Liczby całkowite i rzeczywiste

Paulina Rogowiecka

Klaudia Kamińska

Adrianna Znyk

Wykład 4(20 marzec 2014r.)

1

Spis treści:

Czynniki pierwsze – metoda próbnych dzieleń

Pierwszość liczby naturalnej – algorytmy naiwne

Generowanie liczb pseudolosowych

Liczby Fibonacciego

Całkowity pierwiastek kwadratowy

2

Czynniki pierwsze – metoda próbnych

dzieleń

Problem i jego rozwiązanie

Podstawowy problem polega na znalezieniu rozkładu liczby p > 1 na iloczyn czynników pierwszych. Obecnie nie istnieje żaden szybki algorytm rozkładu dużej liczby naturalnej na czynniki pierwsze.

Zasadnicze twierdzenie arytmetyki mówi, iż każda liczba naturalna większa od 1 może być jednoznacznie zapisana jako iloczyn liczb

pierwszych.

3

Rozwiązanie

Pierwsze podejście do znalezienia rozkładu liczby p na jej czynniki pierwsze nazywa się ono bezpośrednim

poszukiwaniem rozkładu na czynniki pierwsze. Sprawdzimy podzielność liczby p przez kolejne liczby

naturalne od 2 do pierwiastka z p. Jeśli liczba p będzie podzielna przez daną liczbę, to liczbę wyprowadzimy na wyjście, a za nowe p przyjmiemy wynik dzielenia i

próbę dzielenia będziemy powtarzać dotąd, aż nie będzie to już możliwe. Wtedy przejdziemy do

następnego dzielnika.

4

Przykład: Rozłożyć liczbę 44100 na czynniki pierwsze.

Podział Reszta Czynnik Znalezione

czynniki Uwagi

44100 : 2 = 22050 0 2 2 dzieli się

22050 : 2 = 11025 0 2 2 2 dzieli się

11025 : 2 = 5512 1 X 2 2 nie dzieli się

11025 : 3 = 3675 0 3 2 2 3 dzieli się

3675 : 3 = 1225 0 3 2 2 3 3 dzieli się

1225 : 3 = 408 1 X 2 2 3 3 nie dzieli się

1225 : 4 = 306 1 X 2 2 3 3 nie dzieli się

1225 : 5 = 245 0 5 2 2 3 3 5 dzieli się

245 : 5 = 49 0 5 2 2 3 3 5 5 dzieli się

49 : 5 = 9 4 X 2 2 3 3 5 5 nie dzieli się

49 : 6 = 8 1 X 2 2 3 3 5 5 nie dzieli się

49 : 7 = 7 0 7 2 2 3 3 5 5 7 dzieli się

7 : 7 = 1 0 7 2 2 3 3 5 5 7 7 dzieli się

Kończymy, ponieważ wynik ostatniego dzielenia jest równy 1

44100 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 5

Schemat krokowy Algorytm rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze

Wejście

p – liczba rozkładana na czynniki pierwsze, pϵ N, p > 1

Wyjście:

Czynniki pierwsze liczby p.

Elementy pomocnicze:

g – granica sprawdzania podzielności liczby p. gϵN

i –kolejne podzielniki, iϵN

Lista kroków:

01: g[√p] ; granica sprawdzania czynników pierwszych

02: Dla i=2,3,…g wykonuj kroki 03…06 ; w pętli sprawdzamy podzielność liczby p przez kolejne liczby

03: Dopóki p mod i=0 ; dopóki dzielnik dzieli p

04: Pisz i ; wyprowadzamy go i

05: pp div i ; dzielimy przez niego p

06: Jeśli p=1 ,to zakończ ; pętlę przerywamy, gdy stwierdzimy brak dalszych dzielników

07: Jeśli p>1 to pisz p ; p może posiadać ostatni czynnik większy od pierwiastka z p

08: Zakończ 6

Program-przykład #include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main ()

{

unsigned int p,i,g;

cin >> p;

g = (unsigned int) sqrt (p);

for(i = 2; i <=g; i++)

{

while(!(p % i))

{

cout << i << ‘’ ‘’;

p/= i ;

}

if( p==1) break;

}

if(p > 1) cout << p;

cout << endl;

return 0;

}

Wynik 3971235724 2 2 431 2303501

Program w pierwszym wierszu czyta liczbę p i w następnym wierszu wypisuje kolejne czynniki pierwsze tej liczby.

