WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR...
Transcript of WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR...
WYKEAD 2
LICZBY RZECZYWISTE
.
Na
tymwyKtaolzielicsbymaturalne1Nbgdziemyuwazali2aowue15pmezBoge.LicsbycaikooitesKonstruowalismy.licsoywymiernemamnadziejgizektoszPan.stweskonstruowoEPozostojgmamlicsbymecsywiste.TezjemoznasKonstruowac.mepmynajmnig.dwasposoby.Myp0dejdziemyjednakdosprawyinakej-2uowu2robimytoakg.omatyczmie.2animjednak2abienemyn.goloakg.omatyc2nejteorii1Rwro.cimyjeszcseolojeo1nejistotmq.wTasnoscisbionuhisbmaturalnych.ZASADAINDUKCJifeisliTjestpodzbiorem2bioru1NspeiniajgcymwanunkiiH1ET.C2jVnElNimtT-snt1ETtoT-lN.PoniewazniedefimiujemylN.sasowlyimdukyimiebgdziemydowodzid.wyKomystamyjqwitoowolouoo1zenieinnyoutwiero1zen.PRZYKtADBARD2OtATwYUolow0dniiinolukcyjnieize1.2t2.3t.i.tnktnj-nCntDCnIcxj3T-tnelNixsaohoolzilgCi1Sprawdzamyze1ETst2nx2adrodzidldn-Lilewashrone1.2-21prawe1z.1.2.3-2.Ciijzouozmyzex2achodzidhem.sprrawolzamycodhent1.1.2t2.3t.i.lmCmtDt@tlKnt4-1zh.CntDCnt2jtCnt1jCntD-CtgmtnKhtDlntD-1zCnt3khtDCnt2j-tgChtDCntzjCut3jt2nx2adnod2ioUemtl22at0zeuianeTwymikentleT.NamooysasaolyindukyiT-NicsylixsachodzidheKazdegom.L
,
PRZYKTAD WAZNY.
Komystajqc 2 ZI moznewdowodmic'
innes Waznq wtasnosc"
abioru line
maturalnycn ,miauowicie ZASADF MINIMUM : Kazdy niepusty podzbriv
sbiovu IN Mie element najmmiejszy . Zasadg Minimum udowodniimozne
Konystojgc a ZI.
e. e. Laiozmy ,ze X jest podzbiorem sbioru IN , Ktonymieme element
nojmniejszego . Oznacsmyi .
T={ men : t Kex n < k}={ new : n < X }Pokazemy ,
ze IN, csyli 11=0 . ( i ) 1 jest hajmniejszym element em IN
16satem jes.li At X to
1jutnoy.mniejs2ymelementemXspnecsnosd-wobectegotCT.Ciij2ouozmy.zeneT.O2nacsoto.zeVkeXksm.wteolytakzeksmt1.bojeslinie.tontteXihtljestwjmniejszymdementemX.aPo5Lugujgcsig2asaolqmimimummozmeuoloWodnid.Zetazo1aleisbamaturalenejesta.ekowe.Istotnie.2ouszmyzexbi0rlicsbmiecieKawychKclNjestniepusty.O2nacsieto.zemeelemeutnojmm.ejszy.AIeaynojmniejszaniecieKawehisbamaturaleuemcjestciekawe2.L1C2BYRZEC2YWlSTEWymienimyiomowimyterazwTasnosciRsformuiowemewpostaciaksjomatow@1Rjestciaeempo2ajgciach2Algebry1Rmiemdjuz2o.b
ardzo had osym olyskutowel ( IR
,.
,+ , 0,1 ) t ; dziaeanie pmemienne ( R ,t ,0 ) lest gnupq ( 11240 ]
,.
, 1) just
opupg ,1+0
,
nosdzieluosimuozeniawwfgo1emdodaWaniei.e.xCyt4-xytxz@lRjestciouemupomgdKowanymhmiowot2nistniejeuynoznionypodzbiorlRtmojgcymastgpujqcewTasnosciRtntR.D
=p ,lR+u{ 0 }ufR ,
)= IR,
.
x,yeR+⇒HyeR+ix.ytR+ ) . Wyrdznienie tego 2bionu pozwale wpvowowlzic'
Nelacjg ,<
"i
" f"
x< y ⇐ > y- ×←R+
×{ y⇐ > ×< y lub x=y IN jest anlysymetryosne ton ( xsyiyfx ) ⇒ x. -
y"
fYYEtxgneTjmaigtjEfisezhexeota.eeaciamenastsPwgeeeayIasnLgsfyowegK.eeaa@eiuiowegopomsdkpomgdku3OAksjomatAnchimedeseVxeRVyeRt.Fn
e IN : x < my•
* any#I I I 1 I I I I I l' I
0 Y X
Idqc krokamio ustolonej atugosa.
mozemy doj's'c dowolnie owdeko
18KRESY PODZBIORJW IR . Nick Xc IR
. Miwimy ,Ze X jest ogranicsony 2
gory jes.li FMEIR : the X × E M. Mowimyze X jest ognanicsonyz olotu
jes.li FMER : the X × > mn .Lbior ogranicsony 2 gory i 2010in naaywe nig
ognanicsony . Libby M : ttxc X xem uazywamyognanicseuiami gsrnymi a
m : the X × > m ognauicseuiamigonnymi .
y SUPX ( SUPREMUM )
Kresemyornym abionu ognanicsonego a gorywazywamywjmnniejsie ogranineniegdrne tegoabioru .
1
MTSUPX ⇐ ) ( M'
jest ognanineniemgornymx = > me m
' )f inf X ( INFImum )
Knesem dolnym sbionu ognanicsonego 2 dotu nazywamymajwigkne ogranicseuiedome tea zbionu
Definite powyzne niegwowantujg istmienia kvesiw. fast to temat speqialne
go twierolzenie :
TWIERDZENIE Hazdy niepusty , ogvanicsony 2 glory podzbior R no . kres
gdrny . Hazily niepusly , ognanicsonyadotu abior me kves doling .
DOWOD :( the supremum )
Nieh Xbgdzie zbiorem ognanicsonym a gory . Wybiezmy XOEX .2 aksiomotn
Archimedes wnioskujemy ze istnieje KEN take,
ze xotk .z1 jest ogronine .
hiem girnym X.
Wabiome KEN speiniajgcycn ten Wowunek istmieje element
majmniejszy . Oanaosmy go to . Many wteay
as - xot ( Ko -1 ) . 12 bz= xo + KotzJ
mie jest ogranicseniem↳ ognanicseniegorne
gdrnym1/2
*QL c bz
KONWENCJE :It
X # 0 i X nieognanicsonyzgory : sup X=+x
Xt$ i X mieogranicsonyzdotu : inf Xt - a
sup ¢ = - x
inf 0 = + x
�5� Pmekroje Dedekind a