Podróże po Imperium Liczb Część 10. Liczby i Funkcje Rzeczywiste

Podróże po Imperium LiczbCzęść 10.Liczby i Funkcje Rzeczywiste

Rozdział 1

1. Liczby rzeczywiste

Andrzej Nowicki 11 grudnia 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow

Spis treści

1 Liczby rzeczywiste 51.1 Liczba e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Liczba π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Kolejne wyrazy ciągów i rozwinięcia dziesiętne . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Niewymierność pewnych liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Całkowitość lub wymierność pewnych liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . 181.7 Przybliżenia wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Maksima i minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9 Metryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10 Liczby postaci x + 1/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.11 Różne fakty i zadania dotyczące liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . 29

Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze LATEX.Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronieautora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.

��

1 Liczby rzeczywiste��

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczamy przez R. Każda liczba rzeczywista madokładnie jedno nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Dla przykładu takim nieskończnonymrozwinięciem dziesiętnym liczby 13 jest 0, 3333 · · · , a liczby 12 jest 0, 4999 · · · . Dana liczbarzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej nieskończone rozwinięcie dziesiętnejest od pewnego miejsca okresowe.oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo1.1 Liczba eoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

e = limn→∞

(1 +1n

)ne = 1 +

11!+12!+13!+ · · ·

1.1.1. Rozwinięcie dziesiętne liczby e (tysiąc cyfr).

e = 2, 718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449969967946864454905987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805825749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035 · · · (Maple).

1.1.2. Liczba pierwsza utworzona z 85 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e:

2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571.

Liczby utworzone z n początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e są pierwsze, gdyn = 1, 3, 7 lub 85. Czy są jeszcze inne tego rodzaju liczby pierwsze? (Maple).

1.1.3. Tabela przedstawia pewne liczby pierwsze utworzone z kolejnych cyfr rozwinięcia dzie-siętnego liczby e. Podano: numer cyfry początkowej, liczbę cyfr oraz liczbę pierwszą (Maple).

2 49 71828182845904523536028747135266249775724709369992 114 718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724

0766303535475945713821785251664274274663919320032 126 718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724

0766303535475945713821785251664274274663919320030599218174134 25 82818284590452353602874714 26 828182845904523536028747134 33 828182845904523536028747135266249

5

6 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L.10, Liczby rzeczywiste

1.1.4.√e = 1, 6487212707001281468486507878141635716537761007101480115750 · · · ,ee = 15, 1542622414792641897604302726299119055285485368561397691408 · · · ,

log e = 0, 4342944819032518276511289189166050822943970058036665661144 · · · ,log2 e = 1, 4426950408889634073599246810018921374266459541529859341354 · · · ,log3 e = 0, 910239226626837393614240165736107000612636057255211744 · · · (Maple).

F R. G. Stoneham, A study of 60, 000 digits of the transcendental e, [Mon] 72(5)(1965) 483-500.

1.1.5. Liczba e jest niewymierna.

D. Przypuśćmy, że e jest liczbą wymierną. Niech e = ab , gdzie a, b ∈ N. Wiemy, że 2 < e < 3, a

więc e nie jest liczbą całkowitą i wobec tego b > 2. Mnożymy obie strony równości e =∞∑n=0

1n! przez b!

i mamy:

(∗) a(b− 1)! =(b! + b! + (3 · 4 · · · b) + (4 · 5 · · · b) + · · ·+ b+ 1

)+

1b+ 1

+1

(b+ 1)(b+ 2)+ · · · .

Ale b > 2, więc 0 < 1b+1 + 1

(b+1)(b+2) + · · · < 13 + 1

32 + 133 + · · · = 1

2 . Stąd wynika, że równość (∗) jestsprzecznością; po lewej stronie tej równości jest liczba naturalna, a po prawej nie. �

Dalej znajdziemy inny dowód niewymierności liczby e (patrz 1.5.3).

F A. A. Buchsztab, Niewymierność liczby e, [Buch] 65.R. Courant, H. Robbins, Liczba Eulera e, [CouR] 381-383.M. Eastham, The irrationality of e4; a simple proof, [MG] 88(512)(2004) 205-207.A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(1986) 722-723.J. Sondow, A geometric proof that e is irrational and a new measure of its irrationality, [Mon]

113(7)(2006) 637-641.

W 1873 roku matematyk francuski Charles Hermite (1822 − 1901) udowodnił, że licz-ba e nie jest algebraiczna, tzn. jest liczbą przestępną, czyli nie jest pierwiastkiem żadnegowielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych.

1.1.6 (Hermite 1973). Liczba e jest przestępna.

F A. Baker, Transcendence of e, [Bak] 3-6.A. A. Buchsztab, Przestępność liczby e, [Buch] 267.A. I. Gałoczkin, Y.V. Nesterenko, A. B. Szydłowski, Przestępność liczby e, [G-ns] 113-118.I. Stewart, Transcendence of e, [Stet] 272-273.O. Veblen, The transcendence of π and e, [Mon] 11(12)(1904) 219-223.

Następne dwie równości dotyczą ułamków łańcuchowych, o których dokładniej powiemyw ostatnim rozdziale tej książki.

1.1.7. e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, . . . ] (ułamek łańcuchowy). Innymi słowy,

e =[2; (an)

], gdzie a3n = a3n+1 = 1 oraz a3n−1 = 2n dla n ∈ N. ([Buch] 216).

1.1.8.e+ 1e− 1

= [2; 6, 10, 14, 18, . . . ]. Dokładniej,e+ 1e− 1

=[2; (an)

], gdzie an = 4n + 2 dla

n ∈ N. ([Buch] 215).

Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L.10, Liczby rzeczywiste 7

F H. Cohn, A short proof of the simple continued fract. expansion of e, [Mon] 113(1)(2006) 57-42.T.J. Osler, A proof of the continued fraction expansion of e1/M , [Mon] 113(1)(2006) 62-66.

1.1.9.∞∑n=0

(2n+ 1)2

(2n+ 1)!= e. ([Crux] 2000 s.308).

1.1.10.

( ∞∑n=0

(2n)!(n!)3

)( ∞∑n=0

1(n!)2

)−1= e2. ([Crux] 2000 s.254 z.2450).

1.1.11. limn→∞

(n∏k=0

(n

k

))2/n2= e. ([Dlt] 2/1995 12).

1.1.12. Jeśli a1 = 0, a2 = 1, an+2 = (n+ 1)(an+1 + an), to

limann!

=∞∑k=0

(−1)k

k!=

1e. ([Mat] 5/1963 209).

1.1.13. Która z liczb (2.71)e oraz e2.71 jest większa ?

1.1.14. Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość[1

n√e− 1

]= n− 1. ([Dlt] 7/2000 z.398).

D. ([Dlt] 7/2000). Liczba e jest granicą ciągów (an) i (bn), gdzie an =(1 + 1

n

)n, bn =

(1 + 1

n

)n+1.

Wiadomo, że ciąg (an) jest rosnący. Ciąg (bn) jest natomiast malejący (łatwo to wynika ze znanejnierówności Bernoulliego). Mamy zatem:(

1 +1n

)n< e <

(1 +

1n− 1

)n,

dla n > 2. Stąd 1 + 1n <

n√e < 1 + 1

n−1 i mamy: n − 1 < 1n√e−1 < n, a zatem

[1

n√e−1

]= n − 1 (dla

n = 1 to jest również prawdą). �

F J.L. Coolidge, The number e, [Mon] 57(9)(1950) 591-602.Zofia Kowalska, Pewne własności i zastosowania liczby e, [Pmgr] 1983.E. Kuźmin, A. Szirszow, Liczba e, [Kw] 8/1979 3-8.


oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo1.2 Liczba πoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.2.1. Rozwinięcie dziesiętne liczby π (tysiąc cyfr).

π = 3, 141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198 · · · (Maple).

W książce Joaquina Navarro [Nava] podano 10 tysięcy początkowych cyfr liczby π. W tejksiążce, na stronie 119 jest informacja, że na 762 pozycji po przecinku, rozpoczyna się blokskładający się z sześciu dziewiątek i zauważył to po raz pierwszy laureat Nagrody Nobla wdziedzinie fizyki, Richard Feynman (1918 − 1988). Również z tej książki dowiadujemy się,że na pozycji 12 387 594 880 po przecinku, rozpoczyna się blok 0123456789. Odkryto to zapomocą komputera. W internecie można znaleźć ponad milion cyfr po przecinku rozwinięciadziesiętnego liczby π.

1.2.2. Liczba pierwsza utworzona z 38 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π:

31415926535897932384626433832795028841.

Liczby utworzone z n początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π są pierwsze, gdyn = 1, 2, 6 lub 38. Innych liczb pierwszych tego typu nie znaleziono.([Szu87] 63, Maple, K.Brown Primes in the decimal expansion of π).

1.2.3. Tabela przedstawia pewne liczby pierwsze utworzone z kolejnych cyfr rozwinięcia dzie-siętnego liczby π. Podano: numer cyfry początkowej, liczbę cyfr oraz liczbę pierwszą (Maple).

2 5 141592 12 1415926535893 12 4159265358973 26 415926535897932384626433833 38 415926535897932384626433832795028841974 7 15926534 41 159265358979323846264338327950288419716937 50 265358979323846264338327950288419716939937510582097 81 265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640

6286208998628037 193 265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640

6286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381


1.2.4.√π = 1, 77245385090551602729816748334114518279754945612238712821381 · · ·

log π = 0, 49714987269413385435126828829089887365167832438044244613405 · · ·log2 π = 1.65149612947231879804327929510800733501847692676304152940678 · · · ,log3 π = 1.04197804599218586511474319586386063433057192872457378796334 · · · ,

π2 = 9.86960440108935861883449099987615113531369940724079062641332 · · · ,π2/6 = 1.64493406684822643647241516664602518921894990120679843773556 · · · ,ππ = 36.4621596072079117709908260226921236663655084022288187387090 · · · ,eπ = 23.1406926327792690057290863679485473802661062426002119934450 · · · ,πe = 22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030 · · · ,

e · π = 8.53973422267356706546355086954657449503488853576511496187960 · · · ,e+ π = 5.8598744820488384738229308546321653819544164930750653959 · · · (Maple).

