje zasada superpozycji stanów (superposition), która jest bezpośrednią konsekwencją liniowości przestrzeni Hilberta. Odpowiedzialna jest ona za wiele własności mikroświata, które w ogóle nie mają analogii w świecie naszego codziennego doświadczenia, dlatego też zasługuje na szczególną uwagę.4 Najprościej rzecz ujmując, zasada superpozycji oznacza, że jeżeli układ

może się znaleźć w stanie opisanym wektorem stanu |Ψ 1 ⟩ i może się

znaleźć w stanie opisanym wektorem stanu |Ψ 2 ⟩ itd., to może się również znaleźć w stanie opisanym dowolną kombinacją liniową tych stanów (linear combination),5 co możemy zapisać następująco:

|Ψ ⟩=a1|Ψ 1 ⟩+a2|Ψ 2 ⟩+. .. ,

gdzie a1, a2, … oznaczają dowolne liczby zespolone, które nazywamy amplitudami prawdopodobieństwa (probability amplitude).

Co ten zapis właściwie oznacza, najłatwiej będzie zrozumieć odwołując się do opisanego w rozdziale pierwszym eksperymentu na dwóch szczelinach (por. rys. #). Ze źródła Z wysyłamy pojedynczy elektron, który może dotrzeć do ekranu dwiema różnymi drogami,

4 Zasada superpozycji odegrała dużą rolę w historycznym rozwoju mechaniki kwantowej. Por. P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics….

5 Pewne ograniczenia zasady superpozycji wynikają z zasad zachowania i symetrii. S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 150n.

86

przechodząc przez szczelinę S1 lub6 przez szczelinę S2. Myślenie oparte na schemacie pojęciowym mechaniki klasycznej podpowiada nam, że niepodzielna cząstka, jaką jest elektron, może przejść albo przez jedną albo przez drugą szczelinę. Wiemy jednak, że taki sposób rozumowania jest błędny, ponieważ uniemożliwia wyjaśnienie efektu interferencji. Jeżeli jakiekolwiek zjawisko kwantowe może zajść na dwa lub więcej sposobów, to w celu jego poprawnego opisu, musimy uwzględnić wszystkie możliwości. W przypadku eksperymentu na dwóch szczelinach

możemy wprowadzić następujące oznaczenia: |Ψ ⟩ – elektron dociera do

punktu P na ekranie; |Ψ 1 ⟩ – elektron przechodzi przez szczelinę S1 i

dociera do punktu P na ekranie; |Ψ 2 ⟩ – elektron przechodzi przez szczelinę S2 i dociera do punktu P na ekranie. Ze względu na symetrię układu, amplitudy prawdopodobieństwa są sobie równe i wynoszą

a1=a2=1√2 (wyrażenie z pierwiastkiem pojawia się dlatego, że wektor

stanu musi być unormowany do jedności – prawdopodobieństwo zdarzenia zachodzącego jakąkolwiek drogą musi wynosić jeden). Możemy zatem zapisać:

|Ψ ⟩= 1√2(|Ψ 1 ⟩+|Ψ 2 ⟩ )

.

Zanajomość wektora stanu pozwala nam na obliczenie prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym elemencie

6 Terminu „lub” użyłem tutaj na oznaczenie alternatywy, a nie dysjunkcji. Przypomnijmy, że alternatywa zdań p lub q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedno ze zdań jest prawdziwe. Nie wyklucza to sytuacji, w której obydwa zdania są prawdziwe. Wprawdzie jest to elementarny fakt z logiki, ale mówiąc o elektronach przechodzących przez układ dwóch szczelin skłonni jesteśmy ujmować to zjawisko w kategoriach dysjunkcji właśnie (albo, albo), która jest prawdziwa wtedy, gdy tylko jedno ze zdań jest prawdziwe. Nie jest to jednak poprawne podejście do opisu eksperymentu interferencyjnego.

87

przestrzeni. Aby to zrobić musimy, podobnie jak w przypadku opisu klasycznych fal, obliczyć kwadrat modułu wektora stanu. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w pewnym punkcie x ekranu przy założeniu, że otwarte są obydwie szczeliny wynosi:

P( x )=||Ψ ⟩|2=12|(|Ψ 1 ⟩+|Ψ 2 ⟩ )|

2=12(|Ψ 1|

2+|Ψ 2|2+2⟨Ψ 1|Ψ 2⟩)

.

Pierwsze dwa człony wyrażenia w nawiasie są proporcjonalne do prawdopodobieństwa tego, że elektron przeszedł przez szczelinę S1 i trafił w punkt x ekranu oraz prawdopodobieństwa tego, że elektron przeszedł przez szczelinę S2 i trafił w punkt x ekranu, pojawia się natomiast dodatkowo pewien człon interferencyjny, co sprawia, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń nie jest równe sumie prawdopodobieństw (jeśli nie podejmujemy próby określenia które z możliwych zdarzeń zaszło). W mechanice kwantowej obowiązują różne od klasycznych sposoby obliczania prawdopodobieństwa: jeśli zdarzenie może zajść na wiele różnych sposobów, to musimy najpierw dodać do siebie zespolone amplitudy prawdopodobieństwa dla każdej z możliwości, a następnie podnieść je do kwadratu. Jeśli w doświadczeniu możemy określić, która z alternatywnych możliwości się zrealizowała (w naszym przykładzie: możemy określić przez którą szczelinę przeszedł elektron), wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw (brak interferencji).7 O różnicy między klasycznym (Kołmogorowa) a kwantowomechanicznym (von Neumanna) pojęciem prawdopodobieństwa powiemy jeszcze w dalszej części pracy.

Podsumujmy: jeśli jakieś zdarzenie może zajść na wiele alternatywnych sposobów, to w celu jego poprawnego opisu musimy uwzględnić wszystkie możliwości: dodajemy do siebie zespolone amplitudy prawdopodobieństwa i podnosimy sumę do kwadratu, otrzymując prawdopodobieństwo zdarzenia. Zgodnie z mechaaniką kwantową, jeżeli masz do wyboru dwie różne drogi, wybierz je!

7 Por. R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych…, s. 153.

88

Powróćmy jeszcze raz do eksperymentu interferencyjnego: wkłady od alternatywnych dróg elektronu (lub fotonu) mogą dodawać się (interferencja konstruktywna), mogą się znosić (interferencja destruktywna), ale również możemy tworzyć również kombinacje typu

„droga przez szczelinę S1” + i „droga przez szczelinę S2”,

które odpowiadają punktom na ekranie o średniej liczbie elektronów (lub fotonów). Możemy tworzyć takie kombinacje z dowolnymi liczbami zespolonymi.8

Formalnie zasadę superpozycji możemy przedstawić następująco:

każdy wektor stanu |Ψ ⟩ możemy przestawić jako kombinację liniową wektorów bazy:

|Ψ ⟩=∑i|i ⟩ ⟨ i||Ψ ⟩=∑

ia i|i ⟩

,

gdzie I=∑

i|i ⟩ ⟨ i|

jest operatorem jednostkowym, natomiast liczby

a i=⟨ i|Ψ ⟩ są amplitudami prawdopodobieństwa. Amplituda prawdopodobieństwa jest iloczynem skalarnym wektora stanu i wektora bazy, czyli rzutem wektora stanu na wektor bazy. Podkreślić jeszcze raz należy, że amplitudy prawdopodobieństwa są liczbami zespolonymi i nie można ich utożsamiać z klasycznym prawdopodobieństwem. Prawdopodobieństwo wyniku pomiaru określa kwadrat amplitudy.

Reprezentacja wielkości fizycznych

Wielkości fizyczne mierzalne, takie jak położenie cząstki, pęd, energia czy spin nazywane są w mechanice kwantowej obserwablami (observables).

8 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 266.

89

Obserwable są reprezentowane przez operatory hermitowskie działające w zespolonej przestrzeni Hilberta.

Jak już była o tym mowa, operatorem działającym na przestrzeni liniowej V nazywamy odwzorowanie, które pewnemu wektorowi przyporządkowuje inny wektor:

Ω|Ψ ⟩=|Ψ ' ⟩ .

W mechanice kwantowej klasycznym zmiennym dynamicznym przyporządkowujemy odpowiednio dobrane operatory hermitowskie. Można wyróżnić trzy typy przyporządkowania: podstawowe, pochodne i nieklasyczne.9

Przyporządkowanie podstawowe dotyczy operatorów położenia i pędu:

r→r

p=m d rdt→p=−i ℏ ∇

,

co oznacza, że działanie operatora położenia sprowadza się do pomnożenia wektora stanu przez liczbę x, y lub z w danym układzie współrzędnych; symbol ∇ (czytaj: „nabla”) jest operatorem, który działając na wektor stanu oblicza pochodne po x, y i z odpowiednio (pomnożone przez współczynnik liczbowy −i ℏ ). Nabla jest zatem operatorem różniczkowym o składowych:

∇=( ddx

, ddy

, ddz).

Przyporządkowanie wtórne dotyczy wielkości fizycznych, które w mechanice klasycznej są funkcjami położenia i pędu. Na przykład energia

9 Por. S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej…, s. 34n.

90

kinetyczna wyraża się wzorem: E= p2

2 m , zatem zastępując klasyczne wyrażanie na pęd wyrażeniem reprezentującym operator pędu otrzymujemy operator energii, zwany hamiltonianem układu. Dla cząstki swobodnej o masie m ma on następującą postać:

H=−ℏ2

2m∇ 2

.

W przypadku jednowymiarowym dla cząstki swobodnej działanie operatora położenia sprowadza się do pomnożenia wektora stanu przez liczbę x; operator pędu ma postać:

p=−iℏ ddx ,

natomiast hamiltonian określony jest następująco:

H=−ℏ2

2md2

dx 2.

Przyporządkowanie nieklasyczne dotyczy takich wielkości fizycznych, które nie mają analogii w mechanice klasycznej. Typowym przykładem jest „wewnętrzny moment pędu”, czyli spin cząstki. Dla cząstki takiej, jak elektron, rzut spinu na dowolny kierunek w przestrzeni wynosi zawsze 12ℏ

. Mówimy, że jest to typowo kwantowa wielkość, ponieważ operatora spinu nie można wyrazić za pomocą operatorów położenia i operatorów różniczkowania. Ponadto, chociaż występują pewne analogie między klasycznym momentem pędu a spinem, to jednak spin nie poddaje się w ogóle poglądowym wyobrażeniom. W szczególności zaś, choć spin nazywamy również „wewnętrznym momentem pędu”, to wyobrażenie

91

sobie elektronu jako „wirującej kulki” jest całkowicie nieadekwatne, ponieważ prowadziłoby do niezgodnego z teorią względności wniosku, że „na równiku” prędkość wirowania elektronu musiałaby wielokrotnie przewyższać prędkość światła w próżni. Nieklasyczne operatory są zdefiniowane przez odpowiednie warunki komutacji. Operatory spinu są zdefiniowane przez macierze Pauliego:

σ x=(1 00 −1 )

σ y=(0 11 0 )

σ z=(0 −ii 0 )

Jeżeli działanie operatora Ω hermitowskiego na wektor stanu |Ψ ⟩ daje

w rezultacie ten sam wektor stanu |Ψ ⟩ pomnożony przez pewną liczbę rzeczywistą a, wówczas równanie:

Ω|Ψ ⟩=a|Ψ ⟩

nazywamy równaniem własnym operatora, wektor |Ψ ⟩ – wektorem własnym (eigenvector), zaś liczbę a – wartością własną operatora (eigenvalue). W takim przypadku działanie operatora nie zmienia kierunku wektora stanu (a stan układu kwantowego reprezentowany jest właśnie przez kierunek w przestrzeni Hilberta). Operatory hermitowskie charakteryzują się tym, że ich wartości własne wyrażane są liczbami rzeczywistymi i są interpretowane jako wyniki pomiarów wielkości fizycznych. Jedyne możliwe wartości pomiarów wielkości fizycznych

92

reprezentowanych przez dany operator są wartościami własnymi tego operatora. Bezpośrednio po pomiarze układ znajduje się w stanie reprezentowanym przez wektor własny operatora reprezentującego mierzoną wielkość fizyczną.

Fundamentalne znaczenie ma fakt, że wektory własne operatora hermitowskiego tworzą zupełny układ wektorów własnych, co znaczy, że każdy wektor generowany przez operator hermitowski można wyrazić jako kombinację liniową wektorów własnych parami ortogonalnych. Inaczej mówiąc, wektory własne operatora hermitowskiego tworzą bazę ortonormalną.10

Zilustrujmy to ważne twierdzenie na przykładzie spinu elektronu. Niech x, y i z oznaczają trzy kierunki w przestrzeni. Wiemy, że w kierunku z spin elektronu może przybrać jedynie dwa ustawienia – „w

górę” albo „w dół”, co możemy zapisać następująco: |↑ ⟩ , |↓ ⟩ . Wówczas wektory stanu odpowiadające kierunkom „w prawo” i „w lewo” wzdłuż osi x możemy zapisać następująco:

|→ ⟩= 1√2|↑ ⟩+ 1

√2|↓⟩

,

|← ⟩= 1√2|↑ ⟩− 1

√2|↓⟩

.

Podobnie, dla kierunków wzdłuż osi y, które oznaczymy symbolicznie

jako |∘⟩ i |⋅⟩ , możemy zapisać:

|∘⟩= 1√2|↑⟩+ i

√2|↓⟩

,

|⋅⟩= 1√2|↑⟩− i

√2|↓⟩

.

10 Por. L. Susskind, Mechanika kwantowa…, s. 74.

93

Tak więc na przykład stan „spin w kierunku x w prawo” możemy uważać za superpozycję stanów „spin w kierunku z w górę” i „spin w kierunku z w dół” – podobnie w pozostałych przypadkach (z odpowiednimi współczynnikami liczbowymi). Łatwo zauważyć, że taka reprezentacja stanu jest daleka od pojęć klasycznych – na przykład mojego stanu „leżę na kanapie” nie bylibyśmy raczej skłonni uznać za równoważny superpozycji stanów „stoję na nogach” i „stoję na głowie”.

Ewolucja stanu układu kwantowego w czasie

Dynamikę układu kwantowomechanicznego opisuje (w przypadku nierelatywistycznym11) równanie Schrödingera:

i ℏ ddt|Ψ ( t ) ⟩=H|Ψ ( t ) ⟩

,

gdzie H jest hamiltonianem układu.Równanie Schrödingera pełni w mechanice kwantowej rolę

analogiczną do równania Newtona w mechanice klasycznej: jeżeli dany

jest stan układu w pewnej chwili to, |Ψ ( t0 )⟩ to można w sposób jednoznaczny przewidzieć stan układu w dowolnej chwili późniejszej

|Ψ ( t )⟩ . W tym znaczeniu równanie Schrödingera jest równie deterministyczne, jak równanie Newtona. Istotna różnica między mechaniką klasyczną a mechaniką kwantową polega na tym, że wektor stanu nie reprezentuje żadnej wielkości fizycznej mierzalnej, a może być powiązany z doświadczeniem jedynie wówczas, gdy nastąpi pomiar jakiejś wielkości fizycznej. Podczas pomiaru następuje redukcja wektora

11 W przypadku relatywistycznym, czyli uwzględniającym szczególną teorię względności Einsteina, jest to nieco inne równanie, zwane równaniem Diraca. Dla naszych rozważań jednak różnica między relatywistyczną a nierelatywistyczną mechaniką kwantową nie ma większego znaczenia.

94

stanu do jednego ze stanów własnych odpowiadającego mierzonej obserwabli. Proces ten ma charakter losowy w tym znaczeniu, że formalizm matematyczny mechaniki kwantowej pozwala jedynie na obliczenie prawdopodobieństw rezultatów pomiarów i w tym sensie jest ona teorią indeterministyczną. Indeterminizm pojawia się w mechanice kwantowej właśnie na poziomie pomiaru. Rachunek prawdopodobieństwa stosuje się w mechanice kwantowej w celu obliczenia prawdopodobieństw rezultatów pomiarów.12

Postulat pomiaru

Dla układu znajdującego się w stanie |Ψ ⟩ prawdopodobieństwo uzyskania w rezultacie pomiaru wartości własnej ai odpowiadającej

wektorowi własnemu |i ⟩ operatora Ω wynosi:

p(a i)=|⟨i|Ψ ⟩|2.

Postulat pomiaru stanowi o fundamentalnej różnicy między mechaniką klasyczną a mechanika kwantową, a także jest źródłem kontrowersji interpretacyjnych wokół mechaniki kwantowej i dlatego wymaga szerszego omówienia.13

Sytuacja jest następująca: dopóki nie obserwujemy układu kwantowego, to jego zmiany w czasie opisywane są ciągłym i deterministycznym równaniem Schrödingera (ewolucja unitarna). Proces pomiaru jest natomiast opisany przez radykalnie odmienną procedurę – nieciągłą i indeterministyczną redukcję wektora stanu (state vector reduction). W rezultacie pomiaru układ „przeskakuje” do jednego ze stanów własnych mierzonej obserwabli. Można przewidzieć jedynie

12 Por. M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów…, s. 39.13 Operatory rzutowe oznaczamy wielką literą z odpowiednim indeksem – np. Pi,

natomiast prawdopodobieństwo rezultatu pomiaru oznaczamy mała literą – np. p(ai).

95

prawdopodobieństwo rezultatu pomiaru. Wprawdzie wektor stanu zmienia się w czasie zgodnie z równaniem Schrödingera w sposób całkowicie deterministyczny, to jednak wektor stanu jest na ogół superpozycją wszystkich wektorów własnych odpowiadających mierzonej wielkości fizycznej, które reprezentują wszystkie możliwe wyniki pomiarów. Możemy zatem powiedzieć, że deterministyczna ewolucja dotyczy kwantowych możliwości, czy też potencjalności, natomiast akt pomiaru powoduje aktualizację jednej z tych potencjalności. Jednym z najbardziej kontrowersyjnych zagadnień dotyczących interpretacji mechaniki kwantowej jest to, jakie czynniki są odpowiedzialne za redukcję wektora stanu i czym pomiar różni się od innym oddziaływań. Zagadnienie to szerzej przedyskutujemy w dalszej części pracy.

Warto w tym miejscu podać geometryczną interpretację wektora stanu i procesu pomiaru.

Rozważmy najprostszy przypadek dwuwymiarowej przestrzeni

Hilberta, którego bazę stanowią wektory własne |i ⟩ – możemy przyjąć, że chodzi o pomiar rzutu spinu elektronu (por. rys. #). Wykonaniu pomiaru wielkości fizycznej odpowiada rzutowanie wektora stanu na podprzestrzeń przestrzeni Hilberta (to znaczy w tym przypadku kierunek

wyznaczony przez |i ⟩ . Prawdopodobieństwo określonego rezultatu pomiaru jest równe kwadratowi rzutu wektora stanu na tę podprzestrzeń,

czyli kwadratowi iloczynu skalarnego: p(a i)=|⟨i|Ψ ⟩|2, czyli po prostu

kwadratowi zespolonej amplitudy prawdopodobieństwa. Po wykonaniu

pomiaru stan układu jest reprezentowany przez |Ψ i ⟩ (ściślej rzecz biorąc ten nowy wektor stanu należy podzielić przez jego długość, czyli unormować, ponieważ rzut wektora na dowolny kierunek ma mniejszą długość niż ten wektor, a wektor stanu powinien być unormowany do jedności tak aby prawdopodobieństwa otrzymania jakiegokolwiek wyniku sumowały się do jedności).

Procesy pomiarów różnych obserwabli możemy zatem opisać za

96

pomocą operatorów rzutowych, których działanie na wektor stanu |Ψ ⟩ sprowadza się właśnie do ich rzutowania na odpowiednią podprzestrzeń wektorów własnych:

Pi|Ψ ⟩=|i ⟩⟨i|Ψ ⟩ .

Prawdopodobieństwo otrzymania określonej wartości mierzonej wielkości fizycznej jest równe kwadratowi rzutu wektora stanu na wektor własny odpowiadający mierzonej wielkości.

p(a i)=|⟨i|Ψ ⟩|2.

Powróćmy na chwilę do eksperymentu z dwiema szczelinami. Mówiliśmy, że w eksperymencie tym foton (czy elektron) porusza się „w pewnym sensie” po dwóch drogach równocześnie oraz wspominaliśmy, że jest to uproszczenie. Otóż poprawniej należałoby powiedzieć w sposób następujący: to nie tyle foton ulega „rozszczepieniu”, lecz wektor stanu fotonu znajduje się w superpozycji stanów odpowiadających drodze „przez szczelinę pierwszą” i „przez szczelinę drugą”. Nie znaczy to jednak, że foton porusza się z prawdopodobieństwem ½ po jednej drodze i z prawdopodobieństwem ½ po drodze drugiej, ponieważ określone prawdopodobieństwo dotyczy wyłącznie rezultatu pomiaru, a nie zachowania fotonu pomiędzy pomiarami. Po wykonaniu pomiaru (w tym przypadku po określeniu, którą drogą porusza się foton) stan fotonu ulega redukcji i „urzeczywistnia się” jedna z dróg. Przed pomiarem mamy do czynienia z superpozycją dwóch stanów. W mechanice klasycznej pomiar ujawnia stan, w jakim znajdował się układ przed pomiarem i niezależnie od niego. W mechanice kwantowej otrzymujemy informację na temat stanu układu tuż po pomiarze w wyniku oddziaływania kwantowego obiektu z przyrządem pomiarowym.

Podsumowanie

97

Kwantowomechaniczny opis rzeczywistości fizycznej możemy krótko podsumować następująco:

1. Stan układu fizycznego jest reprezentowany przez wektor |Ψ ⟩ z zespolonej przestrzeni Hilberta.

2. Wszystkie możliwe stany układu fizycznego są reprezentowane przez wektory bazy w tej przestrzeni.

3. Obserwable (wielkości fizyczne mierzelne) są reprezentowane przez operatory hermitowskie działające w przestrzeni Hilberta.

4. Możliwe wartości obserwabli są wartościami własnymi tych operatorów.

5. Amplitudy prawdopodobieństwa uzyskania w pomiarze określonych wartości własnych określone są przez iloczyn skalarny wektora stanu i wektora bazy.

6. Symetrie układu są reprezentowane przez transformacje unitarne. Można to wyrazić w następującej tabeli:14

Przyroda Mechanika kwantowa

Układ fizyczny Przestrzeń Hilberta HStan układu fizycznego

Wektor |Ψ ⟩ z przestrzeni HilbertaMożliwe stany układu Zbiór wektorów bazy

Obserwable Operatory hermitowskieMożliwe wartości obserwabli Wartości własne operatorów

Amplitudy prawdopodobieństwa Iloczyn skalarnySymetrie Transformacje unitarne

Zastosowanie formalizmu mechaniki kwantowej do opisu stanu układu w pewnej chwili można streścić następująco:15

14 Por. J. F. Dawson, Quantum Mechanics: Fundamental Principles and Applications, s. 3.

15 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 124-125.

98

1. Należy skonstruować odpowiedni operator hernitowski Ω reprezentujący wielkość fizyczną mierzalną (obserwablę).

2. Należy wyznaczyć ortonormalne wektory własne |i ⟩ oraz wartości

własne a i operatora Ω .

3. Należy zapisać wektor stanu |Ψ ⟩ w bazie tych wektorów własnych:

|Ψ ⟩=∑i|i ⟩ ⟨ i|Ψ ⟩

.

4. Prawdopodobieństwo p(a i) otrzymania w wyniku pomiaru

wartości własnej a i operatora jest równe kwadratowi modułu

rzutu wektora stanu |Ψ ⟩ na wektor własny |i ⟩ , czyli

p(a i)=|⟨i|Ψ ⟩|2. Wykorzystując własności operatorów rzutowych

możemy to zapisać następująco: p(a i)=|⟨i|Ψ ⟩|2=⟨Ψ|i ⟩⟨i|Ψ ⟩=

⟨Ψ|Pi|Ψ ⟩=⟨Ψ|Pi Pi|Ψ ⟩= ⟨Pi Ψ|Pi|Ψ ⟩ .

99

Logika kwantowa

Garret Birkhoff i John von Neumann stwierdzili, że mechanika kwantowa implikuje różną od klasycznej logikę, zwaną logiką kwantową.1 Kwantowy rachunek zdań jest ściśle związany ze strukturą przestrzeni Hilberta, w szczególności zaś z faktem, że w mechanice kwantowej istnieją pary wielkości fizycznych reprezentowane przez niekomutujące operatory, które nie mają wspólnej bazy wektorów własnych, a zatem dokładny pomiar jednej z nich wyklucza wiedzę o wielkości komplementarnej. Ponieważ każdy operator reprezentujący wielkość fizyczną mierzalną może być rozłożony na zbiór operatorów rzutowych, to logika kwantowa odzwierciedla własności operatorów rzutowych.2

Rozważmy pewne pomiary elementarne, które charakteryzują się tym, że na każde z pytań elementarnych można uzyskać tylko jedną z dwóch możliwych odpowiedzi: „tak” albo „nie”.3 Możemy przypisać wartości 1 albo 0 zmiennym dynamicznym, lub wartości logiczne „prawda” albo „fałsz” odpowiednim zdaniom. Na przykład możemy przypisać wartość 1 położeniu, gdy cząstka znajduje się w określonym obszarze przestrzeni i wartość 0, gdy znajduje się poza tym obszarem, albo wartość „prawda” zdaniu stwierdzającemu, że cząstka znajduje się w określonym obszarze i „fałsz”, gdy cząstka znajduje się poza danym obszarem.4

Każdemu pytaniu elementarnemu P odpowiada operator rzutowy.Operator I rzutujący na cała przestrzeń Hilberta reprezentuje pytanie,

na które odpowiedź zawsze brzmi „tak”.Operator I−P reprezentuje zaprzeczenie pytania P .

1 Por. G. Birkhoff, J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, „Annals of Mathematics” 1936, Vol. 37, No. 4, p. 823–843. Nie brak jednak opinii, że modyfikacja logiki nie prowadzi do głębszego rozumienia mechaniki kwantowej – por. R. B. Griffiths, Consistent Quantum Theory…, s. 61.

2 Por. M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów…, s. 58.3 Por. I. Białynicki-Birula, Z. Białynicka-Birula, Elektrodynamika kwantowa,

Warszawa 1974, s.16n; M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów…, s. 57.4 Por. J. Bub, Indeterminacy and Entanglement…, 598.

100

Jeśli odpowiedź „tak” na pytanie pierwsze zawsze pociąga za sobą

odpowiedź „tak” na pytanie drugie, to podprzestrzeń, na którą rzutuje P1

jest zawarta w podprzestrzeni, na którą rzutuje P2 .Pytanie reprezentowane przez połączenie pytań spójnikiem „i”

reprezentowane jest przez iloczyn operatorów rzutowych P2 P1 (pod warunkiem, ze jest on operatorem rzutowania).

Pytanie reprezentowane przez połączenie pytań spójnikiem „lub”

reprezentowane jest przez sumę operatorów rzutowych P1+P2 (pod warunkiem, ze jest on operatorem rzutowania).

W klasycznej teorii prawdopodobieństwa zbiór zdarzeń tworzy strukturę zwaną algebrą Boole’a. Jest ona zbiorem konsekwencji logicznych następujących aksjomatów:

1. A∪B=B∪A

2. A∩B=B∩A

3. A∪(B∪C )=( A∪B )∪C

4. A∩(B∩C )=( A∩B )∩C

5. A∪(B∩C )=( A∪B )∩(A∪C )

6. A∩(B∪C )=( A∩B )∪(A∩C )

7. A∪A=1

8. A∩A=09. A∪0=A

10. A∩1=A

W kwantowej teoria prawdopodobieństwa, w której zdarzenia są modelowane przez podprzestrzenie przestrzeni Hilberta, a nie przez podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych, mamy do czynienia z nie-booleowską algebrą, w której spełnione są wszystkie aksjomaty algebry

101

Boole’a oprócz prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:5

A∩(B∪C )≠( A∩B )∪(A∩C ) .

Własność ta wynika z faktu, że operatory reprezentujące sprzężone obserwable nie komutują ze sobą.6

Specyfiką logiki kwantowej jest również to, że alternatywa zdań może być prawdziwa nawet wówczas, gdy żaden z członów alternatywy nie jest

prawdziwy: wektor stanu |Ψ ⟩ może należeć do podprzestrzeni V x∪V y

nawet wówczas, gdy nie należy on ani do V x , ani do V y (por. rys. #).

Rys. #.

5 Por. G. Birkhoff, J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, „Annals of Mathematics” 1936, Vol. 37, No. 4, p. 823-843, 830. Ramy niniejszej pracy nie pozwalają na bardziej szczegółową dyskusję nad logiką kwantową, a ściślej rzecz biorąc nad logikami kwantowymi, ponieważ jest ich wiele odmian. Szczególnie warto polecić na ten temat: M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini, Quantum Logic, arxiv.org/pdf/quant-ph0101028v2, 6 Jan 2004; A. Wilce, Quantum Logic and Probability Theory, „The Stanford Encyclopedia of Philosophy” (Fall 2012 Edition), E. N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/qt-quantlog/>.

6 Por. M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów…, s. 58.

102

Można to zilustrować następującym przykładem:7 załóżmy, że mamy cząstkę o spinie połówkowym, taką jak elektron, dla której rzut spinu na dowolny kierunek w przestrzeni może przyjmować tylko dwie wartości, zwane umownie „spin w górę” i „spin w dół”. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności składowe x-owa i y-owa spinu są niewspółmierne ze sobą, to znaczy, jeżeli określona jest składowa x-owa, to składowa y-owa nie ma określonej wartości. Załóżmy, że elektron jest w stanie, w którym ma określony rzut spinu na oś x „w górę”, co oznaczę (p) „spinx w górę”. Wówczas, zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, wartość logiczna poszczególnych zdań (q) „spiny w górę” oraz (r) „spiny w dół” będzie całkowicie nieokreślona, natomiast alternatywa (q∨r ) „spiny w górę lub spiny w dół” musi być prawdziwa, ponieważ rzut spinu na dowolną oś może przyjmować jedynie jedną z dwóch wartości – „w górę” albo „w dół”.

Macierz gęstości

Niekiedy mamy do czynienia z taką sytuacją, że nie ma możliwości operacyjnego rozróżnienia pomiędzy różnymi, bardzo podobnymi stanami. W takiej sytuacji do opisu układu stosuje się probabilistyczną mieszaninę różnych wektorów stanu, co oznacza, że każdemu wektorowi stanu przypisujemy pewne prawdopodobieństwo.1 Stany takie nazywamy

7 Por. M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini, Quantum Logic, [w:] arxiv.org/pdf/quant-ph0101028v2, 6 Jan 2004; A. Łukasik, Prawda, prawdopodobieństwo, niepewność — uwagi o epistemologicznych konsekwencjach mechaniki kwantowej, [w:] A. Kiklewicz, E. Starzyńska-Kościuszko (red.), Oblicza prawdy w filozofii, kulturze, języku, Wydawnictwo Instytutu Filozofii Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie, Olsztyn 2014, s. 47-55.

1 Por. L. Susskind, Mechanika kwantowa…, s. 190; R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 390n.

103

stanami mieszanymi (mixed states) w odróżnieniu od stanów czystych (pure states), reprezentowanych przez wektor (promień) w przestrzeni Hilberta. Do matematycznego opisu takich stanów stosuje się macierz gęstości (density matrix). Macierz gęstości jest obiektem (operatorem) o postaci:

|Ψ ⟩ ⟨Φ|

W rozdziale # zdefiniowaliśmy ślad macierzy kwadratowej jako sumę elementów przekątniowych. Ślad macierzy gęstości obliczamy po prostu przestawiając kolejność czynników iloczynu zewnętrznego i otrzymujemy w ten sposób iloczyn skalarny:

tr (|Ψ ⟩ ⟨Φ|)=⟨Φ|Ψ ⟩

Powiedzmy, że macierz gęstości ma opisywać pewną mieszaninę

probabilistyczną stanów |α ⟩ i |β ⟩ , które mogą występować z prawdopodobieństwem a i b odpowiednio. Wówczas macierz gęstości D przedstawia się następująco:

D=a|α ⟩ ⟨α|+b|β ⟩ ⟨ β|

Ponieważ suma prawdopodobieństw wszystkich możliwości musi być równa jedności, to ślad macierzy gęstości musi wynosić jeden:

tr (D)=tr (a|α ⟩ ⟨ α|+b|β ⟩ ⟨ β|)=a ⟨α|a⟩+b ⟨ β|β ⟩=a+b=1

Wykorzystaliśmy tu fakt, że kety |α ⟩ i |β ⟩ są unormowane do

jedności, zatem ⟨α|α ⟩=⟨ β|β ⟩=1 .Macierz gęstości stosujemy do obliczania prawdopodobieństw

rezultatów pomiarów w następujący sposób: powiedzmy, że

104

przeprowadzamy pomiar elementarny i chcemy stwierdzić, czy układ jest

w stanie |Ψ ⟩ (odpowiedź „tak”). Pomiar jest reprezentowany przez operator rzutowy:

P=|Ψ ⟩ ⟨Ψ|.

Prawdopodobieństwo uzyskania wyniku „tak” gdy pomiar jest zdefiniowany przez operator rzutowy P, a układ jest reprezentowany przez macierz gęstości D wynosi:

p= tr(DP )=tr (a (|α ⟩ ⟨ α|+b(|β ⟩ ⟨ β|)|Ψ ⟩ ⟨Ψ|))==tr (a|α ⟩ ⟨ α||Ψ ⟩ ⟨Ψ |+b|β ⟩ ⟨ β|)|Ψ ⟩ ⟨Ψ |)==tr (a ⟨ α||Ψ ⟩|α ⟩ ⟨Ψ |+b ⟨ β||Ψ ⟩|β ⟩ ⟨Ψ|)==a ⟨α||Ψ ⟩ ⟨Ψ||α ⟩+b ⟨ β||Ψ ⟩ ⟨Ψ||β ⟩=

=a|⟨α||Ψ ⟩|2+b|⟨ β||Ψ ⟩|2 .

Otrzymujemy zatem kwantowe prawdopodobieństwo |⟨ α||Ψ ⟩|2 stanu

|α ⟩ i kwantowe prawdopodobieństwo |⟨ β||Ψ ⟩|2 stanu |β ⟩ z klasycznymi

wagami a i b, reprezentującymi ich wkład w całkowite prawdopodobieństwo.

105

Mechanika kwantowa a spór determinizm-indetermiizm

Przewidywanie przyszłych zjawisk jest jedną z podstawowych funkcji teorii w naukach przyrodniczych. Chcemy wiedzieć, jak będzie się poruszać wystrzelony pocisk, po jakiej trajektorii powinna się poruszać sonda kosmiczna, aby wylądowała w precyzyjnie określonym obszarze na Marsie, byłoby niezmiernie cenne, gdyby można było precyzyjnie przewidzieć trajektorię tornada czy nadejście fali tsunami. Możliwość przewidywania zjawisk ma znaczenie nie tylko czysto teoretyczne, ale również doniosłe znaczenie praktyczne. Oczywiste jest, że gdyby w przyrodzie nie występowały pewne regularności, zwane prawami przyrody, żadne przewidywanie zjawisk nie byłoby możliwe. Determinizmem nazywamy pogląd, że każde zdarzenie jest wyznaczone przez swoją przyczynę i całokształt warunków na mocy praw przyrody (aspekt ontologiczny), a zatem dysponując odpowiednią wiedzą, można w zasadzie przewidzieć przyszły bieg zdarzeń (aspekt epistemologiczny).1

Powstanie mechaniki klasycznej i jej sukcesy w wyjaśnianiu i przewidywaniu zjawisk sprzyjały rozpowszechnieniu się poglądu, że fundamentalne prawa przyrody mają charakter deterministyczny. Mówimy, ze mechanika klasyczna jest teorią deterministyczną, to znaczy, że stan układu mechanicznego w pewnej chwili w sposób jednoznaczny wyznacza stan układu w dowolnej chwili późniejszej. Stan układu fizycznego w mechanice klasycznej jest jednoznacznie wyznaczony przez

pędy i położenia elementów układu w pewnej chwili: p( t0 ), r ( t0 ). Jeżeli znamy stan układu w pewnej chwili, działające siły i odpowiednie prawa (równania Newtona), to – przynajmniej teoretycznie – możemy przewidywać przyszłe zachowanie układu. Możemy powiedzieć, że zgodnie z mechaniką klasyczną świat ma tylko jedną historię: to, co się dzieje teraz (na gruncie mechaniki klasycznej pojęcie równoczesności ma charakter absolutny) w sposób jednoznaczny determinuje przyszłe stany

1 W. Krajewski (red.), Słownik pojęć filozoficznych, Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 1996, s. 34.

106

Wszechświata. Zdarzenia muszą dziać się tak a nie inaczej, ponieważ te same przyczyny w takich samych warunkach powodują takie same skutki. Pojęcie przypadku w mechanice klasycznej nie ma obiektywnego znaczenia, lecz odzwierciedla jedynie naszą niewiedzę o rzeczywistej sytuacji.

Precyzyjniej rzecz ujmując deterministyczny charakter mechaniki klasycznej można przedstawić następująco: dynamikę układu opisuje równanie Newtona (dla uproszczenia rozważmy ruch jednej o masie m

cząstki pod działaniem siły F ):

m d2 r (t )dt 2 =F

Jest to liniowe równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu. Cechą charakterystyczną liniowych równań różniczkowych jest to, że ich rozwiązania są jednoznaczne, co znaczy, że jeżeli znamy warunki początkowe oraz matematyczną postać działających sił, to możemy z całkowitą pewnością przewidzieć przyszłe zachowanie układu. Warunki początkowe musimy określić eksperymentalnie przez odpowiednie pomiary. Zgodnie z mechaniką klasyczną nie istnieją zasadnicze ograniczenia na możliwą dokładność pomiaru pędu i położenia, zatem im dokładniej określimy warunki początkowe, tym dokładniejsze będą nasze przewidywania.2 Teoretycznie rzecz biorąc, możemy dowolnie zwiększać

2 Warunek ten nie jest już jednak spełniony w układach nieliniowych opisywanych przez teorię chaosu deterministycznego. Układy nieliniowe, czyli takie, których dynamika opisywana jest nieliniowymi równaniami różniczkowymi wykazują wrażliwość na warunki początkowe (tzw. efekt motyla). Dowolnie mały błąd w określeniu warunków początkowych może prowadzić do bardzo dużych błędów w przewidywaniu zachowania układu. Długoterminowe przewidywanie dynamiki takich układów jest praktycznie niemożliwe, czego najbardziej znanym przykładem są zjawiska pogodowe. Szczególnie polecam na ten temat: I. Prigogine, I. Stangers, Z chaosu ku porządkowi. Nowy dialog człowieka z przyrodą, tłum. K. Lipszyc, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1990; I. Stewart, Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, tłum. M. Tempczyk, W. Komar, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995; J. Gleick, Chaos. Narodziny nowej nauki, tłum. P. Jaśkowski, Zysk i S-ka Wydawnictwo,

107

precyzję pomiarów pędów i położeń, a zatem nieograniczenie zbliżać się do stanu perfekcji poznawczej, sformułowanej w koncepcji Laplace’a. Pierre Simon de Laplace wymyślił pewną hipotetyczną istotę, zwaną obecnie demonem Laplace’a, która zdobywałaby wiedzę o świecie w podobny sposób, jak fizyk posługujący się mechaniką Newtona, wolna byłaby jednak od naszych czysto ludzkich ograniczeń poznawczych związanych z nieumiejętnością rozwiązania zbyt wielkiej liczby równań oraz błędów popełnianych podczas rzeczywistych pomiarów. Laplace pisał: „Intelekt, który w danym momencie znałby wszystkie siły działające w przyrodzie i wzajemne położenia składających się na nią bytów i który byłby wystarczająco potężny, by poddać te dane analizie, mógłby streścić w jednym równaniu ruch największych ciał wszechświata oraz najdrobniejszych atomów; dla takiego umysłu nic nie byłoby niepewne, a przyszłość, podobnie jak przeszłość, miałby przed oczami”.3 Na gruncie mechaniki klasycznej można mówić nie tylko o dowolnie dokładnym przewidywaniu przyszłych zdarzeń, ale również o dowolnie dokładnym odtwarzaniu zdarzeń przeszłych, ponieważ prawa mechaniki klasycznej są niezmiennicze względem inwersji w czasie (nie wyróżniają żadnego kierunku czasu). Taki deterministyczny paradygmat panował w fizyce od powstania mechaniki Newtona aż do lat trzydziestych XX wieku.

