WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR...

7
WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE .

Transcript of WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR...

Page 1: WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR Nick Xc IR Miwimy Ze X jest ogranicsony 2 gory jes.li FMEIR: the X × E M Mowimyze

WYKEAD 2

LICZBY RZECZYWISTE

.

Page 2: WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR Nick Xc IR Miwimy Ze X jest ogranicsony 2 gory jes.li FMEIR: the X × E M Mowimyze

Na

tymwyKtaolzielicsbymaturalne1Nbgdziemyuwazali2aowue15pmezBoge.LicsbycaikooitesKonstruowalismy.licsoywymiernemamnadziejgizektoszPan.stweskonstruowoEPozostojgmamlicsbymecsywiste.TezjemoznasKonstruowac.mepmynajmnig.dwasposoby.Myp0dejdziemyjednakdosprawyinakej-2uowu2robimytoakg.omatyczmie.2animjednak2abienemyn.goloakg.omatyc2nejteorii1Rwro.cimyjeszcseolojeo1nejistotmq.wTasnoscisbionuhisbmaturalnych.ZASADAINDUKCJifeisliTjestpodzbiorem2bioru1NspeiniajgcymwanunkiiH1ET.C2jVnElNimtT-snt1ETtoT-lN.PoniewazniedefimiujemylN.sasowlyimdukyimiebgdziemydowodzid.wyKomystamyjqwitoowolouoo1zenieinnyoutwiero1zen.PRZYKtADBARD2OtATwYUolow0dniiinolukcyjnieize1.2t2.3t.i.tnktnj-nCntDCnIcxj3T-tnelNixsaohoolzilgCi1Sprawdzamyze1ETst2nx2adrodzidldn-Lilewashrone1.2-21prawe1z.1.2.3-2.Ciijzouozmyzex2achodzidhem.sprrawolzamycodhent1.1.2t2.3t.i.lmCmtDt@tlKnt4-1zh.CntDCnt2jtCnt1jCntD-CtgmtnKhtDlntD-1zCnt3khtDCnt2j-tgChtDCntzjCut3jt2nx2adnod2ioUemtl22at0zeuianeTwymikentleT.NamooysasaolyindukyiT-NicsylixsachodzidheKazdegom.L

,

PRZYKTAD WAZNY.

Komystajqc 2 ZI moznewdowodmic'

innes Waznq wtasnosc"

abioru line

maturalnycn ,miauowicie ZASADF MINIMUM : Kazdy niepusty podzbriv

sbiovu IN Mie element najmmiejszy . Zasadg Minimum udowodniimozne

Konystojgc a ZI.

e. e. Laiozmy ,ze X jest podzbiorem sbioru IN , Ktonymieme element

nojmniejszego . Oznacsmyi .

T={ men : t Kex n < k}={ new : n < X }Pokazemy ,

ze IN, csyli 11=0 . ( i ) 1 jest hajmniejszym element em IN

Page 3: WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR Nick Xc IR Miwimy Ze X jest ogranicsony 2 gory jes.li FMEIR: the X × E M Mowimyze

16satem jes.li At X to

1jutnoy.mniejs2ymelementemXspnecsnosd-wobectegotCT.Ciij2ouozmy.zeneT.O2nacsoto.zeVkeXksm.wteolytakzeksmt1.bojeslinie.tontteXihtljestwjmniejszymdementemX.aPo5Lugujgcsig2asaolqmimimummozmeuoloWodnid.Zetazo1aleisbamaturalenejesta.ekowe.Istotnie.2ouszmyzexbi0rlicsbmiecieKawychKclNjestniepusty.O2nacsieto.zemeelemeutnojmm.ejszy.AIeaynojmniejszaniecieKawehisbamaturaleuemcjestciekawe2.L1C2BYRZEC2YWlSTEWymienimyiomowimyterazwTasnosciRsformuiowemewpostaciaksjomatow@1Rjestciaeempo2ajgciach2Algebry1Rmiemdjuz2o.b

ardzo had osym olyskutowel ( IR

,.

,+ , 0,1 ) t ; dziaeanie pmemienne ( R ,t ,0 ) lest gnupq ( 11240 ]

,.

, 1) just

opupg ,1+0

,

nosdzieluosimuozeniawwfgo1emdodaWaniei.e.xCyt4-xytxz@lRjestciouemupomgdKowanymhmiowot2nistniejeuynoznionypodzbiorlRtmojgcymastgpujqcewTasnosciRtntR.D

=p ,lR+u{ 0 }ufR ,

)= IR,

.

x,yeR+⇒HyeR+ix.ytR+ ) . Wyrdznienie tego 2bionu pozwale wpvowowlzic'

Nelacjg ,<

"i

" f"

x< y ⇐ > y- ×←R+

×{ y⇐ > ×< y lub x=y IN jest anlysymetryosne ton ( xsyiyfx ) ⇒ x. -

y"

fYYEtxgneTjmaigtjEfisezhexeota.eeaciamenastsPwgeeeayIasnLgsfyowegK.eeaa@eiuiowegopomsdkpomgdku3OAksjomatAnchimedeseVxeRVyeRt.Fn

e IN : x < my•

* any#I I I 1 I I I I I l' I

0 Y X

Idqc krokamio ustolonej atugosa.

mozemy doj's'c dowolnie owdeko

Page 4: WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR Nick Xc IR Miwimy Ze X jest ogranicsony 2 gory jes.li FMEIR: the X × E M Mowimyze
Page 5: WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR Nick Xc IR Miwimy Ze X jest ogranicsony 2 gory jes.li FMEIR: the X × E M Mowimyze

18KRESY PODZBIORJW IR . Nick Xc IR

. Miwimy ,Ze X jest ogranicsony 2

gory jes.li FMEIR : the X × E M. Mowimyze X jest ognanicsonyz olotu

jes.li FMER : the X × > mn .Lbior ogranicsony 2 gory i 2010in naaywe nig

ognanicsony . Libby M : ttxc X xem uazywamyognanicseuiami gsrnymi a

m : the X × > m ognauicseuiamigonnymi .

y SUPX ( SUPREMUM )

Kresemyornym abionu ognanicsonego a gorywazywamywjmnniejsie ogranineniegdrne tegoabioru .

1

MTSUPX ⇐ ) ( M'

jest ognanineniemgornymx = > me m

' )f inf X ( INFImum )

Knesem dolnym sbionu ognanicsonego 2 dotu nazywamymajwigkne ogranicseuiedome tea zbionu

Definite powyzne niegwowantujg istmienia kvesiw. fast to temat speqialne

go twierolzenie :

TWIERDZENIE Hazdy niepusty , ogvanicsony 2 glory podzbior R no . kres

gdrny . Hazily niepusly , ognanicsonyadotu abior me kves doling .

DOWOD :( the supremum )

Nieh Xbgdzie zbiorem ognanicsonym a gory . Wybiezmy XOEX .2 aksiomotn

Archimedes wnioskujemy ze istnieje KEN take,

ze xotk .z1 jest ogronine .

hiem girnym X.

Wabiome KEN speiniajgcycn ten Wowunek istmieje element

majmniejszy . Oanaosmy go to . Many wteay

as - xot ( Ko -1 ) . 12 bz= xo + KotzJ

mie jest ogranicseniem↳ ognanicseniegorne

gdrnym1/2

*QL c bz

Page 6: WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR Nick Xc IR Miwimy Ze X jest ogranicsony 2 gory jes.li FMEIR: the X × E M Mowimyze
Page 7: WYKEAD 2 LICZBY RZECZYWISTE - fuw.edu.plkonieczn/analiza/lecture2.pdf · 18 KRESY PODZBIORJW IR Nick Xc IR Miwimy Ze X jest ogranicsony 2 gory jes.li FMEIR: the X × E M Mowimyze

KONWENCJE :It

X # 0 i X nieognanicsonyzgory : sup X=+x

Xt$ i X mieogranicsonyzdotu : inf Xt - a

sup ¢ = - x

inf 0 = + x

�5� Pmekroje Dedekind a