LICZBY DOSKONAŁE

ZŁOTA LICZBA

Złota liczba wyraża proporcję zwaną złotym lub boskim podziałem,

kiedy całość odcinka ma się do jego większej części tak,

jak ta większa część do mniejszej.

BA C

BC

AB

AB

AC

2

15

Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych

Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. złoty podział uważali za proporcję doskonałą. stosowali go w architekturze i sztuce

W STAROŻYTNOŚCI

Parthenon na Akropolu

fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie plan świątyni jest złotym prostokątem

Apollo Belwederski

Twórcą rzeźby byłLeochares (IV wiek pne.)

Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji,

linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia,

linia O zaznacza podział nóg w Kolanach według złotego cięcia.

Złote cięcie w przyrodzie

Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

WZORY I ZALEŻNOŚCI

o złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania:

o dokładna wartość:

o przybliżona wartość:

o kwadrat złotej liczby:

012

2

15

61803,1

12

o odwrotność złotej liczby:

o dokładna wartość:

o przybliżona wartość:

11

2

151

61803,01

Złoty podział odcinka

Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części.

liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana

grecką literą φ (fi)). a b

a + b

a + b

a

a

b

Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę.

Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę.

Własności złotej liczby

ZŁOTY PROSTOKĄT

W złotym prostokącie stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą

Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem

b

a

b a - b

PIĘCIOKĄT FOREMNY A ZŁOTA LICZBA

• punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział.

• przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem.

• złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył i udowodnił Hippasus (V wiek pne).

Pięciokąt foremny gwiaździstygwiazda pitagorejskagodło Bractwa Pitagorejczykówsymbol doskonałości według Pitagorejczyków.Złotemu podziałowi podlega cały promień gwiazdyoraz jego dłuższa część powstała w wyniku podziału.

PENTAGRAM

b

a

b

BOSKĄ PROPORCJĘ OZNACZA SIĘ DZIŚ

PRZEZ OD PIERWSZEJ LITERY IMIENIA GRECKIEGO

RZEŹBIARZA FIDIASZA, KTÓRY - JAK WIEŚĆ GŁOSI –

STOSOWAŁ W SWYCH RZEŹBACH ZASADĘ ZŁOTEJ

PROPORCJI.

PODOBNO ZASADĄ BOSKIEJ PROPORCJI KIEROWALI SIĘ TAKŻE LEONARDO DA VINCI I ALBRECHT DÜRER, PRECYZYJNIE

DZIELĄC PLANY SWYCH OBRAZÓW, TAK, ABY DOBRZE SIĘ KOMPONOWAŁY.

CZY FAKTYCZNIE PĘPEK IDEALNIE ZBUDOWANEGO CZŁOWIEKA DZIELI JEGO WYSOKOŚĆ W ZŁOTEJ PROPORCJI,JAK W PRZYPADKU TYCH ANTYCZNYCH RZEŹB ?

Kuros

Michał Anioł,Dawid

ZŁOTA PROPORCJA W PRZYRODZIE

Liczba pszczół płci żeńskiej do trutni jakiegokolwiek ula na świecie to liczba φ

Nasiona słonecznika rosną w dwóch przeciwnych sobie spiralach. Stosunek średnic obrotu kolejnych spirali wynosi φ

Spiralnie układające się płatki szyszki sosny, układ liści na łodygach roślin, segmentacja owadów to wszystko wykazuje niesamowite posłuszeństwo liczbie φ

Odległość od czubka głowy do podłogi podzielona przez odległość od pępka do podłogi

ZŁOTA PROPORCJA W CIELE CZŁOWIEKA

ZŁOTA PROPORCJA W CIELE CZŁOWIEKA

Odległość między ramieniem

a czubkiem palców, podzielona

przez odległość między łokciem

a czubkiem palców

Odległość od biodra do podłogi podzielona przez odległość od kolan do podłogi

Stawy dłoni, palce u nóg odległość między kręgami…

…wszystko to jest posłuszne złotej proporcji,

Liczba doskonała to liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych.

Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6,ponieważ 6 = 3 + 2 + 1, gdzie 3,2,1 to dzielniki tej liczbyNastępne to: 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, 8’128= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 . . i kolejne: 33’550’336, 137’438’691’328, 2305843008139952128…

LICZBY DOSKONAŁE

Prawdopodobnym jest, że o liczbach doskonałych wiedzieli już starożytni Egipcjanie. Starożytni znali tylko cztery liczby doskonałe: 6 (jako doskonała zauważona została przez Św. Augustyna (354-430), który napisał "Sześć jest liczbą samą w sobie doskonałą nie dlatego, że Bóg dokonał dzieła stworzenia w sześć dni; raczej Bóg stworzył wszystko w dni sześć, bo liczba sześć jest doskonała właśnie."), 28 ,(księżyc obiega Ziemie w ciągu 28 nocy),496 ,8128. żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, że liczb doskonałych będzie dużoDziś znamy 44 liczb doskonałych. Ostatnią znalezioną "ręcznie" (w 1911 roku) jest 2^288· (2^289− 1) która ma 173 cyfry w rozwinięciu dziesiętnym..

Pierwsze udokumentowane rozważania o liczbach doskonałych pojawiają się w „Elementach” Euklidesa około 300 roku p.n.e. Znajduje się tam twierdzenie Dziś znamy 44 liczb doskonałych. Ostatnią znalezioną "ręcznie" (w 1911 roku) jest która ma 173 cyfry w rozwinięciu dziesiętnym..

122 289288

Liczba doskonała: 26’972’592(26’972’593-1) ma  4 197 919 cyfr. Odkryto ją 1 czerwca 1999 roku.

Liczba: 213’466’916(213’466’917-1) także jest doskonała.Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą

jest230’402’456·(230’402’457-1) – liczy ona 18 304 103 cyfr!

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

CIEKAWOSTKI