Mechanika kwantowa nie jest zgodna z ideałem deterministycznej przewidywalności sformułowanym w mechanice klasycznej – zamiast absolutnej pewności co do przyszłych zdarzeń możliwe jest jedynie przewidywanie prawdopodobieństw rezultatów pomiarów. Fakt ten budził niepokój wielu uczonych, co Einstein ujął w sławnym aforyzmie „Bóg nie gra w kości”. Wszystko jednak wskazuje na to, że pojęcie prawdopodobieństwa odgrywa w mechanice kwantowej fundamentalną rolę i „musimy zastosować teorię prawdopodobieństwa nie z powodu

Poznań 1996; M. Tempczyk, Teoria chaosu a filozofia, Wydawnictwo CiS, Warszawa 1998; M. Tempczyk, Świat harmonii i chaosu, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1995.

3 P. S. de Laplace, Essai philosophique sur les probabilités, Paris 1814, [w:] http://www.answers.com/topic/pierre-simon-laplace.

108

niewiedzy lub złożoności problemu, ale dlatego, że fundamentalne prawa fizyczne mają charakter probabilistyczny”.4 Z punktu widzenia mechaniki kwantowej przyszłość jest nieprzewidywalna. „Jeśli oryginalnym celem fizyki było – a wszyscy sądzili, że tak właśnie było – poznanie praw, które pozwolą w danej sytuacji przewidzieć, co się stanie dalej, to w pewnym sensie fizycy skapitulowali”.5

Einstein, chociaż sam w znaczący sposób przyczynił się do powstania mechaniki kwantowej, do końca życia nie mógł się pogodzić z jej „dziwnymi” rezultatami. „Mechanika kwantowa – pisał w liście do Maxa Borna − robi imponujące wrażenie […] ale jestem przekonany, że Bóg nie gra w kości”.6 Einstein niemal przez 30 lat prowadził z Bohrem dyskusję na temat podstaw mechaniki kwantowej i przedstawiał coraz to nowe eksperymenty myślowe mające dowodzić jej niekompletności. Powiedzenie, że „Bóg nie gra w kości” stanowi oczywiście wyraz

4 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych…, s. 154. Klasyczne prawdopodobieństwo interpretowane jest zwykle w sposób czysto epistemiczny, to znaczy jako odzwierciedlenie braku wiedzy idealnego obserwatora o układzie (por. M. Heller, Geneza prawdopodobieństwa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 2006, XXXVIII, s. 61-75). Zauważyć jednak należy, że nawet takie „subiektywistyczne” rozumienie prawdopodobieństwa nie podważa obiektywnego charakteru praw statystycznych w nauce.

5 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych…, s. 154. Szerzej o zagadnieniu granic poznania z perspektywy współczesnych nauk przyrodniczych por. A. Łukasik, Prawda, prawdopodobieństwo, niepewność — uwagi o epistemologicznych konsekwencjach mechaniki kwantowej, [w:] A. Kiklewicz, E. Starzyńska-Kościuszko (red.), Oblicza prawdy w filozofii, kulturze, języku, Wydawnictwo Instytutu Filozofii Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie, Olsztyn 2014, s. 47-55; A. Łukasik, Fizyka i zagadnienie granic poznania, [w:] Z. Muszyński (red.), Z badań nad prawdą, nauką i poznaniem, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1998, s. 223-235; H. Eilstein, Uwagi o stosunku scjentyzmu do optymizmu poznawczego, „Filozofia Nauki” 2007, nr 4 (60); H. Eilstein, Uwagi o sporze realizmu naukowego z instrumentalizmem, [w:] E. Kałuszyńska (red.), Podmiot poznania z perspektywy nauki i filozofii, Wydawnictwo IFiS PAN, Warszawa 1998; H. Eilstein, Uwagi o granicach potencji poznawczej podmiotu naturalnego, [w:] E. Kałuszyńska (red.), Podmiot poznania z perspektywy nauki i filozofii, Wyd. IFiS PAN, Warszawa 1998.

6 [Born, Einstein, 1971, s. 91]

109

przekonania Einsteina, że fundamentalna teoria mikroświata nie może mieć charakteru probabilistycznego. Spór Einsteina z Bohrem nie dotyczył jednak wyłącznie kwestii determinizmu, ale również problemu realizmu i statusu teorii fizycznych.

Rozważmy pewien przykład – rozpad promieniotwórczy.7 Proces ten polega na spontanicznym przekształcaniu się jąder pierwiastków promieniotwórczych w jądra innych pierwiastków. Znane jest prawo rozpadu promieniotwórczego:

N ( t )=N 0 e−λt,

zgodnie z którym liczba atomów pierwiastka promieniotwórczego N ( t )

po czasie t jest proporcjonalna do początkowej liczby atomów N0

pomnożonej przez czynnik e− λt

, gdzie λ jest charakterystyczną dla danego pierwiastka stała rozpadu, e jest podstawą logarytmów naturalnych. Dla każdego pierwiastka promieniotwórczego znany jest ściśle określony czas połowicznego zaniku, to znaczy czas, w którym średnio połowa atomów z danej próbki ulegnie rozpadowi. Na przykład dla polonu wynosi on 138 dni – po upływie tego czasu średnio połowa atomów polonu w danej próbce ulegnie rozpadowi. Jeżeli jednak weźmiemy pod uwagę konkretny atom, to – zgodnie z mechaniką kwantową – nie istnieją prawa, które określałyby, czy atom ten rozpadnie się on po 138 dniach, po 1 dniu, czy też za 100 lat. Prawo rozpadu promieniotwórczego ma charakter czysto statystyczny i jest tym lepiej spełnione, im większą próbkę pierwiastka rozważamy.8 Czas rozpadu poszczególnego atomu jest całkowicie niezdeterminowany.

Klasyczne a kwantowe pojęcie prawdopodobieństwaPoczątki rachunku prawdopodobieństwa sięgają XVII wieku i 7 Por. Cz. Białobrzeski, Podstawy poznawcze fizyki świata atomowego, Państwowe

Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1984, s. 43n.8 O różnych rodzajach praw statystycznych por. W. Krajewski, Prawa nauki,

110

związane były z oceną szans wygranej w grach hazardowych. Obecnie rachunek prawdopodobieństwa jest fundamentalnym narzędziem mechaniki kwantowej.

Laplace (1812) zdefiniował prawdopodobieństwo następująco: jeżeli zdarzenie E może zajść na jeden z n wykluczających się i jednakowo możliwych sposobów, to prawdopodobieństwo zdarzenia p (E) jest równe stosunkowi m liczby zdarzeń sprzyjających zajściu E do wszystkich możliwych zdarzeń n:

p(E )=mn ,

przy czym prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbą rzeczywistą z przedziału [0, 1]:

0≤ p(E)≤1.

Definicja ta może być stosowana jedynie wówczas, gdy m i n są liczbami skończonymi, jest ponadto niedoskonała pod względem formalnym, ponieważ zawiera błędne koło (circulus vitiosus) – zakłada się mianowicie, że wszystkie zdarzenia n są jednakowo możliwe, co znaczy tyle, co jednakowo prawdopodobne. Może być jednak stosowana w wielu przypadkach, takich jak na przykład obliczenie prawdopodobieństwa określonego rezultatu podczas rzutu kostką czy prawdopodobieństwa wylosowania określonej kombinacji liczb podczas gry w Lotto jako kombinatoryczny sposób obliczania prawdopodobieństwa.

Na przykład w przypadku rzutu kostką możliwych jest 6 zdarzeń elementarnych: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki wynosi p (6) = 1/6 (jedno zdarzenie sprzyjające 6); prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej wynosi p (P) = 3/6 = 1/2 (trzy zdarzenia sprzyjające: 2, 4, 6).

Mechanika kwantowa powstała w ciągu pierwszych trzech dekad XX

111

wieku. W tym samym czasie sformułowano dwie różne teorie prawdopodobieństwa – klasyczną (Andriej Kołmogorow, 1933)1 i kwantową (John von Neumann, 1936).2 Definicja Laplace’a nazywana bywa „klasyczną definicją prawdopodobieństwa”, definicja Kołmogorowa natomiast „współczesną definicją prawdopodobieństwa”. W dalszej części również dla definicji Kołmogorowa będziemy stosować określenie „klasyczna” w celu odróżnienia jej od „kwantowej” definicji von Neumanna.

Zgodnie z klasyczną teorią prawdopodobieństwa zdarzenia losowe (events) A, B, C… są reprezentowane jako podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych Ω (sample space). Pojęcie zdarzenia losowego jest tu traktowane jako pojęcie pierwotne, którego się nie definiuje, podobnie jak pojęcie punktu, prostej i płaszczyzny w geometrii. Zdarzenie losowe jest to coś, co może zajść lub nie, coś, co leży całkowicie poza możliwością naszej kontroli. Typowymi przykładami zdarzeń losowych są wyrzucenie określonej liczby oczek przy rzucie kostką, wypadnięcie określonej liczby w grze w ruletkę czy też wylosowanie kuli z określonym numerem podczas gry w Lotto.

Jeżeli mamy określone zdarzenia elementarne A, B, C… wówczas możemy tworzyć zdarzenia złożone – koniunkcję zdarzeń A i B, która zachodzi, gdy zachodzi zarówno A, jak i B; alternatywę zdarzeń A lub B, która zachodzi, gdy zachodzi A lub B lub obydwa zdarzenia równocześnie. Zdarzenie przeciwne nie-A polega na tym, że zdarzenie A nie zachodzi.

1 A. Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Company, New York 1956 (1933).

2 J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton 1955 (1932).

112

Rys. #. Koniunkcja zdarzeń A i B jako iloczyn zbiorów A∩B

Rys. #. Alternatywa zdarzeń A lub B jako suma zbiorów A∪B

Rys. #. Zdarzenie przeciwne do A nie-A jako dopełnienie zbioru A .

Ponieważ zdarzenia są reprezentowane jako podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych Ω, to iloczynowi zdarzeń A i B odpowiada iloczyn zbiorów A∩B (intersection), alternatywie A lub B suma zbiorów A∪B(union), natomiast zdarzeniu przeciwnemu do A, czyli nie-A odpowiada

113

dopełnienie zbioru A (complement). Zdarzenia, które nie mogą zajść równocześnie nazywamy zdarzeniami wykluczającym się. Przykładem może być wyrzucenie jednocześnie orła i reszki w rzucie monetą. Zdarzenie, które nigdy nie zachodzi nazywamy zdarzeniem niemożliwym (na przykład A∩A ). Zdarzenie, które zawsze zachodzi nazywamy zdarzeniem pewnym (na przykład A∪A ). Zdarzeniami niezależnymi nazywamy takie zdarzenia, dla których zajście jednego nie wpływa na zajście drugiego. W przeciwnym wypadku zdarzenia nazywamy zależnymi.

Rozważmy następujący przykład: powiedzmy, że w urnie znajduje się 5 kul białych i 10 kul czarnych, czyli razem 15 kul. Prawdopodobieństwo

wylosowania kuli białej wynosi p(B)= 5

15=1

3 , prawdopodobieństwo

wylosowania kuli czarnej wynosi p(C )=10

15=2

3 . Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania w dwóch kolejnych losowaniach kuli białej przy następujących warunkach doświadczenia: 1) kulę po wylosowaniu zwracamy do urny; 2) kuli po wylosowaniu nie zwracamy do urny.

Jeżeli po wylosowaniu zwracamy kule do urny, to w następnym losowaniu prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest takie samo

jak w pierwszym losowaniu p(B)=1

3 . Zdarzenia te są niezależne i prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej zarówno w pierwszym jak i w drugim losowaniu jest równe iloczynowi prawdopodobieństw:

p(BB)=13⋅1

3= 1

9 .

W przypadku losowania kul bez ich zwracania do urny mamy do czynienia ze zdarzeniami zależnymi – prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w drugim losowaniu próbie zależy od tego, czy w pierwszym

114

wylosowano kulę biała czy też czarną. Załóżmy, że w pierwszym losowaniu wylosowano kulę białą. Wówczas prawdopodobieństwo

wylosowania kuli białej w drugim losowaniu wynosi p(B)= 4

14=2

7 . Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w drugim losowaniu pod warunkiem, że w pierwszym losowaniu wylosowano kulę białą wynosi:

p(B|B )=13⋅2

7= 2

21 .

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy następujące wartości prawdopodobieństw: dla losowania ze zwracaniem

p(B|B )= 763 , dla losowania bez zwracania:

p(B|B )= 663 , a zatem

prawdopodobieństwo wylosowania kolejno dwóch kul białych w losowaniu bez zwracania jest mniejsze.

W aksjomatyzacji Kołmogorowa prawdopodobieństwo zdarzenia E jest funkcją określoną na zbiorze zdarzeń elementarnych Ω o wartościach w przedziale [0, 1], spełniającą następujące aksjomaty:3

1. 0≤P(E)≤1 .2. Jeśli zdarzenia A, B, … wykluczają się parami (tzn. A∩B=0 ), to

prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie

prawdopodobieństw: P( A∪B )=P( A )+P(B ) .3. P(Ω)=1 . Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się

jedności.

W kwantowej teorii prawdopodobieństwa zamiast zbioru zdarzeń elementarnych Ω mamy zespoloną przestrzeń Hilberta H.4 W teorii klasycznej zdarzenia są reprezentowane przez podzbiory zbioru zdarzeń

3 A. Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Company, New York 1956, s. 2.

115

elementarnych, w teorii kwantowej zdarzenia są reprezentowane przez podprzestrzenie przestrzeni Hilberta. W przestrzeni Hilberta (skończenie

wymiarowej) zbiór wektorów |i⟩ ,i=1 , .. . , N stanowi ortonormalną bazę.

Jeżeli zdarzenia A i B są reprezentowane podprzestrzenie V A i V B przestrzeni Hilberta, to koniunkcji zdarzeń A i B odpowiada

podprzestrzeń rozpięta nad V A∩V B , alternatywie zdarzeń A lub B

odpowiada podprzestrzeń rozpięta nad V A∪V B , zdarzeniu przeciwnemu

do A, czyli zdarzeniu nie-A odpowiada podprzestrzeń ortogonalna do V A .

Z każdą podprzestrzenią związany jest operator rzutowy PA , który

rzutuje wektor stanu |Ψ ⟩na podprzestrzeń reprezentującą zdarzenie:

PA|Ψ ⟩ .

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe kwadratowi rzutu wektora stanu na podprzestrzeń reprezentującą to zdarzenie i wyraża się wzorem (twierdzenie Gleasona):5

p( A )=|PA|Ψ ⟩|2=⟨Ψ|PA PA|Ψ ⟩=⟨Ψ|PA|Ψ ⟩ .

Analogicznie do klasycznej definicji prawdopodobieństwa aksjomaty definicji kwantowej można zapisać następująco:

4 Por. J. Bub, Indeterminacy and Entanglement: The Challenge of Quantum Mechanics, „The British Journal for the Philosophy of Science” 2000, Vol. 51 (Special Supplement), s. 597-615; Z. Wang, J. R. Busemeyer, H. Atmanspacher, E. M. Potos, The Potential Using Quantum Theory…, .s. 685-686; J. R. Busemeyer, P. Bruza, Quantum Models…, s. 89n.

5 Por. A. M. Gleason, Measures on the closed subspaces of a Hilbert space, „Journal of Mathematical Mechanics” 1957, 6, p. 885-893 (http://www.iap.tu-darmstadt.de/tqp/uebungen/qinfo11/Gleason.pdf).

116

1. 0≤P(A )=|PA|Ψ ⟩|2≤1 .

2. Jeśli zdarzenia A, B, … wykluczają się parami (tzn. A∩B=0 ), to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie

prawdopodobieństw: P( A∪B )=P( A )+P(B ) .3. P(H )=1 . Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się

jedności.

W teorii klasycznej, jeżeli zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie, czyli A∩B=0 , to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń równe jest sumie prawdopodobieństw:

p( A∪B )= p( A )+ p(B ) .

Podobnie w teorii kwantowej dla dwóch wykluczających się zdarzeń A, B prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wyraża się wzorem:

p( A∪B )=|(PA+PB)|Ψ ⟩|2=|PA|Ψ ⟩|

2+|PB|Ψ ⟩|2=p( A )+p (B ) .

Prawdopodobieństwo sumy niewykluczających się zdarzeń równe jest sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu:

p( A∪B )=p( A )+ p(B )−p (A∩B) .

Oczywiście, jeśli zdarzenia są niezależne A i B wykluczają się wzajemnie, czyli A∩B=0 , to prawdopodobieństwo sumy równe jest sumie prawdopodobieństw.

W teorii klasycznej prawdopodobieństwo warunkowe (conditional probability) określone jest następująco: jeżeli zaobserwowano zdarzenie A, wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia B pod warunkiem, że nastąpiło A wyraża się wzorem:

117

p(B|A )= p( A∩B )p( A ) .

W teorii kwantowej prawdopodobieństwo warunkowe wyraża się następującym wzorem:

p(B|A )=|PB PA|Ψ ⟩|

2

p (A ) .

W teorii klasycznej, jeżeli A i B są dwoma zdarzeniami, to zawsze możemy zdefiniować iloczyn zdarzeń A∩B=B∩A , a prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń wyraża się wzorem:

p( A∩B )= p( A )⋅p(B|A )=p (B )⋅p( A|B )= p (B∩A ) .

Kolejność zdarzeń nie ma przy tym znaczenia. Jeżeli zajście zdarzenia A nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia B, czyli p(B|A )= p (B ), wówczas prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw (zdarzenia są wówczas niezależne):

p( A∩B )= p( A ) p (B ).

W kwantowej teorii prawdopodobieństwa nie zawsze można zdefiniować iloczyn zdarzeń – jest to możliwe jedynie wówczas, gdy reprezentujące wielkości fizyczne mierzalne A i B operatory komutują ze sobą, czyli posiadają wspólną bazę wektorów własnych. Jeżeli tak nie jest, czyli A i B są niezgodne (incompatible), wtedy możemy zdefiniować

jedynie sekwencję zdarzeń „A, następnie B”, co oznaczymy ( A ,B ) i kolejność zdarzeń ma znaczenie, co nazywamy efektem kolejności (order effect). Prawdopodobieństwo zdarzeń „A, następnie B” wyraża się

118

wzorem:

p( A ,B )=p( A )⋅p(B|A )=|PB PA|Ψ ⟩|2.

Obliczanie prawdopodobieństwa „A, następnie B” ( A , B ) odpowiada rzutowanie najpierw na podprzestrzeń reprezentującą A, a następnie – po unormowaniu wektora stanu do jedności, czyli podzieleniu go przez jego długość – rzutowanie na podprzestrzeń reprezentującą B (por. rys. #):

p( A ,B )=p( A )⋅p(B|A )=|PA|Ψ ⟩|2⋅|PB|Ψ A ⟩|

2=|P A|Ψ ⟩|2|

PB PA|Ψ ⟩|P A|Ψ ⟩|

|2

=

¿|PB PA|Ψ ⟩|2 .

Rys. #. Ilustracja geometryczna obliczania prawdopodobieństwa „A, następnie B” w mechanice kwantowej. Wektor stanu rzutujemy najpierw na podprzestrzeń reprezentującą zdarzenie A, a następnie (po unormowaniu do jedności przez podzielenie rzutu wektora przez jego długość) rzutujemy go na podprzestrzeń reprezentującą zdarzenie B.

Korzystając z definicji długości wektora (kwadrat długości wektora to iloczyn tego wektora i jego sprzężenia zespolonego) wzór na obliczanie

119

prawdopodobieństwa „A, następnie B” możemy zapisać następująco:

p( A ,B )=|PB P A|Ψ ⟩|2=⟨Ψ|PA PB P B PA|Ψ ⟩=⟨Ψ|PA PB P A|Ψ ⟩ ,

przy czym uwzględniliśmy własność idempotencji operatorów rzutowych PB PB=PB (rzutowanie ponownie na tę samą podprzestrzeń nie zmienia

wektora stanu) i ich hermitowskość P

B†=PB .Zdarzeniu nie-A odpowiada rzutowanie na podprzestrzeń ortogonalną

do A , co reprezentuje operator I−PA , zatem prawdopodobieństwo nie-A wynosi:

p( A )=|( I−P A)|Ψ ⟩|2=⟨Ψ|I−PA|Ψ ⟩=⟨Ψ|Ψ ⟩−⟨Ψ|PA|Ψ ⟩=1−p( A ).

Prawdopodobieństwo alternatywy zdarzeń A lub B, a ściślej zdarzeń „A lub następnie B” (dla zdarzeń reprezentowanych przez podprzestrzenie rozpięte na różnych bazach również alternatywna A lub B nie daje się

zdefiniować), co oznaczymy symbolem ( AorB) odpowiada negacja sekwencji zdarzeń nie-A, a następnie nie-B,6 czyli

p( AorB)=1−|P B P A|Ψ ⟩|2.

W odróżnieniu od teorii klasycznej, w kwantowym rachunku prawdopodobieństwa kolejność zdarzeń na ogół ma znaczenie. Jedynie

wówczas, gdy odpowiednie operatory komutują, czyli PA PB=PB P A (operatory takie posiadają wspólną bazę wektorów własnych), kolejność jest bez znaczenia i tylko wówczas można zdefiniować koniunkcję zdarzeń A∩B . W przypadku przeciwnym, to znaczy jeżeli zdarzenie A

6 Wynika to z tautologii (prawa de Morgana) ¬(a∨b )≡¬a∧¬b .

120

jest reprezentowane przez podprzestrzeń V A rozpiętą na wektorach bazy V=|V i ⟩ ,i=1 , .. . , N , natomiast zdarzenie B jest reprezentowane przez

podprzestrzeń W B rozpiętą na innych wektorach bazy W=|W i ⟩ , i=1 ,. .. , N , to koniunkcja A i B nie daje się zdefiniować i

można określić jedynie sekwencję zdarzeń ( A , B ): „A, następnie B”. Sprowadza się to do obliczenia iloczynu prawdopodobieństwa zdarzenia

A p( A ) przez prawdopodobieństwo warunkowe p(B|A ) zdarzenia B, czyli prawdopodobieństwo zdarzenia B pod warunkiem, że zaszło A: rzutujemy najpierw wektor stanu na podprzestrzeń reprezentującą zdarzenie A, a następnie (po unormowaniu do jedności) na podprzestrzeń reprezentującą zdarzenie B.

Kolejna ważna różnica między klasyczną a kwantową teorią prawdopodobieństwa to niespełnienie w tej ostatniej prawa rozdzielności (distributive axiom):7

A∩(B∪C )=( A∩B )∪(A∩C ) .

Rozważmy pewien szczególny przypadek prawa rozdzielności:

A=A∩(B∪B)=( A∩B )∪(A∩B) .

Niech Ω oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Wówczas według klasycznej teorii prawdopodobieństwa:

p( A )=p( A∩Ω)=p (A∩(B∪B ))==p ((A∩B )∪p( A∩B ))==p (A∩B)+ p( A∩B)==p (B ) p( A|B)+ p( B ) p( A|B) .

7 Por. J. R. Busemeyer, P. Bruza, Quantum Models…, s. 92.

121

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite, że jeżeli zachodzi zdarzenie A, to może zajść ono na dwa wykluczające się i wyczerpujące sposoby: albo A zachodzi razem ze zdarzeniem B, albo A zachodzi bez zdarzenia B (to znaczy ze zdarzeniem przeciwnym B ). W mechanice kwantowej lewa strona aksjomatu rozdzielności, czyli

wyrażenie A∩(B∪B ) nie sprawia problemu, ponieważ operator PB

odpowiadający zajściu zdarzenia B komutuje z operatorem PB odpowiadającemu zajściu zdarzenia przeciwnego B , zatem alternatywa B∪B jest dobrze określona. Odpowiadający jej operator rzutowy PB+P B=I jest operatorem jednostkowym i rzutuje na całą przestrzeń Hilberta. Oczywiście operator jednostkowy I komutuje z każdym operatorem, zatem również z operatorem rzutowym odpowiadającym

zajściu zdarzenia A PA i koniunkcja A∩(B∪B )=A również jest dobrze zdefiniowana. Problem jednak sprawia prawa strona aksjomatu,

czyli alternatywa ( A∩B )∪(A∩B) . Jeżeli zdarzenie A reprezentuje

podprzestrzeń V A z wektorami bazyV=|V i ⟩ ,i=1 , .. . , N , natomiast

zdarzenie B reprezentuje podprzestrzeń V B z innymi wektorami bazy W=|W i ⟩ , i=1 ,. .. , N , to operator rzutowy PA nie komutuje z operatorem

rzutowym PB . Relacja koniunkcji jest z definicji przemienna:

A∩B=B∩A i nie może być identyfikowana z iloczynem PA PB ,

ponieważ PA PB≠PB P A . Jak była już o tym mowa, ściśle rzecz biorąc w tym przypadku koniunkcja w ogóle nie ma sensu, ponieważ można

jedynie zdefiniować sekwencję zdarzeń „A, następnie B” ( A ,B ). Możliwe

jest więc, że zdarzeniu A odpowiada nietrywialna podprzestrzeń V A , która

nie przecina podprzestrzeni V B odpowiadającej zdarzeniu B i

równocześnie nie przecina ortogonalnego dopełnienia V B podprzestrzeni

122

odpowiadającej zdarzeniu przeciwnemu B . W kwantowej teorii prawdopodobieństwa możemy zatem mieć przypadek, że A=A∩(B∪B) , podczas gdy A∩B=0 oraz A∩B=0 .

Naruszenie prawa rozdzielności prowadzi do naruszenia prawa prawdopodobieństwa całkowitego. W celu ilustracji tego stanu rzeczy rozważmy dwa przypadki.8 W pierwszym po prostu obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B. W drugim najpierw stwierdzamy, czy zachodzi zdarzenie A, czy też nie-A, a następnie obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B. W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B wynosi po prostu:

p(B)=|PB|Ψ ⟩|2.

W przypadku drugim możemy zaobserwować najpierw zdarzenie A, a następnie zdarzenie B z prawdopodobieństwem

p( A ,B )=|PB P A|Ψ ⟩|2,

albo najpierw zdarzenie A , a następnie zdarzenie B z prawdopodobieństwem

p( A ,B )=|PB P A|Ψ ⟩|2.

Całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi:

pT (B)=p (A ,B )+ p ( A , B )=|PB PA|Ψ ⟩|2+|PB P A|Ψ ⟩|

2

W mechanice kwantowej pojawiają się jednak efekty interferencyjne, co sprawia, że prawdopodobieństwo zdarzenia B nie jest równe sumie

8 Por. J. R. Busemeyer, P. Bruza, Quantum Models…, s. 93n.

123

prawdopodobieństw, jak to ma miejsce we wzorze na prawdopodobieństwo całkowite. Wykorzystując własności operatorów rzutowych, prawdopodobieństwo zdarzenia B możemy zapisać następująco:

p(B)=|PB|Ψ ⟩|2=|PB I|Ψ ⟩|2=|PB(PA+P A )|Ψ ⟩|

2=⟨Ψ |(P A+P A )PB PB (PA+P A)|Ψ ⟩==⟨Ψ|PA PB P A|Ψ ⟩+⟨Ψ|P A PB P A|Ψ ⟩++⟨Ψ|p A pB p A|Ψ ⟩+⟨Ψ|p A pB pA|Ψ ⟩=

=|PB P A|Ψ ⟩|2+|PB P A|Ψ ⟩|

2+⟨Ψ|PA PB P A|Ψ ⟩+⟨Ψ|P A PB P A|Ψ ⟩==pT (B )+ Int(B ).

Wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia B różni się od wzoru na prawdopodobieństwo całkowite o człon interferencyjny

Int (B )=⟨Ψ|P A PB P A|Ψ ⟩+⟨Ψ|P A PB PA|Ψ ⟩ ,

który korzystając z własności liczb zespolonych możemy zapisać następująco:

Int (B )=⟨Ψ|P A PB P A|Ψ ⟩+⟨Ψ|P A PB PA|Ψ ⟩=¿⟨Ψ|P A PB PA|Ψ ⟩+⟨Ψ|P A PB P A|Ψ ⟩

¿=¿2|⟨Ψ|P A PB P A|Ψ ⟩|cosϑ .

gdzie ϑ jest kątem fazowym w iloczynie skalarnym ⟨Ψ|P A PB PA|Ψ ⟩ .9

9 Sumę liczby zespolonej i sprzężenia zespolonego można w postaci trygonometrycznej zapisać w postaci:

z+z¿=|z|(cosϑ+i sin ϑ )+|z|(cosϑ−isin ϑ )=2|z|cosϑ .

124

Jeżeli operatory rzutowe odpowiadające pomiarom A i B komutują ze sobą, czyli zdarzenia A i B są zgodne (compatible) wówczas człon

interferencyjny znika: P A PB PA=P A PA PB=0 (rzutowanie na podprzestrzeń A, a następnie na jej ortogonalne dopełnienie A daje

oczywiście zero:P A PA=0 ) i prawdopodobieństwo zdarzenia B jest takie samo, jak w przypadku klasycznym. Dla zmiennych niezgodnych pojawia się jednak człon interferencyjny, który może mieć dodatnią albo ujemną, co sprawia, że kwantowe prawdopodobieństwo różni się od klasycznego

prawdopodobieństwa całkowitego pT (B) :

p(B)=pT (B )+Int (B ).

W przypadku operatorów komutujących odpowiednie wzory kwantowego rachunku prawdopodobieństwa redukują się do klasycznych, co oznacza, że kwantowa teoria prawdopodobieństwa jest ogólniejsza od teorii klasycznej i zawiera ją jako przypadek szczególny.10

W klasycznej teorii prawdopodobieństwa zbiór zdarzeń tworzy strukturę zwaną algebrą Boole’a. Jest ona zbiorem konsekwencji logicznych następujących aksjomatów:

11. A∪B=B∪A

12. A∩B=B∩A

13. A∪(B∪C )=( A∪B )∪C

14. A∩(B∩C )=( A∩B )∩C

15. A∪(B∩C )=( A∪B )∩(A∪C )

16. A∩(B∪C )=( A∩B )∪(A∩C )

17. A∪A=1

18. A∩A=019. A∪0=A10 Por. J. Bub, Indeterminacy and Entanglement…, s. 603.

125

20. A∩1=A

W kwantowej teoria prawdopodobieństwa, w której zdarzenia są modelowane przez podprzestrzenie przestrzeni Hilberta, a nie przez podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych, mamy do czynienia z nie-booleowską algebrą, w której spełnione są wszystkie aksjomaty algebry Boole’a oprócz prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:11

A∩(B∪C )≠( A∩B )∪(A∩C ) .

Własność ta wynika z faktu, że operatory reprezentujące sprzężone obserwable nie komutują ze sobą.12

Specyfiką logiki kwantowej jest również to, że alternatywa zdań może być prawdziwa nawet wówczas, gdy żaden z członów alternatywy nie jest

prawdziwy: wektor stanu |Ψ ⟩ może należeć do podprzestrzeni V x∪V y

nawet wówczas, gdy nie należy on ani do V x , ani do V y (por. rys. #).

11 Por. G. Birkhoff, J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, „Annals of Mathematics” 1936, Vol. 37, No. 4, p. 823-843, 830. Ramy niniejszej pracy nie pozwalają na bardziej szczegółową dyskusję nad logiką kwantową, a ściślej rzecz biorąc nad logikami kwantowymi, ponieważ jest ich wiele odmian. Szczególnie warto polecić na ten temat: M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini, Quantum Logic, arxiv.org/pdf/quant-ph0101028v2, 6 Jan 2004; A. Wilce, Quantum Logic and Probability Theory, „The Stanford Encyclopedia of Philosophy” (Fall 2012 Edition), E. N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/qt-quantlog/>. Nie brak również opinii, że modyfikacja logiki nie prowadzi do głębszego rozumienia mechaniki kwantowej – por. R. B. Griffiths, Consistent Quantum Theory…, s. 52.

12 Por. M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów…, s. 58.

126

Rys. #.

Można to zilustrować następującym przykładem:13 załóżmy, że mamy cząstkę o spinie połówkowym, taką jak elektron, dla której rzut spinu na dowolny kierunek w przestrzeni może przyjmować tylko dwie wartości, zwane umownie „spin w górę” i „spin w dół”. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności składowe x-owa i y-owa spinu są niewspółmierne ze sobą, to znaczy, jeżeli określona jest składowa x-owa, to składowa y-owa nie ma określonej wartości. Załóżmy, że elektron jest w stanie, w którym ma określony rzut spinu na oś x „w górę”, co oznaczę (p) „spinx w górę”. Wówczas, zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, wartość logiczna poszczególnych zdań (q) „spiny w górę” oraz (r) „spiny w dół” będzie całkowicie nieokreślona, natomiast alternatywa (q∨r ) „spiny w górę lub spiny w dół” musi być prawdziwa, ponieważ rzut spinu na dowolną oś może przyjmować jedynie jedną z dwóch wartości – „w górę” albo „w dół”.

13 Por. M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini, Quantum Logic, [w:] arxiv.org/pdf/quant-ph0101028v2, 6 Jan 2004; A. Łukasik, Prawda, prawdopodobieństwo, niepewność — uwagi o epistemologicznych konsekwencjach mechaniki kwantowej, [w:] A. Kiklewicz, E. Starzyńska-Kościuszko (red.), Oblicza prawdy w filozofii, kulturze, języku, Wydawnictwo Instytutu Filozofii Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie, Olsztyn 2014, s. 47-55.

127

Na zakończenie dodajmy, że niezależnie od różnic w aksjomatyzacji prawdopodobieństwa Kołmogorowa i von Neumanna, istnieje kilka różnych filozoficznych interpretacji prawdopodobieństwa. Pobieżnie przedstawimy niektóre z nich nie zagłębiając się w szczegółowe rozważania.14 W interpretacji częstościowej (von Mises) prawdopodobieństwo jest rozumiane jako granica częstości zdarzeń w losowym ciągu doświadczeń. Mówiąc na przykład, że prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi ½ mam na myśli to, że w granicy nieskończenie wielu prób częstość występowania orła będzie się nieograniczenie zbliżać do wartości ½. W interpretacji logicznej (Keynes, Carnap) prawdopodobieństwo rozumiane jest jako miara uzasadnienia hipotezy h na podstawie przesłanek empirycznych e, czyli miara stopnia przekonania o prawdziwości h. W interpretacji skłonnościowej (propensity-interpretation – Popper) przyjmuje się, że prawdopodobieństwo jest cechą rzeczy wykazujących skłonności do pewnych zachowań i nie jest tożsame z względną częstością określonych zachowań.15 Interpretacja subiektywna (Ramsey) traktuje prawdopodobieństwo jako miarę behawiorystycznie rozumianych przekonań, wyrażających się w określonych decyzjach na przykład podczas podejmowania zakładów.16 Zdaniem Heisenberga pojęcie prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej stanowi całkowitą nowość, ponieważ wektor stanu charakteryzuje „tendencję do realizacji zdarzeń i naszą wiedzę o zdarzeniach”.17 Heisenberg twierdzi, że prawdopodobieństwo w mechanice kwantowej w specyficzny sposób łączy elementy obiektywne z subiektywnymi.

Oczywiście informacje te nie wyczerpują zagadnienia – ich celem było jedynie zwrócenie uwagi na bogatą problematykę filozoficzną związaną z samym pojęciem prawdopodobieństwa.

14 Por. L. Sklar, Physisc and Chance. Philosophical issues in the foundations of statistical mechanics, Cambridge Univertsity Press 1993, s. 90n.

15 Por. K. R. Popper, Świat skłonności…16 Por. H. Mortimerowa, Prawdopodobieństwo, [w:] Filozofia a nauka. Zarys

encyklopedyczny, s. 513-519.17 W. Heisenberg, Fizyka a filozofia…, s. 28.

128

Zasada nieoznaczoności

Zasada nieoznaczoności (ucenrtainty principle) została sformułowana przez Wernera Heisenberga w 1927 roku.1 Najczęściej formułuje się ją następująco: nie można jednocześnie z dowolną dokładnością zmierzyć położenia i pędu cząstki elementarnej, albo – im dokładniej znamy położenie cząstki tym mniej dokładnie znamy jej pęd i vice versa. W zasadzie jest to poprawne sformułowanie zsady nieoznaczoności dla pędu i położenia, ale wymaga ono pewnego komentarza i uściślenia.

Przede wszystkim zasada nieoznaczoności nie wynika z błędów, czy też niedokładności popełnianych podczas faktycznie wykonywanych pomiarów. Dotyczy ona bowiem również pomiarów idealnych, to znaczy przeprowadzonych z maksymalną możliwą precyzją i nakłada nieprzekraczalne ograniczenia na możliwość jednoczesnego pomiaru wielkości sprzężonych.2 Ponadto w przypadku, gdy układ znajduje się w stanie własnym operatora odpowiadającego mierzonej obserwabli, to wynik pomiaru może być przewidziany z całkowitą pewnością. Treść zasady nieoznaczoności wynika bezpośrednio z formalizmu mechaniki kwantowej, a nie z przyczyn – powiedzmy – technicznych. Zasada nieoznaczoności Heisenberga jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady nieoznaczoności.3

Przypomnijmy, że komutatorem operatorów A i B nazywamy wielkość:

[ A , B ]=AB−BA .

Jeżeli [ A , B ]=0 to mówimy, że operatory A i B komutują ze sobą. Posiadają one wówczas wspólną bazę wektorów własnych i obserwable reprezentowane przez te operatory mogą być zmierzone jednocześnie z

1 W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 172–198.

2 Nieprzekraczalne oczywiście z punktu widzenia mechaniki kwantowej.3 Por. L. Susskind, Mechanika kwantowa…, s. 140.

129

dowolną dokładnością. Dla komutujących operatorów kolejność wykonywania pomiarów nie ma żadnego znaczenia – jeżeli najpierw zmierzę wielkość reprezentowaną przez operator A, a następnie wielkość reprezentowaną prze operator B, to otrzymam dokładnie taki sam wynik, jak gdybym przeprowadził pomiary w odwrotnej kolejności. Dla takich par wielkości fizycznych nie istnieje zasadnicze ograniczenie na możliwość jednoczesnego ich zmierzenia z dowolną dokładnością. Pomiar jednej wielkości nie niszczy informacji o drugiej. Przykładem takiej pary wielkości może być pęd i energia.

Jeżeli jednak komutator dwóch operatorów [ A , B ]≠0 , czyli operatory te nie komutują ze sobą, to sytuacja jest zupełnie inna. Operatory takie nie mają wspólnej bazy funkcji własnych. Obserwable reprezentowane przez takie operatory nazywamy sprzężonymi i każda para sprzężonych obserwabli spełnia relacje nieoznaczoności. Oprócz pędu i położenia (a ściślej rzecz biorąc składowej pędu i odpowiadającej jej składowej położenia) przykładami wielkości sprzężonych są składowe spinu cząstki elementarnej oraz moment pędu i kąt. Istnieje również relacja nieoznaczoności dla energii i czasu, ale ma nieco inny status niż pozostałe, ponieważ czas nie jest reprezentowany w mechanice kwantowej przez operator, lecz – podobnie jak w mechanice klasycznej – jest parametrem. Pary zmiennych sprzężonych nie można zmierzyć jednocześnie z dowolną dokładnością, a ponadto dla takich zmiennych kolejność pomiarów ma istotne znaczenie: jeśli najpierw zmierzę wielkość reprezentowaną przez operator A, a następnie wielkość reprezentowaną prze operator B, to otrzymam inny wynik, niż gdybym przeprowadził pomiary w odwrotnej kolejności. Pomiary wielkości fizycznych reprezentowanych przez niekomutujące operatory zaburzają się wzajemnie. Pomiar jednej wielkości niszczy informację o wielkości komplementarnej.