7

Pierwszość liczby naturalnej – algorytmy naiwne

Problem i jego rozwiązanie Problem polega na sprawdzeniu, czy liczba naturalna p jest

pierwsza.

8

Rozwiązanie

Liczba jest pierwsza jeśli nie posiada dzielników innych poza 1 i sobą samą. Pierwsze rozwiązanie testu na pierwszość polega na próbnym dzieleniu liczby p przez liczby z przedziału od 2 do [√p] i badaniu reszty z dzielenia. Powód takiego postępowania jest prosty – jeśli liczba p posiada czynnik większy od pierwiastka z p, to drugi czynnik musi być mniejszy od pierwiastka, aby ich iloczyn był równy p. W przeciwnym razie iloczyn dwóch liczb większych od √p dawałby liczbę większą od p. Zatem wystarczy przebadać podzielność p przez liczby z przedziału <2,[√p]>, aby wykluczyć liczby złożone.

9

Schemat krokowy Algorytm sprawdzania pierwszości liczby naturalnej

Wejście: p – liczba badana na pierwszość, p ϵ N, p > 1

Wyjście: TAK, jeśli p jest pierwsze lub NIE w przypadku przeciwnym.

Elementy pomocnicze: g – granica sprawdzania podzielności p. g ϵ N

i –kolejne podzielniki liczby p, i ϵ N

Lista kroków: 01: g[√p] ; wyznaczamy granicę sprawdzania podzielności p

02: Dla i=2,3,…,g wykonuj krok 03 ; przebiegamy przez przedział <2,[√p]>

03: Jeśli p mod i=0, to pisz NIE i zakończ ; jeśli liczba z przedziału <2,[√p]> dzieli p, to p nie jest pierwsze

04: Pisz TAK ; jeśli żadna liczba z <2,[√p]> nie dzieli p, p jest pierwsze

05: Zakończ 10

Program-przykład

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main () { unsigned long long g,i,p; bool t; cin >> p; g = (unsigned long long) sqrt (p); t=true; for(i = 2; i <=g; i++) { if (p % i == 0) { t=false; break; } } if( t ) cout << ‘’TAK’’; else cout << ‘’NIE’’; cout << endl; return 0; }

Wynik 10000000000037

TAK

Program odczytuje w pierwszym wierszu liczbę p, a w drugim wierszu wypisuje słowo TAK, jeśli liczba p jest pierwsza lub NIE w przypadku przeciwnym. W programie zastosowano zmienne 64-bitowe, zatem zakres p jest dosyć duży. Jednakże dla wielkich liczb naturalnych test na pierwszość może zająć wiele czasu.

11

Generowanie liczb pseudolosowych

Mieszanie pseudolosowe Zadanie mieszania, tasowania zawartości tablicy sprowadza

się do wykonywania w pętli zamiany miejscami dwóch elementów tablicy o wylosowanych indeksach. Pętla musi

być wykonana tyle razy, aby tasowanie objęło wszystkie elementy – w praktyce wystarcza ilość wykonań równa 3n,

gdzie n jest ilością elementów.

Problem 1: Dany, skończony zbiór liczb całkowitych pomieszać pseudolosowo.

12

Schemat krokowy: Algorytm mieszania pseudolosowego

Wejście n – liczba elementów w tablicy, n ϵ N Z –tablica elementów, indeksy

rozpoczynają się od 0 Wyjście: Tablica Z z potasowaną zawartością

Zmienne pomocnicze i – licznik obiegów pętli i ϵ N

x –przechowuje element tablicy Z przy zamianie zawartości. Typ ten sam, co elementy tablicy Z.

losowa(x) –funkcja zwracająca liczbę pseudolosową z zakresu od 0 do x - 1 Lista kroków:

01: Dla i=1,2,…,3n: wykonuj 02…07 ; tasowanie wykonujemy w pętli

02: i1 losowa (n) ; losujemy pierwszy indeks

03: i2 losowa (n) ; losujemy drugi indeks

04: x Z[i1] ; zamieniamy miejscami Z[i1] i Z[i2]

05: Z[i1] Z[i2]

06: Z[i2] x

07: Zakończ 13

Program -przykład

#include <iostream> #include <cstdlib> #include <time.h> using namespace std; int main() { int Z[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; int i1,i2,i,x; srand((unsigned) time(NULL)); for(i = 0; i < 10; i++) cout << Z[i] << " "; cout << endl; for(i = 1; i <= 30; i++) { i1 = rand() % 10; i2 = rand() % 10; x = Z[i1]; Z[i1] = Z[i2]; Z[i2] = x; } for(i = 0; i < 10; i++) cout << Z[i] << " "; cout << endl; return 0; }

Wynik: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2 3 1 6 4 0 9 5 8

Program tasuje tablicę 10 elementów całkowitych o kolejnych wartościach od 0 do 9. Tablica jest najpierw wyświetlana przed tasowaniem, a następnie po tasowaniu.