F P. Borwein, L. Jorgenson, Visible structures in number theory, [Mon] 10(2001) 897-910; tutaj sąilustracje dotyczące np. 1600 cyfr po przecinku modulo 2 liczby π.

A. Zwonkin, Co to jest π?, [Kw] 11(1978) 28-31.

1.2.5 (J.H. Lambert 1766). Liczba π jest niewymierna.

Po raz pierwszy udowodnił to Johann Heinrich Lambert (1728-1777); matematyk i astro-nom szwajcarski pochodzenia francuskiego. Dzisiaj znamy kilka różnych dowodów tego faktu.Krótki i bardzo elegancki dowód podał w 1947 roku Ivan Niven.

D. (Niven 1947). Oznaczmy przez P rodzinę wszystkich takich wielomianów g(x) o współczynni-kach rzeczywistych, dla których wszystkie wartości

g(0), g(π), g′(0), g′(π), g′′(0), g′′(π), . . . , g(k)(0), g(k)(π), . . .

są liczbami całkowitymi. (Przez g(k) oznaczamy k-tą pochodną wielomianu g). Wielomiany z rodzinyP posiadają następujące dwie własności.

(1) Jeśli g(x) ∈ P, to∫ π

0sin(x)g(x)dx jest liczbą całkowitą.

Wynika to z całkowania przez części:∫ π

0f(x)g(x)dx =

[f1(x)g(x)− f2(x)g′(x) + f3(x)g′′(x)− · · ·+ (−1)dfd+1(x)g(d)(x)

]π0,

gdzie d jest stopniem wielomianu g(x) oraz fn(x) jest ciągiem funkcji zdefiniowanych następująco:

fn(x) =

sin(x), gdy n ≡ 0 (mod 4),

− cos(x), gdy n ≡ 1 (mod 4),

− sin(x), gdy n ≡ 2 (mod 4),

cos(x), gdy n ≡ 3 (mod 4).

(2) Jeśli g(x), h(x) ∈ P, to g(x)h(x) ∈ P.

To z kolei wynika ze wzoru Leibniza: (g · h)(n) (x) =∑nk=0

(nk

)g(k)(x)h(n−k)(x) .

Mamy udowodnić, że π jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy, że tak nie jest. Załóżmy, że π = ab ,

gdzie a, b ∈ N. Rozpatrzmy ciąg wielomianów g0(x), g1(x), g2(x), . . . zdefiniowanych następująco:

gn(x) =1n!xn(a− bx)n,


dla n = 0, 1, 2, · · · . Udowodnimy indukcyjnie, że każdy wielomian gn(x) należy do rodziny P. Dlan = 0 jest to oczywiste. Dla n > 1 zachodzi równość

g′n(x) = gn−1(x) · (a− 2bx).

Zauważmy, że wielomian a−2bx należy do rodziny P. Jeśli więc wielomian gn−1(x) należy do rodzinyP, to - na mocy (2) oraz powyższej równości - do tej rodziny należy również wielomian g′n(x). Alegn(0) = gn(π) = 0, więc jeśli gn−1(x) ∈ P, to gn(x) ∈ P.

Zauważmy jeszcze, że jeśli r jest liczbą z przedziału (0, π), to każda liczba gn(r) jest ostro większaod zera i wobec tego każda liczba sin(r)gn(r) jest również ostro większa od zera. Stąd w szczególności

wynika, że każda całka∫ π

0sin(x)gn(x)dx jest liczbą dodatnią. Wiemy jednak, na mocy (1), że każda

taka całka jest liczbą całkowitą. Zatem,

(3)∫ π

0sin(x)gn(x)dx > 1

dla wszystkich n = 0, 1, 2, · · · . Niech M będzie maksymalną wartością wielomianu x · (a − bx) wprzedziale [0, π]. Dla każdej liczby naturalnej n mamy wtedy:∫ π

0sin(x)gn(x)dx 6

∫ π

0

Mn

n!dx = π

Mn

n!.

Ale limn→∞

Mn

n! = 0, więc mamy sprzeczność z (3). Przypuszczenie, że π jest liczbą wymierną prowadzi

więc do sprzeczności. �

F K. Brown, Proof that π is irrational.R. Breusch, A proof of the irrationality of π, [Mon] 61(9)(1954) 631-632.A. A. Buchsztab, Niewymierność liczby π, [Buch] 66.J. Hanel, A simple proof of the irrationality of π4, [Mon] 93(5)(1986) 374-375.M. K. Mentzen, Krótka prezentacja długiej historii liczby π, [Min] 14(2004), 21-42.T. Nagell, Irationality of the number e and π, [Nagl] 38-40.I. Niven, A simple proof that π is irrational, [Bams] 53(1947), 509.A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(1986) 722-723.

1.2.6 (Tożsamość Eulera). eπi + 1 = 0 .

1.2.7. ii = e−π2 . ([Nava] 95).

W 1882 roku matematyk niemiecki Ferdynand Lindemann (1852 - 1939) udowodnił, że πjest liczbą przestępną. Udowodnił on nawet więcej:

1.2.8 (Lindemann 1882). Jeśli u1, . . . , un (gdzie n > 1) są niezerowymi liczbami algebraicz-nymi oraz v1, . . . , vn są parami różnymi liczbami algebraicznymi, to liczba

u1ev1 + u2e

v2 + · · ·+ unevn

jest różna od zera. ([Bak] 6-8, [Buch]).

Z tego twierdzenia otrzymujemy:

1.2.9 (Lindemann 1882). Liczba π jest przestępna.


D. Przypuśćmy, że π jest liczbą algebraiczną. Wtedy πi jest również liczbą algebraiczną i wobectego z twierdzenia 1.2.8 wynika, że liczba 1 · eπi + 1 · e0 jest różna od zera. Tymczasem, na mocytożsamości Eulera 1.2.6, liczba ta jest równa zero. �

F A. A. Buchsztab, Przestępność liczby π, [Buch] 269.A. I. Gałoczkin, Y. V. Nesterenko, A. B. Szydłowski, Przestępność liczby π, [G-ns] 118-130.I. Niven, The transcendence of π, [Mon] 46(8)(1939) 469-471.I. Stewart, Transcendence of π, [Stet] 274-276.O. Veblen, The transcendence of π and e, [Mon] 11(12)(1904) 219-223.

1.2.10 (Euler).∞∑n=1

1n2

=π2

6.

1.2.11. 2∞∑n=1

(−1)n−1

n2=π2

6. ([Cmj] 1978 s.180, [Nava] 78).

1.2.12 (R. Chartres 1904). Prawdopodobieństwo tego, że dwie wybrane losowo liczby całko-

wite są względnie pierwsze wynosi6π2

. ([Nava] 67).

1.2.13. Niech Φ(n) =n∑k=1

ϕ(k) dla n ∈ N. Wówczas:

limn→∞

n2

2Φ(n)=π2

6. ([Nava] 95).

F B. R. Choe, An elementary proof of∑∞n=1

1n2 = π2

6 , [Mon] 94(7)(1987) 662-663.

Y. Matsuoka, An elementary proof of the formula∑∞n=1

1n2 = π2

6 , [Mon] 68(5)(1961) 485-487.

E. L. Stark, Another proof of the formula∑∞n=1

1n2 = π2

6 , [Mon] 76(5)(1969) 552-553.P. Strzelecki, O równości

∑1/n2 = π2/6, [Dlt] 4/2002 4-5.

1.2.14.∞∑n=0

2n+1

(2n+ 1)(2nn

) = π. ([Crux] 2002 s.187).

1.2.15.∞∑n=0

1(2n+ 1)2

=π2

8. ([Crux] 1998 s.413).

1.2.16.∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)3=π3

32. ([Nava] 79).

1.2.17 (J. Gregory 1670). arctg x = x− x3

3− x5

5+x7

7− · · · .

Wstawiając x = 1, otrzymujemy:

1.2.18 (Leibniz).∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1=π

4. ([Nava] 29).


1.2.19 (Euler). Dla każdej liczby naturalnej m zachodzi równość

ζ(2m) = (−1)m+122m−1B2m

(2m)!π2m,

gdzie ζ jest funkcją zeta Riemanna oraz B2m jest liczbą Bernoulliego. Przykłady:

∞∑n=1

1n4

=π4

90,

∞∑n=1

1n6

=π6

945,

∞∑n=1

1n8

=π8

9450,

∞∑n=1

1n10

=π10

93555.

([IrR] 231).

1.2.20. Niech A,B,C oznaczają zbiory wszystkich liczb naturalnych odpowiednio niekwadra-towych, bezkwadratowych oraz pełnopotęgowych (patrz [N-9]). Wtedy

∑n∈A

1n2

=π2(15− π2)

90,

∑n∈B

1n2

=15π2,

∑n∈C

1n2

=150151382π2

.

([Cmj] 17(1)(1986) 98-99).

1.2.21.∞∑n=0

sinnn

=∞∑n=0

(sinnn

)2=π − 1

2. ([Mon] 113(7)(2006) 597).

1.2.22 (Viete 1597). cosπ

4cos

π

8cos

π

16cos

π

32· · · =

2π

. Wykorzystując tożsamość cosα =

2 cos2 α2 − 1, powyższą równość można przedstawić w postaci

√2

2·

√2 +√

2

2·

√2 +

√2 +√

2

2· · · = 2

π.

([Mat] 1/2003 13-14).

1.2.23.(

112

)122

+(

112

+122

)132

+(

112

+122

+132

)142

+ · · · = π4

120. ([Mon] 41(1)(1934) s.29).

1.2.24 (J. Wallis 1656).π

2=

21· 2

3· 4

3· 4

5· 6

5· 6

7· 8

7· 8

9· · · , tzn.:

∞∏n=1

4n2

4n2 − 1=π

2.

([Mon] 5(1980) s.391, [Nava] 81, [Mat] 3/2003 137-139).

1.2.25 (Euler).∞∏n=1

(2n+ 1)2

(2n+ 1)2 − 1=π2

8,

∞∏n=1

(2n+ 1)4

(2n+ 1)4 − 1=

5π4

9 · 16.

1.2.26. Niech a0 = 1, an+1 = an +√

1 + a2n. Wtedy liman2n

=4π

. ([OM] Polska 1989).