Rozważmy prosty przypadek jednowymiarowy i komutator operatorów położenia i pędu (działanie operatora położenia x sprowadza

się wówczas do pomnożenia wektora stanu |Ψ ⟩ przez liczbę x, natomiast

130

działanie operatora pędu p=−iℏ d

dx polega na obliczeniu pochodnej po x i pomnożeniu przez odpowiedni współczynnik liczbowy):

[ x , px ]|Ψ ⟩=[x ,−i ℏ ddx ]|Ψ ⟩=[ x (−iℏ d

dx)−(− iℏ d

dxx ) ]|Ψ ⟩=

=−iℏ x ddx|Ψ ⟩+i ℏ d

dx( x|Ψ ⟩ )=

=−iℏ x ddx|Ψ ⟩+i ℏ dx

dx|Ψ ⟩+i ℏ x d

dx|Ψ ⟩= i ℏ|Ψ ⟩ ,4

skąd otrzymujemy:

[ x ,−iℏ ddx ]=[ x , px ]=i ℏ I

,

gdzie I jest operatorem jednostkowym.Komutator operatorów położenia i pędu nie jest równy zeru, co znaczy,

że operatory te nie komutują ze sobą, zatem składowa położenia i odpowiadająca jej składowa pędu nie mogą być jednocześnie zmierzone z dowolną dokładnością.

Dla pędu i położenia zasada nieoznaczoności może być zapisana następująco:

Δp⋅Δq≥ℏ2 ,

gdzie Δp jest nieoznaczonością pędu, Δq – nieoznaczonością położenia cząstki elementarnej.

4 Wykorzystaliśmy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji f i g: ddx( f⋅g )=df

dxg+f dg

dx .

131

Nieoznaczoność, o której tu mowa, nie jest potocznie rozumianą „niedokładnością”, czy „niepewnością”, ale ma precyzyjną definicję matematyczną – jest to odchylenie standardowe (zwane również średnim odchyleniem kwadratowym).

W rachunku prawdopodobieństwa wprowadza się pojęcie zmiennej losowej (random variable), przypisując zdarzeniu losowemu wartość liczbową wraz z odpowiadającym jej prawdopodobieństwem. Jest to pewna funkcja określona na zbiorze zdarzeń elementarnych o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Na przykład dla rzutu kostką możemy poszczególnym wynikom przypisać liczby ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6 z prawdopodobieństwem p = 1/6 dla każdego zdarzenia; badanym osobom możemy przypisać określony liczbowo IQ, wzrost czy inne wielkości mierzalne mnożone przez względną częstość ich występowania,. Przyporządkowanie każdej zmienne losowej jej prawdopodobieństwa nazywamy rozkładem zmiennej losowej:

p(X=x i)=p i .

Prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedności: ∑

ip i=1

. Rozkład może mieć charakter dyskretny (nieciągły) lub ciągły (w ostatnim przypadku sumowanie należy zastąpić całkowaniem).

Inaczej mówiąc, zmienna losowa, to wielkość, którą mierzymy, przy czym wartości, które otrzymujemy pojawiają się z pewnym prawdopodobieństwem. W mechanice kwantowej odpowiednikiem zmiennych losowych są właśnie obserwable, czyli wielkości fizyczne mierzalne.

Ważnymi pojęciami rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej są wartość oczekiwana (expectation value), zwana też wartością średnią, która jest miarą tendencji rozkładu zmiennej losowej oraz odchylenie standardowe (standard deviation), które jest miarą rozrzutu wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej.

132

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej dyskretnej X nazywamy sumę iloczynów zmiennych losowych przez odpowiadające im prawdopodobieństwa:

E( X )=∑i

x i p(X=x i).

W przypadku rzutu kostką wartość oczekiwaną możemy obliczyć w bardzo prosty sposób następująco:

E( X )=∑i=1

i=6

ip( i)=1 16+2 1

6+3 1

6+4 1

6+5 1

6+6 1

6=3,5

.

Wiadomo, że w mechanice kwantowej każdy operator możemy zapisać

jako sumę iloczynów jego wartości własnych x i i operatorów rzutowych Pi :

X=∑i

x i P i.

Prawdopodobieństwo, że obserwabla X przyjmuje wartość xi wynosi:

pi( X=xi)=|Pi|Ψ ⟩|2=⟨Ψ|Pi|Ψ ⟩ ,

zatem wartość oczekiwana obserwabli X wyraża się następującym wzorem:

⟨X ⟩=∑i

x i p (X=x i )=∑i

x i|Pi|Ψ ⟩|2=∑

ix i⟨Ψ|P i|Ψ ⟩=

¿⟨Ψ|∑i

x i Pi|Ψ ⟩=⟨Ψ|X|Ψ ⟩ ..

133

W celu obliczenia wartości oczekiwanej operatora wystarczy więc po prostu wstawić operator pomiędzy symbole bra i ket reprezentujące wektor stanu.

W statystyce matematycznej odchylenie standardowe ΔX definiujemy jako pierwiastek z wartości oczekiwanej (średniej) kwadratu odchyleń tej zmiennej od jej wartości oczekiwanej:5

ΔX=√∑i ( x i−⟨X ⟩ )2 p (X=x i )

.

W mechanice kwantowej odchylenie standardowe jest nazywane właśnie nieoznaczonością. Dla operatora hermitowskiego X:

Nieco bardziej poglądowo zasadę nieoznaczoności można zilustrować następująco: zgodnie z koncepcją de Broglie’a z każdą cząstką o pędzie p

jest związana fala o długości λ= h

p . Pęd jest dobrze określony, gdy dobrze jest określona długość fali – w skrajnym przypadku funkcja falowa będzie sinusoidą rozciągającą się „od minus nieskończoności do plus nieskończoności” i położenie cząstki będzie zupełnie nieokreślone. W takim przypadku cząstka może znajdować się w zasadzie w dowolnym miejscu w przestrzeni. Jeżeli natomiast położenie cząstki jest określone, to funkcja falowa ma ostre maksimum w miejscu, w którym prawdopodobieństwo znalezienia cząstki (w rezultacie przeprowadzonego

5 Samą wartość oczekiwaną kwadratu odchyleń tej zmiennej od jej wartości oczekiwanej nazywamy wariancją (variance). Odchylenie standardowe jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji.

.)(

)()(

)()()(

2

22

222

XX

pXxpXx

pXxxXpXxX

iiii

ii

ii

iii

i

134

pomiaru) jest bliskie jedności. W takim przypadku pęd cząstki jest całkowicie nieokreślony. W przypadkach pośrednich cząstkę reprezentuje „paczka falowa”, dla której zarówno pęd jak i położenie jest określone w granicach zgodnych z zasadą nieoznaczoności Heisenberga.

Rys. #. Poglądowa interpretacja zasady nieoznaczoności Heisenberga dla pędu i położenia: a) dobrze określone położenie, pęd nieokreślony; b) dobrze określony pęd, położenie nieokreślone; c) pęd i położenie określone z dokładnością do relacji nieoznaczoności.

Powróćmy jeszcze do pomiarów. W odróżnieniu od spadających jabłek, poruszających się kul bilardowych, Księżyca okrążającego Ziemię i innych przedmiotów makroskopowych, świat atomów i cząstek elementarnych jest i pozostanie na zawsze poza zakresem naszego bezpośredniego doświadczenia zmysłowego. Dlatego w mechanice kwantowej podstawowe znaczenie mają laboratoryjne procedury obserwacji i pomiarów. Oczywiście pomiary różnych wielkości fizycznych zawsze związane są z materialnym oddziaływaniem na badany układ.6 O układzie absolutnie izolowanym nie można uzyskać żadnych informacji, dlatego interakcja przyrząd–obiekt jest niezbędna zarówno w dziedzinie klasycznej, jak i w kwantowej. Jednak zawsze dążymy do tego, aby wpływ, jaki wywieramy na badane zjawisko, zminimalizować. Jak rzecz ujął Max Planck: „Kiedy fizyk chce zmierzyć temperaturą jakiegoś obiektu, to nie wolno mu użyć takiego termometru, którego zastosowanie

6 Być może z wyjątkiem pomiaru zerowego omawianego w dalszej części pracy.

135

spowoduje zmianę temperatury ciała”.7 W fizyce klasycznej przyjmowano, że oddziaływanie między przyrządem pomiarowym a mierzonym obiektem może być ograniczone do minimum tak, że jest praktycznie zaniedbywalne. Przy takim założeniu pomiar ujawnia cechę przedmiotu, jaką posiadał on przed pomiarem i całkowicie niezależnie od pomiaru. Jeżeli na przykład chcę poznać położenie kuli bilardowej, to muszę ją oświetlić – odbity foton trafia do mojego oka i pozwala na lokalizację kuli. Rozsądne wydaje się założenie, że oddziaływanie mikroskopowego obiektu, jakim jest foton, z kulą bilardową zbudowaną z wielu miliardów atomów w najmniejszym stopniu nie ma wpływu na jej tor ruchu. W takim przypadku obserwacja nie zaburza obserwowanego układu. Rozważmy jednak, jak przedstawiałaby się sytuacja, gdyby jedynym sposobem poznania położenia kuli na stole bilardowym było uderzenie w nią inną kulą bilardową. Wówczas na podstawie analizy sposobu, w jaki odbiła się nasza kula bilardowa od tej, której położenie chcieliśmy ustalić, można oczywiście określić położenie obserwowanej kuli, ale oddziaływanie, jakie wprowadziliśmy, powoduje istotne zaburzenie stanu badanego obiektu. Pod pewnymi względami jest do sytuacja podobna do pomiaru w mechanice kwantowej.

Jeżeli chcę na przykład poznać położenie elektronu, to również należy go oświetlić, kierując na elektron foton, który po oddziaływaniu z elektronem zarejestrowany będzie przez jakiś detektor. Dokładność, z jaką mogę określić położenie elektronu jest proporcjonalna do długości fali fotonu. Rozmiary elektronu są rzędu 10-15 m, zatem chcąc go dokładnie zlokalizować muszę użyć światła o odpowiednio małej długości fali – im mniejsza będzie długość fali fotonu, tym dokładniejsza będzie lokalizacja elektronu. Zgodnie jednak ze wzorem Plancka energia fotonu jest odwrotnie proporcjonalna do jego długości fali: E=hν=hc / λ , zatem im mniejsza jest długość fali fotonu, tym większa jest jego energia. W chwili, gdy foton ulegnie rozproszeniu na elektronie, określone jest położenie elektronu, ale następuje wówczas nieokreślone zaburzenie pędu elektronu. Im dokładniej znamy położenie elektronu, tym

7 Por. M. Planck, Jedność fizycznego obrazu świata. Wybór pism filozoficznych, tłum. R. i S. Kernerowie, Książka i Wiedza, Warszawa 1970, s. 84.

136

mniej dokładnie znany jest jego pęd i na odwrót.8 W odróżnieniu od sytuacji poznawczej w mechanice klasycznej, w mechanice kwantowej ingerencji w przebieg zjawiska nie można dowolnie minimalizować – każdemu procesowi pomiaru towarzyszy nie dające się kontrolować zaburzenie układu.

Zasada nieoznaczoności prowadzi do ważnych wniosków dotyczących wyobrażalności mikroświata i przewidywalności zjawisk. Ponieważ mikroobiektom nie można jednocześnie przypisać ściśle określonego pędu i położenia, to nie przysługują im klasycznie rozumiane trajektorie w czasoprzestrzeni. Ruch mikroobiektów nie da się więc przedstawić w poglądowych kategoriach fizyki klasycznej. W szczególności wyobrażenie atomu na podobieństwo układu planetarnego z elektronami orbitującymi wokół jądra (często przedstawiany symbol „wieku atomu”) jest całkowicie niezgodne z mechaniką kwantową. Sposób, w jaki poruszają się elektrony w atomie jest i zapewne pozostanie dla nas całkowicie niewyobrażalny (podobnie zresztą jak sposób, w jaki poruszają się elektrony przez układ szczelin w eksperymencie interferencyjnym).

Jednak zakres stosowalności mechaniki kwantowej nie ogranicza się wyłącznie do mikroświata, ale ma charakter uniwersalny (a przynajmniej, jak dotąd, nie stwierdzono granic stosowalności mechaniki kwantowej). Pojawia się zatem naturalne pytanie, dlaczego w makroświecie nie obserwujemy na przykład interferujących kul bilardowych? Kule bilardowe czy nawet ziarnka piasku poruszają się po dobrze określonych trajektoriach, a ich ruch można z powodzeniem opisać prawami mechaniki klasycznej. Otóż teoretycznie rzecz biorąc relacje nieoznaczoności spełnione są również dla przedmiotów makroskopowych, ale ze względu na olbrzymie, w porównaniu do mas cząstek elementarnych, masy poruszających się ciał makroskopowych efekty wynikające z zasady nieoznaczoności są całkowicie poza możliwością ich obserwacji nawet za pomocą najbardziej dokładnej aparatury. Na przykład dla ziarenka piasku o masie 1 g poruszającego się

8 W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik and Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 174-175.

137

z prędkością 1 cm/s długość fali jest rzędu 10-26 cm, zatem 1013 razy mniejsza niż średnica protonu.9 Nieoznaczoność pędu i położenia są w takim wypadku zupełnie niemierzalne. Z drugiej strony, gdyby udało się zlokalizować obiekt o rozmiarach liniowych rzędu 10-8 cm i gęstości 1g/cm3, to nieoznaczoność prędkości wynosiłaby Δv≥1 km/s .

Laplace, formułując swoją koncepcję demona, ilustrującą przekonanie o deterministycznym charakterze praw przyrody i zasadniczej przewidywalności zjawisk, przyjmował, że warunki początkowe (pędy i położenia wszystkich ciał we Wszechświecie) można ustalić, przynajmniej w teorii, z dowolnie małym błędem. Z zasady nieoznaczoności wynika jednak, że nie można ustalić (zmierzyć) pędu i położenia z dowolną dokładnością nawet dla jednej cząstki elementarnej, takiej jak elektron, zatem przekonanie o możliwości poznania stanu całego świata w pewnej chwili okazuje się fikcją. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej zasada nieoznaczoności nakłada nieprzekraczalne ograniczenia na dokładność jednoczesnego pomiaru wielkości komplementarnych. Jeżeli mechanika klasyczna stawiała sobie za ideał możliwość jednoznacznego przewidywania zjawisk, to możemy powiedzieć, że mechanika kwantowa ukazuje tu pewne granice poznania – należy porzucić marzenie o deterministycznej przewidywalności zjawisk, musimy się zadowolić jedynie możliwością przewidywania prawdopodobieństw zjawisk.

Zdaniem zwolenników kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej statystyczny charakter mechaniki kwantowej jest jej cechą ostateczną i żadne przyszłe dokonania w dziedzinie fizyki mikroświata nie pozwolą na przekroczenie ograniczeń związanych z zasadą nieoznaczoności. Indeterminizm mechaniki kwantowej wynika z tego, że badamy mikroświat przy pomocy materialnych przyrządów pomiarowych.10 Istnienie elementarnego kwantu działania sprawia, że oddziaływanie między przyrządem a obiektem z przyczyn czysto fizycznych nie może być dowolnie zminimalizowane. Arthur S.

9 R. Shankar, Mechanika kwantowa, tłum. M. Łukaszewski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007, s. 120.

10 Por. D. C. Cassidy, Uncertainty…, s. 234-235.

138

Eddington napisał kiedyś w związku z tym, że nie przypisujemy sobie wiedzy o świecie, jak gdyby go badano w jakiś nadnaturalny sposób, bez użycia przyrządów pomiarowych wchodzących w jego skład.11 Pogląd ukształtowany w ramach nauki klasycznej, zgodnie z którym wiedzę o świecie fizycznym możemy zdobywać z punktu widzenia „zewnętrznego obserwatora” (z jakiegoś „boskiego punktu widzenia”), całkowicie pomijając materialne oddziaływanie na badany obiekt, okazuje się na gruncie mechaniki kwantowej nie do utrzymania.

Możliwe są dwie interpretacje zasady nieoznaczoności – epistemologiczna i ontologiczna. Pierwsza odnosi się do wiedzy o mikroświecie, druga zaś do własności samego mikroświata. Heisenberg skłaniał się do interpretacji epistemologicznej. Pisał, że nasza wiedza o systemie jest zawsze niezupełna i dlatego „prawa mechaniki kwantowej muszą mieć charakter statystyczny”.12 „Wiedza o położeniu cząstki jest komplementarna w stosunku do wiedzy o jej prędkości (lub pędzie). Im większa jest dokładność pomiaru jednej z tych wielkości, tym mniej dokładnie znamy drugą. Musimy jednak znać obie, jeśli chcemy określić zachowanie się układu”.13 Epistemologiczna interpretacja zasady nieoznaczoności jest zgodna z podstawowymi założeniami kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej. Zgodnie z nią mechanika kwantowa dostarcza schematu pojęciowego umożliwiającego przewidywanie rezultatów pomiarów bez formułowania twierdzeń ontologicznych na temat „natury” mikroświata.

Przykładem interpretacji ontologicznej jest stanowisko Eddingtona – pisał on, że taki obiekt, jak elektron z równocześnie określonym pędem i położeniem po prostu w naturze nie istnieje.14

Warto w tym miejscu przytoczyć uwagę Feynmana odnośnie do

11 Por. A. S. Eddington, Nowe oblicze natury, tłum. A. Wundheiler, Mathesis Polska, Warszawa 1934, s. 209.

12 W. Heisenberg, The Physicist’s Conception of Nature…, s. 41.13 W. Heisenberg, Fizyka a filozofia…, s. 31. 14 A. Eddington, …; por. A. Łukasik, „Selektywny subiektywizm” Arthura S.

Eddingtona,

139

„wielkości nieobserwowalnych” w fizyce.15 Podkreśla on, że fakt, iż nie jesteśmy w stanie jednocześnie zmierzyć pędu i położenia z dowolną dokładnością, nie oznacza a priori, że nie możemy o nich mówić. Znaczy to jedynie, że nie musimy o nich mówić. W szczególności zaś niemożliwość jednoczesnego pomiaru z dowolną dokładnością pędu i położenia cząstki elementarnej w mechanice kwantowej nie oznacza w żadnym wypadku, że mechanika klasyczna jest błędna. Po prostu na gruncie mechaniki klasycznej pojęcie cząstki z jednocześnie określonym pędem i położeniem jest użyteczne, natomiast na gruncie mechaniki kwantowej nie jest użyteczne.

Równie doniosłe są filozoficzne konsekwencje zasady nieoznaczoności dla energii i czasu:

ΔE⋅Δt≥ℏ2 ,

gdzie ΔE jest nieoznaczonością energii, natomiast Δt jest czasem, w którym ma tę energię.

Przede wszystkim ukazuje ona pewne ograniczenia jednej z najbardziej podstawowych zasad w fizyce, a mianowicie zasady zachowania energii – zgodnie z mechaniką kwantową jest ona spełniona jedynie w granicach zasady nieoznaczoności.

Zasada nieoznaczoności dla energii i czasu ma też podstawowe znaczenie dla naszego rozumienia próżni. Zgodnie z klasycznym (Newtonowskim) obrazem świata pusta przestrzeń (próżnia) istnieje niezależnie od ciał i jest bytem o czysto geometrycznych właściwościach. Pogląd ten w znaczniej mierze przypomina wyobrażenia starożytnych atomistów, zgodnie z którymi „naprawdę istnieją tylko atomy i próżnia”. W klasycznym atomizmie mamy do czynienia z dualizmem materii i przestrzeni – elementarne składniki materii i próżnia stanowią nieredukowalne do siebie realności fizyczne. W szczególności zaś

15 R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics. Quantum Mechanics, s. 8. W polskiej edycji Feynmana wykładów z fizyki pominięty został paragraf 2-6 Philosopical implications.

140

elementarne składniki materii traktowano jako obiekty absolutnie niezmienne i wieczne. Sądzono, że jeden atom nie może przemienić się w inny atom, a tym bardziej w próżnię (greccy atomiści nazywali ją „niebytem”). Tymczasem mechanika kwantowa zaciera dualizm materii i przestrzeni i przedstawia obraz próżni jako dynamicznego ośrodka o bogatych właściwościach. Otóż w próżni zachodzą procesy zwane fluktuacjami kwantowymi. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga dla energii i czasu w kwantowej próżni nieustannie powstają

cząstki, zwane cząstkami wirtualnymi, których energia wynosi ΔE=mc2.

Istnieją one jedynie przez czas Δt∝ ℏ

2mc2, a następnie znikają. Im

większa jest masa cząstki wirtualnej, tym krótszy jest jej czas życia. Cząstki wirtualne nie mogą być bezpośrednio zaobserwowane, powodują jednak pewne obserwowalne efekty, takie jak efekt Casimira, zaobserwowany po raz pierwszy przez holenderskiego fizyka Hendrika B. G. Casimira w roku 1948. Efekt ten polega na przyciąganiu się dwóch nienaładowanych elektrycznie płytek wykonanych z przewodnika, umieszczonych w odległości d mniejszej niż 1 μm (10-6 m) od siebie. Zgodnie z mechaniką kwantową, z każdą cząstką materii o pędzie p

związana jest fala o długości λ=h/ p (dotyczy to oczywiście również cząstek wirtualnych). Na zewnątrz płytek mogą powstawać cząstki wirtualne o dowolnych długościach fali, pomiędzy nimi natomiast jedynie

takie, dla których λ=d ,d /2, d /3 , .. . (kolejne harmoniczne), ponieważ fale o innych długościach będą tłumione. Powoduje to powstanie różnicy ciśnień między cząstkami wirtualnymi na zewnątrz płytek i pomiędzy nimi (ciśnienie na zewnątrz jest większe), a w efekcie płytki będą się wzajemnie przyciągać.

Ponadto zgodnie z kwantową teorią pola każda cząstka elementarna otoczona jest chmurą cząstek wirtualnych i bez tego wirtualnego otoczenia nie istnieje. Na przykład elektron, poruszając się w próżni, może wyemitować wirtualny foton, który następnie może spowodować kreację pary elektron–pozyton. W pobliżu elektronu znajduje się więcej wirtualnych pozytonów niż wirtualnych elektronów, ponieważ dodatnie

141

ładunki wirtualnych pozytonów są przyciągane przez ładunek elektronu, natomiast ujemne ładunki wirtualnych elektronów są przez niego odpychane. Z pewnej odległości ładunek elektronu wydaje się mniejszy niż ładunek elektronu pozbawionego swego wirtualnego otoczenia; gdy zaś wnikamy coraz głębiej w wirtualną otoczkę elektronu, wydaje się, że ładunek elektronu wzrasta. Zjawisko to nosi nazwę polaryzacji próżni.

Rys. # Ilustracja efektu Casimira.

142

Problem pomiaru w mechanice kwantowej W mechanice kwantowej do opisu układu swobodnie ewoluującego

(nie poddawanego procesowi pomiaru) i opisu procesu pomiaru stosowane są dwie całkowicie odmienne procedury – ciągła i deterministyczna ewolucja wektora stanu zgodna z równaniem Schrödingera oraz nieciągła i indeterministyczna redukcja podczas pomiaru.

Jednak zgodnie ze zdrowym rozsądkiem i myśleniem opartym na ideach fizyki klasycznej, rzeczy istnieją i zachowują się tak a nie inaczej zupełnie niezależnie od tego, czy są obserwowane czy też nie. Oczywiście, ludzie często zachowują się inaczej, gdy wiedzą, że są obserwowani niż wówczas, gdy ich nikt nie obserwuje. Z pewnością (przynajmniej według fizyki klasycznej i przy pominięciu stanowiska filozoficznego, zwanego idealizmem subiektywnym) Księżyc istnieje nawet wtedy, gdy „nikt nie na niego nie patrzy” i znajduje się w dobrze określonym stanie. Ale skąd elektrony czy fotony „wiedzą”, że ktoś na nie „patrzy”? Dlaczego układ znajdujący się w stanie superpozycji stanów w rezultacie pomiaru nagle przeskakuje do określonego stanu? Czym pomiar w sensie mechaniki kwantowej różni się od innych oddziaływań? Czy redukcja wektora stanu odzwierciedla rzeczywisty proces zachodzący w przyrodzie, czy też pojawia się ona w formalizmie mechaniki kwantowej jedynie jako „odzwierciedlenie stanu wiedzy obserwatora o obserwowanym systemie”? Czy do wykonania pomiaru potrzebny jest świadomy obserwator, czy też pomiar może być wykonany przez pozbawiony świadomości automat? Czy problem pomiaru jest rzeczywiście najgłębszym filozoficznym problemem mechaniki kwantowej, czy też może jedynie pseudoproblemem?1

Analiza procesu pomiaru ujawnia kolejne paradoksalne cechy

1 Por. J. Bub, The Interpretation of Quantum Mechanics, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht – Holland / Boston – U. S. A 1974, s. IX. Zbiór najważniejszych artykułów dotyczących zagadnieniu pomiaru w mechanice kwantowej zawiera klasyczna już praca: J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983.

143

mechaniki kwantowej, związane z takimi zagadnieniami, jak eksperyment Wheelera z opóźnionym wyborem, paradoks kota Schrödingera, paradoks przyjaciela Wignera, czy też problemy związane z pomiarem zerowym. Zostaną one przedyskutowane w tym rozdziale.

Eksperyment z opóźnionym wyborem

Przedstawimy teraz pewną wersję eksperymentu interferencyjnego zaproponowaną przez Johna A. Wheelera, która prowadzi do jeszcze bardziej osobliwych wniosków dotyczących kwantowego świata – eksperyment z opóźnionym wyborem (delayed choice experiment) Tym razem przeprowadzimy eksperyment z fotonami i zmodyfikujemy nieco nasz układ eksperymentalny: zamiast przesłony z dwiema szczelinami użyjemy półprzepuszczalnego zwierciadła, dwóch całkowicie odbijających zwierciadeł i jeszcze jednego półprzepuszczalnego zwierciadła, zamiast ekranu zaś – dwóch detektorów fotonów, na przykład dwóch fotokomórek. Aparatura ta nosi nazwę interferometru Macha–Zehndera.

Niech źródło Z emituje wiązkę światła, która trafia na półprzepuszczalne zwierciadło BS ustawione pod kątem 450 (por. rys. #). Zwierciadło półprzepuszczalne rozszczepia wiązkę światła na dwie wiązki, z których pierwsza przechodzi przez zwierciadło BS (nazwijmy jego drogę „drogą dolną”), następnie odbija się od zwierciadła Z2 i trafia do fotokomórki D2. Drugi promień odbija się od zwierciadła BS i podąża drogą, którą nazwiemy „drogą górną”, następnie odbija się od zwierciadła Z1 i trafia do fotokomórki D1. Przyjmujemy, że mamy idealne fotokomórki, które reagują zawsze, gdy dotrze do nich światło, zakładamy również, że długość drogi równoległej światła i drogi prostopadłej są dokładnie równe.

W miejscu przecięcia się dwóch wiązek światła możemy wstawić drugie zwierciadło półprzepuszczalne BS’ i w ten sposób spowodować, że światło w wyniku interferencji destruktywnej ulegnie wygaszeniu w kierunku fotokomórki D2 i całe światło będzie docierać do fotokomórki

144

D1. Słowem: po umieszczeniu drugiego zwierciadła półprzepuszczalnego BS’ reaguje zawsze tylko fotokomórka D1, fotokomórka D2 nie reaguje nigdy.

Aby zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, musimy poświęcić nieco miejsca działaniu zwierciadła półprzepuszczalnego.2 Jest to płytka szklana pokryta z jednej strony warstwą dielektryka. Padająca wiązka światła ulega rozszczepieniu – połowa wiązki przechodzi przez płytkę, połowa ulega odbiciu. Z optyki wiadomo, że podczas przejścia przez płytkę faza fali świetlnej nie ulega zmianie. Podczas odbicia światła od zwierciadła całkowicie odbijającego faza fali świetlej zmienia się o π (to znaczy, że tam gdzie był grzbiet fali teraz jest dolina). Również przy odbiciu od warstwy dielektryka w zwierciadle półprzepuszczalnym faza fali świetlnej zmienia się o π, ale jedynie w przypadku, gdy światło trafia na tę warstwę z zewnątrz. Gdy światło trafia na warstwę dielektryka najpierw przechodząc przez szklaną część zwierciadła półprzepuszczalnego, wówczas faza fali świetlej nie ulega zmianie. Zatem wiązka światła poruszająca się po drodze górnej odbije się najpierw od BS (zmiana fazy o π), następnie od Z1 (również zmiana fazy o π) i po przejściu przez BS’ całkowite przesunięcie w fazie wynosić będzie 2π dla wiązki zmierzającej do fotokomórki D1. Wiązka poruszająca się drogą dolną odbije się od zwierciadła Z2 (zmiana fazy o π), a następnie od zewnętrznej powierzchni zwierciadła BS’ (kolejna zmiana fazy o π). Dwie fale świetlne zmierzające do detektora D1 będą więc zgodne w fazie i nastąpi interferencja konstruktywna. (Należy zwrócić uwagę na położenie zwierciadeł półprzepuszczalnych: w BS’ wiązka dolna odbija się od zwierciadła od strony zewnętrznej, natomiast wiązka dolna od strony szkła i w tym wypadku nie następuje zmiana fazy.

2 Bardzo dobry i szczegółowy opis zawiera artykuł K. P. Zetie, S. F. Adams, R. M. Tocknell, How does a Mach–Zehnder interferometer work?, Phys. Educ. 35(1) January 2000, s. 46-48.

145

Rys. #. Schemat eksperymentu z opóźniony wyborem. W rezultacie interferencji konstruktywnej wszystkie fotony trafiają do detektora D1, natomiast w rezultacie interferencji destruktywnej detektor D2 nie rejestruje nic (prawdopodobieństwo rejestracji fotonu wynosi zero). Jeżeli jednak zablokujemy jedną z dróg przed przecięciem się wiązki fotonów (obojętnie którą), obydwa detektory rejestrują fotony z równym prawdopodobieństwem nawet wówczas, gdy zablokowanie drogi górnej lub dolnej nastąpiło już po tym, jak fotony oddziaływały z pierwszym zwierciadłem półprzepuszczalnym.

Wiązka poruszająca się po drodze dolnej w kierunku detektora D2, po odbiciu się od zwierciadła Z2 jest przesunięta w fazie o π (nastąpiło tylko jedno odbicie, a przejście przez BS’ nie zmienia fazy), natomiast wiązka poruszająca się po drodze górnej w kierunku D2 jest przesunięta w fazie o 2π (po odbiciu od BS, a następnie od Z1), ponieważ odbicie od wewnętrznej części BS’ (tzn. gdy światło trafia na warstwę dielektryka przechodzą najpierw przez warstwę szkła) nie zmienia fazy. Zatem wiązki zmierzające w kierunku detektora D2 będą przesunięte względem siebie w fazie o π i nastąpi interferencja destruktywna (grzbiet jednej fali spotka się z dolina drugiej, analogicznie jak w przypadku doświadczenia z dwiema szczelinami). Detektor D2 nie zarejestruje zatem żadnego fotonu.

Rozważmy światło o skrajnie małym natężeniu (natężenie światła to po prostu liczba fotonów), takim mianowicie, że każdorazowo przez układ przechodzi tylko jeden foton (wiemy z eksperymentu z dwiema

146

szczelinami, że można tak zrobić). Gdyby pojedynczy foton trafiając na pierwsze zwierciadło BS po prostu przez nie przechodził albo odbijał się z prawdopodobieństwem p = ½ (czyli wybierał tylko jedną z dwóch możliwych dróg), wtedy każda fotokomórka rejestrowałaby foton z prawdopodobieństwem ½. Tak jednak nie jest – w eksperymencie wszystkie fotony docierają do fotokomórki D1 leżącej w kierunku wiązki światła, żaden natomiast nie dociera do D2. Jedynym możliwym wyjaśnieniem jest właśnie to, że w takiej sytuacji następuje interferencja pojedynczych fotonów. Zatem musimy przyjąć, że pojedynczy foton porusza się w pewnym sensie po dwóch drogach równocześnie, a precyzyjniej rzecz ujmując, że wektor stanu fotonu znajduje się w superpozycji stanów odpowiadających dwóm różnym drogom, które

nazwiemy „górną” |g ⟩ i „dolną” |d ⟩ :

|Ψ ⟩= 1√2(|d ⟩+|g ⟩)

.

Jeżeli jednak zablokujemy którąś z dróg, na przykład przegradzając ją ekranem, to nie nastąpi interferencja (por. doświadczenie z dwiema szczelinami) i foton będzie mógł dotrzeć do obu fotokomórek D1 i D2 z równym prawdopodobieństwem. Natomiast w sytuacji gdy były otwarte obie drogi, foton mógł dotrzeć tylko do fotokomórki D2. Już to jest niezmiernie interesującym rezultatem: zablokowanie fotonowi jednej z dróg otwiera drogę do D2, podczas gdy otwarcie drugiej drogi blokuje możliwość dotarcia do D2.3

Istota eksperymentu z opóźnionym wyborem polega na tym, że możemy zdecydować, czy zablokować jedną z dróg fotonu czy też nie „w ostatniej chwili”, to znaczy już po tym, jak foton oddziaływał ze zwierciadłem BS. Jeśli to zrobimy, foton poruszać się będzie po jednej określonej drodze i może trafić z równym prawdopodobieństwem do obydwu fotokomórek. Jeżeli nie zablokujemy drogi, to foton porusza się po dwóch drogach równocześnie i w wyniku interferencji może dotrzeć

3 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 287.

147

tylko do fotokomórki D1. Ale jak nasza decyzja dotycząca umieszczenia ekranu i zablokowania drogi fotonu mogła mieć wpływ na zachowanie fotonu w BS, skoro nastąpiła już po tym, gdy foton oddziaływał z BS? Jeżeli już nawet możemy przyjąć, że zachowanie fotonu zależy od tego czy otwarte są dwie drogi czy też tylko jedna, to w tym przypadku wydaje się, że nasza decyzja co do otworzenia dwóch dróg dla fotonu lub tylko jednej podjęta w teraźniejszości wpływa na zachowanie fotonu w przeszłości. Oczywiście pojawia się w tym miejscu problem, czy w ogóle możemy mówić o zachowaniu fotonu pomiędzy dwiema kolejnymi obserwacjami. Bohr i Heisenberg byli zdania, że jest to niemożliwe, ale zagadnienia epistemologiczne przeanalizujemy w dalszej części rozdziału.

Wheeler zaproponował również „kosmiczną wersję” eksperymentu z opóźnionym wyborem.4 Otóż znamy kwazar usytuowany w odległości około pięciu miliardów lat świetlnych, od którego światło dociera do nas dwiema drogami w rezultacie zjawiska soczewkowania grawitacyjnego. Światło z tego kwazara potrzebuje ponad pięciu miliardów lat, aby do nas dotrzeć, zatem zostało wysłane zanim jeszcze powstała Ziemia. Jeżeli w eksperymencie z opóźnionym wyborem użyjemy jako źródła fotonów właśnie światła z kwazara, to otrzymujemy dość zaskakujący wniosek, że w zależności od tego czy teraz zdecydujemy zablokować jedną z dróg fotonu w naszej aparaturze czy też nie (możemy podjąć decyzję albo świadomie albo w sposób czysto losowy, na przykład na podstawie rzutu monetą), to pojedynczy foton poruszał się po jednej drodze albo po dwóch równocześnie w zależności od naszego wyboru. Jednak foton został wysłany z kwazara pięć miliardów lat temu… Zdaniem Wheelera, tego typu paradoksy wynikają z niewłaściwego sposobu mówienia: nie ma sensu mówienie o „zjawisku”, takim jak tor ruchu fotonu, dopóki nie zostanie ono zakończone przez nieodwracalny akt wzmocnienia. „Żadne elementarne zjawisko nie jest zjawiskiem dopóki nie jest

4 Por. J. A. Wheeler, Law Without Law, [w:] J. A. Wheeller, W. Żurek, Quantum Theory and Measurement…, s. 190; P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie. Dyskusja o paradoksach teorii kwantowej, tłum. P. Amsterdamski, Wydawnictwo CIS, Warszawa 1996, s. 86.

148

zarejestrowanym (zaobserwowanym) zjawiskiem”.5

Kot Schrödingera

Erwin Schrödinger zaproponował w 1935 roku eksperyment myślowy, który miał wykazać niekompletność mechaniki kwantowej.6 Eksperyment ten zwany jest współcześnie „paradoksem kota Schrödingera” i przebiega następująco: w pudle o ściankach doskonale izolujących od otoczenia umieszczamy kota, niewielką ilość pierwiastka radioaktywnego w liczniku Geigera, fiolkę z cjankiem oraz urządzenie, które uwalnia truciznę w momencie, gdy detektor zarejestruje rozpad atomu. Niech prawdopodobieństwo rozpadu atomu pierwiastka radioaktywnego w ciągu godziny wynosi ½. Jeżeli atom ulegnie rozpadowi, detektor uruchamia urządzenie rozbijające fiolkę z trucizną, która zabija kota. Jeżeli atom się nie rozpadnie, kot pozostaje żywy.

Rys. # Kot Schrödingera.

Zgodnie z mechaniką kwantową, dopóki nie wykonamy pomiaru, atom

5 J. A. Wheeler, Law Without Law, [w:] J. A. Wheeller, W. Żurek, Quantum Theory and Measurement…, s. 192. O interpretacji Wheellera por. paragraf Wszechświat uczestniczący w niniejszej pracy.

6 E. Schrödinger, Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik, „Naturwissenschaften” 1935, 23, ss. 807-812, 823-829, 844-849; tłum. ang.: The Present Situation in Quantum Mechanics: A Translation of Schrödinger’s „Cat Paradox” Paper, [w:] J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum…, s. 152-167.

149

znajduje się w superpozycji stanów „przed rozpadem” i „ po rozpadzie”. Jeżeli wypiszemy wektor stanu dla układu złożonego z atomu i kota, to musimy stwierdzić, że wektor stanu kota ulega splątaniu z wektorem stanu atomu, co oznacza, że zanim wykonamy pomiar (np. zajrzymy do pudła) kot znajduje się w superpozycji stanów kota żywego i kota martwego:

|Ψ ⟩= 1√2(|przed rozpadem ⟩|kot żywy ⟩+|po rozpadzie ⟩|kot martwy ⟩)

Zgodnie z interpretacją kopenhaską, pomiar powoduje redukcję wektora stanu: jeżeli zajrzymy do pudła, to zawsze zaobserwujemy kota żywego albo kota martwego z prawdopodobieństwem p = ½. Przed wykonaniem pomiaru kot nie znajduje się jednak w dobrze określonym stanie (którego my po prostu nie znamy), ale znajduje się w stanie superpozycji, którą Schrödinger opisał jako „obejmującą żywego i martwego kota zmieszanego i rozsmarowanego w równych częściach”.

Jeżeli już jesteśmy w stanie zaakceptować fakt, że elektrony czy fotony mogą znajdować się w osobliwym stanie superpozycji, to w przypadku takiego obiektu jak kot, przewidywania interpretacji kopenhaskiej wydają się dość osobliwe. Mikroobiekty nie są i nigdy nie będą przedmiotem naszego bezpośredniego doświadczenia, natomiast superpozycja stanów obiektów makroskopowych wydaje się absurdalna. Wydaje się nam oczywiste, że kot w pudle jest albo żywy albo martwy, a nie w osobliwym „zawieszeniu” między życiem a śmiercią. Co więcej, pojawia się pytanie o to, czym pomiar w sensie mechaniki kwantowej różni się od innych oddziaływań. Czy do przeprowadzenia pomiaru potrzebny jest świadomy obserwator? Czy sam kot, gdyby miał świadomość, mógłby nam odpowiedzieć na pytanie, w jakim stanie był przed przeprowadzeniem pomiaru?