14

Losowanie bez powtórzeń Zadanie losowania bez powtórzeń można rozwiązać na kilka

różnych sposobów. Jeśli przedział <a,b> jest mały, to możemy go odwzorować w tablicy, następnie zawartość tej tablicy potasować

poprzednio podanym algorytmem i jako wynik zwrócić pierwsze n elementów. Tasowanie nie dubluje elementów tablicy, zatem otrzymamy n liczb bez powtórzeń. Taki algorytm posiada

klasę złożoności obliczeniowej O(n). Jeśli przedział <a,b> jest bardzo duży, a n stosunkowo małe, to

postępujemy w sposób następujący. Przygotowujemy pustą tablicę o n elementach. Losujemy liczbę pseudolosową. Jeśli

wylosowana liczba jest już w tablicy, to losujemy ponownie dotąd, aż wylosowanej liczby nie będzie w tablicy. Liczbę dopisujemy do

tablicy. Jeśli tablica jest zapełniona, kończymy. W przeciwnym razie powtarzamy losowanie. Algorytm w takiej postaci posiada

optymistyczną klasę złożoności obliczeniowej O(n2).

Problem 2: Wylosować z przedziału całkowitego <a,b> n liczb pseudolosowych bez powtórzeń.

15

Schemat krokowy: Algorytm losowania bez powtórzeń

Wejście

n – liczba określająca, ile liczb pseudolosowych bez powtórzeń należy wylosować, n ϵ N a,b –liczby określające całkowity przedział losowania, b - a ≥ n, a,b ϵ C

Wyjście:

n różnych od siebie liczb pseudolosowych z przedziału <a,b>

Zmienne pomocnicze

T – tablica przechowująca wylosowane liczby pseudolosowe. Indeksy od 0 do n-1.

i – licznik wylosowanych liczb pseudolosowych. i ϵ N

j –wykorzystywane do przeszukiwania tablicy T. j ϵ N

x –wylosowana liczba pseudolosowa losowa(x) –funkcja zwracająca liczbę pseudolosową z zakresu od 0 do x - 1

Lista kroków:

01: Dla i = 0,1,...,n-1 wykonuj 02...06

02: x ← a + losowa(b - a + 1) ; losujemy liczbę pseudolosową

03: Dla j = 0,1,...,i - 1 wykonuj 04 ; sprawdzamy, czy wylosowana liczba jest w T

04: Jeśli T[j] = x, to idź do 02 ; jeśli tak, powtarzamy losowanie

05: T[i] ← x ; jeśli nie, zapamiętujemy w T wylosowaną liczbę

06: Wyprowadź x ; wyprowadzamy liczbę na wyjście

07: Zakończ 16

Program-przykład 2 #include <iostream>

#include <cstdlib>

#include <time.h>

using namespace std;

int main()

{

int a,b,i,j,n,x, * T;

bool test;

srand((unsigned)time(NULL));

cin >> a >> b >> n;

if(n <= b - a + 1)

{

T = new int[n];

for(i = 0; i < n; i++)

{

Do

{

test = true;

x = a + rand()%(b-a+1);

for(j = 0; j < i; j++)

if(T[j] == x) {

test = false;

break;

}

}

while(!test);

T[i] = x;

cout << x << " ";

}

}

else

cout << "n jest za duze!\n";

cout << endl;

delete [] T;

return 0;

}

Wynik: 1 80 20 39 79 12 38 80 3 11 33 9 76 19 21 8 14 37 29 24 71 50 1

W pierwszym wierszu program odczytuje trzy liczby: a,b – krańce przedziału, n – ilość liczb pseudolosowych do wylosowania. Jeśli długość przedziału <a,b> pozwala na wygenerowanie zadanej ilości różnych liczb pseudolosowych, to program je generuje i wyświetla w następnym wierszu. W przeciwnym razie wypisuje odpowiedni komunikat.