1.2.27. Niech (an) będzie ciągiem liczb rzeczywistych takim, że anan+1 = n dla wszystkichn ∈ N oraz lim

n→∞anan+1

= 1. Wtedy πa21 = 2. ([Putn] 1969).

1.2.28. eπ > πe. ([Uiuc] 2002, [MG] 87(509)(2003) s.306).

1.2.29. (3.14)π > π3.14. ([Uiuc] 2007).

1.2.30.∞∫0

dx

x4 + 4=π

4. ([Ssm] 102(6)(2002) z.4706 rozw.).

Zanotujmy jeszcze kilka innych całek.

1.2.31.

∞∫−∞

e−x2dx =

√π,

1∫−1

√1− x2dx =

π

2,

1∫−1

dx√1− x2

= π,

∞∫−∞

dx

1− x2= π,

1∫0

x4(1− x)4

1 + x2dx =

227− π,

∞∫0

sinxx

dx =π

2. ([Nava]).

F H. Chan, More formulas for π, [Mon] 113(5)(2006) 452-455.E. Kofler, Kwadratura koła, [Kofl] 289-319.M. Skwarczyński, Sto lat dla ludolfiny, [Dlt] 3/1983 10-15.

Witold Więsław opublikował w czasopiśmie [Mat] serię 23 interesujących artykułów o liczbie π.Pierwszy z tych artykułów pt. O kole i walcu, czyli π po raz pierwszy, jest w [Mat] 2(2000) s.74.Ostatni artykuł pt. O czym jeszcze nie wiemy; π po raz dwudziesty trzeci, jest w [Mat] 1(2004) 7-8.oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.3 Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb rzeczywistychoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.3.1. 0, 5773502691 . . . =√

3/3,0, 693147805 . . . = ln 2,1, 618033988 . . . = (1 +

√5)/2,

2, 6651441426 . . . = 2√2. [Lion].

.

Przykłady otrzymane przy pomocy Maple.

1.3.2. ln 2 = 0, 69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068 · · · ,ln 3 = 1, 09861228866810969139524523692252570464749055782274945173469 · · · ,ln 4 = 1, 38629436111989061883446424291635313615100026872051050824136 · · · ,ln 5 = 1, 60943791243410037460075933322618763952560135426851772191265 · · · ,ln 6 = 1, 79175946922805500081247735838070227272299069218300470585537 · · · ,ln 7 = 1, 94591014905531330510535274344317972963708472958186118845939 · · · ,ln 8 = 2, 07944154167983592825169636437452970422650040308076576236204 · · · ,ln 9 = 2, 19722457733621938279049047384505140929498111564549890346939 · · · ,

ln 10 = 2, 30258509299404568401799145468436420760110148862877297603333 · · · .


1.3.3. log 2 = 0, 301029995663981195213738894724493026768189881462108541310427 · · · ,log 3 = 0, 477121254719662437295027903255115309200128864190695864829863 · · · ,log 4 = 0, 602059991327962390427477789448986053536379762924217082620854 · · · ,log 5 = 0, 698970004336018804786261105275506973231810118537891458689573 · · · ,log 6 = 0, 778151250383643632508766797979608335968318745652804406140291 · · · ,log 7 = 0, 845098040014256830712216258592636193483572396323965406503634 · · · ,log 8 = 0, 903089986991943585641216684173479080304569644386325623931282 · · · ,log 9 = 0, 954242509439324874590055806510230618400257728381391729659731 · · · .

1.3.4.

log2 3 = 1, 58496250072115618145373894394781650875981440769248106045575 · · · ,log2 5 = 2, 32192809488736234787031942948939017586483139302458061205476 · · · ,log2 6 = 2, 58496250072115618145373894394781650875981440769248106045575 · · · ,log2 7 = 2, 80735492205760410744196931723183080864102662596614078367729 · · · ,log3 2 = 0, 63092975357145743709952711434276085429958564013188042787065 · · · ,log3 4 = 1, 26185950714291487419905422868552170859917128026376085574131 · · · ,log3 5 = 1, 46497352071792716719704040767864039630793236666604968905290 · · · ,log4 3 = 0, 79248125036057809072686947197390825437990720384624053022787 · · · ,log4 5 = 1, 16096404744368117393515971474469508793241569651229030602738 · · · .

1.3.5.W każdym ułamku dziesiętnym istnieją dowolnie długie ciągi następujących po sobiecyfr, występujące w rozwinięciu nieskończenie wiele razy. ([Mat] 6/1954 68, [S59] 307, [S64] 165).

1.3.6. Każda liczba dodatnia jest sumą dziewięciu liczb, których rozwinięcia dziesiętne za-wierają tylko cyfry 0 i 7. ([TTss] 1981, [Kw] 7/1982 43).

D. Niech a > 0. Jest oczywiste, że każda liczba dodatnia, a więc w szczególności liczba a/7, jestsumą dziewięciu liczb, których rozwinięcia dziesiętne zawierają tylko cyfry 0 i 1. Zatem a = 7 · (a/7)jest sumą dziewięciu liczb z zerami i siódemkami. �

F M. S. Gelfand, Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb, [Kw] 7/1983 25.oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo1.4 Kolejne wyrazy ciągów i rozwinięcia dziesiętneoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.4.1. Liczba 0, 123456789101112131415 . . . jest niewymierna. ([S50] 222, [BoL] 276 76, [B-zm]).

D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętnejest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jestciąg cyfr (a1, a2, . . . , as). Ponieważ badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb naturalnych, w jejrozwinięciu dziesiętnym występuje nieskończenie wiele bloków składających się z 2s jedynek. Okres(a1, . . . , as) składa się więc z samych jedynek. W tym rozwinięciu dziesiętnym występuje równieżnieskończenie wiele bloków składających się z 2s dwójek. Okres (a1, . . . , as) składa się więc z samychdwójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a1 = 2. �

1.4.2. Po zerze i przecinku wypisano kolejne liczby kwadratowe 1, 4, 9, 16, 25, 36, · · · . Powsta-ła liczba 0, 1491625364964 · · · . Jest to liczba niewymierna.

D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętnejest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jestciąg cyfr (a1, a2, . . . , as). W [N-2] wykazaliśmy, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr,


to istnieje nieskończenie wiele takich liczb kwadratowych, których początkowe cyfry tworzą danyciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb kwadratowych. W jej rozwinięciu dziesiętnymwystępuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z 2s jedynek. Okres (a1, . . . , as) składasię więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje równieżnieskończenie wiele bloków składających się z 2s dwójek. Okres (a1, . . . , as) składa się więc z samychdwójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a1 = 2. �

W ten sam sposób wykazujemy następne stwierdzenie

1.4.3. Po zerze i przecinku wypisano kolejne sześciany 1, 8, 27, 64, 125, 216, · · · . Powstałaliczba 0, 182764125216343 · · · . Jest to liczba niewymierna.

Stosując odpowiednie fakty o początkowych cyfrach, podane i udowodnione w [N-2], moż-na w ten sam sposób udowodnić następujące twierdzenie. Powyższe stwierdzenia są szczegól-nymi przypadkami tego twierdzenia.

1.4.4. Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby f(1), f(2), f(3), . . . , gdzie f jest wie-lomianem jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych takim, że f(x) > 0 dla x > 0.Wówczas otrzymana liczba jest niewymierna. ([Nagl] s.126 z.55, [B-zm] 116).

1.4.5. Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby pierwsze. Powstała liczba

0, 23571113171923 · · · .

Jest to liczba niewymierna. ([S59] 347).

D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętnejest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jestciąg cyfr (a1, a2, . . . , as).

Z twierdzenia Dirichleta o liczbach pierwszych w postępie arytmetycznym (patrz [N-4]) wynika,że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr (przy czym ostatnią cyfrą jest 1, 3, 7 lub 9), toistnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych, których końcowe cyfry tworzą dany ciąg m. Ba-dana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb pierwszych. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więcnieskończenie wiele bloków składających się z 2s jedynek. Okres (a1, . . . , as) składa się więc z samychjedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wielebloków składających się z 2s trójek. Okres (a1, . . . , as) składa się więc z samych trójek. Mamy zatemsprzeczność: 1 = a1 = 3. �

1.4.6. Niech (an) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych, w którym an+1 6 10an dlawszystkich n. Wtedy nieskończony ułamek dziesiętny 0, a1a2a3 . . . jest liczbą niewymierną.([GaT] 11/1980).

1.4.7. Niech an = 1, gdy n jest bezkwadratowe i niech an = 0 w przeciwnym wypadku. Wtedynieskończony ułamek dziesiętny 0, a1a2a3 . . . jest liczbą niewymierną. ([Nagl] s.125 z.54).

1.4.8. Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby 21, 22, 24, 28, 216, . . . . Wykazać, żeotrzymana liczba jest niewymierna. ([Dlt] 2/1981, [Fom] 29/71, [Mat] 6/1983 360).


D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętnejest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jestciąg cyfr (a1, a2, . . . , as). W [N-2] wykazaliśmy, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr,to istnieje nieskończenie wiele takich potęg dwójki, których początkowe cyfry tworzą dany ciąg m.Badana liczba powstała z cyfr kolejnych potęg dwójki. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więcnieskończenie wiele bloków składających się z 2s jedynek. Okres (a1, . . . , as) składa się więc z samychjedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wielebloków składających się z 2s dwójek. Okres (a1, . . . , as) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatemsprzeczność: 1 = a1 = 2. �

W ten sam sposób wykazujemy następne stwierdzenie.

1.4.9. Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby 31, 32, 33, 34, . . . . Wykazać, że otrzy-mana liczba jest niewymierna. ([Dlt] 11/1985).

1.4.10. Po zerze i przecinku wypisano kolejno potęgi danej liczby naturalnej większej od 1.Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Mat] 1/1985 z.1128).

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo1.5 Niewymierność pewnych liczb rzeczywistychoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Na stronie 9 przedstawiliśmy dowód Nivena niewymierności liczby π. Drobne modyfikacjetego dowodu pozwalają udowodnić następujące twierdzenie.