150

Przyjaciel Wignera

Eksperyment myślowy z kotem Schrödingera można zmodyfikować, czy też jeszcze bardziej skomplikować, jak to uczynił Eugene Wigner.7 Powiedzmy, że eksperyment z kotem w pudle przeprowadzany jest w odizolowanym od otoczenia laboratorium. Do pudła zagląda fizyk-eksperymentator – „przyjaciel Wignera”. Czy wówczas nastąpi redukcja wektora stanu, czy też przyjaciel staje się częścią takiej superpozycji, dopóki jakiś „zewnętrzny obserwator” nie dokona pomiaru? Zauważmy, że wprawdzie Bohr i Heisenberg podkreślali, że przyrząd pomiarowy musi być przedmiotem makroskopowym, to jednak w istocie również przyrząd pomiarowy składa się z atomów i cząstek elementarnych, czyli z obiektów, które same podlegają prawom mechaniki kwantowej. Jeżeli tak, to podczas pomiaru przyrząd może znaleźć się w superpozycji stanów przyrządu i mierzonego obiektu, zatem aby pomiar mógł zostać wykonany i aby nastąpiła redukcja wektora stanu, należałoby wprowadzić kolejny przyrząd, który również może znaleźć się w superpozycji stanów… Rozumowanie to prowadzi do regressus ad infinitum – pomiar nie mógłby zostać zakończony bez jakiegoś dodatkowego elementu, takiego jak… akt świadomości obserwatora. To oczywiście wikła nas w jeszcze bardziej złożony niż problem pomiaru w mechanice kwantowej, problem relacji między umysłem a materią.

Pomiar zerowy

Była już mowa o tym, że używając operatorów rzutowych, pomiary wielkości fizycznych można zinterpretować jako odpowiedzi typu „tak”–„nie” na pewne pytania elementarne. Czy można jednak uzyskać odpowiedź na pytanie, którego wprawdzie nie zadaliśmy, choć mogliśmy je zadać? Zdumiewające, ale mechanika kwantowa prowadzi do wniosku, że tak: przyczyną zjawisk fizycznych mogą być zdarzenia, które mogły

7 Por. E. P. Wigner, Remarks on the Mind-Body Question, [w:] J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quamtum…, s. 168-181.

151

się zdarzyć, chociaż się nie zdarzyły. Opisany poniżej eksperyment myślowy Avsaloma Elituzera i Lwa Vaidmana z testowaniem bomb ilustruje zjawisko zwane pomiarem zerowym.

Załóżmy, że w magazynie mamy odpowiednio dużą liczbę bomb wyposażonych w tak czułe zapalniki, że ze stuprocentową skutecznością reagują nawet na pojedynczy foton.8 Jeśli pojedynczy foton trafi na zapalnik – bomba wybucha. W magazynie znajdują się zarówno sprawne bomby, jak i bomby zepsute, w których zapalniki są zablokowane i oddziaływanie z fotonem nie prowadzi do wybuchu. Załóżmy, że detonator składa się z lustra przymocowanego do zapalnika bomby. Gdy w lustro trafi nawet pojedynczy foton, następuje odrzut lustra, uruchomienie zapalnika i wybuch bomby. Czy ze zbioru bomb możemy wyselekcjonować sprawne bomby nie doprowadzając jednocześnie do wybuchu? Z klasycznego punktu widzenia zadanie to nie ma rozwiązania. Ponieważ zapalniki reagują ze stuprocentową skutecznością nawet na pojedynczy foton, to każda próba sprawdzenia bomby kończy się wybuchem (o ile bomba jest sprawna). Testując przy użyciu fotonów nie jesteśmy w stanie ocalić żadnej sprawnej bomby.

Inaczej jednak sprawa się przedstawia z punktu widzenia mechaniki kwantowej. Do testowania użyjemy interferometru Macha–Zehndera, którego działanie zostało opisane szczegółowo przy omawianiu eksperymentu Wheelera z opóźnionym wyborem. Foton emitowany ze źródła Z trafia na zwierciadło półprzepuszczalne BS1. Po przejściu przez zwierciadło półprzepuszczalne foton porusza się równocześnie po dwóch

drogach, które określimy jako „drogę górną” |g ⟩ i „drogę dolną” |d ⟩ . Wektor stanu fotonu jest wówczas superpozycją stanów:

|Ψ ⟩= 1√2

(|g ⟩+|d ⟩ ) .

8 Por. R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 298n.

152

Rys. # Pomiar zerowy. Testowanie bomb za pomocą interferometru Macha–Zahndera.

Przy drugim zwierciadle półprzepuszczalnym następuje interferencja i wszystkie fotony trafiają do detektora D1 (interferencja konstruktywna). Detektor D2 nie rejestruje żadnego fotonu (interferencja destruktywna), ponieważ obie drogi optyczne fotonu do detektora D1 są takie same (foton raz przechodzi przez zwierciadło BS1 i ulega dwukrotnemu odbiciu), natomiast drogi optyczne fotonu poruszającego się w kierunku detektora D2 są różne (następuje przesunięcie w fazie – por. eksperyment z opóźnionym wyborem).

Jeżeli bomba jest uszkodzona, to wszystkie fotony trafiają do detektora D1 (zapalnik działa jak zwykłe zwierciadło). Jeżeli natomiast bomba jest sprawna, to zapalnik odgrywa rolę przyrządu pomiarowego: w rezultacie oddziaływania z fotonem następuje redukcja wektora stanu i foton

znajdzie się albo w stanie |g ⟩ (czyli będzie poruszał się górną drogą)

albo w stanie |d ⟩ (czyli będzie poruszał się drogę dolną). Prawdopodobieństwo określonego rezultatu pomiaru wynosi p = ½. Jeżeli

redukcja wektora stanu nastąpiła do |d ⟩ (foton poruszał się po drodze dolnej), wówczas bomba wybucha. Jeżeli natomiast w rezultacie pomiaru

153

nastąpiła redukcja do stanu |g ⟩ (co znaczy, że foton poruszał się górną drogą), wówczas może on dotrzeć do detektora D1 lub D2 z prawdopodobieństwem p = ½. Jeżeli foton został zarejestrowany przed detektor D1, to nie wiemy, czy bomba jest dobra, czy zepsuta (zapalnik działa jak zwykłe zwierciadło), natomiast jeśli foton został zarejestrowany przez detektor D2, to wiemy z całkowitą pewnością, że zidentyfikowaliśmy sprawną bombę. W ten sposób ½ sprawnych bomb doprowadziliśmy do wybuchu, natomiast ¼ sprawnych bomb udało nam się zidentyfikować nie doprowadzając do wybuchu.

Otrzymujemy zatem bardzo ciekawy rezultat: zapalnik sprawnej bomby działa jak przyrząd pomiarowy, który redukuje superpozycję stanu fotonu do jednego ze stanów klasycznych. Jeżeli foton zostanie zarejestrowany przez detektor D2 i bomba wybuchła, to wiemy, że detonację spowodował foton poruszający się po drodze dolnej, który trafiając w lustro zapalnika spowodował odrzut i uruchomienie odpowiedniego mechanizmu. Nic nadzwyczajnego. Po prostu straciliśmy bombę. Jeśli natomiast foton zostanie zarejestrowany przez detektor D2 i bomba nie wybuchła, to wiemy, że bomba jest sprawna i zapalnik spełnił rolę przyrządu pomiarowego – nastąpiła redukcja superpozycji stanów

fotonu, ale w rezultacie pomiaru zrealizował się stan |g ⟩ , czyli foton poruszał się po górnej drodze i nie spowodował odrzutu zwierciadła zapalnika bomby (nie oddziałał z lustrem zapalnika, chociaż mógł to zrobić). Na tym polega pomiar zerowy w mechanice kwantowej, całkowicie niemożliwy do wyjaśnienia w kategoriach fizyki klasycznej. Wygląda to tak, jakby sama możliwość poruszenia lustra w zapalniku pozwalała fotonowi na dotarcie do detektora D2.9 „Teoria kwantów ma niezwykle dziwną właściwość – zauważa Roger Penrose – przyczyną zjawisk fizycznych bywają zdarzenia, które mogły się zdarzyć, ale w rzeczywistości się nie zdarzyły, czyli – jak mówią filozofowie – kontrfakty”.10

Pomiar zerowy to pomiar bez oddziaływania: redukcja wektora stanu 9 Por. R. Penrose, Cienie umysłu… s. 334.10 R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 300.

154

następuje pomimo tego, że foton w ogóle nie oddziaływał z przyrządem pomiarowym.11 Detektor bomby dokonuje więc pomiaru, że foton do niego nie dotarł.

11 R. Penrose, Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rządzących Wszechświatem, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006, s. 520.

155

Kwantowe splątanie

Kwantowe splątanie (entanglement) to jeden z najbardziej zaskakujących rezultatów mechaniki kwantowej.1 Pojawia się ono między obiektami, które oddziaływały ze sobą, a następnie zostały rozdzielone. Pomimo tego, że po rozdzieleniu może je dzielić dowolnie duża odległość przestrzenna, stany tych obiektów pozostają ze sobą skorelowane tak, że pomiar wykonany na jednym z nich natychmiast ustala stan drugiego obiektu, chociaż między obiektami tymi nie może być przekazany żaden sygnał (przynajmniej sygnał zgodny z postulatem lokalności, który stanowi fundament szczególnej teorii względności). Obiekty znajdujące się w stanie splątanym tworzą w jakiś sposób niepodzielną całość niezależnie od tego, jak daleko są od siebie oddalone. Pewne ich własności pozostają skorelowane ze sobą w sposób wykraczający poza zwykłe oddziaływania w czasoprzestrzeni. Kwantowe splątanie nie ogranicza się wyłącznie do pojedynczych mikroobiektów – współcześnie fizycy wykonali wiele eksperymentów, pokazujących, że stany splątane występują również w sferze makroskopowej.2

Specyfika stanu splatanego dwóch lub większej liczby cząstek polega również na tym, że stan całego układu jest dobrze określony, natomiast stan poszczególnej cząstki w ogóle nie jest określony i wynik pomiaru własności pojedynczej cząstki daje zupełnie przypadkową wartość. Własność ta jest zdecydowanie niezgodna z naszą intuicją i klasycznym opisem świata. Zgodnie z fizyką klasyczną, jeżeli znam stan układu, to oczywiście znam stan wszystkich jego części. Powiedzmy, że chcę określić stan techniczny mojego samochodu i udaję się w tym celu do stacji kontroli pojazdów. Gdyby mechanik poinformował mnie, że zna stan techniczny

1 Termin „splątanie” zaproponował Erwin Schrödinger w pracy, w której przedstawił eksperyment myślowy z kotem.

2 Por. S. Szpikowski, Mechanika kwantowa…, s. 398. Popularne artykuły na ten temat por. V. Verdal, Ptaki Schrödingera, „Świat Nauki” 2011, nr 7, s. 26-31; D. Z. Albert, R. Galchen, Kwantowe zagrożenie dla szczególnej teorii względności, „Świat Nauki” 2009, Nr 4(212), s. 28-36; M. Żukowski, „It ain’t necessarily so”: Paradoksy interpretacji paradosu Einsteina, „Świat Nauki” 2009, Nr 4(212), s. 36-39.

156

mojego samochodu – powiedzmy, że jest dobry – ale nie może nic powiedzieć na temat tego, czy samochód ma sprawne hamulce, dobrze działające zawieszenie, prawidłowo ustawione światła itd., zapewne uznalbyśmy, że wypowiedź ta jest całkowicie pozbawiona sensu. W mechanice kwantowej jednak w przypadku stanów splątanych możemy, na przykład, znać wektor stanu reprezentujący spin pary cząstek, zatem spin całego układu jest dobrze określony, natomiast spiny poszczególnych cząstek mogą być całkowicie nieokreślone i pomiary ich rzutów na wybrany kierunek przestrzenny mogą dawać całkowicie przypadkowe wartosci.

Paradoks EPR

W 1935 roku Einstein wspólnie z Borysem Podolskym i Nathanem Rosenem zaproponował sławny eksperyment myślowy (zwany „paradoksem EPR”), który w zamierzeniu autorów miał dowodzić niezupełności mechaniki kwantowej.3 Warunkiem koniecznym, jaki powinna spełniać zupełna teoria fizyczna jest, zdaniem Einsteina, to, aby każdy element rzeczywistości fizycznej miał odpowiednik w teorii fizycznej. To zaś, czym są owe „elementy rzeczywistości fizycznej” nie może być ustalone przez aprioryczne rozważania, lecz może być ustalone na podstawie eksperymentów i pomiarów. Einstein przyjmuje następujące kryterium realności fizycznej:4 „Jeżeli, nie zakłócając układu w żaden sposób, możemy w sposób pewny (tzn. z prawdopodobieństwem równym jedności) przewidzieć wartość jakiejś wielkości fizycznej, to istnieje element rzeczywistości fizycznej odpowiadający tej wielkości fizycznej”.5

Zgodnie jednak z mechaniką kwantową, jeżeli dwie obserwable 3 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of

Physical Reality by Considered Complete?, „Physical Review” 1935, Vol. 47, s. 777–780; tłum. polskie: Czy opis kwantowomechaniczny rzeczywistości fizycznej można uznać za zupełny?, [w:] S. Butryn (red.), Albert Einstein. Pisma filozoficzne…, s. 117–123.

4 Por. R. I. G. Hughes, The Structure and Interpretation of Quantum Mechanics, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts and London, England 1994, s. 158.

5 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Czy opis kwantowomechaniczny…, s. 118.

157

reprezentowane są przez niekomutujące operatory, to dokładna znajomość jednej z nich wyklucza równoczesną znajomość drugiej. Einstein stawia alternatywę, że albo wielkości reprezenowane przez niekomutujące operatory nie są jednocześnie realne (zgodnie z mechaniką kwantową), albo kwantowomechaniczny opis rzeczywistości fizycznej nie jest zupełny i argumentuje za nieniezupełnością mechaniki kwantowej.

Zdaniem Einsteina w pewnych przypadkach można przewidzieć zarówno położenie, jak i pęd cząstki bez zakłócania stanu układu, zatem wielkości te należy uznać za jednocześnie realne. Ponieważ, zgodnie z mechaniką kwantową, nie można zmierzyć jednocześnie wielkości komplementarnych (w ryginalnej pracy EPR właśnie pędu i położenia) dla jednej cząstki, Einstein rozważa układ dwóch cząstek, które oddziaływały ze sobą − a zatem są opisane przez wspólny wektor stanu i pokazuje, że dokonując pomiaru na układzie I, można przewidzieć w sposób pewny stan układu II bez jego zakłócania, a zatem − zakładając przytoczone wyżej kryterium realności − należy uznać, że wielkości te są realne.

Einstein wnosi stąd, że mechanika kwantowa nie jest teorią zupełną, czyli że nie opisuje wszystkich aspektów rzeczywistości fizycznej, chyba że przyjmiemy, iż stan układu II zależy od procesu pomiaru przeprowadzonego na odległym od niego przestrzennie układzie I, co w żaden sposób nie zakłóca stanu układu II. Zdaniem Einsteina „nie można oczekiwać, by jakakolwiek rozsądna definicja rzeczywistości na to pozwalała”.6 Einstein zakładał, że teorie fizyczne muszą się wiązać z założeniem, że poszczególne rzeczy istnieją całkowicie niezależnie od siebie „o ile «leżą w różnych częściach przestrzeni». Bez przyjęcia takiej wzajemnej niezależności egzystencji […] rzeczy odległych przestrzennie, wypływającego przede wszystkim z myślenia potocznego, myślenie fizyczne w znanym nam sensie byłoby niemożliwe”.7

W celu analizy kwantowego splątania przedstawimy, jak to się zwykle czyni, paradoks EPR w postaci zmodyfikowanej przez Davida Bohma, w

6 Ibidem, s. 122.7 A. Einstein, Mechanika kwantowa a rzeczywistość, [w:] S. Butryn (red.), Albert

Einstein…, s. 163.

158

której rozważamy spin cząstek.8 Niech układ składa się z dwóch cząstek o spinie połówkowym każda (s = ½ ℏ), znajdujących się w stanie, w którym całkowity spin układu wynosi zero. Oznacza to oczywiście, że spiny cząstek są skierowane przeciwnie. Następnie cząstki te zostają rozdzielone w sposób niepowodujący zmiany spinu i poruszają się w przeciwnych kierunkach w przestrzeni. W chwili, gdy cząstki znajdują się daleko od siebie (teoretycznie rzecz biorąc odległość między nimi może być dowolnie wielka) wykonujemy pomiar rzutu spinu jednej z nich, powiedzmy A, na dowolnie wybrany kierunek przestrzenny. Wówczas z całkowitą pewnością znamy rzut spinu drugiej cząstki, powiedzmy B, i to bez żadnego oddziaływania – ponieważ całkowity spin układu cząstek wynosi zero, a spin jest w doświadczeniu zachowany, rzut spinu drugiej cząstki na ten sam kierunek przestrzenny musi mieć wartość przeciwną. Jeżeli zdecydujemy się, aby dla cząski A wykonać pomiar spinu w

kierunku pionowym i otrzymamy ustawienie spinu „w górę” (|↑ ⟩), wówczas wiemy, że cząstka B ma spin skierowany „w dół” (|↓ ⟩ ). Jeżeli natomiast podejmiemy decyzję, aby zmierzyć ustawienie spinu w kierunku poziomym i dla cząstki A otrzymamy wartość, powiedzmy, „w

prawo” (|→ ⟩ ), wówczas wiemy, że cząstka B ma spin skierowany „w

lewo” (|← ⟩ ). Orientację przestrzenną osi, na którą będziemy mierzyć rzut spinu cząstki A możemy wybrać dowolnie – spin cząstki B zawsze będzie skierowany przeciwnie. Możemy więc z całkowitą pewnością i to bez żdnego ddziaływania przewidzieć rzut spinu cząstki B, znajdującej się w odległym przestrzennie obszarze. Co więcej, ustawienie osi, na którą będziemy mierzyć spin cząstki A możemy wybrać „w ostatniej chwili”, to znaczy w momencie gdy cząstki są już na tyle daleko od siebie, że żadna informacja nie może dotrzeć z obszaru, w którym znajduje się cząstka A do obszaru, w którym znajduje się cząstka B, ponieważ wymagałoby to sygnału poruszającego się z prędkością przewyższającą prędkość światła w próżni (a nawet natychmiastowo), co jest sprzeczne z fundamentalnym

8 Por. D. Bohm, Ukryty porządek, s. 85.

159

założeniem szczególnej teorii względności. Zgodnie z teorią względności Einsteina, prędkość światła w próżni c jest stałą absolutną i jednoczeście maksymalną prędkością, z jaką mogą rozchodzić się jakiekolwiek oddziaływania. Postulat ten nazywamy lokalnością i wyklucza on natychmiastowe oddziaływanie na odległość (actio in distans).

Czy zatem składowe spinu cząstki spełniają Einsteina kryterium realności fizycznej, a mechanika kwantowa jest teorią niekompletną? Spin jest to wewnętrzny moment pędu cząstki elementarnej i wykazuje pewne analogie do klasycznego momentu pędu. Jednak spin jest to typowo kwantowa wielkość i analogia ta ma dość ograniczony charakter. Klasyczny momentu pędu zachowuje stały kierunek w przestrzeni i posiada dobrze określone wszystkie trzy składowe przestrzenne – możemy go przedstawić sobie jako wektor w trójwymiarowej przestrzeni, który w każej chwili ma określone wszystkie trzy składowe. Fakt, że pomiar składowej momentu pędu w obszarze A pozwala z całkowitą pewnością określić odpowiednią składową w obszarze B nie kryje w sobie nic tajemniczego. Po prostu przed pomiarem wektor momentu pędu każdej z dwóch cząstek jest skierowany w określonym kierunku przestrzeni i pomiar ujawnia wartość wielkości fizycznej, jaką była przed pomiarem i całkowicie niezależnie od niego. Możemy powiedzieć, że w mechanice klasycznej pomiar ujawnia obiektywną własność fizyczną. W przypadku dwóch cząstek klasycznych, których całkowity moment pędu wynosił zero, wiadomo, że przez cały czas trwania eksperymentu wektor momentu pędu jednej z nich był skierowany w określonym kierunku przestrzeni, a wektor momentu pędu drugiej cząstki był skierowany przeciwnie.

Jednak sytuacja w mechanice kwantowej jest radykalnie odmienna. Dla układu dwóch cząstek o spinie połówkowym przestrzeń stanów jest

iloczynem tensorowym H AB=H A⊗HB . Wektory bazy są elementami tej przestrzeni i określone są przez składowe spinów obydwu cząstek. Możemy

je zapisać następująco: |↑ ⟩⊗|↑⟩ , |↑ ⟩⊗|↓⟩ , |↓ ⟩⊗|↑⟩ , |↑ ⟩⊗|↑⟩ , albo – upraszczając zapis – jako: |↑↑⟩ , |↑↓⟩ , |↓↑⟩ , |↓↓⟩ , przy czym pierwszy symbol w kecie odpowiada stanowi cząstkiw A, drugi zaś

160

stanowi cząstki w B.9 Stan układu złożonego z dwóch cząstek jest to tzw. stan singletowy (singlet state):

|Ψ ⟩= 1√2(|↑↓⟩−|↓↑⟩)

.

Stany takie nazywamy stanami splątanymi (entanglement). Wektor stanu układu nie może być zapisany jako iloczyn wektorów stanów podukładów. Kwantowe splątanie dotyczy dwóch lub większej liczby obiektów i stany splątane należy odróżnić od superpozycji stanów, która odnosi się do jednego obiektu.

Zgodnie z regułami mechaniki kwantowej, po wykonaniu pomiaru stan układu cząstek redukuje się do jednego ze stanów własnych odpowiadającego otrzymanej wartości własnej. Jeżeli na przykład w obszarze A wykonamy pomiar i otrzymamy wartość spinu skierowaną „w

górę”, to następuje redukcja stanu singletowego do stanu własnego |↑↓⟩ , co oznacza, że spin cząstki w odległym przestrzennie obszarze B przyjął wartość „w dół”. Oczywiście kierunki „góra-dół” nie są w żaden sposób wyróżnione i analogiczne rozważania obowiązują dla pozostałych składowych przestrzennych spinu.

Innymi słowy: gdy jedna składowa spinu jest określona, dwie pozostałe są nieokreślone, a nie tylko niemożliwe do zmierzenia.

9 Por. L. Susskind, Mechanika kwantowa…, s. 162.

161

Rys. # Pomiar spinu elektronów.

Rozważmy następujący przykład: załóżmy, że przez urządzenie mierzące spin kierujemy strumień elektronów (por. rys. #). Wykonujemy pomiar rzutu spinu elektronów na pewien kierunek w przestrzeni. Z

prawdopodobieństwem równym ½ otrzymujemy „spin w górę” |↑ ⟩ albo

„spin w dół” |↓ ⟩ . Jeżeli teraz ze strumienia cząstek wyeliminujemy te, których składowa spinu względem osi z była skierowana „w dół” i wykonamy ponowny pomiar ustawienia spinu względem tego samego

kierunku w przestrzeni, to z pewnością uzyskujemy rezultat „w górę” |↑ ⟩ dla wszystkich cząstek (ponowne działanie tego samego operatora rzutowego nie zmienia stanu obiektu). Jeżeli jednak pomiędzy pomiarami składowej spinu elektronów w kierunku z wykonujemy pomiar względem jakiejś innej orientacji przestrzennej, powiedzmy x, to sytuacja ulega zmianie. Podobnie jak dla osi z również w połowie przypadków

otrzymamy ustawienie spinu, powiedzmy „w prawo” |→ ⟩ , a w połowie

przypadków ustawienie „w lewo” |← ⟩ . Jeżeli jednak teraz wykonamy ponownie pomiar rzutu spinu elektronów w kierunku z dla cząstek, które

162

przed przeprowadzeniem pomiaru rzutu spinu w kierunku x wszystkie miały spin ustawiony „w górę” w kierunku osi z, to okazuje się, że jedynie w połowie przypadków otrzymujemy ustawienie „spin w górę”, a w połowie przypadków − „spin w dół”. Gdyby wszystkie składowe spinu elektronu były dobrze określone i zachowywały stały kierunek w przestrzeni (jak klasyczny moment pędu), wówczas przy powtórnym pomiarze rzutu spinu na oś z powinniśmy otrzymać wyłącznie rezultat „spin w górę”.

Rozważmy pewien eksperyment myślowy ilustrujący makroskopowy przykład takiego zachowania. Eksperymentu takiego oczywiście nikt nie wykonał, ale jego analiza pozwoli na zrozumienie osobliwości zachowania obiektów kwantowych. Powiedzmy, że w urnie mamy kule białe i czarne, a ponadto kule są ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi. Wyciągamy losowo kulę: jeżeli jest czarna, to umieszczamy ją w drugiej urnie, jeśli biała – odkładamy na bok. Wykonujemy zatem „pomiar” dotyczący koloru kuli – możemy otrzymać jeden z dwóch wyników: „biała” albo „czarna”. Następnie z drugiej urny losujemy kulę i przeprowadzamy ponownie „pomiar” koloru: biała czy czarna? Ponieważ uprzednio odłożyliśmy na bok wszystkie kule białe, to w urnie znajdują się wyłącznie kule czarne i z całkowitą pewnością zawsze wylosujemy kulę czarną. Używając języka mechaniki kwantowej możemy powiedzieć, że po wykonaniu pomiaru wszystkie kule znajdują się w „stanie własnym koloru”. Powiedzmy teraz, że zamiast sprawdzać, kolor kuli (co byłoby zadaniem dość nudnym, ponieważ wszystkie kule w drugiej urnie są oczywiście czarne), losujemy kule i wykonujemy „pomiar” sprawdzając, czy kula ma numer parzysty, czy nieparzysty. Kule o numerach nieparzystych odkładamy na bok, natomiast kule o numerach parzystych umieszczamy w trzeciej urnie. Teraz ponownie losujemy kule z trzeciej urny i sprawdzamy, czy są białe czy czarne. Gdybyśmy przeprowadzali doświadczenie z rzeczywistymi kulami, to zachowywałyby się one tak jak zwykłe przedmioty makroskopowe: kula jest biała albo czarna i ma numer parzysty albo nieparzysty niezależnie od tego, czy ktoś sprawdza, czy nie (powiedzielibyśmy, że określony kolor czy też numer jest obiektywną

163

własnością kuli). Ponieważ w pierwszym losowaniu odłożyliśmy na bok wszystkie kule białe, a w drugim losowaniu wyeliminowaliśmy wszystkie kule o numerach nieparzystych, to w trzeciej urnie powinny został wyłącznie kule czarne z parzystymi numerami. Jednak gdyby kule zachowywały się w sposób kwantowomechaniczny, to – podobnie jak podczas pierwszego „pomiaru” – z prawdopodobieństwem ½ wylosowalibyśmy… kulę białą pomimo tego, że w pierwszym losowaniu odrzuciliśmy wszystkie kule białe. Wygląda to tak, jakby kula „stawała się” biała albo czarna (lub nosiła numer parzysty albo nieparzysty) dopiero w rezultacie losowania, a nie przed losowaniem i niezależnie od niego.

Powróćmy do pomiaru spinu: kierunek przestrzenny, na który zostanie dokonany pomiar spinu w układzie I, może być wybrany bezpośrednio przed dokonaniem pomiaru (na przykład w sposób losowy), co uniemożliwia jakiekolwiek oddziaływanie fizyczne układu I z odległym układem II, czyli przekazanie informacji o tym, w jakim kierunku będzie mierzony spin w układzie I. Pomimo tego kierunki spinów cząstek w odległych obszarach przestrzeni pozostają ze sobą ściśle skorelowane – jeżeli cząstka I w wyniku pomiaru uzyska spin „w górę”, to stan cząstki II redukuje się do stanu spin „w dół”. Einstein nazwał to „upiornym działaniem na odległość” (spooky action at a distance).

Nierówność Bella

W 1964 roku John Stewart Bell (1928–1990) udowodnił nierówność dotyczącą korelacji spinowych, która powinna być spełniona, gdyby słuszny był wniosek Einsteina, że mechanika kwantowa nie jest teorią kompletną.10 Twierdzenie Bella nie jest związane z jakąś konkretną własnością cząstek, jak na przykład spin, ale ma znaczenie całkiem ogólnie i „w zasadzie nie zależy od wyboru cząstek ani charakteru łączących je oddziaływań; dotyczy ono logicznych reguł, jakie obowiązują w każdym

10 Por. J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, „Physics” 1964, t. 1, s. 195–200, [w:] J. S. Bell, Speakable and unspeakable in quantum mechanics, Cambridge University Press, Cambridge 1997, s. 14–21; tekst dostępny także w Internecie: http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf.

164

procesie pomiaru”.11 Taką regułą jest na przykład stwierdzenie, że liczba rudych mieszkańców Polski nie może być większa niż liczba rudych mężczyzn plus liczba wszystkich kobiet bez względu na kolor włosów.

Wyprowadzenie nierówności Bella oparte jest na dwóch założeniach, określanych jako realizm (lub założenie obiektywnej rzeczywistości) oraz lokalność (separowalność). Są one rozumiane następująco:

1. Realizm – obiekty kwantowe mają jednocześnie określone wszystkie wartości parametrów dynamicznych całkowicie niezależnie od dokonywanych pomiarów (nawet gdy pomiar w mechanice kwantowej nie pozwala na jednoczesne określenie wielkości komplementarnych z dowolną dokładnością),

2. Lokalność (einsteinowska) albo separowalność (separability) – żadne oddziaływanie fizyczne nie może rozprzestrzeniać się szybciej, niż wynosi prędkość światła w próżni c (co oczywiście wyklucza natychmiastowe działanie na odległość).12

Szkicowo rozumowanie to można przedstawić następująco: niech X, Y, Z oznaczają określone kierunki przestrzenne. W przypadku dowolnej osi wartość rzutu spinu (dla takich cząstek jak elektrony) może przyjmować tylko dwie wartości, które oznaczymy tu jako „+” i „–” odpowiednio. Gdyby cząstka miała własność X+Y–, to — przy założeniu, że wartości wszystkich trzech rzutów spinów są określone, chociaż zmierzyć można każdorazowo tylko jedną z nich — musi być ona oczywiście typu X+Y–Z+

albo X+Y–Z–. Ponieważ jednak zgodnie z zasadą nieoznaczoności

11 J. Gribbin, W poszukiwaniu…, s. 204.12 Niekiedy jako trzecie założenie dodaje się „założenie wolnej woli” rozumiane w

ten sposób, że obserwator może wybrać, jaką własność układu będzie mierzyć, w przeciwieństwie do determinizmu, który (podobno) wyklucza taką możliwość. Por. M. Żurkowski, „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu Einsteina, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 36–39. Bell mówił nawet o możliwości „superdeterminizmu”, który, jak sądził, prowadził do wniosku, że obserwator nie ma wyboru, jaką wielkość obserwować, co prowadzi do wniosku, że problem korelacji EPR po prostu „znika” (por. P. C. W. Dawies, J. R. Brown, Duch w atomie…, s. 65). Wydaje się jednak, że filozoficzny problem „wolnej woli” jest znacznie bardziej skomplikowany i jego rozważnie wyłącznie w kontekście interpretacji mechaniki kwantowej jest zbyt daleko posuniętym uproszczeniem, żeby nie powiedzieć nieporozumieniem.

165

Heisenberga tylko jedna składowa spinu może być zmierzona dla danej cząstki, to zamiast rozpatrywać pojedyncze cząstki można zastosować to rozumowanie do par cząstek, dla których sumaryczny spin wynosi zero.

Rozważmy parę cząstek o spinie równym zero, która rozpadła się tak, że cząstki I i II poruszają się w przeciwnych kierunkach a ich sumaryczny spin wynosi zero. Gdy cząstki znajdują się daleko od siebie wykonujemy pomiar rzutu spinu na wybraną oś.

Bell wykazał, że przy założeniu lokalności i realizmu liczba par cząstek, dla których dwie składowe rzutu spinu na kierunki X i Y mają wartość „+” n(X+Y+), musi być mniejsza niż suma liczb par cząstek, dla których wszystkie pomiary dały wartość „+”: n(X+Z+) i n(Y+Z+):

n(X+Y+) n(X+Z+) + n(Y+Z+).13

Ograniczenia na korelacje między pomiarami przeprowadzonymi równocześnie na dwóch rozdzielonych przestrzennie cząstkach powinny być zatem spełnione (przy założeniu lokalnego realizmu) zarówno w przypadku pomiaru składowych spinu, jak również takich wielkości, jak na przykład polaryzacja fotonu.

Według mechaniki kwantowej w pewnych warunkach korelacje między mierzonymi wielkościami powinny przekraczać ograniczenia wynikające z nierówności Bella. Nierówność Bella umożliwia więc empiryczny test między stanowiskami Einsteina i Bohra.

Realizm i lokalność w mechanice kwantowej

Decydujące znaczenie dla rozstrzygnięcia sporu między stanowiskami Einsteina i Bohra miały doświadczenia przeprowadzone w 1982 roku przez zespół Alaina Aspecta14. W doświadczeniach tych mierzono polaryzację fotonów wyemitowanych podczas przejścia między poziomami

13 Jest to uproszczona postać nierówności Bella, co jednak dla niniejszych rozważań nie ma istotnego znaczenia.

14 Por. A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger, Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time Varying Analyzers, „Physical Review Letters” 1982, Vol. 49, nr 25, s. 1804–1807.

166

energetycznymi atomu wapnia, wzbudzonych światłem laserów (jest to wzbudzenie dwufotonowe, które może się rozpaść tylko przez emisję dwóch fotonów). Rezultaty doświadczeń potwierdzają korelacje przewidywane przez mechanikę kwantową, falsyfikują natomiast nierówność Bella. Doświadczenia Aspecta nie były pierwszymi doświadczeniami, których zadaniem był empiryczny test nierówności Bella, ale – głównie z uwagi na zastosowanie losowego (ściślej: pseudolosowego) ustawienia przełącznika kierującego fotony do filtrów polaryzacyjnych – powszechnie uznaje się je za rozstrzygające. Odległość między źródłem fotonów a każdym z detektorów wynosiła 6 metrów, a odstępy czasu, między którymi zmieniano ustawienie przełącznika, były kilkakrotnie krótsze niż czas lotu fotonów. Decyzja, w jakim kierunku mierzyć polaryzację, podejmowana była dopiero wtedy, gdy fotony były już wyemitowane ze źródła, co uniemożliwiało przekaz informacji pomiędzy detektorami, na jaki kierunek polaryzacji został on nastawiony. (Jedno przełączeni trwało 10 ns, czas emisji – 5 ns, czas lotu fotonów – 40 ns).

W 1998 roku zespół Nicolasa Gisina z Genewy wytworzył i utrzymał splątanie pary fotonów po przesłaniu cząstek na odległość 10 km, a Anton Zeilinger zaprezentował udoskonaloną wersję doświadczenia Aspecta. W 2006 roku zespół Zeilingera wytworzył splątanie na odległość 144 kilometrów. Rok później zespół Marka Żukowskiego z Instytutu Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki Uniwersytetu Gdańskiego we współpracy z grupą Zeilingera przeprowadził doświadczalny test nielokalnego realizmu i ostatecznie wykluczył pewną klasę wariantów mechaniki kwantowej ze zmiennymi ukrytymi.

„Upiorne działanie na odległość”, które tak niepokoiło Einsteina, okazuje się więc faktem. Ściślej rzecz biorąc, nie można jednak w tym wypadku mówić o oddziaływaniu, ponieważ kwantowe splątanie nie może służyć do przesyłania informacji: jeśli w obszarze I zaobserwujemy pewną własność obiektu kwantowego, na przykład określone ustawienie spinu, to wiemy z całą pewnością, jaka jest jej własność w obszarze II dla drugiego obiektu, ale informację o tym możemy przesłać do obszaru II wyłącznie drogą konwencjonalną, to znaczy najwyżej z prędkością światła w próżni.

167

Kwantowe splątanie nie jest więc sprzeczne ze szczególną teorią względności, choć trzeba przyznać, że fakt, iż własności dowolnie oddalonych od siebie przestrzennie obiektów kwantowych pozostają ze sobą skorelowane (pomimo braku oddziaływań fizycznych między nimi) ma w sobie coś niesamowitego, co trudno pogodzić ze zdroworozsądkowym, a także klasycznym obrazem świata.

Wyprowadzenie nierówności Bella oparte było na założeniu lokalnego realizmu, czyli lokalności einsteinowskiej i realizmu (w omówionych wcześniej znaczeniach tych terminów). Rezultaty przeprowadzonych eksperymentów są w pełni zgodne z przewidywaniami mechaniki kwantowej, niezgodne natomiast z nierównością Bella. Wynika stąd wniosek, że należy odrzucić albo realizm albo lokalność.15 Wśród uczonych nie ma współcześnie zgody co do tego, jakie filozoficzne konsekwencje wynikają z faktu, że nierówność Bella nie jest spełniona. Odrzucenie realizmu jest w pełni zgodne z kopenhaską interpretacją mechaniki kwantowej i poglądem Bohra, że rezultaty doświadczeń w mechanice kwantowej nie informują nas o niezależnych od użytej aparatury pomiarowej (i w tym sensie „obiektywnych”) własnościach mikroobiektów, ale informują nas o reakcji makroskopowych przyrządów pomiarowych. W pewnym sensie możemy powiedzieć, że „rzeczywistość” zależy od decyzji obserwatora, ponieważ rezultat eksperymentu zależy od tego, jaki pomiar zdecyduje się on przeprowadzić.16 Jeżeli natomiast odrzucimy lokalność, wówczas stanowisko takie prowadzi do poddania w wątpliwość naszych poglądów na czas i przestrzeń. Kwantowe splątanie nie maleje z odległością i obiekty znajdujące się w stanie splątanym w jakiś sposób tworzą niepodzielną całość, trudno je zatem traktować jako odrębne realności fizyczne, a ponadto są połączone ze sobą związkami, które – jak

15 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 320. Rezultaty doświadczeń Aspecta wykluczają lokalne teorie zmiennych ukrytych, nie wykluczają jednak teorii, w których zakłada się występowanie oddziaływań z prędkością ponadświetlną. D. Z. Albert, R. Galchen, Kwantowe zagrożenie dla szczególnej teorii względności, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 28-36; M. Żurkowski, „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu Einsteina, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 36-39.

16 Por. A. Zeilinger, Od splątania cząstek do kwantowej teleportacji, tłum. B. Bieniok, A. L. Łokas, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013, s. 326.

168

się wydaje – całkowicie wykraczają poza czas i przestrzeń. Kwantowe splątanie jest ponadto mocnym argumentem na rzecz

stanowiska antyredukcjonistycznego. Według stanowiska redukcjonistycznego całość może być rozłożona na części, z których każdą można scharakteryzować przez opis jej wewnętrznego, nierelacyjnego stanu, a wszystkie własności fizyczne całości są konsekwencją własności wewnętrznych części i czasoprzestrzennych relacji między nimi.17 Jednak stan układu cząstek splątanych jest dobrze określony, ale stan elementów tego układu jest w ogóle nieokreślony. Własności całości są więc nieredukowalne do własności części. W tym znaczeniu mechanika kwantowa zawiera elementy holistyczne.