17

Liczby Fibonacciego Leonardo Fibonacci był włoskim matematykiem

żyjącym w latach od 1175 do 1250. Jest on autorem specyficznego ciągu liczbowego, który pojawia się w wielu zastosowaniach informatycznych (i nie tylko).

Wyrazy ciągu Fibonacciego definiujemy rekurencyjnie w sposób następujący:

F0 = 0 F1 = 1

Fi = Fi-2 + Fi-1, dla i > 1

Problem: Wyznaczyć n-ty wyraz ciągu Fibonacciego.

18

Rozwiązanie 1 Rozwiązanie opieramy bezpośrednio na definicji wykorzystując wywołania rekurencyjne. Jest

to bardzo złe rozwiązanie (podajemy je tylko ze względów dydaktycznych), ponieważ algorytm wielokrotnie oblicza wyrazy ciągu, co w efekcie prowadzi do wykładniczej klasy złożoności

obliczeniowej O(2n).

Schemat krokowy: Algorytm generacji liczb Fibonacciego metodą rekurencyjną

Wejście n – numer liczby ciągu Fibonacciego do wyliczenia, n ϵ N

Wyjście: n-ta liczba ciągu Fibonacciego

Lista kroków funkcji Fibo(n):

01: Jeśli n ≤ 1, to zwróć n i zakończ ; f0 lub f1

02: Zwróć Fibo(n - 2) + Fibo(n - 1) i zakończ ; dwa wywołania rekurencyjne

19

Program- przykład:

#include <iostream>

using namespace std;

unsigned long fibo(int n)

{

if(n <= 1) return n;

else return fibo(n - 2) + fibo(n - 1);

}

int main()

{

int n;

cin >> n;

cout << fibo(n) << "\n\n";

return 0;

}

Wynik: 25 75025

W pierwszym wierszu program odczytuje n – numer liczby Fibonacciego do wyliczenia. W następnym wierszu program wypisuje wartość n-tej liczby Fibonacciego. Z uwagi na wykładniczą klasę złożoności obliczeniowej czas obliczeń szybko rośnie, zatem nie podawaj zbyt dużych n (<45), inaczej nie doczekasz się wyniku lub komputer zgłosi przepełnienie pamięci.

20

Rozwiązanie 2

Drugie rozwiązanie wykorzystuje zasadę programowania dynamicznego .Polega ona

na tym, iż rozwiązanie wyższego poziomu obliczamy z rozwiązań otrzymanych na poziomie niższym, które odpowiednio zapamiętujemy. Dzięki temu

podejściu program nie musi liczyć wszystkich składników od początku, wykorzystuje wyniki

poprzednich obliczeń. W efekcie klasa złożoności obliczeniowej algorytmu spadnie do O(n).

21

Schemat krokowy: Algorytm generacji liczb Fibonacciego metodą iteracyjną

Wejście

n – numer liczby ciągu Fibonacciego do wyliczenia, n ϵ N

Wyjście:

n-ta liczba ciągu Fibonacciego

Elementy pomocnicze:

f0,f1,f – kolejne trzy liczby Fibonacciego, f0,f1,f ϵ C

Lista kroków:

01: f0 ← 0 ; pierwsza lub fi-2 liczba Fibonacciego

02: f1 ← 1 ; druga lub fi-1 liczba Fibonacciego

03: Dla i = 0,1,...,n wykonuj 04...08

04: Jeśli i > 1, to idź do 06

05: f ← i i następny obieg pętli 03

06: f ← f0 + f1 ; obliczamy kolejną liczbę Fibonacciego

07: f0 ← f1 ; zapamiętujemy wyniki obliczeń pośrednich

08: f1 ← f ; dla następnego obiegu pętli

09: Pisz f

10: Zakończ 22

Program - przykład:

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

unsigned long long f,f0,f1;

int i,n;

f0 = 0;

f1 = 1;

cin >> n;

for(i = 0; i <= n; i++)

if(i > 1)

{

f = f0 + f1;

f0 = f1;

f1 = f;

}

else f = i;

cout << f << endl;

return 0;

}

Wynik: 93 12200160415121876738

Program odczytuje z pierwszego wiersza numer n liczby Fibonacciego, a w następnym wierszu wyświetla jej wartość. Z uwagi na ograniczony zakres liczb 64 bitowych, program wylicza dokładnie maksymalnie 93-cią liczbę ciągu Fibonacciego.