1.5.1 (A.E. Parks 1986). Niech c > 0 będzie liczbą rzeczywistą i niech f : [0, c] → R będzietaką funkcją ciągłą, że f(x) > 0 dla wszystkich x z przedziału otwartego (0, c). Niech ponadtof1, f2, f3, . . . będą funkcjami różniczkowalnymi z [0, c] do R takimi, że

f ′1 = f, f ′2 = f1, f ′3 = f2, · · · .

Jeśli dla każdego n > 1 liczby fn(0) oraz fn(c) są całkowite, to c jest liczbą niewymierną.

D. (A.E. Parks 1986). Oznaczmy przez P rodzinę wszystkich takich wielomianów g(x) o współ-czynnikach rzeczywistych, dla których wszystkie wartości

g(0), g(c), g′(0), g′(c), g′′(0), g′′(c), . . . , g(k)(0), g(k)(c), . . .

są liczbami całkowitymi. (Przez g(k) oznaczamy k-tą pochodną wielomianu g). Wielomiany z rodzinyP posiadają następujące dwie własności.

(1) Jeśli g(x) ∈ P, to∫ c

0f(x)g(x)dx jest liczbą całkowitą.

Wynika to całkowania przez części:∫ c

0f(x)g(x)dx =

[f1(x)g(x)− f2(x)g′(x) + f3(x)g′′(x)− · · ·+ (−1)dfd+1(x)g(d)(x)

]c0,

gdzie d jest stopniem wielomianu g(x).

(2) Jeśli g(x), h(x) ∈ P, to g(x)h(x) ∈ P.

To z kolei wynika ze wzoru Leibniza:

(g · h)(n) (x) =n∑k=0

(n

k

)g(k)(x)h(n−k)(x) .


Mamy udowodnić, że c jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy, że tak nie jest. Załóżmy, że c = ab ,

gdzie a, b ∈ N. Rozpatrzmy ciąg wielomianów g0(x), g1(x), g2(x), . . . zdefiniowanych następująco:

gn(x) =1n!xn(a− bx)n,

dla n = 0, 1, 2, · · · . Udowodnimy indukcyjnie, że każdy wielomian gn(x) należy do rodziny P. Dlan = 0 jest to oczywiste. Dla n > 1 zachodzi równość

g′n(x) = gn−1(x) · (a− 2bx).

Zauważmy, że wielomian a−2bx należy do rodziny P. Jeśli więc wielomian gn−1(x) należy do rodzinyP, to - na mocy (2) oraz powyższej równości - do tej rodziny należy również wielomian g′n(x). Alegn(0) = gn(c) = 0, więc jeśli gn−1(x) ∈ P, to gn(x) ∈ P.

Zauważmy jeszcze, że jeśli r jest liczbą z przedziału (0, c), to każda liczba gn(r) jest ostro większaod zera i wobec tego każda liczba f(r)gn(r) jest również ostro większa od zera. Stąd w szczególności

wynika, że każda całka∫ c

0f(x)gn(x)dx jest liczbą dodatnią. Wiemy jednak, na mocy (1), że każda

taka całka jest liczbą całkowitą. Zatem,

(3)∫ c

0f(x)gn(x)dx > 1

dla wszystkich n = 0, 1, 2, · · · . Oznaczmy przez M oraz L maksymalne wartości odpowiednio wielo-mianu x · (a− bx) oraz funkcji f(x) na przedziale [0, c]. Dla każdej liczby naturalnej n mamy wtedy:∫ c

0f(x)gn(x)dx 6

∫ c

0LMn

n!dx = cL

Mn

n!.

Ale limn→∞

Mn

n! = 0, więc mamy sprzeczność z (3). Przypuszczenie, że c jest liczbą wymierną prowadzi

więc do sprzeczności. �

1.5.2. Niech r > 0, r 6= 1. Jeśli r jest liczbą wymierną, to ln(r) jest liczbą niewymierną.

D. (Parks 1986). Zamieniając ewentualnie r na 1/r, możemy założyć, że r > 1. Wtedy ln(r) > 0.Niech r = a

b , a, b ∈ N. Niech c = ln(r) oraz

f(x) = bex.

Przyjmujemy ponadto, że fn(x) = f(x) = bex (dla wszystkich n ∈ N) i mamy spełnione wszystkiezałożenia twierdzenia 1.5.1. Na mocy tego twierdzenia liczba ln(r) = c jest niewymierna. �

Na stronie 6 przedstawiliśmy pewien dowód niewymierności liczby e.. Teraz możemy podaćdrugi dowód.

1.5.3. Liczba e jest niewymierna.

D. Oczywiście e > 0 oraz e 6= 1. Przypuścmy, że e ∈ Q. Wtedy (na mocy poprzedniego twierdze-nia) 1 = ln(e) jest liczbą niewymierną; sprzeczność. �

1.5.4. Jeżeli liczba naturalna n nie jest potęgą dziesiątki, to log n jest liczbą niewymierną.([S59] 40, [Kw] 5/1978 4).

1.5.5. Niech s ∈ N. Liczba∞∑n=0

(−1)n

(n!)sjest niewymierna. ([Mat] 5-6/1975 353).


1.5.6. Jeśli 1 < a1 < a2 < · · · jest ciągiem liczb naturalnych, to liczba

∞∑n=1

2an

an!

jest niewymierna. ([Mon] 99(10)(1992) E923).

1.5.7.(1) Czy istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że a+b ∈ Q oraz an+bn 6∈ Q dla wszystkich

naturalnych n > 1? Odp. Istnieją. Przykład: a = 2 +√

2, b = −√

2.

(2) Czy istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że a+b 6∈ Q oraz an+bn ∈ Q dla wszystkichnaturalnych n > 1? Odp. Nie istnieją. ([OM] ZSRR 1989).

1.5.8. Załóżmy, że co najmniej jedna z liczb x i y jest niewymierna. Wtedy co najmniejjedna z liczb x2 − y, y2 − x, x+ y jest niewymierna. ([OM] St Petersburg 1992).

1.5.9. Danych jest 6 liczb niewymiernych. Wykazać, że można z nich wybrać trzy liczby a, b, ctakie, że liczby a+ b, b+ c i c+ a są niewymierne. ([MOc] 2000 z.15).

F E. Gałkin, Wymierne czy niewymierne?, [Kw] 5/1977 45-47.M. Grant, M. Perella, Descending to the irrational, [MG] 497(1999) 263-267.R. Hajłasz, Dowody niewymierności pewnych liczb, [Dlt] 10/1994 1-3.A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(1986) 722-723.A. Turowicz, Usuwanie niewymierności z mianownika, [Mat] 1/1974 51-54.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.6 Całkowitość lub wymierność pewnych liczb rzeczywistychoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.6.1. Niech p będzie nieparzystą liczbą całkowitą. Jeśli liczby rzeczywiste a i b są pierwiast-kami wielomianu x2 + px− 1, to dla każdego naturalnego n liczby

an + bn i an+1 + bn+1

są całkowite i względnie pierwsze. ([Str72] 11, [B-rs] 184).

1.6.2. Jeśli liczby rzeczywiste a i b są pierwiastkami wielomianu x2− 6x+ 1, to dla każdegonaturalnego n liczby an + bn są całkowite i niepodzielne przez 5. ([BoL] 110 s.61).

1.6.3. Niech x1, x2 będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x2 + ax+ b, gdzie a, b ∈ Z. Jeślif(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to

f(x1) + f(x2)

jest liczbą całkowitą. ([Szn] 11.72, patrz 1.6.6).

D. f(x) = h(x)g(x)+cx+d, gdzie h(x) ∈ Z[x], c, d ∈ Z. Wtedy f(x1)+f(x2) = c(x1+x2)+2d =−ca+ 2d ∈ Z. �


1.6.4. Jeśli liczby x1, x2, x3 są pierwiastkami równania x3 − x2 + (a + 1)x − 1 = 0, gdzie ajest liczbą całkowitą różną od 0,±1,±3, to każda liczba postaci

xn1 + xn2 + xn3

jest całkowita i niepodzielna przez a. ([Mat] 2/1965 88).

1.6.5. Niech x1, x2, x3 będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x3+ax2+bx+c, gdzie a, b, c sąliczbami całkowitymi. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych,to

f(x1) + f(x2) + f(x3)

jest liczbą całkowitą. ([Szn] 11.72, patrz 1.6.6).

D. f(x) = h(x)g(x) + px2+ qx+ r, gdzie h(x) ∈ Z[x], p, q, r ∈ Z. Wtedy f(x1) + f(x2) + f(x3) =p(x21 + x22 + x23) + q(x1 + x2 + x3) + 3r = p(a2 − b) + qa+ 3r ∈ Z. �

1.6.6. Niech z1, z2, . . . , zn, będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu monicznego g(x) ∈Z[x] stopnia n. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, toliczba

f(z1) + f(z2) + · · ·+ f(zn)

jest całkowita.

D. Rozpatrzmy wielomian n-zmiennych h(x1, . . . , xn) = f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn). Jest tosymetryczny wielomian należący do Z[x1, . . . , xn]. Ze znanego twierdzenia o wielomianach symetrycz-nych wynika, że istnieje wielomian w ∈ Z[x1, . . . , xn] taki, że h(x1, . . . , xn) = w(σ1, . . . , σn), gdzieσ1, . . . , σn są podstawowymi wielomianami symetrycznymi zmiennych x1, . . . , xn. Ponieważ wielomiang(x) jest moniczny i ma całkowite współczynniki, wszystkie liczby postaci σi(z1, . . . , zn), dla i =1, . . . , n, są całkowite (są z dokładnością do znaku równe odpowiednim współczynnikom wielomianug(x)). Mamy więc: f(z1) + f(z2) + · · ·+ f(zn) = w(σ1(z1, . . . , zn), . . . , σn(z1, . . . , zn)) ∈ Z i to kończydowód. �

1.6.7. Niech x 6= y będą liczbami rzeczywistymi (mogą być nawet liczbami zespolonymi). Jeślidla czterech kolejnych liczb naturalnych n liczba

xn − yn

x− y

jest całkowita, to jest całkowita dla każdego n. ([Mon] E2998, [OM] Bułgaria 1995).

1.6.8. Niech x, y ∈ R.

(1) Jeśli liczby x+ y, x2 + y2, x4 + y4 są całkowite, to dla każdego n ∈ N liczba xn + yn

jest całkowita. ([OM] Polska 1998/1999)

(2) Jeśli liczby x + y, x2 + y2, x3 + y3 są całkowite, to nie musi być prawdą, że każdaliczba postaci xn + yn jest całkowita. Przykład: Jeśli x =

√2/2 i y = −

√2/2, to x + y = 0,

x2 + y2 = 1, x3 + y3 = 0, x4 + y4 = 12 . ([OM] Polska 1997).

1.6.9. Niech a 6= b będą liczbami rzeczywistymi. Jeśli liczby

a− b, a2 − b2, a3 − b, . . .

są całkowite, to liczby a i b również są całkowite. ([OM] Indie 1994).


1.6.10. Niech a 6= b będą liczbami zespolonymi. Jeśli liczby

a2 − b2, a3 − b3, a5 − b5

są wymierne, to liczby a i b również są wymierne. ([MM] 2000 s.328).

1.6.11. Niech x ∈ R. Jeśli x2 − x ∈ Z oraz xn − x ∈ Z dla pewnego n > 3, to x ∈ Z.([OM] Irlandia 1998).

1.6.12. Niech x ∈ R. Jeśli liczby x1919−x, x1960−x i x2001−x są całkowite, to x jest liczbącałkowitą. ([OM] RPA 2001).

1.6.13. Niech x, y, z ∈ R r {0}. Załóżmy, że xy, yz, zx ∈ Q. Wtedy:

(1) x2 + y2 + z2 ∈ Q;

(2) jeśli x3 + y3 + z3 ∈ Q, to x, y, z ∈ Q. ([OM] Rumunia 2001).

1.6.14. Dla każdej niewymiernej liczby a istnieją niewymierne liczby b, c takie, że liczbya+ b, ac są wymierne i liczby ab, a+ c są niewymierne. ([A-P] 2005).

1.6.15. Liczby

log(8 + 3√

21)

log(1 +√

21)− log 2,

2 log 6 + log(33 + 19√

3)

log(√

3− 1)− log 2− log√

3,

log(97− 56√

3)

log(√

6−√

2)− log 2

są całkowite. ([Mat] 5/1954 54).

1.6.16. Niech f(m,n) =∞∑i=1

in(

m

m+ 1

)i, gdzie m,n ∈ N.

(1) Każda liczba postaci f(m,n) jest całkowita.

(2) Ostatnią cyfrą liczby f(1, n) może być tylko 0, 2 lub 6. ([Mon] 102(2)(1995) 175-176 z.10231).

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.7 Przybliżenia wymierneoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.7.1.Wykazać, że istnieje nieskończony i ograniczony ciąg (xn) taki, że

|xn − xm| >1

|n−m|

dla dowolnych n,m ∈ N, n 6= m. ([WaJ] 257(78)).

O. Np. xn = 4{n√

2}, gdzie {a} = a− [a]. �

1.7.2. Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieją liczby naturalne a, b takie, że

|ax− b| 6 13. ([B-zm] 98).


1.7.3. Niech u będzie liczbą niewymierną z odcinka (0, 1). Dla każdej liczby naturalnej nistnieją liczby wymierne a =

p

q, b =

r

s, gdzie p, q, r, s ∈ N takie, że

a < u < b, b− a < 1n

oraz rq − ps = 1. ([Bryn] 2.6).

1.7.4. Niech α będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnych liczb rzeczywistych ε, β, przy czymε > 0, istnieją liczby całkowite m,n takie, że |mα+ β − n| < ε. ([Kw] 12/1974 28, 72).

1.7.5. Jeśli α jest niewymierną liczbą rzeczywistą, to istnieje nieskończenie wiele par (x, y),względnie pierwszych liczb całkowitych takich, że

∣∣∣xy − α∣∣∣ < 1y2 . ([Nagl] 37).

F W. Bednarek, Przybliżone sumowanie, [Dlt] 9/1994 4-6.D. B. Fuks, M. B. Fuks, O najlepszych przybliżeniach, [Kw] 6/1971 1-7, [Kw] 11/1971 8-15.D. B. Fuks, M. B. Fuks, Przybliżenia wymierne i transcendentność, [Kw] 12/1973 10-11.H. Rademacher, O. Toeplitz, [RaT] 136-145.C. I. Sobolev, O przybliżeniach przypadkowych, [Kw] 5/1987 45-49.K. Szymiczek, O aproksymacjach diofantycznych, [Dlt] 11/1995 1-4.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo1.8 Maksima i minimaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.8.1. Jeśli x, y, z ∈ R, to x+ y = min(x, y) + max(x, y) oraz

max(x, y, z) = x+ y + z −min(x, y)−min(y, z)−min(z, x) + min(x, y, z).

1.8.2. Niech f : R → R będzie funkcją taką, że f(x + y) = max(f(x), y) + min(x, f(y)) dlawszystkich x, y ∈ R. Wtedy f(x) = x dla x ∈ R. ([OM] Rosja 1998).

1.8.3. max(0,−a) + max(1, a, b) = max(0, a−max(1, b)) + max(1, b, 1− a, b− a).([MOc] 1997/1998 z25).

1.8.4. Liczby rzeczywiste a, b, c są takie, że

max(a, b) + max(c, 1997) = min(a, c) + min(b, 1998).

Wykazać, że b > c. ([OM] St Petersburg 1998).

1.8.5. Znaleźć wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c takie, że

max(a, b) max(c, 1998) = min(a, c) min(b, 1998).

([OM] St Petersburg 1998).

1.8.6 (H. Steinhaus). Funkcja f(x, y, z) = ||x− y|+ x+ y − 2x|+ |x− y|+ x+ y + 2z jestsymetryczna. ([Mat] 4/1957 55).

R. f(x, y, z) = 4 max(x, y, z). �

1.8.7.∣∣∣ |b−a||ab| + b+a

ab −2c

∣∣∣+ |b−a||ab| + b+a

ab + 2c = 4 ·max

(1a ,1b ,1c

). ([OM] Jugosławia 1973, [Pa97]).

F P. Aleksiejew, L. Kurlandczyk, Suma minimów i minimum sumy, [Kw] 3/1991 49-52.


oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo1.9 Metrykioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X × X → R nazywamy metryką (lubfunkcją odległości) w zbiorze X, jeśli dla dowolnych elementów x, y, z ∈ X spełnione sąnastępujące warunki:

(1) d(x, y) > 0,

(2) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

(3) d(x, y) = d(y, x),

(4) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y).

1.9.1. Warunek (1) wynika z pozostałych warunków.

D. d(x, y) = 12 (d(x, y) + d(x, y)) = 1

2 (d(x, y) + d(y, x)) > 12d(x, x) = 0. �

1.9.2. Każda funkcja δ : X × X → R, spełniająca dla dowolnych elementów x, y, z ∈ Xnastępujące dwa warunki:

(a) δ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

(b) δ(x, y) 6 δ(x, z) + δ(y, z),

jest metryką w zbiorze X. ([JedW]).

D. Z warunków (a) i (b) wynika, że δ(x, y) 6 δ(x, x) + δ(y, x) = δ(y, x) oraz δ(y, x) 6 δ(y, y) +δ(x, y) = δ(x, y). Zatem δ(x, y) 6 δ(y, x) i δ(y, x) 6 δ(x, y), czyli δ(x, y) = δ(y, x). Funkcja δ spełniawięc warunki (2), (3) i (4) podane w definicji metryki. Warunek (1) jest również spełniony (patrz1.9.1). �

Jeśli d : X × X → R jest metryką w zbiorze X, to zbór X nazywa się przestrzeniąmetryczną względem metryki d.

1.9.3. Niech d : X × X → R będzie metryką w zbiorze X i niech δ : X × X → R będziefunkcją określoną wzorem

δ(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y),

dla x, y ∈ X. Funkcja δ też jest metryką w zbiorze X. ([JedW]).

D. Niech x, y, z ∈ X i niech w = d(x, z) + d(z, y)− d(x, y). Liczba w jest nieujemna. Z równości

δ(x, z) + δ(z, y)− δ(x, y) =w + 2d(x, z)d(z, y) + d(x, y) + d(x, z) + d(z, y)

(1 + d(x, z))(1 + d(z, y))(1 + d(x, y))

wynika, że δ(x, y) 6 δ(x, z) + δ(y, z). Pozostałe warunki są oczywiste. �

1.9.4. Niech f : X → X będzie dowolną funkcją i niech d : X × X → R będzie metryką wzbiorze X. Definiujemy nową funkcję δ : X ×X → R, przyjmując

δ(x, y) =

{0, gdy x = y,

d(x, f(x)) + df(f(x), f(y)) + d(f(y), y), gdy x 6= y.

Funkcja δ też jest metryką w zbiorze X. ([JedW]).


1.9.5. Niech

dr(x, y) =|x− y|

(x+ y)r.

Jeśli r = −1 lub r ∈ [0, 1], to funkcja dr jest metryką w zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych.([Crux] 1992 z.1636 s.123-125).

1.9.6 (M. S. Klamkin, A. Meir 1982). Niech

d(x, y) =|x− y|

(|x|p + |y|p)1/p.

Jeśli p > 1, to funkcja d jest metryką w R. To jest też prawdą, gdy p = 12 . Dla p = 1

4 funkcjata nie jest metryką. ([Crux] 1992 s.123-125).

1.9.7 (M. S. Klamkin 1993). Niech

d(x, y) =|x− y|

(|x|+ |y|)r.

Jeśli r = −1 lub r ∈ [0, 1], to funkcja d jest metryką w zbiorze niezerowych liczb rzeczywistych.([Crux] 1993 s.142).

1.9.8. Funkcja d : R× R→ R, określona wzorem

d(x, y) =|x− y|√

1 + x2 ·√

1 + y2(dla x, y ∈ R),

jest metryką. ([Kw] 12/1979 24).

D. Wykażemy najpierw, że d (tgα, tgβ) = | sin(α− β)|, dla wszystkich α, β ∈(−π2 ,

π2

):

d (tgα, tgβ) =|tgα− tgβ|√

1 + tg2 α ·√

1 + tg2 β=

∣∣∣ sinαcosα −sin βcos β

∣∣∣√1 + sin2 α

cos2 α ·√

1 + sin2 βcos2 β

=|sinα cosβ − sinβ cosα|√

cos2α+ sin2 α ·√

cos2 β + sin2 β= |sinα cosβ − sinβ cosα|

= |sin(α− β)| .

Niech teraz x, y, z będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Istnieją wtedy α, β, γ ∈(−π2 ,

π2

)takie, że

x = tgα, y = tgβ oraz z = tg γ. Mamy wtedy:

d(x, y) =∣∣∣ sin(α− β)

∣∣∣ =∣∣∣sin((α− γ) + (γ − β)

)∣∣∣=

∣∣∣ sin(α− γ) cos(γ − β) + sin(γ − β) cos(α− γ)∣∣∣

6∣∣∣ sin(α− γ) cos(γ − β)

∣∣∣+∣∣∣ sin(γ − β) cos(α− γ)

∣∣∣=

∣∣∣ sin(α− γ)∣∣∣ · ∣∣∣ cos(γ − β)

∣∣∣+∣∣∣ sin(γ − β)

∣∣∣ · ∣∣∣ cos(α− γ)∣∣∣

6∣∣∣ sin(α− γ)

∣∣∣+∣∣∣ sin(γ − β)

∣∣∣ = d(x, z) + d(z, y),


a zatem, d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y). Pozostałe warunki są oczywiste. �

Powyższa metryka d pojawia się w dość naturalny sposób i jest szczególnym przypadkiemtak zwanych metryk sferycznych. Wyjaśnijmy to dokładniej.

Rozpatrzmy na płaszczyźnie R2 okrąg S o środku w punkcie (0, 12) i promieniu r = 12 .

Jest to okrąg styczny do osi x-ów. Każdy punkt (u, v), tego okręgu, spełnia równość

u2 + v2 = v.

Punkt N = (0, 1), leżący na tym okręgu, nazwijmy biegunem północnym. Niech A = (x, 0)będzie dowolnym punktem leżącym na osi x-ów. Prosta przechodząca przez punkty N i Aprzecina okrąg S w dokładnie jednym punkcie różnym od bieguna N . Łatwo sprawdzić, żetym punktem przecięcia jest

(x1+x2 ,

x2

1+x2

). Mamy zatem funkcję h : R→ S r {N} określoną

wzorem

h(x) =

(x

1 + x2,

x2

1 + x2

)dla wszystkich x ∈ R. Oznaczmy przez f funkcję z S r {N} do R określoną wzorem

f(u, v) =u

1− v.

dla wszystkich (u, v) ∈ Sr{N}. (Zauważmy, że 1−v 6= 0, gdyż u2+v2 = v oraz (u, v) 6= (0, 1)).Bez trudu sprawdzamy, że funkcje h oraz f są wzajemnie odwrotne.

Dołączmy do prostej R jeszcze jeden element zwany punktem w nieskończoności. Oznacz-my go symbolem ∞. Nazwijmy zbiór R ∪ {∞} prostą domkniętą i oznaczmy ten zbiór przezR. Przyjmijmy dodatkowo, że h(∞) = N oraz f(N) = ∞. W ten sposób otrzymujemy dwiewzajemnie odwrotne funkcje h : R→ S oraz f : S→ R.

Niech d2 : R2 × R2 → R będzie metryką euklidesową, tzn.

d2(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2, dla x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2.

Za pomocą metryki d2 oraz funkcji h definiujemy nową funkcję δ : R× R→ R, przyjmując

(∗) δ(x, y) = d2(h(x), h(y)

), dla x, y ∈ R.

1.9.9. Powyższa funkcja δ : R× R→ R jest metryką.

D. Wynika to natychmiast z tego, że d2 jest metryką oraz h jest funkcją różnowarościową (a nawetbijekcją). �

Łatwo sprawdzić, że zachodzą następujące równości.

1.9.10.

(1) δ(x, y) =|x− y|√

1 + x2 ·√

1 + y2dla x, y ∈ R;

(2) δ(x,∞) =1√

1 + x2dla x ∈ R.

Widzimy więc, że metryka δ obcięta do zbioru R× R jest dokładnie tą samą metryką d,którą przedstawiliśmy w 1.9.8.


1.9.11. Niech δ : R × R → R będzie metryką taką jak powyżej, tzn. zdefiniowaną równoś-cią (∗) Niech d1(x, y) = |x−y| oraz niech d : R×R→ R będzie obcięciem metryki δ do zbioruR×R (czyli d jest metryką podaną w 1.9.8). Mamy wówczas:

(1) δ(x, y) 6 1 dla wszystkich x, y ∈ R;

(2)(R, δ

)jest przestrzenią zwartą.

(3) metryki d oraz d1 są równoważne, tzn. jeśli (xn) jest ciągiem o wyrazach należącychdo R oraz a ∈ R, to ciąg (xn) jest zbieżny do a względem metryki d wtedy i tylko wtedy, gdyciąg (xn) jest zbieżny do a względem metryki d1.

(4) Niech (xn) będzie ciągiem o wyrazach należących do R. Załóżmy, że granicą ciągu(|xn|) (w zwykłym sensie) jest +∞. Wtedy ciąg (xn) jest zbieżny w

(R, δ

)i jego granicą

jest ∞. W szczególności, ciąg xn = (−2)n jest zbieżny względem metryki δ i jego granicą jest∞.

Wszystkie przedstawione konstrukcje można powtórzyć w dowolnych wymiarach. Niechn > 1 będzie liczbą naturalną i niech

Rn ={

(x1, . . . , xn); x1, . . . , xn ∈ R}, Rn+1 =

{(u1, . . . , un, v); u1, . . . , un, v ∈ R

}.

Rozpatrzmy w przestrzeni Rn+1 sferę Sn o środku w punkcie (0, 0, . . . , 0, 12) i promieniu r = 12 .

Każdy punkt (u1, . . . , un, v) tej sfery spełnia równość

u21 + · · ·+ u2n + v2 = v.

Punkt N = (0, . . . , 0, 1), leżący na tej sferze, nazwijmy biegunem północnym. Niech x =(x1, . . . , xn) ∈ Rn i niech A = (x, 0). Prosta w Rn+1, przechodząca przez punkty N i A,przecina sferę Sn w dokładnie jednym punkcie różnym od bieguna N . Łatwo sprawdzić, żetym punktem przecięcia jest

(x11+|x|2 ,

x21+|x|2 , . . . ,

xn1+|x|2 ,

|x|21+|x|2

), gdzie

|x|2 = x21 + x22 + · · ·+ x2n.

Mamy zatem funkcję h : Rn → Sn r {N} określoną wzorem

h(x) =

(x1

1 + |x|2,

x21 + |x|2

, . . . ,xn

1 + |x|2,|x|2

1 + |x|2

),

dla wszystkich x = (x1, . . . , xn) ∈ R. Oznaczmy przez f funkcję z Sn r {N} do Rn określonąwzorem

f(u, v) =(

u11− v

, . . . ,un

1− v

),

dla wszystkich (u, v) ∈ Sn r {N}, gdzie u = (u1, . . . , un). (Zauważmy, że 1 − v 6= 0). Beztrudu sprawdzamy, że funkcje h oraz f są wzajemnie odwrotne.

Dołączmy do przestrzeni Rn jeszcze jeden element zwany punktem w nieskończoności.Oznaczmy go symbolem ∞. Nazwijmy zbiór Rn ∪ {∞} przestrzenią domkniętą i oznaczmyten zbiór przez Rn. Przyjmijmy dodatkowo, że h(∞) = N oraz f(N) = ∞. W ten sposóbotrzymujemy dwie wzajemnie odwrotne funkcje h : Rn → Sn oraz f : Sn → Rn.

Niech ds : Rs × Rs → R (dla każdego s > 1) oznacza metrykę euklidesową, tzn.

ds(x, y) =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xs − s2)2, dla x = (x1, . . . , xs), y = (y1, . . . , ys) ∈ Rs.


Za pomocą metryki dn+1 oraz funkcji h definiujemy nową funkcję δn : Rn × Rn → R, przyj-mując

δn(x, y) = dn+1(h(x), h(y)

), dla x, y ∈ Rn.

1.9.12. Powyższa funkcja δn : Rn × Rn → R jest metryką.

D. Wynika to natychmiast z tego, że dn+1 jest metryką oraz h jest funkcją różnowarościową (anawet bijekcją). �

Łatwo można udowodnić następujące stwierdzenie.

1.9.13.

(1) δn(x, y) =dn(x, y)√

1 + |x|2 ·√

1 + |y|2dla x, y ∈ Rn.

(2) δn(x,∞) =1√

1 + |x|2dla x ∈ Rn.

(3) δn(x, y) 6 1 dla wszystkich x, y ∈ Rn.

(4)(Rn, δn

)jest przestrzenią zwartą.

(5) Niech d oznacza metrykę δn obciętą do Rn ×Rn. Metryki d oraz dn są równoważne,tzn. jeśli (xn) jest ciągiem o wyrazach należących do Rn oraz a ∈ Rn, to ciąg (xn) jest zbieżnydo a względem metryki d wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (xn) jest zbieżny do a względem me-tryki dn.

Opisane konstrukcje w przypadku n = 2 mają istotne zastosowania w analizie zespolo-nej. Godnymi polecenia są polskie książki: [Ch-1], [Ch-z] oraz [Leja], w których znajdziemypodstawowe twierdzenia i fakty dotyczące omawianej tematyki. Odwzorowanie h : R2 → S2,którym się zajmowaliśmy, nazywa się rzutem stereograficznym (płaszczyzny domkniętej nasferę).oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo1.10 Liczby postaci x + 1/xoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.10.1. Niech an = xn +1xn

, dla n ∈ N0. Wtedy aiaj = ai+j + ai−j , dla wszystkich nieujem-

nych liczb całkowitych n > m. W szczególności, (gdy i = n+ 1, j = 1) mamy równość

an+2 = a1an+1 − an,

dla n > 0.

D. anam =(xn + 1

xn

) (xm + 1

xm

)= xn+m + xn−m + 1

xn−m + 1xn+m = an+m + an−m. �

1.10.2. Rozpatrzmy ciąg (An(x))n∈N0, wielomianów należących do Z[x] takich, że

A0(x) = 2, A1(x) = x, An+2 = xAn+1(x)−An(x), dla n > 0.

Wtedy dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n zachodzi równość

An

(x+

1x

)= xn +

1xn.


D. (Indukcja ze względu na n). Dla n = 0 i n = 1 jest to oczywiste. Oznaczmy an = xn + 1xn ,

dla n ∈ N0 i niech n > 2. Mamy wtedy: An+1(x+ 1

x

)= An+1(a1) = a1An(a1) − An−1(a1) =

a1an − an−1 = an+1 = xn+1 + 1xn+1 . �

1.10.3. Początkowe wielomiany An(x) zdefiniowane w 1.10.2 (Maple).

A1 = x,

A2 = x2 − 2,

A3 = x3 − 3x = x(x2 − 3),

A4 = x4 − 4x2 + 2,

A5 = x5 − 5x3 + 5x = x(x4 − 5x2 + 5),

A6 = x6 − 6x4 + 9x2 − 2 = (x4 − 2)(x2 − 4x+ 1),

A7 = x7 − 7x5 + 14x3 − 7x = x(x6 − 7x4 + 14x2 − 7),

A8 = x8 − 8x6 + 20x4 − 16x2 + 2,

A9 = x9 − 9x7 + 27x5 − 30x3 + 9x = x(x2 − 3)(x6 − 6x4 + 9x2 − 3),

A10 = x10 − 10x8 + 35x6 − 50x4 + 25x2 − 2 = (x2 − 2)(x8 − 8x6 + 19x4 − 12x2 + 1),

A11 = x11 − 11x9 + 44x7 − 77x5 + 55x3 − 11x = x(x10 − 11x8 + 44x6 − 77x4 + 55x2 − 11),

A12 = x12 − 12x10 + 54x8 − 112x6 + 105x4 − 36x2 + 2= (x4 − 4x2 + 2)(x8 − 8x6 + 20x4 − 16x2 + 1).

1.10.4.Wielomiany An, zdefiniowane w 1.10.2, mają następujące właności.

(1) Każdy wielomian An, dla n ∈ N, jest moniczny stopnia n.

(2) Jeśli n jest parzyste, to funkcja x 7→ An(x) jest parzysta.

(3) Jeśli n jest nieparzyste, to funkcja x 7→ An(x) jest nieparzysta.

(4) Każdy wielomian postaci Anm, gdzie n,m ∈ N i m jest nieparzyste, jest podzielnyprzez wielomian An. Dokładniej, jeśli m = 2k + 1 jest liczbą nieparzystą, to dla każdegon ∈ N zachodzi równość

An(2k+1) = An(A2kn −A2(k−1)n +A2(k−2)n − · · · ±A2n ∓ 1

).

D. Własności (1), (2) i (3) wynikają z definicji wielomianów postaci An. Wykażemy, że zachodzirówność (4). Oznaczmy przez F (x) wielomian występujący po prawej stronie tej równości. Z 1.10.2wynika, że

An(2k+1)(x+ 1

x

)= xn(2k+1) + 1

xn(2k+1)= (xn)2k+1 +

(1xn

)2k+1=

(xn + 1

xn

) ((xn)2k − (xn)2(k−1) + xn(2k−2) − . . .

)= An

(x+ 1

x

) (A2kn

(x+ 1

x

)−A2(k−1)n

(x+ 1

x

)+A2(k−2)n

(x+ 1

x

)− . . .

)= F

(x+ 1

x

).

Niech G(x) = An(2k+1)(x)−F (x). Z powyżej równości wynika, że G(a+ 1a ) = 0 dla wszystkich a ∈ N.

Jest oczywiste, że jeśli a, b ∈ N, a 6= b, to a+ 1a 6= b+ 1

b . Wielomian G(x) ma więc nieskończenie wielepierwiastków. Zatem G = 0, czyli A(2k+1)n(x) = F (x). �

1.10.5. Dla każej nieparzystej liczby naturalnej n istnieje wielomian moniczny fn(x), owspółczynnikach całkowitych stopnia n taki, że fn

(x− 1x

)= xn − 1

xn . ([Putn] 1959).

D. ([AndG] 183). Wynika to z równości x2 + 1x2 =

(x− 1x

)2+ 2 oraz x2k+1 − 1

x2k+1

=(x2 + 1

x2

) (x2k−1 − 1

x2k−1

)−(x2k−3 − 1

x2k−3

). �


1.10.6. Niech x będzie liczbą zespoloną cos t+ i sin t, gdzie t ∈ R. Wtedy:

x+1x

= 2 cos t, xn +1xn

= 2 cos(nt).

D. Wynika to ze wzoru Moivre’a. �

W następnym fakcie pojawia się wielomian Czebyszewa Tn(x). Wielomianem Czebyszewapierwszego rodzaju nazywamy każdy wyraz ciągu (Tn(x)), wielomianów z Z[x], zdefiniowanychnastępująco:

T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn+2(x) = 2xTn+1 − Tn(x).

Własnościami i zastosowaniami tych wielomianów zajmiemy się w [N12]). Zanotujmy jedynieznaną równość:

Tn(cos t) = cos(nt),

dla n ∈ N0.

1.10.7. Tn

(12

(x+ x−1))

=12

(xn + x−n). ([BoE] 33, [AndG] 52).

D. Rozpatrzmy liczbę zespoloną x = cos t+i sin t. Wiemy (patrz 1.10.6), że wtedy x+x−1 = 2 cos toraz xn + x−n = 2 cos(nt). Zatem Tn

(12 (x+ x−1)

)= Tn(cos t) = cos(nt) = 1

2 (xn + x−n). Skoro

rozważana równość zachodzi dla wszystkich liczb zespolonych leżących na okręgu |z| = 1, to równieżzachodzi dla każdej liczby rzeczywistej x. �

1.10.8. Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że liczba x +1x

jest całkowita. Wtedy każda

liczba postaci xn +1xn

, gdzie n ∈ N, jest całkowita. ([G-if] 103).

D. Wynika to z równości xn+1xn

= An

(x+

1x

), gdzie An jest wielomianem, o współczynnikach

całkowitych, zdefiniowanym w 1.10.2. �

1.10.9. Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x, dla których każda liczba postaci

xn +1xn,

n ∈ N, jest całkowita. ([Nord] 1996).

R. Z 1.10.8 wiemy, że wystarczy by liczba x + 1x była całkowita. Niech x + 1

x = m ∈ Z. Wtedy

dla m 6= −1, 0, 1 mamy m2 − 4 > 0 i wtedy x = m±√m2−42 . �

1.10.10. Jeśli x+1x

=1 +√

52

, to x2000 +1

x2000= 2. ([AndG] 53).

1.10.11. Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że liczba x+ 1x jest wymierna. Wtedy każda

liczba postaci

xn +1xn,

gdzie n ∈ N, jest wymierna. ([G-if] 103).


D. Wynika to z równości xn + 1xn = An

(x+ 1

x

), gdzie An jest wielomianem, o współczynnikach

całkowitych, zdefiniowanym w 1.10.2. �

1.10.12. Niech 0 < x ∈ R, k ∈ N. Jeśli liczby xk +1xk

oraz xk+1 +1

xk+1są wymierne, to

x+1x

jest liczbą wymierną. ([KoM] 2000(4) A238).

1.10.13. Niech α ∈ R i niech k ∈ N. Jeśli liczby cos(kα) i cos((k + 1)α) są wymierne, tocosα jest również liczbą wymierną.

D. Oznaczmy x = cosα + i sinα. Wtedy x + 1x = 2 cosα oraz xn + 1

xn = 2 cos(nα) dla n ∈ N(patrz 1.10.6). Teza wynika zatem z 1.10.12. �

1.10.14. Niech a1 = 1 oraz an+1 = an +1an

dla n ∈ N. Wtedy:

(1) a100 > 14;

(2) [a1000] = 44;

(3) liman√n

=√

2. ([Kw] 4/2000 M1719).

F T. Andreescu, R. Gelca, x+ 1/x, [AndG] 52-53.oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo1.11 Różne fakty i zadania dotyczące liczb rzeczywistychoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

1.11.1. Jeślia2b2

a4 − 2b4= 1, to

a2 − b2

a2 + b2=

13

. ([OM] Moskwa 1994/1995).

1.11.2. Jeśli2aa+ b

+b

a− b= 2, to

3a− ba+ 5b

= 1 lub 3. ([OM] Moskwa 1994/1995).

1.11.3. Niech a, b ∈ R r {0}. Jeśli a+ b =1a

+1b

, to

a3 + b3 =1a3

+1b3.

([Mock] 3/2000).

U. Łatwo wykazać, że jeśli a+b = 1a + 1b , to b = −a lub b = 1

a . Stąd mamy np.: jeśli a+b = 1a + 1b ,

to a5 + b5 = 1a5 + 1

b5 , a7 + b7 = 1a7 + 1

b7 , . . . . �

1.11.4. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami rzeczywistymi, to

a4+1(a−b)(a−c)(a−d) + b4+1

(b−a)(b−c)(b−d) + c4+1(c−a)(c−b)(c−d) + d4+1

(d−a)(d−b)(d−c) = a+ b+ c+ d.

([Crux] 2000 s.511 z.2487).

1.11.5. Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) ∈ R3 takie, że

x(y + 1) = y(z + 1) = z(x+ 1).

([MOc] 2000 z.15).

30 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste

R. (x, y, z) = (− t+1t ,−11+t , t), gdzie t ∈ R r {0,−1}. Rozwiązanie wygląda niesymetrycznie. Tak

jednak nie jest. �

1.11.6. Liczby a1b2c3, a2b3c1, a3b1c2, −a3b2c1, −a2b1c3, −a1b3c2 nie mogą być jednocześniedodatnie. ([B-zm] 9).

1.11.7. Istnieją trzy dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c takie, że

a2 + b2 + c2 > 2, a3 + b3 + c3 < 2 oraz a4 + b4 + c4 > 2.

Takimi liczbami są na przykład: a =12

, b =23

, c =2√3

. ([OM] Szwecja 1977).

1.11.8. Niech a < b będą takimi liczbami rzeczywistymi, że odcinek [a, b] nie zawiera żadnejliczby całkowitej. Istnieje wtedy liczba naturalna n taka, że odcinek [na, nb] nie zawiera żadnejliczby całkowitej oraz

|na− nb| > 16.

(Newman Problem 43).

1.11.9. Jeśli A, B są rozłącznymi podzbiorami odcinka [0, 1] takimi, że [0, 1] = A ∪ B, tonie istnieje żadna liczba rzeczywista r taka, że B = A + r, gdzie A + r = {a + r; a ∈ A}.([Bryn] 2.7).

1.11.10. Z pary (a, b) liczb rzeczywistych można otrzymać jedną z następujących par: (a+1, b + 2a + 1), (ab−1, b−1) jeśli b 6= 0, (sa, s2b) dla każdego s 6= 0. Czy stosując skończonąliczbę razy tę operację można z pary (2, 3) otrzymać parę (44, 1992)? ([Berk] 4c/92).O. Nie. Niech (x, y) będzie parą otrzymaną z pary (a, b). Wówczas (x2 − y)(a2 − b) > 0. �

1.11.11. Z pary (a, b) liczb rzeczywistych można otrzymać parę (15a + 5b, 5a + 15b) lubparę (45a+ 5b, 5a+ 45b). Czy stosując skończoną liczbę razy tę operację można z pary (3, 1)otrzymać parę postaci (3 · 10n, 10n), gdzie n ∈ N? ([Berk] 4c/93).O. Nie można. Niech (x, y) będzie parą otrzymaną z pary (a, b). Łatwo sprawdzić, że jeśli a >

b > 0, to xy >

ab . �

1.11.12. Jeśli liczby a i b są przestępne, to jedna z liczb a+ b, ab też jest przestępna.([Ssm] 1997(1) z.4600).

1.11.13. Niech x1, . . . , xn będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi różnymi od 1 takimi, że

x1 = logxn−1(xn), x2 = logxn(x1), x3 = logx1(x2), . . . , xn = logxn−2(xn−1).

Wtedy x1x2 · · ·xn = 1. ([IMO] Longlist 1959-1966).

1.11.14. γ = lim(1 +12

+13

+ · · ·+ 1n− lnn) = 0, 5772156649 . . .

1.11.15.1

2n+ 2/5< 1 +

12

+ · · ·+ 1n− log n− γ < 1

2n+ 1/3. ([Mon] 99(7)(1992) E3432).

F J. Browkin, Twierdzenie o rozszerzaniu pojedyńczym, [Mat] 5/1973 259.I. Gerst, Some series for Euler’s constant, [Mon] 76(3)(1969) 273-275.I. Gucewicz-Sawicka, Pojęcie kresu dolnego i kresu górnego zbioru, [Mat] 1/1979 32-36.H. Halberstam, Transcendental numbers, [MG] 58(406)(1974) 276-284.E. Hille, Gelfond’s solution of Hilbert’s Seventh Problem, [Mon] 49(10)(1942) 654-661.J.-M. De Koninck, A. Mercier, Classification of real numbers, [K-Me] 99-100, 323-329.E. Strzelecki, Algebry nad ciałem liczb rzeczywistych, [Mat] 2/1964 49-57.

Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 31

Literatura

[A-P] Asian Pacific Mathematical Olympiad.

[AndG] T. Andreescu, R. Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, Birkhauser, Boston - Basel -Berlin, 2004.

[B-rs] J. Browkin, J. Rempała, S. Straszewicz, 25 lat Olimpiady Matematycznej, WSiP, Warszawa,1975.

[B-zm] V. I. Bernik, I. K. Żuk, O. W. Melnikow, Zbiór Zadań Olimpijskich z Matematyki (po rosyjsku),Narodnaja Aswieta, Minsk, 1980.

[Bak] A. Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975.

[Bams] Bulletin of the American Mathematical Society, (Bull. Amer. Math. Soc.), czasopismo mate-matyczne.

[Berk] V. I. Bernik, Byelorussian Mathematical Olympiads, 1992-1993, Minsk, 1993.

[BoE] P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and Polynomial Inequalities, Graduate Texts in Mathe-matics 161, Springer, 1995.

[BoL] W. G. Bołtiański, W. G. Leman, Zbiór Zadań Moskiewskich Olimpiad Matematycznych (porosyjsku), Moskwa, 1965.

[Bryn] M. Bryński, Olimpiady Matematyczne, tom 7, 31-35, 79/80 - 83/84, WSiP, Warszawa, 1995.

[Buch] A. A. Buchsztab, Teoria Liczb (po rosyjsku), Moskwa 1960.

[Ch-1] J. Chądzyński, Wstęp do Analizy Zespolonej, Wydawnicto Naukowe PWN, Warszawa 2000.

[Ch-z] J. Chądzyński, Wstęp do Analizy Zespolonej w Zadaniach, Wydawnicto Uniwersytetu Łódz-kiego, Łódź 2009.

[Cmj] The College Mathematics Journal, The Mathematical Association of America.

[CouR] R. Courant, H. Robbins, Co to jest Matematyka, PWN, Warszawa, 1967.

[Crux] Crux Mathematicorum, Canadian Mathematical Society, popolarne matematyczne czasopismokanadyjskie.

[Dlt] Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny.

[Fom] D. V. Fomin, Sankt-Petersburskie Olimpiady Matematyczne (po rosyjsku), Politechnika, Sankt-Petersburg, 1994.

[G-if] S. A. Genkin, I. W. Itenberg, D. V. Fomin, Leningradzkie Kółka Matematyczne (po rosyjsku),Kirow, ASA, 1994.

[G-ns] A. I. Gałoczkin, Ju. W. Nesterenko, A. B. Szydłowski, Wstęp do Teorii Liczb (po rosyjsku),Moskwa, 1984.

[GaT] G. A. Galpierin, A. K. Tołpygo, Moskiewskie Olimpiady Matematyczne (po rosyjsku), 1935-1985, Moskwa, 1986.

[IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna.

[IrR] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer - VerlagNew York Inc., New York, 1982.

[JedW] J. Jędrzejewski, W. Wilczyński, Przestrzenie metryczne w zadaniach, Wydanie III, Wydaw-nictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2007.

[K-Me] J.-M. De Koninck, A. Mercier, 1001 Problems in Classical Number Theory, AMS, 2007.

[Kofl] E. Kofler, Z Dziejów Matematyki, Wiedza Powszechna, Warszawa, 1962.

32 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste

[KoM] KoMal, Kozepiskolai Matematikai Lapok, węgierskie czasopismo matematyczne, 1894-2012.

[Kw] Kwant, popularne czasopismo rosyjskie.

[Leja] F. Leja, Funkcje Zespolone, PWN, Warszawa 1967.

[Lion] F. Le Lionnais, Les nombres remarquables, Herman, Paris, 1983.

[Mat] Matematyka, polskie czasopismo dla nauczycieli.

[MG] The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne.

[Min] Miniatury Matematyczne, Komitet Organizacyjny Konkursu ”Kangur Matematyczny”, ZespółRedakcyjny: Z. Bobiński, P. Jarek, P. Nodzyński, A. Świątek, M. Uscki, Toruń, 1996-2012.

[MM] Mathematics Magazine, popularne czasopismo matematyczne.

[MOc] Mathematical Olympiads’ Correspondence Program, Canada, 1997-2012.

[Mock] Mock Putnam Exam.

[Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America.

[N-2] A. Nowicki, Cyfry Liczb Naturalnych, Podróże po Imperium Liczb, cz.2, WydawnictwoOWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2008; Wydanie drugie 2012.

[N-4] A. Nowicki, Liczby Pierwsze, Podróże po Imperium Liczb, cz.4, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń,Olsztyn. Wydanie pierwsze 2009; Wydanie drugie 2012.

[N-9] A. Nowicki, Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi, Podróże po Imperium Liczb, cz.9, Wy-dawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 2010.

[N12] A. Nowicki, Wielomiany, Podróże po Imperium Liczb, cz.12, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń,Olsztyn, 2011.

[Nagl] T. Nagell, Introduction to Number Theory, Chelsea Publishing Company, New York, 1964.

[Nava] J. Navarro, Tajemnica liczby π. Dlaczego niemożliwa jest kwadratura koła?, RBA Colecciona-bles S. A., Wydanie polskie, 2012.

[Nord] Nordic Mathematical Competition.

[OM] Olimpiada Matematyczna.

[Pa97] H. Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 1997.

[Pmgr] Praca magisterska, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu, Wydział Matematyki i Infor-matyki.

[Putn] Putnam (William Lowell) Mathematical Competition.

[RaT] H. Rademacher, O. Toeplitz, O Liczbach i Figurach, PWN, Warszawa, 1956.

[S50] W. Sierpiński, Teoria Liczb, Warszawa - Wrocław, 1950.

[S59] W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa, 1959.

[S64] W. Sierpiński, 200 Zadań z Elementarnej Teorii Liczb, Biblioteczka Matematyczna 17, PZWS,Warszawa, 1964.

[Ssm] School Science and Mathematics Journal, School Science and Mathematics Association.

[Stet] I. Stewart, Galois Theory, Chapman and Hall/CRC, Boca Ration, New York, London, 2004.

[Str72] S. Straszewicz, Zadania z Olimpiad Matematycznych, tom IV, 16-20, 64/65 - 68/69, PZWS,Warszawa, 1972.

[Szn] L. B. Szneperman, Zbiór Zadań z Algebry i Teorii Liczb (po rosyjsku), Minsk, 1982.

[Szu87] M. Szurek, Opowieści Matematyczne, WSiP, Warszawa, 1987.

Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 33

[TTss] Tournament of the Towns, Senior, Spring.

[Uiuc] UIUC Undergraduate Math Contest, University of Illinois at Urbana-Champaign.

[WaJ] N. B. Wasilev, A. A. Jegorow, Zadania Olimpiad Matematycznych Związku Radzieckiego (porosyjsku), 1961-1987, Moskwa, Nauka, 1988.

Podróże po Imperium Liczb Część 10. Liczby i Funkcje Rzeczywiste

Documents

Transcript of Podróże po Imperium Liczb Część 10. Liczby i Funkcje Rzeczywiste