17 Por. T. Maudlin, Part…, s. 48.

169

Interpretacje mechaniki kwantowej

Uczeni zgodni są co do tego, że mechanika kwantowa jest najdoskonalszą teorią fizyczną jaką kiedykolwiek skonstruowano. Jak dotąd nigdy nie natrafiono na zjawisko, które przeczyłoby przewidywaniom mechaniki kwantowej, pozwoliła ona wyjaśnić zjawiska całkowicie niezrozumiałe z punktu widzenia fizyki klasycznej, a ponadto ma olbrzymi obszar zastosowań praktycznych.1 Jednak paradoksalne i wysoce nieintuicyjne zachowanie mikroobiektów wciąż skłania uczonych do próby odpowiedzi na pytanie „co to wszystko znaczy?”, czyli do sformułowania interpretacji mechaniki kwantowej. Liczba interpretacji mechaniki kwantowej wciąż rośnie – formułowane są coraz to nowe propozycje, tak że trudno nawet powiedzieć, ile dokładnie jest różnych interpretacji mechaniki kwantowej.

Zanim omówimy wybrane interpretacje, zauważmy, że można wyróżnić co najmniej dwa odmienne podejścia do samego zagadnienia interpretacji mechaniki kwantowej. Pierwsze z nich określimy jako „egzegezę struktur matematycznych”. Jego przykładem jest stanowisko Michała Hellera.2 Podkreśla on, że strukturę matematyczną teorii należy traktować dosłownie, ponieważ jest to jedyny (oczywiście poza eksperymentem) sposób uzyskania „wglądu” w mikroświat. Heller postuluje przy tym „zasadę interpretacyjnej oszczędności”, zgodnie z którą należy zakładać wyłącznie to, czego wymaga struktura matematyczna teorii, bez narzucania jej dodatkowych treści, w szczególności zaś wyobrażeniowych modeli ukształtowanych na bazie naszej percepcji świata makroskopowego. Pogląd taki jest zbieżny z koncepcją ontologii w sensie Quine’a, zgodnie z którą należy postulować wyłącznie istnienie tych bytów, których istnienie zakłada formalizm danej teorii.

W drugim podejściu interpretacja mechaniki kwantowej jest często 1 Polecam opis najważniejszych zastosowań mechaniki kwantowej w rozdziale

szóstym „Fizyka kwantowa w zastosowaniach” książki J. Al-Khalili, Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych (s. 229-260).

2 M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów, OBI, Kraków 1996, s. 14-15.

170

rozumiana jako próba przełożenia na nasz codzienny język tego, co mówi nam formalizm mechaniki kwantowej, a konsekwencji jako próba wypracowania jakiegoś obrazu mikroświata, który pozwoliłby na zrozumienie również tego, co dzieje się między pomiarami. Oczywiście tak rozumiane interpretacje muszą zgadzać się z przewidywanymi przez mechanikę kwantową wynikami eksperymentów, jednak różne interpretacje proponują radykalnie odmienne obrazy świata lub też – inaczej mówiąc – różne i często niewspółmierne ontologie. Niekiedy interpretacje te przyjmują już postać spekulacji całkowicie wykraczających poza możliwości jakiegokolwiek testu empirycznego (przynajmniej na obecnym stanie rozwoju nauki).

Wydaje się dość paradoksalne, że teoria fizyczna, która tak doskonale sprawdza się w doświadczeniu, doczekała się tak wielu odmiennych interpretacji. Jednak superpozycja stanów, kwantowe splątanie czy redukcja wektora stanu podczas pomiaru i inne paradoksy mechaniki kwantowej stanowią niewątpliwie wyzwanie dla naszej wyobraźni. Jaki jest status różnych interpretacji mechaniki kwantowej? John Gribbin na przykład określa je jako „kule inwalidzkie naszej ograniczonej wyobraźni, sposoby uchwycenia dziwności świata kwantów, która nigdy nie znika i pozostaje poza zasięgiem naszego codziennego doświadczenia”.3

Jeżeli nie jesteśmy przywiązani do poglądu, że może istnieć tylko jeden właściwy obraz świata fizycznego, to do wyboru mamy kilka różnych propozycji. Jak dotąd nie wykazano, by którakolwiek z interpretacji była lepsza niż inne. Być może zatem wybór jednaj z nich pozostaje kwestią osobistych preferencji. Nie można jednak również a priori wykluczyć, że pewna interpretacja, niekoniecznie jedna z obecnie znanych, okaże się właściwą interpretacją mechaniki kwantowej i przyczyni się do głębszego zrozumienia świata.4 W kolejnych paragrafach

3 J. Gribbin, Encyklopedia fizyki kwantowej, s. 143.4 Takie sytuacje miały już miejsce w fizyce. Przykładem może być powstanie

szczególnej teorii względności i interpretacja skrócenia ramion interferometru przez Lorenza i FitzGeralda jako rezultatu jego ruchu w eterze i odrzucenie koncepcji eteru przez Einsteina i wprowadzenie postulatu stałości prędkości światła w próżni. Por. J. Al-

171

omówimy wybrane interpretacje.

Interpretacja kopenhaska

Interpretacja kopenhaska jest historycznie pierwszą interpretacją mechaniki kwantowej i często uważa się ją za interpretację „ortodoksyjną” lub za „zwykłą” interpretację mechaniki kwantowej. Głównym jej twórcą był Bohr, który sformułował zasadę komplementarności,5 ale równie ważne są dla niej: statystyczna interpretacja wektora stanu sformułowana przez Borna i postulat redukcji wektora stanu von Neumanna. Tak więc interpretację kopenhaską wyznacza pakiet następujących idei: komplementarność, statystyczna interpretacja wektora stanu oraz postulat redukcji.6

Interpretacja kopenhaska ma charakter czysto pragmatyczny w

Khalili, Kwanty…, s. 147–148.5 Podczas międzynarodowego Kongresu Fizyków w Como w 1927 r. Por. N. Bohr,

The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory, Supplement to „Nature” 1928, nr 121 (April 14), s. 580–590.

6 Dodać jednak należy, że w poglądach filozoficznych poszczególnych fizyków, zwolenników interpretacji kopenhaskiej, zachodzą istotne różnice. Na przykład u Bohra widzimy charakterystyczne pragmatyczne podejście – przyjęcie pewnych zasad, które pozwalałyby dobrze stosować formalizm mechaniki kwantowej w praktyce, bez jakiejś szczególnej troski o jednolitą filozofię leżącą u podstaw interpretacji mechaniki kwantowej, poglądy filozoficzne Heisenberga ulegały ewolucji – od pozytywizmu do platonizmu, poglądy von Weizsäckera bliskie były kantyzmowi, natomiast Eddington zajmował stanowisko „selektywnego subiektywizmu” (jak sam je określił). Nawet treść słynnej zasady komplementarności rozumiana jest nieco inaczej przez Bohra, a inaczej przez Heisenberga. O filozoficznych poglądach fizyków zaliczanych do zwolenników kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej por. A. Łukasik, Selektywny subiektywizm sir Arthura Stanley’a Eddingtona, „Edukacja Filozoficzna” 1997, vol. 23, s. 247–261; A. Łukasik, Niels Bohr i zagadnienie obiektywności poznania, „Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska” 1998, sectio I, vol. 23, s. 179–200; A. Łukasik, Filozofia nauki Wernera Heisenberga, [w:] P. Bylica, K. J. Kilian, R. Piotrowski, D. Sagan (red.), Filozofia – nauka – religia. Księga jubileuszowa dedykowana Profesorowi Kazimierzowi Jodkowskiemu z okazji 40-lecia pracy naukowej, Oficyna Wydawnicza Uniwersytetu Zielonogórskiego, Zielona Góra 2015, s. 345–362.

172

następującym sensie:7 mechanika kwantowa dostarcza formalizmu matematycznego, za pomocą którego możemy przewidywać prawdopodobieństwa rezultatów pomiarów różnych wielkości fizycznych przeprowadzanych na układzie kwantowym przy użyciu makroskopowych – to znaczy opisywalnych za pomocą pojęć fizyki klasycznej – przyrządów pomiarowych. Jest ona opisem procedur przygotowania układu i obliczania odpowiednich prawdopodobieństw.8 Podstawową cechą odróżniającą mechanikę kwantową od dotychczasowych teorii fizycznych jest indywidualność (wholeness – całkowitość, całościowość lub jeszcze inaczej mówiąc niepodzielność) procesów atomowych, co jest bezpośrednią konsekwencją istnienia elementarnego kwantu działania Plancka. W odróżnieniu od sytuacji poznawczej w mechanice klasycznej, w której oddziaływanie między przyrządem pomiarowym a badanym obiektem może być w zasadzie pominięte (ponieważ nie wpływa w istotny sposób na przebieg obserwowanego zjawiska), w mechanice kwantowej oddziaływanie przyrząd–obiekt stanowi integralną część zjawiska. Dlatego nie można nawet nakreślić ścisłej linii demarkacyjnej między reakcją przyrządu pomiarowego a niezależnym od przyrządu pomiarowego zachowaniem badanego obiektu. Podczas pomiaru przyrząd i obiekt muszą być traktowane jako niepodzielna całość (stan przyrządu ulega splątaniu ze stanem badanego obiektu), w trakcie pomiaru następuje niekontrolowalne zaburzenie badanego układu i to, że możemy przewidywać jedynie prawdopodobieństwo rezultatów pomiarów wynika ostatecznie z faktu nieznajomości tego zaburzenia.9 Ponieważ wykonywanie pomiarów jest

7 H. P. Stapp, The Copenhagen Interpretation, „American Journal of Physics”, 40, 1098 (1972), tłum. polskie: H. P. Stapp, Interpretacja kopenhaska, tłum. A. Śliwiński, „Hybris” 2011, nr 15.

8 H. P. Stapp, Mind, Matter, and Quantum Mechanics, s. 69.9 Każdy przedmiot makroskopowy, taki jak przyrząd pomiarowy, składa się z 1025 do

1030 atomów. Trudno zatem oczekiwać, aby można było dokładnie przewidzieć wynik oddziaływania na przykład pojedynczego elektronu z taką liczbą atomów składających się na przyrząd pomiarowy. „Niestety nie zapowiada się, żebyśmy mogli kiedykolwiek przygotować realistyczny opis pracy takiego urządzenia w ujęciu kwantowym. Przygotowanie modelu wymagałoby podania zbyt dużej ilości danych i nawet najlepsze

173

jedynym sposobem uzyskania informacji o mikroświecie, to w istocie pomiar daje nam informację o reakcji przyrządu pomiarowego na oddziaływanie obiektu, a nie informację o tym, jak zachowują się obiekty nieobserwowane („same w sobie”). Nie ma żadnego sensu mówienie o tym, jak zachowują się mikroobiekty niezależnie od wykonywanych obserwacji i pomiarów, ponieważ ich stan kwantowy przed pomiarem opisywany jest w kategoriach zespolonych amplitud prawdopodobieństwa, a kwantowej superpozycji stanów nie da się w istocie wyrazić w kategoriach języka codziennego (i języka fizyki klasycznej). Używając analogii do psychologii behawioryzmu można powiedzieć, że możemy mieć dostęp poznawczy jedynie do stanów „na wejściu” i „na wyjściu”, natomiast to, co się dzieje pomiędzy pomiarami należy potraktować jako wnętrze „czarnej skrzynki” i znajduje się całkowicie poza naszymi możliwościami poznawczymi.

Pomiary są wykonywane przy użyciu makroskopowych (czyli podlegających prawom fizyki klasycznej) przyrządów pomiarowych i rezultaty pomiarów są zawsze wyrażane w języku fizyki klasycznej.10 Bohr i Heisenberg podkreślali, że nie potrafimy i nie możemy zastąpić tych pojęć innymi, ponieważ stanowią one warunek intersubiektywnej komunikowalności rezultatów doświadczenia, co Bohr utożsamia z obiektywnością opisu zjawisk.11 Bohr proponuje jednocześnie nowe użycie terminu „zjawisko”. W mechanice klasycznej termin ten oznaczał obiektywny przebieg procesów w przestrzeni i czasie, natomiast w mechanice kwantowej termin „zjawisko” powinnyśmy stosować do opisu „obserwacji otrzymanych w warunkach, w których opis uwzględnia cały układ eksperymentalny”.12 Mechanika kwantowa jest, zdaniem Bohra, obiektywnym opisem tak pojmowanych zjawisk. Na przykład w doświadczeniu na dwóch szczelinach w przypadku, gdy otwarte są

komputery na świecie nie zdołałyby ich przetworzyć. To właśnie stoi na przeszkodzie opisaniu procesu badań za pomocą równania Schrödingera” (I. Stewart, 17 równań fizyki, które zmieniły świat, tłum. J. Szajkowska, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013, s. 398).

10 Por. W. Heisenberg, Fizyka a filozofia, s. 11 N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. 12 N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. 111-112.

174

obydwie szczeliny i obserwujemy interferencję, możemy posłużyć się klasycznym pojęciem fali w celu opisu zachowania elektronów w takim układzie eksperymentalnym. Jeżeli otwarta jest tylko jedna szczelina, wówczas nie występuje interferencja i elektrony zachowują się jak cząstki klasyczne, dlatego też ich zachowanie możemy opisać w klasycznych kategoriach korpuskuł. Jednak są to dwa różne układy eksperymentalne i charakterystyka elektronów jako „fal” albo jako „cząstek” w oderwaniu od opisu konkretnego zestawu eksperymentalnego traci jakiekolwiek znaczenie – relacje nieoznaczoności ograniczają zasięg stosowalności pojęć klasycznych, takich jak „cząstka” czy „fala”.

Zasada komplementarności,13 stanowiąca fundament kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej, ustala stosunek między wykluczającymi się z punktu widzenia fizyki klasycznej pojęciami, takimi właśnie jak pojęcia cząstki i pojęcie fali. Dwa klasycznie wykluczające się opisy zjawisk są komplementarne, jeżeli zastosowanie jednego z nich (np. korpuskularnego) wyklucza jednoczesne zastosowanie drugiego (np. falowego). Jednak komplementarne opisy nie są ze sobą sprzeczne, ponieważ odnoszą się do wykluczających się nawzajem sytuacji eksperymentalnych i nie istnieje żaden zestaw aparatury pomiarowej, w którym komplementarne aspekty zjawisk pojawiłyby się równocześnie. Wielkości komplementarne reprezentowane są przez niekomutujące operatory – są to pary wielkości fizycznych występujące w relacjach nieoznaczoności Heisenberga. Według interpretacji kopenhaskiej komplementarne opisy sytuacji obserwacyjnych wykluczają się wzajemnie, ale jednocześnie uzupełniają się do pełnej wiedzy o układzie. Bohr wyraził to powiedzeniem: contraria sunt complementa – przeciwieństwa są komplementarne. Tak więc na przykład światło nie jest ani ciągłą falą elektromagnetyczną ani nie jest strumieniem dyskretnych cząstek – fotonów, ale może być opisane w pewnej klasie eksperymentów jako fala, w innej zaś jako strumień fotonów, nigdy zaś jako jedno i drugie równocześnie, ponieważ aspekt korpuskularny i falowy są niewspółmierne ze sobą. Chcąc jednak znać własności światła, musimy

13 Koncepcja komplementarności wywodzi się z psychologii i pojawia się po raz pierwszy w pracy Williama Jamesa The Principle of Psychology, New York 1880, s. 206.

175

poznać oba komplementarne aspekty. Komplementarnych opisów uzyskanych we wzajemnie wykluczających się sytuacjach eksperymentalnych nie jesteśmy w stanie „zobiektywizować”, czyli połączyć w poglądowym modelu samoistnej, czy też niezależnej od sytuacji eksperymentalnej realności fizycznej. Ale też – zdaniem Bohra – nie jest to celem nauki. Zamiast dociekania „istoty rzeczy” wystarczy „ustanowienie ilościowych zależności między rezultatami pomiarów”.14 Mechanika kwantowa mówi nam wyłącznie o tym, co można zaobserwować i zmierzyć, a nie o tym jaka jest „rzeczywistość obiektywna”, o ile pod pojęciem tym rozumiemy rzeczywistość niezależną od sposobu, w jaki ją badamy. Przedmiotem poznania nie jest przyroda „sama w sobie” (niezależna od nas), ale „przyroda wystawiona na nasze pytania” (przyroda dla nas). To, jaką odpowiedź dostaniemy zależy od tego, jakiej użyliśmy aparatury pomiarowej i w tym sensie (i jedynie w tym sensie) przebieg zjawisk zależy od obserwatora.15 Wektor

stanu |Ψ ⟩ nie reprezentuje żadnej realności fizycznej, ale należy go uważać za maksymalną informację, jaką mechanika kwantowa pozwala uzyskać o badanym układzie w określonej chwili czasu. Jest to stanowisko czysto instrumentalistyczne, związane z inspirowanym filozofią pozytywistyczną przekonaniem, że w teorii fizycznej można mówić jedynie o wielkościach obserwowalnych, danych nam w tym przypadku jako rezultaty pomiarów. Redukcja wektora stanu podczas pomiaru jest traktowana jako osobny postulat, ponieważ nie wynika ona z unitarnej ewolucji układu nieobserwowanego, opisanej równaniem Schrödingera. Nie istnieje jednak odpowiedź na pytanie o to, dlaczego w pomiarze następuje redukcja wektora stanu do takiego, a nie innego wektora własnego. Indeterminizm pojawia się w mechanice kwantowej właśnie w procesach pomiarów i – zdaniem zwolenników interpretacji kopenhaskiej – jest nieredukowalną i ostateczną cechą teorii.

Interpretację kopenhaską określa się niekiedy mianem „kwantowej

14 N. Bohr, Fizyka atomowa…, s. 15 N. Bohr, Fizyka atomowa…, s. 41.

176

książki kucharskiej”16 – jest to zestaw procedur, który daje algorytm na operowanie kwantowomechanicznym formalizmem w praktycznych zastosowaniach, przeprowadzania odpowiednich obliczeń i przewidywania prawdopodobieństw zjawisk. W interpretacji tej właściwie rezygnuje się z wszelkich prób skonstruowania ontologii mikroświata, w szczególności odrzuca się możliwość opisania mikroobiektów jako realnych bytów istniejących w czterowymiarowym kontinuum czasoprzestrzennym.17 Jest to wyłącznie opis procedur pomiarów wykonywanych nad układem kwantowym przez zewnętrznego wobec tego układu obserwatora, który posługuje się makroskopowymi przyrządami pomiarowymi i wyraża wyniki pomiarów w kategoriach fizyki klasycznej, ponieważ jest to jedyny obiektywny (w epistemologicznym sensie) opis rezultatów doświadczeń. Dobry kucharz wie, że np. gotując zupę należy dodać w odpowiednim momencie „szczyptę soli” i zupa będzie dobra. Zupełnie może nie wiedzieć, czym jest „istota soli” (o ile w ogóle coś takiego istnieje). Interpretację kopenhaską określa się często mianem FAPP, co znaczy For all practical purposes – dla wszystkich celów praktycznych. Jim Al-Kalili w książce Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych, określa ją bardziej dosadnie: „zamknij się i licz”.18

W praktycznych zastosowaniach ten pragmatyczny pogląd Bohra sprawdza się znakomicie. Niektórym fizykom takie podejście jednak nie wystarcza – stąd konkurencyjne interpretacje mechaniki kwantowej.

Ukryty porządek

Interpretacja parametrów ukrytych jest dziełem Davida Bohma i została sformułowana w 1952 r.19, a następnie rozwijana przez Bohma wspólnie z Basilem Hileyem. Opiera się ona na pewnych ideach

16 J. Gribbin, Encyklopedia fizyki kwantowej…, s. 137.17 Por. U. Röseberg, Niels Bohr a filozofia, tłum. T. Bigaj, [w:] S. Butryn (red.), Z

zagadnień…, s. 85.18 J. Al-Kalili, Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych, tłum. U. i M.

Seweryńscy, Prószyński i S-ka, Warszawa 2015, s. 12.

177

wprowadzonych wcześniej przez de Broglie’a (teoria fali pilota).20 Interpretacja ta ma charakter realistyczny, obiektywny i nielokalny (holistyczny). Podstawowym założeniem interpretacji parametrów ukrytych jest, że interpretacja kopenhaska jest niezupełna, to znaczy, że istnieje głębsza warstwa rzeczywistości fizycznej – świat subkwantowy, której „zwykła” mechanika kwantowa nie jest w stanie opisać.

Zdaniem Bohma interpretacja kopenhaska w istocie niczego nie wyjaśnia, przeczy naszym podstawowym intuicjom fizycznym, a traktowanie formalizmu mechaniki kwantowej wyłącznie jako algorytmu pozwalającego na obliczanie prawdopodobieństw wyników pomiarów nie pozwala na zrozumienie ontologii kwantowego świata i jest

19 D. Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Variables, I, „Physical Reviev” 1953, Vol. 85, No. 3, p. 166-179, praca dostępna także w: http://fma.if.usp.br/~amsilva/Artigos/p166_1.pdf; D. Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Variables, I and II, [w:] J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983, s. 367-396.

20 De Broglie krytykował interpretację kopenhaską za subiektywizm. Podobne zarzuty formułowało wielu innych uczonych i filozofów. Na przykład Popper pisze, że interpretacja kopenhaska sprawiła, iż fizyka „stała się twierdzą subiektywistycznej filozofii” (K. R. Popper, Nieustanne poszukiwania. Autobiografia intelektualna, tłum. A. Chmielewski, Znak, Warszawa 1997, s. 213). Popper poza uwagami na temat mechaniki kwantowej w rozmaitych pracach krytyce subiektywizmu poświęcił pracę: K. R. Popper, Quantum Theory and the Schizm in Physics, W. W. Bartley, Totowa, New Jersey 1982. Również Einstein twierdził, że stanowisko szkoły kopenhaskiej nie różni się od idealizmu subiektywnego Berkeleya (por. A. Einstein, Remarks Concerning the Essays Brought Together in this Co-operative Volume, transl. by A. P. Schilpp, [w:] A. P. Schilpp (ed.), Al-bert Einstein: Philosopher-Scientist, Vol. II, Harper & Brothers Publishers, New York 1957, s. 669). Podobnego zdania był Reichenbach (por. H. Reichenbach, Powstanie filozofii naukowej, tłum. H. Krahelska, Książka i Wiedza, Warszawa 1950, s. 257 i n.). Gell-Mann także twierdzi, że odkrywcy mechaniki kwantowej „przedstawili jej dziwnie ograniczoną i antropocentryczną interpretację” (M. Gell-Mann, Kwark…, s. 192). Imre Lakatos pisze, że „współczesna fizyka kwantowa, w jej «interpretacji kopenhaskiej», stała się jednym z głównych, standardowych filarów filozoficznego obskurantzmu”, co doprowadziło w fizyce współczesnej do „porażki rozumu i do anarchistycznego kultu niezrozumiałego chaosu” (I. Lakatos, Falsyfikacja a metodologia naukowych programów badawczych, [w:] idem, Pisma z filozofii nauk empirycznych, tłum. W. Sady, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 94).

178

niezadowalające z filozoficznego punktu widzenia. „Każdy fizyk milcząco przyjmuje jakąś filozofię – twierdzi Bohm – ale filozofia powszechnie dziś przyjmowana jest wyjątkowo nieelegancka i prymitywna”.21 W szczególności zaś nie należy wymagać, aby w teorii występowały jedynie te wielkości, które mogą być aktualnie (to znaczy na danym etapie rozwoju nauki) obserwowalne. Ponadto teoria powinna pozwalać na zbudowanie poglądowego modelu świata fizycznego zgodnego z naszymi intuicyjnymi wyobrażeniami. Interpretacja kopenhaska nie mówi nic o tym, co się dzieje z mikroobiektami pomiędzy jednym pomiarem a drugim i nie pozwala na zbudowanie żadnego modelu mikroświata.

Bohm postuluje istnienie głębszego, subkwantowego porządku, niedostępnego dla standardowej mechaniki kwantowej, w opisie którego zachowane byłyby klasyczne pojęcia przyczynowości, ciągłości i obiektywnej realności indywidualnych mikroobiektów.22 Podstawowe założenia interpretacji parametrów ukrytych są następujące:23 elektron jest klasyczną cząstką z dobrze określonymi położeniem i pędem; funkcja falowa (wektor stanu) nie jest jedynie narzędziem matematycznym pozwalającym na obliczanie prawdopodobieństw wyników pomiarów, ale reprezentuje pewne pole fizyczne, zwane potencjałem kwantowym.24 Specyfiką potencjału kwantowego jest to, że niesie on informacje o całym otoczeniu poruszającej się cząstki – na przykład w eksperymencie na dwóch szczelinach zawiera on informacje na temat szerokości szczelin, odległości między nimi i pędu elektronu, a zatem informacje na temat całego środowiska. W odróżnieniu od pola elektromagnetycznego,

21 P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie…, s. 158.22 D. Bohm, Przyczynowość…, s. 179–180. Niemal dokładnie takie same zarzuty

stawia interpretacji kopenhaskiej Feyerabend (por. P. Feyerabend, O interpretacji…).23 Por. D. Bohm, B. J. Hiley, The Undivided Universe. An Ontological Interpretation of

Quantum Theory, Routledge, New York 1993, s. 29–30; D. Bohm, Ukryty porządek…, s. 90n; D. Bohm, Przyczynowość…, s. 190; A. Łukasik, Filozofia atomizmu. Atomistyczny model świata w filozofii przyrody, fizyce klasycznej i współczesnej a problem elementar-ności, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2006, s. 337n.

24 W teorii Bohma nie ma zatem redukcji funkcji falowej (por. T. Muldin, Quantum Non-Locality and Relativity. Metaphysical Intimations of Modern Physics, Blacwell Publishers Ltd., Oxford 2002, s. 117).

179

oddziaływanie potencjału kwantowego na cząstkę zależy wyłącznie od jego postaci, a nie od natężenia, może więc wpływać na ruch cząstki w bardzo dużej odległości – w istocie poruszająca się cząstka (na przykład elektron w doświadczeniu z dwiema szczelinami) posiada informacje na temat całego środowiska i zachowuje się inaczej, gdy otwarta jest tylko jedna szczelina, a inaczej, gdy otwarte są obie.25 Potencjał kwantowy jest w stanie bardzo szybkich przypadkowych fluktuacji, a uśredniony po czasie spełnia równanie Schrödingera. Fluktuacje te (które mogą pochodzić z głębszego poziomu subkwantowomechanicznego) prowadzą do odpowiednich fluktuacji potencjału kwantowego i cząstka porusza się nieregularną trajektorią, podobnie jak cząstka pyłku w ruchach Browna. W rezultacie łącznego działania siły kwantowomechanicznej i przypadkowych fluktuacji z poziomu subkwantowego można otrzymać rozkład prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu przestrzeni zgodny z interpretacją Borna. Zdaniem Bohma jest to lepsze rozwiązanie niż traktowanie „rozkładu prawdopodobieństwa Borna jako absolutnej, ostatecznej i niewytłumaczalnej własności materii”.26

Zdaniem Bohma, w jego interpretacji można próbować wyobrażać sobie, co się dzieje na poziomie kwantowym i przyczyniać się do rozwoju nauki również przez sposoby myślenia oparte na poglądowych modelach, a nie tylko na formalizmie matematycznym, natomiast interpretacja kopenhaska tego nie umożliwia.

Potencjał kwantowy wprowadza nielokalne połączenia między różnymi, nawet dowolnie odległymi, obiektami we Wszechświecie. Interpretacja Bohma ma charakter holistyczny: „świat jest niepodzielną całością, w której części ukazują się jako abstrakcje albo przybliżenia, ważne jedynie w granicy klasycznej”.27

Interpretacja wielu światów

25 Por. D. Bohm, B. J. Hiley, The Undivided Universe…, s. 31–32.26 D. Bohm, Przyczynowość…, s. 195.27 D. Bohm, Quantum Theory…, s. 144. T. Maudlin, Part and Whole in Quantum

Mechanics, [w:] E. Castellani (ed.), Interpreting Bodies…, s. 60.

180

Interpretację wielu światów (Many-Worlds Interpretation) sformułował Hugh Everett III w roku 1957.28 Rozwijali ją John Wheeler, Neill Graham i Bryce de Vitt, obecnie zaś – w zmodyfikowanej wersji multiświata (Multiverse) – David Deutsch.29

W interpretacji kopenhaskiej mechanika kwantowa traktowana jest jako formalizm służący do opisu doświadczeń przeprowadzanych przez zewnętrznego wobec mikroukładu obserwatora posługującego się makroskopowymi przyrządami pomiarowymi. Niezależnie od tego, że obserwator nie musi być rozumiany jako istota obdarzona świadomością, to „świat klasyczny” i „świat kwantowy” traktowane są w całkowicie odmienny sposób. Ewolucję w czasie układu nieobserwowanego opisuje ciągłe i deterministyczne równanie Schrödingera, natomiast proces pomiaru opisany jest przez nieciągłą i indeterministyczną redukcję wektora stanu. Redukcja wektora stanu stanowi w interpretacji kopenhaskiej osobny postulat. Takie stanowisko nie wyjaśnia jednak, kiedy dokładnie następuje redukcja wektora stanu, nie wyjaśnia również jakie czynniki są za nią odpowiedzialne, prowadzi także do pewnych problemów w kosmologii kwantowej, która jest zastosowaniem mechaniki kwantowej do Wszechświata jako całości. Jeżeli badanym układem ma być Wszechświat, to jaki sens mogłoby mieć pojęcie obserwatora zewnętrznego w stosunku do Wszechświata?30

Istotą interpretacji Everetta jest potraktowanie świata makroskopowego tak samo, jak świata mikroskopowego, to znaczy eliminacja rozróżnienia na „kwantowy obiekt” i „klasyczny przyrząd”, co ma zapewnić całkowicie obiektywną interpretację mechaniki kwantowej i

28 H. Everett III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics, „Reviews of Modern Physics” 1957, Vol. 29, No. 3, s. 454–462; P. Byrne, Hugh Everett i jego światy, „Świat Nauki” 2008, nr 2, s. 66–73; J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983, s. 315–323; rozprawę doktorską Everetta, The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, można znaleźć w Internecie pod adresem: http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/many-worlds/pdf/dissertation.pdf.

29 Por. D. Deutsch, Struktura rzeczywistości, …30 Por. H. Everett III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics…, s. 454;

P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie…, s. 110.

181

eliminację zewnętrznego w stosunku do układu obserwatora. Zdaniem Everetta interpretacja wieloświatowa bezpośrednio wynika z formalizmu mechaniki kwantowej, to znaczy z równania Schrödingera, daje dokładnie takie same przewidywania, jak interpretacja kopenhaska, a ponadto jest najprostszą interpretacją, ponieważ przyjmuje najmniej dodatkowych założeń, w szczególności zaś nie przyjmuje postulatu o redukcji wektora stanu podczas pomiaru.

W interpretacji kopenhaskiej, jeżeli przed pomiarem układ znajduje się w superpozycji stanów, to podczas pomiaru realizuje się tylko jedna z kwantowomechanicznych możliwości. Nie istnieje odpowiedź na pytanie o to, dlaczego nastąpiła realizacja tej, a nie innej składowej superpozycji. W interpretacji Everetta nie dochodzi do redukcji wektora stanu, lecz realizują się wszystkie składowe superpozycji. Każda z nich realizuje się jednak w innym świecie, co znaczy, że każde przejście kwantowe prowadzi do rozszczepienia Wszechświata na wiele nieoddziałujących ze sobą kopii, które istnieją dalej równie realnie i niezależnie od siebie jako wszechświaty równoległe.31 Obserwator, jako część świata podlega również takiemu „rozszczepieniu”, ale brak oddziaływania między owymi światami sprawia, że nie może tego odczuć – jego pamięć jest związana tylko z jedną gałęzią Wszechświata. Innymi słowy „stan świadomości obserwatora również istnieje w superpozycji kwantowej, a różne stany świadomości są splątane z rozmaitymi możliwymi wynikami eksperymentu”.32 Wszechświat jako całość jest w tej interpretacji ściśle deterministyczny – bez „przeskoków kwantowych” i rządzą nim obiektywne prawa. Statystyczny charakter praw kwantowomechanicznych związany jest wyłącznie z tym, że każdy obserwator może postrzegać tylko jedną gałąź wszechświata.

Zgodnie z interpretacją Everetta każdy proces kwantowy, w którym mogą zrealizować się dwie lub więcej kwantowe możliwości prowadzi do powstania liczby wszechświatów odpowiadającej liczbie składników

31 Por. J. Gribbin, W poszukiwaniu kota Schrödingera…, s. 228.32 R. Penrose, Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach

rządzących Wszechświatem, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006, s. 753.

182

superpozycji. Zatem istnieje wiele, być może nieskończenie wiele równoległych wszechświatów, zawierających galaktyki, gwiazdy, planety i nieskończenie wiele kopii każdego z nas. Niektóre z nich różnią się jedynie drobnymi szczegółami – na przykład ustawieniem spinu elektronu, drogą, przez którą przeszła cząstka w eksperymencie na dwóch szczelinach, albo tym, czy otwierając pudło znajdziemy żywego czy też martwego kota. Zwolennicy tej interpretacji utrzymują, że uwalnia ona nas od paradoksów, do jakich prowadzi interpretacja kopenhaska: na przykład w eksperymencie z dwiema szczelinami każda cząstka przechodzi tylko przez jedną szczelinę (w danym świecie), kot Schrödingera nie znajduje się w stanie superpozycji kota żywego i martwego, lecz w jednym świecie znajdujemy go żywego, martwego natomiast w świecie równoległym. Podobnie w eksperymencie EPR „dokonując wyboru składowej spinu cząstki, którą obserwujemy, nie zmuszamy składowej spinu innej cząstki, położonej daleko stąd w innej części wszechświata, do przyjęcia uzupełniającego stanu, lecz wybieramy gałąź rzeczywistości, której żyjemy”.33

Rys. #. Ilustracja wieloświatowej interpretacji mechaniki kwantowej.

Interpretacja Everetta jest dość niecodzienna, trudno zatem się dziwić,

33 J. Gribbin, W poszukiwaniu kota Schrödingera…, s. 227.

183

że spotkała się z krytyką. Popper na przykład zarzucał jej niefalsyfikowalność (wszechświaty równoległe nie oddziałują, zatem nie można stwierdzić ich istnienia) i niezgodność z zasadą brzytwy Ockhama (dość kłopotliwy „bagaż metafizyczny” w postaci nieskończenie wielu wszechświatów). Popper34 utrzymywał ponadto, że rozszczepienie Wszechświata na wiele równoległych gałęzi stanowiłoby rażące naruszenie zasad zachowania, a ponadto równanie Schrödingera jest niezmiennicze względem inwersji w czasie. Interpretacja, która rości sobie pretensję do tego, żeby być bezpośrednią konsekwencją formalizmu kwantowomechanicznego, powinna również spełniać ten warunek. Tymczasem, gdyby rozszczepianie wszechświata rozpatrywać wstecz w czasie, wektor stanu powinien ulegać fuzji – jego składowe odpowiadające różnym możliwościom (które zdaniem Everetta istnieją realnie także po oddziaływaniu) powinny być skorelowane, pomimo że przed fuzją nie ma między nimi żadnego oddziaływania.

Interpretacja wielu światów ma współcześnie wiele wariantów.35 Jedną z nich jest koncepcja Wieloświata (Multiverse) sformułowana przez Davida Deutscha, twórcę idei komputera kwantowego. Podstawowa róznica między ujęciem Everetta a koncepcją Deutscha polega na tym, że zdaniem Everetta w procesie pomiaru wszechświat dzieli się (może lepiej byłoby mówić o „mnożeniu” niż o „dzieleniu”) na wiele części odpowiadających różnym rezultatom, natomiast według Deutscha wszystkie wszechświaty równoległe istnieją równie realnie przez cały czas. Najprawdopodobniej jest ich nieskończenie wiele – niektóre z nich są zupełnie różne od naszego wszechświata i, być może, panują w nich różne od znanych nam praw fizyki, inne różnią się jedynie drobnymi szczegółami.36 Argumentuje on, że chociaż na poziomie makroskopowym wszechświaty równoległe nie oddziałują ze sobą, to jednak w pewnych

34 Por. K. R. Popper, Quantum Theory and the Schizm in Physics, W. W. Bartley, Totowa, New Jersey 1982, s. 92 n.

35 Por. J. A. Barret, The Quantum Mechanics of Mind and Worlds, Oxford University Press, New York 1999; M. Lockwood, Mind, Brain & the Quantum. The Coumpound „I”, Blackwell 1989; J. D. Barrow, P. C. W. Davies, C. L. Harper Jr., Science and Ultimate Reality. Quantum Theory, Cosmology, and Complexity, Cambridge University Press 2004.

184

sytuacjach następuje interferencja wszechświatów, czego dowodem są zjawiska zachodzące na poziomie kwantowym. Właśnie eksperyment na dwóch szczelinach czy też zachowanie fotonów w interferometrze Macha–Zehndera są, zdaniem Deutscha, dowodem na interferencję różnych wszechświatów. Poszczególne fotony są niepodzielne, zatem w interferometrze nie mogą poruszać się dwiema drogami równocześnie. Należy zatem przyjąć, że następuje interferencja między dwoma równoległymi wszechświatami – w jednym z nich foton wybiera jedną drogę, w drugim zaś inną. W wyniku interferencji wszechświatów obydwie historie wydarzają się równocześnie. Ponieważ jednak interferencja jest tłumiona przez kwantowe splątanie, to im większy jest obiekt, tym mniej podatny jest na zjawisko interferecji.37

Według Deutscha jest to interpretacja „zdecydowanie najprostsza, ponieważ wymaga przyjęcia nakmniejszej liczby dodatkowych założeń, poza tymi, jakie są konieczne, aby poprawnie przewidzieć wyniki doświadczeń”.38

Sumy po historiach

Richard P. Feynman w latach czterdziestych XX wieku zaproponował

36 Waro przypomnieć, że podobną koncepcję – rzecz jasna bez związku z interpretacjami mechaniki kwantowej – głosił twórca strożytnej teorii atomistycznej Demokryt z Abdery. W jednym z fregmentów czytamy, że „istnieje nieskończona ilość światów, różniących się wielkością. W jednych z nich nie ma ani słońca, ani księżyca, w innych zaś są one większe niż w naszym świecie, a w jeszcze innych jest ich więcej. Odległości między światami są nierówne i w jednym miejscu jest więcej światów, w innym mniej, jedne światy [jeszcze] rosną, inne znajdują się [już] w stanie rozkwitu, jeszcze inne ulegają zagładzie, w jednym miejscu powstają, w innym giną. Giną zaś [wtedy], kiedy wpadają na siebie. Istnieją też pewne światy pozbawione zwierząt, roślin i wszelkiej wilgoci” (Hipolit, Refutationes I 13, 2–4; FVS 68 A 40, [w:] W. F. Asmus, Demokryt…, s. 118).

37 Por. J. Gribbin, Kubity i kot Schrodingera. Od maszyny Turinga do komputerów kwantowych, tłum. M. Krośniak, Prószyński i S-ka, Warszawa 2015, s. 188.

38 P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie…, s. 104.

185

nowe ujęcie mechaniki kwantowej, zwane całkowaniem po trajektoriach (path-integral) albo sumą po historiach (sum-over-histories).39 Formalizm Feynmana jest równoważny formalizmowi Schrödingera, ale w odróżnieniu od niego pozwala przywrócić sens pojęciu trajektorii czasoprzestrzennej cząstki (choć, jak się okazuje, w dość specyficznym sensie) a ponadto ukazuje „przejście” od mechaniki kwantowej do mechaniki klasycznej. Zrozumienie tej interpretacji wymaga omówienia pochodzącej z fizyki klasycznej zasady najmniejszego działania.