23

Całkowity pierwiastek kwadratowy Całkowity pierwiastek kwadratowy jest

największą liczbą całkowitą p, która spełnia nierówność:

p2 ≤ x

Problem:

Znaleźć kwadratowy pierwiastek całkowity nieujemnej liczby rzeczywistej x.

24

Rozwiązanie 1 Problem możemy rozwiązać następująco.

Tworzymy ciąg kwadratów kolejnych liczb całkowitych począwszy od 0:

02 12 22 32 ...i2

do momentu, gdy dla pewnego i otrzymamy spełnioną

nierówność i2 > x. Wtedy p = i - 1.

Pozostaje do rozwiązania efektywny sposób tworzenia kwadratów kolejnych liczb całkowitych. Wypiszmy kilkanaście początkowych

wyrazów tego ciągu: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...

i2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 ...

Teraz policzmy ciąg różnic pierwszego rzędu: r1i = i2 - (i-1)2, dla i > 0.

25

Różnica pierwszego rzędu powstaje przez odjęcie od wyrazu i-tego jego poprzednika w ciągu, czyli wyrazu (i - 1)-szego.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...

i2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 ...

r1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 ...

Teraz analogicznie utwórzmy ciąg różnic drugiego rzędu: r2i = r1i - r1(i-1), dla i > 1

Różnice drugiego rzędu powstają w analogiczny sposób z różnic pierwszego rzędu, jak różnice

pierwszego rzędu powstają z wyrazów ciągu – od i-tej różnicy pierwszego rzędu odejmujemy

poprzedzającą ją, (i - 1)-szą różnicę.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...

i2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 ...

r1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 ...

r2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... 26

Różnice rzędu drugiego tworzą już ciąg stały o wyrazach równych 2. W tabelce na czerwono zaznaczyliśmy pierwsze wyrazy odpowiednio: ciągu kwadratów i2 → 0 ciągu różnic pierwszego rzędu r1i → 1 ciągu różnic drugiego rzędu r2i → 2 Mając te trzy wartości możemy rekurencyjnie konstruować ciąg kolejnych kwadratów: a = 0, r11 = 1, r2 = 2, gdzie a0 – pierwszy wyraz ciągu kwadratów Dla i > 0 mamy: r1i = r1(i-1) + r2 – kolejna różnica pierwszego rzędu powstaje z poprzedniej przez dodanie różnicy drugiego rzędu ai = ai-1 + r1i – kolejny kwadrat powstaje z poprzedniego przez dodanie wyliczonej różnicy pierwszego rzędu

27

Schemat krokowy: Algorytm obliczania całkowitego pierwiastka kwadratowego – wersja nr 1

Wejście

x – liczba, której pierwiastek obliczamy, x ≥ 0, x ϵ R

Wyjście:

całkowity pierwiastek kwadratowy z x

Elementy pomocnicze:

i – numery wyrazów ciągu kwadratów, i ϵ C

a –wyraz ciągu kwadratów, aϵ C

r1 –różnica pierwszego rzędu, r1ϵ N

r2 –różnica drugiego rzędu, r2 ϵ N

Lista kroków: 01: a ← 0 ; pierwszy kwadrat 02

02: r1 ← 1 ; początkowa wartość różnicy pierwszego rzędu

03: r2 ← 2 ; wartość różnic drugiego rzędu

04: i ← 0 ; numer pierwszego wyrazu

05: Dopóki a ≤ x wykonuj 06...08 ; szukamy pierwszego wyrazu a większego od x

06: a ← a + r1 ; następny kwadrat

07: r1 ← r1 + r2 ; wyliczamy nową różnicę pierwszego rzędu

08: i ← i + 1 ; następny numer

09: Zakończ z wynikiem i - 1 ; obliczamy pierwiastek całkowity 28

Program-przykład:

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

double x;

unsigned int i,a,r1,r2;

cin >> x;

a = 0; r1 = 1; r2 = 2;

for(i = 0; a <= x; i++)

{

a += r1; r1 += r2;

}

i--;

cout << i << endl

<< i * i << endl

<< endl;

return 0;

}

Wynik: 135 11 121

W pierwszym wierszu program odczytuje liczbę x. Następnie wyznacza jej całkowity pierwiastek kwadratowy i wypisuje go w wierszu drugim. Dodatkowo w wierszu trzecim program wypisuje kwadrat znalezionego pierwiastka kwadratowego dla celów porównawczych.

29

Koniec !!

30