Wykład VIII

LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE,

ELEKTRYCZNY WEKTOR ZESPOLONY,

METODA SYMBOLICZNA,

ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW ROZGAŁĘZIONYCH

PRĄDU PRZEMIENNEGO

POSTACI LICZB ZESPOLONYCH

Wskazy prądu i napięcia: I i U, umieszczone na płaszczyźnie zespolonej, stają się liczbami zespolonymi. Noszą one nazwy wartości skutecznych zespolonychlub wartości symbolicznych prądu i napięcia.

Z = a + jb

a = Re Z - cześć rzeczywista liczby zespolonej

b = Im Z - cześć urojona liczby zespolonej

LICZBY ZESPOLONE

Porównanie dwóch liczb zespolonych:

LICZBY ZESPOLONE

Liczby sprzężone :

Liczba sprzężona z Z :

Wynikiem takiej operacji jest liczba rzeczywista, bo:

1−=j

POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ

przy czym:

moduł, wartość wektora zespolonego :

POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ – PRZYKŁAD 1

Zamienić na postać trygonometryczną: a. Z = 1+j

b. Z = 4 -j6

POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ – PRZYKŁAD 2

Przedstawić w postaci- algebraicznej,- trygonometrycznej.

Rozwiązania :

LICZBA SPRZĘŻONA

POSTAĆ WYKŁADNICZA LICZBY ZESPOLONEJ

PRZYKŁAD: Przedstawić liczbę Z = 1+j w postaci wykładniczej :

LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE

Jeżeli funkcja sinusoidalna napięcia chwilowego u(t) jest postaci:

to wartość chwilowa zespolona tego napięcia jest postaci:

zatem: jest wartością chwilową zespoloną

lub

gdzie:

- amplituda zespolona,

- napięcie skuteczne zespolone w postaci wykładniczej,

- napięcie skuteczne zespolone w postaci trygonometrycznej,

- napięcie skuteczne zespolone w postaci algebraicznej.

LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE

Wyróżnia się zatem trzy postaci elektrycznych

wielkości zespolonych:

a. postać wykładnicza

b. postać trygonometryczna

c. postać algebraiczna

IMPEDANCJA ZESPOLONA

Zapis impedancji zespolonej:

REZYSTANCJA ZESPOLONA

Zapis rezystancji zespolonej:

REAKTANCJA INDUKCYJNA ZESPOLONA

Zapis reaktancji indukcyjnej zespolonej:

Jeśli wiadomo, że:

- jest operatem obrotu wektora zespolonego

Zatem:

stąd: - oznacza potwierdzenie warunku, że napięcie na cewce wyprzedza prąd o 90o np. w postaci czasowej.

REAKTANCJA POJEMNOŚCIOWA ZESPOLONA

Zapis reaktancji pojemnościowej zespolonej:

w postaci symbolicznej:

Jeśli wiadomo, że:

- oznacza potwierdzenie warunku, że prąd na cewcewyprzedza napięcie o 90o w przestrzeni czasowej

MOC ZESPOLONA

Jeżeli: oraz:

to moc zespolona jest równa iloczynowi napięcia razy prąd sprzężony.

Definicja :

Stąd również :

jeśli :

Zatem :

a w postaci algebraicznej:

ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO METODĄ SYMBOLICZNĄ

Elementarny obwód RLC

Przedstawienie analityczne napięć i prądów w zapisie dla wartości chwilowych, amplitud zespolonych i zespolonych wartości skutecznych.

Rezystor

Cewka

Kondensator

ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO METODĄ SYMBOLICZNĄ

Równanie różniczkowo-całkowe bilansu napięć:

Bilans napięć w oczku:

Równanie zespolone bilansu napięć w oczku:

jeśli:

to:

->

->

Prawo Ohma w postaci zespolonej dla układu prądu przemiennego

ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO METODĄ SYMBOLICZNĄ

PRZYKŁAD 1

Dla zaznaczonych oczek podanego układu ułożyć równania napięciowe, zgodnie z II prawem Kirchhoffa, stosując metodę symboliczną, w postaci algebraicznej.

Rozgałęziony układ RLCz zaznaczonymi

obiegami konturowymi w wybranych oczkach

niezależnych.

PRZYKŁAD 1

ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO METODĄ SYMBOLICZNĄ

PRZYKŁAD 2

Rozwiązać układ metodą prądów oczkowych.

DANE:

Ω==

Ω==

⋅=

=

°

5

21

100

100

902

1

L

C

j

XR

CX

eE

VE

ω

Rozgałęziony układ RLCz dwoma źródłami

PRZYKŁAD 2

Podstawowy układ równań (*):

(*) Gdzie: - Prądy oczkowe

impedancje oczkowe i między-oczkowe

Po podstawieniu do układu (∗∗∗∗), otrzymujemy układ (∗∗∗∗∗∗∗∗)

PRZYKŁAD 2

Wyznacznik główny układu równań (**)

Podwyznacznik pierwszy układu (**)

Obliczanie prądów oczkowych i prądów gałęziowych układu:

Podwyznacznik drugi układu (**)

Podoski Roman (1873-1954)

Pionier elektryfikacji polskich kolei urodził się w Dąbrowicach k. Lwowa. W celu uniknięcia służby wojskowej, rodzice wysłali go na naukę do szkoły księży Pijarów w Tarnopolu. Po ukończeniu tej szkoły studiowałpoczątkowo na Politechnice Lwowskiej, a następnie na Wydziale Elektromechanicznym w Zurichu. Po ukończeniu studiów w 1897 r. został asystentem, a następnie pracował w firmie "Helios" w Kolonii. W 1899 r. firma wysłała go do Como we Włoszech Północnych, gdzie prowadził budowę pierwszej linii tramwajowej, po czym zostałkierownikiem budowy tramwajów w Katanii na Sycylii.

Po powrocie do Kijowa założyl przedsiębiorstwo elektrotechniczne, które zajmowało się budową elektrownii w różnych miastach Rosji.

W 1907 roku rozpoczęto elektryfikację tramwajów w Warszawie, podczas której Podoski był naczelnikiem służb: eksploatacji, szkolenia kadr, warsztatów i budowy sieci. Pierwszą linię tramwająwąuruchomiona w 1908 r., na której tramwaje jeździły z prędkością 25 km/godz. Zbudowana w Warszawie sieć tramwajowa jak na tamte czasy była bardzo gęsta, gdyż tramwaje stanowiły jedyny środek transportu publicznego.

W 1918 r. opracował pierwszy projekt elektryfikacji kolei w Polsce, zaśw 1929 r. opracował szczegółowy projekt elektryfikacji kolejowego węzła warszawskiego zasilanego prądem stałym o napięciu 3000 wolt.

Po II wojnie światowej brał udział w opracowywaniu perspektywicznego planu elektryfikacji kolei w Polsce.

KONIEC WYKŁADU VIII