Zarówno w mechanice klasycznej jak i w mechanice kwantowej opis dynamiki układu za pomocą równań różniczkowych jest związany z lokalnym punktem widzenia: stan układu w pewnej chwili t (położenia i pędy cząstek) w sposób jednoznaczny wyznacza stan układu w chwili późniejszej (a także wcześniejszej – ze względu na niezmienniczość równań względem inwersji czasu; ograniczymy jednak nasze rozważania do przyszłych stanów układu). Innymi słowy, to, jaki będzie stan układu w przyszłości zależy wyłącznie od tego, jaki jest stan układu w teraźniejszości. Możliwe jest jednak inne podejście do zagadnienia –

39 W rozprawie doktorskiej napisanej pod kierunkiem J. A. Wheelera. Tekst został opublikowany w 1948 r: R. P. Feynman, Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics, „Review of Modern Physics” 1948, Vol 20, No. 2, p. 367-387. Praca dostępna również w Internecie pod adresem http://www.fafnir.phyast.pitt.edu/py3765/PathIntegral.pdf. Feynman był jednym z największych fizyków XX wieku, laureatem Nagrody Nobla i genialnym wykładowcą. Warto polecić jego Feynmana wykłady z fizyki a także prace popularyzujące fizykę: Sześć łatwych kawałków, Prószyński i S-ka, Warszawa 19…, Sześć trudniejszych kawałków, Prószyński i S-ka, Warszawa 1999, Charakter praw fizycznych, Warszawa …, QED. Osobliwa teoria światła i materii, tłum. H. Białkowska, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1992. Zainteresowanym życiem i twórczością Feynmana polecam jego autobiografię Pan raczy żartować, panie Feynman. Przypadki ciekawego człowieka, tłum. T. Bieroń, Znak, Kraków 1996 oraz biografię pióra J. Gleicka Geniusz. Życie i nauka Richarda Feynmana, tłum. P. Amsterdamski, Zysk i S-ka Wydawnictwo, Poznań 1999. Omówienie interpretacji mechaniki kwantowej zawiera również wykład noblowski Feynmana: The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics, [w:] Nobel Lectures – Physics, t. III, Elsevier Publishers, New York 1972 (tekst dostępny również pod adresem: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1965/feynman-lecture.html).

186

globalny punkt widzenia związany z zasadami wariacyjnymi. Zasada najmniejszego działania (the principle of least action) jest

najbardziej ogólnym sformułowaniem praw ruchu układów mechanicznych.40 Zgodnie z nią każdy układ mechaniczny może być scharakteryzowany przez pewną funkcję, zwaną funkcją Lagrange’a L(q , q ,t ) , albo lagranżjanem zależną od położeń q , pędów q i czasu t.41 Dla cząstki o masie m, poruszającej się w polu sił potencjalnych o potencjale V funkcja Lagrange’a jest równa różnicy energii kinetycznej i energii potencjalnej cząstki:

L(q , q ,t )=m q2

2−V

Lagranżjan zawiera wszystkie dane o układzie. Definiujemy wielkość S, zwaną działaniem (action) jako całkę z lagrażjanu w następujący sposób:

S=∫t1

t 2

L( q , q , t )dt,

gdzie t1 i t2 oznaczają chwile odpowiadające początkowemu i końcowemu stanowi układu. Działanie jest wielkością fizyczną o wymiarze energia razy czas (stała Plancka h jest właśnie elementarnym kwantem działania). Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch odbywa się po takiej

40 Por. L. Landau, E. Lifszyc, Mechanika, tłum. S. Bażański, PWN, Warszawa 1961, s. 10; L. Susskind, G. Hrabovsky, Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć, żeby zacząć zajmować się fizyką, tłum. J. i A. Skalscy, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013, s. 119-141.

41 Standardowo położenia cząstek oznacza się symbolem q a pędy przez q , gdzie

symbol kropki nad symbolem q oznacza pochodną po czasie (q=dq

dt ).

187

trajektorii, dla której działanie S jest najmniejsze.42 Jest to globalny (całkowy) punkt widzenia, w odróżnieniu od lokalnego (różniczkowego), ponieważ obliczając działanie i poszukując minimum (ogólniej – ekstremum) tej wielkości, musimy uwzględnić zarówno początkowy, jak i końcowy stan układu. Można to sobie przedstawić w sposób następujący: cząstka poruszając się z punktu A do punktu B może poruszać się po wielu różnych trajektoriach. Faktycznie realizowana jest taka trajektoria, dla której działanie S jest najmniejsze, co obliczamy z następującego warunku:43

δS=0

Różnicę między lokalnym, czyli różniczkowym punktem widzenia ruchu cząstki a globalnym, czyli całkowym punktem widzenia można zilustrować następująco (por. rys. #): załóżmy, że cząstka porusza się po płaszczyźnie. Niech w chwili początkowej t = t0 cząstka znajduje się w punkcie początkowym A. Lokalny punkt widzenia polega na rozwiązaniu równania Newtona – jest to liniowe równanie różniczkowe, które jest deterministyczne w tym znaczeniu, że znajomość położenia cząstki r (t0) w chwili t = t0 w sposób jednoznaczny wyznacza położenie cząstki w chwili późniejszej, nieskończenie bliskiej położeniu początkowemu, co oznaczymy jako r (t0 + dt). Możemy na wykresie przedstawiającym trajektorię cząstki znaleźć punkt, w którym znajdzie się cząstka po upływie dowolnie krótkiego czasu dt od chwili początkowej. Postępując tak dla kolejnych odcinków czasu znajdziemy ostatecznie, że cząstka znajdzie się w punkcie końcowym B. Jest to sytuacja podobna do tej, jakbyśmy krzywą łączącą punkty A i B rysowali przedłużając kolejno

42 Ogólniej rzecz biorąc poszukujemy ekstremum tej całki, w pewnych wypadkach może to być maksimum, a nie minimum.

43 Poszukiwanie ekstremum działania jest uogólnieniem procesu poszukiwania ekstremum funkcji. Działanie nie jest jednak zwykłą funkcją, ale funkcją funkcji, czyli

funkcjonałem. Symbol δ (delta) oznacza w tym przypadku pewne działanie matematyczne, zwane wariacją. Dział matematyki zajmujący się minimalizacją funkcjonałów nazywa się rachunkiem wariacyjnym.

188

odcinek wychodzący z punktu A (zgodnie z kierunkiem prędkości cząstki, wyznaczonym przez działające siły), aż wreszcie osiągniemy punkt końcowy B.

Globalny punkt widzenia odpowiadałby naszkicowaniu od razu całej trajektorii. W przypadku podejścia lokalnego musimy znać jedynie punkt początkowy A (i działające siły), natomiast w przypadku podejścia globalnego musimy znać zarówno punkt początkowy A, jak i punkt końcowy B.

Rozważmy następujący przykład: powiedzmy, że chcemy wyznaczyć trasę podróży używając GPS. Możemy wybrać trasę najkrótszą – przejedziemy najmniej kilometrów, ale możemy być skazani na podróż wąskimi drogami lokalnymi, po których będziemy się poruszać z małą prędkością, albo trasę najszybszą – może ona być dłuższa nawet o kilkadziesiąt kilometrów, ale poprowadzi nas autostradą, na której osiągniemy większą prędkość i szybciej dotrzemy do celu (zużyjemy na podróż mniej czasu). Zasada najmniejszego działania odpowiada w tym przykładzie wyborowi drogi najszybszej, czyli takiej, dla której czas podróży będzie najkrótszy.

Niekiedy zasada najmniejszego działania zwana jest „zasadą lenistwa natury”, co odzwierciedla fakt, że wszystkie układy w przyrodzie wykazują tendencję do realizacji stanów o możliwie najmniejszej energii. Spadanie ciał, kulisty kształt kropli cieczy, trajektorię promieni świetlnych w niejednorodnym optycznie ośrodku i wiele innych zjawisk można wyjaśnić zasadą najmniejszego działania.44

Oczywiście wiemy, że w mechanice klasycznej cząstki poruszają się po jednoznacznie określonych trajektoriach w czasoprzestrzeni. Można zatem zapytać, jaki jest sens rozważać wszystkie możliwe drogi i jaki

44 Interesujące jest, że podobny mechanizm można dostrzec w funkcjonowaniu ludzkiego umysłu. Badania psychologiczne prowadzone przez Daniela Kahnemana wykazały, że jeżli ten sam cel można osiągnąć na wiele różnych sposobów, to człowiek wybiera ten, który wymaga najmniejszego wysiłku. Kahneman nazywa to „prawem minimalizacji wysiłku” i stwierdza, że „lenistwo jest głęboko wpisane w naszą naturę” (D. Kahneman, Pułapki myślenia. O myśleniu szybkim i wolnym, tłum. P. Szymczask, Media Rodzina 2012, s. 50).

189

mają one status? Otóż możemy je nazwać drogami wirtualnymi, są one jedynie matematycznymi fikcjami potrzebnymi do znalezienia rzeczywistej drogi cząstki – jest to właśnie ta droga, na której działanie okazuje się najmniejsze, czy też stacjonarne (por. lewa strona rys. # )

Rys. # Ilustracja zasady najmniejszego działania dla cząstki klasycznej (lewa strona rysunku) i kwantowej (prawa strona rysunku). Na rysunku pokazano oczywiście jedynie niektóre trajektorie cząstki. W rzeczywistości istnieje amplituda prawdopodobieństwa dla każdego sposobu, w jaki zjawisko może nastąpić.45 Amplitudy te wnoszą wkład do prawdopodobieństwa zdarzenia.

Podobne rozumowanie można zastosować w mechanice kwantowej i jest ono punktem wyjścia Feynmana ujęcia mechaniki kwantowej. Rozważmy cząstkę, tym razem kwantową, poruszającą się a punktu A do punktu B. Poruszająca się cząstka eksploruje w określonym sensie wszystkie możliwe drogi.46 Nazwijmy wszystkie możliwe drogi cząstki w czasoprzestrzeni historiami. Każdej historii przypisujemy odpowiednią

45 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 53.46 Ogólnie rzecz biorąc poszczególne historie określone są w przestrzeni

konfiguracyjnej. Dla pojedynczej cząstki sama przestrzeń jest przestrzenią konfiguracyjną i jej historia jest po prostu trajektorią w czasoprzestrzeni.

190

amplitudę prawdopodobieństwa – wkłady poszczególnych dróg mają taką samą długość, lecz różne fazy:

Φ [ x ( t ) ]∝eiS [ x (t )]ℏ

,

gdzie S jest działaniem, czyli całką wzdłuż danej drogi x(t) z klasycznego lagranżjanu:

S[ x (t )]=∫ L( x( t ) , x ( t ))dt .47

W mechanice klasycznej (w formalizmie Lagrange’a) poszukujemy takiej historii, w której działanie S jest najmniejsze (ściślej: stacjonarne) – jest ona jedyną rzeczywistą drogą cząstki. W mechanice kwantowej w ujęciu Feynmana postępujemy nieco inaczej: wszystkie historie znajdują się w stanie kwantowej superpozycji, każdej z nich przypisujemy odpowiednią amplitudę prawdopodobieństwa i każda wnosi pewien wkład. Jeżeli jakieś zjawisko kwantowe może zajść na wiele różnych sposobów, wówczas w celu opisania go musimy dodać do siebie amplitudy prawdopodobieństwa odpowiadające wszystkim historiom. Prawdopodobieństwo obliczamy podnosząc sumę zespolonych amplitud do kwadratu i dlatego w przypadku trajektorii, których rozróżnienie nie jest możliwe nawet w zasadzie, obliczone prawdopodobieństwo nie jest sumą prawdopodobieństw dla poszczególnych historii. Występuje interferencja prawdopodobieństw, co odzwierciedla falowy aspekt zjawisk w mechanice kwantowej. Fale mechaniki kwantowej są tu traktowane wyłącznie jako abstrakcyjne fale prawdopodobieństwa pozwalające na obliczenie prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym obszarze i nie można im przypisywać żadnej realności, jak na przykład fali dźwiękowej.48

Interpretację Feynmana (pomijając szczegóły matematyczne) można

47 R. P. Feynman, Space-Time Approach…, s. 371.48 Por. Feynmana wykłady z fizyki, t. 3. Mechanika kwantowa, s. 18.

191

sprowadzić do dwóch postulatów:49

1. Jeśli wykonamy idealny pomiar w celu określenia czy trajektoria cząstki leży w określonym obszarze czasoprzestrzeni, wówczas prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym obszarze jest równe kwadratowi wartości bezwzględnej sumy zespolonych amplitud prawdopodobieństwa dla poszczególnych trajektorii w tym obszarze.

2. Amplitudy prawdopodobieństwa dla poszczególnych trajektorii są proporcjonalne do eksponenty z działania, gdzie działanie jest całką z klasycznego lagranżjanu obliczoną wzdłuż danej trajektorii.

Pamiętamy, że w mechanice kwantowej prawdopodobieństwo zdarzenia obliczamy jako kwadrat wartości bezwzględnej amplitudy prawdopodobieństwa. Zamiast dodawania prawdopodobieństw (różne możliwości zajścia zdarzenia) dodajemy amplitudy, zamiast mnożenia prawdopodobieństw (zdarzenie zależne od innych zdarzeń) mnożymy odpowiednie amplitudy. Przy obliczaniu prawdopodobieństw pojawiają się efekty interferencyjne, właściwe dla zjawisk falowych.

Z matematycznego punktu widzenia fala jest reprezentowana przez funkcję trygonometryczną (sinus, cosinus i dowolne ich kombinacje liniowe). Funkcja sinus może być interpretowana jako odwzorowanie na płaszczyźnie obrotu wektora jednostkowego wokół punktu 0 (por. rys. #). Niech wektor obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o kąt φ (kąt φ = 0 odpowiada sytuacji, gdy wektor skierowany jest w prawo równolegle do osi poziomej). Dla każdego kąta, którego wartość odkładamy na osi OX możemy na osi OY wyznaczyć odpowiedni punkt – otrzymujemy wówczas sinusoidę. Ponieważ istnieje jedno-jednoznaczne odwzorowanie wartości sinusa i kąta obrotu wektora, to dodawaniu różnych fal (superpozycja) odpowiada dodawanie wektorów. W ujęciu Feynmana wektory te stanowią geometryczną interpretację amplitud prawdopodobieństwa. Długość fali wiąże się z prędkością obrotu amplitudy – im mniejsza długość fali, tym szybszy obrót amplitudy.

49 Por. R. P. Feynman, Space-Time Approach…, s. 371.

192

Rys. # Funkcja sinus jest odwzorowaniem na płaszczyznę wektora jednostkowego obracającego się o kąt φ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Rozważmy za Feynmanem prosty przykład (por. rys. #).50 Ze źródła Z światło monochromatyczne (czyli o jednej barwie lub, co na jedno wychodzi, o ściśle określonej częstości) pada na zwierciadło, rejestrujemy ilość światła docierającego do detektora D. W ujęciu klasycznym (używając pojęć optyki geometrycznej) promień świetlny porusza się po dobrze określonej trajektorii (po linii prostej) – podczas odbicia od zwierciadła kąt padania jest równy kątowi odbicia. Tylko wówczas, gdy ten warunek będzie spełniony, detektor D zarejestruje światło. Zgodnie jednak z mechaniką kwantową światło składa się z pojedynczych fotonów i dla każdego fotonu musimy uwzględnić wszystkie możliwe trajektorie, nawet „niemożliwe” z klasycznego punktu widzenia, to znaczy takie, dla których odbijcie następuje pod wszystkimi możliwymi kątami. Niektóre z nich przedstawiono na rysunku #. Takich trajektorii jest oczywiście nieskończenie wiele. By uprościć rozważania wyobraźmy sobie, że zwierciadło podzielone jest na kilkanaście fragmentów i załóżmy, że od każdego fragmentu foton odbija się pod ściśle określonym kątem (niekoniecznie jednak pod takim, że kąt padania równy jest kątowi odbicia). Każdej trajektorii (historii) przypisujemy pewną amplitudę prawdopodobieństwa, którą możemy wykreślić w postaci odpowiednio skierowanego wektora. Zwróćmy uwagę na fakt, że kierunek tego wektora jest ściśle związany z odległością od źródła do danego punktu na

50 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 41n.

193

zwierciadle, a zatem związany z czasem, jaki potrzebuje foton na dotarcie od Z do danego punktu zwierciadła a następnie do detektora D. Możemy za Feynmanem wyobrazić sobie, że w chwili wysłania fotonu włączamy stoper, który mierzy czas lotu do momentu odbicia się od powierzchni. Położenie wskazówki wyobrażonego stopera jest związane z kierunkiem amplitudy prawdopodobieństwa.51 Na rysunku # (u góry) przedstawiono kilkanaście trajektorii fotonów, a pod nim położenie amplitud w zależności od czasu, jaki potrzebuje foton na dotarcie do określonego punktu zwierciadła i wreszcie sumę amplitud prawdopodobieństwa odpowiadających poszczególnym trajektoriom. Zgodnie z regułami mechaniki kwantowej musimy dodać do siebie wszystkie amplitudy, zgodnie ze znanymi regułami dodawania wektorów, aby otrzymać wypadkową amplitudę prawdopodobieństwa procesu. Zwróćmy uwagę na fakt, że w pobliżu środka zwierciadła amplitudy skierowane są podobnie i wnoszą duży wkład (zbliżone czasy ruchu fotonów), natomiast dla trajektorii fotonów odbijających się od skrajnych części lustra amplitudy mają różne kierunki i w rezultacie sumowania ich wkłady się znoszą. Dominujący wkład odpowiada klasycznej drodze, czyli takiej, na której światło biegnie drogą o najkrótszym czasie, ale w celu poprawnych obliczeń należy uwzględnić wszystkie historie.

W ten sposób klasyczny opis światła jest przybliżeniem bardziej fundamentalnego opisu kwantowomechanicznego: „stwierdzenie, że światło rozchodzi się po prostych, jest wygodnym przybliżeniem do opisu znanych nam zjawisk; podobnie dużym przybliżeniem jest to, że przy odbiciu od zwierciadła kąt padania równy jest kątowi odbicia”.52

Powróćmy na chwilę do eksperymentu interferencyjnego na dwóch szczelinach. Jeżeli cząstka ma do wyboru dwie drogi, to musimy uwzględnić amplitudy odpowiadające obydwu możliwościom. Następnie możemy rozważyć sytuację, w której zamiast dwóch szczelin mamy trzy, cztery, pięć szczelin… Wówczas cząstka może poruszać różnymi drogami odpowiadającymi różnym szczelinom i musimy uwzględnić wszystkie historie. Możemy dowolnie zwiększać liczbę szczelin tak, aż przesłona

51 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 32n.52 R. P. Feynman, QED…, s. 59-60.

194

wreszcie zniknie i liczba szczelin będzie nieskończona. Wówczas rozważając ruch cząstki między punktami A i B musimy uwzględnić dosłownie wszystkie trajektorie dla każdej poszczególnej cząstki. Przy takim postawieniu zagadnienia twierdzenie, że cząstka kwantowa eksploruje wszystkie drogi okazuje się… „niemal oczywiste”.53

Pozostaje do rozważenia zagadnienie, dlaczego w przypadku obiektów makroskopowych zawsze obserwujemy tylko jedną określoną historię – planety, kule bilardowe, czy nawet maleńkie ziarnka piasku poruszają się po jednoznacznie określonych trajektoriach. Otóż dla obiektów makroskopowych przyczynki różnych trajektorii mają różne fazy i odpowiednie amplitudy znoszą się dla wszystkich trajektorii odległych od trajektorii klasycznej – pojawia się interferencja destruktywna, konstruktywna natomiast dla przyczynków związanych z trajektoriami klasycznymi. Można obliczyć,54 że dla cząstki klasycznej o masie, powiedzmy, 1 g, przebywającej odległość rzędu 1 m w czasie 1 s wszystkie nieklasyczne trajektorie możemy całkowicie pominąć. Natomiast dla cząstki kwantowej, takiej jak elektron, założenie, że porusza się ona po dobrze określonej trajektorii prowadzi do sprzeczności z doświadczeniem. W przypadku cząstek kwantowych wkłady nieklasycznych trajektorii okazują się istotne i nie można ich pominąć.

53 J. Gribbin, Kotki Schrödingera…, s. 110. Pamiętać jednak należy, że stwierdzenie „cząstka eksploruje wszystkie możliwe drogi” oznacza jedynie, że każdej trajektorii przypisujemy zespoloną amplitudę prawdopodobieństwa, a prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w pewnym miejscu obliczamy zgodnie z omówionymi regułami.

54 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 221.

195

Rys. # Ilustracja Feynmana sumy po historiach dla odbicia światła od zwierciadła. W odróżnieniu od podejścia klasycznego w mechanice kwantowej każdemu fotonowi przypisana jest amplituda prawdopodobieństwa poruszania się po dowolnej drodze ze źródła do detektora.55

Z filozoficznego punktu widzenia równie interesujący jest opis

55 Ilustracja w: R. P. Feynman, QED…, s. 47.

196

oddziaływań elektronów z fotonami w elektrodynamice kwantowej. Jego graficzną ilustracją są diagramy Feynmana. Na diagramie czasoprzestrzennym (por. rys. #) oś czasu skierowana jest pionowo, współrzędne przestrzenne (zredukowane w tym wypadku do jednej) – poziomo (zwyczajowo nie zaznacza się osi). Przyjmuje się zwykle konwencję, że trajektorię elektronu reprezentuje linia prosta, trajektorię fotonu linia falista. Wszystkie zjawiska związane ze światłem i elektronami mogą być sprowadzone do trzech podstawowych procesów:56

1. Foton przemieszcza się z miejsca na miejsce.2. Elektron przemieszcza się z miejsca na miejsce.3. Elektron emituje albo absorbuje foton.Rozważmy prosty przypadek: foton (w próżni) przemieszcza się z

punktu A do punktu B. Zgodnie ze szczególną teorią względności

prędkość światła w próżni jest stała i wynosi c=3×108m /s w każdym

układzie odniesienia, co oczywiście oznacza, że każdy pojedynczy foton porusza się z tą prędkością. Prędkość światła jest jednocześnie absolutną granicą prędkości, co znaczy, że zgodnie za szczególną teorią względności żaden obiekt nie może poruszać się szybciej niż światło w próżni. Zgodnie z ujęciem Feynmana, jeżeli cząstka eksploruje wszystkie możliwe drogi, to fotonowi musimy przypisać pewną amplitudę prawdopodobieństwa, że będzie poruszał się z punktu A do punktu B z prędkością mniejszą niż c, oraz pewną amplitudę, że będzie się poruszał z prędkością większą niż c. Okazuje się jednak, że amplitudy te znoszą się na dużych odległościach, ale na niewielkich odległościach mają istotne znaczenie.57

Omówione poprzednio zjawisko odbicia fotonów od powierzchni zwierciadła również zawierało istotne uproszczenie, ponieważ samo pojęcie powierzchni jest pewną idealizacją. Wszystkie znane obiekty w przyrodzie składają się z atomów, w skład których wchodzą jądra atomowe (zbudowane z protonów i neutronów, których podstawowym składnikami są kwarki) i elektrony. „Odbicie” fotonu polega w istocie na

56 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 89n.57 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 93-94.

197

jego oddziaływaniu z elektronem – elektron absorbuje foton, a następnie wysyła inny foton (QED opisuje to przez przypisanie elektronowi pewnej amplitudy wysłania lub pochłonięcia fotonu). Podstawowy wierzchołek (vertex) diagramu Feynmana przedstawia rysunek # Poruszający się elektron emituje lub absorbuje foton:

Rys. # Podstawowy wierzchołek diagramu Feynmana: poruszający się elektron emituje foton.

Nieco bardziej skomplikowany proces, a mianowicie oddziaływanie dwóch elektronów może być przedstawiony następująco: elektron emituje foton, który następnie jest absorbowany przez inny elektron (por. rys. #). W fizyce klasycznej mówimy o elektrycznym odpychaniu elektronów i interpretujemy je w kategoriach siły elektrycznej (jak wiemy, ładunki jednoimienne odpychają się). W elektrodynamice kwantowej wszelkie oddziaływania między elektronami opisujemy jako „wymianę” fotonów. Wszelkie procesy polegają na emisji lub absorpcji fotonów przez oddziałujące cząstki.

198

Rys. # Oddziaływanie elektronów przez wymianę fotonu.

W diagramach Feynmana możemy uwzględniać coraz to bardziej złożone procesy opisywane przez mechanikę kwantową – każdemu procesowi przypisana jest amplituda prawdopodobieństwa, dzięki czemu można wykonać odpowiednie obliczenia.

Dla przykładu rozważmy następujący diagram (por. rys. #). „Na wejściu” mamy elektron i foton, tak samo „na wyjściu”. Pamiętamy, że zgodnie z przyjętą konwencją kierunek osi czasu skierowany jest zgodnie z osią pionową (w górę na rysunku). 58

Na diagramie przedstawiony elektron (nadlatujący z lewej strony) i foton (z prawej strony) zbliżające się ku sobie. W wierzchołku po prawej stronie diagramu foton kreuje parę elektron-pozyton. Pozyton jest antycząstką elektronu – posiada taką samą masę i inne własności, ale przeciwny co do znaku ładunek elektryczny. Pozyton może być rozumiany jako elektron poruszający się wstecz w czasie. Następnie pozyton anihiluje z elektronem i tworzy nowy foton. Elektron wytworzony w procesie kreacji porusza się do przodu w czasie.

58 Por. R. P. Feynman, QED…, s. 101n.

199

Rys. # Diagram Feynmana ilustrujący … Zmienić rysunek – Feynman QED s. 103.

Pogląd na mechanikę kwantową samego Feynmana najlepiej zapewne wyraża cytat z jego książki QED. Osobliwa teoria światła i materii: „Musimy pogodzić się dziwacznymi efektami: prawdopodobieństwa są wzmacniane i osłabiane, światło odbija się od całej powierzchni zwierciadła, światło biegnie nie tylko po liniach prostych, fotony poruszają się szybciej lub wolniej niż przyjęta prędkość światła, elektrony biegną wstecz w czasie, fotony z nagła tworzą pary elektron-pozyton i tak dalej. Musimy się z tym pogodzić, aby pojąć, jak właściwie działa Natura pod powierzchnią niemal wszystkich zjawisk, jakie obserwujemy w świecie”.59 „Z punktu widzenia zdrowego rozsądku teoria elektrodynamiki kwantowej opisuje Naturę w sposób absurdalny – i zgadza się znakomicie z doświadczeniem. Mam nadzieję, że zaakceptujecie Naturę taką, jaka jest – absurdalną”.60 Dodać jednak należy, że zdaniem Feynmana poczucie absurdalności czy paradoksalności jest wyłącznie rezultatem konfliktu między ukazywaną przez mechanikę kwantową rzeczywistością a naszymi wyobrażeniami na temat tego, jaka rzeczywistość „powinna być”.

59 R. P. Feynman, QED…, s. 123.60 R. P. Feynman, QED…, s. 15.

200

Zauważmy, że w interpretacji Feynmana w ogóle nie pojawia się zagadnienie redukcji wektora stanu, które jest jednym z centralnych punktów rozważań wielu autorów, w tym Rogera Penrosa. Reguły składania amplitud i obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń mają, zdaniem Feynmana pomóc „uniknąć nieporozumień, gdy mówimy o «redukcji paczki falowej» i tym podobnych cudach”.61

Wszechświat uczestniczący

Wszechświat uczestniczący (Participatory Universe) to koncepcja sformułowana przez Johna Archibalda Wheelera, głosząca, że istnienie Wszechświa zależy od świadomości obserwatora.62 Jest to skrajne rozwiniećie kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej, zgodnie z którą redukcja wektora stanu następuje wówczas, gdy zostanie wykonany pomiar.63

Rys. # Rysunek Wheellera symbolizujący koncepcję Wszechświata uczestniczącego.

61 R. P. Feynman, QED…, s. 79 (przypis).62 Por. J. A. Wheeler, Law Without Law, [w:] J. A. Wheeller, W. Żurek, Quantum

Theory and Measurement…, s. 183-213.63 Por. J. Gribbin, Encyklopedi fizyki kwantowej…, s. 338.

201

Wheeller podkreśla, że zdaniem Bohra żadne zjawisko kwantowe nie jest „zjawiskiem”, dopóki nie zostanie zaobserwowane.64 Na przykład w eksperymencie z użyciem interferometru Macha–Zehndera (por. rozdz. #) w zależności od tego, czy umieścimy drugie zwierciadło półprzepuszczalne na drodze fotonów, czy też tego nie zrobimy, foton porusza się dwiema drogami równocześnie i w rezultacie interferencji może trafić tylko do jednego z detektorów, albo porusza się tylko jedną drogą i wtedy z równym prawdopodobieństwem może trafić do jednego lub do drugiego detektora. W pierwszym wypadku opisujemy zachowanie fotonu w kategoriach falowych, w drugim zaś w kategogiach korpuskularnych. Nie ma, zdaniem Bohra, tu żadnej sprzeczności, ponieważ wówczas mamy do czynienia z różnymi komplementarnymi zjawiskami, a mówiąc o „zjawisku” musimy wziąć pod uwagę cały zestaw eksperymentalny i nie można mówić o zachowaniu fotonu pomijając opis całej aparatury służącej jego rejestracji. Pewien proces fizyczny możemy określić mianem „zjawiska” dopiero wówczas, gdy jest zakończony pewnym aktem „wzmocnienia”, w rezultacie którego następuje, na przykład, słyszalny trzask w detektorze lub zaczernienie płyty fotograficznej, a więc następuje pewna nieodwracalna zmiana w przyrodzie.

…

Interpretacja transakcyjna

Interpretacja transakcyjna została sformułowana przez Johna Cramera,65 a inspiracją dla niej jest elektrodynamika Wheelera–Feynmana. Już w rozwiązaniach równań klasycznej elektrodynamiki

64 J. A. Wheeler, Law Without Law, [w:] J. A. Wheeller, W. Żurek, Quantum Theory and Measurement…, s. 185.

65 J. G. Cramer, Transactional interpretation of quantum mechanics, „Reviews of Modern Physics” 1986, Vol. 58, No. 2, p. 647-687; por. także J. G. Cramer, An Overview of the Transactional Interpretation, „International Journal of Theoretical Physics” 1988, 27 (227).

202

Maxwella mamy dwa zbiory rozwiązań – fale opóźnione (retarded waves) oraz tzw. fale wyprzedzone (advanced waves). Te ostatnie można interpretować jako fale poruszające się wstecz w czasie. W standardowych zastosowaniach odrzuca się te rozwiązania, jako pozbawione sensu fizycznego – efekt „nadmiarowości” formalizmu matematycznego.

W mechanice kwantowej jednak, obliczając prawdopodobieństwo rezultatu pomiaru jakiejś wielkości fizycznej posługujemy się

następującym wzorem: p(a i)=|⟨Ψ i|Ψ ⟩|2. We wzorze tym wektor stanu

(ket) jest mnożony przez odpowiedni wektor bra, który jest sprzężeniem zespolonym do keta. Przypomnijmy, że liczbę sprzężoną do liczby z=x+iy wyrażamy wzorem z=x−iy . W wyrażeniu na sprzężenie zespolone wektora stanu (funkcji falowej) w mechanice kwantowej znak „minus” pojawia się przy parametrze reprezentującym czas, zatem – formalnie rzecz biorąc – sprzężony wektor stanu może być interpretowany jako fala poruszająca się wstecz w czasie. Ten matematyczny fakt stanowi podstawę interpretacji transakcyjnej (transactional interpretation).

Przewidywania interpretacji transakcyjnej są dokładnie takie same, jak przewidywania interpretacji kopenhaskiej. Funkcja falowa nie jest jednak rozumiana jako twór czysto abstrakcyjny, ale jako realna fala fizyczna poruszająca się do przodu w czasie i (jej sprzężenie zespolone) wstecz w czasie. Rozważmy rzecz na przykładzie eksperymentu z dwiema szczelinami. Jego opis w kategoriach interpretacji transakcyjnej wygląda następująco: źródło (emiter) emituje falę („falę propozycję”), która z prędkością światła przechodzi przez układ szczelin i dociera do ekranu (absorbera). Absorber wysyła falę o ujemnej energii („falę potwierdzenie”) wstecz w czasie, która interferuje z „falą propozycją”. Cramer nazywa to „uściskiem dłoni” (handshake) przez czasoprzestrzeń.66 Urzeczywistnia się jedna z możliwości zgodnie z kwantowomechanicznymi regułami obliczania prawdopodobieństwa. Ponieważ jedna fala porusza się do przodu w czasie, druga zaś wstecz w

66 J. G. Cramer, An Overview of the Transactional Interpretation…

203

czasie, proces ten wydaje się atemporalny (tak jakby cząstka poruszająca się przez układ szczelin „wiedziała”, czy są otwarte dwie szczeliny, czy tylko jedna).

Zdaniem Cramera interpretacja transakcyjna pozwala na poglądowy opis zachowania mikroobiektów (jeśli zaakceptujemy fale przemieszczające się wstecz w czasie) i pozwala pozbyć się kategorii obserwatora wraz ze związanej z nią dyskusją na temat zależności wyników eksperymentów od naszych świadomych decyzji i rozumieniem funkcji falowej wyłącznie jako reprezentacji „wiedzy obserwatora”. Proces pomiaru, w którym zachodzi redukcja wektora stanu, nie różni się zasadniczo od innych procesów, obserwator nie odgrywa żadnej szczególnej roli. Na przykład w eksperymencie Wheelera z opóźnionym wyborem unikamy dość kłopotliwego wniosku, że nasze decyzje mają wpływ na to, co się dzieje w przeszłości. Podobnie, redukcja wektora stanu w eksperymencie myślowym z kotem Schrödingera „nie musi czekać, aż obserwator zajrzy do środka, nie ma takiego momentu, w którym kot jest na pół żywy i na pół martwy”.67

QBism

QBism to skrót od nazwy interpretacji mechaniki kwantowej zwanej Quantum Bayesianism – kwantowy bayesjanizm.68 Nazwa pochodzi stąd, że w teorii prawdopodobieństwa Bayesa prawdopodobieństwo jest rozumiane jako stopień przekonania w odniesieniu do pojedynczego zdarzenia, bez żadnych apriorycznych założeń na temat jego częstości. Zdaniem zwolenników tej interpretacji wszelkie paradoksy mechaniki kwantowej powstają na skutek niewłaściwej interpretacji funkcji falowej i pojęcia prawdopodobieństwa. QBism proponuje powrót do zdroworozsądkowego obrazu świata i eliminację kwantowych paradoksów dzięki subiektywnej interpretacji funkcji falowej, która jest

67 J. Gribbin, Kotki Schrödingera, czyli poszukiwanie rzeczywistości, tłum. J. Bieroń, Zysk i S-ka, Poznań 1999, s. 266.

68 C. M. Caves, C. A. Fuchs, R. Schack, Quantum probabilities as Bayesian probabilities, [w:] http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0106133v2.pdf.

204

wyłącznie wyrazem wiedzy obserwatora i w tym sensie istnieje tylko w umyśle indywidualnego fizyka. W szczególności funkcji falowej nie odpowiada żadna rzeczywistość, nawet rozumiana jako „tendencja do realizacji zdarzeń” (Heisenberg). Pojęcie prawdopodobieństwa interpretowane jest w czysto subiektywny sposób, jako miara przekonania, że nastąpi określone zjawisko.

Gdy stosujemy pojęcie prawdopodobieństwa do takich zdarzeń, jak na przykład rzut monetą, to możemy stosować interpretację częstościową – w wystarczająco długiej serii rzutów odsetek orłów i reszek będzie wynosił około 50% i w tym sensie mówimy, że prawdopodobieństwo poszczególnego zdarzenia (wyrzucenia orła lub reszki) wynosi ½. Możemy to określić mianem obiektywnej interpretacji prawdopodobieństwa. Jeżeli natomiast mówimy na przykład, że prawdopodobieństwo wystąpienia opadów określonego dnia wieczorem wynosi 60%, albo że kandydat X na prezydenta na 70% szans na zwycięstwo w wyborach, wówczas, ponieważ tego typu zdarzenia są niepowtarzalne, to nie możemy stosować interpretacji częstościowej. Prawdopodobieństwo wyraża wówczas stopień naszego subiektywnego przekonania odnoście do zaistnienia przyszłych stanów rzeczy. Taką interpretację prawdopodobieństwa określamy mianem subiektywnej.

Zwolennicy QBismu proponują czysto subiektywną interpretację prawdopodobieństwa i funkcji falowej w mechanice kwantowej, co ma stanowić „lekarstwo na kwantowe absurdy”.69 Rozważmy przypadek kota Schrödingera: wedle zwolenników omawianej interpretacji kot jest żywy albo martwy, a redukcja wektora stanu (czy też kolaps funkcji falowej) oznacza po prostu, że obserwator kierując się nowymi informacjami w sposób skokowy zmienił swoją ocenę prawdopodobieństwa.

Interpretacja statystyczna

Istotą interpretacji statystycznej mechaniki kwantowej (statistical interpretation), zwaną też interpretacją zespołu obiektow (ensemble

69 Por. H. C. von Baeyer, Kwantowe paradoksy? Są tylko w naszych umysłach, „Świat Nauki” 2013, nr 7, s. 33-37.

205

interpetation), jest założenie, że teoria ta w ogóle nie stosuje się do pojedynczych zdarzeń, lecz jest teorią zespołów statystycznych. Interpretacji tej nie należy mieszać ze statystyczną interpretacją wektora stanu sformułowaną przez Borna, zgodnie z którą kwadrat modułu wektora stanu jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa uzyskania określonej wartości mierzonej wielkości fizycznej.

Zgodnie z interpretacją statystyczną, jeżeli wykonujemy pomiar na układzie kwantowym, to należy przyjąć, że w istocie wykonujemy pomiar na zespole identycznie przygotowanych obiektów. Otrzymujemy zatem po jednym wyniku dla każdego z identycznie przygotowanych obiektów. Rezultat pomiaru przyjmuje postać rozkładu prawdopodobieństwa możliwych wyników pomiarów. Pogląd taki podzielał Einstein, współcześnie zaś interpretacji statystycznej broni John Taylor.70 Zgodnie z tą interpretacją poszukujemy wyłącznie rozkładu statystycznego i w ogóle nie interesujemy się pojedynczymi zdarzeniami: wykonujemy dużą liczbę pomiarów na identycznie przygotowanych układach i częstość występowania różnych wyników pozwala ustalić rozkład prawdopodobieńatwa. Próba opisu tego, co się dzieje w poszczególnym przypadku jest pozbawiona sensu. Zdaniem Taylora właśnie założenie, że mechanika kwantowa stosuje się do opisu pojedynczych układów prowadzi do paradoksów, takich jak EPR czy kot Schrödingera. W szczególności interpretacja statystyczna pozwala stwierdzić tylko tyle, że wykonując odpowiednie eksperymenty w połowie przypadków znajdziemy kota żywego, w połowie zaś martwego, wypowiedzi zaś na temat pojedynczych zdarzeń (kot w superpozycji stanów) to „oczywisty absurd”.71

Interpretacja statystyczna odegrała istotną rolę we wczesnych dyskusjach na temat filozoficznych interpretacji mechaniki kwantowej, ma dzisiaj – jak się wydaje – jedynie znaczenie historyczne, choćby z tego powodu, że fizycy potrafią wykonywać doświadczenia z pojedynczymi obiektami kwantowymi.72

70 P. C. W. Davies, Duch w atomie…, s. 127. [Terlecki, 1953] i Błochincew [Błochincew, 1953].

71 P. C. W. Davies, Duch w atomie…, s. 131.72 Por. J. Gribbin. Encyklopedia fizyki kwantowej….s. 143.

206

OR

OR to skrót od terminu „obiektywna redukcja” (objective reduction, a także po prostu „lub” w języku angielskim). Jest to interpretacja mechaniki kwantowej z obiektywną redukcją wektora stanu, której autorem jest Roger Penrose.

Dyskutując zagadnienie pomiaru w mechanice kwantowej Penrose stwierdza, że zarówno w interpretacjach mechaniki kwantowej, w których

uznaje się, że wektor stanu |Ψ ⟩ nie reprezentuje rzeczywistości (np. interpretacja kopenhaska – FAPP), jak i w interpretacjach, które

przyjmują, że |Ψ ⟩ reprezentuje rzeczywistość (np. interpretacja wielu światów) „musimy wprowadzić czynnik świadomości eksperymentatora, aby zrozumieć, w jaki sposób użyty formalizm odnosi się do obserwowanej rzeczywistości”.73 Zdaniem Penrose’a w obydwu przypadkach „«przeskoki» R nie są uważane za fizycznie realne, a wszystko dzieje się, w pewnym sensie, wyłącznie w naszej świadomości”.74

Penrose wielokrotnie podkreśla kontrast pomiędzy kwantowym a klasycznym opisem świata. Opis klasyczny, zgodny z naszą intuicją, pozwala na skonstruowanie poglądowego modelu świata mieszczącego się w ramach realizmu naukowego, opis kwantowy przeczy naszym najgłębszym intuicjom, brakuje mu elementu poglądowości, a ponadto zawiera dwie całkowicie odmienne procedury – ewolucję unitarną dla układu nieobserwowanego i postutat redukcji podczas pomiaru, w rezultacie którego następuję „wyłonienie się” świata klasycznego. Penrose zdecydowanie jednak odrzuca pogląd, że jest to rozwiązanie ostateczne, to znaczy, że mogłyby istnieć dwa całkowicie różne zestawy praw fizycznych – jeden do opisu mikroświata, drugi natomiast do opisu makroświata, ponieważ pogląd taki prowadziłby nas do wizji świata

73 R. Penrose, Droga do rzeczywistości…, s. 753.74 R. Penrose, Droga do rzeczywistości…, s. 753.

207

sprzed powstania nowożytnego przyrodoznawstwa i byłby podobny przekonaniom starożytnych Greków, że inne prawa rządzą zachowaniem ciał na Ziemi, inne zaś dotyczą obiektów na niebie.75 Od czasu prac Galileusza i Newtona wiemy jednak, że ruchem ciał w pobliżu powierzchni Ziemi, jak i ruchem planet rządzą dokładnie te same prawa, mamy również dobre powody do tego, by sądzić, że jednolite prawa fizyki obowiązują dla całego Wszechświata, niezależnie od skali zjawisk. Należy zatem przypuszczać, że nie ma radykalnej różnicy między prawami opisującycmi mikroświat i makroświat, lecz po prostu jeszcze nie znamy właściwej teorii stanowiącej pomost między poziomem kwantowym i poziomem klasycznym, a nielokalna i probabilistyczna procedura redukcji wektora stanu w standardowej mechanice kwantowej stanowi jedynie przybliżenie i powinna ustąpić miejsca teorii z obiektywną redukcją wektora stanu, która zawierać będzie czynniki fizyczne odpowiedzialne za ten proces. Prace Penrose’a nie zawierają takiej gotowej teorii, lecz ukazują raczej kierunek poszukiwań rozwiązania, które prowadziłoby do wyeliminowania paradoksów mechaniki kwantowej, takich jak na przykład paradoks kota Schrödingera.

Penrose rozróżnia „zagadki” i „paradoksy” mechaniki kwantowej (albo Z-tajemnice i X-tajemnice).76 Do pierwszych zalicza dualizm korpuskularno-falowy, spin, pomiary zerowe i efekty nielokalne, co do których nie ma poważniejszych wątpliwości, że mechanika kwantowa opisuje je poprawnie. Paradoksy natomiast związane są z procesem pomiaru i zastąpieniem w jego opisie ewolucji unitarnej U wektora stanu postulatem redukcji R podczas przejścia od poziomu kwantowego do poziomu klasycznego. Postulat redukcji nie wynika z równania Schrödingera, zaś radykalnie odmienne traktowanie układu nieobserwowanego i procesu pomiaru jest – zdaniem Penrose’a –

75 Por. R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, tłum. P. Amsterdamski, Prószyński i S-ka, Warszawa 1997, s. 62-63.

76 Por. R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł…, s. 71.

208

dowodem na to, że mechanika kwantowa w obecnej postaci jest „niekompletna lub błędna, a w każym razie wymaga dalszej pracy”.77

Jak już wspominaliśmy Penrose przedstawia raczej kierunek poszukiwań teorii OR, niż gotowe rezultaty i wiele elementów jego koncepcji ma charakter wysoce spekulatywny. Obiektywny charakter teorii polega na tym, że poszukuje on fizycznych czynników odpowiedzialnych za redukcję wektora stanu, traktując tym samym wektor stanu jako realność fizyczną, a nie jedynie jako nasz sposób opisu rzeczywistości (jak to czyni interpretacja kopenhaska). „Procedura, oznaczona przeze mnie symbolem R – pisze on – jest przybliżeniem procedury, której jeszcze nie znamy. Ten brakujący element fizyki nazwę skrótem OR, oznaczającym obiektywną redukcję. Obiektywnie zdarza się albo jedna rzecz, albo druga. Brakuje nam teorii, która pozwala określić, co się zdarzy. OR to odpowiedni skrót, ponieważ po angielsku oznacza on «lub», a o to właśnie chodzi: zdarza się jedno lub drugie”.78

Obszarem poszukiwań teorii z obiektywną redukcją jest dla Penrose’a kwantowa teoria grawitacji: podstawowa idea głosi, że redukcja wektora stanu jest ostatecznie zjawiskiem grawitacyjnym.79 Kwantowej teorii grawitacji wprawdzie jeszcze nie sformułowano,80 co wynika z trudności w uzgodnieniu ogólnej teorii względności z mechaniką kwantową, jednak, zdaniem Penrose’a, w przyszłej teorii powinniśmy rozważyć ideę superpozycji dwóch stanów czasoprzestrzeni, a następnie poszukiwać reguły, zgodnie z którą „[n]atura wybiera jedną z geometrii zgodnie z pewną regułą, której jeszcze nie znamy”.81

Penrose rozważa pewnien eksperyment myślowy, wzorowany na

77 R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł…, s. 72.78 R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł…, s. 90.79 R. Penrose, Quantum computation, entanglement and state reduction,

„Philosophical Transactions of the Royal Society of London” 1998, nr 356, s. 1927-1939; R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 406.

80 O poszukiwaniach kwantowej teorii grawitacji warto polecić popularną pracę: L. Smolin, Trzy drogi do kwantowej grawitacji, tłum. J. Kowalski-Glikman, CIS, Warszawa 2001.

81 R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł…, s. 92.

209

„paradoksie kota Schrödingera”.82 Kierujemy foton na zwierciadło półprzepuszczalne – foton znajduje się w stanie superpozycji fotonu przepuszczonego i fotonu odbitego. Foton przepuszczony powoduje zadziałanie urządzenia poruszającego makroskopową kulkę. Zgodnie z procedurą U, kulka znajduje się w superpozycji stanów, odpowiadającym jej pierwotnemu położeniu i położeniu po przesunięciu. „Jeśli redukcja stanu jest procesem fizycznym, to kulka musi «przeskoczyć» do jednego z tych dwóch położeń, co można uznać za «pomiar» […] jest to całkowicie obiektywny proces fizyczny, który powinien nastąpić zawsze, gdy masa kulki jest dostatecznie duża lub gdy dostatecznie duża jest jej zmiana położenia”.83 Po oddziaływaniu ze zwierciadłem półprzepuszczalnym część funkcji falowej fotonu ulega splątaniu ze stanem detektora i kulki, otrzymujemy zatem superpozycję stanów odpowiadającą dwóm położeniom kulki. Ponieważ kulka ma pole grawitacyjne, to jego stan należy uwzględnić w superpozycji. Jednak zgodnie z ogólną teorią względności Einsteina superpozycja dwóch stanów pola grawitacyjnego równoważna jest superpozycji dwóch stanów czasoprzestrzeni. Penrose utrzymuje, że gdy dwa stany czasoprzestrzeni znacząco różnią się własnościami geometrycznymi w skali Plancka (10-33

cm), wówczas musi nastąpić redukcja wektora stanu.84 Obiektywny proces redukcji R powoduje, że „Natura wybiera jedną, konkretną czasoprzestrzeń”.85

Penrose twierdzi, że superpozycja dwóch stanów czasoprzestrzeni jest niestabilna – podbnie jak niestabilne jest na przykład jądro uranu – i rozpada się, przechodząc do określonego stanu, przy czym czas redukcji t jest określony przez odwrotność energii grawitacyjnej potrzebnej E do rozsunięcia dwóch „kopii” ciała na odpowiednią odległość: im większa jest energia, tym szybciej następuje proces redukcji wektora stanu. Oszacowania czasu redukcji dają rząd wielkości

82 Por. R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 414n.83 R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 414-415.84 R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 416.85 R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 416.

210

t≈ ℏE .

Dla nukleonu jest on rzędu milionów lat, dla obiektu o promieniu 10-3

cm około jednej milionowej sekundy.86 W koncepcji Penrose’a do spowodowania redukcji wektora stanu nie

jest potrzebny „przyrząd pomiarowy” (opisywany według interpretacji kopenhaskiej w kategoriach fizyki klasycznej), a tym bardziej nie jest potrzebny „zewnętrzny wobec układu obserwator”. W tym znaczeniu koncepcja ta ma charakter czysto obiektywny – „spontaniczna redukcja – bez jakiegokolwiek zewnętrznego «pomiaru» wykonywanego na systemie”.87

Z filozoficznego punktu widzenia interesujące w koncepcji Penrose’a jest – poza niewątpiwą zaletą, jaką jest dążenie do zachowania obiektywnego opisu rzeczywistości fizycznej – to, że interpretacja OR jest, jak utrzymuje jej autor, testowalna empirycznie. Fakt ten odróżnia ją od większości interpretacji mechaniki kwantowej, które można uznać za metafizyczne w tym sensie, że nie zawierają one empirycznie sprawdzalnych konsekwencji, które mogłyby stanowić podstawę do rozstrzygnięcia pomiędzy różnym interpretacjami. Penrose podaje przykład eksperymentu, za pomocą którego można byłoby sprawdzić poprawność interpretacji obiektywnej redukcji spowodowanej efektami grawitacyjnymi.88

Idea eksperymentu jest następująca:89 niewielki kryształ (o rozmiarach zbliżonych do rozmiarów pyłku kurzu) wprowadzamy w stan

86 Por. R. Penrose, Cienie umysłu…, s. 420.87 R. Penrose, Experiments to Test Gravitationally Induced State Reduction, [w:] R.

Penrose, The Large, the Small an the Human Mind, Cambridge University Press 1999, s. 193. Dodatek ten zawarty jest w drugim wydaniu pracy Penrose’a, którego nie zawiera polskie tłumaczenie pracy Makroświat, mikroświat i ludzki umysł.

88 Por. R. Penrose, Quantum computation, entanglement and state reduction, „Philosophical Transactions of the Royal Society of London” 1998, No. 356, s. 1935n.

89 Por. R. Penrose, Experiments to Test Gravitationally Induced State Reduction, [w:] R. Penrose, The Large, the Small an the Human Mind…, s. 195n.

211

superpozycji dwóch znikomo różniących się położeń w przestrzeni i sprawdzamy, czy superpozycja może utrzymywać się przez jakieś ułamki sekund, czy też superpozycja ulega spontanicznemu rozpadowi. Zgodnie ze stanowiskiem OR powinna nastąpić spontaniczna redukcja superpozycji do jednego ze stanów klasycznych, podczas gdy zgodnie z interpretacją kopenhaską superpozycja powinna trwać, dopóki redukcji wektora stanu nie spowoduje jakiś czynnik zewnętrzny.

Niech źródło emituje pojedynczy foton w kierunku zwierciadła półprzepuszczalnego (por. rys. #). Zwierciadło (beam splitter) powoduje przejście fotonu w superpozycję stanów, z których jeden odpowiada fotonowi odbitemu, drugi zaś fotonowi przechodzącemu (z równymi amplitudami). Powiedzmy, że część superpozycji odpowiadająca fotonowi odbitemu jest utrzymywana przez jakiś czas (na przykład przez około jednej dziesiątej sekundy) w pewnej komorze tak, że faza koherencji zostaje zachowana. Druga część stanu fotonu uderza w mały kryształ, zawierający około 1015 jąder, odbija się od niego, przekazując mu znaczną część pędu, a następnie trafia do podobnej komory, jak część odbita. Załóżmy, że pęd fotonu przekazany jest kryształowi jako całości (tak jak to się dzieje w efekcie Mössbauera). Niech kryształ będzie poddany działaniu pewnej siły przywracającej go do pierwotnego położenia równowagi w czasie około jednej dzisiątej sekundy. W ściśle określonym czasie obie części stanu fotonu trafiają ponownie na zwierciadło półprzepuszczalne, łączą się spójnie i foton opuszcza zwierciadło dokladnie tą samą drogą, którą na nie trafił, a detektor umieszczony w kierunku alternatywnej drogi fotonu nie rejestruje nic.

Penrose argumentuje, że superpozycja dwóch lokalizacji kryształu powinna być nietrwała i w rozważanym czasie (około jednej dziesiątej sekundy) powinna nastąpić redukcja do jednego albo do drugiego określonego położenia. Stan fotonu pozostaje splątany ze stanem kryształu, zatem redukcja stanu kryształu pociąga za sobą redukcję stanu fotonu i foton podczas oddziaływania ze zwierciadłem półprzepuszczalnym może przejść albo jedną drogą, albo drugą, to znaczy może przejść przez zwierciadło albo odbić się od niego. W tym drugim przypadku istnieje określone prawdopodobieństwo, że foton zostanie

212

zarejestrowany przez detektor. Zdaniem Penrose’a eksperyment tego typu może posłużyć jako test różnych teorii redukcji wektora stanu, w tym teorii OR.

Rys. #. Schemat eksperymentu Penrose’a umożliwiającego empiryczny test poprawności interpretacji OR.

213

Dekoherencja

Model dekoherencji zaproponowany został przez polskiego fizyka Wojciecha Żurka.90 W interpretacji kopenhaskiej wprowadza się podział na „kwantowy obiekt” i „klasyczny przyrząd pomiarowy”. Jednak „granica” między kwantową a klasyczną „rzeczywistością” nie jest dobrze zdefiniowana. Bohr twierdził, że przyrząd pomiarowy musi być obiektem makroskopowym, to znaczy takim, że w jego opisie można pominąć, z praktycznego punktu widzenia, efekty kwantowe, takie jak superpozycja stanów. Rezultaty pomiarów wyrażamy zawsze w kategoriach fizyki klasycznej. Pozostaje jednak otwartym pytanie o to, kiedy następuje „wyłonienie się świata klasycznego”,91 albo – inaczej mówiąc – dlaczego nie obserwujemy na co dzień interferujących kul bilardowych lub żywo-martwych kotów.

Zgodnie z interpretacją Żurka, za proces redukcji wektora stanu odpowiedzialne jest oddziaływanie układu kwantowego ze środowiskiem, które tworzą inne cząstki elementarne, a także pola grawitacyjne, całkowicie bez potrzeby wprowadzania do mechaniki kwantowej kategorii świadomego obserwatora. Dekoherencja stanu kwantowego powodowana przez wpływ otoczenia zapobiega trwaniu superpozycji.92 Proces redukcji wektora stanu nie jest procesem natychmiastowym, lecz procesem fizycznym, którego prędkość zależy od wielkości rozważanego układu. Obliczenia przeprowadzone przez Żurka pokazują, że dla obiektu makroskopowego o masie rzędu 1 g i rozmiarach rzędu 1 cm czas, w którym oddziaływanie środowiska powoduje dekoherencję jest rzędu 10-23

90 W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical, „Physics Today” 1991, Vol. 44, p. 36-44; W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical – Revisited, [w:] http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf; M. Zwolak, H. T. Quan, W. Żurek, Quantum Darwinism in a hazy enviroment, arXiv:0904.0418v2 [quant-ph] 9 oct 2009; S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej…, s. 378-385; R. Omnes, The Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton 1994, s. 81.

91 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 92 S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 381.

214

s, natomiast dla cząstki o masie i rozmiarach rzędu elektronu (10-23 g, 10-13

cm) proces taki może trwać 1014 s.93 Przy obiektach o dużej masie i rozmiarach (dużych w porównaniu z masami i rozmiarami elementarnych składników materii) następuje bardzo szybki (wykładniczy) zanik kwantowych superpozycji i przejście do jednego ze stanów klasycznych.

W interpretacji tej „pomiaru” wykonuje po prostu środowisko, czyli oddziaływanie układu kwantowego z innymi obiektami, a sam pomiar nie jest szczególnie wyróżnionym rodzajem oddziaływania. Nie ma zasadniczej różnicy między światem klasycznym a kwantowym – jest ciągłe przejście poprzez szereg stanów pośrednich.

Mechanika kwantowa a redukcjonizm i antyredukcjonizm

Mechanika kwantowa a realizm i antyrealizm

Einstein był realistą i podkreślał, że teza o istnieniu obiektywnego świata niezależnego od świadomości podmiotu poznającego i jakichkolwiek teorii jest podstawowym założeniem wszelkich badań naukowych.1 Celem teorii naukowych, w tym oczywiście i mechaniki kwantowej, jest opis świata takiego, jaki by on był nawet wówczas, gdyby nas (obserwatorów) nie było.

Bohr miał odmienny pogląd na status teorii naukowych. Twierdził, że celem nauki nie jest dociekanie „realnej istoty zjawisk” (the real essence), ale „ustanowienie ilościowych zależności między wynikami pomiarów”.2 W sporze o status poznawczy teorii naukowych często stanowisko Ein-

93 W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical – Revisited, [w:] http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf p. 14.

1 Por. A. Einstein, L. Infeld, Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najdawniejszych pojęć do teorii względności i kwantów, tłum. R. Gajewski, PWN, Warszawa 1962, s. 260.

2 N. Bohr, Atomic Theory and the Description of Nature, Cambridge University Press, Cambridge 1934, p. 118.

215

steina podaje się jako paradygmatyczny przykład realizmu naukowego, natomiast stanowisko Bohra jako przykład antyrealizmu (instrumental-izmu).

Mechanika kwantowa a problem obiektywności poznania

Mechanika kwantowa a umysł

216

Kwantowomechaniczne pojęcie elementarnych składników materii

Mechanika kwantowa spowodowała głębokie zmiany w naszym pojmowaniu materii, w szczególności zaś jej elementarnych składników.1 Zmiany te są tak radykalne, że niektórzy uczeni utrzymują nawet, że pojęcie materii we współczesnej fizyce w ogóle przestało funkcjonować,2 albo że cząstki elementarne, o których mówi fizyka współczesna to raczej abstrakcyjne obiekty matematyczne niż obiekty materialne.3 Twierdzenia tego typu formułowane są na ogół przez teoretyków, lecz nie jestem przekonany, czy fizycy doświadczalni pracujący na przykład przy akceleratorach cząstek elementarnych i detektorach zgodziliby się z poglądem, że rozpędzają w nich, doprowadzają do zderzeń i śledzą ślady „czegoś niematerialnego”. Pojęcie materii jest niewątpliwie wieloznaczne, obciążone tradycją filozoficzną i nie zamierzam tu się wdawać w metafizyczne spekulacje na temat „istoty materii”. Faktem jest natomiast to, że pojęcie cząstki elementarnej według fizyki klasycznej i pojęcie cząstki elementarnej według mechaniki kwantowej dzielą głębokie różnice. Ponadto sam termin „mechanika” często kojarzy się w świadomości potocznej z urządzeniami mechanicznymi typu zegar, w

1 Por. A. Łukasik, Substancjalność cząstek elementarnych, [w:] M. Piwowarczyk (red.), Studia Systematica 2. Substancja, Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 2012, s. 145-157; Idem, Atomism Today. Classical and Quantum Concepts of Elementary Particles, „Dialogue and Universalism” 2008, No. 2, p. 31-38; Idem, Ewolucja pojęcia atomu, „Otwarte Referarium Filozoficzne” 2009, nr 2, s. 15-36; Idem, Atomizm dawniej i dziś. O niewspółmierności ontologicznej klasycznego i kwantowomechanicznego pojęcia elementarnych składników materii, „Studia Philosophiae Christianae” 2009, nr 1, s. 133-162; Idem, Atomizm – dziś. Problem aktualności programu badawczego filozofii atomizmu, [w:] Filozofia przyrody dziś. Philosophy of Nature Today, red. W. Ługowski, I. Lisiejew, Wyd. IFiS PAN, Warszawa 2010, s. 82-89; Idem, Filozofia atomizmu…, s. …

2 Por. M. Heller, 3 Por. W. Heisenberg, C. F. von Weiszäcker, S. Weinberg,

217

którym znajdują się rozmaite tryby i spężyny, czy też – ogólnie rzecz biorąc – z koncepcją „świata-maszyny” ukształtowaną na bazie dziewiętnastowiecznej fizyki. Ten prosty model świata zakładał, że na fundamentalnym poziomie organizacji materii istnieją pewne substancjalne elementy, niepodzielne cząstki materii, będące miniaturowymi ciałami stałymi, które posiadają pewne obiektywne własności i w rezultacie wzajemnych oddziaływań opisywanych w kategoriach sił (grawitacyjnych, elektromagnetycznych i innych) poruszają się w przestrzeni po jednoznacznie określonych trajektoriach zgodnie z deterministycznymi prawami Newtona. Taki obraz świata należy już niewątpliwie do przeszłości,4 a kwantowomechaniczne pojęcie elementarnych składników materii dalekie jest od klasycznego pojęcia mikroskopijnych ciał stałych. Celem niniejszego rozdziału jest porównanie klasycznego i kwantowomechanicznego pojęcia elementarnych składników materii.

Za twórcę pojęcia elementarnego składnika materii uznawany jest Demokryt z Abdery, który sformułował w starożytnej filozofii przyrody atomistyczną koncepcję materii. Grecki termin atomos znaczy „niepodzielny” i właśnie niepodzielność oraz niezmienność uznawano za konstytutywne cechy elementarnych składników materii. Dla Demokryta stomy były rzeczywistym bytem, z czego wynikało, że są wieczne – nie mogą ani powstawać, ani ulegać zniszczeniu, ponieważ przyjmowano, za Parmenidesem z Elei, że rzeczywisty byt, w odróżnieniu od przedmiotów świata zjawisk, jest absolutnie niezmienny. Demokryt przypuszczał, że wszystkie atomy są równie nieprzenikliwe, to znaczy w tym samym czasie w tym samym miejscu nie mogą znajdować się dwa lub więcej atomów, a różnią się od siebie jedynie dwiema obiektywnymi cechami, a mianowicie kształtem i wielkością. Aż do czasów Daltona, który po raz pierwszy określił empirycznie jedną z podstawowych własności atomów, a mianowicie ciężar atomowy, podstawowe własności elementarnych

4 Analizy różnych aspektów filozofii mechanicyzmu zawiera godna polecenia praca M. Heller, J. Życiński, Wszechświat – maszyna czy myśl? Filozofia mechanicyzmu: powstanie – rozwój – upadek, Polskie Wydawnictwo Teologiczne Kraków 1988.

218

składników materii były przedmiotem czystej spekulacji, współcześnie własności te są przedmiotem badań eksperymentalnych w fizyce cząstek elementarnych. Rozwój fizyki w XX wieku doprowadził do sformułowania modelu standardowego cząstek elementarnych, który jest podsumowaniem współczesnych poglądów na temat elementarnych składników materii.

Według modelu standardowego ostatecznymi składnikami materii, czyli cząstkami fundamentalnymi są kwarki i leptony. Cząstki takie jak proton i neutron nazywa się również cząstkami elementarnymi, ale według współczesnych poglądów są one zbudowane z bardziej elementarnych składników – kwarków. Termin cząstki fundamentalne stosuje się na określenie obiektów, które nie mają struktury wewnętrznej. Znanych jest sześć rodzajów kwarków,5 noszących nazwy (tzw. zapachy – ang. flavour): u – górny (up), d – dolny (down), s – dziwny (strange), c – czarujący (charm), t – szczytowy lub prawdziwy (top, true), b – denny, lub piękny (bottom, beauty) oraz sześć rodzajów leptonów: e – elektron, μ – mion, τ – taon, νe – neutrino elektronowe, νμ – neutrino mionowe, ντ – neutrino taonowe.6 Ładunki elektryczne kwarków przyjmują ułamkowe wartości ładunku elementarnego: Qu = +2/3, Qd = –1/3, Qs = +2/3, Qc = –1/3, Qt = +2/3, Qb = –1/3 i kwarki występują w przyrodzie jako stany związane trzech kwarków (na przykład proton, który składa się z dwóch kwarków górnych i jednego kwarku dolnego – uud lub neutron, składający się z dwóch kwarków dolnych i jednego górnego – udd), albo jako pary kwark–antykwark, tworzących nietrwałe cząstki elementarne, zwane mezonami. Kwarki posiadają ponadto pewną wielkość, zwaną ładunkiem kolorowym lub kolorem, przypominającą do pewnego stopnia ładunek elektryczny, ale występującą w trzech odmianach, zwanych czerwony (red – r), zielony (green – g) i niebieski (blue – b). Kwarki o trzech różnych kolorach przyciągają się, natomiast kwarki o takim samym

5 Hipotezę kwarkowej budowy hadronów wprowadził w 1964 r. Murray Gell-Mann i niezależnie od niego George Zweig. Por. M. Gell-Mann, A Schematic Model of Baryons and Mesons, „Physics Letters” 1964, Vol. 8, nr 3, s. 214–215.

6 Nie wiadomo, dlaczego istnieją właśnie trzy generacje cząstek elementarnych.

219

kolorze działają na siebie siłami odpychającymi. Nazwa „kolor”, choć ma charakter metaforyczny, ale odzwierciedla pewną analogię ze swykłymi barwami, a mianowicie fakt, że barwy czerwona, zielona i niebieska, nałożone na siebie, są postrzegane jako światło białe. W stanie naturalnym w przyrodzie istnieją jedynie „białe” kombinacje kwarków – na przykład proton jest zbudowany z trzech kwarków uud, każdy w innym kolorze. Antykwarkom przypisane są atykolory – antyczerwony, antyzielony i antyniebieski (co odpowiada „barwie dopełniającej”). Mezony zbudowane są z pary kwark–antykwark, przy czym kwark danego koloru związany jest z antykwarkiem obdarzonym odpowiednim antykolorem. Kwark dziwny s posiada pewną liczbę kwantową, zwaną dziwnością S = –1, kwark powabny c wyposażony jest w liczbę kwantową zwaną powabem C = 1.

Do każdej cząstki istnieje odpowiadająca jej antycząstka (cząstka antymaterii), która posiada ładunek elektryczny przeciwnego znaku7, albo odpowiedni antykolor. Oddziaływania między cząstkami opisywane są nie za pomocą pojęcia „siły”, lecz jako „wymiana” cząstek – kwantów odpowiedniego oddziaływania. Stosownie do czterech podstawocyh oddziaływań znanych w fizyce współczesnej są to: foton – γ, kwant oddziaływania elektromagnetycznego, osiem rodzajów gluonów g (ang. glue – klej) przenoszących oddziaływanie kolorowe między kwarkami, trzy rodzaje bozonów W+ W- i Z0 przenoszące oddziaływanie słabe oraz bozon Higgsa, który według modelu standardowego jest odpowiedzialny za określone wartości mas cząstek. Grawiton, hipotetyczny kwant oddziaływania grawitacyjnego, nie mieści się w modelu standardowym, ponieważ model ten w ogóle nie uwzględnia oddziaływań grawitacyjnych. Model ten opisuje trzy spośród czterech fundamentalnych oodziaływań: elektromagnetyczne, silne i słabe jądrowe. Schematycznie listę fundamentalnych składników materii można przedstawić na następującym diagramie:

7 Cząstki nienaładowane, takie jak foton, są same swoimi antycząstkami.

220

Rys. #. Fundamentalne składniki materii według modelu standardowego fizyki cząstek elementarnych.

Wszystkie ciała, z którymi mamy na co dzień do czynienia, a także cała widzialna materia we Wszechświecie zudowane są ostatecznie z trzech rodzajów cząstek: kwarków u i d, będących składnikami protonów i neutronów, tworzących jądra atomowe oraz z elektronów. Współczesny pogląd na budowę materii schematycznie został przedstawiony na rysunku #:

221

Rys. #. Ilustracja współczesnych poglądów na budowę materii.

Porównamy pojęcie elementarnego składnika materii według fizyki klasycznej i kwantowej, stosując dla uproszczenia określenia „cząstka klasyczna” i „cząstka kwantowa” odpowiednio. Pomimo tego, że w odniesieniu do obiektów opisywanych przez mechanikę kwantową będziemy stosować termin „cząstka”, pamiętać jednak należy, że obiekty te wykazują „własności falowe” w sensie omówionym w poprzednich rozdziałach.

Klasyczne pojęcie cząstki można scharakteryzować następująco:8 1) cząstki klasyczne to mikroskopijne ciała stałe, absolutnie niezmienne, niepodzielne i niezniszczalne; 2) są realnymi przedmiotami, istniejącymi w czasie i przestrzeni; 3) posiadają określone pierwotne cechy, które są obiektywne i przysługują im całkowicie niezależnie od tego, jakiego

8 Por. M. Redhead, P. Teller, Particle Labels and Indistinguishable Particles in Quantum Mechanics, The British Journal for the Philosophy of Science 43(1992)2, 202.

222

rodzaju układy złożone tworzą te cząstki oraz niezależnie od wykonywanych pomiarów (obserwacji); 4) cząstki klasyczne są rozróżnialnymi indywiduami, mogą być policzone i ponumerowane, a zamiana miejscami (stanami) dwóch cząstek – nawet wówczas, gdy nie różnią się one od siebie żadną cechą wewnętrzną – tworzy obiektywnie nowy układ; 5) cząstki klasyczne są niezależnie od siebie istniejącymi obiektami, o ile znajdują się w różnych obszarach przestrzeni.

Rozważmy teraz zagadnienie, jak się mają własności cząstek kwantowych do przedstawionej wyżej charakterystyki cząstek klasycznych.

Przede wszystkim większość cząstek elementarnych fizyki współczesnej to obiekty nietrwałe, które ulegają „rozpadowi” na inne cząstki. Jedynie elektron, pozyton, foton, neutrina i proton są trwałe (chociaż pewne koncepcje przewidują rozpad swobodnego protonu, a jego czas życia szacowany jest na co najmniej 1030 lat, a więc o wiele rzędów wielkości więcej niż czas życia wszechświata, który szacuje się na około 13,8 miliardów, czyli rzędu 1010). „Rozpadu” cząstki elementarnej nie możemy jednak rozumieć w ten sposób, że cząstki, które są produktem rozpadu danej cząstki elementarnej, są jej składnikami i istnieją w tej cząstce przed rozpadem, tak jak elektrony i nukleony są składnikami atomów. Na przykład neutron, gdy jest składnikiem jąder atomowych, zachowuje się jak cząstka trwała, jednak neutron swobodny rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe po czasie wynoszącym mniej więcej 11 minut:

n→ p+e−+~ν e .

Neutron nie jest jednak „zbudowany” z protonu, elektronu i antyneutrina elektronowego, lecz z trzech kwarków (dwóch kwarków d i jednego kwarku u). Proces rozpadu cząstki elementarnej polega więc raczej na przekształceniu się jednej cząstki „elementarnej” w inne cząstki, równie „elementarne”. Większość cząstek elementarnych fizyki

223

współczesnej ulega tego typu transformacjom, przy czym czas życia niektórych z nich jest niezmiernie któtki – nawet rzędu 10-24 s. Na przykład mion rozpada się po czasie ok. 10-6 s na elektron, antyneutrino elektronowe i neutrino mionowe według następującego schematu:

μ−→e−+~ν e+νμ .

Zauważmy przy tym, że mion jest uważany za cząstkę równie elementarną jak elektron (należy do czastek fundamentalnych), dlatego też lepiej jest mówić o transformacjach cząstek elementarnych, niż o ich „rozpadach”. Cząstki elementarne fizyki współczesnej nie są więc obiektami niezmiennymi i trwałymi.

Elektron jest wprawdzie uważany za cząstkę trwałą, co znaczy, że nie ulega spontanicznemu przekształceniu w inne cząstki elementarne „rozpadowi”) gdy porusza się swobodnie w przestrzeni. Jednak nie jest on cząstką absolutnie niezniszczalną, ponieważ w rezultacie zderzenia ze swoją antycząstką, czyli pozytonem, obydwie cząstki ulegają anihilacji – przestają istnieć, przekształcając się w kwanty wysokoenergetycznego promieniowania elektromagnetycznego:

e−+e+→2 γ .

Każda cząstka materii w zderzeniu ze swoją antycząstką ulega anihilacji, zatem nawet te cząstki, których czas życia jest nieskończenie długi, nie są obiektami absolutnie niezniszczalnymi.

W pewnych warunkach (określonych przez odpowiednie zasady zachowania wielkości fizycznych) możliwy jest również proces odwrotny do anihilacji, czyli kreacja par cząstka–antycząstka. Na przykład wysokoenergetyczny foton może przekształcić się w parę elektron – pozyton:

224

γ→e−+e+ .

Cząstki elementarne nie są również odwieczne, ponieważ nasz Wszechświat nie istnieje odwiecznie, ale miał początek w czasie – około 13,8 miliarda lat temu powstał w gorącym Wielkim Wybuchu. W bardzo wczesnym etapie ewolucji Wszechświata, zwanym erą Plancka,9 panowały tak ekstremalne warunki fizyczne, że materia w znanej nam postaci (nawet cząstki elementarne) nie mogły wówczas istnieć.

O ile w tradycji filozoficznej i fizyce klasycznej przyjmowano, że najbardziej podstawowy poziom organizacji materii, czyli poziom cząstek elementarnych stanowią absolutnie trwałe elementy, to obrazu takiego nie potwierdza mechanika kwantowa – na poziomie elementarnych składników materii nie znajdujemy trwałych, substancjalnych elementów.

Klasyczne cząstki elementarne pojmowano jako obiekty niepodzielne. Współcześnie bada się cząstki elementarne w akceleratorach cząstek elementarnych, a jedną z podstawowych metod są eksperymenty zderzeniowe. Na przykład w największym na świecie akceleratorze LHC (Large Hadron Collider – Wielki Zderzacz Hadronów) w CERN rozpędza się do prędkości bliskiej prędości światła w próżni (0,999999991 c) dwie wiązki cząstek poruszające się w przeciwnych kierunkach, a następnie doprowadza się je do zderzenia i obserwuje się trajektorie powstających w wyniku zderzenia cząstek w detektorach cząstek elementarnych. Okazuje się jednak, że w rezultacie zderzenia cząstek elementarnych nie otrzymujemy „fragmentów” cząstek, czy też cząstek „bardziej elementarnych” niż te, które poddaliśmy zderzeniom, ale otrzymujemy po prostu inne cząstki, „równie elementarne”. Ten stan rzeczy związany jest z efektami relatywistycznymi – zależnością masy od prędkości ciała. Zgodnie ze szczególną teorią względności Einsteina masa cząstki zależy od prędkości v:

9 Czas, odległość i gęstość Planka wynoszą odpowiednio: tp = √ℏG/c5 ≈ 5,4 × 10 -44 s, lp = √ℏG/c3 ≈ 1,6 × 10 -35 m, ρp = c5/ℏG2 ≈ 5,2 × 10 96 kg/m3.

225

m=mo

√1− v2

c2,

gdzie m0 jest masą spoczynkową, c – prędkością światła w próżni. Jeśli zatem w akceleratorach rozpędzamy cząstki do prędkości porównywalnych z prędkością światła w próżni, to rośnie ich masa–

energia (E=mc2) i dlatego w zderzeniach mogą powstawać nowe

cząstki. W związku z tym może pojawić się wątpliwość, czy w tego typy eksperymentach „rozbijamy” cząstki czy je „produkujemy”; być może nawet – jak twierdził Heisenberg – samo pojęcie „niepodzielności” całkowicie straciło pierwotny sens.10

Klasyczne cząstki traktowano jako realne przedmioty dobrze zlokalizowane w czasie i przestrzeni. Relacje nieoznaczości Heisenberga prowadzą jednak do wniosku, że cząstkom kwantowym nie możemy przypisywać „prostego umiejscowienia w przestrzeni”,11 a ich ruch całkowicie wymyka się możliwości poglądowego przedstawienia, co szczególnie dobitnie widać w analizie eksperymentu na dwóch szczelinach lub zachowania cząstek w interferometrze Macha–Zehndera. Zgodnie z mechaniką kwantową przed wykonaniem pomiaru można określić jedynie pewien rozkład prawdopodobieństwa obecności elektronu w pewnym obszarze przestrzeni, co można wyrazić stwierdzeniem, cząstka elementarna jest „potencjalnie obecna” w pewnym obszarze przestrzeni i dopiero w rezultacie pomiaru „aktualizuje się w pewnym miejscu”. Bohr twierdził nawet, że tezie o istnieniu elektronu lub fotonu między pomiarami w ogóle nie możemy nadać „obiektywnego znaczenia”. Opisać możemy jedynie rezultaty obserwacji, w których użyto makroskopowych przyrządów pomiarowych, co pociąga

10 Por. W. Heisenberg, The Nature of Elementary Particles, w: red. E. Castellani, dz. cyt., 212.

11 Por. A. N. Whitehead, Nauka i świat nowożytny, tłum. M. Kozłowski, M. Pieńkowski OP, Kraków 1987, s. 79.

226

za sobą konieczność zastosowania pojęć fizyki klasycznej, o których wiemy, że nie mogą być stosowane do świata atomów i cząstek elementarnych pomiędzy aktami obserwacji. Niektórzy współcześni autorzy wysuwają przypuszczenia, że cząstka kwantowa, taka jak elektron, istnieje wprawdzie między dwoma pomiarami, ale istnieje „poza czasem i przestrzenią”, a dopiero wykonany pomiar „wciąga elektron w czasoprzestrzeń”.12 Korelacje EPR również prowadzą do wniosku, że między dowolnie odległymi obiektami istnieje pewne nielokalne powiązanie, zatem możliwe, że czas i przestrzeń są strukturą, w jakiej istnieją obiekty makroskopowe i nie mają podstawowego znaczenia na poziomie fundamentalnych składników materii.

„Obraz” elementarnych składników materii według mechaniki kwantowej radykalnie odbiega od prostego modelu świata fizyki klasycznej, według krórego niezmienne cząstki pojmowane jako nieprzenikliwe, mikroskopijne ciała stałe znajdują się w pustej przestrzeni i poruszają się po dobrze określonych trajektoriach zgodnie z deterministycznymi prawami ruchu.

Cząstki klasyczne zaliczano do ontologicznej kategorii rzeczy, to znaczy przedmiotów wykazujących autonomię bytową (w odróżnieniu od cech i relacji), jednostkowość, konkretność i zupełność charakterystyki treściowej.13 Zgodnie z ostatnim warunkiem uznawano, że wszystkie cechy cząstek klasycznych przysługują im niezależnie od przeprowadzanych pomiarów. Cząstki kwantowe mają wprawdzie pewne ustalone własności, takie jak masa spoczynkowa czy ładunek elektryczny, które przysługują im całkowicie niezależnie od przeprowadzanych pomiarów (np. masa spoczynkowa elektronu i ładunek elementarny uznawane są za fundamentalne stałe fizyczne), jednak nie dotyczy to wszystkich dynamicznych charakterystyk cząstek kwantowych. Określone położenie, pęd, energia czy ustawienie spinu cząstki

12 Por. D. Aerts The Entity and Modern Physics: The Creation-Discovery View of Reality, w: red. E. Castellani, dz. cyt., 223–257.

13 Por. M. Hempoliński, Filozofia współczesna. Wprowadzenie do zagadnień i kierunków, Warszawa 1989, 64.

227

elementarnej może być rozumiane jedynie jako rezultat przeprowadzonego pomiaru (przed pomiarem wektor stanu znajduje się na ogół w superpozycji różnych możliwości). Pary wielkości fizycznych reprezentowanych przez niekomutujące operatory nie mogą być jednocześnie zmierzone z dowolną dokładnością i – zgodnie ze standardową interpretacją mechaniki kwantowej – cząstki kwantowe nie posiadają jednocześnie określonych wartości wielkości komplementarnych. Jeżeli określona jest jedna z wielkości komplementarnych, to wartość drugiej może losowo fluktuować i pozostaje nieokreślona. Można zatem wyrazić wątpliwość, czy cząstki kwantowe można zaliczyć do ontologicznej kategorii rzeczy, ponieważ niektóre ich własności wykazują – jak się wydaje – „miejsca niedookreślenia”, charakterystyczne na przykład dla przedmiotów estetycznych.14

Klasyczne cząstki traktowano jak indywidua, do których stosuje się sformułowana przez Leibniza zasada identyczności nieodróżnialnych (principium identitatis indiscernibilium), zgodnie z którą „nie istnieją nierozróżnialne dwa indywidua”,15 co można zapisać następująco:

F [F(a) F(b)] a = b.

W zależności od tego, czy w zakres predykatu F włączamy jedynie cechy wewnętrzne, czy też uwzględnimy również cechy relacyjne (lokalizację czasoprzestrzenną), otrzymujemy mocną lub słabą wersję PII: wersja mocna nie zawiera własności lokalizacji przestrzennej; wersja słaba zawiera własność lokalizacji przestrzennej.16 Cząstki klasyczne

14 Por. R. Ingarden, …15 G. W. Leibniz, Polemika z Clarkiem, Czwarte pismo Leibniza, [w:] Tenże,

Wyznanie wiary filozofa. Rozprawa metafizyczna. Monadologia. Zasady natury i łaski oraz inne pisma filozoficzne, tłum. S. Cichowicz, J. Domański, H. Krzeczkowski, H. Moese, Warszawa 1969, 347.

16 Por. S. French, M. Redhead, Quantum Physics and the Identity of Indiscernibles, The British Journal for the Philosophy of Science 39 (1988), 234.

228

uznawano za indywidua, ponieważ – chociaż przyjmuje się, że istnieje wiele cząstek tego samego rodzaju, które nie różnią się od siebie żadnymi wewnętrznymi cechami – to jednak cząstki te traktowano jako obiekty rozróżnialne na podstawie położeń w przestrzeni. Można wyobrazić sobie, że „cząstki wchodzące w skład danego układu fizycznego zostały w pewnej chwili «ponumerowane», co umożliwiałoby śledzenie ich ruchów po torach; identyfikacja cząstek może być wówczas przeprowadzona w każdej chwili późniejszej”.17

W mechanice kwantowej również zakłada się, że wszystkie cząstki elementarne danego gatunku nie różnią się od siebie żadną wewnętrzną cechą. Na przykład wszystkie elektrony mają dokładnie taką samą masę spoczynkową, ładunek elektryczny czy spin, choć oczywiście mogą mieć różne parametry dynamiczne zależne od stanu, takie jak pęd, energię lub położenie. Fizycy na określenie cząstek danego gatunku, których własności wewnętrzne są standaryzowane, stosują termin „cząstki identyczne”. Termin „cząstki identyczne” używany jest do oznaczenia cząstek, „które można zamienić wzajemnie miejscami w najogólniejszych warunkach bez spowodowania jakiejkolwiek zmiany w sytuacji fizycznej”.18

Podstawowa różnica między pojęciem cząstki klasycznej a pojęciem cząstki kwantowej polega na tym, że cząstki identyczne są w mechanice klasycznej rozróżnialne, natomiast w mechanice kwantowej są nierozróżnialne, co znaczy, że „nie istnieje eksperymentalna metoda, która pozwalałaby na ich rozróżnienie. Ogólniej rzecz biorąc, żadna wielkość obserwowalna nie pozwala na rozróżnienie między jednym stanem a drugim, który różni się od pierwszego jedynie permutacją cząstek”.19 Zasada nierozróżnialności odgrywa podstawową rolę w

17 L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Krótki kurs fizyki teoretycznej, t. 2, Mechanika kwantowa, tłum. J. Jędrzejewski, Warszawa 1980, 152.

18 L. I. Schiff, Mechanika kwantowa, tłum. Z. i Z. Rek, Warszawa 1977, 321.19 M. Redhead, P. Teller, Particle Labels and Indistinguishable Particles Theory, The

British Journal for the Philosophy of Science 43(1992), 205.

229

kwantowej teorii układów jednakowych cząstek.20 Formalnie wyraża się je przez żądanie, by wartość oczekiwana dowolnego operatora hermitowskiego Ω dla układu złożonego z N identycznych cząstek,

których stan reprezentowany jest przez wektor stanu |Ψ ⟩ , nie zmieniała się w rezultacie permutacji dowolnych dwóch stanów:

⟨PΨ |Ω|PΨ ⟩=⟨Ψ |Ω|Ψ ⟩ ,

gdzie stan |PΨ ⟩ powstaje ze stanu |Ψ ⟩ przez permutację dowolnych dwóch stanów. Nie jest możliwe rozstrzygnięcie, czy dany układ znajduje

się w stanie |Ψ ⟩ , czy też w stanie |PΨ ⟩ . Wystarczającym warunkiem, by

powyższa równość była spełniona, jest, by |PΨ ⟩= |Ψ ⟩ dla dowolnego operatora hermitowskiego Ω. Warunki powyższe nakładają pewne ograniczenia na możliwe stany cząstek.21

Według klasycznej mechaniki statystycznej, jeżeli w jakimś układzie znajduje się pewna liczba cząstek określonego gatunku, znajdujących się w różnych stanach, to nawet wówczas, jeżeli cząstki te są standaryzowane w ramach gatunku, to ich permutacja, czyli zamiana stanów między dwoma cząstkami, daje w rezultacie nowy stan różniący się od poprzedniego. Cząstki klasyczne podlegają statystyce Maxwella–Boltzmanna. Dla n cząstek i m dostępnych dla nich stanów liczba możliwych układów wyraża się wzorem:

NM–B (n, m) = mn.

W najprostszym przypadku, gdy mamy dwie rozóżnialne cząstki klasyczne, z których każda może znajdować się w dwóch stanach,

20 L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Krótki kurs fizyki teoretycznej, t. 2, Mechanika kwantowa, tłum. J. Jędrzejewski, Warszawa 1980, 153.

21 Por. S. French, M. Redhead, art. cyt., s. 238.

230

powiedzmy |a ⟩ i |b ⟩ , to, zgodnie ze statystyką Maxwella–Boltzmanna, możliwe są NM–B (2, 2) = 22 = 4 stany, co możemy zapisać następująco:

1) |a (1 )⟩|a (2) ⟩ – obydwie cząstki w stanie |a ⟩ ,2) |b (1 ) ⟩|b (2 ) ⟩ – obydwie cząstki w stanie |b ⟩ , 3) |a (1 )⟩|b (2 ) ⟩ – cząstka 1 w stanie |a ⟩ i cząstka 2 w stanie |b ⟩ ,4) |a (2) ⟩|b (1 ) ⟩ – cząstka 1 w stanie |b ⟩ i cząstka 2 w stanie |a ⟩ .

Ilustrację liczby sposobów rozmieszczenia dwóch cząstek klasycznych w dwóch stanach stanowi poniższa tabela.

stan a 1 2 1 2stan b 1 2 2 1

Wyobraźmy sobie, że mamy dwie takie same monety (1 i 2), które możemy umieścić w jednej (stan a) lub w drugiej (stan b) części pudła. Wówczas albo obydwie monety znajdą się w części a, albo obydwie w części b, albo pierwsza w części a, zaś druga w części b, albo pierwsza w części b, natomiast druga w części a. Dwie ostatnie sytuacje, czyli przypadki (3) i (4) są traktowane jako różne sytuacje fizyczne, ponieważ zachodzi obiektywna w różnica między stanem „pierwsza moneta w stanie a i druga moneta w stanie b” a stanem „pierwsza moneta w stanie b i druga moneta w stanie a”. Nie jest istotne, że – być może – w praktyce nie bylibyśmy w stanie odróżnić tych dwóch sytuacji. Zamiana miejscami dwóch rzeczy (np. monet, klasycznych cząstek) prowadzi do zaistnienia obiektywnie nowego stanu rzeczy (możemy wyobrazić sobie, że cząstki są „etykietowane”). Jeżeli przyjmiemy, że wszystkie przypadki są jednakowo możliwe, wówczas prawdopodobieństwo tego, że obydwie

cząstki znajdują się w stanie |a ⟩ wynosi 1/4, prawdopodobieństwo tego,

231

że obydwie cząstki są w stanie |b ⟩ równe jest również 1/4, natomiast prawdopodobieństwo tego, że każda cząstka znajduje się w innym stanie wynosi 1/2, co rzecz jasna jest równe sumie prawdopodobieństw pojawienia się stanów (3) i (4).22

Sytuacja jest zupełnie zgodna ze zroworozsądkowym punktem widzenia i wydaje się nawet trywialna. Rzecz jednak w tym, że kwantowe statystyki radykalnie różnią się od klasycznej statystyki Maxwella–Boltzmanna i prowadzą do filozoficznie interesujących wniosków dotyczących „indywidualności” cząstek kwantowych. Wmechanice

kwantowej, jeżeli |PΨ ⟩= |Ψ ⟩ ,gdzie P jest operatorem permutacji, to stan taki nazywa się stanem symetrycznym – po permutacji dwóch stanów

otrzymujemy ten sam stan; jeżeli natomiast |PΨ ⟩= –|Ψ ⟩ , to stan taki nazywa się stanem antysymetrycznym – w rezultacie permutacji otrzymujemy ten sam stan ze znakiem minus. Stan, który nie jest ani stanem symetrycznym, ani antysymetrycznym, nazywamy stanem niesymetrycznym i – zgodnie z regułami mechaniki kwantowej – stany takie należy wykluczyć, ponieważ prowadzą one do niezgodnej z doświadczeniem dla cząstek kwantowych klasycznej statystyki Maxwella–Boltzmanna. Bozony opisywane są stanami symetrycznymi, natomiast fermiony – antysymetrycznymi. Dla bozonów (statystyka Bosego–Einsteina) dodajemy amplitudy prawdopodobieństwa, dla fermionów (statystyka Fermiego–Diraca) dodajemy amplitudy ze znakiem minus.

Oznacza to, że dla bozonów stany (3) i (4) muszą być traktowane jako jeden stan. Zgodnie ze statystyką Bosego–Einsteina dla n cząstek i m stanów otrzymujemy:

NB–E (n, m) = (¿ nn+m−1 )

22 Por. P. Teller, An Interpretive Introduction to Quantum Field Theory, Princeton, New Jersey 1995, 24.

232

możliwych układów. W powyższym przykładzie n = 2 i m = 2 i otrzymujemy w rezultacie jedynie trzy możliwości:

1) |a (1 )⟩|a (2) ⟩ – obydwie cząstki w stanie |a ⟩ ,2) |b (1 )⟩|b (2 ) ⟩ – obydwie cząstki w stanie |b ⟩ ,

oraz stan symetryczny:

3) |a (1 )⟩|b (2 ) ⟩ + |a (2) ⟩|b (1 )⟩23,

który jest liniową superpozycją stanów (1) i (2).Ilustrację sposobów rozmieszczenia dwóch bozonów w dwóch stanach

stanowi poniższa tabela (zamiast cyfr „1” i „2” symbolizujących rozróżnialne cząstki użyto symbolu „x”, aby podkreślić ich nierozróżnialność).

stan a x x xstan b x x x

Prawdopodobieństwo tego, że obydwie cząstki są w stanie |a ⟩ wynosi

1/3, prawdopodobieństwo tego, że obydwie cząstki są w stanie |b ⟩ wynosi 1/3 oraz prawdopodobieństwo tego, że każda cząstka znajduje się w innym stanie wynosi również 1/3. Ostatni przypadek jest jednak stanem

symetrycznym |a (1 ) ⟩|b (2 ) ⟩ + |a (2) ⟩|b (1 ) ⟩ , czyli liniową superpozycją stanów „pierwsza cząstka w stanie a i druga cząstka w stanie b” plus „druga czastka w stanie a i pierwsza cząstka w stanie b”. Jest to bardzo interesujący rezultat: jeżeli cząstki traktujemy jako odrębne realności

23 Pomijamy tu nieistotne dla naszych rozważań współczynniki liczbowe.

233

fizyczne, to jak rozumieć sytuację, w której cząstka znajduje się „częściowo” w jednym i „częściowo” w drugim stanie. Gdyby zastąpić cząstki kwantowe monetami, to należałoby uznać, że jedna moneta znajduje się „częściowo” w jednej i „częściowo” w drugiej części pudła. Statystyki kwantowe prowadzą do poważnych trudności pojmowania cząstek kwantowych jako rzeczy, czy też substancji.

Dla fermionów, które podlegają zakazowi Pauliego, w układzie złożonym z wielu identycznych cząstek tylko jedna cząstka może znajdować się w danym stanie kwantowym. Wówczas otrzymujemy statystykę Fermiego–Diraca – dla n cząstek i m stanów jest

NF–D (n, m) = (¿mn )

możliwych układów. W odniesieniu do układu dwóch cząstek i dwóch dostępnych dla każdej z nich stanów oznacza to, że możliwy jest tylko

jeden sposób obsadzenia stanów |a ⟩ i |b ⟩ przez cząstki 1 i 2 – każda cząstka znajduje się w innym stanie. Jest to stan antysymetryczny:

|a (1 ) ⟩|b (2 ) ⟩ – |a (2) ⟩|b (1 )⟩ .

Ilustrację sposobów rozmieszczenia dwóch fermionów w dwóch stanach stanowi poniższa tabela.

stan a xstan b x

Przykładem może być pierwsza „orbita” w atomie, na której mogą znajdować się co najwyżej dwa elektrony: wiadomo, że muszą one mieć skierowane przeciwnie spiny, ale „nie istnieje eksperymentalna metoda, pozwalająca stwierdzić, że ten elektron ma spin w górę, a tamten ma spin

234

w dół”.24 Interpretując statystyki kwantowe ontologicznie, możemy powiedzieć, że zamiana stanami dwóch identycznych cząstek kwantowych nie daje w rezultacie nowego stanu rzeczy. Stany powstające przez permutację dwóch cząstek identycznych są nierozróżnialne nie dlatego, że my na aktualnym stanie rozwoju nauki nie potrafimy ich rozróżnić (tak jak dawniej w chemii nie rozróżniano izotopów), ale dlatego, że – mówiąc metaforycznie – to sama Natura nie rozróżnia takich stanów.

Różnicę między pojęciem klasycznych cząstek identycznych rozróżnialnych a pojęciem kwantowych cząstek identycznych nierozróżnialnych można poglądowo wyjaśnić, odwołując się do porównania z gospodarką, w której nie ma kont bankowych, a gospodarką, w której wymiana jest wyłącznie bezgotówkowa.25 W pierwszym przypadku każda moneta jest pewnym indywiduum, ma określoną lokalizację w czasoprzestrzeni i swoją historię oraz jest (przynajmniej w teorii) odróżnialna od każdej innej monety. Natomiast w gospodarce bezgotówkowej ważne jest jedynie to, ile jednostek jest na jakimś koncie, ale nie ma sensu pytanie o to, „który grosz” został przesunięty z jakiegoś konta na inne. Jednostki na koncie bankowym można policzyć, ale nie są one indywiduami i nie można używać w stosunku do nich określeń takich, jak w stosunku do monet: „ta oto” w odróżnieniu od „tamtej”. Cząstki klasyczne mogą być ponumerowane – pierwsza, druga itd. i jest różnica w kolejności, w jakiej je numerujemy. Cząstki kwantowe mogą być jedynie policzone, ale nie mogą być ponumerowane (zaetykietowane).

Podsumujmy: materia składa się z atomów, które jednak – wbrew etymologicznej treści pojęcia „atom” – są obiektami złożonymi, podzielnymi i zniszczalnymi. Cząstki fundamentalne fizyki współczesnej to kwarki i leptony będące fermionami, oddziaływania między cząstkami przenoszony są przez bozony – kwanty pól (elektromagnetycznego,

24 M. Redhead, P. Teller, Particles. Particle Labels, and Quanta: The Toll of Unac-knowledged Metaphysics, “Foundation of Physics” 21(1991)1, 204.

25 Por. P. Teller,

235

słabego, kolorowego oraz – jak dotąd hipotetycznie – grawitacyjnego). Cząstki kwantowe wykazują własności falowe, nie przysługują im klasycznie rozumiene trajektorie w czasoprzestrzeni, mogą się w siebie wzajemnie przekształcać, powstawać i przestać istnieć, nie mogą być traktowane jako indywidua.

236

Zakończenie

Przedstawione w niniejszej pracy filozoficzne zagadnienia mechaniki kwantowej z pewnością nie wyczerpują bogactwa problematyki i, choćby z racji czasu trwania i dość elementarnego poziomu kursu, pominięto wiele interesujących filozoficznie zagadnień dotyczących na przykład kwantowej teorii pola, superstrun czy supersymetrii.

Być może kiedyś mechanika kwantowa ulegnie istotnej modyfikacji, na przykład w rezultacie unifikacji z ogólna teorią względności (o ile w ogóle okaże się to możliwe), albo zostanie zastąpiona przez całkowicie nową teorię, której postaci nie jesteśmy sobie dziś nawet wyobrazić. Możliwe zatem, że nad pewnymi problemami uczeni po prostu przestaną się zastanawiać i historycy nauki uznają kiedyś na przykład dyskusje nad paradoksem kota Schrödingera za zwykłe marnowanie czasu. Możliwe jest również, że przyszły rozwój nauki odsłoni nam takie tajemnice Wszechświata, w obliczu których superpozycja stanów czy kwantowe splątanie okażą się niemal trywialne. Mechanika kwantowa z fantastyczną precyzją opisuje podstawowe własności materii, ale cała materia, jaką znamy stanowi zaledwie około 4% zawartości Wszechświata. Jakieś 96% jego zawartości (tzw. ciemna materia i ciemna energia) jest czymś, o czym dziś po prostu nic nie wiemy. Są więc na niebie i na ziemi rzeczy, o których filozofom się nie śniło.

237

Bibliografia

Achinstein P., Particles and Waves. Historical Essays in the Philosophy of Science, Oxford University Press, New York, Oxford 1991.

Aerts D., Gabora L., Sozzo S., Veloz T., Quantum Structure in Cognition: Fundamentals and Application, http://arxiv.org/pdf/1104.3344v1.pdf (17 Apr 2011).

Albert D. Z., Galchen R., Kwantowe zagrożenie dla szczególnej teorii względności, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 28-36.

Albert D. Z., Quantum Mechanics and Experience, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, London, England 1992.

Al.-Kalili J., Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych, tłum. U. i M. Seweryńscy, Prószyński i S-ka, Warszawa 2015.

Aspect A., Dalibard J., Roger G., Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time Vary-ing Analyzers, „Physical Review Letters” 1982, Vol. 49, nr 25, s. 1804–1807.

Barret J. A., The Quantum Mechanics of Mind and Worlds, Oxford University Press, New York 1999.

Barrow J. D., Davies P. C. W., Harper C. L. Jr., Science and Ultimate Reality. Quantum Theory, Cosmology, and Complexity, Cambridge University Press 2004.

Bell J. S. , On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, „Physics” 1964, t. 1, s. 195–200, [w:] http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf.

Białobrzeski Cz., Podstawy poznawcze fizyki świata atomowego, Państwowe Wydawnictwo naukowe, Warszawa 1984.

Białynicki-Birula I., Białynicka-Birula Z., Elektrodynamika kwantowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1974.

Birkhoff G., Neumann J. von, The Logic of Quantum Mechanics, „Annals of Mathematics” 1936, Vol. 37, No. 4, p. 823-843, 830.

Bohm D., A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Variables, I, „Physical Reviev” 1953, Vol. 85, No. 3, p. 166-179, praca dostępna także w: http://fma.if.usp.br/~amsilva/Artigos/p166_1.pdf; D. Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Variables, I and II [w:] J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton Uni-versity Press, Princeton, New Jersey 1983, s. 367-396.

Bohm D., Hiley B. J. , The Undivided Universe. An Ontological Interpretation of Quantum Theory, Routledge, New York 1993.

Bohm D., Przyczynowość i przypadek w fizyce współczesnej, tłum. S. Rouppert, Książka i Wiedza, Warszawa 1961.

Bohm D., Quantum Theory, Prentice–Hall, Inc., Englewood Clifs, New Jersey 1951.

238

Bohm D., Ukryty porządek, tłum. M. Tempczyk, Wydawnictwo Pusty Obłok, Warszawa 1988.

Bohr N., Atomic Theory and the Description of Nature, Cambridge University Press, Cambridge 1934.

Bohr N., Fizyka atomowa i wiedza ludzka, tłum. W. Staszewski, S. Szpikowski, A. Teske, PWN, Warszawa 1963.

Bohr N., On the Constitution of Atoms and Molecules, „Philosophical Magazine” 1913, Series 6, Vol. 26, [w:] http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Bohr/Bohr-1913a.html.

Bohr N., The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory, Supple-ment to „Nature” 1928, nr 121 (April 14), s. 580–590.

Born N, Einstein, 1971, s. 91Broglie L. de, Radiation – Waves and Quanta, Note of Louis de Broglie, presented by

Jean Perrin, „Comptes rendus” 1923, Vol. 177, s. 507–510, trans. by B. & B. Lane, [w:] http://www.davis-inc.com/physics/broglie/broglie.shtml.

Broglie L. de, The Wave Nature of the Electron, [w:] Nobel Lectures…, Physics 1922–1941, s. 244–259

Broglie L. V. de, The Revolution in Physics. A Nonmathematical Survey of Quanta, transl. by R. W. Niemeyer, The Noonday Press, New York 1958.

Bruza, ….Z. Wang, J. R. Busemeyer, H. Atmanspracher, E. M. Pothos, The Potential of Using Quantum Theory to Build Models of Cognition, „Topics in Cognitive Sci-ences” 2013, Vol. 5, No 4, ss. 672–688.

Bub J., The Interpretation of Quantum Mechanics, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht – Holland / Boston – U. S. A 1974.

Busemeyer J. R., Bruza P., Quantum Models of Cognition and Decision, Cambridge University Press, Cambridge 2014.

Butryn S. (red.), Max Planck. Nowe drogi poznania fizycznego a filozofia, Wydawnictwo IFiS PAN, Warszawa 2007.

Byrne P., Hugh Everett i jego światy, „Świat Nauki” 2008, nr 2, s. 66-73.Cassidy D. C., Uncertainty…,.Castellani E. (ed.), Interpreting Bodies. Classical and Quantum Objects in Modern

Physics, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1998. Close F., Marten M., Sutton Ch., The Particle Odyssey. A Journey to the Heart of the

Matter, Oxford University Press, Oxford, New York 2004. Cooper L. N., Istota i struktura fizyki, tłum. J. Kozubowski, Z. Majewski, A. Pindor, J.

Prochorow, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975.Cramer J. G., An Overview of the Transactional Interpretation, „International Journal of

Theoretical Physics” 1988, 27 (227).Cramer J. G., Transactional interpretation of quantum mechanics, „Reviews of Modern

Physics” 1986, Vol. 58, No. 2, p. 647-687.

239

Dalla Chiara M. L., Giuntini R., Quantum Logic, arxiv.org/pdf/quant-ph0101028v2, 6 Jan 2004.

Davies P. C. W., Brown J. R., Duch w atomie. Dyskusja o paradoksach teorii kwantowej, tłum. P. Amsterdamski, Wydawnictwo CIS, Warszawa 1996, s. 86.

Dawson J. F., Quantum Mechanics: Fundamental Principles and Applications, .Deutsch D., Struktura rzeczywistości, …Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, Oxford at the Clarendon Press

1947. Eddington A. S., Nowe oblicze natury, tłum. A. Wundheiler, Mathesis Polska, Warszawa

1934.Einstein A., Infeld L., Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najdawniejszych pojęć do

teorii względności i kwantów, tłum. R. Gajewski, PWN, Warszawa 1962.Einstein A., Mechanika kwantowa a rzeczywistość, [w:] S. Butryn (red.), Albert

Einstein…, s. 163.Einstein A., Podolsky B., Rosen N., Can Quantum-Mechanical Description of Physical

Reality by Considered Complete?, „Physical Review” 1935, Vol. 47, s. 777–780; tłum. polskie: Czy opis kwantowomechaniczny rzeczywistości fizycznej można uznać za zupełny?, [w:] S. Butryn (red.), Albert Einstein…, s. 117–123.

Einstein A., Remarks Concerning the Essays Brought Together in this Co-operative Volume, transl. by A. P. Schilpp, [w:] A. P. Schilpp (ed.), Albert Einstein: Philoso-pher-Scientist, Vol. II, Harper & Brothers Publishers, New York 1957.

Einstein A., Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuris-tischen Gesichtspunkt, „Annalen der Physik” 1905, Series 4, Vol. 17, s. 132–148.

Everett H. III, The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf.

Everett H. III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics, „Reviews of Mod-ern Physics” 1957, Vol. 29, No. 3, s. 454–462.

Feyerabend P., O interpretacji relacyj nieokreśloności, „Studia Filozoficzne” 1960, nr 4 (19), s. 21–76.

Feynman R. P., Charakter praw fizycznych, tłum. P. Amsterdamski, Prószyński i S-ka, Warszawa 2000.

Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M., Feynmana wykłady z fizyki, t. III. Mechanika kwantowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1974.

Feynman R. P., Pan raczy żartować, panie Feynman. Przypadki ciekawego człowieka, tłum. T. Bieroń, Znak, Kraków 1996.

Feynman R. P., QED. Osobliwa teoria światła i materii, tłum. H. Białkowska, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1992.

240

Feynman R. P., Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics, „Review of Modern Physics” 1948, Vol 20, No. 2, p. 367-387. Praca dostępna również w Internecie pod adresem http://www.fafnir.phyast.pitt.edu/py3765/PathIntegral.pdf.

Feynman R. P., Sześć łatwych kawałków, Prószyński i S-ka, Warszawa 19…, Feynman R. P., Sześć trudniejszych kawałków, Prószyński i S-ka, Warszawa 1999.Feynman R. P., The Feynman Lectures on Physics. Quantum MechanicsFeynman R. P.: The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics,

[w:] Nobel Lectures – Physics, t. III, Elsevier Publishers, New York 1972 (tekst dostępny również pod adresem: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1965/feynman-lecture.html).

Filozofia a nauka. Zarys encyklopedycznyFrench S., Krause D., Identity in Physics. A Historical, Philosophical, and Formal

Analysis, Clarendon Press, Oxford 2008.Gell-Mann M., Kwark…,Gleason A. M., Measures on the closed subspaces of a Hilbert space, „Journal of

Mathematical Mechanics” 1957, 6, p. 885-893 (http://www.iap.tu-darmstadt.de/tqp/uebungen/qinfo11/Gleason.pdf).

Gleick J. Geniusz. Życie i nauka Richarda Feynmana, tłum. P. Amsterdamski, Zysk i S-ka Wydawnictwo, Poznań 1999.

Grabowski M., Ingarden R. S., Mechanika kwantowa. Ujęcie w przestrzeni Hilberta, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa …;

Gribbin J., Encyklopedia fizyki kwantowej, s. 143.Gribbin J., Kotki Schrödingera, czyli poszukiwanie rzeczywistości, tłum. J. Bieroń, Zysk

i S-ka, Poznań 1999.Gribbin J., In Search of Schrödinger’s Cat. Quantum Physics Reality, A Bantam Book /

September 1984. Tłum. polskie: W poszukiwaniu kota Schrödingera. Realizm w fizyce kwantowej, tłum. J. Bieroń, Zysk i S-ka Wydawnictwo, Poznań 1997.

Griffiths R. B., Consistent Quantum Theory, Cambridge University Press 2002. Praca jest również dostępna w Internecie: http://quantum.phys.cmu.edu.CQT.

Haven E., Khrennikov A., Quantum Social Science, Cambridge University Press, Cambridge 2013.

Heisenberg W., Fizyka a filozofia…, s. 31. Heisenberg W., The Physicist’s Conception of Nature…, s. 41.Heisenberg W., Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und

Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 172–198.Heller M., Geneza prawdopodobieństwa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 2006,

XXXVIII, s. 61-75.Heller M., Mechanika kwantowa dla filozofów, OBI, Kraków 1996, s. 14-15.

241

Hughes R. I. G. , The Structure and Interpretation of Quantum Mechanics, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts and London, England 1994.

James W. The Principle of Psychology, New York 1880.Jammer M., The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book

Company, New York 1966.Kolmogorov A., Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing

Company, New York 1933 (1956).Krajewski W. (red.), Słownik pojęć filozoficznych, Wydawnictwo Naukowe Scholar,

Warszawa 1996.Kuhn Th., Black-Body Theory and Quantum Discontinuity: 1894-1912, Clarendon Press,

Oxford 1978.Lakatos I., Falsyfikacja a metodologia naukowych programów badawczych, [w:] idem,

Pisma z filozofii nauk empirycznych, tłum. W. Sady, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 3–169.

Landau L., Lifszyc E., Mechanika, tłum. S. Bażański, PWN, Warszawa 1961.Laplace, P. S. De, Essai philosophique sur les probabilités, Paris 1814, [w:] http://

www.answers.com/topic/pierre-simon-laplace.Lockwood M., Mind, Brain & the Quantum. The Coumpound „I”, Blackwell 1989.Łukasik A., Prawda, prawdopodobieństwo….Łukasik A., Racjonalność a mechanika kwantowa, „Studia Philosophiae Christianae”

2015, s.Łukasik A., Selektywny subiektywizm sir Arthura Stanley’a Eddingtona, „Edukacja

Filozoficzna” 1997, vol. 23, s. 247-261.Łukasik A., Niels Bohr i zagadnienie obiektywności poznania, „Annales Universitatis

Mariae Curie-Skłodowska” 1998, sectio I, vol. 23, s. 179-200.Łukasik A., Filozofia nauki Wernera Heisenberga, [w:] P. Bylica, K. J. Kilian, R.

Piotrowski, D. Sagan (red.), Filozofia – nauka – religia. Księga jubileuszowa dedykowana Profesorowi Kazimierzowi Jodkowskiemu z okazji 40-lecia pracy naukowej, Oficyna Wydawnicza Uniwersytetu Zielonogórskiego, Zielona Góra 2015, s. 345-362.

Łukasik A., Umysł a mechanika kwantowa. O zastosowaniu formalizmu przestrzeni Hilberta do modelowania procesów poznawczych, [w:] J. Michalczenia, J. Mizińska, K. Ossowska (red.) Poszukiwania filozoficzne. I. Nauka. Prawda, Instytut Filozofii UW-M, Olsztyn 2014, s. 199-217.

Maudlin T., Part and Whole in Quantum Mechanics, [w:] E. Castellani (ed.), Interpret-ing Bodies…, .

Mortimerowa H., Prawdopodobieństwo, [w:] Filozofia a nauka. Zarys encyklopedyczny, s. 513-519.

242

Muldin T., Quantum Non-Locality and Relativity. Metaphysical Intimations of Modern Physics, Blacwell Publishers Ltd., Oxford 2002.

Neumann J. von, Mathematical Foundations of Quantum Theory, Princeton University Press 1932 (1955).

Nęcka E., Orzechowski J., Szymura B., Psychologia poznawcza….Penrose R., Cienie umysłu. Poszukiwanie naukowej teorii świadomości, tłum. P. Amster-

damski, Zysk i S-ska, Poznań 2000.Penrose R., Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rządzących

Wszechświatem, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006.Penrose R., Nowy umysł cesarza. O komputerach, umyśle i prawach fizyki, tłum. P.

Amsterdamski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.Planck M., Jedność fizycznego obrazu świata. Wybór pism filozoficznych, tłum. R. i S.

Kernerowie, Książka i Wiedza, Warszawa 1970, s. 84.Planck M., Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspektrum, „Annalen der

Physik” 1901, Vol. 4, s. 553–563, [w:] http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/historic-papers/1901_309_553-563.pdf.; tłum. polskie: M. Planck, O teorii prawa rozkładu energii w widmie normalnym, tłum. K. Napiórkowski, [w:] S. Butryn (red.), Max Planck. Nowe drogi poznania fizycznego a filozofia, Wydawnictwo IFiS PAN, Warszawa 2003, s. 2–7.

Popper K. R., Nieustanne poszukiwania. Autobiografia intelektualna, tłum. A. Chmielewski, Znak, Warszawa 1997.

Popper K. R., Quantum Theory and the Schizm in Physics, W. W. Bartley, Totowa, New Jersey 1982.

Popper K. R., Świat skłonności…Reichenbach H., Powstanie filozofii naukowej, tłum. H. Krahelska, Książka i Wiedza,

Warszawa 1950Röseberg U., Niels Bohr a filozofia, tłum. T. Bigaj, [w:] S. Butryn (red.), Z zagadnień…, s.

85.Schiff L. I., Mechanika kwantowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa

1977.Schrödinger E., Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik,

„Naturwissenschaften” 1935, 23, ss. 807-812, 823-829, 844-849; tłum. angielskie: The Present Situation in Quantum Mechanics: A Translation of Schrödinger’s „Cat Paradox” Paper, [w:] J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum…, s. 152-167.

Shankar R., Mechanika kwantowa, tłum. M. Łukaszewski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007.

Stapp H. P., Mind, Matter, and Quantum Mechanics, Springer, New York 1993.Stapp H. P., The Copenhagen Interpretation, „American Journal of Physics”, 40, 1098

(1972), tłum. polskie: H. P. Stapp, Interpretacja kopenhaska, tłum. A. Śliwiński, „Hybris” 2011, nr 15.

243

Stewart I., 17 równań fizyki, które zmieniły świat, tłum. J. Szajkowska, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013.

Susskind L., Hrabovsky G., Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć, żeby zacząć zajmować się fizyką, tłum. J. i A. Skalscy, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013.

Szpikowski S., Podstawy mechaniki kwantowej, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2006.Teller P., An Interpretive Introduction to Quantum Field Theory, Princeton University

Press, Princeton, New Jersey 1995. Tversky A., Kahneman D., Extensional Versus Intuitive Reasoning: The Conjuctive

Fallacy in Probability Judgement, „Psychological Review” 1984, Vol. 90, No 4, ss. 293–315.

Tversky A., Kahneman D., Judgment Under uncertainty: Heuristic and biases, „Sci-ence” 1974, Vol.185, p. 1124–1131.

Verdal V., Ptaki Schrödingera, „Świat Nauki” 2011, nr 7, s. 26-31.Wang Z., Busemeyer J. R. Atmanspracher, H. Pothos, E. M., The Potential of Using

Quantum Theory to Build Models of Cognition, „Topics in Cognitive Sciences” 2013, Vol. 5, No 4, p. 672-688.

Wang Z., Busemeyer J. R., A Quantum Question Order Model Supported by Empirical Test an A Priori and Precise Prediction, „Topics in Cognitive Sciences” 2013, Vol. 5, No 4, ss. 689–710.

Wang Z., Busemeyer J. R., Atmanspacher H., Potos E. M., The Potential Using Quantum Theory…, .s 685-686

Wheeler J. A., Żurek W. (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983.

Wheeler J. A., Żurek W. (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983.

Wichmann E. H., Fizyka kwantowa, tłum. W. Gorzkowski, A. Szymacha, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975.

Wigner E. P., Remarks on the Mind-Body Question, [w:] J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quamtum…, s. 168-181.

Wilce A., Quantum Logic and Probability Theory, „The Stanford Encyclopedia of Philosophy” (Fall 2012 Edition), E. N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/qt-quantlog/>.

Zeilinger A., Od splątania cząstek do kwantowej teleportacji, tłum. B. Bieniok, A. L. Łokas, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013.

Zetie K. P., Adams S. F., Tocknell R. M., How does a Mach–Zehnder interferometer work?, Phys. Educ. 35(1) January 2000, s. 46-48.

Żurek W., Decoherence and the Transition from Quantum to Classical, „Physics Today” 1991, Vol. 44, p. 36-44

Żurek W., Decoherence and the Transition from Quantum to Classical – Revisited, [w:] http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf .

244

Żurkowski M., „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu Einsteina, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 36-39.

Prigogine I., Stangers I., Z chaosu ku porządkowi. Nowy dialog człowieka z przyrodą, tłum. K. Lipszyc, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1990.

Stewart I., Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, tłum. M. Temczyk, W. Komar, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995.

Gleick J., Chaos. Narodziny nowej nauki, tłum. P. Jaśkowski, Zysk i S-ka Wydawnictwo, Poznań 1996.

Tempczyk M., Teoria chaosu a filozofia, Wydawnictwo CiS, Warszawa 1998.Tempczyk M., Świat harmonii i chaosu, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa

1995.Łukasik A., Prawda, prawdopodobieństwo, niepewność — uwagi o

epistemologicznych konsekwencjach mechaniki kwantowej, [w:] A. Kiklewicz, E. Starzyńska-Kościuszko (red.), Oblicza prawdy w filozofii, kulturze, języku, Wydawnictwo Instytutu Filozofii Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie, Olsztyn 2014, s. 47-55.

Łukasik A., Fizyka i zagadnienie granic poznania, [w:] Z. Muszyński (red.), Z badań nad prawdą, nauką i poznaniem, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1998, s. 223-235.

Łukasik A., Prawda, prawdopodobieństwo, niepewność — uwagi o epistemologicznych konsekwencjach mechaniki kwantowej, [w:] A. Kiklewicz, E. Starzyńska-Kościuszko (red.), Oblicza prawdy w filozofii, kulturze, języku, Wydawnictwo Instytutu Filozofii Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie, Olsztyn 2014, s. 47-55.

Łukasik A., Fizyka i zagadnienie granic poznania, [w:] Z. Muszyński (red.), Z badań nad prawdą, nauką i poznaniem, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1998, s. 223-235.

Eilstein H., Uwagi o stosunku scjentyzmu do optymizmu poznawczego, „Filozofia Nauki” 2007, nr 4 (60).

Eilstein H., Uwagi o sporze realizmu naukowego z instrumentalizmem, [w:] E. Kałuszyńska (red.), Podmiot poznania z perspektywy nauki i filozofii, Wydawnictwo IFiS PAN, Warszawa 1998.

Eilstein H., Uwagi o granicach potencji poznawczej podmiotu naturalnego, [w:] E. Kałuszyńska (red.), Podmiot poznania z perspektywy nauki i filozofii, Wyd. IFiS PAN, Warszawa 1998.

Krajewski W., Prawa nauki,Bub J., Indeterminacy and Entanglement: The Challenge of Quantum Mechanics,

„The British Journal for the Philosophy of Science” 2000, Vol. 51(Special Supplement), p. 597-615.

245

Susskind L., Friedman A., Quantum Mechanics. The Theoretical Minimum, Penguin Random House UK 2015.

Al.-Kalili J., Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych, tłum. U. i M. Seweryńscy, Prószyński i S-ka, Warszawa 2015.

Gribbin J., Kubity i kot Schrodingera. Od maszyny Turinga do komputerów kwantowych, tłum. M. Krośniak, Prószyński i S-ka, Warszawa 2015.

W. F. Asmus, Demokryt…,Kahneman D., Pułapki myślenia. O myśleniu szybkim i wolnym, tłum. P. Szymczask,

Media Rodzina 2012.Penrose R., Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, tłum. P. Amsterdamski,

Prószyński i S-ka, Warszawa 1997.Heller M., Życiński J., Wszechświat – maszyna czy myśl? Filozofia mechanicyzmu:

powstanie – rozwój – upadek, Polskie Wydawnictwo Teologiczne Kraków 1988.Gell-Mann M., A Schematic Model of Baryons and Mesons, „Physics Letters” 1964,

Vol. 8, nr 3, s. 214–215.Bell J. S., Speakable and unspeakable in quantum mechanics, Cambridge University

Press, Cambridge 1997. Sklar L., Physisc and Chance. Philosophical issues in the foundations of statistical

mechanics, Cambridge Univertsity Press 1993.

246

Indeks

